krivi od vtor red
DESCRIPTION
ÂTRANSCRIPT
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 1
Voved
Predmet na analiti~kata geometrija e prou~uvawe na geometriskite objekt (to~ki, linii,
ramnini i dr.) i nivnite zaemni polo`bi vo prostorot so pomo{ na metodite na algebrata.
Prv najva`en ~ekor na analita~kata geometrija e napraven so voveduvaweto na koordinatniot
sistem i opredeluvawe na polo`bata na koja bilo to~ka vo ramninata (prostorot) so pomo{ na broevi -
nare~eni koordinati na taa to~ka. Na ovoj na~in ima mo`nost da so broevi i brojni izrazi da se
izrazuvaat i poslo`eni geometriski objekti. Vakviot na~in e nare~en metod na analiti~kata geometrija
ili metod na koodinati.
Analiti~kata geometrija ima dve osnovni zada~i, toa se:
1. Da ja sostavi ravenkata na dadena linija (mno`estvo od to~ki) vo ramninata ili
prostorot, {to e opredelena so svoite svojstva, i
2. Da gi prou~i i sistematizira site geometriski svojstva na edna linija, {to e zadadena
so nejzinata ravenka.
Da go razgledame pra{aweto na sostavuvawe na ravenki na nekoi krivi linii poznati kako
krivi od vtor red ili konusni preseci: kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola.
Ovie krivi, kako {to se gleda od crt. 1 se dobivaat vo presekot na ispravena konusna povr{ina
so ramnina vo razli~na polo`ba, pa ottamu i imeto konusni preseci.
Crt. 1
Ravenkite na ovie krivi se ravenki od vtor stepen po promenlivite h i u ( koordinati na
to~kite) t.e. ravenki od vidot:
022 FEyDxCyBxyAx
kade {to A,B,C,D,E,F se realni broevi , barem eden od koeficientite A,B,C e razli~en od nula. Zatoa
ovie krivi se poznati u{te i kako krivi od vtor red.
Zabele{ka : Krivite od vtor red bile izu~uvani u{te od starogr~kite matemati~ari (Arhimed,
Evklid, Apolonij i dr.) i tie glavno girazgleduvale kako presek na konus so ramnina.
Apolonioj od Perga vo svoeto delo "Konusni preseci" vo osum knigi, ja razviva teorijata na
krivite od vtor red, strogo i sistematski, so tolkava celosnost , taka {to dva mileniuma nemalo {to
da i se dodade ili odzeme. Toj gi razgleduval krivite od vtor red kako preseci na k onus so ramnina, a
voedno toj gi dal i aktuelnite imiwa na tie preseci: kru`nica, elipsa, hiperbola i parabola. .
Interesot za nivno detalno izu~uvawe osobeno se zgolemil po otkritieto deka planetite se
dvi`at po krivi (traektorii) {to pretstavuvaat elipsi ( vo po~etokot na XVII vek), i ottoga{ po~nalo
izu~uvaweto na krivite od vtor red so metodite na analiti~kata geometrija.
Kru`nica. Ravenka na kru`nica
Definicija: Kru`nica e mno`estvo na site to~ki M (x,y) vo
ramninata xOy koi se na ednakvo rastojanie r od dadena to~ka S( p,q) vo
taa ramnina.
So drugi zborovi, kru`nica K e mno`estvoto
rSMyxMK |),( …………………..……………….... (1)
To~kata S ja vikame centar, a rastojanieto r radius na kru`nicata.
Sega }e vidime kako se nao|a ravenkata na kru`nicata. Od
definicijata sleduva deka za koja bilo to~ka M(x,y) K va`i:
rSM odnosno 22
rSM . Koristej}i ja formulata za rastojanie me|u
dve to~ki t. e.
212
2122121 )()( yyxx),Md(MMM rastojanieto SM go izrazuvame so koordinatite na to~kite
M(x,y) i S(p,q) i ravenstvoto (1) go zapi{uvame vo vidot:
222 rq)(yp)(x ……………………………………………………………………....……………….(2)
y
x
r
M(x,y)
S(p,q)
Crt.1
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 2
Ravenkata (2) pretstavuva ravenka na kru`nica so centar vo to~kata S(p,q) i radius r vo normalen
vid. Ako centarot na kru`nicata se sovpa|aa so koordinatniot po~etok O, toga{ p=q=0 i ravenkata
(2) na kru`nicata go dobiva vidot:
222 ryx …………………..………………………..………………………………….(3)
i se narekuva centralna ravenka na kru`nicata.
Primer 1: Da ja sostaveme ravenkata na kru`nicata so radius r
=5 i centar vo S (2,-4).
Re{enie: Ako vo ravenkata (2) zamenime r=5, p=2, q=-4, dobivame
25)4()2( 22 yx
Primer 2: Ravenkata na kru`nicata so centar vo koordinatniot
po~etok i radius 7 }e glasi: 4922 yx
Sega }e poka`eme deka, ravenkata na kru`nicata e specijalen
slu~aj na op{tata ravenka od vtor stepen
0FEyDxCyBxyAx 22 ……………………..………...………………..(4)
Navistina, ako vo ravenkata na kru`nicata (2) gi razvieme
kvadratite na binomite, dobivame:
022 22222 rqpqypxyx ……………………….………..…………………….(5)
Sporeduvaj}i gi ravenkite (4) i (5) zaklu~uvame deka, ravenkata (4) mo`ebi }e pretstavuva
ravenka na kru`nica ako se ispolneti relaciite: 0,0 BCA pri koi taa ima vid :
0FEyDxAyAx 22 ………………………….………………………………………….…………(6)
ili ako dvete strani gi podeleme so A dobivame:
0A
Fy
A
Ex
A
Dyx 22 ………………………….…………….……..…..………………….(7)
Sporeduvaj}i ravenkite (5) i (6) sleduva deka:
A
Fqpr
A
Frqp
A
Eq
A
Eq
A
Dp
A
Dp
222222
22
22
………………………...…………………………….…..…………..(8)
od kade {to sleduva:
AFEDAA
AFED
A
F
A
E
A
D
A
Fqpr 4
2
1
4
4
44
22
2
22
2
2
2
222
………..….....…(9)
Zna~i, (4) pri uslov ravenkata 0,0 BCA , geometriski mo`e da pretstavuva:
1. kru`nica-ako AFED 422 >0;
2. to~ka-ako AFED 422 =0
3. prazno mno`estvo(ni{to)- ako AFED 422 <0.
Ravenkata na kru`nicata vo oblikot (6) ja vikame op{t vid ravenka na kru`nica.
Primer 3: Da gi opredeleme centarot i radiusot na kru`nicata.
09128044 22 yxyx
Re{enie: Prvo da proverime dali e ispolnet uslovot dadenata ravenka da pretstavuva
kru`nica. Za koeficientite na dadenata kru`nica imame: A=C=4, B=0, D=80, E=12, F=9, {to zna~i
prviot uslov (6) e zadovolen.
Bidej}i ,014401446400940412804 2222 AFED zadovolen e i vtoriot uslov, pa sleduva
deka dadenata ravenka e ravenka na kru`nica. Ako koeficientite A,D E i F gi zamenime vo relaciite
(9) dobivame: ,1042
80
p ,
2
3
42
12
q ,100
4
9
4
91002 r a potoa niv gi zamenuvame so
ravenkata (2) i ja zapi{uvame ravenkata na kru`nicata vo normalen vid: 100)2
3()10( 22 yx .
Zabele{ka : Vo praktikata, naj~esto op{tiot vid na ravenkata na kru`nicata go sveduvame vo normalen
vid taka {to kvadratniot i liniarniot ~len po x i y gi nadopolnuvame do poln kvadrat . Taka za
dadenata ravenka imame:
09128044 22 xxyx 04
932022 xxyx
22
2 20
2
20
2
20xx +
22 3
2
3yy
2
2
30
4
9
x
r
M(x,y)
SO
Crt.2
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 3
2)10(x 0100
2
2
3y t. e. 2)10(x 0100
2
2
3y
Primer 4: Da ja najdeme ravenkata na kru`nicata {to gi dopira dvete koordinantni oski i minuva
niz to~kata A (2,1).
Re{enie: Vo ovoj slu~aj o~igledno e deka p=q=r, pa so zamena na x,y so koordinatite na to~kata A
vo ravenkata na kru`nicata (2) dobivame:
222 )1()2( rrr 222 2144 rrrrr
0562 rr t. e. 11 r i .52 r
Spored toa, dobivame dve kru`nici koi gi zadovoluvaat uslovite na zada~ata. Nivnite ravenki se:
1)1()1( 22 yx i 25)5()5( 22 yx
Primer 5: Da ja najdeme ravenkata na kru`nicata koja minuva niz to~kite A(-1,2) i B (6,9), a
centarot i e na x-oskata.
Re{enie: Bidej}i centarot S le`i na x -oskata, negovite koordinati se p i q=0, t. e. S(p,0), pa
ravenkata na kru`nicata }e bide:222 )0()( rypx t. e.
222)( rypx . So ogled na toa deka
kru`nicata minuva niz to~kite A i B, nivnite koordinati ja zadovoluvaat ravenkata na kru`nicata, pa
imame:
222 2)1( rp i 222 9)6( rp , od kade 811236221 22 pppp , 11214 p
8p .
Ako vrednosta 8p ja zamenime vo edna od prethodnite ravenki go dobivame radiusot na
kru`nicata r, t. e. 854812)81( 22 r . Ravenkata na baranata kru`ni ca e .85)8( 22 yx
Primer 6: Da ja opredeleme ravenkata na kru`nicata {to minuva niz to~kite A(2,3) i B(-1,1), a
centarot i le`i na pravata l : 0113 yx .
