iMecanicadosSolidos: umsegundocursoAdrianoScremin(A.S.)AuthorOneaddress,line1AuthorOneaddress,line2Current address, A.S.: Departamento de Engenharia Mecanica da UniversidadeFederaldoParanaE-mail address,A.S.: adriano.scremin@gmail.comResumo. ResumoSumarioPreface viiCaptulo1. MatrizdeFlexibilidade 11.1. Introdu cao 11.2. Coecientesdeexibilidade 21.3. Calculodoscoecientesdamatrizdeexibilidade 31.4. Simetriadamatrizdeexibilidade 41.5. Exerccios 9Captulo2. Matrizderigidez 112.1. Introdu cao 112.2. Amatrizderigidez 112.3. Calculodoscoecientesdamatrizderigidez 122.4. Simetriadamatrizderigidez 132.5. Matrizderigidezdeumabarranosistemadecoordenadasglobal 152.6. Matrizderigidezdeumaviga 192.7. Matrizderigidezdeumaviganosistemadecoordenadasglobal 212.8. Matrizderigidezdeumelementodeportico 232.9. Exerccios 25Captulo3. Estruturasestaticamenteindeterminadas 293.1. Introdu cao 293.2. Ometododaexibilidade 303.3. Ometododarigidez 413.4. Exerccios 60Captulo4. Metodosdetrabalhoedeenergiadedeforma cao 654.1. Introdu cao 654.2. Trabalhodeumaforca 654.3. Equivalenciaentretrabalhoenergiadedeforma cao 684.4. Equivalenciaentretrabalhoexternoetrabalhointerno 684.5. OprincpiodareciprocidadedeMaxwell 724.6. Densidadedeenergiadedeformacao 754.7. Energiadedeforma caoemumsolidoelasticolinearisotropico 784.8. Dimensionamentodepecassubmetidasaimpacto 814.9. Analisedecargadeimpactoemelementosestruturais 824.10. Oprincpiodostrabalhosvirtuais 854.11. Ometododostrabalhosvirtuais(MTV) 864.12. OMTVnaobten caodamatrizdeexibilidade 924.13. Trabalhoeenergiacomplementares 974.14. Energiadedeforma caoeenergiadedeforma caocomplementar 994.15. OPrimeiroTeoremadeCastigliano 1004.16. OPrimeiroTeoremadeCastiglianoeamatrizderigidez 1014.17. Energiapotencial 107vvi SUMARIO4.18. OTeoremadeCrotti-Engesser 1094.19. OSegundoTeoremadeCastigliano 1104.20. OMetododaCargaUnitaria 1114.21. OSegundoTeoremadeCastiglianoeamatrizdeexibilidade 1134.22. Exerccios 114Captulo5. Instabilidadeestrutural: oproblemadeambagem 1215.1. Introdu cao 1215.2. AformuladeEulerparacolunasbi-apoiadas 1225.3. AformuladeEulerparaumacolunasubmetidaaoutrosapoios 1265.4. AformuladeEulerrescrita 1275.5. CorrecaodaformuladeEulerparaoregimeplasticodomaterial 1285.6. Dimensionamentodecolunasconcentricamentecarregadas 1295.7. Colunasexcentricamentecarregadas: aformuladasecante 1335.8. Exerccios 138Captulo6. Placas 1436.1. Introdu cao 1436.2. Denicoesbasicas 1436.3. Relacoesentretensao,curvaturaemomento 1486.4. Transforma caodemomentosespeccos 1526.5. Aequa caodiferencialgovernantedadeexaodeumaplaca 1556.6. Condicoesdeapoio 1566.7. Placasretangularessimplesmenteapoiadas 1626.8. Placacircularaxissimetricamentecarregadaeapoiada 1676.9. Exerccios 171ApendiceA. Deexoeserotacoesdevigas 173A.1. Vigasembalanco 173A.2. Vigasbi-apoiadas 177ApendiceB. For casgeneralizadasreativassobreelementosbi-engastados 183B.1. For caaxial 183B.2. For catransversal 184B.3. Momento 184B.4. For cauniformementedistribuda 185B.5. For calinearmentedistribuda 186ApendiceC. Algumasintegraistpicasusadasnosmetodosdeenergia 187ApendiceD. OMetododaSecante 189ApendiceE. Osvariacionaisdeprimeiraesegundaordensdeumfuncional 191ApendiceF. Transformacaodecoordenadascartesianasparacilndricas 195ApendiceG. Equacoescinem aticasedeequilbriodeplacaemcoordenadascilndricas 197G.1. Deforma coesedistorcoes 197G.2. Tensoes 198G.3. Momentosespeccos 198G.4. Equa coesdeequilbrio 199PrefacePrefacioviiCAPTULO1MatrizdeFlexibilidade1.1. IntroducaoA matriz de exibilidade relaciona as forcas e os momentos aplicados em pontosdeumcorpoaosrespectivosdeslocamentoserotacoesnessespontos. Aplica-seaometodo da exibilidade - a ser visto adiante - e `a modelagem de sistemas mecanicosparaanalisedevibra coes.xb2 1Y10M2aL2 v1Figura1.1. Vigabi-apoiadacarregadacomumafor caverticaleummomentoxb2 1Y10aL2(1)v1(1)Figura1.2. Carregamento1: deslocamentovertical em1ero-tacaoem2xb2 10M2aL2(2)v1(2)Figura1.3. Carregamento2: deslocamentovertical em1ero-tacaoem2Para introduzir o tema, considere a viga bi-apoiada da Figura 1.1 sobre aqual estaoaplicadosaforcavertical Y1noponto1eomomentoM2noponto2enaqual deseja-sedeterminarodeslocamentovertical de1earota caoem2. Ocarregamentopodeser decompostonos dois outros mostrados nas Figuras 1.2e1.3. Paraocarregamento1tem-senos dois pontos comoauxliodatabeladoApendiceA:12 1. MATRIZDEFLEXIBILIDADEv(1)1=a2(L a)23EILY1(1.1)(1)2=a(L2a23b2)6EILY1(1.2)eparaocarregamento2:v(2)1=a(L2a23b2)6EILM2(1.3)(2)2=L23Lb + 3b23EILM2(1.4)Recorrendoaoprincpiodasuperposi cao,obtem-sev1e2como:v1=a2(L a)23EILY1 +a(L2a23b2)6EILM2(1.5)2=a(L2a23b2)6EILY1 +L23Lb + 3b23EILM2(1.6)oumatricialmente:_v12_=_a2(La)23EILa(L2a23b2)6EILa(L2a23b2)6EILL23Lb+3b23EIL__Y1M2_(1.7)A matriz assim obtida na Equacao 1.7 e a matriz de exibilidade entre os pontos1e2relacionandoaforcaeomomentoaodeslocamentoe`arota cao.1.2. CoecientesdeexibilidadeAntesdemaisnada,paramaiorclarezadoquesesegue,seraodenidosforcaedeslocamentogeneralizados.Defini c ao1.1. Umafor ca generalizada etantoumaforcacomoummomentoaplicadoaumdeterminadopontodeumcorpo. Analogamente, umdeslocamentogeneralizado etantoumdeslocamentocomoumarotacaoatribudosaumpontodeumcorpo.Anota caodeumaforcaeumdeslocamentogeneralizadosseradadaporfiedi, respectivamente. O ndicei identicasimultaneamenteopontoeadirecaoaqueseatribuemaforcaeodeslocamentogeneralizados. Parailustracao,considerea Figura 1.4. Nela adotou-se d1= u1, f1= X1, d2= v1, f2= Y1, d3= u2, f3= X2,d4=2ef4=M2. Observea acorrespondenciaentreafor caeodeslocamentogeneralizados de mesmondice: forca horizontal com deslocamento horizontal, forcaverticalcomdeslocamentoverticalemomentocomrota cao.21v1= d2X1= f1u1 = d1Y1= f2u2= d32= d4Y2= f3M2= f4Figura1.4. Ilustra caodanota caoparaforcaedeslocamentogeneralizadosA representa cao dos vetores forca e deslocamento generalizados aplicados a umcorposolido, contendotodas as forcas edeslocamentos generalizados, teranestetextoaseguintenota cao(observearepresenta caoemnegritoparadiferenciardeumasimplesforcaoudeslocamento):1.3. CALCULODOSCOEFICIENTESDAMATRIZDEFLEXIBILIDADE 3f = f1, f2, . . . , fnT(1.8)d = d1, d2, . . . , dnT(1.9)Quandoseaplicaumsistemadeforcasaumsolidoouestruturalinear, nota-se, comomostraoexemploanterior, que haumarelacaodiretaentre cadaumdosdeslocamentosgeneralizados, di, easnfor casgeneralizadasfj. Maispropria-mente,oqueocorreequeodeslocamentogeneralizadodipodeserescritocomoacombinacaolineardasnfor casfj,i.e.:di= ai1f1 +ai2f2 +. . . +aijfj . . . +ainfn(1.10)oumatricialmente:d = Af (1.11)Oscoecientesaijsaochamadosdecoecientesdeexibilidade, quecompoemamatrizdeexibilidade,A,dosistemadefor casaplicado. Ocoecienteaijmedeainuenciadaforcageneralizadafjsobreodeslocamentogeneralizadodi.1.3. CalculodoscoecientesdamatrizdeexibilidadeParaocalculodocoecienteaijdamatrizdeexibilidade, aplica-seaocorpounicamenteafor cageneralizadafj, unitaria. Nestecaso, odeslocamentogeneral-izadodiseranumericamenteigual aocoecienteaij. Ajusticativaeimediataapartir da Eq. 1.10: fazendo fj= 1 e as demais forcas generalizadas nulas, obtem-seaij.Hadiversosmetodosparadeterminarosdeslocamentosgeneralizados. Nomo-mentovai-seadotar odoprincpiodasuperposicaoaplicadoavigas compostas.Mais adiante, quando se falar dos metodos de energia, se retornara ao calculo dessesdeslocamentospormeiodestesmetodos.Exemplo1.1. ConsidereabarradaFigura1.5comasduasforcasindicadas.Determine acorrespondente matriz de exibilidade nos nos 1e 2indicados. Arigidezaxial dabarraeuniformeeigual aEA.xL/2 L/221X10X2Figura1.5. BarracomcarregamentoaxialSolu c ao. Oproblemaetipicamenteunidimensional, pois trata-sedeuma unicabarra. Destemododenem-seduas for cas generalizadas: f1=X1=1ef2= X2= 1(observeaorientacaopositivaemx),conformeaFigura1.6.ParaX1= 1individualmenteaplicadatem-se:d1= u1= a11=L2EA(1.12)4 1. MATRIZDEFLEXIBILIDADExL/2 L/221X1=10xL/2 L/221X2=10Figura1.6. Forcasgeneralizadasunitariasaplicadasindividual-mente`abarrad2= u2= a21=L2EA(1.13)e,paraX2= 1individualmenteaplicadatem-se:d1= u1= a12=L2EA(1.14)d2= u2= a22=LEA(1.15)Amatrizdeexibilidadepodeserentaoescritacomo:A =L2EA_1 11 2_(1.16)

Coment ario1.1. Destaforma,seseaplicasseX1=F(orientado`adireita)eX2=F(orientado`aesquerda),ter-se-ia: u1=0eu2=FL2EA.Coment ario1.2. ObservenoresultadodoExemplo1.1quea12=a21, ouseja,amatrizdeexibilidadeesimetrica. Comoseveramaisadiante,asimetriadamatrizdeexibilidadesempreocorreemestruturaslineares.1.4. SimetriadamatrizdeexibilidadeConsidere, semperdadegeneralidade, umavigabi-apoiadanaqual saoapli-cadas de modonaosimultaneoduas for cas generalizadas quaisquer, conforme aFigura1.7. OPrincpiodaReciprocidade(aserestudadonocaptulosobremeto-dosdeenergia)garanteaseguinteidentidadeentreasduasfor cas,f(1)ief(2)j,eoscorrespondentesdeslocamentosgeneralizados,d(2)ied(1)j:d(2)if(1)i= d(1)jf(2)j(1.17)Admitaqueavigaelinear. Aplicandopois, unicamente, afor cageneralizadaf(1)i=1eanotandoorespectivodeslocamentogeneralizadod(1)je, analogamente,1.4. SIMETRIADAMATRIZDEFLEXIBILIDADE 5j idj(1)fi(1)j ifj(2)di(2)Figura 1.7. Viga bi-apoiada: carregamentos nao simultaneos f(1)ief(2)japlicandounicamenteaforcageneralizadaf(2)j= 1eanotandoorespectivodeslo-camentogeneralizadod(2)i,obtem-seapartirdaEq.1.10:d(2)if(1)i= (ai1 0 +ai2 0 + +aij1 + +ain 0)1 = aij(1.18)d(1)jf(2)j= (aj1 0 +aj2 0 + +aji 1 + +ajn 0)1 = aji(1.19)ouseja, deste ultimoresultadoedoPrincpiodaReciprocidaderesultaasimetriadamatrizdeexibilidade:A = AT(1.20)Coment ario1.3. Emrazaodasimetria, enecessarioapenasdeterminaroscoecientesdadiagonal superiorouinferiordamatrizdeexibilidade. NoExem-plo1.1, portanto, bastavadeterminara11ea21, quandodaaplicacaodeX1=1,ea22, quandodeX2. Emboraamatrizdeexibilidadedoexemplocitadosejadi-mensionalmente demasiado pequena para ilustrar a simplicacao proporcionada pelasimetria,emproblemasdedimensoesmaiores,areducaodotrabalhodemontagemdamatrizcapatente.Exemplo1.2. Considereavigaembalancoabaixo,Figura1.8,edetermineamatrizdeexibilidadenaextremidadelivreeosdeslocamentosgeneralizadosnessemesmopontoquandosaoaplicadasasforcasgeneralizadasindicadas.1 2LX2Y2M2Y2xyzFigura1.8. Vigaembalancocomas for cas generalizadas apli-cadasnono2Solu c ao. Sejamasforcasgeneralizadasf1= X2,f2= Y2ef3= M2.(1) Obten caodoscoecientesdaprimeiracolunadamatrizdeexibilidadeAplica-se unicamente a for ca generalizada f1= 1, conforme a Figura 1.9,e,databeladoApendiceA,obtem-seosdeslocamentosgeneralizados,oumelhor,oscoecientes:6 1. MATRIZDEFLEXIBILIDADE1 21Figura1.9. Forcageneralizadaunitaria,X2= 1,aplicadanono2a11= u2=LEA(1.21)a21= v2= 0 (1.22)a31= 2= 0 (1.23)(2) Obten caodoscoecientesdasegundacolunadamatrizdeexibilidade1 21Figura1.10. For cageneralizadaunitaria,Y2= 1,aplicadanono2Aplica-seagoraunicamenteaforcageneralizadaf2=1, conformeaFigura1.10,e,databeladoApendiceA,obtem-seoscoecientes:a22= v2=L33EI(1.24)a32= 2=L22EI(1.25)(3) Obten caodocoecientedaterceiracolunadamatrizdeexibilidade1 21Figura1.11. For cageneralizadaunitaria,M2= 1,aplicadanono2Finalmente, aplica-seunicamenteafor cageneralizadaf2=1, con-formeaFigura1.11,e,databeladoApendiceA,obtem-seocoeciente:a33= 2=LEI(1.26)Amatrizdeexibilidadenono2torna-se,portanto:A =__LEA0 00L33EIL22EI0L22EILEI__(1.27)Osdeslocamentosgeneralizadoscausadospelasforcasgeneralizadasmostradassao:1.4. SIMETRIADAMATRIZDEFLEXIBILIDADE 7d = Af (1.28)ou:(1.29)___u2v22___=__LEA0 00L33EIL22EI0L22EILEI_____X2Y2M2___=___X2LEAL26EI(2LY2 + 3M2)L2EI(LY2 +M2)___

