rahulpatel121.files.wordpress.com · forty-fifth printing (fifth edition) june, 2012 published by...
TRANSCRIPT
����������� � ������ ��� ��� ����� �������
����������� � ������ ����� ����� �������
������ �����
����� ������Formerly, Scientist/Engineer SFVikram Sarabhai Space Centre
Trivandrum
New Delhi-1100012012
INTRODUCTORY METHODS OF NUMERICAL ANALYSIS, Fifth Edition
S.S. Sastry
© 2012 by PHI Learning Private Limited, New Delhi. All rights reserved. No partof this book may be reproduced in any form, by mimeograph or any othermeans, without permission in writing from the publisher.
ISBN-978-81-203-4592-8
The export rights of this book are vested solely with the publisher.
Forty-fifth Printing (Fifth Edition) June, 2012
Published by Asoke K. Ghosh, PHI Learning Private Limited, M-97, ConnaughtCircus, New Delhi-110001 and Printed by Rajkamal Electric Press, Plot No. 2,Phase IV, HSIDC, Kundli-131028, Sonepat, Haryana.
����� ������
�� � � � � � � ���� �� � � � ���� ��
������� �
�� ������� � �� ������ ���������� ������� ����������
����� ������� �� �������� �������� ������ ������� �������� ������ �������� �������� �
��� ��� �������� ������������� ��� !����� �� " ��� ����������� ���# $ %������ !���� &����� ���' !���� �� � ������ $����(������� ���������� � �
�������� ������������ � �
�� ������� ������������ ��� ������������ ������� �������� ���������� ����� )�������� ��� � ����� ��� � �� &���� �������� ����# ��������� ��� � ���' ������*+�� ��� ��� � ����, +����-��.� ��� � ����/ ������ ��� � ����0 �����.� ��� � ��1 %������.� +���2�3����� ��� � ����4 ���*)�������.� ��� � ����� 5������*6��������� ��� � �
��������
vii
��������viii
���� ������� �� �7����� �� ��������� !3������ �������� ��� � �� ��������� �������� ������*+�� ��� ��� � ��
��������� � ���������� ������������ � �
�� ���!����� �����"��� ���������� ����� !����� �� ���7������ ������������� ����� &����� 6���������� �
����� &����� 6���������� � ����� )������ 6���������� ������� ������� 6���������� ������# �7�8���� +�������� �� ���������� �� �7�8��� ��
��# 6�������� �� !����� 87 9�� �� 6��������� "�8��� ����' 6���������� �� � ���7������ ����, ������.� &������ ��� ������������� ����/ ������� 6��������� ������������� &������ ��
��/�� %���. ������� 6��������� &������ ����/�� ��������.� &����� ����/�� )�����.� &����� ����/�# !:�����.� &����� ����/�' +������� 8������ )�����.� �� !:�����.� &������ ��
��0 ��������� ������������� ����1 ������������� ��� 9��:���7 ����� ������ �
��1�� ��������.� ������������� &����� ���1�� !���� �� ��������.� ������������� &����� ����1�� ;������.� ������������� &����� ��
���4 6�:�� 6���������� �� " ��� ���������� ���4�� ������.� %������ ������������� &����� ����4�� ������������� 87 ���������
���� ��:���� ������������� ����� 6�8�� ������������� ��������� �
�������� ������������ � �
#� $����� �������� ��� %������ ������� � ��&��'(#�� ���������� ��#�� ����� �3���� ��:� &������ �������� ��
#���� &������ � ������ � ���� ��#���� ������� ������ ����� �3���� ��#���� �������<����� �� ��������� ���� ��#���# ��:� &������ 87 ���7������� ��#���' ��:� &������ 87 � �� �� !(���������� �
�������� ix
#�� =��� �� ����� �3���� $����(������� ��#���� ������ =��� �� ����� �3���� $����(������� ��#���� ��������� =��� �� ����� �3���� $����(������� ��
#�# ��� � �� ����� �3���� ��� �������� &������� ��#�#�� >�� ������ ���7������� ��#�#�� %���*�� ��� >�� �������<����� ������� �
#�' $����(������� �� &������� ��#�'�� � �87� �: ���7������� ��#�'�� !������<����� �� ����� ������ �
#�, &����� $����(������� �#�,�� &����� "�������� �#�,�� 6������� &����� "�������� ?6&"@ �#�,�� &��� &����� "�������� ?&&"@ �#�,�# �����7*"��7 $������ � �#�,�' ����*"��7 $������ � ?6�&*&&"@� � ��#�,�, ���������� �� � � ��:���� 6&" ��
��������� ����������� ������������ � ��
"� �!��� %����� �'���(&'�� ���������� �
'���� ������ �������� � ��'���� 5������ �������� � ��
'�� �8�� ������� � '���� ������<��� �������7 �� �8�� ������� �'���� !���� �� � � �8�� ������ �� ��� 6���:���:�� ��
'�� ������ &������ 87 �8�� ������� ��'�# �8�� )2������� ��
'�#�� +������������� �� )2������� ��'�#�� ����� �3���� ������� ���'�#�� $����������� �� )2������� ���
��������� ������������ ������������ � ���
&� �� ������ )���������� ��� ������� �(���"#,�� ���������� ���,�� �������� 6������������� ���
,���� !����� �� �������� 6�������������� ��,���� �8�� ������� ��� � ��,���� 6�������������� &������ ��� &������ A���� ��
,�� ��(��� �� ������ A���� �� � "�8���� &������ ��,�# �������� ����������� ��
,�#�� "����<���� +�� ��,�#�� �������.� �B�2+�� ��,�#�� �������.� �B02+�� ���
��������x
,�#�# )����.� �� =���.� +��� ���,�#�' 9�� �� �8�� ������� ���,�#�, +��8��� ����������� ���,�#�/ ������*����� ����������� &������ ��
,�' !���*�������� &����� ���,�, �������� ����������� ��� 6�������� ���� ��<�� ���,�/ %������ ����������� ���,�0 %�������<� 5������ ���,�1 �������� ���������� �� &����� ��������� ���,��4 �������� 6�8�� ����������� �� ��������� ����
�������� ������������ � � �
�� �� ������ $����������� �""��(�/�� ���������� � /�� "�������� �������� � �/�� �� 6������������ �� $ �����( � �/�# A����� �� �����( ����� � �/�' ������� �� ������ �7�����C6����� ��� �� ���
/�'�� %��� !���������� ���/�'�� ��������7 ��� ��:����� �� /�'�� %���*D���� ��� � ���/�'�# ����������� �� � � %��� ��� � ��
������ � � ��:���� ���/�'�' ��8�� �� $��� ����� >��������� ���/�'�, �� 6������������ ��� � ��/�'�/ ������������ ������� ��� ���6������������ ��� � ���/�'�0 �� 6������������ ���� %��� !���������� ���/�'�1 ������� �� "��������� �7����� �� /�'��4 ���2��������� ������ �7����� ���/�'��� ��� � ��� ���2��������� �7����� ���
/�, ������� �� ������ �7�����C�������:� ��� �� ���/�/ �����( !����:��� ���8��� ���
/�/�� !����:���� �� � �7������� "��������� �����( ���/�/�� ;��� ����.� ��� � ���/�/�� �� ��� � ��
/�0 ������� A��� 6������������ ����������� ����
�������� ����������� ���
'� �� ������ ������� ��� *����+� )��������� ������� �(���#�0�� ���������� � ���0�� ������� 87 "�7���.� ������ ���0�� �����.� ��� � �� �������:� $����(�������� ��
�������� xi
0�# !���.� ��� � ���0�#�� !���� !�������� ��� � � !��� ��� � ���0�#�� ������ !���.� ��� � ��
0�' +���*E��� ��� �� ��0�, ��������*��������� ��� �� �
0�,�� $���*������ ��� � ��0�,�� �����.� ��� � ��
0�/ �8�� ������ ��� � ��0�0 ���������� �� ;�� ��2���� !3������ ���0�1 ���� %������ +������ ���0��4 )����72:��� ���8���� ��
0��4�� &�����2��������� ��� � �� 0��4�� �8�� ������ ��� � ���0��4�� %�������.� ��� � ���
�������� �� ������������������� ���
,� �� ������ ������� ��� -������ )��������� ������� �#����'1�� ���������� ���1�� �������.� !3����� ���1�� &�����2��������� $����(�������� �� 6���:���:�� ���1�# ������� �� �������.� !3����� ���
1�#�� D���8�.� ��� � ���1�#�� %���*����� ��� � ���1�#�� �������:� >:��2+���(����� ?�>+@ ��� � � �1�#�# $6� ��� � � �
1�' ;��� !3����� �� >�� 6�������� ���1�'�� &�����2��������� $����(�������� ���
1�, �������:� ��� �� ��� � � ������� �� !3������ �� 1�/ $���������� �� �8�� ������ ���1�0 =�:� !3����� ���
1�0�� �������� ��� ������� 6����������� !3������ ����������� ���
������������������� ���
�(� �� ������ ������� ��� ������� ������� ��,�#(#�4�� ���������� ����4�� �������� ��� �� ��� &�� ��� !3������ ���
�4���� ��� � �� 6��������� E������ ����4���� ��� � �� �������:� $����(�������� �� �4���� 5������ ��� �� ����4���# 9�� �� � �87� �: ������ ����4���' �8�� ������ ��� � ���
�4�� ������� E������ ����4�# ��� � �� ��:������ ��8���� ����������� ���
�������� ����������� ���
��������xii
��� �.�� %��� ��� ��� /��.�� #("�#�(���� ���������� ��
������ &��������� ��������� )��� &������� ��
���� ��� �� �� $����(������� ������� +�7���� *+��< ��� � ������� %�������.� ��� � ��
���� $���������� �� "��2���������� ���8���� �����# &����� !������ ��� � ��
���#�� &����� !������ ��� � ���>��2���������� ���8���� ��
���' �������� +������ ����������� ���
�������� ����������� ���
���������� ��� ��
������ ����� ���� ��� �
����� �� ��
" �� ���� ������ �� ����!"����#� $��%�!�� ��� &"'����(� ���(#��� �����������:�� � ������ �� �������� ��� �� � �� ��� 8� �� 87 ������������ ��������� �� ���:� ���8���� ������� �� ������� �� �����7� �� ������:��� � � �7���8� �������8� ��� ����������� �� ������� ������ ����������� �� ������ ��:��� �� ����� 9��:��������� " � ������� ������������ � � ��������� �������F
�� ���� �� � � ���������:� �(������ �� ���8���� �� �(������� �:�8��� ������ �� � ��8�� �� ��� ���8���� ��� ����� �� �:��7� ������ " �� ������ �������� '�� ���8���� ������� � � ���������:��(������ �� �(������� ��� ��������
�� ���7 ����� � ����� �� ����������� ��� ��� �� � � �������������� �������� �� ���� � ������ �� � � ��(�� )����� �� � ��� �������������������� �� ������������G � � ������ �������� ��� ������ �� ��������� � ������ " ��� ������������ ��� �������� �� � � ������������ ������ �� � � ��(��
�� $������ ��G ������������ ����� �� ���� � ���� ��� ���:�� ������� �� � � �������� ��� �� �� � ��� ��� �����7 8� �������������� � ������� ������� 87 ������� ����8�� ����B���� �����������$���G ���8���� �:� 8��� ��� �� ����� ������� �� �� ����� ����2� ���� ��� � ��� �����������
#� $������ �:� 8��� ���:�� ��� ��� � � ���8���� �� �(��������'� ����"������ $��"�(� �� ���� �:����8�� ��� ���� ��� � �� ���:���
����:��� ����������� ���������� ��� � ����� �� ���� �������� ����/ ���8���� �� � � �(��������
,� &�� ���� 3������ ������ �� �������� ��� �� ��� ���:�� ��� � �� �� � � 8����
�����
xiii
�������xiv
$�� � � ��������� ������� �� � � ���:��� ������� ���� � � �:��2��� ���72��2������� ������������ �� ������<����� �� � � �������� �� � � � ������ ����8�� ���������:� �(������ ��� ������� �� � �� �������
$�� �� �� ������7 �8-����:� �� 8��� �� ���:�� � � ����� ��� ������������ �� � � ��� �� �� �������� ����7���G �� �:� ���� ����:� ������ � �� 8��� �� �����2������7 �� �����8��� �� �� ��� � �� � �� ���������� ���:� � �� ������ �� ���� � � ��3�������� �� ������ �� ���� ����� �������� ����7����
" � �� �� �� ���8�� �� ��� $���� E� % �� G � ������ �� ��������6�������G �;� ��������G ��� �� ������� ����������� �� 8������� �� � ����� �������
$�7 ����������� ���������� ����������� �� ������ �� � �� 8��� ���� 8���������7 �����:��
����� ����01
1.1 INTRODUCTION
������������������� ��������������������������������� �� ��������������������������������������� ������������������������������������������������� ���������� ������������������ � ������ ��������������������� ������ ������������������������������� � ���������������������� ���� ������� ��������� �� ��� � �� ���� ������� �� �� � ��� � ���� � ������� ������������������ ������������������� ������������������ ������ �� ���� ���� �������� � �� ������� �������!�������� ������� ������������������������� ����� ������������� ��� ����������������� ���������������� �� ���� ���� � ��� ���������������� �� ����� ��� �� � ��� �� ���"
#�$ �������� �� � ������� ������ ���������� ���� �������� ��� �������������� ������ � ��� ��� ��� � #�$� %� & � ���������� ������������ ����������� ���� ��������� ��� ������
0( )/0
0
+=−
u gt u
f
Me
M u t#'�'$
� �� ��������� ������� ���� �� ���� ���� ��� ��� �� ��� ��� ���� �����(����� � ��� � � ���� ������ �� ��� �� ��� �
#�$ ��������������)���� �� �� ��� ���� ����� � #���� ��$� 0,1, 2, , ,i n= … ���� ������ ��%� � #�$� ������ ��� ������ ��������� � #�$� � ��� ������ � ����� �������� �� ���� ��� ������ ��� �� ���� �� ����� ������ ��� ���������� *���*���� �� ������ � ������������������������� ������
�
�������������� ������ �������
�������
2 +�������'" (���� ���,��������+��������
��������������������� ���� �������������� ��� ����������������������������
#�$ ������ ������� �� � � �� ������ �� �� ������ ��� ���� ��� � ��� ��-��� �� ����� �� ���� ������ ���� ���� � ������ ��� ���� �� �� ������������ ��������� ����� �� � ������� ����� �� (����������� �� � ���� ����� ��-��� �� ����� � ����� �� ���� �� � �� ��� ����� � �� �� �� ������������� � � ������� ��� ���� ��� � ���� ����� ����������������������������������� ���� ��������� �� �������������� �� � � ���� ���������
#�$ �������� ������������ �� � ����������� �� � ����� �������� ��������� ��� ��������� ����� � ��
#$2
2, , ,�
dy d y
dx dx� ���� �� ������ ������ ��� �� � �� �� �� �� ��� ���
#$0
,� �nx
xI y dx
������ ��� �� ��� ���� ����� � #������$�� � %� &�� '��.�� � � ������ ��� ������������������#�$� ���� ������������������������������� ��� ��� ����� � #�� ����� $���� �� ������ ���� ���� ����� ���� ��� �� #� ����� $�� ���� � �������� ������� ���� �������� ����������� �� ������ ���� ��� �������� ��� ��������� ����������� ���������
#�$ ������� �� � ������ ��������� ���� �������� ��� ������ � �� � ����������������������� ����� ������������������������� ������������� � �������� � ������-��� ������� � ��� � ����� � ���� � ���������� ������ �� ����� ������� �� ������ ��� ������ �� ���
#�$ � ����� �� � ������� ���������� ���������� (��������� ������� ������������������������ ������������������������������������������� ���� ��������� ��� ���������� ���������� ��� �� ����������� ������ � ����������� ���������� ������� ���� ��� ���������������������� ����! ���� ��������� ������������������������� ���������������� ����������������������������� ����� �� � �� ����� ����� � ������� �� ���� ���� ������������������� ���������������������������������������������� ��� ���� �� �� ��� �� � �� ����� ��������� �� ��� ����� ����� ������ ��� ���������������������������������� �
#�$ ��������� ���������� /�� ������� �� ����� ��� �� ����� ������������ � ������ ��� ������� ��� � ����� � � ��� �������� ��������(����� ���� � � ���������� �� ����������� ����������������� ����� ����������� �� ��� ���� ������ �� �� ����/� ���� ��������� ���� ����! ����� ����� � � �������� ��� ��������� ������ ��� ������� �� ��� � ������ ��� ��� ������� ���� ���� ���� �������� ����� ���� ��������� �� �� ��������� �� ������������������������������������������������ ����� ���� ��� ���� �� ���� ����� ��� ����� ����� �� ��� ������� ��
0����� '�'" ��������� 3
����� � � ��� ���� �� �� ��� ���������� ���� ��������� ��� ������ ������������� ������������������������ ���������������������� �� ������������������ ���0�����'�1������ �� � ������ �� ��� ���������� ����� � ���� ���� ����� � �� ���� ���� ��� ����� ����� �� ��������������������� ������������������� ��2������� �� ������������ ����������� ����� ������� ���� ���� ������������������ �������� � ���� �������
1.1.1 Computer and Numerical Software
�� � ����� ����� ��� ������� � ���� ������� � ���� ��� ������� ��� ��� ��������� ����� �� 3���� �� '45&�� ��������� ����� � ������ ����� ���������������������� �������� �� ��� ��� ����� ������������ ������� �� ������������������������������������ ������������ ����������������� ��������� 6��������7 �������� ���������� ��� ���������� ����������� � �� ���6������������������� ����� ������������ ����� ������������ �8�� �� ��� ��� ��� ����� �������� � �� ������������������� � � ������ �� ����� ��� ����� � � ��� ����� ���� �� ���� �� ��� ��� �� � ��� ���� � ��� ��������� �� ,�������� �� ����� �� � ��� ��� �� �������� � ��� ��� ������� ������������������ ����������������������������� ������� ����� �� �� ��� �� � ����� � ���� ����� � � ����!����� �� � ��������� ��������������������� ������ ������������������������������������������������� � ��� ������� �
( ������������������������� � ����������������������������� ���������� ������ �� ��������� ��� ��� �� � ��� ��� ��� �������� �� ��� �������� � ���������������������������������������������� ������� ��������� �� ��� ����� ��� ��� ������� ���� ������ ��� �� ��� � ��� ���� ��� ������������ ����� �� ������ ��������� ���������� �� ����� ��� ������������������/���������� � �� �� ��� � ����� � ������� �� ��� ��������� ��������������������������� ������� �������������������������������������� ���� ��������� ��� ������ �� ��� ������� ��� ��� ����� ��� ��� ������������ ������� ����������������������������#�������� �$����� � �� �� ��� ��!��! ��� � ����� � �� ��� �������� ����� �� �� �����������������9 ������� ������������������� ������������ ���!����� �� ����������� ����� ��� ��������� ��� �� �������� ��������� ���� ��������� ��� ��� ��� ��!��! ��� ��������� �� �� ���� � ������ ����� ��� �������� ���������� ���� ����� ���� �� ��� ��� ����� ���� ��� ���� � ���� � �� �� ���������������������� ��� ���� ������������������������ ������������������������������������������������ ����������������������������� � ������������ ������:����������������������������� ��������� ������ ������� �������� ��� ��� ������� �������� ��������
1.1.2 Computer Languages
0����������������������� ������ ��������������������������������������� ��� ������ ���������� ���� ��� ��� ��� ���������� �� ��������� ��������� ����
4 +�������'" (���� ���,��������+��������
���� � ������ � ��� ��� �������� ���� � ��������� �� ;�� � � ������ ���������� �������! ������ �������� �� ����� ���� ��������� �� � �"
#�$ " #$#���� 0������ ���� �8<����� �</, ������ �8<�</,� �� ��������� ��� �2=� �� '45>�� 0���� ����� � �� � ���������� ���������� � ���� ������ ��� ��� ���� ��������8<�</,�4&�� � ������������� � ��� ������������ ���� ������������������������ ����������� � ���� ���� ��� � ������� ������ � � ��� � ����� � ������������������� ������������������������������� ���� ��� � ������������ �� ��������������������� ���� ��������������������� �������������������� ��2� �� ���8<�</,� ������������� ����������������������� ��������� ������������������� ������������ �� ���� ��������� #�=0?$� #����������� =��������� ���0� ���� ?������� ����$� ��� � ��� �8<�</,� ������� � ��������� � �� ������� ������� �� � � � ���� ������ ������ ��8<�</,�������� ������� ������������������� ����������#��������� ����������+��������9���� ��3�� �������� ������� ��������������� ����� �
#�$ ��� �� � � �� ���!������ ����������� ��������� ���������� ��� 2������������� ?�������� � �� '4>@�� 3�� ������ � � ����� ����� � ������� ���������� ������� � � � ��� �� � �������� ��������� ���� ���������� ������������������������������� ����� ��� ��+������������� � ��+� ���� ������� �������������� � ���� ��������� �� ����� ����������#�������������� ����������+��������9���� �3�� �
#�$ %�&����8���������������������A����B��������������� �B��6��'4C&�� 2/0�+� �� � � ��� �� ��� �� � ���� ���� � ����� ���� � ���������� � ��8����������� ����� ��������������� ������������� ����� ��� � �������D ����2� ���8��� ��� � ������� �������� � �� ��� ����������� ��� ������� ��� ��� ����� ������� �� �� � �� ��� � ��
1.1.3 Software Packages
�� � ����� ����� ��� ��� ����������� ������ � ��� �������� �������� ��� ��� ������� �������� ���� ������������ 0������� ������� ��� ��� � ������������ ����� � ���� ��������� �� ��� ����� ��� E������ 7� ���� �� �� ������������ ������ ���������������� ���� ��8��� ������� ���� �=/�?/2� ����������=/���� �?/2������������ ��������������+�����=�������� A���,��?����/ ������������� ����� ������������������������������������� ���� ��� ���� � ��������� � ������� ��������� ����� � ���� � � ���!������������������ ������� ����������������� ��������������� ���� ������������������������� ��������������������������������� �������������� ������� �� 2� �� �� =/�?/2� �� � ��������� � ����� ������� ����� ���� ��� � ��� �� ��� �� �� ��� ��!���� ����� ������� �� 9 ��� ��
=/�?/2������� ��� ��� ���������������� ��������������������� ��� ��� ����� ������� � ���� ������ � �� � ������� ���� ��� ��� �� ������� ��� ��� � ���� � ��������� ����� �������� ������� ��=/�?/2��� ���������������� ������������� � � ��� ������ ������� �� ��� �����0����� A�� +�������F
1.2 MATHEMATICAL PRELIMINARIES
��� � � ����� ��� ���� ����� ������� ������ ���������� �� �� � ���������� ��� � ����� �� ��� ������
�������� ��� � #�$� � ������� � � ���� ������ ���� �� � #�$� ���� � #�$� ��� ������ �� �� �� ��� � #� $� %� & ���� �� ��� � ���� ������ � ���� �� �� *� �� *� ��
�������� � ##����7�� �������$ ��� � #�$� � ������� � � �� �� �� �� ��� � �#�$�� � ��� * � * �� ��� � #�$� %� � #�$� %� &� ����� ����� �� � �� ��� � ���� �������� ��� �� �� ���� ��� � �#� $� %� &�� �� *� �� *� ��
�������� � #'������(� � #����7�� �������$ ?�� � #�$� ��� �� ����������� � �� �� � ������������ ��� G�� �H�� ��� � #�$� ��� �� � �� ��� #� I '$� � ����� ������ �.����� �� #����$�� ���� ������� ������������ �� #����$� ��� ��� ���#�$� %� &�
�������� #������� ���� ������ �������$ ?�� � #�$� ��� ������� � �G��� �H� ���� ��� )� ��� ���� ������� ������� � #�$� ���� � #�$�� ����� ����� �� �� ������ � �� #��� �$� ���� �� � #� $� %� )� # ��� ���� '�'$�
y
0 xa bξ
y f x= ( )
f a( )f b( )
y k=
Figure 1.1 Intermediate value theorem.
�������� � #����*������������������ ��������$ ��� � #�$� �������� �� G����H� ��� � �#�$ �� � �� #����$�� ���� ����� �� � �� ��� � ���� ������ ��� �� �� ��� ������� �� ���� �� ���� ��
( ) ( )( ) ,�
−′ =−
f b f af
b a.�< <a b
��������� � � ������� ����� ���� ������ ��������� �������
0�����'�@" =���������3�������� 5
6 +�������'" (���� ���,��������+��������
0��� �� %� �� I� ��� � � ������� � � � ��� ����
( ) ( ) ( ),�′+ = + +f a h f a hf a h 0 1.�< <
�������� � #$�����7�� ������ ���� �� ������� ��� ���� �������$ ��� � #�$� ������� � ���� �� � � � ������� � ������� � ��� ������ �� �� ��� ��������� ������ ,x a= ���� �� ��� ������
2 1( 1)( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),2! ( 1)!
−−− −′ ′′= + − + + + +
−�
nn
nx a x a
f x f a x a f a f a f a R xn
������ #�#�$�� ��� ����� ��� ������ ���� ��� ����� ��� �� ��� ����
( )( )( ) ( ),
!�
−=n
nn
x aR x f
n.�< <a x
�������� � #�������7�� ��������$ �� ��
2( )( ) (0) (0) (0) (0)
2! !′ ′′= + + + + +� �
nnx x
f x f xf f fn
�������� � #$�����7�� ������ ���� �� ������� ��� �!�� ��������$ �� ��
1 1 2 2 1 2 1 21 2
( , ) ( , )� � � �∂ ∂+ + = + +∂ ∂
f ff x x x x f x x x x
x x
2 2 22 2
1 1 2 22 21 21 2
1( ) 2 ( )
2� � � �
⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥+ + + +∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
�f f f
x x x xx xx x
�� � ���� �� ��� ��� �������6���
�������� � #$�����7�� ������ ���� �� ������� ��� �������� ��������$
1 1 2 2( , , , )� � �+ + … +n nf x x x x x x
1 2 1 21 2
( , , , ) � � �∂ ∂ ∂= … + + + +∂ ∂ ∂
�n nn
f f ff x x x x x x
x x x
2 2 22 2
1 1 22 21 21
1( ) ( ) 2
2� � � �
⎡∂ ∂ ∂⎢+ + + + +∂ ∂⎢ ∂∂⎣
� �nn
f f fx x x x
x xxx
2
11
2 � �−−
⎤∂+ +⎥∂ ∂ ⎥⎦�n n
n n
fx x
x x
1.3 ERRORS AND THEIR COMPUTATIONS
���������� ��� �� ���������� ���������������������������� ��(������ ��� ����� ������ � ���� '� @� 1� .�� 'J@� 1J@� .� 2, ,� ��� ����� ����� �� � �������� /��������� ������ � ���� �� �� ��� ����� ��� ��� ������ � �� ������� ������� ��� ���������� ��� �� ��� ���������� ������ �� � � 1�'K'C�� ���� ��� �� ��� �� ����� ������������ � � 1�'K'54@C5�� 2����� ������������ ����� ������ �� ��
������ ��������� ���������� ����������������������������� ������������������������� ����������� �1�'K'C��&�CCCC>�����K�&CL>���������� ������� �� � ������ ���� ������� &�&&&@1� �� �� ��������� ����� �� ��������� ���6���@�����1�� �������6��� � �������������������� ��������������������0����������������� �&�&&'K5��&�&&&'K5�����&�&&&&'K5 ������������� ��������� ������� ���������������� ����������� ��������� �����������������������������@5�C&&��������������� ������ ����� � ��������� ������ � ��� ������ 4 42.56 10 , 2.560 10× × ��� 42.5600 10×����� ������ ����� ���� ���� ������� �� �� �� ��������
��� ��������� �������� �� ��� ����� ���� � ������ ������ ����� ����������������� ����������������� ������������������ ������������ ������� � �� ������ � ������������ �������� �� �� ���� �� �����!���������� ��������� �� ��� ��������� ����"
��� �����!���� �� ������� �� �� ������� �� �� � ����� ���� �� � �� ������ ��� ��� ��� ���� ���� �� � � � ������� �������
#�$ �� � ���� ����� �� ��� �� ������ ������� ������ ������ ��� ���������#�$ ������� ���� ����� �� ��� �� ��� ��� ������� ����� �� ��� ��� ��� ��
����#�$ ������� ����� �� ��� �� ������ ������� ����� �� ������ ��� ��� ���
�� � � ����� ����� ��� ������ � ����������
���� ������� �� � �������!���� � ��� �� ��� ������� �� �� ����������� �
�������� ���������� ���������������� �������!���� �� ����� ����������� "
1.6583
30.0567
0.859378
3.14159
to
to
to
to
�
1.658
30.06
0.8594
3.142
��� ����� �������� �� ��� �����!���� ������ ���� ��� �������� ��� ���������� ��� �������� � �� ����� ������� ����� � �� ����� ��� ��� ������������/�� ���������� "�������� ����������������������������� ���� ����� ������� ������ ���� ��� ����� �� ��� ����� �������� ��� �� ���������������������!�����:���������� �������� ������������������
0�����'�1" (���� ����������+������� 7
8 +�������'" (���� ���,��������+��������
��� ������� ����� � ��������� ������ �������� �������������������� ���� �� ����� ���� ������� � ����� ������ �� ���� ��� ��� ����� ����������� � �� ��� ������ ��� ����� '&���� �� '&����/������ ������� ������ � ���� ��� ��������������������������������� �������������� �������� ������ ������� �������� ����� ������ ��� � ��� �� ������� � �������������� ���������� 9 ������� ��� ������� ���� ��� ������� � ������� ��� �'5� ������ ���� �� ������ ��� ����� '&����� �� '&����� ���=/�?/2�� ����� � ��������� �� � �� ������� ���� ��� �������
��������� �� ��� �����!����������� �� ���������� ����� �������� ��������������������������� ������� �������������������������������� �M ���� � � ��� ���� ��� �� � ������ �� ������� � ����� ��� � � � ���� �� ���� ��� ������ � ������� ��������� ������ ���� � ���� � ��������� � �������� ��� �������� ��� ������������� ��������� ������ �� �� �������� ���� ��������������������������������������� ���� � ������ ��� �����0���� '�K���� '�5� ���� ��� ������� �� �� � �� ��� ��� �� �� ����� �
Absolute, relative and percentage errors
��������������� ��������������������������������������������������������� � �������������������� �� ��+� � ��� ������������� �������� ����+ � � ���������� ������� ���� ��� �� ����� ������,�� � ����� ��
A 1 .�= − =E X X X #'�@$
���� ������� ������,�� � ������� ��
AR ,
�= =E XE
X X#'�1$
���� ��� ���������� ������ #,�$� ��
P R100 .=E E #'�K$
?� �+ ��� �� ������� ���� ��
1 .�− ≤X X X #'�5$
���� �+ ����������������������������������� ��������������� � ������� ���� ��������� �����-� 0�������� ��� �����
1| | | |
� �≈X X
X X
��� ��� � ��� �������� �������� � �� �� �� ������� ��� �� ��� ������ � ���� ������ ��� ��������� ���
������������������� ������������������ ��� ���� ���������������� �������� ���������� ��������������� ��=���������������� 1 2
A A A, , ,… nE E E���� ��� �� ����� ����� � �� �� ������ �� ���� ��� �������� ��� ��� �� ���������� �� ���� ��� � ����� ��
1 2A A A| | | | | | .+ + +� nE E E
����� ;������������� ������������� �������������� ������������� ������������� �������������� ��� ������"
#$ � ����� ��� ������� ��� ��� ����� � �� ����� ������#$ <����!���� ���� ����� ������ � ������� �� ���������������� ���
�� ��� ������ �������#$ /��� ���� ���#�$ <����!���� ��� ��� ��� � ������� ���� ���
��� ���� ��� �� ����� ������� ,��� �� �� ������� ��� ��� ������ � �� ���� ����� ��� 1 2
A A A( ) ( ) ,= + + −E a E b E ab ����� 1AE ��� 2
AE ���� ��� �� ��������� � �� �� ���� �� �� ��������� ��� �
1 1 22A A A A A
1 2A A , approximately
= + +
= +
E aE bE E E
bE aE #'�C$
0�������� ��� �� ����� ������ �� ��� ������ �J�� � ����� ��
1 1 2A A A2 2A A( )
+ −− =
+ +
a E bE aEa
bb E b b E
� �
1 2A A
22A
1 2A A 2
A2
1 2A A
(1 / )
, assuming that / is small in comparison with 1
. (1.7)
−=
+
−=
⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠
bE aE
b E b
bE aEE b
b
E Ea
b a b
�������� � ��� ��� ������� +� � �������� ���� ������� ����� �� ���
1(10 ).
2� −= NX
��� +� %� &�5'� ���� � ������� �� @� ������� ����� �� ��� �+� %� &�&&5�� ���� ��
���������� ��������� � ����� ��0.005
100 0.98%.0.51
� �
��������� /�������������������� π �������� 1 22/7 3.1428571= =X���� � ���� ������ 3.1415926.=X ���� ��� �� ����� ���� ������� ����� �;�� ����
A 1 0.0012645= − = −E X X
0�����'�1" (���� ����������+������� 9
10 +�������'" (���� ���,��������+��������
���
R0.0012645
0.000402.3.1415926
−= = −E
�������� ������ ���������� ����� � ��� ��� ������� 'J1� ���� ����� � &�1&��&�11�����&�1K��;������� �� �� ���������� � � ����� �����������N
;� ����
1 10.30 .
3 30
1 0.01 10.33 .
3 3 300
1 0.02 10.34 .
3 3 150
− =
− = =
− = =
�� ������ � ��� &�11� � ��� �� � ����������� ���� 'J1�
��������� ���� ��� ���������������� ����������L�C� ��������� ��� ���� �������
:���A 0.05=E
:����
R0.05
0.0058.8.6
= =E
�������� � (������� ��� �� 3 5 7= + +S �� K� ������� �� ���� ���� � �� ����� ���� ������� ����� �
;�� ����
3 1.732, 5 2.236= = � ���� 7 2.646=
:����� & % C�C'K� ����
A 0.0005 0.0005 0.0005 0.0015= + + =E
���� ���� �� ����� ������ ��� � ��� ��� ��� � ������� �� 1� ����������� � ������ :����� ��� � �� & % C�C' ���� ���
R0.0015
0.0002.6.61
= =E
�������� � 0��� ��� ��������� ������ "
0.1532, 15.45, 0.000354, 305.1, 8.12, 143.3, 0.0212, 0.643 and 0.1734,
������ �� ����� ��� ����� ���� ��� ����� �� � ���� �������
:������������ ��������� ����������� �������� ��� ��������������� ����� 1&5�'� ���� 'K1�1�� ���� ��� �� ����� ������ �� ���� �� �� ������ � � &�&5�:��������� �����!���� ���� ��� ����� ������ � �� ��� ������� �� �� ��� �� ���"
0.15, 15.45, 0.00, 8.12, 0.02, 0.64 and 0.17.
���� ��� &� � ����� ��
305.1 143.3 0.15 15.45 0.00 8.12 0.02 0.64 0.17
472.95
473
= + + + + + + + +==
S
��� �������� ��� �� ����� ������� ��� ���� ��� ��� �� !��� ������ � ��������� ��� �� ����� ������ ��� &�&5� ���� ��� �������� ����� ������ � ����� ���� ��������������&�&&5���������� ������� ��������������������4�������
A 2(0.05) 7(0.005)
0.1 0.035
0.135
0.14
= += +==
E
��� ������ �� ��� ������ �� ����� ������� ��� ����� �� � �� ��� ������� ���������� ������ �� ��� ������ ���� � � � &�&'��:����� ��� ���� �� ����� ����� 0.14 0.01 0.15.= + =S ��� �
472.95 0.15.= ±S
�������� � ���� ��� ���������
6.37 6.36−�� ����� ������� ����� �
;�� ����6.37 � %� @�5@1LL5L41
���
6.36 � %� @�5@'4&K&K1
����������� � 6.37 6.36− � %� &�&&'4L'L5&
� � � � %� &�&&'4L�� ������� �� ����� ������� ����� �/������������������
2
6.37 6.366.37 6.36
6.37 6.36
0.01
2.524 2.522
0.198 10 , which is the same result as obtained before.�
�� �
�
�
�
� �
�������� � ���� ������ � ���� ����� � � @�5� ���� KL�@L4�� ���� ��� ��������� ������� �� ��� ������� ����� � ������ ���� ���� �������
0�����'�1" (���� ����������+������� 11
12 +�������'" (���� ���,��������+��������
:���� ��� ������� @�5� � ��� ���� ��� ��� ����� � �� ����� ������� :�������� �����!���� ��� ������ ������� �� ����� ������� �� �� ����� KL�1�� ����������� ������� � ����� ��
2
48.3 2.5
1.2 10
= ×
= ×
P
��� ��� �������� ��� ������� ����� ��� ������� �� �� ���� ���� ��� ������� ������ �� �6�� @�5�� �������� ����� ��� ������� �� �
1.4 A GENERAL ERROR FORMULA
;�� ���� ������ �� �������� �������� ���� ��� ������ ������� �� � ��� �� ������������� ��� �� ��������� �������� ?�
�� %� � #��� ��� ($ #'�L$
���� ��� �������� � �������� (����������� �����(�� �� �������������� ��������������� � ����� ��
�� I� ��� %� � #�� I� ���� �� I� ���� (� I� �($ #'�4$
(�������� ��� ���! ��� ��� (��� #'�4$� ��� ������7 � ��� �� ��� ����
� � � � � � � �� I� ��� %� � #��� ��� ($� I � � �∂ ∂ ∂+ +∂ ∂ ∂u u u
x y zx y z
� � � � � � � � I� ��� � �������� ������ ����� � ���������� �����( #'�'&$
/ ����� ��� ��� ����� � ���� ���� �(� ���� ������ ���� ������ ����� � ���� ����������� ���� (��� #'�'&$� ������
� � � �∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂u u u
u x y zx y z #'�''$
���� ������� ������ ���� � ���� ����� ��
R� � � �� � �
� � � �� � �
u u x u y u zE
u x u y u z u #'�'@$
�������� � ���� ��� ������ ��
2
3= a b
sc
�
������ �� %� C�5K� O� &�&'�� �� %� KL�CK� O� &�&@�� ���� � %� '1�5� O� &�&1�
/� ��� ���� ��� ������� ������ �� ��� �� ���;������
��� %� K@�>>'C� b � %� C�4>K@� ���� �� %� @KC&�1>5
����������
42.7716 6.97420.12124
2460.3750.121
×= = …
=
s
/� ��
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� �� %� @��� �� I�1
2��� �� P� 1���
� 1 0.01 1 0.02 0.032 3 2 3
2 6.54 2 48.64 13.5
� � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � s a b c
s a b c
� � � � � � � � � %� &�&&441'
�������� )���� ��
2
3
5,= xy
uz
���� ��� ������� ������ �� �� %� �� %� (� %� '������ ��� ����� � �� ����� ��� ��� ��� (� &�&&'�
;������2 2
3 3 4
5 10 15, and
∂ ∂ ∂= = = −∂ ∂ ∂u y u xy u xy
x y zz z z����
2 2
3 3 4
5 10 15.� � � �� � �
y xy xyu x y z
z z z
������������ �������� �������� �����(���������� ��������������:�������� � �� ��� �� ����� ����� � ��� ��� ��� � ��� ��� ���� ����;�� ���� ����
2 2
max 3 3 4
5 10 15( )� � � �� � �
y xy xyu x y z
z z z
������ %���� %��(� %� &�&&'� ���� �� %� �� %� (� %� '�� ������ ��� ������������������� #,�$���� � ����� ��
maxR max
( )( )
0.030.006.
5
��
� �
uE
u
0�����'�K" /�)�������(������������ 13
14 +�������'" (���� ���,��������+��������
1.5 ERROR IN A SERIES APPROXIMATION
����������������������������� ��� ������������������������������� ���������7 � ��� � ��������������'�C��������������� �������� ���� ������� � ��� ��� ���� ��� ����
( )11 1 1 1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
!+
+ + + +−′= + − + + +�
nni i
i i i i i i n ix x
f x f x x x f x f x R xn
#'�'1$
�����
1( 1)1
1 1( )
( ) ( ),( 1)!
�+
+++ +
−=+
nni i
n ix x
R x fn 1� +< <i ix x #'�'K$
��� (��� #'�'1$�� ��� �� � ���� 1 1( ),+ +n iR x � ������� ��� ����� ��� ���������� ���� �� ���������� ��� �� ��� � �� 6���� � .→ ∞n ��� �� � 1( )+if x �������������� ��� �� !�� ��� ���� ��� ��� ������ ��(��� #'�'1$�� ���� �������� ����������������� ���� ������������#���������������� �������������$� ������������������������ 1 1( ).+ +n iR x +����� ������������������ �������� � ������� �� ��������� ���� ������������ ���� �� ���������������������� �� �������������� ��� ����� ���������������������
Q������ ��� ������� ������
1 ,+ − =i ix x h #'�'5$
(����� #'�'1$� ���� ��� ����� �
� � �2
( ) 11( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O( ),
2! !+
+ ′ ′′= + + + + +�n
n ni i i i i
h hf x f x hf x f x f x h
n#'�'C$
����� 8#��� $� ���� � ��� ��� �������� ������ � ��� ��� ������ �� ��� �� ����� ������������� ��� � ��������������� � �����������������������������
?�� ��� ��� ���� ������������� ����� � ������� ���� � ���(���!�� ������������"
1( ) ( ) O( ),+ = +i if x f x h #'�'>$
��������� ����������������������������������� ������������������������������� �������0���������������*�� ���������� ��� ������������ �������
21( ) ( ) ( ) O( ),+ ′= + +i i if x f x hf x h #'�'L$
����� ���� � ��� ������� ���� �������� �������� �� ���� ������� ��� ������ ���� ������������ ��� ���� �� �� �� ��� ��� ��� ����������� �� � �
���� *�� ��� ��� ������������� ;�� ��� ���� �� �� ��� � ������� ��������������� �
�������� � (������� � #'$� � ��� ������7 � ��� � ���� � #�$�� �����
3 2( ) 3 5 10.= − + −f x x x x
�� � �� ��� ���� �� � #'$� %� P>� ��� � ���� ��� � ������ �� ��� ���� ��������� ��� � ���������� � ��� ����� � &� �� 1� ������� ��� ������������ � #'$����������
?� 1, 0= =ih x ��� 1 1.ix + = ;�� ���� ������ 1( ).+if x ���� ������� ��� � #�$� ���� ����� ��
2( ) 3 6 5, ( ) 6 6, ( ) 6,′ ′′ ′′′= − + = − =f x x x f x x f x
iv( )f x ���� ������ ������� � ����� ���� 6�����:����
( ) (0) 5,′ ′= =if x f ( ) (0) 6,′′ ′′= = −if x f (0) 6.′′′ =f
/� ��
( ) (0) 10.= = −if x f
:������ ������7 � ��� � ���
2 3
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ).2 6+ ′ ′′ ′′′= + + +i i i i ih h
f x f x hf x f x f x #$
����� (��� #$�� ��� 6���!������ ����������� � ����� ��
1( ) ( ) O( ),+ = +i if x f x h #$
����� ���������
(1) (0) O( ) 10,= + ≈ −f f h
��� ������ �� ����� 7 10,− + ����� 1� �� ����� ��� �� � ������������ ��� ����
21( ) ( ) ( ) O( ),+ ′= + +i i if x f x hf x h #$
����� ���������2(1) 10 5 O( ) 5,= − + + ≈ −f h
��� ������ �� ����� 7 5,− + ����� P@� �� �/����� ��� �����!������ ������� ����������� � ����� ��
23
1( ) ( ) ( ) ( ) O( ),2+ ′ ′′= + + +i i i ih
f x f x hf x f x h #�$
����� ���������
31(1) 10 5 ( 6) O( ) 8,
2= − + + − + ≈ −f h
�� ����� ��� ������ � P> I L�� ����� '� ���
0�����'�5" (���������0��� �/��������� 15
16 +�������'" (���� ���,��������+��������
�������� ��� ���!������������� ��� � ����������� � ����� ��
2 3
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ),2 6+ ′ ′′ ′′′= + + +i i i i ih h
f x f x hf x f x f x #�$
����� ���������
2 3
0 0 0(1) (0) ( ) ( ) ( )2 6
1 110 5 ( 6) (6)
2 6
7,
′ ′′ ′′′= + + +
≈ − + + − +
= −
h hf f hf x f x f x
����� � ��� ����� ������ ��� � #'$��� �������������� ��� � ��� �� ��������������� ���������������
���� �������� ���� � ���!����� ������� ��� � ����������� ��� � ������ �� �
��������� )��� ( ) sin ,=f x x ��� �������������� ��� ����������� ��� ����� � &� �� >� � /3�=x ���� ��� ���� �� ����� ����� �
?� 1 /3�+ =ix ��� /6�=ix �� �� /3 /6 /6.� � �= − =h ;�� ���� ����
2 3 4iv
3 6 6 2 6 6 6 24 6
h h hf f hf f f f
� � � � � �� � � � � � � � � � � �� � � � �� �� ���� � � � � � � � � � � �� � � � � �
5 6 7v vi vii 8O( )
120 6 720 6 5040 6
h h hf f f h
� � �� � � � � �� � � �� � � � � �� � � � � �#$
0��� ( ) sin ,f x x= (��� #$� ������ "
2 3
4 5 6
7
1 1sin sin cos sin cos
3 6 6 6 2 6 6 6 6 6
1 1 1sin cos sin
24 6 6 120 6 6 720 6 6
1cos .
5040 6 6
10.5 3
12 4
� � � � � � � �
� � � � � �
� �
�
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + −3 4 5 62
7
3 31 1
36 12 6 48 6 240 6 1440 6
3.
10080 6
� � � � �
�
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠
���� �������� ����� � ��� ����������� ���� ���� ��� ��������� ���� �������� �� ��� 6���!������ ����������� � &�5�� ��� �� !������ ����������� 0.5 3/12,�+ ���� 0.953449841; ���� ��� �����!������ �����������
230.5 ,
12 144
� �+ −
����� ����� � �� &�LLK4'&4@'� 0�������� ��� ���� ��� ���������� ���� ��������� ���� ��� �� ������ �� ����� ����� � ���� ��� ���������� ���� ������� ������ ��� � ( /3)� � &�LCC&@5K&1�� ������ '�'� ��� � ��� �������������� ���� � ( /3)� ���� �������� �&� ��>�� ��� �� ����� ���������� � �� �� ����������� �� ���� �� �� � ���� ��� ��� ������ ������ � � ��� ��� ����� ��� ��� ������ ��� �����������
Table 1.1 Taylor’s Series Approximations of f (x) = sin x
Order of approximation Computed value of πsin /3 Absolute error
0 0.5 0.366025403
1 0.953449841 0.087424438
2 0.884910921 0.018885518
3 0.864191613 0.00183379
4 0.865757474 0.000267929
5 0.86604149 0.000016087
6 0.86602718 0.000001777
7 0.866025326 0.000000077
;����������� �������������������������������������������������������������� ���� � �� ��� ��� ���� ��� �� !������ ����������� �� ��� ����"
( ) ( ) ( ) ( ),′+ = + +f x h f x hf x E h #$
������,#�$� ������ ������������������� !���������������������������� �� �� ( ) sin=f x x ��� /6,�=x ��� ����
sin sin cos ( ).6 6 6
h h E hπ π π⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
#$
3��� /6�=h �� #$�� ��� ��
3sin 0.5 ( ) 0.953449841 ( ).
3 12
�� = + + = +E h E h
0��� sin ( /3) 0.866025403,� = ��� ������ ������� ���
( ) 0.087424438.= −E h
0�����'�5" (���������0��� �/��������� 17
18 +�������'" (���� ���,��������+��������
,��������������������������� ������������� � /12.�=h ������#$ ��� "
3sin 0.5 ,
6 12 12 2 2
� � �⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠h
E #�$
����� ( /2)E h � ��� �� ����� ������ ��� ������� ������ �J@� 0���
1sin sin
6 12 4 2
� � �⎛ ⎞+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
(������ #�$� ��� 31
0.5 0.019618139,2 2 24
hE
�� � � � � � �� �� �
���� ���
( )4.45630633.
( /2)=E h
E h
��� �� ����� ����� ��� ����� ��� �����
( /2)4.263856931
( /4)=E h
E h
���
( /4)4.141353027.
( /8)=E h
E h
���� ��!������ ��� ������������ � ���� ��������� �� ��� ������ �� �� �
�������� ����=�������� ����� ��� ���� ��� � ����� ��
2 3 1
1 ,2! 3! ( 1)! !
�−
= + + + + + +−
�n n
x x x x xe x e
n n0 .�< < x
;�� ����� ���� ��� ��� ������� ��� ��� �� ���� ��� ���� ��� ���� � ��� �������� ��� ������� �� L� ������� ����� � �� � % '�
+�������� ��� ������ ���� #���� ��� ��������� ���$� ( / !) ,�nx n e �� ��� � % ��� � � ��� � ��� ������� �� ����� ������� ���� ������ ��� ������������� ������ / !nx n ���� ��� L� ������� ��������� �� � % '�� ��� �� � ����
81 1(10 )
! 2−<
n
����� ��� � � % '@�� ��� �� ��� ����� �� � �� '@� ��� � ��� ��� ��������� ��� � �� ������ ��� � ��� � ������� �� L� ������� ����� �
�������� � Q����� ��� ���
3 51log 2
1 3 5ex x x
xx
� ��� � � �� �� �
�
����� ����������������������������#'�@$����������� ����������������� ������ �������� ��� ���������#'�I��$� �� ���������������� ��� ����� ���� ����� ��� ���� ��������� ���� ����#'�@$N
;�� ����2 3 4 5
log (1 )2 3 4 5
…+ = − + − + −ex x x x
x x #$
���2 3 4 5
log (1 )2 3 4 5ex x x x
x x �� � � � � � � � #$
����������
3 51log 2
1 3 5
⎛ ⎞+ …= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠e
x x xx
x#$
3����1
11=x � �� (��� #$�� ��� ����
3 5
93 5 7
1 1 1log 1.2 2
11 3(11) 5(11)
1 1 1 12 , since 7.33 10 .
11 3(11) 5(11) 7(11)
e
�
� �� � � �� �
� �� �
� �� � � � � �
� �� �
�
:�������� ����
[ ]log 1.2 2 0.09090909 0.00025044 0.00000124
0.1823216
= + +=
e
8�� ��� ����� ������ �� ��� � �� ��� � #$�� ��� ����
72 10−< ×nx
n
� 7(1.2)2 10
n
n�
� �
� 9.n �
��� �� 4� ��� � ��� ��� ��� � #$� ����� �� ��� � ��� �� ������ �� ����� �� ����������� ���������
EXERCISES
��� (�������������E�����!���������7����������!���������������������� �� ��� ������� ����� "
KL�@'K'C�� @�1>K@�� 5@�@>5�� @�1>5�� @�1L5�� L'�@55
(������ 19
20 +�������'" (���� ���,��������+��������
��� <����!���� ��� ��������� ������ � �� ����� ������� ����� "
1L�KC@15�� &�>&&@4�� &�&&@@@'L�� '4�@15'&'�� @�1CK@5
��� +�������� ��� ������ �� 102 101− � ������� �� ����� ������� ����� �
��� ��� �� %� 1�� P� C��� ���� ��� ���������� ������ �� �� �� � %� '�� �� ��� ������� � � &�&5�
��� ���� ��� �� ����� ������ �� ��� ������ ��� ������ � '&5�C�� @>�@L�� 5�C1�&�'KC>��&�&&&5@1��@&L�5��&�&@15��&�K1@�����&�&KC>������������������� � ������� �� ��� �� � �����
��� ���(�%�18������������������������������(��������%�1�'K�O�&�&&'C����
�� %� K�5� O� &�&5�
�� ���� ��� �� ����� ������ �� ��� ������� ��� �� �� %� 5C�5K� O� &�&&5� ����� %� '@�K� O� &�&5�
�� 3����� ��� ��� ������� ������ �� �� ������� ��� ����� ���6���� ������ ��� � ��� ������� ��� ��� ��� ��� ������� ����� � ��� ��� ����� ������ �
��� ���� ��� ������� ������ �� ��� ������ K�51CJ'�1@�� ��� ������ � ����������� �� ��� �� � �����
���� ���� ���������� ��� � � ����� ��
2 3 4
12! 3! 4!
x x x xe x� � � � � ��
�������������������� ������������� ��� � ����������� ������ ��� ������ ��� �� ������� �� ���� ������� ����� �
���� +������ ��� ������ ��� ��� 1� ������� �� ���� ������� ����� �
���� ;��� ����� ���������7 � ��� � ����� ��� ��� � #�$� %� �� �� �� �� %3
�
� �
��� ����� #�$������ �������� �����%��
4��+�������������������
��������6�������������������������������� �� �������� ������������ ����� �� ��
���� ����=�������� ����� ��� ��� � �� � ����� ��
3 5 7
sin3! 5! 7!
…= − + − +x x xx x
������ �� � �� ����� �� 9 �� ��� ��� � �� ������� ��� ������ ��� � @5R�� ��� ��������� ��� &�&&'�
Answers to Exercises
��� <������������ ����"
KL�@'�� @�1>�� 5@�@L�� @�1L�� @�1L� ���� L'�@C
��� 1L�KC�� &�>&&1�� &�&&@@@@�� '4�@K�� @�1CK
��� &�&K4C1
��� '&S
��� &� %� 1K>�>� O� &�'5
��� 1S
�� @�4
��� &�&&K
���� �� %� 4
���� ��� 1� %� '�&4LC'
���� 0���� ��� ���������� � ���
&�>&>'&C>L'�� &5@'4LCC5L�� &�K4>>5KK4'�� &�K44LC4'KC�� &�5&&&&>55'�.
���� &�K@1
�(������ 21
2.1 INTRODUCTION
������������������ ������� ���������������������������� �������������������� ����� �� ��������� �� ��� ���
� ���� �� � �����
�� � ���� ��� �� ���������� ������ ��� �� ����������� � ���������� ���� �� �������������������!������������ ������� ���������������������������������"���� ����� ������#��� � ���� ��� �� ����������� �� �� ���� �� ���� ��� ��� � ����������!��!�� � ������������� ��������� �� ������� ������� ���� ��� �!��������� ���������������� ��� �$��� �� ���� ��� ����� ��� ����� ������������
%���� ������� ��� ���������� #��� ��� ����������� �� ��!����� �������������������������������������������������� �!������&����������#������ ������ �� ������� ��� ������������� ��� �� ����������� �� ����� '�#�� �� �������������� �� ��� ���
������ ������� (����
���� (�������� (�)�(� ������ (���� �����
���� ����������������� ����#���������� ����� ��������������� ��� ��������� ����� ������ *� ���+�� ������� ������� ��� ������� �� ������� ��� ��������� �� � ������ ������,���-�� �������������,�.���� ������������,����,�������%���������&��� ������������� ������ ����� ��� ������ ��/������������������� ����� � ������ ���� �� �� ������� ��� ������������� ��������� ���� ����� ������� ���������� �������������������� ���������������������0��������������������������� ���������#���� ��� ����������� �� ��� ���� �� ��� �������
��
������������ �������������� �� �������������
�������
�� � ���� ��� �� ����������� �� ��� ����&��� ������� ��� ����#�� � �������� ������ ������ �� ���������#����� ��� ������ ��� ������ � ��� �����
��� &!������������������������� ������� ������������������� �����
���� ��� ��� ����� ��� ����������� �������� ���� ������ ���� ����� ����#������ �� ��� �������� �� ��� �� ��� ���� ����
����� ��� ��� �!������� ��� ������� ���� ����� ��!��� ���� ��� ����������������� ���� �����!�� ���� ���� ������ ���� �� ��!�� ����
��!� �� ��� ����������� �������� ���� ���� ����� ����������� ���� ��� ���������������� ����������������� ������������������� ���� ���������� ���������� ��� ������
�!� ������ ����������������
��� *� ����������� �������� � ���� �� �� ������ ��!�� ����� ������� ������!�� ����� ����� ���� ��� ������� �� ���� ��� �� �� �� ��� ������������ �� � ����
��� ��� ���� ���!��� � ���� �� �� ������ ��!�� ����� ������� �� �� ��!������ ����� ���� ���������������� ����� �� �� ��� �������������� � �����
2.2 BISECTION METHOD
%���������� ��� ������ ���%������� ����#����� ����� ��� �� �� ������� � ���� ��������������#������������������ ��������� �������������������� ������������� ���������������������#�������������1������������������ � ��������� ��!������ ������������!���%������������������#��������������������������� ����!�������� �!��������������(���2�� � � ��������� #������������������������������ ������� � ���� �� �� "���#����� ��� ���� ����� ������ ��#���� ��� ���� ��� ����#���� ��� ���� �� �������� � ��� #������ � ����� ��� �� ��!�� ��� �����!��� /����� ����������#�����!������3������4�#�������� �����5� , �52���*��������������� �������� �� ��� ���� ��� ��#� ����!��� #���� ��� � ����� ���� ��� ��� �� �� �����!����� �����/�� ������ ���� �������� ����� ��� ����� ����!��� �#����� ���������� ����� ��� ��� ������ ��� ��������� ��� ��� �� ��� ������ ��� ��� ����!��� #���� �������������������������+��������������������������������������������#� ����!���#���� ��� 3������4� �� ��� �� 5� , �52����/�� ���� ��!�
| |,
2n
b a�
− ≤
#����� �!��� ��� ������������
log (| |/ )
log 2e
e
b an
�−≥ ���6�
&����������6�� �!��� ������������ ��������� ��������� �������!��������������� 1��� � ������� �� 5 �� ,�� 5� �� �� ������ �� ������ ���� �� ���� ��� ����� ��
��� �� ���7�
0�� �����8 9��������:���� 23
24 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
%��������� ��� ���#�� ����������� ��� 1� �� ����
y
x0 b x1
x2 x0 a
[ , ( )]a f a
[ , ( )]b f b
Figure 2.1 Graphical representation of the bisection method.
�� ������� ��� ����� ��� ���������� ��#���� ���������� �� ����� ��������� ����������������������!��������������������������������������������������������� ������� ���� � ��� ����#�� � ������������ ����8
�� ;������ #�� ����� ���������� ������ ����� �� � ���� � ���� <� ��
�� 0�� ��� �� ��� (���2��
6� ��� �� � ���� � ����� <� �� ��� ���� ����� ��� ��� ����!�� ���� ���� %����� ���� �� ��� ���� �� �� ���� �� ���!��
��� �� � ���� � ����� =� �� ��� ���� ����� ��� ��� ����!�� ����� ��� %����� ���� �� ��� ���� �� �� ���� ��
��� �� � ���� � ����� �� �� �� ������ ��� ��� ��� �� ���� �� ��� �������� ���� �� �� ���� ��� �������������� ��� ���������
��� ��������� ���������� ��� ����� ���� ��� ��� � ��� ��� ��� ��������� ������!�� ��� ��!��� ��������� ��� ����� �� ������ #�� ����� �� ����� �� ��������� ��������� �#���� �� �������� ��� �����������
*� ���!������ ��������� ��� �� ������� ��� ������� �� ����� ��� ������� ��
100%.r rr
r
x x
x�
��� �
����.�
#���� rx′ ��������#�!�����������%������������������������������#��� ���������� ����� ���� �� ����������� ���������� ��� ��� ��� ��������� ��� �� ����������� �� ������������� ����� ��� ��������� ��� ��!�����
������� �� 1���� �� ����� ���� �� ��� �������� � ���� �� ��� ,� �� ,� �� �� ��
0����� � ���� ����� ��!������ � ���������!����� ���� �������#�������������������������#�� �$� ��� �� 62�� %���
027 3 15
( ) ,8 2 8
f x = − = �#����� ��� �����!��
>����� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ��.� ����#�� �����
11 1.5
1.252
x+= =
/����� � �������,�?2@7��#���������� ��!���/����������������������������������� ��#���� ���.� ���� ��.�� �� ����#�� ��
21.25 1.5
1.3752
x+= =
%��� ���������� ��� �������� ���� ��� ��������!�� ����� �������� ���
��� �� ��6��.� ��� �� ��676-.� ��� �� ��6�A��.�� ���
������� � 1���� �� ����� ���� �� ��� ������� ��� ,� ��� ,� .� �� ��
B�� � ���� ����� ,� ��� ,� .� %���
� ���� �� ,� ��� � �6�� �� �@�>����� �� ���� ����� ��#���� �� ���� 6� ����#�� �$�
12 3
2.52
x+= =
0����� � ����� �� � ���.�� �� .�@�.��� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ���.�>����
22 2.5
2.252
x+= =
'�#�� � ����� �� ��A?�@�.�� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ���.�%��������
32 2.25
2.1252
x+= =
0����� � ����� �� ��67.-�� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ����.�%��������
42 2.125
2.06252
x+= =
C�������� � ��� ����#����#�� ������ ��� ��������!�� ����� �������8
�� �� ���?6-.� �� �� ����?6A� �� �� �����.@��� �� ���?-@@� �� �� ���?.-�� ��� �� ���?7-6������ ���?7�7��)
/�� ������� ,� ���� �� ,�����.�
���
11 10
11
0.0005100 100 0.02%
2.09424
x x
x
�
� � � �
>����� �� ����� ������� �� ����� �������� �������� ��� ���?7�
0�� �����8 9��������:���� 25
26 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
�������� 1������ ����� ������ � ���������(����(���(�-������������ �� ������������ �������
%��� �!��� �������� ��� �� ������ ���� ��� ���� ���� ��� �����!��� >������ � ���� �� ��#���� ��!�� �� �� ��!�� ����� �����/�� ���� ��
� �,��� �� @� � �,��� �� � ��� � �,6�� �� ,�7�
%��������� �� ����� ���� ����� ��#���� ,6� ���� ,��/�� �$�
1–2 – 3
– 2.52
x = =
0����� � �,��.�� �� ,7�A-.�� ��� ���� ����� ��#���� ,�� ���� ,��.�� � ���� ���
22 2.5
2.252
x− −= = −
'�#� � ����� �� ,��.-A��� ����� ��������� ��� ���� ����� ��#���� ,�� ���� ,���.��� ����#�� ��
3– 4.25
– 2.1252
x � �
0�������!�� ����� �������� ���� �!��� ��
�� �� ,���@�.� �� �� ,���?6A� �� �� ,����?7�
�� �� ,�����@� �� �� ,����..� �� �� ,����6.�
��� �� ,����7.� ��� �� ,����.���)
%��������������#������������������������.��>������#����������������������� �!��� ��� �� �� ,����.�� ������� �� ����� �������� �������
������� �� 1���� ��� �����!�� ����� ��#���� �� ���� ��� �� ��� ��������� �� ���� �� �� ��������� �� ���.D�
B�� ���� �� ���� ,� �� �� �
/����!��� � ������,�� ���� � �������� ,� ���#����� ��� �����!���>������ �� ���� � �����#���� �� ���� ��� ���
10 1
0.52
x+= =
9�������� � ����� �� , ���-.@�� ��� ���� ����� ��#���� ��.� ���� ����%���
20.5 1.0
0.752
x+= =
'�#�� ��� ������������ ��� �!��� ��
2 11
2100
0.25100 33.33%
0.75
x x
x�
�
� �
� � �
������ � ����� �� ��.A-A�� ��� ���� ����� ��#���� ��.� ���� ��-.�%��������
30.5 0.75
0.6252
x�
� �
�����
20.625 – 0.75
100 20%.0.625
� � � �
C�������� ��������#������������!������� ���������������������������������8
�� �� ��.@�.� �� �� �����DE �� �� ��.?6A� �� �� .��@DE�� �� ��.-A�� �� �� ��-�DE �� �� ��.-�6� �� �� ��6-DE�� �� ��.@@7� �� �� ��@?DE �� �� ��.@A7� �� �� ��6.DE��� �� ��.@-7� �� �� ���ADE ��� �� ��.@@?� ��� �� ���?DE��� �� ��.@-�� ��� �� ���6.D
0����� ���� �� ���6.D� <� ���.D�� ��� ��������� ���� ��� ��.@-�� ������� �� ������������ �������
��������� 1������ ������������ �� ������������������������ ���� ���#����� ���� ��.�� �� ��� �������
7���� ���� �� ,� �� �� �B�
� ���� �� 7���� ���� �� ,� �
/�� ��!�� � ���� �� ,�� ���� � ���.�� �� ���@6�7.%��������
��� �� ���.
0������ ����.����, ����?�?��������#�������������������#�������.�������.�%��������
20.75
0.3752
x = =
%��� ��������!�� ����� �������� ���� �!��� ��
�� �� ��6��.� �� �� ��676A� �� �� ��6.?7��� �� ��6@-�� �� �� ��6-��� �� �� ��6@?���� �� ��6-��� ��� �� ��6-�@� ����� ��6-�7��� �� ��6-�.��)
>����� ��� ��������� ���� ��� ��6-��� ������� �� ����� �������� �������
0�� �����8 9��������:���� 27
28 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
2.3 METHOD OF FALSE POSITION
%���� ��� ��� ������ ������ ��� ����� � ��� ����� ���� �� �� ���������� �������� ���� �� �� ���� �������� ���������� ��� ��������� ������� ��� ���� ������� ����$��#�� ��� ������������� ��� ���� ���� ��� ��������#�� ������� #�� �������� ����� ����� ��� � ���� ���� � ��� ���� �� �������� �� ���� >������ �� ���� ���� ���� ����#���� ����� �������'�#�� ��� �������� �� ��� ������ F����� � ��� #�� �����3��� � ���4� ���� 3��� � ���4� ��� �!��� ��
( ) ( ) ( ).
y f a f b f a
x a b a
− −=− − ���@�
%��� ������ �������� ��� �������� � ��� ���� �� ��� ���!�� ��#���� ��� �����3��� � ���4�����3��� � ���4������������ ��������� F����� � ���������������� �$�� ��� ����� �� ����������� �� ��� ������#��� ��� �+� ��� ��� ����������� ��� ���� ���� %��� ����� �� ����������� ��� ��� ������� ����� ��� �������� ��� ���� � � �� ���&��� ���@���%�����#�� �����
1( ) ( ) ( )
( ) ,( ) ( ) ( ) ( )
f a af b bf ax a b a
f b f a f b f a
−= − − =− − ���-�
#����� ��� ��� ���� � �������� �� �� ��� ���� �� � ���� �� �� �� ��#� � ����� ���� ���� ���� �� �������� �� ���� ���� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ���� ���� #��������������������&������-������������������ ������ ������� "���#�����#��������������������� ������������ ������ ������� %��������������������������� ��� ���� ��� �������� �� ��� �������� ���������� 1� ���� ���� �!���� ��������� ��������������� ��������� %��������� ���������&��� ���.�� ����������� ��� ���� ����� �����
x1 �
x2
*
*
O
Y
X
y f x= ( )
B [ , ( )]b f b
A[ , ( )]a f a
Figure 2.2 Method of false position.
������� �� 1���� �� ����� ���� �� ��� �������8
� ���� �� ��� ,� ��� ,� .��� ��
/�� ���� � ���� �� ,� ���� � �6�� �� �@�� >����� �� �� ��� �� �� 6�� ���� �� ���� ������#���� �� ���� 6�� &������� ���-�� �!��
12(16) 3( 1) 35
2.058823529.16 ( 1) 17
x− −= = =
− −
'�#��� �������,��6?�-???�-�������������������������#�������.AA�6.�? ���6��� G��� � ������� ���-���#�� �����
22.058823529(16) 3( 0.390799917)
2.08126366.16.390799917
x− −= =
0����� � �������,���7-��7�.-� �� ����#�� ��� ��� ���� �������#�������A��@6@@���� 6����>����� #�� ��!�
32.08126366(16) 3( 0.147204057)
2.089639211.16.147204057
x− −= =
C�������� � ��� ����#����#�� ������ ��������!���8
��� �� ���?�-6?.-.� ��� �� ���?6AA6-��
��� �� ���?76�.7.�� ��� �� ���?77@�A7@�)
%����������!����� ������?7.)����� ������ ���������� �� �!���� ������� � �����
��������� H�!��� ��� ��� �������� ����� �� @?����� �� ���� ��#����.� ��� A�G��� ��������� �� �� ���,����� �� ��������� ��
B�� � ���� �� ����� ,� @?��/�� ���
� �.�� �� ,67�.�@-.A7@ ��� � �A�� �� �A���.A@��@�
>����
15(28.00586026) 8( 34.50675846)
6.655990062.28.00586026 34.50675846
x− −= =+
'�#�� � �������,7��-.@�.7�.�������������� ������� �������#����@�@..??��@����� A��� /�� �����
��� �� @�A67���-?� ��� �� @�A.�@@[email protected]�
%��� ������� ���� ��� @�A.�6@.�)�� ��� ��� ��� ��� ������� �� ����� �� ������� �����
��������� %������������������ ����(�-�������������#����6�����7��1������� ����� ������� �� ����� �������� �������� ��� �� ���,�����������
B�� ���� �� ��� ,� �� ���� ,� -���� �� 6� ������ �� 7�
%����#�� ���� �6�� �� ,��7--�� ���� � �7�� �� ��6?-?�
0�� ����68 :�������1�����C������ 29
30 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
>����
1( ) ( )( ) ( )
3(0.3979) 4( 1.4771)
0.3979 1.4771
7.10213.7878.
1.8750
af b bf ax
f b f a
−=−
− −=+
= =
%�����������������������#����6�����6�-A-A��'�#��#���$������6���������6�-A-A%����
� ���� �� ��6�-A-A�� ,� �� ��� 6�-A-A� ,� -� �� ,�����-A->�����
23( 0.002787) 3.7878(–1.4771)
–0.002787 1.4771
3.7893,
� ��
�
�
x
���
2 10( ) 2(3.7893) log (3.7893) 7
0.000041,
f x = − −=
#����� ���#�� ��� �� �� 6�-A?� ��� ��� ���� ������� �� ����� �������� �������
��������� 1������ ������ �����������7���� ������,���������� �� ����,���������� �!��� ��� ��� ���� ����� ��#���� �� ���� ��.�
B�� ���� �� 7���� ���� �� ,� ����� �� ����� �� ��.�
/�� ��!�� ���� �� ,�� ���� � ���� �� 7������ ���� ��.� ,� �� �� ���@6�7.
%��������
10(0.163145) 0.5( 1)
1.1631450.5
0.42986901.163145
x� �
�
� �
'�#��#�� �$����� � ��� �� �� ��7�?A@?�
%���� ���� �� ���A7.7
%��������
20(0.08454) 0.42987( 1)
1.084540.39636
� �
�
�
x
'�#��� �� �� �� �� ��6?@6@ ��� � ���� �� ���6A?�?
>����
30(0.038919) 0.39636( 1)
1.0389190.381512,
� �
�
�
x
���� ����� �� ����@?67
%�$�� ��� �� �� ������ �� ��6A�.����#�� �����
40(0.016934) 0.381512(–1)
1.0169340.375159,
x−=
=���
� ����� �� ����-�A-6
C�������� � ��� ���!���#�� �����
��� �� ��6-�7A� ��� �� ��6-�6@���� �� ��6-�A?� ��� �� ��6-�@?-
�� ����#�� ��� ��� ��������� ���� ��� ��6-��� ������� �� ����� �������� �������
2.4 ITERATION METHOD
/�� ��!�� ��� ��� ���������� ���+����� � ������� #����� �������� ��� ����!��� ��#����� ��� ���� ������ /�� ��#� ��������� ������� #����� �������� ���� ��� ��������� �����!������ ������ ��������������� �����!�����������������������������$�� ��� �����%��� ���� ��� ��� � ��� ���������#����� ������������� ����� !����� �� ��
%�� ��������� ���������� ��� ����� � �� ���� �� ��� �������
� ���� �� �� �����
#�� ��#���� ���� �������� ��� ��� ���
�� ��� ��� ���A�
%����� ���������#���� �� ���� � ����� 1��� � ������� ��� �������
��� (� ��� ,� ���� �
���� ��� � �������� ��� ������� ����
3 2 1/32, 2 , (2 ) , etc.
1x x x x x
x= = − = −
+
'�#�� ��� ��� ��� ��� ����� ����� ���� �� &��� ���A��� %����� �������� � ��&��� ���A���#�� �� ��� ���� ����� ������� ��
��� ��� ����
0�������!�� ����������� �!�� ��� ����� �������
��� ��� ����� ��� ��� ����� ) � ��� ��� �������
0�� ����78 ��������:���� 31
32 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
%����������� ��������������������!�� ���������������������9������������������!�� ������������������������������#��������������������������� ��� �����%�� ���#� ����� ��
����� ��� ���� ���?�
��� �������������#���� �����������(���������� ���������*��� ����������������������� ��� ���� ����������������������� ����� �������� �����>������ ����� ������#�� �����
�� ��� ���� ������
#����� ���#�� ����� ��� �� ���� �� ��� ���������� ��� ����%����������� �����������������!�� �������&��� ���A���#���������� ��� ��
����#�� �#��81����&��� ���?���#�� ��!�
��� ��� ���� ������
1����&���� ������� ���� ��������#�� �
1 0
0 0 0 0
( ) ( )
( ) ( ), ,
x x
x x
� � � �
� � � � �
� � �
� � � ��������
��� ���� �%���������.�� 0����������#�� �����
�� ,���� �� ��� ,� ����� ������ ��� <���� <�� ����6�
�� ,���� �� ��� ,� ����� ������ ��� <���� <�� ����7�� � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � �
�� ,������ �� ��� ,������ ������ ��� <���� <�� ����.���#�� ������
5� �� ����5����� ���� ���� ��� ����@�
����&���� ������� �� ����.�� �!�
5�� ,���5����� 5�� ,���5
5�� ,���5����� 5�� ,���5
5�� ,���5����� 5�� ,���5 ����-��� � � � � � � � � � �
5�� ,�����5����� 5�� ,���5
:�������� � ��� ������������ � ������ �� ��� ���!�� ����������#�� �����
5�� ,�����5�������� 5�� ,���5 ����A�
����<���� ������ �� 5� �����5�<���� ��������� ���������&�������A�� �������I�������������������������� ��������������������)����!�� ���������������%����#����#��� ������ ����������� � �������� ��� ��� ��������� ����� ����� ���������� ����� ��
5 � ���� 5� <����� ��� ��������� ��� ���������� �� ��� ����� �� ����#�� ��� �� ��� �� ����������� ��� ��� ��� ������ �� �� � ������ �� ����� ��� ��� � ��� ��� ���� ����� ��� �������� ���� ��������� �� ��� ��� ���
��
��
��
�
'�#��#�����#��������������������������� ����%�����!������������������� ��� #�� ����� �� ��� �������� �� ��� �����%�����#������ ��!�
��� ��� ���� ��� ��� ��� �����%��������
1 2 1 2
1 2 1 2
| | | ( ) ( ) |
| | ( ), ( , )
� � � � � �
� � � � � � �
− = −= − ′ ∈
>�����5��� ,���5� 3�� ,������4���� ����?�
0�����5�����5�<����������#��������������#��������!����������������������� �������
1��������#�� ������ ���� ��� ������ ��� ��� ���� ���������/�� ��!�
� �
1
1
1
| | | |
| |
| | | |
n n
n n n
n n n
x k x
k x x x
k x x x
� �
�
�
�
�
�
� � �
� � � �
� � � �
� 11 1 0| | | | | |
1 1n
n n nk k
x x x k x xk k
� �
�
� � � � �� �
1 0| |,1
nkx x
k� �
�������
#����� ���#�� ��� ��� ���!�� �����#����� ��� ����� ��� �������� !������ �� ��'�#�� ��� �� ��� ��� ��������� ��������� ��� ��
5��� ,��� 5����%����� &��� ������� �!��
11
| | ,�−−− ≤n n
kx x
k������
#����� ������������ �� ���� ��������������#���� #�� ��������!�� ����� ���+����� ���� � ��� ����� �� �����!�� �� ����������� ���������
���������� 1�����������������������������������,��������������!���3����4#��� ��� ��������� �� �����
/�� ��#���� ��� �������� ��1
1=
+x
x ���
>���
1/ 21( ) ( 1)
1�
�
� � �
�
x xx
%��������
3/ 23
1 1( ) ( 1) 1in [0,1].
2 2 ( 1)�
−′ = − + = − <+
x xx
*����1 1
max | ( ) | 0.22 8 4 2
� ′ = = = <x k
0�� ����78 ��������:���� 33
34 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
%��������� &��� ������� �!��
41
1 0.2| | 4 10 0.0004.
0.2�
−−
−− ≤ = × =n nx x
%�$�� � ��� �� ��-.��#�� ���
11
0.75593,1.75
= =x
21
0.75465,1.75593
= =x
31
0.75493.1.75465
x � �
'�#�� 5 ��� ,� �� 5� �� ������A�<� �����7��>������ ��� ��������� ���� ��� ��-.7?�������� �� ���� �������� �������
���������� 1����������������������������������������������������������
��� ,� 6� �� ���� �
���� � ��� ��� ����!��� 3,
2 2
�� �� �� �
�
/�� ��#���� ��� �!��� �������� ��
1(cos 3)
2= +x x
>���
1 3| ( )| |sin | 1, in ,
2 2 2
��
� �� �� � ��
x x �
;������ � ��� �� ��.��#�� ������ ��������!���8
11
(cos1.5 3) 1.5354,2
x � � �
21
(cos1.5354 3) 1.5177,2
x � � �
31
(cos1.5177 3) 1.5265,2
x � � �
41
(cos1.5265 3) 1.5221,2
x � � �
51
(cos1.5221 3) 1.5243,2
x � � �
61
(cos1.5243 3) 1.5232,2
x � � �
71
(cos1.5232 3) 1.5238.2
x � � �
'�#��5 �� , �� 5��������@�<��������>������������������������������������������ ��� ��.�7�
������� �� G��� ��� ������ �� �������� �� ���� �� �����!�� ���� �� ���������� ���� �� ��� �!��� ��� �� ���� ����� ��#���� �� ���� ��
/���� � ��� �������� ��� ��� ������� ����
#�� ���� ��1
( ) for 1xx e xe
��
� � � � ��
%��������5 ����� 5� <���
;������ � ��� �� ��.��#�� ���
�� �� ������ �� ��@�@.6� �� �� ��.7.�7��� �� ��.-?-�� �� �� ��.@��-��� �� ��.-��-� �� �� ��.@7A@��� �� ��.@A77� �� �� ��.@@7���� �� ��.@-.@� ��� �� ��.@@?����� �� ��.@-�A� ��� �� ��.@-�@���� �� ��.@-�?� ��� �� ��.@-������ �� ��.@-�@� ��� �� ��.@-�6���� �� ��.@-�.� ��� �� ��.@-�7���� �� ��.@-�7�
�� ����#�� ��� ��� ����� ������� �� ���� �������� �������� ��� ��.@-��
������� �� G��� ��� �����!�� ������ �� ���� �� ����� ���� �� ��� ������������� �� ����� ,� ����H�!�� ����� ���#��� ������� �� ����� �������� �������
B�� ���� �� ���� �� ,� ���� (� ��
/�� ����� ���� ������ ��� �� ���� ����� ��#���� �� ���� �� �%��� ������ ����!����� �� ���#� ��� ��������J�#���� � ��� �������� ��
sin1 ,
10= + x
x
#����!�sin
( ) 1 ,10
� = + xx
���
cos| ( )| 1in1 .
10
xx x� �� � � � �
0�� ����78 ��������:���� 35
36 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
%�$�� � ��� �� ���#�� ������ ��� ��������!�� ������� ��8
1sin 1
1 1.0841,10
= + =x
2sin1.0841
1 1.0884,10
= + =x
3sin1.0884
1 1.0886,10
= + =x
4sin1.0886
1 1.0886.10
= + =x
>����� ��� ��������� ���� ��� ���A?�
Acceleration of convergence: Aitken’s 2� -process
1���� ��� �������
1| | | ( ) ( )| | |,� � � � �+− = − ≤ −n n nx x k x 1<k
�� ��� ������ ��� ��� �������������� ��� ��������� ���!�� ��� %���� ���#� ���� ����!�� ������������������������������ �*�$��K���������#���������������������#�
B�� ������ ���� ����� ��� ����� ��������!�� ����� �������� �� ��� �������� ����� �� �� �� ��� ������� �� ��� ����� 1����&��� ����-���#�� $��#� ��
1( ),� � −− = −i ix k x 1 ( )� �+− = −i ix k x
L�!���� �� #�� �����
1
1,
� �
� �−
+
− −=
− −i i
i i
x x
x x
#����� �!��� ��� ������������
21
11 1
( ).
2� +
++ −
−= −− +i i
ii i i
x xx
x x x������
��#�� ��#� ����� ���� ��� ����� ��� ��� ��������
1� += −i i ix x x ��� 2 ( ), =i ix x
���2
1 1
1
1
1 1
1 1
( )
( )
( )
2 .
− −
−
−
+ −
+ −
=
= −
= −
= − − −
= − +
i i
i i
i i
i i i i
i i i
x x
x x
x x
x x x x
x x x
>����� &��� ������� ���� ���#����� ��� ��� �������� ���
2
1 21
( ).�
��
+−
= − ii
i
xx
x����6�
#����� � ������� ��� ��� ��+��������
��� ���� ���������� ������������ ��� !������ �� ��� ����#�� � ����������������������� ��� ��������
–1
–1
2–1
1�
�
�
�
i
i
i i
i
i
x
x
x x
x
x
������� ��� /�� ��������� � ���� & ������ ������ !�I��� ��� �������
1(3 cos )
2= +x x
*�� ������
1
2
3
1.5
0.035
1.535 0.052
0.017
1.518
x
x
x
=
= −−
=
>�����#�� ������ ���� &�� ����6�
2
4( 0.017)
1.518 1.524,0.052
−= − =−
x
#����� ������������ �� �� � ������� ���������
2.5 NEWTON–RAPHSON METHOD
%���������� ��� ��������� ����� �� �����!�� ��� ������ ����������� ���� �� �����!����� �������� B�� ��� ��� ��� ����� ����� ���� � � ���� �� �� ���� ����� �� ��� (� �� ��� ��� ������� ���� ��� ��� � ����� �� ��� & ������ � � ���� (� ��� ��%�����K�� ��������#�� �����
2
0 0 0( ) ( ) ( ) 0.2!
′ ′′+ + + =�h
f x hf x f x
0�� ����.8 '�#��,J�������:���� 37
38 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
'� ����� � ��� ������� ���� �� ���+������ ����!��!���� #�� ��!�
0 0( ) ( ) 0,′+ =f x hf x
#����� �!��
0
0
( ).
( )= −
′f x
hf x
*������ ����� ������� ���� ��� ���� ��������� �!��� ��� ���� #����
01 0
0
( ).
( )= −
′f x
x xf x ����7��
0�������!�� ����� �������� ���� �!��� �� ���� ����)�� ������ #����
1( )
,( )+ = −′
nn n
n
f xx x
f x����7��
#����� ��� ���!�" �,������� ���������#�� �������� &��� ����7���#��� ��� �������
����� ��� ����
�� ��� �����!�������� 3���� &�� ���?�4�� #�� �����
( )( ) ,
( )� = −
′f x
x xf x
#����� �!��
2
( ) ( )( ) .
[ ( )]�
′′′ =′
f x f xx
f x����.�
%�� � ������ ��� ���!�� ����� #�� ������� ��� � ����� � ����� ��� � ����� ������������� ���� �������� ��� ���� ����!��� �������� � ��� ���� �� �� �� �� ��������� � ���������� � �������������������� � ���������1����������� ( )′f x � ������������ 5 � ���� 5� �� �� ��� ���� �� =� �� ��� �� �������� ��� ���������� �� ��/����� ���� ��� ����������#�� ���� ������ ��� ����!��� ����� ��� 5 � ���� � ����� 5<���� ���� ���� ������������ ����� � ������������ ����� � ���� ��� ������������ #���������������� >������ ��� ���� ����!��� #�� ��!�
5 ����� 5� <� �� ����@�
%��������� '�#��,J������� ������� �!��� ��� &��� ����7��� ���!�� ������!����� ��� ��� ������� ����� ������� ��� ��� ������� ���������� ������ � ��/��� � ��� ���������� ����� ���'�#��,J������������� ����� ���!�� ��� �����#����;��!�� ������������#�!��������������������������� �&�������7���%����#���� ��� ���������� �����
%�������� ��� ������ ���!�� ������� ����������#������ ��� � ���������� ���%�����K�� � �������� �!��
21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,
2� �′ ′′+ − + − + =�n n n n nf x x f x x f x
����#�����#�� �����
2( ) ( )1( ) ( )
( ) 2 ( )� �
′′− = − + −
′ ′n n
n nn n
f x f xx x
f x f x����-�
1����&���� ����7��� ���� ����-���#�� ��!�
21
( )1( )
2 ( )� �+
′′− = −
′n
n nn
f xx x
f x����A�
0���
,� �= −n nx ����?�
&������� ����A�� �!��
21
1 ( ),
2 ( )
�� �
�+
′′≈
′n nf
f���6��
��� ��� ��� '�#��,J������� �������� ���� �� ������+������ ��� �����������!�� �����
H������������� ��� ������ �������� ��� �������� � ��� ���� �� ��� ���!���#���� ��� ����� 3���� � ����4� ���� ��� �+� ��� ��������� �� ��� �� ��� �� �����!������������������������������ ��������������1� ����6���������������������!�� ����� �� ������� ���� ������������� ��������� ���� �� ���� ����� ��� ����#���� ��� ����� ���� ������ �
x0x1x
y
0
P x y( , )0 0
Figure 2.3 Newton–Raphson method.
���������� G������'�#��,J���������������������������������������� ,� ��� ,� .� �� ��
>��� � ���� �� ���,� ��� ,� .� ��� � ����� �� 6��� ,� ���>����� &��� ����7��� �!��8
3
1 2
2 5
3 2+
− −= −
−n n
n nn
x xx x
x���
0�� ����.8 '�#��,J�������:���� 39
40 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
;������ ��������#������� � �������,� ��� � ������������C��� ���� ���&�������#�� �����
11
2 2.110
⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟⎝ ⎠x
'�#�3
1( ) (2.1) 2(2.1) 5 0.061,= − − =f x���
21( ) 3(2.1) 2 11.23.′ = − =f x
>����
20.061
2.1 2.094568.11.23
= − =x
%����� ��������������������'�#��,J����������������!�� ������������������������������������������������!���������������������������������#�����������������������������������������9��������#����������!������������ ��������� ��� ����� ��������� '�#��,J������� ������ ��������� ����������� � ����
������� ��� 1���� �� ���� �� ��� ������� sin cos 0.+ =x x x
/�� ��!�� ���� �� �� ���� �� (� ���� � ��� � ����� �� �� ��� ��
%��� �������� ������� ���� ��������
1sin cos
.cos
n n nn n
n n
x x xx x
x x++
= −
/�� ��� ����� ��� ��������!�� ������� ���� �!��� ����#
n xn f (xn) xn +1
0 3.1416 –1.0 2.8233
1 2.8233 –0.0662 2.7986
2 2.7986 –0.0006 2.7984
3 2.7984 0.0 2.7984
���������� 1���� �� ����� ���� �� ��� ������� ��������� ���� � ���'�#��,J������� ������
/��#���� ��� �������� ��� ��� ���
( ) 1 0= − =xf x xe ���
B�� ��� �� ���%���
11 1 1
1 1 0.68393972 2
ex
e e
− ⎛ ⎞= − = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
'�#� ����� �� ��6..67�7� ��� � ������ �� 6�66-����
��� ��
20.3553424
0.6839397 0.57745453.337012
x = − =
C�������� � ��� ����#����#�� �����
��� �� ��.@-��?- ��� ��� �� ��.@-�766�
���������� G��� �'�#��,J�������������� ������ ����� ������������ �6���������������������������������������2�� �!��������������������#����2�� ������
B�� ���� �� ���� �� ,�
2
x
%���
� ����� �� ���� �� ,� 1
2
;������ � ��� �� 2
�
�� #�� �����
1
sin2 4 2,
122
x
� �
�−
= − =−
2sin 2 1
2 1.9010,1
cos22
x−= − =−
3sin1.9010 0.9505
1.9010 1.8955cos1.9010 0.5
x−= − =
−
0�����������������A?.7���������A?..��) ��>������������������������������A?@�
���������� H�!��������������7������� ��,���������������������#����� ���� ��.� ������� �� ����� �������� �������
B� � ���� �� 7���� ��� �� ,� �� ���� ��� �� ����%���
� ����� �� ,��67?6-6�6@����
� ������ �� ��..?��.A�@�%��������
10.349373236
0.22.559015826
0.336526406 0.33653.
� �
� �
x
0�� ����.8 '�#��,J�������:���� 41
42 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
'�#�� ����� �� ,� ���[email protected]
���� ������ �� ��-.66�.-6.
� � �� ��-.66�%��������
20.056587
0.33653 0.368801.75330
x � � �
1��� ��� �� � ����� �������� #�� ���� � ����� �� , �����--.�7-..� ���� ������ �� ��.A6��A-�.�� %���� �!��
��� �� ��6@AA�� ,� �����-.� �� ��6-�..
������ � ����� �� , ��������-7�� �� ����#�� ��� ��� ��������� ���� ��� �!��� ���� �� ��6-��
Generalized Newton’s method
� � ��� �� ���� �� � ���� �� �� #��� ����������� ��� ���� ��� �������� ������������������ � �� &��� ����7�� ��� �$��� ��
1( )
,( )
nn n
n
f xx x p
f x+ = −′
���6��
#������������� ��2�� � ��������������������������� ������������� ����� ������ ���� ���� ��������� � ��� �+� ��� �� ��� ���� ������� ���
&������� ���6��� ��� ������� ����������#���!�" �K�� ������� ���� ��������� &��� ����7�� ��� � � �� 0���� �� ��� �� ���� � � ���� �� � #��� ����������� ��� ����#�� �� � ��� ����� �� ���� � � ����� �� �� #��� ���������� ��� ,� ��� �� ������ �� ��#������������� ��� ,� ��� ���� ��� ����>����� ��� � ���������
00
0
( ),
( )
f xx p
f x−
′0
00
( )( 1) ,
( )
f xx p
f x
′− −
′′0
00
( )( 2)
( )
f xx p
f x
′′− −
′′′
������!����������!���������������������#��������������������!���������� ������� ����� ������� ��� ��� ������� ���������� ������ �� ��� ����
��������� 1������������� ������ ����������� � ���������,����,���(�������
;������ � ��� �� ��A�� #�� ��!�
� ����� �� 6��� ,����,��� ��� � ������ �� @�� ,� ��
/��� ��� �� ��A��#�� �����
00
0
( ) 0.0722 0.8 2 1.012,
( ) (0.68)
f xx
f x− = − =
′ −���
00
0
( ) ( 0.68)0.8 1.043.
( ) 2.8
f xx
f x
′ −− = − =′′
%��� ���������� �� ����� !������ ��������� ��� ����� ��� �� ������� ���� ����� ������� 1��� ��� �� � ����� ��������#�� ������ ��� �� ����� ���� �����
11
1
( )2 1.01 0.0099 1.0001,
( )
f xx
f x− = − =
′���
11
1
( )1.01 0.0099 1.0001.
( )
f xx
f x
′− = − =
′′
/�� ���������� ��������� ��� ����� ��� �� ������� ���� � �� � ������� #����� ������������ ������ �� ��� ������ ���� �����
"�� �������������� ��#��������'�#��,J�������������#�� �������A�#�� �����
��� �� ��A� (� ����@� �� ��?�� ��� ��� �� ��?�� (� ���7@��� ��?@�
����������������� �������I���'�#��K�����������!�� ���������������������� '�#��,J������� ����������
2.6 RAMANUJAN’S METHOD
0����!���� J�����F��� ��AA-,�?���� ���������� ��� �����!�� ���������M� ���������� ��� ������ � ���� �� ��� �������
� ���� �� �� �����#����� � ���� ��� �� ��� ���
� ���� �� �� ,� ����� (������ (� ���
�� (�)� ���6��
%�� � ������ ��������� �� �����������#�� ��������� ��� ��������� �������
� ���� ������� (� ���� (���� �� ��
#��� ��� ����� ��� ���� ���� ����� ��� 5��5� <� 5��5��%���� ��� �������� ������� ��
� ���� ������� (����� (���� �� �
� 21 2
0 01 0
a ax x
a a� � �
#���� ��!�� �����1
1
x� ����
2
1
x� ����� ���
1 2
1 1
| | | |x x> �
'�#�1
21 2
0 0
11
( )�
�
� �� � �� �� �
a ax x
x a a
����� ����� �� ����� �� ���
0�� ����@8 J�����F��K��:���� 43
44 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
���� ���#����� ��
121 2
0 01
a ax x
a a
−⎛ ⎞+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠1 2
1 2
1 1k k
x xx x
= +− −
1 1 2 2
1 21 1
k x k x
xx xx
− −= +− −
1 11 1 1 2 2 2(1 ) (1 )k x xx k x xx− −= − − − −
21
0 1
, wherei ii i r r
i r
b x b k x�
�
� �
� � �� �
%����
1 1
2 21 1 1 2 21 11
21 1 2 2 1 1
2 2
11
1
i
i ii
i iii
k x
k xb k x k x
b xk x k x k x
k x
�
� ��
� ��� �� ��
� � � � �
�� �� �
0����� 1
21,
x
x< � �� ����#�� ��
1
2
1lim ,
i
i i
b
b x−
→∞=
#����� ��� ��� �������� ����� %���� ��� ��� ������ �� J�����F��K�������#����� ��� �������� ����#�
%�� ���� ��� �������� ���� �� � ���� �� ���#�� ��������� � ���� ��� ��� ���
� ���� �� �� ,� ����� (������ (����
�� (�������� ����#���
12 3 21 2 3 1 2 31 ( )a x a x a x b b x b x
�
� �� � � � � � � �� �� � ���66�
� �� (� ����� (������ (����
�� (���� (� ����� (� ����� (� ���
�� (����� (��
����� (����� (������ (�� ���67�
%�� ���� ���� #�� ������ ���������� �� ��$�� ��#���� �� �� ��� ���� ������ �&��� ���67���/�� ���� �����
��� �� �
��� �� ��� ������� ������ ��� �� �
��� ����� (� ���� �� ����� (������ ������ ��� �� �� ���6.�
�� � � � � �� � � � � �� � � � � � ���� ��������� (������ (��� (� ������
� � � ��������� (�������� (��� (������� ��
��
��
��
�
%��� ������ 1 ,i
i
b
b� � ������� ���������� ��� ���������� ��� ��� ������ ��� ������
���� �� � ���� �� ���%��������� ��� ����������� ��� ��� ����#�� � � �������
������� �� 1���� ��� �������� ���� �� ��� �������
� ���� �� ��� ,� ?��� (� �@�� ,� �7� �� �/�� ��!�
2 3
2 3
26 9 1( ) 1
24 24 2413 3 1
112 8 24
f x x x x
x x x
� � � �
� �� � � �� �� >���
1 2 3 4 513 3 1
, , , 012 8 24
a a a a a� � � � � � ��
'�#���� �� �
2 113
1.0833,12
b a= = =
%��������
1
2
120.923
13
b
b= =
��� �� ����� (�����
� � �13 3
(1.0833) (1) 0.798612 8
= − =
%��������
2
3
1.08331.356
0.7986
b
b= =
��� �� ����� (� ����� (� ����
� � � ��� ���A66� ���-?A@�� (�3
8⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
����A66�� (�1
24���
� � � ��� ��.��-%��������
� � � � � � � � � � � � � � 3
41.595
b
b=
5 1 4 2 3 3 2
3 11.0833(0.5007) (0.7986) (1.0833)
8 24
0.2880
b a b a b a b� � �
� �� � � �� ��
�
0�� ����@8 J�����F��K��:���� 45
46 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
%��������
4
5
0.50071.7382.
0.2880
b
b= =
6 1 5 2 4 3 3
0.1575
b a b a b a b= + +=
%��������
5
61.8286.
b
b=
��� �� ���A6.%��������
6
71.8862.
b
b=
��� �� ���767%��������
7
81.9240.
b
b=
��� �� �����6%��������
8
91.9462.
b
b=
%��� ����� �� ��� �!��� �������� ���� ��� 6� ���� 7� ���� �� ���� ��� ����� ��� ����������!�� ���!�� ���� ��������� ��� !����� ��
������� � 1���� �� ���� �� ��� �������� ���� �� ��B�
���� �� � ���& ������ � ��� ��� �������� � ��#���� �� �� ���� ��������� �� #�� ���� ��#���&��� ���� ��
3 4 521
2 6 24
x x xx x= + + + + +� ����
#����� ��� �� ��� ���� �� ��� �� �� ����� �� &��� ���6���>����
��� �� ��� � ���� �� �� ��� ��1
2� ��� ��
1
6� ��� ��
1
24���
/�� ���� ��!���� �� ����� ����� �� ����� ������� (������ �� �� (� �� �� �
��� ������� (������ (������ �� �� (� �� (�1
2� ��
7
2�
��� ������� (� ����� (������ (� ����
� � �7 1 1
22 2 6
= + + +
� � �37
6.1667,6
= =
6261
10.8750;24
b = =
>������ #�� �����
��2��� �� ��
��2��� �� ��.�
��2��� �� ��.-�7�
��2��� �� ��.@-@�
��2��� �� ��.@-��
�� ���� ��� ����� ��� '�#��K�� ������ ����� & ������ ���-�� �!��� ��� !������.@-�766� �� ���� ����
������� � 1���� ��� �������� ����� ������� �� 7� �������� �������� �� ���������
� ���� �� 6�� ,� ��� �� ,� �� �� ��/�� ��!�
� ��� 1 3 cosx x= − +
2 4 6
1 3 12! 4! 6!
x x xx= − + − + − +�
2 4 6
2 32! 4! 6!
� � � � � ��x x x
x
2 4 6 832 1
2 4 48 1440 80640
x x x xx
⎡ ⎤= − − + − + −⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦�
'�#�� ��12 4 6 8
21 2 3
31
2 4 48 1440 80640
x x x xx b b x b x
�
� �� � � � � � � � �� ��
>���
1 2 3 43 1 1
, , 0, ,2 4 48
a a a a= = = = −
5 6 7 81 1
0, , 0, ,1440 80640
� � � � � �a a a a
0�� ����@8 J�����F��K��:���� 47
48 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
#�� ���� �������� �� �� �� �� ��.�
�� �� ��.� �� �� 7���.�
�� �� @�-?�@-� �� �� ����A-.��
�� �� �A�7�--A� �� �� 6��6.6@.
%��� ��������!�� ���!�� ���� ���
1
20.66667;
b
b= 2
30.60000,
b
b=
3
40.60606;
b
b= 4
50.60736,
b
b=
5
60.60708;
b
b= 6
70.60710,
b
b=
7
80.607102
b
b�
>����� ��� ��������� ����� ������� �� ���� �������� �������� ��� ��@�-��
��������� G��� �J�����F��K��������� ����������� ������ ����������
2 3 4
2 2 21 0
(2!) (3!) (4!)
x x xx− + − + − =�
B�2 3 4
2 2 21 0
(2!) (3!) (4!)
x x xx
⎡ ⎤− − + − + =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦� ���
#�� ��!�
1 1,a = 2 2
1,
(2!)a � � 3 2
1,
(3!)a �
4 2
1,
(4!)a = − 5 2
1,
(5!)a = 6 2
1,
(6!)� � �a
%����#�� �����
��� �� �E � � � ��� ����� �� �E
��� ������� (������ 2
1 31 ;
4(2!)= − =
��� ������� (� ����� (� ����
� � �3 1 1
4 4 36= − + �
19;
36=
5211
,576
� �b
%��� ��������!�� ���!�� ���� ���8
1
21;
b
b= 2
3
41.3333
3
b
b= = …
3
4
271.4210
19
b
b= = …
4
51.4408,
b
b=
#����� ��� ���� ������ ��� ������� �� ����� �� ������� � �����
2.7 SECANT METHOD
/�� ��!�� ����� ��� ��� '�#��,J������������� ��������� ��� �!�������� �����!��!�������������������������������#������������������������������������ �� �������� ������ � ��� ��������� ���������� ��� ��� ������ ������� ������!��!�� �� ��� ��� ����� ������ ��� ��� ������
1
1
( ) ( )( ) ,i i
ii i
f x f xf x
x x−
−
−′ ≈−
#����� ���� ���#����� ��
1
1,i i
ii i
f ff
x x−
−
−′=−
���6@�
#���� ����� � ������ >������ ��� '�#��,J������� ������� �������
1 1 11
1 1
( ).i i i i i i i
i ii i i i
f x x x f x fx x
f f f f− − −
+− −
− −= − =
− −���6-�
����������������������������������������#�������������� ����������������
������� �� 1�������������������������������,����,�.��������� ������������
B�� ��� #�� ������� ����� �������� ��� �!��� ��
���� �� � ��� ��� �� 6/�� ��!�
� ������ �� ��� �� A� ,� ?� �� ,�� ��� � ����� �� ��� �� �-� ,� ��� �� �@�
C��� 0i � ��� &��� ���6-��� #�� �����
12(16) 3( 1) 35
2.058823529.17 17
x− −= = =
0�� ����-8 0�����:���� 49
50 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
*����� ����� �� ��� �� ,��6?�-???�6�
C��� � �� �� �� ��� &��� ���6-���#�� �����
0 1 1 02
1 0
3( 0.390799923) 2.058823529(16)2.08126366.
16.390799923
x f x fx
f f
− − −= = =− −
* ���� ����� �� ��� �� ,���7-��7�.-�
0��� ������ ���&������6-���������������� ��#�� � ��������?7A�7�7.��#������� ������� �� ����� �� ������� � �����
������� �� G��� � ��� ������������� ���� �� ����� ���� �� ��� �������
� ���� �� ����,� �� �� �/�� ��!�
� ���� �� ,� ��� � ���� �� �� ,� �� �� ��-�A�A� �� ��
%��������� �� ���� ����� ��#���� �� ���� ��
B���� �� � ��� ��� �� ��
%��������
0 1 1 02
1 0
– 10.36788.
– 2.71828
x f x fx
f f= = =
����� �� ��6@-AA��������� ,� �
�� ,� ��[email protected]�>����
��1 2 2 1
2 1
x f x f
f f
−=−
1(–0.46854) 0.36788(1.71828)
0.46854 1.71828
−=− −
�� ��.�66����
��� �� ,���@-7�>����
2 3 3 24
3 2
–0.57861
–
x f x fx
f f= =
������ �� ���6�?A
>����
3 4 4 35
4 3
–0.56653.
–
x f x fx
f f= =
������ �� ,�����@?
