note que o integral de lebesgue

23

Upload: ngophuc

Post on 07-Jan-2017

221 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Note que o integral de Lebesgue

������������ ���������������������

�����! #"%$'&)(+*!�-,�&.,./.*!0

1.243658749;:85=< *?>A@CBEDGFH@CBH>%IJFKD�@MLNJOQPGO BERSD�@ATCF�U P+VIKWBHFYXBZ@ N FKTAR[BEU4B\RSD�@ NJ] T6B VIKWBHF^U N N`_a N > ]KPGNKbcNed FKT O B O IJF O FEf PGNgPGO IMBHhjik @ PGl F^m b n UGF l R o8TAFEU Ngp�q 0rh8R oKBHs�t`uvB l I PGlSP >FKD p BHD8R d F l UG>Aw q "x> NJP F a8y N I`@CR o'F)iN > N Tzo8RST{IJF O F|@ NJ} @AFYU N BHh;FKRSF�BHFK>ZB lSP DGFK>gU4B~ P T O Bv*�U N &.DviB l RS> N!p B�@ NMO iB�@ARSIMB��z�A� q &.h N >6BHT+U N!N`} RS>A@ARST NJO)N`} I NJlSN D�@ N >?@ NJ} @AFK>-��o N Ta R a l RSF ] TCB��;B'��f PGN h;F�U NJO > N T P @AR l RS�MBHUGFK>\IJF O F�RSD�@ATCF�U P+VIKWBHF�XB@ N FKTCR[B�UGF�RSD'@ NM] TCB lU N N a N > ]KPGNKb D�WBHF�IJFKDG� NrVIJFYD N D8� PGO f PGN h;FK>C> P B�BH>ZIMBHTCBHIJ@ N TMik >z@CRSIMBH>ZU8F l R o8TAF|U N0rhGR oHBHs b+N\N >A> N DGIJR[BHRS>�hGBHT6B|F d�P DGIJRSFKD4B O\N D'@CF�U N >z@ N hGTAF y N I`@AFG����R�� NJlSNMO\N D'@6BHTM�v��RSR��> P IMRSD'@AF N ��RSRSR��vf PGN�N`} R y B P8O B a F'B^UGFK> N U N @CTCB a B l �GF�RSDGUGR orRSU P B l�q 0cWBHF�h;FKRS> N >A@CBH>BH>�IMBHT6BHI`@ N TMik >A@ARSIMBH>-f PGN h8T N @ N DGU8R�U4BHT-B N >z@6BH>vDGFH@CBH> q i*�I l BHTCFgf P8N BH>�UGR �4I PGl U4BHU N > NorRSTA@ P U N > O\N D8IMRSFKDGBHU4BH>+DGF.hGT N`d iBHIJRSF-U N >C> N�l R o8TAF�>AF a T N!N >z@6B O\N @AF�UGF l F ] R[B.BHh l RSIMB OE_ > NBHf P R��Z�r���K�����e�Z�8���'�;�K��� q".>{hGT N T N f PGN >AR @CFK>{h4BHTCB N >A@CB�DGFH@CBH>�>MWBHF|h;FKTA@CBHD'@CF�FK>e@AT�LN >{hGTCR O\N RSTCFK>�IMBHh�ik @ P8l FK>

UGF l R orTCF|U N 0rhGR oKBHs q � O B�IJR @6B VIKWBHF�UGF|@ARSh;F�� 0 b @A� O m _C�M��� T N`d�N T N`_ > N BHF@ N FKT NJO Bm _6�M� U N >A> Nel R orTCF q

=RS> a F'B b " P @ P a TCFEU NE�M�K�K / N h4BHTA@CB O\N D�@AFEU N{p B�@ NJO iB�@CRSIMB��DG>A@AR @ P @CF�0 P h N TARSFKTv~^iN IJDGRSIJF

¡

Page 2: Note que o integral de Lebesgue

� ��������� ������������������������������! �"$#&%$�(')��*���+,�$-��

.0/132546/872�9 /;:<4>=@?�A�/89B?�1C/37:<D�:E9F/8GIHKJ,/�LMN/82OA�23HID5=@:<79F/8G�A�:QPBHI:E1C/8D�D�R�S5?�:Q/ M /8TVU/13254A�:3:<4>=@?WA�/89,R�:3S5?�:X4@: MFY /1C/[Z�\W]_^_`a@bdc0e^3f$^,gF^ih>`j�^lkOm)4>= /n7�:ED�:<9 /GKHIJ</�LM8N/2nod/8HqpW:<9@1XHK=@HI9<Rp�29q:lr�:<13p�GK2WR8:lrs=@:<D�A�:<90/ M GI/�4@4@:tA�/4vuw?�DxLMN2:,4!HID5=@:<79�U/8o:<HI4<y�?�1z:Er�:E1Xp�GI2{4@HI13p�GK:,4xA�:6?�1C/uw?�D0LM8N/82n|[y�} ~��E�E������HKD5=@:<79�U/8o�:EGx�/C��:ET�:<4@7?�:{S5?�:{D N/2�U:{HKD5=@:<79F/�o:<Gq�/XPBHI:E1C/8D�D�U:|q�w����� �� � ~�� 4>:���U:{9F/ M HK2�D�/8G��

��� 4>:���U:{HI9@9F/ M HK2�D�/8G�km�4�=F/�:Ers=@:EDW4 N/2&A�2 M 2D M :EHK=@2�A�:�HKD5=@:<79F/8Gq= :E1�HID�U?�1X:<9 /�4{o�/D5= /87�:ED�4{p�9WU/ M =@H M /�4�/8GI7?�1C/�4A�/�4BS5?�/8H�46o:<9@:<13254t1X/HI4t=F/89FA�:k��1X/�uw2�9@1C/�4>HI1Xp�GK:,4QA�:XHIGK?�4>=@9F/89�/&A�HKuw:E9 :EDxLM /�:ED5=@9 :X2�HID5=@:<79F/8GxA�:n��:<TW:,4>7�?�:3:C2&A�:PBHI:E1C/D�D�U:�/O4>:<7?�HID5=@:�/8D�/GK2�7H�/�kv �?�pW2�D Y /13254�S5?�:�=@HID Y /13254)?�1X/O4@/ M 2 MFY :EHI2Q1X25:,A�/4�¡A�HK75/81X2�4¢:E?�9@254E£¤�¥:XS5?�:;p�9@:<D�A�H�/81X2�4�4@/TW:<9�S5?�/D5=@2�4¢:E?�9@254V= :E1X2�4¢D�2&4@/ M 2�k{¦q2�A�:E1X254M 2D5= /9t:,4�=F/461X2s:<A�/�4BA�:QA�?�/�4tuw29 1C/46A�H�4�= HKD5= /�4Ey�§H���PB:E=@HI9 /13254n/4n132s:,A�/4�?�1C/¨/©?�1C/¨A�2ª4@/ M 2©:¥od/81X254�/A�H M HK2�D�/8D�A�2©2�4n4@:E?�4od/8GI29 :<4<��§HKH��&«V7�9@?�p�/81X2�4�/4¢1X2s:<A�/�4�A�2�4 / M 2�p�:EGI2�4{4@:E?�4�od/8GI29 :<4<R�uw29 1X/D�A�2�?�1¬79 ?�p�2�A�:1X2s:<A�/�4�A�:®­ M :ED5=@HI1X2�4<RV2?�=@9 2�79 ?�p�2ªA�:¯�<~ M :ED5= HK1X2�4<R�:E= M k±°�2�D5= /81X254�/41X2s:<A�/�46:E1 M /A�/379 ?�p�2�R�1O?�G²= HKp�GKH M /132546pW:<GK254B4>:<?�4Bod/8GI29 :<4t:�4@21C/81X2�4<�«³4>:<7?�D�A�/Xuw29 1C/CA�: M 2D5= /7:E1´�§S5?�: M 29 9 :<4@pW2�D�A�:Q/82�HKD5=@:<79F/8G$A�:O��:<TW:,4>7�?�:,��U:Q1;?�H²= 21C/8H�4O:lµ M HK:<D�= :�A�2(S5?�:&/[p�9@HI1X:EHI9 /¥uw29 1X/¶A�: M 2D5=F/87:<1·� M 2�9@9 :<4@pW2�D�A�:<D�= :�/2[HID�= :E7�9 /GA�:¥PVHK:<1X/D�DW�lR�:<1;T�29F/(/1;T�/�43uw29 D�:�LM /81¸2©1X:<4@1X2®o�/GK2�9<R M G�/89 2�kº¹V2=@:E»_4@:�S�?�:�p�/89F/A�:,4 M 9@:<o:<9��§HKH��;=@HIo:E1X2543A�:�?W4@/93?�1X/(GIHKD�7?�/7:E1¸?�1¼pW2�? M 2(1C/8H�43:EG�/8T�29F/A�/¶A�2©S�?�:p�/9 /®A�:,4 M 9@:<o:<9&�§H��lk½°�2�1X2(o�:E9 :E1X2�4C/�A�H�/8D5=@:�Rt/©A�:Eµ�D�H@LM8N/2¨A�2©HKD5= :E79F/8GVA�:¥��:ET�:<4@7?�:=F/81;T6U:E1¾HID5o�2GIo:�A�:�u§/ M =@23?�1¿p�2? M 2O1C/HI4tA�: M :ED M :Ep�=@?�/GKHIJ</�LM8N/823A�2OS5?�:{/3A�:lµ�D�H>LMN/82OA�2HID5=@:E7�9 /G0A�:�PBHI:E1C/D�D�R$1C/�4�pW2�9�µ�1�/4{uw?�DxLM8N2�:<4�HID5=@:E7�9WU/o:<HI4C�/�PBHI:E1C/8D�D®= /81OT6U:<1�4 N/2HID5=@:E7�9WU/o:<HI4{�/C��:<TW:,4>7�?�:{:�2Xod/8GI29VA�23HID5=@:<79F/8G�U:{2X13:,4>1X2WR M G�/89 2�k«ÀosHI/X/�S�?�H�/A�2�p�= /�A�/3p�/89F/O/3HID5=@9 2sA�?xLM8N/23A�2XHID5=@:E7�9 /G�A�:���:<TW:,4>7�?�:�/4 4>:<D�=F/;D�2 M 2D�»M :EHK=@2¢A�:�1X:<A�HIA�/�kv��1C/V1X:<A�H�A�/¢D N/82�U:)1C/HI4vS5?�:�?�1X/Vuw?�DxLMN/82¢S5?�:6/ M :E9@=@254!4@?�T M 2D8Á�?�D5=@2�4ÂÄà �qÅ�/�4@4@2 M H�/�?�1ÆD�U?�13:<9@2�D N/82{D�:E75/d= HKo�2¢Ç0�  �iRs/�4@?�/XÈX^Fe8Z§eb;2?�É�Ê8cËj�ÈX^Ek0 s: M 2D�4@HIA�»:<9 /9@1X2�4)?�1C/Ouw?�DxLM8N/2X|¥y�} ÌW�FÍ ����� M 2�1¿?�1±D�U?�1X:<9@2;µ�D�HK=@2CA�:{od/8GI29 :<4 M 21X23o5HI1X2�4<R�/

y3

y4

y2y1

a b

A�:Eµ�D�H@LM8N/2;A�:VHID5=@:E7�9 /G�A�:�PBHK:<1C/8D�D M 29 9@:,4>p�2DWA�:6:<4 4>:<D M H�/8GI1X:ED5=@:V:<1ÎA�HKosH�A�HK9t2QHID5=@:E9 od/8GI2} Ì�� Í ��:E1±4@?�T�HID5=@:E9 od/8GI2�4<R�1O?�GK=@HIp�GKH M /9�23od/8GI29tS�?�:�/Quw?�DxLM8N/2;= 21C/Q:<1 M /�A�/;4@?�T�HID5=@:E9 od/8GI2p�:EGI2C4>:<? M 21Xp�9 HK1X:<D�= 2�R�:�4@21C/81X2�4<y

Page 3: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� �

������������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������������������

���������������������������������������������������

���������������������������������������

������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������

���������������������������

�������������������������������������������������������������������������������

���������������������������������������

y3

y4

y2y1

a b

���� |������Å����¡|q�§� � �E�w� ��� � �� ¡ ��!

¦q2�9v2�?�=@9 2�GI/�A�2�R8pW/89F/�2{HID�= :E7�9 /GsA�:V��:ET�:<4@7?�:RA�:E=@:<9@1XHID�/81X2�4vp�9 HI13:<HK9 2�S5?�/8GtU:6/�p�9 :EHI1O»/7:E1½A�: M /�A�/Vod/GK2�9vS5?�:6/Buw?�D0LM8N/82{/4 4@?�1X:R�1;?�GK=@HIp�GIH M /81X2�4q/�13:,A�H�A�/O�§2?Oo2GI?�1X:,�!A�:,4@4 /p�9 :EHI1C/87�:E1¿p�29V:,4@4@:{o�/GK2�9<Rs:Q4@21C/81X254Ey

""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""

###############################################################

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&

''''''''''''''''''''''''''''''

((((((((((((((((((((((((((((((

))))))))))))))))))))))))))))))****************************************************

+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

------------------------------------y3

y4

y2y1

a b

� �� |��/.C�10����¡�2� Ç0�43 � ��!

Um M G�/89 2XS�?�:�:<4>=@:<4BA�2H�461�U:l=@2�A�2546A N/82X2X1X:<4@132Cod/GK2�9tpW/89F/;2CHID5=@:E7�9 /G¡k¦x/9 /©/�A�2p�=F/89�:<4>= /¨osH�/�R Y U/¨p�2H�4�S5?�:®A�:lµWD�HK9�?�1C/©uw?�DxLM8N/2ªS5?�:®/ M /�A�/ M 2DdÁ�?�D5= 2ÂÄà �qÅ[/4 4@2 M HK:�/O4@?�/;13:,A�H�A�/3Ç0�  �lk0m)4>= /Quw?�DxLM8N/23A�:Eo:�4@/8=@H�4�u§/JE:<9 M :E9@= /Op�9@2�p�9 HK:,A�/A�:,4D�/8=@?�9F/8H�4<kq¦q2�96:lr�:E1Xp�GI2�R�7�2�4>= /89 H�/81X2�4 M :<9>=F/81X:ED5=@:�S5?�:�y�§H���¦x/89F/V?�1³9 : M = /8D�7?�GI2  �½} Ì ¡ � Í ¡ �658797�795C} Ì Å �FÍ Å �W/{1X:<A�HIA�/[U:BA�/�A�/{p�29xÇ0�  �)��¡Í ¡ � Ì ¡ �:79797,�¡Í Å � Ì Å �i��§HKH��� s:  U:�/Q?�D�H N/82OA�: M 2DdÁ�?�D5= 2�4  ¡ �  � �9!�!9!�A�HI4§Á�?�D5=@254�A�2�HI4t/;A�2H�4ER5:ED5= N/2QÇ0�  �)�;=<?>��� ¡ Ç0�  � �l��wHIHKH��� s:  U:¥?�1 M 2�DdÁ�?�D5=@2 M 21·1X:<A�H�A�/©Ç0�  �n:ED5= N/2�/¨4@?�/(=@9F/8D�G�/�LMN/82©�@  �A �B@ 2 y 2DC ÂFE A�:<o:E9�U/;=@:E9V/31X:<4@1C/313:,A�H�A�/�yxÇ0�§�8@  �0� Ç0�  �l�G D�uw:<GKHIJE1X:<D�= :¥D N/2©:lr�HI4>=@:¥= /8GVuw?�DxLM8N/2�£I£K£Ä¹�/¨p�9@HI1X:E9 HI/(p�/9>= :[A�:,4�= : M /8p!UH = ?�GI2�Rto:E9 :E1X254M 21X2X9@:,4>2�GKo�:E9t:<4>=@:�p�9 2T�GI:E1C/�k

Page 4: Note que o integral de Lebesgue

� ��������� �������������������� ��%!��%�"!+3�������"!#5�!��*� �"!+

��� � ��������� �������� ÈCb��lbdÈ �! cËZ§b#" e^[hij�g%$FÊd\'&ij�\W]_Êdh¶e^�( e8Z*),+_hE^(j�ÈCb.-/�021�354768/:9�3;=<?>�@8AB>DCE<?F hE^HG��I( C " ^  ��J C "���K ÂML J��  � J C "F!� ÈXbN�bdc `5^<gEa@bO"±edZ*)'+_hE^Qj�ÈCb �DP -/�021�3Q476=/ hl^

