k r ,m l k ,lmath.ipm.ac.ir/commalg/thesis/asgharzadeh-int-p.pdf · m , , r p z z e) e: a6: 4...
TRANSCRIPT
�����
��� !�.3 �� ��� ���4' ��'�� ��5 ���06� �� +��� �1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �41�9 ������ ��
%���: � �;��� ��'�� ��5 ���06� �� +��� �1�& 77 ��� !�.3 �<=� !�: �� %���: � �;��� �1�& 77
��<>� �� ?�4 ���@��� �� ����4' A6: �� B�<� ��)� C� ������ �� �@���� +��� �� )� �� D/
+��� �1�& 77 ��� !�.3 !�: �� � �� %���: � �;��� ���/ ���06� +��� �1�& 77 ��� E����� +�F��
��. �: -�36' �� ���.� !�: �� %���: � E��,� +� G��� �� ���� �� ��, � �*�4 �� HI� J� �� �8<�
%������/� ��'�� ��5 ���06� �� +��� �1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �� �68�
���� �����1�& 77 ��� �8��0' %K
�1�& 77 ��� %L�� HI� J� �� �8<� �1�& 77 ��� %M
��'�� ��5 ��06� %N���/ ��06� %O
��'�� ��5 �1�& 77 ��� ��06� %P�3( �8��0' ��.1) %Q
B
���
��� !�.3 �� ��� ���4' ��'�� ��5 ���06� �� +��� ��1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �41�9 ������ ��
%���: � �;��� ��'�� ��5 ���06� �� +��� �1�& 77 ��� !�.3 �<=� !�: �� %���: � �;��� ��1�& 77
���<>� �� ?�4 ���@��� �� ����4' � A6: �� B�<� ��)� C� ������ �� �@���� +��� �� )� �� D/
+��� �1�& 77 ��� !�.3 !�: �� � �� %���: � �;��� ���/ ���06� +��� �1�& 77 ��� E����� � +�F��
��. �: -�36' �� ���.� !�: �� %���: � E��,� +� G��� �� ���� �� ��, � �*�4 �� HI� J� �� �8<�
%������/� ��'�� ��5 ���06� �� +��� �1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �� �68�
���@��` �8` ���� c�� ��06� ��� %)�� ���@��` �8` �� �����* ���� ����� �1�& 77 ��� ���06�
���06� �� �)Y ��06� ��� �41�9 �1 %��� E), ��,�� ����� ��� �� ����� ���<� �"�0 %)�,�� �
J�� ��'�� ���06� �41�9 �� ��'�� ��5 ���06� ����� d��� ���� �� ��� ��# C��� %��� ��'��
�06� � �4T� �U�1� ��� Z) +)$� �3( ���� � +��� ��<>� �� �� ��e� Z�_ ���� %)�� � �����,
�� �� � ���6�` J' H)� Z���<�� Z� E)�� �� �8<� ��'�� �4T� X�Y( �� �� �� � -69 X�Y( ���<�
Almost Cohen-Macaulayness �
Cohen-Macaulay �
Glaz �
Hochster �
Eagon �
Local cohomology modules �
Absolute integral closure �
Monomial conjecture �
K
L � )0
��@�<` %)��< ��'�� ��)� �� ��'�� �4T� X�Y( �� �� �� -69 ���<� �&�� Z�� %��� � +�f ��
��� !�.3 ���� �� E)�� g� ��I� KbbL Z�� �� C8� ���� � +��� ���@��` �8` �"�0 �� �� E���
��� ���� �3��4' �;��� +)� �� �1�0 �� A6: Z�� ��� �� %��� E��8� ��`� ��'�� ��5 ���06� �� �1�& 77
�� ����� � � d�� �� %��� �1�& 77 ��� ��)@ �1�& 77 ��� ���06� ����/ �06� �� H)� !�.3
�� Z�� � �,h: �� )4� %����� �1�& 77 ��� ��'�� ��5 ���06� ���� �3��4' i69 ��� ����� j�*
M Z) RR ����: � %��� �;��� kA6:�1�& 77 ���l ��'�� ��5 ���06� ���� �3��4' � i69 ���
m��,�� ��,�� R �� p Z� Z�E)�� � ���� E�: � ��� A6: ���4 �� �1�& R���
K gradRp(pRp, Mp) = htM (p) .
