first order diffeq

8/2/2019 First Order Diffeq

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M a t h 3 2 0 ( p a r t 1 ) : F i r s t - O r d e r D i e r e n t i a l E q u a t i o n s ( b y E v a n D u m m i t , 2 0 1 2 , v . 1 . 0 1 )

C o n t e n t s

1 F i r s t - O r d e r D i e r e n t i a l E q u a t i o n s 1

1 . 1 I n t r o d u c t i o n a n d T e r m i n o l o g y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 . 2 S o m e M o t i v a t i n g A p p l i c a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 . 3 F i r s t - O r d e r : S e p a r a b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 3 . 1 T h e L o g i s t i c E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 4 F i r s t - O r d e r : L i n e a r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1 . 5 S u b s t i t u t i o n M e t h o d s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 5 . 1 B e r n o u l l i E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1 . 5 . 2 H o m o g e n e o u s E q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 6 F i r s t O r d e r : E x a c t E q u a t i o n s a n d I n t e g r a t i n g F a c t o r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 . 7 F i r s t O r d e r : G e n e r a l P r o c e d u r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1 . 8 F i r s t O r d e r : G e n e r a l P r o b l e m s a n d S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1 . 8 . 1 P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1 . 8 . 2 S o l u t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0

1 F i r s t - O r d e r D i e r e n t i a l E q u a t i o n s

1 . 1 I n t r o d u c t i o n a n d T e r m i n o l o g y

• A d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s m e r e l y a n e q u a t i o n i n v o l v i n g a d e r i v a t i v e ( o r s e v e r a l d e r i v a t i v e s ) o f a f u n c t i o n o r

f u n c t i o n s . I n e v e r y b r a n c h o f s c i e n c e f r o m p h y s i c s t o c h e m i s t r y t o b i o l o g y ( a s w e l l a s ' o t h e r ' e l d s s u c h a s

e n g i n e e r i n g , e c o n o m i c s , a n d d e m o g r a p h y ) v i r t u a l l y a n y i n t e r e s t i n g k i n d o f p r o c e s s i s m o d e l e d b y a d i e r e n t i a l

e q u a t i o n , o r a s y s t e m o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s .

◦T h e r e a s o n f o r t h i s i s t h a t m o s t a n y t h i n g i n t e r e s t i n g i n v o l v e s c h a n g e o f s o m e k i n d , a n d t h e d e r i v a t i v e

e x p r e s s e s t h e r a t e o f c h a n g e .

◦ T h u s , a n y t h i n g t h a t c a n b e m e a s u r e d n u m e r i c a l l y w i t h v a l u e s t h a t c h a n g e i n s o m e k n o w n m a n n e r w i l l

g i v e r i s e t o a d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

◦ E x a m p l e : T h e p o p u l a t i o n s o f s e v e r a l s p e c i e s i n a n e c o s y s t e m w h i c h a e c t o n e a n o t h e r i n s o m e w a y .

◦ E x a m p l e : T h e p o s i t i o n , v e l o c i t y , a n d a c c e l e r a t i o n o f a p h y s i c a l o b j e c t w h i c h h a s e x t e r n a l f o r c e s a c t i n g

o n i t .

◦ E x a m p l e : T h e c o n c e n t r a t i o n s o f m o l e c u l e s i n v o l v e d i n a c h e m i c a l r e a c t i o n .

◦ E x a m p l e : T h e p r o d u c t i o n o f g o o d s , a v a i l a b i l i t y o f l a b o r , p r i c e s o f s u p p l i e s , a n d m a n y o t h e r q u a n t i t i e s

o v e r t i m e i n e c o n o m i c p r o c e s s e s .

• H e r e a r e s o m e e x a m p l e s o f s i n g l e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a n d s y s t e m s o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , w i t h a n d w i t h o u t

a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s .

◦E x a m p l e : y + y = 0 .

∗A n s w e r : y(x) = Ce−x

f o r a n y c o n s t a n t C .

◦ E x a m p l e : y + 2y + y = 3x2, w i t h y(0) = y(0) = 1



∗A n s w e r : y(x) = 3x2 − 12x + 18 − 4xe−x − 17e−x .

◦E x a m p l e : f · f = (f )2 , w i t h f (1) = f (1) = 1 .

∗ A n s w e r : f (x) = ex−1.

◦ E x a m p l e : f = 2f − g a n d g = f + 2g , w i t h f (0) = g(0) =√

2.

∗A n s w e r : f (x) = 2e2x cos(x − π

4) a n d g(x) = 2e2x sin(x − π

4).

◦E x a m p l e :

df ds

+ df dt

= s + t .

∗A n s w e r : M a n y s o l u t i o n s . T w o e x a m p l e s a r e f (s, t) = st a n d f (s, t) =

1

2s2 +

1

2t2 .

• M o s t d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ( v e r y m u c h u n l i k e t h e c a r e f u l l y c h o s e n o n e s a b o v e ) a r e d i c u l t i f n o t i m p o s s i b l e

t o n d e x a c t s o l u t i o n s t o , i n t h e s a m e w a y t h a t m o s t r a n d o m i n t e g r a l s o r i n n i t e s e r i e s a r e h a r d t o e v a l u a t e

e x a c t l y .

◦ P r o t o t y p i c a l e x a m p l e : (f )7 − 2ef − f = sin20(x) + e−x .

◦H o w e v e r , i t i s g e n e r a l l y p o s s i b l e t o n d v e r y a c c u r a t e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s u s i n g n u m e r i c a l t e c h n i q u e s

o r b y u s i n g T a y l o r s e r i e s .

◦I n t h i s c o u r s e w e w i l l o n l y c o v e r h o w t o s o l v e s o m e o f t h e m o r e b a s i c t y p e s o f e q u a t i o n s a n d s y s t e m s :

r s t - o r d e r s e p a r a b l e , l i n e a r , a n d e x a c t e q u a t i o n s ; h i g h e r - o r d e r l i n e a r e q u a t i o n s w i t h c o n s t a n t c o e c i e n t s ;

a n d s y s t e m s o f r s t - o r d e r l i n e a r e q u a t i o n s w i t h c o n s t a n t c o e c i e n t s .

• I f a d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n v o l v e s f u n c t i o n s o f o n l y a s i n g l e v a r i a b l e ( i . e . , i f y i s a f u n c t i o n o n l y o f x) t h e n i t

i s c a l l e d a n o r d i n a r y d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( o r O D E ) .

◦W e w i l l o n l y t a l k a b o u t O D E s i n t h i s c o u r s e . B u t f o r c o m p l e t e n e s s , d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n v o l v i n g f u n c -

t i o n s o f s e v e r a l v a r i a b l e s a r e c a l l e d p a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , o r P D E s . ( R e c a l l t h a t t h e d e r i v a t i v e s

o f f u n c t i o n s o f m o r e t h a n o n e v a r i a b l e a r e c a l l e d p a r t i a l d e r i v a t i v e s , h e n c e t h e n a m e . )

◦ P D E s , o b v i o u s l y , a r i s e w h e n f u n c t i o n s d e p e n d o n m o r e t h a n o n e v a r i a b l e . T h e y o c c u r o f t e n i n p h y s i c s

( w i t h f u n c t i o n s t h a t d e p e n d o n s p a c e a n d t i m e ) a n d e c o n o m i c s ( w i t h f u n c t i o n s t h a t d e p e n d o n t i m e a n d

o t h e r p a r a m e t e r s ) .

•A n nt h o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s a n e q u a t i o n i n w h i c h t h e h i g h e s t d e r i v a t i v e i s t h e nt h d e r i v a t i v e .

◦ E x a m p l e : T h e e q u a t i o n s y + xy = 3x2a n d y · y = 2 a r e r s t - o r d e r .

