This article was downloaded by: [Moskow State Univ Bibliote]On: 26 October 2013, At: 08:36Publisher: Taylor & FrancisInforma Ltd Registered in England and Wales Registered Number: 1072954Registered office: Mortimer House, 37-41 Mortimer Street, London W1T 3JH,UK

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Quantentheorie undfünfdimensionalerelativitätstheorieVon Oskar Klein aa KopenhagenPublished online: 19 Aug 2006.

To cite this article: Von Oskar Klein (1986) Quantentheorie und fünfdimensionalerelativitätstheorie, Surveys in High Energy Physics, 5:3, 241-244, DOI:10.1080/01422418608228771

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Quantentheorie und funfdimensionale Relativitatstheorie. Von Oslirir Klcin in Ropenhagen.

(Eingegangen a m 88. April 1926.)

Arif dcii Colxenden Seiten rniichte ich auf einen einfachen Zusammenhang hin- wcisen zwischen dr r von K a I i i z a l) \-orgeschlagenen Theorie fur den Znsammen- h a n g zwischen Elektromagnetismus und Gravitrtion einerseits nnd der von d c I l r o g l i e 2) und S c h r o d i n g e r 3) angegebenen Methotle zur Behandlong dar Qu: in t~npr~i l~ leme anilererseits. Die Theorie von R a l u z a geht daranf hinaus, die z p h n 1.: i n .: t c i nschen Gravitationspotentiale ,qit und die vier kektromsgnetischen Potc.ntiale F~ i n Zusamnienhaqg zu hringen mit den Koeffizienten y i k eines Linienelein~ntes \-on einem Rl iemannschen Raum, der anUer den vier gewohn- 1ich.n Uiii iensionen nocli eine fiinfte Dimension cnthalt. Die Bewegnngsgleichongen d1.r elektrischen Teilchen nehmen hierbei auch in elektromagnetischen Feldern die G i ' s t a l t von Gieichungen geodatisr.hr*r Linien an. Wenn dieselben als Strahlen- glt.icliurigi,n gt,deutct ne rden , indeiii dic Materie a ls eine Art Wellenansbreitnng t l ~ ~ t r a r l i t ~ , t wird, koinnit m:in fast von selhst zu einer partiellen Differential- g l c i c h i i n ~ mveiter Orilnung, (l ie ills eine Verallgemeinerung der gewfihnlichen \Vrlienglcichun:: a n p ~ a i ~ l i i ~ n nerden kann. Werden nun solclie Losungen dieser ( i i e i c h a n g betraclitct. Iiei denen die fiinfte Dimension rein harmonisch anftritt mit einer hcsr iiiiiirten iiiit d e r PI ii n c kschrn Konstante zusammcnhangenden Periode, SO

lior~irnt ninii vlittn xi1 den o h n e r a i i h n t e n qunntentheorctischen Xethoden.

5 1 . F u n f d i m e n s i o n a l e R e l a t i v i t a t s t h e o r i e . Ich fange th in i t . i i n , cine kurze Darstellung von der fiinfdimensionalen Relativitits- theorie z u &en, die sich nahe an die Theorie von K a l u z a anschlieot, aher i n eiiiigen Punkten voii derselberi ahweicht.

Bet iwhten wir ein fiinfdirnensionales R i ernannsches Linienelement, fur n-clclics wir einen v o ~ n E;oordiriatens~stern unabhangigen Sinn postu- livren. \\'ir sclireilien dasse1l)e:

(/G = z y i k ( / , r t d x k , (1) wo (!,is Zriclirii 2'. wie uherall irn folgenden, eine Summation tiber die doppelt \-orlcomm~nden lndizes von 0 his 4 angibt. Hierbei bezeichnen rn . . . die funf Iioordinaten des Raumes. Die 1.5 GrijDen y i k sind die kovari<iii ten Koniponenteii eines funfdirneiisionalen syrnrnetrischen Tensors. Uiii vlm drnsellwn zu drii (+riiOen g r k und 'pi der gemahnlichen Relativi- tiitstlicorie zu kominen, mussen wir gewisse spezielle Annahmen machen. 1':rsteii.d rniisnrn vier der Koordinuten, sagen wir d , 3, z8, P', steta den gr.wrihiilic.hrn Zeitrauni cliarakterisieren. Zweitens diirfen die Gr6Sen

1) l 'h . K a l i i x a , S i t z i i n g s b e r . d. Berl. Akad. 1921, S. 966. 2) I-. t i t , B r o g l i c , Ann. d. Phya. (10) 3, 22, 1925. " ) I < . S r h r ; i r i i n g e r , Ann. d. Phy3. 79, 3G1 und 189, 192G.

