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Hoja 1. Problemas de Analisis de Variable Real

1. Demostrar que 13 + 23 + · · ·+ n3 =(12n(n + 1)

)2para todo n ∈ N .

2. Demostrar que n < 2n para todo n ∈ N .

3. Demostrar que la suma de los cubos de cualesquiera tres numeros naturales

consecutivos, n, n + 1, n + 2 es divisible entre 9.

4. Conjeturar una formula para la suma de los n primeros numeros naturales impares

1 + 3 + 5 + · · ·+ (2n− 1) , y comprobar la conjetura mediante induccion.

5. Para que numeros naturales es cierto que n2 < 2n ?

6. La sucesion xn de numeros reales esta definida de la siguiente manera: x1 =

1, x2 = 2 y en general xn+2 = 12(xn+1 + xn), para n ∈ N . Usar el principio de

induccion completa para demostrar que 1 ≤ xn ≤ 2 para todo n ∈ N .

7. Demostrar que todo conjunto infinito se puede poner en correspondencia biyec-

tiva con algun subconjunto propio de sı mismo. (Indicacion: usar el hecho de que

podemos extraer de todo conjunto infinito un subconjunto con el mismo cardinal

que N ).

8. Probar que no existe un numero racional r tal que r2 = 6 .

9. Probar que no existe un numero racional r tal que r2 = 3 .

10. Decidir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

(i) Si x e y son numeros racionales entonces x + y y xy son racionales.

(ii) Si x e y son numeros irracionales entonces x + y y xy son irracionales.

(iii) Si x es racional e y es irracional entonces x + y y xy son irracionales.

11. Si a ∈ R , se define a0 = 1, a1 = a y en general an+1 = an ·a, para cada n ∈ N .

Usar la induccion matematica para demostrar que si a ∈ R y m,n ∈ N, entonces

am+n = aman y (am)n = amn.

mar jimenez

Cuadro de texto

PRIMER CUATRIMESTRE


1. Sea c ∈ R, > 1. Demostrar que:

(1) cm > 1, para todo m ∈ N. (Indicacion: considerar la desigualdad de

Bernoulli con c = 1 + x para algun x > 0).

(2) Si m y n estan en N , demostrar que cm > cn > 1 si y solo si m > n.

2. Si c ∈ R , 0 < c < 1, deducir del anterior problema que:

(1) Si m, n ∈ N se tiene que 0 < cm < cn < 1 si y solo si m > n .

(2) Si a, b ∈ R , a, b > 0 , concluir que a < b si y solo si an < bn .

3. Demostrar que

(1) Si an = bn y n es impar, entonces a = b .

(2) Si an = bn y n es par, entonces a = b o a = −b .

4. Encontrar los numeros reales x tales que:

(1) 4− x < 3− 2x, (2)x2 < 3x + 4 , (3) 1 < x2 < 4 ,

(4)1

x< x , (5)

1

x+

1

1− x> 0 .

5. Demostrar que para cualquier x < 0 se verifica que −x− 1

x≥ 2 .

6. Encontrar y representar todos los numeros reales x que verifican:

(1) |4x− 5| ≤ 13 , (2) |x2 − 1| ≤ 3 , (3) |x− 1| > |x + 1| ,

(4) |x|+ |x− 1| < 2 .

7. Determinar y trazar el conjunto de pares (x, y) de R× R que satisfacen:

(1) |x| = |y|, (2) |x|+ |y| = 1 , (3) |xy| = 2 , (4) |x| − |y| = 2 .

8. Determinar y trazar el conjunto de pares (x, y) de R× R que satisfacen:

(1)|x| ≤ |y|, (2) |x|+ |y| ≤ 1 , (3) |xy| ≤ 2 , (4) |x| − |y| ≤ 2 .

9. Probar que

(1)1√

x4 + 2x2 + 1≤ 1 , (2)

|x|√x2 + y2

≤ 1 , (3)|x|√

1 + x2≤ 1 ,

(4)|3x|√

1 + 5x2≤ 3√

5.


1. Encontrar una cota superior e inferior, si es posible, de los conjuntos:

(1) A =

{x2 + 2x+ 1

x− 1: 0 < x < 1/2

}.

(2) B =

{x2 + 1

x− 1: 2 < x < 3

}.

(3) C =

{ √x

x2 − x+ 5: 0 < x < 1

}.

2. Demostrar que A 6= ∅ , A ⊂ R esta acotado si y solo si existe M > 0 tal que

|a| ≤M , para todo a ∈ A.

3. Calcular el supremo y el ınfimo (si existen) de los siguientes conjuntos:

(1) A = {1/n : n ∈ N} ∪ {−1}.(2) B = {x ∈ R : x = n o x = 1/n, para algun n natural}.(3) C = {1 + (−1)n 1

n: n ∈ N}.

(4) D = {x ∈ R : x2 + x + 1 ≥ 0}.(5) E = {x ∈ R : x < 0 y (x− 1)(x + 2) > 0}.(6) F = {(−1)n + 1/n : n ∈ N} .

(7) G = {x ∈ Q : x > 0 y x2 < 3}.(8) H = {2n : n ∈ N}.(9) I = {2−m + 3−n : m,n ∈ N}.

4. Sea α ∈ R y A ⊂ R un conjunto acotado. Llamamos αA = {αa : a ∈ A}.Demostrar que

(1) Si α > 0 , supαA = α supA y inf αA = α inf A.

(2) Si α < 0 , supαA = α inf A y inf αA = α supA.

5. Si A y B son subconjuntos acotados de R, llamamos A + B = {a + b : a ∈A, b ∈ B}. Demostrar que

sup(A+B) = supA+ supB y inf(A+B) = inf A+ inf B

6. Si A y B son subconjuntos acotados de R, demostrar que

sup (A ∪B) = max (supA, supB) y inf (A ∪B) = min (inf A, inf B).

7. Si A y B son subconjuntos acotados de R y A ⊆ B , demostrar que

inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ supB.

8. Sea X un conjunto y f y g funciones de X en R con rangos acotados. De-

mostrar que

sup {f(x) + g(x) : x ∈ X} ≤ sup{f(x) : x ∈ X}+ sup{g(x) : x ∈ X}

y que

inf {f(x) + g(x) : x ∈ X} ≥ inf{f(x) : x ∈ X}+ inf{g(x) : x ∈ X}.

Dar algun ejemplo en el que no se tenga la igualdad.

9. Sea A ⊆ R un conjunto no vacıo. Demostrar que u = supA si y solo si u es

cota superior y para todo n ∈ N, u− 1/n no es cota superior.

10. Si a > 0 , demostrar que existe un numero real positivo b tal que b2 = a . A

este numero b se le denota por√a o a1/2 , y se denomina la raız cuadrada de a.

(Indicacion: modificar ligeramente la demostracion que se hizo para el caso a = 2).

11. Si a > 0 y n ∈ N, demostrar que existe un numero real positivo b tal que

bn = a . A este numero b se le denota por n√a o a1/n , y se denomina la raız

n-esima de a. (Indicacion: Usar la formula del binomio de Newton y una ligera

modificacion del caso a = 2 y n = 2.)


1. Demostrar que

(1)⋂

n∈N(−1/n, 1/n) = {0}.(2)

⋂n∈N(−∞,−n) = ∅.

(3)⋃

n∈N(0, 1− 1/n) = (0, 1).

2. Hallar los puntos de acumulacion de los conjuntos: A = (0, 1) ∪ {2} y

B = {(−1)n + 1/n : n ∈ N}.

3. Demostrar que si A ⊆ R es no vacıo, u = supA y u 6∈ A entonces u es un

punto de acumulacion de A .

4. Demostrar que un conjunto A ⊂ R es cerrado si y solo si contiene a todos sus

puntos de acumulacion .

