François Goudail

Introduction au Traitement du signal

Matthieu Boffety

Léonard Prengère

Equipe pédagogique :

TD et TPBenjamin Le TeurnierAlice Fonbtbonne

Benjamin Pointard

Pascal Scholl

Qu’est-ce que le traitement du signal ?

Extraire l’information transportée par le signal

Exemple : Le radar Signal émis(modulé par une « porteuse »)

Signal reçu (atténuation en 1/d4)

Estimation de la distance :

t0

Traitement du signal

te

d= c (te-t0) / 2

d

Articulation avec les autres cours

o En physique : la notion de bruit est essentielle.

• Cours semestre 1

o Probabilités : notion de variable aléatoire

Ex : radar

o Signaux certains (déterministes)

o Comment représenter un bruit ? Le signal reçu par un radar est imprédictible : il ne peut pas être représenté par une fonction déterministe. On doit faire appelle au concept de fonction aléatoire.

)(tftCR

→→

• Cours semestre 2 : Traitement du signal

o Comment extraire l’information d’un signal bruité ?

Objectifs :

Introduction au Traitement du signal

• Comment extraire une information d’un signal ?

• Comment représenter et transmettre une information?Estimation, détection, restauration

Théorie de l’information, modulations numériques

• Comment représenter un signal aléatoire ?Notion de bruit dans les signaux, filtrage

Signaux aléatoires et bruit

Détection d’ondesgravitationnelles

-> mesure de l’écart de longueurdes bras d’un Michelson

InterféromètreVIRGO

Bruit dephoton

Bruit thermique

Densité spectrale de puissance des bruits perturbant la mesure

Bruit(s) dans les imagesSmartphone Synthetic aperture RadarAstronomie

• Signal bruité

Détection / Estimation de cibles en radar

• Après filtrage « adapté »

t3t2t1

Détection / Estimation de cibles en radar

t3

Quelle impulsion faut-il utiliser pour obtenir une bonne

precision de localisation?

A

B

C

t3

Quelle impulsion faut-il utiliser pour obtenir une bonne

precision de localisation?

A

B

C

Imagerie par temps de volEchographie

Imagerie de Profondeur

Emetteur d’ondeacoustique

Objet sondé

Carte de profondeur

TomographieScanner X

Objet sondé

Image de la tête

Crâne

Cerveau

Imagerietomographique :

scanner, IRM, PET, …

On fait tournerl’ensemble sources+détecteur

Le satellite SPOT 5 fournit des images floues!

L’image fournie au client est déconvoluée numériquement.

Déconvolution

Théorie de l’information : compression d’image

Variation du taux de compression JPEG

Modulations numériques complexesRéseau mondial de

fibres optiques

Pour augmenter le debit: schémasde modulation “cohérents”

“Constellations”

1. Signaux aléatoires

Plan du cours

3. Filtre adapté

4. Estimation5. Détection6. Restauration

8. Théorie de l’information

9. Transmission numérique

Traitementdu signal

Quantification et transmission de l’information

2. BruitsModélisationPhysique

En pratique …

Le cours :

• 1 polys• 9 cours : qui suivent le plan du poly (transparents+tableau)• 7 séances de TD• 2 séances de TP : déconvolution d’images

L’examen :

SANS DOCUMENTS

Objectif du TP : déchiffrer le texte mystère …

1. Signaux aléatoires

Plan du cours

3. Filtre adapté

4. Estimation

5. Détection

6. Restauration

8. Théorie de l’information

9. Transmission numérique

2. Bruits

Signaux à énergie finie

• Fonction x(t) appartenant à L2. Définition de son énergie ?

• Densité spectrale d’énergie ?

• Fonction d’autocorrélation ?

• Sa transformée de Fourier ?

Autre manière de définir de la densité spectrale d’énergie

• On filtre la fonction x(t) avec un filtre linéaire de réponse impulsionnelle h(t)

• Cette méthode nous servira pour définir la densité spectrale de puissance des signaux de puissance finie et des signaux aléatoires, dont l’énergie n’est pas définie.

Peut-on définir l’énergie de ?

• Pour les fonctions dont l’énergie n’est pas définie, on utilise la puissance moyenne :

• Fonction d’autocorrélation ?

• Densité spectrale de puissance ?

Signaux de puissance finie

• Pour les fonctions dont l’énergie n’est pas définie, on utilise la puissance moyenne :

• Fonction d’autocorrélation ?

• Densité spectrale de puissance ?

