jarkko kari, pascal vanier and thomas zeume- bounds on non-surjective cellular automata

8/3/2019 Jarkko Kari, Pascal Vanier and Thomas Zeume- Bounds on non-surjective cellular automata

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B o u n d s o n n o n - s u r j e c t i v e c e l l u l a r a u t o m a t a

J a r k k o K a r i

1, P a s c a l V a n i e r

2, a n d T h o m a s Z e u m e

3

1U n i v e r s i t y o f T u r k u

j k a r i @ u t u . f i

2L a b o r a t o i r e d ' I n f o r m a t i q u e F o n d a m e n t a l e d e M a r s e i l l e

p a s c a l . v a n i e r @ e n s - l y o n . f r

3G o t t f r i e d W i l h e l m L e i b n i z U n i v e r s i t t H a n n o v e r

t h o m a s - z e u m e @ w e b . d e

A b s t r a c t . C e l l u l a r a u t o m a t a ( C A ) a r e d i s c r e t e , h o m o g e n e o u s d y n a m -

i c a l s y s t e m s . N o n - s u r j e c t i v e o n e - d i m e n s i o n a l C A h a v e n i t e w o r d s w i t h

n o p r e i m a g e ( c a l l e d o r p h a n s ) , p a i r s o f d i e r e n t w o r d s s t a r t i n g a n d e n d -

i n g i d e n t i c a l l y a n d h a v i n g t h e s a m e i m a g e ( d i a m o n d s ) a n d w o r d s w i t h

m o r e / f e w e r p r e i m a g e s t h a n t h e a v e r a g e n u m b e r ( u n b a l a n c e d w o r d s ) . U s -

i n g a l i n e a r a l g e b r a a p p r o a c h , w e o b t a i n n e w u p p e r b o u n d s o n t h e l e n g t h s

o f t h e s h o r t e s t s u c h o b j e c t s . I n t h e c a s e o f a n

n- s t a t e , n o n - s u r j e c t i v e C A

w i t h n e i g h b o r h o o d r a n g e

2o u r b o u n d s a r e o f t h e o r d e r s

O(n2),

O(n3/2)a n d

O(n)f o r t h e s h o r t e s t o r p h a n , d i a m o n d a n d u n b a l a n c e d w o r d , r e -

s p e c t i v e l y .

1 I n t r o d u c t i o n

N o n - s u r j e c t i v e c e l l u l a r a u t o m a t a ( C A ) h a v e G a r d e n o f E d e n - c o n g u r a t i o n s : c o n -

g u r a t i o n s w i t h o u t a p r e i m a g e . B y c o m p a c t n e s s , t h e r e e x i s t a l s o n i t e p a t t e r n s

t h a t d o n o t a p p e a r i n a n y i m a g e c o n g u r a t i o n [ 2 ] . T h e s e w e c a l l o r p h a n s . T h e

G a r d e n o f E d e n - t h e o r e m b y E . F . M o o r e [ 5 ] a n d J . M y h i l l [ 7 ] p r o v e s t h e e x -

i s t e n c e o f m u t u a l l y e r a s a b l e p a t t e r n s i n n o n s u r j e c t i v e C A . T h e s e a r e t w o n i t e

w o r d s s u c h t h a t t w o c o n g u r a t i o n s , h a v i n g t h e s a m e p r e x a n d s u x a n d o n l y

d i e r i n g o n t h o s e w o r d s , h a v e t h e s a m e i m a g e . M u t u a l l y e r a s a b l e w o r d s a r e a l s o

c a l l e d d i a m o n d s . T h e e x i s t e n c e o f d i a m o n d s i s e q u i v a l e n t t o b e i n g n o n - s u r j e c t i v e .

N o n - s u r j e c t i v i t y i s a l s o e q u i v a l e n t t o t h e e x i s t e n c e o f n i t e w o r d s o f t h e s a m e

s i z e w i t h a d i e r e n t n u m b e r o f p r e i m a g e s [ 2 ] . P a t t e r n s t h a t d o n o t h a v e t h e

a v e r a g e n u m b e r o f p r e i m a g e s a r e c a l l e d u n b a l a n c e d .

O n e w i l l n a t u r a l l y t h i n k a b o u t t h e s i z e o f t h e s e o b j e c t s . T h e o b j e c t i v e o f

t h i s p a p e r i s t o b o u n d t h e s i z e o f t h e s m a l l e s t o r p h a n , d i a m o n d a n d u n b a l a n c e d

w o r d o f a n y n o n - s u r j e c t i v e o n e - d i m e n s i o n a l C A , i n t e r m s o f t h e n u m b e r o f s t a t e s

i n t h e a u t o m a t o n . F o r d i m e n s i o n s g r e a t e r t h a n o n e , i t i s k n o w n t h a t i t i s n o t

d e c i d a b l e w h e t h e r a g i v e n C A i s s u r j e c t i v e o r n o t [ 3 ] . T h e r e f o r e o n l y b o u n d s f o r

o n e - d i m e n s i o n a l C A w i l l b e s t u d i e d : i n h i g h e r d i m e n s i o n s n o r e c u r s i v e b o u n d s

e x i s t .

U s i n g a s t a n d a r d b l o c k i n g t e c h n i q u e , o n e c a n c o n v e r t a n y o n e - d i m e n s i o n a l

C A i n t o a C A w i t h t h e r a n g e - 2 n e i g h b o r h o o d , s o w e w i l l o n l y s t u d y t h e b o u n d s


2/12

i n t h i s r a n g e - 2 c a s e . T h e p r e v i o u s l y k n o w n b o u n d s w e r e a n e x p o n e n t i a l b o u n d

f o r s h o r t e s t o r p h a n s , a q u a d r a t i c b o u n d f o r s h o r t e s t d i a m o n d s a n d a n O(n2 ln n)b o u n d f o r t h e s h o r t e s t u n b a l a n c e d w o r d s , w h e r e n i s t h e n u m b e r o f s t a t e s . T h e s e c a n b e f o u n d i n , o r e a s i l y d e d u c e d f r o m [ 9 ] a n d [ 6 ] .

W e w i l l u s e t o o l s b a s e d o n l i n e a r a l g e b r a t o o b t a i n a l i n e a r u p p e r b o u n d f o r

t h e s i z e o f t h e s h o r t e s t u n b a l a n c e d w o r d s , a q u a d r a t i c b o u n d f o r t h e s i z e o f t h e

s h o r t e s t o r p h a n s a n d a n 2n32

b o u n d f o r t h e l e n g t h o f t h e s h o r t e s t d i a m o n d s .

