dulieu.tailieuhoctap.vndulieu.tailieuhoctap.vn/books/giao-duc-dai-cuong/toan-cao-cap/file_goc_768069.pdf ·...
TRANSCRIPT
Nội dung ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
I.2 – Giới hạn của hàm số
– Hàm số.
– Giới hạn của hàm số.
– Vô cùng bé, Vô cùng lớn.
Định nghĩa (hàm hợp)
Cho hai hàm . : ; : g X Y f Y Z
Khi đó tồn tại hàm hợp . :f g X Z
( ( ))h f g f g x
Ví dụ. 2( ) 3; ( ) g x x f x x
2
( ) ( ( ) ( 3) 3f g x f g x f x x
2 2( ) ( ( )) ( ) 3g f x g f x g x x
1. Hàm số
4) ( ) 2 2 a f g x x x ( ,2]f gD
) ( ) 2 b g f x x 0,4g fD
4) ( ) c f f x x 0,f fD
) ( ) 2 2 d g g x x 2,2g gD
Cho . Tìm các hàm sau và miền
Ví dụ.
( ) ; ( ) 2 f x x g x x
) ; ; ; . b) c) d) a f g g f f f g gxác định của nó:
Đầu vào
Đầu ra
Hàm y = f(x) là hàm 1 – 1 khi và chỉ khi không tồn tại
đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị nhiều hơn một điểm.
Hàm y = f(x) được gọi là hàm 1 – 1, nếu
Định nghĩa (hàm 1 – 1)
thì .
1 2 fx x D
1 2( ) ( )f x f x
Hàm 1 – 1
Ví dụ.
Không là hàm 1 – 1
ký hiệu , xác định bởi .
Hàm ngược của y = f(x) là hàm từ E vào D,
Cho y = f(x) là hàm 1 – 1 với miền xác định D và miền
Định nghĩa (hàm ngược)
giá trị E.
1( )x f y 1( ) ( )x f y y f x
Vì , nên (a,b) thuộc đồ thị y = f(x)
Chú ý:
khi và chỉ khi (b,a) thuộc đồ thị của . 1f
1( ) ( )a f b b f a
Đồ thị y = f(x) và đồ thị của đối xứng nhau qua
qua đường thẳng y = x.
1f
Ví dụ. Vẽ đồ thị của
1y x Vẽ đồ thị của
và đồ thị hàm ngược.
Xét hàm lượng giác y = sin x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên đoạn , y = sin x là hàm 1 – 1. -
,2 2
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arcsiny x
Xét hàm lượng giác y = cos x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên đoạn , y = cos x là hàm 1 – 1. 0,
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arccosy x
Miền xác định: [-1,1]
Hàm arcsin x
-,
2 2
Miền giá trị:
Hàm luôn luôn tăng.
Miền xác định: [-1,1]
Hàm arccos x
0,Miền giá trị:
Hàm luôn luôn giảm.
Xét hàm lượng giác y = tanx
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên khoảng , y = tan x là hàm 1 – 1. ,2 2
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arctany x
Xét hàm lượng giác y = cot x
Định nghĩa (hàm lượng giác ngược)
Trên khoảng , y = cot x là hàm 1 – 1. 0,
Tồn tại hàm ngược, ký hiệu arccot y x
Miền xác định: R
Hàm arctan x
-,
2 2
Miền giá trị:
Hàm luôn luôn tăng.
Miền xác định: R
Hàm arccotan x
0,Miền giá trị:
Hàm luôn luôn giảm.
