GruppeteoriAbstrakt gruppeteori

Noter ved Jørn B. Olsson

Version 2009

.. what wealth, what a grandeur of thought may spring from whatslight beginnings. (H.F. Baker on gruppebegrebet)

1

INDHOLD:

1. Lidt om normale og karakteristiske undergrupper. Frattini argumentet2. Om produkter af undergrupper

3. Hall undergrupper og komplementer4. Semidirekte produkter.

5. Undergrupper og Verlagerung6. Fokale undergrupper, Gruns sætninger, Z-grupper

7. Grupper af en given endelig orden8. Frattini undergruppen. Nilpotente grupper. Fitting undergruppen

9. Endelige p-grupper

2

1. Lidt om normale og karakteristiskeundergrupper. Frattini argumentet

G1 - 2009-version.

Vi minder om nogle begreber, som delvist er kendte i forvejen fra Matem-atik 2AL eller Matematik 3 AL. Gruppeteorinoterne fra Algebra 3 omtalessom GT3 i disse noter. Faktisk er en væsentlig del af dette Kapitel ogsabehandlet i GT3.

En bijektiv homomorfi α af en gruppe G pa sig selv kaldes en automorfiaf G. Afbildningen α opfylder altsa

∀g1, g2 ∈ G : α(g1g2) = α(g1)α(g2)

∀g ∈ G : α(g) = 1⇒ g = 1

∀g′ ∈ G∃g ∈ G : α(g) = g′.

I dette tilfælde er den inverse afbildning α−1 to α ogsa en automorfi. Detses herfra, at mængden Aut(G) af automorfier af G danner en gruppe medsammensætning af afbildninger som komposition.

Vi lader sa Auti(G) betegne undergruppen af Aut(G) bestaende af deindre automorfier af G: For ethvert g ∈ G defineres ved

κg(h) := ghg−1, h ∈ G

en indre automorfi af G. Det er let at se at for alle g1, g2 ∈ G er κg1 ◦ κg2 =κg1g2 . Specielt er κg−1 invers afbildning til κg for alle g ∈ G, sa mangden afκg’er danner en undergruppe Auti(G) af Aut(G).

Lad H være en undergruppe af gruppen G. H kaldes normal undergruppei G, hvis der gælder

∀g ∈ G, h ∈ H : ghg−1 ∈ H.

Dette kan ogsa udtrykkes som

∀α ∈ Auti(G), h ∈ H : α(h) ∈ H,

altsa at enhver indre automorfi af G afbilder H i sig selv. Vi skriver H �G,hvis H er normal undergruppe af G. H kaldes karakteristisk undergruppe iG, hvis der gælder

∀α ∈ Aut(G), h ∈ H : α(h) ∈ H.

3

Det betyder, at enhver automorfi α af G afbilder H i sig selv. Vi skriverH char G, hvis H er en karakteristisk undergruppe af G.

(1A) Sætning: (Vigtige egenskaber for � og char) Lad H og K være un-dergrupper i gruppen G. Da gælder

(1) H char G⇒ H �G(2) H char K og K char G⇒ H char G(3) H char K og K �G⇒ H �G

Bevis (1) Følger fra det ovenstaende.(2) Lad α ∈ Aut(G). Lad α′ være indskrænkningen af α til K, altsa α′(k) =α(k) for alle k ∈ K. Sa er α′ ∈ Aut(K), da K char G. Da H char K gælderα′(h) ∈ H for alle h ∈ H. Men sa er α(h) = α′(h) ∈ H for alle h ∈ H.(3) Hvis g ∈ G, sa er indskrænkningen k′g af den indre automorfi kg til K enautomorfi af K, da K �G. Da H char K gælder

ghg−1 = kg(h) = k′g(h) ∈ H for alle h ∈ H .

�

(1B) Bemærkning: Der gælder ikke

H �K , K �G ⇒ H �G

H �K , K char G ⇒ H �G.

I begge tilfælde vil følgende være et modeksempel i den alternerende gruppeaf grad 4:

G = A4

K = {(1), (1, 2)(3, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 3)(2, 4)}, H = {(1), (1, 2)(3, 4)}.K kaldes Klein’s firegruppe. (Omtalt i GT3). �

Hvis M er en delmængde af gruppen G, sa betegner 〈M〉 den af M frem-bragte undergruppe af G. 〈M〉 er defineret ved

〈M〉 =⋂

{U |U undergruppe af G, M⊆U}

U.

og er altsa den mindste undergruppe af G som indeholder alle M ’s elementer.Der gælder, at 〈M〉 netop indeholder de elementer g ∈ G, for hvilke dereksisterer n ∈ N og elementer x1, · · · , xn, som opfylder:

4

(1) g = x1x2 · · ·xn(2) Enten er xi ∈M eller x−1

i ∈M.

Overvej dette! (Se ogsa GT3).

(1C): Eksempler pa og bemærkninger om visse karakteristiske undergrup-per. Ved anvendelse af den ovenstaende beskrivelse af den af delmængdenM frembragte undergruppe 〈M〉 af G ses let, at hvis M er “lukket underautomorfier af G”, sa er 〈M〉 char G:

Antag, at M er en delmængde af G, saledes at ∀α ∈ Aut(G) ∀m ∈ M :α(m) ∈M . Sa er 〈M〉 char G.

Der findes mange eksempler pa delmængder af G som er “lukkede underautomorfier”. Vi giver nu nogle eksempler derpa. (Jeg minder om, at nar per et primtal, sa er et p−element i en gruppe et element af endelig p−potens-orden.) Her er eksemplerne:

• E(G) = {m ∈ G | |m| endelig}

• Pp(G) = {m ∈ G | m er et p− element}

• Dp(G) = {m ∈ G | |m|endelig, p - |m|}

• K(G) = {m ∈ G | ∃ a, b ∈ G : m = [a, b]}.

Her er [a, b] = aba−1b−1 kommutatoren af a og b. Bemærk, at 〈K(G)〉 =G′, G’s kommutatorgruppe. (Se GT3).

Hvis G er abelsk, sa er E(G) netop G’s torsionsundergruppe GT (ogsakaldet torsionen af G). I dette tilfælde er faktisk E(G) = 〈E(G)〉.

Hvis G er en endelig gruppe med en p–Sylow gruppe P , som opfylderP �G, sa er

P = Pp(G).

Lad os bevise dette. Sylows sætninger er formuleret og bevist i GT3. Inklusio-nen ⊆ er opfyldt, da P ’s elementer er p–elementer. Lad m være et p–elementi G. Ifølge Sylows 2. sætning findes en p–Sylow gruppe Q af G med m ∈ Q.Der findes ifølge Sylows 1. sætning et element g ∈ G sa gPg−1 = Q, men daP �G fas P = Q, altsa m ∈ P .

Vi har hermed ogsa vist, at hvis P � G er en p–Sylow gruppe, sa erP char G.

5

Generelt er i en endelig gruppe 〈Pp(G)〉 den mindste normale undergruppei G, som indeholder en (og dermed alle) af G’s p–Sylow grupper. Denneundergruppe betegnes som regel med Op′(G). Tilsvarende er i en endeliggruppe 〈Dp(G)〉 den mindste normale undergruppe i G, hvis indeks i G er enp–potens. Denne undergruppe betegnes som regel med Op(G). Et bevis fordette gives i Sætning (2H). �

Vi benytter nogle af de ovenstaende bemærkninger i beviset for denfølgende sætning.

En gruppe G kaldes elementær abelsk, hvis G er abelsk og der findes etprimtal p, saledes at xp = 1 for alle x ∈ G. For definitionen af en opløseliggruppe henvises til GT3.

(1D) Sætning: Lad N være en minimal normal undergruppe i den endeligeopløselige gruppe G. Sa er N elementær abelsk.

Bevis: Lad N være minimal normal i G. Det betyder, at N 6= {1}, N �G,og at hvis {1} 6= M �G, M ⊆ N sa er M = N . Da N er opløselig og N 6= 1er N ′ 6= N . Sa N ′ char N �G⇒ N ′ �G, ifølge Sætning (1A). Vi far altsaN ′ = {1}, sa N er abelsk. Lad P være en p–Sylow gruppe i N , hvor p | |N |.Sa er {1} 6= P char N �G⇒ P �G⇒ P = N . Lad M = {x ∈ N | xp = 1}.Sa er {1} 6= M en undergruppe af G, M char N ⇒M �G⇒M = N . Mensa er M = N elementær abelsk. �

6

Om Frattini argumentet

Vi vil flere gange, især i induktive beviser, fa brug for en elementær, menmeget nyttig, konsekvens af Sylows sætninger.

Hvis H, P ⊆ G er undergrupper, sa kaldes

NH(P ) = {h ∈ H | hPh−1 = P}

for P ’s normalisator i H. Det er klart, at denne normalisator er en under-gruppe af H. Endvidere er P�NG(P ) og der gælder, at P�G⇔ NG(P ) = G.Hvis H og K er undergrupper af G, sa definerer man deres “produkt”HK = H ·K som delmængden

HK = {g ∈ G | ∃h ∈ H, k ∈ K : g = hk}.

(Se kapitel 2 for nærmere detaljer.)

(1E) Sætning: (Frattini argumentet) Lad G være endelig, H � G. Lad Pvære en p–Sylow gruppe i H. Der gælder

G = HNG(P ).

Bevis: Inklusionen k er triviel. Lad g ∈ G. Vi har gPg−1 j H, da H �Gog P ⊆ H. Da |P | = |gPg−1|, sa er gPg−1 en p–Sylow gruppe i H (!) Derfindes altsa ifølge Sylow’s 1. sætning et h ∈ H, sa

gPg−1 = hPh−1.

Sa er(h−1g)P (h−1g)−1 = h−1(gPg−1)h = P

altsa h−1g ∈ NG(P ). Dermed er g = h(h−1g) ∈ H ·NG(P ), som ønsket. �

Vi kan anvende Frattini argumentet til at bevise

(1F) Sætning: Lad P være en p–Sylow gruppe i G. Lad K være en under-gruppe i G, saledes at NG(P ) ⊆ K. Sa er K = NG(K).

Bevis: Lad L = NG(K), sa K � L. Da P ⊆ NG(P ) ⊆ K, er P en p–Sylowgruppe i K. Frattini argumentet anvendt pa G = L, H = K viser, at

L = KNL(P ).

Men NL(P ) ⊆ NG(P ) ⊆ K, sa vi far L j K, altsa L = K. �

7

2. Om produkter af undergrupperG2 - 2009-version

Hvis H og K er undergrupper af G, sa kan man, som vi har set, dannedelmængden

HK = H ·K = {g ∈ G|∃h ∈ H, k ∈ K : g = hk}

I almindelighed er HK ikke en undergruppe i G. Det ses let, at

HK er en undergruppe⇔ HK = KH.

Specielt fas: Hvis H �G, sa er HK en undergruppe. I dette tilfælde er detkendt, at

HK/H ' K/K ∩Hsaledes at specielt |HK/H| = |K : H ∩ K| eller |HK| = |H| |K|/|H ∩ K|,nar G er endelig. Men dette gælder generelt:

(2A) Sætning: Lad H og K være undergrupper af den endelige gruppe G.

(1) Der gælder for delmængden HK, at

|HK| = |H| |K|/|H ∩K|.

Specielt gælder|HK| | |H| |K|.

(2) Der gælder|G : H ∩K| ≤ |G : H| |G : K|.

(3) Hvis HK er en undergruppe af G, sa gælder det stærkere udsagn

|G : H ∩K| | |G : H| |G : K|.

Bevis: Det er klart, at mængden HK er en foreningsmængde af højre-sideklasser til H pa formen Hk, k ∈ K. Hvis k1, k2 ∈ K gælder Hk1 =Hk2 ⇔ k1k

−12 ∈ H ⇔ k1k

−12 ∈ H ∩ K ⇔ (H ∩ K)k1 = (H ∩ K)k2. Heraf

følger, at antallet af højresideklasser til H, som er indeholdt i HK, er lig|K : H ∩K|, altsa

|HK : H| = |K : H ∩K|,

8

sa (1) er vist.Da HK ⊆ G er |HK| ≤ |G| og sa viser (1), at |H| |K|/|H ∩K| ≤ |G|.

Ved at dividere denne ulighed med |H||K| og gange den med |G| fas (2).Udsagnet (3) bevises analogt til (2), idet vi dog nu ved, at |HK| | |G|,

fordi HK antages at være en undergruppe. �

(2B) Sætning: Hvis H og K er undergrupper af den endelige gruppe G, oghvis (|G : H|, |G : K|) = 1, sa gælder G = HK.

Bevis: Vi viser |G| | |HK|. Da |HK| ≤ |G| fas sa |HK| = |G|, altsaG = HK. Lad p være et primtal, p | |G|. Ifølge antagelsen gælder entenp - |G : H| eller p - |G : K|. Da |G| = |G : H| |H| = |G : K| |K| fas heraf,at H eller K indeholder en p–Sylow gruppe P for G. Hvis P ⊆ H gælder|P | | |H| | |HK| ifølge (2A). Hvis P ⊆ K gælder |P | | |K| | |HK| ifølge (2A).Under alle omstændigheder fas |P | | |HK|. Da p var en vilkarlig primdivisori |G| fas |G| | |HK|, som ønsket. �

Definition: Lad |G| = pam, (p,m) = 1. En undergruppe M af G med|M | = m kaldes et p–Sylow komplement i G. (M er en p′–Hall undergruppe.Se Kapitel 3.) Mængden af p–Sylowgrupper i G betegnes Sylp(G).

(2C) Korollar: Hvis P ∈ Sylp(G) og hvis M er et p–Sylow komplement iG, sa gælder

G = PM, P ∩M = {1}.

Bevis: Anvend (2B) med H = P , K = M til at vise G = PM . Da(|P |, |M |) = 1 fas umiddelbart, at P ∩M = {1}. �

Bemærkninger: 1. Som næste kapitel viser, behøver en gruppe G ikke in-deholde p–Sylow komplementer. Der gælder imidlertid, at hvis P ∈ Sylp(G),P �G, sa indeholder G et p–Sylow komplement. Dette er et specielt tilfældeaf Schur–Zassenhaus’ sætning, som bevises i Kapitel 3.2. Helt generelt kalder vi undergruppen K i G et komplement til undergrup-pen M , hvis der gælder

G = MK og M ∩K = {1}.

(2D) Sætning: Lad H og K være undergrupper af den endelige gruppeG. Hvis det mindste fælles multiplum (mfm) af |H| og |K| er |G| gælderHK = G.

9

Bevis: Generelt har vi, at da |H| | |G|, |K| | |G|, sa ma mfm(|H|, |K|) ||G|. Ifølge (2A) gælder |H| | |HK| og |K| | |HK|, og derfor gælder

|G| = mfm(|H|, |K|) | |HK|.

Heraf fas sætningen umiddelbart. �

(2E) Sætning: Lad |G| = p1a1 · · · prar , hvor pi 6= pj, i 6= j er primtal. Lad

I ⊆ {1, . . . , r}, saledes at der for alle i ∈ I gælder, at G har et pi–Sylowkomplement Ki. Sa gælder |

⋂i∈IKi| =

∏j /∈I

pjaj .

Bevis: Induktion efter |I|. For |I| = 1 er det definitionen. Antag, atsætningen er vist for delmængder I ′ ⊆ I, I ′ 6= I. Lad I = I∗ ∪ {k}, k /∈ I∗.Sa er K∗ =

⋂i∈I∗

Ki. Ifølge induktionsantagelsen er |K∗| = pkak∏j /∈I

pjaj . Da

|Kk| =∏j 6=k

pjaj ser vi, at mfm (|K∗| , |Kk|) = |G|. Ifølge (2A) er |G| =

|K∗| |Kk|/|⋂i∈IKi|. Heraf fas pastanden ved en let udregning. �

Her en endnu en lille anvendelse af (2A):

(2F) Sætning: Lad G være endelig og Q j N �G. Lad p være et primtal.Der gælder

Q ∈ Sylp(N)⇔ ∃P ∈ Sylp(G) : Q = P ∩N.

Bevis: ⇒ Lad Q ∈ Sylp(N). Sa er specielt Q en p–undergruppe i G. Vælg,ifølge Sylows 2. sætning, P ∈ Sylp(H), sa Q ⊆ P . Nu er P ∩ N en p–undergruppe af N , som indeholder Q. Da Q er en p–Sylow gruppe i N , fasQ = P ∩N .⇐ Lad P ∈ Sylp(G), og sæt Q = P ∩N . Vi har ifølge (2A)

|N : Q| = |N : P ∩N | = |N |/|P ∩N | = |NP |/|P | = |NP : P |

som gar op i |G : P |. Da P ∈ Sylp(G) gælder, at p - |G : P |, og derfor gælderp - |N : Q|. Da Q er en p–undergruppe i N , fas Q ∈ Sylp(N) �

(2G) Sætning: Lad G være endelig, N � G. Antag, at K er et p–Sylowkomplement i G. Sa er N ∩K et p–Sylow komplement i N , og KN/N er etp–Sylow komplement i G/N .

Bevis: Det første udsagn bevises analogt til beviset for (2F)⇐. Da |KN/N | ||K| er |KN/N | prim til p. Pa den anden side er PN/N en p–undergruppe

10

af G/N , og da (KN)(PN) = KP = G, er (KN/N)(PN/N) = G/N . Heraffølger pastanden. �

Vi kan ogsa bruge de ovenstaende resultater til at uddybe pastandene i(1C) fra Kapitel 1. Den næste sætning omhandler fx. 〈Dp(G)〉 fra (1C).

(2H) Sætning: Lad G være endelig, p et primtal og D := 〈g ∈ G | p - |g|〉.Sa er D er en karakteristisk undergruppe af G og D er den mindste normaleundergruppe i G hvis indeks i G er en p-potens.

Bevis: Vi har set i (1C), at D char G. Specielt er D�G. Lad P ∈ Sylp(G).Vi pastar at DP = G. Hvis q 6= p er et primtal og q | |G|, sa indeholderD en q-Sylow gruppe Q for G, idet alle g ∈ Q opfylder p - |g|. Dermed fasDP = G (anvend f.eks. (2D)). Sa er |G : D| = |P : P ∩D| en p-potens.

Antag nu, at N � G og at |G : N | er en p-potens. Vi skal sa vise, atD ⊆ N . Det er tilstrækkeligt at vise, at hvis g ∈ G, p - |g|, sa er g ∈ N .Betragt sideklassen g = gN som element i faktorgruppen G = G/N . Da|g| | |g| og p - |g| ma p - |g|. Hermed har |g| pa den ene side en orden primtil p, og pa den anden side en orden, der er en p-potens, da G har p-potensorden. Vi far |g| = 1, dvs g ∈ N .

Undergruppen D fra (2H) betegnes som nævnt i (1C) med Op(G). Denindgar som en af fire karakteristiske undergrupper af den endelige gruppe G,associeret til et primtal p.

Lad p være et primtal. En p-gruppe er en gruppe af p-potens orden.En p′-gruppe er en gruppe af orden prim til p. Tilsvarende tales om p- ogp′-elementer. Det følgende er kun interessant, hvis p | |G|. Vi definerer

• Op(G) er den mindste normale undergruppe i G, hvis index |G : Op(G)|er en potens af p.

• Op(G) er den største normale undergruppe i G, hvis orden |Op(G)| eren potens af p (p-undergruppe).

• Op′(G) er den mindste normale undergruppe iG, hvis index |G : Op′(G)|er prim til p.

• Op′(G) er den største normale undergruppe i G, hvis orden |Op′(G)| erprim til p (p′-undergruppe).

11

Her er det selvfølgelig ikke klart, at undergrupperne ovenfor er velde-finerede. Hvad menes der med mindste/største? Det kunne være med hen-syn til deres orden (antal elementer) eller med hensyn til inklusionsorden. Itilfældet med disse undergrupper er det faktisk ligegyldigt hvilken af disseordensrelationer vi vælger pa undergrupperne, som vi skal se om et øjeblik.Det skal selvfølgelig ogsa undersøges, om det ovenstaende er i overensstem-melse med bemærkningerne om Op(G) og Op′(G) i (1C). Der vil blive klart(hvis det ikke allerede er det!), at der er tale om karakteristiske undergrupperi G.

Lad os for en ordens skyld nævne, at hvis p - |G|, sa er det eneste p-element i |G| det neutrale element 1. Vi far i sa tilfælde, atOp(G) = Op′(G) =G og Op(G) = Op′(G) = {1}. Man kan overveje, hvordan dette passer medsætning (2M) nedenfor.

Hvis H og K er undergrupper af G og mindst en af dem er en normalundegruppe i G, sa er HK igen en undergruppe, som nævnt i begyndelsenaf dette kapitel. Vi kan sa anvende hele Sætning (2A). Hvis H og K beggeer normale, sa er HK og H ∩K igen normale. Hvis for eksempel |G : H| og|G : K| begge er prim til p, sa følger fra sætning (2A)(3), at |G : H ∩K| erprim til p. Derfor ma ogsa fællesmængden af alle normale undergrupper i G,hvis index er prim til p være en normal undergruppe med samme egenskab.Denne undergruppe er sa Op′(G). Tilsvarende kan man argumentere for deandre undergrupper. Eksempelvis er HK en normal p′-undergruppe af G,hvis bade H og K er det, fordi |HK| | |H| |K|, ifølge (2A)(1). Derforer produktet af alle sadanne undergrupper en normal p′-undergruppe, altsaOp′(G).

