introducci on a los productos de...

Introduccion a los productos deBlaschke

Andres Felipe Ortiz Rivera

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad de Ciencias y Educacion

Bogota, Colombia

2018

Introduccion a los productos deBlaschke

Andres Felipe Ortiz Rivera

Monografıa presentada como requisito parcial para optar al tıtulo de:

Matematico

Director(a):

Milton del Castillo Lesmes Acosta

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Facultad de Ciencias y Educacion

Bogota, Colombia

2018

Dedicado a

A mis padres y hermana.

Agradecimientos

Primero que nada agradezco a Dios, agradezco a mis padres por el apoyo y confianza que

han tenido en mi y en mis capacidades y por inculcarme los valores que hoy me hacen ser

quien soy, a mi hermana pues fue un gran apoyo en el transcurso de mi carrera y a Lizeth

pues durante la elaboracion de este trabajo fue un gran apoyo moral y emocional.

Agradezco a mi Director de tesis, el Doctor Milton del Castillo Lesmes Acosta, por la con-

fianza depositada en mi y por el acompanamiento y la asesoria durante la elaboracion de

este trabajo. Por ultimo, quiero agradecer a todos los profesores que me han formado aca-

demicamente durante la carrera, y tambien a mis companeros.

vii

Resumen

Es preciso aclarar que este trabajo va enfocado a presentar la definicion de un producto de

Blaschke, sus propiedades, su relacion con los espacios de Hardy y un teorema que tiene

que ver con funciones de Clase Nevanlinna y los mismos productos de Blaschke. Primero

se comienza con algo de definiciones previas que seran de importancia en el transcurso del

mismo como lo son las funciones analıticas, cabe aclarar en esta parte que tambien se hablara

sobre los polos y ceros de estas funciones. Ademas de estas funciones, tambien se presentan

las funciones subarmonicas y propiedades de dichas funciones, para luego adentrarnos en

series y sucesiones y algunos tipos de convergencia, esto se hace con el fin de entrar a

definir los productos infinitos y la equivalencia entre la convergencia de estos productos y

la convergencia de series con una forma particular, pues esto sera de ayuda para el punto

principal del trabajo. Por ultimo se definen los espacios de Hardy, las funciones de Clase

Nevanlinna y los productos de Blaschke, se mostraran propiedades de estos por medio de

proposiciones, y para finalizar se demuestra el teorema que se habia mencionado al comienzo

de este parrafo.

Palabras Clave: Funcion analıtica, Ceros de una funcion, Producto infinito, Funcion subar-

monica, Producto de Blaschke.

Abstract

It is necessary to clarify that this work is focused on the definition of a Blaschke product,

its properties, its relation with Hardy spaces and a theorem that has to do with functions

of Nevanlinna Class and Blaschke products. First we start with something like the previous

definitions that will be important in the course of the same as the analytical functions,

it is clarified in this part that also talks about the poles and zeros of these functions. In

addition to these functions, the subharmonic functions and properties of the functions are

also presented, in order to later enter series and successions and types of convergence, this

is done in order to access the infinite products and the equivalence between the convergence

of these products and the convergence of series with a particular form, since this is the main

objective of the work. Lastly, the Hardy spaces, the Nevanlinna Class functions and the

Blaschke products are defined, the properties of these are shown by means of propositions,

and finally the theorem that was mentioned at the beginning of this paragraph is shown.

Keywords: Analytical function, Zeros of a Function, Infinite Product, Subharmonic Fun-

ctions, Product of Blaschke.

viii

Introduccion

El estudio de espacios de funciones analıticas en el disco unidad representa uno de los aspectos

mas importantes del Analisis Complejo, en especial los espacios de Hardy Hp. Una manera

de introducir estos espacios es a traves del estudio de los ceros de funciones analıticas en

el disco unidad. El presente trabajo pretende explicar lo que es un producto de Blaschke,

y las funciones de clase Nevanlinna, sus propiedades y la relacion que existe entre estos

dos, junto con la relacion de los espacios ya mencionados. Un producto de Blaschke es un

producto infinito que consta de diversas factores, con infinitos ceros y polos, es ademas

una funcion analıtica en el disco unidad, y el limite radial existe en casi toda parte de

z : |z| = 1. Tambien se presenta una subclase, los productos finitos, que comparte muchas

de las propiedades que posee un producto de Blaschke infinito. Una funcion f de Clase

Nevanlinna es una funcion analıtica y medible en el sentido de Lebesgue en el disco unidad,

tal que ‖f‖N < ∞, se introducen estas dos partes para ver que se puede dar origen a una

funcion de clase Nevanlinna por medio del cociente de una funcion Nevanlinna y un producto

de Blaschke ambos con los mismos ceros.

Este trabajo busca ampliar un poco la comprension sobre los productos de Blaschke y las

funciones de Clase Nevanlinna, sus propiedades mas basicas y algo de la relacion entre estos

dos y los espacios de Hardy, pues a pesar de que el fin de este trabajo no sea profundizar en

temas que tengan que ver directamente con ellos, pues se considera importante tratar cosas

basicas pero de gran importancia.

Este trabajo consta de 4 capitulos organizados de la siguiente manera; en el Capitulo 1, se dan

definiciones previas entre estas estan la definicion de las funciones analitıcas, resaltando los

ceros y polos de estas funciones, pues una de las propiedades de los productos de Blaschke es

que posee ceros y polos; ademas de las funciones analiticas, se definen las funciones armonicas

y subarmonicas y se presentan resultados sobre este tipo de funciones.

En el Capitulo 2 se abordan las sucesiones complejas, se define las convergencia de estas

sucesiones, dandole relevancia a las series de funciones complejas, los tipos de convergencia,

ademas. se presentan resultados importantes como lo es el hecho de que si una sucesion de

funciones analıticas convergen uniformemente a una funcion limite, dicha funcion es tambien

analıtica. Ademas de esto, se presentan las series complejas, se define su convergencia y los

diferentes tipos de convergencia.

En el Capitulo 3, comenzamos definiendo un producto infinito, su convergencia, y asi poder

llegar a la seccion 3.2 que trata la equivalencia entre la convergencia de productos infinitos

y la de las series, tanto de numeros complejos como de funciones complejas, al final de este

capitulo se presenta un teorema y una proposicion, el teorema nos da la primera nocion de

producto de Blaschke, sin embargo, su definicion se presenta en el capitulo 4, pero a pesar

ix

de esto, este teorema es de gran importancia pues nos dice que el producto de Blaschke

converge a una funcion analıtica en el disco unitario; y la proposicion nos da condiciones

suficientes para que se de la convergencia uniforme y absolutamente del producto de Blaschke

en subconjuntos compactos del disco unidad.

Por ultimo, en el Capitulo 4, se definen los espacios de Hardy, presentando el concepto de

lımite radial y su existencia para funciones en Hp(D) con 1 ≤ p ≤ ∞, luego, se definen

las funciones de clase nevanlinna, se demuestra que para todo p (1 ≤ p ≤ ∞), Hp es un

subconjunto de la clase de funciones Nevanlinna, una proposicion acerca de estas funciones

donde se afirma que los ceros satisfacen la condicion de Blaschke. Y finalmente se define el

factor de Blaschke como un automorfismo de D en D, se da la definicion de un producto de

Blaschke, infinito y finito, algunas de las propiedades de productos finitos e infinitos y se

presenta un teorema que involucra tanto los productos de Blaschke como las funciones de

Clase nevanlinna, en resumidas cuentas este teorema nos permite factorizar los ceros de una

funcion f de Clase Nevanlinna con los ceros del producto de Blaschke B formado por los

ceros de dicha funcion dando origen a una funcion h = f/B no nula y que pertenece a la

funcion de Clase nevanlinna y mas aun, si f pertenece a un espacio de Hardy, entonces h

tambi’en pertenece a ese mismo espacio.

CONTENIDO

Agradecimientos V

Resumen VIII

1. Preliminares 2

1.1. Definiciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Funciones Analiticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1. Ceros y polos de una funcion Analitica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. funciones Armonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. Funciones Subarmonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2. Funciones armonicas en D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Series y sucesiones complejas 15

2.1. Convergencia de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Sucesiones de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Convergencia de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1. Convergencia Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.2. Convergencia Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Productos infinitos 26

3.1. Productos infinitos de Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2. Equivalencia en convergencia de productos y series. . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2.1. Productos infinitos de Funciones Complejas . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Productos de Blaschke y Funciones de Clase Nevanlinna 36

4.1. Espacios de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Funciones de clase Nevanlinna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3. Productos de Blaschke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

CONTENIDO 1

5. Conclusiones 54

Bibliografıa 55

CAPITULO 1

PRELIMINARES

1.1. Definiciones previas

Para dar claridad al lector, durante este trabajo el disco unidad se notara por D = z : |z| <1 y su borde por T = z : |z| = 1.

Definicion 1.1. Un espacio metrico (X, d) es conexo si los unicos subconjuntos de X que

son abiertos y cerrados son ∅ y X. Si A ⊂ X entonces A es un subconjunto conexo de X si

el espacio metrico (A, d) es conexo.

Una definicion equivalente de conexo es decir que X no es conexo si existen dos conjuntos

abiertos A y B disjuntos en X, distintos de ∅, tal que X = A∪B. En efecto, si esta condicion

se cumple entonces A = X −B sera cerrado.

Durante el transcurso del trabajo se hara uso de la funcion logw para w ∈ C, es entonces

se quiere definir logw para que satsifaga w = ez cuando z = logw. Ahora, ya que ez 6= 0

para cualquier z, no se puede definir log 0. Por lo tanto, supongamos ez = w y w 6= 0; Si

z = x+ iy entonces |w| = ex y y = argw + 2πk, para algun k, por lo tanto

ln|w|+ i(argw + 2πk) : k es cualquier entero

es el conjunto solucion para ez = w. (Note que ln|w| es el usual logaritmo real.)

Definicion 1.2. Si G es un conjunto abierto conexo en C y f : G → C es una funcion

continua tal que z = exp[f(z)] para todo z en G entonces f es una rama de el logaritmo.

1.2 Funciones Analiticas 3

1.2. Funciones Analiticas

Definicion 1.3. Si G es un conjunto abierto en C y f : G→ C entonces f es diferenciable

en un punto z0 en G si

f ′(z0) = lımz→z0

f(z)− f(z0)

z − z0

existe, el valor de este limite es denotado por f ′(z0) y es llamada la derivada de f en z0.

Nota: Si f es diferenciable en cada punto de G diremos que f es diferenciable en G. Notemos

que si f es diferenciable en G entonces f ′(a) define una funcion f ′ : G→ C. Si f ′ es continua

entonces diremos que f es dos veces diferenciable y por ultimo, una funcion diferenciable tal

que cada derivada sucesiva es de nuevo diferenciable es llamada infinitamente diferenciable.

Proposicion 1.1. Si f : G→ C es diferenciable en un punto a en G entonces f es continua

en a.

Demostracion. En efecto,

lımz→a|f(z)− f(a)| =

[lımz→a

|f(z)− f(a)||z − a|

]·[lımz→a|z − a|

]= f ′(a) · 0 = 0

Definicion 1.4. Sea G un subconjunto abierto, no vacio y conexo de C. Una funcion dife-

renciable en todo punto de G se dice que es analıtica en G.

El conjunto de funciones analıticas en un conjunto abierto G ⊂ C se notara por H(G).

Las funciones que tienen derivadas solo en puntos aislados como f(z) = |z|2 en ocasiones no

son interesantes. Por convencion, cuando digamos que f es analıtica en un punto z0 significa

que f es analitica en una vecindad del punto, es decir, es analıtica en

B(z0; r) = z : |z − z0| < r.

Definicion 1.5. Sea f : G → C. Si f ′(z) existe para todos los puntos z ∈ G, entonces la

funcion f ′ : G → C tal que z 7→ f ′(z) queda definida. Se dice que f es analıtica en z0 si y

solo si

1. f ′(z) existe para todos los puntos z en algun B(z0; r) que contiene a z0 (en particular,

f ′(z0) existe).

2. f ′ = f ′(z) es una funcion continua de z en algun B(z0; r) que contiene a z0.

Dada la anterior definicion, tambien podemos decir que una funcion f : G→ C es analitica

si f es continuamente diferenciable en G.

4 1 Preliminares

Ejemplo 1.1. Un ejemplo de funcion analıtica es f(z) = 1z

que es analıtica en cada punto

del plano complejo que sea distinto de cero.

Pero la funcion f(z) = |z|2 no es analıtica en ningun punto ya que su derivada existe solo

en z = 0 y no en ninguna vecindad de z = 0.

Nota: Las funciones racionales: h(z) = f(z)g(z)

, con dominio D = z ∈ C/g(z) 6= 0 y donde

f(z) y g(z) son polinomios. La derivada

h′(z) =g(z)f ′(z)− f(z)g′(z)

g2(z)

existe, y es continua en D.

El siguiente teorema, nos da las condiciones suficientes para que una funcion sea diferenciable,

y por tanto analitica.

