قسمت ششم

تبدیالت ریاضی درمهندسی برق

متغییرها) Decoupled( مجزا کردن. 1

تسهیل حل معادالت با ضرایب متغییر با زمان . 2

ارجاع متغییرها به یک چارچوب مشترك . 3

:هدف از استفاده تبدیل هاي ریاضی یکی از موارد زیر میباشد

تبدیالت بکار رفته در مهندسی برق

اتورها، براي مطالعه شرایط نا متعادل در سیستمهاي قدرت و اجزا آن نظیر ژنر در واقع یک سیستم نامتعادل . ترانسفورماتورها و موتورهاي الکتریکی بکار میرود

م سه فاز به سه سیستم متعادل سه فاز تبدیل و محاسبات در این فضا انجا .میشود

=

aa1

aa1111

31]T[

2

212o

][][][ 1212 abcfTf oo =

e ja 32π

=

تبدیل فورتسکیو

. میتواند ولتاژ، جریان یا شار باشد fدر روابط مربوط به تبدیل

=−

2

2112

11

111][

aaaaTo

]f[]T[]f[ 121

12abc oo−=

تبدیل معکوس

. یک تبدیل سه فاز به دو فاز می باشد و داراي یک مولفه هموپالر است

]][[][ 0 abcfTf αβαβ =o

= −

−−

21

21

21

23

23

21

21

0

1

32][ oαβT

1

1 312 2

312 2

[ ] [ ] [ ]

1 0 1

[ ] 11

abcf T f

T

αβ αβ

αβ

−

− −

−−

=

=

o o

o

تبدیل کالرك

تبدیل معکوس

a-axis

c-axis

b-axis-axis

-axis

α

β

:توان لحظه اي یک سیستم سه فاز رابا شرایط بار اهمی در نظر بگیرید

+=

−=

=

+=

−=

=

)

)3

2sin(3

2sin(

sin

)

)3

2sin(3

2sin(

sin

πω

πω

ω

πω

πω

ω

tIi

tIi

tIi

tVV

tVV

tVV

mc

mb

ma

mc

mb

ma

مثال

: در لحظه توان لحظه اي سیستم برابر است با

−=

−=

=

−=

−=

=

2

2

2

2

mc

mb

ma

mc

mb

ma

Ii

Ii

Ii

VV

VV

VV

2π

ω =t

23 mm IV

p =

بدیل کالرك وتوان لحظه اي در لحظه ولتاژ وجریان لحظه اي تبدیل یافته توسط ت

: مربوطه به شکل زیر میباشند 2π

ω =t

mmIVp =

==

=

==

=

00

00

00 II

II

VV

VV mm

β

α

β

α

.همان تبدیل کالرك است با این تفاوت که این تبدیل حافظ توان میباشد.شدیک ماتریس تبدیل زمانی میتواند حافظ توان باشد که ماتریس متعامد با

