flujos de potencia

AMPLIACIÓN DE TOCOLOGÍA ELÉCTRICA SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA

2. FLUJO DE POTENCIA

Flujo de potencia.- Métodos generales para cálculos de la red.- Flujo de potencia en una línea

corta de transmisión.- Un procedimiento iterativo.- Ecuaciones de flujo de potencia.- Método

de Gauss y Gauss-Seidel.- Método de Newton-Raphson.- Especificación de la tensión del bus

y regulación.- Programa de flujo de cargas.

Bibliografía:

STEVENSON, William D. “Análisis de Sistemas Eléctricos de Potencia”. Ediciones del

Castillo.

WILHELMI, José Román. “Sistemas Eléctricos de Potencia”. E. T. S. Ingenieros de Caminos,

Canales y Puertos. Madrid.

ENRIQUEZ HARPER, Gilberto. “Técnicas Computacionales en Sistemas Eléctricos de

Potencia”. Editorial Limusa

PARRA, Dr. Valentín. E. T. S. Ing. Industriales Madrid.

MEDINA, Prf. E. U. P. Las Palmas.

Apuntes de clase.

UD01 – 02 -1

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2.1.- FLUJO DE POTENCIA

El objetivo principal de un Sistema Eléctrico de Potencia es satisfacer la demanda. Como

consecuencia surge el problema de por donde debe hacerse la alimentación e incluso prever

caídas de tensión, regulación de transformadores, inyección de potencia reactiva,...

Los estudios de flujo de potencia, más normalmente llamados estudios de flujo de carga, son

sumamente importantes para evaluar el funcionamiento de los sistemas de potencia, su control

y planificación para expansiones futuras. Un estudio de flujo de potencia define

principalmente las potencias activa y reactiva y el vector de tensión en cada bus en el sistema,

aunque mucha información adicional estará disponible en la salida por impresora del

ordenador del estudio de flujo de potencia típico.

Los principios en los estudios del flujo de potencia son fáciles, pero un estudio relativo a un

sistema de potencia real sólo se puede llevar a cabo con un ordenador digital. Entonces la

necesidad sistemática de cálculos numéricos requiere que se ejecuten por medio de un

procedimiento iterativo; dos de los normalmente más usados son el método Gauss-Seidel y el

método Newton-Raphson. Antes de considerar estos métodos numéricos, se ilustra el

concepto del flujo de potencia para obtener las expresiones explícitas de la potencia que fluye

en una línea corta de transmisión.

Hay que reducir el número de posibilidades: Estudio de Flujo de Potencia.

Resultado:

1.- Tensión y Potencia en todas las barras

2.- Flujo de Potencia en todas las líneas.

Se precisa resolver un sistema que no es lineal ya que los valores de potencia proceden de dos

factores, tensión e intensidad, y solo se conoce el producto. Basado en la filosofía de los

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sistemas lineales del análisis de nudos, hecho en la asignatura de Circuitos, se trata de utilizar

herramientas de cálculo numérico que por procedimientos iterativos llegar a la solución.

Desarrollo:

1.- Método de Análisis nodal es el más empleado.

2.- Construir la Matriz de Admitancias de barras: YBUS.

niVYVVYVVYVQiPi niniiiii

,...,2,10... *

22*

11*

=∀=−−−−−

3.- Ajustarse a los tipos de barras:

Tipo Dato Incógnita Denominación

1 P, Q |V|, [V] Barra de carga

2 P, |V|, Qmax, Qmin Q, [V] Barra de tensión controlada

3 |V|, [V] P, Q Barra de referencia

4.- Modelización de las Líneas mediante su esquema en π.

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2.2.- (REPASO) MÉTODOS GENERALES PARA CÁLCULO DE LA RED.

En este capítulo se desarrollan unos métodos para la solución general que están pensados para

la solución por ordenador de los problemas sistemas de potencia. Se empieza con los

teoremas básicos de líneas.

2.2.1. TRANSFORMACIONES DE LA FUENTE

La fuente del voltaje de la figura (a), se transforma a la fuente de intensidad de Fig. 7-l (a). 7-l

(b) y viceversa, con tal de que

Is = Eg / Zp (7 1)

y

Zp = Zg (7.2)

(a) (b)

Fig. 7.1.

