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Habilitation a diriger des recherches

Universite Pierre et Marie Curie

Specialite : Mathematiques

Marie Postel

Modelisation et simulation numeriquede quelques problemes de transport ;

multiresolution, problemes inverses

soutenue le 1er octobre 2008

devant le jury compose de :

Albert COHENWolfgang DAHMEN, rapporteur

Rosa DONAT, rapporteurBruno DESPRES

Roland MASSON, rapporteurGeorge PAPANICOLAOUOlivier PIRONNEAU

TABLE DES MATIERES 1

Table des matieres

Summary 3

Resume 11

Introduction 19

1 Multiresolution 211.1 Multiresolution par valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.1.1 Decomposition multi-echelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.1.2 Lien avec la transformee en ondelettes . . . . . . . . . . . . . . . . 271.1.3 Compression de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.1.4 Compression et arborescence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2 Techniques multi-echelles pour les lois de conservation . . . . . . . . . . . . 371.2.1 Schemas volumes finis explicites pour les lois de conservation . . . . 371.2.2 Les schemas de multiresolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.2.3 Le schema de multiresolution d’Harten . . . . . . . . . . . . . . . . 401.2.4 Le schema adaptatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.2.5 Exemple numerique dans le cas uni-dimensionnel . . . . . . . . . . 45

2 Transport des hydrocarbures 472.1 Modelisation mathematique des ecoulements diphasiques . . . . . . . . . . 49

2.1.1 Le modele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.1.2 Le modele de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Schemas numeriques semi-implicites en temps . . . . . . . . . . . . . . . . 522.2.1 La methode d’implicitation selective en coordonnees euleriennes . . 522.2.2 La methode de Lagrange/projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.3 Methodes adaptatives pour les schemas semi-implicites . . . . . . . 552.2.4 Simulation numerique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3 Chromatographie 613.1 Modelisation mathematique de l’experience de chromatographie . . . . . . 613.2 Identification de l’isotherme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3 Optimisation des parametres par methode de gradient . . . . . . . . . . . . 643.4 Optimisation stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Conclusion et perspectives 71

Liste des publications 73

References 79

TABLE DES MATIERES 2

SUMMARY 3

Summary

The references between brackets [P1], [P2], etc. refer to the list of publications page73. The other references given by the name of the authors and the year refer to the bibli-ography page 79.

My research activity has been from the beginning oriented towards applications. Thetransport phenomena are a common denominator of the problems I have been interestedin. The first theme concerns the waves in random media. The application in this case wasthe reversal of geophysical or electromagnetic signals. I then worked on the identification ofparameters in chemical engineering, and finally, on the simulation of plugs in oil pipelines.The applications have also motivated some work on numerical methods. In particular, thedevelopment of multiresolution methods to speed up numerical schemes for conservationlaws is a research topic in its own right.

In this introduction, I briefly present the four areas of research in which I haveworked, namely, waves in random media, multiresolution, transport of hydrocarbons andchromatography. In the report itself, I will highlight and discuss the last three.

1. Waves in random media

I started to work on waves in random media with George Papanicolaou at the CourantInstitute of Mathematical Sciences (CIMS), Ping Sheng and Benjamin White (at the timeat Exxon), Werner Kohler (Virginia Tech.), and Marc Ash (at the time a PhD student,CIMS). I pursued this topic with Jean-Pierre Fouque (Centre de Mathematiques Appliqueesde l´Ecole Polytechnique) after I was hired at the Laboratoire d’Analyse Numerique in1990.

The underlying physical problem was the modelling of a transient elastic, acousticor electro-magnetic wave, propagating in an heterogeneous medium, such as the Earth’scrust for instance. Part of the signal is reflected and can be measured at the surface. Whatkind of information can be extracted from the reflected signal, which generally contains alot of noise ?

This had been a fundamental question among geophysicists for forty years or so. Inthe mathematical community as well, the dispersion wave inversion problem had alreadygenerated a lot of interest. The pioneering work of B. Burridge, G. Papanicolaou, P. Shenget B. White (1989) resulted in formulating the problem from a probabilistic point of view.The reflecting material is modelled by a random medium, within which the propagatingsignal is characterized by a class of non stationary stochastic processes. From there, theproblem of determining the properties of the medium becomes a problem of statisticalestimation for this class of process.

As a first step, we concentrated on the numerical simulation of such signals [P3;

SUMMARY 4

P10]. We were first interested in plane waves at normal incidence on a half-space whoseacoustic properties are constant within horizontal layers. The heterogeneities are modelledby variations in the density and modulus of compressibility. On the basis of results inexperimental materials science, and the study of logs in geology, we chose to representthe properties of the medium by random variables varying on two scales. The averageproperties vary slowly on a macroscopic scale, which can be on the order of kilometersfor the earth. The random oscillations have a very high frequency, and their amplitude islimited only by the constraint of keeping positive physical properties. In the model adoptedfor the crust, the speed of sound varies from thirty per cent on a scale of the order of twoto three meters. The theory also implies that the main wavelength of the excitation isintermediate between these two scales in order to resolve the slow variations but also tofeel the random fluctuations only statistically.

We have then implemented and tested an algorithm for the inverse problem [P6; P7],based on the mathematical theory. The reflected signals are characterized in a precise wayas a relatively simple class of non-stationary Gaussian processes. They are mainly basedupon macroscopic variations of the medium and are virtually independent of variationson the small scale. The local power spectrum density of the reflected signals depends onlyon the smooth average part of the local speed of sound, through an infinite dimensionhyperbolic system of partial differential equations. Local here means the energy spectrumobtained by considering segments of signal duration comparable to the principal period.

The local power spectrum density is estimated by applying local Fourier transformsand averaging over several statistical achievements of the random medium [P8]. An alter-native method using a wavelet transform has been developed, which takes better accountof the local stationarity of the signal [P4; P9]. The likelihood function for estimates of thepower spectrum density is then built and maximized depending on the mean speed pro-file. The numerical simulations show that a dozen independent realizations of the randommedium are necessary in order to get an accurate estimate of its average properties.

Since in practice only one realization of the medium is available, we must compensatefor the lack of data redundancy by another information, which is possible using a pointsource rather than plane waves. Even though the model remains one dimensional, thereflected signal now depends on the respective positions of the source and receiver. Thelocal stationarity of the signal can be used to show that distant recordings of more thanone wavelength apart are virtually independent [P5]. This provides the redundancy ofinformation needed to make a reversal from a single measurement [P2].

Note that this work has recently been cited and taken up in the book by Fouque,Garnier, Papanicolaou et Solna [2007]

2. Multiresolution

Since 1998, in collaboration mainly with Albert Cohen and Sidi Kaber (LJLL) wehave developed multiscale adaptive methods of analysis, based on restriction and predictioninter-scale operators acting on the point values and mean values of a function. This typeof decomposition allows us to match the grid of wavelet coefficients (well suited for thres-holding and compression operations) with a physical adaptive grid (well suited for the

SUMMARY 5

calculation of nonlinear terms). This yields multiresolution adaptive schemes whose errorwith respect to a reference scheme on a fine uniform grid can be controlled. The applicationof these decompositions is mainly oriented towards nonlinear conservation laws, in thecontext of conservative finite volume schemes.

Multiscale analysis

The multiresolution method initially developed by A. Harten is implemented onCartesian meshes where a hierarchy of dyadic nested grids is defined. A function rep-resented on such a mesh can also be decomposed in the wavelet basis associated to thehierarchy of grids. The coefficients of the function in the wavelet basis, also known as de-tails, are the difference between the representation on a given level of resolution and theprediction from the representation on the immediately coarser level. Specifically, the down-sizing of the wavelet coefficients with the scale associated with them depends on the localsmoothness of the function on the wavelet support. Indeed, one of the characteristics ofthese bases is to enable the adaptive approximation of functions with localized singularitiesby using thresholding algorithms.

We have exploited and adapted these ideas to the case of triangular meshes in [P11;P18; P13]. The polygonal area where we study the function is equipped with a hierarchyof nested triangular meshes. We study a class of second order reconstruction operatorsenabling us to predict the mean values of the function on a grid level from the meanvalues at the immediately coarser level. The stability of the prediction process when it isindefinitely iterated is studied, in order to justify the use of differences between predictedvalues and actual mean values as local smoothness indicators.

Multiresolution for finite volume schemes

The application of wavelets for adaptively approximating solutions of partial differen-tial equations is newer, and faces an additional fundamental challenge : it is no longer justa matter of thresholding the largest coefficients of a known function, but more a matter ofcalculating those of an unknown solution.

The case of conservation laws is both interesting and difficult : solutions of theseequations can develop localized discontinuities in finite time, and are therefore good candi-dates for an adaptive approximation. The use of multiresolution methods, in this context,strongly relies on A. Harten’s heuristic hypothesis : since the singularities are transportedat finite speed, it is possible to predict their location at the next time step from the multi-scale representation. This hypothesis is conditionally justified with theoretical argumentsin [P12].

Multiresolution a la Harten : we write a finite volume scheme on the fine grid. Ateach time step, the mean divergence of the numerical flux must be computed on each cellof this fine grid. The multiresolution decomposition of the solution calculated at a giventime step provides criteria to decide which method of numerical flux must be used locally :in areas where the solution varies a lot, the fluxes on the cells edges are computed in a

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precise way, using the costly schemes and the values of the solution on the fine grid. Else-where, we calculate instead the mean divergence of the flux on each cell, by interpolationfrom the quantities of the same type at the immediately coarser level. This method en-ables us to reduce the CPU cost of the reference finite volume scheme, while preservingits precision. It is analyzed in [P12] and applied to the triangle case in [P11; P14; P18; P13].

Adaptive multiresolution : in the algorithm presented above, the evolution of the so-lution takes place at each time step on the whole finest uniform grid. The design of afully adaptive scheme, using only the function encoded by its most significant details, is anatural extension of this program.

It obviously poses new challenges, especially in the analysis of the stability and preci-sion of the scheme [P12]. The efficiency in computing time on different systems of equationsand different geometries [P12; P15; P16; P17] report varying time savings in relation to thecalculation performed on a uniform mesh. The gain highly depends on the percentage ofthe computational domain occupied by the highly variable part of the solution. The morelocalized singularities are, the more the multiresolution is effective. The gain also dependson the number of levels in the hierarchy of nested grids. Finally, the multiresolution schemeis proving even more interesting when the reference scheme is expensive, as is often thecase in the systems of conservation laws modelling complex physical phenomena. That iswhat motivated my involvement in the third theme.

3. Transport of hydrocarbons

This theme of research was developed in the context of the Equipe de RechercheTechnologique (ERT) “Advanced simulation of hydrocarbon transportation”, headed byFrederic Coquel (LJLL), which was set up in 2004 between the Laboratoire Jacques-LouisLions (LJLL), the Institut Francais du Petrole (IFP) and the Ministere de la Recherche.We work in close collaboration with Quang Huy Tran (IFP). A PhD-thesis (Quang-LongNguyen, IFP) is in the finishing stage, after two Master internships (Nicole Poussineau andLinda Linise) and the post-doctoral work of Nikolai Andrianov. The target applicationis the multi-phase transport of hydrocarbons in the oil pipelines, an area in which thenumerical simulation of transient flow is a major challenge. It is essential to obtain ahigh precision simulation of the kinetic (transport) waves, while ensuring the robustnessof calculation.Moreover, the numerical schemes to meet those criteria are proving very costly in CPUterms ; it is therefore necessary to speed them up by using adaptive techniques developedfrom the methodology presented in the previous theme.

Details of the physical problem

The systems of conservation laws that we seek to solve numerically model physicalphenomena involving waves whose velocities are orders of magnitude apart. Typically, amixture of gas and oil injected using a pump moves in the pipe and generate two types of

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waves : very fast pressure waves - so-called acoustic - and slower kinetic waves. From theviewpoint of the oil engineer, only the kinetic wave is attractive because it corresponds tothe displacement of large variations in the composition of the gas-oil mixture. They shouldbe modelled very accurately in order to predict the formation of “plugs”, which can causeserious damage to the facilities and which we are therefore trying to avoid in practice. Fromthe point of view of the computing scientist however, the fast waves are hard to neglect.Indeed, in the case of an explicit numerical scheme, they will dictate the choice of the timestep ensuring stability.

Numerical schemes for multiphase flows

The first answer to this numerical problem is to use time explicit/implicit schemes.The difficulty lies in writing the physical unknowns in a basis where slow and fast effectseasily decouple. Fast parts of the solution are to evolve with a time implicit scheme, whichmakes it possible to relax the stability condition that is too demanding on the time step.The slow-waves will be treated with an explicit scheme, which ensures a high degree ofaccuracy, which is desirable to capture the contact waves.

Several approaches have been evaluated in order to implement this idea. We finallyadopted a Lagrange/projection method [P21; P30; P28]. It naturally decouples into theso-called Lagrangian step which is solved numerically with an implicit scheme followed bythe so-called projection step where the solution is transported with the slow speed of theflow. This method has several advantages over the previously tested relaxation method inEulerian coordinates [P24; P20; P23].

Adaptive methods for semi-implicit schemes

A realistic test case consists of modelling the transport over a dozen of kilometersof a discontinuity in the gas mass fraction, moving at an average speed of 5 meters persecond. According to the engineers, a resolution of one meter is needed in the vicinity ofthe discontinuity to simulate the movement of the front with sufficient precision. A uniformmesh with that resolution would be on the one hand prohibitively expensive and on theother hand useless in most parts of the computational domain. This is particularly so,away from the transport wave front, where the only fluctuations of the solutions are due touninteresting acoustic waves. Moreover, these acoustic waves are treated with a three-pointimplicit scheme and therefore very quickly smoothed out. It is therefore legitimate to wantto discretize the solution with a fine mesh in the region of the kinetic front and with acoarser mesh elsewhere.

This departs from the method of adaptive multiresolution presented in the previousresearch theme, which was developed in the context of explicit schemes with CFL < 1.It was necessary to justify the algorithm for the prediction of an adaptive grid from onetime-step to the next [P23], and devise an efficient implementation of implicit schemes onnon uniform grids [P20].

Different numerical tests show gains in calculation time of up to 10, compared withthe scheme on a uniform grid.

SUMMARY 8

The real issue, namely the implementation of an adaptive method in both spaceand time, is currently being achieved. For a given CFL stability condition, relying on the∆t/∆x ratio, it is possible to use a large time step in coarse mesh areas, On the otherhand, in high variation areas where the solution is discretized on a fine grid, the timestep must be consequently smaller. This means careful book-keeping of the time scheme,with intermediate time steps in refined areas, in order to synchronize the solution at theend of each macro time step. A scheme proposed by Muller and Stiriba (2007) in thecontext of explicit or implicit schemes with CFL < 1 was first successfully implementedin our reduced model case (horizontal pipelines without drift) [P30]. The design of a localtime stepping method specific for semi-implicit schemes has been recently submitted forpublication [P22].

4. Chromatography

I started to work on flows in porous media in 1994 with Jack Xin (Arizona) in thecontext of a study of the wave front speed, modelling the transport of contaminants inthe soil. The properties of the porous medium vary very rapidly in space, and in the samespirit as in the first paragraph, we addressed the modelling of this very high frequencyheterogeneities from a probabilistic point of view. The goal was to numerically verifyhypotheses based on mathematical results which where obtained in the case where theproperties of the medium are periodic. Extensive simulations allowed us to estimate themean and variance of the propagation speed of the travelling wave, which is characteristic ofthe long time behavior of these equations. We were also able to make their time dependencemore precise [P33].

I did not pursue this direction of work because at the same time I became involvedin the modelling of the chromatography with Mauricio Sepulveda (Concepcion, Chile)during a two-year visit (1994-1996) at the Interdisziplinares Zentrum fur WissenschaftlichesRechnen (IWR), Heidelberg.

The chromatography is an experimental process were several chemical componentsinteract. The mixture propagates in a porous medium, and part of the mobile phase isadsorbed by the grains and becomes fixed. The exchange of matter between phases is mo-delled by an equilibrium law coupling the concentrations in both phases. Its identificationis crucial for the chemists. Indeed the shapes and parameters of this law allows them tocharacterize the various components of the mixture and to monitor the experiment. Thisinverse problem can be solved by comparing the experimental concentrations with nume-rical simulations from the modelling of the transport within the chromatography column.The simplest model assumes an instantaneous equilibrium between the mobile and fixedphases and amounts to a system of hyperbolic equations studied in details by Sepulvedaand James. It cannot take into account the diffusive character of the chromatograms.

We first tried to introduce this diffusion in the modelling [P34; P37] by using homo-genization results from the Stokes problem at the microscopic level. Then with FrancoisJames [P32] we took into account the finite speed of the thermodynamic equilibrium andderived a system of equations linked by relaxation terms.

Following these efforts in the modelling direction, we went back to the inverse prob-

SUMMARY 9

lem, in the context of an “Action Concertee Incitative” (ACI) from the Ministry of Research(juillet 2003 - aout 2007).The other members of this ACI team : Francois James (leader), Emmanuel Le Guirriec(Orleans) Marc Schoenauer (INRIA, Paris), Mauricio Sepulveda (Concepcion, Chili) andGeorge Guiochon (Tennessee,USA) illustrate the pluridisciplinary nature of our project,“Chromalgema”, which is at the interface between mathematics, chemistry and computerscience. We have tackled the problem with a new strategy to improve the robustness of theoptimization by combining the advantages of evolutionary algorithms [P35] and gradienttype algorithms [P31].A big effort has been done in term of software engineering, in order to implement thesemethods in programs that can be distributed among the chemical engineering community.

SUMMARY 10

RESUME 11

Resume

Les references entre crochets [P1], [P2], etc. renvoient a la liste des publications page73. Les autres references avec le nom des auteurs et l’annee renvoient a la bibliographiegenerale page 79.

Mon activite de recherche a ete depuis le debut tournee vers les applications. Lesphenomenes de transport sont un denominateur commun des problemes auxquels je me suisinteressee. Le premier theme concernait les ondes en milieu aleatoire. L’application etaitdans ce cas l’inversion de signaux geophysiques ou electromagnetiques. J’ai ensuite travaillesur l’identification de parametres en genie chimique, et dernierement, sur la simulation desbouchons dans les conduites de petrole. Les applications ont egalement suscite des travauxplus en amont sur les methodes numeriques. En particulier, le developpement de methodesde multiresolution pour accelerer les schemas numeriques pour les lois de conservationconstitue un theme de recherche a part entiere.

Dans cette introduction je presente brievement ces quatre themes de recherche, c’est-a-dire les ondes en milieu aleatoire, la multiresolution, le transport des hydrocarbures etla chromatographie. Dans le memoire proprement dit, j’ai privilegie les trois derniers, quisont les plus recents.

1. Ondes en milieu aleatoire

J’ai commence a travailler sur la propagation des ondes en milieu aleatoire avecGeorge Papanicolaou au Courant Institute of Mathematical Sciences (CIMS), Ping Shenget Benjamin White (alors chez Exxon), Werner Kohler (Virginia Tech.), et Marc Ash(a l’epoque etudiant en these, CIMS). J’ai poursuivi ce theme avec Jean-Pierre Fouque(Centre de Mathematiques Appliquees de l´Ecole Polytechique) apres avoir ete recruteeau Laboratoire d’Analyse Numerique.