Oexemploaseguirilustracomolidarcomforcasoumomentosaplicadosforadosnos.Exemplo1.3. Determineosdeslocamentosgeneralizadosnaextremidadedi-reitadavigabi-apoiadacomcarregamentouniformementedistribudo,conformeaFigura1.12. Arigidez`aexaoeuniforme.Figura1.12. Vigabi-apoiadacomcarregamentouniformementedistribudoSolu c ao. Sejad0ovetor de deslocamentos generalizados daviganaex-tremidadedireitacausados pelocarregamentodistribudoq. Desconsiderandoodeslocamentovertical devido`arestricao`atranslacaovertical donoimpostapeloapoio,d0podeserescritocomo:d0=_u0202_(1.30)Comonaohasolicita caoaxial, u02=0. DatabeladoApendiceAobtem-se02=qL324EI. Logo,ovetordeslocamentogeneralizadoca:d0=___0qL324EI___(1.31)

Exemplo1.4. Considereavigabi-apoiada, Figura1.13, naqual arigidez`aexaoeuniforme,edetermineamatrizdeexibilidadecorrespondenteaosapoiosearelac aoentreosmomentosM1eM2paraquearotacaoem2sejanula.Solu c ao. Osgrausdeliberdadedavigasaosomenteasrota coesnosapoios.Portanto,ovetordeslocamentogeneralizadoparaosapoios1e2 e:8 1. MATRIZDEFLEXIBILIDADEL1 2M1M2Figura1.13. Vigabi-apoiadacomdoismomentosaplicadosaosapoiosd =_12_(1.32)Obtem-seoscoecientesdamatrizdeexibilidadecorrespondentepelaapli-ca caodemomentosunitarios,umporvez,nosrespectivosapoios. Assim:(1) Obten caodoscoecientesdaprimeiracolunadamatrizdeexibilidade1 21Figura1.14. Momentounitarioaplicadoem1Aplica-seomomentounitarionoapoio1,Figura1.14,e,pelatabeladoApendiceA,tem-se:a11= 1=L3EI(1.33)a21= 2= L6EI(1.34)(2) Obten caodoscoecientesdasegundacolunadamatrizdeexibilidade1 21Figura1.15. Momentounitarioaplicadoem2Finalmente,aplica-seomomentounitarionoapoio2,Figura1.15,e,pelatabeladoApendiceA,tem-se:a22= 2=L3EI(1.35)Pode-se,entao,escreveramatrizdeexibilidade:A =__L3EIL6EIL6EIL3EI__ (1.36)1.5. EXERCICIOS 9Osdeslocamentosgeneralizadosnosapoios, istoe, arota caonosapoios, saodadosemtermosdamatrizdeexibilidadecomo:d = Af (1.37)ouseja,_12_=__L3EIL6EIL6EIL3EI___M1M2_(1.38)Logo,multiplicandoasegundalinhadamatrizdeexibilidadecomovetordedeslocamentosgeneralizados,paraobter2,eigualando-oa0,conformeoenunci-ado,obtem-se:2= L6EIM1 +L3EIM2(1.39)ou:M1= 2M2(1.40)

1.5. ExercciosExerccio1.1. Determineamatrizdeexibilidadedavigaembalancoabaixoentreosnos1e2indicados. Asrigidezesaxial e`aexaosaorespectivamenteEAeEI.1 2aLFigura1.16. Doexerccio1.1Exerccio1.2. ObtenhaamatrizdeexibilidadequedaainuenciadeM1,Y2, M3eM4sobreasrespectivascomponentesdovetordedeslocamentogeneral-izado. ObtenhatambemY2comofuncaodeM3paraquearotacaoem1sejanulaquandoM1eM4sejamnulos.Figura1.17. Doexerccio1.210 1. MATRIZDEFLEXIBILIDADE1234 567 8 91011yzxY1010 kN20 kNX10Figura1.18. Doexerccio1.3Exerccio1.3. Amatriz deexibilidadequedaainuenciadovetorforcageneralizada:X2, Y2, X10, Y10, X11, Y11Tsobreovetordeslocamentogeneralizado:u2, v2, u10, v10, u11, v11TparaaestruturaindicadanaFigurae:__2, 0010610, 01065, 001054, 001061, 001063, 001068, 001052, 001063, 001067, 001054, 001063, 001067, 001063, 001061, 001064, 001069, 001055, 00106sim. 3, 001067, 001066, 00106__ObtenhaasforcasX10eY10paraqueono2naosedesloque.Exerccio1.4. Determineamatrizdeexilidadequedaainuenciaentreosnos1e2. Assumaarigidez`aexaoconhecidaconhecida.q1 2LFigura1.19. Doexerccio1.4CAPTULO2Matrizderigidez2.1. IntroducaoAmatrizdeexibilidadepermiteexpressarosdeslocamentosgeneralizadosapartirdasfor casgeneralizadas. Comosevera, amatrizderigidezfazoinverso,expressaasforcasgeneralizadasemtermosdosdeslocamentosgeneralizados. Elatemaplica caonometododarigidez, namodelagemdesistemas mecanicos paraanalise de vibracao,e sua obten cao e fundamental no metodo dos elementos nitos(MEF)aplicado`aanalisedetensaoedeformacaodoscorpossolidos.2.2. AmatrizderigidezQuandoseaplicamdeslocamentos ourota coes sobreumcorposolidooues-truturalinear,observa-se,peloprincpiodasuperposi cao,umarela caolinearentreesteseasforcasemomentosquelhescausam. Comoexemplo, considereabarrasubmetidaaos deslocamentos axiais u1e u2emsuas extremidades, conforme aFigura2.1. Tem-separaestecaso,considerandoacondicaodeequilbriodefor cassobreabarra:L2 1 X1X2u1u2Figura2.1. BarraaxialmentecarregadaX1= X2(2.1)Devido`adeforma caoaxialsofridapelabarra,aquelapodeserescritacomo1:u1u2=LEAX1= LEAX2(2.2)Oconjuntodeequa coesacimapodeserrescritocomo:X1=EALu1EALu2(2.3)X2= EALu1 +EALu2(2.4)ou,matricialmente:_X1X2_=_EALEALEALEAL_ _u1u2_(2.5)1SupondoX1< 0eu2> u1.1112 2. MATRIZDERIGIDEZAEqua cao2.5ilustraarelacaolinearapontada,asfor cascamexpressaspormeio de uma combina cao linear dos deslocamentos das extremidades. A matriz queaparecenesta ultimaequacao,K =_EALEALEALEAL_(2.6)eamatrizderigidezdabarraexemplicada,designadasimplesmentepelaletraKemnegrito.A ideia acima pode ser estendida para um conjunto de n for cas e deslocamentosgeneralizados,aexemplodoquefoifeitoaoseintroduziramatrizdeexibilidade.Portanto, seja fiuma forca generalizada aplicada a um solido ou estrutura linear, ed1, d2, , dn os correspondentes deslocamentos generalizados. Logo, pelo princpiodasuperposi cao:fi= ki1d1 +ki2d2 +. . . +kijdj . . . +kindn(2.7)ou,matricialmente:f = Kd (2.8)Otermokijechamadodecoecientederigidezdejemi.Coment ario2.1. Na notacao empregada h a uma correspondencia logica entreodeslocamentogeneralizadodieaforcageneralizadafi. Ouseja, deslocamentocorrespondeaforca, rotacaoamomento, easdirecoeseospontosdeumeoutrosaoos mesmos. Parailustraristo, senumpontoP haumdeslocamentoeumarotacao, designados por d1e d2, entao lhes correspondem a a forca f1e o momentof2,respectivamente.Coment ario2.2. Amatrizderigidez,comoamatrizdeexibilidade,eumacaractersticaintrnsecadaestruturaedospontosnelaconsiderados. Istosignicaqueumavezobtidaamatrizderigidez,elapodeserempregadaparaobterasforcasgeneralizadasparaquaisquerquesejamascomponentesdodeslocamentogeneral-izado.2.3. CalculodoscoecientesdamatrizderigidezAEqua cao2.7permite obter os coecientes damatriz de rigidez de formasemelhante aos da matriz de exibilidade. Assim, fazendo a componente djdo vetordeslocamentogeneralizadoigual `aunidadeeasdemaisnulas, tem-seocoecientekijnumericamenteigual `acorrespondentecomponentedaforcageneralizada, fi,isto e:fi= kij(2.9)Ao aplicar o deslocamento generalizado com estas componentes, todos os elementosdacolunaj damatriz de rigidez saoas correspondentes componentes daforcageneralizada.O exemplo anterior pode servir para ilustrar este procedimento de obten cao doscoecientes. Nele, aplicandoprimeiroovetordeslocamentogeneralizado 1, 0T,representado na Figura 2.2, obtem-se o seguinte vetor for ca generalizada: EA/L, EALT.Aplicando agora o vetor deslocamento generalizado 0, 1T, representado na Figura 2.3,obtem-seovetorfor cageneralizada EA/L, EA/LT. Ambososvetoresforcageneralizadaformamascolunasdamatrizderigidezdabarraexemplicada.2.4. SIMETRIADAMATRIZDERIGIDEZ 132 1EA/L EA/Lu1=1 u2=0Figura2.2. Aplicacaododeslocamentogeneralizado 1, 0T2 1EA/L EA/Lu1=0 u2=1Figura2.3. Aplicacaododeslocamentogeneralizado 0, 1TComent ario2.3. ValeobservarqueamatrizderigidezobtidaparaoExem-plo2.1esimetrica,istoe,k12= k21.Coment ario2.4. Observequequaisquercomponentesdodeslocamentogen-eralizadoaplicadas `abarralevaraoacomponentes deforcageneralizadaiguais eopostas,conformeaEquacao2.32.4. Simetriadamatrizderigidezjidj(1)fi(1)Figura2.4. Situacao1: aplica caododeslocamentogeneralizadod(1)jjifj(2)di(2)Figura2.5. Situacao2: aplica caododeslocamentogeneralizadod(2)iJaseesperavaqueamatrizderigidez, por realizar umaoperacaoinversa`amatrizdeexibilidade,fossetambem simetrica. Defato,ela esimetrica. OmesmoPrincpiodaReciprocidadefundamentaestaarmacao.Attulodeilustracaoesemperdadegeneralidade, considereumavigacar-regadaeapoiadaconformeasduassitua coesindicadasnasFiguras2.4e2.5. Naprimeirasituacaotodososapoiosestaoinicialmenteengastados, quandoseaplicaumdeslocamentogeneralizadoemj, d(1)j=1. Nasegunda, todos os apoios es-taoinicialmenteengastados,quandoseaplicaumdeslocamentogeneralizadoemi,d(2)i= 1. DaEquacao2.7obtem-se:f(1)id(2)i= (ki1 0 +ki2 0 + +kij1 + +kin 0)1 = kij(2.10)f(2)jd(1)j= (kj1 0 +kj2 0 + +kji 1 + +kjn 0)1 = kji(2.11)ouseja, peloPrincpio daReciprocidade kij=kji. Logo, amatriz de rigideztambem esimetrica.OmesmoqueeobservadonoComentario1.3cabeparaaobtencaodamatrizderigidez.14 2. MATRIZDERIGIDEZNoexemploaseguirvai-seexplorarapropriedadedesimetrianocalculodamatrizderigidez.Exemplo2.1. Determineamatrizderigidezdaestruturaformadaporduasbarras(Figura2.6). Consideresomenteapossibilidadedecarregamentoaxialsobreasbarras. Ambasasbarrassaouniformesetemamesmarigidezaxial.L1L221 3(1) (2)Figura2.6. BarrasdispostasemlinhaSolu c ao. Porseremidenticas,asmatrizesderigidezdeambasasbarrassaoasmesmas:K1=_k111k112k121k122_=_EAL1EAL1EAL1EAL1_(2.12)eK2=_k211k212k221k222_=_EAL2EAL2EAL2EAL2_(2.13)Asforcasnodaissobreaestruturasao:f1= k111u1 +k112u2(2.14)f2= k121u1 +k122u2 +k211u2 +k212u3= k121u1 + (k122 +k211)u2 +k212u3(2.15)f3= k221u2 +k222u3(2.16)Matricialmente:___f1f2f3___=__k111k1120k121k122 +k211k2120 k221k222_____u1u2u3___(2.17)Logo,amatrizderigidez e:__k111k1120k121k122 +k211k2120 k221k222__= EA__1L11L101L11L1+1L21L20 1L21L2__(2.18)

Coment ario2.5. Noteasimetriadamatrizderigidez. Observetambemqueamatriz de rigidez resultantee a sobreposicaodas das barras 1e 2, conformemostradonaFigura2.7.2.5. MATRIZDERIGIDEZDEUMABARRANOSISTEMADECOORDENADASGLOBAL15K1K2Sobreposio no n 2 (comum)Figura2.7. DetalhedamatrizderigidezdaestruturadoExemplo2.12.5. MatrizderigidezdeumabarranosistemadecoordenadasglobalFoi visto que a matriz de rigidez de uma barra no sistema de coordenadas localx

, y

, z

edadapelaEquacao2.7. Noentanto, comoseveraaseguir, amatrizderigidezassumeoutracongura caoquandoseempregaumsistemadecoordenadasglobal,x, y, z,conformeaFigura2.8.Numaestruturagenerica, os elementos naoestaonecessariamente dispostosortogonalmenteentresidemodoque,comumsistemadecoordenadascujoseixoscoincidam com a orienta cao dos elementos, a obten cao da matriz de rigidez se tornaimediata. Oselementos, naverdade, podemterumadisposicaorelativadiferentedaortogonal,demandandorepresentaramatrizderigidezdaestruturanum unicosistemadecoordenadas. Consequentemente,resultapossvelqueumasbarrasnaose alinhemcomos eixos dosistemade coordenadas global, e que naose possaempregaraEquacao2.7,oumelhor,quealgunsajustesdevemserfeitosnelaparaquerepresentecorretamenteamatrizderigidezdosistemadecoordenadasglobal.Seravistoaseguircomorealizaristopormeiodeumaadequadatransforma caodecoordenadas.Figura2.8. Sistema de coordenadas locais e globais associados `aumabarraConsidereaFigura2.8. Nela, umabarraesubmetidaaesforcosaxiaisiguaiseopostos, X

ieX

j, resultandoemdeslocamentosdosnosdasextremidadesu

ieu

j. Amatrizderigideznosistemalocal econhecida, Equacao2.6, relacionandoosdeslocamentosgeneralizadosnasextremidadescomasrespectivasforcasgener-alizadas,expressosnoreferidosistema. Trata-se,portanto,derescreverasforcasedeslocamentosgeneralizadosnosistemaglobal. Paraisso,enecessariaumatrans-formacaodecoordenadasentreosdoissistemas. AFigura2.9auxilianaobten caodestatransformacao. Delasedepreendeque:16 2. MATRIZDERIGIDEZxyx'y'x'y'xyy sen x cos y cos x sen z = z'Figura2.9. Ilustracao da transformacao entre os sistemas de co-ordenadasglobalelocalx