Signaux de puissance finie

o On va procéder de la même manière que pour les signaux à énergie finie : on définit l’effet du filtrage sur la fonction d’autocorrélation, puis on applique un filtre passe-bande idéal de largeur δν tendant vers 0

Densité spectrale de puissance

Densité spectrale de puissance

• Pour λ fixé, est une fonction déterministe )(tX λ

)(, tXt λλ →ℜ→ℜ⊗Ω

• Pour t fixé, est une variable aléatoire définie par une densité de probabilité 𝑃𝑃𝑋𝑋𝜆𝜆(𝑡𝑡) 𝑥𝑥

)(tX λ

𝑿𝑿𝝀𝝀𝟏𝟏 𝒕𝒕

t

𝑿𝑿𝝀𝝀𝟐𝟐 𝒕𝒕 𝑿𝑿𝝀𝝀𝟑𝟑 𝒕𝒕

)(tX λ

Fonctions aléatoires

Pour représenter un signal perturbé par un bruit, il faut définir la notion de fonctions aléatoire (FA):

Moyennes d’ensemble et temporelle

λ1

λ2

λ3 ...

t

λ

Moyenne temporelle

Moyenne d’ensemble:

λ1

λ2

λ3 ...

t

λ

Covariances d’ensemble et temporelle

t1 t2

Fonction de covariance:

Fonction d’autocorrélation (covariance temporelle):

avec

λ1

λ2

λ3 ...

t

λ

Puissance instantanée (variance)

t

Puissance instantanée (variance)

Puissance (temporelle)

Stationnarité et ergodicité à l’ordre 1

λ1

λ2

λ3 ...

t

λ

Stationnarité à l’ordre 1: la moyenne d’ensemble est indépendante de t

Ergodicité à l’ordre 1: la moyenne temporelle est indépendante de λ

Fonction stationnaire et ergodique d’ordre 1: moyenne d’ensemble = moyenne temporelle mtXtX == )()( λλ

λ1

λ2

λ3 ...

t

λ

t t+τFonction de covariance

Fonction d’autocorrélation

Stationnarité (ordre 2):

Ergodicité (ordre 2):

Fonction stationnaire et ergodique d’ordre 2: covariance d’ensemble = covariance temporelle

( ) ( )ττ XXXX tt Γ=+Γ ,

( ) ( )ττλXXXX CC =

Stationnarité et ergodicité à l’ordre 2

( ) ( ) ( )τττ λXXXXXX Ctt =Γ=+Γ ,

Exemples

Filtrage des fonctions stationnaires• On filtre une fonction aléatoire stationnaire centrée Xλ(t) avec un filtre h(t). On

obtient une nouvelle fonction aléatoire Yλ(t):

• On démontre que la fonction aléatoire Yλ(t) est également stationnaire et centrée, et que sa fonction de covariance est:

Filtrage des fonctions stationnaires• On filtre une fonction aléatoire stationnaire centrée Xλ(t) avec un filtre h(t). On

obtient une nouvelle fonction aléatoire Yλ(t):

• On démontre que la fonction aléatoireYλ(t) est également stationnaire et centrée, et que sa fonction de covariance est:

• La TF de cette équation donne :

• La puissance de Yλ(t) est :

• Si h(t) est un filtre passe-bande idéal de largeur δν autour de la fréquence ν0

Densité spectrale de puissance

Bruit blanc

• En physique, il arrive fréquemment que la fonction de covariance des bruits soit très « étroite ». Cela signifie que les phénomènes à l’origine du bruit se produisent dans des temps caractéristiques très courts par rapport aux signaux utiles que l’on cherche à mesurer.

+

=

Bruit blanc• En physique, il arrive fréquemment la fonction de covariance des bruits soit très

« étroite ». Cela signifie que les phénomènes à l’origine du bruit se produisent dans des temps caractéristiques très courts par rapport aux signaux utiles que l’on cherche à mesurer.

Bruit blanc• En physique, il arrive fréquemment la fonction de covariance des bruits soit très

« étroite ». Cela signifie que les phénomènes à l’origine du bruit se produisent dans des temps caractéristiques très courts par rapport aux signaux utiles que l’on cherche à mesurer.

• Pour représenter ce type de bruit, on utilise le modèle de « bruit blanc »

• Ce modèle n’est pas totalement réaliste physiquement, car on ne peut pas définir la puissance (variance) d’un bruit blanc …

• On peut le définir par son « niveau de bruit »: Quelle unité?

Racine carrée de la densité spectrale de puissance des bruits perturbant la mesure de variation de longueur relative h d’un

bras d’interféromètre

Bruit blanc filtréSi on ne peut pas définir la puissance d’un bruit blanc, on peut définir celle d’un bruit blanc filtré par un filtre de RI h(t).

• Si h(t) est un filtre passe-bande idéalde largeur de bande monolatérale ∆ν :

• Si le filtre h(t) est quelconque, on a

où

bande passante équivalente de bruit

• Si le filtre h(t) est passe-bas et normalisé:

Bande passante équivalente de bruit

• Voici la bande passante équivalente de bruit de quelques filtres passe-bas classiques normalisés:

Bilan …• Fonction aléatoire : propriétés à connaître

o Stationnarité et ergodicitéo Fonction de covarianceo Densité spectrale de puissance

• Filtrage des fonctions aléatoires stationnaires:

• Bruit blanc

• Puissance d’une fonction stationnaire filtrée:

• Bande passante équivalente de bruit ∆f:

Illustration du filtrage

DSPCovariance

• Bruit gaussien blanc (échantillonné)

Sxx=1 W/Hz => Px=1W après échantillonnage réel à τ=1s

Réalisation

• Bruit blanc filtré σh=2

DSPh(t) Réalisation

Les variations sont plus « lentes »

Illustration

σh=2

DSP Réalisation

σh=8

• Les variations sont encore plus « lentes »

σh=2 𝑃𝑃𝑌𝑌𝑌𝑌 = 0.38𝑃𝑃𝑌𝑌𝑌𝑌 = 0.19σh=8

• La puissance (variance) est plus faible

h(t)

Illustration

σh=2

DSP Réalisationh(t)

Filtre passe-bas idéal

𝝂𝝂𝒄𝒄=0.065 Hz

• Les variations sont de même « lenteur » car les bandes passantes équivalentes 𝚫𝚫𝚫𝚫 sont similaires.

