jueves 23 de febrero de 2012 onceava clase de 1:30 horas. van 15:00 horas
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Jueves 23 de febrero de 2012Onceava clase de 1:30 horas.Van 15:00 horas
Advanced Quantum TheoryPaul RomanAddison-Wesley, 1965ISBN 0201064952
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
A todas las cantidades físicas
observables les corresponde un
operador lineal hermitiano.
Los únicos valores que puede
tomar una cantidad física son
los valores propios del operador
correspondiente.
A todas las cantidades físicas observables les corresponde un operador
lineal hermitiano. Los únicos valores que puede tomar una cantidad
física son los valores propios del operador correspondiente.
i) El operador debe ser lineal
ii) El operador debe ser hermitiano
iii) El operador debe ser acotado
iv) El operador debe tener un conjunto
completo de estados propios.
Cualquier cantidad fisica clásica puede
considerarse como construida por pares
de
El operador mecánico cuántico
correspondiente se obtiene remplazando
las variables canónica
variables canónicas conjugadas.
s clásicas por sus
correspondientes operadores mecánico
cuánticos.
1 1
Si la configuración de un sistema
está determinada por los valores de un
conjunto de variables independientes
,..., , entonces ,..., es un
conjunto de coordenadas generalizadas
del sistema .
N N
S
q q q q
S
1 2 1
Si la configuración de un sistema está determinada
por los valores de un conjunto de variables
independientes ,..., , entonces ,..., es un
conjunto de coordenadas generalizadas del sistema .N
S
q q q q
S
Que las variables sean independientes
quiere decir que no existe ninguna
relación funcional que las conecte.
1
Que determinen la configuración del
sistema quiere decir que cuando se dan
los valores de las variables ,..., ,
la posición de todas las partículas del
sistema está determinada.
Nq q
S
1 2 1
Si la configuración de un sistema está determinada
por los valores de un conjunto de variables
independientes ,..., , entonces ,..., es un
conjunto de coordenadas generalizadas del sistema .N
S
q q q q
S
1 2
1
Si la configuración de un sistema está determinada por los valores
de un conjunto de variables independientes ,..., , entonces
,..., es un conjunto de coordenadas generalizadas del sistema .N
S
q q
q q S
1
1
Los vectores de posición de las
partículas deben ser funciones conocidas
de las variables independientes
,...,
es decir,
,..., 1,...,
i
N
i i N
r
q q
r r q q i N
1 2
1
Si la configuración de un sistema está determinada por los valores
de un conjunto de variables independientes ,..., , entonces
,..., es un conjunto de coordenadas generalizadas del sistema .N
S
q q
q q S
En la práctica, las coordenadas
generalizadas resultan ser
desplazamientos o ángulos que
aparecen de manera natural en
el problema.
La configuración de un sistema puede
ser especificada por muchos diferentes
sistemas de coordenadas generalizadas.
Sin embargo, el número de coordenadas
necesarias es siempre el mismo.
Consideremos un sistema mecánico
sujeto a constricciones.
El número de coordenadas necesarias
para especificar su configuración,
son los grados de libertad del sistema.
cos
sin
x l
y l
arctan
y
x
2 2x y l
1
2
ˆ
ˆˆsin cos
r xi
r x a i a k
0
, sin cos
, sin sin
, cos
donde
x t R
y t R
z t R
t t
cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
2 2 2
2 2 2
; 0
arctan ; 0,
arccos ; [0,2
r x y z r
yx
z
x y z
Un lagrangiano es una función a
partir de la cual se pueden obtener
la evolución temporal, las leyes de
conservación y otras propiedades
importantes de un sistema físico.
En mecánica clásica el lagrangiano
de un sistema conservativo es
simplemente la diferencia entre su
energía cinética, , y su energía
potencial, .
T
V
En mecánica clásica el lagrangiano de un sistema
conservativo es simplemente la diferencia entre
su energía cinética y su energía potencial.
L T V
2
1
De todas las trayectorias posibles que el
sistema puede tomar, la que realmente
sucede es aquella que hace de la acción
un punto estacionario; es decir,
, , 0t
i i
t
W L q q t dt
2
1
, ,t
i i
t
W L q q t dt
Dado un sistema de partículas masivas puntuales,
denotamos las coordenadas generalizadas como
( 1,2,3, , ).