5. Sea A ⊆ R no vacıo. Demostrar que u es un punto de acumulacion de A si y

solo si toda bola centrada en u contiene infinitos puntos de A.

6. Demostrar, usando solo la definicion de sucesion convergente que

limn→∞

3n3 + 2n2 + 1

1− n− 2n3= − 3

2.

Para ε = 10−10 encontrar n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 , se tiene que∣∣∣∣∣3n3 + 2n2 + 1

1− n− 2n3− 3

2

∣∣∣∣∣ < 10−10 .

7. Demostrar que la sucesion (an)n , donde an = (−1)n + 1n

, no es convergente.

8. Establecer si son o no convergentes las sucesiones siguientes:

(1) an =(−1)nn

n + 1. (2) an =

(−1)n

n + 2. (3) an =

√n− 1√n + 1

. (4) an =n + 1

n√n.

9. Calcular los siguientes lımites:

(1) limn→∞

(√n + 1−

√n), (2) lim

n→∞(n−

√n + a

√n + b),

(3) limn→∞

2n + (−1)n

2n+1 + (−1)n+1(4) lim

n→∞

(−1)n√n sen nn

n + 1,

(5) limn→∞

an − bn

an + bn, si a, b > 0, (6) lim

n→∞

bn

2n, b > 0,

(7) limn→∞

(an + bn)1/n, 0 < a < b, (8) limn→∞

n

bn, b > 0,

(9) limn→∞

23n

32n, (10) lim

n→∞

2n2

n!,

(11) limn→∞

n2an, a > 0, (12) limn→∞

bn

n2, b > 0.

(13) limn→∞

bn

n!, (14) lim

n→∞

n!

nn.

10. Sea x1 > 1 y xn+1 = 2− 1xn

, si n ∈ N .

(1) Demostrar que 1 ≤ xn ≤ 2 , si n ∈ N .

(2) Demostrar que es creciente y deducir que es convergente. Cual es su lımite?

11. Demostrar que las siguientes sucesiones son crecientes. Son convergentes?

(1) x1 = a > 0 y xn+1 = xn + 1xn

, si n ∈ N .

(2) yn = 1n+1

+ 1n+2

+ · · ·+ 12n

, si n ∈ N.

(3) zn = 112

+ 122

+ · · · + 1n2 , si n ∈ N. (Indicacion: para n ≥ 2 se tiene que

1k2≤ 1

k(k−1) = 1k−1 −

1k

).

12. Calculo de raices cuadradas. Sea a > 0 . Consideremos la sucesion x1 > 0

un numero cualquiera y xn+1 = 12(xn + a

xn) , si n ∈ N .

(1) Demostrar que xn ≥√a , si n ≥ 2 .

(2) Demostrar que xn − xn+1 ≥ 0 , si n ≥ 2.

(3) Deducir que (xn) es convergente y calcular su lımite.

13. Encontrar los lımites de las siguientes sucesiones:

(1) an =(

1 +1

n

)2n

, (2) an =(

1 +1

n + 1

)n

, (2) an =(

1− 1

n

)n

.

14. Demostrar el Teorema de los intervalos encajados a partir de la propiedades

de lımites y sucesiones monotonas. (Indicacion: Sea In = [an, bn] una sucesion de

intervalos encajados. Entonces las sucesiones (an)n y (bn)n son monotonas.)


1. Sea A ⊂ R no vacıo y acotado superiormente. Demostrar que si α = supA ,

existe una sucesion (an)n ⊂ A tal que limn→∞ an = α .

2. Sea A ⊂ R un conjunto no vacıo y a un punto de acumulacion de A . Demostrar

que existe una sucesion (an)n ⊂ A tal que an 6= a y limn an = a .

3. Demostrar que un conjunto F ⊂ R no vacıo es cerrado si y solo si toda sucesion

convergente (xn)n ⊂ F tiene su lımite en F .

4. Si y1 < y2 son numeros reales cualesquiera y yn+2 = 13yn+1 + 2

3yn para todo

n ∈ N , demostrar que (yn)n es contractiva y por tanto convergente. Calcular su

lımite.

5. La ecuacion cubica x3 − 7x + 2 = 0 tiene una solucion entre 0 y 1 y queremos

obtener una aproximacion de dicha solucion. Esto se puede hacer por el siguiente

procedimiento iterativo: se reescribe la ecuacion como x = (x3 + 2)/7 y se usa esta

expresion para definir una sucesion. Se asigna a x1 un valor arbitrario entre 0 y 1,

y se define

xn+1 =1

7(x3n + 2), n ∈ N.

(1) Probar que 0 < xn < 1 para todo n ∈ N .

(2) Probar que (xn)n es contractiva y por tanto convergente.

(3) Demostrar que el lımite es una solucion de la anterior ecuacion cubica, que

esta entre 0 y 1.

(4) Usar una calculadora para obtener los 6 primeros elementos de la sucesion y

dar una estimacion de la distancia de x6 al lımite.

6. La ecuacion polinomica x3 − 5x + 1 = 0 tiene una raiz 0 < r < 1 . Usar una

sucesion contractiva adecuada para calcular r con una precision de 10−4 .

7. Demostrar que si xn > 0 para todo n ∈ N , entonces limn xn = 0 si y solo si

limn 1/xn =∞ .

8. Calcular, si existen, los siguientes lımites (algunos son ∞ o −∞ ).

(1) limn→∞

n sen n . (2)

√n2 + 1√n+ 2

. (3) limn→∞

√n

n2 + 1.

(4) limn→∞

n!

nk, k ∈ N. (5) lim

n→∞

n2

n√n!. (6) lim

n→∞sen√n

(7) limn→∞

n√n! .

9. Calcular los lımites superior e inferior de las sucesiones (xn)n e (yn) ,

xn = cosn2nπ

3, yn =

n√

1 + 2(−1)nn.

Hoja 6. Problemas de Análisis de Variable Real

1. Es correcta la siguiente ”definicion” de limx→a f(x) = l ?:

Para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que si 0 < |x−a| < ε entonces |f(x)− l| < δ ?

2. Sean f y g funciones reales definidas en un intervalo (a− δ0, a+ δ0) tales que

g esta acotada y limx→a f(x) = 0 . Demostrar que limx→a f(x)g(x) = 0 .

3. Calcular, si existen, los siguientes lımites:

(1) limx→∞

x(1 + sen 2x), (2) limx→2

x3 − 8

x− 2, (3) lim

x→∞

x+ sen 2x

5x+ 6

(4) limx→y

xn − yn

x− y, (5) lim

x→0

x2

|x|, (6) lim

x→∞

√x2 + x− x,

(7) limx→∞

x(√x+ 2−

√x), (8) lim

x→∞

x2(1 + sen 2x)

(x+ sen x)2, (9) lim

h→0

√a+ h−

√a

h

(10) limx→0

x√|x|+ sen 2x

, (11) limx→∞

x3 + 4x− 7

7x2 − x+ 1, (12) lim

x→1+

√x− 1 sen

1

x− 1,

(13) limx→∞

√x− 1 sen

1

x− 1, (14) lim

x→0x+ sign(x), (15) lim

x→0

√1 + 2x−

√1 + 3x

x+ 2x2

(16) limx→0

sen (1/x2), (17) limx→0

sen 2(1/x), (18) limx→0

sgn sen (1/x)

(19) limx→0+

√x sen (1/x),

4. Demostrar que limx→a f(x) =∞ si y solo si limx→a 1/f(x) = 0 .

5. Demostrar que el limx→c f(x) = L si y solo si limh→0 f(c+ h) = L .

6. Si limx→0 g(x) = l , Cual es el limx→0 g(ax) , donde a 6= 0 ?

7. Calcular los siguientes lımites supuesto que limx→0sen xx

= 1 .

