Proceedings of the seminar to the course

Mecânica Quântica Aplicada

SFI5774 / 2021-1

Ph.W. Courteille (editor)Universidade de São Paulo

Instituto de Física de São Carlos13/07/2021

.

1

Contents

1 Schrödinger’s cat por Aline Sanches Perez 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 The Schrödinger cat paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Beyond Schrödinger’s cat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Schrödinger’s cat state in the laboratory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4.1 Wigner functions of experimentally measured cat states . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 The quantum jump, its history and observation por Camila Aparecida Antunes 62.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Saltos quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.1 Interpretação de Copenhagen x Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Observação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4.1 Medição quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.2 Sistema de três níveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4.3 Primeira observação dos saltos quânticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4.4 Novos resultados? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 The Einstein-Podolski-Rosen hypothesis and its experimental falsification por João VitorBevilacqua de Souza Merenda 123.1 Historical Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 The EPR paradox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Overview . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2 Electron-Positron system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Bell’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.4 Experimental falsification of EPR hypothesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4.1 A short timeline of Bell experiments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4.2 Aspect’s experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Equações de Bloch: derivação e interpretação por Julia Marcolan Teixeira 184.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Operador de densidade e equações de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Evolução temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Sistema em equilíbrio termodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.5 Ressonância Magnética Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.5.1 Princípios da RMN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.5.2 Evolução temporal do momento magnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.5.3 Valores esperados para o vetor de magnetização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.5.4 Aplicação de um pulso de radiofrequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.5.5 Inclusão fenomenológica dos termos de decaimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2

4.6 Imagens por ressonância magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Geometric phases and the Aharonov-Bohm effect por Lucas Gabriel Rabelo 245.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245.2 Berry phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.2.1 Magnetic analogy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.3 Aharonov-Bohm effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.3.1 Experimental evidences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3.2 Consequences and interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

5.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 The Jaynes-Cummings model por Matheus Fernandes Sousa Lemes 306.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2 The model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.2.1 Two-level atom Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306.2.2 Electromagnetic field Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.2.3 Interaction Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.3 Theoretical predictions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316.3.1 Rabi splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3.2 Vacuum Rabi oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.3.3 Collapse and revival of probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6.4 Experimental verification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4.1 Artificial cQED with qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346.4.2 Rydberg atoms in a superconducting microwave cavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

7 O efeito Stark quadrâtico e dinâmico por José Yitzhak Aarón Chacaliaza Ricaldi 367.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.2 Contexto histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.3 Background teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.3.1 Expansão multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.3.2 Teoria de perturbação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7.4 Efeito Stark quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.5 Efeito Stark dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 A condensação de Bose-Einstein por Matheus Aryel Nalio Andrade 418.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.1.1 Aspectos básicos do condensado de Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418.2 Sequência experimental e temporal do sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

PrefaceEstes anais (ou proceedings) reúnem as monografias elaboradas pelos alunos do curso de Mecânica QuânticaAplicada (SFI5774), realizado no Instituto de Física de São Carlos da Universidade de São Paulo durante oprimeiro semestre de 2021 sob supervisão do Prof. Ph. W. Courteille.

0

1

Schrödinger’s catAline Sanches PerezInstituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, 13560-970 São Carlos, SP, Brazil

Resumo:Coherent superposition of microscopic particles

is a phenomenon well understood within the theoryof quantum mechanics. However, there is a specialcase where macroscopic particles also can be in asuperposition state. The limits between the relationof the classical and the quantum worlds are welldescribed by Schrödinger’s cat paradox. Here, wedescribe the idea behind this paradox, followed byan example of Schrödinger’s cat state realisation inthe laboratory.

1.1 Introduction

The beginning of a big revolution in Physics oc-curred at 1900 with Max Planck paper called “Onthe Theory of the Energy Distribution Law of theNormal Spectrum” which proposed an explanationfor thermal radiation emitted from blackbodies. Inthis paper, Planck introduced an important con-stant in quantum physics, the so called Planck’sconstant (h), whose most important idea residesin the discrete quantization of nature [1]. Thisis a completely new idea, but it was just the be-ginning and many other physicists, just to namea few - Einstein, Schrödinger, Pauli, Dirac, Bohrand de Broglie, contributed with it development.Many questions were answered, but so many othersemerged. Despite many advances in Quantum Me-chanics that is not completely clear why the quan-tum and the classical world behave so differently. Ifwe take, for example, the double slits experimentwith microscopic particles which can pass througha double-slits, producing bright and dark bands onthe screen (Figure 2.1). The bright bands (greylines) are formed due constructive interference ofthe electrons; in contrast the dark bands (whitelines) are due destructive interference. The debateover whether light is a wave or a particle goes back

many centuries. In 1801, Thomas Young had pub-lished his paper: “On the theory of light and color”to the Royal Society. In this paper, he describedinterference of light waves and the slit experimentand also presented an analogy with sound wavesand with water waves, and even developed a demon-stration wave tank to show interference patterns inwater. In that point, part of the academy did notaccept the Young demonstration due the strong in-fluence of Newton’s work. However, about a hun-dred years later, it was realized that light could infact show behavior characteristic of both waves andparticles.

Figure 1.1: Representation of double-slit ex-periment. An electron source emits elec-trons which pass though the double-slit anddue diffraction and interference, bright anddark bands are formed on the screen. Im-age from: https://en.wikipedia.org/wiki/Double-slit experiment.

In a modern interpretation to this experiment,the electron is an entity that behaves as matterwaves - even when a single electron is emitted it caninterfere with itself. However, the momentum andposition of this particle cannot be simultaneouslydetermined simultaneously and not even distinguishthem - Heisenberg Uncertainty Principle. Althoughthere is no parallel with classical mechanics, we areused to accepting the fact that microscopic particles

1

also behave as a wave and exhibit a totally differ-ent characteristic than classical ones. According toQuantum Mechanics Theory the world is dividedinto microscopic and macroscopic particles. But,for how long can we treat these worlds separatelyand independently once macroscopic objects are es-sentially formed by microscopic ones?

In 1935, the Austrian physicist Erwin RudolfJosef Alexander Schrödinger proposed a thoughtexperiment with a macroscopic object, to discussthe idea of superposition states of microscope parti-cles, the so called Schrödinger cat experiment. Thisthought experiment operates at the interface be-tween the classical and the quantum world. Thepurpose here is to present the two most commoninterpretation of the thought experiment proposedby Schrödinger. Finally, this study will describe theidea behind the paradox, followed by an example ofSchrödinger’s cat state realisation in the laboratory.

1.2 The Schrödinger cat para-dox

Schrödinger’s cat experiment consists in a catplaced in a box where a Geiger counter (detector)with a tiny amount of radioactive element, whichatoms can decay in an hour within equal probabil-ity (Figure 2.2).

Figure 1.2: Illustration of Schrödinger’s mental ex-periment. A cat in a box has 50% of chance to livingand 50% of chance to dead. The outcome depend-ing of the radiative atom decay, which can trigger ahammer that will break the recipient poison insidethe box.

If the atom of this element decay, a hammer isthrown and a container of cyanide is broken insidethe chamber. Finally, if one has left this systemevolve for an hour, there will be two possibilities:if the atom decayed, then the cat is dead or if noatom decayed, the cat is living [2]. Thus the wavefunction (Ψ) of the cat at the end of one hour can

be written:

Ψ =1

2(Ψalive + Ψdead) (1.1)

This equation describes the linear combinationof two pure possible states ( Ψalive and Ψdead ),so before the measurement, the cat is neither alivenor dead. Now, if you check the chamber and theatom decayed then you killed the cat, not becauseyou emitted the radiation but because you verifiedthe cat state. The intriguing about this idea is toconsider a cat instead of an electron which can bein a linear combination of two states. This para-dox scenario emphasizes the contrast between clas-sical and quantum systems and its ambiguity of theboundary between them in the usual interpretationof measurement in quantum mechanics. Interest-ing to note that Schrödinger has never seen experi-mental proof of his paradox, this measurement tooksome time to be realized due to technical issues. Itis also clear that in the quantum world the observeris somehow interfering in the results of an exper-iment. This paradox demonstrates a conflict be-tween the existence of quantum superpositions andour real-world, represented by the cat, experienceof observation and measurement. However, whatis happening with the cat before the measurementresult? We say that the cat is in a superpositionstate. But, the point is: the equation (1) is notsaying that the cat is alive and dead at the sametime, it is just indicating that the pure state aliveand the pure state dead are a linear combination.The physical interpretation for this equation is stillwidely discussed today, for some the cat exists inboth states simultaneously and for others we cansay nothing about the existence of the cat beforethe measurement is finished.

1.3 Beyond Schrödinger’s catAlmost a decade after their cat state article,Schrödinger published the book “What is life?”where he talked about the existence of fundamen-tal physics laws which drives the living organismsand how much physicists could contribute to biol-ogy. He was fascinated by the fact that complex or-ganisms exhibit such atomic stability even when in-numerable external disturbances are constantly hit-ting them. One of the interesting points highlightedby Schrödinger, in this book, is the typical size ofa gene and, therefore, the number of atoms it canhave does not satisfy the law of large numbers –which law allows atomic stability in big living sys-tems. This means that the behavior of the atoms in

2

the gene (and of the gene itself) cannot be predictedby any regular law of physics or chemistry, that is,they are completely random movements. However,a better understanding of the stability of molecules,such as deoxyribonucleic acid (DNA), although withrelatively few atoms, only occurred with the devel-opment of quantum mechanics in the 20th century.

The Schrödinger argument is that the naturestudied by requirements follows the law of statistics:order from disorder. Living organisms, in contrast,follow a law of order based on order. With differentpremises, it is natural to expect the laws of the twoprocesses to be totally different. In his words:

“It is a simple observational fact that theguiding principle in every cell is embodiedin a single atomic association that exists inonly one, ... copy and it is also an observa-tional fact that the principle results in theproduction of events that are a paradigmof order. Whether we find it astonishingor plausible that a small but highly orga-nized group of atoms would be able to actin this way, the situation is unprecedentedand unknown anywhere other than livingmatter. The physicist and chemist, inves-tigating inanimate matter, have never wit-nessed phenomena that needed to be inter-preted in this way.”

In short, about the indeterminacy of quantummechanics there are three plausible positions:

1. Realistic : quantum mechanics is regarded asan incomplete theory, in such a way that themicroscopic particle indeterminacy is not a nat-ural fact, but an ignorance of the observer –Einstein advocated the realist position;

2. Orthodox : the so-called Copenhagen inter-pretation claims that any observation was dis-turbing the measurement, so the quantum the-ory is complete, but there is something in thenature of the quantum world that impedes thecomplete description of the system;

3. Agnostic : basically refuse to answer, becausefor the agnostic what happens before the mea-surement is something that cannot be tested,consequently there is no sense in answer aboutthe real position of the quantum particles.

1.4 Schrödinger’s cat state inthe laboratory

Schrödinger’s cat state can be very difficult to beobserved in the laboratory, because it can be verysensitive to dissipation which can converts a catstates into statistical mixtures [4]. Schrödinger-cat states can be prepared deterministically for mi-crowave fields and oscillation fields of a trappedion, but there is also the possibility to produce itusing optical pulses. In a relatively recent exper-iment, Hacker et al. (2019), develop an opticalapproach to create cat state using a laser [5]. Inthat study, they produce an entanglement betweena mesoscopic pulse of light and a single 87Rb atominside a cavity (Figure 2.3). The light is a superposi-tion of two coherent states with opposite phase thatwe engineer by means of a suitable measurement onthe atom.

Figure 1.3: Representation of Rubidium (isotope)in equal superposition of the interaction on and offstates and then detected in a superposition basis ofthese two states, the reflected light pulse will be cor-respondingly prepared into an equal superpositionof the classically distinct states — the cat state.

The cat state generation protocol is divided infive steps: i) the isotope rubidium is prepared inthe state |↑〉 - the atom acts as a three-level systemconsisting of the two ground states, |↓〉 , |↑〉 and anexcited state |e〉. Besides that, the atom in state|↑〉 is strongly coupled to the fundamental mode ofthe cavity. ii) A laser pulse (780 nm) is appliedto generate an equal superposition state which isdescribed by:

Ψ =1√2

(|↑〉+ |↓〉 (1.2)

Then a coherent pulse is produced with an arbitraryamplitude α, and reflected from the cavity,

|α〉 = e−|α|2/2∞∑n=0

(αn/√n!)|n〉 (1.3)

where |n〉 are Fock states. This creates a phase shift

3

that depends on the state of the atom:

|↑〉 |α〉 → |↑〉 |α〉 and |↓〉 |α〉 → |↓〉 |−α〉 (1.4)

iii) Then, after the reflection, the state obtained isdescribes by an entangled state of the atom and thelight field. With the initial state of the light field,|α〉, being classical, the entangled atom-light stateis the cat state. iv) A subsequent rotation prepares:

1

2[|↑〉 (|α〉 − |−α〉) + |↓ 〉(|α〉+ |−α〉)〉] (1.5)

v) Finally, the atomic state is detected, whichprojects the optical part onto the even or the oddcat state. The figure (2.4) outlines all steps (1-5)described here.

1.4.1 Wigner functions of experi-mentally measured cat states

If the incoming optical pulse is resonant with thecavity, it will enter the cavity and then leave by thesame mirror, and in that moment the optical pulsewill define an extra phase shift of radians. If theincoming pulse is thus no longer resonant with theshifted cavity mode it can be reflected back by thecavity mirror and undergo no phase shift. In this ap-proach one of the mirrors has higher transmissivitythan the other, in such a way that the optical fieldenters and leaves the cavity dominantly through thismirror (Figure 2.3). The optical cavity is basicallycomposed of two highly reflective mirrors betweenwhich an optical field bounces back and forth manytimes and thus interacts strongly with the singleatom trapped between them. When the interactionoccurs between the cavity and the atom, we say thatthe atom mode can be turned on and off. To cre-ate cat states, in other words, to generate quantumsuperposition of these classically distinct states, wecan put the atom in the cavity in an equal super-position off in the experiment by putting the atomin different internal states, for more details consultref. [4]. Wigner functions, which is a way to fullycharacterize the quantum state of an optical field ,ofan even (left) and an odd (right) cat state with α=1.4 which was obtained when the atom is |↓〉 and |↑〉(Figure2.5A).The characteristic Wigner functions isobserved (Figure 2.5B) with two Gaussian peaksand interference fringes in the center that encodethe coherent nature of the superposition state.

The Wigner function gives the probability distri-bution of the optical field and the relative phaseinformation between different superposition compo-nents. Even or odd Schrödinger-cat states have

Figure 1.4: (1) The atom is prepared to receive thepulse; (2) then it is bringing in superposition – equa-tion 2.2; (3) the coherent state |α〉 is reflected fromthe cavity creating the entangled state equation 2.4;(4) one more rotation is applied leading to equation2.5; (5) finally the detection of the even or the oddstate is done, its presented by Wigner functions [5].

characteristic features which are unambiguouslyverified in the experiment. Then, the even cat statesare squeezed, meaning that the uncertainty of oneof the field quadratures is smaller than for any clas-sical state.

4

Figure 1.5: A) Wigner functions of an even (left)and an odd (right) cat state with α=1.4. B) Theeven cat state displays a local maximum and theodd cat state a local minimum at the center of theWigner distribution. Image from Hacker, B. et al.Nat. Photon. https://doi.org/10.1038/s41566-018-0339-5 (2019).

1.5 Conclusion

Here, the coherent state is simulating the macro-scopic element in Schrödinger’s cat mental experi-ment, it is a classical-like state, but the superpo-sition of the two has many nonclassical properties.Too many progress has been occurring in this field,despite it is still difficult observe cat state superpo-sition in the laboratory due its particularities. How-ever, there is some application of this special statewhich is used in an open quantum-communicationand distributed quantum-networking architecturecould benefit from cat states that propagate oversome distances, in addition, optical cats as quan-tum bits (which is the basic unit of quantum infor-mation) could therefore be a promising alternativeto single photons for quantum communication in afuture quantum internet. [6,7,8].

Bibliografia

[1] R. Eiberg Física quântica . GEN LTC, SãoPaulo, 1979.

[2] Schrödinger, E. Die gegenwartige Situation inder Quanten- mechanik . Naturwissenschaften,48, 52, 1935.

[3] Cairns J., Stent G.S., and Watson J.D. Phageand the Origins of Molecular Biology. Cold

Spring Harbor Laboratory, Cold Spring Harbor,New York, 1966.

[4] Courteille, P. W. Quantum Mechanics applied toAtoms and Light, jun. de 2021. 1070 f. Notas deAula. Universidade de São Paulo, Instituto deFísica de São Carlos.

[5] Hacker, B., Welte, S., Daiss, S. et al. De-terministic creation of entangled atom–lightSchrödinger-cat states.. Nature Photon 13,110–115, 2019.

[6] Neergaard-Nielsen, J. S., Nielsen, B. M., Het-tich, C., Mølmer, K. and Polzik, E. S. Gener-ation of a superposition of odd photon numberstates for quantum information networks. Phys.Rev. Lett. 97, 083604, 2006.

[7] Kimble, H. J The quantum internet.. Nature453, 1023–1030, 2008.

5

2

The quantum jump, its history andobservationCamila Aparecida AntunesInstituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, 13560-970 São Carlos, SP, Brazil

Resumo: Para explicar os resultados discretosobtidos a partir de medições quânticas, em 1913Niels Bohr formulou a descrição dos saltos quân-ticos, que consistem em transições descontínuas deelétrons entre diferentes níveis energéticos atômicos.Apesar criticados, tais saltos foram observados pelaprimeira vez em 1986, consolidando o caráter dis-creto de sistemas quânticos. Em 2019 outro exper-imento reafirmou tal interpretação, mas dessa vezsob a perspectiva de medições fracas.

2.1 Introdução

Os processos de medida sempre foram importantespara a obtenção de resultados descrevendo o com-portamento da natureza. No caso da MecânicaQuântica, devido às suas previsões não usuaisquando pensadas no mundo cotidiano, tais proces-sos são um meio de esclarecer as relações entre arealidade física e aquele que a observa, e como a ob-servação de um sistema pode influenciar seu com-portamento [1].