◦E x a m p l e : T h e e q u a t i o n y + y + y = 0 i s s e c o n d - o r d e r .

◦ E x a m p l e : T h e e q u a t i o n ey = yi s f o u r t h - o r d e r .

• A d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s l i n e a r i f i t i s l i n e a r i n t h e t e r m s i n v o l v i n g y a n d i t s d e r i v a t i v e s . I n o t h e r w o r d s , i f

t h e r e a r e n o t e r m s l i k e y2 , o r (y)3 , o r y · y, o r ln(y), o r ey .

◦E x a m p l e : T h e e q u a t i o n s y + xy = 3x2

a n d y + y + y = 0 a r e l i n e a r .

◦ E x a m p l e : T h e e q u a t i o n s y · y = 3x2, x2 + (y)2 = 1 , a n d y = − sin(y) a r e n o t l i n e a r .

1 . 2 S o m e M o t i v a t i n g A p p l i c a t i o n s

•S i m p l e m o t i v a t i n g e x a m p l e : A p o p u l a t i o n ( u n r e s t r i c t e d b y s p a c e o r r e s o u r c e s ) t e n d s t o g r o w a t a r a t e p r o p o r -

t i o n a l t o i t s s i z e . [ R e a s o n : i m a g i n e e a c h m a l e p a i r i n g o w i t h a f e m a l e a n d h a v i n g a x e d n u m b e r o f o s p r i n g

e a c h y e a r . ]

◦ I n s y m b o l s , t h i s m e a n s t h a t

dP

dt= k · P , w h e r e P (t) i s t h e p o p u l a t i o n a t t i m e t a n d k i s t h e g r o w t h r a t e .

T h i s i s a h o m o g e n e o u s r s t - o r d e r l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n w i t h c o n s t a n t c o e c i e n t s .

◦ I t ' s n o t h a r d t o s e e t h a t o n e p o p u l a t i o n m o d e l t h a t w o r k s i s P (t) = ek·t h e n c e , e x p o n e n t i a l g r o w t h .



•M o r e c o m p l i c a t e d e x a m p l e : T h e H a p p y S u n s h i n e V a l l e y i s h o m e t o C u t e M i c e a n d A d o r a b l e K i t t e n s . T h e

C u t e M i c e g r o w a t a r a t e p r o p o r t i o n a l t o t h e i r p o p u l a t i o n , m i n u s t h e n u m b e r o f M i c e t h a t a r e e a t e n b y t h e i r

p r e d a t o r s , t h e K i t t e n s . T h e p o p u l a t i o n o f A d o r a b l e K i t t e n s g r o w s p r o p o r t i o n a l t o t h e n u m b e r o f m i c e ( s i n c e

t h e y h a v e t o c a t c h M i c e t o s u r v i v e a n d r e p r o d u c e ) .

◦ S y m b o l i c a l l y , t h i s s a y s

dM

dt= k1 ·M −k2 ·K , a n d

dK

dt= k3 ·M , w h e r e M (t) a n d K (t) a r e t h e p o p u l a t i o n s

o f M i c e a n d K i t t e n s , a n d k1, k2, k3 a r e s o m e c o n s t a n t s .

◦ T h i s i s a s y s t e m o f t w o l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s ; w e w i l l l e a r n h o w t o s o l v e a s y s t e m l i k e t h i s l a t e r i n

t h e c o u r s e .

◦T h e c o n d i t i o n s h e r e a r e f a i r l y n a t u r a l f o r a s i m p l e p r e d a t o r - p r e y s y s t e m . B u t i n g e n e r a l , t h e r e c o u l d

b e n o n - l i n e a r t e r m s t o o p e r h a p s w h e n t w o K i t t e n s m e e t , t h e y g h t w i t h e a c h o t h e r a n d c a u s e i n j u r y ,

w h i c h m i g h t c h a n g e t h e e q u a t i o n t o

dK

dt= k3 · M − k4 · K 2 .

◦T h i s s y s t e m w o u l d g e t e v e n m o r e d i c u l t i f w e a d d e d a d d i t i o n a l s p e c i e s e a c h o f w h i c h i n t e r a c t s i n s o m e

w a y w i t h t h e o t h e r s .

• N o n - l i n e a r e x a m p l e : A s i m p l e p e n d u l u m c o n s i s t s o f a w e i g h t s u s p e n d e d o n a s t r i n g , w i t h g r a v i t y t h e o n l y

f o r c e a c t i n g o n t h e w e i g h t . I f θ i s t h e a n g l e t h e p e n d u l u m ' s s t r i n g m a k e s w i t h a v e r t i c a l l i n e , t h e n h o r i z o n t a l

f o r c e o n t h e w e i g h t t o w a r d t h e v e r t i c a l i s p r o p o r t i o n a l t o sin(θ).

◦ S y m b o l i c a l l y , t h i s s a y s

d2θ

dt2= −k · sin(θ). T h i s i s a n o n - l i n e a r s e c o n d - o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n .

◦ T h i s e q u a t i o n c a n n o t b e s o l v e d e x a c t l y f o r t h e f u n c t i o n θ(t). H o w e v e r , a r e a s o n a b l y g o o d a p p r o x i m a t i o n

c a n b e f o u n d b y u s i n g t h e r o u g h e s t i m a t e sin(θ) ≈ θ , w h i c h t u r n s t h e p r o b l e m i n t o t h e l i n e a r s e c o n d - o r d e r

d i e r e n t i a l e q u a t i o n

d2θ

dt2= −k · θ , w h o s e s o l u t i o n s a r e m u c h e a s i e r t o n d .

1 . 3 F i r s t - O r d e r : S e p a r a b l e

•A s e p a r a b l e e q u a t i o n i s o f t h e f o r m y = f (x) ·g(y) f o r s o m e f u n c t i o n s f (x) a n d g(y) , o r a n e q u a t i o n e q u i v a l e n t

t o s o m e t h i n g o f t h i s f o r m .

• H e r e i s t h e m e t h o d f o r s o l v i n g s u c h e q u a t i o n s :

◦ S t e p 1 : R e p l a c e yw i t h

dy

dx, a n d t h e n c r o s s - m u l t i p l y a s n e c e s s a r y t o g e t a l l t h e y - s t u o n o n e s i d e

( i n c l u d i n g

dy

dx) a n d a l l o f t h e x- s t u o n t h e o t h e r .

◦S t e p 2 : I n t e g r a t e b o t h s i d e s ( i n d e n i t e l y , w i t h r e s p e c t t o x) .

∗F o r t h e i n t e g r a l i n v o l v i n g y t e r m s , r e m e m b e r t h a t y o u c a n c a n c e l

dy

dx· dx t o g e t dy a n d a n i n t e g r a l

i n t e r m s o f y o n l y .

∗D o n ' t f o r g e t t o p u t t h e +C o n t h e s i d e w i t h t h e x- t e r m s .

◦S t e p 3 : I f g i v e n , p l u g i n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n t o s o l v e f o r t h e c o n s t a n t C . ( O t h e r w i s e , j u s t l e a v e i t w h e r e

i t i s . )

◦ S t e p 4 : S o l v e f o r y a s a f u n c t i o n o f x, i f p o s s i b l e .

•E x a m p l e : S o l v e y = k · y , w h e r e k i s s o m e c o n s t a n t .

◦S t e p 1 : R e w r i t e a s

1

y

dy

dx= k .

◦S t e p 2 : I n t e g r a t e t o g e t

´ 1

y

dy

dxdx =

´ k dx, o r

´ 1

ydy =

´ k dx . E v a l u a t e t o g e t ln(y) = kx + C .

◦ S t e p 4 : E x p o n e n t i a t e t o g e t y = ekx+C = C · ekx .



