journal of the korean data
TRANSCRIPT
Journal of the Korean Data & ํ๊ตญ๋ฐ์ดํฐ์ ๋ณด๊ณผํํ์งInformation Science Society
2009, 20(1), 11โ24
ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ๊ณผ ์์ ๋๋ถ์ฐ์ ๊ท ํ์ ์ํ ๋จ์ผ ๋ฐ ์ด์ค์ง์๊ฐ์ค์ด๋ํ๊ท ํผ๋๋ฐฑ ์์ ๊ธฐ์ ์์ โ
๋ฐ์ฐฝ์1 ยท ๊ถ์ฑ๊ตฌ2
1์ค์๋ํ๊ต ์ํํต๊ณํ๋ถ ยท 2์ค์๋ํ๊ต ์ผ๋ฐ๋ํ์ ํต๊ณํ๊ณผ
์ ์ 2008๋ 12์ 5์ผ, ์์ 2009๋ 1์ 5์ผ, ๊ฒ์ฌํ์ 2009๋ 1์ 8์ผ
์ ์ฝ
์์ ์ ์ฐจ์์ ๊ณต์ ์์ ๊ธฐ๋ ์ก์์ด ์กด์ฌํ์ง๋ง ์ ๊ฑฐํ ์ ์์ ๋ ๊ณต์ ์์ค์ ๋ชฉํ์น์ ๊ฐ๊น๊ฒ ์
์ ํ๋๋ฐ ์ข ์ข ์ ์ฉํ๊ฒ ์ฌ์ฉ๋๋ค. ๊ฐ๊ฑด ์์ ๊ธฐ์ ์๋ก๋ ๋จ์ผ ๋ฐ ์ด์ค ์ง์๊ฐ์ค์ด๋ํ๊ท ์์ ๊ธฐ๊ฐ์๋ค. ์ด์ค ์ง์๊ฐ์ค์ด๋ํ๊ท ์์ ๊ธฐ๋ ๋จ์ผ ์ง์๊ฐ์ค์ด๋ํ๊ท ์์ ๊ธฐ๊ฐ ์ ๊ฑฐํ ์ ์๋ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์์น์ฐ์นจ์ ์ค์ผ ์ ์๋๋ก ๊ณ ์๋์๋ค. ์ด ๋ ผ๋ฌธ์์๋ ์ด ๋ ๊ฐ์ง ์์ ๊ธฐ๊ฐ ์ ์ฉ๋ ๋ ๊ณผ๋ํ๊ฒ ์ปค์ง
์ ์๋ ์์ ๋๋ถ์ฐ์ ์ค์ผ ์ ์๋๋ก ์๋์ ์์ ๊ธฐ์ ์ง์๊ฐ์ค์ด๋ํ๊ท ์ ์ ์ฉํจ์ผ๋ก์จ ์์ ๋์๋ค. ์ฃผ์ด์ง ์์ ๊ธฐ์ ๋ํ ์ง์๊ฐ์ค์ด๋ํ๊ท ์์ ์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ ์กฐ๊ธ ์ฆ๊ฐ์ํค์ง๋ง, ์์ ๋๋ถ์ฐ
์์ค์ด๋๋ฐ์ฑ๊ณต์ ์์๋ณด์ด๊ณ ์๋ค.
์ฃผ์์ฉ์ด: ๊ฐ์ค์ด๋ํ๊ท , ๊ณต์ ์์ , ๊ณต์ ํธ์ฐจ, ์์ ๊ธฐ, ์์ ๋๋ถ์ฐ์ง์, ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท .
1. ์๋ก
๊ณต์ ์ฐ์ ์์ ๊ณต์ ์ ํ์งํน์ฑ์ ๋ํ๋ด๋ ์์ธ์ผ๋ก ๊ณต์ ํธ์ฐจ (process deviation)๊ฐ ์ฃผ๋ก ์ฌ์ฉ๋๊ณ
์๋ค. ์ด๋ ๊ณต์ ๊ด์ธก๊ฐ์์ ๊ณต์ ๋ชฉํ์น (target)์ ๋บ ๊ฐ์ผ๋ก์ ๊ณต์ ๊ด๋ฆฌ์๋ ์ด ๊ฐ์ด 0์ ๊ฐ๊น์ด ๊ฐ
์ผ๋ก ๋ถํฌ๋๊ธฐ๋ฅผ ํฌ๋งํ๋ค. ๊ณต์ ๊ด์ธก๊ฐ์ ์ข ์ข ์๊ธฐ์๊ด๊ด๊ณ๋ฅผ ๊ฐ์ง ์ก์ (noise)์ ์ํด ๋ชฉํ์น๋ก๋ถ
ํฐ ๋ฒ์ด๋๊ฒ ๋๋ฉฐ, ์ด๋ ์์ฐ๋ฐ์์ ํ์ ๋๋ ๋ช ํํ ์๋ ค์ง์ง ์์ ์ด์ ์ ์ํด ๋ฐ์ํ์ฌ ๊ธฐ์ ์ ์ธก
๋ฉด์ด๋ ๊ฒฝ์ ์ ์ธก๋ฉด์์ ์ ๊ฑฐํ ์ ์๋ค๊ณ ํ๋จ๋๋ค. ์ด๋ฌํ ์ก์ (noise)์ ๊ด๋ฆฌ๋์์ ์ฐพ์๋ด๊ณ ์ ํ๋ ์ด์์์ธ (special cause)๊ณผ๋ ๊ด๋ฆฌ๋ฐฉ๋ฒ์ด ๋ค๋ฅด๋ค. ๊ด๋ฆฌ๋๋ฅผ ์ฌ์ฉํ์ฌ ์ด์์์ธ์ ๋ฐ๊ฒฌํ๋ฉด ๊ทธ ์์ธ์ ์ฐพ์ ๋ค์ ๊ณต์ ์์ ์ ๊ฑฐํ ์ ์๋ค๋ ๊ฐ์ ์ ํ๊ณ ์๋ค. ๋ง์ฝ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ์์ธ์ ์ฐพ์ ์ ์๊ฑฐ
๋, ์ฐพ์๋ ์ ๊ฑฐํ ์ ์๋ค๋ฉด ๊ด๋ฆฌ๋๋ฅผ ์ฌ์ฉํ๋ ๊ฒ์ ๋นํจ์จ์ ์ด ๋๋ฉฐ, ์ด๋์๋ ๊ณต์ ์์ (process
adjustment)์ํตํ์ฌํด๊ฒฐํ๊ฒ๋๋ค.
