U. Paris Ouest,

M1 - Cours de Modélisation Appliquée

Introduction aux modèles économétriques

Laurent FerraraFévrier 2013

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Plan de la présentation

1. Concepts

2. Modèles statistiques2. Modèles statistiques

3 E l d dèl3. Exemples de modèles

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1 C t1. ConceptsObjectifObjectifPrendre des décisions à partir de l’observation d’un ensemble de

données

MéthodeConstruction d’un modèle économétrique pour chaque type

d’étude

OutilsOutils1) Théorie de l ’information et concepts d’optimalité→ construction d’une population exhaustive : pas tjs facile ….→ construction d une population exhaustive : pas tjs facile ….→ Solution : échantillonnageU. Paris Ouest U. Paris Ouest L. Ferrara, L. Ferrara, 20122012--1313

2) Modèles économétriques:2) Modèles économétriques: Modèles probabilistes : loi de distribution de l’échantillonModèles paramétriques : modèles de régression linéaire et nonModèles paramétriques : modèles de régression linéaire et non-

linéaire, modèles de séries chronologiques, ….

→ Chaque type de modèle fait appel à des paramètres (de la loi et / ou du modèle), a priori inconnus qu’il faudra estimer.et / ou du modèle), a priori inconnus qu il faudra estimer.On peut identifier de 2 types de paramètres : paramètres de loi de distribution ou paramètres de structure.p

3) Estimation et tests : )Inférence statistique basée sur l’échantillon observé→ Contrôle de la qualité de l ’information et de la décision prise → Co ô e de a qua é de o a o e de a déc s o p se

associée au testU. Paris Ouest U. Paris Ouest L. Ferrara, L. Ferrara, 20122012--1313

Exemples :

- Etude d’une population par sondage (élections, enquêtes p p p g ( , qd’opinion auprès des ménages et des industriels…)

- Explication de phénomènes macro-économiques et micro-économiquesq

- Prévision (variables macro, taux de change, actifs év s o (va ab es ac o, tau de c a ge, act sfinanciers, …)

- Prise de décision de politique économique par le gouvernement et la banque centrale g q

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2 M dèl é ét i2. Modèles économétriques

Définition formelleOn appelle modèle au sens statistique la donnée d’un tripletOn appelle modèle au sens statistique la donnée d un triplet

où :),,( IPFΩ

où :Ω est l’ensemble (les données)F est une tribu sur ΩF est une tribu sur ΩIP est une famille de lois de proba. sur (Ω, F) tq : IP→ Θ∈θθ )(IP

kℜ⊂Θ∈θqui dépend d’un paramètre vectoriel

ℜ⊂Θ∈θ

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Hypothèse clé de travail :Hypothèse clé de travail :Les individus interrogés sont identifiés à des variables aléatoires X1 X à valeurs dans Ω (Ω = R ou Rd )aléatoires X1 , …, Xn , à valeurs dans Ω (Ω R ou R ), indépendantes et de même loi de distribution Pθ (i.i.d.)

Remarques : R1: En général, Ω ⊂ Rd , on travaille alors avec la tribu desR1: En général, Ω ⊂ R , on travaille alors avec la tribu des

boréliens dRB

R2 : Quand on parle de modèle paramétrique probabiliste. On connaît la loi Pθ mais θ est inconnu.

),( dRd BR⊂Θ

→ On va donc se servir de l’échantillon qu ’on aura construit à partir des individus pour identifier ce paramètre θ.

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Définition:Définition:On appelle n-échantillon, le vecteur aléatoire :X = (X X ) de loi suite finie de v a indépendantesnPX = (X1 , …, Xn ) de loi , suite finie de v.a. indépendantes

et identiquement distribuées (iid) de loi Pθ .nPθ

Définition:On appelle observation une réalisation du vecteur aléatoire XOn appelle observation une réalisation du vecteur aléatoire X,

notée : x = (x1 , …, xn ).

Remarques : R1: Le modèle statistique associé à X est : )( nnn IPFΩR1: Le modèle statistique associé à X est : ),,( IPF θΩ

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R2: La famille de lois P est supposée posséder une densitéR2: La famille de lois Pθ est supposée posséder une densité continue ou discrète (abus de language))(xfθ ),( θxp

R3 : est le support de la loi Pθ

{ }0)(; >=Δ xfx θθ

est le support de la loi Pθ .

R4 : Sous l’hypothèse d’indépendance : θθθ PPPn ××=R4 : Sous l hypothèse d indépendance : θθθ PPP ××...

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Définition:Définition:On appelle statistique toute fonction mesurable f tq:

f: (X X ) → f(X X ) ∈ Rkf: (X1 , …, Xn ) → f(X1 , …, Xn ) ∈ Rk ,k étant la dimension de la statistique.

E lExemples :• (X1 , …, Xn ) statistique de dimension n• (X(1) , …, X(n) ) statistique de dimension n• X1 statistique de dimension 1• 1/n ∑i Xi statistique de dimension 1

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3 E l d dèl3. Exemples de modèlesModèle BinomialModèle Binomial

Ω = {données} = {réponses à une question binaire (oui/non)}On interroge n individus Xi est la réponse de l ’individu i :On interroge n individus, Xi est la réponse de l individu i :

Xi = 1 si oui et Xi = 0 si non → X est une v a qui suit une loi de Bernouilli de paramètre→ Xi est une v.a. qui suit une loi de Bernouilli de paramètre θ inconnu tq :

θ = probabilité que l’individu réponde ouiθ probabilité que l individu réponde oui Le modèle statistique associé au vecteur aléatoire X est :

{ } ))(10( nBF nn θ

Exemples ? θ ?