+�� �� %��� � +�$� Glaz ���� �� �� !�.3 ��� � %��� L �� a Z��� E��� K gradR(a, L) +� �� ��
�� Z��� ��� A6: �h1 %��8� �1�& 77 ��� A6: 2��4' �� �� ), E��� ��n�� �o� �06� J� �� �1�_ �1�0
�� �� ��� �;��� ��'�� ��5 ���06� �� �1�& 77 ��� !�.3 ���� �3��4' +���� ���F> �� ��� p�9
�o� ) ���� C�# �� %)��$� �1�& 77 ��� �n�� �o� ���06� EI4� ��, �&� ��'�� �1�� �� 2��4'
%��, � �����: ��� E��� A6:
E��A: �� ��� �;��� ��'�� ��5 ���06� �� �1�& 77 ��� !�.3 ���� �3��4' +���� ���F> ����
m),�� ���� +� ���� ��� ��
%��, �&� ��'�� �1�� �� 2��4' �� 2��4' kKl
%)��$� �1�& 77 ��� �n�� �o� ���06� kLl
��'��/� �� ),�� +��> R �� ��=��&� �� ���� ��: G �1�& 77 ��� ���06� R )��� jA* kMl
��� ����/ �06� �� R EI4� ),�� ��`� +� ���� � )1����
RG := {x ∈ R : σ(x) = x for all σ ∈ G}
%��� �1�& 77 ��� RG ���( ��� �� %),�� ���� )�1�' ��
Cohernt regular �
Reynolds operator �
M � )0
RG p�T�� %)��� � ���� ���/ R �� G \�� �Y' �� ��� R �� �(��� ����� �. ��q�T� �� �&�
%)�� � ���� ���/ R �� G \�� �Y' +��� �06� ��(�� �h1 %��� R �� �� �06� ���
�� )��� � k���, �$F��l ����� �� �&� �� ���/ ���06� ���r' ��� ?�4 B��� �� �� ��� �<'�
?�4 B��� � )0 �� �� ��8�A�� ����� %��� E), ��,h: +�� �� ���@��` �8` E)��� E��� �*�$�/ sq��
� �1��� ��� E)�<��� �� ���� ����� %)��� � ���@��` �8` �� �$�� �� �&� �� ���/ ���06� ���r' ��F��
�U�1�/�' �� Z�_ ���� %��� ���T��� 26�= �� ���, �� +���* ������� ����� ���/ ���06� ���r' )���
��8` ��)� R��8` \���� ���o� R�� ����: �� ���/ R ���8���' R �U�1���� ��.�: R ��8`
%��� ���@��` �8`
��� �. t���� �� �&� �;��� ���� %��� ���@��` �8` ���/ ���06� ���r' +�� �6��0' �� � �`�' �@��� ��
�� ��=��&� �� ��: G ���@��` ���06� R )��� j�* %���< ���3 �� ���� �� �� )� ���� � �1���
�� � �06� �� �(��� Eu��� %��� � v�� �� R �� �� +��� �06� ��(�� RG �� ���� � ������ %),�� R
?�4 ��� � ��� �� J��I� �6r< ��1� %)�� � ���� ���/ R �� G \�� �Y' A�� ������/ ��06� ��� �Y'
���8` +��� � ��� ��'�� ]�, +��� �n�� ]�8'�� �� �6r< ��� %),�� � ����86� KN �6r< ��
�'�:�� �� B�<� �e0� Z�_ ����� �6r< ��� ���� E��,� �� �<�� 291 �� �1�� %��� +�)� J� ��
�� %G := (F, +) )�� ���� ��� ���� ���)� F )��� j�* ��� ��� �� �� E��� Z�_ +)�� ���� %���
�06� �� �� G �� �$�� g(X + (X�)) := X + (X�) g(Y + (X�)) := X + Y + (X�) B�w��� ���w���
�� RG := F [X, XY, XY �, · · ·]/(X�) ����� �8��Y ��)�� �� %)�� � 2��4' R := F [X, Y ]/(X�) ��'��
