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INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO

“DAVID AUSUBEL”


“DAVID AUSUBEL”

GUIA DIDÁCTICA TUTOR:

MATEMATICA BASICA

AUTOR: ING. DIEGO GONZALEZ

MODULO DE MATEMATICA BASICA

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“DAVID AUSUBEL”

NOTA:

EN ESTE TEXTO GUIA SE ENCUENTRA DESARROLLADOS LOS TEMAS QUE CORRESPONDEN A ESTE MÓDULO, Y LAS TAREAS QUE USTED DEBERÁ DESARROLLAR EN EL AULA COMO EXPLICACION O CON LOS ESTUDIANTES COMO PRACTICA DE LOS CONTENIDOS.

1. EL TUTOR TIENE LA OBLIGACION DE EXPLICAR PASO A PASO TODOS LOS TEMAS QUE SE ENCUENTRAN EN EL MODULO.

2. ESTUDIANTE TIENE LAS OPORTUNIDADES QUE SEAN NECESARIAS PARA ACLARAR LOS TEMAS QUE NO COMPRENDA MEDIANTE LA EXPLICACIÓN DEL TUTOR YA SEA DE MANERA PRESENCIAL O MEDIANTE EL CORREO ELECTRONICO.

3. LAS TAREAS SERAN ENVIADAS POR EL TUTOR, DE ACUERDO A LOS TEMAS EXPLICADOS Y BAJO SU MEJOR CRITERIO.

4. ES OBLIGACION DEL ESTUDIANTE ASISTIR A CADA UNA DE LAS TUTORÍAS PRESENCIALES PROGRAMADAS EN EL CALENDARIO DE ACTIVIDADES.

5. TODO TRABAJO DEL ESTUDIANTE SERÁ EVALUADO CUANTITATIVAMENTE.6. AL FINAL EL TUTOR EVALUARA EL MÓDULO EN SU TOTALIDAD.7. DE REQUERIR CUALQUIER INFORMACION DIRIGIRSE AL CORREO DE LA

DIRECCION ACADEMICA Y SERA ATENDIDO DE INMEDIATO.

GRACIAS.

OBJETIVOS

Fortalecer los conocimientos adquiridos durante los estudios secundarios en lógica teoría de conjunto, algebra, funciones y soluciones de ecuaciones que le permite al estudiante asentar una base suficientemente sólida para sus aplicaciones a los cursos superiores de matemáticas y promover en el estudiante un pensamiento matemático que les permita relacionar, diferenciar e


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“DAVID AUSUBEL”

inducir soluciones a problemas y definiciones, para su formación científica, promoviendo hábitos de participación, disciplina de estudio y perseverancia en la solución de problemas prácticos.

INTRODUCCIÓN

La asignatura Matemática Básica, representa el primer paso en el contenido del área de las Matemáticas, es de mucha importancia, que los estudiantes que cursen esta asignatura,

comprendan que los modelos matemáticos le servirán para la solución de problemas concretos que sean propios de la carrera que están cursando, debe asimilar que para llegar a aplicar modelos

matemáticos concretos, debe recorrer al menos el camino mínimo que incluye el estudio de aquellos temas que sean fundamentales para el planteamiento, solución, interpretación y

aplicación de modelos matemáticos en las ciencias económicas, administrativas y las Ingenierías.


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“DAVID AUSUBEL”

INDICE1. LOGICA MATEMATICA

1.1. CONJUNCION1.2. DISYUNCION1.3. CONDICIONAL1.4. BICONDICIONAL1.5. EJERCICIOS

2. TEORIA DE CONJUNTOS 2.1. GRAFICA DE CONJUNTOS2.2. CARDINAL DE UN CONJUNTO2.3. OPERACIONES CON CONJUNTO2.4. CLASES DE CONJUNTOS