Định nghĩa (hàm Hyperbolic)
sin hyperbolic sinh( )2
x xe ex
cos hyperbolic cosh( )2
x xe ex
tan hyperbolic sinh( )
tanh( )cosh( )
xx
x
cotan hyperbolic cosh( )
coth( )sinh( )
xx
x
cosh( )y xHàm sinh( )y xHàm
tanh( )y xHàm coth( )y xHàm
Có các công thức sau (tương tự công thức lượng giác)
2 21) cosh ( ) sinh ( ) 1 a a
2 22) sinh(2 ) 2sinh( )cosh( ); cosh(2 ) cosh ( ) sinh ( ) a a a a a a
3) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) a b a b a b
4) cosh( ) cosh( )cosh( ) sinh( )sinh( ) a b a b a b
5) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( ) a b a b b a
6) sinh( ) sinh( )cosh( ) sinh( )cosh( ) a b a b b b
và các công thức lượng giác hyperbolic khác.
Để thu được công thức lượng giác hyperbolic từ công
thức lượng giác quen thuộc ta thay cos bởi cosh và thay
sin bởi isinh.
Ví dụ. Từ công thức 2 2cos sin 1a a
ta có 2 2 2cosh sin 1ia a
2 2cosh sinh 1a a
Hàm cho bởi phương trình tham số.
Giả sử tồn tại hàm ngược của một trong hai hàm trên,
giả sử của x = x(t) là t = t(x).
Cho hai hàm x = x(t), y = y(t) xác định trong một lân cận
V nào đó của điểm . 0t
Khi đó tồn tại hàm y = y(t(x)) và hàm này được gọi là hàm
cho bởi phương trình tham số: x = x(t) và y = y(t).
Ví dụ.
Hàm y = y(x) cho bởi phương trình tham số
2cos
3sin (1)
x t
y t
Đây chính là phương trình của ellipse.
2 2
14 9
x y
cos2
(1)
sin3
xt
yt
Ví dụ.
Phương trình tham số của đường
tròn tâm O bán kính R:
cos
sin
x R t
y R t
Phương trình tham số của đường
tròn tâm (a,b) bán kính R:
cos
sin
x a R t
y b R t
cos
sin
x a t
y b t
Phương trình tham số của ellipse là 2 2
2 21
x y
a b
2. Giới hạn của hàm số
Ví dụ. D = (0,1)
Cho D là tập số thực. Điểm được gọi là điểm tụ của 0x
Định nghĩa.
tập D nếu trong mọi khoảng đều chứa vô 0 0( , )x x
số các phần tử của tập D.
Điểm tụ của D là [0,1]
D có duy nhất một điểm tụ là 0 1
,D n Nn
1( 1) ,
2
n nD n N
n
D có hai điểm tụ -1 và 1.
2. Giới hạn của hàm số
0
lim ( )x x
f x a
0 0
0, | ( ) | .fx D x x f x a
Chú ý:
Trong định nghĩa không đòi hỏi là f(x) phải xác định tại 0x
Ví dụ. 20
1 cos 1lim
2x
x
x
mặc dù hàm không
xác định tại x = 0.
Định nghĩa. (ngôn ngữ )
Cho x0 là điểm tụ của miền xác định.
2. Giới hạn của hàm số
lim ( )x
f x a
0 0A
, | ( ) | .fx D x A f x a
Định nghĩa.
lim ( )x
f x a
0 0B
, | ( ) | .fx D x B f x a
Định nghĩa.
thì f(x) trong
khoảng này
khi x trong khoảng
này
lim ( )x
f x L
thì f(x) trong
khoảng này
khi x trong
khoảng này
lim ( )x
f x L
2. Giới hạn của hàm số
0
lim ( )x x
f x
0M 0
0,| | ( ) .fx D x x f x M
Định nghĩa.
0
lim ( )x x
f x
0M 0
Định nghĩa.
0,| | ( ) .fx D x x f x M
2. Giới hạn của hàm số
Chú ý: Thường dùng định nghĩa này chứng tỏ hàm
không có giới hạn.
0
lim ( )x x
f x a
Định nghĩa. (ngôn ngữ dãy )
Cho x0 là điểm tụ của miền xác định.
( ) ,n fx D 0 ,n
n n ox x x x
( )n
nf x a
Nếu tìm được hai dãy mà '
0( ),( )n nx x x'( ), ( )n nf x f x
hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn.