 ¡ �  � �9797�7 C  ��K< >RS�¡Â S C "F!¹�28=@:�S5?�:Q4@:T"�U:{?�1C/¯U/8GI7:<T�9 /3A�: M 2DdÁ�?�D5= 2�46:  ��J C "�:ED5= N/2ÂMU JÆ�  � �  � JO� C "��GI27�2V"¸U:;uw: MFY /A�/�p�/9 /�HKD5=@:<9 4@:�LMN2:,4EkOW�/�1X:<4@1X/�uw2�9@1C/�R�4@:X"¸U:3?�1C/ � »sU/8GI7:<T�9F/�U:3?�1:Ers:<9 M UH M HI234@HK1Xp�GI:<4�1X2�4>=@9F/89VS5?�:Q4@:  ¡ �  � �97�797 C "�:<D�= N/82�Y < >S

�¡  S C "�kt.x:�Á>/1X2�4VA�2�HI4:Ers:<1Xp�GK254Ey�>�,�& s:>Á>/Z" / M 2�GK:�LM8N/82®A�:&= 2sA�2�4X2�4C4@?�T M 2�DdÁ�?�D5=@254nA�:�?�1 M 2D8Á�?�D5=@2[(¨k Um M G�/89 2S5?�:�G��E( C " :&S5?�:\" U:�uw: MFY /�A�/[pW/89F/[?�D�H N2�:<4C/89 T�HK=@9�U/89 HI/�4;:�A�HKuw:E9 :ED0LM /4CA�:M 2�DdÁ�?�D5=@254ER�GI27�2]"�U:{?�1C/ � »5U/GK7�:ET�9F/�k�_^�& s:>Á>/�" / M 2�GK:�LM8N/2�uw2�9@1C/A�/ªp�29&= 2�A�/4¥/�4&?�D�H N2:,4�µ�D�HK= /4�` ¡ L 797�7 L ` 0 A�:9 : M =ba/8D�7�?�GI2�4{A�:n� Å k�m)D�= N/82c"¸U:C?�1C/�U/GK7�:ET�9F/&A�: M 2�DdÁ�?�D5=@254{1C/4�D N/2�U:X?�1C/� »sU/8GI7:ET�9 /��w:Ers:<9 M UH M HI25�ik«ÀD�2$LM8N/82CA�:{1X:<A�HIA�/CS5?�:QS5?�:<9@:<1X2�46A�H�4 M ?�=@HI9BT�/4@:EH�/d» 4@:¢D�/C4@:E7�?�HID�= :�A�:lµ�D�H>LMN/82�y

��� � ��������� ��edf�]g ^�&Ebh"¿j�ÈCbi�b8c `�^,gEa@b7j � ÈXbk�Fj�\?l$,bnmÊXo¥yp" � } ~���@hq®�t\rmb�Êb+I$FÊd\�hF] bd\W]_^e8Z*),+_hE^ /�9tsuCIswv�/ hE^,xteb�eÊ�h  �EJ C "TxÂyU JÆ�zG���K{o!� ÂyL JO�)�zov�  � @yov�|JO��!«�p�9@2�pW254>H@LM8N/2�4@:E7?�HKD5=@:[uw29 D�: M :¶/GK7�?�1C/4np�9@2�p�9@HI:<A�/A�:,4n:EGI:E1X:<D�=F/89 :<4�A�/4�uw?�DxLMN2:<4/�A�H²= HKod/�4Ekx«½4@?�/XA�:E1X2DW4�= 9 /�LM8N/82Oµ M / M 21X2X:lr�:E9 M UH M HK2Wk}T~ �?���?� ����t���� ����B�Og ^�&Eb]"¿j�ÈCbN�b8c `�^,gEa@b&^ho[yQ"�� } ~�� @hq©�tj�ÈCbH�Fj�\?l$�mbÊ�bedZ�]�Z�Édb7j g ^ �EJn�  ¡ �  � �9!�!9!<�  � C "±^l\W]bmb�Ê7��§H��cov�|G��0� ~���§HKH��\ov��J3�r��ov�  �Qhl^kJ ê ��wHIHKH��\ov�  � JO����ov�  � � o!�|JO�QhE^kJ Ã� ^Ho!�|JO��� @hq���§HKo��cov�  ¡ L� � �0�zov�  ¡ �?@yov�  � � � ov�  ¡ U� � �{hE^�o!�  ¡ U� � ��� @hq���wo��cov�  ¡ L 79797 L� � �)�zo!�  ¡ � @ 79797 @yov�  � ��hE^ Âk��U� S �zG]��bda bh����M�t�¹�28=@:&S5?�:R):E1¸p�9 HKD M UH p�HI2�RqD N/82(p�2sA�:E1X2�43A�HIJE:E9XD�/�A�/[4@2T�9@:�2 M 21XpW2�9>=F/81X:ED5= 2[A�/4uw?�D0LM8N2:,4¢/�A�HK=@HIo�/�4�pW/89F/ M 2�DdÁ�?�D5=@254  S5?�:O4 N/82�?�D�H N2:<4X�§13:,4>1X2�A�HI4§Á�?�D5= /�4 �¢A�: M 2D8Á�?�D5=@2�4 ¡ �  � ��!9!�!lk0¦x/89F/;H�4 4>2Xp�9 : M HI4 /81X2�4tA�:�1C/8H�46?�1C/CA�:Eµ�D�H@LM8N/82Wy��� � ��������� ��*�n�Og ^�&Eb]"±j�ÈCbN�b8c `5^<gEa@b7j � ÈXbH�Fj�\?l$,bnmÊ�o(yQ"�� } ~�� @hq©�Bb�edZ�]�Z�É�b�e8Z*),+_hE^�DP /�9?suCuswv�/ hl^,x���bda@b  ¡ �  � �97�797 C ":$FÊdÈ:� <?>S

�¡  S C "Tx0] ^lÈCÊ�h � U� S ��G����k��y�s�0��K.ov� < >RS � ¡  S �0�

< >�S�¡ov�  S ��!

��1 � ��� � ������ �h�y� � � � � U:x?�1C/Bp�/9)���³�>Ç$��2�D�A�:�� U:x?�1X/ � »5U/GK7�:ET�9F/tD5?�1 M 2DdÁ�?�D5= 2( :¶Ç yH� � } ~���@hq®�¥U:[?�1X/¨uw?�DxLMN/82 � » /A�HK=@HIod/�k:��4n:<GK:<13:<D5=@2�4�A�:Z� A�HIJE:<1O» 4@:��� �Q�8 n��¡ �?� � �Q� �   ~£¢��¤ �Q� � :�/;uw?�DxLMN/823Ç[A�HIJl» 4>:�?�1C/ � � � � �n� :<1:(¨kq�V1C/3TW25/Qp�/9>= :A�2¶D�2�4 4@2[:<4>=@?WA�2[HID M H�A�HI9WU/¶4>2�T�9 :�?�1C/ M :E9@= /[13:,A�H�A�/[:<1¼�qÅxR)/ MFY /81C/A�/¥13:,A�H�A�/¶A�:�$:ET�:<4@7?�:�k�¦x/9 /X:,4�=F/n1X:<A�H�A�/�R�254�9 : M ==a/D�7?�GI2�4¢A�:O�qŪ4 N/2 M 2�DdÁ�?�D5=@254�1X:EDW4>?�9�U/8o�:EH�4V:3/4@?�/31X:<A�H�A�/CA�:���:<TW:,4>7�?�: M 2�HKD M HIA�: M 21 2�4B4@:E?�o2GI?�1X:{D�» A�HK1X:<D�4>HI2DW/8G0}  �R MFY pc¥d�_k

Page 5: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� �°�2�132©?�1 :Ers:<1Xp�GK2ª4>HI1Xp�GK:,4�A�:[?�1 :,4>pW/�LM 2¨A�:¥1X:<A�H�A�/ ���Æ�I((�X1X:ED M HK2�D�/81X2�4�/� � � � � �[� � ��� ~ ��¡ � Ds?�1 M 2�DdÁ�?�D5=@2�(¨k�« � »sU/8GI7:<T�9 / � U:;uw29 1C/A�/Cp�29¢=@2�A�254�254¢4@?�T�»M 2DdÁ�?�D5= 2�4 ÂÄà (¨R�:Q/313:,A�H�A�/XA�:�?�1 4@?�T M 2�DdÁ�?�D5=@2 ÂÄà ( U:

Ç0�  �)� �� � M /89FA�HKDW/8G�A�:  � 4@:  U:¢µWD�H²= 2��@hqº� 4@:  U:�HID�µ�D�H²= 2�km�4�=F/O1X:,A�HIA�/¨U:�1O?�HK=@2XHK1Xp�29@= /D�= :R�p�29B:Er�:E1Xp�GI2�R�D�/��!:E29 H�/OA�/�4V¦09 2TW/8T�HIGKH�A�/�A�:<4<k��1X/;p�9 2p�9 HK:,A�/A�:VHK1Xp�29@= /D�= :¢A�/�40uw?�DxLM8N2�:<4 � »_/�A�H²= HKod/�4CU:¢/;A�:�pW2�A�:<9@1X254 M /8G M ?�G,U/d»_GI/�4p�29V/p�9@2�r�HI1C/�LM8N/2�k��¥/8H�46p�9 : M H�4 /81X:ED5=@:¢=@:<1X2�4<y

��� � ~ �Q� � ����f�Xg ^�&EbX"±j�ÈCb �bdc `5^<gEa@b�^ho®y5"½� } ~�� @hq©�Bj�ÈXbH�Fj�\?l$�mbÊ � +>b�edZ�]�Z�É�b�j g ^ ¡ ï � ê � à !�!9!]$FÊ8È Â � C " ^  � � <?>S�¡  S C " ^E\�]pmbÊGIHK1S�� <?> ov�  S �0�zov�  ��!

3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j� s:�Á>/�J ¡ �  ¡ :QA�:lµWD�/d» 4>:{p�/9 /T�O��^���¥���!9!9!J S �  S �  S ¡ !°�G�/89F/81X:ED5= :�J S C "�R�J �tU J S ��GX4@:T����y�C:  S ��J ¡ L 797�7 L J S k0�$27�2ov�  S �0� S�� �

¡o!�|J � ��!

°�2�132 oÀU: � » /A�H²= HKod/X:  � � <?>S � ¡ J S 2�T�=@:<1X2�4GIHK1S�� <?> ov�  S �0� <?>�S � ¡ ov��J S �0�zov�

< >RS�¡J S �0�zov�  ��!

}T~ ���� ��� ���

������������������� �!�#"%$'&�)( *+�-,�./�+021436587�./�:9�����5��<;�=->8;@?A>-B-B-BDCE�F�HG�7)I�J3LK!MONP�Q = ; P C��#0���SR��:TL�H��36G�5U7�.U�!�@VW.X3HVY3)5UZ�[\�I�J3^]�0S_ 0���S`��a�'�����L�b�Y�!�c&�)( *+�-,�./�d�fehg �jilk mY>Hnporqs� ���ft8�YG�[\�I�J3L"%$u�Jv)Zw7�Zwx6�J0����<;#=zy{;@?@yj;<|#yB-B-BDCE�@}�e�~�;#=8����npo��z;j� K M�NP�Q = ; P CE����3)5U7�.U�L9��W�

�����PH� MONe�~�; P ���je�~�;f�H�

�������h�'�����E����t-�6��&� ( Z��hvJ3)5a5U�D,8\U3)G���� G�7�3)5dv+�L�s��9����E5�I�J3�� G�Z6I��3�v+��� ��GL&� ���H./3^�%GDZw7�3rv+�.U�/\�7)��)G+*)�D(�365:v6Zw5���� G�7�3)5�0<���2;j�{�!�PHQ =�� P &��� ����(��H���HG�7�3EvJ�z�bv+�w�%GW�

 ¢¡ ~�;@��� �£PHQ =Y¤

~ � P �H�

~�¥J�4143)5U7�./�:9����z�¦&��� ���§&��( *+�-,�.X�Ev+�#\836G-��� G�7�3658¨~�©'�h143)5U7�./�:9����   ¡ g��ªi«�l&��� ���2tH� GW[\�I��3��Jv6Zw7�Zwx6�)¨

���S¬����'�����:�­� ���L"®$W&��( *+�-,�./�d\U3)��� ��GL&�Y���H./3EZwG-�%GDZw7�3Ev+����(��H���HG�7�3)5�0!���H.�&��9����@�¯VY3�v+�:5��H.G�� �^�H.�&�)x)��(u°

� ��%!��%�"ª%!�¶'���*W�W+<�!-�� s:>Á>/�(¬� �qÅC2¢:<4@p�/�LM 2V:E? M GIHIA�:,/8D�2�D�»_A�HK1X:EDW4>HI2D�/G¡kq �/8T�:E1X254$2�S5?�:t4>HI7HKµ M /V2Vo�2GI?�1X:D�» A�HI1X:ED�4@HK2�D�/8GO±��|`5�xA�:B?�1³9 : M ==a/D�7?�GI2h` à �vÅ©�@}  �R p�kD²W³����lkq s: Âzà �qÅ�U:6?�1 M 2D8Á�?�D5=@2�RU:�D�/8=@?�9F/8G M 2D�4@HIA�:E9F/89 M 2�TW:<9>= ?�9 /�46A�:  pW2�9B9@: M =ba/8D�7�?�GK2546/8T�:E9@=@2�4 A ` ¡ ��` � ��!9!�! E :�A�:lµ�D�HK9Ç®´8�  �)� HID�u < >�Å � ¡ ±��|` Å �l�

Page 6: Note que o integral de Lebesgue

� ��������� �������������������2�D�A�:n2�HID�u©U:X= 21C/A�2¥4>2�T�9@:X= 2�A�/4Q/�4 M 2�TW:<9>= ?�9F/4�Ds?�1X:E9�U/8o�:EH�4�A�:  p�29O9@: M =ba/8D�7�?�GK254/TW:<9>= 2�4<k « uw?�DxLM8N/2®Ç ´ µ M /©/�4@4@HI1 A�:lµWD�HIA�/®D�/ � »5U/GK7�:ET�9F/#"±uw29 1C/A�/(p�29X= 2sA�2�4X2�44@?�T M 2D8Á�?�D5=@2�4BA�:Q�vÅ(: M 254�= ?�1C/XA�:<4@HK7�D�/89@» 4>:�pW2�9 � � � � �n� ���f¡8� ~ � � ~ � ��� � � � ���  n� k}T~ �?���?� ����t���� �������� ÈX^FedZ§e�b¨^] ^EaiZ§Êda�e^�f!^,g ^lh>`8j�^3Ç ´ yD" � } ~���@hq®�{hEbd]�Z�h��lb�)¶b�hhE^_`8j�Z�\W]_^lh ��a@Ê%��aiZ§^Feb�e^lh,��§H���Ç ´ �|G�0��~5��§HKH���Ç ´ ��JO� ��Ç ´ �  �QhE^kJ Ã� ��wHIHKH���Ç ´ ��`s�0��±���`s��hE^k` à �qÅ �^;j�È a ^�$E]��bd\5`j�cKÊb��§HKo���Ç ´ �w�B@  �)�ºÇ ´ �  �QhE^V� C �qÅ£��wo���Ç ´ �  ���º~�hFhE^  �^Qj�È $FÊd\'&ij�\W]_Ê�e^;ÈX^Fe8Z§eb�\�j�cKbb��§osH�� g ^  � � < >S � ¡  S ^l\W]bmb�Ê�Ç ´ �  �r� ; < >S � ¡ Ç ´ �  S ��j3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j¢«�4�A�:E1X2�D�4�= 9 /�LM8N2�:<4nA�:¯�wH��_»i�wo���4 N/2�A�:EHKr�/A�/�4 M 21X2�:Ers:<9 M UH M HI2�kz¦x/89F/A�:<1X2D�4>=@9F/893�wosH��¢p�2�A�:E1X2�4�/4 4@?�1XHK9{S5?�:OÇ ´ �  S ��� @hqºR�p�/9 /n=@2�A�2�2��WkhW¢/�A�2 � �Ä~:ErsH�4>=@:{?�1C/ M 2�TW:<9>= ?�9 /X` S� � ���C�½����^���!9!�!>�6A�:  S pW2�9B9@: M =ba/8D�7�?�GK2546/8T�:E9@=@2�4<Rs= /G�S5?�:< >�� �

¡±���` S� � ���¯Ç®´8�  S � @ �

^ S !��4 ` S� � �*����C�z���^��9!�!9!>��uw29 1C/81±?�1 M 2�TW:<9>= ?�9F/3A�:  p�29B9 : M ==a/D�7?�GI2�46/TW:<9>= 2�4<R�GK2�72

Ç ´ �  ��� < >�S�¡

< >�� �¡±���` S�� � � � <?>�S � ¡ Ç ´ �  S � @���!

