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Diffusion de Lax Phillips - slide#1

Introduction à la diffusion de Lax Phillips

Marc Lenoir

Plan

Introduction

Equation des ondes

Problème non perturbé

La représentation

Problème perturbé

Opérateur de diffusion


Plan

Présentation

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Plan

Présentation

L’équation des ondes

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Plan

Présentation


Le problème non perturbé

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Plan

Présentation



La représentation par translation

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Plan

Présentation




Le problème perturbé

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Plan

Présentation





L’opérateur de diffusion

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Introduction L’effet d’une perturbation sur la diffusion

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Introduction L’effet d’une perturbation sur la diffusion La théorie transitoire de Lax et Phillips

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Introduction L’effet d’une perturbation sur la diffusion La théorie transitoire de Lax et Phillips La diffraction d’une onde par un obstacle

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Introduction L’effet d’une perturbation sur la diffusion La théorie transitoire de Lax et Phillips La diffraction d’une onde par un obstacle Un exemple simple

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Introduction L’effet d’une perturbation sur la diffusion La théorie transitoire de Lax et Phillips La diffraction d’une onde par un obstacle Un exemple simple Une limitation aux aspects les plus élémentaires

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Introduction L’effet d’une perturbation sur la diffusion La théorie transitoire de Lax et Phillips La diffraction d’une onde par un obstacle Un exemple simple Une limitation aux aspects les plus élémentaires L’opérateur de diffusion

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u solution du système perturbé

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u solution du système perturbéu− et u+ deux solutions du sysème non perturbé telles que

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





limt→−∞

(u− u−) = 0 = limt→+∞

(u− u+)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





limt→−∞

(u− u−) = 0 = limt→+∞

(u− u+)

S(u−) = u+

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t)tt −∆u(x, t) = 0 dans Ω, équation des ondes

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0))

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = (f1(x), f2(x))

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = (f1(x), f2(x)) = f(x), condition initiale

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






Conservation de l’énergie

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







E(t) =1

2

∫

Ω

(‖∇u‖

2(x, t) + u2

t (x, t))

dx

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







E(t) =1

2

∫

Ω

(‖∇u‖

2(x, t) + u2

t (x, t))

dx

E′(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







E(t) =1

2

∫

Ω

(‖∇u‖

2(x, t) + u2

t (x, t))

dx

E′(t) =

∫

Ω

(∇u(x, t) · ∇ut(x, t) + ut(x, t) utt(x, t)) dx

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







E(t) =1

2

∫

Ω

(‖∇u‖

2(x, t) + u2

t (x, t))

dx

E′(t) =

∫

Ω

(∇u(x, t) · ∇ut(x, t) + ut(x, t) ∆u(x, t)) dx

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







E(t) =1

2

∫

Ω

(‖∇u‖

2(x, t) + u2

t (x, t))

dx

E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







E(t) =1

2

∫

Ω

(‖∇u‖

2(x, t) + u2

t (x, t))

dx

E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x)

D’où l’unicité

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






La propagation à vitesse finie :

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






La propagation à vitesse finie :u(x, t) ne dépend que de la restriction de f(x) à la boule‖x‖ ≤ t

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






Le théorème de Holmgren :

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






Le théorème de Holmgren :Si u(x, t) est nul dans le cylindre ‖x‖ ≤ R, t ≤ T,

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






Le théorème de Holmgren :Si u(x, t) est nul dans le cylindre ‖x‖ ≤ R, t ≤ T, alors u estnul pour ‖x‖ ≤ R + T − |t| .

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






Le Principe de Huyghens : (n ≥ 3, impair)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






Le Principe de Huyghens : (n ≥ 3, impair)u(x, t) ne dépend que de de la restriction de f(x) à la sphère‖x‖ = t

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






Un groupe d’opérateurs :

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







∂

∂t

0 u(x, t)

ut(x, t)

1A =

0 0 I

∆ 0

1A0 u(x, t)

ut(x, t)

1A

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







∂

∂t

0 u(x, t)

ut(x, t)

1A =

0 0 I

∆ 0

1A0 u(x, t)

ut(x, t)

1A⇐⇒0 ut(x, t) = ut(x, t)

utt(x, t) = ∆u(x, t)

1A

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







∂

∂t

0 u(x, t)

ut(x, t)

1A =

0 0 I

∆ 0

1A0 u(x, t)

ut(x, t)

1A⇐⇒0 ut(x, t) = ut(x, t)


1A(

u(x, t)

ut(x, t)

)= U(t)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







∂

∂t

0 u(x, t)

ut(x, t)

1A =

0 0 I

∆ 0

1A0 u(x, t)

ut(x, t)

1A⇐⇒0 ut(x, t) = ut(x, t)


1A(

u(x, t)

ut(x, t)

)= U(t)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)

U(t + s)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







∂

∂t

0 u(x, t)

ut(x, t)

1A =

0 0 I

∆ 0

1A0 u(x, t)

ut(x, t)

1A⇐⇒0 ut(x, t) = ut(x, t)


1A(

u(x, t)

ut(x, t)

)= U(t)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)

U(t + s)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)=

(u(x, t + s)

ut(x, t + s)

)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







∂

∂t

0 u(x, t)

ut(x, t)

1A =

0 0 I

∆ 0

1A0 u(x, t)

ut(x, t)

1A⇐⇒0 ut(x, t) = ut(x, t)


1A(

u(x, t)

ut(x, t)

