matrices - álgebra lineal

IntroduccionMatrices

Clases de MatricesOperaciones

Matriz Inversa

MATRICES

Martha C. Moreno

Martha C. Moreno MATRICES



Matriz Inversa

MATRICES

Martha C. Moreno

Departamento de Matematicas

Universidad Nacional de Colombia




Matriz Inversa

Introduccion




Matriz Inversa

Introduccion

El trabajo con modelos de gran dimension, es decir que manejanconjuntos con amplia iformacion (variables, datos, ecuaciones) sesimplifica cuando se usan matrices, debido a la notacion compactay simplificada.




Matriz Inversa

Definicion




Matriz Inversa

Definicion

Una Matriz es un arreglo rectangular de numeros (reales ocomplejos)




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

E =

17 124 56 48 3

4×2




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

E =

17 124 56 48 3

4×2

A =

3 −215

1

0√2

3×2




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

E =

17 124 56 48 3

4×2

A =

3 −215

1

0√2

3×2

B =

(

1 −2 3 45 1 −9 8

)

2×4




Matriz Inversa

En General notaremos




Matriz Inversa


A =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · anm

n×m




Matriz Inversa


A =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .


n×m

A = (aij)n×m




Matriz Inversa


A =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .


n×m

A = (aij)n×m

n −→ Filas




Matriz Inversa


A =

a11 a12 · · · a1ma21 a22 · · · a2m. . . . . . . . . . . .


n×m

A = (aij)n×m

n −→ Filasm −→Columnas




Matriz Inversa

Ejemplo

Escribir una matriz: A = (aij)2×3 tal que: aij = i + (−1)j




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

0




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

0 2




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

0 2 0




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

0 2 01




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

0 2 01 3




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

0 2 01 3 1

)




Matriz Inversa

Definicion




Matriz Inversa

Definicion

Dos matrices A y B del mismo tamano son Iguales si lascomponentes correspondientes son iguales, es decir que si:




Matriz Inversa

Definicion


A = (aij)n×m y B = (bij)n×m

son dos matrices diremos que:




Matriz Inversa

Definicion




A = B




Matriz Inversa

Definicion




A = B si y solo si aij = bij para todo i = 1, ....n y todo j = 1, .....m




Matriz Inversa

Definicion





Ejercicio




Matriz Inversa

Definicion





Ejercicio

A =

(

2 −1 45 4 2

)

y B =

(

2 x + 3 4z y − 5 m

)




Matriz Inversa

A = (aij)n×m

Segun el tamano se clasifican en:




Matriz Inversa

A = (aij)n×m


Matriz Fila




Matriz Inversa

A = (aij)n×m


Matriz Fila Si n = 1




Matriz Inversa

A = (aij)n×m


Matriz Fila Si n = 1 A =(

a11 a12 · · · a1m)




Matriz Inversa

A = (aij)n×m



a11 a12 · · · a1m)

Matriz Columna




Matriz Inversa

A = (aij)n×m



a11 a12 · · · a1m)

Matriz Columna Si m = 1




Matriz Inversa

A = (aij)n×m



a11 a12 · · · a1m)

Matriz Columna Si m = 1 A =

a11a21. . .

an1




Matriz Inversa

A = (aij)n×m



a11 a12 · · · a1m)


a11a21. . .

an1

Matriz Cuadrada




Matriz Inversa

A = (aij)n×m



a11 a12 · · · a1m)


a11a21. . .

an1

Matriz Cuadrada Si n = m




Matriz Inversa

A = (aij)n×m



a11 a12 · · · a1m)


a11a21. . .

an1


A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann




Matriz Inversa

A = (aij)n×m



a11 a12 · · · a1m)


a11a21. . .

an1


A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n. . . . . . . . . . . .

an1 an2 · · · ann

Diagonal Principal




Matriz Inversa

Definicion




Matriz Inversa

Definicion

Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estanfuera de la diagonal principal son ceros se denomina una MatrizDiagonal




Matriz Inversa

Definicion

Una Matriz A cuadrada, en la que todos los elementos que estanfuera de la diagonal principal son ceros se denomina una MatrizDiagonalEs decir si aij = 0 para i 6= j




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

C =

3 0 00 8 00 0 0




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

C =

3 0 00 8 00 0 0

D =

(

10 00 8

)




Matriz Inversa

Definicion




Matriz Inversa

Definicion

Una matriz Diagonal en la que todos los elementos de la diagonalson iguales, se denomina Matriz Escalar




