fyzika pevných látek - aldebaranzacek/download/2017_fpl.pdf · 2018. 1. 9. · fyzika pevných...

Fyzika pevnyacutech laacutetekUacutevodniacute informace

Informace httpfyzikafeldcvutcz~zacek

Varianty předmětu BO2FPL + XP02FPL 2+2 zk

Vyučujiacuteciacute Martin Žaacuteček zacekmfelcvutcz

Oficiaacutelniacute straacutenka předmětu

httpswwwfelcvutczczeducationbkpredmety1518p1518706html B02FPL

httpswwwfelcvutczczeducationbkpredmety1150p11507504html XP02FPL

Naacuteplň (předběžně bude během semestru modifikovaacuteno některyacutemi moderniacutemi partiemi)

1 Uacutevod do předmětu souvislost s ostatniacutemi obory vymezeniacute FPL jako vědniacuteho oboru

2 Struktura krystalů a jejich klasifikace zaacuteklady krystalografie

3 Metody zkoumaacuteniacute struktury laacutetek (RTG elektronovaacute difrakce)

4 Defekty kryst mřiacutežky bodoveacute poruchy dislokace povrchy

5 Paacutesovyacute model pevneacute laacutetky efektivniacute hmotnost energetickeacute stavy

6 Kmity krystaloveacute mřiacuteže fonony tepelneacute vlastnosti

7 Kovy Fermiho plyn volnyacutech elektronů Fermiho plochy

8 Elektrickeacute vlastnosti dielektrik uspořaacutedaacuteniacute feroelektrika

9 Optickeacute vlastnosti iontovyacutech krystalů kvazičaacutestice

10 Polovodiče jejich vlastnosti klasifikace užitiacute

11 Magnetickeacute vlastnosti laacutetek uspořaacutedaacuteniacute kvantovyacute model

12 (Posluchačskyacute seminaacuteř - referaacutety o vlastniacute praacuteci)

13 Niacutezkeacute teploty experimentaacutelniacute metody ve fyzice pevnyacutech laacutetek

Fyzika pevnyacutech laacutetekLiteratura

Zaacutekladniacute studijniacute materiaacutely

Budu daacutevat sem httpfyzikafeldcvutcz~zacek

Doplňkovaacute literaturaCharles Kittel Uacutevod do fyziky pevnyacutech laacutetek Praha Academia 1985 (5 vydaacuteniacute)

Adrianus J Dekker Fyzika pevnyacutech laacutetek Praha Academia 1966

Hrivnaacutek Ľ Bezaacutek V Foltin J Ožvold M Teoacuteria tuhyacutech laacutetok SAV Bratislava 1978

Charles A Wert Robb M Thompson Physics of Solids McGraw-Hill Book Company 1964

Piers Coleman Introduction to Many-Body Physics Cambridge University Press 2015

wwwcambridgeorg9780521864886

Literaturu a studijniacute materiaacutely budu průběžně doplňovat takeacute včetně různyacutech on-

line zdrojů

Fyzika pevnyacutech laacutetekSouvislost s ostatniacutemi obory

Fyzika

tuheacute faacuteze

Kvantovaacute

teorie

Teorie

elektronoveacuteho

obaluStatistickaacute

fyzika

Teorie

Elektromagnetickeacuteho

pole

Teorie

atomoveacuteho

jaacutedra

Materiaacuteloveacute

vědy

Fyzika

povrchů

Fyzika

laserů

Fyzika

polovodičů

Teoretickeacute obory ktereacute

fyziku tuheacute faacuteze zaklaacutedajiacute

Obory jako aplikace

fyziky tuheacute faacuteze

Různeacute

nepevnolaacutetkoveacute

struktury

Optika

Fyzika pevnyacutech laacutetekHistoricky

Mineralogie MetalurgieAnorganickaacute

chemie

Kvantovaacute

chemie

QFT Fyzika pevnyacutech laacutetek

Kapaliny

Plasma

bdquoSoft matterldquo

Condensed matter

Fyzika pevnyacutech laacutetekHistorickyacute exkurz

- atomovaacute hypoteacuteza

- objev elektronu

- Maxwell-Boltzmann-Gibbs hellip statistickyacute přiacutestup

- 20 leacuteta hellip kvantovaacuteniacute zlatyacute věk FPL umožnilo přejiacutet od Boltzmanovy k F-D statistice podařilo se vysvětlit teacuteměř vše z PL

30 leacuteta

- Debyeovo měrneacute teplo

- vysvětleniacute elektronoveacute vodivosti kovů (Sommerfeld aplikoval Drudeho)

- Heisengbergův model umožnil popsat feromagnetismus

po vaacutelce

- columbickeacute systeacutemy

- teorie supravodivosti (makroskopisky se projevujiacuteciacute narušeniacute kalibračniacute invariance)

- Andersonova lokalizace 1958 (neuspořaacutedanostiacute vyvolanyacute zaacutenik difuacuteze elektronů v kovech)

- kvantovyacute Hallův jev (elektronovyacute zlomkovyacute ten již nelze řešit poruchovyacutem počtem hellip)

- vysokoteplotniacute supravodivost

- hellip

Dnes již neniacute FPL makroskopickaacute teorie (STM iontoveacute pasti 1 endash turnikety 1 endash tranzistory

kvantoveacute tečky fundamenty QT lze ověřovat v pevneacute laacutetce)

Zobrazeniacute chemickeacute vazby pomociacute AFMhttptechnetidnesczzobrazeni-vazeb-mezi-atomy-v-molekule-mikroskop-ibm-afm-pj8-vedaaspxc=A120926_172743_veda_pka

Kvantoveacute tečky a jednofotonoveacute součaacutestkyhttpwwwaldebaranczbulletin2005_18_quaphp

1 Pojem tuheacute laacutetky krystalickaacute struktura

Co je tuhaacute laacutetka

Širšiacute pojetiacute kondenzovanaacute faacuteze (condensed matter) zahrnuje rovněž

mnoho bdquosoftldquo struktur ktereacute tuhou laacutetku zdaleka nepřipomiacutenajiacute typu nabityacute

prach v plazmatu pěna apod

FPL nepracuje s konečnyacutemi systeacutemy (i jde-li o relativně maleacute struktury)

Struktury podobajiacuteciacute se konečnyacutem systeacutemům i pevneacute laacutetce (kvantoveacute

tečky velmi tenkeacute vrstvy) spadajiacute spiacuteše do kvantoveacute teorie konečnyacutech

systeacutemů nebo do fyziky povrchů (nekonečneacute kvantoveacute objekty s hraniciacute)

Struktura nekonečnyacutech systeacutemů z hlediska geometrickeacuteho

Krystal ndash periodickeacute 3-d struktury strukturniacute jednotka je někdy jedinyacute

atom jindy složitaacute molekula třeba z 1000 atomů Existujiacute i neperiodickeacute

krystaloveacute struktury kvazikrystaly U obou je konečnaacute množina

elementaacuterniacutech buněk tedy i elementaacuterniacutech vektorů a vykazujiacute tudiacutež

diskreacutetniacute difraktogram U amorfniacutech laacutetek neexistuje ani jedna zmiacuteněnaacute

vlastnost (periodicita konečnyacute počet mřiacutežkovyacutech vektorů) jejich

difraktogram je difuacutezniacute obrazec

Krystalovaacute struktura maacute transformačniacute vlastnost

(1)

(uspořaacutedaacuteniacute v bodě r a r vypadaacute zcela stejně a b c se nazyacutevajiacute

elementaacuterniacute translačniacute vektory)

Vektory a b c nazyacutevaacuteme primitivniacute pokud každeacute 2 body v nichž vypadaacute

struktura stejně splňujiacute vztah (1) (neexistujiacute již menšiacute vektory splňujiacuteciacute

vztah (1) vektory ktereacute nejsou primitivniacute nemusiacute vztah (1) splňovat)

Vektor mřiacutežkoveacute translace takeacute mřiacutežkovyacute vektor

Možnyacutech mřiacutežek existuje nekonečně mnoho vykazuje-li však mřiacutežka

nějakou symetrii vzhledem k rotaciacutem nebo zrcadleniacutem dostaneme

omezujiacuteciacute podmiacutenky na možneacute deacutelky translačniacutech vektorů a na uacutehly mezi

nimi

Bodovaacute grupa Je konečnaacute podmnožina Euklidovskeacute grupy Jejiacute prvky

jsou otaacutečeniacute Cn o uacutehel 2πn a zrcadleniacute σ (podle třiacute jistyacutem způsobem

definovanyacutech rovin)

u v w u v w r r a b c

u v w u v w T a b c

Krystalovaacute mřiacutež

Elementaacuterniacute buňka rovnoběžnostěn definovanyacute translačniacutemi vektory

Primitivniacute buňka generovanaacute primitivniacutemi elementaacuterniacutemi translačniacutemi

vektory takeacute elementaacuterniacute buňka s nejmenšiacutem povrchem

Objem primitivniacute buňky

Baacuteze skupina atomů spojenaacute s každyacutem mřiacutežkovyacutem bodem

Poloha atomu j v baacutezi

přičemž lze dosaacutehnout toho že

Primitivniacute baacuteze obsahuje ze všech baacuteziacute nejmeacuteně atomů

Primitivniacute baacutezi však můžeme zkonstruovat různyacutemi způsoby napřiacuteklad

jako Wignerova-Seitzova primitivniacute buňka

mřiacutežka + baacuteze = krystalovaacute struktura

Buňka a baacuteze

0 1 a b c

j j jr r r

V a b c

a b c

j j j jr r rr a b c

Krystalovaacute struktura laacutetekSoustavy mřiacutežek a přiacuteklady mineraacutelů (plyne z možnyacutech symetriiacute)