Le probleme physique sous-jacent etait la modelisation d’une onde transitoire elasti-que, acoustique ou electromagnetique, se propageant dans un milieu inhomogene, la crouteterrestre par exemple. Une partie du signal est reflechie et peut-etre mesuree a la surface.Quelle information peut-on retirer de ce signal reflechi, qui en general contient beaucoupde bruit ? C’est une question fondamentale en geophysique depuis les annees 1950. Chezles mathematiciens, le probleme de l’inversion de l’onde de dispersion a suscite egale-ment beaucoup d’interet. Les travaux pionniers dans ce domaine de B. Burridge, G. Papa-nicolaou, P. Sheng et B. White (1989) ont consiste a formuler le probleme de maniereprobabiliste. Le materiau reflechissant est modelise par un milieu aleatoire, dans lequel lesignal reflechi est caracterise par une classe de processus stochastiques non stationnaires.A partir de la, le probleme consistant a determiner les proprietes du milieu devient alorsun probleme d’estimation statistique pour cette classe de processus.

Dans une premiere phase, nous nous sommes concentres sur la simulation numeriquede tels signaux [P3; P10], en considerant tout d’abord les ondes planes a incidence normalesur un demi-espace dont les proprietes acoustiques sont constantes a l’interieur de coucheshorizontales. Les heterogeneites sont modelisees par les variations de la densite et du modu-le de compressibilite du materiau. En se basant sur des resultats experimentaux en sciencedes materiaux, et sur l’etude des diagraphies en geologie, on represente les proprietes

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du milieu par des fonctions aleatoires variant sur deux echelles. Les proprietes moyennesvarient lentement a l’echelle macroscopique, qui peut etre de l’ordre du kilometre pourla terre par exemple. Les oscillations aleatoires sont en revanche a tres haute frequence,et leur amplitude n’est limitee que par la contrainte de garder des proprietes physiquespositives. Dans le modele adopte pour la croute terrestre, la vitesse du son varie de trentepour cent sur une echelle de l’ordre de deux a trois metres. La theorie suppose aussi quela longueur d’onde principale de l’excitation est intermediaire entre ces deux echelles defacon a pouvoir resoudre les variations lentes mais a ne ressentir les variations rapides questatistiquement.

Nous avons ensuite mis au point et teste un algorithme pour le probleme inverseutilisant les resultats de la theorie mathematique [P6; P7]. Les signaux reflechis sont car-acterises de maniere precise sous la forme d’une classe relativement simple de proces-sus gaussiens non-stationnaires. Ils sont fonction des variations macroscopiques du mi-lieu et pratiquement independants des variations sur la petite echelle. Plus precisement,la densite locale d’energie spectrale des signaux reflechis depend uniquement des varia-tions moyennees de la vitesse du son, par l’intermediaire d’un systeme de dimension in-finie d’equations aux derivees partielles hyperboliques. Par locale, on entend ici le spectred’energie obtenu en considerant des segments de signal de duree comparable a la periodeprincipale. On evalue la densite locale d’energie spectrale en appliquant des transforma-tions de Fourier locales et en faisant la moyenne statistique sur plusieurs realisations dumilieu aleatoire [P8]. Nous avons ensuite mis au point une methode alternative utilisant latransformee en ondelette qui prend mieux en compte le caractere localement stationnairedu signal [P4; P9]. On construit enfin la fonction de vraisemblance pour les estimations dela densite d’energie spectrale, qu’on maximise en fonction du profil de vitesse. Les simula-tions numeriques montrent qu’il faut une dizaine de realisations independantes du milieualeatoire pour obtenir une estimation precise de ses proprietes moyennes.

Comme en pratique on ne dispose que d’une realisation du milieu, il faut compenser lemanque de donnees par une autre redondance d’information, ce qui est possible en utilisantune source ponctuelle au lieu d’ondes planes. Meme si le modele reste uni-dimensionnel, lesignal reflechi depend des positions respectives de la source et du recepteur. La stationnaritelocale du signal permet de montrer que des enregistrements eloignes de plus d’une longueurd’onde sont pratiquement independants [P5]. Ceci procure la redondance d’informationnecessaire pour pouvoir effectuer l’inversion a partir d’un seul ensemble de mesures [P2].

Notons que ces travaux ont recemment ete cites et repris dans le livre de Fouque,Garnier, Papanicolaou et Solna [2007]

2. Multiresolution

En collaboration avec Albert Cohen et Sidi Kaber (LJLL), nous avons developpede facon systematique des methodes de decomposition multi-echelle adaptatives, baseessur des operateurs de restriction et de prediction inter-echelles agissant sur les valeursponctuelles ou les valeurs moyennes d’une fonction. Ce type de decomposition permetde mettre en correspondance la grille des coefficients d’ondelettes utilises (bien adapteepour le seuillage et la compression) et une grille physique adaptative (bien adaptee pourle calcul de termes non lineaires). Nous appliquons ces decompositions aux solutions de

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lois de conservation non lineaires, calculees par des schemas volumes finis conservatifs. Onobtient des schemas adaptatifs multiresolution dont on peut controler l’erreur par rapporta un schema de reference sur une grille fine uniforme et fixe.

Analyse multi-echelle

La methode de multiresolution developpee au debut des annees 1990 par A. Hartenet ses collaborateurs est au depart implementee sur des maillages cartesiens sur lesquelson peut definir une hierarchie de grilles dyadiques imbriquees. Une fonction representeesur un tel maillage peut egalement etre decomposee dans la base d’ondelettes associee a lahierarchie de grilles. Les coefficients de la fonction dans la base d’ondelette, appeles details,sont la difference entre la representation a un niveau de resolution et la prediction a partirde la representation au niveau immediatement plus grossier. La decroissance des coefficientsd’ondelettes avec l’echelle qui leur est associee est d’autant plus forte que la fonction estplus reguliere sur le support de l’ondelette. Ainsi, une des caracteristiques de ces bases estde permettre l’approximation adaptative de fonctions presentant des singularites localiseespar des algorithmes de seuillage.

Nous avons repris ces idees en les adaptant aux cas des maillages triangulaires dans[P11; P18; P13]. Le domaine polygonal sur lequel on etudie la fonction est dote d’unehierarchie de maillages triangulaires imbriques. On considere une classe d’operateurs dereconstruction d’ordre deux, permettant de predire les valeurs moyennes de la fonction surun niveau de grille a partir des valeurs moyennes au niveau immediatement plus grossier.On etudie la stabilite du processus de prediction quand on l’itere a l’infini, et on justifiel’utilisation des differences entre les valeurs predites et les vraies valeurs moyennes, commeindicateurs de regularite de la solution.

Multiresolution pour les schemas volumes finis

L’application des ondelettes pour l’approximation adaptative des solutions d’equa-tions aux derivees partielles se heurte a une difficulte supplementaire fondamentale : ilne s’agit plus seulement de seuiller les coefficients les plus grands d’une fonction connue,mais de calculer ceux de l’inconnue d’un probleme. Le cas des lois de conservation est ala fois interessant et difficile : les solutions de ces equations peuvent developper en tempsfini des discontinuites localisees, et se pretent donc bien a une approximation adaptative.Dans ce cadre, l’utilisation des methodes multiresolution repose largement sur l’hypotheseheuristique d’Harten : les singularites des solutions se deplacant a vitesse finie, il est pos-sible de predire a partir de la representation multi-echelle de la solution l’emplacementdes singularites au pas de temps suivant. Cette hypothese est justifiee theoriquement souscertaines conditions dans [P12].

Multiresolution a la Harten : on ecrit un schema de type volumes finis sur la grillefine. La decomposition multiresolution de la solution calculee a un pas de temps donneest utilisee pour decider du mode de calcul du flux numerique qui determine l’evolution :dans les zones ou la solution varie beaucoup, les flux sur les aretes des mailles sont calculesprecisement en utilisant les valeurs de la solution sur la grille fine. Ailleurs, ce sont lesmoyennes des divergences des flux qui sont calculees par interpolation a partir des quan-

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tites du meme type au niveau plus grossier. Cette methode permet de reduire le cout CPUdu schema volumes finis initial tout en conservant sa precision. Elle est analysee dans [P12],et adaptee au cas des maillages triangulaires dans [P11; P14; P18; P13].

Multiresolution adaptative : dans l’algorithme precedent, l’evolution de la solutions’effectue a chaque pas de temps sur la grille uniforme la plus fine. La mise au point d’unschema pleinement adaptatif, utilisant uniquement la solution comprimee (i.e. reduite ases coefficients les plus significatifs) est un prolongement naturel de ce programme. Elle faitevidemment surgir de nouvelles difficultes, tout particulierement dans l’analyse de la sta-bilite et de la precision du schema [P12]. Les applications a differents systemes d’equationsen dimension un et deux [P12; P15; P16; P17] mettent en evidence des gains en temps decalcul tres variables par rapport au calcul realise sur le maillage uniforme de reference. Legain depend tres fortement du pourcentage du domaine de calcul occupe par la partie forte-ment variable de la solution. Plus les singularites sont localisees, plus la multiresolutionest efficace. Le gain depend egalement du nombre de niveaux dans la hierarchie de grillesimbriquees. Enfin, la multiresolution se revele d’autant plus interessante que le schema dereference est couteux, ce qui est souvent le cas dans les systemes de lois de conservationmodelisant des phenomenes physiques complexes. C’est d’ailleurs ce qui a motive monimplication dans le troisieme theme de recherche.

3. Transport des hydrocarbures

Ce theme de recherche est developpe dans le cadre de l’Equipe de Recherche Tech-nologique (ERT) “Simulation avancee du transport des hydrocarbures” pilotee par FredericCoquel (LJLL) qui s’est mise en place en 2004 entre le Laboratoire Jacques-Louis Lions(LJLL), l’Institut Francais du Petrole (IFP) et le Ministere de la Recherche. Nous travail-lons en etroite collaboration avec Quang Huy Tran de l’Institut Francais du Petrole (IFP).Une these (Quang-Long Nguyen a l’IFP) est en cours de redaction dans le prolongementde deux stages de Master (Nicole Poussineau et Linda Linise) et du sejour post-doctoral deNikolai Andrianov. Le sujet de cette cooperation est le transport polyphasique des hydro-carbures dans les conduites petrolieres, domaine dans lequel la simulation numerique desecoulements en transitoire constitue un enjeu majeur. Il est essentiel de pouvoir obtenir unegrande precision sur la simulation des ondes de transport, tout en garantissant la robustessedu calcul. Par ailleurs les schemas numeriques permettant de repondre a ces criteres serevelant tres couteux, il s’avere necessaire de les accelerer en utilisant des techniques adap-tatives developpees a partir de la methodologie presentee dans le theme precedent.

Description du probleme physique

Les systemes de lois de conservation uni-dimensionnels que nous cherchons a resoudrenumeriquement modelisent des phenomenes physiques impliquant des ondes dont les vites-ses ont des ordres de grandeur differents. Typiquement, un melange de gaz et d’huile injectea l’aide d’une pompe va se deplacer dans la conduite en generant deux types d’ondes : desondes de pression tres rapides –dites acoustiques– et des ondes de transport, plus lentes.Du point de vue de l’ingenieur petrolier, seule l’onde de transport est interessante car ellecorrespond au deplacement des fortes variations dans la composition du melange gaz-huile.

RESUME 15

En particulier, sa modelisation devrait permettre de predire la formation des bouchons,qui peuvent endommager serieusement les installations et qu’on cherche donc a eviter enpratique. Du point de vue du numericien en revanche, les ondes rapides sont difficilementnegligeables. En effet, dans le cas d’un schema numerique explicite, elles vont dicter lechoix du pas de temps assurant la stabilite.

Schemas numeriques pour le transport polyphasique

La premiere reponse a cette difficulte numerique est l’utilisation de schemas en tempsexplicites/implicites. Il s’agit d’ecrire les inconnues physiques dans une base ou les effetsdes ondes lentes et rapides se decouplent facilement. Les elements rapides de la solutionseront propages avec un schema implicite, ce qui permet de s’affranchir de la condition destabilite trop contraignante sur le pas de temps. Les ondes lentes, elles, seront traitees avecun schema explicite, assurant une diffusion numerique bien moindre, ce qui est souhaitablepour bien capturer les ondes de contact.

Nous avons teste plusieurs approches pour mettre en œuvre cette idee. Nous avonsadopte finalement une methode dite de Lagrange/projection [P21; P30; P28], permettantde decoupler naturellement les phenomenes rapides par une etape dite lagrangienne, quel’on resout numeriquement avec un schema implicite suivie d’une etape de projection oula solution est transportee avec la vitesse –lente– de l’ecoulement. Cette methode presenteplusieurs avantages par rapport a la methode de relaxation en variables euleriennes testeeauparavant [P24; P20; P23].

Methodes adaptatives pour les schemas semi-implicites

Un cas test realiste consiste a modeliser le transport sur une dizaine de kilometresd’une discontinuite dans la fraction massique de gaz du melange, se propageant a la vitessemoyenne de 5 metres par seconde. D’apres les ingenieurs, une resolution de l’ordre du metreest necessaire dans le voisinage de la discontinuite pour simuler le deplacement du front avecsuffisamment de precision. Un maillage uniforme a ce niveau de resolution serait d’une partd’un cout prohibitif et d’autre part inutile dans la plus grande partie du domaine de calcul,en particulier, loin du front d’onde de transport, ou les seules fluctuations de la solutionsont dues a des ondes acoustiques ininteressantes. Qui plus est, ces ondes acoustiques sonttraitees par un schema implicite a trois points, donc regularisees tres rapidement. Il estdes lors legitime de vouloir discretiser la solution avec des mailles fines dans la region dufront d’onde de transport et avec des mailles grossieres ailleurs.

Par rapport a la methode de multiresolution adaptative presentee dans le theme derecherche precedent, developpee dans le contexte de schemas explicites a CFL < 1, il afallu justifier l’algorithme de prediction de la grille adaptative d’un pas de temps a l’autre[P23], et travailler sur une mise en œuvre informatique efficace des schemas implicites surdes grilles non uniformes [P20]. Les differents tests numeriques font apparaıtre des gainsen temps de calcul allant jusqu’a 10, par rapport au schema sur une grille uniforme.

Le veritable enjeu, a savoir la mise en oeuvre d’une methode adaptative a la foisen espace et en temps, est actuellement en passe d’etre atteint. Pour une condition destabilite CFL donnee, faisant intervenir le rapport ∆t/∆x, dans les regions ou la solutionest discretisee sur des mailles grossieres, on peut en effet utiliser un grand pas de temps.

RESUME 16

En revanche dans les regions de forte variation de la solution, ou elle est discretisee surdes petites mailles, le pas de temps sera en consequence plus petit. Ceci sous-entend unegestion soigneuse du schema en temps, avec des pas de temps intermediaires dans les zonesraffinees, de maniere a synchroniser la solution a la fin de chaque grand pas de temps.Nous avons implemente avec succes dans le cas du modele reduit (conduites horizontalessans frottement) [P30] un algorithme propose par Muller et Stiriba (2007) dans le cadre deschemas explicites ou implicite avec CFL < 1. Le developpement d’une methode de pasde temps local pour les schemas semi-implicites a fait l’objet d’une publication soumise[P22].

4. Chromatographie

J’ai commence a travailler sur le probleme du transport dans les milieux poreux en1994 avec Jack Xin (Arizona) dans le cadre d’une etude de la vitesse de propagation desfronts d’onde modelisant le transport de polluants dans le sol. Les proprietes du milieuporeux varient tres rapidement en espace, et dans le meme esprit que dans le premiertheme, nous avons aborde la modelisation de ces heterogeneites tres haute frequence d’unpoint de vue probabiliste. Il s’agissait de verifier numeriquement des hypotheses baseessur des resultats mathematiques disponibles dans le cas ou les proprietes du milieu varientperiodiquement. Des simulations numeriques systematiques ont permis d’estimer la valeurmoyenne et l’ecart type de la vitesse de propagation des ondes progressives, caracteristiquesdu comportement en temps long de ces equations, et de preciser leur dependance parrapport au temps [P33].

Je n’ai pas poursuivi cette direction car a la meme epoque j’ai commence a m’interessera la modelisation de la chromatographie, en collaboration avec Mauricio Sepulveda (actuel-lement a Concepcion, Chile) lors d’un sejour de deux ans (1994-1996) au InterdisziplinaresZentrum fur Wissenschaftliches Rechnen (IWR), Heidelberg.

La chromatographie est un processus experimental permettant d’analyser des melan-ges de divers composants chimiques. Le melange etudie se propage a l’interieur d’un milieuporeux et une partie de la phase mobile se fixe par adsorption sur les grains de la matrice. Lephenomene d’echange de matiere entre les phases est modelise par une loi d’equilibre reliantles concentrations dans les deux phases. L’identification de cette loi (forme, parametres)est cruciale pour les chimistes car elle caracterise les composants du melange et permet depiloter l’experience. Ce probleme inverse est resolu en calant les mesures experimentalesdes concentrations avec les valeurs simulees numeriquement a partir d’une modelisationdu transport dans la colonne de chromatographie. Le modele le plus simple suppose unequilibre instantane entre les phases mobiles et fixes et conduit a un systeme d’equationshyperboliques etudie en detail par Sepulveda et James. Il ne permet pas de prendre encompte le caractere diffusif des chromatogrames.

Nous avons d’abord explore la possibilite d’introduire cette diffusion dans le modeleen partant de resultats d’homogeneisation du probleme de Stokes au niveau microscopique[P34; P37; P36]. Puis avec Francois James [P32], nous avons pris en compte la vitesse finiede l’equilibre thermodynamique entre les phases ce qui nous a conduit a etudier un systemed’equations couplees par des termes de relaxation.

En prolongement de ce travail de modelisation, nous nous sommes de nouveau inte-

RESUME 17

resses au probleme inverse, dans le cadre d’une Action Concertee Incitative (ACI) duMinistere de la Recherche (juillet 2003 - aout 2007). Les autres membres, Francois James(porteur du projet), Emmanuel Le Guirriec (Orleans), Marc Schoenauer (INRIA, Paris),Mauricio Sepulveda (Concepcion, Chili) et George Guiochon (Tennessee, USA), illus-trent le caractere pluridisciplinaire de notre projet, “Chromalgema”, a l’interface entreles mathematiques, la chimie et l’informatique.

Nous avons attaque le probleme avec une nouvelle strategie consistant a ameliorerla robustesse de l’optimisation en combinant les avantages des algorithmes evolutionnaires[P35] et les algorithmes de type gradient [P31]. Un effort important a ete fourni pourimplementer ces methodes dans des logiciels pouvant etre distribues en shareware auxutilisateurs chimistes potentiels.

RESUME 18

INTRODUCTION 19

Introduction

Dans ce memoire je developpe les trois themes de recherche sur lesquels je travailleencore actuellement. Dans la premiere partie je presente les resultats de mes travaux surla multiresolution depuis 1998, en collaboration principalement avec Albert Cohen et SidiMahmoud Kaber (Laboratoire Jacques-Louis Lions), en commencant par une introductionsur les methodes d’approximation multiechelle.

La deuxieme partie presente les resultats d’une collaboration avec Frederic Coquel(LJLL) et Quang-Huy Tran (Institut Francais du Petrole) sur le transport des hydrocar-bures, demarree en 2004. Ce projet, ou je ne devais a l’origine intervenir que pour ap-pliquer ma methode de multiresolution preferee, s’est transforme, en ce qui me concerne,en une veritable initiation et une participation active a la modelisation et aux methodesnumeriques pour les fluides complexes.

La troisieme partie presente mes recherches sur la chromatographie. J’ai travaillesur ce theme depuis 1995, en collaboration d’abord avec Mauricio Sepulveda (Concep-cion, Chili) pendant les sejours de deux ans que nous avons effectue au meme moment aHeidelberg, puis avec Francois James (Orleans) et enfin Marc Schoenauer (Inria Futures,Orsay).

