graduado en ingenierÍa y ciencia...

GRADUADO EN INGENIERÍA Y CIENCIA AGRONÓMICA

GRADUADO EN INGENIERIA ALIMENTARIA

GRADUADO EN INGENIERÍA AGROAMBIENTAL

Introducción al cálculo vectorial

Magnitudes escalares y vectoriales

Tipos de vectores

Operaciones con vectores libresOperaciones con vectores libres

Momento de un vector deslizante respecto a un punto

Momento de un vector deslizante respecto a un eje

Magnitud perfectamente definida por su valornumérico

Abstractas. No tienen unidades: índice de

Magnitudes escalares

Magnitudes escalares y vectoriales

Abstractas. No tienen unidades: índice derefracción, rendimiento

Concretas. Tienen unidades:masa (kg),temperatura (K)

Magnitud perfectamente definida cuando seconoce, además de su valor numérico, ladirección sobre la que actúa y sentido: velocidad

Magnitudes vectoriales

dirección sobre la que actúa y sentido: velocidad(m/s), fuerza (N), momento de una fuerza (N·m),...

Libres: Se conoce módulo, dirección y sentido.Punto de aplicación es cualquiera en el espacio.

Tipos de vectores

Dos vectores libres son iguales si sonsuperponibles mediante una traslación en elespacio

Deslizantes: Se conoce módulo, dirección, sentidoy recta soporte. El punto de aplicación escualquiera sobre la recta soporte.

Tipos de vectores

Dos vectores deslizantes son iguales si son superponibles mediante un deslizamiento a lo largo de la recta soporte

Localizados: Se conoce módulo, dirección, sentido y punto de aplicación.

Tipos de vectores

Dos vectores localizados sólo pueden ser iguales a sí mismos

Representación vectorial 2D

vr

Y

αβ

cosv αr

cosv βr

X

Representación vectorial 3D

vr

cosv γr

Z

βγ

cosv αr

cosv βr

cosv γ

X

Y

Componentes de un vector

Proyección del vector sobre un eje

vr

α

v

cosv αr

Vectores unitarios

Un vector unitario es un vector sin unidades de módulounidad; se utilizan para especificar la dirección y sentido

El vector unitario que especifica la dirección y sentido deun vector se calcula mediante el cociente entre dichovector y su módulo

Vectores unitarios

Los vectores unitarios, sobre los ejes cartesianos seexpresan por

, ,i j krr r

, ,i j k

Operaciones con vectores libresOperaciones con vectores libres

Suma gráfica de vectores

Regla del paralelogramo (2 vectores)

Br

A B C+ =r rr

El vector suma es la diagonal del paralelogramoformado por los dos vectores

Ar

Cr


Br

A B C+ =r rr

En el extremo del primero se sitúa el origen del segundo

La suma es un vector cuyo origen es el origen del primero ysu extremo es el extremo del segundo

Ar

B


Cuando se tienen muchosvectores se repite el procesohasta que se incluyen todoslos vectores

Dr

Ar

Br

Cr

A B C D+ + +r rr r

Suma de vectores. Componentes

La proyección del vectorsuma sobre un eje, es lasuma de las proyeccionesde los vectores sobredicho eje

Ar

Br

A

yB

x x xC A B= +

y y yC A B= +

ACr

xA

yA

xB

Propiedades de la suma. Conmutativa

A B B A+ = +r rr r

Rep

rese

ntac

ión

gráf

ica

Ar

Rep

rese

ntac

ión

gráf

ica

Ar

Br

Br

Propiedades de la suma. Asociativa

( ) ( )A B C A B C+ + = + +r r r rr r

Cr

Cr

Representación gráficaAr A

rBr B

rA B+r r

C C

B C+rr ( )A B C+ +

r rr

( )A B C+ +r rr

Multiplicación de un vector por un escalar

El resultado es un vector cuyo módulo es el producto delescalar por el módulo del vector

Si el escalar es positivo, la dirección y sentido son losmismos que los del vector original

Si el escalar es negativo, la dirección del resultado es lamisma que la del vector original, pero su sentido esopuesto

A

n vr

nvr

n>0n>0

Multiplicación de un vector por un escalar

O

A n>0

nvr

n<0

1vr

vr

α

Producto escalar de dos vectores

Es un escalar

2v

1 2 1 2· cosv v v v α=r r r r

El valor del producto escalar de dosvectores es el producto de los módulospor el coseno del ángulo que forman losvectores

1. Conmutativa

1 2 2 1v v v v⋅ = ⋅r r r r

1. Conmutativa

1221 vvvvrrrr ⋅=⋅

Propiedades del producto escalar

( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1n v v nv v nv v⋅ = ⋅ = ⋅r r r r r r

1221 vvvv ⋅=⋅

2. Asociativa respecto al producto por un escalar

( ) ( ) ( ) 122121 vvnvvnvvnrrrrrr ⋅=⋅=⋅

3. Distributiva respecto a la suma de vectores

( )1 2 3 1 2 1 3v v v v v v v⋅ + = ⋅ + ⋅r r r r r r r


( )1 2 3 1 2 1 3v v v v v v v⋅ + = ⋅ + ⋅

4. No asociativa respecto a productos escalares sucesivos

( ) ( )1 2 3 1 2 3v v v v v v⋅ ⋅ ≠ ⋅ ⋅r r r r r r

1i i⋅ =r r

1j j⋅ =r r

1k k⋅ =r r

0i j⋅ =r r

0i k⋅ =rr

0j k⋅ =rr


( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 2

1 2 1 2 1 2

x y z x y z

x y y y z z

v v v i v j v k v i v j v k

v v v v v v

⋅ = + + ⋅ + + =

= + +

r rr r r rr r

21 vvrr ∧

vr

Producto vectorial de dos vectores

Es un vector: Módulo es elproducto de los módulos por elseno del ángulo quedeterminan; la dirección,perpendicular a ambos