1 Trojklonnaacute (triklinickaacute) modraacute skalice plagioklasy

a ne b ne c α ne 90deg β ne 90deg γ ne 90deg

2 Jednoklonnaacute (monoklinickaacute) saacutedrovec augit muskovit biotit

a ne b ne c α = 90deg β = 90deg γ ne 90deg

3 Kosočtverečnaacute (orthorombickaacute) siacutera aragonit oliviacuten

a ne b ne c α = 90deg β = 90deg γ = 90deg

4 Čtverečnaacute (tetragonaacutelniacute) chalkopyrit kasiterit

a = b ne c α = 90deg β = 90deg γ = 90deg

5 Šesterečnaacute (hexagonaacutelniacute) grafit apatit kalcit


6 Klencovaacute (trigonaacutelniacute romboedrickaacute) kalcit korund křemen magnezit

a = b = c α = β = γ ne 90deg

7 Krychlovaacute (kubickaacute) měď střiacutebro zlato diamant granaacutet

a = b = c α = β = γ = 90deg

Krystalovaacute struktura laacutetekPoznaacutemky ke krystalografickyacutem soustavaacutem

bull Lze odhadnout že naacutezvy většinou odpoviacutedajiacute tvaru buňkaacutem ale nenechte se

myacutelit intuiciacute jsou vyacutejimky napřiacuteklad ortorombickaacute soustava je česky

kosočtverečnaacute naacutezvy jsou odvozovaacuteny z tvarů a symetriiacute mineraacutelů

krystalizujiacuteciacutech v daneacute soustavě bliacuteže viz napřiacuteklad

httpswebnaturcuniczugmnzmineraltvaryhtml

bull V mnoha přiacutepadech voliacuteme miacutesto primitivniacute buňky elementaacuterniacute buňku většiacute

pokud je symetričtějšiacute Leacutepe se s niacute pracuje a leacutepe lze z niacute určit osy symetrie

Krystalovaacute struktura laacutetek

3-d modely primitivniacutech buněk zaacutekladniacutech krystalografickyacutech soustav

Staacutehněte si je (formaacutet STL ve Windows 10 je lze prohliacutežet v 3-d Builderu)

bull trojklonnaacute httpfyzikafeldcvutcz~zacekdownloadtriclinicstl

bull jednoklonnaacute httpfyzikafeldcvutcz~zacekdownloadmonoclinicstl

bull kosočtverečnaacute httpfyzikafeldcvutcz~zacekdownloadorthorhombicstl

bull čtverečnaacute httpfyzikafeldcvutcz~zacekdownloadtetragonalstl

bull šesterečnaacute httpfyzikafeldcvutcz~zacekdownloadhexagonalstl

bull klencovaacute httpfyzikafeldcvutcz~zacekdownloadrhombohedralstl

bull krychlovaacute httpfyzikafeldcvutcz~zacekdownloadcubicstl

Pokud byste si chtěli vytvořit vlastniacute buňku staacutehněte si

program OpenSCAD z webu httpwwwopenscadorg a

koacuted pro generovaacuteniacute buněk kde na začaacutetku zvoliacutete deacutelky

stran a b a c a uacutehly α β a γ staacutehnete zde

httpfyzikafeldcvutcz~zacekdownloadelementarni_bu

nkyscad

Krystalovaacute struktura laacutetekBravaisovy elementaacuterniacute buňky

Konvenciacute vybranyacutech 14 ele-

mentaacuterniacutech buněk s atomy mimo

uzly mřiacutežky ve středech stěn (plošně

centrovaneacute) nebo ve středech

tělesoveacute uacutehlopřiacutečky (prostorově

centrovaneacute) buňky

Všimněte si že polohy atomů mimo

uzly mřiacutežky neporušujiacute původniacute

rotačniacute nebo zrcadlovou symetrii

Z některyacutech Bravaisovyacutech buněk se

snaacutez určiacute symetrie krystalu proto se

jim daacutevaacute přednost pokud takoveacute pro

danyacute krystal existujiacute před buňkami

primitivniacutemi

Častaacute uacuteloha je najiacutet pro přiacuteslušnou

Bravaisovu buňku elementaacuterniacute a

naopak nebo z mřiacutežkovyacutech konstant

určit meziatomoveacute vzdaacutelenosti

popřiacutepadě počet atomů v buňce

Obraacutezek jsem našel zde httpdocplayercz39655-1-prednaska-konstrukcni-materialyhtml saacutem bych ho leacutepe nenakreslil proto

mi přijde lepšiacute ho převziacutet přesně tak jak je podle anglickeacuteho popisu ho autor pravděpodobně takeacute odněkud převzal

Krystalovaacute struktura laacutetekDruhy elementaacuterniacutech buněk a jejich označeniacute(jsou možneacute i většiacute tyto jsou vybraacuteny konvenciacute)

P Prostaacute atomy jsou jen ve vrcholech buňky

Složenaacute (centrovanaacute)

Bazaacutelně centrovanaacute atomy jsou naviacutec ve středech stěn

A atomy jsou umiacutestěny ve středech předniacute a zadniacute stěny

B atomy jsou umiacutestěny ve středech bočniacutech stěn

C atomy jsou umiacutestěny ve středech horniacute a dolniacute stěny

F Plošně centrovanaacute atomy jsou ve středech všech stěn

I Prostorově centrovanaacute atom naviacutec v průsečiacuteku tělesovyacutech uacutehlopřiacuteček

Typy mřiacutežek ve třech dimenziacutech

Celkem 14 typů mřiacutežek klencovaacute mřiacutežka se někdy řadiacute mezi šesterečnou

P hellip prostaacute

C hellip bazaacutelně centrovanaacute

I hellip prostorově centrovanaacute

F hellip plošně centrovanaacute httpdemonstrationswolframcomCubicCrystalLattices

R hellip romboedrickaacute mřiacutežka httpdemonstrationswolframcomTheSevenCrystalClasses

httpcswikipediaorgwikiKrystalografickC3A1_soustava

Soustava Počet mřiacutežek Symboly mřiacutežek

Trojklonnaacute (triklinickaacute) 1 P

Jednoklonnaacute (monoklinickaacute) 2 P C

Kosočtverečnaacute (ortorombickaacute) 4 P C I F

Čtverečnaacute (tetragonaacutelniacute) 2 P I

Šesterečnaacute (hexagonaacutelniacute) 1 P (hcp)

Klencovaacute (trigonaacutelniacute romboedrickaacute) 1 R

Krychlovaacute (kubickaacute) 3 P (sc) I (bcc) F (fcc)

sc hellip simple cubic

bcc hellip body centered cubic

fcc hellip face centered cubic

hcp hellip hexagonal close packed

Diamantovaacute mřiacutež

Demonstrace diamantoveacute mřiacuteže v programu Mathematica

httpdemonstrationswolframcomTheStructureOfDiamond

httpdemonstrationswolframcomDiamondLattice

httpdemonstrationswolframcomAnExpandingStructureBasedOnTheDiamondLattice

Mřiacutež ve ktereacute krystalizujiacute prvky IV skupiny (uhliacutek křemiacutek germanium hellip)

Jednaacute se o plošně centrovanou kubickou mřiacutež z dalšiacutemi čtyřmi atomy v baacutezi

Na obraacutezek se diacutevejte oběma očima tak abyste se diacutevali na myšlenyacute obraacutezek za

naacutekresnou ale zaostřili na naacutekresnu Pokud se Vaacutem to podařiacute tak že Vaacutem splynou

obraacutezky pro leveacute a praveacute oko v obraacutezek jedinyacute uvidiacutete prostorovyacute obraacutezek diamantoveacute

mřiacuteže

Diamantovaacute mřiacutežStaacutehněte si zdrojovyacute soubor

pro OpenSCAD ve ktereacutem

jsou vygenerovaacuteny dvě

kubickeacute plošně centrovaneacute

mřiacuteže posunuteacute o 14

tělesoveacute uacutehlopřiacutečky

vytvaacuteřejiacuteciacute konfiguraci

atomů jako v diamantoveacute

mřiacuteži

httpfyzikafeldcvutcz~za

cekdownloaddiamondsca

d

popřiacutepadě jako 3d objekt ve

formaacutetu STL



d

Tzv Millerovy indexy

Potřebujeme jednoznačně popsat směr roviny v krystalu Udaacutevaacute se pomociacute

trojice čiacutesel tzv indexů (klm) ktereacute ziacuteskaacuteme naacutesledujiacuteciacutem postupem

1 Zjistiacuteme průsečiacuteky roviny s osami určenyacutemi mřiacutežkovyacutemi vektory a b c

vyjaacutedřiacuteme je v jednotkaacutech mřiacutežkovyacutech konstant (napřiacuteklad ziacuteskaacuteme čiacutesla

(1 2 3)

2 Vytvořiacuteme převraacuteceneacute hodnoty tj v tomto přiacutepadě (1 frac12 13)

3 Tyto převraacuteceneacute hodnoty vynaacutesobiacuteme stejnyacutem čiacuteslem a to nejmenšiacutem

možnyacutem kteryacutem se podařiacute odstranit všechny zlomky tj nejmenšiacutem

společnyacutem naacutesobkem jmenovatelů v tomto přiacutepadě čiacuteslem 6 dostaneme

