jueves 1 de marzo de 2012 clase 13 de 1:30 horas. van 19:30 horas
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Advanced Quantum TheoryPaul Roman.Addison-Wesley, 1965. ISBN 0201064952
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
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I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
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El estado de un sistema físico está
exhaustivamente caracterizado por
un vector de estado .
El vector de estado es un vector de
un espacio de Hilbert o su
generalización (rigged Hilbert space).
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Toda función de onda puede
ser desarrollada en términos
de las funciones propias
ˆdel operador asociado a
alguna variable dinámica .
i
A
A
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, ,
donde
ˆ
n nn
n n n
x t c x t
A a
Toda función de onda puede ser desarrollada
en términos de las funciones propias del
ˆoperador asociado a alguna variable dinámica .
i
A A
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La medición de las variables dinámicas
(cantidades físicas u observables)
colapsa el vector de estado del sistema
al vector propio de la cantidad observada;
es decir, el vector de estado se reduce
al vector propio perteneciente al valor
propio observado al realizar la medición.
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Una superposición coherente
, ,
se colapsa a una función propia
cuando se hace una medición.
n nn
j
x t c x t
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1) = donde
ó
2) donde ,
a a a
a a a aa
a
c c
Medicióna a a
a
c
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Un sistema físico existe simultaneamente
de manera parcial en todos los estados
teóricos posibles, pero cuando se efectua
una medición se obtiene un resultado
que corresponde a sólo una de las
configuraciones posibles.
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No todas las variables dinámicas pueden ser medidas simultaneamente.
La medición de las variables dinámicas (cantidades físicas u observables)
colapsa el vector de estado del sistema al vector propio de la cantidad
observada; es decir, el vector de estado se reduce al vector propio
perteneciente al valor propio observado al realizar la medición.
Para que dos variables dinámicas puedan ser medidas
simultaneamente deben tener vectores propios comunes.
La condición necesaria y suficiente para que dos o más
variables dinámicas puedan ser medidas simultaneamente
es que los operadores correspondientes conmuten.
Dos operadores tienen vectores propios comunes si y sólo si conmutan.
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4 4
Molécula de H : Tiene 0.543
Medimos la energía vibracional
y encontramos 2.44 eV.
Entonces sabemos que está en el estado 4,
y la función de onda se colapsó a
1 exp28 6
n
m m m xx H x
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2 2
2
La ecuación de Schrödinger
2
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1 (1,0,0)
2 (2,1,0) (2,1,1) (2,1,-1) (2,0,0)
3 (3,2,2) (3,2,1) (3,2,0) (3,2, 1) (3,2, 2) (3,1,1) (3,1,0) (3,1, 1) (3,0,0)
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3 (3,2,2) (3,2,1) (3,2,0) (3,2, 1) (3,2, 2)
(3,1,1) (3,1,0) (3,1, 1) (3,0,0)
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3 (3,2,2) (3,2,1) (3,2,0) (3,2, 1) (3,2, 2)n
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2
2
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Necesitamos
ˆ ˆ ˆ , y
para poder determinar el estado del sistema.
Tenemos que
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H L
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![Page 31: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/31.jpg)
![Page 32: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/32.jpg)
Un conjunto de operadores hermitianos
ˆ ˆˆ, , , ... es llamado un conjunto
completo de operadores que conmutan
(complete set of commuting operators
CSCO) si conmutan entre ellos y si el
conjunto de sus e
A B C
stados propios comunes
es completo y no degenerado (único).
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Para un sistema dado existe
siempre un conjunto completo
de operadores que conmutan.
![Page 34: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/34.jpg)
La medición simultanea de este "conjunto completo"
de variables dinámicas independientes es llamada
una "medición completa", y significa conocer con
certeza lo valores propios de todas las variables
compatibles (que conmutan).
Para un sistema dado existe siempre
un conjunto completo
de operadores que conmutan.
![Page 35: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/35.jpg)
Una medición completa de este
tipo proporciona el máximo de
información que se puede
obtener de un sistema cuántico.
![Page 36: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/36.jpg)
La caracterización completa de un sistema
en un instante dado requiere la medición
de todas las variables dinámicas compatibles
que pertenecen al conjunto completo de
operadores que conmutan.