INTRODUCTION 20

1 MULTIRESOLUTION 21

1 Multiresolution

Les articles [P11; P12; P13] et les actes de congres [P14; P15; P16] sont fournis enannexe. Les references entre crochets [P1], [P2], etc. renvoient a la liste des publicationspage 73. Les autres references avec le nom des auteurs et l’annee renvoient a la bibliogra-phie generale page 79.

Les methodes multi-echelles sont un outil d’analyse et de calcul puissant pour desapplications allant du traitement du signal a l’analyse numerique des equations aux deriveespartielles. Les fondements theoriques de ces techniques ont coıncide avec l’emergence de latheorie des ondelettes, dans les annees 1980.

Un des principaux attraits des discretisations dans des bases multi-echelles est depouvoir, par un simple seuillage des coefficients de la fonction discretisee dans une tellebase, obtenir une discretisation a une echelle plus grossiere dans les endroits ou la fonc-tion est reguliere, tout en gardant les details relevant des discretisations plus fines presdes singularites. C’est le principe utilise en traitement du signal et en traitement d’imagepour faire de la compression de donnees. Dans le domaine qui nous interesse, celui de laresolution numerique des EDP, il s’agira dans la mesure ou la solution est reguliere, excep-tion faite de singularites localisees, d’utiliser une technique multi-echelle pour approchercette solution en utilisant moins de memoire et moins de temps CPU. L’introduction destechniques multi-echelles pour resoudre les systemes de lois de conservation hyperboliquesest due a A. Harten vers la fin des annees 1980. Les solutions de ces equations presententen general des discontinuites –ou chocs– qui se propagent a vitesse finie. En exploitant leurdecomposition multi-echelle on concentre la representation sur une grille tres fine au voisi-nage de ces discontinuites et on economise ainsi des ressources de calcul tout en conservantla precision du schema initial, ou tout au moins le meme ordre d’erreur.

Resumons le principe dans ses grandes lignes : on part d’un schema numerique pourresoudre un systeme d’equations hyperboliques

∂tu+ div(f(u)) = 0.

A priori on peut choisir un schema aux differences finies, volumes finis, etc... La solutiona un temps tn est representee par des valeurs discretisees un

k , sur une grille SJ . Cette grilleen espace a une taille de maille d’ordre 2−J , ou on a choisi J suffisamment grand pourque un

k avec k ∈ SJ represente une bonne approximation de la solution exacte u(tn, xk)(pour simplifier les notations, l’ensemble SJ represente egalement les indices des maillesau niveau J). On fait evoluer les valeurs discretes (un

k)k∈SJde la solution approchee d’un

pas de temps a l’autre en evaluant les flux a travers les interfaces entre les mailles. L’ideede base est de faire une decomposition multi-echelle de la solution, du type transformee enondelettes, dans une hierarchie de grilles emboitees (Sj)j=0,...,J , et d’utiliser les coefficientsde la transformee comme des indicateurs de regularite.

Ces indicateurs permettent d’adapter le maillage en fonction de la regularite localede la solution - c’est ce que nous appellerons la multiresolution adaptative. La solution estdiscretisee sur un maillage compose de cellules appartenant a des niveaux de raffinementplus ou moins fins suivant sa regularite locale. Ce maillage, ou plutot le niveau utilise dansla hierarchie de grilles, evolue en temps, puisqu’il depend de la solution. Un avantage par


rapport aux methodes AMR, qui utilisent aussi des indicateurs de regularite, est que latransformation multi-echelle peut etre inversee a tout moment et que la solution est en faitconnue “potentiellement” sur la grille la plus fine, meme si elle est calculee sur une grillebeaucoup plus grossiere. Cet atout est tres interessant du point de vue de l’analyse de lamethode, qui peut ainsi etre comparee au schema de reference sur la grille la plus fine.

Vue sous cet angle, cette methode de multiresolution adaptative est un developpementassez recent (voir Dahmen, Gottschlich-Muller et Muller [2001],[P12]). A l’origine lestravaux de Harten [1995, 1994] et de Bihari et Harten [1995] portaient plutot sur l’u-tilisation des coefficients d’ondelettes comme indicateurs d’erreur dans le contexte d’unschema d’evolution sur la grille uniforme la plus fine. Ils indiquent en effet les zones ou ilest possible de faire des economies de temps CPU sur le calcul des flux, qui est d’autantplus couteux que la solution est singuliere : dans les regions ou les details au dela d’unniveau d’echelle j < J sont petits (c’est-a-dire au dessous d’un seuil), on est dans une zoneou la solution est reguliere et on peut remplacer l’evaluation des flux par leur interpolationa partir des valeurs sur un niveau de grille plus grossier, ce qui est moins cher que le calculprecis des flux, dans le cas de lois de conservations non lineaires.

Depuis la fin des annees 1990 plusieurs equipes ont travaille dans ces deux direc-tions avec toujours le point commun d’accelerer le calcul global tout en gardant la memeprecision que le schema de reference sur une grille uniforme. Bihari [1996],Bihari et Schwen-deman [1999] ont developpe les techniques proposees par A. Harten et les ont appliquees ades systemes et des schemas numeriques complexes. Chiavassa et Donat [1999, 2001, 2002];Chiavassa et Liandrat [2001] et Chiavassa, Donat et Marquina [2001] ont eux aussi favorisel’approche d’Harten, en adoptant un codage de la solution par ses valeurs ponctuellesplutot que moyennes. Roussel, Schneider et Farge [2005]; Roussel, Schneider, Tsigulin etBockhorn [2003], Domingues, Gomes, Roussel et Schneider [2007], sur la base d’une struc-ture de donnees en arbre, ont developpe des applications de l’algorithme adaptatif pourdifferentes classes de problemes domines par la convection incluant egalement des termesparaboliques ou de reaction diffusion. S. Muller a developpe l’algorithme adaptatif surdes maillages curvilignes pour des applications multidimensionnelles, les equations d’Eulercompressible (Bramkamp, Lamby et Muller [2004]), les ecoulements en eaux peu profondes(Lamby, Muller et Stiriba [2005]), et les bulles de cavitation (Muller, Helluy et Ballmann[2007]). Muller [2002] explique comment les gains en temps de calcul sont ameliores parl’implementation d’une structure de donnees utilisant les tables de hachage. Campos Pintoet Mehrenberger [2007] ont developpe une methode adaptative pour le systeme de VlasovPoisson dans le cadre d’une formulation semi-lagrangienne. Une nouvelle avancee consis-tant dans la mise en place d’un schema adaptatif a la fois en temps et en espace, due aMuller et Stiriba [2007] a donne lieu a des developpements recents qui seront abordes dansla section 2 suivante.

L’introduction a la methode de multiresolution qui suit resume mes travaux en col-laboration avec Albert Cohen, Sidi Kaber et Siegfried Muller [P12] et Albert Cohen, SidiKaber et Nira Dyn [P11]. Dans la premiere partie, je presente les bases de la methodedans le contexte de l’analyse multi-echelle. La deuxieme partie concerne l’application decette technique d’approximation a la resolution par volumes finis d’un systeme de lois deconservation, c’est-a-dire l’algorithme adaptatif, et son precurseur l’algorithme de Harten.


1.1 Multiresolution par valeurs moyennes

Dans l’optique de notre application de la methode multi-echelle a des schemas vol-umes finis, nous presentons tout d’abord la multiresolution ou encore l’approximationmulti-echelle d’une fonction discretisee par ses valeurs moyennes (figure 1). On pourra con-sulter le livre de Cohen [1999] pour une presentation generale incluant les discretisationspar valeurs ponctuelles.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

2−j

P ffj

Fig. 1 – Approximation d’une fonction f par ses valeurs moyennes.

1.1.1 Decomposition multi-echelle

On definit une hierarchie de discretisations sur des grilles imbriquees : pour j =0, 1, · · · , J , on se donne des partitions emboıtees (Ωγ)γ∈Sj

de Rd (ou du domaine considereΩ) telles que chaque Ωγ, γ ∈ Sj est l’union d’un nombre fini de cellules Ωµ, µ ∈ Sj+1.L’index j fait reference a l’echelle du niveau au sens ou il existe des constantes c, C tellesque

c2−j ≤ diam(cγ) ≤ diam(Cγ) ≤ C2−j, γ ∈ Sj, (1.1)

ou cγ (resp. Cγ) sont des boules contenues (resp. contenant) Ωγ . On utilisera la notation

|γ| := j si γ ∈ Sj, (1.2)

pour designer l’indice de l’echelle du niveau auquel appartient Ωγ .L’exemple de base sera la decomposition en intervalles dyadiques en dimension 1

Ωγ = Ωjk := [2−jk, 2−j(k + 1)], γ ∈ Sj := (j, k) ; k ∈ Z. (1.3)

On considere un vecteur Uj := (uγ)γ∈Sjde donnees discretes sur une grille Sj , representant

les valeurs moyennes d’une fonction u ∈ L1(Rd), i.e.

uγ := |Ωγ |−1

∫Ωγ

u(x)dx. (1.4)

Dans le cas dyadique, on notera aussi ujk = uγ, avec l’indice du niveau d’echelle en exposant.

On va maintenant definir deux operateurs permettant de passer de la representation d’une


fonction au niveau j a sa representation au niveau j − 1 immediatement plus grossier(operateur de projection) et inversement de predire la representation d’une fonction auniveau j a partir de sa representation au niveau j−1 (operateur de predictioL’operateurde projection P j

j−1 relie Uj a Uj−1. Comme les partitions Sj sont imbriquees, on obtientnaturellement les valeurs moyennes a un niveau en fonction des valeurs moyennes au niveauimmediatement plus fin par n).

L’operateur de projection P jj−1 relie Uj a Uj−1. Comme les partitions Sj sont

imbriquees, on obtient naturellement les valeurs moyennes a un niveau en fonction desvaleurs moyennes au niveau immediatement plus fin par

uγ = |Ωγ|−1∑

|µ|=|γ|+1,Ωµ⊂Ωγ

|Ωµ|uµ. (1.5)

Dans le cas uni-dimensionnel dyadique cela revient a prendre la demi somme des moyennesau niveau fin, i.e. uj−1,k = (uj,2k + uj,2k+1)/2. Il est clair qu’on peut deduire toutes lesvaleurs moyennes UJ−1, UJ−2, · · · , U0 jusqu’au niveau le plus grossier, a partir des valeursmoyennes au niveau le plus fin en appliquant successivement les operateurs P j

j−1.

L’operateur de prediction P j−1j associe a Uj−1 une approximation Uj de Uj . Con-

trairement a l’operateur de projection il y a une infinite de choix possibles pour definirP j−1

j . Nous allons restreindre ces choix en imposant quelques contraintes de base.– La prediction est locale, i.e. uµ depend des valeurs uγ sur un stencil de cardinal finiRµ - une collection de cellules entourant Ωµ, telles que

Rµ ⊂ γ ; |γ| = |µ| − 1 et dist(Ωγ ,Ωµ) ≤M2−|µ|, (1.6)

pour un M donne.– La prediction est consistante avec la projection au sens ou

uγ = |Ωγ|−1∑

|µ|=|γ|+1,Ωµ⊂Ωγ

|Ωµ|uµ, (1.7)

i.e. uµ doit etre conservative par rapport aux valeurs moyennes sur la grille grossiere,c’est a dire que P j

j−1Pj−1j = Id. Cette propriete implique en particulier que le

stencil de prediction d’une cellule doit obligatoirement contenir son “parent” auniveau plus grossier, c’est-a-dire que le stencil Rµ doit contenir l’indice γ tel que|µ| = |γ|+ 1 et Ωµ ⊂ Ωγ .

Un exemple trivial d’un tel operateur de prediction revient a prendre tout simplement

uµ = uγ, if Ωµ ⊂ Ωγ. (1.8)

Remarquons qu’a priori nous n’imposons pas la linearite de l’operateur de prediction bienque ce soit une hypothese importante dans l’analyse numerique du schema. (voir Abgrall[1997]; Arandiga et Donat [2000] pour des exemples d’operateurs non lineaires ).

Dans le cas uni-dimensionnel dyadique on peut construire toute une classe d’opera-teurs de prediction lineaires et de precision arbitraire. On cherche le polynome pµ de degrer qui verifie ∫

Ω|µ|−1,k

pµ(x)dx =

∫Ω|µ|−1,k

u(x)dx pour (|µ| − 1, k) ∈ Rµ. (1.9)


r s γ1 γ2 γ3

0 0 0 0 02 1 −1/8 0 04 2 −22/128 3/128 06 3 −201/1024 11/256 −5/1024

Tab. 1 – Coefficients pour la prediction lineaire par valeurs moyennes (1.11)

et on posera

uµ := |Ωµ|−1

∫Ωµ

pµ(x)dx. (1.10)

Comme l’intervalle parent de µ est forcement dans Rµ, pour avoir des operateurs centreset lineaires on va s’interesser uniquement aux polynomes de degre r = 2s pairs. Le cas(1.8) correspond a r = 0. Pour r ≥ 0 on peut ecrire (1.10) sous la forme generique

uj2k = uj−1

k +s∑

l=1

γl

(uj−1

k+l − uj−1k−l

)= uj−1

k +Qs(k; uj−1), (1.11)

ou les coefficients γl, solutions du systeme lineaire (1.9) sont donnes dans la table 1 pours ≤ 3. Pour preciser les notations, le stencil de prediction Rj,k dans ce cas est de cardinalr + 1 :

Rj,k = (j − 1, ⌊k/2⌋+ l), |l| ≤ s, (1.12)

ou ⌊k⌋ est la partie entiere de k. En dimension deux, il faut distinguer entre le cas desgrilles cartesiennes, ou on peut etendre les notions uni-dimensionnelles par tensorisationet le cas des grilles triangulaires, plus complexe.

L’exemple le plus simple est celui propose par Bihari et Harten [1997] dans le cas d’unmaillage cartesien. C’est la version produit tensoriel de l’operateur de prediction polynomialdefini plus haut dans le cas uni-dimensionnel. Dans ce cas, le stencil de prediction est lememe pour toutes les subdivisions d’une meme cellule :

Rj,(k,l) = j − 1, (⌊k/2⌋+m, ⌊l/2⌋+ n),−s ≤ m,n ≤ s.Dans le cas de maillages triangulaires le choix de l’operateur de prediction est moins sim-ple. La premiere idee est de faire comme dans le cas uni-dimensionnel : on determine unpolynome de reconstruction pµ de degre s, en imposant la condition de conservation (1.9)sur d triangles, avec d la dimension de Πs(R2), ou Πs(Ω) est l’ensemble des polynomesde degre s sur Ω. L’operateur Uj = P j

j−1Uj−1 est alors defini localement sur les maillesde niveau j = |µ| + 1 incluses dans Ωµ par (1.10). Mais la selection des d − 1 trianglesvoisins de Ωµ, en plus de son parent, qui vont servir a determiner le polynome pµ par (1.9)n’est pas un probleme trivial. Par exemple, dans le cas represente sur la figure 2, pourdeterminer un polynome affine, comment choisir les deux triangles en plus de Ω0

0 qui ferontpartie du stencil de prediction pour l’une des quatre subdivisions ?


Une idee simple serait de choisir pour chaque subdivision Ωjk, les deux gros triangles

Ωj−1k′ ayant une arete commune avec elle, c’est a dire pour notre example

Rj,1 = Ωj−10 ,Ωj−1

2 ,Ωj−13 , Rj,2 = Ωj−1

0 ,Ωj−11 ,Ωj−1

3 , Rj,3 = Ωj−10 ,Ωj−1

1 ,Ωj−12 .

On peut alors calculer un polynome affine different pour chacune de ces subdivisions al’aide de (1.9) , et definir la reconstruction sur la subdivision centrale en imposant larelation de conservativite deduite de (1.7)

|Ωj0|uj

0 = |Ωj−10 |uj−1

0 −3∑

k=1

|Ωjk|uj

k. (1.13)

Malheureusement ce procede est instable. En effet si on itere cet operateur indefinimenten partant d’une solution composee d’une seule valeur non nulle sur la grille grossiere, onconverge vers une solution qui n’est pas dans L∞(Ω) (voir [P11]). On a donc developpe unoperateur lineaire base sur le meme stencil pour les quatre subdivisions (soit sur la figure2, Rj,k = Ωj−1

0 ,Ωj−11 ,Ωj−1

2 ,Ωj−13 , pour k = 0, . . . , 3),

uj0,0 = ui−1

0 ,

uj0,1 = ui−1

0 + (ui−12 + ui−1

3 − 2ui−11 )/6,

uj0,2 = ui−1

0 + (ui−11 + ui−1

3 − 2ui−12 )/6,

uj0,3 = ui−1

0 + (ui−11 + ui−1

2 − 2ui−13 )/6.

(1.14)

L’etude detaillee de ce schema est dans [P11].Une approche plus globale mais non lineaire consiste a prendre un stencil assez gros,

mais sans selection couteuse, par exemple tous les triangles ayant un sommet en com-mun avec le triangle dont on veut reconstruire les quatre subdivisions. On determine unpolynome de reconstruction de degre donne pµ ∈ Πs(R2) qui sera valable pour les qua-tre subdivisions de Ωµ - qui ont donc toutes les quatre le meme stencil. Dans le cas dela figure 2 R1,k = Ω0,i, i = 0, ..., 10 pour k = 0, . . . , 3. Pour determiner pµ, on imposela conservation des valeurs moyennes de maniere exacte sur le triangle en question et ausens des moindres carres sur les autres triangles de R. Les valeurs predites au niveau finsont les integrales de pµ sur chacune des quatre subdivisions. Cette idee est due a Abgrall[1997]; Abgrall et Harten [1994]. Elle a ete reprise plus recemment par Schroder-Pander,Sonar et Friedrich [2000] dans le contexte de schemas volumes finis vertex centered pourdes maillages non structures. Les cellules au niveau le plus fin sont les volumes de controles(le maillage dual du maillage triangulaire) et la hierarchie de grilles est construite en ag-glomerant ces volumes. Nous avons traite dans [P18] le cas des schemas cell centered surune hierarchie de maillages triangulaires definie comme dans la figure 2.

Une fois choisi l’operateur de prediction, on peut definir l’erreur de prediction auniveau j comme les differences entre les valeurs exactes et les valeurs predites, i.e.

dµ := uµ − uµ. (1.15)

D’apres l’hypothese de consistance, on voit que cette erreur doit verifier des relations∑|µ|=|γ|+1,Ωµ⊂Ωγ

|Ωµ|dµ = 0. (1.16)


Ω00

Ω00

Ω02

Ω08

Ω06

Ω01

Ω07

Ω04

Ω03

Ω05

Ω10

Ω010

Ω13

Ω11

Ω12

Fig. 2 – Exemple de stencil de prediction sur un maillage non structure. A gauche lestriangles au niveau 0. A droite les quatre subdivisions de de Ω0

0 au niveau 1 : Ω1k for

j = 0, . . . , 3.