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

C =

4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

C =

4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4

I =

1 0 00 1 00 0 1




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

C =

4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4

I =

1 0 00 1 00 0 1

= I3




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

C =

4 0 0 00 4 0 00 0 4 00 0 0 4

I =

1 0 00 1 00 0 1

= I3 Matriz Identidad o Identica




Matriz Inversa

Definicion




Matriz Inversa

Definicion

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estandebajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matrizTriangular Superior




Matriz Inversa

Definicion

Una matriz cuadrada en la que todos los elementos que estandebajo de la diagonal son iguales a cero se denomina matrizTriangular SuperiorEs decir si aij = 0 para i > j




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

M =

1 6 −20 4 150 0 6




Matriz Inversa

Definicion


Ejemplo

M =

1 6 −20 4 150 0 6

S =

0 0 4 −90 3 4 6

0 0 13

50 0 0 17




Matriz Inversa

Ejercicio




Matriz Inversa

Ejercicio

¿Como se define una matriz triangular inferior?




Matriz Inversa

Ejercicio

¿Como se define una matriz triangular inferior?

¿Una matriz cuadrada puede ser triangular inferior y triangularsuperior simultaneamente?




Matriz Inversa

Operaciones




Matriz Inversa

Operaciones

Suma:




Matriz Inversa

Operaciones

Suma:Sean A = (aij) y B = (bij) matrices n ×m




Matriz Inversa

Operaciones

Suma:Sean A = (aij) y B = (bij) matrices n ×mEntonces:




Matriz Inversa

Operaciones


A+ B = C = (cij )n×m = (aij + bij)




Matriz Inversa

Operaciones



Ejemplo




Matriz Inversa

Operaciones



Ejemplo(

2 −1 45 4 2

)

+

(

5 2 −3−8 1 4

)

=




Matriz Inversa

Operaciones



Ejemplo(

2 −1 45 4 2

)

+

(

5 2 −3−8 1 4

)

=

(

7 1 1−3 5 6

)




Matriz Inversa

Propiedades de la suma




Matriz Inversa


Sean A, B , C matrices n×m




Matriz Inversa



A+ B = B + A




Matriz Inversa



A+ B = B + A Conmutativa




Matriz Inversa




A+ (B + C ) = (A+ B) + C




Matriz Inversa




A+ (B + C ) = (A+ B) + C Asociativa




Matriz Inversa





Existe una matriz 0n×m tal que:




Matriz Inversa





Existe una matriz 0n×m tal que:A+ 0 = 0 + A = A




Matriz Inversa





Existe una matriz 0n×m tal que:A+ 0 = 0 + A = A Modulativa




Matriz Inversa






Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que:




Matriz Inversa






Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que: A+ (−A) = −A+ A = 0




Matriz Inversa






Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que: A+ (−A) = −A+ A = 0 Inverso Aditivo




Matriz Inversa






Para cada matriz An×m = (aij) existe −An×m = (−aij)Tal que: A+ (−A) = −A+ A = 0 Inverso Aditivo

A− B = A+ (−B)




Matriz Inversa




Matriz Inversa

Producto por Escalar




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×m y k ∈ R




Matriz Inversa



Entonces:




Matriz Inversa



Entonces:

kA = (k aij)n×m




Matriz Inversa



Entonces:

kA = (k aij)n×m

Ejemplo




Matriz Inversa



Entonces:

kA = (k aij)n×m

Ejemplo

2

(

2 −1 45 4 2

)

=




Matriz Inversa



Entonces:

kA = (k aij)n×m

Ejemplo

2

(

2 −1 45 4 2

)

=

(

4 −2 810 8 4

)




Matriz Inversa

Propiedades del Producto por Escalar




Matriz Inversa


Sean A, B matrices n ×m y α, β numeros reales




Matriz Inversa



α(βA) = (αβ)A




Matriz Inversa



α(βA) = (αβ)A

(α+ β)A = αA + βA




Matriz Inversa



α(βA) = (αβ)A

(α+ β)A = αA + βADistributiva respecto a suma de escalares




Matriz Inversa



α(βA) = (αβ)A


α(A + B) = αA + αB




Matriz Inversa



α(βA) = (αβ)A


α(A + B) = αA + αBDistributiva respecto a suma de matrices




Matriz Inversa



α(βA) = (αβ)A


α(A + B) = αA + αBDistributiva respecto a suma de matrices

1A = A




Matriz Inversa

Preguntas

Sean A, B matrices n × n y α ∈ R




Matriz Inversa

Preguntas


Si A y B son diagonales, entonces A+ B es diagonal?




