I. Problemas de Interés Simple

Fórmulas de Interés Simple

I= interés; M= monto, valor futuro; C= capital, valor actual, valor presente; i= tasa de interés

1. Calcular el interés simple comercial de:

a. $2,500 durante 8 meses al 8%.C=$2,500 n= 8 mesesi= 0.08

b. $60,000 durante 63 días al 9%C= $60,000n= 63 díasi= 0.09

c. $12,000 durante 3 meses al 81/2%C=$12,000n= 3 mesesi= 0.085

d. $15,000 al 10% en el tiempo transcurrido entre el 4 de abril y el 18 de septiembre del mismo año.

C= $15,000n= 164 días i= 0.10

I= (12,000) (0.085) (3/12)= $255

I=Cin C=M (1+in)-1 M=C (1+in)

I=M-C

n=

ICi

M=C+I

I= (2,500) (0.08) (8/12)= $133.33

I= (60,000) (0.09) (63/360) = $945

18 de septiembre= 258 días 4 de abril= 94 días

164 días

I= (15,000) (0.10) (164/360)= $683.33

Calcular el interés simple comercial de:

a. $5,000 durante 3 años, 2 meses y 20 días al 0.75% mensualC= $5,000i= 0.0075n= 3 años, 2 meses y 20 díasn= (3 años x 12 meses)+2 meses+ (20 días/1 mes=30 días) = 38.666666666 meses

I= (5,000) (0.0075) (38.666666666)= $1,450

b. $8,000 durante 6 meses y 15 días al 1.5% mensualC= $8,000i= 0.015n= 7 meses + (15 días/30 días)= 7.5 meses

2. Un señor $2,500.20 por un pagaré de $2,400 firmado el 10 de abril de 1996 con una tasa de interés de 41/2%. ¿en qué fecha lo pagó? DatosC= $2,400M= $2,500.20

i= 0.045I=?

3. Un inversionista recibió un pagaré por valor de $120,000 a un interés del 8% el 15 de Julio

con vencimiento a 150 días. El 20 de octubre del mismo año lo ofrece a otro inversionista que desea ganar el 10%. ¿cuánto recibe por el pagaré el primer inversionista?

Datos

NOTA: fíjese que en este ejercicio la tasa está expresada en meses por lo que debe transformarse el tiempo también a meses.

I= (8,000) (0.015) (7.5)= $900

Solución

I= 2,500.20-2,400=100.20

n=

100.2(2,400)(0.045)

11 meses y 3 días= 333 días

10 de Abril= 100 360-100= 260 333-260= 73

Respuesta: 13 de Marzo de 1997

SoluciónM= 120,000 [1+0.08(150/360)]= $124,000

C2= 124,000 [1+0.10(55/360)]-1= $122,134.06

C= $120,000.00n= 150 días i1= 8%i2=10%

4. Una persona debe cancelar $14,000 a 3 meses con el 8% de interés. Si el pagaré tiene como cláusula penal que en caso de mora se cobre el 10% por el tiempo que exceda al plazo fijado ¿qué cantidad paga el deudor 70 días después del vencimiento?.

M= 14,000 [1+0.08(3/12)]= $14,280 valor de vencimientoM= 14,280 [1+0.10(70/360)]= $14,557.67 respuesta

5. Una persona debe $20,000 con vencimiento a 3 meses y $16,000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagaré al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año)

M= 14,000 [1+0.08(3/12)]= $14,280 valor de vencimientoM= 14,280 [1+0.10(70/360)]= $14,557.67 respuesta

6. Una persona debe $20,000 con vencimiento a 3 meses y $16,000 con vencimiento a 8 meses. Propone pagar su deuda mediante dos pagos iguales con vencimiento a 6 meses y un año, respectivamente. Determine el valor de los nuevos pagaré al 8% de rendimiento (tómese como fecha focal dentro de un año)

SoluciónM1= 20,000 [1+0.08(8/12)]= $21,066.67M2= 16,000 [1+0.08(3/12)]= $16,320Deuda = $21,066.67+$16,320= $37,386.67P1= X [1+0.08(6/12)]= 1.04XP2= XPagos= P1+P2

Nota: en este problema como en todos los similares debe llevarse los valores de las deudas a la fecha focal, en este caso 12 meses para poder efectuar operaciones sobre estos valores.