R �� )��� j�* Z�� %�<�� G \�� �Y' �n�� ���(�� +��� ��'�� ]�, �h1 %��� ��'�� ��5 ���06�
��l ��, ��*�&, �� ),�� �490 ����� RG −→ R ��=���RRG ),�� X�Y( RG ��� ����/ �06� ��
�� �'�� �� �� �@��� ����� ���w��� �� %k),�� � ��`� \�� ��� ���� )1���� ��'��/� �� ����: � �1�� ���
�� �06� RG �� ���� � +��� ��<>� +�F�� �� �� E��A: d�� �� %��� ��'�� ���06� RG �� )�� +��' �
%��� �@��� ��� ��'�� ��5 �=<� �;��� !� Cw*�� � ?�)� �����. �� �&� %��� �1�& R��� ��'��
Matsumura ��
Eisenbud ��
Grobner Bases ��
Hilbert ��
Noether ��
N � )0
x1�� ������� �06� !�.3 �� ��� ����� �1��� �� �� +��6�� A6: H)� C� ���� !�: ��1� ������ ��
��,�� ht(a) ≥ µ(a) ��(�� �� a Z� E)�� � ���� E�: � ��� x1�� ������� R ����: � %�����/ ��
M �� ����<�� 2�4T ��9� Z� ��.1� E)�� �q��@ wAssR(M) +� �� �� wAssR(R/a) = min(a) m��,��
WB ���� �� �� !�.3 ��� � %��� ���� ��� a )�1�' ���� �� ��� �06� �(��q �� ��)4' ������ µ(a) )��<
m�� )�'��8q �,�� �o� ) �1�& 77 ��� !�.3 ���� +��6�� �� �(��� �6�` �� %����� � ��� ��
%��� �1�& 77 ��� �� �06� R[X�, X�, · · ·] ���w��� �� %��� �1�& 77 ��� R )��� j�* m(H�)
�� ),�� � �1�& 77 ��� R E�F�� ),�� �1�& 77 ��� Rp �06� p Z� Z� E)��� ���� �� �:� m(H�)
%D&q
��� �� )�)` �3��4' �.�� %),�� � �� �1�� +��6�� �� -64� A6: H)� ������ �� !�: �����.
�� !�.3 ��� %�� �� � �1�� +��6�� ���4 �� +��� �1�& 77 ��� ���� � �� )���� �;��� +��� �1�& 77
� )4� �� R �� ��1�� �� ����� %)����� E����� �� kLl kKl y���, �.�� %��, � E��� ��&� HM ����
%)���� ����� (H�) (H�) �� ?�� J� ����� %)�� E��� ���n kMl ),�� R �� ���� ����� G �8'�
%��, +��� ��)4� �� ���: �� )���' � +��� �1�& 77 ��� ��'�� ���06� �� �� ���� � +�$� ����
���4 �� �1�& R��� R ����: � %),�� R �06� ��.1� E)�� �� �.'�� �� �����: Σ �� )��� j�* Z�_ ����
m��,�� ��,�� a ∈ Σ Z� E)�� � ���� E�: � ��� Σ
K grad(a, R) = htR(a).
Spec Z� f.g.ideals ��� � )� 1� ' � � ��. 1� E) �� � ����: � � � %� �� � +�$� Σ ��� � � � �� !�.3 ���
%���� � G�� �.`�' ideals �.1� E)�� � ��' �����: Max Z���<��
�1�� �� �1�& 77 ��� 2��4' ���� �)�)��� J� +���q �� �� "�� �� E), E��,� 2���4' �� J� � +����
+�� y�� � �� ���� %)��<�� � �� � � A1 ��'�� ��5 �1�� �� ���h �� 2��4' %�*�: �o� �� ��'�� ��5
Hamilton ��
Bourbaki unmixed ��
Weakly associated prime ��
Marley ��
O � )0
m�� )�'��8q ���h �� 2��4'
Max ⇐ Spec ⇔ ideals ⇒ Glaz ⇒ f.g.ideals ⇒ HM ⇐ WB.