)= U(t)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)

U(t+s)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)=

(u(x, t + s)

ut(x, t + s)

)= U(s)

(u(x, t)

ut(x, t)

)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







∂

∂t

0 u(x, t)

ut(x, t)

1A =

0 0 I

∆ 0

1A0 u(x, t)

ut(x, t)

1A⇐⇒0 ut(x, t) = ut(x, t)


1A(

u(x, t)

ut(x, t)

)= U(t)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)

U(t+s)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)= U(s)

(u(x, t)

ut(x, t)

)= U(s)U(t)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé







∂

∂t

0 u(x, t)

ut(x, t)

1A =

0 0 I

∆ 0

1A0 u(x, t)

ut(x, t)

1A⇐⇒0 ut(x, t) = ut(x, t)


1A(

u(x, t)

ut(x, t)

)= U(t)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)

U(t + s)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)= U(s)U(t)

(u(x, 0)

ut(x, 0)

)

U(t + s) = U(s)U(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






A =

(0 I

∆ 0

)est ‘skew self-adjoint’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






A =

(0 I

∆ 0


(Af |g )

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






A =

(0 I

∆ 0


(Af |g ) =

∫

Ω

∇ (Af)1 · ∇g1 + (Af)2 · g2

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






A =

(0 I

∆ 0


(Af |g ) =

∫

Ω

∇ (Af)1 ·∇g1+(Af)2 ·g2 =

∫

Ω

∇f2 ·∇g1+∆f1 ·g2

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






A =

(0 I

∆ 0


(Af |g ) =

∫

Ω

∇f2 · ∇g1 + ∆f1 · g2 =

∫

Ω

∇f2 ·∇g1−∇f1 · ∇g2

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






A =

(0 I

∆ 0


(Af |g ) =

∫

Ω

∇f2 ·∇g1−∇f1 ·∇g2 = −

∫

Ω

∇f1 ·∇g2+f2 ·∆g1

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé






A =

(0 I

∆ 0


(Af |g ) = −

∫

Ω

∇f1 · ∇g2 + f2 ·∆g1 = −(Ag |f )

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Le problème monodimensionnel non perturbé

utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[

(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+, condition initiale

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[


u(0, t) = 0 dans ]−∞, +∞[ , condition aux limites

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[



La méthode des caractéristiques

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x,

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x,

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η) =

∂

∂xu(x, t)

∂x

∂ξ+

∂

∂tu(x, t)

∂t

∂ξ

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η) =

∂

∂xu(x, t)

∂x

∂ξ+

∂

∂tu(x, t)

∂t

∂ξ=

∂

∂xu(x, t)+

∂

∂tu(x, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η) =

∂

∂xu(x, t) +

∂

∂tu(x, t)

∂2

∂η∂ξu(ξ, η)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η) =

∂

∂xu(x, t) +

∂

∂tu(x, t)

∂2

∂η∂ξu(ξ, η) = −

∂2

∂x2u(x, t) +

∂2

∂x∂tu(x, t)

+

∂2

∂t∂xu(x, t) +

∂2

∂t2u(x, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η) =

∂

∂xu(x, t) +

∂

∂tu(x, t)

∂2

∂η∂ξu(ξ, η) = −

∂2

∂x2u(x, t) +

∂2

∂t2u(x, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η) =

∂

∂xu(x, t) +

∂

∂tu(x, t)

∂2

∂η∂ξu(ξ, η) = −

∂2

∂x2u(x, t) +

∂2

∂t2u(x, t) = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η) =

∂

∂xu(x, t) +

∂

∂tu(x, t)

∂2

∂η∂ξu(ξ, η) = 0

u(x, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η) =

∂

∂xu(x, t) +

∂

∂tu(x, t)

∂2

∂η∂ξu(ξ, η) = 0

u(x, t) = a(ξ) + b(η)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η) =

∂

∂xu(x, t) +

∂

∂tu(x, t)

∂2

∂η∂ξu(ξ, η) = 0

u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




ξ = t + x, η = t− x, u(ξ, η) = u(x, t)

∂

∂ξu(ξ, η) =

∂

∂xu(x, t) +

∂

∂tu(x, t)

∂2

∂η∂ξu(ξ, η) = 0

u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)

Conditions initiales

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = ut(x, 0)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = ut(x, 0) = f2(x), x > 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = ut(x, 0) = f2(x), x > 0

Conditions aux limites

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt − uxx = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = ut(x, 0) = f2(x), x > 0


a(t) + b(t) = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Le problème monodimensionnel non perturbé La méthode des caractéristiques

u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = ut(x, 0) = f2(x), x > 0


a(t) + b(t) = 0

a(x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = ut(x, 0) = f2(x), x > 0


a(t) + b(t) = 0

a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = ut(x, 0) = f2(x), x > 0


a(t) + b(t) = 0

a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = ut(x, 0) = f2(x), x > 0


a(t) + b(t) = 0

a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = ut(x, 0) = f2(x), x > 0


a(t) + b(t) = 0

a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(ξ) + b(η) = a(t + x) + b(t− x)

a′(ξ) + b′(η) = ut(x, t)


a(x) + b(−x) = u(x, 0) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = ut(x, 0) = f2(x), x > 0


a(t) + b(t) = 0

a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Le problème monodimensionnel non perturbéu(x, t) = a(t + x) + b(t− x)

