funciones vectoriales de variable real
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Indice general
Indice general I
1. Funciones vectoriales de una variable real 2
1.1. Funciones vectoriales de una variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1. Dominio, rango de una funcion vectorial de variable real . . . . . . 3
1.1.2. Lımite de funciones vectoriales de variable real . . . . . . . . . . . . 6
Ejercicios de aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3. Continuidad de funciones vectoriales de variable real . . . . . . . . 11
1.1.4. Derivacion de una funcion vectorial de variable real . . . . . . . . . 14
1.1.5. Interpretacion geometrica de la derivada de una funcion vectorial
de variable real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.6. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.7. Integracion de una funcion vectorial de variable real . . . . . . . . . 17
1.2. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3. Reparametrizacion de una curva parametrizada . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2. Longitud de arco como parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Vectores Tangente unitario, Normal principal y Binormal . . . . . . . . . . 23
1.4.1. Vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2. Vector normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.3. Vector binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5. Curvatura y Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.1. Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2. Cırculo de Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.3. Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
i
INDICE GENERAL 1
Bibliografıa 38
Capıtulo 1
Funciones vectoriales de una variable
real
Muchos fenomenos de la naturaleza, tales como la caida libre de un cuerpo, la trayec-
toria de un proyectil, la orbita de un cometa, entre otros son descritos matematicamente
por el concepto de funciones vectoriales de una variable real que pasaremos a desarrollar.
1.1. Funciones vectoriales de una variable real
Definicion 1.1.1. Una funcion vectorial de una variable real, es una funcion de la forma
f : I ⊂ R → Rn la cual, a cada numero real t de algun subconjunto I de R, le asocia
un (y solamente uno) valor f(t) en el espacio Rn. Como f(t) es punto del espacio Rn,
este tiene n-coordenadas, las cuales son en general, funciones de variable t. Ası podemos
escribir
f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t)) ∈ Rn
donde fi : I ⊂ R → R , i = 1, 2, ..., n son funciones reales de la variable t, llamadas
FUNCIONES COORDENADAS de la funcion f .
La grafica de la funcion vectorial f(t) de argumento escalar t, es el conjunto de
los puntos que describen los extremos del radio vector f(t) cuando varia t [7].
Ejemplo 1.1.1. Trace la grafica de la funcion f(t) = (sen(t), cos(t), sen2(t)) ∀t ∈ [0, 2π]
Solucion
La grafica de f podemos obtenerla tabulando de la siguiente manera:
2
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3
Figura 1.1: curva C definida por la funcion f .
Es importante notar la orientacion que toma una partıcula que se encuentra sobre la
grafica de f . Este es lo que diferencia de su representacion como interseccion de superficies
(ecuacion cartesiana de la curva).
La ecuacion cartesiana de la grafica de f se obtiene haciendo desaparecer la variable t
de la representacion parametrica de f , esto es:
Figura 1.2: Interseccion de las supercies: x2 +y2 = 1
y z = x2
x = sen(t)
y = cos(t) ⇒ C :
x2 + y2 = 1
z = x2
z = sen2(t)
1.1.1. Dominio, rango de una funcion vectorial de variable real
Sea f : I ⊂ R→ Rn una funcion vectorial de variable real.
El dominio de f esta definida como la interseccion de los dominios de las funciones
coordenadas de f , esto es.
I = Dom f = Dom f1 ∩Domf2∩, ...,∩Domfn
El rango de f esta definida como el conjunto de todas las n- uplas (f1(t), f2(t), ..., fn(t))
tal que t ∈ Domf , esto es:
Ran f = {(f1(t), f2(t), ..., fn(t)) / t ∈ Domf}
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 4
Ejemplo 1.1.2. Halle el dominio y rango de la funcion vectorial f(t) = (t2,√
t− 1,√
5− t)
Solucion
f1(t) = t2 ⇒ Dom f1 = R
f2(t) =√
t− 1 ⇒ Dom f2 = [1,∞〉 ⇒ Dom f = Domf1 ∩Dom f2 ∩Domf3 = [1, 5]
f3(t) =√
5− t ⇒ Dom f3 = 〈−∞, 5]
Figura 1.3: Grafica de f como interseccion
de superficies
La ecuacion cartesiana de la grafica de f es:
x = t2
y =√
t− 1 ⇒ C :
z =√
5−√x, 1 ≤ x ≤ 25
z =√
4− y2, 0 ≤ y ≤ 2
z =√
5− t
El rango de f es:
Ran f = {(x, y, z) ∈ R3 /√
x− y2 = 1 , z =√
4− y2 , 1 ≤ x ≤ 25 , 0 ≤ y ≤ 2}
Ejemplo 1.1.3. Halle el rango de la funcion f(t) = (senh(t), cosh(t))
Solucion
Figura 1.4: curva C definida por la funcion f .
x = senh(t)
y = cosh(t)⇒ x2 = senh2(t)
y2 = cosh2(t)⇒ y2 − x2 = 1
Como cosh(t) ≥ 1 , ∀t ∈ R, entonces y ≥ 1. Luego
Ran f = {(x, y) ∈ R2 / y2 − x2 = 1 , y ≥ 1}
Ejemplo 1.1.4. Encuentre una funcion vectorial que represente la curva de interseccion
de las dos superficies: el cono z =√
x2 + y2 y el plano z = 1 + y
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 5
Solucion
z =√
x2 + y2
z = 1 + y⇒ (1 + y)2 = x2 + y2 ⇒ 1 + 2y = x2 ⇒ y = x2−1
2
Figura 1.5: curva C definida por la interseccion de superficies
Luego
x = t
y = t2−12
z = t2+12
⇒ f(t) = (t, t2−12
, t2+12
) , ∀t ∈ R.
Antes de continuar, definamos el siguiente resultado fundamental de la topologıa de
R[8].
Definicion 1.1.2. Sea X ⊂ R:
1. Decimos que a ∈ R es un punto de acumulacion o punto lımite de X si y solo si
(a− ε , a + ε) ∩X − {a} 6= φ , ∀ ε > 0.
2. El conjunto de todos los puntos de acumulacion de X es llamado conjunto derivado
de X y sera denotado por X ′.
Ejemplo 1.1.5. .
1. (3, 5]′ = [3, 5]
2. (3, 5)′ = [3, 5]
3. Si X = {2} entonces X ′ = φ. En efecto, demostremos tal afirmacion por reduccion
al absurdo.
a) Supongamos que 2 ∈ X ′. Entonces para cualquier ε > 0 se debe cumplir (2 −ε , 2 + ε) ∩X − {2} 6= φ, la cual es falsa, ya que para ε = 0, 5 (por ejemplo) no
se cumple.
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 6
b) Supongamos ahora que a ∈ X ′, donde a es cualquier numero real diferente de 2.
Entonces para cualquier ε > 0 se debe cumplir (a− ε , a + ε) ∩X − {a} 6= φ, la
cual es falsa, ya que para ε = |a−2|2
(por ejemplo) no se cumple. Por lo tanto,
{2}′ = φ.
4. Z′ = φ
5. R′ = R
6. Q′ = R
7. (R−Q)′ = R
De los ejemplos mostrados, observemos que un punto de acumulacion de un conjunto
dado, no necesariamente pertenece al conjunto (ejemplos 1 y 2)
1.1.2. Lımite de funciones vectoriales de variable real
Sea f : I ⊂ R → Rn una funcion definida en un intervalo abierto I de R y sea to un
punto de acumulacion de I. Se dice que el limite de la funcion f cuando t tiende a to es
L ∈ Rn lo cual se escribe como:
lımt→to
f(t) = L
Si para cualquier ε > 0, es posible hallar un δ > 0 tal que t ∈ I , 0 <| t− to |< δ implica
‖ f(t)− L ‖< ε, donde ‖ ‖ es la norma euclidiana de vectores de Rn [7]. Simbolicamente
lımt→to
f(t) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / t ∈ Dom f ∧ 0 <| t− to |< δ ⇒ ‖ f(t)− L ‖< ε
Ejemplo 1.1.6.
