issuu precalculo low

JAMES STEWART | LOTHAR REDLIN | SALEEM WATSON

EDICIÓN ABREVIADA PARA EL INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO

PRECÁLCULOMATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO

P R I M E R A E D I C I Ó N

JAMES STEWARTMcMASTER UNIVERSITY AND UNIVERSITY OF TORONTO

LOTHAR REDLINTHE PENNSYLVANIA STATE UNIVERSITY

SALEEM WATSONCALIFORNIA STATE UNIVERSITY, LONG BEACH

TRADUCCIÓN:

ING. JORGE HUMBERTO ROMO MUÑOZTRADUCTOR PROFESIONAL

REVISIÓN TÉCNICA:

DR. ERNESTO FILIO LÓPEZUNIDAD PROFESIONAL EN INGENIERÍA Y TECNOLOGÍAS AVANZADAS

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

M. EN C. MANUEL ROBLES BERNALESCUELA SUPERIOR DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

PRECÁLCULOMATEMÁTICAS PARA EL CÁLCULO

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

© D.R. 2014 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.,

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de información a excepción de lo permitido

en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal

del Derecho de Autor, sin el consentimiento

por escrito de la Editorial.

Traducido del libro

Precalculus. Mathematics for Calculus. Sixth Edition.Stewart, James/Lothar Redlin y Saleem Watson

Publicado en inglés por Brooks & Cole, una compañía

de Cengage Learning © 2012

ISBN: 978-0-8400-6807-1

Datos para catalogación bibliográfica:

Stewart, James/Lothar Redlin y Saleem WatsonPrecálculo. Matemáticas para el cálculoISBN: 978-607-519-105-8

Visite nuestro sitio en:

http://latinoamerica.cengage.com

Precálculo. Matemáticas para el cálculoJames Stewart, Lothar Redlin y Saleem Watson

Presidente de Cengage Learning Latinoamérica:Fernando Valenzuela Migoya

Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica:Ricardo H. Rodríguez

Gerente de Procesos para Latinoamérica:Claudia Islas Licona

Gerente de Manufactura para Latinoamérica:Raúl D. Zendejas Espejel

Gerente Editorial de Contenidos en Español:Pilar Hernández Santamarina

Gerente de Proyectos Especiales:Luciana Rabuffetti

Gerente Editorial de Contenidos en Inglés:Ivor Williams

Coordinador de Manufactura:Rafael Pérez González

Editora: Cinthia Chávez Ceballos

Diseño de portada: Lisa Henry

Imágenes de portada: © Jose Fuste Raga/CORBIS

Composición tipográfica:Mariana Sierra Enríquez

Impreso en México1 2 3 4 5 6 17 16 15 14

A C E R C A D E L O S A U T O R E S

JAMES STEWART recibió su

maestría de la Universidad de

Stanford y su doctorado de la

Universidad de Toronto. Realizó una

investigación en la Universidad de

Londres y fue influenciado por el

famoso matemático George Polya

en la Universidad de Stanford.

Stewart es profesor emérito de la

Universidad McMaster y

actualmente es profesor de

Matemáticas en la Universidad de

Toronto. Su campo de investigación

es el análisis armónico y las

conexiones entre las matemáticas

y la música. James Stewart es el

autor de una exitosa serie de libros

de texto para cálculo publicada

por Brooks/Cole, Cengage Learning,

incluyendo Cálculo, Cálculo:

trascendentes tempranas y Cálculo:

conceptos y contextos, una serie

de textos de precálculo, y una

serie de libros de texto de

matemáticas para secundaria.

LOTHAR REDLIN creció en la isla

de Vancouver, recibió una

licenciatura en Ciencias de la

Universidad de Victoria, y recibió un

doctorado de la Universidad

McMaster en 1978. Posteriormente

se dedicó a la investigación y

docencia en la Universidad de

Washington, en la Universidad

de Waterloo y en la Universidad

Estatal de California, en Long Beach.

En la actualidad es profesor de

Matemáticas en la Universidad

Estatal de Pennsylvania, en el

Campus de Abington. Su campo de

investigación es la topología.

SALEEM WATSON recibió su

licenciatura en Ciencias de la

Universidad Andrews, en Michigan.

Realizó estudios de posgrado en la

Universidad de Dalhousie y en la

Universidad McMaster, donde

recibió su doctorado, en 1978.

Posteriormente se dedicó a la

investigación en el Instituto de

Matemáticas de la Universidad de

Varsovia, en Polonia. También

enseñó en la Universidad Estatal de

Pennsylvania. Actualmente es

profesor de Matemáticas en la

Universidad Estatal de California, en

Long Beach. Su campo de

investigación es el análisis

funcional.

Stewart, Redlin y Watson también han publicado College Algebra, Trigonometry, Algebra and Trigonometry, y (con Phyllis Panman) College Algebra: Concepts and contexts.

ACERCA DE LA PORTADA

La fotografía de la portada muestra el Museo de la Ciencia en la

Ciudad de las Artes y las Ciencias de Valencia, España, con un

planetario a la distancia. Construido de 1991 a 1996, fue dise-

ñado por Santiago Calatrava, arquitecto español. Calatrava

siempre ha estado muy interesado en cómo las mate máticas

pueden ayudar a materializar los edificios que imagina. Siendo

un joven estudiante, él mismo aprendió geometría descriptiva

de los libros a fin de representar objetos tridimensionales en dos

dimensiones. Formado como ingeniero y arquitecto, escribió su

tesis doctoral en 1981, titulada "Sobre el doblado de las estruc-

turas espaciales", que está llena de matemáticas, especialmente

de transformaciones geométricas. Su fortaleza como ingeniero

le permite ser atrevido en su arquitectura.

iii

M E N S A J E D E L D I R E C T O R

Es para la comunidad Tecnológica esencialmente relevante contar con la presente edición en el

65 aniversario de la Dirección General de Educación Superior Tecnológica, así como el nacimiento

del primer Instituto Tecnológico en el País: el de DURANGO y el décimo aniversario de la educación

superior tecnológica a distancia en nuestro Estado.

La edición especial del libro de Precálculo. Matemáticas para el Cálculo, es sin duda un paso más

en el proceso de mejora continua de los Programas de Fortalecimiento y Desarrollo de Competen-

cias para el Aprendizaje que ofrece el Instituto, buscando incrementar las posibilidades de aproba-

ción de los alumnos en las materias básicas.

Al agradecer a todas las personas que con su talento y esfuerzo hicieron posible esta obra edi-

torial, que habrá de servir para impulsar aquellas disciplinas que inciden en el desarrollo y pro-

greso de los estudiantes, hago votos porque se convierta en el inicio de nuevos logros del Cuerpo

Colegiado de Matemáticas y en una más de las Fortalezas de nuestro querido Instituto y, con ello,

poner la Técnica al Servicio de la Patria.

Ing. Jesús Astorga Pérez

Director del Instituto Tecnológico de Durango

AL ESTUDIANTE vii

PRÓLOGO: PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS P1

C A P Í T U L O 1 FUNDAMENTOS 1 Descripción del capítulo 1

1.1 Números reales 2

1.2 Exponentes y radicales 12

1.3 Expresiones algebraicas 24

1.4 Expresiones racionales 35

1.5 Ecuaciones 44

1.6 Modelado con ecuaciones 57

1.7 Geometría de coordenadas 73

1.8 Calculadoras graficadoras; resolución gráfica de ecuaciones y desigualdades 86

1.9 Rectas 96

C A P Í T U L O 2 FUNCIONES EXPONENCIALES Y FUNCIONES LOGARÍTMICAS 109 Descripción del capítulo 109

2.1 Funciones exponenciales 110

2.2 La función exponencial natural 118

2.3 Funciones logarítmicas 124

2.4 Leyes de logaritmos 134

C A P Í T U L O 3 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: MÉTODO DE LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA 141 Descripción del capítulo 141

3.1 La circunferencia unitaria 142

3.2 Funciones trigonométricas de números reales 149

3.3 Gráficas trigonométricas 158

C A P Í T U L O 4 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: MÉTODO DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO 171 Descripción del capítulo 171

4.1 Medida de un ángulo 172

4.2 Trigonometría de triángulos rectángulos 181

C O N T E N I D O

v

vi Contenido

4.3 Funciones trigonométricas de ángulos 189

4.4 La Ley de Senos 200

4.5 La Ley de Cosenos 207

C A P Í T U L O 5 TRIGONOMETRÍA ANALÍTICA 217 Descripción del capítulo 217

5.1 Identidades trigonométricas 218

C A P Í T U L O 6 SISTEMAS DE ECUACIONES 225 Descripción del capítulo 225

6.1 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas 226

6.2 Sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas 236

C A P Í T U L O 7 SECCIONES CÓNICAS 245 Descripción del capítulo 245

7.1 Parábolas 246

7.2 Elipses 254

7.3 Hipérbolas 263

7.4 Cónicas desplazadas 272

7.5 Rotación de ejes 279

RESPUESTAS R1

A L E S T U D I A N T E

Este libro de texto ha sido escrito para usted como guía para que conozca a fondo las mate-máticas del precálculo. A continuación veamos algunas sugerencias para ayudarle a sacar el máximo provecho de su curso.

Antes que nada, debe leer la sección apropiada de texto antes de intentar resolver sus problemas de tarea. Leer un texto de matemáticas es muy diferente de leer una novela, un periódico o hasta otro libro. Puede que tenga que releer un pasaje varias veces antes de entenderlo. Ponga especial atención a los ejemplos y resuélvalos con lápiz y papel a medida que los lea y, a continuación, resuelva los ejercicios relacionados mencionados en “Ahora intente resolver el ejercicio…” del final de cada ejemplo. Con esta clase de preparación podrá hacer su tarea con mucha mayor rapidez y mejor entendimiento.

No cometa el error de tratar de memorizar cada una de las reglas o dato que se encuentre. Las matemáticas no son simplemente memorización, sino que son el arte de resolver pro-blemas, no sólo un conjunto de datos. Para conocer a fondo el tema, usted debe resolver problemas, muchos problemas; haga tantos como pueda. Asegúrese de escribir sus solucio-nes en una forma lógica, paso a paso. No se rinda ante un problema si no puede resolverlo en seguida. Trate de entender el problema más claramente, vuelva a leerlo por completo y relaciónelo con lo que ya haya aprendido de su profesor y de los ejemplos del texto. Dedí-quese al problema hasta que lo resuelva; una vez que haya hecho esto unas cuantas veces, empezará a entender de lo que se tratan las matemáticas.

Las respuestas a ejercicios de número impar aparecen al final del libro. Si su respuesta difiere de la dada, no suponga de inmediato que usted está en error. Puede ser un cálculo que enlace las dos respuestas y ambas sean correctas. Por ejemplo, si usted obtiene 1/( )12 1 pero la respuesta dada es 1 ,12 la respuesta de usted es correcta porque puede multiplicar el numerador y denominador de su respuesta por 1 12 para cambiarla a la respuesta dada.