��1Äuw?�DxLM8N/2�S5?�:B4 /d= H²u§/J�/�A�:<4@HK7�?�/8G�A�/�A�:¢�§o5H��vA�HIJl» 4>:t?�1C/ �Fj�\�l$�mb�Ê{hij�gFbe8Z�]¡Z�Édbdkxmxr�H�4�= :E1:Ers:<1Xp�GK254VA�:Q4@?�T M 2D8Á�?�D5=@2�4 Âk�)à � Å R M 2�1  S U� � � GX4>:H�������R�pW/89F/X2�4BS5?�/8H�4B:,4�=F/A�:,4>HI7?W/8G�A�/A�:[U:{:<4>=@9 HK= /�R�H�k�:�kKR�/X1X:<A�HIA�/3:Er5= :E9 HK2�9BA�:Q��:<TW:,4>7�?�:{D N/82ªU: � » /A�HK=@HIod/�k

�����Q� �� |� ����f� T#�w�%G�Z���3)5!� �!�h.U��(��)[\�I�J3rv+���/9�� Zwx6��(X��HGW\�Z��4GW3�ZwGD7u�H.Hx6�)(�3�k mY>���qL�H5U7�Z V��D(��6G'vJ39������ ����585����! "�4C"#%$D&� t�&��\�Z�( x)�H.HZ ��\U�).^9����a�H587���./��(���[\�I�J3d,�ZwG�&�).HZ���&�^vJ�2t��J\�7�3�7�./�)GD58Z�7�Zwx6�)}5UZw� &�H7�.8Z�\U�E�p.U��&2�(')Zwx6��)�0

��������*,+ k mY>-�Hqz� � \U3)G-��� GD7�3pt-3).8���JvJ3#VY3).��('J��\�7��)�^�HGD7u��� � ��(��H�^�HG�7�3Ev+�!\U�JvJ��\-(��)5U5��!v+��/9��YZ�x6��(/��HG'\�Z��Ev+����0@] �(')Zw5U7���HGW\�Z���v+�.*�&�f*J�)./�)GD7�Z�vJ�:VD��(�3���')Z�3)�!�EvJ�E�H5�\U3�( /Y�+0�0s587u��\U3)G���� G�7�37u�H���)5@5���*)�YZ�G�7u�H5 VW.X3HVW.8Z��/vJ�Jv+�H51

~�¥J��~�22n3*#�54�~�62n7*L����8�5��92 >(6LC:# �92!;�<6 ¨~�©'����� ��=->@? ~�22n3*#�H¨~�AA�   ¡ ~B*L�DCªmY¨

TL�zt-�J\�7�3)}@5���2@n<���E6pn<��3)G'v+�F�¢>(� CG*!}H2 >(64CI#z}a\U3)�J��;���{��2K;�E6 }��HG�7)I��347u�H��3)5�L�<��}�3�9����2G I�J32VY3�vJ�<�J\U3)GD7u�U\8�H.%VY3)Zw5M*b\U3)G�7 &�H� � �b��(��H�^�HGD7�3Lv+�z\U�JvJ�#\-(��)5U5-�zv+�f�/9�� Zwx6��(X��HGW\�Z��v+�F��0!N¢3U*J33$u�)c&�!x)�H./vJ��v+�HZw./�J0POz36.^3)� 7�./3�(��JvJ3)}z5��Q� C��«�HGD7)I�J34�(')Zw5U7u�^� �R2dC7#z}L7���(�9�����S T2LCrk m >-��qz�H}�VY3).87��)GD7�3)}2�(')Zw5U7u�.UpC:* 7���(�9����9�S T2���UY0FV%3)GW\-( �YZ���3)5@9��W�W��C:2YX n3*�VY�6./���( *)� � ./��\�Z�3)G'�)(Z2 X }<�:$u,[)¯&�:x)�H.XvJ�Jv+�HZw.X�+0"V%3)��3L� G I�J3E7u�H� �^�/v)Z�vJ��G��Y(��)}�$u,[)��!3)5U7�./��9����F*7��)��, &�H� G I�J3^7u�H� ���Uv6Z�vJ��G��Y(��+0HOz��(��@VW./3HVY3658Zw[\�I�J3�]�0�\P$�x])�}�\U3)G'\-( ��&� �!3)5�9����   ¡ ~B*#�HCªm�0

T#�Jv��f�Y�!�p�HG�� ���H./��[\�I�J3.^_2)=�>(2A?)>(2�|�>����-��`LvJ365®.X�J\�Z�3)GW�)Zw52�HGD7�.U��m��D��}�v+�w��G�Zw�!3)5®5U�D,U\U3)G-��� GD7�3)5; P +§k m >�aAq VY3).

; P �<2 P n3*!> b#�c��>�a+>]dY>��-���-��������#; �{� MONPHQ = ; P 0s]���.H�!�)��3)5p9��W�

  ¡ ~�;f��� MON£P�Q =

  ¡ ~�; P �H�

&0 \-(��)./349��W�!;e+ k m >faAq#(�3U*J3)} VD��(��^VW./38VY3)5UZ�[\�I�J3h]�0�\3$�ZwZ )A}   ¡ ~�;f�hgRaD0iO23).E3)� 7�./3�(��Jv�3)}sVD��(��VW./38VY3)5UZ�[\�I�J3�]�0�\7$�Zwx])�}�365#; P 7A��H� 7�3�v�3)5��h�^�H5U�!�h�^�/v)Z�vJ�r�(')7u�H.8Z�3).-1   ¡ ~�; P �L�   ¡ ~B*#�SCFm�0]@5U5UZw�L}kj MONPHQ =   ¡ ~�; P ��� npo 0

Page 7: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� �

.x:<13254Bp�2H�4�S5?�:;/Xuw?�DxLM8N/2nÇ ´ D N/2ªU: � » /A�HK=@HIod/CD�/ � »sU/8GI7:<T�9 /Ouw2�9@1C/A�/XpW2�9;] Ê<e�Ê�hQ2�44@?�T M 2D8Á�?�D5=@2�46A�:{�qÅxk0¦q2�A�:E1X254ER5D�23:ED5= /D�= 2�Rsp�9 2 M ?�9F/89�?�1C/ � »sU/8GI7:<T�9 /;1C/8H�4�p�:<S5?�:<D�/�RS5?�:�/8HID�A�/ M 2D5=@:<D Y /32�469 : M ==a/8D�7?�GI2�4r` à �qÅxR�:{D�/CS5?�/8G�Ç ´ U: � » /A�H²= HKod/�k��� � ��������� ����B� � È.$FÊd\'&ij�\W]_Ê Â Ã � Å edZ*)'+_hE^�� 3�>£FbAB6 -/tv�3�0��/��D354837F�1tA£3 hl^ ��bda@b] Ê<e�Ê®Ê���� ~�^Z�hi] ^lÈ�a@^%$E] �b8\5`j�cKÊ�h A ` ¡ �E` � �9!9!�! E ]_b8Z�hEj�^�b¥hij�b[j�\�Z�mb�Ê�� � � < >S � ¡ ` ShEbd]�Z�h��lb�)� ¡�� Ç ´ � Â�� �Q��� ��!

� �w�$-$ �"���� � M 2DdÁ�?�D�= 2 Â�� �3k�¢T�4@:E9 o:E»_4@:nS5?�:�D�:<4>= /[A�:lµ�D�H@LM8N/2ÄU:�HKD�A�H²uw:<9@:<D�= :�4@?�pna2�9OS5?�:�2�4Q9 : M ==a/D�7?�GI2�4O4 N/2[A�H�4�»Á�?�D5= 2�4<kzm01·=@:<9@1X2�4n7:E2�1�U:l= 9@H M 254ERtpW2�A�:<1X2�4�A�HKJ<:E9�S5?�:¶?�1 M 2D8Á�?�D5=@2¾U:[13:<D�4@?�9WU/o:<G4@:�p�?�A�:E9C4@:E93TW:<1 /8p�9@2�r�HI1X/�A�2�Rv:E1¼=@:E9 1X2�43A�:�13:,A�H�A�/�R0p�29X?�1C/¶?�D�H N/82¶D5?�13:<9WU/o:<GA�:39 : M =ba/8D�7�?�GI2�4<kTW¢:3u§/ M =@2�=@:E1X254¢2&4@:E7?�HKD5=@:O9@:,4>?�G²=F/A�2 M ?dÁ>/&A�:<132�D�4>=@9F/�LM8N/2�A�:<H²r�/81X254M 21X2X:lr�:E9 M UH M HI2�y

� ��� � ������Og ^�&EbdÈ Â ��J C �vÅ�$FÊ8È³Ç ´ �  ���=@hq ÊdjCÇ ´ ��J3�r�=@hq�j��t\�]pmbÊ��� Ç®´��  � � Ç®´��J3� � ��Ç®´�� Â�� JO�

W�/S5?�HO:E1 A�HI/D5=@:¨A�:,4>HI7D�/1X2�4�p�29�� /¯u§/81�UH GKH�/ºA�254 M 2�DdÁ�?�D5=@254¥1X:ED�4@?�9�U/8o�:EH�4¨�/�$:ET�:<4@7?�:�k��� � ~ �Q� � ��������L� �lbdÈ3Z�c%�! bV� eÊdhOhij�g%$FÊd\'&ij�\W]_Êdh3e^;�qÅ�ÈC^E\�hij�a��bdÉd^lZ�h �bnf!^<gF^lh�`j�^ �^j�ÈCb � +��b8c `�^,gEa@b7j � a ^ihi]�aiZ�l$�mb�Ê�e�^VÇ ´ bh� �^Qj�ÈCb �Fj�\?l$�mbÊ;Ç(yp� � } ~�� @hq©� � +>b�edZ�]�Z�É�b�j3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7jHW�:,4>HI7D�:E1X2�4�pW2�9X$FÊd\�&ij�\�] Ê�h3^EcK^EÈX^E\�] bda@^lh;254 M 2�DdÁ�?�D5=@254Vuw2�9@1C/�A�2�4Bp�29?�D�H N2�:<4Xµ�D�H²=F/4<R6A�HI4§Á�?�D5= /�4ERBA�:�9 : M ==a/8D�7?�GI2�4<kÀ°�21X2®osHK1X254CDs?�1 p�9@2�T�GK:<1C/(A�/©4>: M LM8N/2/D�= :E9 HK2�9<R5/�u§/1�UH GIHI/O" A�2�4 M 2�DdÁ�?�D5=@254):<GK:<1X:ED5= /9@:,4CU:¢?�1C/¨U/GK7�:ET�9F/�:{/Q9 :<4>=@9 H>LMN/82;A�:¢Ç ´ /"�U:�/A�HK=@HIod/�k¦x/9 /�:luw:<H²= 2�4$A�/VA�:E1X2�D�4�= 9 /�LM8N/2tod/13254�/8HID�A�/BA�:<4@HK7�D�/89�p�29B�"!&/6u§/81�UH GIHI/BA�254�4@?�T M 2D�»Á�?�D5= 2�4 ³à �vÅ�S�?�:;p�2sA�:E1�4>:<9¢/p�9@2�r�HI1C/A�2546pW2�9�?�1 M 2DdÁ�?�D5= 2n:EGI:E1X:ED5=F/89,y  C ��!4@:R�A�/�A�2:�!��~�R�:ErsH�4>=@:F3 C "�= /G$S5?�:Ç ´ � Â�� 3O��� ��!W¢:EHKr�/81X2�4 M 21X2X:lr�:E9 M UH M HI2;o�:E9 H²µ M /89t2�4B4@:E7�?�HID�= :<4tu§/ M =@254Ey�¡/��& s:  C � :{Ç ´ �  �r�=@hq :ED5= N/2  C � ! ��§TW�� s:  C � :ED5= N/2  � � >S � ¡  S R M 21  S C � ! A�H�4wÁ�?�D�= 2�4BA�2�HI4B/XA�2�HI4<�¡ �->6B O FK>�FE>Mik O a F l F$#&%(' h4BHTCBZU N >CR ] D4BHT�B��K� )�*,+-*��/.0��^�6����1*M��+`�206��U8FK>�IJFKD y P D'@CFK>3# N 'Z�

#4%5'76 ��#�89'{�;:��<'�89#%�=6 ��#&:>'{�=8���#&?>'{�A@

Page 8: Note que o integral de Lebesgue

� ��������� �������������������� M �& s:  S C �"!ª:ED5= N/2  � � >S

�¡  S C �³k

W¢HKosH�A�HI13254V/XA�:E1X2�D�4�= 9 /�LM8N/2;:E1 o6U/89 HK254�pW/4 4>254Ek�§H�����!�������� ��� �������������!¿U:{uw: MFY /A�/OpW/89F/X2�4 M 2�1Xp�GK:<1X:ED5= /9@:,4BpW2�HI4�4>:  C �"!ª:ED5= N/2 Â�� C �"!BRdÁ�U/�S�?�:U:�o6U/8GIHIA�/3/39 :EG�/�LMN/82  � � 3 � � Â�� 3 !¦q2�9¢2�?�=@9 2�G�/A�2�R���! U:3uw: MFY /A�/�p�/89F/�?�D�H N2:<4¢µ�D�H²=F/4<y� �:  ¡ �  � C �"!6R!A�/A�2i�3�z~�R:ErsH�4>=@:E1 M 2D8Á�?�D5=@2�4V:EGI:E1X:ED5= /9@:,4 3 ¡ � 3 � C "�=F/8H�4BS�?�:Ç®´8�  ¡ � 3 ¡ ��� � ^ � Ç®´�  � � 3 � �r� � ^ !°�2�132 �  ¡ L� � � � �43 ¡ L 3 � � à �  ¡ � 3 ¡ � L �  � � 3 � �l�4@:E7�?�:l» 4>:{S5?�:Ç®´�>�  ¡ L� � � � � 3 ¡ L 3 � �>���¯Ç®´8�  ¡ � 3 ¡ � @©Ç®´�  � � 3 � ��� ��!�$272  ¡ L� � C �"!6k s:<D�A�2��"!¯uw: MFY /A�/�p�/89F/X9@:<?�D�H N2:,4�: M 21Xp�GI:E1X:<D�=F/89 :<4<RBU: M G�/89 2�S5?�:O4@:  �EJ C ��!:<D�= N/82  �J � �  � L JO� � C ��!Bkn°�21X2�� Å �%G C ��! M 2D M GK?!UH 1X2�4{S5?�:X�"!�U:3?�1C/U/GK7�:ET�9F/�k�§HKH���� ����������� �!�"�$#&%'� Ç ´ � ��!������%(�)�*�)+��,� s:>Á>/81  ¡ �  � C �"! M 2�DdÁ�?�D5=@25461X:ED�4@?�9�U/8o:<HI46A�H�4§Á�?�D5=@2�4<k.-�U/O4 /8T�:E1X2�4BS5?�:Ç®´�  ¡ L� � �r�ªÇ®´8�  ¡ � @©Ç®´�  � � !

/6/4>= /tp�2H�4�1X2�4>=@9F/89�/BA�:,4>HI7?W/8G�A�/A�:q2�pW254�=F/6:xp�/89F/tHI4 4>2Bp�2�A�:E1X254�/4 4>?�13HI9�S5?�:xÇ ´ �  ¡ �i�@Ç ´ �  � ���@hq kW�/A�2:�:�ª~�R�:,4 M 2G Y /d» 4@: M 2DdÁ�?�D5= 2�46:EGI:E1X:<D�=F/89 :<4 3 ¡ � 3 � C "�= /8H�4VS5?�:Ç ´ �  ¡ � 3 ¡ ��� ��� Ç ´ �  � � 3 � �r�G��!°�2�132  ¡ U� � ��G�Rs=@:<1X2�43 ¡ U 3 � à �  ¡ � 3 ¡ � L �  � � 3 � �l�: M 2�D M GI?$UH 1X2�46S5?�: Ç®´�43 ¡ U 3 � ����^ ��!¦q2�9t2�?�=@9 23GI/�A�2�R�p�:EGI2CGK:<1C/3«;k 0�R�= /1;T6U:E1¾=@:<1X2�4

� Ç®´�  ¡ � � Ç®´8� 3 ¡ � � � ��� � Ç®´�  � � � Ç®´�43 � � � � ��!�!21X:E1X254  �  ¡ L� � : 3z� 3 ¡ L 3 � k0.�H�4�= 2nS5?�:�p�/89F/ M 2D8Á�?�D5=@2�4V:EGI:E1X:ED5= /9@:,46/1X:<A�HIA�/3:Er5= :E9 HK2�9�U:�/A�HK=@HIod/�R�2�T�=@:<13254Ç®´�43;���ºÇ®´�43 ¡ � @¨Ç®´8� 3 � � � Ç®´�43 ¡ U 3 � �.�¯Ç®´8�  ¡ � @¨Ç®´8�  � � � ² � !