Re{enie: Da ja ozna~ime so K baranata kru`nica. Bidej}i centarot S (p,q) le`i na dadenata prava
imame: .0113 qp Od uslovot KA ,)3()2( 222 rqp a od KB .)1()1( 222 rqp
Zna~i, za opredeluvawe p,q i r dobivame sistem od tri ravenki so tri nepoznati:
222
222
222
1364
113
rqpqp
rqpqp
qp
222 222
1146
113
rqpqp
qp
qp
.
2
652
52
7
2
r
q
p
Sleduva, ravenkata na baranata kru`nica e:
2
65)
2
5()
2
7( 22 yx
2. Zaemna polo`ba na prava i kru`nica
Od dosega{noto izu~uvawe na geometrijata poznato ti e deka dadena prava l i kru`nica K mo`e da
imaat edna od slednive tri zaemni polo`bi:
1. pravata i kru`nicata imaat dve zaedni~ki to~ki, odnosno pravata ja se~e kru`nicata,
2. pravata i kru`nicata imaat edna zaedni~ka to~ka, odnosno pravata ja dopira kru`nicata ,
3. pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.
Ako pravata i kru`nicata se zadadeni so nivnite ravenki, toga{ postapkata za utvarduvawe na
ovie odnosi se sveduva na re{avawe sistem od edna linearna i edna kvadratna ravenka
022 FEyDxAyAx
nkxy
Imeno, vidovme deka sistemot mo`e da ima: dve realni re{enija (pravata ja se~e kru`nicata); edno
re{enie (pravata i kru`nicata imaat edna zaedni~ka to~ka) i nema re{enie (pravata i kru`nicata
nemaat zaedni~ki to~ki).
Sega }e ja razgledame zaemnata polo`ba na p rava i kru`nica koristej}i go aparatot na
analiti~kata geometrija . Neka se dadeni kru`nicata i pravata 222 )()(: rqypxK ili
nkxyl : - vo ekspliciten vid, 0 nykx - vo op{t vid.
Ako so d go ozna~ime rastojanieto na centarot S (p,q ) na kru`nicata K do pravata l mo`ni se
slednite tri slu~ai:
a) ako d > r, toga{ Kl , t. e. pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki (crt. 1);
b) ako d = r, toga{ TKl , t. e. pravata i kru`nicata imaat edna zaedni~ka to~ka (dopirna)
to~ka T, odnosno pravata l e tangentana kru`nicata K (crt.2);
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 4
v) ako d < r, toga{ NMKl , , pravata i kru`nicata imaat dve zaedni~ki to~ki, t. e.
pravata ja se~e kru`nicata K, i vikame l e sekanta na kru`nicata K (crt.3).
y
x
d>r
l
S
O
k Crt.1
y
d=rl
S
O
k
T
Crt.2
y
d<r
lS
O
k
M
N
Crt.3
Spored formulate za rastojanie od to~ka do prava, za rastojanieto d od centarot S (p,q) na
kru`nicata K do pravata l imame:
1
||
2
k
nqkpd ………………………………………………………………………………………………...…(1)
pa pogore iska`anite uslovi za zaemnata polo`ba na pravata i kru`nicata ja dobivaat slednava
analiti~ka forma:
a) ako d > r 1|| 2 krnqkp , odnosno ),1()( 222 krnqkp pravata l i kru`nicata K
nemaat zaedni~ki to~ki;
b) ako d = r 1|| 2 krnqkp , odnosno ),1()( 222 krnqkp pravata l }e ja dopira
kru`nicata K, i toga{ relacijata
)1()( 222 krnqkp …...………………………………………………………………………………(2)
}e pretstavuva uslov za dopir na prava l i kru`nica K,
v) ako d < r 1|| 2 krnqkp , odnosno ),1()( 222 krnqkp pravata l i kru`nicata K imaat
dve zaedni~ki to~ki.
Specijalno, ako kru`nicata K e so centar vo koordinatniot po~etok, toga{ p=q=0 , pa gornite
uslovi vo ovoj slu~aj glasat:
a) ako d > r )1( 222 krn , pravata l i kru`nicata K nemaat zaedni~ki to~ki;
b) ako d = r )1( 222 krn , pravata l ja dopira kru`nicata K i relacijata
222 )1( nkr ………………………………………..…………………………………………………..………(3)
pretstavuva uslov za dopir na pravata l i centralna kru`nica K;
v) ako d < r )1( 222 krn , pravata l i kru`nicata K imaat zaedni~ki to~ki.
Primer 1: Da ja ispitame zaemnata polo`ba na pravata 05: yxl i kru`nicata
25)2()1(: 22 yxK .
Re{enie: Kru`nicata e so centar vo to~kata S (1,2) i radius r=5. Rastojanieto d od centarot S (1,2)
do pravata e:
242
8
11
|521|
22
d 322 d
Bidej}i 22 2532 rd sleduva d > r, t. e. pravata l i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.
Zabele{ka : Do istiot zaklu~ok }e dojdeme i ako go razgledame re{enieto na sistemot ravenki:
025)2()1(
0522 yx
yx
025)25()1(
522 xx
xy
025122
52 xx
xy
Diskriminatata D na kvadratnata ravenka e: 056200144 D , pa sleduva deka sistemot nema
realni re{enija, t. e. pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.
Primer 2: Da ja ispitame zaemnata polo`ba na pravata 02: yxl i kru`nicata
.0282: 22 yxyxK
Re{enie: Koordinatite na centarot i radiusot na kru`nicata se:
.15,4,1 2 rqp Za rastojanieto od centarot do dadenata prava imame: .2
1
11
|241|
d
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 5
Sleduva: ,152
1 22 rd t. e. rd , {to zna~i pravata ja se~e kru`nicata. Neka
NMKl , . Da gi opredelime koordinatite na prese~nite to~ki M i N. Imame:
0282
222 yxyx
xy
02)2(82)2(
222 xxxx
xy
053
22 xx
xy
2
293
2
2,1x
xy
Sleduva, prese~nite to~ki na pravata i kru`nicata )2
297,
2
293(
M i )
2
297,
2
293(
N
Primer 3: Za pravata kxyl : da gi opredeleme verdnostitena parametarot k taka {to taa:
a) ja presekuva kru`nicata ;01610: 22 xyxK
b) ja dopira kru`nicata;
v) nema zaedni~ka to~ka so taa kru`nica.
Re{enie: Koordinatite na centarot na kru`nicata se ,5p
0q i .92 r Rastojanieto d od centarot na kru`nicata do pravata e:
1
|5|
)1(
|0)5(|
222
k
k
k
kd ili .
1
252
22
k
kd
a) Uslovot d < r ,odnosno 22 rd e ispolnet ako 9
1
252
2
k
k
9925 22 kk 916 2 k
4
3|| k . Zna~i, pravata ja presekuva
kru`nicata za site vrednosti na k takvi {to: .4
3
4
3 k
b) Sli~no kako pod a), od uslovot d = r, dobivame .4
3k Zna~i, imame dve pravi {to ja dopiraat
kru`nicata; xyl4
3:1 i .
4
3:2 xyl Dopirnite to~ki KlTKlT 2211 , }e gi najdeme kako
re{enija na sistemite:
01610
4
3
22 xyx
xy i
01610
4
3
22 xyx
xy
soodvetno, od kade dobivame: )5
12,
5
16(1 T i )
5
12,
5
16(2 T (crt. 4).
v) Za
4
3|| k , t. e.
4
3k ili ,
4
3k pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.
Primer 4: Da ja opredelime zaemnata polo`ba na pravata 010: yxl i kru`nicata
.1: 22 yxK
Re{enie: Da go re{ime sistemot ravenki:
1
01022 yx
yx
099202
102 xx
xy
Bidej}i diskriminanta na kvadratnata ravenka 099202 2 xx e ,0392 D zaklu~uvame deka
pravata i kru`nicata nemaat zaedni~ki to~ki.
Primer 5: Da ja opredelime ordinatata q na centarot S na kru`nicata ,20)()5(:)( 22 qyxk
taka {to kru`nicata ja dopira pravata 012:)( yxl .
Re{enie: ]e go koristime uslovot (2) za dopir na prava i kru`nica. Od ravenkite na pravata i
kru`nicata nao|ame: ;2
1,
2
1 nk centarot na kru`nicata e vo to~kata S (5,q) i .202 r Sega, od uslovot
za dopir imame: )14
1(20)
2
1
2
5( 2 q ,25)3( 2 q od kade dobivame 81 q i .22 q Zna~i, postojat
dve kru`nici koi go ispolnuvaat dadenipt uslov: 20)8()5(: 221 yxK i .20)2()5(: 22
2 yxK
3.Ravenka na tangenta i normala vo to~ka od kru`nicata
y
x
l1
S O
k
T1
T2
l2Crt.4
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 6
Vo prethodnata to~ka go razgledavme slu~ajot koga pravata l dopira dadena kru`nica K vo
edna nejzina to~ka M, koja ja narekuvame dopirna to~ka. Od geometrijata znaeme deka tangentata mt
vo dadena to~ka M od kru`nicata e normalna na pravata {to minuva niz centarot S na kru`nicata i
to~kata M, t. e. mt SM (crt. 1). Vrz osnova na ovie fakti }e ja odredime ravenkata na tangentata vo
dadena to~ka M od kru`nicata.