%Spec ⇒ WB �� ��� � +�$� ��� �n�� �06� �� ��1�� �� �����
m�� �<'��8q "�� 2���4' ��q�� ��8n� ���� � �)�6� �� �1 �� �&�
�� �� �� � � �� � � � � � � � ��� �-R � � M � R � � � � �� � � �� �� a � � � �� � �� �� � ��
�K gradR(a, M) ≤ htM (a) ��� ��
d���' E��� ���� z�* �1 �� E), �;��� ��< �� �� )�� � �o� �� ���T i69 ��� ��#
E. gradR(a, M) := inf{i : ExtiR(R/a, M) �= �}
�� M +�> ���� )�1�' �� �1) -R a C_ �1� E)�� �� R C_ ���06� +��' � ��4� %),�� ��� ����
m�� ��� +��>
E gradR(a, M) > htM (a).
%)��� �4`�� N%N%K Z�_ ��
m)�� � ^0� �� ��� !��:��� �� E), �q�� y�� � !� Cw* �� !�� \=� �� E), �;��� ��.1�_
f.g.ideals ⇐ Max ⇔ HM ⇒ f.g.ideals, HM ⇒ WB.
"�� �� E) � 2���4' � ��' �� �� ���� � ��'�� ��5 �� �06� �� �� �.1�_ !� Cw* �� !��.> \=� ��
��� ����� +�$� E), �;��� Z�_ ��1� �� %��� ��'�� �1�& R��� R )��� j�* %)��< �1�& 77 ���
��f� ���.� �� ��.�� �6�` )�> �06� ��
R[X�, X�, · · ·] :=∞⋃
i=�
R[X�, · · · , Xi]
P � )0
X�Y( ���<� +��� �1�& 77 ��� �� D{� %��� kE) � "�� �� �� �3���4' � ��' ��l �1�& R��� �� �06�
%�����/ ����� kE) � "�� �� �� �3���4' � ��' ��l p �w=$ �� C �� �� �06� � C �� ���<� -69
��'�� ��5 �1�& 77 ��� ���06� �� ��F�� 2��4' A6: H)� C� ���� !� Cw* �� \=� ����� ��
%��� ��� ��e� !� Cw* �� � �@��� �����. %��� � �;���
E��A: �� ��� �;��� +��> ��'�� ��5 ���06� �� �1�& 77 ��� !�.3 ���� �3��4' +��' � �����
m),�� ���� +� ���� ��� ���: t�/ ��
%��, �&� ��'�� �1�� �� 2��4' �� 2��4' kKl
%)��$� �1�& 77 ��� �n�� �o� ���06� kLl
�� ��=��&� �� R �� ��h/ +�� ���8'� �� ���� ��: G �1�& 77 ��� ���06� R )��� j�* kMl
)�1�' �� RG ��� ����/ �06� �� R EI4� ),�� ��`� +� ���� �� )1���� ��'��/� �� ),�� +��> R
%��� �1�& 77 ��� RG ���( ��� ��%),�� ����
�1�& 77 ��� �� �06� R[X�, X�, · · ·] ���w��� �� %��� ��'�� �1�& 77 ��� R )��� j�* kNl
%���
%),�� � �1�& 77 ��� R E�F�� ),�� �1�& 77 ��� Rp �06� p Z� Z� E)��� ���� �� �:� kOl
� +���/ �� k26�= 2���4' ��l ���/ �� �06� +��� �1�& 77 ��� �41�9 �� !� Cw* �� �� ��� ��� �
%�����
�� ���� �� J� �� %��� ��*�: ���� �`�' ��� ���@��` �8` +�� �� �� +), �3( �8��0' !�3 �����
�� �� )4� �� �4T� X�Y( �� �� �� �4T� �U�1� ��� Z) �� � +), �3( �8��0' +��� +�$� ��
��� �� % k)���8� �� |MV}l ��� E���� ��8n� �� ���6�` J' H)� Z���<�� Z� E)�� �� �8<� ]�6= �w=$
perfect closure �
Reynolds operator ��
Almost vanishing ��
Heitmann ��
Q � )0
��� �� ���06� �8��0' ���o� |KP} �� DF���1�* �� -��q �� �1�0 �� �� ���� ��F� �� �� � � �� �8: �F��
+��� �1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �' �,�� +� �� �� �� D'��� -��q �� ��� ��� % k)���8� �� |LN}l )�� E��.�
��e� �� �6�` J' H)� �� +��� �1�& 77 ��� �8��0' ���� +)�� ���� %)� ���� G�� �.`�' ��� ��
�.1) ��=��� �.1) ���� �� �3( �8��0' ��.1) ���F�� E��� ��)�� �� %)���8� �� kE) � ��� �� ��l M%V
�.1) ���� ���� �4T� �� )�)` ���� %)���� ��F�� )�)` ���� �� �� ������5� �w�q ���$ �$0�
�8��0' !�.3 ��&� ��� ~��h/ �� %��� E), C(�� �3( �8��0' ��.1) HI� �� �8<� �.1) ��=���
E), �4T� ���� �� A �4�8� ���w' +��� �1�& 77 ��� !�.3 �� ���$ �$0� A �06� +��� �1�& 77 ���
%),�� � �.1) �� Eu� ��I� �� �8<�
�8��0' ��.1) �� �� �����: �� ��, �� \�/ ���� %),�� ��� J� ���@��` ���06� R )��� j�*
%����3(
E�: � ����: �3( �8��0' �� M Z) RR %),�� a� = a ��(�� �� R �06� �� �1� E)�� a )��� j�* kKl
%)���8� �� |LN} ��$�� ���;A` ���� %��� � � �8: �� -64� 2��4' ��� %aM = �
\���� c�/n �� �� c �3� �� X�Y( �� �$�� !��' �� ),�� R �06� �� �3( �� ��w�q c )��� j�* kLl
�� �� n ���� c�/nM = � E�: � ����: �3( �8��0' �� M Z) RR %)��, �*�� R �� )��, � E���
%)���8� �� |KP} ��$�� ���;A` ���� %��� DF���1�* �� -64� 2��4' ��� %W�A� �*�� E��)��
�� V +�> �� ��<<: E��� �06� ���( ��� �� %��� ��'�� �4T� ���� �� (R, m) )��� j�* kMl
E��� �06� V +�> %���� ���� m �� +� Z���<�� Z� E)�� �� ��, � �*�� +��> R ���<� +�)�
E��� �,�F � ��� +�� ' � %��, � �*� � v : R −→ Z ∪ {∞} +�> �� E� �� �,�F � ��� � �<<:
+�> �� E� �� �,�F � � � ��� d ��� ' ��, � E��� \��� � R+ � � � � R -69 X�Y( �� �< � � � ��
kv E� �� �� �8<� l�3( �8��0' M Z) RR+ �� ���� � ������ Z�� %)��� v : R+ −→ Q ∪ {∞}
Gabber ��
Ramero ��
Faltings ��
Almost ring theory ��
Roberts ��
initial object ��
S � )0
+��> v(a) < ε ��(�� �� a ∈ R+ C_ ��w�q ε > � � ���� m ∈ M � ���� E�: � ���
�06� !��' �� �� 2��4' ��� +��' � l %��� D'�� � �� -64� 2��4' ��� %am = � �� ��, �*��
%k��� ~��<: ��E� �� �� �8<� J>�� �*�� �)� �� �� E� �� �� ��(��q ����� �� ���
m������{� ��'�� ��5 �� �06� �41�9 �� �' �,�� +� �� �� � ��� E��� �,�����
�@��� �3( �8��0' Z) ��` " �� ���: �� �"�� �� J� � �� �.�)� �"�� �� �o�*�( �� �� � ��� �
%��� ��'�� ��5 �� �06� ���/ �06� �� ��� )���
��� ���/ �� ��F��� �� x�, · · · , xd %),�� d )4� �� ��'�� �4T� �� �06� (R, m) �� )��� j�* Z��
�� ���� � +��� ��<>� �� �6�` J' H)� ���w��� �� %)���F� R ����
xt�· · ·xt
d /∈ (xt+��
, · · · , xt+�d )R.