Si , , es el lagrangiano del sistema,
las ecuaciones de movimiento serán:
i
i i
i
q i N
L L q q t
L d Lq dt
0 ( 1, 2,3, , ).i
i Nq
1) Las ecuaciones de Lagrange tienen
la misma forma en cualquier sistema
de coordenadas.
2) En los sistemas con constricciones,
el tratamiento lagrangiano elimina
las fuerzas de constricción.
2 21 1
2 2
, ,
0
L T U mx kx
L L d Lkx mx mx
x x dt x
mx kx
0, 1,2,3i i
L d Li
x dt x
cos
sin
x l
y l
arctan
y
x
2 2x y l
2 2
cos sin
arctan
0 0 2
x r y r
yr x y
x
r
22
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
cos sin
sin cos
cos sin sin cos
cos 2 sin cos sin sin
2 sin cos cos
dx dx dr dx d r rdt dr dt d dtdy dy dydr d r rdt dr dt d dt
dydx r r r rdt dt
r rr r r
rr r
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2 2
2 2
2 s2 sin cos
2
c in
cosin cos
os s
s
in
r
r
rr
r
r r
rr
r
2 2
cos sin
arctan
x r y r
yr x y
x
2 2
2 2
11 cos
2
sin , ,
sin 0
L ml mgl
L L d Lmgl ml ml
dtg
l
0, 1,2,3i i
L d Li
x dt x
cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
2 2 2
2 2 2
; 0
arctan ; 0,
arccos ; [0,2
r x y z r
yx
z
x y z
cos sin sin sin cos cos
sin sin cos sin sin cos
ddx dx dr dx dx d dx dx dxrdt dr dt d dt d dt dr d d
r r r
dy dy dy dy dy dy dyddr d rdt dr dt d dt d dt dr d d
r r r
ddz dz dr dz dzdt dr dt d dt d
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
cos sin
cos sin sin sin cos cos 2 sin cos sin
2 cos sin cos sin cos sin cos + sin sin
cos sin sin cos
d dz dz dzr r rdt dr d d
v r r r rr
r r r r
r r
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 sin cos sin 2 sin sin cos
2 cos sin sin cos cos sin 2 sin cos
sin sin cos 2 sin cos cos sin
2 sin cos
si
r r r r
r r r r r
r r r r r r r
r r
r r r
2n
cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
2 2 2
2 2 2
; 0
arctan ; 0,
arccos ; [0,2
r x y z r
yx
z
x y z
2 2 2 2 2 2sin , ,2mL r r r V r
Se definen
los momentos generalizados
asociados con las
coordenadas generalizadas
como
j
j
jj
p
q
Lp
q
Llamaremos
par de variables canónicas conjugadas
a la coordenada
y a su correspondiente
momento generalizado
j
jj
q
Lp
q
Se define la fuerza generalizada como
Además, podemos "ver" a
" "
como una fuerza cinética o una fuerza inercial.
jj
jj
VF
q
TF
q
Las ecuaciones de Lagrange
toman entonces la forma
" "j j jp F F
0 ( 1,2,3, , ).
; ; " "
i i
j j jj j j
L d L i Nq dt q
L V Tp F Fq q q
Segunda ley de Newton: dp
Fdt
Es posible incluir potenciales
que dependan de la velocidad
, ,
en la formulación lagrangiana.
j jU q q t
0 ( 1, 2,3, , ).i i
L d L i Nq dt q
Es posible incluir potenciales que dependan de la velocidad,
, , en la formulación lagrangiana.j jU q q t
Para incluir estos potenciales,
las fuerzas generalizadas deben ser
derivables de ellos mediante la
relación
jj j
d U UF
dt q q
Es posible incluir potenciales que dependan de la velocidad,
, , en la formulación lagrangiana.
