Título de trabajo: POLINOMIO INTERPOLANTE DE NEWTON Y APROXIMACIÓN POLINÓMICA CUBICA DE HERMITE Y SPLINE CUBICO: DISEÑO Y VISUALIZACION INTERACTIVANombre y Apellido de los autores: Oscar Enrique Ares Institución: Facultad de Ingeniería y Ciencias Económico Sociales – Universidad Nacional de San Luis.Dirección: 25 de Mayo 384 – Mercedes (San Luis)E-mail: oares@fices.unsl.edu.ar ; oscareares@gmail.comCategoría del Trabajo: Propuestas didácticas Nivel Educativo: Educación Superior Tema: Nuevas tecnologías en Educación MatemáticaPalabras Claves: interpolacion – hermite cubico – spline cubico –diferencias divididas Resumen

En este trabajo se presenta una propuesta didáctica para la enseñanza del tema Polinomio Interpolante de

Hermite y Spline cúbico para alumnos de tercer año de las carreras de Ingeniería Electrónica en la asignatura

Calculo Numérico.

Para aproximar funciones arbitrarias en intervalos cerrados se utiliza la técnica dividir el intervalo en una

colección de intervalos y construir un polinomio interpolante diferente en cada subintervalo. La aproximación

con funciones de este tipo se llama aproximación polinómicas segmentaria. Las aproximaciones segmentarias

mas comunes usando polinomios cúbicos entre parejas de puntos son los trazadores cubicos naturales y los

spline cúbicos de Hermite. El presente trabajo tiene como objetivo la visualización interactiva y en distintos

registros de representación de los métodos mencionados usando el entorno de programación GUIDE de Matlab.

Introducción

El diseño propuesto, para dar tratamiento al tema ha sido elaborado con el software MATLAB. Este software

permite integrar tres aspectos como lo son: la computación numérica y simbólica, su visualización, y su

ambiente de programación. Su sitio web destaca como sus prestaciones básicas, las siguientes: la manipulación

de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de

usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware. El paquete

MATLAB dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus prestaciones, a saber, Simulink

(plataforma de simulación multidominio) y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI). GUIDE es la

herramienta básica con la que se ha implementado el siguiente diseño sobre polinomios interpolantes a trozos.

Adicionalmente, este soporte computacional se coordina con el diseño de una guía de actividades, problemas y

ejercicios.

Objetivos

Se implementa un diseño y ejecución con GUIDE de Matlab de dos métodos correspondientes a interpolacion

polinomial: diferencias divididas de Newton e interpolación polinomial cúbica a trozos.

Un objetivo de este diseño es mostrar al alumno la construcción de la tabla de diferencias divididas de Newton y

de Hermite para hallar los coeficientes del polinomio interpolador, surgiendo en forma de marquesina, una

explicación de los diferentes elementos de la tabla al apoyar el puntero del mouse sobre el registro numérico.

Esta información le brindará al alumno, no solo la posibilidad de verificar sus respuestas, sino la explicación de

como se genera la tabla de diferencias destacando (señalado con distintos colores) en que lugar se ubican los

escalares correspondientes a las diferencias divididas de distinto orden y a las derivadas prefijadas. Completa la

visualización, la expresión simbólica final del polinomio interpolante de Newton y del polinomio/s de Hermite o

a trozos y sus graficas, destacando las rectas tangentes (correspondientes a las derivadas prefijadas, en el caso de

Hermite).

Utilizando este diseño gráfico el alumno puede realizar un análisis comparativo, en cuanto a oscilación, suavidad

estabilidad, de los métodos spline cúbico natural y spline cúbico de Hermite.

Marco Teórico

Los métodos para determinar la representación explicita de un polinomio interpolante a partir de datos tabulados

[xi f(xi)] se conocen como métodos de diferencia dividida. La notación en diferencia dividida cero de la

función f con respecto a xi, se denota por f[ x i] y se verifica

f[ x i] = f ( xi ). La primera diferencia dividida, con respecto a xi, xi+1, denota por f[ x i, xi+1]

y está definida como y la k-esima diferencia dividida con respecto a xi, xi+1, . . .

, xi+k esta dada por

Con esta notación el polinomio interpolante de Newton resulta:

Pn(x) = f[ x 0] + f[ x 0, x 1](x – x0) + . . . + f[ x 0, x 1, . . . , x n ]( x – x0) ( x – x1) . . . ( x – xn-1)

La representación explicita de un polinomio interpolante a partir de datos tabulados [x i f(xi) f ´(xi) ], esto

es, se incluye la condición adicional de la derivada primera, se realiza como el de Newton a partir de una tabla

de diferencias divididas.

A modo de ejemplo [xi f(xi) f ´(xi) ], para i = 1, 2, la tabla de diferencias divididas para Hermite es

x0 f(x0)

f[x0,x0]=f

´(x0)

x0 f(x0) f [x0,x0,x1 ]

f [x0,x1] f [x0,x0,x1,x1]

x1 f(x1) f [x0,x1,x1]

f[x1,x1]=f´(x1)

x2 f(x1)

El polinomio interpolante de Hermite resulta es P(x) = f[ x 0] + f[ x 0, x 0](x – x0) + f[ x 0, x 0, x 1](x – x0) (x – x0) +

f[ x 0, x 0, x 1, x 1](x – x0) (x – x0) (x – x1).

El diseño presentado en este trabajo, como se mostrará luego permite realizar una visualización interactiva de

este esquema y además obtener la expresión simbólica del polinomio.

Las aproximaciones segmentarias ubican sobre cada subintervalo un polinomios cúbico, con la condición de

continuidad en cada punto de unión de los intervalos de la derivada segunda, dando lugar a los trazadores

cúbicos mientras los spline cúbicos de Hermite fijan la condición de continuidad sobre la primera derivada.