(1) limx→0

sen 2x

x, (2)

sen ax

sen bx, (a, b > 0) (3)

sen 22x

x2.

8. Sea una funcion f : (0,∞) −→ R . Demostrar que limx→∞ f(x) = L si y solo si

limx→0+ f(1/x) = L .

9. Supongamos que limx→a f(x) = L , donde L > 0 , y que limx→a g(x) = ∞ .

Demostrar que el limx→a f(x)g(x) =∞ . Si L = 0 , demostrar con un ejemplo que

esta conclusion puede no cumplirse.

10. Evaluar los siguientes lımites o demostrar que no existen:

(1) limx→1+

x

x− 1, (2) lim

x→1

x

x− 1, (3) lim

x→0+

x+ 2√x, (4) lim

x→∞

x+ 2√x,

(5) limx→0

√x+ 1

x, (6) lim

x→∞

√x+ 1

x, (7) lim

x→∞

√x− 5√x+ 3

, (8) limx→∞

√x− x√x+ x

.


1. Sea f : R \ {2} −→ R , f(x) = x2+x−6x−2 . Puede definirse f en x = 2 de forma

que f sea continua en ese punto?

2. (1) Sean f y g funciones continuas definidas en un intervalo [a, b] . Si c ∈[a, b] , definimos la funcion

h(x) =

{f(x), x ∈ [a, c]

g(x), x ∈ (c, b].

Cuando es continua h ?

(2) Sea a > 0 y h(x) =

{x2, x ≤ a

a+ 2, x > a.

Cuando es continua h ?

3. Si x ∈ R , se define la parte entera de x y se escribe [x] al numero entero

n tal que n ≤ x < n + 1 . Por ejemplo: [0] = 0, [0, 5] = 0, [1] = 1, [3′7] =

3, [−0′5] = −1, [−3] = −3, [−2′7] = −3 . Determinar los puntos de continuidad de

las siguientes funciones: (Indicacion: Hacer un dibujo aproximado de las funciones

y razonar sobre el dibujo).

(1) f(x) = [x], (2) g(x) = x[x], (3)h(x) = [sen x],

(4) k(x) = x− [x], x 6= 0.

4. Sea f(x) =

1

q, si 0 < x =

p

q≤ 1,

p

qfraccion irreducible de naturales

0, si x=0 o 0 < x ≤ 1, y x 6∈ Q.

(1) Hacer un dibujo aproximado de la funcion. (Indicacion: considerar primero

los racionales con fraccion irreducible p/1, luego p/2, p/3, etc...)

(2) Para cualquier a ∈ [0, 1] , calcular el limx→a f(x) .

(3) En que puntos es f continua?

5. Contestar a las mismas cuestiones que en el ejercicio anterior para la funcion :

f(x) =

q, si 0 < x =p

q≤ 1,

p

qfraccion irreducible de naturares

0, si x = 0 o 0 < x ≤ 1, y x 6∈ Q.

6. Sea la funcion

{x, si x ∈ Q0, si x 6∈ Q

.

(1) Hacer un dibujo aproximado de la funcion.

(2) Existe limx→0 f(x) ? Es f continua en 0?

(3) Existe limx→2 f(x) ? (Indicacion: usar el criterio de sucesiones para lımites

de funciones).

(4) En que puntos es f continua?

7. Sea g(x) =

{2x, si x ∈ Qx+ 3, si x 6∈ Q.

Encontrar todos los puntos en los que g es continua.

8. (1) Supongamos que una funcion continua definida en R verifica que f(r) =

0 para todo racional r . Demostrar que f(x) = 0 para todo x ∈ R .

(2) Si f y g son dos funciones continuas definidas en R tales que f(r) = g(r)

si r ∈ Q , es f(x) = g(x) para todo x ∈ R ?

9. Sea f una funcion continua definida en R .

(1) Demostrar que para todo x ∈ R existe δ > 0 (que dependera de x) tal que

f(y) > 0 para todo y ∈ (x− δ, x+ δ).

(2) Deducir que A+ = {x ∈ R : f(x) > 0} es un conjunto abierto.

(3) Deducir que A− = {x ∈ R : f(x) < 0} es un conjunto abierto y que

B = {x ∈ R : f(x) = 0} es cerrado.

10. Sea F : A −→ R una funcion y consideremos un subconjunto B ⊂ A y la

funcion restriccion f = F |B : B −→ R , donde f(x) = F (x) , x ∈ B .

(1) Demostrar que si F es continua en A entonces f es continua en B .

(2) Demostrar con un ejemplo que el recıproco no es cierto.

11. Sean f, g : R −→ R continuas. Demostrar que

S(x) = max{f(x), g(x)} =1

2(f(x) + g(x)) +

1

2|f(x)− g(x)|,

y

s(x) = min{f(x), g(x)} =1

2(f(x) + g(x))− 1

2|f(x)− g(x)|.

Deducir que S y s son funciones continuas.


1. Examinar las imagenes de intervalos abiertos o cerrados para las funciones:

(1) f(x) = x2 ,

(2) g(x) = 1x2+1

.

2. Sea f : [a, b] −→ R una funcion continua tal que f(x) > 0 para todo x ∈ [a, b] .

Demostrar que existe un numero α > 0 tal que f(x) ≥ α para todo x ∈ [a, b] . Es

esto cierto si suponemos que f es continua solo en (a, b) ?

3. (1) Sea f : [0, 1] −→ [0, 1] continua. Demostrar que f(x) = x para algun

x ∈ [0, 1] . (Razonar sobre un dibujo aproximado de la funcion).

(2) Si f y g son funciones continuas en [a, b] tales que f(a) < g(a) y f(b) >

g(b) , probar que f(x) = g(x) para algun x ∈ (a, b) . (Hacer tambien un

dibujo).

4. Existe algun x tal que sen x = x− 1 ?

5. Sea f : [0, 1] −→ R continua tal que f(0) = f(1) . Demostrar que existe

un punto en [0, 1/2] tal que f(c) = f(c + 1/2) . (Indicacion: considerar g(x) =

f(x)− f(x+ 1/2) ). Concluir que existen, en cualquier momento, puntos antıpodas

en el ecuador terrestre que tienen la misma temperatura.

6. (1) Demostrar que si f es continua en [0,∞) y para algun a > 0 , f es

uniformemente continua en [a,∞) , entonces f es uniformemente continua

en [0,∞) .

(2) Es f : [0,∞) −→ R , f(x) =√x , uniformemente continua en [0,∞) ?

7. (1) Si f y g son uniformemente continuas en A ,

• es la suma f + g uniformemente continua en A ?

• es el producto f · g uniformemente continuo en A ?

(2) Si g y f son uniformemente continuas en A y g(A) respectivamente, es la

composicion f ◦ g uniformemente continua en A ?

(3) Si f(x) ≥ α > 0 , para todo x ∈ A y f es uniformemente continua en A ,

es 1/f uniformente continua en A ?

8. Sea f : R −→ R continua tal que limx→∞ f(x) = limx→−∞ f(x) = 0 .

(1) Demostrar que f esta acotada en R .

(2) Demostrar que f tiene un maximo o un mınimo. (Considerar los siguientes

casos: (1) Existe a tal que f(a) > 0 ; (2) Existe b tal que f(b) < 0 ).

(3) Dar un ejemplo en el que no se alcance el maximo y otro en el que no se

alcance el mınimo.

(4) Demostrar que f es uniformemente continua.

9. (1) Es f(x) = sen 1x

uniformemente continua en [1,∞) ?

(2) Es f(x) = x sen x uniformemente continua en R ?

10. Se dice que una funcion f : R −→ R es periodica en R si existe p > 0 tal

que f(x+ p) = f(x) para todo x ∈ R .