= xcos +y sin (2.19)y

= xsin +y cos (2.20)z

= z (2.21)oumatricialmente:___x

y

z

___=__cos sin 0sin cos 00 0 1_____xyz___(2.22)Amatrizdetransforma caoTdosistemaglobalparaolocal e,portanto:T =__cos sin 0sin cos 00 0 1__(2.23)Estamatrizdetransformacao2etambemempregadanatransformacaodascom-ponentesdeumvetor vdosistemaglobalparaolocal,ouseja:___vx

vy

vz

___=__ c s 0 s c 00 0 1_____vxvyvz___(2.24)Isto posto, pode-se retomar o problema da matriz de rigidez expressa no sistemaglobal. Paratanto, observequeosdeslocamentosnodaisdabarratemascompo-nentes no sistema local dadas respectivamente por u

i, 0, 0te u

j, 0, 0t, e as for casnodaistemnosistemalocal componentes f

i, 0, 0te f

j, 0, 0t, respectivamente.Logo,considerandoindistintamenteosnosiouj:2Para simplicar a nota cao, principalmente na representa cao das matrizes, de aqui por diante,vai-seescrever sparasenoe cparacosseno.2.5. MATRIZDERIGIDEZDEUMABARRANOSISTEMADECOORDENADASGLOBAL17___u

00___=__ c s 0 s c 00 0 1_____uv0___(2.25)e:___X

00___=__ c s 0 s c 00 0 1_____XY0___(2.26)Rescrevendoagoraamatrizderigidezlocaldabarratendoemcontaarepre-senta caovetorialdosdeslocamentoseforcasgeneralizadasnodais,obtem-se:K =__EAL0 0 EAL0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0EAL0 0EAL0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0__(2.27)E as for cas generalizadas transmitidas `as barras sao matricialmente expressas como:___X

i00X

j00___=__EAL0 0 EAL0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0EAL0 0EAL0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0_____u

i00u

j00___(2.28)SubstituindonosistemaEquacao2.28astransformacoesdadaspelasEqs. 2.25e2.26,resulta:(2.29)__ c s 0 0 0 0 s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 s c 00 0 0 0 0 1_____XiYi0XjYj0___==__EAL0 0 EAL0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0EAL0 0EAL0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0____ c s 0 0 0 0 s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 s c 00 0 0 0 0 1_____uivi0ujvj0___Observequeatransforma caoinversadecoordenadas,dosistemaglobalparaolocal, e:T1=__ c s 0 s c 00 0 1__= TT(2.30)Coment ario2.6. AmatrizinversaT1eigual `amatriztranspostaTT.18 2. MATRIZDERIGIDEZAssim,pre-multiplicandoambososmembrosdaEquacao2.29pelamatriz:__ c s 0 0 0 0 s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 s c 00 0 0 0 0 1__(2.31)obtem-se:(2.32)___XiYi0XjYj0___=EAL__ c2 s220 c2 s220 s22 s2 0 s22 s2 00 0 0 0 0 0 c2 s220 c2 s220 s22 s2 0 s22 s2 00 0 0 0 0 0_____uivi0ujvj0___Finalmente,amatrizderigidezemcoordenadasglobais e:(2.33)K =EAL__ c2 s220 c2 s220 s22 s2 0 s22 s2 00 0 0 0 0 0 c2 s220 c2 s220 s22 s2 0 s22 s2 00 0 0 0 0 0__Exemplo2.2. Determineamatrizderigidezdatrelicaformadaporduasbar-ras. AsbarrastemrigidezesaxiaisE1A1eE2A2uniformes.xL1L23 12y12(1)(2)zFigura2.10. TrelicadoExemplo2.2Solu c ao. Matrizderigidezdoelemento1:2.6. MATRIZDERIGIDEZDEUMAVIGA 19(2.34)K(1)=E1A1L1__ c21 s2120 c21 s2120 s212 s210 s212 s2100 0 0 0 0 0 c21 s2120 c21 s2120 s212 s210 s212 s2100 0 0 0 0 0__A matriz de rigidez do elemento 2 e obtida substituindo por 2, resultando:(2.35)K(2)=E2A2L2__ c22 s2220 c22 s2220 s222 s220 s222 s2200 0 0 0 0 0 c22 s2220 c22 s2220 s222 s220 s222 s2200 0 0 0 0 0__Finalmente, a matriz de rigidez da trelica e obtida sobrepondo as matrizes K(1)e K(2), o que resulta numa somatoria dos coecientes correspondentes a nos comuns(videFigura2.11):(2.36)K =__E1A1L1 c21 E1A1L1 s212E1A1L1 s21 0 0 0 E1A1L1 c21E1A1L1 s2120E1A1L1 c21+E2A2L2 c22 E1A1L1 s212E1A1L1 s210E1A1L1 s212E2A2L2 s222E1A1L1 s21+E2A2L2 s22 0 0 0 0 0 0 0 0 0 E2A2L2 c2 E2A2L2 s220E2A2L2 c20 0 0 0E2A2L2 s222E2A2L2 s2 E2A2L2 s222E2A2L2 s220 0 0 0 0 0 0 0 0__

K1K2Sobreposio no n comumFigura2.11. Matriz de rigidez do Exemplo 2.2: sobreposicao dasmatrizesderigidezdoselementos1e22.6. MatrizderigidezdeumavigaViga e um elemento estrutural sujeito a forcas transversais e a momentos. Paraumelementodevigaqualquer, conformeilustramasFiguras2.12e2.13, pode-se20 2. MATRIZDERIGIDEZmostrar3que as forcas nodais generalizadas sao dadas em termos dos deslocamentosgeneralizadoscomo:Figura2.12. Elementodeviga: sistemadecoordenadaslocal efor casgeneralizadasnodaisi jyxLvjijviFigura2.13. Elementodeviga: sistemadecoordenadaslocal edeslocamentosgeneralizadosnodaisYi=12EIL3vi +6EIL2i12EIL3vj+6EIL2j(2.37)Mi=6EIL2vi +4EILi6EIL2vj+2EILj(2.38)Yj= 12EIL3vi6EIL2i +12EIL3vj 6EIL2j(2.39)Mj=6EIL2vi +2EILi6EIL2vj+4EILj(2.40)Matricialmente,tem-se:___XiYiMiXjYjMj___=EIL3__0 0 0 0 0 00 12 6L 0 12 6L0 6L 4L20 6L 2L20 0 0 0 0 00 12 6L 0 12 6L0 6L 2L20 6L 4L2_____uiviiujvjj___(2.41)Eamatrizderigidezdaviga epois:K =EIL3__0 0 0 0 0 00 12 6L 0 12 6L0 6L 4L20 6L 2L20 0 0 0 0 00 12 6L 0 12 6L0 6L 2L20 6L 4L2__(2.42)3Aobtenc aodesseresultadoeimediata, masrequeroconhecimentodometododaexibili-dade,aserabordadonopr oximocaptulo.2.7. MATRIZDERIGIDEZDEUMAVIGANOSISTEMADECOORDENADASGLOBAL 21Coment ario2.7. ObservequeKesimetricapeloprincpiodareciprocidade.Exemplo2.3. DetermineamatrizderigidezdaestruturaformadapelasduasvigasdaFigura2.14. Admitaasvigasidenticascomrigidez`aexaoEI.1 2 3L L(1) (2)Figura2.14. EstruturadoExemplo2.3Solu c ao. Obtem-seasmatrizesderigidezdecadavigaeemseguidaelassaosobrepostasesomadas:K1= K2=EIL3__0 0 0 0 0 00 12 6L 0 12 6L0 6L 4L20 6L 2L20 0 0 0 0 00 12 6L 0 12 6L0 6L 2L20 6L 4L2__(2.43)Matrizderigidezdaestrutura:K =EIL3__0 0 0 0 0 0 0 0 00 12 6L 0 12 6L 0 0 00 6L 4L20 6L 2L20 0 00 0 0 0 0 0 0 0 00 12 6L 0 24 0 0 12 6L0 6L 2L20 0 8L20 6L 2L20 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 12 6L 0 12 6L0 0 0 0 6L 2L20 6L 4L2__(2.44)

2.7. MatrizderigidezdeumaviganosistemadecoordenadasglobalPara obter a matriz de rigidez de uma viga nao orientada segundo as di-recoesdosistemadecoordenadasglobal, conformeasFiguras2.15e2.16, faz-senecessarioprocedercomonocasodabarra, ouseja, pre-multiplicaremultiplicaramatrizderigidezdaviganosistemadecoordenadaslocal pelasmatrizesdadaspelaEquacao2.31esuatransposta,respectivamente. Assimobtem-se:22 2. MATRIZDERIGIDEZFigura2.15. Elementodeviga: sistemasdecoordenadaslocaleglobaleforcasgeneralizadasnodaisijyxy'x' Lv'jv'i'i'jFigura2.16. Elementodeviga: sistemasdecoordenadaslocaleglobaledeslocamentosgeneralizadosnodais(2.45)K =__ c s 0 0 0 0 s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 s c 00 0 0 0 0 1__

EIL3__0 0 0 0 0 00 12 6L 0 12 6L0 6L 4L20 6L 2L20 0 0 0 0 00 12 6L 0 12 6L0 6L 2L20 6L 4L2__

__ c s 0 0 0 0 s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 s c 00 0 0 0 0 1__isto e:2.8. MATRIZDERIGIDEZDEUMELEMENTODEPORTICO 23K =EIL3__12 s2 6 s2 12 c26L s 6L c 4L2

12 s2 6 s2 6L s 12 s26 s2 12 c2 6L c 6 s2 12 c2 6L s 6L c 2L26L s 6L c 4L2__(2.46)

2.8. MatrizderigidezdeumelementodeporticoOelementodeporticocombinaoelementodebarracomoelementodeviga.As Figuras 2.17e 2.18ilustramrespectivamente as componentes de forcae dedeslocamento generalizados, as quais sao independentes entre si, para um elementodeporticonaoalinhadocomosistemadecoordenadasglobal. Peloprincpiodasuperposicao, amatrizderigidezdoelementoemquestaoeasomadadebarracomadeviganosistemadecoordenadasglobais.Figura 2.17. Elemento de portico: sistemas de coordenadas localeglobalefor casgeneralizadasnodaisK =__K1

K2K4 K3K52K6

K1K2K3K1 K2K4K5K2K4

K3K5K6K3K52K6__(2.47)24 2. MATRIZDERIGIDEZijyxy'x'u'j Lv'jjiu'iv'iFigura 2.18. Elemento de portico: sistemas de coordenadas localeglobaledeslocamentosgeneralizadosnodaisK1=EALcos2 + 12EIL3sin2 (2.48)K2=_EAL12EIL3_sin 22(2.49)K3= 6EIL2sin (2.50)K4=EALsin2 + 12EIL3cos2 (2.51)K5= 6EIL2cos (2.52)K6= 2EIL(2.53)Exemplo 2.4. Obtenha a matriz de rigidez da estrutura da Figura 2.19 segundoosistemadecoordenadasglobal indicado. ConsidereEA/L=12EI/L3=1paraosdoiselementos.Solu c ao. Os trechos horizontal e vertical podem ser tomados como elementosdeportico. Amatrizderigidezdoporticopodeentaoserobtidapelasobreposi caodasmatrizesderigidezdosdoiselementos.Amatrizderigidezdoelemento1eobtidaapartirdaEqua cao2.47fazendo = 0:K(1)= E__AL

012IL3 06IL24IL

AL0 0AL 0 12IL36IL2012IL3

06IL22IL0 6IL24IL__(2.54)eadoelemento2fazendo = 2:2.9. EXERCICIOS 25x213y(2)z(1)LLFigura2.19. EstruturadoExemplo2.5K(2)= E__12IL3

0AL 6IL204IL

12IL30 6IL212IL3 0 AL0 0AL

6IL202IL6IL204IL__(2.55)Finalmente,porsobreposicaodas ultimasduasmatrizes:(2.56)K = E__AL 012IL3