Neka se dadeni kru`nicata K so ravenka vo normalen vid
222 )()(: rqypxK ………………………….…………..…………….………………………(1)
i to~kata .),( 11 KyxM Pravata niz centarot na kru`nicata S (p,q) i
),( 11 yxM ima ravenka: ).(: 11
11 xx
px
qyyySM
Od uslovot
mt SM ,
go nao|ame koeficientot na pravecot na tangentata ,tk t. e.
qy
px
px
qykt
1
1
1
1
1 pa ravenkata na tangentata glasi:
mt )(: 11
11 xx
qy
pxyy
ili
0))(())(( 1111 yyqyxxpx ……………………………………………..…….…….……………(2)
]e ja transformirame ravenkata (2) vo vod pogoden za pamtewe i primena. Bidej}i ,),( 11 KyxM va`i:
221
21 )()( rqypx ………………………………………………………….….………………………….(3)
Ako gi sobereme ravenkite (2) i (3), po sreduvawe, dobivame:
221
211111 )()())(())(( rqypxyyqyxxpx
2111111 )()( rqyyyqypxxxpx
211 ))(())(( rqyqypxpx ………………………..…………….……..……………………….(4)
Ravenkata(4) e ravenka na tangenta na kru`nica vo to~kata .),( 11 KyxM
Specijalno, ako K e centralna kru`nica, t. e. ,: 222 ryxK toga{ ,0 qp pa ravenkata na
tangentata (4) dobiva vid:
211 ryyxx ………………………………………..……………………………………..….(5)
Primer 1: Da napi{eme ravenka na tangenta na kru`nicata ,0192: 22 xyxK vo to~kata
).)(0,1( KTyT
Re{enie: Prvo ja opredeluvame ordinatata na to~kata T od uslovot 019121: 22 yKT
.4y Poradi uslovot ,0y go zemame samo re{enieto ,4y pa sleduva dopirnata to~ka da e
).4,1(T Sega ravenkata na kru`nicata K ja sveduvame normalen vid ,20)1( 22 yx od koj, soglasno so
ravenkata (4), ja dobivame ravenkata na baranata tangenta:
20)4)(04()1)(11( yx ili 0172: yxtt .
Primer 2: Vo presekot na pravata 0257: yxl i kru`nicata 2522 yx se konstruirani tangenti.
Da gi napi{eme nivnite ravenki.
Re{enie: Prese~nite to~ki na pravata i kru`nicata se re{enijata na sistemio ravenki:
25
025722 yx
yx
4,3
3,4
21
21
yy
xx. Sleduva, prese~nite to~ki na pravata i
kru`nicata se: ),4,3(),3,4( 21 TT pa ravenkite na tangentite }e
bidat 02534:1 yxt i .02543:2 yxt
Primer 3: Od to~kata M (1,6) se konstruirani tangenti na
kru`nicata .019222 xyx Da gi najdeme ravenkite na tangentite.
Re{enie: Poznato e deka od edna nadvore{na to~ka M na kru`nicata K
mo`e da se konstruiraat dve tangenti (crt. 2). So dopolnuvawe do poln
kvadrat ja zapi{uvame kru`nicata vo normalen vid ,20)1(: 22 yxK
za koja )0,1(S i .202 r Neka ravenkata na tangentata e
.: nkxyt ……………………………………………………………….(1)
vo koja treba da gi opredelime koeficijentite k i n. Bidej}i tM nejzinite koordinati ja
zadovoluvaat ravenkata (1), t. e . imame:
nk 6 ……………………………………………..………………………….……….(2)
y
d=rtM
S
O
k
T
Crt.1
y
S O
M
T1
rr
T2
Crt.2
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 7
Uslovot za dopir na pravata (1) i kru`nicata K vo dadeniov slu~aj e
),1(20)0)1(( 22 knk odnosno 2020)( 22 knk ili
.020219 22 nknk …………………………….……………………..…....(3)
Zna~i, za opredeluvawe na k i n go imame sistemot ravenki:
020219
622 nknk
nk..................................................................(4)
~ii re{enija se: 2,2
121 kk i .8,
2
1121 nn So zamena vo (1) gi dobivame tangentite:
0112:1 yxt i 082:2 yxt
Pred da go re{ime sledniot primer da se potsetime na defenicijata za normala na
kru`nica:normala na kru`nicata vo dadena to~ka od nea e pravata {to e normalna na tangentata vo
dadenata to~ka.
Primer 4: Niz to~kata N (2,3), da povle~eme normala na kru`nicata 0142: 22 yxyxK .
Re{enie: Prvo da proverime dali to~kata N (2,3) pripa|a na kru`nicata. Bidej}i
0201342232 22
Sleduva deka to~kata N ne e na kru`nicata. Od definicijata za normala na kru`nica sleduva deka
normalata mora da minuva niz centarot na kru`nicata. Ravenkata na kru`nicata K vo normalen vid e
6)2()1( 22 yx od kade nao|ame .6),2,1( 2 rS Ravenkata na normalata n }e ja opredelime kako
ravenka na prava niz dve to~ki N i S )2,1(,3,2( SN . Sleduva )1(12
232:
xyn t. e. 075 yx
Primer 5: Da opredelime pod koj agol se gleda kru`nicata 13)1()2(: 22 yxK od to~kata M
(3,6)?
Re{enie: Baraniot agol e agolot me|u tangentite konstruirani od to~kata KM do kru`nicata
K .Neka ravenkata na tangentata e .: nkxyl Od uslovot lM , dobivame 6=3k + n, a od uslovot za
dopir na pravata l i kru`nicata K imame: ).1(13)12( 22 knk Zna~i za da gi opredelime k i n, go
dobivame sistemot
.
)1(13)12(
6322 knk
nk Otkako }e go re{ime gorniot sistem gi nao|ame tangentite:
01232:1 yxt i .02123:2 yxt Koeficientite na pravci na tangentite 1t i
2t se
3
21 k i
2
32 k soodvetno. Bidej}i ,121 kk sleduva .21 tt Zna~i, od to~kata M kru`nicata se gleda pod
prav agol.
4. Elipsa. Centralna ravenka na elipsa
1. Poimot elipsa ti e poznat od geometrijata, geografijata, fizikata i dr. Ovaa kriva e od golema
prakti~na va`nost vo mnogu oblasti, od umetnosta do astronomijata. Na primer, kru`en objekt gledan od
persperktiva prestsvuva elipsa, prirodnite i ve{ta~kite sateliti se dvi`at po elipti~ni pateki.
Ottamu proizleguva i potrebata za nejzino detalno prou~uvawe.
Geometriskata definicija na elipsata e slednata.
Definicija: Elipsa e mno`estvo so site to~ki M ( x,y ) vo ramninata takvi {to zbirot od
rastojanijata do dve fiksni to~ki 1F i 2F od istata ramninae konstanten.
To~kite 1F i 2F se vikaat fokusni to~ki ili fokusi na elipsata, a sredi{nata to~ka S na
otse~kata 1F 2F - centar na elipsata. Zna~ki, elipsa e mno`estvoto
aFMFMyxME 2),( 21
Ovaa definicija za elipsata mo`eme da ja potvrdime nagledno so edna mnogu ednostavna
prakti~na postapka, ilustrirana na crt. 1. Izbirame dve fiksni to~ki 1F i 2F i okolu niv zavitkuvame
jamka od konec so dol`ina l, taka {to konecot da ne e optegnat, odnosno
.2 21FFl So vrvot na moliv go optegnuvame konecot do to~kata M, a
potoa go vle~eme po ramninata dr`ej}i go konecot optegnat. Na ovoj
na~in }e iscrtame elipsa (crt. 1), pri {to za proizvolna to~ka M va`i:
lFFFMFM 2121 ili .2121 FFlFMFM
Zna~i, ako to~kata M se dvi`i po elipsata zbirot 21 FMFM sekoga{
ila konsntantna vrednost .21FFl
M
F1 F2
Crt.1
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 8
Za da ja ispitame elipsata i da ja opredelime nejzinata
ravenka vo poednostaven vid, najpogodno e da ja razgleduvame
vo izbran pravoagolen koordinaten sistem za koj
koordinatniot po~etok e vo centarot S na elipsata, a x-
oskata minuva niz fokusite 1F i
2F (crt. 2). Ako
rastojanieto od centarot O do edniot i drugiot fokus e s ,
toga{ )0,(1 cF i ).0,(2 cF Prese~nite to~ki na elipsata so
koordinatnite oski se temiwa na elipsata: 21, AA so x-
oskata i 21, BB so y- oskata. Otse~kata
21 AA se vika golema
oska, a otse~kata 21BB mala oska za elipsata. Zabele`uvame
deka, spored gornite opredeluvawa, elipsata e simetri~na
kako vo odnos na golemata, taka i vo odnos na malata oska.
Neka dol`inata na golemata oska e ),(2 caa a dol`inata na malata oska b2 t. e.
.2,2 2121 bBBaAA
Brojot a go vikame golema poluoska, a b mala poluoska za elipsata.
Rastojaniata na to~kata EM do fokusite, 11 rFM i ,22 rFM gi narekuvame fokusni radiusi
za to~kata M (crt. 3). ]e poka`eme deka za proizvolna
to~ka ,),( EyxM va`i
aMFMF 221 ….……………………………………….(1)
Navistina, ako to~kata M se dvi`i po elipsata,
spored definicijata, sumata 21 MFMF ne se menuva {to
zna~i deka taa e ista i za to~kite 1A i
1B t. e. va`i:
11FA 211121 FBFBFA ………..…...…………(2)
Poradi simitri~nosta 1F i
2F vo odnos na S
imame
2111 FBFB …………………………………………………………………………...…(3)
pa so zamena vo (2) nao|ame:
212111 2 FBFAFA …………..………..….…..……………………………………………(4)
No, isto taka (poradi simetrija) va`i
2221 `FAFA pa toga{ od (4) dobivame:
aAAFAFAFAFAFB 22 211211211121
od kade sleduva:
aFB 21 …………………………………………….………(5)
Sega, primenuvaj}i ja Pitagorovata za triagolnikot
21CFB nao|ame:
222 cba …………………………………………………....(6)
1. Da ja najdeme ravenkata na elipsata. Od seto gore
ka`ano sleduva deka za proizvolna to~ka ),( yxM od
elipsata va`i:
aMFMF 221 ………………………………………………………………………(7)
Koristej}i ja formulate za rastojanie me|u dve to~ki poslednoto ravenstvo go zapi{uvame vo vid:
aycxycx 2)()( 2222 …………………………………….…………(8)
Ravenkata (8) e ravenka na elipsa vo izbraniot koordinaten sistem, no toj oblik ne e pogoden za
prakti~na primena, pa zatoa ravenkata (2) }e ja dovedeme do oblik popogoden za primena. Za ta a cel,
najnapred ravenkata (2) mo`eme da ja zapi{ime vo ekvivalenten oblik:
2222 )(2)( ycxaycx
Po kvadrirawe na dvete strain i po sreduvawe dobivame:
,)( 222 ycxacxa
a so povtorno kvadrirawe i sreduvawe, dobivame:
a x
y
b
c
a
c
A2A1
B2
B1 M
O
F1 F2
Crt.2
x
y
r1
A2A1
B2
B1 M
O
F1 F2
r1 r2r2
Crt.3
a
x
y
b
c A2A1
B2
B1
O
F1 F2
a
Crt.4
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 9
).()( 22222222 caayaxca
Bidej}i ,222 bca odnosno ,222 bca poslednoto ravenstvo go dobiva oblikot
222222 bayaxb …………………………………………………………………….….……….(9)
Ako dvete strain na ravenkata (9) gi podelime so ,022 ba ja dobivame ravenkata:
12
2
2
2
b
y
a
x ……………………………………..………………………………………………(10)
Ravenkata (9), odnosno (10), e najednostaven vid ravenka na elipsa ja narekuvame centralna ili
kanoni~na ravenka na elipsata.
