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INTERÉS SIMPLE

COMPETENCIA: Enseñar al estudiante los factores que entran en juego en el cálculo del interés simple y suministrarle herramientas para que maneje estos factores y los aplique en la solución de problemas frecuentes en el campo financiero. INTRODUCCIÓN

El propósito de este capítulo es el estudio y análisis de los conceptos sobre los cuales se

apoyan las Matemáticas Financieras. Su comprensión es de trascendental importancia

para el dominio de la materia. Los problemas guías y propuestos que se estudiarán en

cada uno de los temas a tratar tienen una secuencia lógica y una aplicación práctica

inmediata; son adaptaciones de la teoría a la realidad con soluciones factibles. Por lo

tanto, cuando se plantee un problema, la información suministrada se debe analizar a la

luz de los principios que rigen las Matemáticas Financieras.

Los conceptos fundamentales son en su orden:

Valor del dinero en el tiempo

Interés

Equivalencia

1. VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Para entender este concepto, considerado el más importante en las Matemáticas

Financieras, podemos hacernos la siguiente pregunta: ¿Es lo mismo recibir $ 1.000.000

dentro de un año que recibirlos hoy? Lógicamente que no, por las siguientes razones:

La inflación: Este fenómeno económico hace que el dinero día a día pierda poder

adquisitivo, es decir, que el dinero se desvalorice. Dentro de un año se recibirá $

1.000.000 pero con un menor poder de compra de bienes y servicios, por ende

dentro de un año se comprará una cantidad menor de bienes y servicios que la

que podamos comprar hoy, porque la inflación le ha quitado una buena parte de su

poder de compra.

Se pierde la oportunidad de invertir el $ 1.000.000 en alguna actividad, logrando

que no sólo se proteja la inflación sino que también produzca una utilidad

adicional. Este concepto es fundamental en finanzas y se conoce como el costo de

oportunidad.

El dinero es un bien económico que tiene la capacidad intrínseca de generar más

dinero. Este hecho lo puede constatar cualquier persona, por ejemplo, cuando

deposita algún dinero en una cuenta de ahorros de una entidad financiera y

después de algún tiempo al ir a retirarlos se encuentra que con que sus ahorros

han crecido, en forma mágica, al recibir una cantidad de dinero mayor.

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Una cantidad de dinero en el presente vale más que la misma cantidad en el

futuro.

INTERÉS

El vocablo interés viene del latín inter ese - estar entre. Si al principio tenemos $500 y

al final $550, lo que está en el medio -$50- son los intereses. El interés es quizás tan

antiguo como el hombre; en la Biblia se menciona el interés con otro nombre: usura,

derivado del uso del dinero tomado en préstamo.

Si se presta hoy una cantidad de dinero (P) y después de un tiempo determinado se

recibe una cantidad mayor (F), la variación del valor del dinero de P a F se llama valor

del dinero en el tiempo, y la diferencia en F y P es el interés (I). La operación se

representa mediante la siguiente expresión:

I = F – P

EJEMPLO

Si se depositan en una cuenta de ahorros $ 500.000 y después de 6 meses se tiene

un saldo de $ 580.000, calcular el valor de los intereses.

I = F – P I = $ 580.000- $ 500.000 I = $ 80.00 El dinero depositado sufrió una variación al cabo de 6 meses de $ 80.000. La variación en el valor del dinero después de 6 meses se llama valor del dinero en el tiempo y su medida, o sea, $ 80.000 son los intereses. TASA DE INTERÉS No es común, cuando se realiza una operación financiera, expresar el valor de los intereses recibidos en cifras monetarias. Por ejemplo, no son comunes expresiones como: le presté a un amigo $ 100. 000 durante 1 mes y me gané $ 5.000 de interés, sino que se utilizan un indicador expresado como porcentaje. Que mide el valor de los intereses, llamado tasa de interés. La palabra tasa se deriva del verbo tasar que significa medir. Como expresión matemática la tasa de interés (i) es la relación entre lo que se recibe de interés (I) y la cantidad presta o invertida (P). Esta relación la podemos obtener a partir de la ecuación:

i=

EJEMPLO Se deposita en una entidad financiera la suma de $ 1.000.000 y al cabo de 1 mes se retira $ 1.030.000. Calcular el valor de los intereses y la tasa de interés ganada.

