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Research Collection

Report

Zur Konzeption gekrümmter Brücken

Author(s): Laffranchi, Massimo

Publication Date: 1999

Permanent Link: https://doi.org/10.3929/ethz-a-003878442

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Institut für Baustatik und KonstruktionEidgenössische Technische Hochschule Zürich

Massimo Laffranchi

ZürichSeptember 1999

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Der Bau moderner Verkehrsträger erfordert oft gekrümmte Brücken. Leider wird diegrosse Freiheit, die beim Entwurf solcher Brücken grundsätzlich besteht, nur selten ge-nutzt. Durchlaufende Hohlkastenträger aus Spannbeton sind zur dominanten Überbau-form geworden. Bei allen Vorzügen solcher Träger ist doch eine gewisse Monotonie zuvermerken.

Mit dem vorliegenden, als Promotionsarbeit verfassten Bericht entwickelt Herr Laf-franchi eine interessante Methode, die zu einer Bereicherung der Palette gekrümmterBrückenkonstruktionen beitragen sollte. Die Methode des Seilpolygonpaars gestattet aufanschauliche Weise, die räumlich Abtragung der Hauptlasten zu verfolgen und neueRealisierungsmöglichkeiten für gekrümmte Brücken mit aufgelöstem Querschnitt zu er-kennen. Durch die Beschränkung auf die klare Erfassung der Haupttragwirkung wird derüblicherweise durch vielerlei Nebeneinflüsse verstellte Blick frei, und der entwerfendeIngenieur wird instand gesetzt, innovative Baukonzepte auszuarbeiten.

Zürich, im September 1999 Prof. Dr. Peter Marti

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Gekrümmte Brücken bieten viele interessante Möglichkeiten für den Entwurf von Trag-werken mit aufgelöstem Querschnitt. Wegen der normalerweise höheren ästhetischenAnsprüche sind solche Tragwerke insbesondere für Fussgängerbrücken von Interesse.Krümmung und Auflösung des Tragwerks erschweren jedoch sowohl die Erfassung desKräfteflusses als auch die Formfindung. Mit der vorliegenden Arbeit wird versucht, zueinem besseren Verständnis der Tragwirkung gekrümmter Brücken beizutragen und eini-ge daraus sich ergebende Denkanstösse für neue Konzepte zu geben. Es werden Modellepräsentiert, welche sich sowohl für Trägerbrücken als auch für Tragwerke mit aufgelö-stem Querschnitt eignen. Graphische Betrachtungen werden analytischen Untersuchun-gen vorgezogen. Einzelne Beispiele neuer Konzepte illustrieren die mögliche Umset-zung dieser Denkweise.

Im ersten Teil werden Grundlagen für den Entwurf und die Analyse gekrümmterBrücken vorgelegt und das Modell des Seilpolygonpaars erörtert. Einleitend wird ein ge-schichtlicher Rückblick über die Entwicklung der gekrümmten Brücken präsentiert. An-schliessend werden am Grundfall des elastischen Kreisringträgers die graphische Ermitt-lung der Schnittkräfte aufgezeigt und Möglichkeiten für die horizontale Lagerungdiskutiert. Der Spannungszustand wird anhand der Gleichgewichtsform eines räumli-chen Systems aus zwei Seilen erörtert. Die Seilkräfte sind in jedem Querschnitt mit derDyname der Schnittgrössen äquivalent. Die grosse Freiheit in der Formfindung ge-krümmter aufgelöster Tragwerke kann damit veranschaulicht werden. Die Kombinationdes Seilsystems mit den zur Abtragung allgemeiner Lasten erforderlichen Versteifungs-elementen ermöglicht es, vielfältige Übergangsformen zwischen Seilwerk und Träger zufinden und ihre prinzipielle Tragwirkung zu erörtern.

Im zweiten Teil werden Trägerbrücken und allgemeine Systeme mit aufgelöstemQuerschnitt und Seilpolygonelementen betrachtet. Für Durchlaufträger und Träger mitfesten Pfeiler- und Widerlagerverbindungen werden Überlegungen zum statischen Sy-stem und zur Ausbildung der Querschnitte dargelegt. Die formtreue Vorspannung ge-krümmter Träger wird mit Hilfe des Seilpolygonpaars behandelt, und ihre Wirkungswei-se wird graphisch veranschaulicht. Zusätzlich werden Möglichkeiten der Formfindungfür Träger mit räumlicher Unterspannung aufgezeigt. Für allgemeine Systeme werdenFormfindung und Tragwirkung mit den Mitteln der graphischen Statik und einfachen sta-tischen Modellen beschrieben. Durch Aufteilung der Belastung auf Seil- und Verstei-fungssystem kann die Tragwirkung erfasst und der Einfluss freier Formen der Seilpoly-gonelemente veranschaulicht werden. Grundüberlegungen zur Stabilität gekrümmterBogensysteme werden anhand von Energieverfahren gemacht.

Im dritten Teil werden die erarbeiteten Hilfsmittel für die Entwicklung neuer Konzep-te für unterspannte Träger sowie für Kabel- und Bogenbrücken eingesetzt. Das vorausge-setzte Tragverhalten wird je an einem Beispiel überprüft, und die Ergebnisse werden dis-kutiert. Diese Konzepte beweisen, dass die Möglichkeiten der Formfindung gekrümmterBrücken noch nicht ausgeschöpft sind, und sie belegen die Fruchtbarkeit der eingeführ-ten Betrachtungsweise.

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Curved bridges offer many possibilities for the conceptual design of structures withcross-sections that are resolved into a system of struts and ties. Because of aesthetic de-mands, such systems are particularly relevant for pedestrian bridges. Curvature of thebridge axis makes it difficult to comprehend both the flow of forces and the form-findingof the structure. The present thesis aims at contributing to a better understanding of thestructural behaviour of curved bridges and is intended to serve as an inspiration for newconcepts. It presents models that are suitable for girders as well as for structures with re-solved cross-section. Rather than analytical evaluation, graphical methods are used. Sev-eral examples of new concepts illustrate possible applications of the proposed approach.

The first part of the thesis presents the fundamentals for both the conceptual designand the analysis of curved bridges using a system of two funicular polygons. A historicalreview of the development of curved bridges is given. Subsequently, the graphical deter-mination of sectional forces is shown for a horizontally curved beam. More generally,the flow of forces is examined using graphical statics on the basis of three spatial curves;that is, the load axis and two funicular polygons. The two funicular polygons can also beinterpreted as an equilibrium form of a spatial system consisting of two cables. In everycross-section, the cable forces are equivalent to the sectional forces. The cable system re-veals the considerable freedom that exists in the form-finding of curved and resolvedstructures. The combination of the cable system with stiffening elements provides transi-tional forms between cable structures and beams, and it allows examination of the behav-iour of such structures.

The second part of this thesis discusses girder bridges as well as cable-supported, archand frame bridges with resolved cross-sections. It presents considerations on statical sys-tems and cross-sections for continuous girders and girders with fixed connections to thepiers and abutments. The prestressing of curved girders is analysed with the help of thetwo funicular polygons. Moreover, possibilities for finding forms of externally pre-stressed girders are explained. Form-finding, structural behaviour and stability are de-scribed on the basis of graphical statics and simple statical models for cable-supported,arch and frame bridges. For preliminary design, the load is proportioned between the ca-ble and the stiffening system. This helps to understand the structural behaviour and to il-lustrate the influence of various free forms of arches and external prestressing. Funda-mental considerations on the stability of curved arch bridges are shown using energymethods.

The last part of the thesis presents new concepts for externally prestressed girders aswell as for arch and cable-supported bridges. The assumed structural behaviour is veri-fied by examples and the results are discussed. These concepts confirm that the possibil-ities for the form-finding of curved bridges are not yet exhausted and prove the effective-ness of the introduced approach.

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I ponti curvi offrono molte possibilità per la progettazione di strutture aventi sezionescomposta in più elementi collegati tra loro da tiranti e bielle a compressione. Tali strut-ture risultano di particolare interesse per ponti pedonali, per i quali le esigenze estetichesono abitualmente più elevate. La curvatura dell’asse del ponte rende più difficile lacomprensione del flusso delle forze e della determinazione della forma della struttura.Con il presente lavoro si intende contribuire ad una migliore comprensione del compor-tamento strutturale dei ponti curvi e fornire alcuni spunti da cui trarre ispirazione pernuovi concetti. Sono presentati modelli adatti all’analisi sia di travi curve, sia di strutturecon sezione scomposta. Considerazioni e metodi grafici vengono privilegiati rispetto alcalcolo analitico. La possibile applicazione dell’approccio proposto è illustrata da alcuniesempi di nuovi concetti strutturali.

Nella prima parte vengono presentati i fondamenti della progettazione concettuale edell’analisi dei ponti curvi, grazie ad un sistema di due poligoni funicolari. Il tema vieneintrodotto da una breve retrospettiva storica. Successivamente si mostra la determinazio-ne grafica delle forze sezionali di una trave curva. Il flusso delle forze è poi esaminatopiù generalmente con l’aiuto della statica grafica grazie a tre curve spaziali, vale a direl’asse dei carichi e una coppia di poligoni funicolari. I due poligoni funicolari possonoessere altresì considerati come forma di equilibrio di un sistema spaziale composto dadue funi per il carico dato. In ogni sezione trasversale le forze nelle funi equivalgono alleforze sezionali e costituiscono un dinamo. Il sistema di funi visualizza la considerevolelibertà esistente nella determinazione della forma di strutture curve con sezione scompo-sta. La combinazione della coppia di funi con elementi irrigidenti consente la creazionedi strutture intermedie tra le travi e le strutture a cavi, e consente di discuterne il compor-tamento strutturale.

Nella seconda parte sono discussi ponti a trave, come pure ponti ad arco, strallati e so-spesi con sezione scomposta. Sono presentate considerazioni sul sistema statico e sullesezioni di travi continue con appoggi fissi sulle pile ed alle spalle. La precompressione ditravi curve e le possibili forme di tiranti esterni alla sezione sono analizzate con l’aiuto diuna coppia di poligoni funicolari. Forma, comportamento strutturale e stabilità di pontistrallati e sospesi, nonché di ponti ad arco e di telai sono descritti con i metodi della sta-tica grafica e semplici modelli statici. I carichi vengono ripartiti tra sistema funicolare esistema irrigidente, permettendo così un dimensionamento preliminare della struttura. Intal modo si rende pure comprensibile il comportamento della struttura e si illustra l’in-flusso di forme spaziali libere di archi e tiranti esterni. Considerazioni di principio ri-guardanti la stabilità dei ponti ad arco sono espresse sulla scorta dei metodi energetici.

Nell’ultima parte sono proposti alcuni nuovi concetti per travi con tiranti esterni allasezione come pure per ponti ad arco e ponti sospesi. Il comportamento strutturale presup-posto è verificato tramite esempi ed i risultati sono discussi. I concetti esposti dimostranoche le possibilità della determinazione della forma dei ponti curvi non sono ancora com-pletamente sfruttate ed illustrano l’efficacia dell’approccio introdotto.

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Les ponts courbes offrent d’intéressantes possibilités pour la conception de structuresdont la section transversale se compose de plusieurs sections séparées. Ces structuressont particulièrement indiquées pour les passerelles, car elles permettent de mieux seconformer aux exigences esthétiques. La courbure de l’axe du pont complique toutefoisla compréhension du flux des forces et la détermination de la forme de la structure. Cettethèse a pour but de contribuer à une meilleure compréhension du comportement structu-ral des ponts courbes et de susciter le développement de nouveaux concepts. Des modè-les qui s’appliquent aussi bien à des ponts-poutres qu’à des structures dont la sectiontransversale se compose de plusieurs sections séparées y sont présentés. L’utilisation deméthodes graphiques a été préférée à une évaluation analytique. Les applications possi-bles de l’approche proposée sont illustrées par quelques nouveaux concepts.

La première partie de la thèse présente les fondements de la conception et de l’analysedes ponts courbes en utilisant un système de deux polygones funiculaires. L’historiquedu développement des ponts courbes est présenté en introduction. La détermination gra-phique des efforts intérieurs est traitée ensuite pour une poutre courbe horizontale. De fa-çon plus générale, le flux des forces est examiné sur la base de trois courbes: l’axe descharges et deux polygones funiculaires, qui peuvent aussi être interprétés comme la for-me d’équilibre d’un système spatial composé de deux câbles. Dans chaque section trans-versale, les forces des câbles sont équivalentes aux efforts intérieurs. Cette approche meten évidence la grande liberté qui existe dans la détermination de la forme des structurescourbes avec une section transversale composée de plusieurs sections. La combinaisondu système de câbles avec des éléments de raidissement fournit des formes intermédiai-res entre les structures à câbles et les poutres, en permettant leur analyse préliminaire.

La deuxième partie de cette thèse analyse les ponts-poutres ainsi que les ponts suspen-dus, les ponts-arcs et les ponts-cadres. Elle contient des considérations sur les systèmesstatiques et les sections transversales pour des poutres continues et des poutres fixées auxpiles et aux culées. La précontrainte est analysée à l’aide des deux polygones funiculai-res. De plus, les possibilités pour déterminer les formes de poutres courbes sous-tenduessont expliquées. La forme, le comportement structural et la stabilité des ponts suspendus,des ponts-arcs et des ponts-cadres sont décrits sur la base de la statique graphique et demodèles statiquement simples. Pour le prédimensionnement, la charge est répartie entrele câble et le système de raidissement. Cette approche aide à la compréhension du com-portement structural et illustre l’influence des différentes formes des arcs et de la précon-trainte externe. Des considérations générales concernant la stabilité des ponts-arcscourbes sont déduites de considérations énergétiques.

La dernière partie de cette thèse présente de nouveaux concepts pour des poutressous-tendues, des ponts-arcs et des ponts suspendus. Les hypothèses concernant le com-portement structural sont vérifiées dans des exemples et les résultats sont discutés. Cesconcepts confirment que les possibilités pour la détermination de la forme des pontscourbes ne sont pas épuisées et prouvent l’efficacité de cette nouvelle approche.

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1.1 Problemstellung 1

1.2 Zielsetzung 2

1.3 Übersicht 3

1.4 Abgrenzung 3

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2.1 Geschichtlicher Rückblick 52.1.1 Erste Brücken in der Kurve 52.1.2 Stetig gekrümmte Tragwerke 62.1.3 Moderne Trägerbrücken 92.1.4 Vielfalt der Formen 11

2.2 Linienführung 13

2.3 Elastische Kreisringträger 152.3.1 Gleichgewicht und Schnittkräfte 152.3.2 Lagerung und lastfreie Spannungszustände 20

2.4 Räumliche Seilpolygone 232.4.1 Affinität zwischen Last und System 232.4.2 Formfindung räumlicher Seilpolygone 252.4.3 Vorspannung und Seilwerke 29

2.5 Versteifte Seilpolygontragwerke 312.5.1 Elastische Seilpolygone 312.5.2 Ebene Tragwerke 322.5.3 Gekrümmte Tragwerke 35

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3.1 Statisches System 373.1.1 Durchlaufträger 373.1.2 Monolithische Systeme 38

3.2 Querschnitte 423.2.1 Voraussetzungen 423.2.2 Offene Querschnitte 423.2.3 Geschlossene Querschnitte 44

3.3 Anwendungen des Seilpolygonpaars 483.3.1 Formtreue Vorspannung 483.3.2 Freie Kabelformen 54

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4.1 Zur Morphologie der Systeme 59

4.2 Entwurf 604.2.1 Geometrische Formfindung 604.2.2 Lagerung 644.2.3 Belastungs- und Steifigkeitsverteilung 68

4.3 Tragwirkung 714.3.1 Seilpolygon- und Trägerrostwirkung 714.3.2 Exzentrizität der Stützlinie 76

4.4 Stabilitätsprobleme 784.4.1 Elastisch gestützte Druckstäbe 784.4.2 Wirkung des Gesamtsystems 81

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5.1 Trägerbrücken 855.1.1 Formen von Unterspannungen 855.1.2 Steifigkeit des Systems 885.1.3 Durchlaufträger 90

5.2 Kabelbrücken 945.2.1 Linienführung und statische Systeme 945.2.2 Anwendung des Jawerth – Seilbinders 98

5.3 Bogenbrücken 1045.3.1 Bogenformen 1045.3.2 Systeme mit Ausfachung 107

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6.1 Zusammenfassung 111

6.2 Folgerungen 114

6.3 Ausblick 115

Literatur 117

Bezeichnungen 123

1

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In der ersten Phase der Projektierung setzt sich der konstruktiv tätige Ingenieur mit derKonzeption des Tragwerkes auseinander. Die dabei getroffenen Entscheidungen wirkensich massgeblich auf die Qualität des Projektes aus. Mit dem Entwurf einer Brücke wer-den ihre Form und Tragwirkung festgelegt sowie die Querschnittsabmessungen mitRücksicht auf normierte, primär zu erfüllende Kriterien der Tragsicherheit und Ge-brauchstauglichkeit abgeschätzt. Aufgrund des Erfüllungsgrades anderer Anforderungenan das Tragwerk, welchen je nach Objektart und Situation unterschiedliche Bedeutungund Priorität zukommt, kann der Entwurf bewertet werden. Diese Anforderungen betref-fen einerseits die Wirtschaftlichkeit und die Dauerhaftigkeit, welche weitgehend objek-tiv bewertbar sind, und andererseits die ästhetische Qualität und die Eingliederung insUmfeld, deren Beurteilung von Geschichte, Zeitgeist und Kultur abhängt. Da im Brük-kenbau der statische Aspekt des Bauwerks dominiert, ist eine effiziente Tragwirkungeine unumgängliche Voraussetzung für einen guten Entwurf.

Im Brückenbau standen bis ins 19. Jahrhundert Geist, Gefühl und Erfahrung des fürKonzept, Gestaltung und Ausführung verantwortlichen Ingenieurs im Vordergrund. Ge-gen die Jahrhundertwende wurde die Entwicklung der Statik und der Materialtechnolo-gie durch eine intensivierte Forschungstätigkeit, welche gelegentlich durch schwereSchäden oder Unfälle erzwungen und beschleunigt wurde, unterstützt. Der wissenschaft-liche Fortschritt im Bauwesen führte im 20. Jahrhundert zur Entwicklung neuer Gebieteund zu einer Spezialisierung des Bauingenieurs. Die Normierung der Anforderungen anBaustoffe und Bauwerke wurde aufgrund der Forschungsergebnisse ausgebaut und er-forderte sukzessive eine detailliertere Bemessung der Tragwerke, was durch die Einfüh-rung der Computerstatik in den letzten Jahrzehnten noch gefördert wurde. Diese Ent-wicklung drängte jedoch die für den konzeptionellen Entwurf notwendige statischeIntuition und das Verständnis für die Tragwirkung der Struktur etwas in den Hinter-grund. Aus den neuen Erkenntnissen und den leistungsfähigen Berechnungsmöglichkei-ten resultierte keine grössere Vielfalt an Brückensystemen. Namentlich in der geschicht-lichen Entwicklung der gekrümmten Brücken, die viele interessante Möglichkeiten fürKonzepte mit aufgelösten Tragwerken bieten, lassen sich diese unterschiedlichen Epo-chen und ihre Übergänge erkennen.

Die Anpassung der Brückenform an eine geschwungene Linienführung wurde erst-mals beim Bau der Stadtbahnen und der alpinen Bahnen notwendig. Zu Beginn wurde

Einleitung

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die Krümmung durch polygonal aneinandergereihte einfache Balken angenähert; späterwurden auch kontinuierlich gekrümmte Trägerbrücken realisiert. Für kurze Spannweitenwurden bereits sehr früh in diesem Jahrhundert auch andere Brückensysteme gebaut, wo-bei die Tragwirkung nur intuitiv und in groben Zügen erfasst wurde und durch die Be-rechnung nicht belegt werden konnte. Nach der Einführung der Vorspanntechnik kamhauptsächlich der Durchlaufträger in Spannbeton für viele unterschiedliche Situationen,Verkehrsarten und Spannweiten zur Ausführung. Aufgelöste gekrümmte Systeme wur-den später vermehrt ausgeführt, insbesondere für kleinere Fussgängerbrücken. Diese bie-ten wegen ihrer bescheidenen Nutzlasten Raum für neue Konzepte, was angesichts deroftmals höheren ästhetischen Ansprüche sehr erwünscht ist.

Die bei gekrümmten Brücken vorhandene Entwurfsfreiheit wird durch ihre nichtleicht überschaubare Tragwirkung eingeschränkt. Krümmung und Auflösung des Trag-werks erschweren die Veranschaulichung des Kräfteflusses und das Erkennen gemeinsa-mer Merkmale verschiedener Systeme. Die übliche Analyse der Struktur anhand vonSchnittgrössen fördert das Verständnis der Tragwirkung kaum. Analytische Mittel schei-nen für die Formfindung gekrümmter Bogen- oder Hängebrücken eher ungeeignet. Vonder Möglichkeit, die für die Konzeption relevanten statischen Eigenschaften eines ge-krümmten Tragwerks anhand der Mittel der graphischen Statik zu erläutern, wurde nurselten konsequent Gebrauch gemacht. Systematische Arbeiten zur Untersuchung derFormfindung und Tragwirkung allgemeiner Systeme für gekrümmte Brücken liegen bisheute nicht vor.

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Das Ziel der vorliegenden Arbeit besteht einerseits darin, das Spektrum der Möglichkei-ten für den Entwurf gekrümmter Brücken durch eingehende statische Betrachtungen zuerweitern und Denkanstösse für neue Konzepte zu geben. Andererseits soll die Tragwir-kung allgemeiner gekrümmter Brückensysteme veranschaulicht werden.

Im Vordergrund stehen die Formfindung und die Erfassung der Tragwirkung ge-krümmter Tragwerke unter Zuhilfenahme der graphischen Statik. Anschauliche, auf denPrinzipien der graphischen Statik aufbauende Modelle sollen präsentiert werden. Da-durch wird ein Einblick in das komplexe Tragverhalten aufgelöster Tragwerke vermit-telt, ohne dass vorgängig aufwendige Berechnungen durchgeführt werden müssen. Mitdiesem Ansatz soll der Entwurf gekrümmter Brücken vereinfacht und durch neue Mög-lichkeiten bereichert werden.

Einige aus diesen Grundlagen abgeleitete neue Konzepte für gekrümmte Brücken mitaufgelöstem Tragwerk werden diskutiert. Sie sollen die Fruchtbarkeit der gewählten Me-thode bestätigen.

Übersicht

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Im ersten Teil der Arbeit (Kapitel 2) werden neben einem geschichtlichen RückblickGrundlagen für die Analyse gekrümmter Brückensysteme dargelegt. Die graphische Er-mittlung der Schnittkräfte eines biege- und torsionssteifen gekrümmten Trägers wird aneinem Grundfall aufgezeigt. Die Schnittkraftanalyse wird durch Anwendung der graphi-schen Statik im Raum veranschaulicht; dabei wird der Spannungszustand durch ein zurSchnittkraftdyname in jedem Schnitt äquivalentes Seilpolygonpaar beschrieben. DasSeilpolygonpaar lässt sich als Seilsystem interpretieren und vereinfacht die Diskussionder Formfindung gekrümmter Bogen- und Hängesysteme erheblich. Anschliessend wer-den einige Prinzipien für die Analyse von versteiften Seilpolygontragwerken erörtert, dieaus der Kombination eines Seilpolygonpaars mit biege- und torsionssteifen Elementenresultieren.

Die Diskussion der Tragwirkung und die Ausbildung gekrümmter Brücken sind Ge-genstand des zweiten Teils der Arbeit (Kapitel 3 und 4). In Kapitel 3 werden einigeÜberlegungen zum statischen System und zur Querschnittsausbildung von gekrümmtenDurchlaufträgern und Trägern mit fester Pfeiler- und Widerlagerverbindung dargelegt.Ausgehend von einer Diskussion der formtreuen Vorspannung, deren Wirkung undFormfindung anhand des Seilpolygonpaars erläutert werden, werden gekrümmte Trägermit freien Kabelformen besprochen. In Kapitel 4 werden verschiedene durch Formfind-ung, Lagerung und Steifigkeitsverteilung gebotene Möglichkeiten für den Entwurf auf-gelöster Rahmensysteme aufgezeigt und die Erfassung ihrer Tragwirkung mit den Mit-teln der graphischen Statik erörtert. Schliesslich wird die Stabilität gekrümmter Bogen-und Rahmensysteme analysiert.

Im dritten Teil der Arbeit (Kapitel 5) werden einige Konzepte für gekrümmte Brük-ken genauer untersucht. Es werden verschiedene Varianten für aufgelöste Tragwerke er-örtert, namentlich unterspannte Träger, Hänge- und Bogenbrücken. Ihr Tragverhaltenwird mit nichtlinearen Berechnungsverfahren überprüft, und die Ergebnisse werden dis-kutiert.

Die gewonnenen Erkenntnisse werden in Kapitel 6 zusammengefasst und durchSchlussbemerkungen ergänzt.

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Das Spektrum des Entwurfs von Tragwerken ist sehr breit. Auf den Versuch, das hier un-tersuchte Gebiet der gekrümmten Brücken in eine ganzheitliche Betrachtung des Ent-wurfsprozesses einzubetten, wird verzichtet. Ebenfalls wird die Frage der allgemeinenBeurteilung eines Brückenkonzeptes, insbesondere hinsichtlich seiner Eignung für be-stimmte Situationen, ausgeklammert. Somit befasst sich die vorliegende Arbeit mit demBrückentragwerk lediglich aus der Sicht der Statik.

Einleitung

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In den meisten Fällen genügt zur Konzeption einer gekrümmten Brücke die Berück-sichtigung von Eigengewicht und vertikalen Nutzlasten. Zur Formfindung des Seilpoly-gonpaars, welche für beliebige Lasten möglich ist, werden die Lasten jeweils zu Einzel-lasten reduziert. Unter Umständen sind horizontale sowie dynamische Einwirkungen fürdie Dimensionierung des Tragwerks relevant. Da die vorliegende Arbeit sich jedoch vorallem mit der Formfindung befasst, werden solche Einwirkungen vernachlässigt. Zudemwerden der Einfachheit halber nur Brücken mit kreisförmiger Achse betrachtet.

Ausführliche Berechnungen zur Erfassung des Spannungszustandes, unter Vorausset-zung eines linear elastischen Materialverhaltens und kleiner Verformungen, wie bei-spielsweise für die Torsion gekrümmter Träger mit dünnwandigen Querschnitten sowiefür die Berechnung von Faltwerken, sind nicht Gegenstand dieser Arbeit. Es werden le-diglich die daraus abgeleiteten, für den Entwurf wichtigen Erkenntnisse zusammenge-fasst.

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Bis ins 19. Jahrhundert wurden Hindernisse durch Steingewölbe und Holzbrücken, nöti-genfalls Hängebrücken, an den topographisch und geotechnisch günstigsten Stellen ge-radlinig überspannt. Im damaligen Strassenbau waren die Beanspruchungen durch dielangsamen Lastenzüge, Güter- und Personenfuhrwerke noch bescheiden. Erst der ab1850 vollzogene Bau der alpinen Bahnstrecken und, in noch ausgeprägterer Form, diespäteren Stadtbahnen forderten kühne, der Linienführung angepasste Kunstbauten. DieBrücken mussten oft in der Kurve gebaut werden, um die minimalen Kurvenradien zurGewährleistung ansprechender Durchfahrtsgeschwindigkeiten nicht zu unterschreiten.Die grossen, mit den Jahren schnell zunehmenden Eisenbahnlasten stellten ausserdemvöllig neue Anforderungen für den Brückenbau. Eiserne Tragwerke kamen für Eisen-bahnbrücken oft zur Anwendung.

Die bei Stephensons Britannia-Brücke 1846 erstmals im Grossbrückenbau eingeführ-ten schweisseisernen, vollwandigen Brückenträger1 lösten bescheidenere, nicht selteneinsturzgefährdete Konstruktionen aus Gusseisen ab. Die für die zunehmenden Eisen-bahnlasten bald nicht mehr genügend tragfähigen und meist rasch zerfallenden Holz-brücken wurden ebenfalls ersetzt [57]. Von den amerikanischen Holzbrücken übernom-mene Gitter- und Fachwerksysteme [18] setzten sich in neuen Formen gegenüberBlechträgern allmählich durch. Das Aufkommen der graphischen Statik und der sukzes-sive Ersatz des Schweisseisens durch den hochwertigen Flussstahl festigten den Vorrangfeingliedriger Fachwerkbrücken für grössere Spannweiten. Filigrane Pfeiler ausSchweisseisen erwiesen sich vielfach auch gegenüber Mauerwerk als sehr wirtschaftlich.Sie wurden als einer der grössten Fortschritte der Brückenbaukunst betrachtet.2 Ge-krümmte Viadukte wurden zu Beginn als polygonal aneinandergereihte, gerade Einfeld-träger konzipiert, siehe Bild 2.1. Bei Normalspurbahnen wurden die von der geradenBrückenachse bedingte Fahrbahnverbreiterung und die unterschiedlichen Durchbiegun-

1. Die Modellversuche zur Abklärung des Beulverhaltens der Kastenplatten der als mehrzelliger Kastenausgeführten Brücke waren für die Erkenntnis der Stabilitätsprobleme dünnwandiger Bleche von gros-ser Bedeutung [82].

2. Der 1853 bis 1856 erbaute Sitterviadukt bei Bruggen mit einer Hauptspannweite von 42 m stellt daswohl erste europäische Beispiel einer Brücke mit Pfeilern aus Schweisseisen dar [13].

Grundlagen

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gen der Hauptträger bei der Durchfahrt der Züge zuerst akzeptiert3, da die Spannweitenbedeutend kleiner als die Kurvenradien waren. Als konkurrenzfähige Alternative botensich nach wie vor Massivbauten mit kleinen Öffnungen an. Die anfänglich noch nichtkonsequente Anwendung der aufblühenden statischen Theorien sowie die nur approxi-mativen Kenntnisse über die Stabilitätsprobleme und die dynamische Wirkung derBahnlasten behafteten den Eisenbrückenbau mit grösseren Unsicherheiten. Einige grosseKatastrophen, wie der Einsturz der Taybrücke4 in Schottland 1879 und derjenige derBirsbrücke5 Münchenstein 1891 [79] führten zu einer Wiederbelebung der Massivbau-weise, indem einige alte Eisenbauten durch Massivbrücken ersetzt wurden. Bei ge-krümmten Brücken wurde oft auch aufgrund der von eisernen Tragwerken gebotenenkonstruktiven Schwierigkeiten zugunsten eines Massivbaus entschieden [13]. Massiv-brücken benötigten einen wesentlich kleineren Unterhalt; ferner mussten sie später fürdie absehbar zunehmenden Achslasten nicht verstärkt werden6. Die durch Schäden ge-wonnenen, neuen Erkenntnisse [27,79] bildeten die Grundlagen für erste Brückenbau-normen. Sie erforderten eine genauere Berechnung sowie Material-, Belastungs- undBruchversuche bei neuen und bestehenden Eisenbauten. Deshalb fanden nur statisch be-legbare oder zumindest durch Versuche erprobte Tragsysteme weiterhin Anwendung.

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Mit dem Ausbau der Stadtbahnen um 1900 wurden erstmals Brücken mit engen Kurven-radien notwendig. Viadukte mit geraden, polygonal aneinandergefügten Einfeldträgernmit radialer Anordnung der Querträger sowie schiefen Lagerachsen und Übergängen( , siehe Bild 2.1) befriedigten betrieblich nicht. Sie erforderten kurze Spannweiten,welche den untenliegenden Strassenverkehr beeinträchtigten. Die Verbreiterung derFahrbahn um über die notwendige Breite hinaus hatte bei engen

3. Als Schweizer Beispiele seien hier die 1864 erbaute, fünffeldrige Reussbrücke in der Flühmühle beiLuzern mit Halbparabelträgern von 27.8 m Spannweite, die dreifeldrige Aarebrücke der Gäubahn inOlten (1876) mit einer Hauptspannweite von 33.0 m und gleicher Trägerform, je mit Radius m,sowie die 1875 errichtete Aarebrücke Brugg mit einer Hauptspannweite von 58.30 m und maufgeführt. Ein ausgezeichnetes Beispiel einer Schmalspurbahnbrücke in engster Kurve ( m)stellt die 1893 gebaute La Galera-Brücke der Grossen Venezuela-Eisenbahn dar [58], ein Viadukt mitHauptspannweiten von 16.1 m und bis zu 25 m hohen eisernen Pfeilern.

4. Der während der Durchfahrt eines Zuges bei Sturm erfolgte Einsturz von 13 Feldern von 74.7 und 69.2m Regelspannweite liess sich auf die mangelhafte Ausführung und auf eine ungenügende Dimensionie-rung der Fachwerk-Querverbände und der Pfeiler für den Winddruck zurückführen [49].

5. Die beauftragten Experten W. Ritter und L. Tetmayer kamen zu folgendem Schluss:�� [auf Druck beanspruchten] �� ! Grundlage der Nachrechnung [79] bildeten Tetmayers experimentelle Er-kenntnisse im unelastischen Knickbereich, welche 1895 von Engesser theoretisch untermauert wurden.

6. Beachtenswert sind einige Viadukte alpiner Schmalspurstrecken mit mehrfach polygonalen Steinge-wölben, so der Landwasserviadukt der Albulabahn (Baujahr 1902, 6 Spannweiten von je 20 m und

m), der Kehrviadukt der Berninabahn bei Brusio (1908, m, m) und derjenigeder Fleimstalbahn bei Glen im Südtirol (1917, m, m).

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Geschichtlicher Rückblick

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Kurvenradien erhebliche Mehrkosten zur Folge. Die von einer exzentrischen Wanderlast erzeugten Dreh- ( ) und Torsionsmomente ( für ,

für und symmetrisches System) um die Schubmittelpunktachse (a, boder c in Bild 2.1) konnten lediglich durch Einstellung der Ausmittigkeiten bezüglichder gekrümmten Bahnachse beschränkt werden. Der geknickte Grundriss mehrfeldrigerBrücken war ausserdem auch städtebaulich unerwünscht [39]. Erste stark gekrümmteViadukte mit durchlaufenden, zweifeldrigen Fachwerkträgern7 wurden 1905 für denViaduc du Quai de la Rapée der Pariser Untergrundbahn (Bild 2.2) und 1912 für den Via-dukt am Rödingsmarkt der Hamburger Stadtbahn ( m und 22.7 m, m)ausgeführt [47]. Der Durchlaufträger war das einfachste statische System, mit dem dieTorsionsbeanspruchung entscheidend reduziert werden konnte. Die aus Fachwerkschei-ben zusammengesetzten Einfeldträger mit I-Querschnitt der Wuppertaler Schwebebahn( m, m, Baujahr 1898-1901, [9]) stellten einen frühen, unvollkom-menen Übergang zwischen polygonalen und stetig gekrümmten Trägerbrücken dar8. Diegekrümmten unteren Flanschgurte dienten als Schienen.

Einhergehend mit der Entwicklung der hochwertigen Baustähle fand die Schweiss-technik am Anfang der 30er Jahre Eingang in den Brückenbau. Geschweisste Vollwand-träger wurden nach anfänglichen Rückschlägen infolge mangelhafter (metallurgischerund konstruktiver) Grundlagen wirtschaftlicher und leichter als ihre genieteten Vorgän-ger und konkurrenzierten die Fachwerkträger. Das längst bekannte Vorschubverfahren9

wurde auch für gekrümmte Stahlbrücken in Form des Taktschiebens vermehrt angewen-det [14]. Darauf konnten durch die ersten, bescheidenen Verbundbrücken Stahlersparnis

7. Bühler führt in [14] frühere Beispiele gekrümmter eiserner Brücken bescheidener Spannweite (darunterden vermutlich ersten, 1878 erbauten gekrümmten Vollwandträger) der Wiener Verbindungsbahn auf.

8. Die im Querschnitt stets exzentrisch wirkenden Wagenlasten wurden durch Dreiecksscheiben eingelei-tet und durch Flanschbiegung abgetragen. In den Kehren ( m, m) wurden die Schienenkonsolartig an einem durchlaufenden, vollwandigen Kreisringträger mit I-Querschnitt aufgehängt. Fürdie einschienige Versuchsstrecke von 1895 mit Spannweiten von 20 m wurden Hohlkastenträger ver-wendet.

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A

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��+��0 Fahrbahnverbreiterung und Lastexzentrizität in der Kurve je nachSchubmittelpunkt eines geraden Einfeldträgers. Die Achse b setzt einenasymmetrischen Querschnitt oder grössere als a voraus; allerdings giltbei grösserer Breite und schwacher Krümmung auch .

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Grundlagen

8

sowie grössere Steifigkeit und Ermüdungsfestigkeit dank der mittragenden Betonfahr-bahn erlangt werden.10

Zur Berechnung gekrümmter Träger wurde bis 1900 sehr wenig veröffentlicht. DieArbeiten von Résal [75] und Koenen [48] behandelten einige Fälle von biege- und torsi-onssteifen, senkrecht zu ihrer Krümmungsebene belasteten Kreisringträgern. 1910 be-handelte Timoshenko das Problem der gemischten Torsion [92], und 1922 veröffentlich-te Unold [94] umfassende Lösungen für ein- und mehrfeldrige Kreisträgereinschliesslich des Einflusses der Querschnittsverwölbung. Das beim Viaduc du Quai dela Rapée und bis in die 30er Jahre übliche Näherungsverfahren zur Schnittkraftermitt-lung gekrümmter Brücken mit zwei Hauptträgern und offenem, torsionsweichem Quer-schnitt nach Résal [76] ging von der Zerlegung des Raumfachwerks in ebene Teilsyste-me aus [38]. Sämtliche am gestreckten Träger wirkenden Drehmomente und die sich anden Gurtknicken ergebenden Ablenkkräfte wurden jeweils in einen von Querträger undFachwerkpfosten gebildeten Rahmen eingeleitet und durch ein vertikales Kräftepaar inden Hauptträgerebenen im Gleichgewicht gehalten. Die Hauptträger wurden dann erneutmit den um diese Kräfte korrigierten Knotenlasten berechnet. Da dieses Vorgehen beider Ermittlung von Einflusslinien statischer Grössen eine aufwendige Iteration erforder-te, wurden von de Fontviolant [32], Gottfeldt [38] und Stüssi [89] direkte Berechnungs-verfahren entwickelt.

Gekrümmte Brücken mit anderen Systemen als Träger konstanter oder variabler Höhewurden bereits früh in diesem Jahrhundert gebaut11. In Stahlbeton wurden zahlreiche be-scheidene ein- oder mehrfeldrige Plattenbalken mit feldweise polygonalen Stegen undstetig gekrümmter Fahrbahnplatte ausgeführt. Diese Überbauten wurden als geradeTragwerke berechnet, allenfalls mit vergrösserter Belastung der äusseren Stege. Maillartbaute als Erster Betonbogenbrücken mit starker Grundrisskrümmung für Strassenbrük-ken (Ziggenbachbrücke im Wägital, 1924; Bohlbachbrücke Habkern, 1932; Schwand-bachbrücke Hinterfultigen, 1933 [51]) und für eine Schmalspurbahn (LandquartbrückeKlosters, 1930 [55]). Die als versteifte Stabbogen konzipierten Bauwerke wiesen alle

9. Die 1860 erbaute Gitterbrücke über den Oberrhein zwischen Kehl und Strassburg (Hauptspannweite58 m) wurde in ihrer vollen Länge von 177 m von der Werkhalle über eine Strecke von 450 m einge-schoben. Ein leichter Vorbauschnabel diente zur Reduktion der Auskragung während des Einbaus. Fürden Bau des Grandfey-Viaduktes bei Fribourg (1859-62) wurde stattdessen eine selbstverankerte, pro-visorische Abspannung des vordersten, auskragenden Trägerabschnitts eingesetzt [58].

10. Obschon Stahlbeton-Verbunddecken bereits seit etwa 1920 zur Anwendung kamen, wurden Verbund-brücken grösserer Spannweite erst gegen Ende der 30er Jahre ausgeführt. Die Brücke über die Save beiZagreb (Baujahr 1939, [81]), ein Durchlaufträger über vier Felder mit einer Regelspannweite von55.08 m, ist ein dafür beachtliches Beispiel. In der Nachkriegszeit wurde die Herstellung durch grössereWalzprofile vereinfacht, welche mehrteilige Blechträger als Haupt- und Sekundärträger ersetzten.

11. Beim 1912 erbauten Bietschtaler Viadukt der Lötschbergbahn [41] wurde eine Spannweite von 95 m( m) durch ein fachwerkartiges Sprengwerk mit polygonal angefügten Fachwerkträgern über-brückt. Die grösste Scheitelexzentrizität der Gleisachse von 2.17 m wirkt sich angesichts des 13.60 mbreiten Kastenquerschnitts am Kämpfer des Sprengwerks jedoch nicht stärker aus als eine exzentrischeLast auf einer geraden Brücke gleicher Spannweite.

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9

Spannweiten unter 40 m und Kurvenradien zwischen 25 und 125 m auf. Die breite,räumlich gekrümmte Bogenplatte wurde durch steife Stützenscheiben mit dem Verstei-fungsträger mit Plattenbalken-Querschnitt verbunden12. Der Einfluss der infolge derKrümmung entstehenden Drehmomente konnte rechnerisch nicht erfasst werden [55,56].Er wurde jedoch durch den massiven Träger und die steife Verbindung zum Bogen kon-struktiv beschränkt. Die Belastungsversuche an der Schwandbachbrücke [80] liessen dieAnalogie der Tragwirkung für Torsion zu derjenigen eines I-Trägers mit variabler Quer-schnittshöhe erkennen [92].

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Der intensive Ausbau der Strassennetze unmittelbar nach dem Zweiten Weltkrieg botgrossen Raum für die Anwendung der Ende der 30er Jahre im Betonbau eingeführtenVorspanntechnik. Die nach der Leistungsfähigkeit ausgerichtete Linienführung legte Ortund Geometrie der Brücken fest. Vorgespannte Ortbetonbrücken eigneten sich vorzüg-lich zur Gestaltung sanfter, geschwungener Übergänge für städtische Hochstrassenbrük-ken und -rampen mit variabler Breite und starker Krümmung ( m). Späterwurden sie auch für Viadukte und Kehren beim Neubau der Passstrassen angewendet.Längs und quer vorgespannte Durchlaufträger mit Kastenquerschnitt und einer minima-

12. Einige spätere, gekrümmte Betonbogenbrücken knüpfen an Maillarts Systeme an. Beim 1950 erbautenViaduc sur la Dranse in Sembrancher der Bahn Martigny-Orsières mit einer Spannweite von 50 m undeinem Kurvenradius von 160 m wurden steife Stützenscheiben trotz des massiven, im Grundriss ge-krümmten Bogens beibehalten [62]. Die Stabbogenbrücke mit vorgespanntem Versteifungsträger überdie Eau Noire bei Le Châtelard (1967) mit =72 m und =148 m [35] weist trapezförmige Stützen-scheiben mit geneigter Achse auf. Die Bogenachse ist im Grundriss gekrümmt und gegenüber der Ver-kehrsachse leicht nach der Aussenseite verschoben.

��+��0 Der 1905 erbaute Viaduc du Quai de la Rapée der Pariser Untergrundbahn[4] mit durchlaufenden Hauptträgern ( = 75 m) und Spannweiten von 38.4und 32.3 m.

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" 30 80÷=

Grundlagen

10

len Anzahl von Stegen erwiesen sich als eleganter, leichter, anpassungsfähiger und oftsogar billiger als Fertigteilbrücken mit offenem Querschnitt und polygonal angefügtenStegen [99]. Zudem wiesen sie bezüglich Dauerhaftigkeit erhebliche Vorteile auf [96].Stahlbrücken, vor allem aber Verbundbrücken mit allenfalls vorgespannter Fahrbahnstellten Alternativen dar. Offene Querschnitte mit enger Anordnung der Querscheiben, jasogar Trägerroste ersetzten für breite Brücken und kleine Krümmung den Stahlkasten.Die aufwendige Stabilisierung der Bleche mittels Längs- und Quersteifen wirkte sich aufdie Wirtschaftlichkeit der Vollwandträger negativ aus. Erst in den 70er Jahren wurdendie Querschnitte der Stahl- und Verbundbrücken durch die neuen theoretischen Erkennt-nisse bezüglich Torsion und Stabilität dünner Bleche vereinfacht. Die Anzahl der stabili-sierenden Elemente konnte drastisch reduziert werden, und die bei schwacher Krüm-mung im Endzustand wenig ausgenutzte untere Kastenplatte wurde durch einen Verbandersetzt (halboffene Querschnitte) oder ganz weggelassen.