Vi har nu :

(2I) Sætning: Undergruppen Op(G) kan beskrives pa følgende ækvivalentemader

(1) Op(G) =⋂{A�G| |G:A| er p−potens}A

(2) Op(G) = 〈g ∈ G | g p′ − element〉

(3) Op(G) = 〈Q | Q ∈⋃{q primtal 6= p} Sylq(G)〉

(4) Op(G) = 〈Q | Q p′ − undergruppe af G〉

(2J) Sætning: Undergruppen Op′(G) kan beskrives pa følgende ækvivalentemader

12

(1) Op′(G) =⋂{A�G | p - |G:A|}A

(2) Op′(G) = 〈g ∈ G | g p− element〉

(3) Op′(G) = 〈P |P ∈ Sylp(G)〉

(4) Op′(G) = 〈P |P p− undergruppe af G〉

(2K) Sætning: Undergruppen Op(G) kan beskrives pa følgende ækvivalentemader

(1) Op(G) = 〈A�G |A er p− undergruppe〉

(2) Op(G) =⋂P ∈ Sylp(G) P

(2L) Sætning: Undergruppen Op′(G) kan beskrives pa følgende made

(1) Op′(G) = 〈A�G |A p′ − undergruppe〉

Bevis for sætningerne: At grupperne er beskrevet ved egenskaben (1)følger fra Sætning (2A), som forklaret ovenfor i tilfældene Op′(G) og Op′(G).

Bevis for (2I): I sætning (2H) er det vist, at (1) og (2) er ækvivalente. LadX = 〈Q | Q ∈

⋃{q primtal 6= p} Sylq(G)〉. Da elementerne i hver frembringende

undergruppe Q for X bestar af p′-elementer, viser (2) at X ⊆ Op(G). Paden anden side er X �G, da mængden af frembringende undergrupper Q erlukket under konjugation. Da X indeholder q-Sylow grupper for G for alleprimtal q 6= p, kan intet primtal q 6= p ga op i |G : X|. Sa |G : X| er enp-potens og derfor Op(G) ⊆ X. Det ses let at beskrivelserne (2) og (4) erækvivalente. (Overvej dette.)

Bevis for (2J): Dette er en øvelsesopgave! Hints vil givet i kursets førsteopgavesæt.

Bevis for (2K): Lad X =⋂P ∈ Sylp(G) P. Antag at A � G er en p-gruppe.

Lad P ∈ Sylp(G). Sa har undergruppen AP ogsa p-potensorden ifølge (2A).Da P er en Sylowgruppe fas AP = P, dvs. A ⊆ P. Vi ser altsa at A ⊆ X.Heraf fas ifølge (1) at Op(G) ⊆ X. Da mængden af p-Sylowgrupper er lukketunder konjugation er X �G. Vi far X ⊆ Op(G).

Fra beskrivelserne (1) i de fire sætninger er det klart, at vi har at gøremed karakteristiske undergrupper af G.

13

Man kan selvfølgelig kombinereOp, Op′ , Op, Op′ . For eksempel erOp(Op′(G))lig Op(H), hvor H = Op′(G). Denne undergruppe betegnes ogsa Opp′(G).Man kan sa fortsætte med Op′pp′(G), etc. og fa stadig mindre undergrupperaf G. Hvis vi pa et eller andet tidspunkt i denne kæde nar den trivielle under-egruppe {1}, kaldes G p-opløselig. Analogt kan man betragte undergruppersom Op′p(G) = Op′(Op(G)). Det er let at se, at Op′(Op′(G)) = Op′(G) ogOp(Op(G)) = Op(G).

(2M) Sætning:

(1) Der gælder Op′(G) ⊆ Op(G) og Op(G) ⊆ Op′(G).

(2) Op′(G) = Op(G)⇔ G har et normalt p-komplement.

(3) Op(G) = Op′(G)⇔ G har en normal p-Sylowgruppe.

Bevis: (1) Da p - |Op′(G)| viser (2I)(4), at Op′(G) ⊆ Op(G). Den andeninklusion i (1) følger fra (2J)(4).

(2) ⇒: Antag at Op′(G) = Op(G) = K. Vi pastar, at K er et normaltp-komplement i G. Skriv |G| = pam, hvor p - m. Det følger fra (2I)(3), atm | |Op(G)| = |K|. Men da K ogsa er lig Op′(G), som er en p′-gruppe, mam = |K|. Dermed er K et normalt p-komplement.⇐: Hvis K er et normalt p-komplement i G, sa ses let, at K = Op(G) =

Op′(G).(3) Skriv igen |G| = pam. Hvis Op(G) = Op′(G) = P, sa er P en normal

p-Sylowgruppe i G : Da |G : Op′(G)| | m, ma pa | |Op′(G)| = |P |. DaP = Op(G) er en p-gruppe, fas |K| = pa. Omvendt, hvis P er en normalp-Sylowgruppe i G, sa er P = Op(G) = Op′(G).

Den sidste del af dette kapitel er en forberedelse til senere kapitler, bl.a.Kapitel 3.

Definition: Lad M være en undergruppe i G. En delmængde X ⊆ G kaldes(venstre-)transversal til M i G hvis G =

⋃x∈XxM. saledes at X indeholder

præcis et element fra hver sideklasse til M i G. Bemærk, at der gælderG = XM og |X| = |G : M |. Hvis M har et komplement i G, sa er dettekomplement ogsa en transversal til M i G. Vi vil senere fa brug for dennesætning:

(2N) Sætning: Lad N ⊆ M ⊆ G være undergrupper. Hvis X er entransversal for M i G og Y en transversal for N i M , sa er XY en transversalfor N i G.

14

Bevis: Vi har M =⋃y∈Y yN og G =

⋃x∈XxM , hvoraf

G =⋃

x∈XxM =

⋃x∈X

x(⋃

y∈YyN) =

⋃t∈XY

tN.

Det har ogsa mening at tale om en højretransversal til en undergruppeaf G. X ⊆ G er en højretransversal til undergruppen M ⊆ G hvis G =⋃x∈XMx.

Vi har i analogi med (2N)

(2O) Sætning: Lad N ⊆ M ⊆ G være undergrupper. Hvis X er enhøjretransversal for M i G og Y en højretransversal for N i M , sa er Y Xen højretransversal for N i G. �

Bemærkning: 1◦. X er en (venstre-)transversal til M i G ⇔ X−1 er enhøjretransversal til M i G. Vi har jo (xM)−1 = Mx−1.

2◦. Hvis M � G, sa er en højretransversal X til M i G ogsa en venstre-transversal og omvendt. Hvis undergruppenM ikke er normal iG, sa kan manaltid finde en (venstre-)transversal til M i G, som ikke er en højretransversaltil M i G. (Øvelsesopgave).

15

3. Hall undergrupper og komplementerG3 - 2009-version

I dette kapitel betragtes kun endelige grupper. Lad altsa G være enendelig gruppe.

Definition: En undergruppe H i G kaldes en Hall undergruppe, hvis dergælder

(|H| , |G : H|) = 1 ,

dvsat H’s orden er relativ prim til dens indeks i G. (Philip Hall 1904–1982).

Ifølge definitionerne er enhver p–Sylow gruppe i en endelig gruppe ogsaen Hall undergruppe. Ligeledes er de trivielle undergrupper {1} og G af GHall undergrupper.

Lad π være en vilkarlig mængde af primtal. Hvis n er et naturligt talskrives n = p1

a1 · · · pkak , hvor p1, · · · , pk er forskellige primtal, og a1, · · · , ak ∈N. Vi definerer

nπ =∏{i|pi∈π}

piai , nπ′ = n/nπ .

(Sa hvis n = 60, π = {2, 3}, er nπ = 12, nπ′ = 5.) Bemærk, at hvis π ermængden af de primtal, der ikke er i π, sa er nπ′ = nπ. Vi definerer n∅ = 1.

En π–Hall undergruppe i gruppen G er en undergruppe af orden |G|π. Fx.er p–Sylow grupperne ogsa π–Hall undergrupper, hvor π = {p}. En π′–Hallundergruppe i G er en undergruppe af orden |G|π′ .Eksempel: Den alternerende gruppe A5 har ingen {3, 5}–Hall undergruppe.En sadan undergruppe skulle have orden 15. Enhver gruppe af orden 15 ercyklisk. (GT3). Men det er klart, at A5 (eller S5) ikke indeholder et elementaf orden 15. (Se pa cykel–strukturen af et sadant element).

Bemærkning: Hvis M er en π–Hall undergruppe af G og der ogsa findesen en π′–Hall undergruppe N i G, sa er N et komplement til M i G. (Seforrige kapitel).

Generelt kan Sylow’s sætninger altsa ikke udvides til udsagn om eksistensaf Hall undergrupper. Men en berømt sætning af Philip Hall viser, at Sylowssætninger kan udvides til vilkarlige Hall undergrupper, hvis vi antager, at Ger opløselig, og at de kun kan udvides pa denne made, nar G er opløselig.

(3A) Sætning: (P. Hall) Lad G være en opløselig gruppe. Antag, at |G| =nm, hvor (n,m) = 1. Der gælder:

16

(1) G indeholder en Hall undergruppe af orden m;

(2) To Hall undergrupper af orden m i G er konjugerede i G;

(3) En undergruppe af G, hvis orden gar op i m er indeholdt i en Hallundergruppe af orden m.

Bemærkning: Man kan ogsa vise et udsagn om antallet af Hall undergrup-per af G af orden m (svarende til Sylow’s 3. sætning.) Udsagnet er, at detteantal er et produkt af faktorer ai, hvor der for hvert ai findes en primdivisorpi|m, sa

ai ≡ 1 (mod pi) ,

men vi vil ikke bevise dette sidste udsagn, selv om det ikke er vanskeligt.

Bevis for (3A): Vi benytter den kendsgerning, at undergrupper og fak-torgrupper af opløselige grupper igen er opløselige (GT3). Beviset er vedinduktion efter |G|. Hvis |G| = 1, er der intet at bevise. Antag nu, at|G| > 1 og at sætningen er rigtig for alle (opløselige) grupper af orden < |G|.

Vi betragter to tilfælde, der omfatter alle muligheder:

(I) Antag, at der findes en normal undergruppe T � G, T 6= {1}, T 6= G,saledes at n - |T |.

(II) Antag, at enhver T �G, T 6= {1} opfylder at n | |T |.

(I): I dette tilfælde (som er det “lette” tilfælde) skriver vi |T | = m1n1,hvor m1|m, n1|n, og tilsvarende |G : T | = m2n2, hvor m2|m, n2|n. Vi har sam = m1m2, n = n1n2. Da n - |T | ma n1 < n, og derfor ogsa n2 6= 1.

Betragt faktorgruppen G = G/T af orden m2n2. Da G er opløselig,er ogsa G opløselig. Da (m,n) = 1, ma (m2, n2) = 1, da m2|m, n2|n.Da T 6= {1}, er |G| < |G|. Ifølge induktionsantagelsen indeholder G enundergruppe D med |D| = m2. Lad D være dens urbillede i G. (Det vil sige:D = {g ∈ G | g = gT ∈ D}.) Der gælder sa, at

|D| = |D| |T | = m2m1n1 = mn1 .

Da n1 6= n er |D| < |G|. Da D er undergruppe af den opløselige gruppe G,er D opløselig. Endvidere er |D| = mn1, hvor (m,n1) = 1. Ifølge induktions-antagelsen indeholder D en undergruppe H af orden m. H er selvfølgeligogsa undergruppe i G, sa (1) er bevist i dette tilfælde.

17

Hvis nu H, H∗ er undergrupper af orden m i G betragtes undergrupperne

D = TH , D∗ = TH∗

i G. Der gælder ifølge (2A)

|D| | |T | |H| = m1n1m1m2 = mn1m1

og|D| | |G| = mn

sa |D| | (mn1m1,mn) = mn1. Da vi pa den anden side har, at m = |H| | |D|og n1 | |T | | |D|, fas |D| = mn1, og analogt ses |D∗| = mn1. Derfor erD = D/T og D

∗= D∗/T undergrupper i G = G/T af orden |D : T | =

|D∗ : T | = m2. Ifølge induktionsantagelsen er D og D∗

konjugerede i G.Der findes altsa x ∈ G, sa xD

∗x−1 = D. Hvis x er et urbillede af x i G, fas

xD∗x−1 = D. Sa er xH∗x−1 ⊆ xD∗x−1 = D, saledes at xH∗x−1 og H, beggeer undergrupper i D af orden m. Induktionsantagelsen anvendt pa D viser,at der findes y ∈ H, sa y(xH∗x−1)y−1 = H. Dermed er H og H∗ konjugeredei G, sa (2) er bevist i dette tilfælde.

Lad endelig U være en undergruppe af G med |U | | m. Ifølge (2A) er|UT : T | = |U : U ∩ T | | |U | | m. Vi betragter UT = UT/T i G = G/T .Da vi lige har vist, at |UT | | m og vi ved, at |G| = m2n2, fas |UT | | m2.Ifølge induktionsantagelsen anvendt pa G findes en undergruppe D j Gmed |D| = m2 og UT ⊆ D. For urbillederne gælder U ⊆ UT ⊆ D, og|D| = |D |T | = m2m1n1 = mn1 < |G|. Ifølge induktionsantagelsen anvendtpa D findes der en undergruppe H i D med |H| = m og U ⊆ H. Da H ogsaer undergruppe i G er hele sætning (3A) bevist i tilfældet (I).

(II): Vi antager nu, at enhver normal undergruppe T � G, T 6= {1}opfylder n | |T |.

Lad K være en minimal normal undergruppe i G. Ifølge (1D) er K enelementær abelsk p–gruppe for et primtal p; lad os sige, at |K| = pa. Sagælder n|pa, og da pa | |G| = nm og (n,m) = 1, fas n = pa.. Endvidere maenhver minimal undergruppe af G have orden pa. En undergruppe af ordenn = pa er jo i øvrigt en p–Sylow gruppe i G, og da p–Sylow gruppen K ernormal i G, er ifølge Sylows sætning, K den eneste p–Sylow gruppe i G, ogdermed ogsa den eneste minimale normale undergruppe i G!

(Pa dette tidspunkt ville vi ved hjælp af Schur–Zassenhaus’ sætning (se(3G)) kunne udlede eksistensen af et komplement til K i G, hvilket i dette

18

tilfælde har orden m(!), saledes at (1) er opfyldt, men vi fortsætter voresinduktionsbevis). Hvis m = 1 er der intet at bevise. Vi antager m > 1,saledes at G = G/K 6= {1}. Da G er opløselig, vil en minimal normalundergruppe L�G være elementær abelsk af orden qb, hvor q er et primtal,b ∈ N. (Igen (1D).) Lad os bemærke, at q 6= p, da q|m, p - m. Lad L væreurbilledet af L i G, sa |L| = |L| |K| = qbpa. Lad Q ∈ Sylq(L), sa |Q| = qb.Ifølge (2A) fas |L| = |QK|, saledes at L = QK. Da L�G, fas L�G.

Vi anvender Frattini argumentet (Sætning(1E)) pa G, L, Q til at fa, at

G = LNG(Q) .

Da L = KQ = QK og Q ⊆ NG(Q) fas

G = KNG(Q) = KN ,

hvor vi har sat N = NG(Q). Lad R = K ∩ N . Da R ⊆ K er R elementærabelsk, og da K � G, er R � N . Da Q � N ses, at der gælder [Q,R] ⊆Q ∩ R = {1}. (Overvej). Vi far nu at R ⊆ Z(L): Da R ⊆ K er R’selementer ombyttelige med elementerne i K, og det ovenstaende viser, at R’selementer er ombyttelige med Q’s elementer. Da L = KQ fas pastanden. DaZ(L) charL�G fas Z(L) �G ifølge (1A) (3). Sa ma K ∩ Z(L) �G. Da Ker en minimal normal undergruppe i G fas enten

(i) K ∩ Z(L) = K eller (ii) K ∩ Z(L) = {1} .

Hvis (i) er opfyldt, sa er K ⊆ Z(L), og da L = KQ far vi, at L er et (indre)direkte produkt af K og Q, L = K×Q. Specielt er Q�L, sa Q er den enesteq–Sylow gruppe i L. Vi far QcharL�G, sa Q�G, stridende mod, at vi eri tilfælde (II).

Derfor gælder (ii), og vi far R ⊆ K∩Z(L) = {1}, altsa R = K∩N = {1}.Da G = KN fas sa fra (2A) at

|G| = |K| |N |

saledes at |N | = m. Hermed er (i) vist.Lad nu M være en vilkarlig undergruppe af orden m i G. Vi viser, at M

er konjugeret til N = NG(Q). Da |M | = m fas fra (2D), at

G = ML .

19

Derfor er |G : L| = |ML : L| = |M : M ∩ L| ifølge (2A). Da |G : L| = m/qb

fas |M ∩ L| = qb. Derfor er

Q = M ∩ L ∈ Sylq(L) .

Da L�G fas Q�M , saledes at M ⊆ NG(Q). Men da Q og Q er konjugeredei L (ifølge Sylows sætning) og dermed konjugerede i G, fas ogsa at deresnormalisatorer N = NG(Q) og NG(Q) er konjugerede i G. Specielt er m =|N | = |NG(Q)|. Da M ⊆ NG(Q) og |M | = m, fas M = NG(Q), sa (2) ervist.

Lad nu U ⊆ G være en undergruppe med |U | | m. Lad M ⊆ G haveorden m. Sæt U∗ = M ∩ (UK). Ifølge (2D) er G = M(UK), saledes at,ifølge (2A), (anvendt 2 gange)

pa = |G : M | = |UK : U∗| = |U | |K|/ |U∗| .

Vi far |U | = |U∗| da pa = |K|. Dermed er U og U∗ Hall undergrupper i UK,sa ifølge (2) (som er bevist), er U og U∗ konjugerede i UK, og dermed i G.Da U∗ ⊆ M , er U indeholdt i en til M konjugeret undergruppe (der altsaogsa har orden m). �

Som det næste beviser vi, at det kun er for opløselige grupper, at ud-sagnene i (3A) kan være opfyldt. Beviset for dette vil være baseret pafølgende sætning, som kan bevises som en anvendelse af repræsentationste-orien (behandlet i kurset Matematik 3 RE).

(3B) Sætning: (Burnside) Lad G være en endelig gruppe af orden paqb,hvor p og q er primtal. Sa er G opløselig.

Bevis: Udelades! �

Som en forberedelse viser vi en hjælpesætning.

(3C) Lemma: Antag, at |G| = paqbm, hvor p og q er forskellige prim-tal, a, b ∈ N og (p,m) = (q,m) = 1. Antag yderligere, at G indeholder 3undergrupper H, A og B, som opfylder

(1) |H| = paqb;

(2) A 6= G, |G : A| | pa;

(3) B 6= G, |G : B| | qb.

20

Sa er G ikke simpel.

Bevis Ifølge (3B) er H opløselig. Vælg en minimal normal undergruppe N iH. N er elementær abelsk ifølge (1D), og vi kan antage, at N er en p–gruppe(ved i givet fald at bytte om pa p og q). Ifølge (3) indeholder B en p–Sylowgruppe P for G. Ifølge Sylow’s sætning er N konjugeret til en undergruppeaf P . Ved i givet fald at erstatte H med en konjugeret undergruppe kan viantage, at N ⊆ P . Da (|G : H|, |G : B|) = 1 ifølge antagelserne, gælderG = BH (Sætning (2B)).

Lad X =⋂g∈G g

−1Bg. Det er klart at X �G, og at X 6= G. Vi viser, atX 6= {1} ved at vise, at N ⊆ X. Lad g ∈ G. Skriv g = bh, b ∈ B, h ∈ H.Sa er g−1Bg = h−1b−1Bbh−1 = h−1Bh. Derfor gælder, at X =

⋂h∈H h

−1Bh.Lad h ∈ H. Da N ⊆ P ⊆ B, er h−1Nh ⊆ h−1Bh. Men da N � H, erh−1Nh = N , sa N ⊆ h−1Bh. Da dette gælder for alle h ∈ H fas N ⊆ X,som ønsket. �

Vi kan nu vise

(3D) Sætning: Antag, at den endelige gruppe G har et p-komplement foralle primtal p med p | |G|. Sa er G opløselig.

Bemærkning: Et p–komplement er en π′–Hall undergruppe, hvor π = {p}og kaldes ogsa en “p′–Hall undergruppe” (ligesom en p–Sylow gruppe er en“p–Hall undergruppe”). Derfor har (3D) den følgende konsekvens.

(3E) Korollar: Antag, at gruppen G har en Hall undergruppe af orden m forenhver faktorisering |G| = mn, (m,n) = 1 af G’s orden. Sa er G opløselig.

Bevis for (3D): Induktion efter |G|. Vi skriver |G| = p1a1p2

a2 · · · prar , hvorpi’erne er forskellige primtal og ai ∈ N, 1 ≤ i ≤ r. Hvis r ≤ 2 er sætningenrigtig ifølge (3B). Antag, at r ≥ 3 og sæt m = p3

a3 · · · prar . Vi ønsker atanvende (3C) med pa = p1

a1 , qb = p2a2 . Lad for 1 ≤ i ≤ r, Ki være et pi–

Sylow komplement i G. Sæt A = K1, B = K2 og H = K3∩K4∩· · ·∩Kr. Deter klart, at A og B opfylder (2) og (3) i (3C), og ifølge (2E) er |H| = p1

a1p2a2 ,

sa ogsa (1) er opfyldt. Ifølge (3C) er G ikke simpel. Lad D � G, D 6= {1},D 6= G. Ifølge (2G) opfylder bade D og G/D betingelserne i (3D). Derfor erde opløselige ifølge induktionsantagelsen. Det følger at G er opløselig. �

Ifølge Hall’s sætning indeholder en gruppe G kun π–Hall undergrupperfor alle valg af primtalsmængden π, nar G er opløselig. En ikke–opløseliggruppe kan under bestemte omstændigheder indeholde Hall undergrupper forspecielle valg af π. Eksempler pa dette er Burnside’s sætning om eksistensaf et normalt p–komplement (som vises i Kapitel 6). I dette kapitel beviser

21

vi nu Schur–Zassenhaus’ sætning, som siger, at hvis G har en normal π–Hallundergruppe, sa har denne et komplement (ikke nødvendigvis normalt) somaltsa er en π′–Hall undergruppe i G. Først vises sætningen under en stærkereforudsætning.