B y u s i n g s o m e c o m b i n a t o r i a l a r g u m e n t s , w e a r e a b l e t o r e d u c e t h e b o u n d s f o r

o r p h a n s a n d d i a m o n d s s l i g h t l y . F o r a l l p r o b l e m s w e a l s o t r i e d t o b o u n d t h e b e s t

p o s s i b l e u p p e r b o u n d s f r o m b e l o w . H o w e v e r , t h e o n l y n o n - c o n s t a n t l o w e r b o u n d s

w e f o u n d a r e f o r t h e c a s e o f s h o r t e s t o r p h a n s .

T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : I n S e c t i o n 2 w e g i v e t h e d e n i t i o n s o f t h e

m a i n c o n c e p t s , a n d i n S e c t i o n 3 w e e x p l a i n o u r b a s i c l i n e a r a l g e b r a t o o l s t h a t

w e u s e t o o b t a i n b o u n d s . I n S e c t i o n 4 w e p r o v i d e t h e b o u n d s t h a t t h e l i n e a r

a l g e b r a a p p r o a c h i m m e d i a t e l y p r o v i d e s f o r t h e s h o r t e s t o r p h a n s , d i a m o n d s a n d

u n b a l a n c e d w o r d s . A l l b o u n d s a r e b e t t e r t h a n a n y p r e v i o u s l y k n o w n b o u n d s . I n

t h e c a s e o f o r p h a n s t h e i m p r o v e m e n t i s e v e n f r o m e x p o n e n t i a l t o p o l y n o m i a l . I n

S e c t i o n 5 w e n e - t u n e t h e b o u n d s b y l o o k i n g i n d e t a i l a t t h e r s t s t e p s o f t h e

d i m e n s i o n r e d u c t i o n s . I n S e c t i o n 6 w e c o n s i d e r t h e a l g o r i t h m i c a s p e c t s a n d s h o w

t h a t a n o r p h a n , a d i a m o n d a n d a n u n b a l a n c e d w o r d c a n b e f o u n d i n p o l y n o m i a l

t i m e . S e c t i o n 7 r e p o r t s t h e e x i s t e n c e f o r e v e r y n 2 o f a n n- s t a t e r a n g e - 2C A w h o s e s h o r t e s t o r p h a n i s o f l e n g t h 2n 1. I n c o n t r a s t , f o r d i a m o n d s a n d u n b a l a n c e d w o r d s w e h a v e n o n o n - c o n s t a n t e x a m p l e s . F i n a l l y , i n S e c t i o n 8 w e

f o r m u l a t e o p e n p r o b l e m s a n d d i s c u s s s o m e r e l a t e d q u e s t i o n s .

2 D e n i t i o n s

A c o n g u r a t i o n i s a f u n c t i o n

ct h a t a s s i g n s a s t a t e f r o m a n i t e s t a t e s e t

St o

e v e r y p o i n t i n Z. W e d e n o t e t h e s t a t e o f a p o i n t p Z o f a c o n g u r a t i o n c b ycp . T h e s e t o f a l l c o n g u r a t i o n s i s S

Z. T h e r a n g e - r n e i g h b o r h o o d i s t h e t u p l e

N = (0, . . . , r 1). A l o c a l r u l e i s a f u n c t i o n f : S|N| S.F o r m a l l y , a c e l l u l a r a u t o m a t o n G i s a 3 - t u p l e (S, N, f) . A t e a c h t i m e s t e p

a n e w c o n g u r a t i o n G(c) i s c o m p u t e d f r o m c b y u p d a t i n g t h e s t a t e s w i t h f a te a c h p o i n t p:

G(c)p = f(cp, cp+1 . . . , cp+r1) f o r a l l p Z.T h e h e r e b y d e n e d f u n c t i o n G i s c a l l e d t h e g l o b a l f u n c t i o n o f t h e C A .

W e w i l l o n l y c o n s i d e r r a n g e - 2 C A G w i t h a n o n - s u r j e c t i v e g l o b a l f u n c t i o n t h r o u g h o u t t h e w h o l e p a p e r . T h e g e n e r a l i z a t i o n o f o u r r e s u l t s t o g e n e r a l r a n g e - ra r e q u i t e s t r a i g h t f o r w a r d , a n d w i l l o n l y b e b r i e y d i s c u s s e d i n S e c t i o n 8 .

A p p l i c a t i o n s o f t h e r a n g e - 2 l o c a l r u l e f : S

S

S t o n i t e w o r d s w

S

w i l l b e d e n o t e d b y t h e s a m e s y m b o l

Ga s t h e g l o b a l f u n c t i o n . I n t h i s c a s e

G(s1s2 . . . sn) = t1t2 . . . tn1

w h e r e ti = f(si, si+1) f o r a l l i = 1, 2, . . . , n 1 .


3/12

C o n g u r a t i o n s w i t h o u t a p r e i m a g e a r e c a l l e d G a r d e n o f E d e n - c o n g u r a t i o n s .

W e w i l l b e i n t e r e s t e d i n n i t e w o r d s w i t h o u t a p r e i m a g e , t h a t i s t o s a y w o r d s uf o r w h i c h t h e r e e x i s t s n o w o r d w s u c h t h a t G(w) = u. S u c h u e x i s t i f a n d o n l y i f t h e C A i s n o n - s u r j e c t i v e [ 2 ] a n d a r e c a l l e d o r p h a n s .

B y t h e G a r d e n o f E d e n - t h e o r e m o f E . F . M o o r e a n d J . M y h i l l , s e e [ 5 ] a n d

[ 7 ] , w e k n o w t h a t n o n - s u r j e c t i v e C A h a v e c o n g u r a t i o n s w h i c h d i e r o n l y i n a

n i t e n u m b e r o f c e l l s a n d w h i c h h a v e t h e s a m e i m a g e u n d e r G. W e c o n s i d e r t h e n i t e d i e r i n g p a r t o f s u c h c o n g u r a t i o n s : T w o w o r d s w = p c1 . . . cl s a n dw = p c1 . . . c

l s Sl+2 w i t h G(w) = G(w) a r e s a i d t o f o r m a d i a m o n d i f

(c1, . . . , cl) = (c1, . . . , cl) . T h e l e n g t h o f t h e d i a m o n d i s l . A c e l l u l a r a u t o m a t o n h a s a d i a m o n d i i t i s n o n - s u r j e c t i v e .

T h e r e a r e |S|k d i e r e n t w o r d s o f l e n g t h k a n d |S|k+1 d i e r e n t p r e i m a g e s f o r w o r d s o f l e n g t h k . W e c a l l G k - b a l a n c e d , i f a l l w o r d s o f l e n g t h k h a v e t h e s a m e n u m b e r o f p r e d e c e s s o r w o r d s , i . e . |G1(u)| = |S| f o r a l l u Sk . W o r d s uw i t h |G1(u)| = |S| a r e c a l l e d u n b a l a n c e d . A C A h a s u n b a l a n c e d w o r d s , i i t i s n o n - s u r j e c t i v e [ 2 ] .