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P=$ 1.000.000 F=$ 1.030.000 La diferencia entre el valor futuro (F) y el valor presente (P) es el valor de los intereses (I): I = F – P I=$ 1.030.000 – 1.000.000 I= $ 30.000 La tasa de interés (i) es igual a la relación entre los intereses (I) y el valor depositado (P).

i= =

La tasa de interés obtenida esta expresada como decimal, por lo tanto, tenemos que convertirla en porcentaje multiplicado el resultado por 100. La tasa de interés es igual al 3% mensual. La tasa de interés, expresada como porcentaje, debe estar siempre acompañada del periodo de liquidación de los intereses, ya por sí sola no indica nada. Son comunes las expresiones: presté mi dinero al 4% mensual, indicando que recibido $ 4 mensuales por cada $100 prestados. Recibo sobre mi dinero un rendimiento del 20% anual, para indicar que me están pagando $ 100 prestado. Recibo sobre mi dinero un rendimiento del 20% anual, indicar que me están pagando $20 anuales por cada $100 invertidos. De la ecuación de la tasa de interés, despejamos el valor (I), quedando la siguiente expresión matemática que calcular para un periodo el valor de los intereses cuando se conoce el valor prestado o invertido (P) y la tasa de interés (i) I= P x i EJEMPLO ¿Cuál será el valor de los intereses devengados trimestralmente, si depositó durante 3 meses $ 2.500.000 en una entidad que me reconoce el 8% trimestral I = P x i I = 2.500.000 x 0.08 I = $ 200.000 Se observa que al aplicar la fórmula, la tasa de interés se expresa como factor o decimal. EQUIVALENCIA El problema fundamental que plantean las Matemáticas Financieras es el tener que comparar cantidades diferentes de dinero ubicadas en diferentes fechas. La solución a este conflicto se resuelve aplicando el criterio de equivalencia, que pasamos a explicarlo a continuación:

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Dos cantidades diferentes ubicadas en diferentes fechas son equivalentes, aunque no iguales, si producen el mismo resultado económico. Esto es, $ 100 de hoy son equivalentes a $140 dentro de un año si la tasa de interés es del 40% anual. Un valor presente (P) es equivalente a un valor futuro (F) si el valor futuro cubre el valor presente más los intereses a la tasa exigida por el inversionista. Como conclusión de este principio, podemos decir que para un inversionista es indiferente en términos económicos recibir hoy $100 que $140 dentro de un año, estos dos valores son equivalentes financieramente para él. La equivalencia implica que el valor del dinero depende del momento en que se considere, esto es, que un peso hoy, es diferente a un peso dentro de un mes o dentro de un año El concepto de equivalencia es relativo dado que las expectativas del rendimiento del dinero de cada persona es diferente. Para el Señor Pérez $100 de hoy pueden ser equivalentes a $140 dentro de un año, pero para el señor García pueden no ser, dado que sus expectativas de rendimiento pueden ser diferentes SÍMBOLOS Y SU SIGNIFICADO P= Representa una suma presente de dinero. F= Representa una suma futura de dinero después de n periodos. A= Representa una suma de dinero periódica e igual correspondiente a una anualidad. I= Representa el valor de los intereses i= Representa una tasa de interés por periodo de interés n= Representa el número de periodos de interés G= Variación de una cuota con respecto a la anterior. Proviene de la palabra Gradiente NOTA: Los problemas de Matemáticas Financieras deben incluir por lo menos cuatro de los símbolos anotados arriba y para su solución se deben conocer por lo menos tres de ellos FLUJO DE CAJA Todas las operaciones financieras se caracterizan por tener ingresos y egresos. Estos valores se pueden registrar sobre una recta que mida el tiempo de duración de la operación financiera. Son gráficos que permiten interpretar la operación financiera que se esté llevando a cabo. De tal forma muestran el sentido de la operación y en qué momento se realiza.