Na tentativa de descrever os processos de medi-das e o comportamento do sistemas quânticos, difer-entes formulações foram elaboradas. Dentre elas a‘interpretação de Copenhagen’, desenvolvida por N.Bohr e W. Heisenberg, foi muito importante para oentendimento atual do mundo. Apesar de ter sidocriticada por vários cientistas, como E. Schrödinger,tal interpretação foi responsável pela descrição doschamados saltos quânticos, um fenômeno impor-tante para o entendimento do processo de medida edo comportamento dos elétrons dentro de átomos.

Os saltos quânticos vieram a ser detectados ex-perimentalmente apenas décadas depois de sua de-scrição teórica graças ao advento dos lasers, e a in-terpretação de Copenhagen desse fenômeno ainda é

a mais aceita nos dias de hoje.Tendo em vista a importância dos saltos quânti-

cos e sua detecção no entendimento e interpretaçãodos fenômenos quânticos, este trabalho tem comofoco explicar seu funcionamento, bem como suahistória e detecção. Para isso, a monografia divide-se em três partes. A primeira, apresenta uma brevedefinição do que são os saltos quânticos, a segundadiscorre sobre o surgimento da ideia de tais saltose duas interpretações divergentes do fenômeno detransições energéticas. A terceira parte possui umabreve explicação sobre o processo de medição quân-tico e como o mesmo pode ser estudado por meiode um sistema de três níveis e, finalmente, expõeo primeiro trabalho publicado descrevendo a obser-vação dos saltos quânticos em um único átomo, eum experimento recente realizado com um átomoartificial que descreve a transição realizada por umsalto quântico a partir de medições fracas.

2.2 Saltos quânticos

O conceito de saltos quânticos advém da ideia queelétrons em átomos saltam de maneira aleatória einstantânea de um nível energético para outro, semocupar espaços intermediários durante esse processo[3].

Essa transição pode ocorrer quando os elétronsde um átomo em um estado estacionário são per-turbados devido à incidência de um campo de radi-ação e absorvem a energia emitida por tal campo,deslocando-se para um nível mais energético queo inicial (processo de excitação), ou quando taiselétrons emitem energia devido a essa mesma per-turbação, movendo-se para um estado menos en-ergético (processo de decaimento ou emissão) [2].

Durante tais processos pode haver liberação de

6

luz, cuja energia corresponde à diferença energéticaentre os estados inicial (antes da transição) e final(após a transição).

2.3 História

A ideia da existência dos saltos quânticos teve in-ício em 1913 com Niels Bohr [4], quando o físicotentou explicar o espectro de emissão de um gás en-ergizado. Para explicar os picos de cor observadosno espectro, Bohr considerou que os níveis de ener-gia do elétron deveriam ser quantizados, ou seja, sópoderiam ter certos valores de energia e tais valoresdependeriam do átomo analisado. Desse modo, oselétrons passariam de um nível discreto de energiaà outro absorvendo ou emitindo um fóton, que cor-responderia a diferença de energia entre os níveis eessas transições seriam aleatórias.

2.3.1 Interpretação de Copenhagen xSchrödinger

Na tentativa de explicar mais detalhadamente omudança de níveis energéticos do elétron, Bohr eWerner Heisenberg formularam a chamada ‘inter-pretação de Copenhagen’. De acordo com essa in-terpretação, as transições de elétrons entre estadosquânticos discretos acontecem de maneira aleatóriae instantânea, de modo que tais elétrons se movementre dois níveis energéticos sem percorrer o espaçoentre eles. Essas transições energéticas são causadaspela interação do sistemas com o ambiente e resul-tam nos saltos quânticos.

A existência dos saltos quânticos gerou muitosdebates devido ao seu caráter probabilístico eaparentemente descontínuo. Erwin Schrödinger foium dos cientistas que discordou da existência dessefenômeno [5].

Schrödinger argumentava que tais saltos pare-ciam não naturais e não físicos, uma vez que os sis-temas quânticos seriam descritos por ondas que nãodeveriam divergir fundamentalmente da ideia clás-sica de ondas conhecida. Desse modo, os fenômenosda mecânica quântica poderiam ser explicados, comcerta aproximação, pelo fenômeno ressonância clás-sica. Nessa descrição os níveis energéticos doselétrons poderiam ser descritos como modos de vi-bração fundamentais e os elétrons ocupariam umasuperposição de modos vibracionais o que permi-tiria uma transição suave e contínua entre diferentesníveis energéticos através de tais superposições [3].

Até o ano de 1986 os cientistas não tinham sidocapazes de observar, em um único átomo, um fóton

produzido por um salto quântico. No entanto, como desenvolvimento dos lasers foi possível prender eresfriar átomos, e com isso, três diferentes experi-mentos [6, 7, 8] permitiram a observação dos saltosquânticos em um átomo pela primeira vez.

2.4 Observação

2.4.1 Medição quântica

Antes de qualquer coisa é necessário compreendercomo se dá o processo de medição de um sistemaquântico. De acordo com o postulado da reduçãodo estado quântico, formulado por John von Neu-mann, é possível descrever o processo de medida deum sistema quântico em um estado puro por meiode dois passos [1]: 1° o aparato de medida (ou me-didor) projeta o operador do estado medido em umautovetor da base do medidor, ou seja, a interaçãodo sistema quântico (ou amostra) com o medidordestrói as coerências do sistema e projeta o estadopuro em uma mistura estatística dos autoestadosdo medidor. 2° o observador realiza a leitura doaparelho de medida e obtém um dos possíveis re-sultados, que deve ser um autovalor do dispositivo.Matematicamente, tais passos podem ser descritoscomo:

ρamostra = |ψ(t)〉 〈ψ(t)|1°−→ ρproj =

∑k

| 〈ψ〉 k|2 |k〉 〈k|

2°−→ ρmedidor = |k〉 〈k| . (2.1)

De acordo com o processo descrito em (2.1), aevolução do sistema tem caráter descontínuo porquedestrói as coerências entre os estados.

Algumas características do processo de mediçãoquântico podem ser representadas a partir do es-quema de um átomo de 3 níveis, com uma transiçãofraca e uma forte. Tais transições representam aamostra quântica e o medidor, respectivamente.

2.4.2 Sistema de três níveis

A interação do sistema quântico com o medidorpode ser difícil de se explicar. No entanto, o sis-tema de três níveis representa uma simplificação quepermite estudar muitas características da medidaquântica [1]. Esse tipo de sistema é representadopor uma transição forte, que pode ser uma tran-sição de dipolo elétrico, e uma transição fraca, quepode corresponder a uma transição de quadrupolo,ambas conectadas a um mesmo estado fundamental.

7

Figure 2.1: Esquema do sistema de três níveis (S1/2,P1/2 e D5/2) com uma transição forte e uma fraca,cuja detecção é feita por um fotodetector (PM).Fonte: [1].

Se forem consideradas as transições S1/2 − P1/2

e S1/2 − D5/2 em um átomo, correspondendo àstransições forte e fraca, respectivamente (vide 2.1),quando o mesmo for excitado por um campo de radi-ação seus elétrons irão, preferencialmente, deslocar-se do estado S1/2 para o estado P1/2.

Depois de sucessivas excitações, os elétrons po-dem eventualmente realizar a transição entre P1/2 eD5/2, decaindo para o segundo estado. Uma vez nonível D5/2 os elétrons tendem a permanecer em talestado por um certo período (que pode ser de segun-dos ou até mesmo anos, dependendo do átomo emquestão), pois o mesmo é metaestável. No entanto,após esse período de tempo, o elétron decai para oestado fundamental.

Se for incidida radiação continuamente no átomo,haverão sucessivas transições entre os estados S1/2 eP1/2 emitindo fluorescência. O espelhamento dos fó-tons causados pela transição forte ocorre de maneirarápida o suficiente para que a fluorescência seja de-tectada de maneira contínua.

No entanto, quando o elétron decai para o estadometaestável e permanece nele por um certo inter-valo de tempo nenhuma fluorescência é emitida. Aodecair para o estado fundamental e saltar para o es-tado P1/2 há novamente emissão de fótons e retornoda fluorescência. As transições fortes seguidas pelasfracas geram, então, períodos luminosos e períodossem luz de maneira aleatória [1]. Tais transições cor-respondem ao chamado salto quântico e a detecçãode períodos com e sem fluorescência corresponde asua primeira observação.

2.4.3 Primeira observação dos saltosquânticos

O primeiro trabalho descrevendo a observação deum salto quântico foi publicado pelos físicos WarrenNagourney, Jon Sandberg e Hans Dehmelt [6] no1986, a partir de um experimento realizado com umíon de bário (Ba+) resfriado a laser e contido emuma armadilha de radiofrequência 1. Nesse estudofoi possível observar diretamente um salto quânticoentre os estados 62S1/2 e 52D5/2.

Aparato experimental e resultados

Assim como o modelo de três níveis descrito an-teriormente, o átomo escolhido possui dois estadosexcitados ligados a um mesmo estado fundamental,mas com taxas de transições diferentes.

O aparato utilizado no experimento consiste emum bloco de aço inoxidável com janelas e passagenseletrônicas conectadas por uma vedação de metalque permitem atingir as condições de vácuo, comoesquematizado na figura 2.2. O íon é resfriado comdois feixes de laser colineares. O laser LD490 foi re-sponsável por conduzir as transições 62S1/2−62P1/2

em 493 nm, enquanto o laser DCM é o gerador datransição 52D3/2 − 62P1/2 em 650 nm.

A excitação para o nível 52D5/2 foi feita focal-izando uma lâmpada de bário filtrada no íon. De-pois de sucessivas excitações para o nível 62P3/2

causadas pela lâmpada, o íon decai para o nível52D5/2 no qual permanece preso até decair espon-taneamente para o estado fundamental, comoilustrado na figura 2.3.

Uma vez que a lâmpada é ativada é possível verpelo diagrama 2.4 que a fluorescência detectadamuda aleatoriamente de acordo com o estado ocu-pado pelo íon. Os períodos escuros são a evidênciada ocorrência dos saltos quânticos.

Comportamento dos saltos

Para descrever a dinâmica do sistema, foi pensadoum átomo de dois níveis no campo de radiação tér-mica [10], emitindo e absorvendo um fóton instanta-neamente e saltando entre os níveis 0 e 1, nos quaispermanece por um período de tempo variável t0 et1.

Neste modelo, a taxa de transições do estado 0para 1 é dada por Bu, no qual u corresponde adensidade do campo de radiação e B é o coeficiente

1Armadilhas de radiofrequência, também chamadas dearmadilhas de quadrupolo, correspondem a um tipo de ar-madilha de íons que se utiliza da dinâmica de campos elétricopara preder partículas carregadas [9].

8

Figure 2.2: Aparato experimental utilizado naprimeira detecção dos saltos quânticos em um únicoátomo. Neste esquema do sistema ótico de bárioparte dos feixes azul e vermelho são combinados edirecionados para a armadilha. A intensidade dolaser é controlada por dois atenuadores. Todo otudo de vácuo está envolto em uma blindagem mag-nética. Fonte: [6].

Figure 2.3: Estrutura de níveis do íon Ba+. Aexcitação a laser está indicada pelas linhas espes-sas, as excitações causadas pela lâmpada estão in-dicadas pela linha sólida fina e o decaimento para onível metaestável D5/2 está representado pelas lin-has pontilhadas. Fonte: [6].

Figure 2.4: Diagrama da detecção dos fótons de flu-orescência em função do tempo, obtido a partir deexcitações do íon de bário após o ativamento da lâm-pada. Uma vez que a lâmpada é ligada observam-sevariações significativas na fluorescência, indicandoa existência dos saltos quânticos. Durante os perío-dos de baixa fluorescência os elétrons encontram-seno estado metaestável. Fonte: [6].

de Einstein para o processo de absorção induzida.Já a taxa de saltos do nível 1 para o nível 0 é A+Bu,no qual A representa o coeficiente de Einstein parao processo de decaimento espontâneo.

No limite de luz fraca considerado no experi-mento, tem-se que A+ Bu >> Bu, de modo que otermo Bu pode ser desconsiderado e a distribuiçãode probabilidade do tempo de permanência t1 doíon no estado excitado é proporcional a

P+(t1) ∝ exp(−At1) = exp

(− t1τ1

), (2.2)

no qual τ1 é o tempo médio de permanência em talnível. De maneira análoga, distribuição de probabil-idade do tempo de permanência t0 do íon no estadofundamental é proporcional a

P−(t0) ∝ exp(−But0) = exp

(− t0τ0

), (2.3)

no qual τ0 é o tempo médio de permanência no nívelinferior. Assim, o decaimento espontâneo acontecede maneira lenta e segue uma distribuição exponen-cial.

2.4.4 Novos resultados?Após o experimento performado por Nagourney etal., outras evidências experimentais da existênciados saltos quânticos e seu comportamento descon-tínuo e aleatório foram reportadas [8, 7], reforçandoa interpretação de Copenhagen para a descrição desistemas quânticos.

9

Figure 2.5: Diagrama da trajetória do elétron en-tre os níveis G (ZGD = −1.0) e D (ZGD = 1.0)em função do tempo, indicando a observação de umsalto quântico contínuo e coerente devido à realiza-ção de medidas fracas. Fonte: adaptado de [11].

No ano de 2019 um estudo realizado por Z. K.Minev et al. [11] reportou um aparente comporta-mento contínuo do átomo no processo de transiçãoentre diferentes níveis energéticos e uma possívelprevisão da eminência dos saltos quânticos.

Para chegar a tal resultado foram realizados ex-perimentos em um circuito elétrico supercondutorcomputadorizado que se comporta como um átomode três níveis, formado por um estado fundamen-tal G, um estado “luminoso” auxiliar B, utilizadopara monitoramento e conectado ao estado G poruma transição simulada por micro-onda, e um es-tado “escuro” D para o qual o átomo poderia saltarpor uma transição não dipolar [12].

Assim como nos experimentos performados em1986, um feixe de luz, agora com frequência demicro-ondas, foi incidido sobre o átomo artificial,gerando uma transição G − B e emitindo um fó-ton. No processo de incidência luminosa, tambémocorreram as transições as dipolo-proibidas G−D.Novamente, uma vez que o átomo encontrava-se noestado D não havia espalhamento de luz.

A diferença deste experimento em relação aosseus predecessores está no modo como a medida foirealizada, o que permitiu detectar um sinal antesque um salto quântico ocorresse. Além disso, foiobtido um deslocamento contínuo do elétron entredois níveis energéticos distintos (vide 2.5).

Apesar de os resultados parecerem contraditórioscom aqueles descritos pela interpretação de Copen-hagen, eles não correspondem a novas descobertas,mas sim à uma corroboração de fenômenos previstosjá conhecidos. Os dados obtidos são decorrentes demedidas fracas o suficiente, a ponto de não causarema destruição da coerência do sistema e gerarem uma

projeção não abrupta do elétron no estado funda-mental.

Além disso, nos casos em que as medições re-alizadas são fortes o suficiente para quebrar a co-erência do sistema e gerar os saltos descontínuos eabruptos não é possível realizar a previsão de em-inência de um salto, como descrito neste experi-mento para o caso de medições fracas [13].

Assim, os resultados encontrados servem para re-forçar o fenômeno dos saltos quânticos explicadosa partir da teoria inicialmente cunhada por Bohr eHeisenberg, bem como o modelo de medição de umestado quântico formulado por von Neumann.

2.5 Conclusão

O conjunto de experimentos elaborados em 1986representaram um marco importante para o en-tendimentos do comportamento dos sistemas quân-ticos, uma vez que realizaram as primeiras detecçõesdeste fenômeno responsável por explicar as tran-sições energéticas do elétrons dentro de átomos.

Tais experimentos mostraram ainda que a inter-pretação de Bohr a respeito do comportamento dis-creto e aleatório dos sistemas quânticos é adequadapara descrevê-los.

Os resultados obtidos no experimento recente deMinev et al., apesar de, em um primeiro momento,parecerem estar em desacordo com essa interpre-tação, consistem em uma reafirmação da mesmaconsiderando-se um processo de medida fraco.

Apesar de não trazerem resultados essencialmentenovos, o experimento performado em 2019 pode serimportante para avanços na área da computaçãoquântica, uma vez que computadores quânticos po-dem lidar com saltos dos estados 0 e 1 (qubits), quecorresponde à manifestações de erros nos cálculos[14]. Desse modo, a realização de medidas fracaspodem permitir maior entendimento e controle doprocessamento desses computadores.

Bibliografia

[1] COURTEILLE, Ph. W. Quantum Mechanicsapplied to Atoms and Light, jun. de 2021. 1070f. Notas de Aula. Universidade de São Paulo,Instituto de Física de São Carlos.

[2] GRIFFITHS, D. J. Introduction to quantum me-chanics. Prentice Hall, second ed, 2010.

[3] McCormick, K. and O’Dowd, M.What Happens During a Quan-

10

tum Jump?. Youtube. 2021. URL:https://www.youtube.com/watch?vj5HyMNNSGqQ

[4] BOHR, N. I. On the constitution of atoms andmolecules. The London, Edinburgh, and DublinPhilosophical Magazine and Journal of Science,v. 26, n. 151, p. 1-25, 1913.

[5] SCHRÖDINGER, E. Are there quantum jumps?Part II. The British Journal for the Philosophyof science, v. 3, n. 11, p. 233-242, 1952.

[6] NAGOURNEY, W.; SANDBERG, J.;DEHMELT, H. Shelved optical electronamplifier: Observation of quantum jumps.Physical Review Letters, v. 56, n. 26, p. 2797,1986.

[7] SAUTER, Th et al. Observation of quantumjumps. Physical review letters, v. 57, n. 14, p.1696, 1986.

[8] BERGQUIST, J. C. et al. Observation of quan-tum jumps in a single atom. Physical review let-ters, v. 57, n. 14, p. 1699, 1986.

[9] Quadrupole ion trap. Wikipedia. Disponível em:https://en.wikipedia.org/wiki/Quadrupole_ion_trap.Acesso em: 16 de jun. de 2021.

[10] RICHTMYER, F. K.; KENNARD, E. H.;COOPER, J. N. Introduction to modern physics.New York: McGraw-Hill, 1955.

[11] MINEV, Z. K. et al. To catch and reverse aquantum jump mid-flight. Nature, v. 570, n.7760, p. 200-204, 2019.