%��������
4 5 5 46
5 4
–0.56714.
x f x fx
f f� �
�
/�� ����� ���� ����� �� ,�������?@�
�� ����#�� ��� ��� ��������� ���� ��� ��.@-��� ������� �� ���� �������� �������
2.8 MULLER’S METHOD
��� ����������� ��� �!��� ������� � ���� ��� ����� ����������� ��������� ������!�� ��� ��� !������� �� �� �����%��� ����� �� ������������ ���� ���� ������������ ��� ����� �������� �� ��� ����� �� ��� �������� � ���������%����������� �����!�� ���� ���� ��� ����� �� ������� ������ � ������ �� ���� �����������!�� ����� 3�����:������ ��?.@�4�
B������������������������������������������������������������������������!������ ����#�������������������������������� ������������������� ���������'�#������������ �������!�������� ����� ������������������� �!������B� ��� �K�������� ����� 0������ 6�?���
–1 –2–2 –1
–2 –1 2 –1 –2 –1
( – )( – ) ( – )( – )( )
( – )( – ) ( – )( – )�
� �i i i i
i ii i i i i i i i
x x x x x x x xL x y y
x x x x x x x x
–2 –1
–2 –1
( – )( – )
( – )( – )i i
ii i i i
x x x xy
x x x x+ ���6A�
B���� �� ��� ,� ����������� �� ����� ,� ���� ���6?�
%����� ,� ����� �� ��,� ��� (� ��� ,� ����� �� ���,� ���� (������ ,� ����� �� �� ,� ��� (� ��� ,� ����� �� ��� ,� ���� (� ������ (���� ���7������� ,� ����� �� ,���������� ,� ��� �� , ������ (����� ������� �� ���,� �����
>����
1–2 –1
–1 –1 1
( – )( – ) ( – )( – )( )
( ) –i i i i i i i
i ii i i i i
x x h x x x x h h x xL x y y
h h h h h�
�
� � �
� �
�
� � � � � � � � � �–1
–1
( – )( – )
( )i i i i i
ii i i
x x h h x x hy
h h h
+ + ++
+ ���7��
0�� ����A8 :�����K��:���� 51
��
��
��
�
52 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
*��� �������������� ��� �������� � �������� ���� ���#����� ��
$���� ��%��� ,� ����� (�&��� ,� ���� (� ���
#����
–1
–1 –1
1–
( )i i
i i i iA
h h h h
� �� �� � �� � � ���7��
��� ii
iB Ah
h
�� �
/��� ����� !������ �� %� ���� &�� ��� ��������� &��� ���6A�� �!��� ��� �� ����� ������� ����
2
1– – 4
2�
�� �
ii i
B B Ayx x
A���76�
0����� &��� ���76�� ������ �� ���������� �������� #�� �$�� ��� ����!����� ���
1 2
2–
4
ii i
i
yx x
B B Ay+ =
± − ���77�
���&��� ���77��� ��� �� �� ��� �������������� ���������� ������� ��� ��� �������������#������� ��� ��� ����� �������/��� ������������&������77�� �!����� �� � ����� ������� �� ��� ����
������� �� G��� �:�����K��������� ���� ��� ���� �� ��� �������
� ���� �� ��� ,� �� ,� �� �� ��
#��� ��� ������� ����� �������
����� �� �� ����� �� �� ����� ��/�� ��!�
����� �� ,�� ����� �� ,�� ��� �� .�*����
��� �� �� ����� �� ��
��� �� @������� �� ��
>������ &��� ���7��� �!���%� �� 6� ����&� �� ?�%���
2 4 21iB Ay� �
��������� &��� ���77�� �!��
12(5)
2 – ,9 21ix + =
+������ ��� �� �� ��&� ��� �����!�
� � � � � � � � � � � � � �� ���@6-@�
&����� ��� ��� ���!�� ������ �1.26376 – 2
100 58%.1.26376
=
��
��
��
�
1��� ��� ������� ����� ��������#�� �$�
����� �� �� ����� �� �� ��� �� ���@6-@�
%��� ������������ � !������ �� �� ���
����� �� ,�� ����� �� .� ��� �� ,���7.7��
%��� �������� !������ ��%� ����&� ���
%� �� 7��@6-. ��� &� �� 6�?A.7@�%���
����� �� ��6��-7�
���� ��� ������ ��� ��� ���!�� ������ �� 7�6?D�1��� ��� ����� ����� ��������#�� �$�
����� �� �� ����� �� ���@6-@� ��� �� ��6��-7�
����� �� .� ����� �� ,���7.7�� ��� �� ,�����@@�
%����%� �� 7�.A.77��&� �� 7��A�6.� ���� ����� �� ��6�7@?�
&����� ��� ��� ������ �� ����D�1��� ��� �� � ����� ��������#�� ��!�
����� �� ���@6-@� ����� �� ��6��-7� ��� �� ��6�7@?
%����� !������ �!�
%� �� 6�A-?��� &� �� 7��@��? ��� ����� �� ��6�7-��
%��� ������ ��� ���� ������ �� �����D�
>����� ��� ��������� ���� ��� ��6�7-�� ������� �� 7� �������� �������
2.9 GRAEFFE’S ROOT-SQUARING METHOD
%������������������������������������������������������������������������������ %��������� ��� �������� ����� ��� ���������� � �� ������ ��������
B�� ��� ������ �������� ��
%���� (�%��
�� (�%��� (�%�� �� �� ���7.�
#����� ������������ ���� ��� ���� ����� ��
5��5�� 5��5�� 5��5�
%��� �������� ������ N���� ���� ��� ��O�� ��� ����� #������ ��� �����
32
1 2,��
� ������!������������������������������������������������ ���������
����� �� ������#�� ���� ��� ��� ��� �� ����"������ ������ ���/�� ��#� ��������� ��� ��������� ��#���� ��� ����� ���� ���������� �
&��� ���7.��
0�� ����?8 H����K��J��+0������ �:���� 53
54 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
11 2 3
0
A
A� � �+ + = −
21 2 2 3 3 1
0
A
A� � � � � �+ + = ���7@�
���� 31 2 3
0–
A
A� � � =
0����� 32
1 2,��
� �� ���� �� �� ������ ��� ���!�� ��������� �!�
31 21 2 3
0 1 2– , – and –
AA A
A A A� � �= = = ���7-�
%����� ��� �� ������� �� ��� ����� #���� ��� $��#�� #���� ����� ��� ����� ���#������ ���������� '�#�� #�� ������ ���#� ��� #���� ��� ����� ���� ��������� ������������ � ��� ������ �������
����� �� ��� ,� ����� ,� ����� ,� 6� ���7A����
��,��� �� �,�� ,� ���,��,� ���,��,� 6�
� � � � � � � � �� �,������ (� ����� (� ����� (� 6� ���7?���������
������,��� �� �,������� ,� ������ ,� 7����� ,� ?� ���.������
�#�� �� �#� ,� ���#� ,� 7��#�,� ?�� ���.��
#�����#�������#�������������������&������.����������� �����������������&������7A���9����������� �&������.��� ��� ��������#���������!���#�� ����������������#�������������������������������������&������.����%������ ��� ���������� ��������� � ���������� ���� ���� �� ���� �������� ������������ ������� ��� '� ������������
'�#�� ��� ��� �!��� ������ ��
� ���� �� ����� (� ����� (����� (���� �� � ���.��
#��� ������������ ������� ����� ��
5��5� =� 5��5� =� 5��5�
0����������&������.����������������PK���������������+������� ������������������ ���!��� ���� ��� ��� ���������� �������� ��
( ) ( ) ( ) ( )3 20 1 2 3( ) 0m m m mu a u a u a u a� = + + + = ���.6�
����� ���� ��� ����� �� &��� ���.6��� ����#�� ��!�
, 1, 2, 3.mi iu i�� � ���.7�
��
��
��
��
��
�
9��������� �!����������������������&������.6���>�����#����!���������#�� �������� ��� ��� ����� �� &��� ���.��
1/
–1, 1, 2, 3.
mi
ii
ai
a�
� �� �� �� �
���..�
%����� ������� ���� ������� ��� �������I��� �� �� �� �� ���� ����������������������������������� �!�������� ��������������� �����������
������ %�� ���� ��� ���� �� ���� ����� #�� �������� ��� ���� ��� ��� ��� �����������������������������������������������!�����������I������������������ �����!�E� ����#����� �� ��� �� ��!��
%��� ���+������� � �������� ���� ��� ��������� #���� #�� ��������!������ �������� ���� !���� ������� ��� �����
H����K�������� ���� ��� ��!��� �� �� ���!���� � ����� �������� �� ������ ����� �� �� ����������� �������� ��������������� "���� ��� ����� ����!������ �� ���� ��� ����� ���� $��#��� �����!�� ������� ���� ��� ����� �� ������������� !����� �� ����� I����
������� �� G��� �H����K��������� ���� ��� ����� ����� �� ��� �������
��� ,� @��� (� ���� ,� @� �� �B�
� ���� �� ��� ,� @��� (� ���� ,� @� �� � ������
� �,��� �� ,��� ,� @��� ,� ���� ,� @� �� ���������
� ��� � ����� �� �,���� ���� ,� �7��� (� 7?��� ,� 6@���
� ���� �� #�� ,� �7#�� (� 7?#� ,� 6@� #����� #� �� ���
>������ ����� �� � ���� �� �� ���� �!��� ��
36 490.857, 1.871 and 14 3.742
49 14= = =
'�#�� �,#�� �� ,#�� ,� �7#�� ,� 7?#� ,� 6@
%��������� �#��� �,#�� �� �,����#�� ,� ?A#�� (� �6?6#�� ,� ��?@�
0��� �� ���������,�?A���(��6?6��,���?@��#������������� ������ �������� ��� ����� �� � ���� �� �� ��
1/ 4 1/ 41/ 41296 1393
0.9822, 1.942 and (98) 3.147.1393 98
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠�� ������������������� ���������������!�� �� ���������������������
���� 6�� �������!����
0�� ����?8 H����K��J��+0������ �:���� 55
56 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
0�������#�� ���� ��� �� ��A.-� ���� ������'�#��K��������/�� �����
10.35027
0.857 0.977.2.919
x � � �
0�������������������� ����������������������������������#�������
2.10 LIN–BAIRSTOW’S METHOD
%������������������������������� ���������������������������������/������� � ������ ��� ����������� ������ �� ��� ������ ��� ���������� � �� �������������� !�I�
� ���� �� ����� (����
�� (� ���� (� �� ���.@�
B�����(����(������������������������� ������������������������ ���������������(����(������#����!����� ����������(����(������������������������� ����������#����� ��� ������� �������>�����#��#���
� ���� �� ���� (� ��� (� ������� (� ���� (����� (��� ���.-�
�������������������������������������������������������������� ������������������������#�������I�����#���������������������������&����� ������������� �� ��$�� ��#���� �� �� ��� &���� ���.@�� ���� ���.-��� #�� �����
��� �����
��� ����� ,� ����
��� ����� ,� ���� ,� �������.A�
��� ����� ,� ���
1����&������.A���#��������� �������������������������� �������� �� ����������(����(������� ���������������(����(�����!������ ���������������� ��������#������ ��!�
��� ����� �� ������
������ ��� �� � ��� ������ ��� �� � ���.?�
'�#�� ���%�����K�� �������
0 00 0 0 0 0 0( , ) ( , ) 0
b bb r s b r s r s
r s� �
� �� � � �
� ����@��
���
1 11 1 0 0 0 0( , ) ( , ) 0,
b bb r s b r s r s
r s� �
� �� � � �
� ����@��
#����� ��� �� ���� ������ ������� ����!��!��� ���� �� ������ ���� ��� ���� ������������ ����!��!��� ���� ���������� � �� ��� ����� ����� ����
�� ��� ������� ����� ������� ����� ���� ��� ��������� ���� �� ���������������������������������������&�������@����������@����������#����!������ � ����� ������� ��
��
��
��
�
%����� ��������� ���� � � � � � ��� �� ��� (����
��� ��� �� ��� (�������@��
1��� ����� ������ ��������#�� �$����������������������������������������!��
������� �� 1���� �� ��������� ����� �� ��� ����������
� ���� �� ��� ,� �� ,��/�� ��!�
��� �� �� ��� �� �� ��� �� ,�� ��� �� ,�B�
��� �� ��� �� ����%����
�� �����
�� ����� ,� ���� ����� ,� ����
�� ����� ,� ���� ,� ���� ����� ,� ����� ,� ����� ,� ���
����� ,� ���� (� ����� ,� ���
�� ����� ,� ���� ����� ,� ����� ,� ����
(���� ,� ���� (� ����
%��������
0 03 2 3,
b bsa a ra
r s
∂ ∂= = − +∂ ∂
1 12 3 3– 2 , – .
b ba ra a
r s
∂ ∂= + =∂ ∂
%����� &���� ���@��� ���� ���@��� �!�
���� (����� �� ����
����� ,����� �� ��>�����
���� ��1
3� �� ��6666
���
���� �� ,1
3� �� ,� ��6666�
�� ����#�� ��
��� �� ��� (����� �� �� (�1
3� �� ��6666�
���
��� �� ��� (����� �� �� ,�1
3� �� ��@@@-�
0�� ������8 B��,9�����#K��:���� 57
��
�
58 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
1��� ��� ������� ����� ��������#�� �
��� �� ��6666 ��� ��� �� ��@@@-�%���
��� �� ,������ ��� ��� �� �������
0 0.6667,b
r
∂ =∂
0 1.3333,b
s
∂ =∂
1 2.6666,b
r
∂ =∂
1 – 1.b
s
∂ =∂
/��� ����� !������� #�� ���������� �� ,����A-7� �������� �� ���A--� #���� �!���������6�7@������������-.77��������#�������������������������������������
2.11 QUOTIENT–DIFFERENCE METHOD
%��������� �������������������������������� ����������������������������������������������������>�������3�?@74���������� �������������J���������3�?.74��"���������������������������� �!���������������������������������� �������� ��>������K�� ���$��/�� ��������� ��� ������ �������
� ���� ������� (����
�� (� ���� (���� �� �� ���@6�
#����� ����� ���� ��� ���� ��� ���� ����� ��� �� <� 5��5� <� 5��5� <� 5��5�/��#���� � ���� ��� ��� ���
2 302 1
3 3 3( ) 1
aa af x x x x
a a a= + + +
'�#�� ��
12 302 1
3 3 31
aa ax x x
a a a
−⎡ ⎤+ + +⎢ ⎥
⎣ ⎦
3
1 –r
rr
k
x x== ∑
–13
1
1 –r
r rr
k x
x x=
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑3
10 1
iriri r
kx
x
∞
+= =
−= ∑ ∑
0
,iii
b x∞
== ∑ ���@7�
#����
3
11
ri i
rr
kb
x �
�
�
�� ���@.�
%��������� ����!��� ��� ����� ���� ��� ���������� �� �� �� �
( )1
–1
i i
i
bQ
b= ���@@�
���� ����������
( 1)( ) ( )1 1 1
ii iD Q Q+= − ���@-�
���J�����F��K�������� �0������ ��@���#�� ��!�� ����� ��� ��� ������
–1lim i
i i
b
b→∞ ���@A�
������������������������������������ ���������������),��������������� ��� ����� �������� �� ���� ��� ������/��� ��� ������� !������ �� ( )
1iQ ���
( )1iD ������������������������������� �����������������������������
��� ���� � ��� �������8( )( 1) ( 1) ( )
1ii i i
r r r rD Q D Q+ ++= ���@?�
���( 1)( ) ( 1) ( )–1ii i i
r r rrD D Q Q+ += + − ���-��
( ) ( )0 3 0 for all .i i i� �� �
C����� �� ����� �������� ���� ��� ��� � �������� �� ��� �������G��� �&�������@?���������-�����������������������������������������
�������� ���� �� ������� ����� ��� �!��� ����#� �%����� �����
Table 2.1 A Typical Q-D Table
D0 Q1 D1 Q2 D2 Q3 D3
(1)1Q 0 0
0 (1)1D D
(0)2 0
(2)1Q
(1)2Q
(0)3Q
0 (2)1D
(1)2D 0
(3)1Q
(2)2Q
(1)3Q
/���� ��� ���� #�� ��#�� ���� $��#��� ��� ����� ��#�� ���� ��� ���������� ������ �&���� ���@?������ ���-��������������%������������ ( )
1iQ �� ( )
2iQ � ���� ( )
3iQ
���������������������������������� ���������>���������������&������@6���� #�� ��������� ��� ���������� �������
����� (� ���
�� (� ���� (���� �� � ���-��
0�� ������8 Q�����,L��������:���� 59
60 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
������������������!���#��������������������������&������@6���%���������������� ���������� ��� ��� ����#�� � � ������
�������� � G��� ����),���������������������������������������
� ���� �� ��� ,� ?��� (� �@�� ,� �7� �� ��
%�� ������� ��� ����� ��������� #�� ��������� ��� ���������� �������
, �7��� (� �@��� ,� ?�� (� �� �� ��/�� ���� ��!�
�, �7��� (� �@��� ,� ?�� (� ������ (����� (������ (� ���
�� (���� �� ��
;������� ������������������$����#�����������������������������!���������� #�� �����
��� �� �E , ?��� (� ��� �� �E��� ,� ?��� (� �@��� �� �E��� ,� ?��� (� �@��� ,� �7��� �� �
%��� ���!�� ��������� �!���� �� �� ��� �� ?� ��� �� .. ��� ��� �� �A.�
��� ��
(1)11
09
bQ
b� �
(2)21
1
556.1111
9
bQ
b= = =
���
(3)31
2
2855.1818 .
55
bQ
b� � �
/�� ������ ��� ���������
(1) (2) (1)1 1 1 – 2.8889,D Q Q= − =
���
(2) (3) (2)1 1 1 – 0.9293.D Q Q� � �
%�� ��������� (1)2Q �� #�� ��!�
(2) (2)(1) 1 12 (1)
1
1.9658.D Q
QD
� �
/��� (0)2 0,Q = #�� ���� ��#� ������� (0)
2D � ���� ��� ������
(0) (1) (1) (0)2 2 1 2
– 0.9231.
D Q D Q= + −=
�� ����#�� ����������� ��� (0)3Q � �� ��?�6��
/����!���������������������������������������#����#����%���������%���� �������� ��� �� ���� &���� ���@?�� ���� ���-��� ���������� �� ������� ���������� ���� ���������� ��#� ��� ��#�
%�� ������ (2)1 ,D #�� ���� ��� �������
(1)1
(2) (1)1 2
(2)1
D
Q Q
D#����
(2) (2) (1) (1)1 1 1 2� � �D Q D Q
>����
(2)1
– 0.9293 2.4616– 0.4415.
5.1818D
�
� �
0���������2
(1)2
(0.9231)– – 0.4355.
1.9658D � �
'� � ��#� ��� �� ��#� �� ���������/�� ��!�� (3)1 5.1818.Q =
*����(2)2 1.9658 0.4335 0.9293
2.4616,
Q = − +=
���(1)3 0.9231 0.4335
1.3566.
Q = −=
C�������� � ��� ����#���� ��� ����#�� � ��������������� ���������������� ������ �%����� �����
Table 2.2 Solution of Example 2.30
D0 Q1 D1 Q2 D2 Q3 D3
9 0 00 –2.8889 –0.9231
6.1111 1.9658 0.92310 –0.9293 –0.4335 0
5.1818 2.4616 1.35660 –0.4415 –0.2389 0
4.7403 2.6642 1.59550 –0.2481 –0.1431 0
4.4922 2.7692 1.73860 –0.1529 –0.0898 0
4.3393 2.8323 1.8284–0.0998 –0.0580 0
4.2395 2.8741 1.8864
0�� ������8 Q�����,L��������:���� 61
62 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
�����������������)���)������)���������!�� �� ������������!������7��6������� �������!����
2.12 SOLUTION TO SYSTEMS OF NONLINEAR EQUATIONS
��� ���� �������� #�� ��������� #�� ������� ��� ��� �������� �� ��������������������� ��������8� ���� ��� ������ �� �������� ���� ����� '�#��,J������������� 1��� �����������#�� ��������� �� ������ �� #�� ��������8
� � � � � � � ���� ��� �� �
��� ����� ��� �� ����-��
2.12.1 Method of Iteration
*�������������������� ������������#������������&������-����������#������� ��� ���
�� ��*���� ��� �� ��+���� ��� ���-6�
#����� ��� �������� *� ����+� ������ ��� ����#�� � ���������� ��� �� ��������� ������������ �� ��� ���� �����8
����*� ����+� ���� ����� ���� ������� ����!��!��� ���� ���������� ������ ���
����� 1 and 1,F F G G
x y x y
� � � �� � � �
� � � ����-7�
��� ���� ���� ��� ������� ��������� ������ ������������ ��������� �������������� ����&������-6�� �!���� ��������
��� ��*����� ���� ��� ��+����� ���
��� ��*����� ���� ��� ��+����� ���
�� � � � � � � � � �� � � � � � � � � �� � � � � � � � ����-.�
����� ��*����� ���� ����� ��+����� ���
1��� ����� ���!�� ������ �������� �������� !������ �� ��� ���� ��� ����� ��� ���!�������� �� ��� ��� &��� ���-.��� ;��������� ��� &��� ���-7�� ���� �������� � �����!�� ����� ���� ��� ��� ������ #�� �����
�� ��*����� ��� � ��+����� ���-@�
>���������������������������&������-6��������������������������&������-���%��������� ���� ��!������� ��� �������I��� �� ���� ������� �� ���������
������� � � 1���� �� ����� ���� �� ��� ��������
� � � � � � � � � ��� ,� .�� (� 7� �� �� � � � ���
6���� ,� ���� (� -� �� ������ � ��� ��������������
��
�
��
��
��
�
;�������� �� ����� ���� ��� �� �� �� ���� �� �� ��%�� ������ ��� ���������������#�� ��#���� ��� ��������� ��
21(3 7)
10x yx= + ���
���
21( 4)
5y y= + ����
>���2
21 6 3( , ) (3 7), , ,
10 10 10
� �� � � �
� �
F xy F xF x y yx
x y
21 2( , ) ( 4), 0, .
5 5
G G yG x y y
x y
∂ ∂= + = =∂ ∂
B�� ���.�� ��.�� ��� ��� ����� ����� �����%���
2
(0.5,0.5) (0.5,0.5)
6 3
10 10
0.15 0.075 1
F F xy x
x y
� �� � �
� �
� � �
���
0.5
20.2 1.
5
G G y
x y
� �� � � �
� �
>����� ��� ���������� ��� ���!�� ����� ���� �������� ���� ��� ����� ����������� �!��� ��
2 21 1
1 13 7 and 4
10 5n n n n nx y x y y+ +⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + = +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ �
/�� ������ ��������!����#��� ����� ��.� ���� ��� �� ��.
11 3
7 0.7375;10 8
x⎡ ⎤= + =⎢ ⎥⎣ ⎦ 1
1 14 0.85
5 4y
� �� � �� �� �
22
13(0.85)(0.7375) 7
100.8387;
x � �� �� �
�
22
1(0.85) 4 0.9445
5y ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦
23
13(0.8387) (0.9445) 7
100.8993;
x � �� �� �
�
23
1(0.9445) 4 0.9784.
5y ⎡ ⎤= + =⎣ ⎦
0�������!�� ����� �������� ���
��� �� ��?6-7� ��� �� ��??�7
0�� ������8 0���������0��������'���������&������� 63
64 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
��� �� ��?@�6� ��� �� ��??@@
��� �� ��?-@6� ��� �� ��??A@
��� �� ��?A..� ��� �� ��???7�
;��!�� ����� �� ��� ���� ���� ��� ��� ��!�����
2.12.2 Newton–Raphson Method
B�� ����� ���� ��� ��� ������� ����� ������� �� ��� ���� �� &��� ���-���� ����� (���� ��� (� ��� ��� ��� ���� �� ��� ������� ����#������ ��!�
� ���� (���� ��� (� ��� �� �� ����� (� ��� ��� (� ��� �� � ���--�
*������ ���������������������������������������#��� ������������������� ��� &��� ���--�� ���%�����K�� ������� �� �����
00 0
0f f
f h kx y
∂ ∂+ + + =∂ ∂
00 0
0,g g
g h kx y
� �� � � �
� �
���-A�
#����
0
0 0 00
, ( , ), etc.x x
f ff f x y
x x =
∂ ∂⎡ ⎤= =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
'� ����� ����������������� ���+����������!��!��������#���������������#�� ������ �� ������� ��������8
� � � � � � 00 0
–f f
h k fx y
∂ ∂+ =∂ ∂
��� 00 0
–g g
h k gx y
∂ ∂+ =∂ ∂
���-?�
&������� ���-?�� ���������� �� ������� �������� �
0 0
0 0
0.
f f
x yD
g g
x y
∂ ∂∂ ∂
= ≠∂ ∂∂ ∂
���A��
9��;�����K�� ������ ��� �������� �� &��� ���-?�� ��� �!��� ��
0 00 0
0 00 0
– –1 1
and
– –
f ff f
y xh k
g gD Dg g
y x
∂ ∂∂ ∂
= =∂ ∂∂ ∂
���A��
��
��
��
��
��
��
��
%��� ��#� ����� �������� ����� ��������
��� �� ��� (� � ��� ��� �� ��� (� � ���A��
%�������������������������������#��������������������������������������*�� ��� ��� ����� �� �� ��� ��� ��������� ��� ���!�� ����� ��� �� ������� ������
�������� 0��!����������� �!������& ��������6�����'�#��,J������������
/�� ��!�� � � � ���� �� 6���� ,� ���� (� -� �� �
����� �� ��� ,� .�� (� 7� �� �%����
6 10,f
yxx
∂ = −∂
23 ,f
xy
∂ =∂
0,g
x
∂ =∂
2 – 5g
yy
∂ =∂
%�$�� � ��� �� ��� �� ��.�� #�� �����
0– 8.5,
f
x
∂ =∂ 0
0.75,f
y
∂ =∂ ��� �� ��6-.�
00,
g
x
∂ =∂ 0
– 4,g
y
∂ =∂ ��� �� ��-.
>�����–8.5 0.75
34.0 – 4
D � �
%��������–2.375 0.751
0.3180,–1.75 – 434
h � �
���–8.5 –2.3751
0.4375.0 –1.7534
k = =
�� ����#�� ����� �� ��.� (� ��6�A�� �� ��A�A�
������ �� ��.� (� ��76-.� �� ��?6-.
1��� ��� ������� ����� ��������#�� ��!�
� � � � � � ��� �� ��-��?� � � � ��� �� ���?�7�
1– 5.3988,
f
x
∂ =∂ 1
2.0074,f
y
∂ =∂
10,
g
x
∂ =∂ 1
– 3.125.g
y
∂ =∂
0�� ������8 0���������0��������'���������&������� 65
66 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
%��������
–5.3988 2.007416.8712.
0 –3.125D = =
>�����–0.7019 2.00741
0.1528,–0.1914 –3.12516.8712
h � �
���–5.3918 –0.70191
0.0612.0 –0.191416.8712
k � �
�� ����#�� ����� �� ��A�A�� (� ���.�A� �� ��?-�A
������ �� ��?6-.� (� ���@��� �� ��??A-
�������� 0��!��������������(����������������������'�#��,J������������
B��� �� ��� (� ��� ,� �� ��� �� �� �� ,� ���
1���� ��� ������ �� ��� ���!���� #�� ���� ��� ����� ���� #�� ������ �����������������������������������������������������/������������� ������ ��� �������� ��� ��� ���� ���������/�� ��!�
2 , 2 ,f f
x yx y
� �� �
� �
– 2 , 1.g g
xx y
� �� �
� �
/�� ����#������ �� ��� �� ��-�-���������� ���� ��� ����� ��������� ����%����#�� ������
01.4142,
f
x
∂ =∂ 0
1.4142,f
y
∂ =∂
0–1.4142,
g
x
∂ =∂ 0
1.g
y
∂ =∂
%��������
01.4142 1.4142
3.4142; 0,–1.4142 1
D f= = =
>�����0 1.41421
0.0858,–0.2071 13.4142
h � �
���
1.4142 01– 0.0858,
–1.4142 –0.20713.4142k � �
�� ����#��� ����������� �� ��-�-�� (� ���A.A� �� ��-A.A�
������ �� ��-�-�� ,� ���A.A� �� ��@��6�
%��� �������� ���� ��� �������� �� ������ �� ����� ����� �������&�������� �����#���� ��� #�� �!�������������#�������� �����������
��� ���� (� �� ,� �� �� ��
#����� �!��� �� �� ��@�A�� ��� ��� ���� �������� ��������%���� �� �� ��-A@��� %����� !������ ���� ��� ��������� #��� ��� �������
����� ���� �������� ���!��
������� � � 0��!�� ��� �����
��� �� ,� �� �� ,��?-?6
��� �� ,� �� �� ,��@-�6
#��� ��� �� ��.� ���� ��� �� ��.� ��� ��� ������� ����� �������
/�� ��!�� ���� ��� �� ���� �� ,� �� (� ��?-?6
�������� ��� �� ���� �� ,� �� (� ��@-�6�
1��� ��� ���� ���������#�� ��!�
��� �� ,���7�6����� �� ���7���
�� �� �� ��� ,� �� ��� �� ������.��,���� ��.�� ,� ���� �� ,��A-.7
–– 0.1505,
y yfg gfh
D= =
–– 0.0908x xgf fg
kD
� �
%���������� �� ��.� (� ���.�.� �� ��@.�.
����� �� ��.� (� ���?�A� �� ��.?�A
1��� ��� ������� ���������#�� ��!�� ��� �� ��@.�.� ���� ��� �� ��.?�A�%����#�� �����
�� �� ,��-?.@����
�� �� ,����6�A� ��� �� �� ����66A7�>����� ��� ��#� ����� ������� ��
�� �� ��@.�.� (� ����6�� �� ��@.6-�
�� �� ��.?�A� ,� ����67� �� ��.A-7�
0������� ������!������������ �!�������������#�������������������������� ���� �������� �������
0�� ������8 0���������0��������'���������&������� 67
68 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
EXERCISES
��� & ������ ��� ��������� ������ ��� ����� � �� ����� ���� �� ��� �������� ���� �� �� ����#���� ��� �� ������ ��� ��� �������������#��� �� ��� �������!�� ��������� �� ��� ����� �������
"����� �� ����� ������� �� ����� �������� �������� �� ����� �� ��� ����#�� ��������� ���� � ��� ��������������� �C�������� ���,��.�8��� ��� ,� 7�� ,� ?� �� �
��� ��� (� ��� ,� �� �� �
��� .�� �� ���� ,� @� �� �
��� ��� (� �� ,� ��� �� �� �
��� H�!�� ��� ����������� ����� ��� ��� �� ���,����������� ��� ��������� �� ����� ���� �� ��� �������� � ���� �� ��
G���������������������������������������������������� ���������������������� �� ��� ����#�� � ��������� �C�������� ��-,�����8
�� ��� (� ��� (� �� (� -� �� �
�� ��� ,� �� ,� 7� �� �
��� �� �� 6���
���� �� ��� �� (� �� �� �
���� 1���� ��� ����� �����#����� ����� ��#���� �� ���� 6�� �� ��� ��������� �� ��� �� ,� ���� �� �
���� � ��� ������� �� ��������� ���� ����,�������� �� �� ��������� ���.D�
���� & ������ ������� ��� ������ �� �������� �� ������� �� ����� ���� �� ����������� ������������� ������������������!�� �������������������� ����� ��������� H�!�� �� ��������� ������������� �� ���������
G�������������������������������������������� �������� ���������������� �� ����� �� ��� ����#�� � ��������� �C�������� ���6,���@�8
���� ��� �� 6�
���� 2
1
( 1)x
x=
+
���� ��(� ��� �� ��
���� �� ,� ��� �� ��1
2
��� &�������������������������������������������������������!��������!� ��� '�#��,J������� ������� >����� ���� ��� ����������� �� �.7� ����� �� ������� � �����
��� & ������'�#��,J���������������������������������������������� ���������������������������������!�� ������>���������������+I������� �� ��� �������� ��� (� 7���� �� �� ��
���� G��� � '�#��,J�������������� ����!�� �� ������� ��� ����� � ��� ������ �� �� �����!�� �������!� ���� ������ ������� ��� !����� �� ��.�����
G��� ���'�#��,J������������� �� ������ �� ����� ������� �� ����� ��������������� �� ����� �� ��� ����#�� � ��������� �C�������� ����,���.�8
���� ������ ,� 7� �� �
���� ��� �� 7�
���� ��� ,� .�� (� 6� �� �
���� ������ ���� �
����1 cos
3
xx
+=
���� ��� �� �� ,�
���� L�������� �� ������������ ���������� �� ��������� '�#��,J���������������������� ������������������������!�������������������������/���� �� ��#+����� ��� ��� �����
��� ;������� �� ���� �������� �������� ��� ���� ��#���� �� ���� �� �� ���������
��� ,� ���� (� 6�� ,� .� �� �
��� ����:����� �� 1����� C������� ���� ����'�#��,J�������������
G��� �J�����F��K��������� ���� ��� �������� ���� �� ����� �� ��� ����#�� ��������� �C�������� ���A,��6��8
��� ��� ,� @��� (� ���� ,� @� �� �
���� �� (� ��� ,� �� �� �
���� ��� �� (� �� ,�� �� �
���� G��� ��� ������ ������ �� ��������� ��� ����� ��#���� .� ���� A�� ���� �������� ����� �� @?�� ;������� ����� ������ #��� ��� �������� ��& ������ ��-�
���� L���������������������������������������������� ����������������;������� ����� ������#��� ��� �������� ��� & ������ ���@�
���� C���������������������#��������� ���,�������������������������������� ��������������� ���������*���������������������������������������������������,����,�.���������������������7����������������
���� L���������������:�����K��������������������������������������#���������6������������������,����,�.�����������������������#������������ �� ��� �������� �� �� ���� ���� ��
&����� 69
70 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
1���� ��� ����� ����� �� ��� ����#�� � ��������� ���� �H����K�� ���+������� ������ �C�������� ��6.,��6@�8
���� ��� ,� 7��� (� .�� ,� �� �� �
���� ��� ,� ���� ,� .�� (� @� �� �
��� 1���� �� ��������� ����� �� ��� ����������
� ���� �� ��� ,� ���� (� �� ,� �
���9�����#K��������#��� #������� ������������� �#��������,��.���� ��� �� ��
��� L�������������������������������������,���.��(���.�����������������
� ���� �� ��� ,� A��� (� 6?��� ,� @��� (� .�
���9�����#K���������H�!�� ��� ������������ ����� �� ����������
���� G��� � ���)'��������� ���� ��� ����� ����� �� ��� �������
� ���� �� ��� ,� @��� (� ���� ,� @� �� �
���� ��� ��� ������� �� 0������ ������ ���!�� ��� ����#�� � ������8
�����1 1
1lim i
i i
b
b x→∞ −=
�����
( )1
1 2 1
1 1 21
2
11
lim 1
i
ii
Qx k x
x k xx
x
��
�� �
� �� �� �� �� �� �
����
( 1)1
1 2 1
2 1 21
2
11
lim 1 .
i
ii
Qx k x
x k xx
x
�
��
�� �
� �� �� �� �� �� �
���� C��!�� ��� ������
( )( ) ( 1) ( 1)1
ii i ir r rrD Q D Q� �
��
0��!�� ��� ����#�� � ������� ��� '�#��,J������� �������C�������� ��7�,��77��
���� ��� (� ��� �� �� �� �� ��
���� ��� ,� ��� �� 7� ��� (� ��� �� �@
���� ��� (� �� �� ��� ��� (� �� �� -
���� %�� ���� ��� �������� ���� �� ��� �������� � ��������� ,� �� ,� ��������� ����������������� � ���� �� �� ������� ��� ��#����� ��
��� �� �� ��� ,� � ���� �� �� ��� (� �����
��� �� � 2
1
–1x���� �� �� 2
1x
x
+
1���� ��� ������� ������� ��� ��� ���!��
���� '�#��,J������� ������� ���!�� ��� �
���[ ]2( ) ( )
1( )
f x f x
f x
′ ′′ < ����[ ]2( ) ( )
1( )
f x f x
f x
′′ <′
���[ ]2( ) ( )
1( )
f x f x
f x
′ <′′
����'���� �� �����
��� /����� ���� �� ��� ����#�� � ��� ��� ������R��� '�#��,J������� ������ ���� ��������� ���!�� �������� %��� ��������������� ���!�� ��� ���#������ %�����!��� ����������������������������� �!��������������#�������
������������ ����#�����5 � ����5�<�������������!����������� ����������� %������������� ���,��������!�� ���������������������������
��� /����� ���� �� ��� ����#�� � ��� ������R��� %��� ��������������� ���� ��������� ���!�� �������� %��� �������������� ��� �� ���+������������������� %��� �������� ��� ,� ��� ,� .� �� �� ���� #�� �����!�� �������� %��� �������� �� �� ���� �� ���� ��� ���!��� ���H����K��������
Answers to Exercises
��� ��-�@ ��� ��-..��� ��-7� ��� ��..��� ,����. �� ��-?@��� ���7?? ���� ��-?A
���� 0�������!�� !������ ���� �9�� �����������������.�� ��-.�� ��@�.�� ��@A-.�� ��-�A-�� ��-677�� ��-7���
9�� ����� ���������������-����� ��-7���� ��-7�-�� ��-7�@�� ��-7�@
���� ��@�?� ���� ��7@.@���� ��7@@ ���� ��7?-��� ����@7?7 ��� ,��?66A���� ���6@�- ���� 7�.?6�
&����� 71
72 ;�������8 0���������*� �����������%�������������&�������
���� ��6.-7
���� /��� ��� �� ��.�� ��� �� ��@7-��� ��� �� ��@.@.@��)
���� /��� ��� �� ��.�� ��� �� ��.�A��� ��� �� ��.�A���)
���� ��� �� ���7-�� ��� �� ��@��7�� ��� �� ��@�-��� ��� �� ��@�-��
���� ��-?A
��� ��A76-E� ��A76A
��� 1
20.54546,
b
b= 2
30.77647,
b
b=
3
40.88696,
b
b= 4
50.94237,
b
b� �
0������� ���� ��� ��
���� ;��!�� ���� ���8
� � ����� ��.�� ��@@@@@�� ��-.�� ��@@@@@�� ��@@@@@�� ��@?�6��� ��@A7����)
���� ;��!�� ���� ���8��.�� ��.�� ��.��@7�� ��.��A-�� ��.��?-��)
J�������� ���� ��� ��.����
���� J��� �� @�A.�6@�
���� 1��� �������� !����� �� ��.@-�76
���� J� ���,����8� ���?7.� ��� -� ���������0����� �����8� ���?7@�
���� ���� ���?7@�7�?� � � � ���� ��.�-.�
���� %����� ����� ������� �� ��� ����8� ��?�@A�� ���A?-�� �����?
���� %����� ����� ������8� 6���7776�� ��??�7�.�� ��???7?7�
��� ��� ,� ����@.�� (� ��?6?7� �& ��� ����� ��� ��� (� ���
��� ��� ,� ��?7A.�� (� ��?7�?A�� �& ��� ����� ��� ��� ,� ��� (� ���
���� )���� 6��6�7.� )���� ��A?A� )���� ��?-�@����� ��� �� ��A�@�� ��� �� ��.@6@�
���� ��� �� 6� ��� �� �� ��� �� 6��@@-� ��� �� ��.
���� �� �� 6�.A7� �� �� ,��A7A
���� ���
���� ���
��� ���
��� ���
3.1 INTRODUCTION
���� ��������� �� � �� � ��� �� �� �� ��
����� ������������ ��� ������ ������ ��� �� �� ���� ���� ��� �� �� �� ��� ������������ ��� ��� ���� ������� ��� ��� ������� ����� � �� � ��� ������������� ������������������������� �!�������������������������������� �� ��������������� ������� ����� ������� ��� ��� ���� ���� ��� "� ��� ��� ������� #�� �������� ����#������� ���� ������� ���#��� ��� �������� �������� ��� ���� �������� ���$�����������������#���������������� �� ������ �� ������ �� � "� ���� �� �������������� ������� �� �� � �� � !����� ���� ��������� ������ ��� � �� ��� ��� �!�� ��� ����%������ ��� ���� �� ������� �������� ��� � �� � ����� ����� � �� � �� � �� ������ ���� � �������� �����&�������������� ���������� ����� ��� ��� '� � �� ��� �� ���������� ���� ���� �������� ��� ������� � ��� ���� ����� ��� �� ��� �� � ��� ������� ���� ����� ����� � ��� ����� &��������� ��������� ������ ������������������������������!������ � �� ������������������������������������� ��� (������ ��������� ����� '� ����� ��������� !�� ������ #�� ��������!������������ ���������������� ����� )���������������� ��������������������� �!� ������� #������ ��� �� ����������!�� ������ ������!������� �������� ������ ������� ���� ��� *����������� �+,,- �� ��� � �� � ��� ��������� ���������� ���� ���� ����� �� �� .� /�� ������ ������� �� ���������� �� � ����� ����
( ) ( ) ,f x P x ε− < ���� ���� �� �� ����� �� �
��
�����������
�������
74 0�����1� '����������
�������������������������#���������������������� �� �!���������� �����!���������������#������#� ���� � �� �2����� ���� � �� �3�� ������� ��#��!����� ��� ���� ��!����� ���� � ��� #��
*������������������������������ �� �#����������������� � �� �������#�������������� ���� �4�!���������������������������������������#�� �������5� ��� ��� � *���� ��� ���� ��������� ��� ������� ���� #���� ���������������������������������5���!�������������%���������������������������� ���� ���� ���� ���������� ���#������ ������������� ���� �������� ���� ������ ������� #�� � ��� !���� ��� #�� ��������� ������*�� !����� ��!������ ������� �� ������������������������������������������������������!���������������������� �� ��#������� ������� #�� ���� ��� �� ���������
3.2 ERRORS IN POLYNOMIAL INTERPOLATION
6��� ���� ������ � �� �� ������� #�� ��� ��� 3� + � ������ ����� �� �� �� �� /�� +�� 7��"�� ��#������������������������#�� ���3�+ � ������ ��� ��� � �� #�������������#�� �� �������� ���� � ��� ������� ��� ��������� �� ����� ����
����� � �� ��� �� �� /�� +�� 7�� "�� � �1�+
'�� !�� �!� ��� ���� ��� �#���� ����������� ������� ��� � �� � ��� ���� ����������� ���� ������ ������� #�� 8%�� �1�+ �� !���� !����� #�� ���� ��������� ��� ���������������5�&���� ������������� ��� �2����� ��������� ��� ������������"����� !�� ���
��� � 2� ���� � �� ������� � �1�7 !����
������ � �� ��� 2� �� � ��� 2� �� �"� ��� 2� �� �1�1
��� �� ��� ��� #�� ��������� ����� ����� 8%�� �1�7 � ������ ���� ��� ���������������� ��� ��� ��� �� �� ���� ��� 9� ��� 9� ���� 0�������
1
( ) ( ).
( )n
n
y x xL
x
�
��
�� ��
�
�1�:
*�� ��������� �� ������� ��� � ����� ����
��� � �� ��� � 2� ���� � 2� ������� � �1�-
!����� �� ��� ����� #�� 8%� �1�: � �#����'�� ��� ������ ����
���� � �� ���� � �� �� �� ���� � �� ���� � �� /�
����� ����� �� ��������� �� 3 7 � ����� �� ���� ������� �����������; ����%������#�� ���� �����������������������<����=�� �������������������+�1��&����� +�7 ����� � ���� ������ �� 3 + ����� ����� � ���� ������ �� ������ ������ �� ������������������������'������������
( 1) ( )nF x+ ����������������������������
6��� ����� ����� #�� ����� #� �� �� ��� ��� 9� �� 9� ���� >� �������������� 8%�� �1�- �� 3 + � ����� !���� �������� ��� �� ��� ������� �� �� ��� !�� �#���
/� �� ����� �� � 2� ���� 3� + ?��� ����
( 1) ( ).
( 1)!
nyL
n
�+=
+�1�@
0�������� ��� 8%��� �1�: � ��� �1�@ � ������� ���� �������( 1)
1( )
( ) ( ) ( ).( 1)!
n
n ny
y x x xn
�� �
�
�� �� � �
�
A������� ���� ����� � ,x′ !�� �#���
( 1)1( )( ) ( ) ( ),
( 1)!nn
nx
y x x yn
� ��
��� �
�0 ,nx x�< < �1�B
!����� ��� ���� ��%������ ���������� ���� ���� ������� &���� � �� � ���� ���������� �!� ��� ����� !�� ��� ��� ����� ��� ��������� �������� ����� �� ���������1�B ������������������������������������������>������������������ ��� ���������������� �� ������������!�� � �����������#��������������������������'�������������!��!�������������������������������C�!��=��������������������� !����� !���� #�� ���������� �� &������ 1�@�
3.3 FINITE DIFFERENCES
������ ����� !�� ����� �� ��#��� ��� ������ ����� �� �� �� �� /�� +�� 7�� "�� �� ��� ��������� �� �� � �� �� ���� ������� ��� �� #���� �%������ �������� ������ ��� �� ��� 3� �������/��+��7��"�����&������������!��������%�������������������������������� �� ���� ���� ����������� ������� ��� ��� ��� ��� �#���� ���� ����������� ��� � �� � ������� �� �� ���� ����� ��� �� �� �� ���� ���� ������� ���� ���� �������� ��� ��������#���� ���� #����� �� ���� ������� ��� ���� D����������=� ��� �� �������!����!�� �! �������� ��� ������
3.3.1 Forward Differences
'�� ���� ���� ���� "�� ��� ������ �� ���� ��� ������� ��� ��� ���� ��� 2� ���� ��� 2� ���� "���� 2� ����� ���� ������� ���� ������������ ��� ��� A������ ������ ����������� #������ ����� "�� ������ �������������� !�� ����
���� �� ��� 2� ��� ���� �� ��� 2� ����"� ������ �� ��� 2� �����
!���� Δ ��� ������� ���� � ����� ���������� ���� �� ��� ����� ����� "�� ��������������� ����������������� �������������������������������!������������������ ������� ��� �� � ����� ����������� ��� ���� ������� #� ������ ������ "&�������������������������� ������������������� ���� ���������������������
&������1�1� E�����A��������� 75
76 0�����1� '����������
�����
20 1 0 2 1 1 0
2 1 03 2 2
0 1 0 3 2 1 2 1 0
3 2 1 04 3 3
0 1 0 4 3 2 1 3 2 1 0
4 3 2 1 0
( )
2 ,
2 ( 2 )
3 3
3 3 ( 3 3 )
4 6 4 .
y y y y y y y
y y y
y y y y y y y y y
y y y y
y y y y y y y y y y y
y y y y y
� � �
� � �
� � �
= − = − − −
= − +
= − = − + − − +
= − + −
= − = − + − − − + −
= − + − +
'����������������������������������������������������������������#������������� ����� ��� ���� ���������� ����� ���� ������������ ��������� �� ���� ������ �������� ���� #������ ������������
��#���1�+����!����!��������!��������������������������������#� ������
Table 3.1 Forward Difference Table
x y0 � �� �� �� �� ��
x0 y0�y0
x1 y1 ��y0�y1 ��y0
x2 y2 ��y1 ��y0�y2 ��y1 ��y0
x3 y3 ��y2 ��y1 ��y0�y3 ��y2 ��y1
x4 y4 ��y3 ��y2�y4 ��y3
x5 y5 ��y4�y5
x6 y6
'����������������������� ���� ���!�������������� ��#������#�������� �� ��������!��� !���� E��� ���� ����� ������ ����� �� �� �� �� /�� +�� 7�� "�� �� ��� ��� ���� 3� ���� !�� ����
���� �� ����� 2� ��� �� �� /�� +�� "�� �� 2� +�
A������ ��� ��� A86�/�� � �� ���� �#���� �%������ ��� #�� !������ ��
��� �� A86�/� � 3� + � 2� A86�/� � � �� A86�+� �
'�� �����!�� ��������� �� A86�� 2� +� �� 3� + � 2� A86��� 2� +� � �
!����� ��� ���� ���� ���!���� ���������� ��� ���E��� ���� ����� ������ ����� �� �� �� �� /�� +�� 7�� "�� @�� !�� ����� ���������
��#��� 1�7�
Table 3.2 Forward Difference Table
x y � �� �� �� �� ��
x0 DEL(0, 0)DEL(1, 0)
x1 DEL(0, 1) DEL(2, 0)DEL(1, 1) DEL(3, 0)
x2 DEL(0, 2) DEL(2, 1) DEL(4, 0)DEL(1, 2) DEL(3, 1) DEL(5, 0)
x3 DEL(0, 3) DEL(2, 2) DEL(4, 1) DEL(6, 0)DEL(1, 3) DEL(3, 2) DEL(5, 1)
x4 DEL(0, 4) DEL(2, 3) DEL(4, 2)DEL(1, 4) DEL(3, 3)
x5 DEL(0, 5) DEL(2, 4)DEL(1, 5)
x6 DEL(0, 6)
'� ��#��� 1�7A86�:�� / �� A86�1� + � 2� A86�1� /
�� A86�7� 7 � 2� A86�7� + � 2� FA86�7� + � 2� A86�7� / G�� A86�+� 1 � 2� A86�+� 7 � 2� 7FA86�+� 7 � 2� A86�+� + G� � 3� A86�+� + � 2� A86�+� / �� A86�/� : � 2� A86�/� 1 � 2� 1FA86�/� 1 � 2� A86�/� 7 G� � 31FA86�/� 7 � 2� A86�/�� + G� 2� FA86�/� + � 2� A86�/� / G��A86�/� : � 2� :A86�/� 1 � 3� @A86�/� 7 � 2� :A86�/� + � 3�A86�/� / �� ��� 2� :��� 3� @��� 2� :��� 3� ��
�������!����������������#�������!�#��������#���������������������
������������������������������� �������������� ����������������� ������������������
3.3.2 Backward Differences
���� ����������� ��� 2� ���� ��� 2� ���� "�� ��� 2� ����� ���� ������� ������ ������������������� ��� ����� ���� ������� #�� ���������� "�� ���� �������������� ��� ����
���� �� ��� 2� ��� ���� �� ��� 2� ���
� � � � � � � � ����� �� ��� 2� �����
!������� ��� ������� ���� �������� ���������� ���� �� '� �� ������� !���� ����� ������ #�� !���� ����������� ��� ������� �������
&������1�1� E�����A��������� 77
78 0�����1� '����������
������ !�� �#������� ������ 2����
�� ��� 2� ��� 2� ���� 2� �� � �� ��� 2� 7��� 3� ���
���� ������� 2�����
�� ��� 2� 1��� 3� 1��� 2� ���� ����
*���� ���� ���� ������� ��� �� ��� �� ��� �� ��#��� 1�+�� �� #�� !���� �����������#��� 1�1� ��� #�� ������
Table 3.3 Backward Difference Table
x y ∇ ∇2 ∇3 ∇4 ∇5 ∇6
0x 0y
1x 1y ∇ 1y
2x 2y ∇ 2y ∇22y
3x 3y ∇ 3y ∇23y ∇3
3y
4x 4y ∇ 4y ∇24y ∇3
4y ∇44y
5x 5y ∇ 5y ∇25y ∇3
5y ∇45y ∇5
5y
6x 6y ∇ 6y ∇26y ∇3
6y ∇46y ∇5
6y ∇66y
3.3.3 Central Differences
���� ������ ���������� ���� � δ ��� ������� #�� ���� ��������
1 0 1/2 ,y y y�− = 2 1 3/2, ,�� � �y y y 1 1/2.n n ny y y�− −− =
&�������������������������������������������#��������� *������������������� ��� �� ��� �� ���� ��������� �!�� ��#����� �� ������� ���������� ��#��� 1�:� ��#�� ������
Table 3.4 Central Difference Table
x y δ δ 2 δ 3 δ 4 δ 5 δ 6
0x 0yδ 1/2y
1x 1y δ 21y
δ 3/2y δ 33/2y
2x 2y δ 22y δ 4
2yδ 5/2y δ 3
5/2y δ 55/2y
3x 3y δ 23y δ 4
3y δ 63y
δ 7/2y δ 37/2y δ 5
7/2y4x 4y δ 2
4y δ 44y
δ 9/2y δ 39/2y
5x 5y δ 25y
δ 11/2y
6x 6y
'�� ��� ������ ���� ���� ���� ����� ��#���� ����� �� �� �������� �������� ������ ��������#�����������������������������!�������!���������!�����#�� !����� ������� ����������� ������ !�� �#���
0 1 1/2 ,y y y�� = ∇ = 3 3 32 5 7/2,�� � � � �y y y
3.3.4 Symbolic Relations and Separation of Symbols
A��������� �������� ��� ������� #�� ����#������� #�� ��#����� �������� �������� ���� ��������� �� ��� ���� ��������� ��� ��������� �������� � �� ���������� ���� ���������� �� �� �� � �������� �������
���� ��������� �������� � ��� ������� #�� ���� �%������
1/2 1/21
( ).2r r ry y y� + −= +
���� ������ ����������� ��� ������� #�� ���� �%������
���� �� �����
!����� ���!�� ����� ���� ������� ��� �� ��� ��� ������ ���� ��������� ������ ��� ��� ������� ������� ����� �������� ������ �%������ !������ �����
21 2( ) ,r r r rE y E Ey Ey y+ += = =
��� ���������
.nr r nE y y +=
'�� ��� �!� ����� ��� ������� �� ������������ #��!�� Δ ��� ��� ���� !�� ����
0 1 0 0 0 0( 1)y y y Ey y E y� = − = − = −��� ����
1E� ≡ − �� 1 .E �≡ + �1�,� H*�� ��� �!� �������� ��� ������������� ���!���� ���������� �� ����� ��
���� ����� ������� �������� E��� �������
3 3 3 20 0 0 3 2 1 0( 1) ( 3 3 1) 3 3 .y E y E E E y y y y y� = − = − + − = − + −
E��� ���� ����������� ���� �����!��� ��������� ��� ������� #�� ����#�������
1
1/2 1/2
1/2 1/2 2 2
1/2
1 ,
,
(1/2) ( ), 1 (1/4)
.
E
E E
E E
E E
�
� � �
��
−
−
−
⎫∇ = −⎪⎪= − ⎪⎬
= + = + ⎪⎪⎪= ∇ = ⎭
�1�,#
����� ������ ��� � ����� ����� ��� ������� ���� ���� ����� ����� ���� ���������� ��� � ����� ���� ���������� ��� ��������� ���������� ��� ���� �� ��� ���� ����� ���� ������� ������ ��������� � ��� ��� ��� ���� ����� ��� ����� ��� ���� �������� � ! ��� �� ���
&������1�1� E�����A��������� 79
80 0�����1� '����������
��� �� �������� !�� ������ ���� �������2 21 (1/4) .� �≡ +
*�� ������ #�� ���������
1/2 1/2
1/2 1/2
1( )
2
1( )
2
r r r
r r
y y y
E y E y
� + −
−
= +
= +
�1/2 1/21
( ) .2 rE E y−= +
4���
1/2 1/21( )
2E E�
−= +
��
2 1/ 2 1/ 2 2
1
1/2 1/2 2
2
1( )
4
1( 2)
4
1[( ) 4]
4
1( 4).
4
E E
E E
E E
�
�
−
−
−
= +
= + +
= − +
= +
*�� ���������� ����
211 .
4� �≡ +
E������� !�� ������ ���� ��������� � ����� ����
( ) ( ).d
Dy x y xdx=
��� ������� � ��� ��� !�� ������ !���� ���� ������=�� ������
2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2! 3!
h hy x h y x hy x y x y x′ ′′ ′′′+ = + + + +�
����� ��� #�� !������ �� ���� ��#����� ���
2 2 3 3
( ) 1 ( ).2! 3!
h D h DEy x hD y x
⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
&���� ���� ������� �� ���� #��� ���� ��� ���� �������� ��� ����� !�� �#���� ������������� ������
.hDE e≡ �1�,�
I���� ���� �������� �1�,� �����#������������� �������������#����������������������� ��� ����� ��� ��������� ���� ������� ����� ���� ����� ��� ���� ��!���� �� � ������������������������������������������� � �������� � ����� ��� ��������!��� �������� ���������� ���� ���� ��� ����� ������
������� �� I���� ���� ������ ��� ���������� ��� ��#����� ���!� ����
1 2( 1)
( 1) .2
n nx n x x x x n
n nu u nu u u� − − − −
−= − + + + −�
��� ������ ����� �������� !�� ������ !���� ���� ���������� ����� �����
1 2( 1)
( 1)2
nx x x x n
n nu nu u u− − −
−− + + + −�
1 2
1 2
1
( 1)( 1)
2
( 1)1 ( 1)
2
(1 )
11
1
,
n nx x x x
n nx
nx
n
x
n
x
n
xn
n nx
nx n
n nu nE u E u E u
n nnE E E u
E u
uE
Eu
E
uE
E u
u
�
�
�
− − −
− − −
−
−
−
−= − + + + −
−⎡ ⎤= − + + + −⎢ ⎥⎣ ⎦
= −
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
=
=
�
�
!����� ��� ���� ��������� �����
������� � &��!� ����2 2
20 0 0 0 1 22! 2!
x x xe u x u u u u x u� �⎛ ⎞+ + + = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� �
C�!�2
20 0 02!
x xe u x u u� �⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�2 2
012!
x xe x u
��⎛ ⎞
= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠�
(1 )0 0
x x xe e u e u� �+= =
0xEe u=
&������1�1� E�����A��������� 81
82 0�����1� '����������
2 2
012!
x ExE u
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
2
0 1 2 ,2!
xu xu u= + + +�
!����� ��� ���� ��%������ �������
3.4 DETECTION OF ERRORS BY USE OF DIFFERENCE TABLES
A�����������#�������#�������������� ������������#�������������&����������������� ��� �� ���������3+����� �� �� ������� ��#����� ��������������������������������������������������������������!�����������������������������������#����������� ��� ���!� �� ��#��� 1�-�
Table 3.5 Detection of Errors using Difference Table
y Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5
00
0 00 0
0 0 00 0 1
0 0 10 1 –5
0 1 –41 –3 10
1 –2 6–1 3 –10
0 1 –40 –1 5
0 0 –10 0 –1
0 0 00 0
0 00
0
����� ��#��� ���!�� ���� �����!��� ����������������
�� ���� ������� ��� ���� ������ ���������!���� ���� ������ ��� ���� �����������
��� ���� ������� �� ��� ��� ����� ���� ���� #������ ������������ !������������� �����
���� ��������#���������������������������������������������J���� ��
��� ��������� ������ ������� ��������� ���� ������� ������ ����������� ������� ������ ������ ��� #�� ����� ��� ������� ������� #�� �����������#�����*�� ����������� ����� #�� ���� ��� �� �������
������� � 0������� ���� �����!��� ���������� ��#���
x y Δ Δ2 Δ3 Δ4
1 3010414
2 3424 –36378 –39
3 3802 –75 +178303 +139
4 4105 + 64 –271367 –132
5 4472 – 68 +181299 + 49
6 4771 –19 – 46280 +3
7 5051 –16264
8 5315
���� ���� 27B+� �� ���� ������� ���������� ����� ���� ������������ ��� ::K���:-7��� ������� ����� ��� ����0��������!������#��� 1�-� ��������� ����� �������� �� ������ ��� 2:-� �� ���� ����� ���� � � :� ���� �������� ������ ����� ��� ���������:+/- 3 :- � :+-/��!��������!�����������������!��������������#����������������������������������������������������������������������!������������#��� !���� ����� ����������� ��� ��� ���� � ����� ���� ������ ����������� ���� �!����������� �������
'���������� ���������� ��������������� ����������������������������!���#����������������������4������������������������������������#��������������������������������������������#����������� '������������������������������#����� �������� ���� ��� ��� ��� ����� ��� ������� ���� ������� #�� �����������
3.5 DIFFERENCES OF A POLYNOMIAL
6��� � �� � #�� �� ��������� ��� ���� ���� ������� ��� ����1 2
0 1 2( ) .n n nny x a x a x a x a− −= + + + +�
���� !�� �#���
1 10 1
1 20 1
( ) ( ) [( ) ] [( ) ]
( ) ,
n n n n
n nn
y x h y x a x h x a x h x
a nh x a x a
− −
− −
+ − = + − + + − +
′ ′= + + +
�
�
!���� 1 2, , , na a a′ ′ ′� ���� ���� �!� ������������
���� �#���� �%������ ��� #�� !������ ��
1 20 1( ) ( ) ,n n
ny x a nh x a x a� − −′ ′= + + +�
!����� ���!�� ����� ���� ������ ���������� ��� �� ��������� ��� ���� ���� ������� ���� ��������� ��� ������� �� 2 + � &��������� ���� ������ ���������� !���� #�� ���������������������� 2 7 ������������������������� � ��!����#�� 2
0 ( 1) .a n n h−
&������1�-� A���������������L������� 83
84 0�����1� '����������
����� ���� ���� ���������� �� ���?��� !����� ��� �� �������� 4����� ��� �� 3 + ���
�������������������������������������������������!����#��J�����0������������ �������� ����������� ��� �� ��#������� ������� ���� ������� ��� ���� �� 3 + ����� 3 7 ��� "������������� ���� ������� ���� ���� ��#������� ������� ���������� ����������������������� '���������#������������ ���������������������������������������������������%������������� ��������������������������������������������� �����#������� ���������������� �������#������������� ��� �������������� ��� ���� ������ #����� ������ �������
3.6 NEWTON’S FORMULAE FOR INTERPOLATION
$���� ���� ���� ��� �� 3 + � �������� ��J�� ����� �� �� ����� �� �� ����� �� ��"�� ����� �� ���� �� ��� ��� ��� ��� ��%������ ��� ��� ���� � �� ��������� ��� �������� ������� ������������� ���� ���������������#������������� 6�������������������#���%�������������� ���
0 ,ix x ih= + 0, 1, 2, , .i n= �
&���� ���� � ��� �� ��������� ��� ���� ���� �������� ��� ��� #�� !������ ��
0 1 0 2 0 1
3 0 1 2
0 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
n
n n
y x a a x x a x x x x
a x x x x x x
a x x x x x x x x −
= + − + − − ⎫⎪⎪+ − − − + ⎬⎪
+ − − − − ⎪⎭
�
�
�1�K
'������ �!� ���� �������� ����� �� ��� ���� � ������� ������ ��� ���� ���� ����#������� ������� !�� �#���
2 31 0 0 0 0 0
0 0 1 2 32 31 0
; ; ; ; ; ;2! 3! !
� � � ��
� � � � � �
�
�n
n n
y y y y y ya y a a a a
x x h h h h n
&������ �� �� ��� 3� ��� ��� ��#��������� ���� ���� ���� "�� ���� 8%�� �1�K � �����
2 30 0 0 0
( 1) ( 1) ( 2)( )
2! 3!np p p p p
y x y p y y y� � �− − −= + + + +�
0( 1) ( 2) ( 1)
,!
np p p p ny
n�− − − ++ �
�1�+/
!��������!�� �=�� �������������������� ��� �� ���������������������������������� ���� �� ���������� ��� �� ���� ��� ��#����� �������
��� ���� ���� ������ �������� �� ��������� ���� ������ � �� � #������ ������ ��������� ���� �� !�� ���� 8%�� �1�B � ��� �#���
( 1)0 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ),
( 1)!nn
nx x x x x x
y x y x yn
�+− − −− =
+�
0 �� � nx x �1�++
������� �����������!�������������������������������������� �� ��������������� ������� ����� �� 8%�� �1�++ � ��� �������� �� ���������� C������������
�� ����� �� � �������� ����� ���� �������� �� ���� ��������� �� ������� ����������� �������������� ��� #�� �#������ �� ���� �����!��� !���� 8������� ��� 3 � � #�������=�� ������� ����� ������� +�: �� !�� �#���
2
( ) ( ) ( ) ( )2!
hy x h y x hy x y x′ ′′+ = + + +�
C��������� ���� ����� �������� ��� ��� ������� ��!���� ��� ��� ����� �����
1 1( ) [ ( ) ( )] ( ).y x y x h y x y x
h h�′ ≈ + − =
*���������� ��� ��� �!���� ���M�������������������������������������#����%������ ������ ���� ��������� �������
1D
h�≡ ��� �� 1 1
1
1.n n
nD
h�+ +
+≡
*�� ����� �#���
( 1) 11
1( ) ( ).n n
ny x y x
h�+ +
+≈ �1�+7
8%������ �1�++ � ���� ����������� #�� !������ ��
1( 1) ( 2) ( )( ) ( ) ( )
( 1)!n
np p p p n
y x y x yn
�� +− − −− =+
��1�+1
�� !����� ���� ��� ��� �����#��� ���� ����������'������ ��� ������� ���� ��� �� 8%�� �1�K �� ��� !�� ������� ��� �� ���� ���
0 1 2 1
3 1 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ).
n n n n
n n n
n n n
y x a a x x a x x x x
a x x x x x x
a x x x x x x
−
− −
−
= + − + − −
+ − − − +
+ − − … −
�
��� ���� ������ ������������ �������������� � ���������������� ���� ��#����������� ���� ������ "�� ���� ���� ���� !�� �#���� ������� ���� ������������
2( 1) ( 1) ( 1)( ) ,
2! !n
n n n n np p p p p n
y x y p y y yn
+ + … + −= + ∇ + ∇ + + ∇� �1�+:
!���� �� �� �� 2 �� M������� ���!�� �=� �������� ���������� ����� ��� � � ����� ��� ��� ����
��#������������������������������ ��������������������������������������������������� �� ��� � ���� ��#����� �������
'�� ��� #�� ���!� ����� ���� ������ �� ����� ������� ��� #�� !������ ��
1( 1) ( 2) ( )( ) ( ) ( ),
( 1)!n
np p p p n
y x y x yn
�++ + +− = ∇+
��1�+-
!����� ��� 9� �� 9� ��� ��� �� �� ��� 3� ���
&������1�@� C�!��=��E�����������'���������� 85
86 0�����1� '����������
���� �����!��� �������� ����������� ���� ���� ��� ������ ��������
������� �� E���������#������������!������� ������������!����������� �+ � �� 7:�� � �1 � �� +7/�� � �- � �� 11@�� �� � �B � �� B7/�� 4����� ��� �����!�����#���� ���� ������ ��� � �, �
*�� ���� ���� ���������� ��#���2 3
1 24
96
3 120 120
216 48
5 336 168
384
7 720
� � �x y
4��� �� �� 7� *��� ��� �� +��!�� ����� �� �� +�3� 7�� ����� �� ��� 2� + M7�� &�#������������� ������ ��� �� �� 8%�� �1�+/ � !�� �#���
3 2
1 1 1 1 11 1 2
1 2 2 2 2 2( ) 24 (96) (120) (48)
2 2 6
6 11 6.
x x x x xx
y x
x x x
− − − − −⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠= + + +
= + + +
��� �������� ��, �� !�� �#������ ����� �� �� BM7�� 4����� 8%�� �1�+/ � ������
7 (7/2)(7/2 1) (7/2) (7/2 1) (7/2 2)(8) 24 (96) (120) (48) 990.
2 2 6y
− − −= + + + =
A������ ��#��������� �� ��� � ����� ������� ���� ���� ������! �" �������������������������������������������������������� ������ �������� ����� ��� ������� ������������� ��� ����� ������� ����������� ���� ��������� ��� �� ��#������� ������� ��� �� ���������� ���� #���� ������������ ���������������!����� ����� ������ �������
������� �� I���� C�!��=�� ���!���� ���������� �������� ���� ���� ��
3 3 3 31 2 3 .nS n= + + + +�
*�� ����3 3 3 3 3
1 1 2 3 ( 1)nS n n+ = + + + + + +�4���
31 ( 1) ,n nS S n+ − = +
��3( 1) .nS n� = + ��
'�� �����!�� ����
2 3 3 21
3 2 2
4
( 2) ( 1) 3 9 7,
3( 1) 9 7 (3 9 7) 6 12
6( 1) 12 (6 12) 6.
n n n
n
n
S S S n n n n
S n n n n n
S n n
� � �
�
�
+= − = + − + = + +
= + + + − + + = +
= + + − + =
&���� 5 6 0,n n nS S S� �= = =� ��� �� �������������� ��������� �� ��E�������
1 1,S = 1 8,S� = 21 19,S� = 3
1 18,S� = 41 6.S� =
8%������ �1�+/ � �����
( 1)( 2) ( 1) ( 2) ( 3)1 ( 1) (8) (19) (18)
2 6
( 1) ( 2)( 3) ( 4)(6)
24
nn n n n n
S n
n n n n
− − − − −= + − + +
− − − −+
� � �
4 3 2
2
1 1 1
4 2 4
( 1).
2
n n n
n n
= + +
+⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
��������� N����������� ���������� ��������� ��������� �� ���� �����!����#���
�� ��� ������� ��� �
+- /�7-,,+K/
7/ /�1:7/7/+
7- /�:77@+,1
1/ /�-
1- /�-B1-B@:
:/ /�@:7B,B@
A������� ���� ������ ��� ��� 1,O�
&������1�@� C�!��=��E�����������'���������� 87
88 0�����1� '����������
���� ���������� ��#��� ��
x sin x Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5
15 0.25881900.0832011
20 0.3420201 –0.00260290.0805982 –0.0006136
25 0.4226183 –0.0032165 0.00002480.0773817 –0.0005888 0.0000041
30 0.5 –0.0038053 0.00002890.0735764 –0.0005599
35 0.5735764 –0.00436520.0692112
40 0.6427876
��� ���� ��� 1,O��!�� ����C�!��=�� #�� !���� ���������� �������!��� ��� �� :/�� � � 1,�� ����� �����
38 40 20.4.
5 5nx x
ph
− −= = = − = −
4����� ����� 8%�� �1�+: �� !�� �#���
0.4( 0.4 1)(38) 0.6427876 0.4 (0.0692112) ( 0.0043652)
2
( 0.4) ( 0.4 1) ( 0.4 2)( 0.0005599)
6
( 0.4) ( 0.4 1) ( 0.4 2) ( 0.4 3)(0.0000289)
24
( 0.4) ( 0.4 1) ( 0.4 2) ( 0.4 3)( 0.4 4)(0.0000041)
120
� � �� � � �
� � � � �� �
� � � � � � ��
� � � � � � � � ��
y
�� � � � � � � �0.6427876 0.02768448 0.00052382 0.00003583 0.00000120
0.6156614.
� � � � �
�
������� �� E��� ���������� ���� �� ���� �����!��� ��#���
0 1
1 3
2 9
3 –
4 81
x y
8������ !��� ���� ������� �������� ���� 1�� �� 7B�
&���� ����� ������ ���� ������ ���� ����� ����� ��� #�� ������������ #�� ������� ������� ��������� �� ��� 4��� ����� �� /�� &�#����������� �� �� 2� +� ������������� !�� ���
4 3 20 0 0 0 04 6 4 0.E y E y E y Ey y− + − + =
&��� � � ��� �� ���� ���� �#���� �%������ #�����
4 3 2 1 04 6 4 0.y y y y y− + − + =&�#��������� ��� ���� ���� ��� ��� ��� �� ���� �#����� !�� �#���
��� �� 1+�
���� ��#������� ������� ��� 1�� ��� ���� ������ ���������� �1 � ��� 7B������ ������ ��������������������������������������������1�� ���������������#���������� ��������� �� �� ��� ������ 1�
��������� ���� ��#���#���!������� �������������� ����� ����/�+/�������/�1/�tan
0.10 0.1003
0.15 0.1511
0.20 0.2027
0.25 0.2553
0.30 0.3093
x y x=
E�� � �� �� /�+7 �# �� /�7@� �� �� /�:/� �� �� �� /�-/�
���� ��#��� ��� ���������� ��x y Δ Δ2 Δ3 Δ4
0.10 0.10030.0508
0.15 0.1511 0.00080.0516 0.0002
0.20 0.2027 0.0010 0.00020.0526 0.0004
0.25 0.2553 0.00140.0540
0.30 0.3093
�� �����������/�+7 ��!�������/�+7 � /�+/ 3 ��/�/- ��!���������� 0.4.p =4����� 8%�� �1�+/ � �����
0.4(0.4 1)tan (0.12) 0.1003 0.4(0.0508) (0.0008)
20.4(0.4 1) (0.4 2)
(0.0002)6
0.4(0.4 1) (0.4 2) (0.4 3)(0.0002)
24
0.1205.
−= + +
− −+
− − −+
=
&������1�@� C�!��=��E�����������'���������� 89
90 0�����1� '����������
�# ��� ���� �� �/�7@ �� !�� ���� /�7@� �� /�1/� 3� ��/�/- �� !����� ������� �� 2/�,�� 4����� 8%�� �1�+: � �����
0.8( 0.8 1)tan (0.26) 0.3093 0.8 (0.0540) (0.0014)
20.8 ( 0.8 1) ( 0.8 2)
(0.0004)6
0.8 ( 0.8 1) ( 0.8 2) ( 0.8 3)(0.0002)
240.2662.
� � �
� � �
� � � � ��
� � � � � � ��
�
L��������� ��� �� ���� ����� �� � �#����� !�� �#���
�� ��� �/�:/ � /�:7:+�� ��
�� ��� �/�-/ � /�--:1�
������������������� �������� ��� ����������������������� ��� �/�+7 �� ��� �/�7@ �����/�:/ ��������/�-/ ������������������/�+7/@��/�7@@/��/�:77,����/�-:@1�0�������� ��� ���� �������� ��� ������� ������� ���!�� ����� �� ���� �������!������� ������ ��� ����������� � ���� �������� �#������ ���� ������� ��������� !�������� ���� ������!�������� ��������������������� � ���������������%�������������#������� ������� ���������� ����������� ���� �������� ������� ����� ��� �� ��#��������������������������������������������������������������������������#�������� !����� #�� ��������P��������� ������������ ��� #�� �������� ���� ���������������
3.7 CENTRAL DIFFERENCE INTERPOLATION FORMULAE
'� ���� ��������� �������� !�� �������� ��� ���������� C�!��=�� ���!���� ��#�� !�������������������������!����������������#������� ������������������� #������ ��� ��� �������������� ��� ��#������� �������� *�� ������� �� ���������� �������� �������� ���� ������� ���������� �������� !����� ���� �����������������������������������������������#���������������������������������������� δ !��� �������� ���������� �� &������ 1�1�1�
����������������������������������������������������������&�������(������ ��� 8�������� ������ !���� #�� ���������� �� &������� 1�B�7�� 1�B�1� ��1�B�:�� ��������������$����=�� ��������� ���������� ��&������1�B�+�#���!�������� �������� ���� �� ������������ ���������� ����
3.7.1 Gauss’ Central Difference Formulae
'� ����� �������� !�� !���� �������� $����=� ���!���� ��� #�� !���� ��������
Gauss’ forward formula
*�� �������� ���� �����!��� ���������� ��#��� �� !����� ���� ������� �������� ���� �� ���� ��������� ��� ��� ������������ ��� �� �� ���
�������������������� �� ���� ������� ������ ���� ���� ���!� ����#���1�@����� ������� ���� ����������� ��� ���� ���
2 3 40 1 0 2 1 3 1 4 2� � � �
� � �
� � � � � ��py y G y G y G y G y �1�+@
!���� #��� #��� "� ����� ��� #�� ��������� ���� �� �� ���� ����� ����� ��� #����������� �� ������� �������� ���������������������������������� ��� �����!��
Table 3.6 Gauss’ Forward Formula
x y Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6
−3x −3y
−Δ 3y
−2x −2y −Δ23y
−Δ 2y −Δ33y
−1x −1y −Δ22y −Δ4
3y
−Δ 1y −Δ32y −Δ5
3y
0x 0y −Δ21y −Δ4
2y −Δ63y
Δ 0y −Δ31y −Δ5
2y
1x 1y Δ20y −Δ4
1yΔ 1y Δ3
0y
2x 2y Δ21y
Δ 2y
3x 3y
0�������
0
0
2 30 0 0 0
(1 ) , using relation (3.8a)
( 1) ( 1) ( 2)
2! 3!
pp
p
y E y
y
p p p p py p y y y
�
� � �
=
= +
− − −= + + + +�
&���������������������������8%���1�+@ ���������#��������������������� ���������� ������������� ����������� *�� ����
2 2 11 0
2 10
2 2 30
2 2 30 0 0 0
2 3 4 50 0 0 0
(1 )
(1 )
( )
y E y
y
y
y y y y
y y y y
� �
� �
� � � �
� � � �
� � � �
−−
−
=
= +
= − + − +
= − + − +
= − + − +
�
�
�
&������1�B� 0������A���������'�����������E������ 91
92 0�����1� '����������
3 3 4 5 61 0 0 0 0
4 4 22 0
4 20
4 2 30 0 0 0
4 5 6 70 0 0 0
(1 )
( 2 3 4 )
2 3 4
y y y y y
y E y
y
y y y y
y y y y
� � � � �
� �
� �
� � � �
� � � �
−
−−
−
= − + − +
=
= +
= − + − +
= − + − +
�
�
�
4���� 8%�� �1�+@ � ������ ���� �������
2 30 0 0 0
( 1) ( 1) ( 2)
2! 3!
p p p p py p y y y� � �− − −+ + +
40
( 1) ( 2) ( 3)
4!
p p p py�− − −+ +�
2 3 4 50 1 0 2 0 0 0 0
3 4 5 63 0 0 0 0
4 5 6 74 0 0 0 0
( )
( )
( 2 3 4 )
y G y G y y y y
G y y y y
G y y y y
� � � � �
� � � �
� � � �
= + + − + − +
+ − + − +
+ − + − + +
�
�
� � �1�+B
8%������ ������������������������������������ ��������#�������������8%�� �1�+B �!�� �#���
1
2
3
4
,
( 1),
2!
( 1) ( 1),
3!
( 1) ( 1) ( 2).
4!
G p
p pG
p p pG
p p p pG
= ⎫⎪⎪− ⎪=⎪⎪⎬+ − ⎪=⎪⎪⎪+ − −= ⎪⎭
�1�+,
Gauss’ backward formula
����� ������������ ���������������!����� ������ ���� ���� ���!� ����#���1�B�
Table 3.7 Gauss’ Backward Formula
x y Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6
� �
−1x −1y
−Δ 1y −Δ32y −Δ5
3y
0x 0y −Δ21y −Δ4
2y −Δ63y
Δ 0y −Δ31y −Δ5
2y
1x 1y
� �
$����= #�� !���� ������� ��� ���������� #�� ������� ��� #�� ��� ���� ���2 3 4
0 1 1 2 1 3 2 4 2py y G y G y G y G y� � � �− − − −′ ′ ′ ′= + + + + +� �1�+K
!���� 1 2, ,G G′ ′ � ����� ��� #�� ��������� E����!��� ���� ���� ���������� ��� $����= ���!���� ������� !�� �#���
1
2
3
4
,
( 1),
2!
( 1) ( 1)
3!
( 2) ( 1) ( 1)
4!
G p
p pG
p p pG
p p p pG
′ = ⎫⎪
+ ⎪′ = ⎪⎪
+ − ⎪′ = ⎬⎪⎪+ + −′ = ⎪⎪⎪⎭�
�1�7/
��������� E������������!�����#��������������������������������$����=���!���� �������
1.00 2.7183
1.05 2.8577
1.10 3.0042
1.15 3.1582
1.20 3.3201
1.25 3.4903
1.30 3.6693
xx e
*�� ����1.17 1.15 (0.05),p= +
&������1�B� 0������A���������'�����������E������ 93
94 0�����1� '����������
!����� �����0.02 1
.0.05 4
p = =
���� ���������� ��#��� ��� ����� #���!�
x e x Δ Δ2 Δ3 Δ4
1.00 2.71830.1394
1.05 2.8577 0.00710.1465 0.0004
1.10 3.0042 0.0075 00.1540 0.0004
1.15 3.1582 0.0079 00.1619 0.0004
1.20 3.3201 0.0083 0.00010.1702 0.0005
1.25 3.4903 0.00880.1790
1.30 3.6693
I���� �������� �1�+@ � ��� �1�+, �� !�� �#���
1.17 2 (2/5)(2/5 1)3.1582 (0.1619) (0.0079)
5 2
(2/5 1) (2/5) (2/5 1)(0.0004)
6
3.1582 0.0648 0.0009
3.2221.
e−= + +
+ −+
= + −
=
3.7.2 Stirling’s Formula
�� ��� ���� ��� ��� $����=� ���!���� ��� #�� !���� ��������� !�� �#���
3 32 221 0 1 2
0 1( 1)
2 2 3! 2py y y yp p p
y y p y� � � ��− − −
−+ +−= + + +
2 24
2( 1)
4!
p py� −
−+ +� �1�7+
E������ ����� �� 8%�� �1�7+ � ��� ������� $������=� � ������
3.7.3 Bessel’s Formula
����� ��� �� ����� ������� ������� ���� ���������� ������������� ��� ��� ����� �������������� ��� ���!� �� ���� �����!��� ��#���� !����� ���� #��� ���� ��� �������� �������� ��� ���� ������� ���� ��� #�� �� ��
� �
−1x −1y
0
1
x
x
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
0
1
y
yΔ 0y
−⎛ ⎞Δ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠
21
20
y
y −Δ31y
−
−
⎛ ⎞Δ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠
42
41
y
y −Δ52y
−
−
⎛ ⎞Δ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ⎝ ⎠
63
62
y
y
� �
4���� (�����=� ������ �� #�� ������� �� ���� ���2 2
30 1 1 01 0 2 3 1
4 42 1
4
2 2
2
py y y y
y B y B B y
y yB
� �� �
� �
−−
− −
+ += + + +
++ +�
�
2 231 0
0 1 0 2 3 1
4 42 1
4
1
2 2
2
y yy B y B B y
y yB
� �� �
� �
−−
− −
+⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
++ +� �1�77
I������������������������&������1�B�+��������$����=����!������������!��#���
1
2
3
4
1,
2
( 1),
2!
( 1) ( 1/2),
3!
( 1) ( 1) ( 1),
4!
B p
p pB
p p pB
p p p pB
⎫+ = ⎪⎪⎪− ⎪=⎪⎪⎪− − ⎬= ⎪⎪⎪+ − − ⎪=⎪⎪⎪⎭�
�1�71
4����� (�����=�� ������������ ������� ��� #�� !������ ��
2 231 0
0 0 1
4 42 1
( 1) ( 1) ( 1/2)
2! 2 3!
( 1) ( 1) ( 2)
4! 2
py yp p p p p
y y p y y
y yp p p p
� �� �
� �
−−
− −
+− − −= + + +
++ − −+ +� �1�7:
&������1�B� 0������A���������'�����������E������ 95
96 0�����1� '����������
3.7.4 Everett’s Formula
����� ��� �� ����������� ����� ������������ ������� ��� ����� ���� ���� ����������������� ��� ���!� �� ���� �����!��� ��#���
0x 0y −Δ21y −Δ4
2y −Δ63y
– – – –
1x 1y Δ20y −Δ4
1y −Δ62y
4���� ���� ������� ���� ���� ���
2 4 2 40 0 2 1 4 2 0 1 2 0 4 1py E y E y E y F y F y F y� � � �− − −= + + + + + + +� � �1�7-
��������������� 0 0 2 2 4 4, , , , , ,E F E F E F � ���#�����������#��������������� ��� �� ���� ��������� ������� ��� !�� �#���
0
2 2
2
2 2 2 2
4
1 ,
( 1 ),
3!
( 1 ) ( 2 ),
5!
E p q
q qE
q q qE
= − =
−=
− −=
�
0
2 2
2
2 2 2 2
4
,
( 1 ),
3!
( 1 ) ( 2 ),
5!
F p
p pF
p p pF
= ⎫⎪⎪−= ⎪⎪⎬
− − ⎪= ⎪⎪⎪⎭�
�1�7@
4���� 8������=�� ������� ��� ����� #�
2 2 2 2 2 22 4
0 1 2
2 2 2 2 2 22 4
1 0 1
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
3! 5!
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )
3! 5!
pq q q q q
y qy y y
p p p p ppy y y
� �
� �
− −
−
⎫− − −= + + + ⎪⎪⎬⎪− − −+ + + + ⎪⎭
�
�
�1�7B
!���� %� �� +� 2� ��
3.7.5 Relation between Bessel’s and Everett’s Formulae
������������������������������������������������������#��������������� �������������#���������#�������������� ������������!��������!����(�����=� ������
�
2 231 0
0 0 1
4 42 1
( 1) ( 1) ( 1/2)
2! 2 3!
( 1) ( 1) ( 2)
4! 2
py yp p p p p
y y p y y
y yp p p p
� �� �
� �
−−
− −
+− − −= + + +
++ − −+ +�
2 22 21 0
0 1 0 0 1
4 42 1
( 1) ( 1) ( 1/2)( ) ( )
2! 2 3!
( 1) ( 1) ( 2)
4! 2
y yp p p p py p y y y y
y yp p p p
� � � �
� �
−−
− −
+− − −= + − + + −
++ − −+ +�
����������������������������������� �� �������� ��!����������������������������������� ������������
20 1
21 0
2 2 2 22 2
0 1 1 0
( 1) ( 1) ( 1/2)(1 )
4 6
( 1) ( 1) ( 1/2)
4 6
( 1 ) ( 1 )
3! 3!
pp p p p p
y p y y
p p p p ppy y
q q p pqy y py y
�
�
� �
−
−
− − −⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥⎣ ⎦− − −⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
− −= + + + + +
�
�
� �
!����� ��� �����=� � ������ ��������� ������ ������ ������������ 4���� !������ �� ������� ��� ���������� ��������� ����� 8������=�� ������� ��������� ����������� ����������� ��� �%�������� ��� (�����=�� ������� ��������� ������ �����������������'����������!����(�����=������������#��������������8������=��
3.8 PRACTICAL INTERPOLATION
'� ���� ��������� ��������� !�� ����� �������� ���� ������������ �������� ��������������������������� ���������%�����������*������������������������������ ���� ���� ��������� ������5
�� E����������������������#�������������������#��������������C�!��=����!���� ��� #�� !���� ������������ �������� ����� ��� #�� �����������������
��� E����������������������������������������������������������!���������� ��������
&������=�� ������� ��� 1 1– ,
4 4p≤ ≤
� � � � ��
(�����=�� ������� ����1 3
.4 4
p≤ ≤
'�����#�����!��������� �������������������������������#��������(�����=�������� ��� �#���� ����� ����� ���� ��������� ���� &������=�� �������� '�� ��������� ����������� ���� ���� ���� @/� �� ��������� ���� 8������=�� ������������� #�� ����������
���������� ���������!�����#�������������������������������������%��������������� ��� ��� E��� ���� ������ ��� ��� !��� �� �� /�@::�
&������1�,� L���������'���������� 97
98 0�����1� '����������
0.61 1.840431
0.62 1.858928
0.63 1.877610
0.64 1.896481
0.65 1.915541
0.66 1.934792
0.67 1.954237
xx y e=
���� ��#��� ��� ����������� ��
x y = ex Δ Δ2 Δ3 Δ4
0.61 1.8404310.018497
0.62 1.858928 0.0001850.018682 0.000004
0.63 1.877610 0.000189 –0.0000040.018871 0
0.64 1.896481 0.000189 0.0000020.019060 0.000002
0.65 1.915541 0.000191 0.0000010.019251 0.000003
0.66 1.934792 0.0001940.019445
0.67 1.954237
0�������
0.644 0.640.4.
0.01p
−= =
���� ������ ���������� �����#����� ��� #����&������=�� ���(�����=�� �������� ��������#���� ��� ����� &������=�� ��������!�� �#���
0.018871 0.019060 0.16(0.644) 1.896481 0.4 (0.000189)
2 2
1.896481 0.0075862 0.00001512
1.904082,
y+= + +
= + +
=
!�����(�����=�� ������� �����0.4(0.4 1) 0.000189 0.000191
(0.644) 1.896481 0.4(0.019060)2 2
1.896481 0.0076240 0.0000228
1.904082.
y� �
� � � �
� � �
�
I���� 8������=�� �������� !�� ���� ����
0.6 (0.36 1)(0.644) 0.6 (1.896481) (0.000189)
20.4 (0.16 1)
0.4 (1.915541) (0.000191)2
1.1378886 0.000012096 0.7662164 0.000010696
1.904082.
�
� �
�
� �
� � � �
�
y
'� ���� ���� �#���� ������� ���� ������ �#������ ��� �������� ��� ���� ������� �������'�� ��� �!� ���� ����#��� ����� ���� ���� ������� ��������� !����� ������
�������� �� 3 + � ������ ��� ���%���� 4���� ���� �������� ������������ ��������������� ����� ���� ��������� ���� ��������� ����� ��� ���� ���� ���������� '������������� �����!�� ����� ���� ���� ������������ �������� ������� ����� ���� ������������������������ ��� ������������ �� �����#�����������!�����!�� ���� �����������������������������/�@::����+�K/:/,7���������������!��������������������
������� ��� E��� ���� ��#��� ���8������ 1�+/�� ���� ���� ������ ��� ���!���� �� /�@1,�� ����� &������=�� ��� (�����=�� ��������
'�� !��� ������� �� &������ 1�,� ����� &������=�� ������� ������ ���� ������������������� ��� 2+M:�������+M:�����(�����=�� ������� ���������������� ���+M:������� 1M:�� '������� ������� ������ ���������!�� ����������� ����� ��� ��������� ��� ����� �� ���������� ���� ������������ ��%�������
��� ���� &������=�� �������� !�� ������ ��� �� /�@:� ��� ��� �� /�@1,� ��� ������ �� 2/�7�� 4����
0.018871 0.019060 0.04(0.638) 1.896481 0.2 (0.000189)
2 2
1.896481 0.0037931 0.0000038
1.892692,
y+= − ⋅ +
= − +
=
!����� ��� �������� ��� ���� ����� ������� ������E���(�����=�� ��������!�� ������� ��� �� /�@1�� ��� �� /�@1,� ��� ������� �� /�,�
4����� !�� �#���
0.8(0.8 1)(0.638) 1.877610 0.8(0.018871) (0.000189)
2
1.877610 0.0150968 0.0000151
1.892692, as before.
y−= + +
= + −
=
������� �� �������������������������������������������!�����#����E������ ������ ��� ���!�� 1.7475.x =
&������1�,� L���������'���������� 99
100 0�����1� '����������
x y = e–x Δ Δ2 Δ3 Δ4
1.72 0.1790661479–17817379
1.73 0.1772844100 177285–17640094 –1762
1.74 0.1755204006 175523 13–17464571 –1749
1.75 0.1737739435 173774 22–17290797 –1727
1.76 0.1720448638 172047 15–17118750 –1712
1.77 0.1703329888 170335–16948415
1.78 0.1686381473
'�� �������#������� ����� ��!������ ��������������� �� �����#���� ��#���� ���J�����#��!����������������������������������������������������������������������� ������ �� ���� ����� ��� ������ ������������ ���� �#��� +B1BB:������� #�� �� �� ��� /�////+B1BB:� �� ���� �����������
��� ������� � �+�B:B- �� !�� ������� ��� �� +�B:� ��� �� �� +�B:B-� ��� ������ �� 1M:��*�� ������ �#���� ���� �������� #�� ����� #���� (�����=�� ��� 8������=���������
�� '�� !�� ���� (�����=�� �������� ���� ������ ����������� ���� ��� #�� �� �����������������������������@/�����������������4����(�����=�������� �����
3(1.7475) 0.1755204006 (0.0017464571)
4(3/4)(3/4 1) 0.0000175523 0.0000173774
2 2
0.1755204006 0.00130984284 0.00000163734 0.00000000137
0.1742089218, correct to ten decimal places.
y = −
− ++
= − − +
=
��� >�������������������!������8������=������������������������������������ !�� �#���
.
0.04388010015 0.00000068564 0.13033045764 0.00000095033
(1/4)(1/16 1)(1.7475) (0.1755204006) (0.0000175523)
4 63 (3/4)(9/16 1)
(0.1737739435) (0.0000173774)4 6
0.1742089218, as before
y
− + −
1 −= +
−+ +
=
=
����� ������� ��������� ���� ������� ��� &������ 1�B�-� ����� 8������=�� ������������������������������������������%�����������(�����=����������������������� ������ ������������ *��� ���� ������� ���������� �����#����� #��������������� ������!��� ������������7/������ ��������� ��8������=�� ������!���� #�� ������� ��� ������ ����� ��� ����� ���� ���� ���� ������ �����������
3.9 INTERPOLATION WITH UNEVENLY SPACED POINTS
'� ����������������������!��������������� ������������ ������������������������� ��� ���������� ������ ���������� ���� �� ���� �������� (���� ��� ���!��� �!������������������������������������%�������������������������������������#��� ��� #�� �%������ �������� '�� ��� ���������� ������#��� ��� ����� �������������������!���� ��%������ ������� ������� ��� ���� ��������*�� ��������� �� �������������������������������������������������� �6������=�������������������� !����� ����� ���� ���� ������� �������� ��� � 4�����=�� ������������������!������������������6������=�������������� �C�!��=��������������������������� !����� ����� !���� ���� ������� �������� ����������� ����� ��� �=� ����� ��� ������������ #�� ���������
3.9.1 Lagrange’s Interpolation Formula
6������ �#������������������������#��� �� 3 + � ����� �� ���� �������� ��� � �$���� ���� �� 3 + � ����� ����� �� �� ����� �� ��"�� ����� �� �!����� ���� ������� ��� ����� ��� ����������� #�� �%������ �������� !�� !���� ��� ���� �� ��������� ��������� ��� ���� ���� �� ����� ����
( ) ( ) ,n i i iL x y x y= = 0, 1, ,i n= � �1�7,
(������ �������� ���� ������� �������� !�� ������ �������� �� ������� �������J��������%����������������������������������������� �����������������!�������������� ����������� ��&������������������������ ������������������ #�
011 0 1
0 1 1 0( )
x xx xL x y y
x x x x
−−= +− −
0 0 1 1
1
0
( ) ( )
( ) ,i ii
l x y l x y
l x y=
= +
=∑ �1�7K
!����
10
0 1( )
x xl x
x x
−=−
�� 01
1 0( ) .
x xl x
x x
−=−
�1�1/
&������1�K� '�����������!����I������&������L���� 101
102 0�����1� '����������
E��� 8%�� �1�1/ �� ��� ��� ���� ����
0 0( ) 1,l x = 0 1( ) 0,l x = 1 0( ) 0,l x = 1 1( ) 1.l x =
������ ��������� ��� #�� ���������� �� �� ���� �������� ���� ��
1, if( )
0, if .i ji j
l xi j
=⎧= ⎨ ≠⎩�1�1+
��� ���� � �� 8%�� �1�7K � ����� ����� ���� ��������
101
0 10 1 1 00
( ) ( ) ( ) 1.ii
x xx xl x l x l x
x x x x=
−−= + = + =− −∑ �1�17
8%������ �1�7K � ��� ������������ � ��� ���� � ������ �� ������� �� ����!�� ����� ����� �� �� ����� �� � '� �� ������� !���� ���� �������� � ��� ���� � ������ � � ������� �������� ������ ����� ����� �� �� ����� �� � �� ����� �� ��!������ ��
2
20
0 2 0 11 20 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ),
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i ii
L x l x y
x x x x x x x xx x x xy y y
x x x x x x x x x x x x
==
− − − −− −= + +
− − − − − −
∑
�1�11 !����� ���� ���� � �������� ���� ��������� ����� �� 8%��� �1�1+ � ��� �1�17 �
��� ������� ���� ������� �������� ���
20 1 2( ) n
n nL x a a x a x a x= + + + +� �1�1:
#�� ���� �������� ��������� ��� ���� ���� ������� ����� ����� ��������� ����� �8%�� �1�7, � �������� ���� ����� �� �� � ���� �� � ���� ����������� &�#�������������� �������� �� 8%�� �1�1: �� !�� �#���� ���� ������ ��� �%������
20 0 1 0 2 0 0
21 0 1 1 2 1 1
22 0 1 2 2 2 2
20 1 2 .
nn
nn
nn
nn n n n n
y a a x a x a x
y a a x a x a x
y a a x a x a x
y a a x a x a x
⎫= + + + +⎪⎪= + + + + ⎪⎪⎪⎬= + + + +⎪⎪⎪⎪= + + + + ⎪⎭
�
�
�
�
�
�1�1-
���� ���� ��� 8%�� �1�1- � !���� ����� �� �������� ��
20 0 0
21 1 1
2
1
10.
1
n
n
nn n n
x x x
x x x
x x x
≠
�
�
� � � �
�
�1�1@
���� ������ ��� ����� ���������� �������&������ ���=� ����������� ��
0 1 0 2 0 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).n n n nx x x x x x x x x x x x−− − − − − −� � �
8�������� ���� ���� "�� ��� ���� 8%�� �1�1: � ��� �1�1- �� !�� �#���
2
20 0 0 0
21 1 1 1
2
( ) 1
1
0,1
1
nn
n
n
nn n n n
L x x x x
y x x x
y x x x
y x x x
=
�
�
�
� � � � �
�
�1�1B
!����� ���!�� ��������� � ��� �� ������ ��#������ ��� ���� ���� ����"�� ���� 4���!�� !����
0
( ) ( ) ,n
n i ii
L x l x y=
=∑ �1�1,
!���� ���� � ���� ���������� �� �� ��� ������� �� &��������� � �� ��� ���� �� �� /�� +�7�� "�� ��� 8%�� �1�17 � �����
( ) 0 if,
( ) 1 for all
i j
j j
l x i j
l x j
= ⎫≠ ⎪⎬
= ⎪⎭!����� ���� ���� ���� ��� 8%�� �1�1+ � 4���� ���� � ��� #�� !������ ��
0 1 1 1
0 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i n
ii i i i i i i n
x x x x x x x x x xl x
x x x x x x x x x x− +
− +
− − − − −=
− − − − −� �� �
�1�1K
!����� �#�������� ���������� ���� ��������� �1�1+ �'�� !�� �!� ���
1 0 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),n i i i nx x x x x x x x x x x x x�� � �
� � � � � � �� � �1�:/
���1 1
0 1 1 1
( ) [ ( )]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
in i n x x
i i i i i i i n
dx x
dx
x x x x x x x x x x
� �� � �
� �
��
� � � � � �� � �1�:+
&������1�K� '�����������!����I������&������L���� 103
104 0�����1� '����������
��� ����� 8%�� �1�1K � #�����
1
1
( ) .( )( ) ( )
ni
i n i
xl x
x x x
���
�
�
� �
�1�:7
4���� 8%�� �1�1, � �����
1
10
( )( ) ,
( ) ( )
nn
n ii n ii
xL x y
x x x
���
��
�
� �� �1�:1
!�����������������������=������ ��� �� ������ ��������������� ���� ���������� 8%�� �1�1K �� ���� ������� �������� ����� ��� � � ���������� '����������� ��� �� �� 8%�� �1�:1 �� !�� �#���� ���� ������
1
10
( )( ) ,
( ) ( )
nn
n ii n ii
yL y x
y y y
���
��
�
� �� �1�::
!����� ��� ������� ���� ������� ����� ��� ��'�������������������!����������6����������������������������������%���
��� ������ ������!�� ������ ���� ��������� 6�� ( )nL x #�� �� ���������� ����������� ���� �� ��� ������� ��� ��������� �� ��� ����� ����
( ) ,n i iL x y= 0, 1, 2, , .i n= �
���� ���� ��������� ������� #��'�� �� !����
( ) ( ) ( )n nM x L x L x= −�������� ��� ���� �� 3 + � ����� , 0, 1, , .ix i n= � 4���� !�� ����
( ) 0,nM x ≡!����� ���!�� ����� ���� �� ( )nL x ���� ���������
���)��� ��������� ��� ����� ������� ��� ����� ���� ������������ ��8%�� �1�:: ���� ������� ��������� E�������� ��� ��� ���� ������� �� ����� ��� ��� �������#��� ����������%���������%���� ������������ �����#������� 0 1, , , nx x x… �������#��� ������� I���� ����� ������� ��� ���� ��!������ ��������� ��� ����� ���� �������������� ��������� ��� ������� ��� ������� ��� ��������
���� �����!��� �������� ����������� ���� ���� ��� 6������=�� �������
������� �� 0������ ������������ ������� ��� �� �� 10log x ����1//��7�:BB+ ���1/:��7�:,7K ���1/-��7�:,:1 �����1/B��7�:,B+ � E��������1/+�
E��� ������� ����� �� 8%�� �1�:1 �� !�� �#���
10( 3) ( 4) ( 6) (1) ( 4) ( 6)
log 301 (2.4771) (2.4829)( 4) ( 5) ( 7) (4) ( 1) ( 3)
(1) ( 3) ( 6) (1) ( 3) ( 4)(2.4843) (2.4871)
(5) (1) ( 2) (7) (3) (2)
1.2739 4.9658 4.4717 0.7106
2.4786.
− − − − −= +− − − − −− − − −+ +−
= + − +
=
������� ��� '�� ��� �� :�� ��� �� +7�� ��� �� +K� ��� ��� �� B�� ���� ��I���� 8%�� �1�:: �� !�� ����
( 5) ( 12) (3) ( 12) (3) ( 5)(1) (3) (4)
( 8) ( 15) (8) ( 7) (15) (7)
1 27 4
2 14 7
1.86.
x− − − −= + +− − −
= + −
=
���� ������� ������ ��� 7�/� ����� ���� �#���� ������� !���� �#������ ���� ����������� ��� � �� ��� 3� 1�
������� ��� E��� ���� 6������� ������������ ��������� ��� ������� 7������������������������ � � � �������#�����������!�����#�������������4���� �������� ���� ������ ��� �� 7�B�
ln
2 0.69315
2.5 0.91629
3.0 1.09861
x y x=
*�� ����
20
( 2.5) ( 3.0)( ) 2 11 15.
( 0.5) ( 1.0)
x xl x x x
− −= = − +− −
&���������!�� ���
21( ) (4 20 24)l x x x= − − + �� 2
2 ( ) 2 9 10.l x x x= − +
4���
2 22
2
2
( ) (2 11 15) (0.69315) (4 20 24) (0.91629)
(2 9 10) (1.09861)
0.08164 0.81366 0.60761,
L x x x x x
x x
x x
= − + − − +
+ − +
= − + −
!����� ��� ���� ��%������ %��������� ���������L������ �� �� 7�B�� �� ���� �#���� ���������� !�� �#���
22ln 2.7 (2.7) 0.08164 (2.7) 0.81366 (2.7) 0.60761 0.9941164.L≈ = − + − =
������� ������ ��� �� 7�B � /�KK17-+,�� ��� ����
| Error | 0.0008646.=
&������1�K� '�����������!����I������&������L���� 105
106 0�����1� '����������
������� ��� ���� ������ �� �� �� �� ��� ��#������� #���!
sin
0 0
/4 0.70711
/2 1.0
x y x
�
�
=
I���� 6������=�� ������������ �������� ���� ���� ������ ��� �� ��M@ �
*�� ����
( /6 0) ( /6 /2) ( /6 0) ( /6 /4)sin (0.70711) (1)
6 ( /4 0) ( /4 /2) ( /2 0) ( /2 /4)
8 1(0.70711)
9 9
4.65688
9
0.51743.
� � � � � � �
� � � � � �
− − − −≈ +− − − −
= −
=
=
������� ��� I����6������=����������������������������������������������� � �� � ���� ���� �����!��� ��#��
0 12
1 0
3 12
4 24
x y
−
&��� ����/ !�� ����+� ��� �����!�� ���� � 2 + ��� �� ������� 6������ ��� �� 2 + (�� ����� (�� � �� �M�� 2 + �� *�� �!� ��#������ ���� ������� ��� �� ��� (�� �
( )
0 12
3 6
4 8
x R x
�������� 6������=�� ������� ��� ���� �#���� ��#���� !�� ���
2
( 3) ( 4) ( 0) ( 4) ( 0) ( 3)( ) (12) (6) (8)
( 3) ( 4) (3 0) (3 4) (4 0) (4 3)
( 3) ( 4) 2 ( 4) 2 ( 3)
5 12.
x x x x x xR x
x x x x x x
x x
− − − − − −= + +− − − − − −
= − − − − + −
= − +
4���� ���� ��%������ ��������� ������������ ��� � �� � ��� ����� #�2( ) ( 1) ( 5 12).y x x x x= − − +
3.9.2 Error in Lagrange’s Interpolation Formula
8%�������1�B ����#�����������������������������������6������������������������� ���� ���� ������ ��� �������� !����� ����� ��������� ������������ �������� �� ��� ��3+ � �� F�� �G� *��� ����������� ����
( 1)1( )( ) ( ) ( ) ( ),
( 1)!nn
n nx
y x L x R x yn
��
��� � �
�
a b�< < �1�:-
��� ���� %������� ���� !����
[ , ]max | ( ) |L na b
E R x= �1�:@
��� #�� �� �� ��� �� �������� ��� ������ E�������� ��� !�� ������ ����
( 1)1| ( ) | ,n
ny M�++≤ a b�≤ ≤ �1�:B
���
11
[ , ]max | ( ) |
( 1)!n
L na b
ME x
n��
��
��1�:,
���� �����!��� �������� ����������� ���� ���������� ��� ���� ������
������� ��� 8�����������������������������������#��������8����� 1�+-�&��� �� �� �� ��� !�� �#��� 2 31/ , 1/ and 2/ .y x y x y x′ ′′ ′′′= = − = '�� �����!�
����� 3( ) 2/ .y � �′′′ = ������������������������������ �� ����������������������� ���������� �� F7� 1G� 4���
3
( 2) ( 2.5) ( 3) 2( ) ,
6nx x x
R x�
− − −= 2 3�< <
(��
3 3
1 1 1.