Demuestre por definicion que: lımt→2
(2t,t2(t− 2)
t− 2) = (4, 4)
Solucion
Primero calculemos el dominio de la funcion f(t) = (2t,t2(t− 2)
t− 2).
f1(t) = 2t
f2(t) = t2(t−2)t−2
⇒ Domf1 = R
Domf2 = R− {2}⇒ Domf = R− {2}
En seguida calculemos el valor que debe tomar δ, para cualquier valor que le asignemos
a ε en la definicion de lımite.
∀ε > 0 ∃δ > 0 / t ∈ Dom f ∧ 0 <| t− 2 |< δ ⇒ ‖ f(t)− (4, 4) ‖< ε
‖ f(t)− (4, 4) ‖ =√
(2t− 4)2 + (t2 − 4)2
≤ | 2t− 4 | + | t2 − 4 |= 2 | t− 2 | + | t + 2 | | t− 2 | ?
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 7
Acotemos | t + 2 |.Sea δ1 = 1 ⇒ 0 <| t − 2 |< 1 ⇒ −1 < t − 2 < 1 ⇒ 1 < t < 3.
⇒ 3 < t + 2 < 5. Luego | t + 2 |< 5.
Reemplazando este ultimo resultado en (?) se tiene:
‖ f(t)− (4, 4) ‖≤ 2 | t− 2 | + | t + 2 | | t− 2 |< 2δ + 5δ = 7δ = ε, luego δ2 = ε/7.
Por lo tanto δ = min{1, ε/7}.
Figura 1.6: Notemos que para ε = 2 se tiene δ = min{1, 2/7} = 2/7
Ejemplo 1.1.7.
Demuestre por definicion que: lımt→2
(1
1− t3,√
5t− 1,t√2) = (−1
7, 3,
2√2)
Solucion
Primero calculemos el dominio de la funcion f(t) = (1
1− t3,√
5t− 1,t√2).
f1(t) = 11−t3
f2(t) =√
5t− 1
f3(t) = t√2
⇒Dom f1 = R− {1}Dom f2 = [1
5,∞〉
Dom f3 = R
⇒ Dom f = [15, 1〉 ∪ 〈1,∞〉 En seguida
calculemos el valor que debe tomar δ, para cualquier valor que le asignemos a ε en la
definicion de lımite.
∀ε > 0 ∃δ > 0 / t ∈ Domf ∧ 0 <| t− 2 |< δ ⇒ ‖ f(t)− (−1
7, 3,
2√2) ‖< ε
‖ f(t)− (−1
7, 3,
2√2) ‖ = ‖ (
8− t3
7(1− t3),√
5t− 1− 3,t√2− 2√
2) ‖
≤ | 2− t | | 4 + 2t + t2 |7 | t− 1 | | t2 + t + 1 | +
5 | t− 2 |√5t− 1 + 3
+| t− 2 |√
2
=| t− 2 | | (t + 1)2 + 3 |
7 | t− 1 | | (t + 12)2 + 3
4| +
5 | t− 2 |√5t− 1 + 3
+| t− 2 |√
2
En seguida acotemos los terminos diferentes de | t− 2 |.
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 8
Como 34≤ (t + 1
2)2 + 3
4⇒ 1
(t+ 12)2+ 3
4
≤ 43
, ∀t ∈ Dom f . De igual forma, dado que
3 ≤ √5t− 1 + 3 ⇒ 1√
5t−1+3≤ 1
3, ∀t ∈ Dom f . Entonces
‖ f(t)− (−1
7, 3,
2√2) ‖≤ | t− 2 | | (t + 1)2 + 3 |
7 | t− 1 |4
3+
5 | t− 2 |3
+| t− 2 |√
2(?)
Consideremos δ < min{| 1− 2 |} = 1. Luego en particular sea δ1 = 1/2.
Ahora 0 <| t− 2 |< 1/2 ⇒ 32
< t < 52. Luego se tiene:
254
+ 3 < (t + 1)2 + 3 < 494
+ 3
23
< 1t−1
< 2
⇒| (t + 1)2 + 3 |< 61
4
| 1t−1
|< 2
Reemplazando estos ultimos resultados en (?) se tiene:
‖ f(t)− (−1
7, 3,
2√2) ‖ ≤ 61
4. 2 .
4
3.1
7| t− 2 | +5 | t− 2 |
3+| t− 2 |√
2
<122
21δ +
5 δ
3+
δ√2
= ε ⇒ δ =ε
12221
+ 53
+ 1√2
Por lo tanto, el valor de δ que buscamos para cualquier ε es:
δ = min{1
2,
ε12221
+ 53
+ 1√2
}
Teorema 1.1.1. Sea f : I ⊂ R → Rn una funcion definida en un intervalo abierto I de
R y sea to un punto de acumulacion de I. Entonces
lımt→to
f(t) = L = (l1, l2, ..., ln) ∈ Rn si y solo si lımt→to
fi(t) = li ∀i = 1, 2, ..., n
Prueba Ver [7]
Ejemplo 1.1.8.
Calcule si existe lımt→0
(e2t − 1
Ln(1− 4t),
sen23t
Ln2(1 + 2t)
)
Solucion
Aplicando L’Hopital se tiene:
lımt→0
e2t − 1
Ln(1− 4t)= lım
t→0
2e2t
−41−4t
= −1
2
lımt→0
sen23t
Ln2(1 + 2t)= lım
t→0
6cos(3t) sen(3t)
2Ln(1 + 2t) 21+2t
= lımt→0
3sen(6t) (1 + 2t)
4Ln(1 + 2t)
= lımt→0
18cos(6t) (1 + 2t) + 3sen(6t) 28
1+2t
=9
4
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 9
Por lo tanto:
lımt→0
(e2t − 1
Ln(1− 4t),
sen23t
Ln2(1 + 2t)
)=
(−1
2,9
4
)
Definicion 1.1.3. Si f y g son funciones vectoriales de variable real con rango en Rn y
dominios Dom f y Domg en R, entonces f + g , f − g , f × g (solo cuando n = 3) son
funciones vectoriales y f.g es una funcion escalar, cuyos dominios son Dom f ∩Domg y
sus reglas de correspondencia son:
1. (f ± g)(t) = f(t)± g(t)
2. (f.g)(t) = f(t).g(t)
3. (f × g)(t) = f(t)× g(t) (definida solo en R3)
Si ϕ es una funcion real de una variable real entonces la funcion ϕf se define como:
(ϕ f)(t) = ϕ(t) f(t) , ∀t ∈ Dom(ϕf) = Dom ϕ ∩Dom f
Teorema 1.1.2. Si f y g son funciones vectoriales tales que lımt→to
f(t) = B y lımt→to
g(t) = C
donde to es punto de acumulacion de Dom f ∩Dom g, entonces:
1. lımt→to
(f ± g)(t) = B ± C
2. lımt→to
(f.g)(t) = B.C
3. lımt→to
(f × g)(t) = B × C
4. Si f es una funcion vectorial y ϕ una funcion real talque lımt→to
f(t) = B y lımt→to
ϕ(t) = k
donde to es punto de acumulacion de Dom f ∩Dom ϕ, entonces: lımt→to
(ϕf)(t) = k B
Prueba Ver [1]
EJERCICIOS DE APLICACION
1. Trace las curvas representadas por las siguientes ecuaciones parametricas y encuentre
las sus ecuaciones cartesianas:
a) x = t2 , y = 6− 3t
b) x = et , y = e−t
c) x = cosht , y = senht
2. Investigue la familia de curvas definida por las ecuaciones parametricas x = t2 ,
y = t3 − ct. ¿Como cambia la forma al aumentar c?. Ilustre la respuesta graficando
varios miembros de la familia.
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 10
3. Las curvas de catastrofe de cola de milano se definen mediante las ecuaciones
parametricas x = t2 , y = t3 − ct. Grafica varias de ellas. ¿Que caracteristicas
tienen en comun? ¿Como cambian cuando aumenta c?
4. Las curvas cuyas ecuaciones son x = asen(nt) , y = bcost se denominan figuras
figuras de Lissajous. Investigue como varıan al cambiar a, b y n (n es un entero
positivo).
