rahulpatel121.files.wordpress.com · forty-fifth printing (fifth edition) june, 2012 published by...

463

Upload: others

Post on 03-Nov-2020

0 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001
Page 2: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����������� � ������ ��� ��� ����� �������

Page 3: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����������� � ������ ����� ����� �������

������ �����

����� ������Formerly, Scientist/Engineer SFVikram Sarabhai Space Centre

Trivandrum

New Delhi-1100012012

Page 4: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

INTRODUCTORY METHODS OF NUMERICAL ANALYSIS, Fifth Edition

S.S. Sastry

© 2012 by PHI Learning Private Limited, New Delhi. All rights reserved. No partof this book may be reproduced in any form, by mimeograph or any othermeans, without permission in writing from the publisher.

ISBN-978-81-203-4592-8

The export rights of this book are vested solely with the publisher.

Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012

Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, ConnaughtCircus, New Delhi-110001 and Printed by Rajkamal Electric Press, Plot No. 2,Phase IV, HSIDC, Kundli-131028, Sonepat, Haryana.

Page 5: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����� ������

�� � � � � � � ���� �� � � � ���� ��

Page 6: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������� �

�� ������� � �� ������ ���������� ������� ����������

����� ������� �� �������� �������� ������ ������� �������� ������ �������� �������� �

��� ��� �������� ������������� ��� !����� �� " ��� ����������� ���# $ %������ !���� &����� ���' !���� �� � ������ $����(������� ���������� � �

�������� ������������ � �

�� ������� ������������ ��� ������������ ������� �������� ���������� ����� )�������� ��� � ����� ��� � �� &���� �������� ����# ��������� ��� � ���' ������*+�� ��� ��� � ����, +����-��.� ��� � ����/ ������ ��� � ����0 �����.� ��� � ��1 %������.� +���2�3����� ��� � ����4 ���*)�������.� ��� � ����� 5������*6��������� ��� � �

��������

vii

Page 7: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��������viii

���� ������� �� �7����� �� ��������� !3������ �������� ��� � �� ��������� �������� ������*+�� ��� ��� � ��

��������� � ���������� ������������ � �

�� ���!����� �����"��� ���������� ����� !����� �� ���7������ ������������� ����� &����� 6���������� �

����� &����� 6���������� � ����� )������ 6���������� ������� ������� 6���������� ������# �7�8���� +�������� �� ���������� �� �7�8��� ��

��# 6�������� �� !����� 87 9�� �� 6��������� "�8��� ����' 6���������� �� � ���7������ ����, ������.� &������ ��� ������������� ����/ ������� 6��������� ������������� &������ ��

��/�� %���. ������� 6��������� &������ ����/�� ��������.� &����� ����/�� )�����.� &����� ����/�# !:�����.� &����� ����/�' +������� 8������ )�����.� �� !:�����.� &������ ��

��0 ��������� ������������� ����1 ������������� ��� 9��:���7 ����� ������ �

��1�� ��������.� ������������� &����� ���1�� !���� �� ��������.� ������������� &����� ����1�� ;������.� ������������� &����� ��

���4 6�:�� 6���������� �� " ��� ���������� ���4�� ������.� %������ ������������� &����� ����4�� ������������� 87 ���������

���� ��:���� ������������� ����� 6�8�� ������������� ��������� �

�������� ������������ � �

#� $����� �������� ��� %������ ������� � ��&��'(#�� ���������� ��#�� ����� �3���� ��:� &������ �������� ��

#���� &������ � ������ � ���� ��#���� ������� ������ ����� �3���� ��#���� �������<����� �� ��������� ���� ��#���# ��:� &������ 87 ���7������� ��#���' ��:� &������ 87 � �� �� !(���������� �

Page 8: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�������� ix

#�� =��� �� ����� �3���� $����(������� ��#���� ������ =��� �� ����� �3���� $����(������� ��#���� ��������� =��� �� ����� �3���� $����(������� ��

#�# ��� � �� ����� �3���� ��� �������� &������� ��#�#�� >�� ������ ���7������� ��#�#�� %���*�� ��� >�� �������<����� ������� �

#�' $����(������� �� &������� ��#�'�� � �87� �: ���7������� ��#�'�� !������<����� �� ����� ������ �

#�, &����� $����(������� �#�,�� &����� "�������� �#�,�� 6������� &����� "�������� ?6&"@ �#�,�� &��� &����� "�������� ?&&"@ �#�,�# �����7*"��7 $������ � �#�,�' ����*"��7 $������ � ?6�&*&&"@� � ��#�,�, ���������� �� � � ��:���� 6&" ��

��������� ����������� ������������ � ��

"� �!��� %����� �'���(&'�� ���������� �

'���� ������ �������� � ��'���� 5������ �������� � ��

'�� �8�� ������� � '���� ������<��� �������7 �� �8�� ������� �'���� !���� �� � � �8�� ������ �� ��� 6���:���:�� ��

'�� ������ &������ 87 �8�� ������� ��'�# �8�� )2������� ��

'�#�� +������������� �� )2������� ��'�#�� ����� �3���� ������� ���'�#�� $����������� �� )2������� ���

��������� ������������ ������������ � ���

&� �� ������ )���������� ��� ������� �(���"#,�� ���������� ���,�� �������� 6������������� ���

,���� !����� �� �������� 6�������������� ��,���� �8�� ������� ��� � ��,���� 6�������������� &������ ��� &������ A���� ��

,�� ��(��� �� ������ A���� �� � "�8���� &������ ��,�# �������� ����������� ��

,�#�� "����<���� +�� ��,�#�� �������.� �B�2+�� ��,�#�� �������.� �B02+�� ���

Page 9: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��������x

,�#�# )����.� �� =���.� +��� ���,�#�' 9�� �� �8�� ������� ���,�#�, +��8��� ����������� ���,�#�/ ������*����� ����������� &������ ��

,�' !���*�������� &����� ���,�, �������� ����������� ��� 6�������� ���� ��<�� ���,�/ %������ ����������� ���,�0 %�������<� 5������ ���,�1 �������� ���������� �� &����� ��������� ���,��4 �������� 6�8�� ����������� �� ��������� ����

�������� ������������ � � �

�� �� ������ $����������� �""��(�/�� ���������� � /�� "�������� �������� � �/�� �� 6������������ �� $ �����( � �/�# A����� �� �����( ����� � �/�' ������� �� ������ �7�����C6����� ��� �� ���

/�'�� %��� !���������� ���/�'�� ��������7 ��� ��:����� �� /�'�� %���*D���� ��� � ���/�'�# ����������� �� � � %��� ��� � ��

������ � � ��:���� ���/�'�' ��8�� �� $��� ����� >��������� ���/�'�, �� 6������������ ��� � ��/�'�/ ������������ ������� ��� ���6������������ ��� � ���/�'�0 �� 6������������ ���� %��� !���������� ���/�'�1 ������� �� "��������� �7����� �� /�'��4 ���2��������� ������ �7����� ���/�'��� ��� � ��� ���2��������� �7����� ���

/�, ������� �� ������ �7�����C�������:� ��� �� ���/�/ �����( !����:��� ���8��� ���

/�/�� !����:���� �� � �7������� "��������� �����( ���/�/�� ;��� ����.� ��� � ���/�/�� �� ��� � ��

/�0 ������� A��� 6������������ ����������� ����

�������� ����������� ���

'� �� ������ ������� ��� *����+� )��������� ������� �(���#�0�� ���������� � ���0�� ������� 87 "�7���.� ������ ���0�� �����.� ��� � �� �������:� $����(�������� ��

Page 10: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�������� xi

0�# !���.� ��� � ���0�#�� !���� !�������� ��� � � !��� ��� � ���0�#�� ������ !���.� ��� � ��

0�' +���*E��� ��� �� ��0�, ��������*��������� ��� �� �

0�,�� $���*������ ��� � ��0�,�� �����.� ��� � ��

0�/ �8�� ������ ��� � ��0�0 ���������� �� ;�� ��2���� !3������ ���0�1 ���� %������ +������ ���0��4 )����72:��� ���8���� ��

0��4�� &�����2��������� ��� � �� 0��4�� �8�� ������ ��� � ���0��4�� %�������.� ��� � ���

�������� �� ������������������� ���

,� �� ������ ������� ��� -������ )��������� ������� �#����'1�� ���������� ���1�� �������.� !3����� ���1�� &�����2��������� $����(�������� �� 6���:���:�� ���1�# ������� �� �������.� !3����� ���

1�#�� D���8�.� ��� � ���1�#�� %���*����� ��� � ���1�#�� �������:� >:��2+���(����� ?�>+@ ��� � � �1�#�# $6� ��� � � �

1�' ;��� !3����� �� >�� 6�������� ���1�'�� &�����2��������� $����(�������� ���

1�, �������:� ��� �� ��� � � ������� �� !3������ �� 1�/ $���������� �� �8�� ������ ���1�0 =�:� !3����� ���

1�0�� �������� ��� ������� 6����������� !3������ ����������� ���

������������������� ���

�(� �� ������ ������� ��� ������� ������� ��,�#(#�4�� ���������� ����4�� �������� ��� �� ��� &�� ��� !3������ ���

�4���� ��� � �� 6��������� E������ ����4���� ��� � �� �������:� $����(�������� �� �4���� 5������ ��� �� ����4���# 9�� �� � �87� �: ������ ����4���' �8�� ������ ��� � ���

�4�� ������� E������ ����4�# ��� � �� ��:������ ��8���� ����������� ���

�������� ����������� ���

Page 11: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��������xii

��� �.�� %��� ��� ��� /��.�� #("�#�(���� ���������� ��

������ &��������� ��������� )��� &������� ��

���� ��� �� �� $����(������� ������� +�7���� *+��< ��� � ������� %�������.� ��� � ��

���� $���������� �� "��2���������� ���8���� �����# &����� !������ ��� � ��

���#�� &����� !������ ��� � ���>��2���������� ���8���� ��

���' �������� +������ ����������� ���

�������� ����������� ���

���������� ��� ��

������ ����� ���� ��� �

����� �� ��

Page 12: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

" �� ���� ������ �� ����!"����#� $��%�!�� ��� &"'����(� ���(#��� �����������:�� � ������ �� �������� ��� �� � �� ��� 8� �� 87 ������������ ��������� �� ���:� ���8���� ������� �� ������� �� �����7� �� ������:��� � � �7���8� �������8� ��� ����������� �� ������� ������ ����������� �� ������ ��:��� �� ����� 9��:��������� " � ������� ������������ � � ��������� �������F

�� ���� �� � � ���������:� �(������ �� ���8���� �� �(������� �:�8��� ������ �� � ��8�� �� ��� ���8���� ��� ����� �� �:��7� ������ " �� ������ �������� '�� ���8���� ������� � � ���������:��(������ �� �(������� ��� ��������

�� ���7 ����� � ����� �� ����������� ��� ��� �� � � �������������� �������� �� ���� � ������ �� � � ��(�� )����� �� � ��� �������������������� �� ������������G � � ������ �������� ��� ������ �� ��������� � ������ " ��� ������������ ��� �������� �� � � ������������ ������ �� � � ��(��

�� $������ ��G ������������ ����� �� ���� � ���� ��� ���:�� ������� �� � � �������� ��� �� �� � ��� ��� �����7 8� �������������� � ������� ������� 87 ������� ����8�� ����B���� �����������$���G ���8���� �:� 8��� ��� �� ����� ������� �� �� ����� ����2� ���� ��� � ��� �����������

#� $������ �:� 8��� ���:�� ��� ��� � � ���8���� �� �(��������'� ����"������ $��"�(� �� ���� �:����8�� ��� ���� ��� � �� ���:���

����:��� ����������� ���������� ��� � ����� �� ���� �������� ����/ ���8���� �� � � �(��������

,� &�� ���� 3������ ������ �� �������� ��� �� ��� ���:�� ��� � �� �� � � 8����

�����

xiii

Page 13: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�������xiv

$�� � � ��������� ������� �� � � ���:��� ������� ���� � � �:��2��� ���72��2������� ������������ �� ������<����� �� � � �������� �� � � � ������ ����8�� ���������:� �(������ ��� ������� �� � �� �������

$�� �� �� ������7 �8-����:� �� 8��� �� ���:�� � � ����� ��� ������������ �� � � ��� �� �� �������� ����7���G �� �:� ���� ����:� ������ � �� 8��� �� �����2������7 �� �����8��� �� �� ��� � �� � �� ���������� ���:� � �� ������ �� ���� � � ��3�������� �� ������ �� ���� ����� �������� ����7����

" � �� �� �� ���8�� �� ��� $���� E� % �� G � ������ �� ��������6�������G �;� ��������G ��� �� ������� ����������� �� 8������� �� � ����� �������

$�7 ����������� ���������� ����������� �� ������ �� � �� 8��� ���� 8���������7 �����:��

����� ����01

Page 14: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

1.1 INTRODUCTION

������������������� ��������������������������������� �� ��������������������������������������� ������������������������������������������������� ���������� ������������������ � ������ ��������������������� ������ ������������������������������� � ���������������������� ���� ������� ��������� �� ��� � �� ���� ������� �� �� � ��� � ���� � ������� ������������������ ������������������� ������������������ ������ �� ���� ���� �������� � �� ������� �������!�������� ������� ������������������������� ����� ������������� ��� ����������������� ���������������� �� ���� ���� � ��� ���������������� �� ����� ��� �� � ��� �� ���"

#�$ �������� �� � ������� ������ ���������� ���� �������� ��� �������������� ������ � ��� ��� ��� � #�$� %� & � ���������� ������������ ����������� ���� ��������� ��� ������

0( )/0

0

+=−

u gt u

f

Me

M u t#'�'$

� �� ��������� ������� ���� �� ���� ���� ��� ��� �� ��� ��� ���� �����(����� � ��� � � ���� ������ �� ��� �� ��� �

#�$ ��������������)���� �� �� ��� ���� ����� � #���� ��$� 0,1, 2, , ,i n= … ���� ������ ��%� � #�$� ������ ��� ������ ��������� � #�$� � ��� ������ � ����� �������� �� ���� ��� ������ ��� �� ���� �� ����� ������ ��� ���������� *���*���� �� ������ � ������������������������� ������

�������������� ������ �������

�������

Page 15: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

2 +�������'" (���� ���,��������+��������

��������������������� ���� �������������� ��� ����������������������������

#�$ ������ ������� �� � � �� ������ �� �� ������ ��� ���� ��� � ��� ��-��� �� ����� �� ���� ������ ���� ���� � ������ ��� ���� �� �� ������������ ��������� ����� �� � ������� ����� �� (����������� �� � ���� ����� ��-��� �� ����� � ����� �� ���� �� � �� ��� ����� � �� �� �� ������������� � � ������� ��� ���� ��� � ���� ����� ����������������������������������� ���� ��������� �� �������������� �� � � ���� ���������

#�$ �������� ������������ �� � ����������� �� � ����� �������� ��������� ��� ��������� ����� � ��

#$2

2, , ,�

dy d y

dx dx� ���� �� ������ ������ ��� �� � �� �� �� �� ��� ���

#$0

,� �nx

xI y dx

������ ��� �� ��� ���� ����� � #������$�� � %� &�� '��.�� � � ������ ��� ������������������#�$� ���� ������������������������������� ��� ��� ����� � #�� ����� $���� �� ������ ���� ���� ����� ���� ��� �� #� ����� $�� ���� � �������� ������� ���� �������� ����������� �� ������ ���� ��� �������� ��� ��������� ����������� ���������

#�$ ������� �� � ������ ��������� ���� �������� ��� ������ � �� � ����������������������� ����� ������������������������� ������������� � �������� � ������-��� ������� � ��� � ����� � ���� � ���������� ������ �� ����� ������� �� ������ ��� ������ �� ���

#�$ � ����� �� � ������� ���������� ���������� (��������� ������� ������������������������ ������������������������������������������� ���� ��������� ��� ���������� ���������� ��� �� ����������� ������ � ����������� ���������� ������� ���� ��� ���������������������� ����! ���� ��������� ������������������������� ���������������� ����������������������������� ����� �� � �� ����� ����� � ������� �� ���� ���� ������������������� ���������������������������������������������� ��� ���� �� �� ��� �� � �� ����� ��������� �� ��� ����� ����� ������ ��� ���������������������������������� �

#�$ ��������� ���������� /�� ������� �� ����� ��� �� ����� ������������ � ������ ��� ������� ��� � ����� � � ��� �������� ��������(����� ���� � � ���������� �� ����������� ����������������� ����� ����������� �� ��� ���� ������ �� �� ����/� ���� ��������� ���� ����! ����� ����� � � �������� ��� ��������� ������ ��� ������� �� ��� � ������ ��� ��� ������� ���� ���� ���� �������� ����� ���� ��������� �� �� ��������� �� ������������������������������������������������ ����� ���� ��� ���� �� ���� ����� ��� ����� ����� �� ��� ������� ��

Page 16: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

0����� '�'" ��������� 3

����� � � ��� ���� �� �� ��� ���������� ���� ��������� ��� ������ ������������� ������������������������ ���������������������� �� ������������������ ���0�����'�1������ �� � ������ �� ��� ���������� ����� � ���� ���� ����� � �� ���� ���� ��� ����� ����� �� ��������������������� ������������������� ��2������� �� ������������ ����������� ����� ������� ���� ���� ������������������ �������� � ���� �������

1.1.1 Computer and Numerical Software

�� � ����� ����� ��� ������� � ���� ������� � ���� ��� ������� ��� ��� ��������� ����� �� 3���� �� '45&�� ��������� ����� � ������ ����� ���������������������� �������� �� ��� ��� ����� ������������ ������� �� ������������������������������������ ������������ ����������������� ��������� 6��������7 �������� ���������� ��� ���������� ����������� � �� ���6������������������� ����� ������������ ����� ������������ �8�� �� ��� ��� ��� ����� �������� � �� ������������������� � � ������ �� ����� ��� ����� � � ��� ����� ���� �� ���� �� ��� ��� �� � ��� ���� � ��� ��������� �� ,�������� �� ����� �� � ��� ��� �� �������� � ��� ��� ������� ������������������ ����������������������������� ������� ����� �� �� ��� �� � ����� � ���� ����� � � ����!����� �� � ��������� ��������������������� ������ ������������������������������������������������� � ��� ������� �

( ������������������������� � ����������������������������� ���������� ������ �� ��������� ��� ��� �� � ��� ��� ��� �������� �� ��� �������� � ���������������������������������������������� ������� ��������� �� ��� ����� ��� ��� ������� ���� ������ ��� �� ��� � ��� ���� ��� ������������ ����� �� ������ ��������� ���������� �� ����� ��� ������������������/���������� � �� �� ��� � ����� � ������� �� ��� ��������� ��������������������������� ������� �������������������������������������� ���� ��������� ��� ������ �� ��� ������� ��� ��� ����� ��� ��� ������������ ������� ����������������������������#�������� �$����� � �� �� ��� ��!��! ��� � ����� � �� ��� �������� ����� �� �� �����������������9 ������� ������������������� ������������ ���!����� �� ����������� ����� ��� ��������� ��� �� �������� ��������� ���� ��������� ��� ��� ��� ��!��! ��� ��������� �� �� ���� � ������ ����� ��� �������� ���������� ���� ����� ���� �� ��� ��� ����� ���� ��� ���� � ���� � �� �� ���������������������� ��� ���� ������������������������ ������������������������������������������������ ����������������������������� � ������������ ������:����������������������������� ��������� ������ ������� �������� ��� ��� ������� �������� ��������

1.1.2 Computer Languages

0����������������������� ������ ��������������������������������������� ��� ������ ���������� ���� ��� ��� ��� ���������� �� ��������� ��������� ����

Page 17: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

4 +�������'" (���� ���,��������+��������

���� � ������ � ��� ��� �������� ���� � ��������� �� ;�� � � ������ ���������� �������! ������ �������� �� ����� ���� ��������� �� � �"

#�$ " #$#���� 0������ ���� �8<����� �</, ������ �8<�</,� �� ��������� ��� �2=� �� '45>�� 0���� ����� � �� � ���������� ���������� � ���� ������ ��� ��� ���� ��������8<�</,�4&�� � ������������� � ��� ������������ ���� ������������������������ ����������� � ���� ���� ��� � ������� ������ � � ��� � ����� � ������������������� ������������������������������� ���� ��� � ������������ �� ��������������������� ���� ��������������������� �������������������� ��2� �� ���8<�</,� ������������� ����������������������� ��������� ������������������� ������������ �� ���� ��������� #�=0?$� #����������� =��������� ���0� ���� ?������� ����$� ��� � ��� �8<�</,� ������� � ��������� � �� ������� ������� �� � � � ���� ������ ������ ��8<�</,�������� ������� ������������������� ����������#��������� ����������+��������9���� ��3�� �������� ������� ��������������� ����� �

#�$ ��� �� � � �� ���!������ ����������� ��������� ���������� ��� 2������������� ?�������� � �� '4>@�� 3�� ������ � � ����� ����� � ������� ���������� ������� � � � ��� �� � �������� ��������� ���� ���������� ������������������������������� ����� ��� ��+������������� � ��+� ���� ������� �������������� � ���� ��������� �� ����� ����������#�������������� ����������+��������9���� �3�� �

#�$ %�&����8���������������������A����B��������������� �B��6��'4C&�� 2/0�+� �� � � ��� �� ��� �� � ���� ���� � ����� ���� � ���������� � ��8����������� ����� ��������������� ������������� ����� ��� � �������D ����2� ���8��� ��� � ������� �������� � �� ��� ����������� ��� ������� ��� ��� ����� ������� �� �� � �� ��� � ��

1.1.3 Software Packages

�� � ����� ����� ��� ��� ����������� ������ � ��� �������� �������� ��� ��� ������� �������� ���� ������������ 0������� ������� ��� ��� � ������������ ����� � ���� ��������� �� ��� ����� ��� E������ 7� ���� �� �� ������������ ������ ���������������� ���� ��8��� ������� ���� �=/�?/2� ����������=/���� �?/2������������ ��������������+�����=�������� A���,��?����/ ������������� ����� ������������������������������������� ���� ��� ���� � ��������� � ������� ��������� ����� � ���� � � ���!������������������ ������� ����������������� ��������������� ���� ������������������������� ��������������������������������� �������������� ������� �� 2� �� �� =/�?/2� �� � ��������� � ����� ������� ����� ���� ��� � ��� �� ��� �� �� ��� ��!���� ����� ������� �� 9 ��� ��

Page 18: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

=/�?/2������� ��� ��� ���������������� ��������������������� ��� ��� ����� ������� � ���� ������ � �� � ������� ���� ��� ��� �� ������� ��� ��� � ���� � ��������� ����� �������� ������� ��=/�?/2��� ���������������� ������������� � � ��� ������ ������� �� ��� �����0����� A�� +�������F

1.2 MATHEMATICAL PRELIMINARIES

��� � � ����� ��� ���� ����� ������� ������ ���������� �� �� � ���������� ��� � ����� �� ��� ������

�������� ��� � #�$� � ������� � � ���� ������ ���� �� � #�$� ���� � #�$� ��� ������ �� �� �� ��� � #� $� %� & ���� �� ��� � ���� ������ � ���� �� �� *� �� *� ��

�������� � ##����7�� �������$ ��� � #�$� � ������� � � �� �� �� �� ��� � �#�$�� � ��� * � * �� ��� � #�$� %� � #�$� %� &� ����� ����� �� � �� ��� � ���� �������� ��� �� �� ���� ��� � �#� $� %� &�� �� *� �� *� ��

�������� � #'������(� � #����7�� �������$ ?�� � #�$� ��� �� ����������� � �� �� � ������������ ��� G�� �H�� ��� � #�$� ��� �� � �� ��� #� I '$� � ����� ������ �.����� �� #����$�� ���� ������� ������������ �� #����$� ��� ��� ���#�$� %� &�

�������� #������� ���� ������ �������$ ?�� � #�$� ��� ������� � �G��� �H� ���� ��� )� ��� ���� ������� ������� � #�$� ���� � #�$�� ����� ����� �� �� ������ � �� #��� �$� ���� �� � #� $� %� )� # ��� ���� '�'$�

y

0 xa bξ

y f x= ( )

f a( )f b( )

y k=

Figure 1.1 Intermediate value theorem.

�������� � #����*������������������ ��������$ ��� � #�$� �������� �� G����H� ��� � �#�$ �� � �� #����$�� ���� ����� �� � �� ��� � ���� ������ ��� �� �� ��� ������� �� ���� �� ���� ��

( ) ( )( ) ,�

−′ =−

f b f af

b a.�< <a b

��������� � � ������� ����� ���� ������ ��������� �������

0�����'�@" =���������3�������� 5

Page 19: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

6 +�������'" (���� ���,��������+��������

0��� �� %� �� I� ��� � � ������� � � � ��� ����

( ) ( ) ( ),�′+ = + +f a h f a hf a h 0 1.�< <

�������� � #$�����7�� ������ ���� �� ������� ��� ���� �������$ ��� � #�$� ������� � ���� �� � � � ������� � ������� � ��� ������ �� �� ��� ��������� ������ ,x a= ���� �� ��� ������

2 1( 1)( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),2! ( 1)!

−−− −′ ′′= + − + + + +

−�

nn

nx a x a

f x f a x a f a f a f a R xn

������ #�#�$�� ��� ����� ��� ������ ���� ��� ����� ��� �� ��� ����

( )( )( ) ( ),

!�

−=n

nn

x aR x f

n.�< <a x

�������� � #�������7�� ��������$ �� ��

2( )( ) (0) (0) (0) (0)

2! !′ ′′= + + + + +� �

nnx x

f x f xf f fn

�������� � #$�����7�� ������ ���� �� ������� ��� �!�� ��������$ �� ��

1 1 2 2 1 2 1 21 2

( , ) ( , )� � � �∂ ∂+ + = + +∂ ∂

f ff x x x x f x x x x

x x

2 2 22 2

1 1 2 22 21 21 2

1( ) 2 ( )

2� � � �

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ + + +∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

�f f f

x x x xx xx x

�� � ���� �� ��� ��� �������6���

�������� � #$�����7�� ������ ���� �� ������� ��� �������� ��������$

1 1 2 2( , , , )� � �+ + … +n nf x x x x x x

1 2 1 21 2

( , , , ) � � �∂ ∂ ∂= … + + + +∂ ∂ ∂

�n nn

f f ff x x x x x x

x x x

2 2 22 2

1 1 22 21 21

1( ) ( ) 2

2� � � �

⎡∂ ∂ ∂⎢+ + + + +∂ ∂⎢ ∂∂⎣

� �nn

f f fx x x x

x xxx

2

11

2 � �−−

⎤∂+ +⎥∂ ∂ ⎥⎦�n n

n n

fx x

x x

Page 20: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

1.3 ERRORS AND THEIR COMPUTATIONS

���������� ��� �� ���������� ���������������������������� ��(������ ��� ����� ������ � ���� '� @� 1� .�� 'J@� 1J@� .� 2, ,� ��� ����� ����� �� � �������� /��������� ������ � ���� �� �� ��� ����� ��� ��� ������ � �� ������� ������� ��� ���������� ��� �� ��� ���������� ������ �� � � 1�'K'C�� ���� ��� �� ��� �� ����� ������������ � � 1�'K'54@C5�� 2����� ������������ ����� ������ �� ��

������ ��������� ���������� ����������������������������� ������������������������� ����������� �1�'K'C��&�CCCC>�����K�&CL>���������� ������� �� � ������ ���� ������� &�&&&@1� �� �� ��������� ����� �� ��������� ���6���@�����1�� �������6��� � �������������������� ��������������������0����������������� �&�&&'K5��&�&&&'K5�����&�&&&&'K5 ������������� ��������� ������� ���������������� ����������� ��������� �����������������������������@5�C&&��������������� ������ ����� � ��������� ������ � ��� ������ 4 42.56 10 , 2.560 10× × ��� 42.5600 10×����� ������ ����� ���� ���� ������� �� �� �� ��������

��� ��������� �������� �� ��� ����� ���� � ������ ������ ����� ����������������� ����������������� ������������������ ������������ ������� � �� ������ � ������������ �������� �� �� ���� �� �����!���������� ��������� �� ��� ��������� ����"

��� �����!���� �� ������� �� �� ������� �� �� � ����� ���� �� � �� ������ ��� ��� ��� ���� ���� �� � � � ������� �������

#�$ �� � ���� ����� �� ��� �� ������ ������� ������ ������ ��� ���������#�$ ������� ���� ����� �� ��� �� ��� ��� ������� ����� �� ��� ��� ��� ��

����#�$ ������� ����� �� ��� �� ������ ������� ����� �� ������ ��� ��� ���

�� � � ����� ����� ��� ������ � ����������

���� ������� �� � �������!���� � ��� �� ��� ������� �� �� ����������� �

�������� ���������� ���������������� �������!���� �� ����� ����������� "

1.6583

30.0567

0.859378

3.14159

to

to

to

to

1.658

30.06

0.8594

3.142

��� ����� �������� �� ��� �����!���� ������ ���� ��� �������� ��� ���������� ��� �������� � �� ����� ������� ����� � �� ����� ��� ��� ������������/�� ���������� "�������� ����������������������������� ���� ����� ������� ������ ���� ��� ����� �� ��� ����� �������� ��� �� ���������������������!�����:���������� �������� ������������������

0�����'�1" (���� ����������+������� 7

Page 21: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

8 +�������'" (���� ���,��������+��������

��� ������� ����� � ��������� ������ �������� �������������������� ���� �� ����� ���� ������� � ����� ������ �� ���� ��� ��� ����� ����������� � �� ��� ������ ��� ����� '&���� �� '&����/������ ������� ������ � ���� ��� ��������������������������������� �������������� �������� ������ ������� �������� ����� ������ ��� � ��� �� ������� � �������������� ���������� 9 ������� ��� ������� ���� ��� ������� � ������� ��� �'5� ������ ���� �� ������ ��� ����� '&����� �� '&����� ���=/�?/2�� ����� � ��������� �� � �� ������� ���� ��� �������

��������� �� ��� �����!����������� �� ���������� ����� �������� ��������������������������� ������� �������������������������������� �M ���� � � ��� ���� ��� �� � ������ �� ������� � ����� ��� � � � ���� �� ���� ��� ������ � ������� ��������� ������ ���� � ���� � ��������� � �������� ��� �������� ��� ������������� ��������� ������ �� �� �������� ���� ��������������������������������������� ���� � ������ ��� �����0���� '�K���� '�5� ���� ��� ������� �� �� � �� ��� ��� �� �� ����� �

Absolute, relative and percentage errors

��������������� ��������������������������������������������������������� � �������������������� �� ��+� � ��� ������������� �������� ����+ � � ���������� ������� ���� ��� �� ����� ������,�� � ����� ��

A 1 .�= − =E X X X #'�@$

���� ������� ������,�� � ������� ��

AR ,

�= =E XE

X X#'�1$

���� ��� ���������� ������ #,�$� ��

P R100 .=E E #'�K$

?� �+ ��� �� ������� ���� ��

1 .�− ≤X X X #'�5$

���� �+ ����������������������������������� ��������������� � ������� ���� ��������� �����-� 0�������� ��� �����

1| | | |

� �≈X X

X X

��� ��� � ��� �������� �������� � �� �� �� ������� ��� �� ��� ������ � ���� ������ ��� ��������� ���

������������������� ������������������ ��� ���� ���������������� �������� ���������� ��������������� ��=���������������� 1 2

A A A, , ,… nE E E���� ��� �� ����� ����� � �� �� ������ �� ���� ��� �������� ��� ��� �� ���������� �� ���� ��� � ����� ��

1 2A A A| | | | | | .+ + +� nE E E

Page 22: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����� ;������������� ������������� �������������� ������������� ������������� �������������� ��� ������"

#$ � ����� ��� ������� ��� ��� ����� � �� ����� ������#$ <����!���� ���� ����� ������ � ������� �� ���������������� ���

�� ��� ������ �������#$ /��� ���� ���#�$ <����!���� ��� ��� ��� � ������� ���� ���

��� ���� ��� �� ����� ������� ,��� �� �� ������� ��� ��� ������ � �� ���� ����� ��� 1 2

A A A( ) ( ) ,= + + −E a E b E ab ����� 1AE ��� 2

AE ���� ��� �� ��������� � �� �� ���� �� �� ��������� ��� �

1 1 22A A A A A

1 2A A , approximately

= + +

= +

E aE bE E E

bE aE #'�C$

0�������� ��� �� ����� ������ �� ��� ������ �J�� � ����� ��

1 1 2A A A2 2A A( )

+ −− =

+ +

a E bE aEa

bb E b b E

� �

1 2A A

22A

1 2A A 2

A2

1 2A A

(1 / )

, assuming that / is small in comparison with 1

. (1.7)

−=

+

−=

⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

bE aE

b E b

bE aEE b

b

E Ea

b a b

�������� � ��� ��� ������� +� � �������� ���� ������� ����� �� ���

1(10 ).

2� −= NX

��� +� %� &�5'� ���� � ������� �� @� ������� ����� �� ��� �+� %� &�&&5�� ���� ��

���������� ��������� � ����� ��0.005

100 0.98%.0.51

� �

��������� /�������������������� π �������� 1 22/7 3.1428571= =X���� � ���� ������ 3.1415926.=X ���� ��� �� ����� ���� ������� ����� �;�� ����

A 1 0.0012645= − = −E X X

0�����'�1" (���� ����������+������� 9

Page 23: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

10 +�������'" (���� ���,��������+��������

���

R0.0012645

0.000402.3.1415926

−= = −E

�������� ������ ���������� ����� � ��� ��� ������� 'J1� ���� ����� � &�1&��&�11�����&�1K��;������� �� �� ���������� � � ����� �����������N

;� ����

1 10.30 .

3 30

1 0.01 10.33 .

3 3 300

1 0.02 10.34 .

3 3 150

− =

− = =

− = =

�� ������ � ��� &�11� � ��� �� � ����������� ���� 'J1�

��������� ���� ��� ���������������� ����������L�C� ��������� ��� ���� �������

:���A 0.05=E

:����

R0.05

0.0058.8.6

= =E

�������� � (������� ��� �� 3 5 7= + +S �� K� ������� �� ���� ���� � �� ����� ���� ������� ����� �

;�� ����

3 1.732, 5 2.236= = � ���� 7 2.646=

:����� & % C�C'K� ����

A 0.0005 0.0005 0.0005 0.0015= + + =E

���� ���� �� ����� ������ ��� � ��� ��� ��� � ������� �� 1� ����������� � ������ :����� ��� � �� & % C�C' ���� ���

R0.0015

0.0002.6.61

= =E

�������� � 0��� ��� ��������� ������ "

0.1532, 15.45, 0.000354, 305.1, 8.12, 143.3, 0.0212, 0.643 and 0.1734,

������ �� ����� ��� ����� ���� ��� ����� �� � ���� �������

Page 24: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

:������������ ��������� ����������� �������� ��� ��������������� ����� 1&5�'� ���� 'K1�1�� ���� ��� �� ����� ������ �� ���� �� �� ������ � � &�&5�:��������� �����!���� ���� ��� ����� ������ � �� ��� ������� �� �� ��� �� ���"

0.15, 15.45, 0.00, 8.12, 0.02, 0.64 and 0.17.

���� ��� &� � ����� ��

305.1 143.3 0.15 15.45 0.00 8.12 0.02 0.64 0.17

472.95

473

= + + + + + + + +==

S

��� �������� ��� �� ����� ������� ��� ���� ��� ��� �� !��� ������ � ��������� ��� �� ����� ������ ��� &�&5� ���� ��� �������� ����� ������ � ����� ���� ��������������&�&&5���������� ������� ��������������������4�������

A 2(0.05) 7(0.005)

0.1 0.035

0.135

0.14

= += +==

E

��� ������ �� ��� ������ �� ����� ������� ��� ����� �� � �� ��� ������� ���������� ������ �� ��� ������ ���� � � � &�&'��:����� ��� ���� �� ����� ����� 0.14 0.01 0.15.= + =S ��� �

472.95 0.15.= ±S

�������� � ���� ��� ���������

6.37 6.36−�� ����� ������� ����� �

;�� ����6.37 � %� @�5@1LL5L41

���

6.36 � %� @�5@'4&K&K1

����������� � 6.37 6.36− � %� &�&&'4L'L5&

� � � � %� &�&&'4L�� ������� �� ����� ������� ����� �/������������������

2

6.37 6.366.37 6.36

6.37 6.36

0.01

2.524 2.522

0.198 10 , which is the same result as obtained before.�

�� �

� �

�������� � ���� ������ � ���� ����� � � @�5� ���� KL�@L4�� ���� ��� ��������� ������� �� ��� ������� ����� � ������ ���� ���� �������

0�����'�1" (���� ����������+������� 11

Page 25: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

12 +�������'" (���� ���,��������+��������

:���� ��� ������� @�5� � ��� ���� ��� ��� ����� � �� ����� ������� :�������� �����!���� ��� ������ ������� �� ����� ������� �� �� ����� KL�1�� ����������� ������� � ����� ��

2

48.3 2.5

1.2 10

= ×

= ×

P

��� ��� �������� ��� ������� ����� ��� ������� �� �� ���� ���� ��� ������� ������ �� �6�� @�5�� �������� ����� ��� ������� �� �

1.4 A GENERAL ERROR FORMULA

;�� ���� ������ �� �������� �������� ���� ��� ������ ������� �� � ��� �� ������������� ��� �� ��������� �������� ?�

�� %� � #��� ��� ($ #'�L$

���� ��� �������� � �������� (����������� �����(�� �� �������������� ��������������� � ����� ��

�� I� ��� %� � #�� I� ���� �� I� ���� (� I� �($ #'�4$

(�������� ��� ���! ��� ��� (��� #'�4$� ��� ������7 � ��� �� ��� ����

� � � � � � � �� I� ��� %� � #��� ��� ($� I � � �∂ ∂ ∂+ +∂ ∂ ∂u u u

x y zx y z

� � � � � � � � I� ��� � �������� ������ ����� � ���������� �����( #'�'&$

/ ����� ��� ��� ����� � ���� ���� �(� ���� ������ ���� ������ ����� � ���� ����������� ���� (��� #'�'&$� ������

� � � �∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂u u u

u x y zx y z #'�''$

���� ������� ������ ���� � ���� ����� ��

R� � � �� � �

� � � �� � �

u u x u y u zE

u x u y u z u #'�'@$

�������� � ���� ��� ������ ��

2

3= a b

sc

������ �� %� C�5K� O� &�&'�� �� %� KL�CK� O� &�&@�� ���� � %� '1�5� O� &�&1�

/� ��� ���� ��� ������� ������ �� ��� �� ���;������

��� %� K@�>>'C� b � %� C�4>K@� ���� �� %� @KC&�1>5

Page 26: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����������

42.7716 6.97420.12124

2460.3750.121

×= = …

=

s

/� ��

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �� %� @��� �� I�1

2��� �� P� 1���

� 1 0.01 1 0.02 0.032 3 2 3

2 6.54 2 48.64 13.5

� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � s a b c

s a b c

� � � � � � � � � %� &�&&441'

�������� )���� ��

2

3

5,= xy

uz

���� ��� ������� ������ �� �� %� �� %� (� %� '������ ��� ����� � �� ����� ��� ��� ��� (� &�&&'�

;������2 2

3 3 4

5 10 15, and

∂ ∂ ∂= = = −∂ ∂ ∂u y u xy u xy

x y zz z z����

2 2

3 3 4

5 10 15.� � � �� � �

y xy xyu x y z

z z z

������������ �������� �������� �����(���������� ��������������:�������� � �� ��� �� ����� ����� � ��� ��� ��� � ��� ��� ���� ����;�� ���� ����

2 2

max 3 3 4

5 10 15( )� � � �� � �

y xy xyu x y z

z z z

������ %���� %��(� %� &�&&'� ���� �� %� �� %� (� %� '�� ������ ��� ������������������� #,�$���� � ����� ��

maxR max

( )( )

0.030.006.

5

��

� �

uE

u

0�����'�K" /�)�������(������������ 13

Page 27: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

14 +�������'" (���� ���,��������+��������

1.5 ERROR IN A SERIES APPROXIMATION

����������������������������� ��� ������������������������������� ���������7 � ��� � ��������������'�C��������������� �������� ���� ������� � ��� ��� ���� ��� ����

( )11 1 1 1

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),

!+

+ + + +−′= + − + + +�

nni i

i i i i i i n ix x

f x f x x x f x f x R xn

#'�'1$

�����

1( 1)1

1 1( )

( ) ( ),( 1)!

�+

+++ +

−=+

nni i

n ix x

R x fn 1� +< <i ix x #'�'K$

��� (��� #'�'1$�� ��� �� � ���� 1 1( ),+ +n iR x � ������� ��� ����� ��� ���������� ���� �� ���������� ��� �� ��� � �� 6���� � .→ ∞n ��� �� � 1( )+if x �������������� ��� �� !�� ��� ���� ��� ��� ������ ��(��� #'�'1$�� ���� �������� ����������������� ���� ������������#���������������� �������������$� ������������������������ 1 1( ).+ +n iR x +����� ������������������ �������� � ������� �� ��������� ���� ������������ ���� �� ���������������������� �� �������������� ��� ����� ���������������������

Q������ ��� ������� ������

1 ,+ − =i ix x h #'�'5$

(����� #'�'1$� ���� ��� ����� �

� � �2

( ) 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O( ),

2! !+

+ ′ ′′= + + + + +�n

n ni i i i i

h hf x f x hf x f x f x h

n#'�'C$

����� 8#��� $� ���� � ��� ��� �������� ������ � ��� ��� ������ �� ��� �� ����� ������������� ��� � ��������������� � �����������������������������

?�� ��� ��� ���� ������������� ����� � ������� ���� � ���(���!�� ������������"

1( ) ( ) O( ),+ = +i if x f x h #'�'>$

��������� ����������������������������������� ������������������������������� �������0���������������*�� ���������� ��� ������������ �������

21( ) ( ) ( ) O( ),+ ′= + +i i if x f x hf x h #'�'L$

����� ���� � ��� ������� ���� �������� �������� �� ���� ������� ��� ������ ���� ������������ ��� ���� �� �� �� ��� ��� ��� ����������� �� � �

Page 28: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� *�� ��� ��� ������������� ;�� ��� ���� �� �� ��� � ������� ��������������� �

�������� � (������� � #'$� � ��� ������7 � ��� � ���� � #�$�� �����

3 2( ) 3 5 10.= − + −f x x x x

�� � �� ��� ���� �� � #'$� %� P>� ��� � ���� ��� � ������ �� ��� ���� ��������� ��� � ���������� � ��� ����� � &� �� 1� ������� ��� ������������ � #'$����������

?� 1, 0= =ih x ��� 1 1.ix + = ;�� ���� ������ 1( ).+if x ���� ������� ��� � #�$� ���� ����� ��

2( ) 3 6 5, ( ) 6 6, ( ) 6,′ ′′ ′′′= − + = − =f x x x f x x f x

iv( )f x ���� ������ ������� � ����� ���� 6�����:����

( ) (0) 5,′ ′= =if x f ( ) (0) 6,′′ ′′= = −if x f (0) 6.′′′ =f

/� ��

( ) (0) 10.= = −if x f

:������ ������7 � ��� � ���

2 3

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ).2 6+ ′ ′′ ′′′= + + +i i i i ih h

f x f x hf x f x f x #$

����� (��� #$�� ��� 6���!������ ����������� � ����� ��

1( ) ( ) O( ),+ = +i if x f x h #$

����� ���������

(1) (0) O( ) 10,= + ≈ −f f h

��� ������ �� ����� 7 10,− + ����� 1� �� ����� ��� �� � ������������ ��� ����

21( ) ( ) ( ) O( ),+ ′= + +i i if x f x hf x h #$

����� ���������2(1) 10 5 O( ) 5,= − + + ≈ −f h

��� ������ �� ����� 7 5,− + ����� P@� �� �/����� ��� �����!������ ������� ����������� � ����� ��

23

1( ) ( ) ( ) ( ) O( ),2+ ′ ′′= + + +i i i ih

f x f x hf x f x h #�$

����� ���������

31(1) 10 5 ( 6) O( ) 8,

2= − + + − + ≈ −f h

�� ����� ��� ������ � P> I L�� ����� '� ���

0�����'�5" (���������0��� �/��������� 15

Page 29: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

16 +�������'" (���� ���,��������+��������

�������� ��� ���!������������� ��� � ����������� � ����� ��

2 3

1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),2 6+ ′ ′′ ′′′= + + +i i i i ih h

f x f x hf x f x f x #�$

����� ���������

2 3

0 0 0(1) (0) ( ) ( ) ( )2 6

1 110 5 ( 6) (6)

2 6

7,

′ ′′ ′′′= + + +

≈ − + + − +

= −

h hf f hf x f x f x

����� � ��� ����� ������ ��� � #'$��� �������������� ��� � ��� �� ��������������� ���������������

���� �������� ���� � ���!����� ������� ��� � ����������� ��� � ������ �� �

��������� )��� ( ) sin ,=f x x ��� �������������� ��� ����������� ��� ����� � &� �� >� � /3�=x ���� ��� ���� �� ����� ����� �

?� 1 /3�+ =ix ��� /6�=ix �� �� /3 /6 /6.� � �= − =h ;�� ���� ����

2 3 4iv

3 6 6 2 6 6 6 24 6

h h hf f hf f f f

� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � �� �� ���� � � � � � � � � � � �� � � � � �

5 6 7v vi vii 8O( )

120 6 720 6 5040 6

h h hf f f h

� � �� � � � � �� � � �� � � � � �� � � � � �#$

0��� ( ) sin ,f x x= (��� #$� ������ "

2 3

4 5 6

7

1 1sin sin cos sin cos

3 6 6 6 2 6 6 6 6 6

1 1 1sin cos sin

24 6 6 120 6 6 720 6 6

1cos .

5040 6 6

10.5 3

12 4

� � � � � � � �

� � � � � �

� �

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + −3 4 5 62

7

3 31 1

36 12 6 48 6 240 6 1440 6

3.

10080 6

� � � � �

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 30: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� �������� ����� � ��� ����������� ���� ���� ��� ��������� ���� �������� �� ��� 6���!������ ����������� � &�5�� ��� �� !������ ����������� 0.5 3/12,�+ ���� 0.953449841; ���� ��� �����!������ �����������

230.5 ,

12 144

� �+ −

����� ����� � �� &�LLK4'&4@'� 0�������� ��� ���� ��� ���������� ���� ��������� ���� ��� �� ������ �� ����� ����� � ���� ��� ���������� ���� ������� ������ ��� � ( /3)� � &�LCC&@5K&1�� ������ '�'� ��� � ��� �������������� ���� � ( /3)� ���� �������� �&� ��>�� ��� �� ����� ���������� � �� �� ����������� �� ���� �� �� � ���� ��� ��� ������ ������ � � ��� ��� ����� ��� ��� ������ ��� �����������

Table 1.1 Taylor’s Series Approximations of f (x) = sin x

Order of approximation Computed value of πsin /3 Absolute error

0 0.5 0.366025403

1 0.953449841 0.087424438

2 0.884910921 0.018885518

3 0.864191613 0.00183379

4 0.865757474 0.000267929

5 0.86604149 0.000016087

6 0.86602718 0.000001777

7 0.866025326 0.000000077

;����������� �������������������������������������������������������������� ���� � �� ��� ��� ���� ��� �� !������ ����������� �� ��� ����"

( ) ( ) ( ) ( ),′+ = + +f x h f x hf x E h #$

������,#�$� ������ ������������������� !���������������������������� �� �� ( ) sin=f x x ��� /6,�=x ��� ����

sin sin cos ( ).6 6 6

h h E hπ π π⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

#$

3��� /6�=h �� #$�� ��� ��

3sin 0.5 ( ) 0.953449841 ( ).

3 12

�� = + + = +E h E h

0��� sin ( /3) 0.866025403,� = ��� ������ ������� ���

( ) 0.087424438.= −E h

0�����'�5" (���������0��� �/��������� 17

Page 31: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

18 +�������'" (���� ���,��������+��������

,��������������������������� ������������� � /12.�=h ������#$ ��� "

3sin 0.5 ,

6 12 12 2 2

� � �⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠h

E #�$

����� ( /2)E h � ��� �� ����� ������ ��� ������� ������ �J@� 0���

1sin sin

6 12 4 2

� � �⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

(������ #�$� ��� 31

0.5 0.019618139,2 2 24

hE

�� � � � � � �� �� �

���� ���

( )4.45630633.

( /2)=E h

E h

��� �� ����� ����� ��� ����� ��� �����

( /2)4.263856931

( /4)=E h

E h

���

( /4)4.141353027.

( /8)=E h

E h

���� ��!������ ��� ������������ � ���� ��������� �� ��� ������ �� �� �

�������� ����=�������� ����� ��� ���� ��� � ����� ��

2 3 1

1 ,2! 3! ( 1)! !

�−

= + + + + + +−

�n n

x x x x xe x e

n n0 .�< < x

;�� ����� ���� ��� ��� ������� ��� ��� �� ���� ��� ���� ��� ���� � ��� �������� ��� ������� �� L� ������� ����� � �� � % '�

+�������� ��� ������ ���� #���� ��� ��������� ���$� ( / !) ,�nx n e �� ��� � % ��� � � ��� � ��� ������� �� ����� ������� ���� ������ ��� ������������� ������ / !nx n ���� ��� L� ������� ��������� �� � % '�� ��� �� � ����

81 1(10 )

! 2−<

n

����� ��� � � % '@�� ��� �� ��� ����� �� � �� '@� ��� � ��� ��� ��������� ��� � �� ������ ��� � ��� � ������� �� L� ������� ����� �

�������� � Q����� ��� ���

3 51log 2

1 3 5ex x x

xx

� ��� � � �� �� �

Page 32: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����� ����������������������������#'�@$����������� ����������������� ������ �������� ��� ���������#'�I��$� �� ���������������� ��� ����� ���� ����� ��� ���� ��������� ���� ����#'�@$N

;�� ����2 3 4 5

log (1 )2 3 4 5

…+ = − + − + −ex x x x

x x #$

���2 3 4 5

log (1 )2 3 4 5ex x x x

x x �� � � � � � � � #$

����������

3 51log 2

1 3 5

⎛ ⎞+ …= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠e

x x xx

x#$

3����1

11=x � �� (��� #$�� ��� ����

3 5

93 5 7

1 1 1log 1.2 2

11 3(11) 5(11)

1 1 1 12 , since 7.33 10 .

11 3(11) 5(11) 7(11)

e

� �� � � �� �

� �� �

� �� � � � � �

� �� �

:�������� ����

[ ]log 1.2 2 0.09090909 0.00025044 0.00000124

0.1823216

= + +=

e

8�� ��� ����� ������ �� ��� � �� ��� � #$�� ��� ����

72 10−< ×nx

n

� 7(1.2)2 10

n

n�

� �

� 9.n �

��� �� 4� ��� � ��� ��� ��� � #$� ����� �� ��� � ��� �� ������ �� ����� �� ����������� ���������

EXERCISES

��� (�������������E�����!���������7����������!���������������������� �� ��� ������� ����� "

KL�@'K'C�� @�1>K@�� 5@�@>5�� @�1>5�� @�1L5�� L'�@55

(������ 19

Page 33: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

20 +�������'" (���� ���,��������+��������

��� <����!���� ��� ��������� ������ � �� ����� ������� ����� "

1L�KC@15�� &�>&&@4�� &�&&@@@'L�� '4�@15'&'�� @�1CK@5

��� +�������� ��� ������ �� 102 101− � ������� �� ����� ������� ����� �

��� ��� �� %� 1�� P� C��� ���� ��� ���������� ������ �� �� �� � %� '�� �� ��� ������� � � &�&5�

��� ���� ��� �� ����� ������ �� ��� ������ ��� ������ � '&5�C�� @>�@L�� 5�C1�&�'KC>��&�&&&5@1��@&L�5��&�&@15��&�K1@�����&�&KC>������������������� � ������� �� ��� �� � �����

��� ���(�%�18������������������������������(��������%�1�'K�O�&�&&'C����

�� %� K�5� O� &�&5�

�� ���� ��� �� ����� ������ �� ��� ������� ��� �� �� %� 5C�5K� O� &�&&5� ����� %� '@�K� O� &�&5�

�� 3����� ��� ��� ������� ������ �� �� ������� ��� ����� ���6���� ������ ��� � ��� ������� ��� ��� ��� ��� ������� ����� � ��� ��� ����� ������ �

��� ���� ��� ������� ������ �� ��� ������ K�51CJ'�1@�� ��� ������ � ����������� �� ��� �� � �����

���� ���� ���������� ��� � � ����� ��

2 3 4

12! 3! 4!

x x x xe x� � � � � ��

�������������������� ������������� ��� � ����������� ������ ��� ������ ��� �� ������� �� ���� ������� ����� �

���� +������ ��� ������ ��� ��� 1� ������� �� ���� ������� ����� �

���� ;��� ����� ���������7 � ��� � ����� ��� ��� � #�$� %� �� �� �� �� %3

� �

��� ����� #�$������ �������� �����%��

4��+�������������������

��������6�������������������������������� �� �������� ������������ ����� �� ��

���� ����=�������� ����� ��� ��� � �� � ����� ��

3 5 7

sin3! 5! 7!

…= − + − +x x xx x

������ �� � �� ����� �� 9 �� ��� ��� � �� ������� ��� ������ ��� � @5R�� ��� ��������� ��� &�&&'�

Page 34: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

Answers to Exercises

��� <������������ ����"

KL�@'�� @�1>�� 5@�@L�� @�1L�� @�1L� ���� L'�@C

��� 1L�KC�� &�>&&1�� &�&&@@@@�� '4�@K�� @�1CK

��� &�&K4C1

��� '&S

��� &� %� 1K>�>� O� &�'5

��� 1S

�� @�4

��� &�&&K

���� �� %� 4

���� ��� 1� %� '�&4LC'

���� 0���� ��� ���������� � ���

&�>&>'&C>L'�� &5@'4LCC5L�� &�K4>>5KK4'�� &�K44LC4'KC�� &�5&&&&>55'�.

���� &�K@1

�(������ 21

Page 35: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

2.1 INTRODUCTION

������������������ ������� ���������������������������� �������������������� ����� �� ��������� �� ��� ���

� ���� �� � �����

�� � ���� ��� �� ���������� ������ ��� �� ����������� � ���������� ���� �� �������������������!������������ ������� ���������������������������������"���� ����� ������#��� � ���� ��� �� ����������� �� �� ���� �� ���� ��� ��� � ����������!��!�� � ������������� ��������� �� ������� ������� ���� ��� �!��������� ���������������� ��� �$��� �� ���� ��� ����� ��� ����� ������������

%���� ������� ��� ���������� #��� ��� ����������� �� ��!����� �������������������������������������������������� �!������&����������#������ ������ �� ������� ��� ������������� ��� �� ����������� �� ����� '�#�� �� �������������� �� ��� ���

������ ������� (����

���� (�������� (�)�(� ������ (���� �����

���� ����������������� ����#���������� ����� ��������������� ��� ��������� ����� ������ *� ���+�� ������� ������� ��� ������� �� ������� ��� ��������� �� � ������ ������,���-�� �������������,�.���� ������������,����,�������%���������&��� ������������� ������ ����� ��� ������ ��/������������������� ����� � ������ ���� �� �� ������� ��� ������������� ��������� ���� ����� ������� ���������� �������������������� ���������������������0��������������������������� ���������#���� ��� ����������� �� ��� ���� �� ��� �������

��

������������ �������������� �� �������������

�������

Page 36: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�� � ���� ��� �� ����������� �� ��� ����&��� ������� ��� ����#�� � �������� ������ ������ �� ���������#����� ��� ������ ��� ������ � ��� �����

��� &!������������������������� ������� ������������������� �����

���� ��� ��� ����� ��� ����������� �������� ���� ������ ���� ����� ����#������ �� ��� �������� �� ��� �� ��� ���� ����

����� ��� ��� �!������� ��� ������� ���� ����� ��!��� ���� ��� ����������������� ���� �����!�� ���� ���� ������ ���� �� ��!�� ����

��!� �� ��� ����������� �������� ���� ���� ����� ����������� ���� ��� ���������������� ����������������� ������������������� ���� ���������� ���������� ��� ������

�!� ������ ����������������

��� *� ����������� �������� � ���� �� �� ������ ��!�� ����� ������� ������!�� ����� ����� ���� ��� ������� �� ���� ��� �� �� �� ��� ������������ �� � ����

��� ��� ���� ���!��� � ���� �� �� ������ ��!�� ����� ������� �� �� ��!������ ����� ���� ���������������� ����� �� �� ��� �������������� � �����

2.2 BISECTION METHOD

%���������� ��� ������ ���%������� ����#����� ����� ��� �� �� ������� � ���� ��������������#������������������ ��������� �������������������� ������������� ���������������������#�������������1������������������ � ��������� ��!������ ������������!���%������������������#��������������������������� ����!�������� �!��������������(���2�� � � ��������� #������������������������������ ������� � ���� �� �� "���#����� ��� ���� ����� ������ ��#���� ��� ���� ��� ����#���� ��� ���� �� �������� � ��� #������ � ����� ��� �� ��!�� ��� �����!��� /����� ����������#�����!������3������4�#�������� �����5� , �52���*��������������� �������� �� ��� ���� ��� ��#� ����!��� #���� ��� � ����� ���� ��� ��� �� �� �����!����� �����/�� ������ ���� �������� ����� ��� ����� ����!��� �#����� ���������� ����� ��� ��� ������ ��� ��������� ��� ��� �� ��� ������ ��� ��� ����!��� #���� �������������������������+��������������������������������������������#� ����!���#���� ��� 3������4� �� ��� �� 5� , �52����/�� ���� ��!�

| |,

2n

b a�

− ≤

#����� �!��� ��� ������������

log (| |/ )

log 2e

e

b an

�−≥ ���6�

&����������6�� �!��� ������������ ��������� ��������� �������!��������������� 1��� � ������� �� 5 �� ,�� 5� �� �� ������ �� ������ ���� �� ���� ��� ����� ��

��� �� ���7�

0�� �����8 9��������:���� 23

Page 37: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

24 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

%��������� ��� ���#�� ����������� ��� 1� �� ����

y

x0 b x1

x2 x0 a

[ , ( )]a f a

[ , ( )]b f b

Figure 2.1 Graphical representation of the bisection method.

�� ������� ��� ����� ��� ���������� ��#���� ���������� �� ����� ��������� ����������������������!��������������������������������������������������������� ������� ���� � ��� ����#�� � ������������ ����8

�� ;������ #�� ����� ���������� ������ ����� �� � ���� � ���� <� ��

�� 0�� ��� �� ��� (���2��

6� ��� �� � ���� � ����� <� �� ��� ���� ����� ��� ��� ����!�� ���� ���� %����� ���� �� ��� ���� �� �� ���� �� ���!��

��� �� � ���� � ����� =� �� ��� ���� ����� ��� ��� ����!�� ����� ��� %����� ���� �� ��� ���� �� �� ���� ��

��� �� � ���� � ����� �� �� �� ������ ��� ��� ��� �� ���� �� ��� �������� ���� �� �� ���� ��� �������������� ��� ���������

��� ��������� ���������� ��� ����� ���� ��� ��� � ��� ��� ��� ��������� ������!�� ��� ��!��� ��������� ��� ����� �� ������ #�� ����� �� ����� �� ��������� ��������� �#���� �� �������� ��� �����������

*� ���!������ ��������� ��� �� ������� ��� ������� �� ����� ��� ������� ��

100%.r rr

r

x x

x�

��� �

����.�

#���� rx′ ��������#�!�����������%������������������������������#��� ���������� ����� ���� �� ����������� ���������� ��� ��� ��� ��������� ��� �� ����������� �� ������������� ����� ��� ��������� ��� ��!�����

������� �� 1���� �� ����� ���� �� ��� �������� � ���� �� ��� ,� �� ,� �� �� ��

0����� � ���� ����� ��!������ � ���������!����� ���� �������#�������������������������#�� �$� ��� �� 62�� %���

027 3 15

( ) ,8 2 8

f x = − = �#����� ��� �����!��

Page 38: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

>����� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ��.� ����#�� �����

11 1.5

1.252

x+= =

/����� � �������,�?2@7��#���������� ��!���/����������������������������������� ��#���� ���.� ���� ��.�� �� ����#�� ��

21.25 1.5

1.3752

x+= =

%��� ���������� ��� �������� ���� ��� ��������!�� ����� �������� ���

��� �� ��6��.� ��� �� ��676-.� ��� �� ��6�A��.�� ���

������� � 1���� �� ����� ���� �� ��� ������� ��� ,� ��� ,� .� �� ��

B�� � ���� ����� ,� ��� ,� .� %���

� ���� �� ,� ��� � �6�� �� �@�>����� �� ���� ����� ��#���� �� ���� 6� ����#�� �$�

12 3

2.52

x+= =

0����� � ����� �� � ���.�� �� .�@�.��� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ���.�>����

22 2.5

2.252

x+= =

'�#�� � ����� �� ��A?�@�.�� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ���.�%��������

32 2.25

2.1252

x+= =

0����� � ����� �� ��67.-�� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ����.�%��������

42 2.125

2.06252

x+= =

C�������� � ��� ����#����#�� ������ ��� ��������!�� ����� �������8

�� �� ���?6-.� �� �� ����?6A� �� �� �����.@��� �� ���?-@@� �� �� ���?.-�� ��� �� ���?7-6������ ���?7�7��)

/�� ������� ,� ���� �� ,�����.�

���

11 10

11

0.0005100 100 0.02%

2.09424

x x

x

� � � �

>����� �� ����� ������� �� ����� �������� �������� ��� ���?7�

0�� �����8 9��������:���� 25

Page 39: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

26 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

�������� 1������ ����� ������ � ���������(����(���(�-������������ �� ������������ �������

%��� �!��� �������� ��� �� ������ ���� ��� ���� ���� ��� �����!��� >������ � ���� �� ��#���� ��!�� �� �� ��!�� ����� �����/�� ���� ��

� �,��� �� @� � �,��� �� � ��� � �,6�� �� ,�7�

%��������� �� ����� ���� ����� ��#���� ,6� ���� ,��/�� �$�

1–2 – 3

– 2.52

x = =

0����� � �,��.�� �� ,7�A-.�� ��� ���� ����� ��#���� ,�� ���� ,��.�� � ���� ���

22 2.5

2.252

x− −= = −

'�#� � ����� �� ,��.-A��� ����� ��������� ��� ���� ����� ��#���� ,�� ���� ,���.��� ����#�� ��

3– 4.25

– 2.1252

x � �

0�������!�� ����� �������� ���� �!��� ��

�� �� ,���@�.� �� �� ,���?6A� �� �� ,����?7�

�� �� ,�����@� �� �� ,����..� �� �� ,����6.�

��� �� ,����7.� ��� �� ,����.���)

%��������������#������������������������.��>������#����������������������� �!��� ��� �� �� ,����.�� ������� �� ����� �������� �������

������� �� 1���� ��� �����!�� ����� ��#���� �� ���� ��� �� ��� ��������� �� ���� �� �� ��������� �� ���.D�

B�� ���� �� ���� ,� �� �� �

/����!��� � ������,�� ���� � �������� ,� ���#����� ��� �����!���>������ �� ���� � �����#���� �� ���� ��� ���

10 1

0.52

x+= =

9�������� � ����� �� , ���-.@�� ��� ���� ����� ��#���� ��.� ���� ����%���

20.5 1.0

0.752

x+= =

Page 40: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

'�#�� ��� ������������ ��� �!��� ��

2 11

2100

0.25100 33.33%

0.75

x x

x�

� �

� � �

������ � ����� �� ��.A-A�� ��� ���� ����� ��#���� ��.� ���� ��-.�%��������

30.5 0.75

0.6252

x�

� �

�����

20.625 – 0.75

100 20%.0.625

� � � �

C�������� ��������#������������!������� ���������������������������������8

�� �� ��.@�.� �� �� �����DE �� �� ��.?6A� �� �� .��@DE�� �� ��.-A�� �� �� ��-�DE �� �� ��.-�6� �� �� ��6-DE�� �� ��.@@7� �� �� ��@?DE �� �� ��.@A7� �� �� ��6.DE��� �� ��.@-7� �� �� ���ADE ��� �� ��.@@?� ��� �� ���?DE��� �� ��.@-�� ��� �� ���6.D

0����� ���� �� ���6.D� <� ���.D�� ��� ��������� ���� ��� ��.@-�� ������� �� ������������ �������

��������� 1������ ������������ �� ������������������������ ���� ���#����� ���� ��.�� �� ��� �������

7���� ���� �� ,� �� �� �B�

� ���� �� 7���� ���� �� ,� �

/�� ��!�� � ���� �� ,�� ���� � ���.�� �� ���@6�7.%��������

��� �� ���.

0������ ����.����, ����?�?��������#�������������������#�������.�������.�%��������

20.75

0.3752

x = =

%��� ��������!�� ����� �������� ���� �!��� ��

�� �� ��6��.� �� �� ��676A� �� �� ��6.?7��� �� ��6@-�� �� �� ��6-��� �� �� ��6@?���� �� ��6-��� ��� �� ��6-�@� ����� ��6-�7��� �� ��6-�.��)

>����� ��� ��������� ���� ��� ��6-��� ������� �� ����� �������� �������

0�� �����8 9��������:���� 27

Page 41: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

28 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

2.3 METHOD OF FALSE POSITION

%���� ��� ��� ������ ������ ��� ����� � ��� ����� ���� �� �� ���������� �������� ���� �� �� ���� �������� ���������� ��� ��������� ������� ��� ���� ������� ����$��#�� ��� ������������� ��� ���� ���� ��� ��������#�� ������� #�� �������� ����� ����� ��� � ���� ���� � ��� ���� �� �������� �� ���� >������ �� ���� ���� ���� ����#���� ����� �������'�#�� ��� �������� �� ��� ������ F����� � ��� #�� �����3��� � ���4� ���� 3��� � ���4� ��� �!��� ��

( ) ( ) ( ).

y f a f b f a

x a b a

− −=− − ���@�

%��� ������ �������� ��� �������� � ��� ���� �� ��� ���!�� ��#���� ��� �����3��� � ���4�����3��� � ���4������������ ��������� F����� � ���������������� �$�� ��� ����� �� ����������� �� ��� ������#��� ��� �+� ��� ��� ����������� ��� ���� ���� %��� ����� �� ����������� ��� ��� ������� ����� ��� �������� ��� ���� � � �� ���&��� ���@���%�����#�� �����

1( ) ( ) ( )

( ) ,( ) ( ) ( ) ( )

f a af b bf ax a b a

f b f a f b f a

−= − − =− − ���-�

#����� ��� ��� ���� � �������� �� �� ��� ���� �� � ���� �� �� �� ��#� � ����� ���� ���� ���� �� �������� �� ���� ���� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ���� ���� #��������������������&������-������������������ ������ ������� "���#�����#��������������������� ������������ ������ ������� %��������������������������� ��� ���� ��� �������� �� ��� �������� ���������� 1� ���� ���� �!���� ��������� ��������������� ��������� %��������� ���������&��� ���.�� ����������� ��� ���� ����� �����

x1 �

x2

*

*

O

Y

X

y f x= ( )

B [ , ( )]b f b

A[ , ( )]a f a

Figure 2.2 Method of false position.

������� �� 1���� �� ����� ���� �� ��� �������8

� ���� �� ��� ,� ��� ,� .��� ��

/�� ���� � ���� �� ,� ���� � �6�� �� �@�� >����� �� �� ��� �� �� 6�� ���� �� ���� ������#���� �� ���� 6�� &������� ���-�� �!��

Page 42: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

12(16) 3( 1) 35

2.058823529.16 ( 1) 17

x− −= = =

− −

'�#��� �������,��6?�-???�-�������������������������#�������.AA�6.�? ���6��� G��� � ������� ���-���#�� �����

22.058823529(16) 3( 0.390799917)

2.08126366.16.390799917

x− −= =

0����� � �������,���7-��7�.-� �� ����#�� ��� ��� ���� �������#�������A��@6@@���� 6����>����� #�� ��!�

32.08126366(16) 3( 0.147204057)

2.089639211.16.147204057

x− −= =

C�������� � ��� ����#����#�� ������ ��������!���8

��� �� ���?�-6?.-.� ��� �� ���?6AA6-��

��� �� ���?76�.7.�� ��� �� ���?77@�A7@�)

%����������!����� ������?7.)����� ������ ���������� �� �!���� ������� � �����

��������� H�!��� ��� ��� �������� ����� �� @?����� �� ���� ��#����.� ��� A�G��� ��������� �� �� ���,����� �� ��������� ��

B�� � ���� �� ����� ,� @?��/�� ���

� �.�� �� ,67�.�@-.A7@ ��� � �A�� �� �A���.A@��@�

>����

15(28.00586026) 8( 34.50675846)

6.655990062.28.00586026 34.50675846

x− −= =+

'�#�� � �������,7��-.@�.7�.�������������� ������� �������#����@�@..??��@����� A��� /�� �����

��� �� @�A67���-?� ��� �� @�A.�@@[email protected]

%��� ������� ���� ��� @�A.�6@.�)�� ��� ��� ��� ��� ������� �� ����� �� ������� �����

��������� %������������������ ����(�-�������������#����6�����7��1������� ����� ������� �� ����� �������� �������� ��� �� ���,�����������

B�� ���� �� ��� ,� �� ���� ,� -���� �� 6� ������ �� 7�

%����#�� ���� �6�� �� ,��7--�� ���� � �7�� �� ��6?-?�

0�� ����68 :�������1�����C������ 29

Page 43: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

30 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

>����

1( ) ( )( ) ( )

3(0.3979) 4( 1.4771)

0.3979 1.4771

7.10213.7878.

1.8750

af b bf ax

f b f a

−=−

− −=+

= =

%�����������������������#����6�����6�-A-A��'�#��#���$������6���������6�-A-A%����

� ���� �� ��6�-A-A�� ,� �� ��� 6�-A-A� ,� -� �� ,�����-A->�����

23( 0.002787) 3.7878(–1.4771)

–0.002787 1.4771

3.7893,

� ��

x

���

2 10( ) 2(3.7893) log (3.7893) 7

0.000041,

f x = − −=

#����� ���#�� ��� �� �� 6�-A?� ��� ��� ���� ������� �� ����� �������� �������

��������� 1������ ������ �����������7���� ������,���������� �� ����,���������� �!��� ��� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ��.�

B�� ���� �� 7���� ���� �� ,� ����� �� ����� �� ��.�

/�� ��!�� ���� �� ,�� ���� � ���� �� 7������ ���� ��.� ,� �� �� ���@6�7.

%��������

10(0.163145) 0.5( 1)

1.1631450.5

0.42986901.163145

x� �

� �

'�#��#�� �$����� � ��� �� �� ��7�?A@?�

%���� ���� �� ���A7.7

%��������

20(0.08454) 0.42987( 1)

1.084540.39636

� �

x

'�#��� �� �� �� �� ��6?@6@ ��� � ���� �� ���6A?�?

Page 44: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

>����

30(0.038919) 0.39636( 1)

1.0389190.381512,

� �

x

���� ����� �� ����@?67

%�$�� ��� �� �� ������ �� ��6A�.����#�� �����

40(0.016934) 0.381512(–1)

1.0169340.375159,

x−=

=���

� ����� �� ����-�A-6

C�������� � ��� ���!���#�� �����

��� �� ��6-�7A� ��� �� ��6-�6@���� �� ��6-�A?� ��� �� ��6-�@?-

�� ����#�� ��� ��� ��������� ���� ��� ��6-��� ������� �� ����� �������� �������

2.4 ITERATION METHOD

/�� ��!�� ��� ��� ���������� ���+����� � ������� #����� �������� ��� ����!��� ��#����� ��� ���� ������ /�� ��#� ��������� ������� #����� �������� ���� ��� ��������� �����!������ ������ ��������������� �����!�����������������������������$�� ��� �����%��� ���� ��� ��� � ��� ���������#����� ������������� ����� !����� �� ��

%�� ��������� ���������� ��� ����� � �� ���� �� ��� �������

� ���� �� �� �����

#�� ��#���� ���� �������� ��� ��� ���

�� ��� ��� ���A�

%����� ���������#���� �� ���� � ����� 1��� � ������� ��� �������

��� (� ��� ,� ���� �

���� ��� � �������� ��� ������� ����

3 2 1/32, 2 , (2 ) , etc.

1x x x x x

x= = − = −

+

'�#�� ��� ��� ��� ��� ����� ����� ���� �� &��� ���A��� %����� �������� � ��&��� ���A���#�� �� ��� ���� ����� ������� ��

��� ��� ����

0�������!�� ����������� �!�� ��� ����� �������

��� ��� ����� ��� ��� ����� ) � ��� ��� �������

0�� ����78 ��������:���� 31

Page 45: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

32 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

%����������� ��������������������!�� ���������������������9������������������!�� ������������������������������#��������������������������� ��� �����%�� ���#� ����� ��

����� ��� ���� ���?�

��� �������������#���� �����������(���������� ���������*��� ����������������������� ��� ���� ����������������������� ����� �������� �����>������ ����� ������#�� �����

�� ��� ���� ������

#����� ���#�� ����� ��� �� ���� �� ��� ���������� ��� ����%����������� �����������������!�� �������&��� ���A���#���������� ��� ��

����#�� �#��81����&��� ���?���#�� ��!�

��� ��� ���� ������

1����&���� ������� ���� ��������#�� �

1 0

0 0 0 0

( ) ( )

( ) ( ), ,

x x

x x

� � � �

� � � � �

� � �

� � � ��������

��� ���� �%���������.�� 0����������#�� �����

�� ,���� �� ��� ,� ����� ������ ��� <���� <�� ����6�

�� ,���� �� ��� ,� ����� ������ ��� <���� <�� ����7�� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �

�� ,������ �� ��� ,������ ������ ��� <���� <�� ����.���#�� ������

5� �� ����5����� ���� ���� ��� ����@�

����&���� ������� �� ����.�� �!�

5�� ,���5����� 5�� ,���5

5�� ,���5����� 5�� ,���5

5�� ,���5����� 5�� ,���5 ����-��� � � � � � � � � � �

5�� ,�����5����� 5�� ,���5

:�������� � ��� ������������ � ������ �� ��� ���!�� ����������#�� �����

5�� ,�����5�������� 5�� ,���5 ����A�

����<���� ������ �� 5� �����5�<���� ��������� ���������&�������A�� �������I�������������������������� ��������������������)����!�� ���������������%����#����#��� ������ ����������� � �������� ��� ��� ��������� ����� ����� ���������� ����� ��

5 � ���� 5� <����� ��� ��������� ��� ���������� �� ��� ����� �� ����#�� ��� �� ��� �� ����������� ��� ��� ��� ������ �� �� � ������ �� ����� ��� ��� � ��� ��� ���� ����� ��� �������� ���� ��������� �� ��� ��� ���

��

��

��

Page 46: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

'�#��#�����#��������������������������� ����%�����!������������������� ��� #�� ����� �� ��� �������� �� ��� �����%�����#������ ��!�

��� ��� ���� ��� ��� ��� �����%��������

1 2 1 2

1 2 1 2

| | | ( ) ( ) |

| | ( ), ( , )

� � � � � �

� � � � � � �

− = −= − ′ ∈

>�����5��� ,���5� 3�� ,������4���� ����?�

0�����5�����5�<����������#��������������#��������!����������������������� �������

1��������#�� ������ ���� ��� ������ ��� ��� ���� ���������/�� ��!�

� �

1

1

1

| | | |

| |

| | | |

n n

n n n

n n n

x k x

k x x x

k x x x

� �

� � �

� � � �

� � � �

� 11 1 0| | | | | |

1 1n

n n nk k

x x x k x xk k

� �

� � � � �� �

1 0| |,1

nkx x

k� �

�������

#����� ���#�� ��� ��� ���!�� �����#����� ��� ����� ��� �������� !������ �� ��'�#�� ��� �� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��

5��� ,��� 5����%����� &��� ������� �!��

11

| | ,�−−− ≤n n

kx x

k������

#����� ������������ �� ���� ��������������#���� #�� ��������!�� ����� ���+����� ���� � ��� ����� �� �����!�� �� ����������� ���������

���������� 1�����������������������������������,��������������!���3����4#��� ��� ��������� �� �����

/�� ��#���� ��� �������� ��1

1=

+x

x ���

>���

1/ 21( ) ( 1)

1�

� � �

x xx

%��������

3/ 23

1 1( ) ( 1) 1in [0,1].

2 2 ( 1)�

−′ = − + = − <+

x xx

*����1 1

max | ( ) | 0.22 8 4 2

� ′ = = = <x k

0�� ����78 ��������:���� 33

Page 47: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

34 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

%��������� &��� ������� �!��

41

1 0.2| | 4 10 0.0004.

0.2�

−−

−− ≤ = × =n nx x

%�$�� � ��� �� ��-.��#�� ���

11

0.75593,1.75

= =x

21

0.75465,1.75593

= =x

31

0.75493.1.75465

x � �

'�#�� 5 ��� ,� �� 5� �� ������A�<� �����7��>������ ��� ��������� ���� ��� ��-.7?�������� �� ���� �������� �������

���������� 1����������������������������������������������������������

��� ,� 6� �� ���� �

���� � ��� ��� ����!��� 3,

2 2

�� �� �� �

/�� ��#���� ��� �!��� �������� ��

1(cos 3)

2= +x x

>���

1 3| ( )| |sin | 1, in ,

2 2 2

��

� �� �� � ��

x x �

;������ � ��� �� ��.��#�� ������ ��������!���8

11

(cos1.5 3) 1.5354,2

x � � �

21

(cos1.5354 3) 1.5177,2

x � � �

31

(cos1.5177 3) 1.5265,2

x � � �

41

(cos1.5265 3) 1.5221,2

x � � �

51

(cos1.5221 3) 1.5243,2

x � � �

Page 48: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

61

(cos1.5243 3) 1.5232,2

x � � �

71

(cos1.5232 3) 1.5238.2

x � � �

'�#��5 �� , �� 5��������@�<��������>������������������������������������������ ��� ��.�7�

������� �� G��� ��� ������ �� �������� �� ���� �� �����!�� ���� �� ���������� ���� �� ��� �!��� ��� �� ���� ����� ��#���� �� ���� ��

/���� � ��� �������� ��� ��� ������� ����

#�� ���� ��1

( ) for 1xx e xe

��

� � � � ��

%��������5 ����� 5� <���

;������ � ��� �� ��.��#�� ���

�� �� ������ �� ��@�@.6� �� �� ��.7.�7��� �� ��.-?-�� �� �� ��.@��-��� �� ��.-��-� �� �� ��.@7A@��� �� ��.@A77� �� �� ��.@@7���� �� ��.@-.@� ��� �� ��.@@?����� �� ��.@-�A� ��� �� ��.@-�@���� �� ��.@-�?� ��� �� ��.@-������ �� ��.@-�@� ��� �� ��.@-�6���� �� ��.@-�.� ��� �� ��.@-�7���� �� ��.@-�7�

�� ����#�� ��� ��� ����� ������� �� ���� �������� �������� ��� ��.@-��

������� �� G��� ��� �����!�� ������ �� ���� �� ����� ���� �� ��� ������������� �� ����� ,� ����H�!�� ����� ���#��� ������� �� ����� �������� �������

B�� ���� �� ���� �� ,� ���� (� ��

/�� ����� ���� ������ ��� �� ���� ����� ��#���� �� ���� �� �%��� ������ ����!����� �� ���#� ��� ��������J�#���� � ��� �������� ��

sin1 ,

10= + x

x

#����!�sin

( ) 1 ,10

� = + xx

���

cos| ( )| 1in1 .

10

xx x� �� � � � �

0�� ����78 ��������:���� 35

Page 49: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

36 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

%�$�� � ��� �� ���#�� ������ ��� ��������!�� ������� ��8

1sin 1

1 1.0841,10

= + =x

2sin1.0841

1 1.0884,10

= + =x

3sin1.0884

1 1.0886,10

= + =x

4sin1.0886

1 1.0886.10

= + =x

>����� ��� ��������� ���� ��� ���A?�

Acceleration of convergence: Aitken’s 2� -process

1���� ��� �������

1| | | ( ) ( )| | |,� � � � �+− = − ≤ −n n nx x k x 1<k

�� ��� ������ ��� ��� �������������� ��� ��������� ���!�� ��� %���� ���#� ���� ����!�� ������������������������������ �*�$��K���������#���������������������#�

B�� ������ ���� ����� ��� ����� ��������!�� ����� �������� �� ��� �������� ����� �� �� �� ��� ������� �� ��� ����� 1����&��� ����-���#�� $��#� ��

1( ),� � −− = −i ix k x 1 ( )� �+− = −i ix k x

L�!���� �� #�� �����

1

1,

� �

� �−

+

− −=

− −i i

i i

x x

x x

#����� �!��� ��� ������������

21

11 1

( ).

2� +

++ −

−= −− +i i

ii i i

x xx

x x x������

��#�� ��#� ����� ���� ��� ����� ��� ��� ��������

1� += −i i ix x x ��� 2 ( ), =i ix x

���2

1 1

1

1

1 1

1 1

( )

( )

( )

2 .

− −

+ −

+ −

=

= −

= −

= − − −

= − +

i i

i i

i i

i i i i

i i i

x x

x x

x x

x x x x

x x x

Page 50: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

>����� &��� ������� ���� ���#����� ��� ��� �������� ���

2

1 21

( ).�

��

+−

= − ii

i

xx

x����6�

#����� � ������� ��� ��� ��+��������

��� ���� ���������� ������������ ��� !������ �� ��� ����#�� � ����������������������� ��� ��������

–1

–1

2–1

1�

i

i

i i

i

i

x

x

x x

x

x

������� ��� /�� ��������� � ���� & ������ ������ !�I��� ��� �������

1(3 cos )

2= +x x

*�� ������

1

2

3

1.5

0.035

1.535 0.052

0.017

1.518

x

x

x

=

= −−

=

>�����#�� ������ ���� &�� ����6�

2

4( 0.017)

1.518 1.524,0.052

−= − =−

x

#����� ������������ �� �� � ������� ���������

2.5 NEWTON–RAPHSON METHOD

%���������� ��� ��������� ����� �� �����!�� ��� ������ ����������� ���� �� �����!����� �������� B�� ��� ��� ��� ����� ����� ���� � � ���� �� �� ���� ����� �� ��� (� �� ��� ��� ������� ���� ��� ��� � ����� �� ��� & ������ � � ���� (� ��� ��%�����K�� ��������#�� �����

2

0 0 0( ) ( ) ( ) 0.2!

′ ′′+ + + =�h

f x hf x f x

0�� ����.8 '�#��,J�������:���� 37

Page 51: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

38 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

'� ����� � ��� ������� ���� �� ���+������ ����!��!���� #�� ��!�

0 0( ) ( ) 0,′+ =f x hf x

#����� �!��

0

0

( ).

( )= −

′f x

hf x

*������ ����� ������� ���� ��� ���� ��������� �!��� ��� ���� #����

01 0

0

( ).

( )= −

′f x

x xf x ����7��

0�������!�� ����� �������� ���� �!��� �� ���� ����)�� ������ #����

1( )

,( )+ = −′

nn n

n

f xx x

f x����7��

#����� ��� ���!�" �,������� ���������#�� �������� &��� ����7���#��� ��� �������

����� ��� ����

�� ��� �����!�������� 3���� &�� ���?�4�� #�� �����

( )( ) ,

( )� = −

′f x

x xf x

#����� �!��

2

( ) ( )( ) .

[ ( )]�

′′′ =′

f x f xx

f x����.�

%�� � ������ ��� ���!�� ����� #�� ������� ��� � ����� � ����� ��� � ����� ������������� ���� �������� ��� ���� ����!��� �������� � ��� ���� �� �� �� �� ��������� � ���������� � �������������������� � ���������1����������� ( )′f x � ������������ 5 � ���� 5� �� �� ��� ���� �� =� �� ��� �� �������� ��� ���������� �� ��/����� ���� ��� ����������#�� ���� ������ ��� ����!��� ����� ��� 5 � ���� � ����� 5<���� ���� ���� ������������ ����� � ������������ ����� � ���� ��� ������������ #���������������� >������ ��� ���� ����!��� #�� ��!�

5 ����� 5� <� �� ����@�

%��������� '�#��,J������� ������� �!��� ��� &��� ����7��� ���!�� ������!����� ��� ��� ������� ����� ������� ��� ��� ������� ���������� ������ � ��/��� � ��� ���������� ����� ���'�#��,J������������� ����� ���!�� ��� �����#����;��!�� ������������#�!��������������������������� �&�������7���%����#���� ��� ���������� �����

%�������� ��� ������ ���!�� ������� ����������#������ ��� � ���������� ���%�����K�� � �������� �!��

21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,

2� �′ ′′+ − + − + =�n n n n nf x x f x x f x

Page 52: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����#�����#�� �����

2( ) ( )1( ) ( )

( ) 2 ( )� �

′′− = − + −

′ ′n n

n nn n

f x f xx x

f x f x����-�

1����&���� ����7��� ���� ����-���#�� ��!�

21

( )1( )

2 ( )� �+

′′− = −

′n

n nn

f xx x

f x����A�

0���

,� �= −n nx ����?�

&������� ����A�� �!��

21

1 ( ),

2 ( )

�� �

�+

′′≈

′n nf

f���6��

��� ��� ��� '�#��,J������� �������� ���� �� ������+������ ��� �����������!�� �����

H������������� ��� ������ �������� ��� �������� � ��� ���� �� ��� ���!���#���� ��� ����� 3���� � ����4� ���� ��� �+� ��� ��������� �� ��� �� ��� �� �����!������������������������������ ��������������1� ����6���������������������!�� ����� �� ������� ���� ������������� ��������� ���� �� ���� ����� ��� ����#���� ��� ����� ���� ������ �

x0x1x

y

0

P x y( , )0 0

Figure 2.3 Newton–Raphson method.

���������� G������'�#��,J���������������������������������������� ,� ��� ,� .� �� ��

>��� � ���� �� ���,� ��� ,� .� ��� � ����� �� 6��� ,� ���>����� &��� ����7��� �!��8

3

1 2

2 5

3 2+

− −= −

−n n

n nn

x xx x

x���

0�� ����.8 '�#��,J�������:���� 39

Page 53: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

40 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

;������ ��������#������� � �������,� ��� � ������������C��� ���� ���&�������#�� �����

11

2 2.110

⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠x

'�#�3

1( ) (2.1) 2(2.1) 5 0.061,= − − =f x���

21( ) 3(2.1) 2 11.23.′ = − =f x

>����

20.061

2.1 2.094568.11.23

= − =x

%����� ��������������������'�#��,J����������������!�� ������������������������������������������������!���������������������������������#�����������������������������������������9��������#����������!������������ ��������� ��� ����� ��������� '�#��,J������� ������ ��������� ����������� � ����

������� ��� 1���� �� ���� �� ��� ������� sin cos 0.+ =x x x

/�� ��!�� ���� �� �� ���� �� (� ���� � ��� � ����� �� �� ��� ��

%��� �������� ������� ���� ��������

1sin cos

.cos

n n nn n

n n

x x xx x

x x++

= −

/�� ��� ����� ��� ��������!�� ������� ���� �!��� ����#

n xn f (xn) xn +1

0 3.1416 –1.0 2.8233

1 2.8233 –0.0662 2.7986

2 2.7986 –0.0006 2.7984

3 2.7984 0.0 2.7984

���������� 1���� �� ����� ���� �� ��� ������� ��������� ���� � ���'�#��,J������� ������

/��#���� ��� �������� ��� ��� ���

( ) 1 0= − =xf x xe ���

B�� ��� �� ���%���

11 1 1

1 1 0.68393972 2

ex

e e

− ⎛ ⎞= − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 54: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

'�#� ����� �� ��6..67�7� ��� � ������ �� 6�66-����

��� ��

20.3553424

0.6839397 0.57745453.337012

x = − =

C�������� � ��� ����#����#�� �����

��� �� ��.@-��?- ��� ��� �� ��.@-�766�

���������� G��� �'�#��,J�������������� ������ ����� ������������ �6���������������������������������������2�� �!��������������������#����2�� ������

B�� ���� �� ���� �� ,�

2

x

%���

� ����� �� ���� �� ,� 1

2

;������ � ��� �� 2

�� #�� �����

1

sin2 4 2,

122

x

� �

�−

= − =−

2sin 2 1

2 1.9010,1

cos22

x−= − =−

3sin1.9010 0.9505

1.9010 1.8955cos1.9010 0.5

x−= − =

0�����������������A?.7���������A?..��) ��>������������������������������A?@�

���������� H�!��������������7������� ��,���������������������#����� ���� ��.� ������� �� ����� �������� �������

B� � ���� �� 7���� ��� �� ,� �� ���� ��� �� ����%���

� ����� �� ,��67?6-6�6@����

� ������ �� ��..?��.A�@�%��������

10.349373236

0.22.559015826

0.336526406 0.33653.

� �

� �

x

0�� ����.8 '�#��,J�������:���� 41

Page 55: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

42 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

'�#�� ����� �� ,� ���[email protected]

���� ������ �� ��-.66�.-6.

� � �� ��-.66�%��������

20.056587

0.33653 0.368801.75330

x � � �

1��� ��� �� � ����� �������� #�� ���� � ����� �� , �����--.�7-..� ���� ������ �� ��.A6��A-�.�� %���� �!��

��� �� ��6@AA�� ,� �����-.� �� ��6-�..

������ � ����� �� , ��������-7�� �� ����#�� ��� ��� ��������� ���� ��� �!��� ���� �� ��6-��

Generalized Newton’s method

� � ��� �� ���� �� � ���� �� �� #��� ����������� ��� ���� ��� �������� ������������������ � �� &��� ����7�� ��� �$��� ��

1( )

,( )

nn n

n

f xx x p

f x+ = −′

���6��

#������������� ��2�� � ��������������������������� ������������� ����� ������ ���� ���� ��������� � ��� �+� ��� �� ��� ���� ������� ���

&������� ���6��� ��� ������� ����������#���!�" �K�� ������� ���� ��������� &��� ����7�� ��� � � �� 0���� �� ��� �� ���� � � ���� �� � #��� ����������� ��� ����#�� �� � ��� ����� �� ���� � � ����� �� �� #��� ���������� ��� ,� ��� �� ������ �� ��#������������� ��� ,� ��� ���� ��� ����>����� ��� � ���������

00

0

( ),

( )

f xx p

f x−

′0

00

( )( 1) ,

( )

f xx p

f x

′− −

′′0

00

( )( 2)

( )

f xx p

f x

′′− −

′′′

������!����������!���������������������#��������������������!���������� ������� ����� ������� ��� ��� ������� ���������� ������ �� ��� ����

��������� 1������������� ������ ����������� � ���������,����,���(�������

;������ � ��� �� ��A�� #�� ��!�

� ����� �� 6��� ,����,��� ��� � ������ �� @�� ,� ��

/��� ��� �� ��A��#�� �����

00

0

( ) 0.0722 0.8 2 1.012,

( ) (0.68)

f xx

f x− = − =

′ −���

00

0

( ) ( 0.68)0.8 1.043.

( ) 2.8

f xx

f x

′ −− = − =′′

Page 56: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

%��� ���������� �� ����� !������ ��������� ��� ����� ��� �� ������� ���� ����� ������� 1��� ��� �� � ����� ��������#�� ������ ��� �� ����� ���� �����

11

1

( )2 1.01 0.0099 1.0001,

( )

f xx

f x− = − =

′���

11

1

( )1.01 0.0099 1.0001.

( )

f xx

f x

′− = − =

′′

/�� ���������� ��������� ��� ����� ��� �� ������� ���� � �� � ������� #����� ������������ ������ �� ��� ������ ���� �����

"�� �������������� ��#��������'�#��,J�������������#�� �������A�#�� �����

��� �� ��A� (� ����@� �� ��?�� ��� ��� �� ��?�� (� ���7@��� ��?@�

����������������� �������I���'�#��K�����������!�� ���������������������� '�#��,J������� ����������

2.6 RAMANUJAN’S METHOD

0����!���� J�����F��� ��AA-,�?���� ���������� ��� �����!�� ���������M� ���������� ��� ������ � ���� �� ��� �������

� ���� �� �� �����#����� � ���� ��� �� ��� ���

� ���� �� �� ,� ����� (������ (� ���

�� (�)� ���6��

%�� � ������ ��������� �� �����������#�� ��������� ��� ��������� �������

� ���� ������� (� ���� (���� �� ��

#��� ��� ����� ��� ���� ���� ����� ��� 5��5� <� 5��5��%���� ��� �������� ������� ��

� ���� ������� (����� (���� �� �

� 21 2

0 01 0

a ax x

a a� � �

#���� ��!�� �����1

1

x� ����

2

1

x� ����� ���

1 2

1 1

| | | |x x> �

'�#�1

21 2

0 0

11

( )�

� �� � �� �� �

a ax x

x a a

����� ����� �� ����� �� ���

0�� ����@8 J�����F��K��:���� 43

Page 57: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

44 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

���� ���#����� ��

121 2

0 01

a ax x

a a

−⎛ ⎞+ +⎜ ⎟

⎝ ⎠1 2

1 2

1 1k k

x xx x

= +− −

1 1 2 2

1 21 1

k x k x

xx xx

− −= +− −

1 11 1 1 2 2 2(1 ) (1 )k x xx k x xx− −= − − − −

21

0 1

, wherei ii i r r

i r

b x b k x�

� �

� � �� �

%����

1 1

2 21 1 1 2 21 11

21 1 2 2 1 1

2 2

11

1

i

i ii

i iii

k x

k xb k x k x

b xk x k x k x

k x

� ��

� ��� �� ��

� � � � �

�� �� �

0����� 1

21,

x

x< � �� ����#�� ��

1

2

1lim ,

i

i i

b

b x−

→∞=

#����� ��� ��� �������� ����� %���� ��� ��� ������ �� J�����F��K�������#����� ��� �������� ����#�

%�� ���� ��� �������� ���� �� � ���� �� ���#�� ��������� � ���� ��� ��� ���

� ���� �� �� ,� ����� (������ (����

�� (�������� ����#���

12 3 21 2 3 1 2 31 ( )a x a x a x b b x b x

� �� � � � � � � �� �� � ���66�

� �� (� ����� (������ (����

�� (���� (� ����� (� ����� (� ���

�� (����� (��

����� (����� (������ (�� ���67�

%�� ���� ���� #�� ������ ���������� �� ��$�� ��#���� �� �� ��� ���� ������ �&��� ���67���/�� ���� �����

��� �� �

��� �� ��� ������� ������ ��� �� �

��� ����� (� ���� �� ����� (������ ������ ��� �� �� ���6.�

�� � � � � �� � � � � �� � � � � � ���� ��������� (������ (��� (� ������

� � � ��������� (�������� (��� (������� ��

��

��

��

Page 58: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

%��� ������ 1 ,i

i

b

b� � ������� ���������� ��� ���������� ��� ��� ������ ��� ������

���� �� � ���� �� ���%��������� ��� ����������� ��� ��� ����#�� � � �������

������� �� 1���� ��� �������� ���� �� ��� �������

� ���� �� ��� ,� ?��� (� �@�� ,� �7� �� �/�� ��!�

2 3

2 3

26 9 1( ) 1

24 24 2413 3 1

112 8 24

f x x x x

x x x

� � � �

� �� � � �� �� >���

1 2 3 4 513 3 1

, , , 012 8 24

a a a a a� � � � � � ��

'�#���� �� �

2 113

1.0833,12

b a= = =

%��������

1

2

120.923

13

b

b= =

��� �� ����� (�����

� � �13 3

(1.0833) (1) 0.798612 8

= − =

%��������

2

3

1.08331.356

0.7986

b

b= =

��� �� ����� (� ����� (� ����

� � � ��� ���A66� ���-?A@�� (�3

8⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

����A66�� (�1

24���

� � � ��� ��.��-%��������

� � � � � � � � � � � � � � 3

41.595

b

b=

5 1 4 2 3 3 2

3 11.0833(0.5007) (0.7986) (1.0833)

8 24

0.2880

b a b a b a b� � �

� �� � � �� ��

0�� ����@8 J�����F��K��:���� 45

Page 59: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

46 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

%��������

4

5

0.50071.7382.

0.2880

b

b= =

6 1 5 2 4 3 3

0.1575

b a b a b a b= + +=

%��������

5

61.8286.

b

b=

��� �� ���A6.%��������

6

71.8862.

b

b=

��� �� ���767%��������

7

81.9240.

b

b=

��� �� �����6%��������

8

91.9462.

b

b=

%��� ����� �� ��� �!��� �������� ���� ��� 6� ���� 7� ���� �� ���� ��� ����� ��� ����������!�� ���!�� ���� ��������� ��� !����� ��

������� � 1���� �� ���� �� ��� �������� ���� �� ��B�

���� �� � ���& ������ � ��� ��� �������� � ��#���� �� �� ���� ��������� �� #�� ���� ��#���&��� ���� ��

3 4 521

2 6 24

x x xx x= + + + + +� ����

#����� ��� �� ��� ���� �� ��� �� �� ����� �� &��� ���6���>����

��� �� ��� � ���� �� �� ��� ��1

2� ��� ��

1

6� ��� ��

1

24���

/�� ���� ��!���� �� ����� ����� �� ����� ������� (������ �� �� (� �� �� �

��� ������� (������ (������ �� �� (� �� (�1

2� ��

7

2�

Page 60: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� ������� (� ����� (������ (� ����

� � �7 1 1

22 2 6

= + + +

� � �37

6.1667,6

= =

6261

10.8750;24

b = =

>������ #�� �����

��2��� �� ��

��2��� �� ��.�

��2��� �� ��.-�7�

��2��� �� ��.@-@�

��2��� �� ��.@-��

�� ���� ��� ����� ��� '�#��K�� ������ ����� & ������ ���-�� �!��� ��� !������.@-�766� �� ���� ����

������� � 1���� ��� �������� ����� ������� �� 7� �������� �������� �� ���������

� ���� �� 6�� ,� ��� �� ,� �� �� ��/�� ��!�

� ��� 1 3 cosx x= − +

2 4 6

1 3 12! 4! 6!

x x xx= − + − + − +�

2 4 6

2 32! 4! 6!

� � � � � ��x x x

x

2 4 6 832 1

2 4 48 1440 80640

x x x xx

⎡ ⎤= − − + − + −⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦�

'�#�� ��12 4 6 8

21 2 3

31

2 4 48 1440 80640

x x x xx b b x b x

� �� � � � � � � � �� ��

>���

1 2 3 43 1 1

, , 0, ,2 4 48

a a a a= = = = −

5 6 7 81 1

0, , 0, ,1440 80640

� � � � � �a a a a

0�� ����@8 J�����F��K��:���� 47

Page 61: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

48 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

#�� ���� �������� �� �� �� �� ��.�

�� �� ��.� �� �� 7���.�

�� �� @�-?�@-� �� �� ����A-.��

�� �� �A�7�--A� �� �� 6��6.6@.

%��� ��������!�� ���!�� ���� ���

1

20.66667;

b

b= 2

30.60000,

b

b=

3

40.60606;

b

b= 4

50.60736,

b

b=

5

60.60708;

b

b= 6

70.60710,

b

b=

7

80.607102

b

b�

>����� ��� ��������� ����� ������� �� ���� �������� �������� ��� ��@�-��

��������� G��� �J�����F��K��������� ����������� ������ ����������

2 3 4

2 2 21 0

(2!) (3!) (4!)

x x xx− + − + − =�

B�2 3 4

2 2 21 0

(2!) (3!) (4!)

x x xx

⎡ ⎤− − + − + =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦� ���

#�� ��!�

1 1,a = 2 2

1,

(2!)a � � 3 2

1,

(3!)a �

4 2

1,

(4!)a = − 5 2

1,

(5!)a = 6 2

1,

(6!)� � �a

%����#�� �����

��� �� �E � � � ��� ����� �� �E

��� ������� (������ 2

1 31 ;

4(2!)= − =

��� ������� (� ����� (� ����

� � �3 1 1

4 4 36= − + �

19;

36=

5211

,576

� �b

Page 62: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

%��� ��������!�� ���!�� ���� ���8

1

21;

b

b= 2

3

41.3333

3

b

b= = …

3

4

271.4210

19

b

b= = …

4

51.4408,

b

b=

#����� ��� ���� ������ ��� ������� �� ����� �� ������� � �����

2.7 SECANT METHOD

/�� ��!�� ����� ��� ��� '�#��,J������������� ��������� ��� �!�������� �����!��!�������������������������������#������������������������������������ �� �������� ������ � ��� ��������� ���������� ��� ��� ������ ������� ������!��!�� �� ��� ��� ����� ������ ��� ��� ������

1

1

( ) ( )( ) ,i i

ii i

f x f xf x

x x−

−′ ≈−

#����� ���� ���#����� ��

1

1,i i

ii i

f ff

x x−

−′=−

���6@�

#���� ����� � ������ >������ ��� '�#��,J������� ������� �������

1 1 11

1 1

( ).i i i i i i i

i ii i i i

f x x x f x fx x

f f f f− − −

+− −

− −= − =

− −���6-�

����������������������������������������#�������������� ����������������

������� �� 1�������������������������������,����,�.��������� ������������

B�� ��� #�� ������� ����� �������� ��� �!��� ��

���� �� � ��� ��� �� 6/�� ��!�

� ������ �� ��� �� A� ,� ?� �� ,�� ��� � ����� �� ��� �� �-� ,� ��� �� �@�

C��� 0i � ��� &��� ���6-��� #�� �����

12(16) 3( 1) 35

2.058823529.17 17

x− −= = =

0�� ����-8 0�����:���� 49

Page 63: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

50 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

*����� ����� �� ��� �� ,��6?�-???�6�

C��� � �� �� �� ��� &��� ���6-���#�� �����

0 1 1 02

1 0

3( 0.390799923) 2.058823529(16)2.08126366.

16.390799923

x f x fx

f f

− − −= = =− −

* ���� ����� �� ��� �� ,���7-��7�.-�

0��� ������ ���&������6-���������������� ��#�� � ��������?7A�7�7.��#������� ������� �� ����� �� ������� � �����

������� �� G��� � ��� ������������� ���� �� ����� ���� �� ��� �������

� ���� �� ����,� �� �� �/�� ��!�

� ���� �� ,� ��� � ���� �� �� ,� �� �� ��-�A�A� �� ��

%��������� �� ���� ����� ��#���� �� ���� ��

B���� �� � ��� ��� �� ��

%��������

0 1 1 02

1 0

– 10.36788.

– 2.71828

x f x fx

f f= = =

����� �� ��6@-AA��������� ,� �

�� ,� ��[email protected]�>����

��1 2 2 1

2 1

x f x f

f f

−=−

1(–0.46854) 0.36788(1.71828)

0.46854 1.71828

−=− −

�� ��.�66����

��� �� ,���@-7�>����

2 3 3 24

3 2

–0.57861

x f x fx

f f= =

������ �� ���6�?A

Page 64: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

>����

3 4 4 35

4 3

–0.56653.

x f x fx

f f= =

������ �� ,�����@?