3 L i n e a r a l g e b r a t o o l s

3 . 1 V e c t o r i a l i n t e r p r e t a t i o n o f s e t s

T h e p r o o f s a r e m a i n l y b a s e d o n t h e v e c t o r i a l i n t e r p r e t a t i o n o f s e t s o f s t a t e s ,

i n t r o d u c e d i n [ 1 ] f o r t h e C A c o n t e x t : l e t u s d e n o t e b y S = {1, . . . , n} t h e s e t o f a l l s t a t e s . A s u b s e t X S i s i n t e r p r e t e d a s t h e 0 - 1 v e c t o r x i n Rn w h o s e i- t hc o o r d i n a t e i s 1 i f i X a n d 0 o t h e r w i s e . T h e v e c t o r s c o r r e s p o n d i n g t o s i n g l e e l e m e n t s e t s a r e t h e u n i t c o o r d i n a t e v e c t o r s

ei a n d t h e y f o r m a b a s i s o f t h e v e c t o r s p a c e

Rn

.

W e d e n e

fa : Rn

Rn

a s t h e l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s u c h t h a t

fa(ei) =

f(i,j)=a

ej ,

w h e r e f i s t h e l o c a l t r a n s i t i o n f u n c t i o n o f t h e a u t o m a t o n a n d a a s t a t e . W e d e n e : Rn R a s t h e l i n e a r f o r m d e n e d b y

(x) = x (1, . . . , 1).W e c a l l (x) t h e w e i g h t o f a v e c t o r x s i n c e i t i s t h e s u m o f i t s c o o r d i n a t e s . I f w = a1 . . . ak i s a w o r d 4 o n t h e a l p h a b e t S, l e t fw d e n o t e t h e c o m p o s i t i o n fak fa1 . T h e a n a l o g o u s n o t a t i o n f o r c o m p o s i t i o n s i s a l s o u s e d w i t h a n y o t h e r f a m i l y o f f u n c t i o n s i n d e x e d b y l e t t e r s o f a n a l p h a b e t .

L e m m a 1 . B a l a n c e T h e f o l l o w i n g e q u a l i t y h o l d s f o r a l l

x Rn

:aS

(fa(x)) = (x)|S|

4

T h e w o r d c o u l d b e e m p t y , i n w h i c h c a s e

fw(x) = x .


4/12

P r o o f . F o r e a c h

ei w e h a v e

aS fa(ei) = (1, 1, . . . , 1)b e c a u s e f o r e a c h

j S t h e r e e x i s t s a u n i q u e a S s u c h t h a t f(i, j) = a. B y t h e l i n e a r i t y o f w e h a v e

aS

(fa(ei)) = (aS

fa(ei)) = |S| = (ei)|S|.

N o w , d u e t o t h e l i n e a r i t y o f

fa a n d t h i s e x t e n d s t o a n y v e c t o r x o f Rn

i n p l a c e

o f ei . N o t e , t h a t i f x i s a v e c t o r c o r r e s p o n d i n g t o X S, t h e n (fw(x)) i s t h e

n u m b e r o f p r e i m a g e s o f w t h a t s t a r t i n a s t a t e o f X. T h i s c a n b e p r o v e d b y a n e a s y i n d u c t i o n o n t h e l e n g t h o f w .

T h e m a i n a p p l i c a t i o n o f t h e b a l a n c e l e m m a i s t h e f o l l o w i n g : I f (fw(x)) =(x) f o r s o m e w o r d w o f l e n g t h k t h e n (fu(x)) < (x) a n d (fu(x)) > (x)f o r s o m e w o r d s

ua n d

uo f t h a t s a m e l e n g t h

k.

3 . 2 A v e r y u s e f u l l e m m a

F o r a n y

x Rnw i t h

(x) > 0 w e w a n t t o e s t a b l i s h a n u p p e r b o u n d f o r t h e l e n g t h o f s h o r t e s t w o r d s

u, us u c h t h a t

(fu(x)) < (x) a n d (fu(x)) > (x) .T h e r e f o r e , t h e f o l l o w i n g l e m m a w i l l b e c r u c i a l . S t r o n g l y i n s p i r e d b y [ 8 ] a n d [ 4 ] ,

i t c a n b e c o n s i d e r e d a s t h e b a s i s f o r a l l o u r r e s u l t s .

T h e l e m m a c o n c e r n s a n e s u b s p a c e s o f Rn

a n d t h e m i n i m a l n u m b e r o f a p -

p l i c a t i o n s o f g i v e n l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n s t h a t t a k e a g i v e n p o i n t o u t s i d e t h e

s u b s p a c e . R e c a l l t h a t a n a n e s u b s p a c e o f Rn

o f d i m e n s i o n d i s a s e t x + Vw h e r e x Rn a n d V Rn i s a l i n e a r s u b s p a c e o f d i m e n s i o n d. I n p a r t i c u l a r , s i n g l e t o n s e t s {x} a r e a n e s u b s p a c e s o f d i m e n s i o n 0. A n e s u b s p a c e s r e l e v a n t i n o u r s e t u p a r e t h e s e t s {x Rn | (x) = c} o f v e c t o r s h a v i n g a x e d w e i g h t c R

. T h e i r d i m e n s i o n i s

n 1.A n a n e c o m b i n a t i o n o f v e c t o r s i s a l i n e a r c o m b i n a t i o n w h e r e t h e c o e -

c i e n t s s u m u p t o o n e . A n e s u b s p a c e s a r e c l o s e d u n d e r a n e c o m b i n a t i o n s o f

t h e i r e l e m e n t s , a n d c o n v e r s e l y , a n y s e t c l o s e d u n d e r a n e c o m b i n a t i o n s i s a n e .

T h e a n e s u b s p a c e g e n e r a t e d b y a s e t X Rn o f v e c t o r s c o n s i s t s o f a l l a n e c o m b i n a t i o n s o f e l e m e n t s o f X.

L e m m a 2 . L e t A b e a n a n e s u b s p a c e o f Rn , a n d l e t x A. L e t b e a n a l p h a b e t a n d f o r e v e r y a , l e t a : Rn Rn b e a l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n . T h e n , i f t h e r e i s a w o r d w s u c h t h a t w(x)

A t h e n t h e r e e x i s t s s u c h a w o r d o f

l e n g t h a t m o s t dim A + 1 .