06IL24IL AL0 0AL+12IL3

0 12IL36IL20AL+12IL3 06IL22IL6IL26IL28IL

0 0 0 12IL30 6IL212IL3 0 0 0 0 AL0 0AL

0 0 06IL202IL6IL204IL__

2.9. ExercciosExerccio2.1. Determineamatrizderigidezdoelementoentreosnos1e2.Assumaconhecidaarigidez.q1 2LFigura2.20. Doexerccio2.126 2. MATRIZDERIGIDEZExerccio2.2. Determineamatrizderigidezdoportico. Admitaconhecidaseiguaisasrigidezesemcadaelemento.1 m0,7 m1 2320 kN40oFigura2.21. Doexerccio2.2Exerccio2.3. Determineamatrizderigidezdoportico. Admitaconhecidaseiguaisasrigidezesemcadaelemento.1 m0,7 m1 340,6 m220 kN/m3 kN.mFigura2.22. Doexerccio2.3Exerccio2.4. Determineamatrizderigidezdaviga. Assumaquearigidezaolongodavigasejauniforme.10 kN/m20 kN1231 m 1 mFigura2.23. Doexerccio2.4Exerccio2.5. Determine amatriz de rigidez dop ortico. Assumaque asrigidezessaoconhecidaseiguaisemcadaelemento.Exerccio 2.6. Determine a matriz de rigidez do chassi do mini-baja. A estru-turaefeitadeacotubularde1, 5pol debitolaede0, 15pol deespessuradeparede.Considere os apoios indicados. Faca as hip oteses que julgar necessarias. Adote paraomodulodeelasticidadedoaco200GPa.2.9. EXERCICIOS 2712343 kN.m0,5 m 0,5 m0,5 mFigura2.24. Doexerccio2.5700 mm300 mm100 mm800 mm400 mm 1000 mm 700 mm400 mm800 mm200 mm200 mm4,0 kN3,5 kN 3,5 kN100 mmFigura2.25. Doexerccio2.6CAPTULO3Estruturasestaticamenteindeterminadas3.1. IntroducaoAsequacoesdeequilbriodosistemadefor casaplicadosobreumcorpo unicofornecemumcerton umerodeequacoesconformeadimensaodoproblemaestru-turaltratado. Nocasounidimensional, oequilbrioforneceumaequacao, nobidi-mensional duasenotridimensional tres. Noentanto, on umerodeincognitasdoproblema-que,emgeral,saoasrea coes-superaodeequa coesdeequilbrio,istoe, oproblemasetornamatematicamenteindeterminado, ou, ditodeoutraforma,setornaestaticamenteindeterminado.qL1 2Figura3.1. IlustracaodeumaestruturaestaticamenteindeterminadaComo exemplo ilustrativo do que se acaba de dizer, considere a viga carregada eapoiadaconformeaFigura3.1. Nestecasotrata-sedeumproblemabidimensionalnoqual ocarregamentoativoetransversal. Logo, somenteosvnculosverticaiseoderotacaoseraosolicitados. Portanto,pode-searmarqueon umerodecompo-nentesreativase3: Y1,M1eY2,astresmostradasnodiagramadecorpolivredaviga,Figura3.2.q1 2M1Y1Y2AFigura3.2. DiagramadecorpolivreE certo que o sistema de forcas aplicado `a viga se encontra em equilbrio, pois aviga e hiperestatica. Assim, pode-se escrever, excluindo a componente da resultantede forcas na horizontal, que e redundante neste caso, as duas equacoes de equilbriorestantes:Ry= 0 Y1 +Y2= qL (3.1)2930 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASMA= 0 M1 +LY2=qL22(3.2)Sao, portanto, 2equacoespara3incognitas, ouseja, estacaracterizadaain-determinacaomatematicaouestaticadoproblemaemquestao. Faz-senecessarioencontrarumaequacaoquetorneosistemaalgebricodeterminado.Na sequencia serao vistos dois metodos para lidar com a indeterminacao estaticade estruturas. Sao eles o metodo da exibilidadee o metodo da rigidez, nesta ordem.3.2. Ometododaexibilidade3.2.1. Aspectos gerais. Retomando o exemplo anterior, nota-se que o n umerode incognitas excede o de equacoes de equilbrio de uma unidade e, como ja comen-tado, e preciso dispor de mais uma equacao para que se determinem as componentesreativas sobre a viga. Esta observacao poe em destaque o n umero de novas equacoesaseremencontradas. Esten umeroseradenidocomoograudeindeterminacaoestaticadaestrutura,que edesumaimportanciaparaometododaexibilidade.Defini c ao3.1. Ograudeindeterminacaoestatica(g)deumaestruturasedenepeladiferencaentreon umerototal devnculos nos apoios eon umerototal deequacoesoriundasdacondicaodeequilbriodosistemadeforcasaplicadoacadamembrodaestrutura. Matematicamentetem-se:g:= v e (3.3)ondeveasomadosn umerostotaisdevnculosdeapoioemcadamembroeeeasomadosn umerostotaisdeequacoesdoequilbrioemcadamembroeemcadaelocomumentremembros.Coment ario3.1. Seaestruturaforbidimensional econstitudaporapenasum membro, tem-se e =3. Se for tridimensional e formada por um unico membro,tem-see = 6. Seforbidimensional eformadapor2membros,tem-see = 8. Sefor tridimensional com 2 membros,e =15. De forma geral,o n umero de equac oesdeequilbrioparacadamembroeelobidimensionaisede3e2,respectivamente,eparaostridimensionaisede6e3,respectivamente.Coment ario3.2. Nocasodetrelicas, ograudeindeterminacaoestaticaeb+v-2n,paraasbidimensionais,eb+v-3n,paraastridimensionais. Ondebeon umerototal debarrasenon umerototal denosnatrelica.qL1 2Y2Figura3.3. EstruturafundamentalAntesdeapresentarometodopropriamente, convemretornaraoexemploin-trodutorio. Como visto, o decit de equa coes e igual a um, ou seja, se for descartadoumdos3vnculos, oproblemasetornaestaticamentedeterminado. Eliminando,pois, umdos vnculos excedentes, por exemplo, ovnculovertical em2, obtem-seaassimchamadaestrutural fundamental, ilustradanaFigura3.3. Comoseve3.2. OMETODODAFLEXIBILIDADE 31pela gura, no lugar do vnculo foi posta a propria for ca reativa incognita, Y2, paragarantir o problema original. No entanto, ainda nao esta garantida a perfeita equiv-alenciadestenovoproblemacomooriginal. Paraarrematarestaquestao, faz-senecessarioestabelecerqueodeslocamentoverticaldono2daestruturafundamen-tal sejanulo. Estedeslocamentopodeserescritousandooconceitodematrizdeexibilidadeeoprincpiodasuperposicao. Comrelacao`aestruturafundamental,sejam d1o deslocamento vertical no apoio 2, d01o deslocamento vertical causado noapoio2devidounicamenteaocarregamentoq, ef1aforcareativavertical em2.Nestecasoamatrizdeexibilidadetorna-sesimplesmenteA = a11eassimpelasuperposicaodosefeitosdeqeY2sobreodeslocamentoverticalem2tem-se:d1= a11f1 +d01= 0 (3.4)ou:v2= a11Y2 +v02= 0 (3.5)oudeformamaisgeral:d = Af +d0= 0 (3.6)Como se nota, a Equacao 3.6 completa o conjunto de equacoes algebricas necessarias`adetermina caodas incognitas, istoe, das reacoes de apoiodoproblema. Estaequacao echamadadeequacaodecompatibilidadeporquetornacompatvelonovoproblemacomaqueleoriginal. Tem-seaometododaexibilidadeaplicado.Algunscomentariossefazem uteisnestemomento.Coment ario3.3. Nometodoaplicadoaoexemplo,ograudeindeterminacaoestatica eum, foi eliminadoum vnculo da estrutura e se obteve maisuma equacao.Ouseja, ograudeindeterminacaoestaticaorientaquantoaon umerodevnculosaseremretiradosdaestruturaoriginalesubstitudospelasrespectivasreacoesparaformaraestruturafundamental comonovocarregamento.Coment ario3.4. Aovnculoretiradocorrespondeumaequacaodecompati-bilidadeparaimposicaodedeslocamentogeneralizadonulo.Coment ario 3.5. A matriz de exibilidade foi empregada para obter o desloca-mento na direcao do vnculo retirado, v2, causado pela forca reativa correspondente,Y2.Voltando`aEquacao3.5, odeslocamentovertical v02causadounicamentepelocarregamentouniformementedistribudosobreaestruturafundamental podeserobtidodoApendice A, e e igual a qL4/8EI, e o unicocoeciente damatrizdeexibilidade, resultantedaaplica caodaforcaunitariavertical em2, eigual aL3/3EI. Assimtem-se,apossubstitui caonaEquacao3.5:L33EIY2L48EIq= 0 (3.7)ou:Y2=38qL (3.8)Doequilbriodosistemadefor cassobreavigatem-se:Ry= Y1 +38qL qL = 0 (3.9)32 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASMA= M1 +38qL2qL22= 0 (3.10)ouseja:Y1=58qL (3.11)M1=qL28 (3.12)

Coment ario3.6. Osinal dasreacoestemumainterpretacaoimediatadesdeque se as tenhaarbitradocomsentidopositivosegundoosistemade referenciaadotado: se for positivo, aforcageneralizadareativatemosentidopositivodosistemadereferencia;senegativo,elatemsentidocontrario.Exemplo3.1. Repitaoexemploanteriorretirandoagoraovnculoderotacao`aesquerdaparaobteraestruturafundamental.Solu c ao. A estrutura fundamental correspondente esta ilustrada na Figura 3.4.qL1 2M1Figura3.4. EstruturafundamentaldoExemplo3.1AforcareativageneralizadaeocorrespondentedeslocamentogeneralizadosaorespectivamenteomomentoM1earotacao1. Logoenecessariodeterminar amatrizdeexibilidadedaestruturanono1segundoarota caoemtornodoeixoperpendicularaoplanoparaseconheceraparceladodeslocamentogeneralizado,d1, devida`aexibilidadea. Alemdisso, paraseconheceraoutraparceladed1,d01, eprecisodeterminararota caoem1devidaaocarregamentoq. Fazendoisto,obtem-sepeloprincpiodasuperposicaojustamenteaequa caodecompatibilidade,Equacao3.6.Amatrizdeexibilidadetemtambemnestecasoapenasum unicocoeciente,obtidodarota caoem1quandoseaplicaum unicomomentounitariopositivonomesmono1,ouseja,peloApendiceA,tem-se:A = [a11] =_L3EI_(3.13)Odeslocamentod01seobtemdomesmoApendiceA:d01= qL324EI(3.14)LevandoasEquacoes3.13e3.14`aequacaodecompatibilidade, Equa cao3.6,tem-se:3.2. OMETODODAFLEXIBILIDADE 33L3EIM1qL324EI= 0 (3.15)ouseja:M1=qL28 (3.16)As demais rea coes obtem-se do equilbrio do sistema de forca sobre a estrutura.ConformeodiagramadecorpolivredaFigura3.2:Y1=5qL8 (3.17)Y2=3qL8 (3.18)

Exemplo3.2. DetermineasreacoesdeapoiodavigamostradanaFigura3.5.Asrigidezesaxial e`aexaosaouniformes.1 2LFPMFigura3.5. Vigaengastada`aesquerdaesimplesmenteapoiada`adireitaempregadanoExemplo3.2Solu c ao. Novamente ha 4 vnculos nos apoios. Logo o grau de indeterminacaoestaticae g= 43 = 1. Deve-se, portanto, eliminar apenas um vnculo dos apoios.Porexemplo, pode-seeliminarovnculovertical em2eassimobteraestruturafundamental mostradanaFigura3.6.1 2LFPMY2Figura3.6. EstruturafundamentalempregadanoExemplo3.2Nestecasoainuenciadasfor casgeneralizadasativasF, PeMedareativaY2sobre os deslocamentos generalizados do no 2 pode ser obtida a partir da matrizdeexibilidadea determinada. Recorrendo`amatrizdeexibilidadedoExem-plo1.2, chamandof1deF, f2deP+ Y2ef3deM, tem-separaaequacaodecompatibilidade,Equa cao3.6:__LEA 0L33EI

0L22EILEI_____FY2 +PM___=___u202___(3.19)34 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASAsegundaequa caodosistemaacimafornece:Y2= P 3M2L (3.20)1 2LFPMY2Y1M1X1Figura3.7. DiagramadecorpolivredavigadoExemplo3.2Finalmente,do equilbrio do sistema de forcas sobre a viga,diagrama de corpolivremostradonaFigura3.7,tem-se:Rx= X1 +F= 0 (3.21)Ry= Y1 +P P 3M2L= 0 (3.22)M1= M1 +M (P+3M2L)L +PL = 0 (3.23)Easdemaisreacoessao,portanto:X1= F (3.24)Y1=3M2L (3.25)M1=M2 (3.26)Embora nao solicitado no enunciado, vai-se obter os deslocamento generalizadosu2e2. Daprimeiraedaterceiraequa coesdosistemaacimatem-se:u2=FLEA (3.27)2= 3M2L L22EI+MLEI=ML4EI (3.28)

Coment ario3.7. Pelosinal dosresultados, X1eparaaesquerda, Y1eparacima,M1ehorarioeY2eparabaixo. Jau2eparadireitae2anti-horario.Exemplo3.3. Determineasreacoesdeapoiodavigabi-engastadamostradanaFigura3.8. Asrigidezesaxial e`aexaosaouniformes.Solu c ao. On umerototal devnculosnosapoiose6. Consequentementeograudeindeterminac aoestaticaeg=3, ouseja, devemserretirados3vnculosparaformaraestruturafundamental. Porexemplo, retirandoostresvnculosdoapoio3obtem-seaestruturafundamental mostradanaFigura3.9.Comamatrizdeexibilidadedosnos2e3pode-seobterosdeslocamentosgeneralizadosapartirdasfor casgeneralizadasnessesmesmosnos, algumasdelasconhecidas, as dono2, e outras incognitas, as rea coes noapoio3, ouseja, daexpressaogenerica,d = Af.Vai-sedeterminaramatrizdeexibilidadeem2e3.3.2. OMETODODAFLEXIBILIDADE 351 3PFM2b ayzxFigura3.8. Vigabi-engastadadoExemplo3.31 3PFM2b ayzxY3M3X3Figura3.9. EstruturafundamentaldavigadoExemplo3.3(1) Obten cao da 1a. coluna: aplica cao da for ca unitaria X2= 1 (Figura 3.10)1 3X2=12b ayzxFigura3.10. Exemplo3.3: aplicacaodafor caunitariaX2= 1DatabeladoApendiceAtem-seosdeslocamentosgeneralizadoscor-respondente,isto e,oscoecientes:a11=aEA(3.29)a12= 0 (3.30)a13= 0 (3.31)a14=aEA(3.32)a15= 0 (3.33)a16= 0 (3.34)(2) Obten caoda2a. coluna: aplicacaodaforcaunitariaY2= 1(Figura3.11)1 3Y2=12b ayzxFigura3.11. Exemplo3.3: aplicacaodafor caunitariaY2= 136 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASa22=a33EI(3.35)a23=a22EI(3.36)a24= 0 (3.37)a25=a2(2a + 3b)6EI(3.38)a26=a22EI(3.39)(3) Obten cao da 3a. coluna: aplicacao do momento unitario M2= 1 (Figura 3.12)1 3M2=12b ayzxFigura3.12. Exemplo3.3: aplicacaodafor caunitariaY2= 1a33=aEI(3.40)a34= 0 (3.41)a35=a(a + 2b)2EI(3.42)a36=aEI(3.43)(4) Obten caoda4a. coluna: recursoaoExemplo1.2(Figura1.9)a44=a +bEA(3.44)a45= 0 (3.45)a46= 0 (3.46)(5) Obten caoda5a. coluna: recursoaoExemplo1.2(Figura1.10)a55=(a +b)33EI(3.47)a56=(a +b)22EI(3.48)(6) Obten caoda6a. coluna: recursoaoExemplo1.2(Figura1.11)a66=(a +b)EI(3.49)Amatrizdeexibilidade e,portanto:3.2. OMETODODAFLEXIBILIDADE 37A =__aEA

0a33EI 0a22EIa+bEI

aEA0 0a+bEA 0a2(2a+3b)6EIa(a+2b)2EI0(a+b)33EI

0a22EIaEI0(a+b)22EIa+bEI__(3.50)Matricialmenteaequacaodecompatibilidadeseescrevecomo:(3.51)__aEA

0a33EI 0a22EIa+bEI

aEA0 0a+bEA 0a2(2a+3b)6EIa(a+2b)2EI0(a+b)33EI

0a22EIaEI0(a+b)22EIa+bEI_____PFMX3Y3M3___=___u2v22000___Astres ultimaslinhasdaEquacao3.51formamumsistemadeequacoescujasolucao e:X3= Paa +b(3.52)Y3= a2(a + 3b)F+ 6abM(a +b)3(3.53)M3=a(abF (a 2b)M)(a +b)2(3.54)

Coment ario3.8. Pelosinal dos resultados seconclui queX3eparaaes-querda, Y3eparabaixoenadasepodearmarsobreosentidodeM3porquenaoseconhecemaprioriosparametrosdesuaexpressao.Coment ario3.9. Aosubstituirosvaloresdasforcasgeneralizadasem2deve-se observar tambem o sinal algebrico. Por exemplo, se a forca Pfor para a esquerda,ovalorcorrespondenteser anegativo;eassimpordiante.3.2.2. Recalques. Hasitua coesemqueosapoiossofremdeslocamentosourotacoes indesejadas, chamados de recalques. O recalque altera as rea coes de apoioquandoaestruturafor hiperestatica, ouestaticamente indeterminada, e podemocasionarsobrecargainesperada.Veja-seumexemplo. Avigabi-engastadadaFigura3.13,uniformementecar-regada,sofreumrecalquenoapoiodireito,istoe,considerandoocasomaisgeral,oapoiosofretranslacaoerotac aodesignadasporu2,v2e2.Dadoqueograudeindeterminacaoestaticaeigual a3, tres vnculos seraoeliminadosparaformaraestruturafundamental mostradanaFigura3.14: 1,u2e2.O vetor deslocamento generalizado, d0, devido ao carregamento uniformementedistribudo e(vejaExemplo1.3):38 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASqL1 2yzxFigura3.13. Vigabi-engastadacomrecalquenoapoiodireitoqL1 2M1M2X2Figura3.14. Estruturafundamental___d01d02d03___=___01u0202___=___qL324EI0qL324EI___(3.55)AmatrizdeexibilidadepodeserparcialmenteaproveitadadoExemplo1.3,acrescentandooefeitodaexibilidadehorizontalnoapoio2. Resultapois:A =__L3EI 0LEA