El símbolo se usa para advertirle de no cometer un error. Hemos puesto este símbolo en el margen para señalar situaciones donde hemos encontrado que muchos de nuestros estudiantes cometen el mismo error.

vii

cm centímetrodB decibelF faradpie pieg gramogal galónh horaH hertzpulg pulgadaJ joulekcal kilocaloríakg kilogramokm kilómetrokPa kilopascalL litrolb libralm lumenM mol e soluto por litro

de soluciónm metro

mg miligramoMHz megahertzmi millamin minutomL mililitromm milímetroN newtonqt cuartooz onzas segundo� ohmV voltioW vatioyd yardayr añoºC grado CelsiusºF grado FahrenheitK kelvin⇒ implica⇔ es equivalente a

A B R E V I A T U R A S

V I Ñ E T A S M A T E M Á T I C A S

viii

George Polya P1Carta de Einstein P4No hay número mínimo ni número

máximo en un intervalo abierto 8

Diofanto 20François Viète 49Bhaskara 66Coordenadas como

direcciones 74Pierre de Fermat 89Alan Turing 90Gateway Arch 118John Napier 128

El valor de p 155Funciones periódicas 166Radio AM y FM 167Hiparco 182Aristarco de Samos 184Tales de Mileto 185Levantamiento topográfico 203Euclides 221Arquímedes 251Excentricidades de las órbitas

de los planetas 260Trayectorias de cometas 267Johannes Kepler 276

LAS MATEMÁTICAS EN EL MUNDO MODERNO

Las matemáticas en el mundo moderno 16

Cambio de palabras, sonido e imágenes en número 30

Códigos para corregir errores 38Aplicación de la ley 127Predicción del clima 228Imágenes del interior de nuestra

cabeza 281

La capacidad para resolver problemas es una habilidad muy apreciada en muchos aspectos de nuestras vidas, es sin duda una parte importante de cualquier curso de matemáticas. No hay reglas duras y rápidas que aseguren el éxito en la solución de problemas. Sin embargo, en este prólogo se proponen una serie de pasos generales en el proceso de resolución de problemas y le damos los principios que son útiles en la solución de ciertos problemas. Estas medidas y principios hacen explícito el sentido común. Se han adaptado del perspicaz libro de George Polya How To Solve It (Cómo resolverlo).

1. Entender el problemaEl primer paso es leer el problema y asegurarse de que usted lo entiende. Hágase las siguien-tes preguntas:

¿Qué es lo desconocido?¿Cuáles son las cantidades que se señalan?¿Cuáles son las condiciones dadas?

Para muchos problemas, es útil

dibujar un diagrama

e identificar las cantidades que se requieren en el diagrama. Por lo general, es necesario

introducir notación adecuada

en la elección de los símbolos para las cantidades desconocidas, a menudo usamos letras como a, b, c, m, n, x, y y, aunque en algunos casos, ayuda utilizar las iniciales como símbo-los sugerentes, por ejemplo, para el volumen V o t para el tiempo.

2. Piense en un plan Encuentre una conexión entre la información dada y la desconocida que le permita calcular la incógnita. A menudo es útil preguntarse a sí mismo de forma explícita: “¿Cómo puedo relacionar lo conocido y lo desconocido?” Si usted no puede ver una conexión inmediata, las siguientes ideas pueden ser útiles en la elaboración de un plan.

� Tr a t e d e r e c o n o c e r a l g o c o n o c i d o

Relacione la situación dada con los conocimientos previos. Observe la incógnita y trate de recordar un problema más familiar que tenga una incógnita similar.

P R Ó L O G O PRINCIPIOS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

GEORGE POLYA (1887-1985) es famoso

entre los matemáticos por sus ideas so-

bre resolución de problemas. Sus con-

ferencias sobre este tema en la Univer-

sidad de Stanford atraían a multitudes

a las cuales él llevó al borde de sus

asientos, conduciéndolos a descubrir

las soluciones por sí mismos. Él era ca-

paz de hacer esto debido a su pro-

fundo conocimiento de la psicología

de la resolución de problemas. Su co-

nocido libro How to solve it ha sido tra-

ducido a 15 idiomas. Dijo que Euler

(véase la página 266) fue el único

grande entre los matemáticos, porque

explicó cómo encontraba sus resulta-

dos. Polya dice a menudo a sus alum-

nos y colegas: "Sí, veo que la demostra-

ción es correcta, pero ¿cómo lo

descubrió?". En el prefacio de How to

solve it, Polya escribe: "Un gran descu-

brimiento resuelve un gran problema,

pero es un grano de descubrimiento en

la solución de cualquier problema. Us-

ted puede ser modesto, pero si desafía

su curiosidad y pone en juego sus fa-

cultades inventivas, y si lo resuelve por

sus propios medios, puede experimen-

tar la tensión y disfrutar el triunfo del

descubrimiento."

Chuc

k Pa

inte

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rd N

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ice

P1

P2 Prólogo

� Tr a t e d e r e c o n o c e r p a t r o n e s

Ciertos problemas se resuelven mediante el reconocimiento de algún tipo de patrón que está ocurriendo. El patrón puede ser geométrico, numérico o algebraico. Si usted puede ver la regularidad o repetición en un problema, entonces podría ser capaz de adivinar cuál es el patrón y luego probarlo.

� U s e a n a l o g í a s

Trate de pensar en un problema análogo, es decir, un problema similar o relacionado, pero que es más fácil que el original. Si puede resolver el problema similar, más simple, entonces le puede dar las pistas que necesita para resolver el original, más difícil. Por ejemplo, si un problema implica un número muy grande, usted puede en primer lugar intentar resolver un problema similar con un número menor. O si el problema está en la geometría tridimen-sional, se podría buscar algo similar en la geometría de dos dimensiones. O si el problema inicial es de carácter general, primero se podría tratar un caso especial.

� I n t r o d u z c a a l g o a d i c i o n a l

A veces podría ser necesario introducir algo nuevo, "una ayuda extra", para hacer la co-nexión entre lo conocido y lo desconocido. Por ejemplo, en un problema para el cual un diagrama es útil, la ayuda podría ser una nueva línea dibujada en el diagrama. En un problema más algebraico la ayuda podría ser una nueva incógnita que se relaciona con la incógnita original.

� To m e c a s o s

A veces puede tener que dividir un problema en varios casos y dar un argumento diferente para cada caso. Por ejemplo, a menudo tenemos que utilizar esta estrategia para hacer frente a un valor absoluto.

� Tr a b a j e a l a i n v e r s a

A veces es útil imaginar que su problema está resuelto y trabajar hacia atrás, paso a paso, hasta llegar a los datos proporcionados. Entonces usted podría ser capaz de revertir sus pasos y así construir una solución al problema original. Este procedimiento se utiliza co-múnmente en la resolución de ecuaciones. Por ejemplo, en la solución de la ecuación 3x � 5 � 7, suponga que x es un número que satisface 3x � 5 � 7 y trabaje hacia atrás. Sume 5 a cada lado de la ecuación y luego divida ambos lados entre 3 para obtener x � 4. Como cada uno de estos pasos se puede revertir, ha resuelto el problema.

� E s t a b l e z c a m e t a s s e c u n d a r i a s

En un problema complejo a menudo es útil establecer objetivos parciales (en los que la si-tuación deseada se cumple sólo parcialmente). Si usted puede lograr o alcanzar estos obje-tivos parciales, entonces usted podría ser capaz de construir sobre ellos para alcanzar su meta final.

� R a z o n a m i e n t o i n d i r e c t o

A veces es apropiado para atacar un problema indirectamente. En el uso de la prueba por contradicción para probar que P implica Q, se supone que P es cierta y Q es falsa y se trata de ver por qué esto no puede suceder. De alguna manera tenemos que utilizar esta informa-ción y llegar a una contradicción a lo que sabemos que es verdad absoluta.

� I n d u c c i ó n m a t e m á t i c a

Para probar las declaraciones que implican un entero positivo n, a menudo es útil utilizar el Principio de inducción matemática.

3. Lleve a cabo el planEn el paso 2, se ideó un plan. Para llevar a cabo ese plan, usted debe comprobar cada etapa del plan y escribir los detalles que demuestran que cada etapa es la correcta.

Prólogo P3

4. RevisarDespués de haber completado la solución, es conveniente revisarla, en parte para ver si se han cometido errores y en parte para ver si se puede descubrir una manera más fácil de resolver el problema. Revisar también le ayudará a familiarizarse con el método de solu-ción, que puede ser útil para resolver un problema en el futuro. Descartes dijo: "Cada problema que resolví se convirtió en una regla que sirvió después para resolver otros pro-blemas".

Ilustraremos algunos de estos principios de resolución de problemas con un ejemplo.

P R O B L E M A | Rapidez promedio

Una conductora se embarca en un viaje. Durante la primera mitad de la distancia, ella con-duce al ritmo pausado de 30 km/h, durante la segunda mitad conduce a 60 km/h. ¿Cuál es su rapidez promedio en este viaje?

P I E N S E E N E L P R O B L E M A

Es tentador tomar el promedio de las rapideces y decir que la rapidez promedio de todo el viaje es

30 60

245 mi/h

Sin embargo, ¿este enfoque simple es realmente correcto?Veamos un caso fácil de calcular especial. Supongamos que la distancia total recorrida

es de 120 millas. Los primeros 60 km se recorren a 30 km/h, lo que tarda 2 horas. Las siguientes 60 millas se viaja a 60 km/h, lo que dura una hora. Por lo tanto, el tiempo total es 2 � 1 � 3 horas y la rapidez promedio es

120

340 mi/h

Por lo tanto, nuestra estimación de 45 mi/h estaba equivocada.

S O L U C I Ó NTenemos que mirar con más cuidado en el significado de la rapidez promedio. Se define como

rapidez promediodistancia recorrida

tiempo transcurrido

Sea d la distancia recorrida en cada mitad del viaje. Sean t1 y t2 el tiempo tomado para la primera y segunda mitad del viaje. Ahora podemos escribir la información que se nos ha dado. Para la primera mitad del viaje tenemos

30d

t1

y para la segunda mitad tenemos

60d

t2

Ahora podemos identificar la cantidad que se nos pide encontrar:

rapidez promedio del viaje completodistancia total

tiempo total

2d

t1 t2

Para calcular esta cantidad, necesitamos conocer t1 y t2, así que resolvemos las ecuaciones anteriores para estos tiempos:

t1d

30t2

d

60

Intente un caso especial �

Entienda el problema �

Introduzca una notación �

Identifique la información dada �

Relacione la información

proporcionada con la incógnita �

Identifique la incógnita �

P4 Prólogo

Ahora tenemos los ingredientes necesarios para calcular la cantidad deseada:

120d

2d d

120d

3d40

Multiplique el numerador y el denominador por 60

6012d 2

60 a d

30

d

60b

rapidez promedio2d

t1 t1

2d

d

30

d

60

Por lo tanto, la rapidez promedio del viaje completo es 40 mi/h.

