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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

INGENIERÍA MECATRÓNICA

1

FFFF----RPRPRPRP----CUPCUPCUPCUP----17/REV:0017/REV:0017/REV:0017/REV:00

DIRECTORIODIRECTORIODIRECTORIODIRECTORIO

Secretario de Educación PúblicaSecretario de Educación PúblicaSecretario de Educación PúblicaSecretario de Educación Pública

Dr. Reyes Taméz Guerra

Subsecretario de Educación Superior Dr. Julio Rubio Oca Coordinador de Universidades Politécnicas

Dr. Enrique Fernández Fassnacht

2

PAGINA LEGALPAGINA LEGALPAGINA LEGALPAGINA LEGAL

Ramiro Santos Mayorga (UPZ) Primera Edición: 200_ DR 2005 Secretaría de Educación Pública México, D.F. ISBN-----------------

3

ÍNDICEÍNDICEÍNDICEÍNDICE

Introducción...............................................................................

4444

Ficha Técnica.................................................................................

5555

Identificación de resultados de aprendizaje….......................

7777

Planeación del aprendizaje........................................................

11111111

Instrumentos de Evaluación Cuestionarios……………………………………………………………………. Guías de observación……………………………………………………….

19191919 45454545

Glosario..........................................................................................

49494949

Bibliografía....................................................................................

54545454

4

INTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓNINTRODUCCIÓN

En este manual se presenta la planeación del curso “Cálculo Diferencial e Integral”. El contenido de la asignatura fue diseñado partiendo del mínimo de conceptos y herramientas matemáticas que todo alumno de ingeniería necesita para resolver problemas ingenieriles. La enseñanza del cálculo requiere un énfasis especial en la solución de problemas relacionados con aplicaciones reales sin descuidar el desarrollo conceptual del mismo. Como ejemplo se puede mencionar que el estudiante necesita adquirir la habilidad para calcular límites; pero esto es insuficiente para comprender el concepto de límite. Este concepto es fundamental para el cálculo ya que está presente en sus definiciones más importantes, tales como continuidad, derivada, integral definida, progresiones y series. Si bien se recomienda el uso de aplicaciones computacionales para lograr mejores aprendizajes, es necesario evitar saturar el curso con ellas, priorizando la comprensión de los conceptos centrales. Los estudiantes preguntan con frecuencia por que si una computadora o calculadora puede realizar todos los cálculos, se necesita conocer lo que está haciendo. Una respuesta podría ser que la mayoría de algoritmos son aproximaciones que pueden, ocasionalmente, resultar en errores significativos en ciertos tipos de problemas. Al entender como trabajan tales algoritmos se puede anticipar e identificar cuando una computadora proporciona resultados erróneos. Un ejemplo es el halo que se obtiene en las imágenes MRI, donde una interpretación incorrecta pude llevar a un diagnóstico inadecuado con serias consecuencias sobre el paciente. El objetivo de la asignaturaobjetivo de la asignaturaobjetivo de la asignaturaobjetivo de la asignatura es: “Desarrollar en el alumno la capacidad para evaluar derivadas e Integrales de funciones de una variable y aplicarlas en la solución de problemas como, optimización, razones de cambio, longitudes, áreas, volúmenes y modelado de sistemas físicos”. En este curso se consideran siete unidades de aprendizaje: Funciones, Límites, Continuidad, Derivada, Máximos y Mínimos, Integral Definida e Indefinida y Aplicaciones de la Integral Definida. Esta asignatura contribuye con sus conocimientos y habilidades a cursos posteriores tales como: Cálculo Vectorial, Ecuaciones Diferenciales, modelado y simulación, etc.

5

FICHA TÉCNICAFICHA TÉCNICAFICHA TÉCNICAFICHA TÉCNICA

Nombre: Cálculo Diferencial e Integral

Clave:

Justificación:

Esta asignatura es la herramienta matemática que sustenta múltiples disciplinas en la ingeniería, siendo un pre-requisito para asignaturas como ecuaciones diferenciales y cálculo vectorial. Esta herramienta matemática permite modelar analíticamente a los sistemas dinámicos tales como: sistemas mecánicos, eléctricos, hidráulicos, etc.

Objetivo:

Desarrollar en el alumno la capacidad para evaluar derivadas e Integrales de funciones de una variable y aplicarlas en la solución de problemas como, optimización, razones de cambio, longitudes, áreas, volúmenes y modelado de sistemas físicos.

Pre-requisitos: Despeja variables en ecuaciones Conoce las funciones elementales Realiza operaciones con polinomios.

Capacidades

• Determina las características básicas de funciones elementales. • Calcula límites • Deriva funciones elementales y compuestas • Integra funciones de una variable • Calcula áreas, volúmenes, longitudes de arco y curvaturas usando la integral definida.

Estimación de tiempo (horas) necesario para transmitir el aprendizaje al alumno, por Unidad de Aprendizaje:

UNIDADES DE APRENDIZAJE TEORÍA PRÁCTICA

presencial

No presencial

presencial

No presencial

Funciones 19 2 3 1

Límites 6 2 0 0

Continuidad 2 2 0 0

Derivada 18 2 2 1

Máximos y Mínimos 10 3 0 2

Integral Definida e Indefinida 20 2 2 1

Aplicaciones de la Integral Definida. 15 2 2 1

Total de horas por cuatrimestre:

100 presenciales + 20 No presenciales

Total de horas por semana:

8

Créditos: 8

FICHA TÉCNICAFICHA TÉCNICAFICHA TÉCNICAFICHA TÉCNICA

6

Bibliografía:

1. Stewart, J., CálculoCálculoCálculoCálculo, 4ª. Edición, Thomson, México, 2004. ISBN: 970-686-127-0. 2. Purcell, B., CálculoCálculoCálculoCálculo, 8ª. Edición, Prentice- Hall, México, 2004. ISBN:970-686-127-0. 3. Larson, R., Hostetler, R. y Edwards, B., CálculoCálculoCálculoCálculo, 6ª. Edición, McGraw Hill, México, 2004.