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Los diagramas de flujo están constituidos por las siguientes partes:

La flecha con dirección hacia abajo generalmente indica un egreso

La flecha con dirección hacia arriba generalmente indica un ingreso

NOTA: 1. Desde el punto de vista del cliente la apertura de la cuenta significa un egreso de dinero

INGRESO

EGRESO

NOTA: 2. Desde el punto de vista del banco la apertura de la cuenta significa un ingreso de dinero INGRESO

EGRESO

Ahora, el diagrama básico está constituido por una serie de símbolos, que identifican cada

una de sus partes: F

i

n

P

En el programa anterior se muestran las partes básicas de un flujo de caja:

P, significa valor presente y constituye el día en que se realiza una operación

financiera.

F, significa valor futuro y constituye el día en que culmina la operación financiera.

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i, significa el interés o valor del dinero, el cual representa la razón de

n, significa la unidad de medida del tiempo durante el cual se realiza la operación

financiera y puede tomar varias denominaciones de acuerdo con el periodo que se

esté utilizando.

A partir de estas cuatro variables se puede deducir una gran cantidad de

equivalencias que dan sentido a las matemáticas financieras, así:

F = P

Si se despeja P se tendría:

P =

O lo que es lo mismo P=F

De igual forma se puede hallar la relación de i:

I=

Y para hallar el número de periodos se tiene:

n=

EJERCICIOS DE FLUJO DE CAJA

Elaborar el diagrama de tiempo - valor para un monto de $ 20.400 al 6 %. Para el tiempo,

se utilizan 30, 60, 90 y 120 días antes del vencimiento con descuento racional. Comparar

este diagrama con el que corresponde a una deuda de $ 20.000 al 6%, calculando su

valor con tiempo de 30, 60, 90 y 120 días después de la fecha inicial.

Diagrama para el monto de $ 20. 400.

Aplicando la fórmula 9:

C=

S= 20.400

I = 0,006

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n= 30, 60, 90 Y 120 días antes del vencimiento.

Efectuar los cálculos, se tiene:

Tiempo 120 90 60 30 0

$20.400(monto)

Valor $20.000 $20.098,52 $20.198,02 $2.0298,51

Diagrama para el capital inicial de $20,000 Aplicando la fórmula 8: S = C (1 +n i) C = $20.000 I = 0,06 n = 30, 60, 90 y120 días contados desde la fecha inicial Efectuando los cálculos, se tiene el diagrama: Tiempo 0 30 60 90 120 días Valor $ 20.000 $ 20.100 $ 20.200 $ 20.300 $ 20.400 MONTO “El planteamiento de los problemas económicos-financieros se desarrolla en torno a dos conceptos básicos: CAPITALIZACIÓN Y ACTUALIZACIÓN. El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales que se recibirán en fecha futura1”. En otras palabras, capitalizar es trasladar y valorizar capitales del presente al futuro. Actualizar es traer y valorizar capitales del futuro al presente; en interés simple se seguirá utilizando la letra C para el capital y S para expresar el monto. El monto es el valor acumulado del capital agregado, los intereses devengados; en otras palabras, el monto es igual al capital más los intereses.