Theses, Paris 1924.

ZeirsLhrilt lur Physik. Bd. XXXVII. 59

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sich die Wellen nach den Gesetzen der geometrischen Optik ausbreiten. Es mag noch hervorgehoben werden, daD wegen (42) die Beziehunpen (44), (45) bei den Roordinatentransformationen ( 2 ) invariant bleiben.

Betrachten wir nun auch die Gleichung (24) in dem Falle, wo w nicht so poi3 ist, daO wir nur die in w quadratischen Glieder zu beruck- sichtigen brauchen. Wir beschrilnkeii uns dabei auf den einfachen Fall eines elektrostatischen Feldes. Dann haben wir in 'kartesischen Koor- dinaten :

\ (46) d 8 = d z O - e F F d t .

ds4 = d x 2 + d?yg + d t ; ' - r S d t 2 . 1 Also ergilk sich

In der Gleic>liung (24) k6nnen a i r nun die mit (i:) proportionalen

GroDen \ ernachlawigen, denn die Dreiindizessymbole sind in diesem Falle nach ( 1 7 ) kleine mit der Gra i itationskonstante x proportionale GroOen. \\-ir bekornmen also l )

Fur I' konnen wir, da I- nur von x, ? I , z abhingt , in CJbereinstimmung mit ( 4 3 und (4.5) ansetzen:

Dies in (48) eingefulirt, ergibt:

Setzen n i r nnch: hv = 1)1? + E,

(49)

so bekommen n-ir die von S c h r G d i n g e r *) gegehene Gleichung, deren stehende Schainpr ipen bskanntlich Werten von E entsprecheri, die mit

l ) AnBer durch das Auftreten ron xo, das ja fur die Anwendungen unwesentlich ist, unterscheidet s i rh diese Gleichung von der S c h r o d i n g r r s c h e n Gleichung durch dip -413 in welcher in (48) die Zeit auftritt. Als leine Stutee fur diese Form der Quantengleichnng kann angefiihrt werden, daE dieselbe in dem Fall, wo V harmonisch von der Zeit abhangt, wie man dorch eine einfache SMrnngsrechnung zeigen kann, Losungen hesitet, die sich in ahnlicher Weise zn der Dispersions- theorie yon K r a m e r s vprhalten wie die Schri idingerschenL~snngenzoderQuanten- theorie der Spektrallinien. Diese Bemerknng verdanke ich Dr. W. H e i s e n b e r g .

-

*) S c h r o e g e r , 1. c.

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den aus der H e i s e n be r g schen Quantentheorie berechneten Energie- werten identisch sind. Wiezman sieht, ist E in dem Grenzfall der geo- metrischen Optik gleich der auf gewohnliche Weise definierten mecha- nischen Energie. Die Frequenzbedingung besapt. wie S c h r o d i n g e r hervorgehoben hat, nach (51), d a b die zu dem System gehorenden Licht- frequenzen den aus den rerschiedenen Werten der Frequenz v gebildeten Uifferenzen gleich sind.