1vr

2vr

perpendicular a ambosvectores y el sentido sedetermina por la regla de lamano derecha

1vr

d

Producto vectorial. Módulo

El módulo representa el área del paralelogramo que determinan

1 2 1 2 1 1 2 2senArea v v v v v d v dϕ= ∧ = = =r r r r r r

1

d1

2vr

d2

1. No conmutativa

( )1 2 2 1v v v v∧ = − ∧r r r r

Propiedades del producto vectorial

2. Asociativa respecto al producto por un escalar

( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 1n v v nv v nv v∧ = ∧ = ∧r r r r r r

3. Distributiva respecto a la suma de vectores

( )1 2 3 1 2 1 3v v v v v v v∧ + = ∧ + ∧r r r r r r r


4. No asociativa respecto a productos vectoriales sucesivos

( ) ( )1 2 3 1 2 3v v v v v v∧ ∧ ≠ ∧ ∧r r r r r r

0i i∧ =rr r

0j j∧ =rr r

0k k∧ =r r r


i j k∧ =rr r

j i k∧ = −rr r

j k i∧ =rr r

k j i∧ = −r r r

k i j∧ =r r r

i k j∧ = −rr r

( ) ( )1 2 1 1 1 2 2 2x y z x y zv v v i v j v k v i v j v k∧ = + + ∧ + + =r rr r r rr r

1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1( ) ( ) ( )y z y z x z x z x y x yi v v v v j v v v v k v v v v= − − − + − =rr r


1 1 1

2 2 2

x y z

x y z

i j k

v v v

v v v

=

rr r

1 2 3·( )v v v∧r r r

r3vr1v

r

2 3v v∧r r

Producto mixto: Volumen del paralelepípedo

2vr

1 cosv hϕ =r

1vr

2 3v v∧r r2vr

3vr

2 3v v∧

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3x y z x y z x y zv v v v i v j v k v i v j v k v i v j v k ⋅ ∧ = + + ⋅ + + ∧ + +

r r rr r r r r rr r r

Producto mixto

( )1 1 1

2 3 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

cosx y z

x y z x y z x y z

x y z x y z

i j k v v v

v v v v i v j v k v v v v v v

v v v v v v

ϕ∧ = + + =

rr r

rr rr r r

( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3x y z x y z x y zv v v v i v j v k v i v j v k v i v j v k ∧ ∧ = + + ∧ + + ∧ + +

r r rr r r r r rr r r

Doble producto vectorial

( ) ( ) ( )1 2 3 2 1 3 3 1 2v v v v v v v v v∧ ∧ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅r r r r r r r r r

O

Momento del vector deslizante respecto a Ovr


O

A

OM OA v= ∧uuurr r

vr

O

A

vr


Vector localizado en O

Perpendicular al plano que determinan los vectores y OA

uuurvr

AMódulo: el área que determinan losvectores

Sentido, el de avance de un tornilloque gira del primero al segundo

OM OA v= ∧uuurr r

1. El momento de un vector respecto a un punto es único es independiente de la posición del vector a lo largo de la recta soporte


2. El momento de un vector respecto a un punto de la recta soporte es nulo

3. Conociendo el momento respecto a un punto se puede conocer respecto a otro (ec. Cambio de momentos

O

A

vr

B M OA v OB v OC v= ∧ = ∧ = ∧uuur uuur uuurr r r r

1. Independiente de la posicióndel vector deslizante sobre larecta soporte


B

C

( )OB v OA AB v OA v AB v∧ = + ∧ = ∧ + ∧uuur uuur uuur uuur uuurr r r r

( )OC v OA AC v OA v AC v∧ = + ∧ = ∧ + ∧uuur uuur uuur uuur uuurr r r r

OM OA v OB v OC v= ∧ = ∧ = ∧

O

A

vr

2. El momento respecto a unpunto de la recta soporte esnulo


A

B

C 0BM BA v= ∧ =uuur rr r

El producto vectorial de dos vectores paralelos es nulo

O

A

3. Ecuación del cambio de momento

vr

M OA v= ∧uuurr r


A OM OA v= ∧ r

BC

( )( )CM v OA v OC CA v OC v CA v= ∧ = + ∧ = ∧ + ∧uuur uuur uuur uuur uuurr r r r r r

( ) ( )C OM v M v CA v= + ∧uuurr rr r r

El momento de una fuerza respecto a un punto es elproducto vectorial del vector que une el centro demomentos y el origen de la fuerza y el vector fuerzaaplicada.

Momento de una fuerza respecto a un punto

Es perpendicular al plano formado por los dosvectores

Momento de un vector deslizante respecto a un eje

Proyección sobre un ejedel momento de unvector respecto a unpunto de la recta

OMr

O

Avr

rectaOOax uMMMrrr

·cos == ϕ

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