Bei vorgespannten Ortbeton-Kastenträgern konnte selbst bei beträchtlicher Krüm-mung auf Feldquerträger meist verzichtet werden13. Dies vereinfachte die Herstellunglanger Viadukte im Taktschiebeverfahren oder mit Vorschubgerüst wesentlich. Die Frei-heit in der Kabelführung und -abstufung gestattete es im weiteren, die Schnittkräfte ausDauerlasten von gekrümmten Brücken mittels einer formtreuen Biege- und Torsionsvor-spannung zu kompensieren. Früher hatte der Einfluss der Krümmung lediglich durchkürzere Spannweiten, Torsionslagerung auf den inneren Pfeilern oder monolithischePfeileranschlüsse reduziert werden können. Anfänglich wurden für gekrümmte Brückenzusätzliche Steg- oder gelegentlich auch Plattenspannglieder eingesetzt und sogar Pfeilerund Rahmenstiele vorgespannt [46,52]. Die formtreue Vorspannung oder auch nur dievolle Vorspannung für Dauerlasten waren mit erheblichem Spannstahlaufwand und un-nötig grossen Tragreserven behaftet. Für Dauerlasten teilweise vorgespannte Brücken-träger mit asymmetrischer Stegvorspannung erwiesen sich in der Folge als wirtschaftli-cher.

Der Ermittlung von Schnittkräften und Verformungen gekrümmter Brücken mitdünnwandigen Querschnitten kam aufgrund der Nachfrage nach solchen Bauten wach-sende Bedeutung zu. Im Stahlbau wurden Theorien zum Torsionsverhalten elastischer,vollwandiger Träger mit dünnwandigen Querschnitten erarbeitet, siehe Wlassow [100]und Dabrowski [20]. Untersuchungen zum überkritischen Beulverhalten dünnwandigerScheiben und Platten [6] gestatteten, die Konstruktion von Stegblechen und Stahlfahr-bahnen zu vereinfachen. Im Massivbau entstanden viele Arbeiten zur Schnittkraftermitt-lung von torsionssteifen Durchlauf- und Wendelträgern in geschlossener Form, siehe

13. Der 320 m lange, im Taktschiebeverfahren hergestellte Viadukt über das Val Restel bei Rovereto (Bau-jahr 1972) mit Spannweiten von 32 m und einem Kurvenradius von 150 m wurde ohne die nachträglichbetonierten Querschotten mit dem ganzen Kastenquerschnitt eingeschoben [10]. Von den Brücken anden Kehren der Gotthard-Passstrasse (Fieud, Löita und Cima del Bosco), die beinahe einheitliche Kur-venradien (24 bis 25 m), Regelspannweiten (25.5 bis 30.0 m) und Spannbeton-Kastenquerschnitte so-wie monolithische Pfeilerverbindung besitzen, weist nur die Brücke Fieud (1967) Feldquerträger in denDrittelspunkten aller Spannweiten auf.


11

Fuchssteiner [33] und Wittfoht [98]. Auch die Torsionsbeanspruchung von Trägern mitbiegesteifen Querschnittswandungen [21] und die Vorspannung gekrümmter Trägerwurden untersucht, siehe Egger [28] und Menn [60]. Die Ende der 60er Jahre systema-tisch eingeführte Computerstatik ermöglichte schliesslich die Schnittkraft- und Span-nungsermittlung für allgemeine Systeme.

Zur Erzielung schnellerer Bauvorgänge wurden in den 80er Jahren leichte Brückensy-steme mit vorgespannten Gurten und leistungsfähigen, vollwandigen oder als Fachwerkaufgelösten Stegen aus Stahl (Wellbleche oder Streben) oder Beton14 (hochfeste, vorge-spannte Streben) entwickelt [65,95]. Da die Stegscheiben über eine für die Formerhal-tung des Querschnitts ungenügende Biegesteifigkeit verfügen, müssen Querträger zurEinleitung der Drehmomente (und zur Umlenkung der Spannglieder) vorgesehen wer-den, es sei denn, die Scheibenprofile würden in Querrichtung ein Fachwerk bilden15. Dieaus wirtschaftlichen Gründen kleine Anzahl von Kabelumlenkstellen und die kleinereSchub- und Torsionssteifigkeit des Querschnitts wirkt sich für gekrümmte Brücken ge-genüber Spannbetonbrücken mit Verbundvorspannung statisch nachteilig aus16 [96].Trägerbrücken mit Stegscheiben aus vorgespannten Betonstreben oder Wellblechprofi-len haben bisher nur sporadische Anwendung gefunden [11,17].

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Durch die steigenden Ansprüche des Strassenverkehrs erreichten gekrümmte Brückenfür Schnellstrassen und Überführungsbauwerke Spannweiten, die jenen der geradenBrücken nahe kamen. Auch Schrägkabelbrücken oder im Freivorbau erstellte Träger-brücken wurden ausgeführt. Die Torsionsbeanspruchung von Pfeilern und Überbau kanndabei besonders im Bauzustand erheblich werden oder Provisorien erfordern; dieser Um-stand setzt der Anwendung solcher Konzepte Grenzen. Durch eine Ausbildung alsmonolithischer Rahmen mit vertikalen oder geneigten Stielen (u. a. Sprengwerke) kanndie Steifigkeit des Systems im Endzustand erhöht werden17. Bezüglich der Lage derKämpfer im Grundriss bieten sich für Sprengwerke und Bogenbrücken verschiedene

14. Die Idee, leichtere Stahlbetonquerschnitte durch Auflösung der Stege herzustellen, wurde sehr früh u. a.von Visentini und Caquot, für grössere Spannweiten vor allem von Freyssinet umgesetzt, z. B. für dieBrücke über den Veurdre (Baujahr 1910, = 72.5 m, [40]). Unausgeführt blieb sein Vorschlag von1948 für eine im Freivorbau herzustellende Spannbetonbrücke mit Fachwerkstegen und vorgespanntenStreben [99], die Finsterwalders Mangfallbrücke Weyarn (1958, m, [31]) vorauseilte.

15. Die vier in W-Form angeordneten Beton-Fachwerkstege der in Segmentbauweise hergestellten Via-dukte Glacières et Sylans (1991, = 60.6 m, = 424 m) bilden in Querrichtung aufgrund der aus Platz-gründen für die Umlenkstellen der externen Vorspannkabel leicht auseinanderliegenden Gurt-Anschlusspunkte ein quasi-starres System. Die kleinen Rahmenmomente werden innerhalb der Längs-riegel der Gurte abgebaut, so dass in den Streben kleinste Exzentrizitäten verbleiben [11]. Zweistegige,dreieckförmige Kastenquerschnitte weisen u. a. der Viadukt von Charolles (1987, Wellblechstege,[15]) und die Roize-Brücke über die Autobahn Valence-Grenoble auf (1990, Stahlfachwerkstege, [16]).

16. Im weiteren bereiten die Verbindung der Gurte mit den Stegscheiben, die Erfassung des Vorspannungs-zustandes und das ausgeprägt nichtlineare Tragverhalten aufgelöster Betonstege zusätzliche Schwierig-keiten [11,12,34].

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Grundlagen

12

Möglichkeiten. Die Grundrisskrümmung der Bogenachse kann im Grenzfall gerade odermit derjenigen der Trägerachse deckungsgleich sein [35,23,85]. Der Torsionswiderstanddes Tragwerks kann sowohl auf dem Widerstand der torsionssteifen Gurte (Bogen undFahrbahnträger) als auch auf einer Wirkung des Gesamtsystems als Trägerrost beruhen.Bei allen Rahmensystemen hilft eine elastische oder feste Lagerung in Achsenrichtungan den Brückenenden zur Versteifung und Stabilisierung des Systems, insbesondere beihohen Pfeilern [7]. Allerdings muss sich der Zwang aus lastfreien Spannungszuständendank eines grossen Öffnungswinkels und schlanker Pfeiler abbauen können, und dieVerankerung der an den Widerlagern entstehenden Zugkräfte muss wirtschaftlich sein,vgl. 2.3.2. Ein Durchlaufträger kann durch feste Widerlager für grosse horizontale La-sten stabilisiert werden [87].

Morandis 1968 erbauter Viadukt über den Tiber ist der wohl bedeutendste Vorgängergekrümmter Schrägkabelbrücken [64]. Lins kühner Entwurf der Ruck-A-Chucky Bridge(1978), einer 396 m weit gespannten, stark gekrümmten Strassenbrücke ( = 49.8°) miteinem beidseitig fest gelagerten Fahrbahnträger18 und im Fels einzeln verankertenSchrägkabeln kam nie zur Ausführung [53]. Für die 526 m lange Sunnibergbrücke Klo-sters (1997-99, = 503 m, =140 m) wurde der Träger fest gelagert, um eine grössereSteifigkeit des Bauwerks und die Stabilisierung der hohen Pfeiler zu erzielen [61]. Ob-schon ein torsionssteifes, gekrümmtes Tragwerk am besten durch zwei Kabelflächen zurealisieren ist (vgl. 2.5.3), wurden Schrägkabelbrücken bei mässiger Krümmung auchmit einer einzigen, zentrisch verankerten Kabelfläche und torsionssteifem Fahrbahnträ-ger ausgeführt [3]. Bei der Wahl von Pylon- und Kabelgeometrie muss dem allfälligenKonflikt mit dem Lichtraumprofil Aufmerksamkeit geschenkt werden, um eine Verbrei-terung der Fahrbahn zu vermeiden. Die Form des Pylons kann bei starker Krümmungdurch diese geometrischen Bedingungen erzwungen werden [61], siehe 5.3.1.

Der Wunsch nach einem sicheren und unabhängigen Fussgängerverkehr hat in denletzten zwei Jahrzehnten Raum für einige neue Konzepte gekrümmter Brücken geboten.Die oft erwünschten flüssigen und geschwungenen Formen sowie die bescheidenen Ver-kehrslasten bieten dem Entwurf von Fussgängerbrücken und -rampen grössere Freihei-ten. Ausserdem werden an solche Bauwerke besondere ästhetische Ansprüche gestellt.Für kleine Spannweiten kann deshalb ein grösserer Aufwand für das Tragsystem und dendadurch bedingten Bauvorgang in Kauf genommen werden. So ist eine Kabelbrücke miteinseitiger Aufhängung der Fahrbahn in statischer Hinsicht zwar ungünstig, da der Trä-ger in Abhängigkeit der Steifigkeit des Kabelsystems eine grosse Biege- und Torsions-

17. Die 1984 in den schottischen Highlands erbaute Kylesku-Brücke ist als schwimmender V-Stiel-Rah-men aus Spannbeton mit einer Hauptspannweite von = 132 m konzipiert. Der Kastenträger und die imGrundriss gespreizten Stielrippen bilden ein für Torsionslasten und Wind quer zur Brückenachse sehrsteifes System [68].

18. Die Form des horizontalen Trägers und die Anordnung der Schrägkabel wurden so gewählt, dass dieStützlinie der Horizontalkräfte infolge der Dauerlast mit der Trägerachse identisch ist. Die sich wäh-rend des geplanten Freivorbaus ergebenden, grossen horizontalen Biegemomente hätten durch zusätz-liche, einstellbare Schrägkabel vermindert werden sollen.

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Linienführung

13

steifigkeit aufweisen muss. Um die Trägerbeanspruchung zu reduzieren, ist es zweck-mässig, eine steife Verbindung mit den Pylonen vorzusehen. Der Bau solcher Systemeerfolgt gewöhnlich auf einem Gerüst. Systeme dieser Art wurden für Fussgängerbrückensowohl als Schrägkabel- als auch als Hängesysteme realisiert [29,69,84]. Für die inBild 2.3 dargestellten Beispiele besitzt der Versteifungsträger, abgesehen von Randstö-rungen am Brückenende [84], lediglich unter Dauerlasten einen günstigen Spannungszu-stand.

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Die Linienführung eines Verkehrsträgers wird auch im Bereich von Kunstbauten durchdie Anforderungen an Fahrdynamik und Sicherheit mitbestimmt. Krümmungsradien undLängsgefälle werden in Abhängigkeit der Projektierungsgeschwindigkeit festgelegt.Kurvenübergänge werden ohne grosse, sprunghafte Krümmungsänderungen mit Über-gangsbogen in Form von Klothoiden oder kubischen Parabeln projektiert. Die Brücken-geometrie kann mit Hilfe des Ortsvektors der Schwerachse als Funktion des horizonta-len Winkels beschrieben werden:

(2.1)

Dabei sind der horizontale Radius und die Höhe Funktionen von , sieheBild 2.4(a). Die Endpunkte der Kurve werden mit A und B bezeichnet. Wird der Koordi-natenursprung M in den Schnittpunkt der Geraden durch A und mit Richtungsvekto-ren und (horizontale Projektionen von bzw. ) gelegt, so kann der Maxi-malwert des Winkels als Öffnungswinkel der Brücke bezeichnet werden.

��+��0 Fussgängerbrücken mit einseitiger Anordnung des Kabelsystems und Fahr-bahnträger aus Spannbeton: (a) Brücke über den Main-Donau-Kanal inKelheim (1987, , m); (b) Bridge of “R” bei Kyoto(1993, m, m).

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B′�A′ �B′ �A �B

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Grundlagen

14

Jedem Punkt der Raumkurve kann ein begleitendes Dreibein von Einheitsvektoren zugeordnet werden, wobei den Tangentenvektor, den Haupt-

normalenvektor und den Binormalenvektor der Kurve an der durch defi-nierten Stelle bezeichnen, siehe Bild 2.4(b). Die Vektoren und spannen eine Ebeneauf, die in der Folge als Krümmungsebene bezeichnet wird. Für konstantes Längsgefälle

ist horizontal. Die Kurvenkrümmung wird als Änderung der Tangentenrich-tung mit der Bogenlänge durch

(2.2)

definiert, wobei ist und mit der Krümmungsradius bezeichnet wird.Stark gekrümmte Brücken weisen ein grosses Verhältnis der (Regel-)Spannweitezum Radius auf. Für eine Schraubenlinie mit und ergibt (2.2) denkonstanten Wert

(2.3)

Bei einer Klothoide wird die Krümmung hingegen zweckmässig als Funktion dervom Ursprung gemessenen Bogenlänge durch die Gleichung beschrie-ben, wobei der Klothoidenparameter ist. Für eine Kurve mit konstantem Längsgefälle

, deren horizontale Projektion eine Klothoide ist, lässt sich die Krüm-mung durch

(2.4)

ermitteln.

Die horizontale Linienführung des Verkehrsträgers und damit die Brückengeometriehängen stark von der Verkehrsart ab. Im Eisenbahnbau wird der Minimalradius aufgrund einer maximal zulässigen Querbeschleunigung für die geplante Durchfahrtsge-schwindigkeit festgelegt. Die Beziehung [m], mit in ,gilt für Normalspurstrecken. In der Regel wird m eingehalten; absolute Mi-nimalwerte liegen zwischen 150 und 180 m. Schnellbahnen erfordern grosse Radien unddaher nur leicht gekrümmte Brückenbauten, während bei den langsameren Meterspur-( m) und Strassenbahnen ( m) Brücken mit sehr starker Fahr-bahnkrümmung möglich sind. Das von der Ausbaugeschwindigkeit abhängige, grössteLängsgefälle liegt für Adhäsionsbahnen zwischen 0.035 und 0.07.

Strassenfahrzeuge können sich stetigen Krümmungsänderungen in kurzer Streckeleicht anpassen, so dass Viadukte, Überführungen, Rampen oder Kehren starke und va-riable Krümmungen aufweisen können. Als Faustregel für Minimalradien von Strassen-brücken gilt mit in m und in . Die Geometrie von Fussgän-

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Elastische Kreisringträger

15

gerund Radbrücken ist von einem optimalen Anschluss an die benachbartenVerkehrswege weitgehend abhängig und daher nicht selten stark gekrümmt. Freie For-men und Krümmungen werden lediglich vom zulässigen Längsgefälle beschränkt,das die für Strassenbrücken zulässigen Werte von etwa 0.06 bis 0.12 nicht stark über-schreiten sollte.

Der Einfluss der räumlichen Krümmung auf Schnittgrössen und Verformungen wirdbei üblichen Querschnittsbreiten m erst für relativ grosse Verhältnisse und ( m, ), wie sie bei Rampen und Wendelbrücken vorhan-den sind, relevant. Ein solcher schraubenlinienförmiger Träger wird auf schiefe Biegungund Torsion beansprucht; die Biegemomente um die Hauptachse � sind beträchtlich [33].Wendelträger (oder -treppen) mit grosser Steigung sind nicht Gegenstand dieser Arbeit,worin vom Einfluss des Längsgefälles abgesehen wird. Die in der Folge aufgeführtenkonzeptionellen Überlegungen beschränken sich auf Brücken mit horizontaler Linien-führung.

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Ein ebener, biege- und torsionssteifer Träger mit massivem Querschnitt stellt die ein-fachste Form eines gekrümmten Tragwerks dar. Werden die Resultierenden der Bean-spruchung in jedem Schnitt nach den Richtungen der Hauptschwerachsen '�und��desQuerschnittes zerlegt, so lauten die Gleichgewichtsbedingungen am differentiellen Trä-gerelement von Bild 2.5 wie folgt:

(ϕ)ϕd

z

(a)

r(ϕ)O ϕ

M

A

(ϕ)a ϕ = ϕ0

B’

B

(b)

n

b

t

O

α (ϕ)

��+"��0 Allgemeine Geometrie gekrümmter Brücken: (a) Raumkurve und Parame-ter; (b) Querschnittshauptachsen und Längsgefälle.

α$��

� 4 10÷= α �⋅ "⁄ϕ0 �⋅ "⁄ " 10 15÷≤ α 0.1≥

Grundlagen

16

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

(2.9)

(2.10)

Dabei werden die Belastungen in Richtung der Trägerachse ausser Acht gelassenund mit die Exzentrizitäten der Lasten zum Schubmittelpunkt bezeichnet. DieHauptbiegemomente sind untereinander nicht gekoppelt, so dass die Schnittkräf-te für beliebige Krümmungs- und Belastungsfunktionen durch unabhängige Lösung derGleichungsgruppen (2.5), (2.6), (2.10) für und sowie (2.7), (2.8), (2.9) für

und ermittelt werden können. Für die zweite Gruppe ist ein numerisches Itera-tionsverfahren zur Abschätzung der Drehmomente meist zweckmässig, da ge-schlossene Lösungen nur für einige Belastungsfunktionen und Lagerungsarten sowiekonstante Krümmung (Kreisträger) möglich sind. Die Verformungen des massiven, tor-sionssteifen Stabs können mit der Arbeitsgleichung allein ermittelt werden, während fürdünnwandige Querschnitte die Anwendung der Differentialgleichungen der Verschie-bungen notwendig wird [22,59], siehe Kap. 3.1.

Die Grösstwerte der Torsionsmomente lassen sich für Winkel , wobei die -te Spannweite zwischen zwei Torsionslagern ist, mit guter Näherung durch

(2.11)

mit erfassen. Für eine exzentrische Vertikalbelastung beträgt das grössteDrehmoment für die Regelspannweite (bei und )

(2.12)

Die dimensionslosen Konstanten , und hängen von der Lagerung, der Bela-stungsanordnung und der Steifigkeitsverteilung ab. Bei starker Trägerkrümmung über-wiegen die Drehmomente aus Biegung im Vergleich zu jenenaus der Lastexzentrizität . Sie können gemäss (2.8) vereinfachend als Belastung ei-nes Trägers mit Spannweiten aufgefasst werden, dessen Querkraft das gesuch-

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*� �'⋅�1′ … ��′, ,


17

te Torsionsmoment ist. Eine Berechnung des Durchlaufträgers anhand der Gleichungen(2.7), (2.8), (2.9) mit Berücksichtigung der Verträglichkeitsbedingungen [98] liefert für

gleiche Ergebnisse. Maximalwerte von Torsion, Biegung und Querkraftbei Durchlaufträgern treten stets in verschiedenen Schnitten auf. Ein Ausgleich derDrehmomentenbeanspruchung durch eine Verschiebung des Schubmittelpunktes C�pro-portional zu �in Richtung der Hauptlast� ist nur für schwach gekrümmte Brückenvertretbar. Der Höchstbetrag wird durch kurze Spannweiten , Durchlaufwirkung( grösser) und Torsionslagerung jeder Spannweite ( ) wesentlich verkleinert. Eineentgegengesetzte, variable Drehbelastung kann durch Vorspannung erzeugtwerden.

Eine graphische Bestimmung der Torsionsmomente ist für statisch bestimmte Syste-me einfach und stellt eine nützliche Veranschaulichung dar. In Bild 2.6 ist sie für einengekrümmten, einfeldrigen Kreisträger mit ein- oder beidseitiger Torsionseinspannungund radialen Lagerachsen in und dargestellt, der jeweils durch eine vertikale Ein-zellast ( in Feldmitte oder im Viertelspunkt) belastet wird. Für den statisch be-stimmten Träger mit Torsionslagerung nur in (Lastfälle und ) kann die Exzen-trizität der Auflagerkraft mit Angriffspunkt für den �-ten Lastfall auf dergegebenen Lagerachse anhand der Geraden zwischen dem Angriffspunkt der Auf-lagerreaktion und der Resultierenden der äusseren Lasten gefunden werden.Die Kräfte , und müssen nämlich in einer gemeinsamen Vertikalebene liegen.Die Beträge von und lassen sich mit dem Hebelgesetz leicht bestimmen. Das Tor-sionsmoment wird für die Lastfälle von Bild 2.6 in jedem Querschnitt durch das Pro-dukt der massgebenden Auflagerkraft und des Abstandes der Geraden zum Schubmit-telpunkt ermittelt. Die Werte von sind in Bild 2.6 radial zur Trägerachse eingetragen.

y

V + dVy y

yM + dMy

y

zx

O

t

M + dMz z

T + dT

N + dN

zV + dVz

ds / R (s)yV

yM

z

zV

MT

N

qz

(a) (b)

qy ds

ezy

yeqz ds

C

x

z

t ds

q

��+&��0 Gleichgewichtsbedingungen am Trägerelement: (a) Schnittkräfte und Bela-stung; (b) Resultierende der äusseren Belastung.

+, �-'⁄ ∞→

� 2 "⁄ *�$� $��, �

�3 �′ �=$� ϕ( )–

A B�1 �2

A 1( ) 2( )�A �� A�

�� B�

�� =��

�� #

��#

Grundlagen

18

Mit einer zusätzlichen Torsionslagerung in wird das System statisch unbestimmt(Lastfälle und ): Graphisch entspricht dies einer Rotation der Geraden (fürden i-ten Lastfall) um den Angriffspunkt von bis zum Einstellen der Exzentrizitäten

und , woraus sich und berechnen lassen. Für eine gegebene Lage von durch den Angriffspunkt von kann Gleichgewicht anhand des Hebelgesetzes immergefunden werden. Das Formulieren einer Verträglichkeitsbedingung, die für symmetri-sche Geometrie und Last (Lastfall ) durch die Symmetriebedingung ersetzt wird, de-finiert eine bestimmte Lage von . Eine asymmetrische Belastung (Lastfall ) kann ineinen symmetrischen und einen antimetrischen Anteil ( und ) aufgeteilt werden.Die Geraden und die Angriffspunkte der Auflagerkräfte beider Lastanteile liegensenkrecht, respektive symmetrisch zur Symmetrieachse. Für den antimetrischen Anteil

gilt . Die Exzentrizität kann mit einer Verträglichkeitsbedin-gung am einfach statisch unbestimmten System ermittelt werden. Sie wird für einen Trä-ger konstanten Querschnitts mit einem Öffnungswinkel durch

(2.13)

mit guter Genauigkeit abgeschätzt, wobei die Lage von definiert. Lageund Betrag der totalen Auflagerkräfte und , die Gerade und die Werte von können aus den Lösungen für die Anteile und graphisch ermittelt werden.

Die graphische Bestimmung der Torsionsmomente am Einfeldträger verdeutlicht,dass eine zusätzliche Torsionslagerung (in B nach Bild 2.6) eine Rotation von und da-her kleinere Torsionsmomente und Exzentrizitäten zur Folge hat. Mit einerweiteren Punktlagerung im Feld wird infolge der zugehörigen Auflagerkraft, die exzen-trisch zur Achse liegt, ein weiterer Hebelarm im System erzeugt. Als einfaches Bei-spiel wird in Bild 2.7 der statisch bestimmte Zweifeldträger ohne Torsionslager betrach-tet, der durch eine vertikale Last belastet ist. Anstatt einer Geraden sind zweiGeraden und vorhanden.

Die graphische Lösung des Systems von Bild 2.7 für die Lastfälle (1) und (2) erfolgtanalog zu Bild 2.6. Die Kraft liegt auf dem Schnittpunkt von zweiGeraden, die von A und B respektive von C und dem Angriffspunkt von definiertsind. Die sukzessive Anwendung des Hebelgesetzes auf beide Geraden liefert die Werte

, und der Auflagergrössen. Durch Verschiebung der Lagerpunkte in kann die Torsionsbeanspruchung des Trägers für eine gegebene Last verändert werden.In Bild 2.7 ist der Einfluss einer Reduktion des Hebelarms zwischen und der Gera-den um aufgezeigt. Variable Exzentrizitäten und Laststellungen von ha-ben starke Änderungen der Torsionsbeanspruchung in jedem Querschnitt oder uner-wünschte Zug-Auflagerkräfte zur Folge. Es wäre daher eher ein Hebelarm grösser als anzustreben. Für schwache Trägerkrümmung ( klein) überwiegen ausserdem dieDrehmomente infolge der Ausmittigkeit der Last gegenüber jenen, die von der Krüm-mung herrühren, siehe (2.12); es gilt >> . Torsionslager in und sind da-

B3( ) 4( ) ��

��

�A �B ��

3( )�� 4( )

4( )′ 4( )′′�4′ �4′′,

4( )′′ �4′′ �4′′–= �A4″ �B4″=

ϕ0 π 2⁄≤

�A4″"ϕ1sin

------------- ϕ1

ϕ0

2------–

ϕ0 ϕ1⋅2 ϕ1tan-----------------+

⋅ "–=

ϕ1 ϕ0 2⁄≤ �2�4 �4 �4 #

4( )′ 4( )′′

�# ϕ( ) �A �B,

AB

� � AB=AM MC

�+ � �+( )–= M�

� � A′ B′ C′, ,

�0 BAC 2∆– � �

�0�0�

�$�� ,( ) �0 A C


19

(4)(4)"

(3)(2)

(1)T2

T1

T3

A

A4"

Ae4A"e A4

A4

A3 A2

r1

A1

Q2

’4

4T

Q1

2r

r4

4B"e

B

4B"

Be4B’

3BB4

4r3r

4r’

Oϕ1

ϕ0

(2)

(4)

(1)

(3)

1QQ2

1QQ2

"

T

’

’

��+(��0 Graphische Bestimmung der Torsionsmomente in einem einfeldrigen Kreis-träger mit ein- (Lastfälle (1), (2)) oder beidseitiger Torsionslagerung ((3),(4)). Der Lastfall (4) wird in seine symmetrischen und antimetrischen Antei-le und unterteilt. Die Lage von ist durch definiert.4( )′ 4( )″ �2 ϕ1 ϕ0 4⁄=

Grundlagen

20

her nötig, um die Torsionsbeanspruchung zu beschränken. Durch ist eineRotation der Segmente und um respektive möglich; die Exzentrizität desPolygonzugs bezüglich der Trägerachse wird damit angepasst und die Torsions-beanspruchung im Träger reduziert. Wird der Träger auch in für Torsion gelagert, soempfiehlt es sich, jede Spannweite für sich zu betrachten und den Einfluss des Nachbar-feldes anhand des Biege-Einspannmomentes in zu berücksichtigen, siehe 3.1.1.

�+�+� 3� �� )��$��

Lastfreie Spannungszustände verursachen Trägerverformungen und -verschiebungen,die von der Richtung der freien Lagerverschiebungen und, bei statisch unbestimmter La-gerung, von den entstehenden Zwangskräften abhängig sind. Bei gekrümmten Trägerntreten infolge lastfreier Spannungszustände grössere Verschiebungen in der Fahrbahn-ebene quer zur Trägerachse auf. Es wird allgemein angestrebt, die Zwangskräfte durchzweckmässige Wahl der Verschiebungsrichtung für die zum Festpunkt des Systems weitentfernten Lager klein zu halten. Wird der Träger als Grundsystem eines Rahmens mitfest angeschlossenen Pfeilern betrachtet, so sind freie Querverschiebungen infolge last-freier Spannungszustände wichtig, um die durch die Pfeiler-Rückstellkräfte zu erwarten-den Zwängungen zu beurteilen und das Lagerungskonzept festzulegen. Bei Volumen-dehnungen (z. B. aus gleichmässiger Temperaturänderung oder Schwinden) bleibtder Öffnungswinkel des differentiellen Trägerelementes unverändert. Für den neuenKrümmungsradius gilt , woraus sich die Krümmungsänderung

�A �C,( ) 0≠AM CM B �

AMCB

B

’A

A

C’

C

e1

∆

0d

∆

(1)

(1)’

(2)

(2)’

B

’B

e

Q

(1)(1)’

(2)

(2)’

2M1M

’M1 M2’

��+6��0 Torsion infolge einer Einzellast an einem statisch bestimmten Zweifeld-träger, je nach Exzentrizität der Auflagerkräfte zur Trägerachse.

�

(1) : (1) : (2) : (2) :

A B C, ,{ } � 0=,′ A′ B′ C′, ,{ } � 0=,

A B C, ,{ } � �– 1=,′ A′ B′ C′, ,{ } � �– 1=,

ε)�ϕ"′ "′ " 1 ε)+( )⋅=


21

ϕd

R R’

ϕd

R

A

a

a

C

vC

0ϕ

0ϕ s / R0

4·0s

B

a

a

u B

D

Dv

C

B

Bu

C

Cv

(f)

(e)

NA BN

(c)

(b)

(a) (d)

RR’

.42

8.00

.30

4.40

.25

4.00

a

0 1-1

5

0

0 10

1

��+7��0 Verformung und Zwang am Kreisringbogen: (a) infolge einer Volumendeh-nung ; (b) infolge einer Achsendehnung ; (c) Referenz-Querschnitt; (d),(e), (f) Lagerungskonzepte; (g) Zugkraft an den Widerlagern für das Kon-zept (f); (h) Radialverschiebungen für eine Temperaturänderung ∆# = 10°C.Parameter: "0 = 240 m, �0,$�� = 320 m, α = 1·10–5/°C, � = 30 GPa,% = 6.22 m2, -z =24.32 m4.

εv ε�

∆χ ε9

" 1 ε9

–( )⋅------------------------=

∆εV

ε9

=

∆χ ν εV

⋅" 1 ν ε⋅

V–( )⋅

----------------------------=

∆εV

εV

=

&εv �0 P, D[⋅

------------------------

�0�0 P, D[

--------------

2 R0⋅YC

I( )

R0

YCG( )0.5 R0⋅

4 5 4�5(A

ε9� %⋅ ⋅

--------------------

[–]�0

�0 P, D[

-------------- [–]

[–] [–]

YDG( )

Grundlagen

22

und die Dehnungen in Achsenrichtung ergeben, Bild 2.8(a). BeiAchsialdehnungen (z. B. aus Langzeitverformungen) ruft die Querdehnung desElementes nur kleine Krümmungsänderungen und daher auchkleine Radialverschiebungen hervor, Bild 2.8(b).

Für eine gekrümmte, ein- oder mehrfeldrige Trägerbrücke der Länge bieten sichmehrere Lagerungskonzepte an. In Bild 2.8 werden zwei Konzepte mit fester Lagerungan einem Ende (d) respektive in Brückenmitte (e), sowie ein Konzept mit zwei festenWiderlagern (f) dargestellt und verglichen. Ist die Lagerung der inneren Spannweiten aufden Pfeilern allseitig verschieblich, so gelten die Grundsysteme auch für die Betrachtungmehrfeldriger Brücken. Für Rahmensysteme mit weiteren festen Pfeilerverbindungenkönnen (d), (e) und (f) als Grundsysteme betrachtet werden; die Pfeiler-Rückstellkräftesind die zur Ermittlung der Zwängungen anzubringenden, überzähligen Grössen. SteifePfeiler, welche die Verschiebungen behindern, vergrössern den Zwang im Trägerbedeutend [74]. Umgekehrt können die Verschiebungen am Kopf schlanker Pfei-ler ihre Stabilität gefährden, siehe 3.1.2.

Der an beiden Enden fest gelagerte Träger (f) wirkt als Bogen für horizontale Bean-spruchungen und stabilisiert die Pfeiler in einem Rahmensystem. Lagerkonstruktionenerübrigen sich, dafür entsteht ein grösserer Zwang infolge der Elementverformungen vonBild 2.8(a) und (b). Für den Brückenquerschnitt von Bild 2.8(c) ist in Bild 2.8(g) dasVerhältnis zwischen Zugkraft am Widerlager und vollem Zwang infolgeeiner Volumendehnung dargestellt. Der Zwang aus behinderter Verformungverursacht für kleine Öffnungswinkel beachtliche Widerlagerkräfte undTrägermomente, und es ergibt sich eine beträchtliche Radialverschiebung in Brük-kenmitte. Je nach Öffnungswinkel und Trägersteifigkeiten beträgt ein Viel-faches der beim Lagerungskonzept (d) vorhandenen, grössten Längsverschiebung

, siehe Bild 2.8(h). Nur bei schlanken, am Träger fest angeschlossenen Pfei-lern würden sich kleine Rückstellkräfte (aber beachtliche Kopfverschiebungen) undKräfte nach dem Konzept (f) ergeben. Das Problem ist analog zur Ermittlung der aneinem Bogen mit Versteifungsträger resultierenden Zwängungen infolge der Bogenstau-chung; über den Kämpfern durchgehende Träger, steife Vorlandbereiche oder feste End-lager versteifen das System, vergrössern jedoch die Zwängungen.

Zur Ausführung des Konzeptes (f) sind daher ein grosser Öffnungswinkel und gün-stige Bedingungen für die Verankerung der Widerlager-Zugkräfte vorauszusetzen. Bisheute kam dieses Konzept nur selten zur Anwendung [61,87]. Für das System (d) sinddie (rein geometrisch ermittelbaren) Querverschiebungen zwängungsfrei und bei tangen-tialer Verschiebungsrichtung in B stets kleiner als die Längsverschiebungen; in (e) sindsie minimal und verursachen einen geringen Zwang.

∆χ 1 "′⁄ 1 "⁄–= ∆ε� ε)=ε� ν ε�⋅–

∆χ νε� 1 νε�–( )⁄( ) "⁄=

�0

&,( ) &,( )

(A ( ε) �%⋅=ε) α ∆#⋅=

ϕ0 �0 "0⁄= A&C

�-� �%, &C

B ε) �0⋅≈

A

ϕ0

Räumliche Seilpolygone

23

�+" . ��$��% ��

�+"+� #))�� /��3��$%��

Wichtige Erkenntnisse für gekrümmte Tragwerke können durch die Übertragung der be-kannten Regeln der graphischen Statik von der Ebene in den Raum gewonnen werden.Dabei wird zuerst von starren Systemen ausgegangen, die durch Einzellasten belastetwerden.

Eine ebene Kräftegruppe kann stets durch eine resultierende Kraft zusammengefasst werden, deren Betrag und Richtung mit Hilfe des Kräftepolygons be-stimmbar sind. Wirken die Kräfte auf ein Seil bekannter Länge mit gegebenen Auf-hängepunkten A und B wie in Bild 2.9(a), so können seine Gleichgewichtsform (dasSeilpolygon), die horizontale Auflagerkraft und die Pfeilhöhe ermittelt werden.Unter lotrechter Last gilt , wobei der Horizontalschub ist. Für jeden Schnitt-körper gilt, dass die am Schnittufer wirkende, resultierende Kraft (die Stützkraft) in der

AQ1 Q2

Q3 Q4 Q5

f

0s

(a)

B

B

A

R

Bh

Bv

A

(b)

B

uσ

eNredh h

(c)

1 1γ2

γ1

1 11

γ3

1 b h 2 uσ2 M

Nb h σu

z

x

��+8��0 Stützlinie und Seilpolygon: (a) Kräfte- und Seilpolygon für die Kräftegrup-pe mit gegebener Horizontalkraft ; (b) formaffine, statischzulässige Stützlinien im Mauerwerksbogen; (c) Fliessgrenzen des Bogens jenach Festigkeit und geometrischer Sicherheit .

�1 … �5, ,{ } ��

σ ��, σ γ2⁄= γ1 � ��⁄=

�1 … ��,,{ } �

�0

�� = �

Grundlagen

24

Seilachse wirkt. Die Menge der Angriffspunkte der Stützkraft in allen Schnitten wird alsStützlinie des Systems bezeichnet; sie ist mit dem Seilpolygon identisch. Besteht umge-kehrt eine Kraft derart, dass die Stützlinie der Kräftegruppe mit der Achse des Trag-werks identisch ist, dann wird die Kräftegruppe als affin zum Tragwerk bezeichnet, ob-wohl eher von Affinität zwischen Achse des Tragwerks und Stützlinie für variable Wertevon gesprochen werden sollte. Die Betrachtung gilt für Seile und Bogen gleicher-massen [73].

Diese Erkenntnisse können zur Formfindung von Hängetragwerken sowie zur Beur-teilung der Tragsicherheit von Steingewölben und gedrungenen Bogen benutzt werden,Bild 2.9(b). Da das Steinmauerwerk die Übertragung exzentrischer Druckkräfte gestat-tet, können für einen eingespannten Bogen mehrere Stützlinien und zugehörige Grössen �und für die gleiche, affine Kräftegruppe bestimmt werden, wobei die Fliessbedin-gung gemäss Bild 2.9(c) nicht verletzt wird. Zum Tragsicherheitsnachweis genügt zu-nächst das geometrische Kriterium, dass die Normalkraft überall innerhalb der Höhe

liegt, solange ein Schubversagen und, was streng genommen nur für starre Sy-steme zulässig ist, ein Stabiltätsversagen ausgeschlossen werden. Das Gleichgewichtwird dabei am unverformten System ermittelt. Zum gleichen Ergebnis gelangt mandurch die Betrachtung von kinematisch zulässigen Kollapsmechanismen [42]. In jedemQuerschnitt kann eine Sicherheit geometrisch durch und materialtechnischdurch eine reduzierte Festigkeit ausgedrückt werden. Im weiteren kann dieNormalkraft durch eine zulässige zentrische Druckspannung beschränktwerden, siehe Bild 2.9(c).

Räumliche Kräftegruppen lassen sich zu einer Dyname in einem beliebigenPunkt reduzieren. Die auf eine Querschnittsebene wirkenden Kräfte können daher zumBeispiel durch eine resultierende, allgemein nicht im Schwerpunkt wirkende Kraft ,die und ersetzt, und ein zum Querschnitt senkrecht stehendes Moment

zusammengefasst werden, Bild 2.10(a). Die Beurteilung der Tragsicherheit einesdurch eine räumliche Kräftegruppe belasteten Bogens lediglich anhand der Exzentrizitä-ten einer Stützlinie von kann daher nicht erfolgen, weil sonst der Torsionswi-derstand stillschweigend als nicht massgebend betrachtet würde.

Die Dyname kann dank der Ersetzung von durch ein ebenes Kräftepaar undvon durch zwei äquivalente Kräfte und auch durch zwei re-sultierende Kräften und dargestellt werden, siehe Bild 2.10(b) und (c). und bilden zusammen ein Stützkräftepaar. Sie wirken in den Punkten respektive

der Querschnittsebene. Durch und werden zwei Stützlinien des Systems defi-niert, die in der Folge als Seilpolygonpaar bezeichnet werden, siehe Bild 2.10(d). DieWirkung einer räumlichen Kräftegruppe auf ein System kann somit durch zwei Seilpoly-gone veranschaulicht werden. Die wählbaren Koordinaten der Punkte zeigen, dassbeim ersten Querschnitt vier Freiheitsgrade für die Konstruktion des Seilpolygonpaaresverbleiben. Durch die Festlegung von und werden die Durchstosspunkte durch

��

��

��

�� ≤

�� γ1⁄=σ ��, σ γ2⁄=

σ�� σ ��, γ3⁄=

� �,{ }

� �' �� ', , , ��

��

�' ��, �

�� ⋅� �� α �⋅= �� 1 α–( ) �⋅=

�1 �2 �1�2 P′

P″ �1 �2

P′ P″,

P′ P″


25

die Querschnittsebenen aller anschliessenden Elemente bekannt, die somit statisch be-stimmt sind.

�+"+� *��)�� $��% ��

Die Vorstellung des räumlichen Kräfteflusses mit Hilfe von drei Raumkurven (die zweiSeilpolygone und eine durch die Angriffspunkte der äusseren Lasten definierte Bela-stungsachse) kommt bei der üblichen Betrachtung mittels Schnittgrössen nicht zur Gel-tung. Sie kann jedoch zur Formfindung aufgelöster, gekrümmter Tragwerke dienen, in-dem die Geometrien der zwei Seilpolygone, die zur Abtragung der Last notwendig sind,sich mit den Achsen von Stabelementen im System decken. Zweckmässig wird dieHauptlast des Systems (üblicherweise die Dauerlast, also das Eigengewicht und die stän-dige Auflast) seiner Formfindung zugrunde gelegt; sie ist dann affin zum Seilpolygon-paar. Die Belastungsachse wird durch die Schnittpunkte der Kräfte der Hauptlast mitder Krümmungsebene gebildet.

Die Formfindung eines Seilpolygonsystems ist in Bild 2.11(a) dargestellt. Dabei wirddie horizontale Belastungsachse mit und das erste Seilpolygon mit , mit Endpunk-ten und im festen Koordinatensystem be-

·

·R

z

Px

ze

Mx

ye

O Cy

(a) (b)

OyP

α RVz

P

V

a

x

(1− α) RR

O

z

xy

R2

R1R

S’

y

z

x

S"

R21R

(d)(c)

O

’=

’’

’’P’P’P

P’’

��+�9��0 Darstellung der auf einen Querschnitt wirkenden Dyname: (a) resultierendeKraft und Moment ; (b) Aufteilung von und in aufder Querschnittsebene; (c) Stützkräftepaar ; (d) den Kräften zugeordnetes Seilpolygonpaar .

� �� ⋅= P′ P″,�1 �2, �1 �2,

� ′ �″,

�

� � ′C ξC ηC, �– C[ , ]= D ξD ηD, �– D[ , ]= ξ η ζ, ,( )

Grundlagen

26

zeichnet. Für das zweite Seilpolygon wird vorausgesetzt, es habe die gleichen End-punkte wie die Belastungsachse, nämlich den Koordinatenursprung und

. Die Belastungsachse wird durch einen Polygonzug mit Segmenten approximiert. Dementsprechend werden die Segmente der Seilpolygone

und mit und bezeichnet. Die auf wirkende äussere Lastwird in den Knoten zu Einzellasten reduziert (mit ), die nach den Rich-tungsgeraden (für ) und (für ) der Hänger in die Komponenten und zerlegt werden, siehe Bild 2.11(b). Die Kräfte , und müssen daher komplanarsein; ihre gemeinsame Ebene durch wird als Hängerebene bezeichnet.

Die Bestimmung der räumlichen Seilpolygone und ist für eine beliebige Geo-metrie der Belastungsachse und beliebige Kräfte möglich. Die Seilpolygonekönnen allgemein ausgehend von festgelegten Punkten und sowie gewählten An-kerkräften und sukzessive vektoriell berechnet werden. Dazu muss jede Hänger-ebene durch anhand der Vektoren und definiert sein, Bild 2.11(c), die so ge-wählt werden müssen, dass die Last in liegt; für eine vertikale Kraft muss vertikal sein. Die Seilpolygonpunkte in können ausgehend von undden Seilkräften mit

(2.14)

(2.15)

und analogen Ausdrücken für durch Auflösen nach (beziehungsweise) bestimmt werden. , und bezeichnen die Ortsvektoren der Punk-

te , und . Die in und wirkenden Knotenlasten und sind diesich aus den Beziehungen

(2.16)

(2.17)

ergebenden Kräfte in Richtung von und . Dabei stellen den Einheitsvektor inRichtung des Hängers von und einen Koeffizienten dar, der erst durch Festle-gung von auf eindeutig bestimmt wird. Sind zum Beispiel alle Kräfte vertikalund liegt das Seilpolygon wie die Belastungsachse in der Krümmungsebene, danngilt und , siehe Bild 2.11(a).