(1) Demostrar que una funcion continua y periodica esta acotada.

(2) Demostrar que una funcion continua y periodica es uniformemente continua.

(3) Es la funcion f(x) = sen x uniformemente continua en R ? Y la funcion

g(x) = tan x ?

11. (1) Es creciente la suma de funciones crecientes?

(2) Es creciente el producto de funciones crecientes?

(3) Si f : A −→ B es biyectiva y creciente, es su inversa f−1 : B −→ A

creciente?

12. Hallar f−1 para cada una de las siguientes funciones y hacer un dibujo, si es

posible, de la inversa. Decir, en cada caso, si f y f−1 son continuas.

(1) f(x) = x3 + 1 , x ∈ R .

(2) f(x) =

−x2, x ≥ 0

1− x3, x < 0.

(3) f(x) = x1−x2 , −1 < x < 1 .

13. Sea f : [0, 1] −→ R una funcion continua e inyectiva. Demostrar que f es

creciente o decreciente.

14. Sea h : [0, 1] −→ R una funcion que toma cada uno de sus valores exactamente

dos veces. Demostrar que h no es continua.


Numeros Complejos

1. Probar que re(1z) > 0 si y solo si re(z) > 0 .

2. Para que valores de z tenemos que z = |z|2 ?

3. Sean z, w ∈ C . Probar que

(1) ||z| − |w|| ≤ |z − w| .(2) Si |z + w| = |z − w| , entonces w = 0 o z

wes imaginario puro.

(3) |z − w|2 + |z + w|2 = 2(|z|2 + |w|2) .

4. Calcular las raices cubicas de 1, 8, i, −i.

5. Resolver las ecuaciones siguientes:

(1) z2 + iz + 1 = 0, (2) z4 + z2 + 1 = 0, (3) z2 + 2iz − 1 = 0,

(4) z6 = 1, (5)x5 = −32i, (6) (z4 − 16)(z3 + 1) = 0,

(7)x−100∑k=0

ik = 0, (8)

ix− (1 + i)y = 3

(2 + i)x + ix = 4

6. Representar graficamente los siguientes conjuntos:

(1) {z ∈ C : z = −z}, (2) {z ∈ C : z = z−1},

(3) {z ∈ C : |z− a| < 1}, a ∈ C (4) {z ∈ C : re(z) < 1},

(5) {z ∈ C : |z− a| = |z− |}, a, ∈ C.

7. Calcular: 4√−1 ,

√1 + i , (1− i)−1/2 , (−4)3/4 , (−1 + i)8/3 .

8. Estudiar la convergencia de las sucesiones:

(1)(in

n

)∞n=1

, (2)

((3 + 4i)n

n

)∞n=1

, (3)

(n!

(in)n

)∞n=1

, (4)(

1

n+ in

1

n

)∞n=1

.

9. Demostrar que si |z1| = |z2| = |z3| 6= 0 y z1 + z2 + z3 = 0 , entonces z1 , z2 ,

y z3 son los vertices de un triangulo equilatero. (Indicacion: Multiplicando por un

complejo adecuado a la ecuacion z1 +z2 +z3 = 0 , podemos suponer que z1 es real.)

Hoja 1. Problemas de Analisis deVariable Real

1. Hallar f ′(x) para cada una de las siguientes funciones:

(1) f(x) = sen (x + x2), (2) f(x) = sen x + sen x2, (3) f(x) = sen (cosx)

(4) f(x) = sen (sen x), (5) f(x) = sen(

cos x

x

), (6) f(x) =

sen (cos x)

x,

(7) f(x) = sen (x + sen x), (8) f(x) = sen (cos (sen x))

2. Hallar f ′(x) para cada una de las funciones siguientes:

(1) f(x) = sen((x + 1)2(x + 2)

), (2) f(x) = sen 3(x2 + sen x)

(3) f(x) = sen 2((x + sen x)2

), (4) f(x) = sen

(x3

cos x3

),

(5) f(x) = sen (x sen x) + sen (sen x2), (6) f(x) = (cos x)312

,

(7) f(x) = sen 2x · sen x2 · sen 2x2, (8) f(x) = sen 3(sen 2(sen x))

(9) f(x) = (x + sen 5x)6, (10) f(x) = sen (sen (sen (sen (sen x)))),

(11) f(x) = sen ((sen 7x7 + 1)7), (12) f(x) =(((x2 + x)3 + x)4 + x

)5,

(13) f(x) = sen (x2 + sen (x2 + sen x2)), (14) f(x) = sen (6 cos (6 sen (6 cos 6x))),

(15) f(x) =sen x2 sen 2x

1 + sen x, (16) f(x) =

1

x− 2x+sen x

,

(17) f(x) = sen

x3

sen(

x3

sen x

) , (18) f(x) = sen

x

x− sen(

xx−sen x

) ,

3. Hallar las derivadas de las funciones tg , ctg , sec y cosec .

4. Para cada una de las siguientes funciones f , hallar f ′(f(x)).

(1) f(x) =1

1 + x, (2) f(x) = sen x, (3) f(x) = x2, (4) f(x) = 17.

mar jimenez

Cuadro de texto

SEGUNDO CUATRIMESTRE

5. Para cada una de las siguientes funciones f , hallar f(f ′(x)):

(1) f(x) =1

x, (2) f(x) = x2, (3) f(x) = 17, (4) f(x) = 17x.

6. Hallar f ′ en terminos de g′ en los casos siguientes ( a es una constante):

(1) f(x) = g(x + g(a)), (2) f(x) = g(x g(a)), (3) f(x) = g(x + g(x)),

(4) f(x) = g(x)(x− a), (5) f(x) = g(a)(x− a), (6) f(x + 3) = g(x2).

Hoja 2. Problemas de Analisis deVariable RealLa derivada

1. Usar la definicion para encontrar las derivadas de las siguientes funciones:

(1) f(x) = x3 para x ∈ R;

(2) g(x) = 1/x para x ∈ R , x 6= 0;

(3) h(x) =√x para x > 0;

(4) k(x) = 1/√x para x > 0.

2. Probar que f(x) = x1/3 , x ∈ R , no es derivable en x = 0 .

3. Sea f : R −→ R definida por f(x) = x2 para x racional, f(x) = 0 para x

irracional. Probar que f es derivable en x = 0 y encontrar f ′(0) .

4. Sean n ∈ N y f : R −→ R definida por f(x) = xn para x ≥ 0 y f(x) = 0

para x < 0 . Demostrar que:

(1) Para n = 1, f no es derivable en x = 0 .

(2) Para n ≥ 2 , f es derivable en x = 0 .

(3) Calcular f ′ .

5. Si r > 0 es un numero racional, sea f : R −→ R definida por f(x) =

|x|r sen (1/x) para x 6= 0 y f(0) = 0 . Determinar los valores de r para los

que existe f ′(0) .

6. Sea f : R −→ R derivable en un punto c y sea g(x) = |f(x)| . Demostrar:

(1) Si f(c) = 0 , g es derivable en c si y solo si f ′(c) = 0 .

(2) Si f(c) 6= 0 , g es derivable en c .

7. Determinar los puntos en los que las siguientes funciones de R en R son deri-

vables y encontrar las derivadas:

(1) f(x) = |x|+ |x + 1|, (2) g(x) = 2x + |x|, (3)h(x) = x|x|, (4) k(x) = | sen x|.

8. Probar que si f es derivable en a , entonces

limt→0

f(a + t)− f(a− t)

2t= f ′(a).

Dar un ejemplo de funcion f que no sea derivable en a , pero que exista

limt→0f(a+t)−f(a−t)

2t. (Se pueden dar ejemplos incluso en los que f no es continua en

a ).