•E x a m p l e : S o l v e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n y = ex−y .

◦ S t e p 1 : R e w r i t e a s eydy

dx= ex .

◦ S t e p 2 : I n t e g r a t e t o g e t

´ ey

dy

dxdx =

´ ex dx. S i m p l i f y t o t h e n e v a l u a t e t o g e t ey = ex + C .

◦S t e p 4 : T a k e t h e n a t u r a l l o g a r i t h m t o g e t y = ln(ex + C ) .

•E x a m p l e : F i n d y g i v e n t h a t y = x + xy2 a n d y(0) = 1 .


dy

1 + y2= x dx.

◦ S t e p 2 : I n t e g r a t e t o g e t

´ 1

1 + y2dy

dxdx =

´ x dx, t h e n s i m p l i f y a n d e v a l u a t e t o g e t tan−1(y) =

1

2x2 + C .

◦S t e p 3 : P l u g i n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n t o g e t tan−1(1) = C h e n c e C = π/4.

◦S t e p 4 : T a k e t h e n a t u r a l l o g a r i t h m t o g e t y = tan

1

2x2 +

π

4

.

1 . 3 . 1 T h e L o g i s t i c E q u a t i o n

• E x a m p l e : S o l v e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n P = aP (b − P ) , w h e r e a a n d b a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s .


dP

P (b − P )= a dt .

◦S t e p 2 : I n t e g r a t e b o t h s i d e s t o o b t a i n

´ 1

P (b − P )dP =

´ a dt . T o e v a l u a t e t h e P - i n t e g r a l , u s e p a r t i a l

f r a c t i o n d e c o m p o s i t i o n :

1

P (b − P )=

1/b

P +

1/b

b − P . E v a l u a t i n g t h e i n t e g r a l s t h e r e f o r e y i e l d s

1

bln(P ) −

1

bln(b − P ) = at + C .

◦ S t e p 4 : M u l t i p l y b o t h s i d e s b y b a n d t h e n c o m b i n e t h e l o g a r i t h m s t o o b t a i n ln

P

b

−P

= abt + C ; n o w

e x p o n e n t i a t e t o g e t

P

b − P = Ceabt . S o l v i n g f o r P y i e l d s , n a l l y , P (t) =

b

1 + Ce−abt.

◦ N o t e : I f w e w a n t t o s a t i s f y t h e i n i t i a l c o n d i t i o n P (0) = P 0 , t h e n p l u g g i n g i n s h o w s C =b

P 0− 1. T h e n

t h e s o l u t i o n c a n b e r e w r i t t e n i n t h e f o r m P (t) =bP 0

P 0 + (b − P 0)e−abt.

•R e m a r k : D i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f t h i s f o r m a r e c a l l e d l o g i s t i c e q u a t i o n s . W i t h t h e e x p l i c i t s o l u t i o n g i v e n h e r e ,

w e c a n o b s e r v e s o m e p r o p e r t i e s o f t h e s o l u t i o n c u r v e s .

◦ F o r e x a m p l e , a s t → ∞ , a s l o n g a s t h e s t a r t i n g p o p u l a t i o n P 0 i s p o s i t i v e , t h e p o p u l a t i o n P (t) t e n d s

t o w a r d t h e c a r r y i n g c a p a c i t y o f b.

◦ W e c a n a l s o s e e d i r e c t l y f r o m t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n P = aP (b − P ) t h a t i f t h e p o p u l a t i o n i s

l e s s t h a n b, t h e n P > 0, s o t h a t P i s i n c r e a s i n g b u t t h a t a s P a p p r o a c h e s b , t h e v a l u e o f P s h r i n k s t o

0 . ( T h i s c a n a l s o b e s e e n f r o m g r a p h i n g s o m e o f t h e s o l u t i o n c u r v e s . )

◦S i m i l a r l y , i f t h e p o p u l a t i o n i s g r e a t e r t h a n b, t h e n P < 0 a n d P i s d e c r e a s i n g . A n d i f t h e p o p u l a t i o n i s

e x a c t l y b , t h e n P = 0 a n d t h e p o p u l a t i o n i s c o n s t a n t .

◦T h u s w e c a n s e e t h a t t h e v a l u e b i s a n a t t r a c t i n g p o i n t f o r t h e p o p u l a t i o n , b e c a u s e a s t i m e g o e s o n ,

n e a r b y v a l u e s o f P a l l g e t p u s h e d c l o s e r t o w a r d b. T h i s i s a n e x a m p l e o f a s t a b l e c r i t i c a l p o i n t .

◦ B y d o i n g a s i m i l a r a n a l y s i s n e a r t h e v a l u e P = 0 w e c a n s e e t h a t t h e v a l u e 0 i s a r e p u l s i n g p o i n t ,

b e c a u s e a s t i m e g o e s o n , n e a r b y v a l u e s o f P a l l g e t p u s h e d f a r t h e r a w a y f r o m 0 . T h i s i s a n e x a m p l e o f

a n u n s t a b l e c r i t i c a l p o i n t .



1 . 4 F i r s t - O r d e r : L i n e a r

•T h e g e n e r a l f o r m f o r a r s t - o r d e r l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s ( u p o n d i v i d i n g b y t h e c o e c i e n t o f y

) g i v e n

b y y + P (x) · y = Q(x) , w h e r e P (x) a n d Q(x) a r e s o m e f u n c t i o n s o f x.

• W e w o u l d r e a l l y l i k e i t i f w e c o u l d j u s t i n t e g r a t e b o t h s i d e s t o s o l v e t h e e q u a t i o n . H o w e v e r , i n g e n e r a l , w e

c a n n o t : t h e yt e r m i s e a s y t o i n t e g r a t e , b u t t h e P (x) · y t e r m c a u s e s t r o u b l e .

• T o s o l v e t h i s e q u a t i o n w e u s e a n i n t e g r a t i n g f a c t o r : w e m u l t i p l y b y a f u n c t i o n

I (x)w h i c h w i l l t u r n t h e

l e f t - h a n d s i d e i n t o t h e d e r i v a t i v e o f a s i n g l e f u n c t i o n .

◦ W h a t w e w o u l d l i k e t o h a p p e n i s f o r I (x) · y + I (x)P (x) · y t o b e t h e d e r i v a t i v e o f s o m e t h i n g n i c e .

◦ W h e n w r i t t e n t h i s w a y , t h i s s u m l o o k s s o r t o f l i k e t h e o u t p u t o f t h e p r o d u c t r u l e . I f w e c a n n d I (x) s o

t h a t t h e d e r i v a t i v e o f I (x) i s I (x)P (x) , t h e n t h i s s u m w i l l b e t h e d e r i v a t i v e

d

dx[I (x) · y] .

◦ W h a t w e w a n t i s I (x)P (x) = I (x) . T h i s i s n o w a ( v e r y e a s y ) s e p a r a b l e e q u a t i o n f o r t h e f u n c t i o n I (x),

a n d t h e s o l u t i o n i s I (x) = e´ P (x) dx

.

• M o t i v a t e d b y t h e a b o v e l o g i c , h e r e i s t h e m e t h o d f o r s o l v i n g r s t - o r d e r l i n e a r e q u a t i o n s :

◦S t e p 1 : P u t t h e e q u a t i o n i n t o t h e f o r m y + P (x) · y = Q(x) .

◦ S t e p 2 : M u l t i p l y b o t h s i d e s b y t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r e´ P (x) dx t o g e t e

´ P (x) dxy + e

´ P (x) dxP (x) · y =

e´ P (x) dxQ(x).

◦ S t e p 3 : O b s e r v e t h a t t h e r i g h t - h a n d s i d e i s

d

dx

e´ P (x) dx · y

, a n d t a k e t h e a n t i d e r i v a t i v e o n b o t h s i d e s .