Teorema 1.1. Sea la funcion f(z) = u(x, y)+iv(x, y) se define a lo largo de alguna vecindad

ε de un punto z0 = x0 + iy0, y supongamos que

las derivadas parciales de primer orden de las funciones u y v con respecto a x y y

existen en todos lados de la vecindad;

y estas derivadas parciales son continuas en (x0, y0) y satisfacen las ecuaciones de

Cauchy-Riemann

ux = vy y uy = −vx

en (x0, y0).

Entonces f ′(z0) existe y su valor esta dado por

f ′(z0) = ux + ivx

donde el lado derecho de la igualdad es evaluado en (x0, y0).

Demostracion. Ver [2], Pagina 66.

Ejemplo 1.2. Consideremos la funcion f(z) = e−y senx− ie−y cosx de donde

u(x, y) = e−y senx y v(x, y) = −e−y cosx

derivando se obtiene∂u

∂x= e−ycosx y

∂u

∂y= −e−ysenx

y∂v

∂x= e−ysenx y

∂v

∂y= e−ycosx


Claramente las derivadas parciales de primer orden de cada una de las funciones son conti-

nuas en todo el plano complejo, ahora veamos que f(z) satisface las ecuaciones de Cauchy-

Riemman∂u

∂x= e−ycosx =

∂v

∂y

∂u

∂y= −e−ysenx = −∂v

∂x

se satisfacen para todo z = x + iy ∈ C luego f es una funcion analitica en todo el plano

complejo.

Cuando una funcion f es analıtica en todo punto del plano complejo se dice que es una

funcion entera.

Teorema 1.2 (Regla de la cadena). Sean f y g dos funciones analiticas en G y Ω

respectivamente y supongamos que f(G) ⊂ Ω. Entonces g f es analitica en G y

(g f)′(z) = g′(f(z))f ′(z)

para todo z ∈ G.


Proposicion 1.2. Sea G y Ω dos subconjuntos abiertos de C. Supongamos que f : G → Cy g : Ω→ C son funciones continuas tal que f(G) ⊂ Ω y g(f(z)) = z para todo z ∈ G. Si g

es diferenciable y g′(z) 6= 0, f es diferenciable y

f ′(z) =1

g′(f(z))

Si g es analıtica, f es analıtica.

Demostracion. Fijando a ∈ G sea h ∈ C tal que h 6= 0 y a+h ∈ G. Por lo tanto a = g(f(a))

y a+ h = g(f(a+ h)) esto implica que f(a) 6= f(a+ h). Ademas

1 =g(f(a+ h))− g(f(a))

h

=g(f(a+ h))− g(f(a))

f(a+ h)− f(a)· f(a+ h)− f(a)

h

Ahora el limite de el lado izquierdo cuando h → 0 es, por supuesto, 1; luego el limite de el

lado derecho existe. Ya que lımh→0

[f(a+ h)− f(a)] = 0,

lımh→0

g(f(a+ h))− g(f(a))

f(a+ h)− f(a)= g′(f(a))

6 1 Preliminares

Por lo tanto, obtenemos

lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h

existe ya que g′(f(a)) 6= 0 y 1 = g′(f(a))f ′(a). Ası, f ′(z) = 1g′(f(z))

. Si g es analıtica entonces

g′ es continua y por lo tanto f es analıtica, pues es cociente de dos funciones continuas y

g′(z) 6= 0.

Corolario 1.1. Una rama de la funcion logaritmo es analtica y su derivada es z−1

Sea z(t) la parametrizacion de una curva C, cuando solo los valores inicial y final de z(t) son

el mismo, un contorno C se llamara contorno cerrado simple.

Teorema 1.3. (Formula integral de Cauchy)

Sea f una funcion analıtica en un dominio siplemente conexo Ω, y sea C un camino cerrado

simple orientado positivamente contenido en el interior de Ω, entonces para cualquier z0 en

el interior de Ω y en C se tiene que

f(z0) =1

2πi

∫γ

f(z)

z − z0

dz

Demostracion. Ver [8], pagina 164.

Teorema 1.4. Sea f una funcion analıtica en una bola B(z0; r). Entonces f(z) tiene una

representacion en series de potencias

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n (1-1)

donde an = f (n)(z0)n!

.


La idea principal del teorema es que la serie en (1-1) converge a una funcion f analıtica,

para todo z ∈ B(z0; r)

Teorema 1.5. Sea f una funcion analıtica en un dominio r1 < |z − z0| < r2, centrado en

z0 y denotemos por C un contorno cerrado simple orientado positivamente alrededor de z0,

sobre el dominio. Entonces, en cada punto del dominio, f(z) tiene representacion en series

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n +∞∑n=1

bn(z − z0)n

(r1 < |z − z0| < r2). (1-2)

donde

an =1

2πi

∫C

f(z)

(z − z0)n+1dz (n = 0, 1, 2, ...)

y

bn =1

2πi

∫C

f(z)

(z − z0)1−ndz (n = 1, 2, ...)



Si f(z) tiene una representacion en series de Laurent, se puede ver como sigue

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n +b1

z − z0

+b1

(z − z0)2+ · · ·+ bn

(z − z0)n+ · · ·

La parteb1

z − z0

+b1

(z − z0)2+ · · ·+ bn

(z − z0)n+ · · · (1-3)

de la serie, involucra potencias negativas de (z − z0), es llamada la parte principal de f en

z0. Ahora usaremos la parte principal para identificar la singularidad aislada z0 como uno

de tres tipos especiales, que veremos en la proxima subseccion.

1.2.1. Ceros y polos de una funcion Analitica.

Diremos que una funcion f tiene un cero en z0 si f(z0) = 0. En este caso se analizan los

ceros de una funcion analıtica, pues nos sera de utilidad mas adelante. Antes que nada, se

presenta el siguiente teorema, pues nos da la existencia de los ceros para un polinomio P (z)

y los productos de Blaschke finitos se pueden ver como polinomios.

Teorema 1.6. Teorema Fundamental del Algebra Cualquier polinomio P (z) no constante

de grado n(n ≥ 1) tiene por lo menos un cero.


Definicion 1.6. Sea f una funcion analıtica en un punto z0. Si f(z0) = 0 y si existe un

entero positivo m tal que f (m)(z0) 6= 0 y cada derivada de orden menor que m en z0 se anule,

diremos que f tiene un cero de orden m en z0.

Teorema 1.7. Sea f una funcion analitica en un punto z0. f tiene un cero de orden m en

z0 si y solo si existe una funcion g, la cual no se anula y es analıtica en z0, tal que

f(z) = (z − z0)mg(z).

Demostracion. Sabemos que si una funcion es analıtica en un punto z0, entonces admite

representacion en series de Taylor en B(z0; δ).

(←) Supongamos que f(z) = (z − z0)mg(z) y g(z) es analıtica en z0, por lo tanto, g admite

representacion en series de Taylor

g(z) = g(z0) + g′(z0)(z − z0) +g′′(z0)

2(z − z0)2 + · · ·

8 1 Preliminares

en alguna B(z0; δ), equivalentemente

f(z) = g(z0)(z − z0)m + g′(z0)(z − z0)m+1 +g′′(z0)

2(z − z0)m+2 + · · ·

De esta forma esto representa una serie de Taylor para f(z), entonces f (m−1)(z0) = 0 y

f (m)(z0) = m!g(z0) 6= 0 Por lo tanto z0 es un cero de f de orden m.

(→) Supongamos que f tiene un cero de orden m en z0, la analiticidad en z0 y ya que

f (m−1)(z0) = 0 en B(z0; δ), f tiene una representacion en series de Taylor

f(z) =∞∑n=m

f (n)(z0)

n!(z − z0)n

= (z − z0)m[f (m)(z0)

m!+f (m+1)(z0)

(m+ 1)!(z − z0) + · · ·

]Asi, f(z) = (z − z0)mg(z) donde g(z) esta dado en la anterior ecuacion.

La convergencia de esta ultima serie en B(z0; δ) asegura que g es analıtica en esa bola, en

particular, en z0. Y ya que f tiene un cero de orden m en z0 entonces g(z0) = f (m)(z0)/m! 6=0.

Definicion 1.7. Se dira que una funcion f tiene una singularidad en z0 si f no es analıtica

en z0, pero para toda B(z0, r), existen puntos zv ∈ B(z0; r) donde f es analıtica.

Definicion 1.8. Una funcion f tiene una singularidad aislada en z0 si f no es analıtica en

z0, y existe un numero ε > 0 tal que f es analıtica en B(z0; ε).

Ejemplo 1.3. La funcion

f(z) =1

sin(π/z)

tiene singularidades en los puntos z = 0 y z = 1n

(n = ±1,±2, ...) todos estos sobre el

segmento de el eje real entre z = −1 y z = 1. Cada punto singular excepto z = 0 es aislado,

pues para todo n ∈ N basta tomar ε = mın∣∣ 1

n− 1

n+1

∣∣ , ∣∣ 1n− z∣∣ <, para que 1/n sea la unica

singularidad en B(1/n; ε).

El punto z = 0 no es aislado por que para un ε dado y m cualquier entero positivo tal que

m > 1/ε, el hecho de que 0 < 1/m < ε significa que el punto z = 1/m se encuentra en

B(0; ε).

Existen tres tipos de singularidades aisladas las cuales son: las singularidades removibles, los

polos y las singularidades esenciales, en este trabajo solo daremos definiciones y teoremas

respecto a los polos, pues los productos de Blaschke que se veran en el capitulo 4, poseen

polos. Veamos el siguiente teorema que nos caracteriza un polo de una funcion y su orden.

1.3 funciones Armonicas 9

Definicion 1.9. Si la parte principal de f en z0 dada por la ecuacion (1-3) contiene al menos

un termino distinto de cero pero la cantidad de tales terminos es solo finito, entonces existe

un entero positivo m ≥ 1 tal que bm 6= 0 y bm+1 = bm+2 = · · · = 0. Esto es

f(z) =∞∑n=0

an(z − z0)n +b1

z − z0

+b1

(z − z0)2+ · · ·+ bm

(z − z0)m

donde bm 6= 0. En este caso, la singularidad aislada z0 es llamada un polo de orden m . Un

polo de orden m = 1 diremos que es un polo simple.

Teorema 1.8. Una singularidad aislada z0 de una funcion f es un polo de orden m si y

solo si f(z) puede expresarse como sigue

f(z) =ϕ(z)

(z − z0)m

donde ϕ(z) es analıtica y no nula en z0. Y ademas

Resz=z0f(z) = φ(z0) si m = 1

y

Resz=z0f(z) =φ(m−1)(z0)

(m− 1)!si m ≥ 2.

Demostracion. ver [2], Pagina 244.

1.3. funciones Armonicas

Definicion 1.10. Si G es un subconjunto abierto de C entonces la funcion u : G → R es

armonica si u tiene segundas derivadas parciales continuas y

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2= 0

Esta ecuacion es llamada LA ECUACION DE LAPLACE.

Definicion 1.11. Si f : G → C es una funcion analıtica entonces u = <f y v = =f son

llamadas armonicas conjugadas

Teorema 1.9. Sean u y v dos funciones de valor real definidas en una region G y supongamos

que u y v tienen derivadas parciales continuas. Entonces f : G → C definida por f(z) =

u(z) + iv(z) es analıtica si y solo si satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

10 1 Preliminares

De ahora en adelante, por simplicidad, cuando se mencione el termino “region”, se estara

hablando de un subconjunto no vacio, abierto y conexo del plano complejo.

Supongamos que G es una region en el plano y u : G→ R es armonica. y si nos preguntamos

si es posible que exista una funcion v : G→ R tal que f = u+ iv sea analıtica en G?.

Teorema 1.10. Una funcion f en una region G es analitica si y solo si <f = u y =f = v

son funciones armonicas que satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Diremos que v el armonico conjugado de u.

Teorema 1.11. Sea G todo el plano complejo C o algun disco abierto de C. Si u : G → Res una funcion armonica entonces u tiene un conjugado armonico en G.


Del ultimo teorema, podemos afirmar que para cada funcion en una region simplemente

conexa tiene un armonico conjugado. Si u es una funcion armonica en G y D es un disco tal

que D ⊂ G, entonces existe una funcion armonica v en D tal que u+ iv es analıtica en D.

Proposicion 1.3. Si f : G → C es armonica entonces f es infinitamente diferenciable en

G.

Demostracion. Fijando z0 = x0 + iy0 en G y escojamos r tal que B(z0; r) ⊂ G. Entonces

f tiene una armonica conjugada g en B(z0; r). Es decir, h = f + ig es analıtica y por

lo tanto infinitamente diferenciable en B(z0; r), de esto se sigue que f es infinatemente

diferenciable.

Nota: La anterior proposicion nos proporciona un resultado que mas adelante sera utilizado,

es el hecho de que toda funcion armonica es una funcion diferenciable y por tanto analıtica.

Ejemplo 1.4. Consideremos la funcion f(z) = iz2

es analıtica para z 6= 0 y ya que

i

z2=

i

z2

z2

z2=

iz2

(zz)2=iz2

|z|4=

2xy + i(x2 − y2)

(x2 + y2)2

las dos funciones

u(x, y) =2xy

(x2 + y2)2y v(x, y) =

x2 − y2

(x2 + y2)2

son armonicas en cualquier region del plano xy que no contenga el origen.