Clases de visualizaciónSegún Miguel de Guzman, existen distintas clases de visualización: isomorfica, homeomorfica, analógica, diagramática.Cuando los objetos tienen un correlato exacto en cuanto a las relaciones que nos interesa estudiar, se habla de visualización homeomórfica. Ejemplos de visualización isomórfica son: la representación de los números reales, la recta numérica o la representación de complejos como puntos del plano.El tipo de visualización empleada en este trabajo es de tipo isomórfica e implica una decodificación para la que se esta mas entrenado.Pantallas sucesivasAl abordar las actividades de interpolación de Newton, el alumno dispone de información sintética sobre el tema corespondiente deslizando el cursor sobre el texto del título o sobre los botones, como se observa en la figura.

Al pulsar el botón carga de datos, sucesivamente aparecen las pantallas

Al pulsar el botón aceptar en la útima pantalla, no aparecen simultáneamente todos los resultados, sino con una cierta dinámica secuencial. Se muestra solo la última pantalla donde se aprecia la tabla de diferencias divididas y la expresión general de la fórmula del polinomio interpolante, en relación a los datos cargados

Un objetivo de este diseño es que constituya un material didáctico para estudio dirigido. Esta idea conduce, a un diseño guiado por explicaciones sobre los elementos del esquema de diferencias divididas, que se concreta cuando se ubica el cursor sobre, por ejemplo un número, desplegándose una marquesina con el contenido respectivo como se observa en la siguiente figura, al ubicarse el puntero sobre -4.

Al pulsar el botón gráfica del polinomio interpolante y expresión de P(x), se despliega la gráfica del polinomio interpolante correspondiente a los datos cargados previamente.

A continuación una segunda botonera configura el menú de opciones para abordar el tema aproximación polinómicas segmentaria y nuevamente al ubicar el cursor sobre cada elemento de la botonera una marquesina brinda explicación sobre el contenido.

Al pulsar el botón Carga de datos y Tabla de Diferencias Divididas

Se ingresan los valores de las coordenadas de los puntos y las respectivas derivadas.Se presiona sobre el boton aceptar y sucesivamente se va configurando la tabla y luego las expresiones polinómicas simbólicas. La expresión polinómica en recuadro azul, es la respuesta a la carga específica de datos.

Tabla de diferencias divididas de Hermite, tres puntos y en cada punto su derivada primera.

Nótese que en la tabla de diferencias divididas la ubicación de las diferencias divididas correspondientes a las

derivadas se destaca especialmente, rectángulos de color azul. Nuevamente, si apoyamos el cursor sobre los

elementos de la diagonal aparecerá una marquesina indicando a que termino del polinomio de Hermite

corresponde.

Al pulsar el boton, Grafica del polinomio interpolante y expresión simbólica, se despliega la gráfica

correspondiente con la representación de la recta tangente, que corresponde al valor prefijado y puede leerse la

expresión simbólica del polinomio interpolante de Hermite.

Se presiona sobre el botón Spline cúbico de Hermite y se cargan los valores, eligiendo previamente la cantidad de puntos a interpolar

Primero se obtienen las graficas, de spline cubico y spline cúbico de Hermite, es decir, por cada dos nodos existe un polinomio cúbico interpolante.

Los coeficientes de cada uno de los polinomios de Hermite pueden visualizar en cada uno de los renglones de una matriz que se obtiene si se presiona sobre el botón matriz de coeficientes.

El problema que da lugar a la interpolación cúbica de Hermite es el siguiente:

Dado un intervalo [a,b], una función f:[a,b]-R, con derivada f ´:[a,b]-R, y un conjunto de partición de

puntos {x0, . . . , xn}, con a=x0 < . . . < xn = b, hallar un conjunto de polinomios p0, . . . , pn-1, con las condiciones:

pi (xi) = f(xi) : pi (xi+1) = f(xi+1) ; pi´ (xi) = f ´(xi); pi ´ (xi+1) = f ´(xi+1) para i = 0, . . . , i= N-1.

Entre las actividades a realizar por el alumno a partir de la visualización y del material teórico correspondiente

suministrado , introduction to numerical análisis , Lecture 13: Cubic Hermite Spline Interpolation II,

Scribes: Yunpeng Li, Mark Cowlishaw, se halla la guia de actividades, que la obtiene pulsando el botón

correspondiente.

Sin duda un componente importantísimo es la coordinación, entre la utilización del recurso computacional, la

guía de actividades y la guía teórica, cuyo desarrollo y explicación excede los límites de este trabajo.

Conclusiones

Diseñar nuevas propuestas didácticas para la comprensión de temas y conceptos algebraicos requieren de

muchas horas de dedicación en la programación de software, en la planificación didáctica y en la puesta en

funcionamiento de los distintos desarrollos. Con este diseño interactivo el alumno podrá visualizar los esquemas

de diferencias diferencias divididas y la obtención de los gráficos y expresiones analíticos, pudiendo establecer

analisis comparativos acerca de grado de suavidad de los splines, localidad (local o muy local), y visualizar el

fenomeno oscilatorio de Runge.

Este diseño persigue como metas que el alumno, posea una herramienta interactiva que le permita verificar,

corregir, explorar, plantear y descartar hipótesis, visualizar y finalmente construir su propia imagen conceptual

del tema.

BibliografiaBurden, Richard (1985). Analisis Numérico. Grupo Editorial iberoamericana.Guzman, Miguel El rincón de la Pizarra (1996). Piramide. Capitulo 0, El papel de la visualización.

BibliografiaGuzman, Miguel. El rincon de la pizarra (1996). Piramide.