Bidej}i dvete promenlivi se stepenuvani samo na paren stepen, od ravenkata na elipsata (10)
neposredno sleduva nejzinata simetrija vo odnos na koordinatniot po~etok i koordinatnite oski.
Taka, ako to~kata ,),( EyxM sleduva deka to~kite ),(),,( 21 yxMyxM i ),(3 yxM isto taka
pripa|aat na elipsata E.
Na primer, to~kata )2,3(M le`i na elipsata ,144188: 22 yxE bidej}i
,14441898 od kade vedna{ sleduva deka i to~kite
)2,3(),2,3(),2,3( 321 MMM isto taka le`at na elipsata. Bidej}i temiwata na
elipsata se prese~nite to~ki na elipsata so koordinatnite oski, nivnite
koordinati gi dobivame kako re{enija na sistemite ravenki:
22222 0,0 baaxby 22 ax ,ax pa );0,(),0,( 21 aAaA isto taka, za
22222 0,0 baxabx 22 by ,by pa )0,(1 bB i ).0,(2 bB
Zabele{ka : Za broevite a i b vo ravenkata (10), jasno e deka, spored (6),
va`i a > b. Ako fokusite na elipsata se na y-oskata, toga{ }e va`i b > a(crt.
5).
Ako od ravenkite na elipsata (9) ili (10) go izrazime y preku x, dobivame:
.22 xaa
by ……………..……………………………..…………………….(11)
Od ravenkata (11) sleduva uslovot ,022 xa odnosno 22 ax t. e. .axa Zna~i .,aax
Sleduva deka to~kite na elipsata se nao|aat vo pravoagolnik ograni~en so pravite: ax i .by
Primer 1: Da gi opredelime oskite, temiwata i fokusite na elipsata .164: 22 yxE
Re{enie: Ravenkata na elipsata E ja sveduvame vo normalen vid, t. e. ,1416
22
yx
od kade 162 a i
,42 b zna~i golemata oska e ,82 a a malata oska e ,42 b temiwata se vo to~kite:
)2,0(),0,4(),0,4( 121 BAA i ).2,0(2 B Koordinatite na fokusite gi nao|ame od uslovot: 222 bca
,22 bac od kade dobivame: 32416 c , pa )0,32(1 F i .0,32(2F
Primer 2: Da sostavime ravenka na elipsa ako se dadeni poluoskata 5a i rastojanieto na
fokusite do centarot na elipsata 3c .
Re{enie: Potrebno e da ja opredelime poluoskata b . Bidej}i 16925222 cab ravenkata na
elipsata glasi: 11625
22
yx
Primer 3: Da sostavime ravenka na elipsa, ako se doznae deka 25ba i .5c
Re{enie: Treba da gi opredelime poluoskite a i b. Od sistemot
5
2522 ba
ba
25
2522 ba
ba
dobivame ,12,13 ba pa ravenkata na elipsata e: 1144169
22
yx
Primer 4: Na elipsata ,100254: 22 yxE da opredelime to~ka ~ija apscisa e -3.
Re{enie: So direkna zamena vo ravenkata na elipsata, dobivame:
10025)3(4 22 y ,25
642 y t. e. .5
8y
Zna~i, dobivame dve to~ki )5
8,3(1 M i ),
5
8,3(2 M koi se simetri~ini vo odnos na x- oskata.
Zabele{ka : Koli~nikot od fokusnoto rastojanie 2s i golemata oska 2a, se vika numeri~ki (broen)
ekscentricitet t. e.
a
c
a
c
2
2 i bidej}i c < a, sleduva .1 ,0 toga{ ,0c pa ,ab i vo toj
O
F
F
B1
B2
y
A1 A2
Crt.5
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 10
slu~aj ravenkata (4) preminuva vo
2
2
2
2
a
y
a
x =1 ili
222 ayx {to pretstavuva ravenka na
kru`nica. Zna~i, kru`nicata e specijalen slu~aj na elipsa so numeri~ki ekscentricitet nula, t. e.
.ba
Primer 5: Dadena e ravenkata na elipsata .324369: 22 yxE Da ja opredelime dol`inata na
tetivata {to minuva niz fokusot )0,(2 cF i e paralelna so orbinatnata oska.
Re{enie: Tetivata {to minuva niz ),0,(2 cF ja se~e elipsata vo
to~kite ),( 01 ycP i ),( 02 ycP (crt. 6). Ordinatata 0y }e ja odredime
od ravenkata: .: 22 xaa
byE To~kite
1P i 2P le`at na
elipsata, pa zatoa .2
220
a
bb
a
bca
a
by
Toga{ baranite krajni to~ki na tetivata se:
),,(),,(2
2
2
1a
bcP
a
bcP a dol`inata na otse~kata e ,221 pPP t. e.
.2
22
a
bp Ovaa dol`ina se vika parameter na elipsata, a
a
bp
2
e poluparametar.
Za dadenata elipsa dobivame 1936
22
yx
i .2
3
6
9p
5. Zaemna polo`ba na prava i elipsa
Polo`bata na pravata nkxyl : vo odnos na elipsata 222222: bayaxbE se odreduva vo
zavisnost od re{enijata od sistemot ravenki:
222222 bayaxb
nkxy
0)(2)( 22222222 bnaknxaxbka
nkxy……………………….…….(1)
Diskriminatata na kvadratnata ravenka e )(4 222222 nbkabaD i od nea zavisi kakvi se
re{enijata na kvadratnata ravenka, a so toa i re{enijata na sistemot (1) . Pritoa se mo`ni slednive tri
slu~aji: 0,0 DD i .0D Bidrj}i ,04 22 ba znakot na D zavidi zamo od znakot na izrazot
,2222 nbka ………………………………………………..…………………..….(2)
pa sleduva:
1. ako 0D t . e. ,2222 nbka kvadratnata ravenka ima
dve re{rnija, zna~i pravata l ja se~e elipsata vo dve to~ki,
t. e.
., 21 MMEl
2. ako 0D t. e. ,2222 nbka toga{ pravata l i
elipsata E imaat edna zaedni~ka to~ka, t . e. ,TEl a
relacijata
2222 nbka ………………………………………..(3)
pretstsvuva uslov za dopir na pravata l i elipsata E;
3. ako 0D t. e. ,2222 nbka toga{ pravata l i
elipsata e nemaat zaedni~ka to~ka, t. e. .Kl
Primer 1: Dadeni se pravata 023: yxl i elipsata .64164: 22 yxE Kakva e nivnata zaemna
polo`ba?
Re{enie: Ravenkata na elipsata ja sveduvame vo oblik ,1416
22
yx
od kade ,2,4 ba a od
ravenkata na pravata 23 xy imame 2,3 nk i so zamena vo ravenstvoto (3) dobivame
,44916 zna~i pravata l ja prese~kuva elipsata e vo dve to~ki t. e. ., 21 MMEl Koordinatite na
1M i 2M gi nao|ame kako re{rnija na sistemot ravenki:
OF1 F2
P1
P2
x
y
Crt.6
O
M1
M2
x
y
T
l
Crt.1
l
l
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 11
64164
02322 yx
yx
644837
232 xx
xy .
37
48,0
37
70,2
21
21
xx
yy Zna~i )2,0(1M i )
37
70,
37
48(2 M
Primer 2:Dadena e pravata 0:)( nyxl i elipsata .144169: 22 yxE Da go opredelime n taka
{to pravata l da ja dopira elipsata E.
Re{enie: Od ravenkata na elipsata E dobivame deka ,9,16 22 ba a od ravenkata na pravata l
imame ,1k pa toga{ so zamena na ravenstvoto (3) dobivame
22 9)1(16 n t. e. .5n
Ravenkata na pravata e 05 yx
Primer 3: Za koi vrednosti na koeficientot k pravata ,011: ykxl i elipsata
,197: 22 yxE nemaat zaedni~ki to~ki?
Re{enie: Eksplicitniot vid na ravenkata na pravata (l) e ,11 kxy od kade ,11n a ravenkata na
elipsata vo kanoni~en vid e ,1
9
1
7
1
22
yx
od kade nao|ame
7
12 a i .9
12 b
Toga{, od uslovot 2222 nbka imame 119
3
8k t. e. 199
3
8,119
3
8k
Primer 4: Od to~kata )7,2(M povle~eni se tagentite na elipsata .1004: 22 yxE Kako glasat
nivnite ravenki?