1vHID�/8GI1X:ED5=@:�R�2T�4@:E9 od/81X2�4tS5?�:Â�� 3 à �  ¡ � 3 ¡ � L �  � � 3 � �l�GI27�2 Ç®´�  ¡ L� � �32ªÇ®´�43;� � Ç®´� Â�� 3;�.�¯Ç®´8�  ¡ � @©Ç®´��  � � � 4 � !°�2�132:�;:<9 /X/9@T�HK=@9�U/89 HI2�R M 2D M GI?$UH 132546S�?�:Ç ´ �  ¡ L� � ��2ªÇ ´ �  ¡ � @©Ç ´ �  � �l�2CS5?�:�1X2�4>=@9F/OS5?�:Q/39 :<4>=@9 H>LMN/823A�:�Ç ´ /X� ! U:�/A�HK=@HIod/�k�§HKHIH��tÇ ´ �����������)�)�&� � �� �65 ��%(������+��,�

Page 9: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� �

 s:  S C � 4 N/82�A�H�4§Á�?�D5=@2�4<R  � � < >S � ¡  S C �ÆR5:B:lr�HI4>=@:B?�1  S M 21³Ç ´ �  S �0� @hqºRU: M G�/89 2CS5?�:Ç ´ �  �)� < >�

S�¡Ç ´ �  S � !

¦q2�9�2?�=@9 2�G�/A�2WR�4>:O=@2�A�254¢254  S =�a:E1�Ç ´ �  S �h� @hqºR�:<D5= N/82  S C �"!6k3 s:ED�A�2�Ç ´4@?�T�» /A�HK=@HIod/�Rs= :E1X2�4<R�/Xp�9 HK2�9@H�RÇ ´ �  �r� < >�

S�¡Ç ´ �  S � !

°�2�132XÇ ´ U:�/�A�H²= HKod/X:<1:�"!ª:]���S � ¡  S Ã� R�pW/89F/Q= 2sA�2C23HID5=@:<HK9 2��©R�2T�= :E1X2�4Ç®´�� �RS�¡Â S �0� ��

S�¡Ç®´8�  S �r�ªÇ®´8�  ��!

¦x/�4@4 /8D�A�2O/82XGIHK1XHK=@:�R M 2�D M GI?$UH 1X2�46S5?�:< >�S�¡Ç ´ �  S ���¯Ç ´ �  � !

�$272WR5= /81OT6U:<1±D�:<4>=@: M /4@2�Rs=@:<1X2�4Ç ´ � Â �)� < >�

S�¡Ç ´ �  S � !

�§HKo���� �� ���� �65 ��� ����������� s:  ¡ �  � �97�797 C � 4 N/82 M 2DdÁ�?�D�= 2�4¢1X:ED�4@?�9�U/8o:<HI4<RW4@:�Á>/  � � < >S � ¡  S k�W¢/�A�2�� ��~�R:ErsH�4>=@:E1 9@: M ==a/D�7?�GK254 A ` S�� � E =F/8H�4VS5?�:�4>: � S � � < >� � ¡ ` S�� � :ED5= N/2�yÇ®´8�  S � � S ��� �^ S ! s:9�À� � <?>S� � � ¡ ` S�� � � � <?>S � ¡ � S R�:ED5= N/82O=@:E1X254 Â�� � à � <?>S � ¡ �  S � � S �tGI272Wy

Ç ´ � Â�� ����� < >�S�¡Ç ´ �  S � � S �0����!

G�4>=@2X1X2�4>=@9F/XS�?�:  C �³R�:T� U:�uw: MFY /�A�/;pW/89F/O?�D�H N2�:<46Ds?�1X:E9�U/8o�:EH�4Ek s:  �EJ C � :ED5= N/23=@:E1X254B/4BA�: M 21Xp�2�4@H>LMN2:,4 � <?>R

S�¡Â S � JÆ� <?>R� �

¡J� �

2�D�A�:  S ��J � C �"!6k�°�2�132���!¿U:�?�1C/�U/8GI7:<T�9F/�R  S U J � C �"!6k0«¢4@4@HK1&RÂMU JÆ� < >RS��� �¡Â S U J � C � !�$272\� = /1;T6U:<1 U:nuw: MFY /�A�/�p�/9 /�HID5=@:<9 4@: M LM8N2:,4Ek\W¢:EHKr�/81X2�4 M 21X2¥:Er�:E9 M UH M HI2�o:<9@HKµ M /9S5?�: � U:tuw: MFY /A�/�p�/9 / M 21Xp�GI:E1X:ED5= /9@:,4ER�A�2D�A�:V4>:B4@:E7?�:VS�?�: � U:6?�1C/ � »5U/GK7�:ET�9F/�k

«±uw?�DxLM8N/2¶ÇÆy � � } ~�� @hq©� M 2�4>=@?�1X/¶A�:<4@HI7D�/9>» 4>:Cp�2931X:<A�H�A�/(A�:��$:ET�:<4@7?�:�k(«M GI/�4@4@:c� A�2�4 M 2DdÁ�?�D5= 2�4C1X:EDW4>?�9�U/8o�:EH�4��/(�$:ET�:<4@7?�:�U:�?�1X/ M GI/�4@4@:&T�/4>= /D�= :�/81Xp�G�/®:HID M GI?�Hx1O?�H²= 2�4{A�254 M 2DdÁ�?�D�= 2�4{S5?�:3D�2�4{4 N/82nu§/1XHKGIHI/9@:,4EkO¦q29�:Er�:E1Xp�GI2�R M 2�1X2�� U:3?�1C/� »sU/8GI7:<T�9 /O: M 2�D�=�U:E1 2�469 : M =ba/8D�7�?�GI2�4�` à �qÅxR�o:E1X254BS�?�:y�§H���� M 2D5=�U:E1 254 M 2DdÁ�?�D5= 2�4�/TW:<9>= 2�4�� à �qÅ0R�p�2H�4V= 2sA�2n2�/8T�:E9@=@2�A�:O�qÅÎU:;?�1C/?�D�H N/82XDs?�1X:E9�U/8o�:EG�A�:�9 : M ==a/8D�7?�GI2�4<�

Page 10: Note que o integral de Lebesgue

¡�� ��������� ��������������������§HKH��� M 2D5=�U:E1¾2�4 M 2D8Á�?�D5=@2�4)uw: MFY /A�254�� à �qÅxRsp�2H�40= 2�A�2O2 M 2�DdÁ�?�D5=@2;uw: MFY /�A�2®U:¢2M 2�1Xp�GK:<1X:ED5= /96A�:�?�1 M 2DdÁ�?�D5= 2X/TW:<9>= 2��Um M G�/89 2�S5?�:X� M 2D5=�U:<1 1;?�HK=@254�2�?�=@9 2�4 M 2�DdÁ�?�D5=@254EkQ¦q2�9�:lr�:<13p�GK2WR�� M 2D5=�U:<1 254 M 2D�»Á�?�D5= 2�4VS5?�:�/8D5= :<4BA�:,4>HI7D�/1X2�46p�29O$FÊd\�&ij�\�] Ê�h;e^;ÈX^Fe8Z§eb�\�j�cKb8R�p�2H�46:<4>=@:<4�4 N/23A�:{u§/ M = 2254 M 2D8Á�?�D5=@2�461X:<D�4>?�9WU/o:EH�4��/X��:ET�:<4@7?�: M 21±1X:,A�HIA�/CA�:Q��:<TW:,4>7�?�:{D5?�GI/�k}T~ ���� ��� ���

�������:TL�H��36G�5U7�.U�!�)5f5-��*)� ZwGD7u�H5 VW./3HV�.HZ��/vJ��v+�H5LvJ�^���/v)Z�vJ���(')7u�H.HZ�3).Lv+�.N �-,8�H5 *)����1~�¥J�   ¡ ~B8J���jmY¨~�©'�   ¡ ~��:�Dg   ¡ ~�;f�p5���� +ª;#¨~�AA�   ¡ ~ � ��� ¤

~ � �@5�� � +���� &��� � ./�U\�7)��6G *)�Y(�3)¨~�W�   ¡ ~��#n ;f�%�   ¡ ~�;@�@5��9��C^� � ¨~�A�   ¡ ~�;@���jmE585��f;l&�p� � \836G-��� G�7�3�v+�����/v)Z�vJ�!G��Y(��)¨

��� �'�����<;�>�� +�����vJ�w�%G'���'~�;#>��:���   ¡ ~�;����L��0 1436587�./�:9����:�H5U7��ft8�YG�[\�I�J3!5H�)7�Zw5St-���_1~�¥J���'~�;#>��:���ªmh���'~�;�>/;@���jmY¨~�©'���'~�;#>��:�����'~���>U;@�H¨~�AA���'~�;#>��p�Dg��'~�;�>��L��n��'~���>��p�H¨~�W�!   ¡ ~�;f�   ¡ ~��:�" g��'~�;#>��L�H}�5��   ¡ ~�;@�H>   ¡ ~��:����npo 0

#§9��W� &�L9����2VY3�vJ�:v)Z$�A�H.p5����'~�;�>��L�%�jm °����%��:143)5U7�.U�:9�����1

~�¥J�r���z; C'& �   ¡ ~�;@�®��npo��HGD7)I�J3:; C'&)(s¨~�©'�����z; C'& �HG�7)I��3L;j�{� NPHQ = ; P \U3)�b; P C�& ( v)Zw5���� G�7�365#vJ3)Zw5��^vJ36Zw5U¨~�AA�r���z; P C'&)(c�HGD7)I�J3:; � � NP�Q = ; P C�&�0

����*���+��H.HZ �®9����L9����#3^\U3)�<V'(��H�^�HGD7��).#v)� � \U3)G-��� GD7�3����HG�5U� .�&�6x)��(-,�FN �-,8�H5 *)�W�ª&�p���HG�5U� .�&�)x)��(.,�N �-,8�H5 *)�W��0�����0/��3V%3)G�5UZ�vJ�H.U��\U3)G-�H�YGD7�3)5L;21�y ;�=^yF;f?dy �-�-��3)G'v+��\8��vJ��;23�&�a� ���d�YGDZ6I�J3L�%G�Z�7���v+�ZwG�7u�H.8x6��(�3)5!3J,�7�Z�vJ365LZwGWv)� 7�Zwx6�)���HG�7u�^vJ�E5���*)� ZwGD7u� t-3).8��� 1@; 1 � k mY>��Hqp�@; 3 M = &��3J,�7�Z�v�3d�:VY�).H7�Z�.v+�<; 3 ./�H7�Zw./�)GWvJ3�3!7u�H.H[\�3EvJ3��^�HZ�3^v+�#\U�JvJ�aZ�G�7u�H.8x6��(�3�vJ�<; 3 0 ]f5U5UZw�h1

; 1 �ck m >���q�4; = �ck m > �d q65�k ad >���q�4;@?2�ck m > �7 q65�k a7 >

d7 q054k987 >6:7 q;5hk9<7 >��q�4

000143)5U7�.U�!9����!3>=@?;ACB"DEAGFH?!IKJ�L�M6AGF�?;NO�¯� 4 M�N3 Q 1 ;�3�&�#�^�HGD5U�Y.�&�)x)��(®�#G I�J3aGD�Y���H.�&�6x)��(�0QPs�D��(:&��^5U�D���^�/v)Z�vJ�^v+� N �-,8�H5 *)�W� °�������W�!143)5U7�.U�:9����#3a\U3)G���� G�7�3�* vJ3��('+�H�fV'(�3:]�0�R!G I�J3 &�p���HG�5U� .�&�)x)��(-,� N �-,8�H5 *)����0����� RO�E143)5U7�.U��9��W�^�Y� \U3)G���� G�7�3��^�HG�5U� .�&�)x)��(�,�TS 36./vJ�)G &�^���HG�5U� .�&�6x)��(�,�:N¢�-,H�H5 *)����0 �'�H.�&�43ZwG�x)�H.85H3^x)�H.XvJ�Jv+�HZ�./3�°

� -��GU VKWX ��+ � ���$+E-$ �"ZY!���w+��� � ��������� ������?�]g ^�&EbX|(y  � �¿j�ÈCbk�Fj�\�l$�mb�Ê�e�^9[)\�Z§e�b�\Wj�È $FÊ8\'&ij�\�] Ê�ÈX^E\�hij�a��bdÉd^EcÂÄà �qÅ�j<;Z*),^lÈCÊ�h lj�^B| �^�j�ÈXb]\ AB>_^;�`/�< � 3�>£FbAB6 -/?v53�0-a �/ �£35483�F�1�A£3cb hE^�Ê�$FÊd\�&ij�\�] Ê|

¡ ����dd� @hq�} �0� A � C  y�|q�§���.�ed E

�^;ÈX^E\�hij�a��b8É�^EcQ��bda@bn]_Ê,eÊ�ÊOd C �rj�����Q� �� |� �����df� ���gf gD�s��i � &�:�Y�!�ptH� GW[\�I�J3d\U3)GD7A&� G��D�h�HG�7)I��3'f«&�:�^�HGD58� .�&�)x)��( 1^\836��33�\U3)G-��� GD7�3Eq�h6>Hnpo{k�&�d�J,8�H.87�3ª�Of &�d\U3)G�7�&� GD�D��5���,H�H�!3)5d9����Ofji = ~wq$h6>Hnpo{k �c&�d�J,8�H.H7�36}!(�3U*J3­&��^�HGD58� .�&�)x)��(�0

Page 11: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� ¡�¡

�����Q� �� |� ����5��� ]ªt8�YG�[\�I�J3av+�@[email protected]�\f/���(��H7

f¢~��������� � m > 5-�W��&�@./��\�Z�3)G'�)( ¨�)> 5-�W��&�@Zw.8./�J\�Z�3)G'��(�0

&�����HG�5U� .�&�)x)��(.,� N¢�-,H�H5 *)���!$�VY3)./9����� ° ))0}T~ �?���?� ����t���� ����Q�n��g ^�&Eb�|�y  �¸��j�ÈCb��Fj�\�l$�mb�Ê;e�^9[)\�Z§eb;\�j�È $FÊd\'&ij�\W]_Ê�ÈX^E\�hij�a��bdÉd^EcÂÄà �qÅ�j � h�hl^_`j�Z�\�] ^ihQb�[)aiÈXb7l$�mÊ�^ih�h?mb�Ên] Ê<e�b�h;^ lj�Z�ÉdbdcI^l\W]_^lh'��§H�� A � C  y5|q�§���.�ed E �^;ÈX^E\�hij�a��b8É�^Ec ��§HKH�� A � C  y5|q�§���32ed E �^;ÈX^E\�hij�a��b8É�^Ec ��wHIHKH�� A � C  y5|q�§�����ed E �^;ÈX^E\�hij�a��b8É�^Ec ��§HKo�� A � C  y5|q�§�����ed E �^;ÈX^E\�hij�a��b8É�^Ec �3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j¢«�469 :EG�/�LMN2:<4<y

A � C  ys|q�w���32�d E � < >�� �¡

� � C  y�|q�§�����ed� ����A � C  ys|q�w������d E �  � A � C  y5|q�w���32�d E

A � C  ys|q�w������d E � < >�� �¡

� � C  y�|q�§���r�ed @ �� �A � C  ys|q�w���.��d E �  � A � C  y5|q�w������d E1X2�4>=@9F/81 S�?�:X�§H���K �wHIH���K �§HKHIH��kK �wHIo���K �wH��ik

�����Q� �� |� ������f���46p�9�U28r�HI1X2�4t9@:,4>?�G²=F/A�254�p�:E9 1XH²= :E1 2T�= :E9B1C/8H�46:lr�:E1Xp�GI2�4BA�:{uw?�DxLM8N2�:<461X:EDW4>?�9�U/8o�:EH�4Ek

}T~ �?���?� ����t���� ��|� �B� g ^¢|��F| ¡ �F| � ��!9!9!Qhtmb�Ê��Fj�\�l$�mÊ�^ihQÈC^l\�hij�a��bdÉd^lZ�h%x�^E\�]pmbÊ�§H�� � | � �^;ÈX^E\�hij�a��bdÉd^Ec ��§HKH��&4@?�pV| Å x�HKD�u�| Å x�GIHK1 Å � > 4@?�p�| Å ^�GKHI1 Å � > HID�u�| Å h?mbÊ�ÈC^l\�hFj�a��b8É�^EZ�h%�3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j¢«Àp�/89@=@:C�wH��B4@:E7�?�:l» 4>:{A�/3p�9 2p�2�4@H>LMN/82X/8D5=@:<9@HI296:�A�/39 :EG�/�LM8N/2A � C  y � |q�w��� � �ed E � A � C  y5|q�w����� d E L A � C  y�|q�§�����

�d E !¦q2�9t2�?�=@9 23GI/�A�2�R�4@:���§���0��4>?�p�| Å �w���iR�o�:E1X2�4BS5?�:A � C  y���§���.�ed E � < >RÅ � ¡ A � C  y�| Å �w����� d E !

