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INTERÉS SIMPLE

UD 5

UD 5EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN ANUAL

Es la ley financiera en la que los intereses de cada periodo se calculan siempre sobre el mismo capital.

EJEMPLO: Deposito en el banco 1000 €. Me dan un interés del 2% semestral. ¿Al final de año, cuánto tendré?

Hoy

1000 €

Al año

1040 €

6 meses 12 meses

1000 x 2% = 20 € 1000 x 2% = 20 €


Se caracteriza porque los intereses producidos nono se añaden al capital final de cada período para el cálculo de los intereses del período siguiente,

sino que los intereses generados se retiran se retiran y se vuelve a invertir el mismo capital, que permanece constante en el tiempo.

Se utiliza, normalmente, en operaciones a corto plazo.


Ejemplos de operaciones financieras a las que se le aplica el interés simple:

- Cuentas corrientes bancarias.

- El descuento de efectos: letras de cambio, pagarés.

En primer lugar estudiaremos interés simple para periodos enteros anuales periodos enteros anuales y posteriormente para periodos inferiores al año.


Hablamos de CAPITALIZACIÓN , cuando partiendo de un capital inicial queremos saber el valor de ese capital al final de un periodo de tiempo.

Capital inicial = 1000 € Capital final = 1040 €


Hablamos de ACTUALIZACIÓN , cuando partiendo de un capital FINAL queremos saber el valor de ese capital al INICIO de un periodo de tiempo.

Capital inicial = 1000 € Capital final = 1040 €


CAPITALIZACIÓN ANUAL


El interés simple se aplica en una operación financiera cuando para el cálculo de los intereses de cada periodo no se tiene en cuenta nada más que el capital inicial.

CAPITAL

PERIODOS

I1 I2 I3

II11+ I+ I22+I+I33


Elementos que intervienen en una operación financiera:

Co = Capital Inicial

n = Duración de la operación financiera.

i = Tipo de interés anual expresado en tanto por uno

I = Intereses de un año.

Como se calculan sobre el capital inicial, su valor será Co x i. Será igual para todos los periodos.

IITT = Intereses totales de la operación (I +I +I…)

Cn = Capital final de la operación

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Capital final o montante

Se trata de saber cuál es el valor del capital final de un capital Co en régimen de capitalización simple transcurridos n años, siendo el tanto anual aplicado a la operación i.

Cn = Co + IT

IT = I + I + I +…+ I = n * I (Intereses totales)

I = Co * i (Intereses de un periodo)

IT = Co * n *i

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Si sustituimos I por su valor en Cn = Co + IT

IT = Co x n x i

Cn = Co + Co x n x i

Sacamos factor común Co

Cn = Co (1 + n x i)

Expresión que nos permite calcular el montante o capital final en función del capital inicial, dados el tiempo y el tipo.

Ver caso práctico 1.

UD 5

Calculo de los intereses totales

Sabiendo que:

IT= n x I

y además que:

I = Co x i

Si sustituimos I por su valor en la primera expresión, se

obtiene:

IT = Co x n x i


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Cálculo del capital inicial

A partir de Cn = Co ( 1 + n +i), despejamos Co y obtenemos:

Cn

( 1+ n * i)Co =

O bien, si conocemos los intereses, IT = Cn – Co, de donde:

Co = Cn - IT

Ver caso práctico 3-4

UD 5

Realizar actividades de la 1 a la 4 de la Página 105

Realizar actividad 5 Página 106

UD 5

Cálculo del tipo de interés

Partiendo de IT = Co * n * i, despejamos i

ITi =

(Co * n)

Si tenemos en cuenta que IT = Cn – Co, se obtiene

Cn - Co

Co * ni =


UD 5

Cálculo del tiempo

Partiendo de IT = Co * n * i y despejamos n, resulta:

n =IT

Co * i

Cn - Co n =

Co * i

Ver caso práctico 6

O bien

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Realizar actividades de la 1 a la 5. Página 123

UD 5

CAPITALIZACIÓN NO ANUAL

UD 5

Capitalización en periodos inferiores al año

Periodos más usuales:

PERIODOS m

Años 1

Semestres 2

Trimestre 4

Cuatrimestre 3

Meses 12

Semanas 52

Días (año civil) 365

Días (año comercial) 360

m es el número de veces que un periodo

está contenido en el año

UD 5

Al usar las fórmulas anteriores para periodos anuales en otros no anuales, nos podemos encontrar con dificultades:


Qué el tiempo venga expresado en unos periodos y el interés en otros.