Re{enie: Od edna to~ka {to ne le`i na elipsata, mo`at da se povle~at dve tagenti do nea
(analogno kako na kru`nica). Neka baranata ravenka na tagentata e .:)( nkxyl Od ravenkata na
elipsata 1004 22 yx imame 1002 a i .252 b To~kata ,lM pa zatoa .27 nx So re{avawe na
sistemot ravenki
,
25100
7222 nk
nxdobivame .
4
25,
3
25,
8
3,
3
22121 nnkk Sleduva, ravenkite na tagentite se:
02532:1 yxt i 050832 yxt
Primer 5: Kako glasi ravenkata na elipsata E, ako se dadeni ravenkite na dve njzini tagenti:
02583:1 yxt i 02564:2 yxt ?
Re{enie: Bidej}i elipsata gi dopira dvete pravi, so zamena na
8
25,
8
311 nk i
6
25,
3
222 nk vo ravenstvoto (3), go dobivame sistemot na ravenkite: ,
36
625
9
4
64
625
64
9
22
22
ba
ba
~ie re{enie e
252 a i ,4
252 b pa ravenkata na elipsata e: 1
25
4
25:
22
yx
E
6. Ravenka na tangenta i normala vo to~ka na elipsata
Neka se dadeni elipsata E so ravenkata
222222: bayaxbE
i to~kata ),( 11 yxT od elipsata. Treba da ja opredelime ravenkata na tagentata t na elipsata vo to~kata
T (crt .1).
Neka ravenkata na pravata t e zadadena vo ekspoliciten vid
nkxyt : ………………………………………………………………(1)
Koeficientite k i n }e gi opredelime od uslovot praveta i
elipsata da imaat edna zaedni~ka (dopirna) to~ka, odnosno
sistemot ravenki
222222 bayaxb
nkxy…………………………………………..…..(2)
da ima edno edninstveno re{enie.
Ako y od pravata ravenka go zamenime vo vtorata, po sreduvawe ja
dobivame ravenkata 02)( 222222222 banaknxaxbka
O
x
y
Tt
n
Crt.1
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 12
~ii re{enija se ,
222
22222
2,1bka
nbkaabknax
……………………….………………………..…………….…..…….(3)
Koi koga }e gi zameneme vo ravenkata ,nkxy dobivame
.222
22222
2,1bka
nbkaabknby
……………..…………………………………………………..….(4)
Od uslovot, pravata e tangenta na elipsata, imame
02222 nbkaD t. e. 2222. nbka ..………………………………..…………….(5)
Od (3) i (4), poradi (5), koordinatite na dopirnata to~ka se ,2
1n
kax ,
2
1n
by od kade ,
2
1
a
nkk
,1
2
y
bn odnosno ,
12
12
ya
xbk
1
2
y
bn …………………………………………………..…………………………………….………………….(6)
Ako najdenite vrednosti za k i n gi zamenime vo (1) dobivame:
,1
2
12
12
y
bx
ya
xby ……………………………………………………………..………..…………..(7)
,221
21
2 bayyaxxb ………………..………………………………………….……..……….(8)
ili
12
1
2
1 b
yy
a
xx………………………………………………………………………….(9)
Ravenkata (7) e ravenka na tangentata na elipsata vo eksplicitrn vid, ravenkata (8) e ravenka na
tangentata vo op{t vid, a (9) e nejziniot segmenten vid.
Normalata na elipsata vo to~kata ),( 11 yxT e pravata {to e normalna na tagentata na elipsata vo
to~ka ta T, pa nejzinata ravenka e:
)( 1
12
12
1 xxxb
yayy …………………………………………………………….…………(10)
Primer 1: Da napi{ime ravenka na tangentata t vo to~kata T(8,3) od elipsata .1004: 22 yxE
Re{enie: Od ravenkata na elipsata imame ,25,100 22 ba a koordinatite na dopirna to~ka se
.3,8 11 yx Ako ovi vrednosti gi zamenime vo (6) dobivame: ,251003100825 yx odnosno
02532: yxt
Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na tangentata i normalata vo to~kata )0,2( yT od elipsata
.1682:)( 22 yxE
Re{enie: Bidej}i ET ,16822 22 y od kade .1y Od uslovot 0y sleduva deka dopirnata
to~ka e ).1,2( T Toga{ ravenkata na tagentata e: .042: yxt
Normalata na elipsata vo to~kata T ima ravenka ),2(21: xyn odnosno .032 yx
Primer 3: Da gi napi{ime ravenkite na tanentata na elipsata ,12032: 22 yxE koi od
koordinatnite oski otsekuvaat ednakvi otse~ki.
Re{enie: Pravata koja otsekuva ednakvi otse~ki na koordinatnite oski ima ravenka: ,1m
y
m
xodnosno
,0 myx od kade dobivame deka koeficientite na pravecote ,1k a otse~okot na y-oskata
e .mn Od ravenkata na elipsata dobivame 602 a i .402 b Ako najdenite golemini gi zamenime vo
uslovot za dopir na prava i elipsa ),( 2222 nbka dobivame ,4)1(60 22 m .10m
Zna~i imame dve tangenti koi go zadovoluvaat uslovot na zada~ata. Nivnite ravenki se:
010:1 yxt i 010:2 yxt
Primer 4: Da ja sostavime ravenkata na tangentite vo prese~nite to~ki na pravata 072: yxl i
elipsata .254: 22 yxE
Re{enie: Koordinatite na prese~nite to~ki se repenija ma sistemot ravenki
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 13
254
7222 yx
yx
254)27(
2722 yy
yx
.
2
3,2
4,3
21
21
yy
xx Zna~i, prese~nite to~ki se
)2,3(1M i ),2
3,4(2M pa ravenkite na tangentite se 02583:1 yxt i 02564:2 yxt
7. Hiperbola. Ravenka na hiperbola
Za razlika od kru`nicata i elipsata , vo dosega{noto izu~uvawe na matamatikata hiperbolata
kako kriva od vtor red e spomnuvana mnogu malku. No, toa ne zna~i deka taa e od pomala prakti~na
va`nost. Izu~uvaweto na hiperbata e osobeno zna~ajno za astronomijata, radio navigaciskite sistemi,
i dr. Geometriskata definicija za hiperbolata e slednata.
Definicija: Neka 1F i 2F se dve fikasni to~ki vo ramninata i neka e 1F 2F .2c Hiperbola e
mno`estvo od site to~ki M (x,y) vo ramninata takvi {to
apsolutnosta golemina na razlikata od rastojanijata od M do
1F i 2F e konstantna i ednakva na 2a (a < c).d istata ramninae
konstanten.
Zna~i, niperbolata e mno`estvo
aFMFMyxMH 2),( 21
To~kite 1F i 2F se vikaat fokusi na hiperbolata, a
rastojanieto me|u fokusite 21FF se vika fokusno rastojanie.
Sredi{nata to~ka O za otse~ka 1F 2F se vika centar na hiperbolata. Analogno kako kaj elipsata, za da ja
opredeleme ravenkata na hiperbolata, koordinatniot
sistem xOy go izberime taka {to fokusite da le`at na x-oskata, y-oskata e simetrala na fokusnoto
rastojanie 1F 2F , a koordinatniot po~etok e vo centarot C na hiperbolata.Toga{ fokusite imaaat
koordinati )0,(1 cF i ).0,(2 cF To~kite 1A i 2A vo koi hiperbolata ja se~e x-oskata, se temiwa na
hiperbolata.
]e poka`eme deka rastojanieto .221 aAA Navistina, spored definicijata, za proizvolna to~ka
M od edna granka na hiperbolata, na primer od desnata, razlikata 21 MFMF ima konstantni
vrednosti 2a. No, toa treba da va`i i koga namesto M }e ja zememe to~kata 2A , a toga{ imame:
.22111122212 aAAFAFAFAFA
Sleduva koordinatite temiwa se )0,(1 aA i ).0,(2 aA
Rastojanijata 11 rFM i 22 rFM si vikame fokusni radiusi za to~kata M. Od definicijata na
hiperbolata imame:
aMFMF 221 t. e. )0(221 aarr ……………….………………………………………….(1)
no, za stranite na triagolnikot 1F 2F M va`i neravenstvoto ,221 crr pa sleduva .22 ca t. e.
.ca Sega, soglasno so formulate za rastojanie me|u dve to~ki, od relacijata (1) ja dobivame ravenkata
aycxycx 2)()( 2222 ………………………………..………….…………………….(2)
Ravenkata (2) pretstsvuva ravenka na hiperbola. No, oblikot (2) ne e pogolem za prakti~na primena,
pa zatoa ravenkata (2) }e ja transformirame do poednostaven oblik.
Najnapred, ravenkata (2) ja zapi{uvame vo vid:
aycxycx 2)()( 2222
odnosno
.)(2)( 2222 ycxaycx
Po kvadrirawe na dvete straini i po sreduvawe dobivame
222 )( ycxaacx
So povtorno kvadirawe i sreduvawe ja dobivame ravenkata
).()( 22222222 acayaxac
Bidej}i c > a sleduva ,022 ac pa stavaj}i 222 bac poslednata ravenka go dobiva vidot:
222222 bayaxb …………………………………..…………..………………………….(3)
12
2
2
2
b
y
a
x………………………………………………..……………………………………..(4)
F2(c,0)F1(-c,0)
y
x
A1 A2
O
Crt.1
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 14
Ravenkata (3) odnosno (4) ja vikame kanoni~na (centralna) ravenkana hiperbola.
Bidej}i vo ravenkata (3) i dvete promenlivi x i y se javuvaat samo na paren stepen (kvadrat),
sleduva deka hiperbolata N e simetri~na vo odnos i na koordinatnite oski i na koordinatniot
po~etok. Imeno, ako ,),( HyxM sleduva deka i to~kite ),(),,( 21 yxMyxM i ),(3 yxM isto taka
pripa|aat na hiperbolata.
