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Sociedad Mexicana de
Ingeniería Geotécnica, A.C.
XXVI Reunión Nacional de Mecánica de Suelos
e Ingeniería Geotécnica Noviembre 14 a 16, 2012 – Cancún, Quintana Roo
SOCIEDAD MEXICANA DE INGENIERÍA GEOTÉCNICA, A.C.
Incremento de esfuerzos producido por un terraplén Stress increment produced by an embankment load
Miguel MANICA1
1Estudiante de posgrado, Universidad Nacional Autónoma de México.
RESUMEN: La determinación del incremento de esfuerzo vertical en una masa de suelo debido a cargas superficiales es una labor fundamental en el cálculo de asentamientos. En el caso de cargas producidas por la construcción de un terraplén, las soluciones disponibles consideran únicamente una porción del mismo, y es necesaria la adecuada adición o sustracción de dichas porciones para tomar en cuenta el efecto del terraplén completo. El presente artículo describe la obtención de las expresiones fácilmente programables que permiten la determinación del incremento de esfuerzos (vertical, horizontal y cortante) producido por un terraplén completo, en cualquier punto del medio. Se presenta un ejemplo para ilustrar la aplicación de las expresiones obtenidas, así como los resultados de un programa de computadora generado a partir de estas expresiones.
ABSTRACT: The vertical stress increment computation within a soil mass due to surface loads is a fundamental task for settlements calculations. In the case of embankment loads, the available solutions only consider a portion of the embankment and a suitable addition or subtraction of such portions is needed to take account the effect of the whole structure. This paper describes the obtainment of the easily programmable equations allowing the stress increment computation (vertical, horizontal and shear) due to the whole embankment, at any point of the half-space. An example is presented to illustrate the use of the equations as well as the results of a computer program built from such equations.
1 INTRODUCCIÓN 1.1 Antecedentes Debido a las condiciones de los proyectos para el desarrollo de infraestructura, la construcción de terraplenes sobre suelos blandos es cada vez más común. En este tipo de suelo, generalmente los estados límite de servicio rigen el diseño debido a su gran compresibilidad, por lo que la estimación de los asentamientos es una tarea fundamental en la proyección de estas estructuras. No es suficiente calcular los asentamientos en puntos característicos como en el centro y en las orillas del terraplén; es necesario determinarlos a lo largo de toda su sección trasversal a fin de poder evaluar su comportamiento y estar en condiciones de tomar decisiones respecto a procedimientos constructivos o viabilidad de los proyectos.
En el cálculo de asentamientos, es necesaria la determinación del incremento de esfuerzos verticales en la masa de suelo. Diversos autores han recopilado soluciones obtenidas a partir de la teoría de la elasticidad, tales como Jürgenson (1934), Gray (1936), Newmark (1940), Poulos y Davis (1974). En el caso de terraplenes, una de estas soluciones es la obtenida por Carothers, la cual considera una porción del terraplén limitada en uno de sus extremos por un plano vertical. Analizando un punto
al centro del terraplén, basta con considerar una porción que represente la mitad del mismo, y multiplicar el esfuerzo obtenido por dos para tomar en cuenta el efecto del terraplén completo. Para puntos diferentes del centro, o incluso fuera del terraplén, Osterberg (1957) utiliza el principio de superposición, y mediante la correcta adición y sustracción de estas porciones, obtiene el incremento de esfuerzos verticales en cualquier punto del medio. Además, para la determinación de manera expedita del aporte de cada una de las porciones, presenta una carta de influencia (Figura 1). El procedimiento de Osterberg, así como su carta de influencia, han sido extensamente utilizados, incluso en la literatura moderna (Tan, 2000; Jones et al, 2008). Desafortunadamente, este procedimiento tiene el inconveniente de volverse tardado y laborioso si se requiere el análisis en numerosos puntos.
1.2 Objetivos El objetivo de este trabajo es el proporcionar las expresiones que puedan ser fácilmente implementadas en una hoja de cálculo, de tal forma que, una vez introducidas las dimensiones del terraplén y el peso específico del material que lo conforma, únicamente sea necesario ir cambiando
2 Distribución de esfuerzos producida por un terraplén sobre un medio elástico
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las coordenadas del punto bajo análisis para obtener el incremento de esfuerzos (vertical, horizontal y cortante) producido por el terraplén completo en dicha posición.
Figura 1. Carta de influencia para el cálculo de esfuerzos verticales debido a una porción de terraplén (Osterberg, 1957).
1.3 Alcances Se describe el desarrollo que permitió obtener las expresiones antes mencionadas, se resuelve un ejemplo para ilustrar la aplicación de éstas, y se presentan los resultados de un programa de computadora desarrollado en el lenguaje de programación FORTRAN, con el fin de demostrar la versatilidad de las soluciones obtenidas. Adicionalmente se proporciona un enlace para descargar una hoja de cálculo en EXCEL, donde se encuentran implementadas las ecuaciones presentadas.