Por ejemplo: que el tiempo venga expresado en semestres y el interés sea anual.

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Tenemos que homogenizar

Es decir, convertir ambos magnitudes en la misma unidad de tiempo

Tendremos que buscar un tipo de interés equivalente al anual y ya podemos utilizar las fórmulas aprendidas normalmente.

UD 5

Tantos equivalentes y tantos proporcionales

Se denominan tantos equivalentes aquellos que aplicados a un mismo capital producen idéntico montante durante el mismo intervalo de tiempo, aunque se refiera a diferentes frecuencias de capitalización.

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Ejemplo:

Siendo Co = 1000 € n = 2 años i = 12% anual ¿Cn?

Cn= 1000 (1+2 x 0,12) = 1240 €

Siendo Co = 1000 € n = 2 años i = 1% mensual ¿Cn?

Convertimos el tiempo en meses: 12x2 = 24 meses

Cn= 1000 (1+24 x 0.01) = 1240 €Ambos tipos de interés

son equivalentes

i(2)

i(3)

i(4)

SEMESTRAL

CUATRIMESTRAL

TRIMESTRAL

Ejemplo: i =12 % i = 0, 12

i(2) = 0,12/2 = 0,06

i(3) = 0,12/3 = 0,04

i(4) = 0,12/4 = 0,03

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Relación entre el tipo de interés anual y el de un periodo fraccionado

i = tipo de interés anual expresado en tanto por uno.

i(m) = tipo de interés equivalente de un periodo fraccionado.

m = número de veces que está incluido el periodo de frecuencia en el año.

(número de veces que está incluido i(m) en i )

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Supongamos que se calcula el montante de una cantidad Co al cabo de n periodos anuales al tanto i por un lado

Cn = (1 +n*i)

Y el mismo montante con n.m periodos inferiores al año al tanto i(m)

Cn = (1 + n*m*i(m))

Si los tipos usados son equivalentes, tenemos:

Co(1 +n*i) = Co (1 + n*m*i(m))


UD 5

Co(1 +n*i) = Co (1 + n*m*i(m))

Simplificando:

n*i = n * m* i(m)

De donde:

i = m * i(m)

O también: i(m) = i

m

Son tantos equivalentes


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A partir de este momento cuando surja una operación en la que el tiempo esté referido a fracciones del año,, bastará con dividir el tanto anual entre el fraccionamiento m y trabajar con las fórmulas deducidas para periodos anuales


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Actividades: 6-7-8-9-10. Página 123


UD 5

FORMAS ABREVIADAS PARA EL CÁCULO DE LOS INTERESES

UD 5

Formas abreviadas para el calculo de los intereses

Es habitual usar fórmulas abreviadas de cálculo de los intereses en determinadas operaciones, puesto que facilitan el cálculo y la comprensión de la operación financiera que se está realizando.

UD 5


Conceptos más utilizados:

El número comercial (N): es el resultado de multiplicar el capital por el tiempo

N = Co x n

El divisor fijo (D): Es el cociente entre la constante m y el tipo de interés

D = m

i

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Sustituyendo en la fórmula para el cálculo de los intereses tenemos:

IT = N D

La formula abreviada para el cálculo de los intereses e usan sobre todo en el cálculo de los intereses de las cuentas corrientes bancarias y en los casos de equivalencia financiera.

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Realizar actividades:

6 de la Página 110

11-12 13 de la Página 123

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EL DESCUENTO

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Imaginen que están en una tienda de informática en un día cualquiera de su actividad. El primer cliente que llega a la empresa compra un ordenador pero acuerda con nosotros no pagar al contado: firma con nosotros una letra de cambio. El siguiente cliente compra tres portátiles para su empresa y la forma de pago será también a plazo a través de dos pagarés. Esto mismo ocurre con más clientes que llegan a la empresa durante ese día y los días siguientes. Al final de la semana tan solo se han cobrado en efectivo operaciones valoradas en 3 100 €, y se han aplazado 34 000 €.