II. Problemas de descuento

Fórmulas para Descuento Racional

Las fórmulas son iguales a las de interés simple he aquí sus equivalentes:i=d tasa de descuentoI=D descuentoC= capital, valor presenteM= monto, valor final

Fórmulas de Descuento Bancario o Comercial

Pagos= 2.04XDeuda=Pagos37,386.67=2.04XValor de los nuevos pagaré $18,326.8 cada uno

Dr=M-C

C=M (1-dn)

M=C (1+dn)

C=M-D

C= M (1+dn)-1

M= C+D

1. Determine el valor líquido de los pagaré, descontados en un banco alas tasas y fechas indicadas a continuación:

a. $20,000 descontados al 10% 45 antes de su vencimiento.M=$20,000d= 10%n= 45 días

b. $18,000 descontados al 9% 2 meses antes de su vencimiento.M= $18,000d= 9%n= 2 meses

c. $14,000 descontados al 8% el 15 de junio, si su fecha de vencimiento es para el 18 de septiembre del mismo año.M=$14,000d= 8%n= 93 días

d. $10,000 descontados al 10% el 20 de noviembre, si su fecha de vencimiento es para el 14 de febrero del año siguiente.M= $10,000d= 10%n= 84 días

2. Alguien vende una propiedad por lo que recibe los siguientes valores el 9 de julio de cierto año:a. $20,000 de contado.b. Un pagaré por $20,000 con vencimiento el 9 de octubre del mismo año.c. Un pagaré por $30,000 con vencimiento el 9 de diciembre del mismo año.

Si la tasa de descuento bancario en la localidad es del 9% calcular el valor real de la venta.

a. $20,000 de contadob. M=$ 20,000

d= 9%n= 90 días

c. M=$30,000d=9%n= 150 días

C= 20,000 [1-(0.10) (45/360)]= $19,750

C= 18,000 [1-(0.09) (2/12)]= $17,730

C=14,000 [1-(0.08) (93/360)]= $13,710.67

C=10,000 [1-(0.10) (84/360)]= $9,766.67

C=20,000 [1-(0.09) (90/360)]= $19,550

C=30,000 [1-(0.09) (150/360)]= $28,875

Total= $20,000+$19,550+$28,875= $68,425

3. Un pagaré de $10,000 se descuenta al 10% y se reciben del banco $9,789. Calcular la fecha vencimiento del pagaré.

4. El Banco Ganadero descuenta un pagaré por $80,000 al 10% 90 días antes de su vencimiento 15 días después hace un redescuento en otro banco a la tasa del 9%. Calcular la utilidad del Banco Ganadero.M=$80,000d=10%n= 90 días

M=$80,000d=9%n= 75 días

5. ¿Qué tasa de descuento real se aplicó a un documento con valor nominal de $700, si se descontó a 60 días antes de su vencimiento y se recibieron $666.67?

n=

DCd

n= 211

= 0.215548064(9789) (0.10)

x 122.586576769-20.586576769x 3017.59730307-170.59730307

RESPUESTA: El pagaré se pagó 2 meses y 17 días antes de la fecha de su vencimiento.

C=80,000 [1-(0.10) (90/360)= $78,000

C=80,000 [1-(0.09) (75/360)]= $78,500

Utilidad $78,500-$78,000= $500respuesta

i=33.33

= 0.2999685(666.67)(60/360)

6. ¿Cuál es el valor nominal de un pagaré por el cual se recibieron $146.52, si se descontó comercialmente a un tipo de 49%, 85 días antes de su vencimiento?

