la resolución de problemas en la matemática i y ii de la carrera de agronomía
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Tesis en opción al grado científico deDoctor en Ciencias Pedagógicas.Uno de los aspectos más importantes de la enseñanza de la Matemática pero donde esmayor el índice de fracaso de los estudiantes es el de la resolución de problemas. Por elloes que, desde hace tiempo, se ha configurado como una de las principales líneas deinvestigación didáctica tal como muestra una abundante bibliografía.Dentro de este contexto pedagógico se enmarca la realización de esta investigación queaborda el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos,formulándose como objetivo a lograr, la instrumentación de una propuesta pedagógicapara contribuir al desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática enestudiantes del primer año de la carrera de Agronomía en la Universidad de Matanzas“Camilo Cienfuegos”.TRANSCRIPT
UNIVERSIDAD DE MATANZAS.
FACULTAD DE INFORMÁTICA.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA GENERAL.
Titulo: La resolución de problemas en la Matemática I y II de la
carrera de Agronomía.
Tesis en opción al grado científico de
Doctor en Ciencias Pedagógicas.
AUTOR: LIC. ISRAEL MAZARÍO TRIANA.
TUTORA: DRA. TERESA SANZ CABRERA.
Matanzas, 2002
SÍNTESIS.
Uno de los aspectos más importantes de la enseñanza de la Matemática pero donde es
mayor el índice de fracaso de los estudiantes es el de la resolución de problemas. Por ello
es que, desde hace tiempo, se ha configurado como una de las principales líneas de
investigación didáctica tal como muestra una abundante bibliografía.
Dentro de este contexto pedagógico se enmarca la realización de esta investigación que
aborda el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos,
formulándose como objetivo a lograr, la instrumentación de una propuesta pedagógica
para contribuir al desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática en
estudiantes del primer año de la carrera de Agronomía en la Universidad de Matanzas
“Camilo Cienfuegos”.
Así pues, la propuesta didáctica se fundamenta en una estructuración operacional de la
resolución de problemas matemáticos como habilidad, considerando además otros
elementos cognoscitivos y educativos inherentes al proceso de resolución de problemas.
La hipótesis que se plantea, su fundamentación, el trabajo realizado y los resultados
obtenidos se recogen en esta tesis con la siguiente distribución por capítulos:
En el Primer Capítulo se presentan los fundamentos teóricos de la tesis, se hace un análisis
sobre la problemática de la enseñanza de la Matemática para ingenieros agrónomos y
algunos aspectos necesarios al abordar la resolución de problemas en el campo de la
Didáctica de la Matemática. Así, se abordan la definición del concepto de “problema”, la
revisión crítica de algunos modelos de resolución de problemas y se describe el sistema de
acciones que estructuran la habilidad resolver problemas de Matemática. En el Segundo
Capítulo se exponen las características generales de la experiencia pedagógica desde la
perspectiva metodológica que se sigue en la investigación. De este modo, se identifican y
formulan sus lineamientos metodológicos esenciales, considerándose los aspectos
pedagógicos que la sustentan y su instrumentación en el proceso de enseñanza-aprendizaje
de la resolución de problemas matemáticos. En el Tercer Capítulo se presenta el análisis de
los resultados de la investigación. Además, se recogen las opiniones de los estudiantes y
profesores sobre la experiencia pedagógica de manera de mostrar la valoración que ellos
hacen de la misma.
INDICE.
Contenido Página
INTRODUCCIÓN 5
CAPÍTULO 1. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. UN RETO PARA LA
EDUCACIÓN MATEMÁTICA CONTEMPORÁNEA..
1.1 La resolución de problemas matemáticos en la carrera de 13
Agronomía
1.2.El Enfoque Histórico Cultural como marco teórico-metodológico 17
1.3. La definición de problema y algunas de sus derivaciones educativas 20
1.4. Algunos enfoques en la clasificación de los problemas 24
1.5. Revisión crítica de algunos modelos de resolución de problemas 25
1.6. Definición y estructura de la habilidad resolver problemas de Matemática 40
1.6.1 Hacia una definición y clasificación de la habilidad resolver problemas de
Matemática 40
1.6.2 Caracterización del sistema de acciones para resolver problemas de Matemática
41
1.7 Algunas consideraciones acerca de la resolución de problemas como proceso
cognoscitivo 48
1.8 Conclusiones
CAPÍTULO 2. ESTRUCTURACIÓN DE LA EXPERIENCIA PEDAGOGICA.
2.1 La necesidad de una propuesta pedagógica para enseñar a resolver problemas de
Matemática: la visión del profesorado como participe de un problema común 53
2.2 Caracterización de los componentes de la experiencia pedagógica y sus funciones en
el proceso de resolución de problemas de Matemática 56
2.3 Fases del proceso de resolución de problemas 84
2.4 Conclusiones 89
CAPÍTULO 3. EL ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA EXPERIENCIA
PEDAGÓGICA.
3.1 Resultados del diagnóstico inicial 90
3.2 Presentación y análisis de los resultados correspondientes al modo en que los
estudiantes resuelven los problemas de Matemática 92
3.3 La resolución de problemas y la organización de situaciones didácticas que faciliten la
utilización del pensamiento reflexivo de los estudiantes 96
3.4 Caracterización del proceso de enseñar y aprender a resolver problemas : datos
cualitativos y análisis cualitativo 99
3.4.1 Análisis de los resultados de la Primera Etapa 99
3.4.2 Análisis de los resultados de la Segunda Etapa 107
3.4.3 Validación estadísticas de los datos experimentales 117
3.4.4 Presentación y análisis de los resultados de la Prueba de Solidez 118
3.5 Opiniones de los estudiantes sobre la experiencia pedagógica 119
3.6 Opiniones de los profesores sobre la experiencia pedagógica 121
3.7 Conclusiones 123
CONCLUSIONES GENERALES 124
RECOMENDACIONES 125
BIBLIOGRAFÍA 126
ANEXOS
INTRODUCCIÓN.
La situación actual de la enseñanza de las Ciencias, y de la Matemática en particular,
presenta algunas características que es necesario se tengan en cuenta con el fin de
mejorarlas, por esta razón, cuando se reflexiona sobre el proceso de enseñanza y
aprendizaje de esta disciplina y los problemas que en ella se abordan en los centros de
educación superior del país, es posible identificar un amplio campo de investigación, que
necesita de la atención cuidadosa de la comunidad de docentes.
Por otra parte, la sociedad exige de sus profesionales una mayor independencia y
capacidad de decisión que se traduzca en la posibilidad de enfrentar los problemas más
diversos.
La educación superior debe, pues, favorecer el aprendizaje que contribuya a que el
estudiante este entrenado en función de buscar respuestas a los nuevos problemas que se
plantean constante y rápidamente, lo cual está determinado por el ritmo en que recibimos la
información y que hace que un problema sea reemplazado inmediatamente por otro.
Además, la educación sería un esfuerzo inútil de no ser por el hecho, de que el hombre
pueda aplicar, para resolver numerosas situaciones, lo asimilado concretamente.
En la actualidad se reconoce que los problemas de enseñanza y de aprendizaje de las
Matemáticas son muy complejos, situación que en los ciclos básicos universitarios no
parece ser una excepción. Este reconocimiento redimensiona el papel del docente, lo
compromete con la función social de la institución escolar y lo induce a aprovechar el
potencial de su disciplina como herramienta intelectual primordial para dar respuesta a un
sin número de intereses y problemas.
En esta perspectiva se asume realizar un trabajo enfocado al desarrollo de la habilidad
resolver problemas de Matemática en la carrera de Agronomía a través de una propuesta
pedagógica que favorezca la incorporación, en el desempeño del estudiante, de acciones
efectivas dentro de un contexto de enseñanza-aprendizaje donde se integren el actuar y
reflexionar sobre su propia actividad.
Sin embargo, plantear o escribir algo sobre lo que se considera propicio al aprendizaje de
la resolución de problemas de Matemática resulta extremadamente difícil. Son muchos los
estudios que al respecto se han efectuado, lo cual se puede percibir a través del volumen
de información existente, no obstante, la respuesta de cómo se debe enseñar a resolver
problemas no es definitiva y las investigaciones científicas que se realizan, al tratar de
buscar respuesta a esta interrogante, tampoco deben encasillarse en propuestas “válidas” y
“no válidas”, pero si tendientes a aproximarse sucesivamente a una solución, lo cual
satisface y motiva a investigar.
Ahora bien, ¿Cabe acaso, por ejemplo, que se acepte como lógico e inevitable que
considerable número de estudiantes universitarios presenten dificultades en la resolución de
problemas?. ¿Qué se puede expresar (y qué medidas adoptar) frente a las dificultades
conceptuales y la motivación de los estudiantes?. Por otra parte, ¿Es suficiente el tiempo y
la información que se maneja y transmite cuando se abordan problemas?. ¿Qué criterios se
pueden emplear para evaluar la eficiencia de la estrategia pedagógica aplicada?. ¿Qué
variables son relevantes para favorecer un adecuado aprendizaje de los problemas de
Matemática?. ¿Cómo enseñar a resolver problemas?...
Las preguntas se multiplican y de hecho, algunas fueron objeto de atención en trabajos que
se vienen realizando desde hace varios cursos, por lo que resultó de gran utilidad el análisis
de los resultados de investigaciones llevadas a cabo dentro de la problemática de la
Educación Superior en Cuba y que culminaron en tesis doctorales que sirvieron de
fundamento para la elaboración de esta propuesta: N. Santos (1988), T. Sanz (1989),
C.M. Alvarez (1989), H. Hernández (1989), P. Pérez (1989), L. Valverde (1990), V.
Alvarez (1991), T. Rodríguez (1991), I. Beltrán (1992), F. Martínez (1993), P. Torres
(1993), R. Calderón (1996), R. Delgado (1998), M.J. Llivina (1999), G. Vidal (1999), R.
Nuñez (1999), A. Ferrat (1999), R. Hernández (2000), M.C. Pérez (2001), entre otras.
Esta actividad permitió advertir la magnitud de la tarea asumida.
La solución pedagógica adecuada a todas las interrogantes que tenemos los educadores de
estos días no es precisamente una tarea exenta de dificultades; el reto es grande y la meta
se ubica en acercarnos al limite entre el problema educativo y su solución. Lo importante es
la búsqueda de una docencia de excelencia para construir una sociedad de hombres
eficientes mediante el paradigma de calidad, una vía para satisfacer las expectativas que la
sociedad tiene en las generaciones que formamos.
Para lograr tal fin, el estudio y conocimiento cada vez más profundo de la Didáctica de la
Matemática, y la paulatina familiarización con aportes provenientes de la epistemología del
conocimiento científico y la historia de la ciencia, la psicología, la filosofía, etc.; nos
permitieron la comprensión de las condiciones históricas socioculturales como fuentes de
generación del conocimiento matemático y fueron brindándonos un marco referencial
sistematizador, que favorece en términos generales una orientación más eficiente hacia:
? La detección de problemas en la enseñanza y en el aprendizaje de la Matemática.
? Una toma de conciencia sobre problemáticas del proceso docente-educativo que antes
no se percibían con toda claridad.
? Un fortalecimiento entre los vínculos de la docencia y la investigación en Educación
Matemática.
Además, a través de la revisión bibliográfica se confirma que en lo concerniente a la
resolución de problemas de Matemática aun quedan cuestiones a plantear sobre el tema.
Sin embargo, en la actualidad muchos autores, entre ellos: M. de Guzmán (1993), J.
Fernández (1995), P. Gómez (1995b), A. Orton (1996), Concilio Nacional de Maestros
de Matemática (NCTM, por sus siglas en inglés, 2000), comparten el criterio de que la
resolución de problemas ha de jugar un papel fundamental en la enseñanza de la
Matemática. Al respecto, argumentan que a través de la resolución de problemas se pone
en práctica el principio general de aprendizaje activo propugnado por la escuela
contemporánea, posibilitándose además, enfatizar en los procesos de pensamiento y
contenidos matemáticos, ya que es aquí donde los supuestos y los propósitos de su
enseñanza se ponen a prueba para promover un buen desempeño escolar.
En efecto, la resolución de problemas matemáticos se ha de ver, no sólo como una
actividad cognoscitiva dentro de la Matemática y para la Matemática, sino como actividad
que permite la reflexión, la comunicación de ideas, la conexión de conceptos y que ayude a
resolver problemas sociales de la vida cotidiana.
Por otro lado, son importantes algunos cuestionamientos que se han hecho a la enseñanza y
el aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos por especialistas en este tema.
En este sentido se comparten las opiniones siguientes:
L. Campistrous y C. Rizo (1996, p. X) plantean que: “Las investigaciones demuestran
que existen muchas dificultades en los alumnos para resolver problemas en general”
– y puntualizan - “En la profundización que se ha realizado sobre la causa de este
problema, pueden verse algunas muy importantes relacionadas con la metodología
de su tratamiento. Por lo general los procedimientos metodológicos que se dan están
dirigidos a acciones que debe realizar el maestro, es decir, es una metodología de
enseñanza y no está dirigida a la búsqueda de procedimientos de actuación para el
alumno”.
Otros puntos de vista complementarios lo aportan J.M. Bransford y B.S. Stein (1988),
quienes consideran al referirse a la resolución de problemas que lo importante no es que
unas personas sean más capaces de ello que otras, sino que, a resolver problemas puede
aprenderse y si un conocimiento no se asimila, es casi siempre porque no se imparte con
los requerimientos necesarios.
A.H Schoenfeld (1991b), por su parte, considera que la responsabilidad fundamental del
maestro de matemáticas es la de enseñar a los alumnos a pensar, destacando así la
importancia que tiene el desarrollo del pensamiento reflexivo en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Matemática.
Toda la argumentación anterior nos permite aproximarnos a un planteamiento preciso del
problema de investigación de este trabajo.
En tal sentido, la situación con respecto a la resolución de problemas de Matemática
dentro de los marcos de la Enseñanza Superior, para el caso que nos ocupa, presenta las
siguientes características: se observa, por una parte, el considerable nivel de fracaso en
esta actividad en los estudiantes que ingresan a formarse como Ingenieros Agrónomos en
la Universidad de Matanzas y, por otra, en el Programa de la Disciplina Matemática de los
Planes de Estudio C y C´, aplicados sucesivamente en dicha carrera, se plantea entre sus
objetivos resolver problemas de Matemática relacionados con su perfil profesional, con
otras asignaturas y con la vida real.
Lo anterior indica fuertemente la necesidad de una investigación científica que enfoque el
tratamiento pedagógico de la resolución de problemas matemáticos a partir de las
dificultades que presentan los estudiantes del primer año de la carrera de Agronomía. Las
dificultades que se presentan con mayor frecuencia están relacionadas con: el análisis de los
enunciados, la ausencia de una línea directriz en términos de la secuencia de acciones que
se dan en el proceso, los recursos intelectuales utilizados por los estudiantes y con la
verificación de la efectividad del proceso de resolución y de los resultados.
Ante esta situación resulta interesante reflexionar en la búsqueda de una solución, pues
como se sabe, existe una relación importante entre la forma que se lleva a cabo el proceso
de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas en nuestras aulas y dicha
problemática. En efecto, las dificultades detectadas requieren, dada su importancia, de una
intervención didáctica adecuada en el marco de la enseñanza de la Matemática.
Por otra parte, en la elección del tema de investigación incidió una fuerte motivación
personal. A lo largo de 15 años, he venido desarrollando las labores de docencia e
investigación con estudiantes del Primer Año de la carrera de Agronomía y he compartido
postgrados con colegas de todos los niveles de enseñanza. Dicha labor me permitió
percibir la preocupación por el proceso de resolución de problemas en nuestras aulas.
En este contexto se ubica nuestro trabajo investigativo, en interés de proporcionar a los
estudiantes, a través de la resolución de problemas, herramientas matemáticas básicas para
su desempeño social y profesional.
A partir de las consideraciones anteriores, se investiga el siguiente problema:
Problema:
¿Cómo contribuir a desarrollar en los estudiantes la habilidad resolver problemas de
Matemática aplicando los contenidos del Cálculo Diferencial e Integral correspondientes a
la Carrera de Agronomía?.
El objetivo de esta investigación es el siguiente:
Objetivo general:
? Diseñar e instrumentar una experiencia pedagógica que favorezca el desarrollo de la
habilidad resolver problemas de Matemática en estudiantes del Primer Año de la
carrera de Agronomía.
El objeto de estudio de la investigación se circunscribe a la habilidad resolver
problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la Matemática. Su campo de
acción se ubica en el contexto de una experiencia pedagógica orientada a promover el
desarrollo de la habilidad resolver problemas en el proceso de enseñanza-aprendizaje de
las asignaturas Matemática I y II que se imparten en el Primer Año de la carrera de
Agronomía.
Como hipótesis de trabajo se plantea que:
Hipótesis:
Es posible favorecer en los estudiantes el desarrollo de las acciones correspondientes a la
habilidad resolver problemas de Matemática aplicando los contenidos del Cálculo
Diferencial e Integral para la Carrera de Agronomía, a través de la estructuración y
aplicación de una experiencia pedagógica sustentada en el enfoque histórico cultural.
En correspondencia con el objetivo general, para lograr los propósitos de este trabajo se
realizaron las siguientes tareas de investigación:
1) Análisis de la bibliografía especializada y delimitación de los supuestos teóricos-
metodológicos de la experiencia pedagógica.
2) Diseño y aplicación de la experiencia pedagógica para la resolución de problemas de
Matemática en el primer año de la carrera de Agronomía.
3) Valoración del efecto que produce en los estudiantes su participación en la experiencia
pedagógica en cuanto al desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática.
Con el fin de verificar el cumplimiento de la hipótesis y en correspondencia con los
objetivos y tareas propuestas se utilizaron en la investigación como métodos teóricos
fundamentales: el análisis y la síntesis, imprescindibles para poder estructurar la
experiencia pedagógica e integrar sus diversas componentes y la inducción y deducción
que permiten indistintamente obtener conclusiones generales o particulares a partir de las
relaciones que se dan en el proceso estudiado.
A nivel empírico se utilizaron la experimentación, la observación tanto individual como
grupal y otras técnicas de investigación como entrevistas y encuestas; de gran utilidad en el
estudio de la información, sometida finalmente a validaciones estadísticas.
El marco conceptual de la investigación tiene como fundamento teórico-metodológico:
el Enfoque Histórico Cultural de L.S. Vigostky (1982, 1987), la Teoría de la Actividad de
A.N. Leóntiev (1979, 1981, 1986) y algunos aspectos de la Teoría de la Formación por
Etapas de las Acciones Mentales de P. Ya. Galperin (1974, 1983, 1986, 1987), lo que se
complementa con los trabajos de otros autores cubanos y extranjeros con igual referencia
y que tienen sus raíces en la filosofía social de Marx y Engels.
Se cuenta, además, con la valiosa información que sobre el tema de resolución de
problemas y algunos de sus principales modelos, exponen importantes autores e
investigadores como: G. Polya (1989), Mason-Burton-Stacey (1989), A.H. Schoenfeld
(1980,1985, 1991a, 1991b), A.F. Labarrere (1987a, 1987b, 1988, 1996), M. de
Guzmán (1991, 1993), J. Gascón (1994), L. Campistrous y C. Rizo (1996), y otros, que
se han consultado para la realización de este trabajo.
La novedad científica de esta tesis radica en que por primera vez se desarrolla una
experiencia pedagógica con los contenidos del cálculo diferencial e integral para la carrera
de Agronomía en Cuba, que contribuye a elevar el nivel de desarrollo de la habilidad
resolver problemas de Matemática en estudiantes del primer año.
A su vez, la inserción de la experiencia pedagógica en el Programa de la Disciplina
Matemática para ingenieros agrónomos contribuye a perfeccionar el proceso de
enseñanza-aprendizaje al reorganizarse en función de la resolución de problemas
matemáticos dicho proceso.
El aporte teórico del trabajo se expresa en el enriquecimiento de la caracterización
teórica del sistema de acciones y operaciones que componen la habilidad resolver
problemas de Matemática.
Se logra una sistematización teórica de los trabajos y modelos que sobre resolución de
problemas han tenido una mayor significación en el tratamiento de esta problemática tanto
a nivel nacional como internacional.
La significación práctica se manifiesta en:
- El trabajo constituye un aporte al desarrollo de la Didáctica de la Matemática en la
enseñanza superior, lo cual esta dado fundamentalmente por la elaboración de un
conjunto de tareas cuyas características estructurales modelan las acciones de la
habilidad resolver problemas de Matemática logrando así la formación de estas con un
buen nivel de generalización.
- Se diseña e instrumenta una experiencia pedagógica donde se reestructura el proceso
de enseñanza-aprendizaje de la Matemática I y II para la carrera de Agronomía que
contribuye a desarrollar los conocimientos y acciones vinculadas con la habilidad
resolver problemas de Matemática.
- Se elaboran un conjunto de enunciados de problemas matemáticos que no aparecen en
la bibliografía de la carrera y que favorecen la ejecución de las acciones que
estructuran la habilidad resolver problemas de Matemática.
- Se diseñan varios medios de enseñanza (orientaciones para resolver problema de
Matemática, folleto para los estudiantes con problemas resueltos, hoja de trabajo de
los estudiantes y guía didáctica del estudiante para la resolución de problemas) que
orientan y favorecen el proceso de interiorización de las acciones que estructuran la
habilidad resolver problemas de Matemática.
- El sistema de evaluación orientado tanto a la valoración del desarrollo del proceso
como al resultado ofrece un conjunto de recursos didácticos (hoja de diagnóstico, ficha
de evaluación de los estudiantes, pruebas orales, entre otros) que garantizan la
retroalimentación del proceso y una mayor calidad de formación de la acción.
La investigación se lleva a cabo a través del experimento pedagógico de tipo
cuasiexperimental. Para este estudio se seleccionaron durante varios cursos grupos de
estudiantes que ingresaron a la Carrera de Agronomía en la Universidad de Matanzas
“Camilo Cienfuegos”, carrera esta que se considera de gran importancia por responder a
necesidades básicas de la sociedad en todos los tiempos. En efecto, las ciencias o práctica
agrícola, es una de las profesiones más antiguas del mundo, y fundamental para la
supervivencia del ser humano, lo que se comprueba en libros tan antiguos como La Biblia,
y sobre la que Martí (1990, p.114) dijera: “La agricultura es la única fuente constante,
cierta e intensamente pura de riquezas”; entre otras muchas argumentaciones que se
pueden señalar. Es por esto que se requiere motivar y preparar adecuadamente al
estudiante para superar las dificultades y enfrentar los problemas y de lo que se reafirma
la decisión de investigar sobre dicha temática.
El trabajo experimental con estudiantes de Primer Año se inicia como experiencia piloto en
el curso 1993-94. En esta etapa se aplicaron, transformaron y ensayaron problemas para
disponer de un número conveniente de enunciados que sirvieran de base al trabajo en los
cursos siguientes, se elaboró el diseño de investigación pedagógica para contrastar la
hipótesis y se aplicaron los cuestionarios para recopilar la opinión de los docentes
consultados sobre la investigación con el propósito de obtener una visión más general del
trabajo con los problemas en las clases.
La experimentación rigurosa y la toma de datos para arribar a conclusiones se realiza
durante los cursos 1994-95,1995-96, 1996-97, 1997-98 y 1999-2000, en la modalidad
de grupo único, siendo el autor de este trabajo quien realiza el experimento durante todas
las etapas.
La tesis consta de tres capítulos con la siguiente distribución. En el Primero se realiza el
análisis teórico a partir de la bibliografía consultada que sustenta la experiencia pedagógica.
En el Segundo Capitulo se exponen los características generales de la experiencia
pedagógica y el Tercero contiene el análisis de los resultados alcanzados durante el
desarrollo de la experiencia pedagógica.
Finalmente se exponen las conclusiones y recomendaciones alcanzadas, la bibliografía que
sirvió de soporte y los anexos que complementan o ilustran el trabajo.
CAPÍTULO 1.
LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS. UN RETO PARA LA EDUCACIÓN
MATEMÁTICA CONTEMPORÁNEA.
En este capítulo se presenta un análisis del papel que tiene la Matemática en el Plan de
Estudio de la carrera de Agronomía y la importancia que en ella asume la resolución de
problemas. Se realiza una revisión crítica de algunos modelos de resolución de problemas,
caracterizándose el sistema de acciones que conforman la habilidad de resolver problemas
de Matemática que se asume en esta tesis. Se abordan también las principales ideas del
Enfoque Histórico-Cultural, marco teórico y metodológico en que se sustenta la
investigación.
1.1 La resolución de problemas matemáticos en la carrera de Agronomía.
Las razones de que se incluya la Matemática en los currículos escolares son múltiples y
variadas. Por un lado, constituye una eficaz herramienta de trabajo (tanto intelectual como
práctico); y por otro, las Matemáticas conforman un área de estudio que intenta
comprender los modelos que impregnan el mundo que nos rodea y cuya actividad se
podría resumir mediante la expresión “resolución de problemas”.
Por otra parte, en la sociedad actual, que experimenta un creciente desarrollo científico,
tecnológico y social, se considera cada vez más importante tener una buena preparación
matemática que opere como vía de acceso a dichos conocimientos.
Sin embargo, no es sólo porque está presente en todos los órdenes de la vida moderna por
lo que se justifica estudiar esta disciplina. En general, la necesidad de enseñar matemáticas,
se atribuye a diversos fines, los cuales se resumen en: la Matemática como instrumento que
posibilita resolver diferentes problemas del entorno sociocultural, su valor formativo al
contribuir al desarrollo intelectual e integral de la personalidad y la Matemática como
lenguaje universal de las ciencias (W. Jungk (1979), K. Ríbnikov (1987), G. García et al
(1999)).
La formación matemática que deben tener los ingenieros agrónomos o los estudiantes que
se forman para ejercer esta profesión, no se puede limitar a un listado más o menos
pormenorizado de “contenidos mínimos”, es necesario enmarcar el análisis en
consideraciones más amplías: perfil del profesional que se desea formar, especificidades de
sus motivaciones y de sus requerimientos formativos, etc., y avanzar, en ese marco, hacia
una reflexión crítica acerca de aspectos tales como, objetivos del plan o programa de
estudio, eficiencia de los métodos de enseñanza, entre otros. En este contexto, la
problemática educativa vinculada a la resolución de problemas aparece como un aspecto
importante en el aprendizaje de la disciplina.
Desde esta perspectiva, se viene acometiendo por el Ministerio de Educación Superior de
nuestro país, la tarea de perfeccionar los Planes de Estudio implantados sucesivamente,
hasta llegar a la aplicación de los denominados C y C´, donde se alcanza un nivel superior
al confeccionarse un documento único, el Programa de la Disciplina, que enfatiza los
aportes de la Matemática a los estudiantes de la carrera de Agronomía, tal como se
comprueba en la formulación del sistema de objetivos del programa de las asignaturas
Matemática I y II que se reportan en el Anexo 1.A (que incluye también el sistema de
conocimientos y habilidades).
Como se puede apreciar, aunque aparecen separados los objetivos instructivos de los
educativos por exigencias metodológicas del Ministerio de Educación Superior para la
confección de los planes de estudio, en dichos programas se toma en consideración el
papel de la instrucción como una de las condiciones básicas fundamentales de la relación
del estudiante con su entorno natural y social, vinculado con aspectos educativos. Este
último aspecto de la personalidad, no puede formarse sin considerar los componentes
cognoscitivos, como expresión del principio de la unidad que en el plano psicológico se da
entre lo afectivo y lo cognoscitivo (L.S. Vigotsky, 1982).
En estos programas la actividad cognoscitiva del estudiante, la apropiación y aplicación de
conocimientos, el desarrollo del pensamiento teórico y reflexivo, las capacidades y
habilidades intelectuales vinculadas a la profesión, son el resultado fundamental de la
educación, concepción que responde a un proceso de aprendizaje activo, creador y
transformador de la propia personalidad del estudiante en su condición de sujeto activo del
aprendizaje.
Todos estos factores integrados armónicamente en el proceso docente educativo crearán
las condiciones que definen el modo de actuación de nuestros profesionales agrícolas tal
como se plantea en el Documento para el Perfeccionamiento del Plan de Estudio C
(28/1/97, p.4) como “Productor a partir de la dirección y la solución de problemas de
la producción agropecuaria, utilizando métodos activos y participativos, que
estimulan el espíritu innovador y su formación permanente”.
No obstante el notable avance alcanzado con la aplicación de los Planes de Estudio C y
C´, se debe señalar que en las indicaciones metodológicas y de organización de las
asignaturas Matemática I y II de dichos programas, en lo que se refiere a la resolución de
problemas, no se especifican ni sugieren estrategias metodológicas, aspecto que dada su
complejidad, requiere de un mayor espacio de reflexión y de orientaciones más concretas
para los profesores.
Así, por ejemplo, se observa que en el apartado de orientaciones metodológicas del
Programa de la Disciplina Matemática Superior (Plan de Estudio C, p.16) se plantea con
respecto a los temas que se abordan en la asignatura Matemática Superior I: “Durante
toda la asignatura deben aparecer actividades integradoras así como problemas que
tengan que modelar y resolver donde el alumno tenga que analizar cual es la vía de
solución”. De la misma forma, con respecto a la asignatura Matemática Superior II sólo se
indica (p.16): “Se pudiera plantear algún problema físico, químico o biológico que
conduzca a una ecuación diferencial ordinaria que se resuelva a través de la
integración” – y más adelante (p.18), se propone – “Realizar actividades integradoras
donde se trabaje fundamentalmente con integrales definidas, integrales impropias de
primera especie e integrales de línea así como problemas que tengan que modelar y
resolver donde el alumno tenga que decidir la vía de solución”.
Con relación a los objetivos del programa, se observa que en ambas asignaturas, la
resolución de problemas se plantea en varios de sus objetivos vinculados a diferentes
contenidos específicos, evidenciándose la importancia que tiene el desarrollo de la
habilidad resolver problemas matemáticos para la formación del ingeniero agrónomo.
Con respecto al Programa de la Disciplina Matemática del Plan de Estudio C´ para la
carrera de Agronomía, al igual que en el programa anterior, uno de sus objetivos más
importantes es la resolución de problemas, pero, en sus orientaciones metodológicas y de
organización de la disciplina no se enfatiza ni argumenta sobre el tratamiento de los
problemas.
Por ello, es esencial que se tracen líneas o estrategias de trabajo que garanticen elevar
sustancialmente las posibilidades de la Matemática para contribuir a la formación del
ingeniero agrónomo y así favorecer que los contenidos matemáticos sean una herramienta
útil en otras disciplinas, para conseguir resolver con éxito los problemas a que se enfrenta
el alumno a lo largo de su carrera.
Desde estos puntos de vista, se debe subrayar la importancia de la resolución de
problemas matemáticos en el perfil del agrónomo que demanda la agricultura cubana, tal
como se confirma en el Plan de Estudios de la carrera. En efecto, los ingenieros
agrónomos deben solucionar diversos problemas que se generan en la producción agrícola
y es la universidad la encargada de formar a los profesionales que trabajarán con este
propósito.
1.2 El Enfoque Histórico Cultural como marco teórico-metodológico.
Por constituir el proceso de construcción del conocimiento matemático un fenómeno social
y cultural que tiene entre sus metas la resolución de problemas, esta investigación se
fundamenta en una concepción psicológica de fuerte implicación pedagógica y que se
sustenta en la base epistemológica marxista leninista, el Enfoque Histórico Cultural de L.S.
Vigotsky y sus continuadores (A.N. Leóntiev, P. Ya. Galperin, N.F. Talízina, entre otros
autores).
En esta perspectiva se señalan algunos principios e ideas fundamentales que sustentan la
propuesta metodológica que se presenta:
? Unidad de lo afectivo y lo cognitivo, lo que significa reconocer la vinculación entre el
aprendizaje y el afecto.
? Centra la atención en el sujeto activo, consciente y orientado hacia un objetivo.
? El aprendizaje se produce más fácilmente en situaciones colectivas que favorecen
conductas de cooperación. La actividad humana transcurre en un determinado
contexto sociocultural, en activa interacción con otras personas a través de variadas
formas de colaboración y comunicación.
? Importancia de los procesos de internalización: Los procesos de aprendizaje inician y
van conformando los procesos de desarrollo. El desarrollo humano se produce de
afuera hacia adentro por medio de la internalización de procesos interpsicológicos, es
decir, a través de la participación en situaciones sociales que propicien el aprendizaje.
En este sentido cuando el estudiante es capaz de utilizar el lenguaje para fundamentar,
explicar y argumentar, sus interacciones con el medio social se enriquecen y se van
haciendo cada vez más complejas.
De igual forma, la importancia del enfoque histórico cultural se ve reflejado en la tesis a
partir del carácter rector de la enseñanza para el desarrollo psíquico, considerándolo fuente
de ese desarrollo, al analizar las posibilidades y asegurar las condiciones para que el
estudiante se eleve mediante la colaboración a un nivel superior. En este sentido es
fundamental el concepto de Zona de Desarrollo Próximo introducido por L..S. Vigotsky.
Se observa de este modo que en el proceso de aprendizaje es posible distinguir un nivel
real de desarrollo (dado por las acciones que un individuo puede desarrollar por sí solo) y
un nivel potencial (que se manifiesta a través de las acciones que un individuo puede
desarrollar bajo la guía de un experto o en colaboración de un compañero más capaz),
esta última constituye la zona de desarrollo próximo (L.S. Vigotsky, 1987).
La zona de desarrollo próximo enfatiza la importancia de la interacción de los estudiantes
con el profesor y de los estudiantes entre sí, a fin de favorecer el desarrollo de procesos
cognitivos y afectivos que aún no se han desarrollado en toda su potencialidad.
Para delimitar este concepto se deben tener presente dos aspectos. En primer lugar, la
importancia del contexto social a la que ya hemos aludido y segundo, en lugar de insistir en
trabajar con el conocimiento o la habilidad ya consolidada, planificar actividades que
impliquen un esfuerzo cognoscitivo para los estudiantes, enfocando el interés no al nivel de
desarrollo actual, sino al potencial.
Por otro lado y a partir de la concepción vigostkyana del desarrollo como el proceso a
través del cual el individuo se apropia de la cultura social e históricamente desarrollada
como resultado de su actividad, resulta conveniente se precise que la resolución de
problemas forma parte fundamental de la actividad del sujeto.
Al respecto, la Teoría de la Actividad de A.N. Leóntiev (1979, 1981) permite el análisis
de la actividad de estudio, entre las que se incluye la resolución de problemas. De acuerdo
con esta teoría los principales componentes de las actividades los constituyen las acciones,
que a su vez se realizan a través de operaciones.
Las acciones son procesos subordinados a la representación del resultado que debe
alcanzarse, o sea el proceso subordinado a un objetivo consciente y las operaciones son
microacciones que le dan a la acción esa forma de proceso continuo. Es decir, toda acción
puede descomponerse en varias operaciones con determinada lógica, consecutividad (N.F.
Talízina, 1988).
Otro punto de interés cuando se refieren acciones componentes de la actividad, es el que
establece las funciones que las acciones cumplen dentro de la actividad, enfocándose tres
aspectos diferentes; acciones de orientación, de ejecución y de control. La motivación
debe mantenerse a lo largo de todo este proceso. En la teoría de P.Ya. Galperin (1983,
1986), se describen estos momentos funcionales de gran importancia pedagógica.
Dentro de esta concepción, describe N. F. Talízina (1988, pp.59-60): “La parte
orientadora de la acción está relacionada con la utilización por el hombre del
conjunto de condiciones concretas, necesarias para el exitoso cumplimiento de la
acción dada, que entraron en el contenido de la base orientadora de la acción. La
parte ejecutora – parte de trabajo de la acción - asegura las transformaciones
dadas en el objeto de la acción (ideales o materiales). La parte del control de la
acción está dirigida a seguir la marcha de la acción, a confrontar los resultados
obtenidos. Con su ayuda se hace la corrección necesaria tanto en la parte
orientadora como en la ejecutora de la acción”.
En lo referente al control es necesario que en el proceso de enseñanza-aprendizaje se
atienda tanto el control externo, es decir, el realizado por el docente o un compañero de
aula, así como también el interno o autocontrol, este último debe ir sustituyendo
paulatinamente al control externo.
Es muy importante que la fase de control se realice durante todo el proceso de realización
de la acción, y no solo en su parte final (producto o resultado). Someter a control nos
garantiza efectuar las correcciones necesarias de la acción, por la comparación de los
resultados que se van obteniendo con el modelo dado.
Por tanto: “El aprendizaje presupone la apropiación del conocimiento necesario para
ejecutar una o varias acciones y ejecutarlas con la finalidad en que estas se
transformen en una habilidad, en correspondencia con el conocimiento adquirido. El
resultado de esta transformación depende del conocimiento que se tenga sobre la
acción en sí. No es posible que se logre un aprendizaje eficiente sin tener un
conocimiento de cómo actuar. Si un estudiante no tiene idea de las acciones que debe
realizar para resolver un ejercicio o problema, que se le proponga, hará muchos
intentos fallidos al procurar resolverlo si no dispone de manera consciente de la
orientación para ello” (S. Hernández y H. Hernández, 1998, p.59).
1.3 La definición de problema y algunas de sus derivaciones educativas.
La experiencia demuestra que el desarrollo de actividades docentes donde se identifiquen
y resuelvan problemas contribuye a potenciar el desarrollo de habilidades en los
estudiantes. En este sentido, la Matemática proporciona el marco adecuado para
reflexionar sobre los problemas que surgen del contenido de su propia enseñanza.
Consecuentemente, aceptar que resolver problemas es un elemento vital en el aprendizaje
de la Matemática, implica la necesidad de que se tenga una idea clara de lo que se entiende
por problemas y cómo los incorporamos en las clases.
Las definiciones de problema que aparecen en diferentes textos (S.L. Rubinstein (1966),
W. Jungk (1979), S. Krulik y K. Rudnick (1980), M.I. Majmutov (1983), L. Davidson
(1988), G. Polya (1989), A.H. Schoenfeld (1991a), A. Rodríguez (1991), F.J. Perales
Palacios (1993), M. Sánchez (1995)), aunque diferentes conceptualmente, presentan
elementos comunes o al menos no contradictorios. En general, todas coinciden en señalar
que un problema es una situación que presenta dificultades para las cuales no hay solución
inmediata.
En el proceso de enseñanza-aprendizaje, por el contrario, es común explicar los
problemas como algo que se sabe hacer, cuya solución se conoce, que no genera
expectativas. Para el docente, incluso, no es un problema. Se precisa así en la investigación
del proceso de resolución de problemas de una definición del concepto “problema”. Las
referencias bibliográficas que se exponen plantean los diferentes puntos de vista de sus
autores al respecto.
? R. Delgado (1998, p.2), considerando la situación problémica de la cual es
consciente el sujeto, define el término problema como: “Situación verdaderamente
problémica para el resolutor, para la cual, teniendo conciencia de ella, no conoce una
vía de solución”.
? I. Alonso (2001, p.13), enfoca el problema matemático desde el punto de vista de la
información y estructura del problema y cómo el estudiante se lo representa y resuelve.
Al respecto plantea su concepción de problema matemático como: “Una situación
matemática que contempla tres elementos: objetos, características de esos
objetos y relaciones entre ellos; agrupados en dos componentes:
- condiciones y
- exigencias relativas a esos elementos; y que motiva en el resolutor la
necesidad de dar respuesta a las exigencia o interrogantes, para lo cual
deberá operar con las condiciones, en el marco de su base de conocimientos y
experiencias”.
? G.A. Ball (citado por A.F. Labarrere,1987a, p.6), “caracteriza el problema como
aquella situación que demanda la realización de determinadas acciones
(prácticas o mentales) encaminadas a transformar dicha situación”.
? La definición de A.F. Labarrere (1996, p.19), resume acertadamente el consenso
entre las definiciones consultadas: “Un problema es determinada situación en la
cual existen nexos, relaciones, cualidades, de y entre los objetos que no son
accesibles directa e inmediatamente a la persona”, o sea, “una situación en la que
hay algo oculto para el sujeto, que este se esfuerza por hallar”.
En cuanto a la diferenciación entre los términos problema y ejercicio, tema de gran interés
desde el punto de vista didáctico, algunos autores que han abordado dicha cuestión
señalan:
? M.J. Llivina (1999, p.48), precisa cuando un ejercicio tiene carácter de problema.
Sobre esta base expresa: “Un ejercicio es un problema si y sólo si la vía de
solución es desconocida para la persona”.
? J. Martínez Torregrosa (citado por un colectivo de autores, 1999, p.3), en el mismo
sentido de la reflexión anterior argumenta: “Un correcto planteamiento didáctico de
la resolución exige la distinción entre ejercicios y problemas. Para los ejercicios
el alumno tiene ya disponibles respuestas satisfactorias para las que ha sido
preparado y – al contrario de lo que sucede en un verdadero problema – no hay
incertidumbre en su comportamiento”.
Estas mismas ideas se presentan implícita o explícitamente cuando se caracteriza la
resolución de problemas. Así, A. Orton (1996, p.51), expresa que la resolución de
problemas “se concibe como generadora de un proceso a través del cual quien
aprende combina elementos del conocimiento, reglas, técnicas, destrezas y conceptos
previamente adquiridos para dar solución a una situación nueva”.
Por su parte, R. Delgado (1998, p.69), considera la resolución de problemas como una
habilidad matemática y señala que resolver: “es encontrar un método o vía de solución
que conduzca a la solución de un problema”.
Según M.J .Llivina (1999, p.59), “la resolución de problemas matemáticos es una
capacidad específica que se desarrolla a través del proceso de enseñanza-aprendizaje
de la matemática y que se configura en la personalidad del individuo al sistematizar,
con determinada calidad y haciendo uso de la metacognición, acciones y
conocimientos que participan en la resolución de estos problemas”.
Es conveniente se enfatice, según refieren D. Gil et al (1992, pp.76-77), que algunos
autores insisten justamente en el hecho de que la existencia de dificultades no es una
característica intrínseca de una situación y que depende también de los conocimientos,
experiencias, etc. En este sentido, citan a Elshout, quien desarrolla la idea de “umbral de
problematicidad” diferente para cada persona y por encima del cual se puede considerar
que una situación constituye un verdadero problema para la persona implicada; en esta
idea de problema y umbral de problematicidad infieren una primera comprensión de los
resultados negativos que pueden alcanzarse en la enseñanza habitual.
Como parte de lo anterior, es importante se destaquen los siguientes puntos de
coincidencia entre las definiciones consultadas:
a) La persona que se enfrenta a un problema debe estar consciente de la existencia de
una dificultad y tener interés en resolverla, pero no cuenta con los conocimientos y
experiencias que le permitan directa o inmediatamente darle solución.
b) La resolución de problemas constituye un proceso de razonamiento donde la
Psicología y la Didáctica encuentran puntos de referencia imprescindibles.
c) Los problemas siempre deben ser portadores de nuevos elementos para el que
aprende. No se consideran problemas aquellos ejercicios rutinarios que se presentan
en las clases de Matemática para desarrollar algunas habilidades específicas y que en
ocasiones promueven la memorización y el mecanicismo.
d) La resolución de problemas es un proceso “productivo” y no meramente
“reproductivo”.
Desde la misma perspectiva teórica, se considera que las situaciones de aprendizaje
sustentadas en la resolución de problemas, deben tener tres elementos distintivos para que
adquieran su verdadero significado:
- Motivación: El estudiante ha de experimentar un desafío, una contradicción que lo
impulse hacia la búsqueda de la solución.
- Sincretismo: La situación se presenta de forma tal que al inicio, no se identifican con
claridad o precisión algunas de sus componentes.
- Acciones: El estudiante debe ser consciente de que para poder resolver el problema
debe ejecutar una serie de acciones conducentes a su solución.
En este orden de ideas, se analiza que por la relevancia que tienen estos tres aspectos para
esta investigación, es necesario se integren en una nueva definición de problema sobre la
base del estudio teórico realizado. Así, se elabora la siguiente definición:
Un problema es una situación o dificultad prevista o espontánea, con algunos elementos
desconocidos para el sujeto, pero capaz de provocar la realización de acciones sucesivas
para darle solución.
Por otro lado, se considera la resolución de problemas como una habilidad, y como tal se
caracteriza y estructura posteriormente en la tesis, todo ello en base a determinadas
acciones, que son las que permiten acceder a las vías para resolver los problemas.
Para finalizar este punto, se plantea otro aspecto pedagógico que deben reunir los
problemas, el que respondan en lo posible a los intereses y necesidades de los estudiantes.
Los elementos que contenga el problema deben estar en estrecha relación con el círculo de
ideas, conocimientos y experiencias del alumno dentro del nivel de enseñanza que curse.
Confirma lo anterior lo expresado por David Hilbert (citado por J. Stewart, 1998, p.VIII):
“Un problema matemático debe ser difícil para que nos seduzca, pero no inaccesible
para que no se burle de nuestros esfuerzos”.
1.4 Algunos enfoques en la clasificación de los problemas.
En cuanto a la clasificación de los problemas, en la bibliografía consultada ésta se realiza
atendiendo a diversos criterios: campo disciplinario, tipo de tarea, naturaleza del
enunciado, etc., pero siempre apuntando a diferentes tipos de problemas que por tanto
deben enfrentarse de distintas maneras.
De entre varias perspectivas posibles (W. Jungk (1979), A.F. Labarrere (1987a), E.
Carballal y C. Díaz (1990), y otros)), los problemas conviene clasificarlos por la naturaleza
de la solución en “abiertos” y “cerrados” (R.M. Garret, 1995, p.8). Se consideran
problemas cerrados aquellos que tienen una solución única, son objetivos, a veces hay un
algoritmo de trabajo que garantiza la respuesta o requieren de un conocimiento específico
o técnica para su solución. Los problemas abiertos son los que tienen varias posibles
soluciones, son subjetivos, sólo podemos hallar su mejor respuesta, la heurística puede
guiar la reflexión y requieren de una amplia gama de información.
J.I. Pozo et al (1994), establecen una diferenciación interesante entre problema científico,
problema docente (escolar) y problema cotidiano.
Un problema científico, según estos autores, conlleva un interés personal del que
pretende solucionarlo y una metodología científica de trabajo, que consiste en un modelo
idealizado con las correspondientes hipótesis de origen enmarcadas en un contexto
científico.
El problema docente tiene otras implicaciones motivacionales, ya que el estudiante se
enfrenta a la búsqueda de su solución para dar respuesta a un planteamiento que le hace el
docente, sus posibilidades de formulación de hipótesis se reducen y las interrogantes, o la
temática objeto de estudio, centra la atención en factores tratados con anterioridad.
El tercer caso, es decir, los problemas cotidianos, son asumidos por los individuos y su
finalidad es obtener un resultado, que no tiene que implicar la comprensión ni explicación
científica. Su procedimiento de resolución se fundamenta en la experiencia personal, su
similitud con otras situaciones o en técnicas de ensayo-error.
En esta investigación se utilizan esencialmente los problemas docentes (cerrados o
abiertos) con texto o enunciados, que además, son por lo general, los que el estudiante
reconoce como tales, sin que por ello se dejen de considerar otras situaciones que no
poseen textos, pero que bajo determinadas circunstancias, son consideradas como
problemas. Estos últimos también se pueden resolver aplicando muchos de los aspectos
considerados en este trabajo.
1.5 Revisión crítica de algunos modelos de resolución de problemas.
Según A. Latorre y M. C. Fortes (1990, p.57): “la definición de <modelo> es la de un
sistema figurativo que reproduce la realidad bajo una forma esquemática,
intentando hacerlo de un modo más comprensible. Un modelo es una construcción,
una estructura que podemos utilizar como referencia, una imagen analógica que
permite algunas veces materializar una idea o un concepto”.
El análisis de diferentes modelos de resolución de problemas que se vienen planteando en
los últimos tiempos y que se inscriben en diversas tendencias permite categorizarlos de
forma general en diferentes tipos, unos con orientaciones de tipo psicológico, pedagógico e
idiosincrásico y otros, de tipo filosófico-científico. Aunque en ocasiones resulta difícil
precisar la filiación de un modelo en algún apartado, estos se pueden caracterizar
brevemente en:
1. Las investigaciones que se ocupan de contrastar los mecanismos incorporados por
aquellos resolutores con mejores desempeños para los cuales se comparan los
procedimientos utilizados por expertos y novatos (Newell y Simon en C. Klingler y G.
Vadillo, 1999) o dicho de otra manera los solucionadores de problemas con éxito o sin
él (Bloom y Broder 1950 en O.P. Ausubel et al, 1991).
2. Las investigaciones algorítmicas, que se proponen aumentar la efectividad en la
resolución de problemas mediante la prescripción exacta del orden determinado en que
han de ejecutarse un sistema de operaciones para resolver todos los problemas de un
cierto tipo. Tienen un componente importante de indicaciones dadas a través de un
programa de acciones y operaciones.
3. Las investigaciones que consideran la creatividad como elemento fundamental en el
proceso de solución.
4. Las investigaciones que consideran que pueden conseguirse avances en el proceso de
resolución a través de un cambio conceptual, metodológico y actitudinal.
En nuestro país también es posible identificar un conjunto de investigaciones sobre
resolución de problemas que tienen en común su fundamentación en la psicología soviética
y el pensamiento pedagógico cubano, sin dejar de considerar otros aportes significativos a
la práctica pedagógica.
Estos trabajos han aportado reflexiones en torno a la enseñanza de la resolución de
problemas. Haciendo un balance general, se citan los siguientes: G. Martínez (1984) sobre
el tránsito de la formación de conceptos matemáticos a la solución de problemas
aritméticos en la escuela primaria; A.F. Labarrere (1987a, 1996) sobre los fundamentos
psicopedagógicos de la enseñanza de la resolución de problemas; L. Campistrous y C.
Rizo (1996, 2001) sobre estrategias, modelación y proceder generalizado en la resolución
de problemas; P. Torres (1993) sobre la enseñanza problémica de la Matemática en el
Nivel Medio; R. Delgado (1999) sobre la estructuración del contenido y el desarrollo de
habilidades generales matemáticas para lograr la eficacia al resolver problemas; M.J.
Llivina (1999) sobre una propuesta metodológica para contribuir al desarrollo de la
capacidad resolver problemas matemáticos; R. Nuñez (1999) sobre la problematización
del contenido en el proceso de formación del Licenciado en Matemáticas; R. Hernández
(2000) sobre una propuesta didáctica para identificar y resolver problemas que requieren
del cálculo de una integral definida o de la derivada de una función real en un punto; A.