1 Aparte tomado del sitio web

http://www.google.com/search?q=%22planteamiento%20de%20los%20problemas%20econ%C3%B3micos-

financieros%20se%20desarrolla%20en%20torno%22

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C = capital S = C + I I = interés I = Cni

S = monto S = C + Cni

EJEMPLO Calcular el monto que debe pagarse por una deuda de $ 20.000 el 22 de junio, si el pagaré se firmó el 30 de enero del mismo año no bisiesto, al 8% de interés. Cálculo del tiempo (Tabla 1): t = 151 – (30-22) = 151 – 8 = 143 i = 0.08

S = $ 20.000

S = $ 20.635,56 VALOR ACTUAL O VALOR PRESENTE DE UNA DEUDA El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel capital que, a una tasa dada y en el periodo comprendido hasta la fecha de vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida. La definición anterior es para el valor actual a interés simple, concepto diferente del valor actual que se determinará al estudiar el descuento bancario. La ecuación que corresponde para hallar el valor actual es:

C =

NOTA: Respecto a los símbolos que se utilizan en matemáticas financieras, hay cierta anarquía, debida a la influencia de los diversos campos de aplicación; así, el valor actual o presente se expresa con alguna de las siguientes letras, C,P,VP, y para el monto se utilizan S,M,F,VF; en interés simple, se utilizaran S para expresar el monto, y C para el valor actual o presente. Más adelante, estos símbolos se modificarán para el lenguaje bancario y para las aplicaciones de pagos parciales y ventas a crédito. DESCUENTO Se define como la diferencia entre el capital por pagar en fecha futura y su valor actual. Su ecuación correspondiente es: C = capital S = monto

D = Descuento D = S - C =

El descuento racional o matemático es igual a los intereses simples del capital que, en fecha futura, darán el monto de la deuda. El descuento bancario corresponde a otra definición y, por tanto, sus métodos de cálculo son diferentes.

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TASA NOMINAL ANTICIPADA Y VENCIDA Y TASAS EFECTIVAS En este nivel de estudio, el lector ha comprendido que en los problemas financieros figura una tasa convenida de intereses, la cual no siempre corresponde a la tasa de interés que realmente produce el dinero en juego.

1. Tasa Nominal: Es la convenida en una operación financiera, puede ser tasa anticipada o tasa vencida, según convenga aplicar la tasa de interés al inicio o al término de la operación financiera 2. Tasa Efectiva: Es la tasa con la que realmente actúa el capital en juego.

EJEMPLO Por un préstamo de $ 100 a un año de plazo se conviene pagar el 8% de interés:

a) Con pago de intereses anticipado b) Con pago de intereses por semestre vencido c) Un solo pago de capital e interés al vencimiento

Calcular para cada caso la tasa efectiva

a) Se aplica la regla: En una operación financiera todos los dineros permanecen en juego hasta el vencimiento de la operación. Así, los $8 pagados al inicio del préstamo ganan intereses al 8% hasta el vencimiento, o sea:

; C= $8 n=1 i=8%

S =$8(1+ )

S = $8, 64 El valor final del préstamo = $100+$8,64 = $108,64; o sea, al vencimiento la tasa es del 8,64%

b) Al pagar los intereses por semestre vencido, al final del primer semestre se debe pagar

8( )% = 4% del valor del préstamo, o sea $100(0,04) = $4. Estos intereses a la fecha

del vencimiento tienen un monto de:

; C = $4 n = i = 8%

S = $4(1+

Monto de los intereses al vencimiento de la deuda =$4,16 El valor final del préstamo es: $100+$4,16+$4,00 (intereses del último semestre) = $108,16; o sea, en este caso la tasa efectiva al vencimiento es del 8,16%

c) Se paga, al vencimiento, el préstamo más los intereses del 8%; en este caso, el valor final $100+$8 = $108. O sea, la tasa efectiva al vencimiento es del 8% e igual a la tasa nominal pactada. En los ejemplos anteriores se calcularon la tasa al vencimiento de la obligación, por esta razón, se denominan tasas vencidas.

