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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL

FRANCISCO DE MIRANDA

COMPLEJO ACADEMICO EL SABINO

AREA DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE FISICA Y MATEMATICA

COORDINACION DE LABORATORIOS DE FISICA

GUIAS DE LOS LABORATORIO DE FISICA I

Y LABORATORIO DE FISICA GENERAL

PRACTICA 1: MEDICIONES DE LONGITUD Y

TEORIA DE ERROR

Punto Fijo, Octubre de 2009

Practica 1

Mediciones de longitud y teora deerror.

1.1. Objetivos

Comprender el principio y funcionamiento del Tornillo Micrometrico y el Calibre

Pie de Rey o Vernier.

Basado en la teora del error, el conocimiento de los tipos de error y aproximaciones,

calcular eficientemente la incertidumbre presente en los calculos y mediciones fsicas

fundamentales.

Efectuar mediciones directas a distintos solidos para el calculo del volumen, conside-

rando el error cometido.

1.2. Equipos y Materiales

Debe traer el Equipo: Del Laboratorio:

- Calculadora. - Un (1) Tornillo Micrometrico.- Una (1) Cinta metrica. - Un (1) Vernier Calibre Pie de Rey.- La gua de laboratorio (para cada alumno). - Varios solidos de geometra regular.

1

2 PRACTICA 1. MEDICIONES DE LONGITUD Y TEORIA DE ERROR.

1.3. Fundamentos Teoricos

1.3.1. Reglas graduadas para medir longitud.

En una regla graduada la medida viene definida por la distancia entre los trazos de cada

division; segun la escala y unidad de medicion. El material de fabricacion de la regla esta en

funcion de la aplicacion para la cual esta destinada y de la precision requerida. Segun al uso

de las reglas graduadas las mas corrientes son:

(a) Metros Plegables

(b) Cintas Metricas

Figura 1.1: Reglas graduadas mas usadas

1.3.2. Instrumentos mecanicos de medicion: El Nonio, Nonius o

Vernier

El calibre Pie de Rey o vernier es en esencia una regla graduada, perfeccionada para

aumentar la seguridad y precision de las mediciones. En la Figura 1.2 se muestra en su mayor

simplicidad. Como puede verse, esta formado por una regla graduada, uno de cuyos extremos

forma una pata (quijada de medicion) (1); sobre la regla va montado un cursor deslizante

(2) solidario a una segunda pata (quijada de medicion)(3). Un trazo o ndice en el cursor (4)

indica, sobre la escala de la regla, la distancia entre las superficies de contacto de las patas

(quijadas), para cualquier posicion de estas.

1.3. FUNDAMENTOS TEORICOS 3

Figura 1.2: Vernier o Calibre Pie de Rey

Como puede apreciarse en la Figura 1.3, entre las ventajas del vernier en comparacion

con la simple regla graduada, es no exigir la apreciacion visual de la coincidencia del cero y

la simplificacion de la lectura, al hacerse esta por la coincidencia de dos trazos.

Figura 1.3: Coincidencias de trazos entre las escalas

Cuando el ndice no coincide con alguna division de la escala, se usa el vernier, del cual

deriva el nombre del instrumento. Consiste en una segunda reglilla o escala (nonio) grabada

en el cursor (Fig. 1.4).

Figura 1.4: Vernier y la escala nonio

Para mayor claridad en la explicacion, consideraremos el nonio de un vernier dispuesto

para medir con aproximacion de decimas de milmetro. La reglilla tiene una longitud de 9mm


y esta dividida en 10 partes iguales, como puede verse en la Figura 1.5. Por consiguiente, si la

apreciacion de la escala principal es de 1mm, entonces las divisiones de la escala secundaria

tendran una longitud de 910

de milmetro. La apreciacion del instrumento es la diferencia entre

la apreciacion de la regla principal y la apreciacion del nonio:(1 910

)mm = 110

= 0, 1mm.