P r o o f . C o n s i d e r t h e a n e s p a c e s

A0 A1 . . . d e n e d b y A0 = {x} , a n d Ai+1i s g e n e r a t e d b y Ai

aS a(Ai). E q u i v a l e n t l y , Ai i s g e n e r a t e d b y {w(x) |

|w| i} .


5/12

B y d e n i t i o n ,

Ai+1 = Ai m e a n s t h a t a(Ai) Ai f o r a l l a . H e n c e i f Ai+1 = Ai f o r s o m e i, t h e n Aj = Ai f o r e v e r y j i .

L e t i b e t h e s m a l l e s t n u m b e r s u c h t h a t w

(x)

A f o r s o m e w o f l e n g t h i ,t h a t i s , t h e s m a l l e s t i s u c h t h a t Ai A. T h i s m e a n s t h a t i n A0 A1 Aia l l i n c l u s i o n s a r e p r o p e r . I n t e r m s o f d i m e n s i o n s o f a n e s p a c e s w e h a v e t h a t

0 = dim A0 < dim A1 < < dim Ai.

T h i s m e a n s t h a t dim Ai1 i1 . B u t Ai1 A s o t h a t w e a l s o h a v e dim Ai1 dim A. W e c o n c l u d e t h a t i dim A + 1 .

F o r o u r c a s e w e g e t t h e f o l l o w i n g c o r o l l a r y .

C o r o l l a r y 1 . L e t G b e a n o n - s u r j e c t i v e C A a n d x Rn a v e c t o r s u c h t h a t (x) > 0 . T h e n t h e r e e x i s t w o r d s u, u o f l e n g t h a t m o s t n = |S| s u c h t h a t (fu(x)) < (x) a n d (fu(x)) > (x).

P r o o f . T h i s i s a d i r e c t a p p l i c a t i o n o f L e m m a 2 . L e t = S, a = fa a n d A = x+ker . N o t e t h a t A i s a n a n e s u b s p a c e o f Rn o f d i m e n s i o n n1, a n d (fw(x)) =(x) i fw(x) A. S i n c e G i s n o n - s u r j e c t i v e , t h e r e e x i s t s a n o r p h a n v . A sfv(ei) = 0 f o r a l l u n i t c o o r d i n a t e v e c t o r s ei , w e h a v e fv(x) = 0. I n p a r t i c u l a r , fv(x) A. T h u s , b y L e m m a 2 , t h e r e e x i s t s a w o r d w o f l e n g t h a t m o s t n s u c h t h a t (fw(x)) = (x) . N o w , L e m m a 1 g u a r a n t e e s t h e e x i s t e n c e o f w o r d s u, u o ft h e s a m e l e n g t h |w| w i t h (fu(x)) < (x) a n d (fu(x)) > (x).

4 B a s i c b o u n d s

W e w i l l p r o v e r s t a q u a d r a t i c b o u n d f o r t h e s i z e o f o r p h a n s u s i n g t h e p r e v i o u s l y

d e n e d l i n e a r a l g e b r a i c t o o l s .

T h e o r e m 1 . I f a r a n g e - 2 n o n - s u r j e c t i v e C A h a s n s t a t e s , t h e n i t h a s a n o r p h a n o f l e n g t h a t m o s t n2 .

P r o o f . W e s t a r t w i t h x = (1, . . . , 1). B y a p p l y i n g C o r o l l a r y 1 , w e k n o w t h a t t h e r e e x i s t s a w o r d w o f l e n g t h a t m o s t n s u c h t h a t (fw(x)) < (x) = n. A sfw(x) i s a v e c t o r o f n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s , 0 (fw(x)) (x) 1 . R e p e a t i n g t h i s a r g u m e n t o n

fw(x) i n p l a c e o f x, a n d c o n t i n u i n g l i k e w i s e , w e s u c c e s s i v e l y d e c r e a s e t h e w e i g h t o f t h e v e c t o r s . A f t e r a t m o s t

ni t e r a t i o n s w e o b t a i n a v e c t o r

o f w e i g h t 0 . C o n c a t e n a t i n g a l l w o r d s w g i v e s a n o r p h a n o f l e n g t h a t m o s t n2 .

W e a r e n o t a w a r e o f a n y p r e v i o u s l y p u b l i s h e d p o l y n o m i a l b o u n d f o r t h e

l e n g t h o f t h e s h o r t e s t o r p h a n . A n e x p o n e n t i a l b o u n d 2n c a n b e e a s i l y s e e n b y c o m b i n a t o r i a l a r g u m e n t s .

I n [ 6 ] , M o o t h a t h u p r o v e s a n

O(n2 ln n) u p p e r b o u n d f o r t h e s h o r t e s t u n b a l - a n c e d w o r d s a n d a s k s w h e t h e r t h i s c a n b e i m p r o v e d . O u r l i n e a r a l g e b r a t o o l s

l e a d s t r a i g h t f o r w a r d l y t o a b e t t e r b o u n d :


6/12

T h e o r e m 2 . L e t

Gb e a n o n - s u r j e c t i v e r a n g e - 2 C A w i t h n s t a t e s . T h e n i t s s h o r t -

e s t u n b a l a n c e d w o r d s h a v e a t m o s t l e n g t h n.

P r o o f . L e t x = (1, . . . , 1) . B e c a u s e G i s n o n - s u r j e c t i v e , b y C o r o l l a r y 1 t h e r e i s a w o r d w o f l e n g t h n s u c h t h a t (fw(x)) = (x) = n. S i n c e (fw(x)) i s t h e n u m b e r o f p r e d e c e s s o r s o f

ws t a r t i n g w i t h a n a r b i t r a r y s t a t e o f

S, w e h a v e t h a t

wi s u n b a l a n c e d .

F o r d i a m o n d s a l s o , w e o b t a i n a b e t t e r b o u n d t h a n t h e p r e v i o u s l y e x i s t i n g

o n e .