2.4.1.CONJUNTO FINITO2.4.2.CONJUNTO INFINITO2.4.3.CONJUNTO UNITARIO2.4.4.CONJUNTO UNIVERSO

2.5. PROPIEDADES DE AGRUPACION EN CONJUNTOS2.5.1.LEY DISTRIBUTIVA EN CONJUNTOS

3. MATRICES 3.1. EJERCICIOS

4. ECUACIONES LINEALES 4.1. CLASES DE METODOS

4.1.1.METODO DE REDUCCION4.1.2.METODO DE SUSTITUCION4.1.3.METODO DE DETERMINANTES4.1.4.METODO DE REDUCCION DE FILAS4.1.5.GRAFICA

4.2. EJERCICIOS

5. PROYECCION DE DEMANDA 5.1. COMO PROYECTAR LA DEMANDA5.2. GRAFICA5.3. GRADO DE CORRELACION5.4. EJERCICIOS

6. PROGRESIONES 6.1. PROGRESION ARITMETICA6.2. PROGRESION GEOMETRICA6.3. EJERCICIOS


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1. UNIDAD

LOGICA MATEMATICA

LOGICA MATEMATICA

En la lógica se usa la simbología: p, q, r, s, t

La lógica o proposición es una oración gramatical la cual puede ser solo verdad o solo falso, nunca los dos al mismo tiempo.

Ejemplos: - la capital del Ecuador es Quito

- 3+5=9

Se conoce también como valores de verdad a dichas proposiciones. Existe una simbología para determinar cada cuadro de valor de verdad:

#Cⁿ donde C → combinaciones (V o F)n→ numero de proposiciones

Ejemplo: 2² = 4; cuatro niveles

EN CODIGO BINARIO


p qV VV FF VF F

p Q1 11 00 10 0

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EN CODIGO BINARIO

CONJUNCION

Acepta solo valores verdaderos como Verdaderos, todo lo demás es Falso

p qV V V → ConjunciónV F FF V FF F F

DISYUNCION

Acepta que por lo menos uno de los valores de verdad sea Verdadero, lo demás es Falso

p qV V V → DisyunciónV F V → Disyunción


p q r V V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

p q r1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0

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F V V → DisyunciónF F F

→CONDICIONAL

Una sola condición: Si el primer valor comienza como verdadero y el segundo es falso, el resultado es Falso, todo lo demás es Verdadero

↔BICONDICIONAL

Acepta los dos valores iguales como Verdaderos, lo demás es Falso

p q ↔V V V → BicondicionalV F F F V F F F V → Bicondicional

EJERCICIOS:

1) RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:

a. (p → q) ↔ (p ∆ q)

(p → q) ↔ (p ∆ q)V V V F V F F VV F F F V V V F


p q →V V V V F F → CondicionalF V V F F V

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F V V F F F F VF V F F F F V F

El resultado es una contradicción

b. [(p → q) ∆ (q → r)] → (p → r)

[(p → q) ∆ (q → r)] → (p → r)V V V V V V V V V V VV V V F V F F V V F FV F F F F V V V V V VV F F F F V F V V F FF V V V V V V V F V VF V V F V F F V F V FF V F V F V V V F V VF V F V F V F V F V F

EL RESULTADO ES UNA CONTRADICCION

c. [(p→ q) ∆ (q ↔ r)] ∇ [(r→~ p) ∆ (q → ~ r)]\

[(P → q) ∆ (q ↔ r)] ∇ [(r → p) ∆ (q → r)]

F V V V V V V V V V V V F V F V F F V

V V V V F V F F F F F V F V V V V V F

F V F F F F F V V V V F F V F F V F V

V V F F F F V F F F F V F V V F V V F

F F V V V V V V V V V V V F F V F F V

V F V V F V F F F F F V V F V V V V F


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“DAVID AUSUBEL”

V F V F F F F V F F V V V F V F V F V

F F V F V F V F V F F V V F V F V V F

EL RESULTADO ES UNA CONTINGENCIA

d. [ ( p∆r )∇q ]→ [ p∇ (q↔r )]