Una vez hecho esto, se usan los vectores
propios comunes de estas variables dinámicas
compatibles que caracterizan el estado del
sistema.
![Page 37: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/37.jpg)
Es este vector propio común de
todos los miembros del conjunto
completo de operadores que
conmutan en el cual el estado
es proyectado con la medición
completa (maximal).
Este es el vector de estado.
![Page 38: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/38.jpg)
1 2
1 2 3
1 2 3
, ,...,
Si el conjunto completo de operadores que
conmutan consiste de las variables dinámicas
, , ,...,
y sus valores propios son
, , ,...,
entonces denotaremos el estado como
=n
n
n
![Page 39: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/39.jpg)
![Page 40: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/40.jpg)
Usaremos de aquí en adelante
la notación de Dirac. La notación
de Dirac no sólo simplifica la
escritura y la presentación de
las fórmulas, sino que permite
pensar ciertas expresiones de
una manera diferente.
![Page 41: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/41.jpg)
En adelante, casi siempre,
denotaremos a los vectores
en lugar de como ;
es decir, los vectores ahora
son , con "algo adentro"
para identificarlos.
x x
![Page 42: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/42.jpg)
1
2
0
x
ya v
z
t
![Page 43: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/43.jpg)
Por ahora, son simple y sencillamente
los vectores de nuestro espacio vectorial.
Los llamaremos también "kets" .
![Page 44: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/44.jpg)
Una funcional lineal
(formas lineales, uno-formas, covectores)
es una función
:
tal que
f V
f f f
C
![Page 45: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/45.jpg)
El conjunto de las funcionales lineales,
con las operaciones usuales de suma y
multiplicación por un escalar, es un
espacio vectorial.
Una funcional lineal es una función :
tal que
f V
f f f
C
![Page 46: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/46.jpg)
El conjunto de las funcionales lineales,
con las operaciones usuales de suma y
multiplicación por un escalar, es un
espacio vectorial.
*
El espacio vectorial de las
funcionales lineales es el
espacio dual de , y se
denota .
V
V
![Page 47: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/47.jpg)
Dado un vector fijo , construimos
:
con la regla
,
V
f V
f
C
![Page 48: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/48.jpg)
Dado un vector fijo , construimos
: con la regla ,
V
f V f
C
Es fácil demostrar (háganlo),
que es una funcional lineal.
![Page 49: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/49.jpg)
Dado un vector fijo , construimos
: con la regla ,
V
f V f
C
Introducimos una nueva notación:
entonces escribimos
,
f
f
![Page 50: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/50.jpg)
Dado un vector fijo , construimos
: con la regla ,
V
f V f
C
Introducimos una nueva notación:
entonces escribimos
,
f
f
A la funcional lineal le llamamos "bra"
![Page 51: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/51.jpg)
Dado un vector fijo , construimos
: con la regla ,
V
f V f
C
Introducimos una nueva notación: f
*
Los kets son vectores del espacio .
Los bras son elementos (también vectores)
del espacio dual .
V
V
![Page 52: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/52.jpg)
Los vectores columna son
los "kets" .x
![Page 53: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/53.jpg)
* * *1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
Del teorema de Plancherel sabemos que
en un espacio vectorial de 3 dimensiones:
, , , ,x y z x y z x x y y z z
![Page 54: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/54.jpg)
1
* * * * * *2 2 2 1 1 2 1 2 1 2
1
Pensemoslo como matrices:
x
x y z y x x y y z z
z
* * *1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
Del teorema de Plancherel sabemos que
en un espacio vectorial de 3 dimensiones:
, , , ,x y z x y z x x y y z z
![Page 55: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/55.jpg)
Los vectores renglón son
los "bras" .
![Page 56: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/56.jpg)
Los vectores renglón son los "bras" .
Los "bras" son los transpuestos
conjugados de los "kets"
![Page 57: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/57.jpg)
![Page 58: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/58.jpg)
Los vectores renglón son
los "bras" .