Figura 1.5: Escala nonio con coincidencia en la segunda marca

En una medicion, para determinar la fraccion de la menor division de la escala principal,

basta con determinar cual de las marcas del nonio coincide con alguna de las marcas de

la escala principal. Por ejemplo, si la marca coincidente es la tercera (Fig. 1.6), entonces la

fraccion de milmetro es 0, 2 (la primera corresponde al cero). La razon de esto es la siguiente:

si la tercera marca es la que coincide, entonces la segunda marca estara desplazada 0,1mm

con respecto a la marca mas cercana de la escala principal, y la primera (correspondiente al

cero) estara desplazada 0,2 mm.

Figura 1.6: Escala nonio con coincidencia en la tercera marca

Hay una gran variedad de estos instrumentos, debido a que han sido adaptados a diversos

usos en la medicion. El mas comun es el tipo Mauser, que se muestra en la Figura 1.7, y es

el que usaremos en el laboratorio. Se caracteriza por la disposicion doble de las patas: patas

T y T para medir longitudes exteriores (espesores, diametros, etc.), como se muestra en la

Figura 1.8. M y M para medir longitudes interiores como: cavidades, diametros interiores,

etc. (Fig. 1.9), y una lamina L para medir profundidades (Fig. 1.10).


Figura 1.7: Vernier tipo Mauser

Figura 1.8: Medicion de diametros exteriores

Figura 1.9: Medicion de diametros interiores


Figura 1.10: Medicion de profundidad

El vernier tipo Mauser que usaremos, tiene una apreciacion de 120

mm. En la Figura 1.11

se aprecia una medida de 3,095cm hecha con este vernier.

Figura 1.11: Vernier de 120

mm

1.3.3. Instrumentos mecanicos de medicion: El tornillo micrometri-

co

El tornillo micrometrico o micrometro, es un instrumento utilizado para medir con preci-

sion de centesimas de milmetro. El funcionamiento del micrometro se basa en el avance que

experimenta un tornillo montado en una tuerca fija, cuando se lo hace girar. Como se ilustra

en la Figura 1.12, dicho desplazamiento es proporcional al giro del tornillo. Por ejemplo, si

al tornillo (2) se lo hace girar dentro de la tuerca fija (1), al dar una vuelta completa en el

sentido a, avanza en el sentido b una longitud denominada paso de la rosca; si gira

dos vueltas, avanza una longitud igual a dos pasos, y si gira un cincuentavo o una centesima

de vuelta, el extremo avanzara un cincuentavo o una centesima de paso.


Figura 1.12: Avance de un tornillo

Una disposicion practica del micrometro se muestra en la Figura 1.13. Como puede verse

esta formado por un cuerpo en forma de herradura (7), en uno de cuyos extremos hay un

tope o punta de asiento (1); en el otro extremo hay una regla fija cilndrica graduada en

medios milmetros (2), que sostiene la tuerca fija. El tornillo, en uno de sus extremos forma

el tope (3) y su cabeza esta unida al tambor graduado (4). Al hacer girar el tornillo se rosca

o se desenrosca en la tuerca fija y el tambor avanza o retrocede solidario al tope (3).

Figura 1.13: Partes del Micrometro

Cuando los topes (1) y (3) estan en contacto, la division 0 (cero) del tambor coincide con

el cero (0) de la escala; al irse separando los topes se va descubriendo la escala y la distancia

entre ellos es igual a la medida descubierta de la escala (milmetros y medios milmetros) mas

el numero de centesimas indicado por la division de la escala del tambor que se encuentre

en coincidencia con la lnea horizontal de la escala fija.

Por ejemplo, en la Figura ??(a) se ve la posicion del tambor para una separacion de los topes

de 7,25mm, y en la Figura 1.14(b) para una medida de 7,84mm; en este ultimo caso el tambor

indica 34 centesimas, pero, como en la escala fija hay descubiertos 7, 5mm(7 rayas superiores

completas, mas una raya inferior), la medida indicada es de 7, 50 + 0, 34 = 7, 84mm.