L6EI0L3EI__(3.56)L1 2v2rLv2rLv2rFigura3.15. Efeitodorecalquevr2sobreaestruturafundamentalAntes de obter o efeito de vr2sobre o vetor de deslocamentos generalizados, ob-serve que ele move a estrutura fundamental sem,contudo,deforma-la. No entanto,o seu efeito sobre as componentes do vetor de deslocamento generalizado 1, u2e 2e patente, conforme se observa pela Figura 3.15. Ja ur2e r2sao o resultado nal dorecalquesobreascomponentesdovetordedeslocamentogeneralizadoe,portanto,aparecemcomoimposi caodiretanaequa caodecompatibilidade.Oefeitodevr2sobreascomponentes1,u2e2podeserobtidocomoauxliodapropriaFigura3.15,fornecendoovetordedeslocamentogeneralizado:3.2. OMETODODAFLEXIBILIDADE 39d1=___vr2L0vr2L___(3.57)Para escrever a equacao de compatibilidade quando ocorra recalque, vale recor-rer ao seguinte raciocnio com base no princpio da superposicao: primeiro aplica-se`a estruturafundamental o carregamento distribudo q;a seguir aplica-se o recalquev2r;e nalmente, aplicam-se as for cas e momentos reativos que substituram os vn-culosaoseformaraestruturafundamental (implicadosnaexibilidade). Ovetordedeslocamentogeneralizadoeoresultadodasobreposicaodosefeitosdestastresaplicacoes. Logo,tem-se:d = d0+d1+Af (3.58)oumaisexplicitamente:(3.59)___0ur2r2___=___qL324EI0qL324EI___+___vr2L0vr2L___+__L3EI 0LEA

L6EI0L3EI_____M1X2M2___Chega-se,pois,aoseguintesistemadeequacoes:__L3EI 0LEA

L6EI0L3EI_____M1X2M2___=___vr2L+qL324EIur2vr2L+r2qL324EI___(3.60)cujasolu cao e:X2=EALur2(3.61)M1=qL2126EIL2vr2 +2EILr2(3.62)M2= qL2126EIL2vr2 +4EILr2(3.63)As demais reacoes sao obtidas analisando o equilbrio do sistema de forcas sobreaestrutura. Uma vez ja denida a estrutura fundamental e obtidos o vetor de deslocamentogeneralizadod0eamatrizdeexibilidadedaestruturafundamental, oproced-imentoparaaplicacaodometododaexibilidadenumaestruturarecalcadaeoseguinte: ascomponentesdorecalquequeformamascomponentesdovetordeslo-camentogeneralizadosaosubstitudasnovetordeasdemaiscomponentesdevemterosseusefeitossobreaestruturafundamentaldeterminadosparaformarosve-tores de deslocamento generalizado d1, d2, etc. conforme o n umero de componentesderecalque. Assim,forma-seaequa caodecompatibilidade:d = Af +d0 +d1 +d2 + (3.64)Veja-se agora um outro caminho para a solucao do mesmo problema, desta vezeliminandoos3vnculosdoapoio2paraformaraestruturafundamental indicadanaFigura3.16. Neste casoos recalques contemplamatotalidade dos vnculos40 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASeliminados,aocontrariodasolu caoanterior,permitindoasuaimposicaodiretanaequacaodecompatibilidade.qL1 2X2M2Y2Figura3.16. NovaestruturafundamentalOsdeslocamentosgeneralizadosem2causadospelocarregamentodistribudosaoobtidosapartirdatabeladoApendiceA. Saoeles:d0=___u02v0202___=___0qL48EIqL36EI___(3.65)Amatrizdeexibilidadecorrespondenteaono2jafoiobtidanoExemplo1.2e eaquicopiada:A =__LEA 0L33EI

0L22EILEI__(3.66)Aequacaodecompatibilidadepodeserescritapeloprincpiodasuperposicaocomo:d = Af +d0(3.67)onde, alem do termo de deslocamentos generalizados devidos `a exibilidade, apareceo de carregamento distribudo. No caso em questao os deslocamentos generalizadosnodais em 2 sao impostos diretamente pelo recalque na equacao de compatibilidade,ouseja:___ur2vr2r2___=__LEA 0L33EI

0L22EILEI_____X2Y2M2___+___0qL48EIqL36EI___(3.68)ou:__LEA 0L33EI

0L22EILEI_____X2Y2M2___=___ur2vr2r2______0qL48EIqL36EI___(3.69)Asolucaodosistemaacima e:3.3. OMETODODARIGIDEZ 41X2=EALur2(3.70)Y2=12EIL3vr26EIL2r2 +qL2(3.71)M2= 6EIL2vr2 +4EILr2qL212(3.72)As demais reacoes sao obtidas analisando o equilbrio do sistema de forcas sobreaestrutura. Coment ario 3.10. O efeito do recalque sobre a estrutura pode ser favoravel ounaoquanto`asolicitacaoconformeosentidodorecalque, ou, oqueeequivalente,conformeoseusinal. Porexemplo, orecalquedeumaunidadedecomprimentoparacimaprovocaumasobrecargade12EIL3nareacaoverticaldeapoioem2,eodeumradiano,provocaadiminuicaoouinversaodosentidonessamesmareacaoporumavalorde6EIL2.Coment ario3.11. Aprimeirasolucaonaoediretacomoasegunda,erequermais cuidado na an alise do efeito do recalque nos deslocamentos generalizados.E desumaimportancia,naprimeira,observaroefeitodorecalquesobreascomponentesdodeslocamentogeneralizadodaestruturafundamental. Aquelascomponentesquecorrespondemarecalquesentramdiretamentenaequac aodecompatibilidade, en-quantoasquenao, entramindiretamentepelaanalisedesuasinuenciassobreovetordedeslocamentosgeneralizados. Pode-seconcluirque, semprequesejapos-svel, deve-se eliminar os vnculos que correspondema recalques para formar aestruturafundamental para,assim,aplicardiretamenteosrecalquesnaequac aodecompatibilidade,conformeosegundotipodesolucao.3.3. OmetododarigidezParaintroduzir ometododarigidezconvemempregar umexemplosimples.Seja uma estrutura formada por duas barras em linha apoiadas conforme a Figura 3.17.Asfor castransmitidasacadaumadasbarrasdevido`arigidezestaomostradasnaFigura3.18. Estasfor cassaoaacaodosnossobrearespectivabarra. Osdiagra-masdecorpolivredosnos, Figura3.19, permitemescreverasseguintesequa coesdecorrentesdoequilbriodecadano:k(1)11 u1 +k(1)12 u2= X1(3.73)k(1)21 u1 + (k(1)22+k(2)11 )u2 +k(2)12 u3= F2(3.74)k(2)21 u2 +k(2)22 u3= F3 +X3(3.75)oumatricialmente:__k(1)11k(1)120k(1)21k(1)22+k(2)11k(2)120 k(2)21k(2)22_____u1u2u3___=___X1F2F3 +X3___(3.76)Naequacaoacimaevidenciam-seimediatamenteamatrizderigidezdaestru-tura, o vetor de deslocamentos generalizados nodais e o vetor de for cas generalizadasnodaisemrelacaoaosnos1,2e3. Deformacompacta,tem-se:Kd = f (3.77)42 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASL1L22 1 3(1) (2)F2F3Figura3.17. Barrasalinhadastomadascomoexemplodeapli-ca caodometododarigidez2 13(1)(2)2yzxk111u1k121u2k211u1k221u2k11 2u2k12 2u3k21 2u2k22 2u3Figura3.18. Diagramadecorpolivredecadabarra: efeitoex-clusivodarigidez2 1 3F2F3k11 1u1k121u2k21 1u1k221u2X1k11 2u2k122u3k21 2u2k222u3 X3yzxFigura3.19. RepresentacaodasforcasemcadanoDo exemplo depreende-se que o produto de cada linha da matriz de rigidez como vetor de deslocamentos generalizados representa a resultante de uma componentedeforcageneralizadanonodevido`arigidezdoselementosconectadosaele. Estacomponente resultante deve ser igual `a das demais for cas generalizadas no no, tantoativas comoreativas. Portanto, osistemadadopelaEqua cao3.77nadamaisequeumconjuntodeequacoes deequilbrionodal defor cas oumomentos. Esteresultadopodeserestendidoaqualquerestrutura,ouseja,aformadadaparapelaEquacao3.77 eageneraliza caodometododarigidez.Nadasedissearespeitodasforcasemomentosativosaplicadossobreaestru-turaforadeumno, comoelesinuenciamemcadano. Numasitua caogenerica,oelemento esubmetidosimultaneamenteafor casoumomentosativoseadesloca-mentosourotacoesnasextremidades. Estasitua caogenericapodeserdecompostapeloprincpiodasuperposicaoemduasoutras: aprimeira, emqueoelementoebi-engastado e submetido aos esforcos ativos (Figura 3.20), e a segunda, em que eleesubmetidoapenasaosdeslocamentoserota coesnasextremidades(Figura3.21).Nestesegundocaso, asfor casgeneralizadasnasextremidadessaodevidasexclusi-vamente`arigidezdoelemento, ejaforamtratadasanteriormente. Jaoprimeirocasolevaaoutrasforcasgeneralizadasquedizemrespeitounicamenteaosesforcosativossobreoelemento. Denotandoasfor casgeneralizadasnasextremidadesdoelementoemumaeoutrasituacaopelo ndicesobrescritotem-se:3.3. OMETODODARIGIDEZ 43fe1=___Xe1iYe1iMe1iXe1jYe1jMe1j___(3.78)paraasituacao1,e:i jFXie1Yie1Mie1X je1Y je1M je1yzx(e)MPFigura3.20. Situac ao1: elementosubmetidoaesfor cosativosfe2=___Xe2iYe2iMe2iXe2jYe2jMe2j___=__ke11

ke21ke22 ke31ke32ke33

ke41ke42ke43ke44 ke51ke52ke53ke54ke55

ke61ke62ke63ke64ke65ke66_____ue2ive2ie2iue2jve2je2j___(3.79)paraasituacao2.i jui , vi , iuj , vj , jyzxXie2Yie2Mie2X je2Y je2M je2(e)Figura3.21. Situacao2: elementosubmetidoadeslocamentosgeneralizadosnodaisAfor cageneralizadafe1dadapelaEquacao3.78eaacaodos nos sobreasextremidades do elemento. Quando da analise do equilbrio do no deve-se ater paraarea caodoelementosobreele. Nestecaso,eaforcageneralizadanodal expressapelaEquacao3.78desinal trocadoquedeveser levada`aequacaodeequilbrionodal. Assim, ao substituir estas for cas no vetor de forca da Equa cao 3.77, estas saosimplesmenteadicionadas`asdemaiscomponentes. Maisexplicitamente,aequa caonodaldemodogeralseria:fe1fe2+fa+fr= 0 (3.80)ondefaeaforcageneralizadanodalativaefreaforcageneralizadanodalreativa,ou,jalevandoemcontaarigidez:44 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASKd = fa+frfe(3.81)onde,porconveniencia,osobrescritoe1foisubstitudopore.Veja-seumexemploparaocalculodafor canodal nas extremidades deumelementocausadasporumaforcatransversalmenteaplicada.Exemplo 3.4. Determine as forcas e momentostransmitidos pela forca transver-sal, F, `asextremidadesdoelementoindicadonaFigura3.22, paraefeitodeapli-cacaonometododarigidez. Considereoelementouniforme.ijyxy'x' abFLFigura3.22. Exemplo3.4: elementosubmetidoaforcatransversalSolu c ao. As forcas transmitidas `as extremidades podemser interpretadascomoas rea coes dos engastes `aa caodeF. Paradeterminar estas for cas vai-seempregar o metodo da exibilidade. Se se considera o problema desde o sistema dereferencia x

y

,ele e identico ao do Exemplo 3.3 a menos da forca Pe do momentoM,quepodemserassumidoscomonulos. Assimasreacoessao:X

i= 0 (3.82)Y

i= F(1 +2aL )(1 aL)2(3.83)M

i= FLaL(1 aL)2(3.84)X

j= 0 (3.85)Y

j= Fa2L2(3 2aL ) (3.86)M

j= FLa2L2(1 aL) (3.87)Paraobterasreacoesnosistemaxybastarecorrer`atransformacaoinversadecoordenadas,Equacao2.30. Assim:___XiYiMiXjYjMj___=__ c s 0 0 0 0 s c 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 c s 00 0 0 s c 00 0 0 0 0 1_____X

iY

iM

iX

jY

jM

j___(3.88)3.3. OMETODODARIGIDEZ 45que,umavezsubstitudasasreacoesnosistemax

y

,resulta:Xi= (1 +2aL )(1 aL)2F sin (3.89)Yi= (1 +2aL )(1 aL)2F cos (3.90)Mi= aL(1 aL)2FL (3.91)Xj=a2L2(3 2aL )F sin (3.92)Yj= a2L2(3 2aL )F cos (3.93)Mj=aL(1 aL)Fa (3.94)Exemplo3.5. Umabarrabi-apoiadaesubmetida`aforcaaxial indicada. De-termineasreacoesdeapoio.L/21 2 FyzxL/2Figura3.23. Exemplo3.5: barrabi-apoiadasubmetidaaforcaaxialSolu c ao. Considerando os dois nos indicados na Figura 3.23, ha apenasumelementoqueosune. AmatrizderigidezdoelementodebarraedadapelaEquacao2.6. Afor caaxial transmiteaosnosforcasobtidasdoApendiceBequevalem F/2, eosapoiostransmitemaosnosasforcasX1eX2. Assimosistemadeequacoesdeequilbriodefor casnodais,Equacao3.81,podeserescritocomo:EAL_1 11 1_ _u1u2_=_X1 +F2X2 +F2_(3.95)As condi coes deapoioimpoemu1=u2=0. Logo, tem-separaosistemaacima:X1= X2= F2 (3.96)

Valemosseguintescomentariosparaoexemploacima:Coment ario3.12. Amatrizderigidezdoelementosolevouemcontaosdoisdeslocamentosgeneralizados,poissetratadeum unicoelementodebarra.Coment ario3.13. ObservequeasforcastransmitidasaosnosporFsaoneg-ativaseaparecemnaEquacao3.95comsinalpositivoporqueelassaoafetadaspelosinal negativonaEquacao3.81.Coment ario3.14. Asduasforcasreativassaoorientadasparaaesquerda.Exemplo3.6. Determineasreacoesdeapoioearotacaonoapoio2navigaabaixo. Arigidez`aexaoeuniforme.46 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASqL1 2yzxFigura 3.24. Exemplo 3.6: viga submetida a carregamentotransversaluniformementedistribudoSolu c ao. Desprezandoaslinhasecolunasdeforcasedeslocamentosaxiaisnamatrizderigidezdaviga,tem-separa = 0:K =EIL3__12 6L 4L2 12 6L 12 6L 2L26L 4L2__(3.97)Asforcasgeneralizadastransmitidasaosnossao(ApendiceB):qL2(3.98)qL212(3.99)qL2(3.100)qL212(3.101)for caemomentotransmitidosrespectivamenteaosnos1e2pelafor cadistribudaeosesforcosreativosnosapoiossaoY1,M1,Y2eM2= 0.Levandoessesresultados`aEquacao3.81, obtem-seasequacoesdeequilbrionodaldefor cas:EIL3__12 6L 4L2 12 6L 12 6L 2L26L 4L2_____v11v22___=___Y1qL2M1qL212Y2qL2qL212___(3.102)Impondoascondicoesdeapoio,v1= 1= v2= 0,obtem-seoseguintesistemadeequacoes:__L3EI0 0 6L0 L3EI0 2L20 0 L3EI6L0 0 0 4L2_____Y1M1Y22___=___qL42EIqL512EIqL42EIqL512EI___(3.103)Resolvendoosistemaacima,tem-se:3.3. OMETODODARIGIDEZ 47Y1=5qL8 (3.104)M1=qL28 (3.105)Y2=3qL8 (3.106)2=qL348EI (3.107)

