mecânica dos sólidos - unidade 03

Mecanica dos Solidos I – MAC-005

Unidade 03Luis Paulo S. BarraLeonardo Goliatt

Departamento de Mecanica Aplicada e ComputacionalUniversidade Federal de Juiz de Fora

v. 14.11

Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.11 1 / 33

Livro Texto

Livro texto:I Introduction to Continuum MechanicsI W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl

Programa

1 Tensao

Programa

1 TensaoVetor TensaoTensor TensaoComponentesSimetriaTensoes PrincipaisMaxima Tensao CisalhanteRepresentacao Grafica de MohrEquacoes do MovimentoCondicoes de ContornoEquacao de Equilıbrio para pequenas Deformacoes

Programa

Vetor Tensao

Nas unidades anteriores consideramos a descricao cinmetica do movimento de ummeio contınuo

Nao foram consideradas as forcas que causam o movimento ou deformacaoNesta unidade, vamos considerar formas de descrever as forcas no interior docorpo idealizado como contınuoAs forcas sao consideradas como

I Forcas de superfıcie, atuando em superfıcies1 separando os corposI Forcas de corpo, devido a campos gravitacionais ou forcas eletrostaticas

1reais ou imaginariasLuis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.11 4 / 33

Vetor Tensao

Vamos considerar um meio contınuo mostrado na Figura abaixo. Imagine um plano Sque passa por um ponto arbitrario P com normal n.

O plano divide a corpo em duas partes, I e II.Considere na parte I uma resultante ∆F atuando no entorno de uma regiao ∆Acontendo P

Vetor Tensao

O vetor tensao e definido como o limite da razao ∆F/∆A quando ∆A→ 0

tn = lim∆A→0

∆F∆A

Acao e reacao:

t−n = −tn

Em uma superfıcie qualquer de normal nem P:

t = lim∆S→0

∆F∆S

Vetor Tensao

tn = lim∆A→0

∆F∆A

Acao e reacao:

t−n = −tn

t = lim∆S→0

∆F∆S

Vetor Tensao

tn = lim∆A→0

∆F∆A

Acao e reacao:

t−n = −tn

t = lim∆S→0

∆F∆S

Vetor Tensao

Princıpio da Tensao de Cauchy

t = t(x, t,n)

Mais especificamente:t(x, t,n) = T(x, t)n.

Tensor TensaoSeja T a transformacao tal que :

tn = Tn

Vetor Tensao

t = t(x, t,n)

tn = Tn

Vetor Tensao

t = t(x, t,n)

tn = Tn

Programa

Tensor Tensao

Considerando a segunda leide Newton aplicada aotetraedro ao lado:

∑F = t−e1 (∆A1) + t−e2 (∆A2) + t−e3 (∆A3) + tn(∆An) = ma.

Sendo:n = n1e1 + n2e2 + n3e3

Podem ser obtidas as relacoes :

∆A1 = n1∆An, ∆A2 = n2∆An, ∆A3 = n3∆An

Tensor Tensao

∆A1 = n1∆An, ∆A2 = n2∆An, ∆A3 = n3∆An

Tensor Tensao

∆A1 = n1∆An, ∆A2 = n2∆An, ∆A3 = n3∆An

Tensor Tensao

∆A1 = n1∆An, ∆A2 = n2∆An, ∆A3 = n3∆An

Tensor Tensao

Considerando ainda que m = ρ∆V:∑F = t−e1 n1 + t−e2 n2 + t−e3 n3 + tn = ρ

∆V∆An

Uma vez que:

t−ei = −tei = −T ei

tn = T n

e fazendo o limite quando os lados do tetraedro tendem a zero:

−n1T e1 − n2T e2 − n3T e3 + T n = 0

Logo:T n = T(n1e1 + n2e2 + n3e3) = n1T e1 + n2T e2 + n3T e3

O que mostra que T e linear, portanto um tensor de segunda ordem.

Tensor Tensao

∆V∆An

Uma vez que:

tn = T n

−n1T e1 − n2T e2 − n3T e3 + T n = 0

Tensor Tensao

∆V∆An

Uma vez que:

tn = T n

−n1T e1 − n2T e2 − n3T e3 + T n = 0

Tensor Tensao

∆V∆An

Uma vez que:

tn = T n

−n1T e1 − n2T e2 − n3T e3 + T n = 0

Tensor Tensao

∆V∆An

Uma vez que:

tn = T n

−n1T e1 − n2T e2 − n3T e3 + T n = 0

Logo:T n = T(n1e1 + n2e2 + n3e3)

= n1T e1 + n2T e2 + n3T e3

Tensor Tensao

∆V∆An

Uma vez que:

tn = T n

−n1T e1 − n2T e2 − n3T e3 + T n = 0

Programa

Componentes do Tensor Tensao

A partir de t = Tn, as componentes de t estao relacioanadas com T e n da seguinteforma:

ti = Tijnj

ou de uma forma mais conveniente aos calculos,

[t] = [T][n].