%��������

4 5 5 46

5 4

–0.56714.

x f x fx

f f� �

/�� ����� ���� ����� �� ,�������?@�

�� ����#�� ��� ��� ��������� ���� ��� ��.@-��� ������� �� ���� �������� �������

2.8 MULLER’S METHOD

��� ����������� ��� �!��� ������� � ���� ��� ����� ����������� ��������� ������!�� ��� ��� !������� �� �� �����%��� ����� �� ������������ ���� ���� ������������ ��� ����� �������� �� ��� ����� �� ��� �������� � ���������%����������� �����!�� ���� ���� ��� ����� �� ������� ������ � ������ �� ���� �����������!�� ����� 3�����:������ ��?.@�4�

B������������������������������������������������������������������������!������ ����#�������������������������������� ������������������� ���������'�#������������ �������!�������� ����� ������������������� �!������B� ��� �K�������� ����� 0������ 6�?���

–1 –2–2 –1

–2 –1 2 –1 –2 –1

( – )( – ) ( – )( – )( )

( – )( – ) ( – )( – )�

� �i i i i

i ii i i i i i i i

x x x x x x x xL x y y

x x x x x x x x

–2 –1

–2 –1

( – )( – )

( – )( – )i i

ii i i i

x x x xy

x x x x+ ���6A�

B���� �� ��� ,� ����������� �� ����� ,� ���� ���6?�

%����� ,� ����� �� ��,� ��� (� ��� ,� ����� �� ���,� ���� (������ ,� ����� �� �� ,� ��� (� ��� ,� ����� �� ��� ,� ���� (� ������ (���� ���7������� ,� ����� �� ,���������� ,� ��� �� , ������ (����� ������� �� ���,� �����

>����

1–2 –1

–1 –1 1

( – )( – ) ( – )( – )( )

( ) –i i i i i i i

i ii i i i i

x x h x x x x h h x xL x y y

h h h h h�

� � �

� �

� � � � � � � � � �–1

–1

( – )( – )

( )i i i i i

ii i i

x x h h x x hy

h h h

+ + ++

+ ���7��

0�� ����A8 :�����K��:���� 51

��

��

��

Page 65: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

52 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

*��� �������������� ��� �������� � �������� ���� ���#����� ��

$���� ��%��� ,� ����� (�&��� ,� ���� (� ���

#����

–1

–1 –1

1–

( )i i

i i i iA

h h h h

� �� �� � �� � � ���7��

��� ii

iB Ah

h

�� �

/��� ����� !������ �� %� ���� &�� ��� ��������� &��� ���6A�� �!��� ��� �� ����� ������� ����

2

1– – 4

2�

�� �

ii i

B B Ayx x

A���76�

0����� &��� ���76�� ������ �� ���������� �������� #�� �$�� ��� ����!����� ���

1 2

2–

4

ii i

i

yx x

B B Ay+ =

± − ���77�

���&��� ���77��� ��� �� �� ��� �������������� ���������� ������� ��� ��� �������������#������� ��� ��� ����� �������/��� ������������&������77�� �!����� �� � ����� ������� �� ��� ����

������� �� G��� �:�����K��������� ���� ��� ���� �� ��� �������

� ���� �� ��� ,� �� ,� �� �� ��

#��� ��� ������� ����� �������

����� �� �� ����� �� �� ����� ��/�� ��!�

����� �� ,�� ����� �� ,�� ��� �� .�*����

��� �� �� ����� �� ��

��� �� @������� �� ��

>������ &��� ���7��� �!���%� �� 6� ����&� �� ?�%���

2 4 21iB Ay� �

��������� &��� ���77�� �!��

12(5)

2 – ,9 21ix + =

+������ ��� �� �� ��&� ��� �����!�

� � � � � � � � � � � � � �� ���@6-@�

&����� ��� ��� ���!�� ������ �1.26376 – 2

100 58%.1.26376

=

��

��

��

Page 66: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

1��� ��� ������� ����� ��������#�� �$�

����� �� �� ����� �� �� ��� �� ���@6-@�

%��� ������������ � !������ �� �� ���

����� �� ,�� ����� �� .� ��� �� ,���7.7��

%��� �������� !������ ��%� ����&� ���

%� �� 7��@6-. ��� &� �� 6�?A.7@�%���

����� �� ��6��-7�

���� ��� ������ ��� ��� ���!�� ������ �� 7�6?D�1��� ��� ����� ����� ��������#�� �$�

����� �� �� ����� �� ���@6-@� ��� �� ��6��-7�

����� �� .� ����� �� ,���7.7�� ��� �� ,�����@@�

%����%� �� 7�.A.77��&� �� 7��A�6.� ���� ����� �� ��6�7@?�

&����� ��� ��� ������ �� ����D�1��� ��� �� � ����� ��������#�� ��!�

����� �� ���@6-@� ����� �� ��6��-7� ��� �� ��6�7@?

%����� !������ �!�

%� �� 6�A-?��� &� �� 7��@��? ��� ����� �� ��6�7-��

%��� ������ ��� ���� ������ �� �����D�

>����� ��� ��������� ���� ��� ��6�7-�� ������� �� 7� �������� �������

2.9 GRAEFFE’S ROOT-SQUARING METHOD

%������������������������������������������������������������������������������ %��������� ��� �������� ����� ��� ���������� � �� ������ ��������

B�� ��� ������ �������� ��

%���� (�%��

�� (�%��� (�%�� �� �� ���7.�

#����� ������������ ���� ��� ���� ����� ��

5��5�� 5��5�� 5��5�

%��� �������� ������ N���� ���� ��� ��O�� ��� ����� #������ ��� �����

32

1 2,��

� ������!������������������������������������������������ ���������

����� �� ������#�� ���� ��� ��� ��� �� ����"������ ������ ���/�� ��#� ��������� ��� ��������� ��#���� ��� ����� ���� ���������� �

&��� ���7.��

0�� ����?8 H����K��J��+0������ �:���� 53

Page 67: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

54 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

11 2 3

0

A

A� � �+ + = −

21 2 2 3 3 1

0

A

A� � � � � �+ + = ���7@�

���� 31 2 3

0–

A

A� � � =

0����� 32

1 2,��

� �� ���� �� �� ������ ��� ���!�� ��������� �!�

31 21 2 3

0 1 2– , – and –

AA A

A A A� � �= = = ���7-�

%����� ��� �� ������� �� ��� ����� #���� ��� $��#�� #���� ����� ��� ����� ���#������ ���������� '�#�� #�� ������ ���#� ��� #���� ��� ����� ���� ��������� ������������ � ��� ������ �������

����� �� ��� ,� ����� ,� ����� ,� 6� ���7A����

��,��� �� �,�� ,� ���,��,� ���,��,� 6�

� � � � � � � � �� �,������ (� ����� (� ����� (� 6� ���7?���������

������,��� �� �,������� ,� ������ ,� 7����� ,� ?� ���.������

�#�� �� �#� ,� ���#� ,� 7��#�,� ?�� ���.��

#�����#�������#�������������������&������.����������� �����������������&������7A���9����������� �&������.��� ��� ��������#���������!���#�� ����������������#�������������������������������������&������.����%������ ��� ���������� ��������� � ���������� ���� ���� �� ���� �������� ������������ ������� ��� '� ������������

'�#�� ��� ��� �!��� ������ ��

� ���� �� ����� (� ����� (����� (���� �� � ���.��

#��� ������������ ������� ����� ��

5��5� =� 5��5� =� 5��5�

0����������&������.����������������PK���������������+������� ������������������ ���!��� ���� ��� ��� ���������� �������� ��

( ) ( ) ( ) ( )3 20 1 2 3( ) 0m m m mu a u a u a u a� = + + + = ���.6�

����� ���� ��� ����� �� &��� ���.6��� ����#�� ��!�

, 1, 2, 3.mi iu i�� � ���.7�

��

��

��

��

��

Page 68: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

9��������� �!����������������������&������.6���>�����#����!���������#�� �������� ��� ��� ����� �� &��� ���.��

1/

–1, 1, 2, 3.

mi

ii

ai

a�

� �� �� �� �

���..�

%����� ������� ���� ������� ��� �������I��� �� �� �� �� ���� ����������������������������������� �!�������� ��������������� �����������

������ %�� ���� ��� ���� �� ���� ����� #�� �������� ��� ���� ��� ��� ��� �����������������������������������������������!�����������I������������������ �����!�E� ����#����� �� ��� �� ��!��

%��� ���+������� � �������� ���� ��� ��������� #���� #�� ��������!������ �������� ���� !���� ������� ��� �����

H����K�������� ���� ��� ��!��� �� �� ���!���� � ����� �������� �� ������ ����� �� �� ����������� �������� ��������������� "���� ��� ����� ����!������ �� ���� ��� ����� ���� $��#��� �����!�� ������� ���� ��� ����� �� ������������� !����� �� ����� I����

������� �� G��� �H����K��������� ���� ��� ����� ����� �� ��� �������

��� ,� @��� (� ���� ,� @� �� �B�

� ���� �� ��� ,� @��� (� ���� ,� @� �� � ������

� �,��� �� ,��� ,� @��� ,� ���� ,� @� �� ���������

� ��� � ����� �� �,���� ���� ,� �7��� (� 7?��� ,� 6@���

� ���� �� #�� ,� �7#�� (� 7?#� ,� 6@� #����� #� �� ���

>������ ����� �� � ���� �� �� ���� �!��� ��

36 490.857, 1.871 and 14 3.742

49 14= = =

'�#�� �,#�� �� ,#�� ,� �7#�� ,� 7?#� ,� 6@

%��������� �#��� �,#�� �� �,����#�� ,� ?A#�� (� �6?6#�� ,� ��?@�

0��� �� ���������,�?A���(��6?6��,���?@��#������������� ������ �������� ��� ����� �� � ���� �� �� ��

1/ 4 1/ 41/ 41296 1393

0.9822, 1.942 and (98) 3.147.1393 98

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠�� ������������������� ���������������!�� �� ���������������������

���� 6�� �������!����

0�� ����?8 H����K��J��+0������ �:���� 55

Page 69: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

56 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

0�������#�� ���� ��� �� ��A.-� ���� ������'�#��K��������/�� �����

10.35027

0.857 0.977.2.919

x � � �

0�������������������� ����������������������������������#�������

2.10 LIN–BAIRSTOW’S METHOD

%������������������������������� ���������������������������������/������� � ������ ��� ����������� ������ �� ��� ������ ��� ���������� � �� �������������� !�I�

� ���� �� ����� (����

�� (� ���� (� �� ���.@�

B�����(����(������������������������� ������������������������ ���������������(����(������#����!����� ����������(����(������������������������� ����������#����� ��� ������� �������>�����#��#���

� ���� �� ���� (� ��� (� ������� (� ���� (����� (��� ���.-�

�������������������������������������������������������������� ������������������������#�������I�����#���������������������������&����� ������������� �� ��$�� ��#���� �� �� ��� &���� ���.@�� ���� ���.-��� #�� �����

��� �����

��� ����� ,� ����

��� ����� ,� ���� ,� �������.A�

��� ����� ,� ���

1����&������.A���#��������� �������������������������� �������� �� ����������(����(������� ���������������(����(�����!������ ���������������� ��������#������ ��!�

��� ����� �� ������

������ ��� �� � ��� ������ ��� �� � ���.?�

'�#�� ���%�����K�� �������

0 00 0 0 0 0 0( , ) ( , ) 0

b bb r s b r s r s

r s� �

� �� � � �

� ����@��

���

1 11 1 0 0 0 0( , ) ( , ) 0,

b bb r s b r s r s

r s� �

� �� � � �

� ����@��

#����� ��� �� ���� ������ ������� ����!��!��� ���� �� ������ ���� ��� ���� ������������ ����!��!��� ���� ���������� � �� ��� ����� ����� ����

�� ��� ������� ����� ������� ����� ���� ��� ��������� ���� �� ���������������������������������������&�������@����������@����������#����!������ � ����� ������� ��

��

��

��

Page 70: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

%����� ��������� ���� � � � � � ��� �� ��� (����

��� ��� �� ��� (�������@��

1��� ����� ������ ��������#�� �$����������������������������������������!��

������� �� 1���� �� ��������� ����� �� ��� ����������

� ���� �� ��� ,� �� ,��/�� ��!�

��� �� �� ��� �� �� ��� �� ,�� ��� �� ,�B�

��� �� ��� �� ����%����

�� �����

�� ����� ,� ���� ����� ,� ����

�� ����� ,� ���� ,� ���� ����� ,� ����� ,� ����� ,� ���

����� ,� ���� (� ����� ,� ���

�� ����� ,� ���� ����� ,� ����� ,� ����

(���� ,� ���� (� ����

%��������

0 03 2 3,

b bsa a ra

r s

∂ ∂= = − +∂ ∂

1 12 3 3– 2 , – .

b ba ra a

r s

∂ ∂= + =∂ ∂

%����� &���� ���@��� ���� ���@��� �!�

���� (����� �� ����

����� ,����� �� ��>�����

���� ��1

3� �� ��6666

���

���� �� ,1

3� �� ,� ��6666�

�� ����#�� ��

��� �� ��� (����� �� �� (�1

3� �� ��6666�

���

��� �� ��� (����� �� �� ,�1

3� �� ��@@@-�

0�� ������8 B��,9�����#K��:���� 57

��

Page 71: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

58 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

1��� ��� ������� ����� ��������#�� �

��� �� ��6666 ��� ��� �� ��@@@-�%���

��� �� ,������ ��� ��� �� �������

0 0.6667,b

r

∂ =∂

0 1.3333,b

s

∂ =∂

1 2.6666,b

r

∂ =∂

1 – 1.b

s

∂ =∂

/��� ����� !������� #�� ���������� �� ,����A-7� �������� �� ���A--� #���� �!���������6�7@������������-.77��������#�������������������������������������

2.11 QUOTIENT–DIFFERENCE METHOD

%��������� �������������������������������� ����������������������������������������������������>�������3�?@74���������� �������������J���������3�?.74��"���������������������������� �!���������������������������������� �������� ��>������K�� ���$��/�� ��������� ��� ������ �������

� ���� ������� (����

�� (� ���� (���� �� �� ���@6�

#����� ����� ���� ��� ���� ��� ���� ����� ��� �� <� 5��5� <� 5��5� <� 5��5�/��#���� � ���� ��� ��� ���

2 302 1

3 3 3( ) 1

aa af x x x x

a a a= + + +

'�#�� ��

12 302 1

3 3 31

aa ax x x

a a a

−⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

3

1 –r

rr

k

x x== ∑

–13

1

1 –r

r rr

k x

x x=

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∑3

10 1

iriri r

kx

x

+= =

−= ∑ ∑

0

,iii

b x∞

== ∑ ���@7�

#����

3

11

ri i

rr

kb

x �

�� ���@.�

Page 72: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

%��������� ����!��� ��� ����� ���� ��� ���������� �� �� �� �

( )1

–1

i i

i

bQ

b= ���@@�

���� ����������

( 1)( ) ( )1 1 1

ii iD Q Q+= − ���@-�

���J�����F��K�������� �0������ ��@���#�� ��!�� ����� ��� ��� ������

–1lim i

i i

b

b→∞ ���@A�

������������������������������������ ���������������),��������������� ��� ����� �������� �� ���� ��� ������/��� ��� ������� !������ �� ( )

1iQ ���

( )1iD ������������������������������� �����������������������������

��� ���� � ��� �������8( )( 1) ( 1) ( )

1ii i i

r r r rD Q D Q+ ++= ���@?�

���( 1)( ) ( 1) ( )–1ii i i

r r rrD D Q Q+ += + − ���-��

( ) ( )0 3 0 for all .i i i� �� �

C����� �� ����� �������� ���� ��� ��� � �������� �� ��� �������G��� �&�������@?���������-�����������������������������������������

�������� ���� �� ������� ����� ��� �!��� ����#� �%����� �����

Table 2.1 A Typical Q-D Table

D0 Q1 D1 Q2 D2 Q3 D3

(1)1Q 0 0

0 (1)1D D

(0)2 0

(2)1Q

(1)2Q

(0)3Q

0 (2)1D

(1)2D 0

(3)1Q

(2)2Q

(1)3Q

/���� ��� ���� #�� ��#�� ���� $��#��� ��� ����� ��#�� ���� ��� ���������� ������ �&���� ���@?������ ���-��������������%������������ ( )

1iQ �� ( )

2iQ � ���� ( )

3iQ

���������������������������������� ���������>���������������&������@6���� #�� ��������� ��� ���������� �������

����� (� ���

�� (� ���� (���� �� � ���-��

0�� ������8 Q�����,L��������:���� 59

Page 73: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

60 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

������������������!���#��������������������������&������@6���%���������������� ���������� ��� ��� ����#�� � � ������

�������� � G��� ����),���������������������������������������

� ���� �� ��� ,� ?��� (� �@�� ,� �7� �� ��

%�� ������� ��� ����� ��������� #�� ��������� ��� ���������� �������

, �7��� (� �@��� ,� ?�� (� �� �� ��/�� ���� ��!�

�, �7��� (� �@��� ,� ?�� (� ������ (����� (������ (� ���

�� (���� �� ��

;������� ������������������$����#�����������������������������!���������� #�� �����

��� �� �E , ?��� (� ��� �� �E��� ,� ?��� (� �@��� �� �E��� ,� ?��� (� �@��� ,� �7��� �� �

%��� ���!�� ��������� �!���� �� �� ��� �� ?� ��� �� .. ��� ��� �� �A.�

��� ��

(1)11

09

bQ

b� �

(2)21

1

556.1111

9

bQ

b= = =

���

(3)31

2

2855.1818 .

55

bQ

b� � �

/�� ������ ��� ���������

(1) (2) (1)1 1 1 – 2.8889,D Q Q= − =

���

(2) (3) (2)1 1 1 – 0.9293.D Q Q� � �

%�� ��������� (1)2Q �� #�� ��!�

(2) (2)(1) 1 12 (1)

1

1.9658.D Q

QD

� �

/��� (0)2 0,Q = #�� ���� ��#� ������� (0)

2D � ���� ��� ������

(0) (1) (1) (0)2 2 1 2

– 0.9231.

D Q D Q= + −=

�� ����#�� ����������� ��� (0)3Q � �� ��?�6��

Page 74: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

/����!���������������������������������������#����#����%���������%���� �������� ��� �� ���� &���� ���@?�� ���� ���-��� ���������� �� ������� ���������� ���� ���������� ��#� ��� ��#�

%�� ������ (2)1 ,D #�� ���� ��� �������

(1)1

(2) (1)1 2

(2)1

D

Q Q

D#����

(2) (2) (1) (1)1 1 1 2� � �D Q D Q

>����

(2)1

– 0.9293 2.4616– 0.4415.

5.1818D

� �

0���������2

(1)2

(0.9231)– – 0.4355.

1.9658D � �

'� � ��#� ��� �� ��#� �� ���������/�� ��!�� (3)1 5.1818.Q =

*����(2)2 1.9658 0.4335 0.9293

2.4616,

Q = − +=

���(1)3 0.9231 0.4335

1.3566.

Q = −=

C�������� � ��� ����#���� ��� ����#�� � ��������������� ���������������� ������ �%����� �����

Table 2.2 Solution of Example 2.30

D0 Q1 D1 Q2 D2 Q3 D3

9 0 00 –2.8889 –0.9231

6.1111 1.9658 0.92310 –0.9293 –0.4335 0

5.1818 2.4616 1.35660 –0.4415 –0.2389 0

4.7403 2.6642 1.59550 –0.2481 –0.1431 0

4.4922 2.7692 1.73860 –0.1529 –0.0898 0

4.3393 2.8323 1.8284–0.0998 –0.0580 0

4.2395 2.8741 1.8864

0�� ������8 Q�����,L��������:���� 61

Page 75: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

62 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

�����������������)���)������)���������!�� �� ������������!������7��6������� �������!����

2.12 SOLUTION TO SYSTEMS OF NONLINEAR EQUATIONS

��� ���� �������� #�� ��������� #�� ������� ��� ��� �������� �� ��������������������� ��������8� ���� ��� ������ �� �������� ���� ����� '�#��,J������������� 1��� �����������#�� ��������� �� ������ �� #�� ��������8

� � � � � � � ���� ��� �� �

��� ����� ��� �� ����-��

2.12.1 Method of Iteration

*�������������������� ������������#������������&������-����������#������� ��� ���

�� ��*���� ��� �� ��+���� ��� ���-6�

#����� ��� �������� *� ����+� ������ ��� ����#�� � ���������� ��� �� ��������� ������������ �� ��� ���� �����8

����*� ����+� ���� ����� ���� ������� ����!��!��� ���� ���������� ������ ���

����� 1 and 1,F F G G

x y x y

� � � �� � � �

� � � ����-7�

��� ���� ���� ��� ������� ��������� ������ ������������ ��������� �������������� ����&������-6�� �!���� ��������

��� ��*����� ���� ��� ��+����� ���

��� ��*����� ���� ��� ��+����� ���

�� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ����-.�

����� ��*����� ���� ����� ��+����� ���

1��� ����� ���!�� ������ �������� �������� !������ �� ��� ���� ��� ����� ��� ���!�������� �� ��� ��� &��� ���-.��� ;��������� ��� &��� ���-7�� ���� �������� � �����!�� ����� ���� ��� ��� ������ #�� �����

�� ��*����� ��� � ��+����� ���-@�

>���������������������������&������-6��������������������������&������-���%��������� ���� ��!������� ��� �������I��� �� ���� ������� �� ���������

������� � � 1���� �� ����� ���� �� ��� ��������

� � � � � � � � � ��� ,� .�� (� 7� �� �� � � � ���

6���� ,� ���� (� -� �� ������ � ��� ��������������

��

��

��

��

Page 76: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

;�������� �� ����� ���� ��� �� �� �� ���� �� �� ��%�� ������ ��� ���������������#�� ��#���� ��� ��������� ��

21(3 7)

10x yx= + ���

���

21( 4)

5y y= + ����

>���2

21 6 3( , ) (3 7), , ,

10 10 10

� �� � � �

� �

F xy F xF x y yx

x y

21 2( , ) ( 4), 0, .

5 5

G G yG x y y

x y

∂ ∂= + = =∂ ∂

B�� ���.�� ��.�� ��� ��� ����� ����� �����%���

2

(0.5,0.5) (0.5,0.5)

6 3

10 10

0.15 0.075 1

F F xy x

x y

� �� � �

� �

� � �

���

0.5

20.2 1.

5

G G y

x y

� �� � � �

� �

>����� ��� ���������� ��� ���!�� ����� ���� �������� ���� ��� ����� ����������� �!��� ��

2 21 1

1 13 7 and 4

10 5n n n n nx y x y y+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ �

/�� ������ ��������!����#��� ����� ��.� ���� ��� �� ��.

11 3

7 0.7375;10 8

x⎡ ⎤= + =⎢ ⎥⎣ ⎦ 1

1 14 0.85

5 4y

� �� � �� �� �

22

13(0.85)(0.7375) 7

100.8387;

x � �� �� �

22

1(0.85) 4 0.9445

5y ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

23

13(0.8387) (0.9445) 7

100.8993;

x � �� �� �

23

1(0.9445) 4 0.9784.

5y ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦

0�������!�� ����� �������� ���

��� �� ��?6-7� ��� �� ��??�7

0�� ������8 0���������0��������'���������&������� 63

Page 77: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

64 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

��� �� ��?@�6� ��� �� ��??@@

��� �� ��?-@6� ��� �� ��??A@

��� �� ��?A..� ��� �� ��???7�

;��!�� ����� �� ��� ���� ���� ��� ��� ��!�����

2.12.2 Newton–Raphson Method

B�� ����� ���� ��� ��� ������� ����� ������� �� ��� ���� �� &��� ���-���� ����� (���� ��� (� ��� ��� ��� ���� �� ��� ������� ����#������ ��!�

� ���� (���� ��� (� ��� �� �� ����� (� ��� ��� (� ��� �� � ���--�

*������ ���������������������������������������#��� ������������������� ��� &��� ���--�� ���%�����K�� ������� �� �����

00 0

0f f

f h kx y

∂ ∂+ + + =∂ ∂

00 0

0,g g

g h kx y

� �� � � �

� �

���-A�

#����

0

0 0 00

, ( , ), etc.x x

f ff f x y

x x =

∂ ∂⎡ ⎤= =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

'� ����� ����������������� ���+����������!��!��������#���������������#�� ������ �� ������� ��������8

� � � � � � 00 0

–f f

h k fx y

∂ ∂+ =∂ ∂

��� 00 0

–g g

h k gx y

∂ ∂+ =∂ ∂

���-?�

&������� ���-?�� ���������� �� ������� �������� �

0 0

0 0

0.

f f

x yD

g g

x y

∂ ∂∂ ∂

= ≠∂ ∂∂ ∂

���A��

9��;�����K�� ������ ��� �������� �� &��� ���-?�� ��� �!��� ��

0 00 0

0 00 0

– –1 1

and

– –

f ff f

y xh k

g gD Dg g

y x

∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂∂ ∂

���A��

��

��

��

��

��

��

��

Page 78: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

%��� ��#� ����� �������� ����� ��������

��� �� ��� (� � ��� ��� �� ��� (� � ���A��

%�������������������������������#��������������������������������������*�� ��� ��� ����� �� �� ��� ��� ��������� ��� ���!�� ����� ��� �� ������� ������

�������� 0��!����������� �!������& ��������6�����'�#��,J������������

/�� ��!�� � � � ���� �� 6���� ,� ���� (� -� �� �

����� �� ��� ,� .�� (� 7� �� �%����

6 10,f

yxx

∂ = −∂

23 ,f

xy

∂ =∂

0,g

x

∂ =∂

2 – 5g

yy

∂ =∂

%�$�� � ��� �� ��� �� ��.�� #�� �����

0– 8.5,

f

x

∂ =∂ 0

0.75,f

y

∂ =∂ ��� �� ��6-.�

00,

g

x

∂ =∂ 0

– 4,g

y

∂ =∂ ��� �� ��-.

>�����–8.5 0.75

34.0 – 4

D � �

%��������–2.375 0.751

0.3180,–1.75 – 434

h � �

���–8.5 –2.3751

0.4375.0 –1.7534

k = =

�� ����#�� ����� �� ��.� (� ��6�A�� �� ��A�A�

������ �� ��.� (� ��76-.� �� ��?6-.

1��� ��� ������� ����� ��������#�� ��!�

� � � � � � ��� �� ��-��?� � � � ��� �� ���?�7�

1– 5.3988,

f

x

∂ =∂ 1

2.0074,f

y

∂ =∂

10,

g

x

∂ =∂ 1

– 3.125.g

y

∂ =∂

0�� ������8 0���������0��������'���������&������� 65

Page 79: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

66 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

%��������

–5.3988 2.007416.8712.

0 –3.125D = =

>�����–0.7019 2.00741

0.1528,–0.1914 –3.12516.8712

h � �

���–5.3918 –0.70191

0.0612.0 –0.191416.8712

k � �

�� ����#�� ����� �� ��A�A�� (� ���.�A� �� ��?-�A

������ �� ��?6-.� (� ���@��� �� ��??A-

�������� 0��!��������������(����������������������'�#��,J������������

B��� �� ��� (� ��� ,� �� ��� �� �� �� ,� ���

1���� ��� ������ �� ��� ���!���� #�� ���� ��� ����� ���� #�� ������ �����������������������������������������������������/������������� ������ ��� �������� ��� ��� ���� ���������/�� ��!�

2 , 2 ,f f

x yx y

� �� �

� �

– 2 , 1.g g

xx y

� �� �

� �

/�� ����#������ �� ��� �� ��-�-���������� ���� ��� ����� ��������� ����%����#�� ������

01.4142,

f

x

∂ =∂ 0

1.4142,f

y

∂ =∂

0–1.4142,

g

x

∂ =∂ 0

1.g

y

∂ =∂

%��������

01.4142 1.4142

3.4142; 0,–1.4142 1

D f= = =

>�����0 1.41421

0.0858,–0.2071 13.4142

h � �

���

1.4142 01– 0.0858,

–1.4142 –0.20713.4142k � �

Page 80: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�� ����#��� ����������� �� ��-�-�� (� ���A.A� �� ��-A.A�

������ �� ��-�-�� ,� ���A.A� �� ��@��6�

%��� �������� ���� ��� �������� �� ������ �� ����� ����� �������&�������� �����#���� ��� #�� �!�������������#�������� �����������

��� ���� (� �� ,� �� �� ��

#����� �!��� �� �� ��@�A�� ��� ��� ���� �������� ��������%���� �� �� ��-A@��� %����� !������ ���� ��� ��������� #��� ��� �������

����� ���� �������� ���!��

������� � � 0��!�� ��� �����

��� �� ,� �� �� ,��?-?6

��� �� ,� �� �� ,��@-�6

#��� ��� �� ��.� ���� ��� �� ��.� ��� ��� ������� ����� �������

/�� ��!�� ���� ��� �� ���� �� ,� �� (� ��?-?6

�������� ��� �� ���� �� ,� �� (� ��@-�6�

1��� ��� ���� ���������#�� ��!�

��� �� ,���7�6����� �� ���7���

�� �� �� ��� ,� �� ��� �� ������.��,���� ��.�� ,� ���� �� ,��A-.7

–– 0.1505,

y yfg gfh

D= =

–– 0.0908x xgf fg

kD

� �

%���������� �� ��.� (� ���.�.� �� ��@.�.

����� �� ��.� (� ���?�A� �� ��.?�A

1��� ��� ������� ���������#�� ��!�� ��� �� ��@.�.� ���� ��� �� ��.?�A�%����#�� �����

�� �� ,��-?.@����

�� �� ,����6�A� ��� �� �� ����66A7�>����� ��� ��#� ����� ������� ��

�� �� ��@.�.� (� ����6�� �� ��@.6-�

�� �� ��.?�A� ,� ����67� �� ��.A-7�

0������� ������!������������ �!�������������#�������������������������� ���� �������� �������

0�� ������8 0���������0��������'���������&������� 67

Page 81: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

68 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

EXERCISES

��� & ������ ��� ��������� ������ ��� ����� � �� ����� ���� �� ��� �������� ���� �� �� ����#���� ��� �� ������ ��� ��� �������������#��� �� ��� �������!�� ��������� �� ��� ����� �������

"����� �� ����� ������� �� ����� �������� �������� �� ����� �� ��� ����#�� ��������� ���� � ��� ��������������� �C�������� ���,��.�8��� ��� ,� 7�� ,� ?� �� �

��� ��� (� ��� ,� �� �� �

��� .�� �� ���� ,� @� �� �

��� ��� (� �� ,� ��� �� �� �

��� H�!�� ��� ����������� ����� ��� ��� �� ���,����������� ��� ��������� �� ����� ���� �� ��� �������� � ���� �� ��

G���������������������������������������������������� ���������������������� �� ��� ����#�� � ��������� �C�������� ��-,�����8

�� ��� (� ��� (� �� (� -� �� �

�� ��� ,� �� ,� 7� �� �

��� �� �� 6���

���� �� ��� �� (� �� �� �

���� 1���� ��� ����� �����#����� ����� ��#���� �� ���� 6�� �� ��� ��������� �� ��� �� ,� ���� �� �

���� � ��� ������� �� ��������� ���� ����,�������� �� �� ��������� ���.D�

���� & ������ ������� ��� ������ �� �������� �� ������� �� ����� ���� �� ����������� ������������� ������������������!�� �������������������� ����� ��������� H�!�� �� ��������� ������������� �� ���������

G�������������������������������������������� �������� ���������������� �� ����� �� ��� ����#�� � ��������� �C�������� ���6,���@�8

���� ��� �� 6�

���� 2

1

( 1)x

x=

+

���� ��(� ��� �� ��

���� �� ,� ��� �� ��1

2

��� &�������������������������������������������������������!��������!� ��� '�#��,J������� ������� >����� ���� ��� ����������� �� �.7� ����� �� ������� � �����

Page 82: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� & ������'�#��,J���������������������������������������������� ���������������������������������!�� ������>���������������+I������� �� ��� �������� ��� (� 7���� �� �� ��

���� G��� � '�#��,J�������������� ����!�� �� ������� ��� ����� � ��� ������ �� �� �����!�� �������!� ���� ������ ������� ��� !����� �� ��.�����

G��� ���'�#��,J������������� �� ������ �� ����� ������� �� ����� ��������������� �� ����� �� ��� ����#�� � ��������� �C�������� ����,���.�8

���� ������ ,� 7� �� �

���� ��� �� 7�

���� ��� ,� .�� (� 6� �� �

���� ������ ���� �

����1 cos

3

xx

+=

���� ��� �� �� ,�

���� L�������� �� ������������ ���������� �� ��������� '�#��,J���������������������� ������������������������!�������������������������/���� �� ��#+����� ��� ��� �����

��� ;������� �� ���� �������� �������� ��� ���� ��#���� �� ���� �� �� ���������

��� ,� ���� (� 6�� ,� .� �� �

��� ����:����� �� 1����� C������� ���� ����'�#��,J�������������

G��� �J�����F��K��������� ���� ��� �������� ���� �� ����� �� ��� ����#�� ��������� �C�������� ���A,��6��8

��� ��� ,� @��� (� ���� ,� @� �� �

���� �� (� ��� ,� �� �� �

���� ��� �� (� �� ,�� �� �

���� G��� ��� ������ ������ �� ��������� ��� ����� ��#���� .� ���� A�� ���� �������� ����� �� @?�� ;������� ����� ������ #��� ��� �������� ��& ������ ��-�

���� L���������������������������������������������� ����������������;������� ����� ������#��� ��� �������� ��� & ������ ���@�

���� C���������������������#��������� ���,�������������������������������� ��������������� ���������*���������������������������������������������������,����,�.���������������������7����������������

���� L���������������:�����K��������������������������������������#���������6������������������,����,�.�����������������������#������������ �� ��� �������� �� �� ���� ���� ��

&����� 69

Page 83: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

70 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

1���� ��� ����� ����� �� ��� ����#�� � ��������� ���� �H����K�� ���+������� ������ �C�������� ��6.,��6@�8

���� ��� ,� 7��� (� .�� ,� �� �� �

���� ��� ,� ���� ,� .�� (� @� �� �

��� 1���� �� ��������� ����� �� ��� ����������

� ���� �� ��� ,� ���� (� �� ,� �

���9�����#K��������#��� #������� ������������� �#��������,��.���� ��� �� ��

��� L�������������������������������������,���.��(���.�����������������

� ���� �� ��� ,� A��� (� 6?��� ,� @��� (� .�

���9�����#K���������H�!�� ��� ������������ ����� �� ����������

���� G��� � ���)'��������� ���� ��� ����� ����� �� ��� �������

� ���� �� ��� ,� @��� (� ���� ,� @� �� �

���� ��� ��� ������� �� 0������ ������ ���!�� ��� ����#�� � ������8

�����1 1

1lim i

i i

b

b x→∞ −=

�����

( )1

1 2 1

1 1 21

2

11

lim 1

i

ii

Qx k x

x k xx

x

��

�� �

� �� �� �� �� �� �

����

( 1)1

1 2 1

2 1 21

2

11

lim 1 .

i

ii

Qx k x

x k xx

x

��

�� �

� �� �� �� �� �� �

���� C��!�� ��� ������

( )( ) ( 1) ( 1)1

ii i ir r rrD Q D Q� �

��

0��!�� ��� ����#�� � ������� ��� '�#��,J������� �������C�������� ��7�,��77��

���� ��� (� ��� �� �� �� �� ��

���� ��� ,� ��� �� 7� ��� (� ��� �� �@

���� ��� (� �� �� ��� ��� (� �� �� -

Page 84: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� %�� ���� ��� �������� ���� �� ��� �������� � ��������� ,� �� ,� ��������� ����������������� � ���� �� �� ������� ��� ��#����� ��

��� �� �� ��� ,� � ���� �� �� ��� (� �����

��� �� � 2

1

–1x���� �� �� 2

1x

x

+

1���� ��� ������� ������� ��� ��� ���!��

���� '�#��,J������� ������� ���!�� ��� �

���[ ]2( ) ( )

1( )

f x f x

f x

′ ′′ < ����[ ]2( ) ( )

1( )

f x f x

f x

′′ <′

���[ ]2( ) ( )

1( )

f x f x

f x

′ <′′

����'���� �� �����

��� /����� ���� �� ��� ����#�� � ��� ��� ������R��� '�#��,J������� ������ ���� ��������� ���!�� �������� %��� ��������������� ���!�� ��� ���#������ %�����!��� ����������������������������� �!��������������#�������

������������ ����#�����5 � ����5�<�������������!����������� ����������� %������������� ���,��������!�� ���������������������������

��� /����� ���� �� ��� ����#�� � ��� ������R��� %��� ��������������� ���� ��������� ���!�� �������� %��� �������������� ��� �� ���+������������������� %��� �������� ��� ,� ��� ,� .� �� �� ���� #�� �����!�� �������� %��� �������� �� �� ���� �� ���� ��� ���!��� ���H����K��������

Answers to Exercises

��� ��-�@ ��� ��-..��� ��-7� ��� ��..��� ,����. �� ��-?@��� ���7?? ���� ��-?A

���� 0�������!�� !������ ���� �9�� �����������������.�� ��-.�� ��@�.�� ��@A-.�� ��-�A-�� ��-677�� ��-7���

9�� ����� ���������������-����� ��-7���� ��-7�-�� ��-7�@�� ��-7�@

���� ��@�?� ���� ��7@.@���� ��7@@ ���� ��7?-��� ����@7?7 ��� ,��?66A���� ���6@�- ���� 7�.?6�

&����� 71

Page 85: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

72 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������

���� ��6.-7

���� /��� ��� �� ��.�� ��� �� ��@7-��� ��� �� ��@.@.@��)

���� /��� ��� �� ��.�� ��� �� ��.�A��� ��� �� ��.�A���)

���� ��� �� ���7-�� ��� �� ��@��7�� ��� �� ��@�-��� ��� �� ��@�-��

���� ��-?A

��� ��A76-E� ��A76A

��� 1

20.54546,

b

b= 2

30.77647,

b

b=

3

40.88696,

b

b= 4

50.94237,

b

b� �

0������� ���� ��� ��

���� ;��!�� ���� ���8

� � ����� ��.�� ��@@@@@�� ��-.�� ��@@@@@�� ��@@@@@�� ��@?�6��� ��@A7����)

���� ;��!�� ���� ���8��.�� ��.�� ��.��@7�� ��.��A-�� ��.��?-��)

J�������� ���� ��� ��.����

���� J��� �� @�A.�6@�

���� 1��� �������� !����� �� ��.@-�76

���� J� ���,����8� ���?7.� ��� -� ���������0����� �����8� ���?7@�

���� ���� ���?7@�7�?� � � � ���� ��.�-.�

���� %����� ����� ������� �� ��� ����8� ��?�@A�� ���A?-�� �����?

���� %����� ����� ������8� 6���7776�� ��??�7�.�� ��???7?7�

��� ��� ,� ����@.�� (� ��?6?7� �& ��� ����� ��� ��� (� ���

��� ��� ,� ��?7A.�� (� ��?7�?A�� �& ��� ����� ��� ��� ,� ��� (� ���

���� )���� 6��6�7.� )���� ��A?A� )���� ��?-�@����� ��� �� ��A�@�� ��� �� ��.@6@�

���� ��� �� 6� ��� �� �� ��� �� 6��@@-� ��� �� ��.

���� �� �� 6�.A7� �� �� ,��A7A

���� ���

���� ���

��� ���

��� ���

Page 86: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

3.1 INTRODUCTION

���� ��������� �� � �� � ��� �� �� �� ��

����� ������������ ��� ������ ������ ��� �� �� ���� ���� ��� �� �� �� ��� ������������ ��� ��� ���� ������� ��� ��� ������� ����� � �� � ��� ������������� ������������������������� �!�������������������������������� �� ��������������� ������� ����� ������� ��� ��� ���� ���� ��� "� ��� ��� ������� #�� �������� ����#������� ���� ������� ���#��� ��� �������� �������� ��� ���� �������� ���$�����������������#���������������� �� ������ �� ������ �� � "� ���� �� �������������� ������� �� �� � �� � !����� ���� ��������� ������ ��� � �� ��� ��� �!�� ��� ����%������ ��� ���� �� ������� �������� ��� � �� � ����� ����� � �� � �� � �� ������ ���� � �������� �����&�������������� ���������� ����� ��� ��� '� � �� ��� �� ���������� ���� ���� �������� ��� ������� � ��� ���� ����� ��� �� ��� �� � ��� ������� ���� ����� ����� � ��� ����� &��������� ��������� ������ ������������������������������!������ � �� ������������������������������������� ��� (������ ��������� ����� '� ����� ��������� !�� ������ #�� ��������!������������ ���������������� ����� )���������������� ��������������������� �!� ������� #������ ��� �� ����������!�� ������ ������!������� �������� ������ ������� ���� ��� *����������� �+,,- �� ��� � �� � ��� ��������� ���������� ���� ���� ����� �� �� .� /�� ������ ������� �� ���������� �� � ����� ����

( ) ( ) ,f x P x ε− < ���� ���� �� �� ����� �� �

��

�����������

�������

Page 87: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

74 0�����1� '����������

�������������������������#���������������������� �� �!���������� �����!���������������#������#� ���� � �� �2����� ���� � �� �3�� ������� ��#��!����� ��� ���� ��!����� ���� � ��� #��

*������������������������������ �� �#����������������� � �� �������#�������������� ���� �4�!���������������������������������������#�� �������5� ��� ��� � *���� ��� ���� ��������� ��� ������� ���� #���� ���������������������������������5���!�������������%���������������������������� ���� ���� ���� ���������� ���#������ ������������� ���� �������� ���� ������ ������� #�� � ��� !���� ��� #�� ��������� ������*�� !����� ��!������ ������� �� ������������������������������������������������������!���������������������� �� ��#������� ������� #�� ���� ��� �� ���������

3.2 ERRORS IN POLYNOMIAL INTERPOLATION

6��� ���� ������ � �� �� ������� #�� ��� ��� 3� + � ������ ����� �� �� �� �� /�� +�� 7��"�� ��#������������������������#�� ���3�+ � ������ ��� ��� � �� #�������������#�� �� �������� ���� � ��� ������� ��� ��������� �� ����� ����

����� � �� ��� �� �� /�� +�� 7�� "�� � �1�+

'�� !�� �!� ��� ���� ��� �#���� ����������� ������� ��� � �� � ��� ���� ����������� ���� ������ ������� #�� 8%�� �1�+ �� !���� !����� #�� ���� ��������� ��� ���������������5�&���� ������������� ��� �2����� ��������� ��� ������������"����� !�� ���

��� � 2� ���� � �� ������� � �1�7 !����

������ � �� ��� 2� �� � ��� 2� �� �"� ��� 2� �� �1�1

��� �� ��� ��� #�� ��������� ����� ����� 8%�� �1�7 � ������ ���� ��� ���������������� ��� ��� ��� �� �� ���� ��� 9� ��� 9� ���� 0�������

1

( ) ( ).

( )n

n

y x xL

x

��

�� ��

�1�:

*�� ��������� �� ������� ��� � ����� ����

��� � �� ��� � 2� ���� � 2� ������� � �1�-

!����� �� ��� ����� #�� 8%� �1�: � �#����'�� ��� ������ ����

���� � �� ���� � �� �� �� ���� � �� ���� � �� /�

����� ����� �� ��������� �� 3 7 � ����� �� ���� ������� �����������; ����%������#�� ���� �����������������������<����=�� �������������������+�1��&����� +�7 ����� � ���� ������ �� 3 + ����� ����� � ���� ������ �� ������ ������ �� ������������������������'������������

( 1) ( )nF x+ ����������������������������

Page 88: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

6��� ����� ����� #�� ����� #� �� �� ��� ��� 9� �� 9� ���� >� �������������� 8%�� �1�- �� 3 + � ����� !���� �������� ��� �� ��� ������� �� �� ��� !�� �#���

/� �� ����� �� � 2� ���� 3� + ?��� ����

( 1) ( ).

( 1)!

nyL

n

�+=

+�1�@

0�������� ��� 8%��� �1�: � ��� �1�@ � ������� ���� �������( 1)

1( )

( ) ( ) ( ).( 1)!

n

n ny

y x x xn

�� �

�� �� � �

A������� ���� ����� � ,x′ !�� �#���

( 1)1( )( ) ( ) ( ),

( 1)!nn

nx

y x x yn

� ��

��� �

�0 ,nx x�< < �1�B

!����� ��� ���� ��%������ ���������� ���� ���� ������� &���� � �� � ���� ���������� �!� ��� ����� !�� ��� ��� ����� ��� ��������� �������� ����� �� ���������1�B ������������������������������������������>������������������ ��� ���������������� �� ������������!�� � �����������#��������������������������'�������������!��!�������������������������������C�!��=��������������������� !����� !���� #�� ���������� �� &������ 1�@�

3.3 FINITE DIFFERENCES

������ ����� !�� ����� �� ��#��� ��� ������ ����� �� �� �� �� /�� +�� 7�� "�� �� ��� ��������� �� �� � �� �� ���� ������� ��� �� #���� �%������ �������� ������ ��� �� ��� 3� �������/��+��7��"�����&������������!��������%�������������������������������� �� ���� ���� ����������� ������� ��� ��� ��� ��� �#���� ���� ����������� ��� � �� � ������� �� �� ���� ����� ��� �� �� �� ���� ���� ������� ���� ���� �������� ��� ��������#���� ���� #����� �� ���� ������� ��� ���� D����������=� ��� �� �������!����!�� �! �������� ��� ������

3.3.1 Forward Differences

'�� ���� ���� ���� "�� ��� ������ �� ���� ��� ������� ��� ��� ���� ��� 2� ���� ��� 2� ���� "���� 2� ����� ���� ������� ���� ������������ ��� ��� A������ ������ ����������� #������ ����� "�� ������ �������������� !�� ����

���� �� ��� 2� ��� ���� �� ��� 2� ����"� ������ �� ��� 2� �����

!���� Δ ��� ������� ���� � ����� ���������� ���� �� ��� ����� ����� "�� ��������������� ����������������� �������������������������������!������������������ ������� ��� �� � ����� ����������� ��� ���� ������� #� ������ ������ "&�������������������������� ������������������� ���� ���������������������

&������1�1� E�����A��������� 75

Page 89: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

76 0�����1� '����������

�����

20 1 0 2 1 1 0

2 1 03 2 2

0 1 0 3 2 1 2 1 0

3 2 1 04 3 3

0 1 0 4 3 2 1 3 2 1 0

4 3 2 1 0

( )

2 ,

2 ( 2 )

3 3

3 3 ( 3 3 )

4 6 4 .

y y y y y y y

y y y

y y y y y y y y y

y y y y

y y y y y y y y y y y

y y y y y

� � �

� � �

� � �

= − = − − −

= − +

= − = − + − − +

= − + −

= − = − + − − − + −

= − + − +

'����������������������������������������������������������������#������������� ����� ��� ���� ���������� ����� ���� ������������ ��������� �� ���� ������ �������� ���� #������ ������������

��#���1�+����!����!��������!��������������������������������#� ������

Table 3.1 Forward Difference Table

x y0 � �� �� �� �� ��

x0 y0�y0

x1 y1 ��y0�y1 ��y0

x2 y2 ��y1 ��y0�y2 ��y1 ��y0

x3 y3 ��y2 ��y1 ��y0�y3 ��y2 ��y1

x4 y4 ��y3 ��y2�y4 ��y3

x5 y5 ��y4�y5

x6 y6

'����������������������� ���� ���!�������������� ��#������#�������� �� ��������!��� !���� E��� ���� ����� ������ ����� �� �� �� �� /�� +�� 7�� "�� �� ��� ��� ���� 3� ���� !�� ����

���� �� ����� 2� ��� �� �� /�� +�� "�� �� 2� +�

A������ ��� ��� A86�/�� � �� ���� �#���� �%������ ��� #�� !������ ��

��� �� A86�/� � 3� + � 2� A86�/� � � �� A86�+� �

'�� �����!�� ��������� �� A86�� 2� +� �� 3� + � 2� A86��� 2� +� � �

!����� ��� ���� ���� ���!���� ���������� ��� ���E��� ���� ����� ������ ����� �� �� �� �� /�� +�� 7�� "�� @�� !�� ����� ���������

��#��� 1�7�

Page 90: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

Table 3.2 Forward Difference Table

x y � �� �� �� �� ��

x0 DEL(0, 0)DEL(1, 0)

x1 DEL(0, 1) DEL(2, 0)DEL(1, 1) DEL(3, 0)

x2 DEL(0, 2) DEL(2, 1) DEL(4, 0)DEL(1, 2) DEL(3, 1) DEL(5, 0)

x3 DEL(0, 3) DEL(2, 2) DEL(4, 1) DEL(6, 0)DEL(1, 3) DEL(3, 2) DEL(5, 1)

x4 DEL(0, 4) DEL(2, 3) DEL(4, 2)DEL(1, 4) DEL(3, 3)

x5 DEL(0, 5) DEL(2, 4)DEL(1, 5)

x6 DEL(0, 6)

'� ��#��� 1�7A86�:�� / �� A86�1� + � 2� A86�1� /

�� A86�7� 7 � 2� A86�7� + � 2� FA86�7� + � 2� A86�7� / G�� A86�+� 1 � 2� A86�+� 7 � 2� 7FA86�+� 7 � 2� A86�+� + G� � 3� A86�+� + � 2� A86�+� / �� A86�/� : � 2� A86�/� 1 � 2� 1FA86�/� 1 � 2� A86�/� 7 G� � 31FA86�/� 7 � 2� A86�/�� + G� 2� FA86�/� + � 2� A86�/� / G��A86�/� : � 2� :A86�/� 1 � 3� @A86�/� 7 � 2� :A86�/� + � 3�A86�/� / �� ��� 2� :��� 3� @��� 2� :��� 3� ��

�������!����������������#�������!�#��������#���������������������

������������������������������� �������������� ����������������� ������������������

3.3.2 Backward Differences

���� ����������� ��� 2� ���� ��� 2� ���� "�� ��� 2� ����� ���� ������� ������ ������������������� ��� ����� ���� ������� #�� ���������� "�� ���� �������������� ��� ����

���� �� ��� 2� ��� ���� �� ��� 2� ���

� � � � � � � � ����� �� ��� 2� �����

!������� ��� ������� ���� �������� ���������� ���� �� '� �� ������� !���� ����� ������ #�� !���� ����������� ��� ������� �������

&������1�1� E�����A��������� 77

Page 91: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

78 0�����1� '����������

������ !�� �#������� ������ 2����

�� ��� 2� ��� 2� ���� 2� �� � �� ��� 2� 7��� 3� ���

���� ������� 2�����

�� ��� 2� 1��� 3� 1��� 2� ���� ����

*���� ���� ���� ������� ��� �� ��� �� ��� �� ��#��� 1�+�� �� #�� !���� �����������#��� 1�1� ��� #�� ������

Table 3.3 Backward Difference Table

x y ∇ ∇2 ∇3 ∇4 ∇5 ∇6

0x 0y

1x 1y ∇ 1y

2x 2y ∇ 2y ∇22y

3x 3y ∇ 3y ∇23y ∇3

3y

4x 4y ∇ 4y ∇24y ∇3

4y ∇44y

5x 5y ∇ 5y ∇25y ∇3

5y ∇45y ∇5

5y

6x 6y ∇ 6y ∇26y ∇3

6y ∇46y ∇5

6y ∇66y

3.3.3 Central Differences

���� ������ ���������� ���� � δ ��� ������� #�� ���� ��������

1 0 1/2 ,y y y�− = 2 1 3/2, ,�� � �y y y 1 1/2.n n ny y y�− −− =

&�������������������������������������������#��������� *������������������� ��� �� ��� �� ���� ��������� �!�� ��#����� �� ������� ���������� ��#��� 1�:� ��#�� ������

Table 3.4 Central Difference Table

x y δ δ 2 δ 3 δ 4 δ 5 δ 6

0x 0yδ 1/2y

1x 1y δ 21y

δ 3/2y δ 33/2y

2x 2y δ 22y δ 4

2yδ 5/2y δ 3

5/2y δ 55/2y

3x 3y δ 23y δ 4

3y δ 63y

δ 7/2y δ 37/2y δ 5

7/2y4x 4y δ 2

4y δ 44y

δ 9/2y δ 39/2y

5x 5y δ 25y

δ 11/2y

6x 6y

Page 92: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

'�� ��� ������ ���� ���� ���� ����� ��#���� ����� �� �� �������� �������� ������ ��������#�����������������������������!�������!���������!�����#�� !����� ������� ����������� ������ !�� �#���

0 1 1/2 ,y y y�� = ∇ = 3 3 32 5 7/2,�� � � � �y y y

3.3.4 Symbolic Relations and Separation of Symbols

A��������� �������� ��� ������� #�� ����#������� #�� ��#����� �������� �������� ���� ��������� �� ��� ���� ��������� ��� ��������� �������� � �� ���������� ���� ���������� �� �� �� � �������� �������

���� ��������� �������� � ��� ������� #�� ���� �%������

1/2 1/21

( ).2r r ry y y� + −= +

���� ������ ����������� ��� ������� #�� ���� �%������

���� �� �����

!����� ���!�� ����� ���� ������� ��� �� ��� ��� ������ ���� ��������� ������ ��� ��� ������� ������� ����� �������� ������ �%������ !������ �����

21 2( ) ,r r r rE y E Ey Ey y+ += = =

��� ���������

.nr r nE y y +=

'�� ��� �!� ����� ��� ������� �� ������������ #��!�� Δ ��� ��� ���� !�� ����

0 1 0 0 0 0( 1)y y y Ey y E y� = − = − = −��� ����

1E� ≡ − �� 1 .E �≡ + �1�,� H*�� ��� �!� �������� ��� ������������� ���!���� ���������� �� ����� ��

���� ����� ������� �������� E��� �������

3 3 3 20 0 0 3 2 1 0( 1) ( 3 3 1) 3 3 .y E y E E E y y y y y� = − = − + − = − + −

E��� ���� ����������� ���� �����!��� ��������� ��� ������� #�� ����#�������

1

1/2 1/2

1/2 1/2 2 2

1/2

1 ,

,

(1/2) ( ), 1 (1/4)

.

E

E E

E E

E E

� � �

��

⎫∇ = −⎪⎪= − ⎪⎬

= + = + ⎪⎪⎪= ∇ = ⎭

�1�,#

����� ������ ��� � ����� ����� ��� ������� ���� ���� ����� ����� ���� ���������� ��� � ����� ���� ���������� ��� ��������� ���������� ��� ���� �� ��� ���� ����� ���� ������� ������ ��������� � ��� ��� ��� ���� ����� ��� ����� ��� ���� �������� � ! ��� �� ���

&������1�1� E�����A��������� 79

Page 93: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

80 0�����1� '����������

��� �� �������� !�� ������ ���� �������2 21 (1/4) .� �≡ +

*�� ������ #�� ���������

1/2 1/2

1/2 1/2

1( )

2

1( )

2

r r r

r r

y y y

E y E y

� + −

= +

= +

�1/2 1/21

( ) .2 rE E y−= +

4���

1/2 1/21( )

2E E�

−= +

��

2 1/ 2 1/ 2 2

1

1/2 1/2 2

2

1( )

4

1( 2)

4

1[( ) 4]

4

1( 4).

4

E E

E E

E E

= +

= + +

= − +

= +

*�� ���������� ����

211 .

4� �≡ +

E������� !�� ������ ���� ��������� � ����� ����

( ) ( ).d

Dy x y xdx=

��� ������� � ��� ��� !�� ������ !���� ���� ������=�� ������

2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2! 3!

h hy x h y x hy x y x y x′ ′′ ′′′+ = + + + +�

����� ��� #�� !������ �� ���� ��#����� ���

2 2 3 3

( ) 1 ( ).2! 3!

h D h DEy x hD y x

⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

&���� ���� ������� �� ���� #��� ���� ��� ���� �������� ��� ����� !�� �#���� ������������� ������

.hDE e≡ �1�,�

Page 94: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

I���� ���� �������� �1�,� �����#������������� �������������#����������������������� ��� ����� ��� ��������� ���� ������� ����� ���� ����� ��� ���� ��!���� �� � ������������������������������������������� � �������� � ����� ��� ��������!��� �������� ���������� ���� ���� ��� ����� ������

������� �� I���� ���� ������ ��� ���������� ��� ��#����� ���!� ����

1 2( 1)

( 1) .2

n nx n x x x x n

n nu u nu u u� − − − −

−= − + + + −�

��� ������ ����� �������� !�� ������ !���� ���� ���������� ����� �����

1 2( 1)

( 1)2

nx x x x n

n nu nu u u− − −

−− + + + −�

1 2

1 2

1

( 1)( 1)

2

( 1)1 ( 1)

2

(1 )

11

1

,

n nx x x x

n nx

nx

n

x

n

x

n

xn

n nx

nx n

n nu nE u E u E u

n nnE E E u

E u

uE

Eu

E

uE

E u

u

− − −

− − −

−= − + + + −

−⎡ ⎤= − + + + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

=

=

!����� ��� ���� ��������� �����

������� � &��!� ����2 2

20 0 0 0 1 22! 2!

x x xe u x u u u u x u� �⎛ ⎞+ + + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� �

C�!�2

20 0 02!

x xe u x u u� �⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�2 2

012!

x xe x u

��⎛ ⎞

= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠�

(1 )0 0

x x xe e u e u� �+= =

0xEe u=

&������1�1� E�����A��������� 81

Page 95: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

82 0�����1� '����������

2 2

012!

x ExE u

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

2

0 1 2 ,2!

xu xu u= + + +�

!����� ��� ���� ��%������ �������

3.4 DETECTION OF ERRORS BY USE OF DIFFERENCE TABLES

A�����������#�������#�������������� ������������#�������������&����������������� ��� �� ���������3+����� �� �� ������� ��#����� ��������������������������������������������������������������!�����������������������������������#����������� ��� ���!� �� ��#��� 1�-�

Table 3.5 Detection of Errors using Difference Table

y Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5

00

0 00 0

0 0 00 0 1

0 0 10 1 –5

0 1 –41 –3 10

1 –2 6–1 3 –10

0 1 –40 –1 5

0 0 –10 0 –1

0 0 00 0

0 00

0

����� ��#��� ���!�� ���� �����!��� ����������������

�� ���� ������� ��� ���� ������ ���������!���� ���� ������ ��� ���� �����������

��� ���� ������� �� ��� ��� ����� ���� ���� #������ ������������ !������������� �����

���� ��������#���������������������������������������������J���� ��

��� ��������� ������ ������� ��������� ���� ������� ������ ����������� ������� ������ ������ ��� #�� ����� ��� ������� ������� #�� �����������#�����*�� ����������� ����� #�� ���� ��� �� �������

Page 96: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������� � 0������� ���� �����!��� ���������� ��#���

x y Δ Δ2 Δ3 Δ4

1 3010414

2 3424 –36378 –39

3 3802 –75 +178303 +139

4 4105 + 64 –271367 –132

5 4472 – 68 +181299 + 49

6 4771 –19 – 46280 +3

7 5051 –16264

8 5315

���� ���� 27B+� �� ���� ������� ���������� ����� ���� ������������ ��� ::K���:-7��� ������� ����� ��� ����0��������!������#��� 1�-� ��������� ����� �������� �� ������ ��� 2:-� �� ���� ����� ���� � � :� ���� �������� ������ ����� ��� ���������:+/- 3 :- � :+-/��!��������!�����������������!��������������#����������������������������������������������������������������������!������������#��� !���� ����� ����������� ��� ��� ���� � ����� ���� ������ ����������� ���� �!����������� �������

'���������� ���������� ��������������� ����������������������������!���#����������������������4������������������������������������#��������������������������������������������#����������� '������������������������������#����� �������� ���� ��� ��� ��� ����� ��� ������� ���� ������� #�� �����������

3.5 DIFFERENCES OF A POLYNOMIAL

6��� � �� � #�� �� ��������� ��� ���� ���� ������� ��� ����1 2

0 1 2( ) .n n nny x a x a x a x a− −= + + + +�

���� !�� �#���

1 10 1

1 20 1

( ) ( ) [( ) ] [( ) ]

( ) ,

n n n n

n nn

y x h y x a x h x a x h x

a nh x a x a

− −

− −

+ − = + − + + − +

′ ′= + + +

!���� 1 2, , , na a a′ ′ ′� ���� ���� �!� ������������

���� �#���� �%������ ��� #�� !������ ��

1 20 1( ) ( ) ,n n

ny x a nh x a x a� − −′ ′= + + +�

!����� ���!�� ����� ���� ������ ���������� ��� �� ��������� ��� ���� ���� ������� ���� ��������� ��� ������� �� 2 + � &��������� ���� ������ ���������� !���� #�� ���������������������� 2 7 ������������������������� � ��!����#�� 2

0 ( 1) .a n n h−

&������1�-� A���������������L������� 83

Page 97: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

84 0�����1� '����������

����� ���� ���� ���������� �� ���?��� !����� ��� �� �������� 4����� ��� �� 3 + ���

�������������������������������������������������!����#��J�����0������������ �������� ����������� ��� �� ��#������� ������� ���� ������� ��� ���� �� 3 + ����� 3 7 ��� "������������� ���� ������� ���� ���� ��#������� ������� ���������� ����������������������� '���������#������������ ���������������������������������������������������%������������� ��������������������������������������������� �����#������� ���������������� �������#������������� ��� �������������� ��� ���� ������ #����� ������ �������

3.6 NEWTON’S FORMULAE FOR INTERPOLATION

$���� ���� ���� ��� �� 3 + � �������� ��J�� ����� �� �� ����� �� �� ����� �� ��"�� ����� �� ���� �� ��� ��� ��� ��� ��%������ ��� ��� ���� � �� ��������� ��� �������� ������� ������������� ���� ���������������#������������� 6�������������������#���%�������������� ���

0 ,ix x ih= + 0, 1, 2, , .i n= �

&���� ���� � ��� �� ��������� ��� ���� ���� �������� ��� ��� #�� !������ ��

0 1 0 2 0 1

3 0 1 2

0 1 2 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

n

n n

y x a a x x a x x x x

a x x x x x x

a x x x x x x x x −

= + − + − − ⎫⎪⎪+ − − − + ⎬⎪

+ − − − − ⎪⎭

�1�K

'������ �!� ���� �������� ����� �� ��� ���� � ������� ������ ��� ���� ���� ����#������� ������� !�� �#���

2 31 0 0 0 0 0

0 0 1 2 32 31 0

; ; ; ; ; ;2! 3! !

� � � ��

� � � � � �

�n

n n

y y y y y ya y a a a a

x x h h h h n

&������ �� �� ��� 3� ��� ��� ��#��������� ���� ���� ���� "�� ���� 8%�� �1�K � �����

2 30 0 0 0

( 1) ( 1) ( 2)( )

2! 3!np p p p p

y x y p y y y� � �− − −= + + + +�

0( 1) ( 2) ( 1)

,!

np p p p ny

n�− − − ++ �

�1�+/

!��������!�� �=�� �������������������� ��� �� ���������������������������������� ���� �� ���������� ��� �� ���� ��� ��#����� �������

��� ���� ���� ������ �������� �� ��������� ���� ������ � �� � #������ ������ ��������� ���� �� !�� ���� 8%�� �1�B � ��� �#���

( 1)0 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),

( 1)!nn

nx x x x x x

y x y x yn

�+− − −− =

+�

0 �� � nx x �1�++

������� �����������!�������������������������������������� �� ��������������� ������� ����� �� 8%�� �1�++ � ��� �������� �� ���������� C������������

Page 98: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�� ����� �� � �������� ����� ���� �������� �� ���� ��������� �� ������� ����������� �������������� ��� #�� �#������ �� ���� �����!��� !���� 8������� ��� 3 � � #�������=�� ������� ����� ������� +�: �� !�� �#���

2

( ) ( ) ( ) ( )2!

hy x h y x hy x y x′ ′′+ = + + +�

C��������� ���� ����� �������� ��� ��� ������� ��!���� ��� ��� ����� �����

1 1( ) [ ( ) ( )] ( ).y x y x h y x y x

h h�′ ≈ + − =

*���������� ��� ��� �!���� ���M�������������������������������������#����%������ ������ ���� ��������� �������

1D

h�≡ ��� �� 1 1

1

1.n n

nD

h�+ +

+≡

*�� ����� �#���

( 1) 11

1( ) ( ).n n

ny x y x

h�+ +

+≈ �1�+7

8%������ �1�++ � ���� ����������� #�� !������ ��

1( 1) ( 2) ( )( ) ( ) ( )

( 1)!n

np p p p n

y x y x yn

�� +− − −− =+

��1�+1

�� !����� ���� ��� ��� �����#��� ���� ����������'������ ��� ������� ���� ��� �� 8%�� �1�K �� ��� !�� ������� ��� �� ���� ���

0 1 2 1

3 1 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

n n n n

n n n

n n n

y x a a x x a x x x x

a x x x x x x

a x x x x x x

− −

= + − + − −

+ − − − +

+ − − … −

��� ���� ������ ������������ �������������� � ���������������� ���� ��#����������� ���� ������ "�� ���� ���� ���� !�� �#���� ������� ���� ������������

2( 1) ( 1) ( 1)( ) ,

2! !n

n n n n np p p p p n

y x y p y y yn

+ + … + −= + ∇ + ∇ + + ∇� �1�+:

!���� �� �� �� 2 �� M������� ���!�� �=� �������� ���������� ����� ��� � � ����� ��� ��� ����

��#������������������������������ ��������������������������������������������������� �� ��� � ���� ��#����� �������

'�� ��� #�� ���!� ����� ���� ������ �� ����� ������� ��� #�� !������ ��

1( 1) ( 2) ( )( ) ( ) ( ),

( 1)!n

np p p p n

y x y x yn

�++ + +− = ∇+

��1�+-

!����� ��� 9� �� 9� ��� ��� �� �� ��� 3� ���

&������1�@� C�!��=��E�����������'���������� 85

Page 99: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

86 0�����1� '����������

���� �����!��� �������� ����������� ���� ���� ��� ������ ��������

������� �� E���������#������������!������� ������������!����������� �+ � �� 7:�� � �1 � �� +7/�� � �- � �� 11@�� �� � �B � �� B7/�� 4����� ��� �����!�����#���� ���� ������ ��� � �, �

*�� ���� ���� ���������� ��#���2 3

1 24

96

3 120 120

216 48

5 336 168

384

7 720

� � �x y

4��� �� �� 7� *��� ��� �� +��!�� ����� �� �� +�3� 7�� ����� �� ��� 2� + M7�� &�#������������� ������ ��� �� �� 8%�� �1�+/ � !�� �#���

3 2

1 1 1 1 11 1 2

1 2 2 2 2 2( ) 24 (96) (120) (48)

2 2 6

6 11 6.

x x x x xx

y x

x x x

− − − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= + + +

= + + +

��� �������� ��, �� !�� �#������ ����� �� �� BM7�� 4����� 8%�� �1�+/ � ������

7 (7/2)(7/2 1) (7/2) (7/2 1) (7/2 2)(8) 24 (96) (120) (48) 990.

2 2 6y

− − −= + + + =

A������ ��#��������� �� ��� � ����� ������� ���� ���� ������! �" �������������������������������������������������������� ������ �������� ����� ��� ������� ������������� ��� ����� ������� ����������� ���� ��������� ��� �� ��#������� ������� ��� �� ���������� ���� #���� ������������ ���������������!����� ����� ������ �������

������� �� I���� C�!��=�� ���!���� ���������� �������� ���� ���� ��

3 3 3 31 2 3 .nS n= + + + +�

*�� ����3 3 3 3 3

1 1 2 3 ( 1)nS n n+ = + + + + + +�4���

31 ( 1) ,n nS S n+ − = +

Page 100: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��3( 1) .nS n� = + ��

'�� �����!�� ����

2 3 3 21

3 2 2

4

( 2) ( 1) 3 9 7,

3( 1) 9 7 (3 9 7) 6 12

6( 1) 12 (6 12) 6.

n n n

n

n

S S S n n n n

S n n n n n

S n n

� � �

+= − = + − + = + +

= + + + − + + = +

= + + − + =

&���� 5 6 0,n n nS S S� �= = =� ��� �� �������������� ��������� �� ��E�������

1 1,S = 1 8,S� = 21 19,S� = 3

1 18,S� = 41 6.S� =

8%������ �1�+/ � �����

( 1)( 2) ( 1) ( 2) ( 3)1 ( 1) (8) (19) (18)

2 6

( 1) ( 2)( 3) ( 4)(6)

24

nn n n n n

S n

n n n n

− − − − −= + − + +

− − − −+

� � �

4 3 2

2

1 1 1

4 2 4

( 1).

2

n n n

n n

= + +

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

��������� N����������� ���������� ��������� ��������� �� ���� �����!����#���

�� ��� ������� ��� �

+- /�7-,,+K/

7/ /�1:7/7/+

7- /�:77@+,1

1/ /�-

1- /�-B1-B@:

:/ /�@:7B,B@

A������� ���� ������ ��� ��� 1,O�

&������1�@� C�!��=��E�����������'���������� 87

Page 101: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

88 0�����1� '����������

���� ���������� ��#��� ��

x sin x Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5

15 0.25881900.0832011

20 0.3420201 –0.00260290.0805982 –0.0006136

25 0.4226183 –0.0032165 0.00002480.0773817 –0.0005888 0.0000041

30 0.5 –0.0038053 0.00002890.0735764 –0.0005599

35 0.5735764 –0.00436520.0692112

40 0.6427876

��� ���� ��� 1,O��!�� ����C�!��=�� #�� !���� ���������� �������!��� ��� �� :/�� � � 1,�� ����� �����

38 40 20.4.

5 5nx x

ph

− −= = = − = −

4����� ����� 8%�� �1�+: �� !�� �#���

0.4( 0.4 1)(38) 0.6427876 0.4 (0.0692112) ( 0.0043652)

2

( 0.4) ( 0.4 1) ( 0.4 2)( 0.0005599)

6

( 0.4) ( 0.4 1) ( 0.4 2) ( 0.4 3)(0.0000289)

24

( 0.4) ( 0.4 1) ( 0.4 2) ( 0.4 3)( 0.4 4)(0.0000041)

120

� � �� � � �

� � � � �� �

� � � � � � ��

� � � � � � � � ��

y

�� � � � � � � �0.6427876 0.02768448 0.00052382 0.00003583 0.00000120

0.6156614.

� � � � �

������� �� E��� ���������� ���� �� ���� �����!��� ��#���

0 1

1 3

2 9

3 –

4 81

x y

8������ !��� ���� ������� �������� ���� 1�� �� 7B�

Page 102: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

&���� ����� ������ ���� ������ ���� ����� ����� ��� #�� ������������ #�� ������� ������� ��������� �� ��� 4��� ����� �� /�� &�#����������� �� �� 2� +� ������������� !�� ���

4 3 20 0 0 0 04 6 4 0.E y E y E y Ey y− + − + =

&��� � � ��� �� ���� ���� �#���� �%������ #�����

4 3 2 1 04 6 4 0.y y y y y− + − + =&�#��������� ��� ���� ���� ��� ��� ��� �� ���� �#����� !�� �#���

��� �� 1+�

���� ��#������� ������� ��� 1�� ��� ���� ������ ���������� �1 � ��� 7B������ ������ ��������������������������������������������1�� ���������������#���������� ��������� �� �� ��� ������ 1�

��������� ���� ��#���#���!������� �������������� ����� ����/�+/�������/�1/�tan

0.10 0.1003

0.15 0.1511

0.20 0.2027

0.25 0.2553

0.30 0.3093

x y x=

E�� � �� �� /�+7 �# �� /�7@� �� �� /�:/� �� �� �� /�-/�

���� ��#��� ��� ���������� ��x y Δ Δ2 Δ3 Δ4

0.10 0.10030.0508

0.15 0.1511 0.00080.0516 0.0002

0.20 0.2027 0.0010 0.00020.0526 0.0004

0.25 0.2553 0.00140.0540

0.30 0.3093

�� �����������/�+7 ��!�������/�+7 � /�+/ 3 ��/�/- ��!���������� 0.4.p =4����� 8%�� �1�+/ � �����

0.4(0.4 1)tan (0.12) 0.1003 0.4(0.0508) (0.0008)

20.4(0.4 1) (0.4 2)

(0.0002)6

0.4(0.4 1) (0.4 2) (0.4 3)(0.0002)

24

0.1205.

−= + +

− −+

− − −+

=

&������1�@� C�!��=��E�����������'���������� 89

Page 103: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

90 0�����1� '����������

�# ��� ���� �� �/�7@ �� !�� ���� /�7@� �� /�1/� 3� ��/�/- �� !����� ������� �� 2/�,�� 4����� 8%�� �1�+: � �����

0.8( 0.8 1)tan (0.26) 0.3093 0.8 (0.0540) (0.0014)

20.8 ( 0.8 1) ( 0.8 2)

(0.0004)6

0.8 ( 0.8 1) ( 0.8 2) ( 0.8 3)(0.0002)

240.2662.

� � �

� � �

� � � � ��

� � � � � � ��

L��������� ��� �� ���� ����� �� � �#����� !�� �#���

�� ��� �/�:/ � /�:7:+�� ��

�� ��� �/�-/ � /�--:1�

������������������� �������� ��� ����������������������� ��� �/�+7 �� ��� �/�7@ �����/�:/ ��������/�-/ ������������������/�+7/@��/�7@@/��/�:77,����/�-:@1�0�������� ��� ���� �������� ��� ������� ������� ���!�� ����� �� ���� �������!������� ������ ��� ����������� � ���� �������� �#������ ���� ������� ��������� !�������� ���� ������!�������� ��������������������� � ���������������%�������������#������� ������� ���������� ����������� ���� �������� ������� ����� ��� �� ��#��������������������������������������������������������������������������#�������� !����� #�� ��������P��������� ������������ ��� #�� �������� ���� ���������������

3.7 CENTRAL DIFFERENCE INTERPOLATION FORMULAE

'� ���� ��������� �������� !�� �������� ��� ���������� C�!��=�� ���!���� ��#�� !�������������������������!����������������#������� ������������������� #������ ��� ��� �������������� ��� ��#������� �������� *�� ������� �� ���������� �������� �������� ���� ������� ���������� �������� !����� ���� �����������������������������������������������#���������������������������������������� δ !��� �������� ���������� �� &������ 1�1�1�

����������������������������������������������������������&�������(������ ��� 8�������� ������ !���� #�� ���������� �� &������� 1�B�7�� 1�B�1� ��1�B�:�� ��������������$����=�� ��������� ���������� ��&������1�B�+�#���!�������� �������� ���� �� ������������ ���������� ����

3.7.1 Gauss’ Central Difference Formulae

'� ����� �������� !�� !���� �������� $����=� ���!���� ��� #�� !���� ��������

Gauss’ forward formula

*�� �������� ���� �����!��� ���������� ��#��� �� !����� ���� ������� �������� ���� �� ���� ��������� ��� ��� ������������ ��� �� �� ���

Page 104: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�������������������� �� ���� ������� ������ ���� ���� ���!� ����#���1�@����� ������� ���� ����������� ��� ���� ���

2 3 40 1 0 2 1 3 1 4 2� � � �

� � �

� � � � � ��py y G y G y G y G y �1�+@

!���� #��� #��� "� ����� ��� #�� ��������� ���� �� �� ���� ����� ����� ��� #����������� �� ������� �������� ���������������������������������� ��� �����!��

Table 3.6 Gauss’ Forward Formula

x y Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6

−3x −3y

−Δ 3y

−2x −2y −Δ23y

−Δ 2y −Δ33y

−1x −1y −Δ22y −Δ4

3y

−Δ 1y −Δ32y −Δ5

3y

0x 0y −Δ21y −Δ4

2y −Δ63y

Δ 0y −Δ31y −Δ5

2y

1x 1y Δ20y −Δ4

1yΔ 1y Δ3

0y

2x 2y Δ21y

Δ 2y

3x 3y

0�������

0

0

2 30 0 0 0

(1 ) , using relation (3.8a)

( 1) ( 1) ( 2)

2! 3!

pp

p

y E y

y

p p p p py p y y y

� � �

=

= +

− − −= + + + +�

&���������������������������8%���1�+@ ���������#��������������������� ���������� ������������� ����������� *�� ����

2 2 11 0

2 10

2 2 30

2 2 30 0 0 0

2 3 4 50 0 0 0

(1 )

(1 )

( )

y E y

y

y

y y y y

y y y y

� �

� �

� � � �

� � � �

� � � �

−−

=

= +

= − + − +

= − + − +

= − + − +

&������1�B� 0������A���������'�����������E������ 91

Page 105: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

92 0�����1� '����������

3 3 4 5 61 0 0 0 0

4 4 22 0

4 20

4 2 30 0 0 0

4 5 6 70 0 0 0

(1 )

( 2 3 4 )

2 3 4

y y y y y

y E y

y

y y y y

y y y y

� � � � �

� �

� �

� � � �

� � � �

−−

= − + − +

=

= +

= − + − +

= − + − +

4���� 8%�� �1�+@ � ������ ���� �������

2 30 0 0 0

( 1) ( 1) ( 2)

2! 3!

p p p p py p y y y� � �− − −+ + +

40

( 1) ( 2) ( 3)

4!

p p p py�− − −+ +�

2 3 4 50 1 0 2 0 0 0 0

3 4 5 63 0 0 0 0

4 5 6 74 0 0 0 0

( )

( )

( 2 3 4 )

y G y G y y y y

G y y y y

G y y y y

� � � � �

� � � �

� � � �

= + + − + − +

+ − + − +

+ − + − + +

� � �1�+B

8%������ ������������������������������������ ��������#�������������8%�� �1�+B �!�� �#���

1

2

3

4

,

( 1),

2!

( 1) ( 1),

3!

( 1) ( 1) ( 2).

4!

G p

p pG

p p pG

p p p pG

= ⎫⎪⎪− ⎪=⎪⎪⎬+ − ⎪=⎪⎪⎪+ − −= ⎪⎭

�1�+,

Gauss’ backward formula

����� ������������ ���������������!����� ������ ���� ���� ���!� ����#���1�B�

Page 106: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

Table 3.7 Gauss’ Backward Formula

x y Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6

� �

−1x −1y

−Δ 1y −Δ32y −Δ5

3y

0x 0y −Δ21y −Δ4

2y −Δ63y

Δ 0y −Δ31y −Δ5

2y

1x 1y

� �

$����= #�� !���� ������� ��� ���������� #�� ������� ��� #�� ��� ���� ���2 3 4

0 1 1 2 1 3 2 4 2py y G y G y G y G y� � � �− − − −′ ′ ′ ′= + + + + +� �1�+K

!���� 1 2, ,G G′ ′ � ����� ��� #�� ��������� E����!��� ���� ���� ���������� ��� $����= ���!���� ������� !�� �#���

1

2

3

4

,

( 1),

2!

( 1) ( 1)

3!

( 2) ( 1) ( 1)

4!

G p

p pG

p p pG

p p p pG

′ = ⎫⎪

+ ⎪′ = ⎪⎪

+ − ⎪′ = ⎬⎪⎪+ + −′ = ⎪⎪⎪⎭�

�1�7/

��������� E������������!�����#��������������������������������$����=���!���� �������

1.00 2.7183

1.05 2.8577

1.10 3.0042

1.15 3.1582

1.20 3.3201

1.25 3.4903

1.30 3.6693

xx e

*�� ����1.17 1.15 (0.05),p= +

&������1�B� 0������A���������'�����������E������ 93

Page 107: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

94 0�����1� '����������

!����� �����0.02 1

.0.05 4

p = =

���� ���������� ��#��� ��� ����� #���!�

x e x Δ Δ2 Δ3 Δ4

1.00 2.71830.1394

1.05 2.8577 0.00710.1465 0.0004

1.10 3.0042 0.0075 00.1540 0.0004

1.15 3.1582 0.0079 00.1619 0.0004

1.20 3.3201 0.0083 0.00010.1702 0.0005

1.25 3.4903 0.00880.1790

1.30 3.6693

I���� �������� �1�+@ � ��� �1�+, �� !�� �#���

1.17 2 (2/5)(2/5 1)3.1582 (0.1619) (0.0079)

5 2

(2/5 1) (2/5) (2/5 1)(0.0004)

6

3.1582 0.0648 0.0009

3.2221.

e−= + +

+ −+

= + −

=

3.7.2 Stirling’s Formula

�� ��� ���� ��� ��� $����=� ���!���� ��� #�� !���� ��������� !�� �#���

3 32 221 0 1 2

0 1( 1)

2 2 3! 2py y y yp p p

y y p y� � � ��− − −

−+ +−= + + +

2 24

2( 1)

4!

p py� −

−+ +� �1�7+

E������ ����� �� 8%�� �1�7+ � ��� ������� $������=� � ������

3.7.3 Bessel’s Formula

����� ��� �� ����� ������� ������� ���� ���������� ������������� ��� ��� ����� �������������� ��� ���!� �� ���� �����!��� ��#���� !����� ���� #��� ���� ��� �������� �������� ��� ���� ������� ���� ��� #�� �� ��

Page 108: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

� �

−1x −1y

0

1

x

x

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0

1

y

yΔ 0y

−⎛ ⎞Δ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

21

20

y

y −Δ31y

⎛ ⎞Δ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

42

41

y

y −Δ52y

⎛ ⎞Δ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠

63

62

y

y

� �

4���� (�����=� ������ �� #�� ������� �� ���� ���2 2

30 1 1 01 0 2 3 1

4 42 1

4

2 2

2

py y y y

y B y B B y

y yB

� �� �

� �

−−

− −

+ += + + +

++ +�

2 231 0

0 1 0 2 3 1

4 42 1

4

1

2 2

2

y yy B y B B y

y yB

� �� �

� �

−−

− −

+⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

++ +� �1�77

I������������������������&������1�B�+��������$����=����!������������!��#���

1

2

3

4

1,

2

( 1),

2!

( 1) ( 1/2),

3!

( 1) ( 1) ( 1),

4!

B p

p pB

p p pB

p p p pB

⎫+ = ⎪⎪⎪− ⎪=⎪⎪⎪− − ⎬= ⎪⎪⎪+ − − ⎪=⎪⎪⎪⎭�

�1�71

4����� (�����=�� ������������ ������� ��� #�� !������ ��

2 231 0

0 0 1

4 42 1

( 1) ( 1) ( 1/2)

2! 2 3!

( 1) ( 1) ( 2)

4! 2

py yp p p p p

y y p y y

y yp p p p

� �� �

� �

−−

− −

+− − −= + + +

++ − −+ +� �1�7:

&������1�B� 0������A���������'�����������E������ 95

Page 109: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

96 0�����1� '����������

3.7.4 Everett’s Formula

����� ��� �� ����������� ����� ������������ ������� ��� ����� ���� ���� ����������������� ��� ���!� �� ���� �����!��� ��#���

0x 0y −Δ21y −Δ4

2y −Δ63y

– – – –

1x 1y Δ20y −Δ4

1y −Δ62y

4���� ���� ������� ���� ���� ���

2 4 2 40 0 2 1 4 2 0 1 2 0 4 1py E y E y E y F y F y F y� � � �− − −= + + + + + + +� � �1�7-

��������������� 0 0 2 2 4 4, , , , , ,E F E F E F � ���#�����������#��������������� ��� �� ���� ��������� ������� ��� !�� �#���

0

2 2

2

2 2 2 2

4

1 ,

( 1 ),

3!

( 1 ) ( 2 ),

5!

E p q

q qE

q q qE

= − =

−=

− −=

0

2 2

2

2 2 2 2

4

,

( 1 ),

3!

( 1 ) ( 2 ),

5!

F p

p pF

p p pF

= ⎫⎪⎪−= ⎪⎪⎬

− − ⎪= ⎪⎪⎪⎭�

�1�7@

4���� 8������=�� ������� ��� ����� #�

2 2 2 2 2 22 4

0 1 2

2 2 2 2 2 22 4

1 0 1

( 1 ) ( 1 ) ( 2 )

3! 5!

( 1 ) ( 1 ) ( 2 )

3! 5!

pq q q q q

y qy y y

p p p p ppy y y

� �

� �

− −

⎫− − −= + + + ⎪⎪⎬⎪− − −+ + + + ⎪⎭

�1�7B

!���� %� �� +� 2� ��

3.7.5 Relation between Bessel’s and Everett’s Formulae

������������������������������������������������������#��������������� �������������#���������#�������������� ������������!��������!����(�����=� ������

2 231 0

0 0 1

4 42 1

( 1) ( 1) ( 1/2)

2! 2 3!

( 1) ( 1) ( 2)

4! 2

py yp p p p p

y y p y y

y yp p p p

� �� �

� �

−−

− −

+− − −= + + +

++ − −+ +�

Page 110: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

2 22 21 0

0 1 0 0 1

4 42 1

( 1) ( 1) ( 1/2)( ) ( )

2! 2 3!

( 1) ( 1) ( 2)

4! 2

y yp p p p py p y y y y

y yp p p p

� � � �

� �

−−

− −

+− − −= + − + + −

++ − −+ +�

����������������������������������� �� �������� ��!����������������������������������� ������������

20 1

21 0

2 2 2 22 2

0 1 1 0

( 1) ( 1) ( 1/2)(1 )

4 6

( 1) ( 1) ( 1/2)

4 6

( 1 ) ( 1 )

3! 3!

pp p p p p

y p y y

p p p p ppy y

q q p pqy y py y

� �

− − −⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦− − −⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

− −= + + + + +

� �

!����� ��� �����=� � ������ ��������� ������ ������ ������������ 4���� !������ �� ������� ��� ���������� ��������� ����� 8������=�� ������� ��������� ����������� ����������� ��� �%�������� ��� (�����=�� ������� ��������� ������ �����������������'����������!����(�����=������������#��������������8������=��

3.8 PRACTICAL INTERPOLATION

'� ���� ��������� ��������� !�� ����� �������� ���� ������������ �������� ��������������������������� ���������%�����������*������������������������������ ���� ���� ��������� ������5

�� E����������������������#�������������������#��������������C�!��=����!���� ��� #�� !���� ������������ �������� ����� ��� #�� �����������������

��� E����������������������������������������������������������!���������� ��������

&������=�� ������� ��� 1 1– ,

4 4p≤ ≤

� � � � ��

(�����=�� ������� ����1 3

.4 4

p≤ ≤

'�����#�����!��������� �������������������������������#��������(�����=�������� ��� �#���� ����� ����� ���� ��������� ���� &������=�� �������� '�� ��������� ����������� ���� ���� ���� @/� �� ��������� ���� 8������=�� ������������� #�� ����������

���������� ���������!�����#�������������������������������������%��������������� ��� ��� E��� ���� ������ ��� ��� !��� �� �� /�@::�

&������1�,� L���������'���������� 97

Page 111: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

98 0�����1� '����������

0.61 1.840431

0.62 1.858928

0.63 1.877610

0.64 1.896481

0.65 1.915541

0.66 1.934792

0.67 1.954237

xx y e=

���� ��#��� ��� ����������� ��

x y = ex Δ Δ2 Δ3 Δ4

0.61 1.8404310.018497

0.62 1.858928 0.0001850.018682 0.000004

0.63 1.877610 0.000189 –0.0000040.018871 0

0.64 1.896481 0.000189 0.0000020.019060 0.000002

0.65 1.915541 0.000191 0.0000010.019251 0.000003

0.66 1.934792 0.0001940.019445

0.67 1.954237

0�������

0.644 0.640.4.

0.01p

−= =

���� ������ ���������� �����#����� ��� #����&������=�� ���(�����=�� �������� ��������#���� ��� ����� &������=�� ��������!�� �#���

0.018871 0.019060 0.16(0.644) 1.896481 0.4 (0.000189)

2 2

1.896481 0.0075862 0.00001512

1.904082,

y+= + +

= + +

=

!�����(�����=�� ������� �����0.4(0.4 1) 0.000189 0.000191

(0.644) 1.896481 0.4(0.019060)2 2

1.896481 0.0076240 0.0000228

1.904082.

y� �

� � � �

� � �

Page 112: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

I���� 8������=�� �������� !�� ���� ����

0.6 (0.36 1)(0.644) 0.6 (1.896481) (0.000189)

20.4 (0.16 1)

0.4 (1.915541) (0.000191)2

1.1378886 0.000012096 0.7662164 0.000010696

1.904082.

� �

� �

� � � �

y

'� ���� ���� �#���� ������� ���� ������ �#������ ��� �������� ��� ���� ������� �������'�� ��� �!� ���� ����#��� ����� ���� ���� ������� ��������� !����� ������

�������� �� 3 + � ������ ��� ���%���� 4���� ���� �������� ������������ ��������������� ����� ���� ��������� ���� ��������� ����� ��� ���� ���� ���������� '������������� �����!�� ����� ���� ���� ������������ �������� ������� ����� ���� ������������������������ ��� ������������ �� �����#�����������!�����!�� ���� �����������������������������/�@::����+�K/:/,7���������������!��������������������

������� ��� E��� ���� ��#��� ���8������ 1�+/�� ���� ���� ������ ��� ���!���� �� /�@1,�� ����� &������=�� ��� (�����=�� ��������

'�� !��� ������� �� &������ 1�,� ����� &������=�� ������� ������ ���� ������������������� ��� 2+M:�������+M:�����(�����=�� ������� ���������������� ���+M:������� 1M:�� '������� ������� ������ ���������!�� ����������� ����� ��� ��������� ��� ����� �� ���������� ���� ������������ ��%�������

��� ���� &������=�� �������� !�� ������ ��� �� /�@:� ��� ��� �� /�@1,� ��� ������ �� 2/�7�� 4����

0.018871 0.019060 0.04(0.638) 1.896481 0.2 (0.000189)

2 2

1.896481 0.0037931 0.0000038

1.892692,

y+= − ⋅ +

= − +

=

!����� ��� �������� ��� ���� ����� ������� ������E���(�����=�� ��������!�� ������� ��� �� /�@1�� ��� �� /�@1,� ��� ������� �� /�,�

4����� !�� �#���

0.8(0.8 1)(0.638) 1.877610 0.8(0.018871) (0.000189)

2

1.877610 0.0150968 0.0000151

1.892692, as before.

y−= + +

= + −

=

������� �� �������������������������������������������!�����#����E������ ������ ��� ���!�� 1.7475.x =

&������1�,� L���������'���������� 99

Page 113: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

100 0�����1� '����������

x y = e–x Δ Δ2 Δ3 Δ4

1.72 0.1790661479–17817379

1.73 0.1772844100 177285–17640094 –1762

1.74 0.1755204006 175523 13–17464571 –1749

1.75 0.1737739435 173774 22–17290797 –1727

1.76 0.1720448638 172047 15–17118750 –1712

1.77 0.1703329888 170335–16948415

1.78 0.1686381473

'�� �������#������� ����� ��!������ ��������������� �� �����#���� ��#���� ���J�����#��!����������������������������������������������������������������������� ������ �� ���� ����� ��� ������ ������������ ���� �#��� +B1BB:������� #�� �� �� ��� /�////+B1BB:� �� ���� �����������

��� ������� � �+�B:B- �� !�� ������� ��� �� +�B:� ��� �� �� +�B:B-� ��� ������ �� 1M:��*�� ������ �#���� ���� �������� #�� ����� #���� (�����=�� ��� 8������=���������

�� '�� !�� ���� (�����=�� �������� ���� ������ ����������� ���� ��� #�� �� �����������������������������@/�����������������4����(�����=�������� �����

3(1.7475) 0.1755204006 (0.0017464571)

4(3/4)(3/4 1) 0.0000175523 0.0000173774

2 2

0.1755204006 0.00130984284 0.00000163734 0.00000000137

0.1742089218, correct to ten decimal places.

y = −

− ++

= − − +

=

��� >�������������������!������8������=������������������������������������ !�� �#���

.

0.04388010015 0.00000068564 0.13033045764 0.00000095033

(1/4)(1/16 1)(1.7475) (0.1755204006) (0.0000175523)

4 63 (3/4)(9/16 1)

(0.1737739435) (0.0000173774)4 6

0.1742089218, as before

y

− + −

1 −= +

−+ +

=

=

Page 114: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����� ������� ��������� ���� ������� ��� &������ 1�B�-� ����� 8������=�� ������������������������������������������%�����������(�����=����������������������� ������ ������������ *��� ���� ������� ���������� �����#����� #��������������� ������!��� ������������7/������ ��������� ��8������=�� ������!���� #�� ������� ��� ������ ����� ��� ����� ���� ���� ���� ������ �����������

3.9 INTERPOLATION WITH UNEVENLY SPACED POINTS

'� ����������������������!��������������� ������������ ������������������������� ��� ���������� ������ ���������� ���� �� ���� �������� (���� ��� ���!��� �!������������������������������������%�������������������������������������#��� ��� #�� �%������ �������� '�� ��� ���������� ������#��� ��� ����� �������������������!���� ��%������ ������� ������� ��� ���� ��������*�� ��������� �� �������������������������������������������������� �6������=�������������������� !����� ����� ���� ���� ������� �������� ��� � 4�����=�� ������������������!������������������6������=�������������� �C�!��=��������������������������� !����� ����� !���� ���� ������� �������� ����������� ����� ��� �=� ����� ��� ������������ #�� ���������

3.9.1 Lagrange’s Interpolation Formula

6������ �#������������������������#��� �� 3 + � ����� �� ���� �������� ��� � �$���� ���� �� 3 + � ����� ����� �� �� ����� �� ��"�� ����� �� �!����� ���� ������� ��� ����� ��� ����������� #�� �%������ �������� !�� !���� ��� ���� �� ��������� ��������� ��� ���� ���� �� ����� ����

( ) ( ) ,n i i iL x y x y= = 0, 1, ,i n= � �1�7,

(������ �������� ���� ������� �������� !�� ������ �������� �� ������� �������J��������%����������������������������������������� �����������������!�������������� ����������� ��&������������������������ ������������������ #�

011 0 1

0 1 1 0( )

x xx xL x y y

x x x x

−−= +− −

0 0 1 1

1

0

( ) ( )

( ) ,i ii

l x y l x y

l x y=

= +

=∑ �1�7K

!����

10

0 1( )

x xl x

x x

−=−

�� 01

1 0( ) .

x xl x

x x

−=−

�1�1/

&������1�K� '�����������!����I������&������L���� 101

Page 115: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

102 0�����1� '����������

E��� 8%�� �1�1/ �� ��� ��� ���� ����

0 0( ) 1,l x = 0 1( ) 0,l x = 1 0( ) 0,l x = 1 1( ) 1.l x =

������ ��������� ��� #�� ���������� �� �� ���� �������� ���� ��

1, if( )

0, if .i ji j

l xi j

=⎧= ⎨ ≠⎩�1�1+

��� ���� � �� 8%�� �1�7K � ����� ����� ���� ��������

101

0 10 1 1 00

( ) ( ) ( ) 1.ii

x xx xl x l x l x

x x x x=

−−= + = + =− −∑ �1�17

8%������ �1�7K � ��� ������������ � ��� ���� � ������ �� ������� �� ����!�� ����� ����� �� �� ����� �� � '� �� ������� !���� ���� �������� � ��� ���� � ������ � � ������� �������� ������ ����� ����� �� �� ����� �� � �� ����� �� ��!������ ��

2

20

0 2 0 11 20 1 2

0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

i ii

L x l x y

x x x x x x x xx x x xy y y

x x x x x x x x x x x x

==

− − − −− −= + +

− − − − − −

�1�11 !����� ���� ���� � �������� ���� ��������� ����� �� 8%��� �1�1+ � ��� �1�17 �

��� ������� ���� ������� �������� ���

20 1 2( ) n

n nL x a a x a x a x= + + + +� �1�1:

#�� ���� �������� ��������� ��� ���� ���� ������� ����� ����� ��������� ����� �8%�� �1�7, � �������� ���� ����� �� �� � ���� �� � ���� ����������� &�#�������������� �������� �� 8%�� �1�1: �� !�� �#���� ���� ������ ��� �%������

20 0 1 0 2 0 0

21 0 1 1 2 1 1

22 0 1 2 2 2 2

20 1 2 .

nn

nn

nn

nn n n n n

y a a x a x a x

y a a x a x a x

y a a x a x a x

y a a x a x a x

⎫= + + + +⎪⎪= + + + + ⎪⎪⎪⎬= + + + +⎪⎪⎪⎪= + + + + ⎪⎭

�1�1-

Page 116: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� ���� ��� 8%�� �1�1- � !���� ����� �� �������� ��

20 0 0

21 1 1

2

1

10.

1

n

n

nn n n

x x x

x x x

x x x

� � � �

�1�1@

���� ������ ��� ����� ���������� �������&������ ���=� ����������� ��

0 1 0 2 0 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).n n n nx x x x x x x x x x x x−− − − − − −� � �

8�������� ���� ���� "�� ��� ���� 8%�� �1�1: � ��� �1�1- �� !�� �#���

2

20 0 0 0

21 1 1 1

2

( ) 1

1

0,1

1

nn

n

n

nn n n n

L x x x x

y x x x

y x x x

y x x x

=

� � � � �

�1�1B

!����� ���!�� ��������� � ��� �� ������ ��#������ ��� ���� ���� ����"�� ���� 4���!�� !����

0

( ) ( ) ,n

n i ii

L x l x y=

=∑ �1�1,

!���� ���� � ���� ���������� �� �� ��� ������� �� &��������� � �� ��� ���� �� �� /�� +�7�� "�� ��� 8%�� �1�17 � �����

( ) 0 if,

( ) 1 for all

i j

j j

l x i j

l x j

= ⎫≠ ⎪⎬

= ⎪⎭!����� ���� ���� ���� ��� 8%�� �1�1+ � 4���� ���� � ��� #�� !������ ��

0 1 1 1

0 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i n

ii i i i i i i n

x x x x x x x x x xl x

x x x x x x x x x x− +

− +

− − − − −=

− − − − −� �� �

�1�1K

!����� �#�������� ���������� ���� ��������� �1�1+ �'�� !�� �!� ���

1 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n i i i nx x x x x x x x x x x x x�� � �

� � � � � � �� � �1�:/

���1 1

0 1 1 1

( ) [ ( )]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

in i n x x

i i i i i i i n

dx x

dx

x x x x x x x x x x

� �� � �

� �

��

� � � � � �� � �1�:+

&������1�K� '�����������!����I������&������L���� 103

Page 117: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

104 0�����1� '����������

��� ����� 8%�� �1�1K � #�����

1

1

( ) .( )( ) ( )

ni

i n i

xl x

x x x

���

� �

�1�:7

4���� 8%�� �1�1, � �����

1

10

( )( ) ,

( ) ( )

nn

n ii n ii

xL x y

x x x

���

��

� �� �1�:1

!�����������������������=������ ��� �� ������ ��������������� ���� ���������� 8%�� �1�1K �� ���� ������� �������� ����� ��� � � ���������� '����������� ��� �� �� 8%�� �1�:1 �� !�� �#���� ���� ������

1

10

( )( ) ,

( ) ( )

nn

n ii n ii

yL y x

y y y

���

��

� �� �1�::

!����� ��� ������� ���� ������� ����� ��� ��'�������������������!����������6����������������������������������%���

��� ������ ������!�� ������ ���� ��������� 6�� ( )nL x #�� �� ���������� ����������� ���� �� ��� ������� ��� ��������� �� ��� ����� ����

( ) ,n i iL x y= 0, 1, 2, , .i n= �

���� ���� ��������� ������� #��'�� �� !����

( ) ( ) ( )n nM x L x L x= −�������� ��� ���� �� 3 + � ����� , 0, 1, , .ix i n= � 4���� !�� ����

( ) 0,nM x ≡!����� ���!�� ����� ���� �� ( )nL x ���� ���������

���)��� ��������� ��� ����� ������� ��� ����� ���� ������������ ��8%�� �1�:: ���� ������� ��������� E�������� ��� ��� ���� ������� �� ����� ��� ��� �������#��� ����������%���������%���� ������������ �����#������� 0 1, , , nx x x… �������#��� ������� I���� ����� ������� ��� ���� ��!������ ��������� ��� ����� ���� �������������� ��������� ��� ������� ��� ������� ��� ��������

���� �����!��� �������� ����������� ���� ���� ��� 6������=�� �������

������� �� 0������ ������������ ������� ��� �� �� 10log x ����1//��7�:BB+ ���1/:��7�:,7K ���1/-��7�:,:1 �����1/B��7�:,B+ � E��������1/+�

E��� ������� ����� �� 8%�� �1�:1 �� !�� �#���

10( 3) ( 4) ( 6) (1) ( 4) ( 6)

log 301 (2.4771) (2.4829)( 4) ( 5) ( 7) (4) ( 1) ( 3)

(1) ( 3) ( 6) (1) ( 3) ( 4)(2.4843) (2.4871)

(5) (1) ( 2) (7) (3) (2)

1.2739 4.9658 4.4717 0.7106

2.4786.

− − − − −= +− − − − −− − − −+ +−

= + − +

=

Page 118: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������� ��� '�� ��� �� :�� ��� �� +7�� ��� �� +K� ��� ��� �� B�� ���� ��I���� 8%�� �1�:: �� !�� ����

( 5) ( 12) (3) ( 12) (3) ( 5)(1) (3) (4)

( 8) ( 15) (8) ( 7) (15) (7)

1 27 4

2 14 7

1.86.

x− − − −= + +− − −

= + −

=

���� ������� ������ ��� 7�/� ����� ���� �#���� ������� !���� �#������ ���� ����������� ��� � �� ��� 3� 1�

������� ��� E��� ���� 6������� ������������ ��������� ��� ������� 7������������������������ � � � �������#�����������!�����#�������������4���� �������� ���� ������ ��� �� 7�B�

ln

2 0.69315

2.5 0.91629

3.0 1.09861

x y x=

*�� ����

20

( 2.5) ( 3.0)( ) 2 11 15.

( 0.5) ( 1.0)

x xl x x x

− −= = − +− −

&���������!�� ���

21( ) (4 20 24)l x x x= − − + �� 2

2 ( ) 2 9 10.l x x x= − +

4���

2 22

2

2

( ) (2 11 15) (0.69315) (4 20 24) (0.91629)

(2 9 10) (1.09861)

0.08164 0.81366 0.60761,

L x x x x x

x x

x x

= − + − − +

+ − +

= − + −

!����� ��� ���� ��%������ %��������� ���������L������ �� �� 7�B�� �� ���� �#���� ���������� !�� �#���

22ln 2.7 (2.7) 0.08164 (2.7) 0.81366 (2.7) 0.60761 0.9941164.L≈ = − + − =

������� ������ ��� �� 7�B � /�KK17-+,�� ��� ����

| Error | 0.0008646.=

&������1�K� '�����������!����I������&������L���� 105

Page 119: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

106 0�����1� '����������

������� ��� ���� ������ �� �� �� �� ��� ��#������� #���!

sin

0 0

/4 0.70711

/2 1.0

x y x

=

I���� 6������=�� ������������ �������� ���� ���� ������ ��� �� ��M@ �

*�� ����

( /6 0) ( /6 /2) ( /6 0) ( /6 /4)sin (0.70711) (1)

6 ( /4 0) ( /4 /2) ( /2 0) ( /2 /4)

8 1(0.70711)

9 9

4.65688

9

0.51743.

� � � � � � �

� � � � � �

− − − −≈ +− − − −

= −

=

=

������� ��� I����6������=����������������������������������������������� � �� � ���� ���� �����!��� ��#��

0 12

1 0

3 12

4 24

x y

&��� ����/ !�� ����+� ��� �����!�� ���� � 2 + ��� �� ������� 6������ ��� �� 2 + (�� ����� (�� � �� �M�� 2 + �� *�� �!� ��#������ ���� ������� ��� �� ��� (�� �

( )

0 12

3 6

4 8

x R x

�������� 6������=�� ������� ��� ���� �#���� ��#���� !�� ���

2

( 3) ( 4) ( 0) ( 4) ( 0) ( 3)( ) (12) (6) (8)

( 3) ( 4) (3 0) (3 4) (4 0) (4 3)

( 3) ( 4) 2 ( 4) 2 ( 3)

5 12.

x x x x x xR x

x x x x x x

x x

− − − − − −= + +− − − − − −

= − − − − + −

= − +

Page 120: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

4���� ���� ��%������ ��������� ������������ ��� � �� � ��� ����� #�2( ) ( 1) ( 5 12).y x x x x= − − +

3.9.2 Error in Lagrange’s Interpolation Formula

8%�������1�B ����#�����������������������������������6������������������������� ���� ���� ������ ��� �������� !����� ����� ��������� ������������ �������� �� ��� ��3+ � �� F�� �G� *��� ����������� ����

( 1)1( )( ) ( ) ( ) ( ),

( 1)!nn

n nx

y x L x R x yn

��

��� � �

a b�< < �1�:-

��� ���� %������� ���� !����

[ , ]max | ( ) |L na b

E R x= �1�:@

��� #�� �� �� ��� �� �������� ��� ������ E�������� ��� !�� ������ ����

( 1)1| ( ) | ,n

ny M�++≤ a b�≤ ≤ �1�:B

���

11

[ , ]max | ( ) |

( 1)!n

L na b

ME x

n��

��

��1�:,

���� �����!��� �������� ����������� ���� ���������� ��� ���� ������

������� ��� 8�����������������������������������#��������8����� 1�+-�&��� �� �� �� ��� !�� �#��� 2 31/ , 1/ and 2/ .y x y x y x′ ′′ ′′′= = − = '�� �����!�

����� 3( ) 2/ .y � �′′′ = ������������������������������ �� ����������������������� ���������� �� F7� 1G� 4���

3

( 2) ( 2.5) ( 3) 2( ) ,

6nx x x

R x�

− − −= 2 3�< <

(��

3 3

1 1 1.