[(p ∆ r) ∇ q] → [p ∇ (q ↔ r)]V V V V V V V V V V VV F F V V V V V V F FV V V V F V V V F F VV F F F F V V V F V FF F V V V V F V V V VF F F V V F F F V F FF F V F F V F F F F VF F F F F V F V F V F

ES UNA CONTINGENCIA


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2. UNIDAD

TEORIA DE CONJUNTOS

TEORIA DE CONJUNTOS

A los conjuntos se los representa con una letra mayúscula; A, B, C, D,…

A los elementos se los representa con letra minúscula; a, b, c, d,…

Extensión: cuando se identifica con claridad a cada uno de los elementos.

Ejemplo: A = a, e, i, o, u

SIMBOLOS DE CONJUNTOS

Existen varias formas de operar conjuntos entre sí, las cuales son:

C = contiene

U = unión

∩ = intersección

∈ = pertenece

= no pertenece∉

∃ = existe al menos uno

∀ = para todos


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GRÁFICA DE CONJUNTOS:

CARDINAL DE UN CONJUNTO:Es el número de elementos de un conjunto.

Ejemplo: n ( A ) → Número de elementos del conjunto A

n ( B ) → Número de elementos del conjunto B

OPERACIONES CON CONJUNTOS:

A U B

A Ω B

A’ → A complemento

Ø → No existe

CLASES DE CONJUNTOS:


a bc

d e ab c

a bc

d e

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1.- Conjunto Finito: Aquelconjunto donde sus elementos pueden ser contados. Ej. ( las vocales )

2.- Conjunto Infinito: Aquelconjunto donde sus elementos no están definidos en su número. Ej. ( Todos los números )

3.- Conjunto Unitario: Aquelque representa un elemento de su especie. Ej. Mamá.

4.- Conjunto Universo: Es la totalidad de elementos de una categoría. Ej. Universo de la especie humana.

EJERCICIOS:

PROPIEDADES DE AGRUPACIÓN EN CONJUNTOS:

PROPIEDAD DE A U B

A B

3

A U B = n ( A ) + n ( B ) – n ( A Ω B )

A U B = ( 4 + 3 ) + ( 3 + 8 ) – 3

A U B = 7 + 11 – 3


a bc

A4d e

a bc

48d e

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A U B = 15 Comprobación: 4 + 3 + 8 = 15

PROPIEDAD DE A U B U C

A U B U C = n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) – n ( A Ω B ) - n ( A Ω C ) - n ( B Ω C ) - n ( A Ω B Ω C )

A U B U C = 32 + 74 + 27 – 11 – 15 - ( - 3 ) + 3

A U B U C = 133 – 26 + 3 + 3

A U B U C = 113

LEY DISTRIBUTIVA DE CONJUNTOS

Si: AU (B∩C) = (AUB) ∩(AUC)

A B C

A U ( BΩ C ) = ( A U B ) Ω ( A U C )

n ( A ) = ( 8, 9, 10 )

n ( B ) = ( 9, 10, 11, 12 )

n ( C ) = ( 11, 13, 14, 18, 20 )

B Ω C = 11


8

9 10

9 10 11 12 11 13 14 18 20

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ANALIZANDO LOS DATOS QUE TENEMOS

n (A)= (8, 9, 10) B∩C = 11

n (B)= (9, 10, 11, 12) AU (B∩C) = (8, 9, 10, 11)

n (C)= (11, 13, 14, 18, 20)

AUB = (8, 9, 10, 11, 12) las dos respuestas son iguales, por

AUC = (8, 9, 10, 11, 13, 14, 18, 20) lo tanto la ley se cumple.