1 0 1a
u v w x
![Page 59: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/59.jpg)
El producto escalar queda entonces:
"de manera natural".
a b
![Page 60: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/60.jpg)
El producto escalar queda entonces:
"de manera natural".
a b
es un"bra-ket", obvio,
de bracket.
a b
![Page 61: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/61.jpg)
ˆSi , entonces ' .f V A f f V
Linealidad:
ˆ ˆ ˆA r f s g rA f sA g
![Page 62: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/62.jpg)
ˆSi , entonces ' .f V A f f V
Los operadores también actuan
sobre los bras:
ˆ'f B f
![Page 63: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/63.jpg)
ˆ ˆ ˆf r g s A r f A s g A
Linealidad:
ˆ ˆ ˆA r f s g rA f sA g
![Page 64: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/64.jpg)
1 1 1
Si se conoce la acción de un operador
sobre los vectores de la base 1 ,...,
ˆ = ' ,
se conoce su acción sobre cualquier vector
ˆ ˆ ˆ 'n n n
i i ii i i
n
A i i
A f A f i f A i f i
![Page 65: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/65.jpg)
ˆSea : un operador lineal.
ˆTenemos para todo .
A todo operador lineal le podemos
asociar una matriz.
¿Cómo la encontramos?
A V V
g A f f V
![Page 66: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/66.jpg)
1
1 1
1 1
ˆ
donde
ˆ ˆ ˆAdemás
así que
ˆ ˆ
n
i ii
n n
j jj j
n n
i j ij jj j
g A f
g g i g i g
A f A f j f A j
g i A f f i A j a f
![Page 67: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/67.jpg)
1
1 11 12 1 1
2 21 2
1
. . . .
. . . .
. . . .
n
i ij jj
n
n n nn n
g a f
g a a a f
g a f
g a a f
![Page 68: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/68.jpg)
1 1
ˆ
ˆ ˆn n
i j ij jj j
g A f
g i A f f i A j a f
ˆija i A j
![Page 69: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/69.jpg)
11 12 1
21
1
. .
. .
. .
n
n nn
a a a
a
a a
La misma matriz sirve para los bras.
![Page 70: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/70.jpg)
ˆSea : un operador lineal.
ˆTenemos para todo .
Entonces
ˆ ˆ
A V V
g A f f V
A i A j
![Page 71: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/71.jpg)
ˆ
1 0 0
0 1 0
0 0 1
.
.
0 0 0 1
iji I j i j
![Page 72: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/72.jpg)
x xa xb xc
y a b c ya yb yc
z za zb zc
![Page 73: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/73.jpg)
¿Le podemos asignar algun significado
al productor exterior ?f g
![Page 74: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/74.jpg)
¿Le podemos asignar algun significado
al productor exterior ?f g
En resumen,
Así que podemos considerar a
un operador.
f g h f g h f g h g h f
f g h g h f
f g
![Page 75: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/75.jpg)
1 1 1
1
1
Si el conjunto 1 , 2 ,..., ,... es completo
"Abusando" de la notación
n n n
ii i i
n
i
n
i
j
f f i i f i i i f
f i i f
i i I
![Page 76: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/76.jpg)
El objeto
actua sobre el vector ,
y da .
i i
f
i f i
1 1 1
n n n
ii i i
f f i i f i i i f
![Page 77: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/77.jpg)
El objeto es un operador lineal,
se le llama el proyector sobre el ket ,
ˆy se le denota como i
i i
i
P i i
= .i i f i f i
![Page 78: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/78.jpg)
1 1 01 0
0 0 0 0
0 0 0 00 1
1 0 1
x x x
y y
x x
y y y
= .i i f i f i
![Page 79: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/79.jpg)
=i i f i f i
= cos
= cos
a a c a c a a c a
e e c e c e c e
![Page 80: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/80.jpg)
1
1
Ya que esto es cierto para todo ,
ˆ
n
i
n
i
x i i x
x
i i I
1 1 1
n n n
ii i i
x x i i x i i i x
![Page 81: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/81.jpg)
1
ˆn
i
i i I
A esta relación se le llama relación de
completez.
![Page 82: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/82.jpg)
*
ˆ
ˆ
i i
i i
P f i i f i f
f P f i i f i
![Page 83: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/83.jpg)
ˆ ˆ ˆi j ij jPP i i j j P
![Page 84: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/84.jpg)
0
0
0
0 0 0 1 0 0 01
0
0
i i
![Page 85: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/85.jpg)
0
0
0
0 0 0 1 0 0 01
0
0
i i
0 0 0 0 0
0 0
0
00 0 0 1 0 0 0
1 1
0
0
0 0 0
i i
![Page 86: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/86.jpg)
i ki il kl likl
P k i i l
![Page 87: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/87.jpg)
ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ij
k
ik kjk k
AB i AB j i AIB j
i A k k B j
i A k k B j a b
![Page 88: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/88.jpg)
†
*†
Sea un operador lineal.