(6 3 2) Pokud je průsečiacutek v nekonečnu je přiacuteslušnaacute převraacutecenaacute hodnota

rovna nule

Vyacutesledek zapisujeme v kulatyacutech zaacutevorkaacutech

Zaacuteporneacute hodnoty průsečiacuteky vyznačujeme čarou nad čiacuteslem tj např

Indexy krystalovyacutech rovin

1 1 2

Uacuteloha Nakreslete polohy rovin vzhledem k elementaacuterniacute buňce daneacute indexy

Ekvivalentniacute roviny zapisujeme ve složenyacutech zaacutevorkaacutech např 100

Ekvivalentniacute rovina 100 je napřiacuteklad u kubickeacute mřiacuteže souhrnneacute označeniacute

pro kteroukoliv ze stěn tj

Směry [u v w] indexy jsou podobně celočiacuteselneacute jako u rovin

Směr [1 2 2] je tedy směr totožnyacute se směrem a + 2b + 3c kde a b c jsou

elementaacuterniacute mřiacutežkoveacute vektory

Souhrn ekvivalentniacutech směrů

Napřiacuteklad elementaacuterniacute vektory a b c majiacute směry [1 0 0] [0 1 0] a [0 0 1]


(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)

httpdemonstrationswolframcomMillerIndicesForASimpleCubicLattice

Uacutelohy

1 Zjistěte kolik je Bravaisovyacutech mřiacutežek v rovině a najděte je[5 čtvercovaacute hexagonaacutelniacute pravouacutehlaacute centrovanaacute pravouacutehlaacute se 2 typy buněk]

2 Najděte primitivniacute buňku k plošně centrovaneacute kubickeacute mřiacuteži určete

tvar stranu a uacutehel mezi stranami nakreslete obraacutezek[romboedr o hraně radic22 a uacutehel 60deg]

3 Najděte primitivniacute buňku k prostorově centrovaneacute kubickeacute mřiacuteži

určete tvar stranu a uacutehel mezi stranami nakreslete obraacutezek[romboedr o hraně radic32 a uacutehel 109deg 28rsquo]

4 Nejviacutec symetriiacute vykazuje čtvercovaacute mřiacutežka U niacute lze naleacutezt osy s

dvoučetnou třiacutečetnou a šestičetnou symetriiacute Najděte je a zjistěte

kolik jich je Nakreslete obraacutezek

[šest dvojčetnyacutech čtyři trojčetneacute a tři čtyřčetneacute]

5 Najděte primitivniacute buňku a baacutezi chloridu sodneacuteho (iont Na+ je

obklopen 6 ionty Clminus) a chloridu cesneacuteho (iont Cs+ je obklopen 8 ionty

Clminus) Kolik nalezeneacute baacuteze obsahujiacute atomů

[vždy po jednom atomu od každeacuteho druhu]

Neideaacutelniacute krystaly skla

Pevneacute laacutetky děliacuteme na monokrystalickeacute polykrystalickeacute a amorfniacute

Některeacute struktury mohou přechaacutezet jedna ve druhou spojitě

Naacutehodneacute vrstveniacute hellip naacutehodneacute střiacutedaacuteniacute vrstev ABCABABChellip

Polytypie hellip střiacutedaacuteniacute vrstev s dlouhou periodou

Skla hellip viskozita gt1012 N s m-2 (konvenčniacute hodnota)

T

V

TtTs

kapalinapřechlazenaacute

kapalina

sklo

krystal

Ts hellip teplota skelneacuteho přechodu

Tt hellip teplota taacuteniacute

Zlatyacute řez dlaacutežděniacute kvazikrystalyDlaacutežděniacute v rovině

Rovinu lze periodicky pokryacutet pouze dlaždicemi s třiacutečetnou čtyřčetnou a šestičetnou symetriiacute

AlhambraGranada

Zlatyacute řez dlaacutežděniacute kvazikrystaly

Dlaacutežděniacute v rovině

Pětiuacutehelniacutek se na periodickeacute dlaacutežděniacute nehodiacute

Avšak 1974 Roger Penrose objevil dvě zaacutekladniacute sady

dlaždic ktereacute pokryjiacute rovinu a zaacuteroveň budou vykazovat

pětičetnou symetrii Jak je to možneacute

Penroseovy dlaždice šipka a drak

Penrose a Conway ukaacutezali že dlaždice pokryjiacute rovinu neperiodicky a to nekonečně mnoha

způsoby Přitom počet draků je 1618times většiacute než počet šipek



Dalšiacute paacuter penroseovyacutech dlaždic

Tlustyacute a tenkyacute kosočtverec

Na velkyacutech plochaacutech se podobně bliacutežiacute poměr tlustyacutech a tenkyacutech kosočtverců čiacuteslu 1618



Penroseovo dlaacutežděniacute lze proveacutest se symetriiacute vůči otočeniacute


Kvazikrystaly

1984 ndash překvapivyacute objev Dany Schectman se spolupracovniacuteky zjistil že krystaly

hliniacuteko-manganoveacute slitiny vykazujiacute pětičetnou symetrii Pro krystalografy to byl

šok

Bouraacute se tiacutem tradičniacute rozděleniacute krystalickeacute a amorfniacute laacutetky

Kvazikrystaly nejsou ani amorfniacute ani periodickeacute majiacute však těsneacute uspořaacutedaacuteniacute

jako dosavadniacute znaacutemeacute krystaly

Jejich stěny jsou přitom shodneacute s Penroseovyacutemi dlaždicemi

Trojrozměrnaacute analogie Robert Ammann nalezl tzv Ammannovy romboedry

Předefinovaacuteniacute krystalu

krystal je jakaacutekoli pevnaacute laacutetka jejiacutež difrakčniacute diagram je bodovyacute


Kvazikrystaly

Dalšiacute praacutece (Sergej E Burkov z Landauova institutu teoretickeacute fyziky Petra

Gummeltovaacute z Greifswaldu) vedly na teorii překryacutevajiacuteciacutech se desetiuacutehelniacuteků

Steinhardt a Čong experimentaacutelniacute vyacutezkum a koncept kvazielementaacuterniacute buňky

Kvazielementaacuterniacute buňka shluk atomů vytvaacuteřejiacuteciacute kvaziperiodickou strukturu

Model kvazikrystalu Ag-Al

Analyacuteza struktury

1 přiacutemo (mikroskop)

2 nepřiacutemo (difrakčniacute metody)

Difrakčniacute metody

Využiacutevajiacute se tyto druhy zaacuteřeniacute

1 fotony

2 neutrony

3 elektrony

Fotony Pro srovnatelnou vlnovou deacutelku s mřiacutežkovou konstantou vychaacuteziacute

elektromagnetickeacute zaacuteřeniacute v oboru rentgenovyacutech paprsků Ty vznikajiacute buď bržděniacutem

elektronů na kovovyacutech terčiacuteciacutech (spojiteacute spektrum) nebo excitaciacute a vyzaacuteřeniacutem atomů

v terčiacuteku (čaroveacute spektrum)

Neutrony Majiacute nenulovyacute magnetickyacute moment hodiacute se k analyacuteze magnetickyacutech

materiaacutelů

Elektrony Jsou elektricky nabiteacute proto silně interagujiacute

Experimentaacutelniacute analyacuteza krystalů

Pro relativistickeacute energie je-li dominuje

prvniacute člen pod odmocninou a dostaacutevaacuteme

Pro maleacute energie kdy je lze prvniacute člen

pod odmocninou zanedbat a dostaacutevaacuteme

ω a k nejsou nezaacutevislaacute splňujiacute disperzniacute relaci Ta je určena relativistickyacutem vztahem

mezi energiiacute a hybnostiacute kteryacute můžeme přepsat pro frekvenci a vlnovyacute

vektor jako Vyjaacutedřeniacutem vlnoveacute deacutelky z vlnoveacuteho čiacutesla k = 2πλ a

přepočiacutetaacuteniacutem na kinetickou energii z relativistickeacuteho vztahu dostaacutevaacuteme

Vztah mezi celkovou energiiacute čaacutestice a uacutehlovou frekvenciacute resp

mezi hybnostiacute a vlnovyacutem vektorem pro de Broglieovu vlnu

Toteacutež zapsaacuteno pomociacute čtyřvektorů vlevo čtyřvektor energie

a hybnosti vpravo vlnovyacute čtyřvektor

Při jineacute volbě jednotek bychom mohli oba vektory ztotožnit

Vztah mezi vlnovou deacutelkou a energiiacute

E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c

E m c E mc EE mc m c

22kE mc22kE mc

Vzorec pro nerelativistickou

čaacutestici v přiacutepadě difrakčniacutech

metod pro elektron a neutron

Vzorec pro silně relativistickou

čaacutestici a foton kteryacute maacute

nulovou klidovou energii mc2

a je tedy relativistickyacute vždy

což je obecnyacute vztah

pro de Broglieovu

vlnovou deacutelku λ(Ek)