Figura 1.14: Escalas del Micrometro

Dada la gran precision de los micrometros, una presion excesiva de los topes sobre la

pieza que se mide, puede falsear el resultado de la medicion, ademas de ocasionar dano en

el micrometro con la perdida permanente de la precision.

1. Para evitar este inconveniente, el tornillo se debe girar por medio del pequeno tambor

moldeado (5) en la Figura 1.13, el cual tiene un dispositivo de escape limitador de la

presion.

2. Antes de efectuar cualquier medida, se debe liberar el freno o traba (6 en la figura

1.13) y una vez realizada esta, se debe colocar la traba, para evitar una alteracion

involuntaria de la medida.

El cuerpo del micrometro esta debidamente constituido para evitar las deformaciones por

flexion. En los micrometros de muy buena calidad, el material utilizado en su construccion es

acero tratado y estabilizado. Los topes tienen caras de contacto templadas y rigurosamente

planas. No obstante todas estas precauciones, la durabilidad y el buen funcionamiento de un

micrometro dependen del trato racional y sensato que reciba.

1.3.4. Precision y Exactitud

La teora de error se basa en consideraciones estadsticas y de calculo (derivadas parciales,

derivadas logartmicas y analisis numerico) para obtener buenas aproximaciones:

(a) Cantidades medidas directamente (Mediciones Directas).

(b) Cantidades calculadas a partir de valores medidos (Mediciones Indirectas).


La medicion es un proceso para determinar el valor de una cantidad en terminos de una

unidad patron establecida por un sistema de medicion. Como resultado de la medicion se

obtiene lo siguiente:

Una unidad en terminos de la cual es establecido el resultado (metros, segundos, kilo-

gramos, etc.).

Un numero que establece el resultado en terminos comparativos con la unidad patron

de medicion.

Una incertidumbre o estimacion del rango dentro del cual, probablemente, esta el valor

verdadero de la medicion.

El resultado de una medicion es un numero o valor acompanado de la respectiva unidad

de medicion. Dicho numero obtenido en la medicion lo llamaremos el valor de la medida y

su ndice de confianza comprende dos aspectos:

Precision: Este termino se refiere a dos aspectos, el primero relacionado con el nume-

ro de cifras significativas que representan una cantidad. El segundo se relaciona con

la extension en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad

fsica.

Es la concordancia entre s del conjunto de medidas realizadas en igualdad de condi-

ciones experimentales con las mismas tecnicas e instrumentos, es decir la precision se

refiere a la dispersion de las medidas unas con relacion a las otras. Una gran impor-

tancia entre ellas indica alta precision y, una gran separacion significa baja precision.

Ademas la precision esta estrechamente vinculada con la apreciacion del instrumento

y con los errores aleatorios. En la medida que sea menor la influencia de los errores

aleatorios y mas sensibles sera el instrumento de medicion, mayor sera la precision.

Exactitud: Se refiere a la aproximacion de un numero o de una medida al valor verda-

dero que se supone representa. Es la concordancia de las medidas valores observados

con el valor verdadero de la magnitud bajo estudio.

En la practica, se toma como valor verdadero un patron, un valor teorico o el resul-

tado de otra medida realizada con metodos e instrumentos mas precisos. La exactitud

esta estrechamente relacionada con los errores sistematicos, as la presencia de errores

sistematicos disminuye la exactitud.

Ambos conceptos quedan perfectamente ilustrados usando la analoga del buen tirador

al blanco. En el Apendice 1 los agujeros en el centro del tiro al blanco de cada esquema


representan las predicciones (diferentes mediciones) y el centro del tiro al blanco represen-

ta la verdad. La inexactitud (conocida tambien como sesgo) se define como un alejamiento

sistematico de la verdad. Este ejemplo de un buen tirador, ilustra el concepto de exactitud

y precision. As se tiene las siguientes situaciones: (a) inexacto e impreciso, (b) exacto e

impreciso, (c) inexacto y preciso, (d) exacto y preciso.