82�< =
*�� �� �� 7�B�� !�� ���������� �#���
(2.7 2) (2.7 2.5) (2.7 3) 2 0.7 0.2 0.3| ( ) | 0.00175,
6 8 3 8nR x− − − × ×≤ = =
×
!����� ������� !���� ���� ������� ������ ����� �� 8������ 1�+-�
������� ��� 8�����������������������������������������8������1�+@�
&��� � �� � �� �� ��� !�� ����
( ) cos ,y x x′ = ( ) sin ,y x x′′ =− ( ) cos .y x x′′′ =−
&������1�K� '�����������!����I������&������L���� 107
108 0�����1� '����������
4��� | ( ) | 1.y �′′′ <
*�� �� �� �M@�
( /6 0) ( /6 /4) ( /6 /2) 1| ( ) | 0.02392,
6 6 6 12 3nR x� � � � � � � �− − −≤ = =
!������������!������������������������������������#��������8������1�+@�
3.9.3 Hermite’s Interpolation Formula
���� ������������ �������� ��� ���� ���������� � �� ���� ��� ���� �� �������#���������������������*���!�������������������������������!����#���� ���� ������� ��� ���� ������ ����������� ������� ���� ��� #�� �������� ��� ������������������������������������������������)�����=������ ��� �� ���������� ������������ ���#��� ��� ���� ������� ��� �����!���$���� ���� ���� ��� ��������� ( , , ), 0, 1, , ,i i ix y y i n′ = � ��� ��� ��%������ ��� �������� �� ��������� ������ ������ �������� ��� 2 1( ),nH x+ ����� ����
2 1( )n i iH x y+ = �� 2 1( ) ;n i iH x y+′ ′= 0, 1, , ,i n= � �1�:K
!����� ���� ������ ������ �������������� !���� �������� ��� ��� ���� ��������
2 1( )nH x+ ����������)�����=������ ��� �� ��� ������*�������������7� 3 7 ���������������������������#���������������������#������������� �7� 3 7 ��� ���� ������� ��� ���� ��������� �� �7� 3 + � '� �������!���� ���� 6������������������ ������� �1�:1 �� !�� ��� � �� ������������� ��� ���� ���
2 10 0
( ) ( ) ( ) ,n n
n i i i ii i
H x u x y v x y+= =
′= +∑ ∑ �1�-/
!���� ���� ��� ���� ���������������������������� �7� 3 + ��I��� ���������1�:K �� !�� �#���
1, if( ) ; ( ) 0, for all0, if
1, if( ) 0, for all ; ( )
0, if .
i j i
i i j
i ju x v x ii j
i ju x i v x
i j
= ⎫⎧= ⎨ ⎪=≠⎩ ⎪
⎬=⎧ ⎪′ ′= = ⎨ ⎪≠⎩ ⎭
�1�-+
&���� ���� � ��� ���� � ���� ���������� �� �� ��� ������� �7� 3 + �� !�� !����
2( ) ( ) [ ( )]i i iu x A x l x= �� 2( ) ( ) [ ( )] ,i i iv x B x l x= �1�-7
!���� ���� � ���� ����� #�� 8%�� �1�:7 � '�� ��� ����� ��� ���� ���� *��� � �� +��� � ���#���� ������ �������� �� �� *�� ���������� !����
2( ) ( ) [ ( )]i i i iu x a x b l x= + �� 2( ) ( ) [ ( )]i i i iv x c x d l x= + �1�-1
I���� ��������� 8%�� �1�-+ � �� 8%�� �1�-1 �� !�� �#���
1
0
i i i
i i i
a x b
c x d
+ = ⎫⎪⎬
+ = ⎪⎭�1�-:�
��
2 ( ) 0
1.
i i i
i
a l x
c
′+ = ⎫⎪⎬
= ⎪⎭�1�-:#
E��� 8%�� �1�-: �� !�� ������
2 ( ), 1 2 ( )
1, .
i i i i i i i
i i i
a l x b x l x
c d x
′ ′= − = + ⎫⎪⎬
= = − ⎪⎭�1�--
4���� 8%�� �1�-1 � #����2
2
( ) [ 2 ( ) 1 2 ( )] [ ( )]
[1 2 ( ) ( )] [ ( )]
i i i i i i i
i i i i
u x x l x x l x l x
x x l x l x
′ ′= − + +
′= − − �1�-@� ��
2( ) ( ) [ ( )] .i i iv x x x l x= − �1�-@#
I���������#����������������������� ������� ���8%���1�-/ ��!���#����������
2 22 1
0 0
( ) [1 2( ) ( )] [ ( )] ( ) [ ( )] ,n n
n i i i i i i i ii i
H x x x l x l x y x x l x y+= =
′ ′= − − + −∑ ∑ �1�-B
!����� ��� ���� ��%������)����� ����� ��� � � ���������������!���������������������������������������4�����=���������
�������� � E�������������������4��������������������������������������� ����� ���� ��� �� �� �� /�� +�
L����� 1n = �� 4�����=�� ������� �1�-B �� !�� �#���
2 23 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
2 20 0 0 1 1 1
( ) [1 2( ) ( )][ ( )] [1 2 ( ) ( )][ ( )]
( ) [ ( )] ( ) [ ( )] .
H x x x l x l x y x x l x l x y
x x l x y x x l x y
′ ′= − − + − −
′ ′+ − + − ��
&���
1 10
0 1 1( )
x x x xl x
x x h
− −= =−
�� 0 01
1 0 1( ) ,
x x x xl x
x x h
− −= =−
!����� ��� �� ��� 2� ���� 4���
01
1( )l x
h′ = − �� 1
1
1( ) .l x
h′ =
&������1�K� '�����������!����I������&������L���� 109
110 0�����1� '����������
����� 8%�� �� � ���������� ��22
0 01 13 0 12 2
1 11 1
2( ) ( )( ) 2( )( ) 1 1
x x x xx x x xH x y y
h hh h
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −− −= + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2201
0 0 1 12 21 1
( )( )( ) ( ) ,
x xx xx x y x x y
h h
−− ′ ′+ − + − ���
!����� ��� ���� ��%������ 4������ �������
������� � � A������� ���� 4������ ��������� ��� ������� -�� !����� �������� �����!��� ����� ��� ����� ���� �� ����������� ������ ��� �� 7�B�
ln 1/
2.0 0.69315 0.5
2.5 0.91629 0.4000
3.0 1.09861 0.33333
x y x y x′= =
������������������ ��������������#�������������8������1�+-� ����� ���
20 ( ) 2 11 15,l x x x= − + 2
1( ) (4 20 24),l x x x= − − + 22 ( ) 2 9 10.l x x x= − +
*�� ���������� �#���
0 ( ) 4 11,l x x′ = − 1( ) 8 20,l x x′ = − + 2 ( ) 4 9.l x x′ = −4���
0 0( ) 3,l x′ = − 1 1( ) 0,l x′ = 2 2( ) 3l x′ =
8%������� �1�-@ � ����2 2
0
2 21
2 22
( ) (6 11) (2 11 15) ,
( ) (4 20 24) ,
( ) (19 6 ) (2 9 10) ,
u x x x x
u x x x
u x x x x
= − − +
= − +
= − − +
2 20
2 21
2 22
( ) ( 2) (2 11 15)
( ) ( 2.5) (4 20 24) ,
( ) ( 3) (2 9 10) ,
v x x x x
v x x x x
v x x x x
= − − +
= − − +
= − − +
&�#��������� ����������������� ��8%�� �1�-B ��!���#���� ������%������4�������������
2 25
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) (6 11) (2 11 15) (0.69315)
(4 20 24) (0.91629)
(19 6 ) (2 9 10) (1.09861)
( 2) (2 11 15) (0.5)
( 2.5) (4 20 24) (0.4)
( 3) (2 9 10) (0.33333).
H x x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
= − − +
+ − +
+ − − +
+ − − +
+ − − +
+ − − +
L������ �� �� 7�B� ��� ���������� !�� �#���
5ln (2.7) (2.7) 0.993252,H≈ =!����� ��� �������� ��� ���� ������� ������� ����� ��� ���������� �� ���� ��������������� ���� ����� �#������ #�� ����� ���� 6������� ������������ �������
3.10 DIVIDED DIFFERENCES AND THEIR PROPERTIES
����6�������������������������������������&����� 1�K�+� ���������������������������������������������������!���������������������������������������������� �!������������#������������ *��������������� �����������������������!����� ���� ���� ��������� ����� �� ��������� ��� ������� ���������� #�� ��������������#���������������!������ C�!��=��������������������������������� ����� ���������� ��� �������!���������������������������������� '� ������ ��������� �������� �� ����� ������� ��� ������ ����� ����������� ��� �������������� ��� ������ ����������� ��� �#���� ���� #����� ������� ���� ��� C�!���
6�� 0 0 1 1( , ), ( , ), , ( , )n nx y x y x y� #�� ���� ���� ( 1)n + ������ ���� ����������� ����������� ��� ������ +� 7� "� �� ���� ������� #�� ���� ���������
1 00 1
1 0
1 2 0 10 1 2
2 0
1 2 0 1 10 1
0
[ , ] ,
[ , ] [ , ][ , , ] ,
[ , , , ] [ , , , ][ , , , ] .n n
nn
y yx x
x x
x x x xx x x
x x
x x x x x xx x x
x x�
� �� ��
����� �
� �����
� �� ��
�� �
�
�1�-,
8��� ��� ���� �������� ���� �%����� ���� �������� ����������� ��� ������ ����� ������ *�� ��� ��� ��� �� ��� 3� �� ��� ����
0 1 0 00
0 0
0
0
[ , ] lim [ , ]
( ) ( )lim
( ), if ( ) is differentiable.
x x x x
y x y x
y x y x
�
�
�
�
�
→
→
= +
+ −=
′=
&��������
00 0 0
( 1) arguments
( )[ , , , ] .
!
r
r
y xx x x
r+
=����1�-K
&������1�+/� A�������A�������������������L��������� 111
112 0�����1� '����������
E��� 8%�� �1�-, �� ��� ��� ����� ��� ���� ����
0 10 1 1 0
0 1 1 0[ , ] [ , ].
y yx x x x
x x x x= + =− −
�����
1 02 10 1 2
2 0 2 1 1 0
021
2 0 2 1 2 1 1 0 1 0
0 1
0 1 0 2 1 0 1 2
2
2 0 2 1
1[ , , ]
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
.( ) ( )
y yy yx x x
x x x x x x
yyy
x x x x x x x x x x
y y
x x x x x x x x
y
x x x x
⎛ ⎞−−= −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟− − − − −⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
= +− − − −
+− −
�1�@/
&�������� ��� ��� #�� ���!� ����
0 10 1
0 1 0 1 0 1
0 1
,[ , , ]( ) ( ) ( ) ( )
.( ) ( )
nn n
n
n n n
xy y
x xx x x x x x x x
y
x x x x −
= + +− − − −
+− −
� �� �
��1�@+
4���� ���� �������� ����������� ���� ���������� �� ������ ��������C�!� ���� ���� �������� #�� �%������ ������� ��� ���� 1 0 2 1x x x x− = − =�
1 .n nx x h−= − = ���� !�� �#���
� 1 00 1 0
1 0
1[ , ]
y yx x y
x x h�
−= =−
(3.62)
2 21 2 0 1 010 1 2 0 02 2
2 0
[ , ] [ , ] 1 1 1[ , , ]
2 2 2!
x x x x yyx x x y y
x x h h h h h
�� � �− ⎛ ⎞= = − = =⎜ ⎟− ⎝ ⎠�1�@1
��� ���������
0 1 01
[ , , , ] .!
nn n
x x x yh n
�=� �1�@:
'�� ���� ��#�������������� ����������������������������� ��� 0n y� !�����#�
�� ������� ��� ����� ���� ���� �������� ���������� !����� ����� #�� �� �������E��� ���� ���� ��� ������� ����� �� �� �� �� /�� +�� 7��"����� �������� ����������� ��
#�� ��������� #�� ���� �����!��� ���������
�������� ��������������� ��� ����� �� �� �� ��
������������
������������ ��
���� ������DD( –1, +1)–DD( –1, )
X( + )–X( )
i j i j
i j j������������
3.10.1 Newton’s General Interpolation Formula
(������������!������
00
0
–[ , ] ,
–
y yx x
x x=
��� ������ �� ��� 3� ��� 2� �� F��� ��G �1�@-
����
0 0 10 1
1
[ , ] [ , ][ , , ]
–
x x x xx x x
x x
�
�
!����� �����F��� ��G� �� F���� ��G� 3� ��� 2� �� � F��� ���� ��G
&�#��������� ����� ������ ��� F��� ��G� �� 8%�� �1�@- �� !�� �#���
�� �� ��� 3� ��� 2� �� F���� ��G� 3� ��� 2� �� ��� 2� �� F��� ���� ��G �1�@@ (��
0 1 0 1 20 1 2
2
[ , , ] [ , , ][ , , , ] ,
x x x x x xx x x x
x x
�
�
�
��� ��F��� ���� ��G� �� F���� ���� ��G� 3� ��� 2� �� F��� ���� ���� ��G �1�@B
8%������ �1�@@ � �!� �����
�� �� ��� 3� ��� 2� �� F���� ��G� 3� ��� 2� �� ��� 2� �� F���� ���� ��G
3� ��� 2� �� ��� 2� �� ��� 2� �� F��� ���� ���� ��G �1�@,
L��������� �� ����� !���� !�� �#���
�� �� ��� 3� ��� 2� �� � F���� ��G� 3� ��� 2� �� ��� 2� �� F���� ���� ��G
� � � � � 3� ��� 2� �� ��� 2� �� ��� 2� �� F���� ���� ���� ��G� 3��
� � � � � 3� ��� 2� �� ��� 2� �� ��� 2� �� ��� ��� 2� �� F��� ���� ����"�� ��G �1�@K
����� ������� ��� �������!�� �,� ������� ����� ��� � � �������� ������������������- ���� ����� ���� #���� ���� �������� ���� ������ �� 3 + � �����
������������������������������������������������������#�������������#�� ���� �����!��� ���������
&������1�+/� A�������A�������������������L��������� 113
114 0�����1� '����������
6������#����%������������������������������������������
������������������������������ �������������������������������������������������������� �����������
������� � ���������������������������������������������C�!��=������������������� �������� !�� �������� ���� ����� ��� 8������ 1�+1�
���� �������� ���������� ��#��� ��
x 10log x
300 2.47710.00145
304 2.4829 0.000010.00140
305 2.4843 00.00140
307 2.4871
4���� 8%�� �1�@K � �����
10log 301 2.4771 0.00145 ( 3) ( 0.00001) 2.4786, as before.= + + − − ='���������������������������������������������������������!������������� ����� �� 6������=�� ������
������� � I���� ���� �����!��� ��#��� ���� � �� � ��� �� ��������� �� ��
( )
1 30 63 396 8227 1611
x f x
�
�
���� �������� ���������� ��#��� ��x f (x)
–1 3–9
0 –6 615 5
3 39 41 1261 13
6 822 132789
7 1611
4���� 8%�� �1�@K � �����
4 3 2
( ) 3 ( 1) ( 9) ( 1) (6) ( 1) ( 3) (5) ( 1) ( 3) ( 6)
3 5 6.
f x x x x x x x x x x x
x x x
= + + − + + + + − + + − −
= − + −
3.10.2 Interpolation by Iteration
C�!��=��������� ����������������������#��������������������������������������!�����������������������������������������������������������*�� �!� ������#�� ������� ������ ��� ����� ������� ���� �����0����� ��� !�������� ���� ��������� ��� #���� ����� ������� ��������� ���� �� �������� ��������
$���� ��� ��� 3� + � ������ ������� �� ����� �� ��"�� ����� �� ��!����� ���� ��������� �� ���� ��� ����������� #�� �%������ �������� ���� ��� ���� ���� ������ ��� ������������� ��� ��� ����� ������ ��� �� !�� �������� ������������ ��� �����!���#���� �� ������ ������������ ��� �� #�� ���������� ���� �������!�� ������ ���;���� �#���� ���� ������ ������������ #�� ���������� ���� ������������ ��������� ��� �� *�� ������ ���� ��������� ������������ ���������� #� ( ),xΔ !��������#��� ��#��������� ��� ����� ��� ���� ������ ������ ��� ������������� !�� ����
0 001 0 0 0 1
1 11 0
1( ) ( ) [ , ] .
y x xx y x x x x
y x xx x�
−= + − =
−−�1�B/
&��������� !�� ��� ��� 02 03( ), ( ),x x� � �C����� !�� ���� ����� #�� ���������� ���� ������������ ������
01 1012
02 22 1
( )1( ) .
( )
x x xx
x x xx x
��
�−
=−−
�1�B+
&���������!���#��� 013 014( ), ( ), etc.x xΔ Δ ��������������������������������!�� �#���
1012 1012
1 012 2
( )1( ) .
( )
��
�
�� �
�
� �
�
�
��
�nn
nn n nn n
x x xx
x x x x x�1�B7
���� ����������� ��� ���������� #�� �������� ��� �� ��#��� 1�,� #���!�
Table 3.8 Aitken’s Scheme
x y
0x 0y
Δ01( )x1x 1y Δ012( )x
Δ02( )x Δ0123( )x2x 2y Δ013( )x Δ01234( )x
Δ03( )x Δ0124( )x3x 3y Δ014( )x
Δ04( )x
4x 4y
&������1�+/� A�������A�������������������L��������� 115
116 0�����1� '����������
�����������������������������������C��������������������#���1�K��C������=������� ��� ������������� ������� ���� ��������� ������� ������������
Table 3.9 Neville’s Scheme
x y
0x 0y
Δ01( )x1x 1y Δ012( )x
Δ12( )x Δ0123( )x2x 2y Δ123( )x Δ01234( )x
Δ23( )x Δ1234( )x3x 3y Δ234( )x
Δ34( )x
4x 4y
��� �� ������������ ������ �=��������� !�� ��������� ������ 8������ 1�77�
������� � � ��� �=�� ������ ��
x 10log x
300 2.47712.47855
304 2.4829 2.478582.47854 2.47860
305 2.4843 2.478572.47853
307 2.4871
4��� ������ 1/+� �� 7�:B,@�� ��� #���������#��������������������� �=���������������� �������� ����� �
�� �������� � �� ����� � ��� �����
3.11 INVERSE INTERPOLATION
$���� �� ���� ��� ������� ��� �� ��� ��� ���� �������� ��� ������ ���� ������ ��� �� ����������������������� ���������������������� ��� ���*���������������������������%���� ���������� ���������#������!��������������� ������������� ���#������������������� ��6������=�������� �=����������I������6������=��������!�������������������������8������1�+:��*��!�����!��������������������� #������ ������ �=�� ��� C������=�� �������
��� �=�� ������ ����� ��#��� 1�, � ��
4 11.750
12 3 1.8571.600
19 4
y x
!������� C������=�� ������ ����� ��#��� 1�K � �����
4 11.750
12 3 1.8572.286
19 4
y x
4���� #���� ���� ������� ����� ��� ���� ���� ������� ����������� '� �����������!������C������=���������������#������������ ���� ���������� ������ ����� ������ ������ ������ ������ !����� ���� ������� ��� ��� ���� ����� ���� ������������� .rx x= '�� ���� ��� �������� �������� ��� ���#��� ����� ������� ���������������������������������������������� ���������.������������������
*��� ���� ������� ��� �� ���� �%������ �������� ���� ������ ��� ������������������������ ������#��� #���!�� ������� #�� �����
Method of successive approximations
*��������!����C�!��=�����!���������������������F����8%���1�+/ ��&����� 1�@G!������ ��
2 30 0 0 0
( 1) ( 1) ( 2)
2 6uu u u u u
y y u y y y� � �− − −= + + + +� �1�B1
E��� ������ !�� �#���
2 30 0 0
0
1 ( 1) ( 1) ( 2).
2 6uu u u u u
u y y y yy
� ��
− − −⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦� �1�B:
C�����������������������������������������!���#���������������������������� �� ��� ������ !�� !������ ��� �����!�
1 00
1( ).uu y y
y�= − �1�B-
C���� !���#�������������������������������#����������������������������� ������ ����������� �����
21 12 0 0
0
( 1)1,
2uu u
u y y yy
��
−⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦�1�B@
!�����!����������������������������������������������������� ������&��������!�� �#���
2 32 2 2 2 23 0 0 0
0
( 1) ( 1) ( 2)1
2 6uu u u u u
u y y y yy
� ��
− − −⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦�1�BB
&������1�++� '������'���������� 117
118 0�����1� '����������
�������� ��������������������#����������������!������������������������������������!������������������������%��������������� ������������������������#������ ��� ���� �����!��� �������
������� � � ��#����� ������ ��� ����7��1��:����-��������������� ������#������ ��� +/� �������� ��� ����� ������� �������
x y = x3 Δ Δ2 Δ3
2 819
3 27 1837 6
4 64 2461
5 125
4��� 2 30 0 0 010, 8, 19, 18 and 6.uy y y y y� � �= = = = = ���� ����������
������������� ��� �� ����� ����������
1
2
3
4
5
0.1532(0.1532 1) 0.1532(0.1532 1) (0.1532 2)2 (18) (6) 0.1541
2 6
0.1541(0.2
0.1 (0.1 1)2 (18) 0.15
2
0.15 (0.15 1) 0.15 (0.15 1) (0.15 2)2 (18) (6)
2 6
1
19
1(2) 0.1
19
1
19
10.1532
19
1
19
u
u
u
u
u
− − −− − =
−
−− =
− − −− −
= −
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= =⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
= 1541 1) 0.1541(0.1541 1) (0.1541 2)(18) (6) 0.1542.
2 6
− − −− =⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
*��� ����������� �� � �� �� /�+-:� �������� ��� ������ ������� ������� 4���� ��������� ��� �� �!����� ����������� �� �� �� +/ � ����� ���� ��#�� ����� ��� +/� ��� ����#�� ��� 3� ��� �� 7�+-:�
���������������������������������������#��!���������������������������� ���� �������� ��� ����#����� �%�������
3.12 DOUBLE INTERPOLATION
'����������������������!�������������������������������������������������� ���������� �� �����������#��� E��� �� ���������� �!��������������#����� �����������#����������������#����� ����������������� ��� ��� �����������!�����������������������������#��� ����������������������������������������!����������� ��� ���� ������ �����#���� ��� ��� �� ���� ������ ��� ������������ #���!�����������������!�������#�����E�������������������������������������������������������� ���� &������ -�1�
�������� � ���������!�����#�����������������������/����������������������� �� ��� ��� E��� /� !�� �� �� 7�-� �� �� �� +�-�
x
y 0 1 2 3 4
0 0 1 4 9 16
1 2 3 6 11 18
2 6 7 10 15 22
3 12 13 16 21 28
4 18 19 22 27 34
*�� ������ ����������� !���� �������� ��� �� ������ �� ������� E��� �� �� 7�-�� !��#���� ���� �����!��� ��#��� ����� ������ ����� ��� ��
0 6.51 8.52 12.53 18.54 24.5
y z
C�!��!�� �����������!���� �������� ����� ����� ������ ���������������� �����E��� �� �� +M-�� !�� �#���
8.5 12.510.5
2z
+= =
��� ���� /�7�-� +�- ���+/�-������������ ���� ��#������� ������� �� /� ����� 3����3 �������� /�7�-� +�- ���+/�/� ��� ����� �������������������������������� -Q�
EXERCISES
��� E��� �� ��#��� ��� ����������� ���� ���� ������
� �� � �� ��� 3� -�� 2� B
������ �� 2+�� /�� +�� 7�� 1�� :�� -��0������ ���� ��#��� ��� �#���� � �@ � ��� � �B �
��� 8�������
�� � ���� �# � ������� � �� � �F��� 3� + ��� 3� 7 G
�� � ������� �� �( )
( )
f x
g x�⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
�
��� 6������ ��� �������� ���� ������ �� ���� �����!��� ��#���
� 7�- 1�/ 1�- :�/ :�- -�/ -�-
� :�17 :�,1 -�7B -�:B @�7@ @�BK B�71
8����� 119
120 0�����1� '����������
��� 6������ ��� �������� ���� ������ �� ���� �����!��� ��#���
� +�// +�/- +�+/ +�+- +�7/ +�7- +�1/
�� 7�B+,1 7�,-BB 1�//:7 1�+-7, 1�17/+ 1�:K/1 1�@@K1
��� L����� ���� �����!���
�� � ��� �� ����� 3������� 3�������� 3��� 3���������� 3����������
�# ������ �� ����� 2��0��������� 3�
�0� ������� 3��� 3� �2+ ���
�� � ��� 3� ��� 3��� 3� ��� ���0� ��� 3�
�0������ 3��� 3�������
��� E��� ���� �����!��� ��#���� ���� ���� �#��� ��� �������� !��� �#������� �� #��!��� @/� ��� B/�
R�� �� �#����� /2:/ :/2@/ @/2,/ ,/2+// +//2+7/
C��� ��� ������� 7-/ +7/ +// B/ -/
�� E��� ���� ���������!����� ������������ ���� �����!��� �������
� 1 : - @ B , K
� +1 7+ 1+ :1 -B B1 K+
'�� �����#���1+� ��� ���� ������ ������� ���� �������� ���� ���� ������ ��� �������� ����� ��� ���� �������
�� E��� � �/�71 � ��� � �/�7K � ���� ���� �����!��� ��#���
� /�7/ /�77 /�7: /�7@ /�7, /�1/
� �� +�@-K@ +�@@K, +�@,/: +�@K+7 +�B/7: +�B+1K
��� L����� ����
�� � �� �� ��� 32
2
��# � ����� �� ����
���� E��� ���� ��#��� ��� ��#��� ����� #���!�� ���� �@�1@ �� ��� �@�@+ ��
� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��
�� ������ ������� ������ ������� ������ ����� ������
���� A����� ���� ���������� �� �� ��� �� ��� ���� ��� ���!� ����
�� �2
r r rk k r r
ky y y�� + += ∇ = �# � 2
k k ky y y�� �∇ = ∇ =
�� � ��� ��2
� + ∇�� � +� 3� ����� ��
221
12�
� ��� �� �
�� � ��� �� �+� 3� � �� �� �1
1– .k
k k k
y
y y y
��+
⎛ ⎞=⎜ ⎟
⎝ ⎠
���� &��!� ����
1/2221
12 4
�� ��
⎛ ⎞⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
���� E��� ���������� ����� �� ���� �����!���
� / - +/ +- 7/ 7- 1/
� + 1 5 B1 77- 5 ++-1
���� A������ ����������� ���� ���� ������� �� C�!��=�� �������� ��� ���!������ #�� !���� ������������ 8������� ���� ����� ������ ���� �� �������� ��� ��� �� �� 8������ 1�@� �#������ #�� ������������ �� ���� ����+-O� �� �� �� :/O�
���� 0������ ������� ��� �� ��� � �� � ���� ����� #���!�� E��� � �+�71- �
� +�// +�/- +�+/ +�+- +�7/ +�7-
��� /�@,7@,K /�B/@7,7 /�B7,@@, /�B:K,-@ /�B@K,@+ /�B,,B//
���� L����� ���� �����!��� ���������
�� � ���� �� �� �# � ������ �� �� 2�2
��� � �� �� ������
�� � �� 2� �� �� � � �� � �� �� �����2
hD �
��� I���� $����=�� ���!���� �������� ���� ���� ������ ��� � �17 � ����� ����� �7- � �� /�7B/B�� � �1/ � �� /�1/7B� � �1- � �� /�11,@� ��� � �:/ � �� /�1BK:�
��� &�����$����=��#�� !����������������������������������������� 12525,
����� ����� 12500 � �� +++�,/1:�� 12510 � �� +++�,:,+�
12520 � �� +++�,K7,�� 12530 � �� +++�K1B-� ��� 12540 � �� +++�K,77�
���� &����� &������=�� ������� ���� ������������ ��� ���� ������ ��� �� ��#��� ��������� ��� ���� ������ ���� ���� �����!��� ��#���
� +�B +�, +�K 7�/ 7�+ 7�7
�� -�:B1K @�/:K@ @�@,-K B�1,K+ ,�+@@7 K�/7-/
���� I���� &������=�� �������� ���� ����/�+B �� ����� ����� ����/ � �� +�����/�/- � �� /�KK,,�� ����/�+/ � �� /�KK-/�� ����/�+- � �� /�K,,,�����/�7/ � �� /�K,/+�� ����/�7- � �� /�K@,K�� ��� ����/�1/ � �� /�K--1�
���� &�����(�����=������������������������������������������������I������� ������� ��� ������ ���� ���#��� �� 1�7/�
8����� 121
122 0�����1� '����������
���� ���� �������� ��������� �������� ��� ���� ������ ��� ��� ������� ��
/2
20
1( )
1 sin
�
�
�
�
�
�k m dm
E��� ��/�7- � ����� ������/�7/ � �� +�@-K@�� ��/�77 � �� +�@@K,�� ��/�7: � �� +�@,/:���/�7@ � �� +�@K+7�� ��/�7, � �� +�B/7:�� ��/�1/ � �� +�B+1K�
���� I����(�����=�� �������� ���� � �- � ����� ���� � �/ � �� +:�7B�� � �: � �� +-�,+�� � �, � �� +B�B7�� ��� � �+7 � �� +K�K@�
���� E��� (�����=�� �������� ������� ���� �����!��� ������� ���� ��!��������������
� � � �2 2 4 41/2 0 1 1 0 2 1
1 1 3( )
2 16 256y y y y y y y� � � �
� � �
� � � � � � ��
8�������� ���/�7/ � ����� �������/�+- � �� /�+:K:�� ���/�+B � �� /�+@K7�� ���/�+K � �� /�+,,K����/�7+ � �� /�7/,-�� ���/�71 � �� /�77,/�
���� A������8������=�������������(�����=���������������!������8������=�������� ��������� ������ ������ ����������� ��� �%�������� ��� (�����=�������� ��������� ������ ������ ������������ I��� 8������=�� ������� ��� �������+7�-O � ����� ��������/O � �� +�� ����-O � �� /�KK@7�� ����+/O � �� /�K,:,�� ����+-O � �� /�K@-K�����7/O � �� /�K1KB�
���� I���� 8������=�� �������� ��������� � �7- � ���� ���� ���� ��� ������� �7/ � �� 7,-:�� � � �7: � �� 1+@7�� � �7, � �� 1-::�� � � �17 � �� 1KK7�
��� &����� 6������=�� ������������ ������� ��� ���� �� #���� ���� ���� �������������������������
��� *��������������������6������=����������E����������������!��������� ���� �����!��� ����
�2+�� B �� �+�� - � ��� �7�� +- �
���� E��� � �7 � ���� ���� �����!��� ����� ����� 6������=�� ������
� / + 1 : -� / + ,+ 7-@ @7-
���� 6��� ���� ������� ��� ���� ������� �� �� �� �� #�� ��#������� ��� ���� �#�������/���M:� ����M7�� '�� ����6�������������������� � ��� ������� ��� ����� ��������� �� #���� ���� ���� ������ �� ���� ������������ ������
���� E��� �� ��#��� ��������� !����� ����� ���� ����
�27�� 2+7 �� �2+�� 2, �� �7�� 1 � ��� �1�� - �
���� &��!� ����
1
10
( )1,
( ) ( )
���
��
�
� ��
nn
i n ii
x
x x x
!����������� � �� ��� 2� �� �� 2� �� ��� 2� �� ��� ��� 2� �� ����� '� ������� ��������� ���� � �������� ������� ��� ����� �� ���� ������������
������� ���������� '�� �� ������� � �/ � ��� �������� ������ ��� �� �� �������������0�� ��� ���� ���� ����"�� ��� ���� ������ ������ ������0�� ���
C� � �/ �/� �� 7�� ���� ��� ���� ��������� ��� ���� ���� "�� ��
F���� �������� ��� � �/ � �� /� �� �� ��� ������� ��� limz a→
�/� 2� � � �/ G
'��������������"���������������������������������� �� �!��������������������� ��� �� �� ������� �������0�� ���� ���!� ����
1
1
( ) ( )1( ) – ( )
2 ( – ) ( )n
nnC
y t x dty x L x
i t x t�
���
�
� �
���� 6������=������������#��������������������������������������������� �������� ��������� ������ &����� F+K@BG � 8������
� �� � ��2
3 2
– 3
2 2
x x
x x x
+− − +
��� �� ��� ��� �������� ���������
���� 8���#�����C�!��=����������������������������������������������������������������������������A������C�!��=�����!�������#�� !������������� ������������ �������� ��� ����������� ������
���� $���
� �� � ��2
1
x�
���� ���� �������� ����������� F��� �G� ��� F��� ��� �G�
��� $���� ���� ���� ��� ��#������������� �/�� 7 �� �+�� 1 �� �7�� +7 � ��� �+-�� 1-,B ���������� ���� ����������� � �� �� ������� � �: ������C�!��=������������������� �������
��� �������� �������� ���������� F������������"�� ��G� ��� #�� ���������� ��� ���%������� ��� �!�� ����������� &��!� ����
0 1 2
0 1 20 1 2
0 1 22 2 20 1 2
1 1 1
[ , , ]1 1 1
x x x
y y yx x x
x x x
x x x
�
8����� 123
124 0�����1� '����������
���� &��!� ����
F���� ��G� ��1
0 0 1 1 1
0
( ) ,y x t x t dt′ +∫!����� �� �� /� ��� �� 3� �� �� +�
���� ��#������ ������� ��� ���� ���� �� �� /�/�/+ �� +�/� ��� ���� ���� ����������� �� ������ ���%��������� ������������� �����6������=�� �������
���� '�� � �� � ��1
x�� ������ ����
0 10 1
(–1)[ , , , ] .
r
rr
x x xx x x
… =�
���� I����4�����=���������������������������������������������:�7����
���� ����� �������� ��� ��� �� �� ��1
x �
�:�/��+�1,@7K��/�7-/// ���:�-��+�-/:/,��/�77777 ���-�/��+�@/K::��/�7//// �
���� E��� ���� 4������ ��������� ��� ���� ������ ������� ������������ ���������� � �� � ����� ����
��/ � �� +� ���/ � �� /���+ � �� 1� ���+ � �� -�
���� N������ ��� �� ��� 3 x � ���� ����� #���!�-+�� 1�B/, �� �--�� 1�,/1 �� �-B�� 1�,:, �� E��� �� !��� 3 x � �� 1�B,/�
���� E��� ���� ��#������ ������������ ������� ��J�� �+�:�� :�/--7 �� �+�-�� :�:,+B ��+�@��:�K-1/ ���+�B��-�:B1K ��������!��������:�B++-������������������� ����������� �������������
���� ���� ����������������������!����� ���������� ���� �������������� �/��+ ��+�� 7 � ��� �7�� + � ���� � + 3 7� 2 �� �# � +� 2� 7�� 3� �� �� � + 2 7� 2 �� �� � + 3 7� 3 ��
E��� ���� �������� ����������� �� ���� �#����
��� '�� ��� �� +� 3� 7�� 3� 1���� !����� ��� ��� ���� �����!��� ��� ��� ����5
�� ���� �� @�� 3� - �# ���� �� @
�� ���� �� / �� �� �� ��� 3� ��
��� *����� ��� ���� �����!��� ��������� ���� ����5
�� ������� � �� ����
1 ( )
h
x x h+ +�# ����� 7� � �� 7� �� �� ��� 3� �
�� ����� � �� @� �� �� �� �����
�� ��� �� �+� 2� � �� �� ��� ��2
� + ∇
�� ���� �� ����� �� 2
3 6x xE
�� ��� �
� ��� ����� ����
���� E��� ���� ������� /� �� � ���� � �� ���� �����!��� ������� ���� ����
� �/�� / � �� /� � �/�� + � �� 7� � �/�� 7 � �� @�� �+�� / � �� +� � �+�� + � �� 1� � �+�� 7 � �� B� � �7�� / � �� :� � �7�� + � �� @� � �7�� 7 � �� +/�
8��������������������� �/�-��/�- �#����������������������������������� ������� ���� ������� !���� ���� ������� ������ �#������ ���/� �� ��� 3� ��� 3� ��
���� 8������� ���� ������ ��� � �+�-�� +�- � �� L��#��� 1�:K� ��� ������� ���������!���� ���� ������� ������
Answers to Exercises
��� 71K�� 1B+��� �� � @����� 3� � � �# � ���� ��� 3� 7� � 2� 7���� ��3�� � 3� ���� �
�� � 7�� 3� : �� � 1tan( )
�
�
h
x x h�� �
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
f x h g x g x h f x
g x g x h
+ − ++
��� -�B:��� 1�+-,7 ��� -:�� ��+ � �� 1� ��+/ � �� +++ �� +�@B-+�� +�B/,7���� 7-B�7-K�� 7,,�,/- ���� +B�--+���� /�///////+ ���� /�B,1+B7��� /�1+@- ��� +++�K+-7���� @�B-1+ ���� /�K,-@���� /�K,-@ ���� +�@,-,���� +@�7- ���� /�+K,B���� /�KB@1 ���� 17-+
���1
3�++��� 2� 1�� 3� B ���� +@
���� /�/71K ���� 3 21 3 241 39–
15 20 60 10x x x� � �
����1 1 1
–2( 1) 2( 1) 2x x x
� �
� � �
���� 2 2 2 2 2
( ),
� � � �a b ab bc ca
a b a b c��� +:-: ���� S ��� � 2� ���� S� �� @�:+-� � +/��
���� +�:1-/,+ ���� +� 3� ��� 3� ��
���� -: ���� +�--���� �� ��� �� ��� �� �� �� �� �� �� �� ���� +�-���� L������� ��� �� L��#��� 1�:K�
8����� 125
4.1 INTRODUCTION
��� ��������� � ������ ��� ������ ���������� ���� ���� �� ��� ������ �� ������ ������� ����� ���� �������� ��� �������� ���� ��������� ���� ����� ������ �� ��� ������ ������������� �������� ����� ������� ���� ���� ������������ �������� �� �������������� ���� ����� ������� ���� ������ ������ �� ����� ����� ���� ������������������������������������������������� ���������������������� ����������������� ��� ��� ���� �������� ��� ���� ������� ��� ���� !��� ���������� ������������� ������ �� ��������� �� "������ #�#�
���� ���� �� ��� ����������� �� �������� ��� ����� ��� $���������� ���� ���������������"������#�%���������������������������������������� � ����������
���$�������&����������������������� ���� ������� ����������� ������ �'������������� �� ����� ������������ ���������(�������)�����*�� ��������������� ����������� ������ ������ ����� ������ ����� ������ ��� � ������������������� ����� ���� ���� �� ��� �� ���� +�� ��� +��)� � ���� ��� �������� �� �� ���� �����������������������!��������������������� ���� �������� ������������� ������,� ���� ���� �������� �������� ���� !������ ��������� �� ������������ ���� �� �����������������������������!����������������������!���� !������ ��������� -!!�.� ���� ��������� �� ���� � �� "������ #�/�
4.2 LEAST SQUARES CURVE FITTING PROCEDURES
0��� ���� ���� ��� ����� ������ ��� -��� ��.�� �� 1� (�� +��)����� ���� ��� ���� ������ ������� � 1� � -.� ��� ������ ��� ���� ������2�� � 1� ��� ���� ����� �������� �� ��� ���� ���
���
�������������� �����������������
�������
������������� �� ��� ��� ���� ������ ������ �� � -�.�� ��� ��� �� ���� ������ ������������� ��� � 1� ��� ����� ��� ����
��� 1� ��� 3� � -�. -#�(.��� ��� ����
2 2 21 1 2 2
2 2 21 2
[ ( )] [ ( )] [ ( )]
,
m m
m
S y f x y f x y f x
e e e
= − + − + + −
= + + +
�
� -#�+.
������������������ ������������������������ ������ ����� ������������������������ ������������ ��� ���� �� ����� ������������ ��� � ������ ���� ����� ������ ����� ����� �������� ������ ��� ����� ����� -��� ��.�� �� 1� (�� +��)����
4.2.1 Fitting a Straight Line
0��� �1����4������������������� ���������������������������������� ��-�����.��� 1� (�� +�� )�� ��� ������ ������������� ��� 5��� -#�+.�� ��� ����
�� 1� 6��� 3� -��� 4� ���.7�� 4� 6��� 3� -��� 4� ���.7
�
4��� 4� 6��� 3� -��� 4� ���.7� -#�&.
!��� �� ��� ��� ���� ��� ����
0
S
a
∂∂
1� 8� 1� 3+6��� 3� -��� 4� ���.7� 3� +6��� 3� -��� 4� ���.7
� 3��� 3+6��� 3� -��� 4� ���.7 -#�#�.���
1
S
a
∂∂
1� 8� 1� 3+�6��� 3� -��� 4� ���.7� 3� +�� 6��� 3� -��� 4� ���.7
� 3��� 3+�� 6��� 3� -��� 4� ���.7 -#�#�.
���� ������ ��������� �� ��� ��
���� 4� ��-�� 4� �� 4��� 4� �.� 1� ��� 4� ��� 4��� 4� �� -#�%�.���
��-�� 4� �� 4��� 4� �.� 4� �� ( )2 2 21 2 mx x x+ + +� 1� ���� 4� ���� 4��� 4� ���
-#�%�.��� ���� ������ �� ��
0 11 1� �
� �� �m m
i ii i
ma a x y -#�/�.
���
20 1
1 1 1
m m m
i i i ii i i
a x a x x y� � �
� �� � � -#�/�.
"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 127
128 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
5�������� -#�/.� ���� �� ��� ���� ������ ����������� ���� ���� ��� �� ���� ���� ������ ���� ����� �� ���� ��� ���� ������ ���������
;�� ���� ������ ��� �
1 1 11 2
2
1 1
� � �
� �
� �
�� �
� � �� ��
� � �
� �
m m m
i i i ii i i
m m
i ii i
m x y x y
a
m x x
-#�<.
���� ������� 1� 1 .y a x− -#�=.
"����2
20
S
a
∂∂
�����2
21
S
a
∂∂
��������������������������������������������� ��������
�������� �������������������������� ���5��� -#�=.�� x ����� y � ���� ����������� � ���� ��� ��������� ��� !��� 5��� -#�=.�� ��� ����
0 1 ,y a a x= +
����� ������ ����� ���� ������ �������� ��� ������� �������� ���� �������� ��� �������� ������
"�������������������������������������������� ���������������-��.�� ������� ��
cc ,y
y
S S
S
�
� -#�>.
�����
2
1
( )m
y ii
S y y=
= −∑ -#�(8.
���� �� ������� ��� 5��� -#�&.���� ��� �� � ���� ��� (�� ����� ���� ��� �� ���������� ��� ��� ������ � ������� ���
�� ���� � ����� �����
������� �� !��� ���� ����� �� ���� ��� ��� ���� ��� �� ���� �������� �� 1� ��� 4� ��� �� ������ ��� ���� ����� -��� ��.9
-(�� 8�/.�� -+�� +�#.�� -&�� &�%.�� -#�� #�=.�� -%�� %�<.
!��� � ��� ���� ����� ����� ����������
!��� ���� ��� �� ��� �� ���� ����� �� ���� ��� ���� 3, 3.4,x y= = � ���
15(63.6) 15(17)
1.265(55) 225
a−= =−
����������
0 1 – 0.38.a y a x= − =
� ��2ix ���
2( )iy y− -��� 3� ��� 3� ���.�
( 8�/ ( 8�/ <�=# 8�8<=#+ +�# # #�= (�88 8�8/</& &�% > (8�% 8�8( 8�8(88# #�= (/ (>�+ (�>/ 8�8(>/% %�< +% +=�% %�+> 8�8#=#
(% (<�8 %% /&�/ (/�(8 8�++#8
���� ����� ����� ���������� 1�16.10 0.2240
0.993016.10
− = �
������� � $������ ��������� � �� ���� ��� � ���� �� ���� ����� �� ��9
-8�� 3(.�� -+�� %.�� -%�� (+.�� -<�� +8.
��� ���� �������� ��� � 1� ��� 4� ��� �� ������ ��� ���� ������ ������ ���� ������������� �� ���� ��� ��� ���� ���
���� ��� �� ��� �� ���� �� ����� �� ���
� � �8 3( 8 8+ % # (8% (+ +% /8< +8 #> (#8
(# &/ <= +(8
���� ���� � ��������� ���
#��� 4� (#��� 1� &/���
(#��� 4� <=��� 1� +(8
"� ���� ���� ���� ���������� ��� �����
��� 1� 3(�(&=( ��� ��� 1� +�=>//
?����� ���� ����� �������� ��� ��� �� ����� ��
� 1� 3(�(&=(� 4� -+�=>//.�
4.2.2 Multiple Linear Least Squares
"������� ����� �� �� �� ����� ����������� ��������� ���� ������� ��� ���� ���������1����4����4����� ��������������������-���������.��-���������.��)-���������.������ ���� ��
20 1 2
1
( )m
i i ii
S z a a x a y�
� � � ��
"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 129
130 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
���� �� ��� ���� !��� ����� ��� ����
0 1 20
– 2 ( – – – ) 0i i iS
z a a x a ya
∂ = =∂ ∑ �
0 1 21
– 2 ( – – – ) 0i i i iS
x z a a x a ya
∂ = =∂ ∑ �
���
0 1 22
– 2 ( – – – ) 0i i i iS
y z a a x a ya
∂ = =∂ ∑ �
������ ��������� �� ��� ��
���� 4��� � �� 4��� � ��� 1�� ��
�� � �� 4��� � ��� 4��� � � ��� 1�� �� � -#�((.
�� � ��� 4��� � ���� 4��� � ���� 1���� ��
���� ����� ���� ��� ���� ��� ���� ��� ���������
������� �� !��� ���� �� ���� ��� ���� ��� ���� ���� ��� ����� ���� ��������� 1� ��� 4� ��� 4� ���� �� ������ ��� ���� ����� -�� ��� �.� ����� �� ���
-8�� 8�� +.�� -(�� (�� #.�� -+�� &�� &.�� -#�� +�� (/.� ���� -/�� =�� =.�
;�� ���� ���� �� ����� ��� �� ��� �� ���
� � � � � �� ��
8 8 + 8 8 8 8 8( ( # ( ( # ( #+ & & # / / > ># + (/ (/ = /# # &+/ = = &/ #= #= /# /#
(& (# && %< /& (++ <= (8>
���� ���� � ��������� ���%��� 4� (&��� 4� (#��� 1� &&
(&��� 4� %<��� 4� /&��� 1� (++
(#��� 4� /&��� 4� <=��� 1� (8>
���� �� ����� ��� ���� ������ ������ �
��� 1� +�� ��� 1� %� ���� ��� 1� 3&�
4.2.3 Linearization of Nonlinear Laws
���� ����� ����� ��� ���� � ����� �� ��� �� ����� �� ��������� ���� ���� �������������������� ����������������������������� �������� ����������������� ���� ��� ��������� �� ����������� ��� �� ����� �� ��������� "��� ��� ���� ���� ���� ����� �������������� ���� ����� ��� �� ����
��
��
�
-�.b
y axx
= +
���� ���� ��� ������� ���� 1� ��� 4� �
:��� �� 1� �� �� 1����;��� ������ ��������������� �� ������� �� ������� �
-�. ��� 1� �
������ �������� ��� ����� ������ ��� ���
�����4�� ������1� ������
��� ���� ������ ��� ���
������ 1� �� ����� 1���
� �1
a ������ 1���� ���� 3
1
a� 1����
��� ���� � 1� ��� 4�����
-�. �� 1����
������ �������� ��� ����� ������ ��� �����
������ 1� ������ 4� � �����
�� � 1� ��� 4� ���������
� 1� ���������� 1� ������
�� 1� �� ������� 1� �����-�. �� 1���
;�� ����� � � � � ������ 1� ������ 4� � ����
�� � 1���� 4����������
� 1� ���������� 1� ���������� 1� ����
�� 1� �����-�. �� 1�����
��� ���� ������ ��� ���� �� �� 1� ���� 4��
�� � 1���� 4����������
� 1� � ������ 1� �� ������ 1� ����
�� 1� �
������� � @���� ���� ������ ��� ����� ��������� ���� ���������� �� ���� ������ ����� ���� �������� �� 1� ����� ���� ���� �� ����� ����9
-(�8�� +�#<&.�� -&�8�� /�<++.�� -%�8�� (=�+<#.�� -<�8�� #>�/<&.�� ->�8�� (&%�8+/.�
"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 131
132 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
;�� ������ 1�����
����������� �� �� 1� �� �� 4� �
�� � 1���� 4����������
� 1� �� ������ 1� �� ������ 1� �� ������ 1� �
���� ��� �� ��� �� ���� �� ����� �� ��
� � � � �� �
( 8�>8% ( 8�>8%& (�>8% > %�<(%% +�>8% +% (#�%+%< &�>8% #> +<�&&%> #�>8% =( ##�(#%
+% (#�%+% (/% >+�/+%
;�������5, 2.905X Y� �
15(92.625) 25(14.525)
0.5 .5(165) 625
A b−= = =
−����
0 1 2.905 0.5(5) 0.405.A Y A X= − = − =?�����
0 0.405 1.499.Aa e e= = =��� �� ���� ����� ���� �������� ������ �� ��� ���� ���
�� 1� (�#>>�����
������� �� @���� ���� ������ ��� ����� ��������� ��� �� ������ ��� ���� ���
�� 1�x
a bx+� ��� ���� �� ����� ����
-&�� <�(#=.�� -%�� (8�+&(.�� -=�� (&�%8>.�� -(+�� (/�#&#.�;�� ����
� �� 1�x
a bx+
� � � � � �� 1 a bx ab
y x x
+= = +
� � �� � 1� ��� 4� ���������
��� 1� ������ 1� ����� 1�1
x��� � 1�
1
y�
���� ��� �� ��� �� ���� �
� �� �
8�&&& 8�(#8 8�((( 8�8#<
8�+88 8�8>= 8�8#8 8�8+8
8�(+% 8�8<# 8�8(/ 8�88>
8�8=& 8�8/( 8�88< 8�88%
8�<#( 8�&<& 8�(<# 8�8=(
;�������
1 2
4(0.081) 0.741(0.373)0.324, 0.185, 0.093
4(0.174) (0.741)A a X Y
�
� � � � �
�
� � � ������� 1� �� 1� Y 3� � X � 1� 8�8&&(�
?����� ���� �������� ��� �� � 1� 8�8&&(� 4� 8�&+#-�.�� ����� �� ���� ��
0.324 0.0331( )
xy
x=
+�
���A���9��������������� ������������������ �� �����
0.3162 0.0345
xy
x
�� �� �
4.2.4 Curve Fitting by Polynomials
0��� ���� �� ���� � ��� �������� �������
� 1���� 4���� 4� ���� 4��� 4� ��
� -#�(+.
��� ������ ��� ���� ����� ������ -��� ��.�� �� 1� (�� +�� )�����;�� ����� ����
221 0 1 1 2 1 1( )� �� � � � � �� �� n
nS y a a x a x a x
� � � � � 422
2 0 1 2 2 2 2( )nny a a x a x a x� �� � � � �� ��
� � � � � � � � � � � � � � � �22
0 1 2( )nm m m n my a a x a x a x� �� � � � � � �� �� � � � � � �-#�(&.
5������� ��� ���� ���� ����� ����� � ���������� ���� �� ��������� ������ ������� ���������9
20 1 2
2 10 1
1 20 1
,
,
ni i n i i
ni i n i i i
n n n ni i n i i i
ma a x a x a x y
a x a x a x x y
a x a x a x x y
� � � �
� � � �
� � � �
+
+
⎫+ + + + =⎪⎪+ + + =⎬⎪⎪+ + + = ⎭
�
�
�
�
-#�(#.
������ ���� �������� ���� ��������� ���� �� 1� (� ��� �� 1���
"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 133
134 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
���� ������ -#�(#.� ����������� -�� 4� (.� ��������� �� -�� 4� (.� ���������� ��������� ���� ��� �� ���� ���� ���� ���� )�� ���� 5������� -#�(+.� ����� ����� ����������� �� ���� � ��� �������� �������
!��� ������ �� ���� ��� ��� ������ -#�(#.� ������� ������ �� ���� ���� ���� ������ ������ ���� ������� �� ���� ����� ��� ������ ����� �������� �� ���� �� �����"���� ������� ������ ����� ������ �� ������� � ���� ��� ���� ���� �� ��� ��������������� ��������*�������� � �� ���� �� �������� ������ ��� �� ��� ����������� ���� ���� ������ ��� ���� ��� ������ �� ���� ��� ���� $���������� ���� ��� � � ��� ��������� ����� �� ���� ��������
������� �� !�� �� �� ���� � ��� ���� ������� ������� ��� ���� ����� �����-�� �.� ����� ��
-8�� (.�� -(�� /.� ���� -+�� (<.�
!����� 1�+��5��� -#�(#.� �������� 2 3 4, , , ,i i i ix x x x� � � � ������� ��� ���� 2i ix y� �
���� ��� �� ��� �� ���� �� ��� �� ���9
� � � � � ��
8 ( 8 8 8 8 8( / ( ( ( / /+ (< # = (/ &# /=
& +# % > (< #8 <#
���� ���� � ��������� ���&��� 4� &��� 4� %��� 1� +#
&��� 4� %��� 4� >��� 1� #8
%��� 4� >��� 4� (<��� 1� <#
"� ���� ���� ������ ������� ��� �����
��� 1� (�� ��� 1� +� ���� ��� 1� &�
�������������� ���� ����������� �1�(�4�+�4�&����������������������������� ������ �� �����
������� �� !�� �� ������� ������� ������ �� �1���� 4� ��� 4� ���� ��� ���� ����
-��� ��.9-(�� 8�/&.�� -&�� +�8%.�� -#�� #�8=.�� -/�� (8�<=.�
���� ��� �� ��� �� ���� �
� � � � � ��
( 8�/& ( ( ( 8�/& 8�/&& +�8% > +< =( /�(% (=�#%# #�8= (/ /# +%/ (/�&+ /%�+=/ (8�<= &/ +(/ (+>/ /#�/= &==�8=
(# (<�%# /+ &8= (/&# =<�<= #<+�##
���� ���� � ��������� ���
#��� 4� (#��� 4� /+��� 1� (<�%#
(#��� 4� /+��� 4� &8=��� 1� =<�<=
/+��� 4� &8=��� 4� (/&#��� 1� #<+�##�
���� ����� ��� �����
��� 1� (�+#�� ��� 1� 3(�8% ��� ��� 1� 8�##
4.2.5 Curve Fitting by a Sum of Exponentials
2��������� ������������������ ������������������������������������������ ��� ��� ��������� �� ��� ���� ���
1 21 2( ) nxx x
ny f x A e A e A e�� �= = + + +� -#�(%.
��� �� ���� ��� ����� ������ -��� ��.�� �� 1� (�� +�� )����� �������� ������ ����������� +��
;�� �������� ����� �� ���������� � ��������� ���� ���B����� 6(><#7�� !������� ��� ������������� ��� ������ �� 1� +�
����� ���� �������
1 21 2
x xy A e A e� �= + -#�(/.
�� ��� ��� ������ ��� ���� ����� -��� ��.�� �� 1� (�� +��)����� �������� #�� ��� �� ���������� �-.� �������� �� ��������� � �������� ��� ���� ���
2
1 22
d y dya a y
dxdx= + -#�(<.
��������������������������������������������������������������5���-#�(<.���� �����
� �0
0 1 2( ) – ( ) ( ) (0) ( ) ,� � �� � �x
x
y x y x a y x y a y x dx -#�(=.
�������� �� ���� ��� ��� ������� ���� ( ) .dy
y xdx
′ = � �����������5��� -#�(=.����
���
0
0 0
0 0 1 1 0 0
2
( ) – (0) ( ) ( ) ( ) – ( – ) ( )
( )
x
x
x x
x x
y x y x x y x a y x dx a x x y x
a y x dx dx
� � ��
�
�
� � -#�(>.
"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 135
136 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
A���
0 0 0
( ) ( – ) ( )x x x
x x x
y x dx dx x t y t dt=∫ ∫ ∫
?������ 5��� -#�(>.� ������
0
0
0 0 1 1 0 0
2
( ) – (0) ( ) ( ) ( ) – ( – ) ( )
( – ) ( )
x
x
x
x
y x y x x y x a y x dx a x x y x
a x t y t dt
� � ��
�
�
� -#�+8.
���5���-#�+8.����-�.���� �������������� ����������0���������������������� ������ ����� ����
��3� �� 1� �� 3� � -#�+(.����� 5��� -#�+8.� ����
1
0
1
0
1 0 1 0 0 1 1 1 0 0
2 1
( ) – ( ) ( ) ( ) ( ) – ( – ) ( )
( – ) ( )
x
x
x
x
y x y x x x y x a y x dx a x x y x
a x t y t dt
� � ��
�
�
� -#�++.
���
2
0
2
0
2 0 2 0 0 1 1 2 0 0
2 2
( ) – ( ) ( ) ( ) ( ) – ( – ) ( )
( – ) ( )
x
x
x
x
y x y x x x y x a y x dx a x x y x
a x t y t dt
� � ��
�
�
� -#�+&.
2����� 5���� -#�++.� ���� -#�+&.� ���� ����� 5��� -#�+(.�� ��� �����
� �
1 2
0 0
1 2 0 1( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )x x
x x
y x y x y x a y x dx y x dx⎡ ⎤⎢ ⎥+ − = +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
1 2
0 0
2 1 2( ) ( ) ( ) ( )x x
x x
a x t y t dt x t y t dt⎡ ⎤⎢ ⎥+ − + −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ -#�+#.
5������� -#�+#.� ���������������� ��� ���� ��� �� ����� ��������� ��������� ������ ���� ���� ���� ����� ��� ������ ��� ���� ��� ���� ���� ������������� �������
��� 1� ���� 4� �� -#�+%.
!�� ������������������������������� ������������� ����� �������������� ��������� ��� ���������
������� �� !�� �� �������� ��� ���� ���
1 21 2
x xy A e A e� �= + -.
��� ���� ����� ������� ��� -�� �.
-(�� (�%#.�� -(�(�� (�/<.�� -(�+�� (�=(.�� -(�&�� (�><.�� -(�#�� +�(%.�
-(�%�� +�&%.�� -(�/�� +�%=.�� -(�<�� +�=&.�� -(�=�� &�((.�
0��� �� 1� (�+�� �� 1� (�8�� �� 1� (�#�� ������ 5��� -#�+#.� ����
� � � � �
1.2 1.4
1
1.0 1.2
0.07 – ( ) ( )a y x dx y x dx⎡ ⎤⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫ � � � � � �
1.2 1.4
2
1.0 1.2
(1.0 ) ( ) (1.4 – ) ( )a t y t dt t y t dt⎡ ⎤⎢ ⎥+ − − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫5�� ���������������� �����"����C���� �D������� �����������������������������
(�=(��� 4� +�(=8��� 1� +�(8 -.
2���������������1�(�#����1�(�/�������1�(�=��������� ���������������� ���� �������� ��� ������ ���� �������
+�==��� 4� &�(8#��� 1� &�88 -.
"� ���� 5���� -.� ���� -.�� ��� ���
��� 1� 8�8&+8# ��� ��� 1� 8�>&/#�
5������� -#�+%.� ���� ����
��� 3� 8�8&+8#�� 3� 8�>&/#� 1� 8�
���� ����� ��� �������� 1� 8�>==� 1� 8�>>�
������ 1� 38�>/�
@���� ���� ������ ��� ����� ��������� ��� ��� �� �����
��� 1� 8�#>> ��� ��� 1� 8�#>(�
���� ������ ����� ���� ����� �� ������������ ���� ���� �������� �� 1� ����� � ������� ��� 1� ��� 1� 8�%�� ��� 1� (�8� ���� ��� 1� 3(�8�
����� ������ �� ���
"�����#�+9 0�����"�������$�����!�����:��������� 137
138 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
4.3 WEIGHTED LEAST SQUARES APPROXIMATION
�������������������������������� �����������������������������������2����������� ���������������� ��������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������� 5��� -#�+.�� ��� ����
2 2 21 1 1 2 2 2
2 2 21 21 2
[ ( )] [ ( )] [ ( )]
.
m m m
m m
S W y f x W y f x W y f x
W e W e W e
= − + − + + −
= + + +
-#�+/.
���5���-#�+/.���������������������������������������������� ��� �������2������� ��������������������� ��� ���� �� ������������������������������ ��� � ���� ����� ������ ���� ������������� ������� 1� (� ���� � � ���;�� �������� �������� ����� ���� ��� ����� ������ �� ���
4.3.1 Linear Weighted Least Squares Approximation
0�� � 1� ��� 4� ��� ��� ���� �������� ��� ��� ��� ������ ��� ���� ����� ����� ������� �� -��� ��.�)�-��� ��.�� ����
20 1 0 1
1
( , ) [ ( )] .m
i i ii
S a a W y a a x=
= − +∑ -#�+<.
!��� ���� ��� ���� ��� ����
0 10,
S S
a a
∂ ∂= =∂ ∂
-#�+=.
����� ���
0 10 1
2 [ ( )] 0m
i i ii
SW y a a x
a =
∂ = − − + =∂ ∑ -#�+>.
���
0 11 1
2 [ ( )] 0.m
i i i ii
SW y a a x x
a =
∂ = − − + =∂ ∑ -#�&8.
"� ������� �� ��� ���� ������ ��� ��������� ���� ��� ���� ��9
0 11 1 1
m m m
i i i i ii i i
a W a W x W y= = =
+ =∑ ∑ ∑ -#�&(.
���
20 1
1 1 1
,m m m
i i i i i iii i i
a W x a W x W x y= = =
+ =∑ ∑ ∑ -#�&+.
��������� �������������������� �� ������������������� ���� ������������ �������;�� �������� 5��� �� #�+� ����� ��� �������� ���� ���� ��� �������
������� �� "������� ����� �� ������������5��� ��#�+�� ��������� -%� (+.� ������������������� �� ��������������������������������������������-����(8.���������������������������� ������� ������������������������������������ �� ����� ��� �� �� ����� ��������
x y W Wx Wx 2 Wy Wxy
0 –1 1 0 0 –1 0
2 5 1 2 4 5 10
5 12 10 50 250 120 600
7 20 1 7 49 20 140
14 36 13 59 303 144 750
���� ���� � 5��� -#�&(.� ���� -#�&+.� ����� ���
0 1
0 1
13 59 144
59 303 750.
a a
a a
+ =
+ =
(i)
(ii)
"� ����� ��� 5��� -.� ���� -.� ����
0 1.349345a = − ��� 1 2.73799.a =
���� E ����� ����� �������� ����������C� ��� ����������� ����� ��
1.349345 2.73799 .y x= − +
������� ��� �;�� �������� 5��� �� #�>� ��������� ��� ������������������� (88�� ������������� �� (5.0).y ���� �� ����� ��� �� �� ����� ��������
x y W Wx Wx 2 Wy Wxy
0 –1 1 0 0 –1 0
2 5 1 2 4 5 10
5 12 100 500 2500 1200 6000
7 20 1 7 49 20 140
14 36 103 509 2553 1224 6150
���� ���� � ��������� �� ���� ����� ���
0 1103 509 1224a a+ = -.
���
0 1509 2553 6150.a a+ = -.
"�����#�&9 ;�������0�����"�������2��������� 139
140 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
"� ���� ���� ��������� ���������� ��� �����
0 1.41258a = − ��� 1 2.69056.a =
���� �������� E ����� ����� �������� ����������C� �� ���������� ����� ��
1.41258 2.69056 ,y x= − +
���� ���� �� ��� �� (5) 12.0402.y =����� ����������������������������������������������������������������
4.3.2 Nonlinear Weighted Least Squares Approximation
;������ �������� ���� ����� �������� ����������� ��� �� ���� ����� ����� �����-��� ��.�� �� 1� (�� +��)����� ��� �� �� ���� � ��� ������� � F ��� 0��
20 1 2
nny a a x a x a x= + + + + -#�&&.
��� ������ ��� ���� ����� ����� �������;�� ����� ����
20 1 0 1
1
( , , , ) [ ( )] .m
nn i i i n i
i
S a a a W y a a x a x=
… = − + + +∑ � -#�&#.
��� �� ��� ������� ��� -��� ���� )� ��.�� ����� ��� ����
0 1 20.
n
S S S S
a a a a
∂ ∂ ∂ ∂= = = = =∂ ∂ ∂ ∂
� -#�&%.
������ ��������� �� �� ���� ���� � ��������
0 11 1 1 1
2 10 11
1 1 1
1 20 1
1 1 1 1
.
m m m mn
i i i n i i iii i i i
m m mm n
i i i n i i i ii iii i i
m m m mn n n n
i i n i i ii i i ii i i i
a W a W x a W x W y
a W x a W x a W x W x y
a W x a W x a W x W x y
= = = =
+=
= = =
+
= = = =
⎫+ + + = ⎪
⎪⎪⎪⎪+ + + = ⎪⎬⎪⎪⎪⎪+ + + = ⎪⎪⎭
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑ ∑
�
�
�
�
-#�&/.
5�������� -#�&/.� ��� -� 4 (. ��������� � -� 4 (.� �������� ��� ���� )� ���� ������������������������ F �������������������������������E�����C��� �����
4.4 METHOD OF LEAST SQUARES FOR CONTINUOUS FUNCTIONS
��� ���� �������� ������������ ���������� ���� ����� �������� ������������ ���������� ����� ;�� ��� �� �� ���� �������� �������� ������� ���� ����� ������������������ ��� �� ���������� �������� ��� 6��� �7�� ���� �������� �� ������� � ��������� ���� ���� ��� ����� ��� ������� ������ ��
0��2
0 1 2( ) nny x a a x a x a x= + + + + -#�&<.
��� ������� ���� �
20 1 0 1( , , , ) ( ) [ ( ) ( )] .
bn
n n
a
S a a a W x y x a a x a x dx… = − + + +∫ � -#�&=.
���� ���������� ��������� ���� �� ��� ���� ����� ��
0 10,
n
S S S
a a a
∂ ∂ ∂= = = =∂ ∂ ∂
� -#�&>.
����� �� �
20 1 2
20 1 2
2 20 1 2
20 1 2
2 ( ) [ ( ) ( )] 0
2 ( ) [ ( ) ( )] 0
2 ( ) [ ( ) ( )] 0
2 ( ) [ ( ) ( )] 0.
bn
n
a
bn
n
a
bn
n
a
bn n
n
a
W x y x a a x a x a x dx
W x y x a a x a x a x x dx
W x y x a a x a x a x x dx
W x y x a a x a x a x x dx
⎫⎪− − + + + + =⎪⎪⎪⎪− − + + + + =⎪⎪⎪⎬⎪
− − + + + + = ⎪⎪⎪⎪⎪− − + + + + =⎪⎪⎭
∫
∫
∫
∫
�
�
�
�
�
-#�#8.
G������������ ��� ����� �� 5��� -#�#8.� ����� ���� �����
0 1
2 10 1
1 20 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
b b b bn
n
a a a a
b b b bn
n
a a a a
b b b bn n n n
n
a a a a
a W x dx a xW x dx a x W x dx W x y x dx
a xW x dx a x W x dx a x W x dx x W x y x dx
a x W x dx a x W x dx a x W x dx x W x y x dx
+
+
⎫⎪+ + + =⎪⎪⎪⎪+ + + = ⎪⎬⎪⎪⎪⎪
+ + + = ⎪⎪⎭
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
-#�#(.���� ������ �� 5��� -#�#(. ������� -� 4 (. ���� � ��������� �� -� 4 (.����������� � 0 1 2, , , , na a a a… ���������� ���������������E�����C��� �����
������� ��� $��������� �� ����� �������� ��������� ����������� ��� ����������� � -.� 1� ��� � ��� 68�� � H+7� ���� �������� ��� ���� ������ ��������-.� 1� (�
"�����#�#9 B���������0�����"�����������$���������!������� 141
142 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
0��2
0 1 2y a a x a x= + + -.
��� ���� �������� ��������� ����������� ����� ����� 5��� -#�#(.�� ��� ��������� �����
/2 /2 /2 /22
0 1 2
0 0 0 0
/2 /2 /2 /22 3
0 1 2
0 0 0 0
/2 /2 /2 /22 3 4 2
0 1 2
0 0 0 0
sin
sin
sin .
a dx a x dx a x dx x dx
a x dx a x dx a x dx x x dx
a x dx a x dx a x dx x x dx
� � � �
� � � �
� � � �
⎫⎪+ + =⎪⎪⎪⎪⎪+ + = ⎬⎪⎪⎪⎪+ + =⎪⎪⎭
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
-.
"� �����5��� -.����� �����2 3
0 1 2
2 3 4
0 1 2
3 4 5
0 1 2
12 8 24
18 24 64
2 1 ,24 64 160 2
a a a
a a a
a a a
� � �
� � �
� � � �
+ + =
+ + =
⎛ ⎞+ + = −⎜ ⎟⎝ ⎠������ �� ����� �
0 2 3
1 2 3 4
2 3 4 5
18 96 480
144 1344 5760
240 2880 11520.
a
a
a
� � �
� � �
� � �
⎫= + − ⎪⎪⎪⎪= − − + ⎬⎪⎪⎪= + − ⎪⎭
-.
���� ����������������� ����������� �� ��1� ���� �� 68��� H+7� �� ������������ -.� ���� -.�2�� �� ������� ��� ������� �� � 1� � H#�
2 3
3 60 240sin 0.706167587.x
π π π≈ − − + =
����������� ����� ����-� H#.�1�8�<8<(8/<=(������������������������������������ ����� �� 8�888>&>(>#�
4.4.1 Orthogonal Polynomials
����������������������������������������������������������������� ����������� ����������� ��� �� ���������� �������� ����� ������������ ���� ���?�������� ���� ������ ���������� ���� ������������ ��� �� ���� �� ����� �����������������������I����������������������������������� ������������� �������������������������������������� ��������������������������������������� �������������������� ����J������������������������������������������� ���� ������ ��� ���� ������� ?������ � ��������� ������� ��� �� ���� ������������ ����'�������� ���� �� ����� ������ ���������� ���� ��� ������ ���������������� ����E��������� ��� ���� �C���������� ������������ ���������������� �������������������� ����� ����������� ��������� ����� ������ ������� ���� ���� �� ��������� �� ���
;�� ������� ���� ����������� �� ���� ���9
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ),n nY x a f x a f x a f x= + + +� -#�#+.
����� �� -.� �� �� �� ���� � �� � ��� ������� !������� ��� ����
20 1 0 0 1 1( , , , ) ( ){ ( ) [ ( ) ( ) ( )]} .
b
n n n
a
S a a a W x y x a f x a f x a f x dx… = − + + +∫ � -#�#&.
!��� �� ��� ��� ���� ��� ���� ����
0 0 1 1 00
0 0 1 1 11
0 0 1 1
0 2 ( ) { ( ) [ ( ) ( ) ( )]} ( )
0 2 ( ) { ( ) [ ( ) ( ) ( )]} ( )
0 2 ( ) { ( ) [ ( ) ( ) ( )]} ( )
b
n n
a
b
n n
a
b
n n nn a
SW x y x a f x a f x a f x f x dx
a
SW x y x a f x a f x a f x f x dx
a
SW x y x a f x a f x a f x f x dx
a
⎫∂ ⎪= = − − + + +∂ ⎪
⎪⎪∂ ⎪= = − − + + + ⎪∂ ⎬⎪⎪⎪⎪∂ = = − − + + + ⎪∂ ⎪⎭
∫
∫
∫
-#�##.
"�����#�#9 B���������0�����"�����������$���������!������� 143
144 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
���� ���� � ��������� ���� ���� ����� ��
20 1 0 1 00
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
b b b
n n
a a a
b
a
a W x f x dx a W x f x f x dx a W x f x f x dx
W x y x f x dx
� � �
�
� � �
�
�
20 1 0 1 11
1
20 0 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
b b b
n n
a a a
b
a
b b b
n n n n
a a a
b
n
a
a W x f x f x dx a W x f x dx a W x f x f x dx
W x y x f x dx
a W x f x f x dx a W x f x f x dx a W x f x dx
W x y x f x dx
� � �
�
� � �
�
� � �
�
� � �
�
�
�
�
-#�#%.���� ������ ������ ���� ��� ������� ���� �� �� ��
0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0, 1, 2, , .
b b
j j
a a
b b
n n j j
a a
a W x f x f x dx a W x f x f x dx
a W x f x f x dx W x y x f x dx j n
+ +
+ = = …
∫ ∫
∫ ∫
�
-#�#/.
���5��� -#�#%.����� ������������� ��� ���� ����� �-. �-.� �� ���� ����������� ����� ��� ������ ����
2
0,
( ) ( ) ( )( ) ( ) ,
bb
p qpa
a
W x f x f x dxW x f x dx
⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪⎩
∫ ∫ ,
p q
p q
≠
=-#�#<.
����� ���� ������ -#�#%.� �������� ��
20 00
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
b b
a a
b b
n n n
a a
a W x f x dx W x y x f x dx
a W x f x dx W x y x f x dx
=
=
∫ ∫
∫ ∫
�
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
��
�
!��� ���� ��������� ��������� ��� �����
2
( ) ( ) ( )
,
( ) ( )
b
j
aj b
j
a
W x y x f x dx
a
W x f x dx
=∫
∫0, 1, 2, , .j n= … -#�#=.
"���������� �� ���� ���� )�� ��� �� 5��� -#�#+.� ����� �� ��� ���� �������� ������������ ������������ ���� ���� �������� ��-.�� ��-.�� )�� ��-.� ���� �� � ������������� �� -.������������� ���� ���������������������������-#�#<.������� �������������"�������������������������������������� ��������������� ���� ������ �������� �-.�� ����� � ��� ��� �������� �� �� �� ������ ��� ���� ���� �� ���� ��� ���� ���� ����� �� ��� �� ��� �� #�(�
Table 4.1 Orthogonal Polynomials*
Name fj (x) Interval W(x)
Jacobi α β( , )( )nP x [–1, 1] α β α β− + > −(1 ) (1 ) ( , 1)x x
Chebyshev ( )nT x −[ 1, 1] −− 2 1/2(1 )x(first kind)
Chebyshev ( )nU x −[ 1, 1] − 2 1/2(1 )x(second kind)
Legendre ( )nP x −( 1, 1) 1
Laguerre ( )nL x ∞[0, ) −xe
Hermite ( )nH x −∞ ∞( , ) − 2xe
2� ����� ��������� ��� ���� �������� ���������� ��� ���� $���������� ���� ��#�-.��������������� ����������������������������������� ��� ����� �� �� ����� ���������� ���� ���������;������ ������� ��� ���� ����������� �������� ������������������ �������������������������2������������� ���� ���� ��������� �� -.� ���� ���� ��� ��� ���������� ������ ���� �������� ������� ���� EK��3"����� ��������� ����� ��������C� ����� ���� ���������� ��������������� ���� ���� �����������������������������������������
4.4.2 Gram–Schmidt Orthogonalization Process
"������������������������� ��� ���� ���-.���� ��������������� �6�� �7��������� ������ ���� ��� ������ �������� ���
��-.� 1� ( -#�#>.
����� ����� ��� �� ����������� �������� � �� ������ ��� ���� ���������� ��� ��������� !"
"�����#�#9 B���������0�����"�����������$���������!������� 145
146 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
���������������� ������� ���� ���-.������ ������������������������� ��
� ��-.� 1� � 4� $���� ��-.� -#�%8.
������$�� ������������������������������ "������-.�������-.�������������� ���� ����
20 1 0 1, 0 0( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
W x f x f x dx xW x f x dx k W x f x dx= = +∫ ∫ ∫����� 5���� -#�#<.� ���� -#�#>.� !��� ���� ������� ��� �����
0
1, 0
20
( ) ( )
( ) ( )
b
ab
a
x W x f x dx
k
W x f x dx
= −∫
∫-#�%(.
���� 5��� -#�%8.� ����
0
1
20
( ) ( )
( ) .
( ) ( )
b
ab
a
x W x f x dx
f x x
W x f x dx
= −∫
∫A���� ���� �� ���� � ��-.�� ��� ������� +� �� � �������� ������ ��� ��� ����� ������� ��
22 2,0 0 2,1 1( ) ( ) ( ),f x x k f x k f x= + + -#�%+.
��������������������$������� $�������������������������������������������� ����������� �� 5��� -#�#<.� "���� ��-.� �� ��������� � ��� ��-.� ��� ����
20 2,0 0 2,1 1( ) ( )[ ( ) ( )] 0.
b
a
W x f x x k f x k f x dx+ + =∫"��� 0 1( ) ( ) ( ) 0,b
a W x f x f x dx =∫ ���� ������ �������� ����
2 20
2,0
20
( ) ( ) ( )
.
( ) ( ) ( )
b b
a a
b b
a a
x W x f x dx x W x dx
k
W x f x dx W x dx
= − = −∫ ∫
∫ ∫-#�%&.
2����� ����� ��-.� �� ��������� � ��� ��-.�� ��� ����
21 2,0 0 2,1 1( ) ( ) [ ( ) ( )] 0.
b
a
W x f x x k f x k f x dx+ + =∫@���� ���� �������� ���� 0 1( ) ( ) ( ) 0,b
a W x f x f x dx =∫ ���� ������ �� ��
21
2,1
21
( ) ( )
.
( ) ( )
b
ab
a
x W x f x dx
k
W x f x dx
= −∫
∫-#�%#.
"��� $���� ����$���� �����������5��� -#�%+.��������� ��-.� :��������� �� �������� ���� ������ ���� ��� ������ ��� ���� ��� ����
, 1, 0 0 ,1 1 1( ) ( ) ( ) ( ),jj
j j j j jf x x k f x k f x k f x− −= + + + +� -#�%%.
������ ���� ��������� $���� ���� ��� ������� ����� � �-.� �� ��������� � ����-.�� ��-.� )�� ����-.� ������ ��������� �� �
,
2
( ) ( )
.
( ) ( )
bj
i
aj i b
i
a
x W x f x dx
k
W x f x dx
= −∫
∫-#�%/.
"���� ���� ��� ���� ��-.� �� 5��� -#�#+.� ���� ������� ���� ����������� -.� ������������������� ������ ��������� �� ��������������������������������
������� �� *����� ���� ����'����� ��������� � �� ���� � ��-. �� 63(� (7���� �������� ��� ���� ������ ������� ( ) 1.W x =0��� ��-.� 1� (�� ����� 5�� -#�%(.� ����
1
11, 0 1
1
0.
x dx
k
dx
−
−
= − =∫
∫;�� ����� ������ ����5��� -#�%8.� ��-.� 1� � 5�������� -#�%&.� ���� -#�%#.� ������������ �
12
12, 0 1
1
1
3
x dx
k
dx
−
−
= − = −∫
∫
"�����#�#9 B���������0�����"�����������$���������!������� 147
148 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
���1
2
12,1 1
2
1
0.
x x dx
k
x dx
−
−
= − =∫
∫����� 5��� -#�%+.� �� �� ��-.� 1�
�� 3� (H&���� �� � ��� ������� ��� �����
13
13, 0 1
1
13
13,1 1
2
1
13 2
13, 2 1
2 2
1
0,
3,
5
( 1/3)
0.
( 1/3)
x dx
k
dx
x x dx
k
x dx
x x dx
k
x dx
−
−
−
−
−
−
= − =
= − = −
−
= − =
−
∫
∫
∫
∫
∫
∫��� �� ��� �� ������� ����
33
3( ) .
5f x x x= −
����� ���� ����������������� ��� ���� ������(������3�(H&�������3� -&H%.��������� ���� �������� ���%�������"����������������������� ����������� &�-.�� ��� �� ����� ��� ������ ����� ������ �� ���� �� ������� ���� ��������� ����������������5���-#�#<.��2������������� ���������0���������� ���� �������� �� ������ � ���������� -��� $������� /.�
4.5 APPROXIMATION OF FUNCTIONS
�������� ����� ����������� �� �������� �� �� ������ � ���� �� �������� ��� ���� ���� ��� ��� ��������� �� ���� ���� ������ ��� ��������� ���� ���� ����������!���������� ������ �������� ������ ����� ���������������������
��� ������� ���������������������������������� ����������������������������� �������� �������� ������������
0��� ���� ����)�� ��� ��� ���� �� ���� ��� ���� ����� �������� ���� ��������)�� ������������������������ ��������������������������������������������� ����������������������������������������������� ���1� ���3���������������������� ��� ������� �� �� ������ ��� ������ !��� ���� ��� ��� ��� ���� �������������� ����� ����� ���� ������� 2 2 2
21( )ne e e+ + +√ ����������� ���
����� ��� ��� ���� ����� �������� ������������������������ � ������ �������*������������������������������������������������������������������������ ��� �� �� � ��� ���� ����� ��� ��� ���� E�� �������� $���������� ���� �C���������������������������� ���������������������� ����������� �� ���� � ���������
��� ���� ����������� ��� � ���� �� ����� ��� ��� ���$��������� �� ���� ����� ����� ��� ������� �� ���� ����� ����� ��� ������ ������D
4.5.1 Chebyshev Polynomials
����$����������� ���� ���������������������������� �63(� (7 �������� �������� ����
1( ) cos ( cos ),nT x n x−= -#�%<.
��������� �� ���� ����� �� ���� �� ����
( ) ( ).nnT x T x−= -#�%=.
0�� 1cos x �− = �� ���� cosx �= ���� -#�%<.� ����
( ) cos .nT x n�=?����
0 ( ) 1T x = ��� 1( ) .T x x=
@���� ���� ����������� ������
cos ( 1) cos ( 1) 2cos cos ,n n n� � � �− + + =������������ �
1 1( ) ( ) 2 ( ),n n nT x T x xT x− ++ =����� �� ���� ���� ��
1 1( ) 2 ( ) ( ).n n nT x xT x T x+ −= − -#�%>.
���� �� ���� ���������� ��������� ����� ���� ��� ����� ��� ��������� �� ������� ( ),nT x ����� ��� ���� 0 ( )T x ��� 1( ).T x ���� ����� ������ $���������� ���� �����9
�#�$��� �� ��%� ��� &��'��� ����(!� $��� $������ ��� �� ��� ����� ��� �������� �$)��������� �� ������ �"
"�����#�%9 2�������������!������� 149
150 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
0
1
22
33
4 24
5 35
6 4 26
( ) 1
( )
( ) 2 1
( ) 4 3
( ) 8 8 1
( ) 16 20 5
( ) 32 48 18 1.
T x
T x x
T x x
T x x x
T x x x
T x x x x
T x x x x
= ⎫⎪⎪=⎪⎪= −⎪⎪= − ⎬⎪
= − + ⎪⎪⎪= − +⎪⎪= − + − ⎭
-#�/8.
���� ������ ��� ���� ����� ����� $��������� �� ���� �� ���� ������ �� !�� #�(
–1 0 1 x
–1
1T x4( )
Tx
1( )
T x3( )T x2( )
T xn( )
Figure 4.1 Chebyshev polynomials =( ), 1, 2, 3, 4.nT x n
��� �� ����� ��� ���� ����� ���� ���������� �� nx �� #�-.� �� � ���� +���� !��������� �� ���� �� 1� #�-.� 1� ���� ���� ����� ��� ���
sin
sin
dy n n
dx
�
�=
���2 2 2
2 2 2
cos sin cot ( / )
sin 1
d y n n n n n y x dy dx
dx x
� � �
�
− + − += =−
��� ����
22 2
2(1 ) 0,
d y dyx x n y
dxdx− − + = -#�/(.
����� �� ���� ������������ �������� ���������� �� ( ).nT x
������ �������� ����������������������������������$����������� ���� ��;�� ���
0
1
20 2
31 3
40 2 4
51 3 5
60 2 4 6
1 ( )
( )
1[ ( ) ( )]
2
1[3 ( ) ( )]
4
1[3 ( ) 4 ( ) ( )]
8
1[10 ( ) 5 ( ) ( )]
16
1[10 ( ) 15 ( ) 6 ( ) ( )].
32
T x
x T x
x T x T x
x T x T x
x T x T x T x
x T x T x T x
x T x T x T x T x
= ⎫⎪⎪=⎪⎪= + ⎪⎪⎪= + ⎪⎪⎬⎪
= + + ⎪⎪⎪
= + + ⎪⎪⎪
= + + + ⎪⎪⎭
-#�/+.
����������������������������� ��������� ������������ ������������� �������� ��� ��������� �����
2�� �������� �������� ��� #�-.� �� ����� ��
1
21
0,( ) ( )
/ 2, 01
, 0
m n
m nT x T x dx
m nx
m n
�
�−
⎧ ≠⎪⎪= = ≠⎨
− ⎪ = =⎪⎩
∫ -#�/&.
�������������� ���� � #�-. ������������������������������ 21/ (1 ).x−√ ����������������� ����������������������� �1����������������������� �������
0 0
0
(cos ) (cos ) cos cos
sin( ) sin( ),
2( ) 2( )
m nT T d m n d
m n m n
m n m n
� �
�
� � � � � �
� �
=
⎡ ⎤+ −= +⎢ ⎥+ −⎣ ⎦
∫ ∫
���� ����� �� ��� ���� �� ���� ����� ��� ���� ����� ��� ��� 5��� -#�/&.�;������������������ ���� #�-. ������ ���� ������������� ������� ����
���������������� � � #�-. � +���� �������������� ����������������������
�� ���� ��� ���� $��������� �� ���� �� �� ����� ���� ��������� �� � ������ �� &�-. �� �� ���� �� ���� �� ����� ��� ���� ����
1( ) 2 ( ),nn nP x T x−= ( 1).n ≥ -#�/#.
2� ������� �� ��������� ��� $��������� �� ���� �� �� ����� �� ��� �����"����������� &�-.� �� ������ � ���� ������� ����������� ������ ������ ���
"�����#�%9 2�������������!������� 151
152 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
"���������� +���#�-.�� ��� ��� �������� ����� �""�� ����� ��� ��� ��������'���� �� ��� ������ -3(� (.� "��� L#�-.L� �� (�� ���� ������ ������ ��������� ��������� +�������������$���������������������������������������������� ��� ���������� �� ������ ��������� ��� ���������"�����"��� ���� ����� ���� � ��5��� -#�/#.� �� �� ��� ����������"�����������I�� ���� ���������� ���� ������ ���� ����� ����'������ ������������ �� ��� ���� �������""����������� ��� �� ����� �� ���� �� ���� �� ��������� �� ���� �� �������� ��
������� ��� !��� ���� ����� ����'������ ����������� ��� ���� ����3 22 3 .x x+ @���� ���� �� ������ ����� �� 5��� -#�/+.�� ��� ����
3 2 23 1
21 3
23 1
22 3 [ ( ) 3 ( )] 3
4
3 13 ( ) ( )
2 2
3 13 ( ), since ( ) .
2 2
x x T x T x x
x T x T x
x x T x T x x
+ = + +
= + +
= + + =
���� �� ���� � &�� 4� -&H+. � �� ���� �������� ����'������ ������������ ���� ����� ����� ���� �� ���� ������ M(H+� �� ���� ����� -3(� (.�2� � ��� ��� ������ ��� $��������� ������ �� ���� �������������� ��� ����������� �� ��������� �����
4.5.2 Economization of Power Series
��� �������� ���� ��������� ����� �� ������� �� ���� ��� 0��� ���� ��� ����������� ������ ������ ��������� �� � -.� �� ���� ���
20 1 2( ) ,n
nf x A A x A x A x= + + + + ( 1 1).x− ≤ ≤ -#�/%.
@���� ���� �� ����������� ��5��� -#�/+.������������� ���������� ������ ��������������� ��$��������� �� ���� ���;�������
0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ).n nf x B B T x B T x B T x= + + + +� -#�//.
!��� �� ����� ������ ��� ���������� ��� ��������� ��� �� 5��� -#�//.� ���������������� ���� ���� �� ����� ���� ������ ������ ����� ��� 5��� -#�/%.�� ����� ������ ��� ������������� �� ��� "� �� ������� ���� �� ��������� �5��� �� #�(#�
������� �� 5���� �� ���� ������ �����
3 5 7.sin
6 120 5040
x x xx x≈ − + −
"���� (H%8#8 1 8�888(>=)�� ���� ���������� ������� � ��
3 5
sin6 120
x xx x≈ − + -.
� �������������������� ��������������� �� ������ ���;�������������� ���������� ��� � �� 5��� -.� ���� $��������� �� ���� �� ��� ����� ���� �� ���������� �� 5��� -#�/+.�� ���� ����
1 1 3 1 3 51 1
sin ( ) [3 ( ) ( )] [10 ( ) 5 ( ) ( )].24 120 16
x T x T x T x T x T x T x≈ − + + + +×
"� ����� ���� ���������� �����
1 3 5169 5 1
sin ( ) ( ) ( ).192 128 1920
x T x T x T x≈ − + -.
"��� (H(>+8 1 8�888%+)� ���� ���������� ������� � ��
1 3169 5
sin ( ) ( )192 128
x T x T x= − -.
� � �������� �� ������� �� ���� ������� ���� � � ���� �� ���@���� ���� �� ���������� �� 5��� -#�/8.�� ���� ����� ��� ������ ��� ����������� ����� ��
3 3169 5 383 5sin (4 3 ) .
192 128 384 32x x x x x x≈ − − = −
4.6 FOURIER APPROXIMATION
���������������������������������������!������������������������������� ����������������� �� ����������� � ����� ������� ��� ������� ��������������� �������� 0��� ���� �������� � -�.� ��� �� ������� �������� ���� �����# N 8�� ���� ��
� -�� 4� #.� 1� � -�.� -#�/<.
������#��������� ������ ������������5�� -#�/<.�����������!����������� ���� -�.� �� ������� ��
0
1
2 2( ) cos sin ,
2 n nn
a nt ntf t a b
T T
� ��
�
� �� � �� �� �� -#�/=.
����� �� ��� nb ������� ��������������������������� ���1�+� H#����� �� ��������������������������������������� +� $H#� $�1�+��&�)������� �������������
����������� ����� ���� ����� ��� 5��� -#�/=.� ��� 8 �� #� ��� �����
0 0
0 0 0
2 2( ) cos sin ,
2 2
T T T
n na ant nt
f t dt dt a b dt TT T
� �� �� � � �� �� �� � �
"�����#�/9 !������2��������� 153
154 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
����
0 0
2 2cos sin 0.
T Tnt ntdt dt
T T
� �� � � �� �� � � �� � � �� �?����
0 0
2( ) .
Ta f t dt
T� � -#�/>.
2����� � �� ���� ����� ���� ����� ��� 5��� -#�/=.� ��� ��� -+���H#.� ���� �������������� ��� 8 �� #� ��� ���
0
2 2( )cos ,
T
nnt
a f t dtT T
�� �� � �� �� -#�<8.
����
0
2 2cos sin 0.
T nt ntdt
T T
� �� � � � �� � � �� � � ��
!�� ��� � �� ���� ����� ���� ����� ��� 5��� -#�/=.� ��� ��� -+���H#.� ���� �������������� � ��� 8 �� #� ��� �����
0
2 2( )sin .
T
nnt
b f t dtT T
�� �� � �� �� -#�<(.
����� ���� �������������� ��� ������ ��������������������-#�/=.�������� �������� #� 1� +��� ���� �� � -�.� �� ��� ����� +�� 5���� -#�/>.3-#�<(.� �����9
01
( ) ,
1( )cos ,
1( )sin .
n
n
a f t dt
a f t nt dt
b f t nt dt
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�� �
���
� ���
� ��
�
�
�
-#�<+.
���� !������ ������ ������� �������� �� ���� �� � -�.� �� ��� ����� ��� ������������ ��� � -�.� �� ������ ����� ��� ����
0
1
0
( ) cos ,2
where
2( )cos ,
nn
n
af t a nt
a f t nt dt�
�
�
�
�� � �
��������
�
�
-#�<&.
���� ��� 1� 8�
" �� ��� � ( )f t �� ��� ���� ��������� ����� ��� ����
1
0
( ) sin ,
where
2( )sin .
nn
n
f t b nt
b f t nt dt�
�
�
�
�� �
��������
�
�
-#�<#.
���� ��� 1� ��� 1� 8��������� ���-#�/=.3-#�<(.������������������������������������!�� ����
���� �� '������ �� ������ ���� ����9
cos2
int inte ent
−+= ��� sin .2
int inte ent
i
−−= -#�<%.
@���� 5��� -#�<%.�� 5��� -#�/=.3-#�<(.� ���� ��� ���������� ��
2 /( ) ,ipt Tp
p
f t A e �
�
� ��
� � -#�</.
�����
/ 2 2 /
/ 2
1( ) ,
T ipt Tp T
A f t e dtT
��
�
� � 0,1, 2,p = … -#�<<.
������ ���� �������� �� ������� ��� ����������������!������ ��������������������� ����� ��� �������� ��� ��������� ���� �� ��� !������ ������
������� ��� !��� ���� !������ ������ ��� ���� �������� ������� ��
1, 0
( ) 0, 0
1, 0 .
t
f t t
t
�
�
− − < <⎧⎪= =⎨⎪ < <⎩
���� ������ ��� ���� ����� �������� �� ������ �� !��� #�+
π –π t0
–1
1
f t( )
Figure 4.2
!���������������������������������� -�.������������������ ?�������� !����������� ��� � � -�. �������� �� �� ���� ���������� ���
"�����#�/9 !������2��������� 155
156 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
;��� ����������� ����
1
( ) sin ,nn
f t b nt�
�
��
�����
0
0
0
2( )sin
2sin , since ( ) 1
2 1cos
2[1 ( 1) ]
4, 1, 3, 5,
n
n
b f t nt dt
nt dt f t
ntn
n
nn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �� �� �� �
� � �
� �
�
�
��� �� ���� ����
1,3,5,
4 4 1 1( ) sin sin sin 3 sin 5 .
3 5� �
�
�
� �� � � � �� �� ���
n
f t nt t t tn
4.6.1 Fourier Transform
��� ���� ��������� �������� ��� ���������� ���� !������ ������ ���� ��������������� ������ ������ ��������� ������ � ��������� ����� ���� ���� �������" �� �����������������������������������������-�������� ��� ������.����������"�������� �������������������������������������� �������� ��������������� ��� ������������ ����!������ ��������� �� ���� ��� ��� �� ��� � ��������������������������5����-#�</.�����-#�<<.����������#��������� ���������������������������������������� ;��� #�����5�� -#�<<.������� �������� ���� ���
00( ) ( ) ,i tF i f t e dt�
�
�
�
��
� � -#�<=.
�������� �������(�������������������� -�.� " �� ���5���-#�</.��������� ��
00 0
1( ) ( ) ,
2i tf t F i e d�
� �
�
�
��
� � -#�<>.
�������� ���������'����(������������������ � -�.� 5��������-#�<=.���� -#�<>.���� �� ��� ��� ��������� ���� ��� ����� ��� ���������� ����� ���� ������������� ��� ��� ������ ��������� ��� :����� �� 0( )F iω ����������� ������������� �������� ��� ���� ���� �� ��� 5��� -#�<=.�� ���� �������� � -�.� �� ���� ������������������������������ ��������������������� �������������� �������
� -�.� �� ��� �� �� �� �� �� �� �������� ����� ��� ����� �� ������ �������� ��� �������� ����� ���� ������ �� ���� ����� ��� ������� ���� ����������� ������ ����������� ��� ����)������� (������ #���������* ���� ��������� �� ���
4.6.2 Discrete Fourier Transform (DFT)
0��� � -�.� ��� �������� ��� ���� ������ ���� �� 1� 8�� (�� +��)��+ 3 (�� ���� �� 1�T
N�
��� ��� �������� ���� �� ��� ��� � -�.� ��� �� 1� ���� ����� ���� �������� !������ ��������-O!�.� ���� ���� ��'���� �������� (������ ��������� -�O!�.� ���� ������� ��
12 /
0
. ,N
ikp Np k
k
F f e �
�
�
�
� � "� 1� 8�� (�� +�� )�� + 3 ( -#�=8.
���1
2 /
0
1. ,
Nikp N
k pp
f F eN
�
�
�
� � $� 1� 8�� (�� +�� )�� + 3 ( -#�=(.
O������2 / ,�−= i N
NW e -#�=+.
5�������� -#�=8.� ���� -#�=(.� �����
1
0
. ,N
kpp k N
k
F f W�
�
� � p = 0, 1, 2, …, + 3 ( (4.83)
���–1
–
0
1,
Nkp
k p Np
f F WN
�
� �� k = 0, 1, 2, …, + 3 ( (4.84)
���� ������ ��������� ����� ��������� ��� �� ��� ���� �������� !������ ��������-O!�.� ���� ���� �������O!������� ����������� L ( L� �������������������������� ��������� ������� ��� ���� ������ "� 1� 8�� (�� +�� )�� + 3 (�� ���� ��� ����
( � �� 1� ( -#�=%.
!���5��� -#�=&.�� ������������� ����� ����������������������� ����O!���������� ��� �������+� ��� ���� �� ������� ���� -+ 3 (.� ��� ��� ��������?����� ����+3����� O!�� ��������+�� ��� ��� � �� ������� ����+-+ 3 (.��� ��� ��������
���������� �� ��
-.� "������ ��������
/22
2/2 2– , since –1.
��
+
− −
= ⋅
= = = =
Nk
k NN NN
Ni
k N iNN N
W W W
W W e e
"�����#�/9 !������2��������� 157
158 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
-.� :������ ��������
–2 / –2, since 1.
k N k NN NN
k N iN N iN N
W W W
W W e e� �
�
� �
� � � �
-. 2������� ����� � ��������2 2 2/ 4 /� �− −= =i N i NNW e e
���2 /2 4 /
/2i N i N
NW e e� �� �
� �
?����2
/2 =N NW W �
2� ����� � ��� ���� ����� �� �������� �� ���� ������� � ��� ������� ��� !�������������� -����� ��� ��������� �� ����� ����, �� �� ��� ���� "� �� �"����������� �� �� � ��� ��� ���� ������ ������� ����������� ��� � -�.� �� �� �������� ������ ����� ������+�� ����� ���� "� �� &� �� ������� ��� ���� �� ����
1 12 2
0 0
1| | | |
N N
k kk k
P F fN
� �
� �
� �� � -#�=/.
����������� ���� ��������2| | , 0,1, 2, , – 1k kP f k N� � � -#�=<.
�� ���� ���������� ��� ������ ��� �� �������� ��� ���������� ���� �� �� ��� ���"� ����������"������������������������ ��"����(������������������������� ������+�� �� �� ���� ����� ���� �������� ��� (�� -$� 1� 8�� (�� +��)��+� 3� (.�� � ��� �� ������� ��������� ���� ������+�
Matrix Representations of Equations -#�=&. ��� -#�=#.�;�� ����
1
0
2 ( 1)0 1 2 1
( ) , 0,1, 2, , 1.
, 0,1, , 1.
�
�
�
�
� � � �
� � � � � � � �
�
�
Nkp
k Nk
p p N pN N N N
F p f W p N
f f W f W f W p N
:������ "� 1� 8�� (�� +��)��+ 3 (�� �� ���� ������ ��������� ��� �����
0 0 00 0 1 2 1
1 2 11 0 1 2 1
2( 1) ( 1)( 1)11 0 1 2 1
N N N N
NN N N N
N N NNN N NN N
F f f W f W f W
F f f W f W f W
F f f W f W F W
�
�
�
� � ��
� �
� � � � �
� � � � �
� � � � �
�
�
� �
�
���� ��������� ���� ��� ���������� �� ���� ����� ���9
0 01 2 1
1 1
2( 1) ( 1)( 1)11 1
1 1 1 1
1
1
�
� � ��
� �
� �� � � �� �� � � �� �� � � �� � �� � � �� �� � � �� �� � � �� � � �� �
�
�� � � � �� �
�
NN N N
N N NNN NN N N
F f
W W WF f
F fW W W
(4.88)
��
� � � � � �� NF W f
��� �� � ��� ����� 5��� -#�=#.� ���� ��� ���������� ��
[ ] [ ]*1,⎡ ⎤= ⎣ ⎦Nf W F
N(4.89)
������ *NW � �� ���� ��� ��� ���������� ������
������� ��� @���� �������� ���� ���� O!�� ��� ���� ��������
��� 1� P(�� +�� &�� #Q�;�� ����
3
40
, 0,1, 2, 3.=
= ⋅ =∑ kpp k
k
F W f p
���� ����� �������������� �
0 01 2 34 4 41 12 4 6
2 24 4 4
3 6 93 34 4 4
1 1 1 1
1
1
1
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
F f
W W WF f
F fW W WF fW W W
� � � � �
1 1 1 1 1 10
1 – –1 2 –2 2
1 –1 1 –1 3 –2
1 –1 – 4 –2 – 2
i i i
i i i
� � � � � �� � � � � ��� � � � � �� �� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � �
������� ��� !��� ���� ������� O!�� ��� ���� ��������
(� 1� P(�� ( 3 ��� 3(�� ( 4 �Q�;�� ����
� � � �*1Nf W F
N� �� � �
"�����#�/9 !������2��������� 159
160 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
!��� +� 1� #�
� �
1 1 1 1
1 – –1
1 –1 1 –1
1 –1 –
� �� �� ��� �� �� �� �
ni i
W
i i����������
*
1 1 1 1
1 –1 –
1 –1 1 –1
1 – –1
� �� �� �� � �� � � �� �� �� �
Ni i
W
i i?����
[ ]
1 1 1 1 1 2
1 –1 – 1– 41 11 –1 1 –1 –1 –24 4
1 – –1 1 0
0.5
1.0
–0.5
0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
i i if
i i i
������� ��� !��� ���� O!�� ��� ���� ��������
��� 1� P+�� +�� +�� )�� +Q�� ���� $� 1� 8�� (�� +�� )�� + 3 (�
;�� ����
� � � � � �
12 /
0
, 0,1, 2, , 1�
−−
== = … −∑
Nipk N
p kk
F f e p N
� � � � � � � � �
12 /
0
2 , since ( ) = 2 for all .�
−−
== ∑
Nikp N
k
e f k k
2 / 2 2 / 2 ( 1)/2 1 ,� � �− − − −⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦�ip N i p N ip N Ne e e
����� �� �� �������� ����������� ���� 2 /�−= ip Nr e �
12 .
1
−= ⋅−
Nr
r����
2
2 /
12 , 0,1, 2, , 1.
1
�
�
−
−
⎡ ⎤−= ⋅ = … −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
ip
p ip N
eF p N
e
!��� "� 1� (�� +�� &�� )�� + 3 (�(� 1� 8�
!��� "� 1� 8�� (� �� ��� ���� ����0
0�� I�� 0C?����� C�� �� ��� ��� �����
2
0 2 /0
12 lim 2 .
1
�
�
�
��
�
� �
�
ip
ip Np
eF N
e?����
2 , 0
0 1, 2, 3, , 1
=⎧= ⎨ = … −⎩p
N pF
p N
4.6.3 Fast Fourier Transform (FFT)
�����������������O!��������� ��-#�=&.���������+����� ���� �� ����������+-+�3�(.���� ���������������� ������������������������������� ������� -�.����� .kp
NW �I��������������������������������������������������
���������� ��� .kpNW �2��+� ���������� ���� ���������� ���O!�� ������� ����
���� ����� ����������� ���� ������� �� ��3�������� ��������
����(���(������#��������-!!�.�� ����������������������������
������������������������ kpNW ���������������O!���������������������
�����������+� ���+��������������������������������������������������� ����� ������������ ���� !!�� �� ���� �������� ��� ���� O!��� !��+�1�%8���������� �������!!����������������+%8���� ����������������������� ������ +%88� ��� ��� ���������� �������� ��� ���� ������ ���� ��� 5��� -#�=&.�
������ ����� ������ � !!�� � ������� ���� ���� ����� ���� ������ � � ������� ����� �� O!�� ��� ������ +� �� ��������� -��� �� �.� ���� ���������� �� ��O!�C���*���� �������� ���������� �������'+�� �������������� �����+� ��� ������ ��� +�� ���� �������� �� ������� ���� �� ������ ���� ��� ����� ������������ ������ 2������� ��� ��� ����� ���� ������ ��� � ������� �� ���� �������� ���-�.��������'�'���-O��.�����-�.�O������'�'���������-O�!.�� ���� $�� ��3������ � ������ �� ����� ��� ���� ����� -�.�� ��������� ���"����3������ � ������ ��� ���� ����� -�.��I���� ���� � ������� �������+� ���+�������������������$�� ��3������� �����������������������������������
4.6.4 Cooley–Tukey Algorithm
���� � ������ ������� ����� + �� ��� ������ � ������ ��� +�� ����� +� 1� +�������� � �� ��� �������� ���� ����� ���� ��� ���� � ������ �� ��� ������������ +'����� O!�� ���� ���� +H+'����� O!�C�� ����� ��������� ����� ��� ���+H+'����� O!�C�� ���� ���� +H#'����� O!�C�� ���� ��������� ���� ���������� ���� ������+H+� ���'�����O!�C��� ��� �� � ���� �������� ��������� ������ ��������� ����
"�����#�/9 !������2��������� 161
162 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
��� �������� ���� � ���������� ����� �������� ���� �����+� 1� #�� ������� 1� +�0��� ���� ���� ���� ��� ��� ���� ��������� ��� �� ���� ��� � -�.�� ����O!�� ���� ��� �� ����� ��
3
40
, 0,1, 2, 3.pkp k
k
F f W p�
� �� (4.90)
�������� 1� �
������� 1� 3�
;�� �� �� ���� ��� ��� ���� ����� ���� ��� 5��� -#�>8.� ���� ���� ���� � ������ �� ������ +�� ���� ��������� ���� ����'������� �� ���� ��� � -�.� ���� ���� ������� ������'������� �� �����;��� ����������� ����
4 40, 2 1,3
kp kpp k k
k k
F f W f W� �
� �� � -#�>(.