Entonces: (AUB) ∩(AUC) = (8, 9, 10, 11)

Ejercicio de aplicación

a) En el instituto David Ausubel, 100 alumnos han rendido tres exámenes, de ellos 40 aprobaron física, 39 aprobaron matemáticas y 48 castellano. 10 aprobaron los tres exámenes, 21 no aprobaron examen alguno, 9 aprobaron física y matemáticas, pero no castellano; 19 no aprobaron física y matemáticas pero si castellano; 10 aprobaron física y castellano, pero no matemáticas. ¿Cuántos aprobaron por lo menos dos exámenes?


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Según nuestros datos del ejercicio: z = 10n (FISICA) = 40 h = 21n (MATEMATICAS) = 39 d = 9n (CASTELLANO) = 48 c = 19Los que no aprobaron examen alguno son 21 e = 10

a = 11b = 11

Otra forma de resolver el ejercicio el de la forma de ecuaciones obtenidas del siguiente análisis a, b, c

d, e, f

de las y = alumnos que pasaron dos materiasesta incógnita vendrá a responder la pregunta que nos hace el ejercicio

Y la z = alumnos que pasaron las tres materias

Haciendo este análisis los conjuntos quedarían de la siguiente forma


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n (F) = (a, b, e, z)

n (M) = (b, d, f, z)

n (C) = (c, e, f, z)

Obteniendo: a, b, c, 2d, 2e, 2f, 3z

x 2y

Transformamos a ecuación:

x+2y+3z=127; como ya en el ejercicio nos da el dato de las z, entonces:

x+2y+ (3*10)=127

x+2y = 97 primera ecuación

x+y+z= 100-21

x+y+10 = 79

x+y = 69 segunda ecuación

Operando las dos ecuaciones pos la forma más sencilla

x + 2y = 97

-x - y = -69

y = 28

El resultado a la pregunta del ejercicio da 28 que son los alumnos que aprobaron por lo menos dos de las materias.

3. UNIDAD

MATRICES Y ECUACIONES LINEALES


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MATRICES.

A= [ 4 6 ] A= [ 4 6 ]-2 5 -2 5

A-B= [ 4-2, 6-3. ] A+B= [ 4+2, 6+3. ].-2-5 5-6. .-2+5 5+6.

A-B= [ 2 3 ] A+B= [ 6 9 ]-7 -1 3 11

A= [ 4 6−2 5 ] B= [2 3

5 6 ]AxB= [ 4x2+6x5 4x3+6x6 ].-2x2+5x5 .2x3+5x6

AxB= [ 38 48 ]21 24


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MATRIZ IDEMPOTENCIA = [1 00 1]

EJERCICIOS

1. A = [−2 2 30 1 23 0 1]I = [1 0 0

0 1 00 0 1 ]

Evaluar A2−5 A+3 A

Para realizar el ejercicio, lo hacemos buscando uno por uno los términos:

A2=[−2∗−2+2∗0+3∗3 −2∗2+2∗1+3∗0 −2∗3+2∗2+3∗10∗−2+1∗0+2∗3 0∗2+1∗1+2∗0 0∗3+1∗2+2∗13∗−2+0∗0+1∗3 3∗2+0∗1+1∗0 3∗3+0∗2+1∗1 ]

A2=[ 13 −2 16 1 4

−3 6 10]5 A=5 [−2 2 3

0 1 23 0 1]5 A=[−10 10 15

0 5 1015 0 5 ]

3 I=[3 0 00 3 00 0 3]

Ahora:

A2−5 A+3 A=[ 13 −2 16 1 4

−3 6 10]−[−10 10 150 5 10

15 0 5 ]+[3 0 00 3 00 0 3]


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A2−5 A+3 A=[ 26 −12 −146 −1 −6

−18 6 8 ]

2. A=[2 3 −21 5 01 3 0 ]

EvaluarA3+5 A

A2=[2∗2+3∗1+(−2 )∗1 2∗3+3∗5+ (−2 )∗3 2∗−2+3∗0+ (−2 )∗01∗2+5∗1+0∗1 1∗3+5∗5+0∗3 1∗−2+5∗0+0∗01∗2+3∗1+0∗1 1∗3+3∗5+0∗3 1∗−2+3∗0+0∗0 ]