Grace a cette relation, pour chaque cellule au niveau grossier on peut eliminer une desrelations de prediction de la valeur moyenne sur ses descendants. On definit ainsi un en-semble ∇j ⊂ Sj en enlevant pour chaque γ ∈ Sj−1 un µ ∈ Sj tel que Ωµ ⊂ Ωγ . On definitalors un vecteur des details Dj = (dµ)µ∈∇j

, ce qui met en evidence la correspondance bi-

univoque entre Uj et (Uj−1, Dj) qu’on peut implementer en utilisant les operateurs P jj−1

et P j−1j . Dans le cas uni-dimensionnel dyadique, le vecteur des details peut etre defini par

Dj = (dj,k)k∈Z avec dj,k = (uj,2k − uj,2k).En iterant cette decomposition en partant du niveau le plus fin, on obtient une repre-

sentation multi-echelle de UJ en fonction de MJ = (U0, D1, D2, · · · , DJ). En utilisant lastructure locale des operateurs de projection et de prediction, on peut implementer latransformation multi-echelle

M : UJ 7→ MJ , (1.17)

et son inverse M−1 avec une complexite optimale O(NJ), ou NJ :=card(SJ) represente ladimension de UJ .

1.1.2 Lien avec la transformee en ondelettes

On va maintenant faire le lien entre la decomposition multi-echelle et la transfor-mation en ondelettes, cette derniere etant l’un des outils d’analyse pour les schemas mul-tiresolution qui seront presentes plus loin. Dans le cas ou P j−1

j est lineaire, par exemple lecas (1.11), on peut ecrire les valeurs predites sous la forme

uµ :=∑

γ,|γ|=|µ|−1

cµ,γuγ, (1.18)

ce qui met en evidence que M et M−1 sont de simples changements de bases. Si les Uj sontles valeurs moyennes de la fonction donnees par (1.4), en utilisant le langage ondelettes on


peut ecrire

uγ := 〈u, ϕγ〉, (1.19)

ou la fonction d’echelle duale ϕγ est simplement la fonction caracteristique sur la celluleΩγ

ϕγ := |Ωγ |−1χΩγ . (1.20)

De meme, les details s’expriment comme les coefficients de la fonction dans la base ondelette

dµ = uµ − uµ = 〈u, ϕµ〉 −∑

γ

cµ,γ〈u, ϕγ〉 = 〈u, ψµ〉, (1.21)

ou l’ondelette duale ψµ est donnee par

ψµ := ϕµ −∑

γ

cγ,µϕγ. (1.22)

Dans toute la suite, pour decrire de maniere simple le vecteur multi-echelle on definit∇J := ∪J

j=0∇j avec ∇0 := S0 et on ecrit

MJ = (dλ)λ∈∇J = (〈u, ψλ〉)λ∈∇J , (1.23)

ou on a pose dλ = uλ et ψλ = ϕλ si λ ∈ ∇0.Dans le cas d’un maillage structure, comme c’est le cas pour l’exemple uni-dimension-

nel dyadique, il est assez naturel d’imposer une structure simple, invariante par translation,a l’operateur de prediction. On prendra la forme generale

uj,k =∑m

cmuj−1,⌊k/2⌋−m, (1.24)

ou ⌊k⌋ est la partie entiere de k, avec des adaptations aux cas particuliers pres des frontieresdu domaine. La fonction d’echelle duale ϕj

k = |Ωjk|−1χ

Ωjk

= 2jϕ(2j · −k) avec ϕ := χ[0,1],

conduit a la structure habituelle pour les ondelettes

ψjk := 2jψ(2j · −k).

Dans le cas uni-dimensionnel dyadique, l’operateur de prediction le plus simple donneen exemple (1.8) conduit au fameux Systeme de Haar represente sur les figures 3-5

ψjk := 2j(χΩj+1

2k− χΩj+1

2k+1). (1.25)


0

1

1

2j2

ϕ = χ[0,1]

Ωjk

ϕjk

Fig. 3 – Systeme de Haar, base orthonormale ϕj,k.

Pjf

Qjf

x

xPj+1f

Fig. 4 – Systeme de Haar, approximations successives Pj et Pj+1 et detail Qj .

1.1.3 Compression de la solution

L’interet de transformer UJ en MJ est que cette representation est plus approprieepour la compression de donnees. Soit un ensemble Λ ⊂ ∇J d’indices λ, on definit unoperateur de seuillage TΛ sur la representation multi-echelle par

TΛ(dλ) =

dλ si λ ∈ Λ,0 sinon.

(1.26)

Pour un parametre ǫ = (ε0, ε1, ..., εJ) definissant une famille de niveaux de seuillage, ondesignera par Λ l’ensemble des indices correspondant a des details non seuilles

Λ := Λ(ε0, ε1, · · · , εJ) := λ t.q. |dλ| ≥ ε|λ|. (1.27)

Ceci definit de maniere precise l’operateur de seuillage TΛ(dλ). A partir de cet operateurqui agit sur la representation multi-echelle, on construit un operateur d’approximation AΛ,sur la fonction de depart UJ

AΛ := M−1TΛM. (1.28)

L’operateur AΛ est non lineaire puisque Λ depend de Uj par (1.27). Une de ses proprietesinteressantes est de pouvoir decrire une fonction reguliere par morceaux avec un petit


012 0

ψ = χ[0, 12 [ − χ[12 ,1[

Ωjk

ψjk

−1

1

Fig. 5 – L’ondelette duale ψ pour le systeme de Haar.

nombre de parametres. On s’attend en effet a ce que les details non seuilles sur les niveauxd’echelle fins soient concentres pres des singularites. Mais cette propriete n’est pas suffi-sante pour pouvoir etre utilisee en pratique dans un algorithme de resolution d’EDP. Desconditions supplementaires de precision polynomiale et de stabilite multi-echelle doiventetre verifiees par l’operateur de prediction P j−1

j .

Precision polynomiale

Cette propriete signifie que l’operateur de prediction a une precision d’ordre N , ou,de maniere equivalente, est exact pour les polynomes de degre N −1 : i.e. si u ∈ ΠN−1(Ω),alors uγ = uγ pour tout γ. En d’autres termes, pour tout u ∈ ΠN−1(Ω) et pour toutλ ∈ ∇J , on a

〈u, ψλ〉 = dλ = 0, (1.29)

Les N premiers moments de l’ondelette duale doivent donc etre nuls, ce qui a une conse-quence immediate sur la taille des details dλ dans les zones regulieres : si u est regulieredans un voisinage Σλ de Ωλ, par exemple u ∈ Cα(Σλ) pour un α ≤ N , on peut utiliser lefait que dλ = 〈u− p, ψλ〉 pour tout p ∈ ΠN−1(Ω) pour majorer ce coefficient par

|dλ| ≤ C2−α|λ||u|Cα(Σλ). (1.30)

La decroissance rapide des details dans les regions regulieres est donc assuree si N estsuffisamment grand. En pratique on voudrait plutot utiliser la propriete reciproque, dontla justification theorique n’est pas immediate (voir Jaffard [1991]), c’est-a-dire predire laregularite d’une fonction a partir du comportement de ses coefficients d’ondelettes. Parexemple Sjogreen et Yee [2004] estiment numeriquement le coefficient α dans (1.30) etutilisent cette information pour piloter un schema numerique.

Stabilite multi-echelle

Cette propriete signifie qu’on doit etre capable de controler l’effet du seuillage surl’erreur d’approximation entre UJ et AΛUJ , pour une norme donnee. Pour un operateur


de prediction lineaire, on peut s’en assurer en etudiant individuellement la contributionde chaque detail dλ dans la prediction sur la grille fine par l’intermediaire de M−1. Cettecontribution est en fait definie par dλΨJ,λ ou ΨJ,λ est le vecteur correspondant dans la baseassociee a la decomposition multi-echelle, qui est obtenue en appliquant M−1 au vecteurMλ := (δλ,µ)µ∈∇J . On peut decomposer cette reconstruction en deux etapes : On reconstruitd’abord un vecteur de valeurs moyennes sur la grille S|λ| a partir de Mλ, puis on applique a

ce vecteur de maniere successive les operateurs de prediction P j−1j pour j = |λ|+ 1, · · · , J

sans ajouter les details. L’ondelette ΨJ,λ = Ψj,k est definie explicitement par

Ψj,k = P J−1J P J−2

J−1 · · ·P jj+1(0, · · · , 0, 1,−1, 0, · · · , 0), (1.31)

avec 1 en position 2k et −1 en position 2k + 1, ou de maniere equivalente par Ψj,k :=Φj,2k − Φj,2k+1 avec

Φj,k = P J−1J P J−2

J−1 · · ·P jj+1(0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0), (1.32)

avec 1 en position k. Il est donc primordial de connaıtre la stabilite de ces applicationsiteratives des operateurs de prediction P j−1

j . Pour cela, on analyse la convergence de ΨJ,λ,consideree comme une suite de fonctions constantes par morceaux sur SJ , vers la fonctionlimite ψλ quand le niveau de raffinement J tend vers +∞. La figure 6 illustre le resultatpour les quatre ondelettes associees au predicteur (1.11) avec les coefficients du tableau 1.

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0−1.5

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

psi0

psi2

psi4

psi6

Fig. 6 – Ondelettes primales obtenues comme limite de ΨJ,λ quand J → ∞ pour lesoperateurs de prediction (1.11) avec r = 0, 2, 4 et 6.

Si le procede de subdivision converge au moins dans L1 alors on peut verifier queles fonctions limites (ψλ)λ∈∇ forment avec (ψλ)λ∈∇ un systeme d’ondelettes biorthogonalessimilaire a ceux introduits dans Cohen, Daubechies et Feauveau [1992] : une fonctionquelconque u ∈ L1 peut etre decomposee dans ce systeme

u =∑j≥0

∑|λ|=j

〈u, ψλ〉ψλ, (1.33)


0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Fig. 7 – Exemple d’arbre non graduel Λ correspondant au seuillage (1.27) avec ε = 0.1. Lafonction (representee au dessus de l’arbre) est codee avec le predicteur (1.11) pour s = 3.

et on a les relations duales

〈ψλ, ψµ〉 = δλ,µ. (1.34)

Les fonctions ψλ et ψλ servant respectivement a la “synthese” et a “l’analyse” sont appeleesles ondelettes primale et duale. On montre dans [P12] que si l’ondelette primale est dansL1, alors la strategie de seuillage de Harten

εj := 2d(j−J)ε, (1.35)

ou d est la dimension de l’espace, permet d’obtenir l’estimation

‖UJ −AΛUJ‖L1 ≤ Cε. (1.36)

1.1.4 Compression et arborescence

Principalement pour des raisons de complexite algorithmique, on impose a l’ensembleΛ des indices conserves - non seuilles - une structure d’arbre. De maniere a definir cettestructure on precise la terminologie deja utilisee au paragraphe 1.1.1 : si Ωµ ⊂ Ωγ avec|γ| = |µ| − 1, on dit que µ est un “descendant” de γ et que γ est le “parent” de µ. Notonsque par definition de ∇j , si γ a Nγ descendants, Nγ − 1 d’entre eux sont dans ∇|γ|+1, c’esta dire qu’ils sont associes a un detail. On les appelle les “details descendants” de γ.

Definition 1 Un ensemble d’indices Λ ∈ ∇J est un arbre si les proprietes suivantes sontverifiees :

– le niveau de base ∇0 = S0 est contenu dans Λ,– si µ et ν sont des details descendants du meme γ, alors µ ∈ Λ si ν ∈ Λ,– si γ est tel que ses details descendants sont dans Λ, alors le parent de γ a la meme

propriete.

L’arbre associe a la compression definie par (1.26) pour un exemple de fonction regulierepar morceaux est represente sur la figure 7. On a egalement introduit dans [P12] la proprietede graduation, illustree par la figure 8

Definition 2 On dira qu’un arbre Λ est graduel si pour tout µ ∈ Λ, le stencil de predictionRµ appartient a S(Λ).


0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

Fig. 8 – Arbre graduel minimal contenant l’arbre Λ de la figure 7 et maillage adaptatifcorrespondant S(Λ).

Dans la suite on considerera toujours la compression de donnees sur un arbre graduel,qu’on obtient par exemple en agrandissant l’ensemble des details non seuilles : on definitΛε comme le plus petit arbre graduel contenant l’ensemble Λ = λ ; |dλ| ≥ ε|λ|, ou εj

est le seuillage dependant du niveau defini par (1.35). On note Aε := AΛε l’operateurd’approximation sur l’arbre Λε defini par (1.28). Comme Λε est plus grand et contientl’ensemble Λ defini par le simple seuillage et utilise pour obtenir (1.36), on a au moins lameme estimation

‖UJ −AεUJ‖L1 ≤ Cε. (1.37)

A partir d’un arbre graduel Λε, on peut reconstruire la fonction sur le maillage adap-tatif ou grille hybride correspondante S(Λε) definie par

S(Λε) =(j, k), j ∈ 0, . . . , J, k ∈ 0, . . . , 2jN0, t.q. (j, ⌊k/2⌋) ∈ Λε

et (j + 1, k) /∈ Λε . (1.38)

Avant de passer a l’utilisation de ces notions dans l’analyse du schema volumesfinis, nous allons etudier leur implementation en terme d’efficacite, du point de vue de lacompression, de la precision et de la complexite algorithmique. On presente tout d’abordl’algorithme de codage permettant de mettre en œuvre la transformation multi-echelle Mdefinie en (1.17)

Algorithme 1.1 Codage par valeurs moyennes

Entree: u est connue par ses valeurs moyennes UJ sur la grille fine Ωγ, γ ∈ SJ

pour j = J − 1 ց 0 faireCalcul de Uj a partir de Uj+1 par (1.5)

Calcul de Uj+1 = P jj+1Uj

Calcul des details entre Uj+1 et Uj+1

Dj+1 = (dµ)µ∈∇j+1, avec dµ = uµ − uµ,

Remplacement de Uj+1 par Uj et Dj+1

fin pourSortie: u est maintenant codee sous la forme (U0, D1, D2, ...DJ)

L’inverse M−1 de la transformation fait appel a l’algorithme de decodage


Algorithme 1.2 Decodage par valeurs moyennes

Entree: u est connue par ses valeurs moyennes U0 sur la grille grossiere et tous les detailsDj pour j = 1, . . . , Jpour j = 0 ր J − 1 faire

Prediction : calcul de Uj+1 = P jj+1Uj

Reconstruction : calcul de Uj+1

uµ = uµ + dµ, pour µ ∈ ∇j+1 et uµ par (1.5) pour µ ∈ Sj+1 \ ∇j+1

Remplacement de Uj et Dj+1 par Uj+1

fin pourSortie: u est maintenant connue par ses valeurs moyennes UJ sur la grille fine

Algorithme 1.3 Seuillage Harten

Entree: u est connue sous la forme (MJ)λ∈∇J , par ses valeurs moyennes U0 sur la grillegrossiere et tous les details Dj pour j = 1, . . . , Jpour j = J ց 1 faire

pour γ ∈ ∇j−1 fairesi |dµ| < εj pour tout µ ∈ ∇j ,Ωµ ⊂ Ωγ alorsdµ = 0 ∀µ ∈ ∇j , Ωµ ⊂ Ωγ

fin sifin pour

fin pourSortie: u est connue sous la forme compressee (MJ)λ∈Λ,

Pour compresser la solution, dans l’algorithme 1.3, on regarde simultanement les2d− 1 details relatifs a une cellule du niveau j. S’ils sont tous de norme inferieure au seuilalors on les met tous a zero, sinon on les conserve tous.

En resume, l’operateur d’approximation AΛ defini par (1.28) peut donc etre appliqueen utilisant successivement les algorithmes 1.1, 1.3, 1.2. Pour beneficier de la compres-sion procuree par le seuillage en terme de complexite algorithmique, il faut restreindrel’operation de decodage a la solution multiechelle connue sur l’arbre graduel des detailsnon seuilles Λε et l’operation de codage a la solution connue sur la grille hybride S(Λε).

L’interet de la propriete de graduation est d’assurer que ces operateurs de decompositionet de reconstruction adaptative (i.e. MΛε et M−1

Λε), definis respectivement sur Λε et sur

S(Λε) peuvent tous les deux etre implementes en O(#(Λε)) operations.

Exemples de compression

On a etudie1 l’effet de l’operateur de compression (1.28) dans le cas uni-dimensionneldyadique avec l’operateur de prediction d’ordre r = 2 du tableau 1 sur quatre fonctions deregularite differentes

u1(x) = exp(−50(x− 0.5)2), u2(x) = 0.5− |x− 0.5|4 ,u3(x) = 0.5− |x− 0.5| , u4(x) = χ[π/6,1](x).

1Les calculs ont ete effectues avec les scripts Scilab que le lecteur pourra tele-charger sur le site webhttp ://www.ann.jussieu.fr/~postel/ftp/MFN9/demoscilab.tgz.


On fixe le nombre maximum de niveaux de resolution a 10, avec 8 cellules sur la grille laplus grossiere et une tolerance de details sur le niveau le plus fin egale a ε = 10−2||u||∞.Sur la figure 9, on represente pour chaque fonction ui, i = 1, . . . , 4 la fonction et sareconstruction sur la grille la plus fine sur le graphe de gauche, la fonction et la fonctioncompressee sur la grille adaptative sur le graphe du milieu. Enfin sur le graphe de droitela grille elle-meme est representee par une fonction constante par morceau egale au niveaude resolution maximale utilise localement.

Sur la figure 9-a), le graphe de droite montre que pour la fonction u1 qui est tresreguliere, seuls quatre niveaux de resolution j = 1, . . . , 4 sont utilises pour representer lafonction sur la grille adaptative du graphe du milieu. A la tolerance ε pres, on peut, enutilisant l’operateur de prediction, reconstituer la fonction sur le niveau le plus fin J = 10a partir de ces seules donnees.

La fonction u2, representee sur la figure 9-b) est continue mais sa derivee est discon-tinue en x = 0.5. L’analyse des details conduit a les conserver jusqu’au niveau j = 7 dansla zone de singularite - sur 4 mailles - puis sur les niveaux inferieurs pour avoir un arbregraduel. En revanche loin de la singularite le niveau de resolution j = 2 est suffisant.

La fonction u3 representee sur la figure 9-c) est affine par morceaux. Une fonctionaffine peut etre representee par sa valeur moyenne au niveau j = 0 et un niveau de details.L’arbre des details pour la fonction u3 presente donc lui aussi des mailles au niveau le plusgrossier loin de la discontinuite sur la derivee en x = 0.5, ou le niveau j = 6 est utilise.

La fonction u4, representee sur la figure 9-d) est discontinue en x = π/6. On ne peutpas faire l’economie du niveau le plus fin, qui est donc utilise sur une maille a cet endroit,puis tous les niveaux jusqu’au plus grossier en respectant la regle de graduation. Le niveauj = 0 est evidemment suffisant pour representer une fonction constante.

La figure 10 presente une etude de la convergence de l’algorithme quand on fait varierle niveau de seuillage ε. Pour chaque valeur de seuil, on calcule l’erreur en norme L1 entrela fonction initiale et sa reconstruction sur le niveau le plus fin. Cette erreur est ensuiterepresentee dans un repere gradue logarithmiquement, en fonction de ε sur le graphe degauche et du facteur de compression sur le graphe de droite. Le facteur de compression estle rapport entre le nombre de mailles sur la grille la plus fine et le nombre de mailles dansla grille adaptative. Pour les deux fonctions continues u1 et u2, le comportement de l’erreurest regulier en fonction du parametre de seuillage et on observe bien le comportement enO(ε) annonce par (1.36).

Pour les fonctions u3 et u4, les graphes ne comportent que quelques points car pourles petites valeurs de seuillage ε l’erreur est identiquement nulle. En effet ces deux fonctionsetant respectivement affine et constante par morceaux, l’operateur de prediction (1.11) avecs = 1 est exact pour ces fonctions en dehors des zones de discontinuite. Des que le parametrede seuillage est inferieur au plus petit detail dans ces zones, tous les details calcules parl’algorithme de codage sont soit significatifs et donc conserves, soit identiquement nuls.