[12] DUMÉ, I. To catch a quantum jump.Physicsworld, 2019. Disponível em:https://physicsworld.com/a/to-catch-a-quantum-jump/. Acesso em: 21 de jun. de2021.

[13] PETRAKOU, E. New views of quantumjumps Challenge core tenets of physics.Scientific American, 2020. Disponível em:https://www.scientificamerican.com/article/new-views-of-quantum-jumps-challenge-core-tenets-of-physics/. Acesso em: 23 de jun. de 2021.

[14] SHELTON, J. Physicists can predict thejumps of Schrödinger’s cat (and finallysave it). Yale News, 2020. Disponível em:https://news.yale.edu/2019/06/03/physicists-can-predict-jumps-schrodingers-cat-and-finally-save-it. Acesso em: 24 de jun. de 2021.

11

3

The Einstein-Podolski-Rosen hypothesisand its experimental falsificationJoão Vitor Bevilacqua de Souza MerendaInstituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, 13560-970 São Carlos, SP, Brazil

Resumo: "Can quantum-mechanical descriptionof physical reality be considered complete?" is thetitle of the paper published in 1935 by Albert Ein-stein, Boris Podolsky, and Nathan Rosen. Accord-ing to the paper’s authors, quantum mechanics isnot complete. The Einstein-Podolsky-Rosen hy-pothesis has been debated for decades, but experi-ments have proved the correctness of the quantumtheory. This work intends to present the historicaldevelopment of the EPR hypothesis and its experi-mental falsification.

3.1 Historical Background

Quantum mechanics was developed in the early 20thcentury. The light was quantized by Max Planck,and Albert Einstein explained the photoelectric ef-fect in 1905 using the concept of energy quanta(photon). Another novelty was the atomic model,Niels Bohr has improved the Rutherford model.Bohr proposed his quantized shell model of theatom to explain how electrons can have stable orbitsaround the nucleus. The atom and, consequently,the matter were quantized.

In 1924, Louis De Broglie formulated his wave-particle duality hypothesis for the matter, and oneyear later, in 1925, Erwin Schrödinger presents hisfamous equation that describes the matter waves.

− ~2

2m∇2ψ(~r, t) + V (~r)ψ(~r, t) = i~

∂

∂tψ(~r, t) (3.1)

The Schrödinger equation and the theory thatwas developed with quantum mechanics weredemonstrated to be a correct analysis of light andthe subatomic world. The quantum theory was able

to explain the electronic transitions in atoms, spec-tral lines, and other phenomena.

The central concept in the Schrödinger equationis the wave function ψ. Electrons and other quan-tum objects are described by wave functions. But,what is the wave function?

Max Born proposed in 1926 the interpretation ofthe quantity |ψ(~r, t)|2 as a probability density, thusthe wave function describes probability waves. Itis the probabilistic interpretation of quantum me-chanics or Born’s rule, as it became known.

||ψ(~r, t)||2 =

∫ ∞−∞|ψ(~r, t)|2.d3r (3.2)

We can also denote the wave function by the Bra-Ket notation, as a state vector |ψ〉.

The wave function describes every possible stateof the system. We can represent the wave functionas a superposition of all possible states. It is thesuperposition principle.

|ψ〉 =

N∑k=1

ck|φk〉 (3.3)

Following the probabilistic (or statistical) inter-pretation, in 1927, Heisenberg demonstrated his un-certainty principle.

∆X∆P ≥ ~2

(3.4)

It means that we cannot measure the position andthe momentum simultaneously. There is an uncer-tainty in the measure of both.

Based on Born’s interpretation, Bohr and Heisen-berg introduced the interpretation of Copenhagen.The interpretation of Copenhagen has the followingprinciples:

12

1. Quantum mechanics is intrinsically non-deterministic.

2. The correspondence principle: in the limitof high energy, quantum theory becomes clas-sical physics and reproduces the classical pre-dictions.

3. Superposition principle: The wave functionis a superposition of all possible states.

4. The Born’s rule: Statistical interpretation ofthe wave function.

5. Wave Function collapses: The wave func-tion collapses in a state after the measurement(observation).

6. Complementarity: Some observables cannotbe jointly defined for the same system at thesame time.

3.2 The EPR paradox

3.2.1 Overview

In 1935 a thought experiment was proposed by Al-bert Einstein, Boris Podolsky, and Nathan Rosen,the Einstein-Podolsky-Rosen hypothesis (or EPRparadox) with which they argued that the descrip-tion of physical reality provided by quantum me-chanics is incomplete. The paper was publishedin 1935 with the title "Can quantum-mechanicaldescription of physical reality be considered com-plete?".[2]

There is an important concept in EPR’s paper,completeness. A theory is complete if every ele-ment of physical reality have a counterpart in phys-ical theory, i.e., the physical quantities must bepredicted, with certainty, by the theory. In otherwords, a theory is complete if it is following the prin-ciples of realism and locality. In Einstein’s hy-pothesis, locality means no instantaneous "spooky"action at a distance, and realism means no uncer-tainty in measurement, "the moon is there evenwhen not being observed".

To illustrate it, let us consider two hermitian op-erators, such as the momentum operator and the po-sition operator. The momentum operator P and theposition operator X do not commute ([X, ˆP ] = i~),so there is an uncertainty in the measurement ofboth.

Einstein, Podolsky, and Rosen argued that thesetwo quantities (momentum and position) have notphysical reality at the same time in the quantum

theory, and consequently quantum mechanics is in-complete.

To help us to understand the EPR paradox, letus consider a famous example, the quantum entan-glement of two spin one-half particles.

3.2.2 Electron-Positron systemIn 1951 David Bohm developed a variant of the EPRhypothesis using an electron-positron system as anexample.

Suppose that we have a source that emitselectron-positron pairs. The electron and thepositron interact with each other. For a systemof two 1/2-spin there are four possible states; onesinglet state for s = 0, and three triplet statesfor s = 1, where s is the total spin eigenvalue(|s1 − s2| ≤ s ≤ s1 + s2). Suppose that after someelapsed time, the electron-positron system will bein the lowest energy state, the singlet state.

|0, 0〉 =1√2

(| ↑↓〉 − | ↓↑〉), (3.5)

The singlet is the state of maximum entangle-ment, so these particles are entangled. The angularmomentum needs to be conserved, i.e., if the elec-tron has spin-up, the positron necessarily will havespin-down in the same direction.

Alice and Bob are two astronauts. They travelin opposite directions. Alice is carrying the elec-tron, and Bob is carrying the positron. Accord-ing to quantum mechanics, before the measurement,the wave function is in a superposition of spin-up and spin-down, and the measurement collapsesthe wave function in a specific state of spin. Af-ter they are a long distance apart, Alice measuresher electron spin in the z-direction. Alice’s mea-surement collapsed the wave function in the spin-up state (for z-direction). But, when she did that,she instantaneously also collapsed the wave functionof Bob’s positron in spin-down in the z-direction.Now, Bob tries to measure in the x-direction. If hesucceeds and finds spin-up in the x-direction, Al-ice’s wave function should collapse in spin-down inthe x-direction. But according to quantum mechan-ics, Alice would be unable to know the x-directionspin value, since the spin operator components donot commute with each other.

[S1z, S1x] = i~S1y, [S2z, S2x] = i~S2y (3.6)

Where the index ’1’ in S operator indicates Al-ice’s spin operator and the index ’2’ indicates Bob’sspin operator.

13

Bob cannot measures in the x-direction, he findsonly probabilities of getting spin-up or spin-downoutcomes. Alice’s experiment affects Bob’s exper-iment; the direction of measurement in Alice’s ex-periment defines the direction of measurement inBob’s experiment.

We have two hypotheses. The first hypothesis is,Alice’s experiment sends information to Bob’s ex-periment. Alice’s electron told Bob’s positron whichspin state he should be in. But this hypothesis vi-olates special relativity (locality violation). The in-formation cannot travel faster than light. Einsteincalled it "Spooky action at a distance". The sec-ond hypothesis is, quantum mechanics do not vio-late the locality, but the measures depend on "lo-cal hidden variables", whose value effectively deter-mines, right from the moment of separation, whichthe outcomes of the spin measurements are goingto be. The hidden variables are like the DNA ofthe particles. Therefore, quantum mechanics is nota complete theory because exist these hidden vari-ables. Therefore, according to the EPR paradox,quantum mechanics is an incomplete theory andthe outcomes are predetermined. There is no un-certainty or spooky action at a distance.

3.3 Bell’s theoremIf the hidden variable theory is local it will not agreewith quantum mechanics, and if it agrees with quan-tum mechanics it will not be local. This is what thetheorem says. − John S. Bell

In 1964 John S. Bell published a paper called ‘Onthe Einstein Podolsky Rosen Paradox’[3], where heproposed a logical test for the EPR paradox.

The Bell theorem says that if the hidden variableshypothesis proposed by Einstein, is correct, then theBell’s inequality is also correct.

There are many versions of Bell’s inequality, sothat we can call them "Bell inequalities" (in theplural), all of them are equivalent to the originalBell’s inequality1. To illustrate the Bell theorem inour next example, let us use the Wigner-d’Espagnatinequality (with Sakurai’s improvement), which Ithink to be more didactic than the original Bell in-equality.

P (A+, C+) ≤ P (A+, B+) + P (B+, C+) (3.7)

P (A+, C+) is the joint probability of Alice tomeasure spin-up in A-direction (A+) and Bob tomeasure spin-up in C-direction (C+).

11 + C( ~B, ~C) ≥ |C( ~A, ~B) − C( ~A, ~C)| is the original Bellinequality (1964)

Alice and Bob perform their experiments on thethree directions ~A, ~B, and ~C and they can get spin-up (+) or spin-down (-) in each direction, further-more, if Alice measures A+ (Spin-up in directionA), Bob must measure A−, i.e., the spins will beopposites in the same direction.

Outcomes A B C A B CN1 + + + − − −N2 + + − − − +N3 + − + − + −N4 + − − − + +N5 − + + + − −N6 − + − + − +N7 − − + + + −N8 − − − + + +

Table 3.1: Outcomes for Alice (left) and Bob (right)

Firstly, let us suppose that Einstein is correct andexists hidden variables in the universe.

Now, let us take the joint probability betweenAlice’s and Bob’s outcomes, and we’ll verify the in-equality (3.7).

P (A+, B+) =N3 +N4

NT=

2

8= 0.25 (3.8)

P (A+, C+) =N2 +N4

NT=

2

8= 0.25 (3.9)

P (B+, C+) =N2 +N6

NT=

2

8= 0.25 (3.10)

It is easy to see that 14 ≤

14 + 1

4 ; therefore, thehidden variables hypothesis respects Bell’s inequal-ity.

In quantum mechanics, the probabilities dependon angles between the measurement axes.

P (A+, B+) = P (A−, B−) = sin2(θAB

2

)(3.11)

P (A+, B−) = P (A−, B+) = cos2(θAB

2

), (3.12)

and analogously for P (A+, C+) and P (B+, C+).Then, we have the following Bell inequality:

sin2(θAC

2

)≤ sin2

(θAB2

)+ sin2

(θBC2

)(3.13)

14

Suppose that the angles between each directionare θAB = π/4, θBC = π/4, and θAC = π/2, so theinequality (3.13) results in 0.5 ≤ 0.146 + 0.146 ⇒0.5 ≤ 0.292, obviously, this inequality is not true.

Actually, the inequality (3.13) is violated for anyangle between 0 and π/2 or more generally, for anyangle, Bell’s inequality is violated because this sys-tem is invariant by rotation. Therefore, quantummechanics violates Bell’s inequality.

Quantum mechanics or hidden variables hypoth-esis, which of them is correct? To answer this ques-tion, we need to experimentally test the Bell in-equalities.

https://www.overleaf.com/project/60990f82228ff92d41d55d6c

Figure 3.1: Outcomes of correlation in hidden vari-ables (red) and quantum mechanics (blue).

3.4 Experimental falsificationof EPR hypothesis

Bell’s inequalities made it possible to experimen-tally test quantum mechanics and the EPR hypoth-esis. These experiments were called Bell tests orBell experiments. Several experiments have beencarried out since the 1970s, and many versions ofBell’s inequalities were used to prove the complete-ness of quantum mechanics.

However, the Bell tests are not easy, and theremay be problems of experimental design or set-upthat affect the validity of the experimental out-comes, these problems are called loopholes. Thereare many classes of loopholes, such as:

1. Detection Efficiency: It is present in all op-tical Bell tests, except those with a fair sam-pling of photons. This loophole is caused by thelow detector efficiency, and it can be avoided

by using highly efficient detectors or fair pho-ton sampling. With the existence of detec-tion efficiency loopholes, the CHSH inequalityis changed from:

S = |E(A,B)+E(A′, B)+E(A,B′)−E(A′, B′)| ≤ 2(3.14)

To:S ≤ 4

η− 2 (3.15)

Where η is the detection efficiency, and S is theoriginal CHSH inequality (3.14).

2. Communication (locality) Loophole: Ifthe different parts of your experiment are closeenough together or if the experiment takes along time, there may be communication be-tween the experiment’s parts. If your purposeis to prove the non-locality of quantum me-chanics, then this loophole necessarily must beavoided.

3. Memory Loophole: When the experiment iscarried out in the same place and with the sameexperimental parameter set, it can affect theoutcomes producing a statistical dependence.One way to avoid it is to provide, for each newpairs of measurements, new random settings.

4. Free-choice Loophole: This loophole is re-lated to the choice of detector orientations. Ifthe detectors’ orientation are limited. This lim-itation can cause outcomes explained by a localrealist theory.

The existence of loopholes in Bell tests is a seriousproblem and many experiments have been carriedout trying to close this problem.

3.4.1 A short timeline of Bell exper-iments

In 1972 Stuart J. Freedman and John Clauser car-ried out the first Bell experiment using the CH74inequality, another variant of Bell inequality. Theymeasured the polarization correlation of the pho-tons emitted in the atomic cascade of calcium. Thisexperiment verified the quantum mechanics predic-tions and provided strong evidence against the va-lidity of the local hidden variable hypothesis.

In 1982 Alain Aspect led three Bell tests at theÉcole supérieure d’optique in Orsay (See section4.4.2).

15

In 1998 Gregor Weihs and Anton Zeilinger im-proved the Aspect’s experiment and eliminated thecommunication loophole. The choice of the detectorwas made using a random number generator (RNG).

In 2000 Jian-Wei Pan and his team per-formed a GHZ experiment using a quantumsystem with three photons entangled (Green-berger–Horne–Zeilinger state). The experimentconfirmed the quantum mechanics predictions.

In 2001 Rowe et al. almost closed the detection ef-ficiency loopholes using entangled ions pairs, achiev-ing 90% of efficiency.

In 2008 Salart and his team closed the commu-nication loophole for photons pairs by providing an18 km separation between detectors.

In 2009 Markus Ansmann et al. carried out thefirst Bell experiment in solid-state qubits. Theyused a pair of Josephson phase qubits acting as spin-1/2 particles and showed that the qubits can be en-tangled and measured, in addition to violating theCHSH version of the Bell inequality too. This ex-periment overcame the detection efficiency loophole.

In 2013 and 2014, there were three independentexperiments performed by Giustina et al. (2013),Christensen et al. (2013), and Larsson et al. (2014)that eliminated the detection efficiency loopholes forphotons using highly efficient detectors, and theyshowed the CHSH inequality violation.

In 2015 three experiments were performed by in-dependent groups in Delft, Vienna, and Boulder,led respectively by B. Hensen, Marisa Giustina,and Lynden Shalm. These Bell tests were thefirst loophole-free experiments. Hensen used pairsof entangled electrons, and he used the CHSHBell inequality to validate the quantum mechan-ics. Giustina and Shalm used photon pairs, andthey used the CH-E inequality, a variant of CHSHinequality, to validate quantum mechanics. All ofthem had used a hardware random number gener-ator to choose the detector setting randomly. Allthree tests simultaneously eliminated the detec-tion loophole, the communication loophole, and thememory loophole.

In 2016, Roman Schmied et al. carried out thefirst Bell experiment in a many-body system overthe spins of about 480 atoms in a Bose-Einstein con-densate. Even with the existence of loopholes, theyshowed de violation of the Bell inequality.

In 2017, Johannes Handsteiner, Anton Zeilinger,David I. Kaiser, and their respective teams at theMIT and University of Vienna produced results con-sistent with nonlocality using starlight from 600light-years away. This experiment was a truly "Cos-mic Bell test". Another "cosmic Bell test" was per-

formed in 2018, also led by Johannes Handsteinerand Anton Zeilinger. They used photons from high-redshift quasars, whose light was emitted billions ofyears ago. Assuming fair sampling for all detectedphotons, they avoided the communication and thefreedom-of-choice loopholes.

All these experiments strongly agree with thequantum mechanics predictions and showed thatthe hidden variables hypothesis is wrong.

3.4.2 Aspect’s experimentTo illustrate what a Bell experiment looks like, I willuse as an example one of Bell’s most famous experi-ments, the Aspect experiment, led by French physi-cist Alain Aspect at the École supérieure d’optiquein Orsay, between 1980 and 1982[4].

Aspect and his team performed three experimentsusing entangled photons pairs emitted by the ra-dioactive cascade of calcium atoms (40Ca).

In the first and the second experiment, they hadused a single-channel polarizer. The single-channelpolarizer had a significant inconvenience, it coulddetect situation (+), but not situation (−). Thedetector was not able to discriminate whether the(−) signal means no photons passed through thedetector or if occurred an experimental mistake.

In the last and most famous experiment, Aspectand his team used a two-channel polarizer, with thechannels a and a′ on A-side and b and b′ on B-side. The angle between a and a′ (α) and the anglebetween b and b′ (β) are selected randomly every 10ns by a high-frequency pulse. The full experimentalscheme is shown in figure 3.2.

Figure 3.2: Two-channel experimental apparatus ofAspect’s experiment.

The calcium atoms are irradiated at 90 by twolaser beams. The first laser is a krypton laser (406.7nm), and the second laser is a Rhodamine dye laser(581 nm). Calcium’s electrons are excited and thenreturn to the ground state by two steps, emitting apair of entangled photons as shows the figure 3.3.