Rebollar (2000) sobre una variante para la estructuración del proceso de enseñanza-
aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos a partir de una nueva forma de
organizar el contenido en la escuela media cubana; M.C. Pérez (2001) sobre una
estrategia didáctica para la solución de problemas de Geometría Descriptiva; I. Alonso
(2001) sobre una alternativa didáctica para la resolución de problemas matemáticos
centrada en la representación, entre otros.
Esto nos demuestra que en los últimos años se han incrementado las investigaciones
relacionadas con la resolución de problemas en Cuba. No obstante, se considera que en
este momento es importante propiciar mayores espacios de reflexión entre los docentes de
los diferentes niveles de enseñanza de la cual se derive un trabajo coordinado entre todos
los factores que inciden en la eficacia del tratamiento de los problemas a manera de
sistematizar los resultados de las experiencias investigativas, y así ofrecer nuevas estrategias
didácticas en este campo, que lejos de estar acabado en sí mismo, abre muchas
perspectivas a la investigación; por lo que al igual que otros, se continuará perfeccionando
y enriqueciendo a partir de resultados científicos posteriores.
Por estas razones, si bien se considera que los trabajos relacionados constituyen un punto
de referencia para toda investigación pedagógica que se realiza en nuestro país en este
campo, aun existen aspectos que no han sido abordados o que pueden ser enfocados de
otra forma. En el caso de esta tesis nos referimos a otras líneas de investigación o
estrategias alternativas para enseñar a resolver problemas de Matemática, a la introducción
de nuevos medios de enseñanza y acciones intelectuales, para mejorar el proceso de
enseñanza-aprendizaje y que se pueden concebir a partir de las necesidades o problemas
detectados en la carrera de Agronomía .
A continuación se realiza una valoración crítica de algunos modelos de resolución de
problemas que por su trascendencia constituyen una importante referencia en esta
investigación.
1.5.1 Modelo de G. Polya.
La propuesta de modelo teórico de resolución de problemas de G. Polya, a partir de su
libro “Cómo plantear y resolver problemas” consta de cuatro fases, que se consideran
esenciales para fundamentar algunos puntos de esta investigación. Esto se debe a que
todos los modelos de resolución de problemas derivados a partir de este trabajo, están
estructurados a partir de un fundamento común, las cuatros fases expuestas por este autor,
y que propone los siguientes pasos:
? Aceptar y comprender las condiciones del problema.
? Planificar su solución.
? Llevar a cabo el plan planificado; y
? Comprobar, verificar la solución.
Esta propuesta no indica más que una coincidencia estructural esencialmente formal entre
los distintos modelos de resolución de problemas y apunta a consideraciones básicas
comunes a todos los problemas.
Dichas etapas teóricas a pesar de analizarse independientemente unas de otras, en la
práctica no siempre se presentan tan separadas, lo cual puede depender de las
características del problema. Se tienen problemas en los que comprender su enunciado
está estrechamente vinculado a poder llegar a su solución, a diferencia de otros casos
donde la dificultad consiste en aplicar la estrategia planificada.
Como se deduce, el numero de situaciones que se pueden presentar es difícil de
determinar, la apreciación personal del resolutor influye mucho en el momento de abordar
el problema debido a que los seres humanos tenemos toda nuestra información
conceptualizada en correspondencia a las experiencia vividas, que no es más que los
conocimientos construidos socialmente, por lo que es imposible concebir algo uniforme y
válido para todos, situación que debe tener presente el docente al abordar los problemas
en clases.
Comenzando por la primera fase que es la aceptación y comprensión del enunciado, se
considera está determinada por dificultades a vencer por parte del estudiante tales como:
análisis de los textos, conocimientos teóricos básicos, extracción de ideas principales y
secundarias, organización de la información, etc.
La planificación de la estrategia de solución se expresa en la posibilidad del resolutor de
explorar, buscar información, establecer relaciones, su originalidad y creatividad, entre
otros factores, lo que se continúa con la ejecución de la estrategia planificada, donde se
aplican conocimientos específicos de una disciplina o de diversos campos del
conocimiento.
Con respecto a la cuarta fase: la comprobación y verificación de la solución. Es necesario
revisar todo el proceso de resolución si se quiere que el problema deje una huella
perdurable en el aprendizaje del estudiante, para ello se debe validar si la respuesta
encontrada tiene sentido, coherencia, veracidad, etc. De la misma manera, analizar si la
estrategia seguida es susceptible a transformaciones, si es posible aplicarla en situaciones
análogas y destacar sus pasos esenciales.
Los aspectos tratados sobre estas cuatro fases del modelo de G. Polya nos dan una
concepción general de la habilidad a desarrollar y de los pasos a seguir al abordar un
problema.
Sin embargo, a pesar de la significación de este modelo, comenta L.M. Santos Trigo
(1994, p.18): “En la enseñanza de la Matemática, las ideas de Polya empezaron a
implantarse significativamente alrededor de los ochenta. Las estrategias heurísticas
como dibujar diagramas, buscar submetas, considerar casos particulares, y resolver
problemas más simples, se consideraban como parte esencial en la instrucción
matemática”, y agrega, “los resultados de este tipo de instrucción no mostraron una
diferencia notable en el aprovechamiento matemático de los estudiantes”, pues a
decir de Begle (1979): “Esfuerzos simplistas para mejorar las habilidades de los
estudiantes en la resolución de problemas no serán suficientes” .
Tal como ocurre con otros aspectos temáticos, para lograr la aplicación del modelo de G.
Polya es necesario incorporarlo de forma sistemática a las tareas de resolución de
problemas.
Lo anterior constituye una clara evidencia de que un trabajo dirigido en este sentido se
debe proyectar en la búsqueda de otros modelos y propuestas más actuales para reforzar
la resolución de problemas, se estima además, que el modelo de G. Polya y sus etapas,
están presentes de una forma u otra en modelos posteriores y es susceptible a ser
enriquecido con nuevos elementos, sin perder la vigencia de su propuesta.
1.5.2 Modelo de A.H. Schoenfeld.
El modelo de A.H. Schoenfeld que aparece en el libro “Mathematical Problem Solving”
(1985), y enriquecido en algunos trabajos posteriores de este autor (1991a, 1991b,
presenta el interés de retomar algunas ideas de G. Polya, profundizando en el análisis de la
heurística y considerando las reflexiones que sobre los problemas matemáticos se han
hecho hasta ese momento en campos avanzados de la Computación como la Inteligencia
Artificial y en el de la Teoría Psicológica del Procesamiento de la Información. Desde estos
contextos, incluso introduce el concepto informático de control para seleccionar la
estrategia correcta al resolver un problema.
Como resultado, su trabajo muestra una considerable superación en lo referente a
categorías y otros puntos de vista sobre el tema que nos ocupa.
Es así, que a partir de los resultados de sus investigaciones, A.H. Schoenfeld considera
cuatro dimensiones en el proceso de resolución de problemas:
1) Dominio de conocimientos y recursos: Expresados a través de lo que el sujeto conoce
y la forma de aplicar experiencias y conocimientos ante situaciones de problemas. En el
contexto de la enseñanza, se manifiesta en la posibilidad real de los estudiantes de
utilizar los conocimientos adquiridos en las actividades docentes así como también sus
gestiones para plantear, comprobar y modificar sus acciones y operaciones al
realizar las tareas.
2) Estrategias cognoscitivas: Categoría que contempla el conjunto de estrategias generales
que pueden resultar eficaces para acceder a la solución de un problema. Dentro de la
misma se pueden identificar recursos heurísticos que recopilan también otras
publicaciones sobre este tema y que son usualmente incorporados al abordar
problemas matemáticos (analogía, inducción, generalización, entre otras).
Por lo anterior A.H. Schoenfeld sugiere que las estrategias de resolución de problemas
se enseñen explícitamente, en forma sistemática, con el fin de favorecer el aprendizaje
de los estudiantes.
3) Estrategias metacognitivas: Se caracteriza como la conciencia mental de las estrategias
necesarias para resolver un problema, para planear, monitorear, regular o controlar el
proceso mental de sí mismo. En los trabajos de A.H. Schoenfeld se pueden identificar
además dentro de este punto la tendencia a reflexionar sobre el pensamiento propio,
reconocer problemas, seleccionar estrategias, estar consciente de los recursos
necesarios, ser receptivo a la retroalimentación y evaluar la efectividad de las acciones
propias con el propósito de garantizar la culminación exitosa de la tarea.
4) Sistema de creencias: Esta conformado por las ideas, concepciones o patrones que se
tienen en relación con la Matemática y la naturaleza de esta disciplina. Además, cómo
esta se relaciona o identifica con algunas tendencias en la resolución de problemas. Las
creencias conforman el contexto a través del cual los recursos, las heurísticas y el
control se manifiestan.
Los elementos anteriores caracterizan, según A.H. Schoenfeld, el comportamiento de
resolución de problemas. Por tanto los aspectos básicos de su trabajo se orientan a los
recursos, la heurística y el control (incluyendo su aspecto metacognitivo).
En relación a estos aspectos del modelo, es importante desde el punto de vista teórico y
práctico que se consideren sus categorías cuando se explora en el pensamiento matemático
de los estudiantes, favoreciendo actividades donde se propicien la interpretación y
búsqueda de soluciones a los problemas, a manera de mostrar la experiencia de los hechos
y relaciones matemáticas en una totalidad coherente. Pero también, y esto es fundamental,
ya que no se hace evidente en el modelo, debe quedar manifiesto el carácter social de esta
ciencia.
1.5.3 Modelo de Mason-Burton-Stacey.
La selección del modelo de J. Mason, L. Burton y K. Stacey que aparece publicado en la
obra “Pensar Matemáticamente” (1989) para su análisis valorativo, se fundamenta en las
siguientes razones:
- El tránsito entre las fases de trabajo con el problema no se realiza de forma lineal.
- La resolución de problemas se concibe como un proceso dialéctico, donde las tareas
pueden sufrir altibajos, es decir, se puede avanzar, también retroceder. Esta
característica le otorga singularidad al modelo.
- La persona que resuelve el problema tiene un papel fundamental, ya que sus
características psicológicas son un recurso más a utilizar en el logro de su objetivo.
Además, la concepción del problema es de gran importancia didáctica, lo que se debe a:
- Se le da un enfoque positivo al hecho de no poder avanzar en la resolución del
problema.
- Se le asigna una gran importancia a la fase de revisión, con frecuencia no abordada
con suficiente profundidad.
- Se utiliza el rotulado como recurso para no olvidar, para recordar o destacar algo,
para organizar y estructurar el pensamiento.
- El modelo no se presenta como un planteamiento estructurado sobre la resolución de
problemas, sino que trasciende y analiza lo que constituye el pensamiento y la
experiencia aportada por la Matemática, ilustrando una manera de enfocar la vida al
mismo tiempo que posibilita conocerse uno mismo.
Con estos elementos previos, se puede exponer en qué consiste resolver un problema
según estos autores.
Evidentemente, existen pautas e ideas rectoras que se repiten sea cual sea el modelo. No
obstante, uno de los aportes más estimulantes del que ahora se trata, es que considera la
implicación personal tanto afectiva como cognoscitiva del resolutor al enfrentar el
problema, factores a considerar para favorecer la actividad humana.
El itinerario a transitar desde que se presenta el problema hasta que se llega al final consta
de tres fases con una aparente estructura lineal: abordaje, ataque y revisión.
La fase de abordaje incluye toda actividad encaminada a familiarizarse, comprender e
interiorizar el mensaje que encierra el enunciado. En la misma se aclaran los objetivos y
respuestas que se quieren obtener, además de seleccionar, buscar y repasar ideas y
conocimientos previos que de forma inmediata fluyen a medida que nos introducimos en el
problema. Se recomienda proceder con cautela, sin precipitación (a diferencia de como
frecuentemente se observa que los estudiantes proceden en la práctica).
Esta fase se da por concluida, cuando la persona es capaz de expresar su propio
enunciado, ilustrar gráficamente o representarse la situación del problema.
La fase siguiente, es decir, la de ataque, incluye todos los recursos intelectuales o prácticos
que se activan e interaccionan para resolver un problema, por lo que no presenta una
estructura lineal, su principal regularidad consiste en que en la misma se tratan de
reorganizar, relacionar y combinar las ideas de las fase anterior.
En tercer lugar se ubica la fase de revisión, se le debe prestar gran interés para garantizar la
efectividad de las dos precedentes, ya que una vez concluida la resolución de un problema
se hace indispensable comprobar y valorar críticamente la solución, analizar
cuidadosamente cada paso del proceso, cuestionarse el efecto de cada dato en la
conclusión final, variar algún dato para modificar el resultado, transformar total o
parcialmente el enunciado, generalizar o particularizar y establecer relaciones con otros
problemas tratados.
La ejecución de esta última fase, si se lleva a cabo de la forma sugerida enriquece y
optimiza el proceso de tratamiento de problemas en el aula.
Una vez conocida la estructura “externa” del modelo procedemos a un análisis interno del
mismo, en este aspecto se destaca la recomendación de que el individuo no abandone la
resolución del problema, aunque el control permanente que sugiere arroje resultados
erróneos. Para ello se proponen recursos tales como gráficos, escribir todo el proceso de
reflexión del problema, es decir, los conceptos aplicados, operaciones realizadas, dividir el
problema en otros más sencillos, etc.
Ante tal circunstancia, el resolutor debe poner en función el monitor interior (definido por
sus autores como aquello que desde dentro va guiando hacia la solución o sugiriendo lo
que se debe hacer), este monitor, debe ayudar a mantener el interés por efectuar acciones
más o menos adecuadas que motiven al esfuerzo por conseguir las respuestas.
Sin embargo, cuando se reflexiona sobre el modelo, este tiene puntos concretos como el
de “monitor interior” que puede constituir una dificultad para los estudiantes que no han
desarrollado suficientemente la habilidad resolver problemas, lo que hace difícil adaptarlo
al contexto del aula, por lo que en este caso, se considera más recomendable que el
estudiante al presentar dificultades acuda a un “monitor exterior”, que puede ser el
docente, un compañero de aula, material didáctico, etc., lo que de inicio puede ser un
recurso más efectivo para favorecer la resolución de problemas.
Con lo anterior también se quiere significar que el modelo tiene una concepción muy
enfocada a lo individual, lo que constituye una limitación, ya que en la resolución de
problemas la interacción con otras personas, es decir, lo que podemos percibir o aprender
a través de los demás, es fundamental.
1.5.4 Modelos de resolución de problemas que consideran las diferencias entre
expertos y novatos.
Las diferencias que se establecen entre expertos y novatos al enfrentar los problemas es un
punto de vista ineludible en los trabajos de investigación, por lo que se considera revisar
cuidadosamente este aspecto.
El estudio de las diferencias entre expertos y novatos se incluye en el campo de la
Psicología Cognitiva y tiene su origen en la extensión de los estudios relativos a la
concepción del aprendizaje como procesamiento de información. El fuerte impulso que han
recibido estas investigaciones está relacionado con el desarrollo del diseño de sistemas
informáticos expertos en la solución de problemas específicos (J. Cuena, 1986).
Un aspecto básico del diagnóstico que establecen estos estudios es obviamente que existen
buenos y malos resolutores, o expertos y novatos, así como la valoración de que las
diferencias entre ambos tipos de resolutores se deben a diferente estructuración del
conocimiento. De ahí que se comparan los procesos empleados por ambos grupos en la
resolución de problemas. El objetivo de estas investigaciones es arribar a criterios que
posibiliten a los novatos conocer o acceder a formas de actuación eficientes para mejorar
su desempeño al resolver problemas.
Como se resume de R. Glaser (1984), O.P. Ausubel et al (1991) y C. Klingler y G.
Vadillo (1999), las ideas esenciales que se encuentran en la base de todos los análisis
comparativos entre expertos y novatos son:
- Los novatos observan los componentes de la tarea, mientras que los expertos tienden a
percibir los patrones.
- Los expertos dedican de inicio un tiempo para realizar un análisis del problema, en
tanto el novato comienza inmediatamente la resolución.
- Los expertos son más resueltos al elegir un punto para comenzar la resolución, lo que
indica una mayor atención y comprensión en relación con los novatos.
- Los expertos se concentran más en el problema a resolver y no en los aspectos no
esenciales del mismo.
- La diferencia de conocimientos entre expertos y novatos no esta determinada
solamente por “saber más” sino además por tener mejor organizados los
conocimientos.
- Las habilidades del experto surgen como resultado de la práctica continuada y el
aprendizaje, descartándose, por tanto, la creencia de algunos estudiantes de que son
los factores innatos y las diferencias individuales las que influyen en su aprendizaje.
- Las actitudes de los expertos son más positivas y optimistas por lo que a diferencia de
los novatos tienden a perseverar en la búsqueda de soluciones.
- A medida que aumenta el nivel de complejidad y abstracción de las definiciones y
conceptos, se acentúan las dificultades y diferencias entre expertos y novatos.
- Y otras...
En relación con este modelo, y a pesar de la información que del mismo es posible
obtener, se considera que no se profundiza suficientemente aún en el por qué de las
diferencias entre expertos y novatos al resolver problemas, aunque se pueden tener
criterios al respecto. No obstante, a partir de tales diferencias se infieren recomendaciones
y pasos concretos para acortar la “distancia” entre un tipo de resolutor y otro. Además,
resulta importante acercar a los estudiante a desempeños expertos ya sea a través del
despliegue por parte del profesor de todas las acciones que inciden en la resolución de un
problema o favoreciendo las interacciones con otras personas, propiciando de esta forma
que los estudiantes puedan acceder en algún momento a tal condición.
1.5.5 Modelos algorítmicos de resolución de problemas.
En términos matemáticos, y en las Ciencias en general, se define algoritmo como el
procedimiento que a través de la ejecución de acciones u operaciones secuenciadas
permite resolver ejercicios o problemas de cierto tipo.
Por otra parte, se consideran resueltos un conjunto de problemas standard o tipo cuando
se ha encontrado un algoritmo de solución, búsqueda que además no se excluye de los
propósitos esenciales de la Matemática.
Partiendo de formulaciones análogas a las que se exponen en los modelos de resolución de
problemas basados en el procesamiento de la información (A. Newell y H.A. Simon,
1972), es decir, aquellos que suponen que el funcionamiento del cerebro humano se
puede describir a través de algoritmos matemáticos e incorporarlos en programas
computacionales, desconociendo el componente afectivo, las motivaciones, entre otras
características de los seres humanos, han surgidos modelos de resolución que tratan de
establecer similitudes entre lo que hacen las computadoras cuando procesan la información
y lo que hace la mente humana para enfrentar problemas (R. Chrobak, 1998).
En consecuencia, se admite que de esta forma sólo se enseña a los estudiantes a resolver
problemas que puedan remitirse a algún problema tipo cuya solución se trata previamente,
lo que se corresponde con la teoría del procesamiento de la información en la cual se
enmarca este método. Dada esta premisa la resolución de problemas infiere dos procesos:
recuperar de la memoria la información pertinente y aplicarla de acuerdo a los
requerimientos del problema (R. Good y M. Smith, 1987).
Como se viene señalando, la primera fase consiste en la comprensión del enunciado y
análisis de la situación para entender qué se debe obtener. Esta forma de comenzar la
resolución es análoga para la mayoría de los modelos de resolución e independiente de su
referencia psicológica, como se puede comprobar en este capítulo.
La segunda fase para establecer si es un problema tipo o si existe la posibilidad de
transformarlo en tal, tiene como propósito recuperar desde la memoria un problema
previamente abordado, lo que determina según R.F. Kempa (1986), que el factor
<memoria> predomine con respecto al de <análisis y estrategia> para determinar si se
acierta o no en la resolución del problema. Otros autores también exponen objeciones
desde otros ángulos, señalando:
La conversión sistemática de los problemas en ejercicios tipo limita ejercitar el pensamiento
productivo y la creatividad (R.M. Garret, 1987).
El conocimiento de reglas que conducen directamente a la solución sin que sea necesario
dudar, induce un falso sentido de seguridad en el resolvente que puede derivar en la
incapacidad para enfrentar satisfactoriamente situaciones nuevas (M.J. Frazer y R.J. Sleet
(1982), R.M. Garret et al (1990)).
Desde otro punto de vista N. Krinitski (1988, pp.42-43), atribuye un valor peculiar a los
algoritmos acumulados en Matemática, ya que esta rama penetra en otras ciencias y su
riqueza es el tesoro de todas las ciencias, y argumenta:
Los algoritmos son:
1) una forma de expresar resultados científicos; 2) una guía para la acción al resolver los
problemas ya estudiados, y como consecuencia: 3) un medio que permite economizar el
trabajo intelectual; 4) una etapa necesaria al automatizar la solución de problemas; 5) un
procedimiento (instrumento) que se utiliza para investigar y resolver nuevos problemas
(sobre todo eso se refiere a los algoritmos matemáticos); 6) uno de los medios de
renovación de las matemáticas; 7) uno de los modos para describir procesos complejos.
A la vez se subraya que los algoritmos, siendo una parte importante de cada ciencia, no
agotan su contenido.
Los criterios, muy justificados de los autores consultados permiten se reflexione sobre
este modelo y concluir que la automatización fundamentada en algoritmos no puede
conducir a extremos, hay problemas que no puede resolver un algoritmo. Sin embargo
cuando un estudiante soluciona un problema, incorporando en su desempeño una estrategia
eficiente que puede derivar en un algoritmo para enfrentar otros similares, y reflexiona
cuando esta no puede ser aplicada y debe buscar otros recursos, entonces, se puede
confirmar la validez de su aprendizaje. Además, aplicando algoritmos, pueden resolverse
un número significativo de problemas.
1.5.6 Modelo de resolución de problemas como investigación.
Son múltiples los factores que determinan se analice este modelo. De inicio y a partir de la
clasificación de los problemas se plantea la necesidad de tratar en clases no solamente
problemas cerrados sino además los denominados abiertos, lo que se relaciona de forma
particular con el interés de darle a la Matemática, en cierta medida, un carácter
experimental, que a veces no se tiene presente al impartir esta disciplina. Muy en relación
con el comentario anterior, M. de Guzmán et al (1991, p.129), expresa: “La Matemática
es, en buena medida una ciencia experimental, al hacer experimentos con los datos
del problema te familiarizarás con ellos y más fácilmente se te ocurrirá lo que debes
hacer para resolverlo”.
Estas concepciones conducen a revisar la descripción y fundamentación del modelo de
resolución de problemas como investigación (D. Gil y J. Martínez-Torregrosa, 1983),
incorporado con posterioridad por otros autores.
Se exponen a continuación sus fases principales (D. Gil et al, 1991):
I. Considerar cual puede ser el interés de la situación problémica abordada a partir de
una discusión previa sobre el interés de la misma, que proporcione una concepción
preliminar y favorezca el interés y la motivación hacia la tarea.
II. Comenzar por un estudio cualitativo de la situación, intentando acotar y definir de
manera precisa el problema, explicando las condiciones que se consideran reinantes,
etc.
III. Emisión de hipótesis fundadas sobre los factores de los que puede depender el
resultado buscado y sobre la forma de esta dependencia, imaginando, en particular,
casos límite que den verosimilitud a las soluciones buscadas.
IV. Elaboración de estrategias previas a la resolución que guiarán dicho proceso.
V. Resolución propiamente dicha, verbalizando al máximo, fundamentando lo que se
hace y evitando operativismos carentes de significación..
VI. Contrastación del resultado obtenido, valorando su coherencia interna en relación a
las hipótesis emitidas.
VII. Considerar las perspectivas abiertas por la investigación realizada contemplando,
por ejemplo, el interés de abordar la situación a un nivel de mayor complejidad o
considerando sus implicaciones teóricas (profundización en la comprensión de algún
concepto) o prácticas (posibilidad de aplicaciones técnicas).
Estas fases, como corresponde a un trabajo de orientación científica sobre la resolución de
problemas, no constituyen un rígido procedimiento a seguir (precisan sus autores), lo que
estará en correspondencia, entre otros factores, con los recursos y tiempo disponible, la
preparación adecuada de la actividad por parte del profesor y las características del grupo
de estudiantes a que va dirigida la tarea.
En efecto, a pesar de sus puntos de contacto con la actividad investigativa, no está entre
los objetivos de este modelo reproducir exactamente el comportamiento científico, sino
más bien se trata de propiciar que los estudiantes apliquen procedimientos de probada
eficiencia en la resolución de problemas por los científicos, como son: analizar las
condiciones de la situación hasta llegar al problema preciso, emitir hipótesis, elaborar
estrategias de resolución, entre otras acciones incluidas en la metodología científica.
Otra evidencia a favor de este modelo es que integra con los procedimientos propios,
otros considerados necesarios por diversos modelos desde orientaciones distintas, y esto
no se produce como una fusión de etapas inconexas sino de una estructura coherente y
funcional.
No obstante, a partir del análisis, se pueden hacer algunas consideraciones críticas de este
modelo, que aunque no fue concebido para la Matemática, si tiene características que
establecen formas de trabajo accesibles a cualquier ciencia.
En primer lugar, se alerta de que los procedimientos seleccionados en este modelo se
dirigen más hacia la metodología de la ciencia que a los procesos mediante los cuales se
aprende ciencia. Consecuentemente, es importante al considerar aspectos del mismo el no
limitarse a implementar una serie de técnicas que emplean los científicos (observación,
interpretación, comprobación de hipótesis, etc), sin dejar de mencionar que el trabajo
científico se desarrolla en un contexto más amplio y requiere de un mayor esfuerzo y
dedicación, sin excluir presiones procedentes del medio social, mayor responsabilidad,
recursos, y otras condiciones. Esta visión se debe llevar al alumno.
Sin embargo, se incluyen en el modelo procedimientos útiles a los estudiantes, como buscar
y seleccionar información, comprender textos, organizar conocimientos, etc., que son muy
necesarios y lo orientan al trabajar con los temas del programa y los ejercicios y problemas
que se proponen.
Como resulta posible comprobar, también son ejemplos representativos de modelos de
resolución de problemas, los de J.D. Bransford y B.S. Stein (1988), E.L. Pizzini et al
(1989), O.P. Ausubel et al (1991), A. Rodríguez (1991); R.H. Davis et al (1997) y otros,
consultados para esta investigación.
1.5.7 Aplicabilidad y aportes de los modelos de resolución de problemas a la
experiencia pedagógica.
Se han presentado diversos modelos que enfocan la resolución de problemas desde la
perspectiva de varios autores.
Sin embargo, se observa que sus prescripciones se encaminan a facilitar la resolución de
problemas que no son los que generalmente se abordan en las aulas universitarias. Esto
hace difícil su implementación en el proceso de enseñanza-aprendizaje donde hay una
dinámica entre objetivos-contenidos-proceso y otros factores que conducen a la búsqueda
de recursos más próximos a las condiciones en que se desarrolla nuestra docencia.
No obstante, dentro del contexto teórico de referencia y por encima de la complejidad que
conlleva el estudio de todos estos modelos, no se puede perder de vista su contribución a
la práctica educativa. En efecto, los aspectos que se plantean sobre la temática estudiada
enriquecen su campo conceptual. Desde este ángulo, se expusieron las razones por las que
cada uno de los modelos puede contribuir, en cuestiones específicas, a hacernos entender
el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos y a
mejorar el trabajo docente en general; por estas razones no nos circunscribimos al análisis
de un solo modelo ya que ello significa que nos veamos privados de aclarar aspectos
concretos del trabajo.
Por otra parte, en general en cada modelo se considera la resolución de problemas como
un proceso complejo que implica transitar por una serie de fases, pasos o etapas y aplicar
conocimientos y experiencias para llegar a una solución.
En este sentido, se coincide con L. Campistrous y C. Rizo (1996, pp.62-63), cuando
expresan que: “...el esquema básico de todos los procesos es el de Polya, pero
consideramos que este esquema hay que abrirlo, hay que dar recursos para profundizar en
el significado de cada paso y en el qué hacer para lograr la meta en cada caso”, y añaden,
“Se busca que el alumno deje de ser objeto de enseñanza y pase a ser sujeto de su
aprendizaje, es decir, describir el procedimiento en acciones para el alumno”.
Lo anterior es indicativo de la necesidad de que se conciban investigaciones científicas que
aborden el tratamiento didáctico de los problemas de Matemática en el proceso de
enseñanza-aprendizaje a partir de las necesidades o problemas que se detecten, de manera
de aportar herramientas a profesores y estudiantes que contribuyan a salvar la “distancia”
que existe entre los principios básicos generales de una disciplina y su aplicación a la
resolución de problemas. Desde este punto de vista, los ejemplos que se han citado sobre
las experiencias realizadas por investigadores de diferentes instituciones de nuestro país
constituyen intentos por abrir direcciones en la enseñanza de la resolución de problemas de
Matemática.
1.6 Definición y estructura de la habilidad resolver problemas de Matemática.
La realización de acciones con un propósito determinado es producto del desarrollo social
que van alcanzando las personas a través de su actividad. En este proceso, en la medida
que el hombre adquiere conocimientos teóricos y los lleva a la práctica, llega a dominar la
acción a manera de “saber hacer”, condición indispensable para la realización de cualquier
actividad. A continuación se define la habilidad resolver problemas de Matemática y se
hace una caracterización de la misma.
1.6.1 Hacia una definición y clasificación de la habilidad resolver problemas de
Matemática.
En lo que respecta a las habilidades, estas han sido abordadas en la Ciencias Psicológica y
Pedagógica por diferentes autores: K. Tomaschewski (1966), A.V. Petrosvki (1978),
M.A. Danilov y M.N. Skatkin (1978), G.N. Aleksandrov (1979), G. Arias et al (sin
fecha), N. Talízina (1985), P. Ya. Galperin (1983), G. Fariñas et al (1986), H. Brito et al
(1987), N. Santos (1988), Colectivo de autores (1989), R.M. Avendaño y A.F.
Labarrere (1989), M. López (1990), H. Hernández (1990), O. González (1995), C.
Castillo y F. Barreras (1998), M. Rodríguez et al (1999), C. Samper de Caicedo (1999) y
otros, los cuales coinciden en afirmar que la habilidad es el dominio de un complejo sistema
de acciones psíquicas y prácticas necesarias para la regulación racional de la actividad con
ayuda de los conocimientos y experiencias que la persona posee.
Realmente, en el proceso de enseñanza-aprendizaje, se coincide con J. Zilberstein et al
(1999, p.14), cuando expresan: “Como parte del contenido de la enseñanza, la habilidad
implica el dominio de las formas de la actividad cognoscitiva, práctica y valorativa, es
decir, “el conocimiento en acción” ”.
Ahora bien, sin desconocer el aporte teórico de todos estos trabajos, con el propósito de
precisar, se define en esta tesis a la habilidad resolver problemas de Matemática
como: “proceso que implica la realización de una secuencia o serie de acciones para la
obtención de una respuesta adecuada a una dificultad con intención de resolverla, es decir,
la satisfacción de las exigencias (meta, objetivo) que conducen a la solución del problema
matemático”.
Se considera que esta definición enfatiza el carácter de proceso con que se identifica a
dicha habilidad en este estudio, lo que responde al hecho de descomponerse en diferentes
acciones progresivas que se deben desarrollar integralmente, sucediéndose unas a otras
hasta obtener un resultado (la solución del problema matemático).
En lo que respecta a la clasificación de las habilidades, en la bibliografía consultada se
les consideran desde diversos puntos de vista: prácticas o intelectuales (K. Tomaschewski,
1966), generales o particulares (M. López, 1990), automatizadas y no automatizadas,
conscientes o no conscientes, concretas o abstractas, sólidas o estables o no estables,
materiales y mentales (P. Ya. Galperin, 1974).
Por otra parte, G. Fariñas (1999, p.3), incluye entre otras, a las habilidades relacionadas
con el planteamiento y solución de problemas, en las que denomina, Habilidades
Conformadoras del Desarrollo Personal porque a diferencia de otras habilidades “dan de
forma directa una amplia perspectiva al crecimiento de la personalidad, del yo,
tanto en un sentido cualitativo como cuantitativo, porque le permiten su desarrollo
en una forma constructiva, independiente o autodidácta”.
Sin embargo, lo anterior no implica que la habilidad resolver problemas de Matemática se
ubique en un grupo excluyendo su pertenencia a otro, dada la relatividad de toda
clasificación, determinada por los criterios de que se parte. De esta manera es posible
revelar otras peculiaridades de la habilidad que conduzcan a que se le incluya en otra
clasificación.
1.6.2 Caracterización del sistema de acciones para resolver problemas de
Matemática.
Entre las cuestiones teóricas que se plantean sobre la actividad, nos interesa
particularmente aquella que se refiere al análisis estructural-operacional de la habilidad
resolver problemas de Matemática.
Este interés se relaciona fundamentalmente con el propósito de determinar un sistema de
acciones lo suficientemente generales como para que una vez aplicado a la resolución de
cualquier problema matemático de los que se abordan en el aula, se puedan transferir,
mediante la enseñanza adecuada, a cualquier situación nueva que se presente a los
estudiantes. Por ello, se especifica que en este trabajo cuando se refieren acciones
generales, no quiere decir acciones universales. El carácter general de los acciones es
siempre relativo, ya que se relaciona con aquellos tipos de problemas a cuya solución se
puede acceder mediante la aplicación de tales acciones.
El docente sólo puede indicar ciertas formas de llegar a la solución del problema que en
parte orienten las acciones del estudiante, pero no las determinan completamente. El
resolutor debe mientras resuelve el problema, encontrar y llevar a cabo las acciones que la
situación requiera.
De hecho es imposible conocer o prever todas las operaciones que serán necesarias para
resolver un problema. Para resolver múltiples problemas la cuestión no es simplemente la
de aplicar ciertos conocimientos y medios de acción a una situación concreta, más bien se
trata de aprender lo que aún no se ha aprendido y de descubrir lo desconocido. Además,
las operaciones que implica la resolución de problemas son muy diversas para
presentarlas en una lista completa y definitiva.
Sin embargo, se concuerda con L.N. Landa (1978), cuando expresa que enseñar a actuar
con base en el conocimiento de las acciones facilita y acelera considerablemente el
desarrollo de habilidades, y a un tiempo mejora su calidad. El conocimiento de las
acciones permite controlarlas conscientemente y a voluntad, lo que propicia una
generalización más amplia y rápida de las operaciones. De esta manera, el desarrollo de
una habilidad se manifiesta a través del ajuste de las acciones que el estudiante debe hacer
a las condiciones del objeto.
A partir de estos argumentos, y considerando las fases de los modelos de resolución de
problema y la experiencia adquirida por el autor a través de quince años de labor docente
en la carrera de Agronomía, se formula el siguiente sistema de acciones para estructurar
la habilidad resolver problemas de Matemática (ver gráfico del Anexo 2):
1) Analizar el problema.
2) Generar estrategias de trabajo.
3) Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se considere más
adecuada.
4) Ejecutar o desarrollar la estrategia seleccionada.
5) Evaluar los logros y dificultades durante la ejecución.
En este sistema de acciones, a diferencia de otros modelos de resolución de problemas,
se explicita la acción “valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se
considere más adecuada”, pues se estima que la ejecución de esta acción permite valorar
especialmente el grado en que el proceso de resolución del problema implica una
planificación previa, una reflexión sobre la vía que conduce a la solución del problema y
los medios requeridos para acceder a dicha solución, así como del posible resultado a
lograr.
1.6.2.1 Descripción del sistema de acciones para resolver problemas de
Matemática.
1.- Analizar el problema.
Esta acción se manifiesta desde el momento en que el estudiante enfrenta el problema y
trata de descomponerlo en sus partes integrantes con el objetivo de identificar los datos
que le aporta el enunciado, las relaciones establecidas entre los diferentes componentes de
la situación planteada y, simultáneamente, determinar las interrogantes que debe
responder. Sin embargo, esta actividad analítica se complementa con otra de síntesis en la
cual se logra una restructuración consciente de la situación que se desea resolver. De
conformidad con esta acepción, M. Heller (1998, p.84), considera que a través de la
síntesis “el individuo estructura situaciones por sí mismo, va más allá de la
información que le brinda el medio organizándola e integrándola con sus
necesidades e intereses”, estas características no son exclusivas del pensamiento
matemático, sino que se hacen presentes en todas las formas de pensar, de aquí que sean
importantes para la formación del futuro profesional.
Ante esta situación, cuando a los estudiantes se les presentan problemas, el lenguaje es
utilizado como un medio para transmitir las instrucciones que preceden el objetivo a lograr,
esta información es dada en forma verbal o escrita, pero es usual combinarla o reforzarla
con la incorporación del recurso visual (gráfica, tablas, diagramas, etc.), que contribuye a
que los estudiantes ganen claridad en la comprensión del problema. Estos recursos
pueden ser ilustrados por el profesor, por los estudiantes o considerarse parte del
problema.
“La comprensión del problema es la primera condición, necesaria pero no suficiente,
para resolver problemas. Comprender el enunciado solamente posibilita formularse
el problema” (J.M. Sánchez, 1995, p.38) y asegura este autor que la forma en que un
problema se describe inicialmente es vital para determinar si la resolución del mismo será
fácil o difícil.
En este proceso se manifiesta y aplica toda la experiencia acerca de los objetos externos,
lo cual posibilita el manejo de los datos añadiendo nuevas ideas acerca de su composición,
relaciones, orígenes, etc.
Por otra parte, profundizando en cómo se analizan los problemas, se observa que se
requiere que el estudiante exceda el límite de la dependencia directa con respecto a los
materiales didácticos (aquellos capaces de traducir o sugerir ideas matemáticas) para
analizar un problema, lo que implica: un análisis estructural para determinar el contenido
objetivo del problema (magnitudes, variables, objetos, etc), un análisis cualitativo para
examinar las características o condiciones del problema y las relaciones entre las
magnitudes, y también, un análisis operacional para considerar los pasos, acciones u
operaciones que se deben ejecutar para solucionar el problema. Esto no significa que se
tenga que clasificar cada tipo de análisis, pues en este proceso se integran estas tres
direcciones de la actividad analítica. Lo importante es establecer relaciones coherentes
entre las mismas a manera de identificar los elementos estructurales del problema, las
causas y efectos de la situación del problema y los principios y conceptos que se deben
incorporar para resolverlo.
2.- Generar estrategias de trabajo.
Esta acción consiste en que el alumno se plantee una visión general del procedimiento o
procedimientos que conduzcan a la solución del problema, es decir, planifique una
estrategia directriz para evitar el proceder de modo prematuro sin disponer de un plan
para obtener la solución.
Se refiere a la lógica utilizada por el estudiante para inferir unos conocimientos a partir de
otros. Este proceso consiste esencialmente en dos formas de razonamiento mediante las
cuales se pasa de un conocimiento general al conocimiento de casos particulares
(deducción) o a partir del estudio de casos particulares se llega a determinadas
generalizaciones (inducción); especialmente se asocian con valorar la posibilidad del
estudiante para relacionar la información en el interior de las diferentes áreas de
conocimiento específico que integran el programa de estudio. Una hipótesis todavía muy
necesitada de futuros estudios, hace meditar que los procesos inferenciales (de
conexiones) del estudiante dependen fundamentalmente de sus esquemas mentales previos
a través de los cuales, se supone, instrumentan y desarrollan sus capacidades académicas
(A.A. Smirnov et al (1961), R. Glaser (1984), N.B Songer and M.C Linn (1991), O.P.
Ausubel et al (1991)).
Los aspectos señalados, de una manera u otra, se relacionan con el proceso de resolución
de problemas y nos hacen recurrir a las distinciones tradicionales entre los pensamientos
(razonamientos) inductivo y deductivo.
Definido en términos de habilidades para resolver problemas el pensamiento inductivo
señala la aptitud para descubrir leyes y principios en los que a partir de unos datos o
situación particular hay que inferir la ley o principio general que los rige.
El pensamiento deductivo indica la aptitud para llegar a conclusiones procediendo de lo
universal a lo particular.
La inducción agrega a la síntesis la convicción de que los hechos o fenómenos que ocurran
en el futuro serán iguales a los que ya hemos observado.
En términos generales se puede decir que el método debe ser inductivo y deductivo, toda
deducción se funda casi siempre en proposiciones obtenidas mediante la inducción, y la
inducción viene a ser una deducción hecha para verificar las hipótesis.
Existen otras estrategias que intervienen en la resolución de problemas y, de una manera
general, probablemente constituyen una mezcla de inducción y deducción con otras
estrategias como las heurísticas que “...constituyen el método principal para buscar los
medios matemáticos concretos que se necesitan para resolver un problema. Por
tanto se llaman también estrategias de búsqueda” (H. Müller (1987, p.22). La
heurística en este contexto se refiere a la forma novedosa de incorporar estrategias y
conocimientos en la resolución de los problemas.
El análisis de estos factores por el docente determina en que medida debe orientar al
alumno con vistas a mejorar su desempeño para generar estrategias de trabajo.
Para valorar este desempeño a partir de las tareas (problemas) propuestos en clases, se
establecen tres niveles básicos en función de los cuales caracterizar la generación de
estrategias de trabajo: un primer nivel, caracterizado por trabajar con datos presentes en el
problema y de escasa carga conceptual, prescindiendo de cualquier proceso inferencial,
para su activación o asimilación, un nivel intermedio, en el que el estudiante opera con
datos ausentes, de cierta complejidad conceptual y trata de organizarlos y analizarlos
mediante razonamientos lógicos y, por último, un tercer nivel en el que, tras haber
analizado la información, ésta es integrada en conceptos, principios o estrategias generales
que van más allá de los problemas concretos previamente abordados en clases.
La necesidad de esta estrategia se debe expresar en la conciencia de que el proceso de
resolución de un problema requiere siempre de un conjunto de pasos, que deben
precisarse, antes de lanzarse a su solución.
El desarrollo y perfeccionamiento de esta acción es una tarea cada vez más importante y
urgente, ya que en ella radica la base sobre la cual deberá construir su futuro el “alumno de
hoy”.
3.- Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se considere
más adecuada.
El pronosticar sobre las consecuencias de una forma específica de proceder para resolver
un problema y posteriormente observar su cumplimiento, es también una acción mental.
Supone la capacidad de pensar antes de actuar, de predecir cómo será la acción o
ejecución y habitúa al estudiante a realizar esta “práctica cognitiva previa” con mayor
eficacia.
Al seleccionar entre varias estrategias “la mejor opción” se debe tener en cuenta que esta
es una acción que conduce al estudiante del modo más ventajoso a la solución de un
problema. Esta es una situación básica a la que se enfrenta el estudiante al resolver un
problema y que se interpreta en términos de resultados, lo cual significa adelantarse a los
mismos con el propósito de planificar las acciones adecuadas.
Resulta interesante elaborar y desarrollar la estrategia conveniente para resolver el
problema a partir de lo previamente diseñado. Sin la comprensión previa la práctica
carece de sentido, pero tampoco lo tiene la habilidad o procedimiento que no pueda ser
contrastado con una aplicación real, es decir, construir sobre lo que se conoce. De esta
forma se generan expectativas, se supone y anticipa, se profundiza a mayor nivel y se
producen múltiples posibilidades de reproducir, transformar, predecir, anticipar,
conjeturar, hipotetizar, etc.
Según criterio del investigador, con esta acción debe quedar definitivamente elaborado el
modelo matemático reconocido teóricamente en la tarea. En lo que sigue se aplican las
restantes acciones formuladas hasta llegar a conclusiones que interpretamos como
información acerca del mundo real, de esta forma se obtienen explicaciones o predicciones
sobre el objeto de estudio.
4.- Ejecutar o desarrollar la estrategia seleccionada.
Una vez planificadas las acciones a realizar para solucionar el problema y valoradas sus
posibles consecuencias, el paso siguiente consiste en la ejecución del plan, pues ninguna
idea, planteamiento o estrategia será definitivamente válida si el sujeto no es capaz de
desarrollarla en su totalidad y por consiguiente llevarla a la práctica.
La ejecución consiste en la aplicación sistemática de las operaciones y los medios de
trabajo previstos para solucionar el problema.
Su desarrollo supone el dominio eficiente de modelos, estrategias y procedimientos de
resolución de problemas, que permiten realizar acciones progresivas que conducen a un
resultado, la solución del problema.
De esta forma, describe A.F. Labarrere (1988, p.7): “La ejecución de la solución no es
una simple reproducción de la vía concebida, sino un verdadero proceso, donde la
inmensa mayoría de las veces, el alumno asimila nuevos conocimientos acerca del
problema que resuelve, que pueden llegar incluso a modificar el curso de la solución,
a alterarlo respecto al plan concebido, en el sentido de ajustarlo a las nuevas
condiciones y datos del problema que el alumno va revelando”.
5.- Evaluar los logros y dificultades durante la ejecución.
Esta acción consiste en ir valorando los aciertos y deficiencias a través de todo el proceso
de resolución del problema matemático de manera de realizar los ajustes necesarios que
posibiliten la correcta solución del mismo.
Una de las recomendaciones más importantes que la didáctica de resolución de problemas
está proponiendo en los últimos años es la de favorecer el metaaprendizaje, es decir, la
reflexión de los estudiantes sobre su propio proceso de aprendizaje (C. Klingler y
G.Vadillo (1999), M. Rodríguez et al (1999)).
Reconociendo que la metacognición tiene su antecedente en la escuela del enfoque
histórico cultural de L.S. Vigostky, las autoras C. Klingler y G.Vadillo (1999, p.85), la
definen en general como: “la conciencia mental y regulación del pensamiento propio,
incluyendo la actividad mental de los tipos cognitivo, afectivo y psicomotor”.
Dos características se pueden atribuir a la metacognición a partir del trabajo de estas
autoras, una alude a su contenido, la otra a su función. En primer lugar, la metacognición
es un proceso relacionado con el conocimiento que puede alcanzar el sujeto de sus
propios procesos mentales, en segundo lugar, el hecho de poder acceder a sus propios
procesos cognitivos le permite un mejor control de su actividad. Esta doble acepción del
término se señala en toda la bibliografía consultada al respecto. No obstante han surgido
distintas líneas de investigación que atribuyen nuevos matices a ese concepto.
Al margen de las grandes interrogantes todavía pendientes en torno a esta acción, P.A.
Alexander y J.E. Judy (1988), proponen que: evaluar al metaconocimiento del estudiante
implica aclarar el nivel de conocimientos que este posee acerca del funcionamiento de su
propio sistema cognitivo en tres cuestiones básicas: a) la conciencia de la complejidad de
los problemas con que se enfrenta en su estudio así como los pasos fundamentales que
serán necesarios para resolverlos <variables de tarea>; b) el nivel de conocimientos que se
tiene sobre el grado en que va consiguiendo sus metas paso a paso, es decir, a través de la
selección y utilización de estrategias, así como la eficacia de las mismas en relación con los
niveles de logro implicados en la consecución de tales metas (facilidad, dificultad, medidas
remediales, algoritmos, heurísticos, estrategias, etc.) <variables estratégicas>, y, por
último; c) el autocontrol sobre la marcha de las diferentes estrategias que está aplicando
con el propósito del éxito final, y de su actividad interior <variables personales>.
La metacognición, en definitiva, dirige la conciencia del aprendiz en cuanto a regular su
propia actividad.
A lo largo de la descripción presentada, es fácil constatar que el objetivo de las acciones
en la resolución de problemas (léase: analizar-generar-valorar-ejecutar-evaluar) es siempre
transformar una situación inicial (dada por el problema) en una situación final (lo que se
busca, resultado, tesis).
1.7 Algunas consideraciones acerca de la resolución de problemas de Matemática
como proceso cognoscitivo.
Es necesario destacar las relaciones que se establecen entre las acciones del pensamiento
como elemento clave para la resolución de cualquier problema matemático. Es así que
cuando se hace referencia al carácter de proceso de la resolución de problemas, se alude a
la actividad mental, es decir, a la forma peculiar en que las acciones básicas del
pensamiento del alumno se manifiestan, a cómo se estructuran e inteactúan dinámicamente
entre sí. Las acciones del pensamiento en su interacción, determinan el mecanismo principal
de solución de cualquier problema (A.F. Labarrere, 1987).
Es por esto que en la enseñanza de la resolución de problemas de Matemática no sólo se
debe atender la comprensión y aplicación de los conceptos implicados durante el proceso
de resolución, sino además a las acciones del pensamiento. Esta relación se manifiesta a
través de una doble subordinación. Por una parte, la asimilación y aplicación de los
contenidos constituye una condición necesaria para la formación de las habilidades y a su
vez estos contenidos se adquieren o consolidan en el propio proceso de desarrollo de las
habilidades.
De esta manera, para apropiarse conceptualmente del conocimiento matemático y
aplicarlo adecuadamente a la resolución de problemas se requiere; primero, la actividad del
sujeto y segundo, un proceso de reflexión de éste sujeto sobre su propia actividad. Desde
esta concepción se pretende llevar al aula el verdadero proceso de crear matemáticas.
Diferentes autores e investigadores han abordado la reflexión como un rasgo fundamental
del pensamiento teórico y metodológico. En Cuba el tema ha sido tratado por P. Urquijo
(1991), A. González (1997), J. Zilberstein et al (1999), V. Canfux (2001), y otros. En el
ámbito internacional, por autores como: A.V. Zajarova y M.E. Botsmanova (1987),
Mason-Burton-Stacey (1989), M.V. Tríanes et al (1992), J.M. Cooper (1993), D.
Perkins (1994), M. Sánchez (1995), G.L.Morrisey (1996), R.S. Nikerson (1998), R.
Gallego Badillo (1999), y otros.
A pesar de que se relacionan teóricos de distintas extracciones, se plantean en sus trabajos
algunos puntos de similitud, todos consideran la reflexión como una herramienta básica
para explorar la realidad, explicarla, predecirla y actuar en ella.
A partir de este marco de referencias, se adoptan algunos criterios importantes para la
investigación. Dentro de ellos, P. Urquijo (1991, pp.15-16), define la reflexión como “una
acción que permite la comprensión e interpretación por el hombre de sus acciones,
para esclarecer su génesis, y añade, dentro de los límites del pensamiento científico-
teórico, esta génesis constituye las relaciones esenciales entre los objetos, sobre cuya
base forman y resuelven problemas de algún tipo. El conocimiento del hombre del
tipo de problema resuelto puede ser el indicador de que él interpreta su actuación y
comprende lo que no es casual, porque es esencial”.