9. Se consideran f y g derivables en a , con f(a) = g(a) , f ′(a) = g′(a) . Probar

que la funcion h es derivable en a , si h viene definida por

h(x) =

f(x), si x ≤ a,

g(x), si x > a.

Justificar con un ejemplo que es necesario que f ′(a) = g′(a).

10. Demostrar que si f : R −→ R es una funcion par (impar) y tiene derivada

en cualquier punto, entonces la derivada f ′ es una funcion impar (par, respectiva-

mente). Hacer un dibujo.

11. Demostrar que no existen funciones f y g , derivables en 0 , tales que f(0) =

g(0) = 0 y f(x) · g(x) = x , para todo x ∈ R .


El Teorema del valor medio

1. Encontrar los maximos y mnimos locales, y los intervalos en donde la funcion es

creciente y donde es decreciente:

(1) f(x) = x2 − 3x + 5, (2) f(x) = 3x− 4x2,

(3) f(x) = x3 − 3x− 4, (4) f(x) = x4 + 2x2 − 4.

2. Hacer lo mismo que en el ejercicio anterior para las funciones:

(1) f(x) = x + 1/x , para x 6= 0 ,

(2) f(x) = x/(x2 + 1) , para x ∈ R ,

(3) f(x) =√x− 2

√x + 2 , para x > 0 .

3. Determinar los maximos y mnimos locales de la funcion f si su derivada f ′ tiene

por grafica la de la figura:

4. Encontrar los maximos y mnimos locales, intervalos de crecimiento y decreci-

miento, maximos y mnimos absolutos de la funcion f en el dominio que se especifica:

(1) f(x) = |x2 − 1| , en [−4, 4] .

(2) g(x) = 1− (x− 1)2/3 , en [0, 2] .

(3) k(x) = x(x− 8)1/3 , en [0, 9] .

5. Sea f : R −→ R definida por

f(x) =

2x4 + x4 sen (1/x), si x 6= 0,

0, si x = 0.

Probar que f tiene un mnimo absoluto en x = 0 , pero que su derivada tiene valores

estrictamente positivos y negativos en cualquier entorno de 0 .

6. Sea f : R −→ R definida por

f(x) =

x + 2x2 sen (1/x), si x 6= 0,

0, si x = 0.

Probar que f ′(0) = 1 , pero en cualquier entorno de 0 su derivada tiene valores

estrictamente positivos y negativos. Por tanto, en cualquier entorno de 0 , f no es

creciente ni decreciente.

7. Demostrar que | sen x− sen y| ≤ |x− y| para todo x e y en R .

8. Demostrar que (x− 1)/x < log x < x− 1 para x > 1 .

9. Sea f : (a, b) −→ R continua y c ∈ (a, b) tal que f es derivable en (a, c)∪ (c, b)

y existe limx→c f′(x) = A . Demostrar que tambien existe f ′(c) y es igual a A .

Que ocurre si limx→c f′(x) =∞ (o −∞) ? Y si limx→c+ f ′(x) 6= limx→c− f ′(x) ?

10. Demostrar que si f es derivable en un intervalo I y la derivada f ′ esta acotada

en I , entonces f es Lipschitziana en I , esto es, existe una constante M > 0 tal

que

|f(x)− f(y)| ≤M |x− y| para todo x, y ∈ I.

Observar que en particular f es uniformemente continua en I . Usar lo anterior

para demostrar que |x3 − y3| ≤ 3|x− y| , si x, y ∈ [−1, 1] .

11. Si f es derivable en [0,∞) y limx→∞ f ′(x) = A , calcular:

(1) limx→∞ f(x + 1)− f(x) .

(2) limx→∞ f(x + 2)− f(x) .

(3) limx→∞f(2x)− f(x)

x.

Usar lo anterior para demostrar que limx→∞( 3√x + 1− 3

√x) = 0 .


La derivada de la inversa

1. Decidir si f + g , f ◦ g y f · g son crecientes cuando f y g lo son.

2. Probar que f ◦ g es inyectiva cuando f y g lo son. Calcular (f ◦ g)−1 en

terminos de f−1 y g−1 .

3. Sea f(x) = x3 − 2x+ 1 para x >√

2/3 . Justificar que existe f−1 y calcular su

derivada en x = 0 y en x = 5 .

4. Puesto que la restriccion de la funcion coseno a I = [0, π] es estrictamente

decreciente y cos 0 = 1, cos π = −1 , sea J = [−1, 1] , y sea Arccos : J −→ Rla funcion inversa de la restriccion de cos a I . Probar que g(y) = Arccos y es

derivable en (−1, 1) y que

g′(y) =−1

(1− y2)1/2, para y ∈ (−1, 1).

Probar que g no es derivable en −1 y 1 .

5. Puesto que la restriccion de la funcion tangente a I = (−π/2, π/2) es estric-

tamente creciente y tg (I) = R , sea Arctg : R −→ R la funcion inversa de la

restriccion de tg a I . Probar que g(y) = Arctg y es derivable en R y que

g′(y) = (1 + y2)−1, para y ∈ R.

6. Determinar la inversa de f y calcular la derivada de f−1 , cuando exista, en los

siguientes casos:

(1) f(x) = x3, (2) f(x) = (x− 1)3

(3) f(x) =

−x2, si x ≥ 0

1− x3, si x < 0(4) f(x) =

x

1− x2, para |x| < 1.

(sigue a la vuelta)

Representacion de funciones

7. Representar la siguientes funciones:

(1) f(x) =x

x2 − 1, x 6= 1,−1 .

(2) f(x) =

3√x2

x− 1, si x 6= 1

0, si x = 1.

(3) f(x) =

x log x

x− 1, si x > 0, x 6= 1

1, si x = 1

0, si x ≤ 0.

8. Para cada una de las siguientes igualdades, demostrar que existe un unico x ∈ Rque la verifica.

(1) 2 log x = 2− x ,

(2) cos 2x = x .

9. Cuantos x verifican que e−1/(1−x2)2 = 1/4 ?

10. Diremos que x = a es una asntota (vertical) de f si se cumple que al menos

uno de los lmites laterales de f en a es ∞ o −∞ . Por otro lado diremos que la

recta y = b es una asntota (horizontal) de f si el lmite de f en ∞ o −∞ es igual

a b . Entenderemos por asntota oblicua a f , una recta y = ax+ b que cumpla que

limx→∞(f(x)− (ax+ b)) = 0 o bien limx→−∞(f(x)− (ax+ b)) = 0 .

(1) Demostrar que si f tiene una asntota oblicua, entonces limx→∞ f(x)/x = a

o bien limx→−∞ f(x)/x = a . (Una vez calculado a , si es que existe, se tiene

que b = limx→∞(f(x)− ax) o, respectivamente, b = limx→−∞(f(x)− ax) ).

(2) Determinar las asntotas de las siguientes funciones:

(i) f(x) =x2 − x+ 1

x− 1, si x 6= 1, (ii) f(x) =

√x2 − 1, si x > 1 ,

(iii) f(x) =

sen x

x, si x 6= 0

1, si x = 0.


Reglas de L’Hopital

1. Sean las funciones f(x) =

x2 sen (1/x), si x 6= 0,

0, si x = 0y g(x) = x2 . Entonces

tanto f como g son derivables en R , y g(x) > 0 para x 6= 0 . Probar que

limx→0 f(x) = limx→0 g(x) = 0 y que limx→0 f(x)/g(x) no existe.


x2, si x ∈ Q,0, si x 6∈ Q,

y g(x) = sen x para x ∈ R .

Se puede usar la regla de L’Hospital para calcular limx→0 f(x)/g(x) ? Demostrar

que el anterior lmite es 0 .


x2 sen (1/x), si x 6= 0,

0, si x = 0,y g(x) = sen x para

x ∈ R . Probar que limx→0 f(x)/g(x) = 0 pero que limx→0 f′(x)/g′(x) no existe.