82�< =

*�� �� �� 7�B�� !�� ���������� �#���

(2.7 2) (2.7 2.5) (2.7 3) 2 0.7 0.2 0.3| ( ) | 0.00175,

6 8 3 8nR x− − − × ×≤ = =

×

!����� ������� !���� ���� ������� ������ ����� �� 8������ 1�+-�

������� ��� 8�����������������������������������������8������1�+@�

&��� � �� � �� �� ��� !�� ����

( ) cos ,y x x′ = ( ) sin ,y x x′′ =− ( ) cos .y x x′′′ =−

&������1�K� '�����������!����I������&������L���� 107

Page 121: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

108 0�����1� '����������

4��� | ( ) | 1.y �′′′ <

*�� �� �� �M@�

( /6 0) ( /6 /4) ( /6 /2) 1| ( ) | 0.02392,

6 6 6 12 3nR x� � � � � � � �− − −≤ = =

!������������!������������������������������������#��������8������1�+@�

3.9.3 Hermite’s Interpolation Formula

���� ������������ �������� ��� ���� ���������� � �� ���� ��� ���� �� �������#���������������������*���!�������������������������������!����#���� ���� ������� ��� ���� ������ ����������� ������� ���� ��� #�� �������� ��� ������������������������������������������������)�����=������ ��� �� ���������� ������������ ���#��� ��� ���� ������� ��� �����!���$���� ���� ���� ��� ��������� ( , , ), 0, 1, , ,i i ix y y i n′ = � ��� ��� ��%������ ��� �������� �� ��������� ������ ������ �������� ��� 2 1( ),nH x+ ����� ����

2 1( )n i iH x y+ = �� 2 1( ) ;n i iH x y+′ ′= 0, 1, , ,i n= � �1�:K

!����� ���� ������ ������ �������������� !���� �������� ��� ��� ���� ��������

2 1( )nH x+ ����������)�����=������ ��� �� ��� ������*�������������7� 3 7 ���������������������������#���������������������#������������� �7� 3 7 ��� ���� ������� ��� ���� ��������� �� �7� 3 + � '� �������!���� ���� 6������������������ ������� �1�:1 �� !�� ��� � �� ������������� ��� ���� ���

2 10 0

( ) ( ) ( ) ,n n

n i i i ii i

H x u x y v x y+= =

′= +∑ ∑ �1�-/

!���� ���� ��� ���� ���������������������������� �7� 3 + ��I��� ���������1�:K �� !�� �#���

1, if( ) ; ( ) 0, for all0, if

1, if( ) 0, for all ; ( )

0, if .

i j i

i i j

i ju x v x ii j

i ju x i v x

i j

= ⎫⎧= ⎨ ⎪=≠⎩ ⎪

⎬=⎧ ⎪′ ′= = ⎨ ⎪≠⎩ ⎭

�1�-+

&���� ���� � ��� ���� � ���� ���������� �� �� ��� ������� �7� 3 + �� !�� !����

2( ) ( ) [ ( )]i i iu x A x l x= �� 2( ) ( ) [ ( )] ,i i iv x B x l x= �1�-7

!���� ���� � ���� ����� #�� 8%�� �1�:7 � '�� ��� ����� ��� ���� ���� *��� � �� +��� � ���#���� ������ �������� �� �� *�� ���������� !����

2( ) ( ) [ ( )]i i i iu x a x b l x= + �� 2( ) ( ) [ ( )]i i i iv x c x d l x= + �1�-1

Page 122: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

I���� ��������� 8%�� �1�-+ � �� 8%�� �1�-1 �� !�� �#���

1

0

i i i

i i i

a x b

c x d

+ = ⎫⎪⎬

+ = ⎪⎭�1�-:�

��

2 ( ) 0

1.

i i i

i

a l x

c

′+ = ⎫⎪⎬

= ⎪⎭�1�-:#

E��� 8%�� �1�-: �� !�� ������

2 ( ), 1 2 ( )

1, .

i i i i i i i

i i i

a l x b x l x

c d x

′ ′= − = + ⎫⎪⎬

= = − ⎪⎭�1�--

4���� 8%�� �1�-1 � #����2

2

( ) [ 2 ( ) 1 2 ( )] [ ( )]

[1 2 ( ) ( )] [ ( )]

i i i i i i i

i i i i

u x x l x x l x l x

x x l x l x

′ ′= − + +

′= − − �1�-@� ��

2( ) ( ) [ ( )] .i i iv x x x l x= − �1�-@#

I���������#����������������������� ������� ���8%���1�-/ ��!���#����������

2 22 1

0 0

( ) [1 2( ) ( )] [ ( )] ( ) [ ( )] ,n n

n i i i i i i i ii i

H x x x l x l x y x x l x y+= =

′ ′= − − + −∑ ∑ �1�-B

!����� ��� ���� ��%������)����� ����� ��� � � ���������������!���������������������������������������4�����=���������

�������� � E�������������������4��������������������������������������� ����� ���� ��� �� �� �� /�� +�

L����� 1n = �� 4�����=�� ������� �1�-B �� !�� �#���

2 23 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1

2 20 0 0 1 1 1

( ) [1 2( ) ( )][ ( )] [1 2 ( ) ( )][ ( )]

( ) [ ( )] ( ) [ ( )] .

H x x x l x l x y x x l x l x y

x x l x y x x l x y

′ ′= − − + − −

′ ′+ − + − ��

&���

1 10

0 1 1( )

x x x xl x

x x h

− −= =−

�� 0 01

1 0 1( ) ,

x x x xl x

x x h

− −= =−

!����� ��� �� ��� 2� ���� 4���

01

1( )l x

h′ = − �� 1

1

1( ) .l x

h′ =

&������1�K� '�����������!����I������&������L���� 109

Page 123: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

110 0�����1� '����������

����� 8%�� �� � ���������� ��22

0 01 13 0 12 2

1 11 1

2( ) ( )( ) 2( )( ) 1 1

x x x xx x x xH x y y

h hh h

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −− −= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2201

0 0 1 12 21 1

( )( )( ) ( ) ,

x xx xx x y x x y

h h

−− ′ ′+ − + − ���

!����� ��� ���� ��%������ 4������ �������

������� � � A������� ���� 4������ ��������� ��� ������� -�� !����� �������� �����!��� ����� ��� ����� ���� �� ����������� ������ ��� �� 7�B�

ln 1/

2.0 0.69315 0.5

2.5 0.91629 0.4000

3.0 1.09861 0.33333

x y x y x′= =

������������������ ��������������#�������������8������1�+-� ����� ���

20 ( ) 2 11 15,l x x x= − + 2

1( ) (4 20 24),l x x x= − − + 22 ( ) 2 9 10.l x x x= − +

*�� ���������� �#���

0 ( ) 4 11,l x x′ = − 1( ) 8 20,l x x′ = − + 2 ( ) 4 9.l x x′ = −4���

0 0( ) 3,l x′ = − 1 1( ) 0,l x′ = 2 2( ) 3l x′ =

8%������� �1�-@ � ����2 2

0

2 21

2 22

( ) (6 11) (2 11 15) ,

( ) (4 20 24) ,

( ) (19 6 ) (2 9 10) ,

u x x x x

u x x x

u x x x x

= − − +

= − +

= − − +

2 20

2 21

2 22

( ) ( 2) (2 11 15)

( ) ( 2.5) (4 20 24) ,

( ) ( 3) (2 9 10) ,

v x x x x

v x x x x

v x x x x

= − − +

= − − +

= − − +

&�#��������� ����������������� ��8%�� �1�-B ��!���#���� ������%������4�������������

2 25

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

( ) (6 11) (2 11 15) (0.69315)

(4 20 24) (0.91629)

(19 6 ) (2 9 10) (1.09861)

( 2) (2 11 15) (0.5)

( 2.5) (4 20 24) (0.4)

( 3) (2 9 10) (0.33333).

H x x x x

x x

x x x

x x x

x x x

x x x

= − − +

+ − +

+ − − +

+ − − +

+ − − +

+ − − +

Page 124: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

L������ �� �� 7�B� ��� ���������� !�� �#���

5ln (2.7) (2.7) 0.993252,H≈ =!����� ��� �������� ��� ���� ������� ������� ����� ��� ���������� �� ���� ��������������� ���� ����� �#������ #�� ����� ���� 6������� ������������ �������

3.10 DIVIDED DIFFERENCES AND THEIR PROPERTIES

����6�������������������������������������&����� 1�K�+� ���������������������������������������������������!���������������������������������������������� �!������������#������������ *��������������� �����������������������!����� ���� ���� ��������� ����� �� ��������� ��� ������� ���������� #�� ��������������#���������������!������ C�!��=��������������������������������� ����� ���������� ��� �������!���������������������������������� '� ������ ��������� �������� �� ����� ������� ��� ������ ����� ����������� ��� �������������� ��� ������ ����������� ��� �#���� ���� #����� ������� ���� ��� C�!���

6�� 0 0 1 1( , ), ( , ), , ( , )n nx y x y x y� #�� ���� ���� ( 1)n + ������ ���� ����������� ����������� ��� ������ +� 7� "� �� ���� ������� #�� ���� ���������

1 00 1

1 0

1 2 0 10 1 2

2 0

1 2 0 1 10 1

0

[ , ] ,

[ , ] [ , ][ , , ] ,

[ , , , ] [ , , , ][ , , , ] .n n

nn

y yx x

x x

x x x xx x x

x x

x x x x x xx x x

x x�

� �� ��

����� �

� �����

� �� ��

�� �

�1�-,

8��� ��� ���� �������� ���� �%����� ���� �������� ����������� ��� ������ ����� ������ *�� ��� ��� ��� �� ��� 3� �� ��� ����

0 1 0 00

0 0

0

0

[ , ] lim [ , ]

( ) ( )lim

( ), if ( ) is differentiable.

x x x x

y x y x

y x y x

= +

+ −=

′=

&��������

00 0 0

( 1) arguments

( )[ , , , ] .

!

r

r

y xx x x

r+

=����1�-K

&������1�+/� A�������A�������������������L��������� 111

Page 125: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

112 0�����1� '����������

E��� 8%�� �1�-, �� ��� ��� ����� ��� ���� ����

0 10 1 1 0

0 1 1 0[ , ] [ , ].

y yx x x x

x x x x= + =− −

�����

1 02 10 1 2

2 0 2 1 1 0

021

2 0 2 1 2 1 1 0 1 0

0 1

0 1 0 2 1 0 1 2

2

2 0 2 1

1[ , , ]

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )

.( ) ( )

y yy yx x x

x x x x x x

yyy

x x x x x x x x x x

y y

x x x x x x x x

y

x x x x

⎛ ⎞−−= −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟− − − − −⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

= +− − − −

+− −

�1�@/

&�������� ��� ��� #�� ���!� ����

0 10 1

0 1 0 1 0 1

0 1

,[ , , ]( ) ( ) ( ) ( )

.( ) ( )

nn n

n

n n n

xy y

x xx x x x x x x x

y

x x x x −

= + +− − − −

+− −

� �� �

��1�@+

4���� ���� �������� ����������� ���� ���������� �� ������ ��������C�!� ���� ���� �������� #�� �%������ ������� ��� ���� 1 0 2 1x x x x− = − =�

1 .n nx x h−= − = ���� !�� �#���

� 1 00 1 0

1 0

1[ , ]

y yx x y

x x h�

−= =−

(3.62)

2 21 2 0 1 010 1 2 0 02 2

2 0

[ , ] [ , ] 1 1 1[ , , ]

2 2 2!

x x x x yyx x x y y

x x h h h h h

�� � �− ⎛ ⎞= = − = =⎜ ⎟− ⎝ ⎠�1�@1

��� ���������

0 1 01

[ , , , ] .!

nn n

x x x yh n

�=� �1�@:

'�� ���� ��#�������������� ����������������������������� ��� 0n y� !�����#�

�� ������� ��� ����� ���� ���� �������� ���������� !����� ����� #�� �� �������E��� ���� ���� ��� ������� ����� �� �� �� �� /�� +�� 7��"����� �������� ����������� ��

#�� ��������� #�� ���� �����!��� ���������

Page 126: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�������� ��������������� ��� ����� �� �� �� ��

������������

������������ ��

���� ������DD( –1, +1)–DD( –1, )

X( + )–X( )

i j i j

i j j������������

3.10.1 Newton’s General Interpolation Formula

(������������!������

00

0

–[ , ] ,

y yx x

x x=

��� ������ �� ��� 3� ��� 2� �� F��� ��G �1�@-

����

0 0 10 1

1

[ , ] [ , ][ , , ]

x x x xx x x

x x

!����� �����F��� ��G� �� F���� ��G� 3� ��� 2� �� � F��� ���� ��G

&�#��������� ����� ������ ��� F��� ��G� �� 8%�� �1�@- �� !�� �#���

�� �� ��� 3� ��� 2� �� F���� ��G� 3� ��� 2� �� ��� 2� �� F��� ���� ��G �1�@@ (��

0 1 0 1 20 1 2

2

[ , , ] [ , , ][ , , , ] ,

x x x x x xx x x x

x x

��� ��F��� ���� ��G� �� F���� ���� ��G� 3� ��� 2� �� F��� ���� ���� ��G �1�@B

8%������ �1�@@ � �!� �����

�� �� ��� 3� ��� 2� �� F���� ��G� 3� ��� 2� �� ��� 2� �� F���� ���� ��G

3� ��� 2� �� ��� 2� �� ��� 2� �� F��� ���� ���� ��G �1�@,

L��������� �� ����� !���� !�� �#���

�� �� ��� 3� ��� 2� �� � F���� ��G� 3� ��� 2� �� ��� 2� �� F���� ���� ��G

� � � � � 3� ��� 2� �� ��� 2� �� ��� 2� �� F���� ���� ���� ��G� 3��

� � � � � 3� ��� 2� �� ��� 2� �� ��� 2� �� ��� ��� 2� �� F��� ���� ����"�� ��G �1�@K

����� ������� ��� �������!�� �,� ������� ����� ��� � � �������� ������������������- ���� ����� ���� #���� ���� �������� ���� ������ �� 3 + � �����

������������������������������������������������������#�������������#�� ���� �����!��� ���������

&������1�+/� A�������A�������������������L��������� 113

Page 127: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

114 0�����1� '����������

6������#����%������������������������������������������

������������������������������ �������������������������������������������������������� �����������

������� � ���������������������������������������������C�!��=������������������� �������� !�� �������� ���� ����� ��� 8������ 1�+1�

���� �������� ���������� ��#��� ��

x 10log x

300 2.47710.00145

304 2.4829 0.000010.00140

305 2.4843 00.00140

307 2.4871

4���� 8%�� �1�@K � �����

10log 301 2.4771 0.00145 ( 3) ( 0.00001) 2.4786, as before.= + + − − ='���������������������������������������������������������!������������� ����� �� 6������=�� ������

������� � I���� ���� �����!��� ��#��� ���� � �� � ��� �� ��������� �� ��

( )

1 30 63 396 8227 1611

x f x

���� �������� ���������� ��#��� ��x f (x)

–1 3–9

0 –6 615 5

3 39 41 1261 13

6 822 132789

7 1611

Page 128: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

4���� 8%�� �1�@K � �����

4 3 2

( ) 3 ( 1) ( 9) ( 1) (6) ( 1) ( 3) (5) ( 1) ( 3) ( 6)

3 5 6.

f x x x x x x x x x x x

x x x

= + + − + + + + − + + − −

= − + −

3.10.2 Interpolation by Iteration

C�!��=��������� ����������������������#��������������������������������������!�����������������������������������������������������������*�� �!� ������#�� ������� ������ ��� ����� ������� ���� �����0����� ��� !�������� ���� ��������� ��� #���� ����� ������� ��������� ���� �� �������� ��������

$���� ��� ��� 3� + � ������ ������� �� ����� �� ��"�� ����� �� ��!����� ���� ��������� �� ���� ��� ����������� #�� �%������ �������� ���� ��� ���� ���� ������ ��� ������������� ��� ��� ����� ������ ��� �� !�� �������� ������������ ��� �����!���#���� �� ������ ������������ ��� �� #�� ���������� ���� �������!�� ������ ���;���� �#���� ���� ������ ������������ #�� ���������� ���� ������������ ��������� ��� �� *�� ������ ���� ��������� ������������ ���������� #� ( ),xΔ !��������#��� ��#��������� ��� ����� ��� ���� ������ ������ ��� ������������� !�� ����

0 001 0 0 0 1

1 11 0

1( ) ( ) [ , ] .

y x xx y x x x x

y x xx x�

−= + − =

−−�1�B/

&��������� !�� ��� ��� 02 03( ), ( ),x x� � �C����� !�� ���� ����� #�� ���������� ���� ������������ ������

01 1012

02 22 1

( )1( ) .

( )

x x xx

x x xx x

��

�−

=−−

�1�B+

&���������!���#��� 013 014( ), ( ), etc.x xΔ Δ ��������������������������������!�� �#���

1012 1012

1 012 2

( )1( ) .

( )

��

�� �

� �

��

�nn

nn n nn n

x x xx

x x x x x�1�B7

���� ����������� ��� ���������� #�� �������� ��� �� ��#��� 1�,� #���!�

Table 3.8 Aitken’s Scheme

x y

0x 0y

Δ01( )x1x 1y Δ012( )x

Δ02( )x Δ0123( )x2x 2y Δ013( )x Δ01234( )x

Δ03( )x Δ0124( )x3x 3y Δ014( )x

Δ04( )x

4x 4y

&������1�+/� A�������A�������������������L��������� 115

Page 129: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

116 0�����1� '����������

�����������������������������������C��������������������#���1�K��C������=������� ��� ������������� ������� ���� ��������� ������� ������������

Table 3.9 Neville’s Scheme

x y

0x 0y

Δ01( )x1x 1y Δ012( )x

Δ12( )x Δ0123( )x2x 2y Δ123( )x Δ01234( )x

Δ23( )x Δ1234( )x3x 3y Δ234( )x

Δ34( )x

4x 4y

��� �� ������������ ������ �=��������� !�� ��������� ������ 8������ 1�77�

������� � � ��� �=�� ������ ��

x 10log x

300 2.47712.47855

304 2.4829 2.478582.47854 2.47860

305 2.4843 2.478572.47853

307 2.4871

4��� ������ 1/+� �� 7�:B,@�� ��� #���������#��������������������� �=���������������� �������� ����� �

�� �������� � �� ����� � ��� �����

3.11 INVERSE INTERPOLATION

$���� �� ���� ��� ������� ��� �� ��� ��� ���� �������� ��� ������ ���� ������ ��� �� ����������������������� ���������������������� ��� ���*���������������������������%���� ���������� ���������#������!��������������� ������������� ���#������������������� ��6������=�������� �=����������I������6������=��������!�������������������������8������1�+:��*��!�����!��������������������� #������ ������ �=�� ��� C������=�� �������

��� �=�� ������ ����� ��#��� 1�, � ��

4 11.750

12 3 1.8571.600

19 4

y x

Page 130: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

!������� C������=�� ������ ����� ��#��� 1�K � �����

4 11.750

12 3 1.8572.286

19 4

y x

4���� #���� ���� ������� ����� ��� ���� ���� ������� ����������� '� �����������!������C������=���������������#������������ ���� ���������� ������ ����� ������ ������ ������ ������ !����� ���� ������� ��� ��� ���� ����� ���� ������������� .rx x= '�� ���� ��� �������� �������� ��� ���#��� ����� ������� ���������������������������������������������� ���������.������������������

*��� ���� ������� ��� �� ���� �%������ �������� ���� ������ ��� ������������������������ ������#��� #���!�� ������� #�� �����

Method of successive approximations

*��������!����C�!��=�����!���������������������F����8%���1�+/ ��&����� 1�@G!������ ��

2 30 0 0 0

( 1) ( 1) ( 2)

2 6uu u u u u

y y u y y y� � �− − −= + + + +� �1�B1

E��� ������ !�� �#���

2 30 0 0

0

1 ( 1) ( 1) ( 2).

2 6uu u u u u

u y y y yy

� ��

− − −⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦� �1�B:

C�����������������������������������������!���#���������������������������� �� ��� ������ !�� !������ ��� �����!�

1 00

1( ).uu y y

y�= − �1�B-

C���� !���#�������������������������������#����������������������������� ������ ����������� �����

21 12 0 0

0

( 1)1,

2uu u

u y y yy

��

−⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦�1�B@

!�����!����������������������������������������������������� ������&��������!�� �#���

2 32 2 2 2 23 0 0 0

0

( 1) ( 1) ( 2)1

2 6uu u u u u

u y y y yy

� ��

− − −⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦�1�BB

&������1�++� '������'���������� 117

Page 131: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

118 0�����1� '����������

�������� ��������������������#����������������!������������������������������������!������������������������%��������������� ������������������������#������ ��� ���� �����!��� �������

������� � � ��#����� ������ ��� ����7��1��:����-��������������� ������#������ ��� +/� �������� ��� ����� ������� �������

x y = x3 Δ Δ2 Δ3

2 819

3 27 1837 6

4 64 2461

5 125

4��� 2 30 0 0 010, 8, 19, 18 and 6.uy y y y y� � �= = = = = ���� ����������

������������� ��� �� ����� ����������

1

2

3

4

5

0.1532(0.1532 1) 0.1532(0.1532 1) (0.1532 2)2 (18) (6) 0.1541

2 6

0.1541(0.2

0.1 (0.1 1)2 (18) 0.15

2

0.15 (0.15 1) 0.15 (0.15 1) (0.15 2)2 (18) (6)

2 6

1

19

1(2) 0.1

19

1

19

10.1532

19

1

19

u

u

u

u

u

− − −− − =

−− =

− − −− −

= −

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

= 1541 1) 0.1541(0.1541 1) (0.1541 2)(18) (6) 0.1542.

2 6

− − −− =⎡ ⎤

⎢ ⎥⎣ ⎦

*��� ����������� �� � �� �� /�+-:� �������� ��� ������ ������� ������� 4���� ��������� ��� �� �!����� ����������� �� �� �� +/ � ����� ���� ��#�� ����� ��� +/� ��� ����#�� ��� 3� ��� �� 7�+-:�

���������������������������������������#��!���������������������������� ���� �������� ��� ����#����� �%�������

3.12 DOUBLE INTERPOLATION

'����������������������!�������������������������������������������������� ���������� �� �����������#��� E��� �� ���������� �!��������������#����� �����������#����������������#����� ����������������� ��� ��� �����������!�����������������������������#��� ����������������������������������������!����������� ��� ���� ������ �����#���� ��� ��� �� ���� ������ ��� ������������ #���!�����������������!�������#�����E�������������������������������������������������������� ���� &������ -�1�

Page 132: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�������� � ���������!�����#�����������������������/����������������������� �� ��� ��� E��� /� !�� �� �� 7�-� �� �� �� +�-�

x

y 0 1 2 3 4

0 0 1 4 9 16

1 2 3 6 11 18

2 6 7 10 15 22

3 12 13 16 21 28

4 18 19 22 27 34

*�� ������ ����������� !���� �������� ��� �� ������ �� ������� E��� �� �� 7�-�� !��#���� ���� �����!��� ��#��� ����� ������ ����� ��� ��

0 6.51 8.52 12.53 18.54 24.5

y z

C�!��!�� �����������!���� �������� ����� ����� ������ ���������������� �����E��� �� �� +M-�� !�� �#���

8.5 12.510.5

2z

+= =

��� ���� /�7�-� +�- ���+/�-������������ ���� ��#������� ������� �� /� ����� 3����3 �������� /�7�-� +�- ���+/�/� ��� ����� �������������������������������� -Q�

EXERCISES

��� E��� �� ��#��� ��� ����������� ���� ���� ������

� �� � �� ��� 3� -�� 2� B

������ �� 2+�� /�� +�� 7�� 1�� :�� -��0������ ���� ��#��� ��� �#���� � �@ � ��� � �B �

��� 8�������

�� � ���� �# � ������� � �� � �F��� 3� + ��� 3� 7 G

�� � ������� �� �( )

( )

f x

g x�⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

��� 6������ ��� �������� ���� ������ �� ���� �����!��� ��#���

� 7�- 1�/ 1�- :�/ :�- -�/ -�-

� :�17 :�,1 -�7B -�:B @�7@ @�BK B�71

8����� 119

Page 133: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

120 0�����1� '����������

��� 6������ ��� �������� ���� ������ �� ���� �����!��� ��#���

� +�// +�/- +�+/ +�+- +�7/ +�7- +�1/

�� 7�B+,1 7�,-BB 1�//:7 1�+-7, 1�17/+ 1�:K/1 1�@@K1

��� L����� ���� �����!���

�� � ��� �� ����� 3������� 3�������� 3��� 3���������� 3����������

�# ������ �� ����� 2��0��������� 3�

�0� ������� 3��� 3� �2+ ���

�� � ��� 3� ��� 3��� 3� ��� ���0� ��� 3�

�0������ 3��� 3�������

��� E��� ���� �����!��� ��#���� ���� ���� �#��� ��� �������� !��� �#������� �� #��!��� @/� ��� B/�

R�� �� �#����� /2:/ :/2@/ @/2,/ ,/2+// +//2+7/

C��� ��� ������� 7-/ +7/ +// B/ -/

�� E��� ���� ���������!����� ������������ ���� �����!��� �������

� 1 : - @ B , K

� +1 7+ 1+ :1 -B B1 K+

'�� �����#���1+� ��� ���� ������ ������� ���� �������� ���� ���� ������ ��� �������� ����� ��� ���� �������

�� E��� � �/�71 � ��� � �/�7K � ���� ���� �����!��� ��#���

� /�7/ /�77 /�7: /�7@ /�7, /�1/

� �� +�@-K@ +�@@K, +�@,/: +�@K+7 +�B/7: +�B+1K

��� L����� ����

�� � �� �� ��� 32

2

��# � ����� �� ����

���� E��� ���� ��#��� ��� ��#��� ����� #���!�� ���� �@�1@ �� ��� �@�@+ ��

� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��

�� ������ ������� ������ ������� ������ ����� ������

���� A����� ���� ���������� �� �� ��� �� ��� ���� ��� ���!� ����

�� �2

r r rk k r r

ky y y�� + += ∇ = �# � 2

k k ky y y�� �∇ = ∇ =

�� � ��� ��2

� + ∇�� � +� 3� ����� ��

221

12�

� ��� �� �

�� � ��� �� �+� 3� � �� �� �1

1– .k

k k k

y

y y y

��+

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Page 134: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� &��!� ����

1/2221

12 4

�� ��

⎛ ⎞⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

���� E��� ���������� ����� �� ���� �����!���

� / - +/ +- 7/ 7- 1/

� + 1 5 B1 77- 5 ++-1

���� A������ ����������� ���� ���� ������� �� C�!��=�� �������� ��� ���!������ #�� !���� ������������ 8������� ���� ����� ������ ���� �� �������� ��� ��� �� �� 8������ 1�@� �#������ #�� ������������ �� ���� ����+-O� �� �� �� :/O�

���� 0������ ������� ��� �� ��� � �� � ���� ����� #���!�� E��� � �+�71- �

� +�// +�/- +�+/ +�+- +�7/ +�7-

��� /�@,7@,K /�B/@7,7 /�B7,@@, /�B:K,-@ /�B@K,@+ /�B,,B//

���� L����� ���� �����!��� ���������

�� � ���� �� �� �# � ������ �� �� 2�2

��� � �� �� ������

�� � �� 2� �� �� � � �� � �� �� �����2

hD �

��� I���� $����=�� ���!���� �������� ���� ���� ������ ��� � �17 � ����� ����� �7- � �� /�7B/B�� � �1/ � �� /�1/7B� � �1- � �� /�11,@� ��� � �:/ � �� /�1BK:�

��� &�����$����=��#�� !����������������������������������������� 12525,

����� ����� 12500 � �� +++�,/1:�� 12510 � �� +++�,:,+�

12520 � �� +++�,K7,�� 12530 � �� +++�K1B-� ��� 12540 � �� +++�K,77�

���� &����� &������=�� ������� ���� ������������ ��� ���� ������ ��� �� ��#��� ��������� ��� ���� ������ ���� ���� �����!��� ��#���

� +�B +�, +�K 7�/ 7�+ 7�7

�� -�:B1K @�/:K@ @�@,-K B�1,K+ ,�+@@7 K�/7-/

���� I���� &������=�� �������� ���� ����/�+B �� ����� ����� ����/ � �� +�����/�/- � �� /�KK,,�� ����/�+/ � �� /�KK-/�� ����/�+- � �� /�K,,,�����/�7/ � �� /�K,/+�� ����/�7- � �� /�K@,K�� ��� ����/�1/ � �� /�K--1�

���� &�����(�����=������������������������������������������������I������� ������� ��� ������ ���� ���#��� �� 1�7/�

8����� 121

Page 135: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

122 0�����1� '����������

���� ���� �������� ��������� �������� ��� ���� ������ ��� ��� ������� ��

/2

20

1( )

1 sin

�k m dm

E��� ��/�7- � ����� ������/�7/ � �� +�@-K@�� ��/�77 � �� +�@@K,�� ��/�7: � �� +�@,/:���/�7@ � �� +�@K+7�� ��/�7, � �� +�B/7:�� ��/�1/ � �� +�B+1K�

���� I����(�����=�� �������� ���� � �- � ����� ���� � �/ � �� +:�7B�� � �: � �� +-�,+�� � �, � �� +B�B7�� ��� � �+7 � �� +K�K@�

���� E��� (�����=�� �������� ������� ���� �����!��� ������� ���� ��!��������������

� � � �2 2 4 41/2 0 1 1 0 2 1

1 1 3( )

2 16 256y y y y y y y� � � �

� � �

� � � � � � ��

8�������� ���/�7/ � ����� �������/�+- � �� /�+:K:�� ���/�+B � �� /�+@K7�� ���/�+K � �� /�+,,K����/�7+ � �� /�7/,-�� ���/�71 � �� /�77,/�

���� A������8������=�������������(�����=���������������!������8������=�������� ��������� ������ ������ ����������� ��� �%�������� ��� (�����=�������� ��������� ������ ������ ������������ I��� 8������=�� ������� ��� �������+7�-O � ����� ��������/O � �� +�� ����-O � �� /�KK@7�� ����+/O � �� /�K,:,�� ����+-O � �� /�K@-K�����7/O � �� /�K1KB�

���� I���� 8������=�� �������� ��������� � �7- � ���� ���� ���� ��� ������� �7/ � �� 7,-:�� � � �7: � �� 1+@7�� � �7, � �� 1-::�� � � �17 � �� 1KK7�

��� &����� 6������=�� ������������ ������� ��� ���� �� #���� ���� ���� �������������������������

��� *��������������������6������=����������E����������������!��������� ���� �����!��� ����

�2+�� B �� �+�� - � ��� �7�� +- �

���� E��� � �7 � ���� ���� �����!��� ����� ����� 6������=�� ������

� / + 1 : -� / + ,+ 7-@ @7-

���� 6��� ���� ������� ��� ���� ������� �� �� �� �� #�� ��#������� ��� ���� �#�������/���M:� ����M7�� '�� ����6�������������������� � ��� ������� ��� ����� ��������� �� #���� ���� ���� ������ �� ���� ������������ ������

���� E��� �� ��#��� ��������� !����� ����� ���� ����

�27�� 2+7 �� �2+�� 2, �� �7�� 1 � ��� �1�� - �

Page 136: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� &��!� ����

1

10

( )1,

( ) ( )

���

��

� ��

nn

i n ii

x

x x x

!����������� � �� ��� 2� �� �� 2� �� ��� 2� �� ��� ��� 2� �� ����� '� ������� ��������� ���� � �������� ������� ��� ����� �� ���� ������������

������� ���������� '�� �� ������� � �/ � ��� �������� ������ ��� �� �� �������������0�� ��� ���� ���� ����"�� ��� ���� ������ ������ ������0�� ���

C� � �/ �/� �� 7�� ���� ��� ���� ��������� ��� ���� ���� "�� ��

F���� �������� ��� � �/ � �� /� �� �� ��� ������� ��� limz a→

�/� 2� � � �/ G

'��������������"���������������������������������� �� �!��������������������� ��� �� �� ������� �������0�� ���� ���!� ����

1

1

( ) ( )1( ) – ( )

2 ( – ) ( )n

nnC

y t x dty x L x

i t x t�

���

� �

���� 6������=������������#��������������������������������������������� �������� ��������� ������ &����� F+K@BG � 8������

� �� � ��2

3 2

– 3

2 2

x x

x x x

+− − +

��� �� ��� ��� �������� ���������

���� 8���#�����C�!��=����������������������������������������������������������������������������A������C�!��=�����!�������#�� !������������� ������������ �������� ��� ����������� ������

���� $���

� �� � ��2

1

x�

���� ���� �������� ����������� F��� �G� ��� F��� ��� �G�

��� $���� ���� ���� ��� ��#������������� �/�� 7 �� �+�� 1 �� �7�� +7 � ��� �+-�� 1-,B ���������� ���� ����������� � �� �� ������� � �: ������C�!��=������������������� �������

��� �������� �������� ���������� F������������"�� ��G� ��� #�� ���������� ��� ���%������� ��� �!�� ����������� &��!� ����

0 1 2

0 1 20 1 2

0 1 22 2 20 1 2

1 1 1

[ , , ]1 1 1

x x x

y y yx x x

x x x

x x x

8����� 123

Page 137: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

124 0�����1� '����������

���� &��!� ����

F���� ��G� ��1

0 0 1 1 1

0

( ) ,y x t x t dt′ +∫!����� �� �� /� ��� �� 3� �� �� +�

���� ��#������ ������� ��� ���� ���� �� �� /�/�/+ �� +�/� ��� ���� ���� ����������� �� ������ ���%��������� ������������� �����6������=�� �������

���� '�� � �� � ��1

x�� ������ ����

0 10 1

(–1)[ , , , ] .

r

rr

x x xx x x

… =�

���� I����4�����=���������������������������������������������:�7����

���� ����� �������� ��� ��� �� �� ��1

x �

�:�/��+�1,@7K��/�7-/// ���:�-��+�-/:/,��/�77777 ���-�/��+�@/K::��/�7//// �

���� E��� ���� 4������ ��������� ��� ���� ������ ������� ������������ ���������� � �� � ����� ����

��/ � �� +� ���/ � �� /���+ � �� 1� ���+ � �� -�

���� N������ ��� �� ��� 3 x � ���� ����� #���!�-+�� 1�B/, �� �--�� 1�,/1 �� �-B�� 1�,:, �� E��� �� !��� 3 x � �� 1�B,/�

���� E��� ���� ��#������ ������������ ������� ��J�� �+�:�� :�/--7 �� �+�-�� :�:,+B ��+�@��:�K-1/ ���+�B��-�:B1K ��������!��������:�B++-������������������� ����������� �������������

���� ���� ����������������������!����� ���������� ���� �������������� �/��+ ��+�� 7 � ��� �7�� + � ���� � + 3 7� 2 �� �# � +� 2� 7�� 3� �� �� � + 2 7� 2 �� �� � + 3 7� 3 ��

E��� ���� �������� ����������� �� ���� �#����

��� '�� ��� �� +� 3� 7�� 3� 1���� !����� ��� ��� ���� �����!��� ��� ��� ����5

�� ���� �� @�� 3� - �# ���� �� @

�� ���� �� / �� �� �� ��� 3� ��

��� *����� ��� ���� �����!��� ��������� ���� ����5

�� ������� � �� ����

1 ( )

h

x x h+ +�# ����� 7� � �� 7� �� �� ��� 3� �

�� ����� � �� @� �� �� �� �����

�� ��� �� �+� 2� � �� �� ��� ��2

� + ∇

Page 138: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�� ���� �� ����� �� 2

3 6x xE

�� ��� �

� ��� ����� ����

���� E��� ���� ������� /� �� � ���� � �� ���� �����!��� ������� ���� ����

� �/�� / � �� /� � �/�� + � �� 7� � �/�� 7 � �� @�� �+�� / � �� +� � �+�� + � �� 1� � �+�� 7 � �� B� � �7�� / � �� :� � �7�� + � �� @� � �7�� 7 � �� +/�

8��������������������� �/�-��/�- �#����������������������������������� ������� ���� ������� !���� ���� ������� ������ �#������ ���/� �� ��� 3� ��� 3� ��

���� 8������� ���� ������ ��� � �+�-�� +�- � �� L��#��� 1�:K� ��� ������� ���������!���� ���� ������� ������

Answers to Exercises

��� 71K�� 1B+��� �� � @����� 3� � � �# � ���� ��� 3� 7� � 2� 7���� ��3�� � 3� ���� �

�� � 7�� 3� : �� � 1tan( )

h

x x h�� �

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x h g x g x h f x

g x g x h

+ − ++

��� -�B:��� 1�+-,7 ��� -:�� ��+ � �� 1� ��+/ � �� +++ �� +�@B-+�� +�B/,7���� 7-B�7-K�� 7,,�,/- ���� +B�--+���� /�///////+ ���� /�B,1+B7��� /�1+@- ��� +++�K+-7���� @�B-1+ ���� /�K,-@���� /�K,-@ ���� +�@,-,���� +@�7- ���� /�+K,B���� /�KB@1 ���� 17-+

���1

3�++��� 2� 1�� 3� B ���� +@

���� /�/71K ���� 3 21 3 241 39–

15 20 60 10x x x� � �

����1 1 1

–2( 1) 2( 1) 2x x x

� �

� � �

���� 2 2 2 2 2

( ),

� � � �a b ab bc ca

a b a b c��� +:-: ���� S ��� � 2� ���� S� �� @�:+-� � +/��

���� +�:1-/,+ ���� +� 3� ��� 3� ��

���� -: ���� +�--���� �� ��� �� ��� �� �� �� �� �� �� �� ���� +�-���� L������� ��� �� L��#��� 1�:K�

8����� 125

Page 139: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

4.1 INTRODUCTION

��� ��������� � ������ ��� ������ ���������� ���� ���� �� ��� ������ �� ������ ������� ����� ���� �������� ��� �������� ���� ��������� ���� ����� ������ �� ��� ������ ������������� �������� ����� ������� ���� ���� ������������ �������� �� �������������� ���� ����� ������� ���� ������ ������ �� ����� ����� ���� ������������������������������������������������� ���������������������� ����������������� ��� ��� ���� �������� ��� ���� ������� ��� ���� !��� ���������� ������������� ������ �� ��������� �� "������ #�#�

���� ���� �� ��� ����������� �� �������� ��� ����� ��� $���������� ���� ���������������"������#�%���������������������������������������� � ����������

���$�������&����������������������� ���� ������� ����������� ������ �'������������� �� ����� ������������ ���������(�������)�����*�� ��������������� ����������� ������ ������ ����� ������ ����� ������ ��� � ������������������� ����� ���� ���� �� ��� �� ���� +�� ��� +��)� � ���� ��� �������� �� �� ���� �����������������������!��������������������� ���� �������� ������������� ������,� ���� ���� �������� �������� ���� !������ ��������� �� ������������ ���� �� �����������������������������!����������������������!���� !������ ��������� -!!�.� ���� ��������� �� ���� � �� "������ #�/�

4.2 LEAST SQUARES CURVE FITTING PROCEDURES

0��� ���� ���� ��� ����� ������ ��� -��� ��.�� �� 1� (�� +��)����� ���� ��� ���� ������ ������� � 1� � -.� ��� ������ ��� ���� ������2�� � 1� ��� ���� ����� �������� �� ��� ���� ���

���

�������������� �����������������

�������

Page 140: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������������� �� ��� ��� ���� ������ ������ �� � -�.�� ��� ��� �� ���� ������ ������������� ��� � 1� ��� ����� ��� ����

��� 1� ��� 3� � -�. -#�(.��� ��� ����

2 2 21 1 2 2

2 2 21 2

[ ( )] [ ( )] [ ( )]

,

m m

m

S y f x y f x y f x

e e e

= − + − + + −

= + + +

� -#�+.

������������������ ������������������������ ������ ����� ������������������������ ������������ ��� ���� �� ����� ������������ ��� � ������ ���� ����� ������ ����� ����� �������� ������ ��� ����� ����� -��� ��.�� �� 1� (�� +��)����

4.2.1 Fitting a Straight Line

0��� �1����4������������������� ���������������������������������� ��-�����.��� 1� (�� +�� )�� ��� ������ ������������� ��� 5��� -#�+.�� ��� ����

�� 1� 6��� 3� -��� 4� ���.7�� 4� 6��� 3� -��� 4� ���.7

4��� 4� 6��� 3� -��� 4� ���.7� -#�&.

!��� �� ��� ��� ���� ��� ����

0

S

a

∂∂

1� 8� 1� 3+6��� 3� -��� 4� ���.7� 3� +6��� 3� -��� 4� ���.7

� 3��� 3+6��� 3� -��� 4� ���.7 -#�#�.���

1

S

a

∂∂

1� 8� 1� 3+�6��� 3� -��� 4� ���.7� 3� +�� 6��� 3� -��� 4� ���.7

� 3��� 3+�� 6��� 3� -��� 4� ���.7 -#�#�.

���� ������ ��������� �� ��� ��

���� 4� ��-�� 4� �� 4��� 4� �.� 1� ��� 4� ��� 4��� 4� �� -#�%�.���

��-�� 4� �� 4��� 4� �.� 4� �� ( )2 2 21 2 mx x x+ + +� 1� ���� 4� ���� 4��� 4� ���

-#�%�.��� ���� ������ �� ��

0 11 1� �

� �� �m m

i ii i

ma a x y -#�/�.

���

20 1

1 1 1

m m m

i i i ii i i

a x a x x y� � �

� �� � � -#�/�.

"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 127

Page 141: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

128 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

5�������� -#�/.� ���� �� ��� ���� ������ ����������� ���� ���� ��� �� ���� ���� ������ ���� ����� �� ���� ��� ���� ������ ���������

;�� ���� ������ ��� �

1 1 11 2

2

1 1

� � �

� �

� �

�� �

� � �� ��

� � �

� �

m m m

i i i ii i i

m m

i ii i

m x y x y

a

m x x

-#�<.

���� ������� 1� 1 .y a x− -#�=.

"����2

20

S

a

∂∂

�����2

21

S

a

∂∂

��������������������������������������������� ��������

�������� �������������������������� ���5��� -#�=.�� x ����� y � ���� ����������� � ���� ��� ��������� ��� !��� 5��� -#�=.�� ��� ����

0 1 ,y a a x= +

����� ������ ����� ���� ������ �������� ��� ������� �������� ���� �������� ��� �������� ������

"�������������������������������������������� ���������������-��.�� ������� ��

cc ,y

y

S S

S

� -#�>.

�����

2

1

( )m

y ii

S y y=

= −∑ -#�(8.

���� �� ������� ��� 5��� -#�&.���� ��� �� � ���� ��� (�� ����� ���� ��� �� ���������� ��� ��� ������ � ������� ���

�� ���� � ����� �����

������� �� !��� ���� ����� �� ���� ��� ��� ���� ��� �� ���� �������� �� 1� ��� 4� ��� �� ������ ��� ���� ����� -��� ��.9

-(�� 8�/.�� -+�� +�#.�� -&�� &�%.�� -#�� #�=.�� -%�� %�<.

!��� � ��� ���� ����� ����� ����������

!��� ���� ��� �� ��� �� ���� ����� �� ���� ��� ���� 3, 3.4,x y= = � ���

15(63.6) 15(17)

1.265(55) 225

a−= =−

����������

0 1 – 0.38.a y a x= − =

Page 142: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

� ��2ix ���

2( )iy y− -��� 3� ��� 3� ���.�

( 8�/ ( 8�/ <�=# 8�8<=#+ +�# # #�= (�88 8�8/</& &�% > (8�% 8�8( 8�8(88# #�= (/ (>�+ (�>/ 8�8(>/% %�< +% +=�% %�+> 8�8#=#

(% (<�8 %% /&�/ (/�(8 8�++#8

���� ����� ����� ���������� 1�16.10 0.2240

0.993016.10

− = �

������� � $������ ��������� � �� ���� ��� � ���� �� ���� ����� �� ��9

-8�� 3(.�� -+�� %.�� -%�� (+.�� -<�� +8.

��� ���� �������� ��� � 1� ��� 4� ��� �� ������ ��� ���� ������ ������ ���� ������������� �� ���� ��� ��� ���� ���

���� ��� �� ��� �� ���� �� ����� �� ���

� � �8 3( 8 8+ % # (8% (+ +% /8< +8 #> (#8

(# &/ <= +(8

���� ���� � ��������� ���

#��� 4� (#��� 1� &/���

(#��� 4� <=��� 1� +(8

"� ���� ���� ���� ���������� ��� �����

��� 1� 3(�(&=( ��� ��� 1� +�=>//

?����� ���� ����� �������� ��� ��� �� ����� ��

� 1� 3(�(&=(� 4� -+�=>//.�

4.2.2 Multiple Linear Least Squares

"������� ����� �� �� �� ����� ����������� ��������� ���� ������� ��� ���� ���������1����4����4����� ��������������������-���������.��-���������.��)-���������.������ ���� ��

20 1 2

1

( )m

i i ii

S z a a x a y�

� � � ��

"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 129

Page 143: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

130 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

���� �� ��� ���� !��� ����� ��� ����

0 1 20

– 2 ( – – – ) 0i i iS

z a a x a ya

∂ = =∂ ∑ �

0 1 21

– 2 ( – – – ) 0i i i iS

x z a a x a ya

∂ = =∂ ∑ �

���

0 1 22

– 2 ( – – – ) 0i i i iS

y z a a x a ya

∂ = =∂ ∑ �

������ ��������� �� ��� ��

���� 4��� � �� 4��� � ��� 1�� ��

�� � �� 4��� � ��� 4��� � � ��� 1�� �� � -#�((.

�� � ��� 4��� � ���� 4��� � ���� 1���� ��

���� ����� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ���������

������� �� !��� ���� �� ���� ��� ���� ��� ���� ���� ��� ����� ���� ��������� 1� ��� 4� ��� 4� ���� �� ������ ��� ���� ����� -�� ��� �.� ����� �� ���

-8�� 8�� +.�� -(�� (�� #.�� -+�� &�� &.�� -#�� +�� (/.� ���� -/�� =�� =.�

;�� ���� ���� �� ����� ��� �� ��� �� ���

� � � � � �� ��

8 8 + 8 8 8 8 8( ( # ( ( # ( #+ & & # / / > ># + (/ (/ = /# # &+/ = = &/ #= #= /# /#

(& (# && %< /& (++ <= (8>

���� ���� � ��������� ���%��� 4� (&��� 4� (#��� 1� &&

(&��� 4� %<��� 4� /&��� 1� (++

(#��� 4� /&��� 4� <=��� 1� (8>

���� �� ����� ��� ���� ������ ������ �

��� 1� +�� ��� 1� %� ���� ��� 1� 3&�

4.2.3 Linearization of Nonlinear Laws

���� ����� ����� ��� ���� � ����� �� ��� �� ����� �� ��������� ���� ���� �������������������� ����������������������������� �������� ����������������� ���� ��� ��������� �� ����������� ��� �� ����� �� ��������� "��� ��� ���� ���� ���� ����� �������������� ���� ����� ��� �� ����

��

��

Page 144: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

-�.b

y axx

= +

���� ���� ��� ������� ���� 1� ��� 4� �

:��� �� 1� �� �� 1����;��� ������ ��������������� �� ������� �� ������� �

-�. ��� 1� �

������ �������� ��� ����� ������ ��� ���

�����4�� ������1� ������

��� ���� ������ ��� ���

������ 1� �� ����� 1���

� �1

a ������ 1���� ���� 3

1

a� 1����

��� ���� � 1� ��� 4�����

-�. �� 1����

������ �������� ��� ����� ������ ��� �����

������ 1� ������ 4� � �����

�� � 1� ��� 4� ���������

� 1� ���������� 1� ������

�� 1� �� ������� 1� �����-�. �� 1���

;�� ����� � � � � ������ 1� ������ 4� � ����

�� � 1���� 4����������

� 1� ���������� 1� ���������� 1� ����

�� 1� �����-�. �� 1�����

��� ���� ������ ��� ���� �� �� 1� ���� 4��

�� � 1���� 4����������

� 1� � ������ 1� �� ������ 1� ����

�� 1� �

������� � @���� ���� ������ ��� ����� ��������� ���� ���������� �� ���� ������ ����� ���� �������� �� 1� ����� ���� ���� �� ����� ����9

-(�8�� +�#<&.�� -&�8�� /�<++.�� -%�8�� (=�+<#.�� -<�8�� #>�/<&.�� ->�8�� (&%�8+/.�

"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 131

Page 145: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

132 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

;�� ������ 1�����

����������� �� �� 1� �� �� 4� �

�� � 1���� 4����������

� 1� �� ������ 1� �� ������ 1� �� ������ 1� �

���� ��� �� ��� �� ���� �� ����� �� ��

� � � � �� �

( 8�>8% ( 8�>8%& (�>8% > %�<(%% +�>8% +% (#�%+%< &�>8% #> +<�&&%> #�>8% =( ##�(#%

+% (#�%+% (/% >+�/+%

;�������5, 2.905X Y� �

15(92.625) 25(14.525)

0.5 .5(165) 625

A b−= = =

−����

0 1 2.905 0.5(5) 0.405.A Y A X= − = − =?�����

0 0.405 1.499.Aa e e= = =��� �� ���� ����� ���� �������� ������ �� ��� ���� ���

�� 1� (�#>>�����

������� �� @���� ���� ������ ��� ����� ��������� ��� �� ������ ��� ���� ���

�� 1�x

a bx+� ��� ���� �� ����� ����

-&�� <�(#=.�� -%�� (8�+&(.�� -=�� (&�%8>.�� -(+�� (/�#&#.�;�� ����

� �� 1�x

a bx+

� � � � � �� 1 a bx ab

y x x

+= = +

� � �� � 1� ��� 4� ���������

��� 1� ������ 1� ����� 1�1

x��� � 1�

1

y�

Page 146: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� ��� �� ��� �� ���� �

� �� �

8�&&& 8�(#8 8�((( 8�8#<

8�+88 8�8>= 8�8#8 8�8+8

8�(+% 8�8<# 8�8(/ 8�88>

8�8=& 8�8/( 8�88< 8�88%

8�<#( 8�&<& 8�(<# 8�8=(

;�������

1 2

4(0.081) 0.741(0.373)0.324, 0.185, 0.093

4(0.174) (0.741)A a X Y

� � � � �

� � � ������� 1� �� 1� Y 3� � X � 1� 8�8&&(�

?����� ���� �������� ��� �� � 1� 8�8&&(� 4� 8�&+#-�.�� ����� �� ���� ��

0.324 0.0331( )

xy

x=

+�

���A���9��������������� ������������������ �� �����

0.3162 0.0345

xy

x

�� �� �

4.2.4 Curve Fitting by Polynomials

0��� ���� �� ���� � ��� �������� �������

� 1���� 4���� 4� ���� 4��� 4� ��

� -#�(+.

��� ������ ��� ���� ����� ������ -��� ��.�� �� 1� (�� +�� )�����;�� ����� ����

221 0 1 1 2 1 1( )� �� � � � � �� �� n

nS y a a x a x a x

� � � � � 422

2 0 1 2 2 2 2( )nny a a x a x a x� �� � � � �� ��

� � � � � � � � � � � � � � � �22

0 1 2( )nm m m n my a a x a x a x� �� � � � � � �� �� � � � � � �-#�(&.

5������� ��� ���� ���� ����� ����� � ���������� ���� �� ��������� ������ ������� ���������9

20 1 2

2 10 1

1 20 1

,

,

ni i n i i

ni i n i i i

n n n ni i n i i i

ma a x a x a x y

a x a x a x x y

a x a x a x x y

� � � �

� � � �

� � � �

+

+

⎫+ + + + =⎪⎪+ + + =⎬⎪⎪+ + + = ⎭

-#�(#.

������ ���� �������� ���� ��������� ���� �� 1� (� ��� �� 1���

"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 133

Page 147: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

134 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

���� ������ -#�(#.� ����������� -�� 4� (.� ��������� �� -�� 4� (.� ���������� ��������� ���� ��� �� ���� ���� ���� ���� )�� ���� 5������� -#�(+.� ����� ����� ����������� �� ���� � ��� �������� �������

!��� ������ �� ���� ��� ��� ������ -#�(#.� ������� ������ �� ���� ���� ���� ������ ������ ���� ������� �� ���� ����� ��� ������ ����� �������� �� ���� �� �����"���� ������� ������ ����� ������ �� ������� � ���� ��� ���� ���� �� ��� ��������������� ��������*�������� � �� ���� �� �������� ������ ��� �� ��� ����������� ���� ���� ������ ��� ���� ��� ������ �� ���� ��� ���� $���������� ���� ��� � � ��� ��������� ����� �� ���� ��������

������� �� !�� �� �� ���� � ��� ���� ������� ������� ��� ���� ����� �����-�� �.� ����� ��

-8�� (.�� -(�� /.� ���� -+�� (<.�

!����� 1�+��5��� -#�(#.� �������� 2 3 4, , , ,i i i ix x x x� � � � ������� ��� ���� 2i ix y� �

���� ��� �� ��� �� ���� �� ��� �� ���9

� � � � � ��

8 ( 8 8 8 8 8( / ( ( ( / /+ (< # = (/ &# /=

& +# % > (< #8 <#

���� ���� � ��������� ���&��� 4� &��� 4� %��� 1� +#

&��� 4� %��� 4� >��� 1� #8

%��� 4� >��� 4� (<��� 1� <#

"� ���� ���� ������ ������� ��� �����

��� 1� (�� ��� 1� +� ���� ��� 1� &�

�������������� ���� ����������� �1�(�4�+�4�&����������������������������� ������ �� �����

������� �� !�� �� ������� ������� ������ �� �1���� 4� ��� 4� ���� ��� ���� ����

-��� ��.9-(�� 8�/&.�� -&�� +�8%.�� -#�� #�8=.�� -/�� (8�<=.�

���� ��� �� ��� �� ���� �

� � � � � ��

( 8�/& ( ( ( 8�/& 8�/&& +�8% > +< =( /�(% (=�#%# #�8= (/ /# +%/ (/�&+ /%�+=/ (8�<= &/ +(/ (+>/ /#�/= &==�8=

(# (<�%# /+ &8= (/&# =<�<= #<+�##

Page 148: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� ���� � ��������� ���

#��� 4� (#��� 4� /+��� 1� (<�%#

(#��� 4� /+��� 4� &8=��� 1� =<�<=

/+��� 4� &8=��� 4� (/&#��� 1� #<+�##�

���� ����� ��� �����

��� 1� (�+#�� ��� 1� 3(�8% ��� ��� 1� 8�##

4.2.5 Curve Fitting by a Sum of Exponentials

2��������� ������������������ ������������������������������������������ ��� ��� ��������� �� ��� ���� ���

1 21 2( ) nxx x

ny f x A e A e A e�� �= = + + +� -#�(%.

��� �� ���� ��� ����� ������ -��� ��.�� �� 1� (�� +�� )����� �������� ������ ����������� +��

;�� �������� ����� �� ���������� � ��������� ���� ���B����� 6(><#7�� !������� ��� ������������� ��� ������ �� 1� +�

����� ���� �������

1 21 2

x xy A e A e� �= + -#�(/.

�� ��� ��� ������ ��� ���� ����� -��� ��.�� �� 1� (�� +��)����� �������� #�� ��� �� ���������� �-.� �������� �� ��������� � �������� ��� ���� ���

2

1 22

d y dya a y

dxdx= + -#�(<.

��������������������������������������������������������������5���-#�(<.���� �����

� �0

0 1 2( ) – ( ) ( ) (0) ( ) ,� � �� � �x

x

y x y x a y x y a y x dx -#�(=.

�������� �� ���� ��� ��� ������� ���� ( ) .dy

y xdx

′ = � �����������5��� -#�(=.����

���

0

0 0

0 0 1 1 0 0

2

( ) – (0) ( ) ( ) ( ) – ( – ) ( )

( )

x

x

x x

x x

y x y x x y x a y x dx a x x y x

a y x dx dx

� � ��

� � -#�(>.

"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 135

Page 149: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

136 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

A���

0 0 0

( ) ( – ) ( )x x x

x x x

y x dx dx x t y t dt=∫ ∫ ∫

?������ 5��� -#�(>.� ������

0

0

0 0 1 1 0 0

2

( ) – (0) ( ) ( ) ( ) – ( – ) ( )

( – ) ( )

x

x

x

x

y x y x x y x a y x dx a x x y x

a x t y t dt

� � ��

� -#�+8.

���5���-#�+8.����-�.���� �������������� ����������0���������������������� ������ ����� ����

��3� �� 1� �� 3� � -#�+(.����� 5��� -#�+8.� ����

1

0

1

0

1 0 1 0 0 1 1 1 0 0

2 1

( ) – ( ) ( ) ( ) ( ) – ( – ) ( )

( – ) ( )

x

x

x

x

y x y x x x y x a y x dx a x x y x

a x t y t dt

� � ��

� -#�++.

���

2

0

2

0

2 0 2 0 0 1 1 2 0 0

2 2

( ) – ( ) ( ) ( ) ( ) – ( – ) ( )

( – ) ( )

x

x

x

x

y x y x x x y x a y x dx a x x y x

a x t y t dt

� � ��

� -#�+&.

2����� 5���� -#�++.� ���� -#�+&.� ���� ����� 5��� -#�+(.�� ��� �����

� �

1 2

0 0

1 2 0 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )x x

x x

y x y x y x a y x dx y x dx⎡ ⎤⎢ ⎥+ − = +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

1 2

0 0

2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x

x x

a x t y t dt x t y t dt⎡ ⎤⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ -#�+#.

5������� -#�+#.� ���������������� ��� ���� ��� �� ����� ��������� ��������� ������ ���� ���� ���� ����� ��� ������ ��� ���� ��� ���� ���� ������������� �������

Page 150: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� 1� ���� 4� �� -#�+%.

!�� ������������������������������� ������������� ����� �������������� ��������� ��� ���������

������� �� !�� �� �������� ��� ���� ���

1 21 2

x xy A e A e� �= + -.

��� ���� ����� ������� ��� -�� �.

-(�� (�%#.�� -(�(�� (�/<.�� -(�+�� (�=(.�� -(�&�� (�><.�� -(�#�� +�(%.�

-(�%�� +�&%.�� -(�/�� +�%=.�� -(�<�� +�=&.�� -(�=�� &�((.�

0��� �� 1� (�+�� �� 1� (�8�� �� 1� (�#�� ������ 5��� -#�+#.� ����

� � � � �

1.2 1.4

1

1.0 1.2

0.07 – ( ) ( )a y x dx y x dx⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ � � � � � �

1.2 1.4

2

1.0 1.2

(1.0 ) ( ) (1.4 – ) ( )a t y t dt t y t dt⎡ ⎤⎢ ⎥+ − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫5�� ���������������� �����"����C���� �D������� �����������������������������

(�=(��� 4� +�(=8��� 1� +�(8 -.

2���������������1�(�#����1�(�/�������1�(�=��������� ���������������� ���� �������� ��� ������ ���� �������

+�==��� 4� &�(8#��� 1� &�88 -.

"� ���� 5���� -.� ���� -.�� ��� ���

��� 1� 8�8&+8# ��� ��� 1� 8�>&/#�

5������� -#�+%.� ���� ����

��� 3� 8�8&+8#�� 3� 8�>&/#� 1� 8�

���� ����� ��� �������� 1� 8�>==� 1� 8�>>�

������ 1� 38�>/�

@���� ���� ������ ��� ����� ��������� ��� ��� �� �����

��� 1� 8�#>> ��� ��� 1� 8�#>(�

���� ������ ����� ���� ����� �� ������������ ���� ���� �������� �� 1� ����� � ������� ��� 1� ��� 1� 8�%�� ��� 1� (�8� ���� ��� 1� 3(�8�

����� ������ �� ���

"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 137

Page 151: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

138 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

4.3 WEIGHTED LEAST SQUARES APPROXIMATION

�������������������������������� �����������������������������������2����������� ���������������� ��������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������� 5��� -#�+.�� ��� ����

2 2 21 1 1 2 2 2

2 2 21 21 2

[ ( )] [ ( )] [ ( )]

.

m m m

m m

S W y f x W y f x W y f x

W e W e W e

= − + − + + −

= + + +

-#�+/.

���5���-#�+/.���������������������������������������������� ��� �������2������� ��������������������� ��� ���� �� ������������������������������ ��� � ���� ����� ������ ���� ������������� ������� 1� (� ���� � � ���;�� �������� �������� ����� ���� ��� ����� ������ �� ���

4.3.1 Linear Weighted Least Squares Approximation

0�� � 1� ��� 4� ��� ��� ���� �������� ��� ��� ��� ������ ��� ���� ����� ����� ������� �� -��� ��.�)�-��� ��.�� ����

20 1 0 1

1

( , ) [ ( )] .m

i i ii

S a a W y a a x=

= − +∑ -#�+<.

!��� ���� ��� ���� ��� ����

0 10,

S S

a a

∂ ∂= =∂ ∂

-#�+=.

����� ���

0 10 1

2 [ ( )] 0m

i i ii

SW y a a x

a =

∂ = − − + =∂ ∑ -#�+>.

���

0 11 1

2 [ ( )] 0.m

i i i ii

SW y a a x x

a =

∂ = − − + =∂ ∑ -#�&8.

"� ������� �� ��� ���� ������ ��� ��������� ���� ��� ���� ��9

0 11 1 1

m m m

i i i i ii i i

a W a W x W y= = =

+ =∑ ∑ ∑ -#�&(.

���

20 1

1 1 1

,m m m

i i i i i iii i i

a W x a W x W x y= = =

+ =∑ ∑ ∑ -#�&+.

Page 152: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��������� �������������������� �� ������������������� ���� ������������ �������;�� �������� 5��� �� #�+� ����� ��� �������� ���� ���� ��� �������

������� �� "������� ����� �� ������������5��� ��#�+�� ��������� -%� (+.� ������������������� �� ��������������������������������������������-����(8.���������������������������� ������� ������������������������������������ �� ����� ��� �� �� ����� ��������

x y W Wx Wx 2 Wy Wxy

0 –1 1 0 0 –1 0

2 5 1 2 4 5 10

5 12 10 50 250 120 600

7 20 1 7 49 20 140

14 36 13 59 303 144 750

���� ���� � 5��� -#�&(.� ���� -#�&+.� ����� ���

0 1

0 1

13 59 144

59 303 750.

a a

a a

+ =

+ =

(i)

(ii)

"� ����� ��� 5��� -.� ���� -.� ����

0 1.349345a = − ��� 1 2.73799.a =

���� E ����� ����� �������� ����������C� ��� ����������� ����� ��

1.349345 2.73799 .y x= − +

������� ��� �;�� �������� 5��� �� #�>� ��������� ��� ������������������� (88�� ������������� �� (5.0).y ���� �� ����� ��� �� �� ����� ��������

x y W Wx Wx 2 Wy Wxy

0 –1 1 0 0 –1 0

2 5 1 2 4 5 10

5 12 100 500 2500 1200 6000

7 20 1 7 49 20 140

14 36 103 509 2553 1224 6150

���� ���� � ��������� �� ���� ����� ���

0 1103 509 1224a a+ = -.

���

0 1509 2553 6150.a a+ = -.

"�����#�&9 ;�������0�����"�������2��������� 139

Page 153: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

140 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

"� ���� ���� ��������� ���������� ��� �����

0 1.41258a = − ��� 1 2.69056.a =

���� �������� E ����� ����� �������� ����������C� �� ���������� ����� ��

1.41258 2.69056 ,y x= − +

���� ���� �� ��� �� (5) 12.0402.y =����� ����������������������������������������������������������������

4.3.2 Nonlinear Weighted Least Squares Approximation

;������ �������� ���� ����� �������� ����������� ��� �� ���� ����� ����� �����-��� ��.�� �� 1� (�� +��)����� ��� �� �� ���� � ��� ������� � F ��� 0��

20 1 2

nny a a x a x a x= + + + + -#�&&.

��� ������ ��� ���� ����� ����� �������;�� ����� ����

20 1 0 1

1

( , , , ) [ ( )] .m

nn i i i n i

i

S a a a W y a a x a x=

… = − + + +∑ � -#�&#.

��� �� ��� ������� ��� -��� ���� )� ��.�� ����� ��� ����

0 1 20.

n

S S S S

a a a a

∂ ∂ ∂ ∂= = = = =∂ ∂ ∂ ∂

� -#�&%.

������ ��������� �� �� ���� ���� � ��������

0 11 1 1 1

2 10 11

1 1 1

1 20 1

1 1 1 1

.

m m m mn

i i i n i i iii i i i

m m mm n

i i i n i i i ii iii i i

m m m mn n n n

i i n i i ii i i ii i i i

a W a W x a W x W y

a W x a W x a W x W x y

a W x a W x a W x W x y

= = = =

+=

= = =

+

= = = =

⎫+ + + = ⎪

⎪⎪⎪⎪+ + + = ⎪⎬⎪⎪⎪⎪+ + + = ⎪⎪⎭

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

-#�&/.

5�������� -#�&/.� ��� -� 4 (. ��������� � -� 4 (.� �������� ��� ���� )� ���� ������������������������ F �������������������������������E�����C��� �����

4.4 METHOD OF LEAST SQUARES FOR CONTINUOUS FUNCTIONS

��� ���� �������� ������������ ���������� ���� ����� �������� ������������ ���������� ����� ;�� ��� �� �� ���� �������� �������� ������� ���� ����� ������������������ ��� �� ���������� �������� ��� 6��� �7�� ���� �������� �� ������� � ��������� ���� ���� ��� ����� ��� ������� ������ ��

Page 154: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

0��2

0 1 2( ) nny x a a x a x a x= + + + + -#�&<.

��� ������� ���� �

20 1 0 1( , , , ) ( ) [ ( ) ( )] .

bn

n n

a

S a a a W x y x a a x a x dx… = − + + +∫ � -#�&=.

���� ���������� ��������� ���� �� ��� ���� ����� ��

0 10,

n

S S S

a a a

∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂

� -#�&>.

����� �� �

20 1 2

20 1 2

2 20 1 2

20 1 2

2 ( ) [ ( ) ( )] 0

2 ( ) [ ( ) ( )] 0

2 ( ) [ ( ) ( )] 0

2 ( ) [ ( ) ( )] 0.

bn

n

a

bn

n

a

bn

n

a

bn n

n

a

W x y x a a x a x a x dx

W x y x a a x a x a x x dx

W x y x a a x a x a x x dx

W x y x a a x a x a x x dx

⎫⎪− − + + + + =⎪⎪⎪⎪− − + + + + =⎪⎪⎪⎬⎪

− − + + + + = ⎪⎪⎪⎪⎪− − + + + + =⎪⎪⎭

-#�#8.

G������������ ��� ����� �� 5��� -#�#8.� ����� ���� �����

0 1

2 10 1

1 20 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

b b b bn

n

a a a a

b b b bn

n

a a a a

b b b bn n n n

n

a a a a

a W x dx a xW x dx a x W x dx W x y x dx

a xW x dx a x W x dx a x W x dx x W x y x dx

a x W x dx a x W x dx a x W x dx x W x y x dx

+

+

⎫⎪+ + + =⎪⎪⎪⎪+ + + = ⎪⎬⎪⎪⎪⎪

+ + + = ⎪⎪⎭

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

-#�#(.���� ������ �� 5��� -#�#(. ������� -� 4 (. ���� � ��������� �� -� 4 (.����������� � 0 1 2, , , , na a a a… ���������� ���������������E�����C��� �����

������� ��� $��������� �� ����� �������� ��������� ����������� ��� ����������� � -.� 1� ��� � ��� 68�� � H+7� ���� �������� ��� ���� ������ ��������-.� 1� (�

"�����#�#9 B���������0�����"�����������$���������!������� 141

Page 155: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

142 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

0��2

0 1 2y a a x a x= + + -.

��� ���� �������� ��������� ����������� ����� ����� 5��� -#�#(.�� ��� ��������� �����

/2 /2 /2 /22

0 1 2

0 0 0 0

/2 /2 /2 /22 3

0 1 2

0 0 0 0

/2 /2 /2 /22 3 4 2

0 1 2

0 0 0 0

sin

sin

sin .

a dx a x dx a x dx x dx

a x dx a x dx a x dx x x dx

a x dx a x dx a x dx x x dx

� � � �

� � � �

� � � �

⎫⎪+ + =⎪⎪⎪⎪⎪+ + = ⎬⎪⎪⎪⎪+ + =⎪⎪⎭

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

-.

"� �����5��� -.����� �����2 3

0 1 2

2 3 4

0 1 2

3 4 5

0 1 2

12 8 24

18 24 64

2 1 ,24 64 160 2

a a a

a a a

a a a

� � �

� � �

� � � �

+ + =

+ + =

⎛ ⎞+ + = −⎜ ⎟⎝ ⎠������ �� ����� �

0 2 3

1 2 3 4

2 3 4 5

18 96 480

144 1344 5760

240 2880 11520.

a

a

a

� � �

� � �

� � �

⎫= + − ⎪⎪⎪⎪= − − + ⎬⎪⎪⎪= + − ⎪⎭

-.

���� ����������������� ����������� �� ��1� ���� �� 68��� H+7� �� ������������ -.� ���� -.�2�� �� ������� ��� ������� �� � 1� � H#�

2 3

3 60 240sin 0.706167587.x

π π π≈ − − + =

Page 156: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����������� ����� ����-� H#.�1�8�<8<(8/<=(������������������������������������ ����� �� 8�888>&>(>#�

4.4.1 Orthogonal Polynomials

����������������������������������������������������������������� ����������� ����������� ��� �� ���������� �������� ����� ������������ ���� ���?�������� ���� ������ ���������� ���� ������������ ��� �� ���� �� ����� �����������������������I����������������������������������� ������������� �������������������������������������� ��������������������������������������� �������������������� ����J������������������������������������������� ���� ������ ��� ���� ������� ?������ � ��������� ������� ��� �� ���� ������������ ����'�������� ���� �� ����� ������ ���������� ���� ��� ������ ���������������� ����E��������� ��� ���� �C���������� ������������ ���������������� �������������������� ����� ����������� ��������� ����� ������ ������� ���� ���� �� ��������� �� ���

;�� ������� ���� ����������� �� ���� ���9

0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ),n nY x a f x a f x a f x= + + +� -#�#+.

����� �� -.� �� �� �� ���� � �� � ��� ������� !������� ��� ����

20 1 0 0 1 1( , , , ) ( ){ ( ) [ ( ) ( ) ( )]} .

b

n n n

a

S a a a W x y x a f x a f x a f x dx… = − + + +∫ � -#�#&.

!��� �� ��� ��� ���� ��� ���� ����

0 0 1 1 00

0 0 1 1 11

0 0 1 1

0 2 ( ) { ( ) [ ( ) ( ) ( )]} ( )

0 2 ( ) { ( ) [ ( ) ( ) ( )]} ( )

0 2 ( ) { ( ) [ ( ) ( ) ( )]} ( )

b

n n

a

b

n n

a

b

n n nn a

SW x y x a f x a f x a f x f x dx

a

SW x y x a f x a f x a f x f x dx

a

SW x y x a f x a f x a f x f x dx

a

⎫∂ ⎪= = − − + + +∂ ⎪

⎪⎪∂ ⎪= = − − + + + ⎪∂ ⎬⎪⎪⎪⎪∂ = = − − + + + ⎪∂ ⎪⎭

-#�##.

"�����#�#9 B���������0�����"�����������$���������!������� 143

Page 157: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

144 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

���� ���� � ��������� ���� ���� ����� ��

20 1 0 1 00

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

b b b

n n

a a a

b

a

a W x f x dx a W x f x f x dx a W x f x f x dx

W x y x f x dx

� � �

� � �

20 1 0 1 11

1

20 0 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .

b b b

n n

a a a

b

a

b b b

n n n n

a a a

b

n

a

a W x f x f x dx a W x f x dx a W x f x f x dx

W x y x f x dx

a W x f x f x dx a W x f x f x dx a W x f x dx

W x y x f x dx

� � �

� � �

� � �

� � �

-#�#%.���� ������ ������ ���� ��� ������� ���� �� �� ��

0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, 1, 2, , .

b b

j j

a a

b b

n n j j

a a

a W x f x f x dx a W x f x f x dx

a W x f x f x dx W x y x f x dx j n

+ +

+ = = …

∫ ∫

∫ ∫

-#�#/.

���5��� -#�#%.����� ������������� ��� ���� ����� �-. �-.� �� ���� ����������� ����� ��� ������ ����

2

0,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ,

bb

p qpa

a

W x f x f x dxW x f x dx

⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪⎩

∫ ∫ ,

p q

p q

=-#�#<.

����� ���� ������ -#�#%.� �������� ��

20 00

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .

b b

a a

b b

n n n

a a

a W x f x dx W x y x f x dx

a W x f x dx W x y x f x dx

=

=

∫ ∫

∫ ∫

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

Page 158: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

!��� ���� ��������� ��������� ��� �����

2

( ) ( ) ( )

,

( ) ( )

b

j

aj b

j

a

W x y x f x dx

a

W x f x dx

=∫

∫0, 1, 2, , .j n= … -#�#=.

"���������� �� ���� ���� )�� ��� �� 5��� -#�#+.� ����� �� ��� ���� �������� ������������ ������������ ���� ���� �������� ��-.�� ��-.�� )�� ��-.� ���� �� � ������������� �� -.������������� ���� ���������������������������-#�#<.������� �������������"�������������������������������������� ��������������� ���� ������ �������� �-.�� ����� � ��� ��� �������� �� �� �� ������ ��� ���� ���� �� ���� ��� ���� ���� ����� �� ��� �� ��� �� #�(�

Table 4.1 Orthogonal Polynomials*

Name fj (x) Interval W(x)

Jacobi α β( , )( )nP x [–1, 1] α β α β− + > −(1 ) (1 ) ( , 1)x x

Chebyshev ( )nT x −[ 1, 1] −− 2 1/2(1 )x(first kind)

Chebyshev ( )nU x −[ 1, 1] − 2 1/2(1 )x(second kind)

Legendre ( )nP x −( 1, 1) 1

Laguerre ( )nL x ∞[0, ) −xe

Hermite ( )nH x −∞ ∞( , ) − 2xe

2� ����� ��������� ��� ���� �������� ���������� ��� ���� $���������� ���� ��#�-.��������������� ����������������������������������� ��� ����� �� �� ����� ���������� ���� ���������;������ ������� ��� ���� ����������� �������� ������������������ �������������������������2������������� ���� ���� ��������� �� -.� ���� ���� ��� ��� ���������� ������ ���� �������� ������� ���� EK��3"����� ��������� ����� ��������C� ����� ���� ���������� ��������������� ���� ���� �����������������������������������������

4.4.2 Gram–Schmidt Orthogonalization Process

"������������������������� ��� ���� ���-.���� ��������������� �6�� �7��������� ������ ���� ��� ������ �������� ���

��-.� 1� ( -#�#>.

����� ����� ��� �� ����������� �������� � �� ������ ��� ���� ���������� ��� ��������� !"

"�����#�#9 B���������0�����"�����������$���������!������� 145

Page 159: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

146 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

���������������� ������� ���� ���-.������ ������������������������� ��

� ��-.� 1� � 4� $���� ��-.� -#�%8.

������$�� ������������������������������ "������-.�������-.�������������� ���� ����

20 1 0 1, 0 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

W x f x f x dx xW x f x dx k W x f x dx= = +∫ ∫ ∫����� 5���� -#�#<.� ���� -#�#>.� !��� ���� ������� ��� �����

0

1, 0

20

( ) ( )

( ) ( )

b

ab

a

x W x f x dx

k

W x f x dx

= −∫

∫-#�%(.

���� 5��� -#�%8.� ����

0

1

20

( ) ( )

( ) .

( ) ( )

b

ab

a

x W x f x dx

f x x

W x f x dx

= −∫

∫A���� ���� �� ���� � ��-.�� ��� ������� +� �� � �������� ������ ��� ��� ����� ������� ��

22 2,0 0 2,1 1( ) ( ) ( ),f x x k f x k f x= + + -#�%+.

��������������������$������� $�������������������������������������������� ����������� �� 5��� -#�#<.� "���� ��-.� �� ��������� � ��� ��-.� ��� ����

20 2,0 0 2,1 1( ) ( )[ ( ) ( )] 0.

b

a

W x f x x k f x k f x dx+ + =∫"��� 0 1( ) ( ) ( ) 0,b

a W x f x f x dx =∫ ���� ������ �������� ����

2 20

2,0

20

( ) ( ) ( )

.

( ) ( ) ( )

b b

a a

b b

a a

x W x f x dx x W x dx

k

W x f x dx W x dx

= − = −∫ ∫

∫ ∫-#�%&.

Page 160: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

2����� ����� ��-.� �� ��������� � ��� ��-.�� ��� ����

21 2,0 0 2,1 1( ) ( ) [ ( ) ( )] 0.

b

a

W x f x x k f x k f x dx+ + =∫@���� ���� �������� ���� 0 1( ) ( ) ( ) 0,b

a W x f x f x dx =∫ ���� ������ �� ��

21

2,1

21

( ) ( )

.

( ) ( )

b

ab

a

x W x f x dx

k

W x f x dx

= −∫

∫-#�%#.

"��� $���� ����$���� �����������5��� -#�%+.��������� ��-.� :��������� �� �������� ���� ������ ���� ��� ������ ��� ���� ��� ����

, 1, 0 0 ,1 1 1( ) ( ) ( ) ( ),jj

j j j j jf x x k f x k f x k f x− −= + + + +� -#�%%.

������ ���� ��������� $���� ���� ��� ������� ����� � �-.� �� ��������� � ����-.�� ��-.� )�� ����-.� ������ ��������� �� �

,

2

( ) ( )

.

( ) ( )

bj

i

aj i b

i

a

x W x f x dx

k

W x f x dx

= −∫

∫-#�%/.

"���� ���� ��� ���� ��-.� �� 5��� -#�#+.� ���� ������� ���� ����������� -.� ������������������� ������ ��������� �� ��������������������������������

������� �� *����� ���� ����'����� ��������� � �� ���� � ��-. �� 63(� (7���� �������� ��� ���� ������ ������� ( ) 1.W x =0��� ��-.� 1� (�� ����� 5�� -#�%(.� ����

1

11, 0 1

1

0.

x dx

k

dx

= − =∫

∫;�� ����� ������ ����5��� -#�%8.� ��-.� 1� � 5�������� -#�%&.� ���� -#�%#.� ������������ �

12

12, 0 1

1

1

3

x dx

k

dx

= − = −∫

"�����#�#9 B���������0�����"�����������$���������!������� 147

Page 161: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

148 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

���1

2

12,1 1

2

1

0.

x x dx

k

x dx

= − =∫

∫����� 5��� -#�%+.� �� �� ��-.� 1�

�� 3� (H&���� �� � ��� ������� ��� �����

13

13, 0 1

1

13

13,1 1

2

1

13 2

13, 2 1

2 2

1

0,

3,

5

( 1/3)

0.

( 1/3)

x dx

k

dx

x x dx

k

x dx

x x dx

k

x dx

= − =

= − = −

= − =

∫��� �� ��� �� ������� ����

33

3( ) .

5f x x x= −

����� ���� ����������������� ��� ���� ������(������3�(H&�������3� -&H%.��������� ���� �������� ���%�������"����������������������� ����������� &�-.�� ��� �� ����� ��� ������ ����� ������ �� ���� �� ������� ���� ��������� ����������������5���-#�#<.��2������������� ���������0���������� ���� �������� �� ������ � ���������� -��� $������� /.�

4.5 APPROXIMATION OF FUNCTIONS

�������� ����� ����������� �� �������� �� �� ������ � ���� �� �������� ��� ���� ���� ��� ��� ��������� �� ���� ���� ������ ��� ��������� ���� ���� ����������!���������� ������ �������� ������ ����� ���������������������

Page 162: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� ������� ���������������������������������� ����������������������������� �������� �������� ������������

0��� ���� ����)�� ��� ��� ���� �� ���� ��� ���� ����� �������� ���� ��������)�� ������������������������ ��������������������������������������������� ����������������������������������������������� ���1� ���3���������������������� ��� ������� �� �� ������ ��� ������ !��� ���� ��� ��� ��� ���� �������������� ����� ����� ���� ������� 2 2 2

21( )ne e e+ + +√ ����������� ���

����� ��� ��� ���� ����� �������� ������������������������ � ������ �������*������������������������������������������������������������������������ ��� �� �� � ��� ���� ����� ��� ��� ���� E�� �������� $���������� ���� �C���������������������������� ���������������������� ����������� �� ���� � ���������

��� ���� ����������� ��� � ���� �� ����� ��� ��� ���$��������� �� ���� ����� ����� ��� ������� �� ���� ����� ����� ��� ������ ������D

4.5.1 Chebyshev Polynomials

����$����������� ���� ���������������������������� �63(� (7 �������� �������� ����

1( ) cos ( cos ),nT x n x−= -#�%<.

��������� �� ���� ����� �� ���� �� ����

( ) ( ).nnT x T x−= -#�%=.

0�� 1cos x �− = �� ���� cosx �= ���� -#�%<.� ����

( ) cos .nT x n�=?����

0 ( ) 1T x = ��� 1( ) .T x x=

@���� ���� ����������� ������

cos ( 1) cos ( 1) 2cos cos ,n n n� � � �− + + =������������ �

1 1( ) ( ) 2 ( ),n n nT x T x xT x− ++ =����� �� ���� ���� ��

1 1( ) 2 ( ) ( ).n n nT x xT x T x+ −= − -#�%>.

���� �� ���� ���������� ��������� ����� ���� ��� ����� ��� ��������� �� ������� ( ),nT x ����� ��� ���� 0 ( )T x ��� 1( ).T x ���� ����� ������ $���������� ���� �����9

�#�$��� �� ��%� ��� &��'��� ����(!� $��� $������ ��� �� ��� ����� ��� �������� �$)��������� �� ������ �"

"�����#�%9 2�������������!������� 149

Page 163: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

150 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

0

1

22

33

4 24

5 35

6 4 26

( ) 1

( )

( ) 2 1

( ) 4 3

( ) 8 8 1

( ) 16 20 5

( ) 32 48 18 1.

T x

T x x

T x x

T x x x

T x x x

T x x x x

T x x x x

= ⎫⎪⎪=⎪⎪= −⎪⎪= − ⎬⎪

= − + ⎪⎪⎪= − +⎪⎪= − + − ⎭

-#�/8.

���� ������ ��� ���� ����� ����� $��������� �� ���� �� ���� ������ �� !�� #�(

–1 0 1 x

–1

1T x4( )

Tx

1( )

T x3( )T x2( )

T xn( )

Figure 4.1 Chebyshev polynomials =( ), 1, 2, 3, 4.nT x n

��� �� ����� ��� ���� ����� ���� ���������� �� nx �� #�-.� �� � ���� +���� !��������� �� ���� �� 1� #�-.� 1� ���� ���� ����� ��� ���

sin

sin

dy n n

dx

�=

���2 2 2

2 2 2

cos sin cot ( / )

sin 1

d y n n n n n y x dy dx

dx x

� � �

− + − += =−

��� ����

22 2

2(1 ) 0,

d y dyx x n y

dxdx− − + = -#�/(.

����� �� ���� ������������ �������� ���������� �� ( ).nT x

Page 164: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������ �������� ����������������������������������$����������� ���� ��;�� ���

0

1

20 2

31 3

40 2 4

51 3 5

60 2 4 6

1 ( )

( )

1[ ( ) ( )]

2

1[3 ( ) ( )]

4

1[3 ( ) 4 ( ) ( )]

8

1[10 ( ) 5 ( ) ( )]

16

1[10 ( ) 15 ( ) 6 ( ) ( )].

32

T x

x T x

x T x T x

x T x T x

x T x T x T x

x T x T x T x

x T x T x T x T x

= ⎫⎪⎪=⎪⎪= + ⎪⎪⎪= + ⎪⎪⎬⎪

= + + ⎪⎪⎪

= + + ⎪⎪⎪

= + + + ⎪⎪⎭

-#�/+.

����������������������������� ��������� ������������ ������������� �������� ��� ��������� �����

2�� �������� �������� ��� #�-.� �� ����� ��

1

21

0,( ) ( )

/ 2, 01

, 0

m n

m nT x T x dx

m nx

m n

�−

⎧ ≠⎪⎪= = ≠⎨

− ⎪ = =⎪⎩

∫ -#�/&.

�������������� ���� � #�-. ������������������������������ 21/ (1 ).x−√ ����������������� ����������������������� �1����������������������� �������

0 0

0

(cos ) (cos ) cos cos

sin( ) sin( ),

2( ) 2( )

m nT T d m n d

m n m n

m n m n

� �

� � � � � �

� �

=

⎡ ⎤+ −= +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦

∫ ∫

���� ����� �� ��� ���� �� ���� ����� ��� ���� ����� ��� ��� 5��� -#�/&.�;������������������ ���� #�-. ������ ���� ������������� ������� ����

���������������� � � #�-. � +���� �������������� ����������������������

�� ���� ��� ���� $��������� �� ���� �� �� ����� ���� ��������� �� � ������ �� &�-. �� �� ���� �� ���� �� ����� ��� ���� ����

1( ) 2 ( ),nn nP x T x−= ( 1).n ≥ -#�/#.

2� ������� �� ��������� ��� $��������� �� ���� �� �� ����� �� ��� �����"����������� &�-.� �� ������ � ���� ������� ����������� ������ ������ ���

"�����#�%9 2�������������!������� 151

Page 165: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

152 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

"���������� +���#�-.�� ��� ��� �������� ����� �""�� ����� ��� ��� ��������'���� �� ��� ������ -3(� (.� "��� L#�-.L� �� (�� ���� ������ ������ ��������� ��������� +�������������$���������������������������������������������� ��� ���������� �� ������ ��������� ��� ���������"�����"��� ���� ����� ���� � ��5��� -#�/#.� �� �� ��� ����������"�����������I�� ���� ���������� ���� ������ ���� ����� ����'������ ������������ �� ��� ���� �������""����������� ��� �� ����� �� ���� �� ���� �� ��������� �� ���� �� �������� ��

������� ��� !��� ���� ����� ����'������ ����������� ��� ���� ����3 22 3 .x x+ @���� ���� �� ������ ����� �� 5��� -#�/+.�� ��� ����

3 2 23 1

21 3

23 1

22 3 [ ( ) 3 ( )] 3

4

3 13 ( ) ( )

2 2

3 13 ( ), since ( ) .

2 2

x x T x T x x

x T x T x

x x T x T x x

+ = + +

= + +

= + + =

���� �� ���� � &�� 4� -&H+. � �� ���� �������� ����'������ ������������ ���� ����� ����� ���� �� ���� ������ M(H+� �� ���� ����� -3(� (.�2� � ��� ��� ������ ��� $��������� ������ �� ���� �������������� ��� ����������� �� ��������� �����

4.5.2 Economization of Power Series

��� �������� ���� ��������� ����� �� ������� �� ���� ��� 0��� ���� ��� ����������� ������ ������ ��������� �� � -.� �� ���� ���

20 1 2( ) ,n

nf x A A x A x A x= + + + + ( 1 1).x− ≤ ≤ -#�/%.

@���� ���� �� ����������� ��5��� -#�/+.������������� ���������� ������ ��������������� ��$��������� �� ���� ���;�������

0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).n nf x B B T x B T x B T x= + + + +� -#�//.

!��� �� ����� ������ ��� ���������� ��� ��������� ��� �� 5��� -#�//.� ���������������� ���� ���� �� ����� ���� ������ ������ ����� ��� 5��� -#�/%.�� ����� ������ ��� ������������� �� ��� "� �� ������� ���� �� ��������� �5��� �� #�(#�

������� �� 5���� �� ���� ������ �����

3 5 7.sin

6 120 5040

x x xx x≈ − + −

Page 166: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

"���� (H%8#8 1 8�888(>=)�� ���� ���������� ������� � ��

3 5

sin6 120

x xx x≈ − + -.

� �������������������� ��������������� �� ������ ���;�������������� ���������� ��� � �� 5��� -.� ���� $��������� �� ���� �� ��� ����� ���� �� ���������� �� 5��� -#�/+.�� ���� ����

1 1 3 1 3 51 1

sin ( ) [3 ( ) ( )] [10 ( ) 5 ( ) ( )].24 120 16

x T x T x T x T x T x T x≈ − + + + +×

"� ����� ���� ���������� �����

1 3 5169 5 1

sin ( ) ( ) ( ).192 128 1920

x T x T x T x≈ − + -.

"��� (H(>+8 1 8�888%+)� ���� ���������� ������� � ��

1 3169 5

sin ( ) ( )192 128

x T x T x= − -.

� � �������� �� ������� �� ���� ������� ���� � � ���� �� ���@���� ���� �� ���������� �� 5��� -#�/8.�� ���� ����� ��� ������ ��� ����������� ����� ��

3 3169 5 383 5sin (4 3 ) .

192 128 384 32x x x x x x≈ − − = −

4.6 FOURIER APPROXIMATION

���������������������������������������!������������������������������� ����������������� �� ����������� � ����� ������� ��� ������� ��������������� �������� 0��� ���� �������� � -�.� ��� �� ������� �������� ���� �����# N 8�� ���� ��

� -�� 4� #.� 1� � -�.� -#�/<.

������#��������� ������ ������������5�� -#�/<.�����������!����������� ���� -�.� �� ������� ��

0

1

2 2( ) cos sin ,

2 n nn

a nt ntf t a b

T T

� ��

� �� � �� �� �� -#�/=.

����� �� ��� nb ������� ��������������������������� ���1�+� H#����� �� ��������������������������������������� +� $H#� $�1�+��&�)������� �������������

����������� ����� ���� ����� ��� 5��� -#�/=.� ��� 8 �� #� ��� �����

0 0

0 0 0

2 2( ) cos sin ,

2 2

T T T

n na ant nt

f t dt dt a b dt TT T

� �� �� � � �� �� �� � �

"�����#�/9 !������2��������� 153

Page 167: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

154 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

����

0 0

2 2cos sin 0.

T Tnt ntdt dt

T T

� �� � � �� �� � � �� � � �� �?����

0 0

2( ) .

Ta f t dt

T� � -#�/>.

2����� � �� ���� ����� ���� ����� ��� 5��� -#�/=.� ��� ��� -+���H#.� ���� �������������� ��� 8 �� #� ��� ���

0

2 2( )cos ,

T

nnt

a f t dtT T

�� �� � �� �� -#�<8.

����

0

2 2cos sin 0.

T nt ntdt

T T

� �� � � � �� � � �� � � ��

!�� ��� � �� ���� ����� ���� ����� ��� 5��� -#�/=.� ��� ��� -+���H#.� ���� �������������� � ��� 8 �� #� ��� �����

0

2 2( )sin .

T

nnt

b f t dtT T

�� �� � �� �� -#�<(.

����� ���� �������������� ��� ������ ��������������������-#�/=.�������� �������� #� 1� +��� ���� �� � -�.� �� ��� ����� +�� 5���� -#�/>.3-#�<(.� �����9

01

( ) ,

1( )cos ,

1( )sin .

n

n

a f t dt

a f t nt dt

b f t nt dt

�� �

���

� ���

� ��

-#�<+.

���� !������ ������ ������� �������� �� ���� �� � -�.� �� ��� ����� ��� ������������ ��� � -�.� �� ������ ����� ��� ����

0

1

0

( ) cos ,2

where

2( )cos ,

nn

n

af t a nt

a f t nt dt�

�� � �

��������

-#�<&.

���� ��� 1� 8�

Page 168: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

" �� ��� � ( )f t �� ��� ���� ��������� ����� ��� ����

1

0

( ) sin ,

where

2( )sin .

nn

n

f t b nt

b f t nt dt�

�� �

��������

-#�<#.

���� ��� 1� ��� 1� 8��������� ���-#�/=.3-#�<(.������������������������������������!�� ����

���� �� '������ �� ������ ���� ����9

cos2

int inte ent

−+= ��� sin .2

int inte ent

i

−−= -#�<%.

@���� 5��� -#�<%.�� 5��� -#�/=.3-#�<(.� ���� ��� ���������� ��

2 /( ) ,ipt Tp

p

f t A e �

� ��

� � -#�</.

�����

/ 2 2 /

/ 2

1( ) ,

T ipt Tp T

A f t e dtT

��

� � 0,1, 2,p = … -#�<<.

������ ���� �������� �� ������� ��� ����������������!������ ��������������������� ����� ��� �������� ��� ��������� ���� �� ��� !������ ������

������� ��� !��� ���� !������ ������ ��� ���� �������� ������� ��

1, 0

( ) 0, 0

1, 0 .

t

f t t

t

− − < <⎧⎪= =⎨⎪ < <⎩

���� ������ ��� ���� ����� �������� �� ������ �� !��� #�+

π –π t0

–1

1

f t( )

Figure 4.2

!���������������������������������� -�.������������������ ?�������� !����������� ��� � � -�. �������� �� �� ���� ���������� ���

"�����#�/9 !������2��������� 155

Page 169: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

156 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

;��� ����������� ����

1

( ) sin ,nn

f t b nt�

��

�����

0

0

0

2( )sin

2sin , since ( ) 1

2 1cos

2[1 ( 1) ]

4, 1, 3, 5,

n

n

b f t nt dt

nt dt f t

ntn

n

nn

� �

� �� �� �� �

� � �

� �

��� �� ���� ����

1,3,5,

4 4 1 1( ) sin sin sin 3 sin 5 .

3 5� �

� �� � � � �� �� ���

n

f t nt t t tn

4.6.1 Fourier Transform

��� ���� ��������� �������� ��� ���������� ���� !������ ������ ���� ��������������� ������ ������ ��������� ������ � ��������� ����� ���� ���� �������" �� �����������������������������������������-�������� ��� ������.����������"�������� �������������������������������������� �������� ��������������� ��� ������������ ����!������ ��������� �� ���� ��� ��� �� ��� � ��������������������������5����-#�</.�����-#�<<.����������#��������� ���������������������������������������� ;��� #�����5�� -#�<<.������� �������� ���� ���

00( ) ( ) ,i tF i f t e dt�

��

� � -#�<=.

�������� �������(�������������������� -�.� " �� ���5���-#�</.��������� ��

00 0

1( ) ( ) ,

2i tf t F i e d�

� �

��

� � -#�<>.

�������� ���������'����(������������������ � -�.� 5��������-#�<=.���� -#�<>.���� �� ��� ��� ��������� ���� ��� ����� ��� ���������� ����� ���� ������������� ��� ��� ������ ��������� ��� :����� �� 0( )F iω ����������� ������������� �������� ��� ���� ���� �� ��� 5��� -#�<=.�� ���� �������� � -�.� �� ���� ������������������������������ ��������������������� �������������� �������

Page 170: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

� -�.� �� ��� �� �� �� �� �� �� �������� ����� ��� ����� �� ������ �������� ��� �������� ����� ���� ������ �� ���� ����� ��� ������� ���� ����������� ������ ����������� ��� ����)������� (������ #���������* ���� ��������� �� ���

4.6.2 Discrete Fourier Transform (DFT)

0��� � -�.� ��� �������� ��� ���� ������ ���� �� 1� 8�� (�� +��)��+ 3 (�� ���� �� 1�T

N�

��� ��� �������� ���� �� ��� ��� � -�.� ��� �� 1� ���� ����� ���� �������� !������ ��������-O!�.� ���� ���� ��'���� �������� (������ ��������� -�O!�.� ���� ������� ��

12 /

0

. ,N

ikp Np k

k

F f e �

� � "� 1� 8�� (�� +�� )�� + 3 ( -#�=8.

���1

2 /

0

1. ,

Nikp N

k pp

f F eN

� � $� 1� 8�� (�� +�� )�� + 3 ( -#�=(.

O������2 / ,�−= i N

NW e -#�=+.

5�������� -#�=8.� ���� -#�=(.� �����

1

0

. ,N

kpp k N

k

F f W�

� � p = 0, 1, 2, …, + 3 ( (4.83)

���–1

0

1,

Nkp

k p Np

f F WN

� �� k = 0, 1, 2, …, + 3 ( (4.84)

���� ������ ��������� ����� ��������� ��� �� ��� ���� �������� !������ ��������-O!�.� ���� ���� �������O!������� ����������� L ( L� �������������������������� ��������� ������� ��� ���� ������ "� 1� 8�� (�� +�� )�� + 3 (�� ���� ��� ����

( � �� 1� ( -#�=%.

!���5��� -#�=&.�� ������������� ����� ����������������������� ����O!���������� ��� �������+� ��� ���� �� ������� ���� -+ 3 (.� ��� ��� ��������?����� ����+3����� O!�� ��������+�� ��� ��� � �� ������� ����+-+ 3 (.��� ��� ��������

���������� �� ��

-.� "������ ��������

/22

2/2 2– , since –1.

��

+

− −

= ⋅

= = = =

Nk

k NN NN

Ni

k N iNN N

W W W

W W e e

"�����#�/9 !������2��������� 157

Page 171: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

158 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

-.� :������ ��������

–2 / –2, since 1.

k N k NN NN

k N iN N iN N

W W W

W W e e� �

� �

� � � �

-. 2������� ����� � ��������2 2 2/ 4 /� �− −= =i N i NNW e e

���2 /2 4 /

/2i N i N

NW e e� �� �

� �

?����2

/2 =N NW W �

2� ����� � ��� ���� ����� �� �������� �� ���� ������� � ��� ������� ��� !�������������� -����� ��� ��������� �� ����� ����, �� �� ��� ���� "� �� �"����������� �� �� � ��� ��� ���� ������ ������� ����������� ��� � -�.� �� �� �������� ������ ����� ������+�� ����� ���� "� �� &� �� ������� ��� ���� �� ����

1 12 2

0 0

1| | | |

N N

k kk k

P F fN

� �

� �

� �� � -#�=/.

����������� ���� ��������2| | , 0,1, 2, , – 1k kP f k N� � � -#�=<.

�� ���� ���������� ��� ������ ��� �� �������� ��� ���������� ���� �� �� ��� ���"� ����������"������������������������ ��"����(������������������������� ������+�� �� �� ���� ����� ���� �������� ��� (�� -$� 1� 8�� (�� +��)��+� 3� (.�� � ��� �� ������� ��������� ���� ������+�

Matrix Representations of Equations -#�=&. ��� -#�=#.�;�� ����

1

0

2 ( 1)0 1 2 1

( ) , 0,1, 2, , 1.

, 0,1, , 1.

� � � �

� � � � � � � �

Nkp

k Nk

p p N pN N N N

F p f W p N

f f W f W f W p N

:������ "� 1� 8�� (�� +��)��+ 3 (�� �� ���� ������ ��������� ��� �����

0 0 00 0 1 2 1

1 2 11 0 1 2 1

2( 1) ( 1)( 1)11 0 1 2 1

N N N N

NN N N N

N N NNN N NN N

F f f W f W f W

F f f W f W f W

F f f W f W F W

� � ��

� �

� � � � �

� � � � �

� � � � �

� �

Page 172: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� ��������� ���� ��� ���������� �� ���� ����� ���9

0 01 2 1

1 1

2( 1) ( 1)( 1)11 1

1 1 1 1

1

1

� � ��

� �

� �� � � �� �� � � �� �� � � �� � �� � � �� �� � � �� �� � � �� � � �� �

�� � � � �� �

NN N N

N N NNN NN N N

F f

W W WF f

F fW W W

(4.88)

��

� � � � � �� NF W f

��� �� � ��� ����� 5��� -#�=#.� ���� ��� ���������� ��

[ ] [ ]*1,⎡ ⎤= ⎣ ⎦Nf W F

N(4.89)

������ *NW � �� ���� ��� ��� ���������� ������

������� ��� @���� �������� ���� ���� O!�� ��� ���� ��������

��� 1� P(�� +�� &�� #Q�;�� ����

3

40

, 0,1, 2, 3.=

= ⋅ =∑ kpp k

k

F W f p

���� ����� �������������� �

0 01 2 34 4 41 12 4 6

2 24 4 4

3 6 93 34 4 4

1 1 1 1

1

1

1

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

F f

W W WF f

F fW W WF fW W W

� � � � �

1 1 1 1 1 10

1 – –1 2 –2 2

1 –1 1 –1 3 –2

1 –1 – 4 –2 – 2

i i i

i i i

� � � � � �� � � � � ��� � � � � �� �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � �

������� ��� !��� ���� ������� O!�� ��� ���� ��������

(� 1� P(�� ( 3 ��� 3(�� ( 4 �Q�;�� ����

� � � �*1Nf W F

N� �� � �

"�����#�/9 !������2��������� 159

Page 173: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

160 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

!��� +� 1� #�

� �

1 1 1 1

1 – –1

1 –1 1 –1

1 –1 –

� �� �� ��� �� �� �� �

ni i

W

i i����������

*

1 1 1 1

1 –1 –

1 –1 1 –1

1 – –1

� �� �� �� � �� � � �� �� �� �

Ni i

W

i i?����

[ ]

1 1 1 1 1 2

1 –1 – 1– 41 11 –1 1 –1 –1 –24 4

1 – –1 1 0

0.5

1.0

–0.5

0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

i i if

i i i

������� ��� !��� ���� O!�� ��� ���� ��������

��� 1� P+�� +�� +�� )�� +Q�� ���� $� 1� 8�� (�� +�� )�� + 3 (�

;�� ����

� � � � � �

12 /

0

, 0,1, 2, , 1�

−−

== = … −∑

Nipk N

p kk

F f e p N

� � � � � � � � �

12 /

0

2 , since ( ) = 2 for all .�

−−

== ∑

Nikp N

k

e f k k

2 / 2 2 / 2 ( 1)/2 1 ,� � �− − − −⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦�ip N i p N ip N Ne e e

����� �� �� �������� ����������� ���� 2 /�−= ip Nr e �

12 .

1

−= ⋅−

Nr

r����

2

2 /

12 , 0,1, 2, , 1.

1

⎡ ⎤−= ⋅ = … −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

ip

p ip N

eF p N

e

Page 174: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

!��� "� 1� (�� +�� &�� )�� + 3 (�(� 1� 8�

!��� "� 1� 8�� (� �� ��� ���� ����0

0�� I�� 0C?����� C�� �� ��� ��� �����

2

0 2 /0

12 lim 2 .

1

��

� �

ip

ip Np

eF N

e?����

2 , 0

0 1, 2, 3, , 1

=⎧= ⎨ = … −⎩p

N pF

p N

4.6.3 Fast Fourier Transform (FFT)

�����������������O!��������� ��-#�=&.���������+����� ���� �� ����������+-+�3�(.���� ���������������� ������������������������������� ������� -�.����� .kp

NW �I��������������������������������������������������

���������� ��� .kpNW �2��+� ���������� ���� ���������� ���O!�� ������� ����

���� ����� ����������� ���� ������� �� ��3�������� ��������

����(���(������#��������-!!�.�� ����������������������������

������������������������ kpNW ���������������O!���������������������

�����������+� ���+��������������������������������������������������� ����� ������������ ���� !!�� �� ���� �������� ��� ���� O!��� !��+�1�%8���������� �������!!����������������+%8���� ����������������������� ������ +%88� ��� ��� ���������� �������� ��� ���� ������ ���� ��� 5��� -#�=&.�

������ ����� ������ � !!�� � ������� ���� ���� ����� ���� ������ � � ������� ����� �� O!�� ��� ������ +� �� ��������� -��� �� �.� ���� ���������� �� ��O!�C���*���� �������� ���������� �������'+�� �������������� �����+� ��� ������ ��� +�� ���� �������� �� ������� ���� �� ������ ���� ��� ����� ������������ ������ 2������� ��� ��� ����� ���� ������ ��� � ������� �� ���� �������� ���-�.��������'�'���-O��.�����-�.�O������'�'���������-O�!.�� ���� $�� ��3������ � ������ �� ����� ��� ���� ����� -�.�� ��������� ���"����3������ � ������ ��� ���� ����� -�.��I���� ���� � ������� �������+� ���+�������������������$�� ��3������� �����������������������������������

4.6.4 Cooley–Tukey Algorithm

���� � ������ ������� ����� + �� ��� ������ � ������ ��� +�� ����� +� 1� +�������� � �� ��� �������� ���� ����� ���� ��� ���� � ������ �� ��� ������������ +'����� O!�� ���� ���� +H+'����� O!�C�� ����� ��������� ����� ��� ���+H+'����� O!�C�� ���� ���� +H#'����� O!�C�� ���� ��������� ���� ���������� ���� ������+H+� ���'�����O!�C��� ��� �� � ���� �������� ��������� ������ ��������� ����

"�����#�/9 !������2��������� 161

Page 175: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

162 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

��� �������� ���� � ���������� ����� �������� ���� �����+� 1� #�� ������� 1� +�0��� ���� ���� ���� ��� ��� ���� ��������� ��� �� ���� ��� � -�.�� ����O!�� ���� ��� �� ����� ��

3

40

, 0,1, 2, 3.pkp k

k

F f W p�

� �� (4.90)

�������� 1� �

������� 1� 3�

;�� �� �� ���� ��� ��� ���� ����� ���� ��� 5��� -#�>8.� ���� ���� ���� � ������ �� ������ +�� ���� ��������� ���� ����'������� �� ���� ��� � -�.� ���� ���� ������� ������'������� �� �����;��� ����������� ����

4 40, 2 1,3

kp kpp k k

k k

F f W f W� �

� �� � -#�>(.