๊ณต์ ์์ ์๊ณตํ์ ๊ณต์ ๊ด๋ฆฌ (engineering process control)์์๋๋ฆฌ์ฌ์ฉํ๋๋ฐฉ๋ฒ์ผ๋ก์, ๊ณต์ ํธ์ฐจ
๋ฅผ๊ด์ธกํํ์๋ค์๊ณต์ ์์ฐ์์ํ์ฌ์์ ํ๊ฒ๋๋ฉด์ด๋ฅผํผ๋๋ฐฑ์กฐ์ (feedback adjustment)์ด๋ผํ
๋ค. ๋ฐ๋ฉด์ ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ฅผ ๊ด์ธกํ๊ธฐ ์ ์ ๋ ฅ์์ธ (input factor)์ ๊ฐ์ ํ์ธํ๊ณ ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ฅผ ์ ์ ์๋ค๋ฉด
์ ๋ ฅ์์ธ์ ์์ ํ์ฌ ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ฅผ ์กฐ์ ํ๊ฒ ๋๋ฉฐ, ์ด๋ฅผ ํผ๋ํฌ์๋์กฐ์ (feedforward adjustment)์ด๋ผ
ํ๋ค. ์ค์ ์์ฐํ์ฅ์์๋ ๊ณต์ ์ ๋ ฅ์์ธ์ ๋งค ์๊ฐ ์ฃผ๊ธฐ์ ์ผ๋ก ์ธก์ ํ๋ ๊ฒ์ ์ด๋ ค์์ด ๋ง์ด ์์ ์
โ ์ด ๋ ผ๋ฌธ์ 2007๋ ๋ ์ค์๋ํ๊ต ์ฐ๊ตฌ์ฅํ๊ธฐ๊ธ ์ง์์ ์ํ ๊ฒ์.
1 ๊ต์ ์ ์: (156-756) ์์ธํน๋ณ์ ๋์๊ตฌ ํ์๋ 221, ์ค์๋ํ๊ต ์ํํต๊ณํ๋ถ, ๊ต์.E-mail: [email protected]
2 (156-756) ์์ธํน๋ณ์ ๋์๊ตฌ ํ์๋ 221, ์ค์๋ํ๊ต ์ผ๋ฐ๋ํ์ ํต๊ณํ๊ณผ, ์์ฌ๊ณผ์ .
12 Changsoon Park ยท Sunggu Kwon
์์ผ๋ฉฐ, ๋ํ ์ ๋ ฅ ํ ์ถ๋ ฅ๊น์ง์ ๊ธฐํ ์ํฉ๋ณํ๋ฅผ ๊ณ ๋ คํ๋ฉด, feedback adjustment๊ฐ ๊ฐ๊ฑดํ (robust)
๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ๊ฐ์ ธ์ฌ์์๋ค.
ํ์ฌ๊น์ง์ ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ฅผ ๊ด์ธกํ์ฌ ๋ค์ ์์ ์ ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ฅผ ์์ธกํ๊ธฐ ์ํด์๋ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๋ํ ์๊ณ์ด๋ชจํ์ ์ ์ํ๊ณ , ๊ทธ ๋ค์์ ์์ ๋์ ๊ฒฐ์ ํ๊ฒ ๋๋ค. ์ด ๋ ์์ ์ ์ฌ์ฉ๋๋ ์์ธ์ ์์ ๊ธฐ (con-
troller)๋ผ ํ๋ค. ์๋ฅผ ๋ค๋ฉด, ๋ฐ๋์ฒด ์จ์ดํผ ์ ์กฐ๊ณผ์ ์ ํด๋ฆฌ์ค๋ฆฌ์ฝ (polysilicon)์นจ์ ๊ณต์ ์์ ์นจ์ ๋๊ป
( Qt )๋ํ์งํน์ฑ์น์ํด๋นํ๊ณ , ๋ชฉํ์น ( T )๋ฅผ๋บ๊ฐ์๊ณต์ ํธ์ฐจ
Yt = Qt โ T
๊ฐ ๋๋ค. ๊ณต์ ํธ์ฐจ๊ฐ ์ด๋ค ์๊ณ์ด ๋ชจํ Zt๋ฅผ ๋ฐ๋ฅธ๋ค๊ณ ํ์. ์ด๋ t โ 1์์ ์์ ๋จ์ ์๊ฐ๋น ์ ์ ๋๋
์ค๋ฆฌ์ฝ๊ฐ์ค์ ์ Xtโ1์ ์ํด t์์ ์์ ์์ฐ๋๋ ์นจ์ ๋๊ป๊ฐ ฮฒXtโ1๋งํผ ์ฆ๊ฐํ๋ค๊ณ ํ๋ฉด ์ค์ ๊ด์ธก๋๋๊ณต์ ํธ์ฐจ๋
Yt = ฮฒXtโ1 + Zt
๊ฐ ๋๋ค. ์ด๋, ฮฒ๋ฅผ ์์คํ ๊ฒ์ธ์ด๋ผ ํ๋ค. ์ ๋ชจํ์์๋ ๋ฐ๋ก ํ ์์ ์ ์ ์กฐ์ ์ด ๋ค์ ์์ ์์ ๋ชจ
๋ ๋ฐ์๋๋ ๊ฒ์ผ๋ก์ ๋ฐ์๋ชจํ์ด๋ผ ํ๋ค[Box์ Luceno (1997)]. ๋ฐ์๋ชจํ์์๋ ๊ณต์ ์ง์ฐ์๊ฐ (sys-
tem delay)์ด 1์ธ๊ฒฝ์ฐ์ด๋ฉฐ, ์ด๋๋๋ถ๋ถ์๊ณต์ ์ฐ์ ์์ํํ๋ํ๋๋ํ์์ด๋ค.
๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ชจํ Zt๊ฐ ์ค์ ๋๋ฉด ์์ ๊ธฐ Xt๋ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑ์ด ์ต์ํํ ์ ์๋๋ก ์ ํํ๊ฒ ๋๋๋ฐ ์ด๋ฌ
ํ์์ ๊ธฐ๋ฅผ MMSE (minimum mean squared error) ์์ ๊ธฐ๋ผํ๋ค. ํธ์ฐจ๋ชจํ์
Zt = ฮตt + f(ฮตtโ1, ฮตtโ2, ยท ยท ยท )
๋จ, ฮตt๋๋ฐฑ์์ก์, N(0, ฯ2ฮต )๋ก์ ์ํ๋ฉด, E(Z2
t ) โฅ ฯ2ฮต์๋ง์กฑํ์ฌ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋
Yt = ฮตt
์ผ๋์ต์ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ด๋๋ค. ์ด๋ฅผ์ํด์์ ๊ธฐ๋ฅผ
Xtโ1 = โ1
ฮฒf(ฮตtโ1, ฮตtโ2, ยท ยท ยท )
๋ก ์ค์ ํ๊ฒ ๋๋ฉด MMSE ์์ ๊ธฐ๊ฐ ๋๋ค. ์ด๋ฌํ MMSE ์์ ๊ธฐ๋ ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ฅผ ๋ฐฑ์์ก์ (white
noise)์ด ๋๊ฒ ํ๋ค๋ ์ ์์ ์ต์ ์ ์์ ๊ธฐ๊ฐ ๋์ง๋ง, ์ค์ ๋ก ๊ณต์ ๋ชจํ Zt์ ์ค์ ๊ณผ ๋ชจํ์ ํฌํจ๋
๋ค์ํ ๋ชจ์์ ์ ๋ฐํ ์ถ์ ์ด ์ฉ์ดํ์ง ์์ ๋ฌธ์ ์ ์ด ์๋ค. ๋ชจํ์ค์ ๊ณผ ๋ชจ์์ถ์ ์ด ๋ถ์ ํํ๊ฒ ๋๋ฉด
MMSE ์์ ๊ธฐ๋ ๋ ์ด์ ์ต์ ์ด ๋์ง ์์ ๋ฟ ์๋๋ผ ์คํ๋ ค ๋ ๋์ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ์ด๋ํ ๊ฐ๋ฅ์ฑ์ด ํฌ๊ฒ ๋
๋ค. ์ฆ, ๊ณต์ ๋ชจ์์ ๊ฐ์ด ์ถ์ ๋ ๊ฐ๊ณผ ์ฐจ์ด๊ฐ ๋๊ฑฐ๋, ๋๋ ๊ณต์ ์งํ ์ค์ ๋ชจ์์ ๊ฐ์ด ๋ณํ๋ฉด ์ ์ด์
MMSE ์์ ๊ธฐ์ ์ํ ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ ๋ ์ด์ white noie๊ฐ ๋์ง ์๊ณ ํธ์ฐจ๋ถ์ฐ์ด ์ฆ๊ฐํ ๋ฟ๋ง ์๋๋ผ ์ฐ
์์๊ด์ ๊ฐ์ง๊ฒ ๋๋ค. ์ด๋ฌํ ํ์์ ์๊ฐ์ด ํ๋ฆ์ ๋ฐ๋ผ ๋ ๊ทน๋จ์ ์ธ ๋ฐฉํฅ์ผ๋ก ํ๋ฅด๊ฒ ๋์ด ์ฌ๊ฐํ๊ฒํฐ๊ณต์ ํธ์ฐจ๊ฐ๋ฐ์ํ ์์๋ค.
์ด๋ฌํMMSE์์ ๊ธฐ์๋จ์ ์๋ณด์ํ๊ธฐ์ํด์ฃผ๋ก์ฌ์ฉ๋๋๊ฒ์ด EWMA (exponentially weighted
moving average) ์์ ๊ธฐ์ด๋ค (del Castillo, 1999; 2001). ์ด EWMA ์์ ๊ธฐ๋๋ฐ๋์ฒด์ ์กฐ์ ์์๋๋ฆฌ
์ฌ์ฉ๋๋ ๋จ์ํ๋ฉด์๋, ๋ค์ํ๊ฒ ๋ฐ์ํ๋ ๊ณต์ ์ก์ ํ๊ฒฝ์์ robustํ ๊ฒฐ๊ณผ๋ฅผ ์ป์ ์ ์๋ค๊ณ ์๋ ค์ ธ
์๋ค (Garcia์ Morari, 1985; Morari์ Zafiriou, 1989; Butler์ Stefani, 1994; Sachs ๋ฑ, 1995; del
Castillo์ Hurwitz, 1997; Edgar ๋ฑ, 2000; Moyne ๋ฑ, 2000).
์์ ๊ธฐ์ ํน์ฑ์ ๋ ๊ฐ์ง๋ก ๋ํ๋๋ค. ์ฒซ์งธ๋ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ํฌ๊ธฐ์ด๊ณ , ๋์งธ๋ ์์ ๋์ ๋ณํ๋์ด๋ค.
์ฆ, ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ 0์ ๊ฐ๊น์ด ๋ถํฌํ ์๋ก ๋ฐ๋์งํ๋ฉฐ, ์์ ๋์ ๋ณํ๊ฐ ํฌ์ง ์์ ๊ฒ์ด ์ข๋ค. ๊ณต์ ํธ
Modifications of single and double EWMA feedback controllers 13
์ฐจ์ ํน์ฑ์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท (mean squared deviation, MSD)์ผ๋ก ๋ํ๋ด๊ณ , ์์ ๋์ ๋ณํ๋ ์์ ๋
๋ถ์ฐ (adjustment variance)์ผ๋ก ๋ํ๋ธ๋ค. ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ ์์ฃผ๋ก ์ ์๋ EWMA ์์ ๊ธฐ์๋ ๋จ์ผ
EWMA ์์ ๊ธฐ์ ์ด์ค EWMA ์์ ๊ธฐ๊ฐ ์๋ค. ์ด ๋ ผ๋ฌธ์์๋ ์ด ๋๊ฐ์ง ์์ ๊ธฐ์ ๋ํด ์์๋ณด๊ณ , ์ด
๋ฅผ ์์ ๋๋ถ์ฐ ์ธก๋ฉด์์ ๊ฐ์ ํ ์ ์๋๋ก ๊ณ ์๋ ์์ ๊ธฐ๋ฅผ ์ ์ํ๋ค. ์ด ์ ์๋ ์์ ๊ธฐ๋ ์์ ๊ธฐ ์์ฒด
์ EWMA๋ฅผ์ ์ฉํ๊ฒ๋๋ค.
2. EWMA ์์ ๊ธฐ
๊ณต์ ์ก์ Zt์์์ ๊ธฐ Xt ์๋ํด๊ณต์ ํธ์ฐจ๋์ผ๋ฐ์ ์ผ๋ก๋ค์๊ณผ๊ฐ์ดํํ๋๋ค.
Yt = ฮฒXtโ1 + Zt (2.1)
๋จ, ฮฒ๋์์คํ ๊ฒ์ธ.
๊ทธ๋ฆผ 2.1 ๋จ์ผ EWMA ์์ ๊ธฐ
๊ทธ๋ฆผ 2.2 ์ด์ค EWMA ์์ ๊ธฐ
์์คํ ๊ฒ์ธ์ ๊ณต์ ๊ฒฝํ์ ํตํด ์ถ์ ๋ ์ ์์ผ๋ฉฐ, ํนํ ์์ ๊ธฐ Xt์ ๊ฐ์ด 0์ ๊ฐ๊น์ธ์๋ก ์ ๋ฐํ ์ถ
์ ์ด๊ฐ๋ฅํ๋ค. ์์คํ ๊ฒ์ธ์์ถ์ ๊ฐ์ b๋ผํ๋ฉด๋จ์ผ EWMA ์์ ๊ธฐ๋๋ค์๊ณผ๊ฐ์ด์ ์ํ๋ค.