4. Evaluar los siguientes lmites donde el dominio es el que se indica:

(1) limx→0+

log (x+ 1)

sen x, x ∈ (0, π/2), (2) lim

x→0+

tg x

x, x ∈ (0, π/2),

(3) limx→0+

log (cos x)

x, x ∈ (0, π/2), (4) lim

x→0+

tg x− xx3

, x ∈ (0, π/2).


(1) limx→0

Arctg x

x, x ∈ (−∞,∞), (2) lim

x→0

1

x(log x)2, x ∈ (0, 1),

(3) limx→0+

x3 log x , x ∈ (0,∞), (4) limx→∞

x3

ex, x ∈ (0,∞).


(1) limx→∞

log x

x2, x ∈ (0,∞), (2) lim

x→∞

log x√x, x ∈ (0,∞),

(3) limx→0+

x log sen x , x ∈ (0, π), (4) limx→∞

x+ log x

x log x, x ∈ (0,∞).


(1) limx→0+

x2x , x ∈ (0,∞), (2) limx→0+

(1 + 3/x)x , x ∈ (0,∞),

(3) limx→∞

(1 + 3/x)x , x ∈ (0,∞), (4) limx→0+

(1

x− 1

Arctg x

), x ∈ (0,∞).


(1) limx→∞

x1/x , x ∈ (0,∞), (2) limx→0+

(sen x)x , x ∈ (0, π),

(3) limx→0+

xsen x , x ∈ (0,∞), (4) limx→π/2−

(secx− tg x) , x ∈ (0, π/2).

9. Sea I ⊂ R un intervalo abierto, y sea f : I −→ R derivable en I . Supongase

que existe f ′′(a) en a ∈ I . Probar que

f ′′(a) = limh→0

f(a+ h) + f(a− h)− 2f(a)

h2.

Dar un ejemplo de una funcion para la que exista el anterior lmite, pero no exista

f ′′(a) .

El Teorema de Taylor10. Probar que si x > 0 , entonces

1 +x

2− x2

8≤√

1 + x ≤ 1 +x

2.

Usar la desigualdad anterior para aproximar√

1.2 y√

2 y hacer una estimacion

del error cometido. Usar el polinomio de Taylor para n = 2 para obtener una

aproximacion mas precisa de√

1.2 y√

2 .

11. Si x > 0 probar que∣∣∣∣∣(1 + x)1/3 −(

1 +x

3− x2

9

)∣∣∣∣∣ ≤ 5x3

81.

Usar esta desigualdad para aproximar 3√

1.2 y 3√

2 .

12. Sea la funcion h(x) =

e−1/x2

si x 6= 0

0 si x = 0 .

(1) Demostrar por induccion que limx→0 h(x)/xn = 0 para cualquier n ∈ N .

(2) Demostrar por induccion que h(n)(0) = 0 para todo n ∈ N .

(3) Deducir que el termino del residuo del teorema de Taylor en 0 para un punto

x 6= 0 , que denotamos por R0n(x) , no converge a 0 si n→∞ .

13. Si x ∈ [0, 1] y n ∈ N , probar que∣∣∣∣∣log(1 + x)−(x− x2

2+x3

3+ · · ·+ (−1)n−1

xn

n

)∣∣∣∣∣ < xn+1

n+ 1.

Usar esta estimacion para aproximar log 1, 5 con un error menor que 10−2 y 10−3 .


El Teorema Fundamental delCalculo

1. Si h es continua y g es diferenciable, probar que G definida por

G(x) =∫ g(x)

ah(t) dt,

es diferenciable y G′(x) = (h ◦ g)(x)g′(x) .

2. Si h es continua y f y g son derivables, probar que cuando F esta definida

por

F (x) =∫ g(x)

f(x)h(t) dt ,

se cumple que F ′(x) = h(g(x))g′(x)− h(f(x))f ′(x) .

3. Calcular las derivadas de las siguientes funciones:

(1) f(x) =∫ x

0sen(t2) dt, (2) f(x) =

∫ x

x2

√1 + t2 dt,

(3) f(x) =∫ senx

0cos t dt, (4) f(x) =

∫ x

1

senx

1 + sen2 tdt,

(5) f(x) = sen(∫ x

a

1

1 + sen2 tdt), (6) f(x) =

∫ (∫ x

a

1

1 + sen2 tdt

)a

1

1 + sen2 tdt,

(7) f(x) =∫ x

1

(∫ y

2

1

1 + sen2 tdt)dy, (8) f(x) = sen

(∫ x

0sen

(∫ y

0sen3 t dt

)dy).

4. Calcular (f−1)′ en terminos de (f−1) siendo:

(1) f(x) =∫ x

0sen2 t dt, (2) f(x) =

∫ x3

0

√1 + t2 dt.

5. Justificar que la funcion f(x) =∫ x2

0cos (t1/2) dt esta bien definida para todo x

real. Comprobar que es continua y derivable. Calcular

limx→0

f(x)

sen2 x.

6. Calcular limx→0

∫ 2x

0tg t dt

senxy limx→0

1

x2

∫ (∫ x

0sen t dt

)0

sen t dt .

7. Evaluar las siguientes integrales justificando cada paso.

(1)∫ 1

0x√

1 + x2 dx ; (2)∫ 1

0

√x

1 +√xdx; (3)

∫ 2

1

√x− 1

xdx;

(4)∫ 4

1

√1 +√x

√x

dx; (5)∫ 2

0

1

2 +√xdx; (6)

∫ 5

1x√

2x + 3 dx;

(7)∫ 3

1

1

x√x + 1

dx; (8)∫ 4

1

√x

x(x + 4)dx.


Integracion I. Calculo dePrimitivas

1. Calcular las siguientes integrales:

(1)∫ 5√x3 + 6

√x√

xdx (2)

∫ 1√x− 1 +

√x + 1

dx (3)∫ ex + e2x + e3x

e4xdx

(4)∫ bx

axdx, a, b > 0 (5)

∫tg 2x dx (6)

∫ 1

a2 + x2dx, a 6= 0

(7)∫ 1√

a2 − x2dx, (8)

∫ 1

1 + sen xdx (9)

∫ 8x2 + 6x + 4

x + 1dx

(10)∫

xe−x2

dx (11)∫ex sen ex dx (12)

∫ log x

xdx

(13)∫ ex

e2x + 2ex + 1dx (14)

∫ee

x

ex dx (15)∫ x√

1− x4dx

(16)∫ e

√x

√xdx (17)

∫x√

1− x2 dx (18)∫ log (log x)

x log xdx

(19)∫

log (cosx) tg x dx (20)∫x3(a + x)2/3 dx (21)

∫ x3√a− x

dx

(22)∫ x3

√x− 1

dx (23)∫ 1

x√x− 1

dx

2. Integrar por partes:

(1)∫

x2ex dx (2)∫

eax sen bx dx (3)∫x2 sen x dx

(4)∫

(log x)3 dx (5)∫ log (log x)

xdx (6)

∫cos(log x) dx

(7)∫ √

x log x dx (8)∫

x(log x)2 dx (9)∫ x√

1− x2arcsen x dx

(10)∫ x

cos 2xdx (11)

∫xnex dx (12)

∫(log x)n dx.

3. Demostrar las siguientes formulas de reduccion:

(1)∫

sen nx dx =−1

n(sen x)n−1 cosx +

n− 1

n

∫(sen x)n−2 dx.

(2)∫

cosn x dx =1

n(cosx)n−1 sen x +

n− 1

n

∫(cosx)n−2 dx.

(3)∫ 1

(1 + x2)ndx =

1

2n− 2

x

(x2 + 1)n−1+

2n− 3

2n− 2

∫ 1

(1 + x2)n−1dx.