:������ $� 1� +�� �� ���� ����� ��� ���� $� 1� +�� 4� (� �� ���� ������� ��� ��5��� -#�>(.�� ��� �����

1 12 (2 1)

2 2 14 40 0

1 1

2 2 12 4 20 0

, 0,1

rp r pp r r

r r

rp p rpr r

r r

F f W f W

f W W f W p

� �

� �

� �

� � �

� �

� �

�������������� ����� ���� ����� �������������� ��� ���� ��� -����'��������� ���.���� ���� ������� ��� ��� ���� ��� -���'������� �� ���.��2� ���������� ������������������������������������������������������������������������������ �D�;�� ���������� ����

4 , 0,1� � �pe o

p p pF F W F p -#�>+.�����

1

2 20

rpep r

r

F f W=

= ∑���

1

2 1 20

��rpo

p rr

F f W

"� 1� 8�� ( -#�>&.

"����(� �� ������� ���� ������ +�� ��� ����

22 4

4

, 0,1

, 0,1

�� � �

� � �

pe op p p

pe op p

F F W F p

F W F p -#�>#.

* Numerical Recipes in FORTRAN, CUP, Indian edition [1994].

��

��

��

��

Page 176: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����2

4 1.W = −

!��� 5���� -#�>+.� ���� -#�>#.�� ��� �����

(�� 1� ��� 4� ��� 4� ��� 4� ��(�� 1� ��� 3� ��� 3� � - ��� 3� ��. -#�>%.(�� 1� ��� 4� ��� 3� - ��� 4� ��.

(�� 1� ��� 3� ��� 4� � - ��� 3� ��.

G��� ��� ��� 5��� �� #�(/� �� ��� ��� �� ���� 5���� -#�>%.����� ����������� ��� ���� 5���� -#�>+.� ���� -#�>#.� ��� ���� #'����

O��3!!�� ���� ������ �� !��� #�&� �� ��� ��� ����"��

f2

f3

f1

f0

F0o

F1o

F0e

F1e

i–1

2-point DFT

1

–i

2-point DFT

Figure 4.3 Flow-graph for DIT–FFT, N = 4.

;�� ����� �������� ���� ����� +� 1� =�� 0��� ���� ��������� ��� �� ���� ��� � -�.� ��

�� 1� P���� ���� ���� ���� )�� ��Q����� O!�� ���� ��� �

7

80

, 0,1, 2, , 7,pkp k

k

F f W p=

= = …∑�����

–2 /88

iW e ��

"� ����� ���� ='����� O!�� ���� ���� ���� � ������ ��� ������ #�� ���� ������������ ����'������� ��� ���� ���� ������ ��� ���� ���'������� ���� ��� ����

8pe o

p p pF F W F= + -#�>/.�����

3

2 40

rpep r

r

F f W=

= ∑���

3

2 1 40

rpop r

r

F f W+=

= ∑"� 1� 8�� (�� +�� & -#�><.

��

��

��

��

��

��

��

��

"�����#�/9 !������2��������� 163

Page 177: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

164 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

@���� ���� ������� ����������� ��� � ��� ����

� � � 44 8 , 0,1, 2, 3pe o

p p pF F W F p�

�� � �

488

pe op pF W W F= + ⋅

� � � � � 8 , 0,1, 2, 3pe op pF W F p= − = -#�>=.

����4 1

8 2 –1.W W= =

������������������� epF ����� o

pF ����������#'�����O!�C���������� ����� �������� ��������� ������������������������ ������������������� ������ �� ���� ��'������ �� !��� #�#�

4-point DFT f4 f6

f2

f0

4-point DFT f 5

f7

f3

f1

F0e

F1e

F2e

F3e

F0o

F1o

F2o

F 3o

W80

W81

W82

W83

W84

W85

W86

W87

Figure 4.4 Flow-graph of first stage of 8-point DIT–FFT.

��� !��� #�#�� �� ���� ��� ���� ������� 8kpW � ���� ����� �� ���

0 1 2 38 8 8 8

4 5 6 78 8 8 8

1– 11, , – , – ,

2 2–1 1

– 1, , ,2 2

i iW W W i W

i iW W W i W

� �� � � � ��

�� � �� � � �

��

-#�>>.

��� ���� ������� ������ ��� ��������� ����� ��� ���� #'�����O!�C�� �� !��� #�#� ��� �� ���� ���� +'����� O!�C���;�� ����� ����

3

2 40

1 1

4 4 22 4 20 0

4 ,

prep r

r

sp p sps s

s s

pee eop p

F f W

f W W f W

F W F

� �

� �

� � �

� �

-#�(88.

Page 178: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�����1

4 20

speep s

s

F f W=

= ∑

���1

4 2 20

speop s

s

F f W+=

= ∑-#�(8(.

" �� �����������

4po oe oo

p p pF F W F= + -#�(8+.�����

1

4 1 20

lpoep l

l

F f W+=

= ∑

���1

4 3 20

lpoop l

l

F f W+=

= ∑ � � � �

"� 1� 8�� ( -#�(8&.

@���� ���� ������� ����������� ��� � ��� ����

22 4 , 0,1.pe ee eo

p p pF F W F p�

�� � � -#�(8#.

���2

2 4 , 0,1.po oe oop p pF F W F p�

�� � � -#�(8%.

���� ��� ����� ���� ������� ������ ��� �������� ������ ����� ��� ���� #'�������������� �� ������� ���� ���� +'����� ����������� ���� � ��'������ ��� ���������� ������ �� ������ �� !��� #�%�

f4

f0F0

ee

F1ee2-point DFT

f6

f2F0

eo

F1eo2-point DFT

f5

f1F0

oe

F1oe2-point DFT

f7

f3F0

oo

F1oo2-point DFT

W40

W41

W42

W43

W40

W41

W42

W43

Figure 4.5 Second stage of the decomposition.

��

��

��

��

��

��

��

��

��

"�����#�/9 !������2��������� 165

Page 179: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

166 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

!��� 5��� -#�(8(.�� ��� ���

1

4 20

0 4 2

, 0,1speep s

s

p

F f W p

f f W

� �

� �

���1

4 2 20

2 6 2

, 0, 1

, 0, 1

speop s

s

p

F f W p

f f W p

� �

� � �

��� �� ���� ����� ��� ���� ����� ������ ��� ��������� ��� �����

0 4 2 6, , and .eee eeo eoe eoop p p pF f F f F f F f= = = =

������ ���� ���� ='����� O!��� ��� ������ ���� ���� ����� ��������� � ���� ���� ���� ������� ���� ��� ���� ���� ���� ������ ���� ������� �� ���� ������ � ������� �����(���(���(��(��� (��� (��� (�� ���� (��

���� ������ ������� ��� ���������� ���� ��� ������ �� �� ��� �� � ��'�����-!��� #�/.�

Figure 4.6 Flow-graph of an 8-point DIT–FFT.

!��� !��� #�/�� ���� �� ����� ������������ ���� ��� ���-. ���� ����� �� �� ����������'������� ������� ��� �� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���

���� ��� ������ �� ��� �� #�+�

Page 180: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

Table 4.2 Input Data in the Reversed Bits

Input position Binary digits Reversed bits Index of thesequence

0 000 000 01 001 100 42 010 010 23 011 110 64 100 001 15 101 101 56 110 011 37 111 111 7

-. ���� ������� ���� ���� !������ ����������� (�� �� �� ���� ������ � ������-. $���������� ���� ������� ���� �� ����� �������� �� �� ��� �� ������� ��

2� ����� � ������� �� �� ������ �� !��� #�<�

Figure 4.7 A typical butterfly.

���������� 2�� ��$�� ��3������� ������ ���������� ����O!����� �����������

��� 1� P(�� +�� &�� #Q����� ���� ��������� ���

24 4and , 0,1p pe o e op p p p p pF F W F F F W F p

�� � � � � -.

2 ��

���

0 2 2

1 3 2

, 0,1

, 0,1

pep

pop

F f f W p

F f f W p

� � �

� � �

-.

;��� ����������� �����

0 0 2 1 0 24, – 2� � � � � �e eF f f F f f

0 1 3 1 1 36, – 2o oF f f F f f= + = = − =5������� -.� ���� ����

10 1 44 6 10, 2 ( 2) 2 2F F W i� � � � � � � � � �

12 3 44 6 2, 2 ( 2) 2 2F F W i� � � � � � � � � � �

����

"�����#�/9 !������2��������� 167

Page 181: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

168 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

���� � ��'������ ���� ���� ���������� �� ������ �� !��� #�=�

Figure 4.8 Flow-graph for Example 4.19.

������� � � @��� ���� $�� ��3������ � ������ ��� ���� ���� O!�� ��� �����������

��� 1� P(�� +�� &�� #�� #�� &�� +�� (Q�

(���� �����- ���� ���'��������� ���

0 4 2 62 2,p pee eop pF f W f F f W f� � � �

1 5 3 72 2, .� � � �p poe oo

p pF f W f F f W f

!��� ������ ���������� ��� �����

0 0 4 1 0 45, – – 3,ee eeF f f F f f= + = = =

0 2 6 1 2 65, – 1,eo eoF f f F f f= + = = =

0 1 5 1 1 55, – –1,oe oeF f f F f f= + = = =

0 3 7 1 3 75, – 3.oo ooF f f F f f= + = = =

������ �����- ���� ���'��������� ���

4 4, , 0,1p pe ee eo o oe oop p p p p pF F W F F F W F p� � � � �

2 24 4, , 0,1p pe ee eo o oe oop p p p p pF F W F F F W F p� �

� � � � �

!��� ������ ���������� ��� �����

0 1 2 35 5 10, – 3 – , 5– 5 0, – 3 ,e e e eF F i F F i= + = = = = = +

0 1 2 35 5 10, –1 – 3 , 0, –1 3o o o oF F i F F i= + = = = = +!��� ���� ����� ������� ��� ����

� � � 8 , 0,1, 2, 3� � �pe o

p p pF F W F p���

4 8 , 0, 1, 2, 3?�

� �

pe op p pF F W F p

Page 182: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������

0 1 2 38 8 8 8

1 – 11, , – , – ,

2 2

i iW W W i W

�� � � �

4 5 6 78 8 8 8

1 – 1– 1, – , , .

2 2

i iW W W i W

�� � � �

!��� ������ ���������� ��� �����

0 0 0 20,e oF F F= + = � 11 1 8 1

1 –– 3 – (–1 – 3 )

2– 5.828 – (2.414),

e oF F W F

ii i

i

� �

� �

2 0,F = 3(1 )

– 3 – (–1 3 )2

– 0.172 – (0.414),

iF i i

i

�� � �

4 0,F = 5(1 – )

– 3 – – (–1 – 3 )2

– 0.172 (0.414)

� �

iF i i

i

6 0,F = 7(1 )

– 3 (–1 3 )2

– 5.828 (2.414).

�� � � �

� �

iF i i

i

���� � ��'������ ���� ���� ���������� �� ����� �� !��� #�>�

Figure 4.9 Flow-graph for Example 4.20.

"�����#�/9 !������2��������� 169

Page 183: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

170 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

4.6.5 Sande–Tukey Algorithm (DIF–FFT)

���� � ��������� ��������� �� �� ����� ��� ���� � ���� ��� � ������� �� ������������������������� ����������� ��� �� ���� �������� ��� ���� $�� ��3������ �������������������������������������������������� ����������� �� ��������'��'�����������

��� ������ ���� ��� ����� +� 1� #�� ����

��� 1� P���� ���� ���� ��Q������ ��� ����

3

40

, 0,1, 2, 3pkp k

k

F f W p�

� ��

��� ����������� ���� ������ ��� �� ������ �� ����� ��� ���� ����� ���� ���� ������� ������ ��9

4 40,1 2,3

1 1( 2)

24 40 0

; 0,1, 2, 3

pk pkp k k

k k

p kpkk k

k k

F f W f W

f W f W p

� �

� �

� �

� � �

� �

� � -#�(8/.

A���( 2) 2

4 4 4 4 (–1) ,p k pk p pk pW W W W+ = ⋅ =����

24 2 (–1) .p p pW W� �

?������ 5��� -#�(8/.� ������

1

2 40

(–1) , 0,1, 2, 3pkpp k k

k

F f f W p�

� �� � � �� �� -#�(8<.

����� �������� ��� ����� ����� ���� ���� ����������0��

(� 1� (� � 4� (� ��������

� � � � � � �

12

2 2 40

1

2 20

( )

( )

rkr k k

k

rkk k

k

F f f W

f f W

� �

� �

1(2 1)

2 1 2 40

12

2 4 40

1

2 2 40

and ( )

( – )

( – ) , 0,1

k rr k k

k

kr kk k

k

kr kk k

k

F f f W

f f W W

f f W W r

� �

� �

� �

� � �

-#�(8=.

��

��

��

��

��

��

��

��

Page 184: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

;�������

����

2

2 4( )

k k k

kk k k

g f f

h f f W

� � ���

� � ��-#�(8>.

����

� � � � � �

1

2 20

, 0,1rkr k

k

F g W r�

� ��

����1

2 1 20

, 0,1rkr k

k

F h W r�

� ��-#�((8.

��� ���� ��� ����� ����� ���� ������� �� �� ���� ������ (��� (��� (�� ���� (���;�� ����������� ���� ����� +� 1� =�� 0��

��� 1� P ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ��Q�����

7

80

, 0,1, , 7.pkp k

k

F f W p�

� � ��

;�� �� �� ���� ������ ��� �� ����� ��� ���� ����� ����� ���� ���� ����� ������ ��

8 80,1, 2,3 4,5,6,7

pk pkp k k

k k

F f W f W� �

� �� �

� � � � � � � �( 4)

48 80,1, 2,3 0,1, 2,3

pk p kk k

k k

f W f W �

� �

� �� � -#�(((.

A���( 4) 4

8 8 8 8(–1)p k pk p pkpW W W W+ = ⋅ =

?����� 5��� -#�(((.� ������

3

4 80

(–1) , 0,1, , 7.pkpp k k

k

F f f W p�

� �� � � �� �� -#�((+.

"���� ���� ����� ���� ��� 5��� -#�((+.� �������� ��� ����� ����� ���� ���� !����������������� ��� ����

(� 1� (� � 4� (� ���

��

��

��

��

"�����#�/9 !������2��������� 171

Page 185: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

172 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

�����3

22 4 8

03

4 40

[ ]

[ ] , 0,1, 2, 3

� �

� � �

rkr k k

k

rkk k

k

F f f W

f f W r

-#�((&.3

(2 1)2 1 4 8

03

4 4 80

and [ ] ,

[ ] , 0,1, 2, 3

� �

� �

� � � �

k rr k k

k

rk kk k

k

F f f W

f f W W r

!��� �������� ��

4

8 4

, 0,1, 2, 3and ( )

k k k

kk k k

f f gk

W f f h

� � ����

� � ��-#�((#.

����� 5��� -#�((&.� ������3

2 40

3

2 1 40

, 0,1, 2, 3

and

�� �

���

�� ��

rkr k

k

rkr k

k

F g W

r

F h W

-#�((%.

���� � ��'������ ���� ���� ����� ������ ��� ���� � ������ �� ����� �� !��� #�(8�

Figure 4.10 Flow-graph for the first stage of Sande–Tukey algorithm.

$ ��� ��� ���� ��������� ���� ��� ��������� ��� ���� ������� ������ ��� �� �� ����� ������#'�����O!�C����������+'����������������! ��'������������������������� ������ �� !��� #�((�

��

��

��

��

��

��

Page 186: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

Figure 4.11 Second stage for Sande–Tukey algorithm.

������������� �������������� ����� ������������������ ����+���������!�����#�(+������ ���� � ��'������ ���� ���� ='����� �������� �� ���������� !!��

Figure 4.12 8-point flow-graph for Sande–Tukey algorithm.

"�����#�/9 !������2��������� 173

Page 187: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

174 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

;���������� ����� ���� ����� �� �� ���������� ���������������� ����������� ���� ������������� ���������� �� �� ���� ��'��������� ������

4.6.6 Computation of the Inverse DFT

���� ������� O!�� �� ������� ��

1

0

1, 0,1, , 1.

Nkp

k p Np

f F W k NN

� � � ��

$������������O!�� ������ ����� ���� �������� kpNW � ����� �������� ������ ���

����� ���� ������� ����� ������������� ���� ����� ���� ��� � ������� �� ������ ��+��?����� ����� ��'���������� ������ �� ��������O!������� ��������������������� ���������� ��� ������� O!�� ������ ����� ���� ������ ��������

�������� � @����"����3������� ���������������O!�����������������

��� 1� P(�� +�� &�� #Q�

;�� ����� ���� ���'��������

� � � � � � � �

1

2 20

rkr k

k

F g W=

= ∑

���1

2 1 20

rkr k

k

F h W+=

= ∑� 1� 8�� (

�����

��� 1� ��� 4� ����� ���� ��� 1� -��� 3 ����. 4kW

;�� ��� 1� P(�� +�� &�� #Q�� ��� �����

��� 1� ��� 4� ��� 1� #� ��� 1� ��� 4� ��� 1� /,

��� 1� ��� 3� ��� 1� 3+� ��� 1� -��� 3� ��.� 14W � 1� 3+-3�.� 1� +�

?����(�� 1� ��� 4� ��� 1� (8�� (�� 1� ��� 4� ��

12W � 1� ��� 3� ��� 1� 3+

10

1 2 0 10

– 2 2 ,kk

F h W h h i=

= = + = +∑1

13 2 0 1 2 0 1

0

– 2 2 .kk

k

F h W h h W h h i�

� � � � � � ��

?����

{10, – 2 2 , 2, 2 2 }kF i i� � � � � �

��

��

��

��

Page 188: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� � ��'������ ���� ���� ���������� �� ������ �� !��� #�(&�

Figure 4.13 Flow-graph for Example 4.21.

�������� @����"����3������� ���������������O!�����������������

��� 1� P(�� +�� &�� #�� #�� &�� +�� (Q;�� ����

7

80

, 0,1, , 7pkp k

k

F f W p�

� � ��

(���� �����-3 3

2 4 2 1 40 0

, , 0,1, 2, 3.rk rkr k r k

k k

F g W F h W r�

� �

� � �� �

4 4 8, ( ) kk k k k k kg f f h f f W

� �� � � �

������� 1� %�� � ��� 1� %�� � ��� 1� %�� � ��� 1� %�

��� 1� 3&�� � ��� 1� 318W �� � ��� 1�

28W �� � ��� 1� &

38W �

������ �����-(� � 1� (��� 4� (����� (� ��� 1� (����� 4� (�����

1 1

4 2 4 2 20 0

, , 0,1.sk sks k s k

k k

F p W F q W s+= =

= ⋅ = ⋅ =∑ ∑

"� 1� ��� 4� ������ ��� 1� -��� 3� ����. 4kW � $� 1� 8� (�

1 1

4 1 2 4 3 20 0

, ,sk skt k t k

k k

F u W F v W� �

� �

� � � �� �

��� 1� ��� 4 ����� '�� 1� -��� 3� ����. 4kW

;��������"�� 1� (8�� "�� 1� (8�� ��� 1� 8�� � ��� 1� 8,

��� 1� 3&� 4� 28W � 1� 3&� 3 �� ��� 1 ��� 4� ��� 1� 3+ 2 � 3� � 2 �

'�� 1� 3&� 4 �� '�� 1� + 2 � 3� � 2 �

"�����#�/9 !������2��������� 175

Page 189: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

176 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

!�� ��(�� 1� "�� 4� "�� 1� +8� (�� 1� "�� 3� "�� 1� 8�

(�� 1� ��� 4� ��� 1� 8� (�� 1� ��� 3� ��� 1� 8�

(�� 1� 3&� 3� �� 3� + 2 � 3� � 2 � 1� 3%�=+=� 3� �-+�#(#.

(�� 1� 3&� 3� �� 4� + 2 � 4� � 2 � 1� 38�(<+� 4� �-8�#(#.

(�� 1� '�� 4� '�� 1� 38�(<+� 3 �-8�#(#.

(�� 1� '�� 3� '�� 1� 3%�=+=� 4� �-+�#(#.

EXERCISES

��� 5�� ��� ������������� ����� �������� ��� ����� �������� ������ ���� ���� 1� ��� 4� ��� ��� ���� ����� -��� ��.9

1 2 3 4 5 6

2.4 3.1 3.5 4.2 5.0 6.0

xy

��� !��� ���� �� ���� ��� ��� ���� ��� ��� ����� � 1� ��� 4� ��� ���� ���� ����� ���������� ��� �9

0 1 2 3 4

1.0 2.9 4.8 6.7 8.6

x

y

��� ��� ���� �������� ��� �1����4���� �� ��������� ��� ��� ���� �����������������-��� ��.�� -��� ��.�� )�� -��� ��.�� ����� ����

2

1

, 1, 2, , .i i

i i i i

x y

x y n i n

x x y x

� �

� � �

� �

��� @��� ���������� ��� ����� �������� ��� ��� ���� �������� ��� � 1� �� 4 �� ����������9

0 1 2 3

2 5 8 11

1 1 1 1

x

y

w

��� !��� ���� �� ���� ��� ��� ��� �� ��� ����� � 1� �� 4� �� 4� ��� �� ���� ����� ��� ����������9

0 1 2 3 4

1 0 3 10 21

x

y

Page 190: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�� !�� �� ����� �������� ������ � � 1� �� 4� �� 4� ��� ��� ���� ����9

0 1 2 3 4 5 6

71 89 67 43 31 18 9

xy

�� O������� �������� ���������� �� ����������� ���� � �1����4����4��

�� 4� ���� �� ������ ��� ���� ����� -��� ��.�� �� 1� (�� +��)����

��� O������� ���������������� ���������� ������������� ����� ��������� ��������� ���� ������ �� 1� ����� ���� ���� ����9

2 4 6 8 10

4.077 11.084 30.128 81.897 222.62

xy

��� !�� �� �������� ��� ���� ���� �� 1� ��� ���� ���� �� ����� ����9

61 26 7 2.6

350 400 500 600

xy

��� @����������������� �������������� �������������� �������� 1�a

x�4 �

��� ���� �� ����� ����� -�� �.9

-(�� %�#&.�� -+�� /�+=.�� -#�� (8�&+.�� -/�� (#�=/.�� -=�� (>�%(.�

���� !�� �� �������� ��� ���� ���� �� 1� 1 21 2

x xA e A e� �+ � ��� ���� ����� ����� ��

1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

1.54 1.67 1.81 1.97 2.15 2.35 2.58 2.83 3.11

xy

���� ;�������� �������������� ����� �����������������������������������-��� ��.�� �� 1� (�� +�� )�� +�

���� ��� ���� ��������� ��-.� 1� (�� ��-.� 1� � ���� ��������� � ��� ���� ������ 63(�� (7�� ���� ���� �� ���� ���� ����� ��� ����� ���� �������� ��� 1� ( 4 � 4 ��� ���������� � ��� ����� ��� ���� ��� ��� 63(�� (7�

���� O����� ��� ��������� � ���� ��� ��������� ���� ����� ����� ���� ���

� -.� 1� ���n x

l

� �� 1� (�� +�� )

�� ��������� � ��� 68�� �7�

���� 5�� ��� ���� ���������� �������� !������ ������ ���� !������ ���������!��� ���� !������ ������ ���� ���� �������� ������� ��

, 1 0( )

2, 0 1

� � ��� �

� � ��

x xf x

x x

5�������� 177

Page 191: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

178 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

��� O����� �������� !������ ��������� -O!�.� ���� ������� �������� !�������������� -�O!�.�

!��� ���� O!�� ��� ����� ��� ���� �� ����� ���������� ����� ����� �����-:��� ��� #�(<3#�+8.9

��� P8�� (�� 8�� 3(Q

����1 1

1, , 0,2 2

� ��� �

� �

���� P(�� +�� &�� (Q

��� P+�� +�� #�� &Q

@���������������

12 /

0

, 0,1, 2, , 1,N

ikp Np p

k

F f e p N�

−−

== = … −∑

���� ���� O!�� ��� ����� ��� ���� �� ����� ���������� -:��� ��� #�+(3 #�+&.9

���� P(�� +�� &�� #Q

���� P(�� (�� )�� (Q�� +� �� ����

���� P(�� 3(�� +�� 3+�� &�� 3&Q

���� ;���� ���� ���������� � ������ ���� �������� ���� O!�� ��� �� ���������-�.� ��� ���� ������ ���� �� ���� ����� �� ��� :��� �� -#�+(.�

���� 0������� �����������������O!���������� �����O!����� �������������P8�(�� (�� 8Q�

��� "����� ���� ���� ��������� �� ����$�� ��3������ � ������ ���� ����������� O!�� ��� ���� �������� ��� "� 1� 8�� (�� +�� &�� O���� ���� � ��'������ ������ ����������

@��� ���� $�� ��3������ � ������� ��� ������� ���� O!�� ��� ����� ��� ����� ����� ���������� -:��� ��� #�+<3#�&8.9

��� P(�� (�� 8�� 8Q

���� P(�� 8�� (�� 8Q

���� P(�� 3(�� (�� 3(Q

��� P(�� +�� (�� +Q

���� O���� �� � ��'������ ��� � ����� ���� ��� ������� � ���������� ���� ���$�� ��3������� ������

���� ;���� ����� ���� ���� ��������� �� ���� $�� ��3������ � ������ ����������� ����='�����O!����� ���� ��������� ���"�1�8��(��+��)��<�� �������� ���� � ��'������ ���� ��� ����������

Page 192: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

@�������$�� ��3������� ��������������������O!������������������� ������������� -:��� ��� #�&&3#�&%.9

���� P(�� 3(�� (�� 3(�� (�� 3(�� (�� 3(Q

���� P(�� (�� (�� (�� (�� (�� (�� (Q

���� P(�� +�� &�� #�� %�� /�� <�� =Q

��� 5�� �������������������������$�� ��3����������"����3������� ���������� ���='����� ������������� ����O!����� �� ����������;��������� �������������������"����3������� ����������������������O!����������������� ���� $ 1� 8�� (�� +�� )�� <�

@��� "����3������ � ������ ��� ������� ���� O!�� ��� ����� ��� ���� �� ������������� -:��� ��� #�&<3#�#8.9

��� P(�� (�� 8�� 8Q

���� P(�� 8�� (�� 8Q

���� P(�� +�� &�� #�� %�� /�� <�� =Q

��� P8�� (�� 8�� (�� 8�� (�� 8�� (Q

���� "���� ����� #�-.� 1� ���� -�� �����.� �� �� �� ���� � �� � ��� ������� ��

���� "���� ����� ���� ���������� ��� �� �� #�-.� �� +����

���� 5���� �� ���� ������ ����� ��

3 5 7

sinh6 120 5040

� � � � ��x x x

x x

��� ���� ������ � 63(�� (7�� � ����� ���� �� �� ������� ��� 8�888%�

Answers to Exercises

��� ��� 1� 8�%8&� ��� 1� +�8+(�

��� ��� 1� +�8� ��� 1� 8�=�

��� �� 1� +� �� 1� &�

��� �� 1� (�� �� 1� 3&� ���� � 1� +�

�� �� 1� =(�>&�� �� 1� 3=�+=�� � �� 1� 38�<=

��� �� 1� (�%�� �� 1� 8�%� 1� ��

��� �� 1� <8+�� �� 1� 38�(<�

��� �� 1� &�8+�� �� 1� +�&>�

���� ��� 1� 8�>>�� ��� 1� 38�>/�� ��� 1� 8�#>>�� � ��� 1� 8�#>(�

���� (� 3� &��

���� ��� 1� +�� � ��� 1� 8�� � ��� 1�2

n�6(� 3� +-3(.�7�

5�������� 179

Page 193: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

180 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������

��� 68�� 3� +��� 8�� +�7

���� 6(�� (� 3 � 2 �� (�� (� 4� � 2 7

���� 6<�� 3+� 3� �*� (�� 3+� 4� �7

��� 6((�� 3+� 4� ��� (�� 3� +� 3� �7

���� (�� 1� (8�� (�� 1� 3+� 4� +��� (�� 1� 3+�� � (�� 1� 3+� 3� +��

����, 0

0, 1, 2, , 1pN p

Fp N

=⎧= ⎨ = … −⎩

����3 3 3 3 3 3

–1.5 , 1.5 , 12, 1.5 1.52 2 2 2

i i i i� �

� � � � � � �� �� �

���� 6(8�� 3+� 4� +��� 3+�� 3+� 3� +�7

���� �� 1� 68�%�� 38�+%� 4� 8�+%��� 8�� 38�+%� 3� 8�+%�7

��� 0 0 2 1 0 2, ,e eFF f f f f� � � � 0 1 3 1 1 3, .o oFF f f f f= + = −

��� (�� 1� +�� � (�� 1� (� 3� ��� � (�� 1� 8�� (�� 1� (� 4� ��

���� ��� 1� P(�� 8�� (�� 8Q� (� 1� P+�� 8�� +�� 8Q

���� ��� 1� P(�� 3(�� (�� 3(Q�� � � � (� 1� P8�� 8�� #�� 8Q

��� ��� 1� P(�� +�� (�� +Q�� � � � � (� 1� P/�� 8�� 8�� 8Q

���� !�� � �����9� (�� 1� 8�� (�� 1� 8�� (�� 1� 8�� (�� 1� 8,� (�� 1� =�� (�� 1� 8�

(�� 1� 8�� (�� 1� 8�

���� ��� 1� P(�� (�� (�� (�� (�� (�� (�� (Q� (� 1� P=�� 8�� 8�� 8�� 8�� 8�� 8�� 8Q�

���� &/�� 3#� 4� �->�//.�� 3#� 4� #��� 3#� 4� �-(�//.�� #�� 3#� 3� �-(�//.�� 3#� 3� #��� 3#3� �->�//.�

��� (� 1� P+�� (� 3� ��� 8�� (� 4� �Q

���� (�� 1� +�� (�� 1� +�� (�� 1� 8�� (�� 1� 8�

���� (� 1� P&/�� 3#� 4� >�//��� 3#� 4� #��� 3#� 4� (�//��� 3#�� 3#� 3� (�//��3#� 3� #�� 3#� 3� >�//�Q

��� (� 1� P#�� 8�� 8�� 8�� 3#�� 8�� 8�� 8Q

���� ?��9�@����������� ��������

���� #�-.� 1� +����� #�-.� 1� +

�����3� (�

#�-.� 1� +����� 3+�� #�-.� 1� +

�����3� =�� 4� (�

���� ���� 1�3383 17.

384 96x x+

Page 194: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���

����������� ��

�������

5.1 INTRODUCTION

���������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������ �� ���� �������� ������ ��� �� ����� ���� ���� ���� ������� !���� � ����� ������ ��� �� ��� ����� ����������� �����"������� ��� ���� �������������������#�������"������������#���������������������������������� ����� ����������� �� �� ���� �������� $���� ��� ����������� ��� ����� ��������� �������������� ��������������� �������������������������������������� ������������

%�� ���� � ��������� #�� ������ ���������� �� ��������&�� ����� �������� �� ���� ��"�#�� ����� ������� �� � ������ �� ����� �� ������ ����� ����������� ������� %�� ������ �� ������ ��� ��������� ������� �� ��� ������������%�����������������������������#��������������� ������ ��������������������������'������ �(������� ���#�� �(����� ����)���� ����#����������������������� �� ��������� ����������#�������� ��#�������������� �������������������������*����������������#�����#�������� ���������������������������(������������������������������������������ �������� +������ �� �������� ��� ��#��� �������� ���$����� ,�- ������� �� ��������� (������� ��� �� ��#��� ������ ���� �������� ������� �������������.�������������#���������������#��������������������������������� �� ����� ����� ��� �������������%��� �������������� #� ��������� ��$����� ,�-�� $������ ������ ��#��� ������������ #� ��������� ��� $����� ,�� �������#���* ������������������������������#�������������$����/,�0�

Page 195: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

182 ��������,' $�����!�������

1����������� ��� ��#��� ������� �� ��������� ����������� � �������� ������������������������������(������ ���������#���������������#�(���������

5.1.1 Linear Splines

2� �� ����� ���� ������ #��� � ��� �� 3� 4 � � � - 5 � � �,���

����� 3���� 6��� 6� �� 6��� 6���� 3��

���� ���� 3� ��� 7� ��� �� 3� � � - �5 ��� �,�-�

!���� � ��������#� ������������������������ ��� �� ������ 8��� ���9�)#������� ����� ������� �� ������� ���� +������� � ������ ���� � ����� ������ � �����:�� ������

������ 3� ���� ������� 7� ���� �,������

1

1

.i ii

i i

y ym

x x−

−=

−�,�0�

$���� ��3�� �- �5 ��� ����������� ���.(�� �,��� ����#����������� ���������������������� ��� �� ��#���������� ��� � ���������� �� ��� ������ ���� ����� ��� ���������� �� #��� �� ��� ������

��������� ;�������������������� �� 7<� �- �7�� ������ �<� ���������������������3�� ��� �������������������������������������������=������ �����"���� ������ ��� ��-�,�� ��� ���-�4���

2� �� ����� ������ # ��� � 7� <� � ��- � 7��� ��� ��� � �<��� .(������ ��1* ��

����� 3� 7<� �� ��� 7� ��>� 3� >�� 7� �,

���� (������ ���*�� ��

����� 3� 7�� �� ��� 7� -��?� 3� �?�� 7� �?

$���� �� 3� -�,� #������ �� �� ������ 8- � �9 � �� ���

��-�,�� �� ��-�,�� 3� �?�-�,�� 7� �?� 3� <�,

������-�4������ 3� �?�

�� ��� ���� �� ���@� ��� �� ������ ( )is x ��� ���������� �� [1, 3] #�� ��������� ��� �������������� %���� ��� ������� �� �������� ��� ������ � ������ ����������� �"� �������� (�������� ������������� ������ �� ��������� ���� ������ ��� �������� �� ��� ��� �� ��������

Page 196: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

5.1.2 Quadratic Splines

A�������������������������������.(���,��� ���������#���(������������� �����"������� �� �������� �� 3� � ���� ��� �� ������ 8��� � ��9 ������ 7� ���� 3����� 2� ������ ���� ������� #� ���������� ��� 8�� � ��9� ���� �

������� 3� �� �� 3� 4 � � � - �5 ��� �,�,�

$��� ����� ��� �� (�������� �� 8��� ���9 � �� �������� ��� ������� ��� �� ������ ����������� �����������

[ ]1 11

( ) ( ) ( ) ,i i i i ii

s x x x m x x mh − −′ = − + − �,�B�

���

( ).i i im s x′= �,�>�

��������� .(�� �,�B�� ���� ����� � ,x �� �#���

2 21

1( ) ( )1

( ) ,2 2

i ii i i i

i

x x x xs x m m c

h−

−⎡ ⎤− −

= − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�,�<�

��������������������#���������C�������3����� ���.(���,�<� ����

2

1 1 1 11

.2 2i i

i i i i ii

h hc y m y m

h− − − −= + = +

:��� .(�� �,�<�� #����'

2 21

1 1 1( ) ( )1

( ) .2 2 2

i i ii i i i i

i

x x x x hs x m m y m

h−

− − −⎡ ⎤− −

= − + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�,�?�

��� .(�� �,�?� � �� ��� ��� ����� ��@����� %�� ������ �� �� � �� ��� ������������������������� �� ������������� �� ���������������������������������� !��� �� ��������� ��� �� �������� ������ � �� 3� �� � ������ ���

�����7�� 3� �������� �,��4�

!����.(�� �,�?� ��� �#���

1 1

1 1

( )2 2

( ) .2

i ii i i i i

ii i i

h hs x m y m

hm m y

− −

− −

− = + +

= + + �,����

!���� 2 2

1 11 1

1

( ) ( )1( ) ,

2 2 2i i i

i i i i ii

x x x x hs x m m y m

h+ +

+ ++

⎡ ⎤− −= − + + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

$� �����,��' ���������� 183

Page 197: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

184 ��������,' $�����!�������

���� �����

1 11( ) .

2 2i i

i i i i i ih h

s x m y m y+ ++ + = − + + = �,��-�

.(������ ��� .(��� �,����� ���� �,��-�� �������� �� �������� ������

1 12

( ),i i i ii

m m y yh− −+ = − 1, 2, ,i n= � �,����

���� �� ������ ������������������.(������� �,�������������� (������� ���� � �����@����� ���D �� �� �5 ���� :�� ����(�����������������������������������(�����%�������������������������������� ���������)�������������������������������3�4 ����������������������������������������������������$������������������������������� ������=����������.(�� �,�?�� �������� ����� �� � � �� �#���

11

( ) ( ),i i ii

s x m mh −′′ = − +

��

1 1 1 01

1( ) ( ).s x m m

h′′ = −

:�� � �� ���� �� ���������� ��������� ����� 3��� �,��0�

%����� �.(����,����������,��0������#������������� �������������#������� .(�� �,�?�� ����� �� �(����� (�������� ������

������� � =����� �� (�������� ������� ���������� �� ���� ����� ��."����� ,���� !���� ����� �����"���� ������ ��� � �-�,� ��� ���-�4��

A� ��� � 3 - ��� � 3 �� .(������ �,����� ����

��� ���� 3� �0 ��� �� ���� 3� �<�

$��� ��� 3�� ��� �#��� ��� 3��� 3� > � ������ 3� ���:�� � .(�� �,�?�� ����'

2 22 1

2

22

2

( ) ( ) 7( ) (7) (31) 1

2 2 2

(3 ) 31 5(7) ( 2)

2 2 2

12 41 33,

x x x xs x

xx

x x

− −= − + − +

−= − + − +

= − +

������ ��� �� ������ ��� �� ������� 8- �9�:��

��-�,�� �� ��-�,�� 3� ,�, ��� ���-�4�� �� >�4�

Page 198: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

%��(������������� �����������������8� -9�����#������������ ������������1� ������������������ ��� �������� �� (�������� ������� ��� ��� �������'

$��� ����� ��� �� (�������� ��� ���� � ��� � �� �������

������ 3���� �� ���� �� ��� �,��,�

������ ��������� �������������#�������� ������ ��������������������� �������� �(������� ���������� �������� ����%��������������� �#����� #�� ������ �� �������� ��� �� (�������� ������ !����� �� ���� ��������� ��� �� ������ ������ ������� �� ������� ������� %��� ����

������� 3���� ������� �� ���� �� 3� � � - �5 � 7 �� �,��B�

E" ������ ��� ���������� �� � � ��� %���� ��������� �(����

�����7�� 3� ��������� �,��>�:�� ������� ���

2 21 1 1 ,i i i i i i i i i ia b x c x a b x c x+ + ++ + = + + �� 3� � � - �5 � �� 7� �� �,��<�

1���� � ������� ��� ���������� � �� 3� ���� %���� ����

��� �� -����� 3����� �� -����� �� 3� � � - �5 ��� 7� �� �,��?�

A�����������7�������������������(����������������������$��� ������� ������ ������� �� ��� ������ ���� ������� ���

20 1 1 0 1 0y a b x c x= + + �,�-4�

���2.n n n n n ny a b x c x= + + �,�-��

!������ � ���� �� ������� ����� � �� ����������� 3� 4 �,�--�

���� ���� ������3� 4� �,�-��

A� ��� � ��� � �� ������� ����� ��� ��� (������� ��� ��� ��@������1������ ���������������������#������ �������#������������"�������� � ����� � ��������� ��� ���� ������� �� �� �������� ���

%�����������������������������������������#��������������������� (�������� ������� ���� ���� ����#��@� ��� ������ ��� �� ��#��� ��������������� #����

5.2 CUBIC SPLINES

A��������� �� ������������������ ���D� � ������������ ���.(�� �,��� ������������#�����#���������������������������8��� ��9��%��������������� �� ������� ��#��� ������ ��

$� �����,�-' ��#���$����� 185

Page 199: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

186 ��������,' $�����!�������

��� ������ ��� ����� �� ��#��� ��� ���� ��#������� 8��� � ��9 1, 2, , ,i n= �

���� ������� 3� �� � �� 3� 4 � � � - �5 � �

����� ( ), ( )i is x s x′ ��� ( )ís x′′ ��� ���������� ��� 8�� � ��9 � ���

���� 0( ) ( ) 0í í ns x s x′′ ′′= = �

%�� ����� �� ��������� (������� ��� �� ��#��� ����� � �� �#���� ��� ������� ������ ������������� #� ������� :�� ��� ���� ��� 8��� � ��9'

[ ]1 11

( ) ( ) ( ) ,í i i i ii

s x x x M x x Mh − −′′ = − + − �,�-0�

���� �� 3 �� 7 ��� ��� ( )í i is x M′′ = ���� ��� �� )#������� � �� ������ �������������������������������������.(���,�-0������������������ ���

3 31

1 1)( ) ( )1

( ) ( ) ( ,6 6

i ii i i i i i i

i

x x x xs x M M c x x d x x

h−

− −⎡ ⎤− −

= + + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�,�-,�

��� �� ��� �� ��� �������� �� #� �������F����� ���������� �������� 3� ���� ���� ������� 3� �� � �� ��������� �#���

2

1 11

6i

i i ii

hc y M

h − −⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠���

21.

6i

i i ii

hd y M

h

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

�,�-B�

$�#������� ���� ��� ���� ��� ��� .(�� �,�-,� ��� �#���

( )3 231

1 1 1

2

1

( )1( ) ( )

6 6 6

( ) .6

ii ii i i i i i

i

ii i i

x xx x hs x M M y M x x

h

hy M x x

−− − −

⎡ ⎛ ⎞−−⎢= + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣

⎤⎛ ⎞+ − − ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎦

�,�->�

��� .(�� �,�->� � �� ������ ������ �������� � �� � ��� ����� ��� @������ %��������� ������������������������������� ��������!����.(���,�->� �� �#���� #�� �����������'

2 21

1

2 2

1 1

3( ) 3( )1( )

6 6

6 6

i ii i i

i

i ii i i i

x x x xs x M M

h

h hy M y M

−−

− −

⎡− − −′ = +⎢⎢⎣

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

Page 200: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

$���� � � ��� ��� �� �#�� ��� �#���� �� �� ����� �������

2 2

1 1

1 1

1 1( )

2 6 6

1( ) ( 1, 2, , ).

6 3

i i ií i i i i i i

i i

i ii i i i

i

h h hs x M y M y M

h h

h hy y M M i n

h

− −

− −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ − = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − + + = � �,�-<�

%���#���������� ������������ ������������������������(�������� ����#������������ ����#���������� �������A��������#������� �������� .(� �,�->�

23 311

1 1 11

21

1 1

( ) ( )1( ) ( )

6 6 6

( ) , (5.29)6

ii ii i i i i i

i

ii i i

hx x x xs x M M y M x x

h

hy M x x

+++ + +

+

++ +

⎡ ⎛ ⎞− −⎢ ⎜ ⎟= + + − −⎢ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣

⎤⎛ ⎞⎥⎜ ⎟+ − −⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎦

������ � 3�� � ����=�����������.(���,�-?���������� � 3 �� ���#��� ����� ����� �������� �� � 3 ��

1 11 1 1

1

1( ) ( )

3 6i i

í i i i i ii

h hs x y y M M

h+ +

+ + ++

′ + = − − − ( 0,1, , 1).i n= −� �,��4�

.(������ ��� .(��� �,�-<�� ���� �,��4�� �������� �� �������� ������

11 1 1

1( )

6 3 6i i

i i i i ih h

M h h M M+− + ++ + +

1 1

1

i i i i

i i

y y y y

h h+ −

+

− −= − ( 1, 2, , 1).i n= −� �,����

!��� (���� ������� � �� ���� �� 3 �� � 3 �� ���� .(� �,���� ���������� �

1 1 1 12

64 ( 2 ),i i i i i iM M M y y y

h− + + −+ + = − + ( 1, 2, , 1).i n= −� �,��-�

%�� ����� ��� .(�� �,����� ���� ���� ������� ������������ ������ ��� ��� ��@���� � ��� �� ����� ���� #������ ��

$� �����,�-' ��#���$����� 187

Page 201: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

188 ��������,' $�����!�������

1 02 11 2 1 2 2 1 0

2 1

3 2 2 12 1 2 3 2 3 3

3 2

4 3 3 23 2 3 4 3 4 4

4 3

1 1 21 2 1 1

1

2( ) 6

2( ) 6

2( ) 6

2( ) 6 .n n n nn n n n n n n

n n

y yy yh h M h M h M

h h

y y y yh M h h M h M

h h

y y y yh M h h M h M

h h

y y y yh M h h M h M

h h− − −

− − − −−

⎫⎛ ⎞−−+ + = − − ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪

⎪⎪⎛ ⎞− −+ + + = − ⎪⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎪⎪⎬⎛ ⎞− −

+ + + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞− −+ + = − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

�,����

.(������� �,�������� �,��-�� ������� �� �������� �� 7 ��� (������������������������������������������������������� �����������������������������#�����������������$����������������,�������������������!�����������������������> ��������������#���������� �������������������������������A�����������@���� �.(���,�->�������������(������#��� ������ ��� �� ��#������� 8��� � ��9��1��� � � iy′ ���� #� �#����� ����.(��� �,�-<�� ���� �,��4��

������� �� =���������#�����������������������������."���� ,���!���� ����� �� �����"���� ������ ��� � �-�,�� ���� (2.0)y′ �

A������ 3 -��������3���3�4��:�� �������������������,��-��������3��<��������������������� ��������� �����#������������������������ �� �� �� -� ��� -� �� �� �� � ��� �#���

����� 3� ���� 7� ���� 7� <�-� 7� ��� 7� 0��� 7� �����

����� 3� ���� 7� ���� �� --�� 7� 0<�A � ����� � ���

23

(2.5) (2.5) 7 7.3758

y s≈ = + =

���

2(2.0) (2.0) 13.0.y s′ ′≈ =

���������#�����������#��������������� ��3����7�?�����������"���������� ��-�,����� ���-�4���� ��������� �B�B-,������-�4��%������������������������� ���������������������������������� ������������������."������ ,�� � ,�-� ���� ,���

"�� ����� � ���������# ��� ����� ��� ���������� ��� ���� ����� ���� � ����� �������������� $������! ( )í i is x m′ = � ���� �����!� ��������� ������������� ��%&�� �,�-<� ��� �,��4� � ��� ���� ����� ���� ��������!� ���������� � ��� ��� �� '

Page 202: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

1 11 1

1 1 1 12i i i

i i i im m m

h h h h− ++ +

⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 12 21

3 3( ) ( ),i i i i

ii

y y y yh h

+ −+

= − + − 1, 2, , 1.i n= −� �,��0�

%�� ��#��� ������ ��� ���� ��� ��� ���� ��� ����� ��� ��� ����� #�

2 21 1 12

2 21 1 13

1( ) { ( ) ( ) ( ) ( )}

1{ ( ) [2( ) ] ( ) [2( ) ]}.

i i i i i i ii

i i i i i i i ii

s x m x x x x m x x x xh

y x x x x h y x x x x hh

− − −

− − −

= − − − − −

+ − − + + − − + �,��,�

%���#������������������#���������������:��������������������������� ��� $����� ��?���

!��� (������ ������ @��� � .(�� �,��0�� ������ �� ������� ����'

1 1 1 13

4 ( ),i i i i im m m y yh− + + −+ + = − 1, 2, , 1.i n= −� �,��B�

.(������� �,��-�� ��� �,��B�� ������� ��7��� (������� ��� ������ ��@����� ��D� �� �� �5 ����������� � ��� ������ ����������� �(����� �������� �������(�� ����������� ����������#� �������%��� ���������� ��� ������ ����� ����������� ���� ��� ��������� ��� ����� ��� G������ 8�?>� � �?>-9�

$���������� � �������� ��� ���� ��� ��� ���������'

����� '������ ������ � ����(���� 3���� 3� 4����� =� � ����(� �������� 3� ������ � �������� 3� ������ ����� =� � ����(� ��������� 3���� 3� �������� ���� ��������� 3���� 3� ��������

%�� ���������� "����� ��������� �� ��������� ��� ��������� ��� ���#��� ������ ��������� ���� ��������� ������� ��������

������� �� ;����������� �4 �4� ���H- �� ��� �� �4�� �������������������� 3 ��� � �4� �� �� ���� � ������ �� ����� �� ( /6)y π ������ �� ��#��� ����������"�������

A������ 3 -���� ��3��H-��%���������������������������� �������������� ����'

0 1 2 2 2

6 4 484 (0 2 0) .M M M

� �

×+ + = − + = −

!��� �� ������� ����� �� ��� ��� 3��� 3� 4��:�� �� ���

1 2

12M

= −

$� �����,�-' ��#���$����� 189

Page 203: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

190 ��������,' $�����!�������

��� �� ������� 84 ��H-9 � ��������� ������ � ����� ��� ����� #�

3

1 2

2 2 3( ) .

2

x xs x

� �

⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

:��

12

0.4815.6 6 108 4

y s� � � �

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

A� �"� �@� �� 3� � H0 � ��� � �� ���� ������ �� �4 � 4� � ( /4,1/ 2),� ��)- �� (3 /4,1/ 2)� ��� ( , 0)� � ��� ���� ��� � �� �������� ������� ����'

1 2

1 2 3

2 3

4 4.029

4 5.699

4 4.029

� � � ���

� � � � ��

� � � ��

M M

M M M

M M

���

���� ��� 3���� 3� 4�� $������� .(� ��� �� �#���

�� 3� 74�>004 �� 3� 7��4,� ��� 3� 74�>004�

�� 4��� �� �� �H0 � �� ��#��� ������ ��� ����� #�

31

4( ) [ 0.1240( ) 0.7836( )].s x x x

= − +

:��

1 0.4998.6 6

y s� �⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

%���� ����� ������ ��� ����#��� ��������������������#�������"���������������������������� A�������������������������� siny x� ������������� �4I ���� �� 3� 4� � � ���� ��� �������� ���� �� 3� ,I � �,I � -,I � �,I� ���0,I �����������������#����������%����#�������������������������"��� ������ ��� ����� ��� �� ���������� �#�'

y = sin x

x (in degrees) Cubic spline values Exact values

5 0.087155743 0.087155530

15 0.258819045 0.258818415

25 0.422618262 0.422617233

35 0.573576436 0.573575040

45 0.707106781 0.707105059

Page 204: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������� � ;���� �� ������ �� � B� � �- � �<� � ���� �� � 0-� � ���������� �����������3������,� ������� � ����#��������� ��� �� ������� 8� �-9�������� ��� ���������� ������ 3� <� ���� ������ 3� �-�

A� ������ 3� �� ���� �� 3� -�� %�� �������� ������� ��

��� �� 0�� ���� 3� ���� 7� ���

�� 04� �� 0�� 3� ��0-� 7� B�� 3� �4<

���� 3� �>�

��� 8� � -9 � �� ��#��� ������ ��� ����� #�

����� 3������ 7� ��� ��� 7����� 7����� 7� ���� ��� 7���

� � � � � � �� ����� 7���� 8-��� 7� ���� �� �9� �� ���� 7� ���8-��� 7� ��� �� �9

$�#������� �� ������ ��� �� � ��� ������ � �� �#���

����� 3� ��� �� ,�

��������� �� �#������������������� ��� ������� � �������� �������������"���#����� �� ����������������������#�����"������� �� �#������������ ��� �� ��#���

5.2.1 Minimizing Property of Cubic Splines

A������ ���� ������� ���� �� ������� ��#��� ������� 2� ����� #� �� ��������#��� ������ ����������� �� �� ��� ���� ������ ��� � ��� � �� 3� 4 � � � - � 5 � � ���� �� ��� ������� ��� �� 3� ��� 6� �� 6� �� 6��� 6� ��� 3� ��� $���� ����� ��� �������� ��#��� ����� ������� ������3���� ���� ���� �� ���� ����� ��������3� ��������3�4�

2� *���� #� �� �������� ����� ��� *�����3���� ���� ���� � � ���� *��� �*���� � *�������� ���������� ��� 8� � �9�� %��� �� ������� ������ #�

2[ ( )]b

aI z x dx′′= ∫ �,��>�

����� #� �������� ��� ���� ����� ��� *���� �� ������ %���� ����� ��� ����� ��� ��������������������������������������������������������#�� ������������������������������������"���������������������������� A���

2 2

2

2

[ ( )] [ ( ) ( ) ( )]

[ ( ) 2 ( )[ ( ) ( )]

[ ( ) ( )] .

b b

a a

b b

a a

b

a

z x dx s x z x s x dx

s x dx s x z x s x dx

z x s x dx

′′ ′′ ′′ ′′= + −

′′ ′′ ′′ ′′= + −

′′ ′′+ −

∫ ∫

∫ ∫∫ �,��<�

$� �����,�-' ��#���$����� 191

Page 205: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

192 ��������,' $�����!�������

E��

1

1

1

1

0

1

0

1

0

( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )]

{ ( )[ ( ) ( )]}

( )[ ( ) ( )] .

i

i

ii

i

i

nb x

a xi

nxx

i

n x

xi

s x z x s x dx s x z x s x dx

s x z x s x

s x z x s x dx

+

+

+

=

=−

=

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′− = −

′′ ′ ′= −

′′′ ′ ′− −

∑∫ ∫

∑∫ �,��?�

%�� ����� ��� ��� .(�� �,��?�� ���������� �

0 0 0( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )].n n ns x z x s x s x z x s x′′ ′ ′ ′′ ′ ′− − −

$���� 0( ) ( ) 0,ns x s x′′ ′′= = ����#���"�����������������$�������� ��������

��� ���.(�� �,��?�� ��� D��� ����� �������� ���� �� ������� ����� ��� ���� ���������� ������ 3� *����� 3� �� � ���� ���� ���:�� � .(�� �,��<�� #����

2 2 2[ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )]b b b

a a az x dx s x dx z x s x dx′′ ′′ ′′ ′′= + −∫ ∫ ∫ �,�04�

��

2 2[ ( )] [ ( )] .b b

a az x dx s x dx′′ ′′≥∫ ∫ �,�0��

�� �������� ��� �� ������

2[ ( )]b

aI z x dx′′= ∫

����� #��������� ��� ���� ����� ��

2[ ( ) ( )] 0,a

bz x s x dx′′ ′′− =∫ �,�0-�

������ ����� ��� *������ 3� �������� :��� *���� 7� ����� ��� �� ����������� ��� �� ������ � ���� ��� ��� 8� �9�� *�� �� ������� *���� 7� ����� �������� �� ������ �� 3� 4 � � � - �5 ���� � � ����� � �������� ��

( ) ( ),z x s x= .a x b≤ ≤

5.2.2 Error in the Cubic Spline and Its Derivatives

%�� ������ ��� �� ������� ���� =� ������� ��� ��� �� ����� ��� �� ���� �� ���������� %�� ������ ��� �� ��������� ��� ����� #�

4 v 61( ) O( )

180� � �� �i i is x y h y h �,�0��

Page 206: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

2 iv 4 vi 61 1( ) ( ) ( ) ( ) O( )

12 360� � � ��� ��i i i is x y x h y x h y x h �,�00�

� � 2 v 41 1( ) ( –) ( ) ( ) O( )

2 12� � � � ���� ��� ���i i i is x s x y x h y x h �,�0,�

iv 5 viii 71( ) ( –) ( ) – ( ) O( )

720� � � ���� ���i i i is x s x hy x h y x h �,�0B�

!���� �� �#��� (������ ��� �#���

4( ) ( ) O( )� �� �i iy x s x h �,�0>�

2 iv 41( ) ( ) ( ) O( )

12� � ��� ��i i iy x s x h y x h �,�0<�

� � 21( ) ( ) ( –) O( )

2� � � ���� ��� ���i i iy x s x s x h �,�0?�

� �iv 41( ) ( ) – ( –) O( )� � ���� ���i i iy x s x s x h

h�,�,4�

%��� �������� ���� #� ��#�����J�#�� ������ �� ������ �������� ���������������� �� ��������%� ����$�

5.3 SURFACE FITTING BY CUBIC SPLINES

%����#���������������������������������������#�"��������������������������������#��� A����������������������������������������#�� ��"������������������������#������������������JJ 2�+�����#������������� � ������ ������ ������

( ) 1,

.0,

i j ijL x j i

j i

�= = ⎫= ⎪⎬≠= ⎪⎭

�,�,��

%����������#����������������������������#��������������2������������������ #��� �� �� 2������� ����������� ������������ =��� ���� ����� � �� ����� ��� �������� � ������� 2� ����� #� �� ��������#��� ����� � ��������������� � ������������� �� �� ��������������� ��� ���� ,� 3� 4 � � � - �5 � ��� %�� +����� ��� �� ��������� ������� ������������� �� ��/��� ���� ����� ��� � ��� �� � ��� ��� � ��� ��-������� ������ ������ �#���

������ ����� �� � ������� �������������� ��� �� �� � ������ �������

$� �����,��' $������!�����#����#���$����� 193

Page 207: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

194 ��������,' $�����!�������

%�� ��������� ������� ��� ����� #�

3 3 21

, 1 , , 1 , 1

2

1 , ,

( ) ( )1( ) ( )

3! 3! 3!

( ) , (5.52)3!

j ji i j i j j i j i j

j i j i j

x x x x hL x M M x x M

h

hx x M

−− − −

⎡ ⎛ ⎞− −⎢= + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣

⎤⎛ ⎞+ − − ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎥⎝ ⎠⎦

������� �� 3�+��������� �� ��� ���� �� ������ ��� .(�� �,�,-�� �������� ����������,�,��� 1�� ��� �� ���� ��� ������ ������ � �� ��������� ��� ��������� ��� ������ ��������� ����� �� �� �������� ������

, 1 , , 1 , 1 , , 12

64 ( 2 ).i j i j i j i j i j i jM M M

h� � �− + − ++ + = − + �,�,��

��������������������������� +���� ������������������� ���������������� �� ���� �� � ���� #������ ��

0

( ) ( ) ,n

i ii

s x L x y=

= ∑ �,�,0�

����+����� ��� ����� #�� .(�� �,�,-��."����������������������������#����������(������������������2

�� �����*��� � ��� �� 3� 4 � � � - �5 � �

��� �� �������� ��� ��� �����#�� *� 3� � �� � �� � #� ����� �� �� �� ���� ���������������������������������������������� %����������������#������ ��� �� ������ �� ����� ��� *� �� ��� ��#������ ����� ��� �� ���������������� %�� ��#��� ������ �������� ��� ����� #�

,0 0

( , ) ( ) ( ) ,n n

i j i ji j

s x y L x L y z= =

= ∑ ∑ �,�,,�

��� +���� ��� +���� ��������#��������������������������.(���,�,-�� %������� ������ �������� � ��� � ��� ��������� ����� �� �������� �������,�,��� #�� ��������� �� ������� ��� ��������� ����� 3������ 3� 4�

%�� ���������� "������ �������� �� ��� ��� �� �������� ������#���

������� �� F����� �� ���� ��� ."����� ,�� � ��D� � �� 7<� � �- 7��� ����� ��<� ����������������� ����� +���������������������!����� ������������ � ����� ��� �� ������� ���� �� �� -�

!��������������������-�������,�3����A�� � 3 � ��� ,�3�� �.(� �,�,-�����'

Page 208: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

3 3

, 0 ,1 , 0 , 0

,1 ,1

3

,1 , 0 ,1 ,1

(2 ) ( 1) 1( ) (2 )

6 6 6

1( 1)

6

( 1) 1(2 ) ( 1) ,

6 6

i i i i i

i i

i i i i

x xL x M M x M

x M

xM x x M

� �

− − ⎛ ⎞= + + − −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠

− ⎛ ⎞= + − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠���

���������� 3� 4� ���� �� ������� ������ � �����$�������� � �� �������� ������� �,�,�� � #����'

0���� 3� B������ 7� -���� ������

������������� �#���

0,13

,2

M = 1,1 3,M = − 2,13

.2

M =

:�� � ���� ����'

33

0

31

32

( 1) 3 1 1 5 9( ) (2 ) ( 1) ( 1) ,

6 2 4 4 4 4

1 3( ) ( 1) ( 1),

2 2

1 1( ) ( 1) ( 1).

4 4

xL x x x x x

L x x x

L x x x

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − − = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − − + −

= − − −

(ii)

(iii)

(iv)

:�� ��� �� �� �� �� - � �� ������ ������� ��#��� ������ ��� ����� #�

2

0

3 3

3

3

( ) ( )

1 5 9 3 1( 1) ( 8) ( 1) ( 1) ( 1)

4 4 4 2 2

1 1( 1) ( 1) (18)

4 4

3( 1) 4 12,

i ii

s x y L x

x x x x

x x

x x

==

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + − + − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

= − + −

������ ��� �� ���� ��� ��� �#����� ��� ."����� ,���� %�� �"� "������������� �� ��� ��� �������� � ������ ��� ������� ������

������� �� %��������� *�3� � �� ������������ ��������������������4���� ����-��=��������������������� �������� ���������������"��������#������ ���� ���� ����� �� �����"���� ����� ��� *�4�, � 4�,��

$� �����,��' $������!�����#����#���$����� 195

Page 209: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

196 ��������,' $�����!�������

0 1 2

0 1 2 9

1 2 3 10

2 9 10 17

x

y

!��� ��������� *�4�, � 4�,� ��� ��� �� �#���� �� ������� ������ � �������� �� ������ 4� �� � � �� �� ��

A����� 3� � � ,� 3� � ��� ���

3 3

, 0 ,1 , 0 , 0 ,1 ,1

3

,1 , 0 ,1 ,1

(1 ) 1 1( ) (1 )

6 6 6 6

1(1 ) ,

6 6

i i i i i i i

i i i i

x xL x M M x M x M

xM x x M

� �

� �

− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠���

���� ����� 3� 4� ���� ��������� ������ � ����� 1���

,1 , 0 ,1 , 23

( 2 ).2i i i iM � � �= − +

:�� ��� �#���

0,13

,2

M = 1,1 3,M = − 2,13

.2

M =

!����.(� ��� � �� ��� �#���3

0

31

5( ) 1,

4 4

1 3( ) ,

2 2

x xL x

L x x x

= − +

= − +

32

1 1( ) .

4 4L x x x= −

:�� � �� 0 , 1,x y≤ ≤ �� ���

2 2

,0 0

0 0 0, 0 1 0,1 2 0, 2

1 0 1, 0 1 1,1 2 1, 2

2 0 2, 0 1 2,1 2 2, 2

( , ) ( ) ( )

( ) [ ( ) ( ) ( ) ]

( ) [ ( ) ( ) ( ) ]

( ) [ ( ) ( ) ( ) ].

i j i ji j

s x y L x L y z

L x L y z L y z L y z

L x L y z L y z L y z

L x L y z L y z L y z

= ==

= + +

+ + +

+ + +

∑ ∑

Page 210: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

$��� �� 3� �� 3� 4�, � �� �������� (������ ����'

(0.5, 0.5) (0.5, 0.5)

13 13 11 3 11 13 11 31 2 9 2 3 10

32 32 16 32 16 32 16 32

3 13 11 39 10 17

32 32 16 32

0.875.

z s≈

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × + × − × + × + × − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞− × + × − ×⎜ ⎟⎝ ⎠

=

%�� �#����� �������� ��� *�3������������� ���� ������ �� "����������� *�4�, �4�,���� ��-, �����������������#������������������������������� �4K�

5.4 CUBIC B-SPLINES

%�� ��#��� ������ �������� ������ ��� �� �������� ������ ��� ���#��� ������ ������������ ��� �������������� ���� ������������� ��� �����������:�� ��������������������������������������������L������#��&�A� �(���������� ���������������������� ��������� �� ������������� �#� ������� ������ ���� ������ ��� �� ����� %�� * ������� ��� ����� �����������������������������������������������������������������%��* ����������#� ��� �������� #�� ���� ��� ��������� ����� ���� ��� �������� ������� #� ���������

%�� ����� ��� * ����������� ����� ������� #�� $����#��� 8�?0B9 � #���������������������������������������������������������#���"� 8�?>-9� ���� �� *���� 8�?>-9�

1�* ���������������������!����� ��� ������#��������� ���������������������7��������@�������� ������ �5 ��� ����������D����������"����� �� ������� ����� 6� �� 6� ���� %�� ��#��� * ������ �������� ���� @������� � ���� � ��� � ��� � �� � ��� ����� ��

� ���� ��� ���� ������ � �������� ��� �� ����������� ��� �� ��� ���� �� ��� ��� ����� ������� � ��������� ���� ���������� ��� ��������� � ��������� �������� M� 4� ������ 8���� � ��9� ���� ��� ���������� D��� ������ 8���� � ��9�

1� ������� ��#��� * ������ ���� @���� ���� � ���� � ��� � ��� � �� � ��� ������ ��!���� ,���

Figure 5.1 A typical cubic B-spline.

$� �����,�0' ��#���* $����� 197

Page 211: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

198 ��������,' $�����!�������

5.4.1 Representations of B-splines

%�� ������ �� ��#���* ������ �������� �� �� 3� �� � �� �������� �� ���� @���

���� � ���� � ��� � ��� � �������� ��� ����� ��

����� 6� ����� 6����� 6� ���� 6� �� �,�,B�

A� ����� ����� �� �������

33+

, when 0=

0, when 0

P PP

P

⎧ ≥⎪⎨

≤⎪⎩�,�,>�

%�� ������(�������������������#���* ����������@�������� �5 ��� � ������� #�� ;������ 8�?B<9'

33

4,0 – 4

( ) ( )� ��

� �

� � �� �i

ri r m m

r m i

s x x x k �,�,<�

1����� ����������#������� ��������������������������� �������#����

� � 4, –4 –3 –2 –1( ) [ , , , , ]�i i i i i is x k k k k k �,�,?�

3–4

–4 –3 –4 –2 –4 –1 –4

( )

( – )( – )( – )( – )�

i

i i i i i i i i

k x

k k k k k k k k

� �3

–3

–3 –4 –3 –2 –3 –1 –3

( )

( – )( – )( – )( – )�

�i

i i i i i i i i

k x

k k k k k k k k

� �3

–4 –3 –2 –1

( )

( – )( – )( – )( – )�

� �� i

i i i i i i i i

k x

k k k k k k k k�,�B4�

=���������� ���� 3� ��� 7� �������� 7� �������� 7� ������� 7� ������� 7� ��� �,�B��

A� �#��������� ����� 3� ���� 7� ��������� 7� ��������� 7� �������� 7� ���� �,�B-�

:�� � .(�� �,�B4�� ���� #������ ��

3 3 3–4 –3 –2

4,4, –4 4, –3 4, –2

3 3–1

4, –1 4,

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

� � �

� �

� � �

� �

� � �� � �

� � �

� �� �

� �

i i ii

i i i i i i

i i

i i i i

k x k x k xs x

k k k

k x k x

k k

3

4,4

( )

( )��

� �

��

��

im

i mm i

k x

k�,�B��

Page 212: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

N��� ������� � �� * ������ ��� ����� �� ����� � 7 ��� ��� ������ #�

, 1( ) [ , , , ]� � �

� �n i i n i n is x k k k �,�B0�

� � � � �3

,

( )

( )��

� �

��

��

im

n i mm i n

k x

k�,�B,�

���

, 1( ) ( – )( – ) ( )�� � �

� � �n i i n i n ix x k x k x k �,�BB�

������������ ������� ��� ������������ ����� �� ��� !���� �� ��������� ���� ������� ������� � �� ���

� � �

� �–3 –2 –1, 4 –3 –2 –1

–4 –3 –2 –1–4

3, 3, –1

4

[ , , ] [ , , , ], , , ,

( ) – ( )

i i i i i i i ii i i i i

i i

i i

i i

k k k k k k k kk k k k k

k k

s x s x

k k

�,�B>�

%���

3, 3, –14,

–4

( ) ( )( ) ,

i ii

i i

s x s xs x

k k�,�B<�

������ ��� �� �������� �������� $�������� � ����* ������� ��� ������ ��� ����� �������� ������

–1, –1, –1,

( ) – ( )( )

–�

n i n in i

i i n

s x s xs x

k k�,�B?�

��������� ������ �����������������.(����,�,<� ��,�B<�������,�B?������������������������������#������������������������������ ������������������ ��������� ���������� #�� ��"� 8�?>-9� ���� �� *���� 8�?>-9� �������� �� #� �������� %���� �������� ��

– –1, –1 –1,,

( – ) ( ) ( – ) ( )( ) ,

�i n n i i n i

n ii i n

x k s x k x s xs x

k k�,�>4�

���� ���� ��� !��� ������ ��� .(�� �,�>4� � ����"� 8�?>-9�!����.(�� �,�>4� � �� ���� #� ��� ��� �� ���������� ��� �������� �����

���������������������������%��� ������@����������� ����� ���� ����������� ����� ��#��� * ������ .������� ���� #� ������ � ����� ��� �� ���� � ��� ��� ����������� !���� ,�-�

$� �����,�0' ��#���* $����� 199

Page 213: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

200 ��������,' $�����!�������

1, –3

2, –2

1, –2 3, –1

2, –1 4,

1, –1 3,

2,

1,

i

i

i i

i i

i i

i

i

ss

s ss s

s ss

s

Figure 5.2 Array of elements for computing s4,i.

!���� � �������������� ��� �� ���������� ��� �� �#��� ���������� #����#�� ������ �� ������

–1–11,

1if

0, otherwise.

�� ��

� ���

j jj jj

k x kk ks �,�>��

!���"���� �������������6����� ������������!����,�-������������������������!���� ,���

1, –3

2, –2

3, –1

4,

00

0 00

0

i

i

i

i

ss

ss

Figure 5.3 Simplified array of Fig. 5.2.

%������������������������* ����������������#����������������%�����������"�������������������������������,�B0�������,�>4����������������� ��� * �������

��������� A�������� �� ��@����4 �� �- �� �0 ���������#���* �������� �� 3� �� ���� �� 3� -� ������ �������� �,�B0��

A� ���

3

4,4,– 4

( – )( )

( )��

��

im

ii mm i

k xs x

k���

��� �� 3� �:�� �� 3� 0 � ��� 3� 4 � �� 3� � � �� 3� - � ��� 3� �� ���� ��� 3� 0�

Page 214: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

%�����

4 3

4,44,40

( )(1)

( )��

��

�� m

mm

k xs

k

� � �3 33 3 3

0 31 2 4

4,4 0 4,4 1 4,4 2 4,4 3 4,4 4

( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� �� � �

� �� � �� � � � �

� � � � �

k kk k k

k k k k k

� � � � � � �4,4 4,4 4,4

1 8 270 0

(2) (3) (4)� � �� � � � �

� � �����

E��

������-�� 3� �-� 7� 4��-� 7� ���-� 7� ���-� 7� 0�� 3� 0

��������� 3� ��� 7� 4���� 7� ����� 7� -���� 7� 0�� 3� 7B

���

������0�� 3� �0� 7� 4��0� 7� ���0� 7� -��0� 7� ��� 3� -0�

:�� � ����� ����

4,41 8 27

(1) –4 6 241

.24

� �

s

�#� �� 3� -A� ���

3 3

4,44,4 4,4

(3 2) (4 2)(2)

(3) (4)

1 8 1.

–6 24 6

� �

� �� �

� �

� � �

s

������� �� A��� �� ���� ���� ��� ��� ."����� ,�< � ������ ��#��* ������� �� �� 3� �� ���� �� 3� - � ������ �������� �,�>4��

%�� �������� ��

–4 3, –1 3,4,

– 4

( ) ( ) ( – )( )

� �

�i i i i

ii i

x k s x k x ss x

k k�����

���� �� 3� �

� � � �A� ���� �� �� �� 6� -��%��� ��� 3�2 1

11.

–k k=

$� �����,�0' ��#���* $����� 201

Page 215: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

202 ��������,' $�����!�������

:����� ��� �� ������ �� ����� ��� �� ���������� �����

2,2

1,2 3,3

2,3 4,4

3,4

0

00

0

ss s

s ss

E��

0 1,1 2 1,22,2

2 0

(1– ) ( 1) 1,

– 2

� �

� �

k s k ss

k k

1 1,2 3 1,32,3

3 1

(1– ) ( 1)0,

� �

� �

k s k ss

k k

0 2,2 3 2,33,3

3 0

1(1 – ) ( 1) 12 ,

– 3 6

� �

� � �

k s k ss

k k

1 2,3 4 2,43,4

4 1

(1– ) ( 1)0 ,

� �

� �

k s k ss

k k

0 3,3 4 3,44,4

4 0

(1– ) ( 1) 1.

– 24

� �

� �

k s k ss

k k

�#�� �� 3� -� � � �A� ���� -� �� �� 6� �� � � � %��

� 1,33 2

11.

–� �s

k k

��� ���� ��� � �� ������ �� #� ������� ��� ����� #����

3,3

2,3 4,4

1,3 3,4

2,4

00

0

0

ss s

s ss

1 1,2 1,32,3

1

(2 – ) (3 – 2) 1,

3 – 2

� �

k s ss

k

2 1,3 1,42,4

(2 – ) (4 – 2)0,

2

� �

k s ss

Page 216: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

2,2 2,33,3

(2 – 0) (3 – 2) 1

3 6

� �

s ss

2,3 2,43,4

(2 – 1) (4 – 2) 1,

3 6

� �

s ss

���3,3 3,4

4,4(2 – 0) (4 – 2) 1

.4 6

� �

s ss

5.4.2 Least Squares Solution

2� �����������������#� ��� ���� � ��3�� �- �5 �� ����������������2�����#�����#�������������@���� � �� �5 ��� �������6���6���6���6����6����%������ �� ����� �� ���* ������ � �� ��� �������� �� �������� ���� ���������@��� ������ ��� �� �� ��� ���� ���� ����������������%���@����������������� ��

��� 6� �� 6� �� 6� ��� 3�� ��� �� 3� ���� 6� ���� 6� ����� 6� ���� �,�>-�

A���������� � 0��* ����������������0��������������������� �����������������#������������������@����� �� �5 �������������(����������� ��� �� ������� �� ����� � ��� �� ����

4

4,1

( ) ( ), ,�

� � ��p

i ii

s x s x a x b �,�>��

������� ��� �������� �� #� �������%�� ������ �� �������� ��� ��� .(�� �,�>�� � �� ��#���� �� 3� �� ���

�#���

4

4,1

( ) ( ), 1, 2, ,�

� � � ��p

r r i i ri

s x y s x r m �,�>0�

�������� � �� 0�� �������"� ������ � .(�� �,�>0�� ���� #������ ��

��� 3� � �,�>,�

������ ��� ����� �� � � 0�� #���� ����"� ����� � �� ��� ������� ������� %��(����� �������� ��� �#����� #�� �������� �� ������� (������

�����3���� �,�>B�

5.4.3 Applications of B-splines

1��������������������������* �������������������!�������!���� �������!������* �����������������������������������������������$ ����"���� �C������������������8-4409 �����* �������������������#���������� ��������

$� �����,�0' ��#���* $����� 203

Page 217: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

204 ��������,' $�����!�������

EXERCISES

��� %�� �������� �� 3� ��� �� ?� ��� �#����� #����

�� � �B� � �0 � >�� � �, � ��0�

C�����������������0�,��������(���������������������#���������������� �� �#����� ����� ��� ���� ����

��� ;���� �������� �4 �4� � �� H- ���� ���� �� � 4�� ���������� �� ����������3����� � 4�������� � ������ ������������ ��HB��������(�������� ����������"���������������������������������#��������."�����,�,�

��� =����� �� ��#��� ������ ����� ������ ��� �� ������� 8�� � �9� ���� ����������� ��� � ����� ��

�������� 3� �������� ���� ������� 3� �������!���� ��B����

6.2 6.4 6.6ln 11.3119 11.8803 12.4549�

xy x x

��� !�����������������#��������������#����=���#�������������������������'

0.10 0.20 0.30

1.1052 1.2214 1.3499�

x

x

y e

!���� ��4��,�� ��� ���� ���� ���� ��������� ��� ��� ��� �� #�� ���

��� =���� �� ��#��� ������ ������������=� ��� ����������� $���� ��

4 v 61( ) – O( )

180� �� �i i is x y h y h

;���� ��� �� ����7� � �� � �4 � 4�� ���� �� � ��

�������� �� �������� �� 3� � ���� ��� 7�� �� �� �� � � ����� �� ��#��� ����������"������� ��� � �74�,�� ��� ���7��� 3� 70� ���� ������ 3� 0�

�� =���������#������������4����������������������������������� ��� ���������� ����� ���O������ ,�,� �#���

�� A���������������������������������,�->�������������������#�������� ��� �� ������� 8��� � ��9�

��� %�� ���� ������7- � �B� � �4 � 4� � �- � �B�

������� �� ������� �� 3� � ���� ��� �� ������� 7-� �� �� �� -�� =��������#��������������� ��� ���� ��������������������� �����������������7-�� 3� 7�-� ���� ���-�� 3� �-�

Page 218: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� $���� ��� �� ����� ��� �� ������ ������ �������� ��� ����� #�

2 iv 41( ) O( ).

12� � ��� ��i i is x y h y h

��� C���� ��������D����� ������� ��� $����� ,�-��� ���� ��=� ������

���� �������������� �����������������������������7���� ������������������� ������� � ������ ��� ���� ��� ��� ���

( ) ( )0 ( ) ( ), 0,1, 2.� �

r rns x s x r

F����� ��� ��������� � �#���� �� �������� ������� ��� �� ����"�����

���� ��� �� ��� ���������� ��� �@�� ��

0 2 –21 –1and ,

2 2n n

nM M M M

M M+ += =

��� �� ������ ����� ��� �� ���� ��� �� ������ ��#��� ������ ��� ������������ �� �� ����� ����!��� �� ���� �����

�7- � 7�-� � �7� � 7<� � �4 � 7��?� � �� � 74���

�� ������ ��#��������� ���� ��� ������ ��� ����� #�

3 21 3 241– 3.9.

15 20 60y x x x= − + −

!��������#����������������������������������#����������������

���� %������������ �#������� �����������*�3� � �� ���� ������������������� �� ���� ��� F�� �� ����� ��� $����� ,��� �� ����� *� �����3���,�������3���,�������������������������������������#��������� *� 3� � �� ���� 3� �� �� �� �� ��

1 2 3

1 3 6 11

2 7 10 15

3 13 16 21

xy

���� F����� �� ���

3

0 1 2

– 5 –5 –4 3�

x

y x

����� �� ��������� ������� +����� ���� ���� ������ �� ������� ��#�������� ������ ��� �� ������� 4� �� ���� -�

.��� ���� 205

Page 219: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

206 ��������,' $�����!�������

���� F����������������,�,<� �����������#���* ���������������������84 �09������@����4 �� �- �� �0��$�������������������(������������

��� A������������@����4 �� �- �� �0 �, �B �������* ��������������B� �� �� 3� �� ��������"7��*���� �������� ��������

Answers to Exercises

��� �4B�>,� ������ 3� B�B-,�P� �4�� ������ 3� -�<>,�

��� 4�����

��� ���,?,�

��� ���B--P� ���B�<

��� ��74�,�� 3� 4

�� ����� 3� -��� 7� � � 4� �� �� �� �

��� 70�� 7� 0��P� 70�� �� 0��

����3 2

11 3 241

( ) – 3.915 20 60

� � � �s x x x x

���� B��-,

���� 33 1( ) – – 5, 0 1

2 2� � �s x x x x

���� 3 3 3 33( ) 4( 1) 6( 2) – 4( – 3)

� � �� �� � � � �� �

s x c x x x x

��� 1,3 2,3 3,41 1

1, , ,2 6

� � �s s s

4,5 4,6 5,61 1

, 0 ,24 120

� � �s s s

5,7 6,71

0 .720

� �s s

Page 220: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���

���������� �����������������������

�������

6.1 INTRODUCTION

���������� ������������������ ������������������ ���������� ���� � ����� �� ����������� ��� ���� � ��� ���� �� � ��� ���������� ����� � �� ��������� ������ � ������� �� �������������� ���� ������� � ��� ������ ��� ��� ������� ������ ��� �� ����� ����� � �� ������ �� �������� ����� �������� ��� ��������� ������������ ���� ���������� !��� ��� �� �� ����� �� �� ��� ������ ��� �� ���� � � ��� ���� � �� ������ ����� �������� ������"

���2

2, ,

dy d y

dx dx� � ���� �� � ����� ��� �� ��� #�� ��$ � ���

����0

.nx

x

y dx∫

6.2 NUMERICAL DIFFERENTIATION

!�� ������ ����� ���� �������� �� ��������� ������������ �������� ���� ��������� �� ����������� ��� �������� %�� � ������������� �� ������ �� �������� ������ ��� ������ � � �� �� � ����� �� �������� ���� ���������� &� �������� �� ��������� ���� '���(�� �������� ��������������� ��� � �� ����� ��� ��������� ����� �� ���� ���� ������ �� ����� ��������

Page 221: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

208 �������)" '��������*�����������������������

�������� '���(�� �������� �������� �������"

2 30 0 0 0

( 1) ( 1) ( 2),

2! 3!

u u u u uy y u y y y� � �− − −= + + + +� �)�+�

���

0 .x x uh= + �)�,�

!��

22 3

0 0 01 2 1 3 6 2

.2 6

dy dy du u u uy y y

dx du dx h� � �⎛ ⎞− − += = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� �)���

!���� �������� ���������� ���� ��������� �� ����������-��� �������.����� ����� ��� ��� /��� ������� ������ ��� � � �� �������� �0�� �� ������� ���� � ���� � ���� 0x x= ������� 0u = �����12�� �)�,� � ��������12�� �)��������

0

2 3 40 0 0 0

1 1 1 1.

2 3 4x x

dyy y y y

dx h� � � �

=

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠� �)�3�

*����������� 12�� �)���� ���� ����� � �� �����

2 22 3 4

0 0 02 2

1 6 6 12 36 22,

6 24

d y u u uy y y

dx h� � �⎛ ⎞− − += + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� �)�4�

����� ������ �� �����

0

22 3 4

0 0 02 2

1 11.

12x x

d yy y y

dx h� � �

=

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦� �)�)�

/������� ���� ��������� ������ ��������� �� � �� ������� � � ������������������������������������ ����������������������������� ����������� ���� ����������� �������� !���

���� '���(�� ���0����� �������� �������� ����

2 31 1 1

2 3n

n n nx x

dyy y y

dx h=

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ∇ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠� �)�5�

���2

2 3 4 52 2

1 11 5.

12 6n

n n n n

x x

d yy y y y

dx h=

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ∇ +∇ + ∇ + ∇ +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦� �)�6�

���� 7������(�� �������� ����

0

5 53 31 0 3 22 11 1 1

2 6 2 30 2x x

y y y yy ydy

dx h

� � � �� �− − −− −

=

⎛ ⎞+ ++⎡ ⎤ = − + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠� �)�8�

Page 222: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���

0

22 4 6

1 2 32 2

1 1 1.

12 90x x

d yy y y

dx h� � �− − −

=

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦� �)�+9�

��� �� �������� ��� �2����� ���� �� ��� ��� �� ��� � ��� ��� �� ����������������� �� � �� ���� �� ������ ��� �������

2 3 4 5 60 0

2 3 4 5 61

1 1 1 1 1

2 3 4 5 6

1 1 1 1 1

2 6 12 20 30

hy y

y

� � � � � �

� � � � � � −

⎛ ⎞′ = − + − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= + − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.11)

(6.12)

2 2 3 4 5 6 7 80 0

2 4 5 6 7 81

11 5 137 7 363

12 6 180 10 560

1 1 13 11 29

12 12 180 180 560

h y y

y

� � � � � � �

� � � � � � −

⎛ ⎞′′ = − + − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= − + − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(6.13)

(6.14)

2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 8n nhy y⎛ ⎞′ = ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠

� �)�+4�

2 3 4 5 6 7 81

1 1 1 1 1 1 1

2 6 12 20 30 42 56 ny +⎛ ⎞= ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ −⎜ ⎟⎝ ⎠

�)�+)�

� 2 2 3 4 5 6 7 811 5 137 7 363

12 6 180 10 560n nh y y⎛ ⎞′′ = ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠

� �)�+5�

� 2 4 5 6 7 81

1 1 13 11 29.

12 12 180 180 560 ny +⎛ ⎞= ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ −⎜ ⎟⎝ ⎠

� �)�+6�

/��� ���� ����� � �� ����� ��� ������ �� ����������� ����:����� !�����!�� ���������� ;������ �������� �� ��� ��� �� �������� ���� �����

������� �� /���� �� ���������� ���� ��� ������ ��� �� ����� � ��������-������ ��-��� ���� � < +�,"

1.0 2.7183 1.8 6.0496

1.2 3.3201 2.0 7.3891

1.4 4.0552 2.2 9.0250

1.6 4.9530

x y x y

7���� ��)�," '��������*���������� 209

Page 223: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

210 �������)" '��������*�����������������������

!�� �������� ���� ��

x y Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6

1.0 2.7183

0.6018

1.2 3.3201 0.1333

0.7351 0.0294

1.4 4.0552 0.1627 0.0067

0.8978 0.0361 0.0013

1.6 4.9530 0.1988 0.0080 0.0001

1.0966 0.0441 0.0014

1.8 6.0496 0.2429 0.0094

1.3395 0.0535

2.0 7.3891 0.2964

1.6359

2.2 9.0250

%� 0 01.2, 3.3201x y= = ��� 0.2.h = %��� 12�� �)�++�� ����

1.2

1 1 1 1 10.7351 (0.1627) (0.0361) (0.0080) (0.0014)

0.2 2 3 4 5

3.3205.

x

dy

dx =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

��� �� ��� �������� �)�+,� � ��� �� ������� ��� �� ��������� ��������� ���������� ����� 9�)9+6� ���� ���� ����

1.2

1 1 1 1 10.6018 (0.1333) (0.0294) (0.0067) (0.0013

0.2 2 6 12 20

3.3205, as before.

x

dy

dx =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

7������� � �������� �)�+��� ����

2

21.2

1 11 50.1627 0.0361 (0.0080) (0.0014) 3.318.

0.04 12 6x

d y

dx =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

=����� �������� �)�+3� � �� �����

2

21.2

1 1 10.1333 (0.0067) (0.0013) 3.32.

0.04 12 12x

d y

dx =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 224: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������� � �������� �� ����� ���� ������ ��������� ��� �� �������������� ��� �� �������� ;����� �� �� ����� �� <� ,�,� ���� ����� ��-��� ��� <� ,�9�

&�������������������������1;�����)�+��%� ���<�,�, ����<�8�9,49���� �� <� 9�,�� %��� �������� �)�+4�� ����

2.2

2

22.2

1 1 1 1 11.6359 (0.2964) (0.0535) (0.0094) (0.0014)

0.2 2 3 4 5

9.0228.

1 11 50.2964 0.0535 (0.0094) (0.0014) 8.992.

0.04 12 6

x

x

dy

dx

d y

dx

=

=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

!�� �������-��� � ��<�,�9 �������������� �)�+4����� �)�+)���/������� �)�+4�����

2.0

1 1 1 11.3395 (0.2429) (0.0441) (0.0080)

0.2 2 3 4

1 1(0.0013) (0.0001)

5 6

7.3896.

x

dy

dx =

⎡ ⎤ ⎡= + + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤+ + ⎥⎦=

������ ����� �������� �)�+)� � �� �����

2.0

1 1 1 1 11.6359 (0.2964) (0.0535) (0.0094) (0.0014)

0.2 2 6 12 20

7.3896.

x

dy

dx =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

=

������� �� /������-���������-�������<�+�)��������������������� ��1;����� )�+�

��������� ��� <� +�) � �������� �)�8�� ����

1.6

1 0.8978 1.0966 1 0.0361 0.0441 1 0.0013 0.0014

0.2 2 2 2 30 2

4.9530.

x

dy

dx =

+ + +⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠

=

7������� � �������� �)�+9�� ����

2

21.6

1 1 10.1988 (0.0080) (0.0001) 4.9525.

0.04 12 90x

d y

dx =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

7���� ��)�," '��������*���������� 211

Page 225: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

212 �������)" '��������*�����������������������

��� �� �������� ;����� � �� ������� �������� ��� ��� ���� ���� �� ��� �� ��������������������������� ����������������������������������!���� ��� ��� �� �� ������ ��� �������� �� ������� �������� ���� �������;���������� ����������������������������������� ��������������������������������� �����������������'������������������� ��� ������ �������������� �������� ���� ���������������� � ��� >���� �����(�!���;���������������������������������������������������������������������������

6.2.1 Errors in Numerical Differentiation

!����������� ���������������������� �������� ��� ������ ����� � �������������� ������� ���� �������� �������� !��� ��� ��������� �����

!�� ��������� ����� ��� ������ � � ��������� �� ������� �������� � ������������������������� ��������!������������������� ���������� �������� ���5���:�� ���� ����� � ���� �������� ��� ��� �������� ����� ��� ���� � ��� ��������� ���������� � �� ������ � ��� ��� ���� �� � ������������������������������������%���� ���������������������� ������������������������������������� �������������������������������7�������� �� ������� �������� ��� ����� ��� ��� ��������� ��� �� ������ ����� �������� ���� ��� �� ������� �������� ��� ���� �����;����� � � ���� ������� �!������������������������������������������ ������� ��� ���� ����������� &� 0���� �� ,� ��� �� ���� ������� ����� ��� ������� �� ��� � 3�� ��� �� ������ �� ���� �� � ��� � ��� �� ������� ����� ���� ������ �� ��� �������� ��� � ���� ;���� � 7������(�� �������� �)�8��� !������� �� ����� ��� �� ����

0

1 0 1 11 1,

2 2x x

y y y ydyT T

dx h h

� �− −

=

+ −⎡ ⎤ = + = +⎢ ⎥⎣ ⎦�)�+8�

���� �� � �� ��������� ���� � ��� ����� �

3 32 1

11

.6 2

y yT

h

� �− −+= �)�,9�

7������� � �������� �)�+9�� ���� �� ����� ��

0

22

1 22 2

1,

x x

d yy T

dx h� −

=

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦�)�,+�

���

42 22

1| | .

12T y

h� −= �)�,,�

!�� ������������� � ��� ���������� � ��� ������ ������������� ���� ��� ����� ��� ����� �������� � ������ � ������������ �� �� ��� �� ���� ��� �����

Page 226: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�������� � ���� ��� ���� !��� � �������� ������ �������� ��� �� ������������������������7������(�� �������� ��� �� ��������12�� �)�+8� � �� ��������������������;�� ,�-,��<��-� ���� � �������;���������������������� ��� ?�� �� ��� ���� � �� �������

0

3 31 0 2 1

2 1 1 2

2 12

8 8

12

x x

y y y ydy

dx h h

y y y y

h

− − −

=

− −

Δ + Δ Δ + Δ⎡ ⎤ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦

− + −= +

� �)�,��

���� �� ��;����� ��������� ����

18 3.

12 2h h

ε ε=

/����� � �� �������

0

221 0 11

2 2 2

2

x x

y y yyd y

dx h h−−

=

⎡ ⎤ − +Δ= + = +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦� � �)�,3�

���� ����;������������������ 24 / .hε �� �������� ��� ��� ���������������������� � �� ��������� ����� �������� ����� ������ �

������� �� :�������� ��� �� �������� ������ ����� ��� �� ���� ��1;����� )�+� ��� ������ �� �� ������� � ���� � ����� �� ������ ��� ������� ��� ��-��� ���� ��-��� �� � < +�)�

7���� �� ������ ��� ������ �� 3* � �� �������� �� � @ 9�99994 < 9�4 � +9���

����� ��� ������ ��� � � ����

���������������3 3

1 01, from (6.20)

6 2

1 0.0361 0.0441

6(0.2) 2

0.03342

y y

h

� �− +=

+=

=���

������� �����

4

3, from (6.23)

2

3(0.5)10

0.4

0.00038.

h

=

=

=

7���� ��)�," '��������*���������� 213

Page 227: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

214 �������)" '��������*�����������������������

%�� !���� ���� 0.03342 0.00038 0.0338.= + =

=�����7������(���������������12���)�+8� �������������������� ��A�����

1 0

1.6

0.8978 1.0966 1.99444.9860.

2 0.4 0.4x

y ydy

dx h

� �−

=

+ +⎛ ⎞ = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

!�������� �������3�84�9������������������������������������3�86)9 B3�84�9� � ��� � 9�9��9 � ������ ����� ���� �� ���� ����� ������� �����

����� ��� ������ ��� �� <� +�)" =����� 12�� �)�,3� � �� �����

221

2 21.6

0.19884.9700

0.04x

yd y

dx h

� −

=

⎡ ⎤= = =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦��� ��� �� ���� <� 3�8599� B� 3�84�9� <� 9�9+59�

:���

��������������� 422

1 1| | 0.0080 0.01667

12(0.04)12y

h� −= = × =

���

������������4

2

4 4 0.5 100.0050.

0.04h

�−× ×= = =

%��

!���� ����� ��2

21.6

0.0167 0.0050 0.0217.x

d y

dx =

⎡ ⎤= + =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

6.2.2 Cubic Spline Method

!�����������������������7�����4�,������������� ���������������� ����������������������������������������/����������������������� � ��������� �������� �4��+�� ��� �4��,�� �� � �� ���� �� ������ �� ����������� ��������� �������� ����� �� ������ ��� �� ������������� !��12� �4�,8�� ����� �� ������ ��� �� ������� ��� ���� � ����� ������ �� ������������� ���� �� �������� /��� �� ����� ��������� �� �� ������� ����� ������� � ��� ����� � �� ����� �� ��� �������� �4�,6�� ���� �4��9�� ����� � �� ��� �� ���� ���� � ��� ���������� ���������� �� ����� ��������� ��� ���� ��� �������� �������� �4��3�� ��� �4��)�� �� � �� ���� �� ������ ���������� ����� ���������

!������������;�������������������������������������������������������������

������� �� &� �������� �� ������� � ���� <� ���� �� ��� #9 � �$�

%� !�� <�!�� <� 9�� C "� <� , � ��� � �� <� �-,�� !��

��� <� �� <� 9 ��� <� + ��� !�� <�!� <� 9�

Page 228: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

=����� �������� �4��,� � �� �����

0 1 2 0 1 22

64 ( 2 )M M M y y y

h+ + = − +

��

1 2

12.M

= −

/������� �4�,8�� ��������� �� ������ ��� ���� ������� !��� � ��� 9��� �����-, �� �����

3

2

2 2 3( ) ,

2

x xs x

� �

⎛ ⎞−= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠������ ����

22

2 2 3( ) (3 ) .

2s x x

� �

⎡ ⎤′ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦���

%��2

2

2 6 3 90.71619725.

4 16 2 4s

� �

� ��

⎛ ⎞⎛ ⎞′ = − + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠#����� ���� �� ( /4) cos /4 1/ 2 0.70710681.s � �′ = = = !�� ������� ������� �� ������� ����� �� ����-3�� �� +�,6D� /���� ���

3

24( )s x x

′′ = −

���� ���

3 2

24 60.60792710.

4 4s

� �

� �

⎛ ⎞′′ = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠7������;���������� 1/ 2,− �����������������������������+3�9� D�&������������������������<������� ��������������+9E �������<�9��� .π !������� �� ������ ������������������������������ ���� �� ������ ������� ��� �� ���������� ���� ���� �� � < 89E��

′′( )y x

x (in degrees) Exact Cubic spline

10 –0.173 648 178 –0.174 089 426

20 –0.342 020 143 –0.342 889 23330 –0.500 000 000 –0.501 270 524

40 –0.642 787 610 –0.644 420 964

50 –0.766 044 443 –0.767 990 99960 –0.866 025 404 –0.868 226 016

70 –0.939 692 621 –0.942 080 425

80 –0.984 807 753 –0.987 310 19790 –1.000 000 000 –1.002 541 048

�� ��� ��� ��� ��� ��� ����� ��������� � ��� �� ������ ��� �� ����������� ���������

7���� ��)�," '��������*���������� 215

Page 229: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

216 �������)" '��������*�����������������������

������� � /���� �� ���������� ���� ���� ���� � ����� � ��+�9��

–2 –1 2 3( ) –12 –8 3 5

xy x

!�� �������� ����� ������ �� ����� ���� ���� ��������� ��� ����� �

3 21 3 241– – 3.9.

15 20 60y x x x= − + �%�� ���;��������������+�������4+))5�

!�� ���� � �� ������ ������ �������� �4��+� � �� ������ ��� ��� <� + �� <� �� ���� ��� <� +�

/��� �� <� + , � �� �������� ������� ����"

6!�� F� �!� <� B,���

�!�� F� 6!� <� B+9

�����!�� <�!�� <� 9��&� ������!�� <�14

55� ����!� <� B

74

55�� ��� B+� �� �� �� ,

�� ���

� � � �3 3

21 (2 ) 14 ( 1) 74

( )3 6 55 6 55

� �� � � �� � � � � � � � �

x xs x

� �1 21 1 9 74

8 (2 ) 3 ( 1)3 55 3 6 55

� �� � � �� � � � � � � �� � � � � �x x

*����������� �� ����� ���� ������ ��<� + � �� �����

21 7 148 461 276

(1) (1.0)3 55 55 55 55

3.52727, on simplification.

� �� � � � � �� � �

y s

6.2.3 Differentiation Formulae with Function Values

��� 7����� )�, � �� ������� ������� � ���0����� ���� ������ ������������;�������� ��� ��������� ��� ���� ��� ����� ���������� /���� ������������������������ ���������������������;��������������������������� �������� ��� ���� ��� �������� ������� &� ���� ����� ��������������� �������� ���� ��� ��� ��������� �����������

��� $��%����&����������

1( ) ;i ii

y yy x

h+ −′ = 22 1– 4 3

( ) O( )2

� �� �

� ��i i i

iy y y

y x hh

1 22

2( ) ;� �

� ����

i i ii

y y yy x

h3 2 1

2

– 4 5 2( ) ;� � �

� � ����

i i i ii

y y y yy x

h

Page 230: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� '��(%���� &����������

1( ) ;�

���

i ii

y yy x

h1 23 4

( ) ;2� �

� ���

i i ii

y y yy x

h

1 22

2( ) ;

� �

� ����

i i ii

y y yy x

h

1 2 32

2 5 4( ) ;

� � �

� � ����

i i i ii

y y y yy x

h������)������� &����������

1 1( ) ;

2i i

i

y yy x

h+ −−

′ = 2 1 1 28 8( ) ;

12� � � �

� � � ���

i i i ii

y y y yy x

h

1 12

2( ) ;� �

� ����

i i ii

y y yy x

h

2 1 1 22

16 30 16( )

12� � � �

� � � � ����

i i i i ii

y y y y yy x

h!��� �������� ���� �� ������ � � ������ !� ���� ����� ;�������� ��� ����������

6.3 MAXIMUM AND MINIMUM VALUES OF A TABULATEDFUNCTION

�� ��� 0����� ��� �� ��;����� ���� �������� ������ ��� �� �������� ���� ������� � � 2������ �� ����� �������� �� ���� ���� �������� ���� �� ��������!���������������������������������������;������������������� ������� ���������������� '���(�� �������� �������� �������

2 30 0 0 0

( 1) ( 1) ( 2)

2 6

p p p p py y p y y y� � �− − −= + + + +�

*����������� ���� ���� ����� �� � � �� �����

22 3

0 0 02 1 3 3 2

2 6

dy p p py y y

dp� � �− − += + + +� �)�,4�

/�����;������������� ��-���<�9��%�� ����������������.�������� ������������ � ���� �� ����� �������� ���� 2������ �� �� ��� � �� ������ �2�������� ���� �

20 1 2 0,c c p c p+ + = �)�,)�

���

2 30 0 0 0

2 31 0 0

32 0

1 1

2 3

1.and

2

c y y y

c y y

c y

⎫= Δ − Δ + Δ ⎪⎪⎪= Δ − Δ ⎬⎪⎪= Δ ⎪⎭

�)�,5�

G����� ��� �� ���� ��� �� ������ ����� �� ������� �� <� ��� F� ���

���7���� ��)��" H�;���������H�������G����������!�������/������ 217

Page 231: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

218 �������)" '��������*�����������������������

������� �� /���� �� ���������� ��� � ����� � � ������ �� ��� ����������� � ���� ������ �� ��� ��;����� ���� ����� ���� ����� ��� ��

1.2 0.9320

1.3 0.9636

1.4 0.9855

1.5 0.9975

1.6 0.9996

x y

!�� ���� ��� ��������� ��

x y Δ Δ2

1.2 0.93200.0316

1.3 0.9636 –0.00970.0219

1.4 0.9855 –0.00990.0120

1.5 0.9975 –0.00990.0021

1.6 0.9996

C����<�+�,��!������������)�,4� �������������������������� �����

2 10 0.0316 ( 0.0097)

2

p −= + −

����� ������ �� ������ �� <� ��6�� %��

0 1.2 (3.8) (0.1) 1.58.x x ph= + = + =

/��� ������������� �'���(�����0���������������������� 1.6nx = ����

0.2( 0.2 1)(1.58) 0.9996 0.2(0.0021) ( 0.0099)

20.9996 0.0004 0.0008

1.0.

y− − += − + −

= − +=

6.4 NUMERICAL INTEGRATION

!�� ������ ������� ��� ��������� ��������� �� � �� ���� ��� ��������I�������������������� ��� ���� � ��� ���� �� � ��� ���� ���������������<�� ��� ����� ����������0�����;������ �������2������������������������������������

.b

a

I y dx= ∫ �)�,6�

Page 232: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

:���������������������������������� ������������ ����� ����������������� ������� � ���� ���� ������ � ��� �������� � ��� �����;���� ����� ��� ���������������!��� �������������������������������������������������� �� ����� �� ����������� �������������&������ ��� ���� �������������������������������������������������'���(�������������������������

C� �� ������� #� � $� �� ������� ���� �� 2���� ����������� ����� ����<����@����@���@������<�������� ����<����F�����%�����������������

0

.nx

x

I y dx= ∫:����;������� �� � � '���(�� �������� �������� ������� �� �����

0

2 30 0 0 0

( 1) ( 1) ( 2).