A2=[5 15 −47 28 −25 18 −2] A=[2 3 −2

1 5 01 3 0 ]

A2∗A=[5∗2+15∗1+(−4 )∗1 5∗3+15∗5+ (−4 )∗3 5∗−2+15∗0+ (−4 )∗07∗2+28∗1+ (−2 )∗1 7∗3+28∗5+ (−2 )∗3 7∗−2+28∗0+(−2 )∗05∗2+18∗1+(−2 )∗1 5∗3+18∗5+ (−2 )∗3 5∗−2+18∗0+(−2 )∗0 ]

A3=[21 78 −1040 155 −1426 99 −10]

5 A=[10 15 −105 25 05 15 0 ]

Realizando el ejercicio:

A3+5 A=[31 93 −2045 180 −1431 114 −10]


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ax+b=c ,donde la x esunavariable , y a ,b , c sonconstantes , siendo c≠0

Una ecuación lineal es aquella en la que involucra solamente sumas y restas de variables que están elevadas únicamente a la potencia uno, que no se la pinta en la ecuación, solo queda representada. También se sabe que una ecuación lineal al graficarla en el plano cartesiano siempre nos da como su nombre mismo lo dice una línea recta como grafica.

Ejemplos:

2 x+ y=4


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“DAVID AUSUBEL”

x−2 y=2

Para resolver las ecuaciones lineales existen varios métodos, las cuales son:

a) Método de REDUCCIONb) Método de SUTITUCIONc) Método de DETERMINATESd) Método de REDUCCION DE FILAS(matriz idempotencia)

Para estudiar a cada uno de los métodos, tomaremos como ejemplos a las ecuaciones anteriores

2 x+ y=4 (1)

x−2 y=2(2)

a) Método de reducción

En este método lo que trata es de eliminar a una de las variables

Si a la (2) ecuación se la multiplica por -2 tenemos:

2x + y= 4 Remplazando Y en la primera ecuación

−2 x+4 y=−4 2 x+0=4

5 y=0 2 x=4

y=0x=2

realizamos lacomprobacion de los resultados, reemplazando la X y Y en una de las ecuaciones.

2(2)+0=4

4+0=4 4=4Se cumple la igualdad por lo tanto el resultado es valido

b) Método de sustitución

En este método se realiza el despeje de cualquiera de las variables y se la reemplaza en la otra ecuación que no se realizo dicho despeje, entonces:


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“DAVID AUSUBEL”

despejando y en la primera ecuaciontenemos : y=4−2 x

y En la segunda ecuación x−2 (4−2 x )=2 , y “x” en y:

x−8+4 x=2 y=4−2(2)

x+4 x=2+8 y=4−4

5 x=10 y=0

x=105 Dando el mismo resultado

x=2 Anterior.

c) Método de determinantes

En este método al sistema de ecuaciones se lo transforma en matriz utilizando determinantes, solo cogiendo los valores independientes.

[2 1 41 −2 2 ]

Valores independientes

Valores de la “y”

Valores de las “x”

Ahora calculamos:

∆=2 (−2 )−(1 )(1)

∆=−4−1

∆=−5

el valor de x

x=[4 12 −2]−5

=−8−2−5

=−10−5

x=2

El valor de “y”


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“DAVID AUSUBEL”

y=[2 41 2 ]−5

=4−4−5

= 0−5

y=0 ; También nos da el mismo resultado anterior

d) Método de reducción de filas

En este método se trata de que la matriz de nuestras ecuaciones se transforme en una matriz identidad, utilizando las cuatro operaciones fundamentales que son: suma, resta, multiplicación, división. Utilizándolas correctamente.

Siendo la matriz [2 1 41 −2 2 ] , tenemos que transformarla a [1 0

0 1], que es la matriz

identidad.