• Les puissances (variances) sont identiques

Comment réduire le bruit?• Le traitement du signal est souvent destiné à observer un signal utile perturbé par un

bruit

• L’objectif est d’estimer les paramètres dont dépend le signal utile avec la meilleure précision, ou, ce qui revient souvent au même, le meilleur rapport signal sur bruit (RSB)

Life is SNR

Chris Dainty

Comment réduire le bruit?• Le traitement du signal est souvent destiné à observer un signal utile perturbé par un

bruit

• L’objectif est d’estimer les paramètres dont dépend le signal utile avec la meilleure précision, ou, ce qui revient souvent au même, le meilleur rapport signal sur bruit (RSB)

• Moyennage (estimation d’un niveau constant)

• Filtrage (estimation de l’amplitude d’une sinusoïde)

• Détection cohérente (estimation de l’amplitude d’une sinusoïde)

Moyennage

Moyennage

T

Moyennage

Moyennage• On peut définir le rapport

signal sur bruit en sortie

Le RSB est proportionnel au temps d’intégration: plus on mesure longtemps, meilleure est la précision

• Supposons maintenant que b(t) est un bruit blanc filtré sur la bande monolatérale ∆ν>>1/T. On peut alors définir le RSB sur le signal d’entrée:

• Le gain en RSB apporté par le moyennage est donc :

Il est d’autant plus grand que la durée de moyennage T est grande par rapport à 1/∆ν, qui peut être vu comme le temps de variation caractéristique du bruit

Filtrage du bruit• Supposons maintenant que le signal utile est

une sinusoïde dont on veut estimer l’amplitude

• On filtre le signal s(t) avec un filtre passe-bande h(t) dont la réponse en fréquence est centrée sur f0 et de bande passante équivalente ∆f << f0

• L’expression du signal filtré est:

• Le RSB en sortie de filtrage est:

Filtrage du bruit

Détection cohérente• Pour pallier cet inconvénient, on utilise le principe de la détection cohérente: on

multiplie le signal s(t) par une sinusoïde de même fréquence, et on filtre passe-bas

• DSP du signal utile?

• DSP du bruit? b’(t) n’est pas une fonction aléatoire stationnaire – Sa DSP n’est donc pas définie

• Cependant, on peut montrer qu’après filtrage passe-bas, on obtient un bruit blanc filtré

• Puissance après filtrage passe-bas ?

• DSP du bruit?

Détection cohérente• On peut donc définir le RSB en sortie de filtrage

On obtient le même résultat que pour le filtrage passe-bande

• Le gain en RSB est donc le même:

L'intérêt est qu'il est beaucoup plus facile de réaliser un filtre passe-bas de bande passante (BP) équivalente ∆f qu'un

filtre passe-bande de même BP centré sur la fréquence f0

Conclusion

On a considéré trois scénarios d'estimation différents:

• Estimation d'un signal constant dans un bruit blanc par moyennage

• Estimation de l'amplitude d'une sinusoïde noyée dans un bruit blanc par filtrage passe-bande et par détection cohérente.

Plus le filtre est étroit, plus le gain en RSB est important.

En effet, le filtrage ne modifie pas la puissance du signal utile, mais réduit d'autant plus la puissance du bruit blanc que le

filtre est étroit.

Généralisation de la detection cohérente• La détection cohérente (ou détection synchrone) est sans doute la méthode de

traitement du signal la plus utilisée.

Le signal mesuré par détection cohérente est, au bruit près, égal à A(t)

où le signal A(t) est à spectre borné: ∆νA << ∆f << f0

(signal modulé en amplitude)

• Son domaine d'utilisation ne se limite pas aux signaux purement sinusoïdaux. Supposons que l'amplitude de la sinusoïde A(t) varie dans le temps:

• C'est sur ce principe que fonctionne la réception des signaux radio en modulation d'amplitude: le signal A(t) représente le signal sonore transmis et f0 la fréquence porteuse associée à chaque station de radio.

A(t)

cos 2πf0t

s(t)

Bilan …• Fonction aléatoire : propriétés à connaître

o Stationnarité et ergodicitéo Fonction de covarianceo Densité spectrale de puissance

• Filtrage des fonctions aléatoires stationnaires

• Bruit blanc

• Réduction du bruito Moyennageo Filtrageo Détection cohérente (démodulation)