UD01 – 02 -4

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2.2.2. MATRIZ DE LA ADMITANCIA DEL BUS

El sistema de cuatro bus que corresponde al diagrama unifilar de la Fig. 7.1 (a) estaría

representado por la red de la Fig. 7.1 (b). En cuanto a los voltajes de los nodos V1, V2, V3 y

V4 y las admitancias dadas, por la ley de intensidades de Kirchhoff implica:

kkki

ikii

yyyy

−−

I1= V1 y10+ (V1-V2) y12+ (V1-V3) y13

I2= V2 y20+ (V2-V1) y12+ (V2-V3) y23+ (V2-V4) y24

I3= V3 y30+ (V3-V1) y13+ (V3-V2) y23+ (V3-V4) y34,

I4= V4 y40+ (V4-V2) y24+ (V4-V3) y34

Fig. 7-2

Reestructurar estas ecuaciones y vuelve a escribir los en matriz forma, obtenemos:

I1 y10+ y12+ y13 - y12 - y13 0 V1

I2 = -y12 y20+ y12+ y23+

y24

-y23 -y24 V2

I3 - y13 - y23 y30+ y13+ y23+

y34

-y34 V3

I4 0 -y24 -y34 y40+ y24+y34 V4

UD01 – 02 -5

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Se escribe la ecuación (2.2.2.2.) como

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4321

.

Y44Y43Y42Y41Y34Y33Y32Y31Y24Y23Y22Y21Y14Y13Y12Y11

I4I3I2I1

VVVV

(7-4)

donde:

Y11= y10 + y12 + y13

Y22= y20+ y12 + y23+ y24

Y33= y30+ y13+ y23+ y34

Y44= y40+ y24+ y34

Y12= Y21=-y12

Y13= Y31=-y13

Y14= Y41=-y14 = 0

Y23= Y32=-y23

Y24= Y42=-y24

Y34= Y43=-y34

Cada admitancia Yii (i= 1, 2, 3, 4) se llama admitancia propia del nodo i y es igual a la suma

algebraica de todas las admitancias que terminan en el nodo i.

Cada término de la matriz triangular Yik (i, k= 1, 2, 3, 4) se llama la admitancia mutua (o

admitancia de transferencia) entre nodos i y k y es igual a la suma cambiada de signo de todo

admitancias conectadas directamente entre esos nodos. Más allá, Yik = Yki.

Para una red general con N nodos la ley de intensidades de Kirchhoff en cuanto a las

tensiones de nodo se escribe como:

I= Ybus V (7. 6)

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donde

Y11 Y12 ... Y1n

Ybus Y21 Y22 ... Y2n

... ... ... ...

Yn1 Yn2 ... Ynn

Se llama la matriz del bus de la admitancia, y V e I son las matrices del voltaje de nodo y

matrices de intensidad nodo, respectivamente.

En (7.6), el primer subíndice en cada Y indica el nodo al que la intensidad está expresado, y el

segundo subíndice indica el nodo cuyo voltaje es responsable por un componente particular

de la intensidad. Más allá, las admitancias a lo largo de los diagonales son las admitancias

propias, y las admitancias del triangular son las admitancias mutuas. Se deduce de (7.5) y

(7.6) que la intensidad que entra en un nodo k es:

∑

=

=N

1nnkn V Y Ik

(7.7)

Para un sistema grande las matrices de (7.3) y (7.6) serian de un orden grande. En tal caso las

operaciones con las matrices son más convenientes cuando las matrices se hayan dividido, o

subdivido. Como un ejemplo, la matriz

a11 a12 a13

A = a21 a22 a23

a31 a32 a33

es dividida en cuatro submatrices tal ese

AD EF G

=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥ (7.9)

donde se define las submatrices por

Da aa a

=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥11 1221 22

Eaa

=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥1323

[ ]F a a= 31 32 [ ]G a= 33 (7.10)

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Se demuestra la multiplicación de matrices con submatrices, que permite que A de (7.8) se

pueda postmultiplicar por una matriz

B

bb

b

HJ

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

1121

31...

(7.11)

Ejercicio.- Hallar la matriz de impedancias Zbus del sistema de la figura, siendo los valores

por unidad.

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2.2.3.3. FLUJO DE POTENCIA EN UNA LÍNEA CORTA DE TRANSMISIÓN.