Desde el punto de vista del docente que propicia la reflexión del alumno, V. Canfux
(2001, p.9), expresa: “...el profesor debe enseñar al alumno a actuar
“estratégicamente” ante una actividad de enseñanza-aprendizaje, esto implica
enseñarlos a reflexionar y analizar las operaciones mentales que deben realizar y las
decisiones que tomarán y a su vez que el profesor reflexione sobre su manera de
enseñar”.
Por otra parte, J. Zilberstein et al (1999, p.19), destacan la implicación reflexiva del
alumno en la búsqueda del conocimiento cuando afirman: “La solución y/o planteamiento
de problemas, la formulación de hipótesis y la elaboración de preguntas deben
provocar que en la búsqueda del conocimiento se entrene el pensamiento reflexivo,
no sólo la memoria sino el razonamiento, la búsqueda de las causas, las relaciones y
las consecuencias”.
Visto de estas formas, en la actividad intelectual del hombre la reflexión cumple una función
muy importante: regula el proceso de resolución de los problemas a través del
planteamiento y sustitución de hipótesis, el control y valoración del proceso y el resultado.
Por estas razones, en la literatura consultada se asocian a la reflexión operaciones tales
como modelar, controlar, valorar y verbalizar.
Los criterios de estos especialistas abren direcciones sobre las formas de proceder
reflexivamente en el proceso de enseñanza-aprendizaje, por lo que tienen implicaciones
muy amplias, no sólo para enfrentarse a problemas matemáticos, sino mucho más
generales, ya que el desarrollo de cada estudiante depende significativamente de cómo
enfrente los problemas y cómo reflexione sobre esa experiencia.
1.8 Conclusiones.
A modo de síntesis se presentan las conclusiones de la exposición anterior en los siguientes
puntos:
- A través de la importancia que se le concede a la resolución de problemas
matemáticos para la formación básica del profesional agrícola en los Programas de la
Disciplina Matemática para la carrera de Agronomía y el creciente interés de
educadores e investigadores por el estudio del proceso de resolución de problemas, se
pudo constatar la importancia y actualidad del tema que se aborda en esta tesis.
- La potencialidad del marco conceptual aportado por el Enfoque Histórico-Cultural nos
ha permitido sustentar los lineamientos y acciones educativas que se promueven en este
trabajo para favorecer el desempeño de los estudiantes al resolver problemas de
Matemática.
- Se elabora una definición de problema a manera de aprovechar su potencial intelectual,
práctico y educativo, teniendo en cuenta tres elementos distintivos de las situaciones de
aprendizaje sustentadas en la resolución de problemas de Matemática: la motivación
del estudiante, las características de las situación del problema y las acciones
conducentes a la solución.
- El análisis crítico de los modelos de resolución de problemas posibilitó que se
establecieran un conjunto de consideraciones teóricas para caracterizar y estructurar la
habilidad resolver problemas de Matemática.
- El sistema de acciones para resolver problemas matemáticos que se propone (léase:
analizar-generar-valorar-ejecutar-evaluar), constituye una vía para conducir el proceso
de enseñar y aprender a resolver problemas de Matemática.
- El proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas de Matemática,
constituye un campo de operaciones privilegiado para la tarea de desarrollar formas
de pensamiento eficaces, a manera de que los educandos desarrollen procedimientos
generales de razonamiento y aprendan a pensar en un nivel productivo-aplicativo; a
reflexionar frente a los problemas.
CAPÍTULO 2.
ESTRUCTURACIÓN DE LA EXPERIENCIA PEDAGÓGICA.
En este capítulo se presenta la estructuración y organización de la experiencia pedagógica
a partir de los objetivos propuestos para promover el desarrollo de la habilidad resolver
problemas de Matemática. El enfoque metodológico que se propone en las páginas
siguientes se considera esencial para lograr una experiencia transformadora en el aula.
En correspondencia con el problema de la presente investigación, que expresa:
¿Cómo contribuir a desarrollar en los estudiantes la habilidad resolver problemas
matemáticos aplicando los contenidos del Cálculo diferencial e Integral correspondientes a
la carrera de Agronomía?.
Se plantea la siguiente hipótesis:
Es posible favorecer en los estudiantes el desarrollo de las acciones correspondientes a la
habilidad resolver problemas de Matemática aplicando los contenidos del Cálculo
Diferencial e Integral para la Carrera de Agronomía, a través de la estructuración y
aplicación de una experiencia pedagógica sustentada en el enfoque histórico cultural.
Definiciones conceptuales:
Habilidad resolver problemas de matemática: Proceso que implica la realización de
una secuencia o serie de acciones para la obtención de una respuesta adecuada a una
dificultad con intención de resolverla, es decir, la satisfacción de las exigencias (meta,
objetivo) que conducen a la solución del problema matemático.
Experiencia pedagógica: Conjunto de acciones coordinadas entre el profesor y los
estudiantes que se realizan en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de
problemas para conseguir una finalidad, contribuir al desarrollo de la habilidad resolver
problemas de Matemática.
En el logro de esta meta influyen tres factores esenciales: acciones del profesor (para
enseñar), acciones de los estudiantes (para aprender y desarrollarse personal y
socialmente), y, la interrelación profesor-acciones-estudiantes. De ahí que estas acciones
no se pueden implementar de forma desordenada, se requiere determinada organización y
un tránsito gradual por determinadas fases planificadas cronológicamente en relación con
las acciones educativas.
El experimento pedagógico de tipo cuasiexperimental se realizó en la variante de series de
tiempo, modalidad de caso o grupo único donde se refieren aquellas situaciones en las que
varias mediciones u observaciones se han obtenido antes y después de aplicar
determinado tratamiento a un grupo (M.P. Colás y L. Buendía, 1992, pp.120-124).
El trabajo experimental se inició como experiencia piloto durante el curso 1993-94, la
experimentación rigurosa y la toma de los datos utilizados para extraer conclusiones se
realizó durante los cursos 1994-95, 1995-96, 1996-97 y 1997-98 (en estos cursos estuvo
vigente el Plan de Estudio C). Posteriormente, con la aplicación del Plan de Estudio C´, se
repitió la experiencia en el curso 1999-2000.
La población que formó parte de esta experiencia pedagógica se conformó con los
estudiantes matriculados en el Primer Año de la carrera de Agronomía en la Universidad
de Matanzas “Camilo Cienfuegos” durante cinco cursos, integrada en su totalidad por 119
estudiantes de los cuales 63 son hembras y 56 son varones. Estos últimos representan el
54%; 34%; 45,65%, 55,55% y 51,85% respectivamente en cada grupo. Otros datos de
interés como el índice de ingreso y centro de procedencia de estos alumnos se reportan en
el Anexo 3 del trabajo.
Por la incidencia que tienen en el proceso de enseñanza-aprendizaje se consideraron
además algunas características de esta población según datos aportados en las reuniones
de colectivo de año y otros tomados de entrevistas directas a los estudiantes o consultados
en el expediente escolar. Es importante en este sentido que:
- El 42,85% de los estudiantes que ingresaron a la carrera a través del escalafón no la
solicitaron en primera opción.
- El 30,52% expresó no sentirse motivados por el estudio de la carrera y un 26,89 %
planteó dudas al respecto.
- El 43,69% manifestó sentir poca disposición por el estudio de la Matemática,
argumentando, entre otras razones, que no la aplicaban suficientemente en problemas y
situaciones prácticas.
- El 33,61% planteó que al concluir el curso tenían previsto cambiarse a otra carrera.
Los alumnos conocieron desde el comienzo las metas hacia las cuales se debían dirigir. Se
les hizo saber por tanto, los objetivos de la investigación y las características del
experimento, a fin de que pudieran involucrarse tanto cognoscitiva como afectivamente en
el proyecto y valorar su desempeño escolar.
2.1 La necesidad de una propuesta pedagógica para enseñar a resolver problemas
de Matemática: la visión del profesorado como participe de un problema
común.
A partir del análisis valorativo del capítulo anterior se estudió la posibilidad de un
replanteamiento en la forma de abordar la resolución de problemas en la enseñanza de la
Matemática.
Se consideró pertinente conocer los criterios de un grupo de profesores de Matemática y
obtener de esta forma una visión del tratamiento didáctico a los problemas en el aula.
Así, se trata de que los docentes expresaran a través de una encuesta sus criterios sobre
las dificultades más frecuentes que presentan los estudiantes al resolver problemas
matemáticos. Con este propósito se confeccionó la guía para el análisis de las opiniones de
los docentes que se reporta en el Anexo 4.A.
La muestra se conformó con 56 profesores de Matemática de los cuales 16 trabajan en la
Enseñanza Media, 2 de ellos, es decir el 12,5% tiene menos de 5 años de experiencia
docente y el resto más de 10 años, lo que representa un 87,5%. En el caso de los 40
restantes que trabajan en la Enseñanza Superior, 2 tienen menos de 5 años de experiencia,
12 entre 10 y 15 años y 26 más de 15, lo que representa un 5%, 30% y 65%
respectivamente. En todos los casos ha existido contacto directo, previo a la respuesta,
del investigador con los encuestados.
Para obtener información, se solicitó a los docentes responder la siguiente pregunta: ¿A
qué atribuye usted las dificultades en la resolución de problemas matemáticos?.
Para facilitar el análisis de las respuestas de los profesores, la encuesta contiene items a
valorar dicotómicamente (excepto en el punto 1), para evitar así posibles ambigüedades,
aunque se previó un espacio para que los docentes expresaran en los apartados 2 y 3
otros criterios que consideraran pertinentes. Desde las particularidades de la situación
expuesta, esos items debían indagar sobre:
- La responsabilidad en las dificultades en la resolución de problemas de Matemática.
- Causas relacionadas con la concepción del problema. Serían las relativas al carácter
excesivamente directivo de los enunciados, la insuficiente utilización del pensamiento
productivo, la explicación de estrategias antes o durante la resolución o las referidas a
la contrastación de resultados.
- Causas no relacionadas con la concepción del problema. Serían las relacionadas con
deficiencias en los conocimientos teóricos generales de los estudiantes.
Como inicio de los comentarios a los criterios de los docentes que se reportan en el
Anexo 4.B, es relevante que entre los dos colectivos encuestados, únicamente un profesor
haya considerado que en su opinión, no existen dificultades en la resolución de problemas
de Matemática.
El 87,5% y 95% de los profesores de los niveles medio y superior, opinaron que las
dificultades se debían a deficiencias del alumnado y solo tres docentes (el 5,35%)
consideraron su responsabilidad de forma definitiva, lo que al parecer indica que no se
cuestionan la didáctica empleada. No obstante, del conjunto de sus respuestas se deduce
la necesidad y el interés por la aplicación de una metodología eficaz, lo que hace suponer
indicios de insatisfacción con respecto a la forma en que se realiza dicho proceso
habitualmente.
Respecto a los items 2 (a, b, c, d), los profesores consideran que una resolución
mecánica-memorística es la causa de las dificultades en la resolución de problemas de
Matemática, lo que pone de manifiesto una preocupación por cómo resuelven éstos los
estudiantes, pero no por el tratamiento didáctico que puede estar incidiendo en este
problema.
Sin embargo, si los profesores consideran que la forma de abordar los problemas en
clases no estaba influyendo en las dificultades de los estudiantes al resolver problemas, es
una apreciación que no se vio favorecida por los porcentajes (45% y 37,5%), con que
ambos colectivos de docentes respectivamente valoró la metodología de presentación de
los problemas de poco atractiva (item 3.d), criterio que por demás puede tener
implicaciones en la motivación de los alumnos hacia la resolución de problemas de
Matemática.
Es interesante destacar, que más de la mitad de los profesores expresaron que no se
insiste suficientemente en el análisis del resultado de los problemas. En consecuencia, no se
enseña habitualmente al estudiante a dudar del resultado, además de ser un indicio de que
muchas veces se muestra al estudiante la resolución como un proceso lineal, seguro, en el
que no se precisa dudar. Esto puede ser también un indicador de que los problemas no se
presentan como tales, sino como ejercicios de aplicación cuyo proceso de resolución
resulta familiar.
En correspondencia con lo anterior en los items 3 (a, b, c), las respuestas más
generalizadas entre los encuestados indican otras causas atribuidas a los estudiantes:
deficiente manejo de los aspectos teóricos, dificultades con la comprensión de los
enunciados, entre otras.
Dentro de este mismo punto, en el item 3. e) donde se indaga sobre otros criterios que
pudieran tener los profesores, estos expresaron preocupación por el tiempo destinado a
las actividades docentes para resolver problemas, lo que también se relacionó con la
frecuencia de ejecuciones que requiere el desarrollo de otras habilidades previstas en los
programas de estudio.
Otro aspecto que merece ser discutido con posterioridad y que aparece de manera
implícita o explícita en las opiniones de los docentes es si se deben incorporar desde el
inicio del tratamiento de los temas los problemas en clases o si por el contrario, estos se
deben ubicar al final.
Sobre la base de estas opiniones y del análisis realizado en el marco teórico y contextual
se sustentan muchas de las decisiones adoptadas en este trabajo científico.
2.2 Características de los componentes de la experiencia pedagógica y sus
funciones en el proceso de resolución de problemas de Matemática.
Para la aplicación concreta de la experiencia pedagógica se hizo necesario introducir
cambios en la implementación de los programas de las asignaturas Matemática I y II de
modo de “insertar” adecuadamente la experiencia en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la Matemática para ingenieros agrónomos. Así, es válido suponer que estos
cambios debían operar compatiblemente con todos los elementos implicados en el
proceso docente-educativo, pero al mismo tiempo conllevarían una transformación en el
trabajo metodológico de cada una de la asignaturas.
Los cambios abarcaron decisiones básicas tales como: la reformulación de algunos
objetivos del programa sobre la base de la habilidad a formar, la introducción de nuevas
formas de organización de la enseñanza con la consecuente redistribución del tiempo
asignado a cada una de ellas, la organización por fases del proceso de asimilación, la
incorporación de tareas vinculadas al objeto de conocimiento, la evaluación continúa tanto
cualitativa como cualitativa, etc. Todo ello por supuesto condicionó los métodos y medios
de enseñanza adecuados a cada situación de aprendizaje.
Por último, pero no menos importante, fue que el estudiante aprendiera otras formas de
actuar en las clases de Matemática, sobre todo en las que tenía que resolver problemas,
que organizara sus propias actividades escolares, que participara en el trabajo grupal,
etc., para de esta forma garantizar su aprendizaje. Para ello se debían ir desarrollando
actitudes favorables hacia esta forma de aprender.
Trabajar con esta concepción exigió por una parte que se considerara vital la acción del
sujeto que aprende, y por otra, la función del docente, es decir, su acción en relación con
la del alumno a través de actividades y tareas. De forma que, en el trabajo en el aula, la
función del docente como orientador del desarrollo del proceso de aprendizaje se
mantuvo, pero con otras opciones diferentes o adecuadas a cada situación de aprendizaje.
Esto significó una serie de acciones metodológicas, de orientaciones y ayudas concretas
para plantear y resolver los problemas de Matemática, entre las que son fundamentales
aquellas que favorecen la emisión de preguntas, el planteamiento de hipótesis, la aplicación
de lo aprendido, los debates en grupo, el pensamiento reflexivo, etc. Estas acciones
metodológicas caracterizadas por el trabajo interactivo entre el docente y el grupo de
alumnos se mantuvieron abiertas durante el transcurso de la experiencia pedagógica.
De esta manera, se asignan a la actuación del estudiante y del profesor papeles diferentes,
pero complementarios e importantes en ambos casos.
En cuanto a la descripción de los componentes y acciones metodológicas que se
establecen a través de esta experiencia pedagógica, en la bibliografía especializada en la
planificación de proyectos o programas didácticos (R. Kaufman (1973), R. Davis et al
(1997) y otros), es usual que se identifiquen un conjunto de recomendaciones,
características y principios que deben reunir los modelos de enseñanza-aprendizaje. Por
consiguiente, se organiza este apartado siguiendo las indicaciones del modelo de
intervención pedagógica propuesto por N. Talízina (1985), cuya concepción responde al
enfoque histórico cultural y de la actividad y se corresponde con los principios teóricos y
metodológicos en los que se sustenta la escuela superior cubana.
En este modelo educativo, en la selección de los diversos componentes se consideran las
relaciones causales más relevantes que se dan entre estos de manera de formar la red de
interacciones que posibilita su funcionamiento y el logro de los objetivos propuestos.
Es por ello que la experiencia pedagógica que se presenta en esta tesis incluye entre sus
componentes: objetivos, contenidos, métodos, tareas, medios, formas y evaluación.
Esto sin obviar otros elementos cognoscitivos y educativos que se manifiestan en el
proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas de Matemática.
Desde luego, lo anterior no implica que se siga estrictamente el orden de presentación de
estos componentes, ni que no se introduzcan nuevos elementos, se trata solamente de
considerar algunas indicaciones en relación con el enfoque metodológico que se sigue en
esta investigación. Además, se incorporan alternativas conceptuales de otros autores
cuyos trabajos se relacionan en alguna medida con el de N. Talízina.
En efecto, conseguir la finalidad de la investigación está determinado por la calidad e
interdependencia con que se logren implementar en la práctica todos estos elementos
(objetivos, contenidos, métodos, formas, tareas, medios de enseñanza, orientaciones y
recomendaciones didácticas, evaluación), al realizar actividades de diversa índole.
En este caso los elementos considerados tienen un carácter especial, ya que no se puede
estudiar ningún aspecto de la práctica educativa sin considerar una de sus categorías con
independencia de las demás.
Así, los objetivos determinan el contenido de la enseñanza y constituyen un criterio
importante para valorar los resultados del trabajo. No obstante, el contenido no tiene
carácter pasivo ante el objetivo, pues de él parten impulsos retroactivos que enriquecen la
determinación y cumplimiento de los objetivos.
Los objetivos, los contenidos y las condiciones de realización del proceso docente-
educativo determinan a su vez los métodos, las tareas y las formas de organización del
proceso de enseñanza, lo que también lleva implícito, la elaboración y utilización de otros
recursos y medios.
La funcionalidad del diseño de la experiencia se sustenta en considerar todas las
interacciones posibles entre sus componentes y organizarlas para que funcionen de forma
coherente.
Así pues, la descripción que sigue corresponde a una necesidad analítica, de ningún modo
hay que entender que estos componentes pueden incorporarse por separado en el
proceso de enseñanza-aprendizaje, todos ellos se integran en la actividad docente de
forma coherente.
2.2.1 Objetivos.
El objetivo constituye la meta o propósito previamente planificado que se desea alcanzar
durante el desarrollo de esta experiencia pedagógica.
En la formulación de los objetivos se tuvo en cuenta su correspondencia con el objetivo
general de la investigación. Además, se consideraron otras características en su
elaboración, entre estas se señalan:
- Se definen y formulan como tareas concretas del estudiante que orientan la selección e
integración de los contenidos.
- Su contribución a otros objetivos del primer año de la carrera de Agronomía, de la
propia disciplina Matemática y del perfil profesional, según se indica en el Programa
de las Asignaturas Matemática I y II.
- A partir del objetivo general se definen objetivos específicos para cada uno de los
programas de las asignaturas Matemática I y II.
- Estos objetivos constituyen la vía conductora de la experiencia pedagógica que
permiten la identificación y definición del contenido, las formas organizativas de la
enseñanza, la metodología y la evaluación, al expresar la transformación planificada
que se desea lograr en el alumno al finalizar la experiencia.
Objetivo general:
? Resolver problemas matemáticos aplicando los contenidos del Cálculo Diferencial e
Integral correspondientes a la carrera de Agronomía.
Objetivos específicos:
? Definir e interpretar los conceptos de derivada y diferencial de funciones reales de una
y dos variables.
? Resolver problemas de optimización, cálculo de razones de cambio relacionadas,
cálculo del valor aproximado de una función y trazado de curvas, aplicando los
conceptos de derivada y diferencial, así como los teoremas y propiedades
relacionados con estos conceptos.
? Definir e interpretar los conceptos de integral indefinida y definida.
? Resolver problemas de cálculo de áreas entre curvas, cálculo de la distancia recorrida
por un móvil conociendo su velocidad en un intervalo de tiempo y de ecuaciones
diferenciales aplicando los conceptos de integral indefinida y definida, así como los
teoremas y propiedades relacionados con estos conceptos.
2.2.2 Contenidos.
Comprende los temas de Límite y Continuidad, Cálculo Diferencial e Integral y Ecuaciones
Diferenciales, que a través de sus conceptos, teoremas, demostraciones, propiedades,
etc., son considerados no como conocimientos aparte, aprendidos en abstracto, sino
como elementos que hay que incorporar a través de tareas o problemas.
En la selección de estos contenidos influyó el hecho de que los mismos constituyen los
grandes núcleos temáticos de las asignaturas Matemática I y II, y es donde el programa
enfatiza la presentación de los problemas.
Los contenidos seleccionados se organizan de dos formas a partir de los Programas de las
Asignaturas Matemática I y II que se reportan en el Anexo 1.A: a) en la tipificación de los
contenidos y su agrupamiento en temas, y b) la secuenciación de los contenidos a lo largo
de la experiencia.
Además, en el tratamiento de los contenidos no específicos se considera importante
incorporar informaciones históricas como formas de acceder al conocimiento matemático,
pues estas constituyen un instrumento especialmente válido para ofrecer al estudiante datos
de interés sobre algunos problemas que se tratan en clases y algunas nociones sobre
personalidades eminentes de la Matemática y la Ciencia en cuanto a su relevancia para
enfocar cierto tipo de problemas, sobre todo en su relación con las acciones de los
individuos dentro de un contexto socio-económico determinado. La explicación coherente
de ese pasado desde ciertos ángulos del presente, orienta a nuevas situaciones y
problemas.
Igualmente esta concepción, trae como consecuencia otorgar una mayor importancia a las
múltiples aplicaciones de las matemáticas, e implica que se favorezca el estudio gradual y
paulatino de los conceptos matemáticos.
En esta dirección también se trata de establecer una fructífera relación entre los contenidos
de la Matemática y los de otras disciplinas del Plan de Estudio de la carrera de Agronomía
tales como la Práctica Agrícola, Química, Física, Riego y Drenaje, Economía
Agropecuaria, etc. Este enfoque apunta al desarrollo de los contenidos matemáticos con
una visión más amplia, que incorpora conocimientos de otras ciencias para integrarlos en
sus propias formas de hacer, pero que de ningún modo significa la sustitución de sus
propios métodos.
Desde esta perspectiva, se consideran algunos cambios en la presentación de los
contenidos, con respecto a lo que se venía haciendo con anterioridad. Estos consisten en
trabajar respectivamente los temas de Cálculo Diferencial e Integral para las funciones de
una variable hasta llegar a las de varias variables. De esta forma, se logra una mejor
integración en la presentación y orientación de los temas a través de las relaciones que se
establecen entre las nociones e ideas básicas del cálculo diferencial e integral, lo que
también resulta útil para obtener una visión general de estos contenidos y de las situaciones
que le dan sentido a su estudio.
2.2.3 Métodos.
En este trabajo se asume la definición de método de enseñanza dada por G. Barraqué
(citado por P.A. Hernández, 1999, p. 1), que expresa es: “...el modo mediante el cual el
maestro o profesor, vinculado con los alumnos, realizan actividades – acciones y
operaciones - teóricas y prácticas con el fin de lograr los objetivos y tareas
planteados en el proceso de enseñanza-aprendizaje”.
De ahí que desde el punto de vista particular de esta experiencia, se pone de manifiesto
que la enseñanza de la resolución de problema no es algo aislado, por el contrario, es un
elemento de primordial importancia del sistema integral de la enseñanza de las matemáticas
y de las ciencias en general, que esta conformado por una gran variedad de métodos y
procedimientos y que por otra parte, considera los métodos (expositivo, ilustrativo,
interrogativo, etc), sin rechazarlos, pero declarándolos insuficientes, en las condiciones de
aprendizaje de nuestros días.
Los métodos expositivos, si son correctamente incorporados en el proceso docente,
propician un aprendizaje activo, tanto de los estudiantes que escuchan el tema objeto de
estudio, como de aquellos que participan, al menos mentalmente, en la solución de los
problemas (P.A. Hernández, 1999).
A partir de estos criterios, se aplicaron especialmente en las clases planificadas para
resolver problemas de Matemática, combinados con los métodos expositivos, los métodos
activos y participativos utilizados por la escuela contemporánea (para ampliar consultar:
D. Gil y M. de Guzmán (1993), Colectivo de autores (1998), S. Ballester (1999), M.
Carnero y A. García (1999), P.A. Hernández (1999), C.M. Alvarez de Zayas (1999)).
El empleo de estos métodos en la experiencia pedagógica constituye una vía para que en
las actividades de resolución de problemas de Matemática se propicien situaciones de
aprendizaje donde los estudiantes desempeñen un papel activo, consciente y
transformador, enfatizándose en el desarrollo de habilidades y capacidades mentales
generales, que permiten al alumno reflexiones sobre su propio proceso de pensamiento y
la adquisición de experiencias a través de su investigación personal, es decir, aprender
haciendo y participando.
Además, para seleccionar los métodos de enseñanza se toma en cuenta su relación con
otros componentes del proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto se expresa por medio de:
- Los métodos de enseñanza dependen de los objetivos concretos de cada clase.
- La utilización de determinado método depende del contenido específico a tratar.
- Características del grupo de estudiantes.
- La selección del método en función del tiempo disponible.
2.2.4 Formas.
Las formas de organización de la enseñanza según expresan G. Labarrere y G.E. Valdivia
(1988, pp. 118-119) son: “las distintas maneras en que se manifiesta externamente la
relación profesor-alumno, es decir, la confrontación del alumno con la materia de
enseñanza bajo la dirección del profesor”.
Las formas organizativas del proceso de enseñanza-aprendizaje en la experiencia
pedagógica son: conferencias, clases prácticas, seminarios y talleres.
Cada tema se inicia con una conferencia orientadora a partir de la cual se efectúan las
clases prácticas, seminarios y talleres con los propósitos que a continuación se indican:
1. Conferencias: Clases “teóricas” donde el docente expone para orientar e ilustrar la
aplicación de una metodología general. Permite a los estudiantes obtener la orientación
necesaria para la búsqueda y el estudio de la información complementaria, con el
objetivo de ampliar y profundizar los conocimientos.
2. Clases Prácticas: Clases donde se realizan ejercicios y problemas con el objeto de
valorar las habilidades que van adquiriendo los estudiantes y, señalar y trabajar en las
dificultades propias del proceso. Posibilita que los estudiantes integren y generalicen
determinados métodos de trabajo de las asignaturas.
3. Seminarios: Clases que tienen por objetivo fundamental que los alumnos consoliden,
amplíen, profundicen, integren, comparen y generalicen los contenidos orientados. El
trabajo en seminario es particularmente apropiado para que se aborden los problemas
mediante el modelo propuesto desde posiciones reflexivas del alumno, que estimulen
el desarrollo de la expresión oral, el pensamiento productivo-aplicativo, la búsqueda
independiente o colectiva del conocimiento y las formas de comunicación en el aula.
4. Talleres: Clases que tienen por objetivo analizar y debatir el proceso de resolución de
tareas de enunciados abiertos para valorar la mejor propuesta de resolución.
Constituye una forma propicia para que los estudiantes adquieran conocimientos y se
involucren en tareas docentes propuestas a resolver como pequeñas investigaciones.
La utilización del taller como forma de trabajo en la clase, se concibe como sesiones
prácticas que incluyen cuatro momentos: introducción, ejecución o práctica,
procedimiento y conclusión, en las que cada integrante del grupo tiene determinada
responsabilidad (para ampliar, ver I. Mazarío, 1999b, pp. 40-42).
La distribución del fondo de tiempo de las asignaturas para cada una de estas formas de
enseñanza se reporta en el Anexo 1.B.
2.2.5 Tareas.
La tarea es la situación concreta a que se enfrenta el estudiante y a la cual debe dar
solución, por tanto, es la vía para lograr el desarrollo de habilidades. En ella se modelan
las acciones que queremos realice el estudiante (O. González, 1995, p.101).
De esta manera, las tareas constituyen un conjunto de propuestas concretas que tienen la
finalidad de modelar las acciones que conforman la habilidad resolver problemas de
Matemática. Esto tiene importantes derivaciones pedagógicas, por lo cual en el trabajo
docente se deben considerar aspectos tales como: selección o elaboración de las tareas,
frecuencia de su realización y tiempo que se necesita para resolverla.
El sistema de tareas está formado por los siguientes tipos de tareas:
1. Las enfocadas a la comprensión conceptual.
2. Resolver los problemas de lápiz y papel.
3. Resolver problemas a través de una pequeña investigación.
Se observa que con la planificación de las tareas del primer tipo se tuvo en cuenta que las
mismas tributen a la resolución de problemas matemáticos, ya que el desarrollo de
habilidades cognoscitivas (donde se incluye la resolución de problemas de Matemática)
esta estrechamente vinculado con la comprensión teórica de los conceptos, así como de
los teoremas y propiedades relacionados con estos conceptos, que se estudian en clases.
De acuerdo a esta posición, en la experiencia pedagógica se trata de propiciar la
asimilación gradual de los conceptos matemáticos simultáneamente con su aplicación en
diferentes problemas.
Las tareas relacionadas se describen del siguiente modo:
1. Las enfocadas a la comprensión conceptual: Consisten en solicitar a los
estudiantes que expliquen, interpreten o describan de forma oral o escrita cada uno de
los conceptos tratados en clase y posteriormente confrontar la definición con la que
aparece en el texto o con las de otros compañeros, también se puede verificar con el
profesor. En efecto, al trabajar los problemas se indica a los estudiantes la confección
de un listado que incluya los conceptos fundamentales abordados en clases,
considerando no sólo el conjunto de características esenciales que constituyen el
concepto, sino además, las situaciones que le dan sentido para su estudio y algunas de
sus aplicaciones, como un recurso útil al analizar los problemas.
Estas tareas se presentaron a los estudiantes de las siguientes formas:
a) Explicar con sus propias palabras los siguientes conceptos....
b) Elaborar un resumen sobre los aspectos teóricos tratados en clase y relacionarlos
con otros conceptos o aspectos abordados en algún tema anterior.
c) Establecer similitudes y diferencias entre conceptos relacionados entre sí.
d) Leer y analizar textos y materiales para profundizar en determinados aspectos del
programa.
2. Resolver problemas de lápiz y papel: Se elaboraron un conjunto de problemas que
se orientan a los estudiantes durante el desarrollo de las clases para resolver tanto
dentro como fuera del aula, a través de los cuales se modelan las acciones
correspondientes a la habilidad resolver problemas de Matemática. Estos problemas
se seleccionan de los libros de texto o se elaboran para ser aplicados en clases, y
pueden ampliarse o modificarse sus enunciados de modo que de uno puedan derivarse
varios.
Esta tarea se presentó a los estudiantes de las siguientes formas:
a) Resolver los problemas propuestos por el profesor. En este punto es fundamental
que se garantice que los estudiantes resuelvan problemas nuevos o con los que no
estén previamente familiarizados. Es importante, además, que lo resuelvan de
forma independiente utilizando las orientaciones dadas en clases.
b) i) Proponer a un estudiante que seleccione un problema con el que esté
ampliamente familiarizado. Redactarlo en una hoja (sin olvidar incluir su nombre) y
pasarlo a otro integrante del grupo. Al mismo tiempo recibirá un problema que ha
sido elaborado por alguno de sus compañeros.
ii) Trata de resolverlo y devuélvalo a su autor, luego de identificarse en la hoja.
iii) A su vez recibirá de vuelta el problema por usted redactado. Evalúe el
proceso de resolución y entregue el trabajo al profesor.
3. Resolver problemas a través de una pequeña investigación: Constituyó una
manera de involucrar a los estudiantes y hacerlos trabajar en la búsqueda
independiente o grupal de la solución a través de una pequeña investigación mediante
la cual el propio alumno, al detectar la existencia de un problema por lo general de
enunciado abierto, lo formula independientemente, llega a conclusiones y valida los
resultados. De esta manera se pretendía favorecer el aprendizaje de la Matemática
como ciencia, con un marcado carácter científico-experimental, sobre la base de las
condiciones concretas de la enseñanza superior y de las experiencias acumuladas.
Con la incorporación de esta variante de tarea también se favorecieron el interés y la
motivación de los estudiantes al planteárseles actividades no sólo con un formato
académico sino también en escenarios cotidianos y significativos para el alumno,
procurando que establezca conexiones entre ambos tipos de situaciones y además le
permite la “visualización social” de las situaciones matemáticas al enfocarse la práctica del
aula en un contexto social determinado.
Para que esta actividad tenga sentido se organizó por medio de un diseño del trabajo a
realizar, de un guión que le permitía a los estudiantes coordinar las acciones, dentro de las
cuales se encuentran: plantear el problema a investigar, ordenar las interrogantes, recopilar
toda la información posible y organizarla en gráficos o tablas, plantear alguna hipótesis o
conjetura, es decir, saber en cada momento qué están buscando, qué datos necesitan o
qué esperan encontrar en tal o cual información. Por último, se le solicitó a los estudiantes
redactar un informe sobre los aspectos abordados y prepararse para su discusión.
En los Anexos 5.A y 5.B se reportan ejemplos de tareas resueltas y propuestas en clases
y que responden a las variantes consideradas en este apartado. Otras peculiaridades de
estas tareas se precisan a continuación.
2.2.5.1 Las características estructurales de las tareas.
Para lograr que los estudiantes sean capaces de resolver los problemas
independientemente y a su vez garantizar un adecuado nivel de generalización de la acción,
es necesario se identifiquen las características estructurales más sobresalientes de las
tareas. Desde un punto de vista práctico, este análisis estructural permite que se
planifiquen diversas variantes en la presentación de las tareas. Pero además, un supuesto
básico fundamental en todo entrenamiento para la formación de habilidades es que se
transformen o transfieran las condiciones de aprendizaje de una situación a otra para
garantizar así el tránsito a ejecuciones más complejas a partir de otras más simples. De ahí
que se deban tener en cuenta éstos argumentos para garantizar que el alumno se prepare
para enfrentar las tareas más diversas.
Ello requirió una atención especial debido a que la Matemática se presenta en el Programa
de Estudio y libros de texto fragmentada disciplinariamente y subdividida en temas. Así se
hace necesario establecer vínculos entre los conceptos, ejercicios y problemas de los
diferentes temas, de forma que permitan estructurar un sistema que favorezca las
relaciones entre el todo y las partes. De lo contrario, el estudiante, cuando se le enseña
Matemática sólo capta elementos aislados, sin tomar en cuenta las relaciones entre éstos.
Por eso resulta vital que se proporcionen a través de las tareas las condiciones que
favorezcan la construcción de esquemas de generalización.
De ahí que un alto grado de generalización, según se establece en la tesis, signifique no
sólo la posibilidad de resolver satisfactoriamente los casos típicos de tareas planteadas,
sino además solucionar de forma correcta situaciones nuevas, no abordadas en clases,
transfiriendo conocimientos, experiencias y acciones para obtener la solución de los
distintos problemas.
Así pues, para lograr un adecuado nivel de generalización de la acción se tuvo en cuenta
que en la estructura de las tareas se presentaran las más diversas variantes combinatorias
de los siguientes elementos:
a) La estructura matemática del problema: Dada por la cantidad de operaciones a
realizar y por las dificultades conceptuales que impliquen su solución.
b) La forma de estructurar el problema (oral, escrita, gráfica, etc); considerando los
siguientes aspectos:
? Condiciones bajo las cuales se ofrecen los datos (se dan todos los datos, no se da
ningún dato, se dan algunos datos). Ejemplo: En el Anexo 5.A se reportan tareas con
estas características. En particular en el Problema #1 se ofrecen todos los datos
necesarios para su resolución, sin embargo, en el problema #2 no aparecen los datos y
en el Problema #3 se necesita buscar datos para poder resolverlo.
? Tipo de enunciado (abierto, cerrado, real, académico) Ejemplo: En el Anexo 5.B los
Problemas #19 y #20 son representativos de enunciados abierto y cerrado,
respectivamente, ambos se corresponden con situaciones reales. Para los problemas
cuyos enunciados se elaboran teniendo en cuenta las condiciones en que se
desenvuelven los estudiantes, como es el caso del problema #21 que aparece en el
mismo anexo de los anteriores, se contó con la colaboración de los profesores que
imparten la Práctica Agrícola (disciplina integradora de la carrera). Estos profesores
presentaron a los estudiantes ejemplos de situaciones netamente agrícolas donde se
requería calcular el área de una superficie que los estudiantes no podían efectuar por
no contar, en esos momentos, con las herramientas matemáticas necesarias.
Precisamente en las clases de Matemática, a través del tema de Cálculo Integral, se
proporcionaron las herramientas para resolver esta tarea.
? Grado de conocimiento de la situación de problema (conocida, poco conocida,
desconocida). Aunque durante la realización de este trabajo se observó que existe
una estrecha relación entre las experiencias de los alumnos y el conocimiento de la
situación de problema, por mencionar algunos casos, el Problema #1 que se reporta
en el Anexo 5.A, presenta una situación conocida, en general, por todos los
estudiantes. Sin embargo, el Problema #3, de este mismo Anexo, resultó de mucho
interés por la información que se necesita para resolverlo y que en detalle no conocían
la gran mayoría de los estudiantes.
? Preguntas (al final del problema, al comienzo del problema, número de preguntas,
etc). Ejemplo: En el Anexo 5.B en los Problemas #1 y #2 se plantean una y dos
preguntas al final de cada problema respectivamente, en el Problema #5 la pregunta se
ubica al inicio del mismo, en el Problema #8 se realiza una pregunta final, común para
las tres variantes de situaciones presentadas en dicho problema y en el Problema #13
las preguntas se encuentran, una intercalada en el texto del problema y otra al final.
? También se consideró en la estructuración de la tarea: El vocabulario y la
estructura de las frases del enunciado, la organización de la información, los aspectos
visuales (tablas, gráficas, entre otras ilustraciones), etc.
Como se evidencia a través de los ejemplos presentados un mismo problema se puede
considerar para ilustrar los diferentes aspectos que se combinan en la estructura de una
tarea, esto significa que en los problemas, por lo general, dichos elementos no se
presentan aislados, sino integrados en una misma situación. Al mismo tiempo, a través de
las diversas relaciones entre los elementos involucrados en los problemas, se manifiestan
las dificultades objetivas y subjetivas de las tareas.
Al respecto, se le explicó a los alumnos que el trabajo limpio, los cálculos ordenados, la
exactitud en los planteamientos matemáticos y pasos del problema, no constituyen sólo
una exigencia estética, sino que debido a la creciente dificultad de los problemas, son
premisas indispensables para alcanzar el éxito en el proceso de resolución.
Atendiendo a estos factores, en este trabajo se relacionan problemas muy sencillos,
“elementales”, pero que resultan estimulantes o instructivos, problemas más difíciles, que
pueden resultar trabajosos, pero también importantes. La vinculación con los
conocimientos de otras disciplinas del Plan de Estudios de la carrera constituyó una guía
en la elaboración de muchos de estos problemas.
2.2.5.2 La periodicidad y frecuencia en la ejecución de las tareas.
Se ha señalado que la formación de habilidades se modela a través de tareas específicas
que le descubren al estudiante paulatinamente las acciones y rasgos esenciales generales
que se transfieren a diferentes objetos de conocimiento, con esta finalidad se planifica y
organiza la ejecución de acciones que permitan a corto, mediano o largo plazo la
formación de tales habilidades. En estos casos, la periodicidad esta dada por la
distribución temporal de la ejecución de acciones y operaciones (planificación del tiempo),
lo que se organiza siguiendo la estrategia de no estar ni muy distantes ni próximas
temporalmente entre sí. La frecuencia esta dada por el número de veces que se efectúan
las acciones y operaciones en un determinado intervalo de tiempo, el criterio de
distribución que se establece en este caso es ejecutarlas la cantidad necesaria y suficiente
de veces, ya que de ser insuficientes no se consolidan y de ser excesivas, su efecto sería
contraproducente. Por lo tanto, en el proceso docente educativo la cantidad de
ejecuciones se pueden estimar a partir del diagnóstico y control que del desempeño de los
estudiantes al resolver las tareas realiza el docente.
De ahí que el número de tareas se planificaron en función del tiempo semanal disponible y
del número de horas requerido para el aprendizaje de cada tema. En efecto, se estimó
conveniente que los alumnos resolvieran entre 5 y 10 problemas como mínimo en una
semana y, por otra parte, para los temas que requerían más tiempo de aprendizaje, se
dispusieron, proporcionalmente, un mayor número de tareas.
En lo que respecta a las actividades docentes donde se abordan solamente problemas,
estas ocuparon entre un 15 y 20% del tiempo de clases previsto en el Programa de las
Asignaturas. Estas se distribuyeron de la forma más uniforme posible a lo largo de un
curso académico o dos semestres.
Un aspecto a analizar en la experiencia pedagógica es la incorporación de los problemas
desde el momento inicial en que se abordan los temas.
Una argumentación al respecto nos remite necesariamente a las características de la
enseñanza tradicional planteadas por diferentes autores: V. Davídov (1987), D. Gil y M.
de Guzmán (1993), J. Ontiveros (1994), V. Canfux (1995), P. Gómez (1995b), G.H.
Bower y E.B. Hilgard (1995), A. Camilloni et al (1996), A. González (1997), y otros, de
donde se puede inferir el siguiente proceso en la forma de <hacer> del profesor: a)
Presentación y explicación del tema objeto de estudio; b) Selección de ejemplos que
ilustran el proceso anterior; c) Realización de ejercicios donde se gradúan las dificultades,
de sencillos a otros de mayor complejidad y, <por último>; d) Resolución de problemas
(que en muchas ocasiones no responden a la definición más general de este término).
Con base en lo anterior, se señala que en los Programas de Disciplina y en los libros de
texto de Matemática, la secuencia en la estructuración de los temas de estudio, por lo
general, se diseña a partir de la teoría (definiciones, teoremas, demostraciones), para
posteriormente tratar las aplicaciones, fundamentalmente a través de problemas con texto.
Este orden, en muchas ocasiones es también incorporado en la presentación de los
contenidos en el aula.
No es intención del autor, entrar en contradicción, ni mucho menos rechazar el método
hipotético-deductivo característico de las Matemáticas, sino valorar su implementación en
la práctica docente, de forma tal de revertir este proceso, lo que se fundamenta a partir de
los conocimientos que aporta el estudio de la Historia de la Matemática y de la Ciencia
sobre la génesis de las ideas matemáticas esenciales, donde se destacan de inicio, las
situaciones reales como generadoras de las definiciones y métodos que en etapas
posteriores ha formalizado el pensamiento matemático (J.D. Bernal (1967), K. Ríbnikov
(1987), J.A. Serrano (1991), U.P. González (1992), J.M. Navarro y T. Calvo (1992), M.
Kline (1992), L. Batard (1997), D. Jiménez (1999), G. García et al (1999), A.C. Medina
(2001), entre otros).
Esto significó en la experiencia pedagógica, según el criterio del autor, no dejar para el final
de un tema la presentación de los problemas, incorporándose estos, por muy sencillos que
resultaran, desde el mismo momento que se comenzaron a tratar las temas objeto de
estudio que ofrecían esta posibilidad, lo que en ningún momento contradice que se
pudieran concluir o integrar temas con la incorporación de problemas. De esta manera
también los estudiantes se relacionaban paulatinamente con los problemas y se facilitaba la
incorporación gradual de procedimientos de resolución.
En la bibliografía se pueden encontrar dos artículos (1999a, 2000) en los que he tratado de
proporcionar una argumentación más detallada de esta forma de proceder.
2.2.6 Medios de Enseñanza.
Según V. González (1986, p.48): “... podemos referirnos a los medios de enseñanza
como todos los componentes del proceso docente educativo que actúan como soporte
material de los métodos (instructivos y educativos) con el propósito de lograr los
objetivos planteados”- y comenta – “... estos medios constituyen un sistema cuando se
integran de forma tal que produzcan un resultado superior a la aplicación aislada o a
las combinaciones parciales de sus componentes. Es de la relación entre ellos en la
que cada uno se enriquece a sí mismo y acentúa la acción de los demás”.
En esta experiencia pedagógica, con el propósito específico de favorecer el desarrollo de
la habilidad resolver problemas se conciben los siguientes medios: orientaciones para
resolver problemas de Matemática, folleto de problemas, hoja de trabajo para los
estudiantes y guía didáctica para el estudiante. A continuación, se procede a describir cada
uno de los medios elaborados:
? Orientaciones para resolver problemas de Matemática: Constituyen un
“ordenamiento” de las operaciones necesarias para la realización exitosa de las
acciones de la habilidad resolver problemas de Matemática. Estas orientaciones se
dieron a los estudiantes de forma oral al resolver los problemas en clases.
A continuación, se exponen de manera sucinta, algunas de las orientaciones que sirven de
guía para realizar las acciones correspondientes a la habilidad resolver problemas de
Matemática:
I- Analizar el problema.
Objetivo:
Analizar el problema, identificando lo que se pide y la información necesaria para
resolverlo.
Orientación:
1. Lea (comprensivamente) el enunciado del problema o plantéese el mismo, aclarando
el significado de todos los términos que aparecen en el texto e interprete la información
que se brinda no solamente a través del enunciado, sino también en gráficas o tablas.
2. Asigne variables a las magnitudes requeridas y ordénelas del modo más conveniente
para su estudio, es decir, disponga los datos de manera que se muestren de forma
clara, ordenada y simultánea. Establezca relaciones entre ellos a modo de determinar lo
que se necesita para resolver el problema y lo que no es pertinente.
3. Valore la posibilidad de ilustrar la situación del problema a través de un gráfico, figura,
tabla, etc., a partir de la información recogida.
4. Centre la atención en lo que se debe encontrar, interprete las indicaciones y establezca
qué relación debe hacerse operativamente: a) busque patrones; b) descarte
posibilidades; c) aísle la fuente de dificultad; d) descubra los aspectos parciales que
dificultan el problema; e) determine la información que falta y; f) decida en qué sector
está la dificultad, es decir, si esta es estrictamente personal y se requiere para su
solución, recurrir al libro de texto, material didáctico, compañeros de grupo o profesor.
II- Generar estrategias de trabajo.
Objetivo:
Concebir el procedimiento más apropiado para solucionar el problema.
Orientación:
1. Relacione la situación dada en el problema con sus conocimientos y
experiencias.
2. Determine si se han solucionado en clases problemas análogos al que se le
propone o pregúntese (investigue) que han hecho otros para resolverlos.
3. Establezca si es posible formular hipótesis o conjeturas provisionales como guías
para la solución del problema.
4. Pruebe experimentar de manera implícita o explícita diferentes estrategias que
orienten hacia la búsqueda de resolución.
5. Intente concebir estrategias alternativas para resolver el problema antes de
asumir cualquier estrategia.
III- Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se
considere más adecuada.
Objetivo:
Analizar previamente las opciones posibles para resolver el problema tratando de
seleccionar la más adecuada.
Orientación:
Dedique tiempo a pensar, planear y reconsiderar la estrategia de resolución antes de
decidirte a resolver el problema.
Valore la posibilidad de decidir la forma de resolución más adecuada posible o que te
resulte más conveniente.
Determine a partir de este análisis cual es la estrategia a desarrollar.
IV- Ejecutar o desarrollar la estrategia seleccionada.
Objetivo:
Aplicar la estrategia planificada para resolver el problema.
Orientación:
1. Precise su dominio de los conocimientos necesarios para obtener la solución.
2. Estructure todo el problema en grupos de problemas más sencillos o subproblemas.
3. Pruebe las hipótesis que surjan del análisis de casos sencillos.
4. Realice las operaciones controlando cada paso.
5. Pruebe con soluciones gráficas y otros procedimientos que lleven hacia métodos
sistemáticos.
6. Escriba con claridad y explique brevemente lo que hace.
7. Señale con recuadros, subrayados, etc., lo que considere más importante en la
resolución del problema.
V- Evaluar los logros y dificultades durante la ejecución.
Objetivo:
Comprobar que la solución es correcta, si satisface las condiciones dadas en el problema.
Orientación:
1. Revise el problema asegurándose de que la solución obtenida corresponde a la
pregunta formulada.
2. Pregúntese si la respuesta tiene sentido, si se corresponde con sus estimaciones o
predicciones razonables.
3. Refleje en el papel todos los cálculos realizados con conocimientos matemáticos o con
el auxilio de la calculadora, lo que posibilita el poder realizar rectificaciones y seguir el
proceso, comprobando que no se han cometido errores de cálculo (sobre todo si
conducen a respuestas carentes de sentido), que las unidades sean correctas y que
satisface las condiciones del problema.
4. Revise con profundidad lo que se ha hecho (ensaye el camino inverso, elimine datos y
agréguelos valorando su influencia en la solución).
Por supuesto, a pesar de que se ha intentado un “ordenamiento de orientaciones” en base
a determinadas operaciones o microacciones que frecuentemente se asocian con la
resolución de problemas, es imposible establecer todas las operaciones que serán
necesarias para resolver los problemas, el orden necesario de las mismas y la relación
entre las operaciones y las situaciones específicas.
Sin embargo, la cantidad , naturaleza y carácter de la información que diariamente recibe
un estudiante hace necesario que se le indiquen ciertas formas de llegar a la solución que
en parten orienten las acciones y microacciones del resolutor, aunque no las determinen
completamente. El estudiante al incorporar tales instrucciones debe, mientras resuelve el
problema encontrar y llevar a cabo las acciones que la situación requiera.
Para que se pueda lograr lo anterior, el docente procede comenzando por resolver
problemas él mismo, especificando la dirección de la búsqueda de la solución y efectuando
las operaciones correspondientes al proceso de resolución, para de este modo hacer
conscientes a los estudiantes de las mismas durante este proceso y llevarlos gradualmente
a la determinación independiente de las operaciones en las condiciones específicas de las
tareas. Además, se trata de que los alumnos participen en la construcción de esta base
orientadora de las acciones de manera de implicarlos afectiva y cognoscitivamente en su
propio proceso de asimilación de los conocimientos y habilidades.
Si bien se ha planteado una secuencia de orientaciones para resolver los problemas, esta
línea de trabajo metodológico no constituye una “receta operatoria” para que el alumno la
repita o realice mecánicamente, las necesidades y exigencias del aula pasan a través de la
creatividad constante del profesor, quien es el agente orientador, innovador y dinamizador
del proceso docente-educativo.