a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour −x < t < x

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour −x < t < x

u(x, t) =1

2f1(t + x) +

1

2f1(x− t) +

1

2

∫ t+x

x−t

f2(t) dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Le problème monodimensionnel non perturbé Pour −x < t < x

u(x, t) =1

2f1(t + x) +

1

2f1(x− t) +

1

2

∫ t+x

x−t

f2(t) dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour t > x

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour t > x

u(x, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour t > x

u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour t > x

u(x, t) = a(t + x) + b(t− x) = a(t + x)− a(t− x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour t > x

u(x, t) = a(t+x)−a(t−x) =1

2f1(t+x)−

1

2f1(t−x)+

1

2

∫ t+x

t−x

f2(t) dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Le problème monodimensionnel non perturbé Pour t > x

u(x, t) =1

2f1(t + x)−

1

2f1(t− x) +

1

2

∫ t+x

t−x

f2(t) dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour t < −x

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour t < −x

u(x, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour t < −x

u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour t < −x

u(x, t) = a(t + x) + b(t− x) = −b(t + x) + b(t− x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




a(x) =1

2(f1(x)− f1(0)) +

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −b(x), x > 0

b(−x) =1

2(f1(x)− f1(0))−

1

2

∫ x

0

f2(t) dt = −a(−x), x > 0

Pour t < −x

u(x, t) = −b(t+x)+b(t−x) =1

2f1(x−t)−

1

2f1(−t−x)−

1

2

∫ −(t−x)

−(t+x)

f2(t) dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Le problème monodimensionnel non perturbé Conservation de l’énergie

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0

d’où l’unicité

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0

d’où l’unicité(f1, f2) = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0

d’où l’unicité(f1, f2) = 0 =⇒ E(t) = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0


(f1, f2) = 0 =⇒ E(t) = 0 =⇒ ux(x, t) = ut(x, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0


(f1, f2) = 0 =⇒ E(t) = 0 =⇒ ux(x, t) = ut(x, t) = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0


(f1, f2) = 0 =⇒ E(t) = 0 =⇒ ux(x, t) = ut(x, t) = 0 =⇒ u(x, t) = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0



Propagation à vitesse finie :

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0



Propagation à vitesse finie :u(x, t) ne dépend de la donnée f à l’instant t = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0




que dans l’intervalle [x− |t| , x + |t|] , pour |t| < x,

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E′(t) =

∫

∂Ω

ut(x, t)∂u

∂n(x, t)dγ(x) = −ut(0, t)ux(0, t) = 0




que dans l’intervalle [x− |t| , x + |t|] , pour |t| < x,

que dans l’intervalle [|t| − x, x + |t|] pour |t| > x.

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)

Espace d’énergie finie

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


H =

f

∣∣∣∣∫ +∞

0

(f ′1(x))

2+ (f2(x))

2dx < +∞

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


H =

f

∣∣∣∣∫ +∞

0

(f ′1(x))

2+ (f2(x))

2dx < +∞

L’opérateur de représentation : R0 : H → L2 (R)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


H =

f

∣∣∣∣∫ +∞

0

(f ′1(x))

2+ (f2(x))

2dx < +∞


R0f = h(s) = a′(−s)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)1A = U0(t)f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A = U0(t)f = U0(t)U0(T )f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A = U0(t)U0(T )f = U0(t + T )f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A = U0(t+T )f =0 a(t + T + x) + b(t + T − x)

a′(t + T + x) + b′(t + T − x)

1A

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A =

0 a(t + T + x) + b(t + T − x)

a′(t + T + x) + b′(t + T − x)

1Ad’où

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A =

0 a(t + T + x) + b(t + T − x)

a′(t + T + x) + b′(t + T − x)

1Ad’où

a(t + x) = a(t + T + x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A =

0 a(t + T + x) + b(t + T − x)

a′(t + T + x) + b′(t + T − x)

1Ad’où

a(t + x) = a(t + T + x)

R0U0(T )f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A =

0 a(t + T + x) + b(t + T − x)

a′(t + T + x) + b′(t + T − x)

1Ad’où

a(t + x) = a(t + T + x)

R0U0(T )f = a′(−s)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A =

0 a(t + T + x) + b(t + T − x)

a′(t + T + x) + b′(t + T − x)

1Ad’où

a(t + x) = a(t + T + x)

R0U0(T )f = a′(−s) = a′(T − s)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A =

0 a(t + T + x) + b(t + T − x)

a′(t + T + x) + b′(t + T − x)

1Ad’où

a(t + x) = a(t + T + x)

R0U0(T )f = a′(T − s) = h(s− T )

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

f = U0(T )f =

(a(T + x) + b(T − x)

a′(T + x) + b′(T − x)

)0 a(t + x) + b(t − x)

a′(t + x) + b′(t − x)

1A =

0 a(t + T + x) + b(t + T − x)

a′(t + T + x) + b′(t + T − x)

1Ad’où

a(t + x) = a(t + T + x)

R0U0(T )f = h(s− T ) = τTR0f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

Isométrie

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

Isométrie

a(x) + b(−x) = f1(x), x > 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

Isométrie

a(x) + b(−x) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = f2(x), x > 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

Isométrie

a(x) + b(−x) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = f2(x), x > 0

E

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

Isométrie

a(x) + b(−x) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = f2(x), x > 0

E =1

2

Z +∞

0

f ′

1(x)2

+ (f2(x))2 dx

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

Isométrie

a(x) + b(−x) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = f2(x), x > 0

E =1

2

Z +∞

0

a′(x) − b′(−x)