2. Giới hạn của hàm số
Ví dụ. Chứng tỏ không tồn tại giới hạn 0
1limsinx x
Chọn dãy 1
02
n
nxn
( ) sin 2 0 0nf x n
Chọn dãy , 10
2 / 2
n
nxn
( ) sin(2 ) 1 12
nf x n
Suy ra không tồn tại giới hạn
0 0
lim ( ) , lim ( )x x x x
f x a g x b
Tính chất của giới hạn hàm số
0
1) lim ( ) , Rx x
f a
0
2) lim ( ) x x
f g a b
0
3) lim ( ) x x
f g a b
0
4) lim , 0 x x
f ab
g b
05) ( ), ( ) ( ) x V x f x g x a b
0 0
( ) ( ) ( )6)
lim lim
x x x x
f x g x h x
f h a
0
lim ( )x x
g x a
0
0
lim ( ) 0
lim ( )
x x
x x
u x a
v x b
Mệnh đề
0
( )lim ( )
v x b
x xu x a
0 0
( ) ( ) ln ( )lim ( ) lim
v x v x u x
x x x xu x e
0
lim ( ) ln( ( ))x x
v x u x
e
ln .b a be a
1lim 1
x
xe
x
1lim 1
x
xe
x
1
0lim 1 x
xx e
0
sin1) lim 1
x
x
x
0
12) lim 1
x
x
e
x
20
1 cos 13) lim
2
x
x
x
0
ln(1 )4) lim 1
x
x
x
0
(1 ) 15) lim
x
x
x
Các giới hạn cơ bản thường gặp khi 0x
0
arctan6) lim 1
x
x
x
0
arcsin7) lim 1
x
x
x
0
tan8) lim 1
x
x
x
1/
09) lim 1
x
xx e
1/
0
110) lim 1
x
xx
e
1) lim , 0
xx
2) lim ln , 0
x
x
3) lim , 1
x
xa a
14) lim 1
x
xe
x
Các giới hạn cơ bản thường gặp khi x
5) lim sin x
x không tồn tại
01)
0
Các dạng vô định
2)
3) 0 4)
5) 1
06) 0
07)
0 0 0,0fx D x x
Định nghĩa. (giới hạn trái)
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu
| ( ) | .f x a
0
lim ( )xx
f x a
ký hiệu
0 0 0,0fx D x x
Định nghĩa. (giới hạn phải)
Số a gọi là giới hạn trái của y = f(x) tại điểm x0, nếu
| ( ) | .f x a
0
lim ( )xx
f x a
ký hiệu
Ví dụ
1
1lim
1x x
1
1lim
1x x
Ví dụ
1/
0lim 0x
xe
1/
0lim x
xe
Ví dụ
0
sinlim 1
x
x
x
0
sinlim
| |x
x
xKhông tồn tại
Vì 0 0
sin sinlim lim 1
| |
x x
x x
x x
và 0 0
sin sinlim lim 1
| |
x x
x x
x x
Định lý.
Hàm số y = f(x) có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới
hạn trái và giới hạn phải tại x0 và chúng bằng nhau.
Chú ý
Dùng định lý trên để chứng tỏ hàm không có giới hạn.
Chú ý.
Giới hạn một phía thường được dùng trong các trường
hợp hàm chứa căn bậc chẵn, chứa trị tuyệt đối, hoặc
hàm ghép.
Ví dụ. Cho . Tìm
2 3, 0
( ) 1sin , 0
x x
f xx x
x0
lim ( )x
f x
0 0
lim ( ) lim (2 3) 3
x x
f x x
0 0
1lim ( ) lim sin 0
x x
f x xx
Vậy không tồn tại giới hạn.
Ví dụ
Định nghĩa
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi 0x x
0
lim ( ) 0.x x
f x
là một vô cùng bé khi , vì 0x 3( ) 3sin 2f x x x
3
0lim 3sin 2 0.x
x x
Tính chất của VCB
1) Tổng hữu hạn của các VCB là một VCB.
