cálculo diferencial e integral de una variable 1 repaso de funciones. clase 1.1

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Cálculo diferencial e integral de una variable

Repaso de funciones.

Clase 1.1

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Habilidades

1. Explora saberes previos. Asocia, recuerda, codifica.2. Describe el concepto de función, dominio, rango y gráfica de

funciones definidas por tramos.

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Definición y notaciones

Una función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B.

Definición de función:

Notaciones:

x: variable independiente.

y=f(x): variable dependiente.

A=Dom (f): dominio de la función f.

{f(x): x Dom (f)}=Rang (f): rango de la función f.

44


Ejemplo

Ejemplo: ¿Cuáles son el dominio y el rango de f ?

-2

1

4

07

X

Y

y= f(x)

Solución: Dom (f) = [0; 7] Rang (f) = [-2; 4]

55


Ejemplo

Ejemplo: Haga una gráfica y encuentre el dominio y el rango de cada función.

a)

b)

12xf(x) 2xg(x)

2xg(x)

Solución: a) b)12xf(x)

Dom (f) = Dom (g) =

Rang (f) = Rang (g) = [0; >RI

RI

RI

66


Ejemplo

Ejemplo: encuentre el dominio de cada función.

a)

b)

2xxf

xxxg 2

1

77


Prueba de la recta vertical

Una curva en el plano XY es la gráfica de una función de x sí y solo sí ninguna recta vertical se interseca con la curva más de una vez.

Prueba de la recta vertical:

No es función

2xy 2

Sí son funciones

2xf(x)

2xg(x)

88


Funciones definidas por secciones

x1 si ,x

1x si x,1xf

2

Ejemplo: una función f se define por:

Trace la gráfica.

Solución:

x1 si ,x

1x si x,1xf

2

99


Ejemplo

Ejemplo: encuentre la regla de correspondencia para la función f graficada a continuación:

xfy

1010


Simetría

Definición de función par:

f es una función par, si f (-x) = f (x) para todo x Dom (f). Su gráfica es simétrica con respecto al eje Y.

Definición de función impar:

f es una función impar, si f (-x) = - f (x) para todo x Dom (f). Su gráfica es simétrica con respecto al origen de coordenadas.

1111


Ejemplo: determine si cada una de las funciones siguientes es par, impar o ninguna de las dos:

a)

b)

c)

xxxf 5 4x1xg 2x2xxh

Ejemplo

1212


Funciones crecientes y decrecientes

Definición de función creciente:

Se dice que una función f es creciente sobre un intervalo I, si

f(x1)<f(x2) siempre que x1<x2 en I.

X

Yy= f(x)

x1 x2

I

1313

Cálculo diferencial e integral de una variableFunciones crecientes y decrecientes

Definición de función decreciente:

Se dice que una función f es decreciente sobre un intervalo I, si

f(x1)>f(x2) siempre que x1<x2 en I.

X

Yy= f(x)

x1 x2

I

1414


Ejemplo

Ejemplo: la función es decreciente en el intervalo <- ; 0] y creciente en el intervalo [0; >.

2xxf

2xf(x)

¿es decreciente o creciente en algún intervalo [-a; a] , a>0?

1515


Polinomios

Definición de polinomio:

Un polinomio es una función P tal que P(x) = anxn + an-1xn-1 + …

+ a2x2 + a1x + a0 , n entero no negativo y a0, a1, … , an son

constantes llamadas coeficientes del polinomio.

Si an 0, entonces P es de grado n.

Dom (P) = .

RI

Polinomios más comunes:

Función constante: P(x) = a, cuya gráfica es una recta horizontal.Función lineal: P(x) = ax + b, a 0 cuyas gráficas son rectas.Función cuadrática: P(x) = ax2 + bx + c, a 0 cuyas gráficas son parábolas.Función cúbica: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d, a 0.

1616


Funciones potencia

Definición de función potencia:

Una función potencia es una función f tal que f(x) = xa, a constante.

1717


Funciones potencia

Caso a = n, n entero positivo:f(x) = xn, n = 1, 2, 3, 4, …

x 3x

2x 4x

1818


Funciones potencia

Caso a = -n, n entero positivo:f(x) = x-n, n = 1, 2, …

-1x

-3x-2x

1919


Funciones potencia

Caso a = 1/n, n entero positivo:f(x) = x1/n, n = 2, 3, …

1/2x

1/3x

2020


Funciones racionales

Definición de función racional:

Una función racional es una función f que es la razón de dos polinomios:

Q(x)P(x)

f(x)

en donde P y Q son polinomios.

Dom (f) = .}{ 0Q(x):xRI

2121


Ejemplo

Ejemplo: 1)4(x2x

xf 2

3

¿cuál es el dominio de f?

2222


Funciones trigonométricas

Función seno:

Función coseno:

ππ

sen(x)

ππ

cos(x)

2323


Funciones trigonométricas

Función tangente:

23π

23π

2π

2π

tan(x)

2424


Funciones exponenciales

Definición de función exponencial:

Una función exponencial es una función f tal que f(x)=ax, a>0.

x

21

x

31

x2x3

2525


Funciones logarítmicas

Definición de función logarítmica:

Una función logarítmica es una función f tal que f(x)=logax,

a>0, sí y solo si es la inversa de la función exponencial ax.

xlogf(x) 1/3

xlogf(x) 1/2

xlogf(x) 2

xlogf(x) 3

2626


Nuevas funciones a partir de otras conocidas

Desplazamientos horizontales y verticales (c>0):

f(x)y

c-f(x)y

cf(x)y

c)f(xy c)-f(xy

2727



Estiramientos y compresiones verticales y horizontales (c>1):

f(x)y c

f(x)y

cf(x)y

f(cx)y

)cx

f(y

2828



Reflexiones:

f(x)y

x)f(y

-f(x)y

f(-x)y

2929



Valor absoluto de una función:

f(x)y f(x)y

3030


Álgebra de funciones:Combinaciones de funciones

Sean f y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones f + g, f - g, f . g, f / g y f o g se definen como sigue:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), Dom (f + g) = A B

(f - g)(x) = f(x) - g(x), Dom (f - g) = A B

(f . g)(x) = f(x) . g(x), Dom (f . g) = A B

(f / g)(x) = f(x) / g(x), Dom (f / g) = A B – {x: g(x)=0}

(f o g)(x) = f(g(x)), Dom (f o g) = {x Dom (g): g(x) Dom (f)}

3131


Bibliografía

“Cálculo de una variable”

Cuarta edición

James Stewart

Secciones 1.1, 1.2, 1.3

Ejercicios 1.1 pág 22: 1, 2, 5-8, 19, 21-46, 57-64.

Ejercicios 1.2 pág 35: 1-7.

Ejercicios 1.3 pág 46: 1-24, 27-55.

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