i) elementare eigenschaftenulmet/mathe/vorlesungen/analysis.pdf · differential- &...
TRANSCRIPT
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 2/ von 103 FHT Esslingen
FUNKTIONEN
I) ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN a) Symmetrie Beispiele a) xx eexf −+=)( b) xxxf ⋅=)( c) )tan()( xxxf ⋅= d) 2)sin()( xxxf += b) Monotonie Beispiele a) 1)( += xxf b)
11)( 3 +
=x
xf
c) xxxf ⋅=)( d) xxxf += )tan()(
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 3/ von 103 FHT Esslingen
c) Umkehrfunktion Beispiele a) 1)( += xxf b)
11)(
−+
=xxxf
Aufgabe 4) WS 2006/2007 Gegeben sind die beiden Funktionen
xx eexf −−= 4)(1 und xx eexf −+= 4)(2 .
a) Begründen Sie, dass für alle Rx∈
)()( 12 xfxf > gilt
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 1/ von 105 FHT Esslingen
DIFFERENTIALRECHNUNG
I) GRENZWERTE VON ZAHLENFOLGEN
Übung 1) ?2
12lim 32
3
=+−+nnn
n
Lösung
20021
021121
12
1121
12lim
23
33
=+⋅−
+=
∞+
∞−
∞+
=
+−⋅
+⋅
=
nnn
nn
Bemerkung
Die folgenden Gleichungen sind alsGrenzwerte zu verstehen:
01=
∞ und ∞=01
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 2/ von 105 FHT Esslingen
Ergänzung: Die Zahl von Euler
Definitionn
n ne
+=
∞→
11lim
Näherungswert ...71,2=e
Hausaufgabe: BzM 4, Seite 10, Aufgabe 7.
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 3/ von 105 FHT Esslingen
Übung 2)( ) ?
11lim
3
=+++
nnnn
Lösung:
=++
+⋅=
nnnn
n
1
11lim
3
( )=
++
+⋅
nnnn
n
1
11lim
33
=
++⋅
+⋅
111
11lim
3
nnnnn
nnn
.1001
)01(111
11 3
3
=++
+=
∞+
∞+
∞+
=
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 4/ von 105 FHT Esslingen
Übung 3) ( )=−−+ nnnn 22lim 22 ?
Lösung:
( )⋅−−+= nnnn 22lim 22( )( )nnnn
nnnn2222
22
22
−++
−++
( ) =−++
−−+=
nnnnnnnn22
)2()2(lim22
22
( )nnnnn
224lim
22 −++=
−⋅+
+⋅
=
nn
nn
n2121
4lim22
[ ] 224
114
2121
4lim ==+
=
∞−+
∞+⋅
=
n
n
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 5/ von 105 FHT Esslingen
II) GRENZWERTE VON FUNKTIONEN
Grenzwertsätze
1) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfxxxxxx 000
limlimlim→→→
+=+
2) ( )( )
( )( )xgxf
xgxf
xx
xx
xx0
0
0 lim
limlim
→
→
→=
3) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxfxxxxxx 000
limlimlim→→→
⋅=⋅
4) ( )( ) ( ) ( )( )xg
xx
xg
xx
xxxfxf 0
00
lim
limlim →
=
→→
Ausnahmefälle/ Spezialfälle:
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 6/ von 105 FHT Esslingen
5) Regel von Bernoulli und L´Hospital(BlH):
( ) ( ) ( )( )
( )( )xgxf
xgxfxgxf
xxxxxxxx ´´limlim,0limlim
0000 →→→→=⇒∞==
Anwendbarkeit: Spezialfälle ∞∞,
00
Beispiele:
1)
.21
712
11lim
721lim
22
22
2
2
−=
++−
+
=++−
+−∞→−∞→
xxx
xx
xxx
xx
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 7/ von 105 FHT Esslingen
Satz:
( ) 011
1 ..... axaxaxaxP nn
nnn ++++= −
− ,( ) 01
11 ..... bxbxbxbxQ m
mm
mm ++++= −−
( )( )
<
=
>∞±
=⇒∞→
mn
mnba
mn
xQxP
m
n
m
n
x
,0
,
,
lim
2)
?11lim 22 =
−−+
∞→xx
x
( ) ( )( ) 02
11)1()1(lim*lim
22
22
=∞+∞
=−++
+−+=
++
−=∞→∞→ xx
xxBABABA
xx
3)1
11
1coslim
00sinlim
00====
→→
xxx
x
BlH
x
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 8/ von 105 FHT Esslingen
4)
?lim 22 =
−−+
∞→xxxx
x
111
2
1111
2limlim22
22
=+
=
−+
+
=−++
+−+∞→∞→
xx
xx
xxxxx
xxxxxx
Nicht vergessen:Spezialfälle können jedes Ergebnis liefern!
5) +∞=+
=−+
>→ 0
211lim 2
2
11 xx
xx
−∞=−
=−+
<→ 0
211lim 2
2
11 xx
xx
6) −∞=−+
−∞→ 1lim 2
3
xxx
x
da im Zähler höhere Potenz als im Nenner!
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 9/ von 105 FHT Esslingen
7) 1lim 020
11
1
2
2
===+
−
−→eeex
x
x
8) ( )
∞∞−
=
=→
>→
x
xxxx
xx 1
lnlimlnlim0
00
.010
1lim
11lim
1
1
lim0
2
0
2
0===⋅−=
−
=→→→
xxx
x
xxxx
BlH
9) ?1
lim2
=+∞→ xx
x
111
11lim
2
==+
=∞→
xx
xx
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 10/ von 105 FHT Esslingen
III) STETIGKEIT
Definition:
a) f ist stetig an der Stelle fDx ∈0
( ) ( )00
lim xfxfxx
=⇔→
b) f ist stetig, wenn f stetig ist für alle fDx ∈0 .
Beispiel 1:
( )
>+
≤=
0,10,
2 xxxx
xf
( ) lGf ==− 000 , ( ) rGf ==+=+ 11000 .
f hat keinen Grenzwert in ⇒= 00xf ist nicht stetig.
( =0x Sprungstelle).
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 11/ von 105 FHT Esslingen
Beispiel 2:
( )
=
≠=
0,1
0,sin
x
xxx
xf
( )
( ) .10
.111
1coslim
00sinlimlim
000
=
=====→→→
f
xxxxf
x
BlH
xx
( ) ( ) ffxfx
⇒=→
0lim0 ist stetig in 00 =x
Bemerkung:
Zur Untersuchung der Stetigkeit ist keineSkizze notwendig. Die Rechnung reicht.
Stetigkeitssatz:
Alle elementaren Funktionen sind stetig aufihren maximalen Definitionsbereichen.
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 12/ von 105 FHT Esslingen
Arten von Unstetigkeit:
a)Hebbare Unstetigkeiten:
1) =0x Definitionslücke (DL)2) Gxf
xx=
→)(lim
0
Die stetige Erweiterung von f
( ) ( )
=≠
=0
0
,,
*xxGxxxf
xf
Beispiel: ( )xxxf sin
=
( ) .111
1coslim
00sinlimlim
000======
→→→
xxxxfG
x
BlH
xx
( )
=
≠=⇒
0,1
0,sin*
x
xxx
xf
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 13/ von 105 FHT Esslingen
Übung:
( ) ?)(*,1
2
=−−
= xfx
xxxf
Hausaufgabe : BzM 4, Seite 31 Aufgaben 1-3
b) Unstetigkeiten 1. Art = Sprungstellen.
c) Unstetigkeiten 2.Art
Sind Stellen 0x für die gilt:
( )00 −= xfGl existiert nicht, oder ist ∞± ,oder
( )00 += xfGr existiert nicht, oder ist ∞± .
c1) Polstellen ±∞=lr GG ,
Beispiel: ( ) 0;10 == x
xxf
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 14/ von 105 FHT Esslingen
c2) Oszillationsstellen
Beispiel: ( ) .0,sin 0 == xx
xf π
Grenzwert xx
πsinlim0→ existiert nicht!
