formula rio 1 pp

8/20/2019 Formula Rio 1 Pp

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Ecuaciones de Mecanica de Rocas

Jorge Cortes C.

1. Estado de Esfuerzos

Ecuacion de equilibrio en coordenadas rectangulares

∂σx

∂x + ∂σxy

∂y + ∂σxz

∂z + X = 0

∂σxy

∂x +

∂σy

∂y +

∂σyz

∂z + Y = 0

∂σzx

∂x +

∂σzy

∂y +

∂σz

∂z + Z = 0

Ecuacion de equilibrio en coordenadas cilindricas

∂σr

∂r +

1

r

∂σrθ

∂θ +

∂σrz

∂z +

σr − σz

r + R = 0

∂σrθ

∂r + 1

r∂σθ

∂θ + ∂σθz

∂z + 2σrθ

r + Θ = 0

∂σrz

∂r +

1

r

∂σθz

∂θ +

∂σz

∂z +

σz

r + Z = 0

Ecuacion de Airy en coodernadas rectangulares

4φ = 0

(2)2φ = 0

σx = ∂ 2φ

∂y2 σy =

∂ 2φ

∂x2 σxy = −

∂ 2φ

∂x∂y

Ecuacion de Airy en coordenadas polares

1

r

r

∂

∂r

1

r

∂

∂r(r

∂φ

∂r

+

2

r2∂ 4φ

∂θ2∂r2 +

1

r4∂ 4φ

∂θ4 −

2

r3∂ 3φ

∂θ2∂r +

4

r4∂ 2φ

∂θ2 = 0

1



σr = 1r ∂φ∂r + 1r2 ∂

2

φ∂θ2 σθ = ∂

2

φ∂r2 σrθ = − ∂ ∂r

1r ∂φ∂θ

2. Estado de Deformaciones

En coordenadas rectangulares

ξ x = ∂u

∂x ξ y =

∂v

∂y ξ z =

∂w

∂z

γ xy = ∂u

∂y

+ ∂v

∂x

γ xz = ∂u

∂z

+ ∂w

∂x

γ yz = ∂v

∂z

+ ∂w

∂y

En coordenadas cilindricas

ξ r = ∂ur

∂r ξ θ =

1

r

∂uθ

∂θ +

ur

r ξ z =

∂uz

∂z

γ θz = 1

r

∂uz

∂θ +

∂ uθ

∂z γ rz =

∂ur

∂z +

∂ uz

∂r γ rθ =

1

r

− uθ + r

∂uθ

∂r +

∂ ur

∂θ

Ecuacion de compatibilidad

∂ 2ξ x

∂y2 + ∂ 2ξ y

∂x2 = ∂ 2γ xy

∂x∂y

2 ∂ 2ξ x

∂y∂z =

∂

∂x

−

∂γ yz

∂x +

∂ γ xz

∂y +

∂ γ xy

∂z

3. Estado Plano de Esfuerzos

σn = σx cos2(θ) + σy sin2(θ) + 2τ xy sin(θ) cos(θ)

σn = σx + σy2 + σx − σy

2 cos(2θ) + τ xy sin(2θ)

τ = σy − σx

2 sin(2θ) + τ xy cos(2θ)

2



Direccion principal

θ1 = 1

2 arctg

2τ xy

σx − σy

θ2 = θ1 + 90

Esfuerzos principales

σ1/2 = σx + σy

2 ±

1

2

(σx − σy)2 + 4τ 2xy

τ 1/2 = ±1

2

(σx − σy)2 + 4τ 2xy

4. Estado Tridimensional de Esfuerzos

Polinomio caracteristico

σ3 − I 1σ2 + I 2σ − I 3 = 0

I 1 = σx + σy + σz

I 2 = σx τ xy

τ xy σy+

σx τ xzτ xz σz

+ σy τ yzτ yz σz

I 3

=

σx τ xy τ xz

τ xy σy τ yzτ xz τ yz σz

Esfuerzos de corte maximos

τ 1 = 1

2(σ2 − σ3) τ 2 =

1

2(σ1 − σ3) τ 3 =

1

2(σ1 − σ2)

Metodo de las ”J”

J 1 = I 21 − 3I 2 J 2 = 1

2

2I 31 − 9I 1I 2 + 27I 3

J 3 =

J 31 − J 2

2

J 4 =

J 1 θ = 1

3 arctgJ 3

J 2

σ1 = 1

3

I 1 + 2J 4 cos(θ)

σ2 = 1

3

I 1 + 2J 4 cos

θ −

2π

3

σ3 =

1

3

I 1 + 2J 4 cos

θ −

4π

3

3



5. Estado Plano de Deformacion

Definicion de la ecuacion de deformacion del estado plano utilizando lafigura vista en clases:

OA = ∆x + ∂u

∂x∆x AA =

∂v

∂x∆x

OC = ∆y + ∂v

∂y∆y C C =

∂u

∂y∆y

La deformacion sobre un plano n que forma un angulo θ

ξ n = ξ x + ξ y

2 +

ξ x − ξ y

2 cos(2θ) +

1

2γ xy sin(2θ)

γ n = −(ξ x − ξ y) sin(2θ) + γ xy cos(2θ)

Deformaciones principales

ξ 1/2 = ξ x + ξ y

2 ±

1

2

(ξ x − ξ y)2 + γ 2xy

θ1 = 1

2 arctg

γ xy

ξ x − ξ y

Deformaciones angulares principales

γ 1/2 = ±

(ξ x − σy)2 + ξ 2xy

θ1 = 1

2 arctg

ξ y − ξ x

γ xy

Esfuerzos principales a partir de las deformaciones principales

σ1 = E

1− ν 2 ξ 1 + νξ 2

σ2 = E

1− ν 2

ξ 2 + νξ 1

4



6. Teorıa de la Elasticidad

ξ x = 1

E

σx − ν (σy + σz)

ξ y = 1

E

σy − ν (σx + σz)

ξ z = 1

E

σz − ν (σx + σy)

τ xy = Gγ xy τ xz = Gγ xz τ yz = Gγ yz

Modulo de RigidezG =

E

2(1 + ν )

l = ξ x + ξ y + ξ z

θ = σx + σy + σz

l = 1

E θ(1− 2ν )

Si se considera un campo hidrostatico con σx = σy = σz = P se obtiene:

l = 3P E

(1− 2ν ) ⇒ P = El3(1− 2ν )

Modulo de volumen

k = E

3(1− 2ν )

Constante de Lame (λ)

σx

= 2Gξ x

+ λl σy

= 2Gξ y

+ λl σz

= 2Gξ z

+ λl

Analogamente

σ1 = 2Gξ 1 + λl σ2 = 2Gξ 2 + λl σ3 = 2Gξ 3 + λl

5



7. Diseno de Excavaciones

Ecuacion de Terzaghi

σH = ν

1− ν σv

Ecuaciones de Kirsch

σrr = P

2

(1 + k)

1−

a2

r2

− (1− k)

1− 4

a2

r2 + 3

a4

r4

cos(2θ)

σθθ = P

2

(1 + k)

1 +

a2

r2

+ (1 − k)

1 + 3

a4

r4

cos(2θ)

σrθ = P

2

(1− k)

1 + 2

a2

r2 − 3

a4

r4

sin(2θ)

ur = −P a2

4Gr

(1 + k)− (1− k)

4(1− ν )−

a2

r2

cos(2θ)

uθ = −P a2

4Gr

(1− k)

2(1− 2ν ) +

a2

r2

sin(2θ)

6

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