1.3.5. Mediciones directa e indirectas

Se puede diferencial dos tipos de mediciones a saber: Mediciones Directas y Mediciones

Indirectas. Se dice que una medicion es Directa cuando el valor de la magnitud se obtiene

comparando directamente la magnitud considerada con su correspondiente unidad patron

o por la indicacion de un instrumento calibrado previamente con la unidad patron corres-

pondiente. Se dice que una magnitud es Indirecta y, se ha considerado por un proceso de

medicion indirecto cuando su valor se obtiene empleando una ecuacion conocida que rela-

ciona a la magnitud considerada con otras magnitudes x1, ..., x2, ..., xn que se pueden medir

directamente.

1.3.6. El error de observacion

Es el valor de la diferencia entre el valor verdadero y el valor observado de la magnitud

a medir. El error de observacion no obedece a leyes simples, mas bien, es el resultado de la

accion combinada de muchos factores.

Los errores se clasifican en cuatro categoras:

(a) Errores sistematicos: Son aquellos que contribuyen a desviar el valor verdadero de

la medicion en la misma direccion, provienen de una mala calibracion del instrumento

o aparato de medicion, lo que conduce forzosamente a desviaciones que sobreestiman

y subestiman la medida realizada. Este error influye en la exactitud de la medida.

(b) Errores personales: Los generamos con nuestra inexperiencia, las limitaciones por la

capacidad cognoscitiva relacionadas con la observacion y destreza y poca familiaridad

e interes con el laboratorio, lo que se manifiesta con el uso inapropiado de los aparatos.

(c) Errores de escala: Se debe a la precision o resolucion limitada que presenta cualquier

aparato de medida por bueno que sea este. Ademas, puesto que la resolucion de un

aparato de medida es limitada, nunca sera posible determinar una magnitud con mayor

precision que la que tenga este aparato.


(d) Errores accidentales o aleatorios: Son los causados por las fluctuaciones de posi-

bles variables (por ejemplo, cambios de temperatura, presion, humedad, polvo en el

ambiente, etc.) que no pueden ser controladas en el experimento. Esto le confiere un

caracter imprevisible (ALEATORIO) e inevitable, de manera que se distribuyen al azar

y pueden ser tratadas estadsticamente.

1.3.7. Error absoluto y relativo

Una vez que se ha cuantificado el error contenido, este debe aparecer junto al valor

de la magnitud medida experimentalmente, de manera que el resultado completo aporte

informacion sobre el valor y sobre la calidad de su medida. Esto se hace indicando el error

absoluto () y/o relativo ().

Error absoluto (): Se expresa en las mismas unidades que la medida (x) a la que

acompana, y permite comparar directamente esta con su imprecision. Segun esto el

resultado final se debe expresar como:

Magnitud = (x x)Unidad. El error es la suma de los errores de escala y de loserrores accidentales.

Error relativo(): Cuando se lleva a cabo una serie de medidas con distintos aparatos

o con el mismo, pero a diferentes escalas, es necesario disponer de algun modo de

comparacion para la calidad de la medicion. En este caso recurrimos al error relativo

() en forma de fraccion o en forma de porcentaje.