P R O B L E M A S

1. Distancia, tiempo y velocidad Un automóvil viejo tiene que recorrer un camino de 2 millas, cuesta arriba y hacia abajo. Debido a que es tan viejo, el automóvil puede subir a la primera milla, de subida, no más rápido que la rapidez media de 15 km/h. ¿Qué tan rápido tiene que viajar el automóvil la segunda milla, en el descenso puede ir más rápido, por su-puesto, para lograr una rapidez media de 30 km/h para el viaje?

2. Comparando descuentos ¿Cuál precio es mejor para el comprador, un descuento del 40% o dos descuentos sucesivos del 20%?

3. Cortar un alambre Se dobla un pedazo de alambre, como se muestra en la figura. Puede verse que un corte a través del cable produce cuatro piezas y dos cortes paralelos producen siete pie-zas. ¿Cuántas piezas se produjeron por 142 cortes paralelos? Escriba una fórmula para el nú-mero de piezas producidas por n cortes paralelos.

4. Propagación de amibas Una amiba se propaga por división simple; cada división toma 3 minutos para completarse. Cuando esa amiba se pone en un recipiente de vidrio con un fluido nutriente, el recipiente está lleno de amibas en una hora. ¿Cuánto tiempo haría falta para que el contene-dor se llenara si en lugar de comenzar con una amiba, comenzando con dos?

5. Promedios de bateo El jugador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B para la pri-mera mitad de la temporada de béisbol. El jugador A también tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B para la segunda mitad de la temporada. ¿Es necesariamente cierto que el ju-gador A tiene un promedio de bateo más alto que el jugador B para toda la temporada?

6. Café y crema Se toma una cucharada de crema de una jarra de crema y se coloca en una taza de café. El café se agita. A continuación, una cucharada de esta mezcla se pone en la jarra de crema. ¿Hay ahora más crema en la taza de café o más café en la jarra de leche?

7. Envolviendo el mundo Una cinta se amarra fuertemente alrededor de la Tierra en el ecuador. ¿Cuánta más cinta necesita si usted ha colocado la cinta 1 pie por encima del ecuador en todas partes? (No es necesario conocer el radio de la Tierra para resolver este problema.)

8. Para terminar donde empezó Una mujer parte de un punto P sobre la superficie de la Tierra y ca-mina 1 milla al sur, luego 1 milla al este y luego 1 milla al norte, y se encuentra de vuelta en P, el punto de partida. Describa todos los puntos P para los cuales esto es posible. [Sugerencia: Hay un número infinito de esos puntos, todos menos uno de los cuales se encuentran en la An-tártida.]

No se sienta mal si usted no puede re-

solver estos problemas de inmediato.

Los problemas 1 y 4 fueron enviados a

Albert Einstein por su amigo Werthei-

mer. Einstein (y su amigo Bucky) disfru-

taba de los problemas y le escribió a

Wertheimer. Esta es parte de su res-

puesta:

Su carta nos dio un montón

de pruebas divertidas. La pri-

mera prueba de inteligencia nos

ha engañado a ambos (Bucky y

yo). ¡Sólo trabajándolo fuera me

di cuenta de que no se dispone

de tiempo para la trayectoria

descendente! Bucky también

fue engañado en el segundo

ejemplo, pero yo no. ¡Curiosida-

des como ésta nos muestran lo

tontos que somos!

(Véase Mathematical Intelligencer, Pri-

mavera de 1990, página 41.)

© B

ettm

ann/

CORB

IS

Muchos problemas más y ejemplos que ponen de relieve diferentes principios de resolución de problemas están disponibles en el sitio web del libro: www.stewartmath.com. Usted puede intentarlos a medida que avanza en el libro.

CA

PÍT

UL

O

2

109

FUNCIONES EXPONENCIALES Y FUNCIONES LOGARÍTMICAS

2.1 Funciones exponenciales

2.2 La función exponencial natural

2.3 Funciones logarítmicas

2.4 Leyes de logaritmos

En este capítulo estudiamos una clase de funciones llamadas funciones exponen-ciales. Éstas son funciones, como f 1x2 � 2x, donde la variable independiente está en el exponente. Las funciones exponenciales se usan para modelar numerosos fenómenos del mundo real, como, por ejemplo, el crecimiento de una población o el de una inversión que gana interés compuesto. Una vez obtenido el modelo exponencial, podemos usar el modelo para predecir el tamaño poblacional o cal-cular la cantidad de una inversión para cualquier fecha futura. Para investigar cuándo una población llegará a cierto nivel, usamos las funciones inversas de las funciones exponenciales, llamadas funciones logarítmicas. Por lo tanto, si tene-mos un modelo exponencial para crecimiento poblacional, podemos contestar preguntas como: ¿Cuándo estará mi ciudad tan congestionada como la calle de Nueva York que se ve en la foto?

Geor

ge M

arks

/Ret

rofil

e/Ge

tty Im

ages

110 C A P Í T U L O 2 | Funciones exponenciales y funciones logarítmicas

En este capítulo estudiamos una nueva clase de funciones llamadas funciones exponencia-les. Por ejemplo,

f 1x2 � 2x

es una función exponencial (con base 2). Observe la rapidez con la que aumentan los valo-res de esta función:

f 130 2 230 1,073,741,824

f 110 2 210 1024

f 13 2 23 8

Compare esto con la función g1x2 � x2, donde g1302 � 302 � 900. El punto es que cuando la variable está en el exponente, incluso un pequeño cambio en la variable puede causar un cambio muy grande en el valor de la función.

Funciones exponencialesPara estudiar las funciones exponenciales, primero debemos definir lo que queremos decir por la expresión ax cuando x es cualquier número. En la Sección 1.2 definimos ax para a � 0 y x un número racional, pero todavía no hemos definido potencias irracionales. Por lo tanto, ¿qué significa 513 o 2π? Para definir ax cuando x es irracional, aproximamos x por medio de números racionales.

Por ejemplo, dado que13 1.73205. . .

es un número irracional, sucesivamente aproximamos a13 mediante las siguientes potencias racionales:

a1.7, a1.73, a1.732, a1.7320, a1.73205, . . .

Intuitivamente, podemos ver que estas potencias racionales de a se acercan más y más a a13. Se puede demostrar mediante matemáticas avanzadas que hay exactamente un número al que estas potencias se aproximan. Definimos que a13 es este número.

Por ejemplo, usando calculadora, encontramos

16.2411. . .513 51.732

Cuantos más lugares decimales de 13 usemos en nuestro cálculo, tanto mejor es nuestra aproximación de 513.

Se puede demostrar que las Leyes de Exponentes todavía son verdaderas cuando los exponentes son números reales.

FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial con base a está definida para todos los números reales x por

donde y .a 1a 0f 1x 2 ax

Suponemos que a � 1 porque la función f 1x2 � 1x � 1 es precisamente una función constante. A continuación veamos algunos ejemplos de funciones exponenciales:

Base 10Base 3Base 2

f 1x 2 2x g1x 2 3x h1x 2 10 x

2.1 FUNCIONES EXPONENCIALES

Funciones exponenciales � Gráficas de funciones exponenciales � Interés compuesto

Las Leyes de Exponentes se enuncian en la página 14.

S E C C I Ó N 2.1 | Funciones exponenciales 111

E J E M P L O 1 Evaluación de funciones exponenciales

Sea f 1x2 � 3x; evalúe lo siguiente:

(a) (b)

(c) (d) f 112 2f 1p 2f 1

23 2f 12 2

S O L U C I Ó N Usamos calculadora para obtener los valores de f.

Tecleo en calculadora Salida

(a)

(b)

(c)

(d) 4.7288043ENTER21^3f A12 B 312 4.7288

31.5442807ENTERP^3f 1p 2 3p 31.544

0.4807498ENTER)32(_)(^3f A 2

3 B 3 2/3 0.4807

9ENTER2^3f 12 2 32 9

AHORA INTENTE RESOLVER EL EJERCICIO 5

Gráficas de funciones exponencialesPrimero graficamos funciones exponenciales al localizar puntos. Veremos que las gráficas de esas funciones adoptan una forma fácilmente reconocible.

E J E M P L O 2 Gráfica de funciones exponenciales al localizar puntos

Trace la gráfica de cada función.

(a) (b) g1x 2 a 1

3b x

f 1x 2 3x

S O L U C I Ó N Calculamos valores de f 1x2 y g1x2 y localizamos puntos para trazar las grá-ficas de la Figura 1.

x f 1x2 g 1x27239231

0 1 11 32 93 27 1

27

1 9

1 3

1 3

1 9

1 27

A 1 3 Bx3 x

0 x

y

1

1

y=3˛y=! @˛13

F I G U R A 1

Observe que

g1x 2 a 1

3b x 1

3x 3 x f 1 x 2

de modo que hemos obtenido la gráfica de g a partir de la gráfica de f al reflejar en el eje y.



La Figura 2 muestra las gráficas de la familia de funciones exponenciales f 1x2 � 2x para varios valores de la base a. Todas estas gráficas pasan por el punto 10, 12 porque a0 � 1 para toda a � 0. De la Figura 2 se puede ver que hay dos clases de funciones exponenciales: si 0 � a � 1, la función exponencial decrece rápidamente; si a � 1, la función aumenta rápidamente (vea la nota al margen).

0 x

y

1

2

y=2˛y=5˛y=10 ˛

y=3˛y=! @˛15

y=! @˛12

y=! @˛13

y=! @˛110

El eje x es una asíntota horizontal para la función exponencial f 1x2 � ax. Esto es porque cuando a 1, tenemos que ax � 0 conforme x � −q, y cuando 0 a 1, tenemos ax � 0 conforme x � q (vea la Figura 2). También ax 0 para toda x � , de modo que la función f 1x2 � ax tiene dominio y rango 10, q2. Estas observaciones se resumen en el cuadro siguiente.

GRÁFICAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial

tiene dominio y rango . La recta y 0 (el eje x) es una asíntota horizontalde f. La gráfica de f tiene una de las siguientes formas.

Ï=a˛ para a>1 Ï=a˛ para 0<a<1

0 x

y

(0, 1)0 x

y

(0, 1)

10, q 2f 1x 2 ax 1a 0, a 1 2

E J E M P L O 3 Identificar gráficas de funciones exponenciales

Encuentre la función exponencial f 1x2 � ax cuya gráfica se da.

0 x

y(2, 25)

5

_1 1 2 0 x

y

1_3

18!3, @

3

Para ver la rapidez con la que aumenta f(x) � 2x, realicemos el siguiente expe-rimento de pensamiento. Suponga que empezamos con un trozo de papel de un milésimo de pulgada de grueso, y lo doblamos a la mitad 50 veces. Cada vez que doblamos el papel, se duplica el grosor de la pila del papel, de modo que el grosor de la pila resultante sería 250/1000 pulgadas. ¿De qué grosor piensa usted qué es? Resulta que es de más de 17 millones de millas.

F I G U R A 2 Una familia de funciones exponenciales

(a) (b)


S O L U C I Ó N(a) Como f 122 � a2 � 25, vemos que la base es a � 5. Entonces f 1x2 � 5x.