III. Transformación de TasasFórmulas

1. Del 18% efectivo trimestral encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable mensualmentej= 3 [(1+0.18)1/3 -1]j= 0.1701655415 17.01%

2. Del 24% nominal anual capitalizable anualmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.

3. Del 12% nominal anual capitalizable trimestralmente, encuentre la tasa nominal semestral capitalizable semestralmente.

4. Del 22% efectivo semestral, encuentre la tasa efectiva bimensual.

5. Del 30% nominal bimensual capitalizable semestralmente, encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable anualmente.

146.52=M [1-(0.49)(85/360)] M=$165.68

j=m [(1+j2/m2)1/m-1] j=m [(M/C)1/mn-1]

j1=m1 [(1+j2/m2)m2/m1 -1]j2=m2[(1+j1/m1)m1/m2 -1]

i= [(1+j/m)m -1]

6. Del 52% nominal anual capitalizable anualmente , encuentre la tasa nominal trimestral capitalizable semestralmente.

IV. Problemas de Interés CompuestoFórmulas de interés compuesto

1. Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para disponer de $20,000.00 al cabo de 10 años.M=$20,000j= 0.15m=4

2. ¿cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2,000 que paga el 3% anual, para que se convierta $7,500?

C=$2,000i=3%

M=$7,500

3. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años:a. Al 5% efectivo anual.

b. Al 5% capitalizable mensualmente.

Fórmula General Fórmula Transformada

M=C (1+i)N M=C (1+j/m)mn

C=M (1+i)-N C=M (1+j/m)-mn

n=

ln M/Cln(1+i)

n=

ln M/Cm ln (1+j/m)

C=20,000 (1+0.15/4)-4(10) = $4,586.75

n=

ln 7,500/2,000= 44.7161501

7ln (1+0.03)

Respuesta: 44 años, 8 meses y 17 días

M=100 (1+0.05)10= $162.89

M=100 (1+0.05/12)12(10)= $164.20

c. Al 5% capitalizable trimestralmente.

d. Al 5% capitalizable semestralmente.

4. Hallar el valor futuro de $20,000 depositados al 8% capitalizable anualmente durante 10 años y 4 meses.C=$20,000i=0.08n=10años y 4 meses

5. ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8% capitalizable trimestralmente?

6. Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10,000 se convierten en $12,500.00 en 5 años?C=$10,000M=$12,500m=2n= 5

7. ¿cuántos años deberá dejarse un depósito de $6,000 en una cuenta de ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10,000?

C=$6,000M=$10,000

j= 0.08 m=2

8. ¿Qué es más conveniente: Invertir en una sociedad maderera que garantiza duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?

9. Un inversionista ofreció comprar un pagaré de $120,000 sin intereses que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual. Calcular el precio ofrecido.M=$120,000n= 3 añosi=0.08

M=100 (1+0.05/4)4(10)= $164.36

M=100 (1+0.05/2)2(10)= $163.86

M=20,000 (1+0.08)10+4/12= $44,300.52

j=2 [(12,500/10,000)1/(2)(10) -1]=0.0451303654.51%

n=

ln 10,000/6,000= 6.51219193

52 ln (1+0.08/2)

Respuesta: 6 años, 6 meses y 4 días

C=120,000 (1+0.08)-3= $95,259.87

10. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $20,000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5% convertible mensualmente.

C=$20,000n=10 añosi=0.05

C=$20,000n=10 añosj=0.05

V. Problemas de Anualidades Vencidas

Fórmulas de Anualidades Vencidas1. Grupo del Valor Presente.

2. Grupo del Valor Futuro.

1. Hallar el valor futuro y el valor presente de las siguientes anualidades ciertas ordinarias.a. $2,000 semestrales durante 81/2 años al 8% capitalizable semestralmente.