0.0 0.5 1.00.0

0.5

1.0initialerecons

0.0 0.5 1.00.0

0.5

1.0initialemr

0.0 0.5 1.00

2

4

6

8

10

a) u1(x)

0.0 0.5 1.0

initialerecons

0.0 0.5 1.0

initialemr

0.0 0.5 1.00

2

4

6

8

10

b) u2(x)

0.0 0.5 1.00.0

0.5initialerecons

0.0 0.5 1.00.0

0.5initialemr

0.0 0.5 1.00

2

4

6

8

10

c) u3(x)

0.0 0.5 1.00.0

0.5

1.0initialerecons

0.0 0.5 1.00.0

0.5

1.0initialemr

0.0 0.5 1.00

2

4

6

8

10

d) u4(x)

Fig. 9 – Analyse des fonctions y = ui(x), pour i = 1, . . . , 4, avec la prediction d’ordrer = 2 fonction d’origine et fonction reconstruite pour ε = 10−2||ui||∞ sur la grille uniformela plus fine (a gauche), fonction reconstruite sur la grille adaptative (au milieu) et arbredes details non seuilles (a droite).


−1610

−1210

−810

−410

010

−1610

−1210

−810

−410

010

u1

u2

u3

u4

010

110

210

310

−1610

−1210

−810

−410

010

u1

u2

u3

u4

Fig. 10 – Erreur en norme L1 en fonction de ε (a gauche) et en fonction du facteur decompression (a droite).

1.2 Techniques multi-echelles pour les lois de conservation

Nous nous interessons maintenant a l’application de la methode de multiresolutionpresentee dans la section precedente a la resolution numerique de lois de conservation. Ilest bien connu que les solutions des systemes d’equations hyperboliques de la forme

∂tu+ div(f(u)) = 0 (1.39)

peuvent developper des singularites en temps fini, meme dans les cas ou la solution initialeest reguliere. Ceci impose de considerer des solutions au sens faible, dont l’unicite necessitel’adjonction d’inegalites d’entropie (voir Godlewski et Raviart [1996]). La precision desschemas numeriques utilises pour calculer ce type de solution est difficile a evaluer et estforcement limitee, puisque dans les zones de discontinuite la solution exacte est au mieuxa variation bornee.

Dans les zones de singularites, le meilleur moyen pour capter precisement les pheno-menes aux petites echelles est l’utilisation de maillages tres raffines. Cependant, commeces singularites se deplacent, il faut soit mailler tout le domaine d’etude tres finement, cequi entraıne des couts de calculs prohibitifs, soit adapter la taille des mailles a la regularitelocale de la solution et ceci de maniere evolutive dans le temps. Dans ces zones de fortevariation, il est par ailleurs necessaire d’utiliser des schemas numeriques non lineaires,de type ENO par exemple, tres couteux. En revanche, dans les zones ou la solution estreguliere, on peut non seulement utiliser un maillage plus grossier, mais egalement desschemas numeriques uniformes d’ordre plus eleve.

Apres avoir rappele le cadre des schemas volumes finis, privilegie pour ce type d’equa-tions, nous presenterons deux methodes pour realiser cet objectif : la multiresolution a laHarten et la multiresolution adaptative.

1.2.1 Schemas volumes finis explicites pour les lois de conservation

On note u la solution exacte de (1.39) et v son approximation par un schema volumesfinis. Les valeurs moyennes de la solution exacte sur le maillage (Ωλ)λ∈SJ

au temps tn = n∆t


sont notees

vnλ ≈ un

λ := |Ωλ|−1

∫Ωλ

u(x, tn)dx.

Le maillage SJ est la grille la plus fine dans la hierarchie de maillages imbriques definie audebut de la section 1.1. En integrant (1.39) sur Ωλ et en appliquant la formule de Greenon obtient

un+1λ = un

λ − |Ωλ|−1

∫ tn+1

tn

∫∂Ωλ

f(u(x, t)).n(x)dtdx, pour tout λ ∈ SJ (1.40)

ou n(x) est la normale a ∂Ωλ en x. En decoupant l’integrale sur le bord ∂Ωλ sur toutes lesfaces Γλ,γ entre la cellule Ωλ et ses voisines Ωγ on obtient

un+1λ = un

λ −∆t|Ωλ|−1∑

γ

F nλ,γ (1.41)

ou F nλ,γ est le flux a travers l’interface Γλ,γ, moyenne sur le pas de temps [tn, tn+1], c’est-a-

dire

F nλ,γ := ∆t−1

∫ tn+1

tn

∫Γλ,γ

f(u(x, t)).n(x)dtdx.

La nature conservative de (1.39) se traduit au niveau discret par

F nλ,γ + F n

γ,λ = 0.

Un schema volumes finis

vn+1λ = vn

λ −∆t |Ωλ|−1∑

γ

F nλ,γ := vn

λ − bnλ (1.42)

necessite la definition d’un flux numerique F nλ,γ approchant le flux exact F n

λ,γ et calcule apartir des valeurs approchees de la solution dans un voisinage ou stencil de Γλ,γ. Le schemaest dit explicite s’il utilise les valeurs vn

ν de la solution approchee au temps tn, et conservatifsi les flux numeriques verifient la meme propriete que les flux exacts

F nλ,γ + F n

γ,λ = 0.

On peut ecrire le schema volume finis sous une forme plus concise

V n+1J = V n

J −BnJ := EJV

nJ (1.43)

en introduisant les notations vectorielles V nJ = (vn

λ)λ∈SJet Bn

J = (bnλ)λ∈SJ. Ici bnλ est le bilan

des flux numeriques sur la cellule Ωλ defini par (1.42) et EJ est l’operateur d’evolutiondiscret non lineaire.

Pour les lois de conservation scalaires, on peut montrer la convergence en norme L1 decertains schemas volumes finis vers la solution entropique de (1.39). On renvoie a Delarueet Lagoutiere [2007] pour une revue des vitesses de convergence de l’erreur

en := ||V nJ − Un

J || ≤ Cn∆thα, (1.44)


Algorithme 1.4 Regles de raffinement predictives d’Harten

initialisation de Λn+1ε a ∇0

pour j = J ց 1 fairepour tout γ, |γ| = j faire

(i)

si ‖dγ‖ ≥ εj alors

µ ∈ Λn+1ε pour µ ∈ Vγ ∩∇j

fin si

(ii)si ‖dγ‖ ≥ 2dpεj alors

µ ∈ Λn+1ε pour µ ∈ ∇j+1 Ωµ ⊂ Ωγ

fin sifin pour

fin pour

ou UnJ = (un

λ)λ∈SJ. Pour une equation non lineaire, α est egal a 1/2 sur des maillages

cartesiens et a 1/4 sur des maillages non structures avec h := maxν∈SJdiam(Ων). La

stabilite du schema est assuree sous une condition de type CFL

∆t ≤ Ch (1.45)

ou la constante C depend de la norme infinie des derivees du premier ordre de la fonctionflux (Godlewski et Raviart [1996]).

1.2.2 Les schemas de multiresolution

Les schemas de multiresolution de Harten et adaptatif calculent une solution noteeUn

J de facon nettement plus economique en temps de calcul que le schema volumes finis dereference V n

J tout en assurant que l’erreur additionnelle

an := ||UnJ − V n

J || (1.46)

reste de l’ordre de l’erreur numerique en definie en (1.44).Ces deux schemas reposent sur l’hypothese intuitive introduite par Harten [1995] :

l’ensemble Λε des details significatifs de la solution numerique, defini au paragraphe 1.1.3,evolue lentement d’un pas de temps a l’autre. Cette hypothese est precisee dans [P12]commeL’heuristique d’Harten : soit Λn

ε l’arbre obtenu par application du seuillage defini par

(1.26,1.27) et (1.35) a la solution au temps tn. On peut definir un arbre graduel Λn+1ε

contenant a la fois Λnε etΛn+1

ε . Si Un+1J = EJU

nJ on a alors

||UnJ −AeΛn+1

εUn

J || ≤ Cε et ||Un+1J −AeΛn+1

εUn+1

J || ≤ Cε. (1.47)

Harten [1994] propose les regles resumees dans l’algorithme 1.4 comme strategie de predic-

tion de Λn+1ε . La premiere regle (i) repose sur la vitesse finie de transport de la solution.

Sous reserve que le pas de temps verifie la condition CFL (1.45), on sait qu’une discontinuiteeventuelle ne pourra pas se deplacer de plus d’une maille en un pas de temps et on peut


donc definir Vγ comme le voisinage immediat de la cellule Ωγ au niveau |γ|. En dimension1, V(j,k) = (j, k− 1), (j, k+1) ; en dimension superieure Vγ contient toutes les mailles duniveau |γ| ayant un sommet en commun avec Ωγ .

La seconde regle (ii) a pour but de prevoir la formation de discontinuites. En effetdans le cas d’une equation hyperbolique, on peut partir d’une solution infiniment reguliereau temps 0 - et donc utiliser seulement les niveaux de resolution grossiers - et developperen temps fini une discontinuite qui necessitera le codage de la solution sur le niveau leplus fin non utilise au depart. Les details de la solution vont servir comme indicateursde regularite numerique ce qui presuppose que la perte de regularite encore a venir peutetre en quelque sorte detectee sur les niveaux de discretisation plus grossiers. Dans le cas1D, d = 1, Harten [1994] propose de prendre p = r − 1, ou r est le degre du polynomedefinissant l’operateur de prediction (1.11). Dans le cas 2D cartesien, d = 2, les criteressont toujours des combinaisons lineaires des details et le coefficient p est r + 2 ou r + 1.

Les hypotheses precedentes sont cruciales dans l’analyse d’erreur des schemas demultiresolution adaptatifs en temps. En fait, la justification rigoureuse de (1.47) necessiteun amenagement des regles de croissance decrit dans [P12]. En particulier, il peut etrenecessaire d’introduire plusieurs niveaux de raffinement quand |dγ| est tres grand plutotque les deux seuls descendants directs. Le nombre de “generations” a introduire dependdu degre de regularite de Holder r de l’ondelette de synthese ψλ. Pour un entier s < r+ 1,on definit le nombre de niveaux de raffinement a introduire a l’endroit d’un detail nonnegligeable dλ, avec λ ∈ Λn

ε , comme l’unique entier n(λ) tel que

2n(λ)sε|λ| < |dλ| ≤ 2(n(λ)+1)sε|λ|. (1.48)

Comme ε|λ| est donne par (1.35), notre procedure de prediction va prendre en compte a lafois la taille et l’echelle de dλ. Il est clair que subdiviser une maille λ sur le niveau n(λ) eten meme temps respecter les regles de graduation de l’arbre conduira a agrandir Λn

ε aussisur le meme niveau |λ|.

En fait, ces regles conduisent a des arbres peu performants et la pratique quasiunanime revient a utiliser l’algorithme de prediction 1.4.

1.2.3 Le schema de multiresolution d’Harten

Pour un ensemble d’indices Λ fixe, l’operateur de multiresolution AΛ est lineaire. Enl’appliquant a (1.43) pour Λn+1

ε on obtient

AeΛn+1εV n+1

J = AeΛn+1ε

(V nJ − Bn

J ). (1.49)

et donc d’apres l’hypothese d’Harten (1.47) ||BnJ − AeΛn+1

εBn

J || ≤ Cε. Etant donne unetolerance donnee ε, le schema propose par Harten [1995] consiste a utiliser le vecteurcompresse AeΛn+1

εBn

J a la place de BnJ . La solution va donc evoluer en temps par le schema

Un+1J = Un

J −AeΛn+1εBn

J . (1.50)

Comme on l’a explique plus haut le but de cet algorithme est d’economiser du temps decalcul en ayant moins d’evaluations de flux numeriques a effectuer. L’arbre Λn+1

ε va etreutilise comme un indicateur de regularite locale pour decider du mode d’evaluation du


flux, sachant qu’au final, on doit connaıtre tous les bilans de flux sur la grille la plus finede maniere a pouvoir effectuer l’evolution (1.50). Dans le cas ou le bilan de flux doit etrecalcule de maniere exacte sur une cellule Ωγ , on remarque qu’on peut le definir commesomme orientee des flux sur les aretes elementaires du niveau le plus fin J composant lesaretes de la cellule Ωγ

bnλ := ∆t|Ωλ|−1∑

|γ|=|µ|=J,Ωγ⊂Ωλ,Γγ,µ⊂∂Ωλ

F nγ,µ. (1.51)

On utilise cette decomposition dans l’algorithme de calcul des flux

Algorithme 1.5 Calcul des flux en partant du niveau grossier

pour toutes les aretes au niveau 0 faireCalcul exact des flux sur toutes les aretes du niveau le plus fin incluses dans une aretedu niveau grossier

fin pourpour toutes les mailles au niveau 0 faire

Calcul des bilans des flux exacts sur les mailles au niveau grossier avec (1.51)fin pourpour j = 1 ր J faire

pour toutes les mailles Ωγ au niveau j fairesi γ ∈ Λn+1

ε alors– Calcul exact des flux sur toutes les petites aretes au niveau J composant lesaretes de Ωγ

– Calcul du bilan des flux exacts sur Ωγ avec (1.51)sinon

– Calcul de bγ par interpolation des valeurs de bν , ν ∈ Rγ avec l’operateur deprediction P j−1

j

fin sifin pour

fin pour

Cet algorithme s’insere dans le schema de multiresolution de Harten resume ci-dessous

Algorithme 1.6 Multiresolution a la Harten

Initialisation : calcul de la condition initiale sur la grille la plus finepour tout tn, n = 0, ... faire

– Codage de UnJ avec l’algorithme 1.1

– Prediction de la grille Λn+1ε avec l’algorithme 1.4

– Calcul des flux avec l’algorithme 1.5– Evolution au niveau fin avec le schema (1.50)

fin pour

Ce schema directement inspire des travaux de Harten dans le cas uni-dimensionnel,a ete mis au point pour les maillages triangulaires avec le predicteur (1.14) et une loi de


En entree8>><>>: = 1u = 2.9v = 0p = 0.714

Valeurs exactes imposees8>><>>: = 1.7u = 2.619v = −0.506p = 1.528 En sortie

Conditions limites de reflection

8>><>>: = 2.687u = 2.401v = 0p = 2.934

23 .2829

0 4.12-0

16

Fig. 11 – Solution exacte et conditions limites pour le probleme de reflection.

conservation scalaire dans [P11]. Les figures 11 a 14 montrent une application au systemed’Euler compressible extraite de [P14]. Du point de vue performances en temps de calcul cecas test n’est pas tres interessant, mais sans qu’on puisse trop s’en etonner. En effet, le pointimportant dans le schema de Harten est que la seule source d’economie en temps de calculvient de la complexite eventuelle du calcul du flux numerique. Comme le schema prevoitla mise a jour de toutes les mailles au niveau fin a chaque pas de temps, il n’y a aucuneeconomie en place memoire, et le calcul exact du flux doit etre beaucoup plus couteux quel’interpolation par l’operateur de prediction pour que le schema soit globalement efficace.Dans le cas ou la loi de conservation est simple, avec une fonction flux pouvant etreapprochee par un flux numerique pas trop couteux, le gain en temps de calcul venant duremplacement de l’evaluation du flux numerique par une interpolation lineaire est souventcompletement masquee par les couts marginaux de gestion et prediction de la grille etcodage et decodage de la solution. Le developpement de la meme idee algorithmique sur desgrilles cartesiennes, avec un codage de la solution par valeurs ponctuelles, a ete realise parl’equipe de Rosa Donat a Valencia. Les performances en temps de calcul sont meilleures, card’une part la gestion des grilles dyadiques est bien moins couteuse que celle des maillagestriangulaires hierarchiques, d’autre part le codage par valeurs ponctuelles est lui aussimoins couteux que le codage par valeurs moyennes.

1.2.4 Le schema adaptatif

Nous presentons maintenant l’algorithme permettant de faire evoluer la solution di-rectement sur la grille hybride S(Λn+1

ε ) sans la reconstruire entierement sur la grille la plusfine comme c’est le cas dans les algorithmes d’Harten.


Fig. 12 – Solution volumes finis pour le champ de densite.

Fig. 13 – Solution multiresolution a la Harten pour le champ de densite.


Fig. 14 – Grille hybride au temps final pour la multiresolution a la Harten.

Algorithme 1.7 Algorithme adaptatif

Initialisation de la solution U0J

Codage de la solution MU0J et seuillage par (1.27) pour obtenir Λ0

ε et MΛ0εU0

J

pour n = 0, ... faire– Raffinement predictif : construction de Λn+1

ε avec l’algorithme 1.4. Prolongement deMΛn

εUn sur MΛn+1

εUn

– Decodage partiel M−1TΛn+1εMUn pour avoir les valeurs moyennes de la solution sur

la grille hybride S(Λn+1ε )

– Evolution de la solution sur la grille hybrideun+1

λ = unλ − bnλ pour λ ∈ S(Λn+1

ε )– Codage partiel MΛn+1

εUn+1

– Seuillage des coefficients par (1.27) et restriction de Λn+1ε a Λn+1

ε

fin pour

Sous certaines conditions developpees dans [P12], cet algorithme conduit a une solu-tion telle que

an = ||UnJ − V n

J || ≤ CT

∆tε. (1.52)

Notons une difference essentielle avec l’algorithme d’Harten : l’evolution de la solutionsur la grille adaptative necessite un calcul des flux numeriques a partir de la solutionqui n’est plus connue partout au niveau le plus fin comme dans le cas d’Harten. Dans lecas de la dimension 1, il est possible de reconstruire localement la solution au niveau leplus fin sans augmenter la complexite de l’algorithme. En dimension superieure, ce n’estplus possible dans le cas du codage par valeurs moyennes. Il devient crucial de pallier lemanque de precision du a la representation de la solution sur la grille adaptative par une


reconstruction non lineaire permettant d’ameliorer l’ordre numerique en espace du schemavolumes finis.

1.2.5 Exemple numerique dans le cas uni-dimensionnel

L’interet de l’algorithme adaptatif est bien illustre par l’equation de Burgers en di-mension un

∂tu+ ∂xu2/2 = 0,

avec comme condition initiale une fonction reguliere u(x) = sin(2πx) sur l’intervalle[0, 1] et des conditions aux limites periodiques. Les flux numeriques sont evalues avecune reconstruction ENO d’ordre 2, en utilisant les valeurs directement disponibles sur lagrille hybride. On represente les resultats correspondant a huit niveaux de resolution avecvingt intervalles au niveau le plus grossier. La solution calculee avec un pas de temps∆t = 2.5× 10−5 est representee a l’instant t = 0.5. Le seuil ε de tolerance pour les detailsest fixe a 10−3. Sur la figure 15 on montre la solution initiale sur la grille hybride S(Λ0

ε).Le niveau de grille utilise localement est indique sur l’axe de droite. Comme la solutioninitiale est reguliere seuls deux niveaux de multiresolution sont utilises.

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

1

u j

x

VFMR

arbre

Fig. 15 – Solution initiale pour l’equation de Burgers et niveaux de grille utilises pourε = 10−3

Sur la figure 16, a gauche on montre la solution reconstruite sur le niveau le plus finavec pour reference la solution calculee par le schema volumes finis classique aussi sur leniveau le plus fin c’est a dire 2560 intervalles. A droite on montre la solution sur la grillehybride S(Λn+1

ε ), et les niveaux de grille utilises au meme temps t = 0.5. La grille hybridelocalise tres bien l’emplacement du choc, endroit ou tous les niveaux d’echelle sont utilises.