H)� E�F�� ),�� ������ X�Y( �� �� �� ���� �� �6�` J' H)� �:� �� ���, � ��h� %t ≥ � +� �� ��
���' ���o� �� �8<� R+ +��� �1�& 77 ��� %��� ������ ��'�� �4T� �� �06� �� ���� �� �6�` J'
%��� � +�f �� �� �� �� �6�` J' H)� v E� �� y��' E), �����
m��� �� H������� � c��� D'�� � �� B�<� ��� �@���
����� ����� �� R � ����� ����� � ����� ���� ��� ���� (R, m) ���� ��� �� �� � ����
���� (R, m) ��� � � !" #� $�% &�'�( )���� � &* �� +,-� �.�/� 00 1��� �,2�3� �� ���� A 4�5
�+�
� M%N \=� �� ���� �� �1")��� i1�9 +), C �� ���� ����� E)����� Z�� E�*� �� �:��� ���� �
%����
�� �3( �8��0' ��.1) �� ���, � +�$� ���� +��� �1�& 77 ��� �8��0' !�.3 �� +), A.@ ����
m )��< ���$ ��� G���
�.��=���RR �.1) RR �� ��� E�'�� -��� ��,� �� kKl
� −→ L −→ M −→ N −→ �
Singh �
Srinivas ��
b � )0
%)�,�� �3( �8��0' L N �:� �.�' �:� ��� �3( �8��0' M
%),�� � �3( �8��0' ��)@ �3( �8��0' ��.1) �� ��0�< ��)�.` E�F��� � ��0�< )� kLl
���o� )�� z��( ]�, � � �� �� ��� �����: �� �� �� HI� )�� z��( kKl ]�, �� �� ��� �����: ��
%)���: �� ���'
�� �� HI� �� �8<� +��� �1�& 77 ��� !�.3 �� )�)` �3��4' �� �,�� +� �� �� � z�* ��)�$
m��� �;���
���� )�1�' �� �1) RR �� M %),�� �.1) RR �� �� HI� J� T ��� ��'�� ���06� R )��� j�*
,�� �4T� �U�1� ��� E��� ���3 %���� � ������ a Z� E)�� ���� �)1� �q��@ �� x := x�, · · · , xn
m)��, � 2��4' ��� �0��� �� i�'�' �� �� S �� HI� �� �8<� a �� M �� d���' �� Z���
S − H. gradR(a, M) := inf{i : Hia(M) /∈ S} kKl
S − K. gradR(a, M) := inf{i : Hi(K(x; M) /∈ S} kLl
S − E. gradR(a, M) := inf{i : ExtiR(R/a, M) /∈ S} kMl
�� a �� J��I� E��� a �� S �� HI� �� �8<� Z���<�� 2�4T ����,�RM Z�� ����$�� �� kNl
%���� +�$� S − c grad(a, M) ���� �� �� +� ����:� S �� HI� �� �8<� M
�8<� �1�& 77 ��� M ���� )�1�' �� Z) RR �� %),�� ��'�� �4T� ���06� (R, m) )��� j�*
m��,�� ��,�� i = �, · · · , � � x�, · · · , x� C_ ��� ���/ �� E�F��� � ���� E�: � ����: S �� HI� ��
((x�, · · · , xi−�)M :M xi)/(x�, · · · , xi−�)M ∈ S.
Serre class ��
Torsion theory ��
Local cohomology grade ��
Koszul grade ��
Ext grade ��
classical grade ��
KV � )0
��� C_ ��� �3 �� ��� �8�` +��' � �� ��.�I� �� i��� ���.��=��� �� )��E ), �`�� �� ��� +��
�� HI� �� �8<� �1�& 77 ��� ���r' ���� ��� �� �� ����*�� ���4' Z) ��6�* ��Z) ��6�* , �1�& 77
%��� E), E��� !�� Cw* �� �� HI� ��� �� �8<� �1�& 77 ��� G��� %��� �41�9 ��
��� S �� HI� �� �8<� ���� )�1�' �� �� Z) �� �.1� E)�� E��� !�.3 !�� Cw* �� Z� \=� ��
+�<&� kLl kMl kNl 2���4' �� ���� � +��� !�� Cw* �� Z� \=� �@��� �����. %���: � ���� �����
%��� ����� kLl kMl kNl �� A�� kKl ),�� ���' ���o� S�:� )��<
� 2��4' S �� HI� �� �8<� M Z) �� a Z� E)�� [�3'�� !�.3 !�� Cw* �� !� \=� ��)��� ��
�8<� �1�& 77 ��� �� )�A� H)� E)����� ��� �&� %��� ����� +�$� S − htM (a) ���� �� ���� � %���:
� +�$� ��� E��A: �� ���9��� %),�� S − htM (a) = S − c grad(a, M) ��<' �� Z��4 �� HI� ��� ��
m ���� � 2��4' ��<�� ���� H)� ��� )�
S − SuppR(M) := {p ∈ SuppR(M) : R/ p /∈ S}.