:������ $� 1� +�� �� ���� ����� ��� ���� $� 1� +�� 4� (� �� ���� ������� ��� ��5��� -#�>(.�� ��� �����
1 12 (2 1)
2 2 14 40 0
1 1
2 2 12 4 20 0
, 0,1
rp r pp r r
r r
rp p rpr r
r r
F f W f W
f W W f W p
�
�
� �
�
� �
� �
� � �
� �
� �
�������������� ����� ���� ����� �������������� ��� ���� ��� -����'��������� ���.���� ���� ������� ��� ��� ���� ��� -���'������� �� ���.��2� ���������� ������������������������������������������������������������������������������ �D�;�� ���������� ����
4 , 0,1� � �pe o
p p pF F W F p -#�>+.�����
1
2 20
rpep r
r
F f W=
= ∑���
1
2 1 20
�
�
��rpo
p rr
F f W
"� 1� 8�� ( -#�>&.
"����(� �� ������� ���� ������ +�� ��� ����
22 4
4
, 0,1
, 0,1
�
�� � �
� � �
pe op p p
pe op p
F F W F p
F W F p -#�>#.
* Numerical Recipes in FORTRAN, CUP, Indian edition [1994].
��
��
��
��
�
����2
4 1.W = −
!��� 5���� -#�>+.� ���� -#�>#.�� ��� �����
(�� 1� ��� 4� ��� 4� ��� 4� ��(�� 1� ��� 3� ��� 3� � - ��� 3� ��. -#�>%.(�� 1� ��� 4� ��� 3� - ��� 4� ��.
(�� 1� ��� 3� ��� 4� � - ��� 3� ��.
G��� ��� ��� 5��� �� #�(/� �� ��� ��� �� ���� 5���� -#�>%.����� ����������� ��� ���� 5���� -#�>+.� ���� -#�>#.� ��� ���� #'����
O��3!!�� ���� ������ �� !��� #�&� �� ��� ��� ����"��
f2
f3
f1
f0
F0o
F1o
F0e
F1e
i–1
2-point DFT
1
–i
2-point DFT
Figure 4.3 Flow-graph for DIT–FFT, N = 4.
;�� ����� �������� ���� ����� +� 1� =�� 0��� ���� ��������� ��� �� ���� ��� � -�.� ��
�� 1� P���� ���� ���� ���� )�� ��Q����� O!�� ���� ��� �
7
80
, 0,1, 2, , 7,pkp k
k
F f W p=
= = …∑�����
–2 /88
iW e ��
"� ����� ���� ='����� O!�� ���� ���� ���� � ������ ��� ������ #�� ���� ������������ ����'������� ��� ���� ���� ������ ��� ���� ���'������� ���� ��� ����
8pe o
p p pF F W F= + -#�>/.�����
3
2 40
rpep r
r
F f W=
= ∑���
3
2 1 40
rpop r
r
F f W+=
= ∑"� 1� 8�� (�� +�� & -#�><.
��
��
��
��
��
��
��
��
"�����#�/9 !������2��������� 163
164 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
@���� ���� ������� ����������� ��� � ��� ����
� � � 44 8 , 0,1, 2, 3pe o
p p pF F W F p�
�� � �
488
pe op pF W W F= + ⋅
� � � � � 8 , 0,1, 2, 3pe op pF W F p= − = -#�>=.
����4 1
8 2 –1.W W= =
������������������� epF ����� o
pF ����������#'�����O!�C���������� ����� �������� ��������� ������������������������ ������������������� ������ �� ���� ��'������ �� !��� #�#�
4-point DFT f4 f6
f2
f0
4-point DFT f 5
f7
f3
f1
F0e
F1e
F2e
F3e
F0o
F1o
F2o
F 3o
W80
W81
W82
W83
W84
W85
W86
W87
Figure 4.4 Flow-graph of first stage of 8-point DIT–FFT.
��� !��� #�#�� �� ���� ��� ���� ������� 8kpW � ���� ����� �� ���
0 1 2 38 8 8 8
4 5 6 78 8 8 8
1– 11, , – , – ,
2 2–1 1
– 1, , ,2 2
i iW W W i W
i iW W W i W
� �� � � � ��
�� � �� � � �
��
-#�>>.
��� ���� ������� ������ ��� ��������� ����� ��� ���� #'�����O!�C�� �� !��� #�#� ��� �� ���� ���� +'����� O!�C���;�� ����� ����
3
2 40
1 1
4 4 22 4 20 0
4 ,
prep r
r
sp p sps s
s s
pee eop p
F f W
f W W f W
F W F
�
�
� �
�
� �
� � �
�
� �
-#�(88.
�����1
4 20
speep s
s
F f W=
= ∑
���1
4 2 20
speop s
s
F f W+=
= ∑-#�(8(.
" �� �����������
4po oe oo
p p pF F W F= + -#�(8+.�����
1
4 1 20
lpoep l
l
F f W+=
= ∑
���1
4 3 20
lpoop l
l
F f W+=
= ∑ � � � �
"� 1� 8�� ( -#�(8&.
@���� ���� ������� ����������� ��� � ��� ����
22 4 , 0,1.pe ee eo
p p pF F W F p�
�� � � -#�(8#.
���2
2 4 , 0,1.po oe oop p pF F W F p�
�� � � -#�(8%.
���� ��� ����� ���� ������� ������ ��� �������� ������ ����� ��� ���� #'�������������� �� ������� ���� ���� +'����� ����������� ���� � ��'������ ��� ���������� ������ �� ������ �� !��� #�%�
f4
f0F0
ee
F1ee2-point DFT
f6
f2F0
eo
F1eo2-point DFT
f5
f1F0
oe
F1oe2-point DFT
f7
f3F0
oo
F1oo2-point DFT
W40
W41
W42
W43
W40
W41
W42
W43
Figure 4.5 Second stage of the decomposition.
��
��
��
��
��
��
��
��
��
"�����#�/9 !������2��������� 165
166 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
!��� 5��� -#�(8(.�� ��� ���
1
4 20
0 4 2
, 0,1speep s
s
p
F f W p
f f W
�
� �
� �
�
���1
4 2 20
2 6 2
, 0, 1
, 0, 1
speop s
s
p
F f W p
f f W p
�
�
� �
� � �
�
��� �� ���� ����� ��� ���� ����� ������ ��� ��������� ��� �����
0 4 2 6, , and .eee eeo eoe eoop p p pF f F f F f F f= = = =
������ ���� ���� ='����� O!��� ��� ������ ���� ���� ����� ��������� � ���� ���� ���� ������� ���� ��� ���� ���� ���� ������ ���� ������� �� ���� ������ � ������� �����(���(���(��(��� (��� (��� (�� ���� (��
���� ������ ������� ��� ���������� ���� ��� ������ �� �� ��� �� � ��'�����-!��� #�/.�
Figure 4.6 Flow-graph of an 8-point DIT–FFT.
!��� !��� #�/�� ���� �� ����� ������������ ���� ��� ���-. ���� ����� �� �� ����������'������� ������� ��� �� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���
���� ��� ������ �� ��� �� #�+�
Table 4.2 Input Data in the Reversed Bits
Input position Binary digits Reversed bits Index of thesequence
0 000 000 01 001 100 42 010 010 23 011 110 64 100 001 15 101 101 56 110 011 37 111 111 7
-. ���� ������� ���� ���� !������ ����������� (�� �� �� ���� ������ � ������-. $���������� ���� ������� ���� �� ����� �������� �� �� ��� �� ������� ��
2� ����� � ������� �� �� ������ �� !��� #�<�
Figure 4.7 A typical butterfly.
���������� 2�� ��$�� ��3������� ������ ���������� ����O!����� �����������
��� 1� P(�� +�� &�� #Q����� ���� ��������� ���
24 4and , 0,1p pe o e op p p p p pF F W F F F W F p
�� � � � � -.
2 ��
���
0 2 2
1 3 2
, 0,1
, 0,1
pep
pop
F f f W p
F f f W p
� � �
� � �
-.
;��� ����������� �����
0 0 2 1 0 24, – 2� � � � � �e eF f f F f f
0 1 3 1 1 36, – 2o oF f f F f f= + = = − =5������� -.� ���� ����
10 1 44 6 10, 2 ( 2) 2 2F F W i� � � � � � � � � �
12 3 44 6 2, 2 ( 2) 2 2F F W i� � � � � � � � � � �
����
�
"�����#�/9 !������2��������� 167
168 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
���� � ��'������ ���� ���� ���������� �� ������ �� !��� #�=�
Figure 4.8 Flow-graph for Example 4.19.
������� � � @��� ���� $�� ��3������ � ������ ��� ���� ���� O!�� ��� �����������
��� 1� P(�� +�� &�� #�� #�� &�� +�� (Q�
(���� �����- ���� ���'��������� ���
0 4 2 62 2,p pee eop pF f W f F f W f� � � �
1 5 3 72 2, .� � � �p poe oo
p pF f W f F f W f
!��� ������ ���������� ��� �����
0 0 4 1 0 45, – – 3,ee eeF f f F f f= + = = =
0 2 6 1 2 65, – 1,eo eoF f f F f f= + = = =
0 1 5 1 1 55, – –1,oe oeF f f F f f= + = = =
0 3 7 1 3 75, – 3.oo ooF f f F f f= + = = =
������ �����- ���� ���'��������� ���
4 4, , 0,1p pe ee eo o oe oop p p p p pF F W F F F W F p� � � � �
2 24 4, , 0,1p pe ee eo o oe oop p p p p pF F W F F F W F p� �
� � � � �
!��� ������ ���������� ��� �����
0 1 2 35 5 10, – 3 – , 5– 5 0, – 3 ,e e e eF F i F F i= + = = = = = +
0 1 2 35 5 10, –1 – 3 , 0, –1 3o o o oF F i F F i= + = = = = +!��� ���� ����� ������� ��� ����
� � � 8 , 0,1, 2, 3� � �pe o
p p pF F W F p���
4 8 , 0, 1, 2, 3?�
� �
pe op p pF F W F p
������
0 1 2 38 8 8 8
1 – 11, , – , – ,
2 2
i iW W W i W
�� � � �
4 5 6 78 8 8 8
1 – 1– 1, – , , .
2 2
i iW W W i W
�� � � �
!��� ������ ���������� ��� �����
0 0 0 20,e oF F F= + = � 11 1 8 1
1 –– 3 – (–1 – 3 )
2– 5.828 – (2.414),
e oF F W F
ii i
i
� �
� �
�
2 0,F = 3(1 )
– 3 – (–1 3 )2
– 0.172 – (0.414),
iF i i
i
�� � �
�
4 0,F = 5(1 – )
– 3 – – (–1 – 3 )2
– 0.172 (0.414)
�
� �
iF i i
i
6 0,F = 7(1 )
– 3 (–1 3 )2
– 5.828 (2.414).
�� � � �
� �
iF i i
i
���� � ��'������ ���� ���� ���������� �� ����� �� !��� #�>�
Figure 4.9 Flow-graph for Example 4.20.
"�����#�/9 !������2��������� 169
170 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
4.6.5 Sande–Tukey Algorithm (DIF–FFT)
���� � ��������� ��������� �� �� ����� ��� ���� � ���� ��� � ������� �� ������������������������� ����������� ��� �� ���� �������� ��� ���� $�� ��3������ �������������������������������������������������� ����������� �� ��������'��'�����������
��� ������ ���� ��� ����� +� 1� #�� ����
��� 1� P���� ���� ���� ��Q������ ��� ����
3
40
, 0,1, 2, 3pkp k
k
F f W p�
� ��
��� ����������� ���� ������ ��� �� ������ �� ����� ��� ���� ����� ���� ���� ������� ������ ��9
4 40,1 2,3
1 1( 2)
24 40 0
; 0,1, 2, 3
pk pkp k k
k k
p kpkk k
k k
F f W f W
f W f W p
� �
�
�
� �
� �
� � �
� �
� � -#�(8/.
A���( 2) 2
4 4 4 4 (–1) ,p k pk p pk pW W W W+ = ⋅ =����
24 2 (–1) .p p pW W� �
?������ 5��� -#�(8/.� ������
1
2 40
(–1) , 0,1, 2, 3pkpp k k
k
F f f W p�
�
� �� � � �� �� -#�(8<.
����� �������� ��� ����� ����� ���� ���� ����������0��
(� 1� (� � 4� (� ��������
� � � � � � �
12
2 2 40
1
2 20
( )
( )
rkr k k
k
rkk k
k
F f f W
f f W
�
�
�
�
� �
� �
�
�
1(2 1)
2 1 2 40
12
2 4 40
1
2 2 40
and ( )
( – )
( – ) , 0,1
k rr k k
k
kr kk k
k
kr kk k
k
F f f W
f f W W
f f W W r
�
� �
�
�
�
�
�
� �
� �
� � �
�
�
�
-#�(8=.
��
��
��
��
��
��
��
��
�
;�������
����
2
2 4( )
k k k
kk k k
g f f
h f f W
�
�
� � ���
� � ��-#�(8>.
����
� � � � � �
1
2 20
, 0,1rkr k
k
F g W r�
� ��
����1
2 1 20
, 0,1rkr k
k
F h W r�
�
� ��-#�((8.
��� ���� ��� ����� ����� ���� ������� �� �� ���� ������ (��� (��� (�� ���� (���;�� ����������� ���� ����� +� 1� =�� 0��
��� 1� P ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ��Q�����
7
80
, 0,1, , 7.pkp k
k
F f W p�
� � ��
;�� �� �� ���� ������ ��� �� ����� ��� ���� ����� ����� ���� ���� ����� ������ ��
8 80,1, 2,3 4,5,6,7
pk pkp k k
k k
F f W f W� �
� �� �
� � � � � � � �( 4)
48 80,1, 2,3 0,1, 2,3
pk p kk k
k k
f W f W �
�
� �
� �� � -#�(((.
A���( 4) 4
8 8 8 8(–1)p k pk p pkpW W W W+ = ⋅ =
?����� 5��� -#�(((.� ������
3
4 80
(–1) , 0,1, , 7.pkpp k k
k
F f f W p�
�
� �� � � �� �� -#�((+.
"���� ���� ����� ���� ��� 5��� -#�((+.� �������� ��� ����� ����� ���� ���� !����������������� ��� ����
(� 1� (� � 4� (� ���
��
��
��
��
�
"�����#�/9 !������2��������� 171
172 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
�����3
22 4 8
03
4 40
[ ]
[ ] , 0,1, 2, 3
�
�
�
�
� �
� � �
�
�
rkr k k
k
rkk k
k
F f f W
f f W r
-#�((&.3
(2 1)2 1 4 8
03
4 4 80
and [ ] ,
[ ] , 0,1, 2, 3
�
� �
�
�
�
� �
� � � �
�
�
k rr k k
k
rk kk k
k
F f f W
f f W W r
!��� �������� ��
4
8 4
, 0,1, 2, 3and ( )
k k k
kk k k
f f gk
W f f h
�
�
� � ����
� � ��-#�((#.
����� 5��� -#�((&.� ������3
2 40
3
2 1 40
, 0,1, 2, 3
and
�
�
�
�� �
���
�� ��
�
�
rkr k
k
rkr k
k
F g W
r
F h W
-#�((%.
���� � ��'������ ���� ���� ����� ������ ��� ���� � ������ �� ����� �� !��� #�(8�
Figure 4.10 Flow-graph for the first stage of Sande–Tukey algorithm.
$ ��� ��� ���� ��������� ���� ��� ��������� ��� ���� ������� ������ ��� �� �� ����� ������#'�����O!�C����������+'����������������! ��'������������������������� ������ �� !��� #�((�
��
��
��
��
��
��
�
Figure 4.11 Second stage for Sande–Tukey algorithm.
������������� �������������� ����� ������������������ ����+���������!�����#�(+������ ���� � ��'������ ���� ���� ='����� �������� �� ���������� !!��
Figure 4.12 8-point flow-graph for Sande–Tukey algorithm.
"�����#�/9 !������2��������� 173
174 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
;���������� ����� ���� ����� �� �� ���������� ���������������� ����������� ���� ������������� ���������� �� �� ���� ��'��������� ������
4.6.6 Computation of the Inverse DFT
���� ������� O!�� �� ������� ��
1
0
1, 0,1, , 1.
Nkp
k p Np
f F W k NN
�
�
�
� � � ��
$������������O!�� ������ ����� ���� �������� kpNW � ����� �������� ������ ���
����� ���� ������� ����� ������������� ���� ����� ���� ��� � ������� �� ������ ��+��?����� ����� ��'���������� ������ �� ��������O!������� ��������������������� ���������� ��� ������� O!�� ������ ����� ���� ������ ��������
�������� � @����"����3������� ���������������O!�����������������
��� 1� P(�� +�� &�� #Q�
;�� ����� ���� ���'��������
� � � � � � � �
1
2 20
rkr k
k
F g W=
= ∑
���1
2 1 20
rkr k
k
F h W+=
= ∑� 1� 8�� (
�����
��� 1� ��� 4� ����� ���� ��� 1� -��� 3 ����. 4kW
;�� ��� 1� P(�� +�� &�� #Q�� ��� �����
��� 1� ��� 4� ��� 1� #� ��� 1� ��� 4� ��� 1� /,
��� 1� ��� 3� ��� 1� 3+� ��� 1� -��� 3� ��.� 14W � 1� 3+-3�.� 1� +�
?����(�� 1� ��� 4� ��� 1� (8�� (�� 1� ��� 4� ��
12W � 1� ��� 3� ��� 1� 3+
10
1 2 0 10
– 2 2 ,kk
F h W h h i=
= = + = +∑1
13 2 0 1 2 0 1
0
– 2 2 .kk
k
F h W h h W h h i�
� � � � � � ��
?����
{10, – 2 2 , 2, 2 2 }kF i i� � � � � �
��
��
��
��
�
���� � ��'������ ���� ���� ���������� �� ������ �� !��� #�(&�
Figure 4.13 Flow-graph for Example 4.21.
�������� @����"����3������� ���������������O!�����������������
��� 1� P(�� +�� &�� #�� #�� &�� +�� (Q;�� ����
7
80
, 0,1, , 7pkp k
k
F f W p�
� � ��
(���� �����-3 3
2 4 2 1 40 0
, , 0,1, 2, 3.rk rkr k r k
k k
F g W F h W r�
� �
� � �� �
4 4 8, ( ) kk k k k k kg f f h f f W
� �� � � �
������� 1� %�� � ��� 1� %�� � ��� 1� %�� � ��� 1� %�
��� 1� 3&�� � ��� 1� 318W �� � ��� 1�
28W �� � ��� 1� &
38W �
������ �����-(� � 1� (��� 4� (����� (� ��� 1� (����� 4� (�����
1 1
4 2 4 2 20 0
, , 0,1.sk sks k s k
k k
F p W F q W s+= =
= ⋅ = ⋅ =∑ ∑
"� 1� ��� 4� ������ ��� 1� -��� 3� ����. 4kW � $� 1� 8� (�
1 1
4 1 2 4 3 20 0
, ,sk skt k t k
k k
F u W F v W� �
� �
� � � �� �
��� 1� ��� 4 ����� '�� 1� -��� 3� ����. 4kW
;��������"�� 1� (8�� "�� 1� (8�� ��� 1� 8�� � ��� 1� 8,
��� 1� 3&� 4� 28W � 1� 3&� 3 �� ��� 1 ��� 4� ��� 1� 3+ 2 � 3� � 2 �
'�� 1� 3&� 4 �� '�� 1� + 2 � 3� � 2 �
"�����#�/9 !������2��������� 175
176 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
!�� ��(�� 1� "�� 4� "�� 1� +8� (�� 1� "�� 3� "�� 1� 8�
(�� 1� ��� 4� ��� 1� 8� (�� 1� ��� 3� ��� 1� 8�
(�� 1� 3&� 3� �� 3� + 2 � 3� � 2 � 1� 3%�=+=� 3� �-+�#(#.
(�� 1� 3&� 3� �� 4� + 2 � 4� � 2 � 1� 38�(<+� 4� �-8�#(#.
(�� 1� '�� 4� '�� 1� 38�(<+� 3 �-8�#(#.
(�� 1� '�� 3� '�� 1� 3%�=+=� 4� �-+�#(#.
EXERCISES
��� 5�� ��� ������������� ����� �������� ��� ����� �������� ������ ���� ���� 1� ��� 4� ��� ��� ���� ����� -��� ��.9
1 2 3 4 5 6
2.4 3.1 3.5 4.2 5.0 6.0
xy
��� !��� ���� �� ���� ��� ��� ���� ��� ��� ����� � 1� ��� 4� ��� ���� ���� ����� ���������� ��� �9
0 1 2 3 4
1.0 2.9 4.8 6.7 8.6
x
y
��� ��� ���� �������� ��� �1����4���� �� ��������� ��� ��� ���� �����������������-��� ��.�� -��� ��.�� )�� -��� ��.�� ����� ����
2
1
, 1, 2, , .i i
i i i i
x y
x y n i n
x x y x
� �
� � �
� �
��� @��� ���������� ��� ����� �������� ��� ��� ���� �������� ��� � 1� �� 4 �� ����������9
0 1 2 3
2 5 8 11
1 1 1 1
x
y
w
��� !��� ���� �� ���� ��� ��� ��� �� ��� ����� � 1� �� 4� �� 4� ��� �� ���� ����� ��� ����������9
0 1 2 3 4
1 0 3 10 21
x
y
�� !�� �� ����� �������� ������ � � 1� �� 4� �� 4� ��� ��� ���� ����9
0 1 2 3 4 5 6
71 89 67 43 31 18 9
xy
�� O������� �������� ���������� �� ����������� ���� � �1����4����4��
�� 4� ���� �� ������ ��� ���� ����� -��� ��.�� �� 1� (�� +��)����
��� O������� ���������������� ���������� ������������� ����� ��������� ��������� ���� ������ �� 1� ����� ���� ���� ����9
2 4 6 8 10
4.077 11.084 30.128 81.897 222.62
xy
��� !�� �� �������� ��� ���� ���� �� 1� ��� ���� ���� �� ����� ����9
61 26 7 2.6
350 400 500 600
xy
��� @����������������� �������������� �������������� �������� 1�a
x�4 �
��� ���� �� ����� ����� -�� �.9
-(�� %�#&.�� -+�� /�+=.�� -#�� (8�&+.�� -/�� (#�=/.�� -=�� (>�%(.�
���� !�� �� �������� ��� ���� ���� �� 1� 1 21 2
x xA e A e� �+ � ��� ���� ����� ����� ��
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8
1.54 1.67 1.81 1.97 2.15 2.35 2.58 2.83 3.11
xy
���� ;�������� �������������� ����� �����������������������������������-��� ��.�� �� 1� (�� +�� )�� +�
���� ��� ���� ��������� ��-.� 1� (�� ��-.� 1� � ���� ��������� � ��� ���� ������ 63(�� (7�� ���� ���� �� ���� ���� ����� ��� ����� ���� �������� ��� 1� ( 4 � 4 ��� ���������� � ��� ����� ��� ���� ��� ��� 63(�� (7�
���� O����� ��� ��������� � ���� ��� ��������� ���� ����� ����� ���� ���
� -.� 1� ���n x
l
�
� �� 1� (�� +�� )
�� ��������� � ��� 68�� �7�
���� 5�� ��� ���� ���������� �������� !������ ������ ���� !������ ���������!��� ���� !������ ������ ���� ���� �������� ������� ��
, 1 0( )
2, 0 1
� � ��� �
� � ��
x xf x
x x
5�������� 177
178 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
��� O����� �������� !������ ��������� -O!�.� ���� ������� �������� !�������������� -�O!�.�
!��� ���� O!�� ��� ����� ��� ���� �� ����� ���������� ����� ����� �����-:��� ��� #�(<3#�+8.9
��� P8�� (�� 8�� 3(Q
����1 1
1, , 0,2 2
� ��� �
� �
���� P(�� +�� &�� (Q
��� P+�� +�� #�� &Q
@���������������
12 /
0
, 0,1, 2, , 1,N
ikp Np p
k
F f e p N�
−−
== = … −∑
���� ���� O!�� ��� ����� ��� ���� �� ����� ���������� -:��� ��� #�+(3 #�+&.9
���� P(�� +�� &�� #Q
���� P(�� (�� )�� (Q�� +� �� ����
���� P(�� 3(�� +�� 3+�� &�� 3&Q
���� ;���� ���� ���������� � ������ ���� �������� ���� O!�� ��� �� ���������-�.� ��� ���� ������ ���� �� ���� ����� �� ��� :��� �� -#�+(.�
���� 0������� �����������������O!���������� �����O!����� �������������P8�(�� (�� 8Q�
��� "����� ���� ���� ��������� �� ����$�� ��3������ � ������ ���� ����������� O!�� ��� ���� �������� ��� "� 1� 8�� (�� +�� &�� O���� ���� � ��'������ ������ ����������
@��� ���� $�� ��3������ � ������� ��� ������� ���� O!�� ��� ����� ��� ����� ����� ���������� -:��� ��� #�+<3#�&8.9
��� P(�� (�� 8�� 8Q
���� P(�� 8�� (�� 8Q
���� P(�� 3(�� (�� 3(Q
��� P(�� +�� (�� +Q
���� O���� �� � ��'������ ��� � ����� ���� ��� ������� � ���������� ���� ���$�� ��3������� ������
���� ;���� ����� ���� ���� ��������� �� ���� $�� ��3������ � ������ ����������� ����='�����O!����� ���� ��������� ���"�1�8��(��+��)��<�� �������� ���� � ��'������ ���� ��� ����������
@�������$�� ��3������� ��������������������O!������������������� ������������� -:��� ��� #�&&3#�&%.9
���� P(�� 3(�� (�� 3(�� (�� 3(�� (�� 3(Q
���� P(�� (�� (�� (�� (�� (�� (�� (Q
���� P(�� +�� &�� #�� %�� /�� <�� =Q
��� 5�� �������������������������$�� ��3����������"����3������� ���������� ���='����� ������������� ����O!����� �� ����������;��������� �������������������"����3������� ����������������������O!����������������� ���� $ 1� 8�� (�� +�� )�� <�
@��� "����3������ � ������ ��� ������� ���� O!�� ��� ����� ��� ���� �� ������������� -:��� ��� #�&<3#�#8.9
��� P(�� (�� 8�� 8Q
���� P(�� 8�� (�� 8Q
���� P(�� +�� &�� #�� %�� /�� <�� =Q
��� P8�� (�� 8�� (�� 8�� (�� 8�� (Q
���� "���� ����� #�-.� 1� ���� -�� �����.� �� �� �� ���� � �� � ��� ������� ��
���� "���� ����� ���� ���������� ��� �� �� #�-.� �� +����
���� 5���� �� ���� ������ ����� ��
3 5 7
sinh6 120 5040
� � � � ��x x x
x x
��� ���� ������ � 63(�� (7�� � ����� ���� �� �� ������� ��� 8�888%�
Answers to Exercises
��� ��� 1� 8�%8&� ��� 1� +�8+(�
��� ��� 1� +�8� ��� 1� 8�=�
��� �� 1� +� �� 1� &�
��� �� 1� (�� �� 1� 3&� ���� � 1� +�
�� �� 1� =(�>&�� �� 1� 3=�+=�� � �� 1� 38�<=
��� �� 1� (�%�� �� 1� 8�%� 1� ��
��� �� 1� <8+�� �� 1� 38�(<�
��� �� 1� &�8+�� �� 1� +�&>�
���� ��� 1� 8�>>�� ��� 1� 38�>/�� ��� 1� 8�#>>�� � ��� 1� 8�#>(�
���� (� 3� &��
���� ��� 1� +�� � ��� 1� 8�� � ��� 1�2
n�6(� 3� +-3(.�7�
5�������� 179
180 $�� ����#9 0�����"�����������!���������������
��� 68�� 3� +��� 8�� +�7
���� 6(�� (� 3 � 2 �� (�� (� 4� � 2 7
���� 6<�� 3+� 3� �*� (�� 3+� 4� �7
��� 6((�� 3+� 4� ��� (�� 3� +� 3� �7
���� (�� 1� (8�� (�� 1� 3+� 4� +��� (�� 1� 3+�� � (�� 1� 3+� 3� +��
����, 0
0, 1, 2, , 1pN p
Fp N
=⎧= ⎨ = … −⎩
����3 3 3 3 3 3
–1.5 , 1.5 , 12, 1.5 1.52 2 2 2
i i i i� �
� � � � � � �� �� �
���� 6(8�� 3+� 4� +��� 3+�� 3+� 3� +�7
���� �� 1� 68�%�� 38�+%� 4� 8�+%��� 8�� 38�+%� 3� 8�+%�7
��� 0 0 2 1 0 2, ,e eFF f f f f� � � � 0 1 3 1 1 3, .o oFF f f f f= + = −
��� (�� 1� +�� � (�� 1� (� 3� ��� � (�� 1� 8�� (�� 1� (� 4� ��
���� ��� 1� P(�� 8�� (�� 8Q� (� 1� P+�� 8�� +�� 8Q
���� ��� 1� P(�� 3(�� (�� 3(Q�� � � � (� 1� P8�� 8�� #�� 8Q
��� ��� 1� P(�� +�� (�� +Q�� � � � � (� 1� P/�� 8�� 8�� 8Q
���� !�� � �����9� (�� 1� 8�� (�� 1� 8�� (�� 1� 8�� (�� 1� 8,� (�� 1� =�� (�� 1� 8�
(�� 1� 8�� (�� 1� 8�
���� ��� 1� P(�� (�� (�� (�� (�� (�� (�� (Q� (� 1� P=�� 8�� 8�� 8�� 8�� 8�� 8�� 8Q�
���� &/�� 3#� 4� �->�//.�� 3#� 4� #��� 3#� 4� �-(�//.�� #�� 3#� 3� �-(�//.�� 3#� 3� #��� 3#3� �->�//.�
��� (� 1� P+�� (� 3� ��� 8�� (� 4� �Q
���� (�� 1� +�� (�� 1� +�� (�� 1� 8�� (�� 1� 8�
���� (� 1� P&/�� 3#� 4� >�//��� 3#� 4� #��� 3#� 4� (�//��� 3#�� 3#� 3� (�//��3#� 3� #�� 3#� 3� >�//�Q
��� (� 1� P#�� 8�� 8�� 8�� 3#�� 8�� 8�� 8Q
���� ?��9�@����������� ��������
���� #�-.� 1� +����� #�-.� 1� +
�����3� (�
#�-.� 1� +����� 3+�� #�-.� 1� +
�����3� =�� 4� (�
���� ���� 1�3383 17.
384 96x x+
���
����������� ��
�������
5.1 INTRODUCTION
���������� ������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������������������ �� ���� �������� ������ ��� �� ����� ���� ���� ���� ������� !���� � ����� ������ ��� �� ��� ����� ����������� �����"������� ��� ���� �������������������#�������"������������#���������������������������������� ����� ����������� �� �� ���� �������� $���� ��� ����������� ��� ����� ��������� �������������� ��������������� �������������������������������������� ������������
%�� ���� � ��������� #�� ������ ���������� �� ��������&�� ����� �������� �� ���� ��"�#�� ����� ������� �� � ������ �� ����� �� ������ ����� ����������� ������� %�� ������ �� ������ ��� ��������� ������� �� ��� ������������%�����������������������������#��������������� ������ ��������������������������'������ �(������� ���#�� �(����� ����)���� ����#����������������������� �� ��������� ����������#�������� ��#�������������� �������������������������*����������������#�����#�������� ���������������������������(������������������������������������������ �������� +������ �� �������� ��� ��#��� �������� ���$����� ,�- ������� �� ��������� (������� ��� �� ��#��� ������ ���� �������� ������� �������������.�������������#���������������#��������������������������������� �� ����� ����� ��� �������������%��� �������������� #� ��������� ��$����� ,�-�� $������ ������ ��#��� ������������ #� ��������� ��� $����� ,�� �������#���* ������������������������������#�������������$����/,�0�
182 ��������,' $�����!�������
1����������� ��� ��#��� ������� �� ��������� ����������� � �������� ������������������������������(������ ���������#���������������#�(���������
5.1.1 Linear Splines
2� �� ����� ���� ������ #��� � ��� �� 3� 4 � � � - 5 � � �,���
����� 3���� 6��� 6� �� 6��� 6���� 3��
���� ���� 3� ��� 7� ��� �� 3� � � - �5 ��� �,�-�
!���� � ��������#� ������������������������ ��� �� ������ 8��� ���9�)#������� ����� ������� �� ������� ���� +������� � ������ ���� � ����� ������ � �����:�� ������
������ 3� ���� ������� 7� ���� �,������
1
1
.i ii
i i
y ym
x x−
−
−=
−�,�0�
$���� ��3�� �- �5 ��� ����������� ���.(�� �,��� ����#����������� ���������������������� ��� �� ��#���������� ��� � ���������� �� ��� ������ ���� ����� ��� ���������� �� #��� �� ��� ������
��������� ;�������������������� �� 7<� �- �7�� ������ �<� ���������������������3�� ��� �������������������������������������������=������ �����"���� ������ ��� ��-�,�� ��� ���-�4���
2� �� ����� ������ # ��� � 7� <� � ��- � 7��� ��� ��� � �<��� .(������ ��1* ��
����� 3� 7<� �� ��� 7� ��>� 3� >�� 7� �,
���� (������ ���*�� ��
����� 3� 7�� �� ��� 7� -��?� 3� �?�� 7� �?
$���� �� 3� -�,� #������ �� �� ������ 8- � �9 � �� ���
��-�,�� �� ��-�,�� 3� �?�-�,�� 7� �?� 3� <�,
������-�4������ 3� �?�
�� ��� ���� �� ���@� ��� �� ������ ( )is x ��� ���������� �� [1, 3] #�� ��������� ��� �������������� %���� ��� ������� �� �������� ��� ������ � ������ ����������� �"� �������� (�������� ������������� ������ �� ��������� ���� ������ ��� �������� �� ��� ��� �� ��������
5.1.2 Quadratic Splines
A�������������������������������.(���,��� ���������#���(������������� �����"������� �� �������� �� 3� � ���� ��� �� ������ 8��� � ��9 ������ 7� ���� 3����� 2� ������ ���� ������� #� ���������� ��� 8�� � ��9� ���� �
������� 3� �� �� 3� 4 � � � - �5 ��� �,�,�
$��� ����� ��� �� (�������� �� 8��� ���9 � �� �������� ��� ������� ��� �� ������ ����������� �����������
[ ]1 11
( ) ( ) ( ) ,i i i i ii
s x x x m x x mh − −′ = − + − �,�B�
���
( ).i i im s x′= �,�>�
��������� .(�� �,�B�� ���� ����� � ,x �� �#���
2 21
1( ) ( )1
( ) ,2 2
i ii i i i
i
x x x xs x m m c
h−
−⎡ ⎤− −
= − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�,�<�
��������������������#���������C�������3����� ���.(���,�<� ����
2
1 1 1 11
.2 2i i
i i i i ii
h hc y m y m
h− − − −= + = +
:��� .(�� �,�<�� #����'
2 21
1 1 1( ) ( )1
( ) .2 2 2
i i ii i i i i
i
x x x x hs x m m y m
h−
− − −⎡ ⎤− −
= − + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�,�?�
��� .(�� �,�?� � �� ��� ��� ����� ��@����� %�� ������ �� �� � �� ��� ������������������������� �� ������������� �� ���������������������������������� !��� �� ��������� ��� �� �������� ������ � �� 3� �� � ������ ���
�����7�� 3� �������� �,��4�
!����.(�� �,�?� ��� �#���
1 1
1 1
( )2 2
( ) .2
i ii i i i i
ii i i
h hs x m y m
hm m y
− −
− −
− = + +
= + + �,����
!���� 2 2
1 11 1
1
( ) ( )1( ) ,
2 2 2i i i
i i i i ii
x x x x hs x m m y m
h+ +
+ ++
⎡ ⎤− −= − + + +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
$� �����,��' ���������� 183
184 ��������,' $�����!�������
���� �����
1 11( ) .
2 2i i
i i i i i ih h
s x m y m y+ ++ + = − + + = �,��-�
.(������ ��� .(��� �,����� ���� �,��-�� �������� �� �������� ������
1 12
( ),i i i ii
m m y yh− −+ = − 1, 2, ,i n= � �,����
���� �� ������ ������������������.(������� �,�������������� (������� ���� � �����@����� ���D �� �� �5 ���� :�� ����(�����������������������������������(�����%�������������������������������� ���������)�������������������������������3�4 ����������������������������������������������������$������������������������������� ������=����������.(�� �,�?�� �������� ����� �� � � �� �#���
11
( ) ( ),i i ii
s x m mh −′′ = − +
��
1 1 1 01
1( ) ( ).s x m m
h′′ = −
:�� � �� ���� �� ���������� ��������� ����� 3��� �,��0�
%����� �.(����,����������,��0������#������������� �������������#������� .(�� �,�?�� ����� �� �(����� (�������� ������
������� � =����� �� (�������� ������� ���������� �� ���� ����� ��."����� ,���� !���� ����� �����"���� ������ ��� � �-�,� ��� ���-�4��
A� ��� � 3 - ��� � 3 �� .(������ �,����� ����
��� ���� 3� �0 ��� �� ���� 3� �<�
$��� ��� 3�� ��� �#��� ��� 3��� 3� > � ������ 3� ���:�� � .(�� �,�?�� ����'
2 22 1
2
22
2
( ) ( ) 7( ) (7) (31) 1
2 2 2
(3 ) 31 5(7) ( 2)
2 2 2
12 41 33,
x x x xs x
xx
x x
− −= − + − +
−= − + − +
= − +
������ ��� �� ������ ��� �� ������� 8- �9�:��
��-�,�� �� ��-�,�� 3� ,�, ��� ���-�4�� �� >�4�
%��(������������� �����������������8� -9�����#������������ ������������1� ������������������ ��� �������� �� (�������� ������� ��� ��� �������'
$��� ����� ��� �� (�������� ��� ���� � ��� � �� �������
������ 3���� �� ���� �� ��� �,��,�
������ ��������� �������������#�������� ������ ��������������������� �������� �(������� ���������� �������� ����%��������������� �#����� #�� ������ �� �������� ��� �� (�������� ������ !����� �� ���� ��������� ��� �� ������ ������ ������� �� ������� ������� %��� ����
������� 3���� ������� �� ���� �� 3� � � - �5 � 7 �� �,��B�
E" ������ ��� ���������� �� � � ��� %���� ��������� �(����
�����7�� 3� ��������� �,��>�:�� ������� ���
2 21 1 1 ,i i i i i i i i i ia b x c x a b x c x+ + ++ + = + + �� 3� � � - �5 � �� 7� �� �,��<�
1���� � ������� ��� ���������� � �� 3� ���� %���� ����
��� �� -����� 3����� �� -����� �� 3� � � - �5 ��� 7� �� �,��?�
A�����������7�������������������(����������������������$��� ������� ������ ������� �� ��� ������ ���� ������� ���
20 1 1 0 1 0y a b x c x= + + �,�-4�
���2.n n n n n ny a b x c x= + + �,�-��
!������ � ���� �� ������� ����� � �� ����������� 3� 4 �,�--�
���� ���� ������3� 4� �,�-��
A� ��� � ��� � �� ������� ����� ��� ��� (������� ��� ��� ��@������1������ ���������������������#������ �������#������������"�������� � ����� � ��������� ��� ���� ������� �� �� �������� ���
%�����������������������������������������#��������������������� (�������� ������� ���� ���� ����#��@� ��� ������ ��� �� ��#��� ��������������� #����
5.2 CUBIC SPLINES
A��������� �� ������������������ ���D� � ������������ ���.(�� �,��� ������������#�����#���������������������������8��� ��9��%��������������� �� ������� ��#��� ������ ��
$� �����,�-' ��#���$����� 185
186 ��������,' $�����!�������
��� ������ ��� ����� �� ��#��� ��� ���� ��#������� 8��� � ��9 1, 2, , ,i n= �
���� ������� 3� �� � �� 3� 4 � � � - �5 � �
����� ( ), ( )i is x s x′ ��� ( )ís x′′ ��� ���������� ��� 8�� � ��9 � ���
���� 0( ) ( ) 0í í ns x s x′′ ′′= = �
%�� ����� �� ��������� (������� ��� �� ��#��� ����� � �� �#���� ��� ������� ������ ������������� #� ������� :�� ��� ���� ��� 8��� � ��9'
[ ]1 11
( ) ( ) ( ) ,í i i i ii
s x x x M x x Mh − −′′ = − + − �,�-0�
���� �� 3 �� 7 ��� ��� ( )í i is x M′′ = ���� ��� �� )#������� � �� ������ �������������������������������������.(���,�-0������������������ ���
3 31
1 1)( ) ( )1
( ) ( ) ( ,6 6
i ii i i i i i i
i
x x x xs x M M c x x d x x
h−
− −⎡ ⎤− −
= + + − + −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�,�-,�
��� �� ��� �� ��� �������� �� #� �������F����� ���������� �������� 3� ���� ���� ������� 3� �� � �� ��������� �#���
2
1 11
6i
i i ii
hc y M
h − −⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠���
21.
6i
i i ii
hd y M
h
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�,�-B�
$�#������� ���� ��� ���� ��� ��� .(�� �,�-,� ��� �#���
( )3 231
1 1 1
2
1
( )1( ) ( )
6 6 6
( ) .6
ii ii i i i i i
i
ii i i
x xx x hs x M M y M x x
h
hy M x x
−− − −
−
⎡ ⎛ ⎞−−⎢= + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣
⎤⎛ ⎞+ − − ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎦
�,�->�
��� .(�� �,�->� � �� ������ ������ �������� � �� � ��� ����� ��� @������ %��������� ������������������������������� ��������!����.(���,�->� �� �#���� #�� �����������'
2 21
1
2 2
1 1
3( ) 3( )1( )
6 6
6 6
i ii i i
i
i ii i i i
x x x xs x M M
h
h hy M y M
−−
− −
⎡− − −′ = +⎢⎢⎣
⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦
$���� � � ��� ��� �� �#�� ��� �#���� �� �� ����� �������
2 2
1 1
1 1
1 1( )
2 6 6
1( ) ( 1, 2, , ).
6 3
i i ií i i i i i i
i i
i ii i i i
i
h h hs x M y M y M
h h
h hy y M M i n
h
− −
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ − = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − + + = � �,�-<�
%���#���������� ������������ ������������������������(�������� ����#������������ ����#���������� �������A��������#������� �������� .(� �,�->�
23 311
1 1 11
21
1 1
( ) ( )1( ) ( )
6 6 6
( ) , (5.29)6
ii ii i i i i i
i
ii i i
hx x x xs x M M y M x x
h
hy M x x
+++ + +
+
++ +
⎡ ⎛ ⎞− −⎢ ⎜ ⎟= + + − −⎢ ⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣
⎤⎛ ⎞⎥⎜ ⎟+ − −⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎦
������ � 3�� � ����=�����������.(���,�-?���������� � 3 �� ���#��� ����� ����� �������� �� � 3 ��
1 11 1 1
1
1( ) ( )
3 6i i
í i i i i ii
h hs x y y M M
h+ +
+ + ++
′ + = − − − ( 0,1, , 1).i n= −� �,��4�
.(������ ��� .(��� �,�-<�� ���� �,��4�� �������� �� �������� ������
11 1 1
1( )
6 3 6i i
i i i i ih h
M h h M M+− + ++ + +
1 1
1
i i i i
i i
y y y y
h h+ −
+
− −= − ( 1, 2, , 1).i n= −� �,����
!��� (���� ������� � �� ���� �� 3 �� � 3 �� ���� .(� �,���� ���������� �
1 1 1 12
64 ( 2 ),i i i i i iM M M y y y
h− + + −+ + = − + ( 1, 2, , 1).i n= −� �,��-�
%�� ����� ��� .(�� �,����� ���� ���� ������� ������������ ������ ��� ��� ��@���� � ��� �� ����� ���� #������ ��
$� �����,�-' ��#���$����� 187
188 ��������,' $�����!�������
1 02 11 2 1 2 2 1 0
2 1
3 2 2 12 1 2 3 2 3 3
3 2
4 3 3 23 2 3 4 3 4 4
4 3
1 1 21 2 1 1
1
2( ) 6
2( ) 6
2( ) 6
2( ) 6 .n n n nn n n n n n n
n n
y yy yh h M h M h M
h h
y y y yh M h h M h M
h h
y y y yh M h h M h M
h h
y y y yh M h h M h M
h h− − −
− − − −−
⎫⎛ ⎞−−+ + = − − ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪
⎪⎪⎛ ⎞− −+ + + = − ⎪⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎪⎪⎬⎛ ⎞− −
+ + + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞− −+ + = − −⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎭
�
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
�,����
.(������� �,�������� �,��-�� ������� �� �������� �� 7 ��� (������������������������������������������������������� �����������������������������#�����������������$����������������,�������������������!�����������������������> ��������������#���������� �������������������������������A�����������@���� �.(���,�->�������������(������#��� ������ ��� �� ��#������� 8��� � ��9��1��� � � iy′ ���� #� �#����� ����.(��� �,�-<�� ���� �,��4��
������� �� =���������#�����������������������������."���� ,���!���� ����� �� �����"���� ������ ��� � �-�,�� ���� (2.0)y′ �
A������ 3 -��������3���3�4��:�� �������������������,��-��������3��<��������������������� ��������� �����#������������������������ �� �� �� -� ��� -� �� �� �� � ��� �#���
����� 3� ���� 7� ���� 7� <�-� 7� ��� 7� 0��� 7� �����
����� 3� ���� 7� ���� �� --�� 7� 0<�A � ����� � ���
23
(2.5) (2.5) 7 7.3758
y s≈ = + =
���
2(2.0) (2.0) 13.0.y s′ ′≈ =
���������#�����������#��������������� ��3����7�?�����������"���������� ��-�,����� ���-�4���� ��������� �B�B-,������-�4��%������������������������� ���������������������������������� ������������������."������ ,�� � ,�-� ���� ,���
"�� ����� � ���������# ��� ����� ��� ���������� ��� ���� ����� ���� � ����� �������������� $������! ( )í i is x m′ = � ���� �����!� ��������� ������������� ��%&�� �,�-<� ��� �,��4� � ��� ���� ����� ���� ��������!� ���������� � ��� ��� �� '
1 11 1
1 1 1 12i i i
i i i im m m
h h h h− ++ +
⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
1 12 21
3 3( ) ( ),i i i i
ii
y y y yh h
+ −+
= − + − 1, 2, , 1.i n= −� �,��0�
%�� ��#��� ������ ��� ���� ��� ��� ���� ��� ����� ��� ��� ����� #�
2 21 1 12
2 21 1 13
1( ) { ( ) ( ) ( ) ( )}
1{ ( ) [2( ) ] ( ) [2( ) ]}.
i i i i i i ii
i i i i i i i ii
s x m x x x x m x x x xh
y x x x x h y x x x x hh
− − −
− − −
= − − − − −
+ − − + + − − + �,��,�
%���#������������������#���������������:��������������������������� ��� $����� ��?���
!��� (������ ������ @��� � .(�� �,��0�� ������ �� ������� ����'
1 1 1 13
4 ( ),i i i i im m m y yh− + + −+ + = − 1, 2, , 1.i n= −� �,��B�
.(������� �,��-�� ��� �,��B�� ������� ��7��� (������� ��� ������ ��@����� ��D� �� �� �5 ����������� � ��� ������ ����������� �(����� �������� �������(�� ����������� ����������#� �������%��� ���������� ��� ������ ����� ����������� ���� ��� ��������� ��� ����� ��� G������ 8�?>� � �?>-9�
$���������� � �������� ��� ���� ��� ��� ���������'
����� '������ ������ � ����(���� 3���� 3� 4����� =� � ����(� �������� 3� ������ � �������� 3� ������ ����� =� � ����(� ��������� 3���� 3� �������� ���� ��������� 3���� 3� ��������
%�� ���������� "����� ��������� �� ��������� ��� ��������� ��� ���#��� ������ ��������� ���� ��������� ������� ��������
������� �� ;����������� �4 �4� ���H- �� ��� �� �4�� �������������������� 3 ��� � �4� �� �� ���� � ������ �� ����� �� ( /6)y π ������ �� ��#��� ����������"�������
A������ 3 -���� ��3��H-��%���������������������������� �������������� ����'
0 1 2 2 2
6 4 484 (0 2 0) .M M M
� �
×+ + = − + = −
!��� �� ������� ����� �� ��� ��� 3��� 3� 4��:�� �� ���
1 2
12M
�
= −
$� �����,�-' ��#���$����� 189
190 ��������,' $�����!�������
��� �� ������� 84 ��H-9 � ��������� ������ � ����� ��� ����� #�
3
1 2
2 2 3( ) .
2
x xs x
� �
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
:��
12
0.4815.6 6 108 4
y s� � � �
�
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
A� �"� �@� �� 3� � H0 � ��� � �� ���� ������ �� �4 � 4� � ( /4,1/ 2),� ��)- �� (3 /4,1/ 2)� ��� ( , 0)� � ��� ���� ��� � �� �������� ������� ����'
1 2
1 2 3
2 3
4 4.029
4 5.699
4 4.029
� � � ���
� � � � ��
� � � ��
M M
M M M
M M
���
���� ��� 3���� 3� 4�� $������� .(� ��� �� �#���
�� 3� 74�>004 �� 3� 7��4,� ��� 3� 74�>004�
�� 4��� �� �� �H0 � �� ��#��� ������ ��� ����� #�
31
4( ) [ 0.1240( ) 0.7836( )].s x x x
�
= − +
:��
1 0.4998.6 6
y s� �⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
%���� ����� ������ ��� ����#��� ��������������������#�������"���������������������������� A�������������������������� siny x� ������������� �4I ���� �� 3� 4� � � ���� ��� �������� ���� �� 3� ,I � �,I � -,I � �,I� ���0,I �����������������#����������%����#�������������������������"��� ������ ��� ����� ��� �� ���������� �#�'
y = sin x
x (in degrees) Cubic spline values Exact values
5 0.087155743 0.087155530
15 0.258819045 0.258818415
25 0.422618262 0.422617233
35 0.573576436 0.573575040
45 0.707106781 0.707105059
������� � ;���� �� ������ �� � B� � �- � �<� � ���� �� � 0-� � ���������� �����������3������,� ������� � ����#��������� ��� �� ������� 8� �-9�������� ��� ���������� ������ 3� <� ���� ������ 3� �-�
A� ������ 3� �� ���� �� 3� -�� %�� �������� ������� ��
��� �� 0�� ���� 3� ���� 7� ���
�� 04� �� 0�� 3� ��0-� 7� B�� 3� �4<
���� 3� �>�
��� 8� � -9 � �� ��#��� ������ ��� ����� #�
����� 3������ 7� ��� ��� 7����� 7����� 7� ���� ��� 7���
� � � � � � �� ����� 7���� 8-��� 7� ���� �� �9� �� ���� 7� ���8-��� 7� ��� �� �9
$�#������� �� ������ ��� �� � ��� ������ � �� �#���
����� 3� ��� �� ,�
��������� �� �#������������������� ��� ������� � �������� �������������"���#����� �� ����������������������#�����"������� �� �#������������ ��� �� ��#���
5.2.1 Minimizing Property of Cubic Splines
A������ ���� ������� ���� �� ������� ��#��� ������� 2� ����� #� �� ��������#��� ������ ����������� �� �� ��� ���� ������ ��� � ��� � �� 3� 4 � � � - � 5 � � ���� �� ��� ������� ��� �� 3� ��� 6� �� 6� �� 6��� 6� ��� 3� ��� $���� ����� ��� �������� ��#��� ����� ������� ������3���� ���� ���� �� ���� ����� ��������3� ��������3�4�
2� *���� #� �� �������� ����� ��� *�����3���� ���� ���� � � ���� *��� �*���� � *�������� ���������� ��� 8� � �9�� %��� �� ������� ������ #�
2[ ( )]b
aI z x dx′′= ∫ �,��>�
����� #� �������� ��� ���� ����� ��� *���� �� ������ %���� ����� ��� ����� ��� ��������������������������������������������������������#�� ������������������������������������"���������������������������� A���
2 2
2
2
[ ( )] [ ( ) ( ) ( )]
[ ( ) 2 ( )[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )] .
b b
a a
b b
a a
b
a
z x dx s x z x s x dx
s x dx s x z x s x dx
z x s x dx
′′ ′′ ′′ ′′= + −
′′ ′′ ′′ ′′= + −
′′ ′′+ −
∫ ∫
∫ ∫∫ �,��<�
$� �����,�-' ��#���$����� 191
192 ��������,' $�����!�������
E��
1
1
1
1
0
1
0
1
0
( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )]
{ ( )[ ( ) ( )]}
( )[ ( ) ( )] .
i
i
ii
i
i
nb x
a xi
nxx
i
n x
xi
s x z x s x dx s x z x s x dx
s x z x s x
s x z x s x dx
+
+
+
−
=
−
=−
=
′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′− = −
′′ ′ ′= −
′′′ ′ ′− −
∑∫ ∫
∑
∑∫ �,��?�
%�� ����� ��� ��� .(�� �,��?�� ���������� �
0 0 0( )[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )].n n ns x z x s x s x z x s x′′ ′ ′ ′′ ′ ′− − −
$���� 0( ) ( ) 0,ns x s x′′ ′′= = ����#���"�����������������$�������� ��������
��� ���.(�� �,��?�� ��� D��� ����� �������� ���� �� ������� ����� ��� ���� ���������� ������ 3� *����� 3� �� � ���� ���� ���:�� � .(�� �,��<�� #����
2 2 2[ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )]b b b
a a az x dx s x dx z x s x dx′′ ′′ ′′ ′′= + −∫ ∫ ∫ �,�04�
��
2 2[ ( )] [ ( )] .b b
a az x dx s x dx′′ ′′≥∫ ∫ �,�0��
�� �������� ��� �� ������
2[ ( )]b
aI z x dx′′= ∫
����� #��������� ��� ���� ����� ��
2[ ( ) ( )] 0,a
bz x s x dx′′ ′′− =∫ �,�0-�
������ ����� ��� *������ 3� �������� :��� *���� 7� ����� ��� �� ����������� ��� �� ������ � ���� ��� ��� 8� �9�� *�� �� ������� *���� 7� ����� �������� �� ������ �� 3� 4 � � � - �5 ���� � � ����� � �������� ��
( ) ( ),z x s x= .a x b≤ ≤
5.2.2 Error in the Cubic Spline and Its Derivatives
%�� ������ ��� �� ������� ���� =� ������� ��� ��� �� ����� ��� �� ���� �� ���������� %�� ������ ��� �� ��������� ��� ����� #�
4 v 61( ) O( )
180� � �� �i i is x y h y h �,�0��
2 iv 4 vi 61 1( ) ( ) ( ) ( ) O( )
12 360� � � ��� ��i i i is x y x h y x h y x h �,�00�
� � 2 v 41 1( ) ( –) ( ) ( ) O( )
2 12� � � � ���� ��� ���i i i is x s x y x h y x h �,�0,�
iv 5 viii 71( ) ( –) ( ) – ( ) O( )
720� � � ���� ���i i i is x s x hy x h y x h �,�0B�
!���� �� �#��� (������ ��� �#���
4( ) ( ) O( )� �� �i iy x s x h �,�0>�
2 iv 41( ) ( ) ( ) O( )
12� � ��� ��i i iy x s x h y x h �,�0<�
� � 21( ) ( ) ( –) O( )
2� � � ���� ��� ���i i iy x s x s x h �,�0?�
� �iv 41( ) ( ) – ( –) O( )� � ���� ���i i iy x s x s x h
h�,�,4�
%��� �������� ���� #� ��#�����J�#�� ������ �� ������ �������� ���������������� �� ��������%� ����$�
5.3 SURFACE FITTING BY CUBIC SPLINES
%����#���������������������������������������#�"��������������������������������#��� A����������������������������������������#�� ��"������������������������#������������������JJ 2�+�����#������������� � ������ ������ ������
( ) 1,
.0,
i j ijL x j i
j i
�= = ⎫= ⎪⎬≠= ⎪⎭
�,�,��
%����������#����������������������������#��������������2������������������ #��� �� �� 2������� ����������� ������������ =��� ���� ����� � �� ����� ��� �������� � ������� 2� ����� #� �� ��������#��� ����� � ��������������� � ������������� �� �� ��������������� ��� ���� ,� 3� 4 � � � - �5 � ��� %�� +����� ��� �� ��������� ������� ������������� �� ��/��� ���� ����� ��� � ��� �� � ��� ��� � ��� ��-������� ������ ������ �#���
������ ����� �� � ������� �������������� ��� �� �� � ������ �������
$� �����,��' $������!�����#����#���$����� 193
194 ��������,' $�����!�������
%�� ��������� ������� ��� ����� #�
3 3 21
, 1 , , 1 , 1
2
1 , ,
( ) ( )1( ) ( )
3! 3! 3!
( ) , (5.52)3!
j ji i j i j j i j i j
j i j i j
x x x x hL x M M x x M
h
hx x M
�
�
−− − −
−
⎡ ⎛ ⎞− −⎢= + + − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎝ ⎠⎣
⎤⎛ ⎞+ − − ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎥⎝ ⎠⎦
������� �� 3�+��������� �� ��� ���� �� ������ ��� .(�� �,�,-�� �������� ����������,�,��� 1�� ��� �� ���� ��� ������ ������ � �� ��������� ��� ��������� ��� ������ ��������� ����� �� �� �������� ������
, 1 , , 1 , 1 , , 12
64 ( 2 ).i j i j i j i j i j i jM M M
h� � �− + − ++ + = − + �,�,��
��������������������������� +���� ������������������� ���������������� �� ���� �� � ���� #������ ��
0
( ) ( ) ,n
i ii
s x L x y=
= ∑ �,�,0�
����+����� ��� ����� #�� .(�� �,�,-��."����������������������������#����������(������������������2
�� �����*��� � ��� �� 3� 4 � � � - �5 � �
��� �� �������� ��� ��� �����#�� *� 3� � �� � �� � #� ����� �� �� �� ���� ���������������������������������������������� %����������������#������ ��� �� ������ �� ����� ��� *� �� ��� ��#������ ����� ��� �� ���������������� %�� ��#��� ������ �������� ��� ����� #�
,0 0
( , ) ( ) ( ) ,n n
i j i ji j
s x y L x L y z= =
= ∑ ∑ �,�,,�
��� +���� ��� +���� ��������#��������������������������.(���,�,-�� %������� ������ �������� � ��� � ��� ��������� ����� �� �������� �������,�,��� #�� ��������� �� ������� ��� ��������� ����� 3������ 3� 4�
%�� ���������� "������ �������� �� ��� ��� �� �������� ������#���
������� �� F����� �� ���� ��� ."����� ,�� � ��D� � �� 7<� � �- 7��� ����� ��<� ����������������� ����� +���������������������!����� ������������ � ����� ��� �� ������� ���� �� �� -�
!��������������������-�������,�3����A�� � 3 � ��� ,�3�� �.(� �,�,-�����'
3 3
, 0 ,1 , 0 , 0
,1 ,1
3
,1 , 0 ,1 ,1
(2 ) ( 1) 1( ) (2 )
6 6 6
1( 1)
6
( 1) 1(2 ) ( 1) ,
6 6
i i i i i
i i
i i i i
x xL x M M x M
x M
xM x x M
�
�
� �
− − ⎛ ⎞= + + − −⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
− ⎛ ⎞= + − + − −⎜ ⎟⎝ ⎠���
���������� 3� 4� ���� �� ������� ������ � �����$�������� � �� �������� ������� �,�,�� � #����'
0���� 3� B������ 7� -���� ������
������������� �#���
0,13
,2
M = 1,1 3,M = − 2,13
.2
M =
:�� � ���� ����'
33
0
31
32
( 1) 3 1 1 5 9( ) (2 ) ( 1) ( 1) ,
6 2 4 4 4 4
1 3( ) ( 1) ( 1),
2 2
1 1( ) ( 1) ( 1).
4 4
xL x x x x x
L x x x
L x x x
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − + − − = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= − − + −
= − − −
(ii)
(iii)
(iv)
:�� ��� �� �� �� �� - � �� ������ ������� ��#��� ������ ��� ����� #�
2
0
3 3
3
3
( ) ( )
1 5 9 3 1( 1) ( 8) ( 1) ( 1) ( 1)
4 4 4 2 2
1 1( 1) ( 1) (18)
4 4
3( 1) 4 12,
i ii
s x y L x
x x x x
x x
x x
==
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − + − + − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
= − + −
∑
������ ��� �� ���� ��� ��� �#����� ��� ."����� ,���� %�� �"� "������������� �� ��� ��� �������� � ������ ��� ������� ������
������� �� %��������� *�3� � �� ������������ ��������������������4���� ����-��=��������������������� �������� ���������������"��������#������ ���� ���� ����� �� �����"���� ����� ��� *�4�, � 4�,��
$� �����,��' $������!�����#����#���$����� 195
196 ��������,' $�����!�������
0 1 2
0 1 2 9
1 2 3 10
2 9 10 17
x
y
!��� ��������� *�4�, � 4�,� ��� ��� �� �#���� �� ������� ������ � �������� �� ������ 4� �� � � �� �� ��
A����� 3� � � ,� 3� � ��� ���
3 3
, 0 ,1 , 0 , 0 ,1 ,1
3
,1 , 0 ,1 ,1
(1 ) 1 1( ) (1 )
6 6 6 6
1(1 ) ,
6 6
i i i i i i i
i i i i
x xL x M M x M x M
xM x x M
� �
� �
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞= + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠���
���� ����� 3� 4� ���� ��������� ������ � ����� 1���
,1 , 0 ,1 , 23
( 2 ).2i i i iM � � �= − +
:�� ��� �#���
0,13
,2
M = 1,1 3,M = − 2,13
.2
M =
!����.(� ��� � �� ��� �#���3
0
31
5( ) 1,
4 4
1 3( ) ,
2 2
x xL x
L x x x
= − +
= − +
32
1 1( ) .
4 4L x x x= −
:�� � �� 0 , 1,x y≤ ≤ �� ���
2 2
,0 0
0 0 0, 0 1 0,1 2 0, 2
1 0 1, 0 1 1,1 2 1, 2
2 0 2, 0 1 2,1 2 2, 2
( , ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ( ) ]
( ) [ ( ) ( ) ( ) ].
i j i ji j
s x y L x L y z
L x L y z L y z L y z
L x L y z L y z L y z
L x L y z L y z L y z
= ==
= + +
+ + +
+ + +
∑ ∑
$��� �� 3� �� 3� 4�, � �� �������� (������ ����'
(0.5, 0.5) (0.5, 0.5)
13 13 11 3 11 13 11 31 2 9 2 3 10
32 32 16 32 16 32 16 32
3 13 11 39 10 17
32 32 16 32
0.875.
z s≈
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= × + × − × + × + × − ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞− × + × − ×⎜ ⎟⎝ ⎠
=
%�� �#����� �������� ��� *�3������������� ���� ������ �� "����������� *�4�, �4�,���� ��-, �����������������#������������������������������� �4K�
5.4 CUBIC B-SPLINES
%�� ��#��� ������ �������� ������ ��� �� �������� ������ ��� ���#��� ������ ������������ ��� �������������� ���� ������������� ��� �����������:�� ��������������������������������������������L������#��&�A� �(���������� ���������������������� ��������� �� ������������� �#� ������� ������ ���� ������ ��� �� ����� %�� * ������� ��� ����� �����������������������������������������������������������������%��* ����������#� ��� �������� #�� ���� ��� ��������� ����� ���� ��� �������� ������� #� ���������
%�� ����� ��� * ����������� ����� ������� #�� $����#��� 8�?0B9 � #���������������������������������������������������������#���"� 8�?>-9� ���� �� *���� 8�?>-9�
1�* ���������������������!����� ��� ������#��������� ���������������������7��������@�������� ������ �5 ��� ����������D����������"����� �� ������� ����� 6� �� 6� ���� %�� ��#��� * ������ �������� ���� @������� � ���� � ��� � ��� � �� � ��� ����� ��
� ���� ��� ���� ������ � �������� ��� �� ����������� ��� �� ��� ���� �� ��� ��� ����� ������� � ��������� ���� ���������� ��� ��������� � ��������� �������� M� 4� ������ 8���� � ��9� ���� ��� ���������� D��� ������ 8���� � ��9�
1� ������� ��#��� * ������ ���� @���� ���� � ���� � ��� � ��� � �� � ��� ������ ��!���� ,���
Figure 5.1 A typical cubic B-spline.
$� �����,�0' ��#���* $����� 197
198 ��������,' $�����!�������
5.4.1 Representations of B-splines
%�� ������ �� ��#���* ������ �������� �� �� 3� �� � �� �������� �� ���� @���
���� � ���� � ��� � ��� � �������� ��� ����� ��
����� 6� ����� 6����� 6� ���� 6� �� �,�,B�
A� ����� ����� �� �������
33+
, when 0=
0, when 0
P PP
P
⎧ ≥⎪⎨
≤⎪⎩�,�,>�
%�� ������(�������������������#���* ����������@�������� �5 ��� � ������� #�� ;������ 8�?B<9'
33
4,0 – 4
( ) ( )� ��
� �
� � �� �i
ri r m m
r m i
s x x x k �,�,<�
1����� ����������#������� ��������������������������� �������#����
� � 4, –4 –3 –2 –1( ) [ , , , , ]�i i i i i is x k k k k k �,�,?�
3–4
–4 –3 –4 –2 –4 –1 –4
( )
( – )( – )( – )( – )�
�
�
i
i i i i i i i i
k x
k k k k k k k k
� �3
–3
–3 –4 –3 –2 –3 –1 –3
( )
( – )( – )( – )( – )�
�
�i
i i i i i i i i
k x
k k k k k k k k
� �3
–4 –3 –2 –1
( )
( – )( – )( – )( – )�
�
� �� i
i i i i i i i i
k x
k k k k k k k k�,�B4�
=���������� ���� 3� ��� 7� �������� 7� �������� 7� ������� 7� ������� 7� ��� �,�B��
A� �#��������� ����� 3� ���� 7� ��������� 7� ��������� 7� �������� 7� ���� �,�B-�
:�� � .(�� �,�B4�� ���� #������ ��
3 3 3–4 –3 –2
4,4, –4 4, –3 4, –2
3 3–1
4, –1 4,
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
� � �
� �
� � �
� �
� � �� � �
� � �
� �� �
� �
i i ii
i i i i i i
i i
i i i i
k x k x k xs x
k k k
k x k x
k k
3
4,4
( )
( )��
� �
��
��
im
i mm i
k x
k�,�B��
N��� ������� � �� * ������ ��� ����� �� ����� � 7 ��� ��� ������ #�
, 1( ) [ , , , ]� � �
� �n i i n i n is x k k k �,�B0�
� � � � �3
,
( )
( )��
� �
��
��
im
n i mm i n
k x
k�,�B,�
���
, 1( ) ( – )( – ) ( )�� � �
� � �n i i n i n ix x k x k x k �,�BB�
������������ ������� ��� ������������ ����� �� ��� !���� �� ��������� ���� ������� ������� � �� ���
� � �
� �–3 –2 –1, 4 –3 –2 –1
–4 –3 –2 –1–4
3, 3, –1
4
[ , , ] [ , , , ], , , ,
–
( ) – ( )
�
�
�
�
�
�
i i i i i i i ii i i i i
i i
i i
i i
k k k k k k k kk k k k k
k k
s x s x
k k
�,�B>�
%���
3, 3, –14,
–4
( ) ( )( ) ,
–
�
�
i ii
i i
s x s xs x
k k�,�B<�
������ ��� �� �������� �������� $�������� � ����* ������� ��� ������ ��� ����� �������� ������
–1, –1, –1,
–
( ) – ( )( )
–�
n i n in i
i i n
s x s xs x
k k�,�B?�
��������� ������ �����������������.(����,�,<� ��,�B<�������,�B?������������������������������#������������������������������ ������������������ ��������� ���������� #�� ��"� 8�?>-9� ���� �� *���� 8�?>-9� �������� �� #� �������� %���� �������� ��
– –1, –1 –1,,
–
( – ) ( ) ( – ) ( )( ) ,
–
�
�i n n i i n i
n ii i n
x k s x k x s xs x
k k�,�>4�
���� ���� ��� !��� ������ ��� .(�� �,�>4� � ����"� 8�?>-9�!����.(�� �,�>4� � �� ���� #� ��� ��� �� ���������� ��� �������� �����
���������������������������%��� ������@����������� ����� ���� ����������� ����� ��#��� * ������ .������� ���� #� ������ � ����� ��� �� ���� � ��� ��� ����������� !���� ,�-�
$� �����,�0' ��#���* $����� 199
200 ��������,' $�����!�������
1, –3
2, –2
1, –2 3, –1
2, –1 4,
1, –1 3,
2,
1,
i
i
i i
i i
i i
i
i
ss
s ss s
s ss
s
Figure 5.2 Array of elements for computing s4,i.
!���� � �������������� ��� �� ���������� ��� �� �#��� ���������� #����#�� ������ �� ������
–1–11,
1if
–
0, otherwise.
�� ��
� ���
j jj jj
k x kk ks �,�>��
!���"���� �������������6����� ������������!����,�-������������������������!���� ,���
1, –3
2, –2
3, –1
4,
00
0 00
0
i
i
i
i
ss
ss
Figure 5.3 Simplified array of Fig. 5.2.
%������������������������* ����������������#����������������%�����������"�������������������������������,�B0�������,�>4����������������� ��� * �������
��������� A�������� �� ��@����4 �� �- �� �0 ���������#���* �������� �� 3� �� ���� �� 3� -� ������ �������� �,�B0��
A� ���
3
4,4,– 4
( – )( )
( )��
�
�
��
im
ii mm i
k xs x
k���
��� �� 3� �:�� �� 3� 0 � ��� 3� 4 � �� 3� � � �� 3� - � ��� 3� �� ���� ��� 3� 0�
%�����
4 3
4,44,40
( )(1)
( )��
�
��
�� m
mm
k xs
k
� � �3 33 3 3
0 31 2 4
4,4 0 4,4 1 4,4 2 4,4 3 4,4 4
( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � �� �� � �
� �� � �� � � � �
� � � � �
k kk k k
k k k k k
� � � � � � �4,4 4,4 4,4
1 8 270 0
(2) (3) (4)� � �� � � � �
� � �����
E��
������-�� 3� �-� 7� 4��-� 7� ���-� 7� ���-� 7� 0�� 3� 0
��������� 3� ��� 7� 4���� 7� ����� 7� -���� 7� 0�� 3� 7B
���
������0�� 3� �0� 7� 4��0� 7� ���0� 7� -��0� 7� ��� 3� -0�
:�� � ����� ����
4,41 8 27
(1) –4 6 241
.24
� �
�
s
�#� �� 3� -A� ���
3 3
4,44,4 4,4
(3 2) (4 2)(2)
(3) (4)
1 8 1.
–6 24 6
� �
� �� �
� �
� � �
s
������� �� A��� �� ���� ���� ��� ��� ."����� ,�< � ������ ��#��* ������� �� �� 3� �� ���� �� 3� - � ������ �������� �,�>4��
%�� �������� ��
–4 3, –1 3,4,
– 4
( ) ( ) ( – )( )
–
� �
�i i i i
ii i
x k s x k x ss x
k k�����
���� �� 3� �
� � � �A� ���� �� �� �� 6� -��%��� ��� 3�2 1
11.
–k k=
$� �����,�0' ��#���* $����� 201
202 ��������,' $�����!�������
:����� ��� �� ������ �� ����� ��� �� ���������� �����
2,2
1,2 3,3
2,3 4,4
3,4
0
00
0
ss s
s ss
E��
0 1,1 2 1,22,2
2 0
(1– ) ( 1) 1,
– 2
� �
� �
k s k ss
k k
1 1,2 3 1,32,3
3 1
(1– ) ( 1)0,
–
� �
� �
k s k ss
k k
0 2,2 3 2,33,3
3 0
1(1 – ) ( 1) 12 ,
– 3 6
� �
� � �
k s k ss
k k
1 2,3 4 2,43,4
4 1
(1– ) ( 1)0 ,
–
� �
� �
k s k ss
k k
0 3,3 4 3,44,4
4 0
(1– ) ( 1) 1.
– 24
� �
� �
k s k ss
k k
�#�� �� 3� -� � � �A� ���� -� �� �� 6� �� � � � %��
� 1,33 2
11.
–� �s
k k
��� ���� ��� � �� ������ �� #� ������� ��� ����� #����
3,3
2,3 4,4
1,3 3,4
2,4
00
0
0
ss s
s ss
1 1,2 1,32,3
1
(2 – ) (3 – 2) 1,
3 – 2
�
� �
k s ss
k
2 1,3 1,42,4
(2 – ) (4 – 2)0,
2
�
� �
k s ss
2,2 2,33,3
(2 – 0) (3 – 2) 1
3 6
�
� �
s ss
2,3 2,43,4
(2 – 1) (4 – 2) 1,
3 6
�
� �
s ss
���3,3 3,4
4,4(2 – 0) (4 – 2) 1
.4 6
�
� �
s ss
5.4.2 Least Squares Solution
2� �����������������#� ��� ���� � ��3�� �- �5 �� ����������������2�����#�����#�������������@���� � �� �5 ��� �������6���6���6���6����6����%������ �� ����� �� ���* ������ � �� ��� �������� �� �������� ���� ���������@��� ������ ��� �� �� ��� ���� ���� ����������������%���@����������������� ��
��� 6� �� 6� �� 6� ��� 3�� ��� �� 3� ���� 6� ���� 6� ����� 6� ���� �,�>-�
A���������� � 0��* ����������������0��������������������� �����������������#������������������@����� �� �5 �������������(����������� ��� �� ������� �� ����� � ��� �� ����
4
4,1
( ) ( ), ,�
�
�
� � ��p
i ii
s x s x a x b �,�>��
������� ��� �������� �� #� �������%�� ������ �� �������� ��� ��� .(�� �,�>�� � �� ��#���� �� 3� �� ���
�#���
4
4,1
( ) ( ), 1, 2, ,�
�
�
� � � ��p
r r i i ri
s x y s x r m �,�>0�
�������� � �� 0�� �������"� ������ � .(�� �,�>0�� ���� #������ ��
��� 3� � �,�>,�
������ ��� ����� �� � � 0�� #���� ����"� ����� � �� ��� ������� ������� %��(����� �������� ��� �#����� #�� �������� �� ������� (������
�����3���� �,�>B�
5.4.3 Applications of B-splines
1��������������������������* �������������������!�������!���� �������!������* �����������������������������������������������$ ����"���� �C������������������8-4409 �����* �������������������#���������� ��������
$� �����,�0' ��#���* $����� 203
204 ��������,' $�����!�������
EXERCISES
��� %�� �������� �� 3� ��� �� ?� ��� �#����� #����
�� � �B� � �0 � >�� � �, � ��0�
C�����������������0�,��������(���������������������#���������������� �� �#����� ����� ��� ���� ����
��� ;���� �������� �4 �4� � �� H- ���� ���� �� � 4�� ���������� �� ����������3����� � 4�������� � ������ ������������ ��HB��������(�������� ����������"���������������������������������#��������."�����,�,�
��� =����� �� ��#��� ������ ����� ������ ��� �� ������� 8�� � �9� ���� ����������� ��� � ����� ��
�������� 3� �������� ���� ������� 3� �������!���� ��B����
6.2 6.4 6.6ln 11.3119 11.8803 12.4549�
xy x x
��� !�����������������#��������������#����=���#�������������������������'
0.10 0.20 0.30
1.1052 1.2214 1.3499�
x
x
y e
!���� ��4��,�� ��� ���� ���� ���� ��������� ��� ��� ��� �� #�� ���
��� =���� �� ��#��� ������ ������������=� ��� ����������� $���� ��
4 v 61( ) – O( )
180� �� �i i is x y h y h
;���� ��� �� ����7� � �� � �4 � 4�� ���� �� � ��
�������� �� �������� �� 3� � ���� ��� 7�� �� �� �� � � ����� �� ��#��� ����������"������� ��� � �74�,�� ��� ���7��� 3� 70� ���� ������ 3� 0�
�� =���������#������������4����������������������������������� ��� ���������� ����� ���O������ ,�,� �#���
�� A���������������������������������,�->�������������������#�������� ��� �� ������� 8��� � ��9�
��� %�� ���� ������7- � �B� � �4 � 4� � �- � �B�
������� �� ������� �� 3� � ���� ��� �� ������� 7-� �� �� �� -�� =��������#��������������� ��� ���� ��������������������� �����������������7-�� 3� 7�-� ���� ���-�� 3� �-�
��� $���� ��� �� ����� ��� �� ������ ������ �������� ��� ����� #�
2 iv 41( ) O( ).
12� � ��� ��i i is x y h y h
��� C���� ��������D����� ������� ��� $����� ,�-��� ���� ��=� ������
���� �������������� �����������������������������7���� ������������������� ������� � ������ ��� ���� ��� ��� ���
( ) ( )0 ( ) ( ), 0,1, 2.� �
r rns x s x r
F����� ��� ��������� � �#���� �� �������� ������� ��� �� ����"�����
���� ��� �� ��� ���������� ��� �@�� ��
0 2 –21 –1and ,
2 2n n
nM M M M
M M+ += =
��� �� ������ ����� ��� �� ���� ��� �� ������ ��#��� ������ ��� ������������ �� �� ����� ����!��� �� ���� �����
�7- � 7�-� � �7� � 7<� � �4 � 7��?� � �� � 74���
�� ������ ��#��������� ���� ��� ������ ��� ����� #�
3 21 3 241– 3.9.
15 20 60y x x x= − + −
!��������#����������������������������������#����������������
���� %������������ �#������� �����������*�3� � �� ���� ������������������� �� ���� ��� F�� �� ����� ��� $����� ,��� �� ����� *� �����3���,�������3���,�������������������������������������#��������� *� 3� � �� ���� 3� �� �� �� �� ��
1 2 3
1 3 6 11
2 7 10 15
3 13 16 21
xy
���� F����� �� ���
3
0 1 2
– 5 –5 –4 3�
x
y x
����� �� ��������� ������� +����� ���� ���� ������ �� ������� ��#�������� ������ ��� �� ������� 4� �� ���� -�
.��� ���� 205
206 ��������,' $�����!�������
���� F����������������,�,<� �����������#���* ���������������������84 �09������@����4 �� �- �� �0��$�������������������(������������
��� A������������@����4 �� �- �� �0 �, �B �������* ��������������B� �� �� 3� �� ��������"7��*���� �������� ��������
Answers to Exercises
��� �4B�>,� ������ 3� B�B-,�P� �4�� ������ 3� -�<>,�
��� 4�����
��� ���,?,�
��� ���B--P� ���B�<
��� ��74�,�� 3� 4
�� ����� 3� -��� 7� � � 4� �� �� �� �
��� 70�� 7� 0��P� 70�� �� 0��
����3 2
11 3 241
( ) – 3.915 20 60
� � � �s x x x x
���� B��-,
���� 33 1( ) – – 5, 0 1
2 2� � �s x x x x
���� 3 3 3 33( ) 4( 1) 6( 2) – 4( – 3)
� � �� �� � � � �� �
s x c x x x x
��� 1,3 2,3 3,41 1
1, , ,2 6
� � �s s s
4,5 4,6 5,61 1
, 0 ,24 120
� � �s s s
5,7 6,71
0 .720
� �s s
���
���������� �����������������������
�������
6.1 INTRODUCTION
���������� ������������������ ������������������ ���������� ���� � ����� �� ����������� ��� ���� � ��� ���� �� � ��� ���������� ����� � �� ��������� ������ � ������� �� �������������� ���� ������� � ��� ������ ��� ��� ������� ������ ��� �� ����� ����� � �� ������ �� �������� ����� �������� ��� ��������� ������������ ���� ���������� !��� ��� �� �� ����� �� �� ��� ������ ��� �� ���� � � ��� ���� � �� ������ ����� �������� ������"
���2
2, ,
dy d y
dx dx� � ���� �� � ����� ��� �� ��� #�� ��$ � ���
����0
.nx
x
y dx∫
6.2 NUMERICAL DIFFERENTIATION
!�� ������ ����� ���� �������� �� ��������� ������������ �������� ���� ��������� �� ����������� ��� �������� %�� � ������������� �� ������ �� �������� ������ ��� ������ � � �� �� � ����� �� �������� ���� ���������� &� �������� �� ��������� ���� '���(�� �������� ��������������� ��� � �� ����� ��� ��������� ����� �� ���� ���� ������ �� ����� ��������
208 �������)" '��������*�����������������������
�������� '���(�� �������� �������� �������"
2 30 0 0 0
( 1) ( 1) ( 2),
2! 3!
u u u u uy y u y y y� � �− − −= + + + +� �)�+�
���
0 .x x uh= + �)�,�
!��
22 3
0 0 01 2 1 3 6 2
.2 6
dy dy du u u uy y y
dx du dx h� � �⎛ ⎞− − += = + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� �)���
!���� �������� ���������� ���� ��������� �� ����������-��� �������.����� ����� ��� ��� /��� ������� ������ ��� � � �� �������� �0�� �� ������� ���� � ���� � ���� 0x x= ������� 0u = �����12�� �)�,� � ��������12�� �)��������
0
2 3 40 0 0 0
1 1 1 1.
2 3 4x x
dyy y y y
dx h� � � �
=
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠� �)�3�
*����������� 12�� �)���� ���� ����� � �� �����
2 22 3 4
0 0 02 2
1 6 6 12 36 22,
6 24
d y u u uy y y
dx h� � �⎛ ⎞− − += + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� �)�4�
����� ������ �� �����
0
22 3 4
0 0 02 2
1 11.
12x x
d yy y y
dx h� � �
=
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦� �)�)�
/������� ���� ��������� ������ ��������� �� � �� ������� � � ������������������������������������ ����������������������������� ����������� ���� ����������� �������� !���
���� '���(�� ���0����� �������� �������� ����
2 31 1 1
2 3n
n n nx x
dyy y y
dx h=
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ∇ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠� �)�5�
���2
2 3 4 52 2
1 11 5.
12 6n
n n n n
x x
d yy y y y
dx h=
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ∇ +∇ + ∇ + ∇ +⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦� �)�6�
���� 7������(�� �������� ����
0
5 53 31 0 3 22 11 1 1
2 6 2 30 2x x
y y y yy ydy
dx h
� � � �� �− − −− −
=
⎛ ⎞+ ++⎡ ⎤ = − + +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠� �)�8�
���
0
22 4 6
1 2 32 2
1 1 1.
12 90x x
d yy y y
dx h� � �− − −
=
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦� �)�+9�
��� �� �������� ��� �2����� ���� �� ��� ��� �� ��� � ��� ��� �� ����������������� �� � �� ���� �� ������ ��� �������
2 3 4 5 60 0
2 3 4 5 61
1 1 1 1 1
2 3 4 5 6
1 1 1 1 1
2 6 12 20 30
hy y
y
� � � � � �
� � � � � � −
⎛ ⎞′ = − + − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= + − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
�
�
(6.11)
(6.12)
2 2 3 4 5 6 7 80 0
2 4 5 6 7 81
11 5 137 7 363
12 6 180 10 560
1 1 13 11 29
12 12 180 180 560
h y y
y
� � � � � � �
� � � � � � −
⎛ ⎞′′ = − + − + − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= − + − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
�
�
(6.13)
(6.14)
2 3 4 5 6 7 81 1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 7 8n nhy y⎛ ⎞′ = ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠
� �)�+4�
2 3 4 5 6 7 81
1 1 1 1 1 1 1
2 6 12 20 30 42 56 ny +⎛ ⎞= ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ −⎜ ⎟⎝ ⎠
�
�)�+)�
� 2 2 3 4 5 6 7 811 5 137 7 363
12 6 180 10 560n nh y y⎛ ⎞′′ = ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠
� �)�+5�
� 2 4 5 6 7 81
1 1 13 11 29.
12 12 180 180 560 ny +⎛ ⎞= ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ −⎜ ⎟⎝ ⎠
� �)�+6�
/��� ���� ����� � �� ����� ��� ������ �� ����������� ����:����� !�����!�� ���������� ;������ �������� �� ��� ��� �� �������� ���� �����
������� �� /���� �� ���������� ���� ��� ������ ��� �� ����� � ��������-������ ��-��� ���� � < +�,"
1.0 2.7183 1.8 6.0496
1.2 3.3201 2.0 7.3891
1.4 4.0552 2.2 9.0250
1.6 4.9530
x y x y
7���� ��)�," '��������*���������� 209
210 �������)" '��������*�����������������������
!�� �������� ���� ��
x y Δ Δ2 Δ3 Δ4 Δ5 Δ6
1.0 2.7183
0.6018
1.2 3.3201 0.1333
0.7351 0.0294
1.4 4.0552 0.1627 0.0067
0.8978 0.0361 0.0013
1.6 4.9530 0.1988 0.0080 0.0001
1.0966 0.0441 0.0014
1.8 6.0496 0.2429 0.0094
1.3395 0.0535
2.0 7.3891 0.2964
1.6359
2.2 9.0250
%� 0 01.2, 3.3201x y= = ��� 0.2.h = %��� 12�� �)�++�� ����
1.2
1 1 1 1 10.7351 (0.1627) (0.0361) (0.0080) (0.0014)
0.2 2 3 4 5
3.3205.
x
dy
dx =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
��� �� ��� �������� �)�+,� � ��� �� ������� ��� �� ��������� ��������� ���������� ����� 9�)9+6� ���� ���� ����
1.2
1 1 1 1 10.6018 (0.1333) (0.0294) (0.0067) (0.0013
0.2 2 6 12 20
3.3205, as before.
x
dy
dx =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
7������� � �������� �)�+��� ����
2
21.2
1 11 50.1627 0.0361 (0.0080) (0.0014) 3.318.
0.04 12 6x
d y
dx =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
=����� �������� �)�+3� � �� �����
2
21.2
1 1 10.1333 (0.0067) (0.0013) 3.32.
0.04 12 12x
d y
dx =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
������� � �������� �� ����� ���� ������ ��������� ��� �� �������������� ��� �� �������� ;����� �� �� ����� �� <� ,�,� ���� ����� ��-��� ��� <� ,�9�
&�������������������������1;�����)�+��%� ���<�,�, ����<�8�9,49���� �� <� 9�,�� %��� �������� �)�+4�� ����
2.2
2
22.2
1 1 1 1 11.6359 (0.2964) (0.0535) (0.0094) (0.0014)
0.2 2 3 4 5
9.0228.
1 11 50.2964 0.0535 (0.0094) (0.0014) 8.992.
0.04 12 6
x
x
dy
dx
d y
dx
=
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
!�� �������-��� � ��<�,�9 �������������� �)�+4����� �)�+)���/������� �)�+4�����
2.0
1 1 1 11.3395 (0.2429) (0.0441) (0.0080)
0.2 2 3 4
1 1(0.0013) (0.0001)
5 6
7.3896.
x
dy
dx =
⎡ ⎤ ⎡= + + +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
⎤+ + ⎥⎦=
������ ����� �������� �)�+)� � �� �����
2.0
1 1 1 1 11.6359 (0.2964) (0.0535) (0.0094) (0.0014)
0.2 2 6 12 20
7.3896.
x
dy
dx =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
������� �� /������-���������-�������<�+�)��������������������� ��1;����� )�+�
��������� ��� <� +�) � �������� �)�8�� ����
1.6
1 0.8978 1.0966 1 0.0361 0.0441 1 0.0013 0.0014
0.2 2 2 2 30 2
4.9530.
x
dy
dx =
+ + +⎡ ⎤ ⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎝ ⎠
=
7������� � �������� �)�+9�� ����
2
21.6
1 1 10.1988 (0.0080) (0.0001) 4.9525.
0.04 12 90x
d y
dx =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦
7���� ��)�," '��������*���������� 211
212 �������)" '��������*�����������������������
��� �� �������� ;����� � �� ������� �������� ��� ��� ���� ���� �� ��� �� ��������������������������� ����������������������������������!���� ��� ��� �� �� ������ ��� �������� �� ������� �������� ���� �������;���������� ����������������������������������� ��������������������������������� �����������������'������������������� ��� ������ �������������� �������� ���� ���������������� � ��� >���� �����(�!���;���������������������������������������������������������������������������
6.2.1 Errors in Numerical Differentiation
!����������� ���������������������� �������� ��� ������ ����� � �������������� ������� ���� �������� �������� !��� ��� ��������� �����
!�� ��������� ����� ��� ������ � � ��������� �� ������� �������� � ������������������������� ��������!������������������� ���������� �������� ���5���:�� ���� ����� � ���� �������� ��� ��� �������� ����� ��� ���� � ��� ��������� ���������� � �� ������ � ��� ��� ���� �� � ������������������������������������%���� ���������������������� ������������������������������������� �������������������������������7�������� �� ������� �������� ��� ����� ��� ��� ��������� ��� �� ������ ����� �������� ���� ��� �� ������� �������� ��� ���� �����;����� � � ���� ������� �!������������������������������������������ ������� ��� ���� ����������� &� 0���� �� ,� ��� �� ���� ������� ����� ��� ������� �� ��� � 3�� ��� �� ������ �� ���� �� � ��� � ��� �� ������� ����� ���� ������ �� ��� �������� ��� � ���� ;���� � 7������(�� �������� �)�8��� !������� �� ����� ��� �� ����
0
1 0 1 11 1,
2 2x x
y y y ydyT T
dx h h
� �− −
=
+ −⎡ ⎤ = + = +⎢ ⎥⎣ ⎦�)�+8�
���� �� � �� ��������� ���� � ��� ����� �
3 32 1
11
.6 2
y yT
h
� �− −+= �)�,9�
7������� � �������� �)�+9�� ���� �� ����� ��
0
22
1 22 2
1,
x x
d yy T
dx h� −
=
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦�)�,+�
���
42 22
1| | .
12T y
h� −= �)�,,�
!�� ������������� � ��� ���������� � ��� ������ ������������� ���� ��� ����� ��� ����� �������� � ������ � ������������ �� �� ��� �� ���� ��� �����
�������� � ���� ��� ���� !��� � �������� ������ �������� ��� �� ������������������������7������(�� �������� ��� �� ��������12�� �)�+8� � �� ��������������������;�� ,�-,��<��-� ���� � �������;���������������������� ��� ?�� �� ��� ���� � �� �������
0
3 31 0 2 1
2 1 1 2
2 12
8 8
12
x x
y y y ydy
dx h h
y y y y
h
− − −
=
− −
Δ + Δ Δ + Δ⎡ ⎤ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦
− + −= +
�
� �)�,��
���� �� ��;����� ��������� ����
18 3.
12 2h h
ε ε=
/����� � �� �������
0
221 0 11
2 2 2
2
x x
y y yyd y
dx h h−−
=
⎡ ⎤ − +Δ= + = +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦� � �)�,3�
���� ����;������������������ 24 / .hε �� �������� ��� ��� ���������������������� � �� ��������� ����� �������� ����� ������ �
������� �� :�������� ��� �� �������� ������ ����� ��� �� ���� ��1;����� )�+� ��� ������ �� �� ������� � ���� � ����� �� ������ ��� ������� ��� ��-��� ���� ��-��� �� � < +�)�
7���� �� ������ ��� ������ �� 3* � �� �������� �� � @ 9�99994 < 9�4 � +9���
����� ��� ������ ��� � � ����
���������������3 3
1 01, from (6.20)
6 2
1 0.0361 0.0441
6(0.2) 2
0.03342
y y
h
� �− +=
+=
=���
������� �����
4
3, from (6.23)
2
3(0.5)10
0.4
0.00038.
h
�
−
=
=
=
7���� ��)�," '��������*���������� 213
214 �������)" '��������*�����������������������
%�� !���� ���� 0.03342 0.00038 0.0338.= + =
=�����7������(���������������12���)�+8� �������������������� ��A�����
1 0
1.6
0.8978 1.0966 1.99444.9860.
2 0.4 0.4x
y ydy
dx h
� �−
=
+ +⎛ ⎞ = = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
!�������� �������3�84�9������������������������������������3�86)9 B3�84�9� � ��� � 9�9��9 � ������ ����� ���� �� ���� ����� ������� �����
����� ��� ������ ��� �� <� +�)" =����� 12�� �)�,3� � �� �����
221
2 21.6
0.19884.9700
0.04x
yd y
dx h
� −
=
⎡ ⎤= = =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦��� ��� �� ���� <� 3�8599� B� 3�84�9� <� 9�9+59�
:���
��������������� 422
1 1| | 0.0080 0.01667
12(0.04)12y
h� −= = × =
���
������������4
2
4 4 0.5 100.0050.
0.04h
�−× ×= = =
%��
!���� ����� ��2
21.6
0.0167 0.0050 0.0217.x
d y
dx =
⎡ ⎤= + =⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
6.2.2 Cubic Spline Method
!�����������������������7�����4�,������������� ���������������� ����������������������������������������/����������������������� � ��������� �������� �4��+�� ��� �4��,�� �� � �� ���� �� ������ �� ����������� ��������� �������� ����� �� ������ ��� �� ������������� !��12� �4�,8�� ����� �� ������ ��� �� ������� ��� ���� � ����� ������ �� ������������� ���� �� �������� /��� �� ����� ��������� �� �� ������� ����� ������� � ��� ����� � �� ����� �� ��� �������� �4�,6�� ���� �4��9�� ����� � �� ��� �� ���� ���� � ��� ���������� ���������� �� ����� ��������� ��� ���� ��� �������� �������� �4��3�� ��� �4��)�� �� � �� ���� �� ������ ���������� ����� ���������
!������������;�������������������������������������������������������������
������� �� &� �������� �� ������� � ���� <� ���� �� ��� #9 � �$�
%� !�� <�!�� <� 9�� C "� <� , � ��� � �� <� �-,�� !��
��� <� �� <� 9 ��� <� + ��� !�� <�!� <� 9�
=����� �������� �4��,� � �� �����
0 1 2 0 1 22
64 ( 2 )M M M y y y
h+ + = − +
��
1 2
12.M
�
= −
/������� �4�,8�� ��������� �� ������ ��� ���� ������� !��� � ��� 9��� �����-, �� �����
3
2
2 2 3( ) ,
2
x xs x
� �
⎛ ⎞−= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠������ ����
22
2 2 3( ) (3 ) .
2s x x
� �
⎡ ⎤′ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦���
%��2
2
2 6 3 90.71619725.
4 16 2 4s
� �
� ��
⎛ ⎞⎛ ⎞′ = − + = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠#����� ���� �� ( /4) cos /4 1/ 2 0.70710681.s � �′ = = = !�� ������� ������� �� ������� ����� �� ����-3�� �� +�,6D� /���� ���
3
24( )s x x
�
′′ = −
���� ���
3 2
24 60.60792710.
4 4s
� �
� �
⎛ ⎞′′ = − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠7������;���������� 1/ 2,− �����������������������������+3�9� D�&������������������������<������� ��������������+9E �������<�9��� .π !������� �� ������ ������������������������������ ���� �� ������ ������� ��� �� ���������� ���� ���� �� � < 89E��
′′( )y x
x (in degrees) Exact Cubic spline
10 –0.173 648 178 –0.174 089 426
20 –0.342 020 143 –0.342 889 23330 –0.500 000 000 –0.501 270 524
40 –0.642 787 610 –0.644 420 964
50 –0.766 044 443 –0.767 990 99960 –0.866 025 404 –0.868 226 016
70 –0.939 692 621 –0.942 080 425
80 –0.984 807 753 –0.987 310 19790 –1.000 000 000 –1.002 541 048
�� ��� ��� ��� ��� ��� ����� ��������� � ��� �� ������ ��� �� ����������� ���������
7���� ��)�," '��������*���������� 215
216 �������)" '��������*�����������������������
������� � /���� �� ���������� ���� ���� ���� � ����� � ��+�9��
–2 –1 2 3( ) –12 –8 3 5
xy x
!�� �������� ����� ������ �� ����� ���� ���� ��������� ��� ����� �
3 21 3 241– – 3.9.
15 20 60y x x x= − + �%�� ���;��������������+�������4+))5�
!�� ���� � �� ������ ������ �������� �4��+� � �� ������ ��� ��� <� + �� <� �� ���� ��� <� +�
/��� �� <� + , � �� �������� ������� ����"
6!�� F� �!� <� B,���
�!�� F� 6!� <� B+9
�����!�� <�!�� <� 9��&� ������!�� <�14
55� ����!� <� B
74
55�� ��� B+� �� �� �� ,
�� ���
� � � �3 3
21 (2 ) 14 ( 1) 74
( )3 6 55 6 55
� �� � � �� � � � � � � � �
x xs x
� �1 21 1 9 74
8 (2 ) 3 ( 1)3 55 3 6 55
� �� � � �� � � � � � � �� � � � � �x x
*����������� �� ����� ���� ������ ��<� + � �� �����
21 7 148 461 276
(1) (1.0)3 55 55 55 55
3.52727, on simplification.
� �� � � � � �� � �
�
�
y s
6.2.3 Differentiation Formulae with Function Values
��� 7����� )�, � �� ������� ������� � ���0����� ���� ������ ������������;�������� ��� ��������� ��� ���� ��� ����� ���������� /���� ������������������������ ���������������������;��������������������������� �������� ��� ���� ��� �������� ������� &� ���� ����� ��������������� �������� ���� ��� ��� ��������� �����������
��� $��%����&����������
1( ) ;i ii
y yy x
h+ −′ = 22 1– 4 3
( ) O( )2
� �� �
� ��i i i
iy y y
y x hh
1 22
2( ) ;� �
� ����
i i ii
y y yy x
h3 2 1
2
– 4 5 2( ) ;� � �
� � ����
i i i ii
y y y yy x
h
���� '��(%���� &����������
1( ) ;�
���
i ii
y yy x
h1 23 4
( ) ;2� �
� ���
i i ii
y y yy x
h
1 22
2( ) ;
� �
� ����
i i ii
y y yy x
h
1 2 32
2 5 4( ) ;
� � �
� � ����
i i i ii
y y y yy x
h������)������� &����������
1 1( ) ;
2i i
i
y yy x
h+ −−
′ = 2 1 1 28 8( ) ;
12� � � �
� � � ���
i i i ii
y y y yy x
h
1 12
2( ) ;� �
� ����
i i ii
y y yy x
h
2 1 1 22
16 30 16( )
12� � � �
� � � � ����
i i i i ii
y y y y yy x
h!��� �������� ���� �� ������ � � ������ !� ���� ����� ;�������� ��� ����������
6.3 MAXIMUM AND MINIMUM VALUES OF A TABULATEDFUNCTION
�� ��� 0����� ��� �� ��;����� ���� �������� ������ ��� �� �������� ���� ������� � � 2������ �� ����� �������� �� ���� ���� �������� ���� �� ��������!���������������������������������������;������������������� ������� ���������������� '���(�� �������� �������� �������
2 30 0 0 0
( 1) ( 1) ( 2)
2 6
p p p p py y p y y y� � �− − −= + + + +�
*����������� ���� ���� ����� �� � � �� �����
22 3
0 0 02 1 3 3 2
2 6
dy p p py y y
dp� � �− − += + + +� �)�,4�
/�����;������������� ��-���<�9��%�� ����������������.�������� ������������ � ���� �� ����� �������� ���� 2������ �� �� ��� � �� ������ �2�������� ���� �
20 1 2 0,c c p c p+ + = �)�,)�
���
2 30 0 0 0
2 31 0 0
32 0
1 1
2 3
1.and
2
c y y y
c y y
c y
⎫= Δ − Δ + Δ ⎪⎪⎪= Δ − Δ ⎬⎪⎪= Δ ⎪⎭
�)�,5�
G����� ��� �� ���� ��� �� ������ ����� �� ������� �� <� ��� F� ���
���7���� ��)��" H�;���������H�������G����������!�������/������ 217
218 �������)" '��������*�����������������������
������� �� /���� �� ���������� ��� � ����� � � ������ �� ��� ����������� � ���� ������ �� ��� ��;����� ���� ����� ���� ����� ��� ��
1.2 0.9320
1.3 0.9636
1.4 0.9855
1.5 0.9975
1.6 0.9996
x y
!�� ���� ��� ��������� ��
x y Δ Δ2
1.2 0.93200.0316
1.3 0.9636 –0.00970.0219
1.4 0.9855 –0.00990.0120
1.5 0.9975 –0.00990.0021
1.6 0.9996
C����<�+�,��!������������)�,4� �������������������������� �����
2 10 0.0316 ( 0.0097)
2
p −= + −
����� ������ �� ������ �� <� ��6�� %��
0 1.2 (3.8) (0.1) 1.58.x x ph= + = + =
/��� ������������� �'���(�����0���������������������� 1.6nx = ����
0.2( 0.2 1)(1.58) 0.9996 0.2(0.0021) ( 0.0099)
20.9996 0.0004 0.0008
1.0.
y− − += − + −
= − +=
6.4 NUMERICAL INTEGRATION
!�� ������ ������� ��� ��������� ��������� �� � �� ���� ��� ��������I�������������������� ��� ���� � ��� ���� �� � ��� ���� ���������������<�� ��� ����� ����������0�����;������ �������2������������������������������������
.b
a
I y dx= ∫ �)�,6�
:���������������������������������� ������������ ����� ����������������� ������� � ���� ���� ������ � ��� �������� � ��� �����;���� ����� ��� ���������������!��� �������������������������������������������������� �� ����� �� ����������� �������������&������ ��� ���� �������������������������������������������������'���(�������������������������
C� �� ������� #� � $� �� ������� ���� �� 2���� ����������� ����� ����<����@����@���@������<�������� ����<����F�����%�����������������
0
.nx
x
I y dx= ∫:����;������� �� � � '���(�� �������� �������� ������� �� �����
0
2 30 0 0 0
( 1) ( 1) ( 2).
2 6
nx
x
p p p p pI y p y y y dx� � �− − −⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ �
7��� 0 ,x x ph dx h dp= + = ���� ���� �� ����� ������� �����
2 30 0 0 0
0
( 1) ( 1)( 2),
2 6
np p p p p
I h y p y y y dp� � �− − −⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ �
������ ����� ��� �������������
0
22 3
0 0 0 0(2 3) ( 2)
.2 12 24
nx
x
n n n n ny dx nh y y y y� � �
⎡ ⎤− −= + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ � �)�,8�
/���� ������������ ������ ��� ���� ������ ������� ��������� �������� � ������ �� <� + � , � � �� � �� &� ����� ��� �� ��� ��� ��� �������� ��� �������� �� ����0�� ��� �� ���������� ���� 7������(�� +-�.����� ��� ������� ���� ��������� ������� � ���� ��� ��� ��������� ��������
6.4.1 Trapezoidal Rule
7���� �� <� +� ��� �� ������ �������� �)�,8� � ���� ��������� ������ ���� ����� ����� ����� ���� ���� �� �����
1
0
0 0 0 1 0 0 11 1
( ) ( ).2 2 2
x
x
hy dx h y y h y y y y y�⎛ ⎞ ⎡ ⎤= + = + − = +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ �)��9�
/��� �� �;� ������� #�� � �$ ��� ����� ��������
2
1
1 2( )2
x
x
hy dx y y= +∫ �)��+�
7���� ��)�3" '���������������� 219
220 �������)" '��������*�����������������������
���� ��� ���� /��� �� ���� ������ #���� � ��$ � �� ���
1
1( ).2
n
n
x
n n
x
hy dx y y
−
−= +∫ �)��,�
���������� ���� ��� ;�������� � �� ������ �� ���
0
0 1 2 1[ 2 ( ) ],2
nx
n n
x
hy dx y y y y y−= + + + + +∫ � �)����
������ ��� 0����� ��� �� �����*������ ����!�� ��������� ������������ ��� ���� ���� ��� ��� �� ����� �� <� � ���� ��
������� � � �� ������� ����� J������� �� ����� ��� � ��� ��� ��� � ���K� ��� � ������ �� � �� � � � 1 1( , )n nx y− − ��� ��� � ����� !�� ���� ������� � � �� ������<�� ��� ������������<������� ��<��� ��������.�;��������������;���� 2������� �� �� ���� ��� �� ����� ��� �� �� ��������� �������
!�� ����� ��� �� ���������� �������� ���� �� ������� ��� �� ����������� �� C �� <� � ��� �� ��������� � ���.����� � ���� ������� ������������������ ��� #�� ��$�� 1;�������� �� ��� �� !� ���(�� ����� ������� �� <� �� � ������
1 1
0 0
20
0 0 0 0
2 3
0 0 0
( )( )
2
2 6
x x
x x
x xy dx y x x y y dx
h hhy y y
⎡ ⎤−′ ′′= + − + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
′ ′′= + + +
∫ ∫ �
� �)��3�
7�������
2 3
0 1 0 0 0 0 0
2 3
0 0 0
( )2 2 2 6
2 4
h h h hy y y y hy y y
h hhy y y
⎛ ⎞′ ′′ ′′′+ = + + + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
′ ′′= + + +
�
� �)��4�
/���� 12��� �)��3�� ���� �)��4� � �� �����
1
0
30 1 0
1( ) ,
2 12
x
x
hy dx y y h y′′− + = − +∫ � �)��)�
��������� ������������������ #�� ���$��L���������������������������������� �������� ��� �� ��������� ���������� ����� #�� ��$ � #� ���$ �� ���#���� � ��$� &� ���� ���
30 1 1
1( ),
12 nE h y y y −′′ ′′ ′′= − + + +� �)��5�
����#� ��� �� ������ ������ :�������� ��� ( )y x′′ ��� �� ������ ����� ��� ��� 2������� ��� �� ����.����� ���� ��� 12�� �)��5� � �� �����
3 21( ) ( )
12 12
b aE h ny x h y x
−′′ ′′= − = − �)��6�
���� ��� <� � B� ��
6.4.2 Simpson’s 1/3-Rule
!���� ���� ��� ������� � � ����� �� <� ,� ��� 12�� �)�,8� � ���� � � ��������� ������� ��-,��������� �����.������� ����������������������&����� ��
2
0
20 0 0 0 1 2
12 ( 4 ).