5. Un par de trayectorias de [0,∞) en R3 se definen por c(t) = (cost, sint, bt) y r(t) =
(1, 0, t). Responda las siguientes preguntas:
a) ¿Se intersectan las curvas generadas por c(t) y r(t)?
b) Si estas trayectorias representan el desplazamiento de un par de partıculas. ¿En
que puntos ,si los hay, estas partıculas se encuentran?
b) Si estas trayectorias representan el desplazamiento de un par de partıculas. ¿En
que puntos ,si los hay, estas partıculas se encuentran?
6. Sea C la curva descrita por la funcion α(t) = (t3 − 4t, t2 − 4) , t ∈ R. Trace la
grafica de la curva C indicando, si existen, simetrıa, puntos dobles y asıntotas.
7. Sea C la curva descrita por f(t) = ( 11−t
,√
5t− 1, t√2). Pruebe por definicion que
lımt→2
f(t) = (−1, 3,2√2)
8. Halle el dominio de las siguientes funciones vectoriales:
a) f(t) = (Ln(4− t2),√
t2 − 3t + 2)
b) f(t) = (e−t, Ln(4− t)2, t Ln( 2t−3
))
c) f(t) = (−t√
9− t2, tt−3
, Ln(2 + t))
9. Demuestre por definicion los siguientes lımites:
a) lımt→2
(2t ,t3 − 2t2
t− 2) = (4, 4)
b) lımt→2
(2t ,t3 − 2t2
t− 2,
sen(t− 2)
t− 2) = (4, 4, 1)
c) lımt→0+
(√
t sen(1
t) ,
3√
t cos(1
t) ,
5√
t) = (0, 0, 0)
10. Sea C la curva descrita por la funcion f(t) =
(t, t2, 3
√1− t2
25− t4
16
)
a) Trace la curva C.
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 11
b) Pruebe por definicion que lımt→0
f(t) = (0, 0, 3)
11. Usando la definicion de limite demuestre que:
lımt→2
(t,√
t (2− t),√
2 (2− t)) = (2, 0, 0)
12. Calcule si existe los siguientes limites:
a) lımt→1+
(1− [|t|] , 1 + cosπt
1− t,√
t− 1)
b) lımt→1/2
(t4 ,√
5t2 + 1 ,t4 sen3(π [|t|])
t6 + 1)
c) lımt→1
(1
2− t,
4√
1− [|t|]t [|2t− 1|] , [|t|])
1.1.3. Continuidad de funciones vectoriales de variable real
Sea f : I ⊂ R→ Rn una funcion definida en un subconjunto I de R. Se dice que f es
continua en el punto to ∈ I si y solo si
∀ε > 0 ∃δ > 0 / t ∈ Dom f ∧ | t− to |< δ ⇒ ‖ f(t)− L ‖< ε
En particular, si to ∈ I es un punto de acumulacion de I entonces f es continua en to si
y solo si
lımt→to
f(t) = f(to)
NOTA 1.1.1.
Si to ∈ I no es punto de acumulacion de I entonces f es continua en to.
Teorema 1.1.3.
Sea f : I ⊂ R→ Rn una funcion definida en un subconjunto I de R. Se dice que f es
continua en el punto to ∈ I si y solo si sus funciones coordenadas fi , ∀i = 1, 2, ..., n son
continuas en to.
Ejemplo 1.1.9.
Sea f(t) =(t3, ‖sen2(π t
2)‖, t− ‖t‖2
) ∀ t ∈ [−1, 1]
1. Determine los puntos de discontinuidad.
2. ¿Es posible redefinir f en dichos puntos de discontinuidad de tal forma que sea
continua?
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 12
Solucion
Desarrollando los maximos enteros en f , se tiene:
f(t) =
(−1, 1, 2) t = −1
(t3, 0, t− 1), −1 < t < 0
(t3, 0, t), 0 ≤ t < 1
(1, 1, 0), t = 1
1). i) ¿Es f continua en t = −1?
lımt→−1+
(t3, 0, t− 1) = (−1, 0,−2) 6= (−1, 1,−2) = f(−1)
Entonce f es discontinua (evitable) en t = −1.
ii) ¿Es f continua en t = 0?
lımt→0−
(t3, 0, t− 1) = (0, 0,−1)
lımt→0+
(t3, 0, t) = (0, 0, 0)
Entonce f es discontinua (discontinuidad de primera especie) en t = 0.
iii) ¿Es f continua en t = 1?
lımt→1−
(t3, 0, t) = (1, 0, 1) 6= (1, 1, 0) = f(1)
Entonce f es discontinua (evitable) en t = 1.
2). la funcion f solo se puede redefinir en t = −1 y en t = 1, de tal forma que sea
continua. Esto es:
f ∗(t) =
(−1, 0,−2) t = −1
(t3, 0, t− 1), −1 ≤ t < 0
f ∗(t) =
(1, 0, 1) t = 1
(t3, 0, t), −1 < t ≤ 0
Teorema 1.1.4. Sea ϕ : J → I una funcion real donde J, I ⊂ R y f : I → Rn una
funcion vectorial de variable real. Si ϕ es continua en to ∈ J y f es continua en ϕ(to) ∈ I
entonces f ◦ ϕ es continua en to.
Teorema 1.1.5. Si las funciones vectoriales f , g : I ⊂ R → Rn son continuas en to,
entonces f ± g , f.g y f × g (solo cuando n = 3) son tambien continuas en to. Lo
reciproco no es cierto.
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 13
Figura 1.7: Grafica de la funcion f(t) =(t3, ‖sen2(π t
2 )‖, t− ‖t‖2) ∀ t ∈ [−1, 1]
Ejemplo 1.1.10. Dadas las funciones:
f(t) =
(sent, Ln(t + 1), sent
t
), t ∈ 〈−1, 1〉 − {0}
(0, 1, 1), t = 0y
g(t) =
(t, t
sent, Ln(t + 1)
), t ∈ 〈−1, 1〉 − {0}
(0, 1, 0), t = 0
¿Son las funciones f , g y f × g continuas en t = 0?
Solucion
i) ¿Es f continua en t = 0?
lımt→0
(sent, Ln(t + 1),
sent
t
)= (0, 0, 1) 6= (0, 1, 1) = f(0)
Por lo tanto f no es continua en t = 0
ii) ¿Es g continua en t = 0?
lımt→0
(t,
t
sent, Ln(t + 1)
)= (0, 1, 0) = g(0)
Por lo tanto g es continua en t = 0
Notemos que este caso el ultimo teorema no concluye nada a cerca de la continuidad
de f × g en t = 0, ya que f no es continua en t = 0.
iii) ¿Es f × g continua en t = 0?
Primero definamos f × g:
f(t)×g(t) =
(Ln2(t + 1)− 1, sent− sent Ln(t + 1), t− t Ln(t + 1)) , t ∈ 〈−1, 1〉 − {0}(−1, 0, 0), t = 0
Ahora calculemos:
lımt→0
(Ln2(t + 1)− 1, sent− sent Ln(t + 1), t− t Ln(t + 1)
)= (−1, 0, 0) = (f × g)(0)
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 14
Por lo tanto f × g es continua en t = 0.
1.1.4. Derivacion de una funcion vectorial de variable real
Definicion 1.1.4. Sea f : I ⊂ R→ Rn una funcion vectorial definida en un intervalo I y
to ∈ I un punto de acumulacion de I. Decimos que f es derivable en to, si y solo si existe
lımt→to
f(t)− f(to)
t− to. En caso afirmativo, denotamos por f ′(to) a este limite y le llamaremos
DERIVADA de f en to.
f ′(to) = lımt→to
f(t)− f(to)
t− to
Observacion 1.1.1. 1. Decimos que f es diferenciable en J ⊂ I si y solo si f es
derivable en todos los puntos to ∈ J .
2. Si f es derivable en J ⊂ I, podemos definir la funcion
f ′ : J → Rn
t → f ′(t)
3. f ′(to) = lımt→to
f(t)− f(to)
t− to= lım
h→0
f(to + h)− f(to)
h
1.1.5. Interpretacion geometrica de la derivada de una funcion vectorial de
variable real
Figura 1.8: Interpretacion geometrica de la derivada
La derivada de f en to es interpretada como el vector direccion de la recta tangente a
la curva f en el punto f(to) siempre que f ′(to) 6= 0.