G = (S, N, f) b e a n o n - s u r j e c t i v e r a n g e - 2 C A w i t h n s t a t e s . T h e n 2(n 1)n + 2 i s a n u p p e r b o u n d f o r s h o r t e s t d i a m o n d s o f G.P r o o f . L e t k = n + 1 a n d l e t = p c1 . . . cm s,p d1 . . . dm s b e a d i a m o n d o f G w h e r e c1 = d1 a n d cm = dm . L e t u s d e n o t e a = f(p,c1) = f(p,d1) a n db = f(cm, s) = f(dm, s) . L e t x b e t h e 0 / 1 - v e c t o r c o r r e s p o n d i n g t o

{c1, d1

}, s o

(x) = 2 .B y C o r o l l a r y 1 , w e c a n s u c c e s s i v e l y i n c r e a s e t h e w e i g h t o f

xb y r e a d i n g

w o r d s o f l e n g t h

n. T h u s t h e r e i s a w o r d

wo f l e n g t h a t m o s t (k 2)n s u c h

t h a t (fw(x)) k , i . e . t h e r e a r e m o r e t h a n k p r e i m a g e s o f aw t h a t s t a r t i n p. I ft w o o f t h e m e n d w i t h t h e s a m e l e t t e r , w e a l r e a d y f o u n d a d i a m o n d . T h e r e f o r e

w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e c a n a s s u m e t h a t a l l o f t h e m h a v e d i e r e n t l a s t

l e t t e r s . D e n o t e t h e s e t o f t h e s e l a s t l e t t e r s b y L. S y m m e t r i c a l l y w e c a n n d a w o r d w o f l e n g t h (k 2)n w i t h a t l e a s t k p r e i m a g e s , w h e r e t h e p r e i m a g e s e n d e i t h e r i n cm o r dm a n d h a v e d i e r e n t r s t l e t t e r s . W e d e n o t e t h e s e t o f r s t l e t t e r s o f t h o s e p r e i m a g e s b y R .

A s |L R| = k2 > n, t h e r e a r e t w o d i s t i n c t p a i r s (l, r), (l, r) L Rw i t h

f(l, r) = f(l, r) . L e t wl, wl b e w o r d s o f l e n g t h |w| s u c h t h a t G(p wl l) =G(p wl

l

) = aw. A n a l o g o u s l y , l e t

wr, wr

b e w o r d s o f l e n g t h

| w| s u c h t h a t G(r wr s) = G(r wr s) = wb . T h e n p wl l r wr s a n d p wl l r wr s f o r m a d i a m o n d , a n d t h e l e n g t h o f t h e d i a m o n d i s a t m o s t

|wl l r wr| = |w| + | w| + 2 2(k 2)n + 2.

5 I m p r o v e d B o u n d s

5 . 1 I m p r o v i n g t h e a l g e b r a i c t o o l s

W e c a n i m p r o v e L e m m a 2 u n d e r c o n d i t i o n s t h a t a p p l y f o r d i a m o n d s a n d o r p h a n s .

T h e i d e a i s t o p r o v e a l o w e r b o u n d f o r t h e d i m e n s i o n o f t h e r s t a n e s u b s p a c e

A1 . L e t u s c a l l a 0 / 1 - s q u a r e m a t r i x k - r e g u l a r i f e v e r y r o w a n d e v e r y c o l u m n c o n t a i n s e x a c t l y k o n e s .

L e m m a 3 . L e t M b e a k - r e g u l a r 0 / 1 m a t r i x o f s i z e n n, w h e r e 1 k n 1 .T h e n rank M max{n

k, n

nk} .


7/12

P r o o f . I t f o l l o w s f r o m t h e a s s u m p t i o n s t h a t e v e r y c o l u m n c o n t a i n s

kn o n - z e r o

e l e m e n t s . T o a n y c o l l e c t i o n o f i c o l u m n s o n e c a n t h e n a d d a n o t h e r l i n e a r l y i n - d e p e n d e n t c o l u m n , p r o v i d e d i < n

k

. T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t s o m e r o w rc o n t a i n s a z e r o i n e a c h o f t h e i c o l u m n s , s o a n y c o l u m n w i t h a n o n - z e r o e l e m e n t i n r o w r i s l i n e a r l y i n d e p e n d e n t o f t h e i c o l u m n s . H e n c e t h e r a n k o f t h e m a t r i x i s a t l e a s t

nk

.

A n a l o g o u s l y , t h e r a n k o f t h e (n k)- r e g u l a r m a t r i x M = 1 M i s a t l e a s t n

nk, w h e r e 1 i s t h e m a t r i x t h a t c o n t a i n s o n l y o n e s . T h e r a n k s o f M a n d M a r e

e a s i l y s e e n e q u a l , s o t h e r e s u l t f o l l o w s . N o w w e s t a t e a n i m p r o v e m e n t o f C o r o l l a r y 1 , t h a t c a n b e a p p l i e d t o d i a m o n d s

a n d o r p h a n s o f r a n g e - 2 C A .

C o r o l l a r y 2 . L e t G = (S, N, f) b e a r a n g e - 2 n o n - s u r j e c t i v e C A w i t h S ={1, . . . , n} , a n d l e t x b e a 0 / 1 - v e c t o r . L e t k = (x) a n d a s s u m e t h a t 1 k n 1. I f f o r a l l s S, fs(x) i s a 0 / 1 - v e c t o r t h e n t h e r e a r e w o r d s u, u o f l e n g t h a t m o s t

n max{nk ,

nnk} + 2 w i t h (fu(x)) < (x) a n d (fu(x)) > (x) .

P r o o f . W e f o l l o w t h e p r o o f o f L e m m a 2 a n d u s e t h e s a m e n o t a t i o n . H e r e , A i st h e a n e s p a c e x +ker . S i n c e G i s n o t s u r j e c t i v e , t h e r e i s a w w i t h fw(x) / A.W e g i v e a l o w e r b o u n d f o r t h e d i m e n s i o n o f A1 , t h e a n e s p a c e g e n e r a t e d b y v e c t o r s x a n d fs(x) o v e r a l l s S.

D e n e t h e 0 / 1 - m a t r i x

M = (f1(x), . . . , f n(x)). W i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y , w e c a n a s s u m e t h a t

(fs(x)) = k f o r a l l s S, a s o t h e r w i s e fs(x) / A. T h u s , e v e r y c o l u m n o f

Mc o n t a i n s e x a c t l y

ko n e s a n d

n k z e r o s . F u r t h e r , a s i n t h e p r o o f o f L e m m a 1 w e s e e t h a t t h e s u m o f t h e c o l u m n s i s (k , k , . . . , k)T s o t h e m a t r i x M i s k - r e g u l a r .

L e m m a 3 g i v e s r = max{nk, n

nk} a s a l o w e r b o u n d f o r t h e r a n k o f M.