Braggova podmiacutenka

Difrakce na mřiacutežce

2

tg

d

2 sind n

rozptyacuteleneacute

paprsky

dopadajiacuteciacute

paprsky

α

dvzdaacutelenost

krystalografickyacutech

rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2

2 2 1 coscos 2 2 sin

sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind

Jineacute odvozeniacute

Laueho difrakčniacute podmiacutenky


cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k

Každaacute rovnice představuje

podmiacutenku pro vznik difrakce

na liniiacutech s periodami a směry

určenyacutemi vektory ai

Celočiacuteselnou lineaacuterniacute kombinaciacute

difrakčniacutech podmiacutenek

dostaneme difrakčniacute podmiacutenku

pro libovolnou periodickou linii

ve směru translačniacuteho vektoru T

kde n vyjde takeacute jako celeacute čiacuteslo

Lze ukaacutezat že voliacuteme-li směr Tkolmyacute k povrchu a jeho velikost

rovnu vzdaacutelenosti rovin d je

posledniacute vztah ekvivalentniacute

Braggově difrakčniacute podmiacutence

α

α

rozptyacuteleneacute paprsky

dopadajiacuteciacute paprsky

α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k

zavedeme vlnoveacute vektory

2π nT k

s s hellip směroveacute vektory

ai i = 1 2 3 hellip elementaacuterniacute translačniacute vektory

Podmiacutenka pro difrakčniacute maximum

ai

Krystalovaacute

mřiacutež

Difrakce na mřiacutežce ndash obecneacute odvozeniacute

i( ) en n G r

G

G

r

Dopadajiacuteciacute zaacuteřeniacute Rozptyacuteleneacute zaacuteřeniacute

Koncentrace elektronů

j

d d0( ) ( )eE t E t k rr

j

r r0( ) ( )eE t E t k rr

( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r

Faacutezovyacute rozdiacutel dvou paprsků

k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)

Vektory k a kse lišiacute jen směrem

k

k k

Pro každou (periodickou) krystalickou mřiacutež reprezentovanou translačniacutem

vektorem

je definovaacutena reciprokaacute mřiacutež jako translačně invariantniacute soubor mřiacutežkovyacutech

bodů jejichž translačniacute vektory G splňujiacute vztah

(1)

Vektory G mohou byacutet vyjaacutedřeny podobně jako T vztahem

(2)

kde vektory a b a c jsou vektory reciprokeacute mřiacutežky definovaneacute vztahy

(3)

Nachaacutezejiacute se v reciprokeacutem neboli Fourierově prostoru oba prostory jsou

sdruženy prostřednictviacutem Fourierovy transformace

Reciprokeacute vektory lze vyjaacutedřit pomociacute elementaacuterniacutech translačniacutech vektorů vztahy

a cyklicky Tyto vztahy jsou ekvivalentniacute definičniacutem vztahům

Reciprokyacute prostor

u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c

2π 0 a a b b c c a b a c b a

httpdemonstrationswolframcomCrystalLatticesInReciprocalSpace

Obecnaacute difrakčniacute podmiacutenka

Odvozeniacute difrakčniacute podmiacutenky jako faacutezovyacute součet rozptyacutelenyacutech paprsků

aby došlo k difrakčniacutemu maximu nesmiacute integrand zaacuteviset na r Exponenciaacutelniacute člen v

integrandu jinak totiž bude nabyacutevat všech hodnot na jednotkoveacute kružnici v komplexniacute

rovině při každeacute změně polohy lišiacuteciacute se o λ což jsou zde zlomky nanometrů a nevytvořiacute

se vlnoplocha Člen v zaacutevorce tedy musiacute byacutet nulovyacute tj

(obecnaacute difrakčniacute podmiacutenka)

jj j jd ( )e d e e d e r

V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0

a) Směr (vynaacutesobiacuteme skalaacuterně

mřiacutežkovyacutemi vektory)

Dostali jsme Laueovy podmiacutenky

2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G

Voliacuteme-li G kolmeacute na povrch krystalu

dostaacutevaacuteme Braggovu difrakčniacute podmiacutenku

α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m

Ewaldova konstrukce 1 Brillouinova zoacutena

2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk

Definice Brillouinova zoacutena je Wignerova-Seitzova elementaacuterniacute buňka

zkonstruovanaacute v reciprokeacute mřiacuteži

G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce

reciprokaacute mřiacutež

Představuje geometrickou interpretaci

řešeniacute k k daneacutemu typu mřiacuteže a jejiacute

orientaci vzhledem k vektoru k

stěna Brillouinovy zoacuteny

(Braggova rovina)

httpreferenceiucrorgdictionaryBrillouin_zones Brillouinova zoacutena ve slovniacuteku krystalografie

httpdaomitedu8231BZandRLpdf prezentace z MIT o reciprokyacutech mřiacutežiacutech a Brillouinovyacutech zoacutenaacutech

Brillouinovy zoacuteny

httpdemonstrationswolframcom2DBrillouinZones hellip simulace Brillouinovyacutech zoacuten pro 2 typy mřiacutežek ve 2-d

Přiacuteklad prvniacutech 7

Brillouinovyacutech zoacuten čtvercoveacute

mřiacuteže ve dvou dimenziacutech

O kterou zoacutenu v pořadiacute se

jednaacute určuje počet

překročeniacute Braggovyacutech

rovin Nula překročeniacute je

prvniacute zoacutena atd

Braggovy roviny půliacute kolmo

spojnice atomu ve středu

s některyacutem atomem

sousedniacutem

Uacutelohy

1 Dokažte z Fourierovy transformace mezi translačniacutemi vektory v normaacutelniacutem

a v reciprokeacutem prostoru platnost vztahů pro reciprokeacute vektory

2 Dokažte platnost vztahu kde je objem

reciprokeacute elementaacuterniacute buňky

3 Elementaacuterniacute mřiacutežkoveacute vektory hexagonaacutelniacute mřiacutežky s nejtěsnějšiacutem

uspořaacutedaacuteniacutem jsou zadaacuteny jako

Ukažte že

a) se skutečně jednaacute o elementaacuterniacute vektory hexagonaacutelniacute mřiacuteže

b) objem elementaacuterniacute buňky je

c) najděte elementaacuterniacute vektory reciprokeacute mřiacuteže

d) ověřte platnost vztahu mezi objemy elementaacuterniacuteho rovnoběžnostěnu

v původniacutem a v reciprokeacutem prostoru

r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2

a a a az c a x y b x y z

23 2V a c a a b c

3

r 2π V V

Typy krystalovyacutech vazeb

bull molekulaacuterniacute (van der Waalsovy) krystaly - Molekulaacuterniacute krystaly tvořiacute molekuly

organickyacutech sloučenin a atomy vzaacutecnyacutech plynů vaacutezaneacute Van der Waalsovyacutemi

silami Majiacute niacutezkeacute teploty varu a taacuteniacute

bull iontoveacute (heteropolaacuterniacute) krystaly - Jednaacute se např o sloučeniny

elektropozitivniacutech prvků (kovů) s elektronegativniacutemi prvky Součet valenčniacutech

elektronů atomů mezi nimiž se iontovaacute vazba tvořiacute je 8 - tedy ideaacutelniacute

naplněnyacute stav Nejčastěji spolu tedy reagujiacute prvky z 1 a 7 skupiny periodickeacute

tabulky prvků

bull kovalentniacute (homopolaacuterniacute) krystaly - Vazbu tvořiacute atomy s velmi podobnou

elektronegativitou ktereacute sdiacutelejiacute paacuter valenčniacutech elektronů U organickyacutech laacutetek

nebo v čistoprvkovyacutech molekulaacutech

bull kovoveacute krystaly - Kovoveacute krystaly tvořiacute kovy Kationty atomů jsou uspořaacutedaacuteny

do krystaloveacute mřiacutežky elektrony jsou pro celou mřiacutežku společneacute - tzv

elektronovyacute plyn

Podle způsobu jakyacutem jsou v krystalu vaacutezaacuteny jednotliveacute atomy (hovořiacute se

o krystaloveacute vazbě) se rozlišujiacute naacutesledujiacuteciacute typy krystalů

Krystaloveacute vazby

Poznaacutemky

Jde o empirickeacute děleniacute podrobnějšiacute obraacutezek o vazbě naacutem poskytuje kvantovaacute

teorie

Existuje takeacute mnoho intermediaacutelniacutech přiacutepadů takže při vyhraněneacutem zařazovaacuteniacute

je třeba jisteacute opatrnosti

Kohezniacute energie = energie jednotlivyacutech atomů ndash energie krystalu

Čiacutem vyššiacute je kohezniacute energie tiacutem vyššiacute jsou teploty taacuteniacute a vypařovaacuteniacute

fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu

Kohezniacute energie připadajiacuteciacute na jeden atom v mřiacutežce

Molekulaacuterniacute vazba Lennard-Jonesův potenciaacutelCharakterizuje slabeacute elektrickeacute vazby způsobeneacute

indukovanyacutemi dipoacutely sousedniacutemi atomy potenciaacutel dvojice

interagujiacuteciacutech atomů

a jsou empiricky

ziacuteskaneacute parametry 12 6

4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U

kde obě sumy zaacutevisiacute pouze na typu mřiacuteže nikoliv na druhu atomů

Pro kubickeacute plošně centrovaneacute a hexagonaacutelniacute Bravaisovy mřiacuteže

jsou numerickeacute hodnoty obou sum uvedeny vpravo Naměřeneacute

hodnoty se však od spočiacutetanyacutech miacuterně lišiacute a takeacute je jineacute r0 pro atomy

v mřiacuteži v porovnaacuteniacute s volnyacutemi atomy interagujiacuteciacutemi paacuterově