Uma vez que:te1 = T e1 = T11e1 + T21e2 + T31e3te2 = T e2 = T12e1 + T22e2 + T32e3te3 = T e3 = T13e1 + T23e2 + T33e3

percebe-se que:T11 e a componente normal ou tensao normal;T12 e T13 sao as componentes tangenciais ou tensoes cisalhantes....

ti = Tijnj

[t] = [T][n].

ti = Tijnj

[t] = [T][n].

percebe-se que:

T11 e a componente normal ou tensao normal;T12 e T13 sao as componentes tangenciais ou tensoes cisalhantes....

ti = Tijnj

[t] = [T][n].

percebe-se que:T11 e a componente normal ou tensao normal;

T12 e T13 sao as componentes tangenciais ou tensoes cisalhantes....

ti = Tijnj

[t] = [T][n].

Tensao Cisalhante ResultanteA tensao cisalhante resultante na face de normal n1 e dada por:

τ = T21e2 + T31e3

tendo como modulo:|τ| =

21 + T231

Programa

Simetria do Tensor Tensao

Fazendo o equilıbrio de momento angular do elemento diferencial, vamos mostrar queo tensor de tensoes e geralmente um tensor simetrico 2∑

(MA)3 = T21(∆x2∆x3)(∆x1

)− T12 (∆x1∆x3)

(∆x2

)+ (T21 + ∆T21) (∆x2∆x3)

(∆x1

)− (T12 + ∆T12) (∆x1∆x3)

(∆x2

)= I33α3

2A simetria do tensor de tensoes nao e valida se ha momentos distribuıdos por unidade de volume,como no caso de solidos dieletricos anisotropicos polarizadosLuis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.11 12 / 33

∑(MA)3 = (T21 − T12) ∆x1∆x2∆x3 = I33α3

E como:

I33 =1

12(densidade)

∆x1∆x2∆x3

[(∆x1)2 + (∆x2)2

]No limite, quando ∆xi −→ 0 :

(T21 − T12) = 0

Logo:T12 = T21

E analogamente:

T13 = T31

T23 = T32

∑(MA)3 = (T21 − T12) ∆x1∆x2∆x3 = I33α3

E como:

I33 =1

12(densidade)

∆x1∆x2∆x3

[(∆x1)2 + (∆x2)2

No limite, quando ∆xi −→ 0 :(T21 − T12) = 0

Logo:T12 = T21

E analogamente:

T13 = T31

T23 = T32

∑(MA)3 = (T21 − T12) ∆x1∆x2∆x3 = I33α3

E como:

I33 =1

12(densidade)

∆x1∆x2∆x3

[(∆x1)2 + (∆x2)2

(T21 − T12) = 0

Logo:T12 = T21

E analogamente:

T13 = T31

T23 = T32

∑(MA)3 = (T21 − T12) ∆x1∆x2∆x3 = I33α3

E como:

I33 =1

12(densidade)

∆x1∆x2∆x3

[(∆x1)2 + (∆x2)2

(T21 − T12) = 0

Logo:T12 = T21

E analogamente:

T13 = T31

T23 = T32

∑(MA)3 = (T21 − T12) ∆x1∆x2∆x3 = I33α3

E como:

I33 =1

12(densidade)

∆x1∆x2∆x3

[(∆x1)2 + (∆x2)2

(T21 − T12) = 0

Logo:T12 = T21

E analogamente:

T13 = T31

T23 = T32

Programa

Tensoes Principais

Devido a simetria:existem pelo menos 3 direcoes principais (autovetores) mutuamente ortogonaisdefinindo planos principais;

nestes planos atuam apenas tensoes normais (autovalores);dentre estas tensoes tem-se a maxima e a mınima tensao normal.

Equacao Caracterıstica:λ3 − I1λ

2 + I2λ − I3 = 0

ondeI1 = T11 + T22 + T33

∣∣∣∣∣∣ T11 T12T21 T22

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ T11 T13T31 T33

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ T22 T23T32 T33

∣∣∣∣∣∣I3 = det[T] =

∣∣∣∣∣∣∣∣T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

∣∣∣∣∣∣∣∣

Tensoes Principais

Devido a simetria:existem pelo menos 3 direcoes principais (autovetores) mutuamente ortogonaisdefinindo planos principais;nestes planos atuam apenas tensoes normais (autovalores);

dentre estas tensoes tem-se a maxima e a mınima tensao normal.Equacao Caracterıstica:

λ3 − I1λ2 + I2λ − I3 = 0

ondeI1 = T11 + T22 + T33

∣∣∣∣∣∣ T11 T12T21 T22

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ T11 T13T31 T33

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ T22 T23T32 T33

∣∣∣∣∣∣I3 = det[T] =

∣∣∣∣∣∣∣∣T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

∣∣∣∣∣∣∣∣

Tensoes Principais

Devido a simetria:existem pelo menos 3 direcoes principais (autovetores) mutuamente ortogonaisdefinindo planos principais;nestes planos atuam apenas tensoes normais (autovalores);dentre estas tensoes tem-se a maxima e a mınima tensao normal.