2+

a′(x) + b′(−x)

2dx

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

Isométrie

a(x) + b(−x) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = f2(x), x > 0

E =

Z +∞

0

a′(x)

2+

b′(−x)

2dx

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

Isométrie

a(x) + b(−x) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = f2(x), x > 0

E =

Z +∞

0

a′(x)

2+

a′(−x)

2dx

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

Isométrie

a(x) + b(−x) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = f2(x), x > 0

E =

Z +∞

−∞

a′(x)

2dx

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


R0f = h(s) = a′(−s)

Isométrie

a(x) + b(−x) = f1(x), x > 0

a′(x) + b′(−x) = f2(x), x > 0

E = ‖h‖2L2(R)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



La représentation par translation L’opérateur de représentation : R0 : H → L2 (R)

R0f = h(s) = a′(−s)

Représentation sortante :

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)

Représentation sortante : u s’annule dans le cône d’ondedu futur si h(s) = 0, ∀s < 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a|R+ constant

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a|R+ constant =⇒ a|R+ = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ b|R+ = −a|R+ = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ b|R+ = −a|R+ = 0

alors

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ b|R+ = −a|R+ = 0

alorsu(x, t) = a(t + x) + b(t− x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ b|R+ = −a|R+ = 0

alors

u(x, t) = a(t + x) + b(t− x) = 0 pour 0 < x < t

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ b|R+ = −a|R+ = 0

Espace sortant

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ b|R+ = −a|R+ = 0

Espace sortant

D+ = f |U0(t)f = 0, ∀ (x, t) tel que 0 < x < t

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ b|R+ = −a|R+ = 0

Espace sortant


En fait

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ b|R+ = −a|R+ = 0

Espace sortant


En faitR0D+ =

h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R0f = h(s) = a′(−s)


h(s) = a′(−s), a(0) = 0

h(s) = 0, ∀s < 0 =⇒ b|R+ = −a|R+ = 0

Espace sortant


En fait

R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



La représentation par translation Espace sortant


R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

D+ = f |f(x) = (b(−x), b′(−x))

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

D+ = f |f(x) = (b(−x), b′(−x))

Représentation entrante :

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

D+ = f |f(x) = (b(−x), b′(−x))

Représentation entrante :u s’annule dans le cône d’onde du passé si h(s) = 0, ∀s > 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

D+ = f |f(x) = (b(−x), b′(−x))


h(s) = 0, ∀s > 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

D+ = f |f(x) = (b(−x), b′(−x))


h(s) = 0, ∀s > 0 =⇒ a|R− = 0 = b|R−

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

D+ = f |f(x) = (b(−x), b′(−x))


h(s) = 0, ∀s > 0 = b|R− =⇒ u(x, t) = 0 pour 0 < x < −t

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

D+ = f |f(x) = (b(−x), b′(−x))


h(s) = 0, ∀s > 0 =⇒ u(x, t) = 0 pour 0 < x < −t

D−

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

D+ = f |f(x) = (b(−x), b′(−x))


h(s) = 0, ∀s > 0 =⇒ u(x, t) = 0 pour 0 < x < −t

D− = f |U0(t)f = 0, ∀ (x, t) tel que 0 < x < −t

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

D+ = f |f(x) = (b(−x), b′(−x))


h(s) = 0, ∀s > 0 =⇒ u(x, t) = 0 pour 0 < x < −t

D− = f |f(x) = (a(x), a′(x))

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0D+ =h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

h|R− = 0 =⇒ a|R+ = 0 =⇒ f(x) = (b(−x), b′(−x))

D+ = f |f(x) = (b(−x), b′(−x))


h(s) = 0, ∀s > 0 =⇒ u(x, t) = 0 pour 0 < x < −t

D− = f |f(x) = (a(x), a′(x))

R0D− = L2(R−)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



La représentation par translationR0D+ =

h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)

Espaces entrants et sortants : D+(t) = U0(t)D+

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)


R0D+(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)


R0D+(t) = R0U0(t)D+

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)


R0D+(t) = R0U0(t)D+ = τtR0D+

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)


R0D+(t) = R0U0(t)D+ = τtR0D+ = τtL2(R+) ⊂ L2(R+)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)



D+(t) ↓ 0 quand t ↑ +∞.

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h ∈ L2(R)

∣∣h|R− = 0

= L2(R

+)



D+(t) ↓ 0 quand t ↑ +∞.

D+(t) ↑ H quand t ↓ −∞

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




utt(x, t)− uxx(x, t) = 0 dans R+ × ]−∞, +∞[

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

E(t) =1

2

∫ +∞

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx +

1

2u2(0, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

E(t) =1

2

∫ +∞

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx +

1

2u2(0, t)

E′(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

E(t) =1

2

∫ +∞

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx +

1

2u2(0, t)

E′(t) = −ut(0, t)ux(0, t) + ut(0, t)u(0, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

E(t) =1

2

∫ +∞

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx +

1

2u2(0, t)

E′(t) = −ut(0, t)ux(0, t)+ut(0, t)u(0, t) = −ut(0, t)u(0, t)+ut(0, t)u(0, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

E(t) =1

2

∫ +∞

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx +

1

2u2(0, t)

E′(t) = −ut(0, t)u(0, t) + ut(0, t)u(0, t) = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

E(t) =1

2

∫ +∞

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx +

1

2u2(0, t)