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.5
0
0.5
1
x
sin(pi/x)
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 15/ von 105 FHT Esslingen
IV) DIFFERENZIERBARKEIT
Geschichte: Leibnitz, Newton (BzM 4)
Definition:
1) f ist differenzierbar (diff) an der Stelle 0x
( ) ( )0
0
0
limx x
f x f xx x→
−⇔ ∃
−
2) Die Ableitung von f an der Stelle 0x ist
( ) ( )0
00
0
' ( ) limx x
f x f xf x
x x→
−=
−
Beispiele
, 0( )
, 0x
ax b xf x
e x
+ <=
≥
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 16/ von 105 FHT Esslingen
Beispiel 1) Sprungstelle. Skizze !
2 , 0( )
, 0x
x xf x
e x
<=
≥
nicht stetig, nicht diff.
Beispiel 2) Knickstelle. Skizze !
2 1, 0( )
, 0x
x xf x
e x
+ <=
≥
stetig, nicht diff.
Beispiel 3) ‚Glatter‘ Übergang. Skizze !
1, 0( )
, 0x
x xf x
e x
+ <=
≥
stetig, diff.
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 17/ von 105 FHT Esslingen
Übung 1)
Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit derFunktion ( ) | |f x x= an der Stelle 0 0.x =
Lösung
Die betragsfreie Darstellung:
( ), 0, 0x x
f xx x
≥= − <
( ) ( ) ( )0 0
0 0
0 0´ 0 0 lim lim 10 0x x
x x
f x f xfx x→ →
< <
− − −− = = = −
− −.
( ) ( ) ( )0 0
0 0
0 0´ 0 0 lim lim 10 0x x
x x
f x f xfx x→ →
> >
− + −+ = = = +
− −.
( )´ 0 0 (́0 0)f f− ≠ +
Folglich ist f nicht differenzierbar an derStelle 0 0x = . Skizze !
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 18/ von 105 FHT Esslingen
Übung 2)
Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit derFunktion ( ) 2f x x= an der Stelle 0 3.x =−
Übung 3)
Untersuchen Sie die Differenzierbarkeit derFunktion ( )f x x= an der Stelle 0 0.x =
Lösung
0 0x = ist ein Randpunkt von (0, ).fD = +∞
( )0 0
0 0
0 0
0´ 0 0 lim lim0
1 1lim lim0
x xx x
x x
x xfx x
xx x x
→ →> >
→ →
−+ = =
−
= = = = +∞+⋅
Somit ist 0x = eine senkrechte Randtangente.
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 19/ von 105 FHT Esslingen
Die Tangente an eine Funktionskurve
Satz 1)
Die Steigung m der Tangente an die Kurve( )y f x= im Punkt 0 0( / ( ))P x f x ist die
Ableitung von ( )f x an der Stelle 0x .
( ) ( ) ( )0
.0
00
´ limdef
x x
f x f xm f x
x x→
−= =
− .
Satz 2)
Die Gleichung der Tangente an die Kurve( )y f x= im Punkt 0 0( / ( ))P x f x ist
( ) ( ) ( )0 0 0( ): ´T y f x f x x x− = ⋅ −
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 20/ von 105 FHT Esslingen
Beispiel 1)
Gesucht ist die Gleichung der Tangente zu2y x= in 0 3x = .
Lösung
0 0 03; ( ) (3) 9; (́ ) (́3) 6;x f x f f x f= = = = =
( )( ) : 9 6 3 6 9.T y x y x− = ⋅ − ⇒ = −
Beispiel 2)
Gegeben ist die Funktion ( ) 2| 4 |f x x= − .
a) Untersuchen sie die Differenzierbarkeitvon f an den Stellen 0 2.x = ±
b) Bestimmen Sie die Gleichung derrechtsseitigen und linksseitigen Tangentezu ( )y f x= in 0 2x = .
c) Skizzieren sie die Kurve ( )y f x=
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 21/ von 105 FHT Esslingen
Satz:
Wenn ( )f x die folgenden Bedingungen erfüllt
1) ( )f x ist stetig2) ( )f x ist differenzierbar für alle 0x x≠3) ( )
0
lim ´x x
f x→
∃
dann ist ( )f x differenzierbar in 0x x= und
( )0
0(́ ) lim ´x x
f x f x→
= .
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 22/ von 105 FHT Esslingen
Methodezur Untersuchung der Differenzierbarkeitabschnittweise definierter Funktionen an der‚Nahtstelle‘ 0x .
( )( )( )
1 0
2 0
,,
f x x xf x
f x x x≤
= >
1) Berechnungen:
( ) ( )0 1 00lG f x f x= − =( ) ( )0 2 00rG f x f x= + =
( ) ( )0 1 0´ 0 ´lm f x f x= − =( ) ( )0 2 0´ 0 ´rm f x f x= + =
2) Wenn l rG G G= = und l rm m m= = dann istf stetig und differenzierbar und
( )( )
( )
1 0
0
2 0
´ ,´ ,
´ ,
f x x xf x m x x
f x x x
< = = >
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 23/ von 105 FHT Esslingen
Lösung des Beispiels 2)
( ) ( )f x f x− = , somit Untersuchung für 0x ≥ .
( ) 2| 4 |f x x= − in betragsfreier Darstellung:
( )2
2
4, 2
4, 2
x xf x
x x
− + ≤=
− >
a) (2 0) 0 (2 0) .l rG f f G= − = = + =
( ) ( )1 2´ 2 0 ´ 2 ( 2 ) 4.l xm f f x == − = = − = −
( ) ( )2 2´ 2 0 ´ 2 (2 ) 4.r xm f f x == + = + = = +
( )f x ist nicht differenzierbar in 0 2x = , aberlinksseitig und rechtsseitig differenzierbar!Hier liegt eine Knickstelle vor.
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 24/ von 105 FHT Esslingen
b) Die Gleichungen der Knicktangenten:
( )( ) : 4 2lT y x= − − und ( )( ) : 4 2rT y x= −
Die Richtungsvektoren der Knicktangenten:
14
l−
=
und 14
r =
Die Berechnung des Knickwinkels:
1 16 15cos 1717 17
l rl r
α α⋅ − += = = ⇒ ≈
⋅
Skizze !
Praxisanwedung
Die Berechnung des Drehwinkels ϕ desFräskopfes an Knickstellen des Profils:
180ϕ α= −
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 25/ von 105 FHT Esslingen
Übungen Untersuchen Sie die Stetigkeit undDifferenzierbarkeit der folgenden Funktionen.
1) Hausaufgabe
( ) ( )3
2
1 , 1
3 1 , 1
x xf x
x x
− ≤= − >
Lösung:
Stetigkeit:( ) 31 0 1 1 0f − = − = und ( ) ( )21 0 3 1 1 0f + = − =
Somit ist ( )f x stetig.
Differenzierbarkeit:
( )
23 , 1´ ? , 1
6 , 1
x xf x x
x x
− <= =− >
( )´ 1 0 3f − = − und ( )´ 1 0 6f + = −Somit ist ( )f x nicht differenzierbar in 0 1x = .
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 26/ von 105 FHT Esslingen
2) ( ) 2
cos , 0
1, 0
x xf x
x x
≤=
+ >
Stetigkeit:
( ) ( )0 0 cos0 1, 0 0 0 1 1f f− = = + = + =Somit ist ( )f x stetig in 0 0x = .
Differenzierbarkeit:
( )sin , 0
´ ? , 02 , 0
x xf x x
x x
− ≤= = >
( ) ( )0´ 0 0 sin 0 , ´ 0 0 2 0 0f f− = − = + = ⋅ =
( )f x⇒ in 0 0x = differenzierbar und
( )sin , 0
sin , 0´ , 0
2 , 02 , 0
0x x
x xf x x
x xx x
− <− ≤= = = > >
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 27/ von 105 FHT Esslingen
c) Die Skizze der Funktionskurve:
( ) 2
cos , 0
1, 0
x xy f x
x x
≤= =
+ >
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 28/ von 105 FHT Esslingen
3) Gegeben ist die Funktion
( )1 sin 2 , 0
, 0x x
f xax b x+ <
= + ≥
Für welchen Wert von a und b ist ( )f x stetigund differenzierbar?
