física da computação e da informação ivan s. oliveira & roberto s. sarthour grupo de...
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Física da Computação e da Informação
Ivan S. Oliveira & Roberto S. Sarthour
Grupo de Computação Quântica por RMN
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Bibliografia
• Quantum Computation and Quantum Information, M.A. Nielsen e I.L. Chuang (Cambridge Press 2002)
• The Physics of Quantum Information, D. Bouwmeester, A. Ekert e A. Zeilinger (Springer 2001)
• Explorations in Quantum Computing, C.P. Williams e S.H. Clearwater (Springer & Telos 1998)
• Feynman Lectures on Computation
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Breve Histórico 1854 – George Boole - “An investigation into the laws of thought, on which arefounded the mathematical theories of logic and probabilities”.
1938 – Claude Shannon – “A symbolic analysis of relay and switching circuits”.
1936 – Alan Turing – “On computable numbers, with an application to the entscheidungsproblem”.
1948 – Claude Shannon – “A mathematical theory of communication”
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Tecnologia Revolucionária
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Computação “Matemática”1928 – David Hilbert – “Existe algum procedimento puramente“mecânico” capaz de resolver qualquer problema matemático?”
1936 – Turing – “Sim, existe. UmaMáquina de Turing!”
Máquinas de Turing
1. Uma fita infinita, dividida em células;2. Uma cabeça de leitura e gravação;3. Um conjunto de símbolos que formam
um alfabeto;4. Um conjunto de instruções que
especificam as ações e os estados da máquina.
0 1 1 0 0 1
Um computador moderno é uma realização física de uma máquina de Turing. Não há nenhum
problema conhecido que seja solucionável em um computador real,e que não possa ser resolvido em uma máquina de Turing!
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Quanto é 3 + 5?Alfabeto: {*, <espaço>}
Representação: 3 = ***, 5 = *****
Entrada: *** *****
Estados da máquina
Ação para leitura = *
Ação para leitura = esp.
1 MOVER PARA A DIREITA. PERMANECER EM 1
ESCREVA * E VÁ PARA 2
2 MOVER PARA A DIREITA. PERMANECER EM 2
VOLTAR UMA CÉLULA E IR PARA 3.
3 APAGAR E PARAR
Resultado = ******** = 8
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Chaves (ou portas) Lógicas
CONTROLE
ALVO
CONTROLE ALVO SAÍDA
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
SAÍDA
RESULTADO IMPORTANTE: QUALQUER AÇÃOCOMPUTACIONAL PODE SER CONSTRUÍDA A PARTIR DEUM CONJUNTO UNIVERSAL DE CHAVES LÓGICAS!
AND, OR e NOT formam um conjunto universal de chaves lógicas.NAND (sozinha) forma outro conjunto.
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Chaves lógicas - 2
MEIO-SOMADOR
SOMADOR INTEIRO
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Termodinâmica, Estatística e Conhecimento
“Durante muito tempo a computação foi considerada uma área da matemáticapura. Porém, computadores são objetos físicos e consequentemente estão
sujeitos às leis da Física. São as leis da Física que dizem o que computadorespodem ou não fazer, e não regras matemáticas.”
David Deutsch
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Estatística de 4 Moedas
6/16 = 3/8
4/16 = 1/4 4/16 = 1/4
1/16 1/16
116
12
4
12
8
3
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Informação e Entropia
k
kk ppS )(log2
Entropia é a grandeza física ligada à informação.
Definição de Shannon:
Para o caso das moedas:
03,216
1log
16
12
4
1log
4
12
8
3log
8
3222
S
Este número é a quantificação da ignorância!
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Exemplo...
12
1log
2
1
2
1log
2
12
1
22
S
pp coroacara
Entropia associada a um jogo de cara-ou-coroa com uma moeda não-viciada:
Se a moeda for tendenciosa:
)2ln(
21
)2ln(
21
2
1log
2
1;
2
1
2
2
S
pp coroacara
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Entropias e mais Entropias
yx
yxpyxpYXS,
)],(log[),(),(
)(),()|( YSYXSYXS
Sejam X e Y variáveis aleatórias com distribuição de probabilidades p(x,y). Define-sea entropia conjunta de X e Y como:
A entropia conjunta mede a incerteza sobre o par (X,Y). Se S(Y) é a entropia relacio-nada somente à Y, define-se a entropia condicional S(X|Y) como:
Medida da informação sobre X, condicio-nada à informação sobre Y.