E′(t) = 0

Solution

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

E(t) =1

2

∫ +∞

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx +

1

2u2(0, t)

E′(t) = 0

Solutionu(x, t) = a(t + x) + b(t− x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

E(t) =1

2

∫ +∞

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx +

1

2u2(0, t)

E′(t) = 0


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

E(t) =1

2

∫ +∞

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx +

1

2u2(0, t)

E′(t) = 0


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) au lieu de 0 = a(t) + b(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





(u(x, 0), ut(x, 0)) = f(x) dans R+

ux(0, t) = u(0, t) dans ]−∞, +∞[

Energie

E(t) =1

2

∫ +∞

0

(u2

x(x, t) + u2t (x, t)

)dx +

1

2u2(0, t)

E′(t) = 0



b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Le problème perturbé Solution

u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds

Représentations par translation

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s) = b′(−s)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s) = b′(−s) et R−f = h−(s)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s) = b′(−s) et R−f = h−(s) = a′(−s)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s) = b′(−s) et R−f = h−(s) = a′(−s)

Représentations unitaires

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s) = b′(−s) et R−f = h−(s) = a′(−s)


E

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s) = b′(−s) et R−f = h−(s) = a′(−s)


E =1

2

∫ +∞

0

(f ′1(x))

2+ (f2(x))

2dx +

1

2(f1(0))

2

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s) = b′(−s) et R−f = h−(s) = a′(−s)


E =1

2

∫ +∞

0

(a′(x)− b′(−x))2+(a′(x) + b′(−x))

2dx+

1

2(a(0) + b(0))

2

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s) = b′(−s) et R−f = h−(s) = a′(−s)


E =

∫ +∞

0

(a′(x))2

+

∫ 0

−∞

(b′(x))2dx +

1

2(a(0) + b(0))

2

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s) = b′(−s) et R−f = h−(s) = a′(−s)


E =

∫ +∞

0

(a′(x))2

+

∫ 0

−∞

(b′(x))2dx +

1

2(a(0) + b(0))

2

ora′(t)− b′(t) = a(t) + b(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)


b(t) = −a(t) + 2e−t

∫ t

−∞

esa′(s) ds


R+f = h+(s) = b′(−s) et R−f = h−(s) = a′(−s)


E =

∫ +∞

0

(a′(x))2

+

∫ 0

−∞

(b′(x))2dx +

1

2(a(0) + b(0))

2

or

a′(t)−b′(t) = a(t)+b(t) =⇒ (a′(t))2−(b′(t))

2= (a′(t) + b′(t)) (a(t) + b(t))

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Le problème perturbé Représentations unitaires

E =

∫ +∞

0

(a′(x))2

+

∫ 0

−∞

(b′(x))2dx +

1

2(a(0) + b(0))

2

or

a′(t)−b′(t) = a(t)+b(t) =⇒ (a′(t))2−(b′(t))

2= (a′(t) + b′(t)) (a(t) + b(t))

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E =

∫ +∞

0

(a′(x))2

+

∫ 0

−∞

(b′(x))2dx +

1

2(a(0) + b(0))

2

or

a′(t)−b′(t) = a(t)+b(t) =⇒ (a′(t))2−(b′(t))

2= (a′(t) + b′(t)) (a(t) + b(t))

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt =

∫ +∞

0

(a′(t) + b′(t)) (a(t) + b(t)) dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E =

∫ +∞

0

(a′(x))2

+

∫ 0

−∞

(b′(x))2dx +

1

2(a(0) + b(0))

2

or

a′(t)−b′(t) = a(t)+b(t) =⇒ (a′(t))2−(b′(t))

2= (a′(t) + b′(t)) (a(t) + b(t))

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt =1

2

[(a(t) + b(t))

2]+∞

0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E =

∫ +∞

0

(a′(x))2

+

∫ 0

−∞

(b′(x))2dx +

1

2(a(0) + b(0))

2

or

a′(t)−b′(t) = a(t)+b(t) =⇒ (a′(t))2−(b′(t))

2= (a′(t) + b′(t)) (a(t) + b(t))

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt = −1

2(a(0) + b(0))

2

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E =

∫ +∞

0

(a′(x))2

+

∫ 0

−∞

(b′(x))2dx +

1

2(a(0) + b(0))

2

or

a′(t)−b′(t) = a(t)+b(t) =⇒ (a′(t))2−(b′(t))

2= (a′(t) + b′(t)) (a(t) + b(t))

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt = −1

2(a(0) + b(0))

2

donc

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




E =

∫ +∞

0

(a′(x))2

+

∫ 0

−∞

(b′(x))2dx +

1

2(a(0) + b(0))

2

or

a′(t)−b′(t) = a(t)+b(t) =⇒ (a′(t))2−(b′(t))

2= (a′(t) + b′(t)) (a(t) + b(t))

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt = −1

2(a(0) + b(0))

2

donc

0 =

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt +1

2(a(0) + b(0))

2

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




0 =

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt +1

2(a(0) + b(0))

2

E

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




0 =

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt +1

2(a(0) + b(0))

2

E =

∫ +∞

0

(a′(x))2

+

∫ 0

−∞

(b′(x))2dx +

1

2(a(0) + b(0))

2

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




0 =

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt +1

2(a(0) + b(0))

2

E =

∫ +∞

−∞

(b′(x))2dx

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




0 =

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt +1

2(a(0) + b(0))