Ejemplo 1.5. Supongamos que u(x, y) = x2 − y2 y v(x, y) = 2xy Dado que estas son

las componentes reales e imaginarias, respectivamente, de la funcion completa f(z) = z2,

sabemos que v es un conjugado armonico de u en todo el plano. Pero u no puede ser un

conjugado armonico de v dado que la funcion 2xy + i(x2 − y2) no es analıtica en ninguna

parte, ya que no satisface las ecuaciones de Cuachy-Riemman.


El siguiente teorema se presenta como una parte de un teorema mucho mas general, que se

puede ver en [3], Pag.202.

Teorema 1.12. Una region G es simplemente conexa si y solo si para cada funcion armonica

u en G existe una funcion armonica v en G tal que f = u+ iv es analitica en G.

Demostracion. Ver [3], Pag.202.

Teorema 1.13. (Teorema del Valor medio)

Sea u : G→ R una funcion armonica y sea B(a; r) un disco cerrado contenido en G. Si γ es

el circulo |z − a| = r entonces

u(a) =1

2π

∫ 2π

0

u(a+ reiθ)dθ

Demostracion. Sea D un disco tal que B(a; r) ⊂ D ⊂ G y sea f una funcion analitica en D

tal que u = <f . De la formula integral de Cauchy es facil ver que

f(a) =1

2π

∫ 2π

0

f(a+ reiθ)dθ

Tomando la parte real a cada lado de la ecuacion se completa la prueba.

1.3.1. Funciones Subarmonicas

Segun el contexto, en el cual se esta trabajando, se dara la definicion de una funcion semi-

continua superiormente definida en C.

Definicion 1.12. Sea f : Ω → R donde Ω ⊂ C es un conjunto abierto y sea V = z ∈Ω: f(z) < β para todo β ∈ R. Diremos que f es una funcion semicontinua superiormente

en el conjunto Ω si para cada z0 ∈ V , existe δ > 0 tal que B(z0, δ) ⊂ V .

Se puede mostrar que una funcion f es semicontinua superiormente en Ω si y solo si para

todo z ∈ Ω se tiene que

lım supz→z0

f(z) ≤ f(z0)

Sin embargo, eso se escapa del proposito de este trabajo.

Nota: Si recordamos la definicion de una funcion continua en un subconjunto de Rn, es

facil ver que, toda funcion continua es superiormente continua, y asi como la continuidad es

puntual tambien lo es la semicontiniudad superiormente.

Definicion 1.13. Sea G un subconjunto abierto de C, una funcion ϕ : G → [−∞,∞) es

una funcion subarmonica si ϕ es semicontinua superiormente y para cada B(a; r) ⊂ G, se

tiene que

ϕ(a) ≤ 1

2π

∫ 2π

0

ϕ(a+ reiθ)dθ

Y ϕ : G→ R ∪ +∞ es una funcion superarmonica si −ϕ es subarmonica.

12 1 Preliminares

En algunos libros o textos, en la anterior definicion, se pide la continuidad de f sin embargo,

esa hipotesis es posible debilitarla, pidiendose que la funcion f sea semicontinua superior-

mente.

Teorema 1.14. Si u es una funcion subarmonica en G tal que −∞ ≤ a ≤ u(z) ≤ b < ∞para todo z ∈ G y φ : [a, b] → [−∞,∞) es una funcion creciente y convexa, entonces φ ues subarmonica.


Teorema 1.15. Sea u una funcion continua y subarmonica en Ω, y sea K ⊂ Ω compacto,

f es una funcion real continua en K la cual es armonica en el interior de K, y u(z) ≤ f(z)

para todos los puntos limite de K. Entonces u(z) ≤ f(z) para todo z ∈ K.


Proposicion 1.4. Si u es una funcion subarmonica y continua en G entonces

M(r) =1

2π

∫ 2π

0

u(reiθ)dθ

es una funcion creciente dentro del intervalo [0, 1).

Demostracion. Sean r1, r2 tal que r1 < r2 y sea f una funcion continua en B(0; r2) ⊂ G la

cual coincide con u en el borde de B(0; r2) y es armonica en B(0; r2). Luego, por el teorema

1.15, u(z) ≤ f(z) para todo z ∈ B(0; r2). Y por lo tanto

M(r1) =1

2π

∫ 2π

0

u(r1eiθ)dθ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

f(r1eiθ)dθ = f(0) =

1

2π

∫ 2π

0

f(r2eiθ)dθ = M(r2)

Es decir que M(r) es una funcion creciente dentro del intervalo [0, 1).

1.3.2. Funciones armonicas en D.

Definicion 1.14. la funcion

Pr(θ) =∞∑

n=−∞

r|n|einθ

para 0 ≤ r < 1 y −∞ < θ <∞, es llamada el kernel de Poisson.

Existe una forma mas sencilla de expresar el kernel de Poisson, veamos:

Sea z = reiθ, 0 ≤ r < 1; entonces


1 + reiθ

1− reiθ= (1 + z)(1 + z + z2 + ...)

= 1 + 2∞∑n=1

zn

= 1 + 2∞∑n=1

rneinθ

Por lo tanto

<(

1 + reiθ

1− reiθ

)= 1 + 2

∞∑n=1

rn cosnθ

= 1 +∞∑n=1

rn(einθ + e−inθ)

= Pr(θ)

Ademas1 + reiθ

1− reiθ=

1 + reiθ − re−iθ − r2

|1− reiθ|2

Asi que

Pr(θ) =1− r2

1− 2rcosθ + r2= <

(1 + reiθ

1− reiθ

)(1-4)

Proposicion 1.5. El kernel de Poisson satisface las siguientes propiedades:

1.1

2π

∫ π

−πPr(θ)dθ = 1;

2. Pr(θ) > 0 para todo θ, Pr(−θ) = Pr(θ) y Pr es periodica en θ con periodo 2π;

3. Pr(θ) < Pr(δ) si 0 < δ < |θ| ≤ π;

4. Para cada δ > 0, lımr→1−

Pr(θ) = 0 uniformemente en θ para π ≥ |θ| ≥ δ


Teorema 1.16. Supongamos que f : T → R es una funcion continua. Entonces existe una

funcion continua u : D→ R tal que

1. u(z) = f(z) para z ∈ T;

2. u es armonica en D.

14 1 Preliminares

Ademas u es unico y esta definida por la formula

u(reiθ) =1

2π

∫ π

−πPr(θ − t)f(eit)dt (1-5)

Para 0 ≤ r <, 0 ≤ θ ≤ 2π


Corolario 1.2. Si u : D→ R es una funcion continua que es armonica en D entonces

u(reiθ) =1

2π

∫ π

−πPr(θ − t)u(eit)dt

Para 0 ≤ r < 1 y para todo θ. Ademas, u es la parte real de la funcion analitica

f(z) =1

2π

∫ π

−π

eit + z

eit − zu(eit)dt

Demostracion. La primera parte del corolario es consecuencia directa de el teorema anterior

y la segunda parte se sigue de el hecho que f es una funcion analitica y la ecuacion (1-4)

CAPITULO 2

SERIES Y SUCESIONES COMPLEJAS

Antes que nada, necesitamos familiarizarnos con conceptos claves que se usaran como las

sucesiones y series complejas, y la convergencia de estas mismas.

2.1. Convergencia de sucesiones

Definicion 2.1. Una sucesion infinita de numeros complejos z1, z2, ..., zn, ... tiene un lımite

z, si para cada numero positivo ε, existe un entero positivo n0 tal que

|zn − z| < ε

cuando n > n0.

Nota: Geometricamente, esto significa que para valores suficientemente grandes de n, los

puntos zn se encuentran en cualquier vecindario de z dado. Ya que podemos elegir ε tan

pequeno como se quiera. Se debe tener en cuenta que el valor de n0 que se necesita, en

general, dependera del valor de ε.

La sucesion puede tener como maximo un lımite. Es decir, un lımite z es unico si existe.

Cuando ese lımite existe, se dice que la sucesion converge a z; y escribimos

lımn→∞

zn = z

Si la sucesion no tiene lımite, entonces diverge.

Teorema 2.1. Supongamos que zn = xn + yn (n = 1, 2, ...) y z = x+ iy. Entonces

lımn→∞

zn = z (2-1)

si y solo si

lımn→∞

xn = x y lımn→∞

yn = y (2-2)

16 2 Series y sucesiones complejas

Demostracion. Primero, supongamos que (2-2) se satisface. De acuerdo con ello, para cada

ε > 0 existen enteros positivos n1 y n2 tal que

|xn − x| <ε

2cuando n > n1

y

|yn − y| <ε

2cuando n > n2

Por lo tanto, si n0 es el mayor de los enteros n1 y n2,

|xn − x| <ε

2y |yn − y| <

ε

2cuando n > n0

ya que

|(xn + iyn)− (x+ iy)| = |(xn − x) + i(yn − y)| ≤ |xn − x|+ |yn − y|

se tiene que

|zn − z| <ε

2+ε

2= ε cuando n > n0

asi, se cumple (2-1).

Ahora, suponiendo que (2-1) se satisface, se sabe que por cada ε > 0, existe un entero positivo

n0 tal que

|(xn + iyn)− (x+ iy)| < ε cuando n > n0

Pero

|xn − x| ≤ |(xn − x) + i(yn − y)| = |(xn + iyn − (x+ iy)|

y

|yn − y| ≤ |(xn − x) + i(yn − y)| = |(xn + iyn)− (x+ iy)|

entonces

|xn − x| < ε y |yn − y| < ε cuando n > n0

y asi se satisface (2-2).

Este teorema nos permite escribir

lımn→∞

(xn + iyn) = lımn→∞

xn + lımn→∞

yn

siempre que sepamos que existen ambos lımites a la derecha o que el de la izquierda existe.

Veamos un pequeno ejemplo:

Ejemplo 2.1. Sea la siguiente sucesion

zn =1

n3+ i n = 1, 2, ...

esta converge a i ya que

lımn→∞

(1

n3+ i

)= lım

n→∞

1

n3+ i lım

n→∞1 = 0 + i = i

2.1 Convergencia de sucesiones 17

La definicion 1 tambien se utilizara para obtener este resultado. Mas precisamente, para cada

ε > 0,

|zn − i| =1

n3< ε cuando n >

13√ε

2.1.1. Sucesiones de funciones complejas

Una sucesion de funciones es una aplicacion que a cada numero natural n le hace corres-

ponder una funcion. Sean fn(z) para todo n ∈ N y f(z) funciones complejas definidas en un

subconjunto G ⊂ C, sea z0 un punto cualquiera de G y fn(z)n∈N una sucesion de funciones

complejas.

Veamos los diferentes tipos de convergencias para estas sucesiones

Definicion 2.2. La sucesion fn(z)n∈N converge en el punto z0 a f(z0) si

lımn→∞

fn(z0) = f(z0)

o tambien, si ∀ε > 0,∃N ∈ N tal que ∀n > N , se tiene que

|fn(z0)− f(z0)| < ε

.

Definicion 2.3 (Convergencia puntual). La sucesion fn(z)n∈N converge puntualmente

a la funcion f(z) en G si para cada z0 ∈ G y para cada ε > 0 existe N ∈ N tal que

|fn(z0)− f(z0)| < ε.

Siempre cabe aclarar que en la convergencia puntual la existencia del N depende del punto

z0 y de ε.

Definicion 2.4 (Convergencia uniforme). La sucesion fn(z)n∈N converge uniforme-

mente a la funcion f(z) en G si para cada ε > 0 existe N ∈ N tal que para todo z ∈ G y

todo n > N se tiene que

|fn(z)− f(z)| < ε

.

Y en este tipo de convergencia, es preciso que para cada ε > 0 fijo exista un N , que es inde-

pendiente del punto z que se tome. Y terminamos esta seccion mostrando esta proposicion

y teorema que tiene que ver con las funciones analiticas de las que se hablo en el capitulo 1.

Proposicion 2.1. Supongamos que fn(z) es analitica en un subconjunto abierto Gn de C y

que la sucesion fn(z)n∈N converge a una funcion limite f(z) en un subconjunto abierto G

de C uniformemente en cada subconjunto compacto de G. Entonces f(z) es analitica en G.


Demostracion. La analiticidad de f(z) se sigue del teorema de Morera. Sea |z − a| ≤ r un

disco cerrado contenido en G; los Gn forman un cubrimiento del disco |z − a| ≤ r y por el

teorema de Heine-Borel, este disco es compacto y por lo tanto admite un subrecubrimiento

finito, en este caso un Gn0 fijo y esto implica que este disco se encuentra en Gn, para todo

n mas grande que un n0. Si γ es una curva cerrada contenida en |z − a| < r, por el teorema

de cauchy, para n > n0 se tiene que ∫γ

fn(z)dz = 0

debido a la convergencia uniforme∫γ

f(z)dz = lımn→∞

∫γ

fn(z)dz = 0

y ası por el teorema de Morera, f(z) es analıtica en el disco |z − a| < r y por lo tanto en

todo G.