(b) Como f 13 2 a3 18, vemos que la base es a 1

2. Entonces f 1x 2 A12B x. AHORA INTENTE RESOLVER EL EJERCICIO 19

En el siguiente ejemplo vemos cómo graficar ciertas funciones, no localizando puntos, sino tomando las gráficas básicas de las funciones exponenciales de la Figura 2, y aplicando las transformaciones de desplazamiento y reflexión.

E J E M P L O 4 Transformaciones de funciones exponenciales

Use la gráfica de f 1x2 � 2x para trazar la gráfica de cada función.

(a) (b) (c) k1x 2 2x 1h1x 2 2xg1x 2 1 2x

S O L U C I Ó N

(a) Para obtener la gráfica de g1x2 � 1 � 2x, empezamos con la gráfica de f 1x2 � 2x y la desplazamos 1 unidad hacia arriba. Observe de la Figura 3(a) que la recta y � 1 es ahora una asíntota horizontal.

(b) De nuevo empezamos con la gráfica de f 1x2 � 2x, pero aquí reflejamos en el eje x para obtener la gráfica de h1x2 � �2x que se ve en la Figura 3(b).

(c) Esta vez empezamos con la gráfica de f 1x2 � 2x y la desplazamos a la derecha 1 unidad para obtener la gráfica de k1x2 � 2x�1 que se muestra en la Figura 3(c).

0 x

y

(c)

1

y=2˛

y=2˛–¡11

0 x

y

(b)

1

y=2˛

y=_2˛_10 x

y

y=2˛

(a)

1

y=1+2˛

2

Asíntotahorizontal

AHORA INTENTE RESOLVER LOS EJERCICIOS 25, 27 Y 31

E J E M P L O 5 Comparación de funciones exponenciales con funciones potenciales

Compare la rapidez de crecimiento de la función exponencial f 1x2 � 2x y la función poten-cial g1x2 � x2 trazando las gráficas de ambas funciones en los siguientes rectángulos de vista.

(a)

(b)

(c) 30, 20 4 por 30, 1000 430, 6 4 por 30, 25 430, 3 4 por 30, 8 4

F I G U R A 3


S O L U C I Ó N

(a) La Figura 4(a) muestra que la gráfica de g1x2 � x2 alcanza, y hasta supera, a la gráfica de f 1x2 � 2x en x � 2.

(b) El rectángulo de vista más grande de la Figura 4(b) muestra que la gráfica de f 1x2 � 2x alcanza a la de g1x2 � x2 cuando x � 4.

(c) La Figura 4(c) da una vista más global y muestra que cuando x es grande, f 1x2 � 2x es mucho mayor que g1x2 � x2.

8

0 3

(a)

˝=≈Ï=2x

1000

0 20

(c)

˝=≈Ï=2x

25

0 6

(b)

˝=≈Ï=2x


Interés compuestoLas funciones exponenciales se presentan al calcular el interés compuesto. Si una cantidad de dinero P, llamada principal, se invierte a una tasa de interés i por período, entonces después de un período el interés es P • i, y la cantidad A de dinero es

A P (P • i) P11 i 2Si el interés se reinvierte, entonces el nuevo principal es P11 � i2, y la cantidad después de otro período es A P11 i 2 11 i 2 P11 i 2 2. Análogamente, después de un tercer período la cantidad es A � P11 � i23. En general, después de k períodos la cantidad es

A � P11 � i2k

Observe que ésta es una función exponencial con base 1 � i.Si la tasa de interés anual es r y si el interés se capitaliza n veces por año, entonces en

cada período la tasa de interés es i � r/n, y hay nt períodos en t años. Esto lleva a la siguiente fórmula para la cantidad después de t años.

INTERÉS COMPUESTO

El interés compuesto se calcula con la fórmula

donde

t número de años

n número de veces que el interés se capitaliza por año

r tasa de interés por año

P principal

A1t 2 cantidad después de t años

A1t 2 P a1rnb nt

E J E M P L O 6 Cálculo de interés compuesto

Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% al año. Encuentre las cantidades en la cuenta después de 3 años si el interés se capitaliza anual, semestral, trimestral, men-sualmente y a diario.

r se conoce a veces como tasa nominal de interés anual.

F I G U R A 4


S O L U C I Ó N Usamos la fórmula de interés compuesto con P � $1000, r � 0.12 y t � 3.

Capitalización n Cantidad después de 3 años

Anual

Semestral

Trimestral

Mensual

Diario

1

2

4

12

365 1000 a1 0.12

365b 365132

$1433.24

1000 a1 0.12

12b 12132

$1430.77

1000 a1 0.12

4b 4132

$1425.76

1000 a1 0.12

2b 2132

$1418.52

1000 a1 0.12

1b 1132

$1404.93


Si una inversión gana interés compuesto, entonces el rendimiento en porcentaje anual (APY) es la tasa de interés simple que rinde la misma cantidad al término de un año.

E J E M P L O 7 Cálculo del rendimiento en porcentaje anual

Encuentre el rendimiento en porcentaje anual para una inversión que gana interés a una tasa de 6% por año, capitalizado a diario.

S O L U C I Ó N Después de un año, un principal P crecerá a

A P a10.06

365b 365

P11.06183 2La fórmula para el interés simple es

A P11 r 2Comparando, vemos que 1 � r � 1.06183, entonces r � 0.06183. Por lo tanto, el rendi-miento en porcentaje anual es $6.183.


El interés simple se estudia en la Sección 1.6.

2 . 1 E J E R C I C I O S

C O N C E P T O S

1. La función f 1x2 � 5x es una función exponencial con

base ______; f 1�22 � ______, f 102 � ______,

f 122 � ______ y f 162 � ______.

2. Relacione la función exponencial con su gráfica.

(a)

(b)

(c)

(d) f 1x 2 2 x

f 1x 2 2x

f 1x 2 2 x

f 1x 2 2x

I y

x 0 1 2

y

x0 12

y

x 0 1 2

II

III y

x0 12

IV


3. (a) Para obtener la gráfica de g1x2 � 2x � 1, empezamos con la

gráfica de f 1x2 � 2x y la desplazamos _______ (hacia

arriba/abajo) 1 unidad.

(b) Para obtener la gráfica de h1x2 � 2x�1, empezamos con la

gráfica de f 1x2 � 2x y la desplazamos _______ (a la

izquierda/derecha) 1 unidad.

4. En la fórmula A1t 2 P11 rn 2 nt para interés compuesto las

letras P, r, n y t representan _______, _______, _______

y _______, respectivamente, y A1t2 representa _______. Por

lo tanto, si se invierten $100 a una tasa de interés de 6% capitalizado trimestralmente, entonces la cantidad después

de 2 años es _______.

H A B I L I D A D E S

5-10 Use calculadora para evaluar la función en los valores indi-cados. Redondee sus respuestas a tres decimales.

5.

6.

7.

8. g1x 2 A34B 2x; g10.7 2 , g117/2 2 , g11/p 2 , gA23B

g1x 2 A23B x 1; g11.3 2 , g115 2 , g12p 2 , gA

12B

f 1x 2 3x 1; f 1 1.5 2 , f 113 2 , f 1e 2 , f A 54B

f 1x 2 4x; f 10.5 2 , f 112 2 , f 1 p 2 , f A13B

9-14 Trace la gráfica de la función haciendo una tabla de valores. Use calculadora si es necesario.

.01.9

.21.11

.41.31 h1x 2 2A14 Bxg 1x 2 311.3 2 xh1x 2 11.1 2 xf 1x 2 A13B xg1x 2 8xf 1x 2 2x

15-18 Grafique ambas funciones en un conjunto de ejes.

15.

16.

17.

18. f 1x 2 A23B x y g1x 2 A43B xf 1x 2 4x y g1x 2 7x

f 1x 2 3 x y g1x 2 A13B xf 1x 2 2x y g1x 2 2 x

19-22 Encuentre la función exponencial f 1x2 � ax cuya gráfica nos dan.

y

0 x3_31

(2, 9)

20.

x

y

0 3_3

15!_1, @ 1

116!2, @

x0 3_3

y

1

22.

x

y

0 31

_3

(_3, 8)

23-24 Relacione la función exponencial con una de las gráficas marcadas I o II.

.42.32 f 1x 2 5x 1f 1x 2 5x 1

I y

x 0 1 1

y

x 0 1 1

II

25-36 Grafique la función, no localizando puntos, sino empezando desde las gráficas de la Figura 2. Exprese el dominio, rango y asín-tota.

.62.52

.82.72

.03.92

.23.13

.43.33

.63.53 h1x 2 2x 4 1y 3 10x 1

g 1x 2 1 3 xy 5 x 1

f 1x 2 A15B xf 1x 2 10x 3

h1x 2 6 3xh1x 2 4 A12B xg1x 2 2x 3g1x 2 2x 3

f 1x 2 10 xf 1x 2 3x

37. (a) Trace las gráficas de f 1x2 � 2x y g1x2 � 312x2. (b) ¿Cómo están relacionadas estas gráficas?

38. (a) Trace las gráficas de f 1x2 � 2x y g1x2 � 3x. (b) Use las Leyes de Exponentes para explicar la relación entre

estas gráficas.

39. Compare las funciones f 1x2 � x3 y g1x2 � 3x al evaluarlas ambas para x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 15, y 20. A continuación trace las gráficas de f y g en el mismo conjunto de ejes.

40. Si f 1x2 � 10x, demuestre que

.

f 1x h 2 f 1x 2h

10x a 10h 1

hb

41. (a) Compare la rapidez de crecimiento de las funciones f 1x2 � 2x y g1x2 � x5 al trazar las gráficas de ambas funciones en los siguientes rectángulos de observación.

(i)(ii)

(iii) 30, 50 4 por 30, 108 430, 25 4 por 30, 107 430, 5 4 por 30, 20 4

(b) Encuentre las soluciones de la ecuación 2x � x5, redondea-das a un lugar decimal.

21.

19.


42. (a) Compare la rapidez de crecimiento de las funciones f 1x2 � 3x y g1x2 � x4 trazando las gráficas de ambas funciones en los siguientes rectángulos de vista:

(i) 3 4, 44 por 30, 204(ii) 30, 104 por 30, 50004(iii) 30, 204 por 30, 1054

(b) Encuentre las soluciones de la ecuación 3x � 4, redondeada a dos lugares decimales.

43-44 Trace dos gráficas de la familia de funciones dada para c � 0.25, 0.5, 1, 2, 4. ¿Cómo están relacionadas las gráficas?

.44.34 f 1x 2 2cxf 1x 2 c2x

45-46 Encuentre, redondeados a dos lugares decimales, (a) los intervalos en los que la función es creciente o decreciente y (b) el rango de la función.

.64.54 y x2xy 10x x2

A P L I C A C I O N E S

47. Crecimiento de bacterias Un cultivo de bacterias con-tiene 1500 bacterias inicialmente y se duplica en cada hora.

(a) Encuentre una función que modele el número de bacterias después de t horas.