2 DETERMINACIÓN DE LAS EXPRESIONES
Se parte de las ecuaciones obtenidas por Carothers (Gray, 1936) para el cálculo del incremento de esfuerzos (vertical, horizontal y cortante) en el caso de deformación plana mostrado en la Figura 2, en donde es analizada una porción de un terraplén homogéneo, sobre un medio semi-infinito, homogéneo, isótropo y linealmente elástico (ecuaciones 1, 2 y 3).
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−+= bx
rz
axp
22
zα
βπ
σ (1)
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−++=
0
122
x rrln
az2bx
rz
axp α
βπ
σ (2)
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−= 2
2
2
xz rz
azp α
πτ (3)
donde: p = γh; y γ = peso específico del material que conforma el terraplén.
Figura 2. Solución de Carothers para la distribución de esfuerzos producida por una porción de terraplén.
Es necesario poner los argumentos angulares β y
α en función de las coordenadas del punto bajo análisis y de la geometría del terraplén. Se considera el triángulo que forman los puntos ADB de la Figura 2, tal como se muestra en la Figura 3, donde:
zxbtan 1 −
= −ψ (4)
zaxtan 1 −
= −θ (5)
Figura 3. Determinación del argumento angular β, y de las distancias r1 y r2.
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Por lo tanto:
zxbtan9090' 1 −
−=−= −ψψ (6)
zaxtan9090' 1 −
−=−= −θθ (7)
180'' =++ θψβ (8)
180zaxtan90
zxbtan90 11 =
−−+
−−+ −−β (9)
zaxtan
zxbtan 11 −+
−= −−β (10)
Se ponen también las distancias r2 y r1 en función de las coordenadas del punto bajo análisis y de la geometría del terraplén. Por conveniencia r2 permanece elevado al cuadrado.
( ) 2222 zxbr +−= (11)
( )[ ] 2/122
1 zaxr +−= (12)
De forma similar se determina α y r0 analizando el triángulo formado por BDC de la Figura 2, con lo que se obtiene:
zxtan
zxatan 11 −− +
−=α (13)
( ) 2/1220 zxr += (14)
Ahora todas las variables de las expresiones (1), (2) y (3) están en función de la geometría del terraplén (a, b, h), del peso específico del material que lo conforma (γ) y de la posición del punto bajo análisis (x, z), pero todavía se analiza únicamente una porción del terraplén.
Considerando un terraplén con simetría, en la Figura 4 se ensamblan dos sistemas (sistema A y B) como el mostrado en la Figura 2.
Por simetría:
bbb BA == (15)
aaa BA == (16)
hhh BA == (17)
zzz BA == (18)
Para tener ambos sistemas en función de las mismas variables se considera lo siguiente:
xxA = (19)
xb2xB −= (20)
Figura 4. Ensamble de las dos porciones de un terraplén
De lo anterior, se obtienen los valores de β, α, r0 y r1 de ambos sistemas en función de las variables de interés (ecuaciones 21 a la 28). En la Figura 4 puede observarse que el valor de r2 es el mismo en ambos sistemas, por lo que no se hace distinción de este parámetro para cada uno de ellos (Ecuación 29). Los argumentos angulares de las ecuaciones (21) a la (24) se obtienen directamente en radianes.
180zaxtan
zxbtan 11
Aπ
β ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
−= −− (21)
180zaxb2tan
zbxtan 11
Bπ
β ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−+
−= −− (22)
180zxtan
zxatan 11
Aπ
α ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−= −− (23)
180zxb2tan
zxb2atan 11
Bπ
α ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+
+−= −− (24)
( ) 2/122A0 zxr += (25)
( )[ ] 2/122
B0 zxb2r +−= (26)
( )[ ] 2/122
A1 zaxr +−= (27)
( )[ ] 2/122
B1 zaxb2r +−−= (28)
( ) 2222 zxbr +−= (29)
Finalmente, basta con sumar el aporte de cada uno de los sistemas a partir de las expresiones (1), (2) y (3) tal como se hace en las ecuaciones (30), (31) y (32), las cuales están referidas a la Figura 5.
4 Distribución de esfuerzos producida por un terraplén sobre un medio elástico
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( )
( ) ( ) ⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−
−+
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−+
=
xbrz
axb2
bxrz
ax
h
22
BB
22
AA
zα
β
αβ
π
γσ (30)
( )
( )
( )⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−+
−+
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−++
=
B0
B122
BB
A0
A122
AA
x
rrln
az2xb
rz
axb2
rrln
az2bx
rz
ax
h αβ
αβ
π
γσ (31)
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+−= 2
2
2
BAxz rz2
azh
ααπ
γτ (32)
Figura 5. Variables necesarias para el cálculo del incremento de esfuerzos debajo de un terraplén.
Con las expresiones (21) a la (32) es posible determinar las tres componentes de esfuerzo (σz, σx, τxz) producidas por el terraplén completo, únicamente en función de su geometría, el material que lo conforma y la ubicación del punto bajo análisis.