El vector f(to+h)−f(to)h
tiene la direccion de la recta secante Ls, a la curva definida por
f . Cuando h → 0 , f(to+h)−f(to)h
→ f ′(to), es decir cuando h → 0 la recta secante Ls toma
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 15
una posicion limite que es la recta tangente Lt a la curva f en el punto f(to), cuyo vector
direccional es f ′(to).
lımh→0
f(to + h)− f(to)
h= f ′(to)
A f ′(to) se le llama vector tangente a la curva en el punto f(to) siempre que f ′(to) 6= 0.
Si f es derivable en to y f ′(to) 6= 0, la recta tangente a la curva f en el punto f(to) es
definida por:
Lt = {f(to) + t f ′(to) : t ∈ R}
la derivada de f en to se interpreta fısicamente como la velocidad de una partıcula cuyo
movimiento es descrito por la funcion vectorial (funcion posicion) f = f(t) en el instante
t = to. En este caso f ′(to) es llamado vector velocidad de f en el instante t = to y su
magnitud ‖ f ′(to) ‖ es llamada rapidez de f en el instante t = to.
Las siguientes son notaciones usuales para la derivada de f en to:
df
dt(to) , D f(to) , f(to)
Teorema 1.1.6.
Sea f = (f1, f2, ...fn) : I → Rn una funcion vectorial definida en el intervalo abierto
I ⊂ R y to ∈ I. Se dice quef es derivable en to si y solo si fi son derivables en
to , ∀i = 1, 2, ...n. En este caso:
f ′(to) = (f ′1(to), f′2(to), ...f
′n(to)).
Definicion 1.1.5. Se dice que la funcion vectorial f : I ⊂ R→ Rn derivable es de clase
C1 si f ′ es continua en I. En general decimos que f es de clase Ck en I (k ≥ 2) si y solo
si f (k−1) : I → Rn es derivable en I y fk es continua en I.
Teorema 1.1.7.
Si la funcion f es derivable en to entonces es f es continua en to.
Teorema 1.1.8.
Si f , g y ϕ son derivables sobre [a, b], entonces f ± g , f.g , ϕ f y f × g son
tambien diferenciables sobre [a, b] y
1. (f ± g)′ = f ′ ± g′
2. (f.g)′ = f ′.g + f.g′
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 16
3. (f × g)′ = f ′ × g + f × g′
4. (ϕf)′ = ϕ′ f + ϕf ′ (ϕ es una funcion escalar).
1.1.6. La diferencial
Sea la funcion f : [a, b] → Rn. Si definimos
Figura 1.9: Interpretacion geometrica de la diferencial
ϕ(to; h) =
f(to+h)−f(to)h
− f ′(to), si h 6= 0
0, si h = 0
entonces se puede escribir:
4f(to; h) = f(to + h)− f(to) = h f ′(to) + h ϕ(to; h)
Definicion 1.1.6. Al vector h f ′(to) se le llama el diferencial de la funcion f en to para
el incremento h y se denota por:
df(to; h) = h f ′(to)
Como ϕ(to; h) = 0 entonces para pequenos incrementos h, el diferencial es una aproxi-
macion para el incremento de f , esto es, 4f(to; h) ≈ df(to; h). Si usamos dt en vez de h
y df en vez de df(to; h), podemos escribir:
df = f ′(to)dt
Si f(t) = (f1(t), f2(t), ..., fn(t)) entonces df = (df1, df2, ...dfn).
Teorema 1.1.9.
Se cumplen los siguientes resultados:
1.1. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 17
1. d(f ± g) = df ± dg
2. d(f.g) = f.dg + df.g
3. d(f × g) = f × dg + df × g
4. d(φ f) = φ df + (dφ)f
5. d(f ◦ φ) = (f ◦ φ)′dφ
1.1.7. Integracion de una funcion vectorial de variable real
Si f = (f1, f2, ...fn) es una funcion vectorial definida sobre [a, b] entonces
∫ b
a
f(t)dt =
(∫ b
a
f1(t)dt,
∫ b
a
f2(t)dt, ...,
∫ b
a
fn(t)dt
)
Esta integral existe si cada una de las integrales
∫ b
a
fi(t)dt existe para todo i = 1, 2, ..., n.
NOTA 1.1.2.
La integral indefinida de una funcion vectorial f se define como:∫
f(t)dt = g(t) + C si g′(t) = f(t) y C : es un vector constante
Teorema 1.1.10.
Primer teorema fundamental del calculo
Sea f(t) = (f1(t), f2(t), ...fn(t)) continua sobre un intervalo I y sea to ∈ I entonces
d
dt
∫ t
to
f(u)du = f(t) t ∈ I
Teorema 1.1.11.
Segundo teorema fundamental del calculo
Si f(t) = (f1(t), f2(t), ...fn(t)) tiene derivadas continuas sobre un intervalo I entonces
para todo a, b ∈ I ∫ b
a
f ′(t)dt = f(b)− f(a)
Ejemplo 1.1.11. Usando diferenciales halle el valor aproximado de la rapidez de una
partıcula en el instante t = 1, 4 seg.. Si para cualquier instante t:
V ′(t) = (−π2sen(πt), πcos(πt), 2π t e1−t2)
y V (0) = (π, 0,−πe)
1.2. CURVAS REGULARES 18
Solucion
Integrando y usando el segundo teorema fundamental del calculo se tiene:∫ t
0
V ′(u)du =
∫ t
0
(−π2sen(πu), πcos(πu), 2π u e1−u2
)du
V (t)− V (0) =
(∫ t
0
−π2sen(πu)du,
∫ t
0
πcos(πu)du,
∫ t
0
2π u e1−u2
du
)
V (t)− (π, 0,−πe) = (π cos(π t)− π, sen(π t),−π e1−t2 + π e)
V (t) = (π cos(π t), sen(π t),−π e1−t2)
Haciendo V (1, 4) = V (1 + 0, 4), consideremos to = 1 y h = 0, 4 para usar diferenciales
V (to + h)− V (to) ≈ hV ′(to)
Luego
V (1 + 0, 4) ≈ v(1) + h V ′(1)
V (1, 4) ≈ (−π, 0,−π) + (0, 4) (0,−π, 2π)
≈ (−π,−0, 4π,−0, 2π)
Finalmente el valor aproximado de la rapidez es:
‖ V (1, 4) ‖≈√
1, 2 π
1.2. Curvas regulares
Definicion 1.2.1. Se dice que una curva C ⊂ Rn es una curva parametrizada, si existe una
funcion vectorial α : [a, b] → Rn tal que α([a, b]) = C.A la funcion α(t) = (α1(t), α2(t), ..., αn(t)) se le llama parametrizacion de la curva C[3].
Ejemplo 1.2.1. Sea C una curva originada por la interseccion del cilindro
(x− 2)2 + y2 = 4 y el plano x + z = 4.¿ Es C una curva parametrizada?
Solucion
De la ecuacion del cilindro se tiene que x = 2+2cos(t) e y = 2sen(t). Luego reemplazan-
do estos resultados en la ecuacion del plano x+z = 4 obtenemos z = 2−2cos(t). Entonces
la curva C esta parametrizada por la funcion vectorial α(t) = (2 + 2cos(t), 2sen(t), 2 −2cos(t)) para todo t ∈ [0, 2π]
Definicion 1.2.2. Sea C ⊂ Rn una curva parametrizada por α : [a, b] → Rn.
1.2. CURVAS REGULARES 19
Figura 1.10: Interseccion del
cilindro con el plano
Figura 1.11: Grafica de la curva
C
1. Se dice que C es una curva con puntos dobles si: α(t1) = α2(t), t1 6= t2
2. Se dice que C es una curva simple si no posee puntos dobles
3. Se dice que C es una curva cerrada si: α(a) = α(b)
4. Se dice que C es una curva regular, si α(t) es de clase C ′ y α′(t) 6= 0 , ∀ t ∈ [a, b].
NOTA 1.2.1.
Una curva regular es aquella curva que admite rectas tangentes en todos los puntos
α(t) para todo t ∈ Domα.
Ejemplo 1.2.2. ¿la curva C definida por f(t) = (t3− 4t, t2− 4) es una curva con puntos
dobles?. ¿Es regular?