Xst = โ
at
b(2.2)
๋จ, at = ฮป(Yt โ bXtโ1) + (1 โ ฮป)atโ1 , 0 โบ ฮป โค 1 ,
14 Changsoon Park ยท Sunggu Kwon
๊ทธ๋ฆผ 2.3 ์์ ๊ธฐ XXst
๊ทธ๋ฆผ 2.4 ์์ ๊ธฐ XXdt
a0 = 0 .
๋จ์ผ EWMA ์์ ๊ธฐ์ ์งํ๊ณผ์ ์ ๋ธ๋ก ๊ทธ๋ฆผ์ผ๋ก ํํํ๋ฉด ๊ทธ๋ฆผ 2.1๊ณผ ๊ฐ๋ค. ๋จ์ผ EWMA ์์ ๊ธฐ
๋ EWMA ์์ ๊ธฐ์์ฅ์ ์ธ๊ฐ๊ฑด์ฑ์์ ์งํ์ง๋ง์ ๊ทผํธ์ฐจ (asymptotic bias)๊ฐ์ฌ๋ผ์ง์ง์๋๋ฌธ์ ์
์๊ฐ์ง๊ณ ์๋ค. ์ด๋ฅผ๊ฐ์ ํ๊ธฐ์ํด์ด์ค EWMA ์์ ๊ธฐ๊ฐ์ ์๋์์ผ๋ฉฐ๋ค์๊ณผ๊ฐ์ด์ ์ํ๋ค.
Xdt = โ
at + Dt
b(2.3)
๋จ, at = ฮป1(Yt โ bXtโ1) + (1 โ ฮป1)atโ1 , 0 โบ ฮป1 โค 1
Dt = ฮป2(Yt โ bXtโ1 โ atโ1) + (1 โ ฮป2)Dtโ1 , 0 โบ ฮป2 โค 1
a0 = 0 , D0 = 0 .
์ด์ค EWMA์์ ๊ธฐ์์งํ๊ณผ์ ์๋ธ๋ก๊ทธ๋ฆผ์ผ๋กํํํ๋ฉด๊ทธ๋ฆผ 2.2์๊ฐ๋ค (del Castillo, 2002). ์ด
์ค EWMA ์์ ๊ธฐ๋ฅผ ์ฌ์ฉํ๋ฉด ์ ์ฉ๊ณผ์ ์ ์ข ๋ ๋ณต์กํด์ง์ง๋ง ์ ๊ทผํธ์ฐจ๊ฐ ์ค์ด๋ค์ด ๋จ์ผ EWMA ์
์ ๊ธฐ์๋จ์ ์๋ณด์ํจ์ด์๋ ค์ ธ์๋ค.
์ด ๋๊ฐ์ง EWMA ์์ ๊ธฐ๋ ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ฅผ ์ค์ฌ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ด ์์์ง๋๋ก ๊ณ ์๋ ๋๊ตฌ์ด๋ค. ๊ณต์ ์
์ ํ๋์์ ๊ณ ๋ คํด์ผํ๋ ํน์ฑ์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ด์ธ์ ์์ ๋๋ถ์ฐ์ด ์๋ค. ์์ ๋์ ๋ฐ๋ก ์ ์์ ๊น์ง
์์ด์์ ๋์๊ฐ์์ ์์์ถ๊ฐํ๋์์ ๋์ผ๋ก์, t์์ ์์์์์ ๋์
โฝXt = Xt โ Xtโ1
์ด ๋๋ค. ์ฆ, ์์ ๋์ด๋ผ ํจ์ ๋งค ์์ ๋ง๋ค ์ ์ฉํ๋ ๊ณต์ ์ ๋ ฅ์์ธ์ ๋ณํ๋์ ๋ํ๋ด๋ฉฐ ์ด๋ ์ ๋ ฅ์์ธ
์์ํ๋น์ฉ์์ ๋ฐํ๊ฒ๋๋ค.
Modifications of single and double EWMA feedback controllers 15
๋จ์ผ EWMA์์ด์ค EWMA ์์ ๊ธฐ๋๊ฒฝ์ฐ์๋ฐ๋ผ์๋์์ ๋ | โฝ Xt|๊ฐ์๋นํ์ปค์ง์์๋๊ฐ๋ฅ์ฑ์๊ฐ์ง๊ณ ์์ดํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์์ํ๋น์ฉ์์ค์ด๋๋ผ๋, ์์ ๋๋ถ์ฐ์์ํ๋น์ฉ์ด์ปค์ง๊ฒ๋์ด๊ถ๊ทน์ ์ผ๋ก ๊ณต์ ๋น์ฉ์ ์ค์ด๋๋ฐ ๋นํจ๊ณผ์ ์ผ ์ ์๋ค. ์ด๋ฌํ ๋ฌธ์ ์ ์ ๊ฐ์ ํ๊ธฐ ์ํด ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ์์ ๋
์์ ๊ธฐ๋ฅผ์ ์ํ๋ค.
๋จ์ผ EWMA ์์ ๊ธฐ์๋ํด์์ ๋์์ ๊ธฐ๋๋ค์๊ณผ๊ฐ์ด์ ์ํ๋ค.
XXst = l ยท Xs
t + (1 โ l)XXstโ1 (2.4)
๋จ, Xst ๋๋จ์ผ EWMA ์์ ๊ธฐ, XXs
0 = 0.
์ด์ค EWMA ์์ ๊ธฐ์๋ํด์์ ๋์์ ๊ธฐ๋๋ค์๊ณผ๊ฐ์ด์ ์ํ๋ค.
XXdt = l ยท Xd
t + (1 โ l)XXdtโ1 (2.5)
๋จ, Xdt๋์ด์ค EWMA ์์ ๊ธฐ, XXd
0 = 0 .