2 6

nx

x

p p p p pI y p y y y dx� � �− − −⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ �

7��� 0 ,x x ph dx h dp= + = ���� ���� �� ����� ������� �����

2 30 0 0 0

0

( 1) ( 1)( 2),

2 6

np p p p p

I h y p y y y dp� � �− − −⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ �

������ ����� ��� �������������

0

22 3

0 0 0 0(2 3) ( 2)

.2 12 24

nx

x

n n n n ny dx nh y y y y� � �

⎡ ⎤− −= + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ � �)�,8�

/���� ������������ ������ ��� ���� ������ ������� ��������� �������� � ������ �� <� + � , � � �� � �� &� ����� ��� �� ��� ��� ��� �������� ��� �������� �� ����0�� ��� �� ���������� ���� 7������(�� +-�.����� ��� ������� ���� ��������� ������� � ���� ��� ��� ��������� ��������

6.4.1 Trapezoidal Rule

7���� �� <� +� ��� �� ������ �������� �)�,8� � ���� ��������� ������ ���� ����� ����� ����� ���� ���� �� �����

1

0

0 0 0 1 0 0 11 1

( ) ( ).2 2 2

x

x

hy dx h y y h y y y y y�⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + = + − = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ �)��9�

/��� �� �;� ������� #�� � �$ ��� ����� ��������

2

1

1 2( )2

x

x

hy dx y y= +∫ �)��+�

7���� ��)�3" '���������������� 219

Page 233: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

220 �������)" '��������*�����������������������

���� ��� ���� /��� �� ���� ������ #���� � ��$ � �� ���

1

1( ).2

n

n

x

n n

x

hy dx y y

−= +∫ �)��,�

���������� ���� ��� ;�������� � �� ������ �� ���

0

0 1 2 1[ 2 ( ) ],2

nx

n n

x

hy dx y y y y y−= + + + + +∫ � �)����

������ ��� 0����� ��� �� �����*������ ����!�� ��������� ������������ ��� ���� ���� ��� ��� �� ����� �� <� � ���� ��

������� � � �� ������� ����� J������� �� ����� ��� � ��� ��� ��� � ���K� ��� � ������ �� � �� � � � 1 1( , )n nx y− − ��� ��� � ����� !�� ���� ������� � � �� ������<�� ��� ������������<������� ��<��� ��������.�;��������������;���� 2������� �� �� ���� ��� �� ����� ��� �� �� ��������� �������

!�� ����� ��� �� ���������� �������� ���� �� ������� ��� �� ����������� �� C �� <� � ��� �� ��������� � ���.����� � ���� ������� ������������������ ��� #�� ��$�� 1;�������� �� ��� �� !� ���(�� ����� ������� �� <� �� � ������

1 1

0 0

20

0 0 0 0

2 3

0 0 0

( )( )

2

2 6

x x

x x

x xy dx y x x y y dx

h hhy y y

⎡ ⎤−′ ′′= + − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

′ ′′= + + +

∫ ∫ �

� �)��3�

7�������

2 3

0 1 0 0 0 0 0

2 3

0 0 0

( )2 2 2 6

2 4

h h h hy y y y hy y y

h hhy y y

⎛ ⎞′ ′′ ′′′+ = + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

′ ′′= + + +

� �)��4�

/���� 12��� �)��3�� ���� �)��4� � �� �����

1

0

30 1 0

1( ) ,

2 12

x

x

hy dx y y h y′′− + = − +∫ � �)��)�

��������� ������������������ #�� ���$��L���������������������������������� �������� ��� �� ��������� ���������� ����� #�� ��$ � #� ���$ �� ���#���� � ��$� &� ���� ���

Page 234: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

30 1 1

1( ),

12 nE h y y y −′′ ′′ ′′= − + + +� �)��5�

����#� ��� �� ������ ������ :�������� ��� ( )y x′′ ��� �� ������ ����� ��� ��� 2������� ��� �� ����.����� ���� ��� 12�� �)��5� � �� �����

3 21( ) ( )

12 12

b aE h ny x h y x

−′′ ′′= − = − �)��6�

���� ��� <� � B� ��

6.4.2 Simpson’s 1/3-Rule

!���� ���� ��� ������� � � ����� �� <� ,� ��� 12�� �)�,8� � ���� � � ��������� ������� ��-,��������� �����.������� ����������������������&����� ��

2

0

20 0 0 0 1 2

12 ( 4 ).

6 3

x

x

hy dx h y y y y y y� �⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

7������� 4

2

2 3 4( 4 )3

x

x

hy dx y y y= + +∫

�����������

� � �2

2 1( 4 ).3

n

n

x

n n n

x

hy dx y y y

− −= + +∫7������� �� � �� �����

0

0 1 3 5 1

2 4 6 2

[ 4( )3

2 ( ) ],

nx

n

x

n n

hy dx y y y y y

y y y y y

= + + + + +

+ + + + + +

∫ �

� �)��8�

������ ��� 0����� ���+������(��+-�.��� � ��� ����� � 7������(�� ����� �� ������������ ��� ���� ���� �2����� �������������� ������� ����� ��������������� ��� ����������� ��� ����� ��

/��������������������������7�����)�3�+ ������������������������ ��� 7������(�� ���� ��� ����� �

0 1 3 5 1

2 4 6 2

4 iv

[ 4 ( )3

2 ( ) ]

( ),180

� � � � � �

� � � � � �

�� �

� �

b

n

a

n n

hy dx y y y y y

y y y y y

b ah y x �)�39�

��� ���� x �� ��� �� ������ ����� ��� �� ������ ���������

7���� ��)�3" '���������������� 221

Page 235: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

222 �������)" '��������*�����������������������

6.4.3 Simpson’s 3/8-Rule

7��� �� <� �� ��� 12�� �)�,8� ��� ������ ��� ���� �� ��������� ������ ����� ����� ����� ����� ���� ���� �� �����

3

0

2 30 0 0 0

0 1 0 2 1 0 3 2 1 0

0 1 2 3

3 3 13

2 4 8

3 3 13 ( ) ( 2 ) ( 3 3 )

2 4 8

3( 3 3 ).

8

x

x

y dx h y y y y

h y y y y y y y y y y

hy y y y

� � �⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤= + − + − + + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + +

7�������

6

3

3 4 5 63

( 3 3 )8

x

x

hy dx y y y y= + + +∫

���� ��� ��� 7������� ��� ���� �� � �� �����

0

0 1 2 3 3 4 5 6

3 2 1

0 1 2 3 4 5 6

3 2 1

3[( 3 3 ) ( 3 3 )

8

( 3 3 )]

3( 3 3 2 3 3 2

82 3 3 )

� � �

� � �

� � � � � � � � �

� � � �

� � � � � � � �

� � � �

� �

nx

x

n n n n

n n n n

hy dx y y y y y y y y

y y y y

hy y y y y y y

y y y y �)�3+�

!���� ��� � ������7������(�� ��-6�.��� � ������ ���������� ���7������(�� ��� �� �������� ��� ��� �� ����� ��� ���� �������� ����� B��-69� ������ x ��

6.4.4 Boole’s and Weddle’s Rules

��� ������� �� ����� ��������� ��� �� ���� ��� �� ������ ���� � �� ������������ ��� �� ��� �� ���� ������ M���(�� �������

4

0

0 1 2 3 42

(7 32 12 32 7 )45

� � � � ��x

x

hy dx y y y y y �)�3,�

!�� ������� ��� ��� �� ����� ��� ���� �������� ���� �� ������ �� �

7vi8

( ).945

hy x−

Page 236: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�� � ��� �� ���� ���� � �� ������ ���� ��� ���� ��� �������� ����������� �� ���� ��� �� ��;�� ���� � �� ������&���(�� ���

6

0

0 1 2 3 4 5 63

( 5 6 5 ),10

x

x

hy dx y y y y y y y= + + + + + +∫ �)�3��

�� ����� ��� ������ ��� ����� � B���-+39����� x ��!��� ��� ������������������������������� ��� ���������������� �

������ � ����� � �� ���� ��� �� ������ ��� ������ ����� ���� �� �� ����������������������������M���(������������������������;�����&���(�����

6.4.5 Use of Cubic Splines

�� ����� ��� �� ������ ������ ��� �� ������ ����� � ��� � ��� �� ���

0 1

1

1

3 31 1

1

2 2

1 1 1

( )

1[( ) ( ) ]

6

1 1( ) ( ) ,

6 6

n i

i

i

i

x xn

ix x

xn

i i i ii x

i i i i i i

I y dx s x dx

x x M x x Mh

h hx x y M x x y M dx

h h

=

− −=

− − −

= ≈

⎧= − + −⎨⎩

⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪+ − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭

∑∫ ∫

∑ ∫

������12�� �4�,5�� ?������ ������� �� �������������������� ��� ��������

3

1 11

( ) ( ) ,2 24

n

i i i ii

h hI y y M M− −

=

⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦∑ �)�33�

��� ,iM �������������.�������� ������������� ����� �� �������������

1 1 1 12

64 ( 2 ),i i i i i iM M M y y y

h− + − ++ + = − + 1, 2, , 1.i n= … −

!�� ��� ��� �� ������ ������ ����� ��� ��������� ��� 1;����� )�+��

6.4.6 Romberg Integration

!����������������������� �� ������� �������;���� ������������� � �� ����.��������������� ��� ����������� �� �� ��������� ����������� ������ ������� � ���� ;����� ��� �� ��� ��� ���������� ��� � ���� �������� � ��� ��������� &� �������� �� ������ ������

7���� ��)�3" '���������������� 223

Page 237: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

224 �������)" '��������*�����������������������

b

a

I y dx= ∫���������� ��� � �� ���������� �����)��������� ����������������������� ����� �� ��� � �� ������ �� �����;���� ����� ,� ��� , ������� �!��� 12� �)��6�� ����� �� ����� #� ��� # ��

21 1

1( ) ( )

12E b a h y x′′= − − �)�34�

���

22 2

1( ) ( ).

12E b a h y x′′= − − �)�3)�

7���� �� �� ( )y x′′ ��� 12�� �)�3)�� ��� ����� �� ������ ����� �� ( )y x′′ � �� ������������������������2������ ( )y x′′ ��� ( )y x′′ ����� ����� ������� &� ������ ���

21 1

22 2

E h

E h=

���� ���

22 2

2 22 1 2 1

.E h

E E h h=

− −

7���� #� B� #�� <� ,� B� ,� � ���� ����

22

2 2 12 22 1

( ).h

E I Ih h

= −− �)�35�

&� ������ ������ �� ��� �����;������ ,� ������ �

2 21 2 2 1

3 2 2 2 22 1

,I h I h

I I Eh h

−= − =− �)�36�

����� � ��� ����� � ������ �� ������ �� �� ������ ����N�������� ��� ������� ������ ����������� � ���� ��� ��� �� ���� �����

��� �� ���� �

2 11 1

2 2h h h= =

12����� �)�36�� ���� �� ����� ��� �� ���� �������� ����

1 1 1, 4 ( ) ,2 3 2

I h h I h I h⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

�)�38�

Page 238: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� ,���� <� ,�

21

2I h I⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

��� 31

, .2

I h h I⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

&��� ���� ������� �� ���������� ���� ���� �� �����

( )h�

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1,2

h h�

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1, ,2 4

h h h�

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

12

h�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1, , ,2 4 8

h h h h�

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1,

2 4h h�

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

14

h�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1, ,

2 4 8h h h�

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1,

4 8h h�

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

18

h�

!����������������������������������������������������������� ����� �� ���� ����� !���� ���� � ��� �� C�/�� O��������� � ��� ������ ���������������������� ���� ���������� ��� ������ ������������ ���� �������� ������ ,�����������

6.4.7 Newton–Cotes Integration Formulae

C� �� ����������� ����� �� � �� 2���� � ����� � ���� �� ��� <� ��� F� �� �� <� 9 � + � , �� � � � ���� �� �� ��� ������ ��� �� ������� ��� ��������� ������� ����� ��

��� <� �� ��� <� .b a

hn

−=

!��� �������� ������

b

a

I y dx= ∫ �)�49�

��� ������� � � ��� ��������� �������� ��� �� �

0

,n

n i ii

I C y=

=∑ �)�4+�

7���� ��)�3" '���������������� 225

Page 239: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

226 �������)" '��������*�����������������������

���� �� ��������� )� ��� ������� ������ � � � �� �������� ������������ �������� ��� �� �� �)�4+�� ��� ������ "�%���-)����� ������������������ ���������!� ����>�����(������ ��������������������� �;��� ��������� ��� �� ��������� �� ��� ���� � ��� ��� �� �������������������������12����)�35�B�)�49��������������'���B�����������������

?�� �� ���� ���� � �������� ������ ��� ��� ���� � �� ��� ������ �������� '���B��� � ����� ��������� ��������� &� ���� ����� �� ���������� '���B���� ���� ��������� �������

���2

0

3

1 0 22 ( ), ( )3

x

x

hy dx hy y x x x x′′= + < <∫ �)�4,�

���3

0

3

1 2 0 33 3

( ) ( ), ( )2 4

x

x

h hy dx y y y x x x x′′= + + < <∫ �)�4��

���4

0

5 iv1 2 3 0 4

4 14(2 2 ) ( ), ( )

3 45

x

x

hy dx y y y h y x x x x= − + + < <∫ �)�43�

���5

0

5 iv1 2 3 4 0 5

5 95(11 11 ) ( ), ( )

24 144

x

x

hy dx y y y y h y x x x x= + + + + < <∫

�)�44�

��6

0

7 vi1 2 3 4 5

6 41(11 14 26 14 11 ) ( ),

20 140

x

x

hy dx y y y y y h y x= − + − + +∫

0 6( ).x x x< < �)�4)�

:� ������������� ���� ��������� �� ���������� ��� ��'���B����������� ��� �� ����� ��� ��������� ����������� !���� ��� �����������1;�����)�+3�

������� �� /��� � ����� ��������������� ��������������� ����������� � �.�;��� ���� � < 5�35 � � < 5�4,

( ) ( )

7.47 1.93 7.50 2.01

7.48 1.95 7.51 2.03

7.49 1.98 7.52 2.06

x f x x f x

Page 240: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

&� 0���� ��

7.52

7.47

Area ( )f x dx= ∫��� �� <� 9�9+ � �� ���������� ���� ����� ��� 12�� �)��,�� ����

0.01Area [1.93 2(1.95 1.98 2.01 2.03) 2.06] 0.0996.

2= + + + + + =

������� �� :� ������ ��� ��������� ��� ������ � � ������� ����� �� �.�;���������������.�;�� ������� ��<�9 ��� ��<�+ ������������������ ������� ���� �� ���������� ���������"

0.00 1.0000

0.25 0.9896

0.50 0.9589

0.75 0.9089

1.00 0.8415

x y

1����������������������������� ���������������������������������

��� �� ��� �� ������ ��� �� ������ ����� � ��� �� 0���� ��

12

0

V y dx�= ∫%��� �� ��� �� ������ �� � ���� ��� ��� ������� ���� � ������ ������ ������� �����

2

0.00 1.0000

0.25 0.9793

0.50 0.9195

0.75 0.8261

1.00 0.7081

x y

&��� �� <� 9�,4 � 7������(�� ���� ����

(0.25)[1.0000 4(0.9793 0.8261) 2(0.9195) 0.7081]

3

2.8192.

V�= + + + +

=

7���� ��)�3" '���������������� 227

Page 241: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

228 �������)" '��������*�����������������������

������� ��� 1�����

1

0

1,

1I dx

x=

+∫

������ �� ��� ������� ������&����������;������ ���������������������7������(����������

� < 9�4 9�,4� ���� 9�+,4� ������� ���� � < 9�4"� !�� ������ ��� �� ���� �� ��� ������� ����"

0.0 1.0000

0.5 0.6667

1.0 0.5000

x y

��� !���������� ��������

1[1.0000 2(0.6667) 0.5] 0.70835.

4I = + + =

��� 7������(�� ���� ����

1[1.0000 4(0.6667) 0.5] 0.6945.

6I = + + =

���� � < 9�,4" !�� ������� ������ ��� �� ���� �� ��� ����� ����"

0.00 1.0000

0.25 0.8000

0.50 0.6667

0.75 0.5714

1.00 0.5000

x y

��� !���������� ��������

1[1.0 2(0.8000 0.6667 0.5714) 0.5] 0.6970.

8I = + + + + =

��� 7������(�� ���� ����

1[1.0 4(0.8000 0.5714) 2(0.6667) 0.5] 0.6932.

12I = + + + + =

Page 242: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������ /����� � �� �0� � < 9�+,4"� !�� ������� ������ ��� �� ���� �� ��

0 1.0 0.625 0.6154

0.125 0.8889 0.750 0.5714

0.250 0.8000 0.875 0.5333

0.375 0.7273 1.0 0.5

0.5 0.6667

x y x y

��� !���������� ���� ����

1[1.0 2(0.8889 0.8000 0.7273 0.6667)

160.6154 0.5714 0.5333) 0.5]

0.6941.

� � � � �

� � � �

I

��� 7������(�� ���� ����

1[1.0 4(0.8889 0.7273 0.6154 0.5333)

242(0.8000 0.6667 0.5714) 0.5]

0.6932.

� � � � �

� � � �

I

%�������������,��� ����0������2������9�)8� ����������� ������������� !�� ;��� ����� ��� ,� �� ����, � ������ ��� 2���� � 9�)8�+35�� !���;����� ��������� �� � ��� ����� � 7������(�� ���� ��������� ������������ ���� �� ���������� ����

������� ��� =�� O�����(�� ����� �� �����1

0

1,

1I dx

x=

+∫������ �� ��� ������� ������

&��0�� < 9�4 �9�,4�����9�+,4���������� �������� �������������� ���� �������� ;������&� ������ ���

( ) 0.7084,I h = 10.6970,

2I h⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

���1

0.69414

I h⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

%�� � ������ 12�� �)�38� � �� �����

1 1, 0.6970 (0.6970 0.7084) 0.6932.

2 3I h h⎛ ⎞ = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

7���� ��)�3" '���������������� 229

Page 243: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

230 �������)" '��������*�����������������������

1 1 1, 0.6941 (0.6941 0.6970) 0.6931

2 4 3I h h⎛ ⎞ = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

/�����

1 1 1, , 0.6931 (0.6931 0.6932) 0.6931.2 4 3

I h h h⎛ ⎞ = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠

!�� ���� ��� ������ �� � �����

0.70840.6932

0.6970 0.69310.6931

0.6941

.�� � ���� �� ������� ��� ������������ ��� ����� ���� �������� ��� ���� ������� ���� ��� (��%�� ��� ����� �����

������� �� :��� � ���������� ����7������(�� ����� �� �� ������

12

0

1I x dx= −∫��������� � �������� �� ������� �� ���� ��� ������� �

=����� +9 ,9 �9 39 ��� 49 ����������� ��������� � ��� �������� ������ ������������������������� �������������������������!����������!���� ����� ��� �� ������� �� /4 0.785 398163.π =

No. of subintervals Trapezoidal rule Simpson’s’s rule

10 0.776 129 582 0.781 752 040

20 0.782 116 220 0.784 111 766

30 0.783 610 789 0.784 698 434

40 0.784 236 934 0.784 943 838

50 0.784 567 128 0.785 073 144

������� ��� 1�����1

0

sinI x dx�= ∫������ �� ������ ������ �����

!�� ;��� ����� ��� ,� �� ,-�� <� 9�)�))+856�� !�� ��0� � ������������ ���� �� �0 �� <� , ��� �� <� 9�4�� ��� ���� ��� � �� ���� ��� ������ ��� � ����� �� ���� ��� ��

Page 244: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

0 0

0.5 1.0

1.0 0.0

x y

=����� 12�� �4��,�� ����!�� <�!� <� 9 � �� ������!�� <� B+,�� !��� ��������)�33�� ����

0 1 0 1 1 2 1 21 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( )4 192 4 192

1 1 1 1

4 16 4 16

5

8

0.62500000;

I y y M M y y M M= + − + + + − +

= + + +

=

=����������������������������������������������������������9�9++)+856��� ��� ���� � ������� ��� �� 7������(�� ���� ����� �� ����� ���� ��� ����������� 9�9�993)68 � ������ ��� ���� ���� �� ����� ��� �� ������ ��������

������� ��� *����7������(��+-�.��������������������������������������

&� ������ �� �������

1 1 0 0 1 1,h

h

y dx a y a y a y− −−

= + +∫ ���

���� �� ��������� ��� � ��� ��� 1a ���� �� �� ������� /��� ��� � ������� ��� �������� ���� ��� ;������� ����� ��� + � �� ��� ��� L���� � ����� ����� <� + � �� ���� �� ��������� � ��� ��� � �� ������ �� �������

���

1 0 1

1 1

1 1

2 ,

0

2.

3

h

h

h

h

a a a dx h

a a x dx

a a h

−−

−−

+ + = =

− + = =

+ =

(ii)

(iii)

(iv)

7������� ���� � ������ ���� ����� ���� ��� � ��� ��� �� � �� �����

1 12

3a a− = = ��� 0

4.

3

ha =

7���� ��)�3" '���������������� 231

Page 245: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

232 �������)" '��������*�����������������������

%��� �������� ���� �0�� �� ����

1 0 1( 4 ),3

h

h

hy dx y y y−

= + +∫������ ��� �� 7������(�� +-�.���� ����� ��� 7����� )�3�,�

6.5 EULER–MACLAURIN FORMULA

�������� �� ;�������� �� +-���� B� +�� ��� ��������� ������ ��� � � ������� � ������� ��H��������� ;�������� ��� �� ���� ������� ���

3 51 3 5

1 1 1,

21xB x B x B x

xe= − + + + +

−� �)�45�

���

2 0,rB = 11

,12

B = 31

720,B = − 5

1,

30,240B = � ��

��� 12�� �)�45� � ��� �� �� � < �&� ���� ��� �� ������ #� �� ���

��� 7����� ����3� � �� ������ �� ����

3 3 5 51 3 5

1 1 1

1 2B hD B h D B h D

E hD≡ − + + + +

−�

���2�������

3 31 3

1 1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

1 2

nn n n nE

E E B hD E B h D EE hD

− = − − − + − + − +−

� �)�46�

?������� ���� ���� � �� 0 ,y �� �����

0 0 0 1 0

30 0 1 0 3 0

v v55 0

1 1 1( 1) ( 1) ( 1)

1 2

1 1( ) ( ) ( ) ( )

2

( ) (6.59)

nn n n

n n n n

n

Ey E y E y B hD E y

E hD

y y y y B h y y B h y yhD

B h y y

− = − − − + − +−

′ ′ ′′′ ′′′= − − − + − + −

+ − +

�� ���� �� ���� � ������ ��� �� ��.����� ���� ����� �� ������ F� ��� F� �� F��� F� ���� � ������ � ��

01

( )ny yhD

��� �� ����� ���� ���� �� ����� ��

0

1 nx

x

y dxh ∫

���� +-& ���� �� ������� ��� ��� ��������� �������

Page 246: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

%�� � 12� �)�48�� �����

0

2

0 1 2 1 0

4 6v v

0 0

( 2 2 2 ) ( )2 12

( ) ( )720 30,240

� � � � � � � �� �

� � � � ���� ���

� �

nx

n n n

x

n n

h hy dx y y y y y y y

h hy y y y �)�)9�

������ ��� ������ �� #���-!�������(�� ������� ���� ���������� !�� ����;�������� ��� �� ����.����� ���� ��� 12�� �)�)9�� ����� �� �����;���������������������������� �������������������������������;������������������������������������������������������������������������������ �� � ����� �� ���� �� ����� �� ���� ��� �� ����� ��� �� ����� ��� F� ��F� �� F� �� F� ���� !�� ��� ��� ���� �������� ��� ��������� � � �� ���������;������

������� ��� 1�����/ 2

0

sinI x dx�

= ∫������ �� 1���BH��������(�� ��������

��� ���� ��� � ������� �)�)9� ���������� �

/ 2 2 4 6

0 1 2 1

0

sin ( 2 2 2 )2 12 720 30,240n nh h h h

x dx y y y y y�

−= + + + + + + + + +∫ � � ���

!�� ������ �� ������ � �� �0� �� <� �-3�� !��� �� �����

/ 2 2 4

0

2 4

sin (0 2 0)8 192 1,84,320

, approximately4 192 1,84,320

0.785398 0.051404 0.000528

0.837330.

xdx�

� � �

� � �

= + + + + +

= + +

= + +

=

∫ �

?�� �� ���� ����� ���� �� <� �-6 � �� �����/ 2

0

sin [(0 2(0.382683) .707117 0.923879 1.000000)]16

0.987119 0.012851 0.000033

1.000003.

� � � � �

� � �

� xdx

7���� ��)�4" 1���BH���������/������ 233

Page 247: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

234 �������)" '��������*�����������������������

������� �� =�� �� 1���BH��������� �������� �� ����

2

1

( 1)(2 1) .6

n n n nx

+ +=∑��� ���� ��� � ����� 12� �)�)9�� ��

0

3

0 1 2 1 0 0

5vv0

1 1 1( ) ( )

2 2 12 720

( )30,240

nx

n n n n

x

n

h hy y y y y y dx y y y y

h

hy y

− ′ ′ ′′′ ′′′+ + + + + = + − − −

+ − −

∫�

� ���

%� � ���� <� � � ������ <� ,�� ���� �� <� +�%��� 12� ���� ����

2 2

1

3 2

3 2

1 1Sum ( 1) (2 2)

2 12

1 1 1( 1) ( 1) ( 1)

3 2 6

1(2 3 )

6

( 1)(2 1).

6

n

x dx n n

n n n

n n n

n n n

= + + + −

= − + + + −

= + +

+ +=

6.6 NUMERICAL INTEGRATION WITH DIFFERENT STEP SIZES

&� ���� ��� ���� ��������� ��������� �������� ������ ��� 2���� � ��������������� ��� ��������� ������� � ����� � �� ���� ���� ������� �������������� �2���� �� ��� ��� ������� ��.���������� �������� �� �������� !�����������������������������2����������������������������������������������������� ������������ ��/������������� ������������ ���������� �������� �� �0� �� ������� ���� ��� ����� ��� �� ������� ��� ������ ��������������������� ����� 7������� � ����������������� ���0�������������������������������������������������������� ��:������������������������������������������������� ������������.�������������������������������������� ���������������� ��/����������������&��������������� >������� 2�������� ����(� ����� ��� 7������(�� �+-��.����

7������ ��� �� ����� �� �����;���� �� ������

( )b

a

I y x dx= ∫ �)�)+�

Page 248: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�� ������ ��� ������� �� P� 9�� =����� 7������(� �+-��.���� ���� �� <� �� B� ��-, �� �����

5iv

1 1

4iv

1

( ) ( ) 4 ( ) ( ),3 2 90

( )( , ) ( ),

180

� � �� �� � � � � �� � �� �

�� �

�b

a

h a b hI y x dx y a y y b y a b

b a hI a b y

� �

� �)�),�

���

� �( , ) 4 ( ) .3 2

� � �� �� � �� � � � �

h a bI a b y a y y b �)�)��

'�� ��� ��������� �� ������� ���� � �� <� �� B� +�-3�� 7������(�� �+-��.����������

4iv

2

4iv

2

3 3( ) ( ) 4 2 4 ( )

6 4 2 4

( )( )

180 16

3( ) 4

6 4 2

3 ( )4 ( ) ( )

6 2 4 180 16

,2

� � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � �

��

� � � �� � � �� � �� � � � � � � � �

� � � � �� � � �� � � �� � � � � � � � � �

����

�b

a

h a b a b a bI y x dx y a y y y y b

h b ay

h a b a by a y y

h a b a b b a hy y y b y

a bI a

4iv

2( )

, ( ),2 180 16

� �� � �� �� � � �� � � �a b b a h

I b y � �)�)3�

���

3, ( ) 4

2 6 4 2

� � � � �� � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � �

a b h a b a bI a y a y y �)�)4��

���

3, 4 ( ) .

2 6 2 4

� � � � �� � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � �

a b h a b a bI b y y y b �)�)4��

:�������

iv iv1 2( ) ( )y y=ξ ξ

7���� ��)�)" '���������������������*������7��7��� 235

Page 249: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

236 �������)" '��������*�����������������������

12�� �)�),�� ���� �)�)3�� ���� ��� �������������

4iv

21 ( )

( , ) , , ( ).15 2 2 180 16

a b a b b a hI a b I a I b y ξ⎡ + + ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

�)�))�

7��������� 12�� �)�))�� ��� 12�� �)�)3� �� ������ ��� ����� ���� �� ���� ����

( ) , ,2 2

1( , ) , , .

15 2 2

b

a

a b a by x dx I a I b

a b a bI a b I a I b

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�)�)5�

��� �� ������

1( , ) , ,

15 2 2

a b a bI a b I a I b ε+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

�)�)6�

���� ��� �� P� 9� ��� �� ������� #� $ � ��� 12�� �)�)5�� ����� ��

( ) , ,2 2

b

a

a b a by x dx I a I b ε+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ �)�)8�

���� ��

( ) , , .2 2

b

a

a b a by x dx I a I b

+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ �)�59�

�� ������ ��� ������� � �� �� P� 9���� �� ��2���� � �)�)6�� ��� ��� ������� � ��� ���������� ��� ������� �

���� ��� �� �������� #� � ��� F� �-,$� ���� #��� F� �-, $� ���� �� ������� �-,��� �� ��2���� � ��� �������� ��� ���� �� ������� � ��� �� ���� ��� �� �������;������������� ���� ��� �����;������� �� �� ����� �������� ��� ���� ���������� ��� �� � ��� �� ������� � ��� ��� ���������� ������� ��� ���������� ��� �>�������������(��������������������������������������������������� ����� ��� �� �������� �������� !�� ���������� ;����� ��������� ������ ��������

������� ��� !� � ���������������� 12�� �)�)5� ��� ������������� �� ������

/2

0

cos .I x dx�

= ∫

Page 250: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

C �� <� �-3�� !��

40, 1 0 1.00228.

2 12 2I

⎛ ⎞⎛ ⎞ = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π π

:���

10, 1 4cos

4 24 8 2I

⎛ ⎞⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π π π

���

1 3, 4cos 0 .

4 2 24 2 8I

⎛ ⎞⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π π π π

%��

30, , 1 2 4cos 4cos 1.00013.

4 4 2 24 8 8I I⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠π π π π π π

�� �������� ��

1 10, 0, , (0.00215) 0.00014.

15 2 4 4 2 15I I I⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

π π π π

�� ���� �� ������� ��� �

:����� ����/2

0

cos 0, , 0.00013,4 4 2

x dx I I�

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ π π π

������ ��� ���� ���� ��� ������� �����

���������� !�� ����������������� ���12���)�)5�� ��� ������������� �� ������

/2

0

(8 4sin ) .I x dx�

= +∫1;��� ����� <� 3��� F� +�

'��

� �4 16

0, 8 4 8 12 52 ,2 12 2 12 2

I� � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

� �4 4

0, 8 4 8 4 sin 8 48 16sin ,4 24 8 2 24 8 2

I� � � � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

4 3, 8 4 8 4 sin 12

4 2 24 2 8I� � � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

� � � � � � � � �4 3

52 16sin24 2 8

� �⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

7���� ��)�)" '���������������������*������7��7��� 237

Page 251: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

238 �������)" '��������*�����������������������

!�����

8 30, , 100 16 sin 16sin

4 4 2 24 2 8 8I I

� � � � � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦%��

� � � � � � � �1

0, 0, ,15 2 4 4 2

I I I� � � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1 32 8 3104 100 16 sin 16sin

15 24 2 2 8 8

� � �⎡ ⎤= + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

24 34 16 sin 16sin

360 2 8 8

� � �⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

0.00057= �

:����� 1����/ 2

0

(8 4 sin ) 0, ,4 4 2

x dx I I�

� � �⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫

8 34( 1) 100 16 sin 16 sin

24 2 8 8

� � ��

⎛ ⎞= + − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠

16.56637 16.56691= −

0.00054.=

6.7 GAUSSIAN INTEGRATION

&� �������� �� ��������� ��������� ��� �� ������

( )b

a

I f x dx= ∫ �)�5+�

��� �� �������� ������ � �� ������ ���� ��������� �������� ������2�������������������������2���� .�������������������������I���������� �� ������������������ �� ���������� ��� �������� ������ ������������� �������� ���� ����� ��� ������� �

I����(� �������� ��� ;������ ��� �� ����

1

1 1 2 211

( ) ( ) ( ) ( ) ( )�

� � � � ��� �n

n n i ii

F u du W F u W F u W F u W F u �)�5,�

����0�� ���� �� ��� ������ ��%������� ���� �������� � ������� �

Page 252: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���12���)�5,� ��������������,��������� ���������������������������������������������������������������������������������� $����� �� ��� ������� ��� ���� ��� ;������ �,� - +��� %�� � �� ��� ���

2 3 2 10 1 2 3 2 1( ) .n

nF u c c u c u c u c u −−= + + + + +� �)�5��

&� ��� ������ ����� 12�� �)�5,�

1 12 3 2 1

0 1 2 3 2 1

1 1

0 2 4

( ) ( )

2 22

3 5

nnF u du c c u c u c u c u du

c c c

−−

− −

= + + + + +

= + + +

∫ ∫ �

� �)�53�

7��������� ��� ������ ��� �� ����.����� ���� ��� 12�� �)�5,� � �� �����

12 2 1

1 0 1 1 2 2 11 11

2 2 12 0 1 2 2 2 12 2

2 2 13 0 1 3 2 3 2 1 3

2 2 10 1 2 2 1

( ) ( )

( )

( )

( ),

nn

nn

nn

nn n n n n

F u du W c c u c u c u

W c c u c u c u

W c c u c u c u

W c c u c u c u

−−

−−

−−

−−

= + + + +

+ + + + +

+ + + + + +

+ + + + +

∫ �

� �

������ ���� �� ����� ��

1

0 1 2

1

1 1 1 2 2 3 3

2 2 2 22 1 2 31 2 3

2 1 2 1 2 1 2 12 1 1 2 31 2 3

( ) ( )

( )

( )

( ).

� � � �

� � � �

� � � � �

� � � � � �

� � � � �

� �

� �

n

n n

n n

n n n nn n n

F u du c W W W

c W u W u W u W u

c W u W u W u W u

c W u W u W u W u �)�54�

'�� � 12��� �)�53�� ���� �)�54�� ��� �������� ���� ���� ������ ��� ��� ���� ������������� �� ���������� ��� �� � �� ������ �� ,�� 2������

1 2 3

1 1 2 2 3 3

2 2 2 21 2 31 2 3

2 1 2 1 2 1 2 11 2 31 2 3

2

0

2/3

0� � � �

� � � � � ���� � � � ����� � � � ����

� � � � � ��

n

n n

n n

n n n nn n

W W W W

W u W u W u W u

W u W u W u W u

W u W u W u W u

�)�5)�

�� ,� ��0����� 0� ��� � ��� <� + � , � � � ���

7���� ��)�5" I���������������� 239

Page 253: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

240 �������)" '��������*�����������������������

:�� ��� ���������� � �� �������� �� ��� � < ,� !��� �� �������� ��

1

1 1 2 2

1

( ) ( ) ( ).F u du W F u W F u−

= +∫ �)�55�

7�������������������;�������$����������� �����������������;������ ��������������� �$���<�+ � �������� !���12���)�55�������������2������"

1 2

1 1 2 2

2 21 21 2

3 31 21 2

2

0

2/3

0.

W W

W u W u

W u W u

W u W u

+ = ⎫⎪

+ = ⎪⎪⎬+ = ⎪⎪⎪+ = ⎭

�)�56�

!�� �������� ��� ��� 2������� ��

1 2 1,W W= = 2 11

.3

u u= − = �)�58�

!�������� �������������� ��������� �����������12���)�5)������ ����� �� ;��� � ���������� ���� �������� � ���� ��� ������ ����� ����� ������ �� ����� �� ��������� � ��� �)�5)��

�� ���� �� ������ ��� �� �� ��� �� ����� ��� � ��� F� +��� C������� ������ 1������ ������ ���� �� ������ ������ �� �������� ������

1 1( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ),n n nn P u n uP u nP u+ −+ = + − �)�69�

��� 1���� <� +� ��� 1���� <� �� !�� ����.���� C����� ��� �������� ��������

0

1

22

33

4 24

( ) 1

( )

( ) (1/2) (3 1)

( ) (1/2) (5 3 )

( ) (1/8) (35 30 3).

P u

P u u

P u u

P u u u

P u u u

= ⎫⎪⎪=⎪⎪= − ⎬⎪

= − ⎪⎪⎪= − + ⎭

�)�6+�

�� ���� ����� �� ������ ��� �� ������������� ������0�� ��� ����� �

1

0,1

,n

ji

i jj j i

u uW du

u u= ≠−

−=

−∏∫ �)�6,�

���� �� �� ��� �� ���������

Page 254: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

:�� ��� ;���� � ��� �� <� + �� ���� 1��� <� 9 � ���

21(3 1) 0,

2u − =

������ ����� �� �%�� ��������"

031

3 3u = − = − ��� 1

31.

3 3u = =

!�� ������������� ������ ��� ����� � 11 2

10 1

0 1 0 11 1

11

2

u u uW du u u

u u u u− −

⎡ ⎤−= = − =⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫���

11 20

1 01 0 1 01 1

11.

2

u u uW du u u

u u u u− −

⎡ ⎤−= = − =⎢ ⎥

− − ⎢ ⎥⎣ ⎦∫

7������� � ��� �� <� �� �� ���� 1���� <� 9�� !��� ��

4 21(35 30 3) 0,

8u u− + =

������ ����� �� ����� ��������"1/2

15 2 30.

35iu⎛ ⎞±

= ± ⎜ ⎟⎝ ⎠

!�� ������0�� ���� ��� �� ������� ����� 12�� �)�6,�� �� ������� �� ��� ����� � ��� �� ����������� ���� ��������0�� ��� ;����� � ���������� ������� ������ ��� ��� &� ���� ���� � ��� !���� )�+ � �� ��������� ��������� ���� ������ ��� �� ��� � �� <� )�

Table 6.1 Abscissae and Weights for Gaussian Integration

n ± iu iW

2 0.57735 02692 1.0

3 0.0 0.88888 88889

0.77459 66692 0.55555 55556

4 0.33998 10436 0.65214 51549

0.86113 63116 0.34785 48451

5 0.0 0.56888 88889

0.53846 93101 0.47862 86705

0.90617 98459 0.23692 68851

6 0.23861 91861 0.46791 39346

0.66120 93865 0.36076 15730

0.93246 95142 0.17132 44924

7���� ��)�5" I���������������� 241

Page 255: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

242 �������)" '��������*�����������������������

��� �� ������ ��� � �� ������ ��� �� ������� ��� 12�� �)�5+�� ���� �� �������� �� ���� ��� 12�� �)�5,�� � � ����� ��� �� ������������

1 1( ) ( ).

2 2x u b a a b= − + + �)�6��

!�� ��� ��� !���� )�+� ��� ��������� � � �� ���������� ;����"

������� ��� /���� 10 ,I x dx= ∫ � � � I����(� ��������

!�� ����� ��� ��� �� ������ �� ������ � � 12�� �)�6��� 7� � �� �

1( 1)

2x u= +

!���� ����1

11

1 1( 1) ( ),

4 4

n

i ii

I u du W F u=−

= + = ∑∫��� $���� <� �� F� +�

/��� �������� � �� �0 �� <� 3 ���� ������ �� >��������� ���� �����(������������� � �� <� 3� ��� !���� )�+ �� �����

1[( 0.86114 1) (0.34785) ( 0.33998 1) (0.65214)

4(0.33998 1) (0.65214) (0.86114 1) (0.34785)]

0.49999 ,

I ≈ − + + − +

+ + + +

= …���� �� ��������� ���������� ������� ������� �� ���� ������� ������

6.8 GENERALIZED QUADRATURE

��� ��������� ��������� �������������� ����� ��� ��������� ����������� � ���������� �� �������� �� ������ ������� ��������� ��������

&� ������� � ���� ������ � �� ��������� 2�������� ��� �������� ��� �����

( ) ( ) ( ) ,b

a

I s f t t s dt�= −∫ �)�63�

��� � ���� ��� ���������� �� � ��� �� � ���� ��� �������� ��������� � ������� Q �� B� � Q� �� Q �� B� � Q� ��� �� P�B+��/��� ����������� �������� ���������� ����� �� � �� ����� �� �� <� �� F� 2�� � 2� <� 9 � + � , �� � �� ��� .b a nh= +!�� 12�� �)�63� ���� �� ����� ��

11

0

( ) ( ) ( ) .j

j

tn

j t

I s f t t s dt�

+−

== −∑ ∫ �)�64�

Page 256: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

!��������������������������������;����� ��������)�64��� ������������������� �������� ����� � ���

11

( ) [( ) ( ) ( ) ( )].n j i j j jf t t t f t t t f th + += − + − �)�6)�

7��������� ������ ���� � ���� �� �)�64� � �� �����

11

1 10

1( ) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ) .

j

j

tn

j j j jj t

I s t t f t t t f t t s dth

+−

+ +=

= − + − −∑ ∫7��� �� <� �� F� �� ���� �����

11

10 0

( ) [(1 ) ( ) ( )] ( ) ,n

j j jj

I s h p f t pf t t ph s dp�

+=

= − + + −∑ ∫������ ���� �� ����� ��

1

10

( ) [ ( ) ( )],n

j j j jj

I s h f t f t� �−

+=

= +∑ �)�65�

���1

0

(1 ) ( )j jh p t ph s dp� �= − + −∫ �)�66��

���

1

0

( ) .j jh p t ph s dp� �= + −∫ �)�66��

�� �������������12����)�66��������)�66��� ��� �� � �����+ � �� ��<���<��-, ���� ���� 12� �)�65� ����

0 1 2 1( ) [ ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )],2 n nh

I s f t f t f t f t f t−= + + + + +�

����������������������������������7�����)�3�+� %��������������� �12����)�65� ��)�66��������)�66����������������������*��������*���������������������:0������#+8)5$� &�� � ���<���� Q Q ���������������������������������������������������������������������������������2�������� �������� � ��������������� ������������������ ����������� ���� � ���� �� ������� ���� ���� ���� ��� � ���� �� ���� � ���

��������������� �����������������������*���+������(�����N�������������������� �7������(�����N� ������;�������� ����� �����������2���������� �� ������ �� � �����

��

� ����� ���� ��� ��� ������ ������� �������� ����� ��� �� �������� ��� ����

7���� ��)�6" I��������R������� 243

Page 257: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

244 �������)" '��������*�����������������������

!�������������������2�������������������������� �������������� ���7�����)�3�+� /���;���� � �������������� ��� ������� ��� ���������� ���������� ���� ��� ��� ����� � � ��������� �� f ′′ ��� ������������ #� $�

6.9 NUMERICAL CALCULATION OF FOURIER INTEGRALS

&� ������� � ��� ���� ����� � �� ������� ��� ��������� �������� ������������ ��������� � �������� � ��� � �������� ��� �� ����

( ) cos�� �b

c

a

I f x x dx �)�68�

���

( ) sin�� �b

s

a

I f x x dx �)�89�

7���� ������� � ������ ��$������ ��������� � ������ ��� ��������� ����������� ���� ��������� ���������� 1��������� #+85,$� �������� ��� ������ ���� ���������� ��������� ��� ��� ������� � ���� � �� ���������� ���� /����(�� �������� #+8,6$� ���� ������ ������ ������ 7���� �� ���������� ��/����(�� �������� ���� �� ������ ������ �������� ��� 2��� ������� � �� ������ ��� ��� ���� �� ����� �� 1��������(�� ������ ��� ���� ����� � ��������� �� ��������� ��

20

1cos

1xI e x dx�

∞−= =

+∫ �)�8+�

� � �� ���������� ����� =����� ���� ��� � �� �����

� �2 3[1 2( cos cos 2 cos 3 )]

2� � �

� � �

� � � � ��h h hhI e h e h e h

1

cos2

nh

n

hh e nh�

∞−

== + ∑

1

Re ( )2

nh i nh

n

hh e e �∞

== + ∑

( 1)

1

1Re

2�

� �� �� �� �� �

�i nh

n

h e

Page 258: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

( 1 )

( 1 )

1Re

2 1

� �

� �

� �� �� �� �� �

�� � � �� �

i h

i h

eh

e

1Re

2

i h

h i h

eh

e e

⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎢ ⎥⎨ ⎬−⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦

2

2

1,

2 1 2 cos

h

h h

h e

e e h�

−= ⋅+ −

� ��� ������������� �)�8,�

!��������������12���)�8,������������������������� �������� ����������������

&��� �� <� 9�+� ���� �� <� + � �������� �)�8,�� ����

0

cosxI e x dx∞−= ∫

� �0.2

0.2 0.1

0.1 1

2 1 2 cos(0.1)

e

e e

−= ⋅+ − 2

1 10.1, 3

101�

� �� � �� �

�� �

� �0.1 0.221402758

2 2.221402758 2.199299334= ⋅

� � 0.500833622,=��������������������������������������9�9996��),,��!����)�,������� ������ ��� �� ������� ����� ��� 12�� �)�8+�� ���� ������� ������ ����� ����� <� 9�+�� /��� ���������� � ;��� ������ ��� �� ������� ��� ����� �������

Table 6.2 Values of the Integral (6.91)

� Exact value Value obtained by using (6.92)

1.0 0.500 000 000 0.500 833 622

3.0 0.100 000 000 0.100 836 955

6.0 0.027 027 027 0.027 875 426

9.0 0.012 195 121 0.013 063 154

12.0 0.006 896 552 0.007 793 302

20.0 0.002 493 766 0.003 524 142

6.10 NUMERICAL DOUBLE INTEGRATION

/������������������������������������������������������ ������ ���� ��������������������7������(����������������7������)�3�+���� )�3�,�&� ������� � ��� ��� ;���� � �� ������ ������� ������ �

7���� ��)�+9" '��������*������������� 245

Page 259: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

246 �������)" '��������*�����������������������

1 1

( , ) ,j i

j i

y x

y x

I f x y dx dy+ +

= ∫ ∫ �)�8��

�������� <� ��� F� � ��� ���� <� �� F� (�

M � �� ����� >����������� ��� ���������� ���(� �� 12�� �)�8�� � �� �

1

1

1 1 1 1

, 1, , 1 1, 1

[ ( , ) ( , )]2

[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]4

[ ],4

j

j

y

i i

y

i j i j i j i j

i j i j i j i j

hI f x y f x y dy

hkf x y f x y f x y f x y

hkf f f f

+

+

+ + + +

+ + + +

= +

= + + +

= + + +

�)�83�

��� ���� <� � ��� � �� � ��7������� � ���� ����7������(�� ���� �� �� ������

1 1

1 1

( , ) ,j i

j i

y x

y x

I f x y dx dy+ +

− −

= ∫ ∫ �)�84�

�� �����

1

1

1 1

1 1 1 1 1

1 1

1 1 1 1 1

1, 1 1, 1 1, 1 1,

[ ( , ) 4 ( , ) ( , )]3

[ ( , ) 4 ( , ) ( , )9

4{ ( , ) 4 ( , ) ( , )}

( , ) 4 ( , ) ( , )]

[9

j

j

y

i i i

y

i j i j i j

i j i j i j

i j i j i j

i j i j i j i j

hI f x y f x y f x y dy

hkf x y f x y f x y

f x y f x y f x y

f x y f x y f x y

hkf f f f

+

− +

− − − − +

− +

+ − + + +

− − − + + − + +

= + +

= + +

+ + +

+ + +

= + + +

1

1, , 1 , 1 1, ,4( ) 16 ].i j i j i j i j i jf f f f f− − + ++ + + + + �)�8)�

:���������� ;����� �����������

������� � � 1�����1 1

0 0

,x yI e dx dy+= ∫ ∫

Page 260: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������ �� ���������� ���� 7������(�� ����� &��� �� <� (� <� 9�4 � �� ���� ����������� ���� ��� ������ �� �� � �

0 0.5 1.0

0 1 1.6487 2.7183

0.5 1.6487 2.7183 4.4817

1.0 2.7183 4.4817 7.3891

x

y

=����� �� >���������� ���(� ����� 12�� �)�83�� ����� � �� �����

0.25[1.0 4(1.6487) 6(2.7183) 4(4.4817) 7.3891]

4

12.3050

4

3.0762.

I = + + + +

=

=

=����� >7������(�� ���(� ����� ��� 12�� �)�8)�� ����� � �� �����

0.25[1.0 2.7183 7.3891 2.7183

94 (1.6487 4.4817 4.4817 1.6487) 16 (2.7183)]

26.59042

9

2.9545.

� � � �

� � � � �

I

!�� >;��� ����� ��� �� ������ ������� ��� ,�84,4(� ���� ������ �� ���� ������� ��� ������������� �+������(������ ����������; � �������������� ���� ��� ����� � � �� �����*������ ����

EXERCISES

��� /����d

dx3����� �� �� <� 9�+� ����� �� ���������� ���"

�9 � +�9� � �9�+ � 9�8854� � �9�, � 9�8899� � �9�� � 9�855)� � �9�3 � 9�8)93��

��� !������������������������������������������������������������������� �� ��������"�9 � 9�94,� � �9�9, � 9�+94� � �9�93 � 9�+)6� � �9�9) � 9�,3,� � �9�96 � 9��,5� �9�+9 � 9�396� � �9�+, � 9�368���������� �� �������� ����� � �� �� <� 9�9)�

1������� 247

Page 261: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

248 �������)" '��������*�����������������������

��� /���� �� ���������� ������ ��� �� ���� � � ����� dy

dx� �� �� <� 9�)�

�9�3 � +�46�)� � �9�4 � +�5853� � �9�) � ,�933,� � �9�5 � ,��,54� �9�6 � ,�)4++��

��� !�� �������� ��� ���� ������� � � �� ������� �� ������� ������ �������� ��� ����� �����

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

3.01 3.16 3.29 3.36 3.40 3.38 3.32

t

x

/���� �� ����� � ��� �� ������� �� �� <� 9��� �������

��� /���� �� ���������� ������ ��� �� ���� � � ����� dy

dx� ���� ���� �� <� +

���� �� <� � � ���� �� <� )� ���� ����2

2

d y

dx� �� �� <� ��

0 1 2 3 4 5 6

6.9897 7.4036 7.7815 8.1291 8.4510 8.7506 9.0309

x

y

��� :��������������������������������������������!��������A���A���������� ������� ���� �� ��������� ��� ����� �����

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0 0.15 0.50 1.15 2.0 3.20�

t

/�������������������� �����������������������������<�9�)��������

�� !������ �� �������� �� <� � ���� <� ��� B� +9�� F� )� �� ��� <� B9�4 � ��� <� +�99������<�,�9���������������������������������������<�+�99������C������(����������������������������� �����������������������

�� I���� �� ���������� ������ ��� �� ���� � � ����� dy

dx�� �� <� ,"

�9 � ,� � �, � B,� � �� � B+��

��� :� ������ �������� �� <� � ���� �������� �� ���������� ���"

0 1 3 4

( ) 1 4 40 85

xf x

*����� � ���� ���� ���� ����� � ��,�� ���� � ���,��

���� !�� �������� �� <� ������ ��� ������� ������� � 9�336+� � �3 � 9�,+86� � �4 � 9�+9++��

/���� ������ �� �� <� � � 3� ���� 4� ���� ������� ���� ������ ���� �� ;��������

Page 262: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� /�������������������������������� ������dy

dx�����<�,��������������

������������, � ++� � �� � 38� � �3 � +,��

���� /���� �� ���������� ������ ��� �� ���� � � ������ �� ����� ��� dy

dx� �

���� ��� �� ������ � � ������ �� ������� ������ ������ ������� ����+ � �� � �, � ++� � �3 � )8� � �4 � +�+��

���� I���� �� ������ ��� �� ���� �"

�+�, � 9�8�,9� � �+�� � 9�8)�)� � �+�3 � 9�8644� � �+�4 � 9�8854� � �+�) � 9�888)�

������ ������������������������ ������������������;����������������� ����� �����

���� ��� �� <�.� F�'�� F�)�� ���� �� � �� � �� ��� �� ������ ��� �� �������������� �� <� 9 � �� ���� ,� � ������� � ����� ��

2

0 1 2

0

( 4 )3

� � ��h

hy dx y y y �

���� 1�����

����0

sinx x dx�

∫ ��� ����2

25 2

xdx

x−

+∫������ �� ���������� �������� ���� ��������

���� 7��������������������������������������;�������������������������:� ����� ��� ����� � � �� ������ �� � ��� ����� �����

�9 � ,�� � �9�4 � +8� � �+�9 � +3� � �+�4 � ++� � �,�9 � +,�4� � �,�4 � +)� ���9 � +8� � ���4 � ,9� � �3�9 � ,9��

1����� �� ���� ������� � � �� ���� � �� �.�;��� ���� �� ;����������

��� &��� ��� ��������� �� ������ �� ������

0

nx

x

I y dx= ∫� �������������������������������I�������������������������K

�9 � 9��88� � �9�4 � 9��4,� � �+�9 � 9�,3,�� �+�4 � 9�+,8� � �,�9 � 9�943�

����� ��� �����;���� ����� ��

2

0

( ) .y x dx∫

1������� 249

Page 263: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

250 �������)" '��������*�����������������������

��� 1����� �� ����� ��� �� ������

3

1

1dx

x∫� �7������(����������3�����������6�������������� ��*����������� ��� ���� ����

���� 1�����

,� <�

/2

0

sin�

� x dx

������ 7������(��1

3.���� ���� �� <� �-+,�

���� =����� 7������(��1

3.���� ���� �� <� + � ������ �� ������

72

3

log .I x xdx= ∫

���� &��������������� ��������

0

2

�nx

x

y dx � ������7������(��1

3.�������

����� ��� ����� �� �� � �� F � � �� F ,���� 1�����

21

0

sinxe x dx−∫������ 7������(��

1

3.���� ���� �� <� 9�+�

���� ������ �� ������ ��

1

20 1

dxI

x=

+∫������ �� ���������� ����������<�9�4 �9�,4�����9�+,4��!������������� ����� ������ O�����(�� ������ ������� ���� ������ ����� ��� �����

���� *����� ����;���������� ��� ��������� �� ������/2

0

sinI x dx�

= ∫� ���������������������7������(��

1

3.���������������������������

Page 264: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� 1����� �� ����� ��� �� ������

1/ 2

01

dxI

x x=

−∫������ �� ���������� �����&��� ��� ��� ;��� ����S

���� *���� 7������(��3

-rule,8

3

0

0 1 2 33

( 3 3 )8

� � � ��x

x

y dx h y y y y

=����� ���� ��� � �����

1

0

1

1�� dxx

���� 1.

6h = � 1������ �� ������� � � 7������(��

1

3.���� ���� ������

�� ������

���� =����� �� ����� ��� ��������� ��������� � ����� �� �������

2

0 1 0 1

0

( ) ( ) ( )2 12

� � � �� ��h

h hy x dx y y y y

��� !�� �������� �� <� ��� �������� �� ���������� ���� ������ ��� ��2���� �����"

�+�99 � ,�5+6�� � �+�94 � ,�6455� � �+�+9 � ��993,� �+�+4 � ��+46,� � �+�,4 � ��389�� � �+��9 � ��))8���

1��������������

1.3

1.0

,y dx∫��� ������� � ��� ��������

��� 1�����2

30 1

dx

x x+ +∫

� � 7������(��1

3.���� ���� �� <� 9�,4�

1������� 251

Page 265: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

252 �������)" '��������*�����������������������

���� =��1���BH��������� �������� �������� �� ������

2

1

(cos ln )� � �� xI x x e dx

���� =�� 1���BH��������� �������� �� ���� �� ����3 3 3 31 2 3 .S n= + + + +�

���� *���� �� I����� ��������� �������� ���� �� <� ,� ���� ���� � �� ���������������

1

2–1

1.

1dx

x+∫

���� =�� �� ��.����� I����� �������� �� ������ �� ������

1

0

1.

1I dx

x=

+∫������� ���� ����� ���� ��� ������� � � 7������(��

1

3.���� ���

�� <� 9�+,4�

���� C

22

0 1 2

0

( ) (0) (1) (2).x f x dx k f k f k f= + +∫��� � ���� ��������;������ ���2�������� �����������������<�9 �+ ����, � ��� ����� �� ������ ��� (� � (�� ���� (�

���� =����� �� ���������� ��� � ����� ��

0

sinhcos (Einarsson)

2 cosh cos�

� x h he x dx

h h

���� 1��������� #+85,$� ������ �� �������

1 2

0

sinhcos ( cosh + cos ),

cosh 2 cos2x h h

e xdx c h c hh h

� �

∞− ≈

−∫���

2

1 2 2 3 3

1 cos sin 22

h hc

h h

� �

� �

⎡ ⎤+= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 266: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� 2 3 3 2 2

sin cos4

� �

� �

� �� �� �

� �

h hc

h h

��� ���� �������� �� ����� ��

0

cos 0.500001391�

�� xe x dx

���� ��/4

2

0

cos ,I x dx�

= ∫�����

0, , 0, and ,4 8 8 4

I I I� � � �⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��� G��� � �� ����� ����� ����� ��� 12�� �)�)5�� ���� L������ )��)�

��� !�� �� ����� ����� ����� ��� 12�� �)�)5�� ��� �� ��������� ��� �������

/2

0

cosI x dx�

= ∫���� =�� �� ���������� ���� �� ������ �� ������ ������

2 42 2

–2 0

( )� �� � x xy y dx dy�

���� =��7������(��1

3.���� �� ������ �������� ������� ���L�����A)��8

���� ������� �� ������ ���� �� ;��� �����

Answers to Exercises

��� B9�9494

��� ��854

��� ,�)333

��� 9�44

��� ���� 9��8�+ ���� 9���3+ ���� 9�,59) ���� B9�9,4)�

��� ��5�� ���-�K� 3�36� ���-�

�� B4�4K� � 4�9�

�� 9

1������� 253

Page 267: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

254 �������)" '��������*�����������������������

��� +5K� )

���� ���� B9�,6�+ ���� B9�+5�4� � � ���� B9�9)�8�

���� ,8

���� ������ <� ,��� B� +��� F� ��,� B� ��� F� 8��� B� +� � +� �� �� �� ,�

���� +�9

���� ���� � � � ���� B+�9583���� ))�4

��� 9�354

��� ���� +�+999 ���� +�9865

���� +�+65�

���� +55�36+)

���� 9�,835

���� 9�5644

���� ,�� <� 9�865+ ,�� <� +�999,

���� +�459646

���� 9�)8�+8K� � 9�)8�+5

��� 9�84+�

��� 9�6+4

���� B3�,+))5

���� +�4

���� 9�)8�+,,

���� 0 1 22 8 6

– , , .15 5 5

k k k= = =

���� 9�,)846�

��� 7� 1;����� )�+)�

��� 1����� <� 9�999+3

���� ++,

���� +9)�)))5

Page 268: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

7.1 INTRODUCTION

����� ������� ������� ����� ������������ ��� ������ ��������� �������� ���������������������������� �� ��� ������ ������ ��������� �������������� ��� ��� ������������� ��� �� ��������� ������ �� �� ���� �� ����� ��� � ��� ���������������������������� ���� ��������������� ����� ��� �������������������� � ����������� � �� ��� ���������� ��� �� ��� ��� ��� ������� ���� �� ����� ���������� ��� ��� ������

������ �� ������ �� ������ � ��

������ �� ������ �� ������ � ��

������ �� ������ �� ������ � ��

� �� �� ������������ �� ���� � ����� ��� ������ �����

��� � �

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

, and

a a a x b

A a a a X x b b

a a a x b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

!�� "������� #�$�� ��� �������� ���� % ���&����� ����� ������� ��� ��� ���������������������������������������� ����� ����������������� ��������� � ������� � �� ��� �� �� � ���� ���� ����� � ������ ��� ����� ��������� !��� ������������ ��� ' ���� ��� % ���("����� ��� ���������� ��� "������� #�)�

���

���������� ��������

�������

Page 269: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

256 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

/��������� ������� �� ����� ��������� �������� �������� ���������������������������� ����������������������� ���� �� �������� �� ���� ��� �������� ��� ��� ������ ��� � � �� �������� ���� ������ ����� ��� ������ ���� ��� � ������ /��� � ����� ������ ��� ������ ��� ���������� ��� "������� #�#� ����� ��"�������#�0��������������� ������������������������� ��� ������������������� � � �����

7.2 TRIANGULAR MATRICES

.� ��� ��� � ����� ��� � ��� ��� �� ��� ���� ��� ���� �������� ���� 1��� ���2��� ���� � ��� �� ��� � ��� 3����� ���� �� ����� ���� � ������

11 12 13 11

22 23 21 22

33 31 32 33

0 0

0 and 0

0 0

a a a b

A a a B b b

a b b b

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

��� ��� ��� �� � ������� �������� ��� � ��� �� ������ ��� ��� �� � ����� ������� � ����� ��� ��� �� � �����

!�� ��� �� �� �� �� ������ ���� � 4� ���� �� 5� ��� ��� ���� � 4� ���� �� 5� �� ������ !�� �� ��� � ���� ����� �� �� � ��� ��� �� � ����� ��� �������� �� ���� ����� � ����� ��� � �������� ��� ���3�����/��� ������������������� ���� ���� ��� ��� �� ������+

1�2 !�� ��� ��� ��� ��� ���� ������ ��� ��� �� � ������� ��� ���� � ��� ����������� ��� �� ��� ��� ����� ��� ��� ������ ��� ��� �� � ������� ��� ���� ��� ������� "��� �� ������� ���� ����� ���� ����� ��� ��� ��� ������ ���

1��2 /��� ����������� ��������� �� ����� ��� ��� ��� ����� ��� ��� � ������� ��� ��� ������ "��� �� ������ ����� ����� ���� �� ������ ��� ��� �� ����� ���� /���� ��������� �� ��� ��� ��� ������� � ��� ��� �� � ����� ����

������� �� ����� ���� �������� ��� ���� � ����

1 2 3

0 1 2

0 0 1

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-��

� � �11 12 13

122 23

33

0

0 0

a a a

A a a

a

−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 270: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

"����� ����� � ��� ��� �����

11 12 13

22 23

33

1 2 3 1 0 0

0 0 1 2 0 1 0 .

0 0 0 0 1 0 0 1

a a a

a a

a

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

��������������� ����������������������� ������ ����������������������������� ���� ������� ��� �� ��

��� � 6� ��� � 6�

7���� �� ��� � 4� 7���� �� ��� � 4�

�� ��� � (7� �� ��� � (7�

8���� �� 7���� �� ���� � 4 ��� � 6�

� �� ���� � 6�

9����

11 2 1

0 1 –2

0 0 1

A−−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

"����� ���� �������� ��� � ��� ��� �� � ����� ��� � ���� ���������� ��� ������ �� ���������������� ��������� ��� �������� ����� ������ ���������������������� �� � �������� ��� ���� ��� ��� �� � �������

!��� ����� ��� ����� ������������� ����� ��� ����� ��������� ��� ��� �� �������� ����� ��� ������ �� �

��� � 1��2�� 1#�62

�� �����

/�������������������������������������������������������� ��������� ���� ��� � ����� ��� ����� ��� �� ����� ��� ���� �������� ��� � ������� ��� ��� � ��� ������ ������

7.3 LU DECOMPOSITION OF A MATRIX

-��

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��

� � � ��

�� ��������� ����� ���� ������/������� ����� �����3��� ����� ���� �������������

"�� ���#�8+ ���:���������������� �� ���� 257

Page 271: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

258 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

11 12 1

21 22 2

1 2

1 0 0 0

1 0 0 0and ,

1 0 0

n

n

n n nn

u u u

l u uL U

l l u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

� �� �

� � � � � � � � �� � �

��

11 12 1311 12

11 21 22 2321 22

31 32 33

0, 0, 0,

a a aa a

a a a aa a

a a a

≠ ≠ ≠ ��� ��� ���

!�� ��� � �� �� ��� ������ ��� ��� �� ��� � �� �� ����� � � �����3 ������ ����� ���������� ��� �������� "��� ���� ���� � �����3 ����� ��� �����

1

11

21 222

2 3

0 01 0 0

0 0and 0 1

0 0 1

� �� �� �� �� �� � � �� �� �� � � �

� �� �

� ��

��

� � � � ��

n

n n n nn

l

l lL U u

l l l l

��� ��� � ������� � �����3 ��������� ������� ���� ���� ���������� ���� ��������� ����� ����� � ��� ��� � ����� ��� ������ 8�

-��

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

1 0 0

1 0 0

1 0 0

a a a u u u

A a a a l u u

a a a l l u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1#�72

���������� ���� � ������� ��� ���� ������ ����� ��� ;��� 1#�72� ��� ��� ����� ����������������� �������� ��� ���� ������� ��� ���

���� � ���� ���� � ���� ���� � ����

������� � ���� ������� �� ���� � ���� ������� �� ���� � ���� 1#�82

������� � ���� ������� �� ������� � ���� ������� �� ������� �� ���� � ���

����� ���� ���� ��� ������� ��� �� ��

� 2121

11,

al

a= 31

3111

al

a= �

2122 22 12

11,

au a a

a= − 21

23 23 1311

au a a

a= − 1#�<2

3132 12

1132

22,

aa a

al

u

−=

����� ������ ���� � �� �� ���������

�������

�����������

Page 272: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

/��� ������ ���������� ��� � ������ ���� ���� ��� �� � ��� ���� �������� ���� ����� 1�������� ��� ���� ����� ��� ��� �� ����� ������ ��� ��� �2�� ������� ������������ ���� ������ ���� ����� ��� ���� ������ ������ ������ �������� ������������� ������� ��������� ��� ���� ������� ������������ ��� ��� ������ ����������� ������ ���� ��� ��� !�� ��� ������� �� �� ����� ���������� � �� �� ����� �3�������� ���� � �����3 ����� ��� ��������� ���� ������������� � ������������� ��������� � 1#�62�

������� � � �����3�� ���� � ����

2 3 1

1 2 3

3 1 2

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

����� ���� ��� �����-��

11 12 13

21 22 23

31 32 33

2 3 1 1 0 0

1 2 3 1 0 0

3 1 2 1 0 0

u u u

l u u

l l u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

����� ;��� 1#�<2�� ��� �� ��

���� � 7� ���� � 8� ���� � 6�

���� �1

2� ���� �

3

2�

���� �1

2� ���� �

5

2�

���� � (#�� �� ���� � 60�!�� ������ �� �

1 0 0 2 3 1

1 1 51 0 and 0

2 2 23 0 0 18

–7 12

� � � �� � � �� � � �� �� � � �� � � �

� �� �� �� �

L U

7.4 VECTOR AND MATRIX NORMS

/��� ���� ���� ������� � ������� ��� ���� ��� ������� ��� ��� ����� ��� ���� ������� ��� ����� ����������� /���� ���� ��� �������� ����������� /����������� ���������� ��� �������� �� == � ==�� ��� � �� � ������ ������ � �������� ���� ������������������ ��� �����+

"�� ���#�<+ >������ ���� �����,���� 259

Page 273: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

260 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

|| || 0�x �� || || 0�x ��� ��� ���� �� 0�x 1#�$2

|| || | | || ||� ��x x ���� ��� �� α 1#�)2

|| || || || || ||� � �x y x y 1��� ��������� ���2� 1#�#2

���� ���� ������

1

2

� �� �� ��� �� �� �� �

n

x

xx

x

1#�02

����� ������ ������ ��

1 1 21

|| || | | | | | | | |�

� � � � ���m

n ii

x x x x x 1#�?2

1/2

2 2 2 22 1 2

1

|| || | | | | | | | | || ||

|| || max | | .

� �� �� � � � � �� �� �

��n

n i ei

ii

x x x x x x

x x

(7.10)

(7.11)

/��� ���� 2|| ||� ��� � ��� �������������� ����� ������ ��� ��� @���� ���� ����� � ������� ���� ��� ���� �����&��������� � ;����� �� �� ��� /��� ���� || || ∞� ��� � �������������� ����� ��� ���� ������� �����

!�� ��� � ��� ��� ����� �� �� ���� ����������� 1 2|| || , || ||x x �� || ||�

x � ������ ��������������1#�$2����1#�#2�������� ���� *����������1#�$2� ���1#�)2� �������� �� �������� A��� ���������� 1#�#2�� ���� ��� ���� ����� ����� ������ ����� ������ ���� ��� ���� ���� ���� 1|| ||x ��� ������� �� �

1

1

1 1

1 1

|| || | |

( | | | | )

| | | |

|| || || ||

� �

� � �

� �

� �

� �

� �

n

i ii

n

i ii

n n

i ii i

x y x y

x y

x y

x y 1#�672

Page 274: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

"��� ���� ��� || || ,�

x ��� � ��

|| || max | |

max (| | | | )

|| || || || .

� �

� � �

� �

� �

i ii

i ii

x y x y

x y

x y 1#�682

/��� ������ ���� ���� ;����� �� ����� ��� ���� �� �� ��������� ��� ���� �� ����/�� ������� � ����� ������� ��� ��������� ���� � ��������� ����� ���� �����

���� ���� ����� A B+ ��� ��� ��� �������� /����

| | | | | |

| | | | | |

| | | | | | ( a scalar).

A B A B

AB A B

A A� � �

+ ≤ +

=

(7.14)

(7.15)

(7.16)

����� ;��� 1#�6$2� ��� ������ �� �

| | | | ,p pA A≤ 1#�6#2

�������� ��� �� ��� ������� !�� ���� ������� ������� =� =� �������� ����� ������ ����� ������ � ���� ��� ���� ��������

B�������������� �� ���� | |,ijA a= ����� �� ������� ����������� �������

� || ||,A ������ � �������� ���� �������� ����������

|| || 0 and || || 0 if and only if 0� � �A A A 1#�602

|| || | | || || ( a scalar)� � ��A A 1#�6?2

|| || || || || ||� � �A B A B 1#�742

|| || || || || || .�AB A B 1#�762

����� ;��� 1#�762�� ��� � ���� ������ �� �

|| || || || ,p pA A≤ 1#�772

������ �� ��� � � ��� � ������*������������� ��� ���� ������� ������ ������ ���;���� 1#�?2(1#�662����� � ��

���� ������ � ����� �����

� � 1|| || max | | (the column norm)ijj

i

A a= ∑ 1#�782

� � � �

1/2

2

,

|| || | | (the Euclidean norm)e iji j

A a⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦∑ 1#�7<2

"�� ���#�<+ >������ ���� �����,���� 261

Page 275: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

262 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

|| || max | | (the row norm).iji

j

A a∞ = ∑ 1#�7$2

!�� �������� ��� ���� ����� ��� � �� 2|| ||A �������� �

T 1/22|| || (Maximum eigenvalue of ) .A A A= 1#�7)2

/��� ������ ���� ��� � � ����� ��� �� ���������� ��� "������� #�#�/��� ������� ��� � � ����� �� ����� ��� ���������� ������ ��� �� ����

�������� ������� /��� ���&����� ���� ��������� ����� ������ ����� �� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ���� �� ���� � ��� ������ ��������� � � ���� ���� ����� ������� ���� ��3�� ��� ���� � �����

/��� �������� �� ���� �������� ���� ���� ������ ����� ��� ����� ��� �����������

������� �� %����� ���� � ����

1 2 3

4 5 6

7 8 9

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

���� 1|| || , || ||eA A �� || || .A ∞

���� ��

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/2

1/2

1/2

|| || max [1 4 7, 2 5 8, 3 6 9] max [12,15,18] 18

|| || (1 2 3 4 5 6 7 8 9 )

(1 4 9 16 25 36 49 64 81)

(285)

16.88.

|| || max [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]

max [6, 15, 24]

24.

e

A

A

A ∞

= + + + + + + = =

= + + + + + + + +

= + + + + + + + +

=

=

= + + + + + +

=

=

/��� �������� ��� ���� ����� ��� � � ����� ��� �� ������ ��� ���� ������ ��� ��������������� ��� ���� ����� �������� ��� ������� ��� �� �������� !�� ��� ��� ������� ��������� ���� C�� ����D� ��� � ������� ��� ��� ������

7.5 SOLUTION OF LINEAR SYSTEMS—DIRECT METHODS

/��� �������� ��� � ��� �� ������� ��� ��� ������ � �� �� ����������� �� ������� � ������� ������ � �� ��� ���� ��� ���� � ��������+� ����� ��� ���� �

Page 276: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��������� .������� ���� ������� ��������� ��� ��� �������� ���� ����� �������������% ���� �� �������������� ����� �������������������������������.������������ ����������������������������������' ���� ���% ���("������������

7.5.1 Gauss Elimination

/���� ��� ���� ������ ��� ����� ����� ������� ��� ��� �������� ���� ������� ����� ������ ��� �� ����� ���� �����&��� ��� �� �������������� � ���� ����������!� ����������

-��� ���� ������� ��� �� ��� �� ��� ������ ��� �� ��E������ �� ������ �

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3 .

n n

n n

n n n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + + = ⎫⎪⎪+ + + + =⎬⎪⎪+ + + + = ⎭

��

1#�7#2

/����� ��� ���� ������ ��� ���� �������� ��� ���� ������� ������ ��� ;��� 1#�7#2�� ��3������ ����� ����� ��� ��E������ ��� �E� ������������

"���#$ /�����E������ �������� ��������� ��� �������&��� ��� ���������/������� ������������������������� ����������������������������� ����

�� 1(���F���2� ��� �� ��

21 21 21 2121 1 12 2 13 3 1 1

11 11 11 11.n n

a a a aa x a x a x a x b

a a a a− − − − − = −�

.������ ���� ���� ��� ����� ��� ���� ������� ��� ����� ���;��� 1#�7#2����� �� ��

21 21 21 2122 12 2 23 13 3 2 1 2 1

11 11 11 11,n n n

a a a aa a x a a x a a x b b

a a a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠�

1#�702������ � �� �� �������� �

22 2 23 3 2 2 ,n na x a x a x b′ ′ ′ ′+ + + =�

����� 22 22 12 21 11( / ),a a a a a′ = − ���� /�������������������� ����� ������������ ������� � �� �� ����� ���� � ��� "��� ������� � ��������� ���� ������ ��� ������ (���F���� ��� ��� ��� ��� ���� ������ ��� ����� ��� ���� ������� 1#�7#2� /�������� ���� ���� ��E����� ��� ����� ���� ������ ��� ����� ��� ;��� 1#�7#2� ��� ���� ��

32 2 33 3 3 3.n na x a x a x b′ ′ ′ ′+ + + =� 1#�7?2

!�� � ���� �� � ���������� � �� ����� ������ ����� ���� ��� ������ ��� ������ �� ����� ����� ����� ��� ����� ���� ��� ��� ����� ��� ;��� 1#�7#2�� ��� �� ��� ���������

"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 263

Page 277: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

264 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 23 3 2 2

32 2 33 3 3 3

2 2 3 3 .

n n

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + + = ⎫⎪

′ ′ ′ ′ ⎪+ + + =⎪⎪⎬′ ′ ′ ′+ + + =⎪⎪⎪′ ′ ′ ′+ + + = ⎪⎭

��

1#�842

��� ����� ����� ��� ��� ����� ���� ��� 1� ( 72� ��� ������ ��� ;��� 1#�842� B����������� ��� ��� ������ ��� ��� ������� �� �� ��� ���� �������� ��� �� ������ ���� ��������������� ������������ ���� ������ ������ 1(���F���2�� ��������� ���������������������������� ���������� ���������������3���������������� ����������������� ����� ��� ���� ������� 1#�842� ��� � ��� ������ �� ��������� ������� ��� � �������� �� ����� ���� ��������/������������������ � ��� ������ 4������� ������������������� ��������� ������������������������������������������� ������������ � ,���� ��� ����� ��� ��� ����� ���� ������ ��� ����� ��� ;��� 1#�842�� ��������� �������������� ������ 32 22( / )a a′ ′− ��� ��� ��� ��� ���� ��������� �����H��� ����� ����� �������� ����� ���� ��� ������ ��� ������� ��� �� ��� ���� ������

11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 23 3 2 2

33 3 3 3

3 3 .

n n

n n

n n

n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x b

a x a x b

+ + + + = ⎫⎪

′ ′ ′ ′ ⎪+ + + =⎪⎪⎬′′ ′′ ′′+ + =⎪⎪⎪′′ ′′ ′′+ + = ⎪⎭

1#�862

!�� ;��� 1#�862�� ���� C����� ������D� ����� ��� �� �� ���� �������� �� �� ���� ��%���� !�� ��� � ���� ����� �� �� ����� ���������� � �� �� ���������� ��� ����� ��� ������� ���� ������� ��� ����� ��� ����� ��� ����� ���� ������ ��� ����� ��� ����� ����������� ��� �� �� ��� ���� �����&��� ��� �� ����+

11 1 12 2 13 3 1 1

22 2 23 3 2 2

33 3 3 3

( 1) ( 1) ,

n n

n n

n n

n nnn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x b

a x b− −

+ + + + = ⎫⎪

′ ′ ′ ′ ⎪+ + + =⎪⎪′′ ′′ ′′+ + = ⎬⎪⎪⎪

= ⎪⎭

1#�872

����� ( 1)nnna − ����� ���� �� �� ���� ������� ���� � �� �� ����� 1� ( 62� ������ ��

������ ����������������������������������� ����������E������ ��������������� ���� �����&��� ��� �� �����

Page 278: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

"��� &$ ������� � ��� ��� �� ��� ���� ��������� �������� ����� ���� ������1#�872� ����� ���� ��� ��� ����� ��� ����� �������� ��� �� ��

( 1)

( 1).

nn

n nnn

bx

a1#�882

/����������������������������� ( 1) thn − ��� ���������� �� 1nx − ��������������������� ���������������������������E����������� ������������������������������� ���� 1 2 2 1, , , , ,n nx x x x− − … ��� �� �������� :��� ��� ����� �� ����� ������������ ��� ��� ���!� ����������

7.5.2 Necessity for Pivoting

��� ���� ����� ��� ���� ������ ��� � ��� ��� ���� ������ ����� 3���� ��� ����� �������3���� !�� ������ �� �������� ���������������� ������ ������ ��� �������� ���3���������&���� ������� � �� ������ /����� ������� � �� �� ������� �� �������� ����������� ����� ��� � !������ ����������3�������������� ����� ��������������������������������������� ����������������������� ������ � � �������������������������������������������� ����� �������� ������� �� �������������!�� ����� � ��� ��� �� ��� � ���� ������ ��� ����� ����� � ���3���� ������� "���� �������� ��� � ��� ������ �� ��� �� ������ ��� ����� � ��� ��� �� ���� ���� ���������������������� ��������������!����������������� ��������� �������������� ��� ����� ���� ���� ������ �������� ���� ���������� ��� � ��� ��������� ��� � !�� ��� ������� �� �� �������� ��������� �������� ����� ���������� �������� ������ ������ ������� ���� ��� ������� �� ��� �� ���� ��� C�����D� ����E��������������� �� ��������������������� ��������������!������ ������� ��� ��������������������������� ���������� ���� ��������������� �������:����� ����� �� ����� �������� ��������� ��� � ���� �����

������� �� I��� % ���� ����� ����� ��� ����� ���� ������

2 10

3 2 3 18

4 9 16.

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + =

+ + =

��� ������ ����� ��� �� ����� ���� ������� ��� ������ ��� ������� ���� ����� ��������� ���� ������ ��� ����� �� 1(8F72� ��� ��� ��� ���� ������� ��� ���

3 6.y z+ = 1�2

"��� ��������������������������� �������1(6F72� ��� �������������������������

7 17 22.y z+ = 1��2

��� ����� � ��� ����� ���� �� ����� ���� ������� ��� ������ ��� ������ ,����� ��� ��� �������� ���'� �����1�2� ���1��2������ ���������������1�2���(#� ��� ����� 1��2�� /���� �����

4 20z− = − �� 5.z =

"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 265

Page 279: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

266 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

/��� �����&��� ��� �� ����� ��� ���������� ������ �

2 10

3 6

5.

x y z

y z

z

+ + =

+ =

=!�� ������ �� �� ���� ��������� �������� �� 7, 9x y= = − �� 5.z =

/���������� ������������ ������������������������������������������ �����������

������� �� "���� ���� ������

4�4448674��� �� 4�44)487��� � 4�448870

� � � � 4�$444��� �� 4�0?<7��� � 4�?<#6

/��� �� ��� �������� ��� ��� � 6� ��� ��� � 4�$�

��� ������ ����� ���� ������� ����� ������������� ������ ���� ������ ������� �

4�$444��� �� 4�0?<7��� � 4�?<#6

4�444867��� �� 4�44)487��� � 4�448870

������ % ���� �� ����� ������ ���� ���� ������� �������� ��

4�$444��� �� 4�0?<7��� � 4�?<#6

4�44$<#<��� � 4�447#8#

B �E� ������������ �����+� ��� � 4�$� ��� ��� � 6�4�

�������� ���������� % ������� ����� ����� ������ ���� ������

4�444867��� �� 4�44)487��� � 4�448870

(0�##7$��� � ($�8844

/��� �E� ������������ �������� �����

��� � 4�)4#)� ��� ��� � (6�4048

/��� ������� ��� ��������� ��� �� ��� �����

7.5.3 Gauss–Jordan Method

/������� �������� ������������% ��������� ������������������������ ������������������ ������� ����E������������� ���������������� ��������� ���� ������/������������������� �������� �E� ������������ ����� ��� ���� �������� ��� ������ ����� ���� �� ���� �������� �� ����

������� �� "���� ���� ������� 1���� ;� ���� #�<2

2 10

3 2 3 18

4 9 16.

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + =

+ + =�� ���� % ���('��� ���������

Page 280: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

;���� ����� ��� �� ����� ���� ������� ��� ������ ��� ������ ��� ����� �� ��C% ���� ����� ����D� ��� ��� �� ��� ���� ������

2 10

(1/2) (3/2) 3

(7/2) (17/ 2) 11.

x y z

y z

y z

+ + =

+ =

+ =,�����������E�����'��������� ����������������������� ������������ ������ /�����������

2x z− = �� 5.z =9����� ���� ������� ������+

2

3 6

5.

x z

y z

z

− =

+ =

=;� � ����� ��� '� ��� �� ��� ����� � ��� ���� ������ ��� ���� � ��� �� ������

7.5.4 Modification of the Gauss Method to Compute theInverse

��� E���� �� ���� ��� �� ���� �������� ����� ��

,AX I= 1#�8<2

�������� ������������� ������������� ��������� ���� !�� ���������������������������� �������� ����� ����� �� �� ;��� 1#�8<2� ��� � �������� ���� �� ����� ���� �����&������ � �������� ;��� 1#�8<2� � �� �� �������� �

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

1 0 0

0 1 0 .

0 0 1

a a a x x x

a a a x x x

a a a x x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

/����� ����� ��� ���������� ���������� ������������� �������������������� �����

� �

11 12 13 11

21 22 23 21

31 32 33 31

1

0

0

a a a x

a a a x

a a a x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 12 13 12

21 22 23 22

31 32 33 32

11 12 13 13

21 22 23 23

31 32 33 33

0

1

0

0

0 .

1

a a a x

a a a x

a a a x

a a a x

a a a x

a a a x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 267

Page 281: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

268 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

��� � �� ���������� ���� ���� % ���� �� ����� ����� ������� ��� � ��� ��� ������������� ��� ���� ������ ��� � ��� � ��� ��� �� ���� ���������� � ������ �������"����� ����� ��������������������� ��� ���� � ��� ���� ���� �������� �� ���� � ���� ������ �������� ����� ������� "� ������ ����� ���� C ��������� ������D

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a a a

a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��� �� ��� �� ���� ���� ��� ���� ������ ��� ������� �� ���� �����������

11 12 13

22 23 21 11

32 33 31 11

1 0 0

0 / 1 0

0 / 0 1

a a a

a a a a

a a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥

′ ′ −⎢ ⎥⎢ ⎥′ ′ −⎢ ⎥⎣ ⎦

��

11 12 13

22 23 21

33 31 32

1 0 0

0 1 0 ,

0 0 1

a a a

a a

a

� �

⎡ ⎤⎢ ⎥

′ ′⎢ ⎥⎢ ⎥′′⎢ ⎥⎣ ⎦

������

2121

11,

a

a� = − 32 3121

3111 22 11

,a aa

a a a�

′= −

′32

3222

.a

a�

′= −

/��� ��������� ���������� ������ ����� ������ ���� �E&������������������������ � ��� ������ ��� ����� ����� ����� ����� ���� �������������� ������ ������������� �� ��� ������ �

21

31 32

1 0 0

1 0 .

1

� �

� �� �

� � �� �� �

I

������� � ��� �� � ��������� � ��� ���� ������� ������ ��� ;� ���� #�)���� � ��� ����

2 1 1

3 2 3 .

1 4 9

A

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

/��� ��������� ������� ��

2 1 1 1 0 0

3 2 3 0 1 0 .

1 4 9 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 282: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

.����� ���� ������ �� ���� ����� ������

2 1 1 1 0 0

0 1/2 3/2 3/2 1 0 .

0 7/2 17/2 1/2 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

��� ��� �� ���� ���� ��� ���� ������� �� ���� ���� ������� ������+

2 1 1 1 0 0

0 1/2 3/2 3/2 1 0 .

0 0 2 10 7 1

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

���

/���� ��� ����� ���� ��� ���� ������ �������+

2 1 1 1

0 1/2 3/2 3/2 ,

0 0 2 10

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

���

2 1 1 0

0 1/2 3/2 1

0 0 2 7

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

���

��

2 1 1 0

0 1/2 3/2 0 ,

0 0 2 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

���

������ ������� �� �E� ������������ ������ ���� ������ ������� ��� ����� ����+

3 5/2 1/2

12 17/ 2 3/2 ,

5 7/2 1/2

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

������ ��� ���� ��������� ������� ����

��� � �� ��� ����

1| | 2 ( 2) 2

2A

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

����E���� ��������� ��� ����������������� ����� !�������� ������3��������� ��� ����� �E� ���������� ��� ���� � ����� � �� ��� ��������

"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 269

Page 283: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

270 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

7.5.5 Number of Arithmetic Operations

"������������ ����������������������������������������������� ������ ���������������% ���� ������� ������������������ ����������������� ��������� �� ����&������������� ������ ��� ���������� ��� ������������

��������� �����������������;���1#�702������� ��������F���������������������/����� �� 1�� (� 62� ������� ������ ��� ��� 1�� (� 62 ������ ��� ���� ���� ���� ��6 ������� ����� ��� ���� ������ ����� 9����� ���� ������ ��� C�� ����&�����D������� �����F���������������������������� �����������6�����(�6���6� ��J�J6�B�� �� ��� ����� ���� ���� 1�� (� 62 ��� ������ /���������� ���� ��� � ������ ��������� �����F���������� ��������� ��� ����� ��� ��� ���� 1�� (� 62 ��� ������ ��

( 1) ( 1) ( 1) ( 2 1).n n n n− + = − + −

"��� ����������� ����������������� �����F��������������������������� ��������� 1�� (� 72 ��� ������ ��

( 2) ( 2) ( 2 2).n n n n− = − + −

/��� ��� � ������ ��� ������� �����F���������� ��������� ��� ����� ��� ��� ����1�� (� 82 ��� ������ ��

( 3) ( 1) ( 3) ( 2 3).n n n n− − = − + −

"��� ����������� ����������������� �����F��������������������������� ��������� 1�� (� �2� ��� ������ ��

( ) ( 2 ),n p n p− + − ������ �� ����� �������� ������

[ ( 1)] [ 2 ( 1)] 1.3.n n n n− − + − − =

"������� ��� � ���� ����� ��� � �� ������ ���� ��� � ������ ��� ������������� ������ 1������������ �����F���������2� �

12

1

12 2

1

2

3

( ) ( 2 ) [( ) 2( )]

( 2 2 2 )

( 1) ( ) (2 2 1) ( 1)( 1) 2

6 2( 1)

2 ( 1) 22

,3

n

p

n

p

n p n p n p n p

n p np n p

n n n n nn n n

n nn n

n

=

=

− + − = − + −

= + − + −

− − + −= − + −

−+ − −

∑ ∑

������ ��� � ��� ����� ���� ����� �+( 1)

1 2 32

n nn

++ + + + =� �� 2 2 2 2 ( 1) (2 1) .1 2 36

n n nn

+ ++ + + + =�

Page 284: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

!���������� ��������� ����������C�� ����&�����D�������� ���������������������% ���� �� ����� ����� ��� ��F8�� !�� � ���� �� � ��� ��� � �� �� ������ �� �� ���% ���('��� �� ������� ��������� ��F7� ���������� ���� ������ 9������ % �������� ���������������������% ���('��� ��������������������� �������������� ��� ������

7.5.6 LU Decomposition Method

!��"�������#�8�������������� � ������� ���� ���������� ����� ��������� ��������� �� �

�� ��� 1#�8$2

�������� �������� �������� ��� �� ����� ����������� ��� ��� ������ �������� ��� ������ ��� ;��� 1#�72�� -��� ���� ������� ��� ��� ������ �� ������ �

������ �� ������ �� ������ � ��

������ �� ������ �� ������ � �� 1#�8)2

������ �� ������ �� ������ � ��

������ � �� �� �������� ��� ���� � ����� ����

� � ��� � � 1#�8#2

������ � � 1#�802

!�� ��� ���� � ��� � (� 1#�8?2

����� ;��� 1#�802� ������� � �(� � � 1#�<42

������ ��� ����� ���� ��� ���� ������'� � ��

���'�� �� '� � �� 1#�<62

���'�� �� ���'�� �� '� � ��

�����

1 '��� '��� '�2�� � (� ��� 1���� ���� ��2

�� � ��

/��� ������� 1#�<62� � �� �� ������ ���� '��� '�� ��� '�� �� ���� ��� ����������������� (� ��� E������ ���� ������� 1#�8?2� ������

������ �������� ������� � '�

������ ������� � '� 1#�<72

����� � '�

������ � �� �� ������ ���� ���� ���� ��� �� �E������������ ��������� .�� ������ ������ ������������ � �� ���� �� �� ��� ��� ����� ���� �� ��� ����� ������������ ���� � ��� ������������ � ����� ��� ���������� �����&� ��� ����� ��������

"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 271

�����

�����

�����

Page 285: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

272 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

7.5.7 Computational Procedure for LU Decomposition Method

%����� ��� �������� �� ��� ���� �������� ������� ����������������������� ������� ����� ��� ��� �� ����� �� ������ ��� ��� ��� ������ � �� �� �������� ����� �������� ������ ���� � �����+

��� �� �� ������ � ���� �� �� �� � ������� ���������� ���������������� �� �� �� � ����� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� � ����� �� �� � ��� �����������������������

/�� � ��� ���� ��� �� ���� ���� �������� ����� ����� ��� ������� ��� ���� �� ����������� ����� ���� �������� ���� ����� ��������� /����� ����� ���� � �����3 ������� ���������� ���� ����� ��� ���� ������ ���� � 1< � <2� � ����� ��� ������ �

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

u u u u

l u u u

l l u u

l l l u

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

!�����������&� �������������������� �1����������2��������������� ��������������� �� �� ����������� �� ���� �� �������+

��� �� �� ������ � ���� �� �� �� � ����� �������������������� �� ������������������

"��� ���� ���� �E������������ � �� �� ��������� �� ���� �����+

�������������� ������� ���� �������� �� � ����� �� � ����� � ������������ �� �����������������

Page 286: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������� �� "���� ���� ��� �����

7�� �� 8'� �� �� � ?

�� �� 7'� �� 8�� � )

8�� �� '� �� 7�� � 0

�� ���� ������� ��� ��� ����������������� � ��

2 3 1 9

1 2 3 and 6

3 1 2 8

� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �

A B

!�� ;� ���� #�7�� ��� �� ����� ���� ��� �������������� ��� ��� /���� ��

1 0 0 2 3 1

0.5 1 0 and 0 0.5 2.5

1.5 –7 1 0 0 18

� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �

L U

!��(� � K'��� '��� '�L��� ����� ���� ��� ����� �(� ��� ������ ���� �������+

'�� � ?�� � '�� �3

2 �� '�� � $�

��� ��� ���� � ����� ��� ����

��� � (� � �������� � K��� '�� �L��

������ ���� ��������� �������

35 29 5, and .

18 18 18� � �x y z

7.5.8 LU Decomposition from Gauss Elimination

���� ��� ����� �� ��% ���� ������� �������������� ��� ��������� ���������������� ����� ��� �� �����&��� ��� �� ����� ��� ����� �� �� ������� �������������� ������ ������������ � ����� � �� ��� �� �� ����� ����� % ���� ����� ����� /�������&��� ��� �� ����� ��������� ���� ������������� ����� ��� �������� ��� ��� ����� �����&��� ��� �� � ������� ��� ���� �������������� ���� /����� �� �� ��� �������&��� ��� �� � ����� �M� ���� ������ ��� ��������� ���� ������� �������� �

��� � �� 1#�<82�����

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,

a a a

A a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1

2

3

,

� �� �� � �� �� �

x

X x

x

1

2

3

.

� �� �� � �� �� �

b

b b

b

"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 273

Page 287: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

274 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

/������� ������ ����� ���� ���������� ���������������� ���� ������ ��� ���������F���� ��� ���� ��� ��� ����� ���� ������� ��� ����� ��� ����� �� ��

21 21 2122 12 2 23 13 3 2 1

11 11 11

a a aa a x a a x b b

a a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠��

22 2 23 3 2.� � �� �a x a x b 1#�<<2

/���� ���� 21 21 11/l a a= ���� ������������������������� ���� �� ���� ��� ��������� ����� "��� �������������������������� �������������������������� ������������� � 31 31 11/ .l a a= .����� ����� ����� ������ ���� ������� ��� ��� ���� ����

11 1 12 2 13 3 1

22 2 23 3 2

32 2 33 3 3.

a x a x a x b

a x a x b

a x a x b

+ + = ⎫⎪⎪′ ′ ′+ = ⎬⎪

′ ′ ′+ = ⎪⎭

1#�<$2

!�� ���� ��� � ������ ��� � ��� ��� ����� ��� ��� ����� ���� ������ ��� ����� ���� ������� ������� ���� ������� ��� ����� � 32 22/a a′ ′ ��� ���� ��� ��� ����� ���� �������� ����� ��� ����� �� ��

33 3 3,a x b′′ ′′= 1#�<)2

������ ���������������� ����� ��� �� �� ����������������������� ����� ���������� � ���� ������ !�� ����� ������ ������������� ��� ������ � 32 32 22/ .l a a′ ′= /����� �������������� ���������������������������������&��� ��� ��� ���������� �

11 12 13

22 23

33

0 .

0 0

a a a

U a a

a

⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′= ⎢ ⎥⎢ ⎥′′⎣ ⎦

1#�<#2

;�� �����1#�<#2���������� �� �� ��� ����������������� ��� ����� ������������������3������������� ����������������������� ��������������������� /���� ����� ����� ������ ���� � ����� �� � �� �� �������� �

11 12 13

21 22 23

31 32 33

,

a a a

l a a

l l a

⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′⎢ ⎥⎢ ⎥′′⎣ ⎦

1#�<02

������ ����������� ���� ���� ��� ��� ���� ��� �������������� ��� �� ����

21

31 32

1 0 0

1 0

1

L l

l l

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��11 12 13

22 23

33

0 .

0 0

a a a

U a a

a

⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′= ⎢ ⎥⎢ ⎥′′⎣ ⎦

!�� ��� � ���� ��������� �� � .A LU=

Page 288: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

7.5.9 Solution of Tridiagonal Systems

*�������� ���� ������� ��� ��� ������ �������� �

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2 3 2

3 2 3 3 3 4 3

1 .n n n n n

b u c u d

a u b u c u d

a u b u c u d

a u b u d−

+ = ⎫⎪+ + = ⎪⎪+ + = ⎬⎪⎪

+ = ⎪⎭

�1#�<?2

/��� � ����� ��� ������������� ��

1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0n n n

n n

b c

a b c

a b cA

a b c

a b− − −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

� � �� � �� � �

� � � � � � � ���

1#�$42

� ������� ��� ���� ������ ������ ��� ;��� 1#�$42�� � ��� ���� ���� ����� ������)��������������������������������������� ��� ���� ��� ����������� ���� ������� ������� �������������������� /���������� ��� � �����3 ����� ��������� � ����� �� �� ������������ ������ ��� ����� ���� ������� 1#�<?2�� ���� �� ����� ���� 18 � 82� � ����� ��� � ��

1 1 1 1

2 2 2 21 22 2

3 3 32 33

0 1 0 0 0

1 0 0

0 0 1 0 0

b c b c

a b c l u c

a b l u

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

/���� � ����� ��� ����� �����

� ������ � ��� ������ �� ���� � ���1#�$62������� � ��� ������ �� ���� � ��

����� ������ ����� ��� ������� ��� � �� �������� ����� ����� ���� ��� ���� ��� ������ ���� ������������������� ���������������������������� �������������������/����� ������ ������ � �� �� �������� �� ���� �������� �� �������+

:�� �� � 7162*

�1�2� � �1�2F�1� ( 62

�1�2� � �1�2� (� �1�2� �1�� (62

,���� �

����� ���� �������������� ��� ��������� ���� ��� ��� �E� ������������� ��������������������������/���� ������������������/��� �� ������������� � ��� �� �� ���� ��� ���� ��� ��������������

"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 275

���

Page 289: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

276 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

7.5.10 Ill-conditioned Linear Systems

!�� �� ���� � ���� ������� ���� ��� �� ����������� �������� ��� ��� ������ ���������� ��� ����������������������������������������������� ������ ������� ���� ��������� "���� �������� ��� � ��� ��� �� ���+����������,�A�� ���� ������ ���� ��� ���� �������������� �� ����� ��� ���� �������� ��� ��� �� �� ����� ���������� ��� %���+����������,

!&������������� � �� ��� �� �� ��������� ����� = � =�� ��� ���� ��������� � ��� ��� �� �� /��� �� ������ �1�2� �������� �

�1�2� � == � ==� == ��� ==� 1#�$72

������ == � ==� ��� ��� � ����� ������ ������ � ������� ��� ��� ��������� ��� ������,� !�� ���� ����������� � ��� ���� ��������� ������ ��� ���� � ����&- ������������� ������� ����� ��� �� �� ���� � ����� ��� �&������������� .� ���� ���- JK���L� ��

1/22 2 21 2i i i ins a a a⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦� 1#�$82

!�� ��� ������

1 2

| |,

n

Ak

s s s=

� 1#�$<2

����� ���� ������� ��� �&������������ ��� !� ��� ����� �� � ���� ���� ��� ������A���������� ��� ��� ��&������������

������� �� /��� ������

2 2

2 1.01 2.01

x y

x y

+ = ⎫⎪⎬

+ = ⎪⎭1�2

� �� ���� ��������� � 4�$ �� '� � 6�

B��� ���� ������

2 2

2.01 2.05

x y

x y

+ = ⎫⎪⎬

+ = ⎪⎭1��2

� �� ���� �������� �� � $� ��� '� � (0�

.���

== � ==�� � 8�6)$ �� == ��� ==�� � 6$0�7#8

/���������� ���������� ������ �1�2� � == � == == ��� ==� � $44�?#<�9����� ���� ������� ��� �&������������.��

= � =� � 4�47

��� � 5 � ��� ��� � 7�7<

Page 290: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

"��

!� � <�<)0� �� 64��

9����� ���� ������� ��� �&������������

������� ��� -��1 1 1

2 3 41 1 1

5 6 71 1 1

8 9 10

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

������ ��� � ���.����/�� ����,

,���

= � =� � 4�44447?#�� ������ ��� �� � ���� ���� ��� 6�

9����� �� ��� �&������������

������� ��� -��

25 24 10

66 78 37

92 –73 –80

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

,���

= � =� � 6�4�

.���

��� � 8)�4)?<� ��� � 640�))?7 �� ��� � 6<7�6476�

/���������

!� � 6�#?$<� �� 64���

������ ������ �� �� �� ��� �&������������

7.5.11 Method for Ill-conditioned Systems

!�� ����� �� ���� ���� ��� ��� �� ������� ��� �������� � �� �� ��������� ������ �� ���� ����� ����������� /���� ��� ��������� ����� -��� ���� ������� �

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 2 2

31 1 32 2 33 3 3

� � � ���

� � � ��

� � � ��

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

1#�$$2

"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 277

Page 291: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

278 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

-��� (1)1 ,x (1)

2x � �� (1)3x �� �� ������� ������������"������������������ ���

��� ���� ���� ��������;��� 1#�$$2�������������� �������������� �������-��� �����

����� ������ (1)1 ,b (1)

2b ��� (1)3b ��/����������������� ��� ������ ����������

(1) (1) (1) (1)11 12 131 2 3 1

(1) (1) (1) (1)21 22 231 2 3 2

(1) (1) (1) (1)31 32 331 2 3 3

�� � ���

� � � ���� � ��

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

1#�$)2

"��� ������ � ��� ��� ����� ������ ��� ;��� 1#�$)2� ����� ���� ���������������� ����� ������ ��� ;��� 1#�$$2�� ��� �� ��

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

a e a e a e d

a e a e a e d

a e a e a e d

+ + = ⎫⎪⎪+ + = ⎬⎪

+ + = ⎪⎭

1#�$#2

��������� ����(�(1)ix � ������ ����(�

(1)ib �������������� �����������1#�$#2� ���

���� ��� ��� ���� "����� ��� � ��� (�(1)ix �� ��� �� ��

(1) ,i iix x e= + 1#�$02

������ ��� � ������ ������� ����� ���� ���� /��� ���������� � �� �� ���� ���� ���������� ����� ���� ���� ���

������� �� "���� ���� ������

� 7�� �� '� � 7

7�� �� 6�46'� � 7�46

-��� �� ������� ��� �������� ��� ���� ������ ������� �� ������ �

����� � 6 �� '���� � 6�

"����������� ������ � ���� ��� ���� ������ �������� ��� �� ��

(1) (1)

(1) (1)

2 3

and 2 1.01 3.01

�� � ���� � �

x y

x y1�2

"��� ������ � ��� ��� ����� ��� 1�2� ����� ���� �������������� ��� ����� ��� ��������� �������� ��� ���

71�� (� ����2� �� 1'� (� '���2 � (6 ��

71�� (� ����2� �� 6�461'� (� '���2 � (6�

"������ ���� ���� ������� ��� ��� ������� ��� �� ��

(1) (1)1and 0.

2x x y y− = − − =

Page 292: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

9����1

and 1,2

x y= =

������ ��� ���� �� ��� �������� ��� ���� ������ �������

7.6 SOLUTION OF LINEAR SYSTEMS—ITERATIVE METHODS

���� ������� �������������������������������������������������������� �������� ����� ������ ������� ���������� ��������������������������������� ���� �� ��������������� ������� �� ���E�������� �� ���������� ���������������� ���� �� ��� ���������������������� �� ��� ����� �������������� ��� ���������������� �������������������������� ������������������� ������� �����G����'���������������������� ����������������������������'������������/���� �� ��� �� �� ��� � ������� ������� ���� ������ ��� ������ ����� ��� ����������� ��� �� ���� ����� ������� ���� ������ ��� ������ ����� �������� ��� ��� ���� ��� ���������

!������� ������������������� ���������������������������������� ���� ��������� ��� ��� ���� � ��� ��� � ������� ����� � ���� ������ ��� 3���� ���������������� �� �� ����������������� ������������������������������������������

-��� ���� ������� �� ������ �

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n

n n n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

+ + + + = ⎫⎪+ + + + = ⎪⎪+ + + + = ⎬⎪⎪

+ + + + = ⎪⎭

���

��

1#�$?2

��������������� ��� ������������ �������� ������!�� ����������������� ������������ ��� ������ ������ �� �� �� ����� ��� �� �� ����� ���������� ��� � ���������,������ �������� ���� ������� 1#�$?2� �

13 11 121 2 3

11 11 11 11

23 22 212 1 2

22 22 22 22

3 31 32 33 1 2

33 33 33 33

, 11 21 2 1.

nn

nn

nn

n nn n nn n

nn nn nn nn

a ab ax x x x

a a a a

a ab ax x x x

a a a a

b a a ax x x x

a a a a

ab a ax x x x

a a a a−

⎫= − − − − ⎪⎪⎪⎪= − − − −⎪⎪⎪⎬

= − − − − ⎪⎪⎪⎪⎪

= − − − − ⎪⎪⎭

1#�)42

"�� ���#�)+ "����������-��� ��"������G!��� ������������ 279

Page 293: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

280 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

"������ (1) (1) (1)1 2, , , nx x x� ��� ��� ������ ������� ������ ��� ���� ��E�����

1 2, , , nx x x� ��"��������������������������������;���1#�)42���������� ���������� ������� ������� �����

(2) (1) (1)11 121 2

11 11 11

(2) (1) (1)22 212 1

22 22 22

(2) (1) (1)3 31 33 1

33 33 33

, 1(1) (1)(2) 11 1

,

,

,

.

nn

nn

nn

n nn nn n

nn nn nn

ab ax x x

a a a

ab ax x x

a a a

b a ax x x

a a a

ab ax x x

a a a−

⎫= − − − ⎪⎪⎪⎪= − − −⎪⎪⎪⎬

= − − − ⎪⎪⎪⎪⎪

= − − − ⎪⎪⎭

1#�)62

"��� ���� �� ( ) ( ) ( )1 2, , ,n n n

nx x x… ��� � ������� ��� ���� ������� ������� ����� ���

����� ������� ����� ��� ������ �� ���� �����

( 1) ( ) ( )11 121 2

11 11 11

( 1) ( ) ( )22 212 1

22 22 22

, 1( ) ( )( 1) 11 1

,

,

.

n n nnn

n n nnn

n nn nn n nn n

nn nn nn

ab ax x x

a a a

ab ax x x

a a a

ab ax x x

a a a

+

+

−+−

⎫= − − − ⎪⎪⎪⎪= − − − ⎪⎬⎪⎪⎪

= − − − ⎪⎪⎭

1#�)72

!�� ��� ������ ;��� 1#�)42� ��� ���� � ����� ����

X BX C� � 1#�)82

����� ���� ���� ����� ����� � 1#�)72� � �� �� �������� �

( 1) ( ) .�� �

n nX BX C 1#�)<2

/���� ������� ��� ���� ��� ' ���� ��� ��� � ��� ���� ������ ��� �������������������������!��� ������������ �� �������������������������������������������� ����� ������� ��� �� �

|| || 1.�B 1#�)$2

.�������������� ������������������������������������� ���������������� ��� ��� ��������� ���+

!�� ���� ������ ��� ��������;��� 1#�)42����� ���������� ���� ������ ������� ����(1) (1) (1) (1)1 2 3( , , , , )nx x x x… ��������������&� �������� �������������������� � (2)

1 .x!�� ���� ������� ��� ������ ��� ��������� (2) (1) (1) (1)

1 2 3( , , , , )nx x x x… ��� ������

Page 294: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� ������ � (2)2 .x !�� ���� ������� ��� ��������� (2) (2) (1) (1)

1 2 3( , , , , )nx x x x… ��

� ����������� � (2)3 .x !�������� ����������������������������� ���������� ����

����������������������������� ������������ ������� 1 2, , , nx x x� ����� ������� ���� ���� ��� ���������� !�� ��� �� ��� ����������� �� �� ����� ������� ����� �������������������� ������� ����� ��� � � �� ������ ���� ����������������������� �� �������������� ��� ����0����1"������ �������

/��� ' ���� ��� % ���("����� �������� ���������� ���� ��� ������� ��� ��������� ������� ���� (1) ( 1, 2, , ),jx j n= … ������������ �������������������1#�)42� �������� ���������������� �� ����������� ���� ������� ������� �������������������F���� ��� ����� ��� � ���� ��� ��� �� � ��� ���� ��� ����� ���� �� �� ������� ������������� �� �

1,

1,n

ij

iij j i

a

a= ≠≤∑ ( 1, 2, , ),� �i n 1#�))2

������ ���� CND� ����� ������ �� � ��� ��� ���� � ��� ��� C � � ��D� ���� ��� ����� !�� �� �� ������ �� �� ����0����1"������������ ��� � ��� %���� ��� ���� ��� ��2������ ������� /��� ���E���� ��� ���� �������� ��� ����� ���� ��� ���� ��������� ����+

������� ��� ��� ��������� ���� ��� �����+

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

10 2 3

2 10 15

10 2 27

2 10 9.