D o n ' t f o r g e t t h e c o n s t a n t o f i n t e g r a t i o n C .

◦ S t e p 4 : I f g i v e n , p l u g i n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n t o s o l v e f o r t h e c o n s t a n t C . ( O t h e r w i s e , j u s t l e a v e i t w h e r e

i t i s . )

◦ S t e p 5 : S o l v e f o r y a s a f u n c t i o n o f x.

• E x a m p l e : F i n d y g i v e n t h a t y + 2xy = x a n d y(0) = 1 .

◦S t e p 1 : W e h a v e P (x) = 2x a n d Q(x) = x.

◦ S t e p 2 : M u l t i p l y b o t h s i d e s b y e´ P (x) dx = ex

2

t o g e t ex2

y

+ ex2

· 2x · y = x · ex2

.

◦ S t e p 3 : T a k i n g t h e a n t i d e r i v a t i v e o n b o t h s i d e s y i e l d s ex2

y =1

2ex

2

+ C .

◦S t e p 4 : P l u g g i n g i n y i e l d s e0 · 1 =

1

2e0 + C h e n c e C =

1

2.

◦ S t e p 5 : S o l v i n g f o r y g i v e s y =1

2+

1

2e−x

2

.

• E x a m p l e : F i n d a l l f u n c t i o n s y f o r w h i c h xy = x4 − 4y .

◦ S t e p 1 : W e h a v e y +4

xy = x3

, s o P (x) =4

xa n d Q(x) = x3

.

◦ S t e p 2 : M u l t i p l y b o t h s i d e s b y

e

´ P (x) dx

= e4ln(x)

= x4

t o g e t

x4

y

+ 4x3

y = x7

,

◦ S t e p 3 : T a k i n g t h e a n t i d e r i v a t i v e o n b o t h s i d e s y i e l d s x4y =1

8x8 + C .

◦S t e p 5 : S o l v i n g f o r y g i v e s y =

1

8x4 + C · x−4

.

•E x a m p l e : F i n d y g i v e n t h a t y · cot(x) = y + 2 cos(x) a n d y(0) = −1

2.

◦ S t e p 1 : W e h a v e y − y tan(x) = 2 sin(x), w i t h P (x) = − tan(x) a n d Q(x) = 2 sin(x).

◦ S t e p 2 : M u l t i p l y b o t h s i d e s b y e´ P (x) dx = eln(cos(x)) = cos(x) t o g e t y ·cos(x)−y·sin(x) = 2 sin(x) cos(x).



◦ S t e p 3 : T a k i n g t h e a n t i d e r i v a t i v e o n b o t h s i d e s y i e l d s [y · cos(x)] = −1

2cos(2x) + C .

◦S t e p 4 : P l u g g i n g i n y i e l d s

−1

2= −1

2· 1 + C h e n c e C = 0 .

◦ S t e p 5 : S o l v i n g f o r y g i v e s y = − cos(2x)

2cos(x).

1 . 5 S u b s t i t u t i o n M e t h o d s

•J u s t l i k e w i t h i n t e g r a t i o n , s o m e t i m e s w e c o m e a c r o s s d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w h i c h w e c a n n o t o b v i o u s l y s o l v e ,

b u t w h i c h , i f w e c h a n g e v a r i a b l e s , w i l l t u r n i n t o a f o r m w e k n o w h o w t o s o l v e .

•D e t e r m i n i n g w h a t s u b s t i t u t i o n s t o t r y i s a m a t t e r o f p r a c t i c e , i n m u c h t h e s a m e w a y a s i n i n t e g r a l c a l c u l u s .

I n g e n e r a l , t h e r e a r e t w o k i n d s o f s u b s t i t u t i o n s : o b v i o u s o n e s t h a t a r i s e f r o m t h e f o r m o f t h e d i e r e n t i a l

e q u a t i o n , a n d f o r m u l a i c o n e s w h i c h a r e s t a n d a r d s u b s t i t u t i o n s t o u s e i f a d i e r e n t i a l e q u a t i o n h a s a p a r t i c u l a r

f o r m .

•T h e g e n e r a l p r o c e d u r e i s t h e f o l l o w i n g :

◦S t e p 1 : E x p r e s s t h e n e w v a r i a b l e v i n t e r m s o f y a n d x.

◦ S t e p 2 : F i n d

dvdx

i n t e r m s o f y, y , a n d x u s i n g i m p l i c i t d i e r e n t i a t i o n .

◦ S t e p 3 : R e w r i t e t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n y a s a d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n v .

◦ S t e p 4 : S o l v e t h e n e w e q u a t i o n i n v . ( T h e h o p e i s , a f t e r m a k i n g t h e s u b s t i t u t i o n , t h e n e w e q u a t i o n i s i n

a f o r m t h a t c a n b e s o l v e d w i t h o n e o f t h e o t h e r m e t h o d s . )

◦ S t e p 5 : S u b s t i t u t e b a c k f o r y .

•E x a m p l e : S o l v e t h e e q u a t i o n y = (x + y)2 .

◦ T h i s e q u a t i o n i s n o t l i n e a r , n o r i s i t s e p a r a b l e a s w r i t t e n . T h e o b s t r u c t i o n i s t h a t t h e t e r m x + y i n v o l v e s

b o t h x a n d y .

◦S t e p 1 : L e t u s t r y s u b s t i t u t i n g v = x + y .

◦ S t e p 2 : D i e r e n t i a t i n g y i e l d s

dv

dx= 1 +

dy

dx, s o y = v − 1.

◦ S t e p 3 : T h e n e w e q u a t i o n i s v − 1 = v2 , o r v = v2 + 1.

◦S t e p 4 : T h e e q u a t i o n i n v i s s e p a r a b l e . S e p a r a t i n g i t g i v e s

´ dv

v2 + 1=

´ 1 dx, s o t h a t tan−1(v) = x + C ,

o r v = tan(x + C ) .

◦S t e p 5 : S u b s t i t u t i n g b a c k y i e l d s y = tan(x + C ) − x .

1 . 5 . 1 B e r n o u l l i E q u a t i o n s

•A n e q u a t i o n o f t h e f o r m y + P (x)y = Q(x)

·yn f o r s o m e i n t e g e r n

= 0, 1 i s c a l l e d a B e r n o u l l i e q u a t i o n . ( T h e

r e s t r i c t i o n t h a t n n o t b e 0 o r 1 i s n o t r e a l l y a r e s t r i c t i o n , b e c a u s e i f n = 0 t h e n t h e e q u a t i o n i s r s t - o r d e r

l i n e a r , a n d i f n = 1 t h e n t h e e q u a t i o n i s t h e s a m e a s y = (Q(x) − P (x))y , w h i c h i s s e p a r a b l e . )

◦ A s w i t h r s t - o r d e r l i n e a r e q u a t i o n s , s o m e t i m e s B e r n o u l l i e q u a t i o n s c a n b e h i d d e n i n a s l i g h t l y d i e r e n t

f o r m .

◦ T h e t r i c k f o r s o l v i n g a B e r n o u l l i e q u a t i o n i s t o m a k e t h e s u b s t i t u t i o n v = y1−n . T h e a l g e b r a i s s i m p l i e d

i f w e r s t m u l t i p l y b o t h s i d e s o f t h e o r i g i n a l e q u a t i o n b y (1 − n) · y−n, a n d t h e n m a k e t h e s u b s t i t u t i o n .

◦S o w e h a v e (1 − n)y · y−n + (1 − n)P (x) · y1−n = (1 − n)Q(x) .

◦ F o r v = y1−n w e h a v e v = (1 − n)y−n · y.



