UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA

“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”

MATEMATICA IV

SECCIÓN 01 CICLO 01-2015

“INTEGRALES DE SUPERFICIE, TEOREMA DE GAUSS Y STOKES”

Profesor: Ing. Eduardo Escapini Peñate.

Jefe de Instructores: Jonathan Landaverde.

Instructores de Células: Carlos Alarcón, Luis Grijalva, Gustavo Avelar, Jorge Girón.

Área de una superficie.

1) Calcular las áreas de las siguientes superficies:

i) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 4. 𝑹𝒕𝒂: 𝝅

𝟔(𝟏𝟕√𝟏𝟕 − 𝟏)

ii) 𝑦 = 𝑥2 + 𝑧2 − 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂:𝝅

𝟔(𝟏𝟕√𝟏𝟕 − 𝟓√𝟓)

iii) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2, 𝑧 ≥ 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅𝒂𝟐

2) Hallar las áreas de las superficies siguientes:

a) El tronco del cono con ecuación 𝑧 = 𝑎√𝑥2 + 𝑦2 correspondiente a bases de

radios 𝑏, 𝑐 con 𝑏 < 𝑐. 𝑹𝒕𝒂: 𝝅√𝟏 + 𝒂𝟐(𝒄𝟐 − 𝒃𝟐)

b) La superficie esférica 𝑥2+𝑦2 + 𝑧2 = 9 limitada por el cilindro 𝑥2+4𝑦2 =

9. 𝑹𝒕𝒂: 𝟏𝟐𝝅

3) Hallar el área del toro circular obtenido al girar una circunferencia de radio 𝑅

alrededor de un eje situado en el plano en el que se encuentra la circunferencia a

una distancia 𝑎 > 𝑅 de su centro. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝝅𝟐𝒂𝑹

4) Calcule el área de la porción de superficie conica 𝑥2+𝑦2 = 𝑧2, situada por encima

del plano 𝑧 = 0 y limitada por la esfera 𝑥2+𝑦2 + 𝑧2 = 2𝑎𝑥. 𝑹𝒕𝒂: √𝟐𝝅𝒂𝟐

𝟒

5) Dado el recinto limitado por los planos 𝑧 = 𝑦 y 𝑧 = 0 y el cilindro 𝑥2+𝑦2 = 𝑎2.

Calcule el área de la porción de superficie cilindrica comprendida entre los dos

planos. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝒂𝟐

Integral de superficie de campos escalares.

1) Evaluar ∬ 𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑠𝑆

, donde S es el triángulo de vértices (1,0,0), (0,2,0), (0,1,1).

𝑹𝒕𝒂: √𝟔

𝟑𝟎

2) Evaluar ∬ 𝑧2 𝑑𝑠𝑆

, siendo S la frontera del cubo 𝑆 = [−1, 1] × [−1, 1] ×

[−1, 1]. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝟎

𝟑

3) Calcular ∬ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑠𝑆

, siendo S la superficie del cono 𝑧2 = 3(𝑥2 + 𝑦2),

0 ≤ 𝑧 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂: 𝟗𝝅

4) Sea S la semiesfera 𝑥2+𝑦2 + 𝑧2 = 𝑎2, 𝑧 ≥ 0. Hallar ∬ (𝑥2+𝑦2)𝑆

𝑑𝑠. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝝅𝒂𝟒

𝟑

5) Calcular ∬ (𝑥4 − 𝑦4 + 𝑦2𝑧2 − 𝑧2𝑥2 + 1)𝑑𝑠𝑆

, donde S es el cilindro 𝑥2+𝑦2 = 2𝑥

que recorta una porción del cono 𝑥2+𝑦2 = 𝑧2. 𝑹𝒕𝒂: √𝟐𝝅

Teorema de Gauss.

1) Hallar ∬ ∇ ∙ 𝐹 𝑑𝑠𝑆

, donde S es el elipsoide 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑧2 = 10 y 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)𝑖 + 𝑒𝑥𝑗 − 𝑦𝑧𝑘. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎

2) Sea V un sólido de volumen 13 unidades, limitado por la superficie cerrada S. Sea

𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘. Hallar ∮ 𝑅 ∙ 𝑑𝑠𝑆

. 𝑹𝒕𝒂: 𝟑𝟗

3) Se considera el campo vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 + 3𝑥𝑦𝑗 − 2𝑧𝑘 y la superficie S,

que es el contorno: 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑥2+𝑦2 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3}. Calcular el flujo.