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Lógicamente, el empresario va a tener que hacer frente a una serie de pagos (empleados, gastos de luz, agua, proveedores, etc.). Para poder hacer frente a ellos acude a una entidad financiera para que le anticipe el dinero que él tiene que cobrar en los respectivos vencimientos. Para ello el empresario entrega a la entidad financiera los efectos que tiene para que el banco se encargue de cobrarlos y anticiparle ahora el dinero.

El Descuento

UD 5

Por este motivo el banco cobrará unas comisiones, gastos e intereses. A esta operación se le denomina descuento.Conviene destacar que las entidades financieras aplican el descuento sobre el nominal y no sobre el líquido, que sería la postura más lógica matemáticamente hablando, pero menos rentable para estas entidades.

El Descuento

UD 5

El Descuento

Operación por la que una institución financiera adelanta el importe de un efecto a cobrar en un periodo posterior de tiempo. A cambio cobra intereses, comisiones y gastos.

Los efectos más usuales en el descuento son letras comerciales y pagarés, y al descuento de estos se les denomina negociación de efectos.

Es la situación inversa a la capitalización simple: es una operación financiera que sustituye un capital futuro por otro con vencimiento presente.

UD 5

El Descuento

Matemáticamente se entiende por descuento simple la operación financiera que consiste en la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente; esta operación, además, es la inversa a la capitalización simple.

Hoy 2 años

N =1000 €E = 850 €

D= 150 €

Pagaré: 1000 €Vencimiento. 2 años

Si llamamos: E: Efectivo o cantidad adelantada

N : Nominal o importe del cobro que se adelanta.

D: Descuento o diferencia entre el nominal y el efectivo

Entonces: D = N - E o N = E + D

Si usamos la terminología de la unidad anterior:

N = Cn E = Co Por lo que: D = Cn - Co

UD 5

El Descuento

Hay dos formas de calcular el descuento:

Descuento comercial Dc: las más habitual

Descuento racional Dr: más lógica y menos usada

UD 5

Dc = Cn * n* i o Dc = Cn * n* i/mCuando el

tiempo viene expresado en

unidades inferiores al

años Dc: Descuento comercial

Cn: Nominal o valor en el momento o fecha del vencimiento del cobro.

n: Tiempo o periodo que va desde la fecha de descuento a la fecha de vencimiento

i: Tipo aplicado a la operación o tanto de descuento expresado en tanto por uno.

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Descuento comercial: Dc

Partimos del nominal del efecto. El nominal es la cifra que aparece en el documento que se va a descontar, en el pagaré. Si utilizamos la misma terminología que en la unidad anterior:

Dc= Cn * n* i

Cn = Dc

n* i

n = Dc

Cn *i

i = Dc

Cn * n

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UD 5


Actividades: 8- 9-10- 11. Página 114

Actividades: de la 14 a la 19. Página 123-124

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CAPITALES EQUIVALENTES

UD 5

Capitales equivalentes

El valor de un capital depende del momento en que se valore;

Si lo estimamos en el momento actual, recibe el nombre de valor actual

Si lo consideramos al final de la operación, se le denomina valor final.

Capital

Tiempo

Co

0

C1 C2 C3 C4 C5

1 2 3 4 5

Un mismo capital Co valorado en el momento 0 tiene diferente valor que en el momento 1, y así sucesivamente

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Los capitales, que tienen diferente valor numérico, y sin embargo son el mismo en distintos momentos del tiempo.

Esta equivalencia recibe el nombre de equivalencia financiera, es decir, desde el punto de vista financiero estamos hablando del mismo capital

Ejemplo: desde un punto de vista financiero, 500 € de hoy son los mismo que 510 € dentro de un año, si esos 10 € de diferencia son los intereses.