ISBN: 970 102754-8. 4. Piskunov, N., Cálculo Diferencial e IntegralCálculo Diferencial e IntegralCálculo Diferencial e IntegralCálculo Diferencial e Integral, 1ª. Edición. Montaner y Simón, España, 2000.

ISBN: 5-88417-028-9 5. Courant, R. y John, F., Introducción al Cálculo y al Análisis MatemáticoIntroducción al Cálculo y al Análisis MatemáticoIntroducción al Cálculo y al Análisis MatemáticoIntroducción al Cálculo y al Análisis Matemático, 1ª.Edición, Limusa,

México, 1987. ISBNISBNISBNISBN 968-18-3985 6. Ayres, F., Mendelson E., CálculoCálculoCálculoCálculo, 4ª. Edición, Mc Graw-Hill. ISBN: 958-41-0131-5. 7. Granville, W., Cálculo diferencial e integralCálculo diferencial e integralCálculo diferencial e integralCálculo diferencial e integral, Limusa. ISBN:968-18-1178-X 8. http://www.mathematica-journal.com

7

IDENTIFICACIÓN DE RESULTADOS DE APRENDIZAJEIDENTIFICACIÓN DE RESULTADOS DE APRENDIZAJEIDENTIFICACIÓN DE RESULTADOS DE APRENDIZAJEIDENTIFICACIÓN DE RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Unidades de Aprendizaje

Resultados de Aprendizaje

Criterios de Desempeño

El alumno será competente cuando:

Evidencias

(EP, ED, EC, EA) 89

1. Construcción y caracterización de funciones matemáticas

básicas

El alumno identifica funciones matemáticas.

Identifica funciones EC: Funciones.

3 El alumno reconoce las características de una función

Determina el dominio e imagen de funciones

EC: Dominio e imagen de funciones.

El alumno construye funciones

polinomiales y determina sus características

principales.

Grafica e identifica funciones polinomiales y determina sus características principales.

EP1: Graficas de funciones polinomiales (Lineal, cuadrática y cúbica). EC1: Expresiones analíticas de funciones polinomiales (Lineal, cuadrática y cúbica). EC2: Dominios e imágenes de funciones polinomiales (Lineal, cuadrática y cúbica). EC3: Intervalos donde las funciones polinomiales. crecen y/o decrecen.

6


trascendentes y determina sus características

principales.

Grafica e identifica funciones trigonométricas y determina sus características principales

EP1: Gráficas de funciones (seno, coseno y tangente) EC1: Expresiones analíticas de funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) EC2: Dominios e imágenes de funciones trigonométricas usando la notación de intervalos. EC3: Intervalos donde las funciones trigonométricas crecen y/o decrecen.

6

Grafica e identifica funciones logarítmicas y exponenciales y determina sus características principales.

EP1: Graficas de funciones logarítmicas y exponenciales. EC1: Expresiones analíticas de funciones logarítmicas y exponenciales. EC2: Dominios e imágenes de funciones logarítmicas y exponenciales usando la notación de intervalos. EC3: Intervalos donde las funciones logarítmicas crecen y/o decrecen.

6

IDENTIFICACION DE RESULTADOS DE APRENDIZAJEIDENTIFICACION DE RESULTADOS DE APRENDIZAJEIDENTIFICACION DE RESULTADOS DE APRENDIZAJEIDENTIFICACION DE RESULTADOS DE APRENDIZAJE

8





Evidencias

(EP, ED, EC, EA) 89

El alumno obtiene funciones

inversas gráfica y analíticamente.

Determina las inversas de funciones dadas gráfica y analíticamente.

EC: Inversas de funciones. 4

2. El Concepto de límite y cálculo e interpretación de

límites.

El alumno calcula límites usando la

definición de límite.

Calcula límites usando la definición de límite.

EC: Definición de límite. 2

El alumno calcula límites por sustitución.

Resuelve límites por sustitución

EC: Límites por sustitución 3

El alumno usa los límites infinitos y al infinito para

trazar e interpretar las

asíntotas verticales y

horizontales de funciones.

Traza e interpreta las asíntotas verticales y horizontales de funciones.

EC1: Límites infinitos de la función dada. EC2: Límites al infinito de la función dada. EC3: Asíntotas.

3

3. Continuidad

Diferencia los tipos de discontinuidad de funciones.


EC: Tipos de discontinuidades de funciones.

4

4. Interpretación de la derivada y algunas de sus aplicaciones.

El alumno interpreta

gráficamente el concepto de razón cambio

como la pendiente de la secante a una

curva

Calcula pendientes de secantes a curvas dadas

EC: Pendientes de secantes a curvas dadas.

2

El alumno interpreta el concepto de

derivada como razón de cambio instantánea o

velocidad instantánea.

Calcula razones de cambio instantáneas.

EC: Razones de cambio instantáneas o velocidades instantáneas.

2

El alumno calcula pendientes de

rectas tangentes a la curva y la

rapidéz, usando el concepto de

derivada

Calcula pendientes de rectas tangentes a la curva y usando el concepto de derivada.

EC1: Pendientes de rectas tangentes a la curva.