4. Expresar∫

log (log x) dx en terminos de∫ 1

log xdx y

∫x2e−x

2

dx en terminos

de∫

e−x2

dx (ninguna de las integrales anteriores es expresable en terminos de

funciones elementales).

5. (i) Deducir que∫

secx dx = log (secx + tg x) escribiendo

1

cosx=

cosx

cos2 x=

cosx

1− sen 2x=

1

2

(cosx

1 + sen x+

cosx

1− sen x

).

Deducir que∫

cosec x dx = − log (cosec x + ctg x) .

(ii) Calculese∫

sec3 x dx escribiendola como∫

(secx)2 · secx dx e integrando por

partes. (Las anteriores integrales tambien se pueden obtener utilizando la sustitucion

t = tg x2

).

6. Utilizar que 1+tg 2x = sec2 x , 1+ctg 2x = cosec 2x y una sustitucion adecuada

para calcular las siguientes integrales:

(1)∫ 1√

1 + x2dx (2)

∫ 1√x2 − 1

dx (3)∫ 1

x√x2 − 1

dx

(4)∫ 1

x√x2 + 1

dx (5)∫ √

x2 − 1 dx (6)∫ √

x2 + 1 dx

7. Integrar las siguientes funciones racionales:

(1)∫ 2x2 + 7x− 1

x3 + x2 − x− 1dx (2)

∫ 2x + 1

x3 − 3x2 + 3x− 1dx(3)

∫ 2x2 + x + 1

(x + 3)(x− 1)2dx

(4)∫ x3 + 7x2 − 5x + 5

(x− 1)2(x + 1)3dx (5)

∫ (x + 1)3

(x− 1)4dx (6)

∫ x + 4

x2 + 1dx

(7)∫ x3 + x + 2

x4 + 2x2 + 1dx (8)

∫ 1

x4 + 1dx (9)

∫ 2x

(x2 + x + 1)2dx

(10)∫ x5

(x3 + 1)2dx.

8. Si t = tgx

2, demostrar que sen x =

2t

1 + t2y cos t =

1− t2

1 + t2.

Hallar las siguientes integrales utilizando la sustitucion t = tgx

2.

(1)∫ 1

1 + sen xdx (2)

∫ 1

1 + sen 2xdx (3)

∫ 1

a sen x + b cosxdx

(4)∫ 1

cosxdx (5)

∫ 2− sen x

2 + cos xdx (6)

∫ 1− r cosx

1− 2r cosx + r2dx.

9. Calcular las siguientes integrales mediante sustituciones:

(1)∫

x3√

1− x2 dx (2)∫ 1√

3 + 6x− 4x2dx (3)

∫ 1

1 +√x + 1

(4)∫ 1

1 + exdx (5)

∫ 1

(1 + ex)1/2dx (6)

∫ 1

2 + tg xdx

(7)∫ √1− x

1−√xdx (8)

∫ 4x + 1

2x + 1dx (9)

∫e√x dx

(10)∫ 1 +

√x

1 + 4√xdx (11)

∫ 13√x2 +

√xdx.

10. Calcular las siguientes integrales:

(1)∫ 1√

1 +√xdx (2)

∫ x arctg x

(1 + x2)3dx (3)

∫log (√

1 + x2) dx

(4)∫

x log√

1 + x2 dx (5)∫

arcsen√x dx (6)

∫ x

1 + sen xdx

(7)∫ √

tg x dx (8)∫ 1

x6 + 1dx

(Para descomponer x6 + 1 en factores, descompongase primero y3 + 1 ).


Integracion III. Areas y volumenes1. (1) Deducir el area de un circulo de radio r .

(2) Calcular el area de los recintos limitado por

(i) y = x + 12x2, y = x, x = 1, x = λ (λ > 1). Si para cada λ > 1

llamamos a este area S(λ) , calcular limλ→∞ S(λ) .

(ii) y = x(x− 2) , y = x2

, x = 0 , x = 2.

(iii) y = x3 − x y su tangente en el punto de abcisa x = −1.

(iv) y = x3 − 12x , y = x2.

(v) y = x , y = x3

4, x = −1 , x = 2.

(3) Demostrar que el area de la region que se indican vale t/2 .

2. (1) Sea f : [a, b] −→ R , f ≥ 0 una funcion integrable. Se define como∫ b

aπf(x)2 dx el volumen del solido engendrado al girar la region por de-

bajo de la grafica de f (y por encima del eje OX ) alrededor del eje OX .

Justificar esta definicion.

(2) Deducir el volumen de una bola de radio r .

3. Hallar el volumen del solido engendrado al girar la region limitada por y = x3 ,

y = 0 , x = 1 , alrededor del eje OX .

4. Determinar el volumen del cono engendrado al girar alrededor del eje OX la

grafica de la funcion f(x) = cx en el intervalo [0, b] .

5. Calcular el volumen del cuerpo engendrado al girar alrededor del eje OX el

recinto limitado por x = 0 , y = x2 + 1 y la tangente a esta ultima curva en x = 1 .

6. Hallar el volumen del solido engendrado al girar:

(a) la region limitada por x2 + y − 2 = 0 , y = 0 , alrededor del eje OY .

(b) el triangulo de vertices (1, 2) , (9, 0) , (4, 5) alrededor del eje OX .

(c) un cırculo de radio r cuyo centro dista a > r del eje OX , alrededor del eje

OX (toro).

7. Dibujar las graficas de f(x) =√x , g(x) = x/2 en el intervalo [0, 2] . Determinar

t ∈ (1, 2) de modo que cuando la region limitada por la grafica de f y g entre x = 0

y x = t gira alrededor del eje OX , engendra un solido de volumen πt3

3.

8. Que volumen se quita a una esfera de radio 2r cuando se atraviesa por un

cilindro, formando un agujero centrado de radio r ?

9. Hallar el volumen del solido generado al girar la region limitada por y = 6x−x2 ,

y = 0 , alrededor del eje OY .

10. Se considera la cicloide dada por las ecuaciones x(t) = a(t − sen t) e

y(t) = a(1 − cos t) con 0 ≤ t ≤ 2π ( a > 0 ). Calcular el area encerrada por

esta curva y el eje OX .

11. (a) Sea g : [a, b] −→ R con derivada integrable. Se define la longitud del arco

de curva formado por la grafica de la funcion g como∫ b

a

√1 + g′(x)2 dx . Justificar

esta definicion.

En general, si una curva en R2 viene dada mediante una parametrizacion (x(t), y(t)) ,

t ∈ [c, d] , donde x(·) e y(·) tienen derivada integrable, se define la longitud de arco

de curva por∫ d

c

√x′(t)2 + y′(t)2 dt .

12. Hallar las longitudes de los siguientes arcos de curva:

(a) La circunferencia (x− 3)2 + (y − 2)2 = 4 .

(b) y2 = 2px , x ∈ [0, b] .

(b) x(t) = r(cos t+ t sen t) , y(t) = r(sen t− t cos t) , t ∈ [0, π] .

(c) y = a coshx

a, x ∈ [0, b] .


Integracion III. La Integral comoLımite;

Integrales Impropias

1. Sea f integrable en [0, 1] . Probar que

limn→∞

(1

n

n∑k=1

f(k/n)

)=∫ 1

0f.

2. Con el ejercicio 1, expresar cada uno de los siguientes lımites como una integral:

(1) limn→∞

(n∑

k=1

1

n+ k

); (2) lim

n→∞

(n∑

k=1

k

n2 + k2

); (3) lim

n→∞

(n∑

k=1

n

k2 + n2

);

(4) limn→∞

(1

n8

n∑k=1

k7)

; (5) limn→∞

(1

n

n∑k=1

senkπ

n

); (6) lim

n→∞

n∑k=1

1√n2 + k2

;

3. Calcular limn→∞

[(1 +

1

n

)(1 +

2

n

)· · ·

(1 +

n

n

)]1/n.

