III Workshop de Álgebra da UFG – CAC

Os Complexos e o Anel dos Quatérnios

Edson Félix Júnior - edsonfelix_goiano@hotmail.com

Romário Pereira Rezende - romarioback@hotmail.com

Igor dos Santos Lima (Orientador) - igor.matematico@gmail.com

Resumo

A Álgebra dos quatérnios teve origem com William Rowan

Hamilton (1805-1865). O presente trabalho visa discutir o

conjunto dos números dos quatérnios e demonstrar algumas de

suas propriedades. Este trabalho é um complemento ao estudo

do conjunto dos números complexos na disciplina cursada este

semestre (Cálculo em uma variável complexa).

Introdução

Segundo BOYER, William Rowan Hamilton apresentou o primeiro

conceito moderno dos complexos como pares ordenados de reais e tentou

generalizar esta ideia para o espaço tridimensional. Após inúmeras

tentativas verificou-se que não era possível a existência de um complexo

tridimensional. Com isso, Hamilton descobriu os quatérnios, que é uma

Álgebra de dimensão quatro sobre o corpo dos números reais e que possui

todas as propriedades de um corpo, exceto a comutatividade da

multiplicação. Dizem que Lorde Hamilton teve a ideia de definir o produto

quaterniônico num passeio que fez com a Lady Hamilton.

“Quaternion Bridge”

Preliminares

Definição: Um anel é um conjunto não vazio 𝑨 munido de duas operações

internas, uma chamada soma e denotada por + e outra chamada

multiplicação e denotada por ∙ satisfazendo as seguintes propriedades:

1) Para quaisquer 𝒂, 𝒃 ∈ 𝑨 tem-se 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂. (Comutatividade da

adição)

2) Para quaisquer 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨 tem-se 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄. (Associatividade da adição)

3) Existe 𝟎 ∈ 𝑨 𝐭𝐚𝐥 𝒒𝒖𝒆 𝒂 + 𝟎 = 𝒂 para qualquer 𝒂 ∈ 𝑨. (Existência do

elemento neutro da adição)

4) Para qualquer 𝒂 ∈ 𝑨 existe −𝒂 ∈ 𝑨 tal que 𝒂 + −𝒂 = 𝟎. (Existência

do simétrico de todo elemento de A)

5) Para quaisquer 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨 tem-se 𝒂 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄 = 𝒂 ⋅ 𝒃 ⋅ 𝒄. (Associativa

da multiplicação)

6) Para quaisquer 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ 𝑨 tem-se 𝒂 ⋅ 𝒃 + 𝒄 = (𝒂 ⋅ 𝒃) + (𝒂 ⋅ 𝒄) e

𝒃 + 𝒄 ⋅ 𝒂 = 𝒃 ⋅ 𝒂 + 𝒄 ⋅ 𝒂. (Distributividade da multiplicação em relação

a soma)

Observação: A multiplicação não necessita ser comutativa. Quando isto

ocorrer, dizemos que A é um anel comutativo. Veremos que os quatérnios

não formam um corpo.

Notação: (𝑨,+,⋅) denotará um anel 𝑨 com as operações + 𝒆 ⋅.

Exemplo: O conjunto ℂ = { a + bi | a, b ∈ ℝ e i² = -1 } é um exemplo de

anel. As operações neste conjunto são definidas por (a + bi) + (c + di) = (a +

c) + (b + d)i e (a + bi)(c + di) = (ac –bd) + (ad + cb)i. O elemento neutro

aditivo é (0 + 0i) = 0 e o elemento neutro multiplicativo é (1 + 0i). O inverso

aditivo de um elemento (a + bi) é (-a + (-bi)), pois (a + bi) + (-a + (-bi)) = (a –

a) + (b – b)i = 0 + 0i = 0.