Protože van der Waalsova siacutela je kraacutetkodosahovaacute stačiacute sčiacutetat jen

přiacutespěvky od nejbližšiacutech sousedů

Iontoveacute krystaly ndash kohezniacute energieNejznaacutemějšiacutem reprezentantem iontoveacuteho krystalu je chlorid sodnyacute NaCl Jeho mřiacutež tvořiacute

pravidelně se střiacutedajiacuteciacute kationty Na+ a anionty Cl‒ ve třech kolmyacutech směrech Každyacute iont je tedy

obklopen 6 ionty opačneacuteho znameacutenka tvořiacuteciacutemi nejbližšiacute sousedy

Největšiacute přiacutespěvek ke kohezniacute energii bude od elektromagnetickeacuteho potenciaacutelu Potenciaacutelniacute

energie dvou nabityacutech čaacutestic s elementaacuterniacutem naacutebojem nachaacutezejiacuteciacutech se ve vzdaacutelenosti r je

kde K voliacuteme 0 pro přiacutepad nuloveacute potenciaacutelniacute energie v nekonečnu

V mřiacuteži sečteme všechny přiacutespěvky do celkoveacute potenciaacutelniacute energie od atomu nachaacutezejiacuteciacutem se

v uzlu mřiacuteže v poloze kde je mřiacutežkovyacute parametr pro atom

nachaacutezejiacuteciacute se v poloze Nesmiacuteme ovšem pominout že naacuteboje budou střiacutedat

znameacutenko Na rozdiacutel od molekulaacuterniacutech krystalů zde jde o dalekodosahovou siacutelu jmenovatel

klesaacute s rostouciacute vzdaacutelenostiacute pouze lineaacuterně a sumu proto musiacuteme proveacutest přes všechny ionty

v mřiacuteži Dostaneme

kde veličina

Se nazyacutevaacute Madelungova konstanta Součaacutestiacute jejiacute definice ovšem musiacute byacutet i způsob jakyacutem se

maacute třiacutedimenzionaacutelniacute řada členů v sumě sčiacutetat Je nutno volit takovyacute postup při ktereacutem se

vzaacutejemně co nejviacutec rušiacute vlivy kladnyacutech a zaacutepornyacutech naacutebojů V roce 1951 bylo matematicky

dokaacutezaacuteno že součet M provaacuteděnyacute po sfeacuteraacutech (a uvaacuteděnyacute do teacute doby hojně v literatuře)

diverguje Konverguje součet provaacuteděnyacute po krychliacutech a jeho hodnota je

V roce 2003 byl pro M odvozen analytickyacute vyacuteraz tzv Bensonův vzorec

2

0

1

4π

eU K

r

( )klm a k l mr( )k l m a

000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m

httpsenwikipediaorgwikiMadelung_constant

httpmathworldwolframcomMadelungConstantshtml

174756M

Uacuteplnyacute diferenciaacutelDefinujme Pfaffovu diferenciaacutelniacute formu kde αi jsou koeficienty a xi jsou proměnneacute

1

dn

i i

i

x

Věta Nechť všechny koeficienty αi jsou definovaacuteny na jednoduše souvisleacute oblasti proměnnyacutech

x1 hellip xn Naacutesledujiacuteciacute tvrzeniacute pokud jsou splněny jsou ekvivalentniacute

1 Křivkovyacute integraacutel nezaacutevisiacute na tvaru křivky φ

2 Existuje funkce Φ(x1 hellip xn) takovaacute že

kde Φ1 a Φ2 jsou hodnoty funkce Φ v počaacutetečniacutem a koncoveacutem bodě křivky φ

3 Platiacute vztahy (vztahy pro koeficienty Pfafovy diferenciaacutelniacute formy)

4 Platiacute vztahy mezi koeficienty (tzv Eulerovy recipročniacute vztahy)

1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky

bull Z tvrzeniacute 1 plyne že křivkovyacute integraacutel po uzavřeneacute křivce teacutehož integrandu je vždy nulovyacute

bull Tvrzeniacute 2 lze chaacutepat jako zobecněniacute Newtonova vzorce pro vyacutepočet určiteacuteho integraacutelu

bull Funkce Φ se nazyacutevaacute potenciaacutel a diferenciaacutelniacute forma se nazyacutevaacute uacuteplnyacutem diferenciaacutelem Φ

bull Jsou-li koeficienty αi složky vektoru nazyacutevaacute se tento vektor potenciaacutelniacute pole

(v tomto přiacutepadě takeacute plyne z tvrzeniacute 4 že rotace tohoto pole je nulovaacute)

bull V oblasti kteraacute neniacute jednoduše souvislaacute nemusiacute všechny ekvivalence věty platit

bull Vztah 3 je znaacutemyacute vztah mezi potenciaacutelniacute energiiacute a siacutelou (zde )pgrad E F

pE

Termodynamickeacute potenciaacutely

bull Prvniacute termodynamickyacute zaacutekon

Q hellip zaacutevisiacute na termodynamickeacutem ději matematicky řečeno na tvaru křivky spojujiacuteciacute počaacutetečniacute a konečnyacute stav

U hellip nezaacutevisiacute na termodynamickeacutem ději lze tedy jejiacute hodnotu určit ze stavovyacutech proměnnyacutech

A hellip praacutece vykonanaacute termodynamickyacutem systeacutemem zaacutevisiacute podobně jako Q na tvaru křivky

Praacutece je obecně tvaru xi jsou zobecněneacute siacutely a Xi jsou zobecněneacute souřadnice

Přiacuteklady praacutece pro různeacute systeacutemy

(lano plyn dielektrikum magnetikum otevřenyacute systeacutem μ je tzv chemickyacute potenciaacutel a N je počet čaacutestic)

Definujme entropii jako (lze dokaacutezat že dS je uacuteplnyacute diferenciaacutel)

a předpoklaacutedejme praacuteci způsobenou objemovyacutemi změnami tj pdV a 1 termodynamickyacute zaacutekon

maacuteme tvaru

Toto je uacutevod do termodynamicky a sjednoceniacute pojmů potřebovat budeme hlavně tepelnou

kapacitu abychom mohli ukaacutezat Einsteinovu a Debyeovu teorii tepelnyacutech kapacit pevneacute laacutetky

d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X

d d d d dF x p V N E D H B

1d dS Q

T

d d dQ U A Q hellip dodaneacute teplo

U hellip změna vnitřniacute energie

A hellip vykonanaacute praacutece

Termodynamickeacute potenciaacutelyMatematicky jsou infinitezimaacutelniacute přiacuterůstky termodynamickyacutech potenciaacutelů a entropie uacuteplnyacutemi

diferenciaacutely a platiacute pro ně všechna tvrzeniacute z věty uvedeneacute v matematickeacute čaacutesti tohoto

vyacutekladu Veličiny ktereacute jsou uacuteplnyacutemi diferenciaacutely nazyacutevaacuteme stavovyacutemi veličinami lze je

totiž zintegrovat (tj najdeme integraciacute matematickyacute potenciaacutel Ф) a vyjaacutedřit jako funkce

stavovyacutech proměnnyacutech

S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S

Poznaacutemka v termodynamice je zvykem vyznačovat proměnneacute ktereacute držiacuteme konstantniacute

podle definice parciaacutelniacute derivace jako index k parciaacutelniacute derivaci Je to proto že bychom jinak

nevěděli ktereacute proměnneacute voliacuteme jako nezaacutevisleacute Všechny proměnneacute totiž nejsou nezaacutevisleacute

protože jsou vzaacutejemně svaacutezaacuteny stavovou rovniciacute V matematice maacuteme obvykle množinu

nezaacutevislyacutech proměnnyacutech definovaacutenu předem a neniacute ji tudiacutež nutno zvlaacutešť značit

S V

T p

V S

Vnitřniacute energie U je zřejmě z matematickeacuteho hlediska potenciaacutel proměnnyacutech S a V

Je jedniacutem z tzv termodynamickyacutech potenciaacutelů (v dalšiacutem vyacutekladu definujeme dalšiacute)

Q a A nejsou stavovyacutemi veličinami neboť jejich hodnoty zaacutevisiacute na tvaru křivky

termodymanickeacuteho děje

Tvrzeniacute 3 a 4 věty aplikovaneacute na diferenciaacutel vnitřniacute energie naacutem daacute

Termodynamickyacutech potenciaacutelů existuje mnoho najděme napřiacuteklad termodynamickyacute potenciaacutel

proměnnyacutech S a p

nahraďme posledniacute člen ze vztahu

oba uacuteplneacute diferenciaacutely sjednoťme do jednoho na levou stranu

Vlevo v zaacutevorce je veličina kteraacute je rovněž termodynamickyacutem

potenciaacutelem tentokraacutet jinyacutech proměnnyacutech Zde jde o Entalpii definovanou vztahem

a maacuteme pro niacute zaacutekladniacute diferenciaacutelniacute vztah

(všiměte si bdquotechnologieldquo změny proměnnyacutech zaměniacute se proměnnaacute s koeficientem

u diferenciaacutelu v daneacutem členu změniacute se znameacutenko a součin členů se odečte od původniacuteho

potenciaacutelu čiacutemž vznikne novyacute potenciaacutel) Podobně

kde F = U minus TS je Helmholtzova energie a

kde G = U + pV minus TS je Gibbsova energie


d d dU T S p V d d dpV p V V p

d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V

Viz takeacute httpwwwaldebaranczstudiumstatistikapdf

d d dG S T V p

Uacuteloha

bull Najděte vztahy pro koeficienty Pfaffovyacutech diferenciaacutelniacutech forem a Eulerovy recipročniacute

derivace pro všechny uvedeneacute termodynamickeacute potenciaacutely

Definujme tepelnou kapacitu za konstantniacuteho objemu a tlaku jako

Pro vyacutepočty jsou tyto vztahy nevhodneacute neboť Q neniacute stavovaacute veličina a neexistuje tudiacutež

obecnyacute vzorec pro Q jako funkce stavovyacutech proměnnyacutech Ovšem za konstantniacuteho objemu

maacuteme z předchoziacutech vztahů dQ = dU a podobně za konstantniacuteho tlaku maacuteme dQ = dH a

můžeme tudiacutež psaacutet

kde pro veličiny U a H již můžeme najiacutet obecneacute vzorce

Tepelneacute kapacity

V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T

1 Nechť tři proměnneacute x y z jsou spolu svaacutezaneacute nějakyacutem obecnyacutem vztahem f(x y z) = 0

Dokažte platnost vztahu

2 Dokažte platnost vztahu

(naacutevod uvažujte U jako funkci proměnnyacutech T a V a vyjaacutedřete dU jako uacuteplnyacute diferenciaacutel

podle tvrzeniacute 3 věty o uacuteplneacutem diferenciaacutelu

3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V

Thermodynamics - links

Useful Links (in english)