Se considera la línea corta de transmisión como se muestra en Fig. 8-l (a) que tiene una

resistencia despreciable y una reactancia de la serie en Ohmios jX por fase. Las tensiones por

fase del extremo emisor y del receptor son Vs y Vr, respectivamente. Para determinar la

potencia activa y reactiva enviada del extremo emisor al receptor, dado que Vs se desfasa con

Vr un ángulo δ.

La potencia compleja S, en voltiamperios, se da en general por:

S= P+ j Q = V I* (VA) (8.1)

Donde I* es el complejo conjugado de I. Así, en una base del por fase, el extremo del emisor

tiene:

Ss = Ps + j Qs = Vs I* (VA) (8.2)

De Fig. 8-1 (a), se da I por

( )RS VVjX

I −=1

o bien:

( )*** 1RS VV

jXI −

−= (8.3)

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Sustituyendo (8.3) en (8.2) sale:

( )**RS

SS VV

jXVS −

−= (8.4)

Ahora, del diagrama vectorial de Fig. 8-1 (b),

VR = |VR|[0º] así VR = VR*

y

VS = |VS|[δ]

De (8.4) vuelve

XVVV

jXVV

jXeVVV

S SRSSRj

SRSS

δδ

δ cossen

22 −+=

−−

=

Finalmente, desde Ss = Ps + j Qs, escribiríamos

δsenXVV

P SRS =

(8.5)

y

XVVV

Q SRSS

δcos2 −=

(8.6)

Semejantemente, al extremo de la recepción que se tiene:

SR = PR + j QR = VR I*

Procedimiento como sobre el que se obtiene:

δsenXVV

P SRR =

(8.7)

Y

XVVV

Q RSRR

2cos −=

δ

(8.8)

De este simple ejemplo se derivan varias conclusiones significantes. Primero, la transferencia

de potencia real depende sólo en el ángulo δ, que se sabe como el ángulo de la potencia, y no

en las magnitudes relativas del extremo emisor y voltajes del extremo receptor (diferente el

caso de un sistema del cc). Además, la transferencia potencia varía aproximadamente con el

cuadrado del voltaje. El máximo potencia transferida ocurre cuando δ= 90º y

XVV

PP SRmaxSmaxR == ..

(8.9)

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Finalmente, de (8.6) y (8.8), está claro esta potencia reactiva fluirá en la dirección del más

bajo voltaje. Si el sistema opera con δ ≈ 0, entonces fluye la potencia reactiva media encima

de la línea es

( )X

VVQQQ RS

RSmed 221

22 −=+=

(8.10)

Esta ecuación muestra la fuerte dependencia de la potencia reactiva fluye con la diferencia del

voltaje.

En este punto se ha abandonado la pérdida en la línea: I2R. Si ahora se asume que R es la

resistencia de la línea por fase, entonces la pérdida de la línea es:

RIPlinea2= (8.11)

De (8.2), tenemos

VjQPI +

=*

y

*VjQPI −

=

Así,

2

222*.

V

QPIII

+==

y (8.11) resulta

RV

QPPlinea 2

22 +=

(8.12)

Indicando que ambas potencias real y reactiva contribuyen a las pérdidas de la línea. Así, es

importante reducir el flujo de la potencia reactiva para disminuir las pérdidas de la línea.

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2.4. UN PROCEDIMIENTO ITERATIVO

Se puede obtener una expresión analítica para el flujo de potencia en un caso ideal; sin

embargo, en un sistema de potencia real, las soluciones explícitas analíticas no son claras por

las fluctuaciones de la carga en los buses y porque no se sabe el voltaje del extremo receptor.

Entonces, se deben usar métodos numéricos para resolver con cantidades desconocidas -

generalmente utilizando un procedimiento del iterativo.

La figura 8-2 muestra un sistema de dos buses, con la potencia real representada por flechas

continuas y la potencia reactiva por flechas a trazos. Las ecuaciones que gobiernan el sistema

son (por fase base)

S2 = V2 I*

V1= V2+ ZL I

Con los símbolos definidos en Fig. 8-2. Resolviendo por V2 y eliminando I de estas

ecuaciones, se obtiene:

*2

*2

L1L12 Z- V I Z- V VVS

== (8.13)