%��, � 2��4' S − SuppR(M) �� ���$ ~� �� S − AssR(M)
#2 M ���� ��� ��2��'� �6.���7R * �� $8� #2 S � ����� � �3 % (R, m) �� �� � �����
���.���� �2* ��� 9� ���&: ;�<�2 � ����� ����=� ��.�� �� >���7R
� +� S �� $8� �� +,-� �.�/� 00 1��� M kKl
� +� �.�/� 00 1��� Mp ?2� p ∈ S − SuppR(M) �� �* �� kLl
htM (p) + dim(R/ p) = dimM.
?2� p ∈ S − SuppR(M) �� �* �� kMl
S − E. gradR(p, M) = S − htM (p) = htM (p)
�
filter module ��
Generalized filter module ��
KK � )0
htM (p) + dim(R/ p) = dimM.
�depthRp(Mp) = dim M − dim(R/ p) ?2� p ∈ S − SuppR(M) �� �* �� kNl
4( � � � dim(R/ p) = dimM − i ? 2� x�, · · · , x� @ A � M �� �� �� = �� B * &� ' = �� � � �� � kOl
�p ∈ S − AssR(M/(x�, · · · , xi)M) � � ≤ i ≤ d := dimM
C?���� �=�� S − SuppR(M) ∪ {m} * q ⊆ p �� ��� kPl
ht(p / q) + htM (q) = htM (p) DE.
+� �.�/� 00 1��� Mp DF
�dimM = dim(R/ p) &�'�( p ∈ Min(S − SuppR(M)) &�8�� � DG
���� ����� ��� � �06� ��)&� ��=��� �� HI� J� �� �8<� +��� �1�& 77 ��� ]�8'�� ��� ��
���� )�1�' �� Z) RR J� �� M ,�4T� ��)&� ��=��� �� f : R −→ A ��o� ��� ���� %���: �
HI� �� %���� � ������ �.1) RA �� �� HI� J� �� S
Sc = {M ∈ R−Mod|M ⊗R A ∈ S}
%��� �.1) RR �� �� HI� J� Sc �� )�� +��' � ����� �� %���� � �`�' �.1) RR ��
>���7R #2 M ����� ����� +��/2 �=H2�!� #2 f : (R, m) −→ (A, n) ���� ��� � �� � ����
�� +,-� �.�/� 00 1��� M ⊗R A ;�<�2 � ����� �6.���7A * �� $8� #2 S � ����=� ��.�� ��
C����� �� �� �2* ��� &: � �6���� +� S �� $8�
�+� Sc �� $8� �� +,-� �.�/� 00 1��� M kKl
����� �.�/� 00 1��� Aq
f−�(q)Aq�3 % q ∈ S − Supp(M ⊗R A) �� �* �� kLl
?���� �=�� q ∈ S − Supp(M ⊗R A) �� �* �� kMl
KL � )0
ht(q/f−�(q)) + dim(A/q) = dim(A/f−�(q)A).
�� � � ) � 1� ' � � Z) RR J� �� M � 4T� �� � 0 6 � �� (R, m) �)4 � �@ � � � � ;��� �� � ��� ��
�� � � a(M) := a(M). · · · . ad−�(M) ) � � ��� � i = �, · · · , d − � � ��� � %) � � � �� � � �� d ) 4 � ��
�&��� �� HI� J� �� �8<� �1�& 77 ��� +�� ]�8'�� ��� ��e� �� %ai(M) = AnnR(Him(M)) +�
m��, � E��� R/a(M) ∈ S
#2 M ���� ��� ��2��'� �6.��� 00 R * �� $8� #2 S � ����� � �3 % (R, m) �! �� � ����
����� �"���2* ���&: �� ����� ����=� ��.�� �� >���7R
R/a(M) ∈ S kKl
�+� S �� $8� �� +,-� �.�/� 00 1��� M kLl
&�'�( ���� �12�=I�� �3 % #2 * �2���B �2�<� R � ���� �� �J�=� DKL &�!� DML ;�<�2 �
����� �� N��� :�� O���� 12 P/Q
�06� J� �� ���,�/ ���w' �� �4T� �� �06� �� (R, m) !�� Cw* �� �6(� �@��� ����� �;��� ����
���w��� �� %���� � ������ ��� �1�& 77 ���
NCM(M) = {p ∈ Spec R|Mp is not Cohen − Macaulay}