Før vi starter skal det nævnes, at bevismetoden for (3F) og den seneresætning (3I) er “kohomologisk” og afbildningen t, der forekommer i beviserne,er en “2-kocykel”. Man kan finde mere om kohomologiteori for grupper iadskillige bøger, for eksempel i denne bog: B. Huppert: Endliche Gruppen I.

(3F) Sætning: (Schur) Lad M være en normal abelsk Hall undergruppe iG. Sa eksisterer der et komplement N til M i G.

Bevis: Vi antager, at |M | = m og at |G : M | = n, hvor (m,n) = 1. LadY være faktorgruppen G/M , Y = G/M , |Y | = n. Elementerne i Y er altsasideklasser til M i G. Vi vil (undtagelsesvis) betegne gruppen Y ’s elementermed græske bogstaver. For ethvert α ∈ Y vælger vi et element xα i dentilsvarende sideklasse til M :

α = xαM , xα ∈ G .

Vi har sa, at

G =•⋃

α∈Y

xαM .

Lad nu α, β ∈ Y . Vi har xα ∈ α, xβ ∈ β og derfor er xααβ ∈ xαβM . Dereksisterer altsa for ethvert valg af α, β ∈ Y et element t(α, β) ∈ M saledes,at

(1) xαxβ = xαβt(α, β)

Vi ønsker at “justere” sideklasserepræsentanterne xα til elementer yα ∈ α,der skal opfylde

(2) ∀α, β ∈ Y : yαyβ = yαβ.

Disse elementer vil sa danne det ønskede komplement N = {yα | α ∈ Y }.Vi ma først undersøge elementerne t(α, β) nærmere. For α, β, γ ∈ Y er(xαxβ)xγ = xα(xβxγ). Ved hjælp af (1) fas:

(xαxβ)xγ = xαβt(α, β)xγ =

xαβxγ(x−1γ t(α, β)xγ) = x(αβ)γt(αβ, γ)t(α, β)xγ ,

22

(hvor generelt i en gruppe yx := x−1yx) og

xα(xβxγ) = xαxβγt(β, γ) = xα(βγ)t(α, βγ)t(β, γ) .

Vi far (ved at forkorte x(αβ)γ = xα(βγ))

(3) ∀ α, β, γ ∈ Y : t(α, βγ)t(β, γ) = t(αβ, γ)t(α, β)xγ .

Lad os igen bemærke, at de fire faktorer, der indgar i ligningen (ogsa t(α, β)xγ ),er elementer i den abelske (normale) undergruppe M . Lad os for β ∈ Y de-finere cβ :=

∏α∈Y t(α, β). Rækkefølgen i produktet er underordnet, da M er

abelsk. Vi multiplicerer for fastholdt β og γ ligningerne (3) med α løbendegennem hele Y . Da M er abelsk far vi

(4)∏α∈Y

t(α, βγ) ·∏α∈Y

t(β, γ) =∏α∈Y

t(αβ, γ) ·∏α∈Y

t(α, β)xγ .

Med α gennemløber ogsa αβ hele Y . Vi far fra (4)

(5) cβγ · t(β, γ)n = cγ · cxγβ .

Vi har antaget, at |M | = m og |G : M | = |Y | = n er relativt prime,(m,n) = 1. Ifølge en velkendt talteoretisk sætning (Bezout’s sætning) findesder hele tal k, `, saledes at km + `n = 1. Specielt er `n ≡ 1 (mod m). Sasættes

dβ := c−`β ∈M for β ∈ Y .

Ved at opløfte ligningen (5) til (−`)’te potens fas for alle β, γ ∈ Y

(6) dβγ · t(β, γ)−1 = dγdxγβ ,

idet (t(β, γ)n)−` = t(β, γ)−1 fordi t(β, γ) ∈M har en orden, der gar op i m.Vi kan nu definere vores “justerede” sideklasserepræsentanter yα ved

yα := xαdα .

(Bemærk at yα ∈ α, da xα ∈ α og dα ∈M).For α, β ∈ Y har vi

yαyβ = xαdαxβdβ

= xαxβ(x−1β dαxβ)dβ

23

= xαxβdβdxβα (idet M er abelsk)

= xαxβt(α, β)−1 · dαβ (ifølge (6))

= xαβdαβ (ifølge (1))

= yαβ .

Hermed er altsa yαyβ = yαβ for alle α, β ∈ Y , og dermed {yα | α ∈ Y } detønskede komplement til M . �

Vi viser nu, at betingelsen M abelsk ikke er nødvendig i (3F), og farSchur–Zassenhaus–sætningen. (Issai Schur 1875–1941, Hans Zassenhaus 1912–1991. Schur beviste (3F) og Zassenhaus pa basis deraf (3G)).

Sætning (3G): (Schur–Zassenhaus’ sætning) Lad M være en normal Hallundergruppe i G af orden m. Sa eksisterer der et komplement N til M i G.

Bevis: Induktion efter |G| + m. Antag |G : M | = n, (m,n) = 1. Bemærk,at nar |G| = 1 eller m = 1, sa er sætningen rigtig. Lad p|m, p primtal og ladP ∈ Sylp(M). Da M er Hall undergruppe i G er ogsa P ∈ Sylp(G).Frattiniargumentet (1E) viser, at

G = MNG(P ) .

Vi har ifølge (2A), at

n = |G : M | = |NG(P ) : NG(P ) ∩M |,

saledes, at n | |NG(P )|. Hvis NG(P) 6= G, sa er |NG(P )| < |G|, og NG(P )har en normal Hall undergruppe NG(P ) ∩M . Ifølge induktionsantagelsenhar NG(P ) en undergruppe af orden n, og det har G altsa ogsa. Denneundergruppe er et komplement til M i G.

Hvis NG(P) = G, sa er P �G. Derfor er P en normal Hall undergruppei G.

Hvis nu P 6= M, sa har P ifølge induktionsantagelsen (bemærk |G|+|P | <|G|+m) et komplement K i G, |K| = |G : P | < |G|. Da PK = G og P ⊆M ,er MK = G. Vi far igen fra (2A), at

n = |G : M | = |K : K ∩M |,

saledes, at m | |K|. Nu er M ∩K en normal Hall undergruppe i K. Ifølgeinduktionsantagelsen har K, og dermed G, en undergruppe af orden n.

Vi kan altsa antage, at M = P er en p–Sylow gruppe. Da en p–gruppeer opløselig (GT3) er P ′ 6= P . Hvis P ′ = {1}, er P abelsk, og vi er færdige

24

ifølge (3F). Vi kan altsa antage P ′ 6= {1}. Nu er P ′charP � G, sa P ′ � Gifølge (1A). Betragt faktorgruppen G = G/P ′. Her er P/P ′ en normal Hallundergruppe P = P/P ′. Derfor har P ifølge induktionsantagelsen (eller(3F)) et komplement X af orden

|X| = |G : P | = |G : P | = n .

Urbilledet X af X i G har orden

|X| = |X| · |P ′| = n|P ′| < |G| .

Da P ′ er en normal Hall undergruppe i X, er der ifølge induktionsantagelsenet komplement til P ′ i X. Dette komplement har igen orden |X : P ′| = n.Hermed er beviset afsluttet. �

(3H) Korollar: Hvis P ∈ Sylp(G), sa har P et komplement K i NG(P ),saledes at

NG(P ) = PK .

(NG(P ) er et semidirekte produkt af P og K. Se næste kapitel).

Bevis: P er en normal Hall undergruppe i NG(P ). Anvend (3G). �

Bemærkning: I fortsættelse af (3G) kan man spørge, om to komplementertil M i G er konjugerede i G. Det er tilfældet, men vi vil ikke kunne bevisedet her. Hvad man kan vise uden stort besvær er, at hvis M �G er en Hallundergruppe, og hvis enten M eller G/M er opløselig, sa er alle komple-menter til M i G konjugerede i G. (Se f.eks. Sætning 6.2.1 i D. Gorensteinsbog Finite Groups). I 1963 beviste Feit og Thompson, at enhver gruppeaf ulige orden er opløselig. Men hvis M � G er en Hall undergruppe, sa er(|G : M |, |M |) = 1, og sa ma enten |G : M | eller |M | være ulige. Dermed ma,ifølge Feit–Thompson, enten G/M eller M være opløselige. Feit–Thompsonsbevis fylder over 250 sider (Pacific Journal of Mathematics (1963)). Derfindes en lærebog, som behandler en væsentlig del af beviset (H. Bender–G.Glauberman: Local analysis for the odd–order theorem).

Den næste sætning ser ikke umiddelbart ud til at have noget at gøremed Sætning (3F), men beviserne ligner hinanden en del. Fællesstrækketer eksistensen af en normal abelsk undergruppe af G, og begge sætninger erindeholdt i en mere generel sætning af Gaschutz, se f.eks. Hauptsatz 17.4 iHuppert: Endliche Gruppen I, s. 121.

(3I) Sætning: (Gaschutz) Lad M være en normal abelsk p-undergruppe iG. Lad P være en p-Sylow gruppe i G. Følgende udsagn er ensbetydende

25

(i) M har et komplement i P

(ii) M har et komplement i G.

Bevis: (ii) ⇒ (i): Hvis K er et komplement til M i G, sa er K ∩ P etkomplement til M i P . (Overvej dette!).

(i) ⇒ (ii): Vi antager nu, at L er et komplement til M i P . Der gælderP = LM = ML, saledes at L er en (venstre- og højre-)transversal til M iG. Vælg en højretransversal T1 til P i G, saledes at G = PT1 = M(LT1).(Jfr. (2O)). Da M �G er G = (LT1)M , saledes at T = LT1, er en (venstre-)transversal til M i G. Som i beviset for (3F) sættes Y = G/M . For ethvertα ∈ Y findes præcis et element xα ∈ T , sa α = xαM . Som i (3F) ses, at derfor α, β ∈ Y findes t(α, β) ∈M sa

xαxβ = xαβt(α, β) ,

og at der sa gælder

(1) ∀ α, β, γ ∈ Y : t(α, βγ)t(β, γ) = t(αβ, γ)t(α, β)xγ .

Ifølge definitionen af T gælder T = LT1. Endvidere er P = P/M = LM/M 'L en p-Sylow gruppe i Y . Hvis α ∈ P og β ∈ Y , sa er xα ∈ L og xβ ∈ Tsaledes at xαxβ ∈ LT = T . Da

xαxβM = αβ = xαβM og xαxβ ∈ T

fasxαxβ = xαβ for alle α ∈ P , β ∈ Y,

saledes at(2) ∀α ∈ P , β ∈ Y : t(α, β) = 1.

Fra (1) og (2) fas at

(3) ∀α ∈ P , β, γ ∈ Y : t(β, γ) = t(αβ, γ). .

Bemærk, at da T1 er en højretransversal for P iG, sa er T 1 en højretransversalfor P i G = Y . Vi definerer for γ ∈ Y

cγ =∏β∈T 1

t(β, γ) .

26

Hvis nu T∗1 er en anden højretransversal for P i Y , sa har ethvert β∗ ∈ T ∗1

formen αβ, hvor α ∈ P og β ∈ T 1, og derfor er ifølge (3) t(β∗, γ) = t(β, γ).Vi slutter heraf, at

cγ =∏β∗∈T ∗1

t(β∗, γ) .

Specielt fas heraf, at for alle δ ∈ Y er

cγ =∏β∈T 1

t(βδ, γ) .

fordi T 1δ er en højretransversal for P i G. Vi multiplicerer ligningen (1) overalle α ∈ T 1, og far for alle β, γ ∈ Y at

(4) cβγ · t(β, γ)|T 1| = cγcxγβ .

(husk at M er abelsk!). Da |T 1| = |T1| = |G : P |, er (|T 1| , |P |) = 1. Vælghele tal k, ` sa k|P | + `|T 1| = 1, og sæt dγ = c−`γ . Beviset er nu analogt til(3F): Opløft (4) til den (−`)’te potens. Vi far

dβγ t(β, γ) = dγdxγβ

fordit(β, γ)−|T |` = t(β, γ) ,

da jo t(β, γ)|P | = 1.Hvis vi sætter yα = xαdα for α ∈ Y, sa viser en beregning som i (3F), at

∀α, β ∈ Y : yαyβ = yαβ.

Hermed er K = {yα | y ∈ Y } et komplement til M i G. �

27

4. Semidirekte produkter - teori og eksemplerG4 - 2009-version

Semidirekte produkter er kort beskrevet i GT3 , Chapter 1.19. Vi gar hermeget mere detaljeret ind pa dette emne.

LadG være en gruppe, ogA en undergruppe af automorfigruppenAut(G).Vi danner en ny gruppe kaldet GoA, (det semidirekte produkt af G med A).Den underliggende mængde er G× A. Kompositionen er defineret ved

(g, ϕ)(g′, ψ) = (gϕ(g′), ϕψ)

for g, g′ ∈ G, ϕ, ψ ∈ A.Det er let at regne efter, at den associative lov er opfyldt. Det neutrale

element er (1, 1), og det inverse element til (g, ϕ) er (ϕ−1(g−1), ϕ−1) idet

(g, ϕ)(ϕ−1(g−1), ϕ−1) = (gϕ(ϕ−1(g−1)), ϕϕ−1) = (gg−1, ϕϕ−1) = (1, 1).

Specielt kaldes Go Aut(G) for holomorfet af G og betegnes Hol(G).Antag nu at G og H er grupper, og at der findes en homomorfi α : H →

Aut(G). Vi danner en ny gruppe kaldet G oα H (det semidirekte produktaf G med H, relativ til α). Den underliggende mængde er G × H, ogkompositionen er defineret ved

(g, h)(g′, h′) = (gα(h)(g′), hh′).

(Man kan her forestille sig at “konjugation af g′ med h”, altsa hg′h−1, i dennegruppe erstattes med α(h)(g′). For elementer i en vilkarlig gruppe gælder joghg′h′ = g(hg′h−1)hh′).

I G oα H er igen (1, 1) det neutrale element, og det inverse element til(g, h) er (α(h−1)(g−1), h−1), idet

(g, h)(α(h−1)(g−1), h−1) = (gα(h)(α(h−1)(g−1)), hh−1)

= (g(α(h)α(h−1))(g−1), hh−1) = (gα(1)(g−1), hh−1)

= (gg−1, hh−1) = (1, 1).

Her blev det benyttet, at α er en homomorfi.

Specielle tilfælde: (1) Hvis nu H ⊆ Aut(G) og α er indlejringen af H iAut(G), sa falder de to ovenstaende konstruktioner sammen. Derfor er denførste et specielt tilfælde af den anden.

28

(2) Hvis α : H → Aut(G) er defineret ved α(h) = 1 (identiteten), sa erGoα H = G×H det sædvanlige direkte produkt.

Nar det er klart, hvad α er, vil vi ofte skrive GoH i stedet for Goα H.

Man kan være interesseret i at realisere en given gruppe som et semidirekteprodukt:

Pa den ene side har vi følgende: Hvis X = G oα H er et semidirekteprodukt, sa vil

G∗ = {(g, 1) | g ∈ G}, H0 = {(1, h) | h ∈ H}

være undergrupper af X. Afbildningerne

g 7→ g∗ = (g, 1) , h 7→ h0 = (1, h)

er abenbart isomorfier mellem G og G∗ og mellem H og H0.Det er klart at X = G∗H0, og at G∗∩H0 = {(1, 1)}. Endvidere er G∗�X,

hvilket let ses fra multiplikationsformlen og formlen for inverse elementer.Hvis g∗ = (g, 1) ∈ G∗ og h0 = (1, h) ∈ H0, sa er

h0g∗(h0)−1 = (1, h)(g, 1)(1, h−1) = (α(h)(g), h)(1, h−1) = (α(h)(g), 1) = (α(h)(g))∗

Pa den anden side kan vi betragte følgende situation: Antag at Y er engruppe med undergrupper G og H, som opfylder

G� Y , Y = GH.

Sa kan Y “forbindes” med et semidirekte produkt af G med H: For h ∈ Hlader vi α(h) være indskrænkningen af den indre automorfi κh af Y til G. Vihar altsa

α(h)(g) = hgh−1 for h ∈ H, g ∈ G.Sa er α en homomorfi fra H til Aut(G), og vi kan altsa danne X = GoαH.

Hvad har X og Y med hinanden at gøre? Svaret gives her:

(4A) Sætning: Lad Y = GH og X = G oα H være som ovenfor. Sadefineres ved

ρ(g, h) = gh

en surjektiv gruppehomomorfi fra X til Y . Der gælder

G ∩H = {1} ⇔ ρ er en isomorfi.

29

Bevis: Lad g, g′ ∈ G, h, h′ ∈ H. Vi har

ρ((g, h)(g′, h′)) = ρ(gα(h)(g′), hh′) (multiplikation i X)

= ρ(g(hg′h−1), hh′) (definition af α(h))

= g(hg′h−1)hh′ (definition af ρ)

= ghg′h′ (forkort h−1h)

= ρ(g, h)ρ(g′, h′) (definition af ρ)

Dermed er ρ en homomorfi, og da Y = GH er det klart, at ρ er surjektiv.Hvis G ∩H = {1} ser vi, at

ρ(g, h) = 1⇔ gh = 1⇒ g = h−1 ∈ G ∩H = {1} ⇒ g = h = 1 ,

sa ρ er injektiv i dette tilfælde. Hvis G ∩ H 6= {1}, sa er ρ(x, x−1) = 1 narx 6= 1, x ∈ G ∩H, sa ρ er ikke injektiv. �

Den ovenstaende sætning viser, at nar G∩H = {1}, sa giver Y en “indre”karakterisering af et semidirekte produkt.

Et eksempel pa en gruppe Y realiseret som semidirekte produkt, er

Y = Sn, G = An, H = 〈(1, 2)〉 n ≥ 2.

Et andet eksempel, som vi allerede har mødt, er resultatet i (3G). HvisG har en normal Hall undergruppe M, sa eksisterer der et komplement L tilM i G. Dermed er G et semidirekte produkt af M med L.

Lad os se pa nogle flere eksempler af forskellig natur.

(4B) Eksempel: Diedergrupperne. Hvis G = 〈g〉 er en cyklisk gruppe, saer afbildningen ι : g 7→ g−1 en automorfi af G. I denne situation er G o 〈ι〉en diedergruppe. Hvis |G| = n ≤ ∞, betegnes G o 〈ι〉 med Dn. Vi har saabenbart, at |Dn| = 2n. Gruppen Dn er frembragt af to elementer (g, 1) og(1, ι). Lad os bemærke, at |(1, ι)| = |(g, ι)| = 2 idet (g, ι)2 = (gι(g), 1) =(gg−1, 1) = 1. Da Dn frembringes af (g, ι) og (1, ι), ser vi, at en diedergruppefrembrages af 2 elementer af orden 2 (sakaldte “involutioner”).

Pa den anden side er en gruppe frembragt af 2 involutioner isomorf til endiedergruppe. Dette ses som følger. Antag at D = 〈x, y〉, hvor x2 = y2 = 1,x 6= y. Vi har sa, at x−1 = x og y−1 = y. Sæt g = xy. Sa er G := 〈g〉 cyklisk,

30

ogD = 〈g, y〉. Endvidere er ygy−1 = yxyy−1 = yx = y−1x−1 = (xy)−1 = g−1.Sa konjugation med y svarer til afbildningen ι ovenfor.

Nar n ∈ N, n ≥ 3, sa kan Dn realiseres som undergruppe af Sn, idet vibetragter undergruppen

D∗n = 〈(1, 2, · · · , n), τ = (1, n)(2, n− 1) · · ·〉

af Sn. Hvis G = 〈(1, 2, · · · , n)〉, H = 〈τ〉, sa er D∗n = GH og G � D∗n,G ∩H = {1}, idet jo

τ(1, 2, · · · , n)τ−1 = (n, n− 1, · · · , 2, 1) = (1, 2, · · · , n)−1.

Det er sa klart at Dn∼= D∗n. Vi har ogsa at D∗3

∼= S3, idet de har sammeorden. Lad os bemærke, at for n = 4 er |D∗4| = 8, saledes at D∗4 er en 2–Sylowgruppe i S4, (og i øvrigt ogsa i S5).

Diedergruppernes definition kan umiddelbart udvides til tilfældet, hvorG er en abelsk gruppe. Afbildningen ι : g 7→ g−1 fra G → G, er stadig enautomorfi af G, sa man kan danne en “diabelsk” gruppe G o 〈ι〉 af orden2|G|. Vi vil i det følgende ikke skelne særskilt mellem den abstrakte gruppeDn og den konkrete permutationsgruppe D∗n

(4C) Eksempel: Permutationsmatricer og monomiale grupper.Nar R er en kommutativ ring med 1–element, n ∈ N, danner mængden af

invertible n× n–matricer med koefficienter fra R en gruppe kaldet GL(n,R)(= {A ∈ Rn

n | detA invertibel i R}). Nar π ∈ Sn defineres en matrixP (π) ∈ Rn

n vedP (π) = [aij] hvor aij = δiπ(j)

(δ er “Kronecker delta”). Det er klart, at P (π) har netop et element 6= 0 ihver søjle og i hver række. Induktiv anvendelse af søjleudviklingsreglen fordeterminanter viser, at detP (π) = ± 1, sa P (π) ∈ GL(n,R).