En concordancia con estas ideas, en el proceso de enseñanza se trabaja para incentivar en
el estudiante su motivación e interés por resolver los problemas apelando a todos los
recursos a su alcance. En este caso, el problema más sencillo puede resultar oportuno para
estimular en el alumno la reflexión a partir de las acciones y operaciones que realice, así
obtendrá nociones de su propio progreso personal.
? Folleto para los estudiantes con problemas resueltos (ver Anexo 6): Contiene
un conjunto de problemas que recorren los contenidos fundamentales del programa de
las asignaturas pero presentados con apuntes sobre los conceptos aplicados y
describiendo con detalles los pasos seguidos durante la resolución. A través del mismo
el estudiante puede obtener una visión general de una forma de proceder que en
ocasiones no aparece en el libro de texto donde por cuestiones de espacio y estética
no se presentan de este modo. Se utilizó como ayuda (ya sea dentro o fuera del salón
de clases) para ejemplificar algunas situaciones que complementan las abordadas en
las clases o en el texto, como orientación para la realización de tareas y para ilustrar la
relación entre conceptos y problemas.
? Hoja de Trabajo de los estudiantes (ver Anexo 7): Son las hojas donde los
estudiantes resuelven los problemas, estas contienen las tareas a resolver y se van
integrando hasta conformar un cuaderno. También resultan útiles para que los alumnos
elaboren o transformen los enunciados de los problemas a resolver. A su vez, la
estructura de la Hoja de Trabajo da la posibilidad al docente y al estudiante de ir
valorando las insuficiencias y los progresos alcanzados durante el transcurso de la
experiencia, ya que se anotan, en el espacio disponible a tal efecto, las dificultades y
logros detectados al analizar tanto el resultado como el proceso mediante el cual los
alumnos acceden a la solución del problema. Este medio que se utiliza
fundamentalmente en las Clases Prácticas, ofrece al docente la ventaja de poder
solicitar en cualquier momento al estudiante la entrega de una o varias tareas con el
propósito de revisarlas y discutirlas con él posteriormente.
? Guión o guía didáctica del estudiante para la resolución de problemas de
Matemática (ver Anexo 8): Conjunto de preguntas y recomendaciones
metodológicas que se elaboran y ordenan mediante el trabajo interactivo entre el
profesor y los estudiantes con el objeto de orientar el proceso de resolución de
problemas. Las informaciones que reciben los estudiantes a través de esta guía
conducen sus esfuerzos en la resolución de los problemas. Por tanto, su objetivo es
ayudar al alumno cuando por sí mismo no puede resolver el problema y necesita de
indicaciones o apoyo externo.
Para confeccionar esta guía, se requiere de inicio, disponer de pancartas, plumones y cinta
adhesiva, posteriormente, cuando los estudiantes la reclaman para uso individual, se
reproduce su contenido en papel.
Pero, ¿En qué consiste la novedad de este medio?. ¿No se han planteado siempre
preguntas y recomendaciones a los estudiantes para resolver los problemas?. ¿Cuál es su
utilidad?. La respuesta a estas interrogantes se encuentra en la técnica que se propone
para confeccionar la guía.
Para ello, se colocan pancartas o carteles en lugares estratégicos del aula (uno para cada
acción considerada en la resolución de problemas) donde se escriben todas las preguntas
y recomendaciones razonables que se realicen en el salón de clases durante el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas en la etapa inicial de la experiencia.
Con este propósito se le solicita a los estudiantes que aporten todas las ideas posibles al
problema, que formulen preguntas y sugerencias sobre el material que se aprende.
Todas las sugerencias adecuadas se aceptarán y después de categorizadas por su
pertinencia a determinada acción y debatidas con el grupo, se anotarán ordenadas
convenientemente en el cartel correspondiente, en este momento la acción directa del
docente es fundamental porque tiene que atender la organización definitiva de las preguntas
y recomendaciones y simultáneamente generar la participación activa del estudiante en la
construcción de la base orientadora de la acción a través del propio proceso de resolución
de los problemas. Se observa que este medio queda definitivamente elaborado al
transcurrir varias sesiones de trabajo con los problemas, en tanto se revelan precisamente
las operaciones esenciales para resolver gradualmente los mismos, es decir, una vez que se
llega a determinar un conjunto de operaciones y sugerencias interrelacionadas que
constituyen prescripciones que especifican el proceso de resolución de problemas,
posteriormente se registra el listado en papel. Los estudiantes trabajaran durante un
tiempo con esta guía hasta que puedan prescindir de este medio.
Obviamente, la efectividad de este recurso presupone que los alumnos se familiaricen
paulatinamente con sus instrucciones y las interioricen, para que posteriormente, al
aplicarlas, realicen los ajustes en relación al tipo de problema a solucionar. En efecto, las
preguntas y sugerencias que contiene la guía no pueden ser incorporadas en su totalidad a
todos los problemas, ni agotan todas las que puedan surgir.
Por otra parte, a pesar de que la incorporación de medios computacionales no está en la
proyección de este trabajo, se considera conveniente aclarar que en determinados
momentos de la experiencia resultó apropiado el trabajo con algunos sistemas algebraicos
para computadora (DERIVE, MATHEMATICA), de manera de proporcionar también
estas experiencias al estudiante.
2.2.7 Evaluación.
Actualmente en las investigaciones y trabajos sobre didáctica, en general, se enfatiza la
necesidad de fundamentar la toma de decisiones en información fidedigna, válida, precisa y
actualizada, proveniente de los resultados de la evaluación.
La evaluación según expresa M. González (2000, p.35): “Es el proceso y resultado de
juzgar la valía de un objeto o fenómeno de la realidad, en sus características
esenciales, sus manifestaciones particulares, su devenir, estado de desarrollo actual
y previsible, de acuerdo con criterios de referencia pertinentes a la naturaleza del
propio objeto y a los propósitos que se persiguen”.
Para los efectos de este trabajo, esta definición tiene importantes implicaciones:
1. Por ser un proceso continuo, la evaluación no se realiza sólo al finalizar la etapa de
aplicación de la experiencia. Se realiza antes, durante y después de finalizada la misma.
2. El sistema de evaluación esta orientado a valorar cómo el alumno se apropia de las
acciones correspondientes a la habilidad resolver problemas matemáticos, pero
además, debe analizar si la forma de abordar la resolución de los problemas de
Matemática mediante las acciones metodológicas propuestas resulta eficaz.
3. Debe garantizar a través de instrumentos precisos, reunir la información necesaria que
posibilite en un momento dado, identificar dificultades susceptibles a ser mejoradas
mediante una adecuada intervención didáctica.
Las principales formas de evaluación son:
Evaluación inicial (Prueba de Diagnóstico): Se aplica al comienzo de la experiencia
pedagógica para valorar el nivel de desarrollo de la habilidad resolver problemas de
Matemática de cada estudiante.
Evaluaciones frecuentes (orales y escritas): Se realizan durante el desarrollo de las
clases, de modo continuo, integral y coherente, por lo que contribuyen al estudio
sistemático y la retroalimentación del proceso al permitirnos constatar los logros y
rectificar los errores de los alumnos en el momento en que se cometen.
En efecto, la retroalimentación es otro mecanismo mediante el cual se propician en el aula
las interacciones profesor-alumno y alumno-alumno, visto como un proceso comunicativo,
necesario para el aprendizaje de la resolución de problemas. La información de la
retroalimentación se presenta a través de diferentes medios: notas, comentarios,
sugerencias, una señal de aprobación, un gesto interrogante, etc, posibilitando obtener
información de cómo actuar e implementar las acciones de la habilidad que se esta
desarrollando. Pero a la vez, permite al docente conocer cómo sus acciones son
percibidas por los estudiantes, que al mismo tiempo lo retroalimentan, es decir, le informan
acerca de la validez o no entre sus propósitos y acciones.
Al respecto se puede añadir que dada la sistematicidad del proceso de formación de
habilidades, se requiere de un perfeccionamiento continuo de cada tarea que realizan los
alumnos, por lo que el docente atiende los errores en los que estos incurren de manera que
se reconozcan e insistan hasta corregirlos, es decir, aprendan del error en el sentido de J.
Piaget (1986, p.225), quien recomienda no rectificar los errores de los estudiantes
directamente, “sino más bien mostrarles contraejemplos que permitan a él corregir
sus propios errores”.
Con este propósito, se atienden en este trabajo los siguientes aspectos:
a) Detectar los errores, las razones por las que se cometen y sus soluciones.
b) Entrenar a los estudiantes en identificar y solucionar sus errores.
c) Analizar los errores en pizarra, lo que puede ser un importante recurso metodológico si
se emplea en toda su extensión.
Como parte de la evaluación oral, se aplican específicamente en la semana 13 de cada
semestre, en ambiente normal de clases, dos pruebas utilizando la técnica conocida en la
bibliografía como “thinking aloud” o “pensar en voz alta”, posibilidad que se favorece por
el número no muy alto de estudiantes en cada grupo o su subdivisión habitual en
subgrupos.
La técnica denominada “pensar en voz alta”, fue introducida por Newell y Simon para
contrastar el desempeño entre resolutores expertos y novatos. Esta consiste en que el
sujeto objeto de estudio exprese en voz alta todos sus pensamientos, en este caso durante
la resolución de un problema de Matemática.
La técnica anterior se combina con una entrevista semiestructurada focalizada (L. Münch y
A. Angeles, 1998, p.63), a modo de favorecer un proceso interactivo entre el
experimentador y el sujeto, donde el primero hace preguntas al último con el objetivo de
obtener la información sobre los procesos internos cuando resuelve un problema.
Usualmente el sujeto escribe y habla. Normalmente no es interferido por el experimentador
hasta que no concluye su exposición, aunque no se excluye la posibilidad de hacerlo.
La decisión de recurrir a la aplicación simultánea de ambas técnicas se asocia con las
exigencias de la investigación, donde se propone valorar el desarrollo de la habilidad
resolver problemas de Matemática a través de acciones presentes en esta actividad,
posibilidad que reporta la incorporación de este tipo de prueba. Por otra parte, el
razonamiento en voz alta es muy frecuente en las investigaciones sobre resolución de
problemas y heurística porque propicia, a modo de acción exterior, que los estudiantes se
vean obligados a analizar con exactitud el problema, y logren así reconocer paso a paso lo
verdaderamente esencial del proceso de resolución.
Se puede pensar que reproducir en voz alta el proceso mental que se sigue durante la
resolución de problemas supone una dificultad o limita la secuencia principal de este
proceso. Sin embargo se ha comprobado experimentalmente que en la resolución de
problemas matemáticos, la atención exigida para pensar en voz alta no afecta a la
obtención de la solución (R. Gorodetsky y R. Hoz, 1980). Esto se relaciona en alguna
medida con la teoría de P. Ya. Galperin (1986,1987), ya que en la etapa de la acción
verbal, a través del lenguaje externo, el docente puede controlar no solo el resultado de la
acción, sino también su desarrollo, y puede corregir los errores inmediatamente. El
estudiante tiene que actuar conscientemente y formular con precisión cada paso en forma
verbal.
Así, para la obtención de información relacionada con estas pruebas, se elabora una guía
para el profesor (consultar Anexo 9.A), donde se establecen las pautas a seguir para el
análisis cualitativo de las resoluciones y de esta forma valorar si la secuencia de ejecución
de las acciones se aproxima o corresponde con la sugerida en este trabajo, brindando
además información sobre el contenido y corrección de la acción.
También resulta importante atender si los estudiantes identifican los problemas de la prueba
con otros, standard, cuya solución le es conocida, para inmediatamente, sin considerar
ninguna posible peculiaridad de la situación del problema, avanzar en la resolución sin
justificar sus acciones hasta alcanzar un resultado del cual no se cuestiona su validez.
Los problemas que se eligen para la realización de estas dos pruebas orales son en la
primera, relativamente sencillos y en la segunda de un grado de complejidad medio, pues,
con su aplicación, más que valorar la eficacia del alumno como resolutor se pretende
conocer el proceso mental seguido en la resolución y sobre todo profundizar en aspectos
metodológicos tales como las reflexiones iniciales, la selección y elaboración de estrategias
y la decisión de dar por finalizado el proceso de resolución.
El hecho de que se vincule esta prueba con la entrevista semiestructurada focalizada
responde a los mismos aspectos anteriores, durante su aplicación y de acuerdo con los
procedimientos característicos de la misma, se parte de propiciar que el estudiante resuelva
el problema de la manera que lo concibe. Posteriormente el docente indaga sobre los
aspectos más complejos de la situación del problema presentado, registrando las
reflexiones del estudiante, sus contradicciones. De esta forma pueden originarse
modificaciones en los problemas abordados y nuevos procedimientos o estrategias de
solución. Los interrogatorios indagan la génesis de las ideas expuestas por los alumnos,
analizando sus acciones para fundamentar estrategias de resolución. A partir de esta
información se trabaja posteriormente para mejorar el desempeño individual de los
estudiantes al resolver problemas de Matemática.
Evaluaciones parciales: Se planifican un total de tres evaluaciones de este tipo en las
semanas 9 y 18 del Primer Semestre y en la semana 9 del Segundo Semestre. Se realizan
para evaluar los conocimientos y habilidades adquiridas por los estudiantes durante
determinada etapa y abarcan el contenido de uno o varios temas, es decir, para
comprobar el logro de objetivos que exigen mayor nivel de asimilación y desarrollo de
habilidades y en función de los cuales se ha trabajado durante cierto tiempo.
Evaluación final de la experiencia: Se planifica en la semana 18 ó 19 del Segundo
Semestre del curso escolar. Esta evaluación consiste en un problema de aplicación del
Cálculo Diferencial e Integral a las ecuaciones diferenciales (ver temarios en el Anexo 10),
a partir de la información obtenida de esta evaluación se puede comprobar en qué medida
los estudiantes han desarrollado al habilidad resolver problemas de Matemática y que nivel
de generalización tiene la misma.
Trabajos o Tareas Extraclase:. Se utilizan durante el transcurso de la experiencia para
abordar tareas que recaban de más tiempo y dedicación del estudiante para su resolución.
Esta variante de evaluación se puede iniciar en la clase y continuar realizándose fuera de
ella, además de ser una valiosa forma de que los alumnos adquieran conocimientos y
experiencias independientemente. Las dos evaluaciones de este tipo que se realizan
específicamente para la experiencia se consideran evaluaciones frecuentes. En ambos
semestres, estas tareas se orientan en la semana 10 y se recogen en la semana 15,
posteriormente se evalúan y discuten con los estudiantes.
En los diferentes tipos de evaluaciones que se relacionaron, los problemas se incorporan
con otros ejercicios en las evaluaciones frecuentes, parciales y finales de las asignaturas
Matemática I y II.
La decisión de evaluar para la experiencia pedagógica los problemas incluidos en las
evaluaciones habituales de estas asignaturas responde al propósito de no recargar el curso
con evaluaciones, en definitiva, el objetivo de resolver problemas está muy explícito en el
programa de las asignaturas, y además, como se aprecia en la propuesta, se trata de
establecer un equilibrio entre todos los aspectos del programa, donde los problemas se
integren de forma natural y sistemática, a modo de favorecer el desarrollo de la habilidad
resolver problema de Matemática conjuntamente con la asimilación de otros
conocimientos y habilidades no excluidos de esta actividad.
A las quince semanas de finalizada la experiencia, se aplica la Prueba de Solidez para
valorar la permanencia de la habilidad desarrollada en el transcurso del tiempo.
Los temarios de las tres evaluaciones parciales escritas, de la prueba final y de la prueba
de solidez se reportan en el Anexo 10, para las dos tareas extraclase se seleccionan los
problemas # 20 y # 21 que aparecen en el Anexo 5.B. Los resultados de todas estas
evaluaciones se analizan en el siguiente capítulo.
Para proceder a una valoración individual, se realiza el análisis cualitativo de los
indicadores para determinar el rendimiento de cada estudiante. Al indagar sobre estos
aspectos, se establecen como indicadores cualitativos de la habilidad a formar en los
estudiantes, la aplicación adecuada de conocimientos y procedimientos en la resolución de
problemas de Matemática mediante la secuencia de acciones y operaciones
correspondientes a cada tarea. Así, se reporta en el Anexo 11 la escala de graduación
para obtener información precisa sobre el desarrollo de la habilidad. Como se observa en
este Anexo, cada indicador puede ser valorado con las categorías de “deficiente” hasta
“muy bien”.
Por estas razones, se presta atención al control del proceso de asimilación, lo que significa
la comparación de las acciones realizadas por los alumnos y sus resultados, con lo previsto
en los objetivos que se desean alcanzar durante el desarrollo de la experiencia pedagógica.
En este caso, el control no siempre está asociado a una calificación, sino también a los
criterios y recomendaciones que el docente ofrece a cada estudiante sobre su desempeño
en las actividades.
En relación con lo anterior, se decide que este control no lo ejerza solo el docente, como
tradicionalmente se ha hecho, sino darle al alumno una partición activa en el proceso de
evaluación, a través de la consideración crítica del propio trabajo realizado o del de sus
compañeros, de manera que el docente ofrezca la información oportuna y realice las
correcciones necesarias en las tareas, solo cuando los estudiantes no puedan hacerlo por
sí mismos.
Así, con el propósito de incentivar a los estudiantes para que emitan sus juicios sobre su
propio desempeño y el de sus compañeros al resolver los problemas, se elabora la Ficha
de Evaluación que aparece en el Anexo 12. Esta consiste en un modelo a través del cual
se registran las opiniones de los estudiantes sobre cómo valoran el aprendizaje
demostrado por cada equipo y el suyo propio al resolver los problemas en el aula.
También, durante el transcurso de las clases se da la oportunidad de intercambio entre los
integrantes del grupo que realizan la presentación y justificación de las resoluciones de los
problemas, y los restantes miembros del aula, detectándose de esta forma los errores y
dificultades en que incurren. En dicha instancia, los alumnos analizan los errores comunes
que se cometen y tienen la posibilidad de comparar diferentes formas de resolver una
tarea.
En este punto, se enfatiza la importancia de la valoración por el estudiante de todo el
trabajo realizado, permitiendo la asesoría, sugerencias y recomendaciones del profesor.
Esta forma de trabajo en la clase además de permitir que se valore el trabajo grupal, es
una vía mediante la cual el docente puede aproximarse a una evaluación individualizada.
Se observa de este modo que los aspectos anteriores se complementan a los efectos de la
recogida y análisis de datos, con la realización de una evaluación diagnóstica adecuada.
Para ello es necesario contar con instrumentos oportunos que faciliten la recopilación
sistemática de datos, con este propósito se confecciona la Hoja de Diagnóstico para las
dificultades individuales (ver Anexo 13), diseñada a objeto de obtener información sobre
el proceso de formación de las acciones de la habilidad resolver problemas, es decir,
valorar y no cuantificar la actuación del alumno.
La Hoja de Diagnóstico permite mediante observaciones personalizadas y anotaciones en
papel determinar las dificultades y tomar las medidas correctivas en el trabajo.
Para realizar el diagnóstico, se indica marcar con una cruz delante de cada uno de los
aspectos considerados en la manera de actuar del estudiante. En ese sentido, cada acción
de la habilidad resolver problemas, constituye una unidad de análisis. Esto requiere precisar
una serie de aspectos que caracterizan la ejecución de las acciones en la resolución de
problemas, y establecer la frecuencia (siempre, muchas veces, algunas veces, nunca) de su
realización, por cada estudiante. Finalmente, a partir de la frecuencia mensual obtenida, se
reflejan los resultados en la tabla de resumen del diagnóstico.
El diagnóstico se realiza en determinadas actividades para todos o algunos estudiantes de
la clase mediante la revisión de las tareas (escritas, orales, prácticas, teóricas, individuales,
grupales, ...), según se considere pertinente.
Cabe destacar aquí, que no todas las características del trabajo que se consignan en la
Hoja de Diagnóstico deben tener relación con dificultades del proceso de enseñanza-
aprendizaje, pueden también consignarse aquellas que no representan buenas técnicas de
trabajo, pero que conducen a resultados satisfactorios y que por tanto son susceptibles a
mejorarse o corregirse.
Las correcciones del proceso para mejorar el aprendizaje de los alumnos tienen el
propósito de orientar las actividades intensivas o correctivas necesarias para que el
estudiante logre el mayor rendimiento posible, por lo que se deben generar las
recomendaciones más adecuadas a nivel individual y grupal.
Es así como a partir de tareas concretas a realizar por los alumnos se aplica un programa
de atención individualizada para contribuir a la superación gradual de las deficiencias
detectadas. También fue necesario planificar consultas con frecuencia quincenal donde se
atendían no solo las dificultades con los problemas sino otros aspectos del programa,
posibilitando el trabajar con alumnos con dificultades y de esta forma favorecer una
atención más directa a estos estudiantes.
2.2.7.1 La generalización y la solidez como indicadores cualitativos de la habilidad
resolver problemas de Matemática.
Toda acción humana se caracteriza por una serie de parámetros que utilizados como
indicadores pueden servir para determinar diferentes niveles de apropiación de la acción.
De aquí, que una de las cuestiones a precisar en la tesis esté relacionada con la selección
de las características o cualidades de la acción que se aspira formar en los estudiantes.
La definición de las cualidades de las acciones constituye un aporte relevante de la teoría
de la asimilación por etapas de las acciones mentales de P.Ya. Galperin (1974,1986).
En virtud de enriquecer el proceso de valoración del desarrollo de la habilidad resolver
problemas de Matemática, se seleccionan para su análisis dos características de esta
acción que se atienden particularmente durante el transcurso de la experiencia pedagógica:
el grado de generalización y la solidez o estabilidad.
Con respecto a la generalización, esta ha sido abordada en la literatura psicológica y
pedagógica por: W. Jungk (1979), V.V. Davýdov (1981), P. Ya. Galperin (1983), G.
Martínez (1983), A.F. Labarrere (1987), N. Talízina (1988), P. Urquijo (1991), entre
otros.
En particular, N. Talízina (1985), caracteriza el grado de generalización en relación con la
extensión del concepto, como el límite de aplicación de la acción. Como toda acción tiene
sus límites de aplicación, el grado de generalización es la relación entre las situaciones a las
que el sujeto aplica el concepto y las objetivamente posibles.
Esta definición se asume en la tesis como criterio para evaluar la calidad de asimilación de
la acción. Los indicadores para el control de la generalización se reportan en el Anexo
14.
En este sentido, se considera que en el proceso de resolución de problemas matemáticos la
generalización de la acción desempeña un papel esencial en el desarrollo de la acción o
habilidad, ya que los estudiantes deben reconocer (a partir de la variedad de tareas
concretas que se les presenten) las acciones que se realizan, cómo se realizan y el por qué
deben hacerlo, mediante el establecimiento de nexos entre los diferentes problemas o
condiciones específicas de las tareas, hasta alcanzar el grado de generalización de la acción
previsto con la aplicación de la experiencia pedagógica.
Como se ha expresado, en la elaboración de las tareas se identifican un conjunto de
características estructurales (cantidad de operaciones matemáticas implicadas en su
resolución, tipo de enunciado, ubicación de las preguntas, entre otras) de manera de
enfrentar al estudiante con múltiples situaciones y así propiciar que la habilidad se forme
con un buen nivel de generalización.
Por tanto, durante la experiencia se prepara al estudiante para resolver los problemas más
diversos. Sólo hay una forma de lograrlo: establecer procedimientos suficientemente
generales al abordar las resoluciones específicas de problemas concretos, es decir, se trata
de que los enfoques generales cubran una gran cantidad de casos particulares.
Además de la generalización, para valorar la calidad de la habilidad formada, se considera
la solidez.
La solidez se relaciona con la permanencia en el tiempo de la habilidad formada. Esta
característica se vincula de forma importante al grado de generalización, lo que significa
que la acción será más sólida en la medida en que se planifique su recorrido por la vía de la
generalización gradual del procedimiento matemático al resolver los problemas basado en
la pluralidad de variación de cierto conjunto de casos particulares.
Como indicadores para el control de la solidez se utilizan los mismos que de forma general
se asumen en este apartado (ver Anexo 11).
2.3 Fases de la experiencia pedagógica.
En la experiencia pedagógica el desarrollo del proceso correspondiente a cada tema se
concibe a través de un ciclo de tres fases donde se tienen en cuenta los tres momentos
principales de cualquier actividad: orientación, ejecución y control (ver gráfico del Anexo
15). Las características de estas fases son:
? Fase de preparación.
Se presenta el problema o la situación del problema propiciando las reflexiones de los
estudiantes sobre la importancia y el posible interés que puedan generar las situaciones
presentadas, las causas que den sentido para su estudio y sus posibles implicaciones
en la carrera.
Se orientan las microacciones (operaciones) particulares para realizar cada una de las
acciones, las indicaciones para su control y se muestra cómo realizarlas. En lo
referente al contenido, se tienen en cuenta los conocimientos teóricos que constituyen
prerrequisitos para el desarrollo de la habilidad y se ponen a disposición del estudiante
los recursos necesarios para garantizar la resolución de los problemas (materiales de
orientación).
? Fase de ejecución.
1. Se ejecutan las acciones, trabajando con el apoyo del profesor y los materiales
previstos. Se resuelven problemas sencillos o con un nivel medio de dificultad
simultáneamente con otros ejercicios sobre los conceptos tratados y que puedan
incidir en el proceso de resolución, de modo que las situaciones sean apropiadas para
que se establezcan las relaciones adecuadas entre los conocimientos previos y las
experiencias nuevas. El trabajo por parejas o en equipos, en esta etapa, donde se
aprende por participación directa, favorece la “acumulación de experiencias” para
solucionar los problemas. Así, en tanto la acción material se interioriza, como
consecuencia de este proceso los estudiantes van tomando conciencia de los
problemas que deberán resolver y las estrategias para resolverlos.
2. Se organiza el debate en grupos a través de seminarios y talleres con el objeto de
entrenar el razonamiento teórico a través del análisis de los pasos de la acción, su
fundamentación y control, lo que conduce a la generalización de las acciones y juega
un papel determinante en el desarrollo de las acciones mentales de la resolución de
problemas. La interacción y la cooperación movilizan la reflexión sobre la acción, lo
que es considerado como un mecanismo básico para acceder a los niveles superiores
de abstracción e internalización. En un primer momento de esta fase el lenguaje
externo se constituye en un instrumento para el análisis de los problemas y
posteriormente se establecen las representaciones mentales de las acciones. De esta
forma, el estudiante reproduce para sí mismo las características y condiciones del
ejercicio o problema planteado.
3. El estudiante soluciona independientemente los problemas, se analizan las
consideraciones de posibles perspectivas (replanteamiento del estudio a otro nivel de
complejidad, problemas derivados, etc), lo que se complementa con un esfuerzo
integrador que considere la inserción del tema tratado en el sistema de conocimientos
así como su posible implicación por la transferencia de sus resultados, métodos e ideas
a otras áreas del conocimiento. Se realizan además las reflexiones críticas sobre los
resultados obtenidos al resolver los problemas.
? Fase de control.
Esta fase tiene por objetivo verificar el proceso de resolución. Por lo tanto, incluye
actividades que abarcan desde la planificación del proceso de resolución del problema, el
monitoreo de lo que se lleva a cabo y la evaluación de todo lo realizado.
De este modo, durante el proceso de resolución de problemas matemáticos se propicia
que el control se dirija al proceso y no sólo a los resultados.
Es preciso también atender las actividades de valoración y autocontrol, es decir, enseñar
a los estudiantes a evaluar lo que realizan, a obtener conocimiento de cómo actuar y que
acciones se deben implementar como resultado de la retroalimentación, lo que estimula el
componente metacognitivo de su pensamiento.
Este proceso se favorece al propiciar la autogestión del estudiante en la detección y
corrección de los errores, ya que en muchas ocasiones se tiende a concentrar el análisis de
los errores en dificultades operatorias o de contenido y no en el proceso, es decir, en la
conexión de ideas y la forma en que las desarrollan los alumnos al resolver problemas. De
esta manera, es necesario saber detectar los errores, las causas que los originan y sus
soluciones.
Durante el desarrollo de estas fases se conduce la incorporación de los estudiantes en la
realización de las tareas a resolver, propiciando su participación, motivándoles por
descubrir por sí mismos la esencia del proceso de construcción de los conocimientos,
recordando a través de los pasos propuestos aspectos esenciales de la resolución de
problemas, los que deben trabajarse permanentemente en la enseñanza de la Matemática
y no sólo en algunas actividades aisladas.
Bajo esta perspectiva general de la investigación, se identifican en el proceso de
enseñanza-aprendizaje un grupo de características, que reúne la experiencia pedagógica,
inherentes también al sistema de acciones para resolver problemas de Matemática que se
describió en la tesis. En particular se enfatiza en:
- Carácter flexible y abierto: Porque admite la incorporación de otras microacciones,
y se manifiestan a través de la resolución de diversos tipos de problemas. Por ejemplo,
al ejecutar acciones que se relacionan de forma más directa con actividades de
resolución de problemas diseñadas como pequeñas investigaciones o al aplicar
habilidades matemáticas tales como el cálculo de longitudes, áreas y volúmenes, que
se incorporan a través de la resolución de problemas, además de otro cúmulo de
actividades aritméticas, algebraicas y geométricas que se exigen para el desarrollo
integral del profesional. Además, la función del sistema de acciones no sólo se limita al
desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática, sino que favorece la
calidad del proceso al permitir que los estudiantes alcancen, entre otras, generalidad,
independencia, criticidad y consecutividad de pensamiento. Estas particularidades del
pensamiento de los alumnos se manifestaron al aplicar procedimientos generales para
resolver diversos problemas, expresar su punto de vista personal sobre el tratamiento
de los problemas, resolver los problemas con recursos propios y aplicar
ordenadamente la secuencia de acciones para obtener las soluciones de los
problemas. Estas características no son exclusivas del pensamiento matemático sino
que se hayan presentes en todas las otras formas de pensar.
- Carácter continuo: Porque se aplican de acuerdo a una frecuencia y periodicidad
que establece su incorporación diaria y sistemática en el proceso de enseñanza-
aprendizaje de la resolución de problemas ya sea dentro o fuera del aula.
- Carácter interacctivo: Porque las actividades de resolución de problemas se llevan a
efecto a través de variadas formas de cooperación y comunicación en un contexto
donde se propician el establecimiento de las relaciones estudiante-estudiante,
profesor-estudiante y profesor-estudiante-conocimiento matemático.
- Carácter dinámico: Porque se parte de una concepción social y cultural del
conocimiento matemático, donde la práctica de la misma no se identifica como una
actividad controlada en sentido estricto por definiciones, teoremas o axiomas, pues es
a partir de la argumentación, el debate, la conjetura, la cooperación, que se construye
el conocimiento matemático y se resuelven los problemas. Este punto de vista
dinámico de las matemáticas trae como consecuencias que se asuma como disciplina
cambiante, dialéctica, tal como se le considera a otras disciplinas productos de la
actividad humana, que se atribuya importancia a las múltiples aplicaciones de las
matemáticas y sobre todo que se abran las posibilidades para que los estudiantes
desarrollen sus conocimientos matemáticos en el proceso de resolución de problemas.
2.4 Conclusiones.
A modo de síntesis se presentan las conclusiones de la exposición anterior en los siguientes
puntos:
- La gran mayoría de los profesores consultados consideran que las dificultades en la
resolución de problemas de Matemática se deben a deficiencias en el aprendizaje de
los alumnos, sin embargo, se manifiestan criterios que hacen imprescindible acceder a
otros tipos de explicaciones de carácter pedagógico, como puede ser la forma en que
se desarrolla el proceso de enseñanza-aprendizaje.
- La definición e instrumentación de los diferentes componentes (objetivos, contenidos,
métodos, formas de enseñanza, tareas, medios, evaluación) y acciones propuestas a
través de esta experiencia pedagógica permiten el reconocimiento de la resolución de
problemas de Matemática dentro del proceso de enseñanza-aprendizaje con un
enfoque holístico y dialéctico.
- Se determinan las fases de preparación, ejecución y control al planificarse las acciones
educativas durante la experiencia. Para ello se toman en cuenta los momentos de
orientación, ejecución y control de las acciones que realiza el estudiante durante el
proceso de formación de la habilidad resolver problemas de Matemática.
- El sistema de tareas se elabora considerando preparar al estudiante para resolver los
problemas más diversos y de esta forma establecer procedimientos generales al
abordar las resoluciones específicas de problemas concretos, es decir, se trata de que
los enfoques generales de las resoluciones cubran una considerable cantidad de casos
particulares.
- El sistema de evaluación se diseña en correspondencia con el objetivo de la
experiencia pedagógica, considerando que la calidad de la formación de la habilidad
viene dada por las características de la acción que deben poseer las habilidades
trazadas en los objetivos del programa de las asignaturas.
CAPÍTULO 3.
ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS DE LA EXPERIENCIA PEDAGÓGICA.
Este capítulo está dedicado al análisis de los resultados de la investigación, los datos y
apuntes registrados se explican a partir de las valoraciones sistemáticas realizadas por el
investigador a través de la evaluación de un conjunto de variables o indicadores de
progreso, que ofrecen una visión del proceso de formación y desarrollo de la habilidad
resolver problemas de Matemática en los alumnos durante el transcurso de la experiencia
pedagógica.
Finalmente resultó de mucho interés contar con las opiniones de los docentes acerca de la
efectividad de las acciones educativas llevadas a cabo y de los propios estudiantes bajo las
condiciones en que se desarrollaron los experimentos.
3.1 Resultados del diagnóstico inicial.
Al inicio de cada curso escolar se aplicó la Prueba de Diagnóstico a los cinco grupos de
estudiantes que participaron en la experiencia.
Con relación a los temarios, para cada una estas pruebas, se elaboraron dos problemas
donde los estudiantes debían aplicar sus conocimientos sobre sistemas de ecuaciones
lineales y trigonometría (ver Anexo 10), contenidos que se imparten en la Enseñanza
General Media. Los problemas utilizados, en general, corresponden a situaciones análogas
a las abordadas en este nivel de enseñanza, ya sea en clases o libros de texto, lo cual fue
debidamente confirmado en el proceso de trabajo previo a la aplicación de esta prueba.
Para su realización los alumnos contaban con un tiempo de cincuenta minutos.
Para analizar las resoluciones de los problemas se utilizaron los indicadores del nivel de
desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática (ver tabla del Anexo 11).
Los resultados de esta prueba mostraron en buena medida las dificultades específicas de
aprendizaje de los estudiantes tratados, lo que se comprueba por los porcentajes de los
que se ubicaron en los Niveles I (Muy Bien), II (Bien) y III (Regular): 28,12%; 28,57%;
32,14%; 27,77% y 37,05%, en cada grupo respectivamente. Por otra parte, es
significativo -en relación con el número total de alumnos ubicados en los tres primeros
niveles- el por ciento de estudiantes en el Nivel II (12,50%; 7,14%; 10,71%; 11,11% y
14,81%) y en el Nivel I (6,25%; 14,28%; 7,14%; 5,55% y 14,81%) sucesivamente en
cada uno de los cursos en que se realizó el estudio (ver Anexo 16.A).
Los resultados de la evaluación diagnóstica – de manera particular, el problema No.1 -
arrojaron los siguientes datos: más del 90%, exactamente 30, 11, 26, 17 y 24 de los
alumnos de cada grupo comenzaron la resolución con el planteo de los datos, alrededor de
un 60% (20, 9, 17, 12 y 14 estudiantes) identificó que se trataba de un problema a
resolver a través de un sistema de ecuaciones lineales, aunque no sea correcta la
modelación en todos los casos, alrededor de un 25% (7, 4, 9, 6 y 4 alumnos) plantea una
ecuación (lineal, cuadrática, etc) y otros (el 6%), 2 del Grupo I, 3 del Grupo II y 2 del
Grupo V, no intentaron resolver el problema.
En cuanto al Problema No.2, que se ubica en el tema de Trigonometría, para facilitar su
resolución se requería representar gráficamente la situación del problema. De ahí que nos
llamara poderosamente la atención la ausencia del recurso gráfico en las resoluciones de
los estudiantes, solo lo hacen o intentan alrededor del 40%, es decir, 14, 6, 11, 9 y 8
estudiantes en cada grupo. No obstante, el 62% de los alumnos (22, 8, 19, 10 y 15 por
grupo) identificó aspectos tratados en Trigonometría como el instrumento teórico a aplicar,
lo que se constata por la presencia en la hoja de la prueba de identidades, valores
funcionales, fórmulas, etc., de esta rama de la Matemática, aunque su aplicación al
problema no sea correcta.
Son oportunas otras dos valoraciones: la primera, que el 61%, específicamente 18, 10, 16,
11 y 17 de los estudiantes de cada grupo; identificó qué conocimientos matemáticos se
necesitaban para resolver los problemas pero no la forma de proceder para obtener sus
soluciones y la segunda, que a pesar de que en una gran mayoría de las resoluciones, la
modelación no es correcta, el proceso de resolución en base a esta modelación (en 8, 4,
10, 5 y 11 de las resoluciones, el 32%), excluyendo los estudiantes ubicados en los
Niveles I (Muy bien) y II (Bien), nos demostró que los alumnos tenían dominio de otros
conocimientos y habilidades previstas en los programas de estudio, pero no siempre el
procedimiento o estrategia general de resolución se desarrollaba de la forma más
adecuada.
Sobre las respuestas de los problemas, generalmente, estas se indicaban con alguna
señalización del resultado numérico, solo alrededor de un 15% (4, 2, 4, 3 y 5 alumnos) lo
hace de forma literal. También se pudo constatar que el 21%, en cada grupo (5, 3, 5, 4 y 8
estudiantes), consideraba como solución de un problema, números o magnitudes
“desconectados” o que no tenían relación lógica con la situación del mismo, lo que indica
que los alumnos no reflexionaron sobre este particular.
En resumen, los errores más comunes que se detectaron estuvieron asociados a cálculos
numéricos, representación gráfica de la situación, al análisis de los enunciados, la forma de
presentar el proceso de resolución y respuestas absurdas.
De las características más comunes que aparecieron en las resoluciones de esta prueba se
muestra el ejemplo del estudiante G.H.: En el Problema #1 que se resuelve mediante un
sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas se constató que los datos no fueron
expresados correctamente, seguidamente se planteó el sistema de ecuaciones lineales, con
un error de signo en una de las ecuaciones. El alumno procedió a resolver el sistema
formado por estas tres ecuaciones aplicando correctamente el método de adición y
sustracción. Aunque el procedimiento de resolución fue correcto, los valores hallados para
cada variable no se correspondían con la situación del problema, pero sobre este particular
el alumno al parecer no reflexionó ya que no se evidenció revisión alguna en busca de
posibles errores en el proceso de resolución. Por último, el estudiante no dio respuesta
textual al problema, sólo señalizó los valores obtenidos (esto lo interpretamos como la
respuesta al problema).
En el Problema #2 a resolver aplicando conocimientos de trigonometría, el alumno no
intenta representar gráficamente la situación del enunciado del problema, limitándose sólo a
plantear algunas identidades en la hoja de la prueba.
Del análisis anterior se puede concluir, que al resolver los problemas, los estudiantes por lo
general, del planteo de los datos, pasan a la modelación y de esta a la aplicación de
operaciones algebraicas y cálculos numéricos, incurriendo en las dificultades que se
mencionaron. Este proceso habitual, según el sentido de la investigación, debe ser
reforzado por las acciones educativas que se formularon en el capítulo anterior.
A partir de estos elementos preliminares, se realizó el trabajo con los estudiantes, tal como
se refiere a continuación.
3.2 Presentación y análisis de los resultados correspondientes al modo en que los
estudiantes resuelven los problemas de Matemática.
En virtud de que se trataban de explorar los cambios que se producían en los alumnos fue
necesario que las acciones de la habilidad resolver problemas de Matemática se
compatibilizaran con la práctica del estudiante, y demostrar que el procedimiento aplicado
en la experiencia pedagógica para formar y desarrollar las acciones propuestas, resultara
eficaz y duradero; además, como toda actividad didáctica, para tener éxito ha de ser
satisfactoria para el alumnado. A partir de estas consideraciones se analizaron las
resoluciones de los estudiantes.
De este modo, se prestó especial atención a las acciones o secuencias operativas que se
iban ejecutando a través de todo el proceso de resolución.
Además, la presentación comentada de algunas de las resoluciones de los alumnos y la
elaboración de esquemas secuenciales o comentarios reflejando los pasos seguidos en la
resolución de los problemas, nos permitieron comprobar si estas actuaciones se realizaban
de acuerdo con las orientaciones dadas en el aula y a su vez, valorar el efecto de la nueva
concepción pedagógica de enseñanza, en la calidad de la asimilación de las acciones por
los estudiantes.
Por otra parte, en la investigación se consideraron las fases de preparación, ejecución y de
control de todo el proceso de trabajo con los problemas. En este sentido, como parte de
las condiciones pedagógicas creadas en la etapa inicial de trabajo, se puso a disposición
del estudiante la guía didáctica para resolver problemas, hasta que el alumno pudiera
prescindir de la misma.
Incluso para aquellos estudiantes que no necesitaban de ninguna indicación resultó útil
revisar, en un primer momento, el tratamiento propuesto en la guía.
Así, se pudo comprobar que durante el desarrollo de la experiencia, aproximadamente el
10% de los estudiantes la incorporó sólo durante las primeras dos o tres semanas, un 50%
utilizó la guía durante un período de tiempo que oscilaba entre las seis y nueve semanas, un
15% extendió su uso a unas diez o doce semanas y otro 10% tuvo que incorporarla por
más tiempo, el resto, que constituye un 15%, apenas la llegó a utilizar. Aunque estos datos
no son absolutos, no se manifestaron diferencias sustanciales sobre su tiempo de aplicación
entre los diferentes cursos.
Se observó que la elaboración y utilización adecuada de esta guía en el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas brindó a los estudiantes las siguientes
ventajas:
- Posibilidad de manipular y explorar el objeto de estudio.
- Orientar y organizar el proceso de resolución de problemas de Matemática.
- Individualiza el proceso de formación de la habilidad resolver problemas de
Matemática, ya que cada estudiante puede contar con un apoyo externo.
- Familiarización paulatina con las preguntas y recomendaciones de la guía.
- Implementación de las acciones como resultado del análisis de la guía.
- Involucrarse activamente en el proceso de resolución de los problemas.
- Contar con una base de análisis para el “descubrimiento” de procedimientos y
relaciones entre diversos problemas.
Otro medio de enseñanza que también resultó de gran utilidad, es el folleto de problemas
resueltos, como se dijo, a través del mismo los estudiantes recibían indicaciones para
resolver diferentes problemas. Lo utilizaron el 100% de los estudiantes durante todo el
transcurso de la experiencia.
Por otra parte, desde los inicios del trabajo se observó que entre los estudiantes, algunos
estaban especialmente sensibilizados a cuestiones profesionales, otros a desafíos de
problemas específicos de la Matemática o de aplicación de esta disciplina. Algunos
alumnos aumentaron su interés cuando se abordaron problemas desde un marco histórico
que proporcionaba una visión dinámica de la evolución de la Matemática. Desde este
amplio contexto social y cultural se buscaron estrategias de motivación que estimularon a
los estudiantes a indagar en sus recursos propios y su desarrollo intelectual en general.
Además, considerando la importancia del componente educativo dentro del proceso
cognoscitivo, se trabajó durante el transcurso de la experiencia para que los estudiantes:
participaran del trabajo en grupo, juzgaran su propio desempeño y el de los demás, y a su
vez, desarrollaran cualidades tales como la perseverancia, la disposición por solucionar los
problemas, entre otras.
Para el logro de los propósitos anteriores, se plantea una exigencia para el docente:
propiciar un equilibrio adecuado entre las actividades que el estudiante realiza
individualmente y las que realiza en colaboración con otros miembros del grupo. A tal
efecto, se describe brevemente la estrategia aplicada en las sesiones de clases con los
problemas, en esta actividad se enfoca el proceso de desarrollo de habilidades de cada
alumno desde el trabajo en grupo.
En este sentido, desde el inicio de la experiencia, al abordarse los problemas en el aula se
presentó una excelente oportunidad para la realización de tareas colectivas (por parejas o
equipos hasta de seis integrantes), dirigidas por el profesor. Particularmente se da la
posibilidad de organizar actividades mediante un trabajo grupal que promueva la discusión
de los aspectos más controvertidos del Programa de las Asignaturas, donde obviamente
se incluye la resolución de problemas, desarrollando la cooperación y la enseñanza
recíproca entre los estudiantes. Esto sería útil también para atender a la diversidad y
conseguir que todas las personas de la clase obtengan logros en la medida de sus
posibilidades y empeños, hasta que progresivamente adquieran experiencia y puedan
realizar las tareas de forma individual.
Por otra parte, el trabajo en pequeños grupos ha sido motivo de amplia discusión en la
investigación didáctica y ha sido recomendado por diversos autores: L. Klingberg (1978),
K. Mujina y N. Cherkes-Zade (1981), A. Amador (1987), G. Labarrere y G.E. Valdivia
(1988), y otros.
Dentro de este marco se señala que la resolución de problemas será más efectiva cuando
se realice en pequeños grupos de trabajo, pues ofrece la posibilidad de enriquecimiento, el
grupo proporciona apoyo y estimulo, permite contrastar los progresos, etc.
En este proceso el profesor puede también participar para que las ideas progresen,
revisando y valorando el trabajo y ofreciendo sugerencias que ayuden a resolver un
determinado problema (M. de Guzmán, 1993).
Otra importante argumentación al respecto advierte que en un debate cooperativo, la
presión social puede empujar al colectivo hacia consensos rápidos que no contemplen los
ritmos o los razonamientos individuales (J.A. Rowell et al, 1990).
Contando con estas referencias y atendiendo al contexto en que se realizan las actividades
docentes, desde el punto de vista educativo los marcos conceptuales del Enfoque
Histórico Cultural, proporcionan elementos suficientes para fundamentar la organización
del proceso de resolución de problemas en las aulas partiendo de la experiencia que
puede asimilar un estudiante a través de actividades grupales.
En efecto, a través del grupo se van produciendo las configuraciones sociales de la
experiencia personal. De este modo, mediante la interacción entre los miembros del grupo
se proporciona a cada estudiante los puntos de referencia para establecer jerarquías entre
los problemas que se le proponen resolver y distinguir las acciones que conducen a su
solución. A su vez, cada problema sirve de retroalimentación y motivación para otros.
Proporcionar al estudiante actividades que cumplan estas premisas genera conocimiento
personal nuevo, el cual se integra a los recursos cognitivos del estudiante.
Así pues, a partir de la formación de equipos que contaban inicialmente con cinco o seis
estudiantes, el docente trata de que se vayan fragmentando paulatinamente a través de las
sesiones de trabajo, hasta constituirse en grupos de dos integrantes. Esta fragmentación
hace posible la participación de todos, que exponen sus ideas, necesariamente, en un clima
mucho más informal, con ello se logra, desde la heterogeneidad de los miembros, la
aportación de variados puntos de vista. De esta forma además se “obliga” a los
estudiantes a realizar un esfuerzo progresivo en la resolución de las tareas.
Por otro lado, si bien el trabajo grupal resulta fundamental para el desarrollo de la
habilidad resolver problemas de Matemática, no se puede perder de vista el trabajo
individual, ambos están estrechamente relacionados.
Es así como después de realizar algunas tareas en grupo se organizan actividades de
aprendizaje que permiten observar el nivel de desarrollo de cada estudiante, de forma que
el docente identifique a los que requieren de una atención especial y se asuman las
medidas pertinentes.
3.3 La resolución de problemas y la organización de situaciones didácticas que
faciliten la utilización del pensamiento reflexivo del estudiante.
Para lograr que las diferentes acciones que supone enfrentar el proceso de resolución de
problemas de Matemática tengan un efecto duradero fue necesario que los estudiantes
constaran con toda claridad lo aprendido concretamente. Para ello resultó importante la
reflexión habitual en el aula sobre el trabajo realizado, pero también fue conveniente
realizar actividades consistentes en que cada alumno reflexionara sobre lo que se había
aprendido al final de cada tema, comparándolo con el punto de partida, explorar en los
diferentes pasos realizados, comprobar cual ha sido su participación en las tareas, así
como los aportes que han sido posibles desde el trabajo en grupo o con la ayuda del
profesor, es decir, que aprendiera de las experiencias matemáticas reflexionando sobre lo
realizado. De esta forma los estudiantes conocen qué es lo que han hecho correctamente,
qué es lo que han hecho incorrectamente y cómo pueden superarlo.
De acuerdo con esta concepción, se elaboraron medios de enseñanza por parte del
docente, de los cuales se derivaron una serie de acciones metodológicas que ayudaron a
plantear y resolver los problemas. Entre estas acciones son particularmente importantes
aquellas que favorecieron el pensamiento generalizador, crítico y reflexivo, las que
facilitaron la emisión de preguntas y sugerencias, propiciaron el análisis de la información, el
debate de las ideas, etc.
Lo anterior constituye un argumento a favor de la necesidad de que se crearan a través de
la experiencia pedagógica los espacios para que los estudiantes pudiera reflexionar. Esto se
tuvo en cuenta a la hora de planificar las secuencias de actividades y su desarrollo temporal
y por supuesto al seleccionar los problemas.
Así, de modo general algunas de las acciones que promovieron la reflexión individual y
colectiva en la experiencia pedagógica fueron:
- Se proporcionó al estudiante la orientación que necesitaba sobre el proceso de
resolución de problemas de Matemática, realizándose una labor de ayuda dirigida más
a hacer preguntas y fomentar en los alumnos el hábito de preguntarse, que a dar
respuestas a sus preguntas.
- Se analizaron los enunciados de los problemas en grupo y en caso de ser necesario se
redactaron de otra manera, lo que resultó muy eficaz para la elaboración de nuevos
enunciados o al estructurar un enunciado a partir de los datos, lo que simultáneamente
dio la posibilidad al docente de reflexionar sobre “su enunciado”. Además, modificar el
formato de los problemas, en ocasiones, con los estudiantes, evitó que el alumno
identificara una forma de presentación con determinado tipo de problema.
- Se plantearon tareas abiertas que admitían varias propuestas de solución.