Die Seilkräfte geben jeweils die Richtungsvektoren der nächsten Abschnitte an. Sie werden durch

bzw. (2.18)

bestimmt. Die Durchhänge (Pfeilhöhen) (von ) respektive (von ) spielen dieRolle von Parametern in der Formfindung des Seilpolygonpaars. Die sukzessive numeri-

�″A

B ξB ηB, 0[ , ]= � 1+�1 … �� 1+,, � ′

�″ �1′ … �� 1+′,, �1″ … �� 1+″,, �P� �� 1…�=

��′ � ′ ��″ �″ �′ �″�� ′ �″

Ε� P�

� ′ �″�1 … ��,,{ }

A C�

Ε� P� �� Ε� �� Ε�P�′ P�′′, Ε� P� 1–′ P� 1–″,

�′ �″,

��′ �� 1–′ ��′�′�′---------⋅+=

��′ �� µ�′ ��⋅ λ�′ ��⋅+ +=

��′′ ��′ µ�′ λ�′, ,��′′ µ�′′ λ�′′, , �� ′ ��′′

P� P�′ P�′′ P�′ P�′′ �′ �″

�′ .� �⋅ �

��′ ��–

��′ ��–-------------------⋅ .� �⋅ � ��L′⋅= =

�″ �– � �′–=

��′ ��″ ��L′��′ � ′ .�

��″ Ε� ��″ �

.� ��′ ��–( ) /�]′ /�]–( )⁄= �′ �� ′ ��–( )⋅ /�]′ /�]–( )⁄=

�� 1+′ �� 1+′′,

� 1+′ �′ �′–= � 1+″ �″ �″–=

� ′ � ′ � ″ �″


27

iΕ

1

C

hC

C

A

ζ

Q

A

ia

bi

Qη 2

ξ

P ’iiP

’

Qi

iP’

’

h∆

f

M

20ϕ

ϕ0

’f ’

0RS

S

S

’

a’

Qn

S

BB

’’

D

D Dh

-1

(b)

N

P

-Uir

U

Qi

Pii’’

N

U’i’

’’i’i

’

’i’

’i

N ’ +1

r

i-U

N’ii

’i

’

’P

Qi

i’ +1

(c)

Q

Psi’’

is

si’

+1i

i

Pi +1is

P’i

r’i’i’

s

s’’

a

Ε i

Qi+1

+1i’

i

ib

(a)

��+��0 Räumliche Seilpolygone für eine Kräftegruppe entlang einer ebenen Kurve:(a) allgemeine Geometrie der Seilpolygone für gegebene (1) undverschobene (2) Belastungsachse; (b) Seilpolygonbelastungen und -kräfte;(c) Bezeichnungen und geometrische Parameter.

Grundlagen

28

sche Bestimmung von und anhand der Gl. (2.14) bis (2.17) bietet keine Schwie-rigkeiten und kann durch eine einfache Prozedur erledigt werden.

Asymmetrische Seilpolygonpaare lassen sich auch für symmetrisch verteilteHauptlast und symmetrische Belastungsachse erzeugen. Gewünschte Seil-polygonenden und , die in definierten Ebenen liegen, können anhand ge-wählter Kräfte und zunächst geschätzt und sukzessive in Richtung und Betrag an-gepasst werden. Da das Seilpolygon exzentrisch zur Brückenachse ist, verbleiben ineinem Träger mit einer zu identischen Schwerachse immer Biegemomente,siehe 4.2.1. Ob und Druck- oder Zugseilpolygone sind, kann durch die Lage derEndpunkte und die Ankerkräfte und bestimmt werden; jede Kombinati-on ist möglich. Die Betrachtungen zur Formfindung gelten für Druck- oder Zugsystemegleichermassen. Durch Spiegelung von und (bei umgekehrtem Sinn) von und würden Druck- zu Zugseilpolygonen, und umgekehrt.

In konzeptioneller Hinsicht kann mit der Konstruktion von Seilpolygonpaaren für dieHauptlast des Systems die Stützlinienform eines räumlich gekrümmten Hängeseilsoder Bogens beschrieben werden. Das zweite Seilpolygon soll möglichst gut mit derBrückenachse übereinstimmen und damit auch die gleichen Endpunkte besitzen.Wird die Brückenachse zu angepasst, bis die Identitäten , , gelten,so bildet zusammen mit einem neuen Seilpolygon (in Bild 2.11(a) gestricheltdargestellt) ein affines Hängesystem zur Hauptlast , und für einen starrenTräger mit Bogenlagerung in der Krümmungsebene verschwinden die Biege- und Torsi-onsmomente, falls seine Schwerachse mit der Brückenachse übereinstimmt. In diesemFall besteht das System aus zwei Raumkurven (die zwei Seilpolygone), an deren Knotendie Lasten direkt angreifen.

Die Abtragung nicht affiner Lasten muss durch Versteifung des Seilpolygonsystemsgewährleistet werden, siehe Kap. 2.5. Ähnliche Überlegungen gelten für in Fächerformangeordnete Schrägkabel, siehe Bild 2.14(a) und (b). Während in einen Punkt redu-ziert wird (Pylonkopf, ), verbleibt das zweite, im allgemeinen räumliche Seilpoly-gon . Die Übereinstimmung von mit der Achse einer ebenen Brücke ist für einenKreisringabschnitt nur möglich, falls der Kabelfächer über dem Kreismittelpunkt O zen-triert ist.

Bei grossem Seil- oder Bogengewicht wird die Geometrie des Seilpolygonpaars iterativ bestimmt. Als erste, approximative Lösung dient das Seilpolygonpaar des Systems ohne Seilgewicht. Anschliessend wird in den geschätzten Seilkno-

ten das Seil- respektive Bogengewicht in die aufgrund der Seillängen geschätzten Einzellasten reduziert. Ein neues Seilpolygon-

paar wird mit den Gleichungen (2.14) bis (2.17) bestimmt, wobei die Seilkräfte jeweils durch von Punkt zu Punkt ermittelt werden. Auf-

grund der neu geschätzten Seilabschnitte werden die Lasten für den näch-sten Iterationsschritt ermittelt. Auch diese iterative Berechnung kann durch eine einfacheProzedur erledigt werden.

� ′ �″

� ′ �″,�1 … ��,,{ }

B D EB ED,�

�″�

� ′ �″A B C D, , , �

� ′ �

� ′�″

� C D,�″ P1 P1′′≡ … P� P�′′≡

�″ ��′�1 … ��,,{ }

� ′C D≡

�″ �″

� ′ �″,�0′ �0″,

P10′ … P�0

′, ,�10

′ … �� 10+′,, �10′ … ��0

′,,�1′ �1″,

�1′ � 11+′ �1

′ ��1′+= �1

′–�10

′ … ��0′,,


29

�+"+� 2�� $��/��

Im Hinblick auf die Wirkung von nicht affinen Lasten können Systeme durch gegenseiti-ges Vorspannen mehrerer Seile (Seilwerke) konstruiert werden, die eine grössere Steifig-keit besitzen. Die Vorspannung erhöht den affinen Anteil der Gesamtlast; eine Zusatzlasterzeugt dann gegenüber dem Anfangszustand eine kleinere Verschiebung des Seilpoly-gonpaars und daher eine kleinere Veränderung der Geometrie eines entspre-chenden Seilsystems. Eine Ausfachung der Seile mit als Füllglieder eines Fachwerks an-geordneten Hängern (System Jawerth [44], siehe 5.3.2) bewirkt eine weitere Versteifung.Die räumliche Vorspannung von Seilen gegebener Geometrie ist nur möglich, wenn je-des Seil des Systems einem Seilpolygonpaar angehört, das zu einer bestimmten Last (derVorspannlast) affin ist. Beim einfachsten, aus zwei Seilen bestehenden Tragwerk

+1

’’’S

P

a

0

η A ξ

ζ

S

(c)

N ’’’i

C

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iN’

(a)

iP

-Ui

’’’Pi

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’’,ζi’U

U ’’i

Ε

N

’’’Φ

+1’’i’

(b)

iP

iU’

U’i,ζ

’’’’Ui

i’

��+��0 Räumliche Vorspannung eines Hängeseils: (a) Bedingung für direkte Vor-spannung; (b) Zerlegung der Vorspann-Umlenkkräfte in ihre Kompo-nenten (Tragseil) und (Fahrbahnträger); (c) Vorspannung des Trag-seils durch das Spannseil mit Bogenwirkung des Fahrbahnträgers.

�″′ �′ �″

� ′ �″′

� ′ �″,{ }

�′ �″′,

Grundlagen

30

gelingt dies, wenn das Spannen des Spannseils� eine zum Tragseil affine Hänger-belastung bewirkt. Durch die Kräfte ergibt sich umgekehrt eine zu affine Belastung.

Die Betrachtung des Kräftespiels an einem Hänger zwischen den Knoten auf und auf zeigt auf, welche Einschränkungen für die Seilformen bestehen, sie-

he Bild 2.12(a). Die Kräfte , und ihr Schnittpunkt sowie , und spannen die Ebenen beziehungsweise auf, deren Schnittgerade die Rich-

tungsgerade des �-ten Hängers ist. Die Winkel sind für Seiltragwerke ohne jeglicheSymmetrieachse nicht gleich null. Demgegenüber muss für symmetrische Tragwerke aufder Symmetrieachse (mit ) gelten. Sowohl , alsauch die nächste Hängerachse liegen in einer Ebene, was auch für ,und schliesslich für alle restlichen Punkte von und gilt; ein symmetrisches Trag-werk aus zwei gegenseitig verspannten Seilen lässt sich nur in der Ebene verwirklichen.Ein räumliches System aus zwei räumlich verspannten Seilen ist daher stets asymme-trisch und affin zu einer Kräftegruppe , wobei eine Konstante ist.

Die Vorspannung von durch ist im Raum immer möglich, wenn die Auftei-lung jeder Vorspann-Umlenkkraft in zwei Komponenten und gewährleistetist, Bild 2.12(b). Die Kräfte definieren ein weiteres Seilpolygon , das beispiels-weise in der Ebene eines gekrümmten Fahrbahnträgers liegen kann. Dieser wird als star-rer, gedrungener Bogen im Sinne von Bild 2.9(b) aufgefasst. Unabhängig von der Rich-tung der Ebenen kann das Tragseil mit gegebener, durch die (vertikale)Hauptlast definierter Geometrie vorgespannt werden, wenn für die Kom-ponenten der Vorspannkräfte in Richtung der Hauptlast

(2.19)

gilt. Alle Vertikalkomponenten der Vorspannkräfte sind dann proportional zurHauptlast des Systems. Die Seile und gehören zu zwei Seilpolygonpaaren mitgleicher affiner Last , deren zweites Seil jeweils in der Trägerebene liegt,Bild 2.11(a). Eine Vorspannung des Tragseils lässt sich mit verschie-denen Spannseilformen (zum Beispiel oder in Bild 2.12(c)) erreichen, welcheunterschiedliche Seilpolygone und Seilkräfte hervorrufen. Durch die Grösse derAnkerkraft und die Lage der Endpunkte von und können die Kräfte sogesteuert werden, dass sie keine Überbeanspruchung des Fahrbahnbogens zur Folge ha-ben. Besitzt dieser nur einen geringen Biegewiderstand, dann dürfen die Geometrien von

für die beiden Kräftegruppen, die Hauptlast sowie die Vorspannung nur wenig von-einander abweichen und nur leicht exzentrisch zur Achse liegen.

�″′ � ′ – 1′ … – �′,, 1″′ … �″′,,{ } – 1′ … – �′,,{ }=

�″′

�� P�′� ′ P�″′ �″′

�′ � 1+′ P�′ �″′ � 1+″′P�″′ Φ�′ Φ�″′

�� θ�

Φ$′ Φ$″′= $ � 1+( ) 2⁄= $ 1+′ $ 1+″′�$ 1+ P$ 1+′ P$ 1+″′

� ′ �″′

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� ′ �″′ �″′ �′ �″

�″ �″

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��{ } λ/ � ζ,″′}{⋅= λ/ – � ζ,′ }{⋅=

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�1 … ��,,{ } 1′″ …, �′″{ , } � ′

�″′ ��″′�″ �″

�0 � ′ �″′ �″

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Versteifte Seilpolygontragwerke

31

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�+&+� ��$��% ��

Seilpolygontragwerke tragen die Systemhauptlast durch Seilwirkung eines oder mehre-rer zur Hauptlast affiner Stabzüge. Ziel der Versteifung ist es, die Abtragung nicht affin-er Lasten mit beschränkter Verformung zu erzielen. Die Versteifung ist streng genom-men für jedes Seilpolygontragwerk nötig, weil die Lasten generell verteilt undexzentrisch zu den Elementachsen wirken.

Ein elastisches Seil mit der Länge und der Dehnsteifigkeit stellt das einfachsteSeilpolygontragwerk dar. Es ist beweglich, d. h. nicht formstabil, und nimmt für die je-weilige Belastung stets die Seilpolygonform und den zugehörigen, eindeutigen Zugkraft-verlauf sowie die Seillänge an. Die Steifigkeit eines elastischen Seil-elementes der Länge wird von der Steifigkeitsmatrix gemäss

(2.20)

beschrieben, und hängt von Dehn- (elastische Steifigkeitsmatrix ) und Rotationsstei-figkeit (geometrische Steifigkeitsmatrix ) ab. Die Matrizen und enthalten dieRichtungskosinusse des Seilelementes [71]. Affine Lasten bewirken einen Kraftzuwachsund Verschiebungen im Seil, die vor allem von der Dehnsteifigkeit der Elemente abhän-gen. Nicht affine Lasten erzeugen hingegen grössere, von der Zugkraft abhängige Ele-mentrotationen (geometrische Nichtlinearität). Ohne Zugkraft ist das Seil instabil, wäh-rend es durch eine grosse, ständige Last (Seilvorspannung, Bild 2.12) für variable Lastenversteift wird.

Ein freies, zwischen den Endpunkten und gespanntes, elastisches Seil mit Ab-schnitten zwischen seinen Knoten , nimmt die Gleichgewichts-form an, wenn Kräfte an den Knoten angreifen. Das Seil kann als Teilsy-stem eines Seilpolygonpaars gemäss Bild 2.11 betrachtet werden, wobei vonden Geraden anfänglich nur die Richtung (Kräfte ) aber nicht die Lage (Seilkno-ten ) bekannt ist. Ausgehend von Anfangsgeraden durch Punkte , diezum Beispiel auf der Achse in Abständen proportional zu angenom-men werden, sowie geschätzten Ankerkräften kann die Schätzform , bei wel-cher der Endpunkt mit nicht übereinstimmt, anhand von (2.14) und (2.18) ermit-telt werden. Aufgrund von und der Geraden von können dieAnkerkräfte neu geschätzt werden. Das Vorgehen wird wiederholt, bis nach der .-ten Iteration gilt, siehe [5] und für ebene Seile [71]. Anschliessend wird die fürdas starre Seil gefundene Geometrie als Schätzung für die iterative Berechnung von

des elastischen Seils mit Abschnittlängen verwendet.

Die zu einer Kräftegruppe affinen Seilpaare �können nach 2.4.2bestimmt werden. Ist ausserdem die Belastungsachse mit einer der Seilformen iden-

�0 �%

( ( �( )= �0 ∆�+��

�� ,

� �+ �,�

+�%�

��-------- �⋅

(�

��----- ⋅+= =

��

�+� �

(

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′ … �� 10+′,, P1′ … P�′, ,� ′ 1′ … �′, ,� ′ � ′ �″,{ }

��′ �′P�′ ��0′ P10

′ … P�0′, ,

CD �10′ … �� 10+′,,

0 �0, �1′D1 D

P11′ … P�1

′, , ��1′ �1′1 �1,D. D≡

�.′� ′ �� = �0 1 (�′ �%�⁄+( )⋅

�1 … ��,,{ } � ′ �″,�

Grundlagen

32

tisch (vgl. Verschiebung von in gemäss Bild 2.11(a)), so ist eine Lastabtragungohne biege- und torsionssteife Elemente möglich, da die Kräfte in den Seilknotenwirken. Ein biege- und torsionssteifer Versteifungsträger ist sonst notwendig, um exzen-trische oder verteilte Lasten abzutragen; ferner müssen druckbeanspruchte Elemente sta-bilisiert werden, siehe Kap. 4.4. Unter affiner Last ist das Tragverhalten jedoch weitge-hend vom Seilsystem bestimmt.

�+&+� �!�� /��

Der Versteifungsträger eines ebenen Hängesystems gemäss Bild 2.13(a) erfüllt in ersterLinie die Aufgabe, die Verschiebungen des beweglichen (d. h. nicht formstabilen) Seil-systems infolge nicht affiner Lasten zu beschränken. Der Träger wird ausserdem für dielokale�Abtragung der verteilten Lasten zu den Hängern (Spannweite ) benötigt. SeineBiegesteifigkeit setzt der Seilverformung einen Widerstand entgegen, der von derDehnsteifigkeit des Seils und der Verschieblichkeit der Seilauflager (proportionalzu ) abhängig ist. Das Seilsystem trägt daher nur einen Anteil der affinen Lastab, der Rest entfällt auf die global versteifende Wirkung des Trägers.

Bei Betrachtung des linear elastischen Systems mit unveränderter Seilform (Theorie1. Ordnung) ergibt sich der Faktor zu

(2.21)

wobei und den Horizontalschub und die Reaktionslast des dehnstarren Seilsy-stems bezeichnen [51]. Ist das Seil im Träger verankert (Unterspannung), so gilt

, wobei die Dehnsteifigkeit des Trägers ist.

Jedes durch einen Biegeträger versteifte Seilpolygonelement weist grundsätzlich dasgleiche Verhalten auf. Die Wirksamkeit des Seiles gegenüber dem Träger für die formaf-fine Last hängt vom Verhältnis sowie vom Pfeilverhältnis ab. Für einenicht affine Belastung, wie z. B. eine vertikale Einzellast an einer beliebigen Stelle

, bietet das Seil eine zu seiner Form affine Reaktionslast , die proportionalzur Vergrösserung des Horizontalschubs durch ist. Am unverformten Seil beträgt sie

(2.22)

siehe Bild 2.13(b). Die Biegebeanspruchung im Träger infolge folgt aus der Exzentri-zität des Seilpolygons gegenüber der Seilform, . Beim gedrunge-nen Bogen von Bild 2.9 sind Biege- und Seilelement in einem einzigen Querschnitt ver-einigt. Die obigen Betrachtungen und (2.21) und (2.22) gelten auch in diesem Fall, wennin (2.21) und durch respektive ersetzt werden.

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� ′ �″,{ }

�′�-#

�%�

�� 0> κ *⋅

κ � �0⁄= 1≤

κ*"*0"-------- 1

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8 � 2 �2⋅ ⋅-------------------------------- �-#

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--------------------------------------------------------------------≈=

�0 *0"

2 ��⋅ � �%#⁄= �%#

�-# �%�⁄ � �⁄�

� �= κ *" �,⋅�

*" κ *0"⋅ κ 5 � �⋅ ⋅�2

-------------- 1 2�2

�2----- �3

�3-----–⋅–

⋅ ⋅= =

�� ( ) �' �( ) � �� ( )⋅=

�-# �%� �-� �� ⁄( )⋅ �%�


33

Am verformten Seil (Theorie 2. Ordnung) ergeben sich durch die Lastgruppe eine neue Verteilung der formaffinen Reaktionslast und eine kleinereBiegebeanspruchung des Trägers (Bild 2.13(b), gestrichelte Linie), weil das Seil dazuneigt, sich wie ein freies Seil der Stützlinie für die totale Last anzupassen. Biege-momente und Durchbiegungen infolge der nicht affinen Last hängen von den Normal-

(a)cf

H EAez

cf

f

∆ hq

EIl’Q

a a - l

QQ T

S

(b)

Q

q

qR

M

1κκ<1

QQ

TF1

F1S

FiT

SFi

SFn

FnT

(e)

(f) (i) Q Q

(g)

(h)

ω

1-F-Fi

-Fn

M

NS

(c) (d)

��+��0 Versteifung von Seilpolygontragwerken: (a) und (b) Hängebrücke mit Ver-steifungsträger, keine Ausfachung; (c), (d) und (e) volle Ausfachung (Fach-werk oder Biegeträger); (f) und (i) Rahmenwirkung für nicht affine Lasteneines unterspannten Trägers; (g) und (h) bewegliche Grundsysteme.

1( )

2( )

1( )1( ) 2( )+

1( ) 2( )+

1( )

* �,{ }*" �( ) κ *0" �( )⋅=

* �,{ }

Grundlagen

34

kräften am verformten Seilsystem und somit nichtlinear von ab. Für einen Stabbogenmit Versteifungsträger gilt die Betrachtung auch, nur verstärkt die Verformung der Bo-genachse seine Exzentrizität bezüglich der Stützlinie, und damit wächst auch die Biege-beanspruchung des für die Stabilität des Systems unabdingbaren Versteifungsträgers.

Ist das zu einem ebenen Seilpolygontragwerk gehörende Grundsystem mit lauter ge-lenkigen Knoten formstabil (Fachwerk, Bild 2.13(c)), so kann von der global versteifen-den Wirkung des Trägers abgesehen werden. Dies entspricht einer vollständigen Ausfa-chung der Verbindung zwischen Seil- und Trägerknoten. Jede Kräftegruppe kann durch Normalkraftbeanspruchung der Elemente abgetragen werden und ist somit“affin” zum System. Die Biegesteifigkeit des Trägers ist lediglich für die lokale Lastab-tragung nötig und fällt daher je nach Verhältnis klein aus. Seil und Träger sind dieFachwerkgurten und können als “Seilpolygone unveränderlicher Form” betrachtet wer-den. Ihre Belastung setzt sich aus den äusseren Lasten (Träger, Obergurt)und (Seil, Untergurt) sowie aus den Kräften respektive

zusammen, die von den Füllgliedern übertragen werden, wofür je nach ihrerAnordnung gilt. Eine Seilwirkung eines Gurtes ist nur für eine zu seinerForm affine Last vorhanden, die direkt an seinen Knoten wirkt. Durch eine vollständigeAusfachung (Träger mit aufgelöster Stegscheibe, Bild 2.13(e)) können alle Kräfte

derart variieren, dass die Gurtkräfte entsprechend der äusseren Last abgestuftwerden. Eine Seilwirkung kann durch ein Vorspannkabel als zusätzliches Seilpolygon-element für die zu seiner Form affine Last erzeugt werden; das Tragverhalten entsprichtdann dem System von Bild 2.13(a) für einen steifen Träger und kleines Pfeilverhältnis

. (2.21) und (2.22) gelten auch für dieses System.

Ein durchgehender Gurt beteiligt sich an der globalen Lastabtragung gemäss demVerhältnis seiner Biegesteifigkeit (Versteifungsträger) oder (biegesteifer Stab-zug) zur Steifigkeit des elastischen Tragwerks mit gelenkigen Knoten und verändert da-durch den inneren Spannungszustand, siehe Bild 2.13(f). Das bewegliche Grundsystemmit Versteifungsträger stellt den allgemeinen Fall eines versteiften Seilpolygontragwerksdar. Die bei gelenkigen Stabknoten labilen Vierecksmaschen des Systems vonBild 2.13(g) werden durch Rahmenwirkung mit dem (zumindest über jene Maschenbrei-ten) durchgehenden Träger stabilisiert. Kräftegruppen, für die am Grundsystem einGleichgewichtszustand in der unverschobenen Lage möglich ist, sind affin; für symme-trische Systeme sind das alle symmetrischen Kräftegruppen. Die teilweise Ausfachungermöglicht nur für diese Lastfälle eine vollkommene Anpassung der Knotenkräfte

an die Last mit entsprechender Abstufung der Kräfte im Stabzug. Der Ver-steifungsträger beteiligt sich auch für affine Lasten an der globalen Lastabtragung, undzwar entsprechend dem Verhältnis seiner Biegesteifigkeit zu derjenigen des Gesamtsy-stems. Die Kräfte im Stabzug werden dadurch reduziert. Der innere Spannungszustandkann für lineares Verhalten des Systems durch Superposition zweier Lastfälle ermitteltwerden, Bild 2.13(i). Die äussere Last bewirkt am zunächst durch zusätzliche, fiktiveFüllstäbe vervollständigten System (1) einen Spannungszustand, der durch Einführungder Reaktionskräfte zu den nicht vorhandenen, fiktiven Stabkräften

�

�1 … ��,,{ }

�′ �⁄

�1# … ��

#, ,{ }�1

� … ��, ,{ } �1

# … ��#, ,

�1� … ��

�, ,��

# �� 1±�–=

��# ��

�,

� �⁄

�-# �- �

�1 … ��, ,{ }

�– 1 �– 2 … �– $, , ,{ }


35

am wirklichen System korrigiert wird. Da die Reaktionskräfte eineGleichgewichtsgruppe bilden, erzeugen sie lediglich einen Eigenspannungszustand.

�+&+� �� /��

Die Tragwirkung eines gekrümmten, versteiften Seilpolygontragwerks lässt sich zu-mindest qualitativ durch Betrachtung eines Stabwerks (mit Seilsystem bezeichnet, sieheBild 2.14) beurteilen, das sich aus den Seilelementen (Seile, Kabel) und dem als in derKrümmungsebene liegendes Fachwerk idealisierten Fahrbahnträger zusammensetzt. Dielokalen Systeme (Stäbe des Seilsystems) dienen primär der Lastverteilung auf denSpannweiten zwischen den Stabknoten. Das horizontale Seilpolygon der Kompo-nenten und der durch Einzellasten (innen) respektive (aussen) dis-kretisierten Hauptlast ist im allgemeinen nicht identisch mit der Trägerachse. In der Fol-ge wird eine Last jedoch als affin zu einem System betrachtet, wenn sie durch dasSeilsystem allein abgetragen werden kann, auch wenn diese Identität nicht gilt.

�1 �2 … �$, , ,{ } 2( )

(a) (b)

(d)(c)

’Ui,1

Qi,1 Qi,2 Qi,1 Qi,2

iU ’’,1

Qi,1 Qi,2 iQ ,1 Qi,2

’

��+�"��0 Versteifung gekrümmter Kabelbrücken: (a), (c) bewegliches Grundsystemmit global versteifender Wirkung der Fahrbahn; (b) und (d) formstabilesGrundsystem und steifes Kabelsystem mit schlanker Fahrbahn.

��′ �″ � 1,″ � 2,″ �� 1, �� 2,

Grundlagen

36

Bei beweglichem Seilsystem (Bild 2.14(a) und (c)) beteiligen sich die in Wirklichkeitsteif miteinander verbundenen lokalen Systeme mit ihrem Biege- und Torsionswider-stand an der globalen Lastabtragung und bilden ein Versteifungssystem. Es muss fernernoch unterschieden werden, ob das Seilsystem durch eine kinematisch zulässige Ver-schiebung eine stabile Gleichgewichtslage annimmt oder, wie bei einem Bogensystemoder einer Schrägkabelbrücke mit Harfensystem [36], instabil wird. In diesem Fall istdas Versteifungssystem für die Gesamtstabilität des Tragwerks notwendig. Seine Beteili-gung an der Lastabtragung, die vom Lastfall und von der Anzahl der Freiheitsgrade desSeilsystems abhängt, wird im allgemeinen durch die Tragwerksverformungen vergrös-sert.

In Bild 2.14(a) und (b) sind zwei mögliche Konzepte für eine gekrümmte Schrägka-belbrücke dargestellt. Beim Konzept (a) werden lediglich die am inneren Träger wirken-den Kräfte vom Seilsystem direkt abgetragen. Die Steifigkeit des Systems für dieKräfte hängt massgeblich von derjenigen des steif auszubildenden, auf Torsion undBiegung um die vertikale Achse (in der Folge auch mit Querbiegung bezeichnet) bean-spruchten Fahrbahnträgers ab. Ausserdem ergeben sich infolge der Stellung des Pylonsgrosse Verankerungskräfte für die Rückhalteseile und beträchtliche Horizontalkräfte

, die eine beidseitig feste Lagerung des Trägers erfordern können. Beim Konzept (b)bilden die fächerförmig angeordneten Schrägkabel ein Raumfachwerk. Der Träger musssich an der globalen Lastabtragung nicht beteiligen und kann schlanker ausgebildet wer-den. Der dreiecksförmige Pylon wird am Kopf durch Rückhalteseile unverschieblich ge-halten; seine Stiele sind zentrisch beansprucht und könnten mit der Fahrbahn monoli-thisch verbunden werden, um die Steifigkeit weiter zu erhöhen.

Ähnliche Betrachtungen gelten für die Hängesysteme von Bild 2.14(c) und (d). BeimKonzept (c) wird das Hängeseil durch den affinen Anteil der Hauptlast direkt be-lastet, während zur Abtragung des Anteils die globale Tragwirkung des Trägersals Versteifungselement notwendig ist, da die exzentrische Kabelanordnung die Mitwir-kung des Seilsystems stark reduziert, siehe Bild 2.3 und 5.2.1. Grösse und Verteilung derHorizontalkräfte können für die Systeme (c) und (d) durch entsprechende Wahl derAufhängepunkte gesteuert werden. Beim vollständig ausgefachten System (d) wirkt dasHängeseil auch als Fachwerkgurt und zur Abtragung beliebiger Nutzlasten mit. Der Trä-ger muss keine global versteifende Wirkung übernehmen und darf schlank ausgebildetwerden. Der Kabelstich und die Pylonhöhe müssen mit Rücksicht auf das nötige Licht-raumprofil gewählt werden.

Allgemein bieten formstabile Seilsysteme Vorteile bezüglich Steifigkeit, da die Kräf-te stets mit Hilfe grosser Hebelarme abgetragen werden können, vgl. Kap. 4.2. Aller-dings muss auf Grösse und Richtung der Auflagerreaktionen und auf lastfreie Span-nungszustände Rücksicht genommen werden, vgl. 2.3.2. Tragwerke mit beweglichenSeilsystemen, bei denen Fahrbahnträger und Seilpolygonelemente mit Biege- und Torsi-onswiderstand (Bogen) zur Aufnahme variabler Nutzlasten ausreichend fest und steifsein müssen, können in gewissen Fällen vorteilhafter sein.

�� 1,�� 2,

� 1,″

�� 1,{ }�� 2,{ }

� 1,″

37

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�+�+� :��)��

Für gekrümmte Durchlaufträger sind verschiedene Lagerungskonzepte denkbar. Die ho-rizontalen Exzentrizitäten der theoretischen Lagerpunkte der inneren Felder bezüglichder Verbindungslinie zwischen den Träger-Endpunkten hängen von der Krümmung

und dem Öffnungswinkel der Brücke ab. Aufgrund dieser Exzentrizitätenkann im Gegensatz zu gekrümmten Einfeldträgern oder geraden Brücken auf Torsionsla-gerungen verzichtet werden; Punktstützungen in den Innenfeldern ermöglichen schlan-kere Pfeiler, die bei engen Platzverhältnissen für den Unterbau erwünscht sein können.Bei relativ gestreckter Linienführung und stark exzentrischen Nutzlasten werden jedocheinige oder alle inneren Felder für Torsion gelagert, um die Grenzwerte der Schnittkräfteund der Auflagerreaktionen infolge der Nutzlasten zu reduzieren. Die Einspannung fürTorsion kann als Exzentrizität der resultierenden Auflagerkraft entlang der (meist radia-len) Lagerachse bezüglich des theoretischen Lagerpunktes gedeutet werden, sieheBild 2.6. In der Folge wird für ein Innenfeld eines Durchlaufträgers die Wirkung derin den Nachbarfeldern in den Schnitten unmittelbar vor respektive vorhandenenMomente und für verschiedene Lagerungen graphisch veranschaulicht.Um Lage und Betrag der Auflagerkräfte mit dem Grundfall von Bild 2.6 graphischzu ermitteln, müssen die Momente bekannt sein, zum Beispiel durchAbschätzung am gestreckten Durchlaufträger gemäss Gl. (2.8), siehe 2.3.1. Eine Torsi-onslagerung in jedem Feld reduziert die Werte von gemäss Gl. (2.11), die beigleicher Spannweite und Belastung jedes Feldes gering sind. Für benachbarte Felder gilt

sowie ; falls keine Torsionslager vorhanden sind, giltauch und .

In Bild 3.1(a) werden verschiedene Lagerungskonzepte für das Feld untersucht,das durch die resultierende Vertikallast belastet ist. Der statisch bestimmte Einfeld-träger (1) dient als Grundfall. Die Torsionslagerung in bewirkt eine Verschiebung derAuflagerkraft in den Punkt , siehe Bild 2.6. Endmomente werden als äussere La-sten betrachtet, die zusammen mit die Gesamtbelastung des Feldes bilden. Die Bela-stung ist äquivalent zu der in einen neuen Punkt verschobenenResultierenden . Ist dieser fiktive Angriffspunkt bekannt, dann können Lage und Be-trag von und nach Bild 2.6 bestimmt werden. Führt man beispielsweise ein End-moment am Knoten ein, so kann die Belastung durch die in den Punkt

1 " ϕ( )⁄ ϕ0

ABA B

�A �B, �A �B,� �,

�A �B �, , A �B,

�A �B,

�A �, �B � 1–,–= �B �, �A � 1+,–=�A �, �B � 1–,–= �B �, �A � 1+,–=

AB�0

A� A1

�0�0 �A �B �A �B, , , ,{ }

�0� ��B B �0 �B,{ }

Trägerbrücken

38

verschobene Belastung ersetzt werden. Die Verschiebung beträgt auf derAchse . Das Moment , das die Kompatibilität in entsprechend System (2),d. h. Biegeeinspannung und Punktstützung in , erfüllt, ist vom Verhältnis zwischen Torsions- und Biegesteifigkeit abhängig. Die Last wird in diesem Fall inden Punkt gerückt. Die Wirkung von Endmomenten und auf die Lageder Auflagerkräfte wird auf die gleiche Weise durch Verschiebungen des Angriffspunk-tes von entlang der Achsen respektive erfasst.

Sind in und gemäss System (3) keine Torsionslager, sondern beidseitige Punkt-stützungen vorhanden, so wirken und immer in und . Der fiktive Angriffs-punkt liegt für jede Lage von und für jede Grösse der Endmomente in einem anderen Punkt, jedoch immer auf . Gleich grosse Auflagerkräfte (fik-tiver Angriffspunkt ) ergeben sich nicht nur für den symmetrischen Fall mit und , sondern auch für andere lineare Kombinationen der Endmomente mit

. Gleiche Überlegungen gelten für das System (2), falls ist.

Der allgemeine Fall einer beidseitigen Torsionslagerung des Feldes ist inBild 3.1(b) illustriert. Die Belastung setzt sich aus der resultierenden Vertikallast inallgemeiner Lage und den Endmomenten zusammen. Der inBild 2.6 behandelte Einfeldträger mit beidseitiger Torsionseinspannung dient als Grund-fall (4) mit . Die Exzentrizitäten der in wirkenden Auflagerkräfte

bezüglich der Trägerachse sind sehr gross, während sie am voll eingespannten Trä-gerfeld (5) um ein Vielfaches reduziert werden. Der Einfluss von auf dieLage von ist ebenfalls ersichtlich. Für steigende Werte von werden dieExzentrizitäten von kleiner. Aus den in benachbarten Feldern undermittelten Auflagerkräften lässt sich ferner die Beanspruchung jedes Auflager-querschottes direkt ableiten.

�+�+� 1��$%��

Durch die Verbindung des Trägers mit einem oder mehreren Pfeilern zu einem Rahmen-system werden infolge vertikaler Lasten auch horizontale Auflagerreaktionen erzeugt.Eine echte Seilpolygonwirkung des Systems ist nicht vorhanden, solange die Pfeilerach-sen vertikal sind; der Horizontalschub beruht lediglich auf der exzentrischen Stützlinieim Pfeiler, und daher auf seinem Biegewiderstand. Die Steifigkeit und der Tragwider-stand des Systems werden gegenüber dem Durchlaufträger mit gleichem Querschnitt er-höht; ferner erübrigen sich die Bau- und Unterhaltskosten der Lager. Für stark gekrümm-te Trägerbrücken bietet sich auch die Möglichkeit, feste, eventuell monolithischeWiderlager auszubilden, vgl. 2.3.2. Die horizontalen Auflagerkräfte können durch Rück-verankerung des Widerlagerkörpers, Reibung an der Fundationsplatte oder Bettung einerallfälligen Pfahlkonstruktion abgetragen werden.

Die Umsetzung dieser Konzepte ist jedoch von der Wirkung lastfreier Spannungszu-stände abhängig, die Zwängungen entsprechen, welche zu einem bestimmten Teil durch

C �B �0⁄� ′B �B2

BB κ +, �-'⁄=

�0C2 �A �A, �B

�0 �A′ 'A′, ' ′B

A B� � A B

�0 �A �B �A �B, , ,�3 � �=

C3 �A �B=#A B, 0=

#A B, 0≠ �B 0≠

AB�0

0 ϕ�0ϕ�≤ ≤ �A �B,

�A �B 0= = A4 B4,� �,

κ +, �-'⁄=� κ

�A5 �B5, � �, � 1– �� 1– ��,

∆#� 1– �, �� 1– �B � 1–,⋅ %� �A �,⋅+=

Statisches System

39

Verformungen, zum Beispiel infolge einer Nachgiebigkeit der Widerlager oder einer Re-duktion der Systemsteifigkeit, abgebaut werden. Die Verformungen können die Stabili-tät der Pfeiler beeinflussen, die ansonsten schlanker als beim Durchlaufträger ausgebil-det werden könnten.

Am Beispiel eines im Grundriss kreisförmigen, zweifeldrigen Rahmens mit elasti-scher, tangentialer Lagerung an beiden Widerlagern wird die Stabilität in Längs- undQuerrichtung in Abhängigkeit der Widerlagernachgiebigkeiten untersucht,siehe Bild 3.2(a). Die Stabilität des Systems in Längsrichtung kann durch eine Starrkör-perrotation des Überbaus um den Mittelpunkt des Kreises untersucht werden,

TA

A3

2AAM

A

1A

r1

2r

3r

k MB2= 1, 0.5 , 0k

TB

B

BM

(3)

(2)

(1)

ϕi

MA

A5 r5

4r (5)

(4)

GK EIyκκ = 0.05, 0.2 , 1, 5

iϕ

Q0ϕ

MB

B5

4B

(b)

(a)

A4

A

C5

Bx’

x’A0Q4C

eB4

5BeeA5

4Ae

A1e

2Ae

By’y’A

3C

C2C

Bx’0Q

x’A

BM Q0

x

y

y

x

��+��0 Feld eines Durchlaufträgers, Torsion und Biegung für verschiedene Lage-rungen: (a) Lage und Betrag der Auflagerkräfte für eine resultierende Kraft

in Feldmitte; (b) steifigkeitsabhängige Exzentrizitäten der Auflagerkräf-te für eine resultierende Kraft in allgemeiner Lage.�0� �, �0

��A ��B ��= =

M

Trägerbrücken

40

Bild 3.2(b). Die Rotation hat eine tangentiale Verschiebung von jedem Träger-punkt in Längsrichtung zur Folge, wodurch die Reaktionen anden Widerlagern respektive die tangentiale Rückhaltekraft am Pfeilerkopf entste-hen. Der Betrag von hängt von der Pfeilersteifigkeit ab, Bild 3.2(c). Diehorizontale Belastung ist durch ihre Resultierende und ihren Ortsvektor definiert. Die Momenten-Gleichgewichtsbedingung um den Punkt

(3.1)

liefert die Stabilitätsbedingung für das System. Durch Auflösen nach werden die Kräf-te an den Widerlagern und die vorhandene Pfeilerkraft berechnet. Für mehrere Pfei-ler wird die Summe ihrer Rückhaltekräfte eingesetzt. Ein Rahmen mit sehrschlanken Pfeilern ( << ) oder Pendelstäben mit , d. h. treiben-den Pfeilerkräften, lässt sich von elastischen Widerlagern stabilisieren, solange die Be-dingung (3.1) mit Berücksichtigung aller treibenden und rückhaltenden Pfeilerkräfte er-füllt bleibt. Die Längsstabilität kann auch bei variablem Krümmungsradius oder variabler Steifigkeit der Widerlager auf diese Art beurteilt werden.

Die stabilisierende Wirkung des Überbaus für seitliches Knicken eines Pfeilers mitkonstanter Biegesteifigkeit und Höhe kann durch das System von Bild 3.2(d) er-fasst werden. Die Nachgiebigkeit der Verschiebefeder (in mkN-1) entspricht der hori-zontalen Steifigkeit des gekrümmten Trägers, während die Nachgiebigkeit der Rotati-onsfeder (in m-1kN-1) von dessen Torsionssteifigkeit abhängig ist. Knickform undkritische Länge können durch Lösen der Differentialgleichung der Biegelinie ermit-telt werden [72]. In Bild 3.2(f) sind die Lösungen in Funktion der dimensionslosen Para-meter und dargestellt, wobei ist. Für feste Wi-derlager ist sehr klein und daher gross, so dass sich die Torsionssteifigkeit desSystems beim Variieren von auf die kritische Last theoretisch nurwenig auswirkt. Imperfektionen oder Zwängungen beeinflussen jedoch die Stabilität ne-gativ; dies entspricht einem Spannungsproblem zweiter Ordnung mit Reduktion von und Vergrösserung von . Aus Bild 3.2(f) ist auch der günstige Einfluss einer festenVerbindung zu den Widerlagern auf die Pfeilerstabilität in Längsrichtung ablesbar, wenn

für die Pfeilersteifigkeit und in die Ausdrücke für und substituiert werden.

Die anscheinende Stabilisierung des Rahmens durch die monolithischen Widerlagermuss noch mit Rücksicht auf die Grösse der in Träger und Pfeiler entstehendenZwängungen beurteilt werden, insbesondere jener aus Temperaturschwankungen.

Die infolge einer gleichmässigen Raumdehnung entstehenden Widerlager-Nor-malkräfte werden in Abhängigkeit der Nachgiebigkeit des ein-gespannten Pfeilers untersucht und mit den Werten des gekrümmten Trägersgleicher Länge verglichen, siehe Bild 2.8(f) bis (h) mit . In Bild 3.2(e) sind dieVerformungen des Grundsystems (Dreigelenkbogen) und die überzähligen Grössen

eingetragen; in Bild 3.2(g) ist die Abhängigkeit der Widerlagerkräfte von der

" ∆⋅ ϕ=A ( ) B ( ) �– ��⁄= =

�� ( )�� ( ) �-� �( )

� 0� 0ϕ,[ ]= �M

0ϕ �⋅ �A ( ) "⋅ �B ( ) "⋅–– 0ϕ �⋅ 2 "⋅ ⋅ ��⁄– �� ( )<=

��

�� ( )∑

�� ( )∑ 2 ��⁄⋅ ��

� ( ) 0<

" " ϕ( )=�� ( )=

�-' ��#

��"#

��

.1 �3 ��# �-⋅( )⁄= .2 � ��"

# �-⋅( )⁄= �- �-'=��# .1

.2 �� π2 �-' ��2⁄⋅=

�-'.2

�- �= -� ��A ��B 2 ��#⋅= = .1 .2

ε)(A (B, ��

� �3 12 �-⋅( )⁄=(A0 (B0=

�� ∞→

11 12, (A

Statisches System

41

(f) (g)

(e)(d)(c)

(a) (b)

y (x)

y(x),EI (x)z

0

EIy

AfcA

u

uC

ϕ0

BcfB

uo

AN

R

1H S

Fr

r Fϕ

BN

M

NA BN

BA

fc SR

C

εV

d

a cb d e

d

0ϕ

X2

X1 1Xu

u

fTc

f Rc T0 QH

Q

h

z,w

x

y,v

x

c

10-2 10-1 100 101 1020.5

2.5

1

2

5 300

10

1

��+��0 Monolithischer Rahmen: (a) zweifeldriger Rahmen mit elastischer Rückhal-terung an den Widerlagern; (b) treibende und rückhaltende Kräfte in ver-schobener Lage; (c) von hervorgerufene Pfeilerkraft ; (d) Modell und(f) Knicklängen für die Pfeilerstabilität; (e) statisches System und (g) Nor-malkraftzwang am Widerlager infolge der Raumdehnung für die Pfei-lerquerschnitte mit konstanter Fläche .