๋ ์์ ๊ธฐ XXst ์ XXd
t ๋ Xst์ Xd
t์ ๊ฐ๊ฐ EWMA๋ฅผ ์ทจํ ๊ฒ์ผ๋ก Xst์ Xd
t๋ณด๋ค ๋ถ๋๋ฌ์ด ๋ณํ๊ฐ
์์๋์ด ์์ ๋๋ถ์ฐ์ด ์ค์ด๋ค ๊ฒ์์ ์ ์ ์๋ค. ์์ ๊ธฐ XXst , XXd
t ์ ์งํ๊ณผ์ ์ ๊ทธ๋ฆผ 2.3๊ณผ ๊ทธ๋ฆผ2.4์ ๋ธ๋ก ๊ทธ๋ฆผ์ผ๋ก ํํ๋๋ค. ๋ค์์ ๋ถํฐ๋ ๋ค์ํ ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ชจํ์ ๋ํด ์์์ ์๊ฐํ ๋ค ์ข ๋ฅ์ ์
์ ๊ธฐ Xst , Xd
t , XXst , XXd
t ๋ฅผ ์ฌ์ฉํ ๋ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ๊ณผ ์์ ๋๋ถ์ฐ์ ํน์ฑ์ ์๊ฐ์ ํ๋ฆ์ ๋ฐ๋ผ ๋น๊ต๋ถ์ํ์๋ค. ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ชจํ์ผ๋ก๋ Shewhart ๋ชจํ, ํ๋ฆ (drift)์ด ์๋ Shewhart ๋ชจํ, IMA (1, 1) ๋ชจ
ํ, ํ๋ฆ์ด ์๋ IMA (1, 1)๋ชจํ์ผ๋ก ๋ค๊ฐ์ง ๋ชจํ์ ์ค์ ํ์๋ค. ํนํ IMA (1, 1) ๋ชจํ์ ์ฐ์ ์์ฐ๊ณต
์ ์์๋ฐ์ํ๋๊ณต์ ํธ์ฐจ๋ฅผ์๋ํ๋ด๋๊ฒ์ผ๋ก์๋ ค์ ธ์๋ค (Box๊ณผ Kramer, 1992).
3. Shewhart ๊ณต์ ๋ชจํ
Shewhart ๋ชจํ์๋ฐ๋ฅด๋๊ณต์ ์ก์์๋ค์๊ณผ๊ฐ๋ค.
Zt = ฮฑ + ฮตt (3.1)
๋จ, ฮตt๋๋ฐฑ์์ก์ N(0, ฯ2ฮต ).
Shewhart ๊ณต์ ๋ชจํ์์์ ๊ธฐ๋ฅผ์ฌ์ฉํ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋๋ค์๊ณผ๊ฐ์ดํํ๋๋ค.
Yt = ฮฑ + ฮฒXtโ1 + ฮตt (3.2)
์ด๋ ฮฑ๋ ๊ณต์ ์ ์น์ฐ์นจ (offset)์ ๋ํ๋ด๋ ์์์ด๋ค. ์ฃผ์ด์ง ์๊ฐ t๊น์ง์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ๊ณผ ์์ ๋๋ถ์ฐ์๋ชจ๋๋ชจ์์คํ์ํตํด๊ณ์ฐํ์์ผ๋ฉฐ, ์ฌ์ฉ๋๊ณต์ ๋ชจ์๋๋ค์๊ณผ๊ฐ๋ค.
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฯฮต = 1
์์ ๋ชจ์๊ฐ์ ๊ณต์ ์ฌ์ ์ ๋ฐ๋ผ ๋ค์ํ ๊ฐ์ ๊ฐ์ง ์ ์์ผ๋ ์ฌ๊ธฐ์๋ ๊ทธ ์ค ํ ๊ฐ์ง ์๋ฅผ ์ ํํ์๋ค.
์์คํ ๊ฒ์ธ์ ์ถ์ ๊ฐ์ b = (1.2)ฮฒ๋ก ๊ฐ์ ํ์๊ณ (์ถ์ ๊ฐ์ด 20%์ ๋์ ์ค์ฐจ๋ฅผ ํฌํจํ๋ค๊ณ ๊ฐ์ ), ๊ฐ
์์ ๊ธฐ์์์ฌ์ฉํ๋์์ ๊ธฐ๋ชจ์๋
ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
๋ก ์ค์ ํ์๋ค. EWMA ์์ ๊ธฐ์ ๊ฐ์ค์น ฮป1, ฮป2, l์ 0์ ๊ฐ๊น์ธ์๋ก ์์ ๋๋ณ๋์ด ์์์ง๋ ๊ฒฝํฅ์ด ์
์ผ๋ฉฐ๊ทธ์ค๋ํ์ ์ผ๋ก์ฌ์ฉ๋๋ 0.1 ๋๋ 0.2๋ฅผ์ฌ์ฉํ์๋ค.
16 Changsoon Park ยท Sunggu Kwon
๊ทธ๋ฆผ 3.1 ๊ณต์ ํธ์ฐจ ( Yt )ํ๊ท : ๋ชจํ (3. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
๊ทธ๋ฆผ 3.2 ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑ ( Y 2t )ํ๊ท : ๋ชจํ (3. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
๊ทธ๋ฆผ 3.1์ ๊ทธ๋ฆผ 3.2์ ๋ค ์ข ๋ฅ์ ์์ ๊ธฐ์ ๋ํ t์์ ๊น์ง์ ๊ณต์ ํธ์ฐจํ๊ท ๊ณผ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ ๋ํ๋ด๊ณ ์๋ค. ๋ํ๊ทธ๋ฆผ 3.3์์์ ๋๋ถ์ฐ์๋ํ๋ด๊ณ ์๋ค.
๊ทธ๋ฆผ 3.1์ ๊ทธ๋ฆผ 3.2์ ์๊ฐ์ ํ๋ฆ์ ๋ฐ๋ผ ๊ณต์ ํธ์ฐจํ๊ท ๊ณผ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ ๋ํ๋ธ ๊ทธ๋ฆผ์ด๋ค.
0์ ๊ฐ๊น์ธ์๋ก ํจ๊ณผ์ ์ธ ๊ณต์ ์ด๋ผ ํ ์ ์๋๋ฐ, ๊ณต์ ์ด ์ค๋ ์ง์๋๋ฉด (t โฅ 500) ์์ ๊ธฐ๊ฐ์ ์ฐจ์ด
๋ ๋ฏธ๋ฏธํจ์ ๋ณผ ์ ์๋ค. ๋ค๋ง, ๊ณต์ ์ด๊ธฐ์ ๊ฒฝ์ฐ ์์ ๊ธฐ Xdt๊ฐ ๊ฐ์ฅ ํจ์จ์ ์์ ์ ์ ์๋ค. ๊ทธ๋ฆผ 3.3์
Modifications of single and double EWMA feedback controllers 17
๊ทธ๋ฆผ 3.3 ์์ ๋ ( โฝXt )๋ถ์ฐ : ๋ชจํ (3. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
์์ ๊ธฐ๋ณ ์์ ๋๋ถ์ฐ์ ๋ํ๋ธ ๊ฒ์ธ๋ฐ, 0์ ๊ฐ๊น์ธ์๋ก ์ข์ ์์ ๊ธฐ๋ผ ํ ์ ์๋ค. ๊ทธ๋ฆผ 3.3์์ ์์
๋ ๋ถ์ฐ์ ์ผ์ ๊ฐ์ ์ ๊ทผ์ ์ผ๋ก ์๋ ดํจ์ ์ ์ ์์ผ๋, ๊ทธ ์๋ ดํ๋ ๊ฐ์ด ๊ฐ ์์ ๊ธฐ์ ๋ฐ๋ผ ํฌ๊ฒ ์ฐจ์ด๊ฐ ๋จ์ ์ ์ ์๋ค. ์์ ๊ธฐ Xd
t์ ๊ฒฝ์ฐ ์์ ๋๋ถ์ฐ์ด ๋ค๋ฅธ ์์ ๊ธฐ์ ๋นํด ๋งค์ฐ ํฐ ๊ฒ์ ๋ณผ ์ ์๋ค. ๋ฐ
๋ฉด ์์ ๊ธฐ Xst , XXs
t , XXdt ์ ์์ ๋๋ถ์ฐ์ ๋น์ทํ์ง๋ง XXs
t ๊ฐ ๊ฐ์ฅ ์๊ณ , ๊ทธ ๋ค์์ XXdt , Xs
t ์์ผ๋ก
์กฐ๊ธ์ฉ์ปค์ง์์์์๋ค.