𝑹𝒕𝒂: −𝟑𝝅

𝟐

4) Se considera el casquete del paraboloide S: 𝑧 = 4 − 𝑥2 − 𝑦2, 𝑧 ≥ 0 y el campo

vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =𝑥

(𝑥2+𝑦2+𝑧2)32

𝑖 +𝑦

(𝑥2+𝑦2+𝑧2)32

𝑗 +𝑧

(𝑥2+𝑦2+𝑧2)32

𝑘, Hallar el flujo de

F a través de S hacia el exterior del paraboloide. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅

5) Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑖 + 𝑧𝑗 + 𝑥𝑧𝑘. Evaluar ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆

, para cada una de las

siguientes regiones S:

a) 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎

b) 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0. 𝑹𝒕𝒂:𝟒

𝟏𝟓

c) 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≤ 0. 𝑹𝒕𝒂: −𝟒

𝟏𝟓

6) Calcular ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆

, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 3𝑥𝑦2𝑖 + 3𝑥2𝑦𝑗 + 𝑧3𝑘 y S es la esfera

cuyo radio es la unidad. 𝑹𝒕𝒂:𝟏𝟐𝝅

𝟓

7) Evaluar ∬ 𝐹 ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆

, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑖 + 𝑗 + 𝑧(𝑥2 + 𝑦2)2 k y S es la superficie

del cilindro 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1. 𝑹𝒕𝒂: 𝝅

𝟑

8) Sea 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦𝑧𝑖 + (−𝑥 + 3𝑦 + 2)𝑗 + (𝑥2 + 𝑧)𝑘. Calcular ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑁 𝑑𝑠𝑆

,

donde S es el cilindro 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑎2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 1.

a) Incluyendo las bases. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎

b) Excluyendo las bases. 𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅𝒂𝟐

9) Halle el flujo del campo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥3𝑖 + 𝑦3𝑗+𝑧3𝑘 a través de la superficie del

cono 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2, 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐻.

a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂: 𝟏

𝟏𝟎𝝅𝑯𝟓

b) Aplicando el Teorema de la Divergencia. 𝑹𝒕𝒂: 𝟏

𝟏𝟎𝝅𝑯𝟓

10) Calcule directamente y utilizando el teorema de la divergencia el flujo del campo

vectorial 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 − 𝑦2𝑗 + 𝑥𝑧𝑘 a través de la superficie que limita el

cilindro 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑅2, 0 ≤ 𝑧 ≤ 3. 𝑹𝒕𝒂: 𝟗

𝟐𝝅𝑹𝟐

Teorema de Stokes.

1) Calcular ∮ 2𝑦𝑑𝑥 + 3𝑥𝑑𝑦 − 𝑧2𝑑𝑧𝑆

, siendo S la circunferencia de ecuaciones

paramétricas 𝑥 = 3 cos(𝛾) , 𝑦 = 3𝑠𝑒𝑛(𝛾), 𝑧 = 0, para 0 ≤ 𝛾 ≤ 2𝜋. 𝑹𝒕𝒂: 𝟗𝝅

2) Sea el triángulo de vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Comprobar el Teorema de

Stokes para 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑧𝑖 + 𝑥𝑧𝑗 + 𝑥𝑦𝑘. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆

3) Evaluar ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑑𝑆𝑆

, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥2 + 𝑦 − 4)𝑖 + 3𝑥𝑦𝑗 + (2𝑥𝑧 + 𝑧2)𝑘

y S es la superficie 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 16, 𝑧 ≥ 0.

a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟔𝝅

b) Mediante el Teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟔𝝅

4) Evaluar ∬ (∇ × 𝐹) ∙ 𝑑𝑆𝑆

, donde 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = [(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘) × (𝑖 + 𝑗 + 𝑘)] y S es

la porción de la superficie esférica 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 tal que 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≥ 1.

𝑹𝒕𝒂: −𝟒𝝅

√𝟑

5) Calcule, aplicando el teorema de Stokes, la integral: ∫ (𝑦 − 1)𝑑𝑥 + 𝑧2𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧𝐶

,

donde 𝐶: {𝑥2 + 𝑦2 =

𝑧2

2

𝑧 = 𝑦 + 1. 𝑹𝒕𝒂: − √𝟐𝝅

6) Calcule, utilizando el teorema de Stokes, la integral curvilínea: ∫ (2𝑥 + 𝑦 −𝐶

𝑧)𝑑𝑥 + (2𝑥 + 𝑧)𝑑𝑦 + (2𝑥 − 𝑦 − 𝑧)𝑑𝑧, siendo C una parametrización de la curva

intersección de las superficies: 4𝑥2 + 4𝑦2 + 𝑧2 = 4 ˄ 2𝑥 − 𝑧 = 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟓𝝅

√𝟐

7) Calcule la integral ∫ 𝑦2𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 + 𝑥𝑧𝑑𝑧𝐶

, siendo C la curva intersección del

cilindro 𝑥2 + 𝑦2 = 2𝑦 y el plano 𝑦 = 𝑧.

a) Directamente. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎

b) Aplicando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝟎

8) Calcule el trabajo realizado por la fuerza 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑦 − 𝑧)𝑖 + (𝑧 − 𝑥)𝑗 +