16

The fluorescent beams of photons in A-side andB-side follow toward a set of collimation lens andthen goes toward the polarizers. The polarizers are"piles of plates" polarizers that consist of a set offlat glass plates inclined at Brewster’s angle. Theluminous signal at each polarizer channel passesthrough the photomultiplier that converts the lightsignal into an electrical signal. The emerging signalsfrom each channel are detected, and coincidencesare counted by the coincidence counter, and finally,the terms of CHSH inequality are calculated.

−1 ≤ S = [R(~a,~b)−R(~a, ~b′) +R(~a′,~b) +R(~a′, ~b′)−

−R1(~a′)−R2(~b)]/R0 ≤ 0

(3.16)

Where R(~a,~b) is the rate of coincidences with po-larizer A in orientation ~a and polarizer B in orienta-tion ~b. R1(~a′) is the coincidence rate with polarizerB removed and similarly for R(~b′). R0 is the coin-cidence rate with both polarizer removed.

Figure 3.3: Calcium cascade scheme. In red, theexcitation caused by the two lasers, from the groundstate to excited state, and the blue arrows show thedeexcitation process by a photon pair emitting.

The CHSH inequality was broken, hence, As-pect’s experiment has supported the quantum me-chanics prediction and ruled out all local hiddenvariable theories.

3.5 ConclusionIn summary, quantum mechanics is one of the mostsuccessful theories in physics; however, its proba-bilistic character has put at stake the completenessof the theory. Consequently, Einstein, Podolsky,and Rosen formulated the EPR hypothesis, in whichthe authors argue that quantum mechanics is in-complete and there are local hidden variables, so

that the behavior of things is, in the end, alwaysdeterministic.

Which either of them is correct, quantum me-chanics or hidden variables theory? Since the publi-cation of Bell’s theorem in 1964, several experimentswere performed proposing to answer this question.Bell’s experiments, with or without loopholes, hasshown that quantum mechanics is correct and thatthere are no local hidden variables.

Bibliografia[1] COURTEILLE, Philippe Wilhelm, Quantum

Mechanics applied to Atoms and Light. (2021)

[2] EINSTEIN, Albert; PODOLSKY, Boris;ROSEN, Nathan. Can quantum-mechanicaldescription of physical reality be consideredcomplete?. Physical review, v. 47, n. 10, p. 777,1935.

[3] BELL, John S. On the einstein podolsky rosenparadox. Physics Physique Fizika, v. 1, n. 3, p.195, 1964.

[4] ASPECT, Alain; GRANGIER, Philippe;ROGER, Gérard. Experimental tests of realisticlocal theories via Bell’s theorem. Physicalreview letters, v. 47, n. 7, p. 460, 1981.

[5] AERTS, Dirk. The missing elements of realityin the description of quantum mechanics of theEPR paradox situation. Helv. Phys. Acta, v. 57,n. 4, p. 421-428, 1984.

[6] SAKURAI,(JUN JOHN) SAKURAI; NAPOLI-TANO, Jim J. Modern Quantum Mechanics.Pearson, 2014.

17

4

Equações de Bloch: derivação einterpretaçãoJulia Marcolan TeixeiraInstituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, 13560-970 São Carlos, SP, Brazil

Resumo: A abordagem que utiliza o operador dedensidade é apropriada para descrever a evoluçãotemporal de sistemas que apresentam processos dis-sipativos. Esse formalismo é utilizado uma vez quepermite a inclusão fenomenológica de termos de de-caimento, ao contrário do formalismo baseado naequação de Schrödinger. O foco destre trabalhoé aplicar o formalismo do operador de densidadeao fenômeno de Ressonância Magnética Nuclear ederivar as equações de Bloch neste contexto.

4.1 Introdução

Processos de relaxação devem ser consideradosquando sistemas nos quais os átomos interagemfortemente com a radiação são estudados. Na pre-sença de processos dissipativos, a descrição do sis-tema não pode mais ser feita por meio de umaúnica função de onda, é preciso considerar uma dis-tribuição estatística de funções de onda. Para estescasos a equação de Schrödinger não é mais suficientepara descrever completamente a evolução temporaldo sistema e uma nova abordagem, baseada no op-erador de densidade, precisa ser desenvolvida.

As equações que descrevem a evolução temporaldo operador de densidade são chamadas de equaçõesde Bloch. Neste trabalho, as equações de Blochserão derivadas no contexto da Ressonância Mag-nética Nuclear. Para isso, será feita uma discussãoa respeito da aplicação do formalismo do operadorde densidade para um sistema de muitos átomos emequilíbrio termodinâmico.

4.2 Operador de densidade eequações de Bloch

O operador de densidade é uma formulação usadapara descrever sistemas quânticos representados poruma mistura estatística de estados. A definição dooperador de densidade é dada por

ρ =∑k

pk|ψk〉〈ψk|. (4.1)

Em uma distribuição estatística de estados, pkrepresenta a probabilidade de encontrar o estado|ψk〉. Se todos os átomos do conjunto encontram-seno mesmo estado definido pela função de onda |ψk〉tem-se um estado puro onde pk = δkk′ . Quandoo sistema encontra-se em um estado puro, a repre-sentação através do operador de densidade é equiv-alente a representação por meio da equação deSchrödinger [1].

Os elementos de matriz pertencentes a diago-nal principal do operador de densidade, ρmm, sãochamados de populações e representam a probabil-idade média de encontrar o sistema no estado |m〉.Os elementos não diagonais, ρmn são chamados decoerências e representam os efeitos de interferênciaentre os estados |m〉 e |n〉.

Uma propriedade importante do operador de den-sidade é que seu traço precisa ser unitário Tr(ρ) =1. Além disso, seja o observável A, então a medidadesse observável na formulação do operador de den-sidade é feita por

〈A〉 = Tr(ρA). (4.2)

18

4.3 Evolução temporalA evolução temporal do operador de densidade édada por

ρ(t) = U(t)ρ0U†(t), (4.3)

onde U(t) = e−iHt [2]. Desta maneira, encontra-se

dρ

dt=i

~[ρ(t), H(t)] = Lρ. (4.4)

A equação 4.4 é chamada de equação de Liouville,e o operador L chamado de operador de Liouville. Oconjunto de equações diferenciais relacionadas coma evolução temporal de cada elemento do do peradorde densidade são chamadas de equações de Bloch.Contudo, 4.4 ainda não inclui os processos dissipa-tivos do sistema.

A vantagem da utilização da formulação do op-erador de densidade é que ela permite introduzirfenomenologicamente termos referentes aos proces-sos dissipativos. Por exemplo, se considerarmos oprocesso de emissão espontânea no qual um áomoque se encontra em um nível de energia mais elevadopode decair para um nível mais baixo de enegia, aequação 4.4 ganha um termo extra 4.4.

˙ρ(t) = (L0 + LSP )ρ(t) = L0ρ(t) + LSP ρ(t) (4.5)

Na equação 4.5, L0 é dada por 4.4 e LSP é otermo referente a emissão espontânea.

4.4 Sistema em equilíbrio ter-modinâmico

Considere um sistema composto por muitos átomosque se encontra em equilíbrio termodinâmico comum reservatório térmico a uma temperatura T , ouseja, no ensemble canônico [1]. Nestas condições osestados de energia do sistema serão populados deacordo com a distribuição de Boltzmann, e o oper-ador densidade será dado por

ρ =e−HKBT

Z, (4.6)

onde H é o operador Hamiltoniano, KB é a con-stante de Boltzmann e Z é a função de partição.Uma vez que Tr(ρ) = 1 a função de partição Z éescolhida de forma que satisfaça essa condição

Z = Tr(e−HKBT ). (4.7)

Os elementos de matriz de 4.6 serão dados por

ρmn =1

Z〈um|e

−HKBT |un〉. (4.8)

De acordo com 4.8 os elementos diagonais serão da-dos por 4.9, onde Em representa a energia do estado|m〉. Além disso, os elementos não diagonais serãonulos, ou seja, no equilíbrio termodinâmico as co-erências entre os estados são nulas.

ρmm =e−EmKBT

Z. (4.9)

4.5 Ressonância MagnéticaNuclear

O fenômeno de Ressonância Magnética Nuclear foidemonstrado por Bloch em 1946 [3] e descreve ainteração entre átomos com momento angular in-trínseco e campos magnéticos. A RMN tem in-úmeras aplicações, na agricultura, no estudo decomposição de moléculas e em diagnósticos médi-cos permitindo a identificação de doenças como, porexemplo, tumores. Além disso são técnicas não in-vasivas de forma que não apresentam riscos para aamostra ou paciente.

O Hidrogênio é o elemento químico mais abun-dante na natureza e no corpo humano, por isso écomumente utilizado em experimentos de RMN. Ouso do átomo de hidrogênio simplifica o entendi-mento do fenômeno de RMN pois ele possui um nú-cleo simples representado por um sistema de doisníveis.

4.5.1 Princípios da RMN

Considerando o Hamiltoniano que descreve a inter-ação de Zeeman entre o momento de dipolo mag-nético e um campo magnético externo ~B = B0z

H = −~µ · ~B. (4.10)

O momento de dipolo magnético está relacionadoao momento angular intrínseco da partícula naforma

~µ = γ~I, (4.11)

onde γ é a constante giromagnética. Nestascondições, pode-se reescrever o Hamiltoniano como

H = −γ~IzB0 = −~w0Iz, (4.12)

onde w0 = γB0 é chamada de frequência de Larmor.Considerando que o sistema encontra-se em equi-líbrio termodinâmico, então, fazendo uma aproxi-mação para temperaturas acima de 1 K e camposmagnéticos típicos dos experimentos de RMN, naordem de 10 T [2], o termo

∣∣∣ HKBT

∣∣∣ 1, de forma

19

que é possível escrever ρ como

ρ ≈ ~w0IzKBT

≈ αIz. (4.13)

A equação 4.13 mostra que, para um estado deequilíbrio termodinâmico, o operador de densidadeaponta na direção do momento angular orbital.Afim de facilitar os cálculos, a contante α será de-sconsiderada. Para todas as aplicações consideradasneste trabalho, partiremos da situação de equilíbriotermodinâmico.

4.5.2 Evolução temporal do mo-mento magnético

Partindo da equação 4.4 para a evolução temporaldo operador de densidade, considerando os resulta-dos obtidos na seção 4.5.1. Uma vez que o momentode dipolo magnético depende do momento angu-lar intrínseco na forma 4.11, podemos descrever aevolução temporal do operador de dipolo magnético[4] como

d~µ

dt= γ~µ× ~B. (4.14)

A equação 4.14 descreve o movimento de pre-cessão dos momentos magnéticos em torno docampo externo, que pode ser visto na figura 4.1.

Figure 4.1: Movimento de precessão do momentomagnético nuclear em torno do campo externo con-stante e estacionário na direção do eixo z.

O vetor de magnetização é definido como asoma dos momentos magnéticos individuais de cadaátomo do sistema, na forma

~M =∑i

〈~µi〉. (4.15)

A magnetização pode ser interpretada como adiferença populacional entre os estados no equilíbriotermodinâmico. Considerando um átomo de doisníveis, o spin pode estar alinhado de forma paralelaou antiparalela ao campo magnético, uma vez queexistem dois possiveis valores para I = ±1/2. Pref-erencialmente os átomos ficam no estado de energiamais baizo exitirá um número muito maior de spins

alinhados de forma paralela do que antiparalela aocampo, de forma que o vetor de magetização apontana direção do campo externo. A evolução temporaldo vetor de magnetização será dada por

d ~M

dt= γ ~M × ~B. (4.16)

As equações 4.14 e 4.16 representam um movi-mento clássico esperado para estas grandezas físi-cas obtidas de forma quântica. Em RMN, aevolução temporal do sistema é descrita em funçãoda evolução do vetor de magnetização. A compo-nente do vetor de magnetização na direção de zé chamada de magnetização longitudinal enquantoa componente no plano xy é chamada de magne-tização transversal. Dessa forma, o conjunto deequações diferenciais expresso em 4.16, na formade uma única equação vetorial, é conhecido comoequação de Bloch. Vale ressaltar que, essas equaçõesainda não incluem processos dissipativos.

4.5.3 Valores esperados para o vetorde magnetização

Uma outra maneira de encontrar os resultados daseção 4.5.2 é considerar explicitamente o operadorde densidade em um tempo t dado por 4.3. Dessaforma, para a situação de equilíbrio termodinâmicona qual os sistema está exposto a um campo mag-nético externo na direção z

ˆρ(t) = e−i~woIztIzei~woIzt, (4.17)

os valores esperados para as componentes de I,serão dados por 4.2, logo

〈Iz〉 = Tr(ρIz) = Iz(0), (4.18)

〈Ix〉 = Ix(0)cos(w0t)− Iy(0)sen(w0t), (4.19)

〈Iy〉 = Ix(0)sin(w0t) + Iy(0)cos(w0t). (4.20)

Uma vez que o momento magnético está rela-cionado com o momento angular por meio de 4.11,as equações 4.18, 4.19 e 4.20 mostram que o valoresperado do momento magnético executa um movi-mento de precessão em torno do campo magnéticoaplicado, com uma frequência w0 = γB0 [2]. Apesardos momentos magnéticos individuais precessaremem torno do campo estacionário não existe coerên-cia de fase entre eles no plano xy. Dessa forma,não existirá componente de magnetização no planotransversal. Logo, na situação de equilíbrio termod-inâmico o vetor magnetização é dado porM = M0z.

20

4.5.4 Aplicação de um pulso de ra-diofrequência

Considerando a aplicação de um pulso de radiofre-quência (RF), que representa um campo magnéticode curta duração, em uma direção diferente docampo magnético estacionário, e seja esse pulsodado por

B1(t) = B1cos(wRF t+ φ), (4.21)

onde com wRF ∼= w0. O Hamiltoniano da interaçãoserá

HRF (t) = −γ~IαB1, (4.22)

onde α é a direção de aplicação do pulso. A apli-cação deste pulso resulta numa rotação da compo-nente do momento angular em torno do campo B1.Por exemplo, a aplicação de um pulso B1 = π

2 nadireção do eixo x resultará numa rotação π

2 do op-erador de densidade em torno do eixo x. Dessaforma, o operador de densidade após a aplicaçãodeste pulso fica descrito por

ρ(t) = e−i~(γB1)IxtIzei~(γB1)Ixt = ei(

π2 )xIz, (4.23)

e como resultado de 4.23

ρ(t) = Izcos(π

2) + Iysin(

π

2) = Iy. (4.24)

Após a aplicação do pulso π2 o operador Iy

evoluirá novamente sob ação do campo magnéticoestacionário. A figura 4.2 mostra o efeito da apli-cação do pulso π

2 sob vetor de magnetização.

Figure 4.2: Efeito da aplicação do pulso de radiofre-quência de amplitude π

2 sob o vetor de magnetiza-ção.

A variação da magnetização no plano xy, gerauma variação no fluxo magnético que induzirá umaforça eletromotriz (fem) em uma bobina receptora.O sinal captado pela bobina é chamado de sinal deindução livre (FID, do inglês Free Induction Decay),que pode ser visto na figura 4.3.

4.5.5 Inclusão fenomenológica dostermos de decaimento

É possível incluir processos dissipativos de formafenomenológica nas equações que representam a

Figure 4.3: Esquema de captação do Sinal de In-dução livre FID.

variação temporal da magnetização. Como os spinstrocam energia com seus vizinhos, dois processosdissipativos serão considerados. O primeiro deles,é referente a interação dos spins com a rede, esseprocesso é caracterizado por T1. Além disso, numsistema no qual os spins podem interagir, cada spinexperimenta um campo local formado pela interaçãodo campo externo com o campo magnético geradopor seus vizinhos, esse processo é caracterizado porT2.

d ~M

dt= γ ~M× ~B+

1

T1(M0−Mz)z−

1

T2(Mxx+My y).

(4.25)Na equação 4.25 nota-se que o termo T1 está rela-

cionado com o tempo que a magnetização longitudi-nal leva para retornar à situação incial. O termo T2

está relacionado com o tempo que a magnetizaçãotransversal leva para retornar para a situação incial.A partir da equação 4.25 encontra-se as soluções

Mz(t) = Mz(0)e−tT1 +M0(1− e

−tT1 ), (4.26)

Mx(t) = e−tT2 (Mx(0)cos(w0t) +My(0)sen(w0t)) ,

(4.27)

My(t) = e−tT2 (My(0)cos(w0t)−Mx(0)sen(w0t)) .

(4.28)Para um tempo t tendendo a infinitoMx = My =

0 e Mz = M0. A figura 4.4 mostra a combinação datrajetória de decaimento das componentes da mag-netização transversal e de recuperação da compo-nente longitudinal na direção do eixo z.

Os campos magnéticos reais usados nos experi-mentos de RMN não são totalmente homogêneoscomo os descritos pela teoria. Por conta disso, de-pendendo do nível de inomogeneidade do campo, odecaimento pode ser muito rápido fazendo com que

21

Figure 4.4: Trajetória de decaimento das compo-nentes da magnetização. Figura reproduzida de [5].

a magnetização transversal perca logo a coerênciade fase dificultando a obtenção do sinal. Os ex-perimentos de RMN utilizam uma combinação depulsos de radiofrequência para manipular o vetorde magnetização e obter o sinal. Um método muitoutilizado é conhecido como spin echo, e consiste naaplicação de um pulso de amplitude π após o pulsoπ2 . O pulso π tem a função de fazer com que a mag-netização transversal retome a coerência de fase eum echo do sinal seja obtido, este efeito pode servisto na figura 4.5

Figure 4.5: Efeito da aplicação de uma sequência depulsos de radiofrequência de amplitude π

2 e π sob ovetor de magnetização. (A) Vetor de magnetizaçãona direção do campo magnético B0z. (B) Vetor demagnetização após a aplicação do pulso π

2 (C) Pro-cesso de decaimento e perda de coerência de fase dovetor de magnetização. (D) Vetor de magnetizaçãoapós a aplicação do pulso π.