3

9





Evidencias

(EP, ED, EC, EA) 89

El alumno deriva funciones

elementales y compuestas por

formula.

Deriva funciones elementales y compuestas por formula.

EC1: Derivadas de funciones elementales por fórmula. EC2: Derivadas de funciones compuestas por formula.

14

Calcula límites usando técnicas

de derivación

Resuelve límites usando el teorema de L`Hospital.

EC: Teorema de L`Hospital. 2

5. Caracterización de funciones de una variable, y

solución de problemas de optimización usando la derivada.

El alumno Identifica los

máximos relativos y absolutos de

funciones.

Identifica los máximos y mínimos absolutos de funciones.

EC: Máximos y mínimos absolutos de funciones.

2

El alumno caracteriza

funciones de una variable usando

derivadas.

El alumno caracteriza funciones de una variable usando derivadas.

EC1: Intervalos donde una función es creciente y/o decreciente.

7 EC2: Máximos y mínimos de funciones aplicando el criterio de la segunda derivada.

EC3: Concavidad de funciones.

El alumno resuelve

problemas de optimización usando la derivada.

Resuelve problemas de optimización usando la derivada.

EC: Optimización usando la derivada.

6

6. Integral definida e indefinida

El alumno identifica el concepto de

integral indefinida y definida.

Identifica el concepto de integral indefinida y definida.

EC1: Integral indefinida. EC2: integral definida.

3

El alumno calcula el área bajo una curva usando

sumas de Riemann.

Calcula áreas bajo la curva usando sumas de Riemann.

EC: Áreas bajo la curva y sumas de Riemann.

3

El alumno integra funciones de una variable utilizando

fórmulas.

Integra funciones de una variable por fórmula.

EC: Integración por fórmula. 6

El alumno integra por sustitución,

partes y fracciones parciales

Integra funciones de una variable por sustitución, partes y fracciones parciales.

EC1: Integración por sustitución.

5

EC2: Integración por partes. 4 EC3: Integración por fracciones parciales.

4

7. Aplicaciones de la integral definida.

El alumno calcula áreas, volúmenes

de sólidos de revolución,

longitudes de arco

Calcula áreas, volúmenes de sólidos de revolución, longitudes de arcos y curvaturas, usando la integral definida.

EC: Áreas. 5

EC: Volúmenes de sólidos de revolución.

5

EC: Longitudes de arcos. 5

10





Evidencias

(EP, ED, EC, EA) 89

y curvaturas usando la integral

definida. EC: Curvaturas. 5

12

PLANEACIÓN DEL APRENDIZAJEPLANEACIÓN DEL APRENDIZAJEPLANEACIÓN DEL APRENDIZAJEPLANEACIÓN DEL APRENDIZAJE


Criterios de Desempeño Evidencias (EP, ED, EC, EA)

Instrumento de

evaluación

Técnicas de aprendizaje

Espacio educativo Total de horas Teoría Práctica

Aula Lab. otro HP HNP HP HNP

El alumno identifica funciones matemáticas.

Identifica funciones EC: Funciones.

Cuestionario CDI CO-O1

Lluvia de ideas. Exposición Práctica mediante la acción

x x 1 0 0 0

El alumno reconoce las características de una función

.Determina el dominio e imagen de funciones

EC: Dominio e imagen de funciones.


x x 2 0 0 0

El alumno construye funciones polinomiales y determina sus características principales.

Grafica e identifica funciones polinomiales y determina sus características principales.

EP1: Graficas de funciones polinomiales (Lineal, cuadrática y cúbica). EC1: Expresiones analíticas de funciones polinomiales (Lineal, cuadrática y cúbica). EC2: Dominios e imágenes de funciones polinomiales (Lineal, cuadrática y cúbica). EC3: Intervalos donde las funciones polinomiales crecen y/o decrecen.

Cuestionario CDI CO-O2A CDI CO-O2B CDI CO-O2C

Guía de Observación

GO-03


x

Práctica No. 1 Graficar

funciones polinomiales

Usando herramientas computacional

es

x 5 1 0 0

PLANEACIÓN DEL APRENDIZAJE PLANEACIÓN DEL APRENDIZAJE PLANEACIÓN DEL APRENDIZAJE PLANEACIÓN DEL APRENDIZAJE

13



Instrumento de

evaluación





trascendentes y determina sus características

principales

Grafica e identifica funciones trigonométricas y determina sus características principales

EP1: Gráficas de funciones (seno, coseno y tangente) EC1: Expresiones analíticas de funciones trigonométricas (seno, coseno y tangente) EC2: Dominios e imágenes de funciones trigonométricas usando la notación de intervalos. EC3: Intervalos donde funciones trigonométricas las crecen y/o decrecen.

CuestionarioCDI CO-O3A CDI CO-O3B CDI CO-O3C


GO-03


x

Práctica No. 2 Graficar funciones trigonométricas Usando herramientas computacionales

x 4 1 1 0

Grafica e identifica funciones logarítmicas y exponenciales y determina sus características principales.

EP1: Graficas de funciones logarítmicas y exponenciales. EC1: Expresiones analíticas de funciones logarítmicas y exponenciales. EC2: Dominios e imágenes de funciones logarítmicas y exponenciales usando la notación de intervalos. EC3: Intervalos donde las funciones logarítmicas crecen y/o decrecen.

Cuestionario CDI CO-O4A CDI CO-O4B


GO-02


x

Práctica No. 3 Graficar

funciones logarítmicas y exponenciales

Usando herramientas computacional

es

x 4 1 1 0

El alumno obtiene funciones inversas

gráfica y analíticamente.

