O NIVELAMENTO DA LINHA DE BALANÇO

Jorge de Araújo Ichihara Programa de Pós-graduação em Engenharia de Produção - UFSC

Campus Universitário - CTC/EPS - Trindade - Florianópolis/SC - CEP 88040-900

Abstract: The following paper proposes the introduction of Connected Graph Levellingconcept on the Line of Balance methodology. The objective is to attenuate the difficulty ofvisual analysis when the amount of parallel activities in any part of the project increases.The levelling of activities provides a consistant representation, which permits the unfoldingof parallel activities into parallel boards of analysis.Keywords: Line of Balance, Project Scheduling, Repetitive Construction.

1. Introdução

A Linha de Balanço (LOB - Line of Balance) é a ferramenta adequada para aprogramação de projetos repetitivos na Construção Civil, mas sua representação gráficapode ficar confusa em pontos onde houver concentração de atividades paralelas (Fig.1),devido à sobreposição destas atividades. A representação do projeto de forma seriada, emque as atividades paralelas são analisadas em grupo [Maziero, 1990], constitui uma soluçãointeressante para níveis de planejamento acima do operacional, nos quais é necessáriopouco detalhamento; outra possibilidade é apresentar o projeto através de vários quadros,sendo que o principal contém o caminho crítico, e os demais contém as atividadesrestantes.

A disposição em quadros, necessita de um critério compatível com a facilidade deanálise visual, bem como com a implementação computacional. E mais, esta disposiçãonão pode causar perda de visualização das inter-relações entre as atividades do quadroprincipal e as dos quadros secundários, visto a própria natureza da Linha de balanço,herança do Gráfico de Barras, por si só já impõe esta deficiência, em projetos longos e commuitas atividades em paralelo.

Este artigo, propõe a introdução do conceito de nivelamento dos vértices de umgrafo conectado, na metodologia da Linha de Balanço, bem como apresenta doisprocedimentos extraídos da Teoria dos Grafos, para esta finalidade; o objetivo épossibilitar uma forma consistente de organizá-la por quadros. A razão da metodologiaestar fundamentada na manipulação de um grafo, é porque este tipo de estrutura éadequada à formalização das inter-relações entre as atividades do projeto, quando seconsidera que cada vértice corresponde a uma atividade.

A B C A

B f 1 f 2 C

Fig. 1 - Visualização de atividades Paralelas: as atividades A, B e C, são mostradas na Linha de Balanço e no grafo suporte, onde f1 e f2 são fantasmas.

2. Nivelamento de Vértices Segundo Kaufmann

As regras de nivelamento segundo Kaufmann [Kaufmann, 1976], podem serapresentadas em quatro itens:

• O elemento do primeiro nível não possui antecedentes;• O elemento do último nível não possui sucessor;• Elementos de um mesmo nível não possuem antecedentes no seguinte;• Não existem ligações entre atividades de um mesmo nível (o que implica que em

um mesmo nível, é indiferente a ordem da numeração das atividades);

3. Formas de Representação de um grafo

As três formas mais comuns de representação de um grafo, no domínio daprogramação de projetos são: (1) a sagital, composta de vértices e arcos orientados, idealpara a interpretação visual; (2) a tabular, que distribui os dados em forma de planilha; e (3)a matricial, que o organiza em uma forma adequada para a implementação computacional.

4. Matriz de Adjacência para Grafos Orientados

A Matriz de Adjacência A é quadrada (n x n), booleana, e define as inter-relaçõesentre os vértices de um grafo. Suas linhas representam os vértices antecessores i = {1,..,n},suas colunas representam os vértices sucessores j = {1,...,n}, e a i j é um elemento damatriz.

A = { a i j }, a i j = 1, se existe conectividade de i para j, ou a i j = 0, se não existe tal conectividade.

5. Procedimentos Para o Nivelamento de Vértices

Os dois procedimentos seguintes são apropriados para a programação de projetos epara a implementação computacional, devido à sua organização matricial:

• 1o Procedimento (Figura 2):

1. Obter a linha S1 pela soma dos elementos de cada coluna da Matriz de Adjacência;2. Verificar quais os elementos nulos da linha S1 e observar quais as colunas a que eles

pertencem (no exemplo, só existe um elemento nulo, que pertence à coluna C).3. Compor S2 a partir da subtração das linhas da Matriz de Adjacência, que possuem as

mesmas numerações das colunas encontradas no passo 2 (no exemplo, S2 = S1 - linhaC).

4. Para compor a linha S3, utiliza-se um procedimento análogo ao dos passos 2 e 3. Aformação de novas linhas prossegue até que todos os elementos da linha atual sejamnulos, ou quando em uma das iterações não aparecerem novos elementos nulos (o queindicaria a presença indesejável de circuito no grafo).

5. Cada linha S1, S2, S3 e S4, representa um nível em ordem crescente. Pertencem à cadanível os vértices que forem nulos nas respectivas linhas.