2 �

A ε)a b c d e, , , , % %�=

(A

(A0---------

[–]

FI6

FIF6

P-------=

P 0.2 0.5 1⁄ 2⁄ 5⁄⁄=

D

E

F

G

H�FU�

-------

[–]

��F

-----[–].1�3

�I7 �-⋅

-------------=

[–]

N2 5 1 0.2⁄⁄=

N2K

FI 57 (,⋅

---------------=

N2 ∞→

N2 0→

$G

2π⋅4

----------∑ GF2 π⋅2

---------- $F= = =

P 0=

Trägerbrücken

42

Pfeilersteifigkeit dargestellt. Die unterschiedliche Steifigkeit verschiedener Pfeilerquer-schnitte mit konstanter Fläche , die für mit mfestgelegt wird, ist durch den Faktor angedeutet. Der Trägerquerschnitt ent-spricht demjenigen von Bild 2.8 mit m, m4, m2. Die zweiSpannweiten betragen je m, und der Elastizitätsmodul ist GPa für Trägerund Pfeiler.

Durch Pendelstützen könnten die Zwängungen am kleinsten gehalten werden, dochwäre dann die Systemstabilität von den fest verbundenen Widerlagerkörpern vollkom-men abhängig. Eine Verschiebung nach Bild 3.2(a) ruft treibende Pfeilerkräfte hervor; bei nachgiebigen Widerlagern kann das System instabil werden, vgl. Gl. (3.1).Biegesteif angeschlossene Pfeiler bewirken hingegen grössere Widerlager-Normalkräfte.Ausserdem überwiegt im Normalfall der Mehraufwand zur Verankerung der Horizontal-kräfte an den festen Widerlagern die Einsparungen an den schlankeren Pfeilern, die imBauzustand eventuell stabilisiert werden müssen. Die Reduktion der Momentenbean-spruchung im Träger aus feldweiser Belastung fällt nur für ein grosses Verhältnis derNutzlasten zur Dauerlast ins Gewicht. Es scheint daher sinnvoller, auch bei grossenÖffnungswinkeln (z. B. bei Wendeplatten) eine feste Lagerung an nur einem Widerlageroder ein schwimmendes Rahmensystem vorzusehen.

�+� ;��

�+�+� 2��

Das Tragverhalten gekrümmter, aus Scheiben zusammengesetzter Träger kann nicht ge-mäss 2.3.1 beschrieben werden. Der Träger muss als Faltwerk modelliert werden, entwe-der mit dünnwandigen, gelenkig verbundenen und durch Querscheiben unverformbar ge-haltenen Scheiben oder mit biegesteifen und biegesteif verbundenen Scheiben.Analytische Lösungen für den Spannungs- und Verformungszustand sind nur für linearelastisches Materialverhalten und konstanten Trägerquerschnitt möglich; für offeneQuerschnitte werden zudem die Schubverformungen vernachlässigt [19-21,50,100]. Die-se Annahmen sind jedoch oft ungeeignet, z. B. für Spannbetonträger und Querschnittemit grossen Schubverformungen oder freier Verwölbung dünner Scheiben [65,95]. Aufeine eingehende Diskussion des linear elastischen Verhaltens unter Torsion wird hierverzichtet1. Dafür werden einige konzeptionelle Überlegungen zur Querschnittsgestal-tung gekrümmter Trägerbrücken angestellt.

�+�+� <))��;��

In offenen Querschnitten wird ein beträchtlicher Anteil der Torsionsmomente durchWölbtorsion abgetragen. Bild 3.3(a) veranschaulicht den Wölbschubfluss und

a b c d e, , , , % %�∑ ��2 π 2⁄⋅= = � �� 1.5=$ �� ,

� ��⁄=

"0 240= -� 24.32= % 6.5=� 80= � 30=

�� 0<

#� & #�( )

Querschnitte

43

den Eigenspannungszustand . Offene Querschnitte sind für grössere Torsionsbe-anspruchungen im allgemeinen wenig geeignet, da die Hebelarme zwischen den auf denQuerschnitt wirkenden Wölbquerkräften beschränkt sind und die Torsionssteifigkeit(Wölbsteifigkeit) klein ist. Es liegt daher nahe, den Querschnitt geschlossen auszubilden,siehe 3.2.3. Ist es jedoch nötig, die Stege oberhalb der Fahrbahn anzuordnen, dann kanneine Brücke mit Trogquerschnitt eine bei kleinen Spannweiten zweckmässige Lösungbieten. In der Folge wird am Beispiel eines Trogquerschnitts mit biegesteif angeschlos-senen Scheiben der Einfluss der Krümmung auf die Wirkung der Normalspannungen in-folge Biegung und Wölbtorsion näher betrachtet.

An einem gekrümmten Trägerelement mit Länge entstehen infolge der Nor-malspannungen gemäss Bild 3.3(b) radiale Ablenkkräfte

(3.2)

wobei die Dicke der -ten Querschnittsscheibe ist. In der Platte sind die Ablenkkräftein ihre Resultierende zusammengefasst. Die Resultierende aller Ablenkkräfte im Element ist Null, solange keine Normalkraft vorhanden ist. Die Ablenkkräfte erzeu-gen jedoch ein resultierendes Drehmoment im Element und Biegung in den Stegen, dieals (Zylinder-)Schalen tragen und im Druckbereich je nach Schlankheit stabilisiert wer-den müssen. Die Ablenkkräfte bilden zusammen mit der auf das Element wirken-den äusseren Last, die in Bild 3.3(b) in die resultierenden Vertikalkräfte reduziertist, eine auf das Trägerelement wirkende Kräftegruppe . Ihre Einleitung erfolgtdurch Rahmenbiegung, solange der Biegewiderstand des Elementes dafür ausreicht. DieReaktionskräfte am Element wirken an den Schnittkanten der Scheiben. Die sichaus der Krafteinleitung ergebenden Kräfte sind zu äquivalent und ver-ursachen eine Änderung von Biegung und Torsion über die Länge .

Die von den Ablenkkräften verursachten Querbiegemomente in der Rahmenecke sindvon der Grössenordnung . Sie werden bereits bei mässiger Krümmung zugross, um über Rahmenbiegung allein eingeleitet zu werden. Deshalb müssen oft rah-

1. Im allgemeinen Fall setzt sich das Torsionsmoment aus dem St. Venantschen Anteil (Umlaufschub-fluss aus Schubverformung der Scheiben) und aus dem Wölbmoment (Schubfluss in dünnwandi-gen, schubstarren Querschnitten aus Behinderung der mit der Verdrehung gekoppeltenQuerschnittsverwölbung) zusammen. Die Anteile und können anhand der Differentialgleichungder gemischten Torsion und den Beziehungen

und ermittelt werden. Dabei ist die Querschnittsverdre-hung und das Wölbmoment. und , in enthalten, stellen die Dreh- undWölbsteifigkeit des Querschnitts dar. Die Drehmomente (rechte Seite der Gleichung) entsprechen den-jenigen von Gl. (2.8) für massive Querschnitte und können zuerst am geraden Träger abgeschätzt wer-den. Für ist reine Wölbtorsion vorhanden; Schnittkräfte und Verformungen lassen sich anhandder Biegung eines Analogieträgers leicht ermitteln. Für variable Werte von ist das Problem ohnegrossen Aufwand numerisch lösbar. Die prinzipielle Tragwirkung aufgelöster Systeme mit grossen He-belarmen (Bogen, siehe 4.2.3 und Bild 4.6) für Torsion kann dann durch das Modell eines I-Trägers er-klärt werden, wobei Fahrbahnträger und Bogen als Flansche, die starren Stützenscheiben als Stege desQuerschnitts wirken. Das Torsionsmoment setzt sich aus (Flanschbiegung) und (eigene Torsi-onsbeanspruchung der Querschnittsteile) zusammen.

#V

#Z

#Z

#V

�Z″ .2 �

Z⋅+ �

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]�\

⋅– *\�]

⋅––=#Z �

Z′ �-

Zϕ″′⋅–= = #

V# #

Z– +, ϕ′⋅= = ϕ

�Z

+, �-Z

. +, �-Z

⁄=

. 0=.

#Z

#V

σ� #�( )

∆� 1=σ� �'( ) σ� #( )+

*3 ' �,( ) σ� �'( ) σ� #( )+( ) ∆�"------ �3⋅ ⋅=

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*3{ }�1 �2,

*3 �3,{ }

"1 "2,"– 1 "– 2, *3 �3,{ }

∆�

�' " �⋅( )⁄

Trägerbrücken

44

menartige, formerhaltende Querscheiben angeordnet werden. Die Reaktionskräfte zur Einleitung der Kräfte wirken nicht an jedem Trägerelement, sondern kon-zentriert an den Querscheiben. Der Rahmenwiderstand des Querschnitts ist lediglich fürdie lokale Lastabtragung zwischen den Querscheiben nötig. Die Einleitung der Ablenk-kräfte mit Berücksichtigung der Querschnitts-Rahmenwirkung, sowie die Steifigkeit undder nötige Abstand der Querscheiben können anhand eines Faltwerkmodells mit zwi-schen den Querscheiben polygonal geführten Stegen untersucht werden [50], sieheBild 3.4.

Mit einer Längsvorspannung kann ein Eigenspannungszustand erzeugt werden, dereine volle Kompensation der Momente bewirkt. Bild 3.3(c) zeigt entsprechendeUmlenkkräfte . Durch die Kompensation wird der Querschnitt weder ver-krümmt, verdreht noch verwölbt, und die Vorspannung ist formtreu, siehe 3.3.1. Für Vor-spannkabel, die sich in den Querschnittsscheiben befinden, kann in jedem Trägerelementdie Belastung durch die Umlenkkräfte der Vorspannung, welche die Reak-tionen ersetzen, im Gleichgewicht gehalten werden. Jedes gekrümmte Trägerele-ment wird durch die Kräfte und , die nicht den gleichen Angriffspunkt be-sitzen, auf Rahmenbiegung beansprucht, siehe Bild 3.3(c). Die Grösse derBeanspruchung hängt von den variablen Exzentrizitäten der Stegkabel und vonden Belastungen ab, die proportional zu den Kabel-Ankerkräften sind. Werden dieVorspannkabel nur an einzelnen Querscheiben umgelenkt (externe Vorspannung), so ver-bleiben dazwischen unkompensierte Belastungen , falls die Stege kontinuierlichgekrümmt sind.

Nutzlasten erzeugen eine nicht kompensierte Verdrehung des Querschnitts und Rah-menbiegung, wofür der offene Querschnitt nur beschränkt Widerstand und Steifigkeitbesitzt. Mehrstegige, offene Querschnitte sind zwar steifer, müssen aber arbeitsaufwen-dig mit Feldquerscheiben ausgesteift werden. Durchlaufträger mit offenen Querschnittenkommen daher nur bei mässiger Krümmung, kleiner Nutzlast und kurzer Spannweite inFrage. Geschlossene Querschnitte, welche für die massgebende Wirkung der Biegunginfolge Vertikallasten ohnehin effizienter sind, werden in den meisten Fällen vorgezo-gen.

�+�+� ��;��

Die Verbindung von Stegen, Fahrbahnplatte und einer zweiten Gurtplatte zu einem ge-schlossenen, schubsteifen Kastenquerschnitt verleiht dem Träger eine grosse Torsions-steifigkeit. Seine Verdrehung erzeugt wie bei offenen Querschnitten Spannungen aus be-hinderter Verwölbung [20], die jedoch von untergeordneter Bedeutung sind, da derAnteil der Wölbtorsion stets viel kleiner als derjenige der St. Venantschen Umlauf-torsion ist. Die Einleitung der Torsionsmomente wird am Beispiel einer Trägerbrückemit polygonalem Kasten-Grundriss illustriert, siehe Bild 3.4(a) bis (e).

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*3 �3,{ }

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*3 �3,{ } 43{ }"3{ }

*3 �3,{ } 43{ }

�1 �2,*1 *2,

*3 �3,{ }

#�#�

Querschnitte

45

Die Stege und die untere Kastenplatte des in Bild 3.4(b) dargestellten Verbundquer-schnitts besitzen keinen genügenden Widerstand, um die von den Normalspannungen

verursachten Ablenkkräfte kontinuierlich einleiten zu können. Die Stegeverlaufen gemäss Bild 3.4(a) polygonal zwischen den Querscheiben, an denen Ablenk-kräfte und Drehmomente konzentriert als Änderung des Umlaufschubflusses eingeleitet werden, und sind damit nur in ihrer Ebene beansprucht. Zwischen den Quer-scheiben angreifende Drehmomente, z. B. in Bild 3.4(c), werden von einem aus denKastenwänden gebildeten Faltwerk zu den benachbarten Querscheiben abgetragen. DieKantenschübe können aus den Verträglichkeitsbedingungen für die Kanten-dehnungen ermittelt werden [50]. Die querkraftfreien Faltwerkscheiben, d. h. die Stegein Bild 3.4(c), reduzieren die Verformungen der belasteten Scheiben durch ihre Kanten-schübe. Die Reaktionskräfte an jeder Querscheibe wirken in den Achsen der Ka-stenwände und halten die Kräftegruppe im Gleichgewicht, siehe Bild 3.4(d).Die umgekehrten, in den Querschnitt eingeleiteten Kräfte bewirken eine Ände-rung des Umlaufschubflusses, wobei das resultierende Dreh-moment infolge ist, siehe Bild 3.4(e). Der Betrag jeder Reaktionskraft ist durch

gegeben, wenn mit die Plattenbreiten respektive die Steglängen bezeichnet werden, siehe Bild 3.4(f).

(a)

(b) (c)

1t

1R

y Ox

z

C

3

σx( )My 2t

2σx( )T

v ( )T

3t

q1U1z

1Q

U1y1e

U3

3

y

e

z

C

Q3

O2e

q2U2z

U2y

2QQ1

1q

R1

Cz

Q3

Oy2q

Q2

2R

��+��0 Trogquerschnitt: (a) Normal- und Schubspannungen aus Wölbtorsion undBiegung; (b) Belastung und Auflagerreaktionen des Quer-schnittsrahmens; (c) Rahmenbelastung bei formtreuer Vorspannung.

*� ��,{ } "�{ }

σ� �'( ) *3{ }

∆& & #( )

� �⋅

&3. &.3–=

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*3 �3,{ }"– 3�{ }

∆& ∆# �0 �+( ) �⋅( )⁄= ∆#*3 �3,{ }

"3� ∆& �3⋅= �3 �0 �,

�′ �= 1 �0 �–( ) 2�⁄( )2+( )1 2⁄⋅

Trägerbrücken

46

Querschnitte, deren Scheiben einen Biegewiderstand besitzen, können durch Rah-menbiegung Ablenkkräfte und Drehmomente als Schubflussänderung kontinu-ierlich einleiten. Die Beanspruchung eines Rahmens mit einer Länge entsprichtderjenigen der in Bild 3.4(d) abgebildeten Querscheibe, die Kräfte erübrigen sich.In den meisten Fällen wird für Stahlbetonquerschnitte einzig diese Wirkung betrachtet.Bei stark gekrümmten Trägern kann es jedoch nötig sein, Querscheiben zur Reduktionder Rahmenbiegung anzuordnen, womit die Einleitung der Torsion teils kontinuierlichund teils an den Querscheiben erfolgt. Eine Aufteilung zwischen Faltwerkwirkung mitBeanspruchung der Querscheiben und Rahmenbiegung ist mit dem Modell eines ela-stisch gebetteten Trägers möglich, wobei die Trägerquerkräfte auf das Faltwerk und dieBettungskräfte auf den Rahmen entfallen [21]. Notwendigkeit und Steifigkeit von Feld-querscheiben können damit wenigstens prinzipiell beurteilt werden.

Durch die Querschnittsausbildung sollen die durch die Nutzlasten oder im Bau her-vorgerufenen Trägerrotationen und Stegquerkräfte und die Rahmenbiegung aus Torsionbeschränkt werden. Die Breite der oberen Kastenplatte wird im Hinblick auf einesinnvolle Plattenbeanspruchung der Fahrbahn festgelegt. Die für die Verdrehung massgebende Torsionssteifigkeit wird durch eine grosse Kastenfläche mit vertikalen Ste-gen erhöht; Schubverformungen und Querkräfte aus Biegung und Umlauftorsi-on werden entsprechend reduziert, siehe Bilder 3.4(f) und (g) mit

. Demgegenüber reduziert eine untere Kastenplatte mit kleiner Breite die Bean-spruchungen des Querschnittsrahmens oder der Faltwerk- und Querscheiben infolge derEinleitung von Drehmomenten . In Bild 3.4(h) sind die Gleichgewichtsgruppe

und die Rahmenmomente dargestellt, die sich aus der Einleitung eines verti-kalen, an den oberen Ecken wirkenden Kräftepaars ergeben. Die Komponenten der Re-aktionskraft sind durch

(3.3)

gegeben, und mit werden das obere respektive das untere Eckmoment bezeich-net. Die Querbiegung verschwindet, wenn die Querschnittsscheiben eine oder mehrereDreieckszellen bilden; die Stege können dann dünner oder als Fachwerk ausgebildetwerden [11], siehe Bild 3.4(i). Diesem Vorteil gegenüber können je nach Situation dieNachteile der reduzierten Kastenfläche oder von zusätzlichen Stegscheiben überwiegen.Der Einfluss der Breite der unteren Kastenplatte auf die Querkraft , die Mo-mente und die Verdrehung pro Längeneinheit eines einzelligenQuerschnitt konstanter Wandstärke mit m und m sind in Bild 3.4(j) dar-gestellt. Die Grössen beziehen sich auf den rechteckigen Kastenquerschnittmit .

*3{ } ∆&∆� 1=

�3{ }

�0ϕ

)5 �'( ))5 #( ) & #( ) �′⋅=

� �0→

∆#�" �– ",{ }

�"

�" �'"

��"

∆& �⋅

∆& ��0----- �⋅ ⋅

= =

$� $�,

� )5 #( )$� $�, ϕ′ �ϕ ��⁄=

�0 5.0= � 3.0=)05 ϕ′0 $0, ,

� �0=

Querschnitte

47

i 1 i i 1

yM( )xσ

T( )v

Oy x

z

(b)

b0

ϕT

VWh

b

h’

(g)(f) (j)

(i)RQam

(h)

y O

z

bmRQ

-R1S

(e)S-R4

T∆ -RS2

3-RS

R S21R S

q33Q

q1

q4

Q4

S4R

2q

R S3

-Q3

(d)

(a) (c)Q

vjk vkj

-Q4

Q

0 10

2

1

��+"��0 Trägerbrücken mit Kastenquerschnitt: (a) polygonaler Träger mit Quer-scheiben; (b) Verbundquerschnitt; (c) Faltwerkwirkung; (d) Beanspruchungder Querscheibe; (e) Einleitung von über Kräfte ; (f) Querkräfteinfolge ; (g) günstiger Querschnitt; (h) Gleichgewichtsgruppe infolge und zugehörige Rahmenbiegung ; (i) Querschnitt ohne Querbiegung;(j) Vergleich von Steifigkeit ( ) und Beanspruchung für variableBreite der unteren Kastenplatte.

∆# "– 3�{ }

# ∆#$

1 ϕ′⁄ )5 $,

[–]��0-----

[–]

9:

90:

-------

ϕ′ϕ0′-------

PE

PE0---------

PD

PD0---------

Trägerbrücken

48

Die Längsvorspannung dient zur vollen oder teilweisen Kompensation von Biegungund Torsion für ständige Beanspruchungen. Ihre Ablenkkräfte beanspruchen jedoch denQuerschnittsrahmen und die Querscheiben zusätzlich. Bei extern geführten Spannglie-dern sind die Umlenkkräfte an wenigen Stellen konzentriert. Je nach Anzahl der Um-lenkstellen ergeben sich ein Mehraufwand für die Querscheiben oder grössere, lokaleBeanspruchungen. Leichte, hochfeste Stege reduzieren das Eigengewicht; sie sind je-doch weniger schubsteif, und ihre Schlankheit ist durch die Stabilitätskriterien be-schränkt. Wellblechstege [15] mit Querschnitt gemäss Bild 3.4(g) können ohne Ausstei-fung stabilisiert werden. Sie entziehen sich den Normalspannungen, so dass eineVorspannung der Kastenplatten ohne Stegdruck erzielbar ist, und sie werden durch Ab-lenkkräfte nicht beansprucht. Da der Biegewiderstand der Stege beschränkt ist, werdendie Drehmomente hauptsächlich durch Faltwerkwirkung mit Beanspruchung der Quer-scheiben eingeleitet. Im Faltwerk von Bild 3.4(c) wirken nur die Kastenplatten auf Bie-gung, und ihre Durchbiegung sowie die Querschnittsverformung werden dadurch ver-grössert. Die Faltwerkwirkung verschwindet, und die Querscheiben erübrigen sich, wennder Kasten aus lauter Dreieckszellen zusammengesetzt ist, siehe Bild 3.4(i).

Wegen ihrer einfachen Herstellung sind über die Trägerlänge konstante Querschnittemit wenigen Querelementen meist wirtschaftlich, siehe 2.1.3. Leichte Querschnitte kön-nen einen besonders wirtschaftlichen Bauvorgang gestatten, während massive Spannbe-tonträger, die zwar grössere Belastungen auf den Unterbau verursachen, grösste Anpas-sungsfähigkeit an die geschwungene Linienführung besitzen und vor allem auch fürkurze Bauwerke sehr wirtschaftlich sind.

�+� #�/�� $��% ��

�+�+� *��2��

Die Erfassung der Wirkung einer räumlichen Kräftegruppe auf einen gekrümmten Trä-ger anhand der Reduktion der Schnittkraftdynamen zu Stützkraftpaaren

, die global ein Seilpolygonpaar gemäss Bild 2.9 bilden, kann für die Be-stimmung der Geometrie zweier Vorspannkabel zur formtreuen Vorspannung eines Trä-gers verwendet werden. Diese ist dadurch definiert, dass auf jeden Querschnitt eineSchnittkraftdyname , d. h. zentrischer Druck wirkt. In 3.3.2 wird ge-zeigt, dass diese Bedingung im allgemeinen nur unter der Annahme kleiner Kabelkrüm-mungen erfüllt wird. In der Regel ist eine formtreue Vorspannung eines gekrümmtenTrägers für Dauerlast nicht anzustreben, weil dadurch der Tragwiderstand und derSpannstahlaufwand unnötig gross würden. Ausserdem würden bei starker KrümmungPlatten-Vorspannkabel benötigt, die konstruktiv wenig erwünscht sind. Ihre Behandlungals Seilpolygonpaar ermöglicht allerdings, die Wirkung der Vorspannung in ge-krümmten Trägern auf einfachem Weg zu erläutern. Auf die übliche Ermittlung der Ka-

�# �#,{ }�1 �2,{ } � ′ �″,

�# #= �# 0=,{ }

� ′ �″,

Anwendungen des Seilpolygonpaars

49

belgeometrien mittels Schnittkraftberechnung für äussere Last und Vorspannung [28]wird hier verzichtet, weil sie zur Findung freier Formen nicht geeignet ist, siehe 3.3.2.

Die zu kompensierende Trägerbelastung wird als Gruppe von Einzellastenreduziert, die in den Knoten wirken. Die Vorspannung wird als äussere Last einge-führt, bestehend aus den Ankerkräften an den Trägerenden und den Umlenkkräften inden Knoten . Die Vorspannkabel werden als Seilpolygone mit kon-stantem Betrag respektive der Seilkraft betrachtet, welcher der Ankerkraft ent-spricht. Die Kabel sind entweder frei geführt oder liegen im Querschnitt. Die Geome-trien der Kabel für die formtreue Vorspannung des Trägers sind voneinanderabhängig, vgl. 2.4.2; bei einer willkürlich festgelegten Kabelform kann durch An-passung von im allgemeinen keine formtreue Vorspannung erzielt werden. Die inder Folge für zwei Kabel aufgeführten Betrachtungen können für eine grössereAnzahl Kabel entsprechend erweitert werden.

Als Grundfall wird ein horizontal gekrümmter Einfeldträger mit beidseitiger Torsi-onslagerung an den Enden A und B betrachtet. Die Vorspannung wird als räumlichesSeilpolygonsystem im Sinne von Bild 2.11 mit Anker- und Umlenkkräften re-spektive für sowie respektive für er-fasst. Zur formtreuen Vorspannung des Trägers muss in jedem Knoten ��die Vertikal-komponente der Umlenkkraft die Last kompensieren.Es gilt in allgemeiner Form

(3.4)

Ausserdem muss an jedem Trägerende die Resultierende der Kabel-Ankerkräfte und derAuflagerkräfte respektive infolge eine Normalkraft ergeben, d. h. es muss

, (3.5)

gelten, siehe auch Bild 3.5(f) und (g). Die resultierenden, vertikalen Ankerkräfte müssenmit den Auflagerkräften und im Gleichgewicht sein und daher auch den gleichenAngriffspunkt haben. Die Lage von , definiert durch , kann für diesenGrundfall graphisch ermittelt werden, siehe Bild 3.5(f) sowie 2.6 und 3.1.

Da jeder Querschnitt bei formtreuer Vorspannung definitionsgemäss durch die Dy-name beansprucht ist, müssen die infolge der Trägerkrümmung ver-bleibenden Komponenten der Umlenkkräfte, die infolge (3.4) horizontal sind und mit

(3.6)

� ��{ }P�

P� � ′ � 1( )= �″ � 2( )=,/1 /2

� 1( ) � 2( ),� 1( )

� 2( )

� 1( ) � 2( ),

�1A �1B, 1�{ } �′{ }= � 1( ) �2A �2B, 2�{ } �″{ }= � 2( )

4�] 41�] 42�]+= � 1� 2�+= ��

.�.∑

��⋅ +�+ 4�] +�+ 0= =

� � ��{ }

� �.A.∑+ %

# �%# 0=,{ }= � �.B

.∑+ B

# �B# 0=,{ }=

� �� , � �% ��, ,

�# #= �# 0=,{ }

�K .�K

.∑ �� .�

.∑+= =

Trägerbrücken

50

bezeichnet werden, eine zur Trägerachse affine Kräftegruppe bilden. Das zu gehörende Seilpolygon, das die Ankerkräfte respektive besitzt, mussdaher mit der Trägerachse identisch sein.

Einige Möglichkeiten zur Vorspannung des betrachteten Einfeldträgers sind inBild 3.5 für symmetrische Kastenquerschnitte dargestellt. Als erstes Beispiel wird einTräger mit zwei Vorspannkabeln in den vertikalen Stegen betrachtet, sieheBild 3.5(a) und (b). Die am differentiellen Trägerelement wirkenden, verteilten Umlenk-kräfte des Kabels ., definiert durch seine Achse , sind durch

(3.7)

gegeben. Dabei sind der Krümmungsradius, der Betrag derKraft im Kabel, und sein Hauptnormalenvektor. Für übliche Trägerschlankheitensind die Krümmungen der Kabel klein, weshalb die horizontalen und vertikalen Kompo-nenten von unabhängig voneinander ermittelt werden dürfen; auch dür-fen die Komponenten in Richtung der Trägereachse ausser Acht gelassen werden.Bei Diskretisierung des Trägers von Bild 3.5(a) in Elemente werden die verteilten Um-lenkkräfte in Einzelkräfte in der Mittelebene jedes Elementes zusammen-gefasst, siehe Bild 3.5(b). Die Vertikalkomponente von ist immer gleich und ent-gegengesetzt zur Gewichtskraft , siehe (3.4).

Die Horizontalkomponenten der Umlenkkräfte wirken in den Schnitt-punkten der Wirkungslinien von und . Für eine formtreue Vorspannung müs-sen zuerst alle Punkte in der Krümmungsebene des Trägers liegen; in Bild 3.5(b) istdiese Bedingung beispielsweise nicht erfüllt. Jede Kraft ist damit im Schwerpunkt

des mittleren Querschnitts des Elementes zentriert, was in allgemeiner Form als Mo-mentenbedingung

(3.8)

formuliert werden kann. Dabei stellen und die Exzentrizitäten von undbezüglich des Schwerpunktes dar. Für eine über die Breite verteilte Gleichlast und eine Elementlänge beträgt zum Beispiel

(3.9)

und darf für << vernachlässigt werden. Das Seilpolygon der Kräfte stimmt mitder Trägerachse nur überein, wenn für jedes Element

(3.10)

�K{ } �K{ }�1A �2A+ �1B �2B+

� 1( ) � 2( ),

�. �( )

�. �( ) /.�2�. �( )��2

-----------------⋅ /.1

ρ. �( )------------ �. �( )⋅ ⋅= =

ρ. �( ) /. �.A �.B= =�. �( )

�.�\ �.�], �. �( )�.�[

1 � 2 �+ �=4�] �

+�

�K � ��+=P� ��

P� �K

O�

�� , � � �,⋅+⋅ ��= �� , .�\�.�⋅ .�]

'.�⋅+( ).∑+⋅ 0=

�� , � �, �� O� � �

��

�� "�� 2"�⁄( )sin

�� 2"�⁄--------------------------- 1 �2

12"�2

------------+ ⋅ 1–⋅=

� "� �K{ }

�K (# ��"�----- ��⋅ ⋅=


51

=

=

P1

1b

n1,ρ1

1t

P1

y1uz

y dsP2

2u zg

z1u(a)

u2y

2P

(b)

1iz U1iCi

iP

y Oi

z

eu,i

i2y1iy

Gi

iα g,ieiU

z2i

hiU

UiiG

iG

iU

z i1

Pi Oi

i2U

U2i

U1i

U2i

i1U

z2 i

4iU

U3i

iU

iG

Uih U4i

i1U

i3U2iU

i1U 2U iU2i1iUW W

θ

U

u yx

P

P

dyds

∆ ϕd

ρdsdy

Rx

y

ds R ϕd(d)

(e)

(c)

(f)eg

(3)S

ϕ ϕ02

S(2)

(4)S

S(1)

AAe

ϕ 0

(g)

eA

A3AP

2AP1AP

A

z

y

4AP

d y

z

��+&��0 Vorspannung gekrümmter Träger: (a) differentielles Element mit Last und Umlenkkräften ; (b) diskrete Kräfte , nichtformtreue Vorspannung; (c) formtreue Vorspannung; (d), (e) Umlenkkräfteder Platten-Vorspannkabel; (f), (g) formtreue Vorspannung, Kabelformenund Kräftegruppe am Trägerende .

��1 �( ) �2 �( ), 1� 2� ��, ,

�1A … �4A �, , ,{ } (A# �A

# 0=,{ }= A

Trägerbrücken

52

gilt. Die Gleichung (3.10) ist in der Form analog zur Gleichung (3.7), die für die verteil-ten Umlenkkräfte jedes Kabels gilt. Dabei sind die Normalkraft im Träger, und sowie sind auf die Mittelebene des Elementes bezogen. Bei konstanten Koordinaten

der Vorspannkabel wie in Bild 3.5(b) sowie konstantem Trägerradius ist (3.10) für << und kleinem Kabelstich stets erfüllt, denn mit den Nähe-

rungen und ergibt sich aus (3.7) . Für varia-ble Kabelkoordinaten und Radien verbleibt im allgemeinen eine Querbiegung

im Träger.

Für eine formtreue Vorspannung sind ausser (3.10) auch die Bedingungen (3.5), (3.6)und (3.8) einzuhalten. Bei im Querschnitt symmetrisch geführten Kabeln, d. h. mit

und , kann (3.8) durch die Wahl unterschiedlicher Kabelkräfte erfüllt werden. Für einen Kreisträger müssen zum Beispiel die Umlenkkräfte und im Verhältnis

(3.11)

gewählt werden. Dabei ist der Neigungswinkel der Umlenkkraft bezüglich derVertikalrichtung, und es gilt . Die resultierende, horizontale An-kerkraft am Trägerende liegt somit exzentrisch zur Trägerachse, und der Träger wirddurch ein konstantes Biegemoment beansprucht. Damit sowohl (3.8) in jedem Ele-ment als auch (3.5) an beiden Trägerenden erfüllt sind und die Vorspannung formtreu ist,müssen die zwei Stegkabel im Querschnitt asymmetrisch geführt werden. Dieunterschiedlichen vertikalen Exzentrizitäten und bedingen, dass der grösstmögli-che, vertikale Kabelstich beim einen Kabel nicht voll ausgenutzt werden darf, was zu ei-nem erhöhten Vorspannaufwand führt. Ein Konzept mit unterschiedlichen Kabelkräftennach (3.11) und voller Ausnutzung des Kabelstichs ist daher vorzuziehen, solange dieSpannungen infolge beschränkt bleiben. Da die zu kompensierende Last üblicher-weise etwas kleiner als die Dauerlast gewählt wird, erzeugt die Differenzlast, die vomSeilpolygonpaar nicht getragen wird, Biegung und Torsion.

Die Geometrie der Steg-Vorspannkabel kann üblicherweise am gestreckten Trägergeschätzt werden. Aus den nötigen Umlenkkräften und dem möglichen Kabelstichwerden die Koordinaten und die Ankerkräfte der zwei Kabel wie amgeraden Träger festgelegt. Die Kabel-Umlenkkräfte in jedem Element werdendann durch die Ankerkräfte oder durch Verschiebung der Kabelkoordinaten angepasst,um (3.8) zu erfüllen. Die Festlegung der Kabelgeometrien mittels Berechnung der Trä-gerschnittkräfte aus Last und Vorspannung mit anschliessender Korrektur von Umlenk-kräften und Koordinaten zur Kompensation der Drehmomente, auf die hier nicht einge-gangen wird, ist dazu äquivalent.

Eine formtreue Vorspannung des Trägers ist bei voller Ausnutzung des Stichs derSteg-Vorspannkabel nur möglich, wenn das Drehmoment aus(3.8) durch die Wirkung zweier Platten-Vorspannkabel kompensiert wird. Für

(# ��"�

'1� '1= '2� '2=,"� "= '.� "

1 ρ.�⁄ 1 "⁄ �≈ /1 /2+ (≈ # �K(# �� ⋅ ⋅ "�⁄≈

'1� '2�, "�

��

�2� �1�= '2 '1–= /1 /2> 1�

2�

41�

42�--------

'1 �� α�cot⋅+( )+

'1 �� α�cot⋅+( )–--------------------------------------------

/1]

/2 ]

-------= =

α� �α�tan +� "⋅ /1 /2+( )⁄=

��

� 1( ) � 2( ),��1 ��2

��

� 1( ) � 2( ), �'

4�]�1�0

�2�0, �10

�20,

1� 2�,

+� �� ,⋅ 4( 1�\ 42�\ )+ �1�⋅+� 3( ) � 4( ),


53

den Querschnitt von Bild 3.5(c) sind durch und die Komponenten derUmlenkkräfte der Stegkabel in der Stegfläche gleich gross. Der Verlauf derUmlenkkräfte entspricht für einen Kreisträger demjenigen von , da derHebelarm und konstant sind. Die verteilten Umlenkkräfte der horizontal ge-krümmten Vorspannkabel werden am differentiellen Trägerelement anhand von

(3.12)

und (3.7) in Abhängigkeit der gegen aussen positiven radialen Koordinate ermittelt,siehe Bild 3.5(d). Die radiale Komponente der Umlenkkraft wird durch Integrati-on der differentiellen Kraft

(3.13)

berechnet, siehe Bild 3.5(e). Da der Winkel klein ist, kann fürgrössere Kurvenradien ( << ) gesetzt werden. Gl. (3.13) kann dann ver-einfacht in der Form

(3.14)

geschrieben werden, und die Koordinaten der Platten-Vorspannkabel dürfen amgestreckten Träger geschätzt werden. Bei stark gekrümmten Trägern oder grossem Ka-belstich stellt die Vernachlässigung des Winkels in (3.13) hingegen eine grobe Verein-fachung dar; die Vorspannung ist dann nur näherungsweise formtreu, vgl. Bild 3.7.

Mögliche Geometrien von Steg- und Platten-Vorspannkabeln für formtreue Vorspan-nung sind in Bild 3.5(f) und (g) für den Grundfall des Kreisträgers mit Torsionslagerungan beiden Enden im Grundriss und perspektivisch dargestellt. Der Angriffspunkt derAuflagerkraft infolge der Vertikallast liegt exzentrisch bezüglich der Träger-achse. Ergeben sich die Kräfte aus einer über die Trägerbreite gleichmässig ver-teilten Last , so ist die Exzentrizität von gemäss Bild 3.5(f) und (g) durch

(3.15)

gegeben. Um die Verbindungsgerade der Auflagerkräfte ist die Summe der Drehmo-mente der äusseren Lasten gleich Null. Sind nur zwei Steg-Vorspannkabel

mit gleicher Kabelkraft vorhanden, dann kann die resultierende, verti-kale Ankerkraft nur durch Reduktion des Stichs des inneren Kabels und damit der Umlenkkräfte in verschoben werden. Im abgebildeten Fall mitstarker Trägerkrümmung liegt auf der Achse des äusseren Stegs; die Ankerkraft müsste horizontal sein (Öffnungswinkel ). Durch die Platten-Vorspannkabel

, die das Moment kompensieren ( ), kann für und der volle Stich ausgenutzt werden.

�1� �2�= /1 /2=� 1( ) � 2( ),

3� 4�, �1� �2�=� �� , ��=

1ρ--- �ϕ ∆�ϕ+

�� ∆��+-----------------------

�ϕ �2'��2--------��+

�� 1 ' "⁄+( )---------------------------- 1

"--- 1

'"---–

⋅ �2'��2--------–≈= =

'4�\ �

�4' = θ��cos / ρ⁄( ) 1 ' "⁄+( ) θcos⋅= ��

θ �' ��⁄ �2' ��2⁄( )��–='� "⁄ 1 θcos 1=

�4' / "⁄ / �2' ��2⁄⋅–( )≈ ��

'3� '4�,

θ

A� ��{ }

�� A A

�A "=ϕ0 2⁄( )tan

ϕ0 2⁄------------------------- 1–

⋅ �2

12 "⋅-----------

ϕ0 2⁄( )tan

ϕ0 2⁄-------------------------⋅–

��{ }

� 1( ) � 2( ), /1 /2=�1A]

�2A]+ �–= � 2( )

2� AA �2A

ϕ ϕ= 0 ��,� 3( ) � 4( ), % �A⋅ %– �A⋅ /3A\

�3A⋅ /4A\�4A⋅+=

� 1( ) � 2( )

Trägerbrücken

54

�+�+� *��!�)��

Die Vorspannung eines durch die Vertikalkräfte belasteten Trägers kannauch mittels eines freien, räumlich gekrümmten Kabelpaars realisiert werden.Die sich daraus ergebenden Formen der Kabel zeigen gleichzeitig Möglichkeiten fürräumliche Trägerunterspannungen auf.

Die Formfindung des Kabelpaars wird in Bild 3.6 am Grundfall des einfeldrigenKreisträgers dargestellt. Dabei kann die Geometrie des Kabels als räumliches Seil-polygon betrachtet werden, das zusammen mit dem zweiten Kabel , das inder Krümmungsebene des Trägers liegt, eine formtreue Vorspannung des Trägers bewir-ken soll. Die Last wird in Einzelkräfte in den Punkten konzentriert, dieallgemein um den Betrag exzentrisch bezüglich der Trägerachse sind, siehe (3.9).Die Umlenkkräfte der zwei Vorspannkabel werden mit respektive bezeich-net.

Es wird zunächst die Formfindung des räumlichen Kabels �betrachtet. Die An-griffspunkte der Kabel-Ankerkräfte müssen in Richtung, Grösse undLage mit denjenigen der Auflagerreaktionen infolge übereinstimmen, da

horizontal ist; man beachte, dass ist, siehe Bild 3.6(a) und (b). Die Verti-kalkomponente jeder resultierenden Umlenkkraft wird nur durch erzeugt; es gilt und daher auch sowie . Die hori-zontalen Komponenten einer Ankerkraft (z. B. ) dürfen gewählt werden, da siedie Momenten-Gleichgewichtsbedingung um die Gerade nicht beeinflussen. DieHorizontalkomponenten der Ankerkraft in ergeben sich aus der vektoriellenFormfindung von , ausgehend von und . Die Seilpolygonpunkte von

werden aufgrund des zuletzt ermittelten Punktes und der zugehörigenSeilkraft durch die Gleichungen

(3.16)

(3.17)

(3.18)

sukzessive berechnet, siehe Bild 3.6(c) und auch 2.4.2. Dabei werden mit und dieOrtsvektoren der Punkte respektive bezeichnet. Im Vergleich zum in 2.4.2 erörter-ten, allgemeinen Vorgehen ist die Kabelkraft konstant, vgl. (3.18).Die Lage jedes Punktes ist einzig durch den Parameter , d. h. die variable Längedes Kabelabschnitts zwischen und , definiert. Die von und aufge-spannte Ebene , in der die Kräfte liegen, ist dadurch eindeutig be-stimmt. Im Gegensatz zu einem Seilpolygon mit variablen Seilkräften besteht bei kon-stanter Kabelkraft nur eine freie Kabelgeometrie , und daher nur eineKräftegruppe , für welche die Bedingung eingehalten wird, siehe 5.1.1.

�1 … ��, ,{ }� 1( ) � 2( ),

� 1( )

� ′ � 2( ) �″=

��{ } /1 … /�, ,�� ,

1�{ } 2�{ }

� 1( )

A B, �1A �1B,� �, ��{ }

� 2( ) �A �1A=4�] � 1� 2�+= � 1( )

4�] 41�] +– �= = /1A]%�–= /1B]

��–=/1A[

/1A\,

� AB=/1B[

/1B\, B

� ′ �= 1( ) A �1A P�′� 1( ) � ′= P� 1–′

�′

��′ �� 1–′ ��′�′/1-------⋅+=

1�

+�

/�]′ /�]–------------------- ��′ ��–( )⋅=

(� 1+′ �′ 1�– (�′ /1= = =

��′ ��P�′ P�

(�′ /1A /1B /1= = =P�′ ��′

P�′ P� 1–′ P� 1–′ P�, P�′Φ�′ �′ 1� � 1+′, ,

/1 � ′ �= 1( )

1�{ } 4�]′ +�–=


55

(a)

0ϕG1

ξA1AP

ζ U11

R0 ge

i1Uis’

’is +1iP’

iPGi

ϕ0

r

nGB

(1)bS

(1)SS’

S (1)a

U1n

1BP

Sa(1)

bS (1)

S’

P’i

Pi

+1issir

Aξ

(b)

Ae P’Ab

η

Aa’P

η

P’i -1

Φ’ii’P +1U1i

P’i +1

(c)

geGi

Pi

N’ii’N

Gi

iU1iU

2U i

Gi

z

y Pi Οi

2iU

1U i

Ui

hUi

(d)

��+(��0 Freie Form eines gekrümmten einfachen Balkens: (a) Seilpolygon mitkonstanter Seilkraft ; (b) Grundriss, Ankerpunkte und Geometrie eines zu äquivalenten Seilpaars ; (c) Ermittlungder Kabelgeometrie, komplanare Kräfte ; (d) Kräftegleichge-wicht am �-ten Trägerelement für einen Plattenbalkenquerschnitt.

� ′(�′ /1% /1�= = %� %�,

� ′ ��′ ��′,�′ 1� � 1+′, ,

Trägerbrücken

56

Durch Aufteilung der Last in eine innenseitige und eine aussenseitigeKräftegruppe respektive werden die Geometrien von zwei in Bild 3.6(a)und (b) gestrichelt dargestellten, räumlichen Kabeln und gefunden, wofür

und gelten. Die Kabel haben Endpunkte respektive, und ihre Formfindung erfolgt durch Anwendung der Gl. (3.16) bis (3.18) für

beide Lastgruppen getrennt.