Hvis π, ρ ∈ Sn gælder P (π)P (ρ) = P (πρ): Lad P (π)P (ρ) = [cij]; sa er

cij =∑k

δiπ(k)δkρ(j) 6= 0⇔

Der eksisterer et k sa k = ρ(j) og π(k) = i

⇔ πρ(j) = i,

31

dvs. cij = δiπρ(j). Det betyder, at P er en homomorfi fra Sn til GL(n,R).Det er klart, at P er injektiv, sa vi kan betragte Sn som en undergruppe afGL(n,R).

En matrix pa formen P (π), π ∈ Sn kaldes en (n×n−) permutationsmatrix.Der gælder:

detP (π) = sign(π), (π′sfortegn)

P (π)t = P (π−1) for alle π ∈ Sn.

Begge disse udsagn bevises ved at skrive π som et produkt af transpositioner(dvs. permutationer pa formen (i, j)): Permutationsmatricen P ((i, j)) opnasfra enhedsmatricen En ved at ombytte den i’te og den j’te søjle. Derfor erdetP (τ) = −1, nar τ er en transposition. Det er ogsa klart, at P (τ) = P (τ)t,nar τ er en transposition. Hvis π = τ1τ2 · · · τk, hvor alle τi er transpositioner,sa er

det(P (π)) =n∏i=1

det(P (τi)) = (−1)k = sign(π)

ogP (π)t = [P (τ1) · · ·P (τk)]

t = P (τk)t · · ·P (τi)

t

= P (τk) · · ·P (τ1) = P (τk · · · τ1) = P (π−1).

En permutationsmatrix bestar af nuller panær netop et ettal i hver række ogi hver søjle. Man kan nu erstatte ettallerne i en permutationsmatrix P (π),π ∈ Sn med n elementer fra en given gruppe G. Hvis g1, g2, . . . , gn ∈ G,π ∈ Sn sættes

P (g1, . . . , gn; π) = (δiπ(j)gi).

Dette er selvfølgelig ikke længere et element i GL(n,R), men en matrix medelementer fra mængden G ∪ {0} (idet vi fastlægger, at δiig = g, δijg = 0 fori 6= j). Hvis nu G er en gruppe og A en undergruppe af Sn sættes

Mon(G,A) = {P (g1, · · · , gn; π) | gi ∈ G π ∈ A},

en mængde af “G–monomiale” matricer.Hvis vi yderligere fastlægger, at 0 + g = g + 0 = g for g ∈ G, vil G’s

komposition sammen med den sædvanlige matrixmultiplikation inducere enkomposition pa Mon(G,A). Hvis vi “multiplicerer” matricerne

P (g1, · · · , gn; π) og P (h1, · · · , hn; ρ)

32

under anvendelse af de ovennævnte regler, fas en matrix [cij], hvor

cij =∑k

δiπ(k)giδkρ(j)hk = δiπρ(j)gihρ(j) = δiπρ(j)gihπ−1(i)

saledes, at

P (g1, · · · , gn; π)P (h1, · · · , hn; ρ) = P (g1hπ−1(1), · · · , gnhπ−1(n); πρ).

Med denne “matrixmultiplikation” bliver Mon(G,A) en gruppe medP (1, · · · , 1; (1)) som neutralt element, hvor P (g1, · · · , gn; π) som inverst ele-ment har P (g−1

π(1), · · · , g−1π(n); π

−1). Mon(G,A) kaldes en (G–)monomial gruppe.

Nu er Mon(G,A) et “indre” semidirekte produkt af den normale under-gruppe

G∗ = {P (g1, · · · , gn; (1)) | gi ∈ G, i = 1, 2, · · · , n},

(som er isomorf med G× · · · ×G︸ ︷︷ ︸n

) med undergruppen A∗ = {P (1, · · · , 1;π) |

π ∈ A} (som er isomorf til A.)

(4D) Eksempel: Lad os se pa den monomiale gruppe Mon(G,A) (somsemidirekte produkt) “udefra”.

Hvis A ⊆ Sn og G∗ = G× · · · ×G︸ ︷︷ ︸n

(= Gn), kan vi definere en homomorfi

α : A→ Aut(G∗) ved

α(π)(g1, · · · , gn) = (gπ−1(1), · · · , gπ−1(n)).

Det kan virke mærkværdigt, at afbildningen β : A→ Aut(G∗) givet ved

β(π)(g1, · · · , gn) = (gπ(1), · · · , gπ(n))

ikke er en homomorfi. Sammenhængen mellem α og β er at α(π) = β(π−1), sahvis en af afbildningerne er en homomorfi, sa er den anden en antihomomorfi.At det er α, der er en homomorfi, ses som følger:

Antag at π, ρ ∈ A. Lad

α(ρ)(g1, · · · , gn) = (h1, · · · , hn)

α(π)(h1, · · · , hn) = (k1, · · · , kn).

33

Ifølge definitionen er hi = gρ−1(i) og ki = hπ−1(i) for i = 1, · · · , n. Vi far sa atki = hπ−1(i) = gρ−1(π−1(i)) = g(πρ)−1(i). Derfor er

α(π) ◦ α(ρ)(g1, · · · , gn) = (k1, · · · , kn)

= (g(πρ)−1(1), · · · , g(πρ)−1(n)) = α(πρ)(g1, · · · , gn),

altsa α(π) ◦ α(ρ) = α(πρ). Kun nar A er abelsk, vil β være en homomorfi.Vi kan nu definere en isomorfi ϕ

G∗ oα Aϕ∼= Mon(G,A)

ved ϕ(g1, · · · , gn; π) = P (g1, · · · , gn; π). Multiplikationen i G∗ o A er jo

(g1, · · · , gn; π)(h1, · · · , hn; ρ) = (g1hπ−1(1), · · · , gnhπ−1(n); πρ).

Det er jo nødvendigt men ikke sa “pænt”, at man skal anvende π−1 pa hi’ernesindices. Dette kan undgas ved at “bytte om” pa G og A, som vi gør i næsteeksempel.

(4E) Eksempel: (Kransprodukt, wreath produkt). Som i (4D) er A ⊆ Sn ogG∗ = G× · · · ×G︸ ︷︷ ︸

n

. Vi definerer en komposition pa A×G∗ ved

(π; g1, · · · , gn)(ρ;h1, · · · , hn) = (πρ; gρ(1)h1, · · · , gρ(n)hn).

Herved bliver A×G∗ en gruppe med ((1); 1, · · · , 1) som neutralt element, og(π; g1, · · · , gn) har (π−1;h1, · · · , hn) som inverst element, hvor hi = g−1

π−1(i).Denne gruppe kaldes for kransproduktet af G med A, og betegnes G o A.Det viser sig, at G o A ogsa kan realiseres ved “monomiale” matricer, og

atG o A 'Mon(G,A).

Hvis (π; g1, · · · , gn) ∈ G o A sættes

P ∗(π; g1, · · · , gn) = (δiπ(j)gj).

Den eneste forskel her fra P (g1, · · · , gn; π) er, at “gi” er erstattet med “gj”.Hvis vi “multiplicerer” P ∗(π; g1, · · · , gn) med P ∗(ρ;h1, · · · , hn) fasP ∗(πρ; gρ(1)h1, · · · , gρ(n)hn) saledes at P ∗–matricerne danner en gruppeMon∗(G,A), som er isomorf til G o A.

34

Vi har nu ved hjælp af G og A konstrueret 4 grupper, to “matrixgrupper”Mon(G,A) og Mon∗(G,A), samt to “abstrakte” grupper G∗ oα A (i (4D))og G o A her. Vi har vist, at

G∗ oα A 'Mon(G,A) og at G o A 'Mon∗(G,A).

For nu at fuldstændiggøre billedet, vil vi vise, at

G∗ oα A ' G o A.

Vi indskyder en bemærkning.

(4F) Bemærkning: Den “modsatte” gruppe. Hvis G er en vilkarlig gruppekan vi danne dens modsatte gruppe Gop, som følger. Den underliggendemængde er G’s elementer, og kompositionen ◦ i Gop, er givet ved

g ◦ h = hg

(hvor vi pa højre side har brugt kompositionen i G!) Det er klart, at Gop er engruppe med samme neutrale element og samme inverse elementer. Endvidereer afbildningen ι : g 7→ g−1 en isomorfi mellem G og Gop, idet

ι(gh) = (gh)−1 = h−1g−1 = ι(h)ι(g) = ι(g) ◦ ι(h).

(4G) Sætning: Lad G o A og G∗ oα A være som før. Ved

ψ : (π; g1, · · · , gn) 7→ (g−11 , · · · , g−1

n ; π−1)

defineres en isomorfi mellem G o A og (G∗ oα A)op. Derfor gælder ogsa at

G o A ' G∗ oα A.

Bevis: Vi har

ψ(π; g1, · · · , gn) ◦ ψ(ρ;h1, · · · , hn) = (h−11 , · · · , h−1

n ; ρ−1)(g−11 , · · · , g−1

n , π−1)

= (h−11 g−1

ρ(1), · · · , h−1n g−1

ρ(n); ρ−1π−1) = ψ(πρ; gρ(1)h1, · · · , gρ(n)hn) =

ψ((π; g1, · · · , gn)(ρ;h1, · · · , hn)).

�

35

Kransproduktet egner sig til at definere interessante klasser af gruppermed en struktur, der er overskuelig uden at være banal. Det er let at findekransprodukter som undergrupper i symmetriske grupper:

(4H) Bemærkning: Hvis G ⊆ Sm og A ⊆ Sn, sa er G o A (isomorf til) enundergruppe af Smn.

Bevis: Lad (π; g1, · · · , gn) ∈ G, og betragt

P ∗(π; g1, · · · , gn) = [δiπ(j)gj].

Hvis vi erstatter gj med P (gj), bliver P ∗(π;P (g1), · · · , P (gn)) til en mn×mn–permutationsmatrix. �

(4I) Eksempel: (pa (4H)) Lad m = 3, n = 2, π = (1, 2, 3) ∈ S3, g1 =(1, 2), g2 = (1), g3 = (1, 2) ∈ S2 saledes at P ∗(π;P (g1), P (g2), P (g3) skalvære en 6× 6-permutationsmatrix. Lad os beregne denne og den tilhørendepermutation. Først betragtes permutationsmatricen P (π)

P (π) =

0 0 11 0 00 1 0

ifølge (4C). I denne matrix erstattes ettallet i j’te søjle med 2 × 2-matricenP (gj) j = 1, 2, 3 og nullerne med 2× 2-nulmatricer

P ∗(π;P (g1), P (g2), P (g3)) =

0 0 0 0 0 10 0 0 0 1 00 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0

Dette er en 6 × 6-permutationsmatrix. Den tilhørende permutation ρ

aflæses ved at se pa positionen af ettallet i de enkelte søjler. Vi far

ρ =

(1 2 3 4 5 64 3 5 6 2 1

)(Her er for eksempel ρ(1) = 4 fordi ettallet i 1. søjle er pa 4. plads).

Derfor erρ = (1, 4, 6)(2, 3, 5).

36

En anden made at beregne ρ pa er som følger: Betragt g1 som permutationaf {1, 2}, g2 som permutation af {3, 4} og g3 som permutation af {5, 6}. Sa erg1g2g3 = (1, 2)(3)(4)(5, 6) = (1, 2)(5, 6). Dernæst betragtes π = (1, 2, 3) somen permutation ∆(π) af 6 der permuterer mængderne {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}ved 1→ 3→ 5→ 1 og 2→ 4→ 6→ 2, altsa

∆(π) = (1, 3, 5)(2, 4, 6).

For produktet ∆(π)g1g2g3 fas sa

(1, 3, 5)(2, 4, 6)(1, 2)(5, 6) = (1, 4, 6)(2, 3, 5),

den samme permutation ρ som før! (At vi skriver ∆ foran π, altsa ∆(π)betyder intuitivt at der er tale om en “duplikering” af π. Hvis ρ = (1, 3) ∈ S3

er tilsvarende ∆(ρ) = (1, 5)(2, 6).)

(4J) Bemærkning: Hvis G er endelig, og A ⊆ Sn, sa gælder |G o A| =|G|n|A|.

(4K) Eksempel: (Sylow grupper i de symmetriske grupper Spa).Lad p være et primtal. Hvis n ∈ N lader vi νp(n) være det største ikke

negative tal, sa pνp(n) | n. F.eks. er ν3(72) = 2, da 72 = 32 ·8. Lad os betragte

νp(|Spa |), a ≥ 1. Der gælder νp(|(Spa|) = νp(pa!). Det er klart, at pa−1 af

tallene 1, · · · , pa er delelig med p, nemlig p, 2p, · · · , pa−1p. Endvidere er pa−2

delelig med p2 (hvis a ≥ 2), nemlig p2, 2p2, · · · , pa−2p2. Ved at fortsætte medp3 osv. fas

νp(pa!) = pa−1 + pa−2 + · · ·+ 1 = (pa − 1)/(p− 1).

For a = 1 er en p–Sylow gruppe i Sp cyklisk, frembragt af f.eks. (1, 2, · · · , p),altsa ' Zp. Ifølge (4J) er |Zp o Zp| = pp+1. Dermed har Zp o Zp sammeorden som en p–Sylow gruppe i Sp2 . Dette generaliseres: Lad os induktivtdefinere gruppen Xa ved X1 = Zp, Xa = Xa−1 o Zp. Ved induktion efter ases, at Xa er isomorf til en undergruppe af Spa (brug (4H)), samt at νp|Xa| =νp(|Spa|) = νp(p

a!) (brug (4J)), saledes at p–Sylow gruppen af Spa er etitereret kransprodukt af a cykliske grupper af orden p. Lad os se pa enkonkret realisering af p–Sylow gruppen i Sp2 . Denne gruppe har en elementærabelsk undergruppe af orden pp, nemlig

〈(1, 2, · · · , p)〉 × 〈(p+ 1, · · · , 2p)〉 × · · · × 〈(· · · , p2)〉.

37

Dette svarer til undergruppen G× · · · ×G i det generelle tilfælde. GruppenA bliver i dette eksempel til gruppen frembragt af

〈(1, p+ 1, 2p+ 1, · · · , (p−1)p+ 1)(2, p+ 2, · · · , (p−1)p+ 2) · · · (p, 2p, · · · , p2)〉

I tilfældet p = 2 er 2–Sylow gruppen af S4 frembragt af (1, 2) og (1, 3)(2, 4).Gruppen “G×G” bliver 〈(1, 2)〉 × 〈(3, 4)〉 og A = 〈(1, 3)(2, 4)〉. Hvis vi gartil S8 bliver dens 2–Sylow gruppe frembragt af

(1, 2), (1, 3)(2, 4) og (1, 5)(2, 6)(3, 7)(4, 8).

Prøv af overveje dette! Hvordan ser det ud i S16? Bemærk, at hver af disseelementer er en “duplikering” af det forrige pa samme made som i (4I)!

(4L) Bemærkning: Man kan vise, at p–Sylow gruppen i Sn, n vilkarligt,kan beskrives saledes:

Skriv n “p–adisk”, dvs.

n = a0 + a1, p+ · · ·+ akpk, hvor 0 ≤ ai ≤ p− 1.

Sa er Sn’s p–Sylow gruppe isomorf til

Xa11 ×Xa2

2 × · · · ×Xakk ,

hvor Xiai = Xi × · · · ×Xi︸ ︷︷ ︸

ai

og Xi er som i det forrige eksempel.

Vi minder om definitionen af centralisator (GT3). Hvis a ∈ G, sa er a’scentralisator i G undergruppen

CG(a) = {g ∈ G |gag−1 = a}.

Tilsvarende defineres CG(X) for en delmængde X af G.

(4M) Eksempel: Kransproduktet spiller ogsa en rolle ved beskrivelsen afcentralisatorer af elementer i symmetriske grupper. Vi nøjes med tilfældet,hvor et element er et produkt af cykler af samme længde.

Lad k, ` ∈ N og antag, at κ ∈ Sk` er et produkt af k disjunkte cykler afsamme længde `. Vi forklarer at

CSk`(κ) ∼= Z` o Sk,

38

hvor Z` er en cyklisk gruppe af orden `.Vi antager, at

κ = (a11, a12, · · · , a1`)(a21, a22, · · · , a2`) · · · (ak1, ak2, · · · , ak`),

hvor aij’erne er forskellige tal mellem 1 og k`. Nar ϕ ∈ Sk` er

ϕκϕ−1 = (ϕ(a11), ϕ(a12), · · · , ϕ(a1`)) · · · (ϕ(ak1), ϕ(ak2), · · · , ϕ(ak`)).

Derfor er ϕ ∈ C(κ) = CSk`(κ) hvis og kun hvis cykelmængderne

{(a11, a12, · · · , a1`), · · · , (ak1, ak2, · · · , ak`)}

og{(ϕ(a11), ϕ(a12), · · · , ϕ(a1`)), · · · , (ϕ(ak1), ϕ(ak2), · · · , ϕ(ak`))}

er identiske. Det betyder, at hvis ϕ ∈ C(κ) og vi kender ϕ(ai1), sa er ogsaϕ(ai2), · · · , ϕ(ai`) fastlagte, idet rækkefølgen i cyklerne skal respekteres: Hvisϕ(ai1) = ai′j′ hvor 1 ≤ i′ ≤ k og 1 ≤ j′ ≤ `, sa ma

(∗) ϕ(aij) = ai′(j′+j−1) for 1 ≤ j ≤ `,

hvor det andet indeks regnes modulo `. Et element ϕ ∈ C(κ) er altsa heltfastlagt ved

ϕ(a11), ϕ(a21), · · · , ϕ(ak1).

Da a11, a21, · · · , ak1 alle er i forskellige cykler i κ, ma ogsa ϕ(a11), ϕ(a21), · · · , ϕ(ak1)være i forskellige cykler. Pa den anden side vil ethvert valg af ϕ(a11), ϕ(a21), · · · , ϕ(a`1)i forskellige cykler levere et element i C(κ) ved hjælp af (∗) ovenfor.

Givet π ∈ Sk kan vi specielt definere dets “duplikeringselement” ∆(π) ∈C(κ) ved at

(∗∗) ∆(π)ai1 = aπ(i)1 1 ≤ i ≤ k.

(Ifølge (∗) gælder ogsa ∆(π)aij = aπ(i)j for alle i, j).Lad nu ϕ ∈ C(κ) være fastlagt ved at

(∗ ∗ ∗) ϕ(ai1) = aπ(i)ti for 1 ≤ i ≤ k.

Her er 1 ≤ ti ≤ ` for alle i. Da ϕ(a11), · · · , ϕ(ak1) er forskellige cykler, er πen permutation af 1, · · · , k, altsa π ∈ Sk. Ifølge definitionen af ∆(π−1) fas safra (∗∗) og (∗ ∗ ∗)

∆(π−1)ϕ(ai1) = aiti .

39

Det er klart, at ∆(π−1) = ∆(π)−1, idet ∆ er en homomorfi Sk → C(κ). Lados sætte ψ = ∆(π−1)ϕ = ∆(π)−1ϕ. Vi har sa, at

ψ(ai1) = aiti for 1 ≤ i ≤ k.

Lad os betegne cyklerne i κ med z1, · · · , zk, altsa

zi = (ai1, ai2, · · · , ai`).

Da disjunkte cykler er ombyttelige, er det klart, at zi ∈ C(κ) for alle i. Derforer ogsa elementet ψ′ defineret ved

ψ′ = zt1−11 zt2−1

2 · · · ztk−1k ∈ C(κ).

Nu er for 1 ≤ i ≤ k

ψ′(ai1) = zti−1i (ai1)u (overvej dette)

= aiti (overvej igen!)

Vi kan altsa slutte, at ψ = ψ′ og far et

ϕ = ∆(π) · zt1−11 · · · ztk−1

k .

Hvis vi definerer en afbildning

α : Zk o Sk → C(κ)

ved atα(π; s1, · · · , sk) = ∆(π) · zs11 · · · z

skk ,

hvor si’erne regnes modulo ` = |zi|, sa er α surjektiv ifølge det ovenstaende.Det er let at se, at α er en homomorfi, og at kernen af α er triviel. Dermeder α en isomorfi.

Sammenfattende kan vi altsa sige, at hvis man vil opfatte G oA, hvor G ⊆Sm og A ⊆ Sn, som undergruppe af Smn, lader man de n kopier af G i G∗ =G×· · ·×G (n gange) operere pa parvis disjunkte delmængder af {1, · · · ,mn},hvor hver af disse delmængder har m elementer. Ved “duplikering” blæseselementerne i A op til at permutere de n disjunkte delmængder, som G’erneopererer pa.

40

Om undergrupper i et direkte produkt

I dette afsnit angives en algoritme til i pricippet at bestemme alle under-grupper i et direkte produkt af to grupper. Denne algoritme findes sædvan-ligvis ikke i lærebøger om gruppeteori, selv om den faktisk er relativ enkel.Sætningen blev først bevist af franskmanden E. Goursat i 1889! Hans arbe-jde, “Sur les substitutions orthogonales et les divisions regulieres de l’espace”.Annales scientifiques de l’Ecole Normale Superieure, Ser. 3, 6 (1889), p. 9-102 hvoraf sætningen kun er en meget lille del af kapitel 11-12, kan findes panettet (http://www.numdam.org)

Lad G og H være grupper og X = G×H det direkte produkt af G medH. Betragt følgende mængde af 5-tupler:

U(G,H) = {(G1, G2, H1, H2, ϕ)}

hvor G2 �G1 ⊆ G er undergrupper i G,H2 �H1 ⊆ H undergrupper i H, ogϕ en gruppeisomorfi ϕ : G1/G2 → H1/H2.

