LA INTEGRAL DE LEBESGUE

Lebesgue, Henri León:

Beauvias, 1875 Paris, 1941; Henri León Lebesgue fue matemático francés, profesor en las universidades de Rinnes, Nancy, y miembro de la academia de ciencias.

Estudió series geométricas y la teoría de funciones de variables reales y dio una nueva definición de la integral definida a partir de las sucesiones, escribió lecciones sobre integral y la obtención de funciones primitivas.

Reseña histórica de la integral de Lebesgue:

En 1902, en un trabajo clásico, Lebesgue da la definición de la medida para un conjunto de puntos y la aplica para desarrollar una nueva integral después, tanto la teoría de la medida como la de la integración han sufrido cambios.

Según Young, Daniell, Riesz, Stone y otros, llegaron que la integral de Lebesgue, puede introducirse de tal manera que no depende de la Teoría de la medida si no que ésta se orienta a funciones y integrales.

Introducción a la Integral de Lebesgue:

Tal como la integral de Riemann es fácil para escribirla y útil para cálculos

elementales. Para la integral de Lebesgue permite integrar funciones más generales, trata de funciones acotadas y no acotadas amplios y un mayor número de teoremas de convergencias cumplidos.

S una sucesión de funciones converge puntualmente hacia una función de

límite , ie:

En la integral de Lebesgue nos permite integrar término a término si cada es

una integral en Lebesgue.

Diferenciación:

Riemann:

Se subdivide a en n intervalos en un intervalo continuo y son saltos.

Es un área más exacta.

Lebesgue:

Funciona para en un número conjuntos de fin, funciona para integrales de tipo

mas general para conjuntos medibles y con una idea intuitiva de medida.

La Integral de Lebesgue:

Definición:Se un conjunto medible y

Definiendo la integral de Lebesgue de f sobre A

Además:

Sea y talque , i=1,2 se da:

i.

ii.

Comparación con la integral de Riemann:

Según Riemann, en un intervalo es, también integrable, según Lebesgue, y que las funciones integrable según Riemann están sujetas a condiciones de continuidad más rigurosas.

Una de las dificultades que se encuentran en la teoría de Riemann, es que los límites de las funciones de una función integrables según Riemann (o incluso de las funciones continuas) pueden no ser integrables según Riemann. Esta dificultad queda ahora casi eliminada, pues, los límites de funciones medibles son siempre medibles.

Sea el espacio de medida X en intervalo de la recta real, con (medida

de Lebesgue), y m la familia de subconjuntos de medibles, según Lebesgue. En lugar

de:

Se acostumbra usar la notación ordinaria.

Para la integral de Lebesgue de f sobre . Para distinguir las integrales de Riemann da

las de Lebesgue, representamos las primeras por:

Teorema:

Si , entonces , y .

Supongamos que f es acotada en . Entonces si y solo si f es continua

en casi todos las particiones en .

En efecto:

Supóngase que f es acotado, existe una sucesión de particiones de tal

que es un refinamiento de , tal que la distancia entre puntos adyacentes de ,es

menor que , y tal que:

; ….(*)

Si define

;

Poniendo y para , y usan de la

notación que se introdujo. Entonces:

, y

…………(**)

Para todo , ya que refina a , existe

, .

Obsérvese que L y U son funciones medibles acodados sobre , y que:

; ………….(***)

y que por (*) y (**) y el teorema de convergencia monótona,

Nótese que si y solo si sus integrales superior e inferior son iguales, en consecuencia si y solo si

ya que , si y solo si a lo más para .

En este caso (***) implica que

casi en todas partes sobre , así que f es medible. Además si x pertenece o no , se

puede ver fácilmente que si y solo si f es continua en x como unión de los

conjuntos es numerable, su medida es 0 y se concluye que f es continua casi en todas

partes sobre si y solo si casi en todas partes, en consecuencia si y solo

si

CONCLUSIONES

La integral de Riemann se define en un intervalo compacto, y analiza la continuidad de una función, llegando a particionar en un la curva en pequeños rectángulos (haciendo un conjunto de refinamientos).

La integral de Lebesgue se define sobre un intervalo acotado, no acotado, abierto o semiabierto y analiza la discontinuidad de una función dentro del mismo intervalo en conjuntos más pequeños (que son llamados espacios medibles) es decir .