Lösung:
( ) ( )( )0 0 1 sin 2 0 1 0 10 0 0
ff a b b
− = + ⋅ = + =
+ = ⋅ + =
f stetig (0 0) (0 0) 1.f f b⇒ − = + ⇒ =
( )( )2cos 2 , 0
´ ? , 0, 0
x xf x x
a x
<= = >
( ) ( ) ( )´ 0 0 2cos 2 0 2 1 2, ´ 0 0f f a− = ⋅ = ⋅ = + =
f diff (́0 0) (́0 0) 2.f f a⇒ − = + ⇒ =
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 29/ von 105 FHT Esslingen
V) ABLEITUNGSREGELN
Ableitungen elementarer Funktionen
Tabelle 1 Grundformeln
* Ableitungsformeln 1-6 auswendig lernen !
Beispiel 1)
1) ( )3 2
2xf xx−
= , ( )´ ?f x =
Lösung
( )( ) ( )
1 22 2 2 83 32 3 2 2
3 3 32 2 2
xx xf x x x xx x x
− − +
− − −= = = = = =
( )8 51 3 23 38 8 8´
3 3 3f x x x x x
−= = = ⋅
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 30/ von 105 FHT Esslingen
Höhere Ableitungen
Definition
( ) ( ) ( ) ( )( )1 , 1,2,3,4,...n ndf n f x ndx
−= =
Bezeichnung
( ) ( ) ( )n
nn
d f xf x
dx= , z.B.: ( ) ( )
2
2 ´́d f x
f xdx
=
Beispiel 1)
( ) ( )2 , ´́ ´ ?x xf x f xx
= =
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 31/ von 105 FHT Esslingen
Lösung
( )11 12
22 2 ,x x xf x xx x
−= = =
( )1 312 21 1´ ,
2 2f x x x
− − −= − = −
( )´3 5
2 21 3´́ ,2 4
f x x x− −
= − =
( )´5 7
2 23 15´́ ´ .4 8
f x x x− −
= = −
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 32/ von 105 FHT Esslingen
Übung 1)
( ) ( ) ( ); ,́ ´́ , ´́ ,́..., ? ( )nnf x x f f f f x n N= = ∈
Lösung:
( ) ( ) ( )1 2´ , ´́ 1n nf x nx f x n n x− −= = − ,
( ) ( )( ) 3´́ 1 2 nf x n n n x −= − −
( ) ( ) ( )( ) 0
!
1 2 ...1 !n
n
f x n n n x n= − − ⋅ =
! 1 2 3 4...def
n n= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Hausaufgabe1) ( ) ( ) ( ), ?nxf x e f x= =2) ( ) ( ) ( )sin , ?nf x x f x= =3) ( ) ( ) ( )ln , ?nf x x f x= =
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 33/ von 105 FHT Esslingen
Eine Anwendung von höheren Ableitungenund Fakultäten
Die Potenzreihenentwicklung der e-Funktion
2 3
1 ... ...1! 2! 3! !
nx x x x xe
n= + + + + + +
Die Zahl von Euler
1lim 1n
ne
n→∞
= +
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 34/ von 105 FHT Esslingen
Allgemeine Ableitungsregeln
1) ( )[ ] ( )´ ´c f x c f x⋅ = ⋅( )[ ] ( )´ 0 ´c f x f x+ = +
2) ( )́ ´ ´f g f g+ = +
3) ( )́ ´ ´f g f g f g⋅ = ⋅ + ⋅
4)´
2´ ´f f g f g
g g⋅ − ⋅ =
Beispiele
1) ( ) 1ln ´ 1 ln ln 1x x x x xx
⋅ = ⋅ + ⋅ = +
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 35/ von 105 FHT Esslingen
2) ´
21 ?x
x
−=
( )
( )( )
2 2 2
2 42
2
4 4 3
1 1 2 2 2
22 2 .
x x x x x xxx
x xx x xx x x
⋅ − − ⋅ − += = =
− +− + −= = =
3) ( )tan ´ ?x =
( )´
2
2 2
2 2
cos cos sin sinsincos cos
cos sin 1 .cos cos
x x x xxx x
x xx x
− − = = =
+= =
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 36/ von 105 FHT Esslingen
Übung
( )2
´ln , ( ) ?xf x f xx
= =
Tipp
Logarithmengesetze anwenden; ableiten.
Die Kettenregel
Satz
( ) ( )( )y x f u x= verkettete Funktion
( ) ( ) ( )´ ´ ´y x f u u x⇒ = ⋅
( )´f u äußere Ableitung( )´u x innere Ableitung
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 37/ von 105 FHT Esslingen
Bemerkungen
1) dy dy dudx du dx
= ⋅
Formalismus mit ‘Differenzialen‘ , ,dx dy du .
2) ( )´ ´ ´y f u u= ⋅ Kurzform
Beispiel 1)
( ) 2 ´sin ; ( ) ?y x x y x= =
Lösung
( ) ( )2 , sinf u u u x x= = ⇒( )´ (2 ) cos 2sin sin 2y x u x x cox x= ⋅ = ⋅ =
Beispiel 2) Übung !
( ) 2 ´sin , ( ) ?y x x y x= =
Ergebnis
( ) ( ) 2 ´ 2sin , ; ( ) 2 cosf u u u x x y x x x= = = ⋅
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 38/ von 105 FHT Esslingen
Bemerkung
( )( )( ) ( ) ( ) ( )´ ´ ´ ´f u v x v x u v f u= ⋅ ⋅
Übungen
a) ( ) ( )2ln 1 , (́ ) ?f x x f x= + =
b) ( ) 2ln 1, (́ ) ?g x x g x= + =
Tabelle 2 Kettenregel
( )( ) ( ) ( )´ ´ ´f u x f u u x= ⋅
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 39/ von 105 FHT Esslingen
Hausaufgabe
Berechnen Sie die erste und zweite Ableitungder folgenden Funktionen:
a) ( ) 1arctanf xx
=
b) b) ( )2 1
xf xx
=+
c) ( )2
211xf xx
−=
+
d) BzM: A1-3
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 40/ von 105 FHT Esslingen
Ansätze:
a) ´ ´
21 1 1arctan
11x x
x
= ⋅ = +
( ) ( )´1 2
2 21 1 11 11 1
x x
x x
− −⋅ = ⋅ − = + +
...
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 41/ von 105 FHT Esslingen
Die Ableitung der Umkehrfunktion
( ) ( )1y f x x f y−= ⇔ =
Satz
( )( )
´1 1´
f xf y
− =
oder1dydxdxdy
=
Beispiele
1)
( ) ( )2 1,f x x f x x−= =
( ) ( )( )´1 1
´1 2 21 1´ 2 ,2 2
f x x f x x xx
−− = = = =
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 42/ von 105 FHT Esslingen
2) ´(arcsin ) ?x =
Lösung
arcsin siny x x y= ⇔ =
( )( )
arcsin 1sin
d xd ydxdy
⇒ =
( )
( ) ( )
( )( )
´
2
2 2
1 1arcsin ´cos(sin )
1 1cos arcsin 1 sin arcsin
1 1
11 sin arcsin
xyy
x x
xx
⇒ = = =
= =−
=−−
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 43/ von 105 FHT Esslingen
Impliziertes Differenzieren
Beispiel
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente anden Einheitskreis im Punkt ( )2 / 2 | 2 / 2P .Lösung
Ansatz: ( )0 0y y m x x− = −
2 22 2
y m x
⇒ − = −
?m = geht nicht direkt durch Ableiten!
Ausweg: Impliziertes Differenzieren (ID)
dymdx
=
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 44/ von 105 FHT Esslingen
2 2 1x y d+ =
2 2 0xdx ydy⇒ + = |: ,:ydy xdx y dx⇒ = −
dy y ymdx x x
⇒ = − ⇒ = −
Ergebnis: ymx
= −
Einsetzen im Punkt ( )2 / 2 | 2 / 2P :
( )( )
2 / 21
2 / 2m⇒ = − = −
2 212 2
y x
⇒ − = − −
2 22 2
y x⇒ − = − +
2x y⇒ + = 2y x⇒ = −
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 45/ von 105 FHT Esslingen
Übung
Gegeben ist der Kreis mit der Gleichung2 24 8 4 4 0x x y y− + + = .
a) Berechnen sie Mittelpunkt und Radius desKreises.
b) Welches ist die Gleichung der Tangente andem Kreis im Punkt ( )0 0O ?
c) Skizze.