Simply connected space httpsenwikipediaorgwikiSimply_connected_space

Pfaffian forms on Wolfram Mathworld httpmathworldwolframcomPfaffianFormhtml

Exaxt differential on Wolfram Mathworld httpmathworldwolframcomExactDifferentialhtml

Exaxt differential on Wikipedia httpsenwikipediaorgwikiExact_differential

hermodynamics on Wikipedia httpsenwikipediaorgwikiThermodynamics

Internal energy on Wikipedia httpsenwikipediaorgwikiInternal_energy

Enthalpy on Wikipedia httpsenwikipediaorgwikiEnthalpy

Helmholtz free energy on Wikipedia httpsenwikipediaorgwikiHelmholtz_free_energy

Gibbs free energy on Wikipedia httpsenwikipediaorgwikiGibbs_free_energy

Thermodynamics on Wolfram Scienceworld httpscienceworldwolframcomphysicstopicsThermodynamicshtml

1 Klasickyacute vyacutepočet (Dulong-Petitův zaacutekon)

2 Einsteinova tepelnaacute kapacita

3 Debyeova tepelnaacute kapacita

1 Klasickyacute vyacutepočet

Tepelnaacute kapacita pevneacute laacutetky

22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E

B3 3 3 U NE Nk T sRT 3 V

V

UC sR

T

Klasickyacute vyacutepočet bere pevnou laacutetku jako množinu 3N nezaacutevislyacutech oscilaacutetorů Einstein

předpoklaacutedaacute toteacutež ale oscilaacutetory bere jako kvantoveacute a Debye považuje za oscilaacutetor celyacute

krystal

Klasickyacute model tepelneacute kapacity je v souladu s naměřenyacutemi hodnotami pro vysokeacute teploty

nedokaacuteže však vysvětlit jejich niacutezkeacute hodnoty při niacutezkyacutech teplotaacutech

E hellip energie oscilaacutetoru

E hellip středniacute energie oscilaacutetoru

s hellip laacutetkoveacute množstviacute

kB hellip Boltzmannova konstanta

R hellip molaacuterniacute plynovaacute konstanta

Energie stavu n středniacute energie jmenovatel J je

geometrickaacute řada s kvocientem lze ji tedy sečiacutest a maacuteme

Zderivujme nyniacute J podle kBT jak v původniacutem tvaru tak takeacute v sečteneacutem tvaru a dostaneme

Ovšem prvniacute ziacuteskanyacute vyacuteraz se sumou je až na znameacutenko čitatel z předchoziacuteho vyacuterazu pro středniacute energii a

dostali jsme tedy vzorec pro jejiacute součet Můžeme proto vyjaacutedřit vnitřniacute energii jako celkovou energii všech

oscilaacutetorů (vyacuteraz ještě upraviacuteme do hezčiacuteho tvaru vyděleniacutem exponenciaacutelniacutem členem v čitateli a maacuteme

rarr

Einstein tuto teorii vytvořil roku 1906 předpoklaacutedal chovaacuteniacute krystalu z hlediska energie jako 3Nnezaacutevislyacutech kvantovyacutech oscilaacutetorů přičemž pro jeho energii použil vzorec kteryacute použil Max

Planck v roce 1900 (chybnyacute lišiacuteciacute se konstantou vyacutesledek však vyjde spraacutevnyacute)

Einsteinova tepelnaacute kapacita - odvozeniacute

nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T

Předchoziacute ziacuteskanyacute vyacutesledek můžeme zapsat

v kompaktniacutem tvaru zavedeme-li Einsteinovu teplotu

ΘE ze vztahu a dostaneme vyacuteslednou

tepelnou kapacitu

kde je Einsteinova funkce

Einsteinova tepelnaacute kapacita

B E k

Poznaacutemka Spraacutevnyacute vzorec pro energii kvantoveacute-

ho oscilaacutetoru je ve skutečnosti (frac12 + n) ale

tepelnaacute kapacita by vyšla stejnaacute neboť koeficient

frac12 se projeviacute ve vyacutesledneacute energii konstantou kteraacute

derivovaacuteniacutem ve vzorci pro tepelnou kapacitu

zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1

httpwwwwolframalphacominputi=f(x)3D(12Fx)5E2exp(12Fx

)2F(exp(12Fx)-1)5E2+plot+from+0+to+2

3

VC

sR

B k T

ε energie oscilaacutetoru

ε středniacute energie oscilaacutetoru

s laacutetkoveacute množstviacute

T absolutniacute teplota

ΘEEinsteinova teplota

kBBoltzmannova konstanta

NAAvogadrova konstanta

R = NAkBmolaacuterniacute plynovaacute konstantahttpsenwikipediaorgwikiEinstein_solid

E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T

1 Jednodimenzionaacutelniacute přiacutepad

Laacutetkou se šiacuteřiacute vlna splňujiacuteciacute vlnovou rovnici (budeme odteď zkracovat )

Řešeniacute snadno nalezneme metodou separace kdy obecneacute řešeniacute bude součin prostoroveacute a časoveacute čaacutesti

ve tvaru přičemž pro prostorovou čaacutest řešeniacute platiacute okrajoveacute podmiacutenky

Řešeniacutem je jednodimenzionaacutelniacute stojataacute vlna

Dosazeniacutem do vlnoveacute rovnice vyacuteše dostaneme vztah mezi koe-

ficienty (frekvence je tedy uacuteměrnaacute n) Přiacuterůstek poč-

tu stavů je kde jsme zavedli hustotu

stavů jako z(ω)

Středniacute energii nebudeme počiacutetat a přejdeme k obecnějšiacutemu přiacutepadu třiacutedimenzionaacutelniacutemu (šlo naacutem nyniacute jen

o princip vyacutepočtu a o porovnaacuteniacute hustot stavů v různyacutech dimenziacutech)

Předpoklad Atomy tvořiacute vaacutezaneacute oscilaacutetory Diskreacutetniacute řešeniacute by bylo obtiacutežneacute Debye proto

předpoklaacutedal spojiteacute prostřediacute v němž v omezeneacute oblasti krystalu s nulovyacutemi okrajovyacutemi pod-

miacutenkami vzniknou stojateacute vlny jejichž možneacute moacutedy jsou ale omezeny tak aby jejich počet nepře-

kročil počet všech stupňů volnosti 3N v krystalu

Debyeova tepelnaacute kapacita

2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

2 Třiacutedimenzionaacutelniacute přiacutepad

Vlnovaacute rovnice ve třech dimenziacutech je tvaru kde je Laplaceův operaacutetor

v karteacutezskeacute souřadnicoveacute soustavě Přiacutemočaryacutem vyacutepočtem se lze přesvědčit že jejiacute řešeniacute v krychli

o stranaacutech deacutelky L s nulovyacutemi okrajovyacutemi podmiacutenkami na všech stěnaacutech ve všech časech je

kde nx ny a nz jsou přirozenaacute čiacutesla určujiacuteciacute moacuted stojateacute vlny (zaacuteporneacute hodnoty představujiacute stejnou

množinu moacutedů pouze s posunutou faacuteziacute o π proto je z řešeniacute vyjiacutemaacuteme) Po dosazeniacute do vlnoveacute rovnice

dostaneme vztah mezi koeficienty kteryacute musiacute byacutet splněn ve všech bodech a ve všech časech

Tento vztah je disperzniacute relaciacute stojatyacutech vln ale je možneacute ho takeacute chaacutepat jako vztah mezi přiacutepustnyacutemi

frekvencemi ω a moacutedem určenyacutem trojiciacute čiacutesel nx ny a nz Stejneacute frekvence lze dosaacutehnout jejich různyacutemi

kombinacemi Napřiacuteklad moacutedy (nx ny nz) = (2 1 1) a (1 2 1) představujiacute dva různeacute stavy se stejnou

frekvenciacute Do celkoveacute energie musiacuteme započiacutetat přiacutespěvky od všech moacutedů včetně těch se stejnyacutemi

frekvencemi K jejich spraacutevneacutemu započiacutetaacuteniacute naacutem posloužiacute hustota stavů definovanaacute v předchoziacutem

jednodimenzionaacutelniacutem přiacutepadě jako koeficient uacuteměrnosti mezi přiacuterůstkem počtu stavů a přiacuterůstkem

frekvence dn = z(ω)dω Ve vyacutesledneacutem středovaacuteniacute přes energie všech moacutedů budeme v integraacutelu přes

frekvence ω naacutesobit hustotou stavů aby se pro každou frekvenci započiacutetaly všechny možneacute stavy