Matriz Inversa

Preguntas



Si A es diagonal, entonces αA es diagonal?




Matriz Inversa

Preguntas




Si A y B son triangulares, entonces A+ B es triangular?




Matriz Inversa

Preguntas





Si A y B son triangulares superiores, entonces A+ B estriangular superior?




Matriz Inversa

Preguntas





Si A y B son triangulares superiores, entonces A+ B estriangular superior?

Si A es triangular, entonces αA es triangular?




Matriz Inversa

Definicion




Matriz Inversa

Definicion

Una Combinacion Lineal (c.l) de las matrices: A1,A2, ....,Ak

es la matriz:




Matriz Inversa

Definicion


es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k




Matriz Inversa

Definicion


es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Ejercicio




Matriz Inversa

Definicion


es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Ejercicio

Sean: I =

(

1 00 1

)

y D =

(

1 00 0

)




Matriz Inversa

Definicion


es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Ejercicio

Sean: I =

(

1 00 1

)

y D =

(

1 00 0

)

Calcular la c.l −2I + 4D




Matriz Inversa

Definicion


es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Ejercicio

Sean: I =

(

1 00 1

)

y D =

(

1 00 0

)

Calcular la c.l −2I + 4D(

3 00 2

)

es c.l de I y D?




Matriz Inversa

Definicion


es la matriz:

α1A1 + α2A2 + ..... + αkAk

con αi ∈ R, i = 1, 2, ...., k

Ejercicio

Sean: I =

(

1 00 1

)

y D =

(

1 00 0

)

Calcular la c.l −2I + 4D(

3 00 2

)

es c.l de I y D?

(

4 10 −3

)

es c.l de I y D?




Matriz Inversa

Transpuesta




Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m




Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Entonces:




Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Entonces:

At = (aji)m×n




Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Entonces:

At = (aji)m×n

Ejemplo




Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Entonces:

At = (aji)m×n

Ejemplo

(

2 −1 45 4 2

)t

=




Matriz Inversa

Transpuesta

Sea A = (aij)n×m

Entonces:

At = (aji)m×n

Ejemplo

(

2 −1 45 4 2

)t

=

2 5−1 44 2




Matriz Inversa

Propiedades de la Transpuesta




Matriz Inversa


Sean A, B matrices n ×m y α ∈ R




Matriz Inversa



(At)t = A




Matriz Inversa



(At)t = A

(A+ B)t = At + B t




Matriz Inversa



(At)t = A

(A+ B)t = At + B t

(αA)t = αAt




Matriz Inversa

Matrices Simetricas y Antisimetricas

Sea A = (aij)n×n




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n

Si At = A, entonces la matriz A es Simetrica.




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n

Si At = A, entonces la matriz A es Simetrica.Si At = −A, entonces la matriz A es Antisimetrica.




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n


Ejemplo

Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano ysimetricas, que se puede decir de: ¿ A+ B?




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n


Ejemplo

Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano ysimetricas, que se puede decir de: ¿ A+ B? ¿ αA conα ∈ R?




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n


Ejemplo

Si A y B son matrices cuadradas del mismo tamano ysimetricas, que se puede decir de: ¿ A+ B? ¿ αA conα ∈ R?

Si C es una matriz cuadrada, las matrices C + C t y C − C t

¿son simetricas o antisimetricas?




Matriz Inversa

Multiplicacion




Matriz Inversa

Multiplicacion

Producto Punto:




Matriz Inversa

Multiplicacion

Producto Punto:

Sean A =(

a11 a12 · · · a1n)

1×ny B =

b11b21. .

bn1

n×1




Matriz Inversa

Multiplicacion

Producto Punto:

Sean A =(

a11 a12 · · · a1n)

1×ny B =

b11b21. .

bn1

n×1

Entonces:




Matriz Inversa

Multiplicacion

Producto Punto:

Sean A =(

a11 a12 · · · a1n)

1×ny B =

b11b21. .

bn1

n×1

Entonces:A • B = a11b11 + a12b21 + ..... + a1nbn1




Matriz Inversa

Multiplicacion

Producto Punto:

Sean A =(

a11 a12 · · · a1n)

1×ny B =

b11b21. .