Lösung
a) durch quadratische Ergänzung.( )1| 1/ 2 , 5 / 2M r= − =
b) 8 8 8 4 0xdx dx ydy dy⇒ − + + =
( ) ( )8 1 4 2 1 0dx x dy y⇒ − + + =( ) ( )2 1 2 0 1
22 1 2 0 1xdy m
dx y− −
⇒ = − ⇒ = − =+ ⋅ +
.
( )0 0 2y y m x x y x− = − ⇒ =
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 46/ von 105 FHT Esslingen
Logarithmisches Differenzieren
Beispiel
( ) ( ), ´ ?xf x x f x= =
ln lnx dy x y x xdx
= ⇔ =
1 1 ´´ ln ln 1yy x x xy x y⋅ = + ⋅ ⇒ = +
( ) ( ) ( )´
´ ln 1 ln 1x xy y x x x x⇒ = + ⇒ = +
Grundregeln
( ) 1´x xα αα −= ⋅ Exponent konstant
( )´ lnx xa a a= ⋅ Basis konstant
( )´ lnx x xx x x x= +
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet MATLAB Befehle
Seite 1/ von 2
MATLAB Befehle zur Berechnung von Ableitungen
clear x=sym('x'); f=input('f(x)= '); % Funktion % Folie 39 % x/sqrt(x^2+1), (1-x^2)/(1+x^2), atan(1/x) % % Blatt DR 2 % sqrt(log(sin(x))), sqrt(sin(log(x))), log(sqrt(sin(x))) % log(sin(sqrt(x))), sin(log(sqrt(x))), sin(sqrt(log(x)))
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet MATLAB Befehle
Seite 2/ von 2
df=diff(f); % Ableitung disp('f(x)= '); pretty(simple(f)) % Darstellung der Funktion disp('f´(x)= '); pretty(simple(df)) % Darstellung der Ableitung
����� ��� ��� �� ��
����������� ���������
��� ��������� ���� � �� ��� ������ ����
���� ��
� � � �� � �� ���� �� � � � �� � �� ����� �
���� ��
� �� � �� � �� ����� �� � �� � �� � �� �������
�
����� ��� ��� �� ��
����������� ���������
��� ���� �� ����� ����
���� ��
� ����� � � �� ������������ ��� � � � ����� � � ��� �����
���� ��
� ����� � �� � ������ �� �� ����� � � ��� �����
�
����� ��� ��� �� ��
����������� ���������
����� ����
!"������# � ����$�� �� � ���� � ���
�
����� ��� ��� �� ��
����������� ���������
������ ����
���� ��
� ������ � � �� ������������ ��� � �� � %� �����
���� ��
� ������ � �� � ������� �� �� %� �����
�
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 47/ von 105 FHT Esslingen
VII) KURVENDISKUSSION (KD)
Checkliste
1.) Definitionsbereich2.) Symmetrie3.) Schnittpunkte mit den Achsen4.) Asymptoten5.) ( )xf ´6.) ( )xf ´´7.) Variationstabelle8.) Schaubild (Skizze)
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 48/ von 105 FHT Esslingen
(1) KD durch elementare Transformationen
Verschiebungen,Spieglungen,Skalierungen
Beispiele
1) ( ) 1xf x e −= −
2) ( ) 1 sin 2f x x= +
3) ( ) 1 11
f xx
= − −+
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 49/ von 105 FHT Esslingen
(2) Polynomiale Funktionen
Beispiel 1) ( ) xxxf 33 −=
1) fD = R2) ( ) ( ) ( )xfxxxxxf −=+−=+−=− 33 33
3) ( )0 0 0 (0 / 0)x y f S= ⇒ = = ⇒3 20 3 0 ( 3) 0y x x x x= ⇒ − = ⇒ − =
( ) ( )1,20 / 0 , 3 0S N⇒ ±
4) 3lim ( 3 )x
x x→∞
− = +∞ keine Asymptote
5) ( ) ( )2 2 ´1,2´ 3 3 3 1 1f x x x x= − = − ⇒ = ±
6) ( ) ( )´́ ´́1 1´́ 6 0 ´́ ´ 6f x x x f x= ⇒ = ⇒ =
7) Variationstabelle
8) Skizze
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 50/ von 105 FHT Esslingen
(3) Gebrochen rationale Funktionen
Beispiel 2)
( )1
22 −
=xxxf
1) fD = R \{ }1±
2) ( ) ( )xfxxxf −=−
−=−
12
2
3) ( )0 0 (0 / 0)f S= ⇒
4) 22lim 0
1x
xx→∞
= ⇒−
(HA) 0y = bei ∞±
( ) 2 11 00
f ⋅− = = −∞
−, ( ) 2 11 0
0f ⋅
+ = = +∞+
(VA) 1x = ±
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 51/ von 105 FHT Esslingen
5) ( )( )( )2
22
2 1 2 2´
1
x x xf x
x
⋅ − − ⋅=
−
( )=
−
−−= 22
22
1
422
x
xx
( )22
2
1
22
−
−−
x
x
( )22
2
1
12−
+−=x
x
keine Nullstellen
6) ( )xf ´´ nicht zwingend nötig; dieKrümmung wird mit anderen Methodenuntersucht.
7) Variationstabelle
8) Skizze
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 52/ von 105 FHT Esslingen
(4) Wurzelfunktionen
Beispiel 3 ( ) 21 xxf −=
1) [ 1, 1]fD = − +
2) ( ) ( ) ( )xfxxf =−−=− 213) ( )0 1f = ⇒ ( )0 1S
( ) 21,21 0 1f x x x= − = ⇒ = ± , ( )1,2 1 0N ±
4) KeineDL, keine RP, keine Asymptoten5)-7)( )xf ist differenzierbar als Verkettung
elementarer Funktionen und ( )y f x= mußaufgrund der Symmetrie eine Rechtskurvesein !8)Skizze/ andere Lösung
( ) 2 2 2
2 2
1 1
1, 0
f x y x y x
x y y
= = − ⇒ = −
⇒ + = >
Halbkreis mir Radius 1.
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 53/ von 105 FHT Esslingen
(5) Exponential- und Logarithmusfunktionen
Beispiel 4) ( ) ( )ln 1f x x x= ⋅ +
1) ( )1,Df = − ∞2) keine Symmetrien3) 0 0 (0 / 0)y x S= ⇒ = ⇒4) Asymptoten
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1
1 0 lim ln 1
1 ln 0 1x
f x x→−
− + = + =
− ⋅ + = − ⋅ −∞ = ∞1x⇒ = − (VA)
( ) ( ) ( )lim ln 1 lnx
f x x x→∞
= + = ∞ ⋅ ∞ = ∞
⇒ keine Asymptote
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 54/ von 105 FHT Esslingen
5) ( ) ( )´ ln 11xf x xx
= + ++
( ) ( )
( )
´ ln 1 01
ln 1 (*)1
xf x xx
xxx
= + + =+
⇒ + =−+
Die Lösung tranzendente Gleichung (*)durch die grafische Methode.
-3 -2 -1 0 1 2 3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
x
-x/(1+x)
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 55/ von 105 FHT Esslingen
6) ( )( ) ( ) ( )2 2
1 1 2´́1 1 1
xf xx x x
+= + =
+ + +
0 2x⇒ = − ist eine einfache Nullstelle aberkein Wendepunkt, da außerhalb von fD .
8) Skizze
Matlab und WordBefehle zur KD
M1) ezplot(‘x*log(1+x)‘)M2) print –dbitmap D:\bild1W3) Word/Einfügen/Grafik/AusDatei ...