T h u s t h e a n e s u b s p a c e

A1 = x + {fs(x) x | s S}o f L e m m a 2 h a s a t l e a s t d i m e n s i o n r 1 . H e n c e t h e c h a i n o f d i m e n s i o n s i n L e m m a 2 b e c o m e s

r 1 dim A1 < . . . < dim Ai1 dim A = n 1H e n c e

r +i3 dim Ai1 n1 a n d t h e r e f o r e t h e r e i s a n u w i t h |u| nr +2a n d

(fu(x)) = (x). T h e c l a i m f o l l o w s f r o m L e m m a 1 . T o o b t a i n t h e b o u n d s f o r t h e l e n g t h s o f t h e s h o r t e s t o r p h a n a n d d i a m o n d ,

w e a p p l y t h e c o r o l l a r y a b o v e a t e a c h w e i g h t r e d u c t i o n s t e p . T h i s w i l l l e a d t o

e x p r e s s i o n s o f t h e f o r m

Hk,n =k

i=1ni . W e i m m e d i a t e l y s e e t h a t Hk,n >n ln k , s i n c e

ki=1

1i

> ln k . F u r t h e r , w e n o t e t h a t

n1i=1

max

ni

,

n

n i

= 2Hn12 ,n+ b

w h e r e b = 2 i f n i s e v e n o t h e r w i s e b = 0 .


8/12

5 . 2 I m p r o v e d r e s u l t s

C o m b i n a t o r i a l m e t h o d s a s w e l l a s C o r o l l a r y 2 a l l o w u s t o l o w e r t h e b o u n d s b y

l o o k i n g a t e a c h w e i g h t r e d u c t i o n s t e p . L e t Fa : 2S 2S b e t h e s e t m a p p i n g Fa(X) = {y S | x X : f(x, y) = a}

f o r a l l a S a n d X S. F u n c t i o n Fa c o r r e s p o n d s t o t h e l i n e a r m a p p i n g fa ,w i t h t h e d i e r e n c e t h a t

Fa i g n o r e s p o s s i b l e m u l t i p l i c i t i e s . T h e n e x t l e m m a l o w e r s t h e b o u n d f o r t h e r s t s t e p o f w e i g h t r e d u c t i o n .

L e m m a 4 . I f G i s n o n - s u r j e c t i v e t h e n t h e r e e x i s t s a l e t t e r a s u c h t h a t |Fa(S)| k o r |Fs(X)| < k . I n b o t h c a s e s |Fa(X)| < |X| f o r s o m e a S.

I f a l l

fs(x) a r e 0 / 1 - v e c t o r s t h e n t h e c o n d i t i o n s o f C o r o l l a r y 2 a r e s a t i s e d , s o t h e b o u n d f o l l o w s f r o m t h e C o r o l l a r y .

N o w w e e a s i l y g e t t h e f o l l o w i n g u p p e r b o u n d s f o r s h o r t e s t o r p h a n s a n d d i a -

m o n d s .


G = (N, S, f) b e a n o n - s u r j e c t i v e r a n g e - 2 C A w i t h |S| = n.T h e n n2 2Hn12 ,n + n b 1 i s a n u p p e r b o u n d f o r t h e l e n g t h o f a s h o r t e s t o r p h a n , w h e r e

b = 2 i f n i s e v e n o t h e r w i s e b = 0 . E s p e c i a l l y , a s m a l l e s t o r p h a n h a s a t m o s t l e n g t h n2 2n lnn12 + n.P r o o f . W e m o d i f y t h e p r o o f o f T h e o r e m 1 . W e u s e L e m m a 4 t o i m p r o v e t h e r s t

r e d u c t i o n s t e p a n d L e m m a 5 o n t h e r e m a i n i n g s t e p s . W e g e t t h e f o l l o w i n g u p p e r

b o u n d f o r t h e l e n g t h o f a s h o r t e s t o r p h a n w :

|w| 1 +n1i=1 (n max{ni , nni} + 2)= 1 + (n 1)(n + 2)

n1i=1 max{ni , nni}

= n2 + n

2Hn1

2 ,n b

1

w h e r e b = 2 i f n i s e v e n o t h e r w i s e b = 0. T h e o r e m 5 . L e t

G = (S, N, f) b e a n o n - s u r j e c t i v e r a n g e - 2 C A w i t h |S| = n,i t s s h o r t e s t d i a m o n d h a s a t m o s t l e n g t h 2(nn n ln(n) + 2n 2) .


9/12

P r o o f . W e m o d i f y t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . N o t e , t h a t t h e c o n d i t i o n s o f C o r o l l a r y

2 a r e f u l l l e d f o r e v e r y i n c r e m e n t o f w e i g h t : I f a t a n y s t a g e fs(x) i s n o t a 0 / 1 - v e c t o r t h e n a d i a m o n d i s f o u n d .

T h u s t h e s t e p i n c r e a s i n g t h e w e i g h t f r o m i t a k e s a w o r d o f l e n g t h a t m o s t n n

i + 2 . T h e r e f o r e w e o b t a i n t h e u p p e r b o u n d

k1i=2

(n n

i

+ 2) = (k 2)(n + 2) + n Hk1,n

f o r t h e l e n g t h s o f t h e w o r d s w a n d w i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . R e c a l l t h a t k = n + 1 . W e n o w o b t a i n t h e r e s u l t f r o m t h i s , t h e f a c t t h a t |w| + | w| + 2i s a n u p p e r b o u n d f o r t h e l e n g t h o f t h e s h o r t e s t d i a m o n d , a n d t h e f a c t t h a t

Hk1,n > n ln(k 1).

6 A l g o r i t h m s

T h e p r o o f o f L e m m a 2 g i v e s u s a l g o r i t h m s f o r n d i n g o r p h a n s , d i a m o n d s a n d

u n b a l a n c e d w o r d s w h o s e r u n n i n g t i m e s a r e p o l y n o m i a l i n t h e n u m b e r o f s t a t e s .

H e r e , o n l y o n e s t e p w i l l b e d e s c r i b e d i n A l g o r i t h m 1 . T h a t i s t o s a y , t h e

a l g o r i t h m i s f o r o b t a i n i n g f r o m a v e c t o r x a w o r d w = w1 . . . wk s u c h t h a t (fw(x)) < (x) . N o t e t h a t w e c a n e a s i l y h a v e t h e c o n v e r s e , b y o n l y c h a n g i n g t h e i n e q u a l i t y i n t h e a l g o r i t h m . T h e f u l l a l g o r i t h m s c a n b e e a s i l y d e d u c e d f r o m

t h i s b y l o o k i n g a t t h e p r o o f s o f T h e o r e m s 1 , 2 a n d 3 .

A l g o r i t h m 1 : H o w t o d e c r e a s e t h e w e i g h t o f a v e c t o r

D a t a : A n o n - s u r j e c t i v e C A

G = (S, (0, 1), f)a n d

x {0, 1}n \ 0nR e s u l t : A w o r d

ww i t h

(fw(x)) < (x).