4.6 Imagens por ressonânciamagnética

Uma importante aplicação da RMN são as Imagenspor Ressonância Magnética, essa técnica tem altacapacidade de diferenciar tecidos do corpo humanopois permite localizar espacialmente espécies quími-cas. Para impor essa dependência espacial é precisoproduzir uma variação linear no campo estático por

meio da aplicação de um campo com variação espa-cial chamado de campo gradiente. De forma que ocampo magnético externo seja da forma

Bz(z, t) = B0 + zG(t), (4.29)

Normalmente, imagens por RMN, são obtidaspor meio da excitação de uma fatia fina do ob-jeto, chamada de slice, usando uma combinação decampos gradientes e pulsos RF com seletividade daregião. O campo gradiente faz com que distintasregiões do corpo tenham distintas frequências deLarmor. Os pulsos RF com frequências selecionadasatingem o corpo excitando slices com frequências es-pecíficas. Como pode ser visto na figura 4.6

Figure 4.6: Exemplo de codificação espacial uti-lizada para a obtenção de Imagens por RessonânciaMagnética. Figura retirada de [6].

O Alzheimer é uma das principais causa dedemência, é uma doença progressiva que afeta amemória e outras funções cerebrais importantes [7].A neurodegeneração na doença de Alzheimer estárelacionada com a diminuição do tecido cerebral,a imagem 4.7 foi feita utilizando RMN e mostra aevolução temporal da neurodegeneração cerebral deum paciente com Alzheimer.

4.7 Conclusão

A RMN possui inúmeras aplicações, incluindo diag-nósticos médicos e identificação de estruturas molec-ulares. Os experimentos de RMN geralmente uti-lizam o átomo de Hidrogênio por conta de suaabundância na natureza. Uma vez que o sistemaestudado é constituído por muitos átomos e pro-cessos dissipativos ocorrem, o formalismo adequadopara descreve-lo é por meio do operador de densi-dade. O formalismo baseado no operador de den-sidade é utilizado para descrever a evolução tem-poral de sistemas que representam uma mistura es-tatística de estados. Considerando um sistema demuitos spins em equilíbrio termodinâmico, que in-

22

Figure 4.7: Imagem por Ressonância Magnéticada evolução temporal da neurodegeneração cerebralcausada pela doença de Alzheimer. Figura retiradade [7].

terage com campos magnéticos, a distribuição pop-ulacional é feita de acordo com a distribuição deBoltzmann. O sistema poderá ser descrito em ter-mos de um vetor de magnetização e o conjunto deequações diferenciais que descrevem a evolução tem-poral desse vetor é chamado de equações de Bloch.Essa abordagem é vantajosa em relação a abor-dagem utilizando funções de onda, pois as equaçõesde Bloch permitem a inclusão de fenômenos dissi-pativos de forma fenomenológica, essa inclusão nãoé possível na equação de Schrödinger.

Bibliografia

[1] COURTEILLE, Ph. W. Quantum Mechanicsapplied to Atoms and Light, jun. de 2021. 1070f. Notas de Aula. Universidade de São Paulo,Instituto de Física de São Carlos.

[2] DE AZEVEDO R. E., et al. Introdução à Com-putação Quântica via Ressonância MagnéticaNuclear (RMN), jul. de 2004. 26 f. Notas téc-nicas da V Escola do CBPF. Rio de Janeiro,Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas.

[3] BLOCH, F. Nuclear Induction . Physical Re-view, [S. l.], v. 70, n. 7–8, p. 460–474, 1946. DOI:10.1103/PhysRev.70.460

[4] DIEGUEZ C. M. T et al. Os fundamentos quân-ticos da Ressonância Magnética Nuclear. Re-vista Brasileira de Ensino de Física. 2018, v. 40,n. 1.

[5] HAACKE E. MARK, R. W. B. M. R. T. M. R. TMagnetic resonance imaging Physical principles

and sequence design.. [S.l.]: John Wiley & Sons.,2014.

[6] BUSTIN, A. Advanced Reconstruction Tech-niques in Free-Breathing Multi-Contrast High-Resolution Cardiac Magnetic Resonance Imag-ing. nov 2017.

[7] MASSIMO F.Oxford Textbook of Neuroimaging,Oct 2015. 433 f. Oxford University Press, OxfordUniversity.

23

5

Geometric phases and theAharonov-Bohm effectLucas Gabriel RabeloInstituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, 13560-970 São Carlos, SP, Brazil

Resumo: Although the global phases of wavefunc-tions are completely arbitrary and have no physicalsignificance in quantum theory, every quantum sys-tem moving adiabatically through a closed-loop ob-tains a geometric phase factor that is non-arbitraryand has observable physical effects. The Aharonov-Bohm effect, which establishes that a charged par-ticle can be influenced by potentials even in the ab-sence of electromagnetic fields, emerges as a remark-able example of a non-trivial geometric phase. Asa result, the connection between geometric phasesand the Aharanov-Bohm effect, as well as the rel-evance of potentials and electromagnetic fields inquantum theory, were examined in this paper. TheAharanov-Bohm effect was also explored in termsof experimental evidence, interpretations, conse-quences, and controversies (which still exist today).

5.1 Introduction

In quantum mechanics, the physical state of a sys-tem is totally described by an equivalent class ofstate vectors (associated with wavefunctions ψ) be-longing to Hilbert space H, defined up to an ar-bitrary phase factor. Therefore, it is common tobelieve that the phases of wavefunctions are devoidof any physical reality since all observables exhibitinvariance under multiplication by a global phasefactor (precisely, average values and transition prob-abilities depend on |ψ|2). However, in 1984, Berrymade the important discovery that a quantum sys-tem moving adiabatically through a closed−loop inparameter space (to be defined) obtains a geometricphase factor that is non−arbitrary and has observ-able physical effects [1].

Ubiquitous in physics, the Berry phase (alsodenominated geometric phase) is connected with

the most fundamental structures of quantum me-chanics. Since its discovery, the Berry phase hasinfluenced many branches of physics, from con-densed matter physics to cosmology. In particular,a remarkable example of a non−trivial geometricphase is associated with the Aharonov−Bohm ef-fect. Precisely, Aharonov−Bohm (1959) predictedthat a charged particle can be influenced by theelectromagnetic potentials (φ,A) even in a regionwhere the electromagnetic fields (E,B) are null [2].This result conflicts with classical electrodynamics,which asserts that the motion of a charged particlecan only be influenced by the Lorentz force, and,therefore, by the local action of the E and B fields.Ultimately, the Aharonov−Bohm (AB) effect sug-gests that potentials − before considered mere the-oretical tools in classical electrodynamics − have amore fundamental character than electromagneticfields in quantum theory.

To approach the connection between the geomet-ric phase and the Aharonov-Bohm effect, this paperis organized as follows: in sections 5.2 and 5.3 thegeometric phase and the AB effect are introduced.Then, the Tonomura experiment, which is the mostconclusive experimental evidence of the AB effectto date, is presented in subsection 5.3.1. Finally,subsection 5.3.2 concludes with a review of inter-pretations, consequences, and controversies aroundthe Aharanov−Bohm effect.

5.2 Berry phase

Following Berry’s approach, consider a physicalsystem described by a Hamiltonian which de-pends on time through a set of parameters R =(R1, R2, . . . , RD), that is, H (t) = H [R (t)]. Notethat R designates a vector in the D−dimensional

24

parameter space ℘. Therefore, for each value of R,one can define a set of orthonormal eigenstates ofH(R) defined as H(R) |n(R)〉 = En (R) |n(R)〉 .For simplicity, consider that the spectrum of His discrete and non−degenerate in ℘. Assumingthat the parameters R vary adiabatically (slowly),the adiabatic theorem, [3], asserts that a particlemoving in the nth eigenstate of H(R), given by:|ψn (t = 0)〉 = |n[R(t = 0)]〉, will remain in the ntheigenstate of H(R) at a later time t, acquiring onlya global phase factor:

|ψn (t)〉 = exp

[− i

∫ t

0

dt′En

(t′)]eiγn(t) |n[R (t)]〉 .

(5.1)The first phase factor is a direct generalization

of the time−independent H case; such contribu-tion is called dynamic phase due to explicitly timedependence. From the Schrödinger equation, it isstraightforward to show that the second phase, inequation 5.1, is given by [4]:

γn (t) =

∫ Rf

Ri

An (R) · dR, (5.2)

where An (R) =i 〈n(R)|ORn(R)〉 is known as theBerry connection, which is a vector function of R,independent of time (OR is the gradient with re-spect to R coordinate). It is important to empha-size that the phase γn only depends on the path Cdefined in ℘ which connects the points Ri and Rf .Therefore, γn is time−independent and has purelygeometric origins (by this virtue is called geometricphase). However, as written in equations 5.1 and5.2, the dynamical and the geometric phase are bothgauge−dependent. In particular, one can alwaysperform a transformation: |n(R)〉 = eiξ(R) |n(R)〉,implying that An (R) =⇒An (R)−∂Rξ(R). Thus:

γn=⇒γn + ξ [R (t = 0)]− ξ [R (t)] . (5.3)

That is, one can always change γn arbitrarilyapplying a gauge transformation [4]. Therefore,due to the arbitrariness of the geometric phase, itwas assumed that γn could not imply observablephysical effects. However, in 1984, Berry demon-strated that a quantum system, described by aHamiltonian H (R) , undergoing an adiabatic mo-tion around a closed loop C defined in ℘ (whereR (t = 0) = R (t = tfinal)) ends up removing thegauge−dependence of the geometrical phase (seeequation 5.3). Consequently, the line integral of theBerry connection around a closed curve in the pa-

rameter space, also denominated as Berry phase:

Θ =

∮C

An (R) ·dR, (5.4)

only depends on the geometric properties of pathC, and especially, due to the gauge−independence,Θ can lead to observable physical effects. Due tothis discovery, the customary conception that thephases of wavefunctions are always arbitrary provedto be totally erroneous: the adiabatic evolution of atime−dependent Hamiltonian around a closed curveimplies the existence of a non−arbitrary relativephase, which has observable physical consequencesand can be measured experimentally.

It is noteworthy that several generalizations ofthe geometric phase were developed. In particu-lar, Aharanov and Anandan generalized the geo-metric phase to closed loops in the quantum sys-tem itself, abdicating the use of parameter spaceand the adiabatic theorem [5]. Furthermore, theconcept of topological phase, extremely importantin physics, appears as a particular case in which theBerry phase is independent of the geometric proper-ties (precisely, the shape) of the path C. Topologi-cal phase manifestations are particularly fundamen-tal in condensed matter physics, especially for theinteger quantum Hall effect, superconductors andtopological insulators [4].

5.2.1 Magnetic analogyThe analogy between the Berry phase and mag-netism is worth noting. In particular, the Berrycurvature (An) is the analog of the familiar vec-tor potential A (also gauge−dependent) in a 3-dimensional parameter space, whereas the Berryphase, equation 5.4, is the remnant of a magneticflux passing through a closed loop in the parame-ter space (both gauge−independent). The magneticflux over a surface S

′enclosed by a loop C

′(in real

space) is, in particular, as follows:

ΦB =

∫S′

(∇×A) · dS=

∮C′

A (r) ·dr. (5.5)

When compared to Berry’s phase, equation 5.4,the analogy suggests the existence of a local fieldBn (known as the Berry curvature) defined by Bn

= ∇×An. Using Stokes’ theorem and equation 5.4,one obtains:

Θ =

∮C

An (R) ·dR =

∫S

Bn · dS, (5.6)

demonstrating that the Berry phase Θ is the ana-logue of a magnetic flux through a closed loop C

25

in the parameter space (see Figure 5.1). This pro-found connection is directly related to the topo-logical structure (vector bundle) generated by theHilbert space H and the parameter space ℘ of aquantum system. [9]

Figure 5.1: Berry flux through a closed loop in theparameter space. Figured adapted from [3].

5.3 Aharonov-Bohm effect

According to classical electrodynamics −formulatedin terms of Maxwell’s equations and the Lorentzforce −the potentials (ϕ,A) are only introduced asmere theoretical tools for calculating the electro-magnetic fields (E,B), which in turn, are the truephysical entities of the theory. Precisely, the rela-tion between fields and potentials is established as:

E = −Oϕ− ∂A

∂t,B = O×A. (5.7)

Therefore, the potentials can always be changedarbitrarily under a gauge transformation:

ϕ→ ϕ′

= ϕ− ∂Λ

∂t,A→ A

′= A + OΛ, (5.8)

where Λ = Λ(r, t) is an arbitrary scalar field.However, this gauge transformation does not affectthe electromagnetic fields, which, consequently, arenon−arbitrary and can correspond to physical ef-fects. On the other hand, potentials appear to bemore important in quantum mechanics: due to thecanonical formalism, the equations of motion cannotbe written only in terms of the fields. In particular,the Hamiltonian of a charged particle is expressed

totally in terms of the potentials:

H =1

2m

[iO− qA

]2

+ qϕ. (5.9)

Nevertheless, in quantum theory, all funda-mental equations and physical entities are stillgauge−invariant, also suggesting that potentialshave no physical significance. Thus, as in classicalelectrodynamics, one should expect that the motionof a charged particle cannot be electromagneticallyinfluenced in a region where the E and B fields arenull. However, Aharonov and Bohm (1959) madethe important prediction that the vector potentialA can affect the quantum behavior of a charged par-ticle, even when it moves over a null−field region(where E = B = 0)[2]. This new effect contradictsfundamental concepts of classical electrodynamicsand suggests a new interpretation of potentials inquantum theory (which is discussed in subsection5.3.2).

To understand the Aharonov−Bohm effect, sup-pose that a charged particle is moving over a regionwhere the magnetic field B is null, but the vectorpotential A is nonzero (obviously O×A = 0). Thetime−dependent Schrödinger equation is:

[1

2m

(iO− qA

)2

+ V

]Ψ = i

∂Ψ

∂t, (5.10)

to solve equation 5.10 it is useful to introduce a newwavefunction Ψ

′, defined as: Ψ = Ψ

′exp(ig), where

the phase g(r) is given by (this method implicitlyuses the Feynman path integral formulation):

g (r) =q

∫ r

O

A(r′)·dr′, (5.11)

where O designates an arbitrary reference point andg (r) is known as Dirac phase; this equation is onlyvalid in regions where O×A = 0, otherwise the lineintegral is path−dependent and does not define afunction of r [3]. Applying this transformation, it isstraightforward to show that Ψ

′satisfies:

− 2

2mO2Ψ

′+ VΨ

′= i

∂Ψ′

∂t. (5.12)

That is, Ψ′is governed by the Schrödinger equa-

tion in the absence of the vector potentialA. There-fore, in quantum mechanics, even in a null−field re-gion, the wavefunction of a charged particle is elec-tromagnetically affected by the presence of a vec-tor potential A, manifesting itself as a phase factorgiven by the Dirac phase. In summary, to solve

26

equation 5.10, one just need to solve Schrodingerequation for Ψ

′in the absence of A and multiply by

the phase factor eig.In this context, Aharonov−Bohm proposed the

following experiment (illustrated in Figure 5.2):consider an infinite solenoid arranged along thez−axis, with a magnetic flux ΦB (proportional toB) totally enclosed in its interior. In the (x, y)plane an electron beam is split into two wavepacketsat point P such that each wavepacket encloses thesolenoid on opposite sides. Finally, the wavepacketsrecombine at point P

′.

Figure 5.2: Scheme of the Aharonov−Bohm experi-ment. Note thatB = 0 in the entire range of motionof the electronic beams. Figure adapted from refer-ence [3].

Throughout the movement of the wavepackets,electromagnetic fields are always zero. Thus, froma classical point of view, the magnetic flux has noinfluence on the electrons (there is no Lorentz forceacting). However, there is a purely quantum ef-fect: the vector potential A is nonzero in the re-gion of motion (in cylindrical coordinates and withthe gauge condition O · A = 0, it is easy to showthat A(r) =ΦB/ (2πr) φ outside the solenoid), sothe two wavepackets arrives in point P

′with dif-

ference phases, given by the Dirac phase:

g =qΦB2π

∫ (1

rφ

)·(rdφφ) = ±qΦ

2. (5.13)

Note that the positive sign (+) applies for elec-trons circulating in the same direction as A (andtherefore in the same direction as the solenoidcurrent) and the negative sign (−) for the otherwavepacket. In summary, the beams of electronicwaves recombine at point P

′with a phase differ-

ence given by:

δAB =qΦB

. (5.14)

This phase difference is known as theAharonov−Bohm phase. As a result, there isa phase difference δAB (that can be measured withan interference experiment, as will be discussed insubsection 5.3.1 that is directly proportional to themagnetic field flux ΦB , even though the electronsnever come into contact with the magnetic fieldinside the solenoid.

In this context, Berry (1984) demonstrated thatthe Aharonov−Bohm phase is just a particular ex-ample of a non−trivial geometric phase [1]. Fol-lowing Berry’s approach, consider a charged par-ticle that is confined in a box (centered at pointR outside the solenoid) by a potential V (r−R)which prevents excitation to the next eigenstate ofthe Hamiltonian. Consequently, the eigenequationis given by:

1

2m

[iO− qA (r)

]2

+ V (r−R)ψn

= Enψn.

(5.15)Using the technique developed above, one looks

for a solution ψn = eigψ′

n, where (from equation5.11):

g =q

∫ r

R

A(r′) · dr

′, (5.16)

(with the proper choice O ≡ R) and ψ′

n satisfies theequation 5.12. To use the Berry phase concept, itbecomes necessary to transport the box in a closedloop around the solenoid (even in a non−adiabaticprocess). Precisely, it is straightforward to showthat the present Berry connection is given by [3]:

i 〈ψn|OR|ψ〉 =q

A (R) . (5.17)

Inserting in Berry phase expression, equation (4) ,it follows that:

Θ =q

∮A(R) · dR =

q

∫(O×A) · da =

qΦB

,

(5.18)confirming that the Aharonov−Bohm phase, equa-tion 5.14, is a particular example of a non−trivialBerry phase. Furthermore, the Aharonov−Bohmphase is also topological, since it is independent ofthe geometric properties of the path; precisely, itcan be demonstrated that the AB phase only hasa dependence on the winding number, which is thetopological invariant quantity of the problem (in ad-dition to the obvious dependence in ΦB) [4].

27

5.3.1 Experimental evidencesIt is worth noting the difficulty of the experi-ment proposed by Aharanov−Bohm: because thewavelength of the electrons is so small, the appa-ratus must be small enough to observe interfer-ence patterns; additionally, eliminating the mag-netic field in the region of movement of the elec-tronic beams becomes extremely difficult, becausethe magnetic flux is inevitably leaked at both endsof the solenoid. Therefore, although the (magnetic)Aharonov−Bohm effect was verified experimentallysoon after its discovery by Chambers and others[6], several physicists pointed out that the exper-iments were not entirely convincing, as the resultscould be attributed to the leakage of the magneticfield from both ends of the solenoids or ferromag-nets used. Thus, in a period of many controversiesabout the existence and interpretation of the ABeffect, Tonomura et al. (1986) conducted the mostconvincing experiment to date [7].