(b) Encuentre el número de bacterias después de 24 horas.

48. Población de ratones Cierta raza de ratones fue introdu-cida en una pequeña isla, con una población inicial de 320 rato-nes, y los científicos estiman que la población de ratones se du-plica cada año.

(a) Encuentre una función que modele el número de ratones después de t años.

(b) Estime la población de ratones después de 8 años.

49-50 Interés compuesto Una inversión de $5000 se depo-sita en una cuenta en la que el interés se capitaliza mensualmente. Complete la tabla escribiendo las cantidades a las que crece la inver-sión en los tiempos indicados o tasas de interés.

49. r � 4% 50. t � 5 años

Tiempo (años) Cantidad

123456

Tasa por año Cantidad

1%2%3%4%5%6%

51. Interés compuesto Si se invierten $10,000 a una tasa de interés del 3% al año, capitalizada semestralmente, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años.

(a) 5 años (b) 10 años (c) 15 años

52. Interés compuesto Si se invierten $2500 a una tasa de interés del 2.5% por año, capitalizado a diario, encuentre el valor de la in-versión después del número dado de años.


53. Interés compuesto Si se invierten $500 a una tasa de in-terés del 3.75% por año, capitalizado trimestralmente, encuentre el valor de la inversión después del número dado de años.

(a) 1 año (b) 2 años (c) 10 años

54. Interés compuesto Si se invierten $4000 a una tasa de in-terés del 5.75% por año, capitalizado trimestralmente, encuentre la cantidad adeudada al término del número dado de años.


55-56 Valor presente El valor presente de una suma de di-nero es la cantidad que debe ser invertida ahora, a una tasa de inte-rés dada, para producir la suma deseada en una fecha posterior.

55. Encuentre el valor presente de $10,000 si se paga interés a ra-zón de 9% al año, capitalizado semestralmente, durante 3 años.

56. Encuentre el valor presente de $10,000 si se paga interés a ra-zón de 8% al año, capitalizado mensualmente, durante 5 años.

57. Rendimiento en porcentaje anual Encuentre el rendimiento en porcentaje anual para una inversión que gana 8% por año, capi-talizado mensualmente.

58. Rendimiento en porcentaje anual Encuentre el rendimiento en porcentaje anual para una inversión que gana 5 %1

2 por año, ca-pitalizado trimestralmente.

D E S C U B R I M I E N TO D I S C U S I Ó N R E DACC I Ó N

59. Crecimiento de una función exponencial Suponga-mos que al lector le ofrecen un trabajo que dura un mes, y que estará muy bien pagado. ¿Cuál de los siguientes métodos de pago es más rentable para él?

(a) Un millón de dólares al final del mes. (b) Dos centavos el primer día del mes, 4 centavos el segundo

día, 8 centavos el tercer día, y en general, 2n centavos en el n día.

60. Altura de la gráfica de una función exponencial El profesor de matemáticas pide al lector que trace una gráfica de la función exponencial

f 1x2 � 2x

para x entre 0 y 40, usando una escala de 10 unidades a 1 pulgada. ¿Cuáles son las dimensiones de la hoja de papel que necesitará para trazar esta gráfica?

Explosión exponencial

En este proyecto exploramos un ejemplo acerca de cómo mone-das de a centavo que nos ayudan a ver cómo funciona el creci-miento exponencial. Se puede ver el proyecto en el sitio web del libro acompañante: www.stewartmath.com

PROYECTO DE

DESCUBRIMIENTO


2.2 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

El número e � La función exponencial natural � Interés capitalizado continuamente

Cualquier número positivo se puede usar como base para una función exponencial. En esta sección estudiamos la base especial e, que es conveniente para aplicaciones donde inter-viene Cálculo.

El número eEl número e se define como el valor al que se aproxima 11 � 1/n2n conforme n se hace grande. (En Cálculo, esta idea se hace más precisa por medio del concepto de un límite. La tabla siguiente muestra los valores de la expresión 11 � 1/n2n para valores cada vez más grandes de n.

n

1 2.000005 2.48832

10 2.59374100 2.70481

1000 2.7169210,000 2.71815

100,000 2.718271,000,000 2.71828

a 11n b

n

Es evidente que, aproximado a cinco lugares decimales, e � 2.71828; de hecho, el valor aproximado a 20 lugares decimales es

e 2.71828182845904523536

Se puede demostrar que e es un número irracional, de modo que no podemos escribir su valor exacto en forma decimal.

La función exponencial natural

El número e es la base para la función exponencial natural. ¿Por qué usamos una base tan extraña para una función exponencial? Podría parecer que con una base como el 10 es más fácil trabajar. Veremos, no obstante, que en ciertas aplicaciones el número e es la mejor base posible. En esta sección estudiamos cómo se presenta el número e en la descripción de in-terés compuesto.

LA FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

La función exponencial natural es la función exponencial

Con base e. Es frecuente llamarla la función exponencial.

f 1x 2 e x

La notación fue escogida por Leonhard Euler probablemente por es la primera letra de la palabra exponencial.

El Gateway Arch (Arco de Entrada) en

St. Louis, Missouri, tiene la forma de la

gráfica de una combinación de funcio-

nes exponenciales (no una parábola,

como podría parecer al principio). Espe-

cíficamente, es una catenaria, que es la

gráfica de una ecuación de la forma

y � a(ebx � e�bx)

(vea el Ejercicio 17). Esta forma se esco-

gió porque es óptima para distribuir las

fuerzas estructurales internas del arco.

Cadenas y cables suspendidos entre

dos puntos (por ejemplo, los tramos de

cable entre pares de postes telefónicos)

cuelgan en forma de catenaria.

© G

arry

McM

icha

el/P

hoto

Res

earc

hers

, Inc

.

F I G U R A 1 Gráfica de la función exponencial natural

0 x

y

1

y=3˛

1

y=2˛

y=e˛

S E C C I Ó N 2.2 | La función exponencial natural 119

Como 2 � e � 3, la gráfica de la función exponencial natural está entre las gráficas de y � 2x y y � 3x, como se ve en la Figura 1.

Innumerables calculadoras científicas tienen una tecla especial para la función f 1x2 � ex. Usamos esta tecla en el siguiente ejemplo.

E J E M P L O 1 Evaluación de la función exponencial

Evalúe cada expresión redondeada a cinco lugares decimales.

(a) (b) (c) e4.82e 0.53e3

S O L U C I Ó N Usamos la tecla eX de una calculadora para evaluar la función exponencial.

(a) e3 20.08554 (b) 2e 0.53 1.17721 (c) e4.8 121.51042


E J E M P L O 2 Transformaciones de la función exponencial

Trace la gráfica de cada función.

(a) (b) g1x 2 3e0.5xf 1x 2 e x

S O L U C I Ó N

(a) Empezamos con la gráfica de y � ex y reflejamos en el eje y para obtener la gráfica de y � e�x como en la Figura 2.

(b) Calculamos varios valores, localizamos los puntos resultantes y luego enlazamos los puntos con una curva sin irregularidades. La gráfica se ilustra en la Figura 3.

x f 1x23 0.672 1.101 1.820 3.001 4.952 8.153 13.45

3e0.5x

0 x

y

3

3

y=3e0.5x

_3

6

9

12

F I G U R A 3

AHORA INTENTE RESOLVER LOS EJERCICIOS 5 Y 7

E J E M P L O 3 Un modelo exponencial para la propagación de un virus

Una enfermedad infecciosa empieza a propagarse en una ciudad pequeña de 10,000 habi-tantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus está modelado por la función

√ 1t 2 10,000

5 1245e 0.97t

F I G U R A 2

0 x

y

1

1

y=e˛y=e–˛


(a) ¿Cuántas personas infectadas hay inicialmente (tiempo t � 0)?

(b) Encuentre el número de personas infectadas después de un día, dos días y cinco días.

(c) Grafique la función √ y describa su comportamiento.

S O L U C I Ó N

(a) Como , √ 10 2 10,000/15 1245e0 2 10,000/1250 8 concluimos que 8 perso-nas inicialmente tienen la enfermedad.

(b) Usando calculadora, evaluamos √ 112, √ 122 y √ 152 y a continuación redondeamos para obtener los siguientes valores.

Días Personas infectadas

1 212 545 678

(c) De la gráfica de la Figura 4 vemos que el número de personas infectadas primero sube lentamente, luego sube con rapidez entre el día 3 y el día 8 y por último se nivela cuando alrededor de 2000 personas están infectadas.


La gráfica de la Figura 4 recibe el nombre de curva logística o modelo de crecimiento logístico. Curvas como ésta se presentan con frecuencia en el estudio de crecimiento pobla-cional. (Vea los Ejercicios 25-28.)

Interés capitalizado continuamente

En el Ejemplo 6 de la Sección 2.1 vimos que el interés pagado aumenta cuando aumenta el número n de períodos de capitalización. Veamos qué ocurre cuando n aumenta indefinida-mente. Si hacemos m � n/r, entonces

A1t 2 P a1rnb nt

P c a 1rnb n/r d rt

P c a 11mbm d rt

Recuerde que conforme m se hace grande, la cantidad 11 � 1/m2m se aproxima al número e. Entonces, la cantidad se aproxima a A � Pert. Esta expresión da la cantidad cuando el inte-rés se capitaliza “a cada instante”.

INTERÉS CAPITALIZADO CONTINUAMENTE

El interés capitalizado continuamente se calcula con la fórmula

Donde

t número de años

r tasa de interés por año

P principal

A1t 2 cantidad después de t años

A1t 2 Pe rt

F I G U R A 4 √1t 2 10,000

5 1245e 0.97t

3000

0 12


C O N C E P T O S

1. La función f 1x2 � ex se llama función exponencial _____.

El número e es aproximadamente igual a _____.

2. En la fórmula A1t2 � Pert para interés capitalizado continuamente,

las letras P, r y t representan _____, _____ y _____, respecti-

vamente, y A1t2 representa _____. Por lo tanto, si se invierten

$100 a una tasa de interés del 6% capitalizado continuamente,

entonces la cantidad después de 2 años es _____.


3-4 Use una calculadora para evaluar la función a los valores indicados. Redondee sus respuestas a tres lugares decimales.

3.

4. h1x 2 e 2x; h11 2 , h122 2 , h1 3 2 , hA12Bh1x 2 ex; h13 2 , h10.23 2 , h11 2 , h1 2 2

5-6 Complete la tabla de valores, redondeados a dos lugares deci-males, y trace una gráfica de la función.

.6.5x f 1x2210.500.512

3ex x f 1x23210123

2e 0.5x

7-14 Grafique la función, no localizando los puntos, sino empe-zando desde la gráfica de y � ex. Exprese el dominio, rango y asíntota.

.8.7 y 1 ex

9. y e x 1 10.

11. 12. y ex 3 4

.41.31 g 1x 2 ex 1 2h1x 2 e x 1 3

f 1x 2 e x 2

f 1x 2 e x

f 1x 2 ex

15. La función coseno hiperbólico está definida por

cosh1x 2 ex e x

2

(a) Trace las gráficas de las funciones y y 12 e xy 1

2 ex en

los mismos ejes, y use adición gráfica (vea Sección 2.6) para trazar la gráfica de y � cosh1x2.