E a informação mútua S(X:Y) :
),()()():( YXSYSXSYXS Medida da informação comum a X e Y.
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Propriedades e mais Propriedades
)():()1 YSYXS
),()()2 YXSXS
)()(),()3 YSXSYXS
A informação comum a X e Y não pode ser maiordo que a informação sobre Y (ou X).
A incerteza sobre X não pode superar a incertezasobre X e Y.
A desinformação sobre o par não pode superara soma das desinformações individuais.
Consequentemente:
0):(),()()()4 YXSYXSYSXS
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Termodinâmica e EntropiaEntropia é a grandeza física ligada à desordem.
Entropia alta Entropia baixa
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Reversibilidade e EntropiaEntropia é a grandeza física ligada à reversibilidade e
fluxo de calor.
TA
TB
Q
0
BA
BB
AA
BA
SS
T
QS
T
QS
T
QS
TT
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Informação e Entropia 2O aumento de entropia corresponde à perda de informação.
Entropia altaEntropia baixa
Entropia baixa Entropia alta
“2 + 2” tem mais informação do que “4”!!
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Estatística, Entropia e Termodinâmica
k
kkB ppkS )ln(
k
TkE
TkE
k Bk
Bk
e
ep /
/
E0
E1
E2
En-1
En
pk = probabilidade de que um nível “k” esteja ocupado.
TSUA
Maximização
Termodinâmica
BOA TARDE, ATÉ AMANHÃ!
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Resumo 1. Computadores são realizações físicas de máquinas de Turing. Não existe
problema que possa ser resolvido em um computador, que não possa também o ser em uma máquina de Turing;
2. Portas lógicas são operações sobre bits. Qualquer operação lógica pode ser decomposta na ação de um conjunto de portas lógicas universais;
3. A representação física de bits e circuitos lógicos torna os computadores sujeitos às leis da Física.
4. A entropia é a quantidade física ligada à informação e também à ordem dos sistemas termodinâmicos. Entropia alta significa desordem e falta de informação.
5.A Física Estatística dá uma fundamentação microscópica para a termodinâmica. A partir do princípio da maximização da entropia (para sistemas em equilíbrio) deriva-se as funções termodinâmicas a partir de considerações microscópicas sobre o sistema.
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Computação, Reversibilidade e Entropia
Perda de bits = perda de informação => aumento de
entropia => irreversibilidade.
No. de bits se conservainformação se conserva reversibilidade.
A computação clássica é IRREVERSÍVEL!
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1973...um ano importante para a computação
Naquele ano, um físico da IBM (Charles Bennett) demonstrou ser possível implementar a computação clássica com operações inteiramente reversíveis.A conseqüência mais importante deste resultado foi o surgimento da Computação Quântica!
Porta de Toffoli
a
b
c
a’
b’
c’
a b c a’ b’ c’0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 10 1 0 0 1 01 0 0 1 0 00 1 1 0 1 11 0 1 1 0 11 1 0 1 1 11 1 1 1 1 0
A porta NANDé uma porta
clássica universal
É possível fazer computação
clássica reversível!
TRANSFORMAÇÕES UNITÁRIAS EM MQSÃO OPERAÇÕES REVERSÍVEIS. AQUI APARECEA NOÇÃO DE COMPUTAÇÃO QUÂNTICA!
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1871 - O Demônio de Maxwell viola Segunda Lei da Termodinâmica?!
TA = TB TA < TB
ENTROPIA MÁXIMA ENTROPIA MENOR
Entropia diminui sem realização de trabalho!?
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1961 – O Princípio de Landauer
Até aquele ano, acreditava-se que qualquer ação computacional exigia gasto de energia. Rolph Landauer, também da IBM, mostrou que não! O que gasta energia é o ato de apagar informação!