Precisely, Tonomura et al. replaced the solenoidwith a toroidal ferromagnet (Figure 5.3(b) and5.3(c)); in this configuration, the magnetic field linesare confined inside the toroid. Furthermore, to pre-vent any leakage of the magnetic field, they cov-ered the toroidal ferromagnet (6µ in diameter) witha superconducting layer of niobium. In particular,due to the Meissner effect, superconductors act as aperfect shield, confining the magnetic field entirelywithin the magnet [4]. The quantization of mag-netic flux is another essential attribute of supercon-ductors: every magnetic flux ΦB fully enclosed by asuperconductor is quantized in integer multiples ofthe quantum flux Φ0 = h/(2e).

Figure 5.3: (a) Interference pattern indicating anon−zero phase difference. (b) Scheme of thetoroidal sample covered with superconductor. (c)SEM image of the toroidal ferromagnetic. Figureextracted from reference [7].

Subsequently, Tonomura et al. measured the

phase difference δ between an electron wave passingthrough the hole and the other traveling outside theferromagnet toroid. Although varying quantities ofmagnetic flux were utilized, the phase differencesobserved were always identified as δ = π and δ = 0.As shown in Figure 5.3(a), each interference fringeinside the toroid lies in the middle of two fringesoutside the toroid, indicating the existence of theAB effect with a phase difference δ = π (mod. 2π).

To interpret the results, consider the quantizedmagnetic flux ΦB = nΦ0 due to the superconductor;substituting in the Aharonov−Bohm phase, one ob-tains δAB = eΦ/ = nπ. Consequently, the phasedifference reported by Tonomura et al. is exactlythe Aharanov−Bohm phase (δAB = 0 for even nand δAB = π for odd n), indicating, undoubtedly,the existence of the AB effect. The Tonomura ex-periment also demonstrates that the niobium layerbehaved like a perfect superconductor, quantizingmagnetic flux and preventing magnetic field leak-age from the toroidal ferromagnet.

At first, this crucial experiment was used to showthat potentials are more fundamental than E andB fields, corroborating the Aharonov−Bohm view.However, it has recently been argued that the su-perconducting film utilized could not shield themagnetic field generated by high−speed electronicwavepackets, allowing interaction between this mag-netic field and the magnetic field inside the toroid.Although new experiments and theoretical researchhave been proposed, there are still many debatesand controversies about the true interpretation ofthe phase difference δAB found in the experiments.

5.3.2 Consequences and interpreta-tions

The Aharonov−Bohm effect is conceptually rele-vant, as it suggests a new interpretation of funda-mental concepts in physics, including: (i) the (pos-sible) physical reality of electromagnetic potentials,(ii) the importance of local forces, and (iii) the prin-ciple of locality. Precisely, the Aharonov−Bohm ef-fect implies that the potentials A and ϕ are morefundamental than the E and B fields in quantumtheory. Nevertheless, all observable phenomena arestill expressed in terms of electromagnetic fields (asshown in the AB phase, where δAB is proportionalto the magnetic flux ΦB). Therefore, although po-tentials appear to have a more fundamental exis-tence, the quantum theory retains the gauge invari-ance.

The Aharanov−Bohm effect also illustrates thatthe concept of local force is not able to capture

28

all physical effects in quantum mechanics. Thisidea is natural, since the transition from classicalmechanics to quantum mechanics involves the re-placement of point bodies by waves; that is, en-ergy and momentum are the fundamental physi-cal quantities, as they determine the phases of thewavefunctions. Consequently, the canonical formal-ism, formulated in terms of energies and actionprinciples, has a more fundamental nature to de-scribe electromagnetic interactions than the New-tonian dynamics, based on forces. Precisely, in Fey-mann’s path−integral theory, the potentials are thefundamental quantities that can directly affect thephase of a wavefunction, and such variations canbe measured experimentally [4]. Furthermore, theAharanov−Bohm effect illustrates that local E andB fields do not carry all the information of electro-magnetism; therefore, to avoid the idea of action ata distance (maintaining the principle of locality), itbecomes necessary to admit that potentials are the“real” fields that provide a more complete descrip-tion of electromagnetism.

In this context, it is important to emphasize thatthere are still several debates about the true inter-pretation of the AB effect. In contrast to the in-terpretation elucidated so far, in which potentialsare physical entities that cause the observed phasedifference, another interpretation claims that δABis caused by the interaction of the charged parti-cle’s electromagnetic field with the external electro-magnetic field inside the solenoid. From this energyinteraction picture, the phase difference is a mereresult of ordinary interference and potentials canonce again be seen as theoretical tools [8]. Althougheven today there is no satisfactory evidence for oneof these interpretations, many recent works havebeen proposed to elucidate this important problem,which has several influences on physics as a whole.

5.4 Conclusions

The phases of wavefunctions have physical sig-nificance whenever a quantum system evolvesthrough a closed−loop, as proven in this paper.The importance of potentials and electromagneticfields in quantum theory is elucidated by theAharonov−Bohm effect, which is a particular ex-ample of a non−trivial Berry phase. Precisely, theAharanov−Bohm effect shows that assuming quan-tum mechanics is correct (despite all the debates),potentials must be regarded as the true physicalfields, with all electromagnetic effects being solelydependent on their curl and spatial variations. How-

ever, due to the alternative interpretation of theenergy interaction, new experiments are needed toelucidate the proper source of the observed phasedifference δAB , as these results are essential for sev-eral areas of physics, particularly gauge theories.

Bibliografia[1] BERRY, M.V.Quantal phase factors accom-

panying adiabatic changes, Proceedings of theRoyal Society of London. A. Mathematical andPhysical Sciences, v. 392, n. 1802, p. 45-57, 1984.

[2] AHARONOV, Y; BOHM, D. Significance ofelectromagnetic potentials in the quantum the-ory. Physical Review, v. 115, n. 3, p. 485, 1959.

[3] GRIFFITHS, D. J. Introduction to quantum me-chanics. Prentice Hall, second edition, 2010.

[4] GIRVIN, S. M.; YANG, K.Modern condensedmatter physics.Cambridge University Press,2019.

[5] AHARONOV, Y.; ANANDAN, J. Phase changeduring a cyclic quantum evolution. Physical Re-view Letters, v. 58, n. 16, p. 1593, 1987.

[6] CHAMBERS, R. G. Shift of an electron interfer-ence pattern by enclosed magnetic flux. PhysicalReview Letters, v. 5, n. 1, p. 3, 1960.

[7] TONOMURA, Akira et al. Evidence forAharonov−Bohm effect with magnetic field com-pletely shielded from electron wave. Physical re-view letters, v. 56, n. 8, p. 792, 1986.

[8] WANG, Rui−Feng. An experimental proposal totest the physical effect of the vector potential.Scientific reports, v. 6, n. 1, p. 1−5, 2016.

[9] COHEN, E. et al. Geometric phase fromAharonov–Bohm to Pancharatnam–Berry andbeyond. Nature Reviews Physics, v. 1, n. 7, p.437-449, 2019.

29

6

The Jaynes-Cummings modelMatheus Fernandes Sousa LemesInstituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, 13560-970 São Carlos, SP, Brazil

Resumo: The Jaynes-Cummings (JC) model is atheoretical model in quantum optics and describesthe interaction of a single two-level atom with a sin-gle electromagnetic field mode. The JC model givesa fully quantum mechanical treatment of the atomand the field and is essential to the understanding ofa strong light-matter interaction. This article pro-vides a basic description of the model, analyzing theHamiltonian of the system and characterizing its dy-namics. The avoided crossing, vacuum Rabi oscilla-tions, and collapse and revival effects are presentedtheoretically and with experimental verifications.

6.1 Introduction

The understanding of strong light-matter interac-tion is of fundamental importance in many areasranging from atomic physics [8] to superconductingqubits strongly coupled to waveguide resonators [2].One of the most successful models to describe thisinteraction is the Jaynes-Cummings (JC) model,which was originally developed in a 1963 article byEdwin Jaynes and Fred Cummings to elucidate theeffects of giving a fully quantum mechanical treat-ment to the behavior of atoms interacting with anelectromagnetic field [1]. The model describes thesystem of a two-level atom interacting with a singlequantized mode of a cavity field and has been anpopular framework to study the light-matter inter-action.

Generalized theories of the JC model have beenperformed in different ways. Some generalizationstake into account the effect of the environment onthe dynamical evolution of the system, which can beclassified into Markovian [5] and non-Markovian [6]processes. Moreover, the effect of multiple two-levelatoms and two-photon interactions has been studied[7]. Although those generalizations are importantto the development of the area, the JC model is

still widely used since it can be solved analyticallyand accurately predicts a wide range of interestingphenomena.

This paper aims to offer a guide to young physi-cists interested in the Jaynes-Cummings model andis structured as follows. In section 6.2, the JCHamiltonian is derived. The Rabi splitting and vac-uum Rabi oscillations, together with collapse andrevival effects, are presented theoretically in section6.3. Then, section 6.4 is devoted to show the ex-perimental testing of the model in the context ofcavity quantum electrodynamics (cQED). Finally,our conclusions are summarized in section 6.5.

6.2 The model

In this section, we derive the Jaynes-CummingsHamiltonian. It can be written as

H = Hatom + Hfield + Hint, (6.1)

where the first term is the atomic excitation Hamil-tonian, the second term is the field Hamiltonian andthe third term is the atom-field interaction Hamilto-nian. Now, we calculate each term in the equation(6.1).

6.2.1 Two-level atom Hamiltonian

There are two possible states for a two-level atom,which are denoted |g〉 for the ground state with en-ergy Eg and |e〉 for the excited state with energyEe. In a vector representation, we have

|g〉 =

(01

), |e〉 =

(10

).

30

The Hamiltonian is given by

Hatom = Ee |e〉 〈e|+ Eg |g〉 〈g| =(Ee 00 Eg

)=

1

2(Eg + Ee)I +

1

2(Ee − Eg)σz,

(6.2)

where σz is the Pauli’s matrix in the z direction andis defined as

σz =

(1 00 −1

)(6.3)

Writing the energy difference as ~ωa = Ee − Eg,where ωa is the atomic transition frequency, andshifting our zero of energy to Eg+Ee, we can rewritethe atomic Hamiltonian as

Hatom =1

2~ωaσz. (6.4)

6.2.2 Electromagnetic field Hamilto-nian

To derive the electromagnetic field Hamiltonian fora single mode, we start from Maxwell’s equations infree space (without charges and currents). Withinthe Coulomb gauge, we have Φ = 0 and ∇ ·A = 0,where Φ is the scalar potential and A is the vectorpotential. The solution of the wave equation for Ain a single mode is

Ak = ~εk

[A+

0kei(k·r−ωkt) +A−0ke

−i(k·r−ωkt))],

(6.5)where ~εk is the polarization of the field and A−0k =(A+

0k)∗. Additionally, we must have ωk = ck tosatisfy the wave equation, which is simply the dis-persion relation of light.

The second quantization consists in understand-ing the amplitudes A+

0k and A−0k as operators sat-isfying the commutation rule [A+

0k, A−0k] = 1. We

can write A+0k and A−0k in terms of dimensionless

operators

A+0k ≡

(√~

4ε0V ωk

)ak, A

−0k ≡

(√~

4ε0V ωk

)a†k.

Consequently, the operator Ak is

Ak = ~εk

√~

4ε0V ωk

[ake

i(k·r−ωkt) + a†ke−i(k·r−ωkt)

].

(6.6)From (6.6), we can calculate the electric and mag-netic field operators for a single mode as Ek =

−∂Ak

∂t and Bk =∇× Ak:Ek = i√

~ωk2ε0V

[ake

i(k·r−ωkt) − a†ke−i(k·r−ωkt)]~εk,

Bk = i√

~ωk2ε0V

[ake

i(k·r−ωkt) − a†ke−i(k·r−ωkt)]k× ~εk.

(6.7)

Finally, the Hamiltonian can be written in termsof the total energy of the electromagnetic field

Hfield =ε02

∫(E2

k + c2B2k)dV = ~ωk

(a†kak +

1

2

).

(6.8)

6.2.3 Interaction HamiltonianIn the dipole approximation, the atom-field interac-tion can be expressed as

Hint = −d · Ek, (6.9)

where d is the dipole operator. For a two-level atomit is simply given by

d = dge(e−iωat |g〉 〈e|+ eiωat |e〉 〈g|)= dge(e−iωatσ− + eiωatσ+),

(6.10)

in which dge ≡ 〈g| d |e〉, σ− = |g〉 〈e| and σ+ =|e〉 〈g|. Also, we assumed, without loss of general-ity, that dge is a real vector. Inserting the expres-sions for the dipole and electric field operators atthe equation (6.9), we have

Hint =i~Ω

2e−i(ωk−ωa)σ+ak +

i~Ω

2e−i(ωk+ωa)σ−ak

− i~Ω∗

2ei(ωk+ωa)σ+a†k −

i~Ω∗

2ei(ωk−ωa)σ−ak,

(6.11)

where we introduced the Rabi frequency as

~Ω

2=

√~ωk2ε0V

dge · ~εkeik·r. (6.12)

In first order processes, only the first and andforth terms respect energy conservation, so we canneglect the second and third terms (this is thesame to making the rotating wave approximation).Therefore, the interaction Hamiltonian is

Hint =i~Ω

2e−i∆ktσ+ak −

i~Ω∗

2ei∆ktσ−a†k, (6.13)

in which ∆k = ωk − ωa is the detuning.

6.3 Theoretical predictionsAs described in the last section, the JC Hamiltonianis given by

HJC =1

2~ωaσz + ~ωk

(a†kak +

1

2

)+i~Ω

2e−i∆ktσ+ak −

i~Ω∗

2ei∆ktσ−a†k.

(6.14)

31

Without interaction, the eigenstates are simplyproduct states of the atomic states and the photonnumber states

|g, n〉 = |g〉 |n〉 and |e, n〉 = |e〉 |n〉 . (6.15)

The interaction Hamiltonian can only cause tran-sitions of the type |g, n〉 ↔ |e, n− 1〉. Hence, fora fixed n, it is sufficient to consider only the bidi-mensional Hilbert space |g, n〉 , |e, n− 1〉. Withinthis subspace, and for n ≥ 1, the JC Hamiltonian isgiven by the matrix

H(n)JC = ~

(nωk − ωa

2iΩ2

√n

− iΩ2√n (n− 1)ωk + ωa

2

). (6.16)

For n = 0, we simply have H(0)JC = −~ωa/2.

6.3.1 Rabi splitting

The diagonalization of equation (6.16) yields the en-ergy eigenvalues (for n ≥ 1)

E(n)± =

(n− 1

2

)~ωk ±

~Gn2

, (6.17)

where Gn =√

∆2k + nΩ2 is the generalized n-

photon Rabi frequency. The corresponding eigen-vectors are

|ψ(n)+ 〉 = cos θn |g, n〉 − i sin θn |e, n− 1〉|ψ(n)− 〉 = sin θn |g, n〉+ i cos θn |e, n− 1〉 ,

(6.18)where θn = (1/2) arg(∆k+ iΩ

√n) and θn ε [0, π/2].

These states are called dressed states and are linearcombinations of the states of the uncoupled system.Figure 6.1(a) shows a comparison of the energy-leveldiagram for the uncoupled and coupled states.

At resonance (∆k = 0), the degeneracy of the twoenergy states of the uncoupled system is lifted andthe energy separation is given by ∆E(n) = ~Gn =~Ω√n, as can be seen in figure 6.1(b) for the case

of one excitation (either in the atom or the field).This effect is known as Rabi splitting and is, infact, a special case of the avoided crossing princi-ple commonly observed in quantum mechanics. Onthe other hand, for a large detuning, the dressedstates are asymptotically equal to the naked states,showing that the coupling tends to zero.

Figure 6.1: (a) Energy-level diagram. In the ab-sence of coupling, the eigenstates are product statesof the atomic and photon states, so we can have theatom in the ground state and n photons (left) orthe atom in the excited state and n photons. Inthe presence of coupling, the excited energy levelsare linear combinations of the naked states and arecalled dressed states. (b) Energy transitions for theuncoupled and coupled states when there is one ex-citation as a function of the cavity’s frequency.

6.3.2 Vacuum Rabi oscillations

Now, we discuss the dynamics contained in theJaynes-Cummings Hamiltonian for the resonantcase (∆k = 0). Let the initial state of system be|ψ(0)〉 = |e, 0〉. Since just transitions of the type|g, n〉 ↔ |e, n− 1〉 are allowed, the only other possi-ble state is |g, 1〉. Hence, the state of the system atgiven time is

|ψ(t)〉 = ce,0(t) |e, 0〉+ cg,1(t) |g, 1〉 . (6.19)

In the interaction picture, the time evolution of sys-tem is

i~∂

∂t|ψint(t)〉 = Hint |ψint(t)〉 , (6.20)

where we made the transformation |ψ(t)〉 →|ψint(t)〉 ≡ ei(Hatom+Hfield)t/~ |ψ(t)〉.

32

Inserting equation (6.19) in equation (6.20) givesus a pair of differential equations for the coefficientsce,0(t) and cg,1(t):

∂∂tce,0(t) = − iΩcg,12∂∂tcg,1(t) = − iΩce,02 .

(6.21)

With the initial conditions ce,0(0) = 1 and cg,1(0) =0, the solutions for the coefficients are

ce,0(t) = cos Ωt2

cg,1(t) = −i sin Ωt2

(6.22)

and the probability amplitudes for each state arePe,0(t) = |ce,0(t)|2 = cos2

(Ωt2

)Pg,1(t) = |cg,1(t)|2 = sin2

(Ωt2

).

(6.23)

The levels occupation probabilities of the JC sys-tem oscillate with frequency Ω. This process iscalled vacuum Rabi oscillations and a visual rep-resentation can be seen in figure 6.2. Physically, itmeans that the spontaneous emission of a photon bythe atom inside a cavity becomes a reversible pro-cess, with an oscillatory behavior in time, which isin hard contrast with the irreversible spontaneousemission in free space, with exponential decay intime.