(b) Use la definición para demostrar que cosh 1�x2 � cosh 1x2.

16. La función seno hiperbólico está definida por

senh 1x 2 ex e x

2

(a) Trace la gráfica de esta función usando adición gráfica como en el Ejercicio 15.

(b) Use la definición para demostrar que senh1�x2 � �senh1x2

17. (a) Trace las gráficas de la familia de funciones

f 1x 2 a

2 1ex/a e x/a 2

para a � 0.5, 1, 1.5 y 2.

(b) ¿En qué forma un valor grande de a afecta a la gráfica?

18-19 Encuentre los valores máximo y mínimo locales de la fun-ción y el valor de x en el que ocurre cada uno. Exprese cada res-puesta correcta a dos lugares decimales.

.91.81 g1x 2 ex e 3xg1x 2 x x 1x 0 2


20. Drogas médicas Cuando cierta droga médica se administra a un paciente, el número de miligramos restante

S E C C I Ó N 2.2 | La función exponencial natural 121

E J E M P L O 4 Calcular el interés capitalizado continuamente

Encuentre la cantidad después de 3 años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado continuamente.

S O L U C I Ó N Usamos la fórmula para interés capitalizado continuamente con P � $1000, r � 0.12 y t � 3 para obtener

A13 2 1000e10.1223 1000e0.36 $1433.33

Compare esta cantidad con las cantidades del Ejemplo 6 de la Sección 2.1.



en el torrente sanguíneo del paciente después de t horas se modela con

D1t2 � 50e�0.2t

¿Cuántos miligramos de la droga quedan en el torrente sanguí-neo del paciente después de 3 horas?

21. Desintegración radiactiva Una sustancia radiactiva se desintegra en forma tal que la cantidad de masa restante des-pués de t días está dada por la función

m1t2 � 13e�0.015t

donde m1t2 se mide en kilogramos.

(a) Encuentre la masa en el tiempo t � 0.

(b) ¿Cuánto de la masa resta después de 45 días?

22. Desintegración radiactiva Unos médicos usan yodo ra-diactivo como trazador en el diagnóstico de ciertas enfermeda-des de la glándula tiroides. Este tipo de yodo se desintegra en forma tal que la masa restante después de t días está dada por la función

m1t2 � 6e�0.087t

donde m1t2 se mide en gramos.

(a) Encuentre la masa en el tiempo t � 0.

(b) ¿Cuánta masa resta después de 20 días?

23. Paracaidismo Una paracaidista salta desde una altura razo-nable sobre el suelo. La resistencia del aire que experimenta es proporcional a la velocidad de ella, y la constante de proporcio-nalidad es 0.2. Se puede demostrar que la velocidad hacia abajo de la paracaidista en el tiempo t está dada por

√ 1t2 � 8011 � e�0.2t2

donde t se mide en segundos y √ 1t2 se mide en pies por se-gundo (pies/s).

(a) Encuentre la velocidad inicial de la paracaidista.

(b) Encuentre la velocidad después de 5 s y después de 10 s.

(c) Trace una gráfica de la función de velocidad √ 1t2. (d) La velocidad máxima de un cuerpo en caída con resisten-

cia del viento se denomina velocidad terminal. De la grá-fica de la parte (c), encuentre la velocidad terminal de esta paracaidista.

24. Mezclas y concentraciones Un barril de 50 galones se llena por completo de agua pura y, a continuación, se le bombea

agua salada con concentración de 0.3 lb/gal al barril, y la mez-cla resultante se derrama con la misma rapidez. La cantidad de sal en el barril en el tiempo t está dada por

Q1t2 � 1511 � e�0.04t2

donde t se mide en minutos y Q1t2 se mide en libras.

(a) ¿Cuánta sal hay en el barril después de 5 minutos?

(b) ¿Cuánta sal hay en el barril después de 10 minutos?

(c) Trace una gráfica de la función Q1t2.

(d) Use la gráfica de la parte (c) para determinar el valor al que se aproxima la cantidad de sal del barril cuando t se hace grande. ¿Es esto lo que usted esperaba?

25. Crecimiento logístico Las poblaciones de animales no son capaces de crecimiento no restringido debido a que el hábi-tat y la disponibilidad de alimentos son limitados. Bajo estas condiciones, la población sigue un modelo de crecimiento lo-gístico:

P1t 2 d

1 ke ct

donde c, d y k son constantes positivas. Para cierta población de peces de un pequeño estanque, d � 1200, k � 11, c � 0.2 y t se mide en años. Los peces se introdujeron en el estanque en el tiempo t � 0.

(a) ¿Cuántos peces fueron introducidos originalmente en el es-tanque?

(b) Encuentre la población después de 10, 20 y 30 años.

(c) Evalúe P1t2 para valores grandes de t. ¿A qué valor se aproxima la población conforme t � q? ¿La gráfica si-guiente confirma los cálculos de usted?

t

P

0 10 20 4030

12001000800600400200

CA

PÍT

UL

O

4

171

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: MÉTODO DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

4.1 Medida de un ángulo

4.2 Trigonometría de triángulos rectángulos

4.3 Funciones trigonométricas de ángulos

4.4 La Ley de Senos

4.5 La Ley de Cosenos

Supóngase que deseamos hallar la distancia de la Tierra al Sol. Usar una cinta de medir es obviamente impráctico, de modo que necesitamos algo que no sea sim-ples mediciones para atacar este problema. Los ángulos son más fáciles de medir que las distancias. Por ejemplo, podemos hallar el ángulo formado por el Sol, la Tierra y la Luna con sólo apuntar al Sol con un brazo y a la Luna con el otro y estimar el ángulo entre ellos. La idea clave es hallar relaciones entre ángulos y distancias. En consecuencia, si tuviéramos una forma de determinar distancias a partir de ángulos, podríamos hallar la distancia al Sol sin tener que ir hasta ahí. Las funciones trigonométricas nos dan las herramientas que necesitamos.

¨

Si u es un ángulo en un triángulo rectángulo, entonces la relación trigonomé-trica sen u está definida como la longitud del lado opuesto a u dividido entre la longitud de la hipotenusa. Esta relación es la misma en cualquier triángulo rec-tángulo semejante, incluyendo el enorme triángulo formado por el Sol, la Tierra y la Luna. (Vea la Sección 4.2, Ejercicio 61.)

Las funciones trigonométricas se pueden definir en dos formas equivalentes pero distintas: como funciones de números reales (Capítulo 3) o como funciones de án-gulos (Capítulo 4). Los dos métodos son independientes entre sí, de modo que ya sea el Capítulo 3 o el Capítulo 4 se pueden estudiar primero. Estudiamos ambos métodos porque se requiere de diferentes métodos para diferentes aplicaciones.

© a

ge fo

tost

ock/

Supe

rSto

ck

172 C A P Í T U L O 4 | Funciones trigonométricas: método del triángulo rectángulo

Un ángulo AOB está formado por dos rayos R1 y R2 con un vértice común O (vea la Figura 1). Con frecuencia interpretamos un ángulo como una rotación del rayo R1 sobre R2. En este caso, R1 recibe el nombre de lado inicial y R2 es el lado terminal del ángulo. Si la rotación es en el sentido contrario al giro de las manecillas de un reloj, el ángulo es considerado como positivo y, si es en el sentido de las manecillas del reloj, el ángulo es considerado como negativo.

R⁄

R¤

ladoterminal

Ángulo positivo

lado inicial A

B

O

R⁄

R¤

Ángulo negativo

lado terminal

lado inicial

A

B

O

F I G U R A 1

Medida de un ánguloLa medida de un ángulo es la cantidad de rotación alrededor del vértice para mover R1 sobre R2. Intuitivamente, esto es cuánto es lo que “abre” el ángulo. Una unidad de medida para ángulos es el grado. Un ángulo de medida 1 grado se forma al girar el lado inicial 1

360 de una revolución completa. En cálculo y otras ramas de las matemáticas, se usa un método más natural para medir ángulos y es la medida en radianes. La cantidad que abre un ángulo se mide a lo largo del arco de una circunferencia de radio 1 con su centro en el vértice del ángulo.

DEFINICIÓN DE MEDIDA EN RADIÁN

Si un círculo de radio 1 se traza con el vértice de un ángulo en su centro, entonces la medida de este ángulo en radianes (abreviado rad) es la longitud del arco que subtiende el ángulo (vea la Figura 2).

La circunferencia del círculo de radio 1 es 2p y, por lo tanto, una revolución completa tiene medida 2p rad; un ángulo llano tiene una medida p rad, y un ángulo recto tiene me-dida p/2 rad. Un ángulo que esté subtendido por un arco de longitud 2 a lo largo de la cir-cunferencia unitaria tiene medida 2 en radianes (vea la Figura 3).

O 1

π rad

O 1

2 rad11

O 1

radπ2

O 1

1 rad

F I G U R A 3 Medida en radianes

Como una revolución completa medida en grados es 360 y medida en radianes es 2p rad, obtenemos la siguiente y sencilla relación entre estos dos métodos de medición de ángulos.

4.1 MEDIDA DE UN ÁNGULO

Medida de un ángulo � Ángulos en posición normal � Longitud de un arco de circunferencia � Área de un sector circular � Movimiento circular

¨Medida en radianes de ¨

1

F I G U R A 2

S E C C I Ó N 4.1 | Medida de un ángulo 173

RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES

1. Para convertir grados a radianes, multiplique por .

2. Para convertir radianes a grados, multiplique por .180p

p

180

180° p rad 1 rad a 180pb °

1°p

180 rad

Para tener alguna idea del tamaño de 1 radián, observe que

1 rad 57.296° y 1° 0.01745 rad

Un ángulo u de medida 1 radián se muestra en la Figura 4.

E J E M P L O 1 Conversión entre radianes y grados

(a) Exprese 60 en radianes. (b) Exprese p

6 rad en grados.

S O L U C I Ó N La relación entre grados y radianes da

)b()a(p

6 rad

p

6

180p

30°60° 60p

180 rad

p

3 rad


Una nota de terminología: A veces usamos frases como “un ángulo de 30 ” para querer decir un ángulo cuya medida es 30 . También, para un ángulo u, escribimos u � 30 o u � p/6 para querer decir que la medida de u es 30 o p/6 rad. Cuando no se da una unidad, se supone que el ángulo se mide en radianes.

Ángulos en posición normalUn ángulo está en posición normal si está trazado en el plano xy con su vértice en el ori-gen y su lado inicial en el eje positivo x. La Figura 5 da ejemplos de ángulos en posición normal.

y

x0

(a)

y

x0

(b)

y

x0

(d)

y

x0

(c)

F I G U R A 5 Ángulos en posición normal

Dos ángulos en posición normal son coterminales si sus lados coinciden. En la Figu- ra 5, los ángulos en (a) y en (c) son coterminales.