2) Tích của hai VCB là một VCB.
3) Tích của một VCB và một hàm bị chặn là một VCB.
4) Thương của hai VCB có thể không là một VCB.
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng bé khi . 0x x
Giả sử 0
( )lim .
( )
x x
f xk
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCB bậc cao hơn g(x). 0k
( ) ( ( ))f x g x
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCB cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCB tương đương. 1k
( ) ( )f x g x
Định nghĩa
2 4 2 3( ) tan ; ( ) sin 2 f x x x g x x x
Vì .
2 4
2 30 0
( ) tanlim lim 1.
( ) sin 2
x x
f x x x
g x x x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB tương đương khi . 0x
3 2 2( ) sin ; ( ) tan f x x x g x x x
Vì .
2 3
20 0
( ) sinlim lim 0.
( ) tan
x x
f x x x
g x x x
Ví dụ
Khi đó f(x) là VCB bậc cao hơn g(x) khi . 0x
2 2 2( ) sin 2 ; ( ) tan 3 f x x x g x x
Vì .
2 2
20 0
( ) sin 2 1lim lim .
( ) 3tan 3
x x
f x x x
g x x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi . 0x
1 2( ) 1; ( ) 1 xf x e g x x
Vì .
1
1 1 2
( ) 1 1lim lim .
( ) 21
x
x x
f x e
g x x
Ví dụ
Khi đó f(x) và g(x) là hai VCB cùng bậc khi . 1x
1) sin x x
Các vô cùng bé thường gặp khi 0x
2) -1 xe x
2
3) 1- cos2
x
x
4) ln(1 ) x x
5) (1 ) -1 x x
6) arcsin x x
7) arctan x x
8) tan x x
Chú ý: Đây là các vô cùng bé khi 0x
9) sinh x x
2
10) cosh 12
x
x
Các vô cùng bé trên suy ra trực tiếp từ định nghĩa và
các giới hạn cơ bản.
Qui tắc ngắt bỏ VCB cấp cao
0
limToång höõu haïn caùc VCB
Toång höõu haïn caùc VCBx x
0
limVCB baäc cuûa töû
VCB baä
thaáp nhaát
thaáp nhaác cuûa m ãut a
x x
Ví dụ.
Tính giới hạn 2 30
ln(1 tan )lim
sin
x
x xI
x x
2ln(1 tan ) tan x x x x x
2 30
ln(1 tan )lim
sin
x
x xI
x x
2
20lim 1.
x
x
xVí dụ.
Tính giới hạn 20
ln(cos )lim
ln(1 )
x
xI
x
20
ln(1 cos 1)lim
ln(1 )
x
xI
x20
cos 1lim
x
x
x
2
20
/ 2 1lim
2
x
x
x
2 3 2sin x x x
Ví dụ.
Tính giới hạn
2
20
coslim
sin
x
x
e xI
x
2 21 xe x2
1 cos 2
x
x
2
20
1 1 coslim
sin
x
x
e xI
x
2 2
20
/ 2 3lim .
2
x
x x
x
sin x x
Ví dụ.
Tính giới hạn sin 5 sin
0lim
ln(1 2 )
x x
x
e eI
x
sin 5 sin
0
1 1lim
ln(1 2 )
x x
x
e eI
x 0
sin5 sinlim
2x
x x
x
0
5lim 2
2x
x x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn 1
1
sin 1lim
ln
x
x
eI
x
1 1 1 xe x ln ln(1 1) -1 x x x
1
sin( 1)lim
1
x
xI
x 1
1lim 1.
1
x
x
xVí dụ.