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 56/ von 105 FHT Esslingen
(6) Trigonometrische Funktionen
Beispiel ( ) sin 2 2sinf x x x= −
(Siehe auch BzM 4)
MATLAB LÖSUNGEN
1) ezplot(‘f(x)‘)2) plot(x,y)3) help plot, ezplot
HOCHSCHULE ESSLINGEN Wintersemester 2006/07 Zahl der Blätter: 3
Blatt 1
Studiengänge: EKB & EPB & FZB Sem. 1 und Wiederholer
Prüfungsfach: Mathematik 1 Fachnummern: 1011
Hilfsmittel: Literatur, Manuskript, keine Taschenrechner und sonstige elektronische Rechner
Zeit: 90 min.
Aufgabe 1 (10 min)
a) Lösen Sie die Gleichung 5/2
5
3
21xx
= nach x auf.
b) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion )cos()2sin()( π−+= xxxf im Intervall [ ]π2,0 .
c) Bestimmen Sie den Definitions- und Wertebereich der Funktion ( )( )12
ln)( −= xexf . d) Welches ist der Unterschied zwischen den Funktionen )ln(2)( xxf = und ( )2ln)( xxg = ? Aufgabe 2 (15 min) Gegeben ist die ganzrationale Funktion ( ) axxxp +⋅−−= 22 2)( . a) Besitzt die Funktion p eine Symmetrieeigenschaft, und falls ja: Welche? b) Wie muss man a wählen, damit die Funktion p die Nullstelle 2−=x besitzt? (Verlangt ist eine kurze Rechnung, die reine Angabe eines Zahlenwertes genügt nicht!) Im folgenden sei 8=a . c) Welche Nullstellen besitzt die Funktion p? d) Welche Extrempunkte besitzt die Funktion p? e) Wie verhält sich p(x) für ±∞→x ? f) Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion p. Aufgabe 3 (15 min) Die nebenstehend abgebildete Fläche mit den Eckpunkten O, A, B wird berandet durch die y-Achse und die beiden Funktionskurven )sin( xbay ⋅⋅= sowie )cos( xdcy ⋅⋅= Der Punkt A ist ein Hochpunkt der Sinuskurve. a) Bestimmen Sie aus den Angaben der Zeichnung die Werte der Parameter a, b, c, d! b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche!
Wintersemester 2006/07 Blatt 2
Studiengänge: EKB & EPB & FZB Sem. 1 und Wiederholer
Prüfungsfach: Mathematik 1 Fachnummern: 1011
Aufgabe 4 (20 min) Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion
65
44)( 2
23
+−+−−
=xx
xxxxf .
a) Bestimmen sie den Definitionsbereich der Funktion f.
b) Berechnen Sie Schnittpunkte des Schaubildes der Funktion mit den Koordinatenachsen.
Hinweis: Eine Nullstelle des Zählerpolynoms ist 1=x .
c) Beschreiben Sie das Verhalten der Funktion f für ±∞→x möglichst genau.
(Hinweis: Polynomdivision)
d) Beschreiben Sie das Verhalten der Funktion f in der Nähe der Definitionslücken
möglichst genau. (z.B. hebbare Singularität / Sprungstelle / Pol mit oder ohne
Vorzeichenwechsel usw.)
e) Begründen Sie, warum sich die beiden Funktionskurven )(xfy = und 4+= xy
nirgends schneiden.
f) Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion. Tragen Sie in die Skizze auch sämtliche
Asymptoten sowie die Achsenschnittpunkte der Funktionskurve von f ein.
Aufgabe 5 (10 min.) Gegeben sind die Vektoren ar und b
r mit 3,4 == ba
rr und ( ) °=< 30,) barr .
Sei baurrr 2−= .
a) Zeigen Sie, dass ur und b
r orthogonal sind.
b) Berechnen Sie ur .
FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK Sommersemester 2006 Zahl der Blätter: 3
Blatt 1
Studiengänge: EKB, EPB, FZB Sem. 1 und. Wiederholer
Prüfungsfach: Mathematik 1 Fachnummer: 1011
Hilfsmittel: Literatur, Manuskript, keine Taschenrechner und sonstige elektronische Rechner
Zeit: 90 min.
Teil 1: 60 min Aufgabe 1:
Gegeben ist das Polynom )3(41)( 3 −−= xxxf .
a) Bestimmen Sie ein möglichst großes Intervall, in dem die Funktion monoton wächst. b) Berechnen Sie die x-Koordinaten aller Wendepunkte von )(xf .
Die Berechnung der y-Koordinaten ist nicht verlangt. Vergessen Sie nicht den Nachweis, dass es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt.
c) Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion f(x). d) Das Schaubild der Funktion )(xg entsteht durch Verschieben des Schaubildes von )(xf um 1
Einheit nach rechts und 1 Einheit nach oben. Geben Sie die Funktionsgleichung von )(xg an. e) Zeigen Sie, dass )(xg im Intervall [4, 5] eine Nullstelle besitzt. Wie viele Nullstellen hat die
Funktion )(xg insgesamt? Aufgabe 2: Eine harmonische Schwingung der Gestalt )sin()( ϕω += tAtx , 0>A , hat folgende Eigenschaften:
Die dem Ursprung am nächsten gelegenen Nulldurchgänge liegen bei 41π
−=t und 32π
=t ;
außerdem ist 0)0( >x .
a) Berechnen Sie die Periodenlänge P , die Kreisfrequenz ω und den Phasenwinkel ϕ .
b) Es sei 1=A . Welche Steigung hat dann der Funktionsgraph von )(tx im Punkt )0|4
( π− ?
c) Berechnen Sie für 1=A den Inhalt der vom Funktionsgraphen und der x-Achse
eingeschlossenen Fläche im Intervall zwischen den beiden Nullstellen 41π
−=t und 32π
=t .
Sommersemester 2006 Blatt 2
Studiengänge: EKB, EPB, FZB Sem. 1 und. Wiederholer
Prüfungsfach: Mathematik 1 Fachnummer: 1011
Aufgabe 3: Gegeben ist die Funktion ( ) 1)-ln(1- xxf(x) ⋅= .
a) Bestimmen Sie Definitionsbereich und Nullstellen der Funktion. b) Berechnen Sie Lage und Art der Extrempunkte der Funktion. c) Berechnen Sie )(lim
1xxf
+→.
d) Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion )(xf .
e) Berechnen Sie für die Funktion )(
1)(xf
xg = eine Stammfunktion, deren Graph durch den
Punkt )( 0|1+e verläuft. Hinweis: Substitution 1)-ln(xu = . Teil 2: 30 min Aufgabe 4:
Gegeben ist der Vektor ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
304
ar .
a) Wie muss man die Parameter p und q wählen, damit die Vektoren ar und ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
qpb3
r ein
Quadrat aufspannen? b) Sei b
r der in Aufgabenteil a) bestimmte Vektor. Wie muss man dann den Vektor cr wählen,
damit ar , br
und cr einen Würfel aufspannen? Geben Sie alle Möglichkeiten für cr an. Aufgabe 5:
a) Berechnen Sie die Determinante x013612248
.
b) Was folgt aus dem Ergebnis von a) für die gegenseitige Lage der vier Vektoren
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
232
,064
,1
128
und ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
332
? (Begründung!)
FACHHOCHSCHULE ESSLINGEN - HOCHSCHULE FÜR TECHNIK Wintersemester 2005/06 Zahl der Blätter: 3
Blatt 1
Studiengänge: EKB, EPB, FZB Sem. 1 und. Wiederholer
Prüfungsfach: Mathematik 1 Fachnummern: 1011
Hilfsmittel: Literatur, Manuskript, keine Taschenrechner und sonstige elektronische Rechner
Zeit: 90 min.
Bitte beginnen Sie jeden der 3 Teile auf einem neuen Blatt !!! Teil I 55 Min. Aufgabe 1)
axxaxxp −+⋅+−= 233 )(
hat die Nullstelle x = a .
a) Berechnen Sie die restlichen Nullstellen, und geben Sie die Faktorisierung ( Zerlegung in Linearfaktoren) von )(3 xp an. b) Welchen Wert hat a, wenn 0)5,0(3 =′′p gilt?