◦S u b s t i t u t i n g i n t o t h e o r i g i n a l e q u a t i o n t h e n y i e l d s t h e r s t - o r d e r l i n e a r e q u a t i o n v + (1 − n)P (x) · v =(1 − n) Q(x) f o r v .

• E x a m p l e : S o l v e t h e e q u a t i o n y + 2xy = xy3 .

◦T h i s e q u a t i o n i s o f B e r n o u l l i t y p e , w i t h P (x) = 2x, Q(x) = x, a n d n = 3. M a k i n g t h e s u b s t i t u t i o n

v = y−2t h u s r e s u l t s i n t h e e q u a t i o n v − 4xv = −2x.

◦N e x t , w e c o m p u t e t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r I (x) = e

´ −4x dx = e−2x2

.

◦S c a l i n g b y t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r g i v e s e−2x2v − 4xe−2x2v = −2xe−2x2

.

◦T a k i n g t h e a n t i d e r i v a t i v e o n b o t h s i d e s t h e n y i e l d s e−2x2v =

1

2e−2x2 + C , s o t h a t v =

1

2+ Ce−2x2

.

◦ F i n a l l y , s o l v i n g f o r y g i v e s y =

1

2+ Ce−2x2

−1/2

.

• E x a m p l e : S o l v e t h e e q u a t i o n y2y = ex − y3 .

◦T h e e q u a t i o n a s w r i t t e n i s n o t o f B e r n o u l l i t y p e . H o w e v e r , i f t o b o t h s i d e s w e a d d y3 a n d t h e n d i v i d e

b y y2 , w e o b t a i n t h e e q u a t i o n y + y = exy−2, w h i c h i s n o w B e r n o u l l i w i t h P (x) = 1, Q(x) = ex , a n d

n =

−2.

◦ M a k i n g t h e s u b s t i t u t i o n v = y3 r e s u l t s i n t h e e q u a t i o n v + 3v = 3ex .

◦T h e i n t e g r a t i n g f a c t o r i s I (x) = e

´ 3 dx = e3x , s o t h e n e w e q u a t i o n i s e3xv + 3e3xv = 3e4x .

◦T a k i n g t h e a n t i d e r i v a t i v e t h e n g i v e s e3xv =

3

4e4x+ C , s o v =

3

4ex+ Ce−3x

a n d y =

3

4ex + Ce−3x

1/3

.

1 . 5 . 2 H o m o g e n e o u s E q u a t i o n s

•A n e q u a t i o n o f t h e f o r m y = f

y

x

f o r s o m e f u n c t i o n f i s c a l l e d a h o m o g e n e o u s e q u a t i o n .

◦T h e t r i c k t o s o l v i n g a n e q u a t i o n o f t h i s f o r m i s t o m a k e t h e s u b s t i t u t i o n v =

y

x

, o r e q u i v a l e n t l y t o s e t

y = vx .

◦ T h e n d i e r e n t i a t i n g y = vx s h o w s y = v + xv, h e n c e t h e e q u a t i o n b e c o m e s v + xv = f (v), w h i c h i s

s e p a r a b l e o n c e w r i t t e n i n t h e f o r m

v

f (v) − v=

1

x.

• E x a m p l e : S o l v e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n 2x2y = x2 + y2 .

◦ T h i s e q u a t i o n i s n o t s e p a r a b l e n o r l i n e a r , a n d i t i s n o t a B e r n o u l l i e q u a t i o n . I f w e d i v i d e b o t h s i d e s b y

2x2t h e n w e o b t a i n y =

1

2+

1

2

y

x

2, w h i c h i s h o m o g e n e o u s .

◦ S e t t i n g v = y/x y i e l d s t h e e q u a t i o n xv =1

2v2 − v +

1

2, a n d r e a r r a n g i n g g i v e s

2v

(v − 1)2=

1

x.

◦ T h e n i n t e g r a t i n g y i e l d s

´ 2dv

(v − 1)2=

´ 1x

dx, s o −2v − 1

= ln(x)+C . S o l v i n g f o r v g i v e s v = 1− 2ln(x) + C

,

s o y = x − 2x

ln(x) + C .

• E x a m p l e : S o l v e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n y =x2 + y2

xy.

◦I f w e d i v i d e t h e n u m e r a t o r a n d d e n o m i n a t o r o f t h e f r a c t i o n b y x2

, w e o b t a i n y =1 + (y/x)2

(y/x), w h i c h i s

h o m o g e n e o u s .



◦S e t t i n g v = y/x y i e l d s xv =

1 + v2

v− v =

1

v.

◦ S e p a r a t i n g a n d i n t e g r a t i n g y i e l d s

´ v dv =

´ 1

xdx, s o t h a t

1

2v2 = ln(x) + C , s o v =

2ln(x) + C a n d

t h e n y = x

2ln(x) + C .

1 . 6 F i r s t O r d e r : E x a c t E q u a t i o n s a n d I n t e g r a t i n g F a c t o r s

•T h e o r e m ( E x a c t E q u a t i o n s ) : F o r f u n c t i o n s M (x, y) a n d N (x, y) w i t h M y = N x ( o n s o m e r e c t a n g l e ) , t h e r e

e x i s t s a f u n c t i o n F (x, y) w i t h F x = M a n d F y = N ( o n t h a t r e c t a n g l e ) . T h e n t h e s o l u t i o n s t o t h e d i e r e n t i a l

e q u a t i o n M (x, y) + N (x, y) y = 0 a r e g i v e n ( i m p l i c i t l y ) b y F (x, y) = C w h e r e C i s a n a r b i t r a r y c o n s t a n t .

◦ M y d e n o t e s t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e o f M w i t h r e s p e c t t o y , n a m e l y

∂M

∂y, a n d s i m i l a r l y f o r t h e o t h e r

f u n c t i o n s .

◦T h e e q u a t i o n M (x, y) + N (x, y) y = 0 i s a l s o s o m e t i m e s w r i t t e n M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0. I n t h i s

f o r m , i t i s m o r e s y m m e t r i c b e t w e e n t h e v a r i a b l e s x a n d y . I w i l l g e n e r a l l y d o t h i s .

◦F u n F a c t : T h e p a r t o f t h e t h e o r e m s t a t i n g t h a t M y = N x i m p l i e s t h e e x i s t e n c e o f a f u n c t i o n F s u c h

t h a t F x = M a n d Gy = N i s a t h e o r e m f r o m v e c t o r c a l c u l u s : t h e c r i t e r i o n M y = N x i s e q u i v a l e n t t o t h e

v e c t o r e l d M, N b e i n g c o n s e r v a t i v e . T h e f u n c t i o n

F i s t h e c o r r e s p o n d i n g p o t e n t i a l f u n c t i o n , w i t h

F = M, N . T h e r e s t o f t h e t h e o r e m i s r e a l l y j u s t a n a p p l i c a t i o n o f t h i s r e s u l t .

◦ R e m a r k : N o t e t h a t i f M = f (x) i s a f u n c t i o n o n l y o f x a n d N = − 1

g(y)i s a f u n c t i o n o n l y o f y , t h e n o u r

e q u a t i o n l o o k s l i k e f (x)− 1

g(y)y = 0 . R e a r r a n g i n g i t g i v e s t h e g e n e r a l f o r m y = f (x) g(y) o f a s e p a r a b l e

e q u a t i o n . S i n c e M y = 0 = N x i n t h i s c a s e , s e p a r a b l e e q u a t i o n s a r e a s p e c i a l c a s e o f e x a c t e q u a t i o n s .