- Se diversificaron los contextos planteando tareas que vincularon al estudiante con su
futura práctica profesional y con otras disciplinas del currículo. Igualmente, se propició
que el estudiante trabajara los mismos tipos de problemas en distintos momentos y con
diferentes grados de dificultad, lo que favoreció la generalización y facilitó la
aplicación de los conocimientos en nuevos problemas.
- Se estimuló a los estudiantes para que planificaran varias estrategias de solución antes
de optar por una de ellas.
- Se trató de habituar al alumno a adoptar sus propias decisiones sobre el proceso de
resolución, concediéndoles una independencia creciente en el proceso de toma de
decisiones.
- Se fomentó la cooperación entre los estudiantes en la realización de las tareas, pero
también se incentivaron los puntos de vista diversos, que obligaron a explorar el
problema, confrontar soluciones y vías de solución alternativas y ser críticos de sus
propias ideas, hasta que la situación lo exija.
- Se trató de motivar a los estudiantes para que no se detuvieran cuando el proceso de
resolución se viera impedido, regresando sobre sus pasos y reconsiderando la vía de
solución.
- Se concedió un tiempo al estudiante cuando concluía la tarea para pensar sobre lo
realizado, profundizando en los momentos claves del proceso de resolución.
- Se facilitó que el estudiante valorara cuál había sido su participación en las tareas, la
ayuda aportada por el profesor, así como las contribuciones que habían sido posibles
desde el trabajo en grupo.
- Entre otras ... que se reconocen a lo largo del trabajo.
Lo anterior indica que desde el punto de vista del investigador, la apropiación de
conocimientos y procedimientos matemáticos requieren; primero, de la actividad del sujeto;
y segundo, de un proceso de reflexión del sujeto sobre su propia actividad.
Esta línea central de trabajo estuvo enmarcada en un contexto de enseñanza definido por
un conjunto de actividades, experiencias y situaciones que se seleccionaron por su
potencial educativo y sustentaron un conjunto de principios orientadores sobre la
resolución de problemas de Matemática cuya estructura cognitiva permitió a los estudiantes
generar reflexión y juzgar sus propias formas de actuar.
3.4 Caracterización del proceso de enseñar y aprender a resolver problemas de
Matemática: datos cuantitativos y análisis cualitativo.
De acuerdo con la estructura general del trabajo, se presentan los resultados de las
evaluaciones aplicadas a los estudiantes en dos etapas que se corresponden
respectivamente con los semestres en que se impartieron las asignaturas Matemática I y II,
simultáneamente se analizan las características generales de ambas etapas.
3.4.1 Análisis de los resultados de la Primera Etapa.
En esta etapa, las evaluaciones que se aplicaron fueron: la Primera Prueba Parcial Escrita,
la Primera Prueba Oral, la Primera Tarea de Control Extraclase y la Segunda Prueba
Parcial Escrita. Los resultados de estas evaluaciones se valoran de forma general para los
cinco grupos que participaron en la experiencia.
En los Anexos 10, 16.A y 16.B se reportan los resultados cuantitativos y los problemas
que contenían los temarios confeccionados para evaluar.
La Primera Prueba Parcial Escrita se aplicó en la semana 9 del Primer Semestre del curso
escolar sobre el tema de Cálculo Diferencial, específicamente tuvo por objetivo que los
estudiantes fueran capaces de resolver problemas de cálculo aproximado utilizando el
diferencial como aproximación del incremento (ver Anexo 10).
Para el análisis de las respuestas se aplicaron los indicadores del nivel de desarrollo de la
habilidad resolver problemas de Matemática (ver anexo 11).
En esta Primera Prueba Parcial, los estudiantes consideraron primeramente analizar con
más cuidado el enunciado del problema, lo que se infirió a través de la disposición de los
datos o algún que otro intento de graficación.
A su vez, se pudo apreciar claramente que persistían las dificultades con la elaboración de
la estrategia de resolución y en consecuencia con la ejecución propiamente dicha, pero
resultó de interés comprobar que alrededor de un 25% (7, 4, 6, 3 y 9 de los estudiantes de
cada grupo) escribían anotaciones al respecto y un por ciento superior (41%), es decir, 11,
7, 11, 9 y 10 alumnos por grupo, explicaban brevemente los pasos seguidos durante el
proceso de resolución, aunque en muchos casos estos no se expresaron con suficiente
claridad o no fueran los requeridos. No obstante, aún en el caso de las peores
resoluciones, los comentarios sobre las reflexiones realizadas indicaban que se intentaba
elaborar una estrategia coherente (no apareciendo suficientemente desarrollada en
numerosos casos, que representan el 24% (5, 3, 8, 2 y 10 estudiantes), por ser
consideradas innecesarias estas precisiones por algunos alumnos.
A todo esto hay que agregar que se tuvo más cuidado al plantear la respuesta del
problema, ya que 18 estudiantes, 4, 2, 5, 3 y 4 por grupo (16%), con resultados que no
satisfacían las condiciones del enunciado, reconocían a través de este aspecto la existencia
de alguna dificultad durante el proceso de resolución. En ese caso, se consideró en este
momento de la experiencia como muy favorable que un alumno pudiera reconocer la
validez o no de la solución, aunque no pudiera detectar donde había cometido el error.
En cuanto al número de estudiantes que no fueron capaces de realizar el problema,
abandonando o no realizando intentos de resolución, los porcentajes fueron de 12,50%;
28,57%; 7,14%; 16,66% y 18,51% respectivamente en cada grupo, lo que pudo deberse
a varias causas: falta de motivación e interés por esta actividad, dificultades con el dominio
de los contenidos matemáticos o con asumir las orientaciones para resolver los problemas.
Resumiendo, la localización de dificultades desde el análisis del enunciado de los
problemas hasta la aplicación de los conceptos matemáticos y la valoración de la respuesta
obtenida, interferían el proceso de resolución. En estas direcciones evidentemente, había
que reforzar el trabajo con los estudiantes.
En los casos de estudiantes con mayores dificultades, para superar las deficiencias
detectadas resultó conveniente que no sólo se planificaran prácticas adicionales sino
también reorientar las tareas de la mejor manera o regresar a los estudiantes a la fase
preparatoria del proceso de aprendizaje de la resolución de problemas de Matemática.
Como se ha expresado, para valorar el nivel de desarrollo de la habilidad investigada, se
realizaron también evaluaciones orales. Corresponde ahora analizar los resultados de la
Primera Prueba Oral aplicada en la semana 13 del Primer Semestre y en la que se
presentaron problemas de aplicación del Cálculo Diferencial.
Es conveniente se aclare, que a pesar de que se les explicó a los estudiantes los beneficios
que reporta este tipo de prueba oral, tuvimos dificultades para concretarla en esta primera
etapa pues los alumnos se “resistían” a un cambio en este sentido, prefiriendo la forma
tradicional escrita e individual. Se observa que esta actitud se revirtió en el segundo
semestre, debido a que ya en esa etapa de la investigación gran parte del alumnado había
comprendido las implicaciones del objetivo planteado y por otro lado, percibían una
significativa mejoría en su aprendizaje.
Los resultados más relevantes obtenidos con la aplicación de esta prueba se exponen a
continuación y se cuantifican en el Anexo 9.B:
- Los estudiantes (el 97%) comenzaron el proceso de resolución inmediatamente,
utilizando los datos directamente y tratando de identificar el tipo de problema. Como
resultado, se estima que esta forma de proceder proviene o conduce a la memorización
y a la repetición de esquemas prácticos ya desarrollados en clases, sin duda los
alumnos aprenden a retener y reproducir información, lo que se evidenció en las
preguntas que el investigador realizó al respecto. Excepcionalmente, sólo 3 alumnos
del Grupo III y 1 del Grupo V (el 3%), de la lectura del enunciado del problema
prosiguieron con un análisis estructural, cualitativo y operacional del mismo o con
alguna reflexión al respecto.
- El estudio reveló otro dato de interés, durante la realización de la prueba casi la mitad
de los alumnos, 12, 7, 11, 9 y 13 de cada grupo respectivamente (el 44%), siempre
trataban de realizar acciones, aunque en estas se evidenciara que desconocían o no
comprendían la situación del problema. Esto indicaba que, por lo general ejecutaban
pasos similares a los de “otro problema resuelto con anterioridad” lo que se atribuyó a
una insuficiente reflexión sobre los problemas que se les proponían.
- El tiempo empleado en la resolución, incluyendo la lectura del enunciado, no superaba
generalmente los 10 minutos en los casos de estudiantes que tenían dificultades. Sin
embargo, los estudiantes con mejores desempeños, se tomaban más tiempo para
resolver el problema.
- La mayoría de los estudiantes (30, 14, 25, 17 y 27 en cada grupo respectivamente, el
95%) no consideraban en las resoluciones estrategias alternativas. Excepto 2 alumnos
del Grupo I, 3 del Grupo III y 1 del Grupo V que presentaron variantes de estrategias
de resolución.
- Se comprobó que un 38% de los estudiantes (10, 7, 11, 6 y 11 en cada grupo)
presentaba dificultades con algunas operaciones matemáticas que debían aplicar para
resolver los problemas, por ejemplo, con las operaciones aritméticas elementales y el
calculo de derivadas. Además, cuando las fundamentaciones remitían a enunciar
conceptos y teoremas tratados en clase, los alumnos manifestaron que les resultaba
difícil explicarlos con el lenguaje apropiado.
- Pocos estudiantes (el 15%), entre los que se encontraban 4 del Grupo I, 2 del Grupo
II, 5 del Grupo III, 4 del grupo IV y 3 del Grupo V, dudaron de la validez de la
solución alcanzada. El resto de los alumnos daban por finalizado el proceso de
resolución al obtener un resultado numérico, pero que frecuentemente no se
correspondía con las condiciones del enunciado. Además, la respuesta correcta, en
ocasiones, podía ser accidental. Esto indica que no se analizaba suficientemente lo que
se preguntaba, particularidad que se detectó cuando el profesor indagaba al respecto.
El reconocimiento de estas deficiencias conlleva una valoración desde diferentes ángulos;
en primer lugar, el análisis de las respuestas reveló que los estudiantes de los diferentes
grupos tenían dificultades similares en el nivel de desarrollo de las acciones estudiadas, lo
que se manifestó en:
- Dificultades para realizar el análisis estructural, cualitativo y operacional de los
problemas.
- Dificultades para ejecutar operaciones y cálculos matemáticos.
- Dificultades para explicar el procedimiento seguido al resolver el problema. En este
caso se presentaron dos situaciones:
a) El proceso de resolución es correcto, pero no se explica adecuadamente.
b) Tanto el proceso de resolución como la explicación son incorrectas.
En segundo lugar, del intercambio con los estudiantes se comprobó que muchas veces
estos actuaban de forma mecánica, sin comprender, en esencia, la situación del problema,
aunque lo hayan resuelto casi correctamente. Conviene entonces preguntarse por la
tendencia a utilizar datos directamente, por la incorporación de estrategias que reproducen
de forma no reflexiva un algoritmo aprendido, por no plantearse modificaciones de
actuación respecto a lo que se recuerda y no dudar del resultado obtenido. Estos podrían
ser argumentos necesarios para que se enfatice al estudiante en la necesidad de reflexionar
sobre la secuencia de acciones y operaciones que conduzcan a una solución satisfactoria
del problema.
Estas conclusiones extraídas después de la aplicación de la Primera Prueba Oral, nos
permitieron determinar “zonas” para trabajar y accionar con los estudiantes con el
propósito de inducir un modo de actuación que favorezca el encadenar coherentemente las
acciones para que resulten eficaces al resolver problemas de Matemática.
La Primera Tarea de Control Extraclase que se orientaba en la semana 10 y evaluaba en la
15, contenía un problema abierto (ver Problema #20 en el Anexo 5.B) cuya resolución
requería de una pequeña investigación.
En cuanto al desempeño respuestas de los estudiantes en esta tarea, se pudo comprobar
una mejoría en las resoluciones, tal como indicaban la búsqueda de los datos, el análisis
cualitativo preliminar de la situación, las alternativas de resolución, la organización del
proceso de resolución y las soluciones obtenidas.
Se manifestaron algunas deficiencias en el cálculo aritmético, no obstante la cantidad de
respuestas correctas en todos los grupos siempre fue superior al 55%.
Consecuentemente, los resultados cuantitativos que se reportan en el Anexo 16.B muestran
los siguientes porcentajes de estudiantes ubicados en los Niveles I (Muy Bien), II (Bien) y
III (Regular): 56,25% (Grupo I), 64,28% (Grupo II), 65,38% (Grupo III), 61,11%
(Grupo IV) y 62,96% (Grupo V).
Durante la realización de esta tarea se observó que los estudiantes mostraron curiosidad
por indagar y explorar en situaciones de la vida real, interés por obtener informaciones a
través de diversas fuentes (profesores, bibliografía, etc), confianza en sus propias
potencialidades y disposición por elaborar estrategias de resolución personales y por el
resultado de la tarea. Estas características se estima fueron favorecidas por la situación del
problema y por el trabajo realizado en el aula.
En la Segunda Prueba Parcial Escrita, que se aplicó en la semana 18 del curso escolar, se
propuso a los estudiantes resolver un problema de optimización y en el caso del grupo V
(Plan C´), un problema de aplicación del Cálculo Integral, los temarios de estas pruebas se
reportan en el Anexo 10.
El análisis de algunas de las situaciones de estos problemas, se favorecía si los estudiantes
consideraban realizar su representación gráfica.
En cada grupo, más del 85% de los estudiantes que llegaron a esta etapa de la experiencia
realizaron intentos en este sentido, logrando más del 60% (24, 10, 18 y 15 alumnos de los
Grupos I, II, III y IV respectivamente) representar gráficamente la situación del problema.
En el caso del Grupo V, aunque no se requería necesariamente de un gráfico para apoyar
el proceso de resolución, 15 estudiantes representaron correctamente la función lineal que
aparece en el enunciado del problema.
También se pudo comprobar que alrededor del 56% modelaron correctamente el
problema, lo que indica la asimilación progresiva de las acciones propuestas. Este hecho
gradual está en dependencia de un conjunto de factores ya referidos que se propiciaron en
la experiencia pedagógica a partir de la propia práctica y además apuntan al desarrollo de
la habilidad resolver problemas de Matemática, situación que a su vez se confirmó a través
de los comentarios que iban apareciendo sucesivamente en los pasos de las resoluciones y
en la validez de las respuestas de los problemas.
Otro aspecto que se destaca en los resultados es el índice de estudiantes que abandonaron
la resolución del problema o aplicaron estrategias no comprensibles, el cual no supera el
20% en el peor de los casos (Grupo II). Esta situación se sigue atribuyendo a la ausencia
de un análisis profundo de la situación planteada en el problema y poca iniciativa para
avanzar en el proceso de resolución.
Se puede decir, por tanto, que los estudiantes fueron tomando conciencia de no abandonar
la resolución del problema aunque no “comprendieran” de inmediato la forma de
resolverlo, y trataban de analizar y fundamentar, hasta poder plantear una estrategia que
aunque no fuera correcta, al menos intentaba ser coherente.
En cuanto al porcentaje de estrategias operativamente correctas, el promedio entre los
grupos no es inferior al 55% en el problema considerado. Los grupos con más bajos
resultados fueron el I y el II, debido a las deficiencias señaladas con anterioridad.
Por otra parte, las dificultades de coordinación entre las partes y el todo se manifestaron en
la forma de elaborar y presentar en la hoja de prueba los pasos de la resolución, es decir,
algunos estudiantes, específicamente 5 del Grupo I, 3 del Grupo II, 1 del Grupo III, 2 del
Grupo IV y 4 del Grupo V (el 14%) no organizaron la resolución correctamente, a pesar
de ello se aproximaron al resultado. Sin embargo, tal y como se procedió, esto no resultó
difícil de rectificar a partir de un análisis riguroso del proceso seguido, recurriendo al
aspecto “reflexivo” para reorganizar dicho proceso y no incurrir de nuevo en las
dificultades.
Retomando a modo de ejemplo el proceso de resolución seguido por el estudiante G.H.,
en esta segunda prueba donde debía resolver un problema de optimización se observó una
mejoría considerable en su ejecución, ya que: 1º) Planteó correctamente los datos y los
hizo corresponder con la representación gráfica de la situación del enunciado del problema;
2º) Determinó la función cuyo máximo se debía obtener; 3º) Procedió a solucionar
matemáticamente el problema (cometiendo un error al derivar la función); y 4º) Escribió
(no señaló) la respuesta del problema en base al error cometido.
Durante este proceso se constataron aun insuficiencias en la ejecución de acciones de
control del proceso de resolución del problema.
En el Anexo 17 se muestran algunas de las resoluciones de éste (y otros estudiantes) en
clases y pruebas.
Al valorar los resultados obtenidos con la aplicación de las dos primeras pruebas parciales
escritas se observó que como promedio, el porcentaje de estudiantes que en cada grupo
se ubicó en el Nivel III (Regular) fue: 25,35%; 25,14%; 29,41%; 25% y 14,40%, en el
Nivel II (Bien): 12,79%; 17,85%; 12,90%; 13,63% y 20,77%, y en el Nivel I (Muy Bien):
9,57%; 7,14%; 18,13%; 13,63% y 16,75%. En general, si se promedia el por ciento de
alumnos distribuidos en los niveles anteriores en todos los grupos, los resultados que se
obtienen son: en la primera 48,40% y en la segunda 56,30%, lo que representa entre
ambas un poco más de la mitad (52,35%) de los estudiantes ubicados en las categorías
anteriores.
Aunque la diferencia entre los resultados de ambas pruebas no son significativos, esto es
previsible, ya que como se reporta en diversos estudios: A.A. Smirnov et al (1961), K.
Tomasheswki (1966), A.V. Petrovski (1986), y otros, el progreso inicial en el desarrollo
de las habilidades es seguido por un proceso de desarrollo más lento, y aún más, períodos
de estancamiento. Fundamentan estos autores que las acciones y operaciones más difíciles
precisan de la coordinación y perfección de otras más fáciles o elementales, por lo que a
través de la continuidad del ejercicio es que se superan estos períodos y se van
produciendo nuevos adelantos.
Una actividad tan compleja como la resolución de problemas, requiere ejercitar sus
componentes o acciones de forma gradual y sistemática para favorecer la adquisición de la
habilidad correspondiente que se refuerza cuando la actividad se orienta a un fin consciente
y premeditado. Estos factores se constataron en la experiencia pedagógica tanto en un
plano práctico como teórico.
Por otra parte, durante el transcurso de la experiencia se registraron en la Hoja de
Diagnóstico un promedio de diez ejecuciones semestrales por estudiante, a lo que se
agregaron los resultados de las pruebas aplicadas en cada semestre. Esto nos permitió
valorar el nivel de generalización de la acción estudiada.
El análisis del nivel de generalización muestra que los sujetos en la primera etapa (ver
Anexo 14) se agrupan esencialmente en los niveles: Deficiente (24,54%) y Regular
(32,72%). El resto se distribuye en las categorías de Bien (27,27%) y Muy Bien
(15,45%).
Para precisar algunas características de estudiantes ubicados en un mismo o diferentes
niveles se comparan los siguientes casos:
A.F. : Se ubicó en el nivel más alto (Muy bien) ya que ejecutó con el máximo rigor de
coherencia y organicidad todas las acciones propuestas a las tareas que se le asignaron.
Algunas de estas tareas eran completamente diferentes a las abordadas en el aula.
T.C. : Ubicado en el mismo nivel anterior, cometió en la realización de dos de las tareas
que se le propusieron para resolver en el aula errores de cálculo aritmético. Se consideró
que estos errores no fueron detectados por el alumno ya que no influyeron
significativamente en las soluciones de ambas tareas.
B.G. : Concluye esta etapa ubicado en la categoría de Bien debido a que al resolver dos
de las tareas propuestas mostró una insuficiente elaboración de las acciones de control del
proceso de resolución y de los resultados obtenidos.
Y.H.: Se incluyó en la categoría de Regular debido a su tendencia a operar directamente
con los datos del problema y sobrevalorar la respuesta obtenida y no el proceso mediante
el cual la obtuvo. De esta forma, al no establecer correctamente toda la secuencia de
acciones, resolvió sólo parcialmente cuatro de las tareas que se le asignaron.
E.R.: Se ubica en el mismo nivel anterior por dificultades análogas, pero se añade que en
algunas tareas (tres) se le detectaron dificultades en el trabajo algebraico.
M.V.: Se le incluye en el nivel inferior (Deficiente) por sus insuficientes conocimientos
teóricos y por desconocer las acciones generales para resolver los problemas de
Matemática.
Por tanto, un alto grado de generalización implica no sólo la posibilidad de resolver
satisfactoriamente problemas similares a los resueltos en clases o en los libros de
Matemática, sino también situaciones nuevas que puedan presentarse. Así, cada alumno
debía solucionar distintas tareas, transfiriendo las acciones estudiadas de una situación a
otras, lo que no significa que estas se apliquen de forma exacta sino a través de una
reestructuración donde se manifieste conocimiento personal de la relación y conexión entre
los diversos temas y problemas.
En este sentido, el estudio reveló que las tareas donde se presentaron mayores dificultades
fueron las que requerían de la búsqueda de datos o fórmulas (por ejemplo, la # 4 y #5 que
se muestran en el Anexo 5.B) o en las que se aplicaba el sistema de acciones a situaciones
nuevas, lo que aportó nuevos elementos para explicar los resultados obtenidos.
De acuerdo con lo anterior, se observó que las dificultades que se presentaban durante la
resolución de los problemas iban condicionando a su vez las reorientaciones y correcciones
durante el proceso y el número de tareas que debían asignarse a los estudiantes para
incrementar el nivel de generalización de la acción.
De ello se puede concluir que no obstante las dificultades detectadas, las mismas se debían
resolver durante el transcurso de la experiencia mediante la organización de determinadas
condiciones pedagógicas que justificaran el trabajo realizado.
3.4.2 Análisis de los resultados de la Segunda Etapa.
En el segundo semestre del curso se estableció un esquema de trabajo similar al de la
Primera Etapa. De esta manera, las pruebas parciales y final aplicadas en la asignatura
Matemática II contenían algunos de los problemas que se evaluaron en la experiencia
pedagógica durante esta Segunda Etapa.
Estas evaluaciones fueron: la Tercera Prueba Parcial Escrita, la Segunda Prueba Oral, la
Segunda Tarea de Control Extraclase y la Prueba Final de la experiencia. En este orden, se
ubicaron las dos primeras en las semanas 9 y 13 respectivamente. La Segunda Tarea de
control Extraclase se orientaba en la semana 10 y evaluaba en la 15 y la Prueba Final de la
experiencia se aplicaba en las semanas 18 ó 19.
Para el análisis de las resoluciones, se siguen en este apartado los mismos criterios
utilizados en los anteriores. No obstante, se debe resaltar que en esta etapa del curso ya se
puede hacer referencia a una estrategia global que incluye todos los problemas que se
sometieron a análisis, caracterizada a su vez por ejecuciones que responden al modelo de
acciones propuesto para contribuir al desarrollo de la habilidad resolver problemas de
Matemática.
Al respecto, en la Tercera Prueba Escrita sobre problemas de aplicación del Cálculo
Diferencial e Integral (ver temarios en el Anexo 10) se redujeron notablemente los errores
que en las resoluciones se imputaban a un insuficiente análisis del enunciado, lo que se
comprobó a partir del planteo de los datos, identificación de las operaciones que se debían
aplicar para resolver el problema y validez de las respuestas, más del 60% de los
estudiantes de cada grupo resolvieron satisfactoriamente los problemas (ver Anexo 16.A).
Además, se observó que sólo el 8% de los estudiantes (3 del Grupo I, 1 del Grupo II, 2
del Grupo III y 2 del grupo V) presentaron estrategias de resolución no comprensibles o
dejaron de resolver el problema. Estos resultados mostraron que los alumnos gradualmente
trataban de elaborar vías de solución, con mayor o menor éxito, dependiendo de la tarea,
pero con una disminución en la tendencia a desistir en la búsqueda de la solución del
problema.
En cuanto al proceso de resolución, se manifestó un incremento en las explicaciones o
señalizaciones de la secuencia de pasos en la resolución, lo que determinó que el 31,03%,
33,33%, 38,09%, 35,29% y 42,10% de los estudiantes de cada grupo se ubicara en los
Niveles I (Muy Bien) y II (Bien) de desarrollo de la habilidad resolver problemas de
Matemática. Esto puso de manifiesto no sólo en la elaboración de una estrategia previa a la
resolución sino en su fundamentación más rigurosa y una considerable disminución de
errores conceptuales.
De interés también resultaron los porcentajes de estudiantes ubicados en los tres primeros
niveles: 62,06%; 75%; 76,19%; 64,47% y 73,07% respectivamente en cada curso, pero
estas cifras resultan significativas si se analiza que representaron un incremento de un
10,45%; 25%; 9,53%; 8,92% y 15,38% con respecto a una valoración similar realizada
después de aplicada la prueba escrita anterior.
Sin embargo, con respecto al resultado que se obtuvo con la aplicación de esta prueba en
el Grupo I (62,06%), se debe señalar que en dicho grupo algunos estudiantes (alrededor
de 10) manifestaron más que disposición y potencialidades para un satisfactorio
aprendizaje, un considerable desinterés y bajo nivel de motivación no sólo por el estudio
de la Matemática sino por la carrera. Esto determinó, a pesar del trabajo realizado tanto
por el colectivo de profesores que le impartían docencia como por la dirección de la
Facultad de Agronomía, que sus resultados finales fueran los más bajos con respecto a
otros grupos que participaron en la experiencia.
Con la aplicación de la Segunda Prueba Oral se pudo comprobar la superación, en un
grado satisfactorio, de muchos aspectos que según el sentido de la propuesta, limitan el
desempeño del estudiante al resolver problemas de Matemática.
Esto se explica a partir del análisis cuantitativo que se reporta en el Anexo 9.B, donde se
resumen los datos recogidos con la aplicación de las dos pruebas orales. De esta manera,
si se comparan los resultados obtenidos en ambas pruebas, puede apreciarse en la última
una tendencia a la superación de las dificultades detectadas que resulta significativa en la
mayoría de los items valorados. A partir de este análisis se plantea:
- Al comenzar la resolución los esfuerzos de los alumnos, tres de cada cinco (60%) se
concentraban en el análisis de la situación del problema. En este sentido, es
conveniente se aclare que las dificultades derivadas del análisis de los enunciados se
superaron notablemente en esta etapa, incluso algunos estudiantes - 1del Grupo I, 2
del Grupo III, 3 del Grupo IV y 4 del Grupo V (el 8%) - transformaban el texto de los
enunciados de los problemas, lo que llamó poderosamente la atención. Se observó que
un número mayor de estudiantes se mostraban hábiles en el análisis de las situaciones,
sin embargo, en ocasiones no se planificaba correctamente el plan de solución.
- En relación con lo anterior, durante el análisis de la situación, es necesario en esta
etapa de problemas donde hay un mayor grado de dificultad, centrar el interés en la
representación gráfica (si es que el problema lo requería), llamó la atención, que en
algunas ocasiones, tal representación suponía retroalimentar experiencias y
conocimientos que se imparten en niveles anteriores (funciones, representación de
cuerpos, etc), e incluso experiencias personales. No es de sorprender que el estudio
haya revelado una correlación muy interesante: por una parte el sujeto capaz de
representar gráficamente la situación la comprendía y explicaba mejor y por otra había
correspondencia entre dicha representación y la calidad de la ejecución de los pasos
siguientes. Lo anterior se manifestó en el 56% (13, 8, 16, 12 y 18 alumnos en cada
grupo) de las resoluciones presentadas.
- Otro aspecto de interés fueron los argumentos de los estudiantes para fundamentar el
proceso de resolución de los problemas, esta argumentación es muy importante, como
se sabe, argumentar es expresar señalamientos válidos para sustentar una idea. Por lo
tanto, implica también valorar críticamente otros puntos de vista y comunicarse
adecuadamente con otros miembros del grupo y con el profesor. En este contexto, se
consideraron las argumentaciones de los estudiantes como la base del análisis
conceptual. De esta forma el docente valoraba todas las explicaciones, manteniéndolas
como opciones posibles mientras no se demostrara lo contrario, propiciando la
reflexión y emitiendo sus propios criterios. Además, a lo anterior se agrega que el
docente siempre debe exigir a los estudiantes un argumento que defienda sus puntos de
vista. En esta dirección, el estudio indicó claramente que el 38% (8 del Grupo I, 5 del
Grupo II, 11 del Grupo III, 7 del Grupo IV y 14 del Grupo V) de los alumnos
argumentó adecuadamente su resolución, el 27% (5 del Grupo I, 4 del Grupo II, 7 del
Grupo III, 6 del Grupo IV y 10 del Grupo V) tuvo algunas imprecisiones durante su
intervención y el 35% (7 del Grupo I, 5 del Grupo II, 10 del Grupo III, 7 del Grupo
IV y 13 del Grupo V) no pudo argumentar o no resolvió correctamente el problema.
- Es importante destacar que los estudiantes al explicar las acciones que realizaban, en
ocasiones no se ajustaban a la secuencia real seguida, algunos revisaban sus
resoluciones para consultar lo que habían hecho (uno de cada tres, 33%), otros
enriquecían considerablemente su ejecución a través de las explicaciones (47%). En
esta segunda prueba, en lo referente a los aspectos formales de utilización del lenguaje
propio de la matemática, se apreciaron avances en cuanto a la explicación verbal para
fundamentar las acciones, alcanzándose una expresión adecuada al nivel universitario,
es decir, incorporar el lenguaje matemático con rigor, claridad y precisión. Al mismo
tiempo, esto constituye una evidencia de que por medio de la resolución de problemas
se puede acceder a etapas superiores de asimilación del conocimiento matemático.
- Cuando se señalaban errores a los estudiantes, se observaba que por lo general estos
procedían a tratar de hacer las correcciones, pero se aferraban a los elementos
“válidos” de una respuesta que en su conjunto resultaba incorrecta. Los alumnos - 7
del Grupo I, 3 del Grupo II, 8 del Grupo III, 4 del Grupo IV y 8 del Grupo V (el
25%) - no podían considerar otras alternativas de resolución, temiendo perder una
parte correcta del proceso. A veces esto no podía hacerse de forma inmediata y el
estudiante requería tiempo para revisar las ideas.
- Sin embargo, los resultados anteriores expresan que tal vez la confirmación más
importante de la validez del estudio en esta etapa la constituye el hecho de que los
estudiantes que al inicio de la experiencia mostraban dificultades en su desempeño
tanto personal como académico al resolver las tareas en la medida que se fue
desarrollando el proceso de aprendizaje no sólo asimilaron contenidos sino formas de
actuar, reflexionar, confrontar y justificar.
En cuanto a la Segunda Tarea de Control Extraclase que se evaluaba en la semana 15, ésta
contenía un problema abierto de aplicación del Cálculo Integral (ver Problema #21 en el
Anexo 5.B) cuya resolución requería de una pequeña investigación para determinar el área
de una superficie de interés por su relación con la práctica agrícola.
En la realización de esta tarea se reveló que los estudiantes habían explorado (investigado)
en las situaciones sugeridas en la misma, tal como indicaban la búsqueda de los datos, el
análisis cualitativo preliminar de la situación, las alternativas de resolución, la organización
del proceso de resolución y las soluciones obtenidas.
Los resultados cuantitativos (ver Anexo 16.B) muestran los siguientes porcentajes de
alumnos ubicados en los tres primeros niveles de desarrollo de la habilidad: 75,86% del
Grupo I, 83,33% en el Grupo II, 76,19% en el Grupo III, 82,35% en el Grupo IV y
80,76% en el Grupo V.
Con la aplicación de esta tarea los estudiantes pudieron explorar (investigar) para
determinar la vía de solución más adecuada para el problema planteado, valorando a su
vez la importancia de las mediciones y estimaciones en la vida cotidiana mediante algunos
objetos cercanos a sus intereses o relacionados con la práctica profesional. Durante la
realización de esta actividad los alumnos mostraron una disposición favorable hacia el
trabajo en grupos o interacción con otras personas en la búsqueda de datos,
representación e interpretación de la información.
En cuanto a los resultados de la Prueba Final de la experiencia (ver Anexo 16.A), en el
análisis de las resoluciones se revelan algunas dificultades para determinar las conexiones
entre los datos a partir de la situación del problema, de lo cual dependía su solución
exitosa. Así, los resultados obtenidos indicaron que alrededor del 17% de los estudiantes -
8 del Grupo I, 1 del Grupo II, 3 del Grupo III, 2 del Grupo IV y 4 del Grupo V - incurrió
en errores con el análisis del enunciado. En este caso, las deficiencias estaban relacionadas
directamente con el aumento de las dificultades, ya que se trataba de un problema de
aplicación de ecuaciones diferenciales (ver temarios en el Anexo 10).
No obstante, resultó alentador constatar que solamente 9 de los alumnos dejaron sin
resolver el problema, de ellos 2 pertenecían al Grupo I, 4 al Grupo II, 1 al Grupo IV y 2
al Grupo V. El resto de los desaprobados al menos realizaron intentos en este sentido.
Por otra parte, resultó significativo que el 37,93% de los alumnos del Grupo I, el 45,45%
del Grupo II, el 38,09% del Grupo III, el 37,50% del Grupo IV y el 42,85% del Grupo V
(alrededor del total 40% de los estudiantes) se distribuyeran entre los Niveles I y II (muy
bien y bien respectivamente) en esta prueba final de la experiencia, lo que indica que las
acciones que estructuran la habilidad resolver problemas de Matemática se ejecutaron sin
incurrir en errores.
Obviamente, el hecho de que un 65,50%; 72,72%; 71,42%; 75% y 80,76%
respectivamente de los estudiantes de cada grupo resolvieran el problema propuesto en
esta prueba demostró un adecuado manejo de los procedimientos operativos. En las
resoluciones se pudieron distinguir sus dos componentes: el algorítmico, necesario para el
proceso de cálculo matemático y el heurístico, dado a través de la comprensión de las
operaciones realizadas. Esto se vio reflejado en la prueba a través de la interpretación que
se hace en el problema de los resultados teóricos obtenidos por procedimientos
matemáticos, en la incorporación del sistema de acciones en una nueva situación y en las
propias respuestas al problema.
Después de presentar el resumen de los datos aportados por esta última prueba; y dado
que previamente se analizaron para otros momentos de la experiencia, tanto los resultados
de los estudiantes como el proceso mediante el cual lo obtienen, es importante destacar
que a pesar de que por requerimientos analíticos, durante la caracterización del proceso de
formación de las acciones de la habilidad estudiada estas por lo general se presentaron de
forma aislada una con respecto a las otras, en efecto, ellas no se manifiestan
independientemente. De esta manera, los datos también revelaron que estas acciones se
fueron integrando a través de toda la diversidad de condiciones en las que los alumnos
tenían que actuar hasta constituirse en un sistema estructural y funcionalmente hablando, es
decir, hasta alcanzar como cualidad lo que pudiera denominarse un plan de acción
generalizado.
Es así como los resultados que se obtuvieron en esta segunda etapa indican un
determinado nivel de desarrollo de esta cualidad. En este punto el análisis del nivel de
generalización muestra que los alumnos se distribuyen fundamentalmente en los niveles:
Muy Bien (27,18%) y Bien (33%). Los restantes se agrupan en las categorías de Regular
(20,38%) y Deficiente (20,38%). Debe señalarse que estos resultados muestran en general
una tendencia a expresar un mayor desarrollo de la generalización en relación con la etapa
anterior (ver Anexo 14).
En este sentido resulta interesante caracterizar el desempeño de algunos estudiantes en esta
segunda etapa de la experiencia pedagógica. Así:
B.G. : Logró acceder al nivel superior (Muy bien) al solucionar con el máximo rigor
matemático todas las tareas propuestas durante esta segunda etapa. En esta ubicación, fue
determinante el hecho de que este alumno logrará resolver dos tareas de aplicación de las
ecuaciones diferenciales, completamente diferentes a las realizadas en clases.
G.H.. : Finaliza la experiencia ubicado en la categoría de Bien debido a que al resolver
algunas de las tareas propuestas (tres) no estableció adecuadamente la secuencia de
acciones correspondientes a la habilidad, mostrando una marcada tendencia a la obtención
de los resultados más que por el proceso a través del cual los obtuvo.
K.S.: Permaneció durante todo el transcurso de la experiencia en la categoría de Regular
debido a que se mantenía dentro de lo estrictamente exigido por la tarea sin trascender o
avanzar más allá, logrando en cuatro ocasiones solo resolver las tareas parcialmente.
Durante la realización estas tareas presentó dificultades al analizar aquellas que requerían
de datos no explicitados en los enunciados de los problemas.
S.F.: Se ubica en el mismo nivel anterior (Regular), pero retrocediendo del nivel inmediato
superior (Bien), ya que en esta segunda etapa mostró falta de coherencia al aplicar en
cinco tareas las secuencia de acciones, por lo que sólo las pudo resolver parcialmente. En
estas resoluciones se evidenciaron dificultades para buscar y organizar la información, la
ilustración de las situaciones en dos de los problemas no se correspondía exactamente con
lo planteado en los enunciados, omisión de pasos al calcular la derivada de una función que
generó errores que no fueron detectados por el estudiante y en tres ocasiones no se
planteó respuesta textual en problemas que así lo requerían.
E.R.: Se le incluyó en el nivel inferior (Deficiente) en ambas etapas debido a su
desconocimiento de la secuencia de acciones o etapas generales para resolver problemas
de Matemática y no demostrar interés por asimilarlas.
A continuación se comparan a través de un diagrama de barras los niveles de desarrollo
inicial y final de la habilidad resolver problemas de Matemática alcanzados por cada uno
de los grupos que participaron en la experiencia pedagógica.
Toda la argumentación anterior se complementa con el análisis de una curva de aprendizaje
donde se expresa gráficamente el proceso de formación de la habilidad resolver problemas
de Matemática en cada uno de los grupos durante el transcurso de la experiencia (ver
Anexo 18).
Para ello, en un sistema de ejes coordenados rectangulares en el plano, se representa en el
eje horizontal (abscisas) el tiempo (en meses) de duración de la experiencia. Los resultados
alcanzados (%), se disponen en el eje vertical (ordenadas).
Se observa así que al inicio esta habilidad se encuentra en su punto más bajo de desarrollo,
para elevarlo se exigen la práctica y el aprendizaje adecuado. En ese sentido, es
fundamental que el estudiante sepa valorar por sí mismo los avances e insuficiencias en el
trabajo, establecer las causas que lo determinan y orientarse en los medios que requiere
para mejorar el rendimiento de sus tareas, a lo cual debe prestar atención el docente y
proponer medidas concretas.
Transcurridos dos o tres meses ya comienzan a superarse las dificultades de los estudiantes
consiguiéndose no solo la realización con una mayor calidad de las tareas sino la
posibilidad de darse cuenta de los errores cometidos durante su ejecución.
En la segunda etapa (entre los cinco y siete meses), se observa una tendencia a un
desarrollo más lento, lo que esta relacionado con la realización de tareas más difíciles.
Todos estas consideraciones explican que al comienzo de la experiencia la curva se eleva
más rápidamente que en su etapa final.
3.4.3 Validación estadística de los datos experimentales.
En esta investigación, dadas las características de la hipótesis formulada y los objetivos
trazados, se requiere del procesamiento estadístico de los datos obtenidos para confirmar
si con la aplicación de la experiencia pedagógica se favorece el desarrollo de la habilidad
resolver problemas de Matemática.
Estos factores, entre otros que se explican, nos inclinan por la selección de la prueba
estadística no paramétrica de MacNemar (S. Siegel, 1987, pp.86-91) para comprobar la
hipótesis.
Esta prueba para la significación de los cambios observados se aplica para valorar la
efectividad de un tratamiento particular, resultando apropiada para los diseños de “antes” y
“después” en los que cada persona es usada como su propio control.
En este punto, para probar la significación de cualquier cambio a través de este método
estadístico, se ordenaron las frecuencias observadas en una tabla de cuatro entradas que
represente al primer y último conjunto de respuestas de los mismos individuos. Para ello se
utilizó el Paquete de Técnicas Estadísticas Computarizadas SPSS V.10.
Por tanto, de acuerdo con el análisis de los resultados de las pruebas realizadas durante el
transcurso de la experiencia que nos permitieron establecer su estado inicial y final, se
ubican en la celda superior izquierda aquellos estudiantes que disminuyeron
significativamente sus dificultades al resolver problemas demostrando un nivel de
apropiación satisfactorio de las acciones, en la celda superior derecha los que al inicio del
estudio presentan grandes dificultades y lo concluyen en una situación similar.
En la celda inferior izquierda aquellos alumnos que mantienen un desempeño satisfactorio
durante todo el curso, y por último, en la celda inferior derecha los que inicialmente
mostraron satisfactorios resultados y posteriormente presentaron dificultades.
De este modo, se aplica la prueba de MacNemar, para el caso de dos muestras
relacionadas a un nivel de significación de 0,05, considerándose como hipótesis nula (H0)
la aseveración de que no se favorece en los estudiantes el desarrollo de la habilidad
resolver problemas de Matemática después de haber participado en la experiencia
pedagógica y como hipótesis alterna (H1) lo contrario, es decir, que se favorece.
De acuerdo a los resultados que se obtuvieron (ver Anexo 19), la probabilidad conforme a
H0 asociada con la ocurrencia observada es p, menor que ? , el valor observado ? 2 está en
la región de rechazo y se rechaza H0 para aceptar H1. Así, de los datos obtenidos en cada
grupo experimental se concluye que los estudiantes mostraron una tendencia significativa a
desarrollar la habilidad investigada después de haber participado durante un curso en la
experiencia pedagógica.
3.4.4 Presentación y análisis de los resultados de la Prueba de Solidez.
Para comprobar si el desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática que se
produce en los estudiantes tratados tiene un tiempo de retención grande se solicitó a los
estudiantes que habían participado en la investigación durante un curso, que resolvieran un
problema, a través de la Prueba de Solidez, después de haber concluido la experiencia.
Los temarios de estas pruebas para cada grupo se reportan en el Anexo 10 y contienen
problemas de aplicación de extremos de funciones de dos variables.
Así, dada la recopilación de datos que confirmaron la hipótesis del trabajo, se espera
encontrar que la habilidad adquirida permanezca al cabo del tiempo sin mucha disminución
(pérdida) como una habilidad para la resolución de problemas de Matemática.
Por otra parte, también se propone valorar si la experiencia y el reconocimiento de
determinado tipo de problema muy asentado en la mente del resolutor en los inicios de la
investigación pueden “contaminar” la habilidad adquirida provocando ejecuciones no
reflexivas o que antes del análisis del enunciado se busquen en la memoria soluciones a
partir de problemas similares.
Se pudo comprobar que el proceso seguido en la resolución del problema propuesto a
resolver en esta Prueba, se realizó en la gran mayoría de los casos, con una secuencia
marcada por la ejecución de las acciones trabajadas durante la investigación, sus
resultados, que se muestran en el Anexo 20, reportaron que los estudiantes se agruparon
en los niveles de desarrollo de la habilidad de la siguiente forma: Deficiente (34,61%),
Regular (30,76%), Bien (26,92%) y Muy Bien (7,69%).
Como un elemento más a favor de la validez de la experiencia pedagógica para desarrollar
la habilidad resolver problemas de Matemática, se presentan a través de dos instrumentos
distintos los resultados de las valoraciones de estudiantes y profesores, sobre el trabajo
realizado en el aula, después de haber sido experimentado el modelo.
3.5 Opiniones de los estudiantes sobre la experiencia pedagógica.
En este punto se quiere verificar si la aplicación continuada de las acciones educativas
propuestas favorecen la motivación y satisfacen los intereses cognoscitivos de los
estudiantes con respecto a la resolución de problemas de Matemática.
Indagar sobre este particular en muy importante ya que en diversas publicaciones y
estudios experimentales se argumenta que la enseñanza de la Matemática es una tarea
difícil (M. de Guzmán, 1993) y que los estudiantes manifiestan rechazo por su estudio (H.
Santana, 1994), lo que se proyecta en actitudes desfavorables hacia esta Ciencia.
No obstante estas actitudes no son innatas sino que se aprenden, y en consecuencia las
actitudes positivas podrán enseñarse (M. Shrigley y M.J. Frazer, 1974).
Considerar lo anterior al diseñar cualquier estrategia de enseñanza-aprendizaje es
fundamental, pues cualquiera que sea la capacidad mental inherente a un alumno éste tiene
completo poder de veto sobre si aprende algo o nada en absoluto (M.B. Ormerod, 1983).
Precisamente por lo que expresan estos autores, nos interesamos por conocer si la
participación de los estudiantes en la experiencia pedagógica ha dejado su huella o tenido
algún efecto favorable o desfavorable en este sentido.
Con el propósito de conocer los criterios al respecto, se elaboró la guía de análisis para las
opiniones de los estudiantes acerca de la experiencia pedagógica (ver Anexo 21.A). Las
cuestiones objeto de indagación son contestadas de forma anónima e individual, sin límites
de tiempo, por los alumnos que habían participado de forma continua en la investigación. El
resumen de los resultados (en %) aportados por la aplicación de este instrumento se
reporta en el Anexo 21.B.
Resulta oportuno aclarar que la expresión experiencia pedagógica, se sustituye por el
término metodología en las encuestas realizadas en este y el siguiente apartado, ya que
este último término es el que por lo general adoptaron los encuestados para referirse a la
investigación.
Sobre esta base, en el cuestionario aplicado a los estudiantes, se les pidió una valoración
para cada item (los que constituyen un recorrido por los aspectos esenciales del modelo
de resolución de problemas experimentado) y del procedimiento utilizado con anterioridad.
De la comparación entre sí de los porcentajes de las calificaciones para cada item se
obtiene la valoración de la efectividad de la experiencia pedagógica desde el punto de vista
de los alumnos.
Los cuestionarios aplicados se han confeccionado a partir de preguntas o indicaciones
dirigidas a los estudiantes, solicitándoles que emitan una calificación que exprese su mejor
opinión en base a una escala conocida, cuya equivalencia cualitativa y cuantitativa les
resulta familiar. Al respecto, se asumieron los siguientes:
Criterios de evaluación.
Muy bien. Bien. Regular. Mal.
5 4 3 2
Se considera que la encuesta así presentada evita ambigüedades, lo que facilita el trabajo
con los datos obtenidos y la valoración de los aspectos básicos abordados.
Durante la aplicación de la encuesta los estudiantes consideraron importante reflexionar
antes de emitir una calificación que establece una comparación entre la forma de resolver
problemas que denominamos habitual (antes de incorporarse a la experiencia) y la
desarrollada durante el curso experimental.
Los datos obtenidos son muy sugerentes y casi nos limitaremos a destacar que en la
valoración de los estudiantes, la experiencia pedagógica obtuvo calificaciones de 4 y 5
(por encima del 65%) en todos los casos, y como se puede comprobar con marcadas
diferencias con respecto a propuestas anteriores en muchos de los aspectos que se
consideraron.
En particular, se confirma en el item 1 que los problemas abordados fueron del interés de
los estudiantes, en la misma medida los items 6 y 7 son de resultados muy alentadores
(más del 80% de los alumnos le otorgó las máximas calificaciones) pues demuestran que se
supera considerablemente la predisposición desfavorable hacia la resolución de problemas.
De igual forma a través del item 10 se reconoce la importancia de la reflexión
metacognitiva necesaria para identificar y corregir los errores conceptuales y operativos en
que se puede incurrir durante el proceso de resolución.
Los estudiantes manifestaron además que esta forma de abordar los problemas les reportó
cambios positivos en su forma habitual de estudiar, un mayor grado de responsabilidad con
los estudios, mejora sus relaciones interpersonales y les dio la posibilidad de darse cuenta
de sus recursos individuales.
Finalmente, resultó muy satisfactorio constatar que al comparar las dos metodologías,
ningún estudiante planteara que la organización metodológica general de la propuesta
experimental fuera igual a la de cursos precedentes, que un 38,83% opinara que es distinta
y un 62,13% que es completamente diferente, lo que es indicativo de las transformaciones
introducidas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Además, se insistió en que resultaba
particularmente importante conocer las deficiencias y aciertos de la nueva forma de enseñar
y aprender a resolver problemas de Matemática, por lo que no debían vacilar en escribir
sus criterios. Se citan a continuación varios de ellos:
B.F.: “Considero que la metodología aplicada me ayudó mucho al resolver los problemas y
a comprender la Matemática en lugar de quejarme de ella”.
A.F.: “He comprendido en este curso que puedo ser mucho mejor resolviendo problemas
de Matemática de lo que siempre pensé”
L.C.: “A través del trabajo con los problemas me pude relacionar mejor con mis
compañeros y con el profesor y aprender más”.
Y.H.: “Cuando supe que iba a participar en un experimento me asusté pensando que no
iba a estar ni una semana en la universidad, hoy me doy cuenta que aprendí mucho y que
me gustaría estudiar otras asignaturas de esta manera”.
R.P.: “Las clases no se dieron de la forma normal. Me parece que el método mediante el
cual resolvimos los problemas es muy bueno. Nunca antes había podido resolver tantos
problemas”.
3.6 Opiniones de los profesores sobre la experiencia pedagógica.
Los criterios de los profesores sobre los efectos que se pueden producir o inducir en los
estudiantes a través del modelo aplicado para contribuir al desarrollo de la habilidad
resolver problemas de Matemática, se consideran de gran interés, pues son ellos los que
posibilitarían su incorporación en el aula.
De esta valoración se habrá de considerar si los docentes aceptan o rechazan los
supuestos teóricos y metodológicos que aquí se presentan.
Con este objetivo se procedió a elaborar la guía de análisis para recoger las opiniones de
los profesores (ver Anexo 22.A) que conocían del trabajo de investigación a través de
intercambios personales, tanto con el investigador como con los estudiantes. Estos
contactos han propiciado también la realización conjunta de actividades tales como:
publicación de artículos, presentación de trabajos en eventos nacionales e internacionales,
cooperación en investigación educativa, seminarios y cursos de postgrado.
Tal como se ha indicado, se les pidió a los profesores que valoraran dos metodologías: la
metodología de trabajo habitual y la propuesta en la tesis, a modo de establecer
comparaciones entre ambas. El cuestionario fue diseñado con las mismas características
que el de los estudiantes, persigue objetivos similares y pretende además profundizar en
cuanto al grado de aplicabilidad, la satisfacción de las expectativas y en general la forma de
proceder en esta propuesta didáctica.