6 3
x
x
hy dx h y y y y y y� �⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
7������� 4
2
2 3 4( 4 )3
x
x
hy dx y y y= + +∫
�����������
� � �2
2 1( 4 ).3
n
n
x
n n n
x
hy dx y y y
−
− −= + +∫7������� �� � �� �����
0
0 1 3 5 1
2 4 6 2
[ 4( )3
2 ( ) ],
nx
n
x
n n
hy dx y y y y y
y y y y y
−
−
= + + + + +
+ + + + + +
∫ �
� �)��8�
������ ��� 0����� ���+������(��+-�.��� � ��� ����� � 7������(�� ����� �� ������������ ��� ���� ���� �2����� �������������� ������� ����� ��������������� ��� ����������� ��� ����� ��
/��������������������������7�����)�3�+ ������������������������ ��� 7������(�� ���� ��� ����� �
0 1 3 5 1
2 4 6 2
4 iv
[ 4 ( )3
2 ( ) ]
( ),180
�
�
� � � � � �
� � � � � �
�� �
� �
�
b
n
a
n n
hy dx y y y y y
y y y y y
b ah y x �)�39�
��� ���� x �� ��� �� ������ ����� ��� �� ������ ���������
7���� ��)�3" '���������������� 221
222 �������)" '��������*�����������������������
6.4.3 Simpson’s 3/8-Rule
7��� �� <� �� ��� 12�� �)�,8� ��� ������ ��� ���� �� ��������� ������ ����� ����� ����� ����� ���� ���� �� �����
3
0
2 30 0 0 0
0 1 0 2 1 0 3 2 1 0
0 1 2 3
3 3 13
2 4 8
3 3 13 ( ) ( 2 ) ( 3 3 )
2 4 8
3( 3 3 ).
8
x
x
y dx h y y y y
h y y y y y y y y y y
hy y y y
� � �⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤= + − + − + + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦
= + + +
∫
7�������
6
3
3 4 5 63
( 3 3 )8
x
x
hy dx y y y y= + + +∫
���� ��� ��� 7������� ��� ���� �� � �� �����
0
0 1 2 3 3 4 5 6
3 2 1
0 1 2 3 4 5 6
3 2 1
3[( 3 3 ) ( 3 3 )
8
( 3 3 )]
3( 3 3 2 3 3 2
82 3 3 )
� � �
� � �
� � � � � � � � �
� � � �
� � � � � � � �
� � � �
� �
�
nx
x
n n n n
n n n n
hy dx y y y y y y y y
y y y y
hy y y y y y y
y y y y �)�3+�
!���� ��� � ������7������(�� ��-6�.��� � ������ ���������� ���7������(�� ��� �� �������� ��� ��� �� ����� ��� ���� �������� ����� B��-69� ������ x ��
6.4.4 Boole’s and Weddle’s Rules
��� ������� �� ����� ��������� ��� �� ���� ��� �� ������ ���� � �� ������������ ��� �� ��� �� ���� ������ M���(�� �������
4
0
0 1 2 3 42
(7 32 12 32 7 )45
� � � � ��x
x
hy dx y y y y y �)�3,�
!�� ������� ��� ��� �� ����� ��� ���� �������� ���� �� ������ �� �
7vi8
( ).945
hy x−
�� � ��� �� ���� ���� � �� ������ ���� ��� ���� ��� �������� ����������� �� ���� ��� �� ��;�� ���� � �� ������&���(�� ���
6
0
0 1 2 3 4 5 63
( 5 6 5 ),10
x
x
hy dx y y y y y y y= + + + + + +∫ �)�3��
�� ����� ��� ������ ��� ����� � B���-+39����� x ��!��� ��� ������������������������������� ��� ���������������� �
������ � ����� � �� ���� ��� �� ������ ��� ������ ����� ���� �� �� ����������������������������M���(������������������������;�����&���(�����
6.4.5 Use of Cubic Splines
�� ����� ��� �� ������ ������ ��� �� ������ ����� � ��� � ��� �� ���
0 1
1
1
3 31 1
1
2 2
1 1 1
( )
1[( ) ( ) ]
6
1 1( ) ( ) ,
6 6
n i
i
i
i
x xn
ix x
xn
i i i ii x
i i i i i i
I y dx s x dx
x x M x x Mh
h hx x y M x x y M dx
h h
−
−
=
− −=
− − −
= ≈
⎧= − + −⎨⎩
⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪+ − − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭
∑∫ ∫
∑ ∫
������12�� �4�,5�� ?������ ������� �� �������������������� ��� ��������
3
1 11
( ) ( ) ,2 24
n
i i i ii
h hI y y M M− −
=
⎡ ⎤= + − +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦∑ �)�33�
��� ,iM �������������.�������� ������������� ����� �� �������������
1 1 1 12
64 ( 2 ),i i i i i iM M M y y y
h− + − ++ + = − + 1, 2, , 1.i n= … −
!�� ��� ��� �� ������ ������ ����� ��� ��������� ��� 1;����� )�+��
6.4.6 Romberg Integration
!����������������������� �� ������� �������;���� ������������� � �� ����.��������������� ��� ����������� �� �� ��������� ����������� ������ ������� � ���� ;����� ��� �� ��� ��� ���������� ��� � ���� �������� � ��� ��������� &� �������� �� ������ ������
7���� ��)�3" '���������������� 223
224 �������)" '��������*�����������������������
b
a
I y dx= ∫���������� ��� � �� ���������� �����)��������� ����������������������� ����� �� ��� � �� ������ �� �����;���� ����� ,� ��� , ������� �!��� 12� �)��6�� ����� �� ����� #� ��� # ��
21 1
1( ) ( )
12E b a h y x′′= − − �)�34�
���
22 2
1( ) ( ).
12E b a h y x′′= − − �)�3)�
7���� �� �� ( )y x′′ ��� 12�� �)�3)�� ��� ����� �� ������ ����� �� ( )y x′′ � �� ������������������������2������ ( )y x′′ ��� ( )y x′′ ����� ����� ������� &� ������ ���
21 1
22 2
E h
E h=
���� ���
22 2
2 22 1 2 1
.E h
E E h h=
− −
7���� #� B� #�� <� ,� B� ,� � ���� ����
22
2 2 12 22 1
( ).h
E I Ih h
= −− �)�35�
&� ������ ������ �� ��� �����;������ ,� ������ �
2 21 2 2 1
3 2 2 2 22 1
,I h I h
I I Eh h
−= − =− �)�36�
����� � ��� ����� � ������ �� ������ �� �� ������ ����N�������� ��� ������� ������ ����������� � ���� ��� ��� �� ���� �����
��� �� ���� �
2 11 1
2 2h h h= =
12����� �)�36�� ���� �� ����� ��� �� ���� �������� ����
1 1 1, 4 ( ) ,2 3 2
I h h I h I h⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
�)�38�
���� ,���� <� ,�
21
2I h I⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
��� 31
, .2
I h h I⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
&��� ���� ������� �� ���������� ���� ���� �� �����
( )h�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1,2
h h�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1, ,2 4
h h h�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
12
h�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 1, , ,2 4 8
h h h h�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1,
2 4h h�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
14
h�⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1 1, ,
2 4 8h h h�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 1,
4 8h h�
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
18
h�
!����������������������������������������������������������� ����� �� ���� ����� !���� ���� � ��� �� C�/�� O��������� � ��� ������ ���������������������� ���� ���������� ��� ������ ������������ ���� �������� ������ ,�����������
6.4.7 Newton–Cotes Integration Formulae
C� �� ����������� ����� �� � �� 2���� � ����� � ���� �� ��� <� ��� F� �� �� <� 9 � + � , �� � � � ���� �� �� ��� ������ ��� �� ������� ��� ��������� ������� ����� ��
��� <� �� ��� <� .b a
hn
−=
!��� �������� ������
b
a
I y dx= ∫ �)�49�
��� ������� � � ��� ��������� �������� ��� �� �
0
,n
n i ii
I C y=
=∑ �)�4+�
7���� ��)�3" '���������������� 225
226 �������)" '��������*�����������������������
���� �� ��������� )� ��� ������� ������ � � � �� �������� ������������ �������� ��� �� �� �)�4+�� ��� ������ "�%���-)����� ������������������ ���������!� ����>�����(������ ��������������������� �;��� ��������� ��� �� ��������� �� ��� ���� � ��� ��� �� �������������������������12����)�35�B�)�49��������������'���B�����������������
?�� �� ���� ���� � �������� ������ ��� ��� ���� � �� ��� ������ �������� '���B��� � ����� ��������� ��������� &� ���� ����� �� ���������� '���B���� ���� ��������� �������
���2
0
3
1 0 22 ( ), ( )3
x
x
hy dx hy y x x x x′′= + < <∫ �)�4,�
���3
0
3
1 2 0 33 3
( ) ( ), ( )2 4
x
x
h hy dx y y y x x x x′′= + + < <∫ �)�4��
���4
0
5 iv1 2 3 0 4
4 14(2 2 ) ( ), ( )
3 45
x
x
hy dx y y y h y x x x x= − + + < <∫ �)�43�
���5
0
5 iv1 2 3 4 0 5
5 95(11 11 ) ( ), ( )
24 144
x
x
hy dx y y y y h y x x x x= + + + + < <∫
�)�44�
��6
0
7 vi1 2 3 4 5
6 41(11 14 26 14 11 ) ( ),
20 140
x
x
hy dx y y y y y h y x= − + − + +∫
0 6( ).x x x< < �)�4)�
:� ������������� ���� ��������� �� ���������� ��� ��'���B����������� ��� �� ����� ��� ��������� ����������� !���� ��� �����������1;�����)�+3�
������� �� /��� � ����� ��������������� ��������������� ����������� � �.�;��� ���� � < 5�35 � � < 5�4,
( ) ( )
7.47 1.93 7.50 2.01
7.48 1.95 7.51 2.03
7.49 1.98 7.52 2.06
x f x x f x
&� 0���� ��
7.52
7.47
Area ( )f x dx= ∫��� �� <� 9�9+ � �� ���������� ���� ����� ��� 12�� �)��,�� ����
0.01Area [1.93 2(1.95 1.98 2.01 2.03) 2.06] 0.0996.
2= + + + + + =
������� �� :� ������ ��� ��������� ��� ������ � � ������� ����� �� �.�;���������������.�;�� ������� ��<�9 ��� ��<�+ ������������������ ������� ���� �� ���������� ���������"
0.00 1.0000
0.25 0.9896
0.50 0.9589
0.75 0.9089
1.00 0.8415
x y
1����������������������������� ���������������������������������
��� �� ��� �� ������ ��� �� ������ ����� � ��� �� 0���� ��
12
0
V y dx�= ∫%��� �� ��� �� ������ �� � ���� ��� ��� ������� ���� � ������ ������ ������� �����
2
0.00 1.0000
0.25 0.9793
0.50 0.9195
0.75 0.8261
1.00 0.7081
x y
&��� �� <� 9�,4 � 7������(�� ���� ����
(0.25)[1.0000 4(0.9793 0.8261) 2(0.9195) 0.7081]
3
2.8192.
V�= + + + +
=
7���� ��)�3" '���������������� 227
228 �������)" '��������*�����������������������
������� ��� 1�����
1
0
1,
1I dx
x=
+∫
������ �� ��� ������� ������&����������;������ ���������������������7������(����������
� < 9�4 9�,4� ���� 9�+,4� ������� ���� � < 9�4"� !�� ������ ��� �� ���� �� ��� ������� ����"
0.0 1.0000
0.5 0.6667
1.0 0.5000
x y
��� !���������� ��������
1[1.0000 2(0.6667) 0.5] 0.70835.
4I = + + =
��� 7������(�� ���� ����
1[1.0000 4(0.6667) 0.5] 0.6945.
6I = + + =
���� � < 9�,4" !�� ������� ������ ��� �� ���� �� ��� ����� ����"
0.00 1.0000
0.25 0.8000
0.50 0.6667
0.75 0.5714
1.00 0.5000
x y
��� !���������� ��������
1[1.0 2(0.8000 0.6667 0.5714) 0.5] 0.6970.
8I = + + + + =
��� 7������(�� ���� ����
1[1.0 4(0.8000 0.5714) 2(0.6667) 0.5] 0.6932.
12I = + + + + =
������ /����� � �� �0� � < 9�+,4"� !�� ������� ������ ��� �� ���� �� ��
0 1.0 0.625 0.6154
0.125 0.8889 0.750 0.5714
0.250 0.8000 0.875 0.5333
0.375 0.7273 1.0 0.5
0.5 0.6667
x y x y
��� !���������� ���� ����
1[1.0 2(0.8889 0.8000 0.7273 0.6667)
160.6154 0.5714 0.5333) 0.5]
0.6941.
� � � � �
� � � �
�
I
��� 7������(�� ���� ����
1[1.0 4(0.8889 0.7273 0.6154 0.5333)
242(0.8000 0.6667 0.5714) 0.5]
0.6932.
� � � � �
� � � �
�
I
%�������������,��� ����0������2������9�)8� ����������� ������������� !�� ;��� ����� ��� ,� �� ����, � ������ ��� 2���� � 9�)8�+35�� !���;����� ��������� �� � ��� ����� � 7������(�� ���� ��������� ������������ ���� �� ���������� ����
������� ��� =�� O�����(�� ����� �� �����1
0
1,
1I dx
x=
+∫������ �� ��� ������� ������
&��0�� < 9�4 �9�,4�����9�+,4���������� �������� �������������� ���� �������� ;������&� ������ ���
( ) 0.7084,I h = 10.6970,
2I h⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
���1
0.69414
I h⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
%�� � ������ 12�� �)�38� � �� �����
1 1, 0.6970 (0.6970 0.7084) 0.6932.
2 3I h h⎛ ⎞ = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
7���� ��)�3" '���������������� 229
230 �������)" '��������*�����������������������
1 1 1, 0.6941 (0.6941 0.6970) 0.6931
2 4 3I h h⎛ ⎞ = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
/�����
1 1 1, , 0.6931 (0.6931 0.6932) 0.6931.2 4 3
I h h h⎛ ⎞ = + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
!�� ���� ��� ������ �� � �����
0.70840.6932
0.6970 0.69310.6931
0.6941
.�� � ���� �� ������� ��� ������������ ��� ����� ���� �������� ��� ���� ������� ���� ��� (��%�� ��� ����� �����
������� �� :��� � ���������� ����7������(�� ����� �� �� ������
12
0
1I x dx= −∫��������� � �������� �� ������� �� ���� ��� ������� �
=����� +9 ,9 �9 39 ��� 49 ����������� ��������� � ��� �������� ������ ������������������������� �������������������������!����������!���� ����� ��� �� ������� �� /4 0.785 398163.π =
No. of subintervals Trapezoidal rule Simpson’s’s rule
10 0.776 129 582 0.781 752 040
20 0.782 116 220 0.784 111 766
30 0.783 610 789 0.784 698 434
40 0.784 236 934 0.784 943 838
50 0.784 567 128 0.785 073 144
������� ��� 1�����1
0
sinI x dx�= ∫������ �� ������ ������ �����
!�� ;��� ����� ��� ,� �� ,-�� <� 9�)�))+856�� !�� ��0� � ������������ ���� �� �0 �� <� , ��� �� <� 9�4�� ��� ���� ��� � �� ���� ��� ������ ��� � ����� �� ���� ��� ��
0 0
0.5 1.0
1.0 0.0
x y
=����� 12�� �4��,�� ����!�� <�!� <� 9 � �� ������!�� <� B+,�� !��� ��������)�33�� ����
0 1 0 1 1 2 1 21 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )4 192 4 192
1 1 1 1
4 16 4 16
5
8
0.62500000;
I y y M M y y M M= + − + + + − +
= + + +
=
=����������������������������������������������������������9�9++)+856��� ��� ���� � ������� ��� �� 7������(�� ���� ����� �� ����� ���� ��� ����������� 9�9�993)68 � ������ ��� ���� ���� �� ����� ��� �� ������ ��������
������� ��� *����7������(��+-�.��������������������������������������
&� ������ �� �������
1 1 0 0 1 1,h
h
y dx a y a y a y− −−
= + +∫ ���
���� �� ��������� ��� � ��� ��� 1a ���� �� �� ������� /��� ��� � ������� ��� �������� ���� ��� ;������� ����� ��� + � �� ��� ��� L���� � ����� ����� <� + � �� ���� �� ��������� � ��� ��� � �� ������ �� �������
���
1 0 1
1 1
1 1
2 ,
0
2.
3
h
h
h
h
a a a dx h
a a x dx
a a h
−−
−−
−
+ + = =
− + = =
+ =
∫
∫
(ii)
(iii)
(iv)
7������� ���� � ������ ���� ����� ���� ��� � ��� ��� �� � �� �����
1 12
3a a− = = ��� 0
4.
3
ha =
7���� ��)�3" '���������������� 231
232 �������)" '��������*�����������������������
%��� �������� ���� �0�� �� ����
1 0 1( 4 ),3
h
h
hy dx y y y−
−
= + +∫������ ��� �� 7������(�� +-�.���� ����� ��� 7����� )�3�,�
6.5 EULER–MACLAURIN FORMULA
�������� �� ;�������� �� +-���� B� +�� ��� ��������� ������ ��� � � ������� � ������� ��H��������� ;�������� ��� �� ���� ������� ���
3 51 3 5
1 1 1,
21xB x B x B x
xe= − + + + +
−� �)�45�
���
2 0,rB = 11
,12
B = 31
720,B = − 5
1,
30,240B = � ��
��� 12�� �)�45� � ��� �� �� � < �&� ���� ��� �� ������ #� �� ���
��� 7����� ����3� � �� ������ �� ����
3 3 5 51 3 5
1 1 1
1 2B hD B h D B h D
E hD≡ − + + + +
−�
���2�������
3 31 3
1 1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 2
nn n n nE
E E B hD E B h D EE hD
− = − − − + − + − +−
� �)�46�
?������� ���� ���� � �� 0 ,y �� �����
0 0 0 1 0
30 0 1 0 3 0
v v55 0
1 1 1( 1) ( 1) ( 1)
1 2
1 1( ) ( ) ( ) ( )
2
( ) (6.59)
nn n n
n n n n
n
Ey E y E y B hD E y
E hD
y y y y B h y y B h y yhD
B h y y
− = − − − + − +−
′ ′ ′′′ ′′′= − − − + − + −
+ − +
�
�
�� ���� �� ���� � ������ ��� �� ��.����� ���� ����� �� ������ F� ��� F� �� F��� F� ���� � ������ � ��
01
( )ny yhD
−
��� �� ����� ���� ���� �� ����� ��
0
1 nx
x
y dxh ∫
���� +-& ���� �� ������� ��� ��� ��������� �������
%�� � 12� �)�48�� �����
0
2
0 1 2 1 0
4 6v v
0 0
( 2 2 2 ) ( )2 12
( ) ( )720 30,240
�
� � � � � � � �� �
� � � � ���� ���
� �
�
nx
n n n
x
n n
h hy dx y y y y y y y
h hy y y y �)�)9�
������ ��� ������ �� #���-!�������(�� ������� ���� ���������� !�� ����;�������� ��� �� ����.����� ���� ��� 12�� �)�)9�� ����� �� �����;���������������������������� �������������������������������;������������������������������������������������������������������������������ �� � ����� �� ���� �� ����� �� ���� ��� �� ����� ��� �� ����� ��� F� ��F� �� F� �� F� ���� !�� ��� ��� ���� �������� ��� ��������� � � �� ���������;������
������� ��� 1�����/ 2
0
sinI x dx�
= ∫������ �� 1���BH��������(�� ��������
��� ���� ��� � ������� �)�)9� ���������� �
/ 2 2 4 6
0 1 2 1
0
sin ( 2 2 2 )2 12 720 30,240n nh h h h
x dx y y y y y�
−= + + + + + + + + +∫ � � ���
!�� ������ �� ������ � �� �0� �� <� �-3�� !��� �� �����
/ 2 2 4
0
2 4
sin (0 2 0)8 192 1,84,320
, approximately4 192 1,84,320
0.785398 0.051404 0.000528
0.837330.
xdx�
� � �
� � �
= + + + + +
= + +
= + +
=
∫ �
?�� �� ���� ����� ���� �� <� �-6 � �� �����/ 2
0
sin [(0 2(0.382683) .707117 0.923879 1.000000)]16
0.987119 0.012851 0.000033
1.000003.
�
�
� � � � �
� � �
�
� xdx
7���� ��)�4" 1���BH���������/������ 233
234 �������)" '��������*�����������������������
������� �� =�� �� 1���BH��������� �������� �� ����
2
1
( 1)(2 1) .6
n n n nx
+ +=∑��� ���� ��� � ����� 12� �)�)9�� ��
0
3
0 1 2 1 0 0
5vv0
1 1 1( ) ( )
2 2 12 720
( )30,240
nx
n n n n
x
n
h hy y y y y y dx y y y y
h
hy y
− ′ ′ ′′′ ′′′+ + + + + = + − − −
+ − −
∫�
� ���
%� � ���� <� � � ������ <� ,�� ���� �� <� +�%��� 12� ���� ����
2 2
1
3 2
3 2
1 1Sum ( 1) (2 2)
2 12
1 1 1( 1) ( 1) ( 1)
3 2 6
1(2 3 )
6
( 1)(2 1).
6
n
x dx n n
n n n
n n n
n n n
= + + + −
= − + + + −
= + +
+ +=
∫
6.6 NUMERICAL INTEGRATION WITH DIFFERENT STEP SIZES
&� ���� ��� ���� ��������� ��������� �������� ������ ��� 2���� � ��������������� ��� ��������� ������� � ����� � �� ���� ���� ������� �������������� �2���� �� ��� ��� ������� ��.���������� �������� �� �������� !�����������������������������2����������������������������������������������������� ������������ ��/������������� ������������ ���������� �������� �� �0� �� ������� ���� ��� ����� ��� �� ������� ��� ������ ��������������������� ����� 7������� � ����������������� ���0�������������������������������������������������������� ��:������������������������������������������������� ������������.�������������������������������������� ���������������� ��/����������������&��������������� >������� 2�������� ����(� ����� ��� 7������(�� �+-��.����
7������ ��� �� ����� �� �����;���� �� ������
( )b
a
I y x dx= ∫ �)�)+�
�� ������ ��� ������� �� P� 9�� =����� 7������(� �+-��.���� ���� �� <� �� B� ��-, �� �����
5iv
1 1
4iv
1
( ) ( ) 4 ( ) ( ),3 2 90
( )( , ) ( ),
180
� � �� �� � � � � �� � �� �
�� �
�b
a
h a b hI y x dx y a y y b y a b
b a hI a b y
� �
� �)�),�
���
� �( , ) 4 ( ) .3 2
� � �� �� � �� � � � �
h a bI a b y a y y b �)�)��
'�� ��� ��������� �� ������� ���� � �� <� �� B� +�-3�� 7������(�� �+-��.����������
4iv
2
4iv
2
3 3( ) ( ) 4 2 4 ( )
6 4 2 4
( )( )
180 16
3( ) 4
6 4 2
3 ( )4 ( ) ( )
6 2 4 180 16
,2
� � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � � � � � � �
��
�
� � � �� � � �� � �� � � � � � � � �
� � � � �� � � �� � � �� � � � � � � � � �
����
�b
a
h a b a b a bI y x dx y a y y y y b
h b ay
h a b a by a y y
h a b a b b a hy y y b y
a bI a
�
�
4iv
2( )
, ( ),2 180 16
� �� � �� �� � � �� � � �a b b a h
I b y � �)�)3�
���
3, ( ) 4
2 6 4 2
� � � � �� � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � �
a b h a b a bI a y a y y �)�)4��
���
3, 4 ( ) .
2 6 2 4
� � � � �� � � � � �� � �� � � � � � � � � � � � �
a b h a b a bI b y y y b �)�)4��
:�������
iv iv1 2( ) ( )y y=ξ ξ
7���� ��)�)" '���������������������*������7��7��� 235
236 �������)" '��������*�����������������������
12�� �)�),�� ���� �)�)3�� ���� ��� �������������
4iv
21 ( )
( , ) , , ( ).15 2 2 180 16
a b a b b a hI a b I a I b y ξ⎡ + + ⎤ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ×⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
�)�))�
7��������� 12�� �)�))�� ��� 12�� �)�)3� �� ������ ��� ����� ���� �� ���� ����
( ) , ,2 2
1( , ) , , .
15 2 2
b
a
a b a by x dx I a I b
a b a bI a b I a I b
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∫
�)�)5�
��� �� ������
1( , ) , ,
15 2 2
a b a bI a b I a I b ε+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
�)�)6�
���� ��� �� P� 9� ��� �� ������� #� $ � ��� 12�� �)�)5�� ����� ��
( ) , ,2 2
b
a
a b a by x dx I a I b ε+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ �)�)8�
���� ��
( ) , , .2 2
b
a
a b a by x dx I a I b
+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ �)�59�
�� ������ ��� ������� � �� �� P� 9���� �� ��2���� � �)�)6�� ��� ��� ������� � ��� ���������� ��� ������� �
���� ��� �� �������� #� � ��� F� �-,$� ���� #��� F� �-, $� ���� �� ������� �-,��� �� ��2���� � ��� �������� ��� ���� �� ������� � ��� �� ���� ��� �� �������;������������� ���� ��� �����;������� �� �� ����� �������� ��� ���� ���������� ��� �� � ��� �� ������� � ��� ��� ���������� ������� ��� ���������� ��� �>�������������(��������������������������������������������������� ����� ��� �� �������� �������� !�� ���������� ;����� ��������� ������ ��������
������� ��� !� � ���������������� 12�� �)�)5� ��� ������������� �� ������
/2
0
cos .I x dx�
= ∫
C �� <� �-3�� !��
40, 1 0 1.00228.
2 12 2I
⎛ ⎞⎛ ⎞ = + + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π π
:���
10, 1 4cos
4 24 8 2I
⎛ ⎞⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π π π
���
1 3, 4cos 0 .
4 2 24 2 8I
⎛ ⎞⎛ ⎞ = + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π π π π
%��
30, , 1 2 4cos 4cos 1.00013.
4 4 2 24 8 8I I⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠π π π π π π
�� �������� ��
1 10, 0, , (0.00215) 0.00014.
15 2 4 4 2 15I I I⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
π π π π
�� ���� �� ������� ��� �
:����� ����/2
0
cos 0, , 0.00013,4 4 2
x dx I I�
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ π π π
������ ��� ���� ���� ��� ������� �����
���������� !�� ����������������� ���12���)�)5�� ��� ������������� �� ������
/2
0
(8 4sin ) .I x dx�
= +∫1;��� ����� <� 3��� F� +�
'��
� �4 16
0, 8 4 8 12 52 ,2 12 2 12 2
I� � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
� �4 4
0, 8 4 8 4 sin 8 48 16sin ,4 24 8 2 24 8 2
I� � � � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
4 3, 8 4 8 4 sin 12
4 2 24 2 8I� � � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
� � � � � � � � �4 3
52 16sin24 2 8
� �⎡ ⎤= + +⎢ ⎥⎣ ⎦
7���� ��)�)" '���������������������*������7��7��� 237
238 �������)" '��������*�����������������������
!�����
8 30, , 100 16 sin 16sin
4 4 2 24 2 8 8I I
� � � � � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ = + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦%��
� � � � � � � �1
0, 0, ,15 2 4 4 2
I I I� � � �⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
1 32 8 3104 100 16 sin 16sin
15 24 2 2 8 8
� � �⎡ ⎤= + − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
24 34 16 sin 16sin
360 2 8 8
� � �⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦
0.00057= �
:����� 1����/ 2
0
(8 4 sin ) 0, ,4 4 2
x dx I I�
� � �⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫
8 34( 1) 100 16 sin 16 sin
24 2 8 8
� � ��
⎛ ⎞= + − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
16.56637 16.56691= −
0.00054.=
6.7 GAUSSIAN INTEGRATION
&� �������� �� ��������� ��������� ��� �� ������
( )b
a
I f x dx= ∫ �)�5+�
��� �� �������� ������ � �� ������ ���� ��������� �������� ������2�������������������������2���� .�������������������������I���������� �� ������������������ �� ���������� ��� �������� ������ ������������� �������� ���� ����� ��� ������� �
I����(� �������� ��� ;������ ��� �� ����
1
1 1 2 211
( ) ( ) ( ) ( ) ( )�
�
� � � � ��� �n
n n i ii
F u du W F u W F u W F u W F u �)�5,�
����0�� ���� �� ��� ������ ��%������� ���� �������� � ������� �
���12���)�5,� ��������������,��������� ���������������������������������������������������������������������������������� $����� �� ��� ������� ��� ���� ��� ;������ �,� - +��� %�� � �� ��� ���
2 3 2 10 1 2 3 2 1( ) .n
nF u c c u c u c u c u −−= + + + + +� �)�5��
&� ��� ������ ����� 12�� �)�5,�
1 12 3 2 1
0 1 2 3 2 1
1 1
0 2 4
( ) ( )
2 22
3 5
nnF u du c c u c u c u c u du
c c c
−−
− −
= + + + + +
= + + +
∫ ∫ �
� �)�53�
7��������� ��� ������ ��� �� ����.����� ���� ��� 12�� �)�5,� � �� �����
12 2 1
1 0 1 1 2 2 11 11
2 2 12 0 1 2 2 2 12 2
2 2 13 0 1 3 2 3 2 1 3
2 2 10 1 2 2 1
( ) ( )
( )
( )
( ),
nn
nn
nn
nn n n n n
F u du W c c u c u c u
W c c u c u c u
W c c u c u c u
W c c u c u c u
−−
−−
−
−−
−−
= + + + +
+ + + + +
+ + + + + +
+ + + + +
∫ �
�
� �
�
������ ���� �� ����� ��
1
0 1 2
1
1 1 1 2 2 3 3
2 2 2 22 1 2 31 2 3
2 1 2 1 2 1 2 12 1 1 2 31 2 3
( ) ( )
( )
( )
( ).
�
� � � �
�
� � � �
� � � � �
� � � � � �
� � � � �
� �
�
� �
�
n
n n
n n
n n n nn n n
F u du c W W W
c W u W u W u W u
c W u W u W u W u
c W u W u W u W u �)�54�
'�� � 12��� �)�53�� ���� �)�54�� ��� �������� ���� ���� ������ ��� ��� ���� ������������� �� ���������� ��� �� � �� ������ �� ,�� 2������
1 2 3
1 1 2 2 3 3
2 2 2 21 2 31 2 3
2 1 2 1 2 1 2 11 2 31 2 3
2
0
2/3
0� � � �
� � � � � ���� � � � ����� � � � ����
� � � � � ��
�
�
�
�
�
n
n n
n n
n n n nn n
W W W W
W u W u W u W u
W u W u W u W u
W u W u W u W u
�)�5)�
�� ,� ��0����� 0� ��� � ��� <� + � , � � � ���
7���� ��)�5" I���������������� 239
240 �������)" '��������*�����������������������
:�� ��� ���������� � �� �������� �� ��� � < ,� !��� �� �������� ��
1
1 1 2 2
1
( ) ( ) ( ).F u du W F u W F u−
= +∫ �)�55�
7�������������������;�������$����������� �����������������;������ ��������������� �$���<�+ � �������� !���12���)�55�������������2������"
1 2
1 1 2 2
2 21 21 2
3 31 21 2
2
0
2/3
0.
W W
W u W u
W u W u
W u W u
+ = ⎫⎪
+ = ⎪⎪⎬+ = ⎪⎪⎪+ = ⎭
�)�56�
!�� �������� ��� ��� 2������� ��
1 2 1,W W= = 2 11
.3
u u= − = �)�58�
!�������� �������������� ��������� �����������12���)�5)������ ����� �� ;��� � ���������� ���� �������� � ���� ��� ������ ����� ����� ������ �� ����� �� ��������� � ��� �)�5)��
�� ���� �� ������ ��� �� �� ��� �� ����� ��� � ��� F� +��� C������� ������ 1������ ������ ���� �� ������ ������ �� �������� ������
1 1( 1) ( ) (2 1) ( ) ( ),n n nn P u n uP u nP u+ −+ = + − �)�69�
��� 1���� <� +� ��� 1���� <� �� !�� ����.���� C����� ��� �������� ��������
0
1
22
33
4 24
( ) 1
( )
( ) (1/2) (3 1)
( ) (1/2) (5 3 )
( ) (1/8) (35 30 3).
P u
P u u
P u u
P u u u
P u u u
= ⎫⎪⎪=⎪⎪= − ⎬⎪
= − ⎪⎪⎪= − + ⎭
�)�6+�
�� ���� ����� �� ������ ��� �� ������������� ������0�� ��� ����� �
1
0,1
,n
ji
i jj j i
u uW du
u u= ≠−
−=
−∏∫ �)�6,�
���� �� �� ��� �� ���������
:�� ��� ;���� � ��� �� <� + �� ���� 1��� <� 9 � ���
21(3 1) 0,
2u − =
������ ����� �� �%�� ��������"
031
3 3u = − = − ��� 1
31.
3 3u = =
!�� ������������� ������ ��� ����� � 11 2
10 1
0 1 0 11 1
11
2
u u uW du u u
u u u u− −
⎡ ⎤−= = − =⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎣ ⎦
∫���
11 20
1 01 0 1 01 1
11.
2
u u uW du u u
u u u u− −
⎡ ⎤−= = − =⎢ ⎥
− − ⎢ ⎥⎣ ⎦∫
7������� � ��� �� <� �� �� ���� 1���� <� 9�� !��� ��
4 21(35 30 3) 0,
8u u− + =
������ ����� �� ����� ��������"1/2
15 2 30.
35iu⎛ ⎞±
= ± ⎜ ⎟⎝ ⎠
!�� ������0�� ���� ��� �� ������� ����� 12�� �)�6,�� �� ������� �� ��� ����� � ��� �� ����������� ���� ��������0�� ��� ;����� � ���������� ������� ������ ��� ��� &� ���� ���� � ��� !���� )�+ � �� ��������� ��������� ���� ������ ��� �� ��� � �� <� )�
Table 6.1 Abscissae and Weights for Gaussian Integration
n ± iu iW
2 0.57735 02692 1.0
3 0.0 0.88888 88889
0.77459 66692 0.55555 55556
4 0.33998 10436 0.65214 51549
0.86113 63116 0.34785 48451
5 0.0 0.56888 88889
0.53846 93101 0.47862 86705
0.90617 98459 0.23692 68851
6 0.23861 91861 0.46791 39346
0.66120 93865 0.36076 15730
0.93246 95142 0.17132 44924
7���� ��)�5" I���������������� 241
242 �������)" '��������*�����������������������
��� �� ������ ��� � �� ������ ��� �� ������� ��� 12�� �)�5+�� ���� �� �������� �� ���� ��� 12�� �)�5,�� � � ����� ��� �� ������������
1 1( ) ( ).
2 2x u b a a b= − + + �)�6��
!�� ��� ��� !���� )�+� ��� ��������� � � �� ���������� ;����"
������� ��� /���� 10 ,I x dx= ∫ � � � I����(� ��������
!�� ����� ��� ��� �� ������ �� ������ � � 12�� �)�6��� 7� � �� �
1( 1)
2x u= +
!���� ����1
11
1 1( 1) ( ),
4 4
n
i ii
I u du W F u=−
= + = ∑∫��� $���� <� �� F� +�
/��� �������� � �� �0 �� <� 3 ���� ������ �� >��������� ���� �����(������������� � �� <� 3� ��� !���� )�+ �� �����
1[( 0.86114 1) (0.34785) ( 0.33998 1) (0.65214)
4(0.33998 1) (0.65214) (0.86114 1) (0.34785)]
0.49999 ,
I ≈ − + + − +
+ + + +
= …���� �� ��������� ���������� ������� ������� �� ���� ������� ������
6.8 GENERALIZED QUADRATURE
��� ��������� ��������� �������������� ����� ��� ��������� ����������� � ���������� �� �������� �� ������ ������� ��������� ��������
&� ������� � ���� ������ � �� ��������� 2�������� ��� �������� ��� �����
( ) ( ) ( ) ,b
a
I s f t t s dt�= −∫ �)�63�
��� � ���� ��� ���������� �� � ��� �� � ���� ��� �������� ��������� � ������� Q �� B� � Q� �� Q �� B� � Q� ��� �� P�B+��/��� ����������� �������� ���������� ����� �� � �� ����� �� �� <� �� F� 2�� � 2� <� 9 � + � , �� � �� ��� .b a nh= +!�� 12�� �)�63� ���� �� ����� ��
11
0
( ) ( ) ( ) .j
j
tn
j t
I s f t t s dt�
+−
== −∑ ∫ �)�64�
!��������������������������������;����� ��������)�64��� ������������������� �������� ����� � ���
11
( ) [( ) ( ) ( ) ( )].n j i j j jf t t t f t t t f th + += − + − �)�6)�
7��������� ������ ���� � ���� �� �)�64� � �� �����
11
1 10
1( ) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ) .
j
j
tn
j j j jj t
I s t t f t t t f t t s dth
�
+−
+ +=
= − + − −∑ ∫7��� �� <� �� F� �� ���� �����
11
10 0
( ) [(1 ) ( ) ( )] ( ) ,n
j j jj
I s h p f t pf t t ph s dp�
−
+=
= − + + −∑ ∫������ ���� �� ����� ��
1
10
( ) [ ( ) ( )],n
j j j jj
I s h f t f t� �−
+=
= +∑ �)�65�
���1
0
(1 ) ( )j jh p t ph s dp� �= − + −∫ �)�66��
���
1
0
( ) .j jh p t ph s dp� �= + −∫ �)�66��
�� �������������12����)�66��������)�66��� ��� �� � �����+ � �� ��<���<��-, ���� ���� 12� �)�65� ����
0 1 2 1( ) [ ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )],2 n nh
I s f t f t f t f t f t−= + + + + +�
����������������������������������7�����)�3�+� %��������������� �12����)�65� ��)�66��������)�66����������������������*��������*���������������������:0������#+8)5$� &�� � ���<���� Q Q ���������������������������������������������������������������������������������2�������� �������� � ��������������� ������������������ ����������� ���� � ���� �� ������� ���� ���� ���� ��� � ���� �� ���� � ���
��������������� �����������������������*���+������(�����N�������������������� �7������(�����N� ������;�������� ����� �����������2���������� �� ������ �� � �����
��
� ����� ���� ��� ��� ������ ������� �������� ����� ��� �� �������� ��� ����
7���� ��)�6" I��������R������� 243
244 �������)" '��������*�����������������������
!�������������������2�������������������������� �������������� ���7�����)�3�+� /���;���� � �������������� ��� ������� ��� ���������� ���������� ���� ��� ��� ����� � � ��������� �� f ′′ ��� ������������ #� $�
6.9 NUMERICAL CALCULATION OF FOURIER INTEGRALS
&� ������� � ��� ���� ����� � �� ������� ��� ��������� �������� ������������ ��������� � �������� � ��� � �������� ��� �� ����
( ) cos�� �b
c
a
I f x x dx �)�68�
���
( ) sin�� �b
s
a
I f x x dx �)�89�
7���� ������� � ������ ��$������ ��������� � ������ ��� ��������� ����������� ���� ��������� ���������� 1��������� #+85,$� �������� ��� ������ ���� ���������� ��������� ��� ��� ������� � ���� � �� ���������� ���� /����(�� �������� #+8,6$� ���� ������ ������ ������ 7���� �� ���������� ��/����(�� �������� ���� �� ������ ������ �������� ��� 2��� ������� � �� ������ ��� ��� ���� �� ����� �� 1��������(�� ������ ��� ���� ����� � ��������� �� ��������� ��
20
1cos
1xI e x dx�
�
∞−= =
+∫ �)�8+�
� � �� ���������� ����� =����� ���� ��� � �� �����
� �2 3[1 2( cos cos 2 cos 3 )]
2� � �
� � �
� � � � ��h h hhI e h e h e h
1
cos2
nh
n
hh e nh�
∞−
== + ∑
1
Re ( )2
nh i nh
n
hh e e �∞
−
== + ∑
( 1)
1
1Re
2�
�
�
�
� �� �� �� �� �
�i nh
n
h e
( 1 )
( 1 )
1Re
2 1
�
�
� �
� �
� �� �� �� �� �
�� � � �� �
i h
i h
eh
e
1Re
2
i h
h i h
eh
e e
�
�
⎡ ⎤⎧ ⎫⎪ ⎪= +⎢ ⎥⎨ ⎬−⎢ ⎥⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦
2
2
1,
2 1 2 cos
h
h h
h e
e e h�
−= ⋅+ −
� ��� ������������� �)�8,�
!��������������12���)�8,������������������������� �������� ����������������
&��� �� <� 9�+� ���� �� <� + � �������� �)�8,�� ����
0
cosxI e x dx∞−= ∫
� �0.2
0.2 0.1
0.1 1
2 1 2 cos(0.1)
e
e e
−= ⋅+ − 2
1 10.1, 3
101�
�
� �� � �� �
�� �
� �0.1 0.221402758
2 2.221402758 2.199299334= ⋅
−
� � 0.500833622,=��������������������������������������9�9996��),,��!����)�,������� ������ ��� �� ������� ����� ��� 12�� �)�8+�� ���� ������� ������ ����� ����� <� 9�+�� /��� ���������� � ;��� ������ ��� �� ������� ��� ����� �������
Table 6.2 Values of the Integral (6.91)
� Exact value Value obtained by using (6.92)
1.0 0.500 000 000 0.500 833 622
3.0 0.100 000 000 0.100 836 955
6.0 0.027 027 027 0.027 875 426
9.0 0.012 195 121 0.013 063 154
12.0 0.006 896 552 0.007 793 302
20.0 0.002 493 766 0.003 524 142
6.10 NUMERICAL DOUBLE INTEGRATION
/������������������������������������������������������ ������ ���� ��������������������7������(����������������7������)�3�+���� )�3�,�&� ������� � ��� ��� ;���� � �� ������ ������� ������ �
7���� ��)�+9" '��������*������������� 245
246 �������)" '��������*�����������������������
1 1
( , ) ,j i
j i
y x
y x
I f x y dx dy+ +
= ∫ ∫ �)�8��
�������� <� ��� F� � ��� ���� <� �� F� (�
M � �� ����� >����������� ��� ���������� ���(� �� 12�� �)�8�� � �� �
1
1
1 1 1 1
, 1, , 1 1, 1
[ ( , ) ( , )]2
[ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]4
[ ],4
j
j
y
i i
y
i j i j i j i j
i j i j i j i j
hI f x y f x y dy
hkf x y f x y f x y f x y
hkf f f f
+
+
+ + + +
+ + + +
= +
= + + +
= + + +
∫
�)�83�
��� ���� <� � ��� � �� � ��7������� � ���� ����7������(�� ���� �� �� ������
1 1
1 1
( , ) ,j i
j i
y x
y x
I f x y dx dy+ +
− −
= ∫ ∫ �)�84�
�� �����
1
1
1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
1, 1 1, 1 1, 1 1,
[ ( , ) 4 ( , ) ( , )]3
[ ( , ) 4 ( , ) ( , )9
4{ ( , ) 4 ( , ) ( , )}
( , ) 4 ( , ) ( , )]
[9
j
j
y
i i i
y
i j i j i j
i j i j i j
i j i j i j
i j i j i j i j
hI f x y f x y f x y dy
hkf x y f x y f x y
f x y f x y f x y
f x y f x y f x y
hkf f f f
+
−
− +
− − − − +
− +
+ − + + +
− − − + + − + +
= + +
= + +
+ + +
+ + +
= + + +
∫
1
1, , 1 , 1 1, ,4( ) 16 ].i j i j i j i j i jf f f f f− − + ++ + + + + �)�8)�
:���������� ;����� �����������
������� � � 1�����1 1
0 0
,x yI e dx dy+= ∫ ∫
������ �� ���������� ���� 7������(�� ����� &��� �� <� (� <� 9�4 � �� ���� ����������� ���� ��� ������ �� �� � �
0 0.5 1.0
0 1 1.6487 2.7183
0.5 1.6487 2.7183 4.4817
1.0 2.7183 4.4817 7.3891
x
y
=����� �� >���������� ���(� ����� 12�� �)�83�� ����� � �� �����
0.25[1.0 4(1.6487) 6(2.7183) 4(4.4817) 7.3891]
4
12.3050
4
3.0762.
I = + + + +
=
=
=����� >7������(�� ���(� ����� ��� 12�� �)�8)�� ����� � �� �����
0.25[1.0 2.7183 7.3891 2.7183
94 (1.6487 4.4817 4.4817 1.6487) 16 (2.7183)]
26.59042
9
2.9545.
� � � �
� � � � �
�
�
I
!�� >;��� ����� ��� �� ������ ������� ��� ,�84,4(� ���� ������ �� ���� ������� ��� ������������� �+������(������ ����������; � �������������� ���� ��� ����� � � �� �����*������ ����
EXERCISES
��� /����d
dx3����� �� �� <� 9�+� ����� �� ���������� ���"
�9 � +�9� � �9�+ � 9�8854� � �9�, � 9�8899� � �9�� � 9�855)� � �9�3 � 9�8)93��
��� !������������������������������������������������������������������� �� ��������"�9 � 9�94,� � �9�9, � 9�+94� � �9�93 � 9�+)6� � �9�9) � 9�,3,� � �9�96 � 9��,5� �9�+9 � 9�396� � �9�+, � 9�368���������� �� �������� ����� � �� �� <� 9�9)�
1������� 247
248 �������)" '��������*�����������������������
��� /���� �� ���������� ������ ��� �� ���� � � ����� dy
dx� �� �� <� 9�)�
�9�3 � +�46�)� � �9�4 � +�5853� � �9�) � ,�933,� � �9�5 � ,��,54� �9�6 � ,�)4++��
��� !�� �������� ��� ���� ������� � � �� ������� �� ������� ������ �������� ��� ����� �����
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
3.01 3.16 3.29 3.36 3.40 3.38 3.32
t
x
/���� �� ����� � ��� �� ������� �� �� <� 9��� �������
��� /���� �� ���������� ������ ��� �� ���� � � ����� dy
dx� ���� ���� �� <� +
���� �� <� � � ���� �� <� )� ���� ����2
2
d y
dx� �� �� <� ��
0 1 2 3 4 5 6
6.9897 7.4036 7.7815 8.1291 8.4510 8.7506 9.0309
x
y
��� :��������������������������������������������!��������A���A���������� ������� ���� �� ��������� ��� ����� �����
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0 0.15 0.50 1.15 2.0 3.20�
t
/�������������������� �����������������������������<�9�)��������
�� !������ �� �������� �� <� � ���� <� ��� B� +9�� F� )� �� ��� <� B9�4 � ��� <� +�99������<�,�9���������������������������������������<�+�99������C������(����������������������������� �����������������������
�� I���� �� ���������� ������ ��� �� ���� � � ����� dy
dx�� �� <� ,"
�9 � ,� � �, � B,� � �� � B+��
��� :� ������ �������� �� <� � ���� �������� �� ���������� ���"
0 1 3 4
( ) 1 4 40 85
xf x
*����� � ���� ���� ���� ����� � ��,�� ���� � ���,��
���� !�� �������� �� <� ������ ��� ������� ������� � 9�336+� � �3 � 9�,+86� � �4 � 9�+9++��
/���� ������ �� �� <� � � 3� ���� 4� ���� ������� ���� ������ ���� �� ;��������
���� /�������������������������������� ������dy
dx�����<�,��������������
������������, � ++� � �� � 38� � �3 � +,��
���� /���� �� ���������� ������ ��� �� ���� � � ������ �� ����� ��� dy
dx� �
���� ��� �� ������ � � ������ �� ������� ������ ������ ������� ����+ � �� � �, � ++� � �3 � )8� � �4 � +�+��
���� I���� �� ������ ��� �� ���� �"
�+�, � 9�8�,9� � �+�� � 9�8)�)� � �+�3 � 9�8644� � �+�4 � 9�8854� � �+�) � 9�888)�
������ ������������������������ ������������������;����������������� ����� �����
���� ��� �� <�.� F�'�� F�)�� ���� �� � �� � �� ��� �� ������ ��� �� �������������� �� <� 9 � �� ���� ,� � ������� � ����� ��
2
0 1 2
0
( 4 )3
� � ��h
hy dx y y y �
���� 1�����
����0
sinx x dx�
∫ ��� ����2
25 2
xdx
x−
+∫������ �� ���������� �������� ���� ��������
���� 7��������������������������������������;�������������������������:� ����� ��� ����� � � �� ������ �� � ��� ����� �����
�9 � ,�� � �9�4 � +8� � �+�9 � +3� � �+�4 � ++� � �,�9 � +,�4� � �,�4 � +)� ���9 � +8� � ���4 � ,9� � �3�9 � ,9��
1����� �� ���� ������� � � �� ���� � �� �.�;��� ���� �� ;����������
��� &��� ��� ��������� �� ������ �� ������
0
nx
x
I y dx= ∫� �������������������������������I�������������������������K
�9 � 9��88� � �9�4 � 9��4,� � �+�9 � 9�,3,�� �+�4 � 9�+,8� � �,�9 � 9�943�
����� ��� �����;���� ����� ��
2
0
( ) .y x dx∫
1������� 249
250 �������)" '��������*�����������������������
��� 1����� �� ����� ��� �� ������
3
1
1dx
x∫� �7������(����������3�����������6�������������� ��*����������� ��� ���� ����
���� 1�����
,� <�
/2
0
sin�
� x dx
������ 7������(��1
3.���� ���� �� <� �-+,�
���� =����� 7������(��1
3.���� ���� �� <� + � ������ �� ������
72
3
log .I x xdx= ∫
���� &��������������� ��������
0
2
�nx
x
y dx � ������7������(��1
3.�������
����� ��� ����� �� �� � �� F � � �� F ,���� 1�����
21
0
sinxe x dx−∫������ 7������(��
1
3.���� ���� �� <� 9�+�
���� ������ �� ������ ��
1
20 1
dxI
x=
+∫������ �� ���������� ����������<�9�4 �9�,4�����9�+,4��!������������� ����� ������ O�����(�� ������ ������� ���� ������ ����� ��� �����
���� *����� ����;���������� ��� ��������� �� ������/2
0
sinI x dx�
= ∫� ���������������������7������(��
1
3.���������������������������
���� 1����� �� ����� ��� �� ������
1/ 2
01
dxI
x x=
−∫������ �� ���������� �����&��� ��� ��� ;��� ����S
���� *���� 7������(��3
-rule,8
3
0
0 1 2 33
( 3 3 )8
� � � ��x
x
y dx h y y y y
=����� ���� ��� � �����
1
0
1
1�� dxx
���� 1.
6h = � 1������ �� ������� � � 7������(��
1
3.���� ���� ������
�� ������
���� =����� �� ����� ��� ��������� ��������� � ����� �� �������
2
0 1 0 1
0
( ) ( ) ( )2 12
� � � �� ��h
h hy x dx y y y y
��� !�� �������� �� <� ��� �������� �� ���������� ���� ������ ��� ��2���� �����"
�+�99 � ,�5+6�� � �+�94 � ,�6455� � �+�+9 � ��993,� �+�+4 � ��+46,� � �+�,4 � ��389�� � �+��9 � ��))8���
1��������������
1.3
1.0
,y dx∫��� ������� � ��� ��������
��� 1�����2
30 1
dx
x x+ +∫
� � 7������(��1
3.���� ���� �� <� 9�,4�
1������� 251
252 �������)" '��������*�����������������������
���� =��1���BH��������� �������� �������� �� ������
2
1
(cos ln )� � �� xI x x e dx
���� =�� 1���BH��������� �������� �� ���� �� ����3 3 3 31 2 3 .S n= + + + +�
���� *���� �� I����� ��������� �������� ���� �� <� ,� ���� ���� � �� ���������������
1
2–1
1.
1dx
x+∫
���� =�� �� ��.����� I����� �������� �� ������ �� ������
1
0
1.
1I dx
x=
+∫������� ���� ����� ���� ��� ������� � � 7������(��
1
3.���� ���
�� <� 9�+,4�
���� C
22
0 1 2
0
( ) (0) (1) (2).x f x dx k f k f k f= + +∫��� � ���� ��������;������ ���2�������� �����������������<�9 �+ ����, � ��� ����� �� ������ ��� (� � (�� ���� (�
���� =����� �� ���������� ��� � ����� ��
0
sinhcos (Einarsson)
2 cosh cos�
�
�
�
�
�
� x h he x dx
h h
���� 1��������� #+85,$� ������ �� �������
1 2
0
sinhcos ( cosh + cos ),
cosh 2 cos2x h h
e xdx c h c hh h
� �
�
∞− ≈
−∫���
2
1 2 2 3 3
1 cos sin 22
h hc
h h
� �
� �
⎡ ⎤+= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��� 2 3 3 2 2
sin cos4
� �
� �
� �� �� �
� �
h hc
h h
��� ���� �������� �� ����� ��
0
cos 0.500001391�
�
�� xe x dx
���� ��/4
2
0
cos ,I x dx�
= ∫�����
0, , 0, and ,4 8 8 4
I I I� � � �⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
��� G��� � �� ����� ����� ����� ��� 12�� �)�)5�� ���� L������ )��)�
��� !�� �� ����� ����� ����� ��� 12�� �)�)5�� ��� �� ��������� ��� �������
/2
0
cosI x dx�
= ∫���� =�� �� ���������� ���� �� ������ �� ������ ������
2 42 2
–2 0
( )� �� � x xy y dx dy�
���� =��7������(��1
3.���� �� ������ �������� ������� ���L�����A)��8
���� ������� �� ������ ���� �� ;��� �����
Answers to Exercises
��� B9�9494
��� ��854
��� ,�)333
��� 9�44
��� ���� 9��8�+ ���� 9���3+ ���� 9�,59) ���� B9�9,4)�
��� ��5�� ���-�K� 3�36� ���-�
�� B4�4K� � 4�9�
�� 9
1������� 253
254 �������)" '��������*�����������������������
��� +5K� )
���� ���� B9�,6�+ ���� B9�+5�4� � � ���� B9�9)�8�
���� ,8
���� ������ <� ,��� B� +��� F� ��,� B� ��� F� 8��� B� +� � +� �� �� �� ,�
���� +�9
���� ���� � � � ���� B+�9583���� ))�4
��� 9�354
��� ���� +�+999 ���� +�9865
���� +�+65�
���� +55�36+)
���� 9�,835
���� 9�5644
���� ,�� <� 9�865+ ,�� <� +�999,
���� +�459646
���� 9�)8�+8K� � 9�)8�+5
��� 9�84+�
��� 9�6+4
���� B3�,+))5
���� +�4
���� 9�)8�+,,
���� 0 1 22 8 6
– , , .15 5 5
k k k= = =
���� 9�,)846�
��� 7� 1;����� )�+)�
��� 1����� <� 9�999+3
���� ++,
���� +9)�)))5
7.1 INTRODUCTION
����� ������� ������� ����� ������������ ��� ������ ��������� �������� ���������������������������� �� ��� ������ ������ ��������� �������������� ��� ��� ������������� ��� �� ��������� ������ �� �� ���� �� ����� ��� � ��� ���������������������������� ���� ��������������� ����� ��� �������������������� � ����������� � �� ��� ���������� ��� �� ��� ��� ��� ������� ���� �� ����� ���������� ��� ��� ������
������ �� ������ �� ������ � ��
������ �� ������ �� ������ � ��
������ �� ������ �� ������ � ��
� �� �� ������������ �� ���� � ����� ��� ������ �����
��� � �
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
, and
a a a x b
A a a a X x b b
a a a x b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
!�� "������� #�$�� ��� �������� ���� % ���&����� ����� ������� ��� ��� ���������������������������������������� ����� ����������������� ��������� � ������� � �� ��� �� �� � ���� ���� ����� � ������ ��� ����� ��������� !��� ������������ ��� ' ���� ��� % ���("����� ��� ���������� ��� "������� #�)�
���
���������� ��������
�������
256 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
/��������� ������� �� ����� ��������� �������� �������� ���������������������������� ����������������������� ���� �� �������� �� ���� ��� �������� ��� ��� ������ ��� � � �� �������� ���� ������ ����� ��� ������ ���� ��� � ������ /��� � ����� ������ ��� ������ ��� ���������� ��� "������� #�#� ����� ��"�������#�0��������������� ������������������������� ��� ������������������� � � �����
7.2 TRIANGULAR MATRICES
.� ��� ��� � ����� ��� � ��� ��� �� ��� ���� ��� ���� �������� ���� 1��� ���2��� ���� � ��� �� ��� � ��� 3����� ���� �� ����� ���� � ������
11 12 13 11
22 23 21 22
33 31 32 33
0 0
0 and 0
0 0
a a a b
A a a B b b
a b b b
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
��� ��� ��� �� � ������� �������� ��� � ��� �� ������ ��� ��� �� � ����� ������� � ����� ��� ��� �� � �����
!�� ��� �� �� �� �� ������ ���� � 4� ���� �� 5� ��� ��� ���� � 4� ���� �� 5� �� ������ !�� �� ��� � ���� ����� �� �� � ��� ��� �� � ����� ��� �������� �� ���� ����� � ����� ��� � �������� ��� ���3�����/��� ������������������� ���� ���� ��� ��� �� ������+
1�2 !�� ��� ��� ��� ��� ���� ������ ��� ��� �� � ������� ��� ���� � ��� ����������� ��� �� ��� ��� ����� ��� ��� ������ ��� ��� �� � ������� ��� ���� ��� ������� "��� �� ������� ���� ����� ���� ����� ��� ��� ��� ������ ���
1��2 /��� ����������� ��������� �� ����� ��� ��� ��� ����� ��� ��� � ������� ��� ��� ������ "��� �� ������ ����� ����� ���� �� ������ ��� ��� �� ����� ���� /���� ��������� �� ��� ��� ��� ������� � ��� ��� �� � ����� ����
������� �� ����� ���� �������� ��� ���� � ����
1 2 3
0 1 2
0 0 1
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
-��
� � �11 12 13
122 23
33
0
0 0
a a a
A a a
a
−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"����� ����� � ��� ��� �����
11 12 13
22 23
33
1 2 3 1 0 0
0 0 1 2 0 1 0 .
0 0 0 0 1 0 0 1
a a a
a a
a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
��������������� ����������������������� ������ ����������������������������� ���� ������� ��� �� ��
��� � 6� ��� � 6�
7���� �� ��� � 4� 7���� �� ��� � 4�
�� ��� � (7� �� ��� � (7�
8���� �� 7���� �� ���� � 4 ��� � 6�
� �� ���� � 6�
9����
11 2 1
0 1 –2
0 0 1
A−−⎡ ⎤
⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
"����� ���� �������� ��� � ��� ��� �� � ����� ��� � ���� ���������� ��� ������ �� ���������������� ��������� ��� �������� ����� ������ ���������������������� �� � �������� ��� ���� ��� ��� �� � �������
!��� ����� ��� ����� ������������� ����� ��� ����� ��������� ��� ��� �� �������� ����� ��� ������ �� �
��� � 1��2�� 1#�62
�� �����
/�������������������������������������������������������� ��������� ���� ��� � ����� ��� ����� ��� �� ����� ��� ���� �������� ��� � ������� ��� ��� � ��� ������ ������
7.3 LU DECOMPOSITION OF A MATRIX
-��
11 12 1
21 22 2
1 2
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��
� � � ��
�� ��������� ����� ���� ������/������� ����� �����3��� ����� ���� �������������
"�� ���#�8+ ���:���������������� �� ���� 257
258 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
11 12 1
21 22 2
1 2
1 0 0 0
1 0 0 0and ,
1 0 0
n
n
n n nn
u u u
l u uL U
l l u
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
� �� �
� � � � � � � � �� � �
��
11 12 1311 12
11 21 22 2321 22
31 32 33
0, 0, 0,
a a aa a
a a a aa a
a a a
≠ ≠ ≠ ��� ��� ���
!�� ��� � �� �� ��� ������ ��� ��� �� ��� � �� �� ����� � � �����3 ������ ����� ���������� ��� �������� "��� ���� ���� � �����3 ����� ��� �����
1
11
21 222
2 3
0 01 0 0
0 0and 0 1
0 0 1
� �� �� �� �� �� � � �� �� �� � � �
� �� �
� ��
��
� � � � ��
�
n
n n n nn
l
l lL U u
l l l l
��� ��� � ������� � �����3 ��������� ������� ���� ���� ���������� ���� ��������� ����� ����� � ��� ��� � ����� ��� ������ 8�
-��
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
1 0 0
1 0 0
1 0 0
a a a u u u
A a a a l u u
a a a l l u
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1#�72
���������� ���� � ������� ��� ���� ������ ����� ��� ;��� 1#�72� ��� ��� ����� ����������������� �������� ��� ���� ������� ��� ���
���� � ���� ���� � ���� ���� � ����
������� � ���� ������� �� ���� � ���� ������� �� ���� � ���� 1#�82
������� � ���� ������� �� ������� � ���� ������� �� ������� �� ���� � ���
����� ���� ���� ��� ������� ��� �� ��
� 2121
11,
al
a= 31
3111
al
a= �
2122 22 12
11,
au a a
a= − 21
23 23 1311
au a a
a= − 1#�<2
�
3132 12
1132
22,
aa a
al
u
−=
����� ������ ���� � �� �� ���������
�������
�����������
/��� ������ ���������� ��� � ������ ���� ���� ��� �� � ��� ���� �������� ���� ����� 1�������� ��� ���� ����� ��� ��� �� ����� ������ ��� ��� �2�� ������� ������������ ���� ������ ���� ����� ��� ���� ������ ������ ������ �������� ������������� ������� ��������� ��� ���� ������� ������������ ��� ��� ������ ����������� ������ ���� ��� ��� !�� ��� ������� �� �� ����� ���������� � �� �� ����� �3�������� ���� � �����3 ����� ��� ��������� ���� ������������� � ������������� ��������� � 1#�62�
������� � � �����3�� ���� � ����
2 3 1
1 2 3
3 1 2
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
����� ���� ��� �����-��
11 12 13
21 22 23
31 32 33
2 3 1 1 0 0
1 2 3 1 0 0
3 1 2 1 0 0
u u u
l u u
l l u
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
����� ;��� 1#�<2�� ��� �� ��
���� � 7� ���� � 8� ���� � 6�
���� �1
2� ���� �
3
2�
���� �1
2� ���� �
5
2�
���� � (#�� �� ���� � 60�!�� ������ �� �
1 0 0 2 3 1
1 1 51 0 and 0
2 2 23 0 0 18
–7 12
� � � �� � � �� � � �� �� � � �� � � �
� �� �� �� �
L U
7.4 VECTOR AND MATRIX NORMS
/��� ���� ���� ������� � ������� ��� ���� ��� ������� ��� ��� ����� ��� ���� ������� ��� ����� ����������� /���� ���� ��� �������� ����������� /����������� ���������� ��� �������� �� == � ==�� ��� � �� � ������ ������ � �������� ���� ������������������ ��� �����+
"�� ���#�<+ >������ ���� �����,���� 259
260 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
|| || 0�x �� || || 0�x ��� ��� ���� �� 0�x 1#�$2
|| || | | || ||� ��x x ���� ��� �� α 1#�)2
|| || || || || ||� � �x y x y 1��� ��������� ���2� 1#�#2
���� ���� ������
1
2
� �� �� ��� �� �� �� �
�
n
x
xx
x
1#�02
����� ������ ������ ��
1 1 21
|| || | | | | | | | |�
� � � � ���m
n ii
x x x x x 1#�?2
1/2
2 2 2 22 1 2
1
|| || | | | | | | | | || ||
|| || max | | .
�
�
� �� �� � � � � �� �� �
�
��n
n i ei
ii
x x x x x x
x x
(7.10)
(7.11)
/��� ���� 2|| ||� ��� � ��� �������������� ����� ������ ��� ��� @���� ���� ����� � ������� ���� ��� ���� �����&��������� � ;����� �� �� ��� /��� ���� || || ∞� ��� � �������������� ����� ��� ���� ������� �����
!�� ��� � ��� ��� ����� �� �� ���� ����������� 1 2|| || , || ||x x �� || ||�
x � ������ ��������������1#�$2����1#�#2�������� ���� *����������1#�$2� ���1#�)2� �������� �� �������� A��� ���������� 1#�#2�� ���� ��� ���� ����� ����� ������ ����� ������ ���� ��� ���� ���� ���� 1|| ||x ��� ������� �� �
1
1
1 1
1 1
|| || | |
( | | | | )
| | | |
|| || || ||
�
�
� �
� � �
� �
� �
� �
�
�
� �
n
i ii
n
i ii
n n
i ii i
x y x y
x y
x y
x y 1#�672
"��� ���� ��� || || ,�
x ��� � ��
|| || max | |
max (| | | | )
|| || || || .
�
� �
� � �
� �
� �
i ii
i ii
x y x y
x y
x y 1#�682
/��� ������ ���� ���� ;����� �� ����� ��� ���� �� �� ��������� ��� ���� �� ����/�� ������� � ����� ������� ��� ��������� ���� � ��������� ����� ���� �����
���� ���� ����� A B+ ��� ��� ��� �������� /����
| | | | | |
| | | | | |
| | | | | | ( a scalar).
A B A B
AB A B
A A� � �
+ ≤ +
≤
=
(7.14)
(7.15)
(7.16)
����� ;��� 1#�6$2� ��� ������ �� �
| | | | ,p pA A≤ 1#�6#2
�������� ��� �� ��� ������� !�� ���� ������� ������� =� =� �������� ����� ������ ����� ������ � ���� ��� ���� ��������
B�������������� �� ���� | |,ijA a= ����� �� ������� ����������� �������
� || ||,A ������ � �������� ���� �������� ����������
|| || 0 and || || 0 if and only if 0� � �A A A 1#�602
|| || | | || || ( a scalar)� � ��A A 1#�6?2
|| || || || || ||� � �A B A B 1#�742
|| || || || || || .�AB A B 1#�762
����� ;��� 1#�762�� ��� � ���� ������ �� �
|| || || || ,p pA A≤ 1#�772
������ �� ��� � � ��� � ������*������������� ��� ���� ������� ������ ������ ���;���� 1#�?2(1#�662����� � ��
���� ������ � ����� �����
� � 1|| || max | | (the column norm)ijj
i
A a= ∑ 1#�782
� � � �
1/2
2
,
|| || | | (the Euclidean norm)e iji j
A a⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎣ ⎦∑ 1#�7<2
"�� ���#�<+ >������ ���� �����,���� 261
262 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
|| || max | | (the row norm).iji
j
A a∞ = ∑ 1#�7$2
!�� �������� ��� ���� ����� ��� � �� 2|| ||A �������� �
T 1/22|| || (Maximum eigenvalue of ) .A A A= 1#�7)2
/��� ������ ���� ��� � � ����� ��� �� ���������� ��� "������� #�#�/��� ������� ��� � � ����� �� ����� ��� ���������� ������ ��� �� ����
�������� ������� /��� ���&����� ���� ��������� ����� ������ ����� �� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ���� �� ���� � ��� ������ ��������� � � ���� ���� ����� ������� ���� ��3�� ��� ���� � �����
/��� �������� �� ���� �������� ���� ���� ������ ����� ��� ����� ��� �����������
������� �� %����� ���� � ����
1 2 3
4 5 6
7 8 9
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
���� 1|| || , || ||eA A �� || || .A ∞
���� ��
1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1/2
1/2
1/2
|| || max [1 4 7, 2 5 8, 3 6 9] max [12,15,18] 18
|| || (1 2 3 4 5 6 7 8 9 )
(1 4 9 16 25 36 49 64 81)
(285)
16.88.
|| || max [1 2 3, 4 5 6, 7 8 9]
max [6, 15, 24]
24.
e
A
A
A ∞
= + + + + + + = =
= + + + + + + + +
= + + + + + + + +
=
=
= + + + + + +
=
=
/��� �������� ��� ���� ����� ��� � � ����� ��� �� ������ ��� ���� ������ ��� ��������������� ��� ���� ����� �������� ��� ������� ��� �� �������� !�� ��� ��� ������� ��������� ���� C�� ����D� ��� � ������� ��� ��� ������
7.5 SOLUTION OF LINEAR SYSTEMS—DIRECT METHODS
/��� �������� ��� � ��� �� ������� ��� ��� ������ � �� �� ����������� �� ������� � ������� ������ � �� ��� ���� ��� ���� � ��������+� ����� ��� ���� �
��������� .������� ���� ������� ��������� ��� ��� �������� ���� ����� �������������% ���� �� �������������� ����� �������������������������������.������������ ����������������������������������' ���� ���% ���("������������
7.5.1 Gauss Elimination
/���� ��� ���� ������ ��� ����� ����� ������� ��� ��� �������� ���� ������� ����� ������ ��� �� ����� ���� �����&��� ��� �� �������������� � ���� ����������!� ����������
-��� ���� ������� ��� �� ��� �� ��� ������ ��� �� ��E������ �� ������ �
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3 .
n n
n n
n n n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + = ⎫⎪⎪+ + + + =⎬⎪⎪+ + + + = ⎭
�
�
��
1#�7#2
/����� ��� ���� ������ ��� ���� �������� ��� ���� ������� ������ ��� ;��� 1#�7#2�� ��3������ ����� ����� ��� ��E������ ��� �E� ������������
"���#$ /�����E������ �������� ��������� ��� �������&��� ��� ���������/������� ������������������������� ����������������������������� ����
�� 1(���F���2� ��� �� ��
21 21 21 2121 1 12 2 13 3 1 1
11 11 11 11.n n
a a a aa x a x a x a x b
a a a a− − − − − = −�
.������ ���� ���� ��� ����� ��� ���� ������� ��� ����� ���;��� 1#�7#2����� �� ��
21 21 21 2122 12 2 23 13 3 2 1 2 1
11 11 11 11,n n n
a a a aa a x a a x a a x b b
a a a a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠�
1#�702������ � �� �� �������� �
22 2 23 3 2 2 ,n na x a x a x b′ ′ ′ ′+ + + =�
����� 22 22 12 21 11( / ),a a a a a′ = − ���� /�������������������� ����� ������������ ������� � �� �� ����� ���� � ��� "��� ������� � ��������� ���� ������ ��� ������ (���F���� ��� ��� ��� ��� ���� ������ ��� ����� ��� ���� ������� 1#�7#2� /�������� ���� ���� ��E����� ��� ����� ���� ������ ��� ����� ��� ;��� 1#�7#2� ��� ���� ��
32 2 33 3 3 3.n na x a x a x b′ ′ ′ ′+ + + =� 1#�7?2
!�� � ���� �� � ���������� � �� ����� ������ ����� ���� ��� ������ ��� ������ �� ����� ����� ����� ��� ����� ���� ��� ��� ����� ��� ;��� 1#�7#2�� ��� �� ��� ���������
"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 263
264 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3 2 2
32 2 33 3 3 3
2 2 3 3 .
n n
n n
n n
n n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
+ + + + = ⎫⎪
′ ′ ′ ′ ⎪+ + + =⎪⎪⎬′ ′ ′ ′+ + + =⎪⎪⎪′ ′ ′ ′+ + + = ⎪⎭
�
�
�
��
1#�842
��� ����� ����� ��� ��� ����� ���� ��� 1� ( 72� ��� ������ ��� ;��� 1#�842� B����������� ��� ��� ������ ��� ��� ������� �� �� ��� ���� �������� ��� �� ������ ���� ��������������� ������������ ���� ������ ������ 1(���F���2�� ��������� ���������������������������� ���������� ���������������3���������������� ����������������� ����� ��� ���� ������� 1#�842� ��� � ��� ������ �� ��������� ������� ��� � �������� �� ����� ���� ��������/������������������ � ��� ������ 4������� ������������������� ��������� ������������������������������������������� ������������ � ,���� ��� ����� ��� ��� ����� ���� ������ ��� ����� ��� ;��� 1#�842�� ��������� �������������� ������ 32 22( / )a a′ ′− ��� ��� ��� ��� ���� ��������� �����H��� ����� ����� �������� ����� ���� ��� ������ ��� ������� ��� �� ��� ���� ������
11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3 2 2
33 3 3 3
3 3 .
n n
n n
n n
n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
+ + + + = ⎫⎪
′ ′ ′ ′ ⎪+ + + =⎪⎪⎬′′ ′′ ′′+ + =⎪⎪⎪′′ ′′ ′′+ + = ⎪⎭
�
�
�
�
�
1#�862
!�� ;��� 1#�862�� ���� C����� ������D� ����� ��� �� �� ���� �������� �� �� ���� ��%���� !�� ��� � ���� ����� �� �� ����� ���������� � �� �� ���������� ��� ����� ��� ������� ���� ������� ��� ����� ��� ����� ��� ����� ���� ������ ��� ����� ��� ����� ����������� ��� �� �� ��� ���� �����&��� ��� �� ����+
11 1 12 2 13 3 1 1
22 2 23 3 2 2
33 3 3 3
( 1) ( 1) ,
n n
n n
n n
n nnn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
a x b− −
+ + + + = ⎫⎪
′ ′ ′ ′ ⎪+ + + =⎪⎪′′ ′′ ′′+ + = ⎬⎪⎪⎪
= ⎪⎭
�
�
�
�
1#�872
����� ( 1)nnna − ����� ���� �� �� ���� ������� ���� � �� �� ����� 1� ( 62� ������ ��
������ ����������������������������������� ����������E������ ��������������� ���� �����&��� ��� �� �����
"��� &$ ������� � ��� ��� �� ��� ���� ��������� �������� ����� ���� ������1#�872� ����� ���� ��� ��� ����� ��� ����� �������� ��� �� ��
( 1)
( 1).
�
�
�
nn
n nnn
bx
a1#�882
/����������������������������� ( 1) thn − ��� ���������� �� 1nx − ��������������������� ���������������������������E����������� ������������������������������� ���� 1 2 2 1, , , , ,n nx x x x− − … ��� �� �������� :��� ��� ����� �� ����� ������������ ��� ��� ���!� ����������
7.5.2 Necessity for Pivoting
��� ���� ����� ��� ���� ������ ��� � ��� ��� ���� ������ ����� 3���� ��� ����� �������3���� !�� ������ �� �������� ���������������� ������ ������ ��� �������� ���3���������&���� ������� � �� ������ /����� ������� � �� �� ������� �� �������� ����������� ����� ��� � !������ ����������3�������������� ����� ��������������������������������������� ����������������������� ������ � � �������������������������������������������� ����� �������� ������� �� �������������!�� ����� � ��� ��� �� ��� � ���� ������ ��� ����� ����� � ���3���� ������� "���� �������� ��� � ��� ������ �� ��� �� ������ ��� ����� � ��� ��� �� ���� ���� ���������������������� ��������������!����������������� ��������� �������������� ��� ����� ���� ���� ������ �������� ���� ���������� ��� � ��� ��������� ��� � !�� ��� ������� �� �� �������� ��������� �������� ����� ���������� �������� ������ ������ ������� ���� ��� ������� �� ��� �� ���� ��� C�����D� ����E��������������� �� ��������������������� ��������������!������ ������� ��� ��������������������������� ���������� ���� ��������������� �������:����� ����� �� ����� �������� ��������� ��� � ���� �����
������� �� I��� % ���� ����� ����� ��� ����� ���� ������
2 10
3 2 3 18
4 9 16.
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =
��� ������ ����� ��� �� ����� ���� ������� ��� ������ ��� ������� ���� ����� ��������� ���� ������ ��� ����� �� 1(8F72� ��� ��� ��� ���� ������� ��� ���
3 6.y z+ = 1�2
"��� ��������������������������� �������1(6F72� ��� �������������������������
7 17 22.y z+ = 1��2
��� ����� � ��� ����� ���� �� ����� ���� ������� ��� ������ ��� ������ ,����� ��� ��� �������� ���'� �����1�2� ���1��2������ ���������������1�2���(#� ��� ����� 1��2�� /���� �����
4 20z− = − �� 5.z =
"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 265
266 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
/��� �����&��� ��� �� ����� ��� ���������� ������ �
2 10
3 6
5.
x y z
y z
z
+ + =
+ =
=!�� ������ �� �� ���� ��������� �������� �� 7, 9x y= = − �� 5.z =
/���������� ������������ ������������������������������������������ �����������
������� �� "���� ���� ������
4�4448674��� �� 4�44)487��� � 4�448870
� � � � 4�$444��� �� 4�0?<7��� � 4�?<#6
/��� �� ��� �������� ��� ��� � 6� ��� ��� � 4�$�
��� ������ ����� ���� ������� ����� ������������� ������ ���� ������ ������� �
4�$444��� �� 4�0?<7��� � 4�?<#6
4�444867��� �� 4�44)487��� � 4�448870
������ % ���� �� ����� ������ ���� ���� ������� �������� ��
4�$444��� �� 4�0?<7��� � 4�?<#6
4�44$<#<��� � 4�447#8#
B �E� ������������ �����+� ��� � 4�$� ��� ��� � 6�4�
�������� ���������� % ������� ����� ����� ������ ���� ������
4�444867��� �� 4�44)487��� � 4�448870
(0�##7$��� � ($�8844
/��� �E� ������������ �������� �����
��� � 4�)4#)� ��� ��� � (6�4048
/��� ������� ��� ��������� ��� �� ��� �����
7.5.3 Gauss–Jordan Method
/������� �������� ������������% ��������� ������������������������ ������������������ ������� ����E������������� ���������������� ��������� ���� ������/������������������� �������� �E� ������������ ����� ��� ���� �������� ��� ������ ����� ���� �� ���� �������� �� ����
������� �� "���� ���� ������� 1���� ;� ���� #�<2
2 10
3 2 3 18
4 9 16.
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + =
+ + =�� ���� % ���('��� ���������
;���� ����� ��� �� ����� ���� ������� ��� ������ ��� ������ ��� ����� �� ��C% ���� ����� ����D� ��� ��� �� ��� ���� ������
2 10
(1/2) (3/2) 3
(7/2) (17/ 2) 11.
x y z
y z
y z
+ + =
+ =
+ =,�����������E�����'��������� ����������������������� ������������ ������ /�����������
2x z− = �� 5.z =9����� ���� ������� ������+
2
3 6
5.
x z
y z
z
− =
+ =
=;� � ����� ��� '� ��� �� ��� ����� � ��� ���� ������ ��� ���� � ��� �� ������
7.5.4 Modification of the Gauss Method to Compute theInverse
��� E���� �� ���� ��� �� ���� �������� ����� ��
,AX I= 1#�8<2
�������� ������������� ������������� ��������� ���� !�� ���������������������������� �������� ����� ����� �� �� ;��� 1#�8<2� ��� � �������� ���� �� ����� ���� �����&������ � �������� ;��� 1#�8<2� � �� �� �������� �
11 12 13 11 12 13
21 22 23 21 22 23
31 32 33 31 32 33
1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
a a a x x x
a a a x x x
a a a x x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
/����� ����� ��� ���������� ���������� ������������� �������������������� �����
� �
11 12 13 11
21 22 23 21
31 32 33 31
1
0
0
a a a x
a a a x
a a a x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
�
11 12 13 12
21 22 23 22
31 32 33 32
11 12 13 13
21 22 23 23
31 32 33 33
0
1
0
0
0 .
1
a a a x
a a a x
a a a x
a a a x
a a a x
a a a x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 267
268 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
��� � �� ���������� ���� ���� % ���� �� ����� ����� ������� ��� � ��� ��� ������������� ��� ���� ������ ��� � ��� � ��� ��� �� ���� ���������� � ������ �������"����� ����� ��������������������� ��� ���� � ��� ���� ���� �������� �� ���� � ���� ������ �������� ����� ������� "� ������ ����� ���� C ��������� ������D
11 12 13
21 22 23
31 32 33
1 0 0
0 1 0
0 0 1
a a a
a a a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�
�
�
��� �� ��� �� ���� ���� ��� ���� ������ ��� ������� �� ���� �����������
11 12 13
22 23 21 11
32 33 31 11
1 0 0
0 / 1 0
0 / 0 1
a a a
a a a a
a a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥
′ ′ −⎢ ⎥⎢ ⎥′ ′ −⎢ ⎥⎣ ⎦
�
�
�
��
11 12 13
22 23 21
33 31 32
1 0 0
0 1 0 ,
0 0 1
a a a
a a
a
�
� �
⎡ ⎤⎢ ⎥
′ ′⎢ ⎥⎢ ⎥′′⎢ ⎥⎣ ⎦
�
�
������
2121
11,
a
a� = − 32 3121
3111 22 11
,a aa
a a a�
′= −
′32
3222
.a
a�
′= −
′
/��� ��������� ���������� ������ ����� ������ ���� �E&������������������������ � ��� ������ ��� ����� ����� ����� ����� ���� �������������� ������ ������������� �� ��� ������ �
21
31 32
1 0 0
1 0 .
1
�
� �
� �� �
� � �� �� �
I
������� � ��� �� � ��������� � ��� ���� ������� ������ ��� ;� ���� #�)���� � ��� ����
2 1 1
3 2 3 .
1 4 9
A
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
/��� ��������� ������� ��
2 1 1 1 0 0
3 2 3 0 1 0 .
1 4 9 0 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�
�
�
.����� ���� ������ �� ���� ����� ������
2 1 1 1 0 0
0 1/2 3/2 3/2 1 0 .
0 7/2 17/2 1/2 0 1
⎡ ⎤⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
�
�
�
��� ��� �� ���� ���� ��� ���� ������� �� ���� ���� ������� ������+
2 1 1 1 0 0
0 1/2 3/2 3/2 1 0 .
0 0 2 10 7 1
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
���
/���� ��� ����� ���� ��� ���� ������ �������+
2 1 1 1
0 1/2 3/2 3/2 ,
0 0 2 10
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
���
2 1 1 0
0 1/2 3/2 1
0 0 2 7
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
���
��
2 1 1 0
0 1/2 3/2 0 ,
0 0 2 1
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
���
������ ������� �� �E� ������������ ������ ���� ������ ������� ��� ����� ����+
3 5/2 1/2
12 17/ 2 3/2 ,
5 7/2 1/2
− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦
������ ��� ���� ��������� ������� ����
��� � �� ��� ����
1| | 2 ( 2) 2
2A
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
����E���� ��������� ��� ����������������� ����� !�������� ������3��������� ��� ����� �E� ���������� ��� ���� � ����� � �� ��� ��������
"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 269
270 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
7.5.5 Number of Arithmetic Operations
"������������ ����������������������������������������������� ������ ���������������% ���� ������� ������������������ ����������������� ��������� �� ����&������������� ������ ��� ���������� ��� ������������
��������� �����������������;���1#�702������� ��������F���������������������/����� �� 1�� (� 62� ������� ������ ��� ��� 1�� (� 62 ������ ��� ���� ���� ���� ��6 ������� ����� ��� ���� ������ ����� 9����� ���� ������ ��� C�� ����&�����D������� �����F���������������������������� �����������6�����(�6���6� ��J�J6�B�� �� ��� ����� ���� ���� 1�� (� 62 ��� ������ /���������� ���� ��� � ������ ��������� �����F���������� ��������� ��� ����� ��� ��� ���� 1�� (� 62 ��� ������ ��
( 1) ( 1) ( 1) ( 2 1).n n n n− + = − + −
"��� ����������� ����������������� �����F��������������������������� ��������� 1�� (� 72 ��� ������ ��
( 2) ( 2) ( 2 2).n n n n− = − + −
/��� ��� � ������ ��� ������� �����F���������� ��������� ��� ����� ��� ��� ����1�� (� 82 ��� ������ ��
( 3) ( 1) ( 3) ( 2 3).n n n n− − = − + −
"��� ����������� ����������������� �����F��������������������������� ��������� 1�� (� �2� ��� ������ ��
( ) ( 2 ),n p n p− + − ������ �� ����� �������� ������
[ ( 1)] [ 2 ( 1)] 1.3.n n n n− − + − − =
"������� ��� � ���� ����� ��� � �� ������ ���� ��� � ������ ��� ������������� ������ 1������������ �����F���������2� �
12
1
12 2
1
2
3
( ) ( 2 ) [( ) 2( )]
( 2 2 2 )
( 1) ( ) (2 2 1) ( 1)( 1) 2
6 2( 1)
2 ( 1) 22
,3
n
p
n
p
n p n p n p n p
n p np n p
n n n n nn n n
n nn n
n
−
=
−
=
− + − = − + −
= + − + −
− − + −= − + −
−+ − −
≈
∑ ∑
∑
������ ��� � ��� ����� ���� ����� �+( 1)
1 2 32
n nn
++ + + + =� �� 2 2 2 2 ( 1) (2 1) .1 2 36
n n nn
+ ++ + + + =�
!���������� ��������� ����������C�� ����&�����D�������� ���������������������% ���� �� ����� ����� ��� ��F8�� !�� � ���� �� � ��� ��� � �� �� ������ �� �� ���% ���('��� �� ������� ��������� ��F7� ���������� ���� ������ 9������ % �������� ���������������������% ���('��� ��������������������� �������������� ��� ������
7.5.6 LU Decomposition Method
!��"�������#�8�������������� � ������� ���� ���������� ����� ��������� ��������� �� �
�� ��� 1#�8$2
�������� �������� �������� ��� �� ����� ����������� ��� ��� ������ �������� ��� ������ ��� ;��� 1#�72�� -��� ���� ������� ��� ��� ������ �� ������ �
������ �� ������ �� ������ � ��
������ �� ������ �� ������ � �� 1#�8)2
������ �� ������ �� ������ � ��
������ � �� �� �������� ��� ���� � ����� ����
� � ��� � � 1#�8#2
������ � � 1#�802
!�� ��� ���� � ��� � (� 1#�8?2
����� ;��� 1#�802� ������� � �(� � � 1#�<42
������ ��� ����� ���� ��� ���� ������'� � ��
���'�� �� '� � �� 1#�<62
���'�� �� ���'�� �� '� � ��
�����
1 '��� '��� '�2�� � (� ��� 1���� ���� ��2
�� � ��
/��� ������� 1#�<62� � �� �� ������ ���� '��� '�� ��� '�� �� ���� ��� ����������������� (� ��� E������ ���� ������� 1#�8?2� ������
������ �������� ������� � '�
������ ������� � '� 1#�<72
����� � '�
������ � �� �� ������ ���� ���� ���� ��� �� �E������������ ��������� .�� ������ ������ ������������ � �� ���� �� �� ��� ��� ����� ���� �� ��� ����� ������������ ���� � ��� ������������ � ����� ��� ���������� �����&� ��� ����� ��������
"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 271
�����
�����
�����
272 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
7.5.7 Computational Procedure for LU Decomposition Method
%����� ��� �������� �� ��� ���� �������� ������� ����������������������� ������� ����� ��� ��� �� ����� �� ������ ��� ��� ��� ������ � �� �� �������� ����� �������� ������ ���� � �����+
��� �� �� ������ � ���� �� �� �� � ������� ���������� ���������������� �� �� �� � ����� ��� ��� ��� �� �� ��� ��� � ����� �� �� � ��� �����������������������
/�� � ��� ���� ��� �� ���� ���� �������� ����� ����� ��� ������� ��� ���� �� ����������� ����� ���� �������� ���� ����� ��������� /����� ����� ���� � �����3 ������� ���������� ���� ����� ��� ���� ������ ���� � 1< � <2� � ����� ��� ������ �
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
u u u u
l u u u
l l u u
l l l u
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
!�����������&� �������������������� �1����������2��������������� ��������������� �� �� ����������� �� ���� �� �������+
��� �� �� ������ � ���� �� �� �� � ����� �������������������� �� ������������������
"��� ���� ���� �E������������ � �� �� ��������� �� ���� �����+
�������������� ������� ���� �������� �� � ����� �� � ����� � ������������ �� �����������������
������� �� "���� ���� ��� �����
7�� �� 8'� �� �� � ?
�� �� 7'� �� 8�� � )
8�� �� '� �� 7�� � 0
�� ���� ������� ��� ��� ����������������� � ��
2 3 1 9
1 2 3 and 6
3 1 2 8
� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �
A B
!�� ;� ���� #�7�� ��� �� ����� ���� ��� �������������� ��� ��� /���� ��
1 0 0 2 3 1
0.5 1 0 and 0 0.5 2.5
1.5 –7 1 0 0 18
� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �
L U
!��(� � K'��� '��� '�L��� ����� ���� ��� ����� �(� ��� ������ ���� �������+
'�� � ?�� � '�� �3
2 �� '�� � $�
��� ��� ���� � ����� ��� ����
��� � (� � �������� � K��� '�� �L��
������ ���� ��������� �������
35 29 5, and .
18 18 18� � �x y z
7.5.8 LU Decomposition from Gauss Elimination
���� ��� ����� �� ��% ���� ������� �������������� ��� ��������� ���������������� ����� ��� �� �����&��� ��� �� ����� ��� ����� �� �� ������� �������������� ������ ������������ � ����� � �� ��� �� �� ����� ����� % ���� ����� ����� /�������&��� ��� �� ����� ��������� ���� ������������� ����� ��� �������� ��� ��� ����� �����&��� ��� �� � ������� ��� ���� �������������� ���� /����� �� �� ��� �������&��� ��� �� � ����� �M� ���� ������ ��� ��������� ���� ������� �������� �
��� � �� 1#�<82�����
11 12 13
21 22 23
31 32 33
,
a a a
A a a a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1
2
3
,
� �� �� � �� �� �
x
X x
x
1
2
3
.
� �� �� � �� �� �
b
b b
b
"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 273
274 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
/������� ������ ����� ���� ���������� ���������������� ���� ������ ��� ���������F���� ��� ���� ��� ��� ����� ���� ������� ��� ����� ��� ����� �� ��
21 21 2122 12 2 23 13 3 2 1
11 11 11
a a aa a x a a x b b
a a a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠��
22 2 23 3 2.� � �� �a x a x b 1#�<<2
/���� ���� 21 21 11/l a a= ���� ������������������������� ���� �� ���� ��� ��������� ����� "��� �������������������������� �������������������������� ������������� � 31 31 11/ .l a a= .����� ����� ����� ������ ���� ������� ��� ��� ���� ����
11 1 12 2 13 3 1
22 2 23 3 2
32 2 33 3 3.
a x a x a x b
a x a x b
a x a x b
+ + = ⎫⎪⎪′ ′ ′+ = ⎬⎪
′ ′ ′+ = ⎪⎭
1#�<$2
!�� ���� ��� � ������ ��� � ��� ��� ����� ��� ��� ����� ���� ������ ��� ����� ���� ������� ������� ���� ������� ��� ����� � 32 22/a a′ ′ ��� ���� ��� ��� ����� ���� �������� ����� ��� ����� �� ��
33 3 3,a x b′′ ′′= 1#�<)2
������ ���������������� ����� ��� �� �� ����������������������� ����� ���������� � ���� ������ !�� ����� ������ ������������� ��� ������ � 32 32 22/ .l a a′ ′= /����� �������������� ���������������������������������&��� ��� ��� ���������� �
11 12 13
22 23
33
0 .
0 0
a a a
U a a
a
⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′= ⎢ ⎥⎢ ⎥′′⎣ ⎦
1#�<#2
;�� �����1#�<#2���������� �� �� ��� ����������������� ��� ����� ������������������3������������� ����������������������� ��������������������� /���� ����� ����� ������ ���� � ����� �� � �� �� �������� �
11 12 13
21 22 23
31 32 33
,
a a a
l a a
l l a
⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′⎢ ⎥⎢ ⎥′′⎣ ⎦
1#�<02
������ ����������� ���� ���� ��� ��� ���� ��� �������������� ��� �� ����
21
31 32
1 0 0
1 0
1
L l
l l
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��11 12 13
22 23
33
0 .
0 0
a a a
U a a
a
⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′= ⎢ ⎥⎢ ⎥′′⎣ ⎦
!�� ��� � ���� ��������� �� � .A LU=
7.5.9 Solution of Tridiagonal Systems
*�������� ���� ������� ��� ��� ������ �������� �
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2 3 2
3 2 3 3 3 4 3
1 .n n n n n
b u c u d
a u b u c u d
a u b u c u d
a u b u d−
+ = ⎫⎪+ + = ⎪⎪+ + = ⎬⎪⎪
+ = ⎪⎭
�1#�<?2
/��� � ����� ��� ������������� ��
1 1
2 2 2
3 3 3
1 1 1
0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0n n n
n n
b c
a b c
a b cA
a b c
a b− − −
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
� � �� � �� � �
� � � � � � � ���
1#�$42
� ������� ��� ���� ������ ������ ��� ;��� 1#�$42�� � ��� ���� ���� ����� ������)��������������������������������������� ��� ���� ��� ����������� ���� ������� ������� �������������������� /���������� ��� � �����3 ����� ��������� � ����� �� �� ������������ ������ ��� ����� ���� ������� 1#�<?2�� ���� �� ����� ���� 18 � 82� � ����� ��� � ��
1 1 1 1
2 2 2 21 22 2
3 3 32 33
0 1 0 0 0
1 0 0
0 0 1 0 0
b c b c
a b c l u c
a b l u
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
/���� � ����� ��� ����� �����
� ������ � ��� ������ �� ���� � ���1#�$62������� � ��� ������ �� ���� � ��
����� ������ ����� ��� ������� ��� � �� �������� ����� ����� ���� ��� ���� ��� ������ ���� ������������������� ���������������������������� �������������������/����� ������ ������ � �� �� �������� �� ���� �������� �� �������+
:�� �� � 7162*
�1�2� � �1�2F�1� ( 62
�1�2� � �1�2� (� �1�2� �1�� (62
,���� �
����� ���� �������������� ��� ��������� ���� ��� ��� �E� ������������� ��������������������������/���� ������������������/��� �� ������������� � ��� �� �� ���� ��� ���� ��� ��������������
"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 275
���
276 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
7.5.10 Ill-conditioned Linear Systems
!�� �� ���� � ���� ������� ���� ��� �� ����������� �������� ��� ��� ������ ���������� ��� ����������������������������������������������� ������ ������� ���� ��������� "���� �������� ��� � ��� ��� �� ���+����������,�A�� ���� ������ ���� ��� ���� �������������� �� ����� ��� ���� �������� ��� ��� �� �� ����� ���������� ��� %���+����������,
!&������������� � �� ��� �� �� ��������� ����� = � =�� ��� ���� ��������� � ��� ��� �� �� /��� �� ������ �1�2� �������� �
�1�2� � == � ==� == ��� ==� 1#�$72
������ == � ==� ��� ��� � ����� ������ ������ � ������� ��� ��� ��������� ��� ������,� !�� ���� ����������� � ��� ���� ��������� ������ ��� ���� � ����&- ������������� ������� ����� ��� �� �� ���� � ����� ��� �&������������� .� ���� ���- JK���L� ��
1/22 2 21 2i i i ins a a a⎡ ⎤= + + +⎣ ⎦� 1#�$82
!�� ��� ������
1 2
| |,
n
Ak
s s s=
� 1#�$<2
����� ���� ������� ��� �&������������ ��� !� ��� ����� �� � ���� ���� ��� ������A���������� ��� ��� ��&������������
������� �� /��� ������
2 2
2 1.01 2.01
x y
x y
+ = ⎫⎪⎬
+ = ⎪⎭1�2
� �� ���� ��������� � 4�$ �� '� � 6�
B��� ���� ������
2 2
2.01 2.05
x y
x y
+ = ⎫⎪⎬
+ = ⎪⎭1��2
� �� ���� �������� �� � $� ��� '� � (0�
.���
== � ==�� � 8�6)$ �� == ��� ==�� � 6$0�7#8
/���������� ���������� ������ �1�2� � == � == == ��� ==� � $44�?#<�9����� ���� ������� ��� �&������������.��
= � =� � 4�47
��� � 5 � ��� ��� � 7�7<
"��
!� � <�<)0� �� 64��
9����� ���� ������� ��� �&������������
������� ��� -��1 1 1
2 3 41 1 1
5 6 71 1 1
8 9 10
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
������ ��� � ���.����/�� ����,
,���
= � =� � 4�44447?#�� ������ ��� �� � ���� ���� ��� 6�
9����� �� ��� �&������������
������� ��� -��
25 24 10
66 78 37
92 –73 –80
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
,���
= � =� � 6�4�
.���
��� � 8)�4)?<� ��� � 640�))?7 �� ��� � 6<7�6476�
/���������
!� � 6�#?$<� �� 64���
������ ������ �� �� �� ��� �&������������
7.5.11 Method for Ill-conditioned Systems
!�� ����� �� ���� ���� ��� ��� �� ������� ��� �������� � �� �� ��������� ������ �� ���� ����� ����������� /���� ��� ��������� ����� -��� ���� ������� �
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 2 2
31 1 32 2 33 3 3
� � � ���
� � � ��
� � � ��
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
1#�$$2
"�� ���#�$+ "����������-��� ��"������G:������������� 277
278 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
-��� (1)1 ,x (1)
2x � �� (1)3x �� �� ������� ������������"������������������ ���
��� ���� ���� ��������;��� 1#�$$2�������������� �������������� �������-��� �����
����� ������ (1)1 ,b (1)
2b ��� (1)3b ��/����������������� ��� ������ ����������
(1) (1) (1) (1)11 12 131 2 3 1
(1) (1) (1) (1)21 22 231 2 3 2
(1) (1) (1) (1)31 32 331 2 3 3
�� � ���
� � � ���� � ��
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
1#�$)2
"��� ������ � ��� ��� ����� ������ ��� ;��� 1#�$)2� ����� ���� ���������������� ����� ������ ��� ;��� 1#�$$2�� ��� �� ��
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
a e a e a e d
a e a e a e d
a e a e a e d
+ + = ⎫⎪⎪+ + = ⎬⎪
+ + = ⎪⎭
1#�$#2
��������� ����(�(1)ix � ������ ����(�
(1)ib �������������� �����������1#�$#2� ���
���� ��� ��� ���� "����� ��� � ��� (�(1)ix �� ��� �� ��
(1) ,i iix x e= + 1#�$02
������ ��� � ������ ������� ����� ���� ���� /��� ���������� � �� �� ���� ���� ���������� ����� ���� ���� ���
������� �� "���� ���� ������
� 7�� �� '� � 7
7�� �� 6�46'� � 7�46
-��� �� ������� ��� �������� ��� ���� ������ ������� �� ������ �
����� � 6 �� '���� � 6�
"����������� ������ � ���� ��� ���� ������ �������� ��� �� ��
(1) (1)
(1) (1)
2 3
and 2 1.01 3.01
�� � ���� � �
x y
x y1�2
"��� ������ � ��� ��� ����� ��� 1�2� ����� ���� �������������� ��� ����� ��� ��������� �������� ��� ���
71�� (� ����2� �� 1'� (� '���2 � (6 ��
71�� (� ����2� �� 6�461'� (� '���2 � (6�
"������ ���� ���� ������� ��� ��� ������� ��� �� ��
(1) (1)1and 0.
2x x y y− = − − =
9����1
and 1,2
x y= =
������ ��� ���� �� ��� �������� ��� ���� ������ �������
7.6 SOLUTION OF LINEAR SYSTEMS—ITERATIVE METHODS
���� ������� �������������������������������������������������������� �������� ����� ������ ������� ���������� ��������������������������������� ���� �� ��������������� ������� �� ���E�������� �� ���������� ���������������� ���� �� ��� ���������������������� �� ��� ����� �������������� ��� ���������������� �������������������������� ������������������� ������� �����G����'���������������������� ����������������������������'������������/���� �� ��� �� �� ��� � ������� ������� ���� ������ ��� ������ ����� ��� ����������� ��� �� ���� ����� ������� ���� ������ ��� ������ ����� �������� ��� ��� ���� ��� ���������
!������� ������������������� ���������������������������������� ���� ��������� ��� ��� ���� � ��� ��� � ������� ����� � ���� ������ ��� 3���� ���������������� �� �� ����������������� ������������������������������������������
-��� ���� ������� �� ������ �
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
31 1 32 2 33 3 3 3
1 1 2 2 3 3
n n
n n
n n
n n n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
+ + + + = ⎫⎪+ + + + = ⎪⎪+ + + + = ⎬⎪⎪
+ + + + = ⎪⎭
���
��
1#�$?2
��������������� ��� ������������ �������� ������!�� ����������������� ������������ ��� ������ ������ �� �� �� ����� ��� �� �� ����� ���������� ��� � ���������,������ �������� ���� ������� 1#�$?2� �
13 11 121 2 3
11 11 11 11
23 22 212 1 2
22 22 22 22
3 31 32 33 1 2
33 33 33 33
, 11 21 2 1.
nn
nn
nn
n nn n nn n
nn nn nn nn
a ab ax x x x
a a a a
a ab ax x x x
a a a a
b a a ax x x x
a a a a
ab a ax x x x
a a a a−
−
⎫= − − − − ⎪⎪⎪⎪= − − − −⎪⎪⎪⎬
= − − − − ⎪⎪⎪⎪⎪
= − − − − ⎪⎪⎭
�
�
�
�
�
1#�)42
"�� ���#�)+ "����������-��� ��"������G!��� ������������ 279
280 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
"������ (1) (1) (1)1 2, , , nx x x� ��� ��� ������ ������� ������ ��� ���� ��E�����
1 2, , , nx x x� ��"��������������������������������;���1#�)42���������� ���������� ������� ������� �����
(2) (1) (1)11 121 2
11 11 11
(2) (1) (1)22 212 1
22 22 22
(2) (1) (1)3 31 33 1
33 33 33
, 1(1) (1)(2) 11 1
,
,
,
.
nn
nn
nn
n nn nn n
nn nn nn
ab ax x x
a a a
ab ax x x
a a a
b a ax x x
a a a
ab ax x x
a a a−
−
⎫= − − − ⎪⎪⎪⎪= − − −⎪⎪⎪⎬
= − − − ⎪⎪⎪⎪⎪
= − − − ⎪⎪⎭
�
�
�
�
�
1#�)62
"��� ���� �� ( ) ( ) ( )1 2, , ,n n n
nx x x… ��� � ������� ��� ���� ������� ������� ����� ���
����� ������� ����� ��� ������ �� ���� �����
( 1) ( ) ( )11 121 2
11 11 11
( 1) ( ) ( )22 212 1
22 22 22
, 1( ) ( )( 1) 11 1
,
,
.
n n nnn
n n nnn
n nn nn n nn n
nn nn nn
ab ax x x
a a a
ab ax x x
a a a
ab ax x x
a a a
+
+
−+−
⎫= − − − ⎪⎪⎪⎪= − − − ⎪⎬⎪⎪⎪
= − − − ⎪⎪⎭
�
�
�
�
1#�)72
!�� ��� ������ ;��� 1#�)42� ��� ���� � ����� ����
X BX C� � 1#�)82
����� ���� ���� ����� ����� � 1#�)72� � �� �� �������� �
( 1) ( ) .�� �
n nX BX C 1#�)<2
/���� ������� ��� ���� ��� ' ���� ��� ��� � ��� ���� ������ ��� �������������������������!��� ������������ �� �������������������������������������������� ����� ������� ��� �� �
|| || 1.�B 1#�)$2
.�������������� ������������������������������������� ���������������� ��� ��� ��������� ���+
!�� ���� ������ ��� ��������;��� 1#�)42����� ���������� ���� ������ ������� ����(1) (1) (1) (1)1 2 3( , , , , )nx x x x… ��������������&� �������� �������������������� � (2)
1 .x!�� ���� ������� ��� ������ ��� ��������� (2) (1) (1) (1)
1 2 3( , , , , )nx x x x… ��� ������
���� ������ � (2)2 .x !�� ���� ������� ��� ��������� (2) (2) (1) (1)
1 2 3( , , , , )nx x x x… ��
� ����������� � (2)3 .x !�������� ����������������������������� ���������� ����
����������������������������� ������������ ������� 1 2, , , nx x x� ����� ������� ���� ���� ��� ���������� !�� ��� �� ��� ����������� �� �� ����� ������� ����� �������������������� ������� ����� ��� � � �� ������ ���� ����������������������� �� �������������� ��� ����0����1"������ �������
/��� ' ���� ��� % ���("����� �������� ���������� ���� ��� ������� ��� ��������� ������� ���� (1) ( 1, 2, , ),jx j n= … ������������ �������������������1#�)42� �������� ���������������� �� ����������� ���� ������� ������� �������������������F���� ��� ����� ��� � ���� ��� ��� �� � ��� ���� ��� ����� ���� �� �� ������� ������������� �� �
1,
1,n
ij
iij j i
a
a= ≠≤∑ ( 1, 2, , ),� �i n 1#�))2
������ ���� CND� ����� ������ �� � ��� ��� ���� � ��� ��� C � � ��D� ���� ��� ����� !�� �� �� ������ �� �� ����0����1"������������ ��� � ��� %���� ��� ���� ��� ��2������ ������� /��� ���E���� ��� ���� �������� ��� ����� ���� ��� ���� ��������� ����+
������� ��� ��� ��������� ���� ��� �����+
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
10 2 3
2 10 15
10 2 27
2 10 9.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− − − =− + − − =− − + − =− − − + = −
/�� ����� ������ ��� ������ �� ���� ���� ����� ��������� ��� ��&������ ����� ������+
1 2 3 4
2 1 3 4
0.3 0.2 0.1 0.1
1.5 0.2 0.1 0.1
x x x x
x x x x
= + + +
= + + +
3 1 2 4
4 1 2 3
2.7 0.1 0.1 0.2
0.9 0.1 0.1 0.2 .
x x x x
x x x x
= + + +
= − + + +!�� � �� �� ��������� �� �� ������ ��� ������ � ������ ���� ���������� ������ ��;��J1#�))2� /��� ������� ��� ������ ��� / ��� #�6� ��� #�7+
Table 7.1 Gauss–Seidel Method
n x1 x2 x3 x4
1 0.3 1.56 2.886 –0.1368
2 0.8869 1.9523 2.9566 –0.0248
3 0.9836 1.9899 2.9924 –0.0042
4 0.9968 1.9982 2.9987 –0.0008
5 0.9994 1.9997 2.9998 –0.0001
6 0.9999 1.9999 3.0 0.0
7 1.0 2.0 3.0 0.0
"�� ���#�)+ "����������-��� ��"������G!��� ������������ 281
282 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
Table 7.2 Jacobi’s Method
n x1 x2 x3 x4
1 0.3 1.5 2.7 –0.9
2 0.78 1.74 2.7 –0.18
3 0.9 1.908 2.916 –0.108
4 0.9624 1.9608 2.9592 –0.036
5 0.9845 1.9848 2.9851 –0.0158
6 0.9939 1.9938 2.9938 –0.006
7 0.9975 1.9975 2.9976 –0.0025
8 0.9990 1.9990 2.9990 –0.0010
9 0.9996 1.9996 2.9996 –0.0004
10 0.9998 1.9998 2.9998 –0.0002
11 0.9999 1.9999 2.9999 –0.0001
12 1.0 2.0 3.0 0.0
����� / ��� #�6� ��� #�7�� ��� ��� �� �� �� �� ������ ���� ������ ��� ��������� �' ���D������������ ������������ ��� ���� ��� ��������% ���("��������� ������
������� ��� "���� ���� ������
)�� �� '� �� � � 74�� �� <'� (� � � )�� (� '� �� $� � #
������ ���� ' ���� ��� % ���("����� ��������
1 2 2�����/���������� �������� ���� ������ ������� �
20 1 13.3333 0.1667 0.1667
6 6 6
1.5 0.25 0.25
1.4 0.2 0.2
� � � � � �
� � �
� � �
x y z y z
y x z
z x y
!�� � ����� ������ ���� ���� ������� � �� �� �������� �
�� �3� �� �������
3.3333 0 0.1667 0.1667
1.5 , 0.25 0 0.25 and .