Tính giới hạn sinh 3 sinh
0lim
tan
x x
x
e eI
x
sinh 3 sinh
0
1 1lim
x x
x
e eI
x 0
sinh3 sinhlimx
x x
x
0
3lim 2.x
x x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn
3 40
1 (cos 1)lim
sin 2
x
x
e xI
x x
1 xe x 2cos 1 - / 2x x
2
3 40
( / 2)lim
2x
x xI
x x
2
30
( / 2) 1lim
2x
x x
x
Ví dụ.
Tính giới hạn
21/2 cos(1/ )
limarctan
x
x
e xI x
x
2 22 1/ 1/(2 )
lim/ 2x
x xI x
3
Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI.
30
tan sin1) lim
x
x x
x 30
tanlim
x
x
x
x SAI
30
tan sin2) lim
x
x x
x30
sinlim
x
x x
xSAI
30
tan sin 23) lim
x
x x
x
3
0
sin 2limx
x x
x
ĐÚNG
Các trường hợp thay VCB ĐÚNG VÀ SAI.
0
tan sin 24) lim
sinx
x x
x
0
2 lim
x
x x
x
ĐÚNG
30
tan sin5) lim
sinx
x x
x
0 3
tan sin lim
x
x
x
x ĐÚNG
2
2 20
1 cos6) lim
sinx
x
x x
2
2 20
1 cos lim
x
x
x xSAI
Ví dụ.
Cho f(x) là vô cùng bé khi . 0x x
00
( )lim höõu haïn, . 0
px x
f x
x x
Định nghĩa
Số p được gọi là bậc của VCB f(x) khi , nếu 0x x
2 3( ) sin 1 cos2 f x x x x
là một VCB khi , và bậc của f(x) là 2. 0x
vì 2 3
2 20 0
( ) sin 1 cos2lim lim 3x x
f x x x x
x x
Tìm bậc của các VCB sau đối với x khi . 0x
Ví dụ
3 2 31) ( ) f x x x
2) ( ) sin 2 2 f x x
3) ( ) 2 1 xf x
3 44) ( ) 3sin f x x x
3
5) ( ) cos xf x e x
bậc 2/3.
bậc 1.
bậc 1/2.
bậc 3.
bậc 2.
Ví dụ
1) ( ) cos cos2 f x x x
22) ( ) ln cosf x x
3) ( ) 3 x xf x e
34) ( ) sin 2 ln(1 tan ) f x x x x
25) ( ) 1 2 cos3 f x x x
Tìm để f(x) và là 2 VCB tương đương, 0x, x
3/ 2; 2
1/ 2; 4
ln3; 1/ 2
1
13/ 4; 2
Ví dụ
Định nghĩa (vô cùng lớn)
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi 0x x
0
lim ( ) .
x x
f x
là một vô cùng lớn khi , vì x2( ) 2 3cos f x x x
2lim 2 3cos .
x
x x
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi . 0x x
Giả sử 0
( )lim .
( )
x x
f xk
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x). k
( ) ( ( )) f x g x
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCL cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. 1k
( ) ( )f x g x
Định nghĩa
Qui tắc ngắt bỏ VCL
0
limToång höõu haïn caùc VCL
Toång höõu haïn caùc VCLx x
0
limVCL baäc cuûa töû
VCL baä
cao nhaát
cao nhaátc cuûa maãux x
Ví dụ
Tử là tổng của ba VCL:
2
2
4 2 3lim
4
x
x x xI
x x
2 4 2 3 3
x
x x x x
Mẫu là tổng của hai VCL: 2 4 2
x
x x x
3 3lim
2 2
x
xI
x
I) Tìm các giới hạn sau.