2.2. Convergencia de series

Definicion 2.5. Una serie infinita∞∑n=1

zn (2-3)

de numeros complejos converge a la suma S si la sucesion

SN =N∑n=1

zn = z1 + z2 + ...+ zN N = 1, 2, ... (2-4)

de sumas parciales converge a S, y se escribe S =∞∑n=1

zn

Tenga en cuenta que dado que una secuencia puede tener como maximo un lımite, una serie

puede tener como maximo una suma. Cuando una serie no converge, decimos que diverge.

Teorema 2.2. Suponga que zn = xn + yn (n = 1, 2, ...) y S = X + iY . Entonces

S =∞∑n=1

zn (2-5)

si y solo si∞∑n=1

xn = X y∞∑n=1

yn = Y (2-6)

2.2 Convergencia de series 19

Demostracion. Por la ecuacion (2-4) podemos escribir las sumas parciales como

SN = XN + iYN (2-7)

donde

XN =N∑n=1

xn y YN =N∑n=1

yn

Ahora, la ecuacion (2-5) es cierta si y solo si

lımN→∞

SN = S (2-8)

y, en vista de la ecuacion (2-7) y el teorema 1, el lımite (2-8) se mantiene si y solo si

lımN→∞

XN = X y lımN→∞

Y N = Y

Asi, estos limites implican la propoisicion (2-5), y viceversa. Ya que XN y YN son las sumas

parciales de las series (2-6), y asi el teorema ha sido probado.

Este teorema puede ser util para mostrar que algunas propiedades familiares de series en

calculo se transfieren a series de numeros complejos. Se incluyen aquı dos de esas propiedades

y las presentamos como corolarios.

Proposicion 2.2. Si una serie de numeros complejos converge, el n-esimo termino converge

a cero cuando n tiende a infinito.

Demostracion. Asumiendo que la serie (2-3) converge, sabemos por el teorema anterior que

si

zn = xn + iyn (n = 1, 2, ...)

entonces cada una de las series∞∑n=1

xn y

∞∑n=1

yn. (2-9)

convergen. Sabemos, ademas, del calculo que el n-esimo termino de una serie de numeros

reales convergente se acerca a cero cuando n→∞ y por el teorema 2.1,

lımn→∞

zn = lımn→∞

xn + i lımn→∞

yn = 0 + i · 0 = 0

y queda demostrado el corolario.

Este corolario nos proporciona una condicion necesaria mas no suficente para la convergencia

de una serie compleja.

De este corolario se desprende que los terminos de las series convergentes son acotados.

Es decir, cuando la serie (2-3) converge, existe una constante M > 0 tal que |zn| ≤ M para

cada entero positivo n.


Al establecer el hecho de que la suma de una serie es un numero dado S, a menudo es

conveniente para definir el resto ρN despues de N terminos, usando las sumas parciales

(2-4):

ρN = S − SN .

Ası S = SN + ρN ; y ya que |SN − S| = |ρN − 0| vemos que una serie converge a un numero

S si y solo si la sucesion de residuos tiende a cero.

En las series, que involucran una variable z, denotaremos sumas, sumas parciales y residuos

por S(z), SN(z) y ρN(z), respectivamente.

Ejemplo 2.2. Con la ayuda de los residuos, es facil verificar la convergencia de la siguiente

serie∞∑n=0

zn =1

1− zcuando |z| < 1 (2-10)

utilizando la siguiente identidad

1 + z + z2 + · · ·+ zn =1− zn+1

1− z(z 6= 1)

para escribir las sumas parciales

SN(z) =N−1∑n=0

zn = 1 + z + z2 + · · ·+ zN−1 (z 6= 1)

luego

SN(z) =1− zN

1− zSi

S(z) =1

1− zentonces,

ρN(z) = S(z)− SN(z) =zN

1− z(z 6= 1)

Asi

|ρN(z)| = |z|N

|1− z|

De esto es claro que los residuos ρN(z) tienden ca cero cuando |z| < 1 pero no cuando

|z| ≥ 1. La formula (2-10) queda establecida.


Otra propiedad importante de una serie de numeros complejos que se desprende de una

propiedad correspondiente en calculo, es que la serie (2-3) se dice que es absolutamente

convergente si la serie

∞∑n=1

|zn| =∞∑n=1

√x2n + y2

n (zn = xn + iyn)

converge.

2.2.1. Convergencia Absoluta

Definicion 2.6. La serie∞∑n=1

zn es absolutamente convergente si y solo si∞∑n=1

|zn| es

convergente.

Definicion 2.7. Una serie convergente que no es absolutamente convergente se dira que es

condicionalmente convergente.

Ejemplo 2.3. La serie

∞∑n=1

(−1)n+1

n= 1− 1

2+

1

3− 1

4+ · · ·

es condicionalmente convergente, ya que converge a log 2 pero

∞∑n=1

∣∣∣∣(−1)n+1

n

∣∣∣∣ = 1 +1

2+

1

3+

1

4+ · · ·

diverge. En cambio la serie

∞∑n=1

(−1)n+1

n2= 1− 1

4+

1

9− 1

16+ · · ·

si es absolutamente convergente, ya que

∞∑n=1

∣∣∣∣(−1)n+1

n2

∣∣∣∣ =∞∑n=1

(1

n

)2

= 1 +1

4+

1

9+

1

16+ · · · = 2

Corolario 2.1. La convergencia absoluta de una serie de numeros complejos implica la

convergencia de la serie.


Demostracion. Asumamos que la serie∞∑n=1

zn converge absolutamente. Ya que

|xn| ≤√x2n + y2

n y |yn| ≤√x2n + y2

n

Sabemos por la prueba de comparacion en calculo que las dos series

∞∑n=1

|xn| y∞∑n=1

|yn|

deben converger. Por otra parte, desde la convergencia absoluta de una serie de numeros

reales implica la convergencia de la serie misma, se deduce que las series en (2-9) convergen.

En vista del teorema 2.2, entonces, la serie (2-3) converge. Esto termina la prueba.

2.2.2. Convergencia Uniforme

Cuando empezamos a hablar de convergencia uniforme de Serie complejas, trabajamos sobre

las sucesiones de funciones complejas, veamos primero como es la convergencia de una serie

de funciones complejas.

Definicion 2.8. Se dira que la serie∞∑n=1

fn(z) converge en el punto z0 ∈ G si para cada

ε > 0 existe N ∈ N tal que ∀n > N se tiene que∣∣∣∣∣∞∑i=n

fi(z0)

∣∣∣∣∣ < ε

Definicion 2.9. Una serie de funciones es una serie cuyos terminos son funciones fn(z),

definidas en un mismo dominio (donde se encuentran bien definidas) E, y esta dada como

sigue∞∑n=1

fn(z) = f1(z) + f2(z) + · · ·+ fn(z) + · · · (2-11)

Si la serie obtenida para cada valor de z ∈ E es convergente, la serie define una funcion S(z)

que es su suma en E,

S(z) =∞∑n=1

fn(z) ∀z ∈ E. (2-12)

A la convergencia en cada punto se le denomina Convergencia puntual de la serie de

funciones.

Y basandonos en la definicion 2.8 se dira que la serie∞∑n=1

fn(z) converge puntualmente si esta

converge para todo z0 ∈ G.


Definicion 2.10. Sea∞∑n=1

fn(z) = S(z) una serie de funciones convergente en E. La serie

se dice que es uniformemente convergente si y solo si ∀ε > 0 ∃ν(ε) tal que ∀n > ν y

∀z ∈ E, |Sn(z)− S(z)| < ε.

Nota: La diferencia con la convergencia puntual es que en esta ν(ε, z0) puede depender del

punto z0 y en la convergencia uniforme ν(ε) tiene que ser comun para todos los puntos de

E. La convergencia uniforme implica convergencia puntual.

Otra forma de definir la convergencia uniforme de una serie de funciones es:

Definicion 2.11. La serie∞∑k=1

fn converge uniformemente en G si ∀ε > 0, ∃N ∈ N tal que

para todo z ∈ G y ∀n > N se tiene que∣∣∣∣∣∞∑

n=N+1

fn(z)

∣∣∣∣∣ < ε.

Proposicion 2.3. (Criterio de Weierstrass)

Una condicion suficiente para que la serie∞∑n=1

fn(x) sea uniformemente convergente sobre K

es que exista m ∈ N tal que∞∑n≥m

‖fn‖K < +∞

Demostracion. Para cada x ∈ K la serie∞∑n=1

fn(x) es absolutamente convergente por que

|fn(x)| ≤ ‖fn‖K . Si f : K → C es su suma y Sn =n∑k=1

fk, para todo n ≥ m y todo x ∈ K se

cumple

|f(x)− Sn(x)| =

∣∣∣∣∣∑k>n

fk(x)

∣∣∣∣∣ ≤∑k>n

|fk(x)| ≤∑k>n

‖fk‖K

luego ‖f − Sk‖K ≤ εn donde εn : =∑k>n

‖fk‖K es una sucesion que tiende hacia 0. Esto

significa que Sn converge hacia f uniformemente sobre K.

Al aplicar el criterio de Weierstrass. Basta encontrar una serie numerica∞∑n=1

Mn convergente

tal que, para todo m ≤ n en adelante, se cumpla |fn(x)| ≤Mn para todo x ∈ K.


Ejemplo 2.4. Veamos que la serie

∞∑n=0

(1/2

n

)zn

converge uniformemente sobre z : |z| < 1.tomando an =

(1/2n

)se tiene que

lımn→∞

∣∣∣∣ anan+1

∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣∣(

1/2n

)(1/2n+1

)∣∣∣∣∣ = lımn→∞

∣∣∣∣(n+ 1)(1/2− (n+ 1))!

(1/2− n)!

∣∣∣∣ = 1

luego el radio de convergencia de la serie es 1. y segun el criterio de Weierstrass, basta con

ver que∑∞

n=1 |an| converge. Veamos

Ya que (1/2 − n)! = ±1 dependiendo de n, se cumple que an = (−1)n+1|an|, asi pues, para

0 < r < 1,

∞∑n=1

|an|rn = 1−∞∑n=1

an(−r)n = 1− (√

1− r − 1) = 2−√

1− r

y ya que 2−√

1− r ≤ 2 entonces∑∞

n=1 |an|rn ≤ 2. Y por lo tanto la serie original converge.

Corolario 2.2. Si∞∑n=1

fn(z) es uniformemente convergente en E tambien lo es en todo

subconjunto de E.

Demostracion. Por definicion, se tiene que ∀ε > 0,∃ν(ε) y ∀z ∈ E |Sn(z) − S(z)| < ε en

particular se tendra para todo z perteneciente a un subconjunto de E.

Teorema 2.3. Si∞∑n=1

fn(z) converge uniformemente en un conjunto E y para todo n, fn(z)

es una funcion continua en E, entonces su suma S(z) es tambien una funcion continua en

E.

Demostracion. Por ser∞∑n=1

fn(z) uniformemente convergente, para cualquier ε > 0 hay un

ν(ε) tal que

|S(z0)− Sn(z0)| < ε y |S(z)− Sn(z)| < ε, ∀n > ν (2-13)

siendo z, z0 ∈ E cualesquiera. Ademas, por ser Sn(z) continua en E, existe un δ(ε, n, z0) > 0

tal que

|Sn(z)− Sn(z0)| < ε siempre que |z − z0| < δ

Por la desigualdad triangular se deduce que |S(z) − S(z0)| < 3ε siempre que |z − z0| < δ y

en consecuencia S(z) es continua en z0.


Teorema 2.4. Si∞∑n=0

an es absolutamente convergente, y |fn(z)| ≤ |an| para todo n y ∀z ∈ E,

entonces∞∑n=1

fn(z)

es uniforme y absolutamente convergente en E.

Demostracion. La convergencia absoluta es evidente ya que la serie de funciones esta acotada

termino a termino por una serie absolutamente convergente. Por otro lado, la convergencia

absoluta de∞∑n=0

an implica que ∀ε > 0 ∃ν(ε) tal que∞∑n>ν

|an| < ε. Entonces

|S(z)− Sν(z)| =

∣∣∣∣∣∞∑n>ν

fn(z)

∣∣∣∣∣ ≤∞∑n>ν

|fn(z)| ≤∞∑n>ν

|an| < ε

puesto que ν(ε) es comun a todos los puntos de E la convergencia es uniforme.

CAPITULO 3

PRODUCTOS INFINITOS

3.1. Productos infinitos de Numeros Complejos

Definicion 3.1. Si an∞n=1 es una sucesıon de numeros complejos no nulos, diremos que el

producto∞∏n=1

an converge a P , si la sucesion de productos parciales PN = a1a2 · · ·aN converge

a un limite no nulo P .

Nota: Si los productos infinitos (parciales) convergen a cero o a infinito entonces se dira

que el producto diverge, si se preguntan el por que no puede converger a cero, es por que

si consideraramos el valor P = 0 cualquier producto con un factor cero seria convergente

y la convergencia no dependeria de los demas factores, por lo que la siguiente definicion es

necesaria.