Die horizontalen Komponenten der Umlenkkräfte des räumlichen Kabels wirken in den Punkten auf den Träger und erzeugen eine Biegebean-

spruchung , die von der Exzentrizität der Auflagerkräfte und von der Wahl derim lokalen Koordinatensystem mit Ursprung in ausgedrückten Ankerkraft-komponenten respektive abhängt. Auf eine horizontale Vorspannungdes Trägers kann verzichtet werden, wenn innerhalb der horizontalen Kernweitedes Trägerquerschnitts liegen oder wenn nur kleine Zugspannungen entstehen.

Die Erzeugung einer Dyname am Trägerende ist durch Anbrin-gen einer zusätzlichen, horizontalen Ankerkraft mit Exzentrizität möglich(Vorspannkabel ). Ihr Betrag ergibt sich aus (3.5):

(3.19)

Dabei ist die Horizontalkomponente von . Für jeden Querschnitt mit Breite dürfen die Exzentrizitäten der Verankerungen bezüglich der Trägerachse einenGrösstwert nicht überschreiten. Aus diesem Grund wird aus (3.19) bereitsbei schwacher Krümmung gross, da ungefähr proportional zum Produkt zu-nimmt, vgl. (3.15). Beispielsweise wird eine Exzentrizität m für einen Kreis-träger mit m und einer über seine Breite m gleichmässig verteilten Last bereits bei einer Spannweite m voll ausgenutzt. Mit wird aus (3.19)

, wenn gewählt wird. Um das Biegemoment am Trägerende zu kom-pensieren wäre gleich viel Vorspannkraft wie für die Aufnahme der Vertikallasten erfor-derlich.

Die Untersuchung der Möglichkeiten, den Träger durch formtreu vorzu-spannen, führt zu einigen weiteren Betrachtungen, die anhand von Bild 3.7 vorgestelltwerden. Die Umlenkkräfte von sollen zusammen mit den Kräften eine Kräftegruppe bilden, die gemäss (3.6) affin zur Trägerachseist. Das beabsichtigte Kräftespiel ist in Bild 3.6(d) am Beispiel eines Plattenbalkens dar-gestellt. Für einen Kreisträger müssen alle Kräfte einen konstanten Betrag

(3.20)

haben und radial zur Schwerachse gerichtet sein. Damit (3.5) erfüllt ist, sind Richtung,Lage und Betrag von durch die Wahl von und der Exzentri-zität von festgelegt, siehe Bild 3.7(a). Zusammen mit den Kräften werden

�1 … ��, ,{ }�� ,{ } �� ,{ }

��1( ) ��

1( )

41�D ],+� �,–= 42�E ],

+� �,–= PAD′ PBD

′,PAE

′ PBE′,

1�K{ }

� ′ �= 1( ) P1 … P�, ,�� A �B,

� ' �, ,( ) A/1A[

/1A\, /1B[

/1B\,

�A �B,

�# #= �# 0=,{ } A�2A �2A

� 2( ) /2A /2=

/22

�A2 �2A

2⁄1 /1A\

2 /1A[

2⁄+---------------------------------- /1AK

2⋅ /1A\

2–=

/1AK�1A �

�1A �2A,�$�� 2⁄≤ /2

�A " ϕ02⋅

�$�� 2.5=" 80= � 8= �

� 28.2= �2A �$��=/2 /1= /1A\

0= ��

� 1( ) � 2( ),

2�{ } � 2( ) 1�K{ }

�K{ } 1�K

{ } 2�{ }+=

�K

4�K�1A �+ 2A

1"---⋅=

�2A /2A[/2A\

,[ ]= /1A[/1A\

,�2A � 2( ) �K


57

auch die Differenzkräfte definiert, die in den Punkten angreifen müs-sen. Das Seilpolygon der Kräftegruppe wird ausgehend von durch suk-zessive Berechnung der Seilkräfte in jedem seiner Knoten nach2.4.2 konstruiert. Die Seilkräfte von sind im Betrag variabel, siehe Bild 3.7(b).

(b) (c)

(d)

(a)

Ae e1A

2Ae

2AP

P1Ah

y

x

’S ’

(1)S

iP’

iP

i’P ’

Ui r

N +1i’

U i1

iP

Ui

’Pi

r

h

h

’

’’Ni

Pi ’’U ’’i

hiU

hi1U

iU ’’

’Ni’

iN ’’ +1’iP’i2U

hi1U

iP

Pi’

r

hiUUih

hi1UiU2

θi

2AP

’’PA

(2)SaSa’’

S (2)

S ’’

U1’’

’’P1

1α α1

α2 2α

2P’’

U ’2’

2BP

’’PB

3P’’

θ

=A

h

��+6��0 Vorspannung des Kreisträgers von Bild 3.6 für die Umlenkkräfte :(a), (b) Ankerkraft und Umlenkkräfte des Seilpolygons zurErzeugung von affin zur Trägerachse; (c) Umlenkkräfte des Vor-spannkabels (mit ); (d) Beispiel zum Vergleich von und für gegebene Kräfte und Anfangspunkt .

1�K{ }�2A �″{ } �″

�K{ }

� 2( ) �″= (�″ /2A≡ �″� 2( ) �2A 1″, , 2″ P0″

�″ = �K 1�K– P��″ �″{ } �2A

� 1+″ �″ �″+= P�″�″

Trägerbrücken

58

Damit das Vorspannkabel zusammen mit eine formtreue Vorspannung desTrägers bewirkt, muss gelten. Infolge der konstanten Seilkraft im Kabelunterscheiden sich die ausgehend von und ermittelten Formen und voneinander. Der Grund ist anhand des einfachen Beispiels von Bild 3.7(d) ersichtlich.Die Seilpolygone (mit variabler Seilkraft) und (mit konstanter Seilkraft) werdenaus der Kraft in und aus den Umlenkkräften bestimmt, deren Wir-kungslinie und Betrag festgelegt sind. Für müssen die Kräfte stets nach derWinkelhalbierenden von zwei sukzessiven Kabelabschnitten gerichtet sein. Der End-punkt ist nicht identisch mit . Durch Anpassung der Ankerkraft (und eventu-ell der Endpunkte , ) kann ein Seilpolygon mit konstanter Seilkraft für

in diesem Fall noch gefunden werden. Im allgemeinen Fall von Bild 3.7(a)reicht die Wahl von drei Parametern und , woraus sich , und sowie die Kräftegruppe neu ergeben, nicht aus, um ein Seilpolygon

mit konstanter Kraft zu konstruieren.

Wird also die Geometrie des Vorspannkabels identisch zu gewählt, so sinddie Kabel-Umlenkkräfte exzentrisch bezüglich der Punkte , siehe Winkel inBild 3.7(c). Die Kräftegruppe ist nicht affin zur Trägerachse, und der Träger wirddurch Biegemomente beansprucht. Der formtreuen Vorspannung eines gekrümmtenTrägers mit einem Kabelpaar liegt die Annahme zugrunde, dass die Kabel-Um-lenkkräfte senkrecht zur Trägerachse stehen, d. h. und , vgl. (3.14), wasnur für kleine Kabelstiche eine gute Näherung darstellt, siehe Bild 3.5. In der Tat ist dieVorspannung nie genau formtreu.

Die Umsetzung der in Bild 3.6 und 3.7 diskutierten, freien Kabelform als Unter-spannungen oder Untergurte eines gekrümmten Einfeldträgers ist bei stark gekrümmtenTrägern von der Möglichkeit abhängig, den Trägerquerschnitt horizontal vorzuspannen,um die Exzentrizität der Stützlinie von nötigenfalls zu reduzieren. Bei wenig ge-krümmten Trägern kann auf die Vorspannung verzichtet werden. DieExzentrizitäten der Auflagerkräfte und daher der Verankerungen von an den Trä-gerenden können bei Durchlaufträgern reduziert werden, siehe 3.1.1. Auf die Diskussiondieser Möglichkeit wird in Kap. 5.1 eingegangen.

� 2( ) � 1( )

2�{ } �″{ }=�2A �2A � 2( ) �″

�″ � 2( )

�2A PA″ 1″ 2″,� 2( ) 2�

P3″ PB″ �2APA″ PB″ ��″ ��

2( )= 1″ 2″,

/1A[/1A\

, �2A �2A �2B �2B 1″ … �″, ,

�″ � 2( )=

� 2( ) �″ 2� P� θ�

�K{ }��

� 1( ) � 2( ), 1�[ 0→ θ� 0→

� 1( )

1�K{ }� 2( )

� 1( )

59

" #�� $%��

"+� ��1�� $%��

Der Aufbau einer Morphologie soll zur Erkennung neuer Möglichkeiten durch Kombi-nation bekannter Tragwerke dienen. Die morphologische Ordnung stellt für Seilnetz-oder Schalenkonstruktionen ein wichtiges Entwurfshilfsmittel dar, da das Trag- und Ver-formungsverhalten im Grossbereich durch die Form und im Kleinbereich durch die geo-metrischen Merkmale der Grundeinheiten (Maschen) bestimmt wird. Die fast unbe-schränkte, ohne Gliederung schwer überschaubare Fülle von Tragwerken wird dadurchbezüglich wichtiger Merkmale des Tragverhaltens in Klassen eingeteilt [1,70]. Ebeneund räumliche Stabsysteme können ebenfalls morphologisch geordnet werden, entwederrein geometrisch [97] oder mit Einbezug von statischen Kriterien, zum Beispiel nachdem Grad der Ausfachung [26]. Im allgemeinen dienen diese Ordnungen mehr einem di-daktischen Zweck als dem Aufdecken neuer Entwurfsmöglichkeiten. Wird dagegen dasSpektrum der betrachteten Systeme durch eigene Leitgedanken reduziert, um beispiels-weise eine bestimmte Tragwirkung des Systems zu erzeugen, und werden nur die in die-sem Zusammenhang wesentlichen Merkmale dargestellt, so können morphologischeÜberlegungen im Entwurf erfolgreich eingesetzt werden.

Die übliche Charakterisierung einer Brücke beruht auf der groben Topologie desTragwerks (Rahmen, Bogen, Balken), also auf Form und geometrischer Anordnung derHaupttragelemente. Im weiteren kann nach Bauvorgang, Herstellung, Querschnitt, Mate-rial, Lagerung und Linienführung unterschieden werden. Eine bessere Einteilung derTragwerke kann mit dem Seilpolygonpaar und aufgrund der Richtung der Auflagerkräftefür eine vertikale Last vorgenommen werden. Mit allgemeinen Systemen werden aufge-löste Rahmentragwerke bezeichnet, bei denen die Horizontalkräfte der Seilpolygonele-mente nicht im System verankert werden. Es ergeben sich stets Auflagerkräfte, derenRichtung nicht parallel zur Last ist. Bei Trägern mit massivem oder aufgelöstem Quer-schnitt sind Seilpolygonelemente entweder nicht vorhanden, oder sie werden alle im Sy-stem verankert; die Auflagerreaktionen sind vertikal.

Eine knappe Übersicht über die anhand einiger Leitgedanken gewinnbare Vielfalt ge-krümmter Brückentragwerke ist in Bild 4.1 angedeutet. Bereits durch die Formfindungder räumlichen Seilpolygonelemente werden für gekrümmte Brücken viele Entwurfs-möglichkeiten geboten. Die Verschiebung der Endpunkte der Seilpolygonelemente ge-stattet es beispielsweise, beliebige asymmetrische Seilsysteme für Brücken mit im allge-meinen variabler Krümmung zu erzeugen. Ausserdem kann die Belastung in mehrere

Allgemeine Systeme

60

Gruppen von Einzellasten entlang verschiedener Achsen zusammengefasst werden. Zujeder Kräftegruppe kann jeweils ein Seilpolygonpaar konstruiert werden; damit ergebensich mehrseilige Seilpolygontragwerke, vgl. Bild 4.1 links.

Die Versteifung des Seilpolygonsystems für nicht affine Lasten kann einerseits durcheine sukzessive Ausfachung�bis zum Erreichen eines formstabilen Grundsystems im Sin-ne von 2.5.3 erfolgen, andererseits durch Vorspannung der Versteifungselemente(Kap. 3.3) oder des ganzen Tragwerks, siehe 2.4.3. Gekrümmte Tragwerke lassen sichnach der Formfindung der Seilpolygonelemente (Seile, Gurte und Unterspannungen)durch die Ausbildung ihrer Verbindungselemente noch weiter differenzieren. EinigeBeispiele sind in Bild 4.1 dargestellt. Es sind dies eine durch Vorspannung und teilweiseAusfachung versteifte Hängebrücke und ein Träger mit vorgespannter, räumlicher Unter-spannung.

Die Möglichkeiten der Steifigkeitsverteilung�sind für ebene Rahmensysteme gut be-kannt [77,78]. Bei gekrümmten Tragwerken wird die räumliche Geometrie des Seilpoly-gonpaars von der mit der Steifigkeitsaufteilung gekoppelten Verteilung der Ei-genlasten beeinflusst. Die infolge einer allgemeinen Last zwischen dem Seilpolygonpaarund den Achsen der Seilpolygonelemente stets vorhandenen Exzentrizitäten erforderneinen Biege- und Torsionswiderstand des gekrümmten Tragwerks, wozu biegesteif ange-schlossene, steife Verbindungselemente wesentlich beitragen können. Wenn Freiheits-grade durch eine geeignete Lagerung eliminiert werden, kann die Biege- und Torsions-beanspruchung im System reduziert und die Steifigkeit erhöht werden. Damit könnenDruckelemente stabilisiert und schlanker ausgebildet werden, so z. B. für das gekrümmteSprengwerk mit fester Lagerung des Fahrbahnträgers in Bild 4.1.

Von den in Bild 4.1 veranschaulichten Leitgedanken zum Entwurf gekrümmter Brük-ken werden geometrische Formfindung, Lagerung und Steifigkeitsverteilung in der Fol-ge weiter erörtert. Mögliche systematische Darstellungen in bezug auf die Tragwirkungaufgelöster Tragwerke werden angedeutet.

"+� ��/��)

"+�+� ��*��)��

Die geometrischen Parameter, welche die Form eines gekrümmten, aus einem Seilpoly-gonelement und einem Versteifungsträger bestehenden Tragwerks definieren, sind inBild 4.2(a) angegeben. Die relative Lage der Endpunkte von Fahrbahnträger und Seilpo-lygonelement ist definiert durch die Vektoren und im festen Koordi-natensystem mit Ursprung in . Die Form des Seilpolygonelementes wirddurch diejenige des zur Hauptlast des Systems (normalerweise die Dauerlast) affinen,räumlichen Seilpolygons definiert, siehe Bild 2.11(a). Das zweite Seilpolygon desaffinen Seilpolygonpaars liegt in der Trägerebene.

� ′ �″,{ }

�C AC= �D BD=ξ η ζ, ,{ } A

�′ �″� ′ �″,{ }

Entwurf

61

��

�"+��0

Lei

tged

anke

n fü

r de

n E

ntw

urf

(For

mfi

ndun

g un

d T

ragw

irku

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Brü

cken

.

Lag

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gSt

eifi

gkei

tsve

rtei

lung

Vor

span

nung

Aus

fach

ung

Form

Sei

lpol

ygon

elem

ente

Allgemeine Systeme

62

Die Mittelebenen der Verbindungselemente (Stützen oder Hänger), definiert durchdie Vektoren und , und die Verschiebung des Scheitels von vom Mit-telpunkt der Brückenachse auf (mit ) charakterisieren die Geometrievon für eine durch definierte Fahrbahnachse. Durch Variation derPunkte und Wahl der Ebenen wird die Form des Tragwerks variiert.

Die Wahl von und ist mit einer Variation der Grösse, der Richtung und desAngriffspunktes der Seil-Ankerkraft äquivalent, die der vektoriellen Berechnungdes Seilpolygons zugrunde liegt. In Bild 4.2(b) bis (e) sind unterschiedlicheGeometrien von für einen horizontalen Kreisringträger mit einer bestimmtenvertikalen Belastung dargestellt. Das zweite Seilpolygon liegt jeweils inder horizontalen Ebene. Die Geometrie von wird ausgehend vom gewähltenEndpunkt iterativ bis zur Übereinstimmung ihres Durchstosspunktes auf dergewählten Ebene mit dem beabsichtigten Endpunkt vektoriell berechnet. DieSeilpolygone und sind hier durch unterschiedliche Horizontalverschiebungen

von und bei konstantem Stich von erhalten worden. Für grosse Wertevon nehmen die Kräfte in den stark geneigten Hängern, die Ankerkräfte sowieder Horizontalschub zu. Um die kleinsten Seilkräfte zu gewinnen ist daherein möglichst gestreckter Grundriss von anzustreben, vgl. Bild 4.2(c) und (d). Damitwären die Richtungen der Hänger beinahe parallel zu den Vertikallasten , wodurchkleine Horizontalkomponenten der Hängerkräfte über die ganzeSpannweite resultieren, siehe (2.17) und Bild 2.11. Die horizontale Belastung desTrägers wird bei solchen Geometrien von minimiert, vgl. Kurve in Bild 4.2(c), (d)und (e). Eine konstante Verteilung der Umlenkkräfte des horizontalen Seilpolygons,die affin zur Form eines Kreisringträgers wäre, lässt sich nicht verwirklichen, vgl.Bild 4.2(e). Durch geeignete Wahl von oder ein kleines Pfeilverhältnis

<< kann lediglich eine gleichmässigere Verteilung der Kräfte entsprechend Kurve in Bild 4.2(e) erreicht werden, jedoch hat dies bedeutend grössereSeilkräf te zur Folge. Die Anpassung der Form der Brückenachse bis zurÜbereinstimmung mit dem Seilpolygon gemäss Bild 2.11 ist verkehrstechnischnachteilig und für kleinere Krümmungen kaum vorteilhaft, da der Biegewiderstand desTrägers dann ausreicht, um die Kräftegruppe abzutragen. Anzustreben sind kleineKräfte , um die horizontale Biegung im Fahrbahnträger auch ohne feste Lagerungklein zu halten. Dieses Prinzip gilt auch für die Konzeption von Systemen mit einerminimalen Anzahl Hänger oder Stützen, insbesondere für Sprengwerke, vgl. Bild 4.3.

Auch asymmetrische Seilsysteme lassen sich für gewählte Parameter und mühelos iterativ ermitteln. In Bild 4.2(b) und (c) sind die asymmetrischen Zug- undDruckseilpolygone und dargestellt, die zu einem Seilpolygonpaar gehören, des-sen zweites Seil ( bzw. ) in der Trägerebene liegt. Die asymmetrische, horizontaleBelastung der Fahrbahn durch die Kräfte ( stark exzentrisch zur Brückenachse)zwingt hier zu einer festen horizontalen Lagerung, um die horizontale Biegebeanspru-chung im Träger durch die entstehende Bogenwirkung zu reduzieren.

Ε�� F EF= F �′

E �″ ϕE ϕ0 2⁄=� ′ �″,{ } ϕ0 � ϕ( ),

A B C D F, , , , Ε�

�C �D, �FC

�′�′

�1 … ��,,{ } �″�′

CΕD D

� � �, , �ηC ηD= C D �′

ηC �,� 6� 7�= =

�′��

�K′ �″–= �′

�′ � �″

�C �D,2 �⋅( ) �C �D+( )⁄ 1 �K′

�

�″

�″{ } �″

�C �D,

��′ ��′�″� �″�

�″ �″

Entwurf

63

hD

D

c

db

af S’b

η A

ζξ

Q1

hC

C

C

U’iQi

U’’i

CΕa’SiQ

nQ

ΕD

B

S’a

Sb’c

d

b

a

ηξ

ηC

CD

-12 60.6

1.2

0

1 0-2

2

0

ϕ0

B

q rFF

ER0

ϕ = 0η

ξA

ζ

rC

C

Εiia

bi

rD

D

��"+��0 Formfindung von Seilpolygontragwerken: (a) Parameter; (b), (c) symmetri-sche und asymmetrische Seilpolygone in Abhängigkeit von und fürkonstante Lasten ; (d) Ankerkraft ; (e) Horizontalkräfte für dieSeilpolygone von (b) und (c).

ηC �� = �″

&

+

&�

+�

D

E

F

G

η [m]

ϕ ϕ0⁄

6E′

[–]

6�

L∑-----------

[–]

[–]

D E

F

G

6D′

4L″

�--------

4�5

45

4!5

4�5

4�5

Allgemeine Systeme

64

Diese Gedanken gelten auch für die Formfindung von aufgelösten Trägern mit räum-lichen Seilpolygonelementen, d. h. für im Fahrbahnträger verankerte . SolcheTragwerke, bei denen die Wahl von und das Tragverhalten wesentlich beeinflusst,werden in Kap. 5.1 diskutiert.

Die Kombination mehrerer Seilpolygonpaare bietet keine Schwierigkeiten. Im ein-fachsten Fall werden die Lasten auf zwei Belastungsachsen verteiltund die Seilpolygonpaare (affin zu ) und (affin zu

) unabhängig voneinander ermittelt. Das in der Fahrbahnebene liegende, re-sultierende Seilpolygon kann für die Summe der Kräfte ermitteltwerden, während die Seile eines Hängesystems definieren, vgl. die Skizze inBild 4.1. Da die Seile in Wirklichkeit nicht dehnstarr sind und der Fahrbahnträger eineeigene Steifigkeit besitzt, wird die effektive Aufteilung der Belastung auf das affine Seil-system und den Fahrbahnträger von der Verträglichkeit der Verformungen bestimmt undweicht daher von der beabsichtigten Aufteilung ab. Der Träger übernimmt einen von sei-ner Steifigkeit abhängigen Anteil der Vertikallast (Biegung und Torsion, siehe 2.5.2)und beteiligt sich dadurch an der globalen Lastabtragung. Dabei ist noch zu beachten,dass die Biege- und Torsionsmomente durch vorgängige Anpassung der Seilgeometrienreduziert werden könnten.

"+�+� 3� ��

Die auf ein allgemeines System wirkende, resultierende Belastung aus Dauerlast undNutzlast kann als Dyname

(4.1)

in irgendeinem Punkt zusammengefasst werden. Zur Veranschaulichung wird in Bild 4.3das Beispiel eines symmetrischen, versteiften Stabbogens betrachtet. Die Komponentender resultierenden Kraft und des Moments sind nach den Richtungen des festenKoordinatensystems mit Ursprung in zerlegt worden. Die Koordinaten derLagerpunkte sind , , und .

Der Träger ist für die in den Knoten des nach 2.5.3 definierten Seilsystems konzen-trierte affine Last, die meistens gleich der Dauerlast gewählt wird, als Durchlaufträgergestützt, wenn die Bogenform derjenigen eines affinen Seilpolygons entspricht. Beimehreren Bogen muss eine Lastaufteilung derart bestehen, dass für jedes zu einem Last-anteil affine Seilpolygon ein Bogen mit identischer Achse besteht. Da dieLast in Wirklichkeit verteilt ist, ist das System nicht momentenfrei, siehe Bild 4.3(b);Biege- und Torsionswiderstand der Gurte (Träger und Seilpolygonelemente) werden fürdie lokale Lastabtragung, aber auch zur Stabilisierung des Systems benötigt. HorizontaleBiegebeanspruchungen im Träger (Momente ) sind im allgemeinen auch vorhanden.Ihre Grösse wird von der Lage der Bogenkämpfer mitbestimmt, die mit Rücksichtauf die Wirkungslinien der vertikalen, resultierenden Dauerlasten, d. h. und

�′ �″,�C �D

�� 1 ��2+= �1 �2,�1′ �1″, �11 … ��1, , �2′ �2″,

�12 … ��2, ,�″ �″ �1″ �2″+=

�1′ �2′,

�'

��

�0 �0,{ } �ξ �η �ζ �ξ �η �ζ, , , , ,{ }=

�0 �0ξ η ζ, ,{ } A

A 0 0 0, ,{ }= B � 0 0, ,{ }= C 0 ηC �, ,{ }= D � ηD �, ,{ }=

� ′

� ′1 � ′2 …, ,

��#

C D,�# ��

#∑=

Entwurf

65

in Bild 4.3(a), zu wählen sind, da sie die Verformungen des Systems und da-durch seine Stabilität beeinflussen, vgl. 4.2.3.

Eine allgemeine, nicht affine Belastung erzeugt immer eine Momentenbean-spruchung der Versteifungselemente im System, siehe 2.5.3. Eine Aufteilung der Bela-stung zwischen Seil- und Versteifungssystem wird in 4.3.1 vorgelegt. Hier sollen die imSystem vorhandenen Hebelarme näher betrachtet werden. Die Gleichgewichtsbedingun-gen für die Momente um die Achsen und des festen Koordinatensystems mit Ur-sprung in lauten am Beispiel des Bogensystems von Bild 4.3(a), ohne Berücksichti-gung von Einspannungen in den Endpunkten

(4.2)

(4.3)

Durch Einführung von Einspannungen für und (bezogen auf das jeweilige,lokale Koordinatensystem ) in werden die linken Seiten der Gl. (4.2)und (4.3) durch

(4.4)

(4.5)

ergänzt. Dabei stellen und die Einheitsvektoren in - und -Richtung dar. Manerkennt, dass im Gegensatz zu Trägerbrücken auch die von bedingten Hebelarmezwischen den Lagerpunkten für die Aufnahme nicht affiner Lasten ausgenutzt werdenkönnen. Insbesondere sind die Exzentrizitäten und , und vor

�� ∑=

(a) (b)

BT

ϕ = ϕ 0

BηB

BζξB

DM Dz

,

ηD

ζDTD

Dξ

h

ηM

Mξ ζM

ζQ

Qη

ζQ

Qη

ξQ

G GT

B

x

y

z

xy

z

Qξ

η

ξ

ηe,

,eξ

AT

AηAξ

Aζ

z CM ,

= ϕ 0

R

Cη

CζCξ CT

C

A

l

MT

RT

y

x

z

RB

BT

y

xz

ζξ

η

α0

ζ

��"+��0 Lagerung und resultierende Dynamen: (a) Auflagergrössen für die resultie-rende Dyname der Belastung mit und

; (b) Reduktion der Schnittgrössen auf die Dynamen im Träger und im Seilpolygonelement.

�0 �0,{ } �0 �ξ �η �ζ +# +�+ +, ,{ }=�0 �ξ �η �ζ, ,{ }=�# �#,{ } �� ,{ }

�0 �0,{ }

ξ ηA

A B C D, , ,

6η 7η+( )– �⋅ 6ζ ηC⋅ 7ζ ηD⋅–– �– ξ �ζ ηQ⋅+=

6ξ 7ξ+( ) �⋅ �ζ 7ζ+( ) �⋅– �– η �ζ ξQ⋅+=

## #�, ��

� ' �, ,{ } A B C D, , ,

∆�ξ �� C, �– � D,( ) �ξ⋅ �D �C+( ) �ξ⋅ #A #B+( ) ϕ0 2⁄( )cos⋅+ +=

∆�η �� D, �� C,+( )– �η⋅ �D �C–( ) �η⋅ #B #A–( ) ϕ0 2⁄( )sin⋅+ +=

�ξ �η ξ η�C �D,

�C η, ηC ηA–= �D η, ηD ηB–=

Allgemeine Systeme

66

allem diejenigen in -Richtung, und , für grosse Öffnungswinkel grösser alsder Hebelarm allfälliger Torsionslager am Träger oder als die Bogenbreite, und könnender Aufnahme des Momentes dienen. kann dank und durchQuerbiegung der Gurte wie bei einem I-Träger variabler Höhe aufgenommen werden[80]. Durch Einführen von Lagerkräften entsprechend einer festen Trägerlage-rung an beiden Enden kann ein Anteil des Momentes aufgenommen und die Biege-beanspruchung im System reduziert werden, siehe die -Flächen in Bild 4.4.

Die obigen Betrachtungen lassen sich für den Entwurf und die Analyse eines ge-krümmten Sprengwerks umsetzen, wie anhand des Beispiels von Bild 4.4 gezeigt wird.Das Seilpolygonelement vereinfacht sich zum Rahmen , der im mittleren Be-reich mit dem Träger verschmolzen ist. Die Punkte und werden mit Rücksicht aufeine gleichmässige Verteilung der Momente infolge der Dauerlast bestimmt.

Infolge der Dauerlast rufen die Normalkräfte in den Stielen kleine Querbiegemomen-te hervor, wenn die Vertikalebenen parallel zur Geraden ( , d. h.

) gewählt werden, siehe Bild 4.4(a). Die Dauerlast wird in das Moment und in die zum Seilpolygon affine Kräftegruppe in ,

welche mit den Auflagerreaktionen eines gedachten Durchlaufträgers imGleichgewicht steht, aufgeteilt. Mit wird der Abstand zwischen und der Gera-den bezeichnet. Am symmetrischen System gilt . Dank des Hebelarms

kann die Last auch ohne jegliche Einspannung in aufgenommenwerden. Vertikale�Nutzlasten erzeugen neben dem affinen Anteil auch Momente , vgl. Bild 4.4(b) und (c). kann als ein in wirkendesKräftepaar erfasst werden, das den Rahmen antimetrisch bela-stet, System (b), oder, bei fester Lagerung in und , Normalkräfte in den Stielen undin den Randspannweiten hervorruft, System (c). Im System (c) werden die Stiele durchden Überbau stabilisiert und können in als Pendelstäbe wirkende Rippen aufgelöst wer-den, die sich an der Aufnahme von in und durch ihren Hebelarm beteiligen.

Die Lagerungskonzepte der Systeme (b) und (c) sind in Bild 4.4(e) und (f) für einsymmetrisches Sprengwerk in Beton mit m, m, m, m,

m und GPa illustriert; Querschnitte sind in Bild 4.4(d) dargestellt. InBild 4.4(e) ist der Einfluss der Exzentrizität auf Schnittgrössen und Verschiebungendes Systems (b) für eine symmetrische Last dargestellt. Die Normalkräfte derum m gegen die Innenseite der Kurve geneigten Stiele erzeugen grössere Biege-momente im Träger, die einen nachteiligen Effekt auf die Stabilität des Rahmens ha-ben.

Sind in und feste Lager vorhanden, wie dies für das System (c) der Fall ist, dannkönnen die Verschiebungen infolge der horizontalen Bogenwirkung des Trägers vermin-dert werden; eine Überdrückung des Querschnitts ist jedoch nicht zu erreichen [51]. Sei-ne aufgelösten Stiele bewirken eine grössere Torsionseinspannung des Trägers in und

. Durch Aufspreizung der Rippen gegen den Kämpfer wird ihr innerer Hebelarm ver-grössert, und Zug-Auflagerreaktionen infolge der Nutzlasten können vermieden werden.

ζ �C ζ, �D ζ,

�ξ �ξ �η �η, η �η,

6ξ 7ξ,�η�'

CP1P2 DP1 P2

�'#

��# Ε1 Ε2, AB αC D, 0=

� 0= �0 �=� � �⋅= CP1P2 D �1 �2,{ } P1 P2,

AP1P2 B� �η= �

P1P2 +1 +2=�0 η– P1

= A B C D, , ,�1 �2,{ } λ �1 �2,{ }⋅=

�ξ �η, �η P1 P2,∆� ξP2

ξP1–( )⋅ CP1P2 D

A B

�ξ P1 P2

" 100= �0 80= � 62.85= �2 33=� 15= � 25=

�*�1 �,{ }

� 5.0=��

#

A B

P1P2

Entwurf

67

(e)

(d) (f)

(c)

(a) (b)

yB

BzB

R

D

h

e

P2

eG 0

1P

xz

y

η

ξ

ζ

Az

yA

αC

Dα

C

Q2

Q2

MηMξ

Mη MξQ

2

Q2

b

cSb bS

b1

b1

b1

St

St

h1

tb

Q Q

P2 1P

Mz

1 MN

b, d = 5.0 mb, d = 0

N

10 MNm

10 mm

10 mm

v

w

yM

T

N

Mz

v

w1 mm

1 MNm

1 MN

c, d = 0b, d = 0

1 MNm

1 MNm

1P2P

1zq

Q∆ −∆Q2zq

-qz2

10 mm

l

d

A

Ε12Ε

��"+"��0 Lagerungskonzepte eines gekrümmten Sprengwerks: (a) Geometrie und Pa-rameter; (b) verschiebliche Widerlager, Rahmenbiegung; (c) feste Widerla-ger, Fachwerkwirkung; (d) Querschnitte von Träger und Stielen für die Sy-steme (b) und (c); (e) Einfluss von am System (b), kN und

kN/m; (f) Vergleich der Konzepte (b) und (c) fü r ,kN und kN/m.

� 0≠ � 200=*�1 50= � 0=∆� 200±= *�2 10±=

W 0.25 m=

E1 5.00 m=

E 9.00 m=

K1 1.25 m=

W+ 0.80 m=

W+ 0.40 0.90÷ m=

E+ 1.30 m=

∆40η

ξP2ξP1

–------------=

Allgemeine Systeme

68

Die Tragwirkung der Systeme (b) und (c) wird in Bild 4.4(f) für antimetrische Lastenund verglichen. Beim System (b) sind die freie Spannweite und die Steifigkeitendes Rahmens für die Durchbiegungen massgebend; die Randspannweitenbewirken lediglich eine elastische Einspannung der Rahmenecken. Die Durchbiegungenmüssen mit einem steifen Rahmen beschränkt werden. Der Träger des festen Systems (c)ist hingegen auch für den antimetrischen Lastanteil in gestützt und verhält sichsteifer als das System (b). Die Aufnahme der entstehenden Träger-Normalkräfte undMomente am Widerlager verursacht dafür einen Mehraufwand bei den Fundationen.

Variable Nutzlasten können in allgemeinen Systemen rein durch Anpassung derGrösse und Richtung der Reaktionen in den Endpunkten der Seilpoly-gonelemente auch ohne Torsionseinspannungen im Gleichgewicht gehalten werden. Dieim Vergleich zu den Querschnittsabmessungen grossen Hebelarme werden ausgenutzt,was allerdings eine steife Verbindung zwischen Träger und Seilpolygonelementen be-dingt. Biege- und Torsionseinspannungen erhöhen die Steifigkeit des (Versteifungs-)Sy-stems für allgemeine Lasten. Mit der Wahl des Lagerungskonzeptes können durch Be-hinderung von Freiheitsgraden an den Lagerpunkten die Tragwirkung und dasStabilitätsverhalten des Systems wesentlich beeinflusst werden, siehe auch 4.4.2.

"+�+� �� =��$��)� ��

Bei ebenen Bogensystemen wird die Form der Stützlinie der Dauerlast durch die freieAufteilung der Steifigkeiten auf Versteifungsträger und Bogen, welche die Aufteilungdes Eigengewichts beeinflusst, nur wenig beeinflusst. Im Gegensatz dazu ergeben sichbei gekrümmten Brücken grössere Unterschiede in der Form des affinen Seilpolygon-paars je nach Verhältnis des Eigengewichts von Träger und Seilpolygonelementen. InBild 4.5 werden die Geometrien zweier symmetrischer, gekrümmter Bogensysteme mitunterschiedlichem Verhältnis verglichen.

Unterschiedliche Seilpolygonformen , die zu dem in den Systemknotenkonzentrierten Gesamtgewicht affin sind, wurden für die gekrümmten Bogenbrückenvon Bild 4.5(a) und (b) durch die Wahl unterschiedlicher Kämpferkoordinaten

ermittelt und in Bild 4.5(c) im Grundriss dargestellt. Als Parameter wurdenm, m, m, m und Durchschnittswerte für

den versteiften Stabbogen von Bild 4.5(a) und für den steifen Bogen vonBild 4.5(b) verwendet. Das Bogengewicht wurde zunächst geschätzt und die Seilpoly-gonform nach 2.4.2 mit allmählicher Näherung von Ort und Betrag der Lasten sowie An-passung des Horizontalschubs zum Einhalten der vorgegebenen Pfeilhöhe iterativ ermit-telt. Die ausgezogene Stützlinie in Bild 4.5(c) stellt die Bogengeometrie fürminimale Querbiegung im Fahrbahnträger des versteiften Stabbogens (a) dar. Da im Sy-stem (b) das Bogengewicht dominant ist ( << ), nähern sich die Seilpolygone für einer ebenen Seilform, während die fast ausschliesslich von der Vertei-lung des Fahrbahngewichts herrühren und verstärkt räumlich gekrümmt sind. Die ausge-

� 0= �CP1P2 D & �,

P1 P2,(#

��#

A B C D …, , , ,{ }

�# ��⁄

�1′ �2′ �3′, ,

ηC �, ηD �,=� 70= " 80= � 14.0= ∆� 1.8= �# ��⁄ 4.5=

�# ��⁄ 0.5=

�a 2,′

�# ��⁄ 1 �b �,′�# ��+ �a �,′

Entwurf

69

zogene Geometrie ergibt sich aus der Wahl der Bogenkämpfer in der Vertikal-ebene durch den Mittelpunkt der Brückenachse, vgl. Bild 4.2(a).

Die Stützlinien und von Bild 4.5(c) bekunden zwei verschiedene Entwurfs-ansätze. Der steife Bogen trägt die nicht affinen Lastanteile über Biegung und Torsi-on ab. Die Aufständerung der Fahrbahn und die Stabilitätsbedingungen verlangen jenach Krümmung eine unvernünftige Bogenbreite und eine grosse Torsionssteifigkeit.Diese Konstruktionsform erscheint deshalb als eher ungeeignet. Beim versteiften Stab-bogen werden die nicht affinen Lastanteile über Biegung und Torsion im Fahrbahnträgerabgetragen, der Stabbogen wird vom Träger auch in Querrichtung stabilisiert. Im Bauzu-stand muss er durch ein Lehrgerüst oder als Teil eines selbsttragenden Tragwerks stabili-siert werden [85]. Seine Form kann prinzipiell frei gewählt werden, zum Beispiel alsSeilpolygon für die Dauerlast oder für eine gewählte Last , um Rück-sicht auf den Bauzustand ( , falls der Bogen zum Teil oder ganz selbsttragend ist)oder auf den Endzustand ( , falls die Nutzlasten im Vergleich zu den Fahrbahnlastengross sind) zu nehmen, siehe 4.3.2 und 5.3.1.

Durch die freie Aufteilung von Steifigkeiten und Widerständen zwischen Träger undBogen zeichnen sich unterschiedliche Arten der Tragwirkung für nicht affine Lasten ab,insbesondere für die Drehmomente infolge exzentrischer Lasten. In Bild 4.6werden einige Konzepte für Bogen- und Hängebrücken, die sich durch die Verteilungvon Steifigkeit und Widerstand längs und quer zur Brückenachse sowie durch die Aus-

�b 3,′ C D,F

(c)

(a) (b)A

C

/2l

f

∆h

l/2

B

D

∆h

f

F

’Sa,1 S’ ,1b

b,2S’ b’S ,3aS’ ,2,3S’a

C,2η

Aη

ξ

C

R

D,3η

B

D

Bg

gT Tg

Bg

y

z

y

z

��"+&��0 Steifigkeitsbedingte Verteilung der Eigenlast und Seilpolygonformen einesBogens: (a) versteifter Stabbogen; (b) steifer Bogen; (c) Bogenformen

im Grundriss für die Systeme (a), (b) und drei verschiedeneKämpferlagen.�1′ �2′ �3′, ,

�a 2,′ �b 3,′�b 3,′

�′ �# ��+ . �⋅ # ��+. 1<. 1>

�� #=

Allgemeine Systeme

70

bildung der Stützen bzw. Hänger unterscheiden, in einer morphologischen Darstellungaufgeführt und diskutiert.

Von einem Zusammenwirken zwischen den Gurten wird beim steifen Bogen (Quer-schnitte ) und leichtem, aufgeständertem Fahrbahnträger abgesehen. Vertikallasten,die exzentrisch zur Bogenachse angreifen, beanspruchen ihn auf Torsion und Querbie-gung. Der Überbau hat die Aufgabe, die Abtragung verteilter Lasten zu den Stützen zugewährleisten. Durch seine leichte Ausbildung ist er jedoch nicht imstande, den Bogenzu versteifen. Die Abtragung eines Anteils des Drehmomentes durch Quer-biegung der Gurte ist erst durch Ausbildung der Stützen in Querrichtung als Rahmen( ) oder Scheiben möglich. Die resultierende Stützenkraft ist dann exzentrisch undgeneigt bezüglich der Stützenachse. Die Beteiligung des Fahrbahnträgers zur Verstei-fung des Bogens kann seine Auflösung in einen mit Querriegeln ausgesteiften Rippenbo-gen ( ) ermöglichen. Ein Teil der Drehmomente wird über Querbiegung von Träger undBogen sowie über St.Venantsche Torsion der Bogenrippen abgetragen. Ausserdem wirdein Kräftepaar in die Bogenrippen eingeleitet, welches antimetrische Biegung des rah-menartigen Bogens in Brückenlängsrichtung erzeugt.

Steife Stützenscheiben und ein torsionssteifer Träger sind die Voraussetzungen für ei-nen versteiften Stabbogen (Querschnitt ). Nur im Spezialfall eines sehr engen Stützen-abstandes werden die bei jeder Stütze einzuleitenden Torsionsmomente so klein, dassdafür ein offener Trägerquerschnitt genügen kann. Der Bogenquerschnitt wird derartbreit ausgebildet ( ) [55,56], dass ein grosser Anteil der Torsion über Querbiegung ab-getragen werden kann, siehe 3.2.1. Ein in Querrichtung schlanker Stabbogen wirkt dage-gen nur als Seilpolygonelement. Die Wirkungslinie der Stützenkraft ist stets auf denBogenquerschnitt zentriert, und das volle Drehmoment entfällt auf den Träger ( ), sie-he auch Bild 4.7(f). Die Umsetzung dieses Konzeptes ist einerseits von der Stabilität imBauzustand, andererseits von der zur seitlichen Stabilisierung des Bogens erforderlichenTorsionssteifigkeit des Trägers abhängig, vgl. 4.4.2.

Bei Hängesystemen kann durch eine Verbindung von Träger und Seil mit einer fach-werkartigen Ausfachung mittels Hängern ein formstabiles Seilsystem nach 2.5.3 erreichtwerden (Querschnitt ), das für nicht affine Lasten wesentlich steifer ist. Eine fachwerk-artige Ausfachung ist auch zur Versteifung eines schlanken Stabbogens mit leichtemVersteifungsträger ( ) denkbar. Da im allgemeinen ein Hängesystem im Gegensatz zumBogen bei entsprechender Lagerung des Trägers keine Stabilitätsprobleme aufweist, sindauch Tragwerke mit steiferen Trägerquerschnitten und beweglichem Seilsystem, zumBeispiel mit einer in Querrichtung steifen Hängerverbindung ( ) oder getrennten, ein-oder beidseitig angeordneten Kabelflächen ( ) möglich. Drehmomente und sämtlichenicht affine Lasten entfallen in diesem Fall voll auf den Träger. Die Aufgabe des Hänge-systems beschränkt sich auf die Erzeugung eines günstigen Spannungszustandes im Trä-ger für die Hauptlast. Dies kann auch mit einer einseitigen Kabelfläche erreicht werden( ), vgl. Bild 2.3 und 5.2.1.

a b,

�� * ∆� �'⋅⋅=

e f, ��

f

c∆�

d

��

g h,

i

h

j� k,

�

Tragwirkung

71

"+� �� /��

"+�+� $��% ��=�� /��

Die Berechnung von Beanspruchungen und Durchbiegungen eines Tragwerks ist immerdurch die Unsicherheiten in der Schätzung der vorhandenen Steifigkeiten behaftet. Kanndie Tragwirkung jedoch mit einfachen Mitteln erkannt werden, dann lassen sich Schnitt-grössen und Verformungen vorgängig abschätzen, und eine erste Querschnittsgestaltung

N B

BN

Mt

RH

ey

∆sq

HRHR

HR

g h

dc e f

ba

i j k l

HR

CO

��"+(��0 Zusammenwirken von Fahrbahn- und Seilpolygonträger für nicht affine La-sten: (a), (b) steifer Bogen; (c), (d), (e), (f) Mitwirkung des Überbaus durchbiegesteife Stützen; (g), (h) Querstabilisierung durch steifen Träger; (i) (j)Hängesysteme mit Beschränkung der Seilverschiebungen; (k), (l) Hängesy-steme mit freier Querverschiebung des Seils.

längs quer

Allgemeine Systeme

72

wird gestattet. Einfache Modellvorstellungen, welche die Erfassung der Tragwirkung ge-krümmter, aufgelöster Rahmensysteme für Vertikallasten ermöglichen, werden hier ausdiesem Grund vorgelegt. Ein versteifter Stabbogen mit horizontal gekrümmter Fahrbahndient als Referenzsystem. Die Betrachtungen lassen sich auf Sprengwerkrahmen und auffachwerkartig versteifte Seilpolygontragwerke sowie für Lasten in allgemeiner Richtungsinngemäss übertragen. Die Plausibilität der getroffenen Annahmen wird im Rahmen derFallbeispiele in Kap. 5 aufgezeigt.