Se resuelve (8.13) iterativamente, asumiendo un valor por V2 y lo llamamos V2(0). Se

sustituye en el miembro de la derecha de (8.13) y resuelve por V2, calculando el nuevo valor

de V2, se obtiene en esta primera iteración, V2(1). Se sustituye entonces (V2

(1))* en el miembro

de la derecha de (8.13) y obtiene un nuevo valor V2(2). Este procedimiento se repite hasta que

converge y alcance la precisión. El proceso iterativo usa la ecuación general, o algoritmo,

( )*)1(2

*2

L1)(

2 Z- V V−

=k

k

V

S (8.13)

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2.5. ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIA

La matriz del bus de admitancias es útil en un acercamiento sistemático a la solución de

problemas del flujo de potencia. Antes de discutir este acercamiento, necesitamos definir los

nudos o buses especiales siguientes:

1. Un bus de la carga es un bus en que se conocen las potencias activa y reactiva.

2. Un bus de referencia o generador es un bus en que se conocen el módulo de la tensión y el

ángulo.

3. Un bus de tensión controlada es un bus en que se conocen el módulo de la tensión y se

especifica, el rango de tensión máxima y mínima.

Por conveniencia se escoge V[δ]= 1[0] por unidad.

De (7.5), se escribe el k-ésimo (de N) la intensidad del nudo como

VY I n

N

1nknk ∑

=

= (8.15)

que se escribe también como

VYVY I n

N

kn1n

knkkkk ∑≠=

+= (8.16)

Resolver la Vk resulta:

VYY1

YI

V n

N

kn1n

knkkkk

kk ∑

≠=

−= (8.17)

Ahora, desde

kkkk jQPIV −=* (8.18)

Tenemos

*k

kkk V

jQPI

−=

(8.19)

Finalmente, (8.17) y (8.19) da, para N nudos,

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VYY1 V n

N

kn1n

kn*kk

k⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−= ∑

≠=k

kk

VjQP

(8.20)

Para k= 1, 2, ... N

Este sistema de N ecuaciones constituyen las ecuaciones del flujo de potencia.

2.6. MÉTODOS DE GAUSS Y GAUSS-SEIDEL

Los métodos de Gauss y de Gauss-Seidel son procedimientos iterativos para resolver

simultáneamente ecuaciones no lineales. Ilustramos el método Gauss con el ejemplo

siguiente.

Tanto Gauss como Gauss-Seidel implican la formulación: x = F(x) y la formula iterativa

x(n+1 = F(x(n)

En Gauss se calculan los nuevos valores de x(n+1 a partir de los x(n obtenida en la iteración

anterior

En Gauss-Seidel, los valores obtenidos son utilizados inmediatamente después de haber sido

calculados aunque no haya terminado la iteración en curso (mayor rapidez).

EJEMPLO: Resolver las variables x y en el sistema:

y- 3x+ 1.9 = 0

y+ x2- 1.8 = 0

Resolver con el método de Gauss, se vuelven a escribir las ecuaciones dadas como

x = y/3 + 0,633

y = 1.8 - x2

Ahora hacemos una suposición inicial de x0 = 1 y y0 = 1, actualiza x con el subíndice (1), y

actualiza y con el subíndice (2).

Es decir, computamos

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x1 = y0/3+ 0.633 = 1/3+ 0.633 = 0,9663

y1 = 1.8- x2 = 1.8- 1= 0,8

En iteraciones subsiguientes computamos, más generalmente,

xn+l = yn/3+ 0,633 (1)

y

yn+l = 1.8-xn2 (2)

Después de varias iteraciones se obtienen x= 0,938 y, y= 0,917. Con más iteraciones se

llegaría a los resultados exactos: x = 0,93926 e y = 0.9178. Sin embargo, se debe señalar que

una "suposición desafortunada" de los valores iniciales (tal como x0= y0= 100) haría que la

solución diverge.

Si estábamos usando el método Gauss-Seidel en el ejemplo precedente, se usaría todavía la

ecuación (1) para calcular Xn+l, pero se usaría entonces la Xn+l, para encontrar Yn+l en lugar de

(1) y (2), el algoritmo por el método Gauss-Seidel estaría

xn+l = yn/3+ 0,633

yn+l = 1.8 - xn+12

extrapolando los resultados, encontramos que el algoritmo Gauss-Seidel para las ecuaciones

del flujo de potencia (8.20) es

( ) VYY1 V )(

n

N

kn1n

kn*)(kk

)1(k

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−= ∑

≠=

+ i

ik

kki

V

jQP

(8.21)

Para k= 2, 3, ... N

Tener en cuenta que V1, en (8.21) se especifica, que se empiezan los cálculos con el nudo 2.