Hvis T = (G1, G2, H1, H2, ϕ) ∈ U(G,H) sættes

UT = {(g, h) ∈ G×H | g ∈ G1, h ∈ H1 og ϕ(gG2) = hH2}.

Her opfattes gG2 (hhv. hH2) som element i G1/G2 (hhv. H1/H2).

(4N) Sætning: Afbildningen T → UT er en bijektion mellem mængdenU(G,H) og mængden af undergrupper af G×H.

Bevis: Lad os først bemærke, at hvis T ∈ U(G,H), sa er UT en undergruppeaf G × H: Hvis (g, h), (g1, h1) ∈ UT gælder ϕ(gG2) = hH2 og ϕ(g−1

1 G2) =h−1

1 H2, da ϕ er en homomorfi. Heraf fas ogsa at

ϕ(gg−11 G2) = ϕ(gG2)ϕ(g−1

1 G2) = hH2h−11 H2 = hh−1

1 H2

sa (gg−11 , hh−1

1 ) = (g, h)(g1, h1)−1 ∈ UT .

Det er ogsa klart, at hvis T, T ′ ∈ U(G,H) og T 6= T ′ (altsa hvis mindsten af de fem “koordinater” i T og T ′ er forskellig), sa er UT 6= UT ′ .

Lad nu U være en undergruppe af G × H. Vi viser, at der findes T ∈U(G,H), saledes at U = UT . Sæt

G1 = {g ∈ G | Der findes h ∈ H, sa g, h) ∈ U}

41

G2 = {g ∈ G | (g, 1) ∈ U}

H1 = {h ∈ H | Der findes g ∈ G, sa (g, h) ∈ U}

H2 = {h ∈ H | (1, h) ∈ U}

. Det er klart at G1, G2 er undergrupper af G, og H1, H2 er undergrupper afH og G2 ⊆ G1, H2 ⊆ H1.

Antag nu, at h ∈ H1, x ∈ H2. Vælg g ∈ G, sa (g, h) ∈ U . Vi har ogsa(1, x) ∈ U sa vi far

(g, h)(1, x)(g, h)−1 = (1, hxh−1) ∈ U,

dvs. hxh−1 ∈ H2. Dermed er H2 �H1 (og analogt G2 �G1).Antag at g ∈ G, og at h, h1 ∈ H begge opfylder (g, h) ∈ U , (g, h1) ∈ U .

Fra definitionen af H1 fas h, h1 ∈ H1. Endvidere er ogsa g ∈ G1. Vi har(g, h)−1(g, h1) = (1, h−1h1) ∈ U , sa h−1h1 ∈ H2. Hermed er hH2 = h1H2. Viser at der ved ψ : g 7→ hH defineres en afbildning fra G1 → H1/H2. Det erklart, at denne afbildning er en homomorfi. Hvis x ∈ ker(ψ), sa eksisterer eth2 ∈ H2, sa (x, h2) ∈ U . Da (1, h2) ∈ U (fordi h2 ∈ H2) fas (x, 1) ∈ U , altsax ∈ G2. Det er ogsa let at se, at ψ er surjektiv.

Ifølge den 1. isomorfisætning for grupper inducerer ψ en isomorfi ϕ :G1/G2 → H1/H2 og vi far sa umiddelbart, at U = UT , hvor T = (G1, G2, H1, H2, ϕ) ∈U(G,H).

(4O) Bemærkning: Lad (G1, G2, H1, H2, ϕ) = T ∈ U(G,H) som ovenfor.Der gælder

|UT | = |G1||H2| = |G2||H1|,

hvis grupperne er endelige. (Overvej dette!)

(4P) Bemærkning: En speciel klasse af undergrupper af G×H er dem paformen G1 ×H1, G1 undergruppe i G, H1 undergruppe i H. Det tilsvarendeT ∈ U(G,H) er sa

(G1, G1, H1, H1, 1).

Generaliseringen af (4N) til et direkte produkt af tre eller flere under-grupper er meget mere besværlig end man maske umiddelbart skulle tro!

42

5. Undergrupper og VerlagerungG5 - 2009-version

(5A) Bemærkning: Lad os betragte et kransprodukt G o A som i (4E).Afbildningen

(π; g1, · · · , gn) 7→ π

er en homomorfi fra GoA pa A med G∗ som kerne. Derimod er i almindelighedingen af de følgende afbildninger homomorfier.

(π; g1, · · · , gn) 7→ gi (G o A→ G)

(π; g1, · · · , gn) 7→ (g1, · · · , gn) (G o A→ G∗)

(π; g1, · · · , gn) 7→ g1g2 · · · gn (G o A→ G).

De første to afbildninger kan kun blive homomorfier, nar A = {(1)},hvilket er uinteressant. Derimod er den tredie afbildning en homomorfi, narG er abelsk. Dette kan generaliseres pa følgende made:

Antag at N �G, og at G/N er abelsk. Betragt afbildningen

pG/N : G o A→ G/N

defineret vedpG/N(π; g1, · · · , gn) = g1g2 · · · gnN .

Sa er pG/N en surjektiv homomorfi. Vi bemærker nemlig, at

g1 · · · gnN = (g1N) · · · (gnN) ,

og da G/N er abelsk, gælder for ethvert ρ ∈ Sn, at

g1N · · · gnN = gρ(1)N · · · gρ(n)N = gρ(1) · · · gρ(n)N .

Vi far derforpG/N((π; g1, · · · , gn)(ρ;h1, · · · , hn))

= pG/N(πρ; gρ(1)h1, · · · , gρ(n)hn)

= gρ(1)h1 · · · gρ(n)hnN

= (g1 · · · gnN)(h1 · · ·hnN) (jfr. ovenfor)

43

= pG/N(π; g1, · · · , gn)pG/N(ρ;h1, · · · , hn) .

(5B) Notation: Lad H være en undergruppe i gruppen G af endelig indeks|G : H| = n. Lad T = {g1, · · · , gn} være et fuldstændigt repræsentantsystemfor sideklasserne til H, altsa en transversal til H i G (jfr. Kap. 2),

(∗) G =•⋃

gi∈T

giH.

Lad x ∈ G. Ifølge (∗) findes der for 1 ≤ i ≤ n et entydigt bestemt talαTx (i) ∈ {1, · · · , n}, og et entydigt bestemt element hTxi ∈ H, saledes at

xgi = gαTx (i)hTxi .

�

Lad os prøve at erstatte T med et andet repræsentantsystem T ′ = {g1h1, · · · , gnhn}hvor hi ∈ H, og for x ∈ G sammenligne αTx med αT

′x , og hTxi med hT

′xi . Der

gælder

(5C) Lemma: I den ovenstaende notation er

αTx = αT′

x

(sa vi sætter, uafhængigt af valget af T ,

αTx = αx)

oghT′

xi = h−1αx(i)

hTxihi .

Bevis: Hvis xgi ∈ gjH gælder ogsa at xgihi ∈ gjH. Derfor er, ifølge defini-tionen,

αTx (i) = j = αT′

x (i) ,

altsa αTx = αT′

x . Da xgi = gαx(i)hTxi, fas

x(gihi) = gαx(i)hTxihi

= (gαx(i)hαx(i))(h−1αx(i)

hTxihi) ,

44

hvoraf fas, athT′

xi = h−1αx(i)

hTxihi .

�

De næste resultater findes ogsa i GT3, Kapitel 1.16 i en lidt anden form.

(5D) Sætning Lad notationen være som i (5B) og (5C). Sa er afbildningen

αG/H : x→ αx

er en homomorfi fra G → Sn (der kaldes permutationsrepræsentationen afG pa H’s sideklasser) med kerne

K =⋂g∈G

gHg−1 .

Bevis: Lad x ∈ G. Vi viser først, at αx ∈ Sn. Det er klart, at αx :{1, · · · , n} → {1, · · · , n} sa vi ma bare vise, at αx er injektiv: Hvis αx(i) =j = αx(i

′) gælder, at xgi ∈ gjH og xgi′ ∈ gjH, saledes at

g−1i gi′ = (xgi)

−1(xgi′) ∈ H .

Det betyder giH = gi′H, altsa i = i′.Lad nu x, y ∈ G. For 1 ≤ i ≤ n er ygi ∈ gαy(i)H, sades at x(ygi) ∈

xgαy(i)H = gαx(αy(i))H. Heraf fas αxy = αx ◦ αy.Lad x ∈ G. Der gælder

αx = (1)⇔ xgi ∈ giH for 1 ≤ i ≤ n

⇔ x ∈ giHg−1i for 1 ≤ i ≤ n

⇔ x ∈n⋂i=1

giHg−1i =

⋂g∈G

gHg−1 .

�

(5E) Korollar: Hvis gruppen G har en undergruppe H af indeks |G : H| =n, sa eksisterer der en normal undergruppe N af G, saledes at

(i) |G : N | | n!

(ii) N ⊆ H.

45

Bevis: Som N kan vi bruge kerα, hvor α er som i (5D), idet α inducereren injektiv homomorfi fra G/ kerα ind i Sn. Dermed gælder |G/ kerα| =|G/N | | |Sn| = n! �

(5F) Eksempel: Lad n ≥ 5. Sa har den alternerende gruppe An ingenundergrupper af indeks k, nar 1 < k < n. Ellers ville den simple gruppe Anindeholde en normal undergruppe af indeks ≤ k ! forskellig fra An, og det erumuligt. Specielt ser vi, at An−1 ma være en maksimal undergruppe i An (afindeks n). �

(5H) Eksempel: Hvis G har en undergruppe H af indeks 3, sa har G ogsaen normal undergruppe af indeks 2 eller 3. Thi enten er H �G, eller G haren normal undergruppe N , sa H ⊆ N , |G : N | = 3! = 6. I dette tilfælde erG/N ' S3, som har A3 som normal undergruppe af indeks 2. Derfor har Gogsa en normal undergruppe af indeks 2. �

(5I) Bemærkning: Vælges H = {1} i (5D), og er G endelig, sa er αG/H =αG en monomorfi fra G→ S|G|, som ogsa kaldes den regulære repræsentationaf G.

(5J) Sætning: Lad notationen være som i (5B) og (5C). Ved

VT (x) = (αx;hTx1, · · · , hTxn)

defineres en monomorfi VT : G→ H o Sn.

Bevis: Lad x, y ∈ G. Da ygi = gαy(i)hTyi fas

(xy)gi = x(ygi) = (xgαy(i))hTyi = (gαx(αy(i))h

Txαy(i))h

Tyi

saledes atVT (xy) = (αxαy;h

Txαy(1)h

Ty1, · · · , hTxαy(n)h

Tyn)

= (αx;hTα1, · · · , hTxn)(αy;h

Ty1, · · · , hTyn) = VT (x)VT (y) .

Hvis x ∈ Ker(VT ), sa er xgi = gi1 for alle i, altsa x = 1. �

(5K) Sætning: Notation som ovenfor. Antag yderligere, at K �H saledesat H/K er abelsk. Sa defineres ved

V er = pH/K ◦ VT

46

en homomorfi fra G → H/K som er uafhængig af valget af T . Den kaldesVerlagerung fra G til H/K.

Bevis: VT : G → H o Sn og pH/K : H o Sn → H/K er homomorfier, sa V erer en homomorfi. Hvis T ′ er en anden transversal end T, sa skal det vises,at pH/K ◦ VT = pH/K ◦ VT ′ . Dette følger let fra (5C). �

47

6. Fokale undergrupper, Grun’s sætninger,Z–grupperG6 - 2009-version

Vi starter med et par generelle bemærkninger. Som sædvanligt betegnerG′ = [G,G] kommutatorundergruppen i gruppen G.

(6A) Lemma: Lad H være en undergruppe af G. Der gælder

G′ ⊆ H ⇔ H �G og G/H abelsk .

Bevis: Øvelse! �

(6B) Eksempel: Lad os betragte diedergruppen D20 af orden 40 (jfr. (4B)).Vi skriver

D20 = 〈x, y | x20 = 1, y2 = 1, yxy−1 = x−1〉 .Det er let at se, at D40’s kommutatorgruppe er D′40 = 〈x2〉, |D′40| = 10.Kommutator faktorgruppe D40/D

′40 er Kleins firegruppe Z2 × Z2. (Se side

1.2). Ifølge (6A) bestar listen af normale undergrupper N /D20, hvor D20/Ner abelsk, af følgende:

D20, 〈x〉, 〈x2, y〉, 〈x2, xy〉, 〈x2〉 .

I denne liste er den 1., 3. og 4. gruppe diedergrupper og de andre er cykliske.(Overvej dette).

Lad i dette afsnit G være en endelig gruppe.En p–fokal undergruppe i G er en p–Sylow gruppe i G′. Ifølge (2F) er de

p–fokale undergrupper i G netop P ∩ G′, P ∈ Sylp(G). I det ovenstaendeeksempel (6B) har den 2-fokale undergruppe orden 2 og den 5-fokale under-gruppe orden 5. De p–fokale undergruppers betydning ligger i, at de underomstændigheder kan beskrives “lokalt” ved hjælp af udvalgte “ægte” under-grupper i G. Dette er især vigtigt i studiet af ikke-abelske simple grupper.I en sadan gruppe er specielt G′ = G, og de p–fokale undergrupper er netopSylow grupperne i G. Generelt har vi

(6C) Sætning: Lad P ∈ Sylp(G). Sa er P/P ∩ G′ en abelsk p–gruppe, ogder eksisterer en normal undergruppe K �G, sa

G/K ' P/P ∩G′ .

48

Bevis: Faktorgruppen G/G′ er abelsk og indeholder altsa et p–komplement(= p′–Hall undergruppe) K/G′. Da G′ ⊆ K er K �G, og G/K abelsk ifølge(6A). Da |G : K| er en p–potens, ma G = KP, f.eks. ifølge (2B). Vi farG/K ' P/P ∩K. Det er klart, at P ∩G′ ⊆ P ∩K. Da |K : G′| er prim til p,sa ma en p–Sylow gruppe for G′ ogsa være en p–Sylow gruppe for K. Derforviser (2F), at P ∩ G′ = P ∩K. Vi far altsa G/K = KP/K ∼= P/P ∩K =P/P ∩G′, som ønsket. �

Hvis x, y ∈ G og H ⊆ G skriver vi x ∼H y, hvis der findes h ∈ Hsa hxh−1 = y, og vi kalder x og y konjugerede i H. Det er klart, at ∼Her en ækvivalensrelation pa G’s elementer. Nar x, y ∈ G betegner [x, y] =xyx−1y−1 x og y’s kommutator. Vi har G′ = 〈[x, y] | x, y ∈ G〉.

Den næste sætning er meget nyttig.

(6D) Sætning: (Frembringere for fokale undergrupper) Lad P ∈ Sylp(G).Der gælder

P ∩G′ = 〈xy−1 | x, y ∈ P , x ∼G y〉 .

Bevis Lad os sætte P ∗ = 〈xy−1 | x, y ∈ P , x ∼G y〉. Hvis x, y ∈ P , g ∈ Gog x = gyg−1, sa er xy−1 = gyg−1y−1 = [g, y] ∈ G′, sa xy−1 ∈ G′ ∩P . Derforma P ∗ ⊆ P ∩G′.

For at vise den anden inklusion, sa bemærker vi først, at P ′ ⊆ P ∗:Hvis a, b ∈ P , sa er aba−1 og b elementer i P , sa aba−1 ∼G b. Derfor er(aba−1)b−1 = [a, b] ∈ P ∗. Heraf fas P ′ ⊆ P ∗.

Nu er P/P ∗ abelsk ifølge (6A), sa vi kan betragte Verlagerung V er : G→P/P ∗. (Kapitel 5). Det vises, at V er er surjektiv.

Nar x ∈ G, sa er V er(x) uafhængig af valget af repræsentantsystemet Tfor P ’s sideklasser i G ifølge (5K). Derfor kan vi tillade os at vælge T pa enmade, der “passer” til elementet x (!)

Lad t0 være det mindste naturlige tal, saledes at xt0 ∈ P . Sa er sideklasserne

P, xP, · · · , xt0−1P

alle forskellige: Antag nemlig at 0 ≤ i ≤ j < t0, og at xiP = xjP . Sa erxj−i = (xi)−1xj ∈ P . Da 0 ≤ j − i < t0 ma j − i = 0 ifølge definitionen af t0,altsa i = j.

HvisX0 := P ∪ xP ∪ · · · ∪ xt0−1P 6= G

vælges y1 ∈ G \X0.

49

Lad t1 være det mindste naturlige tal, saledes at y−11 xt1y1 = (y−1

1 xy1)t1 ∈

P . Sa er sideklasserne

y1P, xy1P, · · · , xt1−1y1P

alle forskellige ifølge definitionen af t1. Disse sideklasser er ogsa forskelligefra sideklasserne fra X0, fordi y1 /∈ X0. Hvis X1 := X0 ∪ y1P ∪ xy1P ∪· · · ∪ xt1−1y1P 6= G, sa vælges y2 ∈ G \ X1, og proceduren fra før gentagestil at opna nye sideklasser y2P1, xy2P, · · · , xt2−1y2P , hvor t2 er det mindstenaturlige tal med y−1

2 xt2y2 ∈ P . Efter endelig mange gentagelser af proce-duren opnas et sæt af elementer y0 = 1, y1, · · · , yn, og et sæt af naturlige talt0, t1, · · · , tn, saledes at

T = {xiyk | 0 ≤ k ≤ n , 0 ≤ i ≤ tk − 1}

repræsenterer P ’s sideklasser i G. Ifølge definitionerne har vi sa

tk ∈ N , y−1k xtkyk ∈ P for alle k = 0, · · · , n

og

|T | = |G : P | =n∑k=0

tk

Der gælder nu, at

V er(x) =

(n∏k=0

y−1k xtkyk

)P ∗ .

Dette ses som følger: Nar xiyk ∈ T , sa er ogsa x(xiyk) ∈ T med mindrei = tk − 1. I dette tilfælde er

x(xiyk) = xtkyk = yk(y−1k xtkyk) ,

hvor altsa yk ∈ T og (y−1k xtkyk) ∈ P . For at fortsætte anvendes det ovenstaende

pa x ∈ P .Nar x ∈ P , er xtk og y−1

k xtkyk elementer i P , som er konjugerede i G.Ifølge definitonen af P ∗ er derfor (xtk)−1(y−1

k xtkyk) ∈ P ∗. Vi far

xtkP ∗ = (y−1k xtkyk)P

∗ .

Heraf følgerV er(x) = x|G:P |P ∗ .

50

Der findes hele tal α, β, sa α|P |+ β|G : P | = 1. Sa er for alle x ∈ P

V er(xβ) = x|G:P |βP ∗ = xα|P |+β|G:P |P ∗ = xP ∗ ,

da xα|P | = (x|P |)α = 1. Derfor er V er surjektiv.Lad L = ker(V er), sa G/L ' P/P ∗. Da |G : L| er en p–potens, ma

G = PL. ((2B) eller (2D)). Vi far |P : P ∗| = |G : L| = |P : P ∩ L| , sa|P ∩L| = |P ∗| . Da P ′ ⊆ P ∗, er P/P ∗ abelsk ifølge (6A) og altsa G/L abelsk.Sa G′ ⊆ L (igen ifølge (6A)), hvorfor P ∩G′ ⊆ P ∩L. Vi far |P ∩G′| ≤ |P ∗|.Da P ∗ ⊆ P ∩G′, fas P ∗ = P ∩G′. �

Definition: Lad K ⊆ L ⊆ G være undergrupper. Vi siger at L kontrollererfusion i K, hvis der gælder:

∀ a, b ∈ K : a ∼G b⇒ a ∼L b .

Her er et simpelt eksempel pa kontrol af fusion:

(6E) Lemma: Hvis P ∈ Sylp(G) er abelsk, sa kontrollerer NG(P ) fusion iP .

Bevis Antag at a, b ∈ P, g ∈ G og gag−1 = b. Vi har sa, at gCG(a)g−1 =CG(b). Da P er abelsk, er P ∈ Sylp(CG(a)) og P ∈ Sylp(CG(b)). Ifølgedet ovenstaende ma ogsa gPg−1 ∈ Sylp(gCG(a)g−1) = Sylp(CG(b)). Hvis vianvender Sylows sætning pa Sylowgrupperne gPg−1 og P i CG(b), kan vifinde c ∈ CG(b), sa gPg−1 = cPc−1. Hvis vi sætter n = c−1g ses umiddelbart,at n ∈ NG(P ) og nan−1 = b. �

(6F) Sætning: Hvis P ∈ Sylp(G), og hvis L ⊇ P kontrollerer fusion i P ,sa gælder

P ∩G′ = P ∩ L′ .

Bevis: Ifølge antagelsen gælder:

∀ x, y ∈ P : x ∼G y ⇔ x ∼L y .

Derfor har ifølge (6D) P ∩G′ og P ∩L′ de samme frembringende elementer,sa

P ∩G′ = P ∩ L′ .

�

51

(6G) Korollar: Hvis P ∈ Sylp(G) er abelsk, sa gælder P ∩G′ = P ∩NG(P )′.

Bevis: Brug (6E) og (6F). �

(6H) Eksempel: Lad os checke hvad (6D) betyder for en 2–Sylow gryppe iS4 (og i S5). Ifølge (4B) er

P = 〈(1, 2, 3, 4), (1, 4)(2, 3)〉 ∈ Syl2(S4) .

P er en diedergruppe og indeholder følgende elementer

P = {(1), (1, 2, 3, 4), (1, 4, 3, 2), (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3), (1, 3), (2, 4)} .