Coment ario3.15. NoExemplo3.6, Y1eY2saoparacimaeM1e2saoanti-horarios.Exemplo3.7. RepitaoExemplo3.6, poremagorainclinadode, conformemostraaFigura3.25.ijyxy'x' qLFigura 3.25. Exemplo 3.7: viga submetida a carregamentotransversaluniformementedistribudoSolu c ao. Amatrizderigidezparaoproblema eplena:(3.108)K =EIL3__12 s2 6 s2 12 c26L s 6L c 4L2

12 s2 6 s2 6L s 12 s26 s2 12 c2 6L c 6 s2 12 c2 6L s 6L c 2L26L s 6L c 4L2__For casgeneralizadastransmitidasaosnos(ApendiceB):48 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASXi=qL2 s (3.109)Yi= qL2 c (3.110)Mi= qL212(3.111)Xj=qL2 s (3.112)Yj= qL2 c (3.113)Mj=qL212(3.114)(3.115)eosesforcosnosapoiossaoX1,Y1,M1,X2,Y2eM2= 0.Levandoessesresultados`aEquacao3.81, obtem-seasequacoesdeequilbrionodaldefor cas:(3.116)EIL3__12 s2 6 s2 12 c26L s 6L c 4L2

12 s2 6 s2 6L s 12 s26 s2 12 c2 6L c 6 s2 12 c2 6L s 6L c 2L26L s 6L c 4L2_____u1v11u2v22___=___X1 +qL2 sY1qL2 cM1qL212X2 +qL2 sY2qL2 cqL212___(3.117)Impondoas condi coes deapoiou1=v1=1=u2=v2=0, obtem-seoseguintesistemadeequa coes:(3.118)__L3EI0 0 0 0 6L s0 L3EI0 0 0 6L c0 0 L3EI0 0 2L20 0 0 L3EI0 6L s0 0 0 0 L3EI6L c0 0 0 0 0 4L2_____X1Y1M1X2Y22___=___qL42EI sqL42EI cqL512EIqL42EI sqL42EI cqL512EI___Resolvendoosistemaacima,encontram-se:3.3. OMETODODARIGIDEZ 49X1= 5qL8 s (3.119)Y1=5qL8 c (3.120)M1=qL28(3.121)X2= 3qL8 s (3.122)Y2=3qL8 c (3.123)2=qL348EI(3.124)

Coment ario3.16. NoExemplo3.7, X1eX2saoparaaesquerda, Y1eY2saoparacimaeM1e2saoanti-horarios.Coment ario3.17. Observequeasreacoesearotac aonoapoio2nosistemalocal, x

y

, do Exemplo 3.7 s ao identicas `as do Exemplo 3.6, como era de se esperar.Exemplo3.8. Determine as reacoes de apoio,os deslocamentos e rotacoes nosapoios2e3. Ambososelementospossuemasmesmasrigidezesaxial e`aexao,respectivamente1,5.03tfe2.07tfmm2.1 220 tf/m10 tf3(1)(2)45o1 m 0,5 m 0,5 myzFigura3.26. PorticoempregadonoExemplo3.8Solu c ao. No caso, vai-se empregar os dois elementos mostrados na Figura 3.26.Ambos serao tomados por elementos de portico, pois estao submetidos a todos tiposdeesforco. Asmatrizesderigidezdoelemento1e2seobtemdaEqua cao2.47fazendo = 0e = /4,respectivamente:1AnotacaonumericaXysignicaX 10yemnotacaocientca. Porexemplo,1.02equivalea1.0 102.50 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADAS(3.125)K(1)=__+5.00+0+0.00+0+0.00+0 5.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+2.401+1.20+2+0.00+0 2.401+1.20+2+0.00+0+1.20+2+8.00+4+0.00+0 1.20+2+4.00+45.00+0+0.00+0+0.00+0+5.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0 2.401 1.20+2+0.00+0+2.401 1.20+2+0.00+0+1.20+2+4.00+4+0.00+0 1.20+2+8.00+4__e(3.126)K(2)=__+1.81+0 1.73+0+4.24+1 1.81+0+1.73+0+4.24+11.73+0+1.81+0+4.24+1+1.73+0 1.81+0+4.24+1+4.24+1+4.24+1+5.66+4 4.24+1 4.24+1+2.83+41.81+0+1.73+0 4.24+1+1.81+0 1.73+0 4.24+1+1.73+0 1.81+0 4.24+1 1.73+0+1.81+0 4.24+1+4.24+1+4.24+1+2.83+4 4.24+1 4.24+1+5.66+4__Sobrepondoambasasmatrizes, obtem-seamatrizderigidezglobal daestru-tura:(3.127)K=______________+5.00+0+0.00+0+0.00+0 5.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+2.401+1.20+2+0.00+0 2.401+1.20+2+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+1.20+2+8.00+4+0.00+0 1.20+2+4.00+4+0.00+0+0.00+0+0.00+05.00+0+0.00+0+0.00+0+6.81+0 1.73+0+4.24+1 1.81+0+1.73+0+4.24+1+0.00+0 2.401 1.20+2 1.73+0+2.05+0 7.76+1+1.73+0 1.81+0+4.24+1+0.00+0+1.20+2+4.00+4+4.24+1 7.76+1+1.37+5 4.24+1 4.24+1+2.83+4+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.81+0+1.73+0 4.24+1+1.81+0 1.73+0 4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+1.73+0 1.81+0 4.24+1 1.73+0+1.81+0 4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+4.24+1+4.24+1+2.83+4 4.24+1 4.24+1+5.66+4__Forcasgeneralizadasnasextremidadesdoelemento1causadaspelocarrega-mentolinearmentedistribudo( = 0)(ApendiceB):fe(1)=___+0.00+0+3.00+0+6.67+2+0.00+0+7.00+01.00+3___(3.128)edoelemento2causadaspelocarregamentotransversal( = 4):fe(2)=___+3.54+0+3.54+0+1.77+3+3.54+0+3.54+01.77+3___(3.129)Sobrepondofe(1)efe(2)resultaovetordeforcasgeneralizadas:3.3. OMETODODARIGIDEZ 51fe=___+0.00+0+3.00+0+6.67+2+3.54+0+1.05+1+7.68+2+3.54+0+3.54+01.77+3___(3.130)Ovetordeesforcosnodaisativos enuloeodeesfor cosnodaisreativos e:fr=___X1Y1M1000X3Y30___(3.131)Substituindo estes resultados na Equacao 3.81, e impondo nela as condicoes deapoio,obtem-se:(3.132)______________+5.00+0+0.00+0+0.00+0 5.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+2.401+1.20+2+0.00+0 2.401+1.20+2+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+1.20+2+8.00+4+0.00+0 1.20+2+4.00+4+0.00+0+0.00+0+0.00+05.00+0+0.00+0+0.00+0+6.81+0 1.73+0+4.24+1 1.81+0+1.73+0+4.24+1+0.00+0 2.401 1.20+2 1.73+0+2.05+0 7.76+1+1.73+0 1.81+0+4.24+1+0.00+0+1.20+2+4.00+4+4.24+1 7.76+1+1.37+5 4.24+1 4.24+1+2.83+4+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.81+0+1.73+0 4.24+1+1.81+0 1.73+0 4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+1.73+0 1.81+0 4.24+1 1.73+0+1.81+0 4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+4.24+1+4.24+1+2.83+4 4.24+1 4.24+1+5.66+4_____000u2v22003___==___X1Y1M1000X3Y30______+0.00+0+3.00+0+6.67+2+3.54+0+1.05+1+7.68+2+3.54+0+3.54+01.77+3___Rearranjandoosistemaacimaresulta:52 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADAS(3.133)______________1.00+0+0.00+0+0.00+0 5.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.00+0+0.00+0+0.00+0 2.401+1.20+2+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.00+0+0.00+0 1.20+2+4.00+4+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+6.81+0 1.73+0+4.24+1+0.00+0+0.00+0+4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.73+0+2.05+0 7.76+1+0.00+0+0.00+0+4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+4.24+1 7.76+1+1.37+5+0.00+0+0.00+0+2.83+4+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.81+0+1.73+0 4.24+1 1.00+0+0.00+0 4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+1.73+0 1.81+0 4.24+1+0.00+0 1.00+0 4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+4.24+1+4.24+1+2.83+4+0.00+0+0.00+0+5.66+4_____X1Y1M1u2v22X3Y33___==___+0.00+0+3.00+0+6.67+2+3.54+0+1.05+1+7.68+2+3.54+0+3.54+01.77+3___cujasolu cao e:X1= +1.57+1 tf Y1= +2.83+0 tf M1= +9.94+2 tf.mm u2= 3.15+0 mm v2= 9.63+0 mm 2= 2.072 rad X3= 8.68+0 tf Y3= +1.42+1 tf 3= +5.122 rad

Coment ario3.18. Asforcasreativashorizontaissaoparadireita,asverticaissaoparacimae omomentoreativoe anti-horario. Indiretamente ometododarigidezforneceosdeslocamentosgeneralizadoscorrespondentesaosgrausdeliber-dadenodais. Assimono2sedeslocaparabaixoeparaadireitaeoseuentornogiranosentidohorario,eemtornodono3haumarotacaoanti-horaria.3.3.1. Recalques. Comoometododarigideztrabalhadiretamentecomosdeslocamentosgeneralizadosnodais,eospontosdeapoiosaosempreconsideradoscomoumnodaestruturaparaefeitodeaplica caodometodo,osrecalquessofridospelos apoios sao facilmente impostos, bastando para isto impor os recalques no vetordedeslocamentosgeneralizados. Osexemplosaseguirilustramquantoesimpleslidarcomosrecalquesnometododarigidez.Exemplo3.9. Avigaabaixosofreumrecalquenoapoioesquerdodetal modoque resultama deslocamentos horizontais e verticais e rotacao. Determine asreacoesnosapoios.Solu c ao.3.3. OMETODODARIGIDEZ 53FL/21 2L/2yzxFigura3.27. VigaempregadanoExemplo3.9Oelemento esolicitadopelorecalquenoapoioesquerdocomoumelementodeportico. Logo,amatrizderigidezapropriadaaoproblema e:K =__EAL

012EIL3 06EIL24EIL

EAL0 0EAL 0 12EIL36EIL2012EIL3

06EIL22EIL0 6EIL24EIL__(3.134)Naohaesforcosnodaisativos,portantoovetorcorrespondente,fa,enulo. Jaosesforcosnodaisreativoslevamaoseguintevetorfr:fr=___X1Y1M1X2Y20___(3.135)Os esforcos nas extremidades doelementocausados pelocarregamentouni-formementedistribudo( = 0)(ApendiceB)traduzem-sepelovetorfe:fe=___0F2FL80F2FL8___(3.136)Levandoestesresultados`aEquacao3.81obtem-seosistema:(3.137)__EAL

012EIL3 06EIL24EIL

EAL0 0EAL 0 12EIL36EIL2012EIL3

06EIL22EIL0 6EIL24EIL_____u1v11u2v22___=___000000___+___X1Y1M1X2Y20______0F2FL80F2FL8___que, uma vez impostas as condicoes de apoio: u1= u, v1= v, 1= e u2= v2= 0,erearranjandoostermosincognitostorna-se:54 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADAS(3.138)__1 0 0 0 0 00 1 0 0 06EIL20 0 1 0 02EIL0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 6EIL20 0 0 0 04EIL_____X1Y1M1X2Y22___=___EALu12EIL3v 6EIL2 F26EIL2v 4EIL FL8EALu12EIL3v +6EIL2 F26EIL2v 2EIL +FL8___Finalmente,resolvendoeste ultimosistemaobtem-se:X1=EALuY1=48EIv + 48EIL + 11FL316L3M1=48EIv + 48EIL +FL316L2X2= EALuY2=48EIv 48EIL + 5FL316L32=48EIv 16EIL +FL332EIL

Coment ario 3.19. Observe que as componentes do recalque foram introduzidasdiretamentenovetordedeslocamentosgeneralizadosnodais. Oefeitodorecalquenasobrecargaestrutural e tantomaior quantomaior for arigidez daviga. Naausenciaderecalque, bastasubstituiru=v==0nestas ultimasequacoesqueseobtemasnovasreacoes, ouseja, oproblemasetornaumcasoparticulardoderecalque.O exemplo numerico a seguir contempla o caso de recalque na mesma estruturadoExemplo3.8,poremcomapenasumaforcaativainclinadaaplicadanono2.Exemplo3.10. Determineasreacoesdeapoio, osdeslocamentoserotacoesem2e3quandooapoio3sofreumrecalquehorizontal de1mmparaadireita. Aestruturaeidentica` adoExemplo3.9.Solu c ao. Por setratar damesmaestruturadoExemplo3.9, amatrizderigidez pode ser aproveitada da Equacao 3.127. O vetor de esforcos reativos tambempodeseraproveitadodesseexemplotendoemcontaqueosapoiossaoosmesmos.Jaosvetoresfaefesaodiferentes. Osegundoenulo, poisnaohafor caaplicadanoselementos,eoprimeiro esimplesmente:3.3. OMETODODARIGIDEZ 551 220 tf3(1)(2)45o1 m 1 myzxFigura3.28. PorticoempregadonoExemplo3.10fa=___+0.00+0+0.00+0+0.00+01.41+11.41+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0___(3.139)Levando estes resultados `a Equacao 3.80 resulta, uma vez impondo as condicoesdeapoio,inclusiveorecalque,osistema:(3.140)______________+5.00+0+0.00+0+0.00+0 5.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+2.401+1.20+2+0.00+0 2.401+1.20+2+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+1.20+2+8.00+4+0.00+0 1.20+2+4.00+4+0.00+0+0.00+0+0.00+05.00+0+0.00+0+0.00+0+6.81+0 1.73+0+4.24+1 1.81+0+1.73+0+4.24+1+0.00+0 2.401 1.20+2 1.73+0+2.05+0 7.76+1+1.73+0 1.81+0+4.24+1+0.00+0+1.20+2+4.00+4+4.24+1 7.76+1+1.37+5 4.24+1 4.24+1+2.83+4+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.81+0+1.73+0 4.24+1+1.81+0 1.73+0 4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+1.73+0 1.81+0 4.24+1 1.73+0+1.81+0 4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+4.24+1+4.24+1+2.83+4 4.24+1 4.24+1+5.66+4_____+0.00+0+0.00+0+0.00+0u2v22+1.00+0+0.00+03___==___X1Y1M1+0.00+0+0.00+0+0.00+0X3Y3+0.00+0___+___+0.00+0+0.00+0+0.00+01.41+11.41+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0___Rearranjando o sistema acima de forma a isolar as incognitas no primeiro mem-bro,obtem-seosistema:56 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADAS(3.141)______________1.00+0+0.00+0+0.00+0 5.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.00+0+0.00+0+0.00+0 2.401+1.20+2+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.00+0+0.00+0 1.20+2+4.00+4+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+0.00+0+6.81+0 1.73+0+4.24+1+0.00+0+0.00+0+4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.73+0+2.05+0 7.76+1+0.00+0+0.00+0+4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+4.24+1 7.76+1+1.37+5+0.00+0+0.00+0+2.83+4+0.00+0+0.00+0+0.00+0 1.81+0+1.73+0 4.24+1 1.00+0+0.00+0 4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+1.73+0 1.81+0 4.24+1+0.00+0 1.00+0 4.24+1+0.00+0+0.00+0+0.00+0+4.24+1+4.24+1+2.83+4+0.00+0+0.00+0+5.66+4_____X1Y1M1u2v22X3Y33___==______________+0.00+0+0.00+0+0.00+01.23+11.59+1+4.24+13.62+0+3.45+0+4.24+1__cujasolu caofornece:X1= +2.55+1 tf Y1= +1.96+0 tf M1= +1.16+3 tf.mm u2= 5.11+0 mm v2= 1.28+1 mm 2= 9.253 rad X3= 1.14+1 tf Y3= +1.22+1 tf 3= +1.882 rad