2 x+ y=4 (1)

x−2 y=2(2)

(1)-(2) — (1)

2 x+ y=4 [1 3 21 −2 2]

−x+2 y=−2

x+3 y=2

(1)-(2) – (2)

x+3 y=2 [1 3 20 5 0]

−x+2 y=−2

5 y=0

(2)/5 – (2)

0 x+5 y=0(÷5) [1 3 20 1 0]


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“DAVID AUSUBEL”

0 x+ y=0

(2)*-3 + (1) – (1)

0 x−3 y=0 [1 0 20 1 0 ]→el valor correspondiente a x

→el valor correspondiente a y

x+3 y=2

x+0 y=2 Cumpliéndose con los resultados anteriores

e) Grafica


Y4

3 2

1

-4 -3 -2-1

1 2 3 4 X-1 -2 -3 -4

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“DAVID AUSUBEL”

4. UNIDAD

PROYECCIONES

PROYECCION DE DEMANDA

Las “x” corresponden a la cantidad

Las “y” corresponden al precio, entonces:

n x y x*y x2 y2

2007 -2 60 -120 4 36002008 -1 75 -75 1 56252009 0 80 0 0 64002010 1 90 90 1 81002011 2 95 190 4 9025n=5 0 400 85 10 32750

Formulas:

y=a+bx

a= y−b x

Pendiente; b=n∑ xy−(∑ x ) (∑ y)

n∑ x2−(∑ x)2

Calculamos con los datos del ejercicio;

y=∑ yn

=400

5=80


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“DAVID AUSUBEL”

x=∑ xn

=05=0

La pendiente: b=5 (85 )−0(400)

5 (10 )−(0)2

b=42550

b=8.5

a= y−b x

a=80−(8.5 )(0)

a=80

y=a+bx

2012=80+(8.5 )(3) 2013=80+(8.5 )(4)

2012=80+25.5 2013=80+34

2012=105.5 2013=114

GRADO DE CORRELACION

r2=¿¿¿

r2=[5 (85 )+ (0 ) (400 )]2

[5 (10 )+(0 )2 ][5 (32750 )− (400 )2]

r2= 4252

(50 )(163750−160000)

r2= 180625(50 )(3750)

r2=180625187500 r2=0.9633

r2∗100 %=0.96∗100 %=¿96.33%

Grafica:


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“DAVID AUSUBEL”

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

la demanda es de 96.33%


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“DAVID AUSUBEL”

5. UNIDAD

PROGRESIONES

PROGRESIONES

Progresión aritmética

Es una asociación de números que siguen una misma sucesión u orden lógico, y a cada elemento se le conoce como termino.

Ejemplos: 6, 11, 16, 21,…

54, 50, 46, 42,…

Fórmula para hallar un término especifico

L=a+(n−1 )d

Donde:

L = último término

a=primer termino

n=numerode terminos

d=diferenciacomún

Ejemplo: encontrar el decimo termino de 6, 11, 16, 21,…

L=a+(n−1 )d

L=6+ (10−1 ) 5 la formula satisface el

L=6+45 Ejercicio.

L=51


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“DAVID AUSUBEL”

En la comprobación tenemos; 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51

Ejercicio: Encontrar el decimo termino de 54, 50, 46……………….

L=a+(n−1 )d

L=54+(10−1 ) (−4 ) la formula satisface el

L=54+(9 ) (−4 ) Ejercicio.

L=18

En la comprobación tenemos de 54, 50. 46, 42, 38, 34, 30, 26, 22, 18

Fórmula para halla la suma de “n” términos:

S= n/2(a+l)

S= Sumatoria

n= # de términos

a= primer termino

l= ultimo termino

Ejemplo a) Hallar la suma de los 10 primeros términos de 6, 11, 16……….

S=?

n= 10

a= 6

l= 51

S= 10/2(6+51) la formula satisface el

S= 5(57) Ejercicio

S= 285

En la comprobación tenemos; 6+11+16+21+26+31+36+41+46+51= 285

Ejemplo Hallar la suma de los 10 primeros términos

S=?