4. ํ๋ฆ์ด ์๋ Shewhart ๊ณต์ ๋ชจํ
Shewhart ๊ณต์ ๋ชจํ์์ํ๋ฆ์ด์ถ๊ฐ๋๋ชจํ์ผ๋ก์์ ๊ธฐ์์ฌ์ฉํ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋๋ค์๊ณผ๊ฐ๋ค.
Yt = ฮฑ + ฮฒXtโ1 + ฮดt + ฮตt (4.1)
์ด๋, ฮด๋๋จ์์๊ฐ๋น๋ณํ๋์ผ๋ก์ํ๋ฆ์ํด๋น๋๋ค. ๋ชจ์์คํ์์ฌ์ฉ๋๊ณต์ ๋ชจ์์์์ ๊ธฐ๋ชจ์๋ 3์
๊ณผ๋์ผํ๋ฉฐํ๋ฆ์
ฮด = 0.1
๋ก ์ค์ ํ์๋ค. ํ๋ฆ์ ๋งค์๊ฐ ๊พธ์คํ ๋ฐ์ํ๋ ๊ณต์ ์์ค์ ๋ณํ๋์ ์๋ฏธํ๋ฏ๋ก ฯฮต = 1์ ๋นํด ์์
๊ฐ์ ์ ํํ์๋ค. ๊ทธ๋ฆผ 4.1๊ณผ ๊ทธ๋ฆผ 4.2๋ ๋ค ์ข ๋ฅ์ ์์ ๊ธฐ์ ๋ํ t์์ ๊น์ง์ ๊ณต์ ํธ์ฐจํ๊ท ๊ณผ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์๋ํ๋ด๊ณ ์๋ค. ๋ํ๊ทธ๋ฆผ 4.3์์์ ๋๋ถ์ฐ์๋ํ๋ด๊ณ ์๋ค.
๊ทธ๋ฆผ 4.1๊ณผ ๊ทธ๋ฆผ 4.2์์๋ ์๊ฐ์ ํ๋ฆ์ ๋ฐ๋ผ ๊ณต์ ํธ์ฐจํ๊ท ๊ณผ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ ๋ํ๋ธ ๊ทธ๋ฆผ์ด๋ค. ๊ณต์ ์ด ์ค๋ ์ง์๋์ด๋ (t โฅ 500) ๊ฐ ์์ ๊ธฐ๊ฐ ์ผ์ ํ ์ฐจ์ด๋ฅผ ์ ์งํ๋ ๊ฒ์ ์ ์ ์๋ค. ๊ทธ๋ฆผ 4.3์์ ์์ ๊ธฐ๋ณ ์์ ๋๋ถ์ฐ์ Shewhart๋ชจํ์ ๊ฒฐ๊ณผ์ ๋์ผํ๊ฒ ์์ ๊ธฐ Xd
t๊ฐ ๊ฐ์ฅ ํฌ๋ฉฐ, ์์
๊ธฐ XXst , XXd
t ์๋ถ์ฐ์ด์์์์์์๋ค.
18 Changsoon Park ยท Sunggu Kwon
๊ทธ๋ฆผ 4.1 ๊ณต์ ํธ์ฐจ ( Yt )ํ๊ท : ๋ชจํ (4. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮด = 0.1, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
๊ทธ๋ฆผ 4.2 ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑ ( Y 2t )ํ๊ท : ๋ชจํ (4. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮด = 0.1, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
5. IMA (1, 1) ๋ชจํ
์์ ๊ธฐ๋ฅผ์ฌ์ฉํ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋๋ค์๊ณผ๊ฐ๋ค.
Yt = ฮฑ + ฮฒXtโ1 + Nt (5.1)
๋จ, Nt = Ntโ1 โ ฮธฮตtโ1 + ฮตt .
Modifications of single and double EWMA feedback controllers 19
๊ทธ๋ฆผ 4.3 ์์ ๋ ( โฝXt )๋ถ์ฐ : ๋ชจํ (4. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮด = 0.1, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
๊ทธ๋ฆผ 5.1 ๊ณต์ ํธ์ฐจ ( Yt )ํ๊ท : ๋ชจํ (5. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮธ = 0.7, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
์ด๋, Nt๋ IMA (1, 1)๋ชจํ์ ๋ฐ๋ฅด๋ฉฐ ฮธ๋ ์ด๋ํ๊ท (moving average)๋ชจ์์ด๋ค. ๋ชจ์์คํ์๋ ์ ์
๊ณผ๋์ผํ๋ชจ์๋ค์ด์ฌ์ฉ๋์์ผ๋ฉฐ, ์ด๋ํ๊ท ๋ชจ์ ฮธ๋
ฮธ = 0.7
๋ก ์ค์ ํ์๋ค. ์ด๋ํ๊ท ๋ชจ์๋ Box์ Luceno (1997)์ ์ํ๋ฉด ์ผ๋ฐ์ ์ผ๋ก (0.3, 0.7)์ฌ์ด์ ๊ฐ์ ๊ฐ
์ง๋ ๊ฒ์ผ๋ก ์๋ ค์ ธ ์์ผ๋ฉฐ ฮธ = 1 ์ด๋ฉด ๋ฐฑ์์ก์์ด ๋๊ณ ฮธ = 0 ์ด๋ฉด ํ๋ฅ ๋ณดํ (random walk)์ด ๋๋ค.
20 Changsoon Park ยท Sunggu Kwon
๊ทธ๋ฆผ 5.2 ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑ ( Y 2t )ํ๊ท : ๋ชจํ (5. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮธ = 0.7, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
๊ทธ๋ฆผ 5.3 ์์ ๋ ( โฝXt )๋ถ์ฐ : ๋ชจํ (5. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮธ = 0.7, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
์ฌ๊ธฐ์๋ํ๋ฅ ๋ณดํ๋ณด๋ค๋์๋์ ์ผ๋ก๋ณ๋์ด์ ์๊ฒฝ์ฐ๋ฅผ๊ณ ๋ คํ์๋ค.