Na primer, to~kata ),2,23(M le`i na hiperbolata
,149
22
yx
bidej}i ,1124
4
9
18
4
2
9
)23( 22
no i to~kite )2,23(),2,23( 21 MM i
)2,23(3 M isto taka le`at na hiperbolata .
Ako ravenkata na hiperbolata (3) ja re{ime y,
dobivame:
.22 axa
by ……
………………………………………………………………..………..(5)
Od ovaa ravenka mo`e da zaklu~ime deka hiperbolata
e definirana za 022 ax ,ax t. e. za ax ili
,ax [to zna~i deka nejzinite to~ki vo desno od .ax
Zna~i, hiperbolata e kriva od vtor red koja se sostoi od dve granki, {to ne be{e slu~aj so kru`nicata i
elipsata. Prese~ni to~ki na hiperbolata so x-oskata se to~kite )0,(1 aA i ),0,(2 aA temiwa na
hiperbolata. Dol`inata aAA 221 ja vikame realna oska, a dol`inata ,221 bBB kade ),,0(1 bB ),0(2 bB
i 222 acb ja vikame imaginarna oska (bidej}i taa ne sodar`i to~ki od hiperbolata)(crt. 2).
Zabele{ka: Koli~nikot od fokusnoto rastojanie cFF 221 i dol`inata na realnata poluoska se
vika numeri~ki ( broen) ekscentricitet t. e.
.2
2
a
c
a
c ……………………………………………….……………....(6)
Bidej}i za hiperbolata imame c > a, sleduva .1 Isto taka,
bidej}i ,222 bac t. e. 22 bac , va`i
.12
222
a
b
a
ba
a
c
………………………………….(7)
Numeri~kiot ekscentricitet za hiperbolata ja opredeluva
otvorenosta na grankite na hiperbolata. Imeno, ako pri
fiksirana poluoska a se zgolemuva ekscentricitet, toga{ se
zgolemuva odnosot
a
b (odnosno b), a so toa se zgolemuva
otvorenosta na hiperbolata(crt. 3).
Primer 1: Dadeni se realnata poluoska a=4 i i imagiarnata poluoska b=3. Da ja najdeme ravenkata
na hiperbolata, koordinatite na fokusite i brojniot ekscentricitet.
Re{enie: ravenkata na hiperbolata }e bide 1916
22
yx
ili ,5916 c pa fokusite se
)0,5(1 F i )0,5(2F , a numeri~kiot ekscentricitet
4
5
Hiperbolata ima u{te edno svojstvo, koi dosega izu~enite krivi od vtor red go nemaat. Imeno, koga
apscistite na to~kite na hiperbolata neograni~no rastat po apsolutna vrednost soodvetnite ordinate
se dobli`uvaat do ordinatitena pravite xa
by i ,x
a
by a toa se pravite {to gi sodr`at
dijagonalite na paralelogramot PQRS se strain 2a i 2b (crt. 4). Zna~i, ako to~kata ),( yxM se dvi`i po
hiperbolata stremej}i se kon beskone~nost, toga{ taa se dobli`uva do edna od pravite xa
by ili
xa
by . Pravite koi go imaat ovaa svojstvo se vikaat asimptoti na hiperbolata. Sleduva, pravite
xa
by i x
a
by se asimptoti za hiperbolata zadadena so ravenkata
.12
2
2
2
b
y
a
x
F2(c,0)F1(-c,0)
y
x
A1 A2
O
B1
B2
a a
cccb
Crt.2
y
x
A1 A2
O a
b1 b2
Crt.3
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 15
Primer 2: Dadena e hiperbolata .3694 22 yx Da gi opredelime poluoskite, koordinatite na
fokusite i ravenkite na asimptotite, a potoa da ja nacrtame hiperbolata.
Re{enie: Ja zapi{uvame hiperbolata vo kanoni~en vid ,149
22
yx
od kade gi opredeluvame
poluoskite a=3, b=2, i ,1349 c pa fokusite se )0,13(1 F i ).0,13(2F Ravenkite na
asimptotite se xa
by i x
a
by .
Primer 3: Dadena e niperbola so ravenkata .124: 22 yxH Da ja opredelime dol`inata na
tetivata {to minuva niz eden od fokusite na hiperbolata i e paralelna so y-oskata.
Re{enie: Analogno kako kaj elipsata i ode dol`inata na baranata tetiva se narekuva parameter na
hiperbolata N, koj se ozna~uva so 2r i za nego va`i ,2
22
2bp dodeka
a
bp
2
se vika poluparametar na
hiperbolata N. Od ravenkata na hiperbolata 1312
22
yx
imame ,3,12 22 ba pa dobivame ,32
3p ili
.2
3p
Primer 4: da napi{eme ravenka na hiperbola N, ako se dadeni ravenkite na najzinite asimptoti
xy3
4 i fokusnoto rastojanie 2s=20.
Re{enie: Bidej}i 2s=20 s=10 , a .10022 ba Potoa od ravenkata na asimptotite xy3
4 imame
.3
4
a
bOd sistemot ravenki
ab
ba
43
10022
dobivame .64,36 22 ba Sleduva, ravenkata na hiperbolata
e 16436
22
yx
Primer 5: Da ja napi{ime ravenkata na hiperbolata {to minuva noz to~kite )1,2(1M i ).7,10(2M
Re{enie: Od uslovot deka to~kite 1M i
2M pripa|aat na hiperbolata sleduva deka nivnite
koordinati ja zadovoluvaat ravenkata na hiperbolata ,222222 bayaxb t. e. go dobivame sistemot
ravenki:
,49100
42222
2222
baab
baab~ie re{enie e ,1,2 22 ba pa ravenkata na hiperbolata e 22 22 yx
Primer 6: Da ja opredelime ravrnkata na ramnostrana
hipermola {to minuva niz to~kata M(3,-1).
Re{enie: Ramnostrana hiperbla e onaa hiperbla za koja
realnata i imaginalnata oska se ednakvi me|u sebe t. e.
.22 ba Zna~i nejzinata ravenka e .1:2
2
2
2
b
y
a
xH Bidej}i
HM 11922
aa ,82 a pa ravenkata na hiperbolata N
}e bide: 188
22
yx
ili .822 yx
Zabele{ka: Ako fokusite na hiperbolata se na y-oskata, t. e. vo to~kite ),,0(),0( 21 cFcF realna
poluoska e a, a imaginarnata oska e b , toga{ ravenkata na hiperbolata glasi
222222 baybxa ili .1
2
2
2
2
a
y
b
x
Vo ovoj slu~aj asimptoti se pravite: ,xb
ay ekscentricitetot povtorno e .
a
c grafikot e kako na
(crt. 4).
8. Zaemna polo`ba na prava i hiperlbola
Analogno kako kaj elipsata, me|usebnata polo`ba na pravata nkxyl : i hiperbolata
222222: bayaxbH }e ja odredime so diskusija na re{enijata od sistemot ravenki:
1
y
x
a
b
F (-c,0)
2F (c,0)
O
Crt.4
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 16
222222 bayaxb
nkxy
0)(2)( 22222222 nbaknxaxkab
nkxy…….………………………..………….…….(1)
I. Neka 0222 kab .Diskriminatata na kvadratnata ravenka e )(4 222222 kanbbaD i od nea
zavisi kakvi se re{enijata na kvadratnata ravenka, a so toa i re{enijata na sistemot (1). Pritoa se
mo`ni slednive tri slu~aji: 0,0 DD i .0D Bidej}i ,04 22 ba znakot na D zavisi samo od znakot
na izrazot
,2222 nkab ……………………………………….………….………………..…………………..….(2)
pa sleduva:
1. ako 0D t . e. ,2222 nbka kvadratnata ravenka ima dve re{rnija, zna~i pravata l ja se~e
hiprbolata vo dve to~ki, t. e. ., 21 MMEl (Crt.1)
2. ako 0D t. e. ,2222 nbka toga{ pravata l i hiperbolata N imaat edna zaedni~ka to~ka, t
. e. ,THl a relacijata 2222 nbka …………………………..……………………………………………….………………………..(3)
pretstsvuva uslov za dopir na pravata l i hiperbolata N. (Crt.2)
3. ako 0D t. e. ,2222 nbka toga{ pravata l i hiperbolata nemaat zaedni~ka to~ka, t. e.
.Hl (Crt.3)
y
xO
M1
M2
l
Crt.1
y
xO
l
P
l
T
Crt.2
y
xO
l
Crt.3
II. Neka 0222 kab ., kvadratnata ravenka vo sistemot (1) preminuva vo linearna ravenka i ima
edinstveno rte{enie, pa pravata i hiperbolata imaat edna zaedni~ka to~ka , a toa e slu~ajot koga
a
bk , t.e. koga pravata l e paralelna so edna od asimtotite(Crt.2).
Primer 1: Dadeni se opredeli zaemnata polo`ba na pravata 012: yxl i hiperbolata
.33: 22 yxH
Re{enie: Ravenkata na hiperbolta ja sveduvame vo oblik 131
22
yx
od kade 3,1 22 ba a od
ravenkata na pravata 12 xy imame 1,2 nk i so zamena vo ravenstvoto (3) dobivame
0)2(113 2 zna~i pravata l ja dopira hiperbolata N. Koordinatite na dopirnata to~ka gi nao|ame
kako re{rnija na sistemot ravenki:
33
01222 yx
yx ~ie re{enie e .
2
3
x
y Zna~i dopirnta to~ka e )3,2( T , a pravata e tangenta na
hiperbolata.
Primer 2: Dadeni se opredeli zaemnata polo`ba na pravata 0102: yxl i hiperbolata
204: 22 yxH
Re{enie: Ravenkata na hiperbolta ja sveduvame vo oblik 1520
22
yx
od kade 5,20 22 ba , a od
ravenkata na pravata 102 xy imame 10,2 nk i so zamena vo ravenstvoto (3) dobivame
00252201005 2 Dt.e , {to zna~i pravata l ja se~e hiperbolata N. Koordinatite na
Prese~nite to~ki gi nao|ame kako re{rnija na sistemot ravenki:
204
010222 yx
yx
084323
1022 xx
xy ~ie re{enie e
2,63
2,3
21
21
xx
yy .Zna~i )2,6(1M i )
3
2,3(2 M
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 17
Primer 3: Za koi vrednosti na koeficientot k pravata
2
9: kxyl ja dopira hiperbolata
364: 22 yxH ?