Determina las inversas de funciones dadas gráfica y analíticamente.

EC: Inversas de funciones. Cuestionario CDI CO-O5


x x 3 0 0 1

14



Instrumento de

evaluación




El alumno calcula límites usando la definición de límite.

Calcula límites usando la definición de límite. EC: Definición de límite.


Exposición Práctica mediante la acción

X X 2 0 0 0

El alumno calcula límites por sustitución.

Resuelve límites por sustitución

EC: Límites por sustitución.


X X 2 1 0 0

El alumno usa los límites infinitos y al infinito para determinar las asíntotas verticales y horizontales de funciones racionales.

Traza e interpreta las asíntotas verticales y horizontales de funciones racionales..

EC1: Límites infinitos de la función dada. EC2: Límites al infinito de la función dada. EC3: Asíntotas.


x x 2 1 0 0


Deferencia discontinuidades de funciones

EC: Tipos de discontinuidades de funciones. Cuestionario

CDI CO-O7


X X 2 2 0 0

El alumno interpreta gráficamente el concepto de razón cambio como la pendiente de la secante a una curva

Calcula pendientes de secantes a curvas dadas

EC: Pendientes de secantes a curvas dadas.



X X 2 0 0 0

15



Instrumento de

evaluación




El alumno interpreta el concepto de derivada como razón de cambio instantánea.

Calcula razones de cambio instantáneas.

EC: Razones de cambio instantáneas o velocidades instantáneas.


x x 2 0 0 0

El alumno calcula pendientes de rectas tangentes a la curva y, usando el concepto de derivada

Calcula pendientes de rectas tangentes a la curva usando el concepto de derivada.

EC1: Pendientes de rectas tangentes a la curva.


x 2 0 0 0

El alumno deriva funciones elementales y compuestas por formula.


EC1: Derivadas de funciones elementales por fórmula. EC2: Derivadas de funciones compuestas por formula.



GO-02


X

Practica 4 Deriva

funciones usando

herramientas computacional

es

X 10 1 2 1

Calcula límites usando técnicas de derivación.

Resuelve límites usando el teorema de L`Hospital.

EC: Teorema de L`Hospital.

Cuestionario CDI CO-10


X X 2 1 0 0

El alumno Identifica los máximos relativos y absolutos de funciones.

Identifica los máximos y mínimos absolutos de funciones.

EC: Máximos y mínimos absolutos de funciones.

Cuestionario CDI CO-11A

Lluvia de ideas. Exposición Práctica mediante la acción.

X

1 1 0 0

EC1: Intervalos donde una función es creciente y/o decreciente.

Lluvia de ideas. X

x

5

1

0

1

16



Instrumento de

evaluación




El alumno caracteriza funciones de una variable usando derivadas.

Caracteriza funciones de una variable usando derivadas.

EC2: Máximos y mínimos de funciones aplicando el criterio de la segunda derivada. EC3: Concavidad de funciones.

Cuestionario CDI CO-11B


El alumno resuelve problemas de optimización usando el criterio de la segunda derivada.

Resuelve problemas de optimización usando los criterios de primera y segunda derivadas.

EC: Optimización usando la derivada.

Cuestionario CDI CO-11C


x x 4 1 0 1

El alumno identifica el concepto de integral indefinida y definida.

Identifica el concepto de integral indefinida y definida.

EC1: Integral indefinida. EC2: integral definida.

Cuestionario CDI CO-12A


x 2 1 0 0

El alumno calcula el área bajo una curva usando sumas de Riemann.

Calcula áreas bajo la curva usando sumas de Riemann.

EC: Áreas bajo la curva y sumas de Riemann.

Cuestionario CDI CO-12B


x 2 0 1 0

El alumno integra funciones de una variable por fórmula.

Integra funciones de una variable por fórmula.

EC: Integración por fórmula.

Cuestionario CDI CO-12C


x 6 0 0 0

17



Instrumento de

evaluación




El alumno integra funciones de una variable por sustitución, partes y fracciones parciales

Integra funciones de una variable por sustitución, partes y fracciones parciales.

EC1: Integración por sustitución.

Cuestionario CDI CO-12D


GO-03 Lluvia de ideas. Exposición Práctica mediante la acción.

x

Practica 5 Integración

usando herramientas computacional

es.

x 4 1 0 0

EC2: Integración por partes.

Cuestionario CDI CO-12E


GO-03

x 3 0 1 0

EC3: Integración por fracciones parciales.

Cuestionario CDI CO-12F


GO-03

x x 3 0 0 1

El alumno calcula áreas, volúmenes de sólidos de revolución, longitudes de arco y curvaturas usando la integral definida.

Calcula áreas, volúmenes de sólidos de revolución, longitudes de arcos y curvaturas, usando la integral definida.