Betrachten wir die verteilten Dauerlasten und die vertikalen, auf den Verstei-fungsträger wirkenden Nutzlasten , Bild 4.7(a). Die Lasten und sindäquivalent zur resultierenden Dyname der Belastung und sollen zuerst lokal indie Knoten des in 2.5.3 definierten Seilsystems abgetragen werden. Daraus ergeben sichlokale Beanspruchungen von Versteifungsträger und Bogen. In einem ersten Schritt sinddaher die Auflagerreaktionen eines Durchlaufträgers mit Lagerung für Vertikalkräfteund Torsion in jedem Knoten infolge der Trägerlasten zu ermitteln:

(4.6)

Dabei stellen eine vertikale Auflagerreaktion und ein Auflager-Torsionsmo-ment dar, während und die Dynamen der Auflagergrössen an denEndpunkten des Versteifungsträgers sind. Die Reaktionen zu den Aufla-gergrössen des Durchlaufträgers belasten das globale System zusammen mit den in denBogenknoten konzentrierten Kräften seiner Dauerlast (Bogengewicht). Die loka-len Schnittkräfte des Durchlaufträgers können den Schnittkräften des globalen Systemssuperponiert werden, solange das Gleichgewicht an der unverformten Lage formuliertwird. Die geometrische Nichtlinearität des Systems wird damit nicht berücksichtigt.

Die auf das ganze System wirkenden Knotenkräfte können in einen affinenund einen nicht affinen Anteil zerlegt werden. Damit können die Beanspruchungen vonBogen und Versteifungsträger erfasst werden. Für eine gegebene Brückenachse be-steht nur eine Lastkonfiguration, die zur räumlichen Bogenachse und dem Seilpoly-gon , das sich in der Trägerebene befindet, affin ist, vgl. 2.4.2. Sie ist durch die Kräf-tegruppe

(4.7)

gegeben, wobei eine Konstante bezeichnet und gewählte Koeffizienten sind,siehe Bild 4.7(b). Mit und werden die Kräftegruppen der auf Träger und Bo-gen wirkenden Dauerlast bezeichnet. Die Bogenform kann beispielsweise affin zu derin den Knoten reduzierten Dauerlast gewählt werden, mit

(4.8)

und für alle Knotenlasten des Trägers. Durch die Wahl von Koeffizienten kann die Formfindung des Bogens mit Rücksicht auf Bauzustände oder Nutzlasten ange-passt werden, siehe 4.2.3. Durch diese Betrachtungen lassen sich frei gewählte Bogen-

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Tragwirkung

73

(e) (f)

(d)(c)

(b)(a)

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z

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Ri,aH

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Q i,bB

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QQ BBi,a

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U’i,a

U ’i,a’

’’Pi

Pi

’iP

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S’

C

O = C

Bg

z

y

��"+6��0 Tragwirkung des gekrümmten, versteiften Stabbogens: (a) lokale Tragwir-kung, Knotenlasten; (b) affine Last am starren Seilpolygonsystem; (c) Dy-name von Bogen und Versteifungsträger; (d) nicht affine Last am Träger-rost; (e) und (f) Tragwirkung für affine und nicht affine Lasten, Betrachtungan einem Stützenquerschnitt.

Allgemeine Systeme

74

formen, die in 5.3.1 diskutiert werden, statisch beurteilen. Infolge des affinen Lastanteils wird definitionsgemäss nur das Seilsystem�beansprucht (Seilpolygonwir-

kung). An jedem Querschnitt des versteiften Stabbogens von Bild 4.7(c) resultieren da-her Dynamen im Träger und im Bogen. Da das Seilsystemnicht starr ist, rufen die Dehnungen seiner Elemente Verschiebungen und Zwängungenhervor, die hier nicht weiter untersucht werden, aber die Stabilität des Systems negativbeeinflussen können.

Die Konstante , welche die Aufteilung der Last in affine und nicht affine Anteil be-stimmt, ist ein wählbarer Parameter. Der Anschaulichkeit halber wird sie so gewählt,dass der verbleibende, nicht affine Lastanteil keinen Horizontalschub am Bogen hervor-ruft. Im allgemeinen Fall (Koeffizienten ) beträgt die Konstante

(4.9)

Mit den Lastfaktoren wird der Beitrag der Nutzlasten zu der in jedem Trä-gerund Bogenknoten wirkenden Kraft berücksichtigt. drückt das Verhältnis zwi-schen der gesamten, auf das System wirkenden Last und der der Formfindung des Seil-polygonelementes zugrunde gelegten, affinen Last aus. Die nicht affinen Kräfte

, (4.10)

werden durch Einsetzen von aus (4.9) bestimmt. Für ihre Summe gilt

(4.11)

Die Kräftegruppe , die in einen symmetrischen und einen antimetrischenAnteil weiter zerlegt werden kann, bildet zusammen mit den Momenten den nichtaffinen Lastanteil , siehe Bild 4.7(d). Dieser erzeugt Biege- und Torsi-onsbeanspruchung am in 2.5.3 definierten Versteifungssystem (Trägerrostwirkung).

Für den versteiften Stabbogen von Bild 4.7(c) besteht das biege- und torsionssteifeVersteifungssystem lediglich aus dem Versteifungsträger und den steif angeschlossenenStützen. Im Versteifungsträger sind allgemeine Dynamen vorhanden, wäh-rend der schlanke Bogen, der einen kleinen Biege- und Torsionswiderstand aufweist,entsprechend der Dyname immer nur durch Normalkraft beansprucht wird.Die resultierende Stützenkraft aus beiden Lastanteilen ist daher stets auf die Bogen-achse zentriert.

Der affine und der nicht affine Anteil der Belastung sind in Bild 4.7(b) und (d) darge-stellt. Der affine Anteil belastet das Seilsystem, während der nicht affine An-teil auf das Versteifungssystem entfällt. Zur Ergänzung sind inBild 4.7(b) auch die fiktiven horizontalen Zusatzlasten mit eingeführt, die dazu nötig wären, zusammen mit den Horizontalkomponenten

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″–=

Tragwirkung

75

der Stützenkräfte ein horizontales Seilpolygon zu erzeugen. Damit wäre dieKräftegruppe affin zu , und wäre das zur Last affine Seilpolygonpaar. Seine Ankerkräfte in und wären und .

Die Biegebeanspruchung des Trägers kann aufgrund der Gleichgewichtsgruppe der fiktiven Reaktionskräfte ermittelt und mit dem Trägerwiderstand ver-

glichen werden. Grosse Momente können durch eine feste Lagerung des Trägers inden Endpunkten dank der entstehenden Bogenwirkung verringert werden. Mit ei-nem horizontalen Vorspannkabel können sie kompensiert werden. Die Kabel-Umlenk-kräfte müssen zu diesem Zweck proportional zu sein, siehe Kap. 3.3.

Die Tragwirkung des versteiften Stabbogens für allgemeine Vertikallasten kann durcheine Querschnittsbetrachtung etwas genauer erkannt werden. Die Wirkung der affinenKräfte , die in den Knoten respektive von Träger und Bogen angreifen,ist in Bild 4.7(e) für einen allgemeinen Stützenquerschnitt dargestellt. Die Umlenkkraft

des Seilpolygons ist im Gleichgewicht mit der Trägerlast und der Stützen-kraft , die auf der Achse wirkt. Die Belastung des Seilpolygonbogens wird durch die Summe von und der Bogenlast gebildet, vgl. Bild 2.11(b). Diehorizontale Exzentrizität zwischen und setzt einen Biegewiderstand des Trägersum seine �-Achse voraus.

Die Kräfte , die allgemein exzentrisch um den Betrag bezüglichder Knoten wirken, bilden zusammen mit den am Bogen wirkenden Kräften dennicht affinen Lastanteil, Bild 4.7(f). Definitionsgemäss erzeugt keinenBogen-Horizontalschub; es gilt daher . Die in einem Stützenquerschnitt wirken-den Lasten können in eine resultierende Kraft , die bezüg-lich Träger- und Bogenachse exzentrisch liegt, oder in eine Dyname im Punkt (oder

) reduziert werden. Die Notwendigkeit eines Biegewiderstandes der Stützen am Trä-geranschluss ist aus der exzentrischen Lage von bezüglich der Stützenachse ersicht-lich. Für einen versteiften Stabbogen mit den Querschnitten von Bild 4.7(c), bei wel-chem die Mitwirkung des Bogens im Verste ifungssystem infolge seinerMomentenwiderstände vernachlässigbar ist, wird die Biegebeanspruchung der Stützedurch ermittelt. Die Lasten werden zweckmässig als Dynamen inden Knoten des biege- und torsionsbeanspruchten Versteifungsträgers reduziert.

Die Aufteilung der Widerstände im System bestimmt die Eigenschaften des Trägerro-stes. Seine Steifigkeit und die Grösse der nicht affinen Lastanteile sind für die Stabilitätdes Druckseilpolygons in Längs- und Querrichtung entscheidend, vgl. Kap. 4.4. Al-lerdings können auch grössere, aus den affinen Lasten entstehende Verfor-mungen und Zwängungen von Bedeutung sein. Durch die vorgenommene, zweckmässi-ge Aufteilung der Einwirkungen werden die Tragwirkungen und die Effekte derSteifigkeitsverteilung im System sichtbar gemacht, wodurch das Konzept überprüfbarwird. Die Wirkung von Lasten in anderen Richtungen kann ebenfalls auf diese Weise er-fasst werden.

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Allgemeine Systeme

76

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Bisher wurden gekrümmte Seilpolygontragwerke mit einer Bogenachse betrachtet,die zu einer Hauptlast des Systems affin ist, beispielsweise zur Dauerlast imEndzustand . Einige derartige Systeme mit räumlich gekrümmtem Seilpolygon-bogen wurden bereits ausgeführt [35,85]. Im allgemein Fall kann die Bogenachse jedochexzentrisch zur Stützlinie jeder durch Gl. (4.7) definierten affinen Last gewählt wer-den [23,55,56], vor allem um die Herstellung zu vereinfachen, zum Beispiel durch einenebenen Bogen oder vertikale Stützen. Der prinzipielle Einfluss dieser Exzentrizität aufdie Belastung des Trägerrostes wird hier am Beispiel des versteiften Stabbogens gezeigtund in 5.3.1 weiter diskutiert.

In Bild 4.8 sind für einen gekrümmten, versteiften Stabbogen Bogenformen vergli-chen, die affin zur Dauerlast sind ( , gestrichelt) oder sich davon durch Ex-zentrizitäten unterscheiden. Die Bogenform in Bild 4.8(a) kann als affin zu einerLast betrachtet werden, die sich aus der in die Knoten reduzierten Dauer-last und den in den Bogenknoten wirkenden Zusatzkräften zusam-mensetzt. Die Zusatzkräfte können als die Lasten erfasst werden, die dazu nötig wären,um das Seilpolygon , das affin zur Last ist, in die neue Lage zu ver-schieben, ohne die Pfeilhöhe zu verändern. Umgekehrt kann zu einer gegebenen, bezüg-lich exzentrischen Bogenform die affine Last durch Formfindungnach 2.4.2 ermittelt werden. Die fiktiven Kräfte werden während der iterativen Be-rechnung in Richtung und Betrag bis zur Übereinstimmung der gefundenen Seilpolygon-form mit angepasst. Die Reaktionskräfte belasten das Versteifungssystem ge-mäss der in 4.3.1 beschriebenen Aufteilung der Lasten. Sie können Verformungen undSteifigkeitsreduktionen hervorrufen, welche die Bogenstabilität negativ beeinflussen,vgl. Kap. 4.4.

In Abhängigkeit von der Lage der Kämpfer , vgl. Stützlinien und inBild 4.5(c), und des vertikalen Abstandes von Bogen und Träger im Scheitel können sichin Feldmitte oder im Kämpferbereich starke, unerwünschte Stützenneigungen und grosseHorizontalkomponenten der Stützenkräfte ergeben; dies kann eine erheblicheQuerbiegebeanspruchung im Träger verursachen, Bild 4.7(e). Durch freie Wahl derGeometrie kann zum Beispiel die Stützenneigung lokal reduziert werden.

Der Stabbogen von Bild 4.8 beteiligt sich infolge seiner kleinen Biege- und Torsi-onssteifigkeit nur an der Abtragung der affinen Last. Die Bogenform wird ausge-hend von der zu affinen Seilpolygonform durch sukzessives Anbringen vonzwei Kräften in den Scheitelknoten des Seilpolygonbogens bestimmt. Die im Bo-genscheitel wirkenden Reaktionskräfte erzeugen ein Drehmoment be-zogen auf die Trägerachse, das am Versteifungssystem wirkt (Trägerrostwirkung). Dabeiist der vertikale Abstand zwischen der Achse des herabgesetzten Bogenscheitels unddem Schubmittelpunkt des Versteifungsträgers im Stützenquerschnitt. Durch die Ver-

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Tragwirkung

77

schmelzung von Bogen und Träger wird auf die kleine Exzentrizität zwischen Schwer-punkt und Schubmittelpunkt des Trägerquerschnittes reduziert, und das Drehmoment istdementsprechend kleiner, Bild 4.8(b). Der Horizontalschub wird durch die grösserePfeilhöhe des Bogens ebenfalls verringert. Für geht die Form in die Seilpoly-gonform über, da seine Scheitelknoten in der Trägerebene mit den entsprechenden Trä-gerknoten identisch sind, und es sind keine weiteren Kräfte vorhanden.

Ob eine bezüglich der Seilpolygonform exzentrische Bogenachse (Form ) odereine Verschmelzung des Scheitelbereichs (Form ) statisch günstig sind, hängt von derWiderstands- und Steifigkeitsverteilung im Trägerrostsystem für die sich aus Dauer- undNutzlast ergebenden Belastungen und ab, siehe Bild 4.7(d). Ein Stabbo-gen mit breitem Querschnitt wäre an der Abtragung der Lasten beteiligt, und eingrosser Anteil der Drehmomente infolge Nutzlasten könnte durch horizontale Kräftepaa-re in Träger und Bogen (Flanschbiegung) eingeleitet werden. Eine Scheitelverschmel-zung würde diese Wirkung in Feldmitte stark reduzieren. Stark geneigte, kurze Stützenin Feldmitte, die für die Seilpolygonform in Bild 4.8(a) resultieren, erfahren anderer-seits infolge der vertikalen Trägerdurchbiegungen Verdrehungen, die grössere seitlicheVerschiebungen des Bogens als bei vertikalen Scheitelstützen (Seilpolygonform )verursachen.

’Sa bS’

BiF

S

’S

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B-Fi

C

S

S’iF B

(a) (b)A

B

C

D

��"+7��0 Exzentrische Stützlinien der Dauerlast: (a) durch Zusatzlasten erzwun-gene Seilpolygonform und Gegenlasten am Trägerrost; (b) Reduk-tion der Drehmomente dank Scheitelverschmelzung, Seilpolygon-form .

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� 0→ ��′

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Allgemeine Systeme

78

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"+"+� �� :�� !

Die Erkennung der Tragwirkung am unverformten System für die wichtigsten Lastfällegestattet es, die massgebenden Schnittgrössen abzuschätzen und das Konzept anzupas-sen. Nicht erfasst werden dabei die Stabilitätsprobleme des Tragwerks. Bei Raumfach-werken sind die Verschiebungen klein und ergeben sich aus der Dehnung der Stäbe; dieDruckelemente sind in den Knoten gehalten und können nur lokal instabil werden. Beiweniger steifen Rahmentragwerken werden die Verschiebungen der Knoten grösser undbewirken eine unvollständige Halterung der Druckstäbe, so dass im allgemeinen nichtmehr die lokale Stabilität zwischen den Knoten massgebend ist. Die fehlenden Rück-stellkräfte für die über den Knotenabstand hinausgehende kritische Länge derDruckelemente sind durch steife Verbindungen und grössere Systemsteifigkeit zu kom-pensieren. Für gekrümmte Tragwerke ist insbesondere der Einfluss horizontaler Ver-schiebungen zu beachten, siehe Kap. 4.3.

Der Einfluss der vom System bewirkten Stabilisierung auf das Knicken eines elasti-schen Druckstabs der Länge kann durch elastische Federn in den Knotenpunkten

und mit Nachgiebigkeiten [ ] und [ ] dargestellt werden,siehe Bild 4.9(a). Die Grösse der Federnachgiebigkeiten bestimmt sowohl die kritischeLast als auch die Knickform. Imperfektionen ergeben sich einerseits infolge Knotenver-schiebungen , die vom Gesamtsystem aufgezwungen sind, oder aus lokalen Vorverfor-mungen des Stabes, vgl. Bild 4.9(b). Da das Stabmaterial eine beschränkte Festig-keit besitzt, beeinflussen die Imperfektionen die Grösse der kritischen Last , und esliegt nicht ein Verzweigungsproblem, sondern ein Spannungsproblem vor. Die Grenz-nachgiebigkeiten der Feder , für die sich die kürzeste Knicklänge einstellt, lassen sich mit statischen Methoden oder Energieverfahren zumindest abschät-zen [93,102]. Vorsichtige Werte für sind am System mit voller Steifigkeit

zu ermitteln, während durch eine Steifigkeit mit dieFolgen grösserer aufgezwungener Verschiebungen mit vorsichtig abgeschätzten Wertender ersten Knicklast berücksichtigt werden können.

Aus mehreren Druckstäben zusammengesetzte Seilpolygonelemente werden anhandeines in allen Knoten elastisch gestützten Druckelementes modelliert, siehe Bild 4.9(c).Die Federn sollen die Halterung durch das Versteifungssystem ersetzen, das als Verstei-fungssystem im Sinne von 2.5.3 wirkt. Mit diesem Modell kann das seitliche Knicken ei-nes Stabbogens mit elastischen Stützen und starrem Versteifungsträger beschrieben wer-den, solange << gilt, wo die Bogenlänge bezeichnet. GedrungeneSeilpolygonelemente, die eine grosse Biege- und Torsionssteifigkeit besitzen, werdenvom Rahmensystem wenig stabilisiert, siehe auch Bild 4.6(a) und (b). Die Federnachgie-bigkeiten reichen in der Regel nicht aus, um die kritische Länge gegenüber dem frei-en Seilpolygonelement wesentlich zu reduzieren. Die kritische Last des freistehenden

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�� =P� P� 1+ �� 1 mkN 1– �� 2 kN 1– m 1–

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��

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�� 1 ��, �� 2 ��,,�- �-0= �-$�� ( ) $ �⋅ -0 �( )= $ 1<

�� 1,

� �≤ �� 0 �0

��L

Stabilitätsprobleme

79

Bogens muss daher ausreichen, um die Knickstabilität zu gewährleisten [90]. Die Betei-ligung des Rahmensystems an der Stabilisierung ist für ein schlankes Seilpolygonele-ment hingegen ausschlaggebend. Für Federnachgiebigkeiten

(4.12)

werden die kürzeste Knicklänge und die Knicklast desModells von Bild 4.9(c) erreicht, wobei die Konstante von der Anzahl Knoten und der Verteilung der auf abhängig ist [93]. Approximative Lösungen für dieKnicklasten und die Knickformen , , des Seilpolygonelementes las-sen sich für beliebige Verteilungen der mit der Methode von Ritz ohne grossen Re-chenaufwand ermitteln. Die Knickformen werden durch Linearkombination derGrundformen ( ) approximiert, welche die geometrischen Randbedin-gungen erfüllen müssen. Für den gebetteten Stab von Bild 4.11(c) werden Grundformen

betrachtet; die Knickformen sind daher von der Art

(a) (b)

(d)(c)

iP Pi +1

= sil

nl = a

f c2

f c 1

2cf

1cf

EI0 Q

EI Bz Q

cf i

maxf c-1fc (x)

-1

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z

y

Hh Hh HEAα

z

y

v

v

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2(x)

)x1v (

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BEIz100zBEI

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(x)w0

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iδ

y,v

x

z,w

x

10-7 10-6 10-5 10-4 10-30

1.2

1

��"+8��0 Stabilität eines Druckstabs: (a) vom Gesamtsystem bewirkte Halterung derKnoten; (b) aufgezwungene Verschiebungen und Vorverformungen; (c)Modell für schlanke Seilpolygonelemente; (d) zulässige Federnachgiebig-keiten für .�� ⁄=

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m kN⁄[ ]

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P 0.1=

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6�� L �

�� 3, &3 �( ) 3 1…(=��L

&3 �( )& .( ) �( ) . 1…(=

% .π�

------ �⋅ sin⋅

Allgemeine Systeme

80

(4.13)

Anhand der Bedingung eines stationären Potentials für das Gleichgewicht kon-servativer Systeme

(4.14)

(mit ) können die Koeffizienten der Grundformen bestimmt wer-den. Für eine durch die Grundformen nach (4.13) abgeschätzte Knickform gilt

, d. h. die Potentialfunktion weist ein lokales Extremum auf.Die Bedingung dafür lautet

(4.15)

Nichttriviale Lösungen des Gleichungssystems (4.15) ergeben sich für die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix, woraus sich die zugehörigen Eigenvektoren

und die Knickformen ermitteln lassen. Da sich die Lösungsmenge auf die Funktio-nen von (4.13) beschränkt (Deformationsansatz), stellen die Werte obere Grenz-werte für die Knicklast dar.

In Bild 4.9(c) und (d) werden die ersten beiden Knickformen aufgezeigt und die tief-ste Knicklast des starr gestützten Druckstabs mit derjenigen des Eulerschen Stabes

mit Länge und gleicher Steifigkeit verglichen. Die Federnachgie-bigkeiten sind für V-förmige Stützen mit auf der Bogenspannweite parabelförmigverteilten Höhen berechnet worden. Die Parameter sind m, m,

m, , mkN-1, MNm2 und MN.

Der Grenzwert der weichsten Feder, für die die erste Knickform eine Halb-welle zwischen den Knotenpunkten ist, wird in Abhängigkeit von der Biegesteifigkeitdes Bogens für die Werte ermittelt und mit dem aus(4.12) geschätzten Wert für verglichen. Die erforderliche Steifigkeit für Stüt-zen konstanten Querschnitts respektive V-förmige Stützen gemäss Bild 4.9(c) beträgt

bzw. (4.16)

Es kann leicht gezeigt werden, dass bei starrem Versteifungsträger die Steifigkeit derStützen für schlanke Stabbogen kleiner und mittlerer Spannweite ausreichend ist, um die�-te Knickform mit Halbwellen zwischen den Knotenpunkten zu erreichen. Die Stabilitätdes Seilpolygonelementes ist in diesem Fall voll von der Trägersteifigkeit abhängig, de-ren Einfluss in der Folge untersucht wird.

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(

∑ �..π�

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. 1=

(

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) )= 0

δ) δ= %� %�+( ) δ �- �( )2

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� 1–

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∫⋅+

0= =

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δ) & �( )( ) δ)= �1 … �(, ,( ) 0=

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�(∂∂ %� %�+( ) 0=, ,

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�� 1,�� , �0 �⁄ �-�

� �-�=��L

�� 70= � 10=

∆� 2= � 9= ��PD[ 5.2 10 5–⋅= �-� 0.47= �%� 1.37 103⋅=

��PD[ �� ,=

�-� $ �-0�⋅= $ 0.1 1 10 100, , ,=

��L konst=

��L��( )3

3 �-��⋅

------------- �� ,≤= ��L�� αtan⋅

2 �%��⋅

------------------- 1 αcot+( )3 2⁄⋅ �� ,≤=


81

"+"+� ?�� %��

Der elastisch gestützte Druckstab ist für die Analyse eines durch Trägerrostwirkung desVersteifungssystems seitlich stabilisierten Seilpolygonelementes eigentlich unzweck-mässig, da die Trägerrostwirkung gemäss 4.3.1 nicht derjenigen unabhängiger, elasti-scher Federn entspricht. Mit diesem Modell kann jedoch die unterschiedlich wichtigeRolle von Biege- und Torsionssteifigkeit des Gesamtsystems auf die seitliche Stabilitäteines schlanken Bogens aufgezeigt werden. Dafür wird das Versteifungssystem (Stützenund Versteifungsträger) durch Kräfte an den Bogenknoten belastet, die proportio-nal zu den Auslenkungen der ersten Knickform des elastisch gestützten Bogensverteilt sind. Die Verschiebungen des Trägerrostes an den Bogenknoten dienen zur Er-mittlung der Federnachgiebigkeiten . Das Vorgehen wird wiederholt, bis die Ver-schiebungen mit den Auslenkungen der angenommenen Knickformen überein-stimmen. Die Kräfte erzeugen vor allem Biegung und Torsion im Träger.Die horizontalen Auslenkungen des Trägers sind aufgrund seiner grossen Steifig-keit klein. Seine Verschiebungen in Längsrichtung sind durch die Biegestei-figkeit beschränkt, die für die Knickstabilität des Bogens in Längsrich-tung massgebend ist. Der grösste Anteil der Querverschiebungen des Bogens beruht daher auf den Verdrehungen des Trägers, dessen Torsionssteifigkeit für die seitliche Bogenstabilität entscheidend ist. Ihr Einfluss auf die Knicklast wird mit-tels Energieverfahren weiter untersucht.

Ein vereinfachtes Modell zur Abschätzung der notwendigen Torsionssteifigkeit desTrägers für einen versteiften, parabolischen Stabbogen mit starren Stützen ist in

��{ }&3 ��( )

��L

GK T

EI Bz

z

x

v,y

ξ ζ

η

1v )x(

)x(2vy

zEI Bz0.1

EI Bz

Hh

10v

θ

Hhv(x) = θ(x)

(a) (b)

f

h∆

C

A

B

D

E

10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-10

1.2

1

��"+�9��0 Seitliche Stabilität versteifter Seilpolygonelemente: (a) ebener Stabbogenmit gekrümmtem Versteifungsträger; (b) Vergleich der Bogen-Knicklast

mit dem Wert für lokales Knicken und Abhängigkeit von derTorsionssteifigkeit des Trägers (biegestarres System).�� 1, �� ,

+,#

+,71–

kN 1– m 2–[ ]

�FU 1,

�( Q,------------

[–]

4FU 2,P 10 1 0.1⁄⁄=

4FU 1,P 10 1 0.1⁄⁄=

(,% P(,0%⋅=

&3 ��( )��{ } ��

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� �-'#+=

&� �( )θ# �( ) +,#

Allgemeine Systeme

82

Bild 4.10(a) skizziert. Als Beispiel für die Auswertung dient eine Brücke mit m,m, m, , MNm2, sowie m und

im festen Koordinatensystem mit Ursprung in . Der Bogenliegt in einer vertikalen Ebene. Es werden für unterschiedliche Bogensteifigkeiten

jeweils nur Knickformen mit Verschiebungen normal zur Bogenebe-ne betrachtet, die mit dem in 4.4.1 beschriebenen Energieverfahren mittels Sinusfunktio-nen nach (4.13) zu bestimmen sind. Die Bogenverschiebungen an denStellen der Stützenverbindungen lassen sich unter der Annahme eines in - und -Rich-tung starren Versteifungsträgers ( ) durch bestimmen,wobei die Stützenhöhe im Knoten ist. Zwischen und werden die Werte von

interpoliert. Die Gleichgewichtsbedingung lautet hier

(4.17)

Die Eigenformen , für die gilt, werdenanhand des Gleichungssystems (4.15) bestimmt. Die Bedingung für die Erhal-tung der Bogenlänge ist infolge der Annahme über die Knickform senkrecht zur Bogen-ebene ( ) und der unverschieblichen Kämpfer nicht erfüllt, vgl. Bild 4.11(a),Kurven . Die Knickformen weisen stets Verschiebungskomponenten in derBogenebene auf; das seitliche Knicken ist mit demjenigen in der Ebene gekoppelt. Ge-nauere Schätzungen der Knickformen können nur erreicht werden, wenn die vertikalenVerschiebungen des Seilpolygons berücksichtigt werden.

Das Bild 4.10 zeigt die starke Abhängigkeit der ersten zwei Knickformen und der Knicklasten von der Torsionssteifigkeit des Trägers. DerGrenzwert , für den gleich der Eulerschen Knicklast eines Stabs mit

ist, kann für eine angenommene Biegesteifigkeit des Bogens abge-schätzt werden. Für ist die erste Eigenform stets eine Halbwelle zwischenzwei Bogenknoten (lokales Knicken). Die Schlankheit des Stabbogens in Querrichtungwird dann vom Stützenabstand bestimmt. Man beachte, dass grössere Unsicherheiten inder Abschätzung von verbleiben, falls der Versteifungsträger in Beton ausgeführtwird. Beim massgebenden Lastfall ist gegenüber dem Wert im ungerissenen Zustandeine stark abgeminderte Torsionssteifigkeit des Versteifungsträgers zu erwarten, die vonVorverformungen und den vom nicht affinen Lastanteil hervorgerufenen Verformungenabhängt, siehe 4.3.1. Beim Entwurf sollte entweder ein vorsichtiger Wert der Torsions-steifigkeit in Rechnung gestellt, oder der Vorspanngrad derart erhöht werden, dass derTräger für den massgebenden Lastfall noch ungerissen ist. Ein Bogen mit grösserer Bie-gesteifigkeit in Querrichtung kann zum Erlangen der notwendigen Knickstabilitätoft zweckmässiger sein als eine ansonsten nicht nötige, hohe Torsionssteifigkeit des Trä-gers, wofür gelten würde. Die Mitwirkung von Bogen und Träger als I-Trä-ger mit aufgelöstem Querschnitt bewirkt eine Erhöhung der Verdrehungssteifigkeit desVersteifungssystems im Sinne einer ideellen Torsionssteifigkeit , vgl.

� 70=" 140= � 10= � 5= �-� 0,

� �-0� 0.47= = �C 0 2– 12–, ,[ ]=

�D 70 2– 12–, ,[ ]= ξ η ζ, ,{ } A

�-�� $ �-0

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# �( ) &# �( ) 0= = & ��( ) θ ��( ) ��⋅=�� 1+

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&1 �( ) &2 �( ),�� 1, �� 2,, +,#

+,��# �� 1, �� ,

�� 0 �⁄= = �-��

+,# +,��#>

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83

3.2.1. Gleiche Überlegungen bezüglich der seitlichen Stabilität schlanker Bogen geltenfür ebene Bogensysteme. Vorverformungen der Bogenachse senkrecht zur Ebene undvon den Belastungen erzeugte Verschiebungen und Steifigkeitsreduktionen sind kleinerals beim gekrümmten Tragwerk, wodurch die Stabilität günstig beeinflusst wird.

Zur Erhöhung der Längsstabilität des Bogens kann die Wirkung eines hinsichtlichLängsverschiebungen steifen Lagerungskonzeptes am Beispiel eines ebenen, kreisförmi-gen Zweigelenkbogens erläutert werden, siehe Bild 4.11(a). Seine Scheitelverschiebun-gen werden durch eine linear elastische Halterung mit der Nachgiebigkeit [ ]beschränkt. Seine Geometrie ist durch m und m definiert; die konstanteBiegesteifigkeit GNm2 entspricht derjenigen des Rahmensystems

und wird hier voll dem (Ersatz-)Bogen zugewiesen.

Die Ermittlung der Knicklast für ebenes Knicken am Bogen von Bild 4.11 erfolgt mit-tels Energieverfahren. Durch die grosse Dehnsteifigkeit sind die Stauchungen der Bo-genachse unbedeutend. Vereinfachend kann die Achse als dehnstarr angenommen wer-den. Es gilt für den Kreisbogen somit

(4.18)

wenn und die Verschiebungen parallel und senkrecht zur Bogenachse sindund den aus dem Kämpfer gemessenen, vertikalen Winkel bezeichnet,der zusammen mit dem vertikalen Krümmungsradius die Achse beschreibt. Die

( )w

a

θ

)(θ

b

w

cf

yEI B

/l 2

θ0 /2

Q

f

q

θ

R

(c)

(a) (b)

w,z

u,x

10-6 10-5 10-4 10-30.5

2.5

2

1

��"+��0 Einfluss einer elastischen Halterung im Scheitel auf die ebene Knickstabili-tät eines Kreisbogens: (a) statisches System und symmetrische und antime-trische Knickformen und ; (b) Vergleich der Knicklasten mitdem Wert des nicht gehaltenen Bogens ( ); (c) steifer Rahmenin den Seitenspannweiten zur Behinderung der Längsverschiebungen.

�� θ( ) �� θ( )�� 0, �� ∞→

�I m kN⁄[ ]

4FU E,

P 1 0.5 0.2 0.1⁄⁄⁄=4FU D,

�FU

�FU0

---------

[–]

(,\ P(,\0⋅=

4FU0

�� mkN 1–

� 70= � 10=�-' 0, 21=

�-' �-'# �-'

�+=

ε θ( ) � �θ⁄ �–( ) 1"---⋅=

θ( ) � θ( )θ � "⁄= 0 θ≤ θ0≤

"

Allgemeine Systeme

84

Knickfiguren des Bogens werden anhand ihrer Komponenten und definiert.Antimetrische Knickformen können mit dem Ansatz

(4.19)

ermittelt werden, welcher die Bedingung (4.18) erfüllt [93], wobei nur die asymmetri-schen Grundformen berücksichtigt werden. Dadurch werden dieScheitelverschiebung und der Arbeitsanteil der Feder bestimmt.

Der Ansatz von Gl. (4.19) erfüllt für symmetrische Grundformen die Bedingung (4.18) für eine dehnstarren Bogenachse, wenn die Koeffizienten

so gewählt werden, dass alle kinematischen Randbedingungen eingehaltensind. Aus resultiert die Beziehung , und ferner ist . Die da-durch ermittelten, symmetrischen Knickformen und die zugehörigen Knicklasten sind imGegensatz zu den antimetrischen Knickformen von der Steifigkeit der Feder im Bogen-scheitel unabhängig, da wegen der Symmetrie gilt. In Bild 4.11(b) sind dieWerte der Knicklasten der ersten symmetrischen und antimetrischen Eigenformen( und in Bild 4.11(a)) für reduzierte Biegesteifigkeiten vergli-chen. Als Bezugsgrösse dient die Knicklast des Bogens ohne Halterung im Schei-tel.

Die Halterung im Scheitel erhöht die kritische Last der asymmetrischen Knick-form des Bogens bis zum Wert , welcher der symmetrischen Knickform entspricht.Für eine Federnachgiebigkeit mit wird die Knicklast vonder symmetrischen Form bestimmt. Die Halterung reduziert die Exzentrizitätender Normalkraft im Bogen infolge asymmetrischer Lasten, die Durchbiegungen im Ge-brauchszustand und daher die Einflüsse zweiter Ordnung; schlankere Bogentragwerkesind dadurch möglich. Diese Erkenntnisse lassen sich auf Bogen mit variabler Normal-kraft und gekrümmte Tragwerke qualitativ übertragen, vgl. 5.3.2. Bei gekrümmten Bo-genbrücken werden nämlich die von der Verformung des versteifenden Trägerrostes her-rührenden Scheitelverschiebungen von einer festen Lagerung des Trägers nur teilweisebehindert.

Konstruktiv kann die Halterung des Bogenscheitels durch eine vollständige oder teil-weise Lagerung des Fahrbahnträgers als Bogen bewirkt werden, vgl. 3.1.2. Eine weitereMöglichkeit zur Aufnahme von Horizontalkräften ist in Bild 4.11(c) skizziert [63,88].Die zur Reduktion des Horizontalschubs geneigten Stützen bilden mit den Seitenspann-weiten einen Sprengwerkrahmen, was eine elastische Halterung des Bogenscheitels er-zeugt. Diese Wirkung ist bereits in Maillarts Schwandbachbrücke zu erkennen [51,80],da die fugenlos ausgebildeten Widerlager eine teilweise Behinderung der Längsverschie-bungen zur Folge haben.

� θ( ) �� θ( )

� θ( ) �. �.( ) θ( )⋅

. 1=

(

∑ �.2. π⋅θ0

---------- θ⋅ sin⋅

. 1=

(

∑= = θ( ) �0 � θ( ) θ�0

θ0

∫+=

� 2( ) θ( ) � 4( ) θ( ) …, , θ0 2⁄( )

� 1( ) θ( ) � 3( ) θ( ) …, ,

�1 … �(, , θ0( ) 0= �. .!⁄( )∑ 0= �0 0=

θ0 2⁄( ) 0=

�� θ( ) �� θ( ) �-' $ �-' 0,⋅=��0

�� ,�� ,

�� ,≤ �� , ��= �� , �� ,=( )�� θ( )

85

& '��

&+� �� !��

&+�+� *��@��

Räumlich gekrümmte Trägerunterspannungen können mit der in Kap. 2.5 beschriebenenFormfindung von Seilpolygonsystemen oder als Formen für räumliche Vorspannkabeleines gekrümmten Trägers nach Kap. 3.3 erzeugt werden. Das Seilpolygon wird im Trä-ger verankert, und der Betrag der Seilkraft kann in jedem Element entlang des Seils vari-ieren. Für den Spezialfall eines Vorspannkabels ist er jedoch konstant und gleich demBetrag der Ankerkraft, solange alle Reibungsverluste vernachlässigt werden. Die Formder Unterspannung wird immer am starren System ermittelt; Variationsmöglichkeitenwerden durch die Wahl der Lage der Verankerungen im Träger sowie von Richtung undBetrag der Ankerkräfte geboten.

In Bild 5.1(a) und (b) sind zwei horizontal gekrümmte, unterspannte Träger darge-stellt. Die räumliche Unterspannung wird in beiden Fällen affin zur Dauerlast gewählt,die in eine Gruppe von Einzellasten diskretisiert wird. Sie bildet zusammen mit ei-nem zweiten, in der Trägerebene liegenden Seilpolygon ein Seilpolygonpaar für die Last . Die Vertikalkomponenten der Umlenkkräfte, die jeweils auf der Ge-raden wirken, kompensieren die Lasten . Die Horizontalkräfte beanspruchen denTräger auf Biegung in seiner Ebene.

Die Formfindung der Unterspannungen von Bild 5.1(a) und (b) unterscheidet sich auf-grund ihrer Verbindung mit den Stützen. Für das System (a) ist in jedem Knoten eingelenkiger Anschluss mit der Stütze vorhanden, und der Betrag der Seilkraft variiert ent-lang der Unterspannung. Die Form von , und daher auch die Kräfte und die ver-bleibende Horizontalbelastung , können durch die Ebenen der Stützenschei-ben, definiert durch ihre Vektoren und die Punkte , gewählt werden, zumBeispiel vertikal und radial zur Trägerachse. Im System (b) wird die Seilkraft in je-dem Sattelpunkt lediglich umgelenkt und erzeugt die Umlenkkräfte . Ihr Betragist konstant und gleich der Ankerkraft, . Eine solche Unterspannung kann durchein externes Vorspannkabel gebildet werden. Seine Form und die Richtungen aller Umlenkkräfte, für die in jedem Knoten gilt, werden durch die Wahleiner Ankerkraft eindeutig festgelegt, siehe 3.3.2. Die Anzahl der möglichen, affinenSeilpolygonpaare wird somit eingeschränkt. Ferner ist das von der Unter-spannung von Bild 5.1(b) zusammen mit den Stützen gebildete Teilsystem selbst unter

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�″ � ′ �″,��{ }

P�P�′ ��

P�′

� ′ �′ �″{ } Ε�

�� , P��

P�′ 1�

(� /1≡� 1( ) P�P�′41�] +�–= P�′

� ′ � 1( )= �″,

Neue Konzepte

86

der Annahme eines starren Trägers nicht formstabil. Die Stabilität muss durch Einspan-nung der Stützen in den Träger gewährleistet werden. Beim unterspannten Träger vonBild 5.1(a) genügt dafür eine Einspannung der Stützen in ihren Ebenen , während sieum die Achse rotieren dürfen.

Die Effizienz der Unterspannung für die affine Last hängt von ihrer Dehnsteifigkeit ab. Seile oder Vorspannkabel werden durch Aufbringen der Last stark gedehnt und

können den auf den Versteifungsträger entfallenden Lastanteil nur wenig reduzieren. Diedurch Belasten mit der affinen Last erzeugte Dehnung der Unterspannung mussmittels einer vorgängigen Hebung des Versteifungsträgers oder einer Verkürzung derUnterspannung (durch Spannen) kompensiert werden; nur dann wirken auf den Verstei-fungsträger die gewünschten Umlenkkräfte.

Steife Unterspannungen gemäss Bild 5.1(e), namentlich vorgespannte Betonzugglie-der, halten die Momentenbeanspruchung im Träger infolge klein. Durch Vorspan-nung kann die volle Steifigkeit der Unterspannung auch für höhere Lasten ausge-nutzt werden. Die Stützlinie der Anker- und Umlenkkräfte des Vorspannkabels istmit der Achse der Unterspannung identisch. Die Vorspannkraft bleibt in der Unter-spannung, weil die Steifigkeit des Versteifungsträgers für die im allgemeinen nicht inseiner Achse zentrierten Umlenkkräfte klein ist. In Bild 5.1(e) wird der unterspannteTräger als leichte, selbsttragende Stahlkonstruktion konzipiert, die nachträglich durchBetonieren des Trägerquerschnittes und Vorspannen der Unterspannung ergänzt wird.

In Bild 5.1(c) und (d) wird ein einfeldriger Kreisträger mit einer zur Hauptlast affinen Unterspannung mit variabler Kraft gezeigt. Das System

ist symmetrisch bezüglich der Feldmitte, und die Stützenscheiben sind normal zur Trä-gerachse. Die Vertikalkomponenten der Ankerkräfte wirken den Auflagerkräf-ten infolge entgegen, siehe 3.3.2. Die Horizontalkomponente der An-kerkraft in wurde für in Richtung der Sehne gewählt. Für die Variante mit

tangential zur Trägerachse in ergeben sich grössere Horizontalkomponenten der Kräfte . In Bild 5.1(d) sind die ebenen Seilpolygone respektive der Kräfte-gruppe dargestellt.

Die Form (oder ) kann als Geometrie für ein horizontales Vorspannkabel ver-wendet werden, dessen Ankerkraft zusammen mit eine resultierende Normal-kraft im Träger an seinem Ende ergibt. Die Querbiegung wird jedoch nur nähe-rungsweise kompensiert, da die Kraft im Kabel nicht variiert, siehe 3.3.2. Betrag und Exzentrizität der Verankerung in sind durch (3.19) gegeben. Bereits beischwacher Krümmung wäre eine grosse Kraft nötig, um die Momente nähe-rungsweise zu kompensieren. Es kann sich deshalb als vorteilhaft erweisen, durch dieVorspannung über die ganze Trägerlänge die Stützlinie lediglich innerhalb der Kernwei-te des Trägerquerschnittes zu verschieben. Auf die horizontale Vorspannung kann auchganz verzichtet werden. In diesem Fall muss für Betonträger den Folgen eines Steifig-keitsverlustes auf die Stabilität grössere Aufmerksamkeit geschenkt werden (Einflüssezweiter Ordnung, Kippen).