Suponiendo un capital de 1.000 € a un 10% anual y representando el tiempo en años:

Cn = Co (1+ n * i)

C1 = 1000 (1+ 1 * 0,1) = 1100

C2 = 1000 (1+ 2 *0,1) = 1200

C3 = 1000 (1+ 3 *0,1) = 1300

C4 = 1000 (1+ 4 *0,1) = 1400

C5 = 1000 (1+ 5 *0,1) = 1500

Capital

Tiempo0 1 2 3 4

1000 1100 1200 1300 1400

UD 5

UD 5


Cuando los valores actuales de uno o varios capitales son iguales a los valores actuales de otro u otros capitales, son entonces equivalentes financieramente.

En el ejemplo, un capital de 1.400 € dentro de cuatro años es equivalente a uno de 1.000 € en el momento actual,

En la práctica comercial, la equivalencia de capitales se utiliza frecuentemente pero no se sigue la regla del interés simple, sino del descuento comercial

Cn = Co

(1- n x i)Co = Cn (1- n x i)

C1 = 1000 = 1111,1

(1- 2 x 0.1)

C2 = 1000 = 1250

C3 = 1000 = 1428,57

C4 = 1000 = 1666,6

(1- 1 x 0.1)

(1- 3 x 0.1)

(1- 4 x 0.1)

En la equivalencia financiera, es costumbre comercial la utilización de la regla del descuento comercialdescuento comercial, en en operaciones inferiores operaciones inferiores al añoal año

UD 5

Caso práctico 14. Un deudor nos propone que adelantemos el cobro de 3450 € que teníamos pendiente con él por otro financieramente equivalente. Al no haber inconveniente alguno, accedemos aceptando su oferta de aplicar un tipo del 8% anual. Haz los cálculos oportunos sabiendo que el vencimiento del efecto sería dentro de dos meses

Cn = 3450 n = 2 meses i = 0.08 Co = ?

Co = Cn (1- n x i)

Cn = 3450 ( 1 – 2 x 0,08 ) = 3404

12

UD 5

Caso práctico 15. Halla el capital equivalente en el momento actual a otro de 45.000 € que vence dentro de 120 días, Tipo aplicado 9% anual.

Cn = 45000 n = 120 i = 0.09 Co = ?

Co = Cn (1- n x i)

Cn = 45000 ( 1 – 120 x 0,09 ) = 43.668,49

45.000

365

0

43.668,49

120

UD 5

Vamos a suponer ahora que tenemos varios capitales con vencimiento futuro, por ejemplo:

C1 = 1000 €, C2 = 3000 €, C3 = 2000 €,

Con vencimiento a:

n1 = 30 días, n2 = 60 días, n3 = 90 días,

Y queremos sustituirlo por uno único que venza dentro de 45 días y al que se le aplique un tipo del 7 % anual

Capitales equivalentes UD 5

Si llamamos C1, C2 y C3 al valor de dichos capitales en el momento actual y C0 al valor actual del capital Cn que queremos calcular, entonces ha de ocurrir que:

C0 = C1 + C2 + C3

Recordemos que para el calculo del valor actual en función del descuento comercial se aplica la fórmula:

Co = Cn (1- n *i)

UD 5


Si añadimos los valores que corresponden según la primera expresión, resulta:

Cn (1- n *i) = C1 (1- n1 *i) + C2 (1- n2 *i) + C3 (1- n3 *i)

Si vamos agrupando la expresión para poder resolver el problema anterior, tenemos:

Cn (1- n *i) = C1 - C1* n1 *i + C2 – C2 * n2 *i + C3 – C3* n3 *i

Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)

Capitales equivalentes UD 5

Con los datos numéricos:

Cn ( 1 – 45 x 0,07 ) = 1000 – 1000 x 30 x 0,07 +

+ 3000 – 3000 * 60 * 0,07 + 2000 – 2000 * 90 * 0,07 =365

365365 365

365

Cn 0,99136986 = 994,46 + 2965,54 + 1965,47

Cn = 994,46 + 2965,54 + 1965,47

0,99136986

Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)

UD 5

Cn = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)

1 – n * i

n = Cn – (C1 + C2 + C3) + i( C1 * n1 + C2 * n2 + C3 * n3)

i * Cn

Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)

Vencimiento común

n = C1 * n1 + C2 * n2 + C3 * n3

Cn

Si se desea calcular n:

UD 5

Vencimiento medio

1200 1000 ?

