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7/23/2019 La Mecanica Cuantica Blogspot Pe 2009 08 Momento Angular Orb

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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9

Momento angular: tratamiento matricial I

El caso espec ial del momento angular, visto desde la perspec tiva de la

Mecnica Cuntica, adquiere una importancia central en todo lo que no s

ocupa en v irtud de que fue precisamente la cuantizacin del momento

angular propuesta por Niels Bohr en su mo delo planetario del tomo:

L = n

lo que di una explicac in matemtica extraordinariamente exitosa, por

vez primera, a las lneas de los espectros de emisin y absorc in de los

elementos. Antes de Bohr, se supona que el momento angular de una

partcula poda tomar cualquier v alor posible en el universo de l mundo

sub-microscpico . Pero la cuantizacin del momento angular deinmediato impuso una restriccin sev era en el modelo del tomo de

hidrgeno, en el sentido de que a un electrn ligado al tomo de

hidrgeno slo le era posible tomar alguno de una c antidad posible de

valo res discretos de ene rga, estando vedado s los valores intermedios.

El momento angular cuantizado, tal y como fue definido por Bohr para su

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La Mecnica Cuntica
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modelo atmico planetario, era una cantidad medible, observ able, pero

ciertamente no era una cantidad a la cual le corr espondiera un operador

matemtico co mo las matrices que seran utilizadas posteriormente por

Heisenberg para representar a la posicin y al momentum. A Bohr no se le

haba ocurrido que tal cosa se pudiera llevar a cabgo, y no tena base

alguna para suponer lo contrario, especialmente dado el xito que tuv o su

modelo del tomo. Pero si la posicin y el momentum de una partculapodan ser representados mediante matrices, no tard en surgir la

sospecha de que el momento angular, definido prec isamente en base a la

posicin y al momentum, tambin pudiera ser representado mediante una

matriz.

A diferencia del sp in de l electrn, idealizado hipotticamente co mo una

carga elctrica negativa girando sobre su propio eje dando lugar a un

momento angular de spin, ciertamente existe otro tipo de momento

angular que puede tomar una variedad mucho ms amplia de v alores que

los dos valore s relacionados con el spin. Recurriendo nuev amente a la

imagen del modelo atmico planetario de Bohr, se trata del momento

angular L debido al electr n girando en torno al ncleo a una distancia r

del ncleo co n un momento lineal p. Clsicamente, este momento angular

est definido como el producto cruz de los dos vec tores ry p:

L = r p

En un sistema de c oordenadas Cartesianas (x, y, z), esta definicin nos

produce tres co mponentes ortogonales de L: (Lx , Ly, Lz), los cuales se

obtienen de las proyec ciones de los vectores r= (x, y, z) y p= (px , py, pz):

Indice

Prlogo

El modelo atmico planetario

de Bohr I

El modelo atmico planetario

de Bohr IILa espectroscopa de rayos-X

La extraa ecuacin de Max

Born

Vec tores y matric es I

Vec tores y matric es I I

El anlisis de Four ierLa regla de multiplicacin de

Heisenberg

Observ ables compatibles e

incompatibles

Oscilador arm nico simple:

solucin matricial

Matrices y probabilidad

El principio de incertidumbre I

El principio de incertidumbre I I

El experimento Stern-Gerlach

El spin del electron

Momento angular: tratamiento
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L = (Lx , Ly, Lz) = (x, y, z) (px , py, pz)

usando un sistema de vecto res unitarios de base {i,j, k} a travs de un

determinante:

de donde se puede leer directamente:

En estas frmulas lo que tenemos son v ariables continuas, las cualespueden tomar los valores que medimos ex perimentalmente en un

laboratorio. Pero y a vimos q ue en la Mecnica Matricial lo que representa

a las v ariables fsicas son matrices, no v ariables reales. Si queremos

incorporar al momento angular orbital bajo el co ncepto matricial,

tenemos que hacer algn cambio que nos d las matrices que sern

utilizadas. Es en situaciones como sta cuando echamos rec urso de una de

matricial I


matricial II


matricial III

La energa rotacional

Matrices y sub-matrices

Solucin matricial del tomo de

hidrgeno

Funciones matriciales

De la mecnica clsica a la

mecnica matricial

La matriz momentum comogeneradora de traslacin

La matriz generadora de

rotacin

Rotaciones de las matrices de

Pauli

El aspecto e stadstico de la

Mecnica Matricial

Evo lucin temporal de los

sistemas fsicos

Matrices continuas

Ondas de mate ria
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las tcnicas ms potentes que hay en el arsenal de la Mecnica Cuntica:

en las relaciones clsicas reemplazamos a las observablespor matrices.