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�%�

��{ }

��{ }�%�

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� ′

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/1Aζ/1Bζ

,� �, ��{ } /1AK

A � ′ AB ��′/1AK

A �K′

�′ �″ ��″ �″{ } �� ′+{ }=

�″ ��″�2A �1AK

A ��#

/2A�2A A

�2A ��#

Trägerbrücken

87

Andere Formen für die räumliche Unterspannung sind möglich, wenn sie nicht alsSeilpolygon von bestimmt wird. Wie in Bild 5.2 dargestellt, kann die allgemei-ne Unterspannung als Teil eines Seilpolygonpaars konzipiert werden, das af-fin zu und zu einer fiktiven Kräftegruppe ist. Die Kräfte liegen nach wievor auf der Geraden . Mit geeigneter Wahl von kann z. B.�ein System mit ver-

(c)

(a)

(d)

(b)

ir GiPi

iU

-UiiN’

’

’iN’ +1

iΕai

ib

Pi’

iG

iP

’U i1

1i’-Ubi

ia

’iPΕi

’ +1Ni

iN’

PBh BPζ= -B

BB

ba

b,iG a,iG

a’S

S’ (1)SS’=

S’

ζPA = -A

hAPA

A

ξη

ζ

S’a

’Sa’S ’

’’S

P1Ah

2AP

= ee A1A

2Ae

ξ

η

iOy

z

’S

S (1)

A

��&+��0 Träger mit räumlicher Unterspannung: (a) Unterspannung mit variablerSeilkraft; (b) Kabel mit Umlenkstellen, Seilkraft konstant; (c), (d) Variantendes Seilpolygonpaars respektive für ; (e) Verbundquer-schnitt mit steifer, vorgespannter Unterspannung.

� ′ �″, ��′ ��″, ��{ }

� ′ ��{ }��′ ��′ ��″,

��{ } ��{ } � �,′P�P�′ ��{ }

Neue Konzepte

88

tikalen Stützenachsen erzeugt werden, das eine einfachere Herstellung erlaubt. Die Kräf-tegruppen von Bild 5.2(a) und (b) entsprechen der in 4.3.1 vorgenommenen Aufteilungder Belastung zwischen Seil- und Versteifungssystem. Die von um die Achse erzeugten Drehmomente reduzieren die Exzentrizitäten der Verankerungen anden Enden bezüglich der Trägerachse. Die Verankerungen können z. B. selbst beigrossen Exzentrizitäten der Auflagerkräfte infolge stets in der Trägerachsegewählt werden. Die Reaktionskräfte erzeugen dafür Biegung und Torsion amVersteifungssystem, das aus Versteifungsträger und Stützen besteht, Bild 5.2(b). Dieszwingt dazu, Widerstände und Steifigkeiten des Versteifungsträgers zu erhöhen oder dieVerbindung zwischen diesem und der Unterspannung auszufachen. Unterspannungenmit frei gewählten Verankerungen und Geometrien sind also möglich, aber im allgemei-nen weniger effizient, da sie bereits für eine vergrösserte Momentenbeanspru-chung des Trägers bedingen.

&+�+� $��)� ��$%��

Affine Lasten erzeugen eine von ihrer Dehnsteifigkeit abhängige Dehnung der Un-terspannung. Die entstehenden Verformungen des als gekrümmtes Druckgliedmit exzentrischer Normalkraft und Torsion beanspruchten Versteifungsträgers vergrös-sern seine Beanspruchungen und reduzieren seine Steifigkeit gegenüber demunverformten System (Spannungsproblem zweiter Ordnung). Infolge der Trägerkrüm-mung kommt den Verdrehungen und der Torsionssteifigkeit eine grössere Be-deutung zu. Das Gleichgewicht für allgemeine Lasten muss in der Regel am verformtenSystem formuliert werden [34]. Für konzeptionelle Überlegungen genügt allerdings dieTheorie erster Ordnung. Am Beispiel von Bild 5.3 soll der Einfluss von Form undDehnsteifigkeit der Unterspannung auf Schnittkräfte und Verformungen im Verstei-fungsträger infolge der affinen Last aufgezeigt sowie die Versteifung des Systems fürnicht affine Lasten qualitativ diskutiert werden. Die geometrische Nichtlinearität des Sy-stems ist für die affine Last in allen drei Fällen a, b und c�unbedeutend. Schnittkräfte undVerformungen werden am unverformten System ermittelt.

Ansicht, Grundriss und Feldquerschnitt des Trägers sind in Bild 5.3(a), (b) und (c)dargestellt. Die lokale Wirkung des Versteifungsträgers als Durchlaufträger zwischenden Stützen wird nicht betrachtet, und die verteilte Hauptlast (Eigengewicht des Verstei-fungsträgers) kNm-1 wird in die Lasten zusammengefasst, mit und

kN. Die Hauptabmessungen des Trägers sind m, m undm. Die Steifigkeiten des Versteifungsträger sind GNm2,

GNm2, GNm2 und GN. Für die als gelenkiger Stab-zug konzipierte Unterspannung werden zwei Formen und zwei Querschnitte verglichen.Im Fall a mit vorgespanntem Betonquerschnitt ( GN) ist sie steifund affin zu und daher in den Angriffspunkten der Auflagerreaktionen von

verankert. Im Fall b weist sie die gleiche Geometrie wie in a auf, aber sie wird alsSeil ausgebildet ( , ). Bei der Variante c hat die Unterspannung

��{ } AB�A

F

�BF

,A B,

�A �B, ��{ }��–{ }

��{ }

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� & θ, ,

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θ# +,#

* 50= ��{ } �� ≡� 321.1= � 45.0= " 100.0=� 3.78= �-'

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# 152.1= +,# 2.84= �%# 64.2=

�%a� 0.12 �%#⋅= 7.56=

��{ } PA′ PB′,��{ }

�%b� 0.1 �%a

�⋅= �-' �,� 0=

Trägerbrücken

89

den gleichen Querschnitt wie im Fall a, wird aber in den Punkten der Brückenachseverankert, vgl. in Bild 5.2.

Die Stützenscheiben werden in Radialrichtung steif ausgebildet, um eine genügendeKnickstabilität zu erreichen und ein seitliches Ausweichen der Unterspannung zu verhin-dern. In Längsrichtung sind sie gelenkig mit dem Versteifungsträger verbunden. Die imVergleich zur Torsionssteifigkeit grosse Biegesteifigkeit des Versteifungsträ-gers bewirkt ausserdem, dass die Richtung der resultierenden Stützenkraft in den Fällena und b�nur leicht exzentrisch bezüglich ihrer Achse gemäss Bild 5.3(c) ist.

Die Schnittkräfte und die Verformungen des Versteifungsträgersinfolge der Last sind für alle drei Fälle a, b und c in Bild 5.3(d) dargestellt. Die Bie-ge- und Torsionsmomente und , welche die Verformungen hervorrufen, wer-den durch die steife Unterspannung klein gehalten (Fall a). Eine einfache Abschätzungder auf Träger und Unterspannung entfallenden Lastanteile ist anhand der Gl. (2.21) und(2.22) nicht möglich. Die Querbiegemomente sind von der Trägerform und von derNormalkraft in der Unterspannung, also von und vom Stich (Hebelarm des Trä-gers) abhängig. Auf eine horizontale Vorspannung im Versteifungsträger wird verzich-tet. Die Seilunterspannung (Fall b) beteiligt sich viel weniger an der Lastabtragung. DieMomente und die Verformungen infolge können nur durch Spannendes Seils gegen den Versteifungsträger kompensiert werden. Im Fall c�wird die Querbie-gung trotz Verankerung der Unterspannung in kaum reduziert. Der Verstei-fungsträger wird stark auf Torsion beansprucht, und die Verdrehungen sind um dasSiebenfache grösser als im Fall a. Für Nutzlasten müssten deshalb Widerstand und Stei-figkeit des Versteifungsträgers gegenüber dem Fall a erhöht werden, oder die Verbin-dung mit der Unterspannung müsste gemäss Bild 5.3(e) angepasst werden, um eine Va-

A B,��′

(a) (b)

-F

-F

-F

U’i,c

i,c’Ub,iG

a,iG’iP

ba

F

F

AeAe

Pi

S’S’

B

A

c c

��&+��0 Allgemeine Form einer Unterspannung: (a) Seilpolygonform für dieKräftegruppe und Vergleich mit der Form von Bild 5.1(c), wo-für gilt; (b) Reaktionskräfte am Träger.

��′�� ,{ } � ′

�� 0≡ ��–{ }

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O#O�

( �, ' �� #, , � θ,��{ }

�' # � θ,

��" �, �

�' #, � θ, ��{ }

�� A B,θ�

Neue Konzepte

90

riation der Normalkraft zu ermöglichen. Das System kann für Torsion versteift werden,um die Stabilität des Versteifungsträgers zu erhöhen, was mit einer fachwerkartigenAusfachung der Stützenverbindung möglich ist, siehe Bild 5.3(f).

Das Beispiel von Bild 5.3 zeigt, dass Systeme mit steifer und zur Hauptlast affinerUnterspannung schlank ausgebildet werden können. Die in Längsrichtung als Pendelstä-be ausgebildeten Stützen bedingen allerdings, dass die Normalkraft in der Unterspan-nung von ihrer Form allein definiert ist, und dass der antimetrische Anteil der Nutzlastendurch den Versteifungsträger allein abgetragen wird. Biegesteif angeschlossene Stützengemäss Bild 5.3(e) ermöglichen als Rahmensystem eine teilweise Anpassung der Nor-malkraft in der Unterspannung für nicht affine Nutzlasten. Die Momente und

sind kleiner als beim Träger von Bild 5.3(a). Die Torsionssteifigkeit des Sy-stems kann bei diesem Konzept durch eine enge Anordnung der Stützen und Mitwirkungder (breit auszubildenden) Unterspannung auf Querbiegung gesteigert werden. Die Tor-sionssteifigkeit kann an einem ideellen I-Träger mit variabler Höhe und torsionsstei-fem, oberem Flansch abgeschätzt werden, vgl. 3.2.1 und Bild 4.6. Durch Ausfachung derVerbindung zwischen Versteifungsträger und Unterspannung gemäss Bild 5.3(f) könnendie nicht affinen Lasten über Normalkräfte abgetragen werden. Die Torsionssteifigkeit

des Systems kann an einem ideellen Kastenquerschnitt mit eigener Torsionsstei-figkeit der oberen Kastenplatte abgeschätzt werden [50]. Durch den Verlauf derTrägerhöhe nimmt gegen die Trägerenden stark ab. Um die Verdrehungen weiter zu beschränken, wäre eine lokale Verstärkung des Querschnitts des Versteifungs-trägers gegen die Auflager nötig.

&+�+� :��)��

Horizontal gekrümmte, durchlaufende Träger mit räumlicher Unterspannung über meh-rere Felder sind auch möglich. Einige Bemerkungen zu Formfindung und Durchlaufwir-kung dieser Systeme werden in Bild 5.4 am Beispiel eines zweifeldrigen, symmetrischenSystems mit Punktstützung in der Symmetrieachse und Torsionslagerung an beiden En-den erläutert. Es wird versucht, die Unterspannung mit einer zur Kräftegruppe af-finen Form auszubilden.

Die Kräftegruppe wird durch die vertikalen Auflagerreaktionen und imGleichgewicht gehalten, deren Betrag und Lage (Exzentrizitäten ) vom Verlaufder Biege- und Torsionssteifigkeit des Systems entlang der Brückenachse abhängt. InBild 5.4(a) sind die Angriffspunkte der Auflagerkräfte für die Fälle (1) und (2) eines Ver-steifungsträgers konstanter Steifigkeit mit, respektive ohne Biegegelenk über dem mitt-leren Auflager eingetragen. Die Auflagerkraft beträgt respektive

(am gestreckten Träger geschätzt, ). Bei lokaler Reduktion derSteifigkeiten in der Zone des mittleren Auflagers für den Fall (1) liegt zwischen und , und für die Exzentrizitäten der Auflagerkräfte gilt .Die auf den Versteifungsträger wirkende Gleichgewichtsgruppe

�'#

$�# �'

# "⁄≈

�

+,��+,#

� +,�� θ#

��{ }

��{ } � �, �A �B,

61 � � 2⁄⋅≅62 5 � � 4⁄⋅ ⋅≈ � "= ϕ⋅ 0 2⁄

61

62 �A �B= � �, �A2 �A �A1≤ ≤� � �1 … ��, , , , ,{ }

Trägerbrücken

91

(b)

(a) (c)

(d)

l

f

q

c,

b

a

TO

2.806.00

.241.00

.50

.28.90

OS

.50

f

t tt2

y,v

z,w

c,a b

Q

Q

’APA

BPB

’R

a c,

b

ac

b

a

b

c

a

c

b

ac

b

0.1 m

5 MNm1 MN

5 MNm

1 MNm

T

My

N Mz

w

θx

a

b

c

hidC

z

x

CT

x

z

Cid

TC

(e) (f)

0.01 rad

��&+��0 Träger mit gekrümmter Unterspannung, Varianten a, b und c: (a) Ansicht;(b) Grundriss; (c) Querschnitt; (d) Schnittkräfte und Verformungen infolgeder affinen Last; (e) teilweise Anpassung der Normalkraft, zusätzliche Tor-sionssteifigkeit; (f) Ausfachung, Kastenquerschnitt mit aufgelösten Stegen.

($E

6 0.1 ($D F,6⋅=

W 0.01 m=

Neue Konzepte

92

von Bild 5.4(a) und die Gleichgewichtsgruppe von Bild 5.4(b) der vertikalen Ankerkräf-te und Umlenkkräfte sollen gleich und entgegengesetzt sein.Diese Vorgabe liegt der Formfindung zugrunde, siehe 5.1.1. Für eine gewählte Anker-kraftkomponente (oder ) und für sowie wird das Seilpolygonfür die aus und bestehende Kräftegruppe ermittelt. Die Geometrie ist inBild 5.4(e) dargestellt. Die Exzentrizitäten der Verankerungen sind ausBild 5.4(a) gegeben. Im Versteifungsträger verschwinden die Schnittkräfte infol-ge der gleichzeitigen Wirkung der Kräftegruppen von Bild 5.4(a) und (b) nur dann, wenndie angenommene Steifigkeitsverteilung mit der wirklichen übereinstimmt.

Bei schlankem Träger und grossem Seilstich ist die Höhe der Unterspannung überdem mittleren Auflager durch den Querschnitt des Versteifungsträgers beschränkt, sieheBild 5.4(c) mit << . Es gilt stets . Während sich für einen Einfeldträ-ger eine Form der Unterspannung mit finden lässt, damit die Gleichgewichtsgrup-pe (b) gleich und entgegengesetzt zu (a) ist, verbleiben am durchlaufenden Versteifungs-träger stets Schnittkräfte .

Für die zur Form der Unterspannung affine Belastung kann das System vonBild 5.4(d) als Träger mit einem ideellen, aufgelösten Querschnitt betrachtet werden,vgl. Bild 5.4 (f) mit . Seine Biegesteifigkeit ist durch

(5.1)

mit , und gegeben. Die Schwerachse liegt in jedem Quer-schnitt im Abstand von derjenigen des Versteifungsträgers, wenn den variablen Abstand zwischen den Schwerpunkten und von Versteifungsträgerund Unterspannung bezeichnet. Für grosse Hebelarme gilt >> , und dieSchnittkräfte im Versteifungsträger sind klein. Beim mittleren Auflager gilt

, da klein ist, und es kann nur eine geringe Durchlaufwirkung erzieltwerden. Diese kann erhöht werden, indem die Biegesteifigkeit und der Biegewider-stand durch lokale Verstärkung des Versteifungsträgers beim mittleren Auflager gemässBild 5.4(g) erhöht werden. Damit ist die Steifigkeitsverteilung auf der Spannweitegleichmässiger. Beim mittleren Auflager gilt nach wie vor , aber infolge seinerVerstärkung trägt der Versteifungsträger einen grösseren Anteil der Last direkt ab, undseine Momente werden vergrössert. Ein mehrfeldriges System mit lauter einfeld-rigen, unterspannten Trägern kann deshalb vorteilhaft sein.

Die Wirkung von Nutzlasten auf das System kann mit dem aufgelösten Querschnittvon Bild 5.4(f) qualitativ beurteilt werden. Sind die Stützen in Längsrichtung gemässBild 5.3(a) als Pendelstäbe ausgebildet, so werden alle Lasten, die keinen Kraftzuwachsin der Unterspannung erzeugen, durch den Versteifungsträger abgetragen. Für dieseLastfälle gilt . Bei der Ausbildung eines Fachwerks bleibt die Steifigkeit nach Gl. (5.1) hingegen für jede Belastung erhalten, und das System ist viel steifer. Beiunvollständiger Ausfachung, z. B. für einen Vierendeelträger gemäss Bild 5.3(e), wird

�Aζ�Bζ

, � ζ��–={ } Cζ

,

�AK�BK

�Aζ�–= �Bζ

�–=��{ } Cζ

–=�A �B,

�'# ##,

�2 � 61 4≤ Cζ62<

�2 0=

�'# ##,

��{ }

� 0→ �-' ��, �-��=

�-�� -# %� �2⋅.1

1 .1 .2⁄+----------------------⋅+=

� �#= .2 �� ⁄= .1 %# %�⁄=�O � 1 .1 .2⁄+( )⁄= �

O# O�

� �-�� -#

�'# ##,

�-�� -#≈ � �2=�-��

�-�� -#≈

�'# ##,

�-�� = -# �-��

Trägerbrücken

93

(g)

(f)(e)

(d)

(c)

(b)

(a)

Be2

1eB

1B

B2

r12r

0ϕ

CziG

Ae2

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ϕ

2A

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x

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(2)C1

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2rrr

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y idO O

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EI

EI

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id0

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C

-PhB

B

eo

O

��&+"��0 Zweifeldriger unterspannter Träger: (a) Belastung und Auflagerreak-tionen für die Träger (1) und (2); (b) vertikale Anker- und Umlenkkräfte zurKompensation der Gleichgewichtsgruppe (a); (c) Ansicht, totale auf denTräger wirkende Kräfte; (d), (e), (f) Längsschnitt, Formfindung und Quer-schnitt des unterspannten Trägers; (g) Erhöhung der Durchlaufwirkung.

��{ }

Neue Konzepte

94

die Normalkraft in der Unterspannung abgestuft. Die Unterspannung beteiligt sich an derAbtragung der antimetrischen Lastanteile und erhöht dadurch die Steifigkeit des Systems[34,66].

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&+�+� 3��)�� $%��

Einige Leitgedanken für gekrümmte Kabelbrücken wurden in 2.5.3 bereits erwähnt. Bil-det das dort definierte Seilsystem der Brücke ein Raumfachwerk, so kann es allgemeineNutzlasten abtragen, und der Fahrbahnträger kann schlanker ausgebildet werden, solan-ge der Pylonkopf unverschieblich gehalten wird. Damit infolge der gekrümmten Linien-führung das Lichtraumprofil durch die Kabel nicht verletzt wird, müssen oft Konzeptemit weniger effizienten Kabelsystemen angewendet werden. Dadurch wird die Steifig-keit des Systems geringer, und seine Anwendung kann unter Umständen nur für kleineNutzlasten (beispielsweise für Fussgängerbrücken) erfolgen. Die Formen des Kabelsy-stems erlauben für diese Tragwerke andererseits mehr Freiheit in gestalterischer Hin-sicht, und es können ästhetisch sehr befriedigende Lösungen erzielt werden. In der Folgewerden einige Bemerkungen zu Geometrie und Tragwirkung von Kabelsystemen mitein- oder beidseitiger Anordnung der Kabel im Querschnitt aufgeführt.

In Bild 5.5(a) wird die halbe Spannweite einer Schrägkabelbrücke mit in Fächerformangeordneten Schrägkabeln betrachtet. Das Kabelsystem bildet ein Raumfachwerk, daalle Kabel sich in einem einzigen Punkt am Pylonkopf schneiden. Dieses Systemkann natürlich nur realisiert werden, wenn die Schrägkabel das Lichtraumprofil nichtverletzen. Dafür muss das �-te Kabel eine minimale Exzentrizität (positiv gegen dieKurvenaussenseite) am Pylonkopf bezüglich der Brückenachse aufweisen, derart, dassmit

(5.2)

gilt. Der Parameter enthält die Höhe des Fächers und die Höhe des Licht-raumprofils, dessen Breite ist. Es gilt ferner , wobei der vom Win-kel abhängige, radiale Abstand der Schrägkabelverankerung vom Rand des Licht-raumprofils ist. Die Werte und in (5.2) sind für die äussere Kabelreihe( ) positiv, für die innere ( ) negativ einzusetzen. Die Extremalwerte von

für die äussere und die innere Kabelreihe sind durch das längste, respektive das kür-zeste Kabel gegeben. Die Bedingung (5.2) gilt auch für eine Anordnung der Kabel inHarfenform, wenn für jedes Kabel � der Wert durch seine Höhe ersetzt wird.

In Bild 5.5(b) sind die Umhüllenden der Exzentrizitäten und fürm, m, m, m und die Spannweite m bei

K

�K

" konst=

.2 "�1

2-----+

2 ϕ�

2-----

2sin⋅ " �K+( ) 1 .–( ) . "�1

2-----+

ϕ�

2-----

cos⋅–

2

+ "�0

2-----+

2

– 0=

. 1 � �⁄–= � ��0 �1 �0 2 ∆�⋅+= ∆�

ϕ��0 2⁄ �1 2⁄

�K �K �,= �K �K �,=�K

� ��

�� , �K �, �K �," 240= � 10= ∆� 1.0= � 4.5= � " ϕ⋅ 0 100= =

Kabelbrücken

95

variabler Pfeilhöhe ausgezogen dargestellt. Der Kurvenradius hat nur auf die äusse-re Umhüllende einen Einfluss. Die Kurven und gelten für respektive320 m. In Bild 5.5(b) ist die Pylonform mit minimalem Abstand zwischen denFächermittelpunkten für dargestellt.

(f) (g)

(e)(d)

(c)

(b)(a)

b0

a

totG

aG Gi

e aG,,iGe

f

e ,a e ,iK K

a b c

Ka K i

isas

ie Gi

M Mϕϕ

Mϕ

Mϕ

R,iQζ

R

∆ϕ i

iGeg,i

g,ae ie

g,ie,ieb

iG

iO iζiU1i2U

QR,i

R,iP yz

UiGiQR,i

2U i 1U i

h

O

Rb∆

∆b

b0

aG

Gi

K

ϕ iϕ02

MA

AT0ϕ

2

Gtot

e

RR,totQ KA

��&+&��0 Kabelbrücken: (a) Kabelsystem mit zwei Kabelfächern für eine mehrfeld-rige Brücke; (b) Bedingungen für die Pylonform; (c) steifer Pylon für grosseKrümmungen; (d), (f) zweifeldrige Brücke mit einseitigem Kabelfächer; (e)Gleichgewicht am Trägerelement; (g) Querschnitt und Vorspannung einesals einseitig gestützte Kreisringplatte konzipierten Trägers.

� "a c " 160=

�K �, �K �,–K� K�, � 0.22 �⋅=

Neue Konzepte

96

Aus (5.2) geht hervor, dass die Kabelanordnung von Bild 5.5(a) für übliche Pylonhö-hen nicht immer möglich ist. Ein minimaler Abstand von und so-wie ein steifer Querriegel beschränken die Querbiegung im Pylon infolge der Kabel-Ab-lenkkräfte bei Dauerlast [67]. Die Ablenkkräfte sind nach der Festlegung von definiert, denn die Schnittpunkte der Wirkungslinien der resultierenden Vertikalkräfte

der äusseren respektive inneren Kabelreihe auf der Trägerebene sind durch dieBrückengeometrie und den Trägerquerschnitt gegeben und unabhängig von der Pylon-form. Für grosse Öffnungswinkel muss der äussere Pylonstiel gegen aussen geneigtsein, um (5.2) zu erfüllen. Einem stark asymmetrischen Pylon kann aus ästhetischenGründen eine symmetrische Konstruktion mit erhöhter Querbiegebeanspruchung vorge-zogen werden [61].

Eine starke Halterung der Pylonspitze in Längsrichtung erhöht die Steifigkeit des Sy-stems, vgl. Fallstudien in [37]. Für zwei- oder dreifeldrige Brücken kann sie durch Ab-spannungen an den Endauflagern erreicht werden. Bei mehrfeldrigen Brücken sind Ab-spannungen vom Pylonkopf zu den benachbarten Pfeilern [8] meist nicht möglich, vgl.(5.2). Aus feldweiser Belastung entstehende, unterschiedliche Kabelkräfte erzeugenRahmenbiegung am Pylon. Mit der Pylonform von Bild 5.5(c) können die Komponentendieser Kabelkräfte in Längsrichtung ohne Biegung der Stiele abgetragen werden. Die Py-lonspitze wird selbst bei starker Krümmung unverschieblich gehalten.

Schrägkabel- und Hängebrücken mit einer einzigen Kabelreihe wurden für gekrümm-te Fussgängerbrücken bereits gebaut oder vorgeschlagen [3,30,69,84]. Konflikte zwi-schen Kabelsystem und Lichtraumprofil können so vermieden werden, wenn die Kabelinnen- oder aussenseitig am Träger verankert werden. In Bild 5.5(d) bis (g) ist als Bei-spiel eine symmetrische, zweifeldrige Schrägkabelbrücke mit innenseitigem Kabelsy-stem dargestellt. Der Fahrbahnträger kann für Dauerlasten als Abschnitt einer am Innen-rand kontinuierlich gestützten Kreisringplatte konzipiert werden. Die Stützung erfolgtdurch einen an den Kabeln aufgehängten Randträger. Das konstante Tangentialmoment1

(5.3)

lässt sich am Trägerelement von Bild 5.5(e) ermitteln, an dem die Last und die Vertikalkomponente der Kabelkraft angreifen. In (5.3) ist dieExzentrizität zwischen Kabelkraft und Trägerschwerachse; wird nach (3.9) ermit-telt. Das Moment ist gleich gross wie das Biegemoment des Trägers infolge seinesGewichtes (in kNm-1) für eine Spannweite und wird für die üblichenKrümmungsradien m sehr gross, so dass ein schlanker Plattenquerschnitt nichtmehr möglich ist.

1. Für eine über die Plattenbreite konstante Höhe wird (5.3) zu für eine Lage-rung am inneren Plattenrand (Zug oben), respektive zu für eine Lagerung amäusseren Plattenrand (Zug unten).

� �⁄ 0.15 0.3÷≈ K� K�

K� K�,

�� ,

ϕ0

�ϕ �– " 1 � 6"⁄+( ) � 2⁄⋅ ⋅=�ϕ �" 1 � 6"⁄–( ) � 2⁄⋅ ⋅=

�ϕ � " ∆ϕ�⋅ ⋅– �O �, �� ,+( ) 1∆ϕ�--------⋅ ⋅ �– "⋅ ��⋅= =

�� " ∆ϕ�⋅ ⋅=�" �ζ, +�–= �O �,

�� ,�ϕ

� � 8 " ��⋅ ⋅=" 30>

Kabelbrücken

97

Die Vorspannung, die zur Kompensation des Momentes notwendige wäre, wirddurch eine Betrachtung am Trägerelement ermittelt, Bild 5.5(e). Die Vorspannung er-folgt mittels zweier horizontaler Vorspannkabel, siehe Bild 5.5(g). Die Summe ihrer Um-lenkkräfte und der Last muss im Punkt in der Ebene der Trägerschwer-achse mit der Kabelkraft zentriert sein, vgl. 3.3.1. Es gilt

(5.4)

wenn die vertikale Exzentrizität beider Vorspannkabel bezüglich der Schwerachsedes Trägers ist. Durch Anpassung der Kabelführung und Verteilung der Vorspannkräfte

kann die Summe von und der variablen radialen Komponenten von affin zur Trägerform gehalten werden, siehe Gl. (3.10). Die Vorspannkraft kann durch

(5.5)

anhand von (5.3) und (5.4) abgeschätzt werden. Der asymmetrische Querschnitt vonBild 5.5(g) mit reduziert zwar die Vorspannkraft, die jedoch sehr gross bleibt,da >> ist.

Weitere Schwierigkeiten ergeben sich an den Trägerenden. Damit der Spannungszu-stand demjenigen der Kreisringplatte entspricht, muss einerseits eine Einspannung für

vorgesehen werden, die beim Kabelsystem von Bild 5.5(f) nur durch einen zusätzli-chen Endfeldträger passend gewählter Spannweite (Stützenmoment ) be-wirkt werden kann [84]. Andererseits stört die für Nutzlasten erforderliche Torsionslage-rung, d. h. das Moment in Bild 5.5(e), den beabsichtigten Spannungszustand; wennsie fehlte, müssten die Drehmomente allerdings durch die Kabel aufgenommen werden,die lokal entlastet würden. Die Konzeption des Fahrbahnträgers als Kreisringplatte fürDauerlasten ist deshalb höchstens für Wendelträger geeignet, z. B. für Rampen [24]. Fürgrössere Krümmungsradien wirkt der Fahrbahnträger als exzentrisch elastisch gestützterTräger.

Die Beteiligung des einseitigen Seilsystems an der Abtragung der Nutzlasten ist selbstbei monolithischer Verbindung (oder Lagerung) am Pylonfuss gemäss Bild 5.5(d) be-schränkt; Hängesysteme sind noch weniger steif [84]. Mit wachsendem Abstand zwi-schen Pylon und Träger gemäss Bild 2.14(c) nimmt die Mitwirkung des Kabelsystemsstark ab [30], und die zunehmenden Horizontalkomponenten der Kabelkräfte rufen zu-sätzliche Beanspruchungen im Träger hervor. Dieser trägt als gekrümmter Durchlaufträ-ger mit nachgiebigen, exzentrisch angeordneten Zwischenstützen. Der Querschnitt mussfür grössere Biege- und Torsionsmomente ausgebildet werden. Eine zentrische Veranke-rung der Kabel im Träger ist aus statischer Sicht stets vorzuziehen, solange sie das Licht-raumprofil nicht verletzt. Der Pylon darf dabei mit zweistieligem Querschnitt oder ein-stielig und geneigt ausgebildet werden, damit sein Kopfpunkt über dem Träger liegt[54] und das Lichtraumprofil nicht verletzt wird.

�ϕ

1� 2�+ �� P" �,�" �,

1� 2�+ +��ζ �----⋅=

ζ �

/1 /2, 1� 2�, �" �,

/ /= 1 /2+ 1� 2�+

" ∆ϕ�⋅------------------------ "⋅ � "⋅

ζ �-------- ��⋅

�ϕζ �

-------= =≈

�� 2⁄<" ζ � ��⁄( )

�ϕ�A �ϕ 0<=

�A

K

Neue Konzepte

98

&+�+� #�/�� A�/�� 0 $��!��

In 2.4.2 wurde auf gekrümmte Seilsysteme hingewiesen, bei denen die geometrischeSteifigkeit des Tragseils durch Vorspannung mittels eines oder mehrerer Spannseile er-höht wird. In den 50er Jahren entwickelte Jawerth für Hallenbauten einen versteiftenSeilbinder, dessen Hänger in der Ebene von Trag- und Spannseil fachwerkartig angeord-net sind und durch das Spannseil vorgespannt werden, siehe Bild 5.6. Beim Aufbringenvon Nutzlasten wirkt dieses System wie ein Fachwerkträger, solange keines der Seilele-mente entlastet wird [44]. Auch für Fussgängerbrücken wären statische Systeme dieserArt denkbar. Der Fahrbahnträger nimmt als Zugband [83] oder als Bogen die Form desTrag- respektive des Spannseils an und wird durch Spannen des Seilsystems auf Zugvorgespannt. Da die Pfeilhöhe des Trägers infolge der zulässigen Steigung der Fahrbahnauf etwa beschränkt ist, entstehen jedoch selbst bei sehr leichten Bindern sehrgrosse horizontale Ankerkräfte.

Ein gekrümmter Seilbinder dieser Art lässt sich durch gegenseitiges Verspannen vonzwei räumlichen Seilen bei vorgegebener Brückenachse nicht erzeugen, siehe 2.4.3. DieHorizontalkomponenten der Hängerkräfte müssen durch den gekrümmten Fahrbahnträ-ger abgetragen werden, der zur Aussteifung des Seilsystems benötigt wird, vgl.Bild 2.12. Die Grundform für ein vom Jawerth–Seilbinder abgeleitetes gekrümmtes Seil-tragwerk ist in Bild 5.7(a) illustriert. Das Tragseil ist mit dem kreisförmigen Fahr-bahnträger durch fachwerkartig angeordnete Hänger verbunden. Das Spannseil istdurch einzelne Hängerpaare mit dem Träger verbunden. Durch geeignete Wahl derSpannkraft von wird gewährleistet, dass die Hänger im Gebrauchszustand stetsauf Zug beansprucht werden und das System für Nutzlasten genügend steif ist. Da solcheTragwerke mehrfach statisch unbestimmt sind, rufen die Dehnungen der Seile auch eineMitwirkung des Trägers hervor. Da dieser jedoch schlanker und leichter als bei einemHängesystem ohne Ausfachung und Vorspannung ausgebildet wird, bleibt seine Mo-mentenbeanspruchung klein.

Die Formfindung des Systems von Bild 5.7 erfolgt unter der Voraussetzung, dassTragseil und Spannseil zu zwei Seilpolygonpaaren mit gleicher affiner Last (diein die Knotenkräfte zusammengefasste Dauerlast) gehören, derenzweites Seil jeweils in der Trägerebene liegt, vgl. 2.4.3. Das horizontale Gleichgewichtwird durch den Träger gewährleistet, der im allgemeinen durch ein horizontales Biege-moment und eine Normalkraft beansprucht wird, die durch die resultierenden Horizon-talkräfte erzeugt werden, siehe Bild 5.7(e). Die Kräfte lassen sich durch dieGeometrie des Systems, insbesondere durch die Wahl der Endpunkte und derPfeilhöhen von Trag- und Spannseil, in Grösse und Richtung beeinflussen, vgl.4.2.1. Asymmetrische Seilsysteme sind unabhängig von der Form der Brückenachsemöglich, siehe Bild 4.2. Die Geometrie wird von der gewählten Richtung der Ebenen und durch mitbestimmt, in denen die resultierenden Kräfte respektive von Trag-und Spannseil liegen. Geometrische Randbedingungen ergeben sich aus demerforderlichen Lichtraumprofil in Feldmitte; die Lage der Endpunkte und die Pfeil-

� 0.06 �⋅≈

� ′� ′″

/ � ′″

� ′ � ′″��{ } �� , �� ,+{ }=

�K �KC D G H, , ,

� � ′″,

E�′E�′″ P� �′ �′″

C D,

Kabelbrücken

99

höhe sind aufeinander abzustimmen. Die sich daraus ergebende Vergrösserung der Py-lonhöhen bei und , die von und abhängt, kann durch Verbreiterung des Trä-gers in Feldmitte etwas reduziert werden, siehe Bild 5.7(d).

Die Hängerverbindung zwischen Träger und Spannseil kann gemäss Bild 5.7(c) aus-gefacht werden. Das dadurch gebildete, untere Seilfachwerk weist eine zu beschränkteHöhe in Feldmitte auf, um die Pfeilhöhe zu vergrössern und die Ankerkräfte

zu reduzieren. Die Verformungen des Systems erzeugen für kleine Höhen<< einen frühzeitigen Ausfall einiger Spannseilhänger. Der Stei-

figkeitsgewinn für Nutzlasten gegenüber der Variante von Bild 5.7(b) ist unbedeutend,weil die Querschnitte von Spannseil und Spannseilhänger kleiner sind als diejenigen desTragseils und seiner Hänger. Diese Variante wird nicht weiter untersucht.

Bei Verzicht auf die Ausfachung der Hänger nach Bild 5.7(b) wird die Geometrie desSpannseils nach 2.4.2 ermittelt. Das Spannseil bildet zusammen mit einem in derTrägerebene liegenden Seilpolygon ein Seilpolygonpaar. Für seine Formfindungwird als affine Last gewählt, siehe (2.19). Das Spannseil ist somitauch affin zur Kräftegruppe des Eigengewichtes; es wird ausgehend vom End-punkt und der Spannkraft mit den Gl. (2.14) bis (2.17) vektoriell bestimmt. Dieberechneten Kräfte werden in ihre Komponenten in der Ebene , nämlich dieHängerkräfte und infolge , aufgeteilt. Diese sind in den Angriffspunktenvon respektive zentriert, siehe Bild 5.7(e).

Das Tragseil bildet ebenfalls mit einem zweiten Seilpolygon in der Trägerebeneein Seilpolygonpaar. Als zugehörige affine Last gilt die Kräftegruppe

(5.6)

Infolge der Ausfachung der Hänger wirken in jedem Punkt der Belastungsachse zweiKräfte und , deren Summe auf der Geraden in der Ebene liegt, vgl.Bild 5.7(d). Die Geometrie des Tragseils kann ausgehend von einem Endpunkt undfür eine bestimmte Ankerkraft vektoriell berechnet werden (z. B. und für das Trag-seil ).

�C D " ϕ0

∆�′″ � ′″�G �H,∆�′″ � ′″+( ) ∆�′ � ′+( )

��&+(��0 Eisstadion Stockholm-Johanneshov (1962); maximale Spannweite der Seil-binder 83 m [45]. Trag- und Spannseil sind in Feldmitte fest verbunden.

�′″� ″

λ/ �⋅ �{ } λ/= ��{ }⋅��{ }

G �G �′″ E�′″

� �,′″ � �,′″ �G�� , �� ,

� ′

1 λ/+( ) ��{ } � �{ } �ζ′″{ }+=⋅

P� � � 1–,′ � �,′ �′ ��′ E�′

� ′C

� ′

Neue Konzepte

100

Das Gleichgewicht der Kräfte in den Seilknoten und der Vertikalkomponentender Kräfte in den Knoten der Belastungsachse liefert die Bedingungen

(5.7)

(5.8)

wobei der Einheitsvektor der Vertikalrichtung ist. Die Punkte , und der näch-ste Seilknoten definieren die Ebene der Kräfte , und . Durch und

ist die Richtung der Kräfte bekannt, ihr Betrag jedoch nicht. Dieser kann ent-weder vorgegeben werden oder indirekt durch die Wahl der Ebene , in welcher dieResultierende der Hängerkräfte und liegt, mit dem Betrag von gekop-pelt werden. Die Ebene ist durch und die gewählten Vektoren definiert,und es gilt

(5.9)

Werden für jeden Knoten der Belastungsachse sowohl der Betrag von als auchdie Ebene festgelegt, dann kann mit aus (5.9) der nächste Seilknoten jeweilsermittelt werden, und die Geometrie von ist eindeutig definiert. Wird hingegen nur

oder festgelegt, dann wird erst durch die Wahl eines der Parameter oder in den Gleichungen

oder (5.10)

eindeutig definiert. Anstelle von (5.10) kann als Bedingung zur Bestimmung von dieGleichung einer Ebene, worin liegen soll, verwendet werden. Die berechneten Kräfte

und werden anschliessend in ihre Komponenten, die Hängerkräfte und respektive und , aufgeteilt.

Es ist erkennbar, dass infolge der Ausfachung die Aufteilung der Hängerkräfte in je-dem Knoten wählbar ist und mehrere Geometrien für das Seilpolygon möglich sind.Die Geometrie von kann beispielsweise so bestimmt werden, dass einzelne Hängereine grössere Zugkraft erhalten, um infolge der Nutzlasten nicht entlastet zu werden,ohne dabei die Vorspannung zu erhöhen. Eine hohe Vorspannung hätte sonst grösse-re Trägerbeanspruchungen zur Folge, verursacht durch die Horizontalkräfte

, siehe Bild 5.7(e).

In Bild 5.8(a) wird ein derart ausgefachtes Seiltragwerk vorgestellt, das am Beispiel ei-ner Fussgängerbrücke mit dem Hängesystem von Bild 5.8(b) verglichen wird. Im folgen-den werden die beiden Systeme mit (a) und (b) bezeichnet. Die Geometrie des Kreisträ-gers ist durch m, (Spannweite m) und mgegeben. Das Eigengewicht des Trägers wird in Einzellasten mit konstan-tem Betrag in den Knoten zusammengefasst. Beim Hängesystem (b) wirdder Träger monolithisch mit den Widerlagerkörpern verbunden. Er weist ein Eigenge-w ic h t k N m - 1 un d St e i f i gk e i t e n G N, G Nm 2 ,

GNm2 und GNm2 auf. Beim System (a) wird der Träger als leichte

P� 1–′P�

�′ � � 1–,′– – � 1–′ � 1– � 1–,′+=

� � 1–,′ � �,′+( ) �ζ⋅ +�– 4�ζ′″–=

�ζ P� 1–′ P�P�′ � � 1–,′ � �,′ �′ P� 1–′

P� � � 1–,′E�′

� � 1–,′ � �,′ � �,′E�′ P� � �′ ��′,

� � 1–,′ � �,′+ µ�′ � �′⋅ λ�′ ��′⋅+=

P� � � 1–,′E�′ � �,′ P�′

� ′ � � 1–,′ E�′ P�′ µ�

λ�

��′ �� 1–′ µ� �′⋅+= ��′ �� λ� � �,′⋅+=

P�′P�′

� � 1–,′ � �,′ � � 1D–,′ � � 1E–,′ � �D,′ � �

E,′

� ′� ′

λ/

�K � � 1K

–,′ � �K,′+ �

K

′″+=

" 49= ϕ0 80°= � " ϕ0⋅ 68.43= = � 4.5=�� , �� ,+=

+� 2 +⋅ � �,= P�

�b 27= �%# 24= +,# 0.145=�-' b,

# 0.16= �-�# 32=

Kabelbrücken

101

(b)

(d) (e)

(c)

(a)

C

D

PH

GPG

H

C

D

A

B

’S

’’’h∆

h’∆

f ’

f ’’’

’’’ri ’’’i

R

M

ζζ ,e

ξ η

ϕ0

Ε

i’ri’Ε

’S ’’

ir’’Ε i

N’ii’N +1

-1i’

i-1-U’ i-1, i,i-1’-U

-U’i,i -U’ ,i+1

’i,iU-1U’ii,

i’b

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’i

iP

Gi

PP

+1iN

N’-1i

N’i’’

’’’

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’’’

-1ii,-U ’ U’i,i-U ’i,ii,i-1’ U

’S

’S ’’

aa

b b

’iU

’iU ’’

iG b

aGi

iUh

U bb U’i,ii,i-1’ ii,’U-1aiU ’i, a

∆h’

∆ ’’’hbGi iG a

biUiU a

ζz,

y , PiO i ’’’’’’

i

--

+ +

��&+6��0 Versteiftes Seilwerk: (a) geometrische Parameter und Ankerkräfte; (b), (c)Varianten für die Ausbildung der Hänger des Spannseils; (d) Berechnungvon Kräften und Geometrie des Tragseils, Ebenen ; (e) Aufteilungder Hängerkräfte und Kräftegleichgewicht (Schnitt in Feldmitte).

E�′″ E�′≡

Neue Konzepte

102

Stahlkonstruktion ausgebildet und mit fester Lagerung an beiden Enden versehen. Erweist ein Eigengewicht von kNm-1 und eine Biegesteifigkeit auf.

Das Seilsystem ist in beiden Fällen symmetrisch. Es gilt m, m, undfür das System (a), dessen Endpunkte und respektive und im Grundriss anderselben Stelle liegen, auch m sowie m. Im orthogonalen Koordi-natensystem mit Ursprung in ist die Lage von und durch

m, m und m gegeben. Alle Hänger-ebenen im System (a) und im System (b) sind normal zur Trägerachse. Damitsind die Geometrien des zugehörigen Spannseils in (a) respektive des Hängeseils in(b) eindeutig definiert.

Die Vorspannung für das System (a) wird zu gewählt; die totaleVertikallast beträgt damit 65 % von . Die Durchmesser von Trag- undSpannseil aus hochfestem Stahl werden anhand einer maximalen Spannung

MPa im Gebrauchszustand ermittelt und betragen für das System (a) 61bzw. 25 mm; die zugehörigen Hänger haben Durchmesser von 14 respektive 8 mm. ImSystem (b) sind die Querschnitte etwas grösser, mit Durchmessern von 70 mm für dasHängeseil und 22 mm für die Hänger.

