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MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 12 de Abril de 2011 Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1 ECUACIONES LINEALES (Clase 03) (Clase 03) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela

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Page 1: 12 de Abril de 2011 MATRICES, DETERMINANTES Y … · Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1 (Clase 03) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de

MATRICES, DETERMINANTES Y

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

12 de Abril de 2011

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1

ECUACIONES LINEALES(Clase 03)(Clase 03)

Departamento de Matemática Aplicada

Facultad de Ingeniería

Universidad Central de Venezuela

Page 2: 12 de Abril de 2011 MATRICES, DETERMINANTES Y … · Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 1 (Clase 03) Departamento de Matemática Aplicada Facultad de

1. Determinante de una matriz

2. Propiedades de los determinantes

3. Cálculo del determinante usandooperaciones elementales

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 2

4. Determinante de orden 3

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Sea A una matriz de orden n , si n =1se tiene: A=[a], det A= a

Se llama determinante de la matriz A de orden2 al número a .a -a .a y escribimos:

Determinante de una matriz

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

2 al número a11.a22-a12.a21 y escribimos:

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1. Determinante de una matriz

2. Propiedades de los determinantes

3. Cálculo del determinante usandooperaciones elementales

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 4

4. Determinante de orden 3

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1. Determinante de la traspuestaSi A es cualquier matriz cuadrada, entonces:

det(A)= det(A )t

2. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A,entonces el determinante cambia de signo:

det B = - det A

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

det B = - det A(OPERACIÓN ELEMENTAL 1)

3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por elescalar c, entonces el determinante queda multiplicado por c.

det B = c (det A)(OPERACIÓN ELEMENTAL 2)

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4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo deotra fila de A, entonces el determinante no se altera

det B = det A(OPERACIÓN ELEMENTAL 3)

5. Determinante de una matriz triangularEl determinante de una matriz triangular está dado por

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

El determinante de una matriz triangular está dado por el producto de los elementos de su diagonal.

11 12 13 1n

22 23 2n

33 3n

nn

a a a ... a0 a a ... a

de t 0 0 a ... a. . . ... ...0 0 0 0 a

nnaaaa ... 332211=

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6. Determinante de la inversa

Si A es no singular, entonces det(A) 0, y :

=

)det(

1

A)det( 1−A

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

Es decir una matriz tiene inversa si su determinante es diferente de cero.

Si el determinante de una matriz es cero , la matriz no tiene inversa.

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a. Si un renglón o columna tiene solo ceros, el determinante escero.

b. Si se intercambian 2 renglones o columnas, el signo deldeterminante cambia

c. Si dos columnas o renglones son iguales, el determinante escero.

d. Si se multiplica un renglón o columna por un numero real el

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

d. Si se multiplica un renglón o columna por un numero real eldeterminante se multiplica por ese número real.

e. Si se suma un múltiplo de un renglón o columna a otro renglón ocolumna, el determinante no se altera.

f. El determinante de un producto de matrices es igual al productode los determinantes de cada una.

g. El determinante de la inversa es el inverso del determinante dela matriz original.

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det AT = det A

4143

75det −=

−=A 41

47

35det −=

−=TA

Si dos filas (columnas) de una matriz A de n × nson idénticas, entonces det A = 0.

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

son idénticas, entonces det A = 0.

=229

224

226

A 0

229

224

226

det ==A

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Si todos los elementos de una fila (columna) de una matriz A de n × n son cero, entonces det A = 0.

Si B es la matriz obtenida por intercambio de dos filas (columnas) de una matriz A n × n,entonces:

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

det B = −det A

AB det

312

706

914

914

706

312

det −=−

−=−

=

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Si B se obtiene de una matriz A n × n multiplicando una fila (columna) por un número real k, entonces:

det B = k det A

A

B

det)(

det 2211

kCaCaCak

CkaCkaCka ininiiii

=+++=+++=

����� ������ ��⋯

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

AA

det)(fila ésima- la de largo lo a cofactorespor det deexpansión

2211 kCaCaCaki

ininiiii =+++=����� ������ ��

80)21(8012

11285

24

1185

164

815

1620

85

−=−==

==

..