1.4 0.2 0.2 0
� �� � � � � �� � � � � �� � � �� � � � � �� � � � � ��� � � � � �
x
C B X y
z
.�������
03.3333
1.5 ,
1.4
� �� �� � �� �� �
X ��� �� ��
(1)
3.3333 0 0.1667 0.1667 3.3333 2.8499
1.5 –0.25 0 0.25 1.5 1.0167
1.4 0.2 0.2 0 1.4 1.0333
� �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � �� � � � � � � �� � � � � � � ��� � � �
X
(2)
3.3333 0 0.1667 0.1667 2.8499 2.9647
1.5 –0.25 0 0.25 1.0167 1.0458
1.4 0.2 0.2 0 1.0333 1.0656
� �� � � � � � � �� � � � � � � �� � � � � � � �� � �� � � � � � � �� � � � � � � ��� � � �
X
O���������� ��� ����� � ��� ��� �� ��
(8) (9)
2.9991 2.9995
1.0012 and 1.0005 .
1.0010 1.0004
X X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
���� ����������� �������� �� �
3
1 i.e., 3, 1 and 1.
1
� �� �� �� � � �� �� �� �
X x y z
12 0����1"�����������.�� ������� ��� �� ��� ���� ������ ������� ����� �
(1)
2.8499
1.0167
1.0333
X
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
/�������� � 8�8888� (� 4�6))#� �� 6�46)#� (� 4�6))#� �� 6�4888� � 7�??6)'���� � 6�$� (� 4�7$� �� 7�??6)� �� 4�7$� �� 6�4888� � 6�464<����� � 6�<� (� 4�7� �� 7�??6)� �� 4�7� �� 6�464<� � 6�4480
"��� ���� ��� ����
����� � 7�??#$�� � '���� � 6�446)�� � ����� � 6�4440�
����� � 7�???$�� � '���� � 6�4448�� � ����� � 6�4447�
����� � 7�???0�� � '���� � 6�4446�� � ����� � 6�4446�
.�� ����� �� ���� ��� � �� �������� �� �
�� � 8�� � '� � 6�� � �� � 6�
"�� ���#�)+ "����������-��� ��"������G!��� ������������ 283
284 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
7.7 MATRIX EIGENVALUE PROBLEM
-����� �� � ��� ��� � ����� ��� ������ �� ����� �������� �������� ����� ��� ����� ������ ������� �� ��� � ����� ��� �� ����� �� �
��� � �� 1#�)#2!�� ;��� 1#�)#2�� � ��� � ��� ���� �� �� ����� ����� ��� � ��� ���� ��������������� �� ����
/��� � ����� ;�� 1#�)#2�� ����� �������� ���� ��� ���� ����������� � ���� ����������������� ����� �����+
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
1 1 2 2
( ) 0
( ) 0
( ) 0.
n n
n n
n n nn n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
�
�
�
− + + …+ = ⎫⎪⎪+ − + …+ = ⎬⎪⎪+ + …+ − = ⎭
�1#�)02
.��������� � �������� ������� ��������� ���� ������������ �������� ��� ��� 1#�)02� �������� 9������ ��� � ��
11 12 13 1
21 22 23 2
1 2 3
0.
n
n
n n n nn
a a a a
a a a a
a a a a
− …− …
=
… −� � � �
λλ
λ
1#�)?2
/������� ������� ���������������������������������� ����������� �������� ��� ����� ��� ������� �� ��� �� ���� ������� � ����� � ��� ���� ����������+���'������� ������ !�� ���� ������ ��� ;��� 1#�)?2� �� ������ ����1�� � 6�� 7��P�� �2������ ���� � ��� � ��� ��� ��� ������ ������� � �������������� ��� ����� �� �
.i i iAX X�= 1#�#42
/��������� ������ � ������������������ 1���� ����������2������������/���� � ����� ��� ������������� ��� ���� � ��� ��� ���� ���� ���� ������ ��� � �������������������� ������������ ���������������/���������� ������� ������� ��� �� ������� ���� ������������������� ������� ��������� = �� 4� ���� ������ ������� ������ ��� ��
/��� ������ ���� ��� �� ����� �� ������� ���� ��� ��� ;��� 1#�)?2�� /����������������� ��� �������� ���� ��� ;� ���� #�6$�� ��� ������ �� ����� ���������������������� ������������������������ ���������������������� ���������� � ����� ��� ����� ��������� ��� � � �� ��� � ��������������� E����� �9���������D�� �������� ��� ��������� ��� � ���������� ��������
!�� ����� �� ���� � ���� ������� ���� ���� ������� �� ������ ������ �� ��� ���� �������������� ������������ ��� ���������� ��� ��� ;� ���� #�6)�� ����� �������� �� ���� ����� ������� ��� �������� ���� ������ ������ ���� /�������������� ������ ���� ����� ��� �����&������������ ������������ ������
������� ��� ����� ���� ������ ���� ��� ������������� ��� ���� � ����+
5 0 1
0 2 0 .
1 0 5
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
/��� �� � ���������� ��� ����� ��� ����� � ����� ��� ������ �
5 0 1
0 2 0 0.
1 0 5
�
�
�
−− − =
−
������ ��������� � (7� ��� �<� �� ��� �)� /��� �������������� ������������ ���� ����� ����
1�2 ��� � (7�� -��� ���� ������������ �
1
1 2
3
.
x
X x
x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
/���� ��� � ��+
1 1
2 2
3 3
2 ,
x x
A x x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
������ ������ ���� ��� �����
1 37 0x x+ = �� 1 37 0x x+ =
/��� �������� ��� ��� � ��� � 4������ ��� ���� ���� !�� � ����� ��� ��� � E�� ��� � 6 ��� ���� ������������ ��
1
0
1 .
0
X
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1��2 ��� � <������
1
2 2
3
x
X x
x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�� ���� ������������� ���� ��� ������ ��
��� �� ��� � 4 �� ()��� � 4������ ������ ��� �� ��
��� � 1�� �� ��� � 4�
"�� ���#�#+ � �����;����� ���O���� 285
286 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
���������� ���� ����� ��� 1 1/ 2x = �� 3 1/ 2x = − ����� �� 2 2 21 2 3 1.x x x+ + =
/�� ���������������������������� ������ ������������������������������ � ��
2
1/ 2
0 .
1/ 2
� �� �
� � �� ��� �
X
1���2 ��� � )� !�
1
3 2
3
x
X x
x
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��� ���� ��������� ������������� ����� ���� ��� ������ ��
1 3
2
1 3
0
8 0
0,
x x
x
x x
− + =
− =
− =
������ ����� �� ��� ��� �� 4�
*�������� 1 3 1/ 2,x x= = ���� ���� �3��� ������������ ��� ������ �
3
1/ 2
0 .
1/ 2
X
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
������� ��� :��������� ���� ������ ������ ��� ��� ���� ������������������������� ��� ���� � ����
1 6 1
1 2 0 .
0 0 3
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
-��� ���� ����� � �������������
(0)1
0 ,
0
X
⎡ ⎤⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
� � ��
/���� ��� � ��
(0) (1)1 6 1 1 1
1 2 0 0 1 ,
0 0 3 0 0
AX X
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
� �
9����� �� ������� ��������� ������6� ��� �� ������� ������������������� ����9����� ��� � ��
(1)1 6 1 1 7 2.3
1 2 0 1 3 3 1
0 0 3 0 0 0
AX
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
����� ������ ��� ���� �� �
(2)2.3
1
0
� �� �� � �� �� �
X
��� �� �� �� ������� ��� ������ ��� ��� 8�H��� ����� ���� ���� ����������� ��� ������������ �� ��
2.1 2.2 2 2 2
4 1.1 ; 4 1.1 ; 4.4 1 ; 4 1 ; 4 1 .
0 0 0 0 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
!���������� ������ ������������ ������<� �������������������������������� ��
2
1 .
0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
7.7.1 Eigenvalues of a Symmetric Tridiagonal Matrix
"���������������� �������� ������������������������� ����� ��� �� ����������� �������� ����� ��� ������ ���� ��� � ���������� ����� ��� � � ����� ��� ��� ����� �� ���������� -��
11 12
1 12 22 23
23 33
0
.
0
a a
A a a a
a a
⎡ ⎤⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1#�#62
/�� �� ��� ���� ������ ���� ��� ���� ��� ����� ���� �������� ��� ��� ����
11 12
1 12 22 23
23 33
0
| | 0.
0
a a
A a a a
a a
�
�
�
−
= − =
−
"������� �� �� ���� ���� ��� ����� ��� �������� ��� ���� ����
3 ( ) 0.� � = 1#�#72
"�� ���#�#+ � �����;����� ���O���� 287
288 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
;�� ������ ���� �������� ��� ��� ������ ��� ���� ������ ����� ��� �� ��
1111 123 33 23
12 2312 22
33 2 23 11 232
33 2 123
0( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0.
aa aa a
a aa a
a a a a
a a
��� � �
�
� � � �
� � � � �
−−= − −
−= − − −
= − −
= 1#�#82
���� ������ �� ��� ���� ���������� �����
0
1 11
11 0
( ) 1
( )
( ) ( )
a
a
� �
� � �
� � �
=
= −
= −
(7.74)
(7.75)
11 122
12 22
211 22 12
21 22 012
23 2 33 123
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ).
a a
a a
a a a
a a
a a
�� �
�
� �
� � � � �
� � � � � � �
−=
−
= − − −
= − −
= − −
(7.76)
(7.77)
!�� ����� �� ��
11 12
12 22 23
1,
0 0
0( ) ,
0
0
k
k k kk
a a
a a a
a a−
− …− …
=… … … …… … −
λλ
φ λ
λ
(2 ),k n� � 1#�#02
����� ���� ���������� ����� � ��
21 1, 2( ) ( ) ( ) ( ),k kk k k k ka a� � � � � � �− − −= − − (2 ).k n≤ ≤ 1#�#?2
/��� ��� ���� ��1�2� � 4� ��� ���� �� � ���������� ��� ����� ��� � �� �� ������ �������� ������������������������*� �����7����������� ������������������� ��������� �� ������� ��� ��� ����� �E�� ��� ��� �E� �� �� ���� ��������{ ( ), 0 }k k n� � ≤ ≤ � ������� ������������������� E����� �"������������ ����������������������������� ����� ������������� ������ 1.A A�������������� ���� ���������� ���������������������������*� �����7�� ��� ��������� �� ������������� ������/�������������"����������������� ������������������������ ���� ����������� �� ���� � �� ������ ��� 9������� K6?#<L� ��� ��� ��������� ��������� ���� ��� ���� ����� ��� � � ����� ��� E����� ���� ������������� � �� �� �� ���� �� ���� ����� � ������� ��� ������� � ������������ �������
��� ����� �������� 9���������D�� ������� ���� ��������� � �� � ���������� ����� ��� � ����� ��� � �����
7.7.2 Householder’s Method
/���������� ������������������������� � ������������ �� � ����������� �������������
11 12 13
12 22 23
13 23 33
a a a
A a a a
a a a
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
1#�042
/���������� ��������� ��� �������� � ���� �'������ ��� ������ �����5� ������ ��5�5� ��� � ���������� ����� ��� � � ������ ����
11 12
12 22 23
23 33
0
0
�� �� �� � � �� �� �� �� �
a a
PAP a a a
a a
1#�062
�������������������������� ��������������� ����� ������9�������������������� �� 5� ����� �� ��� ���� ����
5� � �� (� 766�� 1#�072
�����
6� � K4�� ��� �L� ��� 6�6� � � 1#�082
/��� � ����� ��� ����� ��� 1#�082� �� ��� �� �2 22 3 1.v v+ = 1#�0<2
!�� ������ �� �
22 2 3
22 3 3
1 0 0
0 1 2 2
0 –2 1 2
P v v v
v v v
⎡ ⎤⎢ ⎥
= − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
1#�0$2
!�� � �� �� ��������� �� ��5� ��� � ���������� �������� � � ����� �� ���������� B�������� ������� ������� ��� �����5�5� ��� ��� ����� ��� ��� ;��� 1#�062� ��� ���������� ���� ���������� �� ��
2 122 2 2
12 13
11
2
� �� ��� ��� �
�a
va a
1#�0)2
��
133 2 2
2 12 132
av
v a a=
+� 1#�0#2
"�� ���#�#+ � �����;����� ���O���� 289
290 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
!�� ;��� 1#�0)2�� ��� ���� ����� ������� ��� ���� � ��� �� �� �� ��� ����� ����� �� ����� ��� � ������ ��� ��� ��� ������������������;���1#�0#2��"�����E�����K6?)4L�
������� �� H������ ���� � ����
1 3 4
3 2 1
4 1 1
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
��� ���� ����� ��� � �����
9���
2 212 13 5.a aS += =
����� ;��� 1#�0)2�� ��� �� ��
22
1 31 ,
2 5v
⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎝ ⎠������ ���� ��� ���������
��� ��
22
.5
v =
;�� ����� 1#�0#2� ���� �����
34 1
.2(2/ 5 ) (5) 5
v = =
/����T
2 10
5 5V
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ��
T1
1 0 0
2 0 3/5 4 5 ./
0 4/5 3/5
P I VV
⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
9����� ��� � ��
1 1 1
1 0 0 1 3 4 1 0 0
0 3/5 4/5 3 2 1 0 3/5 4/5
0 4/5 3/5 4 1 1 0 4/5 3/5
1 5 0
5 2/5 1/5 , on simplification .
0 1/5 13/5
A P AP
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
7.7.3 QR Method
/�������������������������� ������������������� ���������������������� ������� � ���� ������ ���� ��� � ����� � �������������� ������A����� ��� ���� ��'�%���� �� ������ ����������� ��� ������ ������ ���� ���� ����������� ���� � ����������� ����� ��� ������ ����
-������ ���������������� ������"��������� ��������� �����3����������������
��� �7�8� 1#�002
������7�� ��� �� �������� � � ����� ��� 8�� ��� �� ������ ��� ��� �� � �����
/���������
7������ � 8� 1#�0?2
/��� ������� � �� ����� ��� ����� ������� ��� ��� ����� �������� � � ������5�5��P5���� ����� �� �
5���5���� P� 5�5���� � 8� 1#�?42
/��� � �������5� ��� ��� ���� ����� �� (� 766�� ����� �� ��5���� ��� ���� ��� 3�������������� ��� ���������������������5��5����������� ���3������������������������ ���� ���� �� ��� �� ��� ��� ���� !�� ��� � ���� ���� ����� ���������� ����� ��� ������ ��� ���� ����� ���� ��� � ������ ��� �� 8��� ������ ��� �� �������� ��� �� � ������ /��� ��������� Q��R� ���������� ������� ��� � ��� ��� �� � ���������� ��� ����� ��� ��� ������!���������� �������������� ����� ������������� ����
7.8 SINGULAR VALUE DECOMPOSITION
��� � ��� ��� � �� ����������� ��� ��� � ������� ���� ��� ��� "������� #�$�)� ���� ����������������������������� ���� ���� �������������� ��� ��� ������� � ���� �� �������������� ��� ������� ��� ����� ��� � ��� ���� ��� ���� ����������������� 1">:2�� /���� �������������� ��� ��� ��� �� ������ ���� ���� ����������� ������ ��� ��� ������ ��� �������� ���� �������� ��� � ����� �� � ������ � ������ ���������� �� ���,
-������� ��1�����2�� �����������������/�������E������ ������� ���������� ��� ���� ��� ���� ���&��� ����� ��� ����������� /����� ������ ���� �� ���������� ��-������������� ���������������������P������������������������������� �3��� ���������������������P������ -��� ������ ������������� �� ���������� ��� ���� � ����� 6�
/���������
������ � ���� 1#�?62
"��� ���� ���(�� ���� ��������� �3��� ������������� �������� ��� �� �� ��� � ��
���(�� � ��(� 1#�?72
"�� ���#�0+ "���� ��> ���:������������ 291
292 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
/������� ��� (�� ��� �� ���� �������� ���� ��� ����
1
�� �n n
nY AX 1#�?82
�� � �� �� ����������� ����� ���� ����
�� ��96�� 1#�?<2�������� ��� ���� � ����� ������ ������� ��� ���� ������������� (��
9� � �� �� ( )1 2, , , ,n� � �… 1#�?$2
��
���� � 6�6� � 66�� � �� 1#�?)2
/��� �������������� �������� �� ;��� 1#�?<2� ��� � ��� ���� ��� ���� ����������������� 1">:2� ��� ���� � ����� ��
������� ��� A� ��� ���� ����� �&� ��� �������������� ��
1 2
1 1 .
1 3
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
���� ��
T 1 1 1
2 1 3A
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
�� T 3 6
6 14A A
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
/��������� ������ ��� ���������� 1 16.64� = � �� 2 0.36.� = ��������������&
�������� �������������� ��� � ��
1 1
2 2
3 616.64 ,
6 14
x x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
������ ������ ���� ������+
1 2 1
1 2 2
3 6 16.64
6 14 16.64 .
x x x
x x x
+ =
+ =/��� �������� ��� ������ �
10.4033
.0.9166
� �� � �
� �x
.� ������� � ��
1 1
2 2
3 60.36 ,
6 14
x x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
������ ������ ���� ������
1 2 1
1 2 2
3 6 0.36
6 14 0.36 .
x x x
x x x
+ =
+ =/��� �������� ��
20.9166
0.4033
� �� � ��� �
x
��� ��� � �� 1 4.080� = �� 2 0.60.� =/��� ������������� ������� � �� ����� �� �� ����� ����� ;��� 1#�?82�� /����
��� ������ �
0.5480
0.3235
0.7727
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��0.1833
0.8555 .
0.4889
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
/��� ����� �&� ��� �������������� ����� ��� ����� ������ �
1 2 0.5480 0.18334.080 0 0.4033 0.9166
1 1 0.3235 0.8555 .0 0.60 0.9166 0.4033
1 3 0.7727 0.4889
A
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
EXERCISES
���� ;������� ���� �������� �������� ��� ��� ������ ��� ���� � ����� ����+
1 2 8���� 7'� �� <�� � #7�� �� '��� �� � #���� 8'� �� $�� � 7
12 7�� (� �� (� 7�� � (0'� �� 7�� (� �� � (6�� (� '� (� �� � ()(�� �� 8'� (� 7�� � #
��� ������ �� ��������������������������������� ��3���������� ���3� ��� ������� ��� ��3��� 1�� �� �2� ��� 1�� �� 2�� ������������
!��
2 5 –2
–1 0 0
2 3 4
� �� �� � �� �� �
B � ���
3 5
1 0 ,
2 0
C
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
� ������� ��3�
��� "���� �� �� ���� �������� ��� ���� ������ ��� ��� �� � ������� ��� ��� ������� ��� ��� �� � �����
;�� �� 293
294 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
!��
1 2 3
0 1 2
0 0 4
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
���
–1 0 2
0 1 –1 ,
0 0 3
B
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
� ����� ���
��� ;�� ��� ���� �E� ������������ �������� ���� ���� �������� ��� ���� ������
11 12 1 1 1
22 2 2 20
0 0 0
� � � � � �� � � � � �� � � � � ��� � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � �
��
� � �
n
n
nn n n
a a a x b
a a x b
a x b
��� ����� �� �������� ��� ��������� ���� "���� ���� �������� ������
1 2 3
2 3
3
2 – 3 –1
–3 – – 9
5 15
x x x
x x
x
+ ===
��� ����� ���� �������� ��� ���� � ����
2 3 1
0 1.5 2.5
0 0 18
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�� ����� ���� �������� ��� ���� � ����
2 0 0
2 1 0
3 2 2
L
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��� � �����3�� ���� � ����
4 3 –1
1 1 1
3 5 3
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
����� ���� �������� ��� ������ �� ��� ����� ����� ��� ��� �� ��� �� �������� ��� ��
�� 3��/��9����������� !�� �� ������� ��� ����������� ����� ���� ���������� � ����� ��� ��� �� � ����� ��� � ����� ������ ��� ��� �� � ������ ��� ��� ���3��/��������������,:��������� ���� � �����
1 1 1
4 3 –1
3 5 3
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�� *����D�� �������
��� :������ ����� ��� � � �����!�
1 3 5
1 4 3
1 3 2
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
����� == � ==��� == � ==�� ��� == � ==��
���� I���% ���� ����� ���������� � ��� � ��������� ��� ����� ���� ������
7��� �� ��� (� �� � (6
��� (� 7��� �� 8�� � ?
8��� (� ��� �� $�� � 6<
*���E� ����� ������ �� ������������ ����� ���� ������ � ��� ������
���� ;�� ���% ��������� ������������������ ��� ������������������ ���������� ��� �� ��� ��� ��� ������ ��� ���� ��� ��� ����� ���� ������
6�7��� �� 7�6��� (� 6�6�� � 6�0##)
(6�6��� �� 7�4��� �� 8�6�� � (4�66$?
(7�6��� (� 7�7��� �� 8�#�� � (<�7007�
���� I��� % ���('��� �� ������� ��� ����� ���� ������
<��� �� 8��� (� �� � )
8��� �� $��� �� 8�� � <
��� �� ��� �� �� � 6�
���� I���% ���� ����� ����� ��� ����� ���� �������� ��� ����� ����
1 –1 1
1 –2 4
1 2 2
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
���� "���� ���� ������� ��� ��� �����
64�� �� '��� � � 67
7�� �� 64'� �� � � 68
�� �� '� �� 8� � $
�� ���� % ���� ����� ����� ��� % ���&'��� �� ��������
���� :��������� ���� � ����
5 –2 1
7 1 –5
3 7 4
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
;�� �� 295
296 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
����� ���� ����� ��� ������ �� ��� ����� ����� ��� ��� �� ��� �� ������� ��� ��� �� � ������ 9����� ����� ���� ������� ��� � �� ������� � K< 0 64L��
��� ���� ���� � ����� ��� O����� #�6$�� ����� ��������� ��� ����
���� :������ �� �������� ��� ������� � ������ ������� ��� ��� ������ ��� �������� ��� �� ������ /���� ����� �������� ��� ���� ������+
<�� �� 8'� �� 7� � 6)
7�� �� 8'� �� <� � 74
�� �� 7'� �� � � 0���� :��������� ���� � ����
4 3 2
2 3 4
1 2 1
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
����� ���� ��������� �������� ��� � ����� ��� ��� ��� ����� ����� ��� ���������� ��� ��� ��
���� "���� ���� �������� ������� ��% ���� ����� ����+
7��� �� 8��� (� ��� �� 7�� � #
��� �� ��� �� ��� �� �� � 7
��� �� ��� �� 8��� (� 7�� � ()
��� �� 7��� �� ��� (� �� � (7
���� .�� ������� ��� �������� ��� ���� ������
64��� �� ��� �� �� � 67
��� �� 64��� �� �� � 67
���� ��� �� 64�� � 67
��� ������ �
(0) (0) (0)1 2 30.4, 0.6 and 0.8.x x x= = =
I��� ���� ���� ����� ������� ��� "������� #�$�66� ��� �������� ����� ��������
���� "���� ���� ������64�� �� 7'� �� � � ?
7�� �� 74'� (� 7� � (<<
(7�� �� 8'� �� 64� � 77
�� ' ���D�� �������
���� "���� ���� ������� ������ ��� O����� #�76� �� % ���("����� �������
���� "� ��� ���� ���������� ��� ������������ ��� % ���&"����� !��� ����� �������.���� ����� �������� ����� ���� ���� ������� ��� ����� ���� ������� ��������
70�� �� <'� (� �� � 87
7�� �� 6#'� �� <�� � 8$
�� �� 8'� �� 64�� � 7<
���� 3�����!'/�� ����� .� � ����� �� ��� � ��� ��� �� � �'������� ����� ������ � ����� "��������� �������� ������ ���������� ��� ������������ ����������� ���� ���������� ��������� ���� ��� �������������� ��� ���������������� �� ������ �������� � ���� /���� �������� � ��� *����E�D��������� ��������� ���� ���� ��� �� ��� ��� ���� ��������� ������"���� ���������� ������ �
1
2
3
5 0 1 8
0 –2 0 –4
1 0 5 16
x
x
x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
�� *����E�D�� �������
���� ;�� ����� ������� ������&���������������� �� ������%���������� ������� �&������������� �������
!�� ���� � ����
1 11
2 31 1 1
2 3 41 1 1
3 4 5
A
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�&�����������M
��� :�������������� �� ������-���� �������������� ������������������ �� ������� �� ��� ���������� ������ ��� � � �����M� ;�� ��� ���� ���� ��������������� ��� ������ ��� �������������������� �� ����� ��� �&������������
���� 3���+�'������ �'���� ;�� ��������� ���� ����
������ �� ������ �� ������ �� ������ � �� 1�2
������ �� ������ �� ������ �� ������ � �� 1��2
������ �� ������ �� ������ �� ������ � �� 1���2
������ �� ������ �� ������ �� ������ � �� 1��2
��� � ��� ������&���������� ��������� "���� �������� � �� �� ������ ���� �� ���� �������� �������� .������ 1�2� ��� 1��2�� ��� �� ��� �
;�� �� 297
298 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
��� ����� ���� 1�������2� ��� 1�������2��"��� ���� ������ 1��2� ��� 1���2������ ��� ���������� ���������1�������2� ���1�������2��/������������ ���������� ���� � ���� ��� 1��� �� ��2� ��� 1��� �� ��2��.� ��� �� ���� �������� ������ ���� ��� ������ ��� 1�� ( ��2� ��� 1�� (���2��*����� ��������������� ������ ��� ��� ���� � ���� � ���
"���� ���� ������
��� �� ��� �� 8��� (� 7�� � ()
7��� �� 8��� (� ��� �� 7�� � #
7��� (� ��� �� 8��� �� 7�� � 8
(7��� �� 8��� �� ��� �� �� � (6
��� :��������� ���� ������ ���� ��� ���� �������������� ������������� ������� ��������� ������+
� �
1 0 0 5 0 12 2
(a) (b) 0 1 1 (c) 0 –2 02 1 0 1 1 1 0 5
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
���� I��� ���� ���� ������������ ��� ����� ���� �� ���� ������ ��� ��� ����� ����
1 6 1
1 2 0
0 0 3
� �� �� � �� �� �
A
���� :��������� ���� ������������ ��� ��� ������������������������������������� ����
1 3 –1
3 2 4
–1 4 10
� �� �� � �� �� �
B
���� I�����9���������D������������ ������������ ��� �������������� ����
1 3 4
3 1 2
4 2 1
� �� �� � �� �� �
A
���� %����� ����� ����
0 1 4
1 3 1
2 1 0
� �� �� � �� �� �
A
����� � ���������� �������� � � ����� 5� ����� �� �� ���� � ����� 5�� ������ ��� 3����� ���� ���� �� ��� � ��� ���� ������ ������
Answers to Exercises
���
3 2 4 7
(a) 2 1 1 7
1 3 5 2
� � � � � �� � � � � ��� � � � � �� � � � � �� � � � � �
x
y
z
2 0 1 2 8
0 1 2 1 1(b)
1 1 0 1 6
1 3 0 2 7
? ? ?? ?
? ? ?? ?
� � � �� �� � � �� �� � � �� � �� � � �� �� � � �� �
� �� � � �� �� � � �
x
y
z
u
���7 10
–3 –5
17 10
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��� ��� � 6�� �� � 7�� ��� � 8
��� � � 1
1 7–3
2 185
0 2 –181
0 018
A−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�� 1
10 0
2–1 1 0
1 1–1
4 2
L−
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
���
1 0 0 4 3 –1
1 1 51 0 , 0
4 4 43 0 0 –10
11 14
L U
⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
��1 0 0 1 1 1
4 –1 0 0 1 5
3 2 –10 0 0 1
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
��� == � ==�� � 64�� � � == � ==�� � 0�))47�� � � � == � ==�� � ?�
;�� �� 299
300 *�����#+ ,������ �-��� ��.���
���� ��� � 6�� � � ��� � (6� ��� � 7�
���� ��� � (7�6$$#� ��� � 6�7#<)� ��� � (6�)7<)�
���� ��� � 6�4� ��� � 4�$� ��� � (4�$�
���� 11.2 –0.4 0.2
–0.2 –0.1 0.3
–0.4 0.3 0.1
A−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
���� �� � 6� '� � 6� �� � 6�
���� ��� � 6�66?8� ��� � 4�0)0$� ��� � 4�6<4#�
��� 1 11 0 0 0.2 –0.1053 –0.0507
–1.4 1 0 , 0 0.2632 0.0978
2.4211 –2.1579 1 0 0 0.0581
� �
� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �
L U
���� �� � 6� '� � 7� �� � 8�
���
3 14 0 0 1
4 23
2 0 , 0 1 225
1 –2 0 0 14
� � � �� � � �� � � �� � � �� �� � � �� � � �� � � �� � � �� � � �
L U
���� ��� � 7� ��� � (6� ��� � 4� ��� � 6�
���� ��� � ��� � ��� � 6�
���� $��� ���� ����� � ���� ��� 4�??0?�� (6�???8�� 7�??0<�
���� <��� ���� ����� � ���� ��� 4�???6�� (6�???0�� 7�???0�
���� )��� ���� ����� � ���� ��� 4�??8)� 6�$4#4� 6�0<0$�
���� ��� � 8� ��� � 7� ��� � 6�
���� �&�����������
���� ��� � 6� ��� � 4� ��� � (6� ��� � 7�
���1 2
(a) = 0, ; 3,– 2 1
� � � ��� � � �
� � � �� �
0 01
(b) 0, 1/ 2 ; 1, 0 ; 2, 1/ 2
0–1/ 2 1/ 2
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
λ λ λ
0 1/ 2 1/ 2
(c) – 2, 1 ; 4, 0 ; 6, 0
0 –1/ 2 1/ 2
� � � �� �� � � �� �� � �� � � �� �� � � �� �� � � � � �
� � �
���� �� � (6�1
0.33
0
⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
���� �� � 64�)�0.02
0.46
1.0
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
���� 1
1 –5 0
–5 2.92 0.56
0 0.56 –0.92
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
����0 1 4
0 2 0.8
0 –1 –0.4
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�;�� �� 301
8.1 INTRODUCTION
����� ���� �� ��� �������� ���� ������������ ���� �� �������� �� ���� ���� �������������������������������������������������������������������������������� ������ �� �������� ����� ������ ���� ������� ��� ���� ��� �� �� �� ������� ����� �������� �� ����� ���� �� ��������� ������ �� ������������� ���������� ���������������������������������� ����� ��������������� ����������� �������� ���������� ���������� �������� ������ ���� ���� ������� ������ ��������� ����� ������������� ���������
�� �������� ������� �� ������� ������ ��� ���� ������� �� ������������������������������������������������������������������������������������
( , )dy
f x ydx
= ��� �!
����� ���� ����������������
0 0( )y x y= ��� !
����������������������������������������������������� ���� ��������������������������������������������������������������� ��������������������������������� ������ ���� ������� ��� ��� �� ���� ��� �� �"
��! #� ������� ��� �� ��� ��� �� �� ������ �� ��� �� ������� ���� ������ �� ����� �� ������� �� ������� �����������
���! #� ���� �� ��������� ������� �� �� ���� ��
���� ������ �� ������ ���� $������ ����� �� ������ ��!�� �������� ����� �%������&����'(������#�� �')�������������������������������!� ������������
���
��������� ��� �� ������������������������� ��
�������
������ ���� ������� ������������� ������ ���� ���� ������ ������� ���������� �� �� ���� � ������ �� ����� ������ ������ ��� ������ ���������� � �� ������������������������*������ ��������%���������&����'(������������������������� � ������ �� +���� � ���� ���� ������ ������ ������ ���� �� �������� ������������ �� ���� �� �� ����� ������ ���� *��� �������� ���� �������� ������� ����������� ���� �������� ������� ���� ������ ���� ��#�� �')���������#�� �'�������������������� ����������������� ���������������������������������������� ,��������� ������-� ������ ���� �������� ������� �� �����-�� ������� �&����'(����� ������
*�� ��� �����+���� ����� �� ������������� �������� �� ���� ���� ����� ����� ���������������������������������������������� *���������� ����������� ������������� �� ����� ��� ��������� ��� ��������� ����� �� ��������� $��� �� �����������������������������������������������������������������������������������������������������.���/� ����� �������� �����������%��� ��� !� ������������ �������������0�� ��������������� ������� �� ��������� ��������������������� ������������� ���������� ��� ��� ��������� ���� ��������� ��� ���� ��� ������ 1���� ���� �� ���� ������� �������� ����� ��������
2�������� �������������� ���������������������������������� ���� ����������� !���������������������������������������������� ���������������������� ������ ���� �� ��� ����������� ������������� ���������
8.2 SOLUTION BY TAYLOR’S SERIES
2�� �������� ���� ������������� �������
( , )y f x y′ = ��� �!����� ���� ���������������
0 0( ) .y x y= ��� !
*� � ��!� ��� ���� �/���� ������� �� %��� ��� !�� ����� ���� �����-�� ������� ��� � ��!������ �� 3� ��� ��� ������ �
20
0 0 0 0( )
( ) ( )2!
x xy x y x x y y
−′ ′′= + − + +� ���4!
*�� ���� ������� � 0 0, ,y y′ ′′ … ���� +����� ����� %��� ���4!� ������ �� ����� �������� ��� 5����� ���� �� ���� ��� ����� ������������� ��� ���� �����
,x y x yy f f y f f f f′′ ′ ′= = + = +
������ ���� �����/��� ������ �������� ������������ ����� �������� �� ���� ����������������� 1� �������� ��� ����
2 2
( ) ( )
2
xx xy yx yy y x y
xx xy yy x y y
y f f f f f f f f f f f f
f ff f f f f ff
′′′ ′′= = + + + + +
= + + + +
���� ����� ������� ������������ �� �� ���� ����� ���� ������� �� �/������� ��� ��������� ���� ������������ ������������� ���������
1���������4" 1�������������-��1����� 303
304 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
������� �� .� � ���� ������ ������� ��� � ��!�� ����� � �9� !� ������� �� ������� ��� ������� ��� � ��!� ���������
2y x y′ = − ��� (0) 1.y =
���� ������ ������� ��� � ��!� ��� ������ �2 3 4 5
iv v0 0 0 0 0( ) 1
2 6 24 120
x x x xy x xy y y y y′ ′′ ′′′= + + + + + +�
���� ����������� 0 0, ,y y′ ′′ … ����� ���� ������� ����"
2 0
0
2 0
iviv0
vv iv 20
1( )
3( ) 1 2
8( ) 2 2
34( ) 2 6
186( ) 2 8 6
yy x x y
yy x yy
yy x yy y
yy x yy y y
yy x yy y y y
′ = −′ = −
′′ =′′ ′= −
′′′= −′′′ ′′ ′= − −
=′′′ ′ ′′= − −
= −′ ′′′ ′′= − − −
5����� ������ �������� ���� ������ ������� �� ��
2 3 4 53 4 17 31( ) 1
2 3 12 20y x x x x x x= − + − + − +�
������� ������������� �9� !�������� ���������� ����������� ��� ��� ������������� ��� �� ��� �� � � ������ �� ����������� ���� ��� ���� (0.1) 0.9138.y =
1������ ����� ��� ����� �� ����� ���� ������ �� ������� �� �� ��� ������ ��������������� ���������������� ���� ��� ������������ ������������� ��� �������� ������� �� �� ������� �� ���� ���� ��� ��������2�� ����� ���� �� �����
5310.00005
20x ≤ � 0.126.x ≤
������� � :����� ���� ������������� �������
0y xy y′′ ′− − =����� ���� ��������� ��9!� 3� � ��� ���9!� 3� 9� ���� �����-�� ������� ����� ������ ���� ���� ������ � � �9� !�
2�� ����� � ��!� 3� � ���� ����!� 3� 9� ����� �� 3� 9�� ���� ������ �������������������� ��
( ) ( ) ( )y x xy x y x′′ ′= + ��!
;���� ����9!� 3� ��9!� 3� �� 1���������� ��������������� �� ��!� �����
iv
v iv iv
vi v iv iv v iv
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ),
( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 3 ( ),
( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 4 ( ),
( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 5 ( ),
y x xy x y x y x xy x y x
y x xy x y x y x xy x y x
y x xy x y x y x xy x y x
y x xy x y x y x xy x y x
′′′ ′′ ′ ′ ′′ ′= + + = +
′′′ ′′ ′′ ′′′ ′′= + + = +
′′′ ′′′ ′′′= + + = +
= + + = +
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
���� �� ������� ��� ������� ������������ $������ 0x = ��� ���!� �� ��!�� ��� ����
(0) 2 (0) 0,y y′′′ ′= = iv (0) 3 (0) 3,y y′′= = v (0) 0,y = vi (0) 5.y =)�� �����-�� �������� ��� ����
2 3 4iv
5 6v vi
( ) (0) (0) (0) (0) (0)2 6 24
(0) (0)120 720
x x xy x y xy y y y
x xy y
′ ′′ ′′′= + + + +
+ + +�
;����
2 4 6(0.1) (0.1) (0.1)(0.1) 1 (3) (5)
2 24 720
1 0.005 0.0000125, neglecting the last term
1.0050125, correct to seven decimal places.
y = + + + +
= + +
=
�
8.3 PICARD’S METHOD OF SUCCESSIVE APPROXIMATIONS
*����������� ���� ������������� �������� ������ ��� %��� ��� !�� ��� ����
0
0 ( , ) .x
x
y y f x y dx= + ∫ ���<!
%������� ���<!�� ��������� ������+���� ���������� �������������� ���� �������������� ��� ������� ��� �������� �������� 1���� ��� �������� ���� �� ������ �� ��� ����� �� ����������� ����/� ������ ��������� ���� ������ ����/� ����� �� ���� ������� �� �������� ��� ��� �� �� ������ ����� �� %��� ���<!�� ���� ��� �����
0
(1)0 0( , )
x
x
y y f x y dx= + ∫������������������������������������������������������������������������������� �� ��� ���� ���������� �� %��� ���<!� �� ����� ���� ������ ����/� ����� ����"
0
(2) (1)0 ( , )
x
x
y y f x y dx= + ∫$��������� ��� ����� ����� ��� ���� (3) (4) ( 1), , , ny y y −… ��� ( ),ny �����
0
( ) ( 1)0 ( , )
xn n
x
y y f x y dx−= + ∫ ���� (0)0y y= ���=!
1���������<" $�����-����������1����������#���/� ����� 305
306 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
;���������� �����������������������������/� ������ (1) (2) ( ), , , ny y y… ������ ���� �� ������ ������ ��� �/� ����� ���� +� �� >���� ���� )����!� ����� ������ �������� � �����!� ��������� ��� � �� ���������� �������� 0 0( , )x y ����� ( , )f x y ���������� ���� ����� ���� ����������� ��?��
| ( , ) ( , )| | |f x y f x y K y y− ≤ − ������� �� ������� ���@!
����� ���� �������� (1) (2), ,y y … ��������� �� ���� ������� �� %��� ��� !�
������� �� 1��������������� 2,y x y′ = + ��A����������������� 1y =���� 0.x =
2�� ������ ���� (0) 1y = ���� ����
(1) 2
0
11 ( 1) 1 .
2
x
y x dx x x= + + = + +∫����� ���� ������ ����/� ����� ��
2(2) 2
0
2 3 4 5
11 1
2
3 2 1 11 .
2 3 4 20
x
y x x x dx
x x x x x
⎡ ⎤⎛ ⎞= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
= + + + + +
∫
*�� ��� ����� ����� ���� ������������ ������� �� ��� ���� ������������� ����� ������� �� ������� ����/� ������
������� �� :����� ���� ������������� �������
2
2 1
dy x
dx y=
+����� ���� ��������������� 0y = ���� 0,x = �����$�����-�� ����� ������ ��� 0.25, 0.5x = ���� �9� ������� �� ������ ���� ��� �������
2�� ����2
20
.1
xx
y dxy
=+∫
1������ (0) 0,y = ��� ����
(1) 2 3
0
1
3
x
y x dx x= =∫���
2(2) 1 3 3 9
60
1 1 1tan
3 3 81(1/9) 1
xx
y dx x x xx
− ⎛ ⎞= = = − +⎜ ⎟⎝ ⎠+∫ �
�� ����� ����� ���� ����� ������ �� ���� ������ ��� �� ��?��� � B<!��� �� ����� ���� ������� ������� �� �� �� ����� ���� ������� ����� ���� ��� � � B<!��� ����� ����� ����� ���������� ������� �� ������ ���� ��� �������� ��� ���
910.0005
81x ≤
������ ������
0.7x ≤;����
3
3
1(0.25) (0.25) 0.005
3
1(0.5) (0.5) 0.042
3
1 1(1.0) 0.321
3 81
y
y
y
= =
= =
= − =
8.4 EULER’S METHOD
2��������������������������� ����������������������������������������������������� ��� ���� �� � �� �� ����� ������� 2������� ��� �������� ���� ����������� ����� ���� ������� ��� ���� �� � �� �� ���� �� ��������� �������
1������ ����� ��� ����� �� ����� ���� %���� ��� !� ��� ������� �� �� ���� 3� ��� 3� ��� C� � ��� 3� �� 4��D!�� *����������� %��� ��� !�� ��� ����
1
0
1 0 ( , ) .x
x
y y f x y dx= + ∫ ���E!
#��� ���� ���� 0 0( , ) ( , )f x y f x y= �� 0 1,x x x≤ ≤ ����� ������%����-�� �� ���
1 0 0 0( , ).y y hf x y≈ + ���F�!
1� ������� ��� ���� ������ 1 2 ,x x x≤ ≤ � ��� ����2
1
2 1 ( , ) .x
x
y y f x y dx= + ∫1���������� 1 1( , )f x y �� ( , )f x y �� 1 2x x x≤ ≤ ��� ����
2 1 1 1( , ).y y hf x y≈ + ���F!
$��������� ��� ����� ����� ��� ����� ���� �������� �� ���
1 ( , ),n n n ny y hf x y+ = + 0,1, 2,n = … ����!
���� ������� ��� ����� ���� ���� �� ����� ��������� ��������� ����� %����-� ������ ��� ����� �� ��+�� �� � ������ ������ ��� �� )������� �� ����� ����������
1���������=" %����-������� 307
308 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
�� �� ���� ����� ��� ���������� ��� ���������� ���� ���� �� ���������� �� ���+��������������������������� ���������������� ��������������������������� ��������� ��� 1������ ��=�4�
������� �� �� ����������� %����-�� ������ ��� �������� ���� ������������������� y y′ = − ����� ���� ������� (0) 1.y =
1���������� ����������� �� %��� ����!� ���� 0.01h = �����
(0.01) 1 0.1( 1) 0.99
(0.02) 0.99 0.01 ( 0.99) 0.9801
(0.03) 0.9801 0.01 ( 0.9801) 0.9703
(0.04) 0.9703 0.01 ( 0.9703) 0.9606.
y
y
y
y
= + − =
= + − =
= + − =
= + − =
���� �/���� ������� �� xy e−= ���� �� � ����� ���� ������ �� 0.04x = ��� 9�GE9��
8.4.1 Error Estimates for the Euler Method
>��� ���� ����� ������� �� ���� ������������� �������� ��� �� 3���� �� ����!� ���� ������� ���� ����/� ���� ������� �� ���� 7��� �/�������� ������!� �� �����-��������� ��� ���
2
1
2
1
( ) ( ) ( ) ( )2
( ) ( ) ( ), where .2
� �
�
�
� � � �� ��
� � � � �� ��
�n n n n
n n n n n n
hy x y x hy x y x
hy x hy x y x x ���G!
2�� �������� ��������� ��� ������ �� ������ ��� ���� ������� �� ���������������������� ������ ���� ��!� ����� ������� ���� ���!� �������� ������� ���� ��������� ��� ���� ������� �� ���������� ���� ������ ������������� �������� �� ����� ����� �������
1 .n n ny y hy+ ′= +����� ����� ��� ������ �
21
1– ( )
2n nL h y �+ ′′= ��� 9!
���� ����� ����� ��� ����� �������� �
���3� ��� '� ����! ��� !
1����� ��� ��� �/����� ��� ������ ����� ��� 3� 9�7���������� ���� �������� ������ ��� ������ ���� ����� ������� ����� ��
[ ][ ]
1 1 1
1
1
( )
– ( ) ( ) –
( , ) – ( ) .
n n n
n n n n n
n n n n n
e y y x
y hy y x hy x L
e h f x y y x L
+ + +
+
+
= −′ ′= + +
′= + +
� � �1 1( , ) ( , ( )) .� �� � � �n n n n n n ne e h f x y f x y x L
)�� ���� ������ ����� �� ��� �����
� �( , ) ( , ( )) – ( ) ( , ), ( ) .� ��
� � � ��
n n n n n n n n n n nf
f x y f x y x y y x x y x yy
;������ ��� ����
1 11 ( , )n n y n n ne e hf x L�+ +⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ ��� 4!
1����� ��� 3� 9�� ��� ����� ������������"
1 1 2 1 1 1 2; 1 ( , ) ;�� �� � � �� �ye L e hf x L L
3 2 2 1 1 1 2 31 ( , ) 1 ( , ) ( ) ; etc.y ye hf x hf x L L L� �⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1��� ���� +� �� *������� ���� (������ H GEEI� ��� ��� ��������
��������� 2������������������������������������������ y y′ = − ���������������� (0) 1,y = ����������������������%����-�� ��������%/� ��� ��@�
6����� 0.01,h = ��� ����
1 ( , ) 1 0.01( 1) 0.99.y n nhf x �+ = + − =���
21
1( ) 0.00005 ( ).
2n n nL h y y� �+ ′′= − = −
*�� ����� ���� � ( ) ( ),n ny y x� ≤ ����� y′ ��� ��������� ;�������� ����������������
51
52
53
| | 0.00005 5 10 ,
| | (0.00005) (0.99) 5 10 ,
| | (0.00005) (0.9801) 5 10 ,
L
L
L
−
−
−
≤ = ×
≤ < ×
≤ < ×
���� �� �� .�� � ������� ���� ����� ������� ������ ��� ����� ��� ���� ���� ����� �������� ����� *�� ��� �������� ���� �������� ������ ������ ��� ��� ���
1 0,nR + =����� ������ ���� ���� ������ ��� ����� �� � %��� ��� 4!� ���� ���� ����
0
51
5 42 1
5 4 53 2
5 4 4 44 3
0,
| | 5 10
| | 0.99 5 10 10
| | 0.99 5 10 10 5 10
| | 0.99 5 10 10 10 2 10 0.0002
e
e
e e
e e
e e
−
− −
− − −
− − − −
=
≤ ×
≤ + × <
≤ + × < + ×
≤ + × < + = × =
�
1���������=" %����-������� 309
310 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
*�� ��������������� ����� �������� ���� ���� � ������������ ����������� ����� ��� ��������� �� ��9�9=!� ������� ��� %/� ���� ��@�
8.4.2 Modified Euler’s Method
*������� �� ����/� ����� ( , )f x y � 0 0( , )f x y ��� %��� ���E!�� ��� ������/� ���� ���� ��������� ������ ���%��� ���E!� �� ����� �� �����?����� ����� �����
1 0 0 0 1 1[ ( , ) ( , )]2
hy y f x y f x y= + + ��� <!
2�� ����� ����� ���� ��������� �� ���
( 1) ( )0 0 0 11 1[ ( , ) ( , )],
2n nh
y y f x y f x y+ = + + 0, 1, 2,n = … ��� =!
����� ( )1ny ��� �������� ����/� ����� ���������� ��������� �� ���� ��� =!� ���
�� �������� �� ������ (0)1y �� � %����-�� �� ���"
(0)0 0 01 ( , ).y y hf x y= +
������� �� 8���� ���� ���� ������ �� �� ���� 0.1x = ������ ����
(0) 1y = ��� 2y x y′ = +
2�� ��+� 0.05.h= 2��� 0 0x = ��� 0 1.0,y = ��� ���� 0 0( , ) 1.0.f x y = ;����%����-�� �� ���� �����
(0)1 1 0.05(1) 1.05y = + =
.������� 1 0.05x = ��� (0)1 1( , ) 1.0525.f x y = ���� �������� � 0 0( , )f x y ���
(0)1 1( , )f x y ��� �94E4� ����������� (1)
1y ���� ������������ �������������%��� ��� =!� ���� ��� ����
(1)1 1.0513.y =
&������������������������������ (2)1 1.0513.y = ;����������+� 1 1.0513,y =
������ ��� ������� �� ���� ���� ��� �������7�/������� 1 10.05, 1.0513x y= = ��� 0.05,h = �����������������������
�� ����� ���� ������ ���� ������ �� ������ 0.1.x = ���� �������� ���
(0)2 1.1040,y = (1)
2 1.1055,y = (2)2 1.1055.y =
;����� ��� �������� ����� ���� ������ �� �� ���� 0.1x = ��� � 9@@�
8.5 RUNGE–KUTTA METHODS
#���������� ���������%����-�� ����� ��� ��������������� ����������������� ������� ��� ��������� � �� �� � ���� ��� �������� ��������� ���������� ���
&����'(����� �������������������������������������������������������������� ���������� �� ���������� ���� ���� �������� ������� ��� � �� ��������� ������� ���� �����������
*����� ��������� 1 0 0 0( , )y y hf x y= + �� ���� ������ ����� �� %��� ��� <!��������
1 0 0 0 0 0[ ( , )],2
hy y f f x h y hf= + + + +
����� 0 0 0( , ).f f x y= *�� ��� ��� ���
1 0k hf= ��� 2 0 0 1( , )k hf x h y k= + +����� ���� ���� �������� �� ��
1 0 1 21
( ),2
y y k k= + + ��� @!
������ ��� ���� ������������� ����������� �� ���� ���� ����� ��� ����� �� ��������� ����� ����������� �� �� �/����������� �������������-�� ������������� ���� ����� ����� �����
2 3
0 0 0 02 6� � � �� �� ��� �
h hy hy y y
���� �� ���� ������ ����
22 0 0 0 0 0
0 0( , ) O ( ) .
f fk hf x h y hf h f h hf h
x y
⎡ ⎤∂ ∂= + + = + + +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦1����
( , ),
df x y f ff
dx x y
∂ ∂= +∂ ∂
��� ����2 2 3
2 0 0 0 0[ O( )] O( ),k h f hf h hf h f h′ ′= + + = + +
�� ����� ���� ������ ����� �� %��� ��� @!� �����
2 3 2 30 0 0 0 0 0 0
23
0 0 0
1 1[ O( )] O( )
2 2
O( ).2
y hf hf h f h y hf h f h
hy hy y h
′ ′+ + + + = + + +
′ ′′= + + +
*����������������������������������������/���������������������%��J��� @!������ ��� �� ��� �� �� ����� ��� ������ ����� ����� ���� ����� ��� ����� �� ������ �� ����� ��
���� ����������� ��� ��� ���
1 0 1 1 2 2y y W k W k= + + ��� E�!�����
1 0
2 0 0 0 0 1( , )
k hf
k hf x h y kα β
= ⎫⎪⎬
= + + ⎪⎭��� E!
1���������@" &����'(���������� 311
312 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
�����������������������/�������������������������������������������� E�!������ ���� ��������
23
0 0 0 0 1 2 0
2 32 0 0 0
O( ) ( )2
O( ).
h f fy hf f h y W W hf
x y
f fW h f h
x y� �
⎛ ⎞∂ ∂+ + + + = + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
⎛ ⎞∂ ∂+ + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠%�������� ���� ������������ �� � ���� �!� ���� ���� ������������ �� ��� ������� ������� ���� ��������
1 2 1,W W+ = 2 01
,2
W � = 2 01
.2
W � = ��� F!
6������� 0 0� �= ������ 0� ��������������������������������������������� ���������� ����������������� �������������� *���������� ����/� ����� 0 0 1,� �= =����� ��� � ��������� ���� 1 2 1/2,W W= = ������ ������ �� ���� ��� @!�
*�����������������������������������������������������&����'(���� �� �������� ����� �� ����� ��� E!� ���� ��� F!� ���������� A���� ��� �� �������� ������ �����
;�����������&����'(������� ������/���������������� ������������������ ������� ������ �������� �
1 0 1 1 2 2 3 3 4 4y y W k W k W k W k= + + + + ��� ��!�����
1 0 0
2 0 0 0 0 1
3 0 1 0 1 1 1 2
4 0 2 0 2 1 2 2 1 3
( , )
( , )
( , )
( , ),
k hf x y
k hf x h y k
k hf x h y k k
k hf x h y k k k
� �
� � �
� � � �
= ⎫⎪⎪= + + ⎪⎬
= + + + ⎪⎪⎪= + + + + ⎭
��� �!
������ �������� ����������� ��������� ��������/������������������� ��������� ���������� ��� ��!��������-�� ����������� �������������� ������ ��� ���� �� ���� ���������� ����� ���������� � ���� ������ �� ���� ���� ������ ���������� ��������� ���� ��� ����� ��������� �������� ����������� &����'(������ ������ *��� ��� �/� ����� ��� ���
0 0 21
1 2
2 11
2 31 4
1 1, 1,,2 2
1( 2 1), 0
2
1 11, 1 ,1 ,
2 22
1 1 1 111 , 1 ,,
3 2 3 26W WW W
� � ��
� �
� ��
⎫= = == ⎪⎪⎪
= − = ⎪⎪⎬⎪= − = += − ⎪⎪⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = += = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎭⎝ ⎠ ⎝ ⎠
��� G!
��� ����� ���� ����� �� :����� �������� ���� �����
0 1
1 2 2
1 4
1,
2
0,
1,
6W W
� �
� � �
= =
= = =
= =
0 1
2 1
2 3
1
2
1
2
6W W
� �
� �
⎫= = ⎪⎪⎪= = ⎬⎪⎪
= = ⎪⎭
���49!
������ �� ���� ����������� &����'(����� �� ����� ���� ��� � ���� ������� ��� ��������"
1 0 1 2 3 41
( 2 2 )6
y y k k k k= + + + + ���4 �!
�����
1 0 0
2 0 0 1
3 0 0 2
4 0 0 3
( , )
1 1,
2 2
1 1,
2 2
( , )
k hf x y
k hf x h y k
k hf x h y k
k hf x h y k
= ⎫⎪⎪⎛ ⎞= + +⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪⎬
⎛ ⎞⎪= + +⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎪⎪= + + ⎭
���4 !
��� ������ ���� ����� ��� �� ����� ��� 6 ������ ���������� �� ���� �� ���� ���/����������� ������������������������������������������������������+��>���� ����)������2�� ����������� ����� ���� ���� �� ���� ����������� �� ���� � ����� �� �/� �����
������� � :���� /dy dx y x= − ����� (0) 2,y = ���� (0.1)y ���� (0.2)y������� �� ���� ���� ��� �������
��! ����������� ������������� ����� 2��� 0.1,h = ��� ���� 1 0.2k =��� 2 0.21.k = ;����
11
(0.1) 2 (0.41) 2.2050.2
y y= = + =
�� ����� ��� 2 (0.2),y y= ��� ���� ���� 0 0.1x = ��� 0 2.2050.y = ;�����
1 0.1(2.105) 0.2105k = = ��� 2 0.1(2.4155 0.2) 0.22155.k = − =*�� ������ ����
21
2.2050 (0.2105 0.22155) 2.4210.2
y = + + =
$��������� ��� �� �� ����� ����� ��� ����
3 (0.3) 2.6492y y= = ��� 4 (0.4) 2.8909y y= =
1���������@" &����'(���������� 313
314 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
2����/������� 3 9�4 ����� ���� � �9�4!���� ��9�=!���������� 2���� 3 9�4���� 3� 9� ��� ��� 3� 4�� ��� ���� !�� 3� 9�=� ��� !�� 3� 9�==� ���� ����� ��9�4!� 34�=499�� 1� �������� ��� ���� ��9�=!� 3� 4����9�
.� � ���� ����������� ������� �� 3� �� C� � C� ���� ���� �/���� ������� �� ��9�4!������9�=!������������������4�=4 =�����4��G ���������������������������������� �� ����� ������ ��� �������� ���� ������� ��� �����"
x Computed y Exact y Difference Ratio
0.2 = 0.1: 2.4210h 2.4214 0.0004
= 0.2 : 2.4200h 0.00143.5
0.4 = 0.1: 2.8909h 2.8918 0.00094.2
= 0.2 : 2.8880h 0.0038
*�� ������ ����� ���� ����� ���� ��� ������� �� ��������������!� ����������� ����� ������� ����� � �� ����� ���� ��9� !�� ��� ����
��� 3� 9�� ��� 3� 4� ��� � 3� 9� ��2�� ����� ����
1
2
3
4
0.2,
0.205
0.20525
0.21053.
k
k
k
k
=
=
=
=;����
1 2 3 41
(0.1) 2 ( 2 2 ) 2.2052.6
y k k k k= + + + + =
$��������� �� �������� ��� ���� ��9�4!� 3� 4�=4 =�
������� �� :���� ��B��� 3� � C� ���� ����� � 3 9 ���� � 3 9� ���� ��9�4!���9�=!� ��� ��9�E!�
2�� ��+� �3�9�4��2��� ���3����3�9���������� �� � ���4 �!� ���� ���4 !�
1
2
3
4
0.2,
0.2 (1.01) 0.202,
0.2 (1 0.010201) 0.20204,
0.2 (1 0.040820) 0.20816,
k
k
k
k
=
= =
= + =
= + =���
1 2 3 41
(0.2) 0 ( 2 2 ) 0.2027,6
y k k k k= + + + + =
������ ��� ������� �� ���� ���� ��� ��������� � ���� ��9�=!�� ��� ��+� ��� 3� 9�4�� ��� 3� 9�494F� ��� � 3� 9�4�� 2���
������ �������� %���� ���4 �!� ���� ���4 !� ����
21
22
23
24
0.2 [1 (0.2027) ] 0.2082,
0.2 [1 (0.3068) ] 0.2188,
0.2 [1 (0.3121) ] 0.2195,
0.2 [1 (0.4222) ] 0.2356,
k
k
k
k
= + =
= + =
= + =
= + =
���
(0.4) 0.2027 0.2201 0.4228,y = + =������� �� ���� ���� ��� �������
.�������� ��+���� ��� 3� 9�=�� ��� 3� 9�=44�� ��� � 3� 9�4�� ���� ���������� ������� ��� ���� ��9�E!� 3� 9�E�= �
���������� 2���������� ���� �������� ������ ���� � 3 /2y x y′= + ����� ���������� ��9!� 3� �
���� �������� ����������� ���������������9�4!������������� ������� ����/���� ������ ����� � EF44 G<�� *�� ��� ����� ����� ���� ����� �������&����'(���� ����� ������ ���� ��������� ������ �� � 3� 9�9@�
Method h Computed value
Euler 0.2 1.100 000 00
0.1 1.132 500 00
0.05 1.149 567 58
Modified Euler 0.2 1.100 000 00
0.1 1.150 000 00
0.05 1.162 862 42
Fourth-order Runge–Kutta 0.2 1.167 220 83
0.1 1.167 221 86
0.05 1.167 221 93
8.6 PREDICTOR–CORRECTOR METHODS
*������ �������������������������������������������������������������������������� ���� �� �� 3� ��� � �� 3� ������ ��� ��������� ���� ����� ���� ��� �������������� ���� ���������� ������� ��3���"�#��������'���������� ���������� ������� ������ �������� �������� ������� �� ���� ������ ������D ��� ���� � ��������� ���� �������� ������ �� ���� #� ���������� �� ���� ��� ����� �� �������� ������������� �� ���� ���� ����������������� �� ���� �������� �� � ����� ����������� �����
*�� 1������ ��E� � ��� ������� $�������'�������� �� ����� ������ �����+����� ������������ ���� ��� 1������ ��E�4� ��� �������� �����-�� ���������� ����� ������� ������������
1������� ��E" $�������'6������������� 315
316 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
8.6.1 Adams–Moulton Method
7����-�� ��+����� ����������� ������������ �� ���� ���� �� �������� ��
2 30 0 0 0
( 1) ( 1) ( 2)( , )
2 6
n n n n nf x y f n f f f
+ + += + ∇ + ∇ + ∇ +� ���44!
�����
0x xn
h
−= ��� 0 0 0( , ).f f x y=
*�� ����� �� ���� ��� ����������� ��
1
0
1 0 ( , ) ,x
x
y y f x y dx= + ∫ ���4<!
��� ���
1
0
21 0 0 0 0
12
0 0 0 0
0
2 3 40 0
( 1)
2
( 1)
2
1 5 3 2511 .
2 12 8 720
x
x
n ny y f n f f dx
n ny h f n f f dn
y h f
+⎡ ⎤= + + ∇ + ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦
+⎡ ⎤= + + ∇ + ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= + + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫
�
�
�
*�� ���� �� ����� ����� ���� ������ ����� �� ���� ���� �������� �������� ���� �� �������� ����� D�� ���� �� ������ ���� +���� ;����� ����� �� ���� ���� �� ����� �� ����� ���� 2�� ��������� ������ ��� ��
p 2 3 40 01
1 5 3 2511
2 12 8 720y y h f
⎛ ⎞= + + ∇ + ∇ + ∇ + ∇ +⎜ ⎟⎝ ⎠� ���4=!
����� ��� �������$��'%� ���� � �� ���� ���� ��� ����� ��� ������������ �� �������� ������������ �� ����������� ����� ��� ��� �� ���������� �����!�
#����������� ������������������������� ����� ��������������7����-���+����� ����������� �� ���� ��� ��"
2 31 1 1 1
( 1) ( 1) ( 2)( , )
2 6
� � �� � � � � � � ��
n n n n nf x y f n f f f ���4@!
1����������� %��� ���4@!� ��� %��� ���4<!�� ��� ����1
0
21 0 1 1 1
02
0 1 1 1
1
2 3 40 1
( 1)
2
( 1)
2
1 1 1 191
2 12 24 720
x
x
n ny y f n f f dx
n ny h f n f f dn
y h f
+⎡ ⎤= + + ∇ + ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦
+⎡ ⎤= + + ∇ + ∇ +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= + − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫
∫
�
�
� ���4E!
���� ������ ����� �� %��� ���4E!� �������� � ���� ���� ����� D� ������ ��� ��� ����� p
1 ,y � ����������������������������� ����4=!��������������������� ������������� �%������4E!�������������������������������������������������������� �� ��� ��
c p2 3 401 1
1 1 1 191
2 12 24 720y y h f
⎛ ⎞= + − ∇ − ∇ − ∇ − ∇ −⎜ ⎟⎝ ⎠� ���4F!
����� ��� �������$��'&������� ���������� �� ���� ���� ������������ �� �������������� ���� ������ ������� ��� ���� ��������� ������ ���� ���� ������������ �� �� ��������� ���������� ����� ���� ���������� ������ �� ��� ������ �� ����� ��� � ���������� ������ � � ����� ��!�
*�� ���������� �������� ��� ����� �� ���������� �� ���� �� ����� ���4=!� ������4F!� �� �������� ���� ������������ ������������ ���� �/��������� ���� ���������������������� ��� ��� ���� ��������������� ������������������� ������������� ������������ ������������� �� ����� ���4=!� ���� ���4F!� ���� �� �������� ��
p0 0 1 2 31 (55 59 37 9 )
24
hy y f f f f− − −= + − + − ���4�!
���
c p0 0 1 21 1(9 19 5 )
24
hy y f f f f− −= + + − + ���4G!
��� ������ ���� ������ ���� ����/� �����
(4)50
251
720h f ��� (4)5
019
720h f− � �������������
���� �������� �� �� �� �� ����� ���4�!� ���� ���4G!� ���� ������ �
p1 2 31 [55 59 37 9 ]
24n n n n nnh
y y f f f f− − −+ = + − + − ���4��!
���
c p1 21 1[9 19 5 ]
24n n n nn nh
y y f f f f− −+ += + + − + ���4G�!
1������ �������/��������������������� ������������������������������������'������������ �����
1������� ��E" $�������'6������������� 317
318 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
���� ������ ����� ���� ��� ����� ������ ���� ��������� �� ���� ������ ����� �%��� ���4�!� ���� ��������� ����� �� ���������-�� �������� ��%����-�� �������&����'(����� ������8����������������������� ����������������������� ������� .�� ���������� ���� ��� &����'(����� ����������� �� ����������� ����� �� ����� ���4�!� ���� ���4G!� ����� ���� ����� �� �� ���� �������������� ������� �������������/� ������������������������������������ ���� �����
������� ��� 2�� �������� ���� ������ ���� ������������� �������� ������ ��%/� ���� ��G� ����� ���� �� �� ��������� ���� ��� ����� �� � ����� ��9��!�
.�� ����� �/� ����� ���� �������� ������� ���� � �9�E!�� � �9�=!� ���� � �9�4!������� ���� �������� � ������ ��� %/� ���� ��G� �� ���� ����������&����'(����� ������5����� ���%��� ���4�!����� ��� 3� 9�E�= �� ���� 3� 9�=44������ 3� 9�494F� ���� ���� 3� 9�� ��� ����
p 2 2
2
0.2(0.8) 0.6841 {55 [1 (0.6841) ] 59 [1 (0.4228) ]
24
37 [1 (0.2027) ] 9}
1.0233, on simplification.
� � � � �
� � �
�
y
5����� ����� ���������� ������ �� ���� ������ ����� �� %��� ���4G!�� ��� ����
c 2 2
2 2
0.2(0.8) 0.6841 {9 [1 (0.0233) ] 19 [1 (0.6841) ]
24
5 [1 (0.4228) ] [1 (0.2027) ]}
1.0296, which is correct to four decimal places
� � � � �
� � � �
�
y
����� �������������� ����������������������������������� p1y ���� �����
�� � �� ���� ���4�!�� �� ���� ���4G!� ���� �� ����� ������������ �� ����� ��������� �� ��� �� ���� ��������� ���������
8.6.2 Milne’s Method
����� ����� ����� 7����-�� ������� ����������� �� ���� ��� ���� ��
2 30 0 0 0
( 1) ( 1) ( 2)( , )
2 6
n n n n nf x y f n f f f
− − −= + Δ + Δ + Δ +� ���<9!
1����������� %��� ���<9!� ��� ���� �������4
0
4 0 ( , )x
x
y y f x y dx= + ∫ ���< !
��� ����
4
0
24 0 0 0 0
42
0 0 0 0
0
2 30 0 0 0 0
0 1 2 3
( 1)
2
( 1)
2
20 84 8
3 3
4(2 2 )
3
x
x
n ny y f n f f dx
n ny h f n f f dn
y h f f f f
hy f f f
� �
� �
� � �
−⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
−⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= + + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + − +
∫
∫
�
�
�
���<4!
���������������������������������������������������������/��������������������2
0 0,f f� � ��� 30f� ��� ��� �� �� ���� �������� �������
����� �� ���� ����������� �� ,�������-� ������������� ������ ������� ������� ��� ���� ��� ���� +���� �� ����� �� ,�������-� �� ����� ��� ���������7����-�� �� ���� �� � ���<9!� ��� ���� �������
2
0
2 0 ( , )x
x
y y f x y dx= + ∫ ���<<!
���� ���
22
2 0 0 0 0
0
20 0 0 0
0 0 1 2
( 1)
2
12 2
3
( 4 )3
n ny y h f n f f dn
y h f f f
hy f f f
� �
� �
−⎡ ⎤= + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + +
∫ �
�
���<=!
���� ������ �� � � ������� �� � %��� ���<4!� ���� ��������� �� ����+��� ������ %��� ���<=!�
���� �������� �� � �� %���� ���<4!� ���� ���<=!� ���"
p3 2 11
4(2 2 )
3n n n nnh
y y f f f− − −+ = + − + ���<4�!
���
c1 1 1 1( 4 )
3n n n n nh
y y f f f+ − − += + + + ���<=�!
1������� ��E" $�������'6������������� 319
320 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
���� ����������� �� ����� ����� ��� ������������ �� ���� �������� �/� ����
������� �� 2�� �������� ������ ���� ������������� �������� ���������� ��%/� �������G������� 9����?��� ������ ���3� �C���������� �9!�3�9�������������� � ����� � �9��!� ���� � � �9!�
2���� � 3� 9�4�� ���� ������� �� � �9�4!�� � �9�=!� ���� � �9�E!� ���� � ������ ��%/� ���� ��G� ���� ������ ������� ���� ������ ��� ���� ����� ���"
x y ′ = + 21y y
0 0 1.0
0.2 0.2027 1.0411
0.4 0.4228 1.1787
0.6 0.6841 1.4681
�� ����� � �9��!�� ��� ���� %��� ���<4!� ���� ����
0.8(0.8) 0 [2(1.0411) 1.1787 2(1.4681)] 1.0239
3y = + − + =
����� �����
(0.8) 2.0480.y′ =
�� ������� ����� ������ �� � �9��!�� ��� ���� �� ���� ���<=!� ���� ����
0.2(0.8) 0.4228 [1.1787 4(1.4681) 2.0480] 1.0294.
3y = + + + =
$��������� �� ��������������� (1.0) 1.5549.y = ���� ��������� ��� ���� ����������9��!������ � �9!������������������ ��������������������������� ������<=!�
������� ��� ������������������������ 2 2 2y x y′= + − �������������������������"
x y
–0.1 1.0900
0 1.0000
0.1 0.8900
0.2 0.7605
5��������-�� ����� �� ����� ���� ������ �� � �9�<!�2�� ������ �� � ���� �������� ����"
x y ′ = + −2 2 2y x y
– 0.1 1.0900 – 0.80190
0 1.0 –1.0
0.1 0.8900 –1.197900.2 0.7605 –1.38164
5����� %��� ���<4!�� ��� ����
4(0.1)(0.3) 1.09 [2( 1) ( 1.19790) 2( 1.38164)] 0.614616.
3y = + − − − + − =
*�� ����� �� ������ %��� ���<=!�� ��� ����� �� � ���� (0.3).y′ 2�� ����
2 2(0.3) (0.3) (0.614616) 2 1.532247.y′ = + − = −
7��� %��� ���<=!� ������ ���� ��������� ������ �� � �9�<!"
0.1(0.3) 0.89 [ 1.197900 4( 1.38164) ( 1.532247)] 0.614776.
3y = + − + − + − =
8.7 CUBIC SPLINE METHOD
���� ��������� ��������� �� �� ����� ������� ����� ���� ���������� ��� ������� ��1������ @�4�� ������ ���� ����� ������� �������� ���� ���� ������� ��� ��� �� ������������������������&���*������������������������������������������������������� ���� ��� ��� ����� �� ���������� �� ���� ���� ��������� ��������� ����� �� �� ���� ������ ������������� ���������5�����;�� ���-�� ������������ �� ��������1������<�G�<!������������������������������������������������ ��� ���������������������!��� 1i ix x x− ≤ ≤ ������ �������������������������� ( ) :i is x m′ =
2 21 1
1 2 2
2 21 1
1 3 3
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) [2( ) ] ( ) [2( ) ],
i i i ii i
i i i ii i
x x x x x x x xs x m m
h h
x x x x h x x x x hy y
h h
− −−
− −−
− − − −= −
− − + − − ++ + ���<@!
����� 1.i ih x x −= − 8���������������%������<@!������������������������ ���������
��� ����
� � � �
11 1 12 2
113
( ) ( ) (2 3 ) ( ) ( 2 3 )
6( )( ) ( ).
i ii i i i i i
i ii i
m ms x x x x x x x x x x x
h h
y yx x x x
h
−− − −
−−
′ = − + − − − + −
−+ − − ���<E!
#�����
11 12 2
2 2( ) ( 2 3 ) (2 3 )i i
i i i im m
s x x x x x x xh h
−− −′′ = − + − − + −
113
6( )( 2 ),i i
i iy y
x x xh
−−
−+ + − ���<F!
1���������F" 6����1����������� 321
322 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
������ �����
112
112
2 4 6( ) ( )
2 4 6( ).
i ii i i
i ii i
m ms x y y
h h h
m ms s
h h h
−−
−−
′′ = + − −
= + − − ���<�!
*�� ��� ��� �������� ���� �������������� ����
( , )dy
f x ydx
= ���<G�!
���
0 0( )y x y= ���<G!
����� �� � %��� ���<G�!�� ��� ����
2
2,
d y f f dy
x y dxdx
∂ ∂= +∂ ∂
�
( ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ).
i x i i y i i i i
x i i y i i i i
y x f x y f x y f x y
f x s f x s f x s
′′ = +
= + ���=9!
%�������� %���� ���<�!� ���� ���=9!�� ��� ����
112
2 4 6( ) ( , ) ( , ) ( , )i i
i i x i i y i i i im m
s s f x s f x s f x sh h h
−−+ − − = + ���= !
�� ����������������� ������ 1�������������%������<@!��������������������������
�������������/� ������ ������������������������������������� �����
������� ��� 2�� �������� ������ ���� �������������� ���� � �������� �
13 ,
2y x y′ = + (0) 1,y = ��!
����� �/���� ������� ��� ������ �
/213 6 12xy e x= − − ���!
2�� ��+��� ��� �� �������� 2,n= ���� 3 9�@ ���� � ����� ���� ������ �� (0.5).y;��� ( , ) 3 /2f x y x y= + ���� ��������� ��� ����� ��� 3� < ��� ��� 3� B4� #���
1( , ) 3 .
2i i i if x s x s= +
;������ %��� ���= !� �����
0 1 1 0 11 3 1
4 8 24( ) 32 2 2
m m s s s⎛ ⎞+ − − = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
���
1 2 2 1 21 1
4 8 24( ) 3 32 2
m m s s s⎛ ⎞+ − − = + +⎜ ⎟⎝ ⎠
1���� 0 1 11/2, 3/2 /2m m s= = + ��� 2 23 /2,m s= + ���� ���� ��������� ����
���� ����������
1 1.691358s = ��� 2 3.430879.s =
���������������������������������������9�999GF4�����9�994=GF���������������*�� ���� �� ����� ������ ������ �������� ���������� ���� ������� ����� �����0� !� ����������� ���� � ������ ����� ����� ���� ���������������-�� �����.�� ��������� ���� ������� ��� ��������� �� $������� H GF�I�
8.8 SIMULTANEOUS AND HIGHER-ORDER EQUATIONS
2�� �������� ���� ��� ��������
( , , )dx
f t x ydt
= ��� ( , , )dy
t x ydt
�= ���=4!
������������������������� � 3 �� ��� � 3 �������� � 3 ��� #��� ��������� tΔ 3 �,x kΔ = ��� ,y lΔ = ���� ����������� &����'(����� ����� �����
1 0 0 0
1 0 0 0
2 0 0 1 0 1
2 0 0 1 0 1
3 0 0 2 0 2
3 0 0 2 0 2
4 0 0 3 0 3
4 0
( , , );
( , , );
1 1 1, , ;
2 2 2
1 1 1, , ;
2 2 2
1 1 1, , ;
2 2 2
1 1 1, , ;
2 2 2
( , , );
(
k hf t x y
l h t x y
k hf t h x k y l
l h t h x k y l
k hf t h x k y l
l h t h x k y l
k hf t h x k y l
l h t
=
=
⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞= + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
= + + +
=
φ
φ
φ
φ 0 3 0 3
1 0 1 2 3 4
1 0 1 2 3 4
, , );
1( 2 2 )
61
( 2 2 ).6
h x k y l
x x k k k k
y y l l l l
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪+ + + ⎪⎪
= + + + + ⎪⎪⎪= + + + + ⎪⎪⎭
���=<!
1����������" 1� �������������;������0�����%������� 323
324 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
*������ ����� ���������������/���������������������� �������$�����-� ����� �� ���� ����� � ���=4!�� ���� �/������� �� ����&����'(����� ����� ��� ����� � �� �� ��������� ��� ������ ���������������
2�� ��� �������� ���� ����������� ������������� �������
( , , )y F x y y′′ ′= ���==�!
����� ���� ����������������
0 0( )y x y= ��� 0 0( ) .y x y′ ′= ���=@�!
)�� ������� ,z y′= ���� ���� � ������ ��� %���� ���==�!� ���� ���=@�!� ���� ��������� �� ���� ���� � �� ������� ���� �����
y z′ = ��� ( , , )z F x y z′ = ���==!
����� ���� ��������
0 0( )y x y= ��� 0 0( )z x y′= ���=@!
������ ������ �������� ���� �������������� ���� 1� �������� ����������������������������������������������������������������������������������������� �� �������� �� �� ����� � �� ����������� ������������� ���������
8.9 SOME GENERAL REMARKS
*�� ���� ���������� ��������� ��� ����� ������ �� ����� ���������� �� � �� �����+���� ��������������� ���������������������������������������������������������� �������� ������ �������� ��������� *�� ���� ������� ��� ��������� ���� ������� ������� ��� ��� � ������� �� ���� ���� ��������� ������� ��� ����������� ��������� �� ��� �� ���� ������ ���������
*�� ��� ������� ���� ����� �� ����� +� �� �������� �� � ����������� �������� �������������� ��������������� ��� ����� ��/�� ��� ������ ������� ��������������������� ���������� ��� ���� �������� ������ ���� ��������� �� ���� ���������������
���� �����-�� ������� ����� �������� �� � ���� ������� ������������� �������� ���� ������� ������������ �� � ���� �!� H���� %���� ��� !I� ���� �/���� ���� ����� ������ �� � ���� ����� ����� ����������� ��� �� �� ���� ������� �� ������ ��������������>�+�������������� �������%����� ������������������ ����������� ���� ����� ��� �� ��� ������������ �� ���� ��������� �� ���� ��� =!������ �������� ������ ������� ��� ����� ������ �� �� ���� $������ ����� ���� ������ ������������������������������������������������������ �������������������������������
#������� �������� ���� &����'(����� ����� ��� ���� ��� ������� ����������������������������������������������������������������������������������� �������� �� ������� ������������ ��� � ����������2���� ���� ��������� �������������������������� ���������������������������������������������������� ����� �� ���� ��������'�������� ������
���� ����� ������� ����� ��� �� �������� ����� ���� ��� ���� �� �� �� �� ������ ���� ���� �������?�� ���� �� �������� ������� � ��������� ����� �����������������������������0� !����������������� ����������������/�������� ����� �� �� �������� ������������� ���������
8.10 BOUNDARY-VALUE PROBLEMS
1 �� �� ���� �/� ����� �� �������� ������� ������������� ���� �� ���"
��! ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x f x y x g x y x r x′′ ′+ + = ���=E!
����� ���� ������� ��������
0( )y x a= ��� ( )ny x b= ���=F!
�! iv ( ) ( ) ( ) ( )� �y x p x y x q x ���=�!����
0 0( ) ( )y x y x A′= = ��� ( ) ( ) .n ny x y x B′= = ���=G!
$��� ��������������!������������������������������������������������������� ����������������������������������������� �������/���� ���� ����� ������������������������������������ �����������!� 0������������ ����������������� ����� ��� �������������������������������� ���1�������� 9� �.�������� ��� 1������� �� 9�4� ���� �� 9�<� ��� �������� ������ ����� �� �������������� �� ����� �������� ���� ��������� ����������
8.10.1 Finite-difference Method
���� ������������������ ����� ��� ���� ����������� ������������������������ � �������� ��� ���������� ���� ������������ ��������� ��� ���� �������������������� ����� ��� ���� ������� ��������� �������!� �� ����� �� ������ ������������������ ����/� ������ ���� ����� ������� ���� ���������� ������� ����� � ���������� �� �� ��������� ���������
��������������������������������������������/� ��������������������������� ������� ��� ������
%/������� ( )y x h+ ��� �����-�� �������� ��� ����
2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 6
h hy x h y x hy x y x y x′ ′′ ′′′+ = + + + +� ���@9!
�� � ������ ��� ����
( ) ( )( ) ( )
2
y x h y x hy x y x
h
+ −′ ′′= − −�
����� ��� ����
( ) ( )( ) O( )
y x h y xy x h
h
+ −′ = + ���@ !
1��������� 9" )�������K�����$��� � 325
326 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
�����������������������������������/� ������� ( ).y x′ 1� ���������/������� ( )y x h− ��� �����-�� ������� �����
2 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 6
h hy x h y x hy x y x y x′ ′′ ′′′− = − + − +� ���@4!
�� � ������ ��� ����
( ) ( )( ) O( )
y x y x hy x h
h
− −′ = + ���@<!
������ ��� ���� ��+����� ����������� ����/� ����� �� ( ).y x′#������������������������/� ������� ( )y x′ �������������������������
%��� ���@4!� �� � %��� ���@9!�� 2�� ����� ����
2( ) ( )( ) O( ).
2
y x h y x hy x h
h
+ − −′ = + ���@=!
*�� ��� ������ ����� %��� ���@=!� ��� �� ������ ����/� ����� � ( )y x′ ����� ������%��J���@ !� �� %��� ���@<!� #������ ������� %���� ���@9!� ���� ���@4!�� ��� ���� ������/� ����� �� ( )y x′′
22
( ) 2 ( ) ( )( ) O( ).
y x h y x y x hy x h
h
− − + +′′ = + ���@@!
*������ ����� ������� ��� ���������� ��������� ����������������������/� ������� ������� ������������
���������������������������� �����������%�������=E!��������=F!���� ������� ���� ������ H���� ��I� ���� �� ������ ������������ �� ������ � �� ����
0 ,ix x ih= + 1, 2, , .i n= …���� ������������ ������� �� �� ��� ������ ������ ���� ������� �
0( ) ( ),i iy x y y x ih= = + 0,1, 2, , .i n= ….� � %���� ���@=!� ���� ���@@!�� ������� � ( )y x′ ��� ( )y x′′ ��� ���� ���� ix x=���� ��� �� �������� ��
21 1 O( )2
i ii
y yy h
h+ −−′ = +
���
21 12
2O( ).i i i
iy y y
y hh
− +− +′′= +
1���������� ���� ������������� �������� ��� ���� ���� ,ix x= ��� ���
i i i i i iy f y g y r′′ ′+ + =
1����������� ���� �/��������� �� iy′ ��� ,iy′′ ����� �����
1 1 1 12
2,
2i i i i i
i i i iy y y y y
f g y rhh
− + + −− + −+ + = 1, 2, , 1,i n= … −
����� ( ), ( ),i i i iy y x g g x= = ����
������������ ������� �� �� ���� �� ������������� ����
2 21 11 ( 2 ) 1 ,
2 2i i i i i i ih h
f y g h y f y r h− +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ���@E!
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1, 2, , 1i n= … −����
��� 3� ��� ��� 3� � ���@F!%������� ���@E!� ����� ���� ��������� ���@F!� � ������ �� ����������� ����� ������ ���� �� ������ �� ���� ����� �������� ���1������ F�@�G� ��6������� F����� ������� �� ����� ����������� ����� � ����������� ��� ����/� ���� �������� ���� ������� ������ ���� � �������� �� %���� ���=E!� ���� ���=F!�
�� ���� ���� ���� ����� ��� ���� �� ������� �������� ��� ������� ���� �������������������� ,τ �
1 1 1 12
2.
2i i i i i
i i iy y y y y
y f yhh
�− + + −− + −⎛ ⎞ ⎛ ⎞′′ ′= − + −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
%/������� 1iy − ��� 1iy + �������-�� ������������� ���������� �������������
2iv 4( 2 ) O( ).
12 i iih
y f y h� ′′′= + + ���@�!
������ ���� ����������������������/� ���������������%��� ���@E!����� ����������� ��������� ��� �������������� ��������� ������ ������������ �� H���� ��I�.�������� ��� ������ ���� 0τ → �� 0,h → � ������� ����� �������� ��������� ������ ������� ������������������������� � �������������� �� *�� ������� �������������� ��� � ���������� ������ ����� �� ��������� ������ ���� �� ��� ���������� �� �� �������
#�� ����������� �� � ����� ��������� ��� �� � ������� �����-��������������� � ��� � �� ������ ���� ���� ����� ���� 0� �!� ����� ��� ���������� �� ������� ����� ����� ���� ����� ���� ���� ��
2 4( ) ( ) O( )i i iy x y h e x h− = + ���@G!
.�� �/���������� �� ���� �� ���� ��� ����� %��� ���@E!� ������� ����� ����������� �������� � ���� B4� �������������� >��� ���� ������������ �������� �%��� ���@E!� �� ������� �� ��� !� ���� ��� B4!�� .�� �� ����� ��� � �� �� ������ ��������� ����
2 4( ) ( ) ( ) O( )i i iy x y h h e x h− = + ���E9�!
���2
4( ) ( ) O( )2 4i i ih h
y x y e x h⎛ ⎞− = +⎜ ⎟⎝ ⎠
���E9!
�� � ������ ��� ����
4 ( /2) ( )( ) .
3i i
iy h y h
y x−= ���E !
1��������� 9" )�������K�����$��� � 327
328 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
2��������/������������ ������������ �����������������������=F!�����������������������������������������������������*�� ���������������� ������������������������������������� ����������������������������������� ���������� �� ���� ���������� ��������� ����� ���� �������� �/� ��������������� ���� ����������� �� ���� ������������������ �����
������� ��� #� ������������� ���� � ��� �������� �
1 0,y y′′ + + = 0 1x≤ ≤�����
(0) 0y = ��� (1) 0.y =
2��� 0.5,h = �������������������������� ������������ ��������������� ��9�@!������ �/� ���� ���� ���������� �� )��+���� H GE�I�� *��� �/���� ������� ��
�������
1 cos1( ) cos sin 1,
sin1y x x x
−= + −
�� � ������� ��� ����
(0.5) 0.139493927.y =
;��� 1.nh = ���� ������������� �������� ��� ����/� ����� ��
1 12
21 0i i i
iy y y
yh
− +− ++ + =
���� ����� ������ ������ �� ����������2 2
1 1(2 ) ,i i iy h y y h− +− − + = − 1, 2, , 1i n= … −������ �������� ����� ���� ������� �������� 0 0y = ��� 0,ny = � �������� ����� � � ( 1)n + ��������� ��� ��� ( 1)n + ��+���� 0 1, , , .ny y y…
6����� 1/2h = ����� 2),n = ���� ���� ����� � �� ��
0 1 21 1
2 .4 4
y y y⎛ ⎞− − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
2��� 0 2 0,y y= = ����� �����
11
(0.5) 0.1428571427
y y= = = …
6 ������������ �����/���� ����������������� ����� ����� ��������� ��� ���� ������ ������� ��� 9�99<<E�
0����������������� ����������� 3 B=�������� 3 =!���������� ���� �������������"
0 1 2
1 2 3
2 3 4
31 1
16 16
31 1
16 16
31 1,
16 16
y y y
y y y
y y y
− + = −
− + = −
− + = −
����� 0 4 0.y y= = 1������ ���� ����� � ��� ����
263
(0.5) 0.140311804,449
y y= = =
���� ����� ��� ������ ��� 9�999�4� 1����� ���� ����� �� ���� ��� ������ ��� ���� =���� ������ ����� ���� ����� �� ����������� ��� ��
������ �������� ���� ����� ���� ��������� ������� �� ���� ����������������� ����� �������� ���� ���� ������ �� ���� ����������� ������ ���� ���� �� ���������� ��������/� �������#�� � ��� ��������� ������������� ������������� ����� ��� �� ��������� �� �� ������ ���� ����������
������� ��� 1���� ���� ������������� ���� 2
20
d yy
dx− =
����(0) 0y = ��� (2) 3.62686.y =
���� �/���� ������� �� ����� ���� � �� sinh .y x= ���� ���������������������/� ����� ��� ������ �
1 12
1( 2 ) .i i i iy y y y
h− +− + = ��!
2������������������������H9� 4I� ��������������������������� 3 9�@��>��� ���������� �� �� ��� ���� ����� ������ � 0 1 2 3, , ,y y y y ���� � ��2�� ���� ������ ����
0 0y = ��� 4 3.62686.y =2������� ���� ����������� ��������� ��� ���� ������ ��������� ������ ������� ���� �����+����!�� ��� ����
0 1 2 1
1 2 3 2
2 3 4 3
4( 2 )
4( 2 )
4( 2 ) ,
y y y y
y y y y
y y y y
− + = ⎫⎪⎪− + = ⎬⎪
− + = ⎪⎭���!
������������� 1����������� ��� ��� ���� � � ���� ������������� ��� ���� ���� �����
1 2
1 2 3
2 3
9 4 0
4 9 4 0
4 9 14.50744.
y y
y y y
y y
− + = ⎫⎪⎪− + = ⎬⎪
− = − ⎪⎭����!
���� ������� �� ����!� ��� ������ ��� ���� ����� ����
Computed value Exact valuex of y y = sinh x Error
0.5 0.52635 0.52110 0.00525
1.0 1.18428 1.17520 0.00908
1.5 2.13829 2.12928 0.00901
1��������� 9" )�������K�����$��� � 329
330 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
*�� ��� ������� �� ����� �� ������ ����/� ����� ��� ���� ������ �� �� �9!� ��/���������� �� ���� �� ���� .�� ����� ��� ������� ���� ��������� H9� 4I� ���� �������������� ����� 3 �9�� ���� ����������� �������� ��� ���� ������� ��+�������� ��� ��� ������ �
0 1 2 12y y y y− + =5����� ���� ������� �� ��� ���� ���� ��� ����
1 1.20895.y =;����� %��� ���E !� �����
4(1.18428) 1.20895(1.0) 1.17606,
3y
−= =
������ ��� �� ������ ����/� ����� ������ ���� ����� ��� ��� �������� �� 9�999�E�
8.10.2 Cubic Spline Method
2�� �������� ������ ���� ������������� ���� � �������� �� %���� ���=E!� ������=F!�� >��� ���!� �� ���� ����� ������� ����/� ������ ���� �������� ���!� ���� ���
( ) .i is x M′′ = � ������ �� ix x= ���� ������������� �������� ������ ��� %��� ���=E!�����
( )i i i i i iM f s x g y r′+ + = ���E4!
)��
1 11
( ) (2 ) ( )3!i i i i ih
s x M M y yh− −′ − = + + − ���E<!
���
1 11
( ) (2 ) ( )3!i i i i ih
s x M M y yh+ +′ + = − + + − ���E=!
1�����������%�������E<!��������E=!�������������� ���%������E4!���������� �����������
1 11
(2 ) ( )6i i i i i i i i ih
M f M M y y g y rh− −
⎡ ⎤+ + + − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ���E@!
���
1 11
(2 ) ( ) .6i i i i i i i i ih
M f M M y y g y rh+ +
⎡ ⎤+ − + + − + =⎢ ⎥⎣ ⎦ ���EE!
1���� 0y ��� ny ���� +����� %���� ���E@!� ���� ���EE!� ���������� �� ����� � �4�� ��������� ��� 4�� ��+������ ��?�� 0 1 1 2 1, , , , , , , .n nM M M y y y −… … *�� ������������������ ����� ������ ����&�� ����������� ����������� ����� � �����������#�����������;�+����H GEGI!���������������/� ������������������������� ���� ������� �����
���������� 2������������������������ ��������������%/� ������ @����?��1 0,y y′′ + + = (0) (1) 0y y= = ��!
*�������������������������H9� I� �������������������������� ������� �%��J��!���� ���� ����������� ��������� ��� &��� ��� ����
3(0.5) 0.13636,
22y = = ���!
���
0 1,M = − 125
,22
M = − 2 1M = −
;�������� ����
47(0) ,
88s′ = 47
(1) ,88
s′ = − (0.5) 0.s′ =
.� � ���� ����������� ������� �� ���� ���� � ��!�� ��� ������ ������9�@!J3 9� <G=G� ���� ������ ���� ����� ������� ������� �� ���� ���������������� � ���� ��� ����� �� 4�4=L� ����� )��+���� H GE�I!�
������� �� :����� ���� ������������� ���� 2 0;x y xy y′′ ′+ − = (1) 1,y = (2) 0.5y =
������ ���� ����� ������� ����� �� ����� ���� ���� ������ �� �� �@!�
���� ������ ������������� �������� ��
2
1 1.y y y
x x′′ ′= − + ��!
1������ ix x= ��� ( ) ,i iy x M′′ = %��� ��!� �� ��
2
1 1.i i i
i i
M y yx x
′= − + ���!
5����� ���� �/��������� ������ ��� %���� ���E<!� ���� ���E=!�� ��� ����
� � 11 2
1 1,
3 6i i
i i i ii i
y yh hM M M y
x h x+
+−⎛ ⎞= − − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
0, 1, 2, , 1.i n= … − ����!
���
11 2
1 1,
3 6i i
i i i ii i
y yh hM M M y
x h x−
−−⎛ ⎞= − + + +⎜ ⎟⎝ ⎠
1, 2, , .i n= … ���!
*�� ��� ������� H � 4I� ���� ��� ������������� ��� ����� 3 B4� ���� � 3 4� ����%���� ����!� ���� ���!� ����
0 1 1
1 2 1
0 1 1
1 2 1
10 24 36
16 32 12
20 16 24
26 24 9
M M y
M M y
M M y
M M y
− + =
− − = −
+ + =
+ − = −
1��������� 9" )�������K�����$��� � 331
332 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
%�� ��������&���&�� ����&�� �� � ������ ����� � �� �������� ��� ����
1 0.65599.y =
1����� ���� �/���� ������ � 1 (1.5) 2/3,y y= = ���� ����� ��� ���� � ������ ������� ��� ��� 9�9 �� ������ ��� ���� �@L� � ������
������� ��� 6������� �� ������������� ���� � ��������� ���� ��������������� ������� �����������
2
2
d yy
dx= ��!
����
(0) 0y′ = ��� (1) 1y = ���!
���� ����������� ������� �� ����� ���� � ��� ������ �
cosh
cosh 1
xy = ����!
*�� ����� �� � ����� ���� ������������������ ���� ������� ���������� ����� �������� � �� ��� ���� ������� .�� ���� ������������������ �������� ��� �����
1 12
2i i ii
y y yy
h− +− + = ���!
2�� ������� ���� ��������� H9� I� ���� ��� ������ ������ ����� ����� 3 B4� 1������� 3 9� ���� � 3 �� %��� ���!� �����
1 0 1 01
24
y y y y− − + = ��!
���
0 1 2 11
24
y y y y− + = ���!
.� � �� ���� ���@=!�� ��� ����
1 10 2
y yy
h−−′ = � 1 1 02y y hy− ′− = ����!
5������������������������ 0 0y′ = ��� 2 1,y = %������!�����!���������! �����
136
0.9376.49
y = =
�����/��������������9�@!� ���9�F< 9��� ����� ���� ������������������������������� ����� �� 9�49EE�
.�� ���� ������� �������� ��� ����
1 1 1 12
64 ( 2 )i i i i i iy y y y y y
h− + − ++ + = − + �����!
2���� 3 B4�� ��� ����
0 1 2 0 1 24 24 ( 2 )y y y y y y+ + = − +
1���� 2 1,y = ���� ���� �������� �� ��
0 1 0 14 24 ( 2 ) 23y y y y+ = − +���������������
1 052 23 23y y= + ��/!
.�� ���� ����������� ������� ��������� ��� ���� %��� ���E=!� ���� ����
0 0 1 1 01 1
0 2( )6 12
y M M y y′ = = − − + −
1���� 0 0M y= ��� 1 1,M y= ���� ���� �������� �����
0 1 1 02 24 ( )y y y y+ = − �/!
%�������� ��/!� ���� �/!� �����
1598
(0.5) 0.7266.823
y y= = =
�������������������������������������������9�99==��������/� ������ ������������ ������������� ���� ����� ������� ��������� ���� ������������������ ��������� ���� ������� ������ ���� � �������� ����������� ������� ���������
8.10.3 Galerkin’s Method
����� ������ ���� ������� ����'��� ���� �������� ������ ����� ����� ������������ ����/� ������ ��������!� ������ �������� ���� ������� ��������� �� ������� �� ���� ������ �������� ��� ����������� ��� ���� ������ ������������� ����������� ���� ������� ��� ������� ���� ��������� ���� ��������� �� ���� ������� �� ���������������������������� ��������� ��+������� ����� ����� ��� ��������� ��?�������� ������� �� ����� ��� ��������� ��� ���� ��+�������� ������ ��� ���� ��������������
>��� ���� ������� ������ ���� � �� �������� �
( ) ( ) ( )� � � � ��� �y p x y q x y f x a x b ���EF!
����� ���� ������� ��������
0 0 0
1 1 1
( ) ( )
( ) ( )
p y a q y a r
p y b q y b r
′+ = ⎫⎬′+ = ⎭
���E�!
>��� ���� ����/� ���� ������� �� ������ �
1
( ) ( ),� �
�
��n
i ii
t x x ���EG!
1��������� 9" )�������K�����$��� � 333
334 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
����������!� ��������������� ���������"�1����������� ��� ���!� ���%��� ���EF!��������� �� ���������� 8������� ����� ��������� �����!�
��� ����( ) ( ) ( ) ( )R t t p x t q x t f x′′ ′= + + − ���F9!
5����������������������������!�������������������������������2����������������
( ) ( ) 0,b
i
a
I x R t dx�= =∫ ���F !
������ ������� �� ����� � �� ��������� ��� ���� ���� ������ ���J2���� ��� ���+����� ���!� ���� �� ����������� �� � %��� ���EG!�
������� � � 1���� ���� ������� ������ ���� � �������� �
0, 0 1y y x x′′ + + = < <����� ���� ��������
��9!� 3� �� !� 3� 9�>��
���!� 3� ������!
1����� ��� ���� ������� ��������� ���� �� ���������� �� ���!�� ��� ����
����!� 3� �� � '� �!�
1����������� ��� ���!� ��� ���� ������ ������������� ��������� ��� ����
���!� 3� ��� C� �� C� ��;�������� ����
1
1
0
( ) (1 ) 0�� � � � ����I t t x x x dx
�1
0
( ) (1 ) 0� � � ���� t t x x x dx ��!
7��
� � � � � � � [ ]1 1
10
0 0
(1 ) (1 ) (1 2 ) ,t x x dx t x x t x dx′′ ′ ′− = − − −∫ ∫� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ������������ �� ������
� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �1
0
(1 2 ) ,� � ��� t x dx � ������ ���� ������ ��� � ���������
� � � � �1
10
0
(1 2 ) (–2)� �� �� � � �� �� �
�t x t dx
� � � � � � � � � � � � � � � � � �
1
0
2 ,t dx= − ∫ ������ �� 3� 9� ��� �� 3� 9� ���� �� 3� �
;����� ��!� �� �������� �
11 1 2
0 00
2 (1 ) (1 ) 0� � � � � �� � �t dx tx x dx x x dx
�11 3 41 2 2
1 10
0 0
2 (1 ) (1 ) 03 4
� �
� �� � � � � � �� �
� �� � �
x xx x dx x x dx
� 15
18� � � 3� 9�4FF��� ��� �� �����������
����� �� ������ ����/� ����� �� ���� ������� ��
5(0.5) (0.5)(0.5) 0.06944.
18y = =
���� �/���� ������� �� ���� ������ ������� ������ ���� � ��
sin( ) ,
sin1
xy x x= −
������ ����� ����� ��� ������� ���� ��� ����� �� 9�999<����� ���� ����/� ����� ���� �� � ������ �� ���� ���� ����
���!� 3� ���� � '� �!� C� ��� ��� � '� �!�
$��������� ��� ����� ��� ����
��� 3� 9� G4=� ���� ��� 3� 9� F9F�
*�� ��������� �������������� ��� ��� �� �� ���!�������������� ���� ������� �� ����������� ���������
EXERCISES
���� :����
1 , (0) 1,dy
xy ydx
= + =
����� ���� ������ ������� ��� ���!� ���� � ����� ��9� !�� ������� �� ������� ��� �������
��� 1��� ����� ���� ������������� �������
2
2– , (0) 1 and (0) 0
d yxy y y
dx′= = = �
���� ���� ������� ������
36 91 4 1 4 7
13! 6! 9!
� � �� � � � ��
xy x x
%�������� 335
336 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
��� *�
2
1dy
dx x y=
+����� � �=!� 3� =�
� ����� ���� ������� �� � �=� !� ���� � �=�4!� �� �����-�� ������� �����
��� 5��� $�����-�� ����� �� ����� �� ������� ������� �� ���� ���� � �������� $��� � �� � ����
��� 5���$�����-�� ������������� �9� !������ �9�4!����������� ���������
4 , (0) 3.� � �dy
x yx ydx
�� 5����� %����-�� ������ ����� ���� �������� ���� �"
33(a) , (0) 1
5� �
dyx y y
dx�!� 21 , (0) 0� � �
dyy y
dx
�� 6 ����� �������������� � � !������ � �4!������������-��������� ������� ���� ������� �� ���� ����
2 1 3, (1) 1 and (1) 1.y y y x y y′′ ′+ = = =
��� .����� �� �����-�� ������� ������ ���� ������ �� � �9� !� ������ ����
– 0, (0) 1 and (0) 0.� � � ��� � �y xy y y y
��� 5����� $�����-�� ������ ����� � �9� !�� ������ ����
and (0) 1�
� �
�
dy y xy
dx y x�
���� 5����� �����-�� �������� ����� � �9� !�� � �9�4!� ���� � �9�<!� ������ ����
2 , (0) 1.dy
xy y ydx
= + =
���� :����� ������������������������
2dyx y
dx= +
����� � �9!� 3� �� � ����� � �9�94!� ������ %����-�� ������� �����
���� 1����� �� %����-�� ������� ������ ���� ����
, (0) 0.dy
x y ydx
= + =
6���� � 3� 9�4� ���� � ����� � �9�4!� ���� � �9�=!�
���� :����� ���� ����
0 0( , ) and ( ) ,dy
f x y y x ydx
= =
�������/� ����������������3����C� ���������������������������&����'(����� �� ���
� ����� C� !� 3� ��� C�1
6�!�� C� =!�� C� !�!� C� � �
�����!�� 3� �� ����� ��!�� � !�� 3� �� ���� C�
1
2 �� ��� C�
1
2!�!
