Fractall - pachet de programe pentru studiul geometriei fractale

Luminiţa-Dominica Moise, Şcoala Superioară Comercială

„Nicolae Kretzulescu”, Bucureşti dominic_moise @yahoo.com

Doina-Luminiţa Druţă, Liceul Teoretic „Dante Aligheri”,Bucureşti drutadoina@yahoo.com

Abstract This paper shows how the product FRACTALL achieved LabVEW programming environment helps understanding fractal geometry, dynamical systems and study of some chapters of algebra and some technical details of usage or accomplishment.

1. Introducere

„Matematicianul este îmblânzitorul ce a domesticit infinitul”.

Lucian Blaga

Matematica poate fi mai bine înţeleasă prin utilizarea unor softuri educaţionale adecvate şi ceea ce dă valoare acestor mijloace educaţionale este strategia didactică care stă la baza elaborării lor. În acest sens am creat câteva programe care să ne ajute în demersul didactic utilizând mediul de programare LabVEW care ne-a oferit multe facilităţi în elaborarea unor utilitare pentru a introduce, ilustra sau aplica noţiuni matematice, pentru a atrage spre studiul matematicii un număr mai mare de elevi şi pentru a aduce infinitul mai aproape de înţelegerea acestora.

2. Conţinuturi ilustrate de programe

„Matematica este ceea ce începe, ca şi Nilul, în modestie şi se termină în magnific”. Calvin Colton

1. Numere pare şi impare - sau ce putem face cu doar două numere şi un algoritm a) triunghiul lui Pascal modulo 2 ( generalizare modulo n ) b) matricea Boole a numerelor pare şi impare 2. Numere prime şi tabloul numerelor prime a) şirul numerelor prime, proprietăţi ale şirului numerelor prime b) ciurul lui Eratostene c) teorema numerelor prime d) generatoare de numere prime

Universitatea din Bucureşti şi Universitatea „Transilvania” din Braşov 216

3. Demonstraţii fără cuvinte – sau forţa de sugestie a unei imagini a) suma primelor n numere naturale b) suma cuburilor primelor n numere naturale c) suma puterilor cu exponent 4 ale primelor n numere naturale d) suma primelor n numere naturale impare e) sume de puteri f) binom sumă la pătrat g) teorema lui Pitagora 4. Puteri şi fractali a) Fractali din :

puterile lui 2 - fractalul copac, mulţimea Cantor puterile lui 3 - triunghiul lui Sierpinski; copacul cu trei ramuri. puterile lui 4 - mulţimea lui Cantor 2D puterile lui 5 - fractalul steluţă. puterile lui 8 - covorul lui Sierpinski

b) Iteraţia – fundamentul teoriei fractalilor c) Dimensiunea fractalilor geometrici 5. Fractali din cercuri şi segmente a) cercuri secante (3+1 cercuri sau problema monedei de 5 lei a lui Ţiţeica; fractalul melc ) b) cercuri concentrice, cercuri tangente şi spirale c) curba lui Coch 6. Teorema lui Pitagora a) numere pitagoreice (generarea tuturor numerelor pitagoreice). b) generarea turor radicalilor numerelor naturale; spirala radicalilor 7. Sisteme dinamice a) Definiţii. Sisteme dinamice, şiruri recurente, orbite b) Puncte importante : puncte fixe, ciclice, puncte de atractie, puncte de respingere c) Analiza grafică – utilizarea calculatorului in depistarea punctelor fixe, periodice , de atracţie sau de respingere d) Funcţii complexe: f(x)=x2+c, f(x)=ex , f(x)=sin x , f(x)= cos x. e) Mulţimi Julia şi mulţimi Mandelbrot. Algoritmul ”escape-time” 8. Transformări în spaţii metrice a) Spaţii metrice : definiţie, exemple. Şiruri , transformări afine, funcţii continue. b) Principiul contracţiei in spaţii metrice c) Sisteme iterative.Algoritmul deterministic şi algoritmul iterativ probabilistic d) O sursă de fractali: mulţimile invariante ale unor aplicaţii continue e) Multimi Julia ca atractori ai unor sisteme iterative f) Mulţimi de condensare si o teoremă care modelează fractali

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a X-a, 2012 217

Figura 1. Captură de ecran capitolul 4

Figura 2. Captură de ecran capitolul 8

Universitatea din Bucureşti şi Universitatea „Transilvania” din Braşov 218

3. Fractalii - delimitări teoretice

„Se pare ca nimeni nu este indiferent față de fractali. De fapt, mulți privesc prima lor întâlnire cu geometria fractală ca o experiență cu

totul nouă, atât din punct de vedere estetic, cât și științific.” Benoit Mandelbrot – „Frumusetea fractalilor”, 1986

Există o mare varietate de forme fractale în natură, artă sau știință. Analizând lumea plantelor

sau organismul uman, privind în cosmos sau observând relieful planetei, se observă aspecte geometrice similare. Ce au în comun o frunză de ferigă, un fulg de nea, un munte stâncos sau poate o galaxie ? Raspusul a venit o dată cu crearea geometriei fractale de către Benoit Mandelbrot.

Într-un limbaj neştiinţific, fractalul poate fi explicat ca o formă geometrică fragmentabilă care poate fi divizată în părţi, fiecare parte fiind o copie mai mică a întregului. („fractus” = rupt sau fracturat).