Aufgabe 2) Von einer harmonischen Schwingung der Gestalt
)cos()( ϕω +⋅⋅= tAtx , A > 0
sind die ersten beiden aufeinander folgenden Nulldurchgänge (Nullstellen) 21π
=t und
π67
2 =t mit 0)( ≤tx für 21 ttt ≤≤ bekannt.
a) Berechnen Sie Schwingungsdauer T, Kreisfrequenz ω und Phasenwinkel ϕ .
b) Es sei 4πϕ −= : Welcher Wert in Abhängigkeit von ω ergibt sich für die Amplitude A,
wenn die Funktionskurve von )(tx an der Stelle 00 =t die Steigung 2 hat ? Aufgabe 3)
Gegeben ist die Funktion
x
xxf 1)(3 +
= .
a) An welcher Stelle Wx hat das Schaubild der Funktion einen Wendepunkt?
b) Ermitteln Sie die Stammfunktion )(xF von )(xf , für die 1)1( =F gilt.
Wintersemester 2005/06 Blatt 2
Studiengänge: EKB, EPB, FZB Sem. 1 und. Wiederholer
Prüfungsfach: Mathematik 1 Fachnummern: 1011
Aufgabe 4) Gegeben sind die beiden Funktionen
xx eexf −−= 4)(1 und xx eexf −+= 4)(2 .
a) Begründen Sie, dass für alle Rx∈ )()( 12 xfxf > gilt.
b) Die beiden Funktionskurven schließen für ux ≤≤0 ein endliches Flächenstück ein. Berechnen Sie den Inhalt )(uA dieser Fläche. Welcher Wert ergibt sich für ∞→u ?
Teil II 20 Min. Aufgabe 5) Gegeben sind die beiden Vektoren ar und b
r mit 0
rr≠a und 2=b
r . Welche Winkel
können die beiden Vektoren miteinander einschließen, damit der Vektor bacrrr
×=
dieselbe Länge hat wie der Vektor ar ?
Aufgabe 6) a) Gegeben sind die drei Vektoren
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
102
ar , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
211
br
, ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
324
cr
Geben Sie die Zerlegung des Vektors cr in Komponenten in Richtung von
av und br
an.
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Newton Iteration
Die Newton Iteration
Algebraische Gleichungen vs. “transzendente“ Gleichungen:
Beispiel 1) 2+= xex
Beispiel 2) xx =cos Beispiel 2) xx =3
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Newton Iteration
Ergebnisse: X = Näherungswerte kx der Nullstelle von )(xf ; D = Differenzen = || 1 kk xx −+ ; F = Funktionswerte = )( kxf ;
1) 2)( −−= xexf x X = 1.00000000000000 1.16395341373865 1.14642118504301 1.14619325870450 1.14619322062058 1.14619322062058 D = 0.16395341373865 -0.01753222869564 -0.00022792633851 -0.00000003808392 -0.00000000000000 F = -0.28171817154095 0.03861594979957 0.00048933745450 0.00000008173545 0.00000000000000
Extremwertaufgaben
Zylindrische Literdose Es soll eine zylindrische Literdose hergestellt werden. Dabei werden Grund- und Deckkreis aus dem umschriebenen Quadrat ausgeschnitten. Wie groß sind die Ausmaße zu wählen, wenn dabei möglichst wenig Blech verwendet werden soll und der Abfall beim Ausstanzen der Grund- und Deckfläche zum verbrauchten Material zählt.
Quelle: http://www.mathe-online.at/
Quelle: http://micbaum.manfredmustermann.de/uploads/Extremwertaufgaben1.pdf
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 57/ von 105 FHT Esslingen
INTEGRALRECHNUNG
I)DEFINITION UND BEISPIELE
InhalteFlächenberechnung, bestimmtes Integral,Stammfunktion, unbestimmtes Integral,Satz von Leibnitz und Newton.
Problemstellung Berechnung von Flächen
( ),[ , ]F F f a b= = Fläche zwischen, , 0x a x b y= = = und ( )y f x=
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 58/ von 105 FHT Esslingen
Die geometrische Idee
1) Die Fläche wird in mehrere Abschnitteunterteilt.
2) Die Abschnitte werden durch Rechteckeangenähert und deren Flächen addiert.
3) Die Unterteilung wird verfeinert.
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 59/ von 105 FHT Esslingen
Der Formalismus
1) Die Unterteilung in n Abschnittegleicher Breite mit der ‚Schrittweite ‘
( ) /h b a n= −
0x a= , 1x a h= + , ..., nx a n h= + ⋅
2) Der Näherungswert
( )1 0R h f x= ⋅ , ( )2 1R h f x= ⋅ ,... ( )1n nR h f x −= ⋅
1 2 31
.....n
n k nk
F R R R R R=
= = + + + +∑
( )11
n
n kk
F h f x −=
= ⋅∑ Riemann Summe
( ) ( )1 11
n
n k k kk
F x x f x− −=
= − ⋅∑
3) Der Grenzwert lim nnF F
→∞=
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 60/ von 105 FHT Esslingen
Definition Bestimmtes Integral
( ) ( ) ( )1 11
limb n
k k kn ka
f x dx x x f x− −→∞ =
= − ⋅∑∫
Satz Falls ( ) 0f x ≥ [ ],x a b∀ ∈
( ) ( ) ( )1 11
limb n
k k kn ka
F f x dx x x f x− −→∞ =
⇒ = = − ⋅∑∫
Frage Welche praktische Methoden gibt esfür die Berechnung des Grenzwertes ?
Antwort Satz von Leibnitz und Newton
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 61/ von 105 FHT Esslingen
Definition ( )F x ist eine Stammfunktionvon ( )f x ( ) ( )´ ,F x f x x⇔ = ∀
Satz von Leibnitz und Newton(Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
1) Ist ( )F x eine Stammfunktion von ( )f x ,
dann gilt ( ) ( ) ( )b
a
f x dx F b F a= −∫ .
2) Die Ableitung der Flächenfunktion( ) ( ,[ , ])F x F f a x= ist die Funktion der
Begrenzungskurve ( )y f x= d.h.
( ) ( )d F x f xdx
= .
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 62/ von 105 FHT Esslingen
Die Flächenberechnung wurde damitzurückgeführt auf das Problem derBerechnung von Stammfunktionen.
Definition Das unbestimmte Integral ist
( ) ( )f x dx F x C= +∫
wobei ( )F x eine Stammfunktion von ( )f xist und C∈ .
Bemerkung Das unbestimmte Integral istdie Menge aller Stammfunktionen von f .
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 63/ von 105 FHT Esslingen
Beispiele
1) ( ) 2f x x=
( ) 2F x x= , ( ) 21 5F x x= + , ( ) 2
2 100F x x= −
22 ( ) ,xdx x C F x C C= + = + ∈∫ R .
2) ( ) 3f x x x= − . Berechnen Siea) das unbestimmte Integral ( )f x dx∫ .
b) das bestimmte Integral ( )2
1
f x dx−∫ .
c) die Fläche F zwischen 1x = − , 2x = .
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 64/ von 105 FHT Esslingen
Lösung
a) ( )3 4 21 14 2
x x dx x x C− = − +∫
b)
( )
( ) ( )
( )
23 4 2
1
4 24 2
1 14 2
1 1 1 12 2 1 14 2 4 2
1 1 94 2 24 4 4
x x dx x x−
− = − =
− − − − − =
− − − = + =
∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 65/ von 105 FHT Esslingen
c)
−3 −2 −1 0 1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
6
( )
( ) ( )
0 03 4 2
111
4 2
1 14 2
1 1 1 11 14 2 4 4
F x x dx x x−−
= − = −
= − − − − = − − =
∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 66/ von 105 FHT Esslingen
( ) ( )1 1
3 32
0 01
2 4
0
1 1 1 1 12 4 2 4 4
F x x dx x x dx
x x
= − = −
= − = − =
∫ ∫
oder
( ) ( )1 1
3 32
0 01
4 2
0
1 1 1 1 1 14 2 4 2 4 4
F x x dx x x dx
x x
= − = −
= − = − = − =
∫ ∫
( )
( )
2 23 4 2
311
4 2 4 2
1 14 2
1 1 1 12 2 1 14 2 4 2
1 14 2 24 4
F x x dx x x = − = −
= − − − = − − − =
∫
1 2 33 1124 4
F F F F= + + = = .