=x

|x| , o ( %) =x

|x| 100 %

De la misma manera que el error absoluto es la suma de los errores de escala y de los

errores accidentales.

x = escala + accidental

1.3.8. Estimacion de Errores Accidentales

Para asegurar la fiabilidad de una medida directa, debemos repetir el mismo experimento

un cierto numero de veces; siendo el resultado mas probable de la medicion el valor de la

Media Aritmetica del conjunto de datos registrados. Supongamos que se han realizado


N medidas de de una determinada magnitud x. El valor promedio o media aritmetica es el

mejor estimador del valor verdadero y su valor se calcula aplicando la siguiente formula:

x =

Ni

xi

N,

Ni

xi = x1 + x2 + x3 + ... + xn. (1.1)

Este resultado representa el valor mas probable de la medida, pero este valor no dice nada

acerca del error. El valor del error viene determinado por el calculo de la desviacion tpica o

desviacion estandar S, que es raz cuadrada positiva de la varianza:

S =

Ni

(xi x)2

N(1.2)

La dispersion reducida de las medias de las muestras se representa con un parametro muy

importante. La desviacion estandar del conjunto de valores medios se conoce con el nombre

de error estandar de la media. Se ha comprobado estadsticamente que el error estandar

de la media se determina por la siguiente expresion:

S =SN

(1.3)

Finalmente para estimar el Error Accidental tomando en cuenta el error estandar de la

media:

xaccidental = 2, 77 S (1.4)Donde 2, 77 es el valor obtenido en la tabla de distribucion t-student, para un intervalo de

confianza del 95 % y un N = 5, por lo cual este sera el utilizado el Laboratorio de Fsica I

y Fsica General. Entonces el resultado numerico definitivo de la medida se puede expresar

como:

x = (xx)

Donde: x = xescala + xaccidental

1.3.9. Propagacion del error en las medidas indirectas

Cuando usted realiza una medicion en el transcurso de un experimento, la mayora de las

veces es para determinar otra cantidad que esta relacionada con la medida tomada, a traves


de una formula fsica - matematica conocida; como puede ser la expresion de una ley fsica.

Esta magnitud fsica a determinar representa una medicion indirecta, ya que es funcion de

otras magnitudes que si se pueden determinar experimentalmente, es decir directamente.

El error presente en cada magnitud medida directamente se propaga al calculo final de la

medicion indirecta. Hay dos maneras distintas de calcular la propagacion del error:

(a) Metodo de Derivadas Parciales: el error de una medicion indirecta se puede es-

timar considerando que los errores de las distintas variables de las que depende son

suficientemente pequenos en comparacion con sus respectivas variables (x >> x). De

este modo si se tiene una funcion de N variables xi cuyos errores son xi, siempre se

puede hacer un desarrollo de TAYLOR despreciando terminos superiores al primero,

de manera que

f(xi + x1, x2 + x2, ..., xN + xN ) = f(x1, x2, ..., xN) +

Ni

fxi xi

Tomando en cuenta que el ultimo termino z es

z = f(x1, x2, ..., xN) +Ni

fxixi

Visto de otro modo: df(x1, x2, ..., xN) = fx1 dx1 + fx2 dx2 + ... + fxN dxN Estaes una funcion de muchas variables, en donde: fx1 =

f

x1Es decir la derivada parcial

de la funcion f con relacion a la variable x1, manteniendo fijas las variables x2, x3, xN .

Pasando los diferenciales df a los f = x, obtenemos un metodo para calcular el error

absoluto cometido sobre x. Entonces el error que se propaga a la magnitud derivada

sera:

z =

Ni

fxixi (1.5)

z =

fx1 x1 +

fx2 x2 + ... +

fxNxN (1.6)

Aqu se han anadido los valores absolutos de las derivadas parciales ya que se quiere

calcular el valor maximo y no queremos que haya ninguna cancelacion entre los errores

cometidos, los deltas (xi) son por convencion positiva.


(b) Metodo de las Derivadas Logartmicas: Este metodo es practico para calcular,

rapidamente, los errores relativos de cantidades determinadas indirectamente; se basa

en la propiedad del diferencial del logaritmo neperiano de una funcion f , ln f :

d(ln f) =

(df

f

)

Si f(x1, x2, x3, ..., xN) = z y queremos calcular el error relativo propagado en z igual azz

, se debe calcular el ln z y escribir entonces, la diferencial de esta funcion.