Para incluir estos potenciales, las fuerzas generalizadas deben ser
derivables de ellos mediante la r
j jU q q t
elación .jj j
d U UF
dt q q
Una vez encontrado , se debe
usar en lugar de en la definición
del lagrangiano; es decir,
U
V
L T U
4 14
1 0
EE B J
c c t
BE B
c t
qF qE v B
c
E B A
2
y
1
2
qU q r A r v
c
qL T U mv A v q
c
4 14
1 0
EE B J
c c t
BE B
c t
qF qE v B
c
E B A
qU q r A r v
c
xx
x x x x x x xx y z
x x xx x y z
dAq qF q v A
c dt x c xdA A A A A A Adx dy dz
v v vdt x dt y dt z dt x y z
A A Aq qF v v v q v A
c x y z x c x
q qF v A q v A
c c
q
v A
F
v
v
A
qc
v A
Aq
F qE v Bc
jj j
d U UF
dt q q
qF qE v B
c
E B A
4 14
1 0
EE B J
c c t
BE B
c t
21
2
qL T U mv A v q
c
Las ecuaciones de Newton y de Lagrange
tratan de manera diferente a las coordenadas
y a sus momentos canónicos conjugados,
en el sentido que únicamente aparecen
derivadas temporales de los momentos.
El formalismo que se requiere debe
involucrar ecuaciones de movimiento que
sean simétricas en y .j jq p
Definiendo
construimos el hamiltoniano
jj
j jj
Lp
q
H p q L
Como
, ,
tenemos
, , , ,
y la dependencia funcional sera
, , ; , ,
j j k k
k k j j k kj
k k k k
q q q p t
H q p t p q L q q t
H q p t L q q t
Definiendo construimos el hamiltoniano j j jjj
Lp H p q L
q
2
Para la mayoría de sistemas en los cuales
el potencial no depende de la velocidad,
el hamiltoniano es simplemente la energía
del sistema expresada en términos de las
coordenadas y de los momentos.
2
pH V
m ,, ,j j jr t T q p V q t
2
En el caso del campo electromagnético
el hamiltoniano que se obtiene haciendo
la transformación de Legendre
2
qp A
cH q
m
cos sin
sin sin
cos
x r
y r
z r
2 2 2
2 2 2
; 0
arctan ; 0,
arccos ; [0,2
r x y z r
yx
z
x y z
2 2 2 2 2 2
2 2 2
sin , ,2
; ; sinr
mH r r r V r
L L Lp mr p mr p mrr
1
Como
,
se tienei i
N
i ii ii
H H q p
H HH q pq p
1
1 1
1
Pero , , ,
así que
N
k kk
N N
i ik k iii k
N
i i iii
H q p p q L q q
LH q q pq
L q q pq
1
N
i ii ii
H HH q pq p
1
Como 0
se tienei i
N
i i iii
L d Lq dt q
d LH q q pdt q
1
N
i i iii
LH q q pq
1
Por definición
así que
ii
Ni
i i ii
Lpq
dpH q q p
dt
1
N
i i iii
d LH q q pdt q
1
1
N
i ii ii
N
i i i ii
H HH q pq p
H p q q p
k kk k
H Hq pp q
1
1
1 1 1
Como , se tiene
Como y 0
i i
N
i ii ii
N
i i ii i ii
N N N
i ij j i i i ii ii j i
i i ii
H H q p
H HH q pq p
L d L LH p q L pq dt q q
L LH q q p q q pq q
d L q q pdt q
1 1
1
N Ni
i i ii i
N
i i i ii
k kk k
dpq q p
dt
p q q p
H Hq pp q
Una vez que el par de variables canónicas
conjugadas ha sido elegido, las ecuaciones
de movimiento se pueden reescribir en la
forma de las ecuaciones de Hamilton
k kk k
H Hq pp q
22 2
2
1
2 2
pH m x
mp
p m x xm
Una vez que el par de variables canónicas conjugadas ha
sido elegido, las ecuaciones de movimiento se pueden
reescribir en la forma de las ecuaciones de Hamilton
kk
Hq pp
kk
Hq
En la mecánica hamiltoniana, una
transformación canónica es un cambio
en las coordenadas canónicas
, , , ,
que preserva la forma de las ecuaciones
de Hamilton, aún cuando no preserve
la forma del hamilt
q p t Q P t
oniano mismo.