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

− − − =− + − − =− − + − =− − − + = −

/�� ����� ������ ��� ������ �� ���� ���� ����� ��������� ��� ��&������ ����� ������+

1 2 3 4

2 1 3 4

0.3 0.2 0.1 0.1

1.5 0.2 0.1 0.1

x x x x

x x x x

= + + +

= + + +

3 1 2 4

4 1 2 3

2.7 0.1 0.1 0.2

0.9 0.1 0.1 0.2 .

x x x x

x x x x

= + + +

= − + + +!�� � �� �� ��������� �� �� ������ ��� ������ � ������ ���� ���������� ������ ��;��J1#�))2� /��� ������� ��� ������ ��� / ��� #�6� ��� #�7+

Table 7.1 Gauss–Seidel Method

n x1 x2 x3 x4

1 0.3 1.56 2.886 –0.1368

2 0.8869 1.9523 2.9566 –0.0248

3 0.9836 1.9899 2.9924 –0.0042

4 0.9968 1.9982 2.9987 –0.0008

5 0.9994 1.9997 2.9998 –0.0001

6 0.9999 1.9999 3.0 0.0

7 1.0 2.0 3.0 0.0

"�� ���#�)+ "����������-��� ��"������G!��� ������������ 281

Page 295: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

282 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

Table 7.2 Jacobi’s Method

n x1 x2 x3 x4

1 0.3 1.5 2.7 –0.9

2 0.78 1.74 2.7 –0.18

3 0.9 1.908 2.916 –0.108

4 0.9624 1.9608 2.9592 –0.036

5 0.9845 1.9848 2.9851 –0.0158

6 0.9939 1.9938 2.9938 –0.006

7 0.9975 1.9975 2.9976 –0.0025

8 0.9990 1.9990 2.9990 –0.0010

9 0.9996 1.9996 2.9996 –0.0004

10 0.9998 1.9998 2.9998 –0.0002

11 0.9999 1.9999 2.9999 –0.0001

12 1.0 2.0 3.0 0.0

����� / ��� #�6� ��� #�7�� ��� ��� �� �� �� �� ������ ���� ������ ��� ��������� �' ���D������������ ������������ ��� ���� ��� ��������% ���("��������� ������

������� ��� "���� ���� ������

)�� �� '� �� � � 74�� �� <'� (� � � )�� (� '� �� $� � #

������ ���� ' ���� ��� % ���("����� ��������

1 2 2�����/���������� �������� ���� ������ ������� �

20 1 13.3333 0.1667 0.1667

6 6 6

1.5 0.25 0.25

1.4 0.2 0.2

� � � � � �

� � �

� � �

x y z y z

y x z

z x y

!�� � ����� ������ ���� ���� ������� � �� �� �������� �

�� �3� �� �������

3.3333 0 0.1667 0.1667

1.5 , 0.25 0 0.25 and .

1.4 0.2 0.2 0

� �� � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � �� � � � � ��� � � � � �

x

C B X y

z

.�������

03.3333

1.5 ,

1.4

� �� �� � �� �� �

X ��� �� ��

Page 296: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

(1)

3.3333 0 0.1667 0.1667 3.3333 2.8499

1.5 –0.25 0 0.25 1.5 1.0167

1.4 0.2 0.2 0 1.4 1.0333

� �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � �� � � � � � � �� � � � � � � ��� � � �

X

(2)

3.3333 0 0.1667 0.1667 2.8499 2.9647

1.5 –0.25 0 0.25 1.0167 1.0458

1.4 0.2 0.2 0 1.0333 1.0656

� �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � �� � � � � � � �� � � � � � � ��� � � �

X

O���������� ��� ����� � ��� ��� �� ��

(8) (9)

2.9991 2.9995

1.0012 and 1.0005 .

1.0010 1.0004

X X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

���� ����������� �������� �� �

3

1 i.e., 3, 1 and 1.

1

� �� �� �� � � �� �� �� �

X x y z

12 0����1"�����������.�� ������� ��� �� ��� ���� ������ ������� ����� �

(1)

2.8499

1.0167

1.0333

X

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

/�������� � 8�8888� (� 4�6))#� �� 6�46)#� (� 4�6))#� �� 6�4888� � 7�??6)'���� � 6�$� (� 4�7$� �� 7�??6)� �� 4�7$� �� 6�4888� � 6�464<����� � 6�<� (� 4�7� �� 7�??6)� �� 4�7� �� 6�464<� � 6�4480

"��� ���� ��� ����

����� � 7�??#$�� � '���� � 6�446)�� � ����� � 6�4440�

����� � 7�???$�� � '���� � 6�4448�� � ����� � 6�4447�

����� � 7�???0�� � '���� � 6�4446�� � ����� � 6�4446�

.�� ����� �� ���� ��� � �� �������� �� �

�� � 8�� � '� � 6�� � �� � 6�

"�� ���#�)+ "����������-��� ��"������G!��� ������������ 283

Page 297: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

284 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

7.7 MATRIX EIGENVALUE PROBLEM

-����� �� � ��� ��� � ����� ��� ������ �� ����� �������� �������� ����� ��� ����� ������ ������� �� ��� � ����� ��� �� ����� �� �

��� � �� 1#�)#2!�� ;��� 1#�)#2�� � ��� � ��� ���� �� �� ����� ����� ��� � ��� ���� ��������������� �� ����

/��� � ����� ;�� 1#�)#2�� ����� �������� ���� ��� ���� ����������� � ���� ����������������� ����� �����+

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

( ) 0

( ) 0

( ) 0.

n n

n n

n n nn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

− + + …+ = ⎫⎪⎪+ − + …+ = ⎬⎪⎪+ + …+ − = ⎭

�1#�)02

.��������� � �������� ������� ��������� ���� ������������ �������� ��� ��� 1#�)02� �������� 9������ ��� � ��

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

0.

n

n

n n n nn

a a a a

a a a a

a a a a

− …− …

=

… −� � � �

λλ

λ

1#�)?2

/������� ������� ���������������������������������� ����������� �������� ��� ����� ��� ������� �� ��� �� ���� ������� � ����� � ��� ���� ����������+���'������� ������ !�� ���� ������ ��� ;��� 1#�)?2� �� ������ ����1�� � 6�� 7��P�� �2������ ���� � ��� � ��� ��� ��� ������ ������� � �������������� ��� ����� �� �

.i i iAX X�= 1#�#42

/��������� ������ � ������������������ 1���� ����������2������������/���� � ����� ��� ������������� ��� ���� � ��� ��� ���� ���� ���� ������ ��� � �������������������� ������������ ���������������/���������� ������� ������� ��� �� ������� ���� ������������������� ������� ��������� = �� 4� ���� ������ ������� ������ ��� ��

/��� ������ ���� ��� �� ����� �� ������� ���� ��� ��� ;��� 1#�)?2�� /����������������� ��� �������� ���� ��� ;� ���� #�6$�� ��� ������ �� ����� ���������������������� ������������������������ ���������������������� ���������� � ����� ��� ����� ��������� ��� � � �� ��� � ��������������� E����� �9���������D�� �������� ��� ��������� ��� � ���������� ��������

!�� ����� �� ���� � ���� ������� ���� ���� ������� �� ������ ������ �� ��� ���� �������������� ������������ ��� ���������� ��� ��� ;� ���� #�6)�� ����� �������� �� ���� ����� ������� ��� �������� ���� ������ ������ ���� /�������������� ������ ���� ����� ��� �����&������������ ������������ ������

Page 298: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������� ��� ����� ���� ������ ���� ��� ������������� ��� ���� � ����+

5 0 1

0 2 0 .

1 0 5

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

/��� �� � ���������� ��� ����� ��� ����� � ����� ��� ������ �

5 0 1

0 2 0 0.

1 0 5

−− − =

������ ��������� � (7� ��� �<� �� ��� �)� /��� �������������� ������������ ���� ����� ����

1�2 ��� � (7�� -��� ���� ������������ �

1

1 2

3

.

x

X x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

/���� ��� � ��+

1 1

2 2

3 3

2 ,

x x

A x x

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

������ ������ ���� ��� �����

1 37 0x x+ = �� 1 37 0x x+ =

/��� �������� ��� ��� � ��� � 4������ ��� ���� ���� !�� � ����� ��� ��� � E�� ��� � 6 ��� ���� ������������ ��

1

0

1 .

0

X

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1��2 ��� � <������

1

2 2

3

x

X x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�� ���� ������������� ���� ��� ������ ��

��� �� ��� � 4 �� ()��� � 4������ ������ ��� �� ��

��� � 1�� �� ��� � 4�

"�� ���#�#+ � �����;����� ���O���� 285

Page 299: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

286 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

���������� ���� ����� ��� 1 1/ 2x = �� 3 1/ 2x = − ����� �� 2 2 21 2 3 1.x x x+ + =

/�� ���������������������������� ������ ������������������������������ � ��

2

1/ 2

0 .

1/ 2

� �� �

� � �� ��� �

X

1���2 ��� � )� !�

1

3 2

3

x

X x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��� ���� ��������� ������������� ����� ���� ��� ������ ��

1 3

2

1 3

0

8 0

0,

x x

x

x x

− + =

− =

− =

������ ����� �� ��� ��� �� 4�

*�������� 1 3 1/ 2,x x= = ���� ���� �3��� ������������ ��� ������ �

3

1/ 2

0 .

1/ 2

X

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

������� ��� :��������� ���� ������ ������ ��� ��� ���� ������������������������� ��� ���� � ����

1 6 1

1 2 0 .

0 0 3

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

-��� ���� ����� � �������������

(0)1

0 ,

0

X

⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

� � ��

/���� ��� � ��

(0) (1)1 6 1 1 1

1 2 0 0 1 ,

0 0 3 0 0

AX X

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

� �

Page 300: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

9����� �� ������� ��������� ������6� ��� �� ������� ������������������� ����9����� ��� � ��

(1)1 6 1 1 7 2.3

1 2 0 1 3 3 1

0 0 3 0 0 0

AX

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

����� ������ ��� ���� �� �

(2)2.3

1

0

� �� �� � �� �� �

X

��� �� �� �� ������� ��� ������ ��� ��� 8�H��� ����� ���� ���� ����������� ��� ������������ �� ��

2.1 2.2 2 2 2

4 1.1 ; 4 1.1 ; 4.4 1 ; 4 1 ; 4 1 .

0 0 0 0 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

!���������� ������ ������������ ������<� �������������������������������� ��

2

1 .

0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

7.7.1 Eigenvalues of a Symmetric Tridiagonal Matrix

"���������������� �������� ������������������������� ����� ��� �� ����������� �������� ����� ��� ������ ���� ��� � ���������� ����� ��� � � ����� ��� ��� ����� �� ���������� -��

11 12

1 12 22 23

23 33

0

.

0

a a

A a a a

a a

⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1#�#62

/�� �� ��� ���� ������ ���� ��� ���� ��� ����� ���� �������� ��� ��� ����

11 12

1 12 22 23

23 33

0

| | 0.

0

a a

A a a a

a a

= − =

"������� �� �� ���� ���� ��� ����� ��� �������� ��� ���� ����

3 ( ) 0.� � = 1#�#72

"�� ���#�#+ � �����;����� ���O���� 287

Page 301: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

288 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

;�� ������ ���� �������� ��� ��� ������ ��� ���� ������ ����� ��� �� ��

1111 123 33 23

12 2312 22

33 2 23 11 232

33 2 123

0( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0.

aa aa a

a aa a

a a a a

a a

��� � �

� � � �

� � � � �

−−= − −

−= − − −

= − −

= 1#�#82

���� ������ �� ��� ���� ���������� �����

0

1 11

11 0

( ) 1

( )

( ) ( )

a

a

� �

� � �

� � �

=

= −

= −

(7.74)

(7.75)

11 122

12 22

211 22 12

21 22 012

23 2 33 123

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ).

a a

a a

a a a

a a

a a

�� �

� �

� � � � �

� � � � � � �

−=

= − − −

= − −

= − −

(7.76)

(7.77)

!�� ����� �� ��

11 12

12 22 23

1,

0 0

0( ) ,

0

0

k

k k kk

a a

a a a

a a−

− …− …

=… … … …… … −

λλ

φ λ

λ

(2 ),k n� � 1#�#02

����� ���� ���������� ����� � ��

21 1, 2( ) ( ) ( ) ( ),k kk k k k ka a� � � � � � �− − −= − − (2 ).k n≤ ≤ 1#�#?2

/��� ��� ���� ��1�2� � 4� ��� ���� �� � ���������� ��� ����� ��� � �� �� ������ �������� ������������������������*� �����7����������� ������������������� ��������� �� ������� ��� ��� ����� �E�� ��� ��� �E� �� �� ���� ��������{ ( ), 0 }k k n� � ≤ ≤ � ������� ������������������� E����� �"������������ ����������������������������� ����� ������������� ������ 1.A A�������������� ���� ���������� ���������������������������*� �����7�� ��� ��������� �� ������������� ������/�������������"����������������� ������������������������ ���� ����������� �� ���� � �� ������ ��� 9������� K6?#<L� ��� ��� ��������� ��������� ���� ��� ���� ����� ��� � � ����� ��� E����� ���� ������������� � �� �� �� ���� �� ���� ����� � ������� ��� ������� � ������������ �������

Page 302: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� ����� �������� 9���������D�� ������� ���� ��������� � �� � ���������� ����� ��� � ����� ��� � �����

7.7.2 Householder’s Method

/���������� ������������������������� � ������������ �� � ����������� �������������

11 12 13

12 22 23

13 23 33

a a a

A a a a

a a a

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1#�042

/���������� ��������� ��� �������� � ���� �'������ ��� ������ �����5� ������ ��5�5� ��� � ���������� ����� ��� � � ������ ����

11 12

12 22 23

23 33

0

0

�� �� �� � � �� �� �� �� �

a a

PAP a a a

a a

1#�062

�������������������������� ��������������� ����� ������9�������������������� �� 5� ����� �� ��� ���� ����

5� � �� (� 766�� 1#�072

�����

6� � K4�� ��� �L� ��� 6�6� � � 1#�082

/��� � ����� ��� ����� ��� 1#�082� �� ��� �� �2 22 3 1.v v+ = 1#�0<2

!�� ������ �� �

22 2 3

22 3 3

1 0 0

0 1 2 2

0 –2 1 2

P v v v

v v v

⎡ ⎤⎢ ⎥

= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

1#�0$2

!�� � �� �� ��������� �� ��5� ��� � ���������� �������� � � ����� �� ���������� B�������� ������� ������� ��� �����5�5� ��� ��� ����� ��� ��� ;��� 1#�062� ��� ���������� ���� ���������� �� ��

2 122 2 2

12 13

11

2

� �� ��� ��� �

�a

va a

1#�0)2

��

133 2 2

2 12 132

av

v a a=

+� 1#�0#2

"�� ���#�#+ � �����;����� ���O���� 289

Page 303: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

290 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

!�� ;��� 1#�0)2�� ��� ���� ����� ������� ��� ���� � ��� �� �� �� ��� ����� ����� �� ����� ��� � ������ ��� ��� ��� ������������������;���1#�0#2��"�����E�����K6?)4L�

������� �� H������ ���� � ����

1 3 4

3 2 1

4 1 1

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

��� ���� ����� ��� � �����

9���

2 212 13 5.a aS += =

����� ;��� 1#�0)2�� ��� �� ��

22

1 31 ,

2 5v

⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠������ ���� ��� ���������

��� ��

22

.5

v =

;�� ����� 1#�0#2� ���� �����

34 1

.2(2/ 5 ) (5) 5

v = =

/����T

2 10

5 5V

⎡ ⎤= ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ��

T1

1 0 0

2 0 3/5 4 5 ./

0 4/5 3/5

P I VV

⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

9����� ��� � ��

1 1 1

1 0 0 1 3 4 1 0 0

0 3/5 4/5 3 2 1 0 3/5 4/5

0 4/5 3/5 4 1 1 0 4/5 3/5

1 5 0

5 2/5 1/5 , on simplification .

0 1/5 13/5

A P AP

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 304: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

7.7.3 QR Method

/�������������������������� ������������������� ���������������������� ������� � ���� ������ ���� ��� � ����� � �������������� ������A����� ��� ���� ��'�%���� �� ������ ����������� ��� ������ ������ ���� ���� ����������� ���� � ����������� ����� ��� ������ ����

-������ ���������������� ������"��������� ��������� �����3����������������

��� �7�8� 1#�002

������7�� ��� �� �������� � � ����� ��� 8�� ��� �� ������ ��� ��� �� � �����

/���������

7������ � 8� 1#�0?2

/��� ������� � �� ����� ��� ����� ������� ��� ��� ����� �������� � � ������5�5��P5���� ����� �� �

5���5���� P� 5�5���� � 8� 1#�?42

/��� � �������5� ��� ��� ���� ����� �� (� 766�� ����� �� ��5���� ��� ���� ��� 3�������������� ��� ���������������������5��5����������� ���3������������������������ ���� ���� �� ��� �� ��� ��� ���� !�� ��� � ���� ���� ����� ���������� ����� ��� ������ ��� ���� ����� ���� ��� � ������ ��� �� 8��� ������ ��� �� �������� ��� �� � ������ /��� ��������� Q��R� ���������� ������� ��� � ��� ��� �� � ���������� ��� ����� ��� ��� ������!���������� �������������� ����� ������������� ����

7.8 SINGULAR VALUE DECOMPOSITION

��� � ��� ��� � �� ����������� ��� ��� � ������� ���� ��� ��� "������� #�$�)� ���� ����������������������������� ���� ���� �������������� ��� ��� ������� � ���� �� �������������� ��� ������� ��� ����� ��� � ��� ���� ��� ���� ����������������� 1">:2�� /���� �������������� ��� ��� ��� �� ������ ���� ���� ����������� ������ ��� ��� ������ ��� �������� ���� �������� ��� � ����� �� � ������ � ������ ���������� �� ���,

-������� ��1�����2�� �����������������/�������E������ ������� ���������� ��� ���� ��� ���� ���&��� ����� ��� ����������� /����� ������ ���� �� ���������� ��-������������� ���������������������P������������������������������� �3��� ���������������������P������ -��� ������ ������������� �� ���������� ��� ���� � ����� 6�

/���������

������ � ���� 1#�?62

"��� ���� ���(�� ���� ��������� �3��� ������������� �������� ��� �� �� ��� � ��

���(�� � ��(� 1#�?72

"�� ���#�0+ "���� ��> ���:������������ 291

Page 305: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

292 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

/������� ��� (�� ��� �� ���� �������� ���� ��� ����

1

�� �n n

nY AX 1#�?82

�� � �� �� ����������� ����� ���� ����

�� ��96�� 1#�?<2�������� ��� ���� � ����� ������ ������� ��� ���� ������������� (��

9� � �� �� ( )1 2, , , ,n� � �… 1#�?$2

��

���� � 6�6� � 66�� � �� 1#�?)2

/��� �������������� �������� �� ;��� 1#�?<2� ��� � ��� ���� ��� ���� ����������������� 1">:2� ��� ���� � ����� ��

������� ��� A� ��� ���� ����� �&� ��� �������������� ��

1 2

1 1 .

1 3

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

���� ��

T 1 1 1

2 1 3A

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

�� T 3 6

6 14A A

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

/��������� ������ ��� ���������� 1 16.64� = � �� 2 0.36.� = ��������������&

�������� �������������� ��� � ��

1 1

2 2

3 616.64 ,

6 14

x x

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

������ ������ ���� ������+

1 2 1

1 2 2

3 6 16.64

6 14 16.64 .

x x x

x x x

+ =

+ =/��� �������� ��� ������ �

10.4033

.0.9166

� �� � �

� �x

.� ������� � ��

1 1

2 2

3 60.36 ,

6 14

x x

x x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Page 306: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������ ������ ���� ������

1 2 1

1 2 2

3 6 0.36

6 14 0.36 .

x x x

x x x

+ =

+ =/��� �������� ��

20.9166

0.4033

� �� � ��� �

x

��� ��� � �� 1 4.080� = �� 2 0.60.� =/��� ������������� ������� � �� ����� �� �� ����� ����� ;��� 1#�?82�� /����

��� ������ �

0.5480

0.3235

0.7727

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��0.1833

0.8555 .

0.4889

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

/��� ����� �&� ��� �������������� ����� ��� ����� ������ �

1 2 0.5480 0.18334.080 0 0.4033 0.9166

1 1 0.3235 0.8555 .0 0.60 0.9166 0.4033

1 3 0.7727 0.4889

A

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

EXERCISES

���� ;������� ���� �������� �������� ��� ��� ������ ��� ���� � ����� ����+

1 2 8���� 7'� �� <�� � #7�� �� '��� �� � #���� 8'� �� $�� � 7

12 7�� (� �� (� 7�� � (0'� �� 7�� (� �� � (6�� (� '� (� �� � ()(�� �� 8'� (� 7�� � #

��� ������ �� ��������������������������������� ��3���������� ���3� ��� ������� ��� ��3��� 1�� �� �2� ��� 1�� �� 2�� ������������

!��

2 5 –2

–1 0 0

2 3 4

� �� �� � �� �� �

B � ���

3 5

1 0 ,

2 0

C

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

� ������� ��3�

��� "���� �� �� ���� �������� ��� ���� ������ ��� ��� �� � ������� ��� ��� ������� ��� ��� �� � �����

;�� �� 293

Page 307: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

294 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

!��

1 2 3

0 1 2

0 0 4

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

���

–1 0 2

0 1 –1 ,

0 0 3

B

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

� ����� ���

��� ;�� ��� ���� �E� ������������ �������� ���� ���� �������� ��� ���� ������

11 12 1 1 1

22 2 2 20

0 0 0

� � � � � �� � � � � �� � � � � ��� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �

��

� � �

n

n

nn n n

a a a x b

a a x b

a x b

��� ����� �� �������� ��� ��������� ���� "���� ���� �������� ������

1 2 3

2 3

3

2 – 3 –1

–3 – – 9

5 15

x x x

x x

x

+ ===

��� ����� ���� �������� ��� ���� � ����

2 3 1

0 1.5 2.5

0 0 18

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�� ����� ���� �������� ��� ���� � ����

2 0 0

2 1 0

3 2 2

L

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��� � �����3�� ���� � ����

4 3 –1

1 1 1

3 5 3

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

����� ���� �������� ��� ������ �� ��� ����� ����� ��� ��� �� ��� �� �������� ��� ��

�� 3��/��9����������� !�� �� ������� ��� ����������� ����� ���� ���������� � ����� ��� ��� �� � ����� ��� � ����� ������ ��� ��� �� � ������ ��� ��� ���3��/��������������,:��������� ���� � �����

1 1 1

4 3 –1

3 5 3

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�� *����D�� �������

Page 308: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� :������ ����� ��� � � �����!�

1 3 5

1 4 3

1 3 2

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

����� == � ==��� == � ==�� ��� == � ==��

���� I���% ���� ����� ���������� � ��� � ��������� ��� ����� ���� ������

7��� �� ��� (� �� � (6

��� (� 7��� �� 8�� � ?

8��� (� ��� �� $�� � 6<

*���E� ����� ������ �� ������������ ����� ���� ������ � ��� ������

���� ;�� ���% ��������� ������������������ ��� ������������������ ���������� ��� �� ��� ��� ��� ������ ��� ���� ��� ��� ����� ���� ������

6�7��� �� 7�6��� (� 6�6�� � 6�0##)

(6�6��� �� 7�4��� �� 8�6�� � (4�66$?

(7�6��� (� 7�7��� �� 8�#�� � (<�7007�

���� I��� % ���('��� �� ������� ��� ����� ���� ������

<��� �� 8��� (� �� � )

8��� �� $��� �� 8�� � <

��� �� ��� �� �� � 6�

���� I���% ���� ����� ����� ��� ����� ���� �������� ��� ����� ����

1 –1 1

1 –2 4

1 2 2

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

���� "���� ���� ������� ��� ��� �����

64�� �� '��� � � 67

7�� �� 64'� �� � � 68

�� �� '� �� 8� � $

�� ���� % ���� ����� ����� ��� % ���&'��� �� ��������

���� :��������� ���� � ����

5 –2 1

7 1 –5

3 7 4

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

;�� �� 295

Page 309: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

296 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

����� ���� ����� ��� ������ �� ��� ����� ����� ��� ��� �� ��� �� ������� ��� ��� �� � ������ 9����� ����� ���� ������� ��� � �� ������� � K< 0 64L��

��� ���� ���� � ����� ��� O����� #�6$�� ����� ��������� ��� ����

���� :������ �� �������� ��� ������� � ������ ������� ��� ��� ������ ��� �������� ��� �� ������ /���� ����� �������� ��� ���� ������+

<�� �� 8'� �� 7� � 6)

7�� �� 8'� �� <� � 74

�� �� 7'� �� � � 0���� :��������� ���� � ����

4 3 2

2 3 4

1 2 1

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

����� ���� ��������� �������� ��� � ����� ��� ��� ��� ����� ����� ��� ���������� ��� ��� ��

���� "���� ���� �������� ������� ��% ���� ����� ����+

7��� �� 8��� (� ��� �� 7�� � #

��� �� ��� �� ��� �� �� � 7

��� �� ��� �� 8��� (� 7�� � ()

��� �� 7��� �� ��� (� �� � (7

���� .�� ������� ��� �������� ��� ���� ������

64��� �� ��� �� �� � 67

��� �� 64��� �� �� � 67

���� ��� �� 64�� � 67

��� ������ �

(0) (0) (0)1 2 30.4, 0.6 and 0.8.x x x= = =

I��� ���� ���� ����� ������� ��� "������� #�$�66� ��� �������� ����� ��������

���� "���� ���� ������64�� �� 7'� �� � � ?

7�� �� 74'� (� 7� � (<<

(7�� �� 8'� �� 64� � 77

�� ' ���D�� �������

���� "���� ���� ������� ������ ��� O����� #�76� �� % ���("����� �������

Page 310: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� "� ��� ���� ���������� ��� ������������ ��� % ���&"����� !��� ����� �������.���� ����� �������� ����� ���� ���� ������� ��� ����� ���� ������� ��������

70�� �� <'� (� �� � 87

7�� �� 6#'� �� <�� � 8$

�� �� 8'� �� 64�� � 7<

���� 3�����!'/�� ����� .� � ����� �� ��� � ��� ��� �� � �'������� ����� ������ � ����� "��������� �������� ������ ���������� ��� ������������ ����������� ���� ���������� ��������� ���� ��� �������������� ��� ���������������� �� ������ �������� � ���� /���� �������� � ��� *����E�D��������� ��������� ���� ���� ��� �� ��� ��� ���� ��������� ������"���� ���������� ������ �

1

2

3

5 0 1 8

0 –2 0 –4

1 0 5 16

x

x

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

�� *����E�D�� �������

���� ;�� ����� ������� ������&���������������� �� ������%���������� ������� �&������������� �������

!�� ���� � ����

1 11

2 31 1 1

2 3 41 1 1

3 4 5

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�&�����������M

��� :�������������� �� ������-���� �������������� ������������������ �� ������� �� ��� ���������� ������ ��� � � �����M� ;�� ��� ���� ���� ��������������� ��� ������ ��� �������������������� �� ����� ��� �&������������

���� 3���+�'������ �'���� ;�� ��������� ���� ����

������ �� ������ �� ������ �� ������ � �� 1�2

������ �� ������ �� ������ �� ������ � �� 1��2

������ �� ������ �� ������ �� ������ � �� 1���2

������ �� ������ �� ������ �� ������ � �� 1��2

��� � ��� ������&���������� ��������� "���� �������� � �� �� ������ ���� �� ���� �������� �������� .������ 1�2� ��� 1��2�� ��� �� ��� �

;�� �� 297

Page 311: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

298 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

��� ����� ���� 1�������2� ��� 1�������2��"��� ���� ������ 1��2� ��� 1���2������ ��� ���������� ���������1�������2� ���1�������2��/������������ ���������� ���� � ���� ��� 1��� �� ��2� ��� 1��� �� ��2��.� ��� �� ���� �������� ������ ���� ��� ������ ��� 1�� ( ��2� ��� 1�� (���2��*����� ��������������� ������ ��� ��� ���� � ���� � ���

"���� ���� ������

��� �� ��� �� 8��� (� 7�� � ()

7��� �� 8��� (� ��� �� 7�� � #

7��� (� ��� �� 8��� �� 7�� � 8

(7��� �� 8��� �� ��� �� �� � (6

��� :��������� ���� ������ ���� ��� ���� �������������� ������������� ������� ��������� ������+

� �

1 0 0 5 0 12 2

(a) (b) 0 1 1 (c) 0 –2 02 1 0 1 1 1 0 5

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

���� I��� ���� ���� ������������ ��� ����� ���� �� ���� ������ ��� ��� ����� ����

1 6 1

1 2 0

0 0 3

� �� �� � �� �� �

A

���� :��������� ���� ������������ ��� ��� ������������������������������������� ����

1 3 –1

3 2 4

–1 4 10

� �� �� � �� �� �

B

���� I�����9���������D������������ ������������ ��� �������������� ����

1 3 4

3 1 2

4 2 1

� �� �� � �� �� �

A

���� %����� ����� ����

0 1 4

1 3 1

2 1 0

� �� �� � �� �� �

A

����� � ���������� �������� � � ����� 5� ����� �� �� ���� � ����� 5�� ������ ��� 3����� ���� ���� �� ��� � ��� ���� ������ ������

Page 312: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

Answers to Exercises

���

3 2 4 7

(a) 2 1 1 7

1 3 5 2

� � � � � �� � � � � ��� � � � � �� � � � � �� � � � � �

x

y

z

2 0 1 2 8

0 1 2 1 1(b)

1 1 0 1 6

1 3 0 2 7

? ? ?? ?

? ? ?? ?

� � � �� �� � � �� �� � � �� � �� � � �� �� � � �� �

� �� � � �� �� � � �

x

y

z

u

���7 10

–3 –5

17 10

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��� ��� � 6�� �� � 7�� ��� � 8

��� � � 1

1 7–3

2 185

0 2 –181

0 018

A−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�� 1

10 0

2–1 1 0

1 1–1

4 2

L−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

���

1 0 0 4 3 –1

1 1 51 0 , 0

4 4 43 0 0 –10

11 14

L U

⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

��1 0 0 1 1 1

4 –1 0 0 1 5

3 2 –10 0 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

��� == � ==�� � 64�� � � == � ==�� � 0�))47�� � � � == � ==�� � ?�

;�� �� 299

Page 313: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

300 *�����#+ ,������ �-��� ��.���

���� ��� � 6�� � � ��� � (6� ��� � 7�

���� ��� � (7�6$$#� ��� � 6�7#<)� ��� � (6�)7<)�

���� ��� � 6�4� ��� � 4�$� ��� � (4�$�

���� 11.2 –0.4 0.2

–0.2 –0.1 0.3

–0.4 0.3 0.1

A−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

���� �� � 6� '� � 6� �� � 6�

���� ��� � 6�66?8� ��� � 4�0)0$� ��� � 4�6<4#�

��� 1 11 0 0 0.2 –0.1053 –0.0507

–1.4 1 0 , 0 0.2632 0.0978

2.4211 –2.1579 1 0 0 0.0581

� �

� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �

L U

���� �� � 6� '� � 7� �� � 8�

���

3 14 0 0 1

4 23

2 0 , 0 1 225

1 –2 0 0 14

� � � �� � � �� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � �

L U

���� ��� � 7� ��� � (6� ��� � 4� ��� � 6�

���� ��� � ��� � ��� � 6�

���� $��� ���� ����� � ���� ��� 4�??0?�� (6�???8�� 7�??0<�

���� <��� ���� ����� � ���� ��� 4�???6�� (6�???0�� 7�???0�

���� )��� ���� ����� � ���� ��� 4�??8)� 6�$4#4� 6�0<0$�

���� ��� � 8� ��� � 7� ��� � 6�

���� �&�����������

���� ��� � 6� ��� � 4� ��� � (6� ��� � 7�

���1 2

(a) = 0, ; 3,– 2 1

� � � ��� � � �

� � � �� �

0 01

(b) 0, 1/ 2 ; 1, 0 ; 2, 1/ 2

0–1/ 2 1/ 2

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

λ λ λ

Page 314: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

0 1/ 2 1/ 2

(c) – 2, 1 ; 4, 0 ; 6, 0

0 –1/ 2 1/ 2

� � � �� �� � � �� �� � �� � � �� �� � � �� �� � � � � �

� � �

���� �� � (6�1

0.33

0

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

���� �� � 64�)�0.02

0.46

1.0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

���� 1

1 –5 0

–5 2.92 0.56

0 0.56 –0.92

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

����0 1 4

0 2 0.8

0 –1 –0.4

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�;�� �� 301

Page 315: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

8.1 INTRODUCTION

����� ���� �� ��� �������� ���� ������������ ���� �� �������� �� ���� ���� �������������������������������������������������������������������������������� ������ �� �������� ����� ������ ���� ������� ��� ���� ��� �� �� �� ������� ����� �������� �� ����� ���� �� ��������� ������ �� ������������� ���������� ���������������������������������� ����� ��������������� ����������� �������� ���������� ���������� �������� ������ ���� ���� ������� ������ ��������� ����� ������������� ���������

�� �������� ������� �� ������� ������ ��� ���� ������� �� ������������������������������������������������������������������������������������

( , )dy

f x ydx

= ��� �!

����� ���� ����������������

0 0( )y x y= ��� !

����������������������������������������������������� ���� ��������������������������������������������������������������� ��������������������������������� ������ ���� ������� ��� ��� �� ���� ��� �� �"

��! #� ������� ��� �� ��� ��� �� �� ������ �� ��� �� ������� ���� ������ �� ����� �� ������� �� ������� �����������

���! #� ���� �� ��������� ������� �� �� ���� ��

���� ������ �� ������ ���� $������ ����� �� ������ ��!�� �������� ����� �%������&����'(������#�� �')�������������������������������!� ������������

���

��������� ��� �� ������������������������� ��

�������

Page 316: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������ ���� ������� ������������� ������ ���� ���� ������ ������� ���������� �� �� ���� � ������ �� ����� ������ ������ ��� ������ ���������� � �� ������������������������*������ ��������%���������&����'(������������������������� � ������ �� +���� � ���� ���� ������ ������ ������ ���� �� �������� ������������ �� ���� �� �� ����� ������ ���� *��� �������� ���� �������� ������� ����������� ���� �������� ������� ���� ������ ���� ��#�� �')���������#�� �'�������������������� ����������������� ���������������������������������������� ,��������� ������-� ������ ���� �������� ������� �� �����-�� ������� �&����'(����� ������

*�� ��� �����+���� ����� �� ������������� �������� �� ���� ���� ����� ����� ���������������������������������������������� *���������� ����������� ������������� �� ����� ��� ��������� ��� ��������� ����� �� ��������� $��� �� �����������������������������������������������������������������������������������������������������.���/� ����� �������� �����������%��� ��� !� ������������ �������������0�� ��������������� ������� �� ��������� ��������������������� ������������� ���������� ��� ��� ��������� ���� ��������� ��� ���� ��� ������ 1���� ���� �� ���� ������� �������� ����� ��������

2�������� �������������� ���������������������������������� ���� ����������� !���������������������������������������������� ���������������������� ������ ���� �� ��� ����������� ������������� ���������

8.2 SOLUTION BY TAYLOR’S SERIES

2�� �������� ���� ������������� �������

( , )y f x y′ = ��� �!����� ���� ���������������

0 0( ) .y x y= ��� !

*� � ��!� ��� ���� �/���� ������� �� %��� ��� !�� ����� ���� �����-�� ������� ��� � ��!������ �� 3� ��� ��� ������ �

20

0 0 0 0( )

( ) ( )2!

x xy x y x x y y

−′ ′′= + − + +� ���4!

*�� ���� ������� � 0 0, ,y y′ ′′ … ���� +����� ����� %��� ���4!� ������ �� ����� �������� ��� 5����� ���� �� ���� ��� ����� ������������� ��� ���� �����

,x y x yy f f y f f f f′′ ′ ′= = + = +

������ ���� �����/��� ������ �������� ������������ ����� �������� �� ���� ����������������� 1� �������� ��� ����

2 2

( ) ( )

2

xx xy yx yy y x y

xx xy yy x y y

y f f f f f f f f f f f f

f ff f f f f ff

′′′ ′′= = + + + + +

= + + + +

���� ����� ������� ������������ �� �� ���� ����� ���� ������� �� �/������� ��� ��������� ���� ������������ ������������� ���������

1���������4" 1�������������-��1����� 303

Page 317: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

304 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

������� �� .� � ���� ������ ������� ��� � ��!�� ����� � �9� !� ������� �� ������� ��� ������� ��� � ��!� ���������

2y x y′ = − ��� (0) 1.y =

���� ������ ������� ��� � ��!� ��� ������ �2 3 4 5

iv v0 0 0 0 0( ) 1

2 6 24 120

x x x xy x xy y y y y′ ′′ ′′′= + + + + + +�

���� ����������� 0 0, ,y y′ ′′ … ����� ���� ������� ����"

2 0

0

2 0

iviv0

vv iv 20

1( )

3( ) 1 2

8( ) 2 2

34( ) 2 6

186( ) 2 8 6

yy x x y

yy x yy

yy x yy y

yy x yy y y

yy x yy y y y

′ = −′ = −

′′ =′′ ′= −

′′′= −′′′ ′′ ′= − −

=′′′ ′ ′′= − −

= −′ ′′′ ′′= − − −

5����� ������ �������� ���� ������ ������� �� ��

2 3 4 53 4 17 31( ) 1

2 3 12 20y x x x x x x= − + − + − +�

������� ������������� �9� !�������� ���������� ����������� ��� ��� ������������� ��� �� ��� �� � � ������ �� ����������� ���� ��� ���� (0.1) 0.9138.y =

1������ ����� ��� ����� �� ����� ���� ������ �� ������� �� �� ��� ������ ��������������� ���������������� ���� ��� ������������ ������������� ��� �������� ������� �� �� ������� �� ���� ���� ��� ��������2�� ����� ���� �� �����

5310.00005

20x ≤ � 0.126.x ≤

������� � :����� ���� ������������� �������

0y xy y′′ ′− − =����� ���� ��������� ��9!� 3� � ��� ���9!� 3� 9� ���� �����-�� ������� ����� ������ ���� ���� ������ � � �9� !�

2�� ����� � ��!� 3� � ���� ����!� 3� 9� ����� �� 3� 9�� ���� ������ �������������������� ��

( ) ( ) ( )y x xy x y x′′ ′= + ��!

;���� ����9!� 3� ��9!� 3� �� 1���������� ��������������� �� ��!� �����

iv

v iv iv

vi v iv iv v iv

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ),

( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ),

( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 4 ( ),

( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 5 ( ),

y x xy x y x y x xy x y x

y x xy x y x y x xy x y x

y x xy x y x y x xy x y x

y x xy x y x y x xy x y x

′′′ ′′ ′ ′ ′′ ′= + + = +

′′′ ′′ ′′ ′′′ ′′= + + = +

′′′ ′′′ ′′′= + + = +

= + + = +

(ii)

(iii)

(iv)

(v)

Page 318: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� �� ������� ��� ������� ������������ $������ 0x = ��� ���!� �� ��!�� ��� ����

(0) 2 (0) 0,y y′′′ ′= = iv (0) 3 (0) 3,y y′′= = v (0) 0,y = vi (0) 5.y =)�� �����-�� �������� ��� ����

2 3 4iv

5 6v vi

( ) (0) (0) (0) (0) (0)2 6 24

(0) (0)120 720

x x xy x y xy y y y

x xy y

′ ′′ ′′′= + + + +

+ + +�

;����

2 4 6(0.1) (0.1) (0.1)(0.1) 1 (3) (5)

2 24 720

1 0.005 0.0000125, neglecting the last term

1.0050125, correct to seven decimal places.

y = + + + +

= + +

=

8.3 PICARD’S METHOD OF SUCCESSIVE APPROXIMATIONS

*����������� ���� ������������� �������� ������ ��� %��� ��� !�� ��� ����

0

0 ( , ) .x

x

y y f x y dx= + ∫ ���<!

%������� ���<!�� ��������� ������+���� ���������� �������������� ���� �������������� ��� ������� ��� �������� �������� 1���� ��� �������� ���� �� ������ �� ��� ����� �� ����������� ����/� ������ ��������� ���� ������ ����/� ����� �� ���� ������� �� �������� ��� ��� �� �� ������ ����� �� %��� ���<!�� ���� ��� �����

0

(1)0 0( , )

x

x

y y f x y dx= + ∫������������������������������������������������������������������������������� �� ��� ���� ���������� �� %��� ���<!� �� ����� ���� ������ ����/� ����� ����"

0

(2) (1)0 ( , )

x

x

y y f x y dx= + ∫$��������� ��� ����� ����� ��� ���� (3) (4) ( 1), , , ny y y −… ��� ( ),ny �����

0

( ) ( 1)0 ( , )

xn n

x

y y f x y dx−= + ∫ ���� (0)0y y= ���=!

1���������<" $�����-����������1����������#���/� ����� 305

Page 319: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

306 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

;���������� �����������������������������/� ������ (1) (2) ( ), , , ny y y… ������ ���� �� ������ ������ ��� �/� ����� ���� +� �� >���� ���� )����!� ����� ������ �������� � �����!� ��������� ��� � �� ���������� �������� 0 0( , )x y ����� ( , )f x y ���������� ���� ����� ���� ����������� ��?��

| ( , ) ( , )| | |f x y f x y K y y− ≤ − ������� �� ������� ���@!

����� ���� �������� (1) (2), ,y y … ��������� �� ���� ������� �� %��� ��� !�

������� �� 1��������������� 2,y x y′ = + ��A����������������� 1y =���� 0.x =

2�� ������ ���� (0) 1y = ���� ����

(1) 2

0

11 ( 1) 1 .

2

x

y x dx x x= + + = + +∫����� ���� ������ ����/� ����� ��

2(2) 2

0

2 3 4 5

11 1

2

3 2 1 11 .

2 3 4 20

x

y x x x dx

x x x x x

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + + + +

*�� ��� ����� ����� ���� ������������ ������� �� ��� ���� ������������� ����� ������� �� ������� ����/� ������

������� �� :����� ���� ������������� �������

2

2 1

dy x

dx y=

+����� ���� ��������������� 0y = ���� 0,x = �����$�����-�� ����� ������ ��� 0.25, 0.5x = ���� �9� ������� �� ������ ���� ��� �������

2�� ����2

20

.1

xx

y dxy

=+∫

1������ (0) 0,y = ��� ����

(1) 2 3

0

1

3

x

y x dx x= =∫���

2(2) 1 3 3 9

60

1 1 1tan

3 3 81(1/9) 1

xx

y dx x x xx

− ⎛ ⎞= = = − +⎜ ⎟⎝ ⎠+∫ �

Page 320: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�� ����� ����� ���� ����� ������ �� ���� ������ ��� �� ��?��� � B<!��� �� ����� ���� ������� ������� �� �� �� ����� ���� ������� ����� ���� ��� � � B<!��� ����� ����� ����� ���������� ������� �� ������ ���� ��� �������� ��� ���

910.0005

81x ≤

������ ������

0.7x ≤;����

3

3

1(0.25) (0.25) 0.005

3

1(0.5) (0.5) 0.042

3

1 1(1.0) 0.321

3 81

y

y

y

= =

= =

= − =

8.4 EULER’S METHOD

2��������������������������� ����������������������������������������������������� ��� ���� �� � �� �� ����� ������� 2������� ��� �������� ���� ����������� ����� ���� ������� ��� ���� �� � �� �� ���� �� ��������� �������

1������ ����� ��� ����� �� ����� ���� %���� ��� !� ��� ������� �� �� ���� 3� ��� 3� ��� C� � ��� 3� �� 4��D!�� *����������� %��� ��� !�� ��� ����

1

0

1 0 ( , ) .x

x

y y f x y dx= + ∫ ���E!

#��� ���� ���� 0 0( , ) ( , )f x y f x y= �� 0 1,x x x≤ ≤ ����� ������%����-�� �� ���

1 0 0 0( , ).y y hf x y≈ + ���F�!

1� ������� ��� ���� ������ 1 2 ,x x x≤ ≤ � ��� ����2

1

2 1 ( , ) .x

x

y y f x y dx= + ∫1���������� 1 1( , )f x y �� ( , )f x y �� 1 2x x x≤ ≤ ��� ����

2 1 1 1( , ).y y hf x y≈ + ���F!

$��������� ��� ����� ����� ��� ����� ���� �������� �� ���

1 ( , ),n n n ny y hf x y+ = + 0,1, 2,n = … ����!

���� ������� ��� ����� ���� ���� �� ����� ��������� ��������� ����� %����-� ������ ��� ����� �� ��+�� �� � ������ ������ ��� �� )������� �� ����� ����������

1���������=" %����-������� 307

Page 321: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

308 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

�� �� ���� ����� ��� ���������� ��� ���������� ���� ���� �� ���������� �� ���+��������������������������� ���������������� ��������������������������� ��������� ��� 1������ ��=�4�

������� �� �� ����������� %����-�� ������ ��� �������� ���� ������������������� y y′ = − ����� ���� ������� (0) 1.y =

1���������� ����������� �� %��� ����!� ���� 0.01h = �����

(0.01) 1 0.1( 1) 0.99

(0.02) 0.99 0.01 ( 0.99) 0.9801

(0.03) 0.9801 0.01 ( 0.9801) 0.9703

(0.04) 0.9703 0.01 ( 0.9703) 0.9606.

y

y

y

y

= + − =

= + − =

= + − =

= + − =

���� �/���� ������� �� xy e−= ���� �� � ����� ���� ������ �� 0.04x = ��� 9�GE9��

8.4.1 Error Estimates for the Euler Method

>��� ���� ����� ������� �� ���� ������������� �������� ��� �� 3���� �� ����!� ���� ������� ���� ����/� ���� ������� �� ���� 7��� �/�������� ������!� �� �����-��������� ��� ���

2

1

2

1

( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( ), where .2

� �

� � � �� ��

� � � � �� ��

�n n n n

n n n n n n

hy x y x hy x y x

hy x hy x y x x ���G!

2�� �������� ��������� ��� ������ �� ������ ��� ���� ������� �� ���������������������� ������ ���� ��!� ����� ������� ���� ���!� �������� ������� ���� ��������� ��� ���� ������� �� ���������� ���� ������ ������������� �������� �� ����� ����� �������

1 .n n ny y hy+ ′= +����� ����� ��� ������ �

21

1– ( )

2n nL h y �+ ′′= ��� 9!

���� ����� ����� ��� ����� �������� �

���3� ��� '� ����! ��� !

1����� ��� ��� �/����� ��� ������ ����� ��� 3� 9�7���������� ���� �������� ������ ��� ������ ���� ����� ������� ����� ��

[ ][ ]

1 1 1

1

1

( )

– ( ) ( ) –

( , ) – ( ) .

n n n

n n n n n

n n n n n

e y y x

y hy y x hy x L

e h f x y y x L

+ + +

+

+

= −′ ′= + +

′= + +

Page 322: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

� � �1 1( , ) ( , ( )) .� �� � � �n n n n n n ne e h f x y f x y x L

)�� ���� ������ ����� �� ��� �����

� �( , ) ( , ( )) – ( ) ( , ), ( ) .� ��

� � � ��

n n n n n n n n n n nf

f x y f x y x y y x x y x yy

;������ ��� ����

1 11 ( , )n n y n n ne e hf x L�+ +⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ��� 4!

1����� ��� 3� 9�� ��� ����� ������������"

1 1 2 1 1 1 2; 1 ( , ) ;�� �� � � �� �ye L e hf x L L

3 2 2 1 1 1 2 31 ( , ) 1 ( , ) ( ) ; etc.y ye hf x hf x L L L� �⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1��� ���� +� �� *������� ���� (������ H GEEI� ��� ��� ��������

��������� 2������������������������������������������ y y′ = − ���������������� (0) 1,y = ����������������������%����-�� ��������%/� ��� ��@�

6����� 0.01,h = ��� ����

1 ( , ) 1 0.01( 1) 0.99.y n nhf x �+ = + − =���

21

1( ) 0.00005 ( ).

2n n nL h y y� �+ ′′= − = −

*�� ����� ���� � ( ) ( ),n ny y x� ≤ ����� y′ ��� ��������� ;�������� ����������������

51

52

53

| | 0.00005 5 10 ,

| | (0.00005) (0.99) 5 10 ,

| | (0.00005) (0.9801) 5 10 ,

L

L

L

≤ = ×

≤ < ×

≤ < ×

���� �� �� .�� � ������� ���� ����� ������� ������ ��� ����� ��� ���� ���� ����� �������� ����� *�� ��� �������� ���� �������� ������ ������ ��� ��� ���

1 0,nR + =����� ������ ���� ���� ������ ��� ����� �� � %��� ��� 4!� ���� ���� ����

0

51

5 42 1

5 4 53 2

5 4 4 44 3

0,

| | 5 10

| | 0.99 5 10 10

| | 0.99 5 10 10 5 10

| | 0.99 5 10 10 10 2 10 0.0002

e

e

e e

e e

e e

− −

− − −

− − − −

=

≤ ×

≤ + × <

≤ + × < + ×

≤ + × < + = × =

1���������=" %����-������� 309

Page 323: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

310 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

*�� ��������������� ����� �������� ���� ���� � ������������ ����������� ����� ��� ��������� �� ��9�9=!� ������� ��� %/� ���� ��@�

8.4.2 Modified Euler’s Method

*������� �� ����/� ����� ( , )f x y � 0 0( , )f x y ��� %��� ���E!�� ��� ������/� ���� ���� ��������� ������ ���%��� ���E!� �� ����� �� �����?����� ����� �����

1 0 0 0 1 1[ ( , ) ( , )]2

hy y f x y f x y= + + ��� <!

2�� ����� ����� ���� ��������� �� ���

( 1) ( )0 0 0 11 1[ ( , ) ( , )],

2n nh

y y f x y f x y+ = + + 0, 1, 2,n = … ��� =!

����� ( )1ny ��� �������� ����/� ����� ���������� ��������� �� ���� ��� =!� ���

�� �������� �� ������ (0)1y �� � %����-�� �� ���"

(0)0 0 01 ( , ).y y hf x y= +

������� �� 8���� ���� ���� ������ �� �� ���� 0.1x = ������ ����

(0) 1y = ��� 2y x y′ = +

2�� ��+� 0.05.h= 2��� 0 0x = ��� 0 1.0,y = ��� ���� 0 0( , ) 1.0.f x y = ;����%����-�� �� ���� �����

(0)1 1 0.05(1) 1.05y = + =

.������� 1 0.05x = ��� (0)1 1( , ) 1.0525.f x y = ���� �������� � 0 0( , )f x y ���

(0)1 1( , )f x y ��� �94E4� ����������� (1)

1y ���� ������������ �������������%��� ��� =!� ���� ��� ����

(1)1 1.0513.y =

&������������������������������ (2)1 1.0513.y = ;����������+� 1 1.0513,y =

������ ��� ������� �� ���� ���� ��� �������7�/������� 1 10.05, 1.0513x y= = ��� 0.05,h = �����������������������

�� ����� ���� ������ ���� ������ �� ������ 0.1.x = ���� �������� ���

(0)2 1.1040,y = (1)

2 1.1055,y = (2)2 1.1055.y =

;����� ��� �������� ����� ���� ������ �� �� ���� 0.1x = ��� � 9@@�

8.5 RUNGE–KUTTA METHODS

#���������� ���������%����-�� ����� ��� ��������������� ����������������� ������� ��� ��������� � �� �� � ���� ��� �������� ��������� ���������� ���

Page 324: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

&����'(����� �������������������������������������������������������������� ���������� �� ���������� ���� ���� �������� ������� ��� � �� ��������� ������� ���� �����������

*����� ��������� 1 0 0 0( , )y y hf x y= + �� ���� ������ ����� �� %��� ��� <!��������

1 0 0 0 0 0[ ( , )],2

hy y f f x h y hf= + + + +

����� 0 0 0( , ).f f x y= *�� ��� ��� ���

1 0k hf= ��� 2 0 0 1( , )k hf x h y k= + +����� ���� ���� �������� �� ��

1 0 1 21

( ),2

y y k k= + + ��� @!

������ ��� ���� ������������� ����������� �� ���� ���� ����� ��� ����� �� ��������� ����� ����������� �� �� �/����������� �������������-�� ������������� ���� ����� ����� �����

2 3

0 0 0 02 6� � � �� �� ��� �

h hy hy y y

���� �� ���� ������ ����

22 0 0 0 0 0

0 0( , ) O ( ) .

f fk hf x h y hf h f h hf h

x y

⎡ ⎤∂ ∂= + + = + + +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦1����

( , ),

df x y f ff

dx x y

∂ ∂= +∂ ∂

��� ����2 2 3

2 0 0 0 0[ O( )] O( ),k h f hf h hf h f h′ ′= + + = + +

�� ����� ���� ������ ����� �� %��� ��� @!� �����

2 3 2 30 0 0 0 0 0 0

23

0 0 0

1 1[ O( )] O( )

2 2

O( ).2

y hf hf h f h y hf h f h

hy hy y h

′ ′+ + + + = + + +

′ ′′= + + +

*����������������������������������������/���������������������%��J��� @!������ ��� �� ��� �� �� ����� ��� ������ ����� ����� ���� ����� ��� ����� �� ������ �� ����� ��

���� ����������� ��� ��� ���

1 0 1 1 2 2y y W k W k= + + ��� E�!�����

1 0

2 0 0 0 0 1( , )

k hf

k hf x h y kα β

= ⎫⎪⎬

= + + ⎪⎭��� E!

1���������@" &����'(���������� 311

Page 325: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

312 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

�����������������������/�������������������������������������������� E�!������ ���� ��������

23

0 0 0 0 1 2 0

2 32 0 0 0

O( ) ( )2

O( ).

h f fy hf f h y W W hf

x y

f fW h f h

x y� �

⎛ ⎞∂ ∂+ + + + = + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠%�������� ���� ������������ �� � ���� �!� ���� ���� ������������ �� ��� ������� ������� ���� ��������

1 2 1,W W+ = 2 01

,2

W � = 2 01

.2

W � = ��� F!

6������� 0 0� �= ������ 0� ��������������������������������������������� ���������� ����������������� �������������� *���������� ����/� ����� 0 0 1,� �= =����� ��� � ��������� ���� 1 2 1/2,W W= = ������ ������ �� ���� ��� @!�

*�����������������������������������������������������&����'(���� �� �������� ����� �� ����� ��� E!� ���� ��� F!� ���������� A���� ��� �� �������� ������ �����

;�����������&����'(������� ������/���������������� ������������������ ������� ������ �������� �

1 0 1 1 2 2 3 3 4 4y y W k W k W k W k= + + + + ��� ��!�����

1 0 0

2 0 0 0 0 1

3 0 1 0 1 1 1 2

4 0 2 0 2 1 2 2 1 3

( , )

( , )

( , )

( , ),

k hf x y

k hf x h y k

k hf x h y k k

k hf x h y k k k

� �

� � �

� � � �

= ⎫⎪⎪= + + ⎪⎬

= + + + ⎪⎪⎪= + + + + ⎭

��� �!

������ �������� ����������� ��������� ��������/������������������� ��������� ���������� ��� ��!��������-�� ����������� �������������� ������ ��� ���� �� ���� ���������� ����� ���������� � ���� ������ �� ���� ���� ������ ���������� ��������� ���� ��� ����� ��������� �������� ����������� &����'(������ ������ *��� ��� �/� ����� ��� ���

0 0 21

1 2

2 11

2 31 4

1 1, 1,,2 2

1( 2 1), 0

2

1 11, 1 ,1 ,

2 22

1 1 1 111 , 1 ,,

3 2 3 26W WW W

� � ��

� �

� ��

⎫= = == ⎪⎪⎪

= − = ⎪⎪⎬⎪= − = += − ⎪⎪⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = += = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠

��� G!

Page 326: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� ����� ���� ����� �� :����� �������� ���� �����

0 1

1 2 2

1 4

1,

2

0,

1,

6W W

� �

� � �

= =

= = =

= =

0 1

2 1

2 3

1

2

1

2

6W W

� �

� �

⎫= = ⎪⎪⎪= = ⎬⎪⎪

= = ⎪⎭

���49!

������ �� ���� ����������� &����'(����� �� ����� ���� ��� � ���� ������� ��� ��������"

1 0 1 2 3 41

( 2 2 )6

y y k k k k= + + + + ���4 �!

�����

1 0 0

2 0 0 1

3 0 0 2

4 0 0 3

( , )

1 1,

2 2

1 1,

2 2

( , )

k hf x y

k hf x h y k

k hf x h y k

k hf x h y k

= ⎫⎪⎪⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎬

⎛ ⎞⎪= + +⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎪⎪= + + ⎭

���4 !

��� ������ ���� ����� ��� �� ����� ��� 6 ������ ���������� �� ���� �� ���� ���/����������� ������������������������������������������������������+��>���� ����)������2�� ����������� ����� ���� ���� �� ���� ����������� �� ���� � ����� �� �/� �����

������� � :���� /dy dx y x= − ����� (0) 2,y = ���� (0.1)y ���� (0.2)y������� �� ���� ���� ��� �������

��! ����������� ������������� ����� 2��� 0.1,h = ��� ���� 1 0.2k =��� 2 0.21.k = ;����

11

(0.1) 2 (0.41) 2.2050.2

y y= = + =

�� ����� ��� 2 (0.2),y y= ��� ���� ���� 0 0.1x = ��� 0 2.2050.y = ;�����

1 0.1(2.105) 0.2105k = = ��� 2 0.1(2.4155 0.2) 0.22155.k = − =*�� ������ ����

21

2.2050 (0.2105 0.22155) 2.4210.2

y = + + =

$��������� ��� �� �� ����� ����� ��� ����

3 (0.3) 2.6492y y= = ��� 4 (0.4) 2.8909y y= =

1���������@" &����'(���������� 313

Page 327: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

314 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

2����/������� 3 9�4 ����� ���� � �9�4!���� ��9�=!���������� 2���� 3 9�4���� 3� 9� ��� ��� 3� 4�� ��� ���� !�� 3� 9�=� ��� !�� 3� 9�==� ���� ����� ��9�4!� 34�=499�� 1� �������� ��� ���� ��9�=!� 3� 4����9�

.� � ���� ����������� ������� �� 3� �� C� � C� ���� ���� �/���� ������� �� ��9�4!������9�=!������������������4�=4 =�����4��G ���������������������������������� �� ����� ������ ��� �������� ���� ������� ��� �����"

x Computed y Exact y Difference Ratio

0.2 = 0.1: 2.4210h 2.4214 0.0004

= 0.2 : 2.4200h 0.00143.5

0.4 = 0.1: 2.8909h 2.8918 0.00094.2

= 0.2 : 2.8880h 0.0038

*�� ������ ����� ���� ����� ���� ��� ������� �� ��������������!� ����������� ����� ������� ����� � �� ����� ���� ��9� !�� ��� ����

��� 3� 9�� ��� 3� 4� ��� � 3� 9� ��2�� ����� ����

1

2

3

4

0.2,

0.205

0.20525

0.21053.

k

k

k

k

=

=

=

=;����

1 2 3 41

(0.1) 2 ( 2 2 ) 2.2052.6

y k k k k= + + + + =

$��������� �� �������� ��� ���� ��9�4!� 3� 4�=4 =�

������� �� :���� ��B��� 3� � C� ���� ����� � 3 9 ���� � 3 9� ���� ��9�4!���9�=!� ��� ��9�E!�

2�� ��+� �3�9�4��2��� ���3����3�9���������� �� � ���4 �!� ���� ���4 !�

1

2

3

4

0.2,

0.2 (1.01) 0.202,

0.2 (1 0.010201) 0.20204,

0.2 (1 0.040820) 0.20816,

k

k

k

k

=

= =

= + =

= + =���

1 2 3 41

(0.2) 0 ( 2 2 ) 0.2027,6

y k k k k= + + + + =

������ ��� ������� �� ���� ���� ��� ��������� � ���� ��9�=!�� ��� ��+� ��� 3� 9�4�� ��� 3� 9�494F� ��� � 3� 9�4�� 2���

������ �������� %���� ���4 �!� ���� ���4 !� ����

Page 328: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

21

22

23

24

0.2 [1 (0.2027) ] 0.2082,

0.2 [1 (0.3068) ] 0.2188,

0.2 [1 (0.3121) ] 0.2195,

0.2 [1 (0.4222) ] 0.2356,

k

k

k

k

= + =

= + =

= + =

= + =

���

(0.4) 0.2027 0.2201 0.4228,y = + =������� �� ���� ���� ��� �������

.�������� ��+���� ��� 3� 9�=�� ��� 3� 9�=44�� ��� � 3� 9�4�� ���� ���������� ������� ��� ���� ��9�E!� 3� 9�E�= �

���������� 2���������� ���� �������� ������ ���� � 3 /2y x y′= + ����� ���������� ��9!� 3� �

���� �������� ����������� ���������������9�4!������������� ������� ����/���� ������ ����� � EF44 G<�� *�� ��� ����� ����� ���� ����� �������&����'(���� ����� ������ ���� ��������� ������ �� � 3� 9�9@�

Method h Computed value

Euler 0.2 1.100 000 00

0.1 1.132 500 00

0.05 1.149 567 58

Modified Euler 0.2 1.100 000 00

0.1 1.150 000 00

0.05 1.162 862 42

Fourth-order Runge–Kutta 0.2 1.167 220 83

0.1 1.167 221 86

0.05 1.167 221 93

8.6 PREDICTOR–CORRECTOR METHODS

*������ �������������������������������������������������������������������������� ���� �� �� 3� ��� � �� 3� ������ ��� ��������� ���� ����� ���� ��� �������������� ���� ���������� ������� ��3���"�#��������'���������� ���������� ������� ������ �������� �������� ������� �� ���� ������ ������D ��� ���� � ��������� ���� �������� ������ �� ���� #� ���������� �� ���� ��� ����� �� �������� ������������� �� ���� ���� ����������������� �� ���� �������� �� � ����� ����������� �����

*�� 1������ ��E� � ��� ������� $�������'�������� �� ����� ������ �����+����� ������������ ���� ��� 1������ ��E�4� ��� �������� �����-�� ���������� ����� ������� ������������

1������� ��E" $�������'6������������� 315

Page 329: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

316 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

8.6.1 Adams–Moulton Method

7����-�� ��+����� ����������� ������������ �� ���� ���� �� �������� ��

2 30 0 0 0

( 1) ( 1) ( 2)( , )

2 6

n n n n nf x y f n f f f

+ + += + ∇ + ∇ + ∇ +� ���44!

�����

0x xn

h

−= ��� 0 0 0( , ).f f x y=

*�� ����� �� ���� ��� ����������� ��

1

0

1 0 ( , ) ,x

x

y y f x y dx= + ∫ ���4<!

��� ���

1

0

21 0 0 0 0

12

0 0 0 0

0

2 3 40 0

( 1)

2

( 1)

2

1 5 3 2511 .

2 12 8 720

x

x

n ny y f n f f dx

n ny h f n f f dn

y h f

+⎡ ⎤= + + ∇ + ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦

+⎡ ⎤= + + ∇ + ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= + + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠

*�� ���� �� ����� ����� ���� ������ ����� �� ���� ���� �������� �������� ���� �� �������� ����� D�� ���� �� ������ ���� +���� ;����� ����� �� ���� ���� �� ����� �� ����� ���� 2�� ��������� ������ ��� ��

p 2 3 40 01

1 5 3 2511

2 12 8 720y y h f

⎛ ⎞= + + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠� ���4=!

����� ��� �������$��'%� ���� � �� ���� ���� ��� ����� ��� ������������ �� �������� ������������ �� ����������� ����� ��� ��� �� ���������� �����!�

#����������� ������������������������� ����� ��������������7����-���+����� ����������� �� ���� ��� ��"

2 31 1 1 1

( 1) ( 1) ( 2)( , )

2 6

� � �� � � � � � � ��

n n n n nf x y f n f f f ���4@!

Page 330: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

1����������� %��� ���4@!� ��� %��� ���4<!�� ��� ����1

0

21 0 1 1 1

02

0 1 1 1

1

2 3 40 1

( 1)

2

( 1)

2

1 1 1 191

2 12 24 720

x

x

n ny y f n f f dx

n ny h f n f f dn

y h f

+⎡ ⎤= + + ∇ + ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦

+⎡ ⎤= + + ∇ + ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= + − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ −⎜ ⎟⎝ ⎠

� ���4E!

���� ������ ����� �� %��� ���4E!� �������� � ���� ���� ����� D� ������ ��� ��� ����� p

1 ,y � ����������������������������� ����4=!��������������������� ������������� �%������4E!�������������������������������������������������������� �� ��� ��

c p2 3 401 1

1 1 1 191

2 12 24 720y y h f

⎛ ⎞= + − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ −⎜ ⎟⎝ ⎠� ���4F!

����� ��� �������$��'&������� ���������� �� ���� ���� ������������ �� �������������� ���� ������ ������� ��� ���� ��������� ������ ���� ���� ������������ �� �� ��������� ���������� ����� ���� ���������� ������ �� ��� ������ �� ����� ��� � ���������� ������ � � ����� ��!�

*�� ���������� �������� ��� ����� �� ���������� �� ���� �� ����� ���4=!� ������4F!� �� �������� ���� ������������ ������������ ���� �/��������� ���� ���������������������� ��� ��� ���� ��������������� ������������������� ������������� ������������ ������������� �� ����� ���4=!� ���� ���4F!� ���� �� �������� ��

p0 0 1 2 31 (55 59 37 9 )

24

hy y f f f f− − −= + − + − ���4�!

���

c p0 0 1 21 1(9 19 5 )

24

hy y f f f f− −= + + − + ���4G!

��� ������ ���� ������ ���� ����/� �����

(4)50

251

720h f ��� (4)5

019

720h f− � �������������

���� �������� �� �� �� �� ����� ���4�!� ���� ���4G!� ���� ������ �

p1 2 31 [55 59 37 9 ]

24n n n n nnh

y y f f f f− − −+ = + − + − ���4��!

���

c p1 21 1[9 19 5 ]

24n n n nn nh

y y f f f f− −+ += + + − + ���4G�!

1������ �������/��������������������� ������������������������������������'������������ �����

1������� ��E" $�������'6������������� 317

Page 331: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

318 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

���� ������ ����� ���� ��� ����� ������ ���� ��������� �� ���� ������ ����� �%��� ���4�!� ���� ��������� ����� �� ���������-�� �������� ��%����-�� �������&����'(����� ������8����������������������� ����������������������� ������� .�� ���������� ���� ��� &����'(����� ����������� �� ����������� ����� �� ����� ���4�!� ���� ���4G!� ����� ���� ����� �� �� ���� �������������� ������� �������������/� ������������������������������������ ���� �����

������� ��� 2�� �������� ���� ������ ���� ������������� �������� ������ ��%/� ���� ��G� ����� ���� �� �� ��������� ���� ��� ����� �� � ����� ��9��!�

.�� ����� �/� ����� ���� �������� ������� ���� � �9�E!�� � �9�=!� ���� � �9�4!������� ���� �������� � ������ ��� %/� ���� ��G� �� ���� ����������&����'(����� ������5����� ���%��� ���4�!����� ��� 3� 9�E�= �� ���� 3� 9�=44������ 3� 9�494F� ���� ���� 3� 9�� ��� ����

p 2 2

2

0.2(0.8) 0.6841 {55 [1 (0.6841) ] 59 [1 (0.4228) ]

24

37 [1 (0.2027) ] 9}

1.0233, on simplification.

� � � � �

� � �

y

5����� ����� ���������� ������ �� ���� ������ ����� �� %��� ���4G!�� ��� ����

c 2 2

2 2

0.2(0.8) 0.6841 {9 [1 (0.0233) ] 19 [1 (0.6841) ]

24

5 [1 (0.4228) ] [1 (0.2027) ]}

1.0296, which is correct to four decimal places

� � � � �

� � � �

y

����� �������������� ����������������������������������� p1y ���� �����

�� � �� ���� ���4�!�� �� ���� ���4G!� ���� �� ����� ������������ �� ����� ��������� �� ��� �� ���� ��������� ���������

8.6.2 Milne’s Method

����� ����� ����� 7����-�� ������� ����������� �� ���� ��� ���� ��

2 30 0 0 0

( 1) ( 1) ( 2)( , )

2 6

n n n n nf x y f n f f f

− − −= + Δ + Δ + Δ +� ���<9!

1����������� %��� ���<9!� ��� ���� �������4

0

4 0 ( , )x

x

y y f x y dx= + ∫ ���< !

Page 332: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� ����

4

0

24 0 0 0 0

42

0 0 0 0

0

2 30 0 0 0 0

0 1 2 3

( 1)

2

( 1)

2

20 84 8

3 3

4(2 2 )

3

x

x

n ny y f n f f dx

n ny h f n f f dn

y h f f f f

hy f f f

� �

� �

� � �

−⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

−⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + − +

���<4!

���������������������������������������������������������/��������������������2

0 0,f f� � ��� 30f� ��� ��� �� �� ���� �������� �������

����� �� ���� ����������� �� ,�������-� ������������� ������ ������� ������� ��� ���� ��� ���� +���� �� ����� �� ,�������-� �� ����� ��� ���������7����-�� �� ���� �� � ���<9!� ��� ���� �������

2

0

2 0 ( , )x

x

y y f x y dx= + ∫ ���<<!

���� ���

22

2 0 0 0 0

0

20 0 0 0

0 0 1 2

( 1)

2

12 2

3

( 4 )3

n ny y h f n f f dn

y h f f f

hy f f f

� �

� �

−⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + +

∫ �

���<=!

���� ������ �� � � ������� �� � %��� ���<4!� ���� ��������� �� ����+��� ������ %��� ���<=!�

���� �������� �� � �� %���� ���<4!� ���� ���<=!� ���"

p3 2 11

4(2 2 )

3n n n nnh

y y f f f− − −+ = + − + ���<4�!

���

c1 1 1 1( 4 )

3n n n n nh

y y f f f+ − − += + + + ���<=�!

1������� ��E" $�������'6������������� 319

Page 333: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

320 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

���� ����������� �� ����� ����� ��� ������������ �� ���� �������� �/� ����

������� �� 2�� �������� ������ ���� ������������� �������� ���������� ��%/� �������G������� 9����?��� ������ ���3� �C���������� �9!�3�9�������������� � ����� � �9��!� ���� � � �9!�

2���� � 3� 9�4�� ���� ������� �� � �9�4!�� � �9�=!� ���� � �9�E!� ���� � ������ ��%/� ���� ��G� ���� ������ ������� ���� ������ ��� ���� ����� ���"

x y ′ = + 21y y

0 0 1.0

0.2 0.2027 1.0411

0.4 0.4228 1.1787

0.6 0.6841 1.4681

�� ����� � �9��!�� ��� ���� %��� ���<4!� ���� ����

0.8(0.8) 0 [2(1.0411) 1.1787 2(1.4681)] 1.0239

3y = + − + =

����� �����

(0.8) 2.0480.y′ =

�� ������� ����� ������ �� � �9��!�� ��� ���� �� ���� ���<=!� ���� ����

0.2(0.8) 0.4228 [1.1787 4(1.4681) 2.0480] 1.0294.

3y = + + + =

$��������� �� ��������������� (1.0) 1.5549.y = ���� ��������� ��� ���� ����������9��!������ � �9!������������������ ��������������������������� ������<=!�

������� ��� ������������������������ 2 2 2y x y′= + − �������������������������"

x y

–0.1 1.0900

0 1.0000

0.1 0.8900

0.2 0.7605

5��������-�� ����� �� ����� ���� ������ �� � �9�<!�2�� ������ �� � ���� �������� ����"

x y ′ = + −2 2 2y x y

– 0.1 1.0900 – 0.80190

0 1.0 –1.0

0.1 0.8900 –1.197900.2 0.7605 –1.38164

Page 334: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

5����� %��� ���<4!�� ��� ����

4(0.1)(0.3) 1.09 [2( 1) ( 1.19790) 2( 1.38164)] 0.614616.

3y = + − − − + − =

*�� ����� �� ������ %��� ���<=!�� ��� ����� �� � ���� (0.3).y′ 2�� ����

2 2(0.3) (0.3) (0.614616) 2 1.532247.y′ = + − = −

7��� %��� ���<=!� ������ ���� ��������� ������ �� � �9�<!"

0.1(0.3) 0.89 [ 1.197900 4( 1.38164) ( 1.532247)] 0.614776.

3y = + − + − + − =

8.7 CUBIC SPLINE METHOD

���� ��������� ��������� �� �� ����� ������� ����� ���� ���������� ��� ������� ��1������ @�4�� ������ ���� ����� ������� �������� ���� ���� ������� ��� ��� �� ������������������������&���*������������������������������������������������������� ���� ��� ��� ����� �� ���������� �� ���� ���� ��������� ��������� ����� �� �� ���� ������ ������������� ���������5�����;�� ���-�� ������������ �� ��������1������<�G�<!������������������������������������������������ ��� ���������������������!��� 1i ix x x− ≤ ≤ ������ �������������������������� ( ) :i is x m′ =

2 21 1

1 2 2

2 21 1

1 3 3

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) [2( ) ] ( ) [2( ) ],

i i i ii i

i i i ii i

x x x x x x x xs x m m

h h

x x x x h x x x x hy y

h h

− −−

− −−

− − − −= −

− − + − − ++ + ���<@!

����� 1.i ih x x −= − 8���������������%������<@!������������������������ ���������

��� ����

� � � �

11 1 12 2

113

( ) ( ) (2 3 ) ( ) ( 2 3 )

6( )( ) ( ).

i ii i i i i i

i ii i

m ms x x x x x x x x x x x

h h

y yx x x x

h

−− − −

−−

′ = − + − − − + −

−+ − − ���<E!

#�����

11 12 2

2 2( ) ( 2 3 ) (2 3 )i i

i i i im m

s x x x x x x xh h

−− −′′ = − + − − + −

113

6( )( 2 ),i i

i iy y

x x xh

−−

−+ + − ���<F!

1���������F" 6����1����������� 321

Page 335: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

322 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

������ �����

112

112

2 4 6( ) ( )

2 4 6( ).

i ii i i

i ii i

m ms x y y

h h h

m ms s

h h h

−−

−−

′′ = + − −

= + − − ���<�!

*�� ��� ��� �������� ���� �������������� ����

( , )dy

f x ydx

= ���<G�!

���

0 0( )y x y= ���<G!

����� �� � %��� ���<G�!�� ��� ����

2

2,

d y f f dy

x y dxdx

∂ ∂= +∂ ∂

( ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ).

i x i i y i i i i

x i i y i i i i

y x f x y f x y f x y

f x s f x s f x s

′′ = +

= + ���=9!

%�������� %���� ���<�!� ���� ���=9!�� ��� ����

112

2 4 6( ) ( , ) ( , ) ( , )i i

i i x i i y i i i im m

s s f x s f x s f x sh h h

−−+ − − = + ���= !

�� ����������������� ������ 1�������������%������<@!��������������������������

�������������/� ������ ������������������������������������� �����

������� ��� 2�� �������� ������ ���� �������������� ���� � �������� �

13 ,

2y x y′ = + (0) 1,y = ��!

����� �/���� ������� ��� ������ �

/213 6 12xy e x= − − ���!

2�� ��+��� ��� �� �������� 2,n= ���� 3 9�@ ���� � ����� ���� ������ �� (0.5).y;��� ( , ) 3 /2f x y x y= + ���� ��������� ��� ����� ��� 3� < ��� ��� 3� B4� #���

1( , ) 3 .

2i i i if x s x s= +

Page 336: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

;������ %��� ���= !� �����

0 1 1 0 11 3 1

4 8 24( ) 32 2 2

m m s s s⎛ ⎞+ − − = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

���

1 2 2 1 21 1

4 8 24( ) 3 32 2

m m s s s⎛ ⎞+ − − = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

1���� 0 1 11/2, 3/2 /2m m s= = + ��� 2 23 /2,m s= + ���� ���� ��������� ����

���� ����������

1 1.691358s = ��� 2 3.430879.s =

���������������������������������������9�999GF4�����9�994=GF���������������*�� ���� �� ����� ������ ������ �������� ���������� ���� ������� ����� �����0� !� ����������� ���� � ������ ����� ����� ���� ���������������-�� �����.�� ��������� ���� ������� ��� ��������� �� $������� H GF�I�

8.8 SIMULTANEOUS AND HIGHER-ORDER EQUATIONS

2�� �������� ���� ��� ��������

( , , )dx

f t x ydt

= ��� ( , , )dy

t x ydt

�= ���=4!

������������������������� � 3 �� ��� � 3 �������� � 3 ��� #��� ��������� tΔ 3 �,x kΔ = ��� ,y lΔ = ���� ����������� &����'(����� ����� �����

1 0 0 0

1 0 0 0

2 0 0 1 0 1

2 0 0 1 0 1

3 0 0 2 0 2

3 0 0 2 0 2

4 0 0 3 0 3

4 0

( , , );

( , , );

1 1 1, , ;

2 2 2

1 1 1, , ;

2 2 2

1 1 1, , ;

2 2 2

1 1 1, , ;

2 2 2

( , , );

(

k hf t x y

l h t x y

k hf t h x k y l

l h t h x k y l

k hf t h x k y l

l h t h x k y l

k hf t h x k y l

l h t

=

=

⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + + +

=

φ

φ

φ

φ 0 3 0 3

1 0 1 2 3 4

1 0 1 2 3 4

, , );

1( 2 2 )

61

( 2 2 ).6

h x k y l

x x k k k k

y y l l l l

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪+ + + ⎪⎪

= + + + + ⎪⎪⎪= + + + + ⎪⎪⎭

���=<!

1����������" 1� �������������;������0�����%������� 323

Page 337: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

324 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

*������ ����� ���������������/���������������������� �������$�����-� ����� �� ���� ����� � ���=4!�� ���� �/������� �� ����&����'(����� ����� ��� ����� � �� �� ��������� ��� ������ ���������������

2�� ��� �������� ���� ����������� ������������� �������

( , , )y F x y y′′ ′= ���==�!

����� ���� ����������������

0 0( )y x y= ��� 0 0( ) .y x y′ ′= ���=@�!

)�� ������� ,z y′= ���� ���� � ������ ��� %���� ���==�!� ���� ���=@�!� ���� ��������� �� ���� ���� � �� ������� ���� �����

y z′ = ��� ( , , )z F x y z′ = ���==!

����� ���� ��������

0 0( )y x y= ��� 0 0( )z x y′= ���=@!

������ ������ �������� ���� �������������� ���� 1� �������� ����������������������������������������������������������������������������������������� �� �������� �� �� ����� � �� ����������� ������������� ���������

8.9 SOME GENERAL REMARKS

*�� ���� ���������� ��������� ��� ����� ������ �� ����� ���������� �� � �� �����+���� ��������������� ���������������������������������������������������������� �������� ������ �������� ��������� *�� ���� ������� ��� ��������� ���� ������� ������� ��� ��� � ������� �� ���� ���� ��������� ������� ��� ����������� ��������� �� ��� �� ���� ������ ���������

*�� ��� ������� ���� ����� �� ����� +� �� �������� �� � ����������� �������� �������������� ��������������� ��� ����� ��/�� ��� ������ ������� ��������������������� ���������� ��� ���� �������� ������ ���� ��������� �� ���� ���������������

���� �����-�� ������� ����� �������� �� � ���� ������� ������������� �������� ���� ������� ������������ �� � ���� �!� H���� %���� ��� !I� ���� �/���� ���� ����� ������ �� � ���� ����� ����� ����������� ��� �� �� ���� ������� �� ������ ��������������>�+�������������� �������%����� ������������������ ����������� ���� ����� ��� �� ��� ������������ �� ���� ��������� �� ���� ��� =!������ �������� ������ ������� ��� ����� ������ �� �� ���� $������ ����� ���� ������ ������������������������������������������������������ �������������������������������

#������� �������� ���� &����'(����� ����� ��� ���� ��� ������� ����������������������������������������������������������������������������������� �������� �� ������� ������������ ��� � ����������2���� ���� ��������� �������������������������� ���������������������������������������������������� ����� �� ���� ��������'�������� ������

Page 338: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� ����� ������� ����� ��� �� �������� ����� ���� ��� ���� �� �� �� �� ������ ���� ���� �������?�� ���� �� �������� ������� � ��������� ����� �����������������������������0� !����������������� ����������������/�������� ����� �� �� �������� ������������� ���������

8.10 BOUNDARY-VALUE PROBLEMS

1 �� �� ���� �/� ����� �� �������� ������� ������������� ���� �� ���"

��! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x f x y x g x y x r x′′ ′+ + = ���=E!

����� ���� ������� ��������

0( )y x a= ��� ( )ny x b= ���=F!

�! iv ( ) ( ) ( ) ( )� �y x p x y x q x ���=�!����

0 0( ) ( )y x y x A′= = ��� ( ) ( ) .n ny x y x B′= = ���=G!

$��� ��������������!������������������������������������������������������� ����������������������������������������� �������/���� ���� ����� ������������������������������������ �����������!� 0������������ ����������������� ����� ��� �������������������������������� ���1�������� 9� �.�������� ��� 1������� �� 9�4� ���� �� 9�<� ��� �������� ������ ����� �� �������������� �� ����� �������� ���� ��������� ����������

8.10.1 Finite-difference Method

���� ������������������ ����� ��� ���� ����������� ������������������������ � �������� ��� ���������� ���� ������������ ��������� ��� ���� �������������������� ����� ��� ���� ������� ��������� �������!� �� ����� �� ������ ������������������ ����/� ������ ���� ����� ������� ���� ���������� ������� ����� � ���������� �� �� ��������� ���������

��������������������������������������������/� ��������������������������� ������� ��� ������

%/������� ( )y x h+ ��� �����-�� �������� ��� ����

2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 6

h hy x h y x hy x y x y x′ ′′ ′′′+ = + + + +� ���@9!

�� � ������ ��� ����

( ) ( )( ) ( )

2

y x h y x hy x y x

h

+ −′ ′′= − −�

����� ��� ����

( ) ( )( ) O( )

y x h y xy x h

h

+ −′ = + ���@ !

1��������� 9" )�������K�����$��� � 325

Page 339: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

326 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

�����������������������������������/� ������� ( ).y x′ 1� ���������/������� ( )y x h− ��� �����-�� ������� �����

2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 6

h hy x h y x hy x y x y x′ ′′ ′′′− = − + − +� ���@4!

�� � ������ ��� ����

( ) ( )( ) O( )

y x y x hy x h

h

− −′ = + ���@<!

������ ��� ���� ��+����� ����������� ����/� ����� �� ( ).y x′#������������������������/� ������� ( )y x′ �������������������������

%��� ���@4!� �� � %��� ���@9!�� 2�� ����� ����

2( ) ( )( ) O( ).

2

y x h y x hy x h

h

+ − −′ = + ���@=!

*�� ��� ������ ����� %��� ���@=!� ��� �� ������ ����/� ����� � ( )y x′ ����� ������%��J���@ !� �� %��� ���@<!� #������ ������� %���� ���@9!� ���� ���@4!�� ��� ���� ������/� ����� �� ( )y x′′

22

( ) 2 ( ) ( )( ) O( ).

y x h y x y x hy x h

h

− − + +′′ = + ���@@!

*������ ����� ������� ��� ���������� ��������� ����������������������/� ������� ������� ������������

���������������������������� �����������%�������=E!��������=F!���� ������� ���� ������ H���� ��I� ���� �� ������ ������������ �� ������ � �� ����

0 ,ix x ih= + 1, 2, , .i n= …���� ������������ ������� �� �� ��� ������ ������ ���� ������� �

0( ) ( ),i iy x y y x ih= = + 0,1, 2, , .i n= ….� � %���� ���@=!� ���� ���@@!�� ������� � ( )y x′ ��� ( )y x′′ ��� ���� ���� ix x=���� ��� �� �������� ��

21 1 O( )2

i ii

y yy h

h+ −−′ = +

���

21 12

2O( ).i i i

iy y y

y hh

− +− +′′= +

1���������� ���� ������������� �������� ��� ���� ���� ,ix x= ��� ���

i i i i i iy f y g y r′′ ′+ + =

1����������� ���� �/��������� �� iy′ ��� ,iy′′ ����� �����

1 1 1 12

2,

2i i i i i

i i i iy y y y y

f g y rhh

− + + −− + −+ + = 1, 2, , 1,i n= … −

����� ( ), ( ),i i i iy y x g g x= = ����

Page 340: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������������ ������� �� �� ���� �� ������������� ����

2 21 11 ( 2 ) 1 ,

2 2i i i i i i ih h

f y g h y f y r h− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ���@E!

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1, 2, , 1i n= … −����

��� 3� ��� ��� 3� � ���@F!%������� ���@E!� ����� ���� ��������� ���@F!� � ������ �� ����������� ����� ������ ���� �� ������ �� ���� ����� �������� ���1������ F�@�G� ��6������� F����� ������� �� ����� ����������� ����� � ����������� ��� ����/� ���� �������� ���� ������� ������ ���� � �������� �� %���� ���=E!� ���� ���=F!�

�� ���� ���� ���� ����� ��� ���� �� ������� �������� ��� ������� ���� �������������������� ,τ �

1 1 1 12

2.

2i i i i i

i i iy y y y y

y f yhh

�− + + −− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

%/������� 1iy − ��� 1iy + �������-�� ������������� ���������� �������������

2iv 4( 2 ) O( ).

12 i iih

y f y h� ′′′= + + ���@�!

������ ���� ����������������������/� ���������������%��� ���@E!����� ����������� ��������� ��� �������������� ��������� ������ ������������ �� H���� ��I�.�������� ��� ������ ���� 0τ → �� 0,h → � ������� ����� �������� ��������� ������ ������� ������������������������� � �������������� �� *�� ������� �������������� ��� � ���������� ������ ����� �� ��������� ������ ���� �� ��� ���������� �� �� �������

#�� ����������� �� � ����� ��������� ��� �� � ������� �����-��������������� � ��� � �� ������ ���� ���� ����� ���� 0� �!� ����� ��� ���������� �� ������� ����� ����� ���� ����� ���� ���� ��

2 4( ) ( ) O( )i i iy x y h e x h− = + ���@G!

.�� �/���������� �� ���� �� ���� ��� ����� %��� ���@E!� ������� ����� ����������� �������� � ���� B4� �������������� >��� ���� ������������ �������� �%��� ���@E!� �� ������� �� ��� !� ���� ��� B4!�� .�� �� ����� ��� � �� �� ������ ��������� ����

2 4( ) ( ) ( ) O( )i i iy x y h h e x h− = + ���E9�!

���2

4( ) ( ) O( )2 4i i ih h

y x y e x h⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎝ ⎠

���E9!

�� � ������ ��� ����

4 ( /2) ( )( ) .

3i i

iy h y h

y x−= ���E !

1��������� 9" )�������K�����$��� � 327

Page 341: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

328 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

2��������/������������ ������������ �����������������������=F!�����������������������������������������������������*�� ���������������� ������������������������������������� ����������������������������������� ���������� �� ���� ���������� ��������� ����� ���� �������� �/� ��������������� ���� ����������� �� ���� ������������������ �����

������� ��� #� ������������� ���� � ��� �������� �

1 0,y y′′ + + = 0 1x≤ ≤�����

(0) 0y = ��� (1) 0.y =

2��� 0.5,h = �������������������������� ������������ ��������������� ��9�@!������ �/� ���� ���� ���������� �� )��+���� H GE�I�� *��� �/���� ������� ��

�������

1 cos1( ) cos sin 1,

sin1y x x x

−= + −

�� � ������� ��� ����

(0.5) 0.139493927.y =

;��� 1.nh = ���� ������������� �������� ��� ����/� ����� ��

1 12

21 0i i i

iy y y

yh

− +− ++ + =

���� ����� ������ ������ �� ����������2 2

1 1(2 ) ,i i iy h y y h− +− − + = − 1, 2, , 1i n= … −������ �������� ����� ���� ������� �������� 0 0y = ��� 0,ny = � �������� ����� � � ( 1)n + ��������� ��� ��� ( 1)n + ��+���� 0 1, , , .ny y y…

6����� 1/2h = ����� 2),n = ���� ���� ����� � �� ��

0 1 21 1

2 .4 4

y y y⎛ ⎞− − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠

2��� 0 2 0,y y= = ����� �����

11

(0.5) 0.1428571427

y y= = = …

6 ������������ �����/���� ����������������� ����� ����� ��������� ��� ���� ������ ������� ��� 9�99<<E�

0����������������� ����������� 3 B=�������� 3 =!���������� ���� �������������"

0 1 2

1 2 3

2 3 4

31 1

16 16

31 1

16 16

31 1,

16 16

y y y

y y y

y y y

− + = −

− + = −

− + = −

Page 342: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����� 0 4 0.y y= = 1������ ���� ����� � ��� ����

263

(0.5) 0.140311804,449

y y= = =

���� ����� ��� ������ ��� 9�999�4� 1����� ���� ����� �� ���� ��� ������ ��� ���� =���� ������ ����� ���� ����� �� ����������� ��� ��

������ �������� ���� ����� ���� ��������� ������� �� ���� ����������������� ����� �������� ���� ���� ������ �� ���� ����������� ������ ���� ���� �� ���������� ��������/� �������#�� � ��� ��������� ������������� ������������� ����� ��� �� ��������� �� �� ������ ���� ����������

������� ��� 1���� ���� ������������� ���� 2

20

d yy

dx− =

����(0) 0y = ��� (2) 3.62686.y =

���� �/���� ������� �� ����� ���� � �� sinh .y x= ���� ���������������������/� ����� ��� ������ �

1 12

1( 2 ) .i i i iy y y y

h− +− + = ��!

2������������������������H9� 4I� ��������������������������� 3 9�@��>��� ���������� �� �� ��� ���� ����� ������ � 0 1 2 3, , ,y y y y ���� � ��2�� ���� ������ ����

0 0y = ��� 4 3.62686.y =2������� ���� ����������� ��������� ��� ���� ������ ��������� ������ ������� ���� �����+����!�� ��� ����

0 1 2 1

1 2 3 2

2 3 4 3

4( 2 )

4( 2 )

4( 2 ) ,

y y y y

y y y y

y y y y

− + = ⎫⎪⎪− + = ⎬⎪

− + = ⎪⎭���!

������������� 1����������� ��� ��� ���� � � ���� ������������� ��� ���� ���� �����

1 2

1 2 3

2 3

9 4 0

4 9 4 0

4 9 14.50744.

y y

y y y

y y

− + = ⎫⎪⎪− + = ⎬⎪

− = − ⎪⎭����!

���� ������� �� ����!� ��� ������ ��� ���� ����� ����

Computed value Exact valuex of y y = sinh x Error

0.5 0.52635 0.52110 0.00525

1.0 1.18428 1.17520 0.00908

1.5 2.13829 2.12928 0.00901

1��������� 9" )�������K�����$��� � 329

Page 343: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

330 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

*�� ��� ������� �� ����� �� ������ ����/� ����� ��� ���� ������ �� �� �9!� ��/���������� �� ���� �� ���� .�� ����� ��� ������� ���� ��������� H9� 4I� ���� �������������� ����� 3 �9�� ���� ����������� �������� ��� ���� ������� ��+�������� ��� ��� ������ �

0 1 2 12y y y y− + =5����� ���� ������� �� ��� ���� ���� ��� ����

1 1.20895.y =;����� %��� ���E !� �����

4(1.18428) 1.20895(1.0) 1.17606,

3y

−= =

������ ��� �� ������ ����/� ����� ������ ���� ����� ��� ��� �������� �� 9�999�E�

8.10.2 Cubic Spline Method

2�� �������� ������ ���� ������������� ���� � �������� �� %���� ���=E!� ������=F!�� >��� ���!� �� ���� ����� ������� ����/� ������ ���� �������� ���!� ���� ���

( ) .i is x M′′ = � ������ �� ix x= ���� ������������� �������� ������ ��� %��� ���=E!�����

( )i i i i i iM f s x g y r′+ + = ���E4!

)��

1 11

( ) (2 ) ( )3!i i i i ih

s x M M y yh− −′ − = + + − ���E<!

���

1 11

( ) (2 ) ( )3!i i i i ih

s x M M y yh+ +′ + = − + + − ���E=!

1�����������%�������E<!��������E=!�������������� ���%������E4!���������� �����������

1 11

(2 ) ( )6i i i i i i i i ih

M f M M y y g y rh− −

⎡ ⎤+ + + − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ���E@!

���

1 11

(2 ) ( ) .6i i i i i i i i ih

M f M M y y g y rh+ +

⎡ ⎤+ − + + − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ���EE!

1���� 0y ��� ny ���� +����� %���� ���E@!� ���� ���EE!� ���������� �� ����� � �4�� ��������� ��� 4�� ��+������ ��?�� 0 1 1 2 1, , , , , , , .n nM M M y y y −… … *�� ������������������ ����� ������ ����&�� ����������� ����������� ����� � �����������#�����������;�+����H GEGI!���������������/� ������������������������� ���� ������� �����

���������� 2������������������������ ��������������%/� ������ @����?��1 0,y y′′ + + = (0) (1) 0y y= = ��!

Page 344: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

*�������������������������H9� I� �������������������������� ������� �%��J��!���� ���� ����������� ��������� ��� &��� ��� ����

3(0.5) 0.13636,

22y = = ���!

���

0 1,M = − 125

,22

M = − 2 1M = −

;�������� ����

47(0) ,

88s′ = 47

(1) ,88

s′ = − (0.5) 0.s′ =

.� � ���� ����������� ������� �� ���� ���� � ��!�� ��� ������ ������9�@!J3 9� <G=G� ���� ������ ���� ����� ������� ������� �� ���� ���������������� � ���� ��� ����� �� 4�4=L� ����� )��+���� H GE�I!�

������� �� :����� ���� ������������� ���� 2 0;x y xy y′′ ′+ − = (1) 1,y = (2) 0.5y =

������ ���� ����� ������� ����� �� ����� ���� ���� ������ �� �� �@!�

���� ������ ������������� �������� ��

2

1 1.y y y

x x′′ ′= − + ��!

1������ ix x= ��� ( ) ,i iy x M′′ = %��� ��!� �� ��

2

1 1.i i i

i i

M y yx x

′= − + ���!

5����� ���� �/��������� ������ ��� %���� ���E<!� ���� ���E=!�� ��� ����

� � 11 2

1 1,

3 6i i

i i i ii i

y yh hM M M y

x h x+

+−⎛ ⎞= − − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

0, 1, 2, , 1.i n= … − ����!

���

11 2

1 1,

3 6i i

i i i ii i

y yh hM M M y

x h x−

−−⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠

1, 2, , .i n= … ���!

*�� ��� ������� H � 4I� ���� ��� ������������� ��� ����� 3 B4� ���� � 3 4� ����%���� ����!� ���� ���!� ����

0 1 1

1 2 1

0 1 1

1 2 1

10 24 36

16 32 12

20 16 24

26 24 9

M M y

M M y

M M y

M M y

− + =

− − = −

+ + =

+ − = −

1��������� 9" )�������K�����$��� � 331

Page 345: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

332 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

%�� ��������&���&�� ����&�� �� � ������ ����� � �� �������� ��� ����

1 0.65599.y =

1����� ���� �/���� ������ � 1 (1.5) 2/3,y y= = ���� ����� ��� ���� � ������ ������� ��� ��� 9�9 �� ������ ��� ���� �@L� � ������

������� ��� 6������� �� ������������� ���� � ��������� ���� ��������������� ������� �����������

2

2

d yy

dx= ��!

����

(0) 0y′ = ��� (1) 1y = ���!

���� ����������� ������� �� ����� ���� � ��� ������ �

cosh

cosh 1

xy = ����!

*�� ����� �� � ����� ���� ������������������ ���� ������� ���������� ����� �������� � �� ��� ���� ������� .�� ���� ������������������ �������� ��� �����

1 12

2i i ii

y y yy

h− +− + = ���!

2�� ������� ���� ��������� H9� I� ���� ��� ������ ������ ����� ����� 3 B4� 1������� 3 9� ���� � 3 �� %��� ���!� �����

1 0 1 01

24

y y y y− − + = ��!

���

0 1 2 11

24

y y y y− + = ���!

.� � �� ���� ���@=!�� ��� ����

1 10 2

y yy

h−−′ = � 1 1 02y y hy− ′− = ����!

5������������������������ 0 0y′ = ��� 2 1,y = %������!�����!���������! �����

136

0.9376.49

y = =

�����/��������������9�@!� ���9�F< 9��� ����� ���� ������������������������������� ����� �� 9�49EE�

.�� ���� ������� �������� ��� ����

1 1 1 12

64 ( 2 )i i i i i iy y y y y y

h− + − ++ + = − + �����!

Page 346: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

2���� 3 B4�� ��� ����

0 1 2 0 1 24 24 ( 2 )y y y y y y+ + = − +

1���� 2 1,y = ���� ���� �������� �� ��

0 1 0 14 24 ( 2 ) 23y y y y+ = − +���������������

1 052 23 23y y= + ��/!

.�� ���� ����������� ������� ��������� ��� ���� %��� ���E=!� ���� ����

0 0 1 1 01 1

0 2( )6 12

y M M y y′ = = − − + −

1���� 0 0M y= ��� 1 1,M y= ���� ���� �������� �����

0 1 1 02 24 ( )y y y y+ = − �/!

%�������� ��/!� ���� �/!� �����

1598

(0.5) 0.7266.823

y y= = =

�������������������������������������������9�99==��������/� ������ ������������ ������������� ���� ����� ������� ��������� ���� ������������������ ��������� ���� ������� ������ ���� � �������� ����������� ������� ���������

8.10.3 Galerkin’s Method

����� ������ ���� ������� ����'��� ���� �������� ������ ����� ����� ������������ ����/� ������ ��������!� ������ �������� ���� ������� ��������� �� ������� �� ���� ������ �������� ��� ����������� ��� ���� ������ ������������� ����������� ���� ������� ��� ������� ���� ��������� ���� ��������� �� ���� ������� �� ���������������������������� ��������� ��+������� ����� ����� ��� ��������� ��?�������� ������� �� ����� ��� ��������� ��� ���� ��+�������� ������ ��� ���� ��������������

>��� ���� ������� ������ ���� � �� �������� �

( ) ( ) ( )� � � � ��� �y p x y q x y f x a x b ���EF!

����� ���� ������� ��������

0 0 0

1 1 1

( ) ( )

( ) ( )

p y a q y a r

p y b q y b r

′+ = ⎫⎬′+ = ⎭

���E�!

>��� ���� ����/� ���� ������� �� ������ �

1

( ) ( ),� �

��n

i ii

t x x ���EG!

1��������� 9" )�������K�����$��� � 333

Page 347: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

334 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

����������!� ��������������� ���������"�1����������� ��� ���!� ���%��� ���EF!��������� �� ���������� 8������� ����� ��������� �����!�

��� ����( ) ( ) ( ) ( )R t t p x t q x t f x′′ ′= + + − ���F9!

5����������������������������!�������������������������������2����������������

( ) ( ) 0,b

i

a

I x R t dx�= =∫ ���F !

������ ������� �� ����� � �� ��������� ��� ���� ���� ������ ���J2���� ��� ���+����� ���!� ���� �� ����������� �� � %��� ���EG!�

������� � � 1���� ���� ������� ������ ���� � �������� �

0, 0 1y y x x′′ + + = < <����� ���� ��������

��9!� 3� �� !� 3� 9�>��

���!� 3� ������!

1����� ��� ���� ������� ��������� ���� �� ���������� �� ���!�� ��� ����

����!� 3� �� � '� �!�

1����������� ��� ���!� ��� ���� ������ ������������� ��������� ��� ����

���!� 3� ��� C� �� C� ��;�������� ����

1

1

0

( ) (1 ) 0�� � � � ����I t t x x x dx

�1

0

( ) (1 ) 0� � � ���� t t x x x dx ��!

7��

� � � � � � � [ ]1 1

10

0 0

(1 ) (1 ) (1 2 ) ,t x x dx t x x t x dx′′ ′ ′− = − − −∫ ∫� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ������������ �� ������

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1

0

(1 2 ) ,� � ��� t x dx � ������ ���� ������ ��� � ���������

� � � � �1

10

0

(1 2 ) (–2)� �� �� � � �� �� �

�t x t dx

� � � � � � � � � � � � � � � � � �

1

0

2 ,t dx= − ∫ ������ �� 3� 9� ��� �� 3� 9� ���� �� 3� �

Page 348: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

;����� ��!� �� �������� �

11 1 2

0 00

2 (1 ) (1 ) 0� � � � � �� � �t dx tx x dx x x dx

�11 3 41 2 2

1 10

0 0

2 (1 ) (1 ) 03 4

� �

� �� � � � � � �� �

� �� � �

x xx x dx x x dx

� 15

18� � � 3� 9�4FF��� ��� �� �����������

����� �� ������ ����/� ����� �� ���� ������� ��

5(0.5) (0.5)(0.5) 0.06944.

18y = =

���� �/���� ������� �� ���� ������ ������� ������ ���� � ��

sin( ) ,

sin1

xy x x= −

������ ����� ����� ��� ������� ���� ��� ����� �� 9�999<����� ���� ����/� ����� ���� �� � ������ �� ���� ���� ����

���!� 3� ���� � '� �!� C� ��� ��� � '� �!�

$��������� ��� ����� ��� ����

��� 3� 9� G4=� ���� ��� 3� 9� F9F�

*�� ��������� �������������� ��� ��� �� �� ���!�������������� ���� ������� �� ����������� ���������

EXERCISES

���� :����

1 , (0) 1,dy

xy ydx

= + =

����� ���� ������ ������� ��� ���!� ���� � ����� ��9� !�� ������� �� ������� ��� �������

��� 1��� ����� ���� ������������� �������

2

2– , (0) 1 and (0) 0

d yxy y y

dx′= = = �

���� ���� ������� ������

36 91 4 1 4 7

13! 6! 9!