«¢4@4@HK1 4@?�p�| Å U:�1X:ED�4@?�9�U/8o:<G¡k W¢:¥HK7�?�/8G�132�A�2�13254�= 9 /8»_4@:�S5?�:¥HID�uW| Å U:�1X:ED�4@?�9�U/8o�:EG�k°�2�1323= :E1X2�4BS5?�: GKHI1Å � > 4>?�pV| Å � HKD�u�� 02�D�A�:� 0 �w���t��4>?�p A | Å �w���6y � 2�� E R�o�:E1X2�4�/8HID�A�/XS5?�:QGIHK1 Å � > 4@?�pV| Å U:�1X:ED�4@?�9�U/8o�:EG�kW¢:xuw29 1C/B/8DVU/GK2�7�/t1X2�4>=@9F/d» 4>:xS5?�:0GIHI1 Å � > HKD�u�| Å U:x1X:ED�4@?�9�U/8o�:EG�k$¦q29@= /D�= 2�R�§HKH���=F/81OTtU:E14@:{o:E9 HKµ M /�k � � ~ �¢ ¢� ~ � � ��|� ���g ^n|�����h?mbÊ��Fj�\�l$�mÊ�^ih�ÈC^l\�hij�a��bdÉd^lZ�h%xX^E\�]pmbÊ�1X/8r���|������¥^C1XHID!��|������h?mbÊT�Fj�\�l$�mÊ�^ih3ÈX^E\�hij�a��b8É�^EZ�h'j �tÈ ��bdai]�Z�$Ej�cKbda%x�| < �½1C/8r���|��@~��C^�| � � 13HID��¡|�� ~��Oh?mbÊ�Fj�\�l$�mÊ�^ih�ÈC^l\�hFj�a��b8É�^EZ�h'j� � ~ �¢ ¢� ~ � � ��������Xg ^�| ¡ � | � �9!�!9!3h?mbÊT�Fj�\?l$�mÊ^lhOÈC^E\�hij�a��bdÉd^lZ�hX^Q|q�w���V�ÄGIHK1 Å � > | Å �§��� x^E\�]pmbÊO| �^;ÈC^l\�hFj�a��b8É�^Ec*j s:  U:3?�1 M 2�DdÁ�?�D5=@2�1X:ED�4@?�9�U/8o�:EGqA�:<4@HK7�D�/81X254�p�29��¾�  ��2 M 2DdÁ�?�D�= 2�A�/4¢uw?�DxLMN2:<41X:EDW4>?�9�U/8o�:EH�4�:E1  k[� p�9�U28r�HI1X2¥9@:,4>?�G²=F/A�2¥1X254�= 9 /¥S5?�:�:<4>=@: M 2D8Á�?�D5=@2ÄU:�?�1�:<4@p�/�LM 2GIHKD�:</89�p�/89F/�/4)2p�:E9F/�LMN2:<4q?W4>?�/HI4�A�:¢/�A�H@LM8N/82QA�:Vuw?�DxLMN2:,40:�1O?�GK=@HIp�GKH M /�LM8N/2QA�:�?�1C/{uw?�DxLM8N/2p�29B?�1 D¢U?�1X:E9 2X9@:,/8G�k

Page 12: Note que o integral de Lebesgue

¡>� ��������� ���������������������� � ~ �Q� � ��|�;�B� g ^�&Eb8È�|z^ ���Fj�\?l$�mÊ^lh�ÈC^l\�hFj�a��b8É�^EZ�h%x;^���yv� � � ��j�ÈXb]�Fj�\?l$�mbÊ$FÊd\W]p�! \Wj�b7j��t\�]pmbÊ�bk�Fj�\�l$�mb�Ê

� �§���)� �C�¡|q�§���i�����§���@��^;ÈX^E\�hij�a��b8É�^Ec*j �tÈN��b8ai]¡Z�$Ej�cKbda%xq|B@ �?x!| � �®^�| 7 �®] bdÈCgD�^EÈ h?mb�ÊCÈC^l\�hFj�a��b8É�^EZ�h'j3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7jT� M 2D8Á�?�D5=@2 � � �����§�$� 2 � C � � y6�C�§�$� 2 ���ed��ÎU:[/8T�:E9@=@2WR6pW2�HI4 � U:M 2D5=,UH Ds?�/�RsGI27�2Op�2�A�:E1X2�46:,4 M 9@:<o:<9

� � � < >R���¡`� �

2�D�A�: M /�A�/�` � U:{?�1 9 : M ==a/8D�7?�GI23/TW:<9>= 23A�:Q� � y`� � � �w�!� 2 � C � � yÌ

��¯����Í � � d � � 2 � �

�� !°�2�132X254 M 2D8Á�?�D5=@2�4A � C  yÌ

���|q�§���r��Í � E � A � C  y�|q�w���r�¯Í

� E U A � C  y5|q�w�����¯Ì� EA � C  yCd

�� ���w��� � � � E � A � C  y ���§���r��Í

� E U A � C  y ���w�����¯Ì� E4 N/8231X:ED�4@?�9�U/8o:<HI4<R�4>:<7?�:E»_4@:�S5?�:{2 M 2DdÁ�?�D�= 2A � C  y���|q�w���i�����w���>� C `

� E � A � C  yÌ��º|q�w��� �¯Í � E U A � C  y6d

������w����� � � EU:�1X:ED�4@?�9�U/8o�:EG�kq�$27�2�R5= /1;T6U:<1 U:{1X:ED�4@?�9�U/8o:<G�2 M 2D8Á�?�D5=@2�y

A � C  y6�C�¡|q�§���l�����w���@����d E � < >R� �¡A � C  yW�¡|q�w���i�����§���>� C `

� E !

.x:<132540p�2H�4�S5?�:{/4)2p�:E9F/�LMN2:<401X/HI4 M 2�1;?�DW4)A�/O«VDVU/GKH�4>:�RsHKD M GK?�HKD�A�2O/4�p�/�4@4 /87�:ED�40/2GIHK1XHK=@:�R�S5?�/D�A�2�/p�GKH M /�A�/4�/Xuw?�DxLMN2:<4�1X:ED�4@?�9�U/8o:<HI4V9@:,4>?�GK= /1 :<1 uw?�DxLM8N2�:<4V1X:<D�4>?�9WU/o:EH�4<k«¢4@4@HK1&R�/4�uw?�DxLM8N2�:<4�S5?�:x:<D M 2�D�= 9 /1X2�4�1C/8H�4�uw9 :<S5?�:ED5= :E1X:ED5=@:04 N/82tuw?�D0LM8N2:,4�1X:ED�4@?�9�U/8o�:EH�4Ek�� � �«Ä4@:E7?�HKD5=@: M GI/�4@4@:{A�:{uw?�DxLMN2:<4BA�:<4@:E1XpW:<D Y /X?�1 p�/8p�:EG�HI1XpW2�9>=F/8D5=@:�DW/;= :E2�9@H�/�k

��� � ��������� ��ed=�B�Z� È \ An> ^;�`/�<MFbs ��� 0�3�F �^Oj�ÈCbk�Fj�\�l$�mb�Ê�;y5�qŶ�¼� $Ej &EbnZ�ÈCbE`5^lÈ �^[)\�Z�] b=x0Z�j0^8j*x�5�w���3b�hFhij�ÈC^Qj�È \X�j�ÈC^la@Êg[0\�Z�] Ê�e�^QÉdbdcIÊda@^lh'j«¢4Buw?�DxLMN2:,4 M 2�D�4�=F/8D5=@:,4V4 N/82Xuw?�DxLMN2:,4�4@HK1Xp�GI:<4<kV s: ³à �vÅ0RW:<D�= N/82n/Xuw?�DxLM8N/2 M /9 / M =@:E»9�UH 4�= H M /OA�:  A�/�A�/3pW2�9

�� �w���)� �� � � 4>:�� C  �~ 4>:��[�C  �U:C?�1X/¥uw?�DxLMN/82[4@HK1Xp�GI:<4<k� ¢?�/GIS5?�:<9�uw?�DxLMN/82[4@HI13p�GK:,4��¶y!�qÅ�� �¼U:n?�1C/ M 21OT�HID�/�LMN/82GIHKD�:</89VA�:¢uw?�DxLM8N2�:<4 M /89F/ M = :E9�UH 4�= H M /4<kBW�:{u§/ M = 2�R�4@:FG 1��¢� A d ¡ �9!�!9!l� d 0 E R�T�/�4�=F/Q= 21C/89Âk� � A � C � Å y��5�w���)� d � EA�:{uw2�9@1C/3S5?�:�¢� 0� � � ¡ d � � ��� !W¢:<4>= /�:lr�p�9 :<4 4 N/2�RBU: M GI/9@2�S�?�:3/�uw?�DxLMN/82&4>HI1Xp�GK:,4��©U:O1X:EDW4>?�9�U/8o�:EGv4@4@:O254 M 2DdÁ�?�D�= 2�4 Âk�4 N/8231X:ED�4@?�9�U/8o:<HI4<k

¢?�/GIS5?�:<93uw?�DxLM8N/2®pW2�A�:¥4@:E9n/p�9@2�r�HI1C/A�/[pW2�9Xuw?�DxLM8N2�:<4n4@HI13p�GK:,4Ekº¹V2 M /4@2(A�:�?�1C/uw?�D0LM8N/82X1X:EDW4>?�9�U/8o�:EG�Rsp�?�A�:<13254B:<4 M 2�G Y :E9tuw?�DxLMN2:<4�4>HI1Xp�GK:,461X:ED�4@?�9�U/8o:<HI4<k� ,-F N D'@CBHD�@AF b U N o N`_ > N F a > N TAoKBHT�f P8N BIJF O h;FK>CR VIKWBHF�U N U P BH> d�P D VIKWF N > O\N D8> P TGiB�o N RS>gh;FrU N DjWBHFY> N T

O\N DG> P TGiB�o NJl�b F P B�@riN f P8N BIJF O h;FK>CR VIKWBHF�U N�� ���4���c�A� b FKDGU N�� iN^PGO B d�P D VIKWBHF O\N D8> P TGiB�o NMl�N �)iN^PGO Bd�P D VIKWBHFEIJFKD�@Mik D P B b hcF�U N D�WBHFE> N T P8O B d�P D VIKWBHF O\N DG> P T4iB�o NJl�q

Page 13: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� ¡ ���� � ~ �Q� � ��edf���Tg ^�&EbQ|[y  ���³j�ÈXb��Fj�\?l$�mbÊ�j �t\�]pmbÊC^�Z�hF] ^{j�ÈCb;hFjt$F^lhFhtmb�Ê A � � E � ���e�^��Fj�\�l$�mÊ�^ih{hiZ�È���cK^lhQ]_b8Z�h Ej�^ GIHK1� � > �

� �§���)��|q�w���i� ��� C  !�W^lÈCÊ�h;b8Z�\�ebEj�^���§H�� g ^¢| �^QÈC^l\�hij�a��bdÉd^lc x6Ê�h � � ��Ê,e^EÈ hl^Ea;^lh,$FÊ8c �sZ§e�Ê�h;ÈC^l\�hij�a��bdÉd^lZ�h%��§HKH�� g ^¢| 2¯~5x���Ê<e�^lÈCÊ�hO^lh'$FÊdc ��^la A � � E � ��� j�ÈCbXhijt$F^lh h?mb�ÊCÈCÊd\]�Ê8]_Ê8\�b�$la@^lh'$F^l\W]_^8�~�� � ¡ �§���r� � � �w��� � 7�797�� � � �w���r� 7�797��º|q�w���i� ��� C  !3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j� s:Q| 2�~XA�:lµWD�HK1X254ER�p�/9 / M /A�/P�C�½����^���!9!�!iR M 2�DdÁ�?�D5=@254 � S � � � C  y �

� �^� �º|q�w���r� �^ � � � �O�½��9!�!9!l�-��^ � �

J� � A � C  y�|q�§���32�� E !

/6/4>= /O:ED5= N/823=@2�1X/9�� �

� ����S�¡

�� �^�� � �� @ � �� � !¹�2 M /4@2�7:<9 /G¡R�:,4 M 9@:<o:E1X254!|&� | < � | R M 21Æ| < �F| 2�~�Rd: M 2�D�4�= 9@?�HK1X2�4v4@? M :,4@4 N2:,4A�:{uw?�DxLM8N2�:<4B4@HK1Xp�GI:<4BS5?�: M 2Dso:<9@7�:E1¾p�/89F/C| < :;| k

}T~ ���� ��� ���

����� `O�^��������f�C ��~�;@��0s1h3)5U7�.U�:9����L3a\U3)G-�H�YGD7�3^Y��CE;§g;f¢~��'�%��h�`

&�����HG�5U� .�&�)x)��(YVY�)./�^7�3�vJ3E3!./�U�)( h@C^�p0�����J�¢�^��������f�C ��~�;@��0s1h3)5U7�.U�:9�����5���� +ª; &�����HG�5U� .�&�)x)��(��HG�7)I�J3-f�C�� ~��L��0����� ¬O�E�'�����)� f�>��hC���~�;@�H}<�:5U�AVY3)G /D��9������ ;� m �H� ;:0�143)5U7�./�a9����^�@tH� GW[\�I�J3���«&�:�^�HG�$5U�Y.�&�)x)��(��H��;:0�����;�O�!�����-�gf�� ��� t8�YG�[\�I�J3!�^�HGD58� .�&�)x)��(�0 1436587�./�L9����@5-����~������ f¢~����H}%�('J\8�uVW7�3�G�� � \U3)G���� G�7�3v+�����/v)Z�vJ��G��Y(��)}��HG�7)I��3��­&�����HG�5U� .�&�)x)��(�0�����6���!143)5U7�.U�:9����p�Y�!�2tH� GW[\�I�J3.fdg6��i«�b��3)G�&3)7�3)GW� &�p�^�HG�5U� .�&�)x)��(�0�����;%O�������-�P^@f���` � >�� � ����5U�D\8�H585�I�J3�v+�<tH� G�[\�I3+�H5!�^�HGD5U�Y.�&�)x)�HZw5�0h143)5U7�./�E9�����3�\U3)G-��� GD7�3�vJ3)5VY3)G�7�365#3)G'v+�.^cf��Y~����]` � >�� \U3)G�x)�H.�*+� &�p���HG�5U� .�&�6x)��(�0�����;*O��V%3)G�5U7�.8�D�j� � �('+�H�fV'(�3jv+��� ���EtH� GW[\�I�J3 f¯VY�).X�j�j9����)(@G2I�J3{�(')Zw5U7u�r� ���ª5U�D\8�H585�I�J3��3)G�&3)7�3)GW�E\�.U�H5H\8�HG�7u�!vJ�®tH� GW[\�I3J�H5@5UZw�fV'(��H59^���� ` � >�� 7���(�9��W�2������� � N ���@� f�0���SRC/��L143)5U7�./�#9����f5���fEg+; i«�¦&�@( Zw�:Z�7��JvJ���HGD7)I�J3a�(')Zw5U7u�p� ���:5U�D\8�H5U5WI��3S^�����` � >��hv+��tH� GW[\�I3+�H55UZw�fV'(��H5@9����:\U3)G�x)�H.�*+�#� G�Z t-36.H���H�^�HG�7u�2VY�)./�.f�}®Z�0���0�}�7���( 9����

������ � N! "$# ^; ��� ~���� f¢~����" g���C�;�`f�jm �

% �������! �" U V W" X.0/13254)/729F/{A�:lµWD�HK9t2;HID5=@:<79F/8G�A�:���:<TW:,4>7�?�:¢A�:¢?�1C/�uw?�D0LM8N/82;13:<D�4@?�9WU/o:<GW4@2T�9 :B?�1M 2DdÁ�?�D5= 231X:<D�4>?�9WU/o:EG�R�:E1 4>HK=@?�/�LM8N2�:<46T�/�4�=F/8D5=@:{7:<9 /HI4<k s:>Á>/ ��y�qÅ¥�¸��?�1C/3uw?�DxLM8N/2C4>HI1Xp�GK:,461X:ED�4@?�9�U/8o:<G¡R�D N/823D�:E75/d=@HIod/�R�5�§���)�10� � � ¡ d � � � � �w���i� � C � Å � d � ��~�! s:  C � U:{?�1 M 2D8Á�?�D5=@2X1X:ED�4@?�9�U/8o:<G¡R�A�:Eµ�D�HI1X2�4<y

` � � ���0� 0� � � ¡ d � Ç0� ÂMU� � � !