3.3.2. O metodo da rigidez aplicado a problemas de vibracoes mecani-cas. Ometododarigidezpermiteequacionarfacilmenteumproblemadiscretodevibracoesmecanicas. Veja-seumexemplosimples.UmavigaembalancodecomprimentoLpossui umelementodispostonaex-tremidadelivre,conformemostraaFigura3.29. Oelementopodeserconsideradocomoumamassaconcentradanaextremidade. SejammeJamassaeomomentodeinerciademassadoelemento,eEAeEIasrigidezesaxiale`aexaodaviga.12LyzxFigura3.29. Exemplo: elementonaextremidadedeumaviga3.3. OMETODODARIGIDEZ 57Ometododarigidezrequeradenicaodamatrizderigidezedosvetoresdeesforcosnodais. Amatrizderigidezaempregareadeumelementodeporticojaquesesupoeapriori queoelementonaextremidadedavigapossadescreverummovimento qualquer no plano da gura, conforme a Figura 3.30. Assim tem-se paraamatrizderigidez:K =__EAL

012EIL3 06EIL24EIL

EAL0 0EAL 0 12EIL36EIL2012EIL3

06EIL22EIL0 6EIL24EIL__(3.142)1 2Lyzx u2v22Figura3.30. MovimentovibratoriodoelementoComo a viga e supostamente descarregada, o vetor fee nulo. O vetor de esforcosreativos edadopor:fr=___X1Y1M1000___(3.143)Ovetordeesfor cosativosecompostodecomponentesnulascorrespondentesaono1easdemaiscompostaspelosesforcosinerciaissobreoelementonumaposi caogenerica,conformeaFigura3.31. Logo:fa=___000m u2m v2J2___(3.144)Levandoestesresultados`aEquacao3.80resulta:58 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASyzxm u2m v2J 2Figura3.31. Diagramadeesforcosinerciaissobreoelemento(3.145)__EAL

012EIL3 06EIL24EIL

EAL0 0EAL 0 12EIL36EIL2012EIL3

06EIL22EIL0 6EIL24EIL_____u1v11u2v22___=___X1Y1M1000___+___000m u2m v2J2___Rearranjandoostermosdeste ultimosistemadeequacoesdeformaadeixarosdeslocamentosgeneralizadosesuassegundasderivadasnoprimeiromembro, eeliminando aquelas equacoes que acoplam deslocamentos e forcas generalizadas paracarcomaquelasdesacopladas,resultaosistemademenorordem:(3.146)__m0 m 0 0 J_____ u2 v22___+__EAL 012EIL3

0 6EIL24EIL_____u2v22___=___000___queeosistemadeequa coesdiferenciaisqueregeomovimentovibratoriodoele-mentonaextremidadedaviga. Suasolucaoeumestudoapartee, portanto, naoseraaqui abordado. Aprimeiramatrizqueaparecenestesistemaechamadadematrizdeinercia.Outramaneiradechegar`aEqua cao3.146econsiderandodiretamenteoequi-lbriodefor casgeneralizadassobreoelemento, ouseja, nono2. Nele, alemdosesforcos inerciais mencionados atuam tambem os esforcoselasticosprovenientes damultiplicacaodas tres ultimas linhas damatriz de rigidez davigacomovetordedeslocamentosgeneralizados, osquaisseencontramindicadosnaFigura3.32.Aplicando-se a condicao de equilbrio sobre o elemento a cada componente, obtem-seaEquacao3.146.yzx12EIL3 v26EIL2 2EAL6EIL2 v24EIL 2Figura3.32. DiagramadeesforcoselasticossobreoelementoComent ario3.20. Esta ultimaformaemaissimplesdeobtereevidenciaosignicadofsicodasequacoesdomovimentovibratorio. Trata-sedeidenticarosesforcos deinerciaeelasticos sobreos elementos demassaeaplicar acondicao3.3. OMETODODARIGIDEZ 59deequilbriosobreeles. Osesforcoselasticossaoobtidosdamatrizderigidezdaestruturaedosdeslocamentosgeneralizadosnodais.Noexemploaseguir, vai-seempregaresta ultimaformadeobterasequa coesdomovimentovibratorio.Exemplo 3.11. Obtenha as equacoes do movimento vibratorio da polia acopladaa um eixo bi-engastado, conforme a Figura 3.33. Considere apenas o movimento noplano da gura. A massa e a inercia rotacional da polia sao m e J, respectivamente.Oeixoeuniforme.L/21 3yzxL/2(1) (2)2Figura3.33. DiagramadeesforcoselasticossobreoelementoSolu c ao. Comosedesejaconhecerasequa coesdomovimentovibratoriodapolia, necessariamente deve-se denir umnonela. Vai-se analisar, portanto, oequilbrio de esforcos no no 2. Os esfor cos de inercia sao os mesmos encontrados naFigura3.29. Osesfor cosdenaturezaelasticasobreono2podemserobtidosdasmatrizesderigidezdosdoiselementosdeporticoconectadosaono2,asquaissaoidenticas:(3.147)K(1)= K(2)=__2EAL

096EIL3 024EIL28EIL

2EAL0 02EAL 0 96EIL324EIL2096EIL3

024EIL24EIL0 24EIL28EIL__yzx96EIL3 v224EIL2 22EAL24EIL2 v28EIL 224EIL2 v28EIL 22EAL96EIL3 v224EIL2 2Figura3.34. DiagramadeesforcoselasticossobreoelementoComoauxliodaEquacao3.147elaborou-seodiagramadeesforcossobreapolia,representado na Figura 3.34. Nela os esfor cos elasticos do elemento 1 estao dispostos`a esquerda e os do elemento 2 `a direita. Equilibrando cada componente dos esfor cossobreapolia,obtem-se:60 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADASm u24EALu2= 0 (3.148)m v2192EIL3v2= 0 (3.149)J216EIL2= 0 (3.150)ouemformamatricial:__m0 m 0 0 J_____ u2 v22___+__4EAL 0192EIL3

0 016EIL_____u2v22___=___000___Fica,portanto,obtidoacimaosistemadeequa coesdiferenciaisquegovernaomovimentovibratoriodapolia. Coment ario3.21. Algumad uvidapodepairarsobreosentidodosesforcosdeinerciaeelasticos. Quantoaosprimeiros,supostososdeslocamentosgeneralizadospositivos, conformeaFigura3.29, ascomponentesdaaceleracaovetorial dapoliasao negativas e, portanto, as componentes dos esforcos inerciais sao todas contrariasa estas, ou seja, positivas. Os sinais negativos que aparecem na Figura 3.30 sao paracorrigirosinal dasaceleracoesescalares,todaselasnegativasdevido` adiminuicaodas velocidades escalares. Nocasodos esforcos elasticos, supondoigualmenteosdeslocamentos generalizados positivos, aacaodapoliasobre os elementos 1e 2e sempre assumidanosentidopositivo. Logo, peloprincpiodaacaoe reac ao,os esforcos elasticos dos elementos sobreapoliasaotodos nosentidocontr ario,conformeaFigura3.34.3.4. ExercciosExerccio3.1. DetermineasreacoesnoporticodaFigura2.22pelometododarigidez. Saodadas as rigidezes axial e `aexao3.0 104Ne 5.0 106Nm2,respectivamente.Exerccio3.2. DetermineasreacoesnavigadaFigura2.23pelometododaexibilidade. Saodadasasrigidezesaxial e` aexao2.0105Ne4.0107Nm2,respectivamente.Exerccio3.3. DetermineasreacoesnaporticodaFigura2.24pelometododarigidez. Saodadas as rigidezes axial e `aexao8.0 104Ne 3.0 106Nm2,respectivamente.Exerccio3.4. DetermineasreacoesnaestruturadaFigura3.35pelometododaexibilidade. Comosugest ao,elimineovnculovertical noapoio3paraformaraestruturafundamental. Atenteparaofatodequeaestruturaeformadapordoismembrosaodeterminarograudeindeterminacaoestatica. Saodadasasrigidezesaxial e` aexao9.0105Ne5.0107Nm2,respectivamente.Exerccio3.5. RepitaoExerccio3.4agorapelometododarigidez.Exerccio3.6. NoExerccio2.6obtenhaasreacoesemtodososapoioseosesforcosinternosnumelementoqualquerdasuaescolha. Paratanto,determineosesforcosnasextremidadesdoelementopormeiodasuamatrizderigidezeproceda`aobtencaodos esforcos internos. Recomenda-se oempregode computador noscalculosdoproblema.3.4. EXERCICIOS 6112 m1 m2100 kN/m3Figura3.35. Doexerccio3.4Exerccio3.7. AFigura3.36abaixomostraumamassade20 kgconectadaaumavigapormeiodeumpino,deformaquenenhumarotacao eimposta`amassa.Obtenhaaequacaoqueregeomovimentovibratoriodamassa. Avigatemrigidezaxial e`aexaode1, 0 kNe2, 0105Nm2,respectivamente. Desprezeamassadaviga.1 21 m 1 mmFigura3.36. Doexerccio3.7Exerccio 3.8. A viga da Figura 3.37 esta submetida aos apoios e carregamen-tosindicadosesofreumrecalqueverticalde1 mmparacimanoapoio2. Sendoasrigidezesaxial e`aexao2, 0104Ne3, 0107Nm2,respectivamente,determineaforcareativanosapoios.Exerccio3.9. UmavigaecarregadaeapoiadaconformeaFigura3.38. Emcertomomentooapoio1sofreumrecalquede0, 1 mmparaaesquerdae0, 3 mmparabaixo, eoapoio2umrecalquede0, 3 mmparacima. Nestascircunstanciasdeterminetodasasreacoesnosapoiostantopelometododaexibilidadecomopelodarigidez.62 3. ESTRUTURASESTATICAMENTEINDETERMINADAS1 30,5 m 1 m20 kN5 kNm0,5 m2Figura3.37. Doexerccio3.81 3100 kN/m10 kNm21,0 m 1,0 mFigura3.38. Doexerccio3.9Exerccio3.10. DetermineaequacaodiferencialdomovimentovibratoriodosistemaformadopormassasemolasmostradonaFigura3.39.Exerccio 3.11. Determine a equacao diferencial do movimento vibratorio dasduasengrenagensmontadassobreoeixobi-engastadodaFigura3.40. Omaterialdoeixo eoaco,modulodeelasticidadede200 GPa. Asareastransversaisdoeixo,A1, A2eA3, saoiguais a300 mm2, 200 mm2e150 mm2, respectivamente. Osmomentos de inercia de area da secao do eixo, I1, I2e I3, sao iguais a 8, 0103mm4,5, 0103mm4e4, 0103mm4, respectivamente. Asmassas, m1em2saoiguaisa750 ge800 g,respectivamente. Osmomentosdeinerciademassa,J1eJ2,saoiguaisa6, 0104Nm2e9, 0105Nm2,respectivamente.3.4. EXERCICIOS 6312 3k 2k4kFigura3.39. Doexerccio3.10500 mm 600 mm2700 mm1A1, I1A2, I2A3, I3m2, J2m1, J1Figura3.40. Doexerccio3.11CAPTULO4Metodosdetrabalhoedeenergiadedeformacao4.1. IntroducaoEstecaptulosededicaaapresentar inicialmenteos conceitos detrabalhoedeenergiadedeforma caodesolidosparaentaoaplica-losametodosdelesderiva-dos paraocalculode rea coes e de deslocamentos generalizados. Tais metodoscaracterizam-se pela abrangencia quanto `a diversidade de aplicacao e pela robustez.4.2. TrabalhodeumaforcaConsidere uma forca

Faplicada num ponto Pque sofre um deslocamento inn-itesimal dr, conforme a Figura 4.1. O trabalho realizado por

Fnesse deslocamentoedenidopor:W:=

Fdr = Fdr cos (4.1)d rFPP'Figura4.1. Deslocamento innitesimal do ponto de aplicacao deumafor cad rFW0d rFW0d rFW=0Figura4.2. Interpreta caodosinal dotrabalhoinnitesimal deumafor caConforme adenicaoacima, otrabalhoe umagrandezafsicade naturezaescalar. ComoilustraaFigura4.2,seotrabalhoinnitesimalforpositivo,aforca

Ffavoreceodeslocamentodr; sefornegativoaforcaseopoeaodeslocamento; sefor nulo, a forca nao tem efeito sobre o deslocamento. Com isto pode-se armar queotrabalhoeumamedidadacontribui caodaforcaaodeslocamentodoseupontodeaplicacao.Otrabalhodeumafor caaolongodatrajetoriadoseupontodeaplicacaoeaintegraldotrabalhoinnitesimalsobreestamesmatrajetoria,ouseja:6566 4. METODOSDETRABALHOEDEENERGIADEDEFORMA CAOOrPxyzvuwFigura4.3. Trajetoriadopontodeaplicacaodeumaforcanumsolido_W:=_

Fdr (4.2)4.2.1. Trabalhodeaplicacaodeumaforca. Nocasodeumsolidolinearsob pequenas deforma coes, cada forca aplicada,

F, e proporcional1aos deslocamen-tosassociadosaopontodeaplica cao,ouseja,aforca

Fe:

F= kxu

i +kyv

j +kzw

k (4.3)onde u, v e w sao as componentes do deslocamento r ocorrido do incio da aplicacaoda forca, ponto O, ate o instante mostrado na Figura 4.3, ponto P. O deslocamentoinnitesimaldraolongodatrajetoriapodeserescritocomo:dr = du

i +dv

j +dw

k (4.4)assimotrabalhoinnitesimaldeaplica caodaforca e:W=_

Fdr =_u0kxudu +_v0kyv dv +_w0kzwdw (4.5)=kxu22+kyv22+kzw22=Fxu2+Fyv2+Fzw2=12

FrComent ario4.1. Noprocessodeaplicac aodeumaforcanumsolido, estaegradativamentetransferida,comoseobservapelaEquacao4.3. Ouseja,noincioaforcaaplicadaenulaecresceaolongodocarregamentoateovalorintegral daforca. Assimsendo, os extremos de integracaonaEquacao4.5representamascomponentes do vetor deslocamento no instante derradeiro do processo, e na mesmaequacaoascomponentesdeforcacorrespondem`asdatotalidadedaforcaaplicada.Coment ario4.2. Otrabalhodeaplicacaodeumaforcasobreumsolidoinde-pendedatrajetoria, masdependetaosomentedodeslocamentonal, istoe, deu,vew.1Estefatopodeserdemonstradopelosmetodosdaexibilidadeedarigidez. Aprovacacomoexerccio.4.2. TRABALHODEUMAFOR CA 67Exemplo 4.1. Determine o trabalho de aplicacao da forca indicada sobre a vigaembalancodaFigura4.4.1 2LFFigura4.4. VigaempregadanoExemplo4.1Solu c ao. Acomponentehorizontal de