Los resultados de la encuesta aplicada se reportan en el Anexo 22.B. Es de resaltar que en
todos los casos las calificaciones de los profesores a las acciones docentes propuestas a
través de la experiencia pedagógica (más del 75% las calificó con las máximas
puntuaciones) superan a las que se han denominado habituales.
Se observa así que los profesores expresaron criterios muy favorables sobre el desarrollo
de la experiencia, opinando que las indicaciones metodológicas planteadas en el trabajo
tienen un considerable nivel de aplicación, tanto desde el punto de vista personal como
académico-profesional, lo que posibilita transferir lo aprendido en la Matemática a otras
asignaturas específicas.
Los resultados (en %) muestran que los docentes otorgaron las mayores calificaciones a
los items relacionados con el análisis de los aspectos cualitativos del problema (item 2), la
estructuración del proceso de resolución (item 5), la búsqueda de estrategias alternativas
de resolución (item 4) y la motivación para resolver los problemas de Matemática (item
1). Además, se manifestó interés por profundizar en el estudio de algunas cuestiones
específicas de la resolución de problemas de Matemática que se abordan en la tesis, lo que
es un indicador muy satisfactorio de la opinión de los docentes sobre la experiencia
pedagógica.
De acuerdo a los resultados obtenidos, se puede considerar que con la aplicación de la
experiencia pedagógica, se logró que los estudiantes resolvieran los problemas de
Matemática de acuerdo a la secuencia trazada por el modelo propuesto y,
consecuentemente fue valorado positivamente por los profesores. Al respecto se citan
algunos criterios de estos docentes sobre la experiencia pedagógica:
J.D.: “El modelo pedagógico propuesto ofrece una reflexión clara y explícita sobre el
proceso de resolución de problemas de Matemáticas en las condiciones en que
desarrollamos la docencia por lo que también da la posibilidad de incorporarlo “desde
dentro” de nuestras aulas. Ambas condiciones son las que nos permitirán realizar
propuestas propias ajustadas a las peculiaridades de los estudiantes”.
C.M.: “La teoría y la práctica se conjugan en esta experiencia pedagógica, a mi modo de
ver, de forma dialéctica, esto permite que podemos valorar muchas de sus indicaciones
para aplicarlas en el trabajo en las aulas”.
R.V.: “Los intercambios sobre esta investigación científica me han permitido conocer sobre
muchos de los aspectos que están implicados en la efectividad del proceso de enseñanza-
aprendizaje de la resolución de problemas de Matemática y al mismo tiempo me indica
nuevas estrategias y recursos para enfrentar dicha problemática en el aula”
3.7 Conclusiones.
A modo de síntesis se presentan las conclusiones de la exposición anterior en los siguientes
puntos:
- El análisis del desempeño de los estudiantes muestra, en un inicio, que sus resoluciones
son esencialmente reproducciones mecánico-memorísticas de procedimientos
aprendidos. Sus características principales son: tendencia a la utilización directa de los
datos sin un suficiente análisis de la situación planteada en el texto del problema,
dificultades para elaborar estrategias previas a la resolución, desconocimiento de las
acciones generales para la resolución de problemas y tendencia a valorar el resultado
final más que el proceso de resolución, entre otras.
- El efecto metodológico provocado por la aplicación sistemática de las acciones de la
propuesta pedagógica permitió que la habilidad de resolver problemas matemáticos se
formara con niveles satisfactorios de generalización y solidez, lo que se evidenció en
que la mayoría de los estudiantes resolviera diferentes tipos de problemas y en la
permanencia en el tiempo de la habilidad formada.
- Los estudiantes se manifestaron muy favorablemente con respecto a la propuesta
metodológica experimentada en comparación con la metodología a que estaban
habituados ya que consideraron que la misma les permitió: aplicar los conocimientos,
una mejor preparación y comunicación con sus compañeros de aula y profesor, una
mayor motivación y responsabilidad con los estudios, y explorar y darse cuenta de sus
potencialidades individuales.
- Los profesores valoraron positivamente la experiencia pedagógica, manifestando que la
misma ofrece una alternativa viable para orientar la enseñanza de la resolución de
problemas matemáticos.
Conclusiones Generales.
Los resultados alcanzados con esta investigación permiten plantear las siguientes
conclusiones:
- Se logró con la aplicación de la experiencia pedagógica el enriquecimiento del sistema
de acciones y operaciones que estructuran la habilidad resolver problemas de
Matemática, lo que se evidencia a través de:
a) La caracterización de la habilidad resolver problemas de Matemática considerando
cinco acciones: 1) Analizar el problema; 2) Generar estrategias de trabajo; 3)
Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se considere más
adecuada; 4) Ejecutar o desarrollar la estrategia seleccionada y 5) Evaluar los
logros y dificultades durante la ejecución.
b) La acción “Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que se
considere más adecuada” no se explicita en los modelos de resolución de
problemas.
c) La estructuración de la habilidad resolver problemas de Matemática en base a
estas acciones permite a su vez reconocer la estructura operacional de las mismas
en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la resolución de problemas de
Matemática.
- La experiencia pedagógica realizada con estudiantes del primer año de la carrera de
Agronomía sustentada en el enfoque Histórico Cultural en el contexto de la escuela
superior cubana actual, constituye una alternativa valida para desarrollar en los
estudiantes la habilidad resolver problemas de Matemática.
- Se logró formar la habilidad resolver problemas de Matemática con satisfactorios
niveles de generalización y solidez. Esto se evidenció en que los estudiantes
interiorizaron las diferentes acciones de la habilidad logrando aplicarlas en diversos
tipos de problemas matemáticos y en diferentes momentos.
- Las tareas diseñadas para modelar las acciones correspondientes a la habilidad
resolver problemas de Matemática, así como los medios de enseñanza que brindaron
un apoyo externo a los estudiantes durante el proceso de formación de la habilidad,
constituyen dos elementos fundamentales que se integraron en la experiencia
pedagógica, propiciando en gran medida la formación de las acciones
correspondientes a la habilidad.
- Se apreció que con la aplicación de la experiencia pedagógica se favoreció un mayor
nivel de reflexión del estudiante en el proceso de resolución de los problemas de
Matemática.
Recomendaciones.
Por último se señalan algunas perspectivas y nuevos problemas derivados de este trabajo:
- Con el fin de revalidar la propuesta, se sugiere una replica de su implementación con
carácter experimental en otras carreras y niveles de enseñanza.
- Trabajar con los estudiantes por modificar una predisposición desfavorable a priori
hacia la resolución de problemas de Matemática. Este cuadro desfavorable puede
modificarse si se aplica una estrategia eficiente de enseñanza y aprendizaje sobre la
resolución de problemas.
- Divulgar los resultados teóricos y prácticos de la investigación entre educadores e
investigadores en el campo de la Matemática Educativa, tanto del nivel medio como
superior de enseñanza, con el propósito de trabajar por incorporar en el proceso de
enseñanza-aprendizaje estrategias alternativas y acciones educativas generales para
resolver problemas.
- Se estima que es necesario seguir profundizando y encontrar nuevas aristas a la
problemática que aborda la tesis. En esta dirección, dejamos planteada la propuesta
para construir nuevas hipótesis y generar nuevas expectativas sobre el tema.
De esta forma, las recomendaciones y perspectivas que esta investigación deja
abierta son muchas y están estrechamente relacionadas con diversos aspectos que
podrían tener importante influencia en la eficiencia de la práctica educativa.
Consecuentemente, se puede continuar diseñando un amplísimo programa global de
investigación sobre la didáctica de la Matemática en la Enseñanza Superior, capaz
de convocar a una tarea colectiva, creativa y rigurosa de búsqueda científica y que
sin dudas, contribuirá al enriquecimiento y la profundización de todo el trabajo
realizado.
Bibliografía.
1. Aleksandrov, G.N. (1979): Inicio de algunas habilidades intelectuales del
estudiante de Primer Año y problemas relativos a la formación de ellos. La
Educación Contemporánea, No. 4. 28, pp.13-30.
2. Alexander, H.W. et al. (1993): Curso programado de Cálculo. Tomos I y II.
Editorial Reverté. S.A. Barcelona, España.
3. Alexander, P.A. and J.E. Judy (1988): The interaction of domain in specific and
strategic knowledge in academic performance. Educational Reseach. 4, pp. 375-
404.
4. Alonso, I. (2001): La resolución de problemas matemáticos. Una alternativa
didáctica centrada en la representación. Resumen de Tesis de Doctorado, Santiago
de Cuba.
5. Alvarez de Zayas, C.M. (1989): Fundamentos teóricos de la dirección del
proceso docente-educativo en la Educación Superior Cubana. Tesis de Doctorado,
La Habana.
6. Alvarez de Zayas, C.M. (1999): Didáctica de la escuela en la vida. Editorial
Pueblo y Educación, la Habana.
7. Alvarez, A. et al. (1990): Ejercicios de Cálculo Infinitesimal. Secretariado de
Publicaciones. Universidad de Vallalodid, España.
8. Alvarez, R. et al. (1992): Matemática Superior I. Editorial de la Universidad
Estatal de Bolívar, Ecuador.
9. Alvarez, V. (1991): Propuesta de estructuración del Programa de Matemática para
las carreras de Biología. Tesis de Doctorado, La Habana.
10. Amador, A. (1987): Importancia educativa del grupo escolar. En: Temas de
psicología pedagógica para maestros I. Editorial Pueblo y Educación, La Habana,
pp. 24-34.
11. Amelkin, V. (1987): Ecuaciones Diferenciales aplicadas a la práctica. Editorial
MIR, Moscú.
12. Arias, G. et al. (sin fecha): Psicología General 1. Editorial Pueblo y Educación.
Educación Universitaria, La Habana.
13. Ausubel, O. P. et al. (1991): Psicología educativa. Editorial Trillas, México.
14. Avendaño, R.M y. A.F. Labarrere (1989): Sabes enseñar a clasificar y
comparar. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
15. Bajpai, I.M. et al. (1990): Matemáticas para Ingeniería y Ciencias. Tomos I, II y
III, Editorial Limusa. S.A de C.V., México.
16. Ballester, S. (1999): Enseñanza de la matemática en dinámica de grupo. Editorial
Academia, La Habana.
17. Batard, L. (1997): Ciencia y Esperanza, Ediciones Capiro, Santa Clara, Cuba.
18. Beltrán, I. (1992): Sistema didáctico para la enseñanza de la Química General.
Tesis de Doctorado, La Habana.
19. Bernal, J.D. (1967): Historia Social de la Ciencia. Vol. 1 y 2. Península,
Barcelona.
20. Bower, G.H. y E.B. Hilgard (1995): Teorías del aprendizaje. Editorial Trillas,
México.
21. Bransford, J.D. y B.S. Stein (1988): Solución ideal de problemas. Editorial
Labor, Barcelona. España.
22. Brito, H. et al. (1987): Psicología General para los Institutos Superiores
Pedagógicos. Tomos 2 y 3. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
23. Bugrov, Ya.S. y S.M. Nikolski (1987): Matemáticas Superiores. Problemas.
Editorial MIR, Moscú.
24. Butúzov, V.F. (1989): Análisis Matemático en preguntas y problemas. Editorial
MIR, Moscú.
25. Calderón, R. (1996): La enseñanza del Cálculo Integral: una alternativa basada en
el enfoque histórico-cultural y de la actividad. Tesis de Doctorado. La Habana.
26. Camilloni, A. et al. (1996): Corrientes Didácticas Contemporáneas. Editorial
Paidós, Buenos Aires.
27. Campistrous, L. et al. (1989): Matemática. Décimo Grado. Editorial Pueblo y
Educación., La Habana.
28. Campistrous, L. et al. (1990): Onceno Grado. Editorial Pueblo y Educación, la
Habana.
29. Campistrous, L. et al. (1991): Matemática. Duodécimo Grado. Editorial Pueblo y
Educación, La Habana.
30. Campistrous, L. y C. Rizo. (1996): Aprende a resolver problemas aritméticos.
Proyecto TEDI. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
31. Campistrous, L. (2001): ¿Problemas en Ciencias?. Conferencia dictada en el
Evento Pedagogía 2001, La Habana.
32. Canfux, V. (1995): La Pedagogía Tradicional. En: Tendencias Pedagógicas
Contemporáneas. Universidad de La Habana CEPES, pp.2-8.
33. Canfux, V. (2001): La formación psicopedagógica y su influencia en el desarrollo
de cualidades del pensamiento del profesor. Tesis de Doctorado, La Habana.
34. Carballal, E. y C. Díaz (1990): Técnicas del proceso de las decisiones. Ediciones
ENPES.
35. Cardona, O. y G. Navarro (1997): Cálculo Diferencial. Editorial Universidad
Pontificia Bolivariana, Medellín, Colombia.
36. Carnero, M. y A. García (1999): Los métodos activos en la enseñanza de las
ciencias. Editorial Academia. La Habana.
37. Castillo, C. y F. Barreras (1998): Modelo pedagógico para la formación de
hábitos, habilidades y capacidades. Folleto. I.S.P. “Juan Marinello”, Matanzas.
38. Chrobak, R. (1998): Metodologías para lograr aprendizaje significativo. Imprenta
Universitaria “Malvinas Argentinas”. Argentina.
39. Claro, M.S. et al. (1986): Matemática Superior. Editorial Pueblo y Educación,
La Habana.
40. Colás M.P. y L. Buendía (1992): Investigación Educativa. Alfar, Sevilla.
41. Colectivo de autores (1989): Pedagogía. Editorial Pueblo y Educación, La
Habana.
42. Colectivo de autores (1998): Los métodos participativos ¿Una nueva concepción
de la enseñanza?. CEPES, La Habana.
43. Colectivo de autores (1999): La resolución de problemas de lápiz y papel.
Material de trabajo del Tercer Ciclo. Universidad de Valencia, España.
44. Cooper, J.M., et al. (1993): Guía para una mejor instrucción. Editorial Limusa.
S.A. de C.V., México.
45. Cuena, J. (1986): Inteligencia artificial: sistemas expertos. Editorial Alianza,
Madrid.
46. Danilov, M.A. y M.N. Skatkin. (1978): Didáctica de la Escuela Media. Editorial
Pueblo y Educación, La Habana.
47. Davis, R.H. et al. (1997): Diseño de sistemas de aprendizaje. Editorial Trillas, S.A
de C.V., México.
48. Davídov, V.V. (1981): Tipos de generalización en la enseñanza. Editorial Pueblo y
Educación, La Habana.
49. Davídov, V.V. (1987): Análisis de los principios didácticos de la escuela
tradicional y posibles principios de enseñanza en el futuro próximo. En: La
Psicología Evolutiva y Pedagógica en la URSS. Antología. Editorial Progreso,
Moscú, pp. 143-154.
50. Davidson, L. (1987): Problemas de matemática elemental 1. Editorial Pueblo y
Educación, La Habana.
51. de Guzmán, M. et al. (1991): Matemáticas. Bachillerato 1, 2 y 3. Grupo Anaya
S.A., España.
52. de Guzmán, M. (1993): Tendencias innovadoras en Educación Matemática.
EDIPUBLI S.A., Argentina.
53. Delgado, R. (1998): La enseñanza de la resolución de problemas matemáticos: dos
aspectos fundamentales para lograr su eficacia: la estructuración del contenido y el
desarrollo de habilidades generales matemáticas. Tesis de Doctorado, La Habana.
54. Documento sobre el Perfeccionamiento del Plan de Estudios C (1997). MES,
La Habana.
55. Ecker, J. (1996): Preliminary Version Studio Calculus. Harper Collins College
Publishers, USA.
56. Fariñas, G. et al. (1986): Desarrollo de habilidades generales en estudiantes de
Primer Año. CEPES, La Habana.
57. Fariñas, G. (1999): Maestro una estrategia para la enseñanza, Editorial Academia,
La Habana.
58. Fernández, J. (1995): Algunas contradicciones y dificultades de la resolución de
problemas en el aula. Revista Suma. Sobre la enseñanza y aprendizaje de la
Matemática. No.20. Noviembre. Universidad de Zaragoza. España, pp.53-59.
59. Ferrat, A. (1999): La solución de problemas de Física. Un estudio para propiciar
su aprendizaje. Tesis de Doctorado, La Habana.
60. Frazer, M.J. and R.J. Sleet (1982): Nyholm lecture: solving chemical problems.
The Royal Society of Chemistry, London, pp. 1-30.
61. Galperin, P. Ya. (1974): Los tipos fundamentales de aprendizaje. Editorial
Universitaria, La Habana.
62. Galperin, P. Ya. (1983): Ensayo sobre la formación por etapas de las acciones y
los conceptos. En: Lecturas de Psicología Pedagógica, Universidad de La Habana,
pp. 226-248.
63. Galperin, P. Ya. (1986): Sobre el método de formación por etapas de las acciones
intelectuales. En: Antología de la Psicología Pedagógica y de las Edades. Editorial.
Pueblo y Educación, Ciudad de La Habana, pp. 114-118.
64. Galperin, P.Ya. (1987): Los problemas de la formación de conocimientos y
capacidades en los escolares y los nuevos métodos de enseñanza en la escuela. En:
La Psicología Evolutiva y Pedagógica en la URSS. Antología. Editorial Progreso,
Moscú, pp. 300-315.
65. Gallego, R. (1999): Competencias Cognoscitivas. Un enfoque epistemológico,
pedagógico y didáctico. Colección Aula Abierta. Cooperativa Editorial Magisterio,
Colombia.
66. García, G. et al. (1999): Una aproximación epistemológica, didáctica y cognitiva a
nociones básicas y conceptos de Cálculo. Revista de la Facultad de Ciencia y
Tecnología. Universidad Pedagógica Nacional. No.5, Santa Fe de Bogotá, pp. 51-
59.
67. Garret, R.M. (1987): Issues en science education: problem-solving, creativity and
originality. International Journal of Science Education.1, pp26-33.
68. Garret, R.M. et al. (1990): Turning exercises into problems: an experimental study
with teachers in training. International Journal of Science Education. 12(1), pp. 1-
12.
69. Garret, R.M. (1995): Resolver problemas en la enseñanza de las Ciencias.
Alambique. Monografía. La resolución de problemas. No.5. Año II. Julio,
Barcelona. España, pp. 6-15.
70. Gascón, J. (1994): El papel de la resolución de problemas en la enseñanza de la
matemática. Educación Matemática. Vol.6. No.3. GEI. México. pp.37-51.
71. Gil, D. and J. Martínez-Torregrosa (1983): A model for problem-solving in
accordance with scientific methodology. European Journal of Science Education. 5,
pp. 447-457.
72. Gil, D. et al. (1991): La enseñanza de las Ciencias en la Educación Secundaria.
Editorial Horsori. Barcelona.
73. Gil, D. et al. (1992): LA DIDÁCTICA DE LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS EN CUESTIÓN: elaboración de un modelo alternativo. Un
ejemplo de como puede plantearse una crítica fundamentada de la enseñanza
habitual y del pensamiento docente espontáneo, y de cómo lograr la participación
de los profesores en la construcción de propuestas alternativas. Didáctica de las
Ciencias Experimentales y Sociales, No.6., Universidad de Valencia, pp. 73-86.
74. Gil, D. y M. de Guzmán (1993): Enseñanza de las Ciencias y las Matemáticas.
Tendencias e innovaciones. Educación Ciencia y Tecnología. Editorial Popular.
S.A., Madrid.
75. Giordan, A. (1985): Interés didáctico en los errores de los alumnos. Enseñanza de
las Ciencias. 3(1), pp. 11-17.
76. Glaser, R. (1984): Education and thinking. The role of knowledge. American
Psychologist 2, pp. 93-104.
77. Gómez, P. (1995a): Matemática Básica. Grupo Editorial Iberoamérica S.A de
C.V., México.
78. Gómez, P. (1995b): Profesor no entiendo. Grupo Editorial Iberoamérica S.A de
C.V., México.
79. Good, R. and M. Smith (1987): How do we make students better problem
solvers. The Science Teacher. April, pp. 31-36.
80. Goldtein, L.J. (1994): Precalculus and its Aplications, Wn. C. Brown
Communications, USA.
81. Goldstein, L.J. (1995): College Algebra for the Management, Social and
Biological Sciencies. Wm.C. Brown Publishers, USA.
82. González, U.P. (1992): Las raíces del Cálculo Infinitesimal. Alianza Editorial, S.A.,
Madrid.
83. González, J.R. (1994): Cálculo I. Universidad de León. Secretariado de
Publicaciones, España.
84. González, V. (1986): Teoría y práctica de los medios de enseñanza. Editorial
Pueblo y Educación, La Habana.
85. González, O. (1995): Didáctica Universitaria. CEPES, La Habana
86. González, A. (1997): Pensamiento reflexivo y creatividad., Editorial Academia, La
Habana.
87. González, M. (2000): Evaluación del Aprendizaje en la Enseñanza Universitaria,
Universidad de Matanzas.
88. Gorodetsky, R. and R. Hoz (1980): Use of concept profile analysis to identify
difficulties in solving science problems. Science Education, 64 (5), pp. 671-678
89. Heller, M. (1998): El arte de enseñar con todo el cerebro. Fotoprin C.A.,
Venezuela.
90. Hernández, H. (1989): El perfeccionamiento de la enseñanza de la Matemática en
la Educación Superior Cubana: experiencias en Algebra Lineal. Tesis de
Doctorado, La Habana.
91. Hernández, H. (1990): Saltar a la vista lo evidente. Revista Cubana de Educación
Superior. Vol.X. No.1, La Habana, pp.21-30.
92. Hernández, S. y H. Hernández (1998): Algoritmizar: rutina para crear. III Taller
Internacional sobre la enseñanza de la Matemática para Ingeniería y Arquitectura.
ISPJAE, La Habana, pp. 58-61.
93. Hernández, P.A. (1999): Metodología para el trabajo en Seminario. Editorial
Academia, La Habana.
94. Hernández, R. (2000): Propuesta didáctica para identificar resolver los problemas
que requieren del cálculo de una integral definida o de la derivada de una función
real en un punto. Tesis de Doctorado. Universidad de Matanzas.
95. Howard, A. (1995): Calculus with Analitic Geometry. Drexel University, USA.
96. Hughes-Hallett, D. et al. (1996): Applied Calculus for business, social sciences
and life sciences. Jonh Willey & Sons, Inc., USA.
97. Ibarra, F. et al. (1999): Metodología de la investigación social. Editorial Félix
Varela, La Habana.
98. Jiménez, D. (1999): La aventura de la Matemática: Sus secretos, protagonistas y
grandes momentos. Colección Quirón. No.28. Editorial C.E.C., Caracas,
Venezuela.
99. Jungk, W. (1979): Conferencias sobre metodología de la enseñanza de la
Matemática 2. Editorial de libros para la Educación, La Habana.
100. Kaufman, R. (1973): Planificación de Sistemas Educativos. Editorial Trillas,
México.
101. Kempa, R.F. (1986): Resolución de problemas de Química y estructuras
cognoscitivas. Enseñanza de las Ciencias. 4(2), pp. 99-110.
102. Kiseliov, A. et al. (1979): Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Editorial MIR.
103. Kline, M. (1992): El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. I.
Alianza Editorial, S.A., Madrid.
104. Klingberg, L. (1978): Introducción a la Didáctica General. Editorial Pueblo. y
Educación, La Habana.
105. Klingler, C. y G. Vadillo (1997): Psicología cognitiva. Estrategias en la práctica
docente. Litográfica Ingramex, México.
106. Krasnov, M. (1990): Curso de Matemáticas superiores para ingenieros. Tomos I
y II. Editorial MIR, Moscú.
107. Krinitski, N. (1988): Algoritmos a nuestro alrededor. MIR, Moscú.
108. Krulik, S. and K. Rudnick (1980): Problem solving in school mathematics.
National council of teachers of mathematics. Year Book, Reston. Virginia.
109. Kudriávsev, V.A. y B.P. Demidóvich (1989): Breve curso de Matemáticas
Superiores. Editorial MIR, Moscú.
110. Labarrere, A.F. (1987a): Bases psicopedagógicas de la enseñanza de la
resolución de problemas matemáticos en la escuela primaria. Editorial Pueblo y
Educación, La Habana.
111. Labarrere, A.F. (1987b): Un problema matemático correctamente solucionado,
pero... además qué. En: Temas de Psicología Pedagógica para maestros I. Editorial
Pueblo y Educación, La Habana. pp. 80-86.
112. Labarrere, A.F. (1988): Cómo enseñar a los alumnos de primaria a resolver
problemas. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
113. Labarrere, A.F. (1996): Pensamiento. Análisis y autorregulación de la actividad
cognoscitiva de los alumnos. Editorial Pueblo y Educación, La Habana.
114. Labarrere, G. y G.E. Valdivia (1988): Pedagogía. Editorial Pueblo y Educación,
La Habana.
115. Landa, L.N. (1978): Algoritmos para la enseñanza y el aprendizaje. Editorial
Trillas, México.
116. Latorre. A. y M.C. Fortes (1990): Modelos en Psicología de la Educación y su
aplicación a la enseñanza-aprendizaje de las ciencias experimentales. Didáctica de
las Ciencias Experimentales y Sociales. No.4. Edita Departamento de las ciencias
Experimentales y Sociales. Universidad de Valencia, España, pp. 57-63.
117. Leóntiev, A.N. (1979): La actividad en la Psicología. Editorial de Libros para la
Educación., La Habana.
118. Leóntiev, A.N. (1981): Actividad-Conciencia-Personalidad. Editorial. Pueblo y
Educación, La Habana.
119. Leóntiev, A.N. (1986): Sobre la formación de las capacidades, En: Antología de la
Psicología Pedagógica y de las Edades. Editorial. Pueblo y Educación, La Habana,
pp. 44-54.
120. Litvinenko, V. y A. Morkóvich (1989): Prácticas para resolver problemas
matemáticos. Editorial MIR, Moscú.
121. López, M. (1990): Sabes enseñar a describir, definir, argumentar. Editorial Pueblo
y educación, La Habana.
122. López, J.L. (1995): Método e hipótesis científica. Editorial Trillas, México.
123. Llivina, M.J. (1999): Una propuesta metodológica para contribuir al desarrollo de
la capacidad para resolver problemas matemáticos. Tesis de Doctorado, La
Habana.
124. Majmutov, M.I. (1983): La enseñanza problémica. Editorial Pueblo y Educación,
La Habana.
125. Martí, J. (1990): Ideario Pedagógico. Editorial Pueblo y Educación., La Habana.
126. Martínez, F. (1993): Una variante de sistema didáctico para la enseñanza del
Cálculo Diferencial. Tesis de Doctorado, La Habana.
127. Martínez, G. (1983): Formación de las propiedades secundarias de la acción.
conceptos. En: Lecturas de Psicología Pedagógica, Universidad de La Habana,
pp.249-256.
128. Martínez, G. (1984): El tránsito de la formación de conceptos matemáticos
primarios a la solución de problemas aritméticos en niños de edad prescolar mayor
y de edad escolar menor (Autoreferat de la tesis de Candidato a doctor). Revista
Cubana de Psicología. Vol.1, No.2., La Habana, pp.3-17.
129. Mason, J. et al. (1989): Pensar matemáticamente. Editorial Labor, España
130. Mazarío, I. (1999a): La historia de la Matemática y las Ciencias como estrategia
en la didáctica de la resolución de problemas. Publicación Científica del “Area de
Estudios sobre Educación Superior”. Educación Universitaria. No.2, Universidad
de Matanzas, pp. 195-204.
131. Mazarío, I. (1999b): El desarrollo de habilidades en la resolución de problemas.
Revista Cubana de Educación Superior. Vol. XIX.No.2, La Habana, pp. 37-44.
132. Mazarío, I. (2000): Reflexiones sobre la incidencia de las matemáticas y las
ciencias en la resolución de problemas. Publicación Científica del “Area de Estudios
sobre Educación Superior”. Educación Universitaria. No.3, Universidad de
Matanzas, pp. 231-240.
133. Medina, A.C. (2001): Concepciones históricas asociadas al concepto de límite e
implicaciones didácticas. Revista de la Facultad de Ciencia y Tecnología.
Universidad Pedagógica Nacional. No.9, Santa Fe de Bogotá, pp.44-60.
134. Morrisey, G.L. (1996): Pensamiento estratégico. Construya los cimientos de su
planeación. Prentice Hall. Hispanoamérica, S.A.
135. Münch, L. y E. Angeles (1998): Métodos y Técnicas de Investigación. Trillas,
México.
136. Mujina, K. y N. Cherkeszade (1981): Conferencias sobre Psicología
Pedagógica. Editorial de Libros para la Educación, La Habana.
137. Müller, H. (1987): Aspectos metodológicos acerca del trabajo con ejercicios en la
enseñanza de la Matemática. ICCP. La Habana.
138. Muñoz, F. et al. (1989): Matemática. Séptimo Grado. Editorial Pueblo y
Educación, La Habana.
139. Muñoz, F. et al. (1990): Matemática. Octavo Grado. Editorial Pueblo y
Educación, La Habana.
140. Muñoz, F. et al. (1991): Matemática. Noveno Grado. Editorial Pueblo y
Educación, La Habana.
141. NCTM (2000): Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación
Matemática [en línea]. Disponible en Internet. .http: // www.nctm.org / standars.//
142. Navarro, J.M. y T. Calvo (1992): Historia de la Filosofía. COU. Grupo Anaya
S.A., España.
143. Newell, A. and H.A Simon (1972): Human problem solving. Printice-Hall.
144. Nickerson, R.M. et al. (1998): Enseñar a pensar. Aspectos de la aptitud
intelectual. Paidós. Barcelona, España.
145. Nuñez, R. (1999): La problematización del contenido en el proceso de formación
del Licenciado en Matemática en Cuba. Tesis de Doctorado, La Habana.
146. Ontiveros J. (1994): El fracaso en la enseñanza de las matemáticas del
bachillerato. Universidad Autónoma de Querétaro, México.
147. Ormerod, M.B. (1983): A model to exhibit the interdependence of the cognitive
and affective domains of objetives for use in science and technical teacher trainig.
Research in Science and Technological Education. 1 (1), pp. 119-128.
148. Orton, A. (1996): Didáctica de las Matemáticas. Editorial Morata, Madrid.
España.
149. Perales, F.J. (1993): La resolución de problemas: Una revisión estructurada.
Enseñanza de las Ciencias. 11(2), pp. 170-178.
150. Pérez, M.C. (2001): Estrategia didáctica para la resolución de problemas de
Geometría Descriptiva. Tesis de Doctorado, La Habana.
151. Pérez, P. (1989): La activación de la actuación cognoscitiva de los estudiantes
durante el curso de Física General de los ISP. Tesis de Doctorado, La Habana.
152. Perkins, D. (1994): Enseñar a pensar. Ediciones Paidos, Barcelona.
153. Petrovski, A.V. (1978): Psicología General. Editorial Pueblo y Educación., La
Habana.
154. Petrovski, A.V. (1986): El colectivo, la comunicación y el desarrollo de la
personalidad. En: Antología de la Psicología Pedagógica y de las Edades. Editorial
Pueblo y Educación, La Habana, pp. 161-166.
155. Piaget, J. et al. (1986): La Enseñanza de las Matemáticas Modernas. Alianza
Editorial, Madrid, España.
156. Pizzini E.L. et al. (1989): A rationale for and the development of a problem solving
model of instruction in science education. Science Education. 73 (5), pp. 523-534.
157. Polya, G. (1989): Cómo plantear y resolver problemas. Editorial Trillas, México.
158. Pozo, J.I. et al. (1994): La solución de problemas. Santillana. Aula XXI. Madrid.
159. Programa de la Disciplina Matemática para la carrera de Agronomía (1989):
Planes de Estudios “B”, “C” y “C´”. MES, la Habana.
160. Rebollar, A. (2000): Una variante para la estructuración del proceso de enseñanza
aprendizaje de la Matemática a partir de una nueva forma de organizar el contenido
en la escuela media cubana. Tesis de Doctorado, Santiago de Cuba.
161. Resnick-Halliday (1966): Física. Para estudiantes de Ciencias e Ingeniería.
Edición revolucionario, La Habana.
162. Ribnikov, K. (1987): Historia de las Matemáticas. Editorial MIR, Moscú.
163. Rodríguez, R. et al. (1985): Cálculo diferencial de funciones de varias variables.,
Tomos I y II, MES. Editorial Pueblo y Educación., La Habana.
164. Rodríguez, R. et al. (1988): Cálculo Diferencial e Integral. Tomos I y II. Editorial
Pueblo y Educación, La Habana.
165. Rodríguez, T. (1991): Enfoque sistémico en la dirección de la asimilación de los
conceptos básicos de la Disciplina Matemática Superior. Tesis de Doctorado, La
Habana.
166. Rodríguez, A. (1991): Un esquema para la solución de problemas de matemática.
Boletín de la Sociedad Cubana de Matemática y Computación. No.13, La Habana,
pp. 11-20.
167. Rodríguez, M. et al. (1999): Formación de los conocimientos científicos en los
estudiantes. Editorial Academia, La Habana.
168. Rowell, J.A. et al. (1990): Changing misconceptions: a challenge to science
educators. International Journal of Science Education., 12(2), pp. 167-175.
169. Rubinstein, S.L. (1966): El proceso del pensamiento. Editorial Universitaria, La
Habana.
170. Samper de Caicedo, C. (1999): Sugerencias para el desarrollo de habilidades en
la resolución de problemas. Revista de la Facultad de Ciencia y Tecnología.
Universidad Pedagógica Nacional. No.5, Santa Fe de Bogotá, pp. 17-26.
171. Sánchez, J.M. (1995): Comprender el enunciado. Primera dificultad en la
resolución de problemas. Didáctica de las Ciencias Experimentales. Alambique.
Monografía La resolución de problemas. No.5. Año II. Julio, Barcelona, España,
pp.37-45.
172. Sánchez, M. (1995): Desarrollo de habilidades del pensamiento. Razonamiento
verbal y solución de problemas. Editorial Trillas, México.
173. Santana, H. (1994): ¿Por qué no les gusta la Matemática?. Boletín de la Sociedad
Cubana de Matemática y Computación. No.16, La Habana, pp. 8-10.
174. Santos, N. (1988): Sistema de habilidades lógicas relacionadas con los conceptos
y los teoremas de la Matemática en Ciencias Técnicas. Tesis de Doctorado, Villa
Clara.
175. Santos, L.M. (1994): La resolución de problemas en el aprendizaje de las
matemáticas. Departamento de matemática Educativa. CINVESTAV-IPN,
México.
176. Sanz, T. (1989): Estudio de los procedimientos lógicos de identificación de
conceptos y clasificación en estudiantes de Ciencias Técnicas. Tesis de Doctorado,
La Habana.
177. Schoenfeld, A. H. (1980): Teaching Problem-Solving Skill. American
Mathematical Montly. Vol.87. No.10, USA.
178. Schoenfeld, A. H. (1985): Mathematical Problems Solving, Academic Press.
179. Schoenfeld, A.H. (1991a): Ideas y tendencias en la resolución de problemas.
EDIPUBLI S.A., Argentina.
180. Schoenfeld, A.H. (1991b): On mathematic as sense-making: as informal attack on
the unfortunate divorse of formal and informal mathematics. INJ.VOSS, D.
PPerkins & J. Segal (Eds), New Jersey.
181. Shrigley, M and M.J. Frazer (1974): The attitudes of preservice elementary
teachers toward science. School Science and Mathematics, 74, pp. 243-250.
182. Serrano, J.A. (1991): El binomio demostración-explicación. Editorial Trillas,
México.
183. Siegel, S. (1987): Diseño experimental no paramétrico. Edición Revolucionaria, La
Habana.
184. Smirnov, A.A. et al. (1961): Psicología. Imprenta Nacional de Cuba, La Habana.
185. Songer, N.B. and M.C. Linn (1991): How do studensts views of science
influence knowledge integration?. Journal of Reseach in Science Teaching, 28(9).
186. Stewart, J. (1998): Cálculo. Conceptos y contextos. International Thomson
Editores, México.
187. Talízina, N. (1985): Conferencia sobre: Los fundamentos de la enseñanza en la
Educación Superior. DEPES, Universidad de La Habana.
188. Talízina, N. (1988): Psicología de la Enseñanza. Editorial Progreso, Moscú.
189. Tomascheswski, K. (1966): Didáctica General. Editorial Grijalbo S.A., México.
190. Torres, P. (1993): La enseñanza problémica de la Matemática del nivel medio
general. Tesis de Doctorado. ISPEJV, La Habana.
191. Tríanes, M.V. et al. (1992): Psicología de la Educación para profesores.
Departamento de psicología Evolutiva de la Educación. Edita Secretariado de
Publicaciones. Universidad de Málaga, España.
192. Ulloa, M. et al. (1985): La investigación pedagógica. En: Temas de Superación.
Editorial Pueblo y Educación, La Habana, pp. 56-64.
193. Urquijo, P. (1991): Estudio de la formación de las acciones intelectuales de análisis,
reflexión y generalización durante la enseñanza de las prácticas de laboratorio de
Química General en estudiantes Universitarios. Tesis de Doctorado, La Habana.
194. Valverde, L. (1990): Un método para contribuir a desarrollar la habilidad para
fundamentar-demostrar una proposición matemática, tomando como base una
asignatura de Algebra de primer año de los ISP. Tesis de Doctorado. ISPEJV, La
Habana.
195. Vázquez, C. (1992): Estadística Básica. Santillana S.A., España.
196. Vidal, G. (1999): Una concepción didáctica integradora de la Química General
para las carreras de ciencias Naturales. Tesis de Doctorado. Universidad de La
Habana.
197. Vigostky, L.S. (1982): Pensamiento y lenguaje. Editorial Pueblo y Educación, La
Habana.
198. Vigostky, L.S. (1987): Historia del desarrollo de las funciones psíquicas
superiores. Editorial Científico Técnica, La Habana.
199. Zajarova, A.V. y M. E. Botsmanova. (1987): Las particularidades de la reflexión
como neoformación psíquica en la actividad docente. En: Formación de la actividad
docente de los escolares. Editorial Pueblo y Educación, La Habana, pp. 158-170.
200. Zilberstein, J. et al. (1999): Didáctica integradora de las ciencias. Experiencia
cubana. Editorial Academia. La Habana.
PUBLICACIONES DEL AUTOR RELACIONADAS CON EL TEMA DE LA
TESIS.
? Mazarío, I. (1997a): Un aspecto esencial en la resolución de problemas: la
comprensión de su enunciado. Publicado en las memorias del evento COMAT´97,
Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. (1997b): Sobre la utilización de la Historia de la Ciencia en la Educación.
Publicado en las memorias del evento COMAT´97, Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. et al. (1997c): Experiencias didácticas en la organización sistemática del
proceso de enseñanza de la Matemática para las carreras de ingeniería. Resúmenes de
la Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa en la Universidad Michoacana
de San Nicolás de Hidalgo. Morelia. Michoacán, México.
? Mazarío, I. et al. (1998): Algunos aspectos generales de la resolución de problemas
en la enseñanza de la Matemática. Publicación Científica del “Area de Estudios sobre
Educación Superior”. Educación Universitaria. No.1, Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. (1999a): La historia de la Matemática y las Ciencias como estrategia en la
didáctica de la resolución de problemas. Publicación Científica del “Area de Estudios
sobre Educación Superior”. Educación Universitaria. No.2, Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. (1999b): El desarrollo de habilidades en la resolución de problemas.
Revista Cubana de Educación Superior. Vol. XIX.No.2, La Habana.
? Mazarío, I. et al. (1999c): El desarrollo de habilidades en la resolución de problemas
en las clases de ciencias. Publicación Científica del “Area de Estudios sobre Educación
Superior”. Educación Universitaria. No.2, Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. (1999d): La resolución de problemas en Matemática: reflexiones sobre
una línea de investigación. Publicado en las memorias del evento COMAT´99,
Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. (2000a): Reflexiones sobre la incidencia de las matemáticas y las ciencias
en la resolución de problemas. Publicación Científica del “Area de Estudios sobre
Educación Superior”. Educación Universitaria. No.3, Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. (2001a): Un sistema didáctico para la resolución de problemas de
Matemática en la carrera de Agronomía. Publicado en las memorias del evento
COMAT´2001, Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. (2001b): El trabajo grupal y la resolución de problemas. Memorias del
Congreso COMAT´2001, Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. et al. (2001c): Las técnicas participativas en el trabajo grupal. Congreso
Internacional Pedagogía 2001, La Habana.
? Mazarío, I. et al. (2002a): Formas organizativas del proceso docente educativo y el
tratamiento de los problemas. Publicación Científica del “Area de Estudios sobre
Educación Superior”. Educación Universitaria, Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. (2002b): Propuesta de un sistema de acciones y operaciones para
estructurar la habilidad resolver problemas. Monografía: “La resolución de problemas”,
Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. et al. (2002c): Propuesta de un diseño de trabajo grupal para abordar los
problemas en las clases de ciencia. Monografía: “La resolución de problemas”,
Universidad de Matanzas.
? Mazarío, I. et al. (2002d): Algunas sugerencias que favorecen la evaluación de los
problemas en clases. Monografía: “La resolución de problemas”, Universidad de
Matanzas.
OTRAS ARTÍCULOS PUBLICADOS.
? Mazarío, I. (1988): Aplicación del sistema de principios en asignaturas. Monografía
Didáctica #3. Aplicación del sistema de principios en la Educación Superior. Instituto
Superior Agroindustrial “Camilo Cienfuegos”, Matanzas.
? Colectivo de autores (1995): Articulación entre la Matemática y la Física. Revista
“Tradición”. Universidad Ricardo Palma. Año II. No.5. Julio, Perú.
? Colectivo de autores (2000): Bloqueos: un problema?. Publicación Científica del
“Area de Estudios sobre Educación Superior”. Educación Universitaria. No.3,
Universidad de Matanzas.
? Colectivo de autores (2001): La dimensión afectiva del aprendizaje de las ciencias y
las relaciones CTS. Revista de la Facultad de Ciencia y Tecnología. Universidad
Pedagógica Nacional. No.9., Bogotá D.C.
Indice de Anexos.
Contenido.
Anexo 1.A Sistema de objetivos, contenidos y habilidades de las asignaturas Matemática
Superior I y II para la carrera de Agronomía (Planes C y C´).
Anexo 1.B Distribución del fondo de tiempo para las diferentes formas organizativas de
enseñanza..
Anexo 2 Estructura de la habilidad resolver problemas de Matemática.
Anexo 3. Datos generales de los estudiantes que ingresan al Primer Año de la Carrera de
Agronomía.
Anexo 4.A Guía para la encuesta a profesores acerca de las dificultades de los estudiantes
en la resolución de problemas de Matemática.
Anexo 4.B Resultados del análisis de las opiniones de los docentes sobre las dificultades
de los estudiantes en la resolución de problemas.
Anexo 5.A Ejemplos de tareas resueltas en clases.
Anexo 5.B Ejemplos de tareas propuestas a resolver en clases.
Anexo 6 Folleto para los estudiantes con problemas resueltos.
Anexo 7 Hoja de Trabajo de los estudiantes.
Anexo 8 Guía didáctica del estudiante para la resolución de problemas de Matemática.
Anexo 9.A Guía para el análisis de las resoluciones en la Prueba Oral.
Anexo 9.B Resultados del control de las Pruebas Orales.
Anexo 10 Ejemplos de Tareas de Control.
Anexo 11 Niveles de desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática.
Anexo12 Ficha de evaluación a llenar por los estudiantes.
Anexo 13 Hoja de Diagnóstico del profesor.
Anexo 14 Caracterización del nivel de generalización.
Anexo 15 Fases del proceso de aprendizaje de la resolución de problemas en la
experiencia pedagógica.
Anexo 16.A Resultados del control de las Pruebas Escritas Parciales y Final.
Anexo 16.B Resultados del control de las Tareas Extraclases.
Anexo 17 Muestra de algunas de las resoluciones de problemas de los estudiantes.
Anexo 18 Curva de aprendizaje.
Anexo 19 Validación estadística de los datos experimentales.
Anexo 20 Control de la solidez de los contenidos de Matemática Superior I y II.
Anexo 21.A Encuesta a los estudiantes sobre sus criterios acerca de la experiencia
pedagógica.
Anexo 21.B Resultados del análisis de las opiniones de los estudiantes.
Anexo 22.A Encuesta a los profesores sobre sus criterios acerca de la experiencia
pedagógica.
Anexo 22.A Resultados del análisis de las opiniones de los profesores.
Anexo 1.A
Programa de las asignaturas Matemática Superior I y II.
Plan C
Carrera: Agronomía.
Disciplina: Matemática Superior.
OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.
OBJETIVOS EDUCATIVOS.
1. Contribuir a consolidar en los estudiantes la concepción científica del mundo a partir de
la enseñanza de las teorías de la disciplina y de cómo surgieron y se desarrollaron los
conceptos y métodos fundamentales de la matemática.
2. Consolidar en los estudiantes la convicción sobre las posibilidades de la Matemática
de resolver y modelar problemas científico-técnicos relacionados con el perfil
profesional , con otras asignaturas y con la vida real.
3. Desarrollar las formas de pensamiento lógico y algorítmico y la capacidad de
razonamiento de los alumnos mediante el análisis de los conceptos y el desarrollo de
habilidades en la reafirmación de los mismos , así como de los métodos, algoritmos y
reglas de la resolución de problemas prácticos.
4. Contribuir a desarrollar en los estudiantes la habilidad en el trabajo independiente y la
autopreparación consultando sistemáticamente no sólo el texto básico de las
asignatura, sino la literatura auxiliar y complementaria, la estética general del trabajo
diario; la constancia, el hábito de proceder reflexiva y creadoramente y evaluar
críticamente los resultados de su trabajo.
5. Lograr la generalización en el campo escalar y vectorial de funciones de una o más
variables relacionadas con el cálculo diferencial.
OBJETIVOS INSTRUCTIVOS.
1. A partir del concepto de espacio vectorial sobre R, definir funciones de n variables
escalares y vectoriales, estableciendo las diferencias entre estas; realizar operaciones
entre vectores de R2 y R3 y representar planos, cilindros, elípticos y circulares,
elipsoides y esferas, así como curvas y superficies de nivel.
2. Definir el concepto de límite finito y continuidad de funciones de una y dos variables
cuando la variable tiende a un valor finito, calcular limites y reconocer la continuidad y
discontinuidad de funciones de una variable, dadas en forma gráfica y analítica.
3. Definir los conceptos de derivadas de funciones de una variable, escalares y
vectoriales, derivadas parciales, derivada direccional y calcular las mismas aplicando
las reglas y teorema estudiados.
4. Resolver problemas de cálculo aproximado utilizando el diferencial como aproximación
del incremento.
5. Resolver problemas de extremos de funciones hasta de tres variables; así como
problemas de extremos condicionados utilizando el método de multiplicadores de
Lagrange.
6. Aplicar el cálculo diferencial al trazado de curvas, a los problemas de optimización, a
problemas físicos, biológicos, geométricos y químicos
7. Resolver problemas de cálculo aproximado así como de representación de funciones
mediante la utilización de programas de computación.
Asignatura: Matemática Superior I.
Año que se imparte: Primero (Primer Semestre).
Total de horas: 76
SISTEMA DE CONOCIMIENTOS.
Espacio vectorial sobre R. Rn como espacio vectorial sobre R. Combinación lineal.
Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión.
Funciones de n variables, escalares y vectoriales. Concepto de campo escalar. Concepto
de campo vectorial.
Operaciones entre vectores de Rn (suma, producto por un escalar, producto escalar).
Producto vectorial. Determinantes. Norma de un vector.
Sistemas de coordenadas cartesianas y polares. Representación de algunas superficie.
Curvas de nivel. Superficies de nivel.
Límite de funciones escalares de una y dos variables y de funciones vectoriales de una
variable.
Propiedades. Límites fundamentales. Indeterminaciones.
Funciones continuas de una y dos variables. Propiedades. Teorema de Bolzano.
Concepto de derivada (una variable). Interpretación física y geométrica. Reglas de
derivación. Regla de la cadena. Derivadas de orden superior. Teorema de la inversa de
una función.
Teorema de Rolle, Lagrange y Cauchy. Regla de L´Hospital.
Diferencial de funciones de una variable.
Extremos de funciones de una variable. Problemas de optimización.
Concavidad, convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Trazado de curvas.
Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Regla de la cadena. Diferencial total.
Extremos de funciones de dos y tres variables. Extremos condicionados.
Problemas de optimización. Gradiente de un campo escalar. Derivada direccional.
Derivada de funciones vectoriales de una variable. Interpretación física y geométrica.
Divergencia y rotacional de un campo vectorial.
SISTEMA DE HABILIDADES.
Derivar funciones de una variable.
Calcular límites aplicando la regla de L´Hospital.
Hallar el diferencial de funciones de una y más variables.
Utilizar el diferencial como aproximación del incremento.
Hallar extremos de funciones hasta de tres variables.
Resolver problemas de optimización aplicando la teoría sobre extremos y el método de los
multiplicadores de Lagrange.
Hallar intervalos de concavidad, convexidad, puntos de inflexión y asíntotas.
Trazar curvas.
Calcular derivadas parciales. Calculas derivadas direccionales- Calcular derivadas de
funciones vectoriales. Calcular divergencia y rotacional de un campo vectorial.
Modelar y resolver problemas físicos y geométricos.
Asignatura. Matemática Superior II.
Año que se imparte: Primero (Segundo Semestre).
Total de horas: 54
OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.
OBJETIVOS EDUCATIVOS.
1. Contribuir a consolidar en los estudiantes la concepción científica del mundo a partir de
la enseñanza de las teorías de la disciplina y de cómo surgieron y se desarrollaron los
conceptos y métodos fundamentales de la matemática.
2. Consolidar en los estudiantes la convicción sobre las posibilidades de la Matemática
de resolver y modelar problemas científico-técnicos relacionados con el perfil
profesional, con otras asignaturas y con la vida real.
3. Desarrollar las formas de pensamiento lógico y algorítmico y la capacidad de
razonamiento de los alumnos mediante el análisis de los conceptos y el desarrollo de
habilidades en la reafirmación de los mismos, así como de los métodos, algoritmos y
reglas de la resolución de problemas prácticos.