EC: Áreas. Cuestionario CDI CO-13A


GO-04


x Practica 6 Aplicaciones de la integral usando herramientas computacionales.

x 4 0 1 0

EC: Volúmenes de sólidos de revolución.

x x 4 0 1 0

EC: Longitudes de arcos. Cuestionario CDI CO-13B


GO-04

x x 4 1 0 0

EC: Curvaturas. x x 3 1 0 1

0

19

DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN

NOMBRE DEL ALUMNO: MATRICULA: FIRMA DEL ALUMNO:

PRODUCTO: PARCIAL: FECHA:

MATERIA: CLAVE: CDI CO-O1

NOMBRE DEL MAESTRO: FIRMA DEL MAESTRO:

INSTRUCCIONES

El 18 de marzo de 1996, en cierta ciudad de estados Unidos de América, se registraron las lecturas T de la temperatura. cada dos horas, desde la media noche hasta medio día. El tiempo se midió a partir de la media noche. Use las lecturas para trazar una gráfica aproximada de la temperatura en función del tiempo.

t [ ].hrs

0 2 4 6 8 10 12

T

0 f 58 57 53 50 51 57 61

Determine el dominio de la función dada:

1) 2( ) 16g z z= −

2)

1( )

5g α

α=

−

Determine el dominio e imagen de la función dada

1) 3

2( )g x x x= −

CALIFICACIÓN:

EVALUACIÓN SUMATIVAEVALUACIÓN SUMATIVAEVALUACIÓN SUMATIVAEVALUACIÓN SUMATIVA

CUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI CO----01010101

20




MATERIA: CLAVE: CDI CO-O2A


INSTRUCCIONES

Para la función dada:

3

3

5)( −−= xxf

1. Trace la gráfica.

2. ¿Cual es el nombre de ésta función? _________________

3. Determine el dominio usando la notación de intervalos. 4. Determine la imagen usando la notación de intervalos. 5. Determine los intervalos donde la función crece y decrece.

CALIFICACIÓN:


CUESTIOCUESTIOCUESTIOCUESTIONARIO CDI CONARIO CDI CONARIO CDI CONARIO CDI CO----02A02A02A02A

21




MATERIA: CLAVE: CDI CO-O2B


INSTRUCCIONES


2( ) 2 5 3f x x x= − −


2. ¿Cual es el nombre de ésta función? _________________ 3. Determine el dominio usando la notación de intervalos. 4. Determine la imagen usando la notación de intervalos. 5. Determine los intervalos donde la función crece y decrece.

CALIFICACIÓN:


CUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI CO----02B02B02B02B

22




MATERIA: CLAVE: CDI CO-O2C


INSTRUCCIONES


3( ) 5 3f x x x= − −


2. ¿Cual es el nombre de ésta función? _________________

3. Determine el dominio usando la notación de intervalos. 4. Determine la imagen usando la notación de intervalos. 5. Determine los intervalos donde la función crece y decrece.

CALIFICACIÓN:


CUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI CO----02C02C02C02C

23






INSTRUCCIONES


3 2( )f x sen x= 1. Trace la gráfica.


CALIFICACIÓN:

EVALUACEVALUACEVALUACEVALUACIÓN SUMATIVAIÓN SUMATIVAIÓN SUMATIVAIÓN SUMATIVA

CUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI CO----03A03A03A03A

24






INSTRUCCIONES


cos(2( ) 2 1)f x x= − 1. Trace la gráfica.


CALIFICACIÓN:



25




MATERIA: CLAVE: CDI CO-O3C


INSTRUCCIONES


tan(3 2( ) )f x x= − 1. Trace la gráfica.


CALIFICACIÓN:



26






INSTRUCCIONES


(4 3( ) ln )f x x= − 1. Trace la gráfica.


CALIFICACIÓN:



27






INSTRUCCIONES


(2 5)( ) xf x e −=



CALIFICACIÓN:



28






INSTRUCCIONES


3 7( )f x x= + 1. Determine la inversa. a) Usando el método analítico. b) Usando el método gráfico:

CALIFICACIÓN:



29






INSTRUCCIONES

Usando la definición de límite compruebe los siguientes límites.

a)

2

2

2 3 2lim 5

2x

x x

x→

− − =−

b) 5lim(2 6) 4

x

x→

− =

Calcule los límites indicados e indique las respuestas relacionando la columna izquierda con la derecha. 2

0

2

7

2 2

5

(2 ) 4(1). lim

4 21(2). lim

7

5(3). lim

5

h

t

x

h

h

t t

t

x

x

→

→−

→−

+ −−

+ −−+

−−+

( ) lim = -10

( ) lim = -7

( ) lim = 2

a) Determine las asíntotas verticales y horizontales de la función

3

2( )

xf x

x=

−

b) Grafique la función.

CALIFICACIÓN:



30






INSTRUCCIONES

Para la función f(x) graficada en la figura determine el límite que se indica o el valor de la función, o establezca que el límite o el valor de la función no existe y nombre las discontinuidades que tiene la función.

(a)

3

1

1

1

1

lim ( )

( 3)

( 1)

lim ( )

(1)

lim ( )

lim ( )

lim ( )

x

x

x

x

x

f x

f

f

f x

f

f x

f x

f x

→−

→−

→

−→

+→

−−

CALIFICACIÓN:



31






INSTRUCCIONES

1. Para la función 2( ) 2 5 3f x x x= − − , calcule las pendientes de las rectas secantes que unen los puntos

a) (2,1) y (0,-3)

b) (2,1) y (1,-2)

c) (2,1) y (1.5,-0.75)

d) (2,1) y (1.8,0.24)

2. Se estima que la población de una ciudad es ( ) 100 8f t t= + millones de personas en un tiempo t a partir de ahora. Encuentre a) la razón de cambio promedio y b) la razón de cambio instantánea de la población para t = 2 años a partir de ahora.