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“DAVID AUSUBEL”

N= 10

A= 54

L= 18

S= 10/2(54+18) la formula satisface el

S= 5(72) Ejercicio

S= 360

En la comprobación tenemos 54+50+46+42+38+34+30+26+22+18=360

PROGRESION GOEMETRICA

Igual que la progresión aritmética, este también en una asociación de números en diferencia que esta se relaciona con una razón.

Ejemplos:

4, -8, 16, -32,..

729, 486, 324,…

Fórmula para hallar un número especifico

L=arn−1, Donde:

L=ultimo termino

a=primer termino

r= razón

n=numero de términos

Ejemplo: encontrar el decimo termino de 4, -8, 16, -32,..

L=4(−2)10−1

L=4(−2)9

L=4(−512)

L=−2048


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“DAVID AUSUBEL”

Fórmula para hallar la sumatoria de varios términos

S=a−rl1−r

Ejemplo: encontrar la sumatoria del ejercicio anterior

S=4−(−2 ) ¿¿

S= 4−40963

S=−40923 =-1364

Ejercicios de progresiones;

1) Hallar el quinceavo termino y la suma de los quince primeros términos de las siguientes progresiones:a) 2, 8, 14, 20,…b) 3, 8, 13, 18,…

Resolucióna. L=2+(15−1 ) 6

L=2+(14 ) 6L=2+84L=86

S=152 (2+86)

S=152

(88 )

S=660b. L=3+ (15−1 ) 5

L=3+70L=73

S=152

(3+73 )

S=152 (76)

S=570


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“DAVID AUSUBEL”

2) Hallar la suma de:a) Los primeros diez términos de: 160, 148, 136, 124,…b) Los primeros doce términos de: 600, 546.76, 493.52,...

Resolucióna. L=160+ (10−1 ) (−12 )

L=160+ (−108 )L=52

S=102

(160+52 )

S=5 (212 )S=1060

b. L=600+ (12−1 ) (−53.24 )L=600+ (−585.64 )L=14.36

S=6 (600+14.36 )S=3686.16

3) Hallar la suma de:a) Los primeros doscientos enteros positivosb) Los primeros cien números pares

Resolución:

a. S=20050

(1+200 )

S=100 (201 )S=20100

b. S=1002

(0+200 )

S=50∗200S=10000

4) Por la compra de una casa una persona se compromete a pagar 2400 dólares al final del primer año, 2340 al final del segundo año, 2280 al final del tercer año, y así sucesivamente. ¿cuánto pagara por la casa si efectúa quince pagos en total?Resolución.L=2400+ (15−1 ) (−60 )L=2400+ (−840 )L=1560


33


“DAVID AUSUBEL”

S=152

(2400+1560 )

S=152

(3960 )

S=297005) Encontrar el noveno termino y la suma de los nueve primeros términos de las siguientes

progresionesa) 3, 6, 12, 24,…b) 243, 81, 27, 9,…c) 1, 1.05, (1.05)2, (1.05)3

Resolución:a. L=3 (2)9−1

L=3 (2 )8

L=768

S=3−(2 )(768)

1−2S=1533

b. L=243 (13 )

9−1

L= 127

S=243−(

13∗1

27)

23

S=364 1327

c. L=1(1.05)8

L=(1.05 )8

S=1− (1.05 ) (1.05 )8

1−(1.05 )

S=1− (1.05 )9

−0.05


34


“DAVID AUSUBEL”

S=(1.05)9−10.05

6) Determinar la cantidad total a repartir si se van a entregar doce premios de 1 dólar, 2 dólares, 4 dólares,….Resolución:

L=1 (2 )12−1

L=2048

S=1−2(2048)1−2

S=40957) Cada succión de una bomba de vacio extrae 4% del aire contenido en un tanque. ¿Qué

cantidad de aire habrá en el tanque después de 5º succiones si al principio contenía 1 centímetro cúbico?Resolución