• W e c a n u s e t h e t h e o r e m t o s o l v e e x a c t e q u a t i o n s , w h e r e M y = N x . I f t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s a r e n o t e q u a l ,

w e a r e n o t n e c e s s a r i l y o u t o f l u c k l i k e w i t h r s t - o r d e r l i n e a r e q u a t i o n s , t h e r e m a y e x i s t a n i n t e g r a t i n g f a c t o r

I (x, y) w h i c h w e c a n m u l t i p l y t h e e q u a t i o n b y , i n o r d e r t o m a k e t h e e q u a t i o n e x a c t .

◦U n f o r t u n a t e l y , w e d o n ' t r e a l l y g e t m u c h f o r f r e e : t r y i n g t o s o l v e f o r t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r i s o f t e n a s h a r d

a s s o l v i n g t h e o r i g i n a l e q u a t i o n . F i n d i n g I (x, y) , i n g e n e r a l , r e q u i r e s s o l v i n g t h e P D E ∂I ∂y · M − ∂I ∂x · N +

I · (M y − N x) = 0, w h i c h i s j u s t a s t r i c k y t o s o l v e a s t h e o r i g i n a l e q u a t i o n . O n l y i n a f e w s p e c i a l c a s e s

a r e t h e r e m e t h o d s f o r c o m p u t i n g t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r I (x, y).

◦C a s e 1 : S u p p o s e w e w a n t t o s e e i f t h e r e e x i s t s a n i n t e g r a t i n g f a c t o r t h a t d e p e n d s o n l y o n x ( a n d n o t

o n y ) . T h e n

∂I

∂yw o u l d b e z e r o , s i n c e I d o e s n o t d e p e n d o n y , a n d s o I (x) w o u l d n e e d t o s a t i s f y

I

I =

M y − N xN

. T h i s c a n o n l y h a p p e n i f t h e r a t i o

M y − N xN

i s a f u n c t i o n P (x) o n l y o f x ( a n d n o t y ) ;

t h e n I (x) = e´ P (x)dx

.

∗ T h e f o r m o f t h i s i n t e g r a t i n g f a c t o r s h o u l d l o o k f a m i l i a r i t i s t h e s a m e a s t h e o n e f r o m a r s t - o r d e r

l i n e a r e q u a t i o n . T h e r e i s a v e r y g o o d r e a s o n f o r t h i s ; n a m e l y , a r s t - o r d e r l i n e a r e q u a t i o n i s a s p e c i a l

c a s e o f t h i s f o r m o f e q u a t i o n .

◦C a s e 2 : W e c o u l d a l s o l o o k t o s e e i f t h e r e i s a n i n t e g r a t i n g f a c t o r t h a t d e p e n d s o n l y o n y a n d n o t o n x.

W e c a n d o t h e s a m e c a l c u l a t i o n , t h i s t i m e u s i n g

∂I

∂x= 0 , t o s e e t h a t s u c h a n i n t e g r a t i n g f a c t o r e x i s t s i f

t h e r a t i o

N x − M yM

i s a f u n c t i o n Q(y) o n l y o f y ( a n d n o t x) ; t h e n I (y) = e´ Q(y) dy

.

◦ R e m a r k : T h e r e i s n o r e a l l y g o o d r e a s o n o n l y t o c o n s i d e r t h e s e c a s e s , a s i d e f r o m t h e f a c t t h a t t h e y ' r e t h e

e a s i e s t . W e c o u l d j u s t a s w e l l t r y t o l o o k f o r i n t e g r a t i n g f a c t o r s t h a t a r e a f u n c t i o n o f t h e v a r i a b l e t = xy .

O r o f v = x/y . O r o f w = y + ln(x) . I n e a c h c a s e w e ' d e n d u p w i t h s o m e o t h e r k i n d o f c o n d i t i o n . B u t

w e w o n ' t t h i n k a b o u t t h o s e t h i n g s w e r e a l l y j u s t c a r e a b o u t t h e t w o k i n d s o f i n t e g r a t i n g f a c t o r s a b o v e .

• E x a m p l e : S o l v e f o r y(x) , i f (4y2 + 2x) + (8xy)y = 0 .



◦T h e r e i s n o o b v i o u s s u b s t i t u t i o n t o m a k e , a n d i t i s n o t s e p a r a b l e , l i n e a r , h o m o g e n e o u s , o r B e r n o u l l i . S o

w e m u s t c h e c k f o r e x a c t n e s s .

◦ I n d i e r e n t i a l f o r m t h e e q u a t i o n i s (4y2 + 2x) dx + 8xydy = 0 . T h e r e f o r e , M = 4y2 + 2x a n d N = 8xy .

◦ T h e r e f o r e w e h a v e M y = 8y a n d N x = 8y . S i n c e t h e s e a r e e q u a l , t h e e q u a t i o n i s e x a c t .

◦ S o w e w a n t t o n d F w i t h F x = M a n d F y = N . T a k i n g t h e a n t i - p a r t i a l - d e r i v a t i v e o f M w i t h r e s p e c t

t o x y i e l d s F (x, y) = 4xy2 + x2 + g(y) f o r s o m e f u n c t i o n g(y) . C h e c k i n g t h e n s h o w s F y = 8xy + g(y) s o

g(y) = 0.

◦ T h e r e f o r e , o u r s o l u t i o n s a r e g i v e n i m p l i c i t l y b y 4xy2 + x2 = C .

•E x a m p l e : S o l v e f o r y(x) , i f (2xy2 − 4y) + (3x2y − 8x)y = 0 .

◦ T h e r e i s n o o b v i o u s s u b s t i t u t i o n t o m a k e , a n d i t i s n o t s e p a r a b l e , l i n e a r , h o m o g e n e o u s , o r B e r n o u l l i . S o

w e m u s t c h e c k f o r e x a c t n e s s .

◦I n d i e r e n t i a l f o r m t h e e q u a t i o n i s (2xy2 − 4y) dx + (3x2y − 8x) dy = 0 . T h e r e f o r e , M = 2xy2 − 4y a n d

N = 3x2y − 8x.

◦ T h e r e f o r e w e h a v e M y = 4xy − 4 a n d N x = 6xy − 8. T h e s e a r e n o t e q u a l , s o t h e e q u a t i o n i s n ' t e x a c t .

◦ W e l o o k f o r i n t e g r a t i n g f a c t o r s u s i n g t h e t w o c r i t e r i a w e k n o w .

∗ F i r s t , w e h a v e

M y −

N x

N = −2xy + 4

3x2y − 8xi s n o t a f u n c t i o n o f x o n l y .

∗S e c o n d , w e h a v e

N x − M yM

=2xy − 4

2xy2 − 4y=

1

yi s a f u n c t i o n o f y o n l y . T h e r e f o r e w e n e e d t o m u l t i p l y

b y t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r I (y) = e´ (1/y) dy = y .

◦ O u r n e w e q u a t i o n i s t h e r e f o r e (2xy3 − 4y2) + (3x2y2 − 8xy)y = 0 .

◦N o w w e w a n t t o n d F w i t h F x = 2xy3 − 4y2 a n d F y = 3x2y2 −8xy . T a k i n g t h e a n t i - p a r t i a l - d e r i v a t i v e

o f t h e r s t e q u a t i o n g i v e s F (x, y) = x2y3 − 4xy2 + f (y) a n d c h e c k i n g i n t h e s e c o n d e q u a t i o n s h o w s

f (y) = 0.

◦T h e r e f o r e , o u r s o l u t i o n s a r e g i v e n i m p l i c i t l y b y x2y3 − 4xy2 = C .