2

E =

∫ +∞

−∞

(b′(x))2dx

de même

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




0 =

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt +1

2(a(0) + b(0))

2

E =

∫ +∞

−∞

(b′(x))2dx

de même ∫ 0

−∞

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




0 =

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt +1

2(a(0) + b(0))

2

E =

∫ +∞

−∞

(b′(x))2dx

de même∫ 0

−∞

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt =

∫ 0

−∞

(a′(t) + b′(t)) (a(t) + b(t)) dt

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




0 =

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt +1

2(a(0) + b(0))

2

E =

∫ +∞

−∞

(b′(x))2dx

de même∫ 0

−∞

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt =1

2

[(a(t) + b(t))

2]0−∞

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




0 =

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt +1

2(a(0) + b(0))

2

E =

∫ +∞

−∞

(b′(x))2dx

de même∫ 0

−∞

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt =1

2(a(0) + b(0))

2

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




0 =

∫ +∞

0

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt +1

2(a(0) + b(0))

2

E =

∫ +∞

−∞

(b′(x))2dx

de même∫ 0

−∞

((a′(t))

2− (b′(t))

2)

dt =1

2(a(0) + b(0))

2

E =

∫ +∞

−∞

(a′(x))2dx

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



Le problème perturbé Représentation sortante

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0 =⇒ b|R+ constant

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0 =⇒ b|R+ constant =⇒ a′(t) = a(t)+b(0)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a′(t) = a(t)+b(0) =⇒ a(t) = −b(0)+Cet

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a(t) = −b(0) + Cet

a′(t) ∈ L2(R+)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a(t) = −b(0) + Cet

a′(t) ∈ L2(R+) =⇒ a(t) = −b(0), ∀t > 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a(t) = −b(0) + Cet

a′(t) ∈ L2(R+) =⇒ a(t) = −b(0), ∀t > 0

Pour 0 < x < t,

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a(t) = −b(0) + Cet

a′(t) ∈ L2(R+) =⇒ a(t) = −b(0), ∀t > 0

Pour 0 < x < t,

u(x, t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a(t) = −b(0) + Cet

a′(t) ∈ L2(R+) =⇒ a(t) = −b(0), ∀t > 0

Pour 0 < x < t,

u(x, t) = a(t + x) + b(t− x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a(t) = −b(0) + Cet

a′(t) ∈ L2(R+) =⇒ a(t) = −b(0), ∀t > 0

Pour 0 < x < t,

u(x, t) = a(t + x) + b(t− x) = a(0) + b(0) = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




h(s) = b′(−s) = 0, ∀s < 0 =⇒ a(t) = −b(0) + Cet

a′(t) ∈ L2(R+) =⇒ a(t) = −b(0), ∀t > 0

Pour 0 < x < t,

u(x, t) = a(t + x) + b(t− x) = a(0) + b(0) = 0

On voit bien ici la dissymétrie, car a′(t) ∈ L2(R−) n’auraitpas permis de conclure.

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



L’opérateur de diffusion Les opérateurs d’ondes ’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



L’opérateur de diffusion Les opérateurs d’ondes

W+f = limt→+∞

U(−t)U0(t)f

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞

U(−t)U0(t)f et W−f = limt→−∞

U(−t)U0(t)f

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1

W− : l’opérateur de diffusion

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1


W+ et W− échangent U et U0 ’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1


W+ et W− échangent U et U0

U(s)W+f

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



U(s)W+f = limt→+∞

U(s− t)U0(t)f

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1




U(s−t)U0(t)f = limt→+∞

U(s−t)U0(t−s)U0(s)f

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1




U(s− t)U0(t− s)U0(s)f = W+U0(s)f

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



U(s)W+f = W+U0(s)f

U(s)W+ = W+U0(s)

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



U(s)W+f = W+U0(s)f

U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



U(s)W+f = W+U0(s)f

U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

U0(t) commute avec S. ’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



U(s)W+f = W+U0(s)f

U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

U0(t) commute avec S.

SU0(t)

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



U(s)W+f = W+U0(s)f

U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)


SU0(t) = W−1+ W−U0(t)

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



U(s)W+f = W+U0(s)f

U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)


SU0(t) = W−1+ W−U0(t) = W−1

+ U(t)W−

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



U(s)W+f = W+U0(s)f

U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)


SU0(t) = W−1+ U(t)W− = W−1

+ U(t)W+W−1+ W−

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



U(s)W+f = W+U0(s)f

U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)


SU0(t) = W−1+ U(t)W+W−1

+ W− = W−1+ W+U0(t)W

−1+ W−

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



U(s)W+f = W+U0(s)f

U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)


SU0(t) = W−1+ W+U0(t)W

−1+ W− = U0(t)S

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1


U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

SU0(t) = U0(t)S

Interprétation physique ’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1


U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

SU0(t) = U0(t)S

Interprétation physique

limt→+∞

U(t)W+g = limt→+∞

U0(t)g

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1


U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

SU0(t) = U0(t)S


limt→+∞


U0(t)g =⇒ limt→+∞

(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1


U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

SU0(t) = U0(t)S


limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞

U(t)W−f = limt→−∞

U0(t)f

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1


U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

SU0(t) = U0(t)S


limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞


U0(t)f =⇒ limt→−∞

(U(t)W−f − U0(t)f) = 0

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1


U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

SU0(t) = U0(t)S


limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0

g = Sf =⇒ U(t)W+Sf − U0(t)Sf

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1


U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

SU0(t) = U0(t)S


limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0

g = Sf =⇒ U(t)W+Sf−U0(t)Sf = U(t)W+W−1+ W−f−SU0(t)f

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1


U(s)W+ = W+U0(s) et U(s)W− = W−U0(s)