bn1

n×1

Entonces:A • B = a11b11 + a12b21 + ..... + a1nbn1A • B ∈ R




Matriz Inversa

Producto entre Matrices




Matriz Inversa


Sean An×m y Bm×p




Matriz Inversa


Sean An×m y Bm×p

Denotemos por Ai las filas de A




Matriz Inversa


Sean An×m y Bm×p

Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de B




Matriz Inversa


Sean An×m y Bm×p

Denotemos por Ai las filas de A y por B j las columnas de BEntonces:




Matriz Inversa


Sean An×m y Bm×p


AB =




Matriz Inversa


Sean An×m y Bm×p


AB =

A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp

A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

An • B1 An • B2 · · · An • Bp




Matriz Inversa


Sean An×m y Bm×p


AB =

A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp

A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

An • B1 An • B2 · · · An • Bp

Si C = (cij ) = AB , entonces:




Matriz Inversa


Sean An×m y Bm×p


AB =

A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp

A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

An • B1 An • B2 · · · An • Bp


cij = Ai • B j




Matriz Inversa


Sean An×m y Bm×p


AB =

A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp

A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

An • B1 An • B2 · · · An • Bp


cij = Ai • B j = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj




Matriz Inversa


Sean An×m y Bm×p


AB =

A1 • B1 A1 • B2 · · · A1 • Bp

A2 • B1 A2 • B2 · · · A2 • Bp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

An • B1 An • B2 · · · An • Bp


cij = Ai • B j = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj =∑m

k=1 aikbkj




Matriz Inversa

Nota

El producto AB esta definido si el numero de columnas de Acoincide con el numero de filas de B




Matriz Inversa

Nota


An×mBm×p = Cn×p




Matriz Inversa

Nota


An×mBm×p = Cn×p

¿El producto de dos matrices del mismo tamano esta definido?




Matriz Inversa

Nota


An×mBm×p = Cn×p


Si A es una matriz 3× 5 y AB es una matriz 3× 7. ¿Cual esel tamano de B?




Matriz Inversa

Nota


An×mBm×p = Cn×p


Si A es una matriz 3× 5 y AB es una matriz 3× 7. ¿Cual esel tamano de B?

¿Cuantas filas tiene la matriz B si BA es de tamano 2× 6?




Matriz Inversa

Ejemplo

Consideremos las matrices:

A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB,




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA,




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t ,




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA,




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,DE,




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,DE, DE t ,




Matriz Inversa

Ejemplo


A =

(

2 13 4

)

, B =

(

1 26 5

)

, C =

(

1 −13 2

)

,

D =

1 12 −1−3 2

, E =

1 00 −21 −1

¿Cuales de los siguientes productos esta definido?:AB, BA, AC t , C tA, AD,DA,DE, DE t , E tD.




Matriz Inversa

Ejemplo




Matriz Inversa

Ejemplo

Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo rustico,7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial:




Matriz Inversa

Ejemplo

Un constructor ha aceptado pedidos para 5 casas con estilo rustico,7 con estilo moderno y 12 con estilo colonial: P =

(

5 7 12)




Matriz Inversa

Ejemplo


(

5 7 12)

Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cadatipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,




Matriz Inversa

Ejemplo


(

5 7 12)

Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cadatipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,enla matriz M se dan el numero de unidades de cada materia primaque se utilizara en cada tipo de casa:




Matriz Inversa

Ejemplo


(

5 7 12)

Supongamos ahora que las materias primas que se utilizan en cadatipo de casa son acero,madera, vidrio, pintura y mano de obra,enla matriz M se dan el numero de unidades de cada materia primaque se utilizara en cada tipo de casa:

M =

Acero Madera Vidrio Pintura Manodeobrarustico 5 20 16 7 17moderno 7 18 12 9 21colonial 6 25 8 5 13




Matriz Inversa

M =

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13




Matriz Inversa

M =

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

Determinar la cantidad de cada materia prima necesaria parasatisfacer los pedidos:




Matriz Inversa

M =

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13


PM =(

5 7 12)

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

=




Matriz Inversa

M =

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13


PM =(

5 7 12)

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

=

(

146 526 260 158 388)




Matriz Inversa

Determinar el valor que se tendra que pagar por estas materiasprimas si los costos por unidad del acero, la madera, el vidrio, lapintura y la mano de obra son respectivamente:2500, 1200, 800, 150y1500