Definicion 3.2. En general, aceptamos decir que un producto infinito∞∏n=1

an existe si

1. como maximo, un numero finito de factores es cero; y

2. El producto de los terminos que no desaparecen existe en el sentido anterior.

Por lo tanto, un producto infinito (convergente) tiene el valor 0 si y solo si uno o un numero

finito de sus factores es 0.

Intuitivamente, para que se tenga la convergencia del producto∞∏n=1

an se necesita que an → 1,

y asi, log an → 0, veamos:

Supongamos que∞∏n=1

an converge, sea Xn =n∏k=1

ak para n ≥ 1, como∞∏n=1

an converge, diremos

3.1 Productos infinitos de Numeros Complejos 27

que converge a X 6= 0, por definicion tanto Xn como Xn−1 son distintos de cero, luego

Xn

Xn−1

= an

haciendo que n→∞

lımn→∞

Xn

Xn−1

= lımn→∞

an (3-1)

X

X= lım

n→∞an (3-2)

1 = lımn→∞

an (3-3)

por lo tanto, cuando n→∞, log an → 0. Esto ocurre, excepto para los casos donde el cero

esta presente. Asi pues, una condicion necesaria para la convergencia de un producto es la

convergencia del n-esimo termino a 1.

Debido a el hecho de que la exponencial de una suma es el producto de las exponenciales

de los terminos individuales, es posible discutir sobre la convergencia del producto∞∏n=1

an,

siempre y cuando el cero no este presente, por medio de la discusion de la convergencia de

la serie∞∑n=1

log an.

Ejemplo 3.1. Consideremos

∞∏n=1

(1− 1

n

)= 0 · 1

2· 2

3· 3

4· ··

para que el producto infinito exista se debe tener que lımn→∞

(1

2

2

3· · · n− 1

n

)exista y sea dis-

tinto de cero, pero

lımn→∞

(1

2

2

3· · · n− 1

n

)= lım

n→∞

1

n= 0

Por lo tanto, el producto infinito∞∏n=1

(1− 1

n

)no existe, este diverge a 0. (si quitamos el

cero inicial, esto corresponde al hecho de que∞∑n=1

logn− 1

nno converge).

Sin embargo, antes de que entremos a considerar series con la funcion log, an debe estar

restringido para que log an tenga sentido. Ya vimos que si el producto es distinto de cero,

entones an → 1 cuando n → ∞. Ası que no es ninguna restriccion suponer que <(an) > 0

para todo n.

28 3 Productos infinitos

3.2. Equivalencia en convergencia de productos y se-

ries.

Proposicion 3.1. Sea <(an) > 0 para todo n ≥ 1. Entonces∞∏n=1

an converge a un numero

distinto de cero si y solo si la serie∞∑n=1

log an converge.

Demostracion. (←) Supongamos que∞∑n=1

log an converge, sabemos que:

Arg

(N∏n=1

an

)=

N∑n=1

Arg an + 2kNπ

para algun kN ∈ Z, y ademas

log

(N∏n=1

an

)=

N∑n=1

log an + 2kNπi

Donde kN = 0,±1. Ası

PN =N∏n=1

an

= exp

(log

N∏n=1

an

)

= exp

(N∑n=1

log an + 2kNπi

)

= exp

(N∑n=1

log an

)e2kNπi

= exp

(N∑n=1

log an

)

Haciendo que N →∞, y ya que la funcion exponencial es continua, se tiene que

PN → P = exp

(∞∑n=1

log an

),

ası PN converge a un limite distinto de cero.

3.2 Equivalencia en convergencia de productos y series. 29

(→) Asumiendo que P =∞∏n=1

an existe y es distinto de cero, es decir que lımN→∞

PN = P siendo

P no nulo.

Asumiendo que P 6∈ (−∞, 0) entonces la funcion log es continua en P y por lo tanto

logP = log(

lımN→∞

PN

)= lım

N→∞logPN

este ultimo existe. Para todo N definamos

CN : = logPN =N∑n=1

log an + 2kNπi

donde kN = 0,±1, formando la sucesion CNN∈N cuando N → ∞ esta converge, por lo

tanto es de Cauchy, en particular

|CN − CN−1| =

∣∣∣∣∣N∑n=1

log an + 2kNπi−N−1∑n=1

log an − 2kN−1πi

∣∣∣∣∣= |log aN + 2πi(kN − kN−1)|< ε

Ası, cuando N → ∞, | log aN + 2πi(kN − kN−1)| → 0, como vimos en (3-3), aN → 1 y asi

log aN → 0, por lo tanto se debe tener que 2πi(kN − kN−1) → 0, entonces kN = kN−1, de

aqui, que la sucesion kN sea eventualmente constante, por lo tanto existe un numero entero

k tal que para todo N suficientemente grande

N∑n=1

log an = logPN − 2kπi

como el lado derecho de la ecuacion converge cuando N →∞, el lado izquierdo de la ecuacion

tambien lo hara.

Por ultimo, lo que queda ver es cuando P 6∈ (−∞, 0), si cada an es real y positivo, entonces

P tambien lo sera, asi si P ∈ (−∞, 0) debe existir al menos un termino digamos am el cual

no sera un real positivo, en este caso sea P ′ =∏n 6=m

an este producto convergera a un punto

distinto de cero que no esta en el eje real negativo, esto implica que∑n6=m

log an converge y

∞∑n=1

log an tambien convergera.

Proposicion 3.2.∞∑n=1

log an converge absolutamente si y solo si∞∑n=1

(1− an) converge abso-

lutamente.


Demostracion. Sea an = 1 +αn entonces para |αn| < 1, la serie de Taylor para log esta dada

por:

log(1 + αn) =∞∑k=1

(−1)k+1αknk

luego

| log(1 + αn)− αn| =

∣∣∣∣(αn − α2n

2+α3n

3− α4

n

4+ ...)− αn

∣∣∣∣=

∣∣∣∣−α2n

2+α3n

3− α4

n

4+ ...

∣∣∣∣≤ |αn|2

2+|αn|3

3+|αn|4

4+ ...

≤ |αn|2

(|αn|+ |αn|2 + |αn|3 + ...

)Asumiendo que |αn| ≤ 1

2, entonces el lado derecho de la desigualdad en la ultima linea tiene

suma como maximo 12, por lo tanto

| log(1 + αn)− αn| ≤1

2|αn|

de donde se tiene que:

−1

2αn ≤ log(1 + αn)− αn ≤

1

2αn

1

2αn ≤ log(1 + αn) ≤ 3

2αn

1

2|αn| ≤ | log(1 + αn)| ≤ 3

2|αn|

reemplazando an = 1 + αn equivalentemente obtenemos

1

2|1− an| ≤ | log an| ≤

3

2|1− an|

Asi, debido a la ”dominancia”que nos da la ultima ecuacion el resultado se sigue.

Ya que se tiene una convergencia absoluta en series puede llegarse a pensar en una conver-

gencia absoluta en productos infinitos. Ası pues queremos ver como se define la convergencia

absoluta de un producto infinito. Sin embargo, cabe aclarar que si∞∏n=1

|an| converge no quie-

re decir que el producto∞∏n=1

an converge, tomando an = −1 para todo n, |an| = 1 entonces

∞∏n=1

|an| = 1 y∞∏n=1

an = ±1 dependiendo de si la cantidad de factores an es par o impar, es

decir que∞∏n=1

an no converge. Esto nos lleva a la siguiente definicion:


Definicion 3.3. Si ∀n <(an) > 0 entonces se dira que el producto infinito

∞∏n=1

an (3-4)

converge absolutamente si la serie∞∑n=1

log an (3-5)

converge absolutamente.

Esta definicion nos pide la convergencia absoluta de la serie (3-5) para garantizar la conver-

gencia absoluta del producto (3-4), de acuerdo con el hecho de que la convergencia absoluta

de una serie implica la convergencia de la serie y con la proposicion 3.1, tenemos que indi-

rectamente la convergencia absoluta del producto implica la convergencia del producto. Del

mismo modo, si un producto converge absolutamente, cualquier reordenacion de los terminos

del producto da como resultado un producto que sigue siendo absolutamente convergente.

Combinando, la proposicion 3.2 y la definicion 3.3 se obtiene el siguiente corolario:

Corolario 3.1. Si <(an) > 0 entonces el producto∞∏n=1

an converge absolutamente si y solo

si la serie∞∑n=1

(1− an) converge absolutamente.

Demostracion. (←) Supongamos que∞∑n=1

(1− an) converge absolutamente, por la proposi-

cion 3.2 y la definicion 3.3 la prueba es inmediata.

(→) Supongamos que∞∏n=1

an converge absolutamente, por la definicion 3.3,∞∑n=1

log an conver-

ge absolutamente, y por la proposicion 3.2∞∑n=1

(1− an) converge absolutamente, finalizando

la prueba.

3.2.1. Productos infinitos de Funciones Complejas

Definicion 3.4. Sea G un subconjunto de C y fn : G→ C una sucesion de funciones.

1. Si el producto∞∏n=1

fn(z) converge para cada z ∈ S, diremos que el producto converge

puntualmente en S.


2. Si ademas la sucesion Pk(z) =∞∏

n=k+1

fn(z) converge hacia 1 uniformemente en G,

diremos que el producto∏∞

n=1 fn(z) converge uniformemente en G.

Proposicion 3.3. Sea X un conjunto y sea f, f1, f2, ... funciones de X en C tal que fn(x)→f(x) uniformemente para x ∈ X. Si existe una constante a tal que <f(x) ≤ a para todo

x ∈ X entonces exp fn(x)→ exp f(x) uniformemente para x ∈ X.

Demostracion. Sea ε > 0 y se escoje δ > 0, entonces siempre que |z| < δ, se tiene que

|ez − 1| < εe−a. Ahora debido a la convergencia uniforme, podemos escojer n0 tal que para

todo n ≥ n0 se tiene |fn(x)− f(x)| < δ para todo x ∈ X. Asi

εe−a > |exp[fn(x)− f(x)]− 1| =∣∣∣∣exp fn(x)

exp f(x)− 1

∣∣∣∣De donde, para todo n ≥ n0, se tiene que

| exp fn(x)− exp f(x)| < εe−a| exp f(x)| ≤ ε

para todo x ∈ X.

Lema 3.1. Supongamos que fn es una sucesion de funciones complejas acotadas en un

conjunto Ω, tal que∞∑n=1

|fn(z)|

converge uniformemente en Ω. Entonces el producto

f(z) =∞∏n=1

[1 + fn(z)]

converge uniformemente en Ω, y f(z0) = 0 para algun z0 ∈ Ω si y solo si fn(z0) = −1 para

algun n.


En el siguiente teorema se utiliza la notacion H(Ω), esto se usa para denotar el conjunto de

todas las funciones holomorfas (o tambien llamadas analıticas) en Ω.

Teorema 3.1. Sea una sucesion fnn∈N, tal que fn ∈ H(Ω) para todo n tal que fn no es

identicamente nula en cualquier componente de Ω, y

∞∑n=1

|1− fn(z)| (3-6)


converge uniformemente en subconjuntos compactos de Ω. Entonces

f(z) =∞∏n=1

fn(z) (3-7)

converge uniformemente en subconjuntos compactos de Ω. Por lo tanto f ∈ H(G). Si a es

un cero de f entonces a es un cero de solamente un numero finito de funciones fn y la

multiplicidad de a en f es la suma de las multiplicidades de los ceros de las funciones fn en

a, es decir, tenemos

m(f ; z) =∞∑n=1

m(fn; z) (z ∈ Ω), (3-8)

donde m(f ; z) se define como la multiplicidad del cero de f en z. (Si f(z) 6= 0 entonces

m(f ; z) = 0)

Demostracion. Ya que (3-6) converge uniformemente en subconjuntos de Ω entonces por el

lema 3.1 y por el corolario 3.1 el producto (3-7) converge uniformemente y absolutamente

en subconjuntos compactos de Ω. Ahora, se sabe que para la convergencia de un producto

infinito se forma una sucesion de productos parciales pN =N∏n=1

fn(z), que seran analıticos pues

fn(z) es analıtica para todo n ∈ N, esta sucesion converge uniformemente en subconjuntos

compactos de Ω, a la funcion f(z) =∞∏n=1

fn(z). Ası pues, por la proposicion 2.1, f(z) ∈ H(Ω).

Para la segunda parte, por hipotesis (3-6) converge en subconjuntos compactos de Ω, parti-

cularmente, en B(z0; r) ⊂ Ω donde z0 sera un cero de f . y por el teorema 1.7 existe a lo mas

un numero finito de fn que se anulan en z0 y el resto no se anula en z0 y la multiplicidad de

z0 en f sera la suma de las multiplicidades de z0 en cada fn.

El primer paso o la primera nocion de producto de Blaschke lo presentamos en la siguiente

proposicion y en el corolario que le sigue, sin embargo, se establecera su definicion en el

capitulo 4.

Proposicion 3.4. Sea an una sucesion de numeros complejos con 0 < |an| < 1, 0 < |z| ≤r < 1 y

∞∑n=1

(1− |an|) <∞ (3-9)

entonces el producto infinito

B(z) =∞∏n=1

|an|an

(an − z1− anz

)(3-10)

converge en H(D).