2 + I2λ − I3 = 0

ondeI1 = T11 + T22 + T33

∣∣∣∣∣∣ T11 T12T21 T22

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ T11 T13T31 T33

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ T22 T23T32 T33

∣∣∣∣∣∣I3 = det[T] =

∣∣∣∣∣∣∣∣T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

∣∣∣∣∣∣∣∣

Tensoes Principais

Devido a simetria:existem pelo menos 3 direcoes principais (autovetores) mutuamente ortogonaisdefinindo planos principais;nestes planos atuam apenas tensoes normais (autovalores);dentre estas tensoes tem-se a maxima e a mınima tensao normal.

2 + I2λ − I3 = 0

ondeI1 = T11 + T22 + T33

∣∣∣∣∣∣ T11 T12T21 T22

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ T11 T13T31 T33

∣∣∣∣∣∣ +

∣∣∣∣∣∣ T22 T23T32 T33

∣∣∣∣∣∣I3 = det[T] =

∣∣∣∣∣∣∣∣T11 T12 T13T21 T22 T23T31 T32 T33

∣∣∣∣∣∣∣∣Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecanica dos Solidos I v. 14.11 14 / 33

Programa

Maxima Tensao Cisalhante

Em relacao as direcoes principais: t1t2t3

T1 0 00 T2 00 0 T3

n1T1n2T2n3T3

Ou de forma mais compacta:

t = n1T1e1 + n2T2e2 + n3T3e3

A componente normal, Tn, pode ser obtida:

Tn = n · t = n21T1 + n2

2T2 + n23T3

T1 0 00 T2 00 0 T3

n1T1n2T2n3T3

t = n1T1e1 + n2T2e2 + n3T3e3

Tn = n · t = n21T1 + n2

2T2 + n23T3

T1 0 00 T2 00 0 T3

n1T1n2T2n3T3

t = n1T1e1 + n2T2e2 + n3T3e3

Tn = n · t = n21T1 + n2

2T2 + n23T3

E a magnitude da tensao cisalhante, Ts, deve satisfazer a relacao:

T2s = |t|2 − T2

que expandida fornece:

T2s = n2

1T21 + n2

2T22 + n2

3T23 −

1T1 + n22T2 + n2

Observamos que Ts = 0, que e o valor mınimo da tensao cisalhante, em

(n1, n2, n3) = (±1, 0, 0)(n1, n2, n3) = (0,±1, 0)(n1, n2, n3) = (0, 0,±1)

T2s = |t|2 − T2

T2s = n2

1T21 + n2

2T22 + n2

3T23 −

1T1 + n22T2 + n2

(n1, n2, n3) = (±1, 0, 0)(n1, n2, n3) = (0,±1, 0)(n1, n2, n3) = (0, 0,±1)

T2s = |t|2 − T2

T2s = n2

1T21 + n2

2T22 + n2

3T23 −

1T1 + n22T2 + n2

(n1, n2, n3) = (±1, 0, 0)(n1, n2, n3) = (0,±1, 0)(n1, n2, n3) = (0, 0,±1)

T2s = |t|2 − T2

T2s = n2

1T21 + n2

2T22 + n2

3T23 −

1T1 + n22T2 + n2

(n1, n2, n3) = (±1, 0, 0)(n1, n2, n3) = (0,±1, 0)(n1, n2, n3) = (0, 0,±1)

Usando a restricao n21 + n2

2 + n23 = 1 pode-se obter, por exemplo:

T2s = f (n1, n2)

e a determinacao dos valores maximos pode ser feita satisfazendo:

∂(T2

)∂n1

= 0 e∂(T2

)∂n2

Pode ser mostrado que o valor maximo da tensao cisalhante e:

(Ts)max =T1 − T3

(Tn)max − (Tn)min

2e ocorre em planos definidos pelo vetor normal:

n = ±

2e1 ±

Programa

Representacao Grafica de Mohr

Sejam e1, e2 e e3 as direcoes principais de T e sejam T1, T2, T3 as tensoes principais.Se n = n1e1 + n2e2 + n3e3 e o normal unitario a um plano, entaot1t2t3

T1 0 00 T2 00 0 T3

n1n2n3

t = n1T1e1 + n2T2e2 + n3T3e3

A componente normal e dada por

Tn = t · n = n21T1 + n2

2T2 + n23T3

Se Ts denota a magnitude da tensaocisalhante total no plano, entao temos

T2s = ‖t‖2 − T2

ou ainda

T2s = n2

1T21 +n2

2T22 +n2

3T23−(n2

1T1+n22T2+n2

‖n‖ = 1⇒ n21 + n2

2 + n23 = 1

Geracao do grafico:Dados um tensor T e um vetornormal n unitario qualquer, calcule(Tn,Ts) e faca o grafico com ospontos geradosResultados obtidos para

8 −2 1−2 2 11 1 1