��� !�� 3� ����� C� �� ��� C� 4!�� '� !�!�
1��� ����� � � ��� �� ����� �
���� 2��������������� ���� ��� ����&����'(������������������ ���������������������������������� �
.���� � �9� !�� � �9�4!� ���� � �9�<!� ������ ����
2
21 , (0) 0
1
xyy y
x′ = + =
+���� 5���&����'(������������������ ������������ �9�4!������ �9�=!������
����2 2
2 2, (0) 1.
y xy y
y x
−′ = =+
��� 1���� ���� ������������������ ����������
3, (1) 1
2
�� �
�
dy x yy
dx x y
���� ����� � � �4!� ���� � � �=!� �� ����&����'(����� ������ ����� �� ������� 1�����#�� -��������������������� ��������������������������������
��� 3� � ���� �!�� � ���!� 3� ���:����� ���� ����
��� C� �� 3� 9�� ��9!� 3� �
����� � �9� !�� � �9�4!�� ���� � �9�<!� �� &����'(����� ������ ����� �� ������� ������ ����� ��9�=!� ��#�� -�� �� �����
���� :����� ���� ������������������ ����������
2(1 ), (0) 1dy
y x ydx
= + =
����� ��������������� �����3�9�4��9�=��9�E��9������� �9������� ����%������ ��� ������� %����� ���� ���� ������ ����� &����'(����� ������� 6 �������� � ������ ������� ����� ���� �/���� �������
���� 1����������-��������������������� �����������������������������
��� 3� � ���� �!�� � ���!� 3� ���
:����� ���� ������������������ ����������
��� 3� ��� C� ���� ��9!� 3� �
������ �������-�� �������� ���� ������� �� � �9� !�� � �9�4!� ���� � �9�<!�� 5�������� ������� �� � ����� � �9�=!� �� �����-�� �� �����
%�������� 337
338 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
���� 5����������-�� �� ������ ����� � �9��!� ������ ����
2 , (0) 0, (0.2) 0.02,dy
x y y ydx
= − = =
� �9�=!� 3� 9�9FG@� � ���� � �9�E!� 3� 9� FE4�
���� %/������ ����� ��� ����� �� �� ������ ����� �� ����� 8������� ����� �������������� �� ���� ������� �� ���� ����
3 , (0) 12
� � �dy y
x ydx
�� &����'(����� ������ ����� �� ����
���� 5��������-��������� ��������������������� ������������������������
,dx dy
y t x tdt dt
= − = +
����� �� 3� �� �� 3� � ����� �� 3� 9�� ��+���� ��� 3� ��� 3� 9� �
���� 5����� �����������&����'(����� ������ � ����� ������������� �9�4!������ ����
2
20
d yy
dx+ =
����� � �9!� 3� � ���� ���9!� 3� 9����� :���������
����'�����C�=��3�9� � ��������������������� ��� ������� ����� ������ ������ ����� ���� � ��������� ������
���� ���� ���� ! ����"� ��� �� ��!���� �������� !"
������������ � �������� � �#����#�
!"���������������������� !�����������������$������������ �����!��������� ����%�� &���� ���� �'��� ��� ��� (�� ���� ����� ��)�� �� �� ��%� ����������%�
���� ������� ����� *���� ��� �� �� ���������� ��� ���� �� ���� �� �&+����! ����"� ��� ����!������ (�� ���� ��!���� ��� ��������!"
������� ���� � �������������� ����������
����� ��� ��� ������ ����������� ���� ���� ����������� ����!���
���������� �������������&����� �������������������������&�������������� �������������� ������ �����,��� ������ ��������������� ���������!������ (����� ��� ������� ��!������!"� ������� � ���� ��� ��� �������� ����� ��� ���� ��� ���� �������� �������"�*� ��� ������� ������������ ��� !�� ������� �� !��&���� ���� ��� ��� ����� ����������������
-!�� ��"���������������!����������������&��!���������� �����������&������ ���� ����
.���"� ���� ������� ������ �� ����� ���� ! ����"� ��� �� ��!���
���������������������������#����#����� /"���0#1213���� ����� ������ ������ ����! ����"���� ����!�����������
!"
2 2
4 20, (0) 1 and (2) 0.2.
1 1
xy y y y y
x x′′ ′+ + = = =
+ + ���� ����� ��!���� !"� !�� ������������� ������ &���� �� �� #� ���� ����� &�������#4��������������������� ����� �#���$������" ����� ����&���������'����� ������ �#��!�������������������"������� ��������#4�#�5�����
���� ����� �� ������ ������������� ,��� ���� ! ����"� ��� �� ��!���� !��������� !"
����5��������5�������������� ��������� ��� � ����������
��� �� ���� ���������������������'��������� ����������������� �6 ������������� ���� ����!���� �6 ������ ����� ���� �������� ��� �� ��� ���� ��� ����� ���� ��� ��"����� ���� ������.������&����� ������������� �� ���������� ��"������� ������� ��� ������� �������������7���������������8��� �� �������� �&���������� ������ ���������� ������9&�&�� ������������������������� ������ ����������� ����� ��������&����� �����������*�������������������� �����&��!������������ ��������������������������! ����"������������:�!����;��2��
���� ���� ! ����"� ��� �� ��!���� �������� !"
���5����������������������#�������#�����
����� ������������,������ ������������
���� <�����=����)��>����������� ��� ������� ����� ���%�������� ����
����5��������� ���?���?�#�� � �� �������� ������� �#������
�� ���� :����>�� �6 ����
2 2
2 22, 0 , 1
u ux y
x y
∂ ∂+ = ≤ ≤∂ ∂
&������������ ����! ����"��� �� ���� �6 ���� �������������� #�� �����@�@#�
Answers to Exercises
��� � 9@<
���3
6 91 4 1 4 71
3! 6! 9!
xx x
× × ×− + − +�
��� =�99@� =�99G�
%�������� 339
340 6������" 7� �������1��������0��������8������������%�������
��� � C� �� C�2 3 4
2 3 8
x x x+ + +�
��� <�99@�� <�9494
�� ��!� �999E� �!� ��� 3� �9999� ��� 3� 9�49 � ��� 3� 9�<949
�� � 994�� �49 @
��� �99@9 4
��� �9G9E
���� � E�E�� �4FF<9�� �@94<
���� �9494
���� 9�9444�� 9�9G<�
���� 9� 99E�� 9�49@4�� 9�< FE
���� 9� G@G��� �<F@
��� �4E<E�� �@<4
��� � �9� !� 3� 9�G9=�=�� � � �9�4!� 3� 9�� �F<�� � � �9�<!� 3� 9�F=9�
� �9�=!� 3� 9�E�9E� � �%/���� ������ 3� 9�EF9<!�
���� �� 3� 9�4 9�94=EE=� �%����!
9�99<9 =� ���������%����!
9�99999<� �&����'(����!
�� 3� �9 9�FFE��@� �%����!
9� 4 @F� ���������%����!
9�9994F<� �&����'(����!
���� ��9� !� 3� � EG� ��9�4!� 3� �4FF<� ��9�<!� 3� �@94<�
��9�=!� 3� ��<FE�
���� � ��9��!� 3� 9�<9=G� ���9��!� 3� 9�<9=E9
���� � 3� 9�4�� � ����� 3� 9�99999 9
� 3� 9� �� ����� 3� 9�999999F
���� ��� 3� � 99<�� � � ��9� !� 3� ��� 3� � 99
���� 9�G�99EF� �%/���� ������ 3� 9�G�99EE!
���� ��9�4!� 3� 4�FE44<G� �%/���� ������ 3� 4�FE E!
��9�4!� 3� '4�<E9@EE� �%/���� ������ 3� '4�<E�!
���� %/���� ������ �� ��9�@!� 3� 9�==<=9G
��!� 9�==<EF=� �!� 9�==< =9
��� ���9!� 3� 4��
��� ��! � 3� � ��� 3� 9�=
� 3�1
2� ��� 3� 9�=�@F =
�! � 3� � ��� 3� 9�@=4<F<
� 3�1
2� ��� 3� 9�@44�
���� ��� 3� �9�4�� ��� 3� �4G �� ��� 3� �E4�4� � � 3� �GGGGF
���� ��9�@!� 3� '9�9= EE@� � �%/���� ������ 3� '9�9=@G4!
���� ����� �!� 3� '5
2����� '� !��� '� !
%�������� 341
9.1 INTRODUCTION
������������������� ����������������������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������������������������������������������� ����������������������������������������� ��� �� ������ ������������ �� ������� ������������� ������ ����� ��� ���������������������������������������������������������������������������������� ������� ��� �������� ���������� �������� ������ ������ �������� ������������������� ���������������������������������� ��������� ������������ �������������������������������������������������������������������� �������������� ����� �� ������� ����� ���� ������ �������� ������� ����� �������������� ��� ���� ����� ��������� �������� ����� �������� ��� ����� ��������� ��������������������������������������������������������������������������!�������������������������������������������������������������������������� ��������
���� �������� ������ ����� ������� �������� ���������� � ������� ��� �� ������
2 2 2
2 2,
u u u u uA B C D E Fu G
x y x yx y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + + =∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂
����� ���� ��� ������� ��
����� "������ "������ "����� "����� "���� #� $%�&'
���������������������������������� ������������������( ���������� ������� $%�&'� ���� ��� ��������� ���� �������� ��� ���� ����� �� ���� �����������
���
��������� ��� �� ���������������������� ��
�������
�� #� ��� )� *��� $%�+'
������� ��� ����������� ���������� ��� ���� $���'��������( ������� $%�&'� ��� ������ ��� � ������� ������ ������������� ��� ��������� ����� ,� -���� #� -� ����� .� -�
/��� ��������
����"���� #� - $0�������� ������'� ����������� $%�1'
����)���� #� - $!���� � ������'� ��� ���������� $%�*'
�� #���� $����� ���������� � ������'� ��� ��������� $%�2'
��������������������������������� ��������������������������������������������3
$�'������� ��������� �� 4������������������ �������� ����� ������������� �� �� ������� ��� ��� ��� �� ����� ��� ��� �� �������� �$�� �'�� ���������� ���0������� � ������� ��� ��� ������ ��� ��� �$�� ��� ����� ����
0 in ,
and on .
xx yyu u R
u f C
+ = ⎫⎪⎬
= ⎪⎭$%�5'
$��'���������� ���� ��
0 for 0
( , 0) ( )
( ,0)and ( )
tt xxu u t
u x f x
u xg x
t
� � �
�
��
�
$%�6'
����� � $'� ��� !$'� ���� ����������
$���'
for 0
and ( , 0) ( )
t xxu u t
u x f x
� � ���
� ��$%�7'
���������������������� ������������������������ ������������ ������������� ���� �� ����������� ����� �� �������� ����������� ��� ����� ������ ���� �������� ������ ��� ���"� #$���%�$� $��� ���8����'������ ��������� ����� ���( ��� $%�5'��� $%�7'� ���� ���8������ ��� �� ������ �� ���������� 0������� � ������� ���9������ �������� ����������� ���� �������� ��� ���� ��� ��� � #����$�� ������ ����������� ����� ��
0
( , 0) ( )
and ( , 0) ( )
xx yy
y
u u
u x f x
u x g x
� � ���
� ��
� ��
$%�%'
��� ��� ���8����� ��������
��
��
��
�
:������� %�&3 ����������� 343
344 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
9.2 LAPLACE’S EQUATION
���� � ������� ����� ��
2 2
2 20
u u
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
$%�&-'
��� ������ &�� ������ �'�����% � ��� ������� ��� ���� ��������� ���������� ������������������ ��� ��� �� ��������� ������ ��� ������ ����� � �������� �� �������� ������� ������ ����� ��� ��������� ����� ����� ������� ��� ���� ����� ����� ��������������� ��� ���������� =�������� ����� ���� �8������ ��������� ���� ��������������� ���� �>?:� $���� /���� %�&'�� �� ��� ����� ���� �������� �� ������������� ���� ���� �:� ��� ����� ��
– ,x
uk y t
x� � ��� �
� � ��� �
O
Y
X
R ( + , + )x x y y� �S ( )x y y, + �
P ( , )x y Q ( + , )x x y�
Figure 9.1 xy-plane coincides with a rectangular face PQRS.
������� ��� ���� ����@������� ������������$�� �'� ��� ���� ������������������������� ��� ����� �� ��� (� ��� ���� ������������ �� ������������� �� ���� ������� :������������� ������� �� ����� �������� ���� ���� >?� ��� �������� ��
–x x
uk y t
x�
�
� ��
�� �� ��� �
/���� ���� ������ � ��������������� ��������� ���������������� ������ �������
x x x
u uk y t
x x�
�
� ��
� �� �� � � �� �� � �� �� � � �
��� ���� ����� ���� �� ������� ���� ����� �� ����� ���� ���� ����� �>� ��� :?� ���������� ��
y y y
u uk x t
x y�
�
� ��
� �� �� �� � �� � � �� �� � � � �
A����� ���� ������ ����� �� ����� ��� ���� �����
�� �� � �� �
� �
� �� � � �� �� �� � � � �� � � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � �
x x x y y y
u uu uy yx x
k x y tx y
����� ����� ������� ���� ������������ ��� ���� ������ ����� ��� � ���� ��
������ ��� ���
����� �� ��� ���� �������� ����� ��� �� ��� ���� ������� �� ���� ���������A����� �� ����
�� �� �� � � � � �� �
� �
� �� � � �� �� �� � � � �� � � � � � � � � � �� �� � � � � � � � � � �
x x x y y y
u uu uy yx x
s x y u k x y tx y
$%�&&'
<������� ����� ����� �� ( �� $%�&&'� ��� ��� ��� ���������� ��� ���� ������� �������
2 2
2 2
2 22
2 2,
u k u u
t s x y
u ua
x y
�
� �� � �� �� �� � ��
� �� �� �� �
� �� $%�&+'
���� 2 .k
as�
� � ( ������� $%�&+'� ������ ���� ������������ ������������ ��� ���
������ ��� ���� ���%���%�� ����� �!���� ���� �������������$� �'� ��� ���������� ������ ��
��������$����������������� 0u
t
∂ =∂
����( ��$%�&+'�����������0������B��� ������
$%�&-'�C����� ���� ������ �� ����������� �� ����������� ��� ���� ��� ��� �� ����
( �� $%�&-'� ���������� ���� ���������
1 2 3 4( , ) ( )( cos sin )kx kxu x y c e c e c ky c ky−= + + $%�&1'
5 6 7 8( , ) ( cos sin )( )ky kyu x y c kx c kx c e c e−= + + $%�&*'
���� ������� ���� �� ��������� ���� ��� ��� ������� �������� ����� ���� ������������������ �� ���� ��������
:�������%�+3 0������B��( ������ 345
346 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
9.3 FINITE-DIFFERENCE APPROXIMATIONS TO DERIVATIVES
0��� ���� $���'��������������� ����� ����� ��@��� ������������� ���� x hΔ =�� y kΔ = ��� �� ���� ���� ����� �� �����
,
,
x ih
y jk
=
=
0, 1, 2,
0, 1, 2,
i
j
= …
= …���� ������� �� ������������� �� ������ �������� �� ������ ���� ����������� ������� ������� ������� ��� !��$� �������� ������ �� ����
1, ,
, 1,
1, 1, 2
O( )
O( )
O( )2
i j i jx
i j i j
i j i j
u uu h
h
u uh
h
u uh
h
+
−
+ −
−= +
−= +
−= +
(9.15)
.(9 16)
.(9 17)
��
1, , 1, 22
2O( )
i j i j i jxx
u u uu h
h
− +− += + $%�&7'
����
, ( , ) ( , )i ju u ih jk u x y= =
:���������� �� ����� ���� ��������������
, 1 ,
, , 1
, 1 , 1 2
O( )
O( )
O( )2
i j i jy
i j i j
i j i j
u uu k
k
u uk
k
u uk
k
+
−
+ −
−= +
−= +
−= +
(9.19)
.(9 20)
.(9 21)
��
, 1 , , 1 22
2O( )
i j i j i jyy
u u uu k
k
− +− += + $%�++'
!�� ���� �� � ������� ���� ��%���8$������%��� �%� �!���� �� �������� ���������� �������������������������������������������� ������������������������������������ ��������������� ������ ������� ������ ���� 0������� � ������� ��� � ������������ ������
0xx yyu u+ =���� ���� �����8�������� ��������
1, , 1, , 1 , , 12 2
1 1( 2 ) ( 2 ) 0.i j i j i j i j i j i ju u u u u u
h k+ − + −− + + − + = $%�+1'
� ,h k= ����� �����
, 1, 1, , 1 , 11
( ),4i j i j i j i j i ju u u u u+ − + −= + + + $%�+*'
����� ��� �� ����� ���� ������ �� �� ��� ���� ������ ��� ���� ����� �� ���� ������� ������ ���� ������������� ������������� ��� ������ ���� ���%$��$� ��)�#���%�� ����� �D���� /���� %�+$�'E�� ��� ��� ������
1, 1, , 1 , 1 ,4 0i j i j i j i j i ju u u u u+ − + −+ + + − = $%�+2'
F�� ��������� ���� ������ ��� ���� ������ ���� �� ( �� $%�+*'� ��� ������B�� ���������� ���� ��� ��� �� ����
2 4 61, 1, , 1 , 1 ,
4 6
14 ( ) O( )
6
1O( )
6
i j i j i j i j i j xx yy xxyy
xxyy
u u u u u h u u h u h
h u h
+ − + −+ + + − = + − +
= − +$%�+5'
������� �� ������� ������ ��� ( �� $%�+*'�� �� ���� ����� ���� ���� ������
, 1, 1 1, 1 1, 1 1, 11
( )4i j i j i j i j i ju u u u u− − + − + + − += + + + $%�+6'
����� ����� ���� �������� ������� ��� ���� �������� ������� D���� /���� %�+$�'E�� ����� ��������� ������ ���� $��!�%� � ��)�#���%�� ����� ��� ����� ��� ��������� ���������� ��� ��� ���8@�� �� ����� ����0�������� ������� �������� ���������� ���� ������������� ����� ���� ������� �������� *2G�� (�������� ���� ������ ��� ���� ��������� �� ( �� $%�+6'� ��� ������B�� �������� ��� ���� ��� ��� �� ����
4 61, 1 1, 1 1, 1 1, 1 ,
24 O( )
3i j i j i j i j i j xxyyu u u u u h u h− − + − + + − ++ + + − = + $%�+7'
ui j, –1
u , i j–1 u , i j+1ui j,
ui j, +1 u , +1i j–1
u , 1i j ––1 u , 1i j –+1
u , 1i j ++1
ui j,
� � � � � � � � � � � � (a) (b)Figure 9.2 Approximations to Laplace’s equation.
:�������%�13 /�����8<��������=�����������������<���������� 347
348 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
;������������������ ���������� �� ��� ���� ������( ���$%�+5'����$%�+7'� �������� ������ ��� ������������ ������� ��� ���� ������ ����� ��� ���� ������� �������A������ ��� ���� ������������� �� ������ ������ ��� ���� ���� ������� ���8������������� �������� ���������
(�������������������������������������������( ���$%�+5'����$%�+7'�� �������� ���� %�%�8���%�� ����� �
1, 1 1, 1 1, 1 1, 1
1, 1, , 1 , 1 ,4( ) 20 0
i j i j i j i j
i j i j i j i j i j
u u u u
u u u u u
− − + − + + − +
+ − + −
+ + +
+ + + + − = $%�+%'
��� ��� ������ ����� ���� ������ ��� ����� ������� ��� �� ������ �� ��� �� ������������������� �����8�������� ���������� �� ( ��� $%�*'� ��� $%�2'� ���� ��� ��������
��� ����� ��������� �� �������� ������ �������� ���������� � �������� �������� ��� �������� ��� ���� �����8�������� ����������� ������ ����������� ��$������%��� �'�����%��� ���� ����� ���� ��� ��������������� ��� ���� �������������������������� � ������������������������������ ���� ���������� ��� ����������� �������� ���������� � ������� ��� �� �����8�������� ��������� ��� ����������� ���� ��������� ��� ��������� �������� ��� ���� ����� ��������� �� ���� ������0������B�� � ������� ����� ��� ���������� ������ ��� ��������� ��� �� ������� ������������ ������������:�������%�*�� �� ������������������������������������������� �� ���� ���������� ( �� $%�2'�� A���������� � �������� ���� ��������� ��:������� %�7�
9.4 SOLUTION OF LAPLACE’S EQUATION
!�� ���� ��� ������ 0������B�� � ������
0xx yyu u+ = $%�1-'��� �� ������ �������?� ���� ��������9��=�� ���<��������B�� ��������� ���� ��������� ���� ��� �������� ����� ����� ���9�� /��� ������������ ����?� ��� �� � ����������� ��� ����� ��� ���� ��� ����� ����� �� ��� ��@� �� ������ � ������ �� ���� ��0�����������������$���'����������������9���������������������������������������� ������� ��� ���� �������� ������� ��� ��� ��� /���� %�1�
u1 u2 u3
u4 u5 u6
u7 u8 u9
c1 c2 c3 c4c5
c6
c7
c8
c9c10c11c12c13
c14
c15
c16
Figure 9.3 Interior mesh points and boundary points.
������ ��� ��� �� ��� ���� ��������� ��������� ( �� $%�1-'� ���� ��� �������� ��������� ���� ������� ���8������ �������� ��H��( �� $%�+2'�� ��� ���� �������� ���8������ ������� ������ ��� ( �� $%�+6'�� ���� ������������ �������� ������� ��� ������������������������������ ����������������������������������3� �������������������������8�������������( ��$%�+6'�������������������������������� ��� ����� ������ ������ �� ������
5 1 5 9 13
9 5 7 9 11
3 3 5 7 5
1( );
4
1( );
4
1( ).
4
u c c c c
u u c c c
u c c c u
= + + +
= + + +
= + + +
7 15 5 11 13
1 1 3 5 15
1( );
4
1( );
4
u c u c c
u c c u c
= + + +
= + + +
!���������������� ��� ���������� ���� ���������� �������������H������������ � ����� ��� ���� ���%$��$� ��)�#���%�� ����� �� $%�+2'�� ������ �� ����
8 5 9 11 71
( );4
u u u c u= + + + 4 1 5 7 151
( );4
u u u u c= + + +
6 3 7 9 51
( );4
u u c u u= + + + 2 3 3 5 11
( ).4
u c u u u= + + +
!������������� ��� , ( 1, 2, 3, ,9)iu i = … ������������� ���������������������
�������� ��� ���� �� ���� ���������� ������� �������� ���� �
9.4.1 Jacobi’s Method
0�� ( ),n
i ju ������� ���� %��� ���������� ������ � , .i ju =�� ���������� ��������� �������� ( �� $%�+2'� ��
( 1) ( ) ( ) ( ) ( ), 1, 1, , 1 , 1
1[ ]
4n n n n n
i j i j i j i j i ju u u u u+− + − += + + + $%�1&'
��� ���� ��������� ����� ������� ����� ��� ������ ���� ���%�� *������ �����$�
9.4.2 Gauss–Seidel Method
���� ������ ����� ���� ������� ���������� ������� ���������� ��� ������ ���� ����������� ��������������� ���� ���� ��� ������ ������ ����������� �� ������� ���������������� ��3
( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( ), 1, 1, , 1 , 1
1[ ]
4n n n n n
i j i j i j i j i ju u u u u+ + +− + − += + + + $%�1+'
��� ���� ��� ��� �� ����� ���� 4����):����� ������� ���������� � ���� ��� ���� ������ I������ �������� ����� ������ ��� ����� ������� ��� ��� &�����%%��� �����$�
:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 349
350 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
9.4.3 Successive Over Relaxation (SOR) Method
( ������� $%�1+'� ���� ��� ������� ��
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( )( 1), , ,1, 1, , 1 , 1
( ),,
14
4
1
4
n n n n n nni j i j i ji j i j i j i j
ni ji j
u u u u u u u
u R
+ + +− + − +
⎡ ⎤= + + + + −⎣ ⎦
= +
����� ��� �� ����� $&J*'��� �� ��� ����������� ��� ��������������� �� �������4����):����� ����������� ��� ���� :�?� ������� �� ������� ������� ����� ����� ��� ������� ( )
, ,ni ju ��� ���� ���������� ������� ��� ������� ��
1
( 1) ( ),, ,
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( ), ,1, 1, , 1
( 1) ( ), ,
1
41
(1 )4
(1 )
j
n ni ji j i j
n n n n ni i ji j i j i j
n ni j i j
u u R
u u u u u
u u
�
� �
� �
�
�
� �
� � �
�
� �
� �� � � � � �� �
� � � $%�11'
���� ����� �� ������������ �� ( �� $%�11'� ������ ��� ���� ������� � �� ������� ������ ���� ���� �����%!� ������� ��� ����� ��� ���� &� ��� +�
���� ����������� ������ ��� ���� ������ ���� ��� ������ ��
( 1) ( ), ,
( 1)100%�
�
�
�
� �
n ni j i j
ij nij
u u
u $%�1*'
��� ������ �����F�=��9���K� ����� �� ��#�&�762�� ������������������������ ( �� $%�11'� ��� � ���� ��� ���� ��� ����� ��� �� #� &� ��� �� �� #� &�%� ���� ���������������������*-������������������������� ��� ��#�&� �������������� ���������������������������������������������� �� �������� ��������������������������� ������� �� ���������
������� �� :����� 0������B�� � ������� ��� ���� � ����� ������� ��� �� ��/���� %�*�� ���� �������� ������� ������ ��� ��������
1 2 B
4
5
XA540
2
1
C
Y
R S
P Qu1 u2
u3 u4
Figure 9.4
��� ��� ����� ���� ���� ������ ����� ����������������������� ���������� ��������� ��������=9��A����� ��� #���� ��� �� ���� ��� ������������ ����������������� ���8������ ������� ������� ��� ���� ������ �� �����
2 3 12 4 4 0.u u u+ + + − =A����� �� ����
1 2 31
( 6).4
u u u= + +
���� ���������� ������� ��� ��������
( 1) ( ) ( )1 2 3
16 .
4n n nu u u+ ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
:���������� ���� ���������� �������� ��� ���� �������>� ���?� ���� ������ ��
( 1) ( 1)2 1
1 5,
2 2n nu u+ += +
��
( 1) ( 1)3 1
1 1.
2 2n nu u+ += +
/��� ���� ����� ����������� ��� 2 5u = $������ ��� ��� ������� ��� ���� ����� 5),u = ��(0)3 1.u = A����
(1)1
(1)2
(1)3
1(5 1 6) 3,
4
1 5(3) 4,
2 2
1 1(3) 2.
2 2
u
u
u
= + + =
= + =
= + =
/��� ���� ������ ����������� �� ����
(2)1
(2)2
1(4 2 6) 3,
4
1 5(3) 4,
2 2
u
u
= + + =
= + =
��
(2)3
1 1(3) 2.
2 2u = + =
:����� ���� ������� ���� ���������� �� �������� ���� 1 2 33, 4, 2u u u= = = ��
4 3.u =
������� � :����� ���� � ������ 0xx yyu u+ = ��� ���� ������ �� /���� %�2�
���� ����$�'�I�����B���������$�'�4����):����B������������$�'�:�? ������
:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 351
352 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
1 1
0
0
0
0
0 0
u4 u3
u2u1
Figure 9.5
$�' ���������*����������������%���������� ��������������������������������� ���� ���� ��� ��� ��� ��� ���� �3
(1)1
(1)2
1(0 0 0 1) 0.25;
41
(0 0 0 1) 0.25;4
u
u
= + + + =
= + + + =
(1)3
(1)4
1(1 1 0 0) 0.5;
41
(1 1 0 0) 0.5.4
u
u
= + + + =
= + + + =
���� ����������� ����� ����� ��������� ������ ( �� $%�1&'�� ��� ������ ������������������� ���� ������ ���� 3
u1 u2 u3 u4
0.1875 0.1875 0.4375 0.4375
0.15625 0.15625 0.40625 0.40625
0.14062 0.14062 0.39062 0.39062
0.13281 0.13281 0.38281 0.38281
0.12891 0.12891 0.37891 0.37891
0.12695 0.12695 0.37695 0.37695
0.12598 0.12598 0.37598 0.37598
$�' ����+,��$� � �����$-� /���� ����������� ��������� ���� ������ ���� 3u1 u2 u3 u4
0.25 0.3125 0.5625 0.46875
0.21875 0.17187 0.42187 0.39844
0.14844 0.13672 0.38672 0.38086
0.13086 0.12793 0.37793 0.37646
0.12646 0.12573 0.37573 0.37537
$�' ,.�� �����$-�!������ #� &�&�� ������ ����������� ��������� �������� ��� �����( �� $%�11'� ���� ������ ���� �
u1 u2 u3 u4
0.275 0.35062 0.35062 0.35062
0.16534 0.10683 0.38183 0.37432
0.11785 0.12181 0.37216 0.37341
������� �� :����� 0������B�� � ������� ��� /���� %�5� ������ ���� 3
50 100 100 100 50
0
0
0
0 0 0 0 0
0
0
0
u1 u2 u3
u4 u5 u6
u7 u8 u9
Figure 9.6
!�� ����� �������� ���� ���������� ���� ���� ���� ��� ��� ��� ��� ������ ���� ����������8������ ������� ������ ��� ( �� $%�+6'�� ������ �� ������
(1)5
(1)1
25.00;
6.25;
u
u
=
=
(1)7
(1)3
42.75;
6.25.
u
u
=
=
(1)9 43.75;u =
!���� ������������������ � ������ ������������� ��� ������ ���� ������� ���8������ ������� ������ ��� ( �� $%�+2'
(1)8
(1)6
53.12;
18.75;
u
u
=
=
(1)4
(1)2
18.75;
9.38.
u
u
=
=
!������� ����� �������� ���� ����� ��������������� �� ���� ���� ���������� ��������� �������� ����������� ���� ���������� �������������� ���:�������%�*��!���������� ���������8����������������������������������4����):�����������3
u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 u8 u9
7.03 9.57 7.08 18.94 25.10 18.98 43.02 52.97 42.99
7.13 9.83 7.20 18.81 25.15 18.84 42.94 52.77 42.90
7.16 9.88 7.18 18.81 25.08 18.79 42.89 52.72 42.88
7.17 9.86 7.16 18.78 25.04 18.77 42.88 52.70 42.87
:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 353
354 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
������� �� :����� ���� �������� � ������2 210 ( 10).xx yyu u x y+ = − + +
��� ���� ������ �� /��� %�6�
0
u3 u4
u2u1
A B
C D
1
1
2
2
3
3
Yu=0
u=0u=0
X
Figure 9.7
0��� ���� ������� �� �� ��� ���� ���� ���� �������� =�� F�� 9�� <� ��� ���� ���� ���� ����������������� 0��� ���� ���� ������� ��� ����� �� , ,x ih y jh= = ���� 1,h =, 0, 1, 2, 3.i j = =�� ���� ������=� 1, 1.i j= = ���� ������� ���8������ ���������������� ����������=������
2 3 10 0 4 10 (1 1 10)u u u+ + + − = − + +�����
1 2 31
( 120)4
u u u� � � $�'
=������ ���� ������� ���8������ ������� ������� ��� ���� ������F� �����
1 4 20 0 4 10 (4 1 10)u u u+ + + − = − + +�����
2 1 41
( 150)4
u u u= + + $��'
:������������������������8����������������������������������9����<�������������������
3 1 41
( 150)4
u u u= + + $���'
��
4 2 31
( 180)4
u u u= + + $��'
/����$��'����$���'�� ��� �������� ���� 2 3u u= ������ ������ ����������������������� ���� $�'�� $��'� ��� $��'�� ���� ���������� �������� ���� ��������� ����� ��
( 1) ( )1 2
( 1) ( 1) ( )2 1 4
( 1) ( 1)4 2
130
2
1150
4
145.
2
n n
n n n
n n
u u
u u u
u u
+
+ +
+ +
= +
⎡ ⎤= + +⎣ ⎦
= +
/��� ���� ����� ����������� �� ������� ���� (0) (0)2 4 0.u u= = A����� �� ������
(1)1
(1)2
(1)4
30,
1(30 0 150) 45
4
1(45) 45 67.5.
2
u
u
u
=
= + + =
= + =
/��� ���� ������ ����������� �� ����
(2) (1)1 2
(2) (2) (1)2 1 4
(2) (2)4 2
1 130 (45) 30 52.5
2 2
1 1150 [52.5 67.5 150] 67.5
4 4
145 78.75.
2
u u
u u u
u u
� � � � �
� �� � � � � � �� �
� �� � �� �
/��� ���� ����� ����������� �� ������
(3) (2)1 2
(3) (3) (2)2 1 4
(3) (3)4 2
1 130 (67.5) 30 63.75
2 2
1 1150 [63.75 78.75 150] 73.125.
4 4
1 145 (73.125) 45 81.5625.
2 2
u u
u u u
u u
= + = + =
⎡ ⎤= + + = + + =⎣ ⎦
= + = + =
���� ������ ���������� �����
(4) (3)1 2
(4) (4) (3)2 1 4
(4) (4)4 2
1 130 (73.125) 30 66.5625
2 2
1 1150 [66.5625 81.5625 150] 74.53125
4 4
1 145 (74.53125) 45 82.2656.
2 2
u u
u u u
u u
= + = + =
⎡ ⎤= + + = + + =⎣ ⎦
= + = + =
:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 355
356 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
/��� ���� ���� ����������� �� ������
(5) (4)1 2
(5) (5) (4)2 1 4
(5) (5)4 2
1 130 (74.53125) 30 67.2656
2 2
1 1150 [67.2656 82.2656 150] 74.8828
4 4
1 145 (74.8828) 45 82.4414.
2 2
u u
u u u
u u
� � � � �
� �� � � � � � �� �
� � � � �
���� ������ ���������� �����
(6) (5)1 2
(6) (6) (5)2 1 4
(6) (6)4 2
1 130 (74.8828) 30 67.4414.
2 2
1 1150 [67.4414 82.4414 150] 74.9707.
4 4
1 145 (74.9707) 45 82.4854.
2 2
u u
u u u
u u
� � � � �
� �� � � � � � �� �
� � � � �
/���� ���� ����� � �� ���������� �� �������� ����
1 67,u = 2 3 75,u u= = �� 4 83.u =
9.4.4 ADI Method
����� ��� ��� �������� ������ ��� ���� ���������� ��������� �� ��������� ����������������� � �������� ��� ��� �������� ��� ��������� ��� ?������� ��� �� ����� �������� ����� ��� ����� ������������� �� ����������� ���� ������������� ���� ��������� ��� ����0�������� ������� ��� � �������������/������������������� ������ ��� ������� ��� ��������� ��� L������ D&%55E�
!�� �������� 0������B�� � ������� ��� � �� ����������� ��H��2 2
2 20
u u
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
$%�12'
��� ���� ������� ���8������ ������
1, 1, , 1 , 1 ,4 0i j i j i j i j i ju u u u u− + − ++ + + − = $%�+2'
���������� ������������� ���( �� $%�+2'� ��������� ����������������� ������������������ � ��������� ����� ���������� �������� �� 6,n = ��� �� ���� ���
4 1 0 1 0 0
1 4 1 0 1 0
0 1 4 0 0 1
1 0 0 4 1 0
0 1 0 1 4 1
0 0 1 0 1 4
A
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−
= ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥
−⎢ ⎥⎣ ⎦
$%�15'
���� �������� ���� �� ����� �� ������� ��� ������ ��
0
,
0
T I
I T I
B
I T I
I T
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
� � � � � � $%�16'
����� /� ��� �� ����������� ������� �� ���� ���
4 1
1 4 1 0
0 1 4 1
1 4
T
−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
� � � � � � $%�17'
:������=� ��� ������ ��� ��(� ���$��!�%� � ������� ��� ����� �������� ���� �������� 4�������� ������������ ���� ��� ���� ����� �� ������ ��������� ��� 4����):����������������F��� ����������� ���������� ���� �������( �� $%�17'������������������� ������ ����� ����@� ����������� ��������� A����� ���� �������� ������� ��� �� ������� �������������������������������������������������������������������0������B�� � �������� ��������� ���?������ ��� �� ����� ����� ��� ���������������������������������������������� ���%���%!�$�������%���� ����������$��� ����=<�� �����'� ��� �������� ���� �
!�� ���������� ( �� $%�+2'� ��� ������� �� � �� ���3
1, , 1, , 1 , 14i j i j i j i j i ju u u u u− + − +− + = − − $%�1%'��
, 1 , , 1 1, 1,4i j i j i j i j i ju u u u u− + − +− + = − − $%�*-'
���� =<�� ��� ��� ��������%� ������ ��� ( ��� $%�1%'� ��� $%�*-'� ���� ���� �������������������
( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( ),1, 1, , 1 , 14r r r r r
i ji j i j i j i ju u u u u+ + +− + − +− + = − − $%�*&'
��( 2) ( 2) ( 2) ( 1) ( 1)
,1 1 1, 1,4r r r r ri ji j i j i j i ju u u u u+ + + + +
− + − +− + = − − $%�*+'
( ������� $%�*&'� ��� ���� ��� �������� �������� ������� ��� ���� ��������� ����������� ������ �� �� ��� ( �� $%�*+'� ������ ������ ��������� /�� 1, 2, 3, ,j = …
1,n − ( �� $%�*&'� ������ �� ����������� ������� �� � �������� ��� ���� ������� ���������:���������� �� 1, 2, 3, , 1,i n= … − ( �� $%�*+'�������������� ����������������� �� � ��������
��� ����=<��������� �������� $%�*&'���� $%�*+'����������������������/����������� ��� ���� ����� �� 1,j = ��� ( �� $%�*&'� �����
:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 357
358 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
( 1) ( 1) ( 1) ( ) ( )1,1 ,1 1,1 , 0 , 24 ,r r r r r
i i i i iu u u u u+ + +− +− + = − − ( 1, 2, 3, , 1)i n= … − $%�*1'
��������� ���� ���� �������� ����������� ( �� $%�*1'� ����������� �� ������������������� � �������� ��� ���� ������� ������ �� ( 1)
,1 .riu + !������� ���� 0 # +� ��
������� ���� ������� � ( 1), 2r
iu + ��� ���� ������ �� �� ���� �������� ��� �������� ������ ������ �����H������� 1.j n= − !����������������� �������������� ����� �����( �� $%�*+'� ��� ������� ( 2)
, .ri ju + ��� ��� ����� ��� ���� ����� ��� ������ ������ �� ���
��� �������� �� ����������� ��������� � ���������(�������%�2������������� ��������� �� ���������
������� �� :����� 0������B�� � ������� 0,xx yyu u+ = ��� ���� ������ �
/���� %�7� $���� (������� %�+'�
0
0
1 1
0 0
0
0
u0,0 u1,0
u1,1 u2,1
u2,0
u3,0
u3,1
u2,2u1,2u3,2
u3,3u2,3u1,3u0,3
u0,2
u0,1
Figure 9.8
��������������������������( ���$%�*&'����$%�*+'�� ��������������������������� �������� ��� ��� /��� %�7�
��� ������ ���� ������������ �� ��� 0.r = /��� ���� ����� �� � 1.j = �����( �� $%�*&'� �����
(1) (1) (1) (0) (0)1,1 ,1 1,1 , 0 , 24 .i i i i iu u u u u− +− + = − − $�'
!��� 1i = �� 2,i = ����� ������ � �� � �������
(1) (1) (1) (0) (0)0,1 1,1 2,1 1, 0 1, 24u u u u u− + = − −
��(1) (1) (1) (0) (0)1,1 2,1 3,1 2, 0 2, 24 .u u u u u− + = − −
:������������ ���� �������� ������� ��� ��������� ���� (0)1, 2 1u = �� (0)
2, 2 1,u =���� ������ � �������� ����
(1) (1)1,1 2,1
10.3333.
3u u= = =
/����������������������������������������������� �� ����� 2j = �� $%�*&'���������
(1) (1) (1) (0) (0)1, 2 , 2 1, 2 ,1 , 34i i i i iu u u u u− +− + = − − $��'
!��� 1i = �� 2,i = ( � $��'� �����
(1) (1) (1) (0) (0)0, 2 1, 2 2, 2 1,1 1, 34u u u u u− + = − −
��
(1) (1) (1) (0) (0)1, 2 2, 2 3, 2 2,1 2, 34u u u u u− + = − −
:������������ ���� �������� ������� ��� �������� ���� ������� �� ������
(1) (1)1, 2 2, 2
10.3333.
3u u= = =
A������ ��������� ���� ������������� ��� ���� � �� �� ��� �� �� � ���������� ����������������������� ���� ������������������ ������������� ��������� ���� �������� ����� /��� ������ �� ���� ( �� $%�*+'� ��� 0.r = :������ 1,i = ( �� $%�*+'�������
(2) (2) (2) (1) (1)1, 1 1, 1, 1 0, 2,4j j j j ju u u u u− +− + = − − $���'
������� 1j = �� 2j = ��� ���� ������� �� ������� ���� � �������
(2) (2) (2) (1) (1)1, 0 1,1 1, 2 0,1 2,14u u u u u− + = − −
��(2) (2) (2) (1) (1)1,1 1, 2 1, 3 0, 2 2, 24 .u u u u u− + = − −
:����������������������������������������������������� ��������� ��������
(2)1,1
80.1778
45u = = ��
(2)1, 2
170.3778
45u = =
����������� �������������� ������������������ ���� ���� 2i = ���( �� $%�*+'
(2) (2) (2) (1) (1)2, 1 2, 2, 1 1, 3,4j j j j ju u u u u− +− + = − − $��'
������� 1j = �� 2j = ��� ���� ������� �� ������� ���� � �������
(2) (2) (2) (1) (1)2, 0 2,1 2, 2 1,1 3,14u u u u u− + = − −
��(2) (2) (2) (1) (1)2,1 2, 2 2, 3 1, 2 3, 24u u u u u− + = − −
:������������ ���� �������� ������� ��� ���� ������ � �� � �������� ��� ������������� �� ������
(2)2,1 0.1778u = �� (2)
2, 2 0.3778u =
:�������%�*3 :����������0������B��( ������ 359
360 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
������������������������������������������������������������������������������� ��� ����������������������������������������� �������������������������� ������������� ��� ���� ����� ����������
9.5 HEAT EQUATION IN ONE DIMENSION
���������� ���������������������������� ������������������������������������ ������� ��� ��� �� ����� ��������� ��������� ( ������� $%�&+'�� ������ ��:������� %�+�������� � �8����������� ����� ���������� ��� �� ������� ������� ��� ������� �� �� �������� �� ����� ����� ��������� ��� ��� � ����� ���� ������� ����������������� ��������������� �������������������������������������������������������������������������������������� ������������������������������� ������
22
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
α $%�**'
����
2 k
s=α
ρ$%�*2'
��� ( �� $%�*2'�� (� ��� ���� ���������� �� ������������ �� ���� ���������� �� ��� ��������������� ���������������������=����������������������( ��$%�**'������������ ���� ������ �� ����������� �� ���������� ���� ������ ��
2 2
2 2
1 2
2 3
( , ) ( cos sin )
( , ) ( )
p t
p t px px
u x t e c px c px
u x t e c e c e
�
�
�� � ���� � �
�
�$%�*5'
/����( ��$%�*5'������������������������������������������������������������� ���� �������� ���������� ������� ��� ��� ������ ����� ��� ������( �� $%�**'�� ����� ���� �������� ��������� ��� � �� � �������� ����������� ��� ���� �� ����� ������� ������� ���� ��%���� $������%��� ��� ������ �� �%�� �����������%�� ��� ����� �������
9.5.1 Finite-difference Approximations
!�� ����� ���� $� �'� ������ ����� �������� ����������� ��� ������ �� ���� ����� ������
� #� ���� � � �� #� -�� &�� +�� M
�� #� ( �� � � (� #� -�� &�� +�� M
����� �� #� �� ��� � #� ���� <�������� �$���� ( '� #� kiu �� �� ����
1k ki iu uu
t l
+ −∂ ≈∂
$%�*6'
��
� �2
1 12 2
12
� �
�� � �
�
k k ki i i
uu u u
x h$%�*7'
( ������� $%�**'� ��� �������� ��� ���� ������ �������� ��������
12 1 1
2
2,
k k k k ki i i i iu u u u u
l h
�
� �� � �
� �
����� ���������� ��1
1 1 (1 2 ) ,k k k ki i i iu u u u�
� �� � � �� � $%�*%'
����
2
2
l
h= αλ $%�2-'
��� ( �� $%�*%'�� 1kiu + � ��� ��������� �� ���� �� ��� ������ �� 1 1,k k
i iu u− + � ��� .kiu
A����� ��� ��� ������ ���� �� ����� ������� ��� ���� ��������� �� ���8���������������� �������� ��� ������� ��� �� �����( �� $%�*%'� ������������� ���-������� 1
2�
����� ��� ������ ���� ����� ���� ��%$����%� � ��� ���� ��������� �������
�� �� ���� �� #�1
2� ��� ( �� $%�*%'�� �� ������� ���� ������� ������
� �11 1
1
2�
� �� �
k k ki i iu u u $%�2&'
����� ��� ������ ��%$��+,����$�� �������%��� ����� ��� ��� ��� ������ ����( ��� $%�*%'����$%�2&'������ ����������������������������� ���� ������������������������������=� ������� ������������������ ���� ����������������� ��� ����
������9���@����;������������( ��$%�**'���� ���������2
2
u
x
∂∂
���������������
�� ���� ������ �������� ��������������� ��� ���� (��� ��� $( "&'��� ����� ������� �� ������
� �2
1 1 11 1 1 12 2
12 2
2k k k k k ki i i i i i
uu u u u u u
x h� � �
� � � �
�� � � � � �
�
A������ ( �� $%�**'� ��� ������������ ��
� �1 2
1 1 11 1 1 12
2 22
k kk k k k k ki ii i i i i i
u uu u u u u u
l h
�
� � �
� � � �
�
� � � � � ��
����� ���������� ��
11 11 1 11(2 2 ) (2 2 )kk k k k k
i i i i iiu u u u u u�� �
� � ��� � � � � � � �� � � � � � $%�2+'
�����������������( ��$%�2+'� ���������������@�� �������������������������������@�� �� ����������������������������%(+1��� ��%������ ������������8����������� ����� � ������� ��� ��� ��� ��� ��� ����� ����� �
:�������%�23 A����( ��������������<�������� 361
362 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
��� ��� ����������� ���� � � ��%���� )� ���� ���� � �� ������ ����1� ����������������������������������� �������( ��$%�2+'�������1��������������� �������������� 1� ��@�� ���� ��� �� �������� ���� ������� �� �� ��� ���� ����� �� �� ���� ������������
��������� C�������F����):�����������������������������������������������
2
2
1
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
���� ���� ���������� �$�� -'� #� *� )� �� ��� �$-�� �'� #� �$*�� �'� #� -�
:������� �� #� &�� �� ���� ����� � #� &� ���� �� #�1
2�
;� �� ���� �������� ������� ���
�$-�� -'� #� -�� �$&�� -' #� 1�
�$+�� -'� #� *�� �$1�� -' #� 1
�� �$*�� -' #� -�/�������� �$-�� �'� #� �$*�� �'� #� -�
/��� � #� &�� F����):������ ������� �����
11
1(0 4) 2,
2u � � �
12
1(3 3) 3,
2u � � �
13
1(4 0) 2.
2u = + =
:���������� ��� � #� +�� �� ������
21
1(0 3) 1.5,
2u � � �
22
1(2 2) 2,
2u � � �
23
1(3 0) 1.5.
2u � � �
9���������� ��� ����� ���� �� ������
31 1,u = 3
2 1.5,u = 33 1,u �
41 0.75,u = 4
2 1,u = 43 0.75,u =
51 0.5,u = 5
2 0.75,u = 53 0.5,u = � ��� ��� ���
������� �� :����� ���� ����� ���������� �������2
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
���N���� ��� ���� ���������� �$�� -'� #� ���� � �� -� �� � �� &�� ��� �$-�� �'� #�$&���'�#�-��C���F����):�����B�����9���@);������������������������������ ������ �� �$-�5�� -�-*'� ��� �������� ���� �������� ���� ���� ������ ������
���� ������ ��������� �� ����� �������� ��� ������ ��
�$�� �'� #� ������ ���� � �
��� ����� ���� ������ ������ �� �$-�5�� -�-*'� ��� -�5*-7�$�'� ��%$��+,����$�� ����� �
0��� �� #� -�+�� � ����� � #� ���� #�1
2$-�-*'� #� -�-+�
���� �������� ������� ���� ���00 0,u = 0
1 0.5878,u = 02 0.9510,u =
03 0.9510,u = 0
4 0.5878,u = 05 0.u =
����� F����):������ ������� �����
11
1(0.9510) 0.4755,
2u = = ( )1
21
0.5878 0.9510 0.7694,2
u = + =
13 0.7694,u = 1
4 0.4755u = �
=����
21
1(0.7694) 0.3847,
2u = = 2
2 0.62245,u =
23 0.62245,u = 2
4 0.3847.u =
���������� �$-�5�� -�-*'� # 23u #� -�5++*�� ���� ������ ��� ����� ��� -�-&7*�
$�'� ���%(+1��� ��%� ����� �0��� �� #� -�+� ��� � � #� -�-*�� ��� ����� �� #� &�/��� �� #� &�� 9���@);�������� ������� �������
1 1 1–1 1 –1 1– 4k k k k k
i i i i iu u u u u� � �
� �� � � � $�'
�������� (� #� -� ��� $�'�� �� ������1 1 1 0 0–1 1 1 14i i i i iu u u u u
� � �� � � � �
9������������ ��� �� #� &�� +�� 1�� ��� *�� �� ������� ���� ���� � �������1 11 24 0.9510u u− =
1 1 11 2 3– 4 1.5388u u u+ − =1 1 12 3 4– 4 1.5388u u u+ − =
1 13 4– 4 0.9510u u� �
:�������%�23 A����( ��������������<�������� 363
364 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
F�� ���������� �� ����1 1 1 11 4 2 3andu u u u= =
:������� ���� ������ �������� �� ������1 12 3 0.6460u u� �
A������ �$-�5�� -�-*'� �� -�5*5-�� ���� ������ ��� ����� ��� -�--2+�
������� �� :����� ���� ����� � ������
2
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
���N���� ��� ���� ���������
�$�� -'� #� -�� � � �$-�� �'� #� -� � � ��� � � �$&�� �'� #� ��
C����� 9���@);�������� �������� ��� ���� ������ ��1 1
,2 8
u� �� �� �
� ��@���
������������� $�'� �� #�1
2�� � #�
1
8�� $��'� �� #�
1
4�� � #�
1
8�� 9������� ���� �������
�������� ���� ���� ������ ������ �� 1 1,
2 8u� �� �� �
� #� -�-&767�
$�'�1 1 1
, . Then .2 8 2
h l= = =λ
9���@);�������� ������� �����
1 1 11 1 1 1– 6 2 .k k k k k k
i i i i i iu u u u u u+ + +− + − ++ − = + +
:������� (� #� -� ��� �� #� &� ��� ���� ������ � �������� �� ������
1 1 1 0 0 00 1 2 0 1 2– 6 2 0.u u u u u u+ − = + + =
1 1 11 0 2
1 1, since 0 and .
48 80.02083 (error 0.00205).
u u u� � �
� �
$��'� � 1 1, . Then 2.
4 8h l �= = =
���������� 9���@);�������� ������� �����
1 1 11 1 1 1– 3k k k k k k
i i i i i iu u u u u u+ + +− + − ++ − = − +
!���� (� #� -�� �� ������
1 1 1 0 0 01 1 1 1– 3 0, 1, 2, 3.i i i i i iu u u u u u i� � � �� � � � � � �
9������������ ��� �� #� &�� +� ��� 1�� �� ������� ���� ������ � �������
1 11 2
1 1 11 2 3
1 12 3
–3 0
3 0
13 – .
8
u u
u u u
u u
− =
− + =
− =
:������� ���� ������ �������� �� ������
12
1 1 1, 0.01786 (error 0.00092).
2 8 56u u
⎛ ⎞= ≈ = =⎜ ⎟⎝ ⎠
9.6 ITERATIVE METHODS FOR THE SOLUTION OF EQUATIONS
���� ����������������� �������� ��� :������� %�*� ���� ��� ������� ��� ������ ��������8�������� � �������� �������� ��� ���� ��������� ��������� ��� ����9���@);��������������� ���� �������� ���������� � ������
2
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
��� �������� ��� ���� �����8�������� � ������
, 1 , 1, 1 1, 1, 1 1, ,1
(1 ) ( 2 )2i j i j i j i j i j i j i jr u u r u u u u u+ − + + + + −+ = + + + + − $%�21'
���� 2/ .r k h=
��� ( �� $%�21'�� ���� ��@�� ��� ��� , 1 1, 1,i j i ju u+ − + �� 1, 1,i ju + + ��� ���� ������
����@�� ������������� ��������������������������0���������A����������������� 0B�� ��� �������
, 1, , 1,1
( 2 )2i i j i j i j i jc u r u u u− += + − +
$%�2*'
( �� $%�21'� ���� ��� ������� ��
1 1( )2(1 ) 1
ii i i
cru u u
r r− += + ++ + $%�22'
/���� ( �� $%�22'�� �� ������� ���� ���������� ������
( 1) ( ) ( )1 1[ ] ,
2 (1 ) 1n n n i
i i icr
u u ur r
+− += + +
+ + $%�25'
��������������� ��� ( 1) thn + �������� ��� �������� ����%��� ������������������ ��@�� �� ��� *�����B�� ��������%� ����� ��
:�������%�53 ����������O�������������:����������( ������� 365
366 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
�������������������( ��$%�25'� �������� ���� ���������������� ( 1),niu + � ���
�������������� 1,iu − ������ ( 1)1 ,n
iu +− �������������������� A���������������������
�� I�����B�� ���������� ������� ������� ����������� ��������� ( )1
niu − � ��� ������
���������( ��$%�25'����������������������������������������� ( 1)1 .n
iu +− =����������
�� ������� ���� ������
( 1) ( 1) ( )1 1[ ]
2(1 ) 1n n n i
i i icr
u u ur r
+ +− += + +
+ + $%�26'
����� ��� ������ ���� ����),��$� � ��������%� ����� ��� ��� ���� ��� ��� �� ����( �� $%�26'����������� ������� �������������������� ����� ������������� � ���������� ��� I�����B�� �������
( ������� $%�26'� ���� ��� �� ������� ��
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )1 1[ ]
2(1 ) 1n n n n ni
i i ii icr
u u u u ur r
+ +− +
⎧ ⎫= + + + −⎨ ⎬+ +⎩ ⎭
���� ����� ��� ��� ������ ����� ���� ����������� ������ ���� ������ ����@���� ��� ����������� ��� ���� ���� %��� ��� $% " &'��� ���������� �� �� ��@�� ���� ���������� �� ω ������ ����� ������������ �� ����� ������
( 1) ( ) ( 1) ( ) ( )1 1[ ]
2 (1 ) 1n n n n ni
i i ii icr
u u u u ur r
�+ +
− +⎧ ⎫
= + + + −⎨ ⎬+ +⎩ ⎭$%�27'
��������������������������)���)��#�� �����%�$���:�?'������� ω ������������ �� �����%� ������� ��� ��� ������ ����������� ��� ���� &� ��� +�
������� � :����
2
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
���N���� ��� ���� �������� �������� sinu xπ= �� 0t = �� 0 1x≤ ≤ �� 0u = ��0x = �� 1x = �� 0,t > ��� ���� ����+,��$� � �����$�!�� ������ 0.2h = �� 0.02k = ��� ���� 2/ 1/2.r k h= = ( ������� $%�26'
��������� �������
( 1) ( 1) ( )1 1
1 2[ ]
6 3n n n
ii i iu u u c+ +− += + + $�'
0��� ��������������� ��� ���� ��������������������� ��� ���� �� �������������� ��0.02t = �� 1 2 3 4, , , ,u u u u ��� ��� �� ��� /���� %�%�=�������� ������� ������ ��� ( �� $�'� ��� ���� ���� �������������� �������� �
������� ������������
( 1) ( )1 2
( )2
1 2 1[0 ] 0.5878 (0 2 0.5878 0.9511)
6 3 4
10.3544
6
n n
n
u u
u
+ ⎡ ⎤= + + + − × +⎢ ⎥⎣ ⎦
= + $��'
u1 u4u2 u3
1.00 0.2 0.4 0.6
0.0 0.00.5878 0.58780.9511 0.9511
0.8x
u
u = 0 u = 0
t
k = 0.02
Figure 9.9
( 1) ( 1) ( )2 1 3
( 1) ( )1 3
1 2 1[ ] 0.9511 (0.5878 2 0.9511 0.9511)
6 3 4
1[ ] 0.5736
6
n n n
n n
u u u
u u
+ +
+
⎡ ⎤= + + + − × +⎢ ⎥⎣ ⎦
= + + $���'
( 1) ( 1) ( )3 2 4
( 1) ( )2 4
1 2 1[ ] 0.9511 (0.9511 2 0.9511 0.5878)
6 3 4
1[ ] 0.5736
6
n n n
n n
u u u
u u
+ +
+
⎡ ⎤= + + + − × +⎢ ⎥⎣ ⎦
= + + $��'
( 1) ( 1)4 3
( 1)3
1 2 1[ 0] 0.5878 (0.9511 2 0.5878 0.0)
6 3 4
10.3544
6
n n
n
u u
u
+ +
+
⎡ ⎤= + + + − × +⎢ ⎥⎣ ⎦
= + $�'
( ��������$��'��$���'��$��'����$�'������� ������������������������������������������ ���� ���� ��� ��� ���� �������������� ���� ������ ���� � ������ ���� ������������������� �� ���� ���� ��� ��� ��� ������������� �� 0.02.t =
x 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0u(x) 0.0 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0
n = 0 0.0 0.5878 0.9511 0.9511 0.5878 0.0
n = 1 0.0 0.5129 0.8176 0.8078 0.4890 0.0
n = 2 0.0 0.4907 0.7900 0.7868 0.4855 0.0
n = 3 0.0 0.4861 0.7858 0.7855 0.4853 0.0
n = 4 0.0 0.4854 0.7854 0.7854 0.4853 0.0
n = 5 0.0 0.4853 0.7854 0.7854 0.4853 0.0
:�������%�53 ����������O�������������:����������( ������� 367
368 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
��������������� ������������������ 0.5x = ��� ���������� �� �������������������� ����������� ��������� �� ���� �������� ��� ������ ��
2sintu e xπ π−= � ��� ���
������������������� 0.2x = �� 0.4x = �����������������-�*7+2����-�67-6���������������� ������ ��� ����� ���� ���������� ��� ������ -�5P�� ��� ���� ������ �����������������@���������������� ��������������������@����������� ������������ ��� ���� ������
9.7 APPLICATION OF CUBIC SPLINE
!�� �������� ������ ���� �������� �������� ������ �������� ����� ��2
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
$%�2%'
���� ���� ���������
1
2
( , 0) ( ), 0
(0, ) ( )
and ( , ) ( )
u x g x x a
u t f t
u a t f t
� � � ��
� ��� �
$%�5-'
����� !$'�� ��$�'� ��� ��$�'� ���� ������ ����������=�� ��������� �� �������� #� ����� #� � ��� �$���� ( '� #� k
iu �� �� ,�$'� ������� ���� ������ ������� ����������������� �������� ������� ,k
iu � ����� ( �� $%�2%'� ��� ������������ ��
11(1 )� �
�
��
� � �
k kk ki ii i
u uM M
l$%�5&'
����
( ).ki k iM S x� ��
C����� ���� ����������� ���������� ��� ���� ������� ������ ����������� ��� ���� (�����$( "&'��������������������� k
iM ���� 1kiM + ����( ��$%�5&'������������������
!���� ����� ��� ����� �� ������� ���� ���� ���� ������ �������� ���������������� ���� ���8����������� ����� � ������
1 1 11 1
1 1
(1 6 ) ( ) (4 12 )
[1 6 (1 )] ( ) [4 12 (1 )] ,
k k ki i i
k k ki i i
r u u r u
r u u r u
� �
� �
� � �
� �
� �
� � � �
� � � � � � � $%�5+'
����� �� #� 2
l
h� ��� �� #� &�� +�� M�� % ) &�
( �������$%�5+'�������������������������!��������������������������������������������������( �� $%�2%'���� ������� ��� ����������������9���@);��������������� ��� ����������� �������� �� �� ��� ���� ��� ������� ����� ( �� $%�5+'
������� ��� ���� ��������� ������� ��� 1
6r� = �� �������� ���� �������
1 1
2 6r� = +
����� ��� ���� 9���@);�������� ��������������� �����������������������������������������������������������
��� ( ��� $%�2%'� ��� $%�5-'� ������ ( �� $%�5+'�
$�' <��������� 0iM ���� ���� ��������
0 0 01 1 1 12
64 ( 2 ),
( 1, 2, , 1)
� � � �� � � � �
� � �
i i i i i iM M M g g gh
i n
$%�51'
���0 00 1 2(0) and (0).nM f M f′′ ′′= =
$��' :�������������������( ��$%�5+'����(�#�-� ���� 10 1( )u f l� ���� 1
2 ( )nu f l= �
����� ������ ���� ������� �� 1 1 11 2 1, , , nu u u
�
� �
$���' 9������� 11M $��#�&��+��M��%�)�&'������� ������������������������ ���
10 1 (1)� ��M f ��� 1
2 (1).nM f� ��
=�� ����� ������� ��������������� ����������������������� ��#� ����������������� ��������� ���� ��� �������� ��� �������� ���� ��������� ��� �� #� + �� 1 �� M�
9.8 WAVE EQUATION
���� ���� � ������� ��� ����� ��� ���� �������� ������ �������
2 22
2 2
u uc
t t
∂ ∂=∂ ∂ $%�5*'
���� ���� �������� ���������
1
2
( , 0) ( ),
( , 0) ( )
(0, ) ( )
(1, ) ( )
t
u x f x
u x x
u t t
u t t
�
�
�
� ��� ��
� ��� �
$%�52'
���-��� ����/�������� ������� ���������������� �������������� ���� ��������������������� �� �� ��������� ��������=�� ��������� �� ���� ���� ���� ���� ���������������������� ��� ���� ����������
� � 21 12
12 O( )k k k
xx i i iu u u u hh
� �� � � � $%�55'
��
� �1 1 22
12 O( )k k k
tt i i iu u u u ll
� �� � � � $%�56'
����� � #� ���� �� #� ( �� ��� �$�� �'� #� �$���� ( '� #� kiu �
/�������� ��$�� �'� ��� ������������ ��
1 12( , ) O( )
2
k ki i
tu u
u x t ll
� ��
� � $%�57'
:�������%�73 !����( ������ 369
370 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
:������������ ���� ( ��� $%�55'� ��� $%�56'� ��� ( �� $%�5*'�� �� ������
� � � �2
1 11 12 2
12 2 .k k k k k k
i i i i iic
u u u u u ul h
� �
� �� � � � �
:��������� #�cl
h� ��� ���� ������ ��� ������������ ���� ������� �� ����
1 –1 2 21 1– ( ) 2(1 )k k k k k
i i i i iu u u u u� ��
� �� � � � � $%�5%'
( ������� $%�5%'� ��� �� ����� ���� ��������������� ��� ����(��� ��� $@ ) &'��� ����������� ���� �� ����� ��� ��������� ������ ��� ���� $( " &'��� ����� ������� :����������������������������������� �)� �$������%�������������������������� ��������������������������������������������Q�/�������$%�5%'������������� ,� &�� ����� ��� ���� ��������� ��� ����������
������ ������ ��������� ������ �������� �������� ��� ���� � ���������������( �� $%�5*'�� � �� ����� �������� ���
� � � �1 1 2
1 1 1 1 1 11 1 1 12 2
22 2
2
k k kk k k k k ki i ii i i i i i
u u u cu u u u u u
l h
� �
� � � � � �
� � � �
� �
� � � � � � $%�6-'
��
( ) ( )1 1 2
1 1 11 1 1 12 2
22 2 2
4
k k kk k k k k ki i ii i i i i i
u u u cu u u u u u
l h
− +− − −
− + − +− + ⎡= − + + − +⎣
� � � � � � � � � � � ( )1 1 11 12k k k
i i iu u u+ + +− +
⎤+ − + ⎦ $%�6&'
( �������� $%�6-'� ��� $%�6&'� ���� ���� ��� ���� ������� �cl
h�� ���� ���� �
������� ������ ��� ( �� $%�5%'� ��� ����������� ��� ���� ���� ���� ���������
���������� :���������� �����������#��������N��������������� �������������
�$-�� �'� #� -�� � � � �$&�� �'� #� -� �� .� -��
3( , 0) 0, ( , 0) sin ( ), 0 1.u
x u x x xt
�
�� � � �
�
����� �������� ���� ��� ������ ��������� ������ ��
3 1( , ) sin cos sin 3 cos 3 .
4 4u x t x t x t� � � �= −
0����� #� -�+2 �� � #� -�+� ������� #� -�7� ,� &�� ���� ������ ���������� ���
0 30 40, 0, sin ( ), 1, 2, 3, 4.�� � � �
k kiu u u ih i
=����
1 1
1 1
( , 0)0 0
.
�
�
�
�
�� � �
�
�
i i
i i
u xu u
t
u u
��� ������ ��� ���� �� ���� ������ ��������� ���������� ��� ���� �� ������� ��� �������� ��� ������� ����� !
!������ #� -�7�� ���� ��������� ������� �������
� � � �1 11 1– 0.64 2 0.36 .k k k k k
i i i i iu u u u u� �
� �� � � �
:������� (� #� -�� ���� ������ �����3
� �1 1 0 0 01 1– 0.64 0.72 .i i i i iu u u u u�
� �� � � �
� �1 0 0 0 1 11 10.32 0.36 , since .� �
� �� � � �i i i i i iu u u u u u
���������
� �1 0 0 01 0 2 10.32 0.36
0.32 (0 1) 0.36(0.3537)
0.4473 (error 0.0365)
� � �
� � �
� �
u u u u
:��������12 0.5867 (error 0.0571)u = =
��
13 0.4473 (error 0.0365)u = =
���� ������������� ���� ��� ��������� ��� (� #� &�� +�� M
������� ��� :����� ���� �������� ������ �������� ����� ��� ���� #� *������N���� ��� ���� ����������
�$-�� �'� #� -� #� �$*�� �'�� ��$�� -'� #� -�� �$�� -'� #� *� )� ��0��
�� #� &� ��� �� #� &� ��� ����� � #� -�2�!�� ����
0 4 0 for all .k ku u k= =:����
��$�� -'� #� -�� �� ������� 1 1i iu u− = �
/��������$�� -'� #� *� )� �
�� 0 24 ,iu i i= − � ������ �� #� &������
0 0 0 0 00 1 2 3 40, 3, 4, 3 and 0.u u u u u= = = = =
/��� �� #� &�� ���� ��������� ������� �������
1 11 1–k k k k
i i i iu u u u+ −− += + + $�'
;� �� ��� (� #� -�� ( �� $�'� �����1 1 0 0
1 1–i i i iu u u u−− += + +
� �1 0 0 1 11 1
1, since .
2� �
� �� � �i i i i iu u u u u
:�������%�73 !����( ������ 371
372 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
A����
( )1 0 01 0 2
12,
2u u u= + = 1
21
(3 3) 3,2
u = + = 13
1(4 0) 2.
2u = + =
:���������� ��������2 2 21 2 30, 0, 0.u u u= = =
��� ���� ���������� ����� �� �� ���� ��� ������ ���
9.8.1 Software for Partial Differential Equations
:����������@������������������������������������������������� �������������������������������������������������������������������������������� �8��������8�������������������O:0��������������������������������������B��� ���������� ���������������������������������������������������������� ���������� ���� ���������� ��� ��� ���� @�� �� ����� O=�0=F� ���� ���������� ���������������������� ������������������ �������������� ������������������� � �8����������������������������
EXERCISES
���� �������� �$�� �'� ��������� 0������B�� � ������� ��� ���� ������� ������ ���� ������ ������ ���� � ��� ���� ���� �������� ������� ��� ��������� 9�������� ��������� �������� ��� � �� ������� ������� ��� ���� ������ �������� �����$��������� %�&)%�5'�
��� 0
0
0
0
4 812
11
10
963
u4u3
u1 u2
���� 60
40
20
0
60 6060
50
40
302010
��� 0
20
40
60
10 20 30
40
50
606060
���� 0
0
0
0
1 49
4
1
000
�� 10 20 20 20 10
10
10
10
10 20 20 20
10
10
10
10
�� 40 30 20 10 0
30
20
10
0 10 20 30
10
20
30
40
��� :����
2 2
2 20
u u
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
��� ���� �������������� ���������������� ��� ���� � ����� ������� ��� �� ������ ������ ���� �� C��� ����������� ����� ����������� ���� �� #� &�2� ����������� ���� ������������� ��� ���� ��������� ����� ������� ����� ���� ��������������� 4���� ��� ��������� �� ���� ���� ����� ������ ��� ���� ������ �� ����
40°C
80°C
0°C0 1 2 3 4
1
2
34
u13 u23 u33
u12
u11
u22
u21
u32
u31
70°C
Y
X
��� :����� 0������B�� � ������� ���� �� #� &J1� ����� ���� �������� �� �� � ������ ����� ������� ���� �$�� �'� #� %���� ��� ���� ��������
(�������� 373
374 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
��� !������ ������������������������������������ �����������"�����#�-��������� ��� ��� ���� � ����� ������� ������ ���� �
0 0.5 2 4.5 8
u7 u8 u9
u4
u1 u2 u3
u5 u6
0
0
0
1 1 94 16
14
12
10
!���� �� #� (� #� &�-�� ���� ���� 4����):����� ������ ��� ��������� �������� �� ������� �������� ������� �� �� ��� ���� ��������� ����� �������
��� :����� �������B�� � ���������� #� 7���
��� ���� � ����� ���� ��� �� ���� � $�� #� &'�
u3 u4
u1 u2
u = 0
u = 0
u = 0
u = 0
���� C��� ���� F����):������ ������� ��� ������ ���� �������� ��� #� 2����
� � � � � � �$-�� �'� #� -� �$2�� �'� #� 5-�
��� �$�� -'� #�20 , 0 3
60, 3 5
� ���
� ��
x x
x
!������#�&���� �#�-�2�� �������� ��������������$�� -�2'���$�� &�-'� ���$�� &�2'� ��� &� �� � �� *�
���� :����� ���� � ������2
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
���� ���� ���������� � �$�� -'� #� ���� �� -� �� � �� �
��� �$-�� �'� #� �$��� �'� #� -�� �� .� -�
9�����������������������������F����):�������9���@);����������
9����� :������ �������� ��� �2
,2 16
� �⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
�
���� C��� ���� ��������� ������� ��� ������ ���� � ������
2
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
�������������������$-�� �'�#��$2�� �'�#�-�����$��-'�#��$+2�)��'��!���
�� #� &� ��� � #� -�2�� ��������� ���� ������� �� kiu � ��� �� #� -�� &�� +�� 1�� *�� 2
��� (� #� -�� &�� +�
���� :����� ���� ����� � ������
2
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
���N���� ��� ���� ���������� �$�� -'� #� -� ,� �$-�� �'� #� -� ��� �$&�� �'� #� ��
!������#�1
4���� �#�
1
16���������� �������������
1 1,
2 8⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
������9���@)
;�������� �������
��� :����� ���� ����� ���������� � ������
2
2
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
���� ���� ���������� �$�� -'� #� ���� �� -� �� � �� ��� (0, ) �
��
�
tut e
t� ��
( , )��
�� �
�
tut e
x��C�����9���@);�����������������������������������@���
��#�2
�
���� �#�2
,4 20
�
���������2
, .2 4 20
u� �⎛ ⎞
⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠�9������� �������������
������
��� <������ �� ������ ������� ������ �������� ������� ��� ���� ��������� �� ���� ������
2
2
u u ua b cu
t xx
� � �� � �
� ��$��� ��� �� ������ ���������'
���� ���� �����������$�� -'�#�!$'�� -��� �������� 1(0, ) ( )�
��
ut f t
t� ��
2( , ) ( )�
��
ua t f t
t�
���� <�� /���)/���@��� ������3� ���� ������
� �1 11 1
1 2 2
1 2 1 2k k k ki i i i
r ru u u u
r r� �
� �
�� � �
� �
�����2
,l
rh
= � ��� @�� �� ���<�� /���)/���@��� ������� ��� ���� ��������
�� ���� ���8����������� ����� � �������2
2.
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
� ��� ��� �� ������ �����
(�������� 375
376 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
������� ������ �� �� ����� �������� ������� ��� $( ) &'��� ��� (��� ����������� �������� ��� �������� ��������� ���� $( " &'��� ����� �������:����� ���� ������� ������ ������ ���� ���� ���������� �$�� -'� #� ���� �� -� �� � �� ����� �$-�� �'� #� �$��� �'� #� -
���������������������������<��/���)/���@����������� ������#�4
�
���
2
32l
�= �� (�������� ���� ������ ���2
,2 16
� �⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
� ��� �������� ���� ���� �����
������
���� �������=����������/������<��������/�������3��������������������
� �11 1 (1 2 )k k k k
i i i iu r u u r u�
� �� � � �
��� ��� �������������� ��� ���� ���8����������� ����� � �������2
2.
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
(�������� ����� ����� �� ����� ������� ��� ������B�� �������� �� ������
( )2 2 2
11 1 2
,
(1 2 )2 12
k k k ki i i i
i k
l lh uu r u u r u
t+
− +⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂− + − − = − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
�
��� ������� ������ �� ���� ����� ���� ��� ���$��������������� �� ���� ��������������� ����$ � "� ��'�� ����� ��� ����� ������ ���� ��� � ���%�����%� �������������������:�� ���������������������������������������9���@);�������������� ��� �$ �� "� ��'�
���� :�� � ����� ���� ������ ����������� ������ �� ������� ������ ��� ( �� $%�5%'� ����������
� � � �2 2 4 2 4 6
2 44 6
1 112 360
k h u k h u
x x� �
� �� � � �
� ��
��� :����� ���� � ������
2 2
2 2
u u
t x
� ��
� �
���� ���� ���������� �$-� �'� #� �$&�� �'� #� -�� �$� -'� #� ���� ��� ��
u
t
∂∂$� -'�#�-����@������#�-�+2���� �#�-�+�����������$-�2��-�*'� ��� � �
����� ������ ��� �������� ����� ������� ���� ���� ������ ��������� ������ ���$�� �'� #� ���� �� ���� ���
Answers to Exercises
��� ��� #� 1�11� ��� #� 5�56� ��� #� 1�56� ��� #� 6�11�
��� ��� #� +5�6� ��� #� 11�1� ��� #� *1�1� ��� #� *5�6�
��� (5)1u � #� *1�11� (5)
2u � #� *5�55� (5)3u #� +5�55� (5)
4u � #� 11�11�
��� (6)1u � #� -�*%7� (6)
2u � #� -�%%%7� (6)3u #� -�%%%7� (6)
4u � #� +�*%%%�
�� &+��� ������������������� #� &2� ��� #� &5�+2� ��� #� &2��� #� &1�62� ��� #� &2� � � #� &1�62��� #� &2� ��� #� &5�+2� ��� #� &2�
�� ��� #� &2� ��� #� +-� ��� #� +2� ��� #� +-���� #� +-� � � #� +-� ��� #� +2� ��� #� +-� ��� #� &2�
��� (1)11u � #� +5�+2� (1)
21u � #� %�7*162� (1)31u � #� &-�5%&*-5
(1)12u � #� 15�-%162� (1)
22u � #� &6�++525+� (1)32u � #� +2�*5%+17
(1)13u � #� 5%�672&25� (1)
23u � #� 5+�5+%1%*� (1)33u � #� 67�-15%76�
:����� ���������� ������3� (����� ��� (2)22 65%u �
����� ���������3� (����� ��� (3)22 13%u � �
��� :��� �������� %�*�
��� ��� #� &�26���� #� 1�6-� ��� #� 5�26�
��� #� +�-5���� #� *�5%� � � #� 7�-5�
��� #� +�-%���� #� *�%+ ��� #� %�--�
��� ���� #� )&1� ���� #� ���� #� )++� ���� #� )*1�
����
1.5 17.5 35 45 55
1.0 20 35 50 55
0.5 20 40 50 6020 40 60 60 60
10 2 3 4 5
60
60
60
x
t
(�������� 377
378 9�����%3 ;���������:������������������<����������( �������
���� $�'� (����� #� -�-1%5*�$�'� (����� #� -�--6+7�$�'� (����� #� -�--6+7�
���� 0 1 2 3 4 5
0 0 24.0 84.0 144.0 144.0 0
1 0 42.0 78.0 78.0 57.0 0
2 0 39.0 60.0 67.5 39.0 0
ik
���� 21 0.005899,u = 2
2 0.019132,u = 23 0.052771.u =
(����� ������� ���
1 1, 0.00541,
4 8u
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠1 1
, 0.01878,2 8
u⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
3 1, 0.05240.
4 8u
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
��� (����� ��������� ���$�� �'� #� ���� ���� �
11u � #� -�52%6+5� $������ #� -�-716'
:��������������11u � #� -�5*&2� � $������ #� -�-522'
���� (����� ��������� ��
,2
tu t e� −⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
(��������������3
(� #� -3� (����� ��� 14 0.0011u = �
(� #� &3� (����� ��� 24 0.0020u = �
(� #� +3� (����� ��� 34 0.0028u = �
<�� /���)/���@��� ������
(����� ��� 24 0.0016u =
��� 22 (0.5, 0.4) 0.320469,u u� �
(����� �$-�2�� -�*'� #� -�1-%-&6�
10.1 INTRODUCTION
�������������� ������������� ������������������������������������������ ������ ������������� ���������������������������������������������� ���������� �� �� � �������� ��� ������ ���� �
��� ����� ������� ������ �
0
( ) ( , ) ( )�� �x
f x K x t t dt � !� �
"���� ������� ������ ��� ��� �������� ��� �������� ��� ��� ��� � ������ ������������������������������������������������������#��$��%� !� �&� ���� ��� �������� ���������&� �����&� � ����������&� ���������������������
���� � ���� ������ �
1
1
( ) ( , ) ( ) 1�
� ��y x K x s y s ds � !�'�
"���� ������� ������� ��� ��� �������� ��� ����������� ��� ������ ��� �������� ���� ����������� #�� ���� ���&� ��� ����� �� �������� ����� ��������� ������� ��� ������� ��� ������� �����
���� ��������� ������ �
0
( ) ( ) ( , ) ( ) , 0�
� � � ��
� � � ��L
v s s K s v d s L � !�(�
���
��������� ��� �� ������������� ��
�������
380 )������� !* +�������������������#������$������
"����������������������������������� ��������������������������������������� ��� ������� ��� � ����� ��� ���������� ������� ��� � ������
#������ �������� ��� ���������� ���� �� ���� ������� ����� ���������������������� ���������������������&�������������������������� ��� ����� ��� ������� ������� #�� ��� ����� �� �������� ������ ������� ��������� ����� ���&� ���� �� ��� ������ �� ������� ������� ��� ��� ������� �����$������� � !�'�� ��� � !�(�� ��� ,�������� ������� �������� ��� ��� ������������ -�� ��� ����� ���&� $��� � !� �&� ����� ��� ����� �� �������� ���������� ������ ��� ������� ����&� ��� ������.������ ������� ������� ��� ��� ���������
#��� ����/�!� ���$��� � !�(�&� ���� ���������� ��� ���� ������ � ���� �� ���� ���� �� ��� � �!� � ���� ��� ,��� ���0������������ �������&� �� ��� ���������������� �����������������������������&�����������������"� ���� ��� ����� �����1������ ��� ����������� ���������������&� ������ ������������&� ���� ����� ��� ������� ������� ���������� �������� �������������� ��������#�� ���
#��$��� � !� �&�$��&� ��� ��� ������ ���$����� ��� ��� ������� �������� #�� ��������� ��� �������� ��� ���������&� ���� ��� ������� ������� ��� ���� �� ��������������#��������������������������������&������������������������������� ���������&� ���� ��� ������� ������� ��� ���� �� ��� ��������
������������������������������������������ ����&� ���������������� ��� ������&� �������� �� �� �� �������
������� �� ��� � �� ��� �������� ����� /� � 2� �� ��� � �������� ��� ���������������
( )
0
( )t
t ut e y u du−= ∫3�����
( ) ( )
0 0
00
( ) (1 )
(1 ) (1 ) ( 1)
, on simplification.
� �
� � �
� �
� �� � � � � � �� �
�
� �
� �
t tt u t u
t tt u t u u
e y u du e u du
e e u du e e u e du
t
������ ��������������������� �������������������&� �� ������������������� ������������������������������� ��������������������������������������������������4���������������������������&��� ������������������� ��������� ��� ����������� �� ���� ������� �������� ��� ������ �������������� "���� ��� ��� �� ��� ��� ����� ���� ��������
������� �� "�������� ��� �����0����� �������
0,y y�� � � with (0) 0 and (0) 1y y�� � ���
���� �� ��������� ������� �������5�
2
2( )
d yu x
dx= ����
#�������� ���� ������ ��� $��� ����� ��� ������� �� �&� �� ����
0 0
( ) (0) ( ) 1,x x
dyu x dx y u x dx
dx′= + = +∫ ∫
����������������������������#���������������� �������������&� � ��
0
( ) ( ) ( )x
y x x t u t dt x= − +∫ �����
���������� $���� ����� ��� ������ ��� $��� ���&� �� ����
0
( ) ( ) ( ) 0x
u x x t u t dt x+ − + =∫
��0
( ) ( ) ( ) ,x
u x x t x u t dt= − + −∫ ����� ��� �.������ ������� �������
#�� ��������� $��� �����&� �� ���� ����� ��� ������
1
times
1( ) ( ) ( )
( 1)!�
� �
�
� � � �� ������
x x x xn
a a a an
f x dx dx dx x t f t dtn
����
������� ��� "�������� ��� ������� ������
[ ]0
( ) 5 6( ) ( )x
y x x x t y t dt= + − −∫����������������������������������
3�� ���
[ ]0
( ) 5 6( ) ( )x
y x x x t y t dt= + − −∫ ���
)�����&� ��!�� /� !�
������ !� * #��������� 381
382 )������� !* +�������������������#������$������
3�� ���� ��� ����� ���� ������� ���� ������������� ������ �� ������� ����
( ) ( )
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .b x b x
a x a x
d db daf x t dt f x b f x a f x t dt
dx dx dx x
∂= − +∂∫ ∫ ����
6����� $��� ����� ��� ������������� ���� ������ ��� $��� ���&� �� ����
� �
0
0
( ) 1 5 ( ) 6 ( )
1 5 ( ) 6 ( )
� � � ��
� � �
�
�
x
x
y x y x y t dt
y x y t dt �����
"��������&
���!�� /� & ������ ��!�� /� !�
7������������ $��� �����&� �� ����
������� /� 8������ 2� 9����&� � ��� ������ $��� ����:����� �� ���
������� 2� 8������ ;� 9����� /� !
����� ��� ��� �������������������� ������� ��������� ��� ������������!�%/%!��� ���!�� /� �
10.2 NUMERICAL METHODS FOR FREDHOLM EQUATIONS
"���������� �������������� ���� ������������ �����������,�������� ����������������� ��� �����������&� ������������������������������&�������������������������������&��������������������0���������������&����3���������� �� ���� �����������&� ���� ������ �&� ������������������,��� ������ ������� ��� � ����� �����&� ��� ������ ��� ��������� �� �������< =9>?�
10.2.1 Method of Degenerate Kernels
3�� ��������� ��� ������� ������
( ) ( , ) ( )b
a
f x K x t f t dt xφ− =∫ � !�@�
�� ����������&� ��� ��� ���� ���������������� ��� �� ���������������� ��� ��� ����
1
( , ) ( ) ( )n
i ii
K x t u x v t�
�� � !�8�
���������� ���� ��� $��� � !�@�&�3�� ����
1
( ) – ( ) ( ) ( ) ( )bn
i ii a
f x u x v t f t dt x�
�
�� � � !�9�
�����
( ) ( )b
i i
a
v t f t dt A�� � !�>�
$��� � !�9�� �����
1
( ) ( ) ( )n
i ii
f x A u x x�
�
� �� � !�A�
"��� ���������� ��� ����� �� ��� ��������&� ��� ���������� �����$��� � !�A���� $��� � !�>�&� �� ��
1
( ) ( ) ( )b n
i j j ija
v t A u t t dt Aφ=
⎡ ⎤⎢ ⎥+ =⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫
��
( ) ( ) ( ) ( ) ,b bn
j i j i i
a a
A v t u t dt v t t dt A�� �� � � � !�=�
����� ���������� � ������ ��� �� �������� ��� ��� �� ����� �� 1 2, , ,A A ….nA 3���� ��� ��� ��� ���������&� $��� � !�A�� ���� ������ � ������������ ��������� ��� ������� ��� ��� ��������� ������� �������&� �
�������� ����� ����������������� ��� ������������ ���&� ������ ���������� ����������� �� ���� ��� ������� ����� � !�8�� ��� ������� ���������� #�� ������&�� ����&���������������������������������"����B�����������������������"���� ��� ��� �� ��� $������ !�8�
������� ��� 3�� ��������� ��� ������
/2
0
( ) sin cos ( ) sin .f x x t f t dt xπ
λ− =∫�����
/2
0
cos ( ) ,t f t dt Aπ
=∫ ���
��� ������� ������� �������
( ) sin sin ( 1) sin .f x A x x A x� �� � � �
������ !�'* +��������C����������,��������$������ 383
384 )������� !* +�������������������#������$������
���������� ���� ��� ���&� �� ����
/2
0
cos ( 1) sin ,t A t dt A�
� � ��
����� ������ ��� ������������
1.
2A
��
�
:����� ��� �������� ��� ��� ������� ������� ��� ������ ��
2( ) sin ( 2).
2f x x �
�� �
�
4��������������������������������������������������������������������������������������
������� ��� ������ ��� ������� ������
21
0
1( ) ( 3 1) ( 1) ( ) .
2x xtf x e x e x f t dt� �
� � � � ��3�� ���
2
2 42
2 2 3 4
( , ) ( 1)
1 12
1,
2
xtK x t e x
x txt x
x t x t
−= −
⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
= − +
�
���������� ��� ����� ����� ��� ��� "����B�� �������:����� ��� ������ ������� ������� �������
12 2 3 4
0
1 12 2 3 4
0 0
2 31 2
1 1( ) ( 3 1) ( ) ( )
2 2
1 1( 3 1) ( ) ( )
2 2
1 1( 3 1) ,
2 2
x
x
x
f x e x x t x t f t dt
e x x t f t dt x t f t dt
e x k x k x
−
−
−
= + − + − +
= + − − +
= + − − +
∫
∫ ∫
���
����1
21
0
( )� �k t f t dt ����
��1
42
0
( ) .� �k t f t dt �����
���������� ���� � ���� ����� ���� ��� ����&� �� ����1
2 2 31 1 2
0
1 1( 3 1)
2 2�
� �� � � � �� �� � tk t e t k t k t dt ����
�����1
2
0
52 ,tt e dt
e− = −∫
$������ ����� �����
1 26 5 29.
5 12 2 24� � � �
k k
e���
��������&� ���������� ���� � ���� ��� ������ ��� �����������&� �� ����
12
15 65 243.
7 16 2 20� � � �
kk
e����
�������� ��� ���� ��� ����� ��� ������ ��
1 0.2522�k � ��� 2 0.1685.�k
:����� ��� �������� ��� ��� ������ ������� ������� ��
2 31 1( ) ( 3 1) 0.2522 (0.1685) .
2 2xf x e x x x�
� � � � �
10.2.2 Method of Successive Approximations
5�� ��� ������� ������� ��� ������ ��
( ) ( ) ( , ) ( )�� � �b
a
y x f x K x t y t dt � !� !�
����� � ���� ��� ���������� ��� ��&� ��� ��� ��� ����������&� ��� ��� �������3�� �������������� ��������������������$���� !� !������� ����&������������������������ ����� ��� ������
(1) (0)( ) ( ) ( , ) ( )�� � �b
a
y x f x K x t y t dt � !� �
3�&� ���&� ��������� �������� ����� ��� ������
(2) (1)( ) ( ) ( , ) ( )�� � �b
a
y x f x K x t y t dt � !� '�
������ !�'* +��������C����������,��������$������ 385
386 )������� !* +�������������������#������$������
D���������� ��� ���� �&� �� �������� � ������� ��� ������������ �� ����&�������&� �������&�E&� �������� ����� �
( ) ( 1)( ) ( ) ( , ) ( )��
� � �b
n n
a
y x f x K x t y t dt � !� (�
7���� ��� ��������� ��� ������������ � ���&� �������&�E&� �������&� ��������� ���� ���� �������� ��� $��� � !� !�F� "��� �� ��� ��� ���&� ��������� �� ��������������� ��� ��������� 3�� ��&� ����� �����&� �� ��� ��������� �� ����&�������&� �������& E� ���������� �� ��� �������� ��� $��� � !� !�&� ��������� �
� �
1/ 2
21| | where ( , )�
� �� �� � � �
� �� � �b b
a a
P K x t dx dtP
� !� @�
������� ��� ������ ��� ������� ������
1
–1
( ) ( )y x x xt y t dt= + ∫��� ��� ������ ��� ����������� ������������:���� �� /� � � ��� ����&� ��� /� ��"��������&
1 12 2 2
1 1
4
9P x t dxdt
− −
= =∫ ∫
:����� %� /�2
3� ��� ���������� � !� @�� ��� ��������
3��� �� ����� /� &� �� ����� ������������
�
1 1(1)
1 1
( ) , since 0� �
� � � � �� �y x x xt dt x t dt
� � �
1(2)
1
2 2( ) 1
3 3�
� � � �� � � � � � �� � � �� � �y x x xt t dt x x x
�
1(3)
1
2
2( ) 1
3
2 2 2 21 1 .
3 3 3 3
�
� �� � � �� ��
�� � � �� � � � � �� � � � �� � � � �
�y x x xt t dt
x x x
1(4)
1
2 3
2 4( ) 1
3 9
2 2 21
3 3 3
�
� �� �� � � � �� �� � �
� �� � � �� � � � �� � � � �� �
�y x x xt t dt
x
:����� �� ����
2 32 2 2( ) 1
3 3 3
3 .
y x x
x
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦=
�
#� ��� ��� ��������� �� �� /� (�� ��� ��� ���� �������� ��� ��� ������ �������������
10.2.3 Quadrature Methods
3�� ��������� ��� ������� ������� ��� ��� ����
( ) ( , ) ( ) ( ).b
a
f x K x t f t dt xφ− =∫ � !� 8�
����������������������������������������������������������������& �� ��������� ��� ������� ���� ��� $��� � !� 8�� ��� � ������� ��� ��� ����
1
( ) ( ),b n
m mma
F x dx A F x=
= ∑∫ � !� 9�
�������� ������ ��� ��� ����������������&� �������������)����������&$��� � !� 8�� ��� ��� ����� �
1
( ) ( , ) ( ) ( ),n
m m mm
f x A K x t f t x�
�
� �� � !� >�
����� 1 2, , , nt t t� ��� ������ ��� ����� ��� ������� ��& ��� ��� �����������,�����&� $��� � !� >�� ���� ����� ���� ��� ������ ��� �� ��� ��� ������� ��& ��G� ���������&� �� ���� ����� ��� 1 2, , , .nx t x t x t� � � � :����� �� ����
1
( ) ( , ) ( ) ( ),n
i m i m m im
f t A K t t f t t�
�
� �� 1, 2, , .i n� � � !� A�
����� ��� � ������ ��� �� ������ �������� ��� ��� �� ����� ��� 1( ),f t 2( ),f t
, ( ).nf t… 3������� ( )if t ������������&�$���� !� >��������������������
������ !�'* +��������C����������,��������$������ 387
388 )������� !* +�������������������#������$������
��� ( ).f x -��������&������������������������������������������������&����������� ����������������������������������H���������������B�������
������� ��� �����
1
0
3 5( ) ( ) ( )
2 6f x x t f t dt x− + = −∫ ���
4�������� ���������&� ����������������� �� ���������� �������� ���������� ( ) 1.f x x� � ,��� ��� ��������� �������&� �� ������� ��� ���� <!&� ?� ��� �� ����� ����������� ��� �� � / I'�� ��������� ��� ���H����� ����� ���������� ��� ������� ���� ��� ���&� �� ����
0 1 21 1 3 5
( ) 2 ( 1) ,4 2 2 6
f x x f x f x f x� �� �� � � � � � �� �� � �
where ( ).i if f x�
����� 0 1 2, where 0, 1/2 and 1,ix t t t t= = = = ��������������������� �������
0 1 2
0 1 2
0 1 2
12 3 3 10
3 12 9 2
3 9 6 8
f f f
f f f
f f f
− − = −
− + − = −
− − + =
"��� �������� ��
01
,2
f = − 15
,6
f = − 21
.2
f =
-�������������&���� �������������B������������������������������� ��� ���&� �� ����
0 1 21 1 3 5
( ) 4 ( 1)6 2 2 6
f x x f x f x f x� �� �� � � � � � �� �� � �
����
������ � / ��&� �� ��
0 1 2
0 1 2
0 1 2
6 2 5
4 3 1
6 4 4.
f f f
f f f
f f f
− − = −
− + − = −
− − + ="��� �������� ��� ����� ��
0 1,f = − 11
,2
f = − 2 0.f =
6����� ����� ������ ��� ����&� �� ��
1 1 1 3 5( ) 4
6 2 2 2 6
1, which is the exact solution.
f x x x x
x
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − + + − + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦
= −
#� ������� ��� ����� �� �������B�� ����� ������ ���� ������ ��� ���� ���� �������� �������� ��� � ������0������� ���������� ��� ��
������� ��� "��� ������� ������
1
1
( ) ( , ) ( ) 1,y x K x s y s ds−
+ =∫ ���
����
2
1 1( , )
1 ( )K x s
x s�
�
� �
����
���������������������������������������������5����< =@=?&������������� ��B�� �������� "��� ������� ������ ��� �������&� ��������� ��� 5���&� ������ �� ��������� ��� ������� ��������� ������� ���� ���������� "������������������������������������������������������H�����������,������ ��������������������2 &� �������������������������� �����&� ��� ������� ��� ������������ ������ ������� ��� ��&� ����� �
1 ,is ih= − + 0, 1, 2, ,i n= …��� �� / '�� 7������� ������ ��� ��&� $�� ���� �����
11
0
( , ) ( ) 1.j
j
sn
i ij s
y K x s y s ds+−
=+ =∑ ∫
������������ ��� ������� ������� ��� ���H����� ����&� ���������������������
1
1 10
( , ) ( ) ( , ) ( ) 1,2
n
i i j j i j jj
hy K x s y s K x s y s
−
+ +=
⎡ ⎤+ + =⎣ ⎦∑ ����� ��� ��� �� ����� �*
1
0 01
( , ) ( , ) ( , ) 12 2
n
i i i n n i j jj
h hy K x s y K x s y h K x s y
−
=+ + + =∑ �����
���� 0, 1, 2, , .i n= … � $������ ������ ���������� � ������ ��� �� ; �� ������������� ��� �� ; � ����� ��&� ��H�& 0 1, , , ,ny y y… ��� �� ������� ���
������ !�'* +��������C����������,��������$������ 389
390 )������� !* +�������������������#������$������
������ ��������� "��� �������� ��� ��������#� ��� ��� �������� ������ ��( )y x 0x � �� 1x � ��� ������ ��� ��� ���� ���� �� ,��� ���������&� ��
���� ������ ��� ���� ������� "�� ����� ��� ������ ��� ������������ ��� �������&� ���������� ���� ���� ��� ��������� ������ ��� ��� "��� ��0�������� ������������ ��� ��� ���H����� ����� ��� ����� ���������
x Exact y(x) n Computed y(x) Error Ratio
0.0 0.65741 4 0.66026 0.00285
8 0.65812 0.00071 4
16 0.65759 0.00018 4
32 0.65746 0.00005 3.6
1.0 0.75572 4 0.75452 0.00120
8 0.75542 0.00030 4
16 0.75564 0.00008 3.75
32 0.75570 0.00002 4
10.2.4 Use of Chebyshev Series
3�� ��������� ��� ,�������� ������� ������� ��� ��� ����
1
1
( ) ( , ) ( ) ( ),y x K x s y s ds f x�
� �� ( 1 1).x� � � � !� =�
�� ���
0
( ) ( )N
r rr
y x a T x=
= ∑ � !�'!�
��
0
( ) ( )N
r rr
f x f T x=
= ∑ � !�' �
3�����&�����������)������������������������������� ����������$���%� !�'!���� � !�' �� ��� $��� � !� =�&� ��� ������������ ��� ������ ��� ��������� ���������� ��� ��� ������� ���&� �� ����
1
0 0 01
( ) ( , ) ( ) ( ).N N N
r r j j r rr j r
a T x a K x s T s ds f T x= = =−
+ =∑ ∑ ∑∫ � !�''�
5�� ��� �� � ������ �
1
01
( , ) ( ) ( ).N
j jr rr
K x s T s ds b T x=−
= ∑∫ � !�'(�
"���&� �� ��� ����� �������������� ������������ ��� &����� ��� ���� ������ ��$��%� !�''���"���������������������' ; ��������������' ; ������� ��%��*
0
,N
r j jr rj
a a b f=
+ =∑ 0, 1, 2, , .r N= … � !�'@�
3���� ��� �� ��� ��� �&� $��� � !�'!�� ��������� ��� �������� �� � )����������������"�������������������$�����< =9(?&����������������������&������ $�0J����� < =9=?&� ������ ����� ������� ��� ��� ���������� ���� �3�� ��������� ��� ��������� �������� ��� ��� �������� ������
1
1
( ) ,I f x dx�
� � � !�'8�
���� ( )f x ��� �������� ��� ���0������� ��� <2 & ?� 3�� ��� ���
0
( ) ( ),N
r rr
f x a T x�
���� � !�'9�
����
0
2cos cos .