Bài tập
2
22
41) lim
2
x
x
x x
5
0
32 22) lim
x
x
x
20
cos3 cos73) lim
x
x x
x
/ 44) lim cot 2 cot( / 4 )
xx x
21/ sin (2 )
2
05) lim 1 tan
x
xx
4
3
1
80
20
2
1/ 4e
21/
06) lim cos
x
xx
1/(1 cos )
07) lim cosh
x
xx
22
2
2 38) lim
2 1
x
x
x
x
2
2
29) lim
2
x
x
x
x
1/ 110) lim
x
x
xe
x
1/ 2e
e
2e
4(ln 2 1)
2e
2
2
1411) lim
2
x
x x
x x
2
2
1412) lim
2
x
x x
x x
0
113) lim tanh
x x
0
114) lim tanh
x x
2
20
sin 2 2arctan3 315) lim
ln(1 3 sin )
xx
x x x
x x xe
1
7
1
1
2
5 3
2 30
1 10 1 316) lim
arcsin(3 ) sinh(2 )
x
x x
x x x x
17) lim ln 1 ln2 2
x
x xx
3 3
0
cos4 cos518) lim
1 cos3
x
x x
x
30
1 tan 1 sin19) lim
sin
x
x x
x
0
tan 2 3arcsin 420) lim
sin5 6arctan7
x
x x
x x
1
2
1
3
1/ 4
10/37
Ví dụ
Định nghĩa (vô cùng lớn)
nếu
Hàm số y = f(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi 0x x
0
lim ( ) .
x x
f x
là một vô cùng lớn khi , vì x2( ) 2 3cos f x x x
2lim 2 3cos .
x
x x
Cho f(x) và g(x) là hai vô cùng lớn khi . 0x x
Giả sử 0
( )lim .
( )
x x
f xk
g x
1) Nếu , thì f(x) gọi là VCL bậc cao hơn g(x). k
( ) ( ( )) f x g x
2) Nếu k hữu hạn, khác không, thì f(x) và g(x) là hai
VCL cùng cấp.
3) Nếu , thì f(x) và g(x) là hai VCL tương đương. 1k
( ) ( )f x g x
Định nghĩa
Qui tắc ngắt bỏ VCL
0
limToång höõu haïn caùc VCL
Toång höõu haïn caùc VCLx x
0
limVCL baäc cuûa töû
VCL baä
cao nhaát
cao nhaátc cuûa maãux x
Ví dụ
Tử là tổng của ba VCL:
2
2
4 2 3lim
4
x
x x xI
x x
2 4 2 3 3
x
x x x x
Mẫu là tổng của hai VCL: 2 4 2
x
x x x
3 3lim
2 2
x
xI
x
3. Liên tục của hàm số
Hàm được gọi là liên tục tại , nếu xác định ( )y f x
tại điểm này và
Định nghĩa
0x
0
0lim ( ) ( ).x x
f x f x
Nếu hàm không liên tục tại , ta nói hàm gián đoạn tại 0x
Định nghĩa
điểm này.
đồ thị liền nét (không đứt đoạn) tại điểm (a, f(a)).
Khi x tiến đến a.
thì f(x) tiến
đến f(a).
1) Điểm gián đoạn loại một:
Định nghĩa
Cho là điểm gián đoạn của đồ thị hàm số ( )y f x0x
giới hạn trái f(x0-) và phải f(x0+) tồn tại và hữu hạn.
x0 là điểm khử được: f(x0-) = f(x0+)
2) Điểm gián đoạn loại hai: không phải là loại một.
Một trong hai giới hạn (trái hoặc phải) không tồn tại
hoặc tồn tại nhưng bằng vô cùng.
x0 là điểm nhảy: 0 0( ) ( )f x f x
bước nhảy: 0 0( ) ( )h f x f x
x = 2 là điểm gián đoạn loại một khử được.
x = 2 là điểm nhảy: gián đoạn không khử được.
( )f x x
x = 0 là điểm gián đoạn loại hai.
Tính chất của hàm số liên tục
Cho là hai hàm liên tục tại , khi đó ( ), ( )y f x y g x 0x
liên tục tại x0. 1) ( ); ( ) ( ); ( ) ( )f x f x g x f x g x
2) Nếu , thì liên tục tại x0. 0( ) 0g x ( )
( )
f x
g x
Nếu hàm f(x) liên tục tại và , thì tồn tại một 0x
Định lý
lân cận của x0, sao cho f(x) > 0 với mọi x thuộc lân cận này.