2

2

s

1 tu u

c

0( ) sin π sin π sin π cos

x y z

x y zu x y z t u n n n t

L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z

Vzorec pro přiacuterůstek počtu stavů najdeme v prostoru proměnnyacutech nx ny a nz v němž jednotka objemu

představuje jeden stav Označme jako poloměr koule v prostoru stavů dosazeniacutem do

odvozeneacuteho vztahu mezi koeficienty vlnoveacute rovnice dostaneme

Počet stavů je roven objemu v prostoru stavů do ktereacuteho dosadiacuteme posledniacute dva odvozeneacute vztahy pro R

kde koeficient 18 jsme přidali proto že započiacutetaacutevaacuteme stavy jen v jednom oktantu stavoveacuteho prostoru

Porovnaacuteniacutem s definičniacutem stavem dω = z(ω)dω pro hustotu stavů tedy maacuteme

(viz graf vpravo)

Přiacutespěvek energie každeacuteho moacutedu bude tyacutež jako u vyacutepočtu

Einsteinovy tepelneacute kapacity kde ale na rozdiacutel

od předchoziacuteho maacuteme pro jednu frekvenci viacutece možnyacutech

stavů

Pro dalšiacute vyacutepočty zaveďme koncentraci atomů

kde N je počet atomů v krystalu a L3 je celkovyacute objem krychle


2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip


Zbytek vyacutepočtu je nezaacuteživnyacute uvedeme

pouze vyacuteslednou tepelnou kapacitu

ΘD hellip Debyeova teplota ( )

FD hellip Debyeova funkce

D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T

Debye omezil počet stavů tak aby celkovyacute počet stavů nepřesaacutehl celkovyacute počet stupňů volnosti 3N což daacute

podmiacutenku

Všimněte si že nezaacutevislyacutem vyacutepočtem dostaacutevaacuteme formaacutelně stejnyacute vztah mezi frekvenciacute a počtem vztahů

jako z disperzniacute relace na předchoziacutem sniacutemku

Vnitřniacute energie je počet stupňů volnosti vynaacutesobenyacute středniacute energiiacute jednoho stupně volnosti Na rozdiacutel od

Einsteinova modelu zde může jedneacute frekvenci odpoviacutedat viacutece stavů Tedy pro každou frekvenci ω je nutno

ještě středovat přes všechny stavy což jsme označili jako langErang

V obou sumaacutech by měla byacutet energie shora omezena maximaacutelniacutem n odpoviacutedajiacuteciacutem Debyeově frekvenci ωD

podle vztahu n ⟷ ω nahoře ale pro naprostou většinu stavů vzhledem k tomu že hustota stavů z(ω) roste

kvadraticky by toto nastaacutevalo až u energiiacute při nichž jsou exponenciaacutelniacute členy v sumaacutech zanedbatelneacute

B

D

B B

0

0 viz Einsteinovatepelnaacute kapacita

0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk

Termodynamickaacute praacutece krystalu

Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T

A S n u S u n S u Vx

T u

Uvažujme vektor posunutiacute u čaacutesti povrchu krystalu dS = ndS kde n je

normaacutelovyacute vektor na kterou působiacute siacutela dF = TdS kde T je plošnaacute hustota

siacutely Celkovaacute praacutece vykonanaacute při elementaacuterniacute změně posunutiacute du bude

Předpoklaacutedejme nyniacute že krystal nepodleacutehaacute dalekodosahovyacutem silaacutem objemoveacuteho charakteru

(napřiacuteklad gravitačniacute) tj že na něj působiacute siacutely pouze přes povrch divergence hustoty siacutely

v objemu je tedy nulovaacute tj

Maacuteme 0

ij

ixzaacuteměna symetrie d a v zaacuteměně

1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x

Definujme tenzor malyacutech deformaciacute Pak 1

2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF

kde jsme zavedli tenzor napětiacute τij vztahem τijnj = minusTid + d d ij i ij i

j jV

u u Vx x

Zaacuteporneacute znameacutenko voliacuteme proto že za kladneacute napětiacute bereme přiacutepad kdy krystal natahujeme

siacutela dF na obraacutezku miacuteřiacuteciacute ven ovšem odpoviacutedaacute natahovaacuteniacute krystalu tedy napětiacute je zaacuteporneacute

Relativniacute změna objemu

d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V

Uvažujme malyacute objem krystalu a napišme pro něj prvniacute termodynamickyacute zaacutekon dU = TdS ‒ dA

v objemovyacutech hustotaacutech jako duV = TdsV ‒ daV kde veličiny označeneacute indexem jsou

objemoveacute hustoty vnitřniacute energie entropie a praacutece přičemž mezi hustotami a celkovyacutemi

veličinami platiacute

d dV ij ija Porovnaacuteniacutem vyacuterazu pro praacuteci s předchoziacutem vyacutesledkem maacuteme a lze napsat

11 22 33

dd d d d dTr( )V ij ij ii

Va p p p p p

V ε

Speciaacutelně pro anizotropniacute přiacutepad maacute tenzor napětiacute diagonaacutelniacute tvar

ij ijp

a po dosazeniacute do vyacuterazu pro objemovou hustotu praacutece maacuteme

d d d V V ij iju T s

kde Tr(ε) = ε11 + ε22 + ε33 je stopa tenzoru malyacutech deformaciacute jehož diferenciaacutel maacute vyacuteznam

relativniacute změny objemu

ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita

Předpoklaacutedejme že platiacute zaacutevislost τij =f(T εij) a uvažujme lineaacuterniacute deformace při kteryacutech platiacute

lineaacuterniacute vztah

což je zobecněniacute Hookova zaacutekona pro anizotropniacute laacutetku

kde Cijkl se nazyacutevaacute tenzor elasticityij ijkl klC

11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q

Bude-li buď T = konst nebo dqV = 0 bude posledniacute vyacuteraz Pfaffova diferenciaacutelniacute forma kteraacute je

uacuteplnyacutem diferenciaacutelem a tudiacutež platiacute Eulerovy recipročniacute vztahy pro jednotliveacute členy vykonaneacute

praacutece což lze zapsat jako

1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l

Dokaacutezali jsme že tenzor elasticity je symetrickyacute kromě zaacuteměny indexů v prvniacute a ve druheacute

dvojici takeacute zaměniacuteme-li prvniacute dvojici s druhou dvojiciacute v přiacutepadě adiabatickeacute nebo izotermickeacute

deformace

Z mechaniky znaacuteme symetrie τij = τji a εij = εji Co naviacutec naacutem poskytuje termodynamika

Uacutekol Na zaacutekladě symetriiacute vůči zaacuteměnaacutem indexů spočiacutetejte kolik maacute tenzor elasticity

nezaacutevislyacutech koeficientů pro trojklonnyacute krystal kteryacute vykazuje nejmeacuteně symetriiacute

(podmiacutenka s nerovnostiacute vybiacuteraacute pouze netriviaacutelniacute identity)

Fyzika pevnyacutech laacutetekLiteratura

Zaacutekladniacute studijniacute materiaacutely

Budu daacutevat sem httpfyzikafeldcvutcz~zacek

Doplňkovaacute literaturaCharles Kittel Uacutevod do fyziky pevnyacutech laacutetek Praha Academia 1985 (5 vydaacuteniacute)

Adrianus J Dekker Fyzika pevnyacutech laacutetek Praha Academia 1966

Hrivnaacutek Ľ Bezaacutek V Foltin J Ožvold M Teoacuteria tuhyacutech laacutetok SAV Bratislava 1978

Charles A Wert Robb M Thompson Physics of Solids McGraw-Hill Book Company 1964

Piers Coleman Introduction to Many-Body Physics Cambridge University Press 2015

wwwcambridgeorg9780521864886

Literaturu a studijniacute materiaacutely budu průběžně doplňovat takeacute včetně různyacutech on-

line zdrojů


Fyzika

tuheacute faacuteze

Kvantovaacute

teorie

Teorie

elektronoveacuteho


fyzika

Teorie


pole

Teorie

atomoveacuteho

jaacutedra


vědy

Fyzika

povrchů

Fyzika

laserů

Fyzika

polovodičů



Obory jako aplikace


Různeacute


struktury

Optika



chemie

Kvantovaacute

chemie


Kapaliny

Plasma


Condensed matter



- objev elektronu



30 leacuteta




po vaacutelce






- hellip























(1)










nimi





u v w u v w T a b c













Buňka a baacuteze

0 1 a b c

j j jr r r

V a b c

a b c

j j j jr r rr a b c













a = b = c α = β = γ ne 90deg


a = b = c α = β = γ = 90deg
























nkyscad















primitivniacutemi















































mřiacuteže









mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace






Fyzika

tuheacute faacuteze

Kvantovaacute

teorie

Teorie

elektronoveacuteho


fyzika

Teorie


pole

Teorie

atomoveacuteho

jaacutedra


vědy

Fyzika

povrchů

Fyzika

laserů

Fyzika

polovodičů



Obory jako aplikace


Různeacute


struktury

Optika



chemie

Kvantovaacute

chemie


Kapaliny

Plasma


Condensed matter



- objev elektronu



30 leacuteta




po vaacutelce






- hellip























(1)