����� aM +�> �1� E)�� ���� � � �h 1 %��� ��<� �� �q��@ Spec(R) �� �&<���� �U� 1� /� ' � � �8<�
%��� ��&� Z�&���� )� �' Z� E)�� ��� %NCM(M) = V (aM )
� ���� ��=R +� �.�/� 00 1��� �3 % #2* �2���B �2�<� �� ����� � �3 % (R, m) �" �� � ����
Gorenstein �
Zariski topology ��
KM � )0
���&: ����� ����=� ��.�� � � >���7R #2 M ���� ��� ��2��'��6.���7R * �� $8� #2 S
���.�����2*
�p ∈ min(S − Supp M) �� �* �� dimM = dim R/p 1��S!� � R/aM ∈ S kKl
�+� S �� $8� �� +,-� �.�/� 00 1��� M kLl
i1 �9 d���' ���� �,I' �1��� !��.> Cw* ��� E) � !�� Cw* ���� �� ��� EA�F�� +�� H��� ��
�8` �� J�U�1�� �. ����A�� �� �&� %),�� � ���' ���o� ��'�� ��5 ���06� �� !�� Cw* �� ��`�
��&</ �1 �� ����4' !��.> Cw* �� � ��� )�6� %��� �� �=�{�� �� ��&</ �� �� ?�4 ��1 ���@��`
%)���8� �� KL%K%N �1 %��� �=�{��
J� +� %T (L) := {N ∈ R−Mod| SuppR N ⊆ SuppR L} ��� � ��� � L +�> Z) RR � ��� �
� ��'�� �� �06� �� �� )�� ����� !�� Cw* �� %��� ��<� ��0�< d�` �Y' �� ��� �� HI�
� A1 ���' ���o� � ��'�� ��5 �� �06� �� )�� ����� �� ��9��� ���3��� %��� ���: ��� �� ���' ���o�
!�* �� L +�> �1) RR ���� �� �� ���' ���o� �� %�<�� ���: ��� ��
T (L) := {N ∈ R−Mod| SuppR N ⊆ SuppR L}.
2���4' [���� +�� �� �<��0 �=�{�� ��&</ �1 ���4' �� E��3��� �� %����: � ��h/ \���� ���' ���o� ),��
��e� ��Y��( ��9� %��� ����� �;��� ���' �� ���o� �� �8<� �.1) �� �.1� E)�� E��� !�.3 �� 26�=
%��� ����� ��8n� �� ���
� +� ����=� ��.�� �� a �� ���� ��� ��2��'� >���7R #2 M � ���� �2�T� T �# �� � ����
C��=-� ���� �2* ��� &: ;�<�2
�T − C. gradR(a, M) = T − K. gradR(a, M) kKl
T �2 � �U��� R �/�( V�� �� T −E. gradR(a, M) = T −K. gradR(a, M) = T −H. gradR(a, M) kLl
����� �2WB 92�!�
Lemma Acyclicites ��
Peskine ��
Szpiro ��
KN � )0
%��� ��� ���� �� !��.> Cw* �� �F�� �@���
?T��7M ��<�Q x ∈ a � R * ����=� ��.�� � � �.( &�2 a )>���7R #2 M �$ �� � ����
���=-� ���� �2* ��� &: ;�<�2 � ��2��'� ���� �2�T� T � T �� +,-� E���
�T − K. gradR(a, M) = T − K. gradR(a, M/xM) + � kKl
�T − C. gradR(a, M) = T − C. gradR(a, M/xM) + � kLl
�T − E. gradR(a, M) ≤ T − E. gradR(a, M/xM) + � kMl
T − H. gradR(a, M) ≤ T − H. gradR(a, M/xM) + � kNl
����� �2WB 92�!� T �2 � �U��� R �/�( V�� �� +� ���� ���-� DXL � DYL � kOl
m)�� E), C( �� �1��� ��� �� ��`� i1�9 �� ��� �� �1 �0
Cohen-Macaulayness with respect to Serre classes, Illinois J. Math. 2009, 67–85. kKl
On the notion of Cohen-Macaulayness for non Noetherian rings, J. Algebr 2009, 2297-2320. kLl