4. Establecer porque las siguientes integrales son impropias y determinar si son

convergentes o divergentes. Calcular su valor para las que sean convergentes.

(1)∫ 1

0log x dx (2)

∫ 2

1

1

x log xdx (3)

∫ 2

1

x√x− 1

dx

(4)∫ 1

0x log x dx (5)

∫ ∞0

e−x dx (6)∫ ∞0

1√exdx

(7)∫ ∞2

log x

xdx (8)

∫ ∞2

1

x(log x)2dx (9)

∫ 1

−1

1√1− x2

dx

(10)∫ ∞−∞

e−x dx (11)∫ ∞0

1

x2dx (12)

∫ ∞0

1√x(x+ 4)

dx

5. Establecer porque las siguientes integrales son impropias y determinar si son

convergentes o divergentes.

(1)∫ ∞1

e−x2

√x− 1

dx (2)∫ ∞1

1

x2√

log xdx (3)

∫ ∞1

sen x cosx

x3dx

(4)∫ 2

1

1

(x− 1)(x− 2)dx (5)

∫ 1

0

1

x log xdx (6)

∫ ∞1

x2

2x4 − x+ 1dx

(7)∫ 1

0

cosx

xdx (8)

∫ ∞0

sen x

1 + x2dx (9)

∫ ∞0

e−x log(arctg x) dx.

6. Estudiar para que valores de x esta bien definida la funcion

F (x) =∫ x2

0

(t− 1)e−t√t

dt.

Determinar sus puntos de continuidad y derivabilidad, as como sus extremos rela-

tivos y dar una representacion grafica aproximada. Esta acotada? Alcanza F un

maximo o mınimo absolutos? (Usar que∫ ∞0

e−x2

dx =

√π

2).


Sucesiones de Funciones

1. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes sucesiones de fun-

ciones en los intervalos que se indican:

(1) fn(x) =x

x+ n, en [0, a], a > 0; (2) fn(x) =

x

x+ n, en [0,∞),

(3) fn(x) =nx

x2 + n2, en [0,∞); (4) fn(x) =

nx

x2 + n2, en [a,∞), a > 0;

(5) fn(x) =nx

1 + nx, en [0,∞); (6) fn(x) =

nx

1 + nx, en [a,∞), a > 0;

(7) fn(x) =xn

1 + xn, en [0, 1]; (8) fn(x) =

xn

1 + xn, en [0, a], 0 < a < 1;

(9) fn(x) =sen nx

1 + nx, en [0,∞); (10) fn(x) =

sen nx

1 + nx, en [a,∞), a > 0;

(11) fn(x) = arctg (nx), en [0,∞); (12) fn(x) = arctg (nx), en [a,∞), a > 0;

(13) fn(x) = e−nx, en [0,∞); (14) fn(x) = e−nx, en [a,∞), a > 0;

(15) fn(x) = xe−nx, en [0,∞); (16) fn(x) = x2e−nx, en [0,∞);

(17) fn(x) = n2x2e−nx, en [0,∞); (18) fn(x) = n2x2e−nx, en [a,∞), a > 0;

(19) fn(x) =

0, si x ∈ [ 1n, 1]

−nx+ 1, si x ∈ [0, 1n)

2. Demostrar que limn

∫ 2

1e−nx

2

dx = 0 .

3. (1) Si a > 0 demostrar que limn

∫ π

a

sen nx

nxdx = 0 . Que sucede si a = 0 ?

(2) Calcular limn

∫ π/4

0xn sen

1

xdx.

(3) Calcular limn

∫ 1

0x2e−nx

2

dx y limn

∫ 1

1/nx2e−nx

2

dx .


Series de Funciones

1. Estudiar la convergencia puntual y uniforme de las siguientes series de funciones∑n fn para las funciones y los intervalos que se indican:

(1) fn(x) =1

x2 + n2, en R; (2) fn(x) =

1

n2x2, en R \ {0};

(3) fn(x) =1

n2x2, en R \ (−M,M), M > 0; (4) fn(x) = sen

x

n2, en R;

(5) fn(x) = senx

n2, en [−M,M ], M > 0; (6) fn(x) =

1

1 + xn, en (1,∞);

(7) fn(x) =1

1 + xn, en [a,∞), a > 1; (8) fn(x) =

xn

1 + xn, en [0, 1);

(9) fn(x) =xn

1 + xn, en [0, a), 0 < a < 1; (10) fn(x) =

(−1)n

n+ x, en [0,∞);

2. Demostrar que si∑an es una serie absolutamente convergente, entonces la serie∑

(an sen nx) converge absoluta y uniformemente en R .

3. Determinar el radio de convergencia de la serie∑anx

n , donde an esta dada por:

(1)1

nn, (2)

nα

n!, (3)

nn

n!, (4)

1

log n, (n ≥ 2) (5)

(n!)2

(2n)!, (6)

1

n√n,

(7)α(α− 1) · · · (α− n+ 1)

n!, α ∈ R.

4. (1) Si an = 1 cuando n es el cuadrado de un numero natural y an = 0 en otro

caso, calcular el radio de convergencia de∑anx

n.

(2) Si bn = 1 cuando n = m! para m ∈ N y bn = 0 en otro caso, encontrar el

radio de convergencia de∑bnx

n .

(3) Si c2n+1 =1 · 3 · · · (2n− 1)

2 · 4 · · · 2n · (2n+ 1)y c2n = 0 , para n ≥ 1 .

5. Si 0 < p ≤ |an| ≤ q para todo n ∈ N , encontrar el radio de convergencia de∑anx

n .

6. Sea f(x) =∑anx

n para |x| < M . Si f(x) = f(−x) para todo |x| < M, probar

que an = 0 para todo n impar.

7. Probar que si f esta definida para |x| < r y si existe una constante B tal que

|f (n)(x)| ≤ Bn para todo |x| < r y n ∈ N , entonces la expansion de la serie de

Taylor

∞∑n=0

f (n)(0)

n!xn

converge uniformememte a f(x) para |x| < r .

8. (Series geometricas) Demostrar directamente que si |x| < 1, entonces

1

1− x=∞∑n=0

xn.

9. Demostrar integrando la serie para1

1 + xque si |x| < 1, entonces

log(1 + x) =∞∑n=1

(−1)n+1

nxn.

10. Calcular las siguientes sumas infinitas:

(1) 1− x+x2

2!− x3

3!+x4

4!+ · · ·

(2) 1− x2 + x4 − x6 + x8 − · · ·

(3)x2

2− x3

3 · 2+

x4

4 · 3− x5

5 · 4+ · · ·

11. Si f(x) = sen xx

para x 6= 0 y f(0) = 1, hallar f (k)(0).Indicacion : HallarlaexpansiondeTaylordefen0.

12. Probar que si |x| < 1 , entonces

arctg x =∞∑n=0

(−1)n

2n+ 1x2n+1.

13. Encontrar la expansion en serie de potencias en 0 de F (x) =∫ x

0e−t

2

dt , x ∈ R.

14. Demostrar que si α ∈ R y

(α

n

)=α(α− 1)(α− 2) · · · (α− n+ 1)

n!, entonces

(1 + x)α =∞∑n=0

(α

n

)xn, para |x| < 1.

15. Hallar la serie de Taylor en 0 para |x| < 1 de la funcion f(x) = (1− x2)−1/2 .

Demostrar que si |x| < 1 , entonces

arcsen x =∞∑n=0

1 · 3 · · · (2n− 1)

2 · 4 · · · 2n· x

2n+1

2n+ 1.

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