Page 14: Note que o integral de Lebesgue

¡u� ��������� ���������������������� � ��������� ��ed?d��]g ^�&EbO|(y  � �¾j�ÈXbH�Fj�\?l$�mbÊ�ÈC^l\�hFj�a��b8É�^Ec xt\rmbÊp+ \�^_`5bd]�Z�É�bbx6e^ [0\WZ§eb\Wj�È $FÊd\�&ij�\�] ÊXÈX^E\�hij�a��b8É�^Ec*j�� sw>£C�3 1�6=/�0�9�3(�£35483�F�1tA 3 e^�|�^lÈ Â �^8��

�|��Ç¥��4>?�p A ` � � ���ty~�� �h��| �^;j�ÈCb��Fj�\?l$�mbÊChiZ�È���cK^ih%xtÈX^E\�hij�a��bdÉd^Ec E

¹�2 M /4@23A�:�?�1C/3uw?�DxLM8N/2C4>HI1Xp�GK:,4 ��y�qÅ[����o:<9@HKµ M /8»_4@:¢u§/ M HIGI13:<D5=@:�S5?�:��� ��Ç[��` � � �,� !

��1X/3o�:EJ�A�:lµWD�HIA�232XHID5=@:E7�9 /G�p�/89F/;?�1X/3uw?�DxLM8N/2OD N/28»_D�:E75/d= HKod/OpW2�A�:<13254BA�:lµWD�HK9B2XHID5=@:l»7�9 /G�p�/89F/X?�1C/Cuw?�DxLM8N/2n1X:ED�4@?�9�U/8o:<G$/d= 9 /�o�U:,46A�/�A�: M 2�13p�2�4@H@LM8N/82n|[�z| < � | R�2DWA�:;/4M 21XpW2�D�:ED5= :<4V|��ª4 N/2X/�4tuw?�DxLMN2:<461X:<D�4>?�9WU/o:EH�4<R5D N/828»_D�:<7�/d= HKod/�4ERsA�:lµWD�HIA�/4Bp�29,y| < �º1X/8r��¡|��@~5�i� | � � 1XHKD$��|��@~5��!

��� � ��������� ��edt�B� g ^�&EbO|¥y  �¸�¾j�ÈXb �Fj�\�l$�mb�ÊCÈC^l\�hij�a��bdÉd^lc x6e^ [0\�Z§e�bC\Wj�È $FÊd\�&ij�\�] ÊÈC^l\�hij�a��bdÉd^lc*j�� sw>DCE3 1t68/�0 9�3(�D354�3�F�1tA 3 e�^�|�^EÈ Â �^��|���Ç�� �

�| < �Ç � �

�| ��Çx�

e�^ihEe^ Ej�^���^lcIÊnÈC^l\�Ê�h�j�È e�Ê�hQZ�\W]_^_`a@bdZ�h�� � |�� �Ç�hE^�&Ebg[0\WZ�]_Ê�j¹�28=@:3S5?�:O2�HKD5= :E79F/8GvA�:X��:ET�:<4@7?�:OA�:O?�1C/nuw?�D0LM8N/82�/4 4>?�13:Ood/8GI29 :<4V:<1¸} � q � @hq©��kW¢HKJ<:E1X2�4¢S5?�:3|®y  �·�¬U:Q?�1C/��   �r��t���� ����¡�� � ~£¢�5¤ � :<1  R�:Q:<4 M 9 :Eo�:E1X2�4¢| C � �  �4@:{23HID5=@:<79F/8G�A�:���:<TW:,4>7�:�A�:;|�:ErsH�4>=@:�:[U:�µ�D�HK=@2Wk¹¢/Vp�9 2p�2�4@H>LMN/82V4@:E7�?�HKD5= :0uw29 D�: M :E1X254$/8GI7?�1X/�4�p�9 2p�9@HI:<A�/�A�:<4$:EGI:E1X:ED5=F/89 :<4$A�2�HID�= :E7�9 /GA�:Q�$:ET�:<4@7?�:�kx«½4>?�/XA�:<1X2D�4>=@9F/�LMN/82Qµ M / M 2�1X2O:Ers:<9 M UH M HI2�k}T~ �?���?� ����t���� ��ed��n�g ^�&Eb  j�È $FÊ8\'&ij�\�] Ê®ÈC^l\�hij�a��bdÉd^lc�^n|³y  � ��j�ÈCb��Fj�\?l$�mbÊÈC^l\�hij�a��bdÉd^lc*j�§H�� g ^¢| �^QcËZ�È3Z�] beb&^�Ç0�  �r� @hq ^l\W]bmb�Ê;| C � �  �%��§HKH�� g ^¢|���� C � �  �3^¢|q�§���r� ���§���r��b8a@bQ� C  ^l\W]bmb�Ê�

�|��Ç#� �

�����Çx�

�wHIHKH�� g ^�Ì �º|q�w������Ík��bda@b;� C  ^�Ç0�  �r� @hq ^l\W]bmb�Ê;| C � �  �;^Ì�Ç0�  �r� ��|��ÇZ��ÍiÇ0�  �l�

�§HKo�� g ^VÇ0�  �)� ~¶^l\W]bmb�Ê ��|��Ç¥� ~��

�wo�� g ^¢| C � �  �3^kJ Ã� �^;ÈC^l\�hFj�a��b8É�^Ec!^E\�]pmbÊO| C � �|JO�'j��1X/�2�?�=@9F/�p�9@2�p�9 HK:,A�/A�:tHI13p�29@= /D5=@:BA�2{HKD5= :E79F/8G�A�:V�$:ET�:<4@7?�:�U:B/ � »_/�A�HK=@HIo5H�A�/�A�:B:E19 :EG�/�LMN/82X/82XA�21�UH D�HI23A�:�HID5=@:<79F/�LM8N/2�k��� � ~ �Q� � �� d¢���Tg ^�&Eb�|¨j�ÈXb��Fj�\�l$�mb�Ê;ÈC^E\�hij�a��bdÉd^lc�\rmb�Êb+ \�^�`5bd]�Z�ÉdbC^  �z� < >S � ¡  S j�ÈCbj�\WZ�mbÊC\Wj�ÈX^Ea��bdÉd^Ec!e^�$FÊd\�&ij�\�] Ê�h{ÈX^E\�hij�a��bdÉd^EZ�h�x6edZ�he&ij�\�] Ê�h;eÊ8Z�hOb�e�ÊdZ�h'j �t\�]pmbÊ�

�|��ǥ� < >�

S�¡

�� �|���Ç !

3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j¢¦09 :l= :ED�A�:E»_4@:�13254�= 9 /9BS�?�:{/Ouw?�D0LM8N/82Vo¥yp� �¸��A�/A�/Op�29ov�  �)� �

�|��Çx�

U:�?�1C/3uw?�DxLMN/82 � » /A�HK=@HIod/�k s:�|�� � U:n?�1C/&uw?�DxLM8N/2 M /9 / M =@:<9�UH 4>=@H M /�A�?�1 M 2�DdÁ�?�D5=@2[13:<D�4@?�9WU/o:<G�(¨Rv:ED5= N/2¥/� » /A�HK=@HIosHIA�/A�:�A�:Oo¥D N/82ªU:�1C/8H�4VS5?�:�/ � » /A�H²= HKosH�A�/A�:QA�:�Çxk

Page 15: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� ¡U� s:B|�� ��U:�?�1C/Vuw?�D0LM8N/82{4@HK1Xp�GI:<4<Rd1X:ED�4@?�9�U/8o:<G¡RdD N/828»_D�:<7�/d= HKod/�R<:<D�= N/82��¢� ; 0 � � ¡ d � � �M 21 d � �ª~X:{o:<9@HKµ M /8»_4@:¢= /81OT6U:<1±/ � » /A�H²= HKosH�A�/A�:�k s:>Á>/¥:<D�= N/82¶|¯1X:<D�4>?�9WU/o:EG�RqD N/82»�D�:E7�/8=@HIod/�k[ s:&~ � �#� |±U:�?�1C/�uw?�DxLMN/82(4>HI1Xp�GK:,4ER1X:EDW4>?�9�U/8o�:EG�Rs:ED5= N/2 �

�����ǥ� <?>�

S�¡

�� �� �Ç[� < >�

S�¡

�� �|���Çx�

GI27�2�oÀU:�4>?�TW/A�HK=@HIod/�yo!� Â �r� < >�

S�¡ov�  S ��!

1W/8GK= /�p�2H�4Q1X2�4>=@9F/89O/�A�:<4@HK7�?�/8G�A�/�A�:n2p�2�4>= /�k[°�21X2�ov�  � 2:ov�  S ��2¥9 :<4@?�GK= /A�2�U:o�:E9FA�/A�:<HK9 2C4>:3/8GI7?�1 ov�  S �B� @hqºk¢¦q2sA�:E1X2�4�pW2�HI4¢/4 4>?�1XHI9¢S5?�:�o!�  S �H� @hq R�p�/89F/= 2sA�2�2 �Wkvm)D5= N/82WRdp�/89F/ � C �©µ�r�2WRA�/A�2F�:�ª~�pW2�A�:<1X2�4v:<4 M 2�G Y :<9q?�1C/Vuw?�D0LM8N/82�4@HK1Xp�GI:<4~X� �h�º|vR�13:<D�4@?�9WU/o:<G¡R5= /G$S5?�:�� �����Ç 2 �

� �|���Ç � �

�� �O�z��9!�!9!l� � !

�$272WRso:E1X254BS�?�:ov� �RS�¡Â S ��2 � �������� � � � ��Ç��

��S�¡

�� �����Ç 2

��S�¡ov�  S � � ��!

 s:<D�A�2:�!��~X/89 T�HK=@9�U/89 HK2WR�:,4�=F/3A�:<4@HK7�?�/8G�A�/A�:�1X254�= 9 /3S5?�:ov� �RS�¡Â S �32

��S�¡ov�  S ��!

1vHID�/8GI1X:ED5=@:�R�2T�4@:E9 od/8D�A�23S5?�: Â� � �S � ¡  S R�2T�= :E1X2�4o!�  ��2

< >�S�¡ov�  S ��!

� � ~ �¢ ¢� ~ � � �� d5�B� g ^�&Eb  C � ^kJ Ã� $FÊdÈÎÇ0�  � J3�0� ~�x�^l\W]bmb�Ê��|���Ç&� �

|���Çm�4�= :Q9@:,4>?�G²=F/A�2n1X254�= 9 /CS5?�:O2�4 M 2DdÁ�?�D�= 2�4�A�:;1X:,A�HIA�/nDs?�G�/CD N/82 M 2D5= 9@HIT�?�:<1 pW/89F/X2od/8GI29�A�2QHID�= :E7�9 /G¡kq«�4 4>HI1&R�DW/{=@:<29 HI/�A�/QHKD5=@:<79F/�LMN/82�RvU:Buw9@:,S5?�:ED5=@:�:<4>= /89 1X2�4xHID5=@:<9@:,4@4 /A�254:<1¬/dµ�9 1C/�LM8N2�:<4�C�w���¢S5?�:X4 N/2no:<9 A�/�A�:EHI9F/4V:Er M :Ep�=@2�p�2�4 4@HKo�:EGI13:<D5=@:;pW/89F/C� C �©R�2D�A�:� U:6?�1 M 2�DdÁ�?�D5=@2QA�:�13:,A�H�A�/{Ds?�GI/�k W¢HIJE:E1X254xD�:<4 4@: M /4@2�R�S�?�:�C�w��� �^¢Éd^la@e�be�^lZ�a@b&Ej�b�hE^^EÈ ] Ê,eb�bT��b8ai]_^ER�2nS5?�:�/8T�9@:<o5H�/81X254�pW/89F/ C�§�����^;Éd^la@e�be�^lZ�a@b�8jI] j ��j}T~ ���� ��� ���

���SR��W�!143)5U7�.U�:9����p5-��fdC��<~�;f�L��� +ª; &�����HG�5U� .�&�6x)��(��HG�7)I��3 f�C��z~��:��0���SR�RO�:�'�����f;�� � \U3)G-�H�YGD7�3L�^�HGD5U�Y.�&�)x)��(�� f�gJ;ji ��� ���®tH� GW[\�I�J3L���HG�5U� .�&�6x)��(�0 143)5U7�.U�p9�����1

~�¥J�r����f�>���C��z~�;@�#��f¢~����Dg���~�����VY�).X����CE; �HG�7)I�J3��� f �   g ��� �;�   4~�©'�������Lg f¢~����Dg��@VY�).X���EC�; �   ~�;@����npo��HG�7)I��3-f�C��z~�;@���

�   ~�;@�Dg � � f �   g��   ~�;f� 4

Page 16: Note que o integral de Lebesgue

¡f� ��������� ����������������������SR�`O���������p;­� � \U3)G���� G�7�3��^�HGD58� .�&�)x)��(��_f�g+;ji � � ���2tH� GW[\�I�J3!���HG�5U� .�&�)x)��(�021h3)5U7�.U�L9����5��2f���mh���

�f �   �jmh�HG�7)I��3 f¢~������jm�9A0�7u0 VO0

���SRY�¢���'�gfrC �z~�� � �ª&�L� �!�@tH� GW[\�I�J3E7��)(�9��W����f �   �cmaVY�6./�E7�3�vJ3d3!; C &c} 3�9����j&�!9����

VY3�v+�Lv6Z$�A�H.#5H3J,�./� f2°���SR�¬O�!143)5U7�.U�:9����#3�7u�/3)./�H���^]�0����@VY3�v+��5-�H.<*+�HG'�H./��( Z �A��vJ3E�ztH� GW[\�I3+�H5_fdC��<~�;f��0���SR �O�!143)5U7�.U�:9����p5-��fdC��<~�;f�L� ��~���� �)f¢~�����9A0�7u0 VO0��H��;#}��HGD7)I�J3��^C��<~�;@���� � �;�   � � � f �   ����SR ���!143)5U7�.U�:9����p5-��fdC��<~�;f�L�HGD7)I�J3' f C��<~�;f���

����� � f �   ���� g � � f H�   �

���SR %O�!143)5U7�.U�:9����p5-��f &�p�^�HG�5U� .�&�)x)��(��H�b; �. f g���\U3)� ��C��z~�;@���HG�7)I�J3-fdC��<~�;f��0� � X ��V"!+X%!��� X � Y!�� ��� ���GU���"��1X/�A�/4�p�9 2p�9@HI:<A�/�A�:<4�1C/8H�4®U?�= :EH�4{A�2�HID5=@:E7�9 /GvA�:3�$:ET�:<4@7?�:©U:O/�pW254@4@HKT�HKGIHIA�/A�:XA�:R4@2T Y HIpVU28= :<4@:<46T�/�4�=F/8D5=@:�uw9F/ M /�4ERsp�2�A�:E9 1X2�4t=@9 2 M /9t2n4@HID�/8G�A�:{HID5=@:E7�9 /G�:�A�:�GKHI1XH²= :yGKHI1�� < > � � |

� ��Ç[� ��GIHI1�� < > |

� ��Ç !¹�:<4>= /X4>: M LMN/823o�/1X2�46:<4>=@?WA�/89V/GK7�?�D�469 :<4@?�G²=F/A�2546A�:<4>=@:{= HKp�2�k��� � ~ �Q� � �� d �f� a�� 38<?6=3 � /\9�/���<?>£v�3�6%1��3�>D;�sI/��i<?> -<�C�<t>�/c9�39�£3�vQs�b g ^�&Eb  C �^ A | Å E Å ��� j�ÈXbChijt$ ^lhFh?mbÊ�e�^��Fj�\�l$�mÊ�^ih�ÈC^l\�hij�a��bdÉd^lZ�hO^EÈ Â ]_b8Z�h9lj�^~��¯| ¡ �w���r��| � �w���r� !�!9! �w� C  � !g ^�|[y  ��� �^;]_b8c lj�^ GIHK1�

� < > |� �w������|q�§���i� �w� C  �l�^E\�]pmbÊ GIHK1�

� < > � � |� �ǥ� �

�|���Ç !

3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j{°�21X2¶~ � | ¡ �§���� | � �w���� 7�797�� |q�w���;p�/9 /[� C  R)o:<1X2�43S�?�::ErsH�4>=@:�� C } ~���@hq®��=F/8G$S5?�:GIHI1�� <?> � � |

� �Ç¥��� : � � ��|���Ç !

1W/8GK= /3pW2�HI4V13254�= 9 /9BS�?�:�� 2 � � |���Çxk s:>Á>/X~�� d����{:Q~X� �h�º|�?�1C/Ouw?�DxLMN/82C4>HI1Xp�GI:<4B1X:EDW4>?�9�U/8o�:EG�kDW�:Eµ�D�/d» 4@: � � A � C  y�|� �w��� 2 d �5�w��� E � �C�Ä����^��9!9!�!@��!°�2�132C~X�º| ¡ �§���r�º| � �§��� � 797�7���|q�§���t:<1  R�o:E1X254tS5?�:  ¡ ï � à !�!9!B: � < >R� �

¡Â � �

°�2�D M GI?$UH 1X2�46S5?�:R�p�/9 /O= 2sA�232���R��| � ��Ç 2 �

� �| � ��Ç 2 d �

� �� �Ç !