Demostracion. Supongamos que 0 < |a| < 1 y 0 < |z| ≤ r < 1, entonces

|a+ |a|z| ≤ |a|+ |a||z| ≤ |a|(1 + r)

y

|(1− az)a| = |a− |a|2z| ≥ |a| − |a|2|z| ≥ |a|(1− r)

Por lo tanto ∣∣∣∣ a+ |a|z(1− az)a

∣∣∣∣ =|a+ |a|z||(1− az)a|

≤ |a|(1 + r)

|a|(1− r)=

1 + r

1− r(3-11)

Ahora bien, se quiere probar que la serie

∞∑n=1

∣∣∣∣1− an − z1− anz

|an|an

∣∣∣∣ (3-12)

converge uniformemente en subconjuntos compactos de D y ası por el teorema 3.1, tendremos

que (3-10) converge uniformemente en subconjuntos compactos de D, y por lo tanto en H(D).

Usando la desigualdad (3-11), se tiene que∣∣∣∣1− an − z1− anz

|an|an

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣an − ananz − (an − z)|an|(1− anz)an

∣∣∣∣=

∣∣∣∣an − |an|2z − |an|an + |an|z(1− anz)an

∣∣∣∣≤

∣∣∣∣ an + |an|z(1− anz)an

∣∣∣∣ (1− |an|)≤ 1 + r

1− r(1− |an|)

ya que∞∑n=1

(1− |an|) < ∞, la serie (3-12) converge uniformemente si 0 < |an| < 1 y |z| ≤

r < 1. Y ya que que para todo n ∈ N, fn(z) esta dada por

fn(z) =|an|an

(an − z1− anz

)entonces fn ∈ H(D) pues es cociente de dos polinomios con dominio D, siempre y cuando

0 < |an| < 1. luego, por el teorema 3.1, el producto (3-10) converge en H(D).

La condicion presente en la anterior proposicion y en el inciso 1 del siguiente lema, es

llamada La condicion de Blaschke esta tiene una gran responsabilidad de la analıticidad

de el producto de Blaschke infinito. Existe el reciproco de esta proposicion que veremos mas

adelante en el capitulo 4, donde se presenta para unas funciones mas generales.

Lema 3.2. Si an es una sucesion en D−0, las siguientes proposiciones son equivalentes.


1.∞∑n=1

(1− |an|) <∞.

2.∞∏n=1

|an| converge.

3.∞∑n=1

log |an| <∞.

4.∞∏n=1

|an|an

(an − z1− anz

)converge uniformemente y absolutamente en subconjuntos compac-

tos de D.

Demostracion. Se debe aclarar que en este caso el inciso 3, nos pide la convergencia de∞∑n=1

log |an|, pero desde la proposicion 3.1 en adelante se supuso que <an > 0, y ya que

∀n ∈ N, |an| > 0, lo postulado en esta seccion se satisface para esta serie.

Ademas el inciso 1, nos pide la convergencia de∞∑n=1

(1− |an|) y el corolario 3.1 nos da la

convergencia de la serie∞∑n=1

|1− an|, pero 1− |an| ≤ |1− an| asi que debido a la dominancia

1 converge, cuando∞∑n=1

|1− an| converge.

Ahora bien, por el corolario, 3.1 1 y 2 son equivalentes, luego por la proposicion 3.1, 2 y 3

son equivalentes.

La proposicion 3.4 nos dice que 1 implica 4, faltando la convergencia absoluta, sin embargo,

por el corolario 3.1 esto se tiene. Y tomando z = 0 en 4, se puede deducir 2, y asi finaliza la

prueba del lema.

CAPITULO 4

PRODUCTOS DE BLASCHKE Y FUNCIONES DE CLASE

NEVANLINNA

Se sabe que para una funcion f analıtica y no identicamente nula en un conjunto abierto Ω,

tal que B(z0; r) ⊂ Ω, el conjunto de ceros de f(z) en B(z0; r) es finito.

Y tambien los ceros de f(z) en B(z0; r) no pueden ser de orden infinito. Dicho esto, se

presenta el siguiente teorema.

Teorema 4.1. (Formula de Jensen)

Supongamos que Ω = B(0;R), y f es una funcion analtica en Ω, f(0) 6= 0, 0 < r < R y

a1, a2, ...aN son los ceros de f en B(0; r), enumerados segun sus multiplicidades. Entonces

|f(0)|N∏n=1

r

|an|= exp

[1

2π

∫ 2π

0

log |f(reiθ)|dθ]


Equivalentemente

log |f(0)| = −N∑n=1

log

(r

|an|

)+

1

2π

∫ 2π

0

log |f(reiθ)|dθ (4-1)

Si f : G → C es una funcion analıtica, log |f | sera una funcion subarmonica en G. De

hecho, esta es una consecuencia inmediata de la formula (4-1) que se presenta en el siguiente

corolario.

Corolario 4.1. Sea f(z) una funcion analıtica y no identicamente nula en un conjunto

abierto G ⊂ C. Entonces la funcion log |f(z)| es subarmonica en G.

4.1 Espacios de Hardy 37

Demostracion. Notese que tanto |f(z)| como log z son funciones continuas,y por lo tanto su

composicion log |f(z)| es continua. Ahora bien, supongamos que B(z0; r) ⊂ G, Si f(z0) 6= 0,

aplicando la formula de Jensen a la funcion

g : G → G

z 7→ f(z0 + z)

se obtiene

log |f(z0)| ≤ 1

2π

∫ 2π

0

log |f(z0 + reiθ)|dθ

lo cual es claro si f(z0) = 0. esta funcion g es analıtica en B(0; r + δ) para algun δ > 0 y no

se anula en z = 0.

Usando el teorema 1.14, veamos que |f(z)|a para cualquier numero real 0 < a < ∞ es una

funcion subarmonica, en efecto, pues es la composicion de las funciones eat y log |f(z)|,

ea log |f(z)| = elog |f(z)|a = |f(z)|a (4-2)

Nuevamente utilizando el teorema 1.14, para cualquier numero real t. Se define log+ t = log t

si t ≥ 1 y log+ t = 0 si t < 1 y por lo tanto, log+ |f | es una funcion subarmonica en G, ya que

es composicion de una funcion subarmonica y una funcion creciente y convexa definiendola

como log+ |f(z)| = maxlog |f(z)|, 0.

4.1. Espacios de Hardy

Definicion 4.1. Si f : D→ C es una funcion medible y 1 ≤ p <∞ se define

Mp(r, f) =

[1

2π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|pdθ]1/p

(4-3)

M∞(r, f) = sup0≤θ≤2π

|f(reiθ)| (4-4)

El espacio de Hardy Hp para 1 ≤ p ≤ ∞ es definido como el espacio de todas las funciones

analıticas f en D para el cual la norma

‖f‖p ≡ sup0≤r<1

Mp(r, f) <∞

A partir de la teoria del espacio Lp. Para 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞, se tiene que

H∞ ⊂ Hp ⊂ Hq ⊂ H1.

En particular, H∞ es el espacio de todas las funciones analıticas acotadas en D.

38 4 Productos de Blaschke y Funciones de Clase Nevanlinna

Proposicion 4.1. Si f : D→ C es una funcion analitica y 1 ≤ p ≤ ∞ entonces

‖f‖p = lımr→1−

Mp(r, f). (4-5)

Demostracion. Si demostramos que Mp(r, f) para 1 ≤ p ≤ ∞ es una funcion creciente de r,

entonces el supremo debe ser igual al limite y se satisface (4-5).

Primero asumamos que p es finito, ya que |f(z)|p para 0 < p <∞ es una funcion subarmo-

nica, por la proposicion 1.4, Mp(r, f) es una funcion creciente de r.

Ahora si p =∞, sean r1, r2 tal que r1 < r2, por el teorema del modulo maximo se tiene

M∞(r1, f) = sup0≤θ≤2π

|f(r1eiθ)| = sup|f(z)| : z ∈ B(0, r1)

≤ sup|f(z)| : z ∈ B(0, r2)= sup

0≤θ≤2π|f(r2e

iθ)|

= M∞(r2, f)

Es decir que M∞(r, f) tambien es una funcion creciente de r.

Las siguientes dos proposiciones son resultados del teorema de Fatou. Si es del interes del

lector, puede revisar todo lo relacionado con este teorema en [4], pagina 212.

Proposicion 4.2. Si u es una funcion no negativa armonica en D, entonces lımr→1−

u(reiθ)

existe y es finito en casi toda parte en [0, 2π].

Proposicion 4.3. Si 1 ≤ p ≤ ∞ y u : D→ C es una funcion armonica tal que

sup0≤r<1

‖u‖Lp <∞,

entonces

f(w) ≡ lımr→1−

u(rw)

existe y es finito en casi toda parte en T. Si 1 < p ≤ ∞, entonces f ∈ Lp(T).


Ahora bien, ya que toda funcion armonica es una funcion analıtica, para las funciones en

Hp(D), y para 1 ≤ p ≤ ∞, se define el limite radial, asi

f(eiθ) = lımr→1−

f(reiθ) (4-6)

por la proposicion 4.3 este lımite existe y es finito para casi todo θ ∈ [0, 2π], de hecho

f ∈ Lp(T) y ademas

‖f‖p =

[1

2π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|pdθ]1/p

= ‖f‖Lp(T)

4.2 Funciones de clase Nevanlinna 39

De la proposicion 4.1 se obtuvo una igualdad fundamental que se utilizara de ahora en

adelante. Para 1 ≤ p <∞

sup0≤r<1

[1

2π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|pdθ]1/p

= lımr→1−

[1

2π

∫ 2π

0

|f(reiθ)|pdθ]1/p

Nota: En [3] en las paginas 270 y 271 se presentan dos teoremas, que nos dice que, Una

funcion f ∈ Hp(T) si y solo si f = g ∈ Lp(T) y g(n) = 0 para todo n < 0. Asi, podemos

identificar f con f , y podemos considerar a Hp como el subespacio de aquellas funciones en

Lp(T) para las cuales los coeficientes de Fourier son nulos, es decir:

f(n) =1

2π

∫ 2π

0

f(eiθ)e−inθdθ = 0

para todo n < 0. El espacio Hp(T) es un subespacio cerrado de Lp(T), y ya que Lp(T) es un

espacio de Banach para 1 ≤ p ≤ ∞, Hp(T) tambien lo es.

Todo esto tiene cierto sentido importante, pues a partir de esto podemos dar origen a una

funcion armonica y a una funcion analıtica.

Dada una funcion f ∈ Lp(T), donde 1 ≤ p ≤ ∞ se puede recuperar una funcion f

armonica en D por medio del kernel de Poisson Pr, como sigue:

f(reiθ) =1

2π

∫ 2π

0

Pr(θ − ϕ)f(eiϕ)dϕ

donde r < 1 y f ∈ Hp cuando f ∈ Hp(T).

Ahora supongamos que f ∈ Hp(T), entonces f tiene coeficientes de fourier ann∈Ziguales a cero para todo n < 0, entonces la funcion f asociada a f es la funcion

localmente analıtica

f(z) =∞∑n=0

anzn, |z| < 1.

Definicion 4.2. Diremos que f es una funcion interior si y solo si |f(z)| ≤ 1 para todo

z ∈ D y el limite radial dado por (4-6) existe para casi todo θ y el modulo de este es igual a

1 en casi toda parte de T. En particular, si f ∈ H∞.

4.2. Funciones de clase Nevanlinna

En este apartado del trabajo, se quiere introducir o comentar algo sobre las funciones de

Clase Nevanlinna, pues se necesita para el desarrollo y entendimiento de un teorema llamado

“El teorema de factorizacion de F. Riesz” que involucra los productos de Blaschke.


Definicion 4.3. Una funcion f esta en la clase Nevanlinna (o es de caracteristica limitada),

si f es una funcion analıtica en D y

‖f‖N = supr<1

1

2π

∫ 2π

0

log+ |f(reiθ)|dθ <∞

La clase Nevanlinna es denotada por N .

Se debe tener en cuenta que como log+ |f(z)| es una funcion subarmonica y tambien continua,1

2π

∫ 2π

0

log+ |f(reiθ)|dθ es una funcion creciente de r. Por lo tanto, la definicion de una

funcion de Nevanlinna puede debilitarse al estipular unicamente la finitud del supremo sobre

una secuencia rn con rn → 1. Ademas, se satisface la siguiente igualdad

supr<1

1

2π

∫ 2π

0

log+ |f(reiθ)|dθ = lımr→1−

1

2π

∫ 2π

0

log+ |f(reiθ)|dθ

ya que log x ≤ xp para x ≥ 1, se tiene el siguiente resultado.

Proposicion 4.4. Si 1 ≤ p ≤ ∞, entonces Hp ⊂ N .

Demostracion. Para todo x ∈ (0,∞), se tiene que log x ≤ x, luego si p > 0, entonces

log xp ≤ xp luego log x ≤ xp

p., y ya que log+ x = maxlog x, 0, entonces log+ x ≤ xp

pAsı,

para toda funcion f ∈ Hp

‖f‖N =1

2π

∫ 2π

0

log+ |f(reiθ)|dθ

≤ 1

2πp

∫ 2π

0

|f(reiθ)|pdθ

≤ 1

p[‖f‖p]p

< ∞

por lo tanto, f ∈ N .