3 EJEMPLO
A partir del terraplén mostrado en la Figura 6, se determina la magnitud del incremento de esfuerzo vertical (σz) en el punto A. Se calculan los valores de βA, βB, αA, αB y r2
2 con las expresiones (21), (22), (23), (24) y (29) respectivamente.
rad927.0180
1.61.615.9tan
1.615.92.12tan
1
1
A =
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
−
=−
−
πβ
Figura 6. Geometría del terraplén y ubicación del punto bajo análisis.
( ) rad519.0180
1.61.615.92.122tan
1.62.1215.9tan
1
1
B =
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−+
−
=−
−
πβ
rad519.0180
1.615.9tan
1.615.91.6tan
1
1
A =
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=−
−
πα
( )
( ) rad207.0180
10.615.92.122tan
1.615.92.1221.6tan
1
1
B =
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
++−
=−
−
πα
( ) 22222 m513.4610.615.92.12r =+−=
Finalmente dichos valores son sustituidos en la expresión (30) para determinar el incremento de esfuerzo vertical:
( )
( )
( )
( )( )
( )
kPa6.78
15.92.12513.461.6
1.6207.015.92.122519.0
2.1215.9513.461.6
1.6519.015.9927.0
518
z
z
=
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−+
+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
+
=
σ
πσ
4 PROGRAMACIÓN DE LAS EXPRESIONES
Con el fin de mostrar la versatilidad de las expresiones obtenidas, se generó una aplicación en el lenguaje de programación FORTRAN, la cual
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permite la determinación del incremento de esfuerzo vertical en múltiples puntos simultáneamente.
Se tomó el ejemplo presentado en la Figura 6 y se consideró como origen del sistema coordenado el extremo izquierdo del terraplén (tal como debe de hacerse al utilizar las expresiones deducidas en la sección 2). Se determinó el incremento de esfuerzo vertical desde x = -20.0 hasta x = 45.0 y desde z = 0.0 hasta z = 40.0 metros con separaciones en ambas direcciones de un metro. Así, el programa determinó el incremento de esfuerzo vertical en un poco más de 2,700 puntos. Los resultados fueron procesados con un software para construir mapas de contornos. La Figura 7 muestra los resultados obtenidos. En dicha figura también aparece indicada la ubicación del punto que fue analizado en el ejemplo de la sección 3, donde puede observarse que en ambos cálculos el resultado obtenido es el mismo.
Las ecuaciones obtenidas en el presente artículo, también fueron implementadas en una hoja de cálculo de EXCEL, la cual puede descargarse en el siguiente enlace: http://miguelmanica.webs.com/descargas
Figura 7. Mapa de contorno de la distribución del incremento de esfuerzos verticales debajo de un terraplén.
5 COMENTARIOS
Es importante notar que en las ecuaciones (21) a la (24), el valor de “z” no puede ser igual a cero, ya que conduciría a una indeterminación. Esto se resuelve simplemente asignándole a “z” un valor muy pequeño cercano a cero tal como 10-5 m. De igual forma “a” igual a cero conduciría a una indeterminación en las ecuaciones (30), (31) y (32). Aunque este problema puede ser resuelto de la misma forma que para “z” igual a cero, “a” igual a cero implicaría una carga rectangular, por lo que no tendría sentido el utilizar las soluciones aquí presentadas. También es importante resaltar que “z”
no puede tomar valores negativos, sin embargo, el valor de “x” sí puede hacerlo para tomar en cuenta los puntos que están a la izquierda del terraplén.
6 CONLUSIONES
A pesar de que a simple vista las expresiones aquí presentadas puedan parecer de tediosa aplicación, es importante hacer notar que una vez implementadas en una hoja de cálculo o en cualquier lenguaje de programación, se dispondrá de una herramienta que permita la rápida determinación del incremento de esfuerzos en cualquier punto del medio, facilitando así el cálculo de asentamientos.
REFERENCIAS
Gray, H. (1936). “Stress distribution in elastic solids”, Proceedings of the 1st International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Vol. 2, pp. 157-168.
Jones, C. A.; Stewart, D. I. and Danilewicz, C. J. (2008). “Bridge distress caused by approach embankment settlement”. Geotechnical Engineering, 161 (2), pp. 63-74.
Jürgenson, L. (1934). “The applications of elasticity and plasticity to foundation problems”, Journal of Boston Society of Civil Engineers, 21, 206.
Newmark, N. M. (1940). “Stress distribution in soils”, Proceedings of the Purdue Conference on Soil Mechanics and its Applications, pp. 295-303.
Osterberg J. O. (1957) “Influence values for vertical stresses in a semi-infinite mass due to embankment loading”. Proceedings of the 4th International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Vol. 1, pp. 393–394.
Poulos, H. G. and Davis, E. H. (1974). Elastic Solutions for Soil and Rock Mechanics, 1st Edition, New York, John Wiley & Sons, Inc.
Tan, Y.C. & Gue, S.S. (2000) “Embankment over Soft Clay – Design and Construction Control”, Seminar on Geotechnical Engineering, September 2000, Penang.