�!21C/8DWA�2"�¶� @hq R�p�2sA�:E1X2�4�/p�GKH M /9{2�= :E29 :E1C/�«Qk¤­(�wp�2H�4{2�HID5=@:<79F/8GQU: � » /A�H²= HKo�25�iRp�/9 / M 2�D M GI?�HI9VS5?�:� 2�d �

�����Ç !

Page 17: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� ¡��

 s:<D�A�2C~��edH����/89 T�H²= 9WU/9@HI2�RsH�4�= 2X13254�= 9 /3S5?�:� 2 �

�����Çx�

p�/9 /;=@2�A�/C/Ouw?�D0LM8N/82C4@HK1Xp�GI:<4�~]� �h��|vk0��2�72 � 2 � � |���ÇxR M 21X2Xp�9@:E=@:<D�A�H�A�2�k �¿:lr�:E1Xp�GI2¥4>:<7?�HID5=@:C1X2�4>=@9F/&S5?�:C2�4�9 :<4@?�GK= /�A�2�4�A�: M 2Dso:<9@7ta:ED M H�/n2T�=@H�A�2�4{D N/2¥4 N/2o6U/8GIH�A�2�464@:Q4>?�TW4�= H²= ?�HK9 1X2�46HID5=@:E7�9 /G�A�:Q��:<TW:,4>7�?�:{pW2�9BHKD5=@:<79F/8G�A�:�PBHI:E1C/D�D�k

�����Q� �� |� ��ed=�B� ��������^_2 = >(2 ? >-�-���`f�<#74�k m >-��qs� �!���HGD� �^�H./�)[\�I�J3�v�3)5@./��\�Z�3)G'�6Zw5��HGD7�.U� � �� 0HO2�)./�a\U�JvJ���!�c��>�a+>-�-���-> v+�w�%GW��$�5��]f��Lg�k m >���q�i �¯VY36.

f � ~������ �� � m 5��9�a� ^Y2 = >����-�->(2�� `�>� \U�)5H3E\U3)G�7�.�&�).8Z�3+0

0 GD7)I�J3 f¢~����E��������� � MON f�� &���at8�YG�[\�I�J3 v+�[email protected]�\f/���(��H7u0RV%36G'\-( �%&� ��365�vJ3�7u�/3).U�H�!�ªv��ª\U3)G�$x)�H.�*���HGW\�Z��a�!3)G#&3)7�36G'�E9���� �

� 1�� =� f �   � ������ � MON�� 1�� =� f � �   �jmY>

(�3U*J3-f &�pZ�G�7u��*).�&�6x)��( ,� N¢�-,H�H5 *)����0� � ~ �¢ ¢� ~ � � ��ed=�B� g ^�&Eb  j�È $FÊd\'&ij�\W]_ÊnÈX^E\�hij�a��b8É�^Ec*j �t\W]bmb�Ê � �  ���^Oj�È ^lh_��b7l$<Ê�Éd^�$'+] ÊdaiZ§b8cv^3ÊCZ�\�] ^_`8a bdc � y � �  �)�¼� �^Qj�ÈCbC]�a@bd\�h��lÊdaiÈCbpl$�mbÊ�cËZ�\�^Fbda'j3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j Um(p�9@: M H�4>2{1X2�4>=@9F/890S5?�:V4@:�|���� C � �  �lR d C �tR�:<D5= N/82Q| @ ��� dE| C � �  �: �

��¡|8@ ��� ��Ç¥� �

�|���Ç @ �

�� ��Çx��

�dE|���ǥ� d �

�|���Ç !

�$HK1XHK= /81X2»�D�254x/{A�:E1X2DW4�= 9 /90/¢p�9@HI1X:EHI9 /�9 :EG�/�LM8N/2�R8A�:<H²r�/D�A�2�/�4>:<7?�DWA�/ M 21X2{:lr�:<9 M UH M HK2Wk s?�pW2�D Y /81X2546p�9@HI1X:EHI9@2CS5?�:Q|���� 2ª~�k) �:�|�����4 N/2C4>HI1Xp�GK:,4ER�:<D5= N/82��� � ¡ @ � � � �Ç[�z` � � � ¡ @ � � �)��` � � � ¡ �?@ ` � � � � �0� �

�� ¡ �ÇD@ � � � � �Ç ! s:<D N/82WR�p�:EGI2C=@:<29 :E1C/C«Qk ^���R�p�2�A�:E1X2�4�:<4 M 2�G Y :<9�4@? M :,4@4 N2:,46132�DVU28= 2D�/�4VA�:�uw?�DxLM8N2�:<4�4@HI1O»p�GI:<4 A ��Å E Å ��� : A �� Å E Å ��� S5?�: M 2�Dso:E9 7:<1¾p�/89F/C|�:��k0°�2�1X2�

�� � Å @ � Å � ��Ç¥� � � � Å �ÇD@ � � � Å ��Çx�p�/�4@4 /8DWA�23/2XGKHI1XH²= :R M 2D M GK?!UH 1X2�46S5?�:���¡|8@ ��� ��Ç¥� �

�|���Ç @ �

�� ��Ç !

¦x/9 /�p�9 2dod/8902 M /4@2�7:<9 /G M 2�D�4>H�A�:<9 /1O» 4@:64@:EpW/89F/A�/13:<D5=@:62�4 M 2D8Á�?�D5=@2�4)2D�A�:¢|�: �;=�a:E14@HKDW/8G M 2�D�4>= /8D5= :k ¦x/9 /�2�T�=@:<9B?�1±9 :<4@?�GK= /A�23A�: M 2Dso:<9@7ta:ED M HI/Qp�/89F/;4@? M :,4@4 N2:,4tD N/82»�1X2D�U28=@2�D�/4�A�:�uw?�D�»LMN2:<46p�9@: M H�4@/132546A�2

� ��� � ���� �B� a,�D3 � / 9�3 ��/�CE<?Ajb g ^�&Eb  C � ^ A | Å E Å ��� j�ÈCbOhijt$F^ihFh?mbÊne�^D�Fj�\?l$�mÊ^lh\ mbÊb+ \�^_`�b8]¡Z�Édb�h%x)ÈC^l\�hij�a��bdÉd^lZ�h;^EÈ Â j g ^¢|¥y  ��� �^;]_b8c Ej�^GKHI1�� <?> HKD�u�|

� �§���)��|q�w���l� �§� C  �i�^E\�]pmbÊ GKHI1�� < > HID�u � � |

� ��Ç 2 ��|��Ç !

Page 18: Note que o integral de Lebesgue

¡ � ��������� �������������������3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j¢¦x/89F/ M /A�/ �¥�Ä��%^���!9!9!E��A�:lµ�DW/d» 4>:� 0 �§���t��HID�u A | � �w���By�� 2�� E � �§� C  ��!m)D�= N/82 � 0 U:{1X:ED�4@?�9�U/8o:<G�:E1  :{= :E1X2�4

~X� � ¡ �w���r� � � �w��� � !�!9! M 21 � 0 �§���)�¸|q�§���³� � � @hq�� !¦q:<GK2O=@:<29 :E1C/XA�/ M 2Dso�:E9 7ta:<D M H�/�1X2DVU2=@2�D�/�R M 2�D M GI?$UH 1X2�46S5?�:

GIHK10 � <?>��� 0 ���� �

�|��Ç !

°�2�132n| 0 �w��� 2 � 0 �w���6p�/9 /O� C  R�2�T�=@:<13254GIHK1�� < > HID�u � � |

� ��Ç 2 GIHK10 � < >��� 0 �Ç¥� �

�|���Ç !

°�2�132�13254�= 9 /V?�1Ä:lr�:E9 M UH M HI2BD�2�µ�D�/8GsA�:,4�=F/V4>: M LMN/82�Rd/VA�:<4@HK7�?�/8G�A�/A�:)A�2�GI:E1C/¢A�: 1W/d=@2�?p�2�A�:Q4>:<9B:<4>=@9 H²=F/�k

��� � ~ �Q� � ����B�?� a��n3=<?683 � /�9�/ �T<?>£v�376 1��37>�;�sI/��c< � sw>D/�9�/�9�35�D354837F�1tA£3 b g ^�&Eb C � ^ A | Å E Å ��� j�ÈXbOhijt$F^ihFh?mbÊCe�^D�Fj�\?l$�mÊ^lh¢ÈC^E\�hij�a��bdÉd^lZ�h�^lÈ Â j g ^B|[y  ��� �^�]_b8cEj�^ GIHK1�

� < > |� �w������|q�§���i� �w� C  �l�^3^��Z�hi] ^ � C � �  �;]_b8c lj�^ � | � �w��� � � ���w���l� �§� C  �i�^E\�]pmbÊ GIHK1�

� < > � � |� �ǥ� �

�|���Ç !

3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j{°�21X2�| � :¶|À4 N/82©1X:EDW4>?�9�U/8o�:EH�4C:[A�2�1XHKD�/�A�/4npW2�9�?�1C/®uw?�D0LM8N/82�HKD�»= :E79�U/8o�:EG�RspW2�9B?�1 :Ers:<9 M UH M HI2OA�/C4@: M LM8N/823p�9 : M :<A�:<D�= :R�o�:E1X2�46S5?�:;| � �F| C � �  �ik°�2�132C| � @ � 2¯~32XGI:E1C/XA�:�1�/8=@2?�1X2�4>=@9F/XS�?�:���¡|8@ ������ÇZ� GIHK1�

� < > HKD�u � � ��|� @ ������Çx�

2�?�4@:�Á>/ ��|���ÇZ� GIHK1�

� < > HKD�u � � |� �Ç !

¦q2�9t2�?�=@9 23GI/�A�2�R � � | � 2�~OGI27�2�R5= /1;T6U:E1±p�:EGI2XGK:<1X/CA�: 1W/d= 2?�R��� � � |�����ÇZ� GIHK1�

� < > HKD�u � � � � � | � ����Çx�2�?�4@:�Á>/ � ��|���ÇZ� GIHK1�

� < > HKD�u� ��| � ��Çx�

2CS5?�:�:<S5?�HIod/8GI:�/ ��|��Ç 2 GKHI1�

� < > 4@?�p � � |� ��Ç !

«¢4@4@HK1&R�o�:E1X2�46S5?�:�GIHK1 � � < > � � | � �Ç(:lr�H�4�= :�:¶U:{HI7?�/G�/ � � |���Çxk

Page 19: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� ¡ �� � ~ �¢ ¢� ~ � � �����d�� a�� 3=<?683 � / 9�/ �T<?>£v53�6 1��3�>�;�sI/ ��s � suC�/�9�/ b g ^�Ç0�  � � @hq�xA | Å E Å ��� �^;j�ÈCbXhijt$F^ihFh?mbÊ�cËZ�È3Z�]_b�eb&e^��Fj�\?l$�mÊ^lh�ÈX^E\�hij�a��b8É�^EZ�hO^lÈ Â ^¢|¶y  �¸� �^;]_b8cEj�^ GIHK1�

� < > |� �w������|q�§���i� �w� C  �l�^E\�]pmbÊ GIHK1�

� < > � � |� �ǥ� �

�|���Ç !

3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j¢¦q29 Y HKpVU2=@:,4>:�R5:Er�HI4>=@:� �¯~�= /G�S5?�: � | � �w��� � � � p�/9 /�� C  k�°�21X2Ç0�  ��� @hqºRt?�1C/(uw?�DxLMN/82 M 2�D�4>= /8D5= :�:<1  U:&HID5=@:E7�9WU/o:<G¡R�GK2�72®pW2�A�:<1X2�4C/8p�GKH M /9C2= :E29 :E1C/3A�/ M 2�Dso:E9 7ta:ED M HI/QA�21XHKDW/A�/�k �����Q� �� |� �������� ]f5�tH� GW[\�I3J�H5

f � ~������ A�� � ~�����®n3� ? > ��C4k mY>���q�>t-3).8���)� � �!�^5U�D\8�H585�I�J3a( Zw�:Z�7��JvJ�^v+�®t8�YG�[\�I3+�H5p�^�HGD5U�Y.�&�)x)�HZw5L�

������ � MON f � ~������{mY> �";�jmY>����O<��(�3!7u�/3)./�H����vJ�^\U3)GDx)�H.�*¢��HG'\�Z��E( Zw�:Z�7��JvJ�!x)�H��3)5#9����

������ � M�N�� 1�� � � A�� � ~�����®n3� ? �   � �

� 1�� � � ������ � M�NA�� � ~��'���n3� ? �   �jmY�

}T~ ���� ��� ������SR *O������������~������jm:VY�).X�LmFgK�Pg =? � ��~��'��� ��VY�).X� =? � �PgG� 0 T#�w�%GW��� �!��5U�D\8�H5U5WI��3Ev+�tH� GW[\�I3+�H5_f��Lg�k m >���q'i«� VY3).

f ? �D~������ ��~����H>f ? � M = ~������ ��~[� i�'�H�

143)5U7�.U�L9��W� VY�)./�E�H5U7��^5U�D\8�H585�I�J3E��v+�H5UZ�*)�D��(�v��Jv+�:vJ3^(��H���^v+���¢�)7�3)� &�#�H5U7�.HZ�7��+0���S`C/��E�'������;FC!& ��^ f � ` � >�� � ���E5U�D\H�H5U5�I�J3hv+�2tH� GW[\�I3+�H5LG2I�J3�$�G���*J�)7�Z�x6�)5U}f�^�HGD5U�Y.�&�)x)�HZw5^�H�;!0�143)5U7�.U�:9�����1

MON£� Q 1

� � f � �   � � � MON£� Q 1 f � �   ����S`��W���'�����!;bC & �Q^ f � ` � >�� � ����5U�D\8�H585�I�J3�v+� tH� G�[\�I3+�H5L���HG�5U� .�&�6x)�HZw5��H�F;!0#143)5U7�./�^9����5��:�(')Zw5U7u� ��C��<~�;@�@7���(�9���� j M�N� Q 1 f�� ~����" g���~��'�H}®�HG�7)I�J3 1

MON£� Q 1

� � f�� �   � � � MON£� Q 1 f�� �   ����S`�RO�^���<;l&�@�^�HGD5U�Y.�&�)x)��( }sv)Z$�A�H��3)5p9��W��fdC�� ? ~�;f�f5-�2f�gJ;ji«�¦&�p�^�HG�5U� .�&�)x)��(��� � f ? �   ��npoj�����fW> �aC�� ? ~�;f���HG�7)I�J3�v+�w�%G'��$�5��!�.AG?6N� M J� � ? VY3).-1 f ��� � � f ? �  � �� >�L3�� N�?0I6D F�?�� AGF�J@N AG?�J� � ? VY36. �

f�>������ � � f �;�   �143)5U7�.U�L9��W��1

~�¥J�r����fEC�� ? ~�;@�#��hfCa� �HGD7)I�J3 h�f � h f ¨~�©'������f�>���C�� ? ~�;@�#�HG�7)I�J3-f �^C��z~�;@�#�ª&��x�&�)( Z�vJ�^�>I J������;D M���I M IKJ�IKJ��Z=! #" M6N%$�1

�f�>����" g f & � 4

Page 20: Note que o integral de Lebesgue

� � ��������� �������������������~�AA�r����f�>���C�� ? ~�;@�#�HG�7)I�J3-fLn �^C�� ? ~�;@�#� &�px�&��( Z�vJ�a� IKJ�� � �;D M���I M I JTF9N��M6A �;D � M;N fLn � g f n � �

#§9��W� &�L9����2VY3�vJ�:v)Z$�A�H.p5H3J,�.U�2f 5�� f �{m °� ��#�" U V W" X U X X % �������! �"$#&%$� � ���V"!���.0/13254;/729F/&1X2�4>=@9F/89;S5?�:�2[HID5=@:E7�9 /G�A�:���:<TW:,4>7�?�:�U:�A�:nu§/ M =@2¶?�1C/¥:lrs= :ED�4 N/82[A�2HID5=@:E7�9 /GvA�:XPVHK:<1X/D�D�R�H�k�:kIR$S5?�:X4>:C|ªy  � ��U:;?�1C/�uw?�DxLMN/82�HKD5=@:<79�U/8o�:EGB�/�PBHI:E1C/D�D:<D�= N/82¥|¾U:XHKD5=@:<79�U/8o�:EGV�/���:<TW:,4>7�?�:C:C2�4�A�2�HI4QHKD5=@:<79F/8H�4 M 2�HKD M HIA�:E1&kn.x:E1X254�pW2�HI4;S�?�:n/= :E29 H�/�A�:3��:ET�:<4@7?�:Op�:E9 1XH²= :O:,4�= :ED�A�:<9�/�D�2$LM8N/82�A�:OHID5=@:<79F/8Gq/n?�1C/ M G�/4 4>:Q1O?�HK=@2�1X/HI4/13p�GI/3A�:�uw?�DxLMN2:<4<k0¦q29t2?�=@9 2OG�/A�2WR M 21X232OGIHI13HK=@:QA�:¢uw?�DxLM8N2�:<4tHKD5= :E79�U/8o�:EH�4��/XPBHI:E1C/D�D�§13:,4>1X2¢uw?�DxLMN2:<4 M 2D5=,UH Ds?�/4F��p�2�A�:�D N/82{4>:<9!HID5=@:E7�9WU/o:<G��/�PBHK:<1C/8D�D�R8/�=@:<29 HI/¢A�:6��:ET�:<4@7?�:9 :<4@2GIo:)/HKDWA�/�1O?�HK=@2�4vA�254!p�9@2�T�GK:<1C/4 M 21z/�p�/4 4 /87:<1½/82�GIHI13HK=@:BS5?�:t2 M 29 9 :E1ÀD�/V= :E2�9@H�/A�:�HID5=@:<79F/�LM8N/2�k

��� � ~ �Q� � ����?�n��g ^�&Eb�|�y  � � j�ÈCbh�Fj�\?l$�mbÊ[Z�\�] ^_`8a��b8É�^Ec��b���Z§^EÈCbd\�\�j�6\�]pmbÊ�| �^Z�\W]_^_`a��bdÉd^lc �bOf!^<gF^lh�`j�^;^ ��|���Ç�� �

�|��� ¡ ��� � !�!9! �� Å

3^lÈCÊd\�hi]¡a@b7l$�mb�Ê7j¢¦q2�A�:E1X2�4C/�4@4@?�1XHI9nS�?�:  à �vÅ�U:�?�1 9 : M ==a/8D�7?�GI2®GKHI1XH²=F/A�2Wk�¦x/89F/�C�Ä����^��9!9!�!l��:ErsH�4>=@:{?�1C/Xp�/89@=@H@LM8N/2� � A�:  = /G$S5?�:�¡/�� � < ¡ U:{?�1 9@:Eµ�D�/81X:<D�= 2CA�: � ��§TW��GIHK1 � � <?>�� �¡|�� � �0� � � |�:�GIHI1 � � < > �X��|�� � �)� � � |v� s:>Á>/81 � � : � � uw?�DxLM8N2�:<4V4@HK1Xp�GI:<4t=F/8H�4VS5?�:{p�/89F/;=@2�A�2C2X9@: M =ba/8D�7�?�GK2��¯A�: � = :E1X2�4

�� �w����� ��$��|�� : �

� �§���)� ��!�¡|�� �w� C HID�=��0��!m)D�= N/82¨U: M G�/89 23S5?�:� ��|��

� �0� �� �

� �Çx� �X��|�� � �0� ���� �Çx�

:{p�29;�¡/���o:<13254BS5?�:� ¡ �w��� � � � �w���r� 7�797��º|q�w���r� 7�797�� � � �w���r� � ¡ �w��� �§S�k =,k p$k�:E1  � !«¢4@4@HK1&R�:Er�HI4>=@:<1¿uw?�DxLMN2:<4V13:<D�4@?�9WU/o:<HI4� �§���0� GIHK1�

� < > �� �w���i� �X�w���)� GIHK1�

� < > �� �w���i� �§S�k =<k p�k�:E1  �l�

=F/8H�4BS�?�:� �w������|q�§���r���X�w���i� �§S�k =<k p�k�:<1  � !

W¢:n�wTW�t:�p�:EGI23=@:<29 :E1C/XA�/ M 2Dso�:E9 7ta:<D M H�/�1X2DVU2=@2�D�/�R M 2D M GK?!UH 1X2�4tS5?�:�� �

��ǥ� ��|����$� �

�� ���� �

�|���� !

 s:{|�U:VHKD5= :E79�U/8o�:EG!�/;PBHK:<1C/8D�D�R5:<4>=@:,4�A�2H�40HID�= :E7�9 /HI404 N/82�HI7?W/8H�4Ekq��2�72�R=@:<13254$� � � 2¯~S�k =<k p�k�:E1  R�: ���A� � � � ��Ç�� ~�!G�4>=@2®1X2�4>=@9F/¶S5?�:5��� � S�k =<k p�k0:<1  kºm0D5= N/82©|q�w����� �C�w����� � �w���XSWk =<k p�kx:<1  Rp�29@= /D�= 2X|ÀU:{HKD5= :E79�U/8o�:EG0�/X��:<TW:,4>7�?�:{:�

�|��ǥ� �

�|���� ¡ �� � !�!9! ��� Å !

Page 21: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� �H¡«�9@:<GI/�LM8N/82�:<D5=@9 :V2;HID5=@:E7�9 /GWA�:���:<TW:,4>7�?�:V:¢A�:�PBHI:E1C/D�D�RsS�?�:¢/ M /8TVU/1X2�40A�:¢1X2�4>=@9F/89,R=F/81;T6U:E1·U:�U?�= HKG$D�2 M U/8G M ?�GK2XA�:�HID�= :E7�9 /HI46A�:���:<TW:,4>7�?�:R�p�2H�4B1O?�H²=F/4tuw?�D0LM8N2:,46HKD5= :E79�U/8o�:EH�44 N/82¶GKHI1XH²= :<4XA�:�uw?�DxLM8N2�:<4 M 2�D5=,UH Ds?�/4�:�p�/9 /[:<4>= /434 /8T�:E1X2�4 M /G M ?�GI/9O2(4>:<?�HID5=@:E7�9 /GtA�:PBHI:E1C/D�D�k G GI?�4�= 9 /1X2�4t:<4>= /O=�U: M D�H M /OD�2�46:lr�:<13p�GK254B4>:<7?�HID5=@:<4<k

�����Q� �� |� ���� �f� ������� �hC�m���\U3)G�5UZ�vJ�H.U�H��365#�zt8�YG�[\�I�J3�f¢~������ =��� G'3!ZwGD7u�H.Hx6�)(�3L;j�<qSm >-�JkS0Oz�6./�a\8��vJ� �:� �)>�a >-�����->��)5�tH� GW[\�I3+�H5

f��Y~��'�%� �� � =��� 5�� �EC�k =� >-�Jk >m 5�� �EC�qSmY> =� k�>

5�I�J3a( Z��:Zw7��Jv��)5��#\836G�7�&� GD���65#9A0�7u0 VO0�}%(�3U*J3!5�I�J3aZ�G�7u��*).�&�6x)�HZw5 ,��� Z��H���)GDG4��� 1�� = � f�� � �a� � =

������ � �a� �� � =� i =�� � � i = � ~ ��;�c�A�H>

� ��� � ~ �:�c�A�H�]@5U5UZw�L} x)�H��3)5<9����W^cf�� `{&�<�Y�!�L5U�D\H�H5U5�I�J3!��36G#&3)7�3)GW��v+� tH� GW[\�I3J�H5<ZwGD7u��*).�&�)x)�HZ�5 ,��N¢�-,H�H5 *)���H}�G2I�J3)$G���*J�)7�Zwx6�658}®7��)Zw5�9����

f¢~������ ������ � MONf��D~����H�

O<��(�3!7u�/3)./�H����vJ�^\U3)GDx)�H.�*¢��HG'\�Z�����3)G�&3)7�3)GW�)} \U3)GW\-( �%&� ��3)5�9������ 1�� = �

���� �   � ������ � MON

�� 1�� = � f�� � �^� �� � == i � 5-���a�G�)>

npo 5-���>�G�)�Oz36.L�('+�H�fV'(�3)}%x)�H��365�9���� = � C��z~wqSmY>��Jk �p���)5 = � ;C�� ? ~wqSmY>�Jk ��0�����Q� �� |� ���� ��� O2�)./�a\U�JvJ�Q�LCªm�\U3)G�5UZ�vJ�H.U�H��365:�2tH� G�[\�I�J3-f�g qSmY>Hnpojk i � vJ�w�%G�Z�vJ��VY36.

f¢~��'�%��U i � ��� i = �]���.H�!�)��365�9����2f�C��<~wqSm >8npo{k ��0

TL��t-�J\�7�3)}OVY�).X�F��C�qSmY>���k 7u�H��3)5�9���� f¢~����" g � � i =

�H}�VD��(�3E�('+�H�<V'(�3�V�.U�/\8�UvJ�HG�7u�H}2�ztH� GW[\�I�J3Q� � i = &�pZwGD7u��*).�&�)x)��(�5-�W�LCªm�0 Oz3).87��)GD7�3)} fEC��z~wqSmY>-��k ��0Oz�6./�!� � �r�:tH� G�[\�I�J3'�� # ~[ W����a)��� � i

= &��\U3)G�7�&� G��D���a7u�HGWv+�:VY�)./���A�H.X3r9��D�)G'vJ3!� i o 0N¢3U*J3��(')Zw5U7u��� Cªm�7���(¢9����

f¢~����Dg � U i ��� ? ~����G�A�H>�L,U�)5U7��ax)�H.8Z �®\8�6.:9����_�� # ~[ W���@a���C��z~/k ��>8npojk ��0 TL�w��G'��$�5�� f��Lg�k ��>8npojk i«�§VY3).

f��D~������ �� � U i ��� ? 5��9��C4k ��> �+q�>m 5��9��C�q �'>Hnpo{k >

0 GD7)I�J3.f���&��Z�G�7u��*).�&�6x)��( ,��� Z��H���)GDG4�H� k ��> �+qz��� = � MON �

f � �   � � �= U i ��� ? � �^�Ga��-U i = � ? iU i = � ��� �O<��(�3!7u�/3)./�H����vJ�^\U3)GDx)�H.�*¢��HG'\�Z�����3)G�&3)7�3)GW�)} \U3)GW\-( �%&� ��3)5�9����_�� # ~[ W���@a���C��z~/k ��>8npojk �L\U3)��

� = � M�N �U i ��� ? �   � a� U �

V%3)G'\-( ��&� �!3)5p�6ZwG'vJ�a9����2f�C��z~wq�m >8npojk ��0]�� DEA��=��M ? � M � M�&�L�2tH� G�[\�I�J3! �g qSmY>Hnpojk i«�­v+�w��G�Z�vJ�pVY3).

®~��D��� � � 1�� MON � U i � � � i = �   � �TL�HZ 'J�6��3)5^\U3)�!3r�('+�H.X\W&� \�Z�3h�!3)5U7�./�).E9����! %~[�A�#�e���E9������H587��LtH� GW[\�I�J3�5H�)7�Zw5St-�����d.U��(���[\�I��3�v+�.U�/\U3).8.D��HGW\�Z�� %~��@n<�A�%�<�" %~��D�H�

Page 22: Note que o integral de Lebesgue

� � ��������� �������������������0 �¯VY�).H7�Z�\��D(��6.H}�\U3)G'\-( � Z�$�5��L9�����5H3J,�./�L3)5<ZwG�7u�HZw.X3)5#�H5U7��ztH� GW[\�I�J3^\U3)ZwGW\�ZwG'v+��\U3)� �2tH� GW[\�I�J3zt-�J\�7�3)$.HZ���( 1

%~���n<�A������� ~��d�jmY>-�)>�a >-���-�H�H������Q� �� |� ����k�f� �'������fdg6� ? i«�­�<t8�YG�[\�I�J3

f¢~���>(�D�%��U i ~ � � M � � � �TL�w��G�Zw�!3)5�tH� GW[\�I3J�H5@ZwG�7u��*).�&�)x)�HZw5�f��Lg)� ? i �§VY36.

f��Y~���>(�D������ � U i ~ � � M � � � 5��#~��¢>[���®C���� ~�mJ�H>m 5��#~��¢>[��� ;C���� ~�mJ�

0 GD7)I�J3!^cf�� ` � >�� &�:�Y�!��58�D\8�H5U5�I�J3��!3)G#&367�3)G'�h9����a\U3)GDx)�H.�*+�#VY3)GD7��D��( �^�HGD7u��VY�).X�'f�0��O5��6G'vJ3h�t�&3).8�:�Y(��^v+���L�DvJ�)GW[\��av+�px6�).HZY&�)x)�HZw5#\U��(�\��Y(��)��365�

� � f��@�   � �� � 1��

U i ~ � � M � � � � � � �L� � ? �1 � � �1 U i� � 6@� 6 ���p� � �@�9 iU i � � � �

O<��(�3!7u�/3)./�H����vJ�^\U3)GDx)�H.�*¢��HG'\�Z�����3)G�&3)7�3)GW�)} \U3)GW\-( �%&� ��3)5�9�����f�C��<~�� ? �:��� � f �   � ������ � MON

�� � f � �   � �%�

V%3)��3 �� � f �   ��� �

�U i � � �   � � �

�U i � � �   � >

3J,�7u�H��365 ��U i � � �   � � ���

}T~ ���� ��� ������S`�`O��V%��(�\��Y(��#3)�E��3)5U7�.U�L9��W�pG2I�J3��(')Zw5U7u�H� 3)5@5���*)�YZ�G�7u�H5�( Zw�LZw7u�H51

~�¥J� � M�N= � ���¢~=� �k K�_� � ¨~�©'������� � � N � MON1 = � U i��� � � ¨~�AA�d����� � � MON � M�N1 ����� ���8� �= M � � � �¢¨

~�W������� � � MON � M�Ni N U i�� � � A � � � � �¢¨~�A� � � = � � M � � � � � � � �43)G'v+����� ^ ~��¢>[���®Ca� ? g�� ? n"� ? C �_`D0

~��8�d����� � � MON � �! " �$#&%��'#&(��)� � M � � M+* � � � � �;��,d3)G'v+����� ^ ~��¢>[��>-,+��C�� | g�m:� � ? n7� ? n., ? �G�_`D0

���S`Y�¢�^��������;§C'& \U3)�   ~�;@����npo§0s143)5U7�.U�:9������ ? ~�;f�H+ �z~�;@��0g#§9����ª&��9����2VY3�v+�:v6Z$�A�H.5��   ~�;@���{npo­°���S`�¬O�!143)5U7�.U�:9����#�zt8�YG�[\�I�J3� j5H�)7�Z�5�t����_1

®~[����� �)> %~��@n<�A�%�<� ®~��D�H�/�0+132&4$5768+9;: ]�V'( Z�9����@ZwG�7u��*).X��[\�I�J3LVY3). VY�6.H7u�H5L�J3!ZwGD7u��*).X��(� ��� U i � � � � �¢����S` �O��V%3)G�5UZ�v+�H./�L�ztH� GW[\�I�J3 �^g6� i �FvJ�w�%G'v��#VY3).

��~ � ��� � � �1 U � � � � ���

~�¥J�4143)5U7�./�:9���� �­&�#\U3)GD7A&� G��D�)¨~�©'�h143)5U7�./�:9���� �­&�#v)Z t��H.U�HGW\�ZD&�)x)��( ¨~�AA�<V%��(�\��Y(���� Xu~�m���0

Page 23: Note que o integral de Lebesgue

�®�����������W���n���&�8������������� � ���������������� �������������������! #"�$&%('#)�*,+-).+�/10#2435'6287 9:0#)<;!/=$�>@?�?8��ACB�D-EGFIH,AKJ<H:L6$��,M6M6N�ONP�RQS�8TU�V�W #X� 6J�Y[Z #H,A:$�\=2V]�^G_6`C'#7a/b3dc+-)�]e7gfV)<0!/�$hN B i ?8�kjl Z #Bm$�TnHpo�qCB i ?8�<qCB6r= -$�,M6M6s���OtP�uFv��wyx�?8��D[$8z{`�7a2�*:7|fV)<^p/10k9}3�'6]�~-^p��'6]e7�*K'6)[�}2�'#).�!/�7�/�$V� l�� rK ,�v�@��J�J�$[�,M��#���� �#�uFv��wyx�?8��D[$8��^�'6)�'#2V;I%(06�yf�)<^K���}2V'#)��!/=7a/=$V� l�� rK ��v�}��J�JG$��,M6�6����OsP�R>1���UB�J���B6X6B6r�B���H����8�8B�����D[$V��)<^:��^:2�]G0!/�;�'���^�06`=7�'�;�'!/b�[+-2� *[¡0�^p/�^�;�^

�}2¢c'#).7a/:^b�[+�2�*:7�0#2V'#)�$��4£¤w¥$¦�,M6�6N���O�P�R����w@�<H,AC§UH¥¨}��©} #X6L6$h�[+�2�*,]e7�0#2V'#)[�}2V'#)��!/=7a/=$�ª}B��6H:r�$n�,M6M#«-