Figure 6.2: Plot of the Rabi oscillations for theprobability amplitudes.

6.3.3 Collapse and revival of proba-bilities

Another interesting situation is when the atom is inthe ground state and the field is in a coherent state:

|ψ(0)〉 = |g, α〉 =

∞∑n=0

e−|α|2/2 α

n

√n!|g, n〉 . (6.24)

The time evolution of the system is

|ψ(t)〉 = e−iH(n)JC t/~ |ψ(0)〉

= e−|α|2/2eiωat/2 |g, 0〉

+

∞∑n=1

e−|α|2/2 α

n

√n!e−i(n−1/2)ωkt

(cos θne

−iGnt/2 |ψ(n)+ 〉+ sin θne

iGnt/2 |ψ(n)− 〉

)(6.25)

where H(n)JC is given equation (6.16). From (6.25),

we can calculate the probability amplitude to findthe atom in the excited state at time t:

Pe(t) = | 〈e| |ψ(t)〉 |2

=1

2

∞∑n=1

e−|α|2 |α|2n

n!

(1− cosGnt

1 + ∆2k/nΩ2

).(6.26)

Figure 6.3 shows a numerical calculation of theprobability amplitude of the excited state as func-tion of time according to the last equation (|α|2 =25). Now, we analyze the physics behind (6.26) forthe resonant case and high coherent field amplitudes(|α|2 1). It is possible to show that in this limit

Pe(t) ≈1

2

(1− eΩ2t2/4 cos (Ω|α|t)

), (6.27)

where the oscillations occur at frequency Gn witha Gaussian envelope width tc ≈ 2

√2Ω, known as

coherence time (collapse time). It can be under-stood in terms of a destructive interference of Rabioscillations at different frequencies, in which only anarrow range of Rabi frequencies around G〈n〉 playsa role in the dynamics. This effect is regarded as“classical”. On the other hand, the revival effectis a purely quantum feature due to the nature ofthe quantized electromagnetic field and it happenswith a period of time tr ≈ 4π|α|/Ω > tc. It is in-terpreted as a constructive interference of two Rabioscillations at two close frequencies (and necessarilyclose to the central frequency). For long times theeffect gets more and more ruined since the revivalsare never complete.

33

Figure 6.3: Numerical simulation of the collapse andrevival effect. Adapted from [3].

6.4 Experimental verification

In this section, we describe two experiments thatallow the observation of the theoretical predictionsdiscussed in section 6.3. It is important to notethat these experiments are realistic quantum sys-tems open to uncontrollable environments that actas sources of decoherence and dissipation. Nonethe-less, the key features of the JC model can still beverified in those contexts.

6.4.1 Artificial cQED with qubits

One recent demonstration of the avoided crossingand vacuum Rabi oscillations was shown by Mo-hammad M. et al in a emergent atom-cavity system[4]. They used an array of N mirror qubits cou-pled to a waveguide and with a probe qubit at thecentre of the mirror array. The bosonic field is cre-ated by a collective dark state of two qubit mirrors(top panel of figure 6.4(a)). This system can bedescribed as an analogue to a cavity QED system,providing the fraction of excited array qubits re-mains small as N increases, in which the probe qubitplays the part of a two-level atom and the dark statemimics a high-finesse cavity (middle panel of figure6.4(a)). The strong coupling regime of cavity QEDis achieved between the excited state of the probequbit (|e〉p |G〉) and the single photon in the atomiccavity (|g〉p |D〉).

The fabricated superconducting circuit used torealize the waveguide QED system is shown in figure6.4(b). It consists of seven tunable transmon qubits(Q1-Q7) that interact via microwave photons in asuperconducting coplanar waveguide. The transi-tion frequency of each qubit is tunable by a voltageport (Z1-Z7). The researchers used the qubit Q4

as the probe qubit, which can be independently ex-

cited and measured. The other qubits are the mirrorqubits and are separeted in two types with differentwaveguide coupling rates.

Figure 6.4: (a) Schematic configurations of thewaveguide (top) and cavity (middle) QED. The bot-tom panel shows the energy-level diagram of thesystem of three qubits (two mirror, one probe). (b)Optical image of the fabricated waveguide QED cir-cuit. (c) Transmission spectrum measured betweenthe probe qubit drive line XY4 and the waveguideoutput as a function of flux bias tuning of the probequbit. The dashed red lines correspond to numericalpredictions with experimentally measured qubit pa-rameters. (d) Measured population of the excitedstate of the probe qubit for three different scenarios:all mirror qubits tuned away (top) and probe qubittuned into resonance with Q2 and Q6 (middle) orQ1 and Q7 (bottom) mirror qubits. All figures areadapted from Mohammad M. et al. [4].

Figure 6.4(c) shows that the hybridized atomiccavity-probe qubit system displays a vacuum Rabisplitting (≈ 6 MHz). According to the authors,this splitting is roughly two orders of magnitudegreater than the decay and dephasing rates, showingthat the system is well within the strong couplingregime. Additionally, they performed time-resolvedmeasurements to investigate the probe qubit’s pop-ulation dynamics (see 6.4(d)). When the probequbit’s frequency is detuned, a simple exponentialdecay curve is observed (red curve). For the casein which the probe qubit is in resonance with ei-ther type of mirror qubits, the system undergoesvacuum Rabi oscillations, demonstrating again thestrong coupling between the probe qubit and thecavity-like mode.

34

6.4.2 Rydberg atoms in a supercon-ducting microwave cavity

Another realization of the strong coupling regimewas done by Michel B. et al.[8]. They used a su-perconductive microwave cavity coupled to Rydbergatoms. In particular, the researchers used Rubid-ium atoms excited in circular Rydberg states (prin-cipal quantum numbers 51 and 50) with a transitionfrequency of approximately 51 GHz. A schematicdiagram can be seen in figure 6.5(a). The Rubid-ium atoms, effusing from the oven O, are preparedby a time resolved process into the circular Ryd-berg state in the box B. The cavity C is made oftwo niobium superconducting mirrors. A small co-herent field is injected by source S and the transferrate between the excited state e (principal quantumnumber 51) and ground state g (principal quantumnumber 50) are measured by detector D.

Figure 6.5: (a) Schematic diagram of the exper-imental setup. (b) Left panel represents the col-lapse and revival effects depending on the averagephoton number (〈n〉 ≈ 0, 0.4, 0.85 and 1.77 fromtop to bottom, respectively). Middle panel is thecorresponding Fourier transforms and right panelis the corresponding photon number distributions.Adapted from Michel B. et al. [8].

The left panel of figure 6.5(b) shows the transferrate between e and g as a function of time. Forthe case of a cavity vacuum, the system undergoessimple Rabi oscillations, with four oscillations beingobserved, until damping and decoherence processesdominate. As the coherent field is introduced, thesignal is no longer sinusoidal and the collapse andrevival effect can be seen. A better visualization ofthis process is shown in middle panel by the corre-sponding Fourier transforms. Discrete peaks at fre-quencies Ω = 47 kHz, Ω

√2, Ω√

3 and 2Ω are clearlyobservable, revealing the quantized nature of thefield up to three photons. Finally, the right panelshows the corresponding photon number distribu-tions. When there is no injected field, the distribu-tion follows a exponential decay, as expected for a

thermal radiation. The introduction of a coherentfield changes the photon probability to a Poissondistribution, which is a signature of a coherent ra-diation.

6.5 ConclusionTo summarize, we intended in this article to pro-vide the basic elements for the comprehension of theJaynes-Cummings model. The JC Hamiltonian wasderived from general statements and the eigenvaluesand eigenvectors of the bidimensional Hibert spacethat describes the system were calculated. Then,we described the incredible features contained in themodel, such as the avoided crossing, vacuum Rabioscillations and collapse and revival of probabilities.Finally, two key-experiments were described in thelast section, where the theoretical predictions areconfirmed as a result of impressive observations andmeasurements.

Bibliografia[1] E. T. Jaynes and F. W. Cummings. Comparison

of quantum and semiclassical radiation theorieswith application to the beam maser. Proceedingsof the IEEE 51, 89–109 (1963).

[2] Göppl, M. et al. Climbing the Jaynes–Cummingsladder and observing its nonlinearity in a cavityQED system. Nature 454, 315–318 (2008).

[3] Courteille, P. Quantum Mechanics applied toAtoms and Light. University of São Paulo(2021).

[4] Mohammad M. et al. Cavity quantum electro-dynamics with atom-like mirrors. Nature 569,692-697 (2019).

[5] Breuer, Heinz-Peter, and Francesco Petruccione.The theory of open quantum systems. OxfordUniversity Press on Demand (2002).

[6] Piilo, Jyrki, et al. Non-Markovian quantumjumps. Physical review letters 100, 180402(2008).

[7] Garbe, L., et al. Superradiant phase transitionin the ultrastrong-coupling regime of the two-photon Dicke model. Physical Review A 95,053854 (2017).

[8] Brune, Michel. et al. Quantum Rabi Oscillation:A Direct Test of Field Quantization in a Cavity.Physical review letters 76, 1800 (1996).

35

7

O efeito Stark quadrâtico e dinâmicoJosé Yitzhak Aarón Chacaliaza RicaldiInstituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, 13560-970 São Carlos, SP, Brazil

Resumo: Neste seminário é apresentada a físicado efeito Stark, que é a mudança e divisão de lin-has espectrais de átomos e moléculas devido à pre-sença de um campo elétrico externo e com apli-cações na Física Contemporânea. Para entender oefeito Stark, temos que partir da teoria das pertur-bações e estudar a interação entre o campo elétricoe o átomo.

7.1 Introdução

Possivelmente, a aplicação mais prática e direta dométodo de perturbação tem a ver com o estudo doátomo de hidrogênio. Sem aplicar qualquer per-turbação ao átomo de hidrogênio, todos os tiposde efeitos e consequências aparecem na solução daequação de Schrödinger que permitem um melhorentendimento do que acontece quando tais resul-tados são estendidos a outros átomos, explicandomuito bem o que acontece na formação do elementosda Tabela Periódica. Tudo o que sabemos hoje so-bre as propriedades dos elementos relacionados aosseus orbitais atômicos vem dos resultados fornecidospela Mecânica Quântica.

Na física atômica, o efeito Stark (que leva o nomede seu descobridor Johannes Stark, que o desco-briu em 1913 e recebeu o Prêmio Nobel de Físicaem 1919) é a modificação dos estados eletrônicossob a ação de um campo elétrico que resulta no es-touro e deslocamento de linhas espectrais em várioscomponentes. O valor de energia desta mudança échamado de mudança Stark (mudança Stark).

O efeito Stark é o deslocamento e duplicação daslinhas espectrais de átomos e moléculas devido àpresença de um campo elétrico estático. Em geral,é feita uma distinção entre o efeito Stark de primeirae segunda ordem. O efeito de primeira ordem varialinearmente com a intensidade do campo elétrico,enquanto o efeito de segunda ordem varia quadrati-

camente com a intensidade do campo.O efeito Stark também explica o alargamento das

linhas espectrais devido às partículas carregadas.Quando as linhas duplicadas / deslocadas apare-cem no espectro de absorção, o efeito é chamadode efeito Stark reverso. O efeito Stark é o análogoelétrico do efeito Zeeman, onde uma linha espectralé dividida em vários componentes devido à presençade um campo magnético.

7.2 Contexto histórico

O efeito recebeu o nome do físico alemão JohannesStark, que o descobriu em 1913. Foi descobertoindependentemente no mesmo ano pelo físico ital-iano Antonino Lo Surdo e, na Itália, às vezes échamado de efeito Stark-Lo Surdo. A descobertadesse efeito contribuiu significativamente para o de-senvolvimento da teoria quântica, e Stark recebeu oPrêmio Nobel de Física em 1919. [1]

Inspirado pelo efeito Zeeman magnético, e es-pecialmente pela explicação de Hendrik Lorentz,Woldemar Voigt realizou cálculos mecânicos clás-sicos de elétrons quase elasticamente ligados em umcampo elétrico. Usando índices experimentais de re-fração, ele deu uma estimativa das clivagens Stark.Essa estimativa era algumas ordens de magnitudemuito baixa. Destemido por esta previsão, Starkfez medições nos estados excitados do átomo dehidrogênio e conseguiu observar divisões.

Usando a teoria quântica de Bohr-Sommerfeld("velha"), Paul Epstein e Karl Schwarzschild foramcapazes de derivar independentemente equaçõespara o efeito Stark linear e quadrático nohidrogênio. Quatro anos depois, Hendrik Kramersderivou fórmulas para as intensidades das tran-sições espectrais. Kramers também incluiu o efeitode estrutura fina, com correções para a energiacinética relativística e o acoplamento entre o spin

36

do elétron e o movimento orbital. O primeiro trata-mento de mecânica quântica (dentro da estruturada mecânica da matriz de Werner Heisenberg) foirealizado por Wolfgang Pauli. Erwin Schrödingerdiscutiu o efeito Stark longamente em seu terceiroartigo sobre a teoria quântica (no qual ele introduziusua teoria de perturbação), uma vez à maneira dotrabalho de Epstein de 1916 (mas generalizado davelha para a nova teoria quântica) e uma vez parasua abordagem de perturbação ( primeira ordem).Finalmente, Epstein reconsiderou o efeito Stark lin-ear e quadrático do ponto de vista da nova teoriaquântica. Ele derivou equações para as intensidadesde linha que foram uma melhoria decidida nos resul-tados de Kramers obtidos pela antiga teoria quân-tica.

Embora o efeito Stark da perturbação de primeiraordem (linear) sobre o hidrogênio concorde com oantigo modelo de Bohr-Sommerfeld e com a teoriada mecânica quântica do átomo, as correções de or-dem superior não o são. As medições do efeito Starksob altas intensidades de campo confirmaram a pre-cisão da nova teoria quântica [3].

7.3 Background teórico

Como já mencionado, o efeito leva o nome do físicoalemão Johannes Stark, que o descobriu em 1913.Foi descoberto de forma independente no mesmoano pelo físico italiano Antonino Lo Surdo, e naItália às vezes é chamado de efeito Stark-Lo Surdo.A descoberta desse efeito contribuiu significativa-mente para o desenvolvimento da teoria quântica eStark recebeu o Prêmio Nobel de Física em 1919.Muito curioso sobre Stark, ele foi um dos retratoresda teoria quântica.

7.3.1 Expansão multipolar

O efeito Stark se origina da interação entre uma dis-tribuição de carga (átomo ou molécula) e um campoelétrico externo. A energia de interação de uma dis-tribuição de carga contínua ρ(r) confinada em umvolume finito V com potencial eletrostático externoφ(r) é:

Vint =

∫V

ρ(r)φ(r)d3r

Esta expressão é válida tanto clássica quantomecânica quântica. Se o potencial varia fraca-mente ao longo da distribuição de carga, a expansãomultipolar converge rapidamente, então apenas al-guns primeiros termos fornecem uma aproximaçãoprecisa. Ou seja, mantendo apenas os termos de

primeira ordem e zero. A aproximação:

φ(r) = φ(0)−3∑i=1

riFi

O fator de campo elétrico Fi = − ∂φ∂ri

introduzidoe foi assumido que na origem 0 estava dentro dovolume V , então:

Vint = φ(0)

∫V

ρ(r)d3r −3∑i=1

Fi

∫V

ρ(r)rid3r

Os objetos macroscópicos clássicos são geralmenteneutros ou quase neutros (q = 0), portanto, oprimeiro termo monopolo na expressão anterior éigual a zero. Este também é o caso de um átomo oumolécula neutra. No entanto, para um íon, isso nãoé mais verdade. No entanto, a omissão costuma serjustificada também neste caso. Na verdade, o efeitoStark é observado em linhas espectrais, que são emi-tidas quando um elétron "salta" entre dois estadosligados. Uma vez que tal transição altera apenas osgraus de liberdade internos do atomo, mas não suacarga, os efeitos da interação monopolo nos estadosinicial e final se cancelam exatamente.

Vint = qφ(0)−3∑i=1

µiFi = qφ(0)− ~µ · ~F

Onde q e ~µ são, respectivamente, a carga total e omomento de dipolo da distribuição de carga.

7.3.2 Teoria de perturbaçãoVoltando agora para a mecânica quântica, vocêpode pensar em um átomo ou uma molécula comouma coleção de cargas pontuais (elétrons e núcleos),então a definição de dipolo se aplica [3]. A interaçãodo átomo ou molécula com um campo externo uni-forme é descrita pelo operador.

Vint = −~µ · ~F = −~d · ~E

Este operador é usado como um perturbação na teo-ria de perturbaçãoes de primeira e segunda ordempara explicar o efeito Stark de primeira e segundaordem [2].

Então, o cálculo das correções de primeira ordempelo método da perturbação não apresenta nenhumproblema, pois não há como apresentar o problemada divisão por zero:

E1n =< ψ0

n| − ~d · ~E|ψ0n >= e ~Ez ·

∫R3

z|ψ0n|2d3r = 0

37

Isso só se aplica quando os estados têm uma pari-dade bem definida e NÃO são degenerados em l.

Quando SÃO degenerados em l, que é o casodo hidrogênio, os estados não têm uma paridadedefinida. Por exemplo, s e p estados que contribuempara o mesmo estado |ψn,j > tenho paridades difer-entes. Nesse caso, a condição não precisa ser satis-feita e a primeira ordem de perturbação produz umvalor, como se ve na figura 7.1. Este é o caso doefeito Stark linear, tendo os valores de energia:

ε = 0,−3eaB | ~E|,+3eaB | ~E|

Figure 7.1: Gráfico do efeito Stark Linear da per-turbação de primeira ordem.