Af disse elementer er kun følgende konjugerede i S4 (og i S5!)

(i) (1, 2, 3, 4) og (1, 4, 2, 3) = (1, 2, 3, 4)−1

(ii) (1, 2)(3, 4) og (1, 3)(2, 4) og (1, 4)(2, 3)

(iii) (1, 3) og (2, 4).

Lad P ∗ = P ∩ (S4)′. Fra (i) og (iii) far vi kun (13)(24) som frembringer i

P ∗. Fra (ii) far vi (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3), idet ethvert element i (ii)er et produkt af de to andre. Sa P ∗ = {(1), (1, 3)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)},Klein’s firegruppe. I S5 fas samme resultat!

Dette eksempel viser ogsa, at (6G) er forkert nar P ikke er abelsk: I S4

er der tre 2–Sylow grupper, sa |S4 : NS4(P )| = 3, altsa NS4(P ) = P . Derforer

P ∩NS4(P )′ = P ′ = {(1), (1, 3)(2, 4)} 6= P ∗ = P ∩ S ′4 .

Resultatet (6G) kan generaliseres til det følgende:

(6I) Sætning: (Grun’s sætning) Lad P ∈ Sylp(G). Der gælder

P ∩G′ = 〈P ∩NG(P )′ , P ∩ g−1P ′g | g ∈ G〉 .

Bemærkninger: Hvis P er abelsk, sa er P ′ = {1}, og derfor P ∩ g−1P ′g = 1for alle g ∈ G. Sa (6I) medfører (6G). Vi skal igen betragte Verlagerung i enabelsk faktorgruppe af P , og far nu brug for at udvælge sideklasserepræsen-tanter for P i G pa en særlig made. Man starter med at opdele G i dobbeltesideklasser modulo P , sa vi ma her indskyde lidt om dobbelte sideklasser.

52

Dette gøres for en ordens skyld helt generelt.Hvis H, K er undergrupper i G, g ∈ G kaldes delmængden

HgK = {x ∈ G | ∃h ∈ H , k ∈ K : x = hgk}

en dobbelt (H,K)–sideklasse. De dobbelte sideklasser er ækvivalensklasserneder hører til en ækvivalensrelation H ≡K pa G:

gH ≡K g1 ⇔ ∃h ∈ H , k ∈ K : g = hg1k .

Derfor udgør (H,K)’s dobbelte sideklasser en klassedeling i G. I modsætningtil et resultat om sideklasser gælder ikke, at |HgK| | |G|. Der gælder

(6J) Sætning: Den dobbelte sideklasse HgK er foreningsmængden af |H :H ∩ gKg−1| højresideklasser til K (og af |K : K ∩ g−1Hg| venstresideklassertil H). Specielt gælder

|HgK| = |H : H ∩ gKg−1 | |K| (= |K : K ∩ g−1Hg| |H|) .

Bevis. Det er klart, at HgK er en foreningsmængde af sideklasser til K.Hvis h1, h2 ∈ H gælder

h1gK = h2gK ⇔ g−1h−12 h1g ∈ K ⇔ h−1

2 h1 ∈ gKg−1 ∩H ,

hvoraf det første udsagn fas. Det andet bevises analogt. (Man kan ogsabevise (6J) ved at anvende (2A) pa undergrupperne H og gKg−1 i G. Overvejdette!) �

Nar u ∈ P , P ∈ Sylp(G), g∗ ∈ G giver vi en beskrivelse af noglesideklasserepræsentanter i Pg∗P , som egner sig til at indga i beregningenaf V er(u).

(6K) Lemma: Lad u ∈ P , P ∈ Sylp(G), g∗ ∈ G. Der eksisterer g ∈ G,1 = a0, a1, · · · , ar ∈ P , t0, t1, · · · , tr ≥ 0, saledes at følgende er opfyldt:

(1) Pg∗P = PgP .

(2) PgP =r⋃i=0

pti−1⋃j=0

ujaigP .

(3) For alle i er g−1a−1i up

tiaig ∈ P

53

(4) For alle i er g−1uptig ∈ P .

(5)r∑i=0

pti = |P : P ∩ gPg−1|.

Bevis: Venstremultiplikation med u giver en permutation af mængden af de|P : P ∩ g∗Pg∗−1| højresideklasser til P , der er indeholdt i Pg∗P . Da u er etelement af p–potens orden, har alle cyklerne i denne permutation en længde,som er en potens af p. For vilkarlige a ∈ P , g ∈ Pg∗P kan vi derfor definereet tal t(a, g) ≥ 0 ved at

pt(a,g) = min{s ∈ N | usagP = agP} .

(Det betyder altsa, at pt(a,g) netop er cykellængden af den cykel i den oven-nævnte permutation, der indeholder sideklassen agP .) Fra definitionen erdet umiddelbart klart at der gælder

∀ g ∈ Pg∗P , a, b ∈ P : t(a, g) = t(ab, b−1g) .

Vælg nu b ∈ P saledes, at der gælder

t(b, g∗) ≤ t(a, g∗) for alle a ∈ P ,

og sætg = bg∗ .

Med dette valg af g har vi for alle a ∈ P , at

t(1, g) = t(1, bg∗) = t(bb−1, bg) = t(b, g∗)

≤ t(ab, g∗) = t(ab, b−1bg∗) = t(a, bg∗) = t(a, g) ,

altsa

(i) ∀a ∈ P : t(1, g) ≤ t(a, g).

Med det ovennævnte valg af g har vi selvfølgelig, at PgP = Pg∗P , sa (1) eropfyldt.

En typisk cykel i den ovennævnte permutation af sideklasserne i PgP harformen

agP , uagP, · · · , upt(a,g)−1agP ,

hvor a ∈ P , og hvor upt(a,g)

agP = agP . Det betyder, at

54

(ii) ∀a ∈ P : g−1a−1upt(a,g)

ag ∈ P .

Det er nu klart, at vi kan vælge a0 = 1, a1, · · · , ar ∈ P , saledes at P ’ssideklasser i PgP netop er

ujaigP , 0 ≤ i ≤ r , 0 ≤ j ≤ pt(ai,g) − 1 .

Hvis vi sa sætter ti = t(ai, g), sa er (2) opfyldt og (3) følger fra (ii) ovenfor.Endvidere er (5) opfyldt (ifølge (1) og (6J)). For at vise (4) bemærker vi, at

∀i : t0 = t(1, g) ≤ ti = t(ai, g)

(ifølge (i)). Da a0 = 1 er ifølge (ii), g−1upt0g ∈ P . Derfor er for alle i

g−1uptig = (g−1up

t0g)pti−t0 ∈ P .

Altsa er (4) opfyldt. �

Vi kan nu bevise (6I).

Bevis for (6I): Lad P ∗ = 〈P ∩ NG(P )′, P ∩ g−1P ′g | g ∈ G〉. Da P ∩NG(P )′ ⊆ P ∩G′ og P ∩ g−1P ′g ⊆ P ∩G′ for alle g, fas at P ∗ ⊆ P ∩G′. Viviser den anden inklusion ved at betragte Verlagerung V er : G→ P/P ∗. (Vibemærker, at P ∩P ′ = P ′ ⊆ P ∗, sa P/P ∗ er abelsk ifølge (6A)). Først vises:

(*) Hvis u ∈ P , sa eksisterer der et repræsentantsystem S for de dobbelte(P, P )-sideklasser i G, saledes at

V er(u) =(∏

g∈S g−1u|P :P∩gPg−1|g

)P ∗

For at vise (∗) deler vi G i dobbelte sideklasser Pg∗P , og sa anvender vi(6K) pa hver af disse dobbelte sideklasser. Vi sætter alle repræsentanterneujaig fra (6K) (2) sammen til et fuldstændigt repræsentantsystem fra P ’shøjresideklasser i G. Med dette system bliver

(**) V er(u) =(∏

g∈S Πig−1a−1

i uptiaig

)P ∗ .

(Vi lader g’erne fra (6K) danne repræsentantsystemet S for de dobbelte(P, P )-sideklasser i G. Selvfølgelig afhænger ai’erne og ti’erne af de enkelteg’er.)

Ifølge (6K) (3) og (4) er for ethvert g ∈ S og ethvert i

x = g−1a−1i up

tiaig ∈ P og y = g−1uptig ∈ P .

55

Sa erg−1u−p

tia−1i up

tiaig = y−1x ∈ P .

Men da upti , ai ∈ P, er u−p

tia−1i up

tiai ∈ P ′, sa vi far y−1x ∈ P ∩g−1P ′g ⊆ P ∗.Derfor er

g−1aiuptiaigP

∗ = xP ∗ = yP ∗ = g−1uptigP ∗ .

Under anvendelse af (6K) (5) og (∗∗) fas nu

V er(u) =∏g∈S

(Πig

−1uptig)P ∗ =

(∏g∈S

g−1u|P :P∩gPg−1|g

)P ∗ ,

hvilket er (∗).Antag nu, at u ∈ P ∩ G′. Vi viser ved induktion efter |u|, at u ∈ P ∗.

Det er triveielt rigtigt for |u| = 1. Antag at pastanden er vist for elementeraf orden < |u|. Vi anvender (∗) pa u, og far

V er(u) =

(∏g∈S

g−1u|P :P∩gPg−1|g

)P ∗ .

Lad os bemærke, at ifølge (6D) (4) er g−1u|P :P∩gPg−1Pg|g ∈ P for alle g ∈ S,og da G′ �G, ses at

∀g ∈ S : g−1u|P :P∩g−1Pg|g ∈ P ∩G′

Hvis nu P 6= P ∩ g−1Pg, ¨sa har g−1u|P :P∩g−1Pg|g mindre orden end u og erderfor i P ∗, ifølge induktionsantagelsen. Da P = P ∩ g−1Pg ⇔ g−1Pg =P ⇔ g ∈ NG(P ), ses at

V er(u) =

∏g∈S∩N(P )

g−1ug

P ∗ .

Da u ∈ P ⊆ N(P ) fas, at u−1g−1ug ∈ P ∩N(P )′ ⊆ P ∗ for alle g ∈ N(P ), sa

V er(u) =∏

g∈S∩N(P )

uP ∗ = u|S∩N(P )|P ∗ .

Nu er g ∈ NG(P ) ⇔ PgP = gP = Pg, sa vi ser let, at |S ∩ NG(P )| =|NG(P ) : P |, altsa

V er(u) = u|NG(P ):P |P ∗ .

56

Nu er V er en homomorfi fra G ind i en abelsk gruppe, sa G′ ⊆ Ker(V er).Da u ∈ G′ ma ogsa V er(u) = P ∗, sa

u|NG(P ):P | ∈ P ∗ .

Da p - |NG(P ) : P | findes der hele tal, saledes at α|P | + β|NG(P ) : P | = 1.Sa er

u = uα|P |u|N(P ):P |β = u|N(P ):P |β ∈ P ∗ ,som ønsket. �

Lad P ∈ Sylp(G). Z(P ) betegner P ’s centrum. Gruppen G kaldes p–normal hvis der gælder:

∀g ∈ G : gZ(P )g−1 ⊆ P ⇒ gZ(P )g−1 = Z(P ).

(F.eks. er G p–normal, hvis P er abelsk.)

Det næste resultat kan ses som en generalisering af (6G) i en anden ret-ning.

(6L) Sætning: (Grun’s 2. sætning) Lad G være p–normal. Lad P ∈Sylp(G) og H = NG(Z(P )). Sa er P ∩G′ = P ∩H ′.Bevis: Lad N = NG(P ). Da Z(P )charP �N fas, at Z(P ) �N ifølge (1A).Derfor er N ⊆ NG(Z(P )) = H. Specielt er P ∩N ′ ⊆ P ∩H ′. Hvis vi nu kanvise:

(∗) ∀ g ∈ G : P ∩ g−1P ′g ⊆ P ∩H ′

sa vil (ifølge (6I))

P ∩G′ = 〈P ∩N ′ , P ∩ g−1Pg | g ∈ G〉 ⊆ P ∩H ′ .

Da trivielt P ∩H ′ ⊆ P ∩G′, vil resultatet hermed være bevist. Vi skal altsabevise (∗).

Lad g ∈ G og sæt D = P ∩g−1P ′g. Da D ⊆ P, ma Z(P ) ⊆ CG(D), og daD ⊆ g−1P ′g ⊆ g−1Pg, er g−1Z(P )g ⊆ CG(D). Vælg nu S, T ∈ Sylp(CG(D))sa Z(P ) ⊆ S og g−1Z(P )g ⊆ T . Der eksisterer et c ∈ CG(D), sa c−1Tc = Sifølge Sylow’s sætning. Lad endvidere Q ∈ Sylp(G), sa S ⊆ Q. Vi har saat Z(P ) ⊆ Q, og at c−1g−1Z(P )gc ⊆ Q. Da G er p–central fas Z(P ) =c−1g−1Z(P )gc, eller at h = gc ∈ H. Da c ∈ CG(D), er

D = c−1Dc = c−1(P ∩ g−1P ′g)c = c−1Pc ∩ h−1P ′h

57

⊆ h−1P ′h ⊆ h−1H ′h = H ′ ,

sa D ⊆ P ∩H ′. �

(6M) Sætning: (Burnside) Lad P ∈ Sylp(G). Hvis P ⊆ Z(NG(P )), sa harG et normalt p–komplement K.

Bevis: Vi viser, at P ∩ G′ = {1}, hvorefter eksistensen af K vil følge fra(6C). Sæt N = NG(P ). Vi har at P ⊆ Z(N), og da P ⊆ N = NG(P ) sluttervi, at P er abelsk. Ifølge (6G) er altsa

(∗∗) P ∩G′ = P ∩N ′ .

Men P ∩N ′ kan vi beregne ved hjælp af (6D). Vi ser, at da P ⊆ Z(N) gælderfor x, y ∈ P , at x ∼N y ⇔ x = y. Ifølge (6D) er P ∩N ′ = {1}, sa (∗∗) giverP ∩G′ = {1}, som ønsket. �

I det følgende far vi brug for

(6N) Lemma: Nar L er en undergruppe af G, sa er CG(L) � NG(L), ogfaktorgruppen NG(L)/CG(L) er isomorf til en undergruppe af Aut(L).

Bevis: Hvis x ∈ NG(L) defineres ved

αx : ` 7→ x`x−1

en automorfi af L. Afbildningen x → αx er en homomorfi fra NG(L) ind iAut(L) med CG(L) som kerne. �

(6P) Bemærkning Hvis L er cyklisk, sa er Aut(L) abelsk. Hvis L er elemen-tær abelsk p–gruppe af orden pn, kan L betragtes som et vektorrum over leg-emet Zp med p–elementer, dimL = n. Automorfierne af gruppen L “svarer”sa til lineære afbildninger af vektorrummet L. Sa Aut(L) ' GL(n,Zp),mængden af invertible n× n–matricer med koefficienter fra legemet Zp.

(6Q) Sætning: Lad p være det mindste primtal, som gar op i |G|. HvisP ∈ Sylp(G) er cyklisk, sa har G et normalt p–komplement. Specielt vil altsaen gruppe med en cyklisk 2–Sylow gruppe altid have et normalt 2–komplement.Bevis: Ifølge (6N) er NG(P )/CG(P ) isomorf til en undergruppe af Aut(P ).Nu er Aut(P ) en abelsk gruppe af orden pn−1(p − 1), nar |P | = pn. Menda pn | |CG(P )| fordi P er abelsk, fas p - |NG(P ) : CG(P )|. Nu er p er detmindste primtal i |G|, sa sfd ((p − 1), |G|) = ((p − 1), |NG(P )|) = 1. Vi far

58

at |NG(P ) : CG(P )| = 1, altsa NG(P ) = CG(P ), sa P ⊆ Z(NG(P )). Anvend(6M). �

(6R) Sætning: En simpel gruppe af orden 60 er isomorf til den alternerendegruppe A5.

Bevis. Lad G være simpel, |G| = 60. Vælg P ∈ Syl2(G), sa |P | = 4.Sa er |G : NG(P )| =: n2(G) lig antallet af 2–Sylow grupper i G. Vi harn2(G)|15 = |G : P |. Ifølge (5E) er n2(G) ≥ 5, sa n2(G) ∈ {5, 15}. Hvisn2(G) = 15, sa er P = NG(P ), da |NG(P )| = 60

15= 4. Ifølge (6M) er dette

ikke muligt. Derfor er n2(G) = |G : NG(P )| = 5, og pastanden fas fra (5E).�

(6S) Lemma: Hvis G/Z(G) er cyklisk, sa er G abelsk. (Se ogsa GT3).

Bevis: Antag at G/Z(G) = 〈b〉, hvor b = b · Z(G), b ∈ G. Sa kan ethvertelement i G skrives pa formen bi · z, i ∈ Z , z ∈ Z(G). Heraf ses let at G erabelsk, fordi potenserne af b og de centrale elementer alle kommuterer medhinanden. �

Vi minder om, at G(i) er den i’te kommutatorgruppe i G

G(0) = G; G(1) = [G,G]; G(i) = [G(i−1), G(i−1)] .

Vi har G(i)charG for alle i, ifølge (1A)(2).

(6T) Sætning: Antag, at i ≥ 1 og at faktorgrupperne G(i)/G(i+1) ogG(i+1)/G(i+2)

begge er cykliske. Sa er G(i+1) = G(i+2).Bevis: Forudsætningerne i sætningen afhænger hverken af, hvadG(0), · · · , G(i−1)

er, eller hvad G(j) er for j ≥ i + 2. Vi kan derfor antage at i = 1, og atG(i+2) = G(3) = {1}. Vi ved sa, at G(2)/G(3) = G(2) = 〈a〉 er cyklisk. DaG(2) = G′′ = 〈a〉�G, er NG(〈a〉) = G. Lad X = CG(a). Ifølge (6N) er G/Zisomorf til en undergruppe af Aut(〈a〉). Ogsa Aut(〈a〉) er abelsk ((6P)). SaG/X er abelsk. Det betyder, at G′ ⊆ X. Vi har sa

G′′ = 〈a〉 ⊆ G′ ⊆ X = CG(a) .

Da G′ ⊆ CG(a), er G′′ = 〈a〉 ⊆ Z(G′). Derfor er, ifølge en isomorfisætning,

G′/Z(G′) '(G′/〈a〉) /

(Z(G′)/〈a〉) .

59

Da G′/〈a〉 = G′/G′′ er cyklisk, fas at G′/Z(G′) er cyklisk. Ifølge (6S) er G′

abelsk, sa G(2) = (G′)′ = {1}. Altsa G(2) = G(3)(= {1}), som ønsket. �

Vi kan nu give en beskrivelse af de endelige grupper, hvor alle Sylowgrupper er cykliske (for alle primtal). En sadan gruppe kaldes en Z-gruppe.(Z er en forkortelse for Zassenhaus. Hans Zassenhaus 1912–1991. (Jfr. ogsaKapitel 3)).

(6U) Sætning: En Z–gruppe er opløselig.

Bevis Lad G være en Z–gruppe. Beviset er ved induktion efter |G|. Lad pvære det mindste primtal, som gar op i |G|. Ifølge (6Q) har G et normaltp–komplement K. Sa er G/K en (cyklisk) p–gruppe, altsa opløselig, og Ker opløselig ifølge induktionsantagelsen (jfr. ogsa Sætning (2F), som viser atK er en Z–gruppe). Hermed er G opløselig. �

(6V) Lemma: En abelsk Z–gruppe er cyklisk.

Bevis: Antag, at G er en abelsk Z–gruppe |G| = p1a1p2

a2 · · · pkak , pi 6= pj,i 6= j primtal. Lad xi være en frembringer for pi–Sylow gruppen i G, og sætx = x1x2 · · ·xk. Sa er 〈x〉 = G. �

(6W) Sætning: En Z–gruppe G er et semidirekte produkt

G = AoB ,

hvor A og B er cykliske.

Bevis: G er opløselig ifølge (6U). Betragt kommutatorrækken

G = G(0) ⊃ G(1) ⊃ · · · ⊃ G(k) − {1} .

Faktorgrupperne G(i)/G(i+1) er abelske Z–grupper, og derfor cykliske ifølge(6V). Sa viser (6T ) at G(2) = {1}! Vi har nu at G/G′ og G′ er cykliske.Lad |G′| = m, |G : G′| = n, sa |G| = mn. Lad G′ = 〈a〉 og vælg b ∈ G saG/G′ = 〈bG′〉. Vi har G = 〈a, b〉. Da 〈a〉�G, er b−1ab = ar, hvor 〈ar〉 = 〈a〉(sa (r.m) = 1). Endvidere er

a−1b−1ab = ar−1 .

Hvis X = 〈ar−1〉, sa er G/X = 〈aX, bX〉. Da [a, b] ∈ X, er G/X abelsk,sa G′ ⊆ X. Hermed ma G′ = X = 〈ar−1〉. Da altsa |a| = |ar−1|, er(r − 1,m) = 1. Da G/G′ = 〈bG′〉 har orden n, er bn ∈ G′, lad os sige

bn = as .

60

Sa er bn = b−1bnb = b−1asb = (b−1ab)s = ars, altsa as = ars. Derfor ma|a| = m | (r − 1)s. Da (m, r − 1) = 1 ma m|s, og da am = 1 er as = 1.Hermed er bn = as = 1. Sa |b| = n. Vi kan nu vise (m,n) = 1. Hvis nemligp|m, p|n, p primtal og m = m1p, n = n1p, sa er am1 og bn1 elementer aforden p, og da 〈a〉 ∩ 〈b〉 = {1} ses, at 〈am1 , bn1〉 er abelsk gruppe af orden p2,som ikke er cyklisk. Det er umuligt, da G’s p–Sylow grupper er cykliske. Sa(m,n) = 1. �

Vi har nu vist, at G er et semidirekte produkt af A = G′ = 〈a〉 og B = 〈b〉.Lad os bemærke, at da (m,n) = 1, er A og B Hall undergruppe i G.