O Anel dos quatérnios

O anel dos quatérnios é definido como Q = {𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒄𝒋 + 𝒅𝒌|𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅 ∈ ℝ}. A operação de soma é definida coordenada a coordenada e para o

produto usamos 𝒊𝟐 = 𝒋𝟐 = 𝒌𝟐 = 𝒊𝒋𝒌 = −𝟏. Estas igualdades implicam que

𝒊𝒋 = 𝒌, 𝒋𝒌 = 𝒊, 𝒌𝒊 = 𝒋, 𝒋𝒊 = −𝒌, 𝒌𝒋 = −𝒊 𝒆 𝒊𝒌 = −𝒋.

As leis que definem as operações em Q são:

(𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒄𝒋 + 𝒅𝒌) + (a’ + b’i + c’j + d’k) = a + a’ + (b +

b’)i + (c + c’)j + (d + d’)k

( 𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒄𝒋 + 𝒅𝒌 ) * (a’ + b’i + c’j + d’k) =

𝒂𝒂’ – 𝒃𝒃’ – 𝒄𝒄’ – 𝒅𝒅’ + 𝒂𝒃’ + 𝒂’𝒃 + 𝒄𝒅’ – 𝒅𝒄’ 𝒊 +

𝒂𝒄′ − 𝒃𝒅′ + 𝒄𝒂′ + 𝒅𝒃′ 𝒋 + 𝒂𝒅′ + 𝒅𝒄′ − 𝒄𝒃′ + 𝒅𝒂′ 𝒌

Resultados

Se 𝜶 = 𝒂 + 𝒃𝒊 + 𝒄𝒋 + 𝒅𝒌 ∈ 𝑸, definimos o conjugado de 𝜶 como 𝜶 = 𝒂 −𝒃𝒊 − 𝒄𝒋 − 𝒅𝒌 e a norma de 𝜶 como

N(𝜶) = 𝜶𝜶 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐+𝒄𝟐+𝒅𝟐.

Segue da definição de norma que se 𝜶 ≠ 0, 𝜶−𝟏 =𝜶

𝑵(𝜶).

Lema 1: A conjugação em Q satisfaz às seguintes propriedades:

1. Se 𝜶 ∈ Q, então 𝜶 = 𝜶.

2. Se 𝜶,𝜷 ∈ Q e 𝒓, 𝒔 ∈ ℝ, 𝒆𝒏𝒕ã𝒐 𝒓𝜶 + 𝒔𝜷 = 𝒓𝜶 + 𝒔𝜷 .

3. Se 𝜶,𝜷 ∈ Q, então 𝜶 𝜷 = 𝜶𝜷 = 𝜷 𝜶.

Demonstração: As duas primeiras afirmações são de fácil verificação. Para

a última, podemos supor 𝜶,𝜷 ∈ 𝟏, 𝒊, 𝒋, 𝒌 e usar o item anterior.

Lema 2 : A norma em Q satisfaz às seguintes propriedades:

1. Se α ∈ Q, então N(α) ∈ ℝ, N(α) ≥ 𝟎 ⇔ 𝜶 = 𝟎.

2. Se 𝜶,𝜷 ∈ Q, então N(𝜶𝜷) = N(𝜶)N(𝜷)

Demonstração: A primeira afirmação segue diretamente da definição de

norma. Vamos agora mostrar a segunda: Usando o Lema 1, temos

𝑵 𝜶𝜷 = 𝜶𝜷𝜶𝜷 = 𝜶𝜷𝜶 𝜷 = 𝜶𝜶 𝜷𝜷 = 𝑵 𝜶 𝑵 𝜷 .

Na terceira igualdade acima, usamos que 𝜷𝜷 ∈ ℝ, além de fazer uso do

item 3 do Lema 1.

Referências Bibliográficas

• H. H. Domingues; G. Iezzi. Álgebra Moderna. Atual, São Paulo,

2003.

• J. C. Braga Barros; J. A. Santana. Estruturas Algébricas – Com

Ênfase em Elementos da Teoria de Lie. Editora da Universidade

Estadual de Maringá, 2011.

• Abramo Hefez: Curso de Álgebra – Volume 1. SBM, Rio de

Janeiro – 1993

• C. B. Boyer. História da matemática. Edgard Blücher, São Paulo,

1974.