3. Suponga que la altura de un cuerpo que caé libremente para un tiempo t después de ser dejado caer desde una altura de 64 metros esta dada por

2( ) 64 16f t t= − [ ]m

Determine la velocidad instantánea del cuerpo cuando t = 2

Determine la ecuación de la tangente a la función 2 1y x= + , en x = 1

CALIFICACIÓN:



32






INSTRUCCIONES


4

2

5( ) cos( )

( ) ( ) tan( )

sec( )( ) 3 tan24

1ln(2 )

2( ) ( 1)

sec( ) ln ( )

f x x x

f x sen x x

xf x x x

x

xx

f x xe

xxf x sen e

=

=

= −

= −

− =



33




MATERIA: CLAVE: CDI CO-10


INSTRUCCIONES

Usando la Regla de L`Hopital calcule los siguientes límites

1

3

0

1

21

11).lim

ln

2).lim( )

ln(ln )3).lim

ln

14). lim

4 3

15).lim

cos( )

x

x

x

x

x

x o

x

x

x

sen x x

x

x

x

x x

e

x x

→

→

→

→−

→

−

−

++ +

−−

CALIFICACIÓN:



34




MATERIA: CLAVE: CDI CO-11A


INSTRUCCIONES

En la siguiente grafica identifique el máximo y mínimo absolutos

CALIFICACIÓN:



35




MATERIA: CLAVE: CDI CO-11B


INSTRUCCIONES

Para la función 3 2

( ) 13 10 1f z x x x= − − +

Determine:

a) Los intervalos donde la función crece y/o decrece

b) Los valores extremos de la función y si son máximos y/o mínimos absolutos y/o relativos

c) Los puntos de inflexión de la función.

d) Los intervalos donde la función es cóncava hacia arriba y/o hacia abajo.

e) El dominio e imagen de la función.

f) Grafique la función.

CALIFICACIÓN:

EVALUACIÓN SUMAEVALUACIÓN SUMAEVALUACIÓN SUMAEVALUACIÓN SUMATIVATIVATIVATIVA


36




MATERIA: CLAVE: CDI CO-11C


INSTRUCCIONES

Resuelva el siguiente problema.

Se construirá una cisterna de base cuadrada para retener 12,000 pies cúbicos de agua. Si la tapa metálica cuesta el doble que los lados la base de concreto, ¿Cuáles son las dimensiones más económicas de la cisterna?

CALIFICACIÓN:



37






INSTRUCCIONES

Defina la antiderivada general de una función f.

Exprese la integral definida en términos de sumas de Riemann.

CALIFICACIÓN:



38






INSTRUCCIONES

Usando las sumas de Riemann, calcule

a) el área entre la gráfica de la función 2 2y x x= − y el eje x; para

[ ]0,3x ∈.

b) el área entre la gráfica de la función 2 2y x= + y el eje x; para

[ ]0,1x ∈.

c) el área entre la gráfica de la función 22 1y x= + y el eje x; para

[ ]1,3x ∈.

CALIFICACIÓN:



39




MATERIA: CLAVE: CDI CO-12C


INSTRUCCIONES

Usando la fórmula pertinente determine las antiderivadas generales de las funciones dadas.

2

1

3

2

3

3 3

2

2

11). (2 )

2). (2 cos )

33).

4). ( 2 )

( ) 25).

x

x

x

x dxx

senx x dx

xdx

x

e x dx

edx

e

− +

+

−

−

−

∫

∫

∫

∫

∫

CALIFICACIÓN:

EVALUACIÓN SUMEVALUACIÓN SUMEVALUACIÓN SUMEVALUACIÓN SUMATIVAATIVAATIVAATIVA


40




MATERIA: CLAVE: CDI CO-12D


INSTRUCCIONES

Integre por sustitución

[ ]

[ ]

2

3

2 2

ln( ) 21). ( )

cos2).

( ) 2

3). cos( )

4). cos( ) 1

15).

( 2 1)

senx

xdx

x

xdx

sen x

x e dx

x senxdx

xdx

x x

+

+

−

++ −

∫

∫

∫

∫

∫

CALIFICACIÓN:


CUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI CO----12D12D12D12D

41




MATERIA: CLAVE: CDI CO-12E


INSTRUCCIONES

Integre por partes

2

2

1). ln

2). 4

3).

4). cos( )cos(2 )

5). 3

x

x

x xdx

e sen xdx

xe dx

x x dx

x sen xdx

∫

∫

∫

∫

∫

CALIFICACIÓN:


CUESTIONARIO CDCUESTIONARIO CDCUESTIONARIO CDCUESTIONARIO CDI COI COI COI CO----12E12E12E12E

42




MATERIA: CLAVE: CDI CO-12F


INSTRUCCIONES

Integre por fracciones parciales

1) 2 3 4

xdx

x x− −∫

2)

2

21

x dx

x +∫

CALIFICACIÓN:


CUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI COCUESTIONARIO CDI CO----12F12F12F12F

43






INSTRUCCIONES

Calcule el área bajo la grafica de la función 2

1y x= + , si [ ]1, 2x −∈

Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la gráfica de la función 2

1y x= + alrededor del eje x, para

[ ]0, 2x ∈

CALIFICACIÓN:



44






INSTRUCCIONES

Determine la longitud del segmento de la recta 3 5y x= + , si [ ]1, 4x ∈

Determine la curvatura de la función vectorial 2 2( ) ( 1) ( 4 ) 2r t t i t t j tk= + + − +

rr rr

CALIFICACIÓN:



45




MATERIA: CLAVE: CDI GO-01

NOMBRE DEL FACILITADOR: FIRMA DEL FACILITADOR:

INSTRUCCIONES

Revisar las actividades que se solicitan y marque en los apartados “SI” cuando la evidencia se cumple; en caso contrario marque “NO”. En la columna “OBSERVACIONES” indicaciones que puedan ayudar al alumno a saber cuales son las condiciones no cumplidas, si fuese necesario.