SU0(t) = U0(t)S


limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0

U(t)W+Sf − U0(t)Sf = U(t)W−f − SU0(t)f

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’où ’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’oùlim

t→+∞(U(t)W−f − SU0(t)f)

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’oùlim

t→+∞(U(t)W−f − SU0(t)f) = 0

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




W+f = limt→+∞


U(−t)U0(t)f

S = (W+)−1



limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’où

limt→+∞

(U(t)W−f − SU0(t)f) = 0 = limt→−∞

(U(t)W−f − U0(t)f)

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



L’opérateur de diffusion Interprétation physique

limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’où

limt→+∞

(U(t)W−f − SU0(t)f) = 0 = limt→−∞

(U(t)W−f − U0(t)f)

soit encore avec ’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’où

limt→+∞

(U(t)W−f − SU0(t)f) = 0 = limt→−∞

(U(t)W−f − U0(t)f)

soit encore avecu

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’où

limt→+∞

(U(t)W−f − SU0(t)f) = 0 = limt→−∞

(U(t)W−f − U0(t)f)

soit encore avecu = U(t)W−f, u−

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’où

limt→+∞

(U(t)W−f − SU0(t)f) = 0 = limt→−∞

(U(t)W−f − U0(t)f)

soit encore avec

u = U(t)W−f, u− = U0(t)f, u+

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’où

limt→+∞

(U(t)W−f − SU0(t)f) = 0 = limt→−∞

(U(t)W−f − U0(t)f)

soit encore avec

u = U(t)W−f, u− = U0(t)f, u+ = SU0(t)f

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’où

limt→+∞

(U(t)W−f − SU0(t)f) = 0 = limt→−∞

(U(t)W−f − U0(t)f)

soit encore avec

u = U(t)W−f, u− = U0(t)f, u+ = SU0(t)f

limt→+∞

(u− u+)

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’où

limt→+∞

(U(t)W−f − SU0(t)f) = 0 = limt→−∞

(U(t)W−f − U0(t)f)

soit encore avec

u = U(t)W−f, u− = U0(t)f, u+ = SU0(t)f

limt→+∞

(u− u+) = 0

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




limt→+∞



(U(t)W+g − U0(t)g) = 0

limt→−∞



(U(t)W−f − U0(t)f) = 0


d’où

limt→+∞

(U(t)W−f − SU0(t)f) = 0 = limt→−∞

(U(t)W−f − U0(t)f)

soit encore avec

u = U(t)W−f, u− = U0(t)f, u+ = SU0(t)f

limt→+∞

(u− u+) = 0 = limt→−∞

(u− u−)

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



L’opérateur de diffusion Les espaces D± et les opérateurs d’ondes ’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



L’opérateur de diffusion Les espaces D± et les opérateurs d’ondes

U(t)f = a(t + x) + b(t− x)

’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)

On considére f ∈ D+ et t > 0 ’

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ 0 = a(t) + b(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ 0 = a(t) + b(t)

Donc

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ 0 = a(t) + b(t)

DoncU(t)f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ 0 = a(t) + b(t)

DoncU(t)f = a(t + x) + b(t− x)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ 0 = a(t) + b(t)

DoncU(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ 0 = a(t) + b(t)


et

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ 0 = a(t) + b(t)


etR0f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ 0 = a(t) + b(t)


etR0f = a′(−s)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ 0 = a(t) + b(t)


etR0f = a′(−s) = b′(−s) = R+f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x)


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ 0 = a(t) + b(t)


etR0f = a′(−s) = b′(−s) = R+f

Pour t > 0, U(t)f et U0(t)f sont nulles au voisinage del’origine, elles vérifient donc les deux conditions aux limitessimultanément.

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

etR0f = a′(−s) = b′(−s) = R+f


U(−t)U0(t)f = f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

etR0f = a′(−s) = b′(−s) = R+f


U(−t)U0(t)f = f =⇒W+f = limt→+∞

U(−t)U0(t)f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

etR0f = a′(−s) = b′(−s) = R+f


U(−t)U0(t)f = f =⇒W+f = limt→+∞

U(−t)U0(t)f = f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

etR0f = a′(−s) = b′(−s) = R+f


U(−t)U0(t)f = f =⇒W+f = limt→+∞

U(−t)U0(t)f = f

soit

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

etR0f = a′(−s) = b′(−s) = R+f


U(−t)U0(t)f = f =⇒W+f = limt→+∞

U(−t)U0(t)f = f

soit

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

etR0f = a′(−s) = b′(−s) = R+f


U(−t)U0(t)f = f =⇒W+f = limt→+∞

U(−t)U0(t)f = f

soit

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−

L’ opérateur de diffusion abstrait

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−


SuppR0g ⊂ [−t, +∞[

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−


SuppR0g ⊂ [−t, +∞[ =⇒ R0f = R0U0(t)g

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−


SuppR0g ⊂ [−t, +∞[ =⇒ R0f = R0U0(t)g = τtR0g

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−


SuppR0g ⊂ [−t, +∞[ =⇒ R0f = τtR0g =⇒ R0f |R− = 0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−