Re{enie: Od ravenkata na pravata sleduva deka
2
9n , a za da pravata ja dopira hiperbolata
1369
22
yx
treba da bide ispolnet uslovot za dopir 2222 nbka t.e.
4
81369 2 k od kade
2
5k .
Zna~i , pri dadeniot uslov postojat dve pravi:
2
9
2
5 xy koi se tangenti na hiperbolata
Primer 4: Od to~kata )9,5(M povle~eni se tagentite na hiperbolata 33: 22 yxH Kako glasat
nivnite ravenki?
Re{enie: Od edna to~ka {to ne le`i na hiperbolata mo`at da se povle~at dve tagenti do nea .
Neka baranata ravenka na tagentata e .:)( nkxyt Od ravenkata na hiperbolata 33: 22 yxH imame
12 a i 32 b . Od uslovot za dopir na pravata i hiperbolata sleduva deka 322 nk , a toa {to to~kata
tM sleduva .59 nk So re{avawe na sistemot ravenki
3
9522 nk
nkdobivame .
4
1,1,
4
7,2 2121 nnkk Sleduva, ravenkite na tagentite se: 012:1 yxt
i 0147:2 yxt
Primer 5: Kako glasi ravenkata na hiperbolata N, ako se dadeni ravenkite na dve njzini tagenti:
012:1 yxt i 0147:2 yxt ?
Re{enie: Bidej}i hiperbolata gi dopira dvete pravi, so zamena na 1,2 11 nk i
4
1,
4
722 nk vo ravenstvoto (3), go dobivame sistemot na ravenkite:
16
1
16
49
1
22
22
ba
ba ~ie re{enie e
12 a i ,32 b pa ravenkata na hiperbolata e : 131
:22
yx
H
9. Ravenka na tangenta i normala vo to~a od hiperlbolata
Neka se dadeni hiperbolata N so ravenkata
222222: bayaxbH
i to~kata ),( 11 yxT od hiperbolata. Treba da ja opredelime ravenkata na tagentata t na hiperbolata vo
to~kata T (crt .1).
Neka ravenkata na pravata t e zadadena vo ekspoliciten vid
nkxyt : …………………………………………………………………………..……………………………(1)
Koeficientite
a
bk i n }e gi opredelime od uslovot
praveta i elipsata da imaat edna zaedni~ka (dopirna)
to~ka, odnosno sistemot ravenki
222222 bayaxb
nkxy………………………………………….…………………..…..(2)
da ima edno edninstveno re{enie.
Ako y od pravata ravenka go zamenime vo vtorata, po
sreduvawe ja dobivame ravenkata
02)( 222222222 banaknxaxkab
~ii re{enija se ,222
22222
2,1kab
nkababknax
………………………….………………………..…………….…..…….(3)
Koi koga }e gi zameneme vo ravenkata ,nkxy dobivame
.222
22222
2,1kab
nbkaabknby
……………………………………………………..…………..….(4)
Od uslovot, pravata e tangenta na hiperbolata, imame
02222 nkabD t. e. 2222 nbka ..…………………………..……………………….(5)
y
xO
n
t
T(x1,y1)
Crt.1
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 18
Od (3) i (4), poradi (5), koordinatite na dopirnata to~ka se ,
2
1n
kax ,
2
1n
by od kade
,2
1
a
nxk ,
1
2
y
bn odnosno
,
12
12
ya
xbk
1
2
y
bn …….....…………………………………………..…….….………………….(6)
Ako najdenite vrednosti za k i n gi zamenime vo (1) dobivame:
,1
2
12
12
y
bx
ya
xby ………………………………….………………..………….…..………..…………..(7)
,221
21
2 bayyaxxb ………………………………………………..……………….……..……….(8)
ili
12
1
2
1 b
yy
a
xx……………………………………………………………….
…………………….(9)
Ravenkata (7) e ravenka na tangentata na hiperbolata vo eksplicitrn vid, ravenkata (8) e ravenka
na tangentata vo op{t vid, a (9) e nejziniot segmenten vid.
Normalata na hiperbolata vo to~kata ),( 11 yxT e pravata {to e normalna na tagentata na
hiperbolata vo to~ka ta T, pa nejzinata ravenka e:
)( 1
12
12
1 xxxb
yayy ………………………………………………………….…………(10)
Primer 1: Da napi{ime ravenka na tangentata t vo to~kata T(5,-4) od hiperbolata
.2054: 22 yxH
Re{enie: Od ravenkata na hiperbolata imame 4,5 22 ba a koordinatite na dopirna to~ka se
4,5 11 yx Ako ovi vrednosti gi zamenime vo (8) dobivame: 202020 yx odnosno 01: yxt
Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na tangentata i normalata vo to~kata )0,4( yT od
hiperbolata .1243: 22 yxH
Re{enie: Bidej}i HT sleduva 12443 22 y od kade 3y . Od uslovot 0y sleduva deka
dopirnata to~ka e )3,4( T Toga{ ravenkata na tagentata e: .01: yxt
Normalata na hiperbolata vo to~kata T ima ravenka )4(13: xyn odnosno .07 yx
Primer 3: Vo to~kata R na hiperbolata 144169: 22 yxH vo prviot kvadrant, ~ija ordinata e
ednakva na poluparametarot na hiperbolata, e povle~ena tangenta na hiperbolata. Da se najde
ravenkata na tangentata.
Re{enie: Spored uslovot na zada~ata dopirnata to~ka e R(s,r) , ~ija apcisa se sovpa|a so apcisata
na fokusot na desnata granka na hiperbolata i ja opredeluvame od uslovot: 222 bac . Od ravenkata
na hiperbolata dobivame 162 a i 92 b . Pa
4
9,5916
2
a
bpc . Zna~i, dopirnata to~ka e
)4
9,5(P , pa ravenkata na tangentata e 01645: yxt .
Primer 4: Da se odredi agolot me|u tangentite {to se povle~eni vo prese~nite to~ki na pravata
0102: yxl i hiperbolata .1243: 22 yxH
Re{enie: Koordinatite na prese~nite to~ki se re{enija na sistemot ravenki
1243
10222 yx
yx
124)210(
21022 yy
yx
3,12
4,14
21
21
yy
xx Zna~i, prese~nite to~ki se
)12,14(1 M i ),3,4(2M pa ravenkite na tangentite se 0287:1 yxt i 01:2 yxt . Koeficientite
na pravecot na tangentite se 1,8
721 kk , pa od formulate za agol me|u dve pravi dobivame:
1515
8
71
8
71
arctgtg
.
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 19
10. Parabola.Ravenka na parabola
Krivata parabola e poznata kako grafik na kvadratnata funkcija. Sega }e dademe
geometriska definicija na parabolata.
Definicija: Parabola e mno`estvo od site M (x,y) vo ramninata koi se na ednakvo rastojanie od
dadena prava d doi od dadena to~ka F , takva {to dF .
Zna~i, parabolata e mno`estvoto MPMFyxMP |),(
Pravata d se vika direktrisa, to~kata F se vika fokus na parabolata.
Rastojanieto r od fokusot do direktrisata d se vika parametar na
parabolata. (Crt.1 ). Neka D e prese~nata to~ka na normala povle~ena od
to~kata F do pravata d. Toga{, soglasno definicijata, za srednata to~ka A
na otse~kata DF va`i:: AFAD , pa seleduva deka A e to~ka od parabolata.
Ova to~ka ja vikame teme na parabolata. (Crt.1)
Za da najdeme ravenkata na parabolata so parameter r vo {to e mo`no
poednostaven vid, koordinatniot sistem vo ramninata go izbirame taka {to
h-oskata da minuva niz fokusot F i e normalan a na direktrisata d, a koordinatniot po~etok vo
sredi{nata to~ka A me|u fokusot i direktrisata (crt.2).
Toga{, od definicijata na parabolata imame
2
pODOF , pa sleduva
deka fokusot e vo to~kata )0,2
(p
F , a ravenkata na direktrisata e
2
px .Ako M e proizvolna to~ka od parabolata , ortogonalnata
proekcija na M vrz direktrisata e to~kata ),2
( yp
P , pa od definicijata
na parabola imame:
MFMP …….................................................……………….(1)
Sega, soglasno so formulate za rastojanie me|u dve to~ki, dobivame ravenkata
22)
2( y
pxMF i
2
pxMP
pa ravenstvoto (1) vo kordinatna forma glasi:
22)2
( yp
x2
px …………………..(2)
Po kvadrirawe na dvete straini i po sreduvawe dobivame:
pxy 22 ………………………….………..………………………….(3)
Ravenkata (3) ja vikame kanoni~na (temena) ravenka na parabola.
Ako pak fokusot na parabolata e na negativniot del na h-
oskata(Crt.3) toga{ kanoni~nata ravenka }e glasi:
pxy 22 ……………………………..………………………….(4)
Bidej}i vo ravenkata pxy 22 promenlivata y se javuvaat samo
na paren stepen (kvadrat), sleduva deka parabolite se simetri~ni vo
odnos na h-oskata, koja oska se vika oska na simetrija . Toa zna~i deka ako
,),( PyxM sleduva deka i to~kata ),(1 yxM pripa|a na parabolata.
Ako go izberime kordinatniot sistem taka {to fokusot F na
parabolata pripa|a na u-oskata, toga{ kanoni~nata ravenka na parabolata
}e glasi:
pyx 22 ili
p
xy
2
2
…………………….…………….............…….(5)
Ako F le`i na pozitivniot del od u-oskata (Crt.4), i
pyx 22 ili
p
xy
2
2
………………………………….…….(6)
Ako F le`i na negativniott del od u-oskata (Crt.5).