� � �� � � � ��

xy x x

%�������� 335

Page 349: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

336 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

��� *�

2

1dy

dx x y=

+����� � �=!� 3� =�

� ����� ���� ������� �� � �=� !� ���� � �=�4!� �� �����-�� ������� �����

��� 5��� $�����-�� ����� �� ����� �� ������� ������� �� ���� ���� � �������� $��� � �� � ����

��� 5���$�����-�� ������������� �9� !������ �9�4!����������� ���������

4 , (0) 3.� � �dy

x yx ydx

�� 5����� %����-�� ������ ����� ���� �������� ���� �"

33(a) , (0) 1

5� �

dyx y y

dx�!� 21 , (0) 0� � �

dyy y

dx

�� 6 ����� �������������� � � !������ � �4!������������-��������� ������� ���� ������� �� ���� ����

2 1 3, (1) 1 and (1) 1.y y y x y y′′ ′+ = = =

��� .����� �� �����-�� ������� ������ ���� ������ �� � �9� !� ������ ����

– 0, (0) 1 and (0) 0.� � � ��� � �y xy y y y

��� 5����� $�����-�� ������ ����� � �9� !�� ������ ����

and (0) 1�

� �

dy y xy

dx y x�

���� 5����� �����-�� �������� ����� � �9� !�� � �9�4!� ���� � �9�<!� ������ ����

2 , (0) 1.dy

xy y ydx

= + =

���� :����� ������������������������

2dyx y

dx= +

����� � �9!� 3� �� � ����� � �9�94!� ������ %����-�� ������� �����

���� 1����� �� %����-�� ������� ������ ���� ����

, (0) 0.dy

x y ydx

= + =

6���� � 3� 9�4� ���� � ����� � �9�4!� ���� � �9�=!�

���� :����� ���� ����

0 0( , ) and ( ) ,dy

f x y y x ydx

= =

Page 350: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�������/� ����������������3����C� ���������������������������&����'(����� �� ���

� ����� C� !� 3� ��� C�1

6�!�� C� =!�� C� !�!� C� � �

�����!�� 3� �� ����� ��!�� � !�� 3� �� ���� C�

1

2 �� ��� C�

1

2!�!

��� !�� 3� ����� C� �� ��� C� 4!�� '� !�!�

1��� ����� � � ��� �� ����� �

���� 2��������������� ���� ��� ����&����'(������������������ ���������������������������������� �

.���� � �9� !�� � �9�4!� ���� � �9�<!� ������ ����

2

21 , (0) 0

1

xyy y

x′ = + =

+���� 5���&����'(������������������ ������������ �9�4!������ �9�=!������

����2 2

2 2, (0) 1.

y xy y

y x

−′ = =+

��� 1���� ���� ������������������ ����������

3, (1) 1

2

�� �

dy x yy

dx x y

���� ����� � � �4!� ���� � � �=!� �� ����&����'(����� ������ ����� �� ������� 1�����#�� -��������������������� ��������������������������������

��� 3� � ���� �!�� � ���!� 3� ���:����� ���� ����

��� C� �� 3� 9�� ��9!� 3� �

����� � �9� !�� � �9�4!�� ���� � �9�<!� �� &����'(����� ������ ����� �� ������� ������ ����� ��9�=!� ��#�� -�� �� �����

���� :����� ���� ������������������ ����������

2(1 ), (0) 1dy

y x ydx

= + =

����� ��������������� �����3�9�4��9�=��9�E��9������� �9������� ����%������ ��� ������� %����� ���� ���� ������ ����� &����'(����� ������� 6 �������� � ������ ������� ����� ���� �/���� �������

���� 1����������-��������������������� �����������������������������

��� 3� � ���� �!�� � ���!� 3� ���

:����� ���� ������������������ ����������

��� 3� ��� C� ���� ��9!� 3� �

������ �������-�� �������� ���� ������� �� � �9� !�� � �9�4!� ���� � �9�<!�� 5�������� ������� �� � ����� � �9�=!� �� �����-�� �� �����

%�������� 337

Page 351: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

338 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

���� 5����������-�� �� ������ ����� � �9��!� ������ ����

2 , (0) 0, (0.2) 0.02,dy

x y y ydx

= − = =

� �9�=!� 3� 9�9FG@� � ���� � �9�E!� 3� 9� FE4�

���� %/������ ����� ��� ����� �� �� ������ ����� �� ����� 8������� ����� �������������� �� ���� ������� �� ���� ����

3 , (0) 12

� � �dy y

x ydx

�� &����'(����� ������ ����� �� ����

���� 5��������-��������� ��������������������� ������������������������

,dx dy

y t x tdt dt

= − = +

����� �� 3� �� �� 3� � ����� �� 3� 9�� ��+���� ��� 3� ��� 3� 9� �

���� 5����� �����������&����'(����� ������ � ����� ������������� �9�4!������ ����

2

20

d yy

dx+ =

����� � �9!� 3� � ���� ���9!� 3� 9����� :���������

����'�����C�=��3�9� � ��������������������� ��� ������� ����� ������ ������ ����� ���� � ��������� ������

���� ���� ���� ! ����"� ��� �� ��!���� �������� !"

������������ � �������� � �#����#�

!"���������������������� !�����������������$������������ �����!��������� ����%�� &���� ���� �'��� ��� ��� (�� ���� ����� ��)�� �� �� ��%� ����������%�

���� ������� ����� *���� ��� �� �� ���������� ��� ���� �� ���� �� �&+����! ����"� ��� ����!������ (�� ���� ��!���� ��� ��������!"

������� ���� � �������������� ����������

����� ��� ��� ������ ����������� ���� ���� ����������� ����!���

���������� �������������&����� �������������������������&�������������� �������������� ������ �����,��� ������ ��������������� ���������!������ (����� ��� ������� ��!������!"� ������� � ���� ��� ��� �������� ����� ��� ���� ��� ���� �������� �������"�*� ��� ������� ������������ ��� !�� ������� �� !��&���� ���� ��� ��� ����� ����������������

-!�� ��"���������������!����������������&��!���������� �����������&������ ���� ����

Page 352: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

.���"� ���� ������� ������ �� ����� ���� ! ����"� ��� �� ��!���

���������������������������#����#����� /"���0#1213���� ����� ������ ������ ����! ����"���� ����!�����������

!"

2 2

4 20, (0) 1 and (2) 0.2.

1 1

xy y y y y

x x′′ ′+ + = = =

+ + ���� ����� ��!���� !"� !�� ������������� ������ &���� �� �� #� ���� ����� &�������#4��������������������� ����� �#���$������" ����� ����&���������'����� ������ �#��!�������������������"������� ��������#4�#�5�����

���� ����� �� ������ ������������� ,��� ���� ! ����"� ��� �� ��!���� !��������� !"

����5��������5�������������� ��������� ��� � ����������

��� �� ���� ���������������������'��������� ����������������� �6 ������������� ���� ����!���� �6 ������ ����� ���� �������� ��� �� ��� ���� ��� ����� ���� ��� ��"����� ���� ������.������&����� ������������� �� ���������� ��"������� ������� ��� ������� �������������7���������������8��� �� �������� �&���������� ������ ���������� ������9&�&�� ������������������������� ������ ����������� ����� ��������&����� �����������*�������������������� �����&��!������������ ��������������������������! ����"������������:�!����;��2��

���� ���� ! ����"� ��� �� ��!���� �������� !"

���5����������������������#�������#�����

����� ������������,������ ������������

���� <�����=����)��>����������� ��� ������� ����� ���%�������� ����

����5��������� ���?���?�#�� � �� �������� ������� �#������

�� ���� :����>�� �6 ����

2 2

2 22, 0 , 1

u ux y

x y

∂ ∂+ = ≤ ≤∂ ∂

&������������ ����! ����"��� �� ���� �6 ���� �������������� #�� �����@�@#�

Answers to Exercises

��� � 9@<

���3

6 91 4 1 4 71

3! 6! 9!

xx x

× × ×− + − +�

��� =�99@� =�99G�

%�������� 339

Page 353: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

340 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������

��� � C� �� C�2 3 4

2 3 8

x x x+ + +�

��� <�99@�� <�9494

�� ��!� �999E� �!� ��� 3� �9999� ��� 3� 9�49 � ��� 3� 9�<949

�� � 994�� �49 @

��� �99@9 4

��� �9G9E

���� � E�E�� �4FF<9�� �@94<

���� �9494

���� 9�9444�� 9�9G<�

���� 9� 99E�� 9�49@4�� 9�< FE

���� 9� G@G��� �<F@

��� �4E<E�� �@<4

��� � �9� !� 3� 9�G9=�=�� � � �9�4!� 3� 9�� �F<�� � � �9�<!� 3� 9�F=9�

� �9�=!� 3� 9�E�9E� � �%/���� ������ 3� 9�EF9<!�

���� �� 3� 9�4 9�94=EE=� �%����!

9�99<9 =� ���������%����!

9�99999<� �&����'(����!

�� 3� �9 9�FFE��@� �%����!

9� 4 @F� ���������%����!

9�9994F<� �&����'(����!

���� ��9� !� 3� � EG� ��9�4!� 3� �4FF<� ��9�<!� 3� �@94<�

��9�=!� 3� ��<FE�

���� � ��9��!� 3� 9�<9=G� ���9��!� 3� 9�<9=E9

���� � 3� 9�4�� � ����� 3� 9�99999 9

� 3� 9� �� ����� 3� 9�999999F

���� ��� 3� � 99<�� � � ��9� !� 3� ��� 3� � 99

���� 9�G�99EF� �%/���� ������ 3� 9�G�99EE!

Page 354: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� ��9�4!� 3� 4�FE44<G� �%/���� ������ 3� 4�FE E!

��9�4!� 3� '4�<E9@EE� �%/���� ������ 3� '4�<E�!

���� %/���� ������ �� ��9�@!� 3� 9�==<=9G

��!� 9�==<EF=� �!� 9�==< =9

��� ���9!� 3� 4��

��� ��! � 3� � ��� 3� 9�=

� 3�1

2� ��� 3� 9�=�@F =

�! � 3� � ��� 3� 9�@=4<F<

� 3�1

2� ��� 3� 9�@44�

���� ��� 3� �9�4�� ��� 3� �4G �� ��� 3� �E4�4� � � 3� �GGGGF

���� ��9�@!� 3� '9�9= EE@� � �%/���� ������ 3� '9�9=@G4!

���� ����� �!� 3� '5

2����� '� !��� '� !

%�������� 341

Page 355: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

9.1 INTRODUCTION

������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������� ��� �� ������ ������������ �� ������� ������������� ������ ����� ��� ���������������������������������������������������������������������������������� ������� ��� �������� ���������� �������� ������ ������ �������� ������������������� ���������������������������������� ��������� ������������ �������������������������������������������������������������������� �������������� ����� �� ������� ����� ���� ������ �������� ������� ����� �������������� ��� ���� ����� ��������� �������� ����� �������� ��� ����� ��������� ��������������������������������������������������������������������������!�������������������������������������������������������������������������� ��������

���� �������� ������ ����� ������� �������� ���������� � ������� ��� �� ������

2 2 2

2 2,

u u u u uA B C D E Fu G

x y x yx y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂

����� ���� ��� ������� ��

����� "������ "������ "����� "����� "���� #� $%�&'

���������������������������������� ������������������( ���������� ������� $%�&'� ���� ��� ��������� ���� �������� ��� ���� ����� �� ���� �����������

���

��������� ��� �� ���������������������� ��

�������

Page 356: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�� #� ��� )� *��� $%�+'

������� ��� ����������� ���������� ��� ���� $���'��������( ������� $%�&'� ��� ������ ��� � ������� ������ ������������� ��� ��������� ����� ,� -���� #� -� ����� .� -�

/��� ��������

����"���� #� - $0�������� ������'� ����������� $%�1'

����)���� #� - $!���� � ������'� ��� ���������� $%�*'

�� #���� $����� ���������� � ������'� ��� ��������� $%�2'

��������������������������������� ��������������������������������������������3

$�'������� ��������� �� 4������������������ �������� ����� ������������� �� �� ������� ��� ��� ��� �� ����� ��� ��� �� �������� �$�� �'�� ���������� ���0������� � ������� ��� ��� ������ ��� ��� �$�� ��� ����� ����

0 in ,

and on .

xx yyu u R

u f C

+ = ⎫⎪⎬

= ⎪⎭$%�5'

$��'���������� ���� ��

0 for 0

( , 0) ( )

( ,0)and ( )

tt xxu u t

u x f x

u xg x

t

� � �

��

$%�6'

����� � $'� ��� !$'� ���� ����������

$���'

for 0

and ( , 0) ( )

t xxu u t

u x f x

� � ���

� ��$%�7'

���������������������� ������������������������ ������������ ������������� ���� �� ����������� ����� �� �������� ����������� ��� ����� ������ ���� �������� ������ ��� ���"� #$���%�$� $��� ���8����'������ ��������� ����� ���( ��� $%�5'��� $%�7'� ���� ���8������ ��� �� ������ �� ���������� 0������� � ������� ���9������ �������� ����������� ���� �������� ��� ���� ��� ��� � #����$�� ������ ����������� ����� ��

0

( , 0) ( )

and ( , 0) ( )

xx yy

y

u u

u x f x

u x g x

� � ���

� ��

� ��

$%�%'

��� ��� ���8����� ��������

��

��

��

:������� %�&3 ����������� 343

Page 357: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

344 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

9.2 LAPLACE’S EQUATION

���� � ������� ����� ��

2 2

2 20

u u

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

$%�&-'

��� ������ &�� ������ �'�����% � ��� ������� ��� ���� ��������� ���������� ������������������ ��� ��� �� ��������� ������ ��� ������ ����� � �������� �� �������� ������� ������ ����� ��� ��������� ����� ����� ������� ��� ���� ����� ����� ��������������� ��� ���������� =�������� ����� ���� �8������ ��������� ���� ��������������� ���� �>?:� $���� /���� %�&'�� �� ��� ����� ���� �������� �� ������������� ���� ���� �:� ��� ����� ��

– ,x

uk y t

x� � ��� �

� � ��� �

O

Y

X

R ( + , + )x x y y� �S ( )x y y, + �

P ( , )x y Q ( + , )x x y�

Figure 9.1 xy-plane coincides with a rectangular face PQRS.

������� ��� ���� ����@������� ������������$�� �'� ��� ���� ������������������������� ��� ����� �� ��� (� ��� ���� ������������ �� ������������� �� ���� ������� :������������� ������� �� ����� �������� ���� ���� >?� ��� �������� ��

–x x

uk y t

x�

� ��

�� �� ��� �

/���� ���� ������ � ��������������� ��������� ���������������� ������ �������

x x x

u uk y t

x x�

� ��

� �� �� � � �� �� � �� �� � � �

��� ���� ����� ���� �� ������� ���� ����� �� ����� ���� ���� ����� �>� ��� :?� ���������� ��

y y y

u uk x t

x y�

� ��

� �� �� �� � �� � � �� �� � � � �

Page 358: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

A����� ���� ������ ����� �� ����� ��� ���� �����

�� �� � �� �

� �

� �� � � �� �� �� � � � �� � � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � �

x x x y y y

u uu uy yx x

k x y tx y

����� ����� ������� ���� ������������ ��� ���� ������ ����� ��� � ���� ��

������ ��� ���

����� �� ��� ���� �������� ����� ��� �� ��� ���� ������� �� ���� ���������A����� �� ����

�� �� �� � � � � �� �

� �

� �� � � �� �� �� � � � �� � � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � �

x x x y y y

u uu uy yx x

s x y u k x y tx y

$%�&&'

<������� ����� ����� �� ( �� $%�&&'� ��� ��� ��� ���������� ��� ���� ������� �������

2 2

2 2

2 22

2 2,

u k u u

t s x y

u ua

x y

� �� � �� �� �� � ��

� �� �� �� �

� �� $%�&+'

���� 2 .k

as�

� � ( ������� $%�&+'� ������ ���� ������������ ������������ ��� ���

������ ��� ���� ���%���%�� ����� �!���� ���� �������������$� �'� ��� ���������� ������ ��

��������$����������������� 0u

t

∂ =∂

����( ��$%�&+'�����������0������B��� ������

$%�&-'�C����� ���� ������ �� ����������� �� ����������� ��� ���� ��� ��� �� ����

( �� $%�&-'� ���������� ���� ���������

1 2 3 4( , ) ( )( cos sin )kx kxu x y c e c e c ky c ky−= + + $%�&1'

5 6 7 8( , ) ( cos sin )( )ky kyu x y c kx c kx c e c e−= + + $%�&*'

���� ������� ���� �� ��������� ���� ��� ��� ������� �������� ����� ���� ������������������ �� ���� ��������

:�������%�+3 0������B��( ������ 345

Page 359: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

346 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

9.3 FINITE-DIFFERENCE APPROXIMATIONS TO DERIVATIVES

0��� ���� $���'��������������� ����� ����� ��@��� ������������� ���� x hΔ =�� y kΔ = ��� �� ���� ���� ����� �� �����

,

,

x ih

y jk

=

=

0, 1, 2,

0, 1, 2,

i

j

= …

= …���� ������� �� ������������� �� ������ �������� �� ������ ���� ����������� ������� ������� ������� ��� !��$� �������� ������ �� ����

1, ,

, 1,

1, 1, 2

O( )

O( )

O( )2

i j i jx

i j i j

i j i j

u uu h

h

u uh

h

u uh

h

+

+ −

−= +

−= +

−= +

(9.15)

.(9 16)

.(9 17)

��

1, , 1, 22

2O( )

i j i j i jxx

u u uu h

h

− +− += + $%�&7'

����

, ( , ) ( , )i ju u ih jk u x y= =

:���������� �� ����� ���� ��������������

, 1 ,

, , 1

, 1 , 1 2

O( )

O( )

O( )2

i j i jy

i j i j

i j i j

u uu k

k

u uk

k

u uk

k

+

+ −

−= +

−= +

−= +

(9.19)

.(9 20)

.(9 21)

��

, 1 , , 1 22

2O( )

i j i j i jyy

u u uu k

k

− +− += + $%�++'

!�� ���� �� � ������� ���� ��%���8$������%��� �%� �!���� �� �������� ���������� �������������������������������������������� ������������������������������������ ��������������� ������ ������� ������ ���� 0������� � ������� ��� � ������������ ������

Page 360: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

0xx yyu u+ =���� ���� �����8�������� ��������

1, , 1, , 1 , , 12 2

1 1( 2 ) ( 2 ) 0.i j i j i j i j i j i ju u u u u u

h k+ − + −− + + − + = $%�+1'

� ,h k= ����� �����

, 1, 1, , 1 , 11

( ),4i j i j i j i j i ju u u u u+ − + −= + + + $%�+*'

����� ��� �� ����� ���� ������ �� �� ��� ���� ������ ��� ���� ����� �� ���� ������� ������ ���� ������������� ������������� ��� ������ ���� ���%$��$� ��)�#���%�� ����� �D���� /���� %�+$�'E�� ��� ��� ������

1, 1, , 1 , 1 ,4 0i j i j i j i j i ju u u u u+ − + −+ + + − = $%�+2'

F�� ��������� ���� ������ ��� ���� ������ ���� �� ( �� $%�+*'� ��� ������B�� ���������� ���� ��� ��� �� ����

2 4 61, 1, , 1 , 1 ,

4 6

14 ( ) O( )

6

1O( )

6

i j i j i j i j i j xx yy xxyy

xxyy

u u u u u h u u h u h

h u h

+ − + −+ + + − = + − +

= − +$%�+5'

������� �� ������� ������ ��� ( �� $%�+*'�� �� ���� ����� ���� ���� ������

, 1, 1 1, 1 1, 1 1, 11

( )4i j i j i j i j i ju u u u u− − + − + + − += + + + $%�+6'

����� ����� ���� �������� ������� ��� ���� �������� ������� D���� /���� %�+$�'E�� ����� ��������� ������ ���� $��!�%� � ��)�#���%�� ����� ��� ����� ��� ��������� ���������� ��� ��� ���8@�� �� ����� ����0�������� ������� �������� ���������� ���� ������������� ����� ���� ������� �������� *2G�� (�������� ���� ������ ��� ���� ��������� �� ( �� $%�+6'� ��� ������B�� �������� ��� ���� ��� ��� �� ����

4 61, 1 1, 1 1, 1 1, 1 ,

24 O( )

3i j i j i j i j i j xxyyu u u u u h u h− − + − + + − ++ + + − = + $%�+7'

ui j, –1

u , i j–1 u , i j+1ui j,

ui j, +1 u , +1i j–1

u , 1i j ––1 u , 1i j –+1

u , 1i j ++1

ui j,

� � � � � � � � � � � � (a) (b)Figure 9.2 Approximations to Laplace’s equation.

:�������%�13 /�����8<��������=�����������������<���������� 347

Page 361: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

348 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

;������������������ ���������� �� ��� ���� ������( ���$%�+5'����$%�+7'� �������� ������ ��� ������������ ������� ��� ���� ������ ����� ��� ���� ������� �������A������ ��� ���� ������������� �� ������ ������ ��� ���� ���� ������� ���8������������� �������� ���������

(�������������������������������������������( ���$%�+5'����$%�+7'�� �������� ���� %�%�8���%�� ����� �

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

1, 1, , 1 , 1 ,4( ) 20 0

i j i j i j i j

i j i j i j i j i j

u u u u

u u u u u

− − + − + + − +

+ − + −

+ + +

+ + + + − = $%�+%'

��� ��� ������ ����� ���� ������ ��� ����� ������� ��� �� ������ �� ��� �� ������������������� �����8�������� ���������� �� ( ��� $%�*'� ��� $%�2'� ���� ��� ��������

��� ����� ��������� �� �������� ������ �������� ���������� � �������� �������� ��� �������� ��� ���� �����8�������� ����������� ������ ����������� ��$������%��� �'�����%��� ���� ����� ���� ��� ��������������� ��� ���� �������������������������� � ������������������������������ ���� ���������� ��� ����������� �������� ���������� � ������� ��� �� �����8�������� ��������� ��� ����������� ���� ��������� ��� ��������� �������� ��� ���� ����� ��������� �� ���� ������0������B�� � ������� ����� ��� ���������� ������ ��� ��������� ��� �� ������� ������������ ������������:�������%�*�� �� ������������������������������������������� �� ���� ���������� ( �� $%�2'�� A���������� � �������� ���� ��������� ��:������� %�7�

9.4 SOLUTION OF LAPLACE’S EQUATION

!�� ���� ��� ������ 0������B�� � ������

0xx yyu u+ = $%�1-'��� �� ������ �������?� ���� ��������9��=�� ���<��������B�� ��������� ���� ��������� ���� ��� �������� ����� ����� ���9�� /��� ������������ ����?� ��� �� � ����������� ��� ����� ��� ���� ��� ����� ����� �� ��� ��@� �� ������ � ������ �� ���� ��0�����������������$���'����������������9���������������������������������������� ������� ��� ���� �������� ������� ��� ��� ��� /���� %�1�

u1 u2 u3

u4 u5 u6

u7 u8 u9

c1 c2 c3 c4c5

c6

c7

c8

c9c10c11c12c13

c14

c15

c16

Figure 9.3 Interior mesh points and boundary points.

Page 362: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������ ��� ��� �� ��� ���� ��������� ��������� ( �� $%�1-'� ���� ��� �������� ��������� ���� ������� ���8������ �������� ��H��( �� $%�+2'�� ��� ���� �������� ���8������ ������� ������ ��� ( �� $%�+6'�� ���� ������������ �������� ������� ��� ������������������������������ ����������������������������������3� �������������������������8�������������( ��$%�+6'�������������������������������� ��� ����� ������ ������ �� ������

5 1 5 9 13

9 5 7 9 11

3 3 5 7 5

1( );

4

1( );

4

1( ).

4

u c c c c

u u c c c

u c c c u

= + + +

= + + +

= + + +

7 15 5 11 13

1 1 3 5 15

1( );

4

1( );

4

u c u c c

u c c u c

= + + +

= + + +

!���������������� ��� ���������� ���� ���������� �������������H������������ � ����� ��� ���� ���%$��$� ��)�#���%�� ����� �� $%�+2'�� ������ �� ����

8 5 9 11 71

( );4

u u u c u= + + + 4 1 5 7 151

( );4

u u u u c= + + +

6 3 7 9 51

( );4

u u c u u= + + + 2 3 3 5 11

( ).4

u c u u u= + + +

!������������� ��� , ( 1, 2, 3, ,9)iu i = … ������������� ���������������������

�������� ��� ���� �� ���� ���������� ������� �������� ���� �

9.4.1 Jacobi’s Method

0�� ( ),n

i ju ������� ���� %��� ���������� ������ � , .i ju =�� ���������� ��������� �������� ( �� $%�+2'� ��

( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), 1, 1, , 1 , 1

1[ ]

4n n n n n

i j i j i j i j i ju u u u u+− + − += + + + $%�1&'

��� ���� ��������� ����� ������� ����� ��� ������ ���� ���%�� *������ �����$�

9.4.2 Gauss–Seidel Method

���� ������ ����� ���� ������� ���������� ������� ���������� ��� ������ ���� ����������� ��������������� ���� ���� ��� ������ ������ ����������� �� ������� ���������������� ��3

( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ), 1, 1, , 1 , 1

1[ ]

4n n n n n

i j i j i j i j i ju u u u u+ + +− + − += + + + $%�1+'

��� ���� ��� ��� �� ����� ���� 4����):����� ������� ���������� � ���� ��� ���� ������ I������ �������� ����� ������ ��� ����� ������� ��� ��� &�����%%��� �����$�

:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 349

Page 363: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

350 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

9.4.3 Successive Over Relaxation (SOR) Method

( ������� $%�1+'� ���� ��� ������� ��

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )( 1), , ,1, 1, , 1 , 1

( ),,

14

4

1

4

n n n n n nni j i j i ji j i j i j i j

ni ji j

u u u u u u u

u R

+ + +− + − +

⎡ ⎤= + + + + −⎣ ⎦

= +

����� ��� �� ����� $&J*'��� �� ��� ����������� ��� ��������������� �� �������4����):����� ����������� ��� ���� :�?� ������� �� ������� ������� ����� ����� ��� ������� ( )

, ,ni ju ��� ���� ���������� ������� ��� ������� ��

1

( 1) ( ),, ,

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ), ,1, 1, , 1

( 1) ( ), ,

1

41

(1 )4

(1 )

j

n ni ji j i j

n n n n ni i ji j i j i j

n ni j i j

u u R

u u u u u

u u

� �

� �

� �

� � �

� �

� �� � � � � �� �

� � � $%�11'

���� ����� �� ������������ �� ( �� $%�11'� ������ ��� ���� ������� � �� ������� ������ ���� ���� �����%!� ������� ��� ����� ��� ���� &� ��� +�

���� ����������� ������ ��� ���� ������ ���� ��� ������ ��

( 1) ( ), ,

( 1)100%�

� �

n ni j i j

ij nij

u u

u $%�1*'

��� ������ �����F�=��9���K� ����� �� ��#�&�762�� ������������������������ ( �� $%�11'� ��� � ���� ��� ���� ��� ����� ��� �� #� &� ��� �� �� #� &�%� ���� ���������������������*-������������������������� ��� ��#�&� �������������� ���������������������������������������������� �� �������� ��������������������������� ������� �� ���������

������� �� :����� 0������B�� � ������� ��� ���� � ����� ������� ��� �� ��/���� %�*�� ���� �������� ������� ������ ��� ��������

1 2 B

4

5

XA540

2

1

C

Y

R S

P Qu1 u2

u3 u4

Figure 9.4

Page 364: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� ��� ����� ���� ���� ������ ����� ����������������������� ���������� ��������� ��������=9��A����� ��� #���� ��� �� ���� ��� ������������ ����������������� ���8������ ������� ������� ��� ���� ������ �� �����

2 3 12 4 4 0.u u u+ + + − =A����� �� ����

1 2 31

( 6).4

u u u= + +

���� ���������� ������� ��� ��������

( 1) ( ) ( )1 2 3

16 .

4n n nu u u+ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

:���������� ���� ���������� �������� ��� ���� �������>� ���?� ���� ������ ��

( 1) ( 1)2 1

1 5,

2 2n nu u+ += +

��

( 1) ( 1)3 1

1 1.

2 2n nu u+ += +

/��� ���� ����� ����������� ��� 2 5u = $������ ��� ��� ������� ��� ���� ����� 5),u = ��(0)3 1.u = A����

(1)1

(1)2

(1)3

1(5 1 6) 3,

4

1 5(3) 4,

2 2

1 1(3) 2.

2 2

u

u

u

= + + =

= + =

= + =

/��� ���� ������ ����������� �� ����

(2)1

(2)2

1(4 2 6) 3,

4

1 5(3) 4,

2 2

u

u

= + + =

= + =

��

(2)3

1 1(3) 2.

2 2u = + =

:����� ���� ������� ���� ���������� �� �������� ���� 1 2 33, 4, 2u u u= = = ��

4 3.u =

������� � :����� ���� � ������ 0xx yyu u+ = ��� ���� ������ �� /���� %�2�

���� ����$�'�I�����B���������$�'�4����):����B������������$�'�:�? ������

:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 351

Page 365: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

352 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

1 1

0

0

0

0

0 0

u4 u3

u2u1

Figure 9.5

$�' ���������*����������������%���������� ��������������������������������� ���� ���� ��� ��� ��� ��� ���� �3

(1)1

(1)2

1(0 0 0 1) 0.25;

41

(0 0 0 1) 0.25;4

u

u

= + + + =

= + + + =

(1)3

(1)4

1(1 1 0 0) 0.5;

41

(1 1 0 0) 0.5.4

u

u

= + + + =

= + + + =

���� ����������� ����� ����� ��������� ������ ( �� $%�1&'�� ��� ������ ������������������� ���� ������ ���� 3

u1 u2 u3 u4

0.1875 0.1875 0.4375 0.4375

0.15625 0.15625 0.40625 0.40625

0.14062 0.14062 0.39062 0.39062

0.13281 0.13281 0.38281 0.38281

0.12891 0.12891 0.37891 0.37891

0.12695 0.12695 0.37695 0.37695

0.12598 0.12598 0.37598 0.37598

$�' ����+,��$� � �����$-� /���� ����������� ��������� ���� ������ ���� 3u1 u2 u3 u4

0.25 0.3125 0.5625 0.46875

0.21875 0.17187 0.42187 0.39844

0.14844 0.13672 0.38672 0.38086

0.13086 0.12793 0.37793 0.37646

0.12646 0.12573 0.37573 0.37537

Page 366: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

$�' ,.�� �����$-�!������ #� &�&�� ������ ����������� ��������� �������� ��� �����( �� $%�11'� ���� ������ ���� �

u1 u2 u3 u4

0.275 0.35062 0.35062 0.35062

0.16534 0.10683 0.38183 0.37432

0.11785 0.12181 0.37216 0.37341

������� �� :����� 0������B�� � ������� ��� /���� %�5� ������ ���� 3

50 100 100 100 50

0

0

0

0 0 0 0 0

0

0

0

u1 u2 u3

u4 u5 u6

u7 u8 u9

Figure 9.6

!�� ����� �������� ���� ���������� ���� ���� ���� ��� ��� ��� ��� ������ ���� ����������8������ ������� ������ ��� ( �� $%�+6'�� ������ �� ������

(1)5

(1)1

25.00;

6.25;

u

u

=

=

(1)7

(1)3

42.75;

6.25.

u

u

=

=

(1)9 43.75;u =

!���� ������������������ � ������ ������������� ��� ������ ���� ������� ���8������ ������� ������ ��� ( �� $%�+2'

(1)8

(1)6

53.12;

18.75;

u

u

=

=

(1)4

(1)2

18.75;

9.38.

u

u

=

=

!������� ����� �������� ���� ����� ��������������� �� ���� ���� ���������� ��������� �������� ����������� ���� ���������� �������������� ���:�������%�*��!���������� ���������8����������������������������������4����):�����������3

u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9

7.03 9.57 7.08 18.94 25.10 18.98 43.02 52.97 42.99

7.13 9.83 7.20 18.81 25.15 18.84 42.94 52.77 42.90

7.16 9.88 7.18 18.81 25.08 18.79 42.89 52.72 42.88

7.17 9.86 7.16 18.78 25.04 18.77 42.88 52.70 42.87

:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 353

Page 367: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

354 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

������� �� :����� ���� �������� � ������2 210 ( 10).xx yyu u x y+ = − + +

��� ���� ������ �� /��� %�6�

0

u3 u4

u2u1

A B

C D

1

1

2

2

3

3

Yu=0

u=0u=0

X

Figure 9.7

0��� ���� ������� �� �� ��� ���� ���� ���� �������� =�� F�� 9�� <� ��� ���� ���� ���� ����������������� 0��� ���� ���� ������� ��� ����� �� , ,x ih y jh= = ���� 1,h =, 0, 1, 2, 3.i j = =�� ���� ������=� 1, 1.i j= = ���� ������� ���8������ ���������������� ����������=������

2 3 10 0 4 10 (1 1 10)u u u+ + + − = − + +�����

1 2 31

( 120)4

u u u� � � $�'

=������ ���� ������� ���8������ ������� ������� ��� ���� ������F� �����

1 4 20 0 4 10 (4 1 10)u u u+ + + − = − + +�����

2 1 41

( 150)4

u u u= + + $��'

:������������������������8����������������������������������9����<�������������������

3 1 41

( 150)4

u u u= + + $���'

��

4 2 31

( 180)4

u u u= + + $��'

Page 368: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

/����$��'����$���'�� ��� �������� ���� 2 3u u= ������ ������ ����������������������� ���� $�'�� $��'� ��� $��'�� ���� ���������� �������� ���� ��������� ����� ��

( 1) ( )1 2

( 1) ( 1) ( )2 1 4

( 1) ( 1)4 2

130

2

1150

4

145.

2

n n

n n n

n n

u u

u u u

u u

+

+ +

+ +

= +

⎡ ⎤= + +⎣ ⎦

= +

/��� ���� ����� ����������� �� ������� ���� (0) (0)2 4 0.u u= = A����� �� ������

(1)1

(1)2

(1)4

30,

1(30 0 150) 45

4

1(45) 45 67.5.

2

u

u

u

=

= + + =

= + =

/��� ���� ������ ����������� �� ����

(2) (1)1 2

(2) (2) (1)2 1 4

(2) (2)4 2

1 130 (45) 30 52.5

2 2

1 1150 [52.5 67.5 150] 67.5

4 4

145 78.75.

2

u u

u u u

u u

� � � � �

� �� � � � � � �� �

� �� � �� �

/��� ���� ����� ����������� �� ������

(3) (2)1 2

(3) (3) (2)2 1 4

(3) (3)4 2

1 130 (67.5) 30 63.75

2 2

1 1150 [63.75 78.75 150] 73.125.

4 4

1 145 (73.125) 45 81.5625.

2 2

u u

u u u

u u

= + = + =

⎡ ⎤= + + = + + =⎣ ⎦

= + = + =

���� ������ ���������� �����

(4) (3)1 2

(4) (4) (3)2 1 4

(4) (4)4 2

1 130 (73.125) 30 66.5625

2 2

1 1150 [66.5625 81.5625 150] 74.53125

4 4

1 145 (74.53125) 45 82.2656.

2 2

u u

u u u

u u

= + = + =

⎡ ⎤= + + = + + =⎣ ⎦

= + = + =

:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 355

Page 369: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

356 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

/��� ���� ���� ����������� �� ������

(5) (4)1 2

(5) (5) (4)2 1 4

(5) (5)4 2

1 130 (74.53125) 30 67.2656

2 2

1 1150 [67.2656 82.2656 150] 74.8828

4 4

1 145 (74.8828) 45 82.4414.

2 2

u u

u u u

u u

� � � � �

� �� � � � � � �� �

� � � � �

���� ������ ���������� �����

(6) (5)1 2

(6) (6) (5)2 1 4

(6) (6)4 2

1 130 (74.8828) 30 67.4414.

2 2

1 1150 [67.4414 82.4414 150] 74.9707.

4 4

1 145 (74.9707) 45 82.4854.

2 2

u u

u u u

u u

� � � � �

� �� � � � � � �� �

� � � � �

/���� ���� ����� � �� ���������� �� �������� ����

1 67,u = 2 3 75,u u= = �� 4 83.u =

9.4.4 ADI Method

����� ��� ��� �������� ������ ��� ���� ���������� ��������� �� ��������� ����������������� � �������� ��� ��� �������� ��� ��������� ��� ?������� ��� �� ����� �������� ����� ��� ����� ������������� �� ����������� ���� ������������� ���� ��������� ��� ����0�������� ������� ��� � �������������/������������������� ������ ��� ������� ��� ��������� ��� L������ D&%55E�

!�� �������� 0������B�� � ������� ��� � �� ����������� ��H��2 2

2 20

u u

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

$%�12'

��� ���� ������� ���8������ ������

1, 1, , 1 , 1 ,4 0i j i j i j i j i ju u u u u− + − ++ + + − = $%�+2'

���������� ������������� ���( �� $%�+2'� ��������� ����������������� ������������������ � ��������� ����� ���������� �������� �� 6,n = ��� �� ���� ���

4 1 0 1 0 0

1 4 1 0 1 0

0 1 4 0 0 1

1 0 0 4 1 0

0 1 0 1 4 1

0 0 1 0 1 4

A

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−

= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

$%�15'

Page 370: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� �������� ���� �� ����� �� ������� ��� ������ ��

0

,

0

T I

I T I

B

I T I

I T

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

� � � � � � $%�16'

����� /� ��� �� ����������� ������� �� ���� ���

4 1

1 4 1 0

0 1 4 1

1 4

T

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

� � � � � � $%�17'

:������=� ��� ������ ��� ��(� ���$��!�%� � ������� ��� ����� �������� ���� �������� 4�������� ������������ ���� ��� ���� ����� �� ������ ��������� ��� 4����):����������������F��� ����������� ���������� ���� �������( �� $%�17'������������������� ������ ����� ����@� ����������� ��������� A����� ���� �������� ������� ��� �� ������� �������������������������������������������������������������������0������B�� � �������� ��������� ���?������ ��� �� ����� ����� ��� ���������������������������������������������� ���%���%!�$�������%���� ����������$��� ����=<�� �����'� ��� �������� ���� �

!�� ���������� ( �� $%�+2'� ��� ������� �� � �� ���3

1, , 1, , 1 , 14i j i j i j i j i ju u u u u− + − +− + = − − $%�1%'��

, 1 , , 1 1, 1,4i j i j i j i j i ju u u u u− + − +− + = − − $%�*-'

���� =<�� ��� ��� ��������%� ������ ��� ( ��� $%�1%'� ��� $%�*-'� ���� ���� �������������������

( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ),1, 1, , 1 , 14r r r r r

i ji j i j i j i ju u u u u+ + +− + − +− + = − − $%�*&'

��( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1)

,1 1 1, 1,4r r r r ri ji j i j i j i ju u u u u+ + + + +

− + − +− + = − − $%�*+'

( ������� $%�*&'� ��� ���� ��� �������� �������� ������� ��� ���� ��������� ����������� ������ �� �� ��� ( �� $%�*+'� ������ ������ ��������� /�� 1, 2, 3, ,j = …

1,n − ( �� $%�*&'� ������ �� ����������� ������� �� � �������� ��� ���� ������� ���������:���������� �� 1, 2, 3, , 1,i n= … − ( �� $%�*+'�������������� ����������������� �� � ��������

��� ����=<��������� �������� $%�*&'���� $%�*+'����������������������/����������� ��� ���� ����� �� 1,j = ��� ( �� $%�*&'� �����

:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 357

Page 371: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

358 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( )1,1 ,1 1,1 , 0 , 24 ,r r r r r

i i i i iu u u u u+ + +− +− + = − − ( 1, 2, 3, , 1)i n= … − $%�*1'

��������� ���� ���� �������� ����������� ( �� $%�*1'� ����������� �� ������������������� � �������� ��� ���� ������� ������ �� ( 1)

,1 .riu + !������� ���� 0 # +� ��

������� ���� ������� � ( 1), 2r

iu + ��� ���� ������ �� �� ���� �������� ��� �������� ������ ������ �����H������� 1.j n= − !����������������� �������������� ����� �����( �� $%�*+'� ��� ������� ( 2)

, .ri ju + ��� ��� ����� ��� ���� ����� ��� ������ ������ �� ���

��� �������� �� ����������� ��������� � ���������(�������%�2������������� ��������� �� ���������

������� �� :����� 0������B�� � ������� 0,xx yyu u+ = ��� ���� ������ �

/���� %�7� $���� (������� %�+'�

0

0

1 1

0 0

0

0

u0,0 u1,0

u1,1 u2,1

u2,0

u3,0

u3,1

u2,2u1,2u3,2

u3,3u2,3u1,3u0,3

u0,2

u0,1

Figure 9.8

��������������������������( ���$%�*&'����$%�*+'�� ��������������������������� �������� ��� ��� /��� %�7�

��� ������ ���� ������������ �� ��� 0.r = /��� ���� ����� �� � 1.j = �����( �� $%�*&'� �����

(1) (1) (1) (0) (0)1,1 ,1 1,1 , 0 , 24 .i i i i iu u u u u− +− + = − − $�'

!��� 1i = �� 2,i = ����� ������ � �� � �������

(1) (1) (1) (0) (0)0,1 1,1 2,1 1, 0 1, 24u u u u u− + = − −

��(1) (1) (1) (0) (0)1,1 2,1 3,1 2, 0 2, 24 .u u u u u− + = − −

:������������ ���� �������� ������� ��� ��������� ���� (0)1, 2 1u = �� (0)

2, 2 1,u =���� ������ � �������� ����

(1) (1)1,1 2,1

10.3333.

3u u= = =

Page 372: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

/����������������������������������������������� �� ����� 2j = �� $%�*&'���������

(1) (1) (1) (0) (0)1, 2 , 2 1, 2 ,1 , 34i i i i iu u u u u− +− + = − − $��'

!��� 1i = �� 2,i = ( � $��'� �����

(1) (1) (1) (0) (0)0, 2 1, 2 2, 2 1,1 1, 34u u u u u− + = − −

��

(1) (1) (1) (0) (0)1, 2 2, 2 3, 2 2,1 2, 34u u u u u− + = − −

:������������ ���� �������� ������� ��� �������� ���� ������� �� ������

(1) (1)1, 2 2, 2

10.3333.

3u u= = =

A������ ��������� ���� ������������� ��� ���� � �� �� ��� �� �� � ���������� ����������������������� ���� ������������������ ������������� ��������� ���� �������� ����� /��� ������ �� ���� ( �� $%�*+'� ��� 0.r = :������ 1,i = ( �� $%�*+'�������

(2) (2) (2) (1) (1)1, 1 1, 1, 1 0, 2,4j j j j ju u u u u− +− + = − − $���'

������� 1j = �� 2j = ��� ���� ������� �� ������� ���� � �������

(2) (2) (2) (1) (1)1, 0 1,1 1, 2 0,1 2,14u u u u u− + = − −

��(2) (2) (2) (1) (1)1,1 1, 2 1, 3 0, 2 2, 24 .u u u u u− + = − −

:����������������������������������������������������� ��������� ��������

(2)1,1

80.1778

45u = = ��

(2)1, 2

170.3778

45u = =

����������� �������������� ������������������ ���� ���� 2i = ���( �� $%�*+'

(2) (2) (2) (1) (1)2, 1 2, 2, 1 1, 3,4j j j j ju u u u u− +− + = − − $��'

������� 1j = �� 2j = ��� ���� ������� �� ������� ���� � �������

(2) (2) (2) (1) (1)2, 0 2,1 2, 2 1,1 3,14u u u u u− + = − −

��(2) (2) (2) (1) (1)2,1 2, 2 2, 3 1, 2 3, 24u u u u u− + = − −

:������������ ���� �������� ������� ��� ���� ������ � �� � �������� ��� ������������� �� ������

(2)2,1 0.1778u = �� (2)

2, 2 0.3778u =

:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 359

Page 373: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

360 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

������������������������������������������������������������������������������� ��� ����������������������������������������� �������������������������� ������������� ��� ���� ����� ����������

9.5 HEAT EQUATION IN ONE DIMENSION

���������� ���������������������������� ������������������������������������ ������� ��� ��� �� ����� ��������� ��������� ( ������� $%�&+'�� ������ ��:������� %�+�������� � �8����������� ����� ���������� ��� �� ������� ������� ��� ������� �� �� �������� �� ����� ����� ��������� ��� ��� � ����� ���� ������� ����������������� ��������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������� ������

22

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

α $%�**'

����

2 k

s=α

ρ$%�*2'

��� ( �� $%�*2'�� (� ��� ���� ���������� �� ������������ �� ���� ���������� �� ��� ��������������� ���������������������=����������������������( ��$%�**'������������ ���� ������ �� ����������� �� ���������� ���� ������ ��

2 2

2 2

1 2

2 3

( , ) ( cos sin )

( , ) ( )

p t

p t px px

u x t e c px c px

u x t e c e c e

�� � ���� � �

�$%�*5'

/����( ��$%�*5'������������������������������������������������������������� ���� �������� ���������� ������� ��� ��� ������ ����� ��� ������( �� $%�**'�� ����� ���� �������� ��������� ��� � �� � �������� ����������� ��� ���� �� ����� ������� ������� ���� ��%���� $������%��� ��� ������ �� �%�� �����������%�� ��� ����� �������

9.5.1 Finite-difference Approximations

!�� ����� ���� $� �'� ������ ����� �������� ����������� ��� ������ �� ���� ����� ������

� #� ���� � � �� #� -�� &�� +�� M

�� #� ( �� � � (� #� -�� &�� +�� M

����� �� #� �� ��� � #� ���� <�������� �$���� ( '� #� kiu �� �� ����

1k ki iu uu

t l

+ −∂ ≈∂

$%�*6'

Page 374: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��

� �2

1 12 2

12

� �

�� � �

k k ki i i

uu u u

x h$%�*7'

( ������� $%�**'� ��� �������� ��� ���� ������ �������� ��������

12 1 1

2

2,

k k k k ki i i i iu u u u u

l h

� �� � �

� �

����� ���������� ��1

1 1 (1 2 ) ,k k k ki i i iu u u u�

� �� � � �� � $%�*%'

����

2

2

l

h= αλ $%�2-'

��� ( �� $%�*%'�� 1kiu + � ��� ��������� �� ���� �� ��� ������ �� 1 1,k k

i iu u− + � ��� .kiu

A����� ��� ��� ������ ���� �� ����� ������� ��� ���� ��������� �� ���8���������������� �������� ��� ������� ��� �� �����( �� $%�*%'� ������������� ���-������� 1

2�

����� ��� ������ ���� ����� ���� ��%$����%� � ��� ���� ��������� �������

�� �� ���� �� #�1

2� ��� ( �� $%�*%'�� �� ������� ���� ������� ������

� �11 1

1

2�

� �� �

k k ki i iu u u $%�2&'

����� ��� ������ ��%$��+,����$�� �������%��� ����� ��� ��� ��� ������ ����( ��� $%�*%'����$%�2&'������ ����������������������������� ���� ������������������������������=� ������� ������������������ ���� ����������������� ��� ����

������9���@����;������������( ��$%�**'���� ���������2

2

u

x

∂∂

���������������

�� ���� ������ �������� ��������������� ��� ���� (��� ��� $( "&'��� ����� ������� �� ������

� �2

1 1 11 1 1 12 2

12 2

2k k k k k ki i i i i i

uu u u u u u

x h� � �

� � � �

�� � � � � �

A������ ( �� $%�**'� ��� ������������ ��

� �1 2

1 1 11 1 1 12

2 22

k kk k k k k ki ii i i i i i

u uu u u u u u

l h

� � �

� � � �

� � � � � ��

����� ���������� ��

11 11 1 11(2 2 ) (2 2 )kk k k k k

i i i i iiu u u u u u�� �

� � ��� � � � � � � �� � � � � � $%�2+'

�����������������( ��$%�2+'� ���������������@�� �������������������������������@�� �� ����������������������������%(+1��� ��%������ ������������8����������� ����� � ������� ��� ��� ��� ��� ��� ����� ����� �

:�������%�23 A����( ��������������<�������� 361

Page 375: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

362 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

��� ��� ����������� ���� � � ��%���� )� ���� ���� � �� ������ ����1� ����������������������������������� �������( ��$%�2+'�������1��������������� �������������� 1� ��@�� ���� ��� �� �������� ���� ������� �� �� ��� ���� ����� �� �� ���� ������������

��������� C�������F����):�����������������������������������������������

2

2

1

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

���� ���� ���������� �$�� -'� #� *� )� �� ��� �$-�� �'� #� �$*�� �'� #� -�

:������� �� #� &�� �� ���� ����� � #� &� ���� �� #�1

2�

;� �� ���� �������� ������� ���

�$-�� -'� #� -�� �$&�� -' #� 1�

�$+�� -'� #� *�� �$1�� -' #� 1

�� �$*�� -' #� -�/�������� �$-�� �'� #� �$*�� �'� #� -�

/��� � #� &�� F����):������ ������� �����

11

1(0 4) 2,

2u � � �

12

1(3 3) 3,

2u � � �

13

1(4 0) 2.

2u = + =

:���������� ��� � #� +�� �� ������

21

1(0 3) 1.5,

2u � � �

22

1(2 2) 2,

2u � � �

23

1(3 0) 1.5.

2u � � �

9���������� ��� ����� ���� �� ������

31 1,u = 3

2 1.5,u = 33 1,u �

41 0.75,u = 4

2 1,u = 43 0.75,u =

51 0.5,u = 5

2 0.75,u = 53 0.5,u = � ��� ��� ���

Page 376: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������� �� :����� ���� ����� ���������� �������2

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

���N���� ��� ���� ���������� �$�� -'� #� ���� � �� -� �� � �� &�� ��� �$-�� �'� #�$&���'�#�-��C���F����):�����B�����9���@);������������������������������ ������ �� �$-�5�� -�-*'� ��� �������� ���� �������� ���� ���� ������ ������

���� ������ ��������� �� ����� �������� ��� ������ ��

�$�� �'� #� ������ ���� � �

��� ����� ���� ������ ������ �� �$-�5�� -�-*'� ��� -�5*-7�$�'� ��%$��+,����$�� ����� �

0��� �� #� -�+�� � ����� � #� ���� #�1

2$-�-*'� #� -�-+�

���� �������� ������� ���� ���00 0,u = 0

1 0.5878,u = 02 0.9510,u =

03 0.9510,u = 0

4 0.5878,u = 05 0.u =

����� F����):������ ������� �����

11

1(0.9510) 0.4755,

2u = = ( )1

21

0.5878 0.9510 0.7694,2

u = + =

13 0.7694,u = 1

4 0.4755u = �

=����

21

1(0.7694) 0.3847,

2u = = 2

2 0.62245,u =

23 0.62245,u = 2

4 0.3847.u =

���������� �$-�5�� -�-*'� # 23u #� -�5++*�� ���� ������ ��� ����� ��� -�-&7*�

$�'� ���%(+1��� ��%� ����� �0��� �� #� -�+� ��� � � #� -�-*�� ��� ����� �� #� &�/��� �� #� &�� 9���@);�������� ������� �������

1 1 1–1 1 –1 1– 4k k k k k

i i i i iu u u u u� � �

� �� � � � $�'

�������� (� #� -� ��� $�'�� �� ������1 1 1 0 0–1 1 1 14i i i i iu u u u u

� � �� � � � �

9������������ ��� �� #� &�� +�� 1�� ��� *�� �� ������� ���� ���� � �������1 11 24 0.9510u u− =

1 1 11 2 3– 4 1.5388u u u+ − =1 1 12 3 4– 4 1.5388u u u+ − =

1 13 4– 4 0.9510u u� �

:�������%�23 A����( ��������������<�������� 363

Page 377: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

364 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

F�� ���������� �� ����1 1 1 11 4 2 3andu u u u= =

:������� ���� ������ �������� �� ������1 12 3 0.6460u u� �

A������ �$-�5�� -�-*'� �� -�5*5-�� ���� ������ ��� ����� ��� -�--2+�

������� �� :����� ���� ����� � ������

2

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

���N���� ��� ���� ���������

�$�� -'� #� -�� � � �$-�� �'� #� -� � � ��� � � �$&�� �'� #� ��

C����� 9���@);�������� �������� ��� ���� ������ ��1 1

,2 8

u� �� �� �

� ��@���

������������� $�'� �� #�1

2�� � #�

1

8�� $��'� �� #�

1

4�� � #�

1

8�� 9������� ���� �������

�������� ���� ���� ������ ������ �� 1 1,

2 8u� �� �� �

� #� -�-&767�

$�'�1 1 1

, . Then .2 8 2

h l= = =λ

9���@);�������� ������� �����

1 1 11 1 1 1– 6 2 .k k k k k k

i i i i i iu u u u u u+ + +− + − ++ − = + +

:������� (� #� -� ��� �� #� &� ��� ���� ������ � �������� �� ������

1 1 1 0 0 00 1 2 0 1 2– 6 2 0.u u u u u u+ − = + + =

1 1 11 0 2

1 1, since 0 and .

48 80.02083 (error 0.00205).

u u u� � �

� �

$��'� � 1 1, . Then 2.

4 8h l �= = =

���������� 9���@);�������� ������� �����

1 1 11 1 1 1– 3k k k k k k

i i i i i iu u u u u u+ + +− + − ++ − = − +

!���� (� #� -�� �� ������

1 1 1 0 0 01 1 1 1– 3 0, 1, 2, 3.i i i i i iu u u u u u i� � � �� � � � � � �

Page 378: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

9������������ ��� �� #� &�� +� ��� 1�� �� ������� ���� ������ � �������

1 11 2

1 1 11 2 3

1 12 3

–3 0

3 0

13 – .

8

u u

u u u

u u

− =

− + =

− =

:������� ���� ������ �������� �� ������

12

1 1 1, 0.01786 (error 0.00092).

2 8 56u u

⎛ ⎞= ≈ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

9.6 ITERATIVE METHODS FOR THE SOLUTION OF EQUATIONS

���� ����������������� �������� ��� :������� %�*� ���� ��� ������� ��� ������ ��������8�������� � �������� �������� ��� ���� ��������� ��������� ��� ����9���@);��������������� ���� �������� ���������� � ������

2

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

��� �������� ��� ���� �����8�������� � ������

, 1 , 1, 1 1, 1, 1 1, ,1

(1 ) ( 2 )2i j i j i j i j i j i j i jr u u r u u u u u+ − + + + + −+ = + + + + − $%�21'

���� 2/ .r k h=

��� ( �� $%�21'�� ���� ��@�� ��� ��� , 1 1, 1,i j i ju u+ − + �� 1, 1,i ju + + ��� ���� ������

����@�� ������������� ��������������������������0���������A����������������� 0B�� ��� �������

, 1, , 1,1

( 2 )2i i j i j i j i jc u r u u u− += + − +

$%�2*'

( �� $%�21'� ���� ��� ������� ��

1 1( )2(1 ) 1

ii i i

cru u u

r r− += + ++ + $%�22'

/���� ( �� $%�22'�� �� ������� ���� ���������� ������

( 1) ( ) ( )1 1[ ] ,

2 (1 ) 1n n n i

i i icr

u u ur r

+− += + +

+ + $%�25'

��������������� ��� ( 1) thn + �������� ��� �������� ����%��� ������������������ ��@�� �� ��� *�����B�� ��������%� ����� ��

:�������%�53 ����������O�������������:����������( ������� 365

Page 379: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

366 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

�������������������( ��$%�25'� �������� ���� ���������������� ( 1),niu + � ���

�������������� 1,iu − ������ ( 1)1 ,n

iu +− �������������������� A���������������������

�� I�����B�� ���������� ������� ������� ����������� ��������� ( )1

niu − � ��� ������

���������( ��$%�25'����������������������������������������� ( 1)1 .n

iu +− =����������

�� ������� ���� ������

( 1) ( 1) ( )1 1[ ]

2(1 ) 1n n n i

i i icr

u u ur r

+ +− += + +

+ + $%�26'

����� ��� ������ ���� ����),��$� � ��������%� ����� ��� ��� ���� ��� ��� �� ����( �� $%�26'����������� ������� �������������������� ����� ������������� � ���������� ��� I�����B�� �������

( ������� $%�26'� ���� ��� �� ������� ��

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )1 1[ ]

2(1 ) 1n n n n ni

i i ii icr

u u u u ur r

+ +− +

⎧ ⎫= + + + −⎨ ⎬+ +⎩ ⎭

���� ����� ��� ��� ������ ����� ���� ����������� ������ ���� ������ ����@���� ��� ����������� ��� ���� ���� %��� ��� $% " &'��� ���������� �� �� ��@�� ���� ���������� �� ω ������ ����� ������������ �� ����� ������

( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )1 1[ ]

2 (1 ) 1n n n n ni

i i ii icr

u u u u ur r

�+ +

− +⎧ ⎫

= + + + −⎨ ⎬+ +⎩ ⎭$%�27'

��������������������������)���)��#�� �����%�$���:�?'������� ω ������������ �� �����%� ������� ��� ��� ������ ����������� ��� ���� &� ��� +�

������� � :����

2

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

���N���� ��� ���� �������� �������� sinu xπ= �� 0t = �� 0 1x≤ ≤ �� 0u = ��0x = �� 1x = �� 0,t > ��� ���� ����+,��$� � �����$�!�� ������ 0.2h = �� 0.02k = ��� ���� 2/ 1/2.r k h= = ( ������� $%�26'

��������� �������

( 1) ( 1) ( )1 1

1 2[ ]

6 3n n n

ii i iu u u c+ +− += + + $�'

0��� ��������������� ��� ���� ��������������������� ��� ���� �� �������������� ��0.02t = �� 1 2 3 4, , , ,u u u u ��� ��� �� ��� /���� %�%�=�������� ������� ������ ��� ( �� $�'� ��� ���� ���� �������������� �������� �

������� ������������

( 1) ( )1 2

( )2

1 2 1[0 ] 0.5878 (0 2 0.5878 0.9511)

6 3 4

10.3544

6

n n

n

u u

u

+ ⎡ ⎤= + + + − × +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + $��'

Page 380: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

u1 u4u2 u3

1.00 0.2 0.4 0.6

0.0 0.00.5878 0.58780.9511 0.9511

0.8x

u

u = 0 u = 0

t

k = 0.02

Figure 9.9

( 1) ( 1) ( )2 1 3

( 1) ( )1 3

1 2 1[ ] 0.9511 (0.5878 2 0.9511 0.9511)

6 3 4

1[ ] 0.5736

6

n n n

n n

u u u

u u

+ +

+

⎡ ⎤= + + + − × +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + $���'

( 1) ( 1) ( )3 2 4

( 1) ( )2 4

1 2 1[ ] 0.9511 (0.9511 2 0.9511 0.5878)

6 3 4

1[ ] 0.5736

6

n n n

n n

u u u

u u

+ +

+

⎡ ⎤= + + + − × +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + $��'

( 1) ( 1)4 3

( 1)3

1 2 1[ 0] 0.5878 (0.9511 2 0.5878 0.0)

6 3 4

10.3544

6

n n

n

u u

u

+ +

+

⎡ ⎤= + + + − × +⎢ ⎥⎣ ⎦

= + $�'

( ��������$��'��$���'��$��'����$�'������� ������������������������������������������ ���� ���� ��� ��� ���� �������������� ���� ������ ���� � ������ ���� ������������������� �� ���� ���� ��� ��� ��� ������������� �� 0.02.t =

x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0u(x) 0.0 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0

n = 0 0.0 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0

n = 1 0.0 0.5129 0.8176 0.8078 0.4890 0.0

n = 2 0.0 0.4907 0.7900 0.7868 0.4855 0.0

n = 3 0.0 0.4861 0.7858 0.7855 0.4853 0.0

n = 4 0.0 0.4854 0.7854 0.7854 0.4853 0.0

n = 5 0.0 0.4853 0.7854 0.7854 0.4853 0.0

:�������%�53 ����������O�������������:����������( ������� 367

Page 381: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

368 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

��������������� ������������������ 0.5x = ��� ���������� �� �������������������� ����������� ��������� �� ���� �������� ��� ������ ��

2sintu e xπ π−= � ��� ���

������������������� 0.2x = �� 0.4x = �����������������-�*7+2����-�67-6���������������� ������ ��� ����� ���� ���������� ��� ������ -�5P�� ��� ���� ������ �����������������@���������������� ��������������������@����������� ������������ ��� ���� ������

9.7 APPLICATION OF CUBIC SPLINE

!�� �������� ������ ���� �������� �������� ������ �������� ����� ��2

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

$%�2%'

���� ���� ���������

1

2

( , 0) ( ), 0

(0, ) ( )

and ( , ) ( )

u x g x x a

u t f t

u a t f t

� � � ��

� ��� �

$%�5-'

����� !$'�� ��$�'� ��� ��$�'� ���� ������ ����������=�� ��������� �� �������� #� ����� #� � ��� �$���� ( '� #� k

iu �� �� ,�$'� ������� ���� ������ ������� ����������������� �������� ������� ,k

iu � ����� ( �� $%�2%'� ��� ������������ ��

11(1 )� �

��

� � �

k kk ki ii i

u uM M

l$%�5&'

����

( ).ki k iM S x� ��

C����� ���� ����������� ���������� ��� ���� ������� ������ ����������� ��� ���� (�����$( "&'��������������������� k

iM ���� 1kiM + ����( ��$%�5&'������������������

!���� ����� ��� ����� �� ������� ���� ���� ���� ������ �������� ���������������� ���� ���8����������� ����� � ������

1 1 11 1

1 1

(1 6 ) ( ) (4 12 )

[1 6 (1 )] ( ) [4 12 (1 )] ,

k k ki i i

k k ki i i

r u u r u

r u u r u

� �

� �

� � �

� �

� �

� � � �

� � � � � � � $%�5+'

����� �� #� 2

l

h� ��� �� #� &�� +�� M�� % ) &�

( �������$%�5+'�������������������������!��������������������������������������������������( �� $%�2%'���� ������� ��� ����������������9���@);��������������� ��� ����������� �������� �� �� ��� ���� ��� ������� ����� ( �� $%�5+'

������� ��� ���� ��������� ������� ��� 1

6r� = �� �������� ���� �������

1 1

2 6r� = +

����� ��� ���� 9���@);�������� ��������������� �����������������������������������������������������������

��� ( ��� $%�2%'� ��� $%�5-'� ������ ( �� $%�5+'�

Page 382: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

$�' <��������� 0iM ���� ���� ��������

0 0 01 1 1 12

64 ( 2 ),

( 1, 2, , 1)

� � � �� � � � �

� � �

i i i i i iM M M g g gh

i n

$%�51'

���0 00 1 2(0) and (0).nM f M f′′ ′′= =

$��' :�������������������( ��$%�5+'����(�#�-� ���� 10 1( )u f l� ���� 1

2 ( )nu f l= �

����� ������ ���� ������� �� 1 1 11 2 1, , , nu u u

� �

$���' 9������� 11M $��#�&��+��M��%�)�&'������� ������������������������ ���

10 1 (1)� ��M f ��� 1

2 (1).nM f� ��

=�� ����� ������� ��������������� ����������������������� ��#� ����������������� ��������� ���� ��� �������� ��� �������� ���� ��������� ��� �� #� + �� 1 �� M�

9.8 WAVE EQUATION

���� ���� � ������� ��� ����� ��� ���� �������� ������ �������

2 22

2 2

u uc

t t

∂ ∂=∂ ∂ $%�5*'

���� ���� �������� ���������

1

2

( , 0) ( ),

( , 0) ( )

(0, ) ( )

(1, ) ( )

t

u x f x

u x x

u t t

u t t

� ��� ��

� ��� �

$%�52'

���-��� ����/�������� ������� ���������������� �������������� ���� ��������������������� �� �� ��������� ��������=�� ��������� �� ���� ���� ���� ���� ���������������������� ��� ���� ����������

� � 21 12

12 O( )k k k

xx i i iu u u u hh

� �� � � � $%�55'

��

� �1 1 22

12 O( )k k k

tt i i iu u u u ll

� �� � � � $%�56'

����� � #� ���� �� #� ( �� ��� �$�� �'� #� �$���� ( '� #� kiu �

/�������� ��$�� �'� ��� ������������ ��

1 12( , ) O( )

2

k ki i

tu u

u x t ll

� ��

� � $%�57'

:�������%�73 !����( ������ 369

Page 383: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

370 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

:������������ ���� ( ��� $%�55'� ��� $%�56'� ��� ( �� $%�5*'�� �� ������

� � � �2

1 11 12 2

12 2 .k k k k k k

i i i i iic

u u u u u ul h

� �

� �� � � � �

:��������� #�cl

h� ��� ���� ������ ��� ������������ ���� ������� �� ����

1 –1 2 21 1– ( ) 2(1 )k k k k k

i i i i iu u u u u� ��

� �� � � � � $%�5%'

( ������� $%�5%'� ��� �� ����� ���� ��������������� ��� ����(��� ��� $@ ) &'��� ����������� ���� �� ����� ��� ��������� ������ ��� ���� $( " &'��� ����� ������� :����������������������������������� �)� �$������%�������������������������� ��������������������������������������������Q�/�������$%�5%'������������� ,� &�� ����� ��� ���� ��������� ��� ����������

������ ������ ��������� ������ �������� �������� ��� ���� � ���������������( �� $%�5*'�� � �� ����� �������� ���

� � � �1 1 2

1 1 1 1 1 11 1 1 12 2

22 2

2

k k kk k k k k ki i ii i i i i i

u u u cu u u u u u

l h

� �

� � � � � �

� � � �

� �

� � � � � � $%�6-'

��

( ) ( )1 1 2

1 1 11 1 1 12 2

22 2 2

4

k k kk k k k k ki i ii i i i i i

u u u cu u u u u u

l h

− +− − −

− + − +− + ⎡= − + + − +⎣

� � � � � � � � � � � ( )1 1 11 12k k k

i i iu u u+ + +− +

⎤+ − + ⎦ $%�6&'

( �������� $%�6-'� ��� $%�6&'� ���� ���� ��� ���� ������� �cl

h�� ���� ���� �

������� ������ ��� ( �� $%�5%'� ��� ����������� ��� ���� ���� ���� ���������

���������� :���������� �����������#��������N��������������� �������������

�$-�� �'� #� -�� � � � �$&�� �'� #� -� �� .� -��

3( , 0) 0, ( , 0) sin ( ), 0 1.u

x u x x xt

�� � � �

����� �������� ���� ��� ������ ��������� ������ ��

3 1( , ) sin cos sin 3 cos 3 .

4 4u x t x t x t� � � �= −

0����� #� -�+2 �� � #� -�+� ������� #� -�7� ,� &�� ���� ������ ���������� ���

0 30 40, 0, sin ( ), 1, 2, 3, 4.�� � � �

k kiu u u ih i

=����

1 1

1 1

( , 0)0 0

.

�� � �

i i

i i

u xu u

t

u u

��� ������ ��� ���� �� ���� ������ ��������� ���������� ��� ���� �� ������� ��� �������� ��� ������� ����� !

Page 384: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

!������ #� -�7�� ���� ��������� ������� �������

� � � �1 11 1– 0.64 2 0.36 .k k k k k

i i i i iu u u u u� �

� �� � � �

:������� (� #� -�� ���� ������ �����3

� �1 1 0 0 01 1– 0.64 0.72 .i i i i iu u u u u�

� �� � � �

� �1 0 0 0 1 11 10.32 0.36 , since .� �

� �� � � �i i i i i iu u u u u u

���������

� �1 0 0 01 0 2 10.32 0.36

0.32 (0 1) 0.36(0.3537)

0.4473 (error 0.0365)

� � �

� � �

� �

u u u u

:��������12 0.5867 (error 0.0571)u = =

��

13 0.4473 (error 0.0365)u = =

���� ������������� ���� ��� ��������� ��� (� #� &�� +�� M

������� ��� :����� ���� �������� ������ �������� ����� ��� ���� #� *������N���� ��� ���� ����������

�$-�� �'� #� -� #� �$*�� �'�� ��$�� -'� #� -�� �$�� -'� #� *� )� ��0��

�� #� &� ��� �� #� &� ��� ����� � #� -�2�!�� ����

0 4 0 for all .k ku u k= =:����

��$�� -'� #� -�� �� ������� 1 1i iu u− = �

/��������$�� -'� #� *� )� �

�� 0 24 ,iu i i= − � ������ �� #� &������

0 0 0 0 00 1 2 3 40, 3, 4, 3 and 0.u u u u u= = = = =

/��� �� #� &�� ���� ��������� ������� �������

1 11 1–k k k k

i i i iu u u u+ −− += + + $�'

;� �� ��� (� #� -�� ( �� $�'� �����1 1 0 0

1 1–i i i iu u u u−− += + +

� �1 0 0 1 11 1

1, since .

2� �

� �� � �i i i i iu u u u u

:�������%�73 !����( ������ 371

Page 385: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

372 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

A����

( )1 0 01 0 2

12,

2u u u= + = 1

21

(3 3) 3,2

u = + = 13

1(4 0) 2.

2u = + =

:���������� ��������2 2 21 2 30, 0, 0.u u u= = =

��� ���� ���������� ����� �� �� ���� ��� ������ ���

9.8.1 Software for Partial Differential Equations

:����������@������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������� �8��������8�������������������O:0��������������������������������������B��� ���������� ���������������������������������������������������������� ���������� ���� ���������� ��� ��� ���� @�� �� ����� O=�0=F� ���� ���������� ���������������������� ������������������ �������������� ������������������� � �8����������������������������

EXERCISES

���� �������� �$�� �'� ��������� 0������B�� � ������� ��� ���� ������� ������ ���� ������ ������ ���� � ��� ���� ���� �������� ������� ��� ��������� 9�������� ��������� �������� ��� � �� ������� ������� ��� ���� ������ �������� �����$��������� %�&)%�5'�

��� 0

0

0

0

4 812

11

10

963

u4u3

u1 u2

���� 60

40

20

0

60 6060

50

40

302010

��� 0

20

40

60

10 20 30

40

50

606060

���� 0

0

0

0

1 49

4

1

000

Page 386: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�� 10 20 20 20 10

10

10

10

10 20 20 20

10

10

10

10

�� 40 30 20 10 0

30

20

10

0 10 20 30

10

20

30

40

��� :����

2 2

2 20

u u

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

��� ���� �������������� ���������������� ��� ���� � ����� ������� ��� �� ������ ������ ���� �� C��� ����������� ����� ����������� ���� �� #� &�2� ����������� ���� ������������� ��� ���� ��������� ����� ������� ����� ���� ��������������� 4���� ��� ��������� �� ���� ���� ����� ������ ��� ���� ������ �� ����

40°C

80°C

0°C0 1 2 3 4

1

2

34

u13 u23 u33

u12

u11

u22

u21

u32

u31

70°C

Y

X

��� :����� 0������B�� � ������� ���� �� #� &J1� ����� ���� �������� �� �� � ������ ����� ������� ���� �$�� �'� #� %���� ��� ���� ��������

(�������� 373

Page 387: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

374 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

��� !������ ������������������������������������ �����������"�����#�-��������� ��� ��� ���� � ����� ������� ������ ���� �

0 0.5 2 4.5 8

u7 u8 u9

u4

u1 u2 u3

u5 u6

0

0

0

1 1 94 16

14

12

10

!���� �� #� (� #� &�-�� ���� ���� 4����):����� ������ ��� ��������� �������� �� ������� �������� ������� �� �� ��� ���� ��������� ����� �������

��� :����� �������B�� � ���������� #� 7���

��� ���� � ����� ���� ��� �� ���� � $�� #� &'�

u3 u4

u1 u2

u = 0

u = 0

u = 0

u = 0

���� C��� ���� F����):������ ������� ��� ������ ���� �������� ��� #� 2����

� � � � � � �$-�� �'� #� -� �$2�� �'� #� 5-�

��� �$�� -'� #�20 , 0 3

60, 3 5

� ���

� ��

x x

x

!������#�&���� �#�-�2�� �������� ��������������$�� -�2'���$�� &�-'� ���$�� &�2'� ��� &� �� � �� *�

���� :����� ���� � ������2

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

���� ���� ���������� � �$�� -'� #� ���� �� -� �� � �� �

��� �$-�� �'� #� �$��� �'� #� -�� �� .� -�

9�����������������������������F����):�������9���@);����������

9����� :������ �������� ��� �2

,2 16

� �⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Page 388: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���� C��� ���� ��������� ������� ��� ������ ���� � ������

2

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

�������������������$-�� �'�#��$2�� �'�#�-�����$��-'�#��$+2�)��'��!���

�� #� &� ��� � #� -�2�� ��������� ���� ������� �� kiu � ��� �� #� -�� &�� +�� 1�� *�� 2

��� (� #� -�� &�� +�

���� :����� ���� ����� � ������

2

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

���N���� ��� ���� ���������� �$�� -'� #� -� ,� �$-�� �'� #� -� ��� �$&�� �'� #� ��

!������#�1

4���� �#�

1

16���������� �������������

1 1,

2 8⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

������9���@)

;�������� �������

��� :����� ���� ����� ���������� � ������

2

2

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

���� ���� ���������� �$�� -'� #� ���� �� -� �� � �� ��� (0, ) �

��

tut e

t� ��

( , )��

�� �

tut e

x��C�����9���@);�����������������������������������@���

��#�2

���� �#�2

,4 20

���������2

, .2 4 20

u� �⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠�9������� �������������

������

��� <������ �� ������ ������� ������ �������� ������� ��� ���� ��������� �� ���� ������

2

2

u u ua b cu

t xx

� � �� � �

� ��$��� ��� �� ������ ���������'

���� ���� �����������$�� -'�#�!$'�� -��� �������� 1(0, ) ( )�

��

ut f t

t� ��

2( , ) ( )�

��

ua t f t

t�

���� <�� /���)/���@��� ������3� ���� ������

� �1 11 1

1 2 2

1 2 1 2k k k ki i i i

r ru u u u

r r� �

� �

�� � �

� �

�����2

,l

rh

= � ��� @�� �� ���<�� /���)/���@��� ������� ��� ���� ��������

�� ���� ���8����������� ����� � �������2

2.

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

� ��� ��� �� ������ �����

(�������� 375

Page 389: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

376 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

������� ������ �� �� ����� �������� ������� ��� $( ) &'��� ��� (��� ����������� �������� ��� �������� ��������� ���� $( " &'��� ����� �������:����� ���� ������� ������ ������ ���� ���� ���������� �$�� -'� #� ���� �� -� �� � �� ����� �$-�� �'� #� �$��� �'� #� -

���������������������������<��/���)/���@����������� ������#�4

���

2

32l

�= �� (�������� ���� ������ ���2

,2 16

� �⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

� ��� �������� ���� ���� �����

������

���� �������=����������/������<��������/�������3��������������������

� �11 1 (1 2 )k k k k

i i i iu r u u r u�

� �� � � �

��� ��� �������������� ��� ���� ���8����������� ����� � �������2

2.

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

(�������� ����� ����� �� ����� ������� ��� ������B�� �������� �� ������

( )2 2 2

11 1 2

,

(1 2 )2 12

k k k ki i i i

i k

l lh uu r u u r u

t+

− +⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂− + − − = − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

��� ������� ������ �� ���� ����� ���� ��� ���$��������������� �� ���� ��������������� ����$ � "� ��'�� ����� ��� ����� ������ ���� ��� � ���%�����%� �������������������:�� ���������������������������������������9���@);�������������� ��� �$ �� "� ��'�

���� :�� � ����� ���� ������ ����������� ������ �� ������� ������ ��� ( �� $%�5%'� ����������

� � � �2 2 4 2 4 6

2 44 6

1 112 360

k h u k h u

x x� �

� �� � � �

� ��

��� :����� ���� � ������

2 2

2 2

u u

t x

� ��

� �

���� ���� ���������� �$-� �'� #� �$&�� �'� #� -�� �$� -'� #� ���� ��� ��

u

t

∂∂$� -'�#�-����@������#�-�+2���� �#�-�+�����������$-�2��-�*'� ��� � �

����� ������ ��� �������� ����� ������� ���� ���� ������ ��������� ������ ���$�� �'� #� ���� �� ���� ���

Page 390: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

Answers to Exercises

��� ��� #� 1�11� ��� #� 5�56� ��� #� 1�56� ��� #� 6�11�

��� ��� #� +5�6� ��� #� 11�1� ��� #� *1�1� ��� #� *5�6�

��� (5)1u � #� *1�11� (5)

2u � #� *5�55� (5)3u #� +5�55� (5)

4u � #� 11�11�

��� (6)1u � #� -�*%7� (6)

2u � #� -�%%%7� (6)3u #� -�%%%7� (6)

4u � #� +�*%%%�

�� &+��� ������������������� #� &2� ��� #� &5�+2� ��� #� &2��� #� &1�62� ��� #� &2� � � #� &1�62��� #� &2� ��� #� &5�+2� ��� #� &2�

�� ��� #� &2� ��� #� +-� ��� #� +2� ��� #� +-���� #� +-� � � #� +-� ��� #� +2� ��� #� +-� ��� #� &2�

��� (1)11u � #� +5�+2� (1)

21u � #� %�7*162� (1)31u � #� &-�5%&*-5

(1)12u � #� 15�-%162� (1)

22u � #� &6�++525+� (1)32u � #� +2�*5%+17

(1)13u � #� 5%�672&25� (1)

23u � #� 5+�5+%1%*� (1)33u � #� 67�-15%76�

:����� ���������� ������3� (����� ��� (2)22 65%u �

����� ���������3� (����� ��� (3)22 13%u � �

��� :��� �������� %�*�

��� ��� #� &�26���� #� 1�6-� ��� #� 5�26�

��� #� +�-5���� #� *�5%� � � #� 7�-5�

��� #� +�-%���� #� *�%+ ��� #� %�--�

��� ���� #� )&1� ���� #� ���� #� )++� ���� #� )*1�

����

1.5 17.5 35 45 55

1.0 20 35 50 55

0.5 20 40 50 6020 40 60 60 60

10 2 3 4 5

60

60

60

x

t

(�������� 377

Page 391: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

378 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������

���� $�'� (����� #� -�-1%5*�$�'� (����� #� -�--6+7�$�'� (����� #� -�--6+7�

���� 0 1 2 3 4 5

0 0 24.0 84.0 144.0 144.0 0

1 0 42.0 78.0 78.0 57.0 0

2 0 39.0 60.0 67.5 39.0 0

ik

���� 21 0.005899,u = 2

2 0.019132,u = 23 0.052771.u =

(����� ������� ���

1 1, 0.00541,

4 8u

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠1 1

, 0.01878,2 8

u⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

3 1, 0.05240.

4 8u

⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

��� (����� ��������� ���$�� �'� #� ���� ���� �

11u � #� -�52%6+5� $������ #� -�-716'

:��������������11u � #� -�5*&2� � $������ #� -�-522'

���� (����� ��������� ��

,2

tu t e� −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

(��������������3

(� #� -3� (����� ��� 14 0.0011u = �

(� #� &3� (����� ��� 24 0.0020u = �

(� #� +3� (����� ��� 34 0.0028u = �

<�� /���)/���@��� ������

(����� ��� 24 0.0016u =

��� 22 (0.5, 0.4) 0.320469,u u� �

(����� �$-�2�� -�*'� #� -�1-%-&6�

Page 392: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

10.1 INTRODUCTION

�������������� ������������� ������������������������������������������ ������ ������������� ���������������������������������������������� ���������� �� �� � �������� ��� ������ ���� �

��� ����� ������� ������ �

0

( ) ( , ) ( )�� �x

f x K x t t dt � !� �

"���� ������� ������ ��� ��� �������� ��� �������� ��� ��� ��� � ������ ������������������������������������������������������#��$��%� !� �&� ���� ��� �������� ���������&� �����&� � ����������&� ���������������������

���� � ���� ������ �

1

1

( ) ( , ) ( ) 1�

� ��y x K x s y s ds � !�'�

"���� ������� ������� ��� ��� �������� ��� ����������� ��� ������ ��� �������� ���� ����������� #�� ���� ���&� ��� ����� �� �������� ����� ��������� ������� ��� ������� ��� ������� �����

���� ��������� ������ �

0

( ) ( ) ( , ) ( ) , 0�

� � � ��

� � � ��L

v s s K s v d s L � !�(�

���

��������� ��� �� ������������� ��

�������

Page 393: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

380 )������� !* +�������������������#������$������

"����������������������������������� ��������������������������������������� ��� ������� ��� � ����� ��� ���������� ������� ��� � ������

#������ �������� ��� ���������� ���� �� ���� ������� ����� ���������������������� ���������������������&�������������������������� ��� ����� ��� ������� ������� #�� ��� ����� �� �������� ������ ������� ��������� ����� ���&� ���� �� ��� ������ �� ������� ������� ��� ��� ������� �����$������� � !�'�� ��� � !�(�� ��� ,�������� ������� �������� ��� ��� ������������ -�� ��� ����� ���&� $��� � !� �&� ����� ��� ����� �� �������� ���������� ������ ��� ������� ����&� ��� ������.������ ������� ������� ��� ��� ���������

#��� ����/�!� ���$��� � !�(�&� ���� ���������� ��� ���� ������ � ���� �� ���� ���� �� ��� � �!� � ���� ��� ,��� ���0������������ �������&� �� ��� ���������������� �����������������������������&�����������������"� ���� ��� ����� �����1������ ��� ����������� ���������������&� ������ ������������&� ���� ����� ��� ������� ������� ���������� �������� �������������� ��������#�� ���

#��$��� � !� �&�$��&� ��� ��� ������ ���$����� ��� ��� ������� �������� #�� ��������� ��� �������� ��� ���������&� ���� ��� ������� ������� ��� ���� �� ��������������#��������������������������������&������������������������������� ���������&� ���� ��� ������� ������� ��� ���� �� ��� ��������

������������������������������������������ ����&� ���������������� ��� ������&� �������� �� �� �� �������

������� �� ��� � �� ��� �������� ����� /� � 2� �� ��� � �������� ��� ���������������

( )

0

( )t

t ut e y u du−= ∫3�����

( ) ( )

0 0

00

( ) (1 )

(1 ) (1 ) ( 1)

, on simplification.

� �

� � �

� �

� �� � � � � � �� �

� �

� �

t tt u t u

t tt u t u u

e y u du e u du

e e u du e e u e du

t

������ ��������������������� �������������������&� �� ������������������� ������������������������������� ��������������������������������������������������4���������������������������&��� ������������������� ��������� ��� ����������� �� ���� ������� �������� ��� ������ �������������� "���� ��� ��� �� ��� ��� ����� ���� ��������

Page 394: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������� �� "�������� ��� �����0����� �������

0,y y�� � � with (0) 0 and (0) 1y y�� � ���

���� �� ��������� ������� �������5�

2

2( )

d yu x

dx= ����

#�������� ���� ������ ��� $��� ����� ��� ������� �� �&� �� ����

0 0

( ) (0) ( ) 1,x x

dyu x dx y u x dx

dx′= + = +∫ ∫

����������������������������#���������������� �������������&� � ��

0

( ) ( ) ( )x

y x x t u t dt x= − +∫ �����

���������� $���� ����� ��� ������ ��� $��� ���&� �� ����

0

( ) ( ) ( ) 0x

u x x t u t dt x+ − + =∫

��0

( ) ( ) ( ) ,x

u x x t x u t dt= − + −∫ ����� ��� �.������ ������� �������

#�� ��������� $��� �����&� �� ���� ����� ��� ������

1

times

1( ) ( ) ( )

( 1)!�

� �

� � � �� ������

x x x xn

a a a an

f x dx dx dx x t f t dtn

����

������� ��� "�������� ��� ������� ������

[ ]0

( ) 5 6( ) ( )x

y x x x t y t dt= + − −∫����������������������������������

3�� ���

[ ]0

( ) 5 6( ) ( )x

y x x x t y t dt= + − −∫ ���

)�����&� ��!�� /� !�

������ !� * #��������� 381

Page 395: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

382 )������� !* +�������������������#������$������

3�� ���� ��� ����� ���� ������� ���� ������������� ������ �� ������� ����

( ) ( )

( ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .b x b x

a x a x

d db daf x t dt f x b f x a f x t dt

dx dx dx x

∂= − +∂∫ ∫ ����

6����� $��� ����� ��� ������������� ���� ������ ��� $��� ���&� �� ����

� �

0

0

( ) 1 5 ( ) 6 ( )

1 5 ( ) 6 ( )

� � � ��

� � �

x

x

y x y x y t dt

y x y t dt �����

"��������&

���!�� /� & ������ ��!�� /� !�

7������������ $��� �����&� �� ����

������� /� 8������ 2� 9����&� � ��� ������ $��� ����:����� �� ���

������� 2� 8������ ;� 9����� /� !

����� ��� ��� �������������������� ������� ��������� ��� ������������!�%/%!��� ���!�� /� �

10.2 NUMERICAL METHODS FOR FREDHOLM EQUATIONS

"���������� �������������� ���� ������������ �����������,�������� ����������������� ��� �����������&� ������������������������������&�������������������������������&��������������������0���������������&����3���������� �� ���� �����������&� ���� ������ �&� ������������������,��� ������ ������� ��� � ����� �����&� ��� ������ ��� ��������� �� �������< =9>?�

10.2.1 Method of Degenerate Kernels

3�� ��������� ��� ������� ������

( ) ( , ) ( )b

a

f x K x t f t dt xφ− =∫ � !�@�

�� ����������&� ��� ��� ���� ���������������� ��� �� ���������������� ��� ��� ����

1

( , ) ( ) ( )n

i ii

K x t u x v t�

�� � !�8�

Page 396: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���������� ���� ��� $��� � !�@�&�3�� ����

1

( ) – ( ) ( ) ( ) ( )bn

i ii a

f x u x v t f t dt x�

�� � � !�9�

�����

( ) ( )b

i i

a

v t f t dt A�� � !�>�

$��� � !�9�� �����

1

( ) ( ) ( )n

i ii

f x A u x x�

� �� � !�A�

"��� ���������� ��� ����� �� ��� ��������&� ��� ���������� �����$��� � !�A���� $��� � !�>�&� �� ��

1

( ) ( ) ( )b n

i j j ija

v t A u t t dt Aφ=

⎡ ⎤⎢ ⎥+ =⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫

��

( ) ( ) ( ) ( ) ,b bn

j i j i i

a a

A v t u t dt v t t dt A�� �� � � � !�=�

����� ���������� � ������ ��� �� �������� ��� ��� �� ����� �� 1 2, , ,A A ….nA 3���� ��� ��� ��� ���������&� $��� � !�A�� ���� ������ � ������������ ��������� ��� ������� ��� ��� ��������� ������� �������&� �

�������� ����� ����������������� ��� ������������ ���&� ������ ���������� ����������� �� ���� ��� ������� ����� � !�8�� ��� ������� ���������� #�� ������&�� ����&���������������������������������"����B�����������������������"���� ��� ��� �� ��� $������ !�8�

������� ��� 3�� ��������� ��� ������

/2

0

( ) sin cos ( ) sin .f x x t f t dt xπ

λ− =∫�����

/2

0

cos ( ) ,t f t dt Aπ

=∫ ���

��� ������� ������� �������

( ) sin sin ( 1) sin .f x A x x A x� �� � � �

������ !�'* +��������C����������,��������$������ 383

Page 397: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

384 )������� !* +�������������������#������$������

���������� ���� ��� ���&� �� ����

/2

0

cos ( 1) sin ,t A t dt A�

� � ��

����� ������ ��� ������������

1.

2A

��

:����� ��� �������� ��� ��� ������� ������� ��� ������ ��

2( ) sin ( 2).

2f x x �

�� �

4��������������������������������������������������������������������������������������

������� ��� ������ ��� ������� ������

21

0

1( ) ( 3 1) ( 1) ( ) .

2x xtf x e x e x f t dt� �

� � � � ��3�� ���

2

2 42

2 2 3 4

( , ) ( 1)

1 12

1,

2

xtK x t e x

x txt x

x t x t

−= −

⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − +

���������� ��� ����� ����� ��� ��� "����B�� �������:����� ��� ������ ������� ������� �������

12 2 3 4

0

1 12 2 3 4

0 0

2 31 2

1 1( ) ( 3 1) ( ) ( )

2 2

1 1( 3 1) ( ) ( )

2 2

1 1( 3 1) ,

2 2

x

x

x

f x e x x t x t f t dt

e x x t f t dt x t f t dt

e x k x k x

= + − + − +

= + − − +

= + − − +

∫ ∫

���

����1

21

0

( )� �k t f t dt ����

Page 398: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��1

42

0

( ) .� �k t f t dt �����

���������� ���� � ���� ����� ���� ��� ����&� �� ����1

2 2 31 1 2

0

1 1( 3 1)

2 2�

� �� � � � �� �� � tk t e t k t k t dt ����

�����1

2

0

52 ,tt e dt

e− = −∫

$������ ����� �����

1 26 5 29.

5 12 2 24� � � �

k k

e���

��������&� ���������� ���� � ���� ��� ������ ��� �����������&� �� ����

12

15 65 243.

7 16 2 20� � � �

kk

e����

�������� ��� ���� ��� ����� ��� ������ ��

1 0.2522�k � ��� 2 0.1685.�k

:����� ��� �������� ��� ��� ������ ������� ������� ��

2 31 1( ) ( 3 1) 0.2522 (0.1685) .

2 2xf x e x x x�

� � � � �

10.2.2 Method of Successive Approximations

5�� ��� ������� ������� ��� ������ ��

( ) ( ) ( , ) ( )�� � �b

a

y x f x K x t y t dt � !� !�

����� � ���� ��� ���������� ��� ��&� ��� ��� ��� ����������&� ��� ��� �������3�� �������������� ��������������������$���� !� !������� ����&������������������������ ����� ��� ������

(1) (0)( ) ( ) ( , ) ( )�� � �b

a

y x f x K x t y t dt � !� �

3�&� ���&� ��������� �������� ����� ��� ������

(2) (1)( ) ( ) ( , ) ( )�� � �b

a

y x f x K x t y t dt � !� '�

������ !�'* +��������C����������,��������$������ 385

Page 399: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

386 )������� !* +�������������������#������$������

D���������� ��� ���� �&� �� �������� � ������� ��� ������������ �� ����&�������&� �������&�E&� �������� ����� �

( ) ( 1)( ) ( ) ( , ) ( )��

� � �b

n n

a

y x f x K x t y t dt � !� (�

7���� ��� ��������� ��� ������������ � ���&� �������&�E&� �������&� ��������� ���� ���� �������� ��� $��� � !� !�F� "��� �� ��� ��� ���&� ��������� �� ��������������� ��� ��������� 3�� ��&� ����� �����&� �� ��� ��������� �� ����&�������&� �������& E� ���������� �� ��� �������� ��� $��� � !� !�&� ��������� �

� �

1/ 2

21| | where ( , )�

� �� �� � � �

� �� � �b b

a a

P K x t dx dtP

� !� @�

������� ��� ������ ��� ������� ������

1

–1

( ) ( )y x x xt y t dt= + ∫��� ��� ������ ��� ����������� ������������:���� �� /� � � ��� ����&� ��� /� ��"��������&

1 12 2 2

1 1

4

9P x t dxdt

− −

= =∫ ∫

:����� %� /�2

3� ��� ���������� � !� @�� ��� ��������

3��� �� ����� /� &� �� ����� ������������

1 1(1)

1 1

( ) , since 0� �

� � � � �� �y x x xt dt x t dt

� � �

1(2)

1

2 2( ) 1

3 3�

� � � �� � � � � � �� � � �� � �y x x xt t dt x x x

1(3)

1

2

2( ) 1

3

2 2 2 21 1 .

3 3 3 3

� �� � � �� ��

�� � � �� � � � � �� � � � �� � � � �

�y x x xt t dt

x x x

Page 400: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

1(4)

1

2 3

2 4( ) 1

3 9

2 2 21

3 3 3

� �� �� � � � �� �� � �

� �� � � �� � � � �� � � � �� �

�y x x xt t dt

x

:����� �� ����

2 32 2 2( ) 1

3 3 3

3 .

y x x

x

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦=

#� ��� ��� ��������� �� �� /� (�� ��� ��� ���� �������� ��� ��� ������ �������������

10.2.3 Quadrature Methods

3�� ��������� ��� ������� ������� ��� ��� ����

( ) ( , ) ( ) ( ).b

a

f x K x t f t dt xφ− =∫ � !� 8�

����������������������������������������������������������������& �� ��������� ��� ������� ���� ��� $��� � !� 8�� ��� � ������� ��� ��� ����

1

( ) ( ),b n

m mma

F x dx A F x=

= ∑∫ � !� 9�

�������� ������ ��� ��� ����������������&� �������������)����������&$��� � !� 8�� ��� ��� ����� �

1

( ) ( , ) ( ) ( ),n

m m mm

f x A K x t f t x�

� �� � !� >�

����� 1 2, , , nt t t� ��� ������ ��� ����� ��� ������� ��& ��� ��� �����������,�����&� $��� � !� >�� ���� ����� ���� ��� ������ ��� �� ��� ��� ������� ��& ��G� ���������&� �� ���� ����� ��� 1 2, , , .nx t x t x t� � � � :����� �� ����

1

( ) ( , ) ( ) ( ),n

i m i m m im

f t A K t t f t t�

� �� 1, 2, , .i n� � � !� A�

����� ��� � ������ ��� �� ������ �������� ��� ��� �� ����� ��� 1( ),f t 2( ),f t

, ( ).nf t… 3������� ( )if t ������������&�$���� !� >��������������������

������ !�'* +��������C����������,��������$������ 387

Page 401: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

388 )������� !* +�������������������#������$������

��� ( ).f x -��������&������������������������������������������������&����������� ����������������������������������H���������������B�������

������� ��� �����

1

0

3 5( ) ( ) ( )

2 6f x x t f t dt x− + = −∫ ���

4�������� ���������&� ����������������� �� ���������� �������� ���������� ( ) 1.f x x� � ,��� ��� ��������� �������&� �� ������� ��� ���� <!&� ?� ��� �� ����� ����������� ��� �� � / I'�� ��������� ��� ���H����� ����� ���������� ��� ������� ���� ��� ���&� �� ����

0 1 21 1 3 5

( ) 2 ( 1) ,4 2 2 6

f x x f x f x f x� �� �� � � � � � �� �� � �

where ( ).i if f x�

����� 0 1 2, where 0, 1/2 and 1,ix t t t t= = = = ��������������������� �������

0 1 2

0 1 2

0 1 2

12 3 3 10

3 12 9 2

3 9 6 8

f f f

f f f

f f f

− − = −

− + − = −

− − + =

"��� �������� ��

01

,2

f = − 15

,6

f = − 21

.2

f =

-�������������&���� �������������B������������������������������� ��� ���&� �� ����

0 1 21 1 3 5

( ) 4 ( 1)6 2 2 6

f x x f x f x f x� �� �� � � � � � �� �� � �

����

������ � / ��&� �� ��

0 1 2

0 1 2

0 1 2

6 2 5

4 3 1

6 4 4.

f f f

f f f

f f f

− − = −

− + − = −

− − + ="��� �������� ��� ����� ��

0 1,f = − 11

,2

f = − 2 0.f =

Page 402: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

6����� ����� ������ ��� ����&� �� ��

1 1 1 3 5( ) 4

6 2 2 2 6

1, which is the exact solution.

f x x x x

x

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

= −

#� ������� ��� ����� �� �������B�� ����� ������ ���� ������ ��� ���� ���� �������� �������� ��� � ������0������� ���������� ��� ��

������� ��� "��� ������� ������

1

1

( ) ( , ) ( ) 1,y x K x s y s ds−

+ =∫ ���

����

2

1 1( , )

1 ( )K x s

x s�

� �

����

���������������������������������������������5����< =@=?&������������� ��B�� �������� "��� ������� ������ ��� �������&� ��������� ��� 5���&� ������ �� ��������� ��� ������� ��������� ������� ���� ���������� "������������������������������������������������������H�����������,������ ��������������������2 &� �������������������������� �����&� ��� ������� ��� ������������ ������ ������� ��� ��&� ����� �

1 ,is ih= − + 0, 1, 2, ,i n= …��� �� / '�� 7������� ������ ��� ��&� $�� ���� �����

11

0

( , ) ( ) 1.j

j

sn

i ij s

y K x s y s ds+−

=+ =∑ ∫

������������ ��� ������� ������� ��� ���H����� ����&� ���������������������

1

1 10

( , ) ( ) ( , ) ( ) 1,2

n

i i j j i j jj

hy K x s y s K x s y s

+ +=

⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦∑ ����� ��� ��� �� ����� �*

1

0 01

( , ) ( , ) ( , ) 12 2

n

i i i n n i j jj

h hy K x s y K x s y h K x s y

=+ + + =∑ �����

���� 0, 1, 2, , .i n= … � $������ ������ ���������� � ������ ��� �� ; �� ������������� ��� �� ; � ����� ��&� ��H�& 0 1, , , ,ny y y… ��� �� ������� ���

������ !�'* +��������C����������,��������$������ 389

Page 403: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

390 )������� !* +�������������������#������$������

������ ��������� "��� �������� ��� ��������#� ��� ��� �������� ������ ��( )y x 0x � �� 1x � ��� ������ ��� ��� ���� ���� �� ,��� ���������&� ��

���� ������ ��� ���� ������� "�� ����� ��� ������ ��� ������������ ��� �������&� ���������� ���� ���� ��� ��������� ������ ��� ��� "��� ��0�������� ������������ ��� ��� ���H����� ����� ��� ����� ���������

x Exact y(x) n Computed y(x) Error Ratio

0.0 0.65741 4 0.66026 0.00285

8 0.65812 0.00071 4

16 0.65759 0.00018 4

32 0.65746 0.00005 3.6

1.0 0.75572 4 0.75452 0.00120

8 0.75542 0.00030 4

16 0.75564 0.00008 3.75

32 0.75570 0.00002 4

10.2.4 Use of Chebyshev Series

3�� ��������� ��� ,�������� ������� ������� ��� ��� ����

1

1

( ) ( , ) ( ) ( ),y x K x s y s ds f x�

� �� ( 1 1).x� � � � !� =�

�� ���

0

( ) ( )N

r rr

y x a T x=

= ∑ � !�'!�

��

0

( ) ( )N

r rr

f x f T x=

= ∑ � !�' �

3�����&�����������)������������������������������� ����������$���%� !�'!���� � !�' �� ��� $��� � !� =�&� ��� ������������ ��� ������ ��� ��������� ���������� ��� ��� ������� ���&� �� ����

1

0 0 01

( ) ( , ) ( ) ( ).N N N

r r j j r rr j r

a T x a K x s T s ds f T x= = =−

+ =∑ ∑ ∑∫ � !�''�

5�� ��� �� � ������ �

1

01

( , ) ( ) ( ).N

j jr rr

K x s T s ds b T x=−

= ∑∫ � !�'(�

Page 404: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

"���&� �� ��� ����� �������������� ������������ ��� &����� ��� ���� ������ ��$��%� !�''���"���������������������' ; ��������������' ; ������� ��%��*

0

,N

r j jr rj

a a b f=

+ =∑ 0, 1, 2, , .r N= … � !�'@�

3���� ��� �� ��� ��� �&� $��� � !�'!�� ��������� ��� �������� �� � )����������������"�������������������$�����< =9(?&����������������������&������ $�0J����� < =9=?&� ������ ����� ������� ��� ��� ���������� ���� �3�� ��������� ��� ��������� �������� ��� ��� �������� ������

1

1

( ) ,I f x dx�

� � � !�'8�

���� ( )f x ��� �������� ��� ���0������� ��� <2 & ?� 3�� ��� ���

0

( ) ( ),N

r rr

f x a T x�

���� � !�'9�

����

0

2cos cos .