0( ) 0f x
Nếu hàm f(x) liên tục trên đoạn [a,b] và f(a).f(b) < 0, thì
Hệ quả
tồn tại ít nhất một x0 thuộc [a,b] sao cho f(x0) = 0.
Định lý (Bozano- Côsi)
Nếu liên tục trên đoạn [a,b] và f(a) = A, f(b) = B ( )y f x
thì tồn tại sao cho [ , ]C A B 0 ,x a b0( ) .f x C
Các hàm sau đây được gọi là hàm sơ cấp cơ bản:
1/ hàm hằng
Định nghĩa
2/ hàm lũy thừa y x
3/ hàm mũ ; 0, 1xy a a a
4/ hàm logarit log ; ( 0, 1)ay x a a
5/ hàm lượng giác 6/ hàm lượng giác ngược
7/ hàm hyperbolic
Hàm sơ cấp là hàm thu được từ các hàm sơ cấp cơ bản
Định nghĩa
bằng cách sử dụng hữu hạn các phép toán: cộng, trừ,
nhân, chia, khai căn và phép hợp.
1sin3 ln
2y x
x
Hàm sơ cấp liên tục trên miền xác định của nó.
Định lý
là hàm sơ cấp
Vậy nó liên tục trên toàn miền xác định: x > -2.
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ sin
0, ( )x
x f xx
Ví dụ
sin, 0
( )
1, 0
xx
f x x
x
Khảo sát tính liên tục
0 0
sin sinlim 1 lim (0)x x
x xf
x x Tại x = 0:
Hàm liên tục tại x = 0. Vậy hàm liên tục trên R.
là hàm sơ cấp nên liên tục trên MXĐ sin
0, ( )x
x f xx
Ví dụ
sin, 0
( )
1, 0
xx
xf x
x
Khảo sát tính liên tục
0
sinlim 1x
x
x Tại x = 0:
x = 0 là điểm nhảy.
0
sinlim 1x
x
x
Bước nhảy: 0 0 1 ( 1) 2.h f f
Tập xác định:
Ví dụ
1( ) arctanf x
x
Khảo sát điểm gián đoạn
0
1lim arctan
2x x
Tại x = 0:
x = 0 là điểm nhảy.
0
1lim arctan
2x x
Bước nhảy: 0 0 ( ) .2 2
h f f
\ 0fD R
Tập xác định:
Ví dụ
1( ) arctanf x x
x
Khảo sát điểm gián đoạn
0
1lim arctan 0x
xx Tại x = 0:
x = 0 là điểm gián đoạn khử được.
0
1lim arctan 0x
xx
\ 0fD R
Ví dụ
cos( / 2)
, / 2,3 / 2 , 0,sin
( ) , 0
,
x xx x x
x
f x a x
b x
Tìm a, b để hàm liên tục trên / 2;3 / 2
0lim ( )x
f x 0
cos( / 2)lim 1
sinx
x x
x 1.a
lim ( )x
f x
cos( / 2)lim
sinx
x x
x .
2b
2
Ví dụ
2
, | | 1( )
, | | 1
x xf x
x ax b x
Tìm a, b để hàm liên tục trên toàn TXĐ.
1lim ( )x
f x
2
1lim 1x
x ax b a b
1 1.a b
1lim ( )x
f x 1
lim 1 (1)x
x f
1lim ( )
xf x
1lim 1 ( 1)
xx f
1 1.a b
1lim ( )
xf x
2
1lim 1x
x ax b a b
Vậy a = 1, b = -1.
Tập xác định:
Ví dụ ( )sin
xf x
xKhảo sát điểm gián đoạn
không tồn tại. 0
limsinx k
x
x
\ ,fD R k k Z
Tại 0 0 0, 0 :x k k
Các điểm này là các điểm gián đoạn loại hai.