-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

u

x

VFMR

-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

2

4

6

u j

x

VFMR

arbre

Fig. 16 – Solution de l’equation de Burgers et niveaux de grille utilises a t = 0.5 pourε = 10−3. A gauche la solution VF et la solution MR reconstruite sur le niveau le plus finJ = 7, a droite la solution VF et la solution MR sur la grille hybride.

Cet exemple uni-dimensionnel est repris en detail dans [P12] avec son extension aucas bidimensionnel (voir egalement [P16]). Des applications a des systemes en 1D et 2Dont montre la robustesse de la methode et dans certains cas ses bonnes performances entemps de calcul. Dans [P14], en plus de l’application de la multiresolution de Harten auxequations d’Euler compressibles sur des maillages triangulaires, rappelee par les figures 11a 14, on implemente le schema adaptatif pour les equations d’Euler compressibles en 1D.Les tests du tube a choc et de l’onde explosive (blast wave) conduisent a des gains de 4en taille memoire et 2.5 en temps CPU par rapport au schema volumes finis sur la grilleuniforme la plus fine. Dans [P15] la multiresolution adaptative est implementee pour lesequations d’Euler sur des maillages triangulaires. On obtient un gain de taille memoire de7.8 et un gain en temps CPU de 3.2 pour le test de la rampe avec reflection, ce qui estbeaucoup mieux qu’avec le schema d’Harten.

Cependant les veritables avantages de la methode adaptative –gain en memoire et enCPU– sont obtenus ulterieurement, au prix d’un investissement important en programma-tion. C’est en partie l’objet du chapitre suivant ou je presente les travaux sur le transportdes hydrocarbures.

2 TRANSPORT DES HYDROCARBURES 47

2 Transport des hydrocarbures

Les articles [P20; P23], les actes de congres [P25; P30; P29; P28] et les articles soumis[P22; P21] sont fournis en annexe. Les references entre crochets [P1], [P2], etc. renvoient ala liste des publications page 73. Les autres references avec le nom des auteurs et l’anneerenvoient a la bibliographie generale page 79.

Dans le contexte d’une collaboration de longue date entre l’Institut Francais duPetrole (IFP) et le laboratoire Jacques–Louis Lions, je participe depuis 2004 a un pro-jet sur la simulation avancee du transport des hydrocarbures. Officialise en 2005 par lacreation d’une ERT2 interne, le projet a porte depuis son origine sur l’amelioration enterme de precision, cout et eventuellement robustesse des algorithmes existant dans lecode industriel TACITE actuellement developpe a l’IFP. A ce titre, un de ses volets estl’application des techniques de multiresolution a la simulation numerique des ecoulementsdiphasiques (two-phase flows) dans une conduite, ce qui a motive mon implication.

100 to 300 km

Transient Simulation

1000 to 5000 m

Gas

20 to 1000 m

WaterLiquid

Fig. 17 – Schema d’une installation de transport d’hydrocarbures.

Les hydrocarbures sont transportes dans des conduites (pipelines) d’un metre dediametre en moyenne et s’ecoulent sur plusieurs kilometres (voir figure 17). Une modelisa-tion uni-dimensionnelle portant sur les moyennes de matiere par section est donc justifiee.En echange de cet avantage de la dimension un, nous devons faire face a de nombreusesdifficultes.

Le comportement relatif des deux phases liquide et gazeuse est decrit par une classe demodeles a flux de derive (drift-flux models) qui permettent de se ramener a deux equationsde conservation de masse (une par phase) et une seule equation de conservation de laquantite de mouvement, ce qui confere au systeme la forme conservative. Le prix a payerpour cet avantage est la necessite d’introduire une loi de glissement (slip law) encore appeleeloi de fermeture hydrodynamique (hydrodynamical closure law) qui relie les vitesses des

2Equipe de Recherche Technologique


deux phases. Par ailleurs, la loi de fermeture thermodynamique, reliant la pression a ladensite et a la fraction massique de gaz, est presente de maniere standard pour un modelede fluides compressibles. Ces deux lois sont etablies par les ingenieurs et les physiciens surdes bases experimentales. Ce sont des fonctions fortement non-lineaires, avec des zones defortes variations, ce qui rend leur evaluation et celle de leurs derivees tres couteuses entemps de calcul.

D’un autre cote, l’utilisation de ces lois d’etat realistes est indispensable pour releverun des defis majeurs du projet, qui est la simulation des phenomenes de bouchons (slugging)causes par les variations topographiques des conduites. En effet, les variations de penteprovoquent l’accumulation d’huile lourde dans les points bas (voir figure 18), puis quandla pression en amont est suffisamment elevee, l’expulsion brutale de ces bouchons. Lamodelisation de ce phenomene constitue un des enjeux essentiels pour les petroliers, carson influence sur le comportement en fatigue des installations est indeniable. Sa priseen compte quantitative dans le dimensionnement des conduites est donc tres importantepour les ingenieurs. Pour concevoir un schema numerique robuste et efficace malgre lacomplexite des lois de fermeture, nous faisons appel a la technique de relaxation mise aupoint pour ce type de probleme par Baudin, Berthon, Coquel, Masson et Tran [2005]. Nousla detaillerons plus loin.

Fig. 18 – Les differentes configurations de formation de bouchons, slugging, terrain sluggingand severe slugging.

Deuxieme difficulte, les regimes d’ecoulement operationnels mettent en evidence laco-existence de deux familles d’ondes. Les ondes de transport modelisent le deplacementde l’interface huile-gaz, et sont donc le phenomene interessant pour l’ingenieur. Les ondesacoustiques ou ondes de pression, sont tres rapides et tout en ne presentant aucun interetphysique, imposent un pas de temps prohibitivement petit si on veut utiliser un schemaexplicite en temps. Pour pouvoir relaxer cette condition de stabilite reliant la taille du pasde temps a la vitesse de propagation la plus grande, l’utilisation de schemas selectivementimplicites semble incontournable. Plusieurs solutions ont ete envisagees ; tout d’abord dans[P24; P20; P23] les schemas semi-implicites introduits par Faille et Heintze [1999] et dansnotre contexte par Baudin, Coquel et Tran [2005]. Nous avons ensuite opte pour uneimplicitation partielle a partir d’une formulation Lagrange/projection (voir [P22; P21;P29; P28; P26; P27]).

Troisieme difficulte, les ecoulements d’hydrocarbures un tant soit peu realistes ne sepresentent pas sous la forme ideale d’un probleme de tube a choc. Au contraire, outre la


condition initiale, les variations de debits et de pression imposees a l’entree et a la sortie(voir figures 17 et 18) pilotent de facon essentielle les phenomenes qui se produisent al’interieur de la conduite. Certes, le probleme de Riemann du systeme relaxe demeure uningredient fondamental dans le calcul des flux, mais la prise en compte correcte des condi-tions aux limites s’impose comme un enjeu capital. Ces conditions limites sont variables entemps et surtout imposees sur des variables differentes aux deux extremites du domaine decalcul. Cela entraıne un couplage spatial des inconnues qui rendra les schemas numeriques,surtout ceux en partie implicites, plus complexes a mettre en œuvre (voir [P21]).

Finalement, malgre l’utilisation des techniques de relaxation et d’implicitation selective,le cout en temps de calcul d’une simulation realiste reste prohibitif. En effet, l’ingenieurvoudrait pouvoir visualiser la propagation des variations de la fraction massique de gazsur une grille suffisamment fine pour capturer precisement le phenomene. Mais cettediscretisation fine peut s’averer totalement inutile dans une grande partie du domainede calcul ou les variables physiques evoluent de maniere reguliere. Le probleme est doncun candidat reve pour recevoir le coup d’accelerateur procure par la multiresolution. Laencore, par rapport aux problemes plus academiques pour lesquels la multiresolution aete mise au point (voir section 1) des adaptations vont etre necessaires. Leur presentations’echelonne dans les differents articles et actes de congres.

2.1 Modelisation mathematique des ecoulements diphasiques

2.1.1 Le modele

La conduite est caracterisee par sa longueur L, son diametre D, et son inclinaisonpar rapport a l’horizontale θ(x). Les phases sont reperees par les indices ℓ pour le liquideet g pour le gaz. Pour chaque phase k = ℓ, g, les densites sont notees ρk, les fractionssurfaciques3 Rk, et les vitesses vk. On suppose l’equilibre des pressions p = pℓ = pg.

Les lois de conservation

Le modele de flux de derive comprend trois equations exprimant la conservation dela masse de chaque phase et la conservation de la quantite de mouvement totale

∂t(ρℓRℓ) + ∂x(ρℓRℓvℓ) = 0,∂t(ρgRg) + ∂x(ρgRgvg) = 0,∂t(ρℓRℓvℓ + ρgRgvg) + ∂x(ρℓRℓvℓ

2 + ρgRgvg2 + p) = (ρℓRℓ + ρgRg)S,

(2.1)

ou p = p(ρℓRℓ, ρgRg) est la loi de pression et

S = −g sin θ − 2Cfv|v|/D

est le terme source. Ici Cf est le coefficient de frottement et

v =ρℓRℓvℓ + ρgRgvg

ρℓRℓ + ρgRg

3Sur une section, proportions surfaciques de chaque phase par rapport a la surface totale. Ainsi, Rℓ +Rg = 1.


est la vitesse moyenne du melange.Il est en fait plus agreable pour manipuler les equations de les exprimer en fonction

de grandeurs relatives au melange. En introduisant la densite totale du melange ρ :=ρℓRℓ+ρgRg, la fraction massique de gaz Y := ρgRg/ρ et la vitesse de glissement φ := vℓ−vg,on obtient la formulation mathematiquement equivalente, definie sur l’espace des etats

Ωu = u = (ρ, ρv, ρY )T ∈ R3 | ρ > 0, v ∈ R, et Y ∈ [0, 1],∂t(ρ) + ∂x(ρv) = 0,∂t(ρv) + ∂x(ρv

2 + P (u)) = ρS(u),∂t(ρY ) + ∂x(ρY v − σ(u)) = 0,

(2.2)

avec

σ(u) = ρY (1− Y )φ, et P (u) = p+ ρY (1− Y )φ2.

Ce systeme peut se mettre sous forme abstraite

∂tu + ∂xF(u) = ∫ (u), pour x ∈ [0, L], et t ≥ 0, (2.3)

avec F(u) = (ρv, ρv2 + P (u), ρY v − σ(u))T ,∫ (u) = (0, ρS(u), 0)T .

Les deux lois de fermeture p et φ permettent d’exprimer F comme une fonction de u. Pourla loi de glissement de Zuber-Findlay et une thermodynamique simple, Benzoni-Gavage[1991] montre que le systeme (2.3) est hyperbolique. Qui plus est, dans le regime ou nousl’etudions, les trois valeurs propres ont des ordres de grandeur differents

λ−(u) ≪ λ0(u) = vg ≪ λ+(u).

2.1.2 Le modele de relaxation

Les fonctions p et φ (ou P et σ) pouvant etre tres lourdes a calculer, il est souhaitablede transferer leur action au second membre du systeme de maniere a simplifier la fonctionflux. Pour cela nous employons la technique de relaxation due a Baudin, Berthon, Coquel,Masson et Tran [2005] et detaillee dans notre contexte dans [P20] et [P21]. Le systemerelaxe pour (2.2) s’obtient en introduisant deux nouvelles variables Π et Σ , homologuesde σ(u) et P (u), et en associant a chacune une equation d’evolution. On obtient, pourv := (ρ, ρv, ρY, ρΠ, ρΣ)T ,

∂t(ρ) +∂x(ρv) =0, (2.4a)

∂t(ρv) +∂x(ρv2 + Π) =ρS(v), (2.4b)

∂t(ρY )+∂x(ρY v − Σ) =0, (2.4c)

∂t(ρΠ)+∂x(ρΠv + a2v)=λρ[P (v)−Π], (2.4d)

∂t(ρΣ)+∂x(ρΣv − b2Y )=λρ[σ(v)− Σ]. (2.4e)


Le nom de la methode de relaxation vient du fait qu’au niveau du systeme sans secondmembre, les variables Π et Σ sont affranchies des contraintes imposees par les non-linearitesdans les fonctions P et σ. La encore, le systeme (2.4) peut se mettre sous forme abstraite

∂tv + ∂xG(v) = R(v), pour x ∈ [0, L], et t ≥ 0, (2.5)

avec G(v) = (ρv, ρv2 + Π, ρY v − Σ, ρΠv + a2v, ρΣv − b2Y )T ,R(v) = (0, ρS, 0, λρ[P (v)−Π], λρ[σ(v)− Σ])T .

A l’inverse du modele de depart (2.2), la partie homogene du modele de relaxation(pour λ = 0) est toujours hyperbolique. Ses valeurs propres

v − aτ ≪ v − bτ < v < v + bτ ≪ v + aτ

ou τ = 1/ρ est le volume specifique, sont associees a des champs lineairement degeneres,ce qui permet de resoudre a la main le probleme de Riemann et d’utiliser un schema deGodunov.

La stabilite de la procedure de relaxation pour les grandes valeurs du parametreλ ≫ 1 est obtenue en faisant un developpement de type Chapman–Enskog ([P20]). Onimpose alors classiquement que le second membre de l’equation equivalente soit diffusif, cequi conduit a des bornes inferieures pour les parametres de relaxation a et b,

a2 > [∂vP ]2 − ∂τP et b > |∂Y σ| ,connues sous le nom de conditions de Whitham.

La specificite du probleme apparaıt maintenant dans le grand ecart entre les valeurspropres v, v ± bτ qui correspondent aux ondes lentes de transport, et les valeurs propresv±aτ qui correspondent aux ondes acoustiques. Notons enfin que pour λ = 0, les equations(2.4c-2.4e) sont entierement decouplees des trois autres (2.4a-2.4b-2.4d).

2.1.3 Conditions aux limites

Il est temps, avant de passer a la discretisation du systeme (2.4), de preciser cesfameuses conditions aux limites. A l’entree de la conduite, on impose les flux massiques degaz qg(t) et de liquide qℓ(t), avec qk = ρkRkvk. En sortie, a x = L, on impose la pressionp := p(t). Les ondes artificielles introduites par la relaxation recoivent des conditions limitessupplementaires decrites dans [P20]. Un mode operatoire typique est un profil en tempsdes debits a l’entree de la conduite en forme de rampe, avec une variation brutale du debitde gaz.

La condition initiale est constituee par l’etat stationnaire a l’interieur de la conduite,avec les conditions limites imposees a t = 0. Il faut donc resoudre

dxρv = 0,

dx(ρv2 + P ) = ρS,

dx(ρY v − σ) = 0,

avec ρv(x = 0) = q(t = 0), ρY v(x = 0) = qg(t = 0) et p(x = L) = p(t = 0), ce qui peutnecessiter un algorithme de resolution iteratif.


2.2 Schemas numeriques semi-implicites en temps

Comme on l’a dit dans l’introduction, les ondes acoustiques ont des vitesses caracteri-tiques tres elevees ce qui entraıne un pas de temps tres petit si on discretise le systemeavec un schema explicite. En revanche si on utilise un schema a trois points completementimplicite en temps, on regularise toute la solution, y compris les ondes de transport dontles discontinuites sont pourtant d’un grand interet. Il faut donc une methode capabled’impliciter selectivement les ondes rapides, au risque de les deteriorer mais cela importepeu a l’ingenieur, et conserver le traitement explicite des ondes lentes, cette fois ci avec unpas de temps raisonnable car dependant justement de ces vitesses d’ondes de transport.

2.2.1 La methode d’implicitation selective en coordonnees euleriennes

La premiere methode d’implicitation selective que nous avons utilisee est basee surle travail de Faille et Heintze [1999] et a ete reprise par Baudin, Coquel et Tran [2005].On discretise le domaine d’etude [0, L], en N cellules de taille ∆x = L/N . On note vn

k lasolution sur la maille k pour k = 1, . . . , N , au temps tn = n∆t.

La partie homogene de (2.4) est d’abord discretisee par un schema volumes finisimplicite, c’est-a-dire

vn+1k := vn

k −∆t

∆x(Gn+1

k+1/2 − Gn+1k−1/2), avec Gn+1

k+1/2 = G(vn+1k ,vn+1

k+1), (2.6)

ou G est la fonction flux numerique de Godunov associee au systeme (2.4). Grace a lapropriete de degenerescence de tous les chanps, il est possible d’etablir que cette fonctionflux numerique est algebriquement equivalente a une fonction flux numerique de type Roe.On peut donc utiliser la strategie usuelle de linearisation partielle en temps des methodesde Roe.

Dans une cellule quelconque, les valeurs propres de la matrice de Roe, sont reliees auxvaleurs propres du systeme d’EDP - en fait elles sont egales dans le cas lineaire. On laisseles deux plus grandes –en valeur absolue– inchangees, et on met a zero les trois autres cequi revient a traiter les ondes correspondantes de maniere explicite.

Le pas de temps est soumis a deux contraintes de stabilite de type CFL : on imposeque les vitesses caracteristiques des ondes lentes satisfassent la condition CFL expliciteavec CFLexp := 0.5. Les vitesses caracteristiques des ondes rapides doivent, elles, verifierla condition CFL implicite avec CFLimp := 20. Cette condition a pour but d’eviter unetrop forte regularisation des ondes rapides par le schema implicite.

Ce schema donne des resultats satisfaisants du point de vue numerique, et presenteun gain en temps de calcul variant entre 3 et 10 par rapport au schema de VFRoe utilisedans le code TACITE (voir la these de Baudin [2003]). Il a ete mis en œuvre dans [P23]pour le cas sans frottement et sans glissement. Dans [P20], on traite le probleme completavec la loi de glissement de Zuber-Findlay, qui permet de simuler le phenomene de bouchon(severe slugging) evoque dans l’introduction et represente sur la figure 19.

L’inconvenient de cette methode numerique est qu’elle ne presente aucune garantiede positivite sur les quantites physiques ρ, Y et 1− Y , ce qui constitue un risque majeurd’instabilite puisque les lois de fermeture peuvent exploser. Pour lever cette difficulte nousavons adopte une formulation Lagrange/projection du systeme relaxe.


-200

-100

0

100

200

300

400

500

600

-200 0 200 400 600 800 1000 1200

ρ u

time

Total flow at bottom of riser

1024512256128

Fig. 19 – Variation du flux massique total en bas de la conduite verticale (riser). Onobserve la convergence de la periodicite du phenomene de bouchon, en fonction du nombrede mailles en espace pour des grilles uniformes.

2.2.2 La methode de Lagrange/projection

Cette methode, decrite par exemple par Godlewski et Raviart [1996], consiste a re-ecrire le systeme (2.4) dans un nouveau referentiel dont les coordonnees s’appellent χ. Lavitesse dans ce referentiel est (v − s), de telle sorte qu’en notant x = x(χ, t) la correspon-dance entre le repere mobile et le repere eulerien, nous avons ∂tx|χ = v − s. En notantJ = ∂χx le taux de dilatation, on peut montrer que ∂tJ = J∂x(v − s) ce qui conduit a laforme conservative suivante∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂t(J) + ∂χ(s) − ∂χ(v) = 0,∂t(ρJ) + ∂χ(ρs) = 0,∂t(ρvJ) + ∂χ(ρvs) + ∂χ(Π) = ρJS,∂t(ρY J) + ∂χ(ρY s) − ∂χ(Σ) = 0,∂t(ρΠJ) + ∂χ(ρΠs) + ∂χ(a2v) = λρJ [P (ρ, Y )− Π],∂t(ρΣJ) + ∂χ(ρΣs)︸︷︷︸ − ∂χ(b2Y )︸︷︷︸ = λρJ [σ(ρ, v, Y )− Σ].

projection Lagrange

(2.7)

L’interet de cette formulation est que la partie lagrangienne des equations porte essen-tiellement sur les ondes rapides, laissant un terme de transport dans la partie projection,qui concernera les ondes lentes dans la mesure ou la vitesse s sera choisie proche de v.