nimi





u v w u v w T a b c













Buňka a baacuteze

0 1 a b c

j j jr r r

V a b c

a b c

j j j jr r rr a b c













a = b = c α = β = γ ne 90deg


a = b = c α = β = γ = 90deg
























nkyscad















primitivniacutemi















































mřiacuteže









mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace







chemie

Kvantovaacute

chemie


Kapaliny

Plasma


Condensed matter



- objev elektronu



30 leacuteta




po vaacutelce






- hellip























(1)










nimi





u v w u v w T a b c













Buňka a baacuteze

0 1 a b c

j j jr r r

V a b c

a b c

j j j jr r rr a b c













a = b = c α = β = γ ne 90deg


a = b = c α = β = γ = 90deg
























nkyscad















primitivniacutemi















































mřiacuteže









mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace







- objev elektronu



30 leacuteta




po vaacutelce






- hellip























(1)










nimi





u v w u v w T a b c













Buňka a baacuteze

0 1 a b c

j j jr r r

V a b c

a b c

j j j jr r rr a b c













a = b = c α = β = γ ne 90deg


a = b = c α = β = γ = 90deg
























nkyscad















primitivniacutemi















































mřiacuteže









mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace























(1)










nimi





u v w u v w T a b c













Buňka a baacuteze

0 1 a b c

j j jr r r

V a b c

a b c

j j j jr r rr a b c













a = b = c α = β = γ ne 90deg


a = b = c α = β = γ = 90deg
























nkyscad















primitivniacutemi















































mřiacuteže









mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace
















Buňka a baacuteze

0 1 a b c

j j jr r r

V a b c

a b c

j j j jr r rr a b c













a = b = c α = β = γ ne 90deg


a = b = c α = β = γ = 90deg
























nkyscad















primitivniacutemi















































mřiacuteže









mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace

















a = b = c α = β = γ ne 90deg


a = b = c α = β = γ = 90deg
























nkyscad















primitivniacutemi















































mřiacuteže









mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace




























nkyscad















primitivniacutemi















































mřiacuteže









mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace



















primitivniacutemi















































mřiacuteže









mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace












































mřiacuteže









mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace













mřiacuteži



d


formaacutetu STL



d






(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace










(1 2 3)






rovna nule




1 1 2











(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace















(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)

u v w

(1 0 0) (11 0) (111) (1 0 1) (1 0 0) (1 1 1) (2 2 1)


Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace





Uacutelohy




















T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace











T

V

TtTs


kapalina

sklo

krystal





AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace







AlhambraGranada



















Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace























Kvazikrystaly



šok









Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace






Kvazikrystaly











1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace










1 fotony

2 neutrony

3 elektrony






materiaacutelů

















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace



















E p k

E c c

p k

2 2 2 2 4E p c m c

k

2π

mE

k

2π

c

E

2

kE E mc

2 2 2 2 4 2k c m c

2 2 4 2 2 2

2 2 4k k

k

2π 2π 2π

2

c c c


22kE mc22kE mc









pro de Broglieovu




2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace







2

tg

d

2 sind n


paprsky


paprsky

α

dvzdaacutelenost


rovin

α

d

αα

l1

l2

2

1 2


sin tg sin

d dl l l d d

Odvozeniacute

α

d

α

α

sind sind




cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace







cos cos 1 2 3

2π

2π 2π

i i i i

i i i

i i i i

a a n n i

n

k k k k

n n

a s a s

k s k s

a k k a k















α

α



α

α

ai

2π 1 2 3i in i a k


2π nT k




ai

Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace





Krystalovaacute

mřiacutež


i( ) en n G r

G

G

r



j


j


( ) ( )n n r r T

kk

kk

r

2π

k r

2π

k r


k r k r k k r k r

(periodicita)

(Fourierův rozvoj)


k

k k


vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace






vektorem



(1)


(2)


(3)






u v w u v w T a b c

je 1 G T

h k l h k l G a b c

2π

b ca

a b c











V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace













V V VI V n V n n V

G k rk r G r k r

G G

G G

r

G k 0




2π

2π

2π

h

k

l

a k a G

b k b G

c k c G

b) Velikost

2 2

2 2 2

2

2

2

G k k

G

G k k

G k k

k G

k G



α α

β

1

2 11 kde

2π 1 11 2 cos 2 sin

n m

G G n m

n dn G

m

k mG

kk

G

m


2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace






2

2

2

2 2

G

G

k G

Gk



G

k

k

kG

Ewaldova konstrukce






(Braggova rovina)
















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace


















sousedniacutem

Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace





Uacutelohy







Ukažte že






r V a b c

3

r

2πV

V

0 0 0 0 03 3 2 2 2 2


23 2V a c a a b c

3

r 2π V V









tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace













tabulky prvků










Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace






Poznaacutemky


teorie





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace





fcc 121319 144539

hcp 121323 144549

Minimum

Hodnota v minimu





a jsou empiricky


4U rr r

13 7

6

0

d 12 64 0 2 122

d

Ur

r r r

12 6

0 6 6( ) 4

2 2U r

0

12 6 12 6

12 6 12 6

koh 1 1 1 1

1 1 1 1 11 1 0 0

14 4 4

2

k k k k k

ij ij

n n n n n

i i i i

i i i i ii i r p r

W p p p pr r r r

12 6

1 1

1 1

k kn n

i i

i i

p p

r

4

U




















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace

















kde veličina







2

0

1

4π

eU K

r


000 (000)r

12 2

koh2 2 2

0 0

11

4π 4π

k l m

k l m

e eW M

aa k l m

1

2 2 2

1

k l m

k l m

Mk l m



174756M


1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace






1

dn

i i

i

x








1

dn

i i

i

x

2 1

1

dn

i i

i

x

1 i

i

i nx

1 ji

j i

i j nx x

Poznaacutemky








pE











maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace















maacuteme tvaru



d d dU T S p V

1

d dn

i i

i

A x X


1d dS Q

T









S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace










S

Up

V

d d dU T S p V

V

UT

S






S V

T p

V S




















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace



















d d d dU T S pV p V

d d dU pV T S p V

H U pV

d d dH T S V p

d d dF S T p V


d d dG S T V p

Uacuteloha










V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace












V

V

QC

T

p

p

QC

T

V

V

UC

T

p

p

HC

T






3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace










3 Dokažte vztah

Přiacuteklady

1x yz

x y z

y z x

2

p V

p T

V pC C T

T V

d d d V T

U UQ T p V

T V


















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace






















22 21

2 2

pE m u

m

B

B

0B

0

d

d

E

k T

E

k T

Ee E

E k T

e E


V

UC sR

T



krystal














rarr




nE n B B

0 0

e e

n n

k T k T

n n

E n

B

3 3

e 1

k T

U NE N

B

k T

q e

B1 1 =1 1 e

k TJ q

B B B

B

2

10

de e 1 e

d

n

k T k T k T

nk T

Jn

B

B

2

2

B

e3

e 1

k T

V

Vk T

UC sR

T k T




tepelnou kapacitu



B E k






zanikne

2

E 2

eF ( )

e 1



3

VC

sR

B k T









E

E

2

E EE2

e3 3 F

e 1

T

V

T

C sR sRT T









stavů jako z(ω)








2 2

2 2 2

s

1

u u

x c t

0( ) sin π cos

xu x t u n t

L

s

d d ( )dπ

Ln z

c

x

x

(0) ( ) 0 x xu u L

( ) ( ) ( ) x tu x t u x u t

sπ

cn

L

( )z

z

















2

2

s

1 tu u

c


x y z


L L L

22

2 2 2

s

π

x y zn n n

L c

2 2 2 x y z







(viz graf vpravo)




stavů




2 2 2 2 x y zR n n n

S s

d d π π

L L

R Rc c

3 22

2 3

S

1d 4π d d

8 2π

Ln R R

c

3 22

2 3

S

( ) 2π

Lz

c

( )z

z

( )nE n

3

N

LN

3 33

2 3

S

1 4π

8 3 6π

Ln R

c

hellip






D

3 4

D DD2

0

e3 3 d 3 F

e 1

T

VC sR sRT T


podmiacutenku









B

D

B B

0


0

e

3 3 ( ) d kde

e e 1

n

k T

n

n

k T k T

n

n

U NE N z E E

D D3 33 22 2 3D 3

D2 3 2 3

S0 0 0

3 d ( )d d 18π 2π 6π

N

s

s

VLn N n z c

c c

N

B Dk


Gaussova

věta

d d d d d d d d d

ij j i

ij j i ij i j ij i

jS S S Vn T


T u







Maacuteme 0

ij


1d d d d d d d

2ij

i

ji ii ij ij ij

j j j iV V Vx i j

uu uA u V V V

x x x x


2

jiij

j i

uu

x xd d dij ij

V

A V

dS

ndudF


j jV

u u Vx x




d d d V V V

V V V

U u V S s V A a V






11 22 33


Va p p p p p

V ε


ij ijp





ddTr( ) d ii

V

V ε

Elasticita





11 11 12 12 13 13 21 21 22 22 23 23 31 31 32 32 33 33

d d d

d d d d d d d d d d

V V ij ij

V

u q

q




1 2 3 ij kl

kl ij

i j k l i j k l



deformace





fyzika pevných látek - aldebaranzacek/download/2017_fpl.pdf · 2018. 1. 9. · fyzika pevných...

Documents