7.4 Efeito Stark quadrático

Os termos de 2do ordem são estados e energias Starkquadraticas:

|ψ2n >= e ~Ez

∑n′ 6=n

|ψ0n >

< ψ0n′ |z|ψ0

n >

En − En′

ε2n = e2|Ez|2∑n′ 6=n

| < ψ0n′ |z|ψ0

n > |2

En − En′

Esta é uma mudança negativa na energia comose ve na figura 7.2. O termo negativo vem do fatode que o átomo de hidrogênio ao ser polarizadocom a aplicação do campo elétrico ε sofre um al-inhamento para cancelar pelo menos parcialmenteo campo elétrico que é aplicado a ele (tome issocomo o equivalente elétrico do terceira lei de New-ton, a lei de ação e reação). Observe acima que amudança na energia é proporcional ao quadrado docampo elétrico aplicado ε, e por esta razão o efeitode segunda ordem é conhecido como efeito Starkquadrático, que é diferente e não deve ser confun-dido com o efeito Stark de primeira ordem efeito.ordem (assim chamado em memória do físico Jo-hannes Stark que o descobriu experimentalmente,

enquanto se aguarda a explicação teórica do efeitoaté que a Mecânica Quântica se enraíze na comu-nidade científica) onde a variação é linearmente (nãoquadraticamente) proporcional ao campo elétricoaplicado [2].

Figure 7.2: Gráfico do efeito Stark cuadratico daperturbação de segundo ordem.

Agora, con a equação que describe a polarizabil-idade:

ε2n = −1

2|∑i,j=1

αi,j < ψ0n′ |z|ψ0

n > |2

Então o tensor polarizabilidade αij são definidospela expreção:

αij = −2∑n′ 6=n

| < ψ0n′ |z|ψ0

n > |2

En − En′

Onde ε2n a energia do efeito Stark cuadratico.Desprezando a estrutura hiperfina (que é muitas

vezes justificada, a menos que os campos eléctricosextremamente fracos são consideradas), o tensor depolarização dos átomos é isotrópica,

αij = α0δij

ε2n = −1

2α0|qE|2

Para algumas moléculas, essa expressão tambémé uma aproximação razoável.

É importante notar que para o estado funda-mental α0 é sempre positivo, ou seja, a mudançaquadrática de Stark é sempre negativa.

7.5 Efeito Stark dinâmicoEm espectroscopia, o efeito Autler-Townes (tam-bém conhecido como efeito AC Stark), é um tipode efeito Stark dinâmico correspondente ao caso emque um campo elétrico oscilante (por exemplo, o deum laser) é sintonizado em ressonância (ou próximo

38

a) na frequência de transição de uma determinadalinha espectral e resulta em uma mudança na formados espectros de absorção / emissão dessa linha es-pectral. O efeito AC Stark foi descoberto em 1955pelos físicos americanos Stanley Autler e CharlesTownes [5].

Es el equivalente en CA del efecto Stark que di-vide las líneas espectrales de átomos y moléculas enun campo eléctrico constante. En comparación consu contraparte de CC, los campos del efecto de CAsuelen ser mucho más grandes y los efectos son másdifíciles de predecir.

Embora geralmente se refira a mudanças espec-trais atômicas devido a campos AC em qualquer fre-quência (única), o efeito é mais pronunciado quandoo campo é sintonizado na frequência de uma tran-sição natural de dois níveis. Nesse caso, o campoalternado tem o efeito de dividir os dois estados detransição nus em dupletos ou "estados vestidos" quesão separados pela frequência Rabi. Isso é comu-mente realizado usando um laser ajustado para (oupróximo a) a transição desejada.

No modelo de dois niveis, o hamiltoniano é:

H = H0 − ~d · ~Ecosωt

Ho|i >= εi

Então a solução é:

|ψ(t) >= c1(t)e−iω1t|1 > +c2(t)e−iω2t|2 >

H|ψ(t) >= i~d

dt|ψ(t) >

Então:

c1 =iΩ∗

2e−i∆tc2(t)

c2 =iΩ

2ei∆tc1(t)

Considerando a aproximação de onda girante(RWA):

∆ = ω − (ω2 − ω1)

Ω =< 2|~d · ~E|1 >

2

De las condiciones iniciais: c1(0) = 1 é c2(0) = 0,no caso ressonânte (∆ = 0), a solução é:

c1(t) =1

2(ei∆t/2 + e−i∆t/2)

c2(t) =1

2(ei∆t/2 − e−i∆t/2)

Então o estado é:

|ψ(t) >=1

2[ei∆t/2 |1〉+e−i∆t/2 |1〉+ei∆t/2 |2〉−e−i∆t/2 |2〉]

Essa divisão resulta em um ciclo de Rabi ou umaoscilação de Rabi entre estados nus que não sãomais estados próprios de energia do campo atômicohamiltoniano. O espectro de fluorescência resul-tante de um átomo é conhecido como tripleto deMollow, como se ve na figura 7.3. A divisão ab-soluta da CA é parte integrante de vários outrosfenômenos da óptica quântica, como a transparên-cia induzida eletromagneticamente e o resfriamentode Sísifo. As oscilações de vácuo de Rabi tambémforam descritas como uma manifestação do efeitoAC Stark do acoplamento atômico ao campo devácuo [4].

Figure 7.3: Gráfico do triplete de Mollow no efeitoStark Dinamico

Conclusões

O efeito Stark é o deslocamento e duplicação daslinhas espectrais de átomos e moléculas devido àpresença de um campo elétrico. Em geral, é feitauma distinção entre o efeito Stark de primeira e se-gunda ordem. O efeito de primeira ordem varia lin-earmente com a intensidade do campo elétrico, en-quanto o efeito de segunda ordem varia quadratica-mente com a intensidade do campo. O efeito Starktambém explica o alargamento das linhas espectraisdevido às partículas carregadas. O Efeito Stark deprimeira e segunda ordem em átomos de hidrogênio,número magnético: m = 1. Cada número quânticoprincipal n consiste em (n-1) níveis degenerados coma mesma energia, a aplicação de um campo elétricoquebra essa degeneração como se ve na figura 7.4.

39

Figure 7.4: Gráfico do efeito Stark cuadratico daperturbação de segundo ordem.

AgradecimentosAgradeço especialmente ao Professor P. W.Courteille por se encarregar da transmissão do con-hecimento, nesta ocasião de forma virtual, mas damelhor forma para um curso de Mecânica Quântica.

Bibliografia[1] Griffiths, David J. Introduction to Quantum

Mechanics. Prentice Hall (2004).

[2] Courteille, P. Quantum Mechanics applied toAtoms and Light. University of São Paulo(2021).

[3] Marti, O. Atome im elektrischen Feld Univer-sity Ulm (2021).

[4] Brick P. et al. Coulomb Memory Effects andHigher-Order Coulomb Correlations in the Exci-tonic Optical Stark Effect. Physica Status Solidi(a) 178, 459–463 (2010).

[5] Hezel T.P. et al. Classical view of the Stark effectin hydrogen atoms. American Journal of Physics60, 324-335 (1992).

40

8

A condensação de Bose-EinsteinMatheus Aryel Nalio AndradeInstituto de Física de São Carlos, Universidade de São Paulo, 13560-970 São Carlos, SP, Brazil

Resumo: Neste trabalho, apresenta-se os princi-pais fundamentos do condensado de Bose-Einstein,demonstrando os princípios da transição de fase, apartir da demonstração matemática em relação aosprincípios termodinâmicos do sistema, conhecidocomo temperatura crítica e número crítico e as fasesexperimentais e temporais para realização do con-densado em laboratório. Demonstrando as princi-pais fases utilizadas para a obtenção do condensadode Bose-Einstein (CBE).

8.1 Introdução

Quando adentramos ao estudo do mundo micro-scopico, notamos que as leis tradicionais que con-hecemos não se adequam para explicação dos sis-temas apresentados. Pois ao analizar intimamenteo denominado micro-mundo, observa-se a mu-dança do que consideramos na fisica classica comomatéria. O comportamento da matéria no mundomacroscópico, possui entidades que chamamos decorpos massivos. Porém ao adentrarmos em ummundo na qual as suas dimensões são baseados emtamanhos comparativos aos atomos, o comporta-mento considerado quantico, adequado para expli-cação, seria o conceito de onda.

Ao analisar a história, o primeiro passo para osucesso desta ligação de mundos diferentes, foi a ex-plicação das propriedades do gás em relação ao seusistema, como a pressão, a temperatura e o volume.Esse principio de estudo do micro-macro mundo,originou também uma das areas mais importanteda física, a atomística.

Dando-se ao principio que essas interações se de-senvolveram ao tempo, o esclarecimento desta lig-ação, gerou um grande avanço em diversas areas,como a biologia molecular e dentre outras. Coma introdução do estudo dos quanta de luz (fótons)pelo Bose e a sua introdução aos princípios da es-

tatística desenvolvida pelo mesmo, para acrescen-tar a recém-criada mecânica quântica, tivemos umgrande salto para gerar experimentalmente o con-densado de Bose-Einstein. Os condensados de Bose-Einstein (CBE) são a possibilidade de observar emum sistema macroscópico, o mundo quântico damatéria.

Resumidamente este trabalho consiste em obser-var a grande construção histórica para gerar exper-imentalmente o condensado de Bose-Einstein quefoi previsto teoricamente por A. Einstein e assimmostrar os aspectos básicos do (CBE).

8.1.1 Aspectos básicos do conden-sado de Bose-Einstein

Dedução da temperatura crítica e númerocrítico

Para aplicação e possibilidade da mudança daspartículas clássicas para o processo do condensado(o que chamamos de transição de fase), deduzimosuma formulação matemática que avalia o sistemado experimento, que realizará o condensado e destaforma, analisar as propriedades termodinâmicas dosistema e a partir desses parâmetros, explorar asmudanças ocorridas caracterizadas, que são consid-eradas como tradicional, para quando ocorrer vari-ações nos parâmetros do sistema, encontrar o valoraproximado para essa transição de fase. A formaçãodesta transição de fase é chamada de Condensaçãode Bose- Einstein (CBE).

Originalmente esses processos foram previstospor A. Einstein em 1925, utilizando o trabalhoestatístico do Físico Matemático Indiano NathBose. A ocorrência da CBE é uma manifestaçãomacroscópica da chamada natureza quântica damatéria [4].

Para dedução da chamada transição de fase, ne-cessitamos criar uma condição específica. Vamos

41

imaginar um conjunto de partículas (bósons), con-finadas em uma caixa. Aplicando os parâmetrosdos princípios termodinâmicos, como a temperatura(T ), e considerando que estamos analisando um sis-tema com entidades quânticas, temos a seguinte fór-mula em relação aos números de partículas em mé-dia para os estados de energia do sistema.

nε =g

e(ε−µ)/kBT − 1(8.1)

g e a degenerescência do estado e µ é o potencialquímico do sistema. Estes parâmetros são essenci-ais, pois eles demonstram a possibilidade de análisedos pontos principais do sistema e a possibilidadede ver se está em equilíbrio termodinâmico.

A partir desses fatores, é necessário calcular onúmero total de partículas que o sistema possui.Para tal realização, aplica – se uma somatória detodos os parâmetros que o sistema detém.

N =∑ε

nε (8.2)

Vale destacar que o sistema possui um parâmetrodenominado potencial químico, e na matéria em re-lação aos bósons, esse parâmetro, sempre neste es-tado relacionado aos bósons, será negativo ou nulo,porém em sua característica nas interações, o po-tencial químico assegura-se, o que chamamos denúmero de ocupação (que a equação (8.1), nos pro-porciona este fato) no caso positivo em quaisquerestados de energia que exista no sistema.

Neste caso, matematicamente aplicaremos umaintegral e iremos introduzir a densidade de esta-dos nesta somatória, uma vez que a densidade pos-sui extrema importância no sistema termodinâmico.Fazendo esse procedimento, obtemos:

N = N0 +

∫ ∞0

nερ(ε)dε (8.3)

ρ(ε) representa a densidade de estados do sistema,porém por questões físicas e matemáticas a densi-dade de estados, causa a anulação dos estados deenergias superbaixas, e por isso é necessário explic-itar essa parte, que no caso é N0.

A partir da equação (8.3) podemos obter a energiatotal do sistema em função da temperatura T . Nocaso teremos:

E(T ) =

∫ ∞0

εnερ(ε)dε (8.4)

Ao deduzirmos essa equação, podemos nos ques-tionar em relação a capacidade de energia total dosistema, em função da temperatura T . Neste caso é

necessário utilizar a equação (8.4) mostrado acima,mais a equação (8.1), pois mostra todos os parâmet-ros e partículas total do sistema. Então teremos:

C(T ) = 1kBT

∫ ∞0

ερ(ε)n2ε

[µ′(T ) + ε−µ

T

]eε−µT dε

(8.5)É de extrema importância essa equação (8.4), poisbaseado na capacidade térmica, podemos anal-isando as propriedades especificas da fórmula, po-dendo ver as mudanças termodinâmicas do sistema,na qual chamamos de transição de fase.

Analisando a equação (8.3), descobre-se que amesma possui uma questão importante. Quandoanalisamos a proporcionalidade do sistema, temosque ao tempo que a temperatura diminui, cresce.E como explicado, o potencial químico é semprenulo ou negativo. Quando ele atinge certa tem-peratura finita e aplica-se o valor máximo esper-ado. Neste ponto iniciasse a denominada temper-atura crítica Tc. A Partir desse momento, qualquerdiminuição considerada extra de temperatura, apopulação do estado fundamental N0, começa a au-mentar os valores, no caso do mundo microscópicopara os macroscópicos.

Quando o estado de energia da ocupaçãomacroscópica, cresce, ela modifica, os parâmetrosdo peso estatístico das propriedades termodinâmi-cas do sistema e quando o sistema atinge T = Tc, aspropriedades termodinâmicas do sistema se modifi-cam, e isso caracteriza a transição de fase, ou o queconhecemos como Condensação de Bose-Einstein.

Normalmente a determinação do número críticoe da temperatura crítica, se realiza a partir daequação (8.3), levando em consideração que paraesse cálculo, temos:

µ = 0 e N0 = 0 (8.6)

Então reescrevendo a equação (8.3) a partir dadosacima, temos:

1

eε−µkBT − 1

=

∞∑j=1

e− ε−µkBT

j (8.7)

E aplicando a dedução matemática, em relação aintegral, temos:

N = N0+

∞∑j=1

(∫ ∞0

e−jε/kBT ρ(ε)dε

)eµ/kBT (8.8)

Então chegamos na dedução da temperatura críticae número crítico, mas para terminar e mostrar atemperatura crítica neste sistema que imaginamos,temos a seguinte resolução, a densidade de estado,

42

no caso da caixa que é ρ(ε)α√ε de-se, utilizando

a Eq. (8.3), determinar a temperatura crítica queneste caso e dada por:

N

V=

2.612

Λ3(T )(8.9)

Onde temos o importante comprimento de onda dede Broglie e o volume.

Λ(T ) =~√

2πMKBT(8.10)

Resumindo, a equação (8.7), encontramos dois fa-tores importantes. A primeira se dá pelo fator queo CBE, está ligado a ordem do comprimento de deBroglie e o segundo fator se dá pela proporcionali-dade, uma vez que quanto maior a densidade maiorserá a temperatura quando a condição crítica que éexpressa pela nossa equação (8.7) é atingida.

8.2 Sequência experimental etemporal do sistema

Esta sequência, mostra as etapas que são necessáriaspara gerar o condensado de Bose – Einstein experi-mentalmente.

Por cada fase, as partículas sofrem compressõesdevido a diminuição da densidade e aplicaçãode muitos parâmetros para manter -se com tem-peraturas baixas. Na etapa que chamamos depré–cooling, temos a primeira etapa mostrada nafigura 8.1, na qual aplicamos o Magneto OpticalTrapping (MOT). Que se trata da diminuição e res-friamento do chamado melaço óptico.

Para próxima etapa mostrada na figura 8.1, temosdiversas maneiras de resfriamento, como exemplo ospin – polarization. Que resumidamente faz comque o sistema atinja temperaturas de poucos µK.

E por última etapa de resfriamento, o Evapora-tive Cooling, que nos proporciona remover do sis-tema, todos átomos com alta energias que estão nosistema. Após esses processos, conseguimos visu-alizar o condensado de Bose-Einstein, macroscopi-camente.

Figure 8.1: Sequência experimental e temporal doCBE [5].

Figure 8.2: Demonstração do condensado de Bose-Einstein (CBE), feito experimentalmente [3].

Figure 8.3: Demonstração do condensado feito ex-perimentalmente CBE [3].

8.3 Conclusão

Entre diversos estudos realizados e os desdobra-mentos de diversos pesquisadores durante anos, foipossível, demonstrar experimentalmente o conden-sado de Bose – Einstein. O artigo de publicação

43

do Einstein, sobre o gás ideal quantico e seu Sis-tema termodinamico, foi uma das partes mais im-portantes, pois foi a partir dele que foi previstopela primeira vez, a condensação das particulasem estado fundamental. E que por meio do con-densado de Bose-Einstein, os físicos conseguirampela primeira vez, observar os efeitos quânticos nomundo macroscópico.

Bibliografia[1] J.R.H. Chaviguri. Transição de fase quântica

de sistema 2D em rede de vórtices. Orientador:Dra. Mônica Andrioli Caracanhas. 2016. 104 p.Pós - Graduação (Mestrado) - Aluno, São Car-los, 2016.

[2] F.H. Gonzalez (27 de 05 de 2008). Con-densados de Bose-Einstein: Gases bosônicosen el estado de menor energia posible for-man una sola entidad coherente. Burjassot.Acesso em 02 de 07 de 2021, disponível emhttps://mural.uv.es/ferhue/1o/Condensados_Bose-Einstein_FHG.pdf

[3] E.A. Cornell and C.E. Wieman, (08 de Dezem-bro de 2001). Bose-Einstein condensation dilutegas; The First 70 years and some recent experi-ments. Boulder, Colorado, USA.

[4] V.S. Bagnato. A Condensacão de Bose-Einstein.A Condensacão de Bose-Einstein, São Carlos,ano 1997, v. 19, n. 1, ed. 1, p. 11-26, 10 fev.1996.

[5] E.A. Henn, J.A. Seman, G.B. Seco, E.P.Olimpio, P. Castilho, G.P.Roati, D.V. Magal-hães, K.M.F. Magalhães, V.S. Bagnato. Bose-Einstein Condensation in 87Rb: Characteriza-tion of the Brazilian Experiment, Instituto deFísica de São Carlos, Braz. J. Phys. 38, 279(2008).

[6] W. Ketterle, D.S. Durfee, and D.S. Stamper-Kurn. Making, probing and understandingBose-Einstein condensates. Proc. Int. School ofPhys. Enrico Fermi CXL, 67 (1999).

44