1cm3→−4%=0.96cm3

r=0.96L=0.96 (0.96 )49

L=0.96 (0.1353 )L=0.1299cm3

8) Un edificio tiene un costo de 500000 dólares. Al final de cada año, los propietarios deducen de su valor determinado al principio del año el 10% por concepto de depreciación. ¿Cuál será el valor del edificio al final de 25 años?Resolución:edificio=500000dol ares10 %de depresiacionc (1−d )500000(1−0.10)500000(0.9)450000

450000⏞1

,405000⏞2

⏟r=0.9

,364500⏞3

L=450000 (0.9 )24


35


“DAVID AUSUBEL”

L=35894.8994En forma contable:

vc25=c (1−9)n

vc25=500000 (1−0.10 )25

vc25=500000 (0.9 )25

vc25=95894.89949) Un motor con costo inicial de $ 1050 se deprecia a la tasa de 72

1% anual. Determinar su valor contable al final del séptimo año.

vc7=1050 (1−0.075 )7

vc7=1050(0.925)7

vc7=608.3891

r=0.925

L=971.25 (0.925 )6

L=608.39

10) A una locomotora con costo de $ 150000 se le ha estimado un valor de salvamento de $ 5000 y una vida probable de 30 años. Determinar: (a) la tasa de depreciación anual, (b) el valor en libros al final del año 20, y (c) el cargo por depreciación del año 25.

d=1−30√ 5000150000

d=1−30√0,033333d=0.107183d=10.7183%

vc20=150000(1−0.107183)20

vc20=15536.1625

cd25=vc24−vc25

cd25=9871.657598−8813.583722cd25=1058.1

AÑO Valor contable al Cargo por Importe del fondo


36


“DAVID AUSUBEL”

final del año depreciación para depreciación

0 150.000,00 0,00 0,001 133.922,70 16.077,30 16.077,302 119.568,60 14.354,10 30.431,403 106.753,00 12.815,60 43.247,004 95.311,00 11.442,00 54.689,005 85.095,37 10.215,62 64.904,636 75.974,68 9.120,69 74.025,327 67.831,56 8.143,12 82.168,448 60.561,24 7.270,32 89.438,769 54.070,17 6.491,07 95.929,84

10 48.274,82 5.795,35 101.725,1811 43.100,63 5.174,19 106.899,3812 38.481,01 4.619,61 111.518,9913 34.356,54 4.124,47 115.643,4614 30.674,14 3.682,40 119.325,8615 27.386,42 3.287,72 122.613,5816 24.451,09 2.935,33 125.548,9117 21.830,37 2.620,72 128.169,6318 19.490,55 2.339,82 130.509,4519 17.401,52 2.089,04 132.598,4820 15.536,39 1.865,13 134.463,6121 13.871,17 1.665,22 136.128,8422 12.384,43 1.486,74 137.615,5823 11.057,04 1.327,39 138.942,9624 9.871,92 1.185,12 140.128,0825 8.813,83 1.058,09 141.186,1726 7.869,15 944,68 142.130,8627 7.025,72 843,43 142.974,2928 6.272,69 753,03 143.727,3229 5.600,37 672,32 144.399,6430 5.000,11 600,26 144.999,90

11) Un automóvil con costo de $2475 tiene una vida útil de 4 años y un valor de salvamento de $ 400. (a) determinar la tasa anual de depreciación. (b) preparar una tabla de depreciación que muestre el valor contable de cada año.

d=1−4√ 4002475


37


“DAVID AUSUBEL”

d=0.365953d=36.595337 %

año v c f c a Cd ifd

0 2475 0 0

1 1569,26633 905,733675905,733

7

2 994,988606574,277719

41480,01

1

3 630,86954364,119065

2 1844,13

4 400,000939230,868600

92074,99

9


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