Du point de vue numerique, la formulation Lagrange/projection se traduit par undecouplage du calcul de la solution en une premiere etape, implicite, ou on resout la partielagrangienne, et une deuxieme etape, explicite, ou on transporte la solution. Pour allegerles notations, on presente dans la suite le cas sans glissement.


L’etape Lagrange implicite calcule la solution intermediaire vn♯k∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ρnk

τn♯k − τn

k

∆t− vn♯

k+1/2 − vn♯k−1/2

∆x= 0,

ρnk

vn♯k − vn

k

∆t+

Πn♯k+1/2 − Πn♯

k−1/2

∆x= 0,

ρnk

Y n♯k − Y n

k

∆t= 0,

ρnk

Πn♯k − Πn

k

∆t+ a2

n

vn♯k+1/2 − vn♯

k−1/2

∆x= λρn

k

[P (τn♯

k , Y nk )− Πn♯

k

],

(2.8)

ou τ est le volume specifique 1/ρ. Les etats intermediaires vn♯k+1/2 et Πn♯

k+1/2 sont donnes par∣∣∣∣∣∣∣∣Πn♯

k+1/2 =Πn♯

k + Πn♯k+1

2− an

vn♯k+1 − vn♯

k

2,

vn♯k+1/2 =

vn♯k + vn♯

k+1

2− Πn♯

k+1 −Πn♯k

2an

,

(2.9)

et an verifie la condition de Whitham globale

a2n > max

k=0,...,K−1−∂τP (τn

k , Ynk ).

L’etape de projection calcule l’etat conservatif u = (ρ, ρv, ρY ) au temps (n+ 1)∆t

un+1k = un

k −∆t

∆x

(Fn,♯

k+1/2 − Fn,♯k−1/2

), (2.10)

ou

Fn,♯k−1/2 =

(0, P n♯

k−1/2, 0)T

+ (vn♯k−1/2)

+un♯k−1 + (vn♯

k−1/2)−un♯

k .

Seules les trois premieres composantes de vnk sont mises a jour, la pression est ensuite mise

a l’equilibre a la fin du pas de temps.Dans le cas de conditions limites naturelles, l’ecriture de la condition de stabilite sur

l’etape explicite, qui est lineaire, permet d’obtenir facilement une majoration du pas detemps dependant explicitement de la solution au temps courant.

Le cas des conditions limites couplees et dependant du temps est traite dans [P21].On montre comment transformer la partie lagrangienne de (2.7) en un systeme de deuxequations lineaires avec des conditions limites couplees. L’etude de ce systeme, au niveaucontinu puis discret, permet ensuite d’obtenir une majoration du pas de temps assurant lapositivite des densites ainsi que le principe du maximum sur la fraction massique de gaz.Une inegalite d’entropie est egalement demontree.

L’implementation numerique de cette methode, commencee lors d’un stage de Master,se poursuit pendant la these de Q.-L. Nguyen dont le rapport a mi-these a permis d’etablirle bon comportement de la methode Lagrange/projection (LP) par rapport a la methodeen coordonnees euleriennes. La methode LP est plus diffusive a cause du decouplage endeux etapes, ce qu’il faudra compenser par une montee en ordre d’approximation (voir[P27] pour le principe). Elle n’est pas plus couteuse car l’etape Lagrange est lineaire et iln’y a plus besoin de resoudre les systemes blocs 5× 5. Les premiers resultats sont publiesdans le cas sans glissement [P30; P29; P28] et avec glissement [P26].


2.2.3 Methodes adaptatives pour les schemas semi-implicites

Un cas test realiste consiste a modeliser le transport sur une dizaine de kilometresd’une discontinuite dans la fraction massique de gaz du melange, se propageant a la vitessemoyenne de 5 metres par seconde. D’apres les ingenieurs, une resolution de l’ordre du metreest necessaire dans le voisinage de la discontinuite pour simuler le deplacement du frontavec suffisamment de precision. Un maillage uniforme a cette resolution serait d’une partd’un cout prohibitif et d’autre part inutile dans la plus grande partie du domaine de calcul.En particulier, loin du front d’onde de transport, les seules fluctuations de la solution sontdues a des ondes acoustiques ininteressantes.

200

400

600

800

1000

0 2000 4000

x

Density

0

5e+06

1e+07

0 2000 4000

x

Pressure

0.003

0.005

0.007

0 2000 4000

x

Gas mass fraction

0.02

0.04

0 2000 4000

x

Debit gaz

Fig. 20 – Densite, pression, fraction massique de gaz et debit de gaz le long d’une conduiteen V. La condition limite a l’amont est une diminution brutale de la quantite d’huileinjectee. Les niveaux de grille utilises sont indiques par des croix bleues. On repere ainsi lechangement d’inclinaison de la conduite et l’emplacement de la discontinuite de la fractionmassique.

Qui plus est, ces ondes acoustiques sont traitees par un schema implicite a trois points,donc regularisees tres rapidement. Il est donc legitime de vouloir discretiser la solution avecdes mailles fines dans la region du front d’onde de transport et avec des mailles grossieresailleurs. Nous avons pour cela utilise la technique de multiresolution adaptative presenteedans la section 1 de ce memoire. Par rapport a la methode initiale, developpee dans lecontexte de schemas explicites a CFL< 1, les travaux dans le cadre actuel ont permis dejustifier l’algorithme de prediction de la grille adaptative d’un pas de temps a l’autre [P23]pour des CFL> 1 vis a vis des ondes acoustiques.

Les ondes acoustiques se deplacent en effet globalement de plus d’une maille d’espacepar pas de temps. Cependant l’etude des vitesses de propagation des details sur chaqueniveau montre que les singularites au niveau le plus fin se deplacent suffisamment lentementpour etre captees par la grille predite avec les regles de Harten. La partie rapide des


λ

λ/2

λ/2

λ

λ λ

λ λ/2

λ/2

λ/2

λ/2 λ λ

λλ

λ λ

λ λ λ λ

λλ

λ λ

λλ

x

t

Fig. 21 – Synchronisation sur trois niveaux de grille, le meme parametre λ = ∆t/∆xest utilise a tous les niveaux. Les zones de transition sont representees ici par une seuleepaisseur de maille.

ondes correspond a leur contenu a basse frequence qui est representee sur les niveaux plusgrossiers. Grace a la graduation de l’arbre, ces niveaux permettent de capter correctementdes ondes se deplacant a grande vitesse.

Une mise en œuvre informatique efficace des schemas implicites sur des grilles nonuniformes [P20] a par ailleurs donne lieu a differents tests numeriques faisant etat de gainsen temps de calcul allant jusqu’a 10, par rapport au schema sur une grille uniforme.

Le veritable enjeu est actuellement en passe d’etre atteint, a savoir la mise en œuvred’une methode adaptative a la fois en espace et en temps. Pour une condition de sta-bilite CFL donnee, faisant intervenir le rapport ∆t/∆x, dans les regions ou la solutionest discretisee sur des mailles grossieres on peut en effet utiliser un grand pas de temps.En revanche dans les regions de forte variation de la solution, ou elle est discretisee surdes petites mailles le pas de temps doit etre en consequence plus petit. L’utilisation depas de temps differents suivant la discretisation spatiale sous-entend une gestion soigneusedu schema en temps. Des pas de temps intermediaires doivent etre prevus dans les zonesraffinees, de maniere a synchroniser la solution a la fin de chaque grand pas de temps,correspondant aux mailles les plus grossieres, comme indique sur la figure 21.

Un algorithme propose par Muller et Stiriba [2007] dans le cadre de schemas explicitesou implicite avec CFL< 1 a ete implemente avec succes dans le cas explicite pour le modelereduit (conduites horizontales sans frottement) dans [P30]. Nous avons ensuite adapte cettemethode de pas de temps local au schema semi-implicite doublant ainsi le gain de tempsde calcul par rapport a la multiresolution classique avec un pas de temps uniforme sur toutle maillage [P22; P29].

La encore nous nous trouvons confrontes au probleme de la prediction de la grillepour des schemas implicites avec des ondes qui se propagent a des vitesses elevees. Cettefois-ci, la graduation de l’arbre ne suffit plus a capter les ondes rapides sur les niveauxgrossiers, puisque sur ces derniers le pas de temps est proportionnellement grand. Il fautdonc adapter l’algorithme 1.4 des regles de raffinement predictives d’Harten de maniere aprendre en compte la CFL> 1.

Une deuxieme nouveaute par rapport a la version explicite de l’algorithme LTS estle calcul de la solution de l’etape Lagrange qui fait intervenir la resolution d’un systemeimplicite, reliant a priori les inconnues discretisees sur l’ensemble de la conduite. Si onresout le systeme implicite sur tout le domaine a chaque pas de temps intermediaire on perdbeaucoup des performances attendues du pas de temps local. Heureusement, simultanementa la condition CFL basee sur la vitesse des ondes lentes, nous imposons une contrainte au


x

t

Fnj,k−3/2

Fnj,k−1/2

un+1j,k−2

unj,k−2 un

j,k−1un

j+1,2k

12Fn

j,k−3/2

un+1/2j,k−1

Fnj+1,2k−1/2

un+1/2j+1,2k

Fn+1/2j+1,2k−1/2

un+1j+1,2kun+1

j,k−212Fn

j,k−3/2

Fig. 22 – Conservation des flux pour un schema explicite a l’interface entre deux niveauxde grille j et j + 1. On pose 2Fn

j,k−1/2 = Fnj+1,2k−1/2 + F

n+1/2j+1,2k−1/2. La solution v

n+1/2j,k−1 est

utilisee pour calculer Fn+1/2j+1,2k−1/2.

pas de temps, basee sur la vitesse des ondes acoustiques, mais avec un nombre CFLimpde l’ordre de 20. Ceci nous assure que cette partie de la solution n’est pas trop deterioreeau cours de l’etape implicite. Cette contrainte nous permet egalement de definir le stencild’influence de la zone du maillage intervenant dans la phase Lagrange. Par exemple, sion est a un pas de temps intermediaire ou la solution evolue seulement sur les maillesdu niveau le plus fin, on calcule la phase Lagrange sur ces mailles en incluant dans lesysteme lineaire les mailles des niveaux plus grossiers comprises dans un voisinage de tailleCFLimp.

Un dernier amenagement concerne la conservativite qui est assuree naturellementdans le cas d’un schema explicite de forme generique

un+1j,k = un

j,k −∆t

∆x(Fn

j,k+1/2 − Fnj,k−1/2).

Le schema a pas de temps local prevoit une zone de transition entre des mailles de taillesdifferentes. Dans cette zone de transition la solution, bien que discretisee sur des maillesdeux fois plus grosses que leurs voisines, evolue encore avec le petit pas de temps, mais sansrecalculer les flux sur les interfaces - sauf sur l’interface avec la zone raffinee (l’interfacej, k − 1/2 ou j + 1, 2k− 1/2 sur la figure 22). En particulier le flux a l’interface de la zonede transition avec la zone grossiere (interface j, k−3/2 sur la figure) n’est pas recalcule autemps intermediaire n+ 1/2.

Dans le cas du schema Lagrange/projection implicite, qu’on ecrit aussi sous sa formegenerique (2.10) un terme de correction doit etre calcule a cet endroit pour assurer la

conservativite des flux. En effet, le flux Fn+1/2,♯j,k−3/2 est calcule en utilisant la solution synchro-

nisee de l’etape Lagrange. Il peut etre utilise dans la formule d’evolution pour mettre ajour un+1

j,k−2. En revanche la solution sur la maille (j, k− 1) a deja ete mise a jour au pas de

temps intermediaire en utilisant le flux Fn,♯j,k−3/2. La formule de mise a jour doit donc etre

modifiee localement :

un+1j,k−1 = u

n+1/2j,k−1 −

∆t

2∆x(Fn,♯

j,k−1/2 − 2Fn+1/2,♯j,k−3/2 + Fn,♯

j,k−3/2).


2.2.4 Simulation numerique

Nous illustrons la mise en œuvre des algorithmes adaptatifs sur un probleme a condi-tion initiale et des conditions aux limites naturelles, pour le modele reduit sans glissement.

400

450

500

550

0 10000 20000 30000 0

2

4

6

ρ

x

UNIMRLTSt=0

LTS grid

Fig. 23 – Densite le long de la conduite pour une condition initiale reguliere par morceaux.Les croix indiquent le niveau de resolution utilise localement.

La figure 23 montre la densite du fluide le long de la conduite pour une conditioninitiale reguliere par morceaux notee (t = 0). La solution au temps t = 36.864s calculee parle schema volumes finis sur la grille uniforme la plus fine (UNI) coıncide avec les solutionsadaptatives, (MR) pour l’algorithme a pas de temps global et (LTS) pour l’algorithmea pas de temps local. Les niveaux de grille utilises localement par la solution LTS sontreperes par des croix et se lisent sur l’axe vertical de droite. Cette simulation correspond aun parametre de seuillage ε = 10−3 et une hierarchie de 7 niveaux numerotes de 0 a 6. Surles figures 24 et 25 on montre les resultats d’une etude parametrique ou on a fait varierε de 10−6 a 10−1 et le nombre de niveaux de 2 a 10, en gardant la meme discretisationpour le niveau le plus fin. Pour chaque simulation, on calcule l’erreur relative en normeL1 sur la fraction massique de gaz par rapport a la solution volumes finis. On a choisi lavariable Y comme critere car c’est celle qui interesse les ingenieurs. On calcule egalementles gains en temps de calcul et en nombre d’appels aux lois d’etats. Sur la figure 24 onrepresente l’erreur en fonction du gain en temps CPU, pour trois hierarchies de grilledifferentes J = 1, 6 et 11. Pour deux niveaux, le cout additionnel du a la multiresolutionest preponderant pour pratiquement toutes les valeurs de seuillage et le gain est faible pourla methode LTS, voire inferieur a 1 pour la methode MR. En revanche, pour un nombreraisonnable de niveaux, on atteint des gains importants, environ 10 pour la methode MRet environ 20 pour la methode LTS, tout en gardant une precision raisonnable puisquel’erreur relative reste inferieure a 1. On remarque que le gain est moins bon en utilisantdouze niveaux plutot que sept niveaux. En effet, le temps passe dans les algorithmes de


1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

0.001

0.01

1 10

E(Y)

cpu gain

MR 1LTS 1MR 6LTS 6MR 11LTS 11

Fig. 24 – En abscisse, le gain en temps de calcul par rapport au calcul VF sur la grilleuniforme la plus fine. En ordonnee, l’erreur relative en norme L1 sur la fraction massique degaz, par rapport a la solution sur la grille uniforme la plus fine. Chaque point corresponda un parametre de seuillage ε different.

codage et decodage est plus important, mais sans pour autant gagner en resolution carle niveau le plus grossier correspond alors a des mailles de 2km au lieu de 64m dans lahierarchie de 7 niveaux, et est donc tres rarement utilise.

La figure 25 montre les variations de l’erreur en fonction du gain en nombre d’appelsaux lois d’etat, toutes hierarchies de grille confondues. Les comportements des schemasMR et LTS se distinguent encore mieux que sur le graphe precedent et donnent clairementl’avantage au schema LTS. Dans les cas pratiques, on utilisera le modele complet avecglissement et des lois d’etats realistes encore plus couteuses a calculer que la loi Zuber-Findlay utilisee dans [P20]. Le surcout du a la multiresolution deviendra alors negligeableet le graphe du gain en temps CPU sera comparable a la figure 25. Les calculs effectuesactuellement par Quang-Long Nguyen dans le cadre de sa these vont dans ce sens.


1e-07

1e-06

1e-05

1e-04

0.001

0.01

0.1 1 10 100 1000

E(Y)

# State laws gain

MRLTS

Fig. 25 – En abscisse, le gain en nombre d’appels aux lois d’etat par rapport au calcul VFsur la grille uniforme la plus fine. En ordonnee, l’erreur relative en norme L1 sur la fractionmassique de gaz, par rapport a la solution sur la grille uniforme la plus fine. Chaque pointcorrespond a un parametre de seuillage ε et a un nombre J de niveaux differents.

3 CHROMATOGRAPHIE 61

3 Chromatographie

Les articles [P31; P32] et les actes de congres [P35; P37] sont fournis en annexe. Lesreferences entre crochets [P1], [P2], etc. renvoient a la liste des publications page 73. Lesautres references avec le nom des auteurs et l’annee renvoient a la bibliographie generalepage 79.

3.1 Modelisation mathematique de l’experience de chromatogra-

phie

La chromatographie en colonne est un procede de separation de composants chim-iques d’un melange liquide ou gazeux. Ce procede peut-etre mis en œuvre dans deux buts :une analyse fine d’un melange dans le cas de la chromatographie analytique, utilisee en par-fumerie ou dans l’industrie petroliere. La chromatographie preparative, elle, est un procedeindustriel de separation, couteux par rapport a la distillation mais beaucoup plus precis,et apprecie pour cette raison en pharmacie, en parfumerie et dans l’industrie alimentaire.

Dans le procede chromatographique (voir figure 26), la separation des differents com-posants du melange repose sur le phenomene physico-chimique d’adsorption. La phasestationnaire du melange se fixe sur les grains de la matrice poreuse qui remplit la colonne.La phase mobile descend par gravite. L’affinite de la phase stationnaire varie suivant lescomposants chimiques qui sont donc plus ou moins “ralentis” et le melange se separegrace a ces differentes vitesses de progression. Dans la chromatographie haute performanceactuelle, de faibles differences de vitesse entre deux proteines suffisent a les separer. Unemodelisation fine du phenomene physico-chimique est donc indispensable.

solvantinjection

A+B BA B

AB

A B

t

Fig. 26 – Schema du procede de chromatographie

Le modele hydrodynamique est simplifie au maximum : la colonne est modelisee demaniere uni-dimensionnelle ce qui semble justifie dans la plupart des cas experimentauxtraites actuellement. La temperature est constante, ou bien donnee en fonction du tempsmais on neglige en tout cas les transferts de chaleur. La vitesse des phases est constante,


ce qui est une hypothese raisonnable pour les phases liquides (incompressibles). L’interetde ces simplifications est qu’elles ne laissent que la conservation de la masse a ecrire.

Le modele thermodynamique met en jeu des mecanismes compliques pour simulerl’adsorption et l’absorption des composants chimiques. Le lecteur curieux pourra se plongerdans le livre de Guiochon, Feilinger, Golshan Shirazi et Katti [2006] ; ici nous rappelons sim-plement le point essentiel qui consiste a supposer l’existence et l’unicite d’un etat d’equilibrestable pour le systeme thermodynamique forme par les deux phases. La loi d’equilibre estappelee un isotherme par les chimistes, parce qu’on suppose que cet equilibre est atteint atemperature constante.