Tại 0 0 :x 0
lim 1sinx
x
x x0 = 0 là điểm gián
đoạn khử được.
Tập xác định: R
Ví dụ
1,( )
xf x
x
laø soá höõu tyû.
0, laø soá voâ tyû.
Khảo sát điểm gián đoạn
Hàm không có giới hạn tại mọi điểm. (Vì sao??)
Tất cả các điểm là những điểm gián đoạn loại hai.
Tập xác định: R
Ví dụ
,( )
x xf x
x
laø soá höõu tyû.
0, laø soá voâ tyû.
Khảo sát điểm gián đoạn
Hàm không có giới hạn tại mọi điểm khác 0.
Các điểm khác không là những điểm gián đoạn loại hai.
0lim ( ) 0 (0).x
f x f
Tại điểm x = 0:
Hàm liên tục tại x = 0.
I) Chứng tỏ rằng các hàm sau không liên tục tại x0
Bài tập
2
1, 01) ( )
, 0
x xf x
x x
0 0x
1, 0
2) ( )
0, 0
xf x x
x
0 0x
2
1, 0
3) ( )
1, 0
xf x x
x
0 0x
4) ( ) sign( 1)f x x 0 1x
II) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng
2
1/( 1), 0
1) ( ) ( 1) , 0 2
1 , 2
x x
f x x x
x x
12) ( )
cosf x
x
| 2 |3) ( )
2
xf x
x
2 3
| 1|4) ( )
xf x
x x
/ 2x n loại hai
x= -2, điểm nhảy, h =2
x= 0: loại hai, x= 1:
điểm nhảy, h = -2
III) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng
arcsin1) ( )
sin 2
xf x
x
2) ( )cos
xf x
x
13) ( )
ln | 1|f x
x
2/(1 )4) ( ) 3x xf x
1/| |5) xy e
x= 0, khử được
/ 2x n loại hai
x= 0, x= 2: loại hai,
x = 1: khử được
x= -1, x= 1: loại hai
x= 0, khử được
IV) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng
2
11) ( ) arctanf x
x
2) ( ) sin( lg( 1))f x x x
1 13) ( ) ln
1
xf x
x x
| |4) ( )
arctan
xf x
x
15)
arctan(1/ )
xy
x
x= 0, khử được
liên tục trên MXĐ
x= 0, khử được
x= 0, điểm nhảy, h=2
x= 0, điểm nhảy, h= 4/
V) Tìm các điểm gián đoạn của đồ thị, phân loại chúng
21) ( ) ln ln(1 )f x x
22) ( ) sign( 2 3)f x x x
1/ 1/
1/ 1/
3 23) ( )
3 2
x x
x xf x
5 / 3 cos4) ( )
tan(arcsin | |)
x xf x
x
15) (sin )siny x
x
x= 0, loại hai
x= -1, điểm nhảy, h = -2
x= 3, điểm nhảy, h = 2
x= 0, điểm nhảy, h = 2
liên tục trên MXĐ
x= 0, khử được
V) Tìm giá trị a để hàm liên tục
(1 ) 1, 0,
1) ( )
, 0
nxx n N
f x x
a x
trên R
cot(2 ), 0,| | / 22) ( )
, 0
x x x xf x
a x
trên ( / 2, / 2)
(arcsin )cot , 03) ( )
, 0
x x xf x
a x
trên (-1,1)
sinh, 0
4)
, 0
xx
y x
a x
trên R
a n
1/ 2a
1a
1a
VI) Chứng minh rằng các pt sau có nghiệm duy nhất
1) 2 1xx
2) 2xx e
23) arctan ; 0x x a a
4) sin 1, 0 1x x
VII) CMR pt có ít nhất hai nghiệm thực 2 4x x
VIII) CMR pt có vô số nghiệm sin 1/ 2x x
IX) CMR pt chỉ có một nghiệm 110x x 0 1.x