Primer 1: Da se opredelat koordinatite na fokusot, parametarot i ravenkata na direk trisata na
parabolata xyP2
1: 2
F
d
xD
MP
Crt.1
F
d
xOD
M
y
P
2
p
2
p
Crt.2
d
xO D
M
y
F
2
p
2
p
P
Crt.3
d
xOD
M y
F
2
p
2
p
P Crt.4
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 20
Re{enie: Od ravenkata na parabolata pxy 22 imame
4
1,
2
12 pp ,
pa fokusot e )0,8
1(F , aravenkata na direktrisata e
8
1x .
Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata ako se znae
nejziniot parameter r=8.
Re{enie: So direktna zamena vo ravenkata na parabolata
pxy 22 dobivame deka xy 162
Primer 3: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata ako se znae
nejziniot nejziniot fokus )0,9(F
Re{enie: Fokusot na parabolata pxy 22 ima koordinati )0,2
9(F od kade {to sleduva deka r=18, pa
ravenkata na parabolata e xy 362 .
Primer 4: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata {to minuva niz to~kata )2,3(M ~ij fokus e na
h-oskata.
Re{enie: Kanoni~nata ravenka na parabolata e pxy 22 . Od uslovot deka to~kata M le`i na
parabolata, sleduva 3222 p od kade
4
9p , pa ravenkata na parabolata }e bide xy
2
92 .
Primer 5: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata {to minuva niz to~kata )3,2( M ~ij fokus e
na h-oskata.
Re{enie: Vo ovoj slu~aj kanoni~nata ravenka na parabolata e pxy 22 , zatoa {to za da minuva niz
dadenata to~ka taa treba da se nao|a levo od u-oskata.. Od uslovot deka to~kata M le`i na parabolata,
sleduva )2(2)3( 2 p od kade
3
2p , pa ravenkata na parabolata }e bide xy
3
42 .
Primer 6: Da gi napi{ime ravenkite na parabolata, ~ija direktrisa e 052 x .
Re{enie: Od 052 x sleduva deka
2
5x , a znaej}i deka ravenkata na direktrisata e
2
px
pxy 22 , sleduva deka r=5. Pa zatoa ravenkata na parabolata od pxy 22 }e bide xy 102 .
11. Zaemna polo`ba na prava i parabola
Kako i kaj drugite krivi od vtor red me|usebnata polo`ba na pravata nkxyl : i parabolata
pxyP 2: 2 }e ja odredime so diskusija na re{enijata od sistemot ravenki:
pxy
nkxy
22 ……….……………………………………………………….……….….………….…….(1)
So zamena na promenlivata u od linernata ravenka vo kvadratnata ravenka se dobiva rav enkata
0)(2 222 nxpknxk ……………………………………….…………….………………….…..….(2)
~ija diskriminanta e:
)2(44)(4 2222 knppnkpknD …
…………….……………..…..….…………….…..….(3)
I. Neka 0k . Vo zavisnost od znakot na diskriminatata na
kvadratnata ravenka, zavisat i re{enijata na kvadratnata ravenka, a
so toa i re{enijata na sistemot (1). Pritoa se mo`ni slednive tri
slu~aji: 0,0 DD i .0D
1. ako 0D t . e. 022 knpp kvadratnata ravenka ima dve
re{rnija, zna~i pravata l ja se~e parabolatavo dve to~ki, t. e.
., 21 MMPl (Crt.1)
2. ako 0D t. e. 022 knpp toga{ pravata l i parabolata R imaat edna zaedni~ka to~ka, t . e.
,TPl a relacijata 022 knpp ili knp 2 ………………………………………………………………….………………………..(4)
pretstsvuva uslov za dopir na pravata l i parabolata R. (Crt.1)
3.ako 0D t. e. 022 knpp toga{ pravata l i parabolata nemaat zaedni~ka to~ka, t. e.
.Pl (Crt.1)
II. Ako k=0, ravenkata (2) e linearna i ima edinstveno re{enie t.e. pravata i parabolata imaat edna
zaedni~ka to~ka . Vo ovoj slu~aj pravata l ima ravenka y=n, t.e. e paralelna so h-oskata. (Crt.1)
xO
M1
y
lt
s
M2
T
Py=n
Crt.1
d
x
O
D
M
y
F
2
p
2
p
P
Crt.5
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 21
Primer 1: Dadeni se pravata 0522: yxl i parabolata xyP 10: 2 Kakva e nivnata zaemna
polo`ba?
Re{enie: Ravenkata na pravata vo ekspliciten vid e
2
5 xy od kade
2
5,1 nk i r=5 . So
zamena na ovie vrednosti vo relacijata (3) dobivame 05052
5)1(22522 knpp od kade {to
sleduva deka pravata l i parabolata imaat dve zaedni~ki to~ki.
Primer 2: Da se opredeli vrednosta na parametarot m, taka {to pravata 073: mymxl ja dopira
parabolata xyP 8: 2 .
Re{enie: Ravenkata na pravata vo ekspliciten vid e
3
7
3
mx
my od kade
3
7,
3
mn
mk , a od
parabolata r=4 . So zamena na ovie vrednosti vo uslovot za dopir knp 2 dobivame
3
7
324
mm
ili
01872 mm od kade dobivame 9,2 21 mm .
Primer 3: Dadena e pravata 082: yxl koja ja dopira parabolata pxyP 2: 2 . Da se opredeli
ravenkata na parabolata.
Re{enie: Ravenkata na pravata vo ekspliciten vid e 42
1 xy od kade 4,
2
1 nk . So zamena na
ovie vrednosti vo uslovot za dopir knp 2 dobivame 442
12 p pa ravenkata na parabolata }e
bide xy 82 .
12. Ravenka na tangenta i normala vo to~ka od parabolata
Neka se dadeni parabolata
pxyP 2: 2
i to~kata ),( 11 yxT od parabola.Da ja opredelime ravenkata na tagentata t na hiperbolata vo to~kata T
(crt .1).
Neka ravenkata na pravata t e zadadena vo ekspoliciten vid
nkxyt : ………………………………………………………….……………..…….……………(1)
Koeficientite k i n }e gi opredelime od uslovot praveta i parbolata da imaat edna zaedni~ka
(dopirna) to~ka, odnosno sistemot ravenki
pxy
nkxy
22 ………………………………………………..……………….…....(2)
da ima edno edninstveno re{enie.
Ako y od pravata ravenka go zamenime vo vtorata, po sreduvawe ja
dobivame ravenkata 0)(2 222 nxpknxk
~ii re{enija se
,2
2
2
2,1k
knppknpx
.........…………………………..…..…….(3)
Koi koga }e gi zameneme vo ravenkata ,nkxy dobivame
.22
2,1k
knpppy
…………………………………………..….(4)
Od uslovot, pravata e tangenta na hiperbolata, imame
022 knpp ..……………………………………….……………..………….(5)
Od (3) i (4), poradi (5), koordinatite na dopirnata to~ka se ,21
k
knpx
,1
k
py od kade ,
1y
pk
,1
1
y
pxn odnosno ,
1y
pk ,
1
1
y
pxn …….....……………………………………………….………….(6)
Ako najdenite vrednosti za k i n gi zamenime vo (1) dobivame:
)( 11 xxpyy ………………………….……………………..……………..………..…………..(7)
Normalata na parabolata vo to~kata ),( 11 yxT e pravata {to e normalna na tagentata na parabolata
vo to~ka T, pa nejzinata ravenka e:
xO
yt
T
n
Crt.1
Krivi od vtor red
_____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________ 22
)( 11
1 xxp
yyy
……………….…………………………………………….…………(8)
ili
0)()( 111 xxyyyp …………………………………………………………..………(9)
Primer 1: Da napi{ime ravenka na tangentata t vo to~kata T(3,6) od parabolata xyP 12: 2
Re{enie: Od ravenkata na parabolata xyP 12: 2 sleduva deka r=6. So zamena na koordinatite na
dopirna to~ka se 6,3 11 yx i r=6 vo ravenkata )( 11 xxpyy dobivame: )3(66 xy odnosno
03: yxt
Primer 2: Da gi napi{ime ravenkite na tangentata i normalata vo to~kata )5,4
25(T od parabolata
xyP 4: 2 .
Re{enie: So zamena na koordinatite na to~kata 5,4
2511 yx i r=6 vo ravenkata na tangentata
)( 11 xxpyy dobivame: )4
25(25 xy odnosno 025104: yxt i vo ravenkata na normalata
0)()( 111 xxyyyp dobivame: 0)4
25(5)5(2 xy odnosno 0165820: yxn
Primer 3: Da se sostavat ravenkite na tangentite vo prese~nite to~ki na pravata 54: xyl i
parabolata xyP 10: 2 .
Re{enie: So re{avawe na sistemot ravenki
xy
xy
10
542 , gi dobivame prese~nite to~ki na
pravata i parabolata: )5,2
5(1M i ),
2
5,
8
5(2 M pa so zamena vo ravenkata na tangentata )( 11 xxpyy
gi dobivame ravenkite na baranite tangenti: 0522:1 yxt i 0548:2 yxt
Primer 4: Dadeni se parabolata xyP3
20: 2 i elipsata 1
2045:
22
yx
E Da se opredelat ravenkite
na zaedni~kite tangenti.
Re{enie: Neka ravenkite na tangentite se od vidot nkxy . So koristewe na uslovot za dopir na
prava i parabola knp 2 , odnosno na prava i elipsa 2222 nbka go dobivame sistemot ravenki:
2222
2
nbka
knp
22 2045
3
102
nk
kn~ii re{enija se 5,
3
1 nk . Zaedni~kite tangenti se pravite
0153:1 yxt i 0153:2 yxt .