E J E M P L O 2 Ángulos coterminales

(a) Encuentre ángulos que sean coterminales con el ángulo u � 30 en posición normal.

(b) Halle ángulos que sean coterminales con el ángulo up

3 en posición normal.

¨1

1

Medida de ¨=1 radMedida de ¨Å57.296*

F I G U R A 4


S O L U C I Ó N

(a) Para hallar ángulos positivos que sean coterminales con u, sumamos cualquier múlti-plo de 360 . Así,

30° 360° 390° y 30° 720° 750°

son coterminales con u � 30 . Para hallar ángulos negativos que son coterminales con u, restamos cualquier múltiplo de 360 . Así

30° 360° 330° y 30° 720° 690°

son coterminales con u. (Vea la Figura 6.)

y

x0

_330*

y

x0

390*

y

x0

30*

(b) Para hallar ángulos positivos que sean coterminales con u, sumamos cualquier múlti-plo de 2p. Así,

p

32p

7p

3 y

p

34p

13p

3

son coterminales con u � p/3. Para hallar ángulos negativos que sean coterminales con u, restamos cualquier múltiplo de 2p. Así

p

32p

5p

3 y

p

34p

11p

3

son coterminales con u. (Vea la Figura 7.)

y

x0

5π3_

7π3

y

x0

y

x0

π3


E J E M P L O 3 Ángulos coterminales

Encuentre un ángulo con medida entre 0 y 360 que sea coterminal con el ángulo de me-dida 1290 en posición normal.

S O L U C I Ó N De 1290 podemos restar 360 tantas veces como se desee, y el ángulo restante será coterminal con 1290 . Así, 1290 � 360 � 930 es coterminal con 1290 y, por lo tanto, el ángulo 1290 � 21360 2 � 570 .

Para hallar el ángulo que buscamos entre 0 y 360 , restamos 360 de 1290 tantas veces como sea necesario. Una forma eficiente de hacer esto es determinar cuántas veces cabe 360 en 1290 , es decir, divida 1290 entre 360, y el residuo será el ángulo que buscamos.

F I G U R A 6

F I G U R A 7


Vemos que 360 cabe tres veces en 1290, con un residuo de 210. Así, 210 es el ángulo de-seado (vea la Figura 8).

y

x0

210*

y

x0

1290*

F I G U R A 8


Longitud de un arco de circunferenciaUn ángulo cuya medida en radianes es u está subtendido por un arco que es la fracción u/12p2 de la circunferencia de un círculo. Entonces, en una circunferencia de radio r, la longitud s de un arco que subtiende al ángulo u (vea la Figura 9) es

u

2p 12pr 2 ur

su

2pcircunferencia de círculo

LONGITUD DE UN ARCO CIRCULAR

En una circunferencia de radio r, la longitud s de un arco que subtiende un ángulo central de u radianes es

s r u.

Despejando u, obtenemos la importante fórmula

usr

Esta fórmula nos permite definir medidas en radianes usando una circunferencia de cualquier radio r: La medida en radianes de un ángulo u es s/r, donde s es la longitud del arco circular que subtiende a u en una circunferencia de radio r (vea la Figura 10).

2 rad

rr

r

1 radr

r

E J E M P L O 4 Longitud de arco y medida de ángulo

(a) Encuentre la longitud de un arco de circunferencia con radio 10 m que subtiende un ángulo central de 30 .

(b) Un ángulo central u de un círculo de radio 4 m está subtendido por un arco de longi-tud 6 m. Encuentre la medida de u en radianes.

¨s

r

F I G U R A 9 s � ur

F I G U R A 1 0 La medida de u en ra-dianes es el número de “radios” que pueden caber en un arco que sub-tienda a u; de aquí el término radián.


S O L U C I Ó N(a) Del Ejemplo 1(b) vemos que 30 � p/6 rad, por lo que la longitud del arco es

s r u 110 2p

6

5p

3 m

(b) Por la fórmula u � s/r, tenemos

usr

6

4

3

2 rad


Área de un sector circularEl área de un círculo de radio r es A � pr2. Un sector de este círculo con ángulo central u tiene un área que es la fracción u/12p2 del área de todo el círculo (vea la Figura 11). Enton-ces, el área de este sector es

u

2p1pr 22

1

2 r 2u

Au

2párea de círculo

ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR

En un círculo de radio r, el área A de un sector con ángulo central de u radianes es

A1

2 r 2u.

E J E M P L O 5 Área de un sector

Encuentre el área de un sector de círculo con ángulo central 60 si el radio del círculo es 3 metros.

S O L U C I Ó N Para usar la fórmula para el área de un sector circular, debemos hallar el ángulo central del sector en radianes: 60 � 601p/1802rad � p/3 rad. Entonces, el área del sector es

A1

2 r 2u

1

2 13 2 2 a

p

3b

3p

2 m2


Movimiento circularSuponga que un punto se mueve a lo largo de un círculo como se ve en la Figura 12. Hay dos formas de describir el movimiento del punto: velocidad lineal y velocidad angular. La velocidad lineal es la rapidez a la que está cambiando la distancia recorrida, de modo que la velocidad lineal es la distancia recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. La veloci-dad angular es la rapidez a la que el ángulo central u está cambiando, de modo que la ve-locidad angular es el número de radianes que cambia este ángulo dividido entre el tiempo transcurrido.

La fórmula A 12 r 2u es verdadera

sólo cuando u se mide en radianes.

La fórmula s � ru es verdadera sólo cuando u se mida en radianes.

F I G U R A 1 1

¨r

A

F I G U R A 1 2

¨s

r

A 12r

2u


VELOCIDAD LINEAL Y VELOCIDAD ANGULAR

Suponga que un punto se mueve a lo largo de una circunferencia de radio r y el rayo desde el centro del círculo al punto recorre u radianes en el tiempo t. Sea s = ru la distancia que el punto se desplaza en el tiempo t. Entonces la velocidad del punto está dada por

Velocidad angular

Velocidad lineals

t

vu

t

√

E J E M P L O 6 Búsqueda de las velocidades lineal y angular

Un niño hace girar una piedra en una honda de 3 pies de largo, a razón de 15 revoluciones cada 10 segundos. Encuentre las velocidades angular y lineal de la piedra.

S O L U C I Ó N En 10 s, el ángulo u cambia en 15%2p � 30p radianes. Por lo tanto, la velocidad angular de la piedra es

vu

t

30p rad

10 s3p rad/s

La distancia recorrida por la piedra en 10 s es s � 15%2p � 15%2p%3 � 90p pies. En consecuencia, la velocidad lineal de la piedra es

√ s

t

90p pies

10 s9p pies/s


Observe que la velocidad angular no depende del radio de la circunferencia, sino sólo del ángulo u. No obstante, si conocemos la velocidad angular Ò y el radio r, podemos hallar la velocidad lineal como sigue: v � s/t � ru/t � r1u/t2 � rÒ.

RELACIÓN ENTRE LAS VELOCIDADES LINEAL Y ANGULAR

Si un punto se mueve a lo largo de un círculo de radio r con velocidad angu-lar v, entonces su velocidad lineal √ está dada por

rv.√

E J E M P L O 7 Búsqueda de la velocidad lineal a partir de la velocidad angular

Una mujer viaja en una bicicleta cuyas ruedas miden 26 pulgadas de diámetro. Si las ruedas giran a 125 revoluciones por minuto (rpm), encuentre la velocidad a la que ella viaja, en mi/h.

S O L U C I Ó N La velocidad angular de las ruedas es 2p%125 � 250p rad/min. Como las ruedas tienen radio de 13 pulg (la mitad del diámetro), la velocidad lineal es

√ rv 13 # 250p 10,210.2 pulg /min

Como hay 12 pulgadas por pie, 5280 pies por milla, y 60 minuto por hora, la velocidad de la mujer en millas por hora es

9.7 mi/h

10,210.2 pulg /min 60 min/h12 pulg /pies 5280 pies/mi

612,612 pulg /h63,360 pulg /mi


El símbolo Ò es la letra griega “omega”.


C O N C E P T O S

1. (a) La medida en radianes de un ángulo u es la longitud

del ______ que subtiende el ángulo en un círculo de

radio _______.

(b) Para convertir grados a radianes, multiplicamos por______.

(c) Para convertir radianes a grados, multiplicamos por______.

2. Un ángulo central u se traza en una circunferencia de radio r.

(a) La longitud del arco subtendido por u es s � _____.

(b) El área del sector circular con ángulo central u es A � ____.


3-14 Encuentre la medida en radianes del ángulo con la medida dada en grados.

3. 72 4. 54 5. 45

6. 60 7. 75 8. 300

9. 1080 10. 3960 11. 96

12. 15 13. 7.5 14. 202.5

15-26 Encuentre la medida en grados del ángulo con la medida dada en radianes.

15. 16. 17.

18. 19. 3 20. 2

21. 1.2 22. 3.4 23.

24. 25. 26.

13p

12

2p

15

5p

18

p

10

3p

2

5p

4

11p

3

7p

6

27-32 Nos dan la medida de un ángulo en posición estándar. En-cuentre dos ángulos positivos y dos ángulos negativos que sean co-terminales con el ángulo dado.

27. 50 28. 135 29.

30. 31. 32. 45

p

4

11p

6

3p

4

33-38 Nos dan las medidas de dos ángulos en posición normal. Determine si los ángulos son coterminales.

33. 70 , 430 34. 30 , 330

.63.53

37. 155 , 875 38. 50 , 340

32p

3,

11p

3

5p

6,

17p

6

39-44 Encuentre un ángulo entre 0 y 360 que sea coterminal con el ángulo dado.

39. 733 40. 361 41. 1110

42. 100 43. 800 44. 1270


45-50 Encuentre un ángulo entre 0 y 2p que sea coterminal con el ángulo dado.

45. 46. 47. 87p

48. 10 49. 50.51p

2

17p

4

7p

3

17p

6

51. Encuentre la longitud del arc s de la figura.

140*

5

s

52. Encuentre el ángulo u de la figura.

¨5

10

53. Encuentre el radio r del círculo de la figura.

2 rad

r

8

54. Encuentre la longitud del arco que subtiende un ángulo central de 45 en un círculo de radio de 10 metros.

55. Encuentre la longitud de un arco que subtiende un ángulo cen-tral de 2 rad en un círculo de radio de 2 millas.

56. Un ángulo central u en un círculo con radio de 5 m está subten-dido por un arco de 6 m de longitud. Encuentre la medida de u en grados y en radianes.

57. Un arco de 100 m de longitud subtiende un ángulo central u en un círculo de 50 m de radio. Encuentre la medida de u en gra-dos y en radianes.

58. Un arco circular de 3 pies de longitud subtiende un ángulo cen-tral de 25 . Encuentre el radio del círculo.

59. Encuentre el radio del círculo si un arco de 6 m de longitud del círculo subtiende un ángulo central de p/6 radianes.