Por lo tanto, cada resultado para la clase Nevanlinna es tambien resultado para funciones

que pertenecen a todas las clases de Hardy.

Teorema 4.2. Supongamos que f ∈ N , y f no es identicamente nula en G, y a1, a2, a3, ...

son los ceros de f , listados de acuerdo a sus multiplicidades. Entonces

∞∑n=1

(1− |an|) <∞

Se supone que f tiene infinitos ceros, ya que si solo tuviera una gran cantidad finita de ceros,

la suma tendria finitos terminos y no habria nada que probar.

4.2 Funciones de clase Nevanlinna 41

Demostracion. Supongamos que |an| ≤ |an+1|. Si f tiene un cero de orden m en el origen

y g(z) = f(z)/zm, entonces g ∈ N y g tiene los mismos ceros que f , excepto en el origen.

Por lo tanto, sin perdida de generalidad podemos suponer que f(0) 6= 0. Sea n(r) el numero

de ceros de f en B(0; r), es claro que n depende de r. Fijando k y tomando r < 1 tal que

n(r) > k. Entonces por la formula de Jensen

|f(0)|n(r)∏n=1

r

|an|= exp

[1

2π

∫ 2π

0

log |f(reiθ)|dθ]

y esto implica que

|f(0)|k∏

n=1

r

|an|≤ exp

[1

2π

∫ 2π

0

log+ |f(reiθ)|dθ]

Y ya que f ∈ N , existe una constante C <∞, tal que

exp

[1

2π

∫ 2π

0

log+ |f(reiθ)|dθ]< C

para todo r, 0 < r < 1. De esto se tiene que

|f(0)|k∏

n=1

r

|an|≤ C

rk|f(0)|

[k∏

n=1

1

|an|

]≤ C

equivalentemente

k∑n=1

log

(1

|an|

)≤ logC − log |f(0)| − k log r

haciendo que r → 1, para todo k, se tiene que∞∑n=1

log

(1

|an|

)≤ logC − log |f(0)| <∞

y ya que 0 ≤ 1− |an| ≤ log(

1|an|

), entonces

∞∑n=1

(1− |an|) ≤∞∑n=1

log

(1

|an|

)<∞

Este teorema nos deja como consecuencia, que si f es analıtica en D con ceros an que no

satisfacen la condicion de Blaschke, es decir∑∞

n=1(1− |an|) = ∞ entonces f 6∈ N , y por lo

tanto, f no pertenece a ninguno de los espacios Hp.

Por ejemplo, si tomamos la sucesion an = 1− 1n∈ D para todo n ∈ N, la serie

∑∞n=1

(1−

∣∣n−1n

∣∣)diverge, y por lo tanto an no puede ser la sucesion exacta de ceros de ninguna funcion en

H∞.


4.3. Productos de Blaschke

Los productos de Blaschke infinitos fueron presentados por Wilhelm Blaschke en 1915. Sin

embargo, Los productos de Blaschke finitos, han sido presentados como una subclase de fun-

ciones racionales, han existido mucho antes sin ser especıficamente tratados como productos

Blaschke finitos. En 1929, R. Nevanlinna introdujo la clase de funciones analticas limitadas

en casi todas partes de T. Entonces el termino funcion interna fue acunado mucho mas tarde

por A.Beurling. los primeros estudios extensos de las propiedades de las funciones internas

fue realizado por W. Blaschke, W. Seidel y O. Frostman. Durante casi un siglo, los productos

Blaschke han sido estudiados y explotados por matematicos.

Antes de entrar a definir lo que es un producto de Blaschke, veamos lo que es un factor de

Blaschke y su funcion como automorfismo de D en D.

Un automorfismo de un abierto G de C es toda biyeccion f : G → G que sea analitica. Se

notara por Aut(G) el conjunto de los automorfismos del abierto G ⊂ C. Si a ∈ D − 0,definimos

∀z ∈ C−

1

a

, ϕa(z) :=

z − a1− az

y ϕa : C∞ → C∞ y esta dada ası

ϕa(z) =

ϕa(z), z ∈ C−

1a

∞, z = 1

a

− 1a, z =∞

La proposicion que se presentara a continuacion es una parte de una proposicion mucho mas

extensa, que aparece en [5], pagina 24.

Proposicion 4.5. Sea a ∈ D, se tiene que

1. ϕa(T) = T y ϕa es un homeomorfismo de T en sı mismo.

2. ϕa(D) = D y ϕa es un automorfismo de D.

3. ϕ′a(0) = 1− |a|2 y ϕ′a(a) = 11−|a|2


La siguiente proposicion nos permitira caracterizar los automorfismos de D.

Proposicion 4.6. Sea f : D→ D un automorfismo de D tal que f−1(0) = a ∈ D. Entonces

existe λ ∈ C con |λ| = 1 tal que f(z) = λ ·ϕa(z) para todo z ∈ D. Por lo tanto, Aut(D) esta

dado por

Aut(D) := eiθϕb : eiθ ∈ T, b ∈ D.

4.3 Productos de Blaschke 43


El automorfismo ϕa es una tranformacion de Mobius.

Ejemplo 4.1. Por ejemplo, por medio de una transformacion de Mobius, podemos transfor-

mar el eje real en T, y el semiplano =z > 0 en D. Veamos

Bastara con enviar los puntos −1, 0, 1 del eje real en los puntos −1, 1, i de T.

Reemplazando los puntos −1, 0, 1 por z en la forma general de una T. de Mobius

T (−1) =−a+ b

−c+ d= −1⇒ −a+ b = c− d

T (0) =b

d= 1⇒ b = d

T (1) =a+ b

c+ d= i⇒ a+ b = ci+ di

Entonces se da origen a un sistema de tres ecuaciones con cuatro incognitasb = d

b− a = c− da+ b = i(c+ d)

Tomando b = d = 1 entonces a = 2− c y asi c = 3−i1+i

. De donde se obtiene que c = 1− 2i y

a = 1 + 2i. Reemplazando

T (z) =(1 + 2i)z + 1

(1− 2i)z + 1

Y comprobemos que con esta misma transformacion, la imagen de z : =z > 0 es D. Ya que

T es continua, mapea conexos en conexos, asi basta comprobar que para un punto concreto,

se satisface. Tomando z = i2

T

(i

2

)=

(1 + 2i)(i/2) + 1

(1− 2i)(i/2) + 1=

(i/2)

2 + (i/2)=

1

17+

4

17i

el cual pertenece a D.

Enseguida se presentara la definicion de un producto de Blaschke, cabe aclarar que muchos

autores denominan un producto de Blaschke a los productos presentes en la proposicion 3.4

y en el lema 3.2, sin embargo, aqui se presentara la siguiente definicion anadiendole el factor

zm para m ≥ 0, si m > 0 el producto tiene un cero en z = 0. Este factor no afecta la

convergencia que se demostro en la proposicion 3.4 y en el lema 3.2 del capitulo 3.


Definicion 4.4. Si an ∈ D−0 es una sucesion de Blaschke y m ≥ 0, entonces la funcion

B(z) = zm∞∏n=1

|an|an

(an − z1− anz

)(4-7)

es llamada un producto de Blaschke .

El factor zm en la definicion permite que el producto de Blaschke tenga un cero en el origen.

Ejemplo 4.2. Sea la sucesion

an = 1− 1

n log2 n

para n ≥ 2 se tiene que 0 < |an| < 1, veamos que esta sucesion satisface la condicion de

Blaschke, es decir que∑∞

n=2(1 − |an|) < ∞ (converge), lo que se realizara es acotarla por

dos series convergentes, garantizando asi la convergencia de la serie.

Figura 4-1: sucesion 1− |an| y 1(logn)logn .

Como se puede apreciar en la figura,

0 ≤ 1−∣∣∣∣1− 1

n log2 n

∣∣∣∣ ≤ 1

(log n)logn

para n ≥ 2, equivalentemente

0 ≤∞∑n=2

1−∣∣∣∣1− 1

n log2 n

∣∣∣∣ ≤ ∞∑n=1

1

(log n)logn


Veamos que la serie del lado derecho de la desigualdad converge, llamando bn = 1(logn)logn

aplicando el criterio logarıtmico tenemos:

lımn→∞

log(1/bn)

log n= lım

n→∞

log[(log n)logn]

log n

= lımn→∞

log n[log(log n)]

log n

= lımn→∞

[log(log n)]

= ∞ > 1

Esto nos indica que la serie converge, y por lo tanto, tambien lo hara la serie

∞∑n=2

(1−

∣∣∣∣1− 1

n log2 n

∣∣∣∣)Asi pues, la sucesion an∞n=2 es una sucesion de Blaschke, y si suponemos que 0 < |z| ≤r < 1, entonces por la proposicion 3.4 el producto de Blaschke,

B(z) =∞∏n=1

|an|an

(an − z1− anz

)correspondiente a esta sucesion converge a una funcion analıtica en D. Y en la siguiente

imagen podemos ver como la sucesion an de ceros del producto y la sucesion 1an de los

polos son simetricos respectivamente, respecto a la recta y = 1

Figura 4-2: Sucesiones de an y 1/an.

Definicion 4.5. (Producto de Blaschke finito) Un producto de Blaschke de grado N es

una funcion BN : D→ D de la forma

BN(z) = zmN∏n=1

|an|an

an − z1− anz

(4-8)

donde |z| ≤ 1 y an ∈ D, an 6= 0 para n = 1, 2, ..., N .


Un producto de Blaschke finito BN de grado N es una funcion analitica N a 1 de el disco

unitario en si mismo. La siguiente proposicion presenta algunas de las caracteristicas de los

productos de Blaschke finitos:

Proposicion 4.7. Si BN es un producto de Blaschke finito y esta definido por (4-8), lo

siguiente se satisface:

1. BN es continua en D y analıtica en D.

2. BN es una funcion interior, es decir |BN(z)| < 1 para z ∈ D y |BN(eiθ)| = 1 para casi

todo θ.

3. BN tiene N ceros en an para 1 ≤ n ≤ N , y z = 0 es tambien un cero de BN(z).

Ademas, tiene N polos en 1/a1, 1/a2, ..., 1/aN .

Estas propiedades caracterizan los productos de Blaschke finitos entre las funciones analiticas

en D. Si f ∈ H∞ y satisface 1, 2 y 3 y tiene ceros a1, a2, ..., aN entonces f es un producto de

Blaschke de grado N dado por (4-8).

Demostracion. 1. Definiendo la siguiente transformacion, para un i (1 ≤ i ≤ N) fijo,

Tai : D→ C tal que

Tai(z) =ai − z1− aiz

donde 0 < |ai| < 1. Tai(z) es continua en D pues es cociente de dos funciones continuas en

D y 1− aiz 6= 0 para todo z ∈ D . Ademas, para todo ai ∈ D; Tai es analıtica en todo punto

z ∈ D al ser cociente de dos polinomios. Expresando BN(z) como sigue

BN(z) = zmN∏n=1

|an|an

Tan(z)

se tiene que BN(z) es continua en D y analıtica en D.

2. La demostracion de que |BN(z)| < 1 para z ∈ D se deducira mas adelante, de la demos-

tracion de que B(z) ∈ H∞. De 1, BN es continua en D y analitica en D. Ası BN(eiθ) existe

para casi todo θ ∈ [0, 2π]. Sea z = reiθ (r ≤ 1) y 0 < |an| < 1,

|BN(z)| = |z|mN∏n=1

∣∣∣∣ an − z1− anz

∣∣∣∣Si r → 1, |z| → 1, por lo tanto basta con demostrar que

∣∣∣ an−z1−anz

∣∣∣→ 1 para todo 1 ≤ n ≤ N ,

cuando r → 1 para probar que |BN(eiθ)| = 1. Veamos, sea z = reiθ con 0 < θ ≤ 2π haciendo


que r → 1, se tiene

|an − z||1− anz|

=|an − eiθ||1− aneiθ|

=|rneiϕ − eiθ||1− rne−iϕeiθ|

=|eiθ||rnei(ϕ−θ) − 1||1− rnei(θ−ϕ)|

=|1− rnei(ϕ−θ)||1− rnei(θ−ϕ)|

= 1

Tomando wn = rnei(ϕ−θ), se tiene que

|an − eiθ||1− aneiθ|

=|1− wn||1− wn|

= 1

luego, |BN(eiθ)| = 1 para casi todo θ.

3. En cuanto a los ceros, para todo N ∈ N el producto BN(z) se puede expresar ası

BN(z) = zmN∏n=1

|an|an

Tan(z)

sabemos que para para cada n, Tan(z) es una funcion analıtica para todo z ∈ D, por lo tanto,

se tiene que

B(z) = (z − 0)mg(z)

donde g(z) =N∏n=1

|an|an

Tan(z) no se anula y es analıtica en z0 = 0. Ası por el teorema 1.7,

BN(z) tiene un cero en z0 = 0 de orden m.