4. Contribuir a desarrollar en los estudiantes: la habilidad en el trabajo independiente y la
autopreparación consultando sistemáticamente no sólo el texto básico de las
asignatura, sino la literatura auxiliar y complementaria, la estética general del trabajo
diario; la constancia, el hábito de proceder reflexiva y creadoramente y evaluar
críticamente los resultados de su trabajo.
5. Lograr la generalización en el campo escalar y vectorial de funciones de una o más
variables relacionado con el cálculo integral.
6. Familiarizar a los estudiantes con el uso de la computación y lograr que comprendan la
importancia que tiene la misma para resolver problemas científico-técnico.
OBJETIVOS INSTRUCTIVOS.
1. Definir el concepto de integral indefinida y calcular éstas aplicando los conocimientos
de derivadas, propiedades, los métodos de integración: cambio de variables y partes,
así como utilizando la tabla de integrales.
2. Definir el concepto de integral definida, integrales impropias, integral doble, integral
triple, en coordenadas cartesianas, integral de línea e integral de superficie logrando
habilidades de cálculo en integrales definidas, impropias de primera especie y de línea,
así como la modelación y resolución de problemas que conduzcan algunas de estas
integrales.
3. Resolver problemas de cálculo aproximado de integrales definidas utilizando
programas de computación.
4. Definir los conceptos de ecuaciones diferenciales ordinarias, orden, grado, solución
general, solución particular, resolviendo ecuaciones diferenciales ordinarias de variables
separables, exactas, lineales de primer orden y primer grado y de segundo orden y
primer grado lineal, así como modelando y resolviendo problemas que conduzcan a
estas.
SISTEMA DE CONOCIMIENTOS.
Integral indefinida. Propiedades. Fórmulas inmediatas de integración. Métodos de
integración (cambio de variable y partes). Manejo de tablas.
Integral definida. Teoremas fundamentales. Integración numérica. Integrales impropias.
Integral doble en coordenadas cartesianas. Teorema fundamental. Integral de línea
(primera forma escalar y forma vectorial). Teorema de Green en el plano. Integral triple en
coordenadas cartesianas. Teorema fundamental. Integrales de superficies. Teorema
fundamental. Teorema de la divergencia y de Stokes. Aplicaciones del cálculo integral.
Definición de ecuación diferencial ordinaria y grado. Solución general y particular.
Variables separables, exactas y lineales de primer orden y grado.
Números complejos. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden y primer grado
con coeficientes constantes homogéneas y no homogéneas.
SISTEMA DE HABILIDADES.
Calcular integrales indefinidas aplicando las propiedades, los métodos estudiados y
utilizando la tabla.
Calcular integrales definidas aplicando el segundo teorema fundamental del cálculo.
Calcular aproximadamente integrales definidas normalmente y utilizando programas de
computación.
Calcular integrales impropias de primera especie.
Calcular integrales de línea.
Modelar y resolver problemas mediante alguna de estas integrales.
Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables, exactas y lineales de
primer orden y primer grado, así como lineales de segundo orden y primer grado con
coeficientes constantes homogéneas y no homogéneas.
Modelar y resolver problemas que conduzcan a ecuaciones diferenciales ordinarias
aplicando los métodos estudiados.
Programa de las asignaturas Matemática I y II.
Plan C´
Carrera: Agronomía.
Año que se imparte: Primero.
OBJETIVOS GENERALES.
OBJETIVOS EDUCATIVOS.
Que los estudiantes sean capaces de:
1. Pensar lógicamente con capacidad de razonamiento, análisis y síntesis mediante el
análisis de los conceptos y el desarrollo de habilidades en la aplicación de los mismos,
así como de los métodos algorítmicos y reglas en la resolución de problemas prácticos.
2. Trabajar en forma independiente y creadora, así como evaluar críticamente los
resultados de su trabajo.
3. Trabajar con estética, constancia y reflexivamente
4. Realizar el análisis y valoración de los resultados incorporando elementos técnicos
propios de las especialidades agropecuarias.
5. Comprender el lugar que le corresponde a la disciplina en la evaluación de los
resultados y la toma de decisiones.
OBJETIVOS INSTRUCTIVOS.
1. Aplicar los conceptos y métodos de cálculo diferencial e integral en problemas afines a
las especialidades agropecuarias.
2. Modelar, resolver e interpretar problemas relacionados con las especialidades
agropecuarias a través de ecuaciones diferenciales y la programación lineal.
3. Utilizar la computación para el procesamiento de la información y la toma de
decisiones.
MATEMÁTICA I.
OBJETIVOS EDUCATIVOS.
Que los estudiantes sean capaces de:
1. Pensar lógicamente con capacidad de razonamiento, análisis, síntesis mediante el
análisis de los conceptos y desarrollo de habilidades en la aplicación de los mismos, así
como de los métodos algorítmicos y reglas en la resolución de problemas prácticos.
2. Trabajar de forma independiente y evaluar críticamente los resultados de su trabajo.
3. Trabajar con estética, constancia y reflexivamente.
OBJETIVOS INSTRUCTIVOS.
1. A partir del concepto de espacio vectorial sobre R, identificar si una función es escalar
o vectorial, de una o más variables, realizar operaciones entre vectores de Rn.
2. Identificar y : representar planos, cilindros (elípticos y rectos), elipsoides y esferas.
3. Calcular límites y reconocer la continuidad y discontinuidad de funciones de una
variable.
4. Calculas derivadas de funciones de una variable (escalares y vectoriales), derivadas
parciales, derivadas direccionales, así como modelar y resolver problemas de
aplicación utilizando los conceptos anteriores.
5. Calcular integrales indefinidas, definidas, dobles y de líneas, así como la modelación y
resolución de problemas que conduzcan a estas integrales.
CONOCIMIENTOS.
Espacios vectoriales sobre R. Rn como espacio vectorial sobre R. Combinación lineal.
Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión. Funciones de n variables escalares
y vectoriales. Concepto de campo escalar. Concepto de campo vectorial. Operaciones
entre vectores de Rn. (suma, producto por un escalar, producto escalar). Producto
vectorial. Determinante. Norma. Representación de algunas superficies (planos, elipsoides,
esferas y cilindros (circulares y elípticos).
Límite y continuidad de funciones escalares de una variable. Propiedades. Límites
fundamentales. Indeterminaciones. Teorema de Bolzano.
Derivadas de funciones escalares de una variable. Interpretación física y geométrica.
Reglas de derivación Derivadas de funciones compuestas. Derivadas de orden superior.
Teorema de la derivada de la función inversa. Teoremas sobre funciones derivables (Rolle,
Cauchy, Lagrange). Regla de L´Hospital. Derivadas parciales. Derivadas parciales de
orden superior. Regla de la cadena. Diferencial. Gradiente de un campo escalar. Derivada
direccional. Derivadas de funciones vectoriales de una variable. Interpretación física y
geométrica. Divergencia y rotacional de un campo vectorial.
Integral indefinida. Propiedades. Integración inmediata. Métodos de integración (cambios
de variable y partes). Manejo de tablas.
Integral indefinida. Propiedades. Integración inmediata. Métodos de integración (cambio
de variables y partes). Manejo de tablas.
Integral definida. Teoremas fundamentales. Integrales impropias. Integrales dobles en
cartesianas. Teorema fundamental. Integral de línea (Primera forma escalar y vectorial).
Teorema de Green en el plano. Integrales triples. Integrales de superficie.
HABILIDADES.
Diferenciar si una función es escalar o vectorial y si es de una o más variables.
Realizar operaciones entre vectores.
Calcular determinantes.
Representar planos, elipsoides, esferas y cilindros.
Calcular límites de funciones escalares de una variable.
Reconocer la continuidad y discontinuidad de una función escalar de una variable y
clasificar puntos de discontinuidad.
Derivar funciones de una variable.
Calcular límites aplicando L´Hospital.
Calcular derivadas parciales.
Hallar el diferencial de una función de una o más variables.
Utilizar el diferencial como aproximación del incremento.
Calcular derivadas direccionales.
Calcular derivadas de funciones vectoriales de una variable.
Calcular integrales indefinidas, aplicando las propiedades, los métodos estudiados y
utilizando la tabla.
Calcular integrales definidas.
Calcular integrales impropias de primera especie.
Calcular integrales dobles en cartesianas.
Calcular integrales de línea.
MATEMATICA II.
OBJETIVOS EDUCATIVOS.
Que los estudiantes sean capaces de :
1. Pensar lógicamente con capacidad de razonamiento, análisis y síntesis mediante el
análisis de los conceptos y el desarrollo de habilidades en la aplicación de los mismos,
así como de los métodos algorítmicos y reglas en la resolución de problemas prácticos.
2. Trabajar en forma independiente y creadora, así como evaluar críticamente los
resultados de su trabajo.
3. Trabajar con estética, constancia y reflexivamente
4. Realizar el análisis y valoración de los resultados incorporando elementos técnicos
propios de las especialidades agropecuarias.
5. Comprender el lugar que le corresponde a la disciplina en la evaluación de los
resultados y la toma de decisiones.
OBJETIVOS INSTRUCTIVOS.
1. Aplicar el cálculo diferencial al trazado de curvas, problemas de extremos y extremos
condicionales utilizando Multiplicadores de Lagrange.
2. Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables, exactas, lineales
de primero y segundo orden con coeficientes constantes y modelar, resolver
problemas que conduzcan a estos.
3. Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el método de Gauss.
4. Construir el modelo de programación lineal correspondiente a una situación dada
vinculada con el perfil agropecuario, resolverlo utilizando programas de computación e
interpretar la solución obtenida
CONOCIMIENTOS.
Extremos de funciones de una variable. Concavidad y convexidad. Asíntotas. Trazado de
curvas. Extremos de funciones de dos variables. Extremos condicionados. Problemas de
optimización. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Solución general y particular. Ecuaciones
diferenciales de variables separables, exactas y lineales de primer orden. Números
complejos. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes
homogéneos y no homogéneos. Métodos de los coeficientes indeterminados.
Matrices. Algebra de matrices. Determinante asociado a una matriz. Sistemas de
ecuaciones lineales. Teorema de Roche-Frobenius. Métodos de Gauss. Sistemas de
inecuaciones lineales. Solución gráfica de un sistema de inecuaciones lineales en dos
variables.
El problema de programación lineal. Supuestos del modelo. Construcción de modelos de
PL. Conjuntos convexos. Propiedades. Puntos extremos. Hiperplanos. Solución gráfica de
un problema de programación lineal. Ideas básicas del Método Simplex. Resolución de
problemas de programación lineal utilizando programas de computación. Interpretación de
la solución óptima.
HABILIDADES.
Hallar extremos de funciones de hasta dos variables.
Resolver problemas de optimización aplicando la teoría sobre extremos y el Método de los
multiplicadores de Lagrange.
Hallar intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas.
Trazar curvas.
Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de variables separables, exactas, lineales de
primer orden y lineales de segundo orden con coeficientes constantes, homogéneas y no
homogéneas mediante coeficientes indeterminados.
Modelar y resolver problemas que conduzcan a ecuaciones diferenciales de los tipos
anteriores.
Efectuar sumas y productos de matrices.
Resolver sistemas de ecuaciones lineales por el métodos de Gauss.
Modelar fenómenos que conduzcan a problemas de programación lineal.
Resolver problemas de programación lineal utilizando la computación.
Interpretar la solución óptima.
Anexo 1.B
Distribución del fondo de tiempo por formas organizativas de enseñanza.
Plan C.
Asignatura.
Conferencias.
Clases
Prácticas.
Seminarios.
Talleres.
Evaluaciones.
Total de
horas.
Matemática
Superior I.
22
42
4
4
4
76
Matemática
Superior II.
12
30
4
4
4
54
Total.
34
72
8
8
8
130
Plan C´
Asignatura.
Conferencias.
Clases
Prácticas.
Seminarios.
Talleres.
Evaluaciones.
Total de
horas.
Matemática
Superior I.
24
46
4
4
2
80
Matemática
Superior II.
20
46
4
4
2
74
Total..
44
92
8
8
4
154
Anexo 2
Estructura de la habilidad resolver problemas de Matemática.
?
?
?
Analizar el problema.
Generar estrategias de trabajo.
Valorar las consecuencias de la aplicación
de la estrategia que se considere más
adecuada.
Ejecutar o desarrollar la estrategia
seleccionada.
?
Anexo 3
Datos generales de los estudiantes que ingresan al Primer Año de la Carrera de
Agronomía en la Universidad de Matanzas.
Indice de
ingreso
Grupo I Grupo II Grupo III Grupo IV Grupo V
95-100 4 1 3 3 4
90-94 4 3 5 1 7
80-89 8 5 9 5 9
70-79 7 3 7 7 3
60-69 9 2 4 12 4
Total 32 14 28 18 27
Centro de Grupo I Grupo II Grupo III Grupo IV Grupo V
Evaluar los logros y dificultades
durante la ejecución.
Procedencia
Pre-univer. 6 2 5 2 5
Orden-18 6 2
Diferidos. 3 2 1 4
Decreto 91 2 1
Politécnico. 18 7 15 13 16
Extranjeros. 1 6 2
Total 32 14 28 18 27
Anexo 4.A
Guía para la encuesta sobre las opiniones de los docentes acerca de las
dificultades de los estudiantes en la resolución de problemas de Matemática.
1. Las causas de las dificultades en la resolución de problemas se deben exclusiva o
mayoritariamente a:
a) Dificultades del alumnado.
b) Dificultades del profesorado.
c) No existen dificultades.
2. Opiniones derivadas de la presentación, concepción y análisis del problema:
a) Los enunciados favorecen la reflexión y el análisis de la situación
expuesta.
b) Se plantean conjeturas, hipótesis y/o se elaboran estrategias previas a
la resolución.
c) Se realiza análisis del resultado.
d) El proceso de resolución es mecánico-memorístico.
e) Otras opiniones.
3. Otras causas no relacionadas con la concepción del problema.
a) Se realiza lectura comprensiva del enunciado.
b) Deficientes conocimientos teóricos.
c) Deficiente manejo de las relaciones matemáticas.
d) Se abordan los problemas con una metodología poco atractiva.
e) Otras opiniones.
Anexo 4.B
Resultados del análisis de la opiniones de los profesores acerca de las dificultades
de los estudiantes en la resolución de problemas de Matemática.
Muestra: Profesores Universitarios: 40
Profesores de la Enseñanza Media: 16
Aspectos considerados.
Profesores
Universitarios.
%
Profesores de la
Enseñanza Media.
%
1. Las causas de las dificultades se deben
Exclusiva o mayoritariamente a:
a) Dificultades del alumnado.
b) Dificultades del alumnado.
c) No existen dificultades.
95
5
0
87,5
6,25
6,25
2. Opiniones derivadas de la presentación,
concepción y análisis del problema :
a) Los enunciados favorecen la reflexión y
el análisis de la situación expuesta.
60
62,50
b) Se plantean conjeturas, hipótesis y/o se
elaboran estrategias previas de
resolución.
c) Se realiza análisis del resultado.
d) La resolución es mecánico-memorística.
e) Otras opiniones.
55
30
55
15
37,50
31,25
37,50
12,50
3. Otras causas no relacionadas con la concepción
del problema:
a) Lectura comprensiva del enunciado.
b) Deficientes conocimientos teóricos.
c) Deficiente manejo de las relaciones
Matemáticas.
d) Metodología poco atractiva.
e) Otras opiniones.
60
60
55
45
15
43,75
31,25
25
37,5
0
Anexo 5.A
Ejemplos de algunas sesiones de trabajo sobre resolución de problemas.
En este apartado se presentan actividades de resolución de problemas que se desarrollan,
cada una de ellas, durante una sesión de trabajo de 45 minutos.
Estas actividades se basan en el análisis de algunos problemas que se presentan a los
estudiantes.
Problema # 1.
La Empresa de Cítricos “Héroes de Girón” de Jagüey Grande dispone de 520 m de malla
para cercar un campo rectangular que limita con un canal recto, por lo que no requiere
cerca a lo largo del canal. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno que determinan la
mayor área posible?.
Solución.
Se trata de un problema característico del trabajo agrícola pero que puede hacerse
extensivo a otros problemas prácticos, su enunciado se elabora conjuntamente con los
estudiantes a partir de las características de la situación expuesta por el docente.
Por otra parte los métodos para calcular valores extremos estudiados en el tema de
aplicaciones de la derivada, como se comprueba tienen diversas aplicaciones prácticas en
muchas esferas de la vida.
Para resolver este problema el reto más grande lo puede constituir la conversión del texto
del problema en un problema matemático de aplicación, es decir, establecer la función que
se debe maximizar o minimizar.
Conviene entonces reafirmar lo estudiado sobre el tema de aplicaciones de la derivada y
tratar de adaptarlo a esta situación.
Secuencia a seguir:
Como primer paso se realiza la lectura comprensiva del texto del problema, hasta que se
entienda con claridad. Para ello se pueden sugerir las siguientes preguntas.
- ¿Puedes expresar de qué trata el problema?.
- ¿Puedes expresar la situación a través de un gráfico que te ayude a resolverlo?.
- ¿Cuáles son las condiciones dadas?.
- ¿Qué datos puedes extraer del problema?, etc.
Esto permite precisar la situación del problema: En la empresa se necesita cercar un
terreno que con 520 m de cerca tenga el área máxima.
Seguidamente para aproximarnos a dicha situación, experimentamos algunos casos
particulares para buscar patrones que nos permitan ilustrar la situación y descartar
posibilidades.
Para ello se presentan varias formas posibles de utilizar los 520 m de cerca.
Largo del terreno: 220 m Largo del terreno: 60 m
Ancho del terreno: 80 m Ancho del terreno: 400 m
A = 80 m. 220 m = 17 000 m2 A = 400 m . 60 m = 24
000 m2
CANAL
CANAL
CANAL
Largo del terreno: 320 m
Ancho del terreno: 100 m
A = 320 m. 100 m = 32 000 m2
Si interpretamos la información que ofrecen estos tres gráficos se observa que si cercamos
terrenos rectangulares donde predominen el largo o el ancho indistintamente, se obtienen
áreas más pequeñas que si se adaptan las dimensiones señaladas en la tercera figura, cuyas
dimensiones intermedias permiten establecer la mayor área, utilizando esta información
podemos proceder a resolver tal situación y determinar la función cuyo máximo se desea
obtener, en términos de las variables del problema.
A = ? y
L= 520 m
x
CANAL
Sean:
A: área del terreno en metros cuadrados.
y: longitud del lado paralelo al canal.
x: longitud del otro lado del campo rectangular.
ÁREA
L: longitud total de los tres lados que se desean cercar.
De esta forma el objetivo es maximizar el área del rectángulo, por lo que podemos
expresarla en términos de x e y.
A = x . y
Se debe expresar A en términos de una sola variable. Como dato se tiene que L = 520 m,
información que podemos utilizar.
Por lo tanto:
L = 2x + y.
Sustituyendo por L = 520 m
520 = 2x + y
A partir de esta ecuación se tiene que:
y = 520 – 2x
Sustituyendo en A = x . y, se tiene:
A = x (520 – 2x)
De donde:
A = 520 x – 2 x2
Observe que:
26002600
????
xxyx
De tal manera que la función que se quiere maximizar es:
A(x) = 520 x – 2 x2
Los valores críticos se obtienen a partir de:
A´(x) = 520 – 4 x
A´(x) = 0 si 520 – 4 x = 0
De donde resulta: - 4 x = - 520
x = 130
Este valor corresponde a un máximo ya que por el criterio de la segunda derivada se
obtiene:
A´´ (x) = - 4 < 0 para todo x.
De modo alternativo podemos utilizar el criterio de la primera derivada para determinar el
carácter del punto crítico.
+ _ +
A´(x) = 0__________________________________________
0 130 260
En consecuencia el valor de y es:
y = 520 – 2 x
y = 520 – 2 (130)
y = 520 – 260
y = 260
Respuesta: En términos agrícolas el terreno rectangular de mejores dimensiones debe
tener 130 m de ancho y 260 m de largo.
Observaciones: La forma de control del resultado de este problema se inicia por la relación
entre las figuras de análisis y los resultados obtenidos, indiscutiblemente más “próxima” a la
tercer figura considerada que a las dos primeras, además en cuanto al cálculo de los
valores críticos la aplicación de los criterios de la primera y segunda derivada para obtener
resultados también puede servir para comprobar que el proceso de resolución es correcto.
Por otra parte se tiene que el valor máximo de A debe darse para el valor crítico x = 130
o en uno de los puntos extremos del intervalo, es decir, para
x = 0 y x = 260, pero como A(0) = 0, A(130) = 33800 y A(260) = 0, resulta que el valor
máximo local A(260) es también un máximo absoluto en el intervalo cerrado considerado.
De lo que resulta: A = 33 800 m2.
Todos estos elementos son útiles para verificar que el proceso de resolución es correcto.
Problema # 2.
Un niño lanza un balón verticalmente hacia abajo desde la ventana de un edificio y golpea
la tierra unos segundos después. ¿Cuál es la velocidad inicial del balón?.
Para resolver este problema los alumnos deben tener conocimientos de física y
relacionarlos con el Cálculo Diferencial e Integral. En este caso, puede aprovecharse la
situación para reflexionar una vez más sobre esta fructífera relación.
Solución.
La situación planteada parece, de inicio, relativamente sencilla, y pueden esperarse
reflexiones de los estudiantes.
Secuencia a seguir: Es útil, en este sentido, pedir a los alumnos que representen
gráficamente la situación descrita a manera de favorecer la visualización y acotar la
situación.
? ? Altura. Al dibujar esta figura se puede constatar que
algunos estudiantes se plantean la altura a que
se encuentra la ventana y el tiempo que demora el
balón hasta golpear en tierra.
?
?
?
Se decide por consenso, ya que se trata de un problema abierto resuelto en conjunto por
todo el grupo, considerar como altura 20,5 metros y como tiempo de vuelo 4 segundos.
En este punto del debate se plantean las diferencias entre lanzar y caer, pues son
situaciones diferentes estudiadas en la Física.
En cualquier caso resulta conveniente solicitar precisiones sobre las condiciones de la
situación y acotar el problema.
De lo que resultan las siguientes consideraciones que se van exponiendo sucesivamente los
estudiantes:
- Se trata de un problema de distancia y velocidad en una situación relativa a la caída
libre de los cuerpos.
- Dentro de esta situación se pone limite al tiempo de caída, en dependencia de la altura.
- Con estas condiciones establecidas se precisa que se trata de un problema típico de
lanzamiento vertical, por lo que se necesitan la altura, el tiempo y la velocidad inicial.
- En tal situación la aceleración de los cuerpos en caída libre no cambia, es invariable. Si
lanzamos un cuerpo hacia abajo le comunicamos una velocidad inicial v0, o sea, el
cuerpo no comienza su movimiento con velocidad inicial v0 igual a cero. Además, para
observar la caída libre de un cuerpo es conveniente tomar como origen de referencia el
punto del cual comienza a caer, y orientar el eje de coordenadas en el sentido del
movimiento, es decir, verticalmente hacia abajo, caso en el cual el sentido de los
vectores desplazamiento, velocidad y aceleración coinciden y sus proyecciones sobre
el eje de coordenadas son iguales a los módulos de los propios vectores.
- Las ecuaciones para la velocidad y el desplazamiento durante la caída libre del cuerpo
son análogas a las obtenidas para el movimiento rectilíneo con aceleración constante.
En este momento el docente citando a Resnick y Halliday 1966, p.71 puntualiza:
“Tomaremos como nuestro sistema de referencia, un sistema unido rígidamente a la tierra.
El eje de las y se tomará como positivo verticalmente hacia arriba. Entonces la aceleración
debida a la gravedad g, será un vector apuntando verticalmente hacia abajo (hacia el
centro de la tierra) en la dirección negativa de las y. Esta convención es un tanto arbitraria.
En otros problema puede resultar conveniente escoger el sentido hacia abajo como
positivo”. Para la situación del problema la velocidad del cuerpo en un instante cualquiera
de tiempo se expresa por la ecuación v = vo + g.t, donde v0 es la velocidad del cuerpo en
el instante inicial de referencia, a = - g para problemas de caída libre.
- Se decide que para continuar es necesario obtener la expresión de la velocidad y
poder aplicar integrales para encontrar la expresión del desplazamiento en función del
tiempo, ya que la distancia es la integral de la velocidad.
- Todo el análisis cualitativo y cuantitativo conduce a concluir que si: dtds
v? , lo que se
puede escribir ds = v dt e integrando obtener: ?? dtvS . Además, la altura de la
ventana es h = 20, 5 m cuando t = 0 y v = vo – g.t, donde g (aceleración de la
gravedad) = 9,8 m/s2.
Entonces:
? ?? ?? dttgvs 0
ctgtvs ??? 2. 20
Sustituyendo y efectuando:
20,5 m = v0 (0) – 4,9 (0) + c
c = 20,5
Sabemos que s = 0 cuando t = 4 s y s = v0 t – 4,9 t2 + 20,5; de donde obtenemos:
0 = v0 (4) – 4,9 (4,0)2 + 20,5
0 = 4 V0 – 4,9.16 + 20,5
4 v0 = 57,9
v0 = 14,47 m/s
Respuesta: La velocidad inicial del balón era de 14,47 m/s.
Observación: Se complementa este problema proponiendo a los estudiantes resolver otro
análogo pero donde en el instante inicial de referencia el cuerpo se deja caer.
Problema # 3.
Un hueso fosilizado es encontrado y contiene 1/1000 de la cantidad original de C-14.
Determine la edad del fósil.
Solución:
Este problema a pesar del interés general que despierta en los estudiantes siempre resulta
difícil su análisis ya que requiere información sobre la situación que aborda para poder
acceder a su solución.
Secuencia a seguir:
Para reconocer el punto de partida son múltiples las preguntas que se formulan y resulta
difícil para los estudiantes en ocasiones darle una respuesta satisfactoria. Por tratarse de un
problema con estas características es necesario se precisen en el aula los siguientes
aspectos.
A mediados del siglo XX el químico estadounidense Willard Libby descubre un método
usando carbono radiactivo que permite determinar aproximadamente la edad de un fósil.
Por dicho trabajo recibió el premio Novel de Química en 1960.
Para un ingeniero agrónomo es interesante conocer que este científico demostró que todos
los seres vivos - animales y plantas – tienen en su composición química una pequeña
cantidad de carbono 14, elemento radiactivo que empieza a desintegrarse en el mismo
momento de la muerte del organismo en cuestión. La vegetación lo absorbe a través de la
atmósfera y la vida animal lo asimila a través de las cadenas alimentarias.
De esta forma cuando una planta o un animal mueren, dejan de reemplazar carbono y la
cantidad del mismo empieza a decrecer exponencialmente.
Analizando muestras orgánicas se puede deducir la fecha en que se produjo la muerte.
Para ello basta una simple fórmula matemática, pues el carbono 14 se desintegra siguiendo
un ritmo fijo aproximado de 5600 años para reducirse a la mitad, descubriendo cuánto
material radiactivo queda, se puede obtener una estimación razonable de la edad o época
en que el ser vivo se desarrolló.
Es necesario enseñar a los alumnos a interpretar la información que se ha dado, ellos deben
discernir entre aquellos datos que necesitan y los que no son pertinentes. En este momento,
es más importante organizar y reflexionar sobre la información que resolver el problema en
sí.
A partir de este análisis es ya identificado por los estudiantes el modelo de decrecimiento
radiactivo incorporado a través de las ecuaciones diferenciales.
Para ello consideremos la ecuación diferencial: A(t) = A0 ekt, donde A(t) es la masa
restante a partir de la masa inicial A0 de la sustancia después de un tiempo t. Para nuestro
problema cuando t = 5600 años y ? ?2
0AtA ? , con lo cual podemos determinar el valor
de k como sigue:
00012378,05600
2ln
2ln21
ln5600
25600
00
????
?????
???
?
?
K
k
eAA k
Por lo tanto: A(t) = A0 e-o,00012378t
Cuando 1000
)( 0AtA ? , tenemos teA
A 00012378,00
0
1000?? . Por lo que:
añost
t
8005500012378,0
1000ln
1000ln1000
1ln00012378,0
??
?????
?????
Respuesta: La edad del fósil es aproximadamente de 55 800 años.
Observación: El resultado alcanzado y el proceso de resolución seguido sirve de modelo
para enfrentar problemas análogos, además de resultar de mucho interés y motivación para
los estudiantes, lo que se evidencia al indagar por otros métodos de datación. En este
punto se recomienda a los estudiantes estudiar la dendrocronología, que muy en relación
con su carrera, estudia los anillos de crecimiento de los árboles.
Anexo 5.B
Ejemplos de Tareas propuestas a resolver por los estudiantes.
? # 1.- Una pelota que se lanza directamente hacia arriba se mueve según la ley:
S=20 t – 4 t2. Si S se mide en metros y t en segundos halle:
a) Su velocidad al cabo de 2 s.
b) Su altura cuando su velocidad se anule.
? # 2.- Al medir un bloque paralelepípedo de madera, han resultado, para sus
dimensiones, los valores 12, 15 y 21 cm respectivamente con un error probable de
0,05 cm en cada una. Hallar aproximadamente, el máximo error que se puede cometer
al evaluar el área total del bloque.
? # 3.- Se desea construir un depósito abierto de cemento de base cuadrada, debe tener
capacidad para 5 500 litros de agua destinada al regadío de una pequeña parcela de
viandas y hortalizas. ¿Cuáles han de ser sus dimensiones para que se precise la menor
cantidad de cemento?
? # 4.- En una fabrica se necesitan depósitos cilíndricos (sin tapa) de1 3m de capacidad.
¿Qué dimensiones deberán tener los depósitos para que el costo del material con que
se fabriquen se reduzca al mínimo?.
? # 5.- Hallar el radio de la base y la altura de un cilindro inscrito en una esfera de radio
R en cada uno de los siguientes casos:
a) El volumen del cilindro es máximo.
b) El área lateral del cilindro es máxima.
? # 6.- Las márgenes de un río tienen por ecuaciones: x - y = 3, x – y = -3. Dos
ciudades A(-3;2) y B(4;0), se van a unir por una línea de ferrocarril que cruzará el río
perpendicularmente. ¿En qué puntos de ambas orillas se construirá el puente para que
el trayecto sea mínimo?.
? # 7.- Un veterinario cuenta con 50 m de tela metálica y quiere construir 6 jaulas para
pollos levantando primero una cerca alrededor de la región rectangular, y dividiendo
luego la región en 6 rectángulos iguales mediante 5 rejas paralelas a uno de los lados.
¿Cuáles deben ser las dimensiones de la zona rectangular para que el área total sea
máxima?.
? # 8.- Un campesino dispone de 100 m de cerca para cercar un recinto rectangular:
a) Limitado por un muro en uno de sus cuatro lados.
b) Limitado por la cerca en sus cuatro lados.
c) Limitado por dos muros que concurren en dos de sus lados consecutivos.
¿Cuáles son las dimensiones que proporcionan en cada caso la mayor superficie
cercada?.
? # 9.- En una región, un río tiene la forma de la curva y = ¼ x3 - x2 + x y es cortado
por un camino dirigido según la dirección del eje ox.
a) Trace el gráfico que representa la posición del río y del camino.
b) Tomando como unidad de medida el km, calcula el área del terreno comprendido
entre el río y el camino.
c) Sabiendo que se piensan sembrar 40 arboles frutales en cada hectárea de este
terreno. Diga cuántos árboles se pueden sembrar en el terreno si se planifican
sembrar 40 árboles por hectárea (Dato: 1ha = 10000m2).
? # 10.- Si suponemos que el momento actual corresponde al valor x = 0 de la variable
tiempo, las pérdidas o ganancias de una empresa (y) fundada el año pasado siguen una
ley de tipo yx
x?
? 1. Apoyándote en la representación gráfica de la función,
determina:
a) El momento (valor de x) a partir del cual la empresa tendrá ganancias.
b) La ganancia máxima previsible en el futuro, si existe.
d) ¿Existirá algún momento en el futuro en que las ganancias comiencen a disminuir?.
? # 11.- Supongamos que el rendimiento r en % de un estudiante en un examen de una
hora viene dado por r = 300t (1 - t), donde 0 ? t ? 1 es el tiempo en horas. Se pide.
a) ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
b) ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
b) ¿Cuándo se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?.
? # 12.- En un grupo de oficinas de una empresa se esta aplicando un plan de ahorro
para el consumo de energía eléctrica durante un mes, y se determina que el consumo
esta dado por la función:
? ?E t t( ) sen? ? ????
???
800 103
10?
KVH
KVH: Kilovatios hora.
Calcular el consumo promedio entre los días 15 y 25 del mes.
? # 13.- En una cooperativa un Ingeniero Agrónomo ha podido determinar que el
aumento diario de qq/cab del plátano vianda sin riego a partir del primer mes y hasta
el cuarto mes de producción tiene un comportamiento aproximado de f(t) = 0,48 t - 3,
donde t representa los días. ¿Cuántos quintales produce cada caballería entre el
primero y el cuarto mes de producción del plátano vianda sin riego?
El resultado de este problema lo puedes verificar en la tabla que representa la
producción de distintas variedades de plátano en diferentes etapas (según datos
aportados por los estudiantes del CPT que trabajan en la Empresa de Cultivos
Varios del municipio de Matanzas).
Plátano. Primer mes de
producción.
Segundo mes
de producción.
Tercer mes de
producción.
Cuarto mes de
producción.
Fruta con riego. 400 550 800 8500
Fruta sin riego. 200 270 360 4200
Vianda con riego.
250 300 420 5200
Vianda sin
riego.
150 190 260 3000
Además, se tienen los siguientes datos sobre el tiempo de producción:
- Plátano fruta: 10 meses con riego.
- Plátano fruta: 12 meses sin riego.
- Plátano vianda: 12 meses con riego.
- Plátano vianda: 15 meses sin riego.
- Epoca de siembra óptima: Abril – Julio.
Se te pide además, plantear el modelo matemático que exprese la producción de otras
variedades de plátano a partir de la información suministrada.
? # 14.- Después de un incendio forestal, la vegetación crece rápidamente. Se ha
podido determinar que para una cierta especie de árbol, el número de nuevos árboles
por km2 después del fuego está dado por: r t t( ) ;? ?90 9 donde t es el número
de años transcurridos desde el incendio forestal. ¿Cuántos árboles crecerán
aproximadamente durante los 10 primeros años después del fuego?
? # 15.- Se lanza una pelota rodando por una superficie horizontal con una velocidad
inicial de 20 m/s. debido al rozamiento, la velocidad disminuye 5 m/s. Calcule la
distancia que recorre la pelota hasta detenerse.
? # 16.- Un terreno está situado entre una carretera rectilínea y un río. El ancho y (en
metros) del terreno a una distancia x de la carretera viene dada por:
X 0 20 40 60 80 100 120
Y 0 22 41 53 38 17 0
Hallar, aproximadamente, el área del terreno.
? # 17.- Para calcular el caudal de un río es necesario, entre otras cosas, determinar el
área de una sección cualquiera del mismo. Tomando medidas de profundidad y a
intervalos iguales desde una orilla a la otra, es posible trazar el perfil de la sección.
Calcule aproximadamente el área utilizando los siguientes datos:
x (en
metros)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
y (en
metros)
0 2,8 5 6,5 7 6 5,2 3 0
? # 18.- Un medicamento es suministrado para prevenir que el ganado porcino contraiga
y desarrolle cierto parásito. Después de suministrado su cantidad decrece
proporcionalmente a la cantidad aplicada.
a) Escriba la ecuación diferencial para la cantidad de medicamento Q que permanece en
el cuerpo del animal al cabo de un tiempo t.
b) Resuelva la ecuación diferencial, planteando la cantidad Q en función del tiempo t.
c) Si la mitad del tiempo de eficacia del medicamento en el animal es de 15 horas, Utilice
esta información para determinar la constante de proporcionalidad Q.
? # 19.- La ley de crecimiento de una cierta bacteria viene dada por d Nd t
N? 0 25, .
Sabiendo que inicialmente N = 200. Hallar N en el instante t = 6.
? # 20.- Se plantea a un Ingeniero Agrónomo la construcción de silos, con la condición
de determinar sus dimensiones para que el costo sea mínimo. Presente su proyecto
para resolver esta situación.
? # 21.- El problema de calcular el área de una superficie ha ocupado al hombre desde
tiempos remotos. Seguramente en algún momento de tu vida también habrás tenido
necesidad de realizar dicho cálculo, para dar solución a una determinada situación.
Para ello se puede recurrir a la Geometría y al Cálculo Integral, que constituyen
herramientas imprescindibles de la Matemática Aplicada. Como futuro Ingeniero
Agrónomo la situación descrita se inserta dentro de las tareas que deberás resolver.
En esta carrera, específicamente, se define a la Agrimensura como el arte de medir
prácticamente la superficie de los terrenos, y por otra parte, el trabajo agrícola ofrece
una gran variedad de situaciones que van desde medir terrenos de forma triangular,
cuadrada, rectangular, poligonal, elíptico terreno de lindes curvas, terreno circular,
comenzando por los más elementales y después, los complicados o de terreno
inaccesible. No sólo estas situaciones se te pueden presentar, pudieran señalarse
muchas otras, como el cálculo del caudal de un río o canal de regadío, para lo cual
resulta necesario conocer el área de una sección cualquiera del mismo.
Tomando de base estas referencias se te pide que realices una investigación donde se
exponga como resolver estas situaciones, u otras análogas que sean de tu interés,
siempre que sean netamente agrícolas. Por lo que debes seguir las orientaciones dadas
al respecto para acometer tareas propuestas como investigación.
Se recuerda que además de la bibliografía a consultar puedes acudir a tus profesores
para recibir orientaciones al respecto del tema seleccionado. Los resultados del
trabajo, deben presentarse por escrito, la semana anterior al Taller organizado para
exponer los resultados.
Anexo 6
Folleto para los estudiantes con problemas resueltos.
Nota introductoria.
Se presentan a continuación un conjunto de problemas que contienen información teórica
útil y los pasos seguidos en su resolución. Esto puede ayudarte en tu preparación pera
enfrentar otras tareas propuestas en clases.
Se te recomienda que los trabajes individualmente y cuando hayas llegado a su solución, o
bien si no has podido llegar a esta, confrontes o revises la que te proponemos. Es posible
que tu tratamiento sea diferente al nuestro pero también válido, por lo que aunque no
necesites de estas recomendaciones para resolver los problemas resulta importante
reflexionar sobre otros enfoques o procesos diferentes y comprobar la coincidencia de las
soluciones.
Problema # 1.
Un depósito tiene forma de prisma recto, siendo sus bases triángulos equiláteros de 1m de
lado. La altura del depósito es de 10 m.
El depósito inicialmente se encuentra lleno y pierde líquido por la válvula inferior a
velocidad constante de 800 cm3/ min. Halle el tiempo de vaciado empleando la rapidez
con que desciende la altura.
? Situación del problema.
Se presenta un problema que trata de los cambios y, en particular, de la razón de cambio
de las cosas, por lo que se debe construir un modelo matemático para describir y medir la
razón de cambio o lo que sería, el concepto de derivada de una función.
? Para resolver el problema recuerda.
Si dos o más variables que dependen del tiempo están relacionadas por una ecuación, se
puede conocer la razón de cambio de una de ellas conocidas las razones de las otras.
? La estrategia a seguir sería.
a) Realizar un gráfico si es necesario, en caso de ser posible.
b) Determinar la cantidad suficiente y necesaria de variables del problema.
c) Determinar los datos del problema.
d) Establecer una relación entre todos los datos y variables del problema.
e) Derivar respecto al “tiempo” la ecuación obtenida en el paso anterior y se despeja
para obtener la solución del problema.
? Resolución.
Gráfico:
Como datos se tienen la longitud de los lados del triángulo de las bases, por tratarsede un
triángulo equilátero y la altura del prisma que es de 10 m.
Se recuerda que el volumen de un prisma se calcula aplicando la fórmula V = Ab. h
Además, en el triángulo equilátero podemos aplicar el teorema de Pitágoras y calcular su
altura para obtener el área de la base del prisma.
Tenemos entonces que:
? ?? ?
? ?
h
A m
A cm
b
b
? ? ? ? ?
? ?
?
1 12 1 1
43
2
1 32
23
4
34 100
2
2
2
Ab = 2500 3 cm2
V = 2500 3 . h
Por lo tanto:
1m
1m
10 m
h
dvdt
dhdt
? 2500 3
800 cm3/ min = 2500 3 2cmdhdt
Lo que implica: 8
25 30 184? ?
d hd t
cm min, /
Hallemos entonces el tiempo de vaciado:
1 min._________ 0,184 cm
x _________ 10 cm
De donde el tiempo de vaciado: x = 1 100184min cm
cm.
,
x = 54,12 min.
Respuesta.
El tiempo de vaciado es de 54,12 minutos.
Problema # 2.
Un estudio ambiental en cierta comunidad agrícola e industrial sugiere que dentro de t años
el nivel medio de monóxido de carbono en el aire será de:
q(t) = 0,05t2 + 0,1t +3,4mg.L-1.
Por lo que debe estudiarse esta situación. Determine cuánto cambiará
aproximadamente el nivel de monóxido de carbono en los próximos 6 meses.
? Situación del problema.
El problema propuesto corresponde al tema de aplicaciones de la derivada. Se trata del
típico problema de diferenciales y sus aplicaciones donde a partir del propósito de indagar
cuánto cambiará el nivel de monóxido de carbono en un tiempo determinado se utilizan las
diferenciales para obtener aproximaciones.
? Para resolver el problema recuerda.
Las diferenciales se aplican con frecuencia para calcular valores aproximados.
Fórmula básica: df = f ´ (x0) dy.
? Resolución.
Datos.
dq = ? dq = q´ (t) dt
t = 0.5 dq = (0,1t + 0.1) dt
dt = 0.5 dq = (0.1.0.5 + 0.1) 0.5
dq = 0.075 mg.L-1.
Respuesta.
En los próximos 6 meses el nivel de monóxido de carbono cambiará aproximadamente
0.075 mg.L-1.
Problema # 3.
El área en mm2 ocupada por una lesión infectada en la ubre de una vaca se desarrolla a
partir del instante t = 0 según la función: 1
8)(2 ?
??t
ttf .
a) Calcular la superficie (en mm2 ) ocupada por la infección al principio.
b) Hallar el instante en que es máxima el área infectada y calcular dicha área.
c) Estudiar qué ocurre con el transcurso del tiempo ¿ Se estabiliza o desaparece la
infección?
? Situación del problema.
Se da una función que, se dice, proporciona el área ocupada por una lesión infectada, a
partir de esta consideración se hacen preguntas relacionadas con la infección.
? Para resolver el problema recuerda.
Traducir en términos matemáticos las preguntas que se plantean y utilizar los
conocimientos de funciones, límites y derivadas, para contestarlas. Por lo que se deben
tener presente en cada inciso las siguientes recomendaciones:
- En el a) al evaluar la función para t = 0 (instante inicial), o para cualquier otro valor de t,
se obtiene, según la información dada en el texto del problema, la superficie ocupada por la
infección.
- En el b) se trata de un problema de optimización, inicialmente se deben dominar las
definiciones de extremo, punto de extremo relativo o local, de punto estacionario y punto
crítico; así como utilizar los criterios necesarios y suficientes para determinar si un punto
crítico es de extremo local. Es importante que se considere la aplicación de los criterios de
suficiencia alternativamente, selección que estará en dependencia de las características de
la función determinada, así como las de sus derivadas. Se debe tener presente que si
estamos investigando el carácter de un punto crítico en el cual la función no es derivable,
únicamente podemos utilizar el criterio de la primera derivada.
En el ejemplo se aplica a modo de ilustración el criterio de la segunda derivada, que
expresa:
Si t0 es un punto estacionario, para determinar si es punto de máximo relativo o de mínimo
relativo, aplicando el criterio seleccionado, debemos calcular la segunda derivada de la
función f y evaluarla en el punto t t? 0 . Entonces:
a Si f t entonces t esun puntodeminimo localb Si f t entonces t esun puntodemaximo local
) "( ) , .) "( ) , .
0 0
0 0
00
??
- En el c), para estudiar que ha ocurrido en el transcurso del tiempo calculamos el límite de
f(t) cuando f t( )? ? , el análisis del resultado permite concluir si se estabiliza o
desaparece la infección.
? Resolución.
Si 1
8)(2 ?
??t
ttf proporciona el área infectada en el instante t, podemos afirmar
que:
a) La superficie inicial es f(0) = 8 mm2.
b) Como ? ?
f tt
t'( )?
?
?
1
1
2
2 2 , resulta que f’ (t) = 0 para t = 1 y t = -1. Este último instante no
se toma en consideración.
Como ? ?
f tt t
t''( )
( )?
?
?
2 3
1
2
2 3 , en t = 1, f ¨(1) < 0 y hay un máximo para t = 1. En este
momento el área infectada es 8, 5 mm2.
c) Es evidente que para t > 0 se tiene f(t) > 0 y que 8)( ???
tfLimx
de modo que la
infección crece desde t = 0 a t = 1, aquí, en t = 1, alcanza su máximo de 8,5 y luego
decrece y tiende a 8.
Problema # 4.
En una empresa elaboradora de pienso se ha calculado una función de costo que expresa
el costo anual de la compra, posición y mantenimiento de sus materias primas en términos
del tamaño de cada pedido. Si la función de costo es:
Cq
q? ? ?625000
10 150000
donde q es el pedido (en toneladas) y C el costo anual del inventario.
a) Determine el tamaño del pedido q que minimice el costo anual del inventario.
b) ¿Cuáles se esperan que sean los mínimos costos del inventario?
? Situación del problema.
Se trata de un problema de mínimos (optimización), donde debe determinarse el tamaño
de un pedido de manera que se minimice el costo.
? Para resolver el problema recuerda.
En este caso se requieren orientaciones análogas a las que aparecen en el problema
anterior, solo que se aplicará el criterio de la primera derivada, por lo que se recuerda:
Si la primera derivada cambia de signo, el punto crítico analizado es un punto de extremo
local, se trata de un punto de máximo local, si el signo de la derivada cambia de positivo a
negativo y de un punto de mínimo local si el signo de la derivada cambia de negativo a
positivo. De no cambiar el signo de la derivada, el punto crítico analizado, no es un punto
de extremo local
? Resolución.
Conocida la función a optimizar:
Cq
q? ? ?625000
10 150000
Se determinan los puntos críticos resolviendo la ecuación C´ = 0
Cq
q' ?
?10 6250002
2
10 q2 - 625000 = 0
q ? 625000
De donde: q1 = 250 y q2 = - 250 son los puntos críticos.
Se aplica el criterio de la primera derivada para determinar el carácter de los puntos
críticos.
+ - - +
C’ ____________________________________________
-250 0 250
Resultando: qmín. = 250
El mínimo de la función se obtiene evaluando la función C para el valor crítico
q = 250.
Se obtiene: C = 155000
Respuesta.
El tamaño del pedido que minimiza el costo anual del inventario es de 250 toneladas, con
las que el costo será de $155 000,00.
Problema # 5.
Se dispara una bala perpendicularmente hacia arriba con un arma y a una velocidad inicial
de v0 = 300 m/s. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?
Observación: No se toma en cuenta la resistencia del aire.
? Situación del problema.
Como se conoce, los cuerpos por sí solos no pueden moverse hacia arriba, es necesario
lanzarlos, para lo cual debe comunicarles alguna velocidad inicial v0, dirigida en este caso
verticalmente hacia arriba.
Además, un cuerpo lanzado hacia arriba se mueva con igual aceleración que durante su
caída libre. Esta aceleración debida a la gravedad se denota por g (g? 10 m/s2) y esta
dirigida verticalmente hacia abajo.
Este movimiento del cuerpo lanzado hacia arriba es también un movimiento rectilíneo con
aceleración constante y las ecuaciones para la caída libre de un cuerpo son también
aplicadas en este caso. No obstante es importante considerar que el vector aceleración
tiene sentido contrario al vector velocidad inicial, es por esto que la velocidad del cuerpo
no aumenta modularmente sino que disminuye.
El eje de coordenadas está dirigido hacia arriba, la proyección de la velocidad inicial v0 es
positiva, la de la aceleración es negativa y la ecuaciones son:
v = v0 – g t y h = f(t) = v0 t – ½ g t2
Debido a que la velocidad de un cuerpo lanzado hacia arriba disminuye, llega el instante en
el cual la velocidad del cuerpo se anula, en ese instante el cuerpo alcanza su altura máxima.
? Para resolver el problema recuerda.
Se trata de un problema de optimización donde se pide la altura máxima. El cálculo
diferencial es la herramienta matemática a aplicar para resolver el problema, las sugerencias
de los problemas # 3 y # 4 constituyen la estrategia a seguir para obtener la solución.
? Resolución.
Se conoce que la relación entre la distancia y el tiempo en un lanzamiento perpendicular
hacia arriba se formula de la forma siguiente:
h = f(t) = v0 t – ½ g t2 (t ?0), con g ? 10 m/s2 y v0 = 300 m/s.
De ahí que podamos plantear la función h(t), de forma tal que:
h(t) = 300 t – ½ .10 t2
h(t) = 300 t – 5 t2
Procedemos a determinar los ceros de h´(t):
h´(t) = 300 – 10 t
300 – 10 t = 0
10 t = 300
t = 30
Evaluando h´´(x) para t = 30, aplicando el criterio de la segunda derivada para determinar
extremos locales:
h´´(x) = - 10 para todo t>0, luego
h´´(30) = - 10 < 0, por lo que en t = 30 s, h(x) tiene un máximo local, que se determina
sustituyendo en la fórmula inicial: h = f(t) = v0 t – ½ g t2
h(30 s) = 300 m/s. 30 s – ½ m/s2. (30 s)2
h(30 s) = 9 000 m – 5. 900 m
h(30 s) = 9 000 m – 4500 m
h(30 s) = 4500 m
Respuesta.
La bala disparada alcanza una altura máxima aproximada de 4500 m.
Problema # 6.
Al realizar la medición de un depósito de azúcar a granel con tapa de forma
paralelepípeda, resultan sus dimensiones 8m, 10m y 12m respectivamente.
Si en cada medida hay un error por exceso de 0,02 m y el m2 del material con que fue
construido el depósito es de $8,00. Hallar aproximadamente el valor del error cometido en
el cálculo del costo.
? Situación del problema.
Con frecuencia se realizan mediciones, como las del problema propuesto o análogas,
donde se cometen imprecisiones, aunque en ocasiones no es necesario el estricto rigor al
respecto, es necesario tener presente que el uso de las diferenciales permite la estimación
de los errores que ocurren debido a mediciones aproximadas.