N

rj

j rja f

N N N

� �

� ���� � �� �� � !�'>�

���������� $���� � !�'9�� ��� � !�'>�� ��� $��� � !�'8�� ��� ������������ �������� ���0��� �� ������� ����� K��� < => ?�*

1

2 21

2( ) ,

1 4jT x dx

j−

=−∫ � !�'A�

�� ��� ���

1

01

( ) ,N

Ns ss

f x dx p f=−

= ∑∫ � !�'=�

����� ���� ����� '&

/ 2

20

4 1 2cos ,

1 4

N

Nsj

j sp

N Nj

π

=

′′=−∑ 1, 2, , 1s N= … − � !�(!�

��

,0 , 2

1

1N N Np p

N= =

−� !�(!��

������ !�'* +��������C����������,��������$������ 391

Page 405: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

392 )������� !* +�������������������#������$������

"��� ������� ���� ��� $��� � !� =�� ��� ���� ��� ���������� ��� ��� ��� ��� ����� ��� ������ ��� �������

[ ][ ] [ ],I A y f� � � !�( �

����

cos , cos , , 0,1, , .

cos ,

ij Nj ij

ij

i

a p K

i jK K i j N

N N

iy y

N

π π

π

=

⎛ ⎞= − − = …⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

(10.32)

.(10 33)

(10.34)

Njp ������ ������ ���$��� � !�(!��� "��� ������ � !�( �� ��� �� � ��� ������� �

����� �������� ��� ������ ��� �� ����� ���� < =>8?��

������� ��� "��� ������� ������

1

1

( ) ( , ) ( ) 1y x K x s y s ds�

� �� ���

����

2 2

1( , )

( )

dK x s

d x s�

� �

����

��� �� ��� � �������� ���� ������&� ������� ��� ��� �������� ��� ����������� �������� ��� � �������� ���� ���������� ��� �� ����������� ��� 5���� < =@=?�:�� ��� ��&� ��� ������� ������&� �� ����� ������ � ������&� ���������&���� ��� ����� �������&� ��� �� �� ��� ��� ���������� �� � ���������� ��������� ��� ����

1

1 1

( ) 1 ( 1) ( , ) ,nn

n

y x K x s ds∞

= −

= + −∑ ∫ �����

����� ��� ������ �������� ( , )nK x s ��� ������ ��

1 2 2

1

1 1

1

( , )[ ( ) ]

( , ) ( , ) ( , ) .n n

dK x s

d x s

K x s K x t K t s dt

π

−−

⎫= ⎪+ − ⎪⎪⎬⎪= ⎪⎪⎭

∫����

Page 406: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

"���������� ��� �������� ��� ���� �� ��������&� ��� ��������� ��������� ����� �������� ���� ������ ��� ������� �����&� ����� ,��� ���J��� ��� < =8(?&L�����< =8@?&�$�����< =9(?& 3�����< =9=?&�$�0J�����< =9=?����D������� < =>'?����� ����� �����&� ��������� D�������&� ���������� ��� �������� ����� ���� ������ � / �!�� M������ ���� � / �!&� ������ ��� ���H����� ������ ���� ����������� ��� $������ !�A�� "���� ������ ��� ��������� ���� ������� ������ ��� ��"���&� ���� ������� ��� ('� ������������� ��� � / !�!! &� ��� ����� ���������� � / !� ��� !�!@>A'� �������� �� ��� ���� ����� !�8!! 8�

"��� ���� ���� � ������H��� ��� ������� ������� ��� ��� )��������������������� ���' / A� ���� / �!&� ��� �� ��� ����� �� ���������� ��������������������������H������������:� ����&��������������������������� ������� ���� ������� ������ ��� ��

Chebyshev Series Solution of Love’s Equation with d = 1.0

π= −cos ( / )jx j N ( )jy x

0.0 0.65740981

0.38268 0.67248912

0.70711 0.70866017

0.92388 0.74265684

1.0 0.75571801

10.2.5 Cubic Spline Method

3�� ��� � �� ��� ��� ������ 1 , ( )j jx x x s x− ≤ ≤ ��� ������ ��

3 31

1

2 21

1 1

( ) ( )( )

6 6

( ) ( )

6 6

� �

� �� �

� � � �� �� � � �� � � �� �

j jj j

j jj j j j

x x x xs x M M

h h

x x x xh hy M y M

h h� !�(8�

���� 0( ), ( ), and , 0,1, , .j j j j jM s x y y x x x jh j N′′= = = + = … #�� �� �� ��������� ��� ������� ���� ��� $��� � !� =�� ��� ������ $��� � !�(8�&� �����

1

3 31

11

2 21

1 1

( ) ( )( ) ( , )

6 6

( ) ( )

6 6

( ), 0,1, 2, , (10.36)

� �

� � ��� ���

�� � � �� �� � � � � �� � �

� � �

� �j

j

sNj j

i j jj s

j jj j j j

i

s s s sy x K x s M M

h h

s s s sh hy M y M ds

h h

f x i N

������ !�'* +��������C����������,��������$������ 393

Page 407: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

394 )������� !* +�������������������#������$������

D���� 1 ,js s ph�

� � ��� ����� ������� ����������� �

1 3 2 3 2

1 11 0

2 2

1 1

(1 )( ) ( , )

6 6

(1 )6 6

( ), 0, 1, 2, , (10.37)

N

i i j j jj

j j j j

i

p h p hy x h K x s ph M M

h hy M p y M p dp

f x i N

− −=

− −

⎡ −+ + +⎢⎢⎣

⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦

= = …

∑ ∫

#�� $��� � !�(>�&� ��� �������

� �1

1

0

, ,mi jK x s ph p dp

�� 0, 1, 2 and 3,m = � !�(A�

�����������������"������������������������������� �����������������������������&������������������������3��������������������������&$��� � !�(>�� ������� ��� ��� �������

��

1 11 1

0

22

6 3 6

1, 2, , 1

0

j j jj j j

N

y y yh h hM M M

h

j N

M M

− +− +

− + ⎫+ + = ⎪

⎪⎪= … − ⎬⎪⎪

= = ⎪⎭

� !�(=�

���� �������������'' ; '�� ���������������������� ����'' ; '������� ��&��H�& 0 1 0 1, , , , , , , .N Ny y y M M M� � �����������&� ���������������5���B�������� ������ ��� ��� ��������� �������

������� ��� #�� ������ ��� ��� ���������������&� ��� ������������������ ������� ���� ��� ����������� ��� ������ ,��� ���� �������� ������&��� �������� ���$��� � !�(A�� ����������������������"��������� / !&� ����

1 1

0 1 2 210 0

1( , )

( )i j

i j

dX K x s ph dp dp

d x s phπ−−

= + =+ − −∫ ∫

D���� 1ix ih� � � �� 1 1 ( 1) ,js j h�

� � � � ����������������������������& �� ����

10 2 2

1 /tan

1 ( / )( ) ( 1)

h dX

h h d i j i jπ− ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥+ − − +⎢ ⎥⎣ ⎦

Page 408: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��������� �� ����� ��� ������

1

1 10

2 2 2

02 2 2 2

12

2 1

0

22

0 12 2

13

3 1

0

22

12 2

( , )

( )log ( 1)

2 ( 1)

( , )

( 1) 2 ( 1)

( , )

[5 4( )] 3( 1)2

� �

� �� �� � � �� �

� � �� ��

� �

� �� � � � � � � �� �

� ��

� �

� �� � � � � � �� �

� ��

i j

i j

i j

X K x s ph p dp

d d h i ji j X

h d h i j

X K x s ph p dp

d di j X X i j

h h

X K x s ph p dp

d di j i j X

h h

22

022( 1) ( 1)

� �� � � � � �� �

� ��

di j i j X

h

"��� ������ ��� �������� �� ������� ��� ��� J���2������� ������� �������� � ������ ���������� �� ����� ���� �����"��� ������� ��� ������H��� ����� ����� ���� ���� ���� ��������� ������ ��� �&� ��� ����� �������� ���� �����������������D��������< =>'?��#� ���������������������������������� �������� ��� �������� ���� ������ ������ ��� �� �� ��� ������������ ��� ������� ��"���� ���� � / �!� ��� ����� ������� ��� 8!!� �������� ���� � ( �!� ��!�A!9='�����������������������!�>88>'��,������������������������&���� ��� ����� ��� ����� < =>8?�

Cubic Spline Solutions of Love’s Equation

y(x)

x d = 0.1 d = 0.01 d = 0.001

0.0 0.51261 0.50146 0.50015

0.2 0.51470 0.50158 0.50016

0.4 0.51858 0.50187 0.50019

0.6 0.52876 0.50261 0.50026

0.8 0.60688 0.51713 0.50271

1.0 0.78627 0.69641 0.67179

������ !�'* +��������C����������,��������$������ 395

Page 409: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

396 )������� !* +�������������������#������$������

"����� ������� ��� � �� ��� ������� ������ ���� ��� ��������� �������� ��,�������� ������� �������� ��� ��������� �������� #�� ��������� �� ����������������������� �������� ������������� ������� ��������������� ������ ��� ��� ������

10.3 SINGULAR KERNELS

#� ( , )K s t ��� ������������� ��� ���������� ��� ����� ������&� ��� ������������� ��� ������ � �������� ������� ������� ��� ��� �������� ������&����������������&� ���������������������3����&��� ����&� ��������� ����������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������)��������������������&���� ������"� ��#� ��������� �� ��������3�� ��������� ��� ������� ������

( ) ( , ) ( ) ( ),b

a

f x K x t f t dt x�� �� .a x b� � � !�@!�

5�� � 2 � / ��� ��� , 0,1, ,jt a jh j n� � � � ��� �� 0 and .nt a t b� � "���$��� � !�@!�� ��� ��� ����� �

11

0

( ) ( , ) ( ) ( ).j

j

tn

j t

f x K x t f t dt x�

��

� �� � � !�@ �

3�� �� � ��������� ��� ������� ���� ��� $��� � !�@ �� ��� ��� �������H�����H����� ����� ���������� ���)����� 9&� ����� �� ������ ( )f t ��� ��� ��������� ��� ������ ����������� ������� ( )nf t ������ ��

1 11

( ) [( ) ( ) ( ) ( )].n j j j jf t t t f t t t f th � �

� � � � � !�@'�

���������� $��� � !�@'�� ��� $��� � !�@ �&� �� ����

11

1 10

1( ) ( , ) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ).

j

j

tn

j j j jj t

f x K x t t t f t t t f t dt xh

��

� �

� � � � �� �

����� ,jt t ph� � ���� �����

11

10 0

( ) [(1 ) ( ) ( )] ( , ) ( ).n

j j jj

f x h p f t pf t K x t ph dp xφ−

+=

+ − + + =∑ ∫

Page 410: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

#�� �� �� � �� , 0, 1, 2, , ,ix x i n= = … �� ����

1

10

( ) ,n

i ij j ij j ij

f f fα β φ−

+=

+ + =∑ ( 0,1, 2, , )i n� � � !�@(�

����

1

0

1

0

(1 ) ( , )

( , )

ij i j

ij i j

h p K x t ph dp

h pK x t ph dp

��� � �����

� � ���

� !�@@�

��

( ) ( )i if f x f a ih� � �

$������ � !�@(�� ���������� � ������ ��� �� ; �� ������ �������� ��� �� ; ������ �� 0 1( ), ( ), , ( ),nf t f t f t… ��� ��� ��������� ��� �������� 3�� ���������� ���� ��� �������H��� �������� ��� �� ��������� ��������

������� �� 3���������������5���B����������������������$����� !�A�"���������� andij ij� � ���$���� !�@@��������������������������#�� ������

1

0

1

2 20

0( , ) ( , )

1 1

1 ( )

i jX i j K x t ph dp

dph i j pπ

= +

=+ − −

12

1tan

1 ( )( 1)

h

h h i j i jπ− ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥+ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

��1

0

1

2 20

2 2

2 2 2

1( , ) ( , )

1

1 ( )

1 1 ( 1)log ( ) 0( , )

2 1 ( )

i jX i j pK x t ph dp

p dp

h i j p

h i ji j X i j

h h i j

π

π

= +

=+ − −

⎡ ⎤+ − −= + −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

������ !�(* ��������N������ 397

Page 411: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

398 )������� !* +�������������������#������$������

���

[ 0( , ) 1( , )]ij h X i j X i jα = − �� 1( , ).ij hX i j� �

3��� � / @&� �� ����� ����� $��� � !�@(�� ��� �������

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

0 1 2

1.076 0.126 0.081 0.050 0.018 1.0

0.071 1.153 0.126 0.081 0.029 1.0

0.047 0.126 1.153 0.126 0.047 1.0

0.029 0.081 0.126 0.153 0.071 1.0

0.018 0.050 0.081 0.12

f f f f f

f f f f f

f f f f f

f f f f f

f f f

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

+ + + + =

+ + + 3 46 1.076 1.0f f+ =

"��� �������� ��� ���� �����&� ����� ��� �����0��������&� �� ������� ��� ������ ���������"��� ���������� ���� ������� ����� / A&� 9� ��� ('� ����� ������&� ������� ��� ��� ���� �����&� ��� ������ ���� *

x Exact y(x) n Computed y(x) Error

0.0 0.65741 4 0.65609 0.00132

8 0.65708 0.00033

16 0.65733 0.00008

32 0.65739 0.00002

1.0 0.75572 4 0.75484 0.00088

8 0.75550 0.00022

16 0.75566 0.00006

32 0.75570 0.00002

)��������� ��� ��� ������� ������� ��� ��� �������� ���H����� ��������� ���� ��� ������� ��� $������ !�A�� ��� �� �� ���� ����� ������ ����������� ��� ��� �������� ���H����� ������"��������� ��� ������������ �����

�� ��� ��� ���� �����"��� ���� ������� ���������� ��� ���� ��� �������H��� �������� ��

������� ������������������ ���������� ����������

������� �� 3������������� ���������������������������������������������� ��� � ��� �� ��������������� ��������� ������

#�� ���� ������ �������� ��������&� �� ��� ��������� �� ������� ��� ������������������� ��� ��� ������� ��� � ����� ������� ��� � ������� ,��� � ����� ������������ ������� ��� &�.������ < =9 ?��������� ��� ������ �������������

0

1( ) 2 ( ) ( , ) ( ) ,

L

v s x s K s v d� � �

�� � � 0 s L� � ���

Page 412: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����

2 2

2 2

2 2 2

1 ( )( , ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) 2

( ) ( )

4,

( ) ( )

x y y xK s K k

yx y

x y y x x y y xE k

y x y

y dxK x

dsx y

ξσξ η

ξ η ξηξ η

ηξ η

⎫′ ′⎧ − −= ⎨ ⎪⎩− + + ⎪

⎪⎪⎫⎡ ⎤ ⎪′ ′ ′ ′− − − − − ⎪ ⎬− +⎢ ⎥⎬⎪− + −⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎭ ⎪⎪⎪′= =⎪− + + ⎭

����

��� ��$�� ��� ��$�� ��� �������� �������� �������� ��� ��� ����� ��� ������������������������ �����������$��#�����&������������������������������������������ ��� ��� ����� ������� ����� ����� ��� ��������� ����������� ��� �����������4��������B����������7�������� �������������� ��� ��������� �������� ��� �������� ��� ������ ��� ��� ������ ���N���� � < => ?� ��� ����< =>(&� =>9?&� ����� ������� ����������������� �������6����� ������������

�����$�� �����$�� ������ ���7 ���� < =(@?&� ��� ������ ( , )K s � ��� ����� ��� ������� ���� ��� ����*

( , ) ( , ) log ( , )K s P s s Q sσ σ σ σ= − + �����

����

12 2

1 12 2

1 ( ) 2( , ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 22 [ ( ) ( )]

( ) ( )

( , ) ( , ) ( , ) log

�� � �� �� � � �

�� ���

�� � �� � � � � �

� � �� ���� � � �

x y y xP s E k

yx y

x y y xK k E k

x y

Q s K s P s s

��

�� �

� ��

�� �

� � � �

����

��

2 22 21 2 2

( ) ( )1 .

( ) ( )

x yk k

x y

ξ ηξ η

− + −= − =− + +

3��� ,s� � �� ��� ������ �

2 2 22 2

( , )2

1 1 1( , ) log ( ) log4 log4 1

2 2 2

xP s s

y

x y y xQ s s x x y y y

y x y

′ ⎫=− ⎪⎪⎬⎧ ⎫′′ ′ ′′ ′−⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎪′ ′ ′= − + + + − −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪′ ′⎣ ⎦ +⎪ ⎪⎩ ⎭⎭

���

������ !�(* ��������N������ 399

Page 413: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

400 )������� !* +�������������������#������$������

"��� ������ ��� �������H��� �������� ���������� ��� )����� 9� ��� �� � ��������� �� ������� ��� ������� ������� ���� �� � ������ ��� ������ ���������������

"����������� ��������������������������������������������������������������0��������&����������������������������� 90 .s � � "������������������� ���'!����������������� ���������� ��������������,��� ��� ��������������&��������������� �8� sin s ��������������-������������������� ���� ��� � / !� ��� � / '!&� �� �� ������ �� ��� ������ �������������� ��� ��

Accurate values (in deg) of v(s) Computed value Error

18 0.4635 0.4619 0.0016

36 0.8817 0.8816 0.0001

54 1.2135 1.2141 0.0006

72 1.4266 1.4275 0.0009

90 1.5000 1.5011 0.0011

,������������������������������������������$����B��������&�����N���� < =9 ?�

10.4 METHOD OF INVARIANT IMBEDDING

"���� ������������� ������������&����������������� �� �������������N�����M������� < =9=?&� ��� ��� ��������� ��,�������� ������� ����������� ��������� ����

0

( ) ( ) ( , ) ( )a

y x g x K x s y s ds� � � � !�@8�

����

0

( , ) ( ) ( ) ( )K x s f xz f sz w z dz∞

= ∫ � !�@8��

#�� ��� ������ ��� ������� ���������&� $��� � !�@8�� ��� ����� �� ����� �� .������ ������� ������� ��� ��� ����

0

( , ) ( ) ( , ) ( , ) ;t

y x t g x K x s y s t ds� � � 0 ;x t≤ ≤ 0 .t a� � � !�@9�

��������������������������������������������.�������������������� !�@9�� ���� �����2��������������������������� ��� �����0���������������� ��� ��� ��� ������ ����������� "��� ����������� �� ��� �����0������������� ��������� � ������� ��� ���������� �������� ����������� ��

Page 414: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� ��������������� ��� ��������� �� �������������������N������M������< =9=?��3�&� �� ����&� ��������� ��� ����������� �� � ������� �������

������� ��� 3��������������������������������������������D���< =9=?� ��� ���� ������� ��� ����������� ��� ������ �������� ��� � ����0�������� ������ ��������� � ����������� ����� ������ ������� �� ��� �������������"��� ���������������� ��� ������ ������� � H���� ������������ �������������������� �������������� �������� �� ���������������,�������������� ������� ��� ��� ������� ����

1

0

4( ) ( , ) ( ) ,y x K x s y s ds

� � �� ���

����

2

0

2( , ) cos cos ,HK x s e x s dξ ξ ξ ξ

π

∞−= − ∫ ����

��� ���� ( )y x ����������������0�����������H������������������������������ ��� ������� ������� �� �������� ��� �������� �� ��� ������ ��� ������� ��� � ��� ������G� �� ��� �����&� ����� ��� ��������� ��� �����������&��������������� ��������*����������������������� 0,H z� � � �������������0���� 0 ;z� � � ��� �� ��� ��������� ����������� ��� ��� ������� ����� ����� ��� ������� "��� ��������� ��� �������� ������ ��� ��� ���������� ��� ������ ��� ��� ����� ����� ���������� ����� ��� ������� ������� �������� ��� ��� �������� ������������� ���� ����� ������ ��� ��� ���� ��� �������� ��� ��� ����� �� �� ��� ��� ������� ����� ��� ����� �������&� ��� ��������� ��� ���� ���� ������� ����&� ��� ������� �� ������� ����������� ���������� ������

,��� ��� ��������� �������� ��� ��� ������ ��� ������� ���������&� �������� ��� ��� ����� ��� ������� �� ��� ��� ���� ������ ��� ��� �������� ���������������������J���������������"���&���������0�������������������*

21

21

( ) 2cos ( ) ( ) cos ( ) ( )

(1 )

2cos( ) ( ) cos ( ) ( )

(1 )

(0) 0

�� ��� �� ��� �� ��

� � �� � �� �� � �� �

��

Nik

k m m m mkm m

N

i m m m imm m

ik

dR ttA F W A tA R t

dt a

tA F W A tA R ta

R

�����

������ !�@* C��������#������#�������� 401

Page 415: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

402 )������� !* +�������������������#������$������

��

21

21

( ) 2( ) ( ) cos ( ) ( )

(1 )

2cos ( ) cos ( ) ( )

(1 )

(0) 0, 1 , 0 1.

�� ��� �� ��� �� ��

� � �� � �� �� � �� �

�� �

Ni

m m m mm m

N

i m m m imm m

i

de tg t F W A tA e t

dt a

tA F W A tA R ta

e i N t

����

����( ) ( , )i ie t e A t�

���������&

21

2( , ) ( ) ( ) cos ( ),

(1 )

Nm

m m mm m

Fy x t g x W A xA e t

a== +

+∑ 0 1.x t� � � ���

#�� $���� ������ �� ���&� ��� �����

1

1n

nn

aA

a

��

�������&���������������� �������������� ��������� ���'0�����J������������� ������� �������� ��

1

11

( ) ( )N

m mm

f x dx F f a�

���

"���$������������������������������������������������0������M����2N������&� ��� �� ����0" ��� *������� � ������ "��� ������� ��� ������� ��� ������ �������� ��� ��� ������ ��� ��� ����� ���� ���� ���� ��������� ��������+*

H x y(x)

1.05 0.0 –1.7718

1.0 –1.7013

1.1 0.0 –1.7450

1.0 –1.6813

1.2 0.0 –1.6898

1.0 –1.6464

1.3 0.0 –1.6599

1.0 –1.6169

1.6667 0.0 –1.5618

1.0 –1.5397

Page 416: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��������������������������������� ��������������� ���� ������������������������ ���D���&� �� �������� ��� ��� �������� ��������������������������������������������������������������������������������

�� ������ ���� ��� ��������� ��� �� ��� ����� ������ ��� ��� ������ �������������������������������������������������������������������������������� ��� ������ ������ ���������&� ��� �� ��������� ������ ����������������������������������������������������������������������������������&� ������ ��������� ����������� ��������

EXERCISES

.������ ���������������������������� ����������������������������������������� ����� ���� �D�������� !� 2 !�8�*

���� � ���� /� *1

0

( ) ( 1) ( ) .xt xf x x e f t dt e x+ − = −∫

���� � ���� /� ��*1

0

( ) sin ( ) ( ) 1.f t tx f x dx+ =∫λ

���� � ���� /� ���*0

( ) sin 2 cos ( ) ( ) .x

xf x e x x t f t dt= + −∫

���� � ���� /� �*3

1

15 2( ) ( ) ( ) .

18

xx x t t dt� �

−= + +∫

��� � ���� /� � 2 *1

0

3 5( ) ( ) ( ) .

2 6f x x t f t dt x= + + −∫

"���������������� ����������������������������������������������������D�������� !�92 !�A�*

��� ���� ;� �� /� ���� �& ��!�� /� !& ���!�� /� !�

���� ������ 2� ���� ;� �� /� ��& �� �� /� & ��� �� /� !�

���� ���� /� � 2� ��& ��!�� /� ���!�� /� !������� ��� ����� ���� ������� �������� ��� ��������� ��������D�������� !�=2 !� '�*

��� � ���� 2� �/4

/4

tan�

��

� �� � ���� ��� /� ��� ��

����� � ���� 2� �/2

0

sin�

∫ �� ��� � � ��� �� ( ���� ��

$������� 403

Page 417: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

404 )������� !* +�������������������#������$������

����� � ���� 2� �0

sin�

� �� 2 �� � ��� ��� /� ��� ��

����� � ���� /� �2

0

sin�

� �� ; �� � ��� ��� ;� ��

����� ������ ��� ��������������� ���D�������� !�@���� !�8�����������B� I(0������ #�� ���� ���&� ������� ��� ����� ���� �� ����� ���������������������� �� ������������)������������������ ��� ��������������

Answers to Exercises

���� �������

���� 7���� ��� �����

���� �������

���� �������

��� � ���� /� � 2 � �������� ��� ������� ������

��� � ���� /� 20

( – )x

x t∫ ���� ��� 2� ���� �� ;�

����2 2

1

1 1( ) 1 ( )� �� � � �

x

x t t dtx x

����2

0

( ) ( ) ( )2

xx

y x x t y t dt= − −∫

��� � � ���� /� � cot2

x� +

�����2 sin

( )2 �

xf x

�����2 2 2 2

2 sin 4cos( )

4 4

x xf x

��

� � � �= +

+ +

����� 2 22 2 2 2

sin cos( ) 2 , 1.

1 1

��� � �

� � � �

� �� � � �� �

� �� �

x xf x x

����� ��� � � /� !&� ��� /�1

2& ��� /� &� ���� � � /� 2 &� ��� /� 2

1

2&� ��� /� !�

Page 418: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���

���������������� ����

�������

11.1 INTRODUCTION

���������� ������������������ ������������������� ���� �� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����� ��� �� ������� ����������� ��!� ����� ����������� ��� ��������� �������� �� ����� ��� ���� ��� "��� ��������� ���� ���� ��� ����� ���� ��� ����������������������������������������#����������������������������� ��� �� ����� �� ����� �� ���� ��� ����������� $����%�� ������������������ ��� ������� ����������� ��� ����������� ������ ������������� ��������� ���������� ��������� &��� ������� �� ����� ��� ������ �� �$����� ��� � ��� '���� ()� *+�

%�����������������������������������������������������������������������������������������������,������������$���������������������� ���������������������������������������������,�����))�)�-�%�������������������������������������������������������$���������� ��������� ����������%��� ��� ���� ��� �� ��������� �������� ��� ���������������� ���� �� $��� ��������� ��� ��������� �� ������ ��� ���������� ���� %�� ���� ��� ������� ����������� �����$������� ��� ����� ��� ��� ��� ������ ����� �� ������ ������ ���������������������#�� �� ���� ��������������������

����#�����#�������������������������$������������������������������� �� ����� ��� ��������������� ������ �����#�� ���������� �������������������������������������,�����))�-������������������������������������$����������.��� ��'����#�/'�.���������� ��0��� ��

Page 419: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

406 ��������))1 %��&����2����3���

��������'����#������������������������������������������������� '�.� �������� �� ���������� ������ ���� �� ���� ����� ������� �� �� ���#����������������������'����#�/'�.�������������������$��������������������4��,�����))�)�)5����0��� ����������������#������#������������������������������.�������������������$������������%�� ���� ���� ��� ������ �� ����������� !� ���������#� ��� ���� ����������������#���������������������������������������������������������

%�������������������������������������������������������� �������� ��������� ������������ ��� �� '����#�/'�.� ���� 0��� ��������� ������������� ������� �����������������������$������� �����������������������������������������#�����#��������������������� �� ����� ���������� ������������ ��#������ ��� ���������� ����������� ��� ������� �#����� ������ ������ � ���� ���� ���� ��� ��� ��������������������������������$�����������������������������������%������������������$���������������������#���������������������� ����� ��� �� ����� ������������� ���� ������� �� ������ ��� �����

��� �������� ������ ���� ��� ����� ��� ��� ���� �� ��� ���� ���#���#����������������#�������������������#�����������������������������������������������������������������#��������#�������������������� &��� �������������� ��������� �������� �$������ �����������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������������� ������ �������������� �������� 4�� ,����� ))�6�)5�

2$������ ��� ������� ����� ����� ��� ������ ��� &�#� ))�)�

NodeNodal Line

(a) Line element (b) Triangular and Quadrilateral elements

Figure 11.1 Typical finite elements.

11.1.1 Functionals

%�� ������ ��� �� ���������� ��� ������� �� ��������� �� '����#�/'�.����������������� �� ��������� ��� �� �$� �������%���� ������ ������ ��������������������������������������������������������������������������������3����������������������������������������������������#��$����������� �� ��#��������� ������� ��������� ��� ( , , ).f x y y′ 7�� ���#����� ��� �� �������� ��� �� ���������� ���� ���� ��������� ���� �

Page 420: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��#������ ��� �������� ���� �� �#����� ��������� ���� $������ �� ��#�����������

( ) ( , , ) ,b

a

I y f x y y dx′= ∫ 4))�)5

���� �4�5� �������� �� ��������� ��������� ( ) ( ) 0.y a y b= =%����#����� �� �����#������������������������������������ ����������� �� ���������� ���� ��� ������ ��� �� �������������� ���������� �� �������� ����� �� ���� ������� �� ����� ��� �� ������ ��#���� ��� 2��� 4))�)5� &������������ ��� ���������� �� ���� ��� �� �������� ��������� ���� �4�5� �� ������$������������4�5��������������2���/8�#���#�����������������

0.f d f

y dx y

⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠4))�-59

,���������� ���� ����������� ��� �� ����

( ) ( , , , )b

a

I y f x y y y dx′ ′′= ∫ 4))�:5

�� 2���/8�#���#� ������� � �� �� ����

2

20.

f d f d f

y dx y ydx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠4))�65

%��2���/8�#���#��������4))�-5��������������������������������������������#��������������������������������%�������������������������� ��� ��� �� � �� ��� ��� $����� ����� ����� �� �� ��� �������������������%������������������������������������������������!�������������� ��� ��� ��� ��� $��������� ��� $���� ��� ����������� �� ������������������� ���� $���� ��� ��� $����� ���� ��� $���� &��������� ��� ������������������������������������������������%������������������������������������������������������������������������������������������� �� �������� ��� �#�����#� ��������

3������������������#�����������������#�����#����������������������������������������������������������������������&����������������������������� �� ������������ ��������.������������������������������� ������� ��� ���� ��� �� ���� ��#�� ��� �� #���� ������ ��� ������������ ��������� ������� �� ���������� ���������� �����������������������������#��$���������3������������������������������������������ �������� �� ���������� ����� ��#������#����������� ������������ %���� ��� ��������� ��������� ��� $�����

����� ����� � ���� ������ �������

,����� ))�)1 ���������� 407

Page 421: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

408 ��������))1 %��&����2����3���

������� � &������������������������������������������������ ��

2

2( )

d yf x

dx= 4�5

���

( ) ( ) 0.y a y b= = 4��5

�� ���

2 2

2 2, since ( )

( ) , on integrating by parts

( ) , since ( ) ( ) 0

, since ( )

1

2

� �

� �� �� �� �

� � � �

� � �� � � � � �

� � � � �

� �

b b

a a

b

a

bb

a a

b

a

b

a

f y dx f y dx

d y d yy dx f x

dx dx

dy dy dy y dx

dx dx dx

dy dy dx y a y b

dx dx

dy dy d dydx y

dx dx dx dx

dy

dx

� �

� �

� � �

� � �

2

21.

2 � � � � �

b

a

b

a

dx

dydx

dx�

7��

210.

2

b

a

dyfy dx

dxδ

⎡ ⎤⎛ ⎞+ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫

�����������������������������������������4�5���4��5�$�������������������� ��� �� ��#���� ������ ��

21

( ) .2

b

a

dvI v fv dx

dx

⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 4���5

Page 422: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

!����� ���������������#������������������������������������������� ��������#� 4,� '���� ()� *+5�

8� �4�5� �� �� �������� ��������#� �� ������� ��������� ����������� ��.��4�5� ;� �4�5� ;� <�� 3������� �� ���������� ������� ����� ��� �� ����

/���� =� � 4�5� ;� <��� �� ���� ��#��� ���� ����� �� ����� ��� �����

[ ]

0 –

( )

b b

a a

b bba

a a

b

a

vy dx vf dx

vy v y dx vf dx

v y vf dx

′′= +

′ ′ ′= + +

′ ′= +

∫ ∫

∫ ∫

∫&�������� ��������� ;��� ��� �� ����� ������������ ����������� ���� ��� )>-��� ��� ������ �� ������� ���������

21( ) ,

2

b

a

I v v vf dx� �

� ��� �� �

������ ��� �� ���� ��� 2��� 4���5� ������� ������?�����������������������#�������4���5��������������������������

������������ ����������������������������������������������������� �������������������� �������� ���� �� ������

���������������������������� �������$������������������������� ����������� �����������#� �� �������������� ��������� �� ���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������#���������������������������������

4�52

2( ), ( ) ( ) 0

d yf x y a y b

dx= = = 4))�*5

( ) (2 ) .b

a

I v v f v dx′′= −∫ 4))�@5

4��52

22

1

, 0 1; (0) 0, 1x

d y dyky x x y

dxdx =

⎛ ⎞+ = < < = =⎜ ⎟⎝ ⎠4))�A5

� � � � � �

1 22 2

0

1( ) 2 (1).

2

dvI v kv vx dx v

dx

⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 4))� 5

,����� ))�)1 ���������� 409

Page 423: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

410 ��������))1 %��&����2����3���

4���5 2 2 ( ), ( ) ( ) 0�� �� � � �x y xy f x y a y b 4))��5

2( ) 2 ( ) .b

a

dI v v f x y dx

dx⎡ ⎤′= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 4))�)<5

4��5 2 0, 0u u∇ = = ��� �� ��������� �� ��� �� 4))�))5

221( ) .

2R

u uI v dxdy

x y

⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ 4))�)-5

4�5 2 , 0u f u∇ = − = ��� �� ��������� �� ��� �� 4))�):5

221

( ) .2

R

u uI v uf dx dy

x y

⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥= + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ ∫ 4))�)65

4��54

4

2

2

( ), 0

0 at 0,

d yEI ky f x x l

dx

d yy x l

dx

⎫+ = < < ⎪

⎪⎬⎪= = = ⎪⎭

4))�)*5

222

20

1( ) 2 .

2

ld v

I v EI kv vf dxdx

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ 4))�)@5

11.1.2 Base Functions

,������ �� ����� �� �����$���� �� ���������� �������� � 4�5� ���� �� �����������(����+��!���������������������������(����+��������������������������(���� ��� +� 0, 1, 2, , 1,i n= … − ��� 0x a= ��� ,nx b= ���� �� ������������������� ����������� � 4�5� �� ������������������ ����������� ��(���� ��� +�� �� ������ �����$�����#� �������� ��� #���� ��

1 11

( ) [( ) ( ) ],i i i i ii

l x x x f x x fh + += − + − 4))�)A5

��� 1 .i i ih x x+= − &�������������������������������������������#�������� ��� 0[ , ]nx x ��� �� �������

0

( ) ( )n

i ii

P x x f�

== ∑ 4))�) 5

Page 424: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���

1 0 0 10

1

1 1 1

1 1

1

0 1

1 1 1

( )/( )

0,

( )/ ,

( ) ( )/ ,

0,

0,( )

( )/

n

i i i i

i i i i i

i

nn

n n n n

x x h x x xx

x x x

x x h x x x

x x x h x x x

x x

x x xx

x x h x x x

− − −

+ +

+

− − −

⎫− ≤ ≤⎧⎪= ⎪⎨≤ ≤ ⎪⎪⎩

⎪⎪− ≤ ≤⎧⎪⎪ ⎪= − ≤ ≤⎨ ⎬

⎪ ⎪≥⎩ ⎪

⎪≤ ≤ ⎪⎧⎪= ⎪⎨

− ≤ ≤⎪ ⎪⎩ ⎭

4))�)�5

%�� �������� ( ), 1, 2, ,i x i n� = … ��� ������ �� �� �������� � ��� ����������� �� �� ��� ������ ��� ��� �� ���� �������� ( )i x� ��� ���������� .��$��� ���� �� ���# 1 1[ , ]i ix x− + ��� ( ) 1.i ix� =

B��� ���� ��� ���� ��������� ����� ��� ������� 7���� ������������������ �������� ���� ��� ����� ���� ��� �� ������� ��� ��� ����� ��� ���������� ��� ���� ��� �

11.2 METHODS OF APPROXIMATION

����������������������������������������$����������.�����������/�������������������������!�����������������������������������������$��������������������������������������.���%����������������� ��� �� 0��� ��� ���� �������� �� ��� ��� ����� ������.����� ������ �����#�� �� �� ����� ������ ��� ������ �������������� �� ������ ���� ��!�������#������0��� ������������������� ��������#������#����������� �� ������� ���� ���� ��� ������ �� ����������

?��������������������������������������� ���������$������������������������������������������������������������C���������� ������ ����� ���� ���� ��� �������#� �� ���� ���������

11.2.1 Rayleigh–Ritz Method

����������������������������������������������������������$����������� ��� ����� �� ������ �������� ��� ������ ��������� �������%���������#���������$������������������������������������������������������� �� ������� �� �����$�������� �� ������ ��� ���� ��������� ������� ���������

�� $������ ���� ����� ��� ���������#� ����������� �������������������� ������ ��

( ) ( ) 0,y p x y q x′′ + + = ( ) ( ) 0.y a y b= = 4))�-<5

,�����))�- 3��������!����$������ 411

Page 425: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

412 ��������))1 %��&����2����3���

%�� ���������� ���� �� ����� ������� ��� #���� ��

22( ) 2 0.

b

a

dvI v pv qv dx

dx

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 4))�-)5

&���� �� ��������� ��� �� ���������� �� ���� ��� ��� �4�5�� �� �������� ��2���4))�-<5����������������2���4))�-)5���������#���������������������,������������ �����������������2���4))�-<5�������������������$����������� ���� ������ �� �������� ��� �� �����$������� ��� ��� ���#���� ������������ %���� ��� �� ������ ���� ��� ��'����#�/'�.������C���� �

1

( ) ( )n

i ii

v x x� �

== ∑ 4))�--5

�� ��� �����$���� �������� ���� �� ���� ��������� ( ),i x� ��� �����������������������������������������������#�������2���4))�-<5�������

( ) 0i a� = ��� ( ) 0.i b� = 4))�-:5

,�������#� ���� �� ��� 2��� 4))�-)5�� �� �����

22

1 2( , , ) ( ) ( ) 2 ( ) 0.b

n i i i i i i

a

dI x p x q x dx

dx� � � � � � � � �

⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤… = − − =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑ ∑∫

4))�-65&��� ��������� �� ���

1 21 2

0.nn

I I I�� �� ��

� � �

∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂

� 4))�-*5

,���� � i�� ��� ���������� 2��� 4))�-*5� #���

0,i

I

∂ =∂

1, 2, , .i n= … 4))�-@5

����� �������������� �������������������>���� ���2��� 4))�-@5�������� ����� ��

i� ���� ���� �� ������ ������������������������������'����#�/'�.�����������#�����

������ �������� ��� �� ������� �������� ��� �� �������� i� ��� ��������������� ���� ������� � ���� �� ������� ��������� ���������� ��� ��������� %�� ��������#� $������ �������� �� ����� ��� ��������

��������� ���������������������������������������������� ��

0,y x′′ + = 0 1,x< < (0) (1) 0.y y= = 4�5

Page 426: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

&���� 2��� 4))�@5�� �� ���1 1

0 0

( ) ( 2 ) (2 ) .I v v x v dx v x v dx′′ ′′= − − = − +∫ ∫ 4��5

8

1

( ) ( )n

i ii

v x x� �

== ∑ 4���5

���

(0) (1) 0i i� �= = ���� ���� �� 4��5

,�������#� 4���5� ��� 4��5���� �����

1

1 10

( ) ( ) 2 ( ) .n n

i i j ji j

I v x x x dx� � � �

= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥′′= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑∫ 4�5

&��� ���������� �� �1

0

( )i ip x x dx�= ∫ 4��5

���1

0

110

0

1

0

( ) ( )

[ ( ) ( )] ( ) ( ) , on integrating by parts

( ) ( ) ,

ij i j

i j i j

i j

q x x dx

x x x x dx

x x dx

� �

� � � �

� �

′′=

′ ′ ′= −

′ ′= −

∫ 4���5

����#� ��������� ���������� 4��5�%��� 2��� 4�5� �����

1 1 1

( ) 2n n n

i i i j iji i j

I v p q� � �

= = == − −∑ ∑ ∑

7�� / 0iI �∂ ∂ = #���

1

2 2 0,n

i j ijj

p q�

=+ =∑ ( 1, 2, , ).i n= … 4����5

����������������������$��������������� 2n = �����������������1( ) (1 )x x x� = − ��� 2

2 ( ) (1 ),x x x� = − ��� ��� �� ��������� ���������� 4��5��� ��������

,�����))�-1 3��������!����$������ 413

Page 427: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

414 ��������))1 %��&����2����3���

C���� ����� 4��5�� �� ���

12

1

0

1(1 )

12p x x dx= − =∫

���

13

2

0

1(1 ) .

20p x x dx= − =∫

!���� 1( ) 1 2x x�′ = − ��� 22( ) 2 3 .x x x�′ = − 2������� 4���5� #���

12

11

0

12

12 21

0

12 2

22

0

1(1 2 )

3

1(1 2 ) (2 3 ) , by symmetry

6

2(2 3 ) .

15

q x dx

q x x x dx q

q x x dx

= − − = −

= − − − = − =

= − − = −

∫2�������� 4����5� ����#��

1 24 2 1� �+ = ��� 1 210 8 3,� �+ =

����� ������� ��� 1 2 1/6.� �= = 7��

2 21 1 1( ) (1 ) (1 ) (1 ).

6 6 6v x x x x x x x= − + − = −

�� ���� �� ������� ��� ���� ��� �� $��� �������� ��� �� ������� 4�5�

������� � ,���� �� �������������� ������� ������ ��

,y y x′′ + = − 0 1x< < 4�5���

(0) (1) 0y y= = 4��5

%�� $��� �������� ��� �� ������� 4�5� ���� 4��5� ��� #���� ��

sin( ) .

sin1

xy x x= − 4���5

%�� ����� �������$���� ����������� ��'����#�/'�.��������� � � ����������� ��� �� ����

12

0

( ) ( 2 ) .I v vv v vx dx′′= + +∫ 4��5

Page 428: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

8� ��� �����$���� �������� �� #���� ��

1

( ) ( ),n

i ii

v x x� �

== ∑ 4�5

���

(0) (1) 0i i� �= = ���� ���� �� 4��5

,�������#� ���� �� ��� 4��5�� �� �����

1

1 1 1 1 10

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )n n n n n

i i j j i i j j i ii j i j i

I v x x x x x x dx� � � � � � � � � �

= = = = =

⎡ ⎤⎢ ⎥′′= + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑ ∑∫

4���5!�� ��� �� �������� $������ �� �

1

0

( )i ip x x dx�= ∫ 4����5

���

1 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) .ij i j i jq x x dx x x dx� � � �′′ ′ ′= = −∫ ∫ 4�$5

&������ �1

0

( ) ( ) .ij i jr x x dx� �= ∫ 4$5

2������� 4���5� ���� �����

1 1 1 1 1

( ) 2n n n n n

i j ij i j ij i ii j i j i

I v q r p� � � � �

= = = = == + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 4$�5

&��� ��������� ��� ������� ���

1 1

2 2 2 0,n n

j ij j ij ii j j

Iq r p� �

� = =

∂ = + + =∂ ∑ ∑

������ ���������� �

1

( ) ,n

j ij ij ij

q r p�

=+ = −∑ 1, 2, , .i n= … 4$��5

%�� ������ ��� �����$���� ��������� �� � 2.n = %���� 2��� 4$��5� �����

1 11 11 2 12 12 1

1 21 21 2 22 22 2

( ) ( )

( ) ( )

q r q r p

q r q r p

� �

� �

� � � � � ���

� � � � � ��4$���5

,�����))�-1 3��������!����$������ 415

Page 429: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

416 ��������))1 %��&����2����3���

�������# 1( ) (1 )x x x� = − ��� 22 ( ) (1 ),x x x� = − �� ��� �����

12

1

0

13

2

0

12

11

0

12

12

0

12 2

22

0

12 2

11

0

13 2

12

0

14 2

22

0

1(1 ) ;

12

1(1 ) ;

20

1(1 2 ) ;

3

1(1 2 )(2 3 ) ;

6

2(2 3 ) ;

15

1(1 ) ;

30

1(1 ) ;

60

1(1 ) .

105

p x x dx

p x x dx

q x dx

q x x x dx

q x x dx

r x x dx

r x x dx

r x x dx

= − =

= − =

= − − = −

= − − − = −

= − − = −

= − =

= − =

= − =

∫2������� 4$���5� ����#��

1 2

1 2

18 9 5

63 52 21.

� �

� �

+ =+ =

,�����#�� �� �����

1 0.1924� = ��� 2 0.1707.� =7��� �� �����$������� ��� #���� ��

(1 ) (0.1924 0.1707 )y x x x= − +

������� �� ,���� �� �������������� ������� ������ ��

0y x′′ − = 4�5���

1(0) 0, (1)

2y y′= = − 4��5

��� ��'����#�/'�.������

Page 430: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� ���� ����� ��� ��� �� ��������� ���������� ��� ������� ���� �� �����������!����� �� $��� �������� ��� �� ������� ��� #���� ��

3

( ) .6

xy x x= − 4���5

%�� ���������� ���� ���� ������� ��� #���� ��1

2

0

( ) ( 2 ) (1).I v v vx dx v′= + +∫ 4��5

8

21 2( )v x x x� �= + 4�5

�� ��� �����$���� �������� ��� ��� �4�5� �������� �� ������� ������������������ ��.�� (0) 0.v = %�� 1 2( ) 2v x x� �′ = + ���� 2��� 4��5� #���

12 2

1 2 1 2 1 2

0

( ) [( 2 ) 2 ( )]I v x x x x dx� � � � � �= + + + + +∫ 4��5

7���1

21 2

1 0

13

1 22 0

0 [2 ( 2 ) 2 ] 1

0 [2 ( 2 ) 2 2 ] 1.

Ix x dx

Ix x x dx

� �

� �

⎫∂ ⎪= = + + +∂ ⎪

⎪⎬⎪∂ = = + + + ⎪

∂ ⎪⎭

∫4���5

,������������� #���� �� ��� �������

1 25

6� �+ = − ��� 1 2

4 3,

3 4� �+ = − 4����5

����� �������� �� 1 13/12� = − ��� 2 1/4.� =%�� �����$���� �������� ��� #���� ��

(1) 213 1.

12 4y x x= − +

%�� ����� ������� ������� ���� ���� �� $��� ��������

11.2.2 Galerkin’s Method

%��'����#�/'�.������������������,�����))�-�)�������������������������������������������������������������������������������������#��� �������#� �� $����� ��� �� ���������� ������ ��� ��� ������� �������� ��������������������������������������������������������������������3��

,�����))�-1 3��������!����$������ 417

Page 431: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

418 ��������))1 %��&����2����3���

�#�����#������������ $������ ��� ������� ������#������#��������������������������������������������������������������0��� ��D����������#�� �� �� ����� ������ ��� ������ ������ ���������� �� ������ ���� ���� ���� ������ ��� �����$�����#� �������� ������ �� ������ ��������� 4������������� ���� �� ��������� ���������5� ��� �������� ��� �� #���� ���������������������������������������� ������4�����������������.�����������������������������$�����#��������5��%������������������#������ �� ��#���� ��� �� �������� � �� ���� �� �������� ��� ��� �� �� .����� ���� �� ������ ��� ��� �� 2���/8�#���#� ������� �����������#� �� ����������� ��������� ���� �� ���������� ������� ��� �� �������� ������ �� '����#�/'�.� ���� 0��� ��� ������ ����� �� ���� ����� ����������

,� ,����� �)<�:� ���� ����������� ��� ���� ����� �� ����� ���������������� ����� ��������

11.3 APPLICATION TO TWO-DIMENSIONAL PROBLEMS

%������������������'����#�/'�.�����0��� ��������������������������������� �����#�� ����#���������� ��� ���� ���������� ������ ��� �������� ��� �� ������ ��� �������� �� �� �������� �� �������� ������������ ��� '�.���������� ��� $�����

������� �� �� �������� E������D�� ������2 2

2 2,

u uk

x y

∂ ∂+ =∂ ∂

0 , 1x y≤ ≤ 4�5

��� 0u = ��� �� ��������� �� ��� �� �#���� �%�� ���������� ���� �� ����� ������� ��� #���� ��

2 2

2 2( ) 2 ,

S

v vI v v k dx dy

x y

⎛ ⎞∂ ∂= − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ 4��5

���� �� �������� ��� �� ��������� ��� 8

( , ) ( 1) ( 1)v x y xy x y�= − − 4���5

�� �� ����� �����$������� �� ��� �������� �� �������� �� ��������� ������������� 0v = ��� �� ������������ %�� ��������� ��� #���� ��

22

22

( 1) (2 1);( 1) (2 1);

2 ( 1).2 ( 1);

vv x x yy y xyx

vv x xy yyx

��

��

∂ ⎫∂ = − −= − − ⎪∂∂ ⎪⎬

∂∂ ⎪= −= − ⎪∂∂ ⎭

4��5

Page 432: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

,�������#� ���� �� ��� 2��� 4��5�� �� �����

1 1

0 0

( ) ( 1) ( 1) [2 2 ( 1) 2 ( 1)] .I v xy x y k y y x x dx dy� � �= − − − − − −∫ ∫ 4�5

81 1

0 0

1 12 2

0 0

1 12 2

0 0

1( 1) ( 1)

36

1( 1) ( 1)

180

1( 1) ( 1) .

180

a xy x y dx dy

b xy x y dx dy

c x y x y dx dy

⎫⎪= − − =⎪⎪⎪⎪⎪= − − = − ⎬⎪⎪⎪⎪= − − = −⎪⎪⎭

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

4��5

2������� 4�5� ���� ���������� �2 2( ) 2 2 2 .I v k a b c� � �= − −

7��

0 2 4 4 .I

ka b c� �

∂ = = − −∂

%���

5,

2 ( ) 4

akk

b c� = = −

+����#� 4��5�

�� �������� ��� �� ������� �����$������� ���� �� ��� #���� ��

5( 1) ( 1).

4u v kxy x y≈ = − − −

%�� ����� ������������� ��� ��0��� ��������#���� �� ���� ���������� �����

11.4 FINITE ELEMENT METHOD

%��'����#�/'�.�����0��� ������������������������������������������������������������� �����������#� ��#������ �����$���� ������������#�����#����������!����������������������������������������������������������������������������4��������#���������������������5���������������� ���������� ����������� %��������� ��� �� ����������� ��� ������� ��������� ���� �� ������ #������ !����� ������ ��� ��� ���� ��#������������������ ���� �� �� ���� �� ������ #������ ��������� ���� �� ������������������ ��� �� ����� ���������� �� ����� ��� ���� ��'����#�/'�.���� 0��� ��� ������ ��� ���� ��� ����� �� ���� ��� �� ����� ����������������� ��� �������

,�����))�61 &����2����3��� 419

Page 433: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

420 ��������))1 %��&����2����3���

��� �� ����� ��������� �� �#���� ��� ����� ��� ���������� ���� ��������������� ����#������ ������ �������� �� ���������������� ����������������������������#�������������������������������������#������������������������$���������%������������������������������������������������������������������������������������������������� �� ����������� ������ &��� ��� ��������� �� ����� ��� �� �������� �������� �� ����� ��� �� ��������� ����� ��� �� ������ �� ��������� �� ���������������������������������������������������������������������� �� ����������� ������ ��� �������� %�� ������ ���� �������� ��� ������ ��������� ��� ��� �������1

4�5 !� �����������"�%��#����������� �����������������������������������%��������������������������������� ��%������������ ����� ��� ���� �������

4��5 !���������������������#������ "�&�����#���������������������������������� ����������� ������������������ ������������%����� �������� ��� ������� ��� ��������#� �� ������� �������������� ���

1

n

i ii

u u �

== ∑

�����������������������������!����������# ,i� ������������

���������� �� ���� ������� ��� �������

4���5 $ ����"� %�� �$� ��� ��� �� �������� ��� �� ���� ������������������������������������������������������������������� � �� �� ����$� ����

,K ′ ′=u F

��� % ; �������#� ������� ����$�� ��� ′u ��� ′F ��� ������������ ��������#� �� ������ ���� $����� ������

4��5 &�������� ��������� "� %�� ����� ����� ��� �������� ��� �����������#� �� ��������� ���������� ��� �� �������

4�5 ���������������#������ "�!��������������#������������������������ ����� ��� ������ ��� ���� �������� �������� ���� $������ �'(� ������������

%��������#������������#�������� ����������������������� ���� ����������� ��� �� ��������#� ������� ��� ���� ��������������$��������������$�����������������������������,������������������������������������������������������������������ ���� ������������������ ����������������������������� ��� ��������� ���

Page 434: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

11.4.1 Finite Element Method for One-dimensional Problems

�� �������� �� �������� ��������� ����� ������� ������ ��

2

2( ), 0 1

d yf x x

dx= − < < 4))�-A5

���� �� ��������� ���������

(0) 0,y =1

0�

� ��� �� � x

dy

dx4))�- 5

%����������������������������������������������������� ���$������� 4��'���� ()� *+51

����)� 4!� ��������������� ��� ������5"� ��� ��������������� �� �#�������������������$������� 0x = � 1.x = ,���������������������������� �� ��� ������������ ������ ������ �� ��� ������� ��#��� ��� #������ %����������������������������� ��8������#������� 0 1 2 1, , , , ,nx x x x −…

,nx ��� 0 0x = ��� 1.nx = %�����������������������������F�� n ��� ��������������#� ������������ ��#���� �������� � / ) ��������8 1ex − ������������������������������ � / ) ������������ ( 1)ey − ��������� �� �� ������ ��� �� �� ��� ������ ���������� ��� #������ ����� ��������� ��������� ��� ��� ���� ��

( ) ( ) 0ey x = ���� ���� ����� �� 4))�-�5

&��� $������ ��� &�#�� ))�- ( )3( )ey x ��� ���.��� ����� ( )

4( ) 0.ey x =

x3 x4

e – 1 3 4e

Figure 11.2 Typical eth element.

G���#�2���4))�-�5�� �� ����������� ��#�����������$�������������� 4�5������� ����� ��

( )( ) ( ),e

e

y x y x= ∑ 4))�:<5

���� �� ��������� ��� � �� ���� ���� �� �����%�������������������.����������������������$������������

�� ���������� ���� �� ���� �������� �� ����������� ��������� ���� ��

���� *� 4+����������� ����������� ����� ��� ������� �5"�&���� 2��� 4))�-A5��� �����

1 1

2

2

e e

e e

x x

x x

d yv dx v f dx

dx− −

= −∫ ∫

,�����))�61 &����2����3��� 421

Page 435: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

422 ��������))1 %��&����2����3���

������ ��� ����� ��

1

1 1 1

1

2

2

( ) ( )12 1

0

[ ] ( ) ( ) ,

e

e

e ee

e e e

e

e

x

x

x xx

x x x

xe e

e e

x

d yv vf dx

dx

dy dyv v dx vf dx

dx dx

v y vf dx v x D v x D

− − −

⎡ ⎤= +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ′= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

′ ′= − − + +

∫ ∫

∫ 4))�:)5

���

1

( )1

e

e

x

dyD

dx−

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦��� ( )

2 .e

e

x

dyD

dx⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

4))�:-5

��� �� �$� ���� �� ��� �� ����������� ����� �� �����$���� 2��� 4))�:)5��� �������� ���� ��� ����#� �� '����#�/'�.������

����,�4�������-����������������������������������5"�8���4�5����������$������� �� �4�5� ���� �� ���� ��� ��� ��

( )

1

( ) ( ),n

ee jj

j

y x x� �

== ∑ 4))�::5

���� � j� ����������� �������������� ( )j x� ��������$��������������� �� �� ������� ,�������#� 2��� 4))�::5� ��� 2��� 4))�:)5�� �� �����

1

1

( )

1

( ) ( )12 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) , 1, 2, , .

e

e

e

e

xne

j ijj x

xe e

i i e i e

x

x x dx

f x dx x D x D i n

� � �

� � �

=

⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′⎢ ⎥⎣ ⎦

= + + = …

∑ ∫

∫ 4))�:65

2������� 4))�:65� ���� �� ����� ��� �� ����$� ����

( ) ( ) ( ),e e eij j iK Fα = 4))�:*5

����%�������.������������� ������ ��������������������������������� ������ #���� ��

1

( ) ( ) ( )e

e

xe

i jij

x

K x x dx

� � �� � � 4))�:@5

Page 436: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���

1

( ) ( ) ( )12 1( ) ( ) ( ) .

e

e

xe e e

i i e i ei

x

F f x dx x D x D� � �

−= + +∫ 4))�:A5

�����'����#�/'�.�����0��� ����������������������������������������������������������������� .j� �������������������������������������� �������������������������������������������� �� ��� ��������� %���� ��� ���� ��� �� ��������#� ����� 8

1 2( )y x x� �= + 4))�: 5

�� ��� �����$������� ��� �� ���� ����� ���

( )1 1 2 1 1

( )1 2 2

( )

( ) .

ee e

ee e

y x x y

y x x y

� �

� �

− − ⎫= + = ⎪⎬

= + = ⎪⎭4))�:�5

,�����#� �� �������� #���� ��� 2��� 4))�:�5�� �� �����( ) ( )

11 21

1

e ee e

e e

y x y x

x x�

−=

−4))�6<5

���( ) ( )2 1

21

.e e

e e

y y

x x�

−=

−4))�6)5

2������� 4))�: 5� ���� �����

( ) ( ) ( ) ( )11 2 2 1

1 1

( ) ( )11 2

1 1

2( ) ( )

1

( )

( )

e e e ee e

e e e e

e ee e

e e e e

e ei i

i

y x y x y yy x x

x x x x

x x x xy y

x x x x

y x�

− −

− −

=

− −= +

− −

− −= +

− −

= ∑4))�6-5

���

( )1

1( )e e

e e

x xx

x x�

−=

−��� ( ) 1

21

( ) .e e

e e

x xx

x x� −

−=

−4))�6:5

��� 1 1ex x −= ��� 2 ,ex x= �� �������� ( )ei� ���� �� ������

( ) 0,( )

1, .e

ji

i jx

i j�

≠⎧⎪= ⎨=⎪⎩

4))�665

,�����))�61 &����2����3��� 423

Page 437: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

424 ��������))1 %��&����2����3���

������ ��� 2��� 4))�:*5�� �� ���� ���

( ) ( ) ( ),e e eij j iK y F= 4))�6*5

��� ( )eijK ��� ( )e

iF ��� #���� ��� 2��� 4))�:@5� ���� 4))�:A5����� �� ������ �� ( ) ( )e

i x� ��� ��� 2��� 4))�6:5�� �� ���� ��������� ���������� ��� % ���� ���� . ����� ��� ����������� �� ����� 2.f =���� 1,e e eh x x −= − �� �����

( )1 1e

e

d

dx h

�= − ���

( )1 1e

e

d

dx h

�= − 4))�6@5

���

1

1

1

2

11

12 212

22 2

1 1

1 1

1 1

e

e

e

e

e

e

x

e ex

x

eex

x

eex

K dxh h

K dx Khh

K dxhh

⎫⎛ ⎞ ⎪= − =⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪

⎪⎪⎪= − = − = ⎬⎪⎪⎪⎪= = ⎪⎪⎭

4))�6A5

���

1

1

( ) ( ) ( )1 1 1

( ) ( ) ( )12 2 2

2

2 .

e

e

e

e

xe e ee

eex

xe e ee

eex

x xF dx D h D

h

x xF dx D h D

h

⎫− ⎪= + = +⎪⎪⎬⎪− ⎪= + = +⎪⎭

∫4))�6 5

!�� �� ���������� ����� �� �������� �� ��������#� $�����

������� �� �� �������� �� ��������#� ������� ������ ��

2

22, 0 1,

d yx

dx= − < < (0) 0, (1) 0.y y′= = 4�5

%�� $��� �������� ��� �� ����� ������� ��� #���� ��

2( ) 2y x x x= − 4��5

����������� ���� 2��� 4))�-A5� ������ ��� ( ) 2.f x =

Page 438: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

4�5�%���������� �� ���� �������� ��� �� ����� ���� ���������������� (<� )+� ���� ��� ����� ����������� ��� 1/2.eh = &���� 2���� 4))�6:5���� 4))�665�� �� ������ �� �������� ���� ���� �����

4�5 11: 0, 1/2,e ee x x−= = =

(1)1

(1) (1)

(1)2

12 2

2,1

2 2 2

� � �� ��� �� �

� � � �� �� �� � �

� � �� �� �

DK F

D

4��5 12 : 1/2, 1e ee x x−= = =

(2)1

(2) (2)

(2)2

12 2

2, .1

2 2 2

� � �� ��� �� �

� � � �� �� �� � �

� � �� �� �

DK F

D

7����#���������������������������������������������������������������#�����������$���������%��������������$�������������������������

����/� 4$ �������� ��������#������ 5"��������� $������ ���� ������������ �� �� ��� ����� ������� ��� 2$����� ))�@�� ��� ���� ����� ���������������������������-��,��������������� 4�5���������������� �������� ��� ��� ��� ���� )� ������� �� �� ���� ��� � � ��� ���� -�� &���� ��� ����� ��� 2$����� ))�@�� �� ������������ ���� �� $�������������������� �������1

(1)11 ,y Y= (1) (2)

22 1 ,y Y y= = (2)32 .y Y=

��� �� ����� ���� ���������� ����� �������� ��� �������� ������ ���������������������� ��������� �

G���#� �� ����� ��������� �� #������ ����� ��������� ��� �� #������������ ����� ������� ��

(1)1 1

(1) (2)2 2 2

(2)3 2

2 2 0 1/2

2 2 2 2 1 .

0 2 2 1/2

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �

Y D

Y D D

Y D

%�� �$� ��� ��� �� ���������� ��� ��������� ����������

���� 0� 4��� ������ ��� ��������� ��������� 5"� %�� ����#����� ����������������� #��� 1 0.Y = %���� �� ������ �� �������1

2 34 2 1,Y Y− = 2 31

2 22

Y Y− + =

���� (1)2D ��� (2)

2D ����������������� (2)2 0D = ��������������������

���������

,�����))�61 &����2����3��� 425

Page 439: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

426 ��������))1 %��&����2����3���

%�� �������� ��� ���� ����� ��� #���� ��

23

4Y = ��� 3 1Y =

&�������� �� �����$���� �������� ����#���� �� ������� (<� )+� ���� ���� ������� ����#� �� �������

(1) (1)2 1 21 2

( )

(2) (2)12 31 2

1( ) ( ), 0

2( ) ( )

1( ) ( ), 1

2

3 1, 0

2 2

1 1, 1

2 2

ei i

i

Y x Y x x

y x Y x

Y x Y x x

x x

xx

� �

� �=

⎧ + ≤ ≤⎪⎪= = ⎨⎪ + ≤ ≤⎪⎩

⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨+⎪ ≤ ≤⎪⎩

��� ����������� ���� ��������������&���������������������������$����������� (1/4) 3/8 0.375,y ≈ =

������ ��� $��� ���� 2(1/4) 1/16 7/16.= − =4�5�%�� ������� �� ������������ ���� �������� ����� ����� ��� ��#�

)>6�� ��� ���� ����� �� ���� ������� ����

4�5 11: 0, 1/4e ee x x−= = =(1)11 4,K = (1) (1)

12 21 4,K K= = − (1)22 4K =

(1) (1)1 1

1,

4F D= + (1) (1)

2 21

4F D= +

(1) 4 4,

4 4K

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

(1)1(1)(1)2

1/4

1/4

DF

D

⎡ ⎤+⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦

4��5 12 : 1/4, 1/2e ee x x−= = =

(2) 4 4,

4 4K

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

(2)1(2)(2)2

1/4

1/4

DF

D

⎡ ⎤+⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦

4���5 13 : 1/2, 3/4e ee x x−= = =

(3) 4 4,

4 4K

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

(3)1(3)(3)2

1/4

1/4

DF

D

⎡ ⎤+⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦

4��5 14 : 3/4, 1e ee x x−= = =

(4) 4 4,

4 4K

−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

(4)1(4)(4)2

1/4

1/4

DF

D

⎡ ⎤+⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦

Page 440: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

%������������������������������������������������������ ���

(1)1 1

(1)22

3

4

5

4 4 0 0 0 1/4

4 4 0 0 01/4

1 0 0 0 0 00

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

� � �� �� � �� �� �� �

� � �� �� � �� �� �� �

� � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

� � �

Y D

YD

Ye

Y

Y

1(2)

2 1

(2)3 2

4

5

00 0 0 0 0

0 4 4 0 0 1/4

2 0 4 4 0 0 1/4

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

� �� �� �� �� �� �

� �� �� �� �� �� �� �

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

� � �

Y

Y D

Ye D

Y

Y

1

2(3)13

(3)4 2

5

00 0 0 0 0

00 0 0 0 0

1/43 0 0 4 4 0

0 0 4 4 0 1/4

0 0 0 0 0 0

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

� � �

Y

Y

DYe

Y D

Y

1

2

3(4)1

4(4)25

00 0 0 0 0

00 0 0 0 00

4 0 0 0 0 0

0 0 0 4 4

0 0 0 4 4

� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �

� � � �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� ��� � � � � �

Y

Y

YeDY

DY

!����#� ��� �� ������ �� �����

(1)1 1

(1) (2)2 2 1

(2) (3)2 13

(3) (4)2 14

(4)25

4 4 0 0 0 1/4

4 4 4 4 0 0 1/2

0 4 4 4 4 0 1/2

0 0 4 4 4 4 1/2

1/40 0 0 4 4

� � �� �� � �� �� �� �� �� �� �� � � � �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� �� �� �� �� �� �

� � � � �� �� �� �� �� �� �

�� �� �� ��� � �

Y D

Y D D

D DY

D DY

DY

?�� ��������� ���������� �� ��� 1 0.Y =

,�����))�61 &����2����3��� 427

Page 441: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

428 ��������))1 %��&����2����3���

%�� ����� ���� �����

2 3

2 3 4

3 4 5

(4)4 5 2

8 4 1/2

4 8 4 1/2

4 8 4 1/2

4 4 1/4

Y Y

Y Y Y

Y Y Y

Y Y D

− =

− + − =

− + − =

− + = +?� (4)

2 (1) 0.D y′= =%�� �������� ��� �� ����� ��

27

,16

Y = 33

,4

Y = 415

,16

Y = 5 1.Y =

%��� �� �����$���� �������� ������ ���� (<� )+� ��

17 0,44

1 110 14 28( )

6 3 1 3,8 2 43 3, 1 .

4 4

x x

x x

y xx

x

xx

⎧ ≤ ≤⎪⎪⎪ +⎪ ≤ ≤⎪= ⎨

+⎪≤ ≤⎪

⎪+⎪

≤ ≤⎪⎩

&���� �� ������ �� ����� (1/4) 7/16,y = ������ ��� �� ���� ��� � $����������

11.5 CONCLUDING REMARKS

���������������������� �������������������������� �����������������������������������������������������������������3����������������$����������������������������$��������%������������������� �� ��������G����������� �� ���������� ��� ����� ���� ���� ���$���������������������$���������������������������������#������������� ��� ���������� ��������� ������ ���� ���������� ���#������#������#����������������������������������������������������������������������� ��� ���#����� ��#���� ���������B������������ ����#���� ���� ���� ����� �� �������� ������ ��� �� ���� ������ ���� ��� ��� �� ����� ������ �� ��������� ���� ������ ��� �� ����� �� �������� �������� ������#���������� ��%����� ������������������������������������$ �����9

����� ������ ���� ������� ��� ������� ���� ����� �� !�� �!�����!�� ���� !������ �"������ ������� ��� �� ��!���� ��� ��"��� ��#� $� ��!� !�� %����� � �������� �� ������� ������ � !�� ������ ��"���! ��� ����� �!� ���� &�����'�����

Page 442: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

EXERCISES

���� 2$�����������������������������������������������E������4�5� � 4��5� ;� �4� �5�

4�5� � ∫ � 4�5� ��� ;� ∫ � � 4�5� ���

���� 2�������� ��2���/8�#���#�������

0,f d f

y dx y

⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠���� �� ���������� ������ ��

( ) ( , , ) .b

a

I y f x y y dx′= ∫B����� ����������� ���� �� ��������#� ��������� ����� �������4E������� ))�:/))� 51

����2

2( ),

d yg x

dx= �4<5� ;� �4)5� ;� <�

����2

32

,d y

ky xdx

+ = �4�5� ;� <�� 1.x b

dy

dx =

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦

����2

22

2 ( ), (0) (1) 0.d y dy

x x g x y ydxdx

� � � �

����2

2( ) ( ) 0,

d yp x y q x

dx+ + = � � �4�5� ;� �4�5� ;� <�

���4

4( ), 0 1,

d yky f x x

dx� � � �

2

20

d yy

dx= = � �� �� ;� <� ���� �� ;� )�

,���� �� ��������#� ��������� ����� �������� ��� '����#�/'�.� ����4E������� ))� /))�)<51

���2

22

, (0) (1) 0.d y

y x y ydx

� � � �

����2

22 0, (0) (1) 0.

d yx y y

dx� � � �

�����2

2

d y

dx/� @6�� =� )<� ;� <� �4<5� ;� �4)5� ;� <�

2������� 429

Page 443: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

430 ��������))1 %��&����2����3���

!����� 0��� ��D�� ����� �� ����� �� ��������� ����� �������4E������� ))�))/))�)-51

�����2

22

, (0) (1) 0.d y

y x y ydx

� � � �

�����2

2

d y

dx/� @6�� =� )<� ;� <� �4<5� ;� �4)5� ;� <�

Answers to Exercises

����

21

0

1( )

2

� �� �� �� � � �� � ��

dvI v gv dx

dx

����

22 3( ) 2 ( )

b

a

dvI v kv vx dx v b

dx

� �� �� � � �� �� � � ��

���� 2( ) 2b

a

d dvI v v g x dx

dx dx

� �� �� � � � � � ��

����2

2( ) 2b

a

dvI v pv qv dx

dx

� �� �� � �� � � �� � ��

���21 2

22

0

( ) 2d v

I v kv fv dxdx

� �� �� �� � �� �� � ��

���1 2

2 2

0

( ) 2 ;� �� �� � �� �� � � �

�dv

I v v vx dxdx

210 7( ) ( ) – (1 ) (1 )

121 41y x v x x x x x� � � � �

����1 2

0

( ) 4 ;� �� �� �� � � �� � �

�dv

I v v x dxdx

31( ) ( ) ( ) .

3� � �y x v x x x

�����25

( ) (1 )37

v x x x� �

����� 210 7( ) (1 ) (1 )

123 41v x x x x x� � � � �

�����25

( ) (1 )37

v x x x� �

Page 444: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���

BOOKS

������� �� � ���� ������ ��� ��������� ���� ������� �� �� ���� ���� ��� ����� ��� ��� �������� ����� ��� ���� �� !�

�������������� ���������� � ������������������������"#����$%�%&%�'� ��()�

�*������+������ ��������� ��� ��� ����� ���������� � ��������,- .���������� ��!(�

#�*��+��� ������������������ ������������ ��� � ����������������� �����*���/ ��� ��� �����, ��! �

#����*0�1���2���������3���������������*'.4������/5��������������()�

#��*���$������ ���� ��������������� ����� ������� ��)(�

#������"����������"��������������������� � ���������������� ���������������� ��! ����� #%**�����*�� ������ ��!)�

#��������6�������������� ���������������*���/ �����������,��!7�

"�������#� ����%*��������6����������� �������� ���������������,������� �� ��

"��*�.�$����������������� ���������� �8�9��� ��� ��������� )�

"��4��.�"����0�,������"���������� �����������������! �����:���;�*�8�9���/ ������$���� <===�

$�>������������ � �����������������"��� ������������"�������������6?@��� ��(=�

$�>�� ���� ��� �� 0�������*A�������� �� ����� ���� ����!��� ��������������� ��� ���� ��(7�

$�#���"���#���� ����$� ��� ����� ���.4������/5������������ ��!(�

B�?�����'�#�������%��&����'�#������ ���� ������� ���������� �6?@���C��>����*, ����� �� (�

����������

Page 445: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

432 #��������4�,

B������"��� ��������� ��� �������� ���������� ��������D�����,0������8���� �� )�

9�����"�B������6�����*��,���� �������� ���������� �:������������/�����, 0������ 8���� ��(��

9��>����;�������������� �������� �������� ���'���������������� ��� ����� �� ��� ����� ������������ ����� ������� �� ��

��*��� $�0������ ���� ������ � 6?@��� C��>����*, ����� ������ ��)<�

������ ����������� �� ����� ���� ������ �(�����, ������� �� 7�

������������ �������%������� �����%�����)������� ���������,-.���������� ��!7�

���������B�#���������� ����������� ���������� �8�9��� ������������) �

'�� ���&%�� ��� "���� �%�� ����� ���� ������ � "��4��� ��� ��� ������� ��(!�

'��������� ��� �#�+����������� �� ������� ����������� ��������,-.��� ��� ���� �� �

����8�+������ ���������� ������ ��� ����������! �����.�#����%��������$������!��

��>, � ��� ���� #����** ����� ���� ���� ��� �� * ����� ��� � ��� ���$�>�� ������� ��)=�

8�"������ ��8� ��� 8�9� .��>����� ����� ���� �������� �� �+���������*���/ ��� �@ '�������$���� ��!��

EEE������� %����� �!�������� 8.6 ������ �� ��

8�*�������0����0����*����� � ������������������ ��#��� ���* ����� ��� ��� ��� ��������, - .��� ������ ��!!�

������� +����������� �� ����� ���� ������ � 8�������� "�� ��� ������ 7�

�����#������ �����������5��� <6��>�� ���#�,������%��� �� 7�

������4�9�8��������;�,������������������ ��� ����������� ���������� ��������� ����� ������ ��!:�

������� � #��� B������� .��� ;�������, �����;� 5�**������ ����� ������ ���(� ���� ���� �� � ��� �� %����� �! "�������� C��>����*, �����"�������� ��( ���<�

0���, ���� ��� ��������� ��� ��� ���� � � ��� �������� ������ 8�9��� ���#��� "�� .����4��� ��()�

.��*�, .�.���! ���� �!��������� �� :�� ����5���� � ��� < ����*���/ ����@ '���� ���$���� <==7�

Page 446: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

#��������4�, 433

.�������%����#������ ������������ ���������� ������ �4����C��>����*,����� #��*����� ��)=�

.�����B�����������������#��&������������ ���������� �.���%�.�����8�9��� ���������� �� (�

.��%��������� '�������������������� ��� �������� �������� ���;�����9��>���� 1���2 44� (!D�=<�������� ����� ������� �� ��

.��*� 9�$� ����� ���� ���� ��� �� #��� ��� * ����� ��� � ��� ��� 6?@���C��>����*, ����� ������ �� )�

.*��*��0�9������ ������������ ���� �����������! ���� �!����*���/ ����@ '���� ���$���� �� !�

����������� �������!�&�� ��� !��'�����#��&���6?@���C��>����*,������� )�

TABLES

���������� ��� ���� ��� ��� ��&��� ��%*���� ������� 6@@��� 8.6 ��������) �

,���&�������������� ��������� ����,8��*��������>�*A���'���.*��%�C. $�4��*���* �@ "��������������*�� �� )�

+����!�����#������ ����,8��*��������>�*A���'��.*��%�C.$�4��*���*�@ "������� �������*�� �� )�

��&����������!���������+������������� ����*����, �8�$����*8��������- "�� ������ ��:7�

RESEARCH PAPERS

�������,���������$� ������"%����4�������%*����*�*��/4���*��%����,>��%� 4�������%�������� -������ 5��� �< 4� �)� �� ��

�*������+���;���%������� ���%*����@B������� ��*������&%�*�����@ *�������� ���� ���� -� ���.� ����� 5��� 7 4� ::! �� !�

#�%����B� -� ��� 5��� 4� 7:( ��)(�

#�����,��9� ��������� �%��� ��*��4���*��� ��� *��/4���*� ��%����, >��%�4�������%�������� -������5��� �� 4� <= �� (�

"������� "��� �����0� "%�*�� � ��*��� @�� �%������� ��*����*��� �� ���%*���*�� ���4%*������������� 5��� < 4� ��! �� =�

"�? 8�9� ;�� �%������� �>��%�*��� �@ #/�4����� -� ����������� ���� ���5��� �= 4� �:7 ��!<�

EEE;���%��������>��%�*����@��4����@����*�#/�4������4�����*�*���-.� ����.� �����.� ���� ��� 5��� �) 4� �) ��!)�

EEE;���%��������>��%�*����@��4����@����*�#/�4������4�����*�*���-� ����.� �����.� ���� ��.( 5��� <� 4� �:) ��!(�

Page 447: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

434 #��������4�,

"%�*����0����8���$�������C�����%����4�����*��44��?���*�@%��*�����@���>�������*�4������������%���,����,��/�������������.����/�012341 8.62 �� !.

��#���"�6� ����%��*�����*�#/�4�����-.������).�������5��� 4� )=��!<�

$��>����8�;���%��������>��%�*����@4�����4��>��%���*������%�������-������ 5��� �= 4� :(� �� (�

��������� #��%������� ����%��*��� �@ B�%���� ��*��������*� �%��� �4�������� 5��� ( 4� <!� �� (�

���������#�6�*������%��*����@B�%������*������������� ���#������ �!5��� !� 4� �:7 ��!<�

��/9���� .��� "���,���> ���%*��� �@ ��@@����*��� ��*������ ��� ��*����/��@@����*��� �&%�*����%�������� -������5��� �< 4� <(< �� ��

�����**$��"���,���>������@��*���%����������%*����@B���������*������&%�*����%�������� -������5��� 4� �=< �� :�

B��������9�6��&%����*%��@���%��@��*��������*�����*������#���.����.��.� �� �� 5��� 7� 4� :( ��<(�

B�?�������;�9������;���%����������%*����@�������%�����������*������&%�*���� #� �.� �����.� ���.� ���� 5��� <7) 4� )=� ��):�

B,@� $��� ;�� %�� �@ �%��� �4����� �� *�� ���%*��� �@ *�� 4���* ��%����,>��%� 4�������%�������� -������ 5��� �< 4� �(( �� ��

EEE;��%�� �@ �%��� �4����� �� *�� ���%*����@ *��4���* ��%����, >��%�4�������%�������� -������ 5��� �: 4� <=7 ��!=�

9��>����;�����$�*� @�**��� �, �4���� @%��*�����.�.%.� ����.� ��.� ������(�:8�*��� 0��� "��*��C.���,C��>����*, �@���������8��������������� �� (�

��������;��&%�*���*��@@������������*�����.�����.��� ��C�.�#%���%�@ .*������� 7� 4� <: ��)(�

'����� ��� +�,��� ���.� -.� %���.� ������ 5��� 7 4� ��� ��!7�

+�����0��� ����� �0%�4��� ;����, �@ ��>�����* ��������� ���� -.���!!.�� 5��� ! 4� �=�� �� ��

+������ $� � ��*� �� *�� ���>������� �@ ��*%��� �%��� �4����� ���� -.���.� ����� 5��� ( ! ��!��

EEE;����*��4���*��,�%����4���������.�����$�4*��@8�*��C��>����*,�@ ������*�� ��!<�

EEE��%������� ���%*����@�� ��*������&%�*�����*��@����, *��>�����*,���*���%*��� ���%�� � ���, �@ ��>��%*��� �� �?��� @��� ��%.� ���.��.� 5526( �� ��

Page 448: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

#��������4�, 435

��>� ��0� ;�� ����*���*�*�� @���� �@ *�� �&%�� ����%��� ���?��� ����%�*��������7���.� -.� ����.� ���.� ����� 5��� < 4� 7<( ��7��

8�������?4����*��� @�**���%���� ��*����� �&%�*���� ���.� -.����.�����.� ���!!� 5��� ( 4� <!� ��!7�

8%���� $��� � ��*��� @�� ���>��� ��������� �&%�*���� %���� �� �%*���*�����4%*������� ��&��� � ��� %���� 5��� �= 4� <=( ��) �

��*����� B� "%��� �4���� @%��*���� ��� ���*���/>��%� 4������� ��� 5��� �(4� :7< ��!(�

������4�����;��%���@�������*������4��F��*�����*���@�����>����������4���*�� �&%�*���� ���� -.� ���.� ����� 5��� � 4� �7 ��!<�

������������� �* ��� �� �@@�����* ������*�� @�� ����� �������*��� %����#/�4����� ����>���* ������#�������� 44� �7D� <==7�

0%*����%��� � 8.� ��!�/����.� #���� 5��� ) 4� <:: ��)7�

.��*�, .�.�� �%������� ���%*��� �@ �� ��*����� �&%�*��� �@ *�� ������ �������%����� �� �����,������ ���.� -.� #���� ���� ���.� ����� 5��� 74� (:( ��!:�

.��*�,.�.��%����������%*����@�������%���B���������*������&%�*�����@*�� ������ ���� ���.� -.� #���� ���� ���.� ����� 5��� 4� !!: ��!)�

EEE�%����������%*����@B���������*������&%�*������*��������*��������%����*, ���.� -.� ���.� ����.� �� ��!!� 5��� �= 4� �<=< ��! �

.��*�, .�.� B���*� ��@@������ �44��?���*���� *� ���/����������� 4���������&%�*���� %���� � �%��� �4���� *�����&%� -.� %���.� ���� ���.� �����5��� < 4� <: ��! �

.���������'���"��*���%*����*�*��4�������@�44��?���*����@�&%����*��*��*� �,����,*���� @%��*����7��������.� ������ 5��� 7 4� 7) ��7 �

.��>��*�>�+������0�8������,�;�����*���%*����@*�������*�����������/��@���*� ����*�� ����� ���*������ � 4���,���4�� ����� ���.� -.� ��!!.� ��5��� ! 4� 7� �� ��

5�����,B�������*�*���*�����*���@��*������%��*����@>�����*,���*���%*����@ ������ �@ ��>��%*��� ��� �,���*����� 4��@���� ��%� �9� ��)���� ::!7�

��������� �� � �%��������3� ��*��� @�� *�� ���%*��� �@ *�� ��������������>��%���������%���.�-.(��4����� =�

���@� 8��� ;�� �%������� ���%*��� �@ �������%��� ��*����� ��� ��*����/��@@����*����&%�*�����,�*���*�����*�"���,���>������%��������-������5��� �< 4� ��: �� ��

�,�� �� � �%@@�����* �����*��� @�� *�� ���*�����*, �@ &/� ������*�� ���.����� 5��� � 4� <=: ��)��

��%����;���44����*����@�44��?���*�4���%�*��*����*���*�*���%����������%*����@��*������&%�*����#���.����.���.��5���<<74�) ���)7�

Page 449: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���

������ ��� �� ��� �

�������������� ������������������ �����������

������������� ���

������ ���� ����� ��������

������� ���� �� �� �� ��� ���� �

�� ��������� ������ ������� �� �� �������� ����� �

� �!�� �"�� ��� #� �"�� !��$��

�%���&� �'�%'&� ���(�%�

�� )����� �"�� #������ #�� #�!��!*� �"�� ��"� ��� #� �� � ������ !��$�����

�� )�����+�,�!-.��" !� #������ #�� #�!��!*� �"�� �� � #� �"�� �/����! � ��&� ��� �� �� �!�� ��&� ��� �� ��

�� )������"������ ��!�+�,�!0 �#�,�����!��$���,������##���!���#�������

�� 1#� �� �� ��2(3'&� �!�� �� �� ��24��&� #�!�� � � �!*� .�$��*0 � ���"��

�� ������!� �"�� ����!�#� �� 5 ����#� ��!���� �/����! �$5������ ���!#� �"�� ������� �!�� ��� #���

�� 6����� �,!� �"�� #���"� �����.�!*�-7����� #������ #�� �"�� ����!� #�"�� ��$���

0 0( , ), ( ) .dy

f x y y x ydx

= =

�� 8�#�!�����,9��!��$�!���5���������$�����!�� ������!5��,����"� #� ���!*� ���

��� )�����:������0 ��/����!��!��,�����! �! ��!��*������ �#�!������##���!���!��*���

������� � �'� �� �2� �� 3�� ���� �

��� ��� ;� ��� #� �"�� �/����!� ��� <� ���� -� �� �� �� ��� � $��,��!� -�� �!�-��� �!���"� ���&������������������������� &�$5�$� ����!����"��

=3>�$� ?������ �"�� ������ #� 10 � ������� �� %� �������� ����� � =3>

Page 450: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

� � ��� 8� �*!�����������!�����*���"�����������!��:�*��!*�0 ��!��������!#�������!��� ���������������"��������#�� �'��#����"��#��,�!*����� #�� �� �!�� � ���� =3>

��&� %2�&� �(&� (��&� ���&� �����$� ��� �� ������ #� �"�� #��

�� ��a

bxx

+

$5� �"�� ���"�� #� ��� �� /���� � �� �"�� #��,�!*� ����� #� �� �!�� � ����

��&� '�%��&� ��&� 2��3�&� �%&� ������&� �2&� �%�32�&� �3&� �4�'�� =3>

��� 8�������"����5��/����! �#�)�!��-����5���*���"��#��������!*��"�8 ��#� �"�� �/��!��� ������&��&��&�@&�(��;���5� �"� ����"�� �� #�!�� �"�8 ��#� �"�� �/��!��� �����A�&��&��&�%&�%&��&��&��B��8��,��"��#�,*���"�

=�2>

��� ��� 8�#�!�� �� ��$��� ���!�� �!�� ������� �� � *���!�!*� �/����! &� ��C�

� � � �

3 31

1( ) ( )1

( )6 6

� � �� ��

��

i ii i i

i

x x x xs x M M

h

� � � � � � � � � � �

2 2

1 1 1( ) ( )6 6� � �

�� � � �� � � � � � �� � � � ��

i ii i i i i i

h hy M x x y M x x

� � � � �!�

( ) 11 1 1

1

6 3 6i i

i i i i ih h

M h h M M+− + ++ + +

� � � � � �1 1

11

, .i i i ii i i

i i

y y y yh x x

h h+ −

−+

− −= − = − =��>

�$� �"�� #�!���!� �� �� � ���� � � ��� #���� $5� �"�� ��!� � ��&� ��&� ��&� '�&��&����&��%&�3��� �����!���������$��� ���!������������!����"� ������!�� #�!�� �!� ����������� ������ #� � ���'�� =2>

��� ��������1

20

1

1�

��I dx

x

� �!*� �����C����� ����� ,��"� � �� ��'&� ���'� �!�� ����'�� �"�!� $���!� �$������ � ������� $5�.�$��*0 ����"���D���� �"�� ���� � �!� �"�� ����! $���!��� =�2>

E. �!�� ������� *���!� �"��

3 , (0) 1,2

dy yx y

dx= + =

� �!*� �"�������&� �"�����#���������� �!�� �"�� #���"� �����.�!*�-7�������"� � ,��"� � �� ���'� =�2>

FFFF

438 ������� ��G������ H�$��*���"5

Page 451: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������ ��� �� ��� �

�������������� ������������������ �����������

������������� ���

������ ���� ����� ��������

������� ���� �� �� �� ��� ���� �

�� :� �� �!5� �"���� ���� � #� ���� � ,"��"� 5�� �!��!���� ,"���� ���!*� ����"�����������$����

� )����� �##����!�� �!����! � #�� �"�� �!���*�!���#� �"�� �������!����"��� #�!�� �"�� �� � #� �"�� 5 ���� �� �� ���&� ��� �!�� �� �� ���&� ���

�� ����������������

�� ��� �"�� �������� ��##���!��� ��$��� #�� �"�� �����

2 5 10

5 29 139

xy

�� 6����� �"�� !����� �/����! � �� #��� �� /��������� �� ���� <� ��� <� ���� �� �"������ ���&� ���&� �� �� �&� �&� @&� ��

�� 8�#�!�� 8 �� �!�� 18 �� #� �� #�!���!� � ���� ��#�!��� ��� ��!� � ��&�� �� �&� �&� �&� @&� � - ��

�� 6"��� ���� �����!��� ���!� I� ,� ���� �"�5� �������� �� ��$��� ���!� I

�� 6����� �"�� #������ #��dy

dx� � �!*� )�����!*0 &� �!��������!� #������

�� ������!� �"�� ��##���!��� $��,��!� J��$�� �!�� D�� -)������ ���"� � #��"�� ����!� #� �� 5 ���� #� �/����! �

��� ������!� �"�� ��##���!��� $��,��!� ��������� �!�� ��������� ���"� � #�� �"�

����!� #� �"�� �/����!�2

2.

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

������� � �'� �� �2� �� 3�� ���� �

��� ��� G���� �"��� +�,�!-.��" !� ���"�� "� � /��������� �!���*�!���=2>

�$� K ��H� ��0 �#��������� ��������"��������#���,"�!�����'���#���"�� #��,�!*������

��&� �%��(�&� �%&� �'�3��&� �3&� �(�(��&� ���&� �4�42� =2>

���

Page 452: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� 1#� �"�� ����*"�� ��!���������<����� � � #������ �� �"�� ����� ��!� � ���&����&�� �� �&� �&� @&� �&� ",� �"��

2

1

0, 1, 2, , .i i

i i i i

x y

x y n i n

x x y x

� �

� � �

� � � =%>

� � ��� K �!*��"��?��5-����5���*���"�&���������"��8 ��#��"�� �/��!����� �� A�&� -�&� �&� -�B� =��>

�$� D���!� �"�� ����

–2 –1 2 3

–12 –8 3 5

xy

������� �������� � �!*� ��$��� ���!�� ����������!� =2>

��� ��� ��������1

0

1

1�� dxx

� �!*� �"�� %9��!�� D�� � /���������� #������ =2>

E.1#� �� ���� <���� <����� �!�� ��&� ��&� ��� ���� �"�� ����� � #� �� ���� �!��!*�� �� �� �&� �� <� � �!�� �� <� � �� �� ��������5&� ����� �"��

� �2

1 1 24 .3

� � ��a h

a

hydx y y y =2>

�$� )���� �"�� #��,�!*� �/����! �$5� ����!*����� ���!����"��

� � � � � � 3�� -� ��� <� ��� �� ��&� %�� <� ���� -� �� �� ��&� 2�� <� ��� <� ���� �� �2 =��>

��� )���� �"�� #��,�!*� �/����! � $5� D�� -)������ ���"�� ������� ��� �������� ����� �

� � ���� -� '�� -� ��� �� �&� %�� -� ���� <� ��� �� -�&� �� <� 2�� <� ���� �� -� =�2>

E.

K �!*���5��0 � ���� &� #�!�� �"������� �#�� �����&�� �����&�� ������ #�� �"��!��������������$���

2 , (0) 1.dy

xy y ydx

= + =

�!��� #�!�� �"�� ������ #� � ���%�� � �!*����!�0 � ���"�� =�2>

��� )���� �"�� "���� �/����!2

24

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

=�2>

440 ������� ��G������ H�$��*���"5

Page 453: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

,��"� �"�� �!����! � � ��&� ��� �� � �%&� ��� �� �� �!�� � ��&� ��� �� %�� -� ��&

�� �� �� �� %� #�� �� ��1

8�&� �� �� �&� �&� �&� �&� %&� '� =�2>

E.)����:������0 � �/����!

2 2

2 20, 0 , 1

u ux y

x y

∂ ∂+ = ≤ ≤∂ ∂

,��"�$�!���5��!����! ����&���������&��������&����&���������&���������

����� � �� ���'� �!�� ����5� D�� 9)������ ���"�� �� #�!�� ����� � �������� �� �������� ����� � =�2>

FFFF

������� ��G������ 441

Page 454: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������ ��� �� ��� �

�������������� ������������������ �����������

������������� ���

������ ���� ����� ��������

������� ���� �� �� �� ��� ���� �

�� )����� �"�� #������ #�� #�!��!*� �"�� �$ ����� ����� �!� �"�� #�!���!�� �� � ���&� ���� �#����� �!������ ���� �"�� ���� � �!� ��� �!�� ��&� �� ��������5�

� ������!� ",� 5�� ��!� #�!�� �"�� ���������� #� �� !��$����� $5� +�,�!-.��" !� ���"��

�� ������!� D���##�0 � ��9 /����!*� ���"�� #�� #�!��!*� �"�� C�� � #� ���5!����� ������ #� ��*���� ��

�� 6"��� � � �!��� �� �!��������!I� )����� �!5� #������ #�� ���

�� 6"��� ���� �����9�� ��*���"� I

�� 8�#�!�� �� ��$��� H9 ���!�� �!�� ����� ?�&� ��9H�� #������

�� ������!� ",�5��,���� ������� �� ��$��� �!��*���� !���������5�

�� 8�#�!����*�!�������!����*�!������#�����������������!�$���#�5��"���,�����"�� #�� #�!��!*� �"�� ����� �� ��*�!������ #� �� �������

�� 6����� �,!� �"�� #�!���� ��##���!��� �!��*��� #� �"�� �/����!

���� <� � ������ <� ����� �� ���� ��� �� �� ���

��� )������"������������!�����������#�������#���"�� ����!��#��"���/����!

2

2.

u u

t x

∂ ∂=∂ ∂

������� � �'� �� �2� �� 3�� ���� �

��� ��� ������!�$���#�5��"����*���-#�� �����"����#�!���!��������������&������� �� �� �������� ����� &� #� �"�� �/����!� ��� -� ��� -� '� �� �� �"������ � $��,��!� �� �!�� �� =3>

�$� � ��$�� "�+�,�!0 �����������##���!���#�������!��*�����!�� ������#��"�������!����������!����� �#��"�������������������������8�����+�,�!0 �#�,�����!��$���,�����!��������!�#�������� ������������� � �

1#� � ���� ��2

1

x&� #�!�� �"�� �������� ��##���!�� � =�&��>� �!�� =�&��&� �>� =3>

���

Page 455: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

� � ��� �!�� �"������� �#��&��&��� ��"� �"��� �"������$���������<����<����

#�� � �"�� #��,�!*� ����� ���&� ���� �!� �"�� ��� �� /���� � �! ��

��&� ��&� ��&� '�&� ��&� ���&� ��&� ���&� �%&� �3�� =3>

�$� D���!� �"�� ��!� &� ��C�

��&� -3�&� ��&� -��&� �!�� ��&� �3�

��� #5�!*� �"�� #�!���!� �� �� � ���&� #�!�� �"�� ��!���� �!�� /��������� ���!� ����������!*� �"�� #�!���!� � ���� �!�� �������!�� �"�� ������ #� � ���'�� �!���"� �� �� =3>

��� ���� �!���"��������#�/ 2

0

sin x dx�

∫ ,��"� ���20

��� �!*�$�"��"�������C����

����� �!�� )��� !0 �1

39����� =3>

�$� K �� � �"����0 � ���"�� �� ������� �"�� ������

4 2 2

2 5 1

2 1 6

A

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

�� �� ������*!��� #��� =3>

��� K �!*� �"�� #���"� ����� .�!*�-7����� #�����&� #�!�� � ������ �!�� � ���%�*���!� �"��

2 2

2 2, (0) 1

dy y xy

dx y x

−= =+

� =�2>

E.

)���� :������0 � �/����!� ��� �"�� �!������ ��!� � #� �"�� /����� ��*�!*���!� $��,��K ��D�� -)���������"�� ���� (� �������! �

0 0 0 0 0

u7 u8 u9

u4

u1 u2 u3

u5 u6

0

0

0

500 1000 10001000 500

0

0

0

=�2>

������� ��G������ 443

Page 456: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

��� 8������ �"�� ��������� �"���� #�� �"�� ����!� #� �"�� ,���� �/����!

2 22

2 2

u ua

t x

∂ ∂=∂ ∂

)���� �"� � �/����!� ,��"� ��� �� %� �!�� �"�� $�!���5� �!����!

���&� ��� �� ��%&� ��� �� �&� ( , 0) 0u

xt

∂ =∂

� �!� ���&� ��� �� %�� -� ����6��"� � �� �

�!�� �� �� ��'&� #�!�� �"�� ����� � #� ���&� ��� ���� �� ����� ��� �

444 ������� ��G������ H�$��*���"5

Page 457: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

������ ��� �� ��� �

�������������� ������������������ �����������

������������� ���

������ ���� ����� ��������

������� ���� �� �� �� ��� ���� �

�� �!�� �"�� ������ #� 3.02 3,− ������� �� �� �������� ����� �

� )����� �"�� �!����! � �� $�� ��� #���� $5� � ���� �#� �"�� �/����!� �� �� � ���� � � � �� �!�/��� ����!� �!� =�&� �>�

�� )����� �"�� �!����!� #� �!���*�!��� #� +�,�!-.��" !� #������ #�#�!��!*� �"�� ��� #� � ���� �� ��

�� )",� �"���2

2.E

�=

�� ���! #��� �"�� �/����!�x

ya bx

=+

� �� �� ��!���� #���

�� ������!��"������ �L8�������!��!�����0��!��L8�������!��!� ��/��!�50�

�� )����� �"�� ��$��� ���!�� #������ #�� ����������!*� �"�� ����� ���&� ���&�� �� �&� �&� @&� �&� �!� ���� � #� �"�� ���!�� ��!�� ���������� �

�� D���� �"�� ����� �!� )��� !0 �1

39�����

�� 6"���� ����!��$5� �5�!*��"����"��.�!*�-7�����#������� �#��"��#���"����I

��� )����� �"�� ����� ���!����!� ����� #� �"�� ?��!�-+��� !� #������

������� � �'� �� �2� �� 3�� ���� �

��� ��� ������!� �"�� �!����5�!*� ���!������ #�������0 ����"�� �!�� *���� �"���������!��� ��� � �� ������� �� ���#� �"�� �/����!�� ��������

$5� ������0 � ���"��� �!�� �"�� ��� ,"��"� ��� � $��,��!� �� �!�� �&������� �� %� �������� ����� � =��>

�$� K �!*� :�*��!*�0 � #�����&� � ������� �"�� ������ #� ������ #��� �"�#��,�!*� ����� ��&� ���

�'&� ���&� �2&� ���&� �4&� �%�&� ���&� �2� =2>

� � ��� E$���!� �"�� #�� �� #��� ��"*!��� ��5!���� � ������ !� =-�&� �>,��"� �� ����� �� �"�� ,��*"�� #�!���!� ����� �� �� =2>

���

Page 458: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

�$� � �!*��"��?��5-����5���*���"�&���������"��8 ��#��"�� �/��!��A�&� -�&� �&� -�B�� 8��,� �"�� #�,9*���"� #� �"�� ��������! � =��>

��� ��� ��� !������� �!�� 8�� ��$��� ���!� � #�� �"�� #��,�!*� ����� ��� #5�!*�"�� #�!���!� �� �� ���

�����&� ����'��&� �����&� �����%�&� �����&� ���%44��

;���������� ����� �!� ���"� �� �� �!�� ����� ,"��"� #� �"� �� � � �"�$� �� #��� =��>

�$� G���� �"�� ��!���C���!� ������5� #� !������� ��$��� ���!� � =2>

�%� ��� 6����� �,!� �"�� #������� #�� ������!*� �"�� ����� � #�dy

dx� �!�

2

2

d y

dx� ��� �!5� ��!�&� $���!��� #��� +�,�!0 � #�,���� ��##���!��

�!��������!� #������� E$���!� �"�� ����������� ����� � #� dy

dx� �!�

2

2

d y

dx� #�� �� �� ���� #��� �"�� #��,�!*� �����

� ����&� ��(�3��&� ����&� �������&� ���%&� %��''��&� ���2&� %�4'���&

���3&� 2��%42�&� ����&� (��34��&� ����&� 4���'��� =3>

�$� 8������ �"�� �����C����� ����

� �0 1 2 12( )2 �

� � � � � �� �b

n n

a

hy dx y y y y y

�!�� #�!�� �!� ����� �!� #�� �"�� ����� �!� �"� � #������ =3>

��� ��� K �!*� D�� -)������ ���"�� ���� '� �������! &� ���� �"�� 5 ����

���� -� ��� <� ��� �� ('&� ��� <� ��� <� �3�� �� ��&� �� <� �(�� -� ��� �� %3

�$� )���� �"�� $�!���5� ������ ��$���2

2

d y

dx-� �� �� �&� ����� �� �&� ����� �� ��2�232

$5� #�!���� ��##���!������"��,��"� � �� ��'�� �!�� �"�� ������ #� �������!�� ����� �"�� �$ ����� ����� �!� �"�� ����!� =3>

E.

K ��?��!�-+��� !����"�� �� ���� �"���/����!�2

2

u u

t x

� ��

� �

�,��"

�"�� $�!���5� �!����! � ���&� ��� �� �&� ���&� ��� �� �&� ���&� ��� �� �����

�!�� �"�� ����� � #� ���&� ��� #�� �,� ����� ��� � ����!*� � ��1

4� �!�

�� ��1

8� =�2>

446 ������� ��G�����% H�$��*���"5

Page 459: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

���

������� ���� ���� �������� � � ����� ����������� ������������������ �� �� ����� ���������������� �� ����� ���� ! ������ �"����#���$%$� ��"���#��&� ��'( ����� �����#�&� ����� ��"���� ���)��������**�*�*�(( �+������� �� ���������� �,��� ����� �( ��� � �-�+����� �� �� ��� *�.

���#/� ����� ���������#/� ����� ���� ������"���#/� � ���� �� �( ��� � �����#/� � �� ���� ��0����� -*��� ���/&� ������ "���1!%� ,��� �1������&��� ������������&� �� �����-,�������������� *������� �'���� ( ������ �*"�����'���� ���������*"0�� #��&������� ���2�������2��3 ������ ,���������������� ����(��� ������ ��.

�'�(����� �-����(������� ��� *..%�+'���� �� ������--���� �)�� � ��������� *.� ( �������� ��� �-�

�� ,%� ����� �(����� �-"

�����

%� 4� �$�$� �".%�����&� ( ����� �,�%�� �� ���� ���� ����� ������ ����� (��������� �����-.

��� �� ���� �� �( ��� � ����� �'����� �� )�������� *-�

%�� ��� ����� )������� *�,(���������� *�,

%������ (����������� �,-%������ � ��� �-.% ��#�5�������� ��������%���� �(����� ��� � � �� � �������� �-*��� ����)������������� ���� �� )���������-�������3��� ( �( ��� �-���� �������� ���������*.���� �������� ������*���� ��� ������� ��� �-��/�'(���������� �����( ��������.

%� � �������� �*�+(��������������� �)�� �� �*�������� ���.

��� �������� /��� ����� �(����� ��" �������� � ���������� �� ������

�* � � �(( ���� �� �� ������ **" �� ��6 ������* ��� ���� �"���#/� ������� ��������������������� �"�� /� �� �"

��� ��� �� � (���������� ��

Page 460: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

448 �����

��� ����� )�������� �.*� ���� �� �.*(� ����� �,*

��� ������������ �����*.� � �����&� ( ����� �,� ��������� ������� ����� ���� �� �� �����5/���&� ��� �������� ��������� �����*," ���� ��� (�������� ���

7������3����� �� (�/ � ��� �"*7�������( ������*�,�������� &������� *�-�� ���������� *�,82 ������ *-�

7���(��� )�������� �,�7 � �� ��������� �������� ��� �*�� ���� ������*�� � � �� �(( �+�������� �,�� (��������� ��� (�������� �,�� 1��(���&� ��� **��� �� ����� �(���� �-*�� � �(3����� ��� **�( ������� �������� ��������� �

7�� ������� ���� �����*�*7�� &��������.� � �������� �.�����������.

7� ��&� �� ����� -�7+(��������� � �����������7+� �(�������� -.

9��� (�������� ����� ��� *�9���� ���� ���� �"9���� ���� �� �(( �+�������� �,��� � �������� �,�

9���� ���������� ,."��� ���������� ,�.������������ ,.�0�� #�������� �����'����������( ������,*�2�������2��3 ������ ,���/�'���������� ( ������ ,��

9:2;2�5� ,9� /� � ���� ���� �"��� (������� �� ����� �,

9� /� � ���� �� �( ��� � �"9� /� � �� ���� �� 0����� -.

9�� � �(( �+�������� �"�9�� � ���� ���� *,,��� ����������������*,,� �(3����� ��� *,,

9�� � � ��� �"�9�� � � ����� �� �"�%�����;�#� ���� ����� ������� ��� � � ����� �� ���1����;�#����� �������.

9���������� ,.�

0�� #��&������� ���0������������������*��0������� ���� ������ *��0�����1��������� *��� �"*0� ���3� 5/���&� ������ ,*0� ���3�)��� ��� �*,*0� ���3�2���&� ��� ��"0 ���&� ��� �)�� ��������� "�0 ���1������&� ( ����� �,"

< ���&� ��� (������� �� ����� �.�<������� &������� *�-<�( ����� )�������� �,�

!��'������������� ����*��!������ ���� ( ������ �.�!��� �� )�������� ��-���� �������������,..��� ���� �������� ��� ��-

!��� ������ *��0�������� *����� �����*��2��� ��**"

!�� ��������� ��� ��"!�� (�������� ���� �� ������ ��"����� �(���� ��������������� �����

!��� �������������,..!�� � �� ���� �+� *��!� ����� ������ *�-�� � ������� ������� )�������� �*�� �������� �� ���� ������� *�-�� �� �� �����������*�,

=�����&� �� ����� �� ����� *�.� �,-

6 ��� �� ���� �� )�������� ��.

Page 461: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

����� 449

>�� ���&���� (���������.��� ������., � ��� �.�

>�(���&� )������� �,,0�����1��������� �,-=�����&������� �,-1:2� �".

>��� �)�� � ������ �*����������� ����� �,./����� ����� ���

>��� (�����������*,.>������ ���/&� ������ "�>��� ������� �������� ��� *�*>�(�����3 ���������� �.�>��&� )���������->�/ � ������� ��� �+�*"�

������ �� +(������� ��� ��� ��

��� �+� *""����� �3������ *"����'�����������*����� ��*���� ��� *"-� ����������*�"

��� �( ��� � �-��� ���� ��� �� "����&� ������ ���������+ (���������� �"*����� (����������� �"����� &� ������ "�

5����&���������5/���&����#/� ����� ����� (�������

�� ������"5/����%��� �� ����� **"5/���&� �� /� � ���� �� ��� (�������

�� ������,5/���&��� ����� (��������� ��������5/����2�(���� ������ ���� � ������� ������ �,

5� ��� �� ���� � ��� ��� ���� *"-5� ��� )�������� �*�5�� �������� ���������*.� � ��� *�*

5�� �������� ������*�����(��� )��� ��� � *�,����� �(��������� **�7�� ������� ���� �����*�*0�������� *��5/����%��� �� ����� **"2��� ��**�1��(���&� ���� **�� �(3����� ��� **.

: ���� � ���� ����� )�������� �.*������������� ������ ���7�� &��������.�����&� ������ ������ ���� �������� ��� �.�?��� �&������� �."2����6���� ������� ��.�(��� ������ �*��� �� ;���� � ��� �.�

: �������� (����������� �,�

?� ������ )�������� �,�% ��#�5��������� ��������+(������� ���������� ���� ������� ��"

?� ���� ���� ����� )�������� �,*��� ���������� �� � �,�����/� �� � ��*

?� ���� (�������� *�"? ����� � ��?��� �&������� �."?����� *�"?������&� )������� ,��?��������� ��� (�������� �, � ��� �,

? ������� ��� (�������� -�? ����� ��� ��� ������� ��"������������ �� �� ����� ���������������� �� ����� �������&� ������ ���

82 ������ *-�8��� �������� �����-8������'���� �������� "�

2�����@��&������� ,�2�������2��3 ������ ,��2��������� �����2���&� ��� ��"�� ���3��"

2��� ����� ������**�2������� � ���2������� ���� �2����6���� ������� ��.

1���� �( ��� � �-1����������������1������������������1��(���&� �A�' ��� **� � ��� ***

1������ ��������(��������*-�

Page 462: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

450 �����

1(��� ��� (�������� �������� �(����� ��� � � ��� �-*���� �(����� ��*������3��� ( �( ��� �-�)��� ���� �(����� ����� ��� �������� �-�

1�� ����&��� �����-,1������� �������� �-1���� ����� �+�*��1����� �� ������� )�������� �*

;���� &� � ��� �.�; �(3����� ��� **.; ������������ �+�*�������������*��

; �������� � � �;/�'(���� ������ � ���� ( ������ �*"��������� ���������*"0�� #�������� ���2�������2��3 ������ ,���������������� ����(��� ������ ��.

B��� ����������������������*"�B(( � ������� ��� �+� *"�

C��� ����&��� ��������.�

D��)���������-D� �� ��� ��� �� ��

Page 463: rahulpatel121.files.wordpress.com · Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012 Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, Connaught Circus, New Delhi-110001

` 250.00

www.phindia.com 9 7 8 8 1 2 0 3 4 5 9 2 8

ISBN:978-81-203-4592-8

Introductory Methods ofNumerical Analysis

F I F T H E D I T I O N

S.S. Sastry

This thoroughly revised and updated text, now in its fifth edition, continues to provide a rigorous introduction to the fundamentals of numerical methods required in scientific and technological applications, emphasizing on teaching students numerical methods and in helping them to develop problem-solving skills.

While the essential features of the previous editions such as References to MATLAB, IMSL, Numerical Recipes program libraries for implementing the numerical methods are retained, a chapter on Spline Functions has been added in this edition because of their increasing importance in applications.

This text is designed for undergraduate students of all branches of engineering.

Includes additional modified illustrative examples and problems in every chapter.

Provides answers to all chapter-end exercises.

Illustrates algorithms, computational steps or flow charts for many numerical methods.

Contains four model question papers at the end of the text.

S.S. SASTRY, Ph.D., is Formerly, Scientist/Engineer SF in the Applied Mathematics Divisionof Vikram Sarabhai Space Centre, Trivandrum. Earlier, he taught both undergraduate and postgraduate students of engineering at Birla Institute of Technology, Ranchi.

A renowned mathematical scientist and the author of the books on Engineering Mathematics(all published by PHI Learning), Dr. Sastry has a number of research publications in numerous journals of national and international repute.

NEW TO THIS EDITION

THE AUTHOR

u

u

u

u

Other books by the authorEngineering Mathematics, Vol. 1, 4th ed.

Engineering Mathematics, Vol. 2, 4th ed.

Advanced Engineering Mathematics