Es decir que s por ejemplo: z = x1x2(x3)2

. El error en z se escribira: ln z = ln x1 + ln x2 2 lnx3

z

z=

x1x1

+x2x2

2x3x3

Como siempre se quiere el error maximo, es necesario tomar el valor absoluto del

coeficiente de los distintos xN , as, la expresion anterior sera mas confiable.

1.3.10. Ejemplo practico para el tratamiento del error

Determinacion directa del diametro e indirecta del volumen de una esfera solida.

Diametro (d) en mm (di d) (di d)215,67 -0,082 0,00672415,68 -0,072 0,00518415,76 0,008 0,00006415,85 0,098 0,00960415,80 0,048 0,002304

Total:78,76 - Total:0,02388


Solucion:

d =

Ni

di

N=

d1 + d2 + d3 + d4 + d5N

=15, 67mm + 15, 68mm + 15, 76mm + 15, 80mm

5

=78, 76mm

5= 15, 75mm

S =

Ni

(xi x)2

N

=

0, 02388

5

= 6, 910861017 102mmS =

SN

= 3, 090631003 102mmdaccidental = 2, 77 S

= 2, 77 3, 090631003 102mm= 0, 08561047878mm 0, 09mm

d = descala + daccidental

d = 0, 01mm + 0, 09mm

= 0, 10mm

d = (dd)d = (15, 75 0, 10)mmV =

pi

6d3

V =pi

6(15, 75mm)3


Ahora se aplica el Metodo de Derivadas Parciales para determinar la Propagacion del Error

sobre el Volumen

V =

Vd d

V =pi2(15, 75mm)2

0, 10mmV = 38, 97mm3

La expresion final del Volumen de la Esfera sera: V = (V V ), es decir:

V = (2045, 69 38, 97)mm3

1.4. Experiencias

1.4.1. Experiencia N 1: Ensayo con Vernier y Tornillo Micrometro

Cada equipo se debe familiarizar con el uso del Vernier y el Tornillo Micrometro, a traves

de ensayos dirigidos por el profesor.

1.4.2. Experiencia N 2: Medicion de Longitud de los solidos

1. Identificar segun la forma del solido presentado por el profesor la ecuacion para deter-

minar el volumen total.

2. Una vez identificada la ecuacion del volumen del solido, cada equipo debe realizar cinco

(5) mediciones con el Tornillo Micrometrico o el Vernier a cada longitud que se requiere

para satisfacer la ecuacion.

3. Aplique para cada longitud la Teora de Error y determine para cada una el Error

Absoluto segun el procedimiento dado en el apartado de los puntos 1.3.8 y 1.3.9 de

esta guia, anotar los resultados en una tabla.

1.4.3. Experiencia N 3: Medicion Indirecta del Volumen de lossolidos

1. Utilizando las mediciones realizadas en la Experiencia N 2, calcular el volumen total

para cada solido, de acuerdo a la ecuacion que se identifico.

1.4. EXPERIENCIAS 17

2. Aplicar la Teora de Error para cada ecuacion de volumen y obtener de esta forma

el Error Propagado de la medicion. Anotar los resultados en una tabla.

Apendice A

Analoga del tiro al blanco con laExactitud y Precision

Figura A.1: Tiro al blanco

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Apendice B

Ecuaciones del volumen de solidosregulares

Figura B.1: Tabla de ecuaciones

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Bibliografa

[1] Benito, Rosa y Otros. Practicas de Laboratorio de Fsica. Espana, Ariel Practicum,

2002.

[2] Gonzalez, Zaida y Milliani, Llian. Laboratorio de Fsica I (Partes I y II). Venezuela,

1999.

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[6] Vargas Edgar. Mediciones de Longitud. Version Actualizada. 2004.

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[8] Sagan Carl. Miles de millones. Circulo de Lectores. 1997.

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