SuppR0g ⊂ [−t, +∞[ =⇒ R0f = τtR0g =⇒ R0f |R− = 0 =⇒ f ∈ D+

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alorsU(t)W+g

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alorsU(t)W+g = W+U0(t)g

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors

U(t)W+g = W+U0(t)g = U0(t)g

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors


d’où

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors


d’oùR+U(t)W+g

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors


d’oùR+U(t)W+g = R+U0(t)g

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors


d’oùR+U(t)W+g = R+U0(t)g = R0U0(t)g

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors



soit

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors



soitτtR+W+g = τtR0g

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




U(t)f = a(t + x) + b(t− x) = U0(t)f

R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors



soitτtR+W+g = τtR0g =⇒ R+W+g = R0g

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors




Par densité,

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors




Par densité,

R+W+ = R0 et R−W− = R0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé




R+f = R0f, W+f = f, ∀f ∈ D+

R−f = R0f, W−f = f, ∀f ∈ D−



On aura alors




Par densité,

R+W+ = R0 et R−W− = R0 =⇒ S = W−1+ W− = R−1

0 R+R−1− R0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé



L’opérateur de diffusion’

R+R−1− opérateur de diffusion abstrait est le représentant de

S dans L2(R)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





S dans L2(R)

R0

R+ h+ ←− f+

ր

f ↑ R+R−1− ↑ S

ց

R− h− ←− f−

R0

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





S dans L2(R)

R0

R+ h+ ←− f+

ր

f ↑ R+R−1− ↑ S

ց

R− h− ←− f−

R0

La matrice de diffusion :

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





S dans L2(R)

R0

R+ h+ ←− f+

ր

f ↑ R+R−1− ↑ S

ց

R− h− ←− f−

R0

La matrice de diffusion : on pose h− = R−f et h+ = R+f

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





S dans L2(R)

R0

R+ h+ ←− f+

ր

f ↑ R+R−1− ↑ S

ց

R− h− ←− f−

R0


R0SR−10 h−

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





S dans L2(R)

R0

R+ h+ ←− f+

ր

f ↑ R+R−1− ↑ S

ց

R− h− ←− f−

R0


R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h−

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





S dans L2(R)

R0

R+ h+ ←− f+

ր

f ↑ R+R−1− ↑ S

ց

R− h− ←− f−

R0


R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





S dans L2(R)

R0

R+ h+ ←− f+

ր

f ↑ R+R−1− ↑ S

ց

R− h− ←− f−

R0


R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+

Transformation de Fourier dans L2(R)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

a(ξ) (iξ − 1) = b(ξ) (iξ + 1)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

a(ξ) (iξ − 1) = b(ξ) (iξ + 1)

h−(s) = a′(−s)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

a(ξ) (iξ − 1) = b(ξ) (iξ + 1)

h−(s) = a′(−s) =⇒ h−(ξ) = −iξa(−ξ)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

a(ξ) (iξ − 1) = b(ξ) (iξ + 1)

h−(s) = a′(−s) =⇒ h−(ξ) = −iξa(−ξ)

h+(ξ)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

a(ξ) (iξ − 1) = b(ξ) (iξ + 1)

h−(s) = a′(−s) =⇒ h−(ξ) = −iξa(−ξ)

h+(ξ) = −iξb(−ξ)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

a(ξ) (iξ − 1) = b(ξ) (iξ + 1)

h−(s) = a′(−s) =⇒ h−(ξ) = −iξa(−ξ)

h+(ξ) = −iξb(−ξ) = −iξa(ξ)iξ − 1

iξ + 1

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

a(ξ) (iξ − 1) = b(ξ) (iξ + 1)

h−(s) = a′(−s) =⇒ h−(ξ) = −iξa(−ξ)

h+(ξ) = −iξb(−ξ) = −iξa(ξ)iξ − 1

iξ + 1= h−(ξ)

iξ − 1

iξ + 1

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

a(ξ) (iξ − 1) = b(ξ) (iξ + 1)

h−(s) = a′(−s) =⇒ h−(ξ) = −iξa(−ξ)

h+(ξ) = −iξb(−ξ) = −iξa(ξ)iξ − 1

iξ + 1= h−(ξ)

iξ − 1

iξ + 1

h+(ξ)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

a(ξ) (iξ − 1) = b(ξ) (iξ + 1)

h−(s) = a′(−s) =⇒ h−(ξ) = −iξa(−ξ)

h+(ξ) = −iξb(−ξ) = −iξa(ξ)iξ − 1

iξ + 1= h−(ξ)

iξ − 1

iξ + 1

h+(ξ) = S(h−(ξ)

)

Plan

Introduction

Equation des ondes


La représentation

Problème perturbé





R0SR−10 h− = R+ (R−)

−1h− = R+f = h+


a′(t)− b′(t) = a(t) + b(t) =⇒ iξ(a(ξ)− b(ξ)

)= a(ξ) + b(ξ)

a(ξ) (iξ − 1) = b(ξ) (iξ + 1)

h−(s) = a′(−s) =⇒ h−(ξ) = −iξa(−ξ)

h+(ξ) = −iξb(−ξ) = −iξa(ξ)iξ − 1

iξ + 1= h−(ξ)

iξ − 1

iξ + 1

h+(ξ) = S(h−(ξ)

)=

iξ − 1

iξ + 1h−(ξ)

introduction à la diffusion de lax phillips · plan introduction equation des ondes problème non...

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