R=$2,000n=8.5 añosi=0.04

b. $4,000 anuales durante 6 años al 7.3% capitalizable anualmente.R=$4,000n=6 añosi=0.073

c. $200 mensuales durante 3 años, 4 meses al 8% con capitalización mensual.R=$200n=3 años y 4 mesesi=0.0067

M=20,000 (1+0.05)10= $32,577.89

M=20,000 (1+0.05/12)12(10)= $32,940.19

C=R {[1- (1+i)-N]/i} R= C {i/[1-(1+i)-N]}

M=R {[(1+i)N -1]/i} R=M {i/[(1+i)N -1]}

C=2,000 {[1- (1+0.04)-17 -1]/0.04}= $24,341.34

M=2,000 {[(1+0.04)17-1]/0.04}= $47,395.02

C=4,000 {[1-(1+0.073)-6]/0.073}= $18,890.85

M=4,000 {[(1+0.073)6-1]/0.073}= $28,830.35

C=200 {[1-(1+0.006666666)-40]/0.006666666}= $7,001.81

M=200 {[(1+0.006666666)40-1]/0.006666666}= $9,133.51

2. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones $20,000 de contado, $1,000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses, y un último pago de $2,500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el 9% con capitalización mensual.

i=0.0075R=$1,000n=2 años y 6 meses

3. ¿cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14,000 de cuota inicial, $1,600 mensual durante 2 años y 6 meses con un último pago de $2,500, si se carga el 12% con capitalización mensual?

4. Una mina en explotación tiene una producción anual de $8,000,000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción si el rendimiento del dinero es del 8%.

C=1,000 {[1-(1+0.0075)-30]/0.0075}= $26,775.08

2,500 (1+0.0075)-31= $1,983.09

20,000+26,775.08+1,983.09= $48,758.17

C=1,600 {[1-(1+0.01)-30]/0.01}= $41,292.33

2,500 (1+0.01)-31= $1,836.44

14,000+41,293.33+1836.44= $57,128.77

R=$8,000,000i=0.08n=10 años

5. En el ejercicio anterior se estima que al agotarse la mina habrá activos recuperables por el valor de $1,500,000. Encontrar el valor presente, incluidas las utilidades, si estas representa el 25% de la producción.

6. En el momento de nacer su hija, un señor depositó $1,500 en una cuenta que abona el 8%, dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años aumento sus consignaciones a $3,000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años.

R1=$1,500i=0.08n1=11 años

R2=$3,000i=0.08n2=7 años

7. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona el 6% de interés capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta a cabo de 20 años.

C=8,000,000 {[1-(1+0.08)-10]/0.08}= $53,680,651.19

1,500,000 (1+0.08)-10= $694,790.2353,680,651.19(0.25)= $13,420,162.813,420,162.8+694,790.23=$14,114,953.03

M=1,500 {[(1+0.08)11-1]/0.08}= $24,968.23

M= 24,968.23 (1+0.08)7= $42,791.16

M=3,000 {[(1+0.08)7-1]/0.08}= $26,768.41

1,500 (1+0.08)18= $5,994.03

42,791.16+26,768.41+5,994.03= $75,553.60

R=$100i=0.005n=240 meses

VI. Problemas de Anualidades AnticipadasFórmulas de anualidades anticipadas

1. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3,000 mensuales con mes anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible mensualmente.

M=100 {[(1+0.005)240-1]/0.005}= $46,204.09

Valor Presente Valor Futuro

R=$3,000N=180i=0.01

2. Una persona recibe 3 ofertas para la compra de su propiedad: a. $400,000 de contado.b. $190,000 de contado y $50,000 semestrales durante 21/2 años.c. $20,000 por trimestre anticipado durante 3 años y un pago de $250,000, al finalizar el

cuarto año.¿Qué oferta debe escoger si la tasa de interés es del 8% anual?

b.

R=$50,000i=0.04N=5

c.

R=$20,000N=12i=0.02

Respuesta: La oferta B es la más conveniente.

3. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana el 9% convertible mensualmente?

R=$500N=180

250,000(1+0.08)-4= $183,757.46

215,735.96+183,757.46= $399,493.42

i=0.0075