Se define el operador adjunto
como aquel que cumple
, ,
para todo par de vectores y .
En la notación de Dirac,
A
A x y x Ay
x y
y A x x A y
![Page 89: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/89.jpg)
*
Sea un operador lineal.
El operador es hermitiano
si
para todo par de vectores
e .
A
y A x x A y
x y
![Page 90: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/90.jpg)
![Page 91: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/91.jpg)
El estado de un sistema físico está
exhaustivamente caracterizado por
un vector de estado .
El vector de estado un vector de un
espacio de Hilbert o su
generalización (rigged Hilbert space).
![Page 92: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/92.jpg)
La caracterización completa de un sistema
en un instante dado requiere la medición
de todas las variables dinámicas compatibles
que pertenecen al conjunto completo de
operadores que conmutan.
Una vez hecho esto, se usan los vectores
propios comunes de estas variables dinámicas
compatibles que caracterizan el estado del
sistema.
![Page 93: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/93.jpg)
Es este vector propio común de
todos los miembros del conjunto
completo de operadores que
conmutan en el cual el estado
es proyectado con la medición
completa (maximal).
Este es el vector de estado.
![Page 94: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/94.jpg)
1 2
1 2 3
1 2 3
, ,...,
Si el conjunto maximal consiste
de las variables dinámicas
, , ,...,
y sus valores propios son
, , ,...,
entonces denotaremos el estado como
=n
n
n
![Page 95: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/95.jpg)
1 2 3
En notación de Dirac
, , , , n
1
1 2
1 2
,...,
Si el conjunto minimal consiste de las
variables dinámicas (observables)
, , ... ,
y los valores propios son
, , ,
entonces denotaremos el estado como
n
n
n
![Page 96: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/96.jpg)
1 1
2 2
1
Se tiene entonces
Ya que los vectores propios de un operador
hermitiano forman un conjunto ortonormal
completo, dos estados ,..., que difieren
en al menos un índice son ortogonal
n n
n
es.
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1 2, , , 1 2 3
1 2 3
Un estado arbitrario del sistema
puede ser expresado como la
superposición
, , , ,
donde la suma va sobre todos los
valores posibles del conjunto de
índices , , , , .
n n
n
c
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1 2, , , 1 2 3
Una estado de la forma
, , , ,
no es un estado propio del
conjunto maximal, sin embargo es
un estado perfectamente bien
definido del sistema.
n nc
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1 2 3
Consideremos una base ortonormal y completa
de un espacio de Hilbert separable.
Esto quiere decir que la base es numerable,
y la denotaremos como
, , ,..., ,....
Como es ortonormal y completa:
n n
n m
1
ˆ
nm
n nn
I
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1 1
ˆ
donde
n n n nn n
n n
I a
a
![Page 102: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/102.jpg)
1
donde n n n nn
a a
11
22
nn
a
a
a
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1
* *
1 1 1
ˆ
donde
n nn
n n n n n nn n n
n n
I
a
a
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*
1
donde n n n nn
a a
* * *
1 2
1 2
* * *1 2, ,..., ,...
n
n
na a a
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*
1 1
* * *
, 1 , 1 1
,n n m mn m
n m n m n m nm n nn m n m n
a b
a b a b a b
1
donde n n n nn
b b
*
1
donde n n n nn
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*
1n n
n
a b
1
2* * *1 2, ,..., ,...n
n
b
b
a a a
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![Page 107: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/107.jpg)
![Page 108: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/108.jpg)
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![Page 109: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/109.jpg)
n n
1 1 1 2
2 1 2 2 2
1 2
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n n n m
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![Page 111: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/111.jpg)
1
donde
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n mn m mn m nm
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![Page 112: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/112.jpg)
![Page 113: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/113.jpg)
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![Page 114: Jueves 1 de marzo de 2012 Clase 13 de 1:30 horas. Van 19:30 horas](https://reader035.vdocument.in/reader035/viewer/2022062421/56649c985503460f9495420c/html5/thumbnails/114.jpg)