31-oct 30-nov 31-dic

Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)

Dos capitales de 1200 y 1000 € con vencimiento respectivamente los días 31 de octubre y 30 de noviembre han de ser sustituidos por uno único con vencimiento el 31 de diciembre.¿Cuál será el importe del capital que los sustituye, si el tipo es del 10% y la operación se acuerda el día 30 de septiembre?

30- sep

Caso práctico nº 16UD 5

CCjj

10001000

30003000

20002000

60006000

nnjj

3030

6060

9090

CCjj*n*njj

3000030000

180000180000

180000180000

390000390000

Y sustituimos. Y sustituimos.

Tres capitales de 1.000, 3.000 y 2.000 € con vencimiento a los 30, 60 y 90 días respectivamente, queremos sustituirlos por un único capital que venza dentro de 45 días y aplicándole a dicha operación el 7% anual. ¿Cuál será dicha cuantía?

UD 5

6000 – 0,07 * 3900006000 – 0,07 * 390000

365365Cn =Cn =

1 – 45 * 0,071 – 45 * 0,07

365365

== 5976,795976,79

Cn =Cn = 5976,795976,79

UD 5

Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)

Calcula el vencimiento común de dos capitales de 15.000 y 35.000 € con vencimiento respectivamente los días 15 de marzo y 17 de abril, sabiendo que han de ser sustituidos por uno único de 49.700 €, que el tipo aplicado a la operación es del 6% anual y que la misma se realiza el día 15 de enero.

Cn – (C1 + C2 + C3) + i( C1 * n1 + C2 * n2 + C3 * n3)

i * Cn

Ci

15.00035.000

30.000

Ni

5992

Ci* ni

885.0003.220.000

4.105.000

n =

Realizar caso práctico 17. Página117UD 5

Cuando en el vencimiento común se da la circunstancia de que la suma de los capitales a sustituir es igual al capital que los sustituye, entonces se habla de vencimiento medio.

Realizar caso práctico 18. Página 118

UD 5

Realizar caso práctico 18. Página 118

UD 5

20. Al disponer de un efectivo de 4 460 €, queremos saber si se puede adelantar el pago que tenemos que realizar de un efecto de 4 520 € que vence el día 7 de abril. Se sabe que la operación se realiza el 4 de enero y que se aplica un tipo del 6 % anual.

Cn = 4 520 €n = 4 de enero al 7 de abril = 93 díasi = 0,06Co = ?Co = Cn (1 – n · i)

Como Co = 4 450,90 € < 4 460 €, sí, se puede pagar el efecto adelantándolo al 4 de enero.

UD 5

21. La empresa MU, S.A., que nos debe pagar tres letras los últimos días de abril, mayo y junio, y cuyo importe, igual para cada letra, asciende a 1 000 €, desea sustituirlas por un único pago de 2 987,89 €. Si el tipo de que se aplica a la operación es de un 4 % y la fecha en que se formaliza la operación es el 15 de marzo, ¿en qué fecha se deberá de hacer el cobro?

C1 = 1 000 €C2 = 1 000 €C3 = 1 000 €Cn = 2 987,89 €n1 = 15 de marzo a 30 de abril = 46 díasn2 = 15 de marzo a 31 de mayo = 77 díasn3 = 15 de marzo a 30 de junio = 107 díasi = 0,04 anualn = ?

UD 5

22. ¿Cuál fue el vencimiento medio de tres capitales de 100 000 € con vencimiento a los 30, 60 y 90 días si se aplica un tipo del 9 % anual?

C1 = 100 000 €C2 = 100 000 €C3 = 100 000 €Cn = C1 + C2 + C3 = 300 000 €n1 = 30 díasn2 = 60 díasn3 = 90 díasn = ?

UD 5

UD 5

Actividades: 12- 13-14. Página 118

Actividades: de la 20 a la 23. Página 124

interÉs simple ud 5. el interÉs simple y la capitalizaciÓn anual es la ley financiera en la que...

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capital co

i i i i

capital final

mismo capital

capital inicialn

co x n x icn

co x isi

operacin i i icn