. ماتریسی متعامد است که معکوس آن با ترانسپوزه آن برابر باشد

]f][T[]f[ abcoo αβαβ =

1 112 2

2 3 3[ ] 03 2 2

1 1 12 2 2

Tαβ

− −

− =

o

تبدیل کنکوردیا

یستم قبلی توسط تبدیل کنکوردیا در لحظه ولتاژ وجریان لحظه اي تبدیل یافته همان س

: وتوان لحظه اي مربوطه به شکل زیر میباشند 2π

ω =t

mmIVp23

=

=

=

=

=

=

=

0

0

23

0

0

23

0i

i

Ii

V

V

VV

m

c

m

β

α

β

α

−−−

−−−

=

])1(2

sin[)2

sin(2

sin

])1(2

cos[)2

cos(2

cos2)(

αθαθθ

αθαθθ

θ

nppp

nppp

nT

])][([][ ,...3,2,1 nxy FTf θ=

][)]([][ 1,...3,2,1 xyn fTF −= θ

تبدیلn فازه به دو فازه

تبدیل پارك

تاریخچهمزایا

انواع بکار رفته

d درجه جلوتر از محور q 90محور

a-axis

c-axis

b-axisd-axis

q-axis

0=ω

sωω =

dθ

==

oo

ffqfd

FTF abcddqdq ])][([][ 0 θ

oθωθ += td

][)]([][ 10 odqddqabc FTF −= θ

+−+

−−−

−

=−

1)3

2sin()3

2cos(

1)3

2sin()3

2cos(

1sincos

)]([ 1

πθ

πθ

πθ

πθ

θθ

θ

dd

dd

dd

ddqT o

+−−−−

+−

=

21

21

21

)3

2sin()3

2sin(sin

)3

2cos()3

2cos(cos

32)]([ 0

πθ

πθθ

πθ

πθθ

θ ddd

ddd

ddqT

تبدیل معکوس

ماتریس تبدیل

d درجه عقبتر از محور q 90محور

a-axis

c-axis

b-axisd-axis

q-axis0=ω

sωω =

dθ

==

oo

ffqfd

FTF abcddqdq ])][([][ 0 θ

][)]([][ 10 odqddqabc FTF −= θ

+−

+−

=

21

21

21

)3

2sin()3

2sin(sin

)3

2cos()3

2cos(cos

32)]([ 0

πθ

πθθ

πθ

πθθ

θ ddd

ddd

ddqT

++

−−=−

1)3

2sin()3

2cos(

1)3

2sin()3

2cos(

1sincos

)]([ 1

πθ

πθ

πθ

πθ

θθ

θ

dd

dd

dd

ddqT o

تبدیل معکوس

ماتریس تبدیل

. عوض میشود d با q این حالت مانند قسمت اول است با این تفاوت که جاي محور

a-axis

c-axis

b-axis

d-axis

q-axis

0=ω

sωω =

qθ

==

oo

ffdfq

FTF abcqqdqd ])][([][ 0 θ

][)]([][ 10 oqdqqdabc FTF −= θ

++

−−=−

1)3

2sin()3

2cos(

1)3

2sin()3

2cos(

1sincos

)]([ 10

πθ

πθ

πθ

πθ

θθ

θ

qq

qq

qq

qd qT

+−

+−

=

21

21

21

)3

2sin()3

2sin(sin

)3

2cos()3

2cos(cos

32)]([ 0

πθ

πθθ

πθ

πθθ

θ qqq

qqq

qqdT

تبدیل معکوس

ماتریس تبدیل

cos2[ ] cos( )3

2cos( )3

m

abc m

m

V t

V V t

V t

ωπ

ω

πω

= − +

]][[][ 00 abcqdqd VTV =

0

2 2cos cos( ) cos( ) cos3 32 2 2 2[ ] sin sin( ) sin( ) cos( )3 3 3 3

1 1 1 2cos( )2 2 2 3

q q qm

qd q q q m

m

V t

V V t

V t

π πθ θ θ ω

π π πθ θ θ ω

πω

− + = − + − +

تبدیل یک سیستم سه فاز سینوسی

−−

−

=

0

)sin(23

)cos(23

32][ 0 q

q

mqd t

t

VV θω

ωθ

−−

=

0

)sin()cos(

][ 0 tt

VV q

q

mqd ωθωθ

0

2 2cos cos( ) cos( ) cos3 32 2 2 2[ ] sin sin( ) sin( ) cos( )3 3 3 3

1 1 1 2cos( )2 2 2 3

q q qm

qd q q q m

m

V t

V V t

V t

π πθ θ θ ω

π π πθ θ θ ω

πω

− + = − + − +

تبدیل یک سیستم سه فاز سینوسی

−−

=

0

)sin()cos(

0 tt

VV q

q

mqd ωθωθ

0θωθ += tq

=

0sincos

0

0

0 θθ

mqd VV

تبدیل یک سیستم سه فاز سینوسی

][][ abcT

abcabc iVp =

=

=

c

b

a

abc

c

b

a

abc

iii

iVVV

V ][][

]][[][ 00 abcqdqd VTV =

][][][ 01

0 qdqdabc VTV −=

( ) ( )][][][][ 01

001

0 qdqdT

qdqdabc iTVTp −−=

انتقال توان در تبدیل پارك

[ ]( )

+−

+−

=−

111

)3

2sin()3

2sin(sin

)3

2cos()3

2cos(cos

)( 10

πθ

πθθ

πθ

πθθ

θ qqq

qqq

TT

qqd

++

−−=−

1)3

2sin()3

2cos(

1)3

2sin()3

2cos(

1sincos

)]([ 10

πθ

πθ

πθ

πθ

θθ

θ

qq

qq

qq

qTqd

( )

=−−

30002/30002/3

][][ 10

10 qd

Tqd TT

از طرفی

&

در نتیجه به دست خواهیم آورد

پس

. این تبدیل حافظ توان نیست

00323

23 IVIVIVp ddqqabc ++=

( ) ][][][][ 01

01

00 qdqdT

qdT

qdabc iTTVp −−=

( ) Tqdqdqd

Tqd TTTT ][][][][ 0

100

10 =⇒= −−

):اگر بخواهیم حافظ توان باشد ) [ ]ITT qdT

qd =−− 10

10 ][][

به تعبیر دیگر باید . یعنی ترانهاده ماتریس با معکوس ان باید برابر باشد .ماتریس متعامد باشد

است) سنکرون،غیر سنکرون یا صفر( سرعتی دلخواه qسرعت چرخش محور

==

oo

ffdfq

FTF abcqdqd ])][([][ 0 θ

+−

+−

=

21

21

21

)3

2sin()3

2sin(sin

)3

2cos()3

2cos(cos

32)]([ 0

πθ

πθθ

πθ

πθθ

θqdT

)qd0(تبديل تعميم يافته پارک