3. S c h l u B b e m e r k u n g e n . Wie die Arbeiten von d e B r o g l i e sind ohenstehende Uberlegungen aus dem Bestreben entstanden, die Analogie zwischen Mechanik und Optik, die in der H a m i l t o n s c h e n Methode zum Vorschein kommt, fur ein tieferes Verstandnis der Quanten- crscheinungen auszunutzen. Dab dieser Analogie ein reeller physi- kalischer Sinn zukommt, scheint ja die Ahnlichkeit der . Bedingungen fur die stationaren Zustinde von Atomsystemen mit den Interferenz- erscheinungen der Optik anzudeuten. Kun stehen hekanntlich Begriffe wip Punktladung und materieller Punkt schon der klassischen Feld- phvsik fremd pepniiber. Auch wurde ja ofters die Hypothese aus- gespproclien, da8 die materiellen Teilchen als spezielle L6sungen der Feldgleichungen aufzufassen sind, welche das Gravitationsfeld und das elektromagnetische Feld hestimmen. Es liegt nahe, die genannte Ana- logie zu dieser Vorstellung in Beziehung zu bringen. Denn nach dieser Hypothese ist es ;a nicht so befremdend, daB die Bewegung der mate- riellen Teilchen Ahnlichkeiten aufweist niit der -4usbreitung von Wellen. I)ie i n Rede stehende Analogie ist jedoch unvollstandig, solange man eine \~el lenausbrei t i i t~g in einem Raum von nur vier Dimensionen be- traclitet. Pies kommt schori in der variablen Geschwindigkeit der materielleti Teilchen zum Vorschein. Denkt man sich aber die beob- aclitete I3eneguiig als eine -4rt Projektion auf den Zeitraum von einer \Vrllenausbreitung. die in einem Raum von fiinf Dimensionen stattfindet, so liiDt sicli. wie wir salien, die Analogie Tollstandig machen. Nathe- nintisrh ausgeclriickt heifit dies, daO die H a m i l t o n - , J a c o b i s c h e Glei- cliung niclit als Charakteristikellgleichung einer vierdimensionalen, wohl :rber einer fiitiftlimetisionalen \\-ellengleichung aufgefafit a-erden kann. I n dieser \\'-eke wird man zu der Theorie von K a l u z a gefiihrt.

Obwohl die Einfiihrung einer fiinften Dimension in unsere physi- kalischen Betrachtungen von vornherein befremdend sein mag, wird eine radikale AIodifikation der den Feldgleichungen zugrunde gelegten Geornetrie do rh wieder in ganz anderer Weise durch die Quantentheorie nahegelegt. Denn es ist hekanntlich immer weniger wahrscheinlich

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gewxtlen, daD die Quantenerscheinungen eine einheitliche raumzeitliche Beschreihung zulassen, wogegen die Noglichkeit, diese Erscheinungen durch ein System von funfdimensionalen Feldgleichungen darzustellen, wohl nirht von rornherein auszuschlieUen ist I). Oh hinter diesen An- deutungen r o n Moglichkeiten etwas Wirkliches besteht, muD naturlich die Zukunft entscheiden. Jedenfalls mu6 betnnt werden, daD die in dieser Note rersuchte Behnndlungsmeise, sonohl \\:as die Feldgleichungen als auch die Theorie der stationaren Zustande betrifft, als ganz prorisorisch zu hetrachten ist. Dies kammt wohl besonders in der auf S. 898 er- wahnten scliematischen Behandltmgsmeise der Materie zum Vorschein, sowie in den1 Vnistand. da5 die z n e i Arten von elektrischen Teilchen durch verschiedene (ileichungen vom S c h r t i d i n g e r s c h e n Typus hehandelt werden. Auch wird die Frage ganz offen gelassen, oh nian sich hei der Beschreihung der pliysikalischen Vorgange mit den 14 Potentialen he- gniigen kann, oder oh die S c h r i j d i n g e r s c h e Methode die Einfiihrung piner neucn ZustandsgrbDe bedeutet.

JIit den in tlieser S o t e mitgeteilten ifberlegungen habe icd mich sowohl in dem Physikalischen Inst i tut der University of Jlichigan, Ann Arhor, wie in tlem hiesigen Institut fur theoretische Physik heschiGtigt. Xch mijchte auch an dieser Stelle Prof. H. .\I. R a n d a l l und Prof. N. B o h r meinen warmsten Dank aussprechen.

:) Hernerkungen tlieser Art, die Prof. B o h r bei mehreren Gelegenhciten geinacht hat, h a h e n e inm entschiedenen Einflnll auf dss Entstehen der vor- liegenilen Sntp gehabt.

Acknowledgement

The above was originally published in Zeilschrfft fur Phvsik 37,894-906 (1926), excerpts: : pp, 895, 9044906. Copyright Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. Reproduced with I

permission.

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