1 1 1 1
Si encontramos una transformación de coordenadas
,...; ,... ,...; ,...
, ,
que deje invariantes las ecuaciones de Hamilton,
;
y que las d
j j
j j j j
k kk k
p p p q q q p q
H p q H p q
H Hq p
p q
esacople, ya hemos resuelto el problema.
1 1 1 1,...; ,... ,...; ,...
, ,
j j
j j j j
p p p q q q p q
H p q H p q
Es lógico limitar este tipo de transformaciones
a aquellas que dejan invariantes las ecuaciones
de Hamilton; es decir, debemos tener
;
Este tipo de transformaciones se llaman
c
k kk k
H Hq p
p q
anónicas.
2cos 2 sin
El hamiltoniano queda
y las ecuaciones de Hamilton son
0
pp x m p x x
m
H p
p x
22 21
2 2
pH m x
m 2 ;
pp m x x
m
22 2
2
1
2 2
2cos 2 sin
0
pH m x
mp
p m x xm
pp x m p x x
mH p
p x
0
0 02
constante
22 cos sin
Ep x t
Ep mE t x t
m
La habilidad para desacoplar, y trivialmente
resolver, las ecuaciones de Hamilton para
un problema dado, implica un conocimiento
apropiado de las transformaciones canónicas.
Obtener la transformación es el tema de la
teoría de Hamilton-Jacobi
Las ecuaciones de movimiento para cualquier
variable dinámica , , pueden ser escritas,
usando las ecuaciones de Hamilton comoi i
j j
j j j
j j jj j
G p q t
dq dpdG G G G
dt q dt p
q
dt t
G G G
q pp
jj j j j
t
G G G
q pp
H
q
H
t
Definiendo
,
las ecuaciones de movimiento se escriben como
,
j j j j j
A B B AA B
q p q p
dG GG H
dt t
j j j j j
dG G H G H G
dt q p p q t
Sea una variable dinámica
arbitraria. Entonces
,
G
dG GG H
dt t
Si la variable dinámica no depende
explícitamente del tiempo
,
En este caso, si , 0, la
variable dinámica es una constante
del movimiento.
dGG H
dtG H
G
,dG G
G Hdt t
,
,
dp p H H p Hp H m x
dt q p q p q
dq q H H q H pq H
dt q p q p p m
22 21
2 2
,
,j j j j j
pH m x
mdG
G Hdt
A B B AA B
q p q p
,
, 0
, 0
j j ij
i j
i j
q p
q q
p p
,j j j j j
A B B AA B
q p q p
,
, , , 0, , 0
j j j j j
j j ij i j i j
A B B AA B
q p q p
q p q q p p
,
0 0
0
j ji ii j
k k k kk
ik jk ikk
q qq qq q
q p q p
,
, , , 0, , 0
j j j j j
j j ij i j i j
A B B AA B
q p q p
q p q q p p
,
0
j ji ii j
k k k kk
ik jk ikk
ij
p pq qq p
q p q p
Cualquier relación involucre a los paréntesis
de Poisson debe ser invariante bajo las
transformaciones canónicas.
De hecho, ésta es otra manera de definirlas.
,
, , , 0, , 0
j j j j j
j j ij i j i j
A B B AA B
q p q p
q p q q p p
2
,
, 0
i j k
i
L r p
L L L
L L
,
, , , 0, , 0
j j j j j
j j ij i j i j
A B B AA B
q p q p
q p q q p p
,
, , , 0, , 0
j j j j j
j j ij i j i j
A B B AA B
q p q p
q p q q p p
,
0
j jj
j k k k k
jkj k k j
p pF FF p
q p q p
F F F
q p q
, jj
FF p
q
En particular se tiene
,
, , , ,,
x
x
FF p
xF x dx y z F x y z
F pdx
, jj
FF p
q
, , , , , xF x dx y z F x y z F p dx
Por esta propiedad se dice que
el momento lineal es el
generador de las translaciones
infinitesimales a lo largo del eje .
xp
X
, , , , , xF x dx y z F x y z F p dx