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 67/ von 105 FHT Esslingen
Die Fläche zwischen zwei Kurven
( ) ( )b
aF f x g x dx= −∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 68/ von 105 FHT Esslingen
II) RECHENREGELN
Integrale elementarer Funktionen
1. 11 , 11
x dx x cα α αα
+= + ≠ −+∫
2. 1 lndx x cx
= +∫3. sin cosxdx x c= − +∫4. cos sinxdx x c= +∫5.
2arcsin
1
dx x cx
= +−
∫
6. 2 arctan1dx x cx
= ++∫
7. 1ln
x xa dx a ca
= +∫8. x xe dx e c= +∫
Tipp: Gedächtnistraining !
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 69/ von 105 FHT Esslingen
Übungen
1) 2 ?x x dxx
=∫
1 12 22 2x dx x c x c
−= = + = +∫
2)
( )
( )
1/ 2 3/ 2
1 3 1 12 2 2 2
1 12 2
1 ?
1
2 2
12 2 2
x dxx x
x dx x x dxx x x x
x dx x dx x x
x x c x cx
− −
− − −
−
−=
= − = −
= − = − −
= + + = + +
∫
∫ ∫
∫ ∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 70/ von 105 FHT Esslingen
3)
( )( )
1sinh2 2
1 11 cosh2 2
x xx x
x x x x
e exdx dx e dx e dx
e e e e x c
−−
− −
−= = −
= − − = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
4)
( )3
3 2 2 3
4 3 2
4 3 2
2 ?
( 3 2 3 2 2 )
1 16 12 84 31 2 12 84
x dx
x x x dx
x x x x c
x x x x c
+ =
= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
∫
∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 71/ von 105 FHT Esslingen
Elementare Integrationsregeln
1) ( ) ( )c f x dx c f x dx⋅ = ⋅∫ ∫
2) ( ) ( )[ ] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
3) ( ) ( )b a
a bf x dx f x dx= −∫ ∫
4) ( ) ( ) ( )c b c
a a bf x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫
5) ( ) ( ) ( ) .....b b b
a a af x dx f t dt f u du= = =∫ ∫ ∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 72/ von 105 FHT Esslingen
6) ( ) ( )x
a
d f t dt f xdx
=∫
7) ( ) ( )d f x dx f xdx
=∫
8) ( ) ( )d f x dx f x cdx = + ∫
Bemerkung
Integration und Ableitungsind inverse Operationen.
Übungen
1) ( ) ( )3 32 21 1x xd x e dx x edx
+ = +∫
2) ( )2 32
11 0xd x e dx
dx+ =∫
Jedes bestimmte Integral ist eine Zahl unddie Ableitung einer Zahl ist Null.
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 73/ von 105 FHT Esslingen
III) INTEGRATIONSMETHODEN
A) Integration durch Substitution
( )1002 ?x dx+ =∫
Idee
1) Substitution: 2u x= +
2) ´ 1duudx
= = ⇒ du dx=
3) 100 1011101
u du u c= +∫
4) Rücksubstitution:
( ) ( )100 10112 2101
x dx x c+ = + +∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 74/ von 105 FHT Esslingen
Beispiel 2) ( )1002 5 ?x dx+ =∫
1) 2 5u x= +
2) ´ 2duudx
= = , 12
dx du=
3) 100 100 1011 1 12 2 202
u du u du u c= = +∫ ∫4) ( ) ( )100 10112 5 2 5
202x dx x c+ = + +∫
Beispiel 3) 2sin cos ?x xdx =∫
1) cosu x=
2) ´ sinduu xdx
= = − , 1sin
dx dux
= − ⋅
3)2 2 31 1sin
sin 3x u du u du u c
x ⋅ ⋅ − = − = − + ∫ ∫
4) 2 31sin cos cos3
x xdx x c= − +∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 81/ von 97 FHT Esslingen
Hausaufgabe 1. sin(2 ) ?− =∫ x dxπ 2. (2 1) ?− + =∫ xe dx
3*. ln ?x dxx
=∫
4*.
2?−⋅ =∫ xx e dx
5. Alte Prüfungsaufgaben bis WS2005/06 *Tipp ( )( ) ( )´= ⋅∫I g f x f x dx Durch die Substitution ( )u f x= wird die Berechnung von I zurückgeführt auf die Berechnung von ( )g u du∫ .
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 82/ von 97 FHT Esslingen
Übungen
(1) ln ?x dx
x=∫
Der Formalismus 1) ( ) lnu f x x= =
2) 1´ duudx x
= = ⇒ dx xdu=
3) + 4)
2 21 1 ln2 2
ln udu ux x
xx x xud du= = = =∫ ∫ ∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 83/ von 97 FHT Esslingen
B) Integration gebrochen rationaler
Funktionen durch Partialbruchzerlegung (PBZ)
Das Problem
( )( )
?n
m
P x dxQ x
=∫
( )nP x Polynom vom Grad n ( )mQ x Polynom vom Grad m
Das Verfahren
1. n m≥ Polynomdivision 2. Partialbruchzerlegung (PBZ)
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 84/ von 97 FHT Esslingen
Beispiel 1
2 1 ?1
x dxx+
=+∫
Lösung 1. Polynomdivision
2 1 211 1
x xx x+
= − ++ +
D RQd d= + Ähnlich wie: 5 21
3 3= +
2. Integration
2
2
1 211 1
1 2ln 12
x dx x dxx x
x x x c
+ = − + + +
= − + + +
∫ ∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 85/ von 97 FHT Esslingen
Satz Jedes Integral einer gebrochen rationalen Funktion kann auf die folgende 3 Typen zurückgeführt werden.
Typ A: 00
1 lndx x xx x
= −−∫
Typ B: ( )2
00
1 1dxx xx x
= −−−∫
Typ C: 2 ln(...) arctan(...)Ax B dxax bx c
+= +
+ +∫
für 2 4 0b ac∆ = − < (Formelsammlung)
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 86/ von 97 FHT Esslingen
Beispiel 2
2 ?1
x dxx
=−∫
Lösung 1. Polynomdivision entfällt. 2. Partialbruchzerlegung a) Faktorisierung des Nenners
( )( )2 1 1 1x x x− = + − b) Ansatz für PBZ
( )( ) ( ) ( )1 1 1 1x A B
x x x x= +
+ − − +
mit Koeffizienten ,A B∈R .
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 87/ von 97 FHT Esslingen
c) Berechnung der Koeffizienten
( )( ) ( ) ( )1 1 1 1x A B
x x x x= +
+ − − +
( ) ( )1 1x A x B x⇒ = + + −
Berechnung durch die ‚Grenzwertmethode‘
1x = ⇒ 1 2A= ⇒ 1/ 2A = 1x = − ⇒ 1 2B− = − ⇒ 1/ 2B =
( )( ) ( ) ( )1 1
1 1 2 1 2 1x
x x x x⇒ = +
+ − − +
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 88/ von 97 FHT Esslingen
d) Integration
( )( )2 1 1 1x xdx dx
x x x= =
− + −∫ ∫
2
1 1 1 1 1 1ln 1 ln 12 1 2 1 2 2
1 1ln 1 1 ln 12 2
dx dx x xx x
x x x c
= + = − + +− +
= − ⋅ + = − +
∫ ∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 89/ von 97 FHT Esslingen
Beispiel 3
3 ?dxx x
=+∫
Lösung a) Faktorisierung
( )3 2 1x x x x+ = + b) Ansatz für PBZ
( ) 221
11A Bx Cx xx x
+= +
++
, ,A B C∈R.
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 90/ von 97 FHT Esslingen
c) Berechnung der Koeffizienten
( ) 221
11A Bx Cx xx x
+= +
++
( ) ( )21 1A x Bx C x⇒ = + + +
Berechnung durch Koeffizientenvergleich
2 21 Ax A Bx Cx= + + +
( ) 21 A B x Cx A⇒ = + + + , x∀ ∈R
( )2 210 0x A B x C Ax x+ + = ++ +⇒
0A B⇒ + = , 0C = , 1A = .
1, 1, 0A B C⇒ = = − = .