F := {(x, )} % S e t o f i n d e p e n d e n t v e c t o r s r e a c h e d . w h i l e

a S, (x, w) Fs u c h t h a t

fa(x) i s n o t i n t h e a f f i n e s p a c e g e n e r a t e d b y

Fd o

i f

(fa(x)) < (x) t h e n r e t u r n

wa;

e n d

i f

(fa(x)) = (x) t h e n F := F {(fa(x), wa)} ;

e n d

e n d

I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t t h e a l g o r i t h m s b a s e d o n t h i s m e t h o d w i l l n o t n e c -

e s s a r i l y n d t h e s h o r t e s t o r p h a n s , d i a m o n d s o r u n b a l a n c e d w o r d s . D e B r u i j n - g r a p h

b a s e d a l g o r i t h m s o f [ 9 ] c a n b e u s e d t o n d a s h o r t e s t d i a m o n d i n p o l y n o m i a l t i m e ,

u s i n g a b r e a d t h - r s t s e a r c h o n t h e p r o d u c t o f t h e d e B r u i j n a u t o m a t o n w i t h i t s e l f .

O u r a l g o r i t h m a b o v e n d s a s h o r t e s t u n b a l a n c e d w o r d i f t h e s e a r c h i n t h e w h i l e


10/12

- l o o p i s d o n e i n t h e b r e a d t h - r s t o r d e r , s t a r t i n g w i t h v e c t o r

x = (1, 1, . . . , 1) .W e a r e n o t a w a r e o f a p o l y n o m i a l t i m e m e t h o d t o n d a s h o r t e s t o r p h a n .

7 T i g h t n e s s

I t i s a n i n t e r e s t i n g q u e s t i o n t o d e t e r m i n e t h e b e s t p o s s i b l e u p p e r b o u n d s f o r t h e

l e n g t h s o f s h o r t e s t o r p h a n s , d i a m o n d s a n d u n b a l a n c e d w o r d s . T o s e e h o w t i g h t

o u r b o u n d s a r e , w e t r i e d t o d i s c o v e r f a m i l i e s o f C A w i t h l o n g s h o r t e s t o r p h a n s ,

d i a m o n d s a n d u n b a l a n c e d w o r d s .

F o r t h e s h o r t e s t o r p h a n s w e w e r e a b l e t o c o n s t r u c t , f o r e v e r y n 1 , a n n-s t a t e , r a n g e - 2 C A An w h o s e s h o r t e s t o r p h a n h a s l e n g t h 2n 1. T h i s e x a m p l e i s s t i l l w e l l b e l o w o u r q u a d r a t i c u p p e r b o u n d , b u t w e c o n j e c t u r e t h a t 2n 1 i s t h e p r o p e r b o u n d f o r t h e l e n g t h o f t h e s h o r t e s t o r p h a n . T h r o u g h e x h a u s t i v e s e a r c h

w e v e r i e d t h a t n o 2 , 3 o r 4 s t a t e a u t o m a t o n e x c e e d s t h i s b o u n d .

T h e t r a n s i t i o n t a b l e o f

An i s g i v e n i n g u r e 1 . T h e s t a t e s e t i s S =

{0, 1, 2, . . . , n

1} a n d t h e l o c a l r u l e f i s o b t a i n e d f r o m t h e f u n c t i o n f(a, b) = b a (mod n)b y c h a n g i n g t h e e n t r y (0, 0) f r o m 0 t o 1.

f0 1 . . .

n 2 n 10 1 1 . . .

n 2 n 11

n 1 0 . . . n 3 n 2.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n 2 2 3. . .

0 1n 1 1

2 . . .

n 10

F i g . 1 . L o c a l t r a n s i t i o n f u n c t i o n o f t h e a u t o m a t o n

An w h i c h h a s a s h o r t e s t o r p h a n o f l e n g t h 2n

1.

T h e o r e m 6 . F o r a n y n u m b e r o f s t a t e s

n 2 , t h e s h o r t e s t o r p h a n o f a u t o m a t o n An h a s l e n g t h 2n 1 .P r o o f . W o r d w = 0(10)n1 i s a n o r p h a n : t h e o n l y p r e i m a g e s o f 0 a r e aa f o ra = 0 , s o a p r e i m a g e o f w c a n n o t c o n t a i n 0 ' s a n d s h o u l d b e o f t h e f o r m

a a a + 1 a + 1 . . . a 1 a 1.B u t s u c h a w o r d n e c e s s a r i l y c o n t a i n s l e t t e r 0 , a c o n t r a d i c t i o n .

L e t u s p r o v e t h a t e v e r y w o r d u o f l e n g t h 2n 2 h a s a p r e i m a g e . T h e r e l a t e d l o c a l r u l e f(a, b) = a

b (mod n) m a k e s a C A s u r j e c t i v e , s o u h a s a p r e i m a g e

v u n d e r t h e l o c a l r u l e f . M o r e o v e r , a d d i n g a n y c o n s t a n t c (mod n) t o a l l t h e l e t t e r s o f

vp r o v i d e s a n o t h e r p r e i m a g e o f

uu n d e r

f. S i n c e t h e l e n g t h o f

vi s

2n 1 , s o m e l e t t e r s S a p p e a r s a t m o s t o n c e i n v . H e n c e t h e p r e i m a g e vo b t a i n e d b y s u b t r a c t i n g s f r o m e v e r y l e t t e r o f v c o n t a i n s a t m o s t o n e 0 . B u t o n s u c h w o r d s f a n d f a r e i d e n t i c a l , s o v i s a p r e - i m a g e t o u u n d e r f.


11/12

C o n c e r n i n g t h e s h o r t e s t d i a m o n d , a c o m p u t e r s e a r c h f o u n d a n 8 - s t a t e C A

w h o s e s h o r t e s t d i a m o n d i s o f l e n g t h 6 . N o a u t o m a t a w i t h l o n g e r s h o r t e s t d i -

a m o n d h a s b e e n f o u n d . F o r e v e r y n

6 a C A w i t h n s t a t e s a n d a s h o r t e s t d i a m o n d o f l e n g t h n1 e x i s t s , a n d w e c o n j e c t u r e t h i s t o b e t h e o p t i m a l b o u n d .

8 C o n c l u s i o n a n d o p e n p r o b l e m s

F o r a l l p r o b l e m s s i z e o f a s m a l l e s t u n b a l a n c e d w o r d , o r p h a n a n d d i a m o n d

t h e l i n e a r a l g e b r a a p p r o a c h l e a d s t o b e t t e r b o u n d s t h a n t h e o n e s o b t a i n e d w i t h

c o m b i n a t o r i a l m e t h o d s . F o r s o m e o f t h e p r o b l e m s , w e d e c r e a s e d t h e u p p e r b o u n d

f u r t h e r b y l o o k i n g c l o s e r i n t o t h e d i m e n s i o n a l a r g u m e n t o f o u r a p p r o a c h . T h e

r e s u l t s c a n b e e x t e n d e d s t r a i g h t f o r w a r d t o a r b i t r a r y n e i g h b o r h o o d r a n g e s . F o r

u n b a l a n c e d w o r d s a n d o r p h a n s o n e c a n u s e e x a c t l y t h e s a m e a p p r o a c h . F o r

d i a m o n d s a s t a n d a r d b l o c k i n g t e c h n i q u e c a n b e u s e d .