Matriz Inversa


C =

250012008001501500




Matriz Inversa


C =

250012008001501500

MC =




Matriz Inversa


C =

250012008001501500

MC =

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

250012008001501500

=




Matriz Inversa


C =

250012008001501500

MC =

5 20 16 7 177 18 12 9 216 25 8 5 13

250012008001501500

=

758508155071650




Matriz Inversa

El costo total de cada tipo de casa sera:




Matriz Inversa


PMC = P(MC ) =




Matriz Inversa


PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

=




Matriz Inversa


PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

= 1,8099 × 106




Matriz Inversa


PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

= 1,8099 × 106

Si adicionalmente el contratista desea tener en cuenta el costo detransportar la materia prima al lugar de la construccion, ası comoel costo de compra y los datos estan en la matriz:




Matriz Inversa


PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

= 1,8099 × 106


C ′ =

Compra TransporteAcero 2500 45Madera 1200 20Vidrio 800 30Pintura 150 5

Manodeobra 1500 0




Matriz Inversa


PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

= 1,8099 × 106


C ′ =


Manodeobra 1500 0

MC ′




Matriz Inversa


PMC = P(MC ) =(

5 7 12)

758508155071650

= 1,8099 × 106


C ′ =


Manodeobra 1500 0

MC ′ Que representa PMC ′?




Matriz Inversa

Propiedades del Producto de Matrices




Matriz Inversa


Sean A, B y C matrices con tamanos apropiados y α ∈ R




Matriz Inversa



El producto de matrices en general NO es conmutaivo.




Matriz Inversa




Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )




Matriz Inversa




Am×nBn×pCp×q = (AB)C = A(BC )Asociativa




Matriz Inversa





Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + AC




Matriz Inversa





Am×n(Bn×p + Cn×p) = AB + ACDistributiva a Izquierda




Matriz Inversa






(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BC




Matriz Inversa






(Am×n + Bm×n)Cn×p = AC + BCDistributiva a Derecha




Matriz Inversa







α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)




Matriz Inversa







α(Am×nBn×p) = (αA)B = A(αB)Asociativa con el producto por escalar




Matriz Inversa








Am×nIn = A




Matriz Inversa








Am×nIn = A Modulo a derecha




Matriz Inversa









ImAm×n = A




Matriz Inversa









ImAm×n = A Modulo a izquierda




Matriz Inversa




Matriz Inversa

An×nIn = InAn×n = A




Matriz Inversa

An×nIn = InAn×n = A Modulativa




Matriz Inversa

An×nIn = InAn×n = A Modulativa

(An×mBm×p)t = B tAt




Matriz Inversa

Nota




Matriz Inversa

Nota

Sean A =

(

−2 32 −3

)

y B =

(

3 62 4

)




Matriz Inversa

Nota

Sean A =

(

−2 32 −3

)

y B =

(

3 62 4

)

Calcule AB




Matriz Inversa

Nota

Sean A =

(

−2 32 −3

)

y B =

(

3 62 4

)

Calcule AB

Si A =

(

−2 32 −3

)

B =

(

−1 32 0

)

y C =

(

−4 −30 −4

)




Matriz Inversa

Nota

Sean A =

(

−2 32 −3

)

y B =

(

3 62 4

)

Calcule AB

Si A =

(

−2 32 −3

)

B =

(

−1 32 0

)

y C =

(

−4 −30 −4

)

Calcule AB y AC




Matriz Inversa

Nota

Sean A =

(

−2 32 −3

)

y B =

(

3 62 4

)

Calcule AB

Si A =

(

−2 32 −3

)

B =

(

−1 32 0

)

y C =

(

−4 −30 −4

)

Calcule AB y AC

Si A =

(

1 20 1

)




Matriz Inversa

Nota

Sean A =

(

−2 32 −3

)

y B =

(

3 62 4

)

Calcule AB

Si A =

(

−2 32 −3

)

B =

(

−1 32 0

)

y C =

(

−4 −30 −4

)

Calcule AB y AC

Si A =

(

1 20 1

)

Encontrar B2×2 que conmute con A




Matriz Inversa

Nota

Sean A =

(

−2 32 −3

)

y B =

(

3 62 4

)

Calcule AB

Si A =

(

−2 32 −3

)

B =

(

−1 32 0

)

y C =

(

−4 −30 −4

)

Calcule AB y AC

Si A =

(

1 20 1

)


Si A =

(

−2 32 −3

)




Matriz Inversa

Nota

Sean A =

(

−2 32 −3

)

y B =

(

3 62 4

)