( ) 221 1
11x
x xx x⇒ = −
++
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 91/ von 97 FHT Esslingen
d) Integration
( )3 221 1
11dx xdx dx
x x x xx x = = − + ++ ∫ ∫ ∫
2
2
2
1ln ln( 1)1 2
ln1
dx x dx x x cx x
x cx
= − = − + ++
= ++
∫ ∫
Probe ! Ableiten; Matlab: int(‘1/(x^3+x)‘) Detailrechnung
Das Integral 2 1x dx
x +∫ (Typ C) kann mit
der Substitutionsmethode berechnet oder einer Formelsammlung entnommen werden. z.B. BzM 5 Integral 20+21
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 92/ von 97 FHT Esslingen
Die Anwendung der Integralformeln Integral 21
2
22
1 ln2 2
x dxax bx c
b dxax bx ca a ax bx c
=+ +
+ + −+ +
∫
∫
Integral 20
22 2arctandx ax b
ax bx c+
=+ + ∆ ∆∫
Die Anwendung der Integralformeln für
1, 0, 1, 1; 4 0a b c d= = = = ∆ = − <
22
1 ln 11 2
x dx xx
= ++∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 93/ von 97 FHT Esslingen
Ansätze für PBZ
Nennfaktor Ansatz Bsp
0x x−
0
Ax x−
2,3
( )2
0x x−
( )20 0
A Bx x x x
+− −
4
2ax bx c+ +
( 2 4 0b ac∆ = − < )
2Ax B
ax bx c+
+ +
3
2 2( )ax bx c+ +
( 2 4 0b ac∆ = − < )
2Ax B
ax bx c+
+ ++
2 2( )Cx D
ax bx c+
+ +
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 94/ von 97 FHT Esslingen
Beispiel 4 3 22
1x dx
x x x+
+ − −∫
Lösung a) Faktorisierung 1
( ) ( )( )( ) ( ) ( )
3 2 2
22
1 1 1
1 1 1 1
x x x x x x
x x x x
+ − − = + − +
= + − = + −
Faktorisierung 2 (Nullstellen, Polynomdivision) b) Ansatz für PBZ
( ) ( ) ( )2 2111 12
1B C
xx xx A
xx − ++ +=
−+ ++
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 95/ von 97 FHT Esslingen
c) Berechnung der Koeffizienten
( ) ( )( ) ( )22 1 1 1 1x A x B x x C x+ = + + + − + −
( ) ( ) ( )2 22 2 1 1 1x A x x B x C x+ = + + + − + −
2 22x Ax Ax A Bx B Cx C+ = + + + − + −
( ) ( ) ( )2 22x A CB x B CA Ax+ += + −+ −+
⇓
A +B = 02A + C =1 A - B - C =2
Lösung des LGS z.B. mit dem Eliminationsverfahren von Gauß.
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 96/ von 97 FHT Esslingen
1 1 0 0 1 1 0 02 0 1 1 0 2 1 11 1 1 2 0 2 1 2
1 1 0 0 3/ 40 2 1 1 3/ 40 0 2 1 1/ 2
AB
C
− − − − −
= − ⇒ = − − = −
∼
∼
⇓
( ) ( ) ( )2 22 3 1 3 1 1 1
4 1 4 1 21 1 1x
x xx x x+
= − −− ++ − +
⇓
( ) ( )22 3 3ln 1 ln 1
4 41 11 1 3 1 1 1ln2 1 4 1 2 1
x dx x xx x
x cx x x
+= − − +
+ −
− − − = + + + + +
∫
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 97/ von 103 FHT Esslingen
C) Uneigentliche Integrale (UI) Definition - UI 1. Art
∫=∫−→
t
abt
b
adxxfdxxf )(lim)(
0 wenn
±∞=− )0(bf
(analog für ±∞=+ )0(af ) Beispiele
1) ∫−
2
0 24 xdx
2) ∫ −
2
12 1xdx
Skizze, Berechnung, Konvergenz !
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 98/ von 103 FHT Esslingen
Definition - UI 2. Art
)(,)(lim)( +∞=∫=∫∞→
∞bdxxfdxxf
t
ata
(und analog für −∞=a ) Beispiele
1) ∫+−
3
32 9xdx
2) ∫ +
∞
∞− 92xdx
3) dxx
∫∞
02cosh
1
4) ∫∞
∞−dxxcosh
Berechnung, Konvergenz, Skizze * !
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 99/ von 103 FHT Esslingen
D) Numerische Integration (Trapezregel) Skizze !
1) Die Unterteilung in n Abschnitte gleicher Breite mit der ‚Schrittweite ‘
( ) /h b a n= − 0x a= , 1x a h= + , ..., nx a n h= + ⋅
2) Der Näherungswert:
⇒+++= nTTTT L21
22212110 nn yyhyyhyyhT +
+++
++
= −L
2)22( 110
hyyyyT nn ⋅++++=⇒ −K
wobei )( kk xfy =⇒
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 100/ von 103 FHT Esslingen
Die Trapezregel
Tb
aETdxxfbaxxf +=∫⇒∈∀> )(],[,0)(
wobei
2)22( 110
hyyyyT nn ⋅++++= −K
der Näherungswert des Integrals und TE der Fehler des Verfahrens ist, der die folgende Abschätzungseigenschaft besitzt:
2|| hcET ⋅< .
DIFFERENTIAL- & INTEGRALRECHNUNG FOLIEN ZUR VORLESUNG
Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Folie 101/ von 103 FHT Esslingen
Beispiele
1) 693771,012
1=∫ dx
x
für 10=n mit 001,0<TE .
2) ∫−
1
0
2
dxe x 3) ∫
1
0
sin dxx
x
Bemerkung: für 2) , 3) und viele andere wichtige bestimmte Integrale, ist die Berechnung der Stammfunktion mit Hilfe elementarer Funktionen in geschlossener Form nicht möglich. Diese Integrale werden ’numerisch’ mit Hilfe der Trapezregel und anderer Näherungsverfahren berechnet.
§1 Die Fläche zwischen zwei Kurven
( ) ( )b
a
F f x g x dx= −∫ Integralformel
Beispiel 1 Fläche zwischen Funktionskurven 2y x= und y x= . Lösung: Skizze !
11 12 22
0 0
1332
0
( ) ( )
2 1 2 1 103 3 3 3 3
F x x dx x x dx
x x
= − = − =
− = − − =
∫ ∫
Beispiel 2: Fläche zwischen den Kurven 3y x x= − und 21y x= − . Lösung: Skizze ! F= Fläche zwischen dem oberen Einheits-halbkreis und der punktsymmetrischen Kurve 3y x x= − . Ergebnis: F π= .
§2. Drehvolumen 1. Drehkörper um die x-Achse:
Drehvolumen:
( )2b
xa
V f x dxπ= ∫ 2b
xa
V y dxπ= ∫
2. Drehkörper um die y-Achse:
( ) ( )1y f x x f y−= ⇔ = Drehvolumen:
( )( )
21
( )
f b
yf a
V f y dxπ −= ∫ ( )
2
( )
f b
yf a
V x dyπ= ∫ Beispiel 1: Die Kurven 2y x= und 2y x= begrenzen für 1y ≤ eine endliche Fläche A. a) Berechnen Sie den Flächeninhalt von A b) Berechnen Sie das Drehvolumen xV c) Berechnen Sie das Drehvolumen yV
a) Fläche:
12
0
13
0
1 0,5 1 3 1 512 3 4 3 12
A Trapez x dx
x
= − =
+ ⋅ − = − =
∫
b)
12 2 2
0
13 4 4
xV Kegel Zylinder Trichter
d h d h y dxπ π π
= + − =
⋅ + − =∫
12 2 4
011
4 5
00
1 1 12 23 4 2 4 2
2 2 13 3 52 1 73 5 15
x dx
x dx x
π π π
π π π π
π π π
⋅ + − =
− = − =
− =
∫
∫
c) 2y x x y= ⇔ =
( )1 1 22 2 2
0 011
2
00
1 1 1 13 4 3 4
1 1 112 2 12
1 1 52 12 12
yV Drehparaboloid Kegel
x dy d h y dy
ydy y
π ππ π
π π π π
π π π
= − =
− ⋅ = − ⋅ ⋅
= − = −
= − =
∫ ∫
∫