• 2o Procedimento (Figura 3):

O segundo procedimento é semelhante ao anterior, mas a composição de S1 é feitapela soma das linhas da matriz de adjacência. Portanto, neste caso, os níveis são listadosem ordem decrescente.

A coluna S1 é formada pela soma dos elementos das linhas da matriz deadjacência.

O elemento nulo da coluna S1 , indica que ao respectivo vértice (B, no exemplo),não chega nenhum arco de outro vértice, logo, ele pertence ao último nível;

A B C D E E A A 0 1 0 1 0 B 0 0 0 0 0 C 1 0 0 1 1 D 0 1 0 0 0 E 0 0 0 1 0 C B S1 1 2 0 3 1 →→ C =1O N S2 0 2 - 2 0 →→ A,E=2O N S3 - 1 - 0 - →→ D =3O N D S4 - 0 - - - →→ B =4O N

1o nível 2o nível 3o nível 4o nívelC A B

DE

2ο Ν 4 ο Ν 1ο Ν 3ο Ν 2ο Ν 1ο Ν 2ο Ν 3ο Ν 4ο ΝA B C D E C A E D B

Fig. 2 - 1o Procedimento de Nivelamento dos Vértices de um Grafo.

A B C D E S1 S2 S3 S4

A 0 1 0 1 0 2 1 0 - B 0 0 0 0 0 0 - - - C 1 0 0 1 1 3 3 2 0 D 0 1 0 0 0 1 0 - - E 0 0 0 1 0 1 1 0 -

4O 3O 2O 1O

Fig. 3 - 2o Procedimento de Nivelamento dos Vértices de um Grafo.

6. Vantagens do Nivelamento dos Vértices

Com o nivelamento das atividades ou vértices do grafo suporte, é possível analisaro projeto modelado pela Linha de Balanço, sob dois ângulos: no primeiro, pode-seobservar o quadro principal, contendo as atividades do caminho crítico, e os quadrossecundários, contendo as atividades paralelas evidenciadas pelo nivelamento. No segundo,pode-se analisar o projeto nível à nível, independente do conceito de caminho. Em ambosos casos, não ocorre o aumento da perda de visualização dos relacionamentos entreatividades, porque entre atividades paralelas não há vinculação.

Em resumo, a proposta acrescenta potencialmente uma terceira dimensão à análisedo projeto (Fig. 4).

nível 1 . . . nível n unidades repetitivas

tempo

atividades paralelas

Fig. 4 - A Dimensão Potencial acrescentada na Linha de Balanço.

7. Considerações Adicionais

Os procedimentos de nivelamento possuem também outras utilidades para a Linhade balanço; no tocante a representação das inter-relações entre as atividades: (1) fornecemum sistema de numeração das atividades, e (2) indicam a validade lógica do grafo a fim deser associado a uma programação de projetos.

No primeiro caso, o sistema de numeração leva em consideração as precedências eo paralelismo das atividades, começando da esquerda para a direita. Em extensão à essaidéia, pode-se observar que os métodos apresentados facilitam o incremento de um novovértice em qualquer parte do grafo, visto que bastaria nivelar novamente e fornecer umanova numeração à todo a rede. No segundo caso, ao analisar o segundo exemplo, verifica-se que: se na coluna S1 houvesse mais de um elemento nulo, significaria que haveria maisde um vértice final, o que seria incompatível com a lógica da unicidade da atividadeinicial; (2) se na coluna S4, houvesse mais de um elemento nulo, significaria que haveriamais de um vértice inicial, o que também seria incompatível; (3) a presença de circuitos(vértice inicial = vértice final) seria detectada se houvesse um elemento de S, que nãopudesse chegar a zero, em nenhuma das iterações. Vale notar que estes três itens tambémpodem ser observados na Matriz de Adjacência: no exemplo, a linha B é nula, indicando oúltimo vértice; a coluna C também é nula, indicando o primeiro vértice; e qualquerelemento diferente de zero na diagonal principal indicaria a presença de ciclos.

Outra utilidade, é que o conceito de nivelamento estabelece um possível critério depriorização para o Problema da Programação de Projetos com Recursos Limitados(RCPSP - Resource-Constrained Project Scheduling Problem) e para o Problema doNivelamento de Recursos (RLP - Resource Leveling Problem). Em uma situação deprogramação particular, pode ser interessante priorizar as atividades paralelas.

8. Conclusão

A introdução do conceito de nivelamento de grafos conectados, na metodologia daLinha de Balanço, atenua o problema da visualização e da análise das atividades paralelas,ao fornecer uma possibilidade formal de abordá-las em quadros paralelos. Os doisprocedimentos apresentados, extraídos da Teoria dos Grafos, são elaborados em umaforma matricial compatível com a implementação computacional. Além disso, onivelamento proporciona outros benefícios de natureza estrutural, como um sistema denumeração e alteração de atividades, um detector das ligações impróprias entre atividades,bem como um critério para auxiliar na resolução do Problema da Alocação de Recursos.

9. Bibliografia

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