T h e f o l l o w i n g t a b l e g i v e s a n o v e r v i e w o f t h e r e s u l t s , f o r r a n g e - 2 a n d t h e

g e n e r a l r a n g e .

r = 2g e n e r a l

r

N o n - b a l a n c e d w o r d

n nr1

D i a m o n d

2n32 n ln n + 2n 2 (r 1)(n 3(r1)2 nr1 r1

2ln n)

O r p h a n

n2 2n ln n2

+ n n2(r1)

W e r e p o r t e d i n S e c t i o n 7 a f a m i l y o f n- s t a t e C A w i t h s h o r t e s t o r p h a n s o f l e n g t h 2n

1 , a n d a l s o r e s u l t s o f p r e l i m i n a r y c o m p u t e r e x p e r i m e n t s . T h e s e l e a d

u s t o f o r m u l a t e t h e f o l l o w i n g c o n j e c t u r e s :

C o n j e c t u r e 1 . T h e t i g h t u p p e r b o u n d o f t h e l e n g t h f o r t h e s h o r t e s t o r p h a n o f a n

n- s t a t e n o n - s u r j e c t i v e r a n g e - 2 C A i s 2n 1 .

C o n j e c t u r e 2 . T h e t i g h t u p p e r b o u n d o f t h e l e n g t h f o r t h e s h o r t e s t d i a m o n d o f

a n n - s t a t e n o n - s u r j e c t i v e r a n g e - 2 C A i s n 1 .A n i n t e r e s t i n g r e l a t e d p r o b l e m i s t h e s i z e o f w o r d s f o r w h i c h m a n y o r p h a n s

o c c u r . I t c a n b e s e e n r a t h e r e a s i l y t h a t m o r e t h a n h a l f o f t h e w o r d s i n Sl a r eo r p h a n s w h e n

li s e x p o n e n t i a l i n t h e s i z e o f s h o r t e s t o r p h a n s . C a n a p o l y n o m i a l

b o u n d b e o b t a i n e d ? T h i s i s r e l e v a n t f o r t h e c o m p l e x i t y o f c o n v e r t i n g a g i v e n

n o n - s u r j e c t i v e C A t o a l a t t i c e g a s a u t o m a t o n , s e e [ 1 0 ] .

R e f e r e n c e s

1 . E u g e n C z e i z l e r a n d J a r k k o K a r i . A t i g h t l i n e a r b o u n d o n t h e n e i g h b o r h o o d o f

i n v e r s e c e l l u l a r a u t o m a t a . I n L e c t u r e N o t e s i n C o m p u t e r S c i e n c e , v o l u m e 3 5 8 0 ,

p a g e s 4 1 0 4 2 0 . S p r i n g e r , 2 0 0 5 .


12/12

2 . G . H e d l u n d . E n d o m o r p h i s m s a n d a u t o m o r p h i s m s o f s h i f t d y n a m i c a l s y s t e m s . I n

M a t h e m a t i c a l S y s t e m s T h e o r y , v o l u m e 3 , p a g e s 3 2 0 3 7 5 . S p r i n g e r , 1 9 6 9 .

3 . J a r k k o K a r i . R e v e r s i b i l i t y a n d s u r j e c t i v i t y p r o b l e m s o f c e l l u l a r a u t o m a t a . I n J .

C o m p u t . S y s t . S c i . , v o l u m e 4 8 , p a g e s 1 4 9 1 8 2 . A c a d e m i c P r e s s , I n c . , O r l a n d o , F L ,

U S A , 1 9 9 4 .

4 . J a r k k o K a r i . S y n c h r o n i z i n g n i t e a u t o m a t a o n e u l e r i a n d i g r a p h s . I n T h e o r . C o m -

p u t . S c i . , v o l u m e 2 9 5 ( 1 - 3 ) , p a g e s 2 2 3 2 3 2 . E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h e r s L t d . , 2 0 0 3 .

5 . E d w a r d F . M o o r e . M a c h i n e m o d e l s o f s e l f r e p r o d u c t i o n . I n M a t h e m a t i c a l S o c i e t y

P r o c e e d i n g s o f S y m p o s i a i n A p p l i e d M a t h e m a t i c s , v o l u m e 1 4 , p a g e s 1 7 3 3 . 1 9 6 2 .

6 . T . K . S u b r a h m o n i a n M o o t h a t h u . S t u d i e s i n T o p o l o g i c a l D y n a m i c s w i t h E m p h a s i s

o n C e l l u l a r A u t o m a t a . P h D t h e s i s , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s ,

S c h o o l o f M C I S , U n i v e r s i t y o f H y d e r a b a d , 2 0 0 6 .

7 . J o h n M y h i l l . T h e c o n v e r s e o f M o o r e ' s g a r d e n - o f - e d e n t h e o r e m . I n P r o c . A m e r .

M a t h . S o c . , v o l u m e 1 4 , p a g e s 6 8 5 6 8 6 . 1 9 6 3 .

8 . J e a n - E r i c P i n . U t i l i s a t i o n d e l ' a l g b r e l i n a i r e e n t h o r i e d e s a u t o m a t e s . I n A c t e s

d u 1 e r C o l l o q u e A F C E T - S M F d e M a t h m a t i q u e s A p p l i q u e s , p a g e s 8 5 9 2 . A F C E T ,

1 9 7 8 .

9 . K l a u s S u t n e r . L i n e a r c e l l u l a r a u t o m a t a a n d d e b r u i j n a u t o m a t a . I n M a t h e m a t i c s

a n d I t s A p p l i c a t i o n s 4 , v o l u m e 4 6 0 , p a g e s 3 0 3 3 2 0 . K l u w e r , 1 9 9 9 .

1 0 . T o m m a s o T o o l i , S i l v i o C a p o b i a n c o , a n d P a t r i z i a M e n t r a s t i . W h e n a n d h o w c a n

a c e l l u l a r a u t o m a t o n b e r e w r i t t e n a s a l a t t i c e g a s ? I n T h e o r . C o m p u t . S c i . , v o l u m e

4 0 3 , p a g e s 7 1 8 8 . E l s e v i e r S c i e n c e P u b l i s h e r s L t d . , E s s e x , U K , 2 0 0 8 .

jarkko kari, pascal vanier and thomas zeume- bounds on non-surjective cellular automata

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