Calcule AB

Si A =

(

−2 32 −3

)

B =

(

−1 32 0

)

y C =

(

−4 −30 −4

)

Calcule AB y AC

Si A =

(

1 20 1

)


Si A =

(

−2 32 −3

)

Calcular: A2 + 2A− 3I




Matriz Inversa

Nota

Sean A =

(

−2 32 −3

)

y B =

(

3 62 4

)

Calcule AB

Si A =

(

−2 32 −3

)

B =

(

−1 32 0

)

y C =

(

−4 −30 −4

)

Calcule AB y AC

Si A =

(

1 20 1

)


Si A =

(

−2 32 −3

)


Si A y B son matrices cuadradas de tamano n× n




Matriz Inversa

Nota

Sean A =

(

−2 32 −3

)

y B =

(

3 62 4

)

Calcule AB

Si A =

(

−2 32 −3

)

B =

(

−1 32 0

)

y C =

(

−4 −30 −4

)

Calcule AB y AC

Si A =

(

1 20 1

)


Si A =

(

−2 32 −3

)


Si A y B son matrices cuadradas de tamano n× nAB + 3A =




Matriz Inversa

Matrices Ortogonales

Sea A = (aij)n×n




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n

Si AAt = AtA = In, entonces A es Ortogonal




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n


Ejemplo




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n


Ejemplo

I es ortogonal?




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n


Ejemplo

I es ortogonal?

A =

(√32

−12

12

√32

)

es ortogonal?




Matriz Inversa

Matrices Idempotentes, Nulipotentes

Sea A = (aij)n×n




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n

Si Ak = A con k ∈ N, entonces A es Idempotente




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n


Si Ak = ⊘, para algun k ∈ N entonces A es Nulipotente oNilpotente,




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n


Si Ak = ⊘, para algun k ∈ N entonces A es Nulipotente oNilpotente, el menor k que satisface la condicion se denominaIndice de nilpotencia




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n



Ejemplo




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n



Ejemplo

A =

(

−1 1−2 2

)

es idempotente?




Matriz Inversa


Sea A = (aij)n×n



Ejemplo

A =

(

−1 1−2 2

)

es idempotente?

A =

(

0 00 1

)

es idempotente o nilpotente?




Matriz Inversa

Definicion




Matriz Inversa

Definicion

Sea An×n una matriz cuadrada, se dice que A es No singular oinvertible, si existe Bn×n talque:




Matriz Inversa

Definicion


AB = BA = In




Matriz Inversa

Definicion


AB = BA = In

Ejercicio




Matriz Inversa

Definicion


AB = BA = In

Ejercicio

Es B la inversa de A ?




Matriz Inversa

Definicion


AB = BA = In

Ejercicio


A =

(

4 23 1

)

B =

(

1 −23 4

)




Matriz Inversa

Definicion


AB = BA = In

Ejercicio


A =

(

4 23 1

)

B =

(

1 −23 4

)

A =

(

3 51 2

)

B =

(

2 −5−1 3

)




Matriz Inversa

Propiedades de la Inversa:




Matriz Inversa

Propiedades de la Inversa:Sean A, B matrices cuadradas del mismo tamano y nosingulares y α ∈ R− {0}




Matriz Inversa


La inversa es unica




Matriz Inversa


La inversa es unica(A−1)−1 = A




Matriz Inversa


La inversa es unica(A−1)−1 = A(At)−1 = (A−1)t




Matriz Inversa



(AB)−1 = B−1A−1




Matriz Inversa



(AB)−1 = B−1A−1

(αA)−1 = 1αA−1




Matriz Inversa



(AB)−1 = B−1A−1

(αA)−1 = 1αA−1

(An)−1 = (A−1)n = A−n




Matriz Inversa

Matriz Involutiva

Sea A = (aij)n×n no singular




Matriz Inversa

Matriz Involutiva


Si A−1 = A, entonces A es Involutiva




Matriz Inversa

Matriz Involutiva



Ejemplo




Matriz Inversa

Matriz Involutiva



Ejemplo

I es involutiva?




Matriz Inversa

Matriz Involutiva



Ejemplo

I es involutiva?

A =

(

3 −42 −3

)

es involutiva?




Matriz Inversa

Matriz Involutiva



Ejemplo

I es involutiva?

A =

(

3 −42 −3

)

es involutiva?

Nota

¿Una matriz ortogonal An×n es no singular?


matrices - álgebra lineal

Education