Código Característica a cumplir (Reactivo) CUMPLE

OBSERVACIONES SI NO

Selección 10%. Se selecciona la sección de la herramienta computacional correcta.

Ejecución 20%. Se introducen los comandos necesarios para obtener la gráfica de la función dada

Ejecución 20%. Se muestra la gráfica en pantalla y se guarda en archivo independiente

Interpretación 30%. Interpreta los resultados correctamente

Seguridad 10%. Trabaja con medidas de seguridad

Presentación 10%. El lugar de trabajo se mantiene limpio

CALIFICACIÓN:

GUÍA DE OBSERVAGUÍA DE OBSERVAGUÍA DE OBSERVAGUÍA DE OBSERVACIÓNCIÓNCIÓNCIÓN

CDI GOCDI GOCDI GOCDI GO----01010101

46






INSTRUCCIONES


Código Característica a cumplir (Reactivo) CUMPLE

OBSERVACIONES SI NO

Selección 10%. Se selecciona la sección de la herramienta computacional correcta.

Ejecución 20%. Se introducen los comandos necesarios para derivar la función dada

Ejecución 20%. Se muestra el resultado correcto en pantalla y se guarda en archivo independiente



Presentación 10%. El lugar de trabajo se mantiene limpio

CALIFICACIÓN:

GUÍA DE OBSERVACIÓNGUÍA DE OBSERVACIÓNGUÍA DE OBSERVACIÓNGUÍA DE OBSERVACIÓN

CD GOCD GOCD GOCD GO----02020202

47






INSTRUCCIONES


Código Característica a cumplir (Reactivo)

El Alumno.

CUMPLE OBSERVACIONES

SI NO

Selección 10%. Selecciona la sección de la herramienta computacional correcta.

Ejecución 20%. Introduce los comandos necesarios para integrar la función dada

Ejecución 20%. Muestra el resultado en pantalla y guarda en archivo independiente



Presentación 10%. Mantiene limpio el lugar de trabajo.

CALIFICACIÓN:



48






INSTRUCCIONES


Código Característica a cumplir (Reactivo)

El Alumno.

CUMPLE OBSERVACIONES

SI NO

Selección 10%. Selecciona la sección de la herramienta computacional correcta.

Ejecución 20%. Introduce los comandos necesarios para obtener el resultado de la aplicación de la integral dada.

Ejecución 20%. Muestra el resultado en pantalla y guarda en archivo independiente



Presentación 10%. Mantiene limpio el lugar de trabajo.

CALIFICACIÓN:



49

GLOSARIOGLOSARIOGLOSARIOGLOSARIO

AAAA Asintota Horizontal. En forma similar, la recta y = b es una asuntota horizontal de la grafica de y = f(x) si

lim ( )

lim ( )x

x

b

b

f x

f x→∞

→−∞

=

=

Asintota Vertical. La recta x = c es una asintota vertical en la grafica de y = f(x) si alguno de los postulados siguientes es verdadero.

1)

2)

3)

4)

lim ( )

lim ( )

lim ( )

lim ( )

x c

x c

x c

x c

f x

f x

f x

f x

+

+

−

−

→

→

→

→

= ∞

= −∞

= ∞

= −∞

BBBB CCCC Concavidad de una función. Si la tangente a una curva gira con regularidad en sentido contrario al de las manecillas del reloj – la grafica de la función es cóncava hacia arriba. Si gira en dirección opuesta – la grafica de la función es cóncava hacia abajo.

Criterio de la segunda derivada para concavidad. Sea f una función dos veces diferenciable sobre (en) un intervalo I = (a,b), entonces:

Si

2

2( ) 0

d fc

dxf

para cualquier x del intervalo I, entonces f es cóncava hacia arriba en I.

2

2( ) 0

d fc

dxp

para cualquier x del intervalo I, entonces f es cóncava hacia abajo en I. Curvatura. La curvatura C de una curva en un punto dado es la medida de cuán rápido la curva cambia de dirección en ese punto. DDDD

Derivada de una función. La derivada de una función f es otra función f ′cuyo valor

para un número cualquiera c es 0

( ) ( )( ) lim

h

f c h f cf c

h→

+ −′ =, una vez que dicho

límite exista. EEEE

50

FFFF Función. Una función f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio un valor único f(x) de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos recibe el nombre de imagen de la función. Función Continua. Se dice que una función f es continua en c, si un intervalo abierto en torno ac está contenido en el dominio de c y se cumple que lim ( )

x cf x c

⇒=

Funciones exponenciales. Funciones del tipo xy a= , para 0a f y cualquier valor de x.

Función inversa. 1( )f x− es la inversa de la función f(x), si la gráfica de

la función 1( )f x− es la gráfica de f(x) reflejada en la recta y = x.

Funciones Logarítmicas. Funciones del tipo log yay x x a= ⇔ = , para

0a f y 1a ≠ Función Polinomial. Cualquier función que puede obtenerse a partir de la función constante y de la función identidad mediante las operaciones de adición, sustracción, y multiplicación. Funciones trigonométricas. Funciones cuyos dominios son conjuntos de números, en vez de conjuntos de ángulos. GGGG HHHH IIII

Integral Definida. Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ ],a b .

Si existe 0

1

lim ( )n

ip

i

f x x→ =

∆∑ , se dice que f es integrable en [ ],a b . Además

( )b

a

f x dx∫ , llamada integral definida de f en a [ ],a b , es el valor de

( )b

a

f x dx∫ =0

1

lim ( )n

ip

i

f x x→ =

∆∑

Integral Indefinida .Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], se llama antiderivada de f(x) a otra función F(x) cuya derivada sea f(x) en dicho intervalo. Es decir, F'(x) = f(x) para todo x de [a,b].