Si on suppose, en premiere approximation, que l’equilibre entre les phases est instan-tane, on peut ecrire a tout moment et partout dans la colonne, une relation de fermetureentre les concentrations dans les deux phases stationnaire et mobile, cstat = h(cmob) ouh est la fonction isotherme. L’ecriture des equations de conservation de la masse pour lemelange conduit a un systeme d’equations hyperboliques non lineaires dont les inconnuessont les concentrations de chaque composant chimique dans la phase mobile c = (ci)i=1,...,p,pour un melange de p composants,

∂t(c + h(c)) + ∂x(uc) = 0, t ∈ [0, T ], x ∈ [0, L],c(0, t) = cinj(t),c(x, 0) = 0,

(3.1)

ou u est la vitesse du fluide transportant la phase mobile dans la colonne. On noteraqu’il est plus pratique pour resoudre ce systeme de renverser les roles traditionnels desvariables t et x. A titre d’exemple, la figure 27 superpose les concentrations mesureesen sortie de colonne en fonction du temps, representees par des symboles, et les courbesde concentrations simulees en resolvant le systeme (3.1) pour un melange ternaire et unisotherme de Langmuir.

Ce modele est d’un grand interet pour les chimistes dans de nombreux cas, et nouspresenterons dans le paragraphe suivant son utilisation dans la methode d’identification.Il est cependant insuffisant pour expliquer la totalite des experiences, en particulier pourles faibles concentrations ou les phenomenes diffusifs ne peuvent pas negliges. Dans ce casl’echange entre les phases doit etre modelisee par un equilibre s’etablissant a vitesse finie,ce qui peut etre envisage de differentes manieres.

Dans un premier temps, nous sommes partis des travaux de Vogt [1982] qui modelise lemilieu poreux a l’echelle microscopique avec une geometrie periodique et traite le problemede Stokes dans les vides intersticiels par homogeneisation. L’equation macroscopique equi-valente comprend des termes de convection et de diffusion et egalement un terme de convo-lution en ∂tρ(t)⋆H(c(t, x)) [P34; P37; P36]. Le traitement numerique de cette equation estrelativement lourd en raison de ce terme de retard, qui induit un couplage des inconnuesen temps.

Dans un cadre plus general valable egalement pour la distillation, nous avons etudiedans [P32] une autre approche, consistant a modeliser l’echange de matiere a vitesse finieentre les phases par un terme de reaction au niveau des equations macroscopiques.

Le systeme hyperbolique reliant les concentrations c1, c2 des differents constituantsdu melange dans les deux phases comprend maintenant au second membre un terme de


0

10

20

30

2 4 6

c(g/l

)

time(min)

BA:PE:MBA=1:3:1 vi=1ml

BAPE

MBA

0

10

20

30

2 4 6c(g/l

)

time(min)

BA:PE=3:1 vi=0.5ml

BAPE

MBA

Fig. 27 – Concentrations en BA, PE et MBA en sortie de colonne en fonction du temps. Lesproportions injectees sont 1 : 3 : 1 pour l’experience a gauche et 3 : 1 : 0 pour l’experience adroite. Les symboles correspondent aux mesures experimentales ; les courbes represententles profils simules avec un isotherme de Langmuir competitif.

relaxation non lineaire

∂tU + ∂xG(U) =1

εR(U), (3.2)

ou on a introduit les notations vectorielles

U =

(c1

c2

)∈ R2p, G(U) =

(uc1

vc2

), R(U) =

(c2 − h(c1)h(c1)− c2

).

La vitesse v pour la phase 2 sera egale a 0 dans le cas d’une phase stationnaire pour lachromatographie.On traite ce systeme par un developpement de type Chapman–Enskog c’est-a-dire enremplacant U par U0 + εU1 + · · · .

En introduisant le changement d’inconnue w = c1 + h(c1), et sa fonction reciproqueg(w) = c1, l’equation equivalente au premier ordre s’ecrit

∂tw + ∂xf(w) = ε∂x[χ(w)∂xw], (3.3)

avec un terme de convection

f(w) = ug(w) + vh(g(w))

et un terme de diffusion non lineaire

χ(w) = (u− v)2g′(w)2h′(g(w))g′(w).

Une etude numerique du systeme relaxe et de l’approximation au premier ordre a permisd’etablir sur les exemples etudies une gamme de vitesses d’echange ou l’approximation estjustifiee, et cela meme pour des concentrations elevees.


3.2 Identification de l’isotherme

Le probleme pratique majeur pour les ingenieurs et les chimistes est la comparaisonentre les concentrations predites par un modele et celles mesurees a la sortie de la colonne.Il faut pour cela connaıtre la fonction isotherme. La determination directe des isothermesest possible par un plan d’experiences appele analyse frontale (voir James, Sepulveda,Quinones, Charton et Guiochon [1999] pour les details). C’est une methode tres precisemais tres couteuse.

A l’heure actuelle, une alternative economique revient a identifier l’isotherme en mi-nimisant l’ecart - au sens des moindres carres par exemple - entre les mesures et le modele.La fonction a minimiser

J(f) =1

2

∫ T

0

||cf(L, t)− cobs(t)||2 dt (3.4)

fait intervenir cf la solution du modele (3.1), avec ||.|| une norme sur Rp. Pour le moment, onse restreint au systeme d’equations hyperboliques, c’est a dire qu’on fait l’hypothese d’unequilibre instantane entre les phases. La prise en compte de la cinetique lente en utilisant lemodele avec diffusion non lineaire est envisageable, mais elle couterait plus cher en tempsde calcul.

Notons tout d’abord que la determination directe de f comme une fonction de Rp →Rp n’est pas possible car le probleme est mal pose : il n’y pas unicite de la fonction fpermettant de minimiser J(f) car la solution de (3.1) presente des chocs.

Pour pallier cette premiere difficulte, l’isotherme est choisi dans un modele fixe apriori par les chimistes (Langmuir, Moreau-Valentin) et la minimisation de J(f) se rameneen fait a minimiser J(α) ou α represente les parametres physiques de l’isotherme. Pourl’isotherme de Langmuir, le plus utilise, il s’agit de N⋆, la concentration a saturation etd’un coefficient Ki par composant. Les produits N⋆Ki peuvent etre estimes sur les mesuresexperimentales ce qui donne un point de depart a la recherche du minimum de J(f) parune methode de descente. Cependant ce probleme de minimisation est loin d’etre classique,la fonction J n’etant systematiquement ni convexe ni differentiable, encore une fois a causede la presence de chocs dans la solution c sous-jacente.

Nous verrons qu’une alternative interessante est proposee par les algorithmes stochas-tiques, qui ne requierent pas de connaıtre la derivee de la fonctionnelle, mais necessitenten revanche de l’evaluer un tres grand nombre de fois. Avant cela, nous allons resumer lesdifficultes rencontrees dans la mise en œuvre d’algorithmes de minimisation classiques.

3.3 Optimisation des parametres par methode de gradient

La minimisation ideale de

J(α) =1

2

∫ T

0

||cα(L, t)− cobs(t)||2 dt (3.5)

suppose qu’il existe une fonction f determinee par ses parametres α telle que J(α) aitun minimum global egal a 0, ce qui est vraisemblablement faux a voir l’allure bruitee deschromatogrammes experimentaux (par exemple ceux de la figure 27). Ensuite, les mesures


0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1040

60

80

100

120

140

160

180

K

N*

Fig. 28 – Isovaleurs de la fonction objectif en fonction de K et N∗ pour les chro-matogrammes simules avec K = Kref = 0.05, N∗ = Nref = 100.

etant echantillonnees, on ne peut pas minimiser (3.5) mais seulement une version discretede cette derniere

J(α) =1

2∆t

N∑n=1

||cα(xk, tn)− cobs(tn)||2. (3.6)

En supposant qu’on puisse choisir le pas d’echantillonnage aussi petit qu’on veut, et que lecalcul de la solution exacte soit possible, la question de la convergence du αminimisant (3.6)vers le α minimisant (3.5) quand ∆t tend vers 0 est un probleme ouvert (voir par exempleBardos et Pironneau [2006]). Dans [P31] nous nous sommes interesses a des problemesintermediaires utilisant des mesures experimentales synthetiques c’est-a-dire fabriquees apartir d’un modele. Nous presentons une etude numerique de la convergence. La figure28 montre les isovaleurs de la fonction objectif (3.6) dans le cas simple ou les mesuresexperimentales ont ete generees numeriquement avec le modele (3.1) pour un solute aun seul composant et l’isotherme de Langmuir. Les parametres α sont N⋆ et K, fixeesrespectivement a 100 et 0.05 pour simuler les mesures. Les parametres de discretisationpour la simulation des mesures sont 10 fois plus petits que ceux utilises pour les simulationsau cours de l’optimisation. La figure met en evidence la difficulte de localiser le minimumglobal (100,0.05).

Pour la mise en œuvre de la methode de minimisation par une methode de descentequelle qu’elle soit, le calcul du gradient de la fonctionnelle est une etape cruciale. Nousecartons tout d’abord l’estimation par differences finies, qui, en plus d’etre tres couteuse,necessite une calibration du pas d’echantillonnage de l’espace des parametres. Cette etapeest difficile et peut mettre en peril la robustesse de la minimisation. Le calcul direct posele probleme de la derivation de solutions discontinues, abondamment traite, par exempledans Bouchut, James et Mancini [2005]. La methode duale, plus reguliere, et egalementplus interessante dans le cas ou on derive par rapport a un grand nombre de variables, estevidemment plus lourde a implementer puisqu’il faut ecrire et resoudre le probleme adjoint.


L’equivalence entre les deux formulations au niveau continu est un autre probleme ouvert,aborde par exemple dans Bouchut et Perthame [1998]. Dans le cas de la chromatographie,l’obtention du gradient de la fonctionnelle discretisee (3.6) par la methode duale ecrite di-rectement au niveau discret est decrite dans James et Sepulveda [1994]; James et Sepulveda[1999]. Nous donnons dans [P31] une methode numerique pour calculer directement le gra-dient et une comparaison numerique detaillee des deux methodes, directe et duale. Dans lememe article le gradient par methode directe est utilise dans une methode de minimisationpour identifier les parametres d’un isotherme modelisant un melange ternaire, pour lequelon dispose de donnees experimentales abondantes. Elles incluent en particulier des mesuresdirectes d’isothermes, ce qui permet de donner de bons points de depart a l’algorithme deminimisation. Une etude parametrique met en evidence le caractere non convexe de la fonc-tionnelle et plusieurs minima locaux vers lesquels l’algorithme de minimisation ne manquepas de converger suivant les valeurs de parametres initiaux. Cette constatation vient apoint pour introduire le dernier volet de cette etude, concernant l’utilisation d’algorithmesstochastiques.

3.4 Optimisation stochastique

Nous nous placons dans le contexte de minimisation de fonctionnelles presentant unecertaine regularite par rapport aux parametres recherches. Les methodes de minimisationdeterministes basees sur une exploration de l’espace des parametres guidee par le gradientde la fonctionnelle ont deux inconvenients majeurs : tout d’abord elles ne convergent pasforcement vers le minimum global en presence de minima locaux, ensuite le calcul dugradient de cette fonctionnelle peut etre difficile quand elle est issue comme dans le cas dela chromatographie d’un calcul complique.

Les methodes d’optimisation stochastiques ont ete developpees pour pallier ces incon-venients. Elles ne font appel qu’aux valeurs de la fonctionnelle elle-meme et explorentl’espace des parametres suivant des lois incluant un certain alea, ce qui les rend moinssusceptibles d’etre piegees par des minima locaux. Nous nous sommes interesses aux algo-rithmes evolutionnaires deja utilises dans notre contexte par Fadda et Schoenauer [1996].Aux debuts de l’ACI Chromalgema, nous avons utilise les algorithmes evolutionnairesdeveloppes dans le projet Open Source EO4. Sans entrer dans des details trop techniques,nous en donnerons un bref apercu puis nous presenterons l’algorithme CMA-ES actuelle-ment utilise et qui a permis a Anne Auger et Mohamed Jebalia d’obtenir les resultatsnumeriques dans [P35].

Principe general des algorithmes evolutionnaires

Les algorithmes evolutionnaires utilisent une metaphore de l’evolution darwiniennedes especes (les individus les plus adaptes survivent et se reproduisent) pour rechercher lesoptima de la fonction objectif consideree, a l’aide de transformations aleatoires. En tantqu’algorithmes d’optimisation, ce sont des methodes pouvant travailler sans hypotheseforte de regularite. En particulier, l’espace de recherche peut-etre un espace metrique quel-conque (espace des parametres continus ou discrets) et ce sont des methodes d’ordre 0 (ne

4http ://eodev.sourceforge.net


necessitant que la connaissance des valeurs de la fonction a minimiser). Le prix a payerest un temps de calcul important. Il faut tabler sur plusieurs milliers d’evaluations de lafonctionnelle a minimiser.

Le principe d’un algorithme evolutionnaire est schematise sur la figure 29 extraite dututoriel EO. Une iteration va consister a faire evoluer une population suivant des reglesinspirees tres grossierement de la genetique darwinienne. Une population est formee d’in-dividus qui sont, dans notre contexte d’optimisation, des jeux de parametres de la fonc-tionnelle. Signalons quelques points importants d’un algorithme evolutionnaire generique.

– Pendant la phase d’initialisation, la premiere population est generee aleatoirementdans l’espace entier des parametres.

– La phase d’evaluation est la phase couteuse en temps de calcul ou on calculeeffectivement les valeurs de la fonctionnelle pour chaque individu de la populationcourante, en resolvant le systeme d’EDP (3.1) dans notre cas.

– Lors des deux etapes de selection (nommees selection et replacement sur la figure29), les meilleurs individus (au sens de la valeur de la fonctionnelle) sont favorisespar rapport aux autres.

– Le critere d’arret doit realiser un compromis entre plusieurs objectifs. Il est en effetdifficile, si on n’en connaıt pas la valeur, de savoir si on s’est approche suffisammentpres du minimum global de la fonctionnelle. En pratique on s’arrete si on n’espereplus trouver mieux, ou si on a epuise les ressources de calcul. Une regle heuristiquequi semble assez robuste est de s’arreter apres un nombre donne de generationssans amelioration du resultat.

– Les operateurs de variation (croisement, mutation) dependent de l’espace de recherchechoisi. Ils assurent l’exploration stochastique de l’espace de recherche, et sont peugourmands en temps de calcul.

Fig. 29 – Schema d’un algorithme d’optimisation evolutionnaire, tutorial EO


Particularites de l’algorithme CMA-ES

Cet algorithme, developpe a l’origine par Hansen et Ostermeier [2001], peut s’in-terpreter dans le cadre de l’algorithme evolutionnaire generique presente ci-dessus, avecquelques amenagements :

– L’etape de selection est remplacee par l’echantillonnage de la population dans l’es-pace des parametres, suivant une loi normale multivariee. Ce sont les parametresde cette distribution qui evoluent d’une generation a l’autre en fonction des per-formances des individus. Pour preciser un peu, soit < ~x >g les valeurs moyennesdes parametres de la population a la generation g. La matrice de covariance estfactorisee en deux termes (σg)2Cg.

– Les λ enfants sont d’abord generes aleatoirement au cours de l’etape de mutationsuivant cette distribution

~xg+1k =< ~x >g +Nk(0, (σ

g)2Cg), pour k = 1, . . . , λ.

– Apres l’etape d’evaluation de la fonction cout, l’etape de remplacement, deterministe,consiste a extraire les µ meilleurs enfants pour en faire les parents de la generationsuivante.

– Au cours de l’etape de croisement, les parents sont combines avec des poids dependantde leur performance pour former la moyenne de la distribution de la generationsuivante

< ~x >g+1=

µ∑i=1

wi~xg+1i:λ , avec

µ∑i=1

wi = 1.

Les parametres de covariance, le pas σg et la matrice Cg, sont eux aussi modifiesde maniere a adapter la forme de la distribution gaussienne a la topologie de lafonctionnelle. Les regles de mise a jour de la matrice de covariance, en particulier,sont tres proches des regles de mise a jour d’ordre 1 de certaines methodes quasi-Newton.

Ceci fait de CMA-ES un concurrent direct des methodes de descente en ce qui concerne larapidite de convergence. Cet algorithme a ete teste sur les experiences de chromatographiesur des melanges ternaires et ses performances ont ete comparees avec celles de l’optimi-sation par methode de gradient. Le gros avantage de CMA-ES est qu’il n’a pas besoind’information a priori sur les valeurs des parametres recherches, il est tres robuste faceaux minima locaux. Pour nos applications a la chromatographie, il a toujours donne lememe resultat quel que soit le point de depart. Par ailleurs, l’inconvenient du cout entemps de calcul, souvent mis en avant quand on compare une methode stochastique avecune methode de descente deterministe, n’est pas flagrant dans l’exemple traite dans [P35].Sans doute parce que notre fonctionnelle est tres mal conditionnee au voisinage des mini-ma locaux, nombreux dans le cas de donnees experimentales, la methode de gradient aveclaquelle on compare CMA-ES est meme plus lente.

Genie logiciel CHROMALGEMA

Sur le plan du genie logiciel, j’ai developpe avec E. LeGuirriec, F. James et M.Schoenauer un logiciel en C++, Chromalgema, destine a etre utilise par des chimistes pour


identifier les parametres de l’experience de chromatographie a partir de leurs mesures. Celogiciel fait appel a la librairie EO pour l’identification par algorithmes evolutionnaires. Parailleurs Mohamed Jebalia ayant dans sa these utilise la version Scilab de CMA-ES, uneinterface utilisateur en Scilab a recemment ete developpee. Ce deuxieme logiciel permetd’identifier des isothermes par la methode CMA-ES, en faisant appel au logiciel Chromal-gema pour tout ce qui concerne l’evaluation de la fonctionnelle proprement dite, qui estla partie couteuse en temps de calcul puisqu’elle necessite la resolution du modele (3.1).Tous ces logiciels sont disponibles sur Sourceforge.

CONCLUSION ET PERSPECTIVES 71

Conclusion et perspectives

En conclusion, je mentionnerai quelques travaux en cours de realisation : dans lecadre du projet sur la chomatographie, la validation de l’algorithme CMA-ES doit etrepoursuivie sur d’autres jeux de donnees experimentales. Le couplage avec l’utilisation dela multiresolution pour resoudre le probleme direct doit etre implemente en vue de l’etapesuivante consistant a inverser le modele complet prenant en compte les effets diffusifs.

Dans le contexte plus general des equations de convection/diffusion, j’ai adapte unetechnique de regularisation residuelle proposee par Averbuch, Cohen et Israeli [1998] pourpreconditionner la solution de l’equation de la chaleur et en relaxer la condition de stabilite.L’application a l’algorithme de multiresolution donne de bons resultats en pratique etl’analyse est en cours.

Dans le cadre de l’ERT et d’ici la fin de la these de Q.-L. Nguyen, nous esperons avoirun outil numerique robuste et efficace de simulation des bouchons dans les conduites, util-isant les lois d’etat realistes mises au point par l’IFP. Pour cela, quelques developpementstheoriques sur les schemas sont en cours : la montee a l’ordre deux en espace, y comprisdans le traitement des conditions aux limites et l’obtention d’une condition de stabilite surle pas de temps dans le cas general avec termes sources.

CONCLUSION ET PERSPECTIVES 72

LISTE DES PUBLICATIONS 73

Liste des publications1

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1Les publications peuvent etre telechargees a partir du site webhttp://www.ann.jussieu.fr/~postel/HDR/. Les references indiquees dans le texte par le nomdes auteurs et l’annee renvoient a la bibliographie page 77.


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habilitationa diriger des recherches universite pierre et ... · the underlying physical problem...

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