N
rj
j rja f
N N N
� �
�
� ���� � �� �� � !�'>�
���������� $���� � !�'9�� ��� � !�'>�� ��� $��� � !�'8�� ��� ������������ �������� ���0��� �� ������� ����� K��� < => ?�*
1
2 21
2( ) ,
1 4jT x dx
j−
=−∫ � !�'A�
�� ��� ���
1
01
( ) ,N
Ns ss
f x dx p f=−
= ∑∫ � !�'=�
����� ���� ����� '&
/ 2
20
4 1 2cos ,
1 4
N
Nsj
j sp
N Nj
π
=
′′=−∑ 1, 2, , 1s N= … − � !�(!�
��
,0 , 2
1
1N N Np p
N= =
−� !�(!��
������ !�'* +��������C����������,��������$������ 391
392 )������� !* +�������������������#������$������
"��� ������� ���� ��� $��� � !� =�� ��� ���� ��� ���������� ��� ��� ��� ��� ����� ��� ������ ��� �������
[ ][ ] [ ],I A y f� � � !�( �
����
cos , cos , , 0,1, , .
cos ,
ij Nj ij
ij
i
a p K
i jK K i j N
N N
iy y
N
π π
π
=
⎛ ⎞= − − = …⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
(10.32)
.(10 33)
(10.34)
Njp ������ ������ ���$��� � !�(!��� "��� ������ � !�( �� ��� �� � ��� ������� �
����� �������� ��� ������ ��� �� ����� ���� < =>8?��
������� ��� "��� ������� ������
1
1
( ) ( , ) ( ) 1y x K x s y s ds�
� �� ���
����
2 2
1( , )
( )
dK x s
d x s�
�
� �
����
��� �� ��� � �������� ���� ������&� ������� ��� ��� �������� ��� ����������� �������� ��� � �������� ���� ���������� ��� �� ����������� ��� 5���� < =@=?�:�� ��� ��&� ��� ������� ������&� �� ����� ������ � ������&� ���������&���� ��� ����� �������&� ��� �� �� ��� ��� ���������� �� � ���������� ��������� ��� ����
1
1 1
( ) 1 ( 1) ( , ) ,nn
n
y x K x s ds∞
= −
= + −∑ ∫ �����
����� ��� ������ �������� ( , )nK x s ��� ������ ��
1 2 2
1
1 1
1
( , )[ ( ) ]
( , ) ( , ) ( , ) .n n
dK x s
d x s
K x s K x t K t s dt
π
−−
⎫= ⎪+ − ⎪⎪⎬⎪= ⎪⎪⎭
∫����
"���������� ��� �������� ��� ���� �� ��������&� ��� ��������� ��������� ����� �������� ���� ������ ��� ������� �����&� ����� ,��� ���J��� ��� < =8(?&L�����< =8@?&�$�����< =9(?& 3�����< =9=?&�$�0J�����< =9=?����D������� < =>'?����� ����� �����&� ��������� D�������&� ���������� ��� �������� ����� ���� ������ � / �!�� M������ ���� � / �!&� ������ ��� ���H����� ������ ���� ����������� ��� $������ !�A�� "���� ������ ��� ��������� ���� ������� ������ ��� ��"���&� ���� ������� ��� ('� ������������� ��� � / !�!! &� ��� ����� ���������� � / !� ��� !�!@>A'� �������� �� ��� ���� ����� !�8!! 8�
"��� ���� ���� � ������H��� ��� ������� ������� ��� ��� )��������������������� ���' / A� ���� / �!&� ��� �� ��� ����� �� ���������� ��������������������������H������������:� ����&��������������������������� ������� ���� ������� ������ ��� ��
Chebyshev Series Solution of Love’s Equation with d = 1.0
π= −cos ( / )jx j N ( )jy x
0.0 0.65740981
0.38268 0.67248912
0.70711 0.70866017
0.92388 0.74265684
1.0 0.75571801
10.2.5 Cubic Spline Method
3�� ��� � �� ��� ��� ������ 1 , ( )j jx x x s x− ≤ ≤ ��� ������ ��
3 31
1
2 21
1 1
( ) ( )( )
6 6
( ) ( )
6 6
�
�
�
� �
� �� �
� � � �� �� � � �� � � �� �
j jj j
j jj j j j
x x x xs x M M
h h
x x x xh hy M y M
h h� !�(8�
���� 0( ), ( ), and , 0,1, , .j j j j jM s x y y x x x jh j N′′= = = + = … #�� �� �� ��������� ��� ������� ���� ��� $��� � !� =�� ��� ������ $��� � !�(8�&� �����
1
3 31
11
2 21
1 1
( ) ( )( ) ( , )
6 6
( ) ( )
6 6
( ), 0,1, 2, , (10.36)
�
�
�
�
�
� �
� � ��� ���
�� � � �� �� � � � � �� � �
� � �
� �j
j
sNj j
i j jj s
j jj j j j
i
s s s sy x K x s M M
h h
s s s sh hy M y M ds
h h
f x i N
������ !�'* +��������C����������,��������$������ 393
394 )������� !* +�������������������#������$������
D���� 1 ,js s ph�
� � ��� ����� ������� ����������� �
1 3 2 3 2
1 11 0
2 2
1 1
(1 )( ) ( , )
6 6
(1 )6 6
( ), 0, 1, 2, , (10.37)
N
i i j j jj
j j j j
i
p h p hy x h K x s ph M M
h hy M p y M p dp
f x i N
− −=
− −
⎡ −+ + +⎢⎢⎣
⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − − + − ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦
= = …
∑ ∫
#�� $��� � !�(>�&� ��� �������
� �1
1
0
, ,mi jK x s ph p dp
�
�� 0, 1, 2 and 3,m = � !�(A�
�����������������"������������������������������� �����������������������������&������������������������3��������������������������&$��� � !�(>�� ������� ��� ��� �������
��
1 11 1
0
22
6 3 6
1, 2, , 1
0
j j jj j j
N
y y yh h hM M M
h
j N
M M
− +− +
− + ⎫+ + = ⎪
⎪⎪= … − ⎬⎪⎪
= = ⎪⎭
� !�(=�
���� �������������'' ; '�� ���������������������� ����'' ; '������� ��&��H�& 0 1 0 1, , , , , , , .N Ny y y M M M� � �����������&� ���������������5���B�������� ������ ��� ��� ��������� �������
������� ��� #�� ������ ��� ��� ���������������&� ��� ������������������ ������� ���� ��� ����������� ��� ������ ,��� ���� �������� ������&��� �������� ���$��� � !�(A�� ����������������������"��������� / !&� ����
1 1
0 1 2 210 0
1( , )
( )i j
i j
dX K x s ph dp dp
d x s phπ−−
= + =+ − −∫ ∫
D���� 1ix ih� � � �� 1 1 ( 1) ,js j h�
� � � � ����������������������������& �� ����
10 2 2
1 /tan
1 ( / )( ) ( 1)
h dX
h h d i j i jπ− ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥+ − − +⎢ ⎥⎣ ⎦
��������� �� ����� ��� ������
1
1 10
2 2 2
02 2 2 2
12
2 1
0
22
0 12 2
13
3 1
0
22
12 2
( , )
( )log ( 1)
2 ( 1)
( , )
( 1) 2 ( 1)
( , )
[5 4( )] 3( 1)2
�
�
�
�
�
�
� �
� �� �� � � �� �
� � �� ��
� �
� �� � � � � � � �� �
� ��
� �
� �� � � � � � �� �
� ��
�
�
�
i j
i j
i j
X K x s ph p dp
d d h i ji j X
h d h i j
X K x s ph p dp
d di j X X i j
h h
X K x s ph p dp
d di j i j X
h h
22
022( 1) ( 1)
� �� � � � � �� �
� ��
di j i j X
h
"��� ������ ��� �������� �� ������� ��� ��� J���2������� ������� �������� � ������ ���������� �� ����� ���� �����"��� ������� ��� ������H��� ����� ����� ���� ���� ���� ��������� ������ ��� �&� ��� ����� �������� ���� �����������������D��������< =>'?��#� ���������������������������������� �������� ��� �������� ���� ������ ������ ��� �� �� ��� ������������ ��� ������� ��"���� ���� � / �!� ��� ����� ������� ��� 8!!� �������� ���� � ( �!� ��!�A!9='�����������������������!�>88>'��,������������������������&���� ��� ����� ��� ����� < =>8?�
Cubic Spline Solutions of Love’s Equation
y(x)
x d = 0.1 d = 0.01 d = 0.001
0.0 0.51261 0.50146 0.50015
0.2 0.51470 0.50158 0.50016
0.4 0.51858 0.50187 0.50019
0.6 0.52876 0.50261 0.50026
0.8 0.60688 0.51713 0.50271
1.0 0.78627 0.69641 0.67179
������ !�'* +��������C����������,��������$������ 395
396 )������� !* +�������������������#������$������
"����� ������� ��� � �� ��� ������� ������ ���� ��� ��������� �������� ��,�������� ������� �������� ��� ��������� �������� #�� ��������� �� ����������������������� �������� ������������� ������� ��������������� ������ ��� ��� ������
10.3 SINGULAR KERNELS
#� ( , )K s t ��� ������������� ��� ���������� ��� ����� ������&� ��� ������������� ��� ������ � �������� ������� ������� ��� ��� �������� ������&����������������&� ���������������������3����&��� ����&� ��������� ����������������������������������������������������������������� ���������������������������������������������)��������������������&���� ������"� ��#� ��������� �� ��������3�� ��������� ��� ������� ������
( ) ( , ) ( ) ( ),b
a
f x K x t f t dt x�� �� .a x b� � � !�@!�
5�� � 2 � / ��� ��� , 0,1, ,jt a jh j n� � � � ��� �� 0 and .nt a t b� � "���$��� � !�@!�� ��� ��� ����� �
11
0
( ) ( , ) ( ) ( ).j
j
tn
j t
f x K x t f t dt x�
��
�
� �� � � !�@ �
3�� �� � ��������� ��� ������� ���� ��� $��� � !�@ �� ��� ��� �������H�����H����� ����� ���������� ���)����� 9&� ����� �� ������ ( )f t ��� ��� ��������� ��� ������ ����������� ������� ( )nf t ������ ��
1 11
( ) [( ) ( ) ( ) ( )].n j j j jf t t t f t t t f th � �
� � � � � !�@'�
���������� $��� � !�@'�� ��� $��� � !�@ �&� �� ����
11
1 10
1( ) ( , ) [( ) ( ) ( ) ( )] ( ).
j
j
tn
j j j jj t
f x K x t t t f t t t f t dt xh
�
��
� �
�
� � � � �� �
����� ,jt t ph� � ���� �����
11
10 0
( ) [(1 ) ( ) ( )] ( , ) ( ).n
j j jj
f x h p f t pf t K x t ph dp xφ−
+=
+ − + + =∑ ∫
#�� �� �� � �� , 0, 1, 2, , ,ix x i n= = … �� ����
1
10
( ) ,n
i ij j ij j ij
f f fα β φ−
+=
+ + =∑ ( 0,1, 2, , )i n� � � !�@(�
����
1
0
1
0
(1 ) ( , )
( , )
ij i j
ij i j
h p K x t ph dp
h pK x t ph dp
�
�
��� � �����
� � ���
�
�
� !�@@�
��
( ) ( )i if f x f a ih� � �
$������ � !�@(�� ���������� � ������ ��� �� ; �� ������ �������� ��� �� ; ������ �� 0 1( ), ( ), , ( ),nf t f t f t… ��� ��� ��������� ��� �������� 3�� ���������� ���� ��� �������H��� �������� ��� �� ��������� ��������
������� �� 3���������������5���B����������������������$����� !�A�"���������� andij ij� � ���$���� !�@@��������������������������#�� ������
1
0
1
2 20
0( , ) ( , )
1 1
1 ( )
i jX i j K x t ph dp
dph i j pπ
= +
=+ − −
∫
∫
12
1tan
1 ( )( 1)
h
h h i j i jπ− ⎡ ⎤
= ⎢ ⎥+ − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
��1
0
1
2 20
2 2
2 2 2
1( , ) ( , )
1
1 ( )
1 1 ( 1)log ( ) 0( , )
2 1 ( )
i jX i j pK x t ph dp
p dp
h i j p
h i ji j X i j
h h i j
π
π
= +
=+ − −
⎡ ⎤+ − −= + −⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
������ !�(* ��������N������ 397
398 )������� !* +�������������������#������$������
���
[ 0( , ) 1( , )]ij h X i j X i jα = − �� 1( , ).ij hX i j� �
3��� � / @&� �� ����� ����� $��� � !�@(�� ��� �������
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2 3 4
0 1 2
1.076 0.126 0.081 0.050 0.018 1.0
0.071 1.153 0.126 0.081 0.029 1.0
0.047 0.126 1.153 0.126 0.047 1.0
0.029 0.081 0.126 0.153 0.071 1.0
0.018 0.050 0.081 0.12
f f f f f
f f f f f
f f f f f
f f f f f
f f f
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+ + + 3 46 1.076 1.0f f+ =
"��� �������� ��� ���� �����&� ����� ��� �����0��������&� �� ������� ��� ������ ���������"��� ���������� ���� ������� ����� / A&� 9� ��� ('� ����� ������&� ������� ��� ��� ���� �����&� ��� ������ ���� *
x Exact y(x) n Computed y(x) Error
0.0 0.65741 4 0.65609 0.00132
8 0.65708 0.00033
16 0.65733 0.00008
32 0.65739 0.00002
1.0 0.75572 4 0.75484 0.00088
8 0.75550 0.00022
16 0.75566 0.00006
32 0.75570 0.00002
)��������� ��� ��� ������� ������� ��� ��� �������� ���H����� ��������� ���� ��� ������� ��� $������ !�A�� ��� �� �� ���� ����� ������ ����������� ��� ��� �������� ���H����� ������"��������� ��� ������������ �����
�� ��� ��� ���� �����"��� ���� ������� ���������� ��� ���� ��� �������H��� �������� ��
������� ������������������ ���������� ����������
������� �� 3������������� ���������������������������������������������� ��� � ��� �� ��������������� ��������� ������
#�� ���� ������ �������� ��������&� �� ��� ��������� �� ������� ��� ������������������� ��� ��� ������� ��� � ����� ������� ��� � ������� ,��� � ����� ������������ ������� ��� &�.������ < =9 ?��������� ��� ������ �������������
0
1( ) 2 ( ) ( , ) ( ) ,
L
v s x s K s v d� � �
�
�� � � 0 s L� � ���
����
2 2
2 2
2 2 2
1 ( )( , ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) 2
( ) ( )
4,
( ) ( )
x y y xK s K k
yx y
x y y x x y y xE k
y x y
y dxK x
dsx y
ξσξ η
ξ η ξηξ η
ηξ η
⎫′ ′⎧ − −= ⎨ ⎪⎩− + + ⎪
⎪⎪⎫⎡ ⎤ ⎪′ ′ ′ ′− − − − − ⎪ ⎬− +⎢ ⎥⎬⎪− + −⎢ ⎥⎪⎣ ⎦⎭ ⎪⎪⎪′= =⎪− + + ⎭
����
��� ��$�� ��� ��$�� ��� �������� �������� �������� ��� ��� ����� ��� ������������������������ �����������$��#�����&������������������������������������������ ��� ��� ����� ������� ����� ����� ��� ��������� ����������� ��� �����������4��������B����������7�������� �������������� ��� ��������� �������� ��� �������� ��� ������ ��� ��� ������ ���N���� � < => ?� ��� ����< =>(&� =>9?&� ����� ������� ����������������� �������6����� ������������
�����$�� �����$�� ������ ���7 ���� < =(@?&� ��� ������ ( , )K s � ��� ����� ��� ������� ���� ��� ����*
( , ) ( , ) log ( , )K s P s s Q sσ σ σ σ= − + �����
����
12 2
1 12 2
1 ( ) 2( , ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 22 [ ( ) ( )]
( ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) log
�� � �� �� � � �
�� ���
�� � �� � � � � �
� � �� ���� � � �
x y y xP s E k
yx y
x y y xK k E k
x y
Q s K s P s s
��
�� �
� ��
�� �
� � � �
����
��
2 22 21 2 2
( ) ( )1 .
( ) ( )
x yk k
x y
ξ ηξ η
− + −= − =− + +
3��� ,s� � �� ��� ������ �
2 2 22 2
( , )2
1 1 1( , ) log ( ) log4 log4 1
2 2 2
xP s s
y
x y y xQ s s x x y y y
y x y
′ ⎫=− ⎪⎪⎬⎧ ⎫′′ ′ ′′ ′−⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎪′ ′ ′= − + + + − −⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪′ ′⎣ ⎦ +⎪ ⎪⎩ ⎭⎭
���
������ !�(* ��������N������ 399
400 )������� !* +�������������������#������$������
"��� ������ ��� �������H��� �������� ���������� ��� )����� 9� ��� �� � ��������� �� ������� ��� ������� ������� ���� �� � ������ ��� ������ ���������������
"����������� ��������������������������������������������������������������0��������&����������������������������� 90 .s � � "������������������� ���'!����������������� ���������� ��������������,��� ��� ��������������&��������������� �8� sin s ��������������-������������������� ���� ��� � / !� ��� � / '!&� �� �� ������ �� ��� ������ �������������� ��� ��
Accurate values (in deg) of v(s) Computed value Error
18 0.4635 0.4619 0.0016
36 0.8817 0.8816 0.0001
54 1.2135 1.2141 0.0006
72 1.4266 1.4275 0.0009
90 1.5000 1.5011 0.0011
,������������������������������������������$����B��������&�����N���� < =9 ?�
10.4 METHOD OF INVARIANT IMBEDDING
"���� ������������� ������������&����������������� �� �������������N�����M������� < =9=?&� ��� ��� ��������� ��,�������� ������� ����������� ��������� ����
0
( ) ( ) ( , ) ( )a
y x g x K x s y s ds� � � � !�@8�
����
0
( , ) ( ) ( ) ( )K x s f xz f sz w z dz∞
= ∫ � !�@8��
#�� ��� ������ ��� ������� ���������&� $��� � !�@8�� ��� ����� �� ����� �� .������ ������� ������� ��� ��� ����
0
( , ) ( ) ( , ) ( , ) ;t
y x t g x K x s y s t ds� � � 0 ;x t≤ ≤ 0 .t a� � � !�@9�
��������������������������������������������.�������������������� !�@9�� ���� �����2��������������������������� ��� �����0���������������� ��� ��� ��� ������ ����������� "��� ����������� �� ��� �����0������������� ��������� � ������� ��� ���������� �������� ����������� ��
��� ��������������� ��� ��������� �� �������������������N������M������< =9=?��3�&� �� ����&� ��������� ��� ����������� �� � ������� �������
������� ��� 3��������������������������������������������D���< =9=?� ��� ���� ������� ��� ����������� ��� ������ �������� ��� � ����0�������� ������ ��������� � ����������� ����� ������ ������� �� ��� �������������"��� ���������������� ��� ������ ������� � H���� ������������ �������������������� �������������� �������� �� ���������������,�������������� ������� ��� ��� ������� ����
1
0
4( ) ( , ) ( ) ,y x K x s y s ds
�
� � �� ���
����
2
0
2( , ) cos cos ,HK x s e x s dξ ξ ξ ξ
π
∞−= − ∫ ����
��� ���� ( )y x ����������������0�����������H������������������������������ ��� ������� ������� �� �������� ��� �������� �� ��� ������ ��� ������� ��� � ��� ������G� �� ��� �����&� ����� ��� ��������� ��� �����������&��������������� ��������*����������������������� 0,H z� � � �������������0���� 0 ;z� � � ��� �� ��� ��������� ����������� ��� ��� ������� ����� ����� ��� ������� "��� ��������� ��� �������� ������ ��� ��� ���������� ��� ������ ��� ��� ����� ����� ���������� ����� ��� ������� ������� �������� ��� ��� �������� ������������� ���� ����� ������ ��� ��� ���� ��� �������� ��� ��� ����� �� �� ��� ��� ������� ����� ��� ����� �������&� ��� ��������� ��� ���� ���� ������� ����&� ��� ������� �� ������� ����������� ���������� ������
,��� ��� ��������� �������� ��� ��� ������ ��� ������� ���������&� �������� ��� ��� ����� ��� ������� �� ��� ��� ���� ������ ��� ��� �������� ���������������������J���������������"���&���������0�������������������*
21
21
( ) 2cos ( ) ( ) cos ( ) ( )
(1 )
2cos( ) ( ) cos ( ) ( )
(1 )
(0) 0
�
�
�� ��� �� ��� �� ��
� � �� � �� �� � �� �
��
�
�
Nik
k m m m mkm m
N
i m m m imm m
ik
dR ttA F W A tA R t
dt a
tA F W A tA R ta
R
�����
������ !�@* C��������#������#�������� 401
402 )������� !* +�������������������#������$������
��
21
21
( ) 2( ) ( ) cos ( ) ( )
(1 )
2cos ( ) cos ( ) ( )
(1 )
(0) 0, 1 , 0 1.
�
�
�� ��� �� ��� �� ��
� � �� � �� �� � �� �
�� �
�
�
Ni
m m m mm m
N
i m m m imm m
i
de tg t F W A tA e t
dt a
tA F W A tA R ta
e i N t
����
����( ) ( , )i ie t e A t�
���������&
21
2( , ) ( ) ( ) cos ( ),
(1 )
Nm
m m mm m
Fy x t g x W A xA e t
a== +
+∑ 0 1.x t� � � ���
#�� $���� ������ �� ���&� ��� �����
1
1n
nn
aA
a
��
�
�������&���������������� �������������� ��������� ���'0�����J������������� ������� �������� ��
1
11
( ) ( )N
m mm
f x dx F f a�
�
���
"���$������������������������������������������������0������M����2N������&� ��� �� ����0" ��� *������� � ������ "��� ������� ��� ������� ��� ������ �������� ��� ��� ������ ��� ��� ����� ���� ���� ���� ��������� ��������+*
H x y(x)
1.05 0.0 –1.7718
1.0 –1.7013
1.1 0.0 –1.7450
1.0 –1.6813
1.2 0.0 –1.6898
1.0 –1.6464
1.3 0.0 –1.6599
1.0 –1.6169
1.6667 0.0 –1.5618
1.0 –1.5397
��������������������������������� ��������������� ���� ������������������������ ���D���&� �� �������� ��� ��� �������� ��������������������������������������������������������������������������������
�� ������ ���� ��� ��������� ��� �� ��� ����� ������ ��� ��� ������ �������������������������������������������������������������������������������� ��� ������ ������ ���������&� ��� �� ��������� ������ ����������������������������������������������������������������������������������&� ������ ��������� ����������� ��������
EXERCISES
.������ ���������������������������� ����������������������������������������� ����� ���� �D�������� !� 2 !�8�*
���� � ���� /� *1
0
( ) ( 1) ( ) .xt xf x x e f t dt e x+ − = −∫
���� � ���� /� ��*1
0
( ) sin ( ) ( ) 1.f t tx f x dx+ =∫λ
���� � ���� /� ���*0
( ) sin 2 cos ( ) ( ) .x
xf x e x x t f t dt= + −∫
���� � ���� /� �*3
1
15 2( ) ( ) ( ) .
18
xx x t t dt� �
−= + +∫
��� � ���� /� � 2 *1
0
3 5( ) ( ) ( ) .
2 6f x x t f t dt x= + + −∫
"���������������� ����������������������������������������������������D�������� !�92 !�A�*
��� ���� ;� �� /� ���� �& ��!�� /� !& ���!�� /� !�
���� ������ 2� ���� ;� �� /� ��& �� �� /� & ��� �� /� !�
���� ���� /� � 2� ��& ��!�� /� ���!�� /� !������� ��� ����� ���� ������� �������� ��� ��������� ��������D�������� !�=2 !� '�*
��� � ���� 2� �/4
/4
tan�
��
� �� � ���� ��� /� ��� ��
����� � ���� 2� �/2
0
sin�
∫ �� ��� � � ��� �� ( ���� ��
$������� 403
404 )������� !* +�������������������#������$������
����� � ���� 2� �0
sin�
� �� 2 �� � ��� ��� /� ��� ��
����� � ���� /� �2
0
sin�
� �� ; �� � ��� ��� ;� ��
����� ������ ��� ��������������� ���D�������� !�@���� !�8�����������B� I(0������ #�� ���� ���&� ������� ��� ����� ���� �� ����� ���������������������� �� ������������)������������������ ��� ��������������
Answers to Exercises
���� �������
���� 7���� ��� �����
���� �������
���� �������
��� � ���� /� � 2 � �������� ��� ������� ������
��� � ���� /� 20
( – )x
x t∫ ���� ��� 2� ���� �� ;�
����2 2
1
1 1( ) 1 ( )� �� � � �
x
x t t dtx x
����2
0
( ) ( ) ( )2
xx
y x x t y t dt= − −∫
��� � � ���� /� � cot2
x� +
�����2 sin
( )2 �
�
�
xf x
�����2 2 2 2
2 sin 4cos( )
4 4
x xf x
��
� � � �= +
+ +
����� 2 22 2 2 2
sin cos( ) 2 , 1.
1 1
��� � �
� � � �
� �� � � �� �
� �� �
x xf x x
����� ��� � � /� !&� ��� /�1
2& ��� /� &� ���� � � /� 2 &� ��� /� 2
1
2&� ��� /� !�
���
���������������� ����
�������
11.1 INTRODUCTION
���������� ������������������ ������������������� ���� �� ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ����� ��� �� ������� ����������� ��!� ����� ����������� ��� ��������� �������� �� ����� ��� ���� ��� "��� ��������� ���� ���� ��� ����� ���� ��� ����������������������������������������#����������������������������� ��� �� ����� �� ����� �� ���� ��� ����������� $����%�� ������������������ ��� ������� ����������� ��� ����������� ������ ������������� ��������� ���������� ��������� &��� ������� �� ����� ��� ������ �� �$����� ��� � ��� '���� ()� *+�
%�����������������������������������������������������������������������������������������������,������������$���������������������� ���������������������������������������������,�����))�)�-�%�������������������������������������������������������$���������� ��������� ����������%��� ��� ���� ��� �� ��������� �������� ��� ���������������� ���� �� $��� ��������� ��� ��������� �� ������ ��� ���������� ���� %�� ���� ��� ������� ����������� �����$������� ��� ����� ��� ��� ��� ������ ����� �� ������ ������ ���������������������#�� �� ���� ��������������������
����#�����#�������������������������$������������������������������� �� ����� ��� ��������������� ������ �����#�� ���������� �������������������������������������,�����))�-������������������������������������$����������.��� ��'����#�/'�.���������� ��0��� ��
406 ��������))1 %��&����2����3���
��������'����#������������������������������������������������� '�.� �������� �� ���������� ������ ���� �� ���� ����� ������� �� �� ���#����������������������'����#�/'�.�������������������$��������������������4��,�����))�)�)5����0��� ����������������#������#������������������������������.�������������������$������������%�� ���� ���� ��� ������ �� ����������� !� ���������#� ��� ���� ����������������#���������������������������������������������������������
%�������������������������������������������������������� �������� ��������� ������������ ��� �� '����#�/'�.� ���� 0��� ��������� ������������� ������� �����������������������$������� �����������������������������������������#�����#��������������������� �� ����� ���������� ������������ ��#������ ��� ���������� ����������� ��� ������� �#����� ������ ������ � ���� ���� ���� ��� ��� ��������������������������������$�����������������������������������%������������������$���������������������#���������������������� ����� ��� �� ����� ������������� ���� ������� �� ������ ��� �����
��� �������� ������ ���� ��� ����� ��� ��� ���� �� ��� ���� ���#���#����������������#�������������������#�����������������������������������������������������������������#��������#�������������������� &��� �������������� ��������� �������� �$������ �����������������������������,����������������������������������������������������������������������������������������������� ������ �������������� �������� 4�� ,����� ))�6�)5�
2$������ ��� ������� ����� ����� ��� ������ ��� &�#� ))�)�
NodeNodal Line
(a) Line element (b) Triangular and Quadrilateral elements
Figure 11.1 Typical finite elements.
11.1.1 Functionals
%�� ������ ��� �� ���������� ��� ������� �� ��������� �� '����#�/'�.����������������� �� ��������� ��� �� �$� �������%���� ������ ������ ��������������������������������������������������������������������������������3����������������������������������������������������#��$����������� �� ��#��������� ������� ��������� ��� ( , , ).f x y y′ 7�� ���#����� ��� �� �������� ��� �� ���������� ���� ���� ��������� ���� �
��#������ ��� �������� ���� �� �#����� ��������� ���� $������ �� ��#�����������
( ) ( , , ) ,b
a
I y f x y y dx′= ∫ 4))�)5
���� �4�5� �������� �� ��������� ��������� ( ) ( ) 0.y a y b= =%����#����� �� �����#������������������������������������ ����������� �� ���������� ���� ��� ������ ��� �� �������������� ���������� �� �������� ����� �� ���� ������� �� ����� ��� �� ������ ��#���� ��� 2��� 4))�)5� &������������ ��� ���������� �� ���� ��� �� �������� ��������� ���� �4�5� �� ������$������������4�5��������������2���/8�#���#�����������������
0.f d f
y dx y
⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠4))�-59
,���������� ���� ����������� ��� �� ����
( ) ( , , , )b
a
I y f x y y y dx′ ′′= ∫ 4))�:5
�� 2���/8�#���#� ������� � �� �� ����
2
20.
f d f d f
y dx y ydx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟′ ′′∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠4))�65
%��2���/8�#���#��������4))�-5��������������������������������������������#��������������������������������%�������������������������� ��� ��� �� � �� ��� ��� $����� ����� ����� �� �� ��� �������������������%������������������������������������������������!�������������� ��� ��� ��� ��� $��������� ��� $���� ��� ����������� �� ������������������� ���� $���� ��� ��� $����� ���� ��� $���� &��������� ��� ������������������������������������������������%������������������������������������������������������������������������������������������� �� �������� ��� �#�����#� ��������
3������������������#�����������������#�����#����������������������������������������������������������������������&����������������������������� �� ������������ ��������.������������������������������� ������� ��� ���� ��� �� ���� ��#�� ��� �� #���� ������ ��� ������������ ��������� ������� �� ���������� ���������� �����������������������������#��$���������3������������������������������������������ �������� �� ���������� ����� ��#������#����������� ������������ %���� ��� ��������� ��������� ��� $�����
����� ����� � ���� ������ �������
,����� ))�)1 ���������� 407
408 ��������))1 %��&����2����3���
������� � &������������������������������������������������ ��
2
2( )
d yf x
dx= 4�5
���
( ) ( ) 0.y a y b= = 4��5
�� ���
2 2
2 2, since ( )
( ) , on integrating by parts
( ) , since ( ) ( ) 0
, since ( )
1
2
�
� �
� �� �� �� �
� � � �
� � �� � � � � �
� � � � �
� �
�
�
�
�
b b
a a
b
a
bb
a a
b
a
b
a
f y dx f y dx
d y d yy dx f x
dx dx
dy dy dy y dx
dx dx dx
dy dy dx y a y b
dx dx
dy dy d dydx y
dx dx dx dx
dy
dx
� �
�
� �
� � �
� � �
�
2
21.
2 � � � � �
�
�
b
a
b
a
dx
dydx
dx�
7��
210.
2
b
a
dyfy dx
dxδ
⎡ ⎤⎛ ⎞+ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫
�����������������������������������������4�5���4��5�$�������������������� ��� �� ��#���� ������ ��
21
( ) .2
b
a
dvI v fv dx
dx
⎡ ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 4���5
!����� ���������������#������������������������������������������� ��������#� 4,� '���� ()� *+5�
8� �4�5� �� �� �������� ��������#� �� ������� ��������� ����������� ��.��4�5� ;� �4�5� ;� <�� 3������� �� ���������� ������� ����� ��� �� ����
/���� =� � 4�5� ;� <��� �� ���� ��#��� ���� ����� �� ����� ��� �����
[ ]
0 –
–
( )
b b
a a
b bba
a a
b
a
vy dx vf dx
vy v y dx vf dx
v y vf dx
′′= +
′ ′ ′= + +
′ ′= +
∫ ∫
∫ ∫
∫&�������� ��������� ;��� ��� �� ����� ������������ ����������� ���� ��� )>-��� ��� ������ �� ������� ���������
21( ) ,
2
b
a
I v v vf dx� �
� ��� �� �
������ ��� �� ���� ��� 2��� 4���5� ������� ������?�����������������������#�������4���5��������������������������
������������ ����������������������������������������������������� �������������������� �������� ���� �� ������
���������������������������� �������$������������������������� ����������� �����������#� �� �������������� ��������� �� ���� ����������������������������������������������������������������������������������������������������#���������������������������������
4�52
2( ), ( ) ( ) 0
d yf x y a y b
dx= = = 4))�*5
( ) (2 ) .b
a
I v v f v dx′′= −∫ 4))�@5
4��52
22
1
, 0 1; (0) 0, 1x
d y dyky x x y
dxdx =
⎛ ⎞+ = < < = =⎜ ⎟⎝ ⎠4))�A5
� � � � � �
1 22 2
0
1( ) 2 (1).
2
dvI v kv vx dx v
dx
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 4))� 5
,����� ))�)1 ���������� 409
410 ��������))1 %��&����2����3���
4���5 2 2 ( ), ( ) ( ) 0�� �� � � �x y xy f x y a y b 4))��5
2( ) 2 ( ) .b
a
dI v v f x y dx
dx⎡ ⎤′= −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 4))�)<5
4��5 2 0, 0u u∇ = = ��� �� ��������� �� ��� �� 4))�))5
221( ) .
2R
u uI v dxdy
x y
⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞⎢ ⎥= + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ 4))�)-5
4�5 2 , 0u f u∇ = − = ��� �� ��������� �� ��� �� 4))�):5
221
( ) .2
R
u uI v uf dx dy
x y
⎧ ⎫⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂⎪ ⎪⎛ ⎞⎢ ⎥= + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭∫ ∫ 4))�)65
4��54
4
2
2
( ), 0
0 at 0,
d yEI ky f x x l
dx
d yy x l
dx
⎫+ = < < ⎪
⎪⎬⎪= = = ⎪⎭
4))�)*5
222
20
1( ) 2 .
2
ld v
I v EI kv vf dxdx
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥= + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ 4))�)@5
11.1.2 Base Functions
,������ �� ����� �� �����$���� �� ���������� �������� � 4�5� ���� �� �����������(����+��!���������������������������(����+��������������������������(���� ��� +� 0, 1, 2, , 1,i n= … − ��� 0x a= ��� ,nx b= ���� �� ������������������� ����������� � 4�5� �� ������������������ ����������� ��(���� ��� +�� �� ������ �����$�����#� �������� ��� #���� ��
1 11
( ) [( ) ( ) ],i i i i ii
l x x x f x x fh + += − + − 4))�)A5
��� 1 .i i ih x x+= − &�������������������������������������������#�������� ��� 0[ , ]nx x ��� �� �������
0
( ) ( )n
i ii
P x x f�
== ∑ 4))�) 5
���
1 0 0 10
1
1 1 1
1 1
1
0 1
1 1 1
( )/( )
0,
( )/ ,
( ) ( )/ ,
0,
0,( )
( )/
n
i i i i
i i i i i
i
nn
n n n n
x x h x x xx
x x x
x x h x x x
x x x h x x x
x x
x x xx
x x h x x x
�
�
�
− − −
+ +
+
−
− − −
⎫− ≤ ≤⎧⎪= ⎪⎨≤ ≤ ⎪⎪⎩
⎪⎪− ≤ ≤⎧⎪⎪ ⎪= − ≤ ≤⎨ ⎬
⎪ ⎪≥⎩ ⎪
⎪≤ ≤ ⎪⎧⎪= ⎪⎨
− ≤ ≤⎪ ⎪⎩ ⎭
4))�)�5
%�� �������� ( ), 1, 2, ,i x i n� = … ��� ������ �� �� �������� � ��� ����������� �� �� ��� ������ ��� ��� �� ���� �������� ( )i x� ��� ���������� .��$��� ���� �� ���# 1 1[ , ]i ix x− + ��� ( ) 1.i ix� =
B��� ���� ��� ���� ��������� ����� ��� ������� 7���� ������������������ �������� ���� ��� ����� ���� ��� �� ������� ��� ��� ����� ��� ���������� ��� ���� ��� �
11.2 METHODS OF APPROXIMATION
����������������������������������������$����������.�����������/�������������������������!�����������������������������������������$��������������������������������������.���%����������������� ��� �� 0��� ��� ���� �������� �� ��� ��� ����� ������.����� ������ �����#�� �� �� ����� ������ ��� ������ �������������� �� ������ ���� ��!�������#������0��� ������������������� ��������#������#����������� �� ������� ���� ���� ��� ������ �� ����������
?��������������������������������������� ���������$������������������������������������������������������������C���������� ������ ����� ���� ���� ��� �������#� �� ���� ���������
11.2.1 Rayleigh–Ritz Method
����������������������������������������������������������$����������� ��� ����� �� ������ �������� ��� ������ ��������� �������%���������#���������$������������������������������������������������������� �� ������� �� �����$�������� �� ������ ��� ���� ��������� ������� ���������
�� $������ ���� ����� ��� ���������#� ����������� �������������������� ������ ��
( ) ( ) 0,y p x y q x′′ + + = ( ) ( ) 0.y a y b= = 4))�-<5
,�����))�- 3��������!����$������ 411
412 ��������))1 %��&����2����3���
%�� ���������� ���� �� ����� ������� ��� #���� ��
22( ) 2 0.
b
a
dvI v pv qv dx
dx
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ 4))�-)5
&���� �� ��������� ��� �� ���������� �� ���� ��� ��� �4�5�� �� �������� ��2���4))�-<5����������������2���4))�-)5���������#���������������������,������������ �����������������2���4))�-<5�������������������$����������� ���� ������ �� �������� ��� �� �����$������� ��� ��� ���#���� ������������ %���� ��� �� ������ ���� ��� ��'����#�/'�.������C���� �
1
( ) ( )n
i ii
v x x� �
== ∑ 4))�--5
�� ��� �����$���� �������� ���� �� ���� ��������� ( ),i x� ��� �����������������������������������������������#�������2���4))�-<5�������
( ) 0i a� = ��� ( ) 0.i b� = 4))�-:5
,�������#� ���� �� ��� 2��� 4))�-)5�� �� �����
22
1 2( , , ) ( ) ( ) 2 ( ) 0.b
n i i i i i i
a
dI x p x q x dx
dx� � � � � � � � �
⎧ ⎫⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎡ ⎤… = − − =⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑ ∑∫
4))�-65&��� ��������� �� ���
1 21 2
0.nn
I I I�� �� ��
� � �
∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂
� 4))�-*5
,���� � i�� ��� ���������� 2��� 4))�-*5� #���
0,i
I
�
∂ =∂
1, 2, , .i n= … 4))�-@5
����� �������������� �������������������>���� ���2��� 4))�-@5�������� ����� ��
i� ���� ���� �� ������ ������������������������������'����#�/'�.�����������#�����
������ �������� ��� �� ������� �������� ��� �� �������� i� ��� ��������������� ���� ������� � ���� �� ������� ��������� ���������� ��� ��������� %�� ��������#� $������ �������� �� ����� ��� ��������
��������� ���������������������������������������������� ��
0,y x′′ + = 0 1,x< < (0) (1) 0.y y= = 4�5
&���� 2��� 4))�@5�� �� ���1 1
0 0
( ) ( 2 ) (2 ) .I v v x v dx v x v dx′′ ′′= − − = − +∫ ∫ 4��5
8
1
( ) ( )n
i ii
v x x� �
== ∑ 4���5
���
(0) (1) 0i i� �= = ���� ���� �� 4��5
,�������#� 4���5� ��� 4��5���� �����
1
1 10
( ) ( ) 2 ( ) .n n
i i j ji j
I v x x x dx� � � �
= =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥′′= − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑∫ 4�5
&��� ���������� �� �1
0
( )i ip x x dx�= ∫ 4��5
���1
0
110
0
1
0
( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( ) , on integrating by parts
( ) ( ) ,
ij i j
i j i j
i j
q x x dx
x x x x dx
x x dx
� �
� � � �
� �
′′=
′ ′ ′= −
′ ′= −
∫
∫
∫ 4���5
����#� ��������� ���������� 4��5�%��� 2��� 4�5� �����
1 1 1
( ) 2n n n
i i i j iji i j
I v p q� � �
= = == − −∑ ∑ ∑
7�� / 0iI �∂ ∂ = #���
1
2 2 0,n
i j ijj
p q�
=+ =∑ ( 1, 2, , ).i n= … 4����5
����������������������$��������������� 2n = �����������������1( ) (1 )x x x� = − ��� 2
2 ( ) (1 ),x x x� = − ��� ��� �� ��������� ���������� 4��5��� ��������
,�����))�-1 3��������!����$������ 413
414 ��������))1 %��&����2����3���
C���� ����� 4��5�� �� ���
12
1
0
1(1 )
12p x x dx= − =∫
���
13
2
0
1(1 ) .
20p x x dx= − =∫
!���� 1( ) 1 2x x�′ = − ��� 22( ) 2 3 .x x x�′ = − 2������� 4���5� #���
12
11
0
12
12 21
0
12 2
22
0
1(1 2 )
3
1(1 2 ) (2 3 ) , by symmetry
6
2(2 3 ) .
15
q x dx
q x x x dx q
q x x dx
= − − = −
= − − − = − =
= − − = −
∫
∫
∫2�������� 4����5� ����#��
1 24 2 1� �+ = ��� 1 210 8 3,� �+ =
����� ������� ��� 1 2 1/6.� �= = 7��
2 21 1 1( ) (1 ) (1 ) (1 ).
6 6 6v x x x x x x x= − + − = −
�� ���� �� ������� ��� ���� ��� �� $��� �������� ��� �� ������� 4�5�
������� � ,���� �� �������������� ������� ������ ��
,y y x′′ + = − 0 1x< < 4�5���
(0) (1) 0y y= = 4��5
%�� $��� �������� ��� �� ������� 4�5� ���� 4��5� ��� #���� ��
sin( ) .
sin1
xy x x= − 4���5
%�� ����� �������$���� ����������� ��'����#�/'�.��������� � � ����������� ��� �� ����
12
0
( ) ( 2 ) .I v vv v vx dx′′= + +∫ 4��5
8� ��� �����$���� �������� �� #���� ��
1
( ) ( ),n
i ii
v x x� �
== ∑ 4�5
���
(0) (1) 0i i� �= = ���� ���� �� 4��5
,�������#� ���� �� ��� 4��5�� �� �����
1
1 1 1 1 10
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( )n n n n n
i i j j i i j j i ii j i j i
I v x x x x x x dx� � � � � � � � � �
= = = = =
⎡ ⎤⎢ ⎥′′= + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑ ∑∫
4���5!�� ��� �� �������� $������ �� �
1
0
( )i ip x x dx�= ∫ 4����5
���
1 1
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) .ij i j i jq x x dx x x dx� � � �′′ ′ ′= = −∫ ∫ 4�$5
&������ �1
0
( ) ( ) .ij i jr x x dx� �= ∫ 4$5
2������� 4���5� ���� �����
1 1 1 1 1
( ) 2n n n n n
i j ij i j ij i ii j i j i
I v q r p� � � � �
= = = = == + +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 4$�5
&��� ��������� ��� ������� ���
1 1
2 2 2 0,n n
j ij j ij ii j j
Iq r p� �
� = =
∂ = + + =∂ ∑ ∑
������ ���������� �
1
( ) ,n
j ij ij ij
q r p�
=+ = −∑ 1, 2, , .i n= … 4$��5
%�� ������ ��� �����$���� ��������� �� � 2.n = %���� 2��� 4$��5� �����
1 11 11 2 12 12 1
1 21 21 2 22 22 2
( ) ( )
( ) ( )
q r q r p
q r q r p
� �
� �
� � � � � ���
� � � � � ��4$���5
,�����))�-1 3��������!����$������ 415
416 ��������))1 %��&����2����3���
�������# 1( ) (1 )x x x� = − ��� 22 ( ) (1 ),x x x� = − �� ��� �����
12
1
0
13
2
0
12
11
0
12
12
0
12 2
22
0
12 2
11
0
13 2
12
0
14 2
22
0
1(1 ) ;
12
1(1 ) ;
20
1(1 2 ) ;
3
1(1 2 )(2 3 ) ;
6
2(2 3 ) ;
15
1(1 ) ;
30
1(1 ) ;
60
1(1 ) .
105
p x x dx
p x x dx
q x dx
q x x x dx
q x x dx
r x x dx
r x x dx
r x x dx
= − =
= − =
= − − = −
= − − − = −
= − − = −
= − =
= − =
= − =
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫2������� 4$���5� ����#��
1 2
1 2
18 9 5
63 52 21.
� �
� �
+ =+ =
,�����#�� �� �����
1 0.1924� = ��� 2 0.1707.� =7��� �� �����$������� ��� #���� ��
(1 ) (0.1924 0.1707 )y x x x= − +
������� �� ,���� �� �������������� ������� ������ ��
0y x′′ − = 4�5���
1(0) 0, (1)
2y y′= = − 4��5
��� ��'����#�/'�.������
��� ���� ����� ��� ��� �� ��������� ���������� ��� ������� ���� �� �����������!����� �� $��� �������� ��� �� ������� ��� #���� ��
3
( ) .6
xy x x= − 4���5
%�� ���������� ���� ���� ������� ��� #���� ��1
2
0
( ) ( 2 ) (1).I v v vx dx v′= + +∫ 4��5
8
21 2( )v x x x� �= + 4�5
�� ��� �����$���� �������� ��� ��� �4�5� �������� �� ������� ������������������ ��.�� (0) 0.v = %�� 1 2( ) 2v x x� �′ = + ���� 2��� 4��5� #���
12 2
1 2 1 2 1 2
0
( ) [( 2 ) 2 ( )]I v x x x x dx� � � � � �= + + + + +∫ 4��5
7���1
21 2
1 0
13
1 22 0
0 [2 ( 2 ) 2 ] 1
0 [2 ( 2 ) 2 2 ] 1.
Ix x dx
Ix x x dx
� �
�
� �
�
⎫∂ ⎪= = + + +∂ ⎪
⎪⎬⎪∂ = = + + + ⎪
∂ ⎪⎭
∫
∫4���5
,������������� #���� �� ��� �������
1 25
6� �+ = − ��� 1 2
4 3,
3 4� �+ = − 4����5
����� �������� �� 1 13/12� = − ��� 2 1/4.� =%�� �����$���� �������� ��� #���� ��
(1) 213 1.
12 4y x x= − +
%�� ����� ������� ������� ���� ���� �� $��� ��������
11.2.2 Galerkin’s Method
%��'����#�/'�.������������������,�����))�-�)�������������������������������������������������������������������������������������#��� �������#� �� $����� ��� �� ���������� ������ ��� ��� ������� �������� ��������������������������������������������������������������������3��
,�����))�-1 3��������!����$������ 417
418 ��������))1 %��&����2����3���
�#�����#������������ $������ ��� ������� ������#������#��������������������������������������������������������������0��� ��D����������#�� �� �� ����� ������ ��� ������ ������ ���������� �� ������ ���� ���� ���� ������ ��� �����$�����#� �������� ������ �� ������ ��������� 4������������� ���� �� ��������� ���������5� ��� �������� ��� �� #���� ���������������������������������������� ������4�����������������.�����������������������������$�����#��������5��%������������������#������ �� ��#���� ��� �� �������� � �� ���� �� �������� ��� ��� �� �� .����� ���� �� ������ ��� ��� �� 2���/8�#���#� ������� �����������#� �� ����������� ��������� ���� �� ���������� ������� ��� �� �������� ������ �� '����#�/'�.� ���� 0��� ��� ������ ����� �� ���� ����� ����������
,� ,����� �)<�:� ���� ����������� ��� ���� ����� �� ����� ���������������� ����� ��������
11.3 APPLICATION TO TWO-DIMENSIONAL PROBLEMS
%������������������'����#�/'�.�����0��� ��������������������������������� �����#�� ����#���������� ��� ���� ���������� ������ ��� �������� ��� �� ������ ��� �������� �� �� �������� �� �������� ������������ ��� '�.���������� ��� $�����
������� �� �� �������� E������D�� ������2 2
2 2,
u uk
x y
∂ ∂+ =∂ ∂
0 , 1x y≤ ≤ 4�5
��� 0u = ��� �� ��������� �� ��� �� �#���� �%�� ���������� ���� �� ����� ������� ��� #���� ��
2 2
2 2( ) 2 ,
S
v vI v v k dx dy
x y
⎛ ⎞∂ ∂= − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠∫ ∫ 4��5
���� �� �������� ��� �� ��������� ��� 8
( , ) ( 1) ( 1)v x y xy x y�= − − 4���5
�� �� ����� �����$������� �� ��� �������� �� �������� �� ��������� ������������� 0v = ��� �� ������������ %�� ��������� ��� #���� ��
22
22
( 1) (2 1);( 1) (2 1);
2 ( 1).2 ( 1);
vv x x yy y xyx
vv x xy yyx
��
��
∂ ⎫∂ = − −= − − ⎪∂∂ ⎪⎬
∂∂ ⎪= −= − ⎪∂∂ ⎭
4��5
,�������#� ���� �� ��� 2��� 4��5�� �� �����
1 1
0 0
( ) ( 1) ( 1) [2 2 ( 1) 2 ( 1)] .I v xy x y k y y x x dx dy� � �= − − − − − −∫ ∫ 4�5
81 1
0 0
1 12 2
0 0
1 12 2
0 0
1( 1) ( 1)
36
1( 1) ( 1)
180
1( 1) ( 1) .
180
a xy x y dx dy
b xy x y dx dy
c x y x y dx dy
⎫⎪= − − =⎪⎪⎪⎪⎪= − − = − ⎬⎪⎪⎪⎪= − − = −⎪⎪⎭
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
4��5
2������� 4�5� ���� ���������� �2 2( ) 2 2 2 .I v k a b c� � �= − −
7��
0 2 4 4 .I
ka b c� �
�
∂ = = − −∂
%���
5,
2 ( ) 4
akk
b c� = = −
+����#� 4��5�
�� �������� ��� �� ������� �����$������� ���� �� ��� #���� ��
5( 1) ( 1).
4u v kxy x y≈ = − − −
%�� ����� ������������� ��� ��0��� ��������#���� �� ���� ���������� �����
11.4 FINITE ELEMENT METHOD
%��'����#�/'�.�����0��� ������������������������������������������������������������� �����������#� ��#������ �����$���� ������������#�����#����������!����������������������������������������������������������������������������4��������#���������������������5���������������� ���������� ����������� %��������� ��� �� ����������� ��� ������� ��������� ���� �� ������ #������ !����� ������ ��� ��� ���� ��#������������������ ���� �� �� ���� �� ������ #������ ��������� ���� �� ������������������ ��� �� ����� ���������� �� ����� ��� ���� ��'����#�/'�.���� 0��� ��� ������ ��� ���� ��� ����� �� ���� ��� �� ����� ����������������� ��� �������
,�����))�61 &����2����3��� 419
420 ��������))1 %��&����2����3���
��� �� ����� ��������� �� �#���� ��� ����� ��� ���������� ���� ��������������� ����#������ ������ �������� �� ���������������� ����������������������������#�������������������������������������#������������������������$���������%������������������������������������������������������������������������������������������������� �� ����������� ������ &��� ��� ��������� �� ����� ��� �� �������� �������� �� ����� ��� �� ��������� ����� ��� �� ������ �� ��������� �� ���������������������������������������������������������������������� �� ����������� ������ ��� �������� %�� ������ ���� �������� ��� ������ ��������� ��� ��� �������1
4�5 !� �����������"�%��#����������� �����������������������������������%��������������������������������� ��%������������ ����� ��� ���� �������
4��5 !���������������������#������ "�&�����#���������������������������������� ����������� ������������������ ������������%����� �������� ��� ������� ��� ��������#� �� ������� �������������� ���
1
n
i ii
u u �
== ∑
�����������������������������!����������# ,i� ������������
���������� �� ���� ������� ��� �������
4���5 $ ����"� %�� �$� ��� ��� �� �������� ��� �� ���� ������������������������������������������������������������������� � �� �� ����$� ����
,K ′ ′=u F
��� % ; �������#� ������� ����$�� ��� ′u ��� ′F ��� ������������ ��������#� �� ������ ���� $����� ������
4��5 &�������� ��������� "� %�� ����� ����� ��� �������� ��� �����������#� �� ��������� ���������� ��� �� �������
4�5 ���������������#������ "�!��������������#������������������������ ����� ��� ������ ��� ���� �������� �������� ���� $������ �'(� ������������
%��������#������������#�������� ����������������������� ���� ����������� ��� �� ��������#� ������� ��� ���� ��������������$��������������$�����������������������������,������������������������������������������������������������������ ���� ������������������ ����������������������������� ��� ��������� ���
11.4.1 Finite Element Method for One-dimensional Problems
�� �������� �� �������� ��������� ����� ������� ������ ��
2
2( ), 0 1
d yf x x
dx= − < < 4))�-A5
���� �� ��������� ���������
(0) 0,y =1
0�
� ��� �� � x
dy
dx4))�- 5
%����������������������������������������������������� ���$������� 4��'���� ()� *+51
����)� 4!� ��������������� ��� ������5"� ��� ��������������� �� �#�������������������$������� 0x = � 1.x = ,���������������������������� �� ��� ������������ ������ ������ �� ��� ������� ��#��� ��� #������ %����������������������������� ��8������#������� 0 1 2 1, , , , ,nx x x x −…
,nx ��� 0 0x = ��� 1.nx = %�����������������������������F�� n ��� ��������������#� ������������ ��#���� �������� � / ) ��������8 1ex − ������������������������������ � / ) ������������ ( 1)ey − ��������� �� �� ������ ��� �� �� ��� ������ ���������� ��� #������ ����� ��������� ��������� ��� ��� ���� ��
( ) ( ) 0ey x = ���� ���� ����� �� 4))�-�5
&��� $������ ��� &�#�� ))�- ( )3( )ey x ��� ���.��� ����� ( )
4( ) 0.ey x =
x3 x4
e – 1 3 4e
Figure 11.2 Typical eth element.
G���#�2���4))�-�5�� �� ����������� ��#�����������$�������������� 4�5������� ����� ��
( )( ) ( ),e
e
y x y x= ∑ 4))�:<5
���� �� ��������� ��� � �� ���� ���� �� �����%�������������������.����������������������$������������
�� ���������� ���� �� ���� �������� �� ����������� ��������� ���� ��
���� *� 4+����������� ����������� ����� ��� ������� �5"�&���� 2��� 4))�-A5��� �����
1 1
2
2
e e
e e
x x
x x
d yv dx v f dx
dx− −
= −∫ ∫
,�����))�61 &����2����3��� 421
422 ��������))1 %��&����2����3���
������ ��� ����� ��
1
1 1 1
1
2
2
( ) ( )12 1
0
[ ] ( ) ( ) ,
e
e
e ee
e e e
e
e
x
x
x xx
x x x
xe e
e e
x
d yv vf dx
dx
dy dyv v dx vf dx
dx dx
v y vf dx v x D v x D
−
− − −
−
−
⎡ ⎤= +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ ′= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
′ ′= − − + +
∫
∫ ∫
∫ 4))�:)5
���
1
( )1
e
e
x
dyD
dx−
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦��� ( )
2 .e
e
x
dyD
dx⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
4))�:-5
��� �� �$� ���� �� ��� �� ����������� ����� �� �����$���� 2��� 4))�:)5��� �������� ���� ��� ����#� �� '����#�/'�.������
����,�4�������-����������������������������������5"�8���4�5����������$������� �� �4�5� ���� �� ���� ��� ��� ��
( )
1
( ) ( ),n
ee jj
j
y x x� �
== ∑ 4))�::5
���� � j� ����������� �������������� ( )j x� ��������$��������������� �� �� ������� ,�������#� 2��� 4))�::5� ��� 2��� 4))�:)5�� �� �����
1
1
( )
1
( ) ( )12 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) , 1, 2, , .
e
e
e
e
xne
j ijj x
xe e
i i e i e
x
x x dx
f x dx x D x D i n
� � �
� � �
−
−
=
−
⎡ ⎤⎢ ⎥′ ′⎢ ⎥⎣ ⎦
= + + = …
∑ ∫
∫ 4))�:65
2������� 4))�:65� ���� �� ����� ��� �� ����$� ����
( ) ( ) ( ),e e eij j iK Fα = 4))�:*5
����%�������.������������� ������ ��������������������������������� ������ #���� ��
1
( ) ( ) ( )e
e
xe
i jij
x
K x x dx
�
� � �� � � 4))�:@5
���
1
( ) ( ) ( )12 1( ) ( ) ( ) .
e
e
xe e e
i i e i ei
x
F f x dx x D x D� � �
−
−= + +∫ 4))�:A5
�����'����#�/'�.�����0��� ����������������������������������������������������������������� .j� �������������������������������������� �������������������������������������������� �� ��� ��������� %���� ��� ���� ��� �� ��������#� ����� 8
1 2( )y x x� �= + 4))�: 5
�� ��� �����$������� ��� �� ���� ����� ���
( )1 1 2 1 1
( )1 2 2
( )
( ) .
ee e
ee e
y x x y
y x x y
� �
� �
− − ⎫= + = ⎪⎬
= + = ⎪⎭4))�:�5
,�����#� �� �������� #���� ��� 2��� 4))�:�5�� �� �����( ) ( )
11 21
1
e ee e
e e
y x y x
x x�
−
−
−=
−4))�6<5
���( ) ( )2 1
21
.e e
e e
y y
x x�
−
−=
−4))�6)5
2������� 4))�: 5� ���� �����
( ) ( ) ( ) ( )11 2 2 1
1 1
( ) ( )11 2
1 1
2( ) ( )
1
( )
( )
e e e ee e
e e e e
e ee e
e e e e
e ei i
i
y x y x y yy x x
x x x x
x x x xy y
x x x x
y x�
−
− −
−
− −
=
− −= +
− −
− −= +
− −
= ∑4))�6-5
���
( )1
1( )e e
e e
x xx
x x�
−
−=
−��� ( ) 1
21
( ) .e e
e e
x xx
x x� −
−
−=
−4))�6:5
��� 1 1ex x −= ��� 2 ,ex x= �� �������� ( )ei� ���� �� ������
( ) 0,( )
1, .e
ji
i jx
i j�
≠⎧⎪= ⎨=⎪⎩
4))�665
,�����))�61 &����2����3��� 423
424 ��������))1 %��&����2����3���
������ ��� 2��� 4))�:*5�� �� ���� ���
( ) ( ) ( ),e e eij j iK y F= 4))�6*5
��� ( )eijK ��� ( )e
iF ��� #���� ��� 2��� 4))�:@5� ���� 4))�:A5����� �� ������ �� ( ) ( )e
i x� ��� ��� 2��� 4))�6:5�� �� ���� ��������� ���������� ��� % ���� ���� . ����� ��� ����������� �� ����� 2.f =���� 1,e e eh x x −= − �� �����
( )1 1e
e
d
dx h
�= − ���
( )1 1e
e
d
dx h
�= − 4))�6@5
���
1
1
1
2
11
12 212
22 2
1 1
1 1
1 1
e
e
e
e
e
e
x
e ex
x
eex
x
eex
K dxh h
K dx Khh
K dxhh
−
−
−
⎫⎛ ⎞ ⎪= − =⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪
⎪⎪⎪= − = − = ⎬⎪⎪⎪⎪= = ⎪⎪⎭
∫
∫
∫
4))�6A5
���
1
1
( ) ( ) ( )1 1 1
( ) ( ) ( )12 2 2
2
2 .
e
e
e
e
xe e ee
eex
xe e ee
eex
x xF dx D h D
h
x xF dx D h D
h
−
−
−
⎫− ⎪= + = +⎪⎪⎬⎪− ⎪= + = +⎪⎭
∫
∫4))�6 5
!�� �� ���������� ����� �� �������� �� ��������#� $�����
������� �� �� �������� �� ��������#� ������� ������ ��
2
22, 0 1,
d yx
dx= − < < (0) 0, (1) 0.y y′= = 4�5
%�� $��� �������� ��� �� ����� ������� ��� #���� ��
2( ) 2y x x x= − 4��5
����������� ���� 2��� 4))�-A5� ������ ��� ( ) 2.f x =
4�5�%���������� �� ���� �������� ��� �� ����� ���� ���������������� (<� )+� ���� ��� ����� ����������� ��� 1/2.eh = &���� 2���� 4))�6:5���� 4))�665�� �� ������ �� �������� ���� ���� �����
4�5 11: 0, 1/2,e ee x x−= = =
(1)1
(1) (1)
(1)2
12 2
2,1
2 2 2
� � �� ��� �� �
� � � �� �� �� � �
� � �� �� �
DK F
D
4��5 12 : 1/2, 1e ee x x−= = =
(2)1
(2) (2)
(2)2
12 2
2, .1
2 2 2
� � �� ��� �� �
� � � �� �� �� � �
� � �� �� �
DK F
D
7����#���������������������������������������������������������������#�����������$���������%��������������$�������������������������
����/� 4$ �������� ��������#������ 5"��������� $������ ���� ������������ �� �� ��� ����� ������� ��� 2$����� ))�@�� ��� ���� ����� ���������������������������-��,��������������� 4�5���������������� �������� ��� ��� ��� ���� )� ������� �� �� ���� ��� � � ��� ���� -�� &���� ��� ����� ��� 2$����� ))�@�� �� ������������ ���� �� $�������������������� �������1
(1)11 ,y Y= (1) (2)
22 1 ,y Y y= = (2)32 .y Y=
��� �� ����� ���� ���������� ����� �������� ��� �������� ������ ���������������������� ��������� �
G���#� �� ����� ��������� �� #������ ����� ��������� ��� �� #������������ ����� ������� ��
(1)1 1
(1) (2)2 2 2
(2)3 2
2 2 0 1/2
2 2 2 2 1 .
0 2 2 1/2
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � � � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �
Y D
Y D D
Y D
%�� �$� ��� ��� �� ���������� ��� ��������� ����������
���� 0� 4��� ������ ��� ��������� ��������� 5"� %�� ����#����� ����������������� #��� 1 0.Y = %���� �� ������ �� �������1
2 34 2 1,Y Y− = 2 31
2 22
Y Y− + =
���� (1)2D ��� (2)
2D ����������������� (2)2 0D = ��������������������
���������
,�����))�61 &����2����3��� 425
426 ��������))1 %��&����2����3���
%�� �������� ��� ���� ����� ��� #���� ��
23
4Y = ��� 3 1Y =
&�������� �� �����$���� �������� ����#���� �� ������� (<� )+� ���� ���� ������� ����#� �� �������
(1) (1)2 1 21 2
( )
(2) (2)12 31 2
1( ) ( ), 0
2( ) ( )
1( ) ( ), 1
2
3 1, 0
2 2
1 1, 1
2 2
ei i
i
Y x Y x x
y x Y x
Y x Y x x
x x
xx
� �
�
� �=
⎧ + ≤ ≤⎪⎪= = ⎨⎪ + ≤ ≤⎪⎩
⎧ ≤ ≤⎪⎪= ⎨+⎪ ≤ ≤⎪⎩
∑
��� ����������� ���� ��������������&���������������������������$����������� (1/4) 3/8 0.375,y ≈ =
������ ��� $��� ���� 2(1/4) 1/16 7/16.= − =4�5�%�� ������� �� ������������ ���� �������� ����� ����� ��� ��#�
)>6�� ��� ���� ����� �� ���� ������� ����
4�5 11: 0, 1/4e ee x x−= = =(1)11 4,K = (1) (1)
12 21 4,K K= = − (1)22 4K =
(1) (1)1 1
1,
4F D= + (1) (1)
2 21
4F D= +
(1) 4 4,
4 4K
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
(1)1(1)(1)2
1/4
1/4
DF
D
⎡ ⎤+⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦
4��5 12 : 1/4, 1/2e ee x x−= = =
(2) 4 4,
4 4K
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
(2)1(2)(2)2
1/4
1/4
DF
D
⎡ ⎤+⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦
4���5 13 : 1/2, 3/4e ee x x−= = =
(3) 4 4,
4 4K
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
(3)1(3)(3)2
1/4
1/4
DF
D
⎡ ⎤+⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦
4��5 14 : 3/4, 1e ee x x−= = =
(4) 4 4,
4 4K
−⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦
(4)1(4)(4)2
1/4
1/4
DF
D
⎡ ⎤+⎢ ⎥=⎢ ⎥+⎣ ⎦
%������������������������������������������������������ ���
(1)1 1
(1)22
3
4
5
4 4 0 0 0 1/4
4 4 0 0 01/4
1 0 0 0 0 00
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
� � �� �� � �� �� �� �
� � �� �� � �� �� �� �
� � � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � �
Y D
YD
Ye
Y
Y
1(2)
2 1
(2)3 2
4
5
00 0 0 0 0
0 4 4 0 0 1/4
2 0 4 4 0 0 1/4
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
� �� �� �� �� �� �
� �� �� �� �� �� �� �
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � �
Y
Y D
Ye D
Y
Y
1
2(3)13
(3)4 2
5
00 0 0 0 0
00 0 0 0 0
1/43 0 0 4 4 0
0 0 4 4 0 1/4
0 0 0 0 0 0
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� � �� �� � �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � �
Y
Y
DYe
Y D
Y
1
2
3(4)1
4(4)25
00 0 0 0 0
00 0 0 0 00
4 0 0 0 0 0
0 0 0 4 4
0 0 0 4 4
� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �� �
� � � �� �� �� �� �� �� � �� �� �� �� �� ��� � � � � �
Y
Y
YeDY
DY
!����#� ��� �� ������ �� �����
(1)1 1
(1) (2)2 2 1
(2) (3)2 13
(3) (4)2 14
(4)25
4 4 0 0 0 1/4
4 4 4 4 0 0 1/2
0 4 4 4 4 0 1/2
0 0 4 4 4 4 1/2
1/40 0 0 4 4
� � �� �� � �� �� �� �� �� �� �� � � � �� �� �� �� �� �� � �� � � � �� �� �� �� �� �� �
� � � � �� �� �� �� �� �� �
�� �� �� ��� � �
Y D
Y D D
D DY
D DY
DY
?�� ��������� ���������� �� ��� 1 0.Y =
,�����))�61 &����2����3��� 427
428 ��������))1 %��&����2����3���
%�� ����� ���� �����
2 3
2 3 4
3 4 5
(4)4 5 2
8 4 1/2
4 8 4 1/2
4 8 4 1/2
4 4 1/4
Y Y
Y Y Y
Y Y Y
Y Y D
− =
− + − =
− + − =
− + = +?� (4)
2 (1) 0.D y′= =%�� �������� ��� �� ����� ��
27
,16
Y = 33
,4
Y = 415
,16
Y = 5 1.Y =
%��� �� �����$���� �������� ������ ���� (<� )+� ��
17 0,44
1 110 14 28( )
6 3 1 3,8 2 43 3, 1 .
4 4
x x
x x
y xx
x
xx
⎧ ≤ ≤⎪⎪⎪ +⎪ ≤ ≤⎪= ⎨
+⎪≤ ≤⎪
⎪+⎪
≤ ≤⎪⎩
&���� �� ������ �� ����� (1/4) 7/16,y = ������ ��� �� ���� ��� � $����������
11.5 CONCLUDING REMARKS
���������������������� �������������������������� �����������������������������������������������������������������3����������������$����������������������������$��������%������������������� �� ��������G����������� �� ���������� ��� ����� ���� ���� ���$���������������������$���������������������������������#������������� ��� ���������� ��������� ������ ���� ���������� ���#������#������#����������������������������������������������������������������������� ��� ���#����� ��#���� ���������B������������ ����#���� ���� ���� ����� �� �������� ������ ��� �� ���� ������ ���� ��� ��� �� ����� ������ �� ��������� ���� ������ ��� �� ����� �� �������� �������� ������#���������� ��%����� ������������������������������������$ �����9
����� ������ ���� ������� ��� ������� ���� ����� �� !�� �!�����!�� ���� !������ �"������ ������� ��� �� ��!���� ��� ��"��� ��#� $� ��!� !�� %����� � �������� �� ������� ������ � !�� ������ ��"���! ��� ����� �!� ���� &�����'�����
EXERCISES
���� 2$�����������������������������������������������E������4�5� � 4��5� ;� �4� �5�
4�5� � ∫ � 4�5� ��� ;� ∫ � � 4�5� ���
���� 2�������� ��2���/8�#���#�������
0,f d f
y dx y
⎛ ⎞∂ ∂− =⎜ ⎟′∂ ∂⎝ ⎠���� �� ���������� ������ ��
( ) ( , , ) .b
a
I y f x y y dx′= ∫B����� ����������� ���� �� ��������#� ��������� ����� �������4E������� ))�:/))� 51
����2
2( ),
d yg x
dx= �4<5� ;� �4)5� ;� <�
����2
32
,d y
ky xdx
+ = �4�5� ;� <�� 1.x b
dy
dx =
⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦
����2
22
2 ( ), (0) (1) 0.d y dy
x x g x y ydxdx
� � � �
����2
2( ) ( ) 0,
d yp x y q x
dx+ + = � � �4�5� ;� �4�5� ;� <�
���4
4( ), 0 1,
d yky f x x
dx� � � �
2
20
d yy
dx= = � �� �� ;� <� ���� �� ;� )�
,���� �� ��������#� ��������� ����� �������� ��� '����#�/'�.� ����4E������� ))� /))�)<51
���2
22
, (0) (1) 0.d y
y x y ydx
� � � �
����2
22 0, (0) (1) 0.
d yx y y
dx� � � �
�����2
2
d y
dx/� @6�� =� )<� ;� <� �4<5� ;� �4)5� ;� <�
2������� 429
430 ��������))1 %��&����2����3���
!����� 0��� ��D�� ����� �� ����� �� ��������� ����� �������4E������� ))�))/))�)-51
�����2
22
, (0) (1) 0.d y
y x y ydx
� � � �
�����2
2
d y
dx/� @6�� =� )<� ;� <� �4<5� ;� �4)5� ;� <�
Answers to Exercises
����
21
0
1( )
2
� �� �� �� � � �� � ��
dvI v gv dx
dx
����
22 3( ) 2 ( )
b
a
dvI v kv vx dx v b
dx
� �� �� � � �� �� � � ��
���� 2( ) 2b
a
d dvI v v g x dx
dx dx
� �� �� � � � � � ��
����2
2( ) 2b
a
dvI v pv qv dx
dx
� �� �� � �� � � �� � ��
���21 2
22
0
( ) 2d v
I v kv fv dxdx
� �� �� �� � �� �� � ��
���1 2
2 2
0
( ) 2 ;� �� �� � �� �� � � �
�dv
I v v vx dxdx
210 7( ) ( ) – (1 ) (1 )
121 41y x v x x x x x� � � � �
����1 2
0
( ) 4 ;� �� �� �� � � �� � �
�dv
I v v x dxdx
31( ) ( ) ( ) .
3� � �y x v x x x
�����25
( ) (1 )37
v x x x� �
����� 210 7( ) (1 ) (1 )
123 41v x x x x x� � � � �
�����25
( ) (1 )37
v x x x� �
���
BOOKS
������� �� � ���� ������ ��� ��������� ���� ������� �� �� ���� ���� ��� ����� ��� ��� �������� ����� ��� ���� �� !�
�������������� ���������� � ������������������������"#����$%�%&%�'� ��()�
�*������+������ ��������� ��� ��� ����� ���������� � ��������,- .���������� ��!(�
#�*��+��� ������������������ ������������ ��� � ����������������� �����*���/ ��� ��� �����, ��! �
#����*0�1���2���������3���������������*'.4������/5��������������()�
#��*���$������ ���� ��������������� ����� ������� ��)(�
#������"����������"��������������������� � ���������������� ���������������� ��! ����� #%**�����*�� ������ ��!)�
#��������6�������������� ���������������*���/ �����������,��!7�
"�������#� ����%*��������6����������� �������� ���������������,������� �� ��
"��*�.�$����������������� ���������� �8�9��� ��� ��������� )�
"��4��.�"����0�,������"���������� �����������������! �����:���;�*�8�9���/ ������$���� <===�
$�>������������ � �����������������"��� ������������"�������������6?@��� ��(=�
$�>�� ���� ��� �� 0�������*A�������� �� ����� ���� ����!��� ��������������� ��� ���� ��(7�
$�#���"���#���� ����$� ��� ����� ���.4������/5������������ ��!(�
B�?�����'�#�������%��&����'�#������ ���� ������� ���������� �6?@���C��>����*, ����� �� (�
����������
432 #��������4�,
B������"��� ��������� ��� �������� ���������� ��������D�����,0������8���� �� )�
9�����"�B������6�����*��,���� �������� ���������� �:������������/�����, 0������ 8���� ��(��
9��>����;�������������� �������� �������� ���'���������������� ��� ����� �� ��� ����� ������������ ����� ������� �� ��
��*��� $�0������ ���� ������ � 6?@��� C��>����*, ����� ������ ��)<�
������ ����������� �� ����� ���� ������ �(�����, ������� �� 7�
������������ �������%������� �����%�����)������� ���������,-.���������� ��!7�
���������B�#���������� ����������� ���������� �8�9��� ������������) �
'�� ���&%�� ��� "���� �%�� ����� ���� ������ � "��4��� ��� ��� ������� ��(!�
'��������� ��� �#�+����������� �� ������� ����������� ��������,-.��� ��� ���� �� �
����8�+������ ���������� ������ ��� ����������! �����.�#����%��������$������!��
��>, � ��� ���� #����** ����� ���� ���� ��� �� * ����� ��� � ��� ���$�>�� ������� ��)=�
8�"������ ��8� ��� 8�9� .��>����� ����� ���� �������� �� �+���������*���/ ��� �@ '�������$���� ��!��
EEE������� %����� �!�������� 8.6 ������ �� ��
8�*�������0����0����*����� � ������������������ ��#��� ���* ����� ��� ��� ��� ��������, - .��� ������ ��!!�
������� +����������� �� ����� ���� ������ � 8�������� "�� ��� ������ 7�
�����#������ �����������5��� <6��>�� ���#�,������%��� �� 7�
������4�9�8��������;�,������������������ ��� ����������� ���������� ��������� ����� ������ ��!:�
������� � #��� B������� .��� ;�������, �����;� 5�**������ ����� ������ ���(� ���� ���� �� � ��� �� %����� �! "�������� C��>����*, �����"�������� ��( ���<�
0���, ���� ��� ��������� ��� ��� ���� � � ��� �������� ������ 8�9��� ���#��� "�� .����4��� ��()�
.��*�, .�.���! ���� �!��������� �� :�� ����5���� � ��� < ����*���/ ����@ '���� ���$���� <==7�
#��������4�, 433
.�������%����#������ ������������ ���������� ������ �4����C��>����*,����� #��*����� ��)=�
.�����B�����������������#��&������������ ���������� �.���%�.�����8�9��� ���������� �� (�
.��%��������� '�������������������� ��� �������� �������� ���;�����9��>���� 1���2 44� (!D�=<�������� ����� ������� �� ��
.��*� 9�$� ����� ���� ���� ��� �� #��� ��� * ����� ��� � ��� ��� 6?@���C��>����*, ����� ������ �� )�
.*��*��0�9������ ������������ ���� �����������! ���� �!����*���/ ����@ '���� ���$���� �� !�
����������� �������!�&�� ��� !��'�����#��&���6?@���C��>����*,������� )�
TABLES
���������� ��� ���� ��� ��� ��&��� ��%*���� ������� 6@@��� 8.6 ��������) �
,���&�������������� ��������� ����,8��*��������>�*A���'���.*��%�C. $�4��*���* �@ "��������������*�� �� )�
+����!�����#������ ����,8��*��������>�*A���'��.*��%�C.$�4��*���*�@ "������� �������*�� �� )�
��&����������!���������+������������� ����*����, �8�$����*8��������- "�� ������ ��:7�
RESEARCH PAPERS
�������,���������$� ������"%����4�������%*����*�*��/4���*��%����,>��%� 4�������%�������� -������ 5��� �< 4� �)� �� ��
�*������+���;���%������� ���%*����@B������� ��*������&%�*�����@ *�������� ���� ���� -� ���.� ����� 5��� 7 4� ::! �� !�
#�%����B� -� ��� 5��� 4� 7:( ��)(�
#�����,��9� ��������� �%��� ��*��4���*��� ��� *��/4���*� ��%����, >��%�4�������%�������� -������5��� �� 4� <= �� (�
"������� "��� �����0� "%�*�� � ��*��� @�� �%������� ��*����*��� �� ���%*���*�� ���4%*������������� 5��� < 4� ��! �� =�
"�? 8�9� ;�� �%������� �>��%�*��� �@ #/�4����� -� ����������� ���� ���5��� �= 4� �:7 ��!<�
EEE;���%��������>��%�*����@��4����@����*�#/�4������4�����*�*���-.� ����.� �����.� ���� ��� 5��� �) 4� �) ��!)�
EEE;���%��������>��%�*����@��4����@����*�#/�4������4�����*�*���-� ����.� �����.� ���� ��.( 5��� <� 4� �:) ��!(�
434 #��������4�,
"%�*����0����8���$�������C�����%����4�����*��44��?���*�@%��*�����@���>�������*�4������������%���,����,��/�������������.����/�012341 8.62 �� !.
��#���"�6� ����%��*�����*�#/�4�����-.������).�������5��� 4� )=��!<�
$��>����8�;���%��������>��%�*����@4�����4��>��%���*������%�������-������ 5��� �= 4� :(� �� (�
��������� #��%������� ����%��*��� �@ B�%���� ��*��������*� �%��� �4�������� 5��� ( 4� <!� �� (�
���������#�6�*������%��*����@B�%������*������������� ���#������ �!5��� !� 4� �:7 ��!<�
��/9���� .��� "���,���> ���%*��� �@ ��@@����*��� ��*������ ��� ��*����/��@@����*��� �&%�*����%�������� -������5��� �< 4� <(< �� ��
�����**$��"���,���>������@��*���%����������%*����@B���������*������&%�*����%�������� -������5��� 4� �=< �� :�
B��������9�6��&%����*%��@���%��@��*��������*�����*������#���.����.��.� �� �� 5��� 7� 4� :( ��<(�
B�?�������;�9������;���%����������%*����@�������%�����������*������&%�*���� #� �.� �����.� ���.� ���� 5��� <7) 4� )=� ��):�
B,@� $��� ;�� %�� �@ �%��� �4����� �� *�� ���%*��� �@ *�� 4���* ��%����,>��%� 4�������%�������� -������ 5��� �< 4� �(( �� ��
EEE;��%�� �@ �%��� �4����� �� *�� ���%*����@ *��4���* ��%����, >��%�4�������%�������� -������ 5��� �: 4� <=7 ��!=�
9��>����;�����$�*� @�**��� �, �4���� @%��*�����.�.%.� ����.� ��.� ������(�:8�*��� 0��� "��*��C.���,C��>����*, �@���������8��������������� �� (�
��������;��&%�*���*��@@������������*�����.�����.��� ��C�.�#%���%�@ .*������� 7� 4� <: ��)(�
'����� ��� +�,��� ���.� -.� %���.� ������ 5��� 7 4� ��� ��!7�
+�����0��� ����� �0%�4��� ;����, �@ ��>�����* ��������� ���� -.���!!.�� 5��� ! 4� �=�� �� ��
+������ $� � ��*� �� *�� ���>������� �@ ��*%��� �%��� �4����� ���� -.���.� ����� 5��� ( ! ��!��
EEE;����*��4���*��,�%����4���������.�����$�4*��@8�*��C��>����*,�@ ������*�� ��!<�
EEE��%������� ���%*����@�� ��*������&%�*�����*��@����, *��>�����*,���*���%*��� ���%�� � ���, �@ ��>��%*��� �� �?��� @��� ��%.� ���.��.� 5526( �� ��
#��������4�, 435
��>� ��0� ;�� ����*���*�*�� @���� �@ *�� �&%�� ����%��� ���?��� ����%�*��������7���.� -.� ����.� ���.� ����� 5��� < 4� 7<( ��7��
8�������?4����*��� @�**���%���� ��*����� �&%�*���� ���.� -.����.�����.� ���!!� 5��� ( 4� <!� ��!7�
8%���� $��� � ��*��� @�� ���>��� ��������� �&%�*���� %���� �� �%*���*�����4%*������� ��&��� � ��� %���� 5��� �= 4� <=( ��) �
��*����� B� "%��� �4���� @%��*���� ��� ���*���/>��%� 4������� ��� 5��� �(4� :7< ��!(�
������4�����;��%���@�������*������4��F��*�����*���@�����>����������4���*�� �&%�*���� ���� -.� ���.� ����� 5��� � 4� �7 ��!<�
������������� �* ��� �� �@@�����* ������*�� @�� ����� �������*��� %����#/�4����� ����>���* ������#�������� 44� �7D� <==7�
0%*����%��� � 8.� ��!�/����.� #���� 5��� ) 4� <:: ��)7�
.��*�, .�.�� �%������� ���%*��� �@ �� ��*����� �&%�*��� �@ *�� ������ �������%����� �� �����,������ ���.� -.� #���� ���� ���.� ����� 5��� 74� (:( ��!:�
.��*�,.�.��%����������%*����@�������%���B���������*������&%�*�����@*�� ������ ���� ���.� -.� #���� ���� ���.� ����� 5��� 4� !!: ��!)�
EEE�%����������%*����@B���������*������&%�*������*��������*��������%����*, ���.� -.� ���.� ����.� �� ��!!� 5��� �= 4� �<=< ��! �
.��*�, .�.� B���*� ��@@������ �44��?���*���� *� ���/����������� 4���������&%�*���� %���� � �%��� �4���� *�����&%� -.� %���.� ���� ���.� �����5��� < 4� <: ��! �
.���������'���"��*���%*����*�*��4�������@�44��?���*����@�&%����*��*��*� �,����,*���� @%��*����7��������.� ������ 5��� 7 4� 7) ��7 �
.��>��*�>�+������0�8������,�;�����*���%*����@*�������*�����������/��@���*� ����*�� ����� ���*������ � 4���,���4�� ����� ���.� -.� ��!!.� ��5��� ! 4� 7� �� ��
5�����,B�������*�*���*�����*���@��*������%��*����@>�����*,���*���%*����@ ������ �@ ��>��%*��� ��� �,���*����� 4��@���� ��%� �9� ��)���� ::!7�
��������� �� � �%��������3� ��*��� @�� *�� ���%*��� �@ *�� ��������������>��%���������%���.�-.(��4����� =�
���@� 8��� ;�� �%������� ���%*��� �@ �������%��� ��*����� ��� ��*����/��@@����*����&%�*�����,�*���*�����*�"���,���>������%��������-������5��� �< 4� ��: �� ��
�,�� �� � �%@@�����* �����*��� @�� *�� ���*�����*, �@ &/� ������*�� ���.����� 5��� � 4� <=: ��)��
��%����;���44����*����@�44��?���*�4���%�*��*����*���*�*���%����������%*����@��*������&%�*����#���.����.���.��5���<<74�) ���)7�
���
������ ��� �� ��� �
�������������� ������������������ �����������
������������� ���
������ ���� ����� ��������
������� ���� �� �� �� ��� ���� �
�� ��������� ������ ������� �� �� �������� ����� �
� �!�� �"�� ��� #� �"�� !��$��
�%���&� �'�%'&� ���(�%�
�� )����� �"�� #������ #�� #�!��!*� �"�� ��"� ��� #� �� � ������ !��$�����
�� )�����+�,�!-.��" !� #������ #�� #�!��!*� �"�� �� � #� �"�� �/����! � ��&� ��� �� �� �!�� ��&� ��� �� ��
�� )������"������ ��!�+�,�!0 �#�,�����!��$���,������##���!���#�������
�� 1#� �� �� ��2(3'&� �!�� �� �� ��24��&� #�!�� � � �!*� .�$��*0 � ���"��
�� ������!� �"�� ����!�#� �� 5 ����#� ��!���� �/����! �$5������ ���!#� �"�� ������� �!�� ��� #���
�� 6����� �,!� �"�� #���"� �����.�!*�-7����� #������ #�� �"�� ����!� #�"�� ��$���
0 0( , ), ( ) .dy
f x y y x ydx
= =
�� 8�#�!�����,9��!��$�!���5���������$�����!�� ������!5��,����"� #� ���!*� ���
��� )�����:������0 ��/����!��!��,�����! �! ��!��*������ �#�!������##���!���!��*���
������� � �'� �� �2� �� 3�� ���� �
��� ��� ;� ��� #� �"�� �/����!� ��� <� ���� -� �� �� �� ��� � $��,��!� -�� �!�-��� �!���"� ���&������������������������� &�$5�$� ����!����"��
=3>�$� ?������ �"�� ������ #� 10 � ������� �� %� �������� ����� � =3>
� � ��� 8� �*!�����������!�����*���"�����������!��:�*��!*�0 ��!��������!#�������!��� ���������������"��������#�� �'��#����"��#��,�!*����� #�� �� �!�� � ���� =3>
��&� %2�&� �(&� (��&� ���&� �����$� ��� �� ������ #� �"�� #��
�� ��a
bxx
+
$5� �"�� ���"�� #� ��� �� /���� � �� �"�� #��,�!*� ����� #� �� �!�� � ����
��&� '�%��&� ��&� 2��3�&� �%&� ������&� �2&� �%�32�&� �3&� �4�'�� =3>
��� 8�������"����5��/����! �#�)�!��-����5���*���"��#��������!*��"�8 ��#� �"�� �/��!��� ������&��&��&�@&�(��;���5� �"� ����"�� �� #�!�� �"�8 ��#� �"�� �/��!��� �����A�&��&��&�%&�%&��&��&��B��8��,��"��#�,*���"�
=�2>
��� ��� 8�#�!�� �� ��$��� ���!�� �!�� ������� �� � *���!�!*� �/����! &� ��C�
� � � �
3 31
1( ) ( )1
( )6 6
�
�
� � �� ��
��
i ii i i
i
x x x xs x M M
h
� � � � � � � � � � �
2 2
1 1 1( ) ( )6 6� � �
�� � � �� � � � � � �� � � � ��
i ii i i i i i
h hy M x x y M x x
� � � � �!�
( ) 11 1 1
1
6 3 6i i
i i i i ih h
M h h M M+− + ++ + +
� � � � � �1 1
11
, .i i i ii i i
i i
y y y yh x x
h h+ −
−+
− −= − = − =��>
�$� �"�� #�!���!� �� �� � ���� � � ��� #���� $5� �"�� ��!� � ��&� ��&� ��&� '�&��&����&��%&�3��� �����!���������$��� ���!������������!����"� ������!�� #�!�� �!� ����������� ������ #� � ���'�� =2>
��� ��������1
20
1
1�
��I dx
x
� �!*� �����C����� ����� ,��"� � �� ��'&� ���'� �!�� ����'�� �"�!� $���!� �$������ � ������� $5�.�$��*0 ����"���D���� �"�� ���� � �!� �"�� ����! $���!��� =�2>
E. �!�� ������� *���!� �"��
3 , (0) 1,2
dy yx y
dx= + =
� �!*� �"�������&� �"�����#���������� �!�� �"�� #���"� �����.�!*�-7�������"� � ,��"� � �� ���'� =�2>
FFFF
438 ������� ��G������ H�$��*���"5
������ ��� �� ��� �
�������������� ������������������ �����������
������������� ���
������ ���� ����� ��������
������� ���� �� �� �� ��� ���� �
�� :� �� �!5� �"���� ���� � #� ���� � ,"��"� 5�� �!��!���� ,"���� ���!*� ����"�����������$����
� )����� �##����!�� �!����! � #�� �"�� �!���*�!���#� �"�� �������!����"��� #�!�� �"�� �� � #� �"�� 5 ���� �� �� ���&� ��� �!�� �� �� ���&� ���
�� ����������������
�� ��� �"�� �������� ��##���!��� ��$��� #�� �"�� �����
2 5 10
5 29 139
xy
�� 6����� �"�� !����� �/����! � �� #��� �� /��������� �� ���� <� ��� <� ���� �� �"������ ���&� ���&� �� �� �&� �&� @&� ��
�� 8�#�!�� 8 �� �!�� 18 �� #� �� #�!���!� � ���� ��#�!��� ��� ��!� � ��&�� �� �&� �&� �&� @&� � - ��
�� 6"��� ���� �����!��� ���!� I� ,� ���� �"�5� �������� �� ��$��� ���!� I
�� 6����� �"�� #������ #��dy
dx� � �!*� )�����!*0 &� �!��������!� #������
�� ������!� �"�� ��##���!��� $��,��!� J��$�� �!�� D�� -)������ ���"� � #��"�� ����!� #� �� 5 ���� #� �/����! �
��� ������!� �"�� ��##���!��� $��,��!� ��������� �!�� ��������� ���"� � #�� �"�
����!� #� �"�� �/����!�2
2.
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
������� � �'� �� �2� �� 3�� ���� �
��� ��� G���� �"��� +�,�!-.��" !� ���"�� "� � /��������� �!���*�!���=2>
�$� K ��H� ��0 �#��������� ��������"��������#���,"�!�����'���#���"�� #��,�!*������
��&� �%��(�&� �%&� �'�3��&� �3&� �(�(��&� ���&� �4�42� =2>
���
��� 1#� �"�� ����*"�� ��!���������<����� � � #������ �� �"�� ����� ��!� � ���&����&�� �� �&� �&� @&� �&� ",� �"��
2
1
0, 1, 2, , .i i
i i i i
x y
x y n i n
x x y x
� �
� � �
� � � =%>
� � ��� K �!*��"��?��5-����5���*���"�&���������"��8 ��#��"�� �/��!����� �� A�&� -�&� �&� -�B� =��>
�$� D���!� �"�� ����
–2 –1 2 3
–12 –8 3 5
xy
������� �������� � �!*� ��$��� ���!�� ����������!� =2>
��� ��� ��������1
0
1
1�� dxx
� �!*� �"�� %9��!�� D�� � /���������� #������ =2>
E.1#� �� ���� <���� <����� �!�� ��&� ��&� ��� ���� �"�� ����� � #� �� ���� �!��!*�� �� �� �&� �� <� � �!�� �� <� � �� �� ��������5&� ����� �"��
� �2
1 1 24 .3
�
� � ��a h
a
hydx y y y =2>
�$� )���� �"�� #��,�!*� �/����! �$5� ����!*����� ���!����"��
� � � � � � 3�� -� ��� <� ��� �� ��&� %�� <� ���� -� �� �� ��&� 2�� <� ��� <� ���� �� �2 =��>
��� )���� �"�� #��,�!*� �/����! � $5� D�� -)������ ���"�� ������� ��� �������� ����� �
� � ���� -� '�� -� ��� �� �&� %�� -� ���� <� ��� �� -�&� �� <� 2�� <� ���� �� -� =�2>
E.
K �!*���5��0 � ���� &� #�!�� �"������� �#�� �����&�� �����&�� ������ #�� �"��!��������������$���
2 , (0) 1.dy
xy y ydx
= + =
�!��� #�!�� �"�� ������ #� � ���%�� � �!*����!�0 � ���"�� =�2>
��� )���� �"�� "���� �/����!2
24
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
=�2>
440 ������� ��G������ H�$��*���"5
,��"� �"�� �!����! � � ��&� ��� �� � �%&� ��� �� �� �!�� � ��&� ��� �� %�� -� ��&
�� �� �� �� %� #�� �� ��1
8�&� �� �� �&� �&� �&� �&� %&� '� =�2>
E.)����:������0 � �/����!
2 2
2 20, 0 , 1
u ux y
x y
∂ ∂+ = ≤ ≤∂ ∂
,��"�$�!���5��!����! ����&���������&��������&����&���������&���������
����� � �� ���'� �!�� ����5� D�� 9)������ ���"�� �� #�!�� ����� � �������� �� �������� ����� � =�2>
FFFF
������� ��G������ 441
������ ��� �� ��� �
�������������� ������������������ �����������
������������� ���
������ ���� ����� ��������
������� ���� �� �� �� ��� ���� �
�� )����� �"�� #������ #�� #�!��!*� �"�� �$ ����� ����� �!� �"�� #�!���!�� �� � ���&� ���� �#����� �!������ ���� �"�� ���� � �!� ��� �!�� ��&� �� ��������5�
� ������!� ",� 5�� ��!� #�!�� �"�� ���������� #� �� !��$����� $5� +�,�!-.��" !� ���"��
�� ������!� D���##�0 � ��9 /����!*� ���"�� #�� #�!��!*� �"�� C�� � #� ���5!����� ������ #� ��*���� ��
�� 6"��� � � �!��� �� �!��������!I� )����� �!5� #������ #�� ���
�� 6"��� ���� �����9�� ��*���"� I
�� 8�#�!�� �� ��$��� H9 ���!�� �!�� ����� ?�&� ��9H�� #������
�� ������!� ",�5��,���� ������� �� ��$��� �!��*���� !���������5�
�� 8�#�!����*�!�������!����*�!������#�����������������!�$���#�5��"���,�����"�� #�� #�!��!*� �"�� ����� �� ��*�!������ #� �� �������
�� 6����� �,!� �"�� #�!���� ��##���!��� �!��*��� #� �"�� �/����!
���� <� � ������ <� ����� �� ���� ��� �� �� ���
��� )������"������������!�����������#�������#���"�� ����!��#��"���/����!
2
2.
u u
t x
∂ ∂=∂ ∂
������� � �'� �� �2� �� 3�� ���� �
��� ��� ������!�$���#�5��"����*���-#�� �����"����#�!���!��������������&������� �� �� �������� ����� &� #� �"�� �/����!� ��� -� ��� -� '� �� �� �"������ � $��,��!� �� �!�� �� =3>
�$� � ��$�� "�+�,�!0 �����������##���!���#�������!��*�����!�� ������#��"�������!����������!����� �#��"�������������������������8�����+�,�!0 �#�,�����!��$���,�����!��������!�#�������� ������������� � �
1#� � ���� ��2
1
x&� #�!�� �"�� �������� ��##���!�� � =�&��>� �!�� =�&��&� �>� =3>
���
� � ��� �!�� �"������� �#��&��&��� ��"� �"��� �"������$���������<����<����
#�� � �"�� #��,�!*� ����� ���&� ���� �!� �"�� ��� �� /���� � �! ��
��&� ��&� ��&� '�&� ��&� ���&� ��&� ���&� �%&� �3�� =3>
�$� D���!� �"�� ��!� &� ��C�
��&� -3�&� ��&� -��&� �!�� ��&� �3�
��� #5�!*� �"�� #�!���!� �� �� � ���&� #�!�� �"�� ��!���� �!�� /��������� ���!� ����������!*� �"�� #�!���!� � ���� �!�� �������!�� �"�� ������ #� � ���'�� �!���"� �� �� =3>
��� ���� �!���"��������#�/ 2
0
sin x dx�
∫ ,��"� ���20
��� �!*�$�"��"�������C����
����� �!�� )��� !0 �1
39����� =3>
�$� K �� � �"����0 � ���"�� �� ������� �"�� ������
4 2 2
2 5 1
2 1 6
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
�� �� ������*!��� #��� =3>
��� K �!*� �"�� #���"� ����� .�!*�-7����� #�����&� #�!�� � ������ �!�� � ���%�*���!� �"��
2 2
2 2, (0) 1
dy y xy
dx y x
−= =+
� =�2>
E.
)���� :������0 � �/����!� ��� �"�� �!������ ��!� � #� �"�� /����� ��*�!*���!� $��,��K ��D�� -)���������"�� ���� (� �������! �
0 0 0 0 0
u7 u8 u9
u4
u1 u2 u3
u5 u6
0
0
0
500 1000 10001000 500
0
0
0
=�2>
������� ��G������ 443
��� 8������ �"�� ��������� �"���� #�� �"�� ����!� #� �"�� ,���� �/����!
2 22
2 2
u ua
t x
∂ ∂=∂ ∂
)���� �"� � �/����!� ,��"� ��� �� %� �!�� �"�� $�!���5� �!����!
���&� ��� �� ��%&� ��� �� �&� ( , 0) 0u
xt
∂ =∂
� �!� ���&� ��� �� %�� -� ����6��"� � �� �
�!�� �� �� ��'&� #�!�� �"�� ����� � #� ���&� ��� ���� �� ����� ��� �
444 ������� ��G������ H�$��*���"5
������ ��� �� ��� �
�������������� ������������������ �����������
������������� ���
������ ���� ����� ��������
������� ���� �� �� �� ��� ���� �
�� �!�� �"�� ������ #� 3.02 3,− ������� �� �� �������� ����� �
� )����� �"�� �!����! � �� $�� ��� #���� $5� � ���� �#� �"�� �/����!� �� �� � ���� � � � �� �!�/��� ����!� �!� =�&� �>�
�� )����� �"�� �!����!� #� �!���*�!��� #� +�,�!-.��" !� #������ #�#�!��!*� �"�� ��� #� � ���� �� ��
�� )",� �"���2
2.E
�
�=
�� ���! #��� �"�� �/����!�x
ya bx
=+
� �� �� ��!���� #���
�� ������!��"������ �L8�������!��!�����0��!��L8�������!��!� ��/��!�50�
�� )����� �"�� ��$��� ���!�� #������ #�� ����������!*� �"�� ����� ���&� ���&�� �� �&� �&� @&� �&� �!� ���� � #� �"�� ���!�� ��!�� ���������� �
�� D���� �"�� ����� �!� )��� !0 �1
39�����
�� 6"���� ����!��$5� �5�!*��"����"��.�!*�-7�����#������� �#��"��#���"����I
��� )����� �"�� ����� ���!����!� ����� #� �"�� ?��!�-+��� !� #������
������� � �'� �� �2� �� 3�� ���� �
��� ��� ������!� �"�� �!����5�!*� ���!������ #�������0 ����"�� �!�� *���� �"���������!��� ��� � �� ������� �� ���#� �"�� �/����!�� ��������
$5� ������0 � ���"��� �!�� �"�� ��� ,"��"� ��� � $��,��!� �� �!�� �&������� �� %� �������� ����� � =��>
�$� K �!*� :�*��!*�0 � #�����&� � ������� �"�� ������ #� ������ #��� �"�#��,�!*� ����� ��&� ���
�'&� ���&� �2&� ���&� �4&� �%�&� ���&� �2� =2>
� � ��� E$���!� �"�� #�� �� #��� ��"*!��� ��5!���� � ������ !� =-�&� �>,��"� �� ����� �� �"�� ,��*"�� #�!���!� ����� �� �� =2>
���
�$� � �!*��"��?��5-����5���*���"�&���������"��8 ��#��"�� �/��!��A�&� -�&� �&� -�B�� 8��,� �"�� #�,9*���"� #� �"�� ��������! � =��>
��� ��� ��� !������� �!�� 8�� ��$��� ���!� � #�� �"�� #��,�!*� ����� ��� #5�!*�"�� #�!���!� �� �� ���
�����&� ����'��&� �����&� �����%�&� �����&� ���%44��
;���������� ����� �!� ���"� �� �� �!�� ����� ,"��"� #� �"� �� � � �"�$� �� #��� =��>
�$� G���� �"�� ��!���C���!� ������5� #� !������� ��$��� ���!� � =2>
�%� ��� 6����� �,!� �"�� #������� #�� ������!*� �"�� ����� � #�dy
dx� �!�
2
2
d y
dx� ��� �!5� ��!�&� $���!��� #��� +�,�!0 � #�,���� ��##���!��
�!��������!� #������� E$���!� �"�� ����������� ����� � #� dy
dx� �!�
2
2
d y
dx� #�� �� �� ���� #��� �"�� #��,�!*� �����
� ����&� ��(�3��&� ����&� �������&� ���%&� %��''��&� ���2&� %�4'���&
���3&� 2��%42�&� ����&� (��34��&� ����&� 4���'��� =3>
�$� 8������ �"�� �����C����� ����
� �0 1 2 12( )2 �
� � � � � �� �b
n n
a
hy dx y y y y y
�!�� #�!�� �!� ����� �!� #�� �"�� ����� �!� �"� � #������ =3>
��� ��� K �!*� D�� -)������ ���"�� ���� '� �������! &� ���� �"�� 5 ����
���� -� ��� <� ��� �� ('&� ��� <� ��� <� �3�� �� ��&� �� <� �(�� -� ��� �� %3
�$� )���� �"�� $�!���5� ������ ��$���2
2
d y
dx-� �� �� �&� ����� �� �&� ����� �� ��2�232
$5� #�!���� ��##���!������"��,��"� � �� ��'�� �!�� �"�� ������ #� �������!�� ����� �"�� �$ ����� ����� �!� �"�� ����!� =3>
E.
K ��?��!�-+��� !����"�� �� ���� �"���/����!�2
2
u u
t x
� ��
� �
�,��"
�"�� $�!���5� �!����! � ���&� ��� �� �&� ���&� ��� �� �&� ���&� ��� �� �����
�!�� �"�� ����� � #� ���&� ��� #�� �,� ����� ��� � ����!*� � ��1
4� �!�
�� ��1
8� =�2>
446 ������� ��G�����% H�$��*���"5
���
������� ���� ���� �������� � � ����� ����������� ������������������ �� �� ����� ���������������� �� ����� ���� ! ������ �"����#���$%$� ��"���#��&� ��'( ����� �����#�&� ����� ��"���� ���)��������**�*�*�(( �+������� �� ���������� �,��� ����� �( ��� � �-�+����� �� �� ��� *�.
���#/� ����� ���������#/� ����� ���� ������"���#/� � ���� �� �( ��� � �����#/� � �� ���� ��0����� -*��� ���/&� ������ "���1!%� ,��� �1������&��� ������������&� �� �����-,�������������� *������� �'���� ( ������ �*"�����'���� ���������*"0�� #��&������� ���2�������2��3 ������ ,���������������� ����(��� ������ ��.
�'�(����� �-����(������� ��� *..%�+'���� �� ������--���� �)�� � ��������� *.� ( �������� ��� �-�
�� ,%� ����� �(����� �-"
�����
%� 4� �$�$� �".%�����&� ( ����� �,�%�� �� ���� ���� ����� ������ ����� (��������� �����-.
��� �� ���� �� �( ��� � ����� �'����� �� )�������� *-�
%�� ��� ����� )������� *�,(���������� *�,
%������ (����������� �,-%������ � ��� �-.% ��#�5�������� ��������%���� �(����� ��� � � �� � �������� �-*��� ����)������������� ���� �� )���������-�������3��� ( �( ��� �-���� �������� ���������*.���� �������� ������*���� ��� ������� ��� �-��/�'(���������� �����( ��������.
%� � �������� �*�+(��������������� �)�� �� �*�������� ���.
��� �������� /��� ����� �(����� ��" �������� � ���������� �� ������
�* � � �(( ���� �� �� ������ **" �� ��6 ������* ��� ���� �"���#/� ������� ��������������������� �"�� /� �� �"
��� ��� �� � (���������� ��
448 �����
��� ����� )�������� �.*� ���� �� �.*(� ����� �,*
��� ������������ �����*.� � �����&� ( ����� �,� ��������� ������� ����� ���� �� �� �����5/���&� ��� �������� ��������� �����*," ���� ��� (�������� ���
7������3����� �� (�/ � ��� �"*7�������( ������*�,�������� &������� *�-�� ���������� *�,82 ������ *-�
7���(��� )�������� �,�7 � �� ��������� �������� ��� �*�� ���� ������*�� � � �� �(( �+�������� �,�� (��������� ��� (�������� �,�� 1��(���&� ��� **��� �� ����� �(���� �-*�� � �(3����� ��� **�( ������� �������� ��������� �
7�� ������� ���� �����*�*7�� &��������.� � �������� �.�����������.
7� ��&� �� ����� -�7+(��������� � �����������7+� �(�������� -.
9��� (�������� ����� ��� *�9���� ���� ���� �"9���� ���� �� �(( �+�������� �,��� � �������� �,�
9���� ���������� ,."��� ���������� ,�.������������ ,.�0�� #�������� �����'����������( ������,*�2�������2��3 ������ ,���/�'���������� ( ������ ,��
9:2;2�5� ,9� /� � ���� ���� �"��� (������� �� ����� �,
9� /� � ���� �� �( ��� � �"9� /� � �� ���� �� 0����� -.
9�� � �(( �+�������� �"�9�� � ���� ���� *,,��� ����������������*,,� �(3����� ��� *,,
9�� � � ��� �"�9�� � � ����� �� �"�%�����;�#� ���� ����� ������� ��� � � ����� �� ���1����;�#����� �������.
9���������� ,.�
0�� #��&������� ���0������������������*��0������� ���� ������ *��0�����1��������� *��� �"*0� ���3� 5/���&� ������ ,*0� ���3�)��� ��� �*,*0� ���3�2���&� ��� ��"0 ���&� ��� �)�� ��������� "�0 ���1������&� ( ����� �,"
< ���&� ��� (������� �� ����� �.�<������� &������� *�-<�( ����� )�������� �,�
!��'������������� ����*��!������ ���� ( ������ �.�!��� �� )�������� ��-���� �������������,..��� ���� �������� ��� ��-
!��� ������ *��0�������� *����� �����*��2��� ��**"
!�� ��������� ��� ��"!�� (�������� ���� �� ������ ��"����� �(���� ��������������� �����
!��� �������������,..!�� � �� ���� �+� *��!� ����� ������ *�-�� � ������� ������� )�������� �*�� �������� �� ���� ������� *�-�� �� �� �����������*�,
=�����&� �� ����� �� ����� *�.� �,-
6 ��� �� ���� �� )�������� ��.
����� 449
>�� ���&���� (���������.��� ������., � ��� �.�
>�(���&� )������� �,,0�����1��������� �,-=�����&������� �,-1:2� �".
>��� �)�� � ������ �*����������� ����� �,./����� ����� ���
>��� (�����������*,.>������ ���/&� ������ "�>��� ������� �������� ��� *�*>�(�����3 ���������� �.�>��&� )���������->�/ � ������� ��� �+�*"�
������ �� +(������� ��� ��� ��
��� �+� *""����� �3������ *"����'�����������*����� ��*���� ��� *"-� ����������*�"
��� �( ��� � �-��� ���� ��� �� "����&� ������ ���������+ (���������� �"*����� (����������� �"����� &� ������ "�
5����&���������5/���&����#/� ����� ����� (�������
�� ������"5/����%��� �� ����� **"5/���&� �� /� � ���� �� ��� (�������
�� ������,5/���&��� ����� (��������� ��������5/����2�(���� ������ ���� � ������� ������ �,
5� ��� �� ���� � ��� ��� ���� *"-5� ��� )�������� �*�5�� �������� ���������*.� � ��� *�*
5�� �������� ������*�����(��� )��� ��� � *�,����� �(��������� **�7�� ������� ���� �����*�*0�������� *��5/����%��� �� ����� **"2��� ��**�1��(���&� ���� **�� �(3����� ��� **.
: ���� � ���� ����� )�������� �.*������������� ������ ���7�� &��������.�����&� ������ ������ ���� �������� ��� �.�?��� �&������� �."2����6���� ������� ��.�(��� ������ �*��� �� ;���� � ��� �.�
: �������� (����������� �,�
?� ������ )�������� �,�% ��#�5��������� ��������+(������� ���������� ���� ������� ��"
?� ���� ���� ����� )�������� �,*��� ���������� �� � �,�����/� �� � ��*
?� ���� (�������� *�"? ����� � ��?��� �&������� �."?����� *�"?������&� )������� ,��?��������� ��� (�������� �, � ��� �,
? ������� ��� (�������� -�? ����� ��� ��� ������� ��"������������ �� �� ����� ���������������� �� ����� �������&� ������ ���
82 ������ *-�8��� �������� �����-8������'���� �������� "�
2�����@��&������� ,�2�������2��3 ������ ,��2��������� �����2���&� ��� ��"�� ���3��"
2��� ����� ������**�2������� � ���2������� ���� �2����6���� ������� ��.
1���� �( ��� � �-1����������������1������������������1��(���&� �A�' ��� **� � ��� ***
1������ ��������(��������*-�
450 �����
1(��� ��� (�������� �������� �(����� ��� � � ��� �-*���� �(����� ��*������3��� ( �( ��� �-�)��� ���� �(����� ����� ��� �������� �-�
1�� ����&��� �����-,1������� �������� �-1���� ����� �+�*��1����� �� ������� )�������� �*
;���� &� � ��� �.�; �(3����� ��� **.; ������������ �+�*�������������*��
; �������� � � �;/�'(���� ������ � ���� ( ������ �*"��������� ���������*"0�� #�������� ���2�������2��3 ������ ,���������������� ����(��� ������ ��.
B��� ����������������������*"�B(( � ������� ��� �+� *"�
C��� ����&��� ��������.�
D��)���������-D� �� ��� ��� �� ��
` 250.00
www.phindia.com 9 7 8 8 1 2 0 3 4 5 9 2 8
ISBN:978-81-203-4592-8
Introductory Methods ofNumerical Analysis
F I F T H E D I T I O N
S.S. Sastry
This thoroughly revised and updated text, now in its fifth edition, continues to provide a rigorous introduction to the fundamentals of numerical methods required in scientific and technological applications, emphasizing on teaching students numerical methods and in helping them to develop problem-solving skills.
While the essential features of the previous editions such as References to MATLAB, IMSL, Numerical Recipes program libraries for implementing the numerical methods are retained, a chapter on Spline Functions has been added in this edition because of their increasing importance in applications.
This text is designed for undergraduate students of all branches of engineering.
Includes additional modified illustrative examples and problems in every chapter.
Provides answers to all chapter-end exercises.
Illustrates algorithms, computational steps or flow charts for many numerical methods.
Contains four model question papers at the end of the text.
S.S. SASTRY, Ph.D., is Formerly, Scientist/Engineer SF in the Applied Mathematics Divisionof Vikram Sarabhai Space Centre, Trivandrum. Earlier, he taught both undergraduate and postgraduate students of engineering at Birla Institute of Technology, Ranchi.
A renowned mathematical scientist and the author of the books on Engineering Mathematics(all published by PHI Learning), Dr. Sastry has a number of research publications in numerous journals of national and international repute.
NEW TO THIS EDITION
THE AUTHOR
u
u
u
u
Other books by the authorEngineering Mathematics, Vol. 1, 4th ed.
Engineering Mathematics, Vol. 2, 4th ed.
Advanced Engineering Mathematics