(𝑥 − 𝑦)𝑘, para trasladar un punto material sobre la curva cerrada C, siendo C una

parametrización de la curva dada por las ecuaciones: 𝐶: {𝑥2 + 𝑦2 = 4𝑥 = 2 − 2𝑧

.Compruebe

el resultado utilizando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟏𝟐𝝅

9) Calcule la integral ∫ 2𝑦𝑧2𝑑𝑥 + 𝑥𝑧2𝑑𝑦 + 3𝑥𝑦𝑧𝑑𝑧𝐶

, siendo C la curva intersección

de la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 y el paraboloide 𝑥2 + 𝑦2 = 3𝑧.

a) Utilizando integral de línea.

b) Aplicando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆

10) Halle el flujo del rotacional del campo 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑧𝑖 + 𝑦𝑧𝑗 − (𝑥2 + 𝑦2)𝑘, a

través de la porción de la superficie 𝑧 = arctan (𝑦

𝑥) que se halla dentro del cono

𝑥2 + 𝑦2 = 𝑧2, entre los planos 𝑧 = 0 𝑦 𝑧 = 3.

a) Directamente.

b) Utilizando el teorema de Stokes. 𝑹𝒕𝒂: 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒖𝒆𝒃𝒆

Aplicaciones: flujo a través de una superficie.

1) Sea S la superficie cerrada formada por la semiesfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1, 𝑧 ≥ 0 y su

base 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑧 = 0. Sea también 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥𝑖 + 2𝑦𝑗 + 2𝑧𝑘 un campo

eléctrico definido en ℝ3. Hallar el flujo a través de S. 𝑹𝒕𝒂: 𝟒𝝅

2) Supongamos que el campo de velocidad de un fluido viene dado por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑖 + 𝑥𝑗 + 𝑧𝑘, medido en metros por segundo. Calcular cuántos metros cúbicos de

fluido por segundo cruzan la superficie descrita por 𝑥2 + 𝑦2+𝑧2 = 1, 𝑧 ≥ 0.

𝑹𝒕𝒂: 𝟐𝝅

𝟑

𝒎𝟑

𝒔

3) Determine el flujo térmico que ocurre en el cilindro dado por la ecuación

𝑥2 + 𝑦2 = 4, entre los planos 𝑧 = 1 ˄ 𝑧 = 4, si la temperatura del cuerpo en un

momento dado esta dada por 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧. 𝑹𝒕𝒂: − 𝟒𝟖𝝅

4) Determine el flujo de fluido hacia afuera (alejándose del eje z) del campo de

velocidades dado por 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘 , si además se sabe que la

densidad de dicho fluido es 𝜌 = 𝑘, a través de la superficie del paraboloide

𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 que se encuentra por debajo del plano 𝑧 = 1. 𝑹𝒕𝒂: −𝟒𝒌𝝅

𝟑

5) Considere una carga puntual 𝑞, cuyo campo eléctrico está definido por 𝐸(𝑥, 𝑦, 𝑧) =

𝑞

4𝜋𝜀𝑟2(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗 + 𝑧𝑘), cuando la carga se encuentra concéntrica con la superficie

esférica. Determine el flujo eléctrico, hacia afuera, a través de la esfera de radio a.

𝑹𝒕𝒂: 𝒒

𝜺

Aplicaciones: circulación a través de una superficie.

1) Un fluido de densidad constante gira alrededor del eje z con velocidad 𝑉(𝑥, 𝑦) =

𝜔(−𝑦𝑖 + 𝑥𝑗), donde ω es una constante positiva llamada rapidez angular, muestre

que la circulación del campo de velocidades es: ∮ 𝑽 ∙ 𝒅𝒓 = 𝟐𝝅𝝎𝒓𝟐𝑪

2) Calcular el trabajo producido por la fuerza 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = −𝑦3𝑖 + 𝑥3𝑗 − 𝑧3𝑘, sobre la

trayectoria recorrida en el sentido positivo, dada por la intersección de las

superficies 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑎 ˄ 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑎2. 𝑹𝒕𝒂: 𝟔𝝅𝒂𝟒

𝟒

3) Calcular y comprobar la circulación del campo de velocidades de un fluido dado

por 𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = arctan(𝑥2) 𝑖 + 3𝑥𝑗 + 𝑒3𝑧 tan(𝑧) 𝑘, a lo largo de la intersección de

la esfera 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 4 ˄ 𝑥2 + 𝑦2 = 1, 𝑧 > 0. 𝑹𝒕𝒂: 𝟑𝝅

4) Sea el campo de fuerzas 𝐹(𝑥, 𝑦) = (2𝑥𝑦2 + 𝑦)𝑖 + (2𝑥2𝑦 +𝑥2

2+ 𝑥) 𝑗. Demostrar

que en cualquier camino cerrado simétrico con respecto al eje y, la circulación es

cero.