Solucion
f(t1) = f(t2) entonces (t31 − 4t1, t21 − 4) = (t32 − 4t2, t
22 − 4) Luego
t31 − 4t1 = t32 − 4t2 (1.1)
t21 − 4 = t22 − 4 (1.2)
De (2) se tiene que t1 = t2 o t1 = −t2. El primer resultado no se considera ya que estamos
buscando puntos dobles. Luego reemplazando t1 = −t2 en (1) se tiene que: t = 0 o t2 = 2
o t2 = −2. Luego consideramos como t1 = 2 y t2 = −2. Por lo tanto C es una curva con
puntos dobles.
Finalmente veamos la regularidad de C.
f ′(t) = (3t2 − 4, 2t), luego f ′(t) 6= 0 para todo t ∈ Domf = R y f ∈ C1. por lo tanto
C es una curva regular.
1.3. REPARAMETRIZACION DE UNA CURVA PARAMETRIZADA 20
Figura 1.12: curva C definida por la funcion f .
1.3. Reparametrizacion de una curva parametrizada
Definicion 1.3.1. Sea λ : [a, b] → Rn la parametrizacion de la curva C. Decimos que
µ : [c, d] → Rn es una repametrizacion de λ si y solo si existe una funcion ϕ : [a, b] → [c, d]
monotona y sobreyectiva tal que λ = µ ◦ ϕ
Ejemplo 1.3.1. Reparametrice la curva C definida por la funcion
λ(t) = (cos(t), sen(t)) , t ∈ [0, 2π],
de tal menera que este definida sobre el intervalo [0, 1] y que:
1. mantenga su orientacion
2. invierta la orientacion.
Solucion
1. Definamos ϕ(t) = t2π
y notemos que ϕ es una funcion sobreyectiva y monotona
creciente (ϕ′(t) > 0). Como λ(t) = µ(ϕ(t)) V λ(t) = µ(k) y dado que t = 2πk se
tiene:
µ(k) = (cos(2πk), sen(2πk)) , k ∈ [0, 1]
Figura 1.13: curva C definida por la funcion f .
1.3. REPARAMETRIZACION DE UNA CURVA PARAMETRIZADA 21
2. Definamos ϕ(t) = 1 − t2π
y notemos que ϕ es una funcion sobreyectiva y monotona
decreciente (ϕ′(t) < 0). Como λ(t) = µ(ϕ(t)) V λ(t) = µ(k) y dado que t = 2π−2πk
se tiene:
µ(k) = (cos(2πk),−sen(2πk)) , k ∈ [0, 1]
Figura 1.14: curva C definida por la funcion f .
1.3.1. Longitud de arco
Definicion 1.3.2. Si C es la curva definida por la funcion vectorial
α(t) = (α1(t), α2(t), ..., αn(t)) y α′1, α′2, ..., α
′n son continuas en el intervalo cerrado [a, b]
entonces si L unidades es la longitud de arco de la curva medida desde el punto f(a) hasta
el punto f(b),
L =
∫ b
a
‖ α′(t) ‖ dt
Ejemplo 1.3.2. Halle la longitud de la curva C descrita por funcion
f(t) = (−cos(t), 0) , t ∈ [π
2,3π
2]
Solucion
Se tiene que
L =
∫ b
a
‖ f ′(t) ‖ dt =
∫ 3π2
π2
| sen(t) | dt =
∫ π
π2
sen(t)dt−∫ 3π
2
π
sen(t)dt = 2
observemos que la traza del la curva C es el segmento de recta cuya longitud es 1. Este
ejemplo nos demuestra en general, que la longitud de arco de una curva no es la longitud
de su traza.
NOTA 1.3.1.
1.3. REPARAMETRIZACION DE UNA CURVA PARAMETRIZADA 22
Figura 1.15: Traza de f
La curva C descrita por la funcion λ(t) = (t, φ(t)) , ∀t ∈ [0, 1] donde
φ(t) =
tsen( π2t
) si t 6= 0
0 si t = 0
es una curva que no se puede hallar su longitud de arco, ya que es una curva que no es
de clase C1.
Figura 1.16: Traza de λ
1.3.2. Longitud de arco como parametro
Sea C la curva en R3 definida por la funcion vectorial
α(t) = (α1(t), α2(t), ..., αn(t)). Si α es de clase C1 entonces se dice que dentro de di-
cho intervalo C es rectificable (esto es, la longitud de su arco entre dos puntos puede
medirse). Si s unidades es la longitud de arco medida desde un punto arbitrario α(t0)
hasta un punto cualquiera α(t), de tal manera que s aumenta cuando t aumenta, entonces
s =
∫ t
t0
‖ α′(u) ‖ du
Asi s sera positivo si la longitud de arco mide en la direccion en que t aumenta y s sera
negativo si se mide en la direccion en que t disminuye. por lo tanto s es una distancia
dirigida. A cada valor de s le corresponde un unico punto P de la curva C. En consecuencia,
las coordenadas de P son funciones de s y s es funcion de t. Entonces la curva puede
definirse por una funcion vectorial del parametro s.
1.4. VECTORES TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL Y BINORMAL 23
Teorema 1.3.1. Sea µ : [c, d] → Rn una funcion vectorial de clase C1 en [c, d]. Las
siguientes afirmaciones son equivalentes:
1. µ es parametrizado por longitud de arco.
2. ‖µ′(s)‖ = 1 para todo s ∈ [c, d]
1 ⇔ 2
Ejemplo 1.3.3. Sea C la curva descrita por la funcion
f(t) = (acos(kt), asen(kt), bkt) k > 0 , t ≥ 0
describe la curva C en terminos de la longitud de arco.
Solucion
f ′(t) = (−aksen(kt), akcos(kt), bk)
‖f ′(t)‖ =√
a2k2 + b2k2
s =
∫ t
0
‖f ′(u)‖du = k√
a2 + b2t V t =s
k√
a2 + b2∀s ≥ 0
Ası,
µ(s) = (acos(s√
a2 + b2), asen(
s√a2 + b2
),sb√
a2 + b2)
(se verifica, ‖µ′(s)‖ = 1).
1.4. Vectores Tangente unitario, Normal principal y Binormal
Sea f : [a, b] → R3 una curva regular sobre [a, b] definida por f(t) = (x(t), y(t), z(t)).
Es decir f ′(t) 6= 0 ∀t ∈ [a, b].
1.4.1. Vector tangente
Definicion 1.4.1. 1. El vector f ′(t) es el vector tangente a la curva C en el punto f(t)
y sigue la direccion de la curva.
2. El vector T (t) = f ′(t)‖f ′(t)‖ es el vector tangente unitario en el punto f(t)
Observacion 1.4.1.
1. Como s(t) =∫ t
0‖f ′(u)‖du , ∀t ∈ [a, b] es la longitud de arco entonces T (t) = f ′(t)
s′(t)
luego f ′(t) = T (t)s′(t)
1.4. VECTORES TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL Y BINORMAL 24
Figura 1.17:
2. Se cumple T ′(t) es ortogonal al vector T (t), esto es, T ′(t).T (t) = 0. En efecto como
T es unitario,
‖T‖ = 1 ⇒ ‖T‖2 = 1 ⇒ T.T = 1
Luego derivando se tiene:
T ′.T + T.T ′ = 0 ⇒ T ′.T = 0 ∀t ∈ [a, b]
3. Si para algun t0, f ′(t0) = 0 entonces:
T (t0) = lımt→t0
f ′(t)‖f ′(t)‖ = lım
t→t0T (t)
si existe el limite.
1.4.2. Vector normal
Definicion 1.4.2. 1. Cualquier vector que pasa por el punto f(t) de una curva C y es
ortogonal a la tangente f ′(t) en ese punto, se llama normal a la curva.
2. El vector T ′(t) se llama normal principal a la curva C en el punto f(t).
3. Si T ′(t) 6= 0 entonces N(t) = T ′(t)‖T ′(t)‖ es el vector unitario normal principal.
Observacion 1.4.2.