Ahora bien, vamos a probar que ai para 1 ≤ i ≤ N es un cero de orden 1 ≤ k ≤ N , el k esta

sujeto al hecho de que el termino ai de la sucesion ann∈N se repita k veces, ya que si esto

pasa, en el producto BN(z) el factor (ai − z) se repitira k veces, expandiendo BN(z);

BN(z) = zm[|a1|a1

(a1 − z1− a1z

)]· · ·[|ai|ai

(ai − z1− aiz

)]· · ·[|aN |aN

(aN − z1− aNz

)]Como habiamos dicho antes, el orden del cero depende de cuantas veces ai se repita en la

sucesion, supongamos que para j = 1, 2, ..., i, .., k, aj = ai, y asi el factor (ai − z) se repite k

veces en BN(z), luego

BN(z) = (ai − z)k(zm)

([|a1|a1

(1

1− a1z

)]· · ·[|ai|ai

(1

1− aiz

)]· · ·[|aN |aN

(aN − z1− aNz

)])= (ai − z)kg(z)


donde g(z) no se anula y es analıtica en z = ai. Ası, BN(z) tiene un cero en ai de orden k.

Asi como sucede con los ceros, un polo de BN(z) depende de cuantas veces se repita el

termino en la sucesion ann∈N, ahora bien veamos que 1/ai tal que 1 ≤ i ≤ N es un polo

de orden 1 ≤ k ≤ N , el k esta sujeto al hecho de que el termino ai de la sucesion ann∈N se

repita k veces, ya que si esto pasa, en el producto BN(z) el factor 1(1−aiz) se repitira k veces.

Supongamos que para j = 1, 2, ..., i, ..., k, aj = ai, entonces

BN(z) = zm[|a1|a1

(a1 − z1− a1z

)]· · ·[|ai|ai

(ai − z1− aiz

)]· · ·[|aN |aN

(aN − z1− aNz

)]=

1

(1− aiz)k(zm)

([|a1|a1

(a1 − z)

]· · ·[|ai|ai

(ai − z)

]· · ·[|aN |aN

(aN − z1− aNz

)])=

ϕ(z)

(1− aiz)k

donde ϕ(z) no se anula y es analıtica en z = 1/overlineai. Ası, por el teorema 1.8, BN(z)

tiene un polo en 1/ai de orden k.

De hecho geometricamente, los puntos a1, a2, ...aN y 1/a1, 1/a2, ..., 1/aN respectivamente son

simetricos respecto a la circunferencia T.

Teorema 4.3. Si B es un producto de Blaschke definido por (4-7), entonces B ∈ H∞(D) y

|B(eiθ)| = 1 casi en toda parte de T. Ademas

lımr→1−

1

2π

∫ 2π

0

log |B(reiθ)|dθ = 0 (4-9)

Los ceros de B son precisamente los puntos a1, a2, ... y siempre que m > 0, el origen tambien

es un cero.

Demostracion. Primero, veamos que |B(z)| ≤ 1 para todo z ∈ D, si z = reiθ con r ≤ 1 y

0 < θ ≤ 2π entonces zm = rmeimθ y por lo tanto rm = |zm| ≤ 1 ahora bien, basta con probar

que cada factor del producto de Blaschke es de modulo menor o igual a 1, veamos

∣∣∣∣ |an|an(an − z1− anz

)∣∣∣∣ =|an||an|

(|an − z||1− anz|

)=|an − z||1− anz|

≤ |an − z||z||1− anz|

=|an − z||z − an|z|2|

≤ |an − z||z − an|

= 1


Ası,

|B(z)| = |z|m∞∏n=1

∣∣∣∣ |an|an(an − z1− anz

)∣∣∣∣ ≤ 1

y por lo tanto, ‖B‖∞ = sup|z|<1 |B(z)| ≤ 1, y B ∈ H∞.

En la proposicion 3-10 vimos que B(z) es analitica en D, por lo tanto log |B(z)| es una

funcion subarmonica y la integral en (4-9) es una funcion creciente de r, por lo cual dicho

limite existe.

Sea BN que denota el producto de zm con los primeros N factores en (4-7) y ya que |B(z)| ≤ 1

se tiene que |BN(z)| ≤ 1 para todo z ∈ D y |BN(eiθ)| = 1 para casi todo θ ∈ [0, 2π]. Ademas

|BN(reiθ)| → 1 uniformemente en θ cuando r → 1. Por lo tanto

lımr→1−

1

2π

∫ 2π

0

log

∣∣∣∣ B(reiθ)

BN(reiθ)

∣∣∣∣ dθ = lımr→1−

[∫ 2π

0

log |B(reiθ)|dθ − 1

2π

∫ 2π

0

log |BN(reiθ)|dθ]

= lımr→1−

1

2π

∫ 2π

0

log |B(reiθ)|dθ

Ya que B(z) y BN(z) son funciones analıticas para todo z ∈ D entonces que B/BN es

analıtica en D, y no nula en z = 0. Ası, aplicando la formula de Jensen, para todo r ∈ [0, 1)

1

2π

∫ 2π

0

log

∣∣∣∣ B(reiθ)

BN(reiθ)

∣∣∣∣ ≥ log

∣∣∣∣ B(0)

BN(0)

∣∣∣∣= log

[∞∏

n=N+1

|an|

]

=∞∑

n=N+1

log |an|

Por lo tanto

lımr→1−

1

2π

∫ 2π

0

log |B(reiθ)|dθ ≥∞∑

n=N+1

log |an| (4-10)

Ya que Hp ⊂ N para 1 ≤ p ≤ ∞, y B ∈ H∞(D), por el teorema 4.2,∞∑n=1

(1− |an|) < ∞ y

sabemos que lımn→∞

|an| = 1. Ahora bien, como |an| > 0, se tiene que ξ = ınfn∈N|an| > 0. Ası,

para todo n ∈ N0 < log |an|−1 < |an|−1 − 1

y

|an|−1 − 1 = |an|−1(1− |an|) < ξ−1(1− |an|)


f/B ∈ Hp. Cabe aclarar que este teorema que se presenta a continuacion en otras partes

es llamado el teorema de factorizacion de F. Riesz, todo esto comenzo por que no todas las

funciones en el espacio de Hardy Hp estan exentas de tener ceros en el disco unidad y el

matematico Frigyes Riesz de nacionalidad hungara, dijo: que los ceros no importaban pues

era posible factorizarlos, y como resultado de esto, se presento dicho teorema.

Teorema 4.4 (Teorema de factorizacion de F.Riesz). Si f esta en la clase Nevanlinna y

f no es identicamente 0, entonces los ceros de f forman una sucesion Blaschke. Sin embargo,

si B es el producto de Blaschke con los mismos ceros que f , entonces f/B ∈ N . Si f ∈ Hp,

entonces f/B ∈ Hp. y ademas ‖f‖p = ‖f/B‖p

Demostracion. El hecho de que los ceros de una funcion f ∈ N , tal que f no es identicamente

nula, formen una sucesion de Blaschke se desprende de la proposicion 4.2.

Ahora para mostrar que f/B ∈ N , cuando B es un producto de Blaschke con los mismos

ceros que f . Si f tiene un cero en z = 0 de orden m, entonces f(z)zm∈ N . Por lo tanto,

podemos asumir que f(0) 6= 0 y por ende B(0) 6= 0. Definiendo h = f/B, tanto f como B

son funciones analıticas en D, entonces h es una funcion analıtica y que no se anula en D.

Si z ∈ D tal que |h(z)| ≤ 1 entonces se debe tener que |f(z)| ≤ |B(z)| ≤ 1 y por lo tanto

0 = log+ |h(z)| < − log |B(z)| = log+ |f(z)| − log |B(z)|

Si |h(z)| > 1 entonces

log+ |h(z)| = log |h(z)| = log |f(z)| − log |B(z)| ≤ log+ |f(z)| − log |B(z)|

Ası, para todo z ∈ D se tiene log+ |h(z)| ≤ log+ |f(z)| − log |B(z)| y debido a que B(z) es

analitica en D, log |B| es una funcion subarmonica, entonces

1

2π

∫ 2π

0

log+ |h(reiθ)|dθ ≤ 1

2π

∫ 2π

0

log+ |f(reiθ)|dθ − 1

2π

∫ 2π

0

log |B(reiθ)|dθ

≤ 1

2π

∫ 2π

0

log+ |f(reiθ)|dθ − log |B(0)|

para 0 < r < 1, y ya que se tiene que B(0) 6= 0, la anterior expresion es acotada, es decir

h ∈ N .

Ahora debemos mostrar que h = f/B ∈ Hp cuando f ∈ Hp. Sea BN el producto de Blaschke

finito con ceros a1, ..., aN . Sabemos que |BN(reiθ)| converge uniformemente en θ a 1 cuando

r → 1 y definamos hN = f/BN . Asi pues, sea ε > 0. para cada N ∈ N, existe R ∈ (0, 1)

tal que |BN(reiθ)| > 1 − ε para todo r ∈ [R, 1) y para todo θ ∈ [0, 2π]. En la proposicion

4.1 vimos que si f es una funcion analitica, Mp(r, f) es una funcion creciente de r para

1 ≤ p ≤ ∞. Entonces,


esto implica que

‖hN‖p ≤1

1− ε‖f‖p.

Ya que para todo N , y para todo r ∈ [0, 1) y θ ∈ [0, 2π], se tiene que 1 ≥ |BN(reiθ)| ≥|BN+1(reiθ)|, entonces

|f(reiθ)| ≤ |f(reiθ)||BN(reiθ)|

≤ |f(reiθ)||BN + 1(reiθ)|

,

y por lo tanto |hN(reiθ)| converge de forma creciente a |h(reiθ)|. Luego, por el teorema

de la convergencia monotona y ya que |BN(reiθ)| converge uniformemente a B(reiθ)

en θ,

‖f‖p ≤ ‖f/BN‖p = ‖f/B‖p = ‖h‖p ≤1

1− ε‖f‖p

para 1 ≤ p ≤ ∞, Esto implica que h = fB∈ Hp y haciendo que ε → 0, ‖f‖p =

‖f/B‖p = ‖h‖p.

CAPITULO 5

CONCLUSIONES

Un producto de Blaschke B(z) es un producto de infinito que converge en subconjuntos

compactos de D, algunas de sus propiedades mas importantes es que es una funcion

analıtica en D y por lo tanto tambien continua, B(z) ∈ H∞, y los ceros de B son

precisamente los puntos de la sucesion que lo forman, los puntos a1, a2, .... Vimos tam-

bien que existe una subclase de los Productos de Blaschke, los finitos, que comparten

ciertas propiedades de los productos de Blaschke, como la analıticidad en D, tambien

son funciones que pertenecen a H∞, para un Producto de Blaschke de grado N , tiene

N ceros y N polos, respectivamente a1, ..., aN y 1/a1, ..., 1/aN . Cabe resaltar tambien

que en este caso, la continuidad para estos productos finitos existe en D.

Las funciones de Clase nevanlinna forman un conjunto de funciones bastante generales

ya que para cualquier 0 < p < ∞, Hp ⊂ N , a pesar de ser consideradas en este

trabajo de manera superficial, se demostro que los ceros de estas funciones satisfacen

la condicion de Blaschke.

Y por ultimo, por medio del teorema de Factorizacion de F. Riesz es posible factorizar

los ceros de una funcion f ∈ N que no es identicamente nula, es decir, si B es el

producto de Blaschke formado por los ceros de f , la funcion h = f/B es una funcion

no nula y pertenece a N y mas aun, si f ∈ Hp entonces h ∈ Hp y sus normas en el

espacio de Hardy Hp coinciden.

Es importante resaltar que durante mas de un siglo se han estudiado estos productos de

Blaschke, y que aun quedan muchas cosas mas por estudiar a fondo como su comporta-

miento lımite, el crecimiento asintotico de varias integrales de los productos Blaschke y

sus derivadas, sus aplicaciones en varias ramas de las matematicas en particular como

soluciones a problemas extremos y su presencia en diferentes espacios funcionales.

BIBLIOGRAFIA

[1] Ahlfors, Lars V.: Complex Analysis. New York : McGraw-Hill, Segunda Edicion, 1966

[2] Brown, James W. ; Churchill, Ruel V.: Complex Variables and Applications. New

York : McGraw-Hill, Octava Edicion

[3] Conway, John B. (Ed.): Functions of One Complex Variable. New York : Springer-

Verlag, Segunda Edicion, 1978

[4] Conway, John B.: Functions of One Complex Variable II. Universidad de Tennessee :

Springer-Verlag, 1995

[5] Granero, Antonio S.: VARIABLE COMPLEJA Y ANALISIS FUNCIONAL. Univer-

sidad Complutense de Madrid,

[6] Koosis, Paul: Introduction to Hp Spaces. Universidad de Cambridge : Cambridge uni-

versity press, Second edition, 1998

[7] Palka, Bruce P.: An Introduction to Complex Function Theory. New York : Springer-

Verlag, 1991

[8] Rudin, Walter: REAL AND COMPLEX ANALYSIS. New York : McGraw-Hill Book

Company, Tercera Edicion, 1987

[9] Salcedo, L.: VARIABLE COMPLEJA. Universidad de Granada, E-18071 Granada,

Spain, 2018

introducci on a los productos de...

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