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Si para el cálculo se fija la fecha inicial como fecha de pago de los intereses , se tiene que cuando el prestatario firma el documento recibe $92 y trascurrido un año tendrá que pagar $100:

S = $100 C = $92

n = 1 i = Tasa anticipada que se debe calcular

$100 = $ 92(1+i)

$100 = $92+ $92i $100-$92 = $92i

= 8,7%

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Calcular la tasa de interés simple proporcional mensual equivalente a la tasa del 9% anual

0,0075

2. Calcular el interés simple que produce un capital de $10.000.000 en cuatro años al 6%

C = $ 10.000.000; n = 4 años; i = 0.06

I =

3. Calcular el interés simple que produce un capital $10.000.000 en 3 años al 0,8%

C = $10.000.000; n = 3 años i =

I =

Otra interpretación

C = $10.000.000 n = i = 0,008

I =

4. ¿A qué tasa de interés el monto de $20.000.000 será $21´200.000, a interés simple, en 9 meses?

S = 21´200.000; C = $20´000.000;

$21´200.000 = $20´000.000

$21´200.000 =

$21´200.000-$20´000.000 =

5. El 10 de enero se firmó un pagaré de $ 6´000.000 a un 9% de interés. ¿En qué fecha los intereses serán de $359.000?

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I = $359.000; C = $6´000.000 i = 0.09

Para determinar la fecha se utiliza la Tabla 1. En la horizontal del mes de enero, se encuentra el número 243; la diferencia con 239 =4, luego se resta 4 al día de la fecha inicial y se tiene la fecha final: 6 de Septiembre.

TABLAS PARA EL CÁLCULO DEL TIEMPO

TABLA 1. Número exacto de días entre dos fechas (año no bisiesto)

Desde el día del mes inicial

Al mismo día del mes terminal

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Agos Sep Oct Nov Dic

Ener 365 31 59 90 120 151 181 212 243 273 304 334

Feb 334 365 28 59 89 120 150 181 212 242 273 303

Mar 306 337 365 31 61 92 122 153 184 214 245 275

Abr 275 306 334 365 30 61 91 122 153 183 214 244

May 245 276 304 335 365 31 61 92 123 153 184 214

Jun 214 245 273 304 334 365 30 61 92 122 153 183

Jul 184 215 243 274 304 335 365 31 62 92 123 153

Agos 153 184 212 243 273 304 334 365 31 61 92 122

Sep 122 153 181 212 242 273 303 334 365 30 61 91

Oct 92 123 151 182 212 243 273 304 335 365 31 61

Nov 61 92 120 151 181 212 242 273 304 334 365 30

Dic 31 62 90 121 151 182 212 243 274 304 335 365

Si el día del mes inicial es diferente del día del mes terminal, para el cálculo se presentan dos casos: a) El día del mes terminal es mayor que el día del mes inicial: en este caso, se suma la diferencia de los días al número definido por el inicial y el mes termina.

EJEMPLO Calcular los días trascurridos entre el 3 de septiembre de un año y el 15 de abril del año siguiente.

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Diferencia entre los números de días =

Número correspondiente a la intersección septiembre-abril =212 días

b) El día del mes terminal es menor que el día del mes inicial, en este caso, la diferencia entre el día terminal y el inicial es negativa; entonces, se procede a restar la diferencia al número de intersección de los meses.

EJEMPLO

Calcular los días que hay entre el 18 de marzo y el 10 de noviembre del mismo año.

Diferencia entre los números de días=

Número correspondiente a la intersección marzo-noviembre = 245 días.

Calcular los días que hay entre el 20 de Junio de 2008 y el 14 de marzo del 2010

Diferencia entre los números de días =

Número correspondiente a la intersección junio-marzo = 273 días

Más 1 año 14-03-2009 a 14-03-2010 = 365 días Total = 632 días Entre las dos fechas propuestas hay 632 días calendario

El día 13 de marzo se firmó un pagaré a 120 días, calcular la fecha terminal.

En la línea horizontal del mes inicial, marzo, se busca el número más próximo a 120 días; en el problema analizado se trata del número 122 que

corresponde al mes terminal, julio. La diferencia se

resta a los días del mes inicial y se obtiene el número de días del mes

terminal. En este problema, entonces, .

Fecha de vencimiento: 11 de julio del mismo año.