fourier lecture notes
TRANSCRIPT
Fourier Analysis andConvolution
An Introduction
Michael Shadlen
NB545
January 20, 2003
What is a Fourier Transform?
• Representation of an arbitrary function, f(x), as asum of pure harmonic functions
†
f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . .
= a0 + ak coskx + bk sinkx( )k=1
•
Â
• Transformation of weights of times (or x’s) to aseries of weights of frequency
†
f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . .
f (x) = c0d(x) + c1d(x -1
2p) + c2d(x -
22p
) + ...
Transform: {ci} ¤{ak,bk}
Key properties of pure harmonics
• They are orthogonal∫
0
2psin(kx) sin (lx) dx = 0, k ≠ l
∫0
2pcos(kx) sin (kx) dx = 0• They are complete
No function can be orthogonal to all harmonics• They are convenient
Intuitive, simple, and calculated efficiently
Intensities at time points to“intensities” at frequencies
A signal comprised of sum of 3 sinusoids
Some important examples
Decomposition of a square waveComponents Cumulative sum k
3
9
15
21
27
33
39
45
x or t (0 to 2p or -p to p )
†
f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . . + a9 cos9x + b9 sin9x
Fourier series expansion as weights onsinusoidal basis functions
Visualize the 0th thru 9th components
†
Ê
Ë
Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á
ˆ
¯
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
†
a0
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
Ê
Ë
Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á
ˆ
¯
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
†
k = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
†
Ê
Ë
Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á
ˆ
¯
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
†
b0
b1
b2
b3
b4
b5
b6
b7
b8
b9
Ê
Ë
Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á
ˆ
¯
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
†
k = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
+f(x) =
†
f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . . + a9 cos9x + b9 sin9x
Fourier series expansion as weights onsinusoidal basis functions
x encodingdimension: 0 to2p
Visualize the 0th thru 9th components
-1 0 +1
=†
Ê
Ë
Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á
ˆ
¯
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
†
Ê
Ë
Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á
ˆ
¯
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
†
Ê
Ë
Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á Á
ˆ
¯
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
∑=
Fourier decomposition of square wave
How to compute a fourier coefficient
†
f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . .
How do you get the ak and bk in…
Multiply left and right sides by cos(kx) and integrate from 0 to 2p
†
f (x)coskx dx0
2p
Ú = coskx0
2p
Ú a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2x + b2 sin2x + . . . ( ) dx
= coskx ak coskx( ) dx0
2p
Ú
= ak cos2 kx dx0
2p
Ú
= akp
This simplificationcomes from theorthogonal property
Therefore
†
ak =1p
f (x)coskx dx0
2p
Ú
Cosine and sine components