60. Encuentre el radio del círculo si un arco de 4 pies de longitud del círculo subtiende un ángulo central de 135 .

61. Encuentre el área del sector mostrado en cada figura.

80*8

0.5 rad

10

(a) (b)


62. Encuentre el radio de cada círculo si el área del sector es 12.

0.7 rad 150*

63. Encuentre el área de un sector con ángulo central de 1 rad en un círculo de 10 m de radio.

64. Un sector de un círculo tiene un ángulo central de 60 . Encuen-tre el área del sector si el radio del círculo es 3 millas.

65. El área de un sector de un círculo con ángulo central de 2 rad es 16 m2. Encuentre el radio del círculo.

66. Un sector de un círculo de radio 24 mi tiene un área de 288 mi-llas cuadradas. Encuentre el ángulo central del sector.

67. El área de un círculo es 72 cm2. Encuentre el área de un sector de este círculo que subtiende un ángulo central de p/6 rad.

68. Tres círculos con radios 1, 2 y 3 pies son externamente tangen-tes entre sí, como se ilustra en la figura. Encuentre el área del sector del círculo de radio 1 que es cortado por los segmentos de recta que unen el centro de ese círculo con los centros de los otros dos círculos.


69. Distancia de viaje Las ruedas de un auto miden 28 pulga-das de diámetro. ¿Qué distancia (en millas) recorrerá el auto si sus ruedas giran 10,000 veces sin patinar?

70. Revoluciones de una rueda ¿Cuántas revoluciones hará una rueda de auto, de 30 pulg de diámetro, cuando el auto reco-rre una distancia de 1 milla?

71. Latitudes Pittsburgh, Pennsylvania y Miami, Florida, se en-cuentran aproximadamente en el mismo meridiano. Pittsburgh tiene una latitud de 40.5 N y Miami tiene una latitud de 25.5 N. Encuentre la distancia entre estas dos ciudades. (El radio de la Tierra es de 3960 millas.)

PittsburghMiami

72. Latitudes Memphis, Tennessee, y Nueva Orleans, Loui-siana, se encuentran aproximadamente en el mismo meridiano. Memphis tiene una latitud de 35 N y Nueva Orleans tiene una latitud de 30 N. Encuentre la distancia entre estas dos ciuda-des. (El radio de la Tierra es de 3960 millas.)

73. Órbita de la Tierra Encuentre la distancia que la Tierra re-corre en un día en su trayectoria alrededor del Sol. Suponga que un año tiene 365 días y que la trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es una circunferencia de 93 millones de millas de radio. 3La trayectoria de la Tierra alrededor del Sol es en realidad una elipse con el Sol en un foco (vea la Sección 7.2). Esta elipse, sin embargo, tiene muy poca excentricidad y, por lo tanto, es casi una circunferencia.4

74. Circunferencia de la Tierra El matemático griego Era-tóstenes (hacia 276-195 a.C.) midió la circunferencia de la Tie-rra a partir de las siguientes observaciones. Él observó que en cierto día los rayos del Sol caían directamente en un pozo pro-fundo en Siena (moderna Asuán). Al mismo tiempo, en Alejan-dría, a 500 millas al norte (en el mismo meridiano), los rayos del Sol brillaban a un ángulo de 7.2 con respecto al cenit. Use esta información y la figura para hallar el radio y circunferencia de la Tierra.

Siena

AlejandríaRayos del Sol

7.2*500 mi

75. Millas náuticas Encuentre la distancia a lo largo de un arco en la superficie de la Tierra que subtiende un ángulo cen-tral de 1 minuto (1 minuto � 1/60 de grado). Esta distancia se llama milla náutica. (El radio de la Tierra es 3960 millas.)

76. Irrigación Un sistema de irrigación utiliza un tubo aspersor de 300 pies de largo que gira sobre su eje alrededor de un punto central, como se ve en la figura siguiente. Debido a un obstácu- lo, se permite que el tubo gire sólo 280 . Encuentre el área irri-gada por este sistema.

280*

300 p

ies

(a) (b)


77. Limpiadores de parabrisas Los extremos superior e in-ferior de una rasqueta de limpiador de parabrisas miden 34 pulg y 14 pulg, respectivamente, desde el punto de pivoteo. Cuando está en operación, el limpiador gira 135 . Encuentre el área re-corrida por la rasqueta.

135*34 pulgadas

14 pulgadas

78. La vaca amarrada Una vaca está amarrada por una cuerda de 100 pies a la esquina interior de un edificio en forma de L, como se ve en la figura. Encuentre el área en que la vaca puede pastar.

50 pies

60 pies

100 p

ies

50 pies

20 pies

79. Ventilador Un ventilador de cielo raso, con paletas de 16 pulgadas, gira a 45 rpm.

(a) Encuentre la velocidad angular del ventilador en rad/min. (b) Encuentre la velocidad lineal de las puntas de las paletas en

pulg./min.

80. Sierra radial Una sierra radial tiene una hoja de 6 pulg de radio. Suponga que la hoja gira a 1000 rpm.

(a) Encuentre la velocidad angular de la hoja en rad/min. (b) Halle la velocidad lineal de los dientes de la hoja en pies/s.

81. Montacargas Un montacargas de 2 pies de radio se usa para levantar cargas pesadas. Si el montacargas hace 8 revolu-ciones cada 15 segundos, encuentre la velocidad a la que se le-vanta la carga.

82. Velocidad de un auto Las ruedas de un auto tienen radio de 11 pulg y están girando a 600 rpm. Encuentre la velocidad del auto en mi/h.

83. Velocidad en el ecuador La Tierra gira alrededor de su eje una vez cada 23 h 56 min 4 s, y el radio de la Tierra es 3960 millas. Encuentre la velocidad lineal de un punto en el ecuador en millas/hora.

84. Ruedas de camión Un camión con ruedas de 48 pulgadas de diámetro está viajando a 50 millas/hora.

(a) Encuentre la velocidad angular de las ruedas en rad/min. (b) ¿Cuántas revoluciones por minuto hacen las ruedas?

85. Velocidad de una corriente Para medir la velocidad de una corriente, unos científicos colocan una rueda de paletas en la corriente y observan la rapidez a la que gira la rueda. Si la rueda tiene radio de 0.20 m y gira a 100 rpm, encuentre la velo-cidad de la corriente en m/s.

86. Rueda de bicicleta En la figura se ilustran los rayos y ca-dena de una bicicleta. La rueda dentada de los pedales tiene un radio de 4 pulg, la rueda dentada de la rueda tiene un radio de 2 pulg. y la rueda tiene un radio de 14 pulgadas. El ciclista peda-lea a 40 rpm.

(a) Encuentre la velocidad angular de la rueda dentada de la rueda.

(b) Encuentre la velocidad de la bicicleta. (Suponga que la rueda gira al mismo paso que su rueda dentada.)

4 pulg

2 pulg.

13 pulg

87. Taza cónica Una taza cónica se hace de un papel circular con radio de 6 cm al cortar un sector y unir los bordes, como se muestra en la figura siguiente. Suponga que u � 5p/3.

(a) Encuentre la circunferencia C de la abertura de la taza. (b) Halle el radio r de la abertura de la taza. 3Sugerencia: Use

C � 2pr.4 (c) Encuentre la altura h de la taza. 3Sugerencia: Use el Teo-

rema de Pitágoras.4

S E C C I Ó N 4.2 | Trigonometría de triángulos rectángulos 181

(d) Encuentre el volumen de la taza.

6 cm

6 cm6 cm¨

h

r

88. Taza cónica En este ejercicio encontramos el volumen de la taza cónica del Ejercicio 87 para cualquier ángulo u.

(a) Siga los pasos del Ejercicio 87 para demostrar que el volu-men de la taza como función de u es

V1u 29

p2 u224p2 u2, 0 u 2p

(b) Grafique la función V. (c) ¿Para qué ángulo u es máximo el volumen de la taza?

D E S C U B R I M I E N TO D I S C U S I Ó N R E DACC I Ó N

89. Diferentes formas de medir ángulos La costumbre de medir ángulos usando grados, con 360 en un círculo, data de los antiguos babilonios, que usaban un sistema numérico basado en grupos de 60. Otro sistema de medir ángulos divide el cír-culo en 400 unidades, llamadas grad. En este sistema, un án-gulo recto es de 100 grad, de modo que esto se ajusta a nuestro sistema numérico de base 10.

Escriba un corto ensayo que compare las ventajas y desventa-jas de estos dos sistemas y el sistema de medir ángulos en ra-dianes. ¿Cuál sistema prefiere usted? ¿Por qué?

90. Relojes y ángulos En una hora, el minutero de un reloj se mueve todo un círculo completo, y la manecilla de las horas se mueve 1

12 de círculo. ¿Cuántos radianes se mueven las maneci-llas del minutero y de las horas entre la 1:00 p.m. y las 6:45 p.m. (en el mismo día)?

12 1

2

3

6

9

10

457

8

11 12 1

2

3

6

10

457

8

11

9

En esta sección estudiamos ciertas relaciones entre los lados de triángulos rectángulos, lla-madas relaciones trigonométricas, y damos varias aplicaciones.

Relaciones trigonométricasConsidere un triángulo rectángulo con u como uno de sus ángulos agudos. Las relaciones trigonométricas se definen como sigue (vea la Figura 1).

LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS

csc uhipotenusa

opuestosec u

hipotenusa

adyacentecot u

adyacente

opuesto

sen uopuesto

hipotenusacos u

adyacente

hipotenusatan u

opuesto

adyacente

Los símbolos que usamos para esas relaciones son abreviaturas de sus nombres completos: seno, coseno, tangente, cosecante, secante, cotangente. Como dos triángulos rectángulos cualesquiera con ángulo u son semejantes, estas relaciones son iguales, cualquiera que sea

4.2 TRIGONOMETRÍA DE TRIÁNGULOS REC TÁNGULOS

Relaciones trigonométricas � Triángulos especiales � Aplicaciones de trigonometría de triángulos rectángulos

adyacente

opuestohipotenusa

¨

F I G U R A 1

Stewart y su equipo explican los conceptos de manera sencilla y didáctica, sin restar importancia a los puntos difíciles. La resolución de problemas y el modelado mate-mático se exponen al principio y se refuerzan a lo largo del libro, ofreciendo a los estudiantes una base sólida en relación con los principios del pensamiento mate-mático. Claro y de ritmo uniforme, el libro proporciona una cobertura completa del concepto de función, e integra una gran cantidad de materiales con calculadora graficadora para ayudar a los estudiantes a comprender las ideas matemáticas. La atención de los autores a los detalles y la claridad, la misma que se encuentra en el texto Cálculo, de James Stewart, es lo que hace de este texto el líder del mercado.

Características■ Aplicaciones del mundo real en ingeniería, física, química, negocios, biología,

estudios ambientales y otros campos demuestran cómo se utilizan las matemá-ticas para modelar situaciones cotidianas.

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■ Cada acercamiento a la trigonometría se acompaña de las aplicaciones adecua-das para ese planteamiento, aclarando el motivo de los diferentes enfoques de la trigonometría.

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