๊ทธ๋ฆผ 5.1๊ณผ ๊ทธ๋ฆผ 5.2๋ ๋ค ์ข ๋ฅ์ ์์ ๊ธฐ์ ๋ํ t์์ ๊น์ง์ ๊ณต์ ํธ์ฐจํ๊ท ๊ณผ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ ๋ํ๋ด๊ณ ์๋ค. ๋ํ๊ทธ๋ฆผ 5.3์์์ ๋๋ถ์ฐ์๋ํ๋ด๊ณ ์๋ค.
๊ทธ๋ฆผ 5.1๊ณผ๊ทธ๋ฆผ 5.2๋ฅผ๋ณด๋ฉด๊ณต์ ์์๊ฐ์ด์ง๋ ์๋ก์์ ๊ธฐ๋ณ์ฐจ์ด๊ฐ๊ฑฐ์์์ด์ง์๋ณผ์์์ผ๋ฉฐ, ๊ทธ๋ฆผ 5.3์์ ์์ ๊ธฐ Xd
t๊ฐ ๋ถ์ฐ์ด ๊ฐ์ฅ ํฐ ๊ฒ์ ์ ์ ์๋ค. ์ ์ฒด์ ์ธ ๊ฒฝํฅ์ Shewhart ๋ชจํ๊ณผ ์ ์ฌํจ์
Modifications of single and double EWMA feedback controllers 21
์ ์ ์๋๋ฐ, ์ด๋ ๊ฐ ์์ ๊ธฐ๊ฐ ์ก์๋ชจํ์ด ๋ณํ์ฌ๋ ์์ ์ ํตํด ์ก์์ ํจ๊ณผ๋ฅผ ์ ์ ํ ์ ๊ฑฐํ๊ณ ์์
์์์์๋ค.
6. ํ๋ฆ์ด ์๋ IMA (1, 1) ๋ชจํ
์์ ๊ธฐ๋ฅผ์ฌ์ฉํ๊ณต์ ํธ์ฐจ๋๋ค์๊ณผ๊ฐ๋ค.
Yt = ฮฑ + ฮฒXtโ1 + Nt (6.1)
์ฃผ์ด์ง ์๊ฐ t๊น์ง์ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ๊ณผ ์์ ๋๋ถ์ฐ์ ๋ชจ๋ ๋ชจ์์คํ์ ํตํด ๊ณ์ฐ ํ์์ผ๋ฉฐ, ์ฌ์ฉ๋
๊ณต์ ๋ชจ์๋์์ ์์์๋์ผํ๊ฒ์ฌ์ฉ๋์๋ค. ์ฆ
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฮด = 0.1, ฮธ = 0.7, ฯฮต = 1
b = (1.2)ฮฒ, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
๊ทธ๋ฆผ 6.1์๊ทธ๋ฆผ 6.2๋๋ค์ข ๋ฅ์์์ ๊ธฐ์๋ํ t ์์ ๊น์ง์๊ณต์ ํธ์ฐจํ๊ท ๊ณผ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์๋ํ๋ด๊ณ ์๋ค. ๋ํ๊ทธ๋ฆผ 6.3๋์์ ๋๋ถ์ฐ์๋ํ๋ด๊ณ ์๋ค.
๊ทธ๋ฆผ 6.1 ๊ณต์ ํธ์ฐจ ( Yt )ํ๊ท : ๋ชจํ (6. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฮด = 0.1, ฮธ = 0.7, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
๊ทธ๋ฆผ 6.1์ ๊ทธ๋ฆผ 6.2์ ์ํ๋ฉด ์์ ๊ธฐ Xdt๋ ๊ณต์ ํธ์ฐจํ๊ท ๊ณผ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ ์ค์ด๋๋ฐ ํจ๊ณผ์ ์ด
์ง๋ง, ์์ ๋๋ถ์ฐ์ด ๋ค๋ฅธ ์ธ๊ฐ์ง ์์ ๊ธฐ์ ๋นํด ์ปค์ง๋ ๋ฌธ์ ์ ์ ๊ฐ์ง๊ณ ์๋ค. ๋ํ ์์ ๊ธฐ XXdt ๋ ๊ณต
์ ํธ์ฐจํ๊ท ๊ณผ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ ์กฐ๊ธ ์ฆ๊ฐ์ํค๋ ๋ฌธ์ ๊ฐ ์์ง๋ง, ์์ ๋๋ถ์ฐ์ ์ค์ด๋ ํจ๊ณผ๊ฐ ์์์
์์์๋ค. ์ด๊ฒฐ๊ณผ๋ํ๋ฆ์ด์๋ Shewhart ๋ชจํ์๊ฒฐ๊ณผ์๋งค์ฐ์ ์ฌํจ์์์์๋ค. ํนํํ๋ฆ์ํจ
๊ณผ๋์๊ฐ์ด์ง๋๋์ฌ์ ํ๊ณต์ ์๋จ์์์์์์์๋ค.