? Para resolver el problema recuerda.
Se trata de un problema de diferencial total, que puede definirse para una función
u = f(x,y,z) como: duux
dxuy
dyuz
dz? ? ???
??
??
y nos permite calcular variaciones
aproximadas de una función para variaciones fijas de las variables.
Considerando lo anterior es posible determinar un valor aproximado de una función en un
punto a través de un modelo matemático que responda al problema.
? Resolución.
En este caso el área del paralelepípedo con tapa es: A = 2xy + 2xz + 2yz, y se conoce
que:
x = 8 m, y = 10 m y z = 12 m, además dx = dy = 0,02 m.
Como la función del costo es la que se necesita se tiene:
Ct = 8 (2xy + 2xz + 2yz)
Ct = 16 (xy +xz + yz)
Para calcular el error aproximado, el diferencial dc será:
dzzc
dyyc
dxxc
dc??
??
??
???
donde:
? ?
? ?
? ?
??????
cx
y z
cy
x z
cz
x y
? ?
? ?
? ?
16
16
16
De modo que:
dc = 16 ( y + z) dx + 16 (x + z ) dy + 16 (x + y) dz
? ? ? ? ? ?? ?dc y z dx x z dy x y dz? ? ? ? ? ?16
sustituyendo los valores dados:
? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?
dc
dc
dc
dcdc
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ?
??
16 10 12 0 02 8 12 0 02 8 10 0 02
16 22 0 02 20 0 02 18 0 02
16 0 44 0 40 0 36
161 219 20
, , ,
. , . , . ,
, , ,
. ,,
Respuesta. El valor aproximado de error en el costo es $19,20.
Problema # 7.
En un laboratorio se experimenta con cierta variedad de árboles frutales para determinar la
temperatura t en 0 F y el porcentaje de humedad relativa h que más le favorecen.
Un ingeniero concluye que a través de la función:
f t h t ht h t h( , )? ? ? ? ? ?1200 2 2 200 2602
se pueden determinar las condiciones atmosféricas óptimas que favorecen el cultivo y
desarrollo de las plantas. Calcule cuáles son estos valores.
? Situación del problema.
Se trata de un problema de extremos relativos para funciones de dos variables donde a
través de una función se quieren establecer las condiciones de temperatura y humedad que
favorecen a determinado cultivo.
? Para resolver el problema recuerda.
Para determinar los extremos relativos de una función de dos variables continuas en una
región D ? ? 2 y con derivadas parciales de 1er. y 2do. orden también continuas,
procedemos de la siguiente forma:
a) Se hallan las derivadas parciales de la función.
b) Se hallan los valores críticos, para lo cual se aplica la condición necesaria y se
resuelve el sistema de ecuaciones obtenido.
c) Se hallan las segundas derivadas parciales.
d) Se aplica la condición suficiente para cada uno de los puntos críticos.
e) Evaluamos la función para los puntos críticos (donde existan extremos) y
obtenemos su valor máximo y/o mínimo.
? Resolución.
Para dar solución a este problema determinamos los extremos de la función:
f t h t ht h t h( , )? ? ? ? ? ?1200 2 2 200 2602 .
Comenzamos por calcular las derivadas: ??
??
ft
fh
, .
????
ft
t h
fh
t h
? ? ? ?
? ? ? ?
2 2 200
2 4 260
Condición necesaria: ??
??
ft
fh
? ?0 0,
Resultando el sistema:
-2t - 2h + 200 = 0
-2t - 4h + 260 = 0
Resolvemos el sistema y obtenemos que el punto crítico es: P(65,30).
Calculamos las derivadas segundas, es decir, aplicamos la condición suficiente para el
punto crítico.
Af
tB
fh t
Cf
hA B C
A C B
A C B
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ?
??
?? ?
??
2
2
2 2
2
2 2
2
2 2 4
2 4 2 8 4 4 0
0
.. ( ).( ) ( )
.
Pero A < 0 por lo que existirá un punto de máximo en P(65,30).
Respuesta.
Una temperatura de 65 0 F y un 30 % de humedad relativa proporcionan la temperatura
óptima (máxima) para el cultivo.
Problema # 8.
Una empresa usa tres materias primas X, Y y Z para manufacturar un producto cuya
función de producción está dada por:
? ?f x y z x y z, , ? 502
51
51
5
el presupuesto total es de $24 000.00 y la empresa puede adquirir X, Y y Z por $80,00
$12,00 y $10,00 respectivamente, por unidad. ¿Qué combinación de materias primas
podría maximizar la producción?
? Situación de problemas.
Se trata de un problema de extremos condicionados donde la expresión dada para la
función de producción se encuentra sujeta a las restricciones dadas por el presupuesto total
con que cuenta la empresa y el costo de la materia prima.
? Para resolver el problema recuerda.
Para determinar máximos o mínimos de una función ? ?u f x y z? , , con la condición
? ?g x y z, , ? 0, se procede del siguiente modo:
a) Se plantea la función auxiliar ? ?F x y z, , ,?
b) Se hallan las primeras derivadas de esta función y se resuelve el sistema de ecuaciones
para hallar los valores críticos y ? .
La solución de este sistema nos dará los puntos donde existirán máximo(s) y/o mínimo(s),
es decir, los puntos críticos.
c) La naturaleza de estos extremos condicionados se obtiene utilizando el enunciado del
problema.
d) Si se solicita en el problema, se halla el valor (es) máximo (s) o mínimo (s) de la función
? ?u f x y z? , , .
? Resolución.
Se necesita maximizar la función.
? ?f x y z x y z, , ? 502
51
51
5
cuyas variables están relacionadas por la ecuación:
? ?g x y z x y z, , ? ? ? ?80 12 10 24000
de manera que la función objetivo o de Lagrange es:
? ? ? ?F x y z x y z x y z, , ,? ?? ? ? ? ?50 80 12 10 240002
515
15
los posibles puntos de extremo condicionado son aquellos puntos que son soluciones del
sistema:
024000101280
01010
01210
08020
54
51
52
51
54
52
51
51
53
????
?????
?????
?????
?
?
?
zyx
zyxzF
zyxyF
zyxxF
?
?
?
Para resolver el sistema despejamos ? en las ecuaciones anteriores, se obtiene:
51
54
52
51
51
53
65
41
zyx
zyx?
?
?
?
?
?
? ?? ? ?
?x y z
x y z
25
15
45
80 12 10 24000
Eliminando z en las dos primeras ecuaciones, se obtiene : x y? 0 3,
Eliminando x el la segunda y tercera ecuaciones, se obtiene: z y? 1 2,
Sustituyendo x y z en la ecuación de enlace se tiene:
80 (0,3 y) + 12 y + 10 (1,2 y) = 24000
24 y + 12 y + 12 y = 24000
48 y = 24000
y = 500
Y además: ? ? ? ?x z
x z
? ?
? ?
0 3 500 1 2 500
150 600
, . , .
Respuesta:
La producción se maximiza con x = 150, y = 500 y z = 600 y la correspondiente
producción en f(150, 200, 600) = 4622 unidades.
Problema # 9.
Un objeto se mueve de forma tal que su velocidad a los t segundos es:
V(t)= 4+ t + 2t2 m/s.
a) ¿Qué distancia recorrerá el objeto durante el tercer segundo?. ¿Y durante sexto
segundo?.
b) ¿Cuál es la velocidad media durante el período de tiempo que abarca desde el tercer
segundo hasta el sexto?
? Situación del problema.
Se trata de un problema de distancia y velocidad en una situación relativa a un movimiento
en que la velocidad no es uniforme y viene dada por una función cuadrática.
? Para resolver el problema recuerda.
La distancia puede obtenerse mediante la integral de la función que representa la velocidad.
? Resolución.
La distancia recorrida desde el instante t = 0 hasta un instante t perteneciente al dominio
de la función, viene dada por:
d t v s ds s s dstt
( ) ( ) ( ) .? ? ? ??? 4 2 2
00
a) Por tanto, la distancia recorrida durante el tercer segundo es:
? ?? ??
???
??? ?????
3
2
3
2
2 16,196115
3224
32
24 mmdsss
sss
La distancia recorrida durante el sexto segundo es:
? ?4 2 4216 70 162
5
6
? ? ? ?? s s ds m m,
Respuesta :
La distancia que recorre el objeto durante el tercer y sexto segundos, es de 19,16 m y
70,16 m respectivamente.
b) En la pregunta del enunciado se puede interpretar que lo que se pide es la distancia
recorrida por el objeto durante el período que va desde el tercer segundo hasta el sexto
(inclusive); entonces habría que calcular.
? ?4 2 5123 170 662
2
6
? ? ? ?? s s ds m m,
pues el tercer segundo comienza en t = 2 y el sexto acaba en t = 6.
Respuesta:
La velocidad media de este período es 170,66 : 4 = 42,66 m/s.
Anexo 7
Hoja de trabajo para los estudiantes resolver los problemas.
Problema (s). Columna para las
anotaciones del profesor
Problema No. 1 En esta columna el profesor
refleja cualquier aspecto que
se considere de interés
sobre el desempeño del
estudiante en la resolución
del problema.
Anexo 8
Guía didáctica del estudiante para la resolución de problemas de Matemática.
? Para analizar el enunciado:
Después de la lectura cuidadosa del enunciado, debes preguntarte:
1. ¿ Cuáles son los elementos del problema que más te han llamado la atención?.
2. ¿ Has comprendido todas las palabras del enunciado del problema?.
3. ¿ Lo puedes relacionar con algún concepto, disciplina, experiencia, situación o
problema anterior?.
4. ¿ Puedes expresar de qué trata el problema?.
5. ¿ Debes repetir la lectura del enunciado del problema para comprenderlo?. ¿ Puedes
precisar los elementos del mismo que te generan dificultad en su comprensión?.
6. ¿ Qué se pide hallar o ya conoces la demanda de la tarea?. ¿ Se trata de obtener una
cosa o varias?.
7. ¿ Qué datos puedes extraer del problema?.
8. ¿ Consideras que los datos del problema son suficientes para resolverlo, están de
acuerdo con los que has manejado en alguna experiencia previa?.
9. ¿ Existe alguna relación entre estos datos?.
10. ¿ Puedes representar estos datos o la situación que se te presenta a través de un
gráfico, tabla, etc., que te ayude a resolverlo?.
11. ¿ Consideras que necesitas para resolver el problema algún dato que no aparece en el
mismo?.
12. ¿ Qué conocimientos matemáticos o de otras disciplinas consideras convenientes para
resolver el problema?.
13. ¿ Conoces algún algoritmo o estrategia para resolver el problema?.
14. Por último, piensa de otra forma o escribe de otra forma el problema, para facilitarte el
que puedas comprenderlo.
? Para generar y diseñar el plan:
1. Analizado el problema, ¿Consideras qué puedes resolverlo?.
2. ¿ Has resuelto este problema o alguno muy similar con anterioridad?.
3. ¿ Podrías determinar de qué tipo de los estudiados es este problema?.
4. En caso de ser afirmativa la respuesta anterior, ¿ Qué relación puedes establecer
entre ellos?. ¿Cuáles son los elementos que los diferencian?. ¿ Te puede facilitar o
servir esta relación para resolverlo?. ¿ Puedes auxiliarte en los mismos razonamientos
o necesitas considerar algún cambio para obtener su solución?.
5. En caso de ser diferentes, entonces debes considerar: volver sobre tus pasos a las
preguntas iniciales y, continuar con las valoraciones siguientes:
6. De las partes que consideras más fáciles. ¿Podrías resolver alguna parte intermedia, u
otra parte?.
7. Trata de representarte una situación similar a la del problema para posibilitar que
pueda surgir alguna idea para la solución o trata si es posible de expresarla
cuantitativamente y retoma las ideas gráficas. Todos estos elementos analizados con
profundidad, en ocasiones pueden sugerir un camino de solución.
8. ¿ Conoces algún teorema, fórmula, propiedad, algoritmo que relacione todos los
datos?.
9. Recorre las ideas del problema retrospectivamente, suprime lo que te parece
innecesario a los datos, en busca de alguna idea.
10. Si llegas a concluir que no puedes resolver el problema, entonces cuestiónate: puedes
probar un nuevo intento de resolución, concluyes que los datos o situación del
problema son contradictorios, carentes de sentido o difíciles de comprender. En
resumen, está fuera de tus posibilidades resolverlo. Entonces, agotados estos recursos,
se debe recurrir a algún compañero, material didáctico, libro de texto o al profesor en
busca de orientación. En estos casos es recomendable que compares las limitaciones
que se te presentaron, con las ideas o sugerencias que incorporaste a partir de las
sugerencias que se te plantearon.
? Para ejecutar el plan:
1. Antes de iniciar la resolución del problema, revisa nuevamente los datos, las unidades
en que están expresados y los conceptos, ideas, estrategias, modelo que aplicarás.
Trata de superar las dificultades que puedan aparecer.
2. Si te encuentras alguna dificultad, regresa al principio de la situación, rectifica los
posibles errores e intenta de nuevo.
3. Si te encuentras con situaciones muy difíciles, valora otra vía de solución, o si se
requiere de un dato adicional para continuar.
4. Si consideras por terminada la tarea de solución del problema, revisa nuevamente
todos los elementos considerados en su solución, antes de pasar a validar la respuesta
obtenida.
? Para revisar y evaluar la ejecución:
1. Cuando consideres concluido el problema, nunca te plantees definitivamente que todo
esta correcto. Recorre antes todo el proceso, cerciorándote paso a paso de que no
cometiste errores.
2. Escribe ordenadamente y con claridad todo el proceso de resolución seguido, destaca
entre cuadros o subraya lo que consideres más importante, partiendo del enunciado
comprueba que la respuesta obtenida es la que se te pide, para esto:
3. Valora si la solución del problema es lógicamente posible, es decir, si tiene sentido en
el contexto del problema.
4. Añade a la solución del problema una explicación literal breve que indique lo que has
hallado.
5. Valora si es posible obtener otro resultado o solución, si se puede resolver de otra
forma o con un enfoque más general.
6. Intenta explicar el problema a otra persona.
7. Utiliza la experiencia y conocimientos adquiridos en el planteamiento y solución de
nuevos problemas.
Anexo 9.A
Guía del profesor para el análisis cualitativo de las resoluciones realizadas por los
estudiantes pensando en voz alta.
Aspectos considerados:
1. ¿ Se procede a identificar inicialmente el problema con uno ya visto?.
2. ¿ Se utilizan directamente los datos, sin ningún tipo de análisis previo?. ¿ Los datos
aparecen inmediatamente?. ¿ Se concreta lo que se busca?.
3. ¿ Se realiza un análisis cualitativo de la situación?.
4. ¿ En la fase inicial recoge mentalmente o por escrito ideas, conexas o no, relacionadas
con el problema?.
5. ¿ Se emite alguna conjetura o hipótesis?.
6. ¿ Se elabora una estrategia antes de resolver o se actúa directamente o por ensayo-
error u otro procedimiento?.
7. ¿ La estrategia que se sigue es correcta?.
8. ¿ Se reflejan o expresan elementos literales en la resolución?. ¿ Se va comentando o
ilustrando lo que se hace?.
9. ¿ Abandona la resolución del problema?.
10. ¿ Se analiza el resultado o este se da por definitivo sin ningún tipo de contraste?.
¿ Este resultado es correcto?.
Anexo 9.B
Resultados del análisis de la resolución de problemas de Matemática
por estudiantes con la técnica de “pensar en voz alta”.
Aspectos considerados.
Grupo I N = 32 % No.1 No.2
Grupo II N = 14 % No.1 No.2
Grupo III N = 28 % No.1 No.2
Grupo IV N = 18 % No.1 No.2
Grupo V N = 27 % No.1 No.2
1.-Sobre las reflexiones, análisis, etc, previos a la resolución del problema: -Se comienza por extraer los datos. -Se hace un análisis cualitativo. -Se explica lo que se busca. -Se establecen limitaciones para definir el problema.
100 90 25 62 15 71 15 59
100 100 14 43 14 57 7 37
92 71 7 42 7 53 0 50
100 100 5 38 13 72 3 16
96 85 29 44 33 62 33 48
2.- Sobre la construcción de estrategias de resolución: - Se explica una estrategia. - Se consideran estrategias
alternativas.
18 59 6 28
14 42 0 21
7 17 0 10
33 61 5 11
29 55 14 18
3.- Sobre la resolución propiamente dicha : - Se comenta la información
teóricamente útil. - Se utilizan variables. - Se utilizan directamente los
datos numéricos. - Se hacen comentarios
explicativos.
18 59 62 78 68 78 21 71
14 57 21 64 14 57 7 64
4 53 82 89 92 82 10 71
33 72 72 83 83 72 22 72
33 74 74 81 66 81 37 74
4- Sobre el análisis de los
resultados: - Se interpretan. - Se contrastan. - Se analizan unidades.
15 65 6 46 21 78
14 78 0 42 21 64
7 67 0 21 10 82
11 38 5 33 22 83
25 62 25 40 18 77
Anexo 10
Ejemplos de tareas de control.
Curso 1994-95.
Prueba de Diagnóstico.
? En una librería se ponen a la venta tres libros de Matemática sobre los temas de
Algebra, Geometría y Trigonometría por un precio total de $19,25. Si el precio del
libro de Geometría duplica al de Älgebra y a su vez el de Trigonometría cuesta la
tercera parte del de Geometría. ¿Qué precio tiene cada libro?. Además, si la librería
vende en un día 7 ejemplares del libro de Trigonometría, 10 de Algebra y 5 de
Geometría. ¿Cuánto recaudó ese día por la venta de los tres libros?.
? Un árbol y un observador se encuentran en orillas opuestas de un río. El observador
mide el ángulo que forma su visual con el punto más alto del árbol y obtiene 350 ,
retrocede 10 m y mide de nuevo el ángulo, obteniendo un resultado de 250 . ¿Qué
altura tiene el árbol?.
Primera Prueba Parcial Escrita.
? Una ventana de un almacén de fertilizantes tiene forma de cuadrado coronado por un
semicírculo. La base de la ventana se mide como si tuviera un ancho de 65 cm, con un
error posible en la medición de 0,1 cm. Calcule aproximadamente el error posible
máximo al calcular el área de la ventana.
Segunda Prueba Parcial Escrita.
? Los directivos de una CPA observan que está próxima la cosecha de tomates y deben
tomar medidas para recoger los frutos y trasladarlos a una ciudad cercana. Dada la
extensión del campo y el volumen de la recogida planifican fabricar cajas rectangulares
abiertas en su base superior para lo cual cuentan con 1000 metros de madera. ¿Cuáles
deben ser las dimensiones para que la capacidad sea máxima?
Tercera Prueba Parcial Escrita.
? Una población de animales crece a razón de f(t) = 200 + 50 t al año (en donde t se
mide en años). ¿En cuánto aumenta la población de animales entre el cuarto y el
décimo año?
Prueba Final Escrita.
? En química se usa la notación X + Y ? Z para indicar que debido a la interacción de
dos sustancias se forma otra. Si para la situación dada, la velocidad a que se forma Z
varía como el producto de las cantidades instantáneas de los productos X y Y, y
además su formación requiere 3 kg de X por cada kg de Y. Si inicialmente hay 12 kg
de X y 36 de Y y en 10 minutos se han formado 9 kg de Z, determine la cantidad de
Kg de Z considerando cualquier tiempo.
Prueba de Solidez.
? En una empresa se elaboran dos tipos de medicamentos, siendo x e y la cantidad a
producir por jornada de cada uno respectivamente. Si se deben producir 200 unidades
de estos productos y la función de costos totales está dada por C(x,y) = 2x2 + xy + y2
+200. ¿Cómo se debe distribuir la producción por jornada de cada medicamento para
minimizar los costos de producción?
Curso 1995-96.
Prueba de Diagnóstico.
? Si al doble de los sacos de malanga recogidos en una jornada de trabajo voluntario por
los estudiantes del primer año de la Facultad de Agronomía se le suman los recogidos
por los estudiantes de segundo año, se obtienen los recogidos por los de tercer año
aumentado en 32. Si al tercio de los recogidos por los de segundo año se le suman el
doble de los de tercero, se obtiene los recogidos por los de primero aumentado en 9, y
el tercio de los recogidos entre los grupos de primero y segundo es 1 menos que los de
tercero. ¿Cuántos sacos recogió cada grupo?.
? En un campo de entrenamiento de las MTT las fuerzas milicianas se encuentran en las
posiciones A y B y en la posición C se encuentra ubicado el enemigo de forma tal que
forman un triángulo rectángulo en C. Si conocemos que la distancia entre la fuerzas
milicianas es de 50 metros y el ángulo BAC es de 600. Calcule la menor distancia que
existe entre el enemigo y los milicianos.
Primera Prueba Parcial Escrita.
? Se midió el radio de un tanque de forma esférica y se determinó que era de 62 cm, con
un error mínimo de 0,06 cm. ¿Cuál es el error máximo al utilizar este valor del radio
para calcular el volumen de la esfera?.
Segunda Prueba Parcial Escrita.
? Un recipiente de los que se utilizan el los laboratorios químicos para reacciones tiene la
forma de un cilindro abierto por arriba y un volumen de 500 ml. ¿Qué valores hay
deben tener la altura y el radio de la circunferencia de su base para que el área de su
superficie total sea mínima?
Tercera Prueba Parcial Escrita.
? Una de las reacciones más importantes que se verifican en los suelos es la oxidación de
nitrito a nitrato, reacción que se lleva a cabo por medio de las bacterias del género. Si
se conoce que una población de las mismas, en una muestra de suelo se inicia con 500
unidades formadoras de colonia (UFC) y crece a razón de f(t) = 310e0,3t bacterias
por hora, siendo t el tiempo en horas. ¿Cuántas bacterias habrá al cabo de 10 horas?.
Prueba Final Escrita.
? Se tira una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 30,5 m/s.
a) ¿Cuál será su velocidad transcurridos 2 y 4 segundos?.
b) ¿Qué tiempo demora para volver a su posición inicial?.
c) ¿Qué altura máxima alcanza antes de retornar ?.
Prueba de Solidez.
? En un envasadora de café se está planificando enlatar 100 g de este producto en un
envase cilíndrico de altura h y radio de la base r. Si el material tiene un costo de 6
centavos por cm2.
a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones de la lata para minimizar el costo?.
Dato: 1 g ocupa 1 cm3.
Curso 1996-97.
Prueba de Diagnóstico.
? La Empresa de Frutas Selectas proporciona para un día de excursión a un grupo de
estudiantes 110 frutas entre naranjas, mangos y guayabas. Si las 1/8 partes del número
de naranjas más la 1/9 partes del número de mangos más 1/5 del número de guayabas
es igual a 15, y el total de naranjas y guayabas es 65. ¿Cuántas frutas de cada tipo se
tienen para la excursión?
? Un hombre se encuentra frente un edificio que tiene una altura de 42 metros y a una
distancia de 60 metros del mismo y mira hacia arriba. ¿Cuál será el ángulo que forma
con otro hombre que esta parado encima del edificio?.
Primera Prueba Parcial Escrita.
? Un veterinario está estudiando el desarrollo de un tumor de forma esférica situado en el
cuerpo de un animal. Determine su crecimiento aproximado al cabo de un período de
tiempo cuando su radio aumenta de 1, 2 cm a 1,3 cm.
Segunda Prueba Parcial Escrita.
? En un centro genético se plantea la necesidad de construir silos para almacenar
alimento para el ganado. Cada silo tendrá una capacidad de 2500 m3. Considere el silo
como un cilindro abierto por una de sus bases y determine su área mínima.
Tercera Prueba Parcial Escrita.
? En una granja avícola los pollos alcanzan en el primer mes de vida 1 ½ libras de peso y
en el siguiente mes mediante el suministro de una nueva ración de pienso el aumento en
libras puede expresarse aproximadamente a través de la función f(x) = x2 + x + 1/x2
(donde x expresa los meses de nacido). ¿Cuántas libras alcanzan aproximadamente los
pollos durante los dos primeros meses de vida?.
Prueba Final Escrita.
? Un cultivo de bacterias se inicia con 400 y crece con una rapidez proporcional a su
tamaño. Después de 2 horas, hay 6000 bacterias.
a) Halle una expresión para la cantidad de bacterias después de t horas.
b) Encuentre la cantidad de bacterias después de 5 horas.
Prueba de Solidez.
? En la Empresa Citrícola de Jagüey Grande se producen diferentes tipos de cítricos, por
ejemplo naranja y toronja cuyos costos medios constantes son de 50 y 60 centavos
por kilogramo respectivamente. Si el precio de venta del primero es de x ctvs./kg y el
del segundo y ctvs./kg y el número de kilogramos que puede venderse por semanas de
cada producto viene dado por V1 = 250 (y – x) y V2 = 32000 + 250(x – 2y).
Demuestre que para una máxima ganancia los precios de venta son 89 y 90 ctvs./kg
respectivamente.
Curso 1997-98.
Prueba de Diagnóstico.
? El promedio de las edades de Cristina, María y Ana es de 11 años. La tercera parte
de la edad de Cristina más la de María es igual a la de Ana disminuida en 5. La mitad
de la edad de María más la de Ana es igual al triplo de la de Cristina aumentada en 4.
Halle las edades de cada una dentro de 5 años.
? Un ingeniero desea conocer el ancho de un río y camina 8 metros en línea recta
bordeando el río desde un punto que se encuentra directamente frente a un árbol hasta
ubicarse en un segundo punto que forma con la línea de su vista un ángulo de 600 con
respecto al árbol. ¿Cuál es en ancho del río?.
Primera Prueba Parcial Escrita.
? Se encontró que la arista de un cubo es de 40 cm, con un error posible en la medición
de 0,1 cm. Determine el error posible máximo al calcular su volumen y área total.
Segunda Prueba Parcial Escrita.
? Un recipiente ortoédrico para almacenamiento de agua, con la parte superior abierta,
debe tener un volumen de 12 m3. El largo de su base es el doble de su ancho. El
material para su base cuesta 8 pesos por metro cuadrado y el material para los
costados 5 pesos por metros cuadrados. Encuentre el costo de los materiales para
obtener el más económico de los recipientes.
Tercera Prueba Parcial Escrita.
? El motor de un camión consume gasolina a razón ? ? 292 tttf ?? litros por hora,
donde t es el tiempo en horas Si el camión se enciende en t = 0. ¿Cuánta gasolina
consume en 2 horas de marcha?.
Prueba Final Escrita.
? En un movimiento rectilíneo a = - 4/3 s – v siendo además v = 3 y s = 0 cuando t = 0.
Hallar la ecuación del movimiento.
?
Prueba de Solidez.
? En el envasadero de cítricos del complejo citrícola “Victoria de Girón” de Jagüey
Grande, se utilizan las máquinas A y B durante a y b horas respectivamente para la
producción de las cajas de cartón que servirán de envase para las frutas. Si la
producción diaria P es función de a y b y P(a,b) = 4,5 a +5 b – 0,5 a2 – b2 – 0,25 ab.
Hallar los valores de a y b que maximizan P.
Curso 1999-2000.
Prueba de Diagnóstico.
? Si de los estudiantes que optan por la carrera de Ingeniería Industrial en cada uno de
los tres grupos A, B, y C de un IPUEC, la hubiera solicitado un estudiante más en el
Grupo A y uno menos en el Grupo C, entonces los tres grupos tendrían la misma
cantidad de estudiantes solicitando la carrera en cada grupo. Pero si en el Grupo C la
hubieran solicitado 5 estudiantes más, entonces dicha cantidad sería el doble de las que
solicitaron en el Grupo C. ¿Cuántos estudiantes solicitaron la carrera en cada grupo?.
? Una escalera de 4,4 m de largo se encuentra recostada en la pared de un edificio. Si el
pie de la escalera se encuentra a una distancia de 1,4 m de la pared. ¿Cuál será el
ángulo formado por la escalera y la pared?
Primera Prueba Parcial Escrita.
? Una pieza esférica de metal tiene 20 cm de diámetro y se le quiere aplicar una pintura
anticorrosiva. ¿Qué cantidad aproximada de pintura se necesita para aplicar una mano
de pintura de 0, 05 cm de espesor?.
Segunda Prueba Parcial Escrita.
? Se conoce que la raza de ganado “Mambí” alcanza un promedio de 35 kg de peso a
los 45 días de nacido. A través de una serie de estudios dietéticos se pudo comprobar
que suministrándole un pienso especial desde los 45 días y hasta el primer año de
nacido, el aumento en kg del animal puede expresarse aproximadamente por la
función F(t) = ½ (0,001 t – 0,2), donde t expresa los días de nacido.
a) ¿Cuántas kilogramos aumenta aproximadamente cada animal entre los 60 y 100
días de nacido?.
b) ¿Cuántos kilogramos pesan aproximadamente transcurrido un año?.
Tercera Prueba Parcial Escrita.
? En la Planta Libertad de Colón se fabrica el puré de mango “Osito” cuyas latas deben
llevar una etiqueta de papel de 75 cm2 el la cual se destaquen las cualidades del
producto. ¿Cuáles deben ser las dimensiones de estas etiquetas para gastar la menor
cantidad de papel posible?.
Prueba Final Escrita.
? Se sabe que la velocidad de crecimiento de un cultivo de hongos es proporcional a la
cantidad de hongos presente en cualquier instante dado. Si se determina que el número
de hongos se duplica en 6 horas. ¿Cuál será el número de hongos transcurridas 24
horas?.
Prueba de Solidez
? Si F (a,b) = 1,08a2 – 0,03a3 + 1,68b2 –0,08b3 es una función de producción de la
Empresa Rayonitro de Matanzas donde a es la cantidad de sacos de fertilizante
compuesto y b la cantidad de sacos de fertilizante granulado que se producen cada una
hora. Halle la cantidad de sacos de cada tipo de fertilizante que maximizan la
producción.
Anexo 11
Niveles de desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática.
Escalas de graduación.
Nivel. Indicadores. Calidad.
I
El alumno resuelve más del 90% de la tarea aplicando correctamente la
secuencia de acciones correspondientes a la habilidad resolver problemas
de Matemática.
? ?9,00,1 ?? R
Muy bien.
II
El alumno resuelve entre el 80% y 90% de la tarea aplicando
correctamente la mayoría de las acciones correspondientes a la habilidad
resolver problemas de Matemática.
? ?8,09,0 ?? R
Bien.
III
El alumno resuelve entre el 70% y 80% de la tarea aplicando
correctamente algunas de las acciones correspondientes a la habilidad
resolver problemas de Matemática.
? ?7,08,0 ?? R
Regular.
IV
El alumno resuelve menos del 70% de la tarea aplicando incorrectamente
las acciones correspondientes a la habilidad resolver problemas de
Matemática.
? ?07,0 ?? R
Deficiente.
Anexo 12
Ficha de evaluación a llenar por los estudiantes.
Compañero estudiante:
Has participado en una actividad sobre resolución de problemas por lo que se pide valores
el desempeño de los diferentes equipos y dentro del mismo los integrantes que a tu juicio
resultaron destacados desde el punto de vista del nivel demostrado para resolver
problemas, asignando las categorías de Deficiente, Regular, Bien y Muy bien, y
argumentando tu criterio, para lo cual puedes basarte en los siguientes aspectos:
1.- Analizar el enunciado del problema.
2.- Generar estrategias de trabajo.
3.- Valorar las consecuencias de la aplicación de la estrategia que considere
más conveniente.
4.- Ejecutar la estrategia planificada (presentación de la información).
5.- Evaluar los logros y dificultades durante la ejecución.
Equipos: Estudiante (s):
Equipo No.1_______ __________________________________
Equipo No.2_______ __________________________________
Equipo No.3_______ __________________________________
Equipo No.4_______ __________________________________
Equipo No.5_______ __________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Por último, valora tu propio desempeño:____________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Te damos las gracias por la colaboración.
Anexo 13
Hoja de Diagnóstico para las dificultades individuales.
Diagnóstico del profesor para el estudiante No. ________
Fecha del diagnóstico: ____________________________
Diagnóstico preliminar: ___________________________
Marcar con una cruz (X) delante de cada acción u operación observada durante la
ejecución del estudiante al resolver problemas de Matemática:
1.- Sobre las reflexiones, análisis, aproximaciones cualitativas, etc., previos a la resolución
propiamente dicha.
_____ Dificultades con el análisis de la situación del enunciado.
_____ Tendencia acentuada a operar directamente con los datos del problema.
_____ Dificultad para hallar datos adicionales, no explícitos en el texto del problema.
_____ Dificultades con los conocimientos previos.
_____ Dificultades con el lenguaje gráfico.
_____ Dificultades con la elaboración de hipótesis y la formulación de conjeturas.
_____ Otras.
2.- Sobre la construcción de estrategias de resolución.
_____ Dificultades con la previsión y puesta en práctica de procedimientos de
resolución.
_____ Insuficiente conocimiento teórico sobre las fases del modelo de resolución
de problemas, sus elementos componentes y estructura.
_____ Análisis superficial de los nexos, relaciones y propiedades de los objetos y
situaciones incluidos en el problema.
3.- Sobre la evaluación de la estrategia que considere más adecuada.
_____ Dificultades con el manejo del modelo matemático que corresponde a la
situación del problema.
_____ Dificultades para transitar etapas (organización y planificación) y con el
proceso mental de resolución.
_____ Dificultad para establecer analogías entre situaciones y modelos simbólicos.
_____ Otras.
4.- Sobre la resolución propiamente dicha.
_____ Dificultades para organizar la información.
_____ Insuficiente dominio de los procedimientos generales y específicos de
resolución de problemas.
_____ Dificultades con las operaciones de cálculo, unidades para expresar las
magnitudes y operatoria en general de los problemas.
_____ Otras.
5.- Sobre el análisis de los resultados.
_____ Dificultades con la validación de los resultados.
_____ Dificultades para predecir y justificar resultados
_____ Dificultades con la capacidad de generalizar los resultados a fenómenos
iterativos.
_____ Otras.
6.- Comunicación de la información:
_____ Oral.
_____Escrita
Acción u operación no relacionada anteriormente:
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Observaciones:________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
____________________________________________________________________
Tabla resumen del diagnóstico.
Estudiante No.___ Siempre. Muchas veces. Algunas veces. Nunca.
1.- Analiza el enunciado del
problema.
2.- Genera estrategias de
trabajo.
3.- Valora las consecuencias
de aplicar la estrategia.
4.- Ejecuta la estrategia
seleccionada.
5.- Revisa y evalúa logros y
dificultades.
Anexo 14
Caracterización del nivel de generalización.
Variable: RG__
Definición: Relación entre el número de tareas correctas y el número total de tareas.
Escalas de graduación.
Nivel. tareasdeTotal
correctasTareasRG ? Calidad.
I 9,00,1 ?? GR Muy Bien.
II 8,09,0 ?? GR Bien.
III 7,08,0 ?? GR Regular.
IV 07,0 ?? GR Deficiente.
Control de la Generalización.
Primera Etapa.
Grupo. Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.
I 16,12 22,58 35,48 25,80
II 7,14 35,71 28,57 28,57
III 19,04 28,57 28,57 23,80
IV 16,16 27,77 22,22 33,34
V 15,38 26,92 42,30 15,38
Segunda Etapa.
Grupo. Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.
I 31,03 37,93 10,34 20,68
II 36,36 18,18 18,18 27,27
III 23,80 28,57 28,57 19,04
IV 25,00 31,25 18,75 25,00
V 23,06 34,61 26,92 19,23
Anexo 15
FASES DEL PROCESO DE APRENDIZAJE DE LA RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS EN LA EXPERIENCIA PEDAGÓGICA.
Fase de
Preparación
? Presentación de situaciones de problemas. ? Orientaciones para
Fase de Control ? Valoración del
proceso de resolución.
?
Fase de Ejecución ? Resolución de los
problemas.
Anexo 16.A
Resultados de las Pruebas Escritas de Diagnóstico, Parciales y Final aplicadas
durante la experiencia pedagógica.
Primera Etapa.
Prueba de Diagnóstico Inicial.
Grupo. Total de
Estudiantes.
Nivel I.
Nivel II.
Nivel III. Nivel IV.
I 32 6,25 12,50 9,00 71,87
II 14 14,28 7,14 7,00 71,42
III 28 7,14 10,71 14,28 67,85
IV 18 5,55 11,11 11,11 72,22
V 27 14,81 14,81 7,40 62,29
Primera Prueba Escrita.
Grupo. Total de
Estudiantes.
Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.
I 32 6,25 9,37 28,12 56,25
II 14 7,14 14,28 28,57 50,00
III 26 7,69 11,53 34,61 46,15
IV 18 11,11 11,11 27,27 50,00
V 27 14,18 18,51 11,11 55,55
Segunda Prueba Escrita.
Grupo. Total de
Estudiantes.
Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.
I 31 12,90 16,21 22,58 48,38
II 14 7,14 21,42 21,42 50,00
III 21 28,57 14,28 23,80 33,33
IV 18 16,16 16,16 22,22 44,44
V 26 19,23 23,03 15,38 42,30
Segunda Etapa.
Tercera Prueba Escrita.
Grupo. Total de
Estudiantes.
Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.
I 29 13,79 17,19 31,03 37,93
II 12 16,16 16,16 41,66 25,00
III 21 14,28 23,80 38,09 23,80
IV 17 17,64 17,64 29,41 35,29
V 26 7,69 34,61 30,76 26,92
Prueba Final de la experiencia.
Grupo. Total de
Estudiantes.
Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.
I 29 20,68 17,64 27,58 34,48
II 11 27,27 18,18 27,27 27,27
III 21 19,09 19,09 33,33 28,57
IV 16 12,50 25,00 37,50 25,00
V 26 15,38 30,76 34,61 19,23
Anexo 16.B
Resultados de las Tareas de Control Extraclases aplicadas durante la
experiencia pedagógica.
Primera Etapa.
Tarea de Control Extraclase #1
Grupo. Total de
Estudiantes.
Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.
I 32 9,37 15,62 31,25 43,75
II 14 14,28 14,28 35,71 35,71
III 26 11,53 15,38 38,46 34,61
IV 18 11,11 16,16 33,33 38,88
V 27 14,81 7,40 40,74 37,03
Segunda Etapa.
Tarea de Control Extraclase #2
Grupo. Total de
Estudiantes.
Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.
I 29 17,24 13,79 44,82 24,13
II 12 16,16 33,33 33,33 16,16
III 21 23,80 19,04 33,33 23,80
IV 17 23,52 23,52 35,29 17,64
V 26 26,92 15,38 38,46 19,23
Anexo 17
Muestra de algunas de las resoluciones de problemas de los estudiantes.
A continuación se muestran algunas de las resoluciones de los estudiantes a los problemas
presentados en clases o pruebas. Al respecto, se comenta brevemente:
? Las tres primeros problemas son ilustrativos de las resoluciones presentadas por el estudiante G.H.
en tres momentos de la experiencia pedagógica (inicial, intermedio y final). Se observa que en la
Prueba de Diagnóstico, este estudiante, en el Problema #1, inicialmente, no plantea correctamente los
datos, lo que indica que no analizó debidamente el enunciado. Sin embargo, llegó a reconocer de
que se trata de un problema a resolver a través de un sistema de ecuaciones lineales de tres
ecuaciones con tres incógnitas, pero plantea una de las ecuaciones con un error de signo. Así,
continúa el proceso de resolución hasta encontrar los valores de las variables. No se plantea
respuesta textual al problema, solamente se señalizan los valores obtenidos para cada variable. En lo
referente al Problema #2, no lo resolvió, pero reconoció que se trata de un problema a resolver con
conocimientos de trigonometría.
? En cuanto al problema de aplicación del cálculo integral, el estudiante G.H., a pesar de incurrir en
algunas imprecisiones o errores durante su resolución (no encierra en paréntesis el integrando, utiliza
la implicación en lugar de la igualdad para relacionar los pasos al calcular la integral), si detectó que el
resultado obtenido no podía ser la solución y procedió a realizar correcciones recurriendo a encerrar
en un módulo dicho resultado y aun más, a plantear la propiedad de permutación de extremos de la
integral definida. Esto es indicativo de una superación gradual de las dificultades, lo que se confirma
en el análisis de la siguiente resolución de este alumno donde se observa que al finalizar la experiencia
logró solucionar un problema de aplicación de las ecuaciones diferenciales.
? En cuanto a la cuarta resolución que se presenta, donde se identifica al estudiante como D.A., se
evidencia que a pesar de que procede a calcular correctamente la razón media de cambio, no puede
hallar la razón instantánea de cambio, evidenciándose un insuficiente dominio de las aplicaciones del
cálculo diferencial.
? Para la última resolución, se selecciona la del estudiante que se identifica como Y.M., quien
demuestra a través de todo el proceso de resolución de un problema de optimización no sólo
dominio de los conceptos sino también “mostrar” el modelo de acciones propuesto.
Anexo 18. Curva de Aprendizaje.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Tiempo (meses)
%
curso 1994-95
curso 1995-96
curso 1996-97
curso 1997-98
curso 1999-00
Anexo 19
Prueba Estadística.
Aplicación de la Prueba de MacNemar.
Resultados correspondientes al Grupo I (N = 29).
Después.
- +
Antes. + 17 7
- 3 2
E = 9,5; ? 2 = 10,31 y df = 1; p < 0,005; ? ? 0 05, ; p < ? .
Resultados correspondientes al Grupo II (N = 11).
Después.
- +
Antes. + 9 0
- 1 1
E = 5; ? 2 4 9? , y df = 1; p < 0,025; ? ? 0 05, ; p < ? .
Resultados correspondientes al Grupo III (N = 21).
Después.
- +
Antes. + 12 2
- 4 3
E = 7,5; ? 2 = 4,2; df = 1; p < 0,025; ? ? 0 05, ; p < ? .
Resultados correspondientes al Grupo IV (N = 16).
Después.
- +
Antes. + 11 2
- 2 1
E = 6; 75,62?? y df = 1; p < 0,01; ? ? 0 05, ; p < ? .
Resultados correspondientes al Grupo V (N = 26).
Después.
- +
Antes. + 17 2
- 4 3
E = 10; 45,82 ?? y df = 1; p < 0,005; ? ? 0 05, ; p < ? .
Decisión: Se rechaza la hipótesis nula y se concluye que si existe diferencia significativa en
el desempeño del los estudiantes, es decir, en el desarrollo de la habilidad resolver
problemas de Matemática antes y después de aplicada la experiencia pedagógica.
Anexo 20
Control de la solidez.
Grupo. Nivel I. Nivel II. Nivel III. Nivel IV.
I 6,89 20,68 34,48 37,93
II 9,09 27,27 27,27 36,36
III 4,76 28,57 28,57 38,09
IV 12,50 18,75 31,25 37,50
V 7,69 26,92 30,76 34,61
Anexo 21.A
Guía para la encuesta sobre las opiniones de los estudiantes acerca de la
experiencia pedagógica.
Aspectos considerados:
1. Propicia tratar experiencias cotidianas o relacionadas con la profesión en el aula.
2. Habitúa a reflexionar antes de resolver el problema.
3. Facilita la comprensión de los conceptos.
4. La situación y el lenguaje utilizado en los enunciados favorece el interés por los
problemas.
5. Exige reflexionar sobre los conceptos.
6. Produce autoconfianza en el momento de resolver el problema.
7. Reduce o elimina la posibilidad de abandonar la resolución ante un problema
desconocido.
8. Habitúa a emitir hipótesis y favorece la creatividad.
9. Habitúa a reflexionar sobre diferentes formas de resolver un problema.
10. Habitúa a analizar cuidadosamente los resultados.
11. Favorece en general un mejor desempeño al resolver problemas.
12. Induce generalmente al planteamiento de nuevos problemas.
13. Otras opiniones.
Por último se solicita a los estudiantes reflejar su opinión sobre lo siguiente: La metodología
utilizada este curso en la resolución de problemas de Matemática comparada con cursos
anteriores es:
Igual:____________________________
Distinta:_________________________
Completamente diferente:____________
Anexo 21.B
Resultados del análisis de las opiniones de los estudiantes acerca de la
experiencia pedagógica.
Para expresar tu opinión sobre la metodología de resolución de problemas que has
trabajado durante el curso en comparación a la cursos anteriores, califica de 2 a 5 (siendo
5 la puntuación más favorable) los siguientes aspectos.
Número de estudiantes: 103
M.H.: Metodología Habitual. M.P.: Metodología propuesta.
Aspectos a considerar. Calificación
de 2 puntos.
(%)
M.H. M.P.
Calificación
de 3 puntos.
(%)
M.H. M.P.
Calificación
de 4 puntos.
(%)
M.H. M.P.
Calificación
de 5 puntos.
(%)
M.H. M.P.
1- Propicia el tratamiento de
experiencias cotidianas o
relacionadas a la profesión
en el aula.
2- Habitúa a reflexionar antes de
intentar resolver el problema.
3- Facilita la comprensión de los
conceptos.
4- La situación y el lenguaje
28,15 3,38
10,87 1,94
7,76 4,85
58,25 2,91
67,96 4,85
78,64 1,94
87,37 1,94
29,12 3,88
1,94 25,24
7,76 19,41
2,91 34,95
8,73 4,85
1,94 66,01
1,94 77,66
1,94 58,25
3,88 88,34
utilizado en los enunciados
favorece el interés por el
problema.
5- Exige reflexionar sobre los
conceptos.
6- Favorece la autoconfianza en
en el momento de resolver el
problema.
7- Reduce la posibilidad de
abandonar la resolución de un
problema desconocido.
8- Habitúa a emitir hipótesis
y favorece la creatividad.
9- Habitúa a reflexionar sobre
diferentes formas de resolver
un problema.
10- Habitúa y ayuda a analizar
cuidadosamente los resultados.
11- Favorece un mejor
desempeño en la resolución de
problemas.
12- Induce generalmente al
planteamiento de nuevos
problemas.
13- Otras.
55,33 2,91
52,42 1,94
55,33 2,91
35,92 1,94
48,54 2,91
50,48 2,91
58,25 1,94
48,51 2,91
23,30 7,76
31,06 1,94
31,06 7,76
21,35 19,41
30,09 4,85
22,33 1,94
11,65 3,88
24,27 19,41
9,73 38,83
8,73 6,79
9,70 11,67
13,59 9,70
15,53 9,70
15,53 2,91
20,38 2,91
12,62 7,76
11,65 50,48
5,82 91,26
3,88 77,66
30,09 67,96
5,82 82,52
11,65 92,23
8,73 92,33
14,56 69,90
Marca con una cruz (X) la respuesta que refleje tu opinión sobre la siguiente consideración:
la metodología o forma utilizada este curso para resolver los problemas, comparada con la
de cursos anteriores es:
Igual ---------------------------- 0 %
Distinta ------------------------- 38,83 %
Completamente diferente --------- 62,13 %
Anexo 22.A
Guía para la encuesta sobre las opiniones de los profesores acerca de la
experiencia pedagógica.
Aspectos considerados:
1. Motivación e interés de los estudiantes.
2. Cuidadosa atención a los aspectos cualitativos de la situación antes utilizar datos,
conceptos, etc.
3. Posibilidad de utilizar las ideas intuitivas de los alumnos o transformarlas.
4. Entrenamiento en emisión de conjeturas, hipótesis, búsqueda de estrategias alternativas
de resolución, representaciones gráficas, etc.
5. Propicia desarrollar el pensamiento lógico de los estudiantes a partir de la derivación
de consecuencias pertinentes a partir de principios generales: estructuración del
proceso de resolución.
6. Introduce en los estudiantes el hábito de dudar de los resultados y de analizarlos
cuidadosamente.
7. Favorece la comprensión de los conceptos matemáticos fundamentales.
8. Favorece las actitudes positivas hacia la profesión, las Matemáticas y su aprendizaje.
9. Favorece la autoconfianza de los estudiantes al abordar problemas desconocidos.
10. Favorece el desarrollo de la habilidad resolver problemas de Matemática.
11. Otras opiniones.
Anexo 22.B
Resultados del análisis de las opiniones de los profesores acerca de la experiencia
pedagógica.
Muestra: Profesores universitarios 40
Profesores de la Enseñanza Media 16
Valorar de 2 a 5 en que grado se favorece la consecución de los aspectos tratados
en cada una de las metodologías.
M.H.: Metodología Habitual. M.H.: Metodología Propuesta
Aspectos a considerar.
Calificación
de 2 puntos.
(%)
M.H. M.P.
Calificación
de 3 puntos.
(%)
M.H. M.P.
Calificación
de 4 puntos.
(%)
M.H. M.P.
Calificación
de 5 puntos.
(%)
M.H. M.P.
1. Motivación de los estudiantes.
2. Cuidadosa atención a los aspectos
cualitativos de la situación antes de
utilizar datos, conceptos, etc.
8,92 1,78
3,57 3,57
37,50 14,28
41,07 1,78
51,78 75,00
33,92 14,28
1,78 8,92
21,42 80,35
3. Expresión de las ideas intuitivas de
los estudiantes y su transformación.
4. Entrenamiento en emisión de
hipótesis, búsqueda de estrategias
alternativas de resolución,
representaciones gráficas, etc
5. Pensamiento lógico (derivación de
consecuencias pertinentes a partir de
principios generales: estructuración
del proceso de resolución).
6. Favorece en los estudiantes el hábito
de dudar de los resultados y
analizarlos cuidadosamente.
7. Favorece la comprensión de
conceptos matemáticos
fundamentales.
8. Actitudes positivas hacia su
profesión, las matemáticas y su
aprendizaje.
9. Autoconfianza de los estudiantes
para abordar problemas
desconocidos.
10. Favorece el desarrollo de la
habilidad resolver problemas de
Matemática.
11. Otras.
21,41 1,78
30,35 3,57
1,78 1,78
50,00 3,57
14,28 3,57
17,84 1,78
25,00 1,78
3,57 3,57
5,35 3,57
60,71 5,35
46,42 12,50
73,21 10,71
16,07 10,71
53,57 14,28
64,28 14,28
57,14 5,35
28,57 1,78
66,07 1,78
10,71 21,24
17,75 30,35
21,42 5,35
32,14 3,57
25,00 17,85
16,07 21,42
14,28 25,00
62,50 12,50
17,85 1,78
7,14 71,25
5,35 53,57
3,57 82,14
1,78 82,14
7,14 64,28
1,78 62,50
3,57 67,85
5,35 82,14
8,92 83,92