Utilizando el factor de aceleración α: Vi[k+1]= Vi[k]+ α ∆Vi[k+1]. (α=1.4,1.6)

UD01 – 02 -15

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2.6.1.- APLICACIÓN A BARRAS DE TIPO 1: BARRAS DE CARGA

De las n barras una es la de referencia (la número 1) y las n-1 restantes son del tipo 1 (barras

de carga).

Las incógnitas son:

- Las tensiones V2, V3, ... , Vn.

- La potencia en la barra de referencia: P1+j Q1.

Pasos a seguir:

Ybus

V2, V3, ... , Vn

P1+jQ1

Plinea1,Qlinea1, .., Plineaw,Qlineaw

Cálculo iterativo de V2, V3, ...,Vn

[ ][ ]

[ ]

ni

VYV

jQPY

Vn

i

kik

i

ii

ii

ki

,...,2

11

*1

=∀⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−= ∑

≠=

+

µµ

µµ

Valores iniciales para las Vi: 1+j0 p.u.

Conviene reformar la fórmula iterativa, para facilitar las operaciones del ordenador:

niY

jQPAii

iii

,...,2=∀

−=

inni

YY

Bii

ii

≠=∀=∀

=

µµ

µµ

;,...,2,1,...,2

Sustituyendo:

[ ][ ]

[ ]

ni

VBV

AV

n

i

kik

i

iki

,...,2

1*

1

=∀⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−= ∑

≠=

+

µµ

µµ

UD01 – 02 -16

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DIAGRAMA DE FLUJO PARA BARRAS DE CARGA

FLUJO DE POTENCIAS

Leer

1.- Impedancia de las líneas(esquema en π) 2.- Tensión de la barra de referencia

3.- Potencia activa en barras tipo 1: Pi(i=2, ..., n) 4.- Potencia reactiva en barras tipo 1: Qi (i=2, ..., n)

Formar Ybus

Inicializar las tensiones Vi=1+j0 p.u. (i=2, ..., n)

Inicializar el contador de iteraciones: K=1

Calcular Ai,Biµ

Inicializar el contador de barras i=2 y la diferencia de voltaje entre barrras: ∆Vmax=

Calcular Vi[k+1]

Calcular |∆Vi[k+1]|

∆Vmax =|∆Vi[k+1]|> ∆Vmax

Incrementar el contador de barras: i=i+1

i≤n

Vi[k] = Vi[k+1] (i=2, ..., n)

Incrementar el contador de iteraciones: k=k+1

∆Vmax ≤ε

Calcular: 1.- Potencia en la barra de referencia: P1+jQ1

2.- Potencia en todas las barras: Plinea1+jQlinea1, ...,

UD01 – 02 -17 16/11/2005

1

2

0

|∆Vi[k+1]|


DIAGRAMA DE FLUJO PARA BARRAS DE CARGA

UD01 – 02 -18

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DIAGRAMA DE FLUJO PARA BARRAS DE TENSION CONTROLADA

Las incógnitas son:

- Las tensiones : V2, V3, _ , Vn.

- La potencia en la barra de referencia P1+j Q1.

- Las potencias reactivas en las barras de tensión controlada: Qi.(i=2,_m)

Condición 1: |Vi| = |Vi|espec. (i=2,_m)(si es posible)

Condición 2: Qi,min < Qi < Qi,max.(i=2,_m)

Es necesario recalcular las constantes Ai.

UD01 – 02 -19

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DIAGRAMA DE FLUJO PARA BARRAS DE TENSION CONTROLADA

UD01 – 02 -20

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UD01 – 02 -21

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¿ k ≤100 ?

Utilizando el factor de aceleración α : Vi[k+1]= Vi[k]+ α ∆Vi[k+1]. (α=1.4,1.6)

Modificaciones para pasar a Gauss-Seidel en que se incluye el factor de aceleración:

Nuevo bloque entre 19 y 20: 1.- Vi[k+1] = Vi[k]+ α ∆Vi[k+1].

2.- ∆Vi[k+1]= Vi[k+1]- Vi[k].

3.- Vi[k] = Vi[k+1].

Suprimir el bloque 24

Incluir α como dato a leer en el bloque 1.

UD01 – 02 -22

16/11/2005

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