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Si A y B son matrices n × n, entonces

det AB = det A ⋅ det B.

−−

=

−=

53

43,

11

62BA

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

−−

=96

2212AB

det AB = −24, det A = −8, det B = 3,

det AB = det A ⋅ det B.

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Si B se obtiene como combinaciones lineales de filas o columnas de una matriz A n × n, entonces:

det B = det A

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

det A = 45 = det B = 45.

BA =

−−−

−= ⇒

+−

2411

703

215

414

703

215313 RR

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=

333231

2221

11

0

00

aaa

aa

a

A

33221132332211

3332

2211

).0(

0det

aaaaaaa

aa

aa

=−

==A

matriz triangular inferior

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

−−

=

2427

0495

0062

0003

A

144)2(.)4(.6.3

2427

0495

0062

0003

det

=−−

=

−−

=A

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− 003 003−

matriz diagonal

Propiedades de los determinantes

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

−=

400

060

003

A 7246)3(

400

060

003

det −=−=−

= ..A

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1. Determinante de una matriz

2. Propiedades de los determinantes

3. Cálculo del determinante usandooperaciones elementales

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 16

4. Determinante de orden 3

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Se ha afirmado que para el caso especial de unamatriz triangular, el determinante es igual alproducto de los elementos sobre la diagonal.Entonces, si una matriz puede reducirse a unamatriz escalonada por filas, es evidente que eldeterminante podrá calcularse como el producto

Cálculo del determinante por operaciones elementales

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

determinante podrá calcularse como el productode los elementos diagonales, considerando en eldesarrollo las operaciones elementales por filas ysu efecto en el valor del determinante. Se usaráun ejemplo para ilustrar esta situación:

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Hallar el determinante de la matriz

2 2 0 4

Cálculo del determinante por operaciones elementales

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

2 2 0 43 3 2 2

A0 1 3 22 0 2 1

=

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Solución: se tiene que

(suma de filas)

(multiplicación por un escalar)

1202

2310

2233

2011

2

1202

2310

2233

4022

=

4200

2011

2−

=

1800

4200

2310

2011

2−

−=

1800

2100

2310

2011

)2(2−

−=

Cálculo del determinante por operaciones elementales

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

(multiplicación por un escalar)

(dos veces suma de filas)

(suma de filas)

(intercambio de filas) det (A)= (-2)(2)(17)=-68

3220

23102

−−

=

3220

4200

2310

2011

2

−−−

−=

1800

17000

2100

2310

2011

)2(2−

−=

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Es conveniente aclarar que para elcálculo de los determinantes, lasoperaciones básicas también puedenrealizarse por columnas, dependiendodel ejemplo de que se trate.

Cálculo del determinante por operaciones elementales

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

del ejemplo de que se trate.

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1. Determinante de una matriz

2. Propiedades de los determinantes

3. Cálculo del determinante usandooperaciones elementales

Puntos a tratar

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 21

4. Determinante de orden 3

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En el caso de matrices cuadradas de orden 3,también podemos calcular el determinantede la siguiente manera:

�Copie la primera y segunda columna de lamatriz a su derecha:

Determinante de una matriz de orden 3

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

( )312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA ++−++=

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A =

+

-

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−−−

=134

327

145

A

−−−−

=111

122

110

B

1. Evalúe el determinante de las siguientes matrices:

Ejercicios

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero

2. Para que valor de a el determinante es cero:

a

a

a

42

012

321

−−+−

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Pensamiento de hoy

“No es lo que no sabemoslo que nos inquieta, es loque sabemos que no es así”.

Álgebra Lineal y Geometría Analítica José Luis Quintero 24

que sabemos que no es así”.

Will Rogers