Feresponsavel pelodeslocamentohorizontalu2eacomponenteverticalpeloverticalv2. Tem-sedoApendiceAque:u2=LEAF cos (4.6)v2=L33EIF sin (4.7)SubstituindoestesresultadosnaEqua cao4.5obtem-se:W=F2L2_cos2EA+sin23EIL2_(4.8)

Coment ario4.3. Amdedarumaideiadaordemdegrandezadotrabalhorealizado pela aplicacao de uma forca sobre uma viga, suponha que as rigidezes axialedeexaofossemrespectivamentede+1.00+6Ne+1.00+6Nm2,ocomprimentodavigafossede1meaforcafosseinclinadade/4. Entao, aoseaplicarumaforcade1.00+1kN,otrabalhorealizadoseriade+3.33+1J.Coment ario4.4. ValeobservarnoExemplo4.1que,quantomaiorarigidezdaviga,menorotrabalhodeaplicacaodaforca. Estecomportamentopodesergen-eralizadoaqualquercarregamentodeumsolido. Portanto, paraosolidoabsorvermaisenergiadentrodoregimeelastico,suarigidezaomenosnavizinhancadolocaldeaplicacaodaforcadeveserdiminuda.4.2.2. Trabalho de uma forca ja aplicada. No carregamento de um solido,ecomumcarregarcadafor caeminstantesdistintos. Nestecaso, quandoseestaaplicandoumaforca, outrasforcasestaointegralmenteaplicadasaosolido. Aex-pressaodotrabalhorealizadoporestastemumaligeiradiferencaemrelacaoaodeumaforcaemprocessodeaplica cao,poisestasfor caspermaneceminalteradas.Assim, aplicandoaexpressaogenericadotrabalhodeumafor caaolongodeumatrajetoriatem-se:W=_

Fdr =_u0Fxdu +_v0Fydv +_w0Fzdw (4.9)ouW =

Fr = Fxu +Fyv +Fzw (4.10)=_FxFyFz____uvw___68 4. METODOSDETRABALHOEDEENERGIADEDEFORMA CAO4.3. Equivalenciaentretrabalhoenergiadedeforma caoConsidere a aplica cao do carregamento do solido indicado na Figura 4.5. Nesteprocesso erazoavelsuporque:yzxFigura4.5. Corposolidosubmetidoaumcarregamento(1) Aaplica caodocarregamentosejaquaseestatica, ouseja, queavaria caodeenergiacineticanoprocessosejadesprezvel.(2) Avaria caodeenergiatermicaduranteoprocessosejadesprezvel.(3) Avaria caodeenergiapotencial gravitacional nocarregamentosejade-sprezvel,poissesupoequeosolidosofradeformacoesinnitesimais.(4) Atrocadecalorcomomeioexternoduranteoprocessosejadesprezvel.Nestes termos, a Primeira Lei da Termodinamicaaplicada ao solido pode ser escritacomo:W= U (4.11)onde Ue aenergiaassociada`adeforma caodosolido, ousimplesmente energiade deformacao armazenadanosolidodurante oprocessode carregamento. DaEquacao 4.11 se depreende que a energia de deformacao e igual ao trabalho realizadopelasforcasnocarregamento.Coment ario4.5. Arazoabilidadedashipotesesacimaestaprimeiroemqueaexperienciamostraquenaoocorrevariacaodetemperaturasignicativaaosecarregarumsolidonoregimedocomportamentolinear. Sendoaenergiatermicado solido dependente apenas da temperatura nas condicoes normais de temperatura,consequentementeemnimaavariacaodaquela. Poroutrolado, atrocadecalordosolidocomomeioexternosedeve` adiferencadetemperaturaentreambos,mascomonaohavariacaonotavel detemperaturanoprocessoesesupoequeosolidoesteja em equilbrio termico com o meio externo no incio do carregamento,pode-sededuzirqueoprocessosejaquaseadiabatico.4.4. EquivalenciaentretrabalhoexternoetrabalhointernoVai-semostrar queotrabalhodas forcas externaseigual aorealizadopelasfor cas internas no caso de um solido plano. Assim a tarefa e mais facil e a extensaoaosolidotri-dimensionaltorna-sequasequeimediata.Antes, porem, dedarincio`ademonstracao, convemanalisarotrabalhoreal-izadopelastensoesnasfacesdeumelementoinnitesimal plano. ConsidereditoelementocomomostradonaFiguras4.6e4.7. Otrabalhodeaplica caodasforcasnasfacesortogonaisaoeixox e2:2Emprega-seanotacao: u,x xu.4.4. EQUIVALENCIAENTRETRABALHOEXTERNOETRABALHOINTERNO 69xzyxxyyyx tFigura4.6. Elementoinnitesimalplanoyxdydxxyxyyxuvuu, ydyvv, ydyuu, xdxvv, xdxFigura4.7. Elementoinnitesimalplanodeformado(linhatracejada)(4.12)Wx=12xtdy(u +u,xdx) 12xutdy +12xytdy(v +v,xdx) 12xytdyv=12(xu,xtdxdy +xyv,xtdxdy)enasfacesortogonaisay:(4.13)Wy=12ytdx(v +v,ydy) 12yvtdx +12yxtdx(u +u,ydy) 12yxtdxu=12(yv,ytdxdy +yxu,ytdxdy)Somandoasduasparcelasdetrabalhoresulta:W= (12xu,x +12yv,y +12xy(v,x +u,y))tdxdyou:W= (12x

x +12y

y +12xyxy)tdxdy (4.14)Otrabalhointernodeaplicacaodocarregamento, Wi, sobreosolidoseraaintegraldeWsobreoseuvolume,isto e:Wi=_VW=t2_A(xu,x +yv,y +xy(v,x +u,y))dA (4.15)Recorrendo`asseguintesidentidades:70 4. METODOSDETRABALHOEDEENERGIADEDEFORMA CAOxu,x= (xu),xux,x(4.16)yv,y= (yv),yvy,yxyu,y= (xyu),yuxy,yxyv,x= (xyv),xvxy,xesubstituindo-asnaEquacao4.15,obtem-se:Wi=t2_A((xu),x + (yv),y + (xyu),y + (xyv),x)dA (4.17)t2_A(ux,x +vy,y +uxy,y +vxy,x)dAyxdydxyxyx, ydyyy, ydyxx , xdxxyxy, xdxxyxyyxOFigura4.8. TensoesnasfacesdeumelementoinnitesimalplanoAntes de dar sequencia`aobtencaodotrabalhointerno, convemanalisar oequilbriodoelementoinnitesimalplanorepresentadonaFigura4.8. Tomandooequilbriodeforcasnadirecaoxeyeomomentoemrela caoaopontoOindicadotem-se:x,x +yx,y= 0 (4.18)y,y +xy,x= 0xy= yxLevando este ultimo resultado `a Equacao 4.17 ocorre o cancelamento da segundaintegral,logotem-separaotrabalhointerno:Wi=t2_A((xu),x + (yv),y + (xyu),y + (xyv),xdA (4.19)Aplicando nalmente o Teorema de Gaussao segundo membro da Equa cao 4.19chega-sea:Wi=t2_L(nxxu +nyyv +nxxyv +nyxyu)dL (4.20)= t_L12

trdLSendo taforcaporunidadedeareanafronteiraLdosolidoplano, aquantidade12

tr e o trabalho de aplicacao das for cas externas por unidade de area no contorno4.4. EQUIVALENCIAENTRETRABALHOEXTERNOETRABALHOINTERNO 71dosolido. Logo,caprovadoqueotrabalhodasforcasexternaseigual aotrabalhodasforcasinternas,ouseja:We= Wi(4.21)Coment ario4.6. Aprovadaequivalenciaentre os dois trabalhos teve porbaseotrabalhodeaplicacao. Paraocasodeumaforcajaaplicada, asetapasdademonstracao s ao as mesmas, bastando suprimir o fator12pela unidade para chegar`amesmaequivalencia.Coment ario4.7. Aprovaestende-seaocasotridimensional. A:Wi=_S12

trdSComent ario4.8. Pelaequivalenciaentretrabalhoexternoeenergiadedefor-macao,conclui-sequeotrabalhointernoseidenticacomesta ultima.Exemplo4.2. VeriqueaequivalenciaentreotrabalhodeaplicacaoexternoeointernoparaabarraaxialmentecarregadadaFigura4.9.1 2LFyxFigura4.9. BarraaxialmentecarregadaSolu c ao. Considere o elemento innitesimal de barra mostrado na Figura 4.10.Otrabalhodeaplicacaodasfor casinternassobreesteelemento e:yxN N + N,xdxuu + u,xdxdxFigura4.10. ElementoinnitesimaldebarraWi=12(N+N,xdx)(u +u,xdx) 12Nu =12Ndu (4.22)Naequacaoacimaforamdesprezadososinnitesimosdeordemsuperior.Integrandootrabalhointernoaolongodabarra,obtem-se:Wi=_VWi=_V12Ndu =12Fu2(4.23)quee precisamenteotrabalhodeaplica caodafor caF. Logo, cavericadaaequivalenciaentreostrabalhosdeaplicacaoexternoeinterno. 72 4. METODOSDETRABALHOEDEENERGIADEDEFORMA CAO4.5. OprincpiodareciprocidadedeMaxwellQuandose tratoudasimetriadas matrizes de exibilidade e de rigidez, seempregouoprincpiodareciprocidade sem, contudo, apresenta-loformalmente.Com este intuito, sem perda de generalidade, considere o carregamento de uma vigabi-apoiada por meio de duas for cas aplicadas em instantes distintos na sequencia (a)mostradanasFiguras4.11e4.12. Otrabalhodeaplicacaodaforca

F1,aprimeiraforcaaplicada, e:21F1r11Figura4.11. AplicacaodeF1nasequenciadecarregamentoaWa1=12

F1 r11(4.24)Aplicandoagoraaforca

F2,otrabalhorealizadonesteprocesso e:21F1r12r22F2Figura4.12. AplicacaodeF2nasequenciadecarregamentoaWa2=

F1 r12 +12

F2 r22(4.25)Agora, numanovasequencia(b)mostradanasFiguras4.13e4.14, otrabalhodeaplicacaodafor ca

F2,aprimeiraaseraplicada, e:21r22F2Figura4.13. AplicacaodeF2nasequenciadecarregamentobWb2=12

F2 r22(4.26)Aplicandoagoraaforca

F1,otrabalhorealizadonesteprocesso e:Wb1=12

F1 r11 +

F2 r21(4.27)4.5. OPRINCIPIODARECIPROCIDADEDEMAXWELL 7321F1r11r21F2Figura4.14. AplicacaodeF1nasequenciadecarregamentobOtrabalhodeaplica caodasduasforcaseomesmonasduassequencias,logo,aposcancelarostermosiguais,obtem-seoprincpiodareciprocidadedeMaxwell :

F1 r12=

F2 r21(4.28)Coment ario4.9. Emtermosdemomento,oteoremadareciprocidadesees-crevecomo:

M1

12=

M2

21(4.29)ou

F1 r12=

M2

21(4.30)ondeovetor

temcomocomponentesrotacoesnopontodeaplicacaoemtornodoseixosortogonaisdereferencia.Exemplo4.3. Determineadeex aonoponto3indicadonavigabi-apoiadadaFigura4.15. Avigatemrigidez` aexaouniformeEI. Aexpressaodadeexao`aesquerdadaforcaFedadapor:P(L a)x6LEI(2La a2x2), 0 x a1F2 3 4a bLvxFigura4.15. Vigabi-apoiadautilizadanosExemplos4.3e4.4Solu c ao. A m de empregar o princpio da reciprocidade, considere uma for catransversal unitariaaplicadanoponto3, conformeaFigura4.16. Nestasituacaoadeexaonoponto2, v23, econhecidapelaexpressaodada, jaquetal pontoseencontra`aesquerdadafor caunitaria,ouseja:v23=ab6LEI(L2a2b2)Empregandooprincpiodareciprocidade:74 4. METODOSDETRABALHOEDEENERGIADEDEFORMA CAO112 3 4a bLvxFigura4.16. For catransversalunitariaaplicadaem3F3 v32= F2 v231v3= F ab6LEI(L2a2b2)isto e:v3=Fab6LEI(a2+b2L2)

Exemplo4.4. Determinearotacaonoponto3indicadonamesmavigabi-apoiadadaFigura4.15. Aexpressaodadeexao`aesquerdadomomentoM,con-formeaFigura4.17,edadapor:Mx6LEI(x2+ 3a2+ 2L26aL), 0 x aSolu c ao. Aoempregaroprincpiodareciprocidade, deve-seaplicarummo-mentounitarionoponto3, conformeaFigura4.17. Nestasituacaoadeexaonoponto 2, v23, tambem e conhecida pela expressao dada, ja que tal ponto se encontra`aesquerdadomomentounitario,ouseja:Figura4.17. Momentounitarioaplicadoem3v23=a(a2+ 3b2L2)6LEIEmpregandooprincpiodareciprocidade:M3 32= F2 v2313= F a(a2+ 3b2L2)6LEIisto e:4.6. DENSIDADEDEENERGIADEDEFORMA CAO 753=Fa(L2a23b2)6LEI

4.6. DensidadedeenergiadedeformacaoAenergia de deformacaoe a base dos metodos de energia empregados namecanicadossolidos, dentreosquaissedestacaometododoselementosnitos,oqual pode ser formuladoapartir daminimizacaodaenergiapotencial. Paraobteraenergiadedeformacaonumsolidocarregadoe util conheceradensidadedeenergiadedeforma cao, poisassimintegrandoestaobtem-seaquela. Adensi-dadedeenergiadependedoestadodetensaonoponto,porestarazaoseraobtidaprimeiroaexpressaodelanumpontosobestadoplanodetensaoparaentaoobternosestadosuniaxial,porsimplicacao,etriplo,porextensao. Consideracoessobrea lei constitutiva do material em regime elastico permitirao representar a energia dedeformacaoemtermosdosestadosdetensaooudedeforma caoedaspropriedadesmecanicasdomaterial.4.6.1. Estadoplanodetensao. Dadaaequivalenciaentretrabalhoeen-ergia, aenergiadedeformacaosobreumelementoinnitesimal sobestadoplanodetensao, Figura4.18, podeserdeterminadapelotrabalhodasforcasdetensaonasfacesdoelemento. Comosenota, estetrabalhofoi obtidonasecaoanterior,ecorresponde`aEquacao4.14. Aenergiadedeformacaoacumuladanoelementoepois:xzyxxyyyxFigura4.18. ElementoinnitesimalsobestadoplanodetensaodU=12(xu,x +yv,y +xy(v,x +u,y))dV (4.31)Logo,adensidadedeenergiadedeformacaonoelemento e:U=dUdV=12(x

x +y

y +xyxy) (4.32)Para um solido elastico isotropico linear,uma vez aplicada a lei de Hooke paraoestadoplanodetensao:

x=1E(xy)

y=1E(x +y)xy= Gxy76 4. METODOSDETRABALHOEDEENERGIADEDEFORMA CAOondeE,GesaoosmodulosdeelasticidadeaxialetransversaleocoecientedePoisson,respectivamente. LevandoaleideHooke`aEqua cao4.32,obtem-se:U=12E(2x +2y) Exy +12G2xy(4.33)ou:U=E2(1 2)(2x +2y) +E1 2

x

y +G2 2xy(4.34)4.6.2. Estadouniaxial detensao. Oestadouniaxialeumcasoparticulardeestadoplanodetensaonoqual as tensoes principa