1. Considerando el parametro t como tiempo, si derivamos f ′(t) = T (t)s′(t) se tiene el
vector aceleracion
f ′′(t) = s′′(t)T (t) + s′(t)T ′(t)
y como T ′(t) = N(t)‖T ′(t)‖, se tiene
f ′′(t) = s′′(t)T (t) + s′(t)‖T ′(t)‖N(t)
Esta ultima ecuacion expresa el vector aceleracion como una combinacion lineal de
los vectores T y N . Geometricamente f ′′ se encuentra en el plano determinado por
T y N .
1.4. VECTORES TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL Y BINORMAL 25
2. La componente tangencial del vector aceleracion es: aT = s′′ = f ′.f ′′‖f ′‖
3. La componente normal del vector aceleracion es aN = s′‖T ′‖
Figura 1.18:
1.4.3. Vector binormal
Definicion 1.4.3. Se llama vector binormal al vector B(t) = T (t)×N(t).
Figura 1.19:
NOTA 1.4.1. 1. El plano que pasa por f(t0) determinado por los vectores T (t0) y N(t0)
se llama plano osculador de C en f(t0) y su ecuacion es:
B(t0)((x, y, z)− f(t0)) = 0
2. El plano que pasa por f(t0) determinado por los vectores N(t0) y B(t0) se llama
plano normal de C en f(t0) y su ecuacion es:
T (t0)((x, y, z)− f(t0)) = 0
3. El plano que pasa por f(t0) determinado por los vectores B(t0) y T (t0) se llama
plano rectificante de C en f(t0) y su ecuacion es:
N(t0)((x, y, z)− f(t0)) = 0
1.4. VECTORES TANGENTE UNITARIO, NORMAL PRINCIPAL Y BINORMAL 26
4. En cada punto f(t) de C los vectores T (t), N(t) y B(t) forman una basa ortonormal
de R3
Teorema 1.4.1. Si C es una curva en R3 descrita por f entonces
a) B(t) =f ′(t)× f ′′(t)‖f ′(t)× f ′′(t)‖ b) N(t) = B(t)× T (t) =
(f ′(t)× f ′′(t))× f ′(t)‖(f ′(t)× f ′′(t))× f ′(t)‖
Ejemplo 1.4.1. El plano osculador de la curva C :
y =√
x
z = x2en el punto (1,1,1), corta
al cilindro x2 + y2 = 1 determinando la curva D. Halle los vectores T , N y B de D en el
punto (0,1,-5).
Solucion
Primero hallemos el plano osculador Posc : ((x, y, z) − f(to)) B(to) = 0 de la curva C
en el punto (1,1,1). Para esto parametricemos la curva C por: x = t , y =√
t , z = t2,
luego C esta representado por la funcion vectorial f(t) = (t,√
t, t2).
El valor de to se obtiene de f(to) = (1, 1, 1). Entonces to = 1.
Por otro lado
f ′(t) = (1, 12√
t, 2t) ⇒ f ′(1) = (1, 1/2, 2)
f ′′(t) = (0,− t−3/2
4, 2) ⇒ f ′′(1) = (1,−1/4, 2)
B(1) = f ′(1)×f ′′(1)‖f ′(1)×f ′′(1)‖ = 2√
87(6,−8,−1)
Reemplazando este ultimo resultado en la ecuacion del plano osculador se tiene:
Posc : ((x, y, z)− (1, 1, 1))2√87
(6,−8,−1) = 0 ⇒ 6x− 8y − z + 3 = 0
Determinemos ahora la curva D, que es la interseccion del plano osculador con el
cilindro: x2 + y2 = 1.
D = Posc ∩Cilindro :
6x− 8y − z + 3 = 0
x2 + y2 = 1⇒ α(t) = (cost, sent, 6cost− 8sent + 3)
De α(to) = (0, 1,−5) se tiene to = π/2. Luego:
α′(t) = (−sent, cost,−6sent− 8cost) ⇒ α′(π/2) = (−1, 0,−6)
α′′(t) = (−cost,−sent,−6cost + 8sent) ⇒ α′′(π/2) = (0,−1, 8)
α′(π/2)× α′′(π/2) = (−6, 8, 1)
(α′(π/2)× α′′(π/2))× α′(π/2) = (−48,−37, 8)
Finalmente
T (π/2) = α′(π/2)‖α′(π/2)‖ = 1√
37(−1, 0,−6)
N(π/2) = (α′(π/2)×α′′(π/2))×α′(π/2)‖(α′(π/2)×α′′(π/2))×α′(π/2)‖ = 1√
3737(−48,−37, 8)
B(π/2) = α′(π/2)×α′′(π/2)‖α′(π/2)×α′′(π/2)‖ = 1√
101(−6, 8, 1)
1.5. CURVATURA Y TORSION 27
Figura 1.20:
1.5. Curvatura y Torsion
Uno de los problemas fundamentales de la geometrıa es determinar con exactitud cuan-
tificandolos, los elementos geometricos que distinguen unas figuras de otras. Por ejemplo,
los segmentos de recta quedan determinados unicamente por su longitud, las circunfer-
encias por su radio etc. Se demuestra que estos problemas se pueden resolver en general
para curvas regulares suficientemente suaves. Veremos que una curva regular viene deter-
minada por solo dos cantidades escalares llamadas curvatura y torsion, las cuales se
expresan como funciones del parametro natural(longitud de arco).
Podemos imaginar la traza de una curva R3 como el resultado de someter una recta a
un proceso de combamiento (curvatura) y otro de atornillamiento (torsion) [3] .
1.5.1. Curvatura
La idea general que se persigue en el estudio de la curvatura de una curva es la de
medir la rapidez con que la curva se aleja de su recta tangente en un punto P dado de
ella. En terminos generales a esta rapidez se llama curvatura de la curva en el punto P .
Figura 1.21: La curvatura es
pequena
Figura 1.22: La cur-
vatura es grande.
Al estudiar la curvatura de una curva en un punto P de ella nos interesa tener infor-
macion sobre la variacion del vector tangente f(t) en el punto P . Por su puesto solo la
1.5. CURVATURA Y TORSION 28
variacion en la direccion de f ′(t) y no su magnitud.
Sea f : [a, b] → R3 un camino regular en [a, b]
Eligiendo dos puntos: f(t0) y f(t) de la curva C con sus respectivos vectores tangentes
unitarios T (t) y T (t), nos interesa estudiar la razon∥∥∥∥T (t)− T (t0)
s(t)− s(t0)
∥∥∥∥ (1.3)
que es el cambio promedio de direccion por unidad de distancia.
Figura 1.23:
La razon (3) es la medida de cuanto se curva la curva C y la razon instantanea se
obtiene tomando el limite cuando t se aproxima a t0. Ası
lımt→t0
∥∥∥T (t)−T (t0)t−t0
∥∥∥| s(t)−s(t0)
t−t0|
=‖T ′(t0)‖| s′(t0) | =
‖T ′(t0)‖‖f ′(t0)‖
El numero K(t0) =‖T ′(t0)‖‖f ′(t0)‖ se llama curvatura de C en el punto f(t0).
Ejemplo 1.5.1. Halle la curvatura de la recta L : P = Po + t~a , t ∈ R.
Solucion
Representemos la recta L por la funcion vectorial f(t) = Po + t~a , ∀t ∈ R.
Se tiene que T (t) = f ′(t)‖f ′(t)‖ =
−→a‖−→a ‖ . Luego T ′(t) =
−→0 .
Entonces K(t) = ‖T ′(t)‖‖f ′(t)‖ = 0 , ∀ t ∈ R.
De este ultimo resultado podemos concluir, las curvas de curvatura cero son rec-
tas.
Ejemplo 1.5.2. Halle la curvatura de la circunferencia x2 + y2 = R2.
Solucion
Sea f(t) = (Rcost, Rsent) , ∀ t ∈ [0, 2π] la funcion vectorial que representa a la
circunferencia x2 + y2 = R2.
1.5. CURVATURA Y TORSION 29
Se tiene que f ′(t) = (−Rsent, Rcost) , T (t) = (cost, sent) y T ′(t) = (−sent, cost).
Luego K(t) = 1R∀ t ∈ [0, 2π].
De este ultimo resultado se concluye que la circunferencia tiene curvatura con-
stante y es inversamente proporcional al radio de la circunferencia.