Die Geometrie des Tragseils des Systems (a) soll durch die Bedingungen bestimmtwerden, dass die Kräfte und infolge gleichen Betrag haben, und dasssich die Knoten auf radialen, vertikalen Ebenen durch die Mittelpunkte der Strecken

befinden. Durch die erste Bedingung sollen variable Nutzlasten keine frühzeiti-ge Entlastung der Hänger verursachen, während durch die zweite ein regelmässiges Seil-fachwerk erzeugt wird. Die ermittelte Geometrie wird anschliessend anhand des beab-sichtigten Bauvorganges überprüft, siehe Bild 5.8(e). Der leichte Träger wird auf einemGerüst erstellt (1) und durch Verschieben der Enden des Tragseils um in die Endlage

vom Gerüst gehoben (2). Infolge der elastischen Verformung des Systems sind ausKompatibilitätsgründen die Beträge und infolge in diesem Zustandnicht gleich; sie weichen um bis zu 30 % vom gewünschten Wert ab. Die Systemgeome-trie muss daher mit der Wahl von (oder ) in jedem Knoten am starren Sy-stem iterativ korrigiert werden, bis die am elastischen System berechneten Kräfte

, nach der Phase (2) den gewünschten Betrag aufweisen. Die Bestimmung derSeilgeometrie des Systems (a) erfolgte auf diese Art. In der Phase (3) wird das Spannseildurch Verkürzung der freien Seillänge zwischen und auf kN gespannt. Inder Phase (4) wird das System durch die einseitige Last inkrementell belastet.

Die Trägerschnittkräfte und die Verformungen des Systems (a)infolge der Last ( kNm-1) werden mit Berücksichtigung der geometrischenNichtlinearität ermittelt [2] und sind in Bild 5.8(d) graphisch dargestellt. Für wer-den sie mit denjenigen des Systems (b) verglichen. Man erkennt, dass die Durchbiegun-gen und die Trägermomente des Systems (a) infolge seiner Fachwerkwirkungkleiner sind. Die grossen Einspannmomente des Trägers an den Widerlagern im Sy-

�a 13.5= �-' a,# 0.5 �-' !,

#⋅=

� ′ 9= ∆�′ 5.5=C D G H

� ′″ 5.5= ∆�′″ 1.0=ξ η ζ, ,( ) A C D

ηC ηD 5.637= = ξC 0.06= ξD ξB 0.06–= 62.943=E�′″ E�′

� ′″

λ/ 4�ζ′″ +�⁄= 0.3=1 λ/+( ) �a⋅ �b

σ$�� 800=

� ′ � � 1–,′ � �,′ ��{ }

P�′P� 1– P� *

∆C D,

4� � 1–,′ 4� �,′ ��{ }

4� � 1–,′ 4� �,′ P�

� � 1–,′ � �,′

G H / 400=. *⋅

�' �� (, , �ζ ��=. *⋅ * 8=

. 1=

�� '�'

Kabelbrücken

103

(d) (e)

(b)

(c)(a)

k = 0,1,2,3,4

= 1b, k

,a

zw0.1 m

ab

ba

Mz

1 MNm

0.1 MNm

yM

0.1 MN

N

ba

∆ ∆

P∆ ∆

P

q(4)

(2)

(3)

(1)

gb b /2

ϕ0C,Gηη

ξ

ϕ

R

’S

S’’’

C,G

Ab /22

k q(1+λ) gP a

H

DC

G

A B

’’’

’’’

’

’f

h∆

∆h

f

6’PP’3

2’P1P’

P’10

P’11

P11 P1210PP32P

S’’’

’S

b

0.05 -0.15-1

7

0

1

0

��&+7��0 Vergleich von zwei Kabelbrücken: (a) leichtes System mit fachwerkartigange ordne te n Hä ngern und Vorspa nnung mi t t e l s Spannse i l ;(b) Hängebrücke; (c) Schnittkräfte infolge einseitiger Nutzlast ;(d) Seilkräfte und mittlere Trägerdurchbiegung für (a); (e) Bauvorgang

. *⋅�$

((M--------

[m]�P

8 ′11 11,

8 ′2 1,

8 ′1110,

6′

1( )

2( )

3( )

4( )

M

[–]N

1=

N

2=

N

3=

N

4=

8 ′2 2,

Neue Konzepte

104

stem (b) können durch Verzichten auf die Einspannung vermieden werden. Die Durch-biegungen würden in diesem Fall noch grösser.

Im Diagramm von Bild 5.8(d) sind für das System (a) die in und angreifen-den, resultierenden Kräfte und des jeweiligen Hängerpaars sowie

im Tragseil (Abschnitt ) in Abhängigkeit der Durchbiegung in Feldmitteeingetragen. Die Kräfte sind bezüglich ihres Betrags infolge normiert, d. h.

kN, kN und kN. Nach der Vorspan-nung des Systems in Phase (3) weichen die Kräfte und erneut voneinanderab. Die Formfindung hätte auch vorgängig mit Rücksicht auf diese Kraftdifferenzen an-gepasst werden können. Bei Belastung durch in Phase (4) bleibt die Fachwerkwir-kung bis , bei welcher erreicht wird, erhalten. Anschliessend verliert dasSystem durch die Entlastung weiterer Diagonalhängerpaare ( , , und

bis , sowie und bis ) sukzessive seine Steifigkeit, die je-doch immer noch grösser als diejenige eines Hängesystems mit gleichen Querschnittenbleibt [101].

Anhand des betrachteten Beispiels wird gezeigt, dass das vom Jawerth–Binder abge-leitete, leichte Seiltragwerk (a) infolge seiner Tragwirkung als Fachwerk genügend steifist. Seine Geometrie kann am starren System geschätzt und durch Kontrollrechnung amverformbaren System korrigiert werden. Auf die Vorspannung mittels kann je nachVerhältnis verzichtet werden, und auch die feste Lagerung des Trägers an beidenEnden ist nicht zwingend. Nachteilig wirkt sich die minimale Höhe zur Einhaltungdes Lichtraumprofils aus, weil sie die Pfeilhöhe reduziert oder höhere Pylone erfor-dert. Bei einem System mit zwei Tragseilen wird dieses Problem bei geeigneter Wahl derSeil-Endpunkte gelöst, dafür bildet das Seilsystem kein Raumfachwerk mehr.

&+� �� !��

&+�+� �� )��

Bei geraden Bogenbrücken wird die Bogenachse normalerweise der Stützlinie der Dau-erlast im Endzustand angeglichen. Biegemomente werden somit nur von der lo-kalen Lastabtragung der verteilten Lasten an die Stützen sowie von der Bogenstauchunghervorgerufen. Ist das Verhältnis konstant auf der ganzen Spannweite, dann istdie Bogenachse auch mit der Stützlinie seines Gewichts identisch. Der Bogen ohneVersteifungsträger (Bauzustand) kann leichter stabilisiert werden. Bei gekrümmten Bo-genbrücken liegen Bogen- und Trägerlasten nie in der gleichen vertikalen Ebene. DieBogenachse kann je nach Kurvenradius, Spannweite, Bauvorgang sowie Gewichts- undSteifigkeitsverteilung im System als Seilpolygonform für eine gewählte Lastgruppe (üb-licherweise , eventuell ) gefunden oder absichtlich mit einer exzentri-

P2 P11 2 1,′ 2 2,′, 11 10,′ 11 11,′,

1′ CP1′ �$(M ��{ }

42 1,′ 411 11,′= 37.3= 42 2,′ 411 10,′= 36.1= (1′ 878.7= � � 1–,′ � �,′

. *⋅. 2.0= 42 1,′ 0=

P12P12′ P1P1′ P3P3′P11P11′ . 3= P7P7′ P10P10′ . 4=

� ′″* �a⁄

∆�′� ′

�# ��+

�# ��⁄��

��

#+{ } ��{ }

Bogenbrücken

105

(a) (b)

(c) (d)

(e)

iTG

GBi

f1a

e0

D

B

A

C

S’a1

h∆

GTi

iBGb1

1b’S

a1’S

a1

C

0e

A

eη =C 0

η e<C 0

η =C

<ηC e0

0

2a

aS 2’

C

A

0e

bS 1

1b

’

C

A

b2

S 2b’

Cηη

Cηη

A,C

η

c1’Sc1

S’c22c

GB1

2BG

3GB

GT1 T

2G G3T

D

C

A

B

2c 2Sc’

BG2

GB1

3GB

BFh1

1FB

FB2

2hFB

3BF

FB3h

ζ

ζ

ζ

ξζ

η

y

z

x

x

z

y

xz

y

RBBT

BRaBTa

bTBBRbηC

=

= =

��&+8��0 Bogenformen: (a) ebener oder im Grundriss leicht gekrümmter Bogen ohneScheitelexzentrizität; (b) räumlich gekrümmter Bogen mit vertikalen oderleicht geneigten Stützen und Scheitelverschmelzung; (c) Seilpolygonbogenund affine Last am freien Bogen; (d), (e) Querschnitte.

Neue Konzepte

106

schen Form gewählt werden. Im folgenden wird auf diese verschiedenen Formen des Bo-gens eingegangen.

Die Bogenachse kann auch bei einem gekrümmten System in einer Vertikalebene ge-wählt werden, siehe Bild 5.9(a). Durch eine geeignete Wahl der Lage der Bogenkämpferim Grundriss, sowie mit einem ausreichenden Widerstand des Versteifungssystems sol-len die nachteiligen Effekte der exzentrischen Trägerlasten beschränkt werden.Eine nicht vertikale Bogenebene bietet keine statischen Vorteile, siehe 4.2.2, insbesonde-re Bild 4.4(e). Die Bogenachse kann mit dem räumlichen Seilpolygon mit gleicherPfeilhöhe , das zusammen mit in der Trägerebene affin zur Last ist,nicht übereinstimmen; eine Trägerrostbelastung im Sinne von 4.3.1 ist daher immer vor-handen. Die Berechnung von (in Bild 5.9 für << abgebildet) erfolgt nach2.4.2.

Ein steifer Bogen mit schlanken, vertikalen Stützenpaaren wird von den exzentri-schen Trägerlasten auf gekoppelte Biegung und Torsion beansprucht. Seine seitli-che Stabilität kann durch einen grossen Biegewiderstand in Horizontalrichtung gewähr-leistet werden. Weil dadurch >> wird, liegt es nahe, den Bogenscheitel imGrundriss mit der Trägerachse zu zentrieren ( , vgl. auch Bild 4.5), um die Dreh-momente infolge der Lasten vor allem im Kämpferbereich zu konzentrieren. Dieseitlichen Durchbiegungen werden auf diese Weise beschränkt. Dieses Konzept ist nurfür kleine Exzentrizitäten der Lasten sinnvoll, da ansonsten ein sehr grosser Bogen-widerstand (und eine unvernünftige Bogenbreite) nötig wären. Durch steife Stützen-scheiben kann sich der Überbau an der seitlichen Stabilisierung des Bogens beteiligen,siehe Bild 4.6. Durch die Lage der Bogenkämpfer gemäss Variante inBild 5.9 können die von der Exzentrizität zwischen Bogenachse und herrühren-den Belastungen des Versteifungssystems im Bereich grosser Stützenhöhen konzentriertwerden. Der Bogen kann im Grundriss auch leicht gekrümmt werden (Variante ,

), um die Neigung der Stützen (aber nicht die Exzentrizität zu ) zu redu-zieren. Bei Maillarts Landquartbrücke Klosters [55] (Bogenform ) und der Schwand-bachbrücke [56] (Bogenform ) ist diese Entwicklung erkennbar.

Eine im Grundriss stark gekrümmte, bezüglich exzentrische Bogenachse ist mög-lich, wenn die seitliche Bogenstabilität durch einen torsionssteifen Träger und steifeStützenscheiben gewährleistet wird, siehe Bild 5.9(b) sowie Bilder 4.9 und 4.10. Eine fe-ste Lagerung des Trägers an beiden Enden kann das System versteifen, vgl. Beispiele inden Bildern 4.4 und 4.11. Der Bogen darf auch als schlanker Stabbogen ausgebildet wer-den, siehe Querschnitte (d) und (e) in Bild 5.9.

Die Grundrisskrümmung der Bogenachse kann beispielsweise mit derjenigen des Trä-gers deckungsgleich gewählt werden ( , ); die Stützen sind dann vertikal. Da-durch wird das Versteifungssystem durch Ablenkkräfte belastet, die vor allem im Bogen-scheitel konzentriert sind. Die Verschmelzung von Bogen und Träger in diesem Bereichreduziert die durch die Ablenkkräfte verursachten Drehmomente bezüglich des Verstei-fungsträgers, siehe Bild 4.8(b). Mit einer Verschiebung der Kämpfer gegen aussen

��#{ }

� ′� �″ ��

� ��#+{ }

� ′ ��

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��#{ }

�-�� +,�

ηC D, �0=��

#{ }

��#

ηC D, �0= a1� ′ �a1

′=

a2ηC D, �0< � ′ �= a2

′a1

a2

� ′

ηC D, 0= b1

Bogenbrücken

107

( , ) kann die Exzentrizität der Bogenachse zu reduziert werden.Beide Varianten und wurden für Betonbrücken mit vorgespanntem Versteifungs-träger bereits umgesetzt [23,35]. Durch Reduktion der Stützenanzahl ergibt sich imGrenzfall ein Sprengwerk mit gegen die Kurvenaussenseite geneigten Stielen.

Eine als räumliches Seilpolygon für die Dauerlast konzipierte Bogen-form beschränkt die Beanspruchung des Versteifungssystems für diesen Lastfall auf diehorizontale Trägerbiegung und auf die von den Biegeverformungen und von der Bogen-stauchung hervorgerufenen Momente. In Bild 5.9(c) sind zwei Bogenformen mit

und mit dargestellt. Am Bogen ohne Versteifungsträger(Bauzustand) ist die Bogenachse hingegen exzentrisch bezüglich des Seilpolygons fürdie Kräftegruppe . Die Stabilität des Bogens kann anhand der Gruppe fiktiverKräfte beurteilt werden, welche die räumliche Stützlinie infolge

in die Bogenachse verschiebt. Gemäss 4.3.1 wird die Last in die affine Belastung des Seilsystems und in die Belastung des Versteifungssy-

stems zerlegt. Die Kräfte werden am starren Bogen ermittelt. Es gilt

, (5.11)

wobei gemäss (4.9) das Verhältnis zwischen Bogengewicht undDauerlast bezeichnet, und die Kräfte aus der Formfindung von für nach 2.4.2 bekannt sind. Der Betrag und die Verteilung der Kräfte sowie dieForm der zu affinen Bogenachse hängen von und vom vertikalen Ab-stand zwischen Bogenscheitel und Trägerachse ab. Die Reaktionskräfte müssen durch ein Gerüst oder Abspannungen gewährleistet werden, damit der Bogenohne Versteifungsträger momentenfrei ist. Für fallen die Horizontalkräfte imScheitelbereich grösser aus (Variante ), während Lösungen mit Kämpferordinate

und bezüglich der Bogenstabilität günstiger sind (Variante , sieheauch 4.2.1 und Bild 4.2).

Bei starker Fahrbahnkrümmung ergeben sich interessante Gestaltungsmöglichkeitenfür versteifte Stabbogen, die als Seilpolygon für die Last konzipiert wer-den. Hilfskonstruktionen für den Bauzustand können sich erübrigen, wenn der Bogen alsGurt eines Raumfachwerks wirkt.

&+�+� $%��#��)��

In Kap. 5.2 wurde aufgezeigt, wie die fachwerkartige Anordnung der Hänger einer Hän-gebrücke eine Ausbildung mit leichtem Fahrbahnträger ermöglicht. Auch Bogenbrückenkönnen durch eine entsprechende Stützenanordnung versteift werden, womit sich leichteKonstruktionen mit schlankem Bogen realisieren lassen. Von diesem Konzept wurde seitden Anfängen des Eisenbaus Gebrauch gemacht [43].

Bei gekrümmten Brücken mit fachwerkartiger Stützenanordnung kann der Bogen alsSeilpolygon für die Dauerlast, jedoch auch mit einem gewünschten Grundriss konzipiert

0 η< C D, �0< b2 � ′ �= b2′

b1 b2

�′ ��

#+{ }

c1 �c1′=

ηC D, 0= c2 �c2′= ηC D, �0 2⁄=

��{ }

��{ } ��K

� ��ζ�+{ }=

��{ }

�� K ��ζ+ +{ } ��K ��ζ+{ }–

��K� ��ζ

�,

��ζ κ ��#⋅ 1 κ–( ) ��

�⋅–= ��K κ �K′⋅=

κ +��∑ +�

� +�#+∑⁄=

�′{ } � ′ ��

#+{ }��K� ��ζ

�,��

� ��#+{ } ηC D,

∆� ��K�– ��ζ– �,

ηC D, 0= ��Kc1

0 η< C D, �0< ∆� 0> c2

� ′ ��

#+{ }

Neue Konzepte

108

werden, wenn das durch die Ausfachung gebildete Fachwerk die nötige Steifigkeit zurStabilisierung des Bogens aufweist. Wird die Bogenform als Seilpolygon für die Dauer-last konzipiert, dann wird das Fachwerk für diesen Lastfall gemäss der Lastaufteilungvon 4.3.1 nicht beansprucht. Für Brücken mit kleinen Nutzlasten sind leichte Stahlkon-struktionen mit schlankem Stabbogen möglich. Eine besondere Brücke dieser Art sowieeinige Konzepte sind in den Bildern 5.10 und 5.11 dargestellt und werden in der Folgediskutiert.

Im Beispiel von Bild 5.10 ist der Bogen mit dem Träger im Kämpferbereich durcheinzelne Pendelstützen, in den übrigen Bereichen durch V-förmige Stützen verbunden.Eine fachwerkartige Ausfachung ist nur lokal in den Viertelspunkten der Bogenspann-weite vorhanden. Sie erhöht die Torsionssteifigkeit des Systems nur unwesentlich. DerBogen ist in den Kämpferbereichen seitlich nicht gehalten, wodurch seine Schlankheitbegrenzt wird. Um die seitlichen Auslenkungen infolge der Nutzlasten zu beschränken,wird der Versteifungsträger an beiden Enden unverschieblich gelagert. Das System trägtim wesentlichen wie das Sprengwerk von Bild 4.4(c); die Bereiche mit ausgefachterStützenverbindung können als die Anschlusspunkte der Stiele gedeutet werden. Die Stei-figkeit des Systems ist durch die Steifigkeiten und des Versteifungsträgers ge-geben.

Einige Konzepte für Stahlsysteme mit Seilpolygonbogen sind in Bild 5.11(a), (b) und(c) dargestellt. Beim System (a) kann der Träger durch eine fachwerkartige Stützenver-bindung schlank gestaltet werden, weil er nur die lokale Lastabtragung zwischen denStützen gewährleisten muss. Das System trägt für die Nutzlasten als Raumfachwerk. DerBogen ist in den Knoten seitlich gehalten und kann sehr schlank ausgebildet werden.Nachteilig sind hingegen die grössere Anzahl Stützen und die bei kurzer Länge derVorlandbereiche des Trägers auftretenden, negativen Auflagerreaktionen in und infolge der Nutzlasten.

��&+�9��0 Fussgängerbrücke Ripshorst bei Oberhausen [85], Bogenspannweite77.9 m: Ausbildung der Stützen als einzelne Pendelstäbe im Kämpfer- undScheitelbereich, Ausfachung nur in den Viertelspunkten der Spannweite.

�-'# +,#

∆�A B

Bogenbrücken

109

z

y

A

Cle

B

D

(a)

l

a

B

D

,bal∆

∆h

f

a

2c :1 :c c f

fc 0

cl∆fc

C

A

q

1c

2ca

TyM

v (x)1B

0.5 MNmc2

1ca

2cc1

a

a2c

c1c1c2

a

0.005 rad

0.5 m

0.1 MN

θ Tx

w T

TN

(e)

(d)

(b) (c)

��&+��0 Systeme mit räumlichem Seilpolygonbogen und Ausfachung der Stützen-verbindung: (a) Fachwerksystem; (b) Rahmen mit unvollständiger Ausfa-chung; (c) versteifter Stabbogen; (d) Eigenformen und (e) Vergleich der Sy-steme (a) und (c) für eine einseitige Belastung kNm-1.* 7.5=

Neue Konzepte

110

Beim Rahmensystem (b) wird die Anzahl der Stützen reduziert, und es ist nur eineteilweise Ausfachung vorhanden. Der Träger wirkt als Versteifungselement. Die seitli-che Stabilität des Bogens wird durch den grösseren Abstand der Stützenanschlüsse undbei gleichem Trägerquerschnitt wie in (a) durch die kleinere Torsionssteifigkeit des Ge-samtsystems verringert. Beim versteiften Stabbogen (c), dessen Stabilität in 4.4.2 undBild 4.10 untersucht worden ist, werden die Durchbiegungen infolge allgemeiner Nutz-lasten gegenüber dem Rahmensystem (b) durch die weniger steife Rahmenwirkung redu-ziert. Eine feste Scheitelverbindung zwischen Bogen und Versteifungsträger sowie einebeidseitig unverschiebliche Lagerung des Trägers erhöhen die Systemsteifigkeit. Dieblockierte Lagerung des Trägers ist auch für die Längsstabilität des Systems vorteilhaft.

Das Fachwerksystem (a) und der versteifte Stabbogen (c) werden in Bild 5.11(d)und (e) am Beispiel eines symmetrischen Systems mit m und Bogenspannweite

m verglichen, das durch eine einseitige Nutzlast kNm-1 beanspruchtwird. Die Exzentrizität zwischen der Kämpferlinie und der Trägerachse in Feldmittebeträgt m, und für die Längen der Vorlandbereiche gilt m und

m. Die weiteren Parameter sind m, m und m. Trä-gerund Bogenquerschnitt sind für beide Systeme gleich; es gilt GNm2,

GNm2, GN und MNm2. Die Stützen, alle mitGN, werden so dimensioniert, dass sie für die Stabilität nicht massgebend

sind. Die Berechnung erfolgt an einem Stabmodell. Für das System (c) werden die Vari-anten und mit unterschiedlicher Lagerung des Trägers an beiden Enden untersucht(längsverschieblich für , fest für ).

Die Betrachtung der massgebenden Eigenformen (seitliche Instabilität des Bo-gens) zeigt sich, dass durch die Ausfachung die erwünschte Erhöhung der Bogenstabili-tät erzielt wird. Die kritischen Lasten der Systeme und sind näherungsweise gleichgross und stehen in einem Verhältnis von zu derjenigen des Systems . Die festeLagerung des Trägers für das System wirkt sich gegenüber lediglich auf die Stabi-lität in Längsrichtung günstig aus, was hier aber nicht massgebend wird.

Die versteifende Wirkung des Fachwerks wird in Bild 5.11(e) durch die kleineren ver-tikalen Durchbiegungen und Verdrehungen des Trägers von System bewiesen.Der Träger des Systems trägt näherungsweise als Durchlaufträger mit Feldweiten desStützenabstandes , und seine Momentenbeanspruchung ist deshalb klein. Gleich-zeitig bildet er den Obergurt des Fachwerkes. Die Träger-Normalkräfte entstehen in-folge der Abtragung des antimetrischen Anteils der Last durch das Fachwerk. An denSystemen und erzeugt dieser Lastanteil hingegen Biegemomente im Versteifungs-träger; am System ergibt sich auch eine Normalkraft infolge der blockierten Lage-rung. Das Fachwerksystem bietet auch hinsichtlich des Bauvorganges interessante Mög-lichkeiten, da es im Bauzustand tragfähig und steif genug ist, auch wenn der Querschnittdes Fahrbahnträgers nicht vollständig ist. Mit einer Verankerung für vertikale Zugkräftein und wäre z. B. auch eine Montage im Freivorbau möglich [91].

" 75=� 71.5= * 7.5=

CD� 4.0= ∆�� 13.3=

∆�� 7.78= � 8.75= ∆� 2.0= � 7.78=�-'# 0.714=

+,# 0.66= �%� 6.83= �-' �,� 90.3=

�%� 1.74=

c1 c2

c1 c2

&1� �( )

c1 c2

1 2.7⁄ ac2 c1

�# θ# aa

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('#

*c1 c2

c2

A B

111

( ��)�� *��

(+� ��)��

Mit der vorliegenden Arbeit wird versucht, zu einem besseren Verständnis der Tragwir-kung gekrümmter Brücken beizutragen und einige sich daraus ergebende, neue Konzepteaufzuzeigen. Es werden Modelle für die Formfindung und die Erfassung der Tragwir-kung präsentiert, welche sich sowohl für Träger als auch für aufgelöste Tragwerke eig-nen. Betrachtungen, die sich graphisch veranschaulichen lassen, werden analytischenUntersuchungen vorgezogen. Einzelne Beispiele neuer Konzepte illustrieren die mögli-che Umsetzung dieser Denkweise.

Im ersten Teil der Arbeit (Kapitel 2) werden Grundlagen für die Analyse und den Ent-wurf gekrümmter Brücken vorgelegt und das Modell des Seilpolygonpaars erörtert.

Einleitend (Kapitel 2.1) wird ein Rückblick auf die Geschichte der Entwicklung ge-krümmter Brücken mit einigen Bemerkungen zu den Berechnungsverfahren präsentiert.Ferner wird eine Übersicht der für jede Epoche signifikanten Objekte vermittelt. DieEntwicklung von den ersten eisernen Viadukten der städtischen Bahnen, welche anfäng-lich als polygonal aneinandergereihte Einfeldträger ausgeführt wurden, bis zu den heuti-gen, bereits für grössere Spannweiten gebauten stetig gekrümmten Träger-, Bogen- oderSchrägkabelbrücken für den Strassen- und Fussgängerverkehr wird aufgezeigt und kom-mentiert. Die Definition der geometrischen Grössen, die zur Beschreibung der Linien-führung notwendig sind (Kapitel 2.2), ergänzt diese Einführung. Anschliessend(Kapitel 2.3) wird der Grundfall des elastischen Kreisringträgers behandelt. Die graphi-sche Darstellung des Gleichgewichtes anhand der durch die Angriffspunkte der Aufla-gerkräfte und der Resultierenden der Belastung verlaufenden Geraden ermöglicht es, dieSchnittgrössen statisch bestimmter Träger rasch zu ermitteln sowie den Einfluss über-zähliger Grössen in statisch unbestimmten Trägern zu veranschaulichen. Die Wirkungverschiedener Konzepte für die horizontale Lagerung des Trägers auf Verschiebungenund lastfreie Spannungszustände wird an einem Beispiel erläutert. Für feste Widerlagerergeben sich grössere Querverschiebungen und Zwängungen, weshalb dieses Konzeptnur für grosse Öffnungswinkel und günstige Bedingungen zur Verankerung der horizon-talen Widerlagerkräfte sinnvoll scheint.

In Kapitel 2.4 wird der Begriff der Affinität zwischen Last und System erläutert undauf räumliche Systeme erweitert. Den sich infolge einer bestimmten Belastung in jedemQuerschnitt ergebenden Dynamen der Schnittgrössen entspricht global die Gleichge-wichtsform eines räumlichen Systems aus zwei Seilen (Seilpolygonpaar), das als affin

Zusammenfassung und Folgerungen

112

zur Belastung bezeichnet wird. Ein auf der Diskretisierung der Belastung zu einer räum-lichen Gruppe von Einzelkräften basierendes Verfahren zur Formfindung des Seilpoly-gonpaars wird vorgestellt. Mit diesem allgemeinen Modell können Voraussetzungen fürdie Konzeption vorgespannter, gekrümmter Seilwerke ermittelt werden. In Kapitel 2.5wird die prinzipielle Tragwirkung von Tragwerken erörtert, die sich aus der Kombinati-on eines Seilsystems mit einem für die Abtragung allgemeiner Lasten erforderlichenVersteifungssystem ergeben. Durch Ausfachung oder Auflösung dieser Tragwerke kön-nen alle Übergangsformen zwischen dem Seilpolygonsystem und dem biege- und torsi-onssteifen, gekrümmten Träger gefunden werden.

Im zweiten Teil der Arbeit (Kapitel 3 und 4) werden die Erfassung der Tragwirkungund die Querschnittsausbildung von gekrümmten Trägerbrücken und von allgemeinen,aufgelösten Systemen behandelt.

In Kapitel 3 wird zunächst das statische System von Durchlaufträgern und Rahmendiskutiert (Kapitel 3.1). Mit graphischen Mitteln allein ist eine Abschätzung der Bean-spruchungen am Durchlaufträger nicht möglich. Dafür kann auf diesem Weg der Ein-fluss von Durchlaufwirkung und Lagerung auf die Beanspruchung eines Innenfeldesübersichtlich veranschaulicht werden. Für Rahmensysteme wird der Einfluss einer mo-nolithischen Verbindung des Trägers mit Pfeilern und Widerlagern, welche die System-stabilität erhöht, auf die entstehenden unvermeidbaren Zwängungen infolge Temperatur-änderungen, welche sich auf die Stabilität negativ auswirken, untersucht. Für beidseitigfeste Widerlager überwiegt der Aufwand zur Aufnahme der Zwängungen je nach Bau-vorgang die bei Träger und Stützen möglichen Einsparungen. Schwimmend gelagerteoder nur an einem Widerlager fest verbundene Rahmen bieten entsprechende Vorteile.Die Tragwirkung von Trägern mit dünnwandigen Querschnitten für Biegung und Torsionwird in Kapitel 3.2 erläutert, und einige sich daraus ergebende konzeptionelle Überle-gungen zur Querschnittsgestaltung werden dargelegt. Zur Einleitung der Drehmomentesind im allgemeinen eine Wirkung des Querschnitts als Rahmen sowie Querscheiben er-forderlich, die für verschiedene Querschnittstypen diskutiert werden. Die entstehendenBeanspruchungen können für geschlossene Querschnitte durch die Form und Ausbil-dung des Kastens günstig beeinflusst werden. Bilden die Kastenscheiben eine oder meh-rere Dreieckzellen, dann kann auf Querscheiben und Rahmenwiderstand des Quer-schnitts verzichtet werden, und die Stegscheiben können aufgelöst werden.

Wirkungsweise und Konzeption der Vorspannung für gekrümmte Trägerbrücken wer-den in Kapitel 3.3 als Anwendung des Seilpolygonpaars präsentiert. Die Vorspannungwird als äussere Last, charakterisiert durch Anker- und Umlenkkräfte, eingeführt. Eswerden die Bedingungen hergeleitet, welche zur Erzeugung einer mit der Trägerachseidentischen Stützlinie aller auf den Träger wirkenden Kräfte erfüllt werden müssen. Fürdiesen Fall, der als formtreue Vorspannung für eine gegebene Belastung bezeichnet wird,ergibt sich zentrischer Druck im Träger. Das Seilpolygonpaar wird zunächst auf Trägermit Vorspannkabeln in den Platten und Stegen angewendet, um die Wirkung der Vor-spannkräfte und die Geometrie der Vorspannkabel zu erläutern. Anschliessend wird da-

Zusammenfassung

113

mit die Formfindung von freien Kabelformen aufgezeigt, woraus sich einige Möglich-keiten der Formfindung für Träger mit aufgelöstem Querschnitt oder räumlicherUnterspannung ergeben.

In Kapitel 4 wird versucht, die Formfindung, die Tragwirkung und die Stabilität vonSystemen mit aufgelöstem Querschnitt und Seilpolygonelementen (allgemeine Systeme)mit den Mitteln der graphischen Statik und einfachen statischen Modellen zu beschrei-ben. Das Spektrum der möglichen Konzepte wird anhand von einigen Leitgedanken auf-gezeigt (Kapitel 4.2). Die Anwendung des Seilpolygonpaars ermöglicht eine grosse Frei-heit in der Formfindung von Seilpolygonelementen. Durch geeignete Lagerung könnendie im Tragwerk vorhandenen Hebelarme zur Abtragung allgemeiner Lasten ohne grosseMomentenbeanspruchungen ausgenutzt werden, was am Beispiel eines gekrümmtenSprengwerks aufgezeigt wird. Die Verteilung der Eigenlasten und die Wahl der affinenLast des Systems haben einen bedeutenden Einfluss auf die Form der als Stützlinie fürdie affine Last konzipierten Seilpolygonelemente. Aus der prinzipiell frei wählbarenVerteilung der Steifigkeiten und der Widerstände resultieren Konzepte mit unterschiedli-cher Tragwirkung, welche am Beispiel eines Bogensystems mit Hilfe einer vergleichen-den, morphologischen Darstellung erörtert werden.

Ein einfaches Modell für die Tragwirkung allgemeiner Systeme, das auf der Auftei-lung der Last in einen affinen und einen nicht affinen Anteil beruht, wird in Kapitel 4.3vorgestellt. Der affine Lastanteil erzeugt eine Seilpolygonwirkung des Tragwerks, wäh-rend nicht affine Lasten durch das Versteifungssystem abgetragen werden und eine Trä-gerrostwirkung mit Biege- und Torsionsbeanspruchung der Versteifungselemente her-vorrufen. Durch Einführen von fiktiven Zusatzkräften kann diese Betrachtung aufTragwerke mit Seilpolygonelementen, deren Form frei gewählt wurde, erweitert werden.Einige Grundüberlegungen zur Stabilität von Systemen mit druckbeanspruchten Seilpo-lygonelementen (Bogen) sind in Kapitel 4.4 aufgeführt. Die wesentlichen Abhängigkei-ten zwischen der Steifigkeit des Tragwerks und der Bogenstabilität werden mit Hilfe voneinfachen Modellen und Berechnungsverfahren, insbesondere der Methode von Ritz, er-läutert. Die Untersuchung des versteiften Stabbogens zeigt, dass die Torsionssteifigkeitdes Versteifungsträgers eine entscheidende Bedeutung für die seitliche Bogenstabilitäthat, und dass für in Querrichtung schlanke Bogen die Stützen immer so steif ausgebildetwerden können, dass sie als starre Elemente betrachtet werden können. Die stabilisieren-de Wirkung einer elastischen Halterung des Fahrbahnträgers, wie sie beispielsweisedurch eine Ausbildung der Seitenspannweiten als steife Sprengwerkrahmen erzielt wer-den kann, wird am ebenen System quantifiziert und lässt sich qualitativ auf gekrümmteBogentragwerke übertragen.

In Kapitel 5 wird die Anwendung der graphischen Statik und der Modelle für dieTragwirkung aufgelöster Tragwerke anhand einiger Beispiele weiter untersucht.

Die Form einer Trägerunterspannung kann sich aus ihrer Betrachtung als Element ei-nes Seilpolygonpaars oder als räumlich gekrümmtes Vorspannkabel eines gekrümmtenTrägers ergeben. Sie stellt dann ein zu einer festgelegten Last affines Seilpolygon dar,


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und die Lage der Verankerungen im Versteifungsträger ist vorgegeben. Form und Veran-kerungspunkte können aber auch willkürlich gewählt werden. Der Effekt dieser freienWahl sowie der Einfluss der Dehnsteifigkeit der Unterspannung auf Schnittkräfte undVerformungen des Versteifungsträgers werden an einem Beispiel aufgezeigt(Kapitel 5.1). Steife Unterspannungen tragen den grössten Anteil der affinen Last ab undermöglichen die Ausbildung schlanker Systeme. Für Durchlaufträger sind Tragwirkungund Form der zur Hauptlast affinen, über mehrere Felder kontinuierlichen Unterspan-nung von der angenommenen Steifigkeitsverteilung abhängig. Das System kann für dieaffine Last als Träger mit einem ideellen aufgelösten Querschnitt variabler Höhe be-trachtet werden. Da die Höhe dieses Querschnitts in den Stützenbereichen klein ist,bleibt die Durchlaufwirkung beschränkt. Eine lokale Verstärkung des Versteifungsträgerswürde die Mitwirkung der Unterspannung reduzieren.

In Kapitel 5.2 werden einige mögliche Konzepte für Kabelbrücken vorgelegt. Eineeinseitige Kabelanordnung im Querschnitt (innen- oder aussenseitig) vermeidet denKonflikt zwischen Kabel und Lichtraumprofil und ermöglicht ästhetisch ansprechendeLösungen für Brücken mit kleinen Nutzlasten, allerdings auf Kosten grösserer Momen-tenbeanspruchung des Trägers. Für beidseitige Kabelanordnung sind leichte, steife Ka-belbrücken durch Vorspannung und Ausfachung des Seilsystems möglich. Es wird einSeiltragwerk für eine Fussgängerbrücke entworfen, welches mit einer fachwerkartigenAusbildung der Hänger und einer Vorspannung durch ein Spannseil versteift wird. DieFormfindung und die Berechnung der Kräfte im Seilsystem werden dargelegt, und zu-sammen mit dem Tragverhalten für Nutzlasten anhand nichtlinearer Berechnungen an ei-nem Beispiel überprüft.

Mögliche Konzepte für Bogenbrücken werden in Kapitel 5.3 untersucht. Die Bogen-achse kann eben, im Grundriss wie die Trägerachse gekrümmt, oder als Seilpolygon füreine bestimmte Hauptlast gewählt werden. Die Beziehung zwischen Form und Quer-schnittsausbildung sowie die aus der Bogenform resultierende Beanspruchung am freienBogen und im Endzustand werden diskutiert. Leichte Bogensysteme mit ausreichenderSteifigkeit werden durch eine fachwerkartige Verbindung zwischen Bogen und Verstei-fungsträger ermöglicht. An einem Beispiel werden ihre Tragwirkung sowie der Einflussder Ausfachung auf die Steifigkeit und die Stabilität des Systems dargelegt.

(+� *��

Aus den Ergebnissen der vorliegenden Untersuchung lassen sich einige Folgerungen fürden Entwurf gekrümmter Brücken ableiten, die nachfolgend zusammengestellt werden.

• Die nicht einfach überschaubare Tragwirkung der gekrümmten Brücken beschränktdie an sich vorhandene, grosse Entwurfsfreiheit. Die übliche statische Betrachtunganhand von Schnittgrössen trägt wenig zu einem besseren Verständnis der Tragwir-kung bei, und ist für die Formfindung aufgelöster Tragwerke wenig geeignet.

Ausblick

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• Die Anwendung der graphischen Statik im Raum ermöglicht es, die Dyname derSchnittgrössen in jedem Querschnitt eines Tragwerks mit zwei Kräften darzustellen,deren Stützlinien ein Seilpolygonpaar für die gegebene Belastung definieren. Dadurchwird die grosse Freiheit in der Formfindung gekrümmter Tragwerke erkennbar.

• Die Veranschaulichung des Spannungszustandes im Tragwerk anhand des Seilpoly-gonpaars ist auch aus didaktischer Sicht sehr interessant. Dies wird in Kapitel 3.3durch das Beispiel der formtreuen Vorspannung gekrümmter Träger erläutert.

• Zur Erfassung der Tragwirkung und der Stabilität von Systemen mit Seilpolygonele-menten sind die in Kapitel 4.3 und 4.4 eingeführten Modelle geeignet. Sie beinhaltenzwei gegensätzliche Ansätze für den Entwurf des Tragwerks. Es kann entweder eineSeilpolygonwirkung für die Hauptlast oder ein für alle Lastfälle sehr steifes Verstei-fungssystem angestrebt werden.

• Durchgerechnete Beispiele eines Trägers mit räumlicher Unterspannung, eines durchSeilvorspannung und Ausfachung versteiften Hängesystems sowie eines leichten Bo-gensystems zeigen, dass das Spektrum der Möglichkeiten für neue Konzepte ge-krümmter Brücken keineswegs ausgeschöpft ist, und dass die hier eingeführte Be-trachtungsweise eine Erweiterung dieses Spektrums ermöglicht.

(+� #��!��

Zum Schluss sollen einige Bemerkungen zur Erweiterung der in dieser Arbeit erarbeite-ten Grundlagen gemacht und weitere Untersuchungen angeregt werden.

• Die hier präsentierten Hilfsmittel für den Entwurf gekrümmter Brücken und dieDenkanstösse für neue Konzepte beruhen ausschliesslich auf einer statischen Ausein-andersetzung mit dem Tragwerk. Auf die Ausführung der Brücken wurde lediglich imRahmen der Beispiele hingewiesen. Aus einer vertieften Untersuchung des Zusam-menhanges zwischen Bauvorgang, Formfindung und statischem System liessen sichweitere Überlegungen und Konzepte erarbeiten. Auch liessen sich einige hier aufge-führte Möglichkeiten verfeinern, insbesondere für leichte Tragwerke.

• Die Formfindung der gekrümmten Hänge- und Bogenbrücken erfolgte durch Anwen-dung des Seilpolygonpaars, wobei sich ein Seil in der Trägerebene befand. Die Erhö-hung der Anzahl Seilpolygonelemente und deren Kombination bieten noch viele neueGestaltungsmöglichkeiten. Eine Erweiterung dieser Denkweise für Flächentragwerkewurde ebenfalls nicht untersucht; sie wäre aus didaktischer und konzeptioneller Sicht(Schalen, Seilnetze) von Interesse. Selbstverständlich sollten moderne Darstellungs-möglichkeiten (CAD) eingesetzt werden, um das Gleichgewicht auf graphische Weisezu veranschaulichen.

• Die in dieser Arbeit vorgelegten Entwurfshilfsmittel können auch als Anregung zumEntwurf aufgelöster, leichter Tragwerke betrachtet werden. Die heute vorhandenen,hochfesten Materialien gestatten grundsätzlich den Bau solcher Systeme, Stabilitäts-


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probleme sind jedoch potentiell kritisch. Konzeptionelle Überlegungen zu den Mög-lichkeiten für die Stabilisierung von druckbeanspruchten Elementen in aufgelöstenTragwerken, die hier nur ansatzweise diskutiert wurden, wären dabei noch zu vertie-fen.

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3��

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[95] Virlogeux, M., “Les ossatures mixtes métal-béton précontraint,” %��H-�� #��*��:��$��#��&��/��*��, 41. Année, Cahier 458, Paris,1987, pp. 4-38.

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[97] Wagner, R., #��2�$��)2��$��J Dis-sertation, Institut für Tragwerksentwurf und -konstruktion, Universität Stuttgart,1991, 210 pp.

[98] Wittfoht, H., 7��.�� $��.�A$$��.��$��#2��2��%��.��, Dissertation, TH Karlsruhe, 1963, 130 pp..

[99] Wittfoht, H., #��$��, Beton-Verlag, Düsseldorf, 1972, 313 pp..

[100] Wlassow, W. S., 7A�� , Band I und II, VEB Verlag fürBauwesen, Berlin, 1964, 456 pp.

[101] Yokoo, Y., Nakamura, T., Terabayashi, T. and Mukai, H., “Nonlinear Behaviour ofCounter-Stressed Dual Plane Cable Frames,” #��2��0��$��, Proceedings of the IASS Pacific Symposium, Vol. 2, Tokyo and Kyoto,1971, pp. 275-288.

[102] Ziegler, H., /�� 2�� ', Blaisdell, Waltham MS, 1968,150 pp.

123

��

3��!��!�

Querschnittsfläche, Arbeit

Schubmittelpunkt, Konstante

Elastizitätsmodul

Einzellast

Schubmodul

ständige Einzellast

Horizontalschub

Trägheitsmoment

Biegemoment

resultierendes Moment

Normalkraft

Ursprung, Schwerpunkt

Knotenpunkt

Vorspannkraft, Ortsvektor

variable Einzellast

Kurvenradius

resultierende Kraft

Raumkurve, Seilpolygon

Torsionsmoment

Torsionsvektor

Umlenkkraft

Querkraft, Potential

Querkraftvektor

3��!��!�

Hebelarm, Höhe

Breite

Binormalenvektor

Federnachgiebigkeit

Abstand

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C

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Exzentrizität

Pfeilhöhe

ständige Streckenlast

Höhe

Koeffizient

Steifigkeitsmatrix

Spannweite

Normalenvektor

variable Streckenlast

Gerade

Ortsvektor

Bogenlänge, Seilabschnitt

Dicke

Tangentenvektor

verteilte Umlenkkraft

Verschiebung, verformte Lage

Verschiebung, verformte Lage

lokale Koordinate

lokale Koordinate

lokale Koordinate

��!��!�

Differenz

Ebene

��!��!�

Winkel, Längsgefälle

Winkel

Knotenverschiebung, Variation

Dehnung

Winkel, Sicherheitsfaktor

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∆

Ε

α

β

δ

ε

γ

124

globale Koordinate

Horizontaler Winkel

Koeffizient

Lastfaktor

Winkel, Verdrehung

Normalspannung

globale Koordinate

globale Koordinate

*��

Grundgrösse, initial

elastisch

geometrisch

Schwerpunkt

Vorspannung

Reaktionsgrösse

kritisch

elastische Feder

Grenzwert

horizontal

abgemindert

radial

in Sehnenrichtung

Torsion

Volumen

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Bogen

Hänger, Stütze

Seil, Scheibe

Träger

Element

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fiktive Grösse

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in copyright - non-commercial use permitted rights / license: … · 2020. 3. 26. · forma,...

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