I tilfældet, hvor alle Sylow grupper har primtalorden, er der et stærkereudsagn end (6W):

(6X) Sætning: Antag, at |G| = p1p2 · · · pr, hvor p1 < p2 < . . . < pr erprimtal. Sa er

G = AoB ,

hvor der findes et s, 1 ≤ s ≤ r sa

|B| = p1 · · · ps , |A| = ps+1 · · · pr .

61

7. Grupper af en given endelig ordenG7- 2009-version

Dette kapitel er noget anderledes end de øvrige. Det er inspireret af siderne203-215 i bogen

D.S.Dummitt, R.S. Foote: Abstract algebra, Prentice-Hall 1991.

Vi illustrerer metoder til at studere endelige grupper af en given orden. Mankan fx. ønske at vise, at sadan gruppe ikke kan være simpel.Vore hjælpemidler er Sylows sætninger og især resultater fra noternes kapitler5 og 6. Først anføres en række bemærkninger, som kan være nyttige veddenne type opgaver, og derefter en række eksempler.

Bemærkninger:

(I) Hvis P ∈ Sylp(G), sa gælder for antallet np(G) := |Sylp(G)|, at

np(G) = |G : NG(P )| og np(G) ≡ 1(mod p).

Hvis G er simpel og p - |G|, ma np(G) > 1, med mindre G er cyklisk aforden p.

(Dette følger fra Sylows sætning.)

(II) Hvis P ∈ Sylp(G) har orden p, sa har G præcis (p− 1)np(G) elementeraf orden p.

(Vi har jo, at da |P | = p, kan ingen af de np(G) Sylowgrupper haveelementer 6= 1 fælles. Hver Sylowgruppe indeholder (p − 1) elementer6= 1. Tælleargumentet virker ikke, hvis |P | > p, med mindre man kanvise at der for 2 vilkarlige forskellige undergrupper P, P ∗ ∈ Sylp(G)gælder at P ∩P ∗ = 1. Man siger i dette tilfælde, at Sylowgrupperne erTI, dvs. “Trivial Intersection.” )

(III) Hvis man vil vise, at Sylowgrupperne i G er TI (for fx. at kunnetælle p-elementer, se (II)), kan man gøre det indirekte ved at betragteen fællesmængde R = P ∩ P ∗ 6= 1 af maximal orden af to forskelligeSylowgrupper P og P ∗. Da p-grupper er nilpotente (se Kapitel 8-9)kan undergruppen R af P (hhv. P ∗) ikke være sin egen normalisatori P (hhv. P ∗.) Man vil sa vide, at NG(R) ma have mindst (p + 1) p-Sylowgrupper, idet p-undergrupperne NP (R) og NP ∗(R) af NG(R) ikke

62

kan være indeholdt i samme p-Sylowgruppe T afNG(R), pa grund afR′smaksimalitet. Hvis de var, og T ⊆ U,U ∈ Sylp(G), matte P = U = P ∗,da |P ∩U | ≥ |NP (R)| > |R| og |P ∗∩U | ≥ |NP ∗(R)| > |R|. Der er altsaen chance for, at NG(R) kan blive en meget stor undergruppe af G. Seogsa Bemærkning (XI).

(IV) Hvis G er simpel og p er det største primtal, som gar op i |G|, sa harG ingen undergruppe U af index k, 1 < k < p.

(Hvis den gør, vil G have en normal undergruppe N, N ⊆ U ⊆ G, saG/N er isomorf til en undergruppe af Sk. (Korollar (5E)) Det er klart,at N = 1. Da p | |G|, men p - k!, fordi k < p, har vi en modstrid.)

(V) Vi kan generalisere (IV) som følger: Hvis G er en gruppe, defineress(G) := min{t ∈ N | |G| | t!}. Der gælder sa: Hvis G er simpel, sa harG ingen undergruppe af index k, hvor 1 < k < s(G).

(Hvis den har, sa vil G være isomorf til en undergruppe af Sk, som visa i (IV). Specielt vil sa |G| | k!, hvilket strider mod, at k < s(G).)

(VI) Bemærkning (V) kan ogsa forstærkes lidt: Hvis G er simpel af orden≥ 3 og har en undergruppe af index k > 1, sa er enhver undergruppeaf G isomorf til en undergruppe af den alternerende gruppe Ak.

(Vi har jo, at G i første omgang ma være isomorf til en undergruppeH af Sk. Men H ma faktisk være en undergruppe af Ak : Hvis H * Aksa vil H ∩Ak have index 2 i H. Men da H er simpel (isomorf til G) harvi en modstrid.)

(VII) Hvis p er et ulige primtal og P ∈ Sylp(Ak) sa er

|NAk(P )| = 1

2|NSk(P )|.

(Dette følger let fra Frattiniargumentet.)

(VIII) Hvis p er et ulige primtal, k = p eller k = p+ 1 og P ∈ Sylp(Ak) sa er|NAk(P )| = 1

2p(p− 1).

(Det er ikke svært at indse, at i disse tilfælde for k er |NSk(P )| =p(p− 1). (Øvelse.) Brug sa (VII).)

63

(IX) Antag at p < q er primtal, saledes at p - (q − 1). (Sa ved vi, at enhvergruppe af orden pq er cyklisk). Antag at P ∈ Sylp(G) og Q ∈ Sylq(G)begge er cykliske af orden p og q henholdsvis. Sa gælder

p | |NG(Q)| ⇔ q | |NG(P )|.

(Hvis p | |NG(Q)|, sa indeholder NG(Q) en undergruppe P ∗ af orden p.Sa er P ∗Q en undergruppe af orden pq i G, som altsa er cyklisk. Derforcentraliserer Q og P ∗ hinanden, sa Q ⊆ CG(P ∗) ⊆ NG(P ∗). Da P ogP ∗ er konjugerede i G, sa er ogsa NG(P ) og NG(P ∗) konjugerede. Vifar q | |NG(P )|. Den anden retning bevises analogt.)

(X) Man kan ogsa ’spille primtal ud mod hinanden’ i andre situationerend den i (IX). Antag at P er en p-undergruppe og at primtallet q eren divisor i |NG(P )|. Man kan sa kikke pa antallet af q-Sylowgrupper iNG(P ) under anvendelse af fx. (I). Hvis det viser sig, at nq(NG(P )) = 1,ma NG(P ) ⊆ NG(Q), hvor Q ∈ Sylq(NG(P )). Der vil maske være andreundergrupper i NG(Q), fx. hvis Q 6∈ Sylq(G), hvilket kan gøre denneundergruppe meget stor. Man kan derefter bruge fx.(IV)-(VI).

(XI) Antag at np(G) 6≡ 1(mod p2). Sa findes der p-Sylowgrupper P, P ∗ i G,saledes at R = P ∩ P ∗ har index p i P og i P ∗. Specielt vil NG(R)indeholde mindst (p+ 1) p-Sylowgrupper.

(Dette ses som følger: Vælg P ∈ Sylp(G). Betragt for P ∗ ∈ Sylp(G)mængden {P ∗x|x ∈ P}, altsa mængden af P -konjugerede undergruppertil P ∗. Hvis x ∈ P og P ∗x = P ∗, sa er < P ∗, x >= P ∗ < x > en p-undergruppe i G. Da P ∗ er en Sylowgruppe, ma x ∈ P ∗, altsa x ∈P ∩ P ∗. Derfor indeholder mængden {P ∗x|x ∈ P}, netop |P : P ∩ P ∗|Sylowgrupper. Antagelsen np(G) 6≡ 1(mod p2) viser derfor, at der mafindes en p-Sylowgruppe P ∗ 6= P, sa p2 - |P : P ∩ P ∗|. I dette tilfædesættes R = P ∩ P ∗. Da p-grupper er nilpotente (se Kapitel 8-9) kanundergruppen R af P (hhv. P ∗) ikke være sin egen normalisator i P(hhv. P ∗.) Derfor ma P, P ∗ ⊆ NG(R). )

Og her er sa Eksemplerne:

Eksempel 1: En gruppe G af orden 132 = 22 · 3 · 11 er ikke simpel.

64

Bevis: Hvis man vil føre antagelsen, at G er simpel til en modstrid, kanman her ’tælle elementer’. Det er som regel godt at starte med de størsteprimtal. Bemærk, at hvis G er simpel, sa er np(G) 6= 1 for p = 2, 3, 11. Dan11(G) | 12, fas n11(G) = 12, sa G har 12 · 10 = 120 elementer af orden 11ifølge (I). Da n3(G) ≥ 4, har G mindst 4 · 2 = 8 elementer af orden 3 ifølge(I). I alt er der mindst 128 elementer af orden 11 og 3 i G. Rest: 4 elementer.Blandt disse 4 elementer ma være alle elementer i alle 2-Sylowgrupper i G.Vi far n2(G) = 1, en modstrid. �

Eksempel 2: En gruppe G af orden p2 · q, hvor p og q er primtal, er ikkesimpel: Enten er en p-Sylowgruppe eller en q-Sylowgruppe normal i G.

Bevis: Antag at np(G) > 1, altsa at en p-Sylowgruppe P ikke er normal.Vi far np(G) = q, sa |NG(P )| = p2. Heraf ses at NG(P ) = P, og da P erabelsk (det er enhver gruppe af primtalskvadratorden), fas P ⊆ Z(NG(P )).Sætning (6M) viser, at G har et normalt p-komplement, som altsa ma haveorden q.Alternativt kan man ogsa ved elementære talteoretiske overvejelser vise, atnp(G) > 1⇒ nq(G) = 1. �

Eksempel 3: En gruppe G af orden 3393 = 32 · 13 · 29 er ikke simpel.

Bevis: Dette og de næste 2 eksempler bruger ’undergrupper af lille index’.Hvis G er simpel, kan G ikke indeholde en undergruppe U af index 1 < k <29, ifølge (IV). Men n3(G) = 13, da alle andre divisorer 6= 1 af 13 · 31 ikke erkongruent til 1 (mod 3). Derfor ma 3-Sylow-normalisatoren have index 13,ifølge (I), en modstrid. Ideen i dette eksempel kan ofte bruges. �

Eksempel 4: En gruppe G af orden 396 = 22 · 32 · 11 er ikke simpel.

Bevis: Antag G simpel. Da 12 er den eneste divisor > 1 af 22 · 32, somer kongruent 1 modulo 11, er n11(G) = 12. G og dens undergrupper eraltsa isomorf til undergrupper af A12, ifølge (IV). Hvis P ∈ Syl11(G), er|NG(P )| = 33 = 3 · 11. Men A12 (eller S12 for den sags skyld) har ingenundergruppe af orden 33. En sadan undergruppe matte være cyklisk, daenhver gruppe af orden 33 er cyklisk. Et element af orden 33 i en symmetriskgruppe kræver mindst 11+3=14 elementer at operere pa. Man kunne pa dettested ogsa i stedet bruge (VIII). �

Eksempel 5: En gruppe G af orden 224 = 25 · 7 er ikke simpel.

65

Bevis: Antag G simpel. Vi far n2(G) = 7, sa G er isomorf til en undergruppeaf A7, ifølge (VI). Men 25 - |A7|. �

Eksempel 6: En gruppe G af orden 4095 = 32 · 5 · 7 · 13 er ikke simpel.

Bevis: Antag G simpel. Ifølge (I) er n7(G) = 15 og n13(G) = 105 = 3 · 5 · 7.Hvis P ∈ Syl7(G) og Q ∈ Syl13(G) fas |NG(P )| = 4095/15 = 3 · 7 · 13 og|NG(Q)| = 4095/105 = 3 · 13. Dette strider mod (IX). �

Eksempel 7: En gruppe G af orden 351 = 34 · 13 er ikke simpel.

Bevis: Antag G simpel. Lad P ∈ Syl3(G). Vi har, at n3(G) = 13 ifølge (I),sa n3(G) 6≡ 1 (mod 32). Ifølge (XI) findes P ∗ ∈ Syl3(G), sa R = P ∩ P ∗har orden 33. Lad X = NG(R). Sa indeholder X mindst 2 3-Sylowgrupper,menlig P og P ∗. Hermed gælder, at |P | er en ægte divisor af |X|, da ellersP = X. Vi far X = G, sa R / G, en modstrid. �

Eksempel 8: En gruppe G af orden 2205 = 32 · 5 · 72 er ikke simpel.

Bevis: Antag G simpel. Vi far n7(G) = 15 6≡ 1 (mod 72). Vælg ifølge (XI)P, P ∗ ∈ Syl7(G), sa R = P ∩ P ∗ har orden 7. Sa gælder for X = NG(R) atn7(X) > 1. Da n7(X) | 45 = |G : P |, fas n7(X) = n7(G) = 15. Sa indeholderX alle 7-Sylowgrupper fra G. Da G frembringes af disse, fas X = G, enmodstrid. �

66

8. Frattini undergruppen. Nilpotentegrupper. Fitting undergruppen

G8 - 2009-version

Lad G være en gruppe. Undergruppen M ⊆ G, M 6= G, kaldes maksimali G, hvis der ingen undergrupper K findes med M ⊂ K ⊂ G. Max(G)betegner mængden af maksimale undergrupper i G. Hvis G 6= {1} er enendelig gruppe, sa er Max(G) 6= ∅, og vi sætter

Φ(G) =⋂

M∈Max(G)

M.

Vi kalder Φ(G) for Frattini-(under)gruppen i G. Nar M ∈ Max(G) og α ∈Aut(G), sa er igen α(M) ∈ Max(G). Derfor er Φ(G) char G og specieltaltsa Φ(G) �G. Hvis G = {1} sættes Φ(G) = {1}.

Det viser sig, at Φ(G) har forbindelse med “ikke-frembringere” for G:

Nar X ⊆ G, sa er 〈X〉 den af X frembragte undergruppe af G, dvs. denmindste undergruppe i G, som indeholder X. (Se kapitel 1.) Hvis 〈X〉 = G,kalder vi X en frembringermængde for G.

Betragt elementer g ∈ G som opfylder:

∀ X ⊆ G : 〈X, g〉 = G⇒ 〈X〉 = G .

Sadanne elementer kaldes ikke-frembringere, fordi de er overflødige i alle frem-bringermængder for G.

Lad I(G) = {g ∈ G | g er ikke− frembringer}.(8A) Sætning: Lad G være en endelig gruppe. Da gælder

Φ(G) = I(G) .

Bemærkning: Denne sætning gælder ogsa nar G er uendelig.

Bevis: Lad g ∈ I(G), M ∈ Max(G). Antag, at g /∈ M . Sa er M ⊂ 〈g,M〉,og da M er maksimal ma 〈g,M〉 = G. Da g ∈ I(G) fas M = 〈M〉 = G, enmodstrid. Der ma altsa gælde g ∈ M for enhver maximale undergruppe M.Vi har vist I(G) ⊆ Φ(G).

Lad nu g ∈ Φ(G). Antag at X ⊆ G, og at 〈g,X〉 = G. Vi skal vise〈X〉 = G. Hvis 〈X〉 6= G, sa findes M ∈ Max(G), med 〈X〉 ⊆ M . Men

67

da g ∈ Φ(G) ⊆ M, fas 〈X, g〉 ⊆ M , en modstrid. Sa 〈X〉 = G. Vi har vistΦ(G) ⊆ I(G). �

(8B) Sætning: Lad G være en endelig gruppe. Lad P ∈ Sylp(Φ(G)). Sa erP �G.

Bevis: Vi anvender Frattini argumentet (1E) pa Φ(G) �G og far

G = Φ(G) ·NG(P ) .

Ved at bruge (8A) ser vi

G = 〈Φ(G), NG(P )〉 = 〈I(G), NG(P )〉 = 〈NG(P )〉 = NG(P ) ,

altsa P �G. �

Bemærkning: Dette viser, at nar G er endelig, sa er alle Sylow grupper forgruppen Φ(G) normale i G og derfor ogsa i Φ(G). Det betyder faktisk, atΦ(G) er et (indre) direkte produkt af sine Sylow grupper (dvs. en endelignilpotent gruppe, se sætning (8J)).

Vi giver i det følgende en beskrivelse af nilpotente grupper. Her er grup-pen G ikke nødvendigvis endelig.

Nar H og K er delmængder af G, sa betegner

[H,K] = 〈[h, k] | h ∈ H , k ∈ K〉

undergruppen af G frembragt af alle kommutatorer af elementer fra H og K.Vi minder om, at Z(G) betegner centret af gruppen G.

Det er let at se, at

H char G , K char G⇒ [H,K] char G

fordi automorfierne af G “blander” frembringere for [H,K], jfr. kapitel 1.

(8C) Lemma: Lad K �G og K ⊆ H ⊆ G. Der gælder

[H,G] ⊆ K ⇔ H/K ⊆ Z(G/K) .

Bevis: Vi har

[H,G] ⊆ K ⇔ ∀h ∈ H ∀g ∈ G : [h, g] ∈ K

68

⇔ ∀h ∈ H/K , ∀g ∈ G/K : [h, g] = 1

⇔ H/K ⊆ Z(G/K) .

�

(8D) Lemma: Lad ϕ : G→ H være en surjektiv homomorfi. Sa gælder

ϕ(Z(G)) ⊆ Z(H) .

Bevis: Lad a ∈ Z(G), h ∈ H. Vi skal vise at [ϕ(a), h] = 1. Da ϕ er surjektivfindes et g ∈ G med ϕ(g) = h. Sa er [a, g] = 1, da a ∈ Z(G) og dermed

1 = ϕ([a, g]) = [ϕ(a), ϕ(g)] = [ϕ(a), h] .

�

I forbindelse med definitionen af nilpotente grupper spiller centralrækkeren vigtig rolle.

Definition: Vi definerer to serier af undergrupper af en vilkarlig gruppe G:Den aftagende centralrække for G

G = L1(G) ⊇ L2(G) ⊇ · · · ⊇ Lc(G) ⊇ · · ·

er fastlagt ved at

L1(G) = G , Li(G) = [Li−1(G), G] for i ≥ 2 .

Den voksende centralrække for G

{1} = Z0(G) ⊆ Z1(G) ⊆ · · · ⊆ Zc(G) ⊆ · · ·

er fastlagt ved

Z0(G) = {1} , Zi(G)/Zi−1(G) = Z(G/Zi−1(G)

)for i ≥ 2 .

(Specielt er altsa Z1(G) = Z(G).)

(8E) Eksempler: (1) Lad G = S4. Vi har Z(G) = {1}, og derfor maZ0(G) = Z1(G) = Z2(G) = · · · = {1}. Der gælder, at G′ = A4. Endvidere

69

er [G′, G] = [A4, S4] = A4, idet f.eks. [(1, 2, 3), (1, 3, 2, 4)] = (1, 2, 4) og[(1, 2, 3), (2, 3, 4)] = (1, 4)(2, 3) frembringer A4. Derfor ma

L1(G) = S4 , L2(G) = L3(G) = · · · = A4 .

(2) Lad G = D8, en diedergruppe af orden 16.

G = 〈x, y | x8 = y2 = 1 , y−1xy = x−1〉 .

Her gælder, at Z(G) = 〈x4〉 og at G/Z(G) ∼= D4. Gruppen D4 har ogsa etcentrum af orden 2, sa vi far

Z(G/〈x4〉) = 〈x2〉/〈x4〉 .

Der gælder, at G/〈x2〉 er en firegruppe. Vi far

Z0(G) = {1} , Z1(G) = 〈x4〉 , Z2(G) = 〈x2〉

Zi(G) = G for i ≥ 3.

Endvidere er G′ = 〈x2〉 (som vi har set tidligere). Der gælder [G′, G] =〈[x2, y]〉 = 〈x4〉 og [〈x4〉, G] = 1, da x4 ∈ Z(G). Vi far

L1(G) = G , L2(G) = 〈x2〉 , L3(G) = 〈x4〉

Li(G) = {1} for i ≥ 4 .

Det første eksempel viser, at den aftagende (hhv. voksende) centralrækkeikke behøver at slutte i {1} (hhv. G). I det andet eksempel var Z2(G) = Gog L3(G) = {1}. Sammenhængen forklares her:

(8F) Sætning: For enhver gruppe G og ethvert m ≥ 0 gælder

Zm(G) = G⇔ Lm+1(G) = {1} .

Endvidere gælder i dette tilfælde, at

(∗) Li+1(G) j Zm−i(G) for alle i

70

Bevis: Lad os først antage at Zm(G) = G, og sa vise inklusionen (∗). Dettegøres ved induktion efter i ≥ 0. For i = 0 er L1(G) = Zm(G) = G, sa (∗) eropfyldt. Antag, at der for et i ≥ 0 gælder

Li+1(G) ⊆ Zm−i(G).

Sa vises, at Li+2(G) ⊆ Zm−i−1: Først er

Li+2(G) = [Li+1(G), G] j [Zm−i(G), G]

ifølge definitionen og induktionsantagelsen. Men ifølge (8C) (med K =Zm−i−1(G) og H = Zm−i(G)) og definitionen pa voksende centralrække, er

[Zm−i(G), G] ⊆ Zm−i−1(G) .

Sa inklusionen (∗) holder ogsa for i = m, dvs.