)2log(
)2log(
B
B
kS
TkE
Energia mínima para apagar 1 bit.
Aumento mínimo na entropia ao seapagar 1 bit.
Charles Bennett usou o Princípio de Landauer para, em 1987, resolver o problema do demônio de Maxwell, pondo fim a mais de 100 anos de discussão!O demônio precisa apagar informação na sua memória sobre a energia dasMoléculas, e isso aumenta a entropia!
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Fenômenos Naturais como processos Computacionais
entrada
processamento
saída
Computação Física
computador sistema
computação experimento
entrada estado inicial
programa leis da física
saída estado final
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Mecânica Quântica para pedestres...
Ettt
etcr
MmG
kdt
dm
),(),(),(
.,
;
3
2
2
Lpr
rF
rF
rF
Mecânica clássica: Mecânica Quântica:
nnn
iHt
tct
tOttO
et
VTH
tHt
ti
)()(
)()()(
)0()(
)()(
/
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Limites físicos da computação - 1
μμ dt
d
01
10
2
1
2
1)(
H
IBH
H
xx
BIBμ
Iμ
2
1E
1. Qual o tempo mínimo para inverter 1 bit de informação?
B
Equação clássica de movimento
Aqui vamos nós...
Autoenergias:
t
htE
E
2
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Limites físicos da computação – 2
2
12
1
10
01
2
1
1
0
0
1
x
z
Z
I
I
I
x
ti
tHi
tiI
tt
etetx
2sin
2cos)(
)()( 20
A cozinha quântica
t
t
22
Evolução
Tempo mínimo para inverter 1 bit:
O tempo mínimo para inverter1 bit é aquele dado peloPrincípio de Incerteza
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Limites físicos da computação – 3
Hzh
mc
t
htE
mcE
502
2
101
2
Laptop “supremo”: 1 kg de massa confinada em um volume de 1 litro.
1) Limite de velocidade: 2) Limite de memória:
bitsk
VESI
B
3110)2ln(
),(
O laptop supremo opera com Uma velocidade de 1050 operações lógicas por segundo, em 1031 bits.
Energia: grandeza física associada à velocidade de processamento.Entropia: grandeza física associada à capacidade de memória.
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Computador-Buraco Negro (socorro!)
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A Lei de Moore - 1
Ano da publicação!
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Modelo do processador
Ano do lançamento
Número de transistores
4004 1971 2 250
8008 1972 2 500
8080 1974 5 000
8086 1978 29 000
Intel 286 1982 120 000
Intel 386 1985 275 000
Intel 486 1989 1 180 000
Pentium 1993 3 100 000
Pentium II 1997 7 500 000
Pentium III 1999 24 000 000
Pentium 4 2000 42 000 000
Lei d
e M
oore
- 2
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Lei de Moore - 3
CLÁSSICO QUÂNTICO!
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1973 – Charles Bennett: computação (clássica) reversível;1982 – Paul Benioff: computador quântico; 1984 – Protocolo BB84;1985 - David Deutsch: uso do paralelismo quântico para resolver problemas matemáticos rapidamente;1994 - Peter Shor: fatoração de números grandes em tempo polinomial;1996 – Primeiro teste experimental do BB84 sobre 23 km;1997 - Lov Grover: algoritmo de busca em tempo quadrático;1997 - Neil Gershenfeld & Isaac Chuang: uso da RMN em CQ; - Teleporte com fótons;1998 - Jones & Mosca: primeira demonstração experimental do algoritmo de Deutsch com RMN; - Chuang, Gershenfeld e Kubinec: demonstração experimental do algoritmo de Grover por RMN; - Nielsen, Knill e Laflamme: demonstração do teleporte quântico usando RMN;2001 - Vandesypen, Chuang e outros: demonstração do algoritmo de Shor por RMN;2002 - Novas propostas para elevar o número de q-bits acima de N = 100!2004 – Teleporte com átomos.
H
I
S
T
Ó
R
I
A
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Computação Quântica: novos recursos computacionais
0 0
1
• Princípio Fundamental: estados quânticos podem existir em superposições deautoestados.
1
1
2/2
000001111110011001011
2
10
N