22 Changsoon Park ยท Sunggu Kwon
๊ทธ๋ฆผ 6.2 ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑ ( Y 2t )ํ๊ท : ๋ชจํ (6. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฮด = 0.1, ฮธ = 0.7, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
๊ทธ๋ฆผ 6.3 ์์ ๋ ( โฝXt )๋ถ์ฐ : ๋ชจํ (6. 1)
ฮฑ = 5, ฮฒ = 0.2, ฮด = 0.1, ฮธ = 0.7, ฯฮต = 1, b = (1.2)ฮฒ, ฮป = ฮป1 = ฮป2 = 0.1, l = 0.2
7. ๊ฒฐ๋ก
์ด ๋ ผ๋ฌธ์์๋ ๊ธฐ์กด์ ๋จ์ผ EWMA ์์ ๊ธฐ์ ์ด๋ฅผ ๋ณด์ํ ์ด์ค EWMA ์์ ๊ธฐ์ ๋ํด ์์ ๋๋ถ์ฐ
์ ์ค์ผ ์ ์๋๋ก ์์ ๋ ์์ ๊ธฐ๋ฅผ ์ ์ํ์๋ค. ์์ ๋ ์์ ๊ธฐ๋ ์์ ๋์ง ์์ ๊ธฐ์กด์ ์์ ๊ธฐ๋ณด๋ค ๊ณต
์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ด ์ฆ๊ฐํ์ง๋ง, ์์ ๋๋ถ์ฐ์ ์ค์ผ ์ ์์์ ๋ณด์๋ค. ์์ ํ๋์ ์์๋๋ ๊ณต์ ๋น์ฉ์
Modifications of single and double EWMA feedback controllers 23
๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ๊ณผ์์ ๋๋ถ์ฐ์์ ํ๊ฒฐํฉ์ผ๋ก
E(Y 2t ) + ฮณ ยท V ar(โฝXt)
์ ๊ฐ์ด ํํ๋๋ค. ์ด๋ ฮณ๋ ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์ ๋ํ ์์ ๋๋ถ์ฐ์ ์๋์ ๋น์ฉํฌ๊ธฐ๋ฅผ ์๋ฏธํ๋ค. ๋ฐ
๋ผ์ ฮณ๊ฐ ํฌ๋ฉด ์์ ๋๋ถ์ฐ์ ์ค์ผ ์ ์๋ ๊ณต์ ์ค๊ณ๊ฐ ํ์ํ๊ณ , ๋ฐ๋ฉด์ ฮณ๊ฐ ์์ผ๋ฉด ๊ณต์ ํธ์ฐจ์ ๊ณฑํ๊ท ์์ค์ด๋๋ก์ค๊ณํ์ฌ์ผ๊ณต์ ๋น์ฉ์์ต์ํํ ์์๋ค. ์ฆ, ์์ ๊ธฐ์์ ํ์์๋์ ๋น์ฉํฌ๊ธฐ ฮณ์๋ฐ๋ผ
์ ํ์ ์ผ๋ก์ฌ์ฉํ ํ์๊ฐ์๋ค๊ณ ํ๋จํ๊ฒ๋๋ค.
์ด ์ฐ๊ตฌ์์๋ ์์ ๊ธฐ์ ์ ๊ทผ์ ํน์ฑ ๋์ ์ ํํ ์๊ฐ๋ฒ์์์ ํน์ฑ์ ๋น๊ตํ์๋๋ฐ, ์ค์ ์์ฐ ๊ณต
์ ์์๋ ๋์ผ ๊ท๊ฒฉ์ ์ ํ์ ์ผ์ ๊ธฐ๊ฐ ๋์ ์์ฐํ๊ณ , ๋ ๋ค๋ฅธ ๊ท๊ฒฉ์ ์ ํ์ ์์ฐํ๋ ๊ณผ์ ์ ๋ฐ๋ณตํ๋๊ฒ์ด์ผ๋ฐ์ ์ด๋ค. ๋ฐ๋ผ์์ ๊ทผ์ ํน์ฑ๋ณด๋ค์ ํํ์๊ฐ์ํน์ฑ์ด๋์ ์ฉํ๊ฒ์ฌ์ฉ๋ ์์์์๊ณ ๋ คํ์๋ค. ์ฐธ๊ณ ๋ก ๊ณต์ ์ก์๋ชจํ์์ ํ๋ฆ์ด ์๋ ๊ฒฝ์ฐ์๋ ์๋ ๊ฒฝ์ฐ๋ณด๋ค ์์ ๊ธฐ๊ฐ ํน์ฑ์ ์ฐจ์ด๊ฐ ์๊ฐ์ด
ํ๋ฌ๋๋ณํ์ง์์์์๊ฒ๋์ด์ ์ ํ์์ ๊ธฐ์์ ํ์ด๋์ค์ํ์์ธ์ด๋จ์์์์์๋ค.
์ฐธ๊ณ ๋ฌธํ
Box, G. E. P. and Kramer, T. (1992). Statistical process control and feedback adjustment-a discussion.Technometrics, 34, 251-285.
Box, G. E. P. and Luceno, A. (1997). Statistical control by monitoring and feedback adjustment, New York,NY: John Wiley and Sons.
Butler, S. W. and Stefani, J. A. (1994). Supervisory run-to-run control of a polysilicon gate etch using insitu ellipsometry. IEEE Transactions on Semiconductor Manufacturing, 7, 193-201.
Del Castillo, E. (1999). Long-run and transient analysis of a double EWMA feedback controller. IIETransactions, 31, 1157-1169.
Del Castillo, E. (2001). Some properties of EWMA feedback quality adjustment schemes for drifting dis-turbances. Journal of Quality Technology, 33, 153-166.
Del Castillo, E. (2002). Statistical process adjustment for quality control, Wiley.Del Castillo, E., and Hurwitz, A. (1997). Run to run process control: a review and some extensions.
Journal of Quality Technology, 29, 184-196.Edgar, T. F., Butler, S. W., Campbell, W. J., Pfeiffer, C., Bode, C., Hwang, S. B., Balakrishnan, K. S.
and Hahn, J. (2000). Automatic control in microelectronics manufacturing: practices, challenges andpossibilities. Automatica, 36, 1567-1603.
Garcia, C. E. and Morari, M. (1985). Internal model control. 2. design procedure for multivariable systems.Industrial and Engineering Chemistry, Process Design and Development, 24, 472-484.
Morari, M. and Zafiriou, E. (1989). Robust process control , Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall.Moyne, J., del Castillo, E. and Hurwitz, A., eds (2000). Run to run control in semiconductor manufacturing,
Boca Raton, Fla.: CRC Press.Sachs, E., Hu, A. and Ingolfsson, A. (1995). Run by run process control: combining SPC and feedback
control. IEEE Transactions on Semiconductor Manufacturing, 8, 26-43.
Journal of the Korean Data & ํ๊ตญ๋ฐ์ดํฐ์ ๋ณด๊ณผํํ์งInformation Science Society2009, 20(1), 11โ24
Modifications of single and double EWMA feedback
controllers for balancing the mean squared deviation
and the adjustment varianceโ
Changsoon Park1ยท Sunggu Kwon2
12Department of Statistics, Chung-Ang University
Received 5 December 2008, revised 5 January 2009, accepted 8 January 2009
Abstract
The process controller in the adjustment procedure is often used effectively to con-
trol the process level close to target when noise is present and unremovable. Examples
of the robust controller are single EWMA controller and double EWMA controller.
Double EWMA controller is designed to reduce the offset of the process deviation,
which single EWMA can not eliminate. In this paper, the two controllers are modified
by taking EWMA of the original controller to reduce the adjustment variance, which
may become excessively large when the two given controllers are implemented. It is
shown that the EWMA modification of the given controllers is successful in reducing
the adjustment variance, while the mean squared deviation increases slightly.
Keywords: Adjustment variance, controller, EWMA, mean squared deviation, process
adjustment, process deviation.
โ This research was supported by the Chung-Ang University Research Scholarship Grants in 2007.1 Corresponding author: Professor, Department of Statistics, Chung-Ang University, Seoul 156-756,
Korea. E-mail: [email protected] Masterโs Course, Department of Statistics, Chung-Ang University, Seoul 156-756, Korea.