Definicion 1.5.1. El vector−→K (t) =
T ′(t)‖f ′(t)‖ se denomina vector curvatura en el punto
f(t). El escalar K = ‖−→K (t)‖ se llama curvatura
Teorema 1.5.1. Si f : I ⊂ R→ R3 es una curva regular con segunda derivada continua
entonces la curvatura K de la curva C esta dada por:
K =‖f ′ × f ′′‖‖f ′‖3
(1.4)
Teorema 1.5.2. Si f : I ⊂ R→ R2 es una curva regular con segunda derivada dada por
f(t) = (x(t), y(t)) entonces la curvatura K de la curva C esta dada por:
K =| x′ y′′ − x′′ y′ |(x′2 + y′2)3/2
(1.5)
Teorema 1.5.3. Si una curva C esta definida por la funcion polar g : [α, β] → R que
tiene segunda derivada entonces la curvatura K de la curva C esta dada por:
K =| g′ + 2g′2 − g g′′ |
(g2 + g′2)3/2(1.6)
Teorema 1.5.4. Si una curva C es la grafica de la funcion real de variable real y = h(x)
que tiene segunda derivada entonces la curvatura K de la curva C esta dada por:
K =| h′′ |
(1 + h′2)3/2(1.7)
Ejemplo 1.5.3. Sea Γ la curva de ecuaciones parametricas
x = 3t , y = 3 t2 , z = t3 ∀ t ∈ R
Sea Γ∗ la curva de interseccion de las rectas tangentes a Γ con el plano osculador de la
curva Γ en el punto (3,3,1). Calcule la curvatura de la curva Γ∗.
Solucion
Primero hallemos el plano osculador
NOTA 1.5.1.
Observemos que la curvatura de un camino tal como ha sido definida, es siempre un
numero no negativo. Sin embargo en el caso de curvas en R2, es posible asociar un signo
a la curvatura .
1.5. CURVATURA Y TORSION 30
Figura 1.24:
Si f : J ⊂ R → R2 es la reparametrizacion de f por longitud de arco, el vector
T (s) = f ′(s) es un vector unitario para toda s ∈ J .
Considerando el vector unitario N(s) que se obtiene al girar el vector T (s) un angulo
de π2
en sentido antihorario. Tenemos asi que los vectores T ′(s) y N(s) son ortogonales
a T (s), y por lo tanto colineales, de modo que para cada s ∈ J , existe un numero K(s)
bien definido
T ′(s) = f ′′(s) = K(s) N(s)
a este numero K(s) lo llamaremos curvatura de f en s.
1.5.2. Cırculo de Curvatura
Definicion 1.5.2. Sea f : I ⊂ R → R2 la funcion que describe la curva regular C dos
veces diferenciable para los puntos f(t) en los cuales K(t) 6= 0. Se definen:
Figura 1.25:
1. El radio de curvatura ρ(t) de la curva C en el punto f(t) por
ρ(t) =1
K(t)
2. El centro de curvatura de la curva C en el punto f(t) por
C(t) = f(t) + ρ(t) N(t)
1.5. CURVATURA Y TORSION 31
3. El circulo de curvatura de C, corresponde a f(t) es la circunferencia de radio ρ y
centro el centro de curvatura.
Ejemplo 1.5.4. Se llama EVOLUTA de una curva parametrizada regular con curvatura
no nula, al lugar geometrico de los centros de curvatura. Halle la evoluta de la helice
α(s) = (√
22
cos(s),√
22
sen(s),√
22
s) y compruebe que es regular y que s es su parametro
longitud de arco.
Solucion
La evoluta de la helice esta dada por: C(s) = α(s) + ρ(s) N(s) donde debemos notar
que el parametro s no es necesariamente el parametro longitud de arco para la evoluta
(por probar), pero si es parametro longitud de arco para la helice.
Primero probemos que s es parametro longitud de arco para la helice.
‖ α′(s) ‖=‖(−√2
2sen(s),
√2
2cos(s),
√2
2
)‖= 1
Como s es parametro longitud de arco para la helice, se tiene que:
K(s) =‖ T ′(s) ‖=‖ α′ ′(s) ‖=‖(−√2
2cos(s),−
√2
2sen(s), 0
)‖=
√2
2
Luego ρ(s) = 1K(s)
=√
2. Del hecho que T ′(s) = K(s) N(s) se tiene:
N(s) = (−cos(s),−sen(s), 0)
Figura 1.26: grafica de la helice (rojo) y su evoluta (azul)
Finalmente reemplazando los resultados anteriores se tiene:
C(s) = α(s) + ρ(s) N(s) =
(−√
2
2cos(s),−
√2
2sen(s),
√2
2s
)
Se verifica que C(s) es regular, pues C(s) es de clase C1 y C ′(s) 6= (0, 0, 0) para todo
s ≥ 0. Tambien se verifica que s es parametro longitud de arco de la evoluta, en efecto:
|| C ′(s) ||=||(√
2
2sen(s),−
√2
2cos(s),
√2
2
)||= 1
1.5. CURVATURA Y TORSION 32
1.5.3. Torsion
Ahora centraremos nuestra atencion en la rapidez con que una curva se aleja de su
plano osculador en la vecindad de un punto dado de ella. Esta rapidez esta relacionada
(directamente) con el concepto de torsion
Figura 1.27: La curva C2 tiene mas torsion que la curva C1 en P .
La idea intuitiva del concepto de torsion es la medida de cuanto se tuerce la curva.
Definicion 1.5.3. Sea f : I ⊂ R → R3 la parametrizacion de la curva regular C. La
torsion es un numero real que indica el levantamiento de la curva C en un punto f(t0)
respecto de su plano osculador en dicho punto. Este valor esta determinado por la razon
de cambio instantaneo del vector binormal respecto a la longitud de arco
lımt→t0
∥∥∥B(t)−B(t0)t−t0
∥∥∥| s(t)−s(t0)
t−t0|
=‖B′(t0)‖| s′(t0) | =
‖B′(t0)‖‖f ′(t0)‖
Como el vectorB′
s′es paralelo al vector normal principal N [ver observacion a seguir],
esto es,B′
s′es igual a N multiplicado por un numero real; al opuesto de este numero real se
denomina torsion de la curva C en f(t) y denotaremos por τ es decir,B′(t)s′(t)
= −τ(t) N(t).
Luego
B′(t) = −τ(t) s′(t) N(t) (1.8)
Observacion 1.5.1. .
1. Se tiene que el vector B′ y N son paralelos. En efecto:
Como B = T ×N se tiene:
B′ = T ′ ×N + T ×N ′
= ‖T ′‖N ×N + T ×N ′
= T ×N ′
1.5. CURVATURA Y TORSION 33
Por otro lado N ×B′ = N × (T ×N ′) = (N.N ′)T − (N.T )N ′ =−→0 ⇒ N/ / B′.
2. Notemos que | τ(t0) |= ‖B′(t0)‖‖f ′(t0)‖
3. Si la curva C parametrizada por f(t) es plana, entonces su torsion es nula (τ = 0)
por lo tanto B = constante.
Teorema 1.5.5. Si C es una curva en R3 definida por f(t) entonces
τ(t) =f ′(t)× f ′′(t).f ′′′(t)‖f ′(t)× f ′′(t)‖2
(1.9)
Para todo t ∈ [a, b] se tiene:
T ′(t) = K(t) s′(t) N(t)
N ′(t) = −K(t) s′(t) T (t) + τ(t) s′(t) B(t)
B′(t) = −τ(t) s′(t) N(t)
Este sistema es llamado Ecuaciones de Frenet de la funcion f en el punto f(t).
Teorema 1.5.6. Si C es una curva en R3 parametrizada por g en terminos de la longitud
de arco s, entonces se tiene:
τ(s) =g′(s)× g′′(s).g′′′(s)
‖g′′(s)‖2(1.10)
Para todo s ∈ [c, d] se tiene:
T ′(s) = K(s) N(s)
N ′(s) = −K(s) T (s) + τ(s) B(s)
B′(s) = −τ(s) N(s)
Este sistema es llamado Ecuaciones de Frenet de la funcion g en el punto g(s).
Ejemplo 1.5.5. Halle la curvatura y la torsion para la curva Γ descrita por
f(s) =
(4
5cos s, 1− sens,−3
5cos s
), s ≥ 0
siendo s el parametro longitud de arco de la curva Γ. Identifique la curva Γ.