Proprietăţi principale: • Fractalul este un obiect autosimilar - conform acestei proprietăţi, o parte din structura sa

seamănă cu întregul. • are o dimensiune fracţionară ; • are o definiţie simplă şi recursivă. În construcţia fractalilor geometrici figura s-a împărţit într-un număr n de piese similare făcând

o anumită divizare a unui interval în m bucăţi Dimensiunea unui fractal este :

Pentru covorul lui Sierpinski :m =3 şi rezultă opt pătrate n = 8.

Mulțimi Julia şi mulţimi Mandelbrot Vom analiza şiruri recurente de numere complexe. Fie f: C C Mulţimea Julia a unei funcții complexe se numeşte astfel după numele matematicianului

francez Gaston Julia. Aceasta mulţime este asociată unei functii f şi este formată din puncte ale căror orbite nu converg la infinit (dar în vecinatatea lor există puncte cu orbite care converg la infinit.)

Analizăm mulţimea Julia a funcţiei f: C C f (z)=z2 + c c=c1+ic2, cu ׀c2 ≥ ׀ , c1 ,c2 R z= x+ iy cu ׀x׀ , 2> ׀y2> ׀ Exemplu: Mulţimile Julia ale funcţiilor f c(z)=z2+c pentru: c=0,1+0,6024i c = -1

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a X-a, 2012 219

Mulţimea Mandelbrot este mulţimea valorilor

pentru care orbita critică a funcţiei fc(z)=z2+c (adică pornind de la x0=0 ) nu tinde la infinit

Deci mulţimea x n+1 = fc ( zn ) cu z0 = 0 este mărginită.

Aceasta multime are câteva proprietăți: • este conexă, adică orice două puncte din mulțimea

Mandelbrot ot fi unite printr-o linie continuă; • mulțimea Mandelbrot este submultimea planului

complex formată din toți parametrii c pentru care mulțimile Julia aferente sunt conexe.

3. Contracţii în spaţii metrice

“Matematica este un mod de exprimare a legilor naturale, este

cel mai simplu şi cel mai potrivit chip de a înfăţişa o lege generală sau curgerea unui fenomen, este cea mai perfectă

limbă în care se poate povesti un fenomen natural.” Gheorghe Ţiţeica

Vom ilustra în continuare câteva noţiuni abstracte din matematica modernă care pot fi înţelese

mai uşor cu pachetul de programe Fractall, de exemplu funcţiile următoare: Definiţie: Fie ( X, d ) un spaţiu metric şi f : X → X o funcţie .f se numeşte contracţie dacă

există k [0,1) astfel încât d(f(x),f(y) ≤ kd(x,y) oricare ar fi x, y X. Principiul contracţiei (Banach).

Universitatea din Bucureşti şi Universitatea „Transilvania” din Braşov 220

Teorema: Fie ( X, d ) un spatiu metric complet şi f : X X o contraţie de factor k. Atunci: f are un unic punct fix u şi oricare ar fi x0 X , şirul f(n)(x0) converge la u.

Fig 3.Transformarea succesivă a pătratului de latură 1 în urma unor contracţii

Fig 4. Triunghiul lui Sierpinski ca atractor al unui sistem iterativ pornind de la un patrat

Fig 5. Transformări de tip ferigă

Conferinţa Naţională de Învăţământ Virtual, ediţia a X-a, 2012 221

Fig 6. Feriga ca atractor a unui sistem de funcţii de iteraţie

4. Concluzii

„Geometria este un limbaj de subtilitate extraordinară, care serveşte unor diverse scopuri”

Benoit Mandelbrot

Frumuseţea formelor fractale este dată deopotrivă de continuităţi şi de discontinuităţi ale obiectelor analizate. Descoperirea formelor fractale în natură constituie o forma de universalitate care permite modelarea matematică a naturii.

Înţelegerea unui domeniu nou al cunoaşterii - considerat de importanţă capitală alături de mecanica cuantică sau teoria relativităţii - geometria fractala şi teoria haosului se poate face încă de pe băncile şcolii cu pachetul de programe Fractall.

Fig. 7 Diagrama programului care realizeză mulţimea Julia

ca atractor ai unui sistem iterativ de funcţii

Universitatea din Bucureşti şi Universitatea „Transilvania” din Braşov 222

Fig. 8 Mulţimea Julia ca atractor ai unui sistem iterativ

Bibliografie [1] Michael F.Barnsley – “Fractals every where “ Second Edition, Academic Press Professional, 1993. [2] Heinz – Otto Peitgen, Harmut Jurgens, Dietmar Saupe – “Chaos and New frontiers of science” –

Springer Verlag 1992. [3] Robert L. Devamy – „Chaos, Fractals and Dynamics” – Wesley Publishing Company, 1990 [4] Tom Savu, Neacşu Ion, Grigorescu Ştefan, Garabet Elena Mihaela, “Bazele instrumentaţiei virtuale

LabView”, Editura Atelier didactic, Bucureşti, 2006 [5] Dominica Moise, Branduşa Bogdan, Doina Druţă „Algoritmi, numere şi fractali”, editura Printech,

Bucuresti, 2007