Lm+1(G) ⊆ Z0(G) = {1}

altsa Lm+1(G) = {1}.Omvendt, hvis Lm+1(G) = {1}, sa vil vi vise, at

(∗∗) Lm+1−j(G) ⊆ Zj(G)

ved induktion efter j ≥ 0. (Bemærk, at dette i virkeligheden er det sammesom (∗), fordi i begge inklusioner er summen af indices lig m+ 1!) For j = 0er Lm+1(G) = Z0(G) = {1}, sa (∗∗) er opfyldt. Antag, at for et j ≥ 0 gælder

Lm+1−j(G) ⊆ Zj(G).

Sa viser vi, at Lm−j(G) ⊆ Zj+1(G): Afbildningen

ψ : gLm+1−j(G) 7→ gZj(G)

fraG/Lm+1−j(G)→ G/Zj(G) er en surjektiv homomorfi, fordi vi har antaget,at Lm+1−j(G) ⊆ Zj(G). Men Lm−j(G)/Lm+1−j(G) j Z (G/Lm+1−j(G)).Dette følger fra (8C) (med K = Lm+1−j(G) og H = Lm−j(G)) og defini-tionen af den aftagende centralrække. Ifølge (8D) afbilder ψ den centraleundergruppe Lm−j(G)/Lm+1−j(G) i G/Lm+1−j(G) ind i centret af G/Zj(G).Men Z(G/Zj(G)) = Zj+1(G)/Zj(G) ifølge definitionen, sa det følger, atLm−j(G) ⊆ Zj+1(G). (Brug definitionen af ψ!)

71

Derfor gælder inklusionen (∗∗) ogsa for j = m, dvs.

G = L1(G) ⊆ Zm(G) ,

altsa G = Zm(G). �

Definition: En gruppe G kaldes nilpotent hvis der findes et m ≥ 0 saZm(G) = G. Det mindste tal m med Zm(G) = G kaldes nilpotensklassen afG. Man siger sa, at G er nilpotent af klasse m.

Bemærkning: G = {1} er nilpotent af klasse 0. En gruppe G 6= {1} ernilpotent af klasse 1, hvis og kun hvis den er abelsk. En ikke-abelsk gruppeG er nilpotent af klasse 2 hvis og kun hvis G′ ⊆ Z(G). (Overvej dette!)

(8F) Sætning: Antag at G er nilpotent.

(1) Enhver undergruppe af G er nilpotent.

(2) Hvis N �G, er G/N nilpotent.

Bevis: (1) Lad U ⊆ G være undergruppe. Fra definitionen fas umiddelbartat

Li(U) ⊆ Li(G) for alle i ≥ 1

(induktion efter i). Da G er nilpotent, sa ma Lm(G) = 1 for et m ≥ 1. Ogsa er ogsa Lm(U) = {1}.

(2) Det er let at se fra definitionen, at

Li(G/N) = Li(G)N/N for alle i ≥ 1 .

Sa hvis Lm(G) = 1, ma ogsa Lm(G/N) = 1, og dermed er G/N nilpotent.�

(8G) Bemærkning: Hvis G = S3, N = A3, sa er bade G/N og N abelske(og altsa nilpotente), men G er ikke nilpotent. (Ln(G) = A3 for n ≥ 2.) Sagruppen S3 er opløselig, men ikke nilpotent.

(8H) Sætning: Antag at G er nilpotent, og at H ⊂ G er en undergruppe6= G. Sa er H 6= NG(H).

Bevis: Antag at Lm(G) = {1}. Da L1(G) = G og H 6= G, eksisterer der eti, 1 ≤ i ≤ m− 1 saledes at Li+1(G) ⊆ H, men Li(G) * H. Sa er

[Li(G), H] ⊆ [Li(G), G] = Li+1(G) ⊆ H .

72

Men inklusionen [Li(G), H] ⊆ H betyder netop, at Li(G) ⊆ NG(H). (Overvejdette!) Da Li(G) * H, fas NG(H) 6= H. �

(8I) Sætning: Hvis G og H er nilpotente, sa er G×H igen nilpotent.

Bevis: Det er let at se ved induktion efter i, at

Li(G×H) ⊆ Li(G)× Li(H) for i ≥ 1.

Heraf fas resultatet. �

Bemærkning: En endelig p-gruppe er nilpotent. Dette følger fra den kends-gerning, at enhver endelig p-gruppe 6= {1} har et centrum 6= {1}. (Se sætning(9D) i disse noter).

(8J) Sætning: For en endelig gruppe G er følgende betingelser ækvivalente:

(1) G er nilpotent.

(2) For enhver undergruppe H 6= G er NG(H) 6= H.

(3) For alle primtal p har G en normal p-Sylow gruppe.

(4) G er et direkte produkt af sine Sylow grupper.

Bevis:(1) ⇒ (2). Brug (8H).(2) ⇒ (3). Lad P ∈ Sylp(G). Sæt H = NG(P ). Ifølge (1F) er H =

NG(H), sa fra antagelsen (2) følger, at H = G, altsa P �G.(3) ⇒ (4). Hvis p 6= q er primtal og P ∈ Sylp(G), Q ∈ Sylq(G), sa er

[P,Q] ⊆ P ∩ Q = {1}, da P � G, Q � G. Dermed er elementerne i P og Qombyttelige. Da ethvert element pa entydig made kan skrives som et produktaf ombyttelige elementer af primtalspotensorden (se bemærkning nedenfor),fas (4).

(4) ⇒ (1) følger fra bemærkningen ovenfor og (8I). �

Bemærkning: Antag at g ∈ G, |g| = mn hvor (m,n) = 1. Skriv 1 = km+`n, hvor k, ` ∈ Z. Sa er g = gkm · g`n, hvor gkm har orden n og g`n har ordenm. Hvis g = xy, |x| = n, |y| = m og xy = yx, sa er gkm = xkmykm = xkm,da ykm = (ym)k = 1. Dermed er gkmx−1 = xkm−1 = x−`n = (xn)−` = 1, daxn = 1. Altsa fas gkmx−1 = 1 eller x = gkm. Analogt ses, at y = g`n.

73

I starten af dette kapitel omtaltes Frattini gruppen Φ(G) af en gruppe.Fra (8B) og (8J) fas

(8K) Sætning: Lad G være endelig. Sa er Φ(G) en nilpotent og karakter-istisk undergruppe af G. �

Til sidst betragter vi Fitting undergruppen af en endelig gruppe G. Iresten af kapitlet betragtes altsa kun endelige grupper.

(8L) Lemma: Antag, at H og K er normale nilpotente undergrupper afgruppen G. Sa er ogsa HK en normal nilpotent undergruppe af G.

Bevis: Det er klart, at HK � G. Lad p være et primtal, P1 ∈ Sylp(H),P2 ∈ Sylp(K). Ifølge (8J) er P1 �H, sa ifølge en af bemærkningerne i (1C),er P1charH. Vi far P1charH �HK, sa P1 �HK. Analogt er P2 �HK, saP1P2 � HK. Men det ses let, at P1P2 ∈ Sylp(HK). Dermed har HK alleSylowgrupper normale, sa HK er nilpotent ifølge (8J). �

(8M) Sætning: Lad

F (G) = 〈H | H �G , H nilpotent〉 .

Sa er F (G) en karakteristisk nilpotent undergruppe af G, som indeholder allenilpotente normale undergrupper af G. F (G) kaldes Fitting gruppen for G.

Bevis: Hvis H�G er nilpotent og α ∈ Aut(G), sa er α(H)�G og α(H) ' Hnilpotent. Dermed er F (G)charG, ifølge (1C). At F (G) er nilpotent fas letfra (8L). �

Den næste sætning kan synes at være meget teknisk, men den er nyttig iforskellige sammenhænge:

(8N) Sætning: Lad M ∈Max(G). Sæt L =⋂x∈G xMx−1, saledes at L er

den største normale undergruppe af G indeholdt i M . Sæt G = G/L, og ladF = F (G).

Hvis F 6= 1, sa gælder følgende:

(1) F er en minimal normal undergruppe i G.

(2) F er en elementær abelsk p-gruppe.

(3) CG(F ) = F .

(4) F ∩M = 1 (hvor M = M/L).

74

(5) |G : M | = pn for et passende n.

Bevis: Vi antager, at F 6= 1, saledes at F er en normal nilpotent under-gruppe 6= 1 i G. Derfor er ogsa Z(F ) 6= {1}. Lad p | |Z(F )| og sæt P = {x ∈Z(F ) | xp = 1}. Vi har P char Z(F ), da elementerne i P permuteres vedautomorfier af Z(F ). P er abelsk da P ⊆ Z(F ), og er derfor en elementær-abelsk p-gruppe. Vi far {1} 6= P char Z(F ) char F = F (G) char G. DaP � G, er P M en undergruppe af G som indeholder M ∈ Max(G). MenP * M : Hvis nemlig P j M , sa er P ′s urbillede i G (kaldet P ) en nor-mal undergruppe i G, som er indeholdt i M . Da L er den største normaleundergruppe i G indeholdt i M fas P ⊆ L, og dermed P = P/L = {1}, enmodstrid. Da P * M og M er maksimal i G, fas G = P M . Heraf fas (5)ved hjælp af (2A).

Sæt C := CG(P ). Da P ⊆ Z(F ) fas F ⊆ C. Da P � G, er C � Gsa C ∩ M � M . Da P centraliserer C, og dermed ogsa C ∩ M , er P ⊆NG(C ∩M). Vi far C ∩M �G, da G = P M . Urbilledet af C ∩M i G er ennormal undergruppe af G, indeholdt i M . Som før fas C ∩M = {1}. MenP ⊆ F ⊆ C, og da P M = G, fas P M = F M = CM = G.

Da P ∩M ⊆ F ∩M j C ∩M = {1} fas fra (2A), at |P | = |F | = |C| =|G : M | ! Altsa P = F = C. Da P er elementær abelsk og F = C fas (1) og(2). Da C = F fas (3) og (4). �

(8O) Korollar: Hvis G er en opløselig gruppe og M ∈ Max(P ), sa er|G : M | en primtalspotens.

Bevis: Lad L =⋂x∈G xMx−1 være som i (8N). Da G er opløselig, er G =

G/L opløselig. Dermed er F (G) 6= {1}, idet f.eks. en minimal normalundergruppe i G jo er abelsk, og dermed nilpotent (jfr. (1D)). Derfor gælder(1)–(5) i (8N) i denne situation. Ifølge (5) er |G : M | en primtalspotens. �

Den tekniske sætning (8N) spiller ogsa en rolle i det følgende interessanteresultat, som beskriver sammenhænge mellem Frattini-gruppen og Fitting-gruppen i en endelig gruppe:

(8P) Sætning: Lad G være endelig. Sæt Φ = Φ(G), F = F (G). Der gælder

(1) [F, F ] ⊆ Φ ⊆ F .

(2) F/Φ = F (G/Φ).

75

Bevis: Da Φ � G og Φ er nilpotent ((8K)) fas, at Φ ⊆ F . For at viseat [F, F ] ⊆ Φ vælges M ∈ Max(G), og vi sætter L =

⋂x∈G xMx−1 som

i (8N). Da xMx−1 ∈ Max(G) for alle x ∈ G, ma vi have Φ ⊆ L ifølgedefinitionen af Φ. Sæt G = G/L og F (G) = K/L, hvor sa K�G er urbilledetaf F (G) i G. Vi har F ⊆ K: Ifølge en isomorfisætning er F/F ∩ L ∼=FL/L. Derfor er FL/L en normal nilpotent undergruppe i G, da F/F ∩ Ler nilpotent ifølge (8F) (2). Vi far at FL/L ⊆ K/L, altsa F ⊆ K. Ifølge(8N) er K/L abelsk (ogsa hvis F (G) = 1, dvs. K = L!) Da FL/L ⊆K/L er FL/L abelsk; altsa er [F, F ] ⊆ [FL, FL] j L, (se (6A)). Dettegælder for alle gennemsnit L af konjugerede maksimale undergrupper: LadM1,M2, · · · ,Mt være et repræsentantsystem for G-konjugationsklasserne afmaksimale undergrupper. Sæt Li =

⋂x∈G

xMix−1. Sa er Φ = L1∩L2∩· · ·∩Lt.

Ifølge det ovenstaende er [F, F ] ⊆ Li for alle i. Vi far [F, F ] ⊆ Φ. Hermeder (1) bevist.

Sæt nu G = G/Φ og F (G) = H/Φ, hvor H er urbilledet af F (G) i G.Sa er F ⊆ H fordi F/Φ (ifølge (8F)(2)) er en nilpotent normal undergruppe

i G/Φ = G, altsa F/Φ ⊆ H/Φ. For at vise inklusionen H ⊆ F bevises

at H er nilpotent. Lad P ∈ Sylp(H). Sa er PΦ/Φ ∈ Sylp(G), og derforer PΦ/Φ � G/Φ ifølge (8J), altsa PΦ � G. Da Φ ⊆ H og P ∈ Sylp(H),fas P ∈ Sylp(PΦ). Ifølge Frattini argumentet (1E), er G = PΦNG(P ) =ΦPNG(P ) = ΦNG(P ) = NG(P ), da Φ bestar af “ikke-frembringere”, (8A).Altsa er P �G, og specielt P �H. Vi far at H er nilpotent ifølge (8F), somønsket. �

Vores sidste resultat i dette kapitel handler om opløselige grupper:

(8Q) Sætning: Lad G være endelig og opløselig. Der gælder

CG(F (G)) ⊆ F (G) .

Bevis: Sæt F := F (G), C := CG(F ). Antag, at C * F . Vi søger enmodstrid. Vi har at Z(F ) = C ∩ F ⊂ C. Vælg en normalrække for G, somgar gennem grupperne C og C ∩ F med (elementær-)abelske faktorer (jfr.(1D)),

{1} = Gt ⊂ Gt−1 ⊂ · · · ⊂ Gs+1 = C ∩ F ⊂ · · · ⊂ Gr = C ⊆ · · · ⊆ G1 = G .

Da F 6= 1 er nilpotent, er Gs+1 = C∩F = Z(F ) 6= {1}. Derfor er Gs 6= Gs+1.(Bemærk at s + 1 > 1 da ellers Gs+1 = G, en modstrid). Da Gs/Gs+1 er

76

abelsk, er [Gs, Gs] ⊆ Gs+1 = Z(F ). Da yderligere Gs ⊆ Gr = C = CG(F )fas

[[Gs, Gs], Gs] j [Z(F ), CG(F )] = {1} .

Dermed er Gs nilpotent, altsa Gs ⊆ F = F (G). Vi far Gs ⊆ C ∩ F (daGs ⊆ Gr = C), hvilket er en modstrid. �

77

9. Endelige p–grupperG9 - 2009-version

I dette kapitel betragtes kun endelige grupper af p-potens orden, sakaldtep-grupper.

(9A) Sætning: Lad P være en p-gruppe, {1} 6= N � P . Sa er N ∩Z(P ) 6={1}. Specielt er Z(P ) 6= {1}.Bevis: Da N � P, ma N være en foreningsmængde af konjugationsklasseri P . Sa lad {1} = K1, K2, · · · , Kr være de P–konjugationsklasser, der erindeholdt i N . Hvis xi ∈ Ki, sa gælder |Ki| = |P : CP (xi)|. Vi ved at

(∗) |N | = |K1|+ |K2|+ · · ·+ |Kr| = 1 + |K2|+ · · ·+ |Kr| .

Hvis der for alle 2 ≤ i ≤ r gælder CP (xi) 6= P , sa fas at p| |Ki| = P : CP (xi)|for alle i, 2 ≤ i ≤ r. Det betyder ifølge (∗), at p | |N | − 1. Da p | |N |, fordiN 6= 1, er dette en modstrid. Der findes altsa et i 6= 1, sa CP (xi) = P . Sa erxi ∈ N ∩ Z(P ) og xi 6= 1. �

(9B) Korollar: Hvis N � P og |N | = p, sa er N ⊆ Z(P ). �

(9C) Korollar:(1) Hvis |P | = p2, sa er P abelsk.(2) Hvis P er ikke–abelsk, sa gælder p2 | |P : Z(P )|.

Bevis: (1) Ifølge (9A) er Z(P ) 6= 1, saledes at |P/Z(P )| ≤ p. Dermed erP/Z(P ) cyklisk, sa P = Z(P ) ifølge (6S). (2) følger ogsa fra (6S). Vi har at|P : Z(P )| 6= 1, og hvis |P : Z(P )| = p er P/Z(P ) cyklisk, en modstrid. �

(9D) Sætning: En p-gruppe er nilpotent.

Bevis: Lad P 6= 1 være en p-gruppe. Ifølge (9A) er Z1(P ) = Z(P ) 6= {1}.Hvis Z1(P ) 6= P , er P/Z1(P ) 6= {1} en p-gruppe. Ifølge (9A) er

Z(P/Z1(P )) = Z2(P )/Z1(P ) 6= 1 ,

sa |Z2(P )| > |Z1(P )|. Hvis Z2(P ) = P, sa er P nilpotent. Ellers fas|Z3(P )| > |Z2(P )|, osv. Til sidst fas Zm(P ) = P for et passende m ≥ 1. �

(9E) Korollar: Lad U 6= P være en undergruppe i p-gruppen P . Der gælder

U ⊂ NP (U) .

78

Bevis: Følger fra (9D) og (8H). �

(9F) Sætning: Lad |U | = pa, U ⊂ P .

(1) Der eksisterer en undergruppe V i P som opfylder U � V , |V | = pa+1.

(2) Hvis U � P, sa kan ogsa V vælges som normal i P .

Bevis: Lad Q = NP (U), saledes at U � Q, U 6= Q (ifølge (9E)). Vælg etelement x af orden p i Z(Q/U). (x eksisterer ifølge (9A), da Q/U 6= {1}).

Urbilledet V af 〈x〉 i Q har egenskaberne U ⊆ V , |V : U | = |〈x〉| = |x| =p, og V �Q da 〈x〉�Q = Q/U .

Vi har altsa |V | = |V : U | |U | = p|U | = pa+1 og U �V , da V ⊆ NP (U) =Q. Dette viser (1). Da vi endvidere har V � Q, ses, at hvis U � P, sa maQ = P og dermed V � P , hvilket viser (2). �

(9G) Korollar: Hvis |P | = pn indeholder P en (normal) undergruppe Nmed |N | = pa for 1 ≤ a ≤ n. �

(9H) Korollar: Lad M ⊆ P , |P | = pn. Der gælder

M maksimal undergruppe i P

m

|M | = pn−1 .

Hvis M er maksimal i P , sa er M � P .

Bevis: ⇑ er triviel. ⇓ følger umiddelbart af (9F) (1). Det sidste udsagnfølger fra det første og (9E). �

Lad os nu betragte Frattini gruppen Φ(P ) af G (jfr. Kap. 8). Max(P )betegner igen mængden af maksimale undergrupper i P .

(9I) Sætning: Faktorgruppen P/Φ(P ) er en elementær abelsk p–gruppe.

Bevis: Hvis M ∈ Max(P ), sa er P/M ∼= Zp ifølge (9H). Derfor gælder detspecielt, at

(i) P ′ ⊆M

og

79

(ii) For alle x ∈ P er xp ∈M (idet x = xM har orden 1 eller p i G/M).

Da (i) og (ii) gælder for alle M ∈ Max(P ) fas fra definitionen af Φ(P ) =⋂M∈Max(P )

M , at

(iii) P ′ ⊆ Φ(P )

(iv) For alle x ∈ P er xp ∈ Φ(P ).

Sa viser (iii), at P/Φ(P ) er abelsk (jfr. (6A)), og (iv) viser, at der for allex ∈ P/Φ(P ) gælder xp = 1. Hermed er P/Φ(P ) elementær abelsk. �

(9J) Sætning: Lad x1, · · · , xk ∈ P . Med den ovenstaende notation gælder

〈x1, · · · , xk〉 = P

m

〈x1, · · · , xk〉 = P ,

hvor xi er billedet af xi i Frattini faktorgruppen P = P/Φ(P ).

Bevis: ⇓ er trivielt opfyldt.⇑: Antag 〈x1, · · · , xk〉 = P . Sæt

U := 〈x1, · · · , xk,Φ(P )〉 ⊆ P .

Vi pastar, at U = P . Hvis x ∈ P, sa kan vi ifølge antagelsen og (9I) skrive

x = x1a1 · · · xkak hvor 0 ≤ ai ≤ p− 1 ,

dvs.x = x1

a1 · · · xkak

eller, at u := x(x1a1 · · ·xkak)−1 ∈ Φ(P ). Men sa er

x = x1a1 · · ·xkaku ∈ 〈x1, · · · , xk,Φ(P )〉 = U .

Vi har vist P = 〈x1, · · · , xk,Φ(P )〉. Fra (8A) fas sa P = 〈x1, · · · , xk〉, somønsket. �

(9K) Sætning: (Burnside) Antag, at |P : Φ(P )| = pr.

(i) Ethvert frembringersæt for P indeholder mindst r elementer.

80

(ii) Et frembringersæt for P med s elementer kan “udtyndes” til et frem-bringersæt for P med r elementer (ved at udelade nogle af de s ele-menter).

(iii) Specielt har P altsa et (minimalt) frembringersæt med r elementer.

Bevis: Vi har brug for (9J) og lidt lineær algebra! P/Φ(P ) er en elementærabelsk gruppe af orden pr, og kan altsa betragtes som et vektorrum af dimen-sion r over legemet Zp med p elementer. (Jfr(6P)). Hvis 〈x1, · · · , xs〉 = P ,sa er 〈x1, · · · , xs〉 = P , og dermed {x1, · · · , xs} en frembringermængde forvektorrummet P . Derfor indeholder den mindst r = dimP elementer. Detteviser (i). (ii) følger fra udtyndingssætningen for vektorrum og (9J), og sa er(iii) triviel. �

81