Solucion
De la ecuacion T ′(s) = K(s) N(s) se tiene que ‖T ′(s)‖ = ‖K(s) N(s)‖, luego K(s) =
‖T ′(s)‖.Por otro lado, como T (s) = f ′(s) se tiene T ′(s) = f ′′(s). Asi K(s) = ‖f ′′(s)‖.
1.5. CURVATURA Y TORSION 34
f ′(s) =(−4
5sens,− cos s, 3
5sens
)
f ′′(s) =(−4
5cos s, sens, 3
5cos s
)
f ′′′(s) =(
45sens, cos s,−3
5sens
)
Luego, K(s) = ‖f ′′(s)‖ = 1 , ∀ s ≥ 0 (curvatura constante).
Ahora hallemos la torsion mediante:
τ(s) =f ′(s)× f ′′(s).f ′′′(s)
‖f ′′(s)‖2
Notemos que f ′′′ es paralelo a f ′, luego f ′ × f ′′.f ′′′ = f ′′′.f ′ × f ′′ = f ′′.f ′′′ × f ′ = 0. Por lo
tanto τ(s) = 0.
Como la curva tiene curvatura constante y torsion nula, entonces la curva es una cir-
cunferencia. Esto es, la circunferencia esta caracterizado por tener una curvatura
constante y torsion nula.
Figura 1.28:
Ejemplo 1.5.6. Sea α : R+ → R3, definida por α(t) = (t2, 23t3, t), la trayectoria regular
que describe una partıcula que se mueve a lo largo de una curva C. Para el instante t = 1.
Determine:
1. Su velocidad ,rapidez y aceleracion.
2. Los vectores tangente, normal y binormal de la curva en ese instante
3. La curvatura y torsion de la curva en ese punto.
4. Las componentes tangencial y normal de la aceleracion en el punto.
Solucion
1. A partir de la definicion tenemos que el vector velocidad, rapidez, vector aceleracion
y aceleracion en funcion del tiempo estan dadas por:
V (t) = α′(t) = (2t, 2t2, 1) ⇒ V (1) = α′(1) = (2, 2, 1)
v(t) = ‖V (t)‖ =√
α′(t).α′(t) =√
4t2 + 4t4 + 1 ⇒ v(1) = 3
1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS 35
Figura 1.29: Vectores T, N, B de la curva C : α(t) = (t2, 23 t3, t) en el punto t = 1
α′′(t) = (2, 4t, 0) ⇒ α′′(1) = (2, 4, 0)
a(t) = ‖α′′(t)‖ =√
α′′(t).α′′(t) =√
4 + 16t2 ⇒ a(1) =√
20
2. Los vectores tangente, normal y binormal de la curva en t = 1 esta dada por:
T (t) = α′(t)‖α′(t)‖ ⇒ T (1) = (2,2,1)
3
B(t) = α′(t)×α′′(t)‖α′(t)×α′′(t)‖ ⇒ B(1) = (−4,2,4)
6
N(t) = (α×α′′(t))×α′(t)‖(α′(t)×α′′(t))×α′(t)‖ ⇒ N(1) = (−1,2,−2)
3
3. La curvatura y torsion de la curva en t = 1 esta dada por:
K(t) = ‖α′×α′′‖‖α′‖3 ⇒ K(1) = 2
9
τ(t) = α′(t)×α′′(t).α′′′(t)‖α′(t)×α′′(t)‖2 ⇒ τ(1) = 2
9
4. Las componentes tangencial y normal de la aceleracion en el punto t = 1 son:
aT (t) = s′′(t) = α′(t).α′′(t)‖α′(t)‖ ⇒ aT (1) = 4
aN(t) = s′(t)‖T ′(t)‖ = s′(t)‖K(t) s′(t) N(t)‖ = K(t) (s′(t))2 = K(t) ‖α′(t)‖2 ⇒aN(1) = 2
1.6. Ejercicios propuestos
1. Dada la curva x2 − 2yz = 0 y y + z −√2x− 1 = 0
a) Halle la ecuacion del plano osculador en el punto (− 12√
2, 1
4, 1
4)
b) Halle la curvatura en el dado anteriormente.
1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS 36
2. Dada la curva C definida por:
C :
x2 + y2 + 2y = 3
z + x = 2
a) Describa la curva C mediante una funcion vectorial −→r : R→ R3 y grafique dicha
curva.
b) Halle el centro de la circunferencia de curvatura en el punto P (0, 1, 2).
3. Una curva llamada bruja de Marıa Agnesi, costa de todos lod puntos P , determi-
nados como se ilustra en la figura de abajo.
a) Halle la ecuacion parametrica de esta curva, usando el angulo θ como parametro
y grafique.
b) Halle el punto mas alto de la curva.
c) Halle los vectores T y N en el punto mas alto de la curva.
4. Halle la representacion parametrica de la curva f = f(λ) sabiendo que su torsion es
τ = − 1a
(a es una constante positiva) y que un vector en la direccion y sentido del
vector binormal es (cos2λ , senλ cosλ , senλ).
5. Sea C una curva descrita por la funcion f(t) = (√
1− t2 , 1 , t − ln(1 + t√1− t2
)) y
dados los planos P1 : x + z = 1 y P2 : x− z = 1 Halle la curvatura de C en el punto
de se interseccion C , , P1 y P2.
6. Dadas las superficies S1 : x2 + y2 + z2 = 6 y S2 : x2 + y2 = z
a) Halle la representacion parametrica de la curva C definida como la interseccion
de S1 y S2, dirigida de manera que desde el origen de coordenadas se observa en
el sentido antihorario.
b) Halle el vector tangente a la curva C en el punto (−1 , −1 , 2)
c) Halle la torsion en cualquier punto de la curva C.
1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS 37
d) Represente la curva C mediante el paametro longitud de arco.
7. pruebe que la normal principal a una curva Γ (en el punto con curvatura K 6= 0
) tenga la misma direecion que la tangente al lugar geometrico de los centros de
curvatura, si la curva es una curva plana.
8. Si la representacion parametrica de la curva C esta dada por la funcion vectorial f(t),
su torsion es τ = − 1a, a > 0, y que un vector en la direccion y sentido del vector
binormal es (cos2t, sen(2t)2
, sen t). Halle f(t).
9. Una partıcula se desplaza en el plano a lo largo de la curva C con la ecuacion y =
Ln(x +√
x2 − 1) x ≥ 1 con rapidez constante√
32
m/s y parte del punto (1,0) en el
instante t = 0, halle la ecuacion de la circunferencia osculatriz en el punto en que
se encuentra la particula, despues de haber transcurrido 2 segundos despues de su
partida.
10. Dado el vector aceleracion de una partıcula α ′′(t) = (0, 0,−10) m/s2, t ≥ 0. Si
α(0) = (0, 0, 0) y α ′(0) = (10, 0, 10):
a) ¿Cual es el radio de curvatura de la trayectoria α = α(t) en el instantes en que
la partıcula impacta al plano P : x + y + 2z + 40 = 0?
b) Halle la componente tangencial de la aceleracion en el instante t.
11. Halle las intersecciones del plano XY con las rectas tangentes a la helice descrita por
α(t) = ( cos t , sen t , t) (t > 0). ¿Cual es la ecuacion del plano osculador?
12. Halle la representacion parametrica de la curva C definida como la interseccion de S1
y S2, dirigida de manera que desde el origen de coordenadas se observa en el sentido
antihorario.
a) Halle el vector tangente a la curva C en el punto (−1 , −1 , 2)
b) Halle la torsion en cualquier punto de la curva C.
c) Represente la curva C mediante el paametro longitud de arco.
13. Sea Γ la curva de ecuaciones parametricas x = 3t, y = 3t2 , z = t3 para t ∈ R. sea
Γ∗ la curva de interseccion de las rectas tangentes a Γ con el plano osculador de la
curva γ en el punto (3, 3, 1). Calcule la curvatura y torsion de la curva Γ∗.
14. Halle la curvatura y torsion de una curva γ situada en el plano z = 0 para la cual s
es el arco y su vector normal principal es N(s) = (− cos(s2), sen(s2), 0)
Bibliografıa
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38