51

LLLL Limite de una función. lim ( )

x cf x L

⇒= significa que para cada 0∈f dada

(sin importar que tan pequeña sea), existe una 0δ f correspondiente

tal que ( )f x L− ∈p , siempre que0 x c δ−p p ; es decir,

0 x c δ−p p ⇒ ( )f x L− ∈p .

Limites al infinito. Sea lim ( )

x a

f x→

= +∞significa que, cuando x tiende a a, f(x)

poco a poco se vuelve +∞ (y se mantiene de ahí en adelante) menor que cualquier numero positivo previamente designado, por grande que este sea. Es decir, se dice que f(x) tiende a +∞ cuando x se aproxima a a.

De igual forma lim ( )

x a

f x→

= −∞ significa que, cuando x tiende a a, f(x) poco a

poco se vuelve −∞ (y se mantiene de ahí en adelante) menor que cualquier numero negativo previamente designado, por grande que este sea. Es decir, se dice que f(x) tiende a −∞ cuando x se aproxima a a.

Sea

lim ( )x a

f x→

= ∞significa que, cuando x tiende a a, |f(x)| progresivamente

se vuelve infinito ∞ (y se mantiene de ahí en adelante) menor que cualquier

numero positivo previamente designado. Por lo tanto, lim ( )

x a

f x→

= ∞ si y solo

si

lim ( )x a

f x→

= +∞

Limites en el infinito. Limite cuando x tiende a infinito ( ∞ ) Sea f una funcion definida en [c, ∞ ] para algun numero c. decimos que

lim ( )x

f x L→∞

= si para todo 0ε f existe un numero correspondiente M tal

que ( )x M f x L ε⇒ −f p

. Limite cuando x tiende a menos infinito ( −∞ ) Sea f una funcion definida en [ −∞ ,c] para algun numero c. decimos que

lim ( )x

f x L→−∞

= si para todo 0ε f existe un numero correspondiente M tal

que ( )x M f x L ε⇒ −p p

. Longitud de arco de una curva. Si una curva, con ecuaciones paramétricas x=f(t), y=g(t), a t b≤ ≤ , se recorre exactamente una vez cuando t aumenta de a hasta b, su longitud esta dada por

2 2dx dy

L dtdt dt

= +

∫

52

MMMM Máximo de una función Sea c un punto del dominio D de la función f. se dice que:

f(c) es el valor máximo de f en D si ( ) ( )f c f x≥ para cualquier x que pertenece a D. Mínimo de una función

f(c) es el valor mínimo de f en D si ( ) ( )f c f x≤ para cualquier x que pertenece a D. f(c) es un valor extremo de f en D si f© es un valor máximo o un valor mínimo.

Sean

df

dx y

2

2

d f

dx dos funciones que existen para cada punto en un intervalo (a,b)

que contenga a c. Supóngase que ( ) 0

dfc

dx=

, entonces

Si

2

2( ) 0

d fc

dxp

, f(c) es un máximo local de f.

Si

2

2( ) 0

d fc

dxf

, f(c) es un mínimo local de f.

Nota: este criterio no es aplicable a puntos singulares, ya que ahí

df

dx no existe. NNNN OOOO La pendiente de la secante a la curva de la función f esta dada por la fórmula

sec

( ) ( )f c h f cm

h

+ −=

P R Razón de cambio instantánea. la razón de cambio instantánea o velocidad

instantánea de la función f, está dada por 0 0

( ) ( )lim limpromh h

f c h f cv v

h→ →

+ −= =

Razón de cambio promedio. La razón de cambio promedio de la función f, es

( ) ( )prom

f c h f cv

h

+ −=

SSSS TTTT

53

UUUU VVVV Volumen de revolución. Volumen obtenido al hacer girar una sección de la gráfica de una función alrededor de un eje de simetría.

54

BIBLIOGRAFÌABIBLIOGRAFÌABIBLIOGRAFÌABIBLIOGRAFÌA

1. Stewart, J., CálculoCálculoCálculoCálculo, 4ª. Edición, Thomson, México, 2004. ISBN: 970-686-127-0.

2. Purcell, B., CálculoCálculoCálculoCálculo, 8ª. Edición, Prentice- Hall, México, 2004. ISBN:970-686-127-0.

3. Larson, R., Hostetler, R. y Edwards, B., CálculoCálculoCálculoCálculo, 6ª. Edición, McGraw Hill, México, 2004. ISBN: 970 102754-8.

4. Piskunov, N., Cálculo Diferencial e IntegralCálculo Diferencial e IntegralCálculo Diferencial e IntegralCálculo Diferencial e Integral, 1ª. Edición. Montaner y Simón, España, 2000. ISBN: 5-88417-028-9

5. Courant, R. y John, F., Introducción al Cálculo y al Análisis MaIntroducción al Cálculo y al Análisis MaIntroducción al Cálculo y al Análisis MaIntroducción al Cálculo y al Análisis Matemáticotemáticotemáticotemático, 1ª.Edición, Limusa, México, 1987. ISBNISBNISBNISBN 968-18-3985

6. Ayres, F., Mendelson E., CálculoCálculoCálculoCálculo, 4ª. Edición, Mc Graw-Hill. ISBN: 958-41-0131-5.

7. Granville, W., Cálculo diferencial e integralCálculo diferencial e integralCálculo diferencial e integralCálculo diferencial e integral, Limusa. ISBN:968-18-1178-X 8. http://www.mathematica-journal.com

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