{ } )),(,,1,0( nBF θ

Exemples ? θ ?U. Paris Ouest U. Paris Ouest L. Ferrara, L. Ferrara, 20122012--1313

Modèle MultinomialΩ = {données} = {réponses à une question à plusieurs modalités} = {Aj , j = 1, …, J } j ,

θj = probabilité que l’individu i réponde Aj

On suppose qu ’il n ’y a pas de non réponses (= abstention)pp q y p p ( )ie : ∑j θj = 1

On interroge n individus, Xi est la réponse de l ’individu i :g , i pXi ∈ {Aj , j = 1, …, J }

Le modèle statistique associé au vecteur aléatoire X est :Le modèle statistique associé au vecteur aléatoire X est :

{ } )),...,(,,,...,( 11 Jnnn

J MFAA θθ

Exemples ?Rem : L’estimation de J-1paramètres suffitRem : L estimation de J-1paramètres suffit

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Modèle Log-NormalgSur n individus, on mesure une variable Ri .On suppose qu ’il s ’agit d ’une variable continue positive pp q g p

Ri ~ LogN (m,σ2 ) ie Log(Ri ) ~ N (m,σ2 ) g( i ) ( )

On a 2 paramètres d ’intérêt m et σ2On a 2 paramètres d intérêt m et σLe modèle statistique associé au vecteur aléatoire X est :

))(( nn L NBR

Exemples ?

))(,,( nR

n LogNBR n

Exemples ?

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Modèle linéaire Sur n individus, on mesure les variables Xi et Yi ,

On suppose qu’il existe une relation linéaire entre elles, ie:pp q ,pour chaque i :

Yi = a Xi + bYi a Xi bLes paramètres (a,b) sont inconnus

La relation n’est pas forcément déterministe, ie: il existe la va e telle que : ei ~ N (0,σ2 ) ete e e que : ei ( ,σ ) e

Yi = a Xi + b + eiYi a Xi + b + ei

Les paramètres (a b σ2) sont inconnusLes paramètres (a,b, σ ) sont inconnusU. Paris Ouest U. Paris Ouest L. Ferrara, L. Ferrara, 20122012--1313

Exemple: Ramey and Ramey (AER)

Modèles de séries chronologiquesg qIndice de la production industrielle en zone euro

100

110

120

130

70

80

90

100

1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 200260

0 010

0.015

-0.005

0.000

0.005

0.010

1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002-0.020

-0.015

-0.010

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1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2002

Modèles de séries chronologiquesg qLes n individus i deviennent n dates t, On mesure une variable Rt pour t = 1, …, Tt p , ,

Pb: Qu’en est-il de l’hypothèse i.i.d. ?b: Qu e es de ypo èse . .d. ?

1/ Indépendance : Hypothèse pas raisonnable1/ Indépendance : Hypothèse pas raisonnable

2/ Identiquement distribué : Hypothèse nécessaire2/ Identiquement distribué : Hypothèse nécessaire

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Modèles de séries chronologiquesg qLes n individus i deviennent n dates t, On suppose qu’il existe une relation linéaire entre elles, ie:pp q ,pour chaque i :

Yt = a Yt 1 + bYt a Yt-1 bLes paramètres (a,b) sont inconnus

La relation n’est pas forcément déterministe, ie: il existe la va e telle que : ei ~ N (0,σ2 ) ete e e que : ei ( ,σ ) e

Yt = a Yt 1 + b + eiYt a Yt-1 + b + ei

Les paramètres (a b σ2) sont inconnusLes paramètres (a,b, σ ) sont inconnusU. Paris Ouest U. Paris Ouest L. Ferrara, L. Ferrara, 20122012--1313

Modèles de séries chronologiques déterministesg qOn suppose qu’il existe une relation non forcément linéaire entre elles, ie:pour chaque i :

Yt = f ( θ, Yt-1 )t f ( t 1 )Les paramètres (θ ) sont inconnus

Exemples: Chaos logistique, Rossler, Henon com nn = 10000com aa = 3.75com xx(1) = 0.8do i=2,nndo i 2,nncom xx(i) = aa*xx(i-1)*(1-xx(i-1))enddo i

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Modèles de séries chronologiques déterministes (Rossler)g q ( )

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RemarquesRemarques• Quel est le but du jeu de toute tentative de modélisation j

d’une variable Y ?

→ Minimiser la variance résiduelle

Y = partie déterministe + partie aléatoireY = f(X) + ε( )

Par indépendance, V(Y) = V(f(X)) + V(ε)Par indépendance, V(Y) V(f(X)) V(ε)

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ConclusionConclusionU dèl é ét i t d f i h i→Un modèle économétrique permet de faire un choix économique à partir d’un ensemble d’information

Algorithme de modélisation statistique:Défi i l’ bl d’i f i• Définir l’ensemble d’information

• Spécifier le modèle statistique (= identifier )nPθ• Construire une statistique pour le paramètre à estimer• Etude de cette statistique (estimation et distribution)• Validation / Contrôle• Prise de décision / Prévision

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ConclusionConclusionO tilOutils:• Eléments de la théorie des probabilités

i d h ill• Construction d’échantillon • Choix de la classe de modèle paramétrique• Méthodes de spécification du modèle• Estimation des paramètres• Tests d’hypothèses

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