1 . 7 F i r s t O r d e r : G e n e r a l P r o c e d u r e

• W e c a n c o m b i n e a l l o f t h e t e c h n i q u e s f o r s o l v i n g r s t - o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t o a h a n d y l i s t o f s t e p s . F o r

t h e p u r p o s e s o f t h i s c o u r s e , i f t h e e q u a t i o n c a n n o t b e s i m p l i e d v i a a s u b s t i t u t i o n ( a n o b v i o u s s u b s t i t u t i o n , o r

i f i t i s h o m o g e n e o u s o r B e r n o u l l i ) t h e n i t i s e i t h e r e x a c t , o r c a n b e m a d e e x a c t b y m u l t i p l y i n g b y a n i n t e g r a t i n g

f a c t o r . ( I f i t ' s n o t o n e o f t h o s e , t h e n i n t h i s c o u r s e w e h a v e n o i d e a h o w t o s o l v e i t . )

◦N o t e : I t i s n o t r e a l l y n e c e s s a r y t o c h e c k a h e a d o f t i m e w h e t h e r t h e e q u a t i o n i s s e p a r a b l e o r a r s t - o r d e r

l i n e a r e q u a t i o n . S e p a r a b l e e q u a t i o n s a r e e x a c t , a n d r s t - o r d e r l i n e a r e q u a t i o n s c a n b e m a d e e x a c t a f t e r

m u l t i p l y i n g b y a n i n t e g r a t i n g f a c t o r , w h i c h w i l l b e d e t e c t e d u s i n g t h e

M y − N xN

t e s t . I c h e c k f o r t h e s e

t w o s p e c i a l t y p e s a t t h e b e g i n n i n g o n l y b e c a u s e i t ' s f a s t e r t o s o l v e i t u s i n g t h e u s u a l m e t h o d s .

•H e r e i s t h e g e n e r a l p r o c e d u r e t o f o l l o w t o s o l v e r s t - o r d e r e q u a t i o n s :

◦S t e p 1 : W r i t e t h e e q u a t i o n i n t h e t w o s t a n d a r d f o r m s y = f (x, y) a n d M (x, y) + N (x, y) · y = 0 a n d

c h e c k t o s e e i f i t i s r s t - o r d e r l i n e a r o r s e p a r a b l e .

∗S t e p 1 a : I f t h e e q u a t i o n i s r s t - o r d e r l i n e a r n a m e l y , o f t h e f o r m y + P (x)y = Q(x) t h e n m u l t i p l y

b y t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r I (x) = e´ P (x) dx

a n d t h e n t a k e t h e a n t i d e r i v a t i v e o f b o t h s i d e s .

∗ S t e p 1 b : I f t h e e q u a t i o n i s s e p a r a b l e n a m e l y , o f t h e f o r m y = f (x) · g(y) t h e n s e p a r a t e t h e

y - t e r m s a n d x- t e r m s o n o p p o s i t e s i d e s o f t h e e q u a t i o n a n d t h e n t a k e t h e a n t i d e r i v a t i v e o f b o t h s i d e s .

◦ S t e p 2 : L o o k f o r p o s s i b l e s u b s t i t u t i o n s ( g e n e r a l l y , u s i n g t h e y = f (x, y) f o r m ) .

∗ S t e p 2 a : C h e c k t o s e e i f t h e r e i s a n y ' o b v i o u s ' s u b s t i t u t i o n t h a t w o u l d s i m p l i f y t h e e q u a t i o n .



∗S t e p 2 b : C h e c k t o s e e i f t h e e q u a t i o n i s o f B e r n o u l l i t y p e n a m e l y , o f t h e f o r m y+P (x)y = Q(x)·yn .

I f s o , m u l t i p l y b o t h s i d e s b y (1 − n) · y−na n d t h e n m a k e t h e s u b s t i t u t i o n v = y1−n t o o b t a i n a

r s t - o r d e r l i n e a r e q u a t i o n

dv

dx+ (1 − n)P (x) · v = (1 − n) Q(x) .

∗ S t e p 2 c : C h e c k t o s e e i f t h e e q u a t i o n i s h o m o g e n e o u s n a m e l y , o f t h e f o r m y = F y

x

f o r s o m e

f u n c t i o n F . I f s o , m a k e t h e s u b s t i t u t i o n v =y

xt o o b t a i n a s e p a r a b l e e q u a t i o n x · dv

dx= F (v) − v .

◦ S t e p 3 : I f t h e e q u a t i o n i s n o t o f a s p e c i a l t y p e , u s e t h e M (x, y) + N (x, y) · y = 0 f o r m t o n d t h e p a r t i a l

d e r i v a t i v e s M y a n d N x .

◦ S t e p 4 : I f M y = N x , n o i n t e g r a t i n g f a c t o r i s n e e d e d . O t h e r w i s e , i f M y = N x , l o o k f o r a n i n t e g r a t i n g

f a c t o r I t o m u l t i p l y b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n b y .

∗ S t e p 3 a : C o m p u t e

M y − N xN

. I f i t i s a f u n c t i o n P (x) o n l y o f x, t h e n t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r i s

I (x) = e´ P (x) dx

.

∗ S t e p 3 b : C o m p u t e

N x − M yM

. I f i t i s a f u n c t i o n Q(y) o n l y o f y , t h e n t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r i s

I (y) = e´ Q(y) dy

.

∗I f n e i t h e r o f t h e s e m e t h o d s w o r k s , y o u ' r e o u t o f l u c k u n l e s s y o u c a n n d a n i n t e g r a t i n g f a c t o r s o m e

o t h e r w a y .

◦ S t e p 5 : T a k e a n t i d e r i v a t i v e s t o n d t h e f u n c t i o n F (x, y) w i t h F x = M a n d F y = N , a n d w r i t e t h e

s o l u t i o n s a s F (x, y) = C .

1 . 8 F i r s t O r d e r : G e n e r a l P r o b l e m s a n d S o l u t i o n s

•P a r t o f t h e d i c u l t y o f s e e i n g r s t - o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o u t s i d e o f a h o m e w o r k s e t ( e . g . , o n e x a m s ) i s

t h a t i t i s n o t a l w a y s i m m e d i a t e l y o b v i o u s w h i c h m e t h o d o r m e t h o d s w i l l s o l v e t h e p r o b l e m . T h u s , i t i s g o o d

t o p r a c t i c e p r o b l e m s w i t h o u t b e i n g t o l d w h i c h m e t h o d t o u s e .

1 . 8 . 1 P r o b l e m s

• S o l v e t h e e q u a t i o n

xy

= y + √xy.

•S o l v e t h e e q u a t i o n y =

y − 2xy2

3x2y − 2x.

• S o l v e t h e e q u a t i o n xy = y +√

x.

•S o l v e t h e e q u a t i o n y − 1 = y2 + x3 + x3y2 .

• S o l v e t h e e q u a t i o n y = −4x3y2 + y

2x4y + x.

•S o l v e t h e e q u a t i o n y = xy3 − 6xy .

•S o l v e t h e e q u a t i o n y =

−2xy + 2x

x2 + 1

.

1 . 8 . 2 S o l u t i o n s

•S o l v e t h e e q u a t i o n xy = y +

√xy .

◦S t e p 1 : T h e t w o s t a n d a r d f o r m s a r e y =

y

x+

y

xa n d (−y − √

xy) + xy = 0. T h e e q u a t i o n i s n o t

s e p a r a b l e o r r s t - o r d e r l i n e a r .

◦S t e p 2 : W e g o d o w n t h e l i s t a n d r e c o g n i z e t h a t y =

y

x+

y

xi s a h o m o g e n e o u s e q u a t i o n .



◦S e t t i n g v = y/x ( w i t h y = vx a n d y = xv + v ) y i e l d s xv =

√v .

◦ T h i s e q u a t i o n i s s e p a r a b l e : w e h a v e

´ dv√v

=´ 1

xdx h e n c e 2v1/2 = ln(x) + C , s o v =

ln(x)

2+ C

2

.