Este es un recurso directo que no requiere mayor ex plicacin. Sobre esto,

el notable fsico Arno Bohm una v ez dijo: La representacin de

observablesfsicas por operadoreses uno de los m s grandes

logros de la ciencia. Y en la Mecnica Matricial, los operadores son

matrices.

En la Mecnica Cuntica, las proyec ciones de las co ordenadas de posicin

y el momentum estn repre sentadas por las matr ices Qx, Qy, Qz, y Px, Py,

Pz, con lo cual o btenemos las siguientes relaciones matriciales para la

especificacin matricialdel momento angular como una c antidad

vec torial cuy as proy ec ciones son:

Por otro lado, tenemos las siguientes relaciones dadas por la ecuacin de

Born:

Solucin matemtica de la

ecuacin de onda

Solucin numrica de la

ecuacion de Schrdinger

Interpretacin prob abilista de

IInterpretacin prob abilista de

II

Operadores y esperanzas

matemticas I

Operadores y esperanzas

matemticas II

Oscilador arm nico simple:solucin ondulatoria

La funcin delta de Dirac

Transmisin y reflexin de

partculas I


partculas II


partculas III

Transmisin reflexin de
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conv enga. En este caso:

con lo cual QxPzQyPzcancela a QyPzQxPz, y QzPxQzPycancela a

QzPyQzPx:

dejndonos con:

Reacomodando nuev amente los factores matriciales dentro de c ada

trmino tomando ventaja de las matrices que son conmutativas, y

reacomo dando los trminos:

La funcin de o nda del

momento angular del spin

El principio de ex clusin de

Pauli

El proceso de co nstruccin

Aufbau

El acoplamiento LS

La suma de momentos

angulares

Las reglas de selecci n

Tcnicas de aproximacin I

Tcnicas de aproximacin II

Tcnicas de aprox imacin IIIEl mtodo de aprox imacin

WKB I

El mtodo de aprox imacin

WKB II


WKB II I


WKB IV

El enlace mo lecular I

El enlace molecular I I

La hibridacin de los orbitales

atmicos
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Factorizando hacia la izquierda:

Aqu podemos ec har mano de la ec uac in de Born para los fac tores que

tenemos entre parntesis, obteniendo:

LxLy- LyLx= QxPy(iI) + QyPx(iI)

Factorizando nuevamente:

LxLy- LyLx= [QxPy+ QyPx] iI

Pero lo que tenemos entre los parntesis cuadrados es Lz. Se concluye

que:

LxLy- LyLx= iLz

Del mismo modo, po demos obtener las siguientes relaciones:

La teora de los orbitales

moleculares

Teora del campo c ristalino

Operadores c lase T

El espacio-posicin y el

espacio-momentum IEl espacio-posicin y el

espacio-momentum II


espacio-momentum III


espacio-momentum IV

La partcula libre I

La partcula libre II

La ecuacin de movimiento de

Heisenberg

Mecnicas Matricial y

Ondulatoria: equivalencia

Evo lucin temporal de las

ondas de materia I

Evo lucin temporal de las

ondas de materia II

El operador de traslacin

El operador de ev olucin del

tiempo
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LyLz- LzLy= iLx

LzLx- LxLz= iLy

PROBLEMA:Demo strar la siguiente relac in matric ial:

[Lz, Qx] = iQy

Tomaremos la relacin:

Lz= QxPy- QyPx

y ob tendremo s do s re lac iones pre-multiplicando y po st-multiplicandoesta relacin por la matriz Qx:

Restando la primera ex presin de la segunda:

Las representaciones de

Heisenberg y Schrdinger

Operadores de ro tacin I

Operadores de rotaci n II

Los grupos de rotacin I

Los grupos de rotacin II

Los grupos de rotacin III

La simetra como piedra

angular

Representaciones irreducibles I

D A T OS P E R S O N A L E S

A RM A NDO MA RT NE Z TL LEZ

V E R TO DO MI P E R FI L
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df d mi b PRO i Are you a developer? Try out the HTML to PDF API

Pero de las relaciones de co nmutacin de Born, [Qx, Py] es igual a la

matriz cero. Por lo tanto:

Puesto que las matrices Qxy Qyrepresentan observables compatibles,

estas matrices conmutan, con lo cual QxQy= QyQx, lo cual nos lleva a:

habindose utilizado en el ltimo paso la relacin de c onmutacin bsica
http://pdfcrowd.com/http://pdfcrowd.com/redirect/?url=http%3a%2f%2fla-mecanica-cuantica.blogspot.pe%2f2009%2f08%2fmomento-angular-orbital-tratamiento.html&id=ma-151112205126-ecaab1fchttp://pdfcrowd.com/customize/http://pdfcrowd.com/html-to-pdf-api/?ref=pdfhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TIqleP3ByvI/AAAAAAAANsI/9CFx522_0FI/s1600/paso_02.PNGhttp://3.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TIqmvYwZQoI/AAAAAAAANsQ/A-HfVh8TXRY/s1600/paso_03.PNGhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TIqoraLEW_I/AAAAAAAANsY/waS77KfmlXU/s1600/paso_04.PNG


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de Born.

PROBLEMA:Demo strar la siguiente relac in matric ial:

[Lz, Px] = iPy

PROBLEMA:Evalense y simplifquense las siguientes tres relac iones:

Empezaremos con la primera relaci n haciendo la substitucin de la

componente matricial Lzen funcin de las co mponentes matriciales de la

posicin y el momentum, y simplificando lo que resulte aprov echando las

conmutatividades que podamos enc ontrar entre los matrices posicin y

matrices momentum que se puedan co nmutar:
http://pdfcrowd.com/http://pdfcrowd.com/redirect/?url=http%3a%2f%2fla-mecanica-cuantica.blogspot.pe%2f2009%2f08%2fmomento-angular-orbital-tratamiento.html&id=ma-151112205126-ecaab1fchttp://pdfcrowd.com/customize/http://pdfcrowd.com/html-to-pdf-api/?ref=pdfhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI1XkzzP-tI/AAAAAAAANtw/r8UfVFXdebo/s1600/enunciado_de_problema.png


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df di b PRO i A d l ? T t th HTML t PDF API

Continuamos con la e valuacin de la segunda relacin haciendo

nuevamente la substitucin de las compo nentes matriciales del momento

angular y simplificando lo que resulte aprovec hando las

conmutatividades que podamos enc ontrar entre los matrices posicin ymatrices momentum que se puedan co nmutar:

Conclumos con la ev aluacin de la tercera relacin cuy o resultado

posiblemente podramos haber anticipado:
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PROBLEMA:Evalense y simplifquense las siguientes tres relac iones:

Empezaremos con la primera relaci n haciendo la substitucin de la

componente matricial Lzen funcin de las co mponentes matriciales de la

posicin y el momentum, y simplificando lo que resulte aprov echando las


http://pdfcrowd.com/http://pdfcrowd.com/redirect/?url=http%3a%2f%2fla-mecanica-cuantica.blogspot.pe%2f2009%2f08%2fmomento-angular-orbital-tratamiento.html&id=ma-151112205126-ecaab1fchttp://pdfcrowd.com/customize/http://pdfcrowd.com/html-to-pdf-api/?ref=pdfhttp://2.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI1eo7xLv5I/AAAAAAAANuI/mbIdE1Yldus/s1600/tercera_relacion.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI_aVul50aI/AAAAAAAAN3w/y1CxJNOBFo4/s1600/enunciado_de_problema.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI_ZoazGFyI/AAAAAAAAN3o/QLDp8cpnOj8/s1600/parte_1.PNG


13/22df di b PRO i

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Continuamos con la e valuacin de la segunda relacin haciendo

nuevamente la substitucin de las compo nentes matriciales del momento

angular y simplificando lo que resulte aprovec hando las


http://pdfcrowd.com/http://pdfcrowd.com/redirect/?url=http%3a%2f%2fla-mecanica-cuantica.blogspot.pe%2f2009%2f08%2fmomento-angular-orbital-tratamiento.html&id=ma-151112205126-ecaab1fchttp://pdfcrowd.com/customize/http://pdfcrowd.com/html-to-pdf-api/?ref=pdfhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI_ZoazGFyI/AAAAAAAAN3o/QLDp8cpnOj8/s1600/parte_1.PNGhttp://1.bp.blogspot.com/_js6wgtUcfdQ/TI_clKbDMUI/AAAAAAAAN34/H0VIGJgIDL0/s1600/parte_2.PNG


14/22df di b PRO iAre you a developer? Try out the HTML to PDF API

Conclumos con la ev aluacin de la tercera relacin cuy o resultado

posiblemente podramos haber anticipado:

PROBLEMA:Evalese:

LzQ - QLz

Recurriendo a la definicin de Q = Qx + Qy + Qz y de Lz, tenemos lo

siguiente:

Ah i l d fi i i d L b
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15/22df di b PRO iAre you a developer? Try out the HTML to PDF API

Ahora rec urrimos a la definicin de Lzpara obtener:

Lo cual se convierte en:

Como se ha destacado a trav s de los colores, todo s los trminos se

cancelan en pares para darnos co mo resultado la matriz cero:

LzQ - QLz= O

Si vemos a la matriz Q como una especie de eq uivalente de la longitud

Pitagrica:

x + y + z

la cual en el anlisis vec torial clsico es una cantidad escalar que co nmuta

con los tres componentes del e ctor posicin ( ) podemos er que
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con los tres componentes del ve ctor posicin (x,y ,z), podemos ver que

aqu tambin tenemos una propiedad parecida en Q, aplicable en la

componente-z del momento angular matricial L.

PROBLEMA:Si definimo s matric ialmente un momento angular total

Pde la siguiente manera:

P = Px + Py + Pz

obtngase entonc es lo siguiente:

LzP - PLz

La evaluacin matricial pedida resulta directa en este problema haciendo

uso de las conmutatividades en donde las haya, cancelndose de este

modo todo s los trminos en pares:
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Una cantidad que resulta extremadamente til para poder medir lo quepodramos llamar el momento angular total de una partcula es la

siguiente, la cual tiene la propiedad de poder co nmutar con todas las

componentes matriciales Lx, Lyy Lzdel momento angular:

L = Lx +Ly + Lz

PROBLEMA:Demo strar que e l operado r matricialL conmuta con las

tres compo nentes matricialesLx, LyyLzdel momento angular.

La resolucin de problemas de este tipo puede avanzar con mucha may or

rapidez si recurrimos al uso intensivo del conmutador en lo q ue

podramos tomar como una especie de lgebra de conmutadoresque no

v iene siendo ms que una espec ie de taquigrafa mate mtica para

abrev iar pasos Empezaremos por demostrar la conmutatividad de L con
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abrev iar pasos. Empezaremos por demostrar la conmutatividad de L con

Lx:

A co ntinuacin reduciremos el primer trmino de e sto lt imo recurriendo

a unapre-multiplicacin y unapost-multiplicacin co n Lyactuando

sobre [Ly,Lx]:

Sumando (1) y (2):
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Del mismo modo, ex pandiendo y simplificando [Lz,Lx] para llegar a

[Lz,Lx]:

Podemos ver de inmediato que:

[Ly,Lx] + [Lz,Lx] = O

Entonces:

[L,Lx] = O

Procediendo de igual manera, podemos demostrar que

[L,Ly] = O

[L,Lz] = O

conc luyndose que la matriz L conmuta con to das las componentes

matriciales del momento angular.
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Las conclusiones obtenidas del tratamiento mecnico cuntico del

momento angular orbital tienen un impacto importante y directo en el

entendimiento de los espec tros rotacio nales de las molculas diatmicas

tales como la molc ula de hidrgeno (H2 ), e inclusive e n los espectros

rotacionales de mo lculas diatmicas formadas por elementos distintos

tales como la molc ula del monxido de carbo no (CO):

Clsicamente, antes del adv enimiento de la Mecnica Cuntica, se crea

que una molcula diatmica poda girar en torno a su c entro de masa a

cualquier v elocidad angular , no haba razn lgica alguna para esperar

lo co ntrario. Sin embargo, la extraa ecuac in de Max Born que condujo

a la cuantizacin de las vibraciones que puede tener una molcula a lo
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Entrada ms reciente Entrada antigua

q p

largo de su eje internuclear tambin conduce inev itablemente a la

cuantizacin de las rotaciones que puede tener la molcula en torno a su

eje de rotac in. Esto result ser una sorpresa may scula que nadie

esperaba. Y posiblemente la nueva teo ra habra sido rechazada de no ser

por el hecho de que fue confirmada experimentalmente en el laboratorio

miles y miles de vec es.

Si la velocidad angular a la c ual puede girar una molcula diatmica en

torno a un eje pro pio de rotac in est cuantizada, ello implica que los

niveles de energa de energa que son posibles debido a dicha rotac in

tambin estarn cuantizados, lo c ual significa q ue las molc ulas

diatmicas ex hibirn necesariamente espectros rotacionales, los

cuales se manifestarn con la aparicin de nuev as lneas espectrales que

no pueden ser explicadas de otra manera.

a

P U B L I C A D O P O R A R MA N DO MA R T N E Z T LL E Z E N 2 3 : 1 4

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