◦ S o l v i n g f o r y g i v e s y = x

ln(x)

2+ C

2

.

◦N o t e : T h e e q u a t i o n i s a l s o o f B e r n o u l l i t y p e , a n d c o u l d b e s o l v e d t h a t w a y t o o . O f c o u r s e , i t w i l l g i v e

t h e s a m e a n s w e r .

• S o l v e t h e e q u a t i o n y =y − 2xy2

3x2y − 2x.

◦S t e p 1 + 2 : T h e o t h e r s t a n d a r d f o r m i s (2xy2 − y) + ( 3x2y − 2x) y = 0 . T h e e q u a t i o n i s n o t s e p a r a b l e o r

l i n e a r , n o r i s i t h o m o g e n e o u s o r B e r n o u l l i .

◦ S t e p 3 : W e h a v e M = 2xy2 − y a n d N = 3x2y − 2x s o M y = 4xy − 1 a n d N x = 6xy − 2.

◦S t e p 4 : W e n e e d t o l o o k f o r a n i n t e g r a t i n g f a c t o r , b e c a u s e M y = N x . W e h a v e

M y − N xN

=−2xy + 1

3x2y − 2x,

w h i c h i s n o t a f u n c t i o n o f x a l o n e . N e x t w e t r y

N x − M yM

=2xy − 1

2xy2 − y=

1

y, s o t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r i s

I (y) = e

´ 1ydy

= y .

◦S t e p 5 : T h e n e w e q u a t i o n i s (2xy3 − y2) + (3x2y2 − 2xy) y = 0. T a k i n g t h e a n t i - p a r t i a l o f t h e n e w

M w i t h r e s p e c t t o x g i v e s F (x, y) = x2y3 + xy2 + f (y), a n d c h e c k i n g s h o w s t h a t f (y) = 0. H e n c e t h e

s o l u t i o n s a r e x2y3 + xy2 = C .

•S o l v e t h e e q u a t i o n xy = y +

√x.

◦S t e p 1 : T h e t w o s t a n d a r d f o r m s a r e y =

y

x+

1√x

a n d (−y − √x) + xy = 0 . T h e e q u a t i o n i s r s t - o r d e r

l i n e a r .

◦ R e w r i t e i n t h e u s u a l r s t - o r d e r l i n e a r f o r m y − (x−1)y = x−1/2.

◦ W e h a v e t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r I (x) = e´ −x

−1 dx = e− ln(x) = eln(x

−1) = x−1

.

◦ T h u s t h e n e w e q u a t i o n i s x−1y − x−2y = x−3/2.

◦ T a k i n g t h e a n t i d e r i v a t i v e o n b o t h s i d e s y i e l d s x−1y = −1

2x−1/2 + C , s o y = −1

2x1/2 + Cx .

• S o l v e t h e e q u a t i o n y − 1 = y2 + x3 + x3y2 .

◦S t e p 1 : A d d i n g 1 a n d t h e n f a c t o r i n g t h e r i g h t - h a n d s i d e g i v e s y = (y2 + 1)(x3 + 1) . T h i s e q u a t i o n i s

s e p a r a b l e .

◦S e p a r a t i n g i t g i v e s

y

y2 + 1= x3 + 1.

◦ I n t e g r a t i n g y i e l d s

´ dy

y2 + 1=

´ (x3 + 1) dx, s o tan−1(y) = x4

4+ x2

2+ C . T h e n y = tan

x4

4+ x2

2+ C

.

• S o l v e t h e e q u a t i o n y = − (4x3y2 + y)

(2x4y + x).

◦ S t e p 1 + 2 : T h e o t h e r s t a n d a r d f o r m i s (4x3y2 + y) + (2x4y + x) y = 0 . T h e e q u a t i o n i s n o t s e p a r a b l e o r

l i n e a r , n o r i s i t h o m o g e n e o u s o r B e r n o u l l i .

◦ S t e p 3 : W e h a v e M = 4x3y2 + y a n d N = 2x4y + x s o M y = 8x3y + 1 a n d N x = 8x3y + 1.

◦ S t e p 4 : N o i n t e g r a t i n g f a c t o r i s n e e d e d s i n c e M y = N x .



◦S t e p 5 : T a k i n g t h e a n t i - p a r t i a l o f M w i t h r e s p e c t t o x g i v e s F (x, y) = x4y + xy + f (y) , a n d c h e c k i n g

s h o w s t h a t f (y) = 0. H e n c e t h e s o l u t i o n s a r e x4y2 + xy = C .

•S o l v e t h e e q u a t i o n y = xy3 − 6xy .

◦ S t e p 1 : T h e e q u a t i o n i s o f B e r n o u l l i t y p e w h e n w r i t t e n a s y + 6xy = xy3 .

◦M u l t i p l y b o t h s i d e s b y

−2y−3

t o g e t

−2y−3y

−12

xy−2 =

−2x.

◦ M a k i n g t h e s u b s t i t u t i o n v = y−2w i t h v = −2y−3y

t h e n y i e l d s t h e l i n e a r e q u a t i o n v − 12

xv = −2x.

◦ T h e i n t e g r a t i n g f a c t o r i s e´ −(12/x) dx = e−12ln(x) = x−12

.

◦T h e n e w e q u a t i o n i s x−12v − 12x−13v = −2x−11

.

◦T a k i n g t h e a n t i d e r i v a t i v e o n b o t h s i d e s y i e l d s x−12v =

1

5x−10+C , s o v =

1

5x2+Cx12

a n d y =

1

5x2 + Cx12

−

• S o l v e t h e e q u a t i o n y = −2xy + 2x

x2 + 1.

( m e t h o d # 1 )

◦S t e p 1 : T h e e q u a t i o n i s s e p a r a b l e , s i n c e a f t e r f a c t o r i n g w e s e e t h a t y = − 2x

x2 + 1(y + 1).

◦S e p a r a t i n g a n d i n t e g r a t i n g g i v e s

´ dy

y + 1= − ´ 2x

x2 + 1dx, s o t h a t ln(y + 1) = − ln(x2 + 1) + C .

◦E x p o n e n t i a t i n g y i e l d s y + 1 = e− ln(x2+1)+C =

C

x2 + 1, s o y =

C

x2 + 1− 1 .

( m e t h o d # 2 )

◦ S t e p 1 : T h e o t h e r s t a n d a r d f o r m i s (2xy + 2x) + (x2 + 1)y = 0 .

◦S t e p 3 : W e h a v e M = 2xy + 2x a n d N = x2 + 1 s o M y = 2x a n d N x = 2x.

◦S t e p 4 : W e h a v e

M y = N x, s o t h e e q u a t i o n i s e x a c t .

◦S t e p 5 : T a k i n g t h e a n t i - p a r t i a l o f M w i t h r e s p e c t t o x g i v e s F (x, y) = x2y + x2 + f (y), a n d c h e c k i n g

s h o w s t h a t f (y) = 1 s o f (y) = y . H e n c e t h e s o l u t i o n s a r e x2y + x2 + y = C .

◦ N o t e o f c o u r s e t h a t w e c a n s o l v e f o r y e x p l i c i t l y , a n d w e o b t a i n e x a c t l y t h e s a m e e x p r e s s i o n a s i n t h e

o t h e r s o l u t i o n .

W e l l , y o u ' r e a t t h e e n d o f m y h a n d o u t . H o p e i t w a s h e l p f u l .

C o p y r i g h t n o t i c e : T h i s m a t e r i a l i s c o p y r i g h t E v a n D u m m i t , 2 0 1 2 . Y o u m a y n o t r e p r o d u c e o r d i s t r i b u t e t h